"ESTABILIDADE ABSOLUTA DOS PÉTCOOS LINEARES

DE PASSO PRiLTIPLO PARA DQUAÇOES INTEGRAIS

DE VOLTERRA DE SEGUNDA ESPÉCIE"

reuRfuo emanem

ORIENTADOR% Dr. JOSÉ ALBERTO CUNINATO

Dissertação apresentada ao Instituto de

Ciências Matemáticas de São Carlos da

Universidade de São Paulo para obtenção

do titulo de Mestre em Ciências de

Conputação e Matemática Conputacional.

são CARLOS - 1989

Aos meus pais, Maria José e Armando, e a minha esposa Inês

no Professor Dr. José Alberto Cuninato por sua orientação

dedicada. segura e siupátioa dwante todo o periodo de preparação deste'hªabalho.

'

Aos colegas do DADE e do Departamto de Dhtenátice do

IBIUZE— , em especial às Professoras Aldenioe &ito Pereirª e ElianeXavier Linhares de Made, pela colaboração e incentivo.

nos Mfessores Alaoaoom Sri llama. Célia [brie Finazzi de

Wade, l'hrielza Jorge Fªvaro e hide Maria &rtoldi Warm do Demrtauento

de Cmmxteção e Estatística do temo-usp. pelos enslmuentos, colaboração eincentivos.

Aos amigos [Eloisa lblem Mªrino da Silva e Paulo Fernando de

Arruda Moore, colegas de curso.mas professores, funcionários e colegas do ICIBC-IBP. pela

colaboração, uti-Ilo e mui-aids“)..

A Maria lbêmia “tamnho. por certamente ter colaborado na

revisão de parte da redação deste Trabalh-às entidªdes CAPES e CNPq. pelo auxílio recebido.

às entidades CNPq e “IPESP, pelo ajmla ao IBILCE—UIEP na

obtenção de equipamtos. dos mais na beneHoiei.

GLOSSitRIO

Co 1

e : representa o espaço das sequências (as)0 tal que (

e° OD : representa o espaço das sequências (ao)45 tal que ianI ( C, vn > 0.

Co : representa o espaço das sequéncias (ao) tal que liman = 0., C 11-11»

L1(0,00) : representa o espaço das funçOes contínuas a: R e tal que

1:01a(5) 1d5 ( CO.

• : indica final de demonstração

: Indica qualquer que seja.

: representa a operação de commolução para sequênclas e funçries:

- conuolução de funçaes

c(t) = (a*b)(t) = a(t-s)b(s)ds, v t > O. 14 e

- conuolução de sequèncias n

cn = (age")) = a .b., Nr n > 0. n L ii=0

The main purpose of this mork is to shym that linear multistep

methods for Ordinary Differential Equations way be transfornmd into qmadrature

rules and hum the stability properties of such nethods is oarried over to the

context of ~Primai solution of Volterra Integral Equations. It is algo

shomm that difficulties arise when %e try to extended the class of test

problems.

ÍIDICE

Mim O - mmm

CRPÍ'NLD ! -mmmmmmLl. Considerações iniciais1.2. Teoreua da &istêmia & Ihicidade de Salmão

1.3. Teorem de Inversão de Hierar—

l.4. Teorem de Hausdorff

1.4.1. massas de aviação limitada

1.4.2. Seqxêmias de mantos?

1.4.3. Menu de Banida—N'

WÍWZ-IMWÃOMMMIM2.1. Solidão por regra: de madi—nto"

2.2. Solução por regras de madi-atuªl nominais

mim 3 -mmm PARA Am um3.1. Gamito de Estabilidade ªbsoluta3.2. Analise da estabilidade de alguns uétodos

3.2.1. Regra do trapézio repetida3.2.2. Regra de Simeon repetida & trapézio3.2.3. Regra do trapézio com-regra de Simson repetidª3.2.4. Regra de Simm repetida com regra de Simson 3/8

3.2.5. hora de Simeon 3/8 repetida com regra de Simeon

884»

8

37

56

61

61

62

63

64

65

3.3. Definição: . "tunados sobre “nulidade absolute 65

cárimc—mmsmnanEmmsmummmmum 73

(.1. Considerações iniciais_

73

4.2. Versão discreta do tmn de Paley—Uiemr ??

4.3. Resultados sobre estabilidade dos “todos lineares de passo uúitiplo 88

4.4. Sistemas de ªtuações Integrais de Volterra de segunda espécie 101

CAPITULO 5 -mmMICE 116

5.1. Considerações iniciais 116

5.2. Aplicação do método de Simson * 118

5.3. Aplicação do uétodo de Mans-Bashforth de 2 passos 120

5.4. Aplicªção do uétodo de Mam—muito:; de 3 passos 122

Wins BIB.!MICQS _ 124

Cªlmº

O objetivo deste trabalho & Ilustrar qm os u'étodos limares de

passo m'xltiplo. para :: tratanEnto de Problem de Valor Inicial de Ehuaoões

Diferenciais Chlinárias, podem ser transformados em regras de quadratura, ecom: as propriedades de estabilidade de tais uétodos se tradtmem em

estabilidade no contexto de salmão mmérica de Extinções Integrais de

Volterra. Também, mostrar as dificuldades decorrentes da tentativa de

generalização da classe de problems testes.A salmão usuários de una equação integral de Valter-ra de

segunda espécie, da torna:

,um . gm + B(t,s,y(s))ds (t ; o ),o

pode ser emontrada por métodos diretos. aqueles que são obtidos aproxinando o

term integral por alguma regra de qmdràttra; e por uétodos de qmdraturaredutiueis, (IEE são obtidos de nétodos lineares de passo ul'iltiplo para o

tratamto de Problenas de Valor Inicial de Extinções Diferemias Minérias.Antes de aplicamos um método matéria:: a una eqmção integral.

devems ms certificar de me e salmão da equação diseretizada couporta—se

emm a solução do problem original. En particular. desejams saber se a

salmão mmérica merge para zero ou permanece limitada se a solução exata

tubi— apresente o um mta—nto. Portanto. se faz necessário o

desamlvimnto da teoria th atenuante muit—lca dos útodos de

discretização. Essa tem-ia aplica-se. em geral, pura classes especiais de

equações testes. Este cama. mito estuvo tem sido dispeulido sobre a“equação teste básica":

Y(t) : y0 + ). y(s)ds ( Reº.) ( 0 ),O

qm se reduz & equç'ão diferemial ordinária:

y' = XY. viº) = 70'

É natural me, equações que se reduzem a eqxaç'ões diferenciasordinárias sejam prºpostas, una vez qm estas são casos especiais das eqmoões

integrais de Volterra.Ein aplicaçõee, freqtenteuente emontrams eqmç'ães integrais do

tipo mlm'ão:

y(t) = g(t) + K(t-s)f(s.y(s))ds ( t a o ).o

Na análise da estabilidade. a seguir, consider—arenas o caso limar:

y(t) = g(t) + rX(t—s)y(s)ds ( t 2 O ).º.

ªplicado um método linear de passo núltiplo (pm), chamda nétodo

(pm)—redutiual, para a equação linear acima. obtems una equação linear

-:"-

discreta de mluão:

::

ynnanhEU'rãKmJyj (uzº).3—9

Nosso objetivo é a análise da estabilidade dessa equação.

Este trabalha está organizado da seguinte mira:lb Capitulo 1 apresentams os tipos básicos de equações

integrais de Volterra, condições de existência e unicidade de salmão paraeqmoões lineares de seguida espécie, os teorems de imersão de Eliezer e de

Hausdorff que serão utilizados em capítulos posteriores, na demostração de

resultados iuportantes.lb Capitulo 2 descrevemos resumidamnte os nétodos de quadratura

e mstranos com se obtém nétodos (p,a)-redutiueis, para eqmções integraisde Volterra de segunda espécie. «estrado tanbem qm esses uétodos são

adeqmdos ao tratamento de eqmoões integrais.lb Capitulo 3 fazems um breve hitórioo sobre o omneito de

estabilidade absoluta e me análise da leslla para a eqmção teste básica.

lb Capitulo 4 apresentamos a versão disoreta de resultados sobre

o mtauento assintótica da salmão de equações integrais de Volterra de

tipo convenção, resultados sobre estabilidade absoluta dos uétodos limar-es

de passo uúltiplo para eqmo'ões integrais de Volterra de seguida espécie eextensão dos resultados apresentados ms itens anteriores para sistemas de

eqmções integrais de Volterra.

Finaluente, no capítulo 5 mstrams resultados mmérioos obtidosda aplicação de uétodos limar-es de passo núltiplo à um equação integral de

Volterra de seguia espécie com m'nleo de oomoliráo.

-III-

BBULWMIRIM

1.1.“Iª INICIAIS

A: mangª» Integral: de Voltma são classificadas em eqmções

de prive!" espécie,

[Uhuyhndl . g(t), 0 $ t S T. (1.1.1)O

de sequda espécie,

yu) - [Run,yunds :- 9%), O S t 5 'I', (1.1.2)O

e equações de terceira espécie,

novu) — run,..ymms - g(t), o s t 5 'r. (1.1.3)

Nas eqmo'ões (1.1.1), (1.1.2) e (1.1.3). as funções K. o e € são ”úmidas e

a unção y deve ser determinada (ref. [ERM-061).O presente trabalho está voltado principalmente pªra & unilise

_;—

dos proprieduln de utnbllldnde du mações Integrou leres de Volta:—ru

de sequlla espécie, isto é. as unção: de tm:

0

oxide T é um constante fixa;

y : [0,1'] 4 R", é : facão imóqnita;

g : [O,T] 4IR'". é um função contínua e

K(t,s)ém£moãooontimnpar30$ssts'f.

