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FFFuuunnndddaaammmeeennntttooosss dddaaa CCCiiinnneeemmmááátttiiicccaaa

1.1 Preliminares A Mecânica é o ramo da Física que tem por finalidade o estudo do movimento e do

repouso. É dividida em Cinemática, Dinâmica e Estática. A Cinemática descreve o movimento de um corpo sem se preocupar com suas causas.

A Dinâmica estuda as causas do movimento. A Estática analisa as condições para se manter um corpo equilibrado ou em repouso.

Nesta etapa iniciaremos a Cinemática, cujo método de descrição de movimentos emprega, basicamente, as seguintes grandezas: espaço, tempo, velocidade e aceleração.

1.2 Conceitos Básicos de Cinemática 1. Ponto Material

Quando estudamos o movimento de um corpo, muitas vezes é necessário levarmos em conta o seu comprimento, a sua largura e a sua altura. Porém, em certos casos, essas dimensões (comprimento, largura e altura) são muito pequenas em relação ao percurso que esse corpo vai descrever; aí então, desprezamos essas dimensões e consideramos o corpo como se fosse um ponto material.

Considere um automóvel em duas situações de movimento.

Quando este automóvel fizer manobras dentro de uma garagem, ele não pode ser encarado como um ponto material, porque devemos levar em conta o seu comprimento, largura e a altura para que não haja colisão.

Mas quando este carro fizer o percurso de 20 km entre duas cidades A e B, como ilustra a figura a seguir, ele pode ser considerado um ponto material, porque seus 4 m de comprimento tornam-se desprezíveis se comparados aos 20 000 m de percurso. 2. Móvel

É muito comum no desenvolvimento teórico ou no enunciado de um exercício, falarmos em corpos que estão associados ao nosso cotidiano, como o movimento de uma pessoa, de um automóvel e assim por diante. Muitas vezes, não há necessidade de se especificar qual é o corpo que está em movimento, se é uma moto, um carro ou uma bicicleta, então o chamamos genericamente de móvel. 3. Referencial

Para descrever o movimento, o observador deve definir um sistema de referência ou referencial em relação ao qual o móvel será analisado.

4. Movimento e Repouso

Dizemos que um corpo se encontra em movimento, sempre que a sua posição se modificar, no decorrer do tempo, em relação a um certo referencial.

Note na figura a seguir que o passageiro no interior do ônibus está em repouso em

relação ao ônibus e ao motorista, porque a sua posição em relação a eles é sempre a mesma. Já em relação ao observador fixo na Terra, tal passageiro está em movimento, porque sua posição muda com o decorrer do tempo.

A Cinemática não estuda as causas dos movimentos, servindo então para ela qualquer referencial. Assim, se o referencial for o Sol, a Terra gira ao seu redor, e se o referencial for a Terra, o Sol gira ao seu redor.

5. Trajetória

Consideremos um móvel que esteja em movimento para um dado referencial. Portanto, a posição desse móvel, em relação ao referencial, altera-se no decorrer do tempo.

Se unirmos as sucessivas posições do móvel por uma linha contínua, obteremos a trajetória descrita pelo móvel para o referencial adotado.

Na figura acima, P1, P2, P3, ... representam as sucessivas posições ocupadas pelo móvel, correspondentes aos instantes t1, t2, t3, ... A curva obtida com a união das sucessivas posições ocupadas pelo móvel é denominada trajetória.

Em determinadas situações, considerando-se dois referenciais diferentes, podemos ter duas trajetórias diferentes. Observe a figura a seguir.

A lâmpada que se destaca do teto de um vagão (em tráfego uniforme nos trilhos) cai de forma retilínea em relação ao vagão e, ao mesmo tempo, apresenta trajetória parabólica em relação aos trilhos.

1.3 Espaço e Tempo 1. Localização

Para localizarmos um móvel num determinado instante, construímos um sistema de referência cartesiana, que pode apresentar uma, duas ou três dimensões.

Para darmos a posição de um automóvel em trajetória retilínea, basta um único eixo (movimento unidimensional), já que uma abcissa x desse eixo o localizará num certo instante.

Para identificarmos uma cidade no nosso planeta, precisamos de um sistema cartesiano com dois eixos, x e y, determinando a sua latitude e longitude.

Agora, para identificarmos a posição de um avião em movimento na atmosfera, num determinado instante, precisamos de um sistema cartesiano com três eixos, x, y e z, determinando sua latitude, longitude e altitude.

2. Espaço Quando conhecemos a trajetória descrita por um móvel, segundo um referencial,

podemos dispensar o uso de eixos cartesianos e definir a posição do móvel ao longo da trajetória, tomando um ponto desta como referência. Este ponto de referência é denominado origem (O) e a posição do móvel, espaço (s).

O espaço (s) de um móvel nos fornece a sua localização na trajetória, em relação à origem dos espaços (s = 0). A distância do móvel à origem (O), medida ao longo da trajetória, é precedida de um sinal algébrico (+) ou (–) para indicar a região da trajetória: à direita ou à esquerda da origem, conforme a orientação escolhida para essa trajetória.

