Resumo de Estatística Descritiva Probabilidade e Estatística 2013

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AEVASF - Autarquia Educacional do Vale do São Francisco FACAPE- Faculdade de Ciências Aplicadas e Sociais de Petrolina Coordenação de Ciência da Computação Disciplina Probabilidade e Estatística Prof. Pedro Macário de Moura Aluno (a) ____________________________________________Matricula ____________ Estatística Descritiva: Distribuição de Frequências Distribuição de Frequências Antes de trabalharmos com distribuição de frequências, vamos fazer uma revisão, trabalhando com uma série estatística, e conhecermos algumas medidas estatísticas, tais como: medidas de posição e medidas de variabilidade ou dispersão. Vamos ao seguinte exercício: Exemplo 1: A produção de cachaça da Fazenda Santo álcool, durante 7 dias, em (1.000 Litros), está representada na tabela abaixo: Tabela 1 - Produção de cachaça da Fazenda Santo álcool, Durante a 2ª semana do mês de abril de 2020 Segunda-feira Terça- feira Quarta-feira Quinta- feira Sexta-feira Sábado Domingo 8 7 8 9 8 6 10 Fonte: Fazenda Santo álcool. Pede-se: a) O tipo da variável; b) classificar a série estatística; c) Rol; d) Produção Mínima; e) Produção Máxima; f) Produção Média; g) Produção modal; h) Produção mediana; i) Amplitude total; j) Desvios; k)Desvio médio; l) Variância; m) Desvio padrão; n) Relatório do trabalho. a) Para resolvermos a questão a, vamos revisar os conceitos de Variáveis: VARIÁVEL: convencionalmente, é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Qualitativa: quando os valores forem expressos por atributos: sexo (masculino - feminino), cor da pele (branca, parda, amarela), Cabelo (Curto, Longo), Chuva (Leve, Moderada etc). Quantitativa: quando os valores forem expressos em números (salários dos operários, altura dos alunos de uma classe de aula, quilômetros rodados por um veículo etc.). VARIÁVEIS Nominal (Sexo, Cor dos olhos....). Qualitativa Ordinal (Grau de Instrução, 1º, 2º e 3º grau; Classe Social, Classe A, B ou C). Contínua (Peso, Idade, Altura....). Quantitativa Discreta (Número de Filhos, Nº de gols em uma partida de Futebol, Nº de carros...). Solução da questão a: Trata-se de variável quantitativa discreta.

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AEVASF - Autarquia Educacional do Vale do São Francisco

FACAPE- Faculdade de Ciências Aplicadas e Sociais de Petrolina

Coordenação de Ciência da Computação

Disciplina Probabilidade e Estatística

Prof. Pedro Macário de Moura

Aluno (a) ____________________________________________Matricula ____________

Estatística Descritiva: Distribuição de Frequências

Distribuição de Frequências

Antes de trabalharmos com distribuição de frequências, vamos fazer uma revisão,

trabalhando com uma série estatística, e conhecermos algumas medidas estatísticas, tais

como: medidas de posição e medidas de variabilidade ou dispersão. Vamos ao seguinte

exercício: Exemplo 1: A produção de cachaça da Fazenda Santo álcool, durante 7 dias, em

(1.000 Litros), está representada na tabela abaixo:

Tabela 1 - Produção de cachaça da Fazenda Santo álcool,

Durante a 2ª semana do mês de abril de 2020

Segunda-feira Terça-

feira

Quarta-feira Quinta-

feira

Sexta-feira Sábado Domingo

8 7 8 9 8 6 10

Fonte: Fazenda Santo álcool.

Pede-se:

a) O tipo da variável; b) classificar a série estatística; c) Rol; d) Produção Mínima;

e) Produção Máxima; f) Produção Média; g) Produção modal;

h) Produção mediana; i) Amplitude total; j) Desvios; k)Desvio médio;

l) Variância; m) Desvio padrão; n) Relatório do trabalho.

a) Para resolvermos a questão a, vamos revisar os conceitos de Variáveis: VARIÁVEL:

convencionalmente, é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

Qualitativa: quando os valores forem expressos por atributos: sexo (masculino - feminino),

cor da pele (branca, parda, amarela), Cabelo (Curto, Longo), Chuva (Leve, Moderada etc).