A função K(t,s) é chamda “leo. Se K(t.s) puler ser expressana forn- K(t,s) :: I(t—s). então direms qm a eqmçio é do tipo conmltç'ão.

lbste capitulo mtf—arenas três multados importantes qm serão

utilizados posterimºlente. O priueiro resultado é o morena de Existência eUnioidlde de Soluão dasMs Integrais Lineares de Volterra de Segall:Espioie, um &» essemial por: o russo trabalho. O agindo e o horu- de

Inversão de "191211 tal teore— será utilizado na “atração de ima-tantesresult—los. Final—nte. o tcu—oem: resultado 6 om de (Wi,referente & seqú'noias de muentos.

lv1.2. mama na Dªmn! E “ICM na ªºWIDE nesta seção que me equação satisfazeulo as audições

da eqmção (1.1.4) admite une única solução. Para tal precisamos dos

seguintes resultados auxiliares:

mn 1.2.1. (lutª—701)

Se um uqúmia de tmoõu inteqrâwh rn : tmb) «» Iªme:mirar—unte pura a— tmoãa !“ : tab] 4 R”, catia ! é intnqráwl e vale:

fund. - lim rinukh. .ª H .;

A prova deste teonena pode ser imm:-ada em tum—701.

0 próxima resultado é múmia: emu ksiqmldade demu.

Lm 1.2.1. ([m-831)Sejam (.o : [C,T] 4 to,») tações contínuas 'e seja c na

constante não negativa. Se

f(t) 5 º + [gnv“:-nds, 0 5 1: $ ”l',

o.

então

f(t) £ o.oxp( rºu“, ), 0 s t 5 T. .O

a demnstração deste lena pode ser mtx-ada em [mm-83]lbstrareuns agora o teorelm que garante a existência e a

unicidade da salmão, da eqmç'ão integral (1.1.4).

Sedan o: [O.a) 4 |!“ e l: 9 4 d'um" funções continuas, arde

O(asoo, Gangs). O s : 5 t 5 T) e'!“ ( ». 8e—0(T(a, entãoaeqmoão:

yu) : g(t) + K(t,s)y(s)ds,0

aduúte uma ímica solução y(t) em [0,1'].

Definimos una seqxêmia de funções ( yn(t) ) em [C,T] por

yl“) : gm,(1.2.1)

yºu“) = g(t) + K(t,s)yn(s)ds, n 2 1.0

Sejam L = nx |g(t)| e H : nx |X(t,s)|.OátST OSISÍST

Con5iderems & série:

N

ylm +; (yºu“) - yn(t)), (1.2.2)n=0

e observe qm sms salles parciais satisfªzem:

nonu) - ylm 42 (y."(t) — ”n“” . ymlm.

lll

ªbstratº-runs agora. por mamão, qm:

um"n.| Vau“) — yn(t)| s . (1.2.3)

Para n = 1 em (1.2.1), tem»:

IV;“) — Ylºt'l = [qm + Rtt,s)yl(s)ds — qmlo

= | fumaça)“ | ; rumª” |g(s)|ds soO

SUR,

assim, matt—ams me (1.2.3) é válido para n = 1. açorda ngm-a qm (1.2.3)

seja válido por. n = ll, isto é,

I:um»l'un") ' Yun" 5 "“Tu—— '

prata:—eme; me taubémé válido para n = R + 1, ou seja,

|yk+2(t)-yk+l(t) [= [g(t“riu,swim(s)d61(t)-rl(t,s)yk(s)ds|O O

.| RH:,sHykuu) - yum» las

: |! “anº” - yªh)“:lt

5 " LUIS)ºi.. umª”*T—T'un. '

nSegue assim qm cada term da série (1.2.2) é mjorada por ªi,—:T)— , o qtnl éum tema da série de Taylor de um que emular—ge uniforme e absolutluente em

[O.T]. Assim, a série (1.2.2) é mifornemnte oonquente em [C,T], isto é,

(t)—yk(t)) : y(t).MSlim Yuu“) : yl“) +true R=l

(Yuu

Nº".

ylt) : lin y (t) : g(t) + lil: K(t,s)y (Nds.ml !:n-m n-m 0

Pelomn l.2.l.,

y(t) : o(t) * lim K(t.5)yn(s)ds0

: g(t) + K(t,s)y(s)ds.0

Portanto, 70.) é um canção de (1.1.4).

. Para mºstrar qm y(t) é : (mica salmão de (1.1.l).ms swqm existiu: duas, y(t) e ztt) definidas em (0,7). Butão, de (1.1.4) obtms:

ytt) -— Mt) .. r8(t,s)(y(s) - MSN:“.0

Assim,

|y(t) — z(t)| s " |y(5) — z(s)|ds,o

que está na toma da desigualdade de Q'onvall (m 1.2.1.) com c = O.

Conseqtentenente, |y(t) - z(t)| $ oem : 0.

Portªnto, & salmão é (mica. .

1.3. mmm mumiommm

O Teor-eua de Diem:- é un resultado sobre séries de Ebm—ie:—

absolutanente convergente. Para deumstrá—lo precisams de alguns resultados

preliminares sobre esse assunto. Para isso; consideremºs um função contínua

f(t) com série de Faria—:

&

f(t) =2 anel“, no intervalo to. 2111,'

n=0 '

arde cada coeficiente ºn é determinado pela seguinte expressão: '

loso —— Ns).— dn."!

:; twin g(u) . —l——- rush—mªd: & Meola com21! -R

transformada de Mier da função £, na ponta u. Com podemºs obserw

ºn =X!” g(n).

mmª” 1.3. 1

Se 2 'eu' =; c ( oo, então diz—ema que f(t) tem !érie de Mie:—n=0

absolutamnte convergente, chanarenos de A a classe de tais frações &

colocar—mms: C = RCD.

Para a classe das Emo?-'as com série de ibm—ler absolutauexnte

mm:-gente tm os seguintes resultados:

mn 1.3.1. ((mm—331)Se f(t) e g(t) E A, então f(t) + o(t) & A e f(t)q(t) E A e:

1) eu + g) 5 Mt) + Mg);

2) A““.g) $ [HÉLIKgL

d .lnt _nMª

”Sejam f(t) .; ocª“ e g(t) .

:) ou + 0) .E lªn + anl 52 lan] +; Ian . em + Mg).nao nao

” n '“ N2) A(f.g1-2|2CÍWJJI E E IdrjlloJI-z lºjlê Iª _Jl

nao sao nªbº J=º nªº

Ollie considerams dn—J : O para n-j ( 0. Logo.

A““.q) $ Ai!“).áªtq). .

Voltarems agora às funções com série de Fburier absolutamteemular—gente. mude :) term oº exceda & sana dos nódulos de todos os outrosterms. his facões nuvem de u— função arbitrária com série de Fourierabsolutamntemute sanada & um constante suticientemnte grande.

um 1 .3.2. ((mm-331)

SeNt) & ne emas > Lau) então -ª—-ea.f(t)—n

Prova :

D _ ”Pm— hipótese, f(t) =2 anemt com ; Ion] = em < eo.

usoLºcº.

. : , 1 ]. no ºf(t) aº 1 +: n eim:

n:! 0

ao o ao º 2

. ""-l l "' 2 “.“—'n Cmt * 2 n .int "' ou: .:: ºo ªo0 ml 1

Usando o mn l.3.l., tem qm:” º ” º 2

1 1 n nª(f351—r[1+2 52 +...]º º ºº O ºn:! 1

l 1 !

=Iº| ” º = ” B

0 n1—1: |o|-£Icln-l ªo 0 :::-ln

1 1 RB = :00

ºleº! _ : Iº | 2|cº| - nm mlcºl — mu)nn=0

!= ( 00.

“nds - IMD—1

mm 1.3.3. «mm-331)Se f(t) € a e gª'b'º'du) é definida por:

0 se —I—s $ $ &;t — l'E'-T ªº ª ª ª '"

gabcd“)- 1 se bstsc;' l 'T_d:; se o 5 t $ ªi0 se (1 3 t 5 H—e

entao, f(t). a,b,c,d(t) E A se a ( b ( c ( (1.

.lª-

O gráfico dn Mio vªmº", 6:

O n—ésinp coeficiente de Miel— da função 9. d(t) é daobrª!2mºdem de n_ , e portanto a série é absolutamente aumente. Logo, pelo um

1.3.1. terms que “the. b º ª(t) E A. ., .| ! .

Para demonstramos o próxim resultado, precisar—ams de algunspropriedndes nmilims. This propriedades pode. ur emana—idas, por

envio, em ["III-33].

