Resumo2

MA12 - Unidade 2Numeros Cardinais

Paulo Cezar Pinto Carvalho

PROFMAT - SBM

February 25, 2013

Introducao

A importancia dos numeros naturais provem do fato de queeles constituem o modelo matematico que torna possıvel oprocesso de contagem.

Para contar os elementos de um conjunto e necessario usar anocao de correspondencia biunıvoca, ou bijecao, que e umcaso particular do conceito de funcao.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 2 ,Numeros Cardinais slide 2/12

Funcoes

Dados os conjuntos X , Y , uma funcao f : X → Y (le-se“uma funcao de X em Y ”) e uma regra (ou conjunto deinstrucoes) que diz como associar a cada elemento x ∈ X umelemento y = f (x) ∈ Y .

O conjunto X chama-se o domınio e Y e o contra-domınio dafuncao f .

Para cada x ∈ X , o elemento f (x) ∈ Y chama-se a imagemde x pela funcao f , ou o valor assumido pela funcao f noponto x ∈ X . Escreve-se x 7→ f (x) para indicar que ftransforma (ou leva) x em f (x)


Exemplos

Sejam X o conjunto dos triangulos do plano Π e R o conjuntodos numeros reais (que abordaremos logo mais). Se, a cadat ∈ X , fizermos corresponder o numero real f (t) = area dotriangulo t, obteremos uma funcao f : X → R.

Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano Π e ∆ oconjunto das retas desse mesmo plano. A regra que associa acada segmento AB ∈ S sua mediatriz g(AB) define umafuncao g : S → ∆.

A correspondencia que associa a cada numero natural n seusucessor n + 1 define uma funcao s : N→ N, coms(n) = n + 1.


Funcoes Injetivas

Uma funcao f : X → Y chama-se injetiva quando elementosdiferentes em X sao transformados por f em elementosdiferentes em Y . Ou seja, f e injetiva quando x 6= x ′ emX ⇒ f (x) 6= f (x ′).

Esta condicao pode tambem ser expressa em sua formacontrapositiva:

f (x) = f (x ′) ⇒ x = x ′.

Nos tres exemplos dados anteriormente, apenas o terceiro e deuma funcao injetiva. (Dois triangulos diferentes podem ter amesma area e dois segmentos distintos podem ter a mesmamediatriz mas numeros naturais diferentes tem sucessoresdiferentes.)


Funcoes Sobrejetivas

Diz-se que uma funcao f : X → Y e sobrejetiva quando, paraqualquer elemento y ∈ Y , pode-se encontrar (pelo menos) umelemento x ∈ X tal que f (x) = y .

Nos tres exemplos dados anteriormente, apenas o segundoapresenta uma funcao sobrejetiva. (Toda reta do plano emediatriz de algum segmento mas apenas os numeros reaispositivos podem ser areas de triangulos e o numero 1 nao esucessor de numero natural algum.)


Bijecoes

Uma funcao f : X → Y chama-se uma bijecao, ou umacorrespondencia biunıvoca entre X e Y quando e ao mesmotempo injetiva e sobrejetiva.

Exemplo. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {2, 4, 6, 8, 10}.Definindo f : X → Y pela regra f (n) = 2n, temos umacorrespondencia biunıvoca, onde f (1) = 2, f (2) = 4,f (3) = 6, f (4) = 8 e f (5) = 10.

Exemplo. Seja P o conjunto dos numeros naturais pares(P = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}). Obtem-se uma correspondenciabiunıvoca f : N→ P pondo-se f (n) = 2n para todo n ∈ N. Ointeressante deste exemplo e que P e um subconjunto propriode N.


Numeros Cardinais

Diz-se que dois conjuntos X e Y tem o mesmo numerocardinal quando se pode definir uma correspondenciabiunıvoca f : X → Y .

Nos dois exemplos do slide anterior, os conjuntos tem omesmo numero cardinal.

Exemplo Sejam X = {1} e Y = {1, 2}. Evidentementenao pode existir uma correspondencia biunıvoca f : X → Y ,portanto X e Y nao tem o mesmo numero cardinal.


Conjuntos Finitos

Seja X um conjunto. Diz-se que X e finito, e que X tem nelementos quando se pode estabelecer uma correspondenciabiunıvoca f : In → X , onde In o conjunto dos numerosnaturais de 1 ate n.

O numero natural n chama-se entao o numero cardinal doconjunto X ou, simplesmente, o numero de elementos de X .A correspondencia f : In → X chama-se uma contagem doselementos de X .

A fim de evitar excecoes, admite-se ainda incluir o conjuntovazio ∅ entre os conjuntos finitos e diz-se que ∅ tem zeroelementos.


Conjuntos Infinitos

Diz-se que um conjunto X e infinito quando ele nao e finito.Isto quer dizer que X nao e vazio e que, nao importa qual sejan ∈ N , nao existe correspondencia biunıvoca f : In → X .

O conjunto N dos numeros naturais e infinito. Com efeito,dada qualquer funcao f : In → N , nao importa qual n sefixou, pomos k = f (1) + f (2) + · · ·+ f (n) e vemos que, paratodo x ∈ In, tem-se f (x) < k , logo nao existe x ∈ In tal quef (x) = k . Assim, e impossıvel cumprir a condicao desobrejetividade na definicao de correspondencia biunıvoca.


Propriedades dos numeros cardinais

1 O numero de elementos de um conjunto finito e o mesmo,seja qual for a contagem que se adote. Isto significa que sef : Im → X e g : In → X sao correspondencias biunıvocasentao m = n.

2 Todo subconjunto Y de um conjunto finito X e finito en(Y ) ≤ n(X ). Tem-se n(Y ) = n(X ) somente quando Y = X .

3 Se X e Y sao finitos entao X ∪ Y e finito e tem-sen(X ∪ Y ) = n(X ) + n(Y )− n(X ∩ Y ) .

4 Sejam X , Y conjuntos finitos. Se n(X ) > n(Y ), nenhumafuncao f : X → Y e injetiva e nenhuma funcao g : Y → X esobrejetiva.

A primeira parte da propriedade 4 e conhecida como oprincıpio das casas de pombos: se ha mais pombos do quecasas num pombal, qualquer modo de alojar os pombosdevera colocar pelo menos dois deles na mesma casa.


Uma Aplicacao do Princıpio da Casa dos Pombos

Provar que, numa reuniao com n pessoas (n ≥ 2), ha sempreduas pessoas (pelo menos) que tem o mesmo numero deamigos naquele grupo.

Imaginemos n caixas, numeradas com 0, 1, . . . , n − 1. A cadauma das n pessoas entregamos um cartao que pedimos paradepositar na caixa correspondente ao numero de amigos queela tem naquele grupo. As caixas de numeros 0 e n − 1 naopodem ambas receber cartoes pois se houver alguem que naotem amigos ali, nenhum dos presentes pode ser amigo detodos, e vice-versa. Portanto temos, na realidade, n cartoespara serem depositados em n − 1 caixas. Pelo princıpio dasgavetas, pelo menos uma das caixas vai receber dois ou maiscartoes. Isto significa que duas ou mais pessoas ali tem omesmo numero de amigos entre os presentes.


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