Resumo de Métodos Quantitativos 2012.2

MSN do Prof. Fábio Hipólito: [email protected] Versão: 2012.2.

Prof. Fábio Hipólito Administração ALUNO:

Dúvidas:

[email protected]

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# SEÇÃO 1

Decisão nas organizações

Um Problema de Otimização Restrito

Pesquisa Operacional e Management Science

O caminho alternativo à intuição

Tipos de Problema e aplicações

Otimização

Modelos e Modelagem

Decisão nas organizações

Decisão: linha de ação diante de um problema ou uma opor-tunidade; Complexidade no ambiente organizacional: Tempo; Consequências (importância); Risco (incerteza); Agentes decisores; Conflitos de interesses; Tipo de informação (estruturada ou desestruturada);

Método Racional Maximização de utilidade, ou minimização de custo; Critérios objetivos e consistentes.

Um Problema de Otimização Uma indústria de imóveis fabrica sofás e camas. Sabe que: Sofá Cama Preço (R$) 500 400 Com base exclusivamente nestas informações, qual produto a indústria deve optar por fabricar? Complementando a informação anterior, a indústria apurou os custos totais de produção e venda:

Sofá Cama Preço (R$) 500 400 Custo (R$) 350 220 Considerando também as informações de custo, qual produto a indústria deve optar por fabricar? A indústria estimou agora a capacidade de consumo do seu mercado (demanda):

Sofá Cama Preço (R$) 500 400 Custo (R$) 350 220 Demanda (unidades): 100 70 E agora, qual deve ser a decisão da empresa?

O recurso limitado: análise econômica

O problema e o procedimento de solução Como conseguiríamos resolver este problema se houvesse, digamos, 10 produtos diferentes? diferentes modelos de sofás e camas; outros produtos ?

E se considerássemos mais insumos? Parafusos, tecidos, cola, tempo de mão de obra, capacidade

de máquinas, de estoque, etc?

Estas são situações mais próximas da realidade! Felizmente existe um método próprio para problemas como este É o que faremos durante este curso.

A indústria estimou o consumo de matéria prima (tábuas), que está disponível em uma quantidade restrita (270 metros):

Sofá Cama

Preço (R$): 500 400

E agora, qual deve ser a decisão da empresa?

Custo (R$): 350 220

Demanda (unidades): 100 70

Consumo de tábuas (m): 3 5

Apesar de não sabermos o custo da tábua, os dados nos permitemdefinir o lucro por metro de tábua:

Sofá Cama

Lucro (R$): 150 180

Ou seja:• O Sofá remunera melhor cada unidade de matéria prima;• Esta matéria prima deve ser usada prioritariamente para o sofá


Lucro por tábua (R$/m): 50 36

Finalmente, a indústria conseguiu ampliar seu relacionamento com o fornecedor e passa a contar com 370 metros de tábua.

Sofá Cama

Preço (R$): 500 400

E agora, qual deve ser a decisão da empresa?

Custo (R$): 350 220



mailto:[email protected]


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Management Science

Método Racional

Vantagens do Método Racional Explícita os critérios da decisão (objetivos); Identifica as alternativas (possíveis decisões) e como elas se relacionam; Identifica as possibilidades de ação (variáveis) e em que ter-mos elas serão quantificáveis (estruturação) Reconhece as limitações ou restrições Facilita o trabalho em grupo: Unifica a linguagem; Documenta os critérios, alternativas, possibilidades de ação

e limitações; Orienta situações de conflito

Permite correção de curso e aprimoramento do modelo. Modelos Simbólicos Um modelo simplifica uma realidade Foco nos elementos mais importantes do proble-ma/oportunidade Ajuste da complexidade aos recursos (tempo) disponíveis

Mas deve conter detalhes suficientes para que: seja consistente com os dados os resultados atinjam suas necessidades

Modelos Simbólicos – caixa preta

Voltando ao problema da indústria de móveis Tínhamos:

Variáveis de Decisão: a quantidade a ser produzida de cada tipo de móveis. Digamos x1 = quantidade de sofás, x2 = quantidade de camas;

Parâmetros: o preço de venda de cada produto – dado co-mo fixo, o custo, a demanda, os consumos e as quantidades disponíveis de matéria prima;

Variáveis explicadas: o Lucro total, o consumo total de ma-téria prima;

Performance: quando as quantidades ideais estiverem defi-nidas, qual o nível de certeza teremos? Estas informações só serão analisadas na parte avançada deste curso.

Diagrama de Blocos Diagramas de Blocos são úteis na organização do modelo e trazem o benefício de ajudar o início da documentação do modelo. Um diagrama de blocos mostra as relações entre as diversas variáveis do modelo, isto é, mostra como a partir das variáveis exógenas e dos parâmetros, chegamos até as variáveis de me-dida de performance.

utiliza computadores, estatística e matemática para resolver problemas de negócios

converte dados em informações significativas

apoia a tomada de decisão de forma transferível e independente

Cria sistemas úteis para usuários não técnicos

Modelo Resultado

Problema /

OportunidadeDecisões

Ab

stra

ção

Interp

retaçã

o

Mundo

Simbólico

Mundo

Real

Análise

Intuição

Julgamento

Gerencial

Realismo

• um modelo que não capta a realidade não tem valor

• o valor do modelo está associado à qualidade das decisões

Intuição

• A intuição é crucial em todas as etapas

• O método racional usa a intuição gerencial para validação

Simulando a realidade:

ModeloDecisão

Parâmetros

Explicadas

Performance

Variáveis de Decisão representam as possibilidades de atuação (níveis de produção, volume de investimento, etc.)

Os Parâmetros são informações do ambiente, que não podem ser alteradas livremente pelo decisor (custos, preços, capacidades, etc.)

As variáveis explicadas são o resultado do modelo (receita ou custo total, lucro, planos ótimos de atuação)

A performance do modelo também é possível de ser analisada, para medir a confiabilidade do resultado obtido

Lucro TotalVariável Dependente

Equação LucroInequação de

Consumo (tábuas)ModeloInequações de

demanda

Quantidades

Produzidas

Preços e

Custos

Consumo de

tábua/produto

Variáveis

Disponibilidade

de tábuasCapacidade

do mercadoParâmetros


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Formulação do Modelo

A formulação do Modelo a partir das relações do Diagrama de Blocos fica como segue:

Max 150x1 + 180x2

Sendo: x1 100

x2 70

3x1 + 5x2 370

X1, x2 ≥ 0 Este curso vai explorar: procedimentos de abstração (modelagem) uso do Excel para análise (solução) significados práticos das informações analisadas (interpre-

tação) Modelos e Modelagem

Modelos de Tomada de Decisão

# SEÇÃO 2 Excel como ferramenta de modelagem Otimização Restrita – uma análise de sensibilidade Recursos do Excel: Tabela de Dados para simulação de valores; Formatação Condicional

Otimização irrestrita – ponto de equilíbrio Recursos do Excel:

Diagrama de Dispersão Linha de Tendência (regressão linear simples) Atingir Meta

O Exemplo da fábrica de móveis Recapitulando o exemplo da Aula 01:

Como podemos representar, por exemplo, a função de lucro no Excel? Representando Funções no Excel É fundamental definir uma célula para cada variável de deci-são, e uma célula para o valor da função; Forma não estruturada: Coloque toda a expressão matemática na célula da função,

inclusive os parâmetros; Verifique como o valor da função (célula C4) muda em fun-

ção dos valores das variáveis (células C2 e D2)

Desvantagens: • A leitura do modelo fica mais obscura; • A manutenção dos parâmetros é mais difícil

Forma estruturada: Coloque a maior quantidade de parâmetros expressos na

planilha, de forma que a expressão matemática na célula da função faça apenas referências aos parâmetros através de suas células

Representando Funções no Excel - A função SOMARPRODUTO Será muito comum o uso de expressões como a desta função

de lucro, onde há um somatório de produtos de um parâme-tro por uma variável;

Modelos Determinísticos

Todas as variáveis e parâmetros são assumidos como certos e disponíveis

Não há incerteza ou risco

Modelos Probabilísticos ou Estocásticos

Uma ou mais variáveis ou parâmetros têm algum grau de incerteza

Tratamento da incerteza ou risco através de Variáveis Randômicas ou Aleatórias

Modelagem Dedutiva

Parte de hipóteses sobre as variáveis , parâmetros e suas relações

Modelagem de Cima para Baixo (da teoria para os fatos)

O conhecimento do modelador é fundamental

Modelagem Inferencial

Análise de dados reais para estabelecimento das relações entre variáveis.

Modelagem de Baixo para Cima

MODELAGEM DEDUTIVA

MODELAGEM INFERENCIAL

Modelos

Determinísticos

Modelos

Probabilísticos

• Modelagem Decisória

• Árvore de Decisão

• Teoria de Filas

• Modelagem Decisória

• Projeções Se Então

• Otimização

• Previsão de dados

• Simulação

• Análise Estatística

• Estimação de Parâmetro

• Análise de Dados

• Estimação de

Parâmetro

• Pesquisa em Banco

de Dados

Modelagem

Sofá Cama

Preço (R$): 500 400

Custo (R$): 350 220



Disponibilidade de tábuas (m): 370

1 2

1

2

1 2

1 2

max150 180

sendo:

100

70

3 5 370

, 0

x x

x

x

x x

x x

O valor do Lucro unitário está sendo calculado por fórmula.

1 2150 180Lucro x x


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Estas expressões são mais facilmente representadas através da função do Excel SOMARPRODUTO:

O Modelo Completo no Excel Inserindo: Uma linha para as demandas máximas (linha 3); Uma linha analisar o Consumo de tábuas (linha 11). Na célu-

la E11 o total consumido de tábuas, com a função SOMAR-PRODUTO. Na célula E12 a quantidade disponível – o valor 370 fixo.

Formatação do Modelo É especialmente útil criar um padrão de formatação dos mo-

delos; Vamos usar os Estilos de Célula: Cálculo e Célula de Verificação para restrições; Entrada para Variáveis de Decisão; Saída para a Variável Dependente (Função Objetivo).

Analisando o Modelo

Para usar o recurso de Tabela de Dados, faça a matriz abaixo: Na célula C14 coloque uma fórmula que reproduz o Lucro

Total; Na linha 14 coloque as quantidades de sofá para serem tes-

tadas; Na coluna C coloque as quantidades de cama para serem

testadas.

Com a região C14:M21 selecionada, preencha os parâmetros

da janela de Tabela de Dados conforme abaixo:

Visualização do Lucro Total Use um “mapa de calor” para perceber a direção de cresci-

mento do Lucro Total: quanto maior a quantidade produzida (de sofá ou de cama), maior o Lucro Total.

A principal utilidade do uso da função SOMARPRODUTO nos modelos em Excel está associado à certeza de que nenhum parâmetro ou variável foi esquecida, principalmente em grandes modelos.