Um marco quilométrico de uma rodovia corresponde, na prática, à grandeza espaço.

Quando se diz que um carro está no km 32, isto indica que ele se posiciona a 32 km da origem (km 0) da rodovia. 3. Função Horária do Espaço

Durante o movimento de um ponto material, a sua posição varia com o decorrer do tempo. A maneira como a posição varia com o tempo é a lei do movimento ou função horária.

Na expressão acima, devemos ler:

As variáveis s e t têm unidades, que devem ser indicadas quando se representa a função. Normalmente são utilizadas as unidades do Sistema Internacional (SI), ou seja:

• espaço metros (m) • tempo segundos (s)

4. Sentidos de Tráfego

Quando o móvel caminha no sentido da orientação da trajetória, seus espaços (s) são crescentes no decorrer do tempo. Denominamos este sentido de tráfego de progressivo.

Quando o móvel retrocede, caminhando contra a orientação da trajetória, seus espaços

(s) são decrescentes. Este sentido de tráfego é classificado como retrógrado.

5. Deslocamento Escalar

A grandeza física que indica, entre dois instantes, a variação de espaço do móvel é denominada deslocamento escalar( s).

A figura abaixo apresenta os espaços ocupados por um móvel numa trajetória em dois

instantes diferentes.

Pela figura anterior, temos que, no instante t1 = 3s, o móvel encontra-se na posição s1 = 4 m, e, no instante t2 = 6 s, sua posição é s2 = 9 m. Podemos afirmar que, entre os instantes 3 s e 6 s, o espaço do móvel variou de 5 m, ou seja, de 4 para 9 m. Essa variação de espaço recebe o nome de deslocamento escalar ( s).

Quando o movimento for progressivo, o deslocamento escalar será positivo ( s > 0). Quando retrógrado, será negativo ( s < 0). 6. Distância Percorrida

Distância percorrida (d) é a grandeza que nos informa quanto o móvel efetivamente percorreu entre dois instantes. Quando o sentido de tráfego do móvel se mantém, seja progressivo ou retrógrado, a distância percorrida coincide com o módulo do deslocamento escalar ocorrido.

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MMMooovvviiimmmeeennntttooo UUUnnniiifffooorrrmmmeee ––– MMMUUU

22..11 CCoonncceeiittoo Se observarmos atentamente os movimentos que ocorrem ao nosso redor,

encontraremos vários exemplos de movimentos nos quais a velocidade escalar permanece constante. Uma estrela no céu, as extremidades dos ponteiros de um relógio movimentam-se com velocidade escalar constante. Também um pára-quedista, com o pára-quedas aberto há algum tempo, cai com velocidade praticamente constante. Num modelo simplificado do átomo de hidrogênio, dizemos que o elétron gira em torno do próton com velocidade escalar constante.

Esses movimentos, nos quais a velocidade escalar permanece constante, são denominados movimentos uniformes.

2.2 Velocidade Escalar Constante Um objeto encontra-se em movimento uniforme, em relação a um determinado

referencial, quando a sua velocidade escalar não varia no decorrer do tempo. Sendo a velocidade escalar constante, o móvel percorre deslocamentos escalares iguais

em intervalos de tempos iguais, em qualquer tipo de trajetória, ou seja, o estudo do movimento uniforme não depende da forma da trajetória. A figura a seguir representa um movimento uniforme, em trajetória retilínea, com velocidade escalar constante de 4 m/s.

Observe que a cada 1 s o móvel cumpre deslocamentos escalares iguais de 4 m.

No movimento uniforme, a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de zero, sendo igual à velocidade escalar média.

Esta velocidade escalar constante terá valor positivo quando o movimento for progressivo e, valor negativo quando for retrógrado.

2.3 Diagrama Horário da Velocidade Escalar Como no movimento uniforme a velocidade linear é constante positiva ou negativa,

podemos representá-la através do diagrama horário abaixo:

Propriedade

A variação de espaço ( s) de um movimento uniforme, num intervalo de tempo ( t), é dada geometricamente à área sob o gráfico x t.

2.4 Função Horária do Espaço

Em destaque na figura, observamos que o móvel no instante t = 0 encontra-se no espaço inicial S0. Após um tempo t, ele atinge a posição s.

Lembrando que no movimento uniforme o deslocamento escalar é dado através da expressão , podemos deduzir sua função horária do espaço assim:

Observe que todo movimento uniforme terá este tipo de função horária do espaço, isto é, trata-se de uma função matemática do primeiro grau, onde S0 e serão os seus coeficientes linear e angular, respectivamente.

2.5 Diagrama Horário do Espaço Já que a função horária do espaço de todo movimento uniforme é do primeiro grau, o

gráfico espaço x tempo terá a forma de uma reta inclinada, a partir do espaço inicial (S0). Se for progressivo , o espaço será crescente no decorrer do tempo. Se

retrógrado , o espaço decrescerá com o tempo. Observe que a declividade da reta (tg ) representa o coeficiente angular da função, isto

é:

Exercícios Propostos

E1Um trem, medindo 60 m de comprimento, trafega com velocidade escalar constante de 10 m/s e demora 15 s para atravessar completamente uma ponte. Qual o comprimento da ponte?