Quantitativa: quando os valores forem expressos em números (salários dos operários, altura

dos alunos de uma classe de aula, quilômetros rodados por um veículo etc.).

VARIÁVEIS

Nominal (Sexo, Cor dos olhos....).

Qualitativa

Ordinal (Grau de Instrução, 1º, 2º e 3º grau; Classe Social, Classe A, B ou C).

Contínua (Peso, Idade, Altura....).

Quantitativa

Discreta (Número de Filhos, Nº de gols em uma partida de Futebol, Nº de

carros...).

Solução da questão a: Trata-se de variável quantitativa discreta.

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b) Para resolvermos a questão b, vamos revisar os conceitos sobre séries estatísticas:

Chamamos de série estatística, toda tabela que apresenta uma distribuição de uma amostra ou

população em função do tempo, do local e espécie.

Temporal: o fenômeno é estudado em uma determinada faixa de tempo. É conhecida como

(Séries temporais, cronológicas, evolutivas, históricas ou marchas).

Espacial: o fenômeno é estudado em uma ou mais região. É conhecida como Séries

geográficas, espaciais, territoriais ou de localização.

Quanto à Categoria: o fenômeno é estudado, o tempo e o espaço são fixos, a categoria

varia. É conhecida como Séries categóricas ou específicas.

Solução da questão b: Trata-se de uma série estatística cronológica.

c) Questão c, ROL: organizar os dados, numericamente, em ordem crescente ou decrescente.

Solução da questão c: 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10.

Medidas de Posição: Questões: d, e, f, g, h [Mínimo, Máximo, Média, Mediana e Moda, são

medidas de posição]

Questão d: Mínimo: 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10. . Mínimo: 6

Questão e: Máximo: 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10. .Máximo: 10

Questão f: O que entendemos por média aritmética? - É um valor representativo de uma

amostra ou população. Para seu cálculo procedemos da seguinte forma:

Somamos todos os valores do 1º até o último e em seguida dividimos o valor encontrado pelo

número de elementos somados.

Vamos utilizar uma fórmula mais simples: Vamos adotar a notação para Média como Me.

Solução da questão f:

8

Me(x)7

56Me(x)

7Me(x)

10 9 8 8 8 7 6

n

xMe(x)

[Veremos também: Média Geométrica e Média Harmônica.]

Questão g: Moda ou Modo (Mo): é o valor (ou atributo) que ocorre com maior freqüência.

Solução da questão g: o valor que mais ocorre, [mais aparece] é o 8, ocorre 3 vezes.

Questão h: Mediana (Md) ou valor mediano: colocado uma série de valores ordenados. A

mediana é o elemento de ordem [ n, nº ] que ocupa a posição central da distribuição/amostra.

Isto é, divide a amostra em duas partes iguais.

Para n impar: para n par

2

1

nMd

2

2

1

2

nn

Md

Solução da questão h: n = 7;

Dados ordenados: 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10. Md(x) = (7+1)/2 Md(x) = 8/2 = 4º elemento = 8.

n

x

n

xxxxx

n

ii

n

1321

...

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Medidas de Dispersão ou variabilidade: São medidas que medem o grau de

dispersão [Variabilidade] de uma amostra/distribuição. Analisando as situações abaixo: Seja

X, a venda de gasolina no posto ÁLCOOL, em mil litros, durante 4 dias.

Amplitude Total - AT = Xmáx - Xmín

a) 7, 7, 7, 7 - Média: 7 - AT = 7 - 7: 0; - Desvio Padrão: 0,00 - não têm dispersão;

b) 6, 8, 5, 9 - Média: 7 - AT = 9 - 5: 4; - Desvio Padrão: 1,83 - têm dispersão;

c) 3, 11, 4, 10 - Média: 7 - AT = 11 - 4: 7; - Desvio Padrão: 4,08 - têm dispersão maior que

as anteriores;

d) 1, 13, 1, 13 - Média: 7 - AT = 13 - 1: 12; - Desvio Padrão: 6,93 - têm a maior dispersão.

[Obs.: a média aritmética é a mesma para as 4 séries estatísticas]

Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto

de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie (CRESPO, 2002, P.26).

Vamos calcular as dispersões, em relação à média aritmética, para a situação b?