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Verificando o Consumo de Tábuas Fazendo o mesmo para o Consumo de Tábuas para analisar a

viabilidade dos níveis de produção

Em busca do Nível de Produção Otimizado Alterando os níveis de produção na linha 14 ou na coluna C

conseguiremos estudar os impactos dos diferentes níveis de produção:

Formatação Condicional Alternativa, mostrando a viabilida-

de nas duas matrizes:

Análise de Ponto de Equilíbrio A análise de ponto de equilíbrio é muito comum para proces-

sos decisórios;

Em geral, se deseja obter o valor mínimo para uma determi-nada variável que torna positiva uma função que dependa desta variável; Quantidade para evitar o prejuízo; Preço para garantir a venda; Investimento para obter certa lucratividade;

Por exemplo, desejamos descobrir qual a quantidade mínima

que devemos produzir para viabilizarmos a produção de certo produto; Este estudo de ponto de equilíbrio se baseia nas equações

de Receita Total e Custo Total deste produto. Modelo de Ponto de Equilíbrio – Diagrama de Blocos

Caso LCL Impressoras Ltda. A LCL Impressoras Pessoais, líder na produção de impressoras

no Brasil, espera lançar um novo tipo de impressora laser co-lorida de baixo custo.

Para tal, fez uma pesquisa junto aos consumidores potenciais para determinar a demanda que teria para cada tipo de pre-ço.

Ao mesmo tempo fez um levantamento dos custos fixos e variáveis para junto com o preço determinar uma curva de oferta.

Com as informações que são apresentadas a seguir determine o preço e a quantidade (o ponto) de equilíbrio.

Dados Históricos, em R$ Constatamos que o aumento da quantidade está relacionada a: Uma redução dos custos - ganho de escala; Uma redução nos preços – elasticidade preço-demanda.

Considere ainda que há um custo fixo de R$ 30.000

Fórmulas nas linhas e colunas, de modo que os níveis estejam definidos na primeira matriz

A fórmula em C24é “=E11”

Formatação condicional para sinalizar os níveis de produção impossíveis

Lucro

Equação de Receita Total

Equação de Custo Total

Preço Quantidade Custo

Resultado

Modelo

Variáveis /Parâmetros

Quantidade Preço Custo Unitário

100 100 19

200 95 18

300 90 17

400 85 16

500 80 16

600 75 14

700 70 12

800 65 12

900 60 11

1000 55 11


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Caso LCL Impressoras Ltda. – Equação de Receita

RECEITA = QUANTIDADE x PREÇO

Caso LCL Impressoras Ltda. Equação de Receita - Estimando uma Regressão Podemos capturar a tendência da receita total em função da

quantidade, aproximando os pontos por uma reta; Usaremos a ferramenta de linha de tendência do Excel

A equação obtida é a estimativa de um modelo de Regressão

Linear Simples, realizada pelo Excel pelo Método dos Míni-mos Quadrados, conforme visto em Estatística II;

Podemos usar a equação para prever valores da Receita (y) para valores dados de quantidade (x);

Observação: Temos mais confiança na interpolação de valores de x (usar

valores de x entre 100 e 1000) do que na extrapolação (valo-res menores que 1000).

Caso LCL Impressoras Ltda. – Equação de Custo Total

Custo Total = Quantidade x Preço + Custo Fixo Usando abordagem semelhante à usada para Receita, podemos obter:

Caso LCL Impressoras Ltda. – Ponto de Equilíbrio

Duas formas para determinar o ponto de equilíbrio (ambas

usando as equações estimadas): Analítica, usando álgebra; Interativa, usando o recurso do Excel chamado Atingir Meta.

Caso LCL Impressoras Ltda. Ponto de Equilíbrio – Método Analítico Equações de Receita e Custo Total: Condição do Ponto de Equilíbrio: Solução analítica e ponto de equilíbrio:

Caso LCL Impressoras Ltda. Ponto de Equilíbrio – Solução Interativa

Diagrama de Dispersão

Diagrama de Dispersão

Ponto de Equilíbrio

Célula de Entrada (variável)

= 9,3879*B1 + 32067

= 65,714*B1

=B4-B3

( ) 65,714

( ) 9,3879 32067

R q q

CT q q

( ) ( ) 65,714 9,3879 32067R q CT q q q

569,3098

( ) ( ) 37411,62

q

R q CT q


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# SEÇÃO 3 Conceitos Fundamentais Otimização Programação Linear Hipóteses

Soluções Soluções Viáveis e Inviáveis Soluções Ótimas

Método Gráfico Problemas de Otimização Otimizar = maximizar ou minimizar; Veja que o esforço de atingir exatamente um determinado

valor pode ser modelado como minimizar o quadrado da di-ferença para este valor;

Em problemas de otimização busca-se maximizar ou minimi-zar uma função, chamada de objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada;

As variáveis de entrada podem ser: Independentes uma das outras. Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais

restrições. Aplicações de Otimização Matemática em Negócios Determinação de Mix de produção, venda ou consumo; Planejamento de tempo, agendamento e escalas; Roteamento, logística, capacidade de transporte; Finanças, capacidade de endividamento, pagamento; Investimento, portfólio de ações, opções ou títulos; Projeção de cenários micro e macroeconômicos. Programação Matemática Um problema de programação matemática é um problema

de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressos como funções matemáticas e relações funcionais

Variáveis de Decisão x1 , x2 , ... ,xn , são chamadas de Variáveis de Decisão As variáveis de decisão representam valores e quantidades

relativas a itens que estão no centro do problema, e que po-demos escolher (decidir) livremente

As variáveis de decisão representam as opções que um admi-nistrador têm para atingir um objetivo: Quanto produzir para maximizar o lucro? Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da car-

teira? Quanto reduzir a taxa SELIC para maximizar o crescimento

econômico?

Programação Linear Um problema de programação matemática é linear se a fun-

ção-objetivo e cada uma das funções que representam as res-trições forem lineares, isto é, na forma abaixo:

Quebrando a Linearidade Qualquer expressão que não seja na forma citada anterior-

mente é não linear, como por exemplo:

Programação Linear – Exemplos

Programação Linear Algumas Áreas de Aplicação Administração da Produção e Supply Chain Análise de Investimentos Alocação de Recursos Limitados Planejamento Regional Logística Custo de transporte Escolha de opções de roteamento Localização de rede de distribuição

Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação

Escolha entre canais de comunicação com o cliente Programação Linear – Hipótese de Aditividade Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo

como entidades totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas restrições.

Esta é a própria hipótese de linearidade do PPL

1loga x

1xa

1 para 1n

x n

para qualquer valor de a!

1 2

1 2

1 2

1 2

. .

3 4 26

18 10 60

, 0

Max Z x x

s r

x x

x x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

2

s.r.

2 3 30

200 20 500

, 0

Min Z x x

x x

x x

x x

nnn

n

n

n

b

b

b

xxxg

xxxg

xxxg

xxxfz

:

),...,,(

:

),...,,(

),...,,(

:a Sujeito

),...,,( :Otimizar

2

1

21

212

211

21

1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ...n n nf x x x c x c x c x

1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ...i n i i in ng x x x a x a x a x


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Programação Linear – Hipótese de Proporcionalidade O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de ativida-

de de cada variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor constante dada uma variação constante da variável de decisão;

Programação Linear – Hipótese de Divisibilidade Assume que todas as unidades de atividade possam ser divi-

didas em qualquer nível de fracionamento, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor positivo fra-cionário.

Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um pro-blema especial de programação linear, chamado de problema inteiro. Problemas inteiros serão estudados nas Seção 14.

Programação Linear – Hipótese de Certeza Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes

conhecidas. Em problemas reais quase nunca satisfeita as constantes são estimadas.

Requer uma análise de sensibilidade, específica para os pro-blemas de programação linear. Será estudada na Seção 10.

Programação Linear – Terminologia Solução No campo de Programação Linear é qualquer especificação

de valores para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se trata de uma escolha desejável ou permissível.

Classificação das Soluções Solução Viável É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas;

Solução Inviável É uma solução em que alguma das restrições ou as condi-

ções de não-negatividade não são atendidas;

Valor da Função-Objetiva É especialmente importante verificar como fica o valor da

função-objetivo (Z) nas soluções viáveis que podemos deter-minar:

A Solução Ótima A Solução Ótima é uma solução viável especial. Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em)

o valor da função-objetivo otimizado é chamada de ótima; Existem diversas maneiras de determinar a solução ótima. Em

geral, para problemas lineares de pequeno porte como todos que serão vistos neste curso, é usado o método Simplex, em sua forma gráfica ou tabular.

O método simplex está implementado em diversos softwares, inclusive no Excel!

Programação Linear – Solução Gráfica Quando o problema envolve apenas duas variáveis de deci-

são, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente

Considere buscar a solução ótima para o problema abaixo: Solução Gráfica – passos Primeiro Passo Antes de considerar qualquer restrição, todo o plano cartesi-

ano é solução viável; Quando colocamos uma restrição recortamos uma parte do

plano cartesiano: a parte que não atende à restrição. Segundo Passo Considerando uma nova

restrição, haverá um no-vo corte, reduzindo ainda mais o conjunto de solu-ções viáveis.

Este conjunto que está se formando é chamado de região viável.

x1 = 2 ; x2 = 2 (2,2)S

x1 = 3 ; x2 = 4 (3,4)S

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.

3 4 26

18 10 60

, 0

Max Z x x

x x

x x

x x

x1 = 2 ; x2 = 2 (2,2)S

x1 = 3 ; x2 = 4 (3,4)S

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.

3 4 26

18 10 60

, 0

Max Z x x

x x

x x

x x

Solução Viável

Solução Inviável

(1,1)S 2Z

(2,1)S 3Z

(3,2)S 5Z

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.

3 4 26

18 10 60

, 0

Max Z x x

x x

x x

x x

1 2

1

2

1 2

1

2

4 2

. . 5

4

7

0

0

Max Z x x

s r x

x

x x

x

x

1 0x

2 0x


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Observação As duas restrições de não negatividade definem, juntas, que a

região viável está no primeiro quadrante. Como são condições comuns, geralmente a análise se con-

centra no primeiro quadrante. Terceiro Passo Colocar a terceira restrição Quarto Passo A última restrição que

refere-se a somente uma variável.

Observe que a região viável não depende da ordem em que as res-trições são analisadas.

Quinto Passo A última restrição relaciona as duas variáveis simultaneamen-

te Devemos primeiro representar a reta de suporte desta restri-

ção:

Depois escolher qual lado é viável ou não. Para tanto, escolha um ponto qualquer e substitua na restrição.