Propriedade 1.3.1:Dado : ) 0, existem constantes A e B positivas, qm independem

de E, tal que:

conta—*) - nasua) < ate B+tº

-“-

MLM 1.8.2:Se &“ 6 _ fupão lutem—tuo! &. boa.»). então:

lin [ku—m - nulas . o.'N

Propriedade 1.3.3:Se f é uns função contínua definida em («no»). se anulando em

(wc,—£) e (e,»), e um) é & transformada de Ratier da f em (—oo.oo). entãoao

a <: > o tal qm 2 |q(n)| se f |qm|ds.n::º -00

um 1.3.4. ((mm—331)

8. f(t) en. :: ) De “to) no, então pudins—0900111“ : > O tão

ecrangt -2s,t _E't (t) ) ( n-º +:, t as

Sem perdu de cem:-alidade, podems tomar 1:o = 0. Assim,

ou ao

f(0)=26eiw=êcn=0.mo 11:04

“(t) = ; anaº“.

l:.-Oªjª g—2€'—€|€'2£

-12-

a transfer-lda de Faria:— dl furão º-23,-e,s,2|(t)' “numa:qm oh »mh fan do intervalo (4,1), é dad. por:

“I“" _ Vª oosms) - ousam)_

VF nªs

'I'ems qua dn =v577 gim). lago,

ID 00 no

Em“: 2 lvmqlm) :; lºwnaº n=0 II.-0 ns

N_ 2 E |

cos€n£) - cos(2n£) |' _T—— 'uzº n !

Pela Propriedade 1.3.1, teme qm:

no noA ,

ldlsz ; -_r.x(w.2 n Bªnme n=0

» 1

Portanto, ; |an sl.uuexémaonstmteqmmndedee.n=0 '

agora, & transformada de Fburier da função1

9 mm "'ª-n, é dada por:—25,—s,s,2s

9 (u) _XIZ ( cos((u—m)e) - oos(2(uwm)s) _, oos(uz) — oos(2ue)2 vi (tx-m)ºs nºs ).

_13_

: ctm—n) - ctm).

Assim. d — dn : vi! cºm).

NLogo, 2 Idnm- anl = vã 2 Iqº(n)|.

naº me

Pela Propriedade 1.3.3, terms qm 3 XI ) 0, de nado qm:

N

2 [arm — dal .<. mr |g2(u)|du'Nmo

) du.2 2: Kl lv? ( nos((u-1n)£)—Es(2(u-m)s) _ oos(us):oos(2us)» VF (u-m) e u :

Pela Propriedade 1.3.2. tems qm:

”Imã ld" — d | 5 R1 "mr .VZ ODSNu—mn—ooguw—mn) _n a 2s-ªn=º s—o _” VI (u—m) :

oos(us)-oos(2us)2as du=º.

Lago, comluims que existe N suficientemente grade e n ) 0,

suficienteuEnte peqtena, de nado qm:

“Elcn|<ne2Idnm-dn|(n.paran$n.

::.-Jl M

_14_

Se;- “t)'º-26,—l,o,20

n㺠lªnl "nª Lªo ªxa-Jº.;

“(t) "2 ano"“. anao,

“ D

2 | 2 “'n-Jº:sao

arde oonsiderams (! _ = O, qundo n—j ( 0.n .!

co oo )! oo

ªê'ªn'ªÉIɪ-x-Jºs zu..,..|n=0 n=0 j=0 j=R+l

oo II no oo

sãlãdwáal ; Zªn—JJuzº J=0 J=N+l

Eri/:sJ=º J=N+1

no N

«2 | 2M 3:90

no R N

m % |— + ÉM :“lGaº&? M ª? G—

+

IA % + ESM "'" =D-”VO G.-

A ªI .. *

snxtonxz+xa| 203- É03

. um um + na 5 um + nx: + axaOJ-Jak—H.

: ”nª o

”Portanto, lim 2 [anl = O.

MM

Isto é, dado :) ) O, podemos escoltar s > O. suficientemente mm. de undo

que:

““"“-ze,-e,s,2smª < ». .

mn 1.3.5. (tmn-331)Se f(t) & A e “to) :! O. então existe um furão o(t)

coincidindo com f(t) eu um vizinlunça de to. portam-in a a. e tal me1

—— E A.g(t)

Prova:

Semperdadegeneralidadepodeuns tomar tº=0esupar Nº) no.lbfinims a fusão q (t) uma no uma 1.3.3.. e definirmos & furgãº:-2€,—s.€,2£

-15_

em . em + º-ze.-s,c,2o“""” - no)».

Polo lm 1.3.1. podem: tour : batuta mumu, de undo qun

ª£º—2s,—s,s,28(t)(“t) '- Nº)” ( 0.

Assim. tema qm:

"9 (mm) — Nº))dt = z «: emtdt-2s,—s,s,2s "=º n.” “ª

5 Zlcenldt= :: |c|dt< ndteznn.!! nªn.-.O ªn.-.O _”

-2£n ( ", q_2ª'_ª".25(t)(f(t) - Nº))dt ( 211).

-1

r g(tklt—n

NON.

], (Nº) + g_2€'_£'£,2£(t)(f(t) - Nº))dt-H

: [ f(OMt + [' º—zs,-e,s,2emm" - nem—11 -a

> uma) - zm.

-17-

00

Mg) . no) +; Ion] ( no» + n-me

logo,

mcg) ( imº) + na.

Se tomam; a ( ªºl, tema:3

g(t)dt > uno) ann > zune) - 21: ªº: ªªª-),3 a—n

e temas ainda qm:

|! (0) “£ (0)“Kg) ( INO) +3 3

Logo,

gum > “ª(º) ) tem).

Pulo mn 1.3.2. tem. qu —-ª—- e a . peu definiçao da funçãog(t)

q, temos qm f(t) = g(t) para (: 6 (tº-:, tºu-). - - .

m 1 .3.6. «mm—331)Se f(t) tem a propriedade de senpre que 1: E EM,“, existe um«»

interwlo (tº-enº») e me função g(t) € a, tal qm g(t) : f(t) para

t & (tº—snºw), entao f(t) e n.'

...m-

Pelo teor.— de Ibira-Brel Mem; ooh-ir o intervalo (4.1)por um m'nm finito de intervalos abertos (to-sde»). Sejam entes

intervalos (arbl), (ªz'b2)' , (num"), : sejam

& (bn-”(a (b (a (b (a (b (...(an_2 1 3 2 4 3 (bn-(ª +21.1 1 1 1

l=2n+bliFazendo an=ao+2ng bn=bo+2lh an+l=211+av bm

Seja gnu) & função g(t) coincidindo com f(t) sobre (awbk), para & = 1, 2,

c.., no atãº:

nf(t) :;

R=ll'(t)g (t), pois:ªk'ªk-n'ªnu'bk

à "'x'bk-x'ªm'ªu (u - 1.

nf(t) (t)“nª: º“ qªk'bk-l'ªl+1'bk(t)'

onde sms qt: essas funções são periódicas de período 21. O lema seqm dos

Im luª-1. e 103.30. .

Fimlnente. denunstrarems o Tem-eua de Imersão de "iam.

_19_

mn 1.3.1.Se em e a . uzo se amla em (4,1). entao -ª— e a.

f(t)

Este tecmem & oonseqtênoia imediata dos LENS 1.3.5. e 1.3.6.-

1-4.mmmO temem de Hausdorft' estabelece audições necessárias e

suficientes para que um seqtêmia numérica possa ser escrita cona una

seqémia de mtos.Para um millor ooupmªeensão desse resultado, expm—euus a seguir

algum omneitos e resultados sobre (anões de variação limitada e seqzências

de muentos.

1.4.1.W [E VAR!“ umm

DEFINIQÃ'O 1.4.1. “KW—761)(lua mação datam] 4 II! é dita de aviação limitada se existir

um constante c a O tal que, para qmlqmr partição de [a,b],

< C. (1.4.1)[a(tk) - “(tk—1" _

k-l

Mm qu se a . um Imola da mmao limitada. antloexistem os limites lntornis & can-rd; . & (limit: lll mimar ponto

t E (mb), e ainda qm uses limites do luau. exacto eu un conjunto

amável de pontos, isto é, o omJunto dos pontos de descontinuidade é

amável ("Ltm—831).a próxiun definição ms diz qm! é a variação de um fusão de

variação limitada.

WINIQÃO 1.4.2. (WW-761)Dada uma função a de miaoâ'o limitada, a suprem das ms em

(1.4.1), tunado sobre o conjunto das partições finitas de [a.b]. eliana-se

vªriação de a em [3,13] & dante-se por ºla]: . Assim,

a]:mnª . sup E [a(tk) - «(th_lu.

k=l

Um outro muito maessârio é o de rar—lização de um função

de variação limitada.

mmª" 1.4.3. (tmn-HenDÍZEIIDS me una Mução a:[a,b] 4 |! de mariag-ão limitada é

mrualizada se.

«(a) = O;

a(t)=-ªíÉlg-ª-"l. a(t<b.Gude a(t+) representa o limite à direita de a no ponto t e

-21-

«(t—) represente o limite & em de e no ponto t.

amúmia de um função «(t) não altera o valor de integralde um função oontlnun integrada em relação a «(t). Ibis preolsauente terms

os seguintes resultados:

mn 1.4.1. ((mm-461)Se f(t) é contínua e a(t) é de variação limitada em [3,13] e

assmle um valor constante C em um conjunto de pontos E, o qal inclue os

pontos finais a e b e e denso em [a.b], então

r f(5)da(s) : O.