E2Em quanto tempo uma composição ferroviária de 200 m de comprimento, a uma velocidade constante de 72 km/h, realiza uma travessia de uma ponte de 50 m de comprimento?

E3O gráfico a seguir representa aproximadamente a velocidade escalar de um ciclista, em função do tempo, durante uma viagem de 3,0 horas. Determine, nesta viagem: a) o deslocamento escalar do ciclista; b) a sua velocidade escalar média.

E4Considere o texto abaixo: Para enxergarmos qualquer objeto é necessário que ele envie luz até nossos olhos. Como a velocidade da luz é finita, existe um tempo para que o percurso dessa luz seja cumprido até nós. Logo, a visão que temos de algo é sempre uma imagem de seu passado. Imagine que fosse possível um extraterrestre, em seu planeta posicionado a 10 anos-luz da Terra, estar nos observando com seu telescópio neste momento. a) A imagem por ele obtida mostraria a Terra em seu momento atual? b) Aproximadamente, qual a distância em metros entre a Terra e o tal planeta? Dados: • velocidade da luz = c = 3,0 · 108 m/s • 1 ano = 3,2 · 107 s.

E5A figura a seguir esquematiza a trajetória aproximada da Terra no seu movimento em trono do Sol. Calcule o valor aproximado, necessário pra que a luz do sol alcance a Terra.

Dado: Velocidade da luz no vácuo=3,0.108 m/s.

E6Qual é, em km/h, a velocidade escalar média de uma pessoa que corre a pé 1200 m em 20 min?

E7A velocidade escalar média de um móvel durante a metade de um percurso é 30 km/h e esse mesmo móvel tem a velocidade escalar média de 10 km/h, na metade restante desse mesmo percurso. Determine a velocidade escalar média do móvel no percurso total.

E8É dada a função horária de um móvel em M.R.U.: S = 20 – 4t (t em h e S em km).

Determine: a)o espaço inicial e a velocidade inicial; b)o tipo de movimento (progressivo ou retrógrado?) c)o espaço do móvel em t = 2h d)o instante quando o móvel está na posição cujo espaço é igual a 8 km.

e)o instante que o móvel passa na origem dos espaços (marco zero). .

E9A função horária do espaço, para um movimento uniforme, é dada por:

Determine: a) o espaço inicial e a velocidade escalar do movimento; b) a posição do móvel para t = 30 s; c) o instante no qual a posição do móvel é 20 m.

E10Um móvel, em movimento retilíneo e retrógrado, possui velocidade constante e de valor absoluto igual a 5,0 m/s. No instante t = 0, ele se encontra em um ponto situado a 20 m à direita da origem dos espaços. Supondo que a trajetória tenha orientação positiva para a direita, determine: a) a função horária do espaço; b) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.

E11A tabela a seguir apresenta as posições ocupadas por um móvel, em movimento uniforme, em função do tempo.

Pede-se: a) a partir dos dados da tabela, construa o diagrama horário do espaço e calcule a velocidade escalar do móvel; b) determine a posição (s0) do móvel no instante t = 0; c) Escreva a função horária do espaço para esse móvel.

E12Dois carros A e B movimentam-se na mesma rodovia. No instante t = 0, suas posições e os respectivos módulos de suas velocidades escalares constantes estão indicadas na figura abaixo. Determine o ponto de encontro dos móveis.

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MMMooovvviiimmmeeennntttooo

UUUnnniiifffooorrrmmmeeemmmeeennnttteee VVVaaarrriiiaaadddooo ––– MMMUUUVVV

3.1 Aceleração Escalar Média A aceleração escalar é a a grandeza física que nos indica o ritmo com que a velocidade

escalar de um móvel varia. A aceleração é uma grandeza causada pelo agente físico força. Quando um móvel

receber a ação de uma força, ou de um sistema de forças, pode ficar sujeito a uma aceleração e, conseqüentemente, sofrerá variação de velocidade. Definição

Aceleração escalar média é a razão entre a variação de velocidade escalar instantânea e o correspondente intervalo de tempo.

Assim, escrevemos:

No Sistema Internacional (SI), a unidade para a aceleração escalar média é o metro por segundo por segundo (m/s/s), que abreviamos por m/s2. Outras unidades podem ser utilizadas, tais como cm/s2 e km/h2.

A aceleração escalar média apresenta o mesmo sinal da variação de velocidade escalar instantânea ( ), pois o intervalo de tempo ( ) é sempre positivo.

Quando informamos que num certo intervalo de tempo o móvel teve uma aceleração escalar média de 2 m/s2, isto significa que em média a sua velocidade escalar esteve aumentando de 2m/s a cada segundo. Por outro lado, uma aceleração escalar média de - 2 m/s2, quer dizer que sua velocidade escalar esteve diminuindo em média de 2 m/s a cada segundo.