Por exemplo, (0,0) pertence à região viável, pois 0 + 0 ≤ 7. A região viável está totalmente definida

Quinto Passo Estudar a função objetivo dentro da região viável:

Para um ponto qualquer, Z é uma constante, e a sua expres-são pode ser escrita como uma equação geral de reta:

Assim, para qualquer ponto, há um dado valor de Z, e Para cada valor de Z há uma reta que representa todos os pontos com este valor de Z

No Ponto (0, 0): E a reta é:

Variando o valor de Z vemos como ela se desloca em função desta variação

No Ponto (0 , 4): E a reta é:

O valor de Z deve ser projetado na direção que otimiza (ma-

ximiza), de maneira a ainda estar em algum ponto da região viável

Assim, no ponto (5 , 2) a função objetivo foi deslocada o má-ximo possível na direção em que é ótima.

x1 = 5 e x2 = 2 é a solução ótima. E o valor da função objetivo é Z = 24 (máximo).

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício Considere o seguinte o problema de LP

Encontrar a solução ótima usando o método gráfico

1 5x

2 4x

1 0x

2 0x

1 2 7x x

Z = 0 Z = 8 Z = 20 Z = 24

(3 , 4)

(5 , 2)

Z = 0

Z = 4,7

Z = 13,6

Z = 16

(1,6 , 3,6)

(4 , 0)

Deslocando a função objetivo no sentido da maximização...

Chegamos à solução ótima:x1 = 4

x2 = 0

Z = 16

1 5x 1 0x

2 0x

2 4x

1 2 7x x

1 24 2Z x x

2 122

Zx x

1 24 2

4 0 2 0

0

Z x x

2 1

2 1

22

2

Zx x

x x

1 24 2

4 0 2 4

8

Z x x

2 1

2 1

22

4 2

Zx x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

=4 2

. . 2 3 14

3 2 12

, 0

Max Z x x

s r x x

x x

x x


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# SEÇÃO 4 Método Gráfico: situações especiais Variando o sinal da restrição Problema de Minimização Problema da Dieta

Restrições Redundantes Variando o sinal da restrição Examinar a região viável e a solução ótima dos seguintes

problemas:

O que a mudança em apenas um sinal de uma das restrições pode provocar? Análise Gráfica Primeiro Passo: já considerando as restrições de não negati-

vidade é possível partir de todo o primeiro quadrante do pla-no cartesiano. Neste plano, fazer os cortes das duas primeiras restrições, que são mais óbvias:

Segundo Passo: para a restrição que envolve simultaneamen-te as duas variáveis, deve-se começar determinando a reta suporte. A reta suporte vai dividir a região viável em duas partes,

uma delas deixará de fazer parte da região viável.

Terceiro Passo: escolher a região em função do sinal da res-trição. Para tanto, testa-se algum ponto de uma das regiões para verificar se ele está dentro ou fora da restrição.

Terceiro Passo segundo modelo

Quarto Passo: a inclinação da região viável e verificar em que

ponto ela assume valor máximo

Quarto Passo

1 2

1

2

1 2

1 2

3

. . 8

4

2 8

, 0

Max x x

s r x

x

x x

x x

1 2

1

2

1 2

1 2

3

. . 8

4

2 8

, 0

Max x x

s r x

x

x x

x x

x1

x2

1 8x

2 4x

x1

1 22 8x x

Reta Suporte da 3ª restrição (em ambos modelos):Região 2

Região 1

x2

x1

1 22 8x x

Substituindo no ponto mais simples, x1 = 0 e

x2 = 0, verifica-se que a região viável é a Região 1Região 1

PrimeiroModelo:x2

x1

x2

Região 2

1 22 8x x

Substituindo no ponto mais simples, x1 = 0 e

x2 = 0, verifica-se que a região viável é a Região 2

Segundo Modelo:

x1

No ponto (0,4):

Região Viável

Primeiro Modelo

x21 23 3 0 4 4Z x x

1 2 1 23 4 3Z x x x x

Z=4

No ponto (8,0):

1 23 3 8 0 24Z x x

1 2 1 23 24 3Z x x x x

Z=24

x1

x2

Região Viável

Segundo Modelo

No ponto (8,0):

1 23 3 8 0 24Z x x

1 2 1 23 24 3Z x x x x

Z=24

No ponto (0,4):

1 23 3 0 4 4Z x x

1 2 1 23 4 3Z x x x x

Z=4

No ponto (8,4):

1 23 3 8 4 28Z x x

1 2 1 23 28 3Z x x x x

Z=28


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od

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m Pág. 11

Variando o sinal da restrição A mudança em apenas um sinal de apenas uma das restrições

provocou: Alteração da região viável Alteração da solução ótima

Para um determinado tipo de restrição (redundantes – defini-ções no fim desta seção) que estas consequências nem sem-pre ocorrem

Uma restrição também pode ser modelada com o sinal de

igualdade; Neste caso, a região viável se resume a um segmento de

reta.

Exemplo – Receita de Xarope Um farmacêutico fabrica um medicamento a partir de dois

ingredientes naturais: xarope de alcachofra e xarope de bol-do. Estes insumos são dados em unidades de 100 ml que são combinadas com água para formar o medicamento final. Cada unidade do xarope de alcachofra tem 2 gramas de vi-

tamina e 3 gramas de cinarina (composto de gosto amargo) Cada unidade do xarope de boldo tem 4 gramas de vitamina

e 1,5 grama de cinarina. O medicamento precisa conter pelo menos 14 gramas de

vitamina e não mais do que 12 gramas de cinarina. Se cada unidade do extrato de alcachofra custa $ 4 e o de

cinarina custa $ 3, e descartando o custo da água, como o medicamento pode ser feito com o menor custo total?

Receita de Xarope

O Modelo para a – Receita do Xarope

Problemas de Minimização O processo de resolução gráfica de um problema de minimi-

zação é análogo ao de maximização, isto é: 1. Utiliza as restrições para determinar a região viável (o

conjunto de soluções viáveis). 2. Utiliza a função-objetivo para determinar qual dos vérti-

ces da região viável é solução ótima. A diferença é que a solução ótima levará a função-objetivo ao

menor valor possível. Problema de Minimização – Solução Gráfica

1 2

1

2

1 2

1 2

3

. . 8

4

2 8

, 0

Max x x

s r x

x

x x

x x

1 2

1

2

1 2

1 2

3

. . 8

4

2 8

, 0

Max x x

s r x

x

x x

x x

Modelo 1 Modelo 2

Solução ótima:

x1 = 8, x2 = 0, Z = 24

Solução ótima:

x1 = 8, x2 = 4, Z = 28

1 2

1

2

1 2

1 2

3

. . 8

4

2 8

, 0

Max x x

s r x

x

x x

x x

x1

x2 1 8x

2 4x

Quem decide?

O que o decisor deve decidir?

Com que objetivo ele deve tomar a decisão?

Com que restrições a decisão será tomada?

– O farmacêutico

– Quantas unidades de cada xarope incluir no medicamento

– Chamemos de x1 e x2 o total de unidades de xarope de alcachofra e boldo,

respectivamente, que irão compor o medicamento.

–Minimizar o custo total

– Quantidade mínima de vitamina

– Quantidade máxima de cinarina

Função-objetivo

Minimizar o custo total

Restrições

Mínimo de Vitamina

Máximo de Cinarina

Não Negatividade 1 0x 2 0x e

1 2 4 3Min x x

1 22 4 14x x

1 23 1,5 12x x

Z = 24Z = 18Z = 10,5

1 23 1,5 12x x

1 22 4 14x x

(0 ; 3,5)

(0 ; 8)

(3 ; 2)

A opção mais barata é usar somente 3,5 unidades do xarope de boldo.

O custo total será de R$10,5.


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m Pág. 12

Produção Radioativa A Reage Brasil é uma indústria de reatores para usinas de

energia nuclear produz reatores de dois tipos, um aspirado a água e outro aspirado a ar.

Há demanda para um total de 7 reatores neste ano, mas a Reage Brasil sabe que, individualmente, há demanda para até 5 reatores aspirados a água e para 4 reatores aspirados a ar.

O processo de fabricação envolve um núcleo radioativo que esta disponível para a Reage Brasil em apenas 20 unidades. Cara reator aspirado a água precisa de 2 núcleos, e o aspirado a ar precisa de 3 núcleos.

Se a Reage Brasil tem uma expectativa de lucro de R$ 4 mi-lhões por reator aspirado a água e de R$2 milhões por reator aspirado a ar, como ela deve planejar sua produção para este ano?

Produção Radioativa

O Modelo para a Produção Radioativa Função-objetivo

Maximizar o lucro total Max Z = 4x1 + 2x2

Restrições

Demanda Total x1 + x2 7

Demanda do aspirador a água x1 5

Demanda do aspirador a ar x2 4

Núcleos radioativos 2x1 + 3x2 20

Não Negatividade x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0

Programação Linear – Solução Gráfica

Programação Linear – Restrições Redundantes Examinando a região viável percebemos que uma restrição

não faz parte do conjunto de arestas que delimitam a região viável.

Se esta fosse omitida a solução viável não se alteraria. Esta restrição é chamada de redundante Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do

problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste. É uma restrição que não participa formando nenhuma aresta

do conjunto de soluções viáveis. O Problema do Artesão Um artesão faz colares e brincos para vender num bazar que

acontece todos os dias. Ele os vende por R$ 10,00 e R$ 5,00, respectivamente. Ele nunca conseguiu vender mais de 10 co-lares e 8 brincos por dia. Um colar é feito em 20 minutos en-quanto um anel é feito em 40 minutos. O artesão trabalha 4 horas por dia antes de ir para o bazar. Quantos colares e quantos brincos ele deve produzir para maximizar a sua recei-ta diária?

O Problema do Artesão

O Modelo para a Decisão do Artesão

Função-objetivo

Maximizar a receita Max Z = 10x1 + 5x2

Restrições

Demanda de Colares x1 10

Demanda de Brincos x2 8

Tempo Padrão 20x1 + 40x2 240

Não Negatividade x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0

A análise gráfica para o Problema do Artesão

Quem decide?




– A Reage Brasil

– Quantas unidades de cada reator produzir neste ano

– Chamemos de x1 e x2 o total de unidades de reator aspirado a água e a ar

respectivamente, que serão produzidas neste ano

–Maximizar o Lucro Total

– Demanda total

–Demanda do reator aspirado a água

–Demanda do reator aspirado a ar

–Quantidade disponível de matéria prima (núcleos radioativos)

1 22 3 20x x

1 2 7x x

Z = 24Z = 20Z = 8

A opção mais lucrativa é produzir 5 reatores aspirados a água e somente 2 a ar.

O lucro total será deR$24 milhões

(5 ; 2)

Quem decide?




– O artesão

– Quantos colares e brincos deve produzir por dia

– Chamemos de x1 e x2 as quantidades de colares e brincos que ele faz

por dia, respectivamente

– Maximizar sua receita

– Tempo para produção

– Demanda dos consumidores (colares/brincos)

1 10x

2 8x

1 220 40 240x x Z = 105Z = 30Z = 0

A opção com maior receita total é produzir 10 colares e 1 brinco.

A receita total será deR$105.