3

Esse resultado é oonseqtênoie inediata da definição de integral.O limite na definição de integral existe imlepeulente da mira de

stàdivis'ões do intervalo [a.b]. lago, Menos escolher os pontos (tk) em E:

assim, o limite é seguramente zero. .

Tm 1.4.2. (|Zill—461)Se f(t) é contínua e a(t) é de tariação limitada em [a,b], então

existe una função mlizada «*(t) de variação limitada em [a,b] tal que:

..22-

!(s)da(s)_- Nome*“).8 .

%Menus definir «“no por:

«*(a) :O;* : «(t-r) + a(t-)a(t) -a(a), a<t(b;«“un = a(b) — «(e).

Taxas qm «*(t) é mmlizada, logo, pelo mma 1.4.1.

mluims qm:

anata“) - a(a) - «”un = o.

fundam . rua:)daª'm. .ª ª

1.4.2. ªliª IEmms

nuª—W

Portanto,

[Emmª 1.4.4. (mxm—461)Una Beqtância numérica nº. ”1' nº, , é dita de mtos se

for possível definir um função a(t) de variação limitada no intervalo (0.1).

demdoqte:

”" : r'ndu(5), " : 0|1'2,n|- .

º

Est.-:s inter-undo: » mtx—nr :- aluno de Win)qupodem ser mpl—escutadas comMin de matos.

Introduzinms um: um: mtaoões com mus. um nos

auxiliarão nos resultados armªmentºs.

0571111950 1.4.5.&

Akuk = 2 (mmª ”Mw (11 = 0.1.2.... ).m=0 m

Mºlinª" 1.4.6.uk (t) = [ª] tªu-n'ª" (R.!» = o.1,2....).'m m

mmm" 1.4.7.& _ k-u k—ln _Ãk,“ =— [m]( 1, A “m (R.“! — 0,1'2'o--)'

Ennª 1.4.8.O polinomio de Einstein BIJU") para ª função f(t), definida

no intervalo (0,1), é dado por:

R

ª ,

BkIZNtH = 2“T”'k,ln(t)'H

-º...

Vam nou durmir um chun "pooh! de mmm:

WINIQÃO 1.4.9.

Gems de II a classe das sequências nméricas (un): mesatisfazem & seguinte audição:

&

5L>0 / Ehh—"(L k=0,l,2, .me

A próxiun definição se reiªere ao operador de matos de un

polimmio. Para isso considerems um polimmio de grau uáxilm n,n

&Pªu) - ênkt .

k=0

WIKI ÃO 1.4.10.

O operadorª de motos da Delirante Pntt). com relação ª um

seminua (na); & definido por:::

HPnd)! =; linkk=0

Se & seqnêmia (pn): puier ser expressa com um semância de

mentos. então

HIP (t)] = [| P (s)da(s).n nO

Mun! que El.,—(t)) : A..—.

Demstrmms : seguir um resultado sobre amido:- de mtos.Antes, porém, precisarems de um resultado preliminar.

mn 1.4.1. (mun-461)Se n é um inteiro positivo, então:

n—llim 1!lt.-too 1=O%- =t", paraostsl.

Isto é óbvio, desde que cada terno do produtório aproxina t no

intervalo [O, 1] . .

mesm 1.4.3. ((mu—461)Se & seqmêmia (un): 6 11. então ”"= im mautt'ªn,*

n : º.l,2.uuu .

ADesenvolvendo tn pelo bimmío de Newton, para I; ) :: > e, temas:

k—n

t" = tªtu—t) + uu'“ = 2 [nª] tºma—nbª“m=0 :»

R

' 2 (lt—n)! t'( 1-1: ,k-n”(m-n) ! (lt—n)!

I:

=; nur-l)...(m—n+1)k(k-l)...(k-nHNk—n)!

mn RG:-1). . . (k-n+l)(k-m)hum-1) . . . (ln-ml) (m—n)!t'“( 1—t)ª""

&

=2 m(m-1)...(m-n+l)k!

In:"

t'ª< l—t )““

&

_2 m(m-l)...(llu-n+1)[&] tmu_t)k-1n

m=n kal-l).- . (ll-nu) m

&

E m(m—l)...(m-n+1)“& (t)

_ "ºm na; “...a—ml)

lºcº.|;

nn = un": : Elº—Lººx “__ !“ na; uma-mn

hans que:& n

.

n “ II"ª" " 'ª "[ g(TfÃu'mu) ] :; (T:—,ª“...-M ":º

Assim,

ª un «Km-D...(m—n+1) m

,, - m [t u . —— —2 <—-—)" B“

M k(k-l)...(k-n+l) *º*“"=º [(

"*º*“

_º?—

E

.ªu;&

EI m(m-1)...(m-n+1)k(k—l , . ' . (k-n+1)

g(k-l) . o . (h—n+1)

m=n

«day:—º.&

Seja : ) O arbitrário.

kº)0talqm,paratodok)ko,

kyucy-l). . . (Ry—ml)kat-1) (lx—ml)

Marinha-ml)n—l

- «a'—m,... —2 ("É—“x,».aº

kªl- vn ] kk,» -; (%)nka'

lhº

Pelo um 1.4.1. podems determinar

(: (y:-—:—,Myn+l,.--, k),

e tal me

n—l n—l n-l" n n II

| 2 “%)“ka | (2 (T) html : (T) 2 html (

lhº ' n㺠nhº

( (Jf-fiu, uno.l

Lºgº!

Ipn- menu"): | ( Le + 5, E >

Portanto, tems qm:

kº.

lim manuªl] = pn, ml,2*,... .IH»Se n=0, então no = makina.

Demmtrarems & seguir m resultado que estabelece ns mamãesacessória e suficiente para que (un): seja uma seminal: de mtos, antesporém preclsarems de dols resultados preliminares. Tais resultados são

demmlnados, respectivamente, o primeiro e o tequila tmn de Kelly e podem

ser emontrados em [neuem-761.

mmm 1.4.4. (mamou—761)Sejam as facões an : [a,b] 4 III, n:0,l.2,... , de variação

limitada, anaonhmns qm elas oonwrgem para una tªmb/ão a : [a.b] 4 IR. Se as

variações das funções ªn admitirem um aajorante, isto é, Wan]: 5 C para todo

11, então a função a tanbem será de variação limitada e qualqzer me seja a

função contínua E, vale a relação:”

lim “sua (5) : f(sldcds). .nM ª &

Tm 1.4.5. ((mm-763)

De cualquer conjunto infinito de funções (an) n : O. definidasem um intervalo [a,b], satisfazendo as cordições:

Plªx | ana) | S C e Vfdn(t)]: s 1! (C e K independentes de n)

pode-se extrair ulla smbseqtémla cama:—gente em cada ponto do intervalo [a.bl.

m l.4.6.([UIm-461)Una sequência (pn): é de mulatos se e saliente se pertence a H.

Manaus pri—trama! que (un): seja um seqtémia da

mto. Dai,

[k] (—l )k-mªk-mpnlm

1.2, " (—1)'ª"'"Aª'“' s'“da(s>"' o

I;] ]; (-,)ª'maªªgmmn

[:] £ .J“u—n"'ª“a«m

Hit

iZE,

S'] sªu—nªªdcm

[I;

[ª] aª(l-n'ª—“ldmn |

] sªu—nªªclau)

&

=£

h

[ª] gnu—nh" [da(s) |“|

lw

. [da(s)] - Wah"; .o

lºcº.&

1E “m' 5 umanº.M

º perteme & ll.Portanto, podems oomluir qm & seqxâmia (pn)

Para mstrar me se & seqxêmia per-teme & H. ela é de inventos,

mms definir um função escada ak“) qm é malhada e tem seus saltos hk m!

ms pontos l,1:N |!%( T+) _ %( "_“-“_, = E." (M'l'2,cuu,k 1);

«.é º" =waim) : O;

k-l«ku-» =; M...;

lhº

_31_

netmªn . «huhu»,o

pelo Tmn 1.4.3.

::”n : um 5 diª(s).

k-no 0

R

a micção total de ah“) é; “& "| ( L, para qmlqmr &, e!

unopelo mma 1.4.5. tems me existe um subseqzémia (<:k (t));o da

.i

seqtência (aka"; oorwergindo para a função a(t), de variação limitada em

O 5 t 5 1.

Mas ”º = ?: rªdªr”. M,1,2,3,... : portanto dom0

1.4.6. tem: qm ”n = inda“). O qm pm ou: resultado. ..O

LDB 1.4.2. ((mm-461)Se n*(t) é uma função mlizada de (aviação limitada em (0,1),

tal qm

sªda"(s) = o, n = 0.1.2.... , (1.4.2)e

então n*(t) é identicauente nula em 0 s t 5 l.

_32_

Por hipótese a(º) : 0.Para me um (1.4.2). obtemos qu a““) = o.

Integrando por partes a unção (1.4.2), obtems:

[ ªn£(ª)d5 . º pªr. " . 0,1,2, ". . (lvª-ª)º

Se pm = [, «“um; para o s t 5 1, então de (1.4.2) , como

n=0, temsqte ªa(l) =O, &:

n+lsºunds = ª

0 ml

Dado : > 0 lrbitrário, pelo teor—eua _da nproximção de

1sn-i-l

-— «(suis : 0. (1.4.4)O0 mM

Athierstrass cabanas que existe un polimnia P(t) que nmxiun & fusãocontínua Em, autuada de Mt). com um em uem qm e, isto é,

|W - P(t)|(s, Ostsl. (1.4.5)

lb (1.4.4) e (1.4.5) obtems:

[Minªs - P(s)]dsJAM“)?ds : ramas) - P(sn ds =

O

“rm" [as.0

..33—

,;

Desde qm : ) o 6 arbitrário. nto matr. qn na) 6

identionmnteml: nº S t 5 1.