Que conclusão chegastes?

Vamos começar com os desvios [di], um a um, de cada valor da amostra.

Calculamos o desvio da seguinte forma:

a) Calculamos a média aritmética;

b) Em relação à média aritmética, calculamos um a um [Xi - Me], o somatório di = 0;

[A soma dos desvios tem que ser Zero]

X - Me = di | di | (X - Me)2

6 - 7 -1 | -1 | 1

8 - 7 1 | 1 | 1

5 - 7 -2 | -2 | 4

9 - 7 2 | 2 | 4

0 6 10

Como podemos observar a soma dos desvios [di] é Zero. Para calcularmos a média dos

desvios precisamos evitar que a soma dos mesmos seja zero. Para que isto ocorra,

trabalhamos com os valores absolutos colocando cada um dos desvios em módulo | di |,

trabalhamos com os valores positivos. [No Excel a função é =ABS(X)]. Agora vamos calcular

a média dos desvios ou Desvio médio [DM].

1,54

6

n

d DM Médio Desvio

i

Σ

Bem, para a nossa análise estas medidas não são suficientes.

Vamos calcular a Variância e Desvio Padrão.

O cálculo da variância da amostra: 1

2

n

)XX(Var

14

10

Var 33333

3

10,Var

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

VariânciaPadrão Desvio 8257133333 ,, DP DP = 1,8257

1. Distribuição de Frequências:

A tabela de distribuição de frequências é uma série estatística, onde os dados encontram-se

dispostos em categorias ou classes juntamente com suas frequências correspondentes, em

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dados ordenados em linhas e colunas. As distribuições de frequências podem ser divididas em

dois tipos:

1.1. Variável discreta - Tipo A

Como já foi visto as variáveis discretas geralmente assumem valores inteiros. Exemplo:

Número de filhos de um casal, número de livros da biblioteca da Faculdade.

Seja X: Número de erros por páginas encontrados na Monografia do Sr. Y, apresentada em

jun.1873.

Número de erros por página da monografia

Apresentada em jun./199X

Número de Erros

(Xi)

Nº de páginas (Fi)

1 20

2 15

3 17

4 13

5 11

6 9

Total 85

Xi: identifica as classes em que o evento se subdivide;

Fi: frequência absoluta, isto é, corresponde ao número de vezes que cada classe ocorre;

n: soma de todas Fi = total de elementos observados na população.

Dada a seguinte distribuição:

Pede-se:

a) FaC: Frequência Acumulada Crescente; b) FaD: Frequência Acumulada Decrescente;

c) Fr: Frequência Relativa; d) FrC: Frequência Relativa Crescente;

e) FrD: Frequência Relativa Decrescente; f) F%: Frequência Percentual;

g) F%C: Frequência Percentual Crescente; h) F%D: Frequência Percentual Decrescente.

i) Média aritmética; j) Moda; k) Mediana.

1. Distribuição de Frequências:

1.2. Variável contínua [Tipo B]

Distribuiição de Freqüências - Variável Tipo-A [Variável Discreta]

Seja X: nº de salário mínimo ganho por trabalhador

i Xi Fi Fac Fad Xi*Fi Fr FrC FrC F% F%C F%D Xi2Fi

1 4 20 20 85 80 0,2353 0,2353 1,0000 23,529 23,529 100,000 320

2 5 15 35 65 75 0,1765 0,4118 0,8235 17,647 41,176 76,471 375

3 6 17 52 50 102 0,2000 0,6118 0,6235 20,000 61,176 58,824 612

4 7 13 65 33 91 0,1529 0,7647 0,4706 15,294 76,471 38,824 637

5 8 11 76 20 88 0,1294 0,8941 0,3412 12,941 89,412 23,529 704

6 9 9 85 9 81 0,1059 1,0000 0,2353 10,588 100,000 10,588 729

85 517 1,0000 100,000 3377

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Exercício: A produção de leite de 40 vacas, no dia 03/08/23, [em litros] foi a seguinte:

Dados brutos 15, 12, 8, 8, 15, 18, 13, 20, 15, 4, 9, 13, 15, 14, 13, 15, 20, 12, 7, 6