3.2 Aceleração Escalar Instantânea De modo análogo à velocidade escalar instantânea, podemos obter a aceleração escalar

instantânea, partindo da expressão que nos fornece a aceleração escalar média ( / ),

fazendo tender a zero. Com este procedimento, a aceleração escalar média tende para um valor denominado de aceleração escalar instantânea:

Em termos práticos, vamos determinar a aceleração instantânea da seguinte forma:

A aceleração escalar instantânea representa a aceleração do móvel num determinado instante (t) e, mais precisamente, seu cálculo é feito através do processo de derivação, análogo ao ocorrido com a velocidade escalar instantânea.

Em movimentos nos quais a velocidade escalar instantânea varia de quantidades iguais em intervalos de tempo iguais, a aceleração escalar é uma constante. e, portanto, as acelerações escalares instantânea e média apresentam o mesmo valor. Nestes casos, usamos o termo aceleração escalar sem necessidade de especificar se é média ou instantânea.

3.3 Classificação Sabemos que o velocímetro de um veículo indica o módulo de sua velocidade escalar

instantânea. Quando as suas indicações são crescentes, está ocorrendo um movimento variado do tipo acelerado. Quando o velocímetro indica valores decrescentes, o movimento é classificado como retardado.

De modo geral, podemos detalhar esses casos assim: a) O móvel se movimenta com uma velocidade escalar instantânea, cujo módulo aumenta em função do tempo. O movimento é denominado acelerado.

Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no mesmo sentido da velocidade escalar instantânea, ou seja, e possuem o mesmo sinal. b) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea cujo módulo diminui em função do tempo. O movimento é denominado retardado.

Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no sentido oposto ao da velocidade escalar instantânea, ou seja, e possuem sinais opostos. c) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea constante em função do tempo. O movimento é denominado uniforme. Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser nula ( = 0). Observação:

Tanto o movimento acelerado quanto o retardado podem apresentar uma aceleração escalar instantânea constante. Neste caso, o movimento recebe a denominação de

uniformemente acelerado ou retardado.

3.4 Diagrama Horário da Aceleração Escalar Como no movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante

positiva ou negativa, podemos representá-la através do diagrama horário abaixo:

Propriedade A variação de velocidade ( ) de um MUV, num intervalo de tempo ( t), é dada por:

Geometricamente, isto corresponde à área sob o gráfico a x t.

3.5 Função Horária da Velocidade Escalar Considere um móvel trafegando em movimento uniformemente variado, com aceleração

escalar a.

Em destaque na figura acima, observamos que o móvel no instante t = 0 possui velocidade escalar inicial 0. Após um tempo t, ele atinge a velocidade escalar .

Lembrando que = a t, podemos deduzir a função horária de sua velocidade assim:

Observe que todo MUV terá este tipo de função, isto é trata-se de uma função matemática do 1º grau, onde 0 e a correspondem aos seus coeficientes linear e angular, respectivamente.

3.6 Diagrama Horário da Velocidade Escalar Já que a função horária da velocidade de todo MUV é do primeiro grau, o gráfico

velocidade x tempo terá a forma de uma reta inclinada, a partir da velocidade inicial 0.

Observe que a declividade da reta representa o coeficiente angular da função, ou seja:

3.7 Deslocamento Escalar Vimos, no módulo anterior, que, no movimento uniformemente variado, a velocidade

escalar varia no tempo segundo uma função do primeiro grau (v = v0 + a t) e, portanto, apresenta gráfico v x t como sendo uma reta inclinada.

Analogamente ao que ocorreu no estudo de movimento uniforme, a área compreendida entre o gráfico v x t e o eixo dos tempos expressa o deslocamento escalar ocorrido no intervalo de tempo escolhido.

Entre os instantes 0 e t, a área do trapézio destacado no gráfico acima representa o deslocamento escalar efetuado pelo M.U.V.. Podemos, para facilitar o cálculo, dividir o trapézio em um retângulo e um triângulo, de forma que, somando-se suas respectivas áreas, teremos o deslocamento .

Esta expressão horária do 2o grau, denominada função horária do deslocamento, permite calcular o deslocamento escalar ocorrido entre o instante inicial(t = 0) e um instante final (t) qualquer, bastando que se conheça a velocidade escalar inicial (v0) do móvel e a sua aceleração escalar (a).

3.8 Velocidade Escalar Média no M.U.V. Sabemos que a razão fornece a velocidade escalar média de qualquer movimento.

Entretanto, no M.U.V., ela também pode ser calculada através da média aritmética das velocidades instantâneas inicial (v0) e final (v). Observe a demonstração a seguir:

De modo geral, a velocidade escalar média no M.U.V. pode ser determinada entre dois

instantes quaisquer (t1 e t2), obtendo-se a média aritmética das velocidades escalares desses instantes (v1 e v2), ou seja:

3.9 Equação de Torricelli A equação de Torricelli é uma expressão que relaciona as três grandezas fundamentais

do M.U.V. : velocidade, aceleração e variação de espaço, independentemente do tempo. A determinação da equação de Torricelli é feita a partir da fusão das funções horárias da velocidade e do deslocamento, com a eliminação da grandeza tempo. Observe:

Substituindo esse valor de t na função horária do deslocamento, temos:

Desenvolvendo, matematicamente, a expressão acima, vem:

3.10 Função Horária do Espaço Podemos obter a relação espaço-tempo do M.U.V. por meio da função horária do

deslocamento, já demonstrada. Observe:

Portanto, todo movimento uniformemente variado possui função horária do espaço do segundo grau, sendo s0 , v0 e a/2 os coeficientes da função.