De (1.4.4) um: qm «(t) 6 nuh em todos os pontos deomtinuidadé. Desde que estes mtos são densos em (0,1) e me pura todo

t 6 (0,1) existem n*(tª') e «*a—). é evidente qm

a(t+)=a(t—)=a(t)=0 (O ( t ( 1).

Portanto, n*(t) é identicanente nula em [0.1]. .

Considerªmos, do m 1.4.6., a função n*(t), que é &

malhação da função a(t). lb conjunto dos pontos de omtinuidade de «(t),teams que «(t) : n*(t). isto é. existe um súsecnâmía (“lt )?ªº da múmia

Jde tªmpões (atu)): tal qm ªªja) = «*m.

hora o “u— demstrado mtariarmte, nos quanto qm:

lim «Em = «'n», nos pontos de mumu-a- a. cªm.h-no

[hide qua toda subseqtêmia de (aka)»: nproxim n*(t) nos pontoi de

continuidade. Esse fato pode ser facilitam: wrifioadm

Dadas dm: subiam-“mias qmisqmr (a: (t)) e (a:[ (t)) deJ 1 '

(chun, tentos qua aubas passem subseqxêmias counter—gentes.

Sejam: &: (t) 4a(t) e a: (t) ..pm. Logo,5 i

-34-

”nª sndc(s)- sªum.o o

Aisin,

sªum“) — pts)) - o.0

Logo, pelo um 1.4.2. terms qm a(t) - Mt) = 0; isto é, a(t) : Mt).

1.4.3.M DE HAUSDORFF

”"Ruª" 1.4.11.

:: seqxéncía (pn): é dita coupletªnente mtSnica se seus

elmntos são não negatiws e & diferem—.a smessiva entre eles é

altemdamte não positiva e não Nativa, isto é.

unhªpn z 0 (ml = o,:.2,...).

Um definição análoga é dada por:

hmm : 9 (mi = 0.1,2,...).

Essa classe de seqémias pertence a H, pois:

& ' k

2 Init.—u"; Ahumªno"!“«=O

Puma me no Me— de lhusdurtt.

Tm l.4.?. (mm—461)n seqxêmia (nª): pode ser expressa com um seqxámia de

matos ”n :: Sndtds), n - 0,1,2,... , onde «(t) e não decrescente eO

Alimitada para O 5 t 5 1 se & saliente se é eoupletauente unmtonica.

Prova:

Por hipótese, tems qm (nn): é um semâmia de minutos.Logo,

«nªdª”.! - r (-n"4'ªs"da(s) = [ sn(1-5)kda(s) : o.o ' o

Para demstrar & carniçª: sdiciente. lancams do mm;1.4.6. qm garante qm una sequêmia pode ser representada com um semêmiade matos com a(t) de variação limitada. !bstrams atentamente um se

«(U é zur—naum, então lim «x(t) : a(t). Ibsde um os saltos de «(t) hk ,[Hm "'

são não mgatlms segue qm. «(t) e não decrescente se cuidadosamte definidanos pontos de descontimidade. .

IM nos ramos Micos

Considerems & eqmç'ãn (1.1.4):

y(t) — [x(t,s)y(s)ds : g(t), 0 5 t 5 T.O

Qtzrems deternúnªr una emanação y(t) para a salmão y(t)sobre & valha de pontos:

18=ftnltn=t'. + N,. " = º(l)", m : [Tm] ).

Tal amximçio pode ser determinada pm- um cátodo mmérico.

2.1. Sºlª?!) Pm masnemhzemlo t : nin, em (1.1.4), obtems & seguinte 91112950:

y(nh) - rk(nh,s)y(s)ds = g(nh). (2.1.1)0

Rpmxinmdo o tema integral em (2.1.1) por um regra de

_37-

qundratzn, da fm:

:|«sms «112 “m“-""' n = aum, (2.1.2)

o ke

a equação (2.1.1) pode ser escrita com:

ny(nh) - 1.2 anjx(nh,jh)y(,ih) = g(nh),

jámula ymh) é una aproximção para y(nh). Assim, obtems o seguinte conjuntode eqmoões:

;m = g(O) ,

-homx(h,0)y(0) + u-mux<h,m);(m : g(h),Em”!(2h,0)y(0)+hózll(2h,h)y(h)JH1410223011. 2h) )y(2h)=o(2h) ,

w—l

—2 MNK(ú,Jh)y(Jh) + (1 - mmx(uln,dn))y(nh) : g(nhi,.iso

me pode ser resolvido iterativamante. determinando & sequémia de valores;(o), ;(h), ?a», , ;mn. lbte qe o valor ;(0) = g(O) está sujeitoaparas & erros de arredonlamto.

:: precisão obtida ao resoluer este sistem deperlíe da escuna do

tamnho do passo h, da regra de qmdratu—a eupregada (2.1.2) e do

ommortauento das funções emnlvidas.

2.2. ªmªrammmmríwze&iste uma forte siuileridade entre .: WS Integrais de

Voltem—a e » Extinções Diferenciais Ordinárias, pois as últimas se redmem :.

casas particulares das primeiras.Omnia aplicams um rótulo linear de passo núltipio com

coeficientes reais a], BJ, .i = MUR, ao problem de qmdratmªa,

y'(t) : f(t), y(t ) = 0,0

obtems & seguinte relação:

& k

J=º «iªº

npara wiores yn qm são npmxiuações de yu") e yan) : [ £(s)ds.

t0

Mmitinio qm os “lares iniciais yº, yl, yª, , vb! são

'obtidos pela aplicação de uma regra de quantu—a, da fama:

k—i

yi = 2 auntj), i = eum—1,3-0

então-y“, definido por (2.2.1), é uma omrbinação linear de “tº), f(tl), ,

f(tn), ou seja,

n

yu - hz onJNtJ), n : It,Jua

obtendo, voom isso, um regra de qmdratul-a, para & salmão de y(t) :: “Hds.o

As qmdratwas construidas desta mira são chamda& &

(p.a)-redutiveis, onle pm =2 «J:—" e um = E BJCJ são, respectimnente, oJ=º Jªº

primeiro e o seguido polirâmo caracteristico associado ao método limar de

passo uúltiplo (ver [WT-821).Passemos agora a construir regras de qual-atura redutiueis para

Euações Integrais de Volterra de segmlh espécie. Consideremos para isto um

nêtodo limar de passo múltiplo.

& &

J=º Jgo

ade os valores iniciªis yª, . y_l são munidos.Ehren-:s as seguintes smosiçõos sobre o útodo (9,0):

- p e o não têm raizes oomms;- p(l) = O e o(l) = p'U), isto é, o létodo é consistente;- mim rªiz de pu“) tem nódulo maior que 1 e toda raiz com

nódulo 1 é sillples. ou seja. o wétodo é zero-estável.

Um nétodo linear de passo uúltiplo nestas audições é

coma—gente (Ver [mm-731).A equação integral (1.1.2),

y(t) . g(t) * l(t.8,y(l))ds, t l O,

0

pode ser reescrita da seguinte mira:

y(t) = Fu“) + K(t,s,y(s))ds,tn

"

Observams qm y(tn) = Fun"), sobre a malha de pontos de

discretização. Assim, podeuns aplicar o nétodo (2.2.2) para o problem de

qmdratura (2.2.3), queme na ('em:

nrum — qm : schema)“,

O

obtem: & seguinte relação:

lc &

2 “;(ij-n“) - g(t)) : hz ªjnt'tn+j—k'yn+j—k)'J=0 j=0

onde FEU—ll“) demta aproximar.) para erku), J : O(1)k.Considerado o fato de qm o método é consistente, isto é,

k

9”) :; aj :: O, obtemos:j=0

_ªl-

i &

2 “Jªm)—im . 1.2 ª;“t'ºmJ—k'ymi—k“ (2.2.4)4-0 1-0

arde Fªit“) aproxina o miar de yitn), e as funções iniciais ;**. já,são obtidas pela aplicação de um reg" de madi—atira,

"!

J=—k

O lena & seguir nostra que a armação (2.2.4). com funções

iniciais (2.2.5), pode ser escritn com mta regra de qmdratwa.

um 2.2.1. “MICK-831)

O uétcdc linear de passo uúltiplc (2.2.4). com furgões iniciais(2.2.5), pode ser escrito concilia regra de quadratwa,

-1 |:

yn .. g(tn) + hz vnjlitnnryj) + 1.2 “ª_JthnerJJ, n : 0, (2.2.6).iª'k s=o

Meospesosu,w (naº.-ksjs—i)sãoiimitadcseairdaoso sãon nj na(s) ªº

“os coeficientes da série de potências o(t) = .. = 26": , comP(!) n=0

&_

1:

;m Bê ajçª'ª e o(s) =2 Bien—j'J=0 J=0

-42_

Seja. In :: Mutual.) n : 41, o :: série::no “

Fu) -2 Fue" e um .; x":“.me me

Escrevendo as equações (2.2.4) para n = O, 1. 2. ... e

mltiplicamlo-as. respectivamte. por tº, tl, tº. , obtemos:

"' l !