(10 ; 1)


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# SEÇÃO 5 Solução ótima: situações gerais Soluções Múltiplas Solução Ilimitada Solução Inviável

Método Simplex Teoremas Fundamentais Verificação Geométrica

Sobre a solução ótima

Os problemas analisados até agora apresentaram sempre uma solução ótima, e única.

Isto é, sempre houve uma única solução viável levava a fun-ção-objetivo ao seu valor ótimo.

Entretanto, existem problemas nos quais observamos: Múltiplas Soluções Ótimas; Solução Ótima ilimitada (infinita); Não haver solução viável, portanto sem solução ótima.

Exemplo: O Problema das quentinhas

Um cozinheiro faz dois tipos de quentinha para os funcioná-rios de uma empresa. O custo total de produção é de R$ 4,00, para os dois tipos de quentinha.

Ele tem um contrato de entregar diariamente pelo menos 15 quentinhas, de qualquer tipo, por dia.

A quentinha de lasanha é feita em dois minutos e a quentinha de frango em 4 minutos. O cozinheiro dispõe de apenas 48 minutos para embalar as quentinhas.

Hoje o cozinheiro está sem caixa para comprar a matéria prima, e deseja saber quantas quentinhas do tipo 1 e do tipo 2 ele deve produzir para cumprir o contrato com o menor custo possível?

O Problema das quentinhas

Quem deve tomar a decisão? O cozinheiro

O que o decisor deve decidir? Quantas quentinhas do tipo 1 e do tipo 2 deve produzir hoje Chamemos de x1 e x2 as quantidades de quentinhas do tipo

1 e 2 que ele fará hoje, respectivamente. Com que objetivo ele deve tomar a decisão? Obter o custo mínimo

Com que restrições a decisão será tomada? Tempo para produção Contrato de entrega

O Modelo para a Decisão do Cozinheiro

Problema das quentinhas – Solução Gráfica

Soluções Múltiplas Um problema é dito como de Soluções Múltiplas quando mais

de uma solução viável levam a função objetivo ao mesmo va-lor ótimo, isto é, existem soluções múltiplas;

Esta situação ficará melhor formalizada, mas é possível garan-tir que se mais de uma solução viável é ótima, então existem infinitas soluções ótimas Correspondem ao segmento de reta destacado no gráfico

anterior. Soluções Múltiplas ocorrem com alguma frequência. É co-

mum que softwares apresentem uma das soluções ótimas e não explicite o fato.

Programação Linear – Solução Ilimitada Encontre a solução ótima

Programação Linear Solução Ilimitada – análise gráfica

Solução Ilimitada

Um problema de programação linear apresenta solução ilimi-tada quando: A região viável é ilimitada O valor ótimo da função-objetivo se projeta da direção em

que a região é ilimitada.

Função-objetivo

Minimizar o custo

Restrições

Contrato

Tempo Padrão

Não Negatividade

1 24 4Min Z x x

1 2 15x x

1 22 4 48x x

1 0x 2 0x e

1 2

20

4 4 20

Z

x x

1 2

60

4 4 60

Z

x x

Múltiplas Soluções Ótimas

1 2 15x x 1 22 4 48x x

(6;9)

x1108642

62 x

221 xx

10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Cresce indefinidamente

x1108642

62 x

221 xx

10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Cresce indefinidamente

1 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

6 10

. . 2

6

3 5 15

5 4 20

, 0

Max Z x x

s r x x

x

x x

x x

x x


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A região viável é ilimitada quando pelo menos uma das variá-veis não tem nenhuma restrição de crescimento ou decresci-mento. Graficamente, vemos que o polígono da região não está fe-

chado. Uma solução ilimitada está geralmente relacionada a um

problema que foi mal modelado. Programação Linear – Solução Inviável

Programação Linear Solução Inviável – análise gráfica

Programação Linear – Solução Inviável Um problema de programação linear é dito inviável quando o

conjunto de soluções viáveis é vazio Na ausência de soluções viáveis, não há também soluções

ótimas. A solução inviável significa que as restrições são rigorosas

demais. Em problemas práticos pode ser: Erro de modelagem Impossibilidade de atuação.

Programação Linear e Convexidade Conjunto Convexo em R

2

Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem fazem parte do conjunto.

Método Simplex – Teoremas Fundamentais Teorema I O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de

Programação Linear formam um conjunto convexo.

Teorema II Se a função-objetivo possui um único ótimo finito, então

esta solução ótima é um ponto extremo do conjunto conve-xo de soluções viáveis.

Teorema III Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto

extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos.

Teoremas Fundamentais – interpretação geométrica Considere o problema e sua solução gráfica:

Nos pontos extremos temos os seguintes valores para Z

O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca; O valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se

o máximo ou o mínimo a função-objetivo; Ela necessariamente esbarrará em um vértice...

... ou numa aresta quando a função-objetivo tiver uma inclinação tal que no

ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restri-ção.

Encontrar a solução ótima:

1 2

1 2

1 2

1 2

. . 2 12

2 15

, 0

Max x x

s r x x

x x

x x

122 21 xx

152 21 xx

ConjuntoConvexo

Conjunto nãoConvexo

1 2

1

2

1 2

1

2

5 2

. .

3

4

2 9

0

0

Max Z x x

s r

x

x

x x

x

x

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

21=5x1+2x2

Solução

Viável

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

z

pontos

extremosA B C D E

21

1513

8

A B

C

DE

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

Mínimo =AB

C = máximo

DE

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0)(3,0)

(3,3)

B

DE

Soluções

Múltiplas

Em todos os pontos do

segmento de reta CD, o

valor da função-objetivo

é o mesmoA

C

x2


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# SEÇÃO 6 Programação Linear e Excel Modelagem em Excel: Variáveis de Decisão Função Objetivo Restrições Informações auxiliares

Solver Parâmetros para otimização Relatórios Opções Especiais

Técnicas de Modelagem Exemplo: Smartfones a venda Uma indústria produz dois tipos de aparelho smartfones: luxo

e básico, para as classes A e C, respectivamente. O gerente de marketing tem três opções de comerciais: durante programas de comédia, custa R$ 85 mil por minuto e é visto por 4 milhão de pessoas da classe A e 2 milhões da C durante jogos de futebol, que custa R$ 100 mil por minuto e é visto por 4 milhões de pessoas da classe A e 5 milhões da C durante novelas, que custa R$ 120 mil por minuto e é visto por 5 milhões de pessoas da classe A e 5 milhões da C

O gerente deseja que pelo menos 25 milhões de consumido-res do produto luxo e 20 milhões do produto básico sejam impactados pelos seus comerciais

Como ele pode minimizar as despesas de publicidade e atingir o público na quantidade especificada?

Smartfones a venda

O Modelo para o Problema dos Smartfones

Limitações do Método Gráfico O Problema dos Smartfones tem três variáveis de decisão Problemas do mundo real podem ter dezenas ou até cente-

nas de variáveis de decisão O método gráfico não é funcional para problemas com mais

de duas variáveis de decisão Para três variáveis ainda é possível usar o método gráfico –

com representações tridimensionais – mas com baixa capa-cidade de interpretação

Problemas gerais podem ser resolvidos usando o método simplex – forma tabular Ou usando algum software!

Resolvendo Problemas Usando Microcomputador Usaremos softwares genéricos e específicos para resolver

problemas de Programação Linear Solver do Excel ® Vantagem: versatilidade do Excel: já é usado em diversas

áreas corporativas, portanto diversos dados já estarão neste ambiente;

Popularidade: o Excel é uma ferramenta disponível em quase todos os microcomputadores pessoais e corporati-vos, em quase todas as empresas;

LINGO ® e What´s Best ® (encartados na 4ª edição do livro texto, mas não cobertos neste curso) Vantagem: ferramentas específicas, com funcionalidades

próprias; Os softwares vão reduzir o esforço matemático e permitir que

o curso se concentre nos seus objetivos principais: modela-gem e interpretação

Resolvendo problemas usando microcomputador O Solver do Excel Para resolver problemas de otimização utilizando o solver do

Excel devemos selecionar células para representarem: Cada uma das variáveis de decisão A função-objetivo Os lados esquerdos das restrições (LHS – Left Hand Side) Expressão matemática relacionando todas as variáveis de

decisão, que fica do lado esquerdo do sinal da restrição (≤, ≥, =)

Os lados direitos das restrições (RHS – Right Hand Side) Constante numérica, que fica do lado esquerdo do sinal

de restrição (esta constante pode ser zero) Eventualmente algumas células podem representar valores

parciais, variáveis auxiliares, cálculos intermediários, etc. O Solver do Excel – Visão geral da planilha Separamos as células: B3, C3 e D3 para as variáveis de decisão; E4 para a função objetivo E7 e E8 para os LHS e F7 e F8 para os RHS das restrições Algumas células nas planilhas serão usadas para informa-

ções parciais

Quem decide?




– O gerente de marketing

– Quantos minutos de cada tipo de comercial deve veicular

– Chamemos de x1, x2 e x3 o total de minutos em comerciais de comédia,

futebol e novela, respectivamente, que serão veiculados pela SemSunga

–Minimizar a Despesa Total

–Quantidade de consumidores da Classe A

–Quantidade de consumidores da Classe B

Função-objetivo

Minimizar a despesa total

Restrições

Quantidade de pessoas daclasse A

Quantidade de pessoas daclasse C

Não Negatividade 1 0x 2 0x , 3 0x e

1 2 3 85 100 120Min x x x

1 2 34 4 5 25x x x

1 2 32 5 5 20x x x


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Visão geral da planilha

O Solver do Excel Função Objetivo – versão intuitiva (menos eficiente) Usamos as células B4, C4 e D4 para colocar os coeficientes

das variáveis na função objetivo Respeitamos a lógica de uma coluna para cada variável

Na célula E4 colocamos a fórmula que calcula o valor da fun-ção objetivo

O Solver do Excel Função Objetivo – versão mais eficiente Frequentemente precisaremos fazer o produto de várias

células e somar o resultado; A fórmula que apresentamos dá muito trabalho e nos expõe

ao erro de esquecer alguma célula ou fazer alguma referên-cia errada

Podemos usar uma função do Excel:

O Solver do Excel – Restrições

Vamos usar as colunas B, C e D para colocar os coeficientes das variáveis nas restrições;

Na coluna E vamos colocar a fórmula, que é o LHS Na coluna F já colocamos a constante, que é o RHS

Acessando a Tela dos Parâmetros do Solver O Solver Fica Disponível no Menu Dados:

Adicionando o Solver (suplemento) Se o Solver não estiver disponível é necessário acessar o ge-

renciador de suplementos do Excel:

A tela de Parâmetros do Solver Usamos esta tela para informar ao Solver os detalhes do

problema: Onde estão a Função objetivo, as variáveis de decisão e o

LHS e RHS das restrições; Se há não-negatividade Qual o tipo de otimização; Qual o método de análise; Outras opções.

1 2 385 100 120x x x

Fixamos a referência às variáveis de decisão

para copiar esta fórmula para as restrições.