3.11 Diagrama Horário do Espaço A representação gráfica de toda função matemática do segundo grau é uma parábola.

Como a função horária do espaço do M.U.V. é do 2o grau, o gráfico s x t será parabólico.

A concavidade da parábola do gráfico s x t será voltada para cima quando a aceleração escalar do M.U.V. for positiva. Se a aceleração escalar for negativa, a concavidade da parábola será voltada para baixo.

Repare que o vértice da parábola, do gráfico s x t acima, ocorre no instante ( ti ) de inversão do sentido de movimento, que deixa de ser progressivo para ser retrógrado, ou vice-versa. Dessa forma, o instante do vértice da parábola, no gráfico s x t, sempre representa o momento em que a velocidade do móvel é nula (v = 0).

Exercícios Propostos E13Um móvel possui velocidade escalar de 5,0 m/s. Sendo acelerado durante 10 s, atinge a velocidade escalar de 25 m/s. Determine a aceleração escalar média para esse móvel.

E14Um automóvel, movimentando-se a 90 km/h, é freado e pára em 10 s. Determine a aceleração escalar média durante a frenagem.

E15Um ponto material desloca-se sobre uma trajetória retilínea obedecendo à função horária do espaço abaixo:

Classifique o movimento no instante t = 2 s, indicando se é progressivo ou retrógrado e se é acelerado ou retardado.

E16Um automóvel com velocidade escalar de 90 km/h (ou seja, 25 m/s) é freado uniformemente e pára após 10 s. Analisando esta frenagem, calcule: a) a aceleração escalar do carro; b) o seu deslocamento escalar até parar.

E17Um carro parte do repouso com uma aceleração escalar constante de 2,0 m/s2 e percorre 25 m. Nesse percurso: a) qual a velocidade escalar final atingida pelo carro? b) qual a sua velocidade escalar média?

E18A tabela a seguir fornece, em função do tempo, a velocidade escalar de uma pequena esfera que desliza ao longo de uma rampa com aceleração constante.

Pede-se: a) a aceleração escalar da esfera; b) a função horária de sua velocidade; c) o gráfico velocidade x tempo

E19Um carro parte do repouso e mantém uma aceleração escalar de 2,0 m/s2 durante 10 s. Imediatamente após ele é freado bruscamente, vindo a diminuir sua velocidade escalar a uma taxa constante de - 4,0 m/s2 até parar. a) Determine a duração total deste movimento. b) Construa os diagramas horários da velocidade e da aceleração escalares.

E20A velocidade escalar de um móvel varia com o tempo, a partir de t = 0, conforme a função:

a) Determine a sua velocidade inicial e sua aceleração escalar? b) Em que faixa de tempo o movimento é retardado?

E21A função horária do espaço de um móvel é dada por:

Determine para esse movimento: a) o espaço inicial (s0), a velocidade inicial (v0) e a aceleração escalar (a); b) a função horária de sua velocidade.

E22O gráfico abaixo representa a posição (espaço) em função do tempo para o movimento de uma partícula, que tem aceleração escalar constante.

Pede-se: a) o instante (t) em que a partícula pára; b) a sua velocidade escalar inicial (v0)0; c) a sua aceleração escalar (a); d) a função horária do espaço do móvel.

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IIInnntttrrroooddduuuçççãããooo ààà DDDiiinnnâââmmmiiicccaaa

4.1 Preliminares A Dinâmica é o ramo da Mecânica que estuda as causas do movimento de um corpo.

Estas causas estão relacionadas às forças que atuam sobre ele. Dessa maneira, o conceito de força é de fundamental importância no estudo da Dinâmica.

4.2 Conceito de Força Tomemos um corpo inicialmente em repouso. Esse corpo jamais conseguirá sair do

estado de repouso, a menos que receba a ação de uma força resultante não-nula. Um corpo sozinho não exerce força sobre si mesmo. Logo:

É importante lembrar que a grandeza física, força, é uma grandeza vetorial, isto é, para caracterizá-la precisamos definir sua intensidade (módulo), sua direção de atuação e seu sentido.

Quando assinalamos uma força (F) num corpo, usando um vetor (seta), queremos

simbolizar a ação que ele está sofrendo de um outro corpo. Logo, o número de forças que um corpo recebe está associado ao número de interações das quais ele participa.

4.3 Efeitos de Forças Podemos reconhecer a existência de forças pelos efeitos que produzem quando

aplicadas a um corpo. 1. Deformação

A deformação é um dos efeitos causados pela força. Por exemplo, quando você chuta uma bola, no ponto de contato entre o pé e a bola ocorre uma deformação.