(“OF-k+2+u1F-k+3+. . . +GRF2M : h(BOK-lt+2+plx-k+3+. . . +Bk82)t

(aoF_1+aFM...+ak_1n"'= amºng1minº*"ªªuKk-l'ªk '

(nº?; ai?“. . ”ªngu,?” h(BoKº+BlKl+. . azul.)?

(aºFlmF2F+...+ak"k_1)çª*l= h<pºxl+plxz+...+pkxk_1)窔

Senado todas as eqmções, obtems:

nºçª(Fog—º+?1cl+... ) + alzª't"(l-“'"Fº:”uªlg—%... ) + +

aktº(Fº€º+Fltl-I—... ) .-.

hipºtk(xºzº+xlzl+_.1 .) + pls“— lºmtº+xleª+n . ) + +

pug—”(xºçºssxlgh... )] + (upon“l-aoF)_1g— + (Moª-26»le_l-aºF__31183Nº“* (Mox-n*hªxx—mf ' bªu—1x-1Wer-"ªªn:?-k+1 * “k—1F—Nªo

_43_

ºu ”Jª!

Wªng1

(“cªtªlºg-lªmªuºº'ê Fªz" - a(pºçª+plçª'1+...+phcº>ê une" +

niº&* n-z " " -2' “QF-1” * (Moª—2 * 'ª—z * ”1“—1 “OF-2 ' “lª'—1" * *

”("”o“—u ' bªxª—ku * * ªndª-1 :oF-'k ”1am ' ºªk—1”—

Lnuo, podems representar esta expressão na forun ocupante por:

fugiu.—) = lâmina) + H:) (2.2.7)

ordem:):(bpk — ")çª'1+(bpx +14" F"FMk—z-F0-1 “OF—1 0-2 1-1 “0—2 ”1—1

* (Mox—k * ”n“-m " * hªt-124 “OF—u 1F'—k+1 "" o

“HF—1" '

usando as (“mações iniciais (2.2.5) na expressão de P(t). obtemos:

ou seja,

Fm . [mºxª-aº(g + 112 “_xh'ªªk- + (mo”ªº;_l-aºm +

J=-k-1 -1

[1-2112 ”4533, — «I(q + hz u_uxjnç + +

J=-R J=—k

-1 'I.a (g + !: w_k+ljxj) +...-º ªlt—lw + hz w_lãlj)1€

ja'—k J=-k

_Gª-

"º " (”oª-n'ªoªã'"IH—1h" " (”nª2“?-1 “aªª “ºu“;_!

JB-l Ja'-k

— ::th Euzinhª + + [amºngll + “”:“-nu +

Jª'll"! -.I

+ bªdu—l - aªh; “"lá — aih; w—RHJKJ -Jz-k j='k

-l— ªh 1MEWu_u“Jl: - [cºck—1 + (cºm ):

Jºª

isto é,

H:) = htx_l(pºeª'ª + pi窗º + + ªux—189” + +

-1ma_kumºzª + pitº) + nw_hpºeºl — 1.2 "'—1,33%?“

Jª'“n—z Oalt .. + ºu-lª) h; "'-23ªmºr“ .. *an_2€ )

srt

'

- — 112 «Lumª?» - [drªgªº1 + mªminhª + +

.:.—a

(30 + + «binºm.

Considerems os seguintes polirânúos:

Blz-I(z) .-. pºçº—1 + pleª-2 + + Blz—leº;

Bic—2“) : Boªl-2 * Blªh—2 * * ªk—zªoª

-.5-

alm = pªrª + cleº;oªo(f) : ªo: ' ,

emm = cºtª-1 + aleª'ª + + “'a-Nºª

ªnn-2“) .“ “vªl—2 ' “tºk—3 ' " “u-zªoª

Alm : aº:! + algº;onºte) = aº: .

Obsemuos qm:— AMJ, j = -k,—lt+1, ,-1, são polinguúos de grau Ipeuna [1-1

e dependem souente dos coeficientes do polirânúo P(?)-— Bk-bj' ; = -k, —k+1, ,-1, são polirânúos de grau náxiun k—l

e dependem mente dos coeficientes do pomâmia em.

Lºgº!ºl '! ºl

P(Q) = b 5:33."qu; '- hê u_IJKJRIPlQ') - hz u_2JAk_2(Q) - ....j=-k Jaªk Ja-R

"l_ nª u_unº(c)—taºeª'1+(aº+a1)çk'ºn.Maº», ...+ak_l)tºlg

-l —1"l

,j=—k i=-kJ=—k '

+ ... + (de + ... + «k_lwºlq

"46—

-1 —1

. hz (ºu:“) -2 "uªx+i(º”“4 - [nºçª'l+(aº+a1>eª'ª+ +

:.:-x; u-x(aº + * “u-x'ººªº'

-1Seja Pó(t) : (BENQ) 12 wunhiwn, .] : dx,-IMI, ... ,-1,

=-ll

então, os P (t) são polinomios de grau uàuilm k-l e dependem sonente dasJ

regras de quai-atira iniciais e do nétodo linear de passo uúltiplo (ao).Lªgº |

--1

k-l k-2 0P(Ç) : hz PJQHKJ - (aº: Naum“: + ... + (“C*"Jªh—l): Jg,Jª'k

e usado o fato de qm pH) = O, obtems:

'l kªl R'Z O

J=—lc

-1n—x k-2= nik P_iwmj + É; [(l—çN-aoç — (aºs—al): - -— (aº—&

J="

“'n-2” - (aº+...+ak_l)tºl

-1g _ k-l _ k-2: hj; :.“th + ;;ul :N—cot (aº + al): + + (ºk—1

+ uk): + autº]

-f)-

—1

n-x & 3-2.hjzkvá(ç)xj+ií(-aºç “:º: —(aº+a1)€ +(aº+

alzçª'º + + (em + ak): — («H + «“nº + «Reº - eu:—11

—1

£. & [1—1 0ahí Pó(tmj—il- (dºt +alt + +qk_lt+ak:]€Jº'k

.! "( )

= h 94 m. + CL2 J º J H: º'J=ªk

isto é...1 "

H:) = hz P.(€)K. + ªg.!) J 1—8J=ºk

Substituindo a expressão de P(t) em (2.2.7), obtems:

_! "mame) = homme) + 112 lºja-nx.i + EBL &

J=-k “'

isto é.

-l., P (2) "'F(€)='1—g+h :! xJ+hS(-—ª-'-xm.

1-e J=—k pm pm

& DP (C) "'

ConsideraMO ..,“i =2 wnjçn para .i=-k, ...,-1 e "(€) :; «niªnP(" ::=» P(" n=o

00

eobservaninqm 28n=rf—z-, tema:n=0

-gº—

ou “seja,

8 | .- ª' n0 .K. F'n ):(g+h2 w.x.+hn IPJ.)J J::..-0 j=-k j

ªMª

Com esta sem é igual a zero parª todo ICI ( &, mluims me:

—1 n

g+h wK+h20n_jKJ Fn=0 uzo,jz-k j=0

logo,-1 ::

Fn=g+h2 “nJ'xj+h2 “ll—JJ u_oJz-k J=0

Avaliado esta identidade no ponto tn, obtems:

-1 n

yu = g(tn) + hz "aj“tn'tj'yj) + hg ªªn—jutn'tj'ij:'D. J=0

“.

Além disso, os coeficientes da série ..,1 =; rªç" = N:)º(ª) n=0

satisfazem um relação de recorrêmia com polímmio caracteristico M€),

isto é,

" N"_º. = 2 rªg" ou seja 1 = pm 2 rnç".P(” n=0 n=0

..49-

2 &+ ". *rke + 'I.)1 :: (<:k + ºk-lt humºtkNr—º + rlt + rºt

Portanto,

”0% ª 1

':“k * ”eºk—1 * º”2% " ”lºu-1 * Toºk—2 “ ”

”nua * “mn-1ª»: * * "mlªl " rnªº '“ ”

Canseqmnteuente, usando o fato de que a nétodo (9,0) é zero-estável, podemsoomluir qm os coeficientes rn são limitados. Logo, os coeficientes das

séries:

» D

E wwe" = Piu—m:) para sra, ...,—1 e 2 en:“ = men—(:>n=0 n=0 '

são limitados. O qm mleta & deumstraoão.

.

Este resultado ms nostra qt: os métodos lineares de passonúltiplo são adequados para o tratamnto mérico de Extrações Integrªis de

Volterra, mm vez que podem ser transformáos em regras de quadratura. Tªisequações podem ser resolvidas de fama ita-ativa, determinando una sequência

de apmxinações para y(t), t 2 O.

A regra de uma:—atira obtida do método (pw) é dada por:

'I.

Ja'-ll Jú

E com podems perceber pela dennstração do lm 2.2.l., os pesos "hj e ºu são

dados por:

_, ou

um : 332 = 2 on:"P(“ n=0

Pm ººn"'(e) = "J :; W '€ , J: _k|—k+llulu,—loJ P(t) nl,

n=0

Para efeito ilustrativo (“arenas a seguir dois enemies: o

mineiro usarão o nétado de passo uúitiplo do Trapézio e D seguido o nétodo de

Siupscm. calcula-ndo winx-es iniciais pela regra de madratwa do Trapézio.

