Resumo expandido do seminrio Estimativa de fase

quntica com estados coerentes comprimidos da luz.

Douglas Delgado de Souza

26 de janeiro de 2015

Neste trabalho consideramos inicialmente o problema da estimativa de fase qunticacom a presena de perturbaes lineares ao nvel do Hamiltoniano usando estados gaus-sianos como sondas [1]. Analisamos tanto perturbaes unitrias quanto perturbaesaleatrias atravs da considerao do parmetro de rudo que caracteriza o termo linear"indesejado" presente no Hamiltoniano.

No caso da perturbao unitria, o parmetro de rudo xo e a evoluo unitria dada por

U, = exp{i[aa+

(a+ a

)]}. (1)

No caso da perturbao aleatria, o parmetro de rudo obedece a distribuies deprobabilidades gaussianas simtricas em dois eixos e a transformao do estado dadapor

G,(|00|) =R2d1d2

e21+

22

22

22U, |00| U , , (2)

onde = (1, 2)T, U, = e

i(aa+1Q+2P), Q = a + a, P = i(a a

)e o

novo parmetro de rudo.Como sonda gaussiana usamos o estado puro de um modo dado por

|0 = |, = D()S()|0 (3)

onde S() = exp{a2 a2} o operador de compresso, = rei, e {, r, } R.Aps estas transformaes obtemos o estados quntico codicado %, onde o pa-

rmetro que se deseja estimar. Uma medio, parametrizada pelos operadores POVM{x}, pode ser completamente descrita atravs da distribuio de probabilidades condici-onal p(x|) = Tr[%x]. A preciso correspondente na estimativa do parmetro , atravsda medio {x} limitada por

1MF ()

, (4)

onde M o nmero de medies realizadas e

F () =

dx p(x|) ( log p(x|))2 (5)

1

a Informao Clssica de Fisher (FI). A desigualdade (4) chamada de limite de Cramr-Rao (CRB), e vlida para todos os problemas de estimao clssica descritos por umaprobabilidade condicional p(x|). Este limite atingvel atravs de alguns tipos de esti-madores no limite de um grande nmero de medies.

Notamos que a Informao Clssica de Fisher depende da escolha dos POVMs usadospara a medio. Pode-se mostrar que a maximizao da Informao Clssica de Fishersobre todos os possveis operadores POVM corresponde Informao Quntica de FisherH() [2], e temos a relao:

F () H() (6)

Esta desigualdade leva ao limite quntico de Cramr-Rao (QCRB)

1MH()

. (7)

Pode-se demonstrar que este limite , a princpio, alcanvel, isto , sempre existe umPOVM cuja Informao Clssica de Fisher igual Informao Quntica de Fisher.Observando a Eq.7, ca claro que um valor maior da QFI corresponde a uma maiorpreciso obtenvel a partir do estado codicado %.

Derivamos os estados de sonda timos, para uma dada energia xa, pela maximizaoda Informao Quntica de Fisher (QFI) sobre o ngulo de compresso e a frao de

compresso = sinh2 r

n0e discutimos o escalonamento da QFI em termos do nmero mdio

de ftons no estado de sada, nout. Para perturbaes unitrias existem resultados geraisque nos permitem obter a Informao Quntica de Fisher de forma relativamente direta [3],enquanto que o uso de estados gaussianos como sonda nos permite o clculo da QFI atravsdo vetor de primeiros momentos Xk = 0|Xk|0 e da matriz de covarincia kl =12XkXl +XlXk Xk Xl, onde X = (Q,P )T [4, 5, 6]. Observamos que no caso da

perturbao unitria o estado timo um estado de vcuo comprimido e o escalonamentoquadrtico mantido. J no caso da perturbao aleatria, observamos que a fraode compresso tima pode no ser igual a um e que para qualquer valor no nulo doparmetro de rudo a QFI se escalona linearmente com o nmero mdio de ftons. Paraambos os casos discutimos a performance da deteco homdina pela comparao entre apreciso atingvel com a deteco homdina (Eq.5) e a preciso mxima obtenvel impostapelo limite quntico de Cramr-Rao (QFI mxima).

A seguir analisamos o emaranhamento disponvel em estados tipo "quasi-Bell" forma-dos pela combinao de estados coerentes comprimidos [7, 8]:

|1 =1

2 (1 + 2)(|, rA |, rB + |, rA |, rB)

|2 =1

2 (1 2)(|, rA |, rB |, rA |, rB)

|3 =1

2 (1 + 2)(|, rA |, rB + |, rA |, rB) (8)

|4 =1

2 (1 2)(|, rA |, rB |, rA |, rB)

onde = , r| , r = e2[e2s(Re)

2+e2s(Im)

2].

2

Os estados |2 e |4 so maximamente emaranhados independentemente de e r, oque no ocorre para os estados |1 e |3. Para estes estados mostramos que a presenada compresso faz com que a quantidade de emaranhamento seja maior para um mesmonmero mdio de ftons disponvel.

Por m denimos um estado que interpola os estados |1 e |2:

|l =1

1 + l (l + 22)(|, rA |, rB + l |, rA |, rB) , (9)

onde 1 l 1, e usamos este estado para a estimativa de fase sem perturbao,efetuando a transformao U = e

iaa apenas no primeiro modo e a medio em ambosos modos. Notamos que em alguns casos o emaranhamento um recurso para a estimativade fases, pois os estados emaranhados fornecem uma maior Informao Quntica de Fisherdo que no caso separvel, equivalente ao caso estudado no incio deste projeto.

Referncias

[1] Douglas Delgado de Souza, Marco G. Genoni, and M. S. Kim. Continuous-variablephase estimation with unitary and random linear disturbance. Phys. Rev. A,90(4):042119, October 2014.

[2] Matteo G. A. Paris. QUANTUM ESTIMATION FOR QUANTUM TECHNOLOGY.International Journal of Quantum Information, 07(supp01):125137, January 2009.

[3] A. De Pasquale, D. Rossini, P. Facchi, and V. Giovannetti. Quantum parameterestimation aected by unitary disturbance. Phys. Rev. A, 88(5), November 2013.

[4] Alessandro Ferraro, Stefano Olivares, and Matteo Paris. Gaussian states in quantuminformation. Bibliopolis, Napoli, 2005.

[5] Alex Monras. Phase space formalism for quantum estimation of gaussian states. ar-Xiv:1303.3682 [quant-ph], March 2013.

[6] O. Pinel, P. Jian, N. Treps, C. Fabre, and D. Braun. Quantum parameter estimationusing general single-mode gaussian states. Phys. Rev. A, 88(4), October 2013.

[7] Osamu Hirota, Steven J. van Enk, Kazuo Nakamura, Masaki Sohma, and KentaroKato. Entangled nonorthogonal states and their decoherence properties. arXiv:quant-ph/0101096, 2001.

[8] Osamu Hirota and Masahide Sasaki. Entangled state based on nonorthogonal state.arXiv:quant-ph/0101018, 2001.

3