2. Alteração de Velocidade

Outro efeito que a força pode produzir no corpo é a alteração de sua velocidade, que consiste num aumento ou numa diminuição do módulo da velocidade, ou alteração da direção da velocidade. No exemplo acima, além do pé do jogador deformar a bola, simultaneamente seu chute altera a velocidade da bola. 3. Equilíbrio

O equilíbrio é outro efeito causado pela força. Por exemplo, você prende um corpo através de um fio num suporte. A força do fio no corpo produz um equilíbrio, evitando que ele caia pela ação da gravidade terrestre.

4. Medida de Forças

A intensidade de uma força pode ser medida através de um aparelho denominado dinamômetro.

O dinamômetro é um instrumento constituído de uma mola que se deforma quando recebe a ação de uma força. Logo, para cada deformação produzida, temos o dispositivo indicando a intensidade da força aplicada.

No SI, a unidade de medida de força é o newton (N). Eventualmente pode-se utilizar a unidade prática quilograma-força (kgf), sendo que 1 kgf = 9,8 N.

5. Tipos de Forças

As forças trocadas entre os corpos podem ser de contato ou de campo (ação à distância). Destacamos, a seguir, as orientações (direção e sentido) de algumas dessas forças que usaremos na Dinâmica. 5.1 Força Peso

Denomina-se força peso a força de campo gravitacional que a Terra exerce sobre qualquer objeto colocado próximo à sua superfície. Ela tem direção vertical e sentido para baixo.

5.2 Força de Tração

É a força de contato aplicada por um fio (ou eventualmente por uma barra) sobre um

corpo. A força de tração tem a direção do fio e sentido de puxar.

5.3 Força Normal

A força de reação normal de apoio, ou simplesmente força normal , é a força de empurrão que uma superfície exerce sobre um corpo nela apoiado. Quando um bloco (um livro, por exemplo) encontra-se em repouso sobre uma mesa, ele recebe da mesa uma força de compressão que impede a sua penetração sobre ela devido à ação da força peso.

A força normal tem direção perpendicular às superfícies de contato e sentido de empurrar. 5.4 Força de Atrito

Quando se lança um corpo sobre uma mesa comum horizontal, ele pára após percorrer uma certa distância. Isso significa que houve uma resistência ao seu movimento. Essa resistência altera a velocidade do corpo e é, portanto, medida por uma força.

Essa força de contato motivada por asperezas superficiais recebe o nome de força de

atrito .

Tal força de atrito é paralela às superfícies de contato e se opõe ao deslizamento

relativo ou à tendência de escorregamento. 6. Resultante das Forças

Na maioria das situações práticas, o corpo em estudo fica sujeito a várias forças que agem simultaneamente: um carro movimenta-se numa estrada; um lustre preso ao teto através de correntes, etc. Normalmente, é possível substituir todas as forças aplicadas por uma única,

chamada de resultante das forças ou força resultante , cuja característica principal é a de produzir o mesmo efeito que todas as forças juntas. Devemos tomar muito cuidado com a resultante, porque ela não é uma força aplicada no corpo e sim a que substitui as forças atuantes. Quando não-nula, a força resultante produz variações na velocidade do corpo.

Se n forças agem simultaneamente sobre um objeto, podemos obter a resultante das forças através da adição vetorial das n forças aplicadas. Assim temos:

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AAAsss LLLeeeiiisss dddeee NNNeeewwwtttooonnn

5.1 Primeira Lei de Newton 1. Introdução

Durante séculos, o estudo do movimento e suas causas tornou-se o tema central da filosofia natural. Entretanto, somente na época de Galileo e Newton foi realizado extraordinário progresso na solução do mesmo.

Galileu Galilei Isaac Newton

O inglês Isaac Newton (1642-1727), nascido no natal do ano da morte de Galileu, foi o

principal arquiteto da Mecânica clássica. Ele conseguiu sintetizar as idéias de Galileu e de outros que o precederam, reunindo-as em três leis, publicadas pela primeira vez em 1686, no livro Principia Mathematica Philosophiae Naturalis. Para que possamos entender a essência de tais leis, necessitamos antes apresentar algumas idéias de Galileu sobre o movimento. 2. Conceito de Inércia

Antes de Galileo, a maioria dos pensadores acreditava que um corpo em movimento encontraria-se num estado forçado, enquanto que o repouso seria o seu estado natural.

A experiência diária parece confirmar essa afirmativa. Quando depositamos um livro sobre uma mesa é fácil constatar seu estado natural de repouso. Se colocarmos o livro em movimento, dando-lhe apenas um rápido empurrão, notamos que ele não irá se mover indefinidamente: o livro deslizará sobre a mesa até parar. Ou seja, é fácil observar que cessada a força de empurrão da mão, o livro retorna ao seu estado natural de repouso. Logo, para que o livro mantenha-se em movimento retilíneo uniforme é necessária a ação contínua de uma força de empurrão.