21, 10, 9, 15, 12, 7, 6, 17, 15, 11, 4, 5, 8, 5, 8, 7, 8, 15, 6, 7

Colocar em ROL (ROL = ordenar os dados em ordem crescente ou decrescente)

4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10 ,12

12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 17, 18, 20, 20, 21

Construir a distribuição de frequências com "h = amplitude de classe" h = 4, começando por

4, com intervalo de classe fechado esquerda. ( | ).

n = 40 11,640

464

niΣF

iF*iX X ica AritmétMédia

DETERMINE:

a) Amplitude Total: Limite superior – Limite inferior "da distribuição" AT=24-4 = 20;

b) Amplitude Amostral: Ls - Li "da amostra" AT=21-4 = 17

c) O limite superior da 3ª classe = 16;

d) Li da 2ª classe = 8;

e) A Amplitude (h) da 4 classe = 4;

f) A frequência acumulada (Fac) da 3ª classe =35

g) A freq. acumulada decrescente (Fad) da 2ª classe = 28

h) A porcentagem de vacas que produziram menos que 16 litros = 87,5%

i) O número de elementos da amostra = 40 (N = 40)

j) Quantas classes Têm a distribuição? = 5 (i = 5)

k) Observe diretamente a amostra. Qual classe modal? 3ª.

l) A frequência relativa da 4ª classe = 0,05

m) A frequência percentual (Fr * 100) da 2ª classe = 20%.

n) O PM (Ponto Médio) da 3ª classe = 14.

2. Distribuição de Frequências:

Introdução: A estatística pode ser dividida em duas partes:

a) Estatística Descritiva - consiste em:

Coleta de dados; Organização de dados; Construção de tabelas;

Construção de gráficos; Cálculo de medidas que permitem uma melhor

avaliação dos dados.

b) Probabilidade: Ferramenta matemática que deduz a partir de um modelo as propriedades de

um fenômeno aleatório

Distribuição de Freqüências - Variável Tipo-B [Variável Contínua]

i Fi Xi Fac Fad Xi*Fi Fr FrC FrD F% F%C F%D Xi2Fi

1 4 ┣ 8 12 6 12 40 72 0,300 0,300 1,000 30,000 30,000 100,000 432

2 8 ┣ 12 8 10 20 28 80 0,200 0,500 0,700 20,000 50,000 70,000 800

3 12 ┣ 16 15 14 35 20 210 0,375 0,875 0,500 37,500 87,500 50,000 2940

4 16 ┣ 20 2 18 37 5 36 0,050 0,925 0,125 5,000 92,500 12,500 648

5 20 ┣ 24 3 22 40 3 66 0,075 1,000 0,075 7,500 100,000 7,500 1452

40 464 1,000 100,000 6272

Classes

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c) Inferência Estatística: Conjunto de instrumentos que permitem obter conclusões para o

todo (população), a partir de valores obtidos na parte (amostra). O estudo da distribuição

de frequências representa a própria estatística descritiva. Assunto, que em nosso curso,

daremos grande atenção.

2. Conceitos preliminares

2.1. População: conjunto de pessoas ou elementos (seres vivos ou não) que apresentam pelo

menos uma característica em comum.

2.2. Amostra: qualquer subconjunto da população.

2.3. Variável discreta: Assume apenas determinados valores em um certo intervalo,

exemplo: número de defeitos de um carro; número de pessoas que trabalham numa mesma

família; número de desempregados no Estado de São Paulo.

2.4. Variável contínua: Pode assumir qualquer valor dentro de um certo intervalo. Exemplo:

peso de um conjunto de crianças do nordeste; altura de um conjunto de crianças do

sudeste; porcentagem de desempregados em relação ao total da PEA (população

economicamente ativa).

3. Conceitos relacionados à construção das tabelas de frequências.

3.1. a) Amplitude Amostral: (AA ) é o maior valor da amostra menos o menor valor da

amostra AA = Xmax - X min. Nossa primeira medida de dispersão; é a "mais

grosseira", só nos mostra os extremos da amostra. Ocuparemos do assunto quando

avançarmos nossos estudos.

b) Amplitude Total: (AT) é o maior valor da distribuição menos o menor valor da

distribuição AT = Xmax - Xmin.

3.2. Amplitude de classe ou intervalo de classe (h)

h = Ls - Li, onde: Ls: limite superior da classe; Li: limite inferior da classe.

