Matemática Financeira Resumo Teórico

2

Aprendizados

1. Variáveis

2. Calculadora financeira HP 12c

3. Diagramas de fluxo

4. Convenções de tempo

5. Juros simples

6. Juros compostos

7. Juros contínuos

8. Taxas equivalentes

9. Combinação de taxas

10. Desconto à vista

11. Desconto de duplicatas

12. Preferência para aplicar dinheiro

13. Preferência para obter recursos

14. Série finita uniforme postecipada

15. Série finita uniforme antecipada

16. Série uniforme perpétua

17. Série finita não uniforme

18. Sistema de amortização americano (SAA)

19. Sistema de amortização constante (SAC)

20. Sistema de amortização francês (SAF)

21. Taxa administrativa

3

Variáveis

C = Capital ou principal

M = Montante final

J = Juros

i = Taxa de juros

I = Taxa de juros contínua

n = Número de períodos

FV = Final value (valor final)

PV = Present value (valor presente)

r = Taxa de juros real

π = Inflação

d = Taxa de desconto

D" = Desconto

F$ = Valor descontado

PU = Preço unitário

VN = Valor nominal

VNA = Valor Nominal Atualizado

PMT = Pagamento (Payment)

g = Taxa de crescimento

t = período

Amort = amortização

SD = Saldo devedor

4

Calculadora financeira HP 12c – Teclas brancas

5

Calculadora financeira HP 12c – Teclas azuis (g)

Calculadora financeira HP 12c – Teclas laranjas (f)

6

Cálculos básicos (soma, divisão...)

1. Inserir valor

2. Apertar “Enter”

3. Inserir outro valor

4. Escolher operação

Limpar tudo (botão de REG) → 𝑓𝐶𝐿𝑋

Diagramas de fluxo de caixa

Diagrama que mostra fluxos de caixa no tempo de uma operação

Convenções de tempo

Taxas podem ter uma definição diferente de “um ano”

X"="Valor"presente"

Y"="Valor"futuro"

n"="período"i"="taxa"

Fluxo"nega7vo"

Fluxo"posi7vo"

Magnitude"do"fluxo"

7

𝐴𝑛𝑜𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜 = 365𝑑𝑖𝑎𝑠𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑. 𝑐.

Taxa ao ano → 𝑖<.<.(𝑎𝑜𝑎𝑛𝑜)

𝐴𝑛𝑜𝑐𝑜𝑚𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 = 360𝑑𝑖𝑎𝑠𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑. 𝑐.

Taxa ao ano → 𝑖<.<.(𝑎𝑜𝑎𝑛𝑜)

𝐴𝑛𝑜𝑒𝑚𝑑𝑖𝑎𝑠ú𝑡𝑒𝑖𝑠 = 252𝑑𝑖𝑎𝑠ú𝑡𝑒𝑖𝑠 𝑑. 𝑢.

Taxa ao ano over → 𝑖<.<.E.(𝑎𝑜𝑎𝑛𝑜𝑜𝑣𝑒𝑟)

Juros simples

Taxa que faz seu capital crescer linearmente

𝐽 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛

𝑀 = 𝐶 + 𝐽

Juros compostos

Taxa que faz seu capital crescer exponencialmente

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 1 + 𝑖 O

Na HP

Para encontrar um valor basta inserir os outros três da equação

• Encontrar FV

o Inserir PV e clicar botão

o Inserir i e clicar botão

o Inserir n e clicar botão

o Clicar “FV”

8

Juros contínuos

Taxa que valoriza capital instantaneamente

Taxa contínua (instantânea)

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∗ 𝑒P∗O

Converter taxa composta para taxa contínua

𝐼 = ln 1 + 𝑖

Taxas equivalentes

Taxa ao período

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖<.T.)

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖<.T.)