1 2 34 4 5 25x x x

1

2

3

4

5


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Preenchendo os Parâmetros do Solver

Após a otimização

Relatório de Respostas Na parte superior é possível ver: Informações sobre os Parâmetros de Otimização; Detalhes sobre o Processo de Otimização.

Relatório de Respostas (cont.) Na parte inferior estão as informações sobre a Solução Ótima,

principalmente: Valor das Variáveis e da Função Objetivo antes e depois da

otimização; Valor do LHS de cada restrição e se houve ou não folga.

Relatório de Sensibilidade A maior parte destas informações será discutida apenas a

partir da Seção 10. Ajudam a medir o quanto a solução obtida é sensível a alteração de determinados parâmetros.

Relatório de Limites Indica o menor e o maior valor que cada variável pode assu-

mir mantendo as demais variáveis no valor ótimo. Informa também o valor da função objetivo nesta hipótese. O Valor #N/D indica que o limite é infinito.

Usando rótulos sugestivos na planilha Ao gerar a planilha com o modelo, podemos usar rótulos mais

sugestivos, que vão trazer relatórios que serão mais facilmen-te interpretados:

Observe atentamente a mensagem do Solver para ter certeza que a otimização foi feita com sucesso.

Veja que o Solver alterou o valor das variáveis – e das fórmulas.

Solicite os relatórios para ter mais informações sobre a análise.


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Relatório de Repostas – Versão intuitiva

Tipos de Restrição no Solver Além das restrições matemáticas, que relacionam um LHS

com um RHS através de um sinal de relação matemática (≥, ≤ ou =), o Solver permite 3 tipos de restrições especiais:

int: as variáveis só podem assumir valores inteiros; bin: as variáveis só podem assumir valor 0 ou 1; dif: as variáveis que estiverem citadas na caixa “Referência de

Célula” deve ser diferentes uma das outras Opções do Solver

# SEÇÃO 7 Aplicações no Mundo Real Caso LCL Liquidificadores Ltda. Caso LCL Previdência Privada.

Caso LCL Liquidificadores Ltda. A LCL Liquidificadores Ltda recebeu recentemente um pedido

para fornecimento de 5.500 unidades. Cada liquidificador necessita de um determinado número de

horas de trabalho nos setores de montagem, teste e empaco-tamento.

A LCL pode terceirizar, a montagem ou o teste, de parte ou a totalidade de sua produção.

A tabela a seguir resume essas informações necessárias para resolver o problema da necessidade de terceirização.

Variáveis de Decisão P1 – Qtd. de liquidificadores do modelo 1 produzidos pela LCL P2 – Qtd. de liquidificadores do modelo 2 produzidos pela LCL P3 – Qtd. de liquidificadores do modelo 3 produzidos pela LCL T1 – Qtd. de liquidificadores do modelo 1 terceirizados pela LCL T2 – Qtd. de liquidificadores do modelo 2 terceirizados pela LCL T3 – Qtd. de liquidificadores do modelo 3 terceirizados pela LCL

Célula do Objetivo (Mín.)

Célula Nome Valor Original Valor Final

$E$4 Custo (R$ mil) 0 568,75

Células Variáveis

Célula Nome Valor Original Valor Final Número Inteiro

$B$3 Qtde (minutos) comédia 0 3,75 Conting.

$C$3 Qtde (minutos) futebol 0 2,5 Conting.

$D$3 Qtde (minutos) novela 0 0 Conting.

Restrições

Célula Nome Valor da Célula Fórmula Status Margem de Atraso

$E$7 Clientes Luxo Atingidos 25 $E$7>=$F$7 Associação 0

$E$8 Clientes Básico Atingidos 20 $E$8>=$F$8 Associação 0

Modelo 1 2 3 Capacidade

Demanda (unid) 2000 2000 1500

Montagem(h/unid) 1 2 0,5 6000 h

Teste(h/unid) 1 1 1 5000 h

Empacotamento (h/unid) 2,5 1 4 15000 h

Custo de Produzir (R$) 40 80 110

Custo de Terceirizar (R$) 60 90 140

Função-objetivo – Custo Total

Restrição – Capacidade de Montagem e de Teste

Restrição – Capacidade de Embalagem

1 2 3 1 2 3 40 80 110 60 90 140Min P P P T T T

1 2 32 0,5 6000P P P

1 2 3 5000P P P

1 1 2 2 3 32,5 2,5 4 4 15000P T P T P T

As quantidades terceirizadas não consomem as horas disponíveis de montagem e teste!

As quantidades terceirizadas consomem as horas disponíveis de embalagem!

Quantidade total produzida do liquidificador do tipo 1:



Condições de não-negatividade

1 1 2000P T

1 1 2 2 3 3, , , , , 0P T P T P T

2 2 2000P T

3 3 1500P T

O Solver é uma fer-ramenta robusta, com vários métodos de otimização;

A janela de parâme-tros é útil principal-mente para os mé-todo não linear (GRG) e o Evolucio-nário (método nu-mérico);

Recomendamos não alterar as opções que estão pré-definidas.


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Caso LCL Liquidificadores Ltda. O Modelo Completo

Caso LCL Liquidificadores Ltda – modelo 1

Modelo 1 – Parâmetros do Solver

Caso LCL Liquidificadores Ltda. – Resposta do Modelo 1

Caso LCL Liquidificadores Ltda – Modelo 2 Podemos criar uma estrutura alternativa no Excel, explorando

as dimensões da planilha; Este novo modelo pode usar mais informações do negócio, e

menos informações matemáticas.

Modelo 2 – Parâmetros do Solver

Caso LCL Liquidificadores Ltda. – Resposta do Modelo 2

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1

2 2

3 3

1 2 3 1 2 3

40 80 110 60 90 140

. .

1 2 0,5 6000

1 1 1 5000

2,5 2,5 4 4 15000

2000

2000

1500

, , , , , 0

Min Z P P P T T T

s r

P P P

P P P

P T P T P T

P T

P T

P T

P P P T T T


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m Pág. 20

Caso LCL Previdência Privada S.A.

Variáveis de Decisão B1 – Proporção do total aplicado no Banco 1 B2 – Proporção do total aplicado no Banco 2 B3 – Proporção do total aplicado no Banco 3 T1 – Proporção do total aplicado no Telecom 1 T2 – Proporção do total aplicado no Telecom 2 T3 – Proporção do total aplicado no Telecom 3

Cada variável assume um valor entre 0 e 1, sendo a represen-tação decimal da proporção; Exemplo: 16% no Banco 1 significa B1 = 0,16

Função Objetivo: Max 0,097B1 + 0,095B2 + 0,01B3 + 0,080T1 + 0,090T2 + 0,010T3 Restrição de Orçamento: B1 + B2 + B3 + T1 + T2 + T3 = 1 Restrições de Máximo de Aplicação em cada Título:

B1 0,25 ; B2 0,25 ; B3 0,25 ; T1 0,25 ; T2 0,25 ; T3 0,25 Restrição de Mínimo de Aplicação em Título de Banco: B1 + B2 + B3 ≥ 50 Restrição de Máximo de Aplicação em Títulos de Telecomuni-

cação: T1 + T2 + T3 30 Condições de não negatividade: B1, B2, B3, T1, T2, T3 ≥ 0 Caso LCL Previdência Privada S.A. – Modelo

Caso LCL Previdência Privada S.A. – Parâmetros do Solver

Caso LCL Previdência Privada S.A. – Solução do Solver

# SEÇÃO 8 Aplicações no Mundo Real Caso LCL Shopping Ltda. Caso LCL Perfumaria

Caso LCL Shopping Ltda A LCL Shopping Ltda está se preparando para iniciar suas

atividades. Foi feita uma estimativa com o mínimo de segu-ranças por dia da semana:

O sindicato dos seguranças mantém um acordo trabalhista que determina que cada empregado deve trabalhar três dias consecutivos por semana e que os shopping devem ter ape-nas empregados em regime de horário integral (24hs).

O shopping só abrirá de 2ª à sábado. Qual a quantidade mínima de empregados que a LCL Shop-

ping deve contratar de maneira a atender o acordo sindical e as quantidades mínimas nos dias que irá funcionar?

A LCL Investimentos S.A.. gerenciarecursos de terceiros através daescolha de carteiras de investimentopara diversos clientes, baseados embonds de diversas empresas. Um deseus clientes exige que:

Não mais de 25% do total sejaaplicado em um único investimento.

Mais de 50% do total deve seraplicado em títulos de Bancos.

O total aplicado em títulos detelefonia deve ser no máximo de30% do total investido.

A tabela ao lado mostra os dados dostítulos selecionados

Retorno

Anual

Banco 1 9,7%

Banco 2 9,5%

Banco 3 10,0%

Telecom 1 8,0%

Telecom 2 9,0%

Telecom 3 10,0%

Dia daSemana

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

QuantidadeMínima

10 12 13 14 16 17


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m Pág. 21

Caso LCL Shopping Ltda – Variáveis de Decisão Os funcionários serão agrupados segundo o dia da semana

em que eles começam a trabalhar: N2 – qtde de funcionários que começam na segunda N3 – qtde de funcionários que começam na terça N4 – qtde de funcionários que começam na quarta N5 – qtde de funcionários que começam na quinta

Veja que nenhum funcionário começa a trabalhar na sexta, no sábado ou no próprio domingo, pois o shopping não abre neste dia

A tabela abaixo mostra quais funcionários estarão trabalhan-do em cada dia da semana:

Caso LCL Shopping Ltda. – Modelo Matemático

Caso LCL Shopping Ltda. – Modelo no Excel

Caso LCL Shopping Ltda. – Parâmetros do Solver

Caso LCL Shopping Ltda. – Solução do Solver

Caso LCL Shopping Ltda. – Modelo 2

Dia seg ter qua qui sex sab

N2 x x x

N3 x x x

N4 x x x

N5 x x x

Jornada dos funcionários que começam na segunda

Quais funcionários estão trabalhando na quarta

Função Objetivo

Restrições de quantidade mínima de funcionários por diada semana:

2 3 4 5 Min Z N N N N

2

2 3

2 3 4

3 4 5

4 5

5

10

12

13

14

16

17

N

N N

N N N

N N N

N N

N

segunda

terça

quarta

quinta

sexta

sábado

Condições de não-negatividade:

2 3 4 5, , , 0N N N N


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m Pág. 22

Caso LCL Shopping Ltda. (modelo 2) Parâmetros do Solver

Caso LCL Shopping Ltda. (modelo 2) – Solução do Solver

Caso LCL Shopping Ltda. – Modelo 3 Ao suprimir as variáveis referentes aos funcionários que tra-

balhariam no domingo usamos um racional simplificador Se não usássemos, teríamos o mesmo resultado final:

Caso LCL Perfumaria Industrializa perfume e desodorante, que são vendidos no

atacado por R$100 e R$80 cada litro, respectivamente; Usam 3 insumos: diluente, fixador e fragrância, que estão

disponíveis nas quantidades de 400, 150 e 100 litros, e cus-tam R$20, R$35 e R$60 cada litro, respectivamente;

Ao produzir o perfume é necessário garantir que no máximo 30% do volume seja fixador e no mínimo 20% seja fragrância;

Ao produzir o desodorante é necessário garantir que pelo menos 50% do volume seja de fixador e, no máximo 10% seja de fragrância;

A LCL tem um contrato de entregar 200 litros de perfume e 300 litros de desodorante para o seu distribuidor.