ªº 2.2.1:

Conszdereuns a vetado do "apena: n 2 miyn+1 _

Os polinomios características são dados por:

p(€)=£—l e a(€)=—à—£*—â—o

conseqtenteuente, pu“) : l - t e a(e) = + %f'N“—

_51_

Vams agora calcula os pesos “n' ums um:

1)=———=à-+ei+ :'24834' ...“P(" 1"?o(

=) (un) = («à-, 1, 1, 1, 1. ... ).

Passems agora a calcular os pesos w" —'1 Para isso oalculeuns

antes (: polinomio P_IQ'); com é Ilustrado na denunstraç'ão do mu 2.2.1.:

-11

P_1(€) : ao(ç) 'E wi'_1n1+i(€) : ªº(r) : ªo : —2-

'=-1

pois o peso w_1 _1 = 0, devido ao fato de me o nétodo do trapézio não exige!

cálculo de wlores iniciais por regras de qmdratura. Logo,

eo 1P_lQ') — .2 1 1 1213E"",nº-1ª“ ;m=n=5*5º*5º*5º*m

n=0

111114 ("n'—l) : ('º-' T T T 'º- lll )-

Portanto o método de qmdratura obtido é dado por:

yn =g(tn) + hªut", t_1, y_1) + uma"nºme) + munnvyl)

+ +1 (t t )biª n' n'yn '

:que e a regra de quadratura do trapézio repetida.

-Sº—

those omlo portlm do itodo linear de passo lúltlplo do

trapézio e obtive—:s . regra de qmdraturo do trlpózío. Isso ocorremm o

útodo do trapézio nio exige o oiloulo do “lar lololol y_1 atrais do umregra de qmdratu'a.

um 2.2.2

Consideremos o uétodo de Símson:

hyn+2 _ yu " fumº + “n” + tnh

Caloulems o valor inicial yª, através da regra de mndratm-a do trapézio:

hy_1 : ?º2 + 54574 + y_2)_

Os poliâuios característicos associados na látodo de Sinpson

são dados por:

pm = eº — 1 e M:) = ªçºConseqtenteuente:

;(e) =1—zº e «:((—>=?

Calouleuns os pesos un:

oo ., 1 4 l() 5*ãª*5ª 1 4 22 4 2Zºntª-ª' = 5 =5*5º*5º*5ª*5*

l l 2 C 2 l 2 .DMR-(????r??? ...).

%. 2

—2

1.P_2(£) :: (BOW) -2 “i,-Zªí'tiwn : Bºw) —501(C)

l=-l

1 1 1 :“ªo"?oª'ãºzª'ã'í'f'«» 1P_(t) —+-c

,E., gn._w__º =ªº=1+àç+£çº+£çª+:..-2 '2 5 3 2nº Pm l-t

. l l l l 1# (wn'_2) = (5, E' 51 E. 5, ... ).

Cálculo dos (“h,—1)'

Para isso calcula-:s P_lQ):

—2

p_lm = Bim -2 "i,—lªma“)i=-l

= 81“) — “Lx,-xªxª") - “ªz,—nªo“)

:ªozªªl"%(ªoª*ª1)ªâº*%'%º

ao I 5P_(t) +ͺn-nºª?“ -—-—rªªº-%+%e+ãeª+%ª+‪+---m' '“" "'

Portanto, a regra de madi-atura é dada por:

1 190 'ª ªo " “EK“O't-z'y-z' * %“to't—l'y-l” " “â“to'to'yo)

1yl = g! + h(íx(tl,t_2,y_2) + gutl,t_1,y_ln + h(%K(tl,to,yo) +

1+ anulam!»

_ 1 %“yº - ºz + h(âx(t2,t_2,y_2) + %:(tz.t_l.y_ln + ht (t2,tº,yº) +

1+ ª(trtvyl) + f(trtryzn

': uu! (t t y )+ã£(t 1: y ”nu?“ t y)+73 ºn 5“ a' -2' —2 3' -1' —1 3' o' o+ à(twtvyl) + ª(twtryº) + à(tytªwªn.

mmm PARA A% um

lbste capitulo, demrems a teoria clássica de estabilidade

dos uétodos de quadratura aplicados & equação y(t) : 1 + ). y(s)ds, cujaO

salmão exata é y(t) : e“. Inicialmente apresentamos o omneito de

estabilidade absoluta de um esquzua eouputacimlal para cálculo de um conjuntode valores; em seguida analisaremos esse eorneito de estabilidade para algunas

regras de qmdratzra aplicadas à eqmção teste acim, e finalmente nostrarems

algums definições e resultados da teoria de estabilidade absoluta de &nações

Diferemiais Minârias. Essa teoria é utilizada no estuio da estabilidade de

mações Integrais de Volterra e será utilizada postericrnente. o conteúdo

desse capitulo está baseado ms trabalhos de Baker ([u-76] e [MER-781) e[albert (lm—731).

3.1. MITO [E ESTABILIMemma

Discutimos, no capítulo anterior, fórmlas que permitem o

cálculo dos valores y(ih). i=l,2.3,... com aproximo'ões para a salmão da

equação (1.1.4).lhitas vezes pode morªrem ao iuplenentar tais métodos em um

mundo:-. me os erros eu ;um cusco!» oco 1. Entretanto. em mitos casos

podems esperar qm boa precisão seje nntida.liste copitulo com prccwor identificar . origen do

oresciuento dos erros no cálculo dos colores da aproximação da salmão y(t).Esperancs emontrar classes de eqmções onde o oresciuentc desordenado dos

erros seja evitado, particulamente quado o cresclmnto de tais erros é

devido à escolha de nétodos méricos. (bserualos qm. na práticarobtemsxalores ;( ih) ao invés de ;(ih), devido aos erros de arredordauento.

A introdução de erros de trmnanento local e de arredorldauento

resulta num problema pertmªbado. a equação diferercâs resultante da aplicação

de um método malárico pode ser nl condicionada e assim. um peqtenaperturbação pode levar a um cresclmto desordenado dos erros na solução do

problem.Dlzems qm um esqtsnn comutacional apresenta instªbilidade

prática se o lesma faz com une os erros mmientes de arredorzdauento e ou

tratamento locªl sejam owliados. Para alguns eqmoões. as que podem serintegrados exatamente por me regra de quadratura, os erros de truncanento

local desopu-ecem e qmlqtnr wescilentc de erros. no cálculo a“. salmão

aproxima ;(t). atroués de (- esml- ccmtecimol, 6 inteira-nte devido ao

efeito da instabilidade minérios cortinade com erros de orredomiallento da

ªritmética aproxiueda.a noção de estabilidade, no sentido aqui empregado, está

relacionada com o cálculo dos vªlores ;(ih) cun um tamanha de passo h ) O

fino, quio i 4 ao, usado arituética de precisão finita.

un cátodo iterativo para calcular una sectária—ia de vªlores #0, ,

#1. ;2. . pode ser definido emterm da função:

-57..

“:o. ". ooo "R) -.| ª . º. 1. 2. .ao.

onde resolvem; : k—ésine eqmcão para determinar o valor de ;ª em twin dos

mlores iº, "1Darencs agora me definição qm se refere ao efeito da

. . 'in-l' detemulmdos anterimnte.

introdwão de una pertm-baoão isolada em ;k' Estaremos ms referindo ao

efeito em ,lur (r = i. 2, ...), de um perturbação isolada eu em ;k, sertão que

#0. #1, , Ç _1 peruamcem inalterados.

mxmção 3.1.1. «mxm-761)Um esqmma couputacional para calcular iterativanente um certo

conjunto de valores ; . 31. 32, é chamda absolutanerrte estável se a

introdmão de una perturbação isolada 'n em ;R. para qualqmr k > o . onde

#0, 91, , ,k—l peruamoem inalterados,“ resulta. em alteraçõesk k " "nuªm“? .... nos valores ó.”, 'n: , .... de tudo qm:

In:"I $ Pltulg !“ = 1. 2. ou. '

para algum p E [0.1]. Se ;: e (0,1), a estabilidade é chanada estrita.

A definição anterior se refere ao conpcrtauento de um esquema

conputacional iterativo, quanio um erro isolado é introduzido na k-ésimestágio. Ela não reflete a situação na prática, oxide erros de trancamento são

introduzidos em cada estágio dos cálculos e causam mxtras perturbações.»

O uso de algoritmos absolutanente estáveis assegura que os errosnão vão crescer exageradamnte, qmrxio una perttrbacão isolada e introduzida

em algum estágio. Entretanto. pode ocorrer mn crescimto linear dos erros,

um vez me um mtu—bwin lsoladn no h—éslm estágio pode ser would. pol.lat:—admin de mms erros. qm vªo se mundo em cada estágio dos cálculos.

Orazio aplicams un útodo máx—leo : um eqxnoão integral, o

msm pode ser considerado um estam ocmputaclonnl absolutamte estáwl paradeterminação de aproxiuaoões da solwão Ça»), Çcm, ';(mn,.... em umscasos e absolutamhte instável em outros. Essa propriedade depeúíe

principalmente das audições da eqtmoão. Por esta razão, é desejávelidentificar classes de equações de nado qm um dado método numérico oorduza &

um esqteua aonputacional absolutamente estável.