Período para converter taxas

𝑛∗ =𝑛𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜

Taxa de juros simples ou contínua

𝐼VWXWY<VE = 𝐼V<VE ∗ 𝑛∗

𝑖VWXWY<VE = 𝑖V<VE ∗ 𝑛∗

Taxa de juros composta

(1 + 𝑖VWXWY<VE) = 1 + 𝑖V<VE O∗

Combinação de taxas

9

Combinar mais que uma taxa

1 + 𝑖 = 1 + 𝑖Z O[ ∗ 1 + 𝑖\ O] …

Inflação

(1 + 𝑖) = (1 + 𝑟)(1 + 𝜋)

Desconto à vista

Desconto dado por comprar um bem ou serviço à vista

V" = 𝑁(1 − 𝑑à$dXe<)

Desconto de duplicatas

Antecipar recebimento de clientes que estão pagando a prazo

Valor do desconto

10

D" = 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑛

Valor recebido hoje

V" = 𝑁 − D"

Taxa efetiva para desconto de duplicatas

𝑁 = V"(1 + 𝑖<.T.)

Converter taxa do desconto (taxa equivalente)

𝑛∗ =𝑛𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜

𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑑𝑛∗

Preferência para aplicar dinheiro

Aplicações sem risco

Escolher aplicação com maior taxa ao período

Aplicações com risco

Se a taxa for maior do que a opção sem risco depende do investidor

Preferência para obter recursos

Escolher opção (empréstimo ou desconto) com menor taxa efetiva

11

Série finita uniforme postecipada

Série de pagamentos iguais que são recebidos ao final de cada período

𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇1 + 𝑖 O − 1

𝑖

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇1 − 1 + 𝑖 gO

𝑖

Encontrar PV na HP

Valor (#) Pressionar

- g END

Número de parcelas # n

Taxa de juros por período # i

Valor da parcela # CHS PMT

12

- PV

Série finita uniforme antecipada

Série de pagamentos iguais que são recebidos no começo de cada período

Nesse contexto

𝑛 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑑𝑒𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑖 → 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

FV

𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 1 + 𝑖 Z + 𝑃𝑀𝑇 1 + 𝑖 \ + ⋯+ 𝑃𝑀𝑇 1 + 𝑖 O

𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇1 + 𝑖 O − 1

𝑖(1 + 𝑖)

PV

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 +𝑃𝑀𝑇1 + 𝑖 Z

+𝑃𝑀𝑇1 + 𝑖 \ + ⋯+

𝑃𝑀𝑇1 + 𝑖 OgZ

13

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇1 − 1 + 𝑖 gO

𝑖(1 + 𝑖)

Encontrar PV na HP

Mesmo que série postecipada mas com g BEG

Série uniforme perpétua

Pagamentos feitos para sempre

Quando o pagamento é constante

𝑃𝑉 =𝑃𝑀𝑇𝑖

Quando o pagamento cresce com taxa de crescimento constante

14

𝑃𝑀𝑇e = 𝑃𝑀𝑇egZ(1 + 𝑔)

𝑃𝑉 =𝑃𝑀𝑇Z𝑖 − 𝑔

=𝑃𝑀𝑇m(1 + 𝑔)

𝑖 − 𝑔

Série finita não uniforme

Série em que os pagamentos são diferentes

Valor presente

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇m +𝑃𝑀𝑇Z1 + 𝑖 Z

+𝑃𝑀𝑇\1 + 𝑖 \ + ⋯+

𝑃𝑀𝑇O1 + 𝑖 O

Valor futuro

𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇m 1 + 𝑖 O + 𝑃𝑀𝑇Z 1 + 𝑖 OgZ + ⋯+ 𝑃𝑀𝑇O

Fórmulas para sistemas de amortização

𝑆𝐷e = 𝑆𝐷egZ − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡e

𝐽e = 𝑆𝐷egZ ∗ 𝑖

𝑃𝑀𝑇e = 𝐽e + 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡e

PMT1%

∞%0% 1% 2% …%

…%PMT2%

PMT3%

3%

15

Sistema de amortização americano (SAA)