Como a LCL deve produzir de forma a maximizar o lucro to-tal?

Caso LCL Perfumaria – Variáveis de Decisão A decisão é quanto de cada insumo colocar na composição de

cada produto. Podemos desenhar as variáveis como: Xij – quantidade do insumo i no produto j

sendo i = 1 para diluente, i = 2 para fixador e i = 3 para fra-grância. E j = 1 para perfume e j = 2 para desodorante

São então 6 variáveis ao todo: X11: quantidade de diluente na composição do perfume X21: quantidade de fixador na composição do perfume X31: quantidade de fragrância na composição do perfume X12: quantidade de diluente na composição do desodorante X22: quantidade de fixador na composição do desodorante X32: quantidade de fragrância na composição do desodoran-

te Caso LCL Perfumaria – Variáveis Auxiliares Vamos criar 5 variáveis auxiliares que simbolizarão os totais

produzidos (Pe para perfume e De para Desodorante) e os totais de insumo utilizados (Di para Diluente, Fi para Fixador e Fr para fragrância)

As variáveis auxiliares têm o papel de simplificar o modelo Poderiam ser suprimidas sem que o modelo perdesse a capa-

cidade de chegar à solução ótima

Quantidades Produzidas: Pe = x11 + x21 + x31 De = x12 + x22 + x32

Insumos Consumidos: Di = x11 + x12 Fi = x21 + x22 Fr = x31 + x32 Caso LCL Perfumaria – Modelo Matemático Função Objetivo:

As duas formas de resolver apontaram para a mesma solução ótima.

Restrições de Demanda

Restrições de Insumos

100 80 20 35 60Max Pe De Di Fi Fr

200Pe

300De

400Di

150Fi

100Fr

Restrições de Fórmula

21 0,3x Pe

31 0,2x Pe

22 0,5x De

32 0,1x De

Fixador ≤ 0,3Total de

Perfume

Fragrância ≥ 0,2Total de

Perfume

Fixador ≥ 0,5Total de

Desodorante

Fragrância ≤ 0,1Total de

Desodorante

100 80 20 35 60Max Pe De Di Fi Fr


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Caso LCL Perfumaria Modelo Matemático – sem as variáveis auxiliares

Sobre o LHS e RHS das restrições Criamos restrições onde o RHS não é uma constante, é uma

expressão envolvendo fórmulas; O Solver/Excel é uma ferramenta que não requer que o RHS

seja uma constante Todavia, qualquer restrição poderia ser reescrita de forma

que apenas uma constante numérica ficasse no lado direito da restrição:

Caso LCL Perfumaria – Modelo no Excel

Caso LCL Perfumaria – Parâmetros do Solver

Caso LCL Perfumaria – Solução do Excel

# SEÇÃO 9 Aplicações no Mundo Real Caso LCL Trading Ltda. Caso LCL Supermercados Ltda.

Caso LCL Trading Ltda. A LCL Trading Ltda. possui um armazém com capacidade de

armazenamento de 300.000 toneladas de grãos. No início do mês de janeiro a LCL tinha 17.000 toneladas de

grãos de trigo armazenadas. Em cada mês é possível comprar ou vender trigo a preços

pré-fixados pelo governo (tabela a seguir), em qualquer quan-tidade desejada.

Por questões fiscais, só é possível vender em cada mês o que estava estocado no início deste mês (no fim do mês anterior).

Como a LCL Trading deve planejar suas operações de compra e venda nos próximos 6 meses de forma a maximizar seu lu-cro?

Mês Preço de Venda

(R$/ton) Custo de Compra

(R$/ton)

Janeiro 3 5

Fevereiro 4 7

Março 8 2

Abril 2 5

Maio 4 3

Junho 5 3

Caso LCL Trading Ltda. – Variáveis no Modelo Variáveis de Decisão QCi – Quantidade de Grãos Comprados no mês i QVi – Quantidade de Grãos Vendidos no mês i

Variáveis Auxiliares SFi – Saldo Final no mês i SF0 – Saldo Final em Dezembro anterior = 17000 ton.

Caso LCL Trading Ltda. – Função Objetivo Max Lucro = Receita – Custo

Função Objetivo

Restrições de Demanda

Restrições de Insumos

11 21 31 200x x x

12 22 32 300x x x

11 12 400x x

21 22 150x x

31 32 100x x

11 12 21 22 31 3280 60 65 45 40 20Max x x x x x x

Restrições de Fórmula

21 11 21 310,3x x x x

31 11 21 310,2x x x x

22 12 22 320,5x x x x

32 12 22 320,1x x x x

21 0,3x Pe 21 0,3 0x Pe

21 11 21 310,3x x x x 11 21 310,3 0,7 0,3 0x x x

6

1

1 2 3 4 5 6

Receita Preço

3 4 8 2 4 5

i ii

QV

QV QV QV QV QV QV

6

1

1 2 3 4 5 6

Custo Custo

5 7 2 5 3 3

i ii

QC

QC QC QC QC QC QC


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Caso LCL Trading Ltda. – Restrições

Restrições de Armazenagem

SFi 300.000 para i = 1, ..., 6

(ou seja: SF1, ..., SF6 300.000)

Restrições de Quantidade Vendida

QVi SFi – 1 para i = 1, ..., 6

(ou seja: QV1 SF0; QV2 SF1; ...; QV6 SF5)

E mais a condição inicial: SF0 = 17.000

Caso LCL Trading Ltda. – O Modelo no Excel

Caso LCL Trading Ltda. – Parâmetros do Solver

Caso LCL Trading Ltda. – Solução do Excel

Caso LCL Supermercados Ltda. A LCL Supermercados Ltda. vai construir uma nova loja para

aumentar a sua rede. O total R$ 1.500.000,00 da obra será pago a construtora em

três parcelas de R$ 400.000,00 no 3º, 6º e 9º mês e uma par-cela de R$ 300.000,00 no 11º mês, quando se espera que a construção esteja terminada.

A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos (tabela abaixo) que podem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção de maneira a reduzir a necessidade total de caixa.

Caso LCL Supermercados Ltda. – Variáveis de Decisão Ai – Valor investido no mês i na aplicação A

(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) Bi – Valor investido no mês i na aplicação B (i=1,3,5,7,9) Ci – Valor investido no mês i na aplicação C (i=1,4,7) Di – Valor investido no mês i na aplicação D (i=1) O investimento A está disponível em todos os meses, mas

os demais investimentos não. Por isso, não há as variáveis B2, B4, C2, C3, D2, etc. Caso LCL Supermercados Ltda. – Modelo Matemático

Premissa do Modelo: Em todos os meses, todo o capital disponível será usado pa-

ra pagamento de alguma parcela ou será investido No primeiro mês o capital disponível será o valor investido

para pagamento das parcelas Nos demais meses o capital disponível será proveniente

dos resgates Função Objetivo: Min A1 + B1 + C1 + D1 O objetivo é fazer o menor investimento inicial possível, de

forma que os resgates futuros sejam suficientes para reali-zar os pagamentos programados.

Restrições Auxiliares de Saldo Armazenado

1 para 1...6i i i iSF SF QC QV i

1 0 1 1SF SF QC QV

Saldo ao Final do

Mês

Saldo ao Final do

Mês Anterior

Quantidade Comprada

Quantidade Vendida

= + –

2 1 2 2SF SF QC QV

3 2 3 3SF SF QC QV

4 3 4 4SF SF QC QV

5 4 5 5SF SF QC QV

6 5 6 6SF SF QC QV

Atenção para a comparação com a linha referente ao

mês anterior

InvestimentoMês em que

está disponívelTempo (meses)

até o resgateRendimento

Efetivo

Tipo A todos 1 2,5%

Tipo B 1,3,5,7,9 2 5,2%

Tipo C 1,4,7 3 8,5%

Tipo D 1 7 16,0%


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Restrições

Observações: No primeiro mês não há resgate, portanto não há restrição; O total pago será diferente de zero somente nos meses 3, 6,

9 e 11. A restrição pode ser reescrita da forma abaixo, que é como

é mais facilmente modelada no Excel:

Caso LCL Supermercados Ltda. – Modelo no Excel

Caso LCL Supermercados Ltda. – Parâmetros do Solver

# SEÇÃO 10 Análise de Sensibilidade Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra – Shadow Price Custo Reduzido – Reduced Cost Intervalos de Validação Solução Degenerada

Caso Motorela Celulares Analisando todos os Relatórios do Excel Relatório de Respostas Análise Econômica

Relatório de Sensibilidade Relatório de Limites

Preço de Sombra O preço-sombra para o recurso i mede o valor marginal deste

recurso em relação ao lucro total; O preço-sombra é a quantidade que o valor ótimo da função-

objetivo (Z) seria melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse aumentada de uma unidade.

Preço de Sombra – Solução Gráfica

Vamos medir o efeito de aumentar a terceira constante em 3 unidades?

Preço de Sombra – Solução Gráfica

O conjunto de soluções viáveis foi alterado A solução ótima também foi alterada

0,

21

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

1600304021 xx

Solução Ótima

(25;20)

0,

21

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

(25;20)

(40;0)

340

3100 ;

Solução Ótima

352003040

21 xx

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

24

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

Total Total Total

resgatado investido pago para i = 2, 3, ..., 10

no mês no mês no mêsi i i

Total Total Total

resgatado investido pago

no mês no mês no mêsi i i


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No problema original: Z = 1600 No problema modificado:

Portanto: Alteração no valor da Função-objetivo:

Logo, preço de sombra :

Preço Sombra no Excel

Relatório de Análise de Sensibilidade Preço Sombra no Excel

Preço de Sombra – Solução Gráfica Considere agora a seguinte modificação.

O conjunto de soluções viáveis foi alterado Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi

alterada. Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO Preço Sombra no Excel


Preço Sombra no Excel

Problema Original

Problema Modificado

1733,33 1600Preço Sombra

3

44,4444

Var.Função-Objetivo=44,4444 3

133,333

Mesmo

Preço-Sombra

Problema Original

Problema Modificado

0,

21

6

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

0,

21

5

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

1600304021 xx

Solução Ótima

(25;20)

(0;30)

0,

21

6

20

s.r.

3040Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

1600 1600Preço Sombra

1

0

Var.Função-Objetivo=0

Problema Original

Problema Modificado

Mesmo

Preço-Sombra

Problema Original

Problema Modificado

30

s.r.