3.3. Ponto médio: o ponto médio de cada classe (Xi) é definido como: 2

Ls Li Xi

3.4. Limite de classe (intervalo aberto e fechado)

3 || 5 (incluem todos os valores, inclusive 3 e 5)

3 | 5 (de 3,000... 01, exclui o 3, e inclui o 5)

3 | 5 (inclui 3 e exclui o 5)

3 5 (excluem todos os valores, inclusive 3 e 5)

4. Frequência absoluta: (Fi) é o número de vezes que cada classe (ou cada valor de Xi na

variável direta) aparece no total de dados.

4.1. Frequência acumulada: (Fa) é a soma das freqüências até a classe considerada.

4.2. Frequência relativa: (Fr) é a relação entre a Fi de cada classe e o total de observações.

4.3. Frequência relativa acumulada: (Fra) idem frequência acumulada (Fa).

Dados brutos: àqueles que não foram numericamente organizados (tabela primitiva).

Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.

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Arredondamento de dados

O arredondamento de um número à unidade mais próxima (décimo, ou outra decimal) reduz

seus dígitos significativos ao número de dígitos significativos garantido pelo cálculo

realizado. Quando o resto a ser arredondado for exatamente 5, a convenção é fazer o

arredondamento para o PAR mais próximo. Esta prática faz com que, ao longo das operações,

as diminuições e acréscimos devido aos arredondamentos tendam a se compensar.

Exemplo 8

(arredondado ao décimo mais próximo)

(arredondado ao centésimo mais próximo)

(arredondado ao décimo mais próximo)

(arredondado ao décimo mais próximo)

(arredondado ao centésimo mais próximo)

Mais a respeito de distribuição de frequência

A tabela 1 abaixo mostra a distribuição de frequência de salários semanais para 100

funcionários.

Salário semanal em R$ Número de trabalhadores

Total

Tabela 1

A tabela 2 abaixo mostra os Salários de 100 trabalhadores.

Salário semanal em R$

(limite de classe)

Fronteiras de classe

R$

Ponto médio Numero de

trabalhadores

Total

Tabela 2

HISTOGRAMAS E POLÍGONOS DE FREQUÊNCIA

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Um histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de frequência. Como mostra

figura abaixo.

As fronteiras dos intervalos de classe são colocados ao longo do eixo horizontal do diagrama,

enquanto os números de observaçoes são colocados ao longo do eixo vertical.

Um polígo de frequência é um gráfico de linha de uma distribuição de frequência. Veja

figura abaixo.

Os eixos desde gráfico são similares aos do histograma, execto que no eixo horizontal são

colocados os pontos médios de cada intervalo de classe. O número de observações em cada

classe por um ponto médio da classe, sendo tais pontos ligados por uma série de segmentos de

reta formando uma figura de “muitos lados”, ou polígono.

CURVAS DE FREQUÊNCIA

Uma curva de frequência é um poligino “suavizado”

Em termos de assimetria, um curva de frequência pode ser:

1 Assimetrica negativa (assimétrica com a cauda para a esquerda)

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2 Simétrica.

3 Assimetrica positiva (assimétrica com a cauda para adireita)

Os conceitos de assimetria de uma curva de frequência estão ilustrados na figura abaixo.

Em termos de curtose, uma curva de frequência pode ser:

1 Platicúrtica achatada, com as observações distribuídas de modo relativamnete uniforme

entre as classes.

2 Mesocúrtica nem achatada nem pontaguda, em termos de valores observados.

3 Leptocúrtica pontiaguda, com as observaçoes concentradas em um pequeno intervalo de

valores.

Os tiposde curvas de frequencia em termos de curtose estão representados abaixo

DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA ACUMULADA

Identifica o número acumulado de observações incluídas abaixo da fronteira superior de cada

intervalo de classe da distribuição . A frequência acumulada para uma classe pode ser

determinada somando-se a frequência observada para esta classe com a frequência acumulada

para a classe precendente. Tabela 3

Salário semanal em R$

(limite de classe)

Fronteiras de

classe R$

Número de

trabalhadores (f)

Frequência acumulada

(F)

4

Total 100

Uma curva de ogiva para a distribuição de frequência acumulada da tabela 3 mostrada na

figura abaixo.