Juros constantes e amortização no final

Juros são constantes e dívida só é amortizada no final

𝐽 = 𝑃𝑉 ∗ 𝑖

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡O = 𝑃𝑉

16

Etapas para preencher a tabela: Calcule os juros e preencha o resto

Sistema de amortização constante (SAC)

Amortização constante e juros decrescentes

Etapa para encontrar cálculos qualquer período

1. Calcular amortização constante

t" Prestação" Juros"(J)""

Amor1zação." Saldo"Devedor"

0" $0" $0" $0" PV"

1" J" J" $0" PV"

2" J" J" $0" PV"

3" J" J" $0" PV"

..." ..." ..." ..." ..."

n" J"+"PV" J" PV" $0"

1.  Calcular"juros"

17

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡 =𝑃𝑉𝑛

2. Calcular saldo devedor do período anterior ao desejado

𝑆𝐷e = 𝑃𝑉 − (𝑡 ∗ 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡)

𝑆𝐷egZ = 𝑆𝐷e + 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡

3. Calcular juros

𝐽e = (𝑆𝐷egZ + 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡) ∗ 𝑖

4. Calcular PMT

𝑃𝑀𝑇e = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡 + 𝐽e

t" Prestação" Jt" Amort" Saldo"Devedor"

0" $0" $0" $0" PV"

1" J1"+"Amort" PV"*"i" Amort" PV"–"1Amort"

2" J2"+"Amort" SD1"*"i" Amort" PV"–"2Amort"

3" J3"+"Amort" SD2"*"i" Amort" PV"–"3Amort"

..." ..." ..." ..." ..."

n" Jn"+"Amort" SDn?1"*"i" Amort" $0"

1. Amor@zação"constante"2. Saldo"devedor"3. Juros"4. PMT"

18

Sistema de amortização francês (SAF)

Pagamento constante juros decrescentes e amortização crescente

1. Calcular PMT constante (i e n na mesma unidade de tempo)

𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉1 + 𝑖 O ∗ 𝑖1 + 𝑖 O − 1

2. Calcular juros

𝐽e = 𝑆𝐷egZ ∗ 𝑖

3. Calcular amortização

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡e = 𝑃𝑀𝑇 − 𝐽e

4. Calcular saldo devedor novo

𝑆𝐷e = 𝑆𝐷egZ − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡e

t" PMT" Jt" Amort" SD"0" $0" $0" $0" PV"1" PMT" PV"*"i" Amort1" PV"–"Amort1"2" PMT" SD1"*"i" Amort2" PV"–"Amort2"3" PMT" SD2"*"i" Amort3" PV"–"Amort3"..." ..." ..." ..." ..."n" PMT" SDn81"*"i" Amortn" $0"

1. PMT"2. Juros""3. Amor;zação"4. SD"novo""

19

Encontrar PMT na HP

Valor (#) Pressionar

- g END

Valor do principal # CHS PV

Taxa de juros # i

Número de parcelas # n

- PMT

Encontrar PV na HP

Valor (#) Pressionar

- g END

Valor do pagamento # CHS PMT

Taxa de juros # i

Número de parcelas # n

- PV

Taxa administrativa

20

Taxa fixa cobrada sobre operação

Empréstimo

𝐶 = 𝐶p − 𝑡𝑎𝑥𝑎

𝑀 = 𝐶p 1 + 𝑖 O

Desconto de duplicatas

V" = V"′ − taxa

V"′ = 𝑁 − D"

Imposto

Taxa cobrada sobre operação

Empréstimo

𝐶 = 𝐶p − idvTEXeE ∗ 𝐶p

𝑀 = 𝐶p 1 + 𝑖 O

Desconto de duplicatas

V" = V"p − 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

V" = V"′ − idvTEXeE ∗ V"p

V"′ = 𝑁 − D"