0, 21xx

212103

153 xx

5251 x

20221

152 xx

3040Max 21 xxZ

s.r.

0, 21xx

2103

153 xx

5251 x

20221

152 xx

3040Max 21 xxZ

2000 1600Preço Sombra

9

44,4444

Problema Original

Problema Modificado

52001733,33

3Z

5200 4001600 133,33

3 3

400

4003 44,443 9


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Análise de Sensibilidade – Interpretação no Excel Para o Excel, o conceito de Preço-Sombra está relacionado ao

valor nominal do efeito na função-objetivo, isto é, quanto a função-objetivo aumenta (sinal de +) ou diminui (sinal de -) em valor absoluto;

As quantidades informadas pelas grandezas Preço-Sombra refletem as consequências de alterações unitárias; Alterações diferentes da unidade provocaram consequên-

cias proporcionais. Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de

intervalos apontados nos relatórios, se a solução ótima não for degenerada.


Custo Reduzido O custo reduzido de uma variável é: o total que o coeficiente da variável na função-objetivo de-

ve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução óti-ma;

quanto o valor ótimo da função-objetivo irá piorar para ca-da unidade que a variável aumente a partir de zero, manti-dos os coeficientes das variáveis da função-objetivo;

No problema abaixo a solução ótima tem x2=0.

Neste caso o Custo Reduzido mede quanto deveria ser redu-zido o custo de produção de x2 (minimização) ou melhorado a sua lucratividade (maximização) para que na solução ótima o valor de x2 deixe de ser zero.

Custo Reduzido no Excel Para modificar o valor de uma variável na solução ótima para

diferente de zero temos que: Para um custo reduzido positivo, subtrair o mesmo do coe-

ficiente da função-objetivo. Para um custo reduzido negativo, adicionar o mesmo do

coeficiente da função-objetivo. Caso Motorela Celulares Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Moto-rela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a confi-guração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capa-cidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o pre-sidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ 25.200/mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Excel. Caso Motorela Celulares – Variáveis de Decisão x1: Quantidade de celulares Multi-Tics produzidos mensal-

mente.

x2: Quantidade de celulares Star Tic-Tacs produzidos mensal-mente.

x3: Quantidade de celulares Vulcanos produzidos mensalmen-te.

Caso Motorela Celulares: Função-Objetivo Maximizar o Lucro da Motorela:

Mesmo

Preço-Sombra

Problema Original

Problema Modificado

301E 30 1 10 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

(representação do infinito na planilha do Excel)

0,

21

5

20

s.r.

3070Max

21

2103

153

251

221

152

21

xx

xx

x

xx

xxZ

(0;25)

(0;0)

(18,75;25)

(35;0)

1 270 30 1600x x Solução Ótima

1 2 3100 210 250Max x x x


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Caso Motorela Celulares – Restrições

Linha de Montagem: 0,1x1 + 0,3x2 + 0,4x3 290

Linha de Configuração: 0,2x1 + 0,1x2 + 0,3x3 250

Linha de Verificação: 0,1x1 + 0,1x2 110

Produção Mínima: x1 ≥ 100 ; x2 ≥ 100 ; x3 ≥ 100

Lucro Mínimo Star Tic-Tac: 210x2 ≥ 25200

Produção Vulcano: x3 ≥ 2x2

Não Negatividade: x1, x2, x3 ≥ 0

Caso Motorela Celulares – Modelo Caso Motorela Celulares – Modelo no Excel

Caso Motorela Celulares: Parametrização do Solver

Caso Motorela Celulares – Relatórios

Caso Motorela Celulares: Solução

Caso Motorela Celulares: Análise dos Relatórios Que restrições limitam a solução ótima?

Marcar os Relatórios

Desejados

Quanto deve ser melhorado no lucro unitário para que seproduza o modelo Star Tic-Tac?

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3

2

3 2

1 2 3

100 210 250

0,1 0,3 0,4 290

0,2 0,1 0,3 250

0,1 0,1 110

100 ; 100 ; 100

210 25200

2

, 0

Max x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x

x x

x x e x


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Alterando o Problema – Para Verificar Resultado Problema Alterado - Mesmo Valor Ótimo

Caso Motorela Celulares – Análise dos Relatórios

Alterando o Problema Para Verificar Resultado

Caso Motorela Celulares: Análise dos Relatórios

Alterando o Problema Para Verificar Resultado

Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o

Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a

hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear.

Análise de Sensibilidade – Solução Degenerada A solução de um problema de Programação Linear algumas

vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração. Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de

incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero. A presença de degeneração altera a interpretação da análise

de sensibilidade em um certo número de maneiras. Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da

função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere.

O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos.

Até quanto você pagaria por uma hora de verificaçãoterceirizada?

Até quanto você pagaria por uma hora de montagemterceirizada?

=204200+480

O que significa o preço-sombra de -20 na última restrição?

Cada unidade adicional de Vulcano com relação ao dobrode Star-Tac provoca perda de lucratividade de R$20,00, istoé, a função-objetivo diminui de 20.

=204200-20


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Considere este (Outro Modelo)

Relatórios

Solução – Excel

Excel versão anterior a 2007 transigência = margem de atraso Associação => LHS=RHS

Não-associação => LHSRHS, quando a variável de folga for básica e diferente de zero.

Margem de Atraso => Variáveis de Folga

Relatório de Respostas – Observação Importante O Excel determina que a restrição tem status “Não-

associação" quando a variável de folga daquela restrição é básica. Geralmente, isto significa que existe folga, e portanto LHS (diferente) RHS .

Entretanto, é possível acontecer da variável de folga ser bási-ca e igual a zero. Neste caso, a restrição terá status Associa-ção e LHS = RHS.

Relatório de Limites A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variá-

vel pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variá-

vel pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

# SEÇÃO 11 Modelos de Rede Regra do Fluxo Balanceado Modelos de Transporte Caso LCL Motocicletas S.A.

Modelos de Escala de Produção Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.

Modelos de Rede de Distribuição Caso Automóveis Brasil

Modelos de Menor Caminho Modelos de Fluxo Máximo

Max Z x 40 30x1 2

x x 0 01 2,

21

5

20

2103

153

251

221

152

xx

x

xx

Marcar os Relatórios

Desejados


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Modelos em Rede Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais

como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas.

Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos.

Num modelo de rede cada nó terá uma denominação ou

numeração especifica. As variáveis de decisão estarão ligadas aos arcos existentes

entre os nós. X12 – pode indicar o nº de veículos que passa na estrada que

liga a cidade 1 à cidade 2. X34 – pode indicar o nº de geladeiras que é entregue pela

fábrica 3 no revendedor 4. A função-objetivo do problema de rede de distribuição é dada

por:

Onde cij é o custo unitário de transporte de uma unidade do pro-

duto de i para j xij é o número de produto transportados na rota de i para j

Regra de Fluxo Balanceado Uma maneira de modelar as restrições de um problema de

rede é seguir a Regra Fluxo Balanceado para cada nó. Nesta regra para cada nó da rede devemos estabelecer a

diferença entre as variáveis que estão chegando (entradas) ao nó menos e as variáveis que estão deixando o nó (saídas).

xij – é uma entrada para o nó j e é uma saída do nó i O sinal da restrição varia com ofertas e demandas totais O lado direito das restrições serão as ofertas ou demandas de

cada nó

Caso LCL Motocicletas S.A. A LCL Motocicletas S.A. possui 3 fábricas localizadas em Cuia-

bá, Santo André e Florianópolis. A produção deve ser entre-gue em Recife, Salvador e Fortaleza. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fá-bricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro con-sumidor de forma a minimizar os custos de transporte.

Caso LCL Motocicletas S.A. – Variáveis de Decisão Existem 9 variáveis para expressar a quantidade transportada

em cada uma das possíveis vias. xij= Quantidade transportada da fábrica i para o centro con-

sumidor j.

Caso LCL Motocicletas S.A. – Modelo Gráfico

Caso LCL Motocicletas S.A. – Modelo

Nós

arcos

[-oferta] [+demanda]

Caso de Oferta Total = Demanda Total

Caso a Oferta Total > Demanda Total

Caso a Oferta Total < Demanda Total

total de entradas total de saídas Oferta/Demanda - =

no nó no nó do nó

total de entradas total de saídas Oferta/Demanda -


total de entradas total de saídas Oferta/Demanda -


Centro Consumidor

Fábrica Recife Salvador Fortaleza Capacidade

Cuiabá 25 18 30 2000

Santo André 32 24 25 2000

Florianópolis 23 16 23 1500

Demanda 2000 3000 1000

Centro Consumidor

Fábrica

Recife

(4)

Salvador

(5)

Fortaleza

(6)

Cuiabá (1) x14 x15 x16

Santo André (2) x24 x25 x26

Florianópolis (3) x34 x35 x36

Florianópolis3

Santo André2

Cuiabá1

i

Fortaleza6

Salvador5

Recife4

j

25Cuiabá

1

Sto.André

2

Florianópolis

3

Recife

4

Salvador

5

Fortaleza

6

18

30

32

24

25

2316

23

[-2000]

[-2000]

[-1500]

[+2000]

[+3000]

[+1000]

ij ijMin Z c X


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Caso LCL Motocicletas S.A. Parâmetros

Caso LCL Motocicletas S.A. – Solução

Problema de Rede – Aplicações O problema de rede não é aplicado apenas a problemas de

distribuição de mercadorias das fábricas para centros distri-buidores;

O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros tipos de problema, tais como: Problemas de Escalas de Produção; Problemas de Lay-out de fábricas;

Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. A GLP Fórmula Turismo Ltda. fornece motores para equipes

de fórmula turismo. A companhia detém contratos de entre-gas futuras programadas para o próximo ano. As entregas de-verão ocorrer a cada quadrimestre. A tabela resume as en-tregas programadas, a capacidade máxima de produção e o custo de produção por quadrimestre incluindo o custo de ar-mazenamento. Formule o problema para achar o número de motores que devem ser fabricados em cada quadrimestre de maneira a atender os pedidos contratados.

Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Representação Gráfica do Modelo

Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.

Solução

Quadrimestre

Produção

Quadrimestre de Entrega milhões de Reais

1º (nó 4) 2º (nó 5) 3º (nó 6) Capacidade

1º (nó 1) 1,08 1,09 1,10 45

2º (nó 2) 1,08 1,09 35

3º (nó 3) 1,07 25

Demanda 30 40 30

1,08

Prod. Q1

1

Prod. Q2

2

Prod. Q3

3

Ent.Q1

4

Ent.Q2

5

Ent.Q3

6

1,09

1,10

[-45]

[-35]

[-25]

[+30]

[+40]

[+30]

1,08

1,09

1,07


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Caso LCL Fogões Ltda. A LCL Fogões Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua

produção para os próximos 3 meses. Sua fábrica pode produ-zir mensalmente, em horário normal, 250 fogões a um custo de R$ 35,00, e em horário extra, 50 unidades a um custo de R$ 40,00. Considere que é possível armazenar durante um mês a um custo unitário de R$ 5,00 sem restrições de espaço. Suponha que as demandas para os próximos quatro meses são de 140, 200 e 130. Qual o escala de produção a ser segui-da?