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DISTIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA RELATIVA

Uma distribuição de frequência relativa é uma distribuição na qual o número de

observações associado com cada intervalo de classe é convertido em uma frquência relativa,

dividindo-se o mesmo pelo número total de observações da distribuição. Assim cada

frequência relativa é uma proporção, e pode ser expressa em forma de porcentagem.

DIAGRAMA DE BARRAS E GRÁFICOS DE LINHA

Um diagrama de barras representa, por meio de uma série de barras, quantidades ou

frequências para diferentes categorias de dados. A diferença entre um diagrama de barras e

um histograma reside em que o segundo refere-se sempre aos dados de uma distribuição de

frequências, enquanto o primeiro ilustra quantidaddes para qualquer tipo de categorias.

Exemplo

O diagrama de barras abaixo representa as vendas de carros de passeio de fábricas do

BRASIL, sendo os dados categorizados por ano. ( fonte: fictícia).

Vejamos os mesmos dados representados por um grafico de linha.

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DIAGRAMA DE SETORES

O diagrama de setores é um gráfico particulamente apropiado para representar as

divisões de um montante total, tal como a destinação da receita de vendas de uma

companhaia.

A figura abaixo apresenta um diagrama de setores da destinação, por dolar, da rceita de

vendas da Ford Motorr Company em 1974 ( dados do annual report).

A média ponderada

A média ponderada, ou promédio ponderado, é uma media aritmética na qual cada valor se

encontra ponderado de acordo com sua importância no grupo total. As fórmulas para as

médias ponderadas na população e na amostra são idênticas.

Exemplo 3. Em uma companhia de produção múltipla, as margens de lucro para as quatros

linhas de produto da firma, durante último ano fiscal, foram: linha A 4,2%; linha B 5,5%;

linha C 7,4% e linha D 10,1 %. A média não ponderada da margem de lucro é:

Linha de produto Margem de lucro ( ) % Vendas ( ) R$ R$

A

B

C

D

4,2

5,5

7,4

10,1

30.000.000

20.000.000

5.000.000

3.000.000

1.260.000

1.100.000

370.000

303.000

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Mediana para dados agrupados

Onde:

= fronteira inferior da classe que contém a mediana

N = número total de observações na distribuição de frequência (n para amostra)

FB = frequência acumulada da classe anterior à classe que contem a mediana.

Número de observações da classe que contém a mediana

= amplitude do intervalo de classe que contem a mediana.

Exemplo 5. Os dados agrupados da tabela abaixo foram tomados da distribuição de

frequência apresentada no dia 02/03/2011. Neste caso, a classe que contém a mediana é a

classe com o 100/2=50° valor. A primeira classe cuja frequência acumulada iguala ou excede

50 é a classe com limite R$ 180-199; dentro desta classe é feita a interpolação para determinar

o valor especifico da mediana.

Salário semanal em R$

(limite de classe)

Número de trabalhadores (f) Frequência acumulada (F)

4

Total 100

A moda para dados agrupados

Para os dados agrupados em uma distribuição de frequência com intervalos de classe com

iguais amplitudes.

Fórmula de Czuber:

Onde:

= fronteira inferior da classe que contém a moda

= diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe precedente

= diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe seguinte

= amplitude do intervalo de classe

Exemplo 7.

Referindo-se aos dados da tabela o dia 02/03/2011, a classe modal é a classe com os limites

R$ 180-199. Assim

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Relação entre moda, mediana e média.

Média Geométrica

Outra maneira de se obter uma mediada de tendência central é por meio da média geométrica.

Exemplo a media geométrica para os números 10, 15,16, 20 é dado pela raiz quarta do seu

produto.

=14,80

Método dos logaritmos, como termos que extrair raízes de índice maior que 2 usamos os

logaritmos para facilitar o cálculo.

Relembrando:

Media geométrica ponderada

Onde frequência

Utilizando os dados da tabela abaixo podemos calcular o valor da média geométrica para os

salários dos trinta funcionários.

Salário Funcionários

800 7

1200 10

1800 8

2200 3

2600 2

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Média Harmônica

A média harmônica é o inverso da média aritmética

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Exercícios

1. Em certa época, os salários mensais dos funcionários de uma rede hoteleira variavam de

1500 a 3250 u.m. Quais seriam os limites de classe se quiséssemos agrupá-los em 6

classes?