Galileu, entretanto, foi contra essa idéia de movimento ser um estado necessariamente forçado, argumentando que o livro só interrompeu seu deslizamento (vindo a parar) em razão da existência de atrito com a mesa. Isto é, se lançássemos o livro sobre uma mesa menos áspera, haveria menos resistência ao seu deslizamento. Se o seu lançamento ocorresse sobre uma mesa perfeitamente polida, livre de atritos, o livro manter-se-ia em movimento retilíneo uniforme indefinidamente, sem a necessidade de estar sendo continuamente empurrado.

Em virtude disso, Galileu conclui ser uma tendência natural dos corpos a manutenção de seu estado de repouso ou de seu estado de movimento retilíneo uniforme, promovendo aos corpos uma propriedade denominada inércia.

Assim, todo corpo em repouso tende a permanecer em repouso e todo corpo em movimento tende a permanecer em movimento retilíneo uniforme. No cotidiano, notamos essas tendências ao observarmos uma pessoa de pé no interior de um ônibus. Quando o ônibus arranca, o passageiro por inércia tende a permanecer em repouso em relação ao solo terrestre. Como o ônibus vai para frente, a pessoa que não estava se segurando cai para trás no ônibus.

Agora, se o ônibus estivesse em movimento e de repente freasse, a pessoa cairia para frente. Graças à inércia, o passageiro exibe, nesse caso, sua vontade de continuar em movimento em relação ao solo terrestre: o ônibus pára, o passageiro não.

Logo, o cinto de segurança nos automóveis tem a função de proteger o passageiro da inércia de seu movimento, no caso de uma freada brusca ou colisão. 3. Princípio da Inércia ou Primeira Lei de Newton

Sintetizando a idéia de inércia de Galileo, Newton enunciou sua primeira lei nestas palavras:

Tradução do Principia.

Notamos, no enunciado acima, a clara intensão de se definir força como o agente que

altera a velocidade do corpo, vencendo assim a inércia (tendência natural de manter velocidade). Podemos concluir, então, que um corpo livre de ação de forças, ou com resultante de forças nula, conservará (por inércia) sua velocidade constante. Ou seja:

Em resumo, podemos esquematizar o princípio da inércia assim:

4. Referencial Inercial Sistema de referência inercial é aquele relativo ao qual um corpo permanece em

repouso ou em movimento retilíneo uniforme, quando nenhuma força (ou resultante) atua sobre ele. Isto é, um referencial inercial é aquele em que a primeira lei de Newton descreve corretamente o movimento de um corpo em equilíbrio.

Normalmente, adota-se como sistema de referência inercial todo sistema de referência em repouso ou em translação retilínea e uniforme em relação às estrelas fixas, que são estrelas que aparentam manter fixas suas posições no céu após muitos séculos de observações astronômicas.

Para a grande parte dos problemas de Dinâmica, envolvendo movimentos de curta duração na superfície terrestre, podemos considerar um sistema de referência fixo na superfície da Terra como inercial. Muito embora, a Terra não seja um perfeito referencial inercial por causa da sua rotação e translação curvilínea. Quando um ônibus arranca, freia ou executa uma curva, ele possui aceleração em relação ao solo. Nessas situações, os passageiros não podem justificar seus comportamentos pela Dinâmica newtoniana, quando tomam o ônibus como referencial. Em tais casos, cada passageiro deve ter seu movimento analisado em relação ao solo terrestre (referencial inercial).

5.2 Segunda Lei de Newton 1. Introdução

De acordo com o princípio da inércia, se a resultante de forças atuantes num corpo for nula, o corpo consegue manter, por inércia, sua velocidade constante, ou seja, não possui aceleração. Logo, força consiste num agente físico capaz de produzir aceleração, alterando o estado de repouso ou de movimento dos corpos. 2. Princípio Fundamental ou Segunda Lei de Newton

Quando uma força resultante está presente em uma partícula, esta adquire uma

aceleração na mesma direção e sentido da força, segundo um referencial inercial.

A relação, nesse caso, entre a causa (força resultante) e o efeito (aceleração adquirida) constitui o objetivo principal da segunda lei de Newton, cujo enunciado pode ser simplificado assim:

Isso significa que, sendo a massa do corpo constante, a força resultante e a aceleração produzida possuem intensidades diretamente proporcionais. Ou seja, quanto mais intensa for a força resultante, maior será a aceleração adquirida pelo corpo.

Logo, a relação entre as intensidades de e constitui uma função linear, onde a

massa (constante) corresponde à declividade (tg ) da semi-reta do gráfico . 3. Massa – Medida da Inércia

Os gráficos abaixo representam a relação força resultante x aceleração adquirida para dois corpos A e B de massas diferentes (gráficos com declividades diferentes).