Para resolver este problema, criaremos uma rede onde: Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade

receptora. São 6 unidades produtoras (2 por mês) São 3 unidades receptoras (3 meses)

Cada arco está relacionado ao custo de produção e/ou ar-mazenagem.

Solução

Caso Automóveis Brasil A Automóveis Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma em

Salvador (1) e outra em Santo.André (2), e está estudando a forma de distribuição de seus carros para as diversas reven-das de Minas Gerais, nas cidades de Juiz de Fora (3), B.Horizonte (4), Barbacena (5) e Tiradentes (6). A seguir é apresentada a rede de revendas da Automóveis Brasil, seus custos de transporte unitários, demandas das re-venda e as capacidades das fábricas. Determine a forma como a entrega de veiculas deve ser reali-zada pelas fabricas às revendas.

Variáveis de Decisão xij – Quantidade de carros remetidos de i para j

Exemplo: x14 – Quantidade de carros remetidos de 1 para 4

Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição Como a oferta total é maior que a demanda total devemos

utilizar a seguinte restrição em todos os nós: Caso Automóveis Brasil – Modelo

[-250] 1

3

5

2

4

6

C

B [+200]

A1

3

5

2[-50]

4

6

9 [+130]

8

7 [ +140]

35

40

35

40

35

40

5

5

[-250]

[-50]

[-250]

[-50]

1

2

3

4

5

6

[-800]

[-600]

[+200]

[+300]

[+350]

40

20

2025

25

35

40

10

10

10

15

[+450]

13 14 15 23 24 25 36

45 46 56 65

20 10 40 10 20 40 25

35 25 15 10

Min x x x x x x x

x x x x

nó nó nóentradas - saidas oferta/demanda


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Problemas de Menor Caminho Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a dis-

tância entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a rota que une estes pontos com distância mínima, teremos um proble-ma do tipo do Menor caminho.

Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado a distribuição de produtos, entre outros.

Exemplo Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária

entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades.

Este problema pode ser visto como um problema de rede de distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos da malha sem demanda ou oferta (=0)

Solução

Problema do Fluxo Máximo Nesse tipo de problema temos uma rede de nós e arcos, e

desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa fluir de um determinado nó para outro.

Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser utili-zado simultaneamente.

Aplicações Rede de distribuição de água, luz, gás e tráfego na internet.

A B

4

3

2

1

40

30

30

30

2020

20

[-1] [+1]A B

4

3

2

1

40

30

30

30

2020

20


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Problemas de Rede – Problema do Fluxo Máximo Como resolver o problema? Adicionar um arco artificial ligando o ponto de saída (A) ao

ponto de chegada (B). Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande). Utilizar a regra de balanceamento de redes. As grandezas associadas aos arcos são o fluxo máximo em

cada trecho da rede, portanto restrições no modelo. O Valor de Oferta/Demanda em cada nó é igual a zero.

Excel

Parâmetros

Solução

# SEÇÃO 12 Programação Inteira Solução Gráfica Solução Excel

Caso GLP Tecnologia S.A. Variáveis Binárias e Condições Lógicas Programação Inteira São problemas de programação matemática em que a função

objetivo, bem como as restrições, são lineares, porém uma ou mais variáveis de decisão podem apenas assumir valores inteiros.

Esse problema pode apresentar dois tipos básicos: Programação Inteira Total - onde todas as variáveis de de-

cisão são do tipo inteiro. Programação Inteira Mista - onde apenas uma parte das

variáveis é do tipo inteiro, enquanto outras são do tipo real. A primeira idéia que pode vir à mente é resolver o problema

como se fosse um problema de programação linear e arre-dondar os valores ótimos encontrados para cada uma das va-riáveis de decisão inteiras.

Para problemas de grande porte, isto geralmente gerará uma solução aceitável (próxima do ótimo real) sem a violação de nenhuma das restrições.

Para problemas menores, esse tipo de procedimento poderá nos levar a soluções inviáveis ou não ótimas.

Programação Inteira – Problema Relaxado A todo problema de programação inteira está associado um

problema com a mesma função-objetivo e as mesmas restri-ções, com exceção da condição de variáveis inteiras. A esse problema se dá o nome de Problema Relaxado.

A B

4

3

2

1

40

30

30

30

2020

20


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Programação Inteira – Conjunto Soluções Viáveis

Programação Inteira – Solução Gráfica

Programação Inteira – LP Relaxado Em um problema de MAXIMIZAÇÃO, o valor ótimo da fun-

ção-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limite superior ao respectivo Problema Inteiro.

Em um problema de MINIMIZAÇÃO, o valor ótimo da função-objetivo, do Problema Relaxado, sempre representa um limi-te inferior ao respectivo Problema Inteiro.

Nenhum ponto inteiro

vizinho ao ponto ótimo do problema relaxado é necessariamente viável.

Mesmo que um dos vizi-nhos seja viável. Não é necessariamente

o ponto ótimo inteiro. Não é obrigatoriamente

uma solução aceitável. Programação Inteira Comparativamente ao LP correspondente, o IP levará muito

mais tempo para obter um valor ótimo. Isso está ligado ao fato que diversos problemas de LP são

resolvidos sucessivamente para se obter a solução de um IP. A solução obtida num problema IPL ou MIPL Sem análise de sensibilidade. Deve ser efetuada alterando-se o problema e obtendo-se

nova solução. Não provê informação similar ao preço de sombra. Muitos softwares que realizam programação inteira são

parte integrante de pacotes de programação linear e pro-duzem análise de sensibilidade, independente desta não ter valor no âmbito de programação inteira.

Usando Solver do Excel – Definindo Variáveis Inteiras

Caso GLP Tecnologia S/A A GLP Tecnologia S/A tem que planejar seus gastos em inves-

timentos para o próximo ano. A empresa pré-selecionou 3 projetos e deve escolher dentre esses quais deve priorizar em função de suas restrições orçamentárias. Os dados relevantes encontram-se na tabela abaixo. Considere a taxa de desconto de 9%a.a.

Restrições Orçamentárias

0,

1123

1332 ..

24

21

21

21

21

xx

xx

xxrs

xxMax

e inteiros

0,

1123

1332 ..

24

21

21

21

21

xx

xx

xxrs

xxMax

e inteiros

Z=26

Solução Ótima para

LP Relaxado

(6,5 ; 0)

Z=24

Solução Ótima para

Prog.Inteira

(6;0)

Investimento Líquido Requerido em milhões de R$

Proj.NPV(9%)

(milhões R$)Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

1 $104,01 70 15 0 20 20

2 $123,81 80 30 15 10 10

3 $170,35 130 20 0 30 20

Capital Disponível 200 70 50 30 70

Variáveis de Decisão

Função Objetivo = Maximizar o somatório NPV

1 , se o projeto i for selecionado = 1, 2,3

0 , se o projeto i não for selecionadoix i

1 2 3 104,01 123,81 170,35Max x x x

x2

x1

Solução

Ótima para

Prog.Inteira

Solução

Ótima para

LP Relaxado

1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

1 2 3

70 80 130 200 - Ano 1

15 30 20 70 - Ano 2

15 50 - Ano 3

20 10 30 30 - Ano 4

20 10 20 70 - Ano 5

x x x

x x x

x

x x x

x x x


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Caso GLP Tecnologia S/A – Solver do Excel

Caso GLP Tecnologia S/A – Parâmetros do Excel

Caso GLP Tecnologia S/A – Solução no Excel

Variáveis Binárias e Condições Lógicas As variáveis binárias também se prestam a selecionar alterna-

tivas que sejam condicionais. No exemplo anterior imagine que não mais de um dos proje-

tos 1, 3 e 4 pudesse ser selecionado. Deveríamos então adici-onar:

Se apenas um dos projetos e apenas um dos projetos 1, 2 e 4 tivesse que ser escolhido obrigatoriamente, deveríamos inclu-ir:

Imagine agora que o projeto 1 dependa de uma tecnologia

que deve ser desenvolvida pelo projeto 2, isto é, o projeto 1 só pode ser aprovado se e somente se o projeto 2 for aceito. Deveríamos então incluir:

# SEÇÃO 13 Programação Não Linear Casos gerais O Solver para problemas não lineares Modelo do Lote Econômico Caso GLP Computadores

Programação Não Linear De forma geral um problema de programação não linear tem

a seguinte forma: Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem

ser incluídos neste formato. Programação Não Linear – Solução Gráfica Considere o Problema de Programação Linear e sua solução

gráfica

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

0, 0 nenhum dos projetos aceitos

1, 1 ambos os projetos aceitos 0

0, 1 apenas o projeto 2 foi aceito

1, 0 inviável

x x

x xx x

x x

x x

Solução no interior do

conjunto de soluções

viáveis e não mais na

fronteira do conjunto

4

2

6

2 4 x1

x2

Solução

Viável

3

3

Z = 162Z = 189

Z = 198

2 2

1 1 2 2198 54 9 78 13Max Z x x x x

1 3 4 1x x x

1 2 4 1x x x

1 2

ou ( )

. . ( ) para 1,2,...,

0 onde =( , ,..., )

i i

n

Max Min f

s r g b i m

x x x

x

x

x x


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Programação Não Linear A solução ótima de um problema de programação não line-

ar(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis.

Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obri-gando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis.

Programação Não Linear – Excel O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradi-

ent) para chegar à solução para um dado problema. O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma

solução global. O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para

problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máximos e mínimos locais é começar a otimização de diver-sos pontos iniciais, gerados aleatoriamente.

Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter atingido um ponto global.

Programação Não Linear – Controle de Estoque Um dos modelos mais simples de controle de estoque é co-

nhecido como Modelo do Lote Econômico. Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamen-

te constante durante o ano. Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no

exato instante em que este chegar a zero. Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado

os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no

estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios fi-nanceiros para a empresa.

Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto.

Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

Caso GLP Computadores A GLP Computadores deseja diminuir o seu estoque de placa-

mãe. Sabendo-se que o custo unitário da placa-mãe é de R$ 100,00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$ 3,00 e o custo unitário do pedido é de R$ 5,00, en-contre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 1000 placa-mãe.

Solução

Demanda Anual =200

Lote=4,Pedido= 4

Estoque Médio = 25

3 6 9 12meses

50

25

50

Demanda Anual =200

Lote=100, Pedidos = 2

Estoque Médio = 50

6 12meses

100

Variável de Decisão

Q – Quantidade por Pedido

Função Objetivo =

Onde:

D = Demanda Anual do Produto

C = Custo Unitário do Produto

S = Custo Unitário de Fazer o Pedido

Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano

m

D QCusto Total D C S C

Q 2

Resumo de Métodos Quantitativos 2012.2

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