2. Os pontos médios de uma distribuição de leituras de temperatura são 16, 25, 34, 43, 52,

61. Determinar os limites de classe e o intervalo de classe.

3. Os seguintes dados referem-se ao número de acidentes diários num grande

estacionamento, durante o período de 50 dias:

6 9 2 7 0 8 2 5 4 2

5 4 4 4 4 2 5 6 3 7

3 8 8 4 4 4 7 7 6 5

4 7 5 3 3 1 3 8 0 6

5 1 2 3 3 0 5 6 6 3

Construa a distribuição de frequência simples absoluta e relativa utilizando:

a) Dados não agrupados em classes;

b) Dados agrupados em classes de amplitude 2.

4. Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços de

um determinado produto em 20 lojas pesquisadas.

Preços ($) Número de lojas

50 2

51 5

52 6

53 6

54 1

Total 20

a) Quantas lojas apresentaram um preço de $52,00?

b) Construa uma tabela de frequências simples relativas.

c) Construa uma distribuição de frequência acumulada relativa "abaixo de" e "acima de".

d) Quantas lojas apresentaram um preço de até $51,00 (inclusive)?

e) Qual a porcentagem de lojas com preço maior que $52,00?

f) Qual a porcentagem de lojas com preço maior do que $51,00 e menor do que $54,00?

5. Com referência a tabela 1 abaixo,

a) Quais os limites (inferior e superior) da primeira classe?

b) A amplitude dos intervalos de classe é a mesma para todas as classes?

c) Qual é o ponto médio da terceira classe?

d) Suponha um aluguel mensal de $239,50. Identificar os limites superior e inferior da classe

na qual esta observação seria registrada.

e) Construir a distribuição de frequência simples relativa.

f) Construir a distribuição de frequência acumulada relativa "abaixo de".

Tabela 1. Distribuição de frequência de Diárias para 200 apartamentos

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Diárias ($) Número de apartamentos

150 |--- 180 3

180 |--- 210 8

210 |--- 240 10

240 |--- 270 13

270 |--- 300 33

300 |--- 330 40

330 |--- 360 35

360 |--- 390 30

390 |--- 420 16

420 |--- 450 12

Total 200

6. Consideremos os dados da Tabela 2 a seguir.

Tabela 2. Preço médio da gasolina comum para áreas selecionadas

dos Estados Unidos, março de 1975, em centavos de dólar.

Área Preço por galão Área Preço por galão

Atlanta

Baltimore

Boston

Buffalo

Chicago

Cincinnati

Cleveland

Dallas

Detroit

Houston

Kansas City

53.4

55.1

53.9

53.4

54.8

53.3

53.9

49.1

53.7

47.9

49.6

Los Angeles

Milwaukee

Minneapolis

New York

Philadelphia

Pittsburgh

St. Louis

San Diego

San Francisco

Seattle

Washington

53.5

50.1

50.3

55.2

52.9

53.4

52.3

55.3

56.8

52.7

55.2

Vamos supor que quiséssemos organizar aqueles preços em uma distribuição de frequências

com cerca de 5 classes. Determinar a amplitude conveniente de cada intervalo, de tal forma

que todos os intervalos de classe tenham iguais amplitudes, e construir a tabela de frequências

fixando o limite inferior da primeira classe em 47.0.

7. A tabela seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.

162 163 148 166 169 154 170 166

164 165 159 175 155 163 171 172

170 157 176 157 157 165 158 158

160 158 163 165 164 178 150 168

166 169 152 170 172 165 162 164

a) Calcular a amplitude total.

b) Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe?

c) Construir uma tabela de frequências simples absoluta e relativa das alturas dos alunos

admitindo que o limite inferior da 1a classe seja 148 cm.

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d) Determinar os pontos médios das classes.

8. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em

determinados municípios do Estado:

144 152 159 160 160 151 157 146 154 145

141 150 142 146 142 141 141 150 143 158

Construir a tabela de frequências simples e acumuladas (“abaixo de” e “acima de”) tanto

absolutas quanto relativas.

Bibliografia

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TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística, 11ª ed. Rio de Janeiro: LTC. 2013.