Observe que, para um mesmo valor (F) de força resultante, a intensidade da aceleração adquirida pelo corpo A é menor que a adquirida por B, ou seja, o corpo A tende a variar menos a sua velocidade que B. Isso evidencia que o corpo A oferece maior resistência à alteração de sua velocidade, isto é, o corpo A possui maior inércia. A partir do gráfico acima,temos:

Portanto, a massa de um corpo deve ser vista como uma propriedade da matéria que indica a resistência do corpo à alteração de sua velocidade, ou seja, a massa mede a sua inércia. 4. Unidades de Medida

A unidade de massa no Sistema Internacional (SI) é o quilograma (kg), padrão definido por um cilindro de platina conservado no museu de Sèvres, em Paris. Podemos definir a unidade de força newton (N) pela segunda lei de Newton, relacionando-a com as unidades internacionais de massa e aceleração. Observe: • unidade de massa u(m) = kg

• unidade de aceleração • u(F) = u(m) :

u Ou seja:

5.3 Terceira Lei de Newton 1. Introdução

Sabemos que força é fruto da interação, ou seja, uma força atuante em um corpo representa a ação que este corpo recebe de um outro corpo. Isaac Newton percebeu que toda ação estava associada a uma reação, de forma que, numa interação, enquanto o primeiro corpo exerce força sobre o outro, também o segundo exerce força sobre o primeiro. Assim, em toda interação teríamos o nascimento de um par de forças: o par ação-reação. 2. Lei da Ação e Reação

O Princípio da Ação e Reação constitui a Terceira Lei de Newton e pode ser enunciado assim:

Se um corpo A aplicar uma força sobre um corpo B, receberá deste uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto à força que aplicou em B.

Podemos observar essa troca de forças entre dois corpos, por exemplo, na colisão

abaixo.

A força que A exerce em B ( ) e a correspondente força que B exerce em A ( ) constituem o par ação-reação dessa interação de contato (colisão). Essas forças possuem mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos.

Ou seja:

Ao aplicarmos a terceira lei de Newton, não podemos esquecer que as forças de ação e reação: a) estão associadas a uma única interação, ou seja, correspondem às forças trocadas entre apenas dois corpos; b) têm sempre a mesma natureza (ambas de contato ou ambas de campo), logo, possuem o mesmo nome (o nome da interação); c) atuam sempre em corpos diferentes, logo, não se equilibram. 3. Exemplos de Interações

Observe a seguir os pares ação-reação de algumas básicas interações de campo e de contato. 3.1 Interações de campo

3.2. Interações de contato

Exercícios Propostos E24Sobre um corpo de dimensões desprezíveis, atuam duas forças, cujas intensidades são:F1 = 8,0 N e F2 = 6,0. Entre quais valores se situa a intensidade da força resultante?

E25Uma partícula encontra-se sob a ação exclusiva de três forças, como indica a figura em escala. Qual a intensidade, a direção e o sentido da resultante dessas forças atuantes?

E26Um automóvel faz uma curva. Existe força resultante agindo nele?

E27Um bloco, depositado sobre um plano inclinado, permanece em repouso como ilustra a figura.

a) Usando vetores, indique as orientações das forças peso, normal e atrito atuantes no bloco. b) O que se pode afirmar sobre a resultante das forças que atuam no bloco?

E28O filósofo grego Aristóteles (384 a.C.- 322 a.C.) afirmava aos seus discípulos: “Para manter um corpo em movimento, é necessário a ação contínua de uma força sobre ele.” Esta proposição é verdadeira ou falsa?

E29É correto afirmar que os planetas mantêm seus movimentos orbitais por inércia?

E30Um elevador de um prédio de apartamentos encontra-se, durante um certo tempo, sob a ação exclusiva de duas forças opostas: o peso e a tração do cabo, ambas de intensidade igual a 2 000 N. O elevador está parado?

E31Observe a figura a seguir.

Sobre uma mesa horizontal lisa, uma esfera deixa de executar seu movimento circular

uniforme e sai tangente à curva, após o rompimento do fio que garantia sua circulação. Qual o tipo de movimento que a esfera realiza após o rompimento do fio? Justifique.

E32O diagrama a seguir mostra a variação do módulo da aceleração de duas partículas A e B em função da intensidade da força resultante (FR) sobre elas.

Calcule a massa de cada partícula.

E33O esquema abaixo mostra uma partícula de massa 2,0 kg sujeita à ação exclusiva de duas forças perpendiculares entre si, cujos módulos são: F1 = 6,0 N e F2 = 8,0 N. a) Qual o módulo da aceleração da partícula? b) Orientando-se convenientemente tais forças, qual o módulo da maior aceleração que a resultante dessas forças poderia produzir na partícula?

E34Uma bola de peso igual a 1 N encontra-se em repouso, suspensa através de um fio ao teto

de uma sala. Considere que ela esteja sujeita a ação exclusiva de seu peso ( ) e da força de

tração do fio ( ), como ilustra o esquema ao lado.

a) Qual o módulo da força de tração?

b) As forças e constituem um par ação-reação?

E35A figura a seguir mostra uma caixa de massa 50 kg sendo erguida verticalmente, com aceleração ascendente de 1,0 m/s2, por um elevador de um prédio. Adote g = 10 m/s2.

a) Quais as intensidades das forças atuantes na caixa durante sua elevação ? b) Qual a intensidade da força exercida pela caixa sobre o piso do elevador?