Dwante mito tenpo, para análise da estabilidade absoluta de

Funções Integrais de Valter-ra, foram utilizados undelos de Entao'ões

Diferenciais Minárias. CII-E são casas particulares de Filiações de Volterra.Considerems una mação Diferencial nutâmna, isto é, um

eqmção da form:

y'(t) = f(y(t)). — (3.1.1)

(bseruams que toda Euu-ão Ditminl Culinária pode sercolocada m forun auta“. através de um aliança de variáveis.

Una pertwbaç'ão ?(t) na solução de (3.1.1), resulta nª eqmçã'o:

(y(t) + ?(t))' : Ny“) 'I» ?(t)).

Desenvolumdo o lado direito desta eqmç'ão em série de Tªylor,

obtems :

y'(t) + ?”“) : f(y(t)) + P(t)£'(y(t)) + o(vºun.

Esta eqmção pode ser apanhada por:

- 59 _

y'(t) + ”(O : f(y(t)) + ?(t)€'(y(t)),

Isto é,

DEP(" : PR)—ã—(hyun.

Sworúo que %;— é Iocaluente constante, obtemos & eqmçãouudelo:

?'(t) : Ã?(t)u (3.1.2)

a equação (3.1.2) tem servido de nndelo parª o estuio da

estabilidade absoluta de E.D.O. .

Para análise da estabilidade de mações de Volterra, é

utilizada & eqxaç'ão teste eorrespordente:

y(t) - A y(s)ds : 1, t 2 O,

0

cuja solução exata é y(t) : exput).Venus agora analisar a estabilidade absoluta de diferentes

métodos américas aplicados à eqmç'ão teste acima.

Sabems que as email—ções para a solução da eqtnç'á'o são

procwadasnaualhadepontos I =(h, 211,31), ....Nix),paramndado11

h ) O. Corúlecems tan'bém o valor inicial y(0) = 1.

3.2. MISS no mxm EMIL!“ m: ummMui. nuns-renas & propriedade de estabilidade absoluta de

algunas regras de madi-atura obtidas pela coabitação de fórmulas de madratwanais oornhecidas, tais com regra do 'h'apézio e regras de Simpson.

analisarem” primipalnente as restrições m escolha dos tauanlns de passo umtomam os esqui-nas absalutauente estáveis. Aqui, seguimos a rotação de Baker

([m-76] e (mxm—781).

3.2.1. me no muro warm

" Elpreqando & regra do trapézio repetida para & eqtnç'ão teste,obtems o seguinte conjunto de eqmç'ões:

.!

;um - mz wiquh) = 1, i = 1. 2, ,;:o

Ollie os pesos w são dados pela tabela:iá

3101234...bºlo.-

..&M — ... ..NN

_61_

Em .: (MD-ósln . r—Ósin mações . calculado .diferem entre elas, obtem: : relação:

;(mnh) = t?o-m, onde 1 = -——----.

Assim. um pertmv-baoão (|_ em yu—m produzirá uma perturbação

vºz, em y((r+k)h).logo. o esqmua é absolutamte estável se |v| ( 1. e isto

ocorreseuprethh(0.Portanto, o em é estável para ).h : (-w,0).

3.2.2. me meElmMIM EMIO

0131110 empregamos & regra de Sínpson repetida multitude com a

regra do hapézio na final. se necessário, para : mação teste, cujos pesossão dados pela tabela:

“J 01/21/31/31/31/3

ungiu»—

1/24/34/34/34/3

1/35/6 1/22/3 4/3 1/32/3 4/3 5/6 1/2

obtems as seguintes relações:

- 621.

yum—mm . &(z—h). r = x,. 2. a, ..., e

y((r+2)h) '- Sum. r = 2. 4. e. ...;

1 ? 1 2lª'-TAI! 1+Thh+T(Ãh)oMeY=—-———— GT::1ª'T“ l——É—-).h+%—().h)2

Logo, este esquane é absolutaueme estável para I'll ( 1 eIr] ( 1, e isto morºre senpre qm Ah : [—6,0).

3.2.3. BEIRA DO TRAPÉZIO 00"m DE arm REETIDR

O uso da regra do Trapézio m ínicio, qundo mcessário,ourbinado com o uso da regra de Siupson repetida, cujos pesos são dados pelatabela:

nª O 1 2 3 4 5 6 ...1/2 1/21/3 4/3 1/21/2 5/6 4/3 1/31/3 4/3 2/3 4/3 1/31/2 5/6 4/3 2/3 4/3 1/31/3 4/3 2/3 4/3 2/3 4/3 1/3

--aununr—

resulta nª seguinte relação:

4 "' 1l a N(1 '— T—hbwrn '- TW!“ - (1 + WWI—1 : O.

qm prada umem instável, pois as raízes desta equação tam cédula miar

memwaqmlqtnrmílo.

3.2.4. mn DE SIPPSON REPETIR! CON me DE SIPPSCN 3/8

Os pesos da regra de Siupson repetida coubimdos com os da regrade Sinpson 3/8, na final, se moessário, são dados pela tabela:

.-/ É:. º 2 3 4 5 6 ? ...1/21/33/81/31/31/31/3

undo—uau»—

1/24/39/34/34/34/34/3

1/39/8 3/82/3 4/3 1/317/24 9/8 9/8 3/82/3 4/3 2/3 4/3 1

2/3 4/3 17/24 9/8 9/8 3/8

O emprego de tal regra resulta mm em absolutamnte estável

para ).h : t—2,0).

Entretanto, O uso da regra 'de Simpson 3/8 no início, se

necessário, com : reg" de Siupson repetida, resulta mmem instável.

3.2.5. uma 113: SIM 3/8mm 001me IEmm

Ousada regra de 81399041 3/8 rgpetlda Minadooonousodaregra de Siupson no final, caso haja messidade, cujos pesos são dados pelatabela:

i/Jl o 1 2 3 4 5 6 7 3 ...5 3/3 9/3 9/3 17/24 4/3 1/3

3/3 9/3 9/3 3/4 9/3 9/3 3/33/3 9/3 9/3 17/24 4/3 2/3 4/3 1/33/3 9/3 9/3 3/4 3/3 9/3 17/24 4/3 1/3

«naqu—

resulta num esquema aªtâvel pu: hh e t—1.5,0).

Contudo, a regra de Simeon no início, se necessário, coubimdacom a regra de 81393031 3/8 repetida, resulta mun esquil- instável.

3.3. navlnxçães E 3333133303 33333 357331L13333 ansauunn

Rpresentarerros : seguir algunas definições e resultados aobre

estabilidade absoluta dos uétodos limares de passo uúltiplo, aplicados &

equação básica y' = )".y ou, equivalenteuente, y(t) : yº + AryGMS..e

necessários ao entendimnto de resultados que serão apresentados no próximo

capítulo.Um dado létodo linear de passo múltiplo pode ser considerado

absolutamto "tiu-1 para determinadas tal-rins de passo : instável paramicros.

&; próxiuu definições se referem à determinação da região qmcontém os tamins de passos qt: tor-mm os métodos limar-es de passo l'xltiploabsolutavrente estáwis. e podem ser emmtradas em Lanhert «mmm-731).

WINIÉ 3.3.1.A região de estabilidade D de um uétodo linear de passo núltiplo

(9.0) é o conjunto de todos os “lares z : ).h, para os mais a salmãonuméricª yn da eqmção teste básica tende a zero qtlaxxio n -o ou.

na:—Imª" 3.3.2.Um létodo limar de passo últiplo é chamado a—estâuel se o

semiplaxio esqmrdo na(z) ( 0 está contido na região de estabilidade D do

Iétodo.

Mªnilª 3.3.3.Dm nétodo linear de passo uúltiplo é Granado fortemente estável

se existe um disco na semiplano ESQIEHÍO. tocando a origem, contido na região

de estabilidade D do Ilétodo.

DEFINIQQ" 3.3.4.Um cátodo limar de passo uúltipio é chamda Na)-estável se a

região de estabilidade D contém o setor lar-g(z) - ll ( a.

-66-

8. trmsfms o litodo limar de num últíplo (9.0) m um

mm de qual:—atura ndutlwl ., . região de ent—bilidade D. desse mw

um. pode ser deter—im: pelo seguinte "saludo:

mn 3.3. 1 . (“MICK-831)

ziºestâembseemntesem(t)yllpara [(“I 51.

Prova:

2 # 0, 2 E D =. as raízes de M:) - “(€) (polirsmio de

estªbilidade .ssaciado ao método (pm)) tem nódulo "em me 1 =p(t)-zo(€)#0para|€|zl (==: ªº;zpªra|€|21.poispeanão

o(t)ll k-l 0€ * _? *---*P€têmraiusooms) (:=) 1125“ &! º , paralzlzl

(:ka + “i.-leu-! + ... + 4080

pick + pt_lck-l _. ". + Bºtº&

Ge:: 1 .: z . pm |:! = 10th* + “lc-lek 1 + ... + (logr—

ek

Ano:-P + Blu-“%)! + + 30%)"=. 1 # = para |Q" ; 1“R%? + “ll-1(%)l + + (:º(-?"“

'

<== 1;z-%íÍ—),para|f|51,m$=_:_ e |:];1. .* pw)

Mitos dos resultados apresentados no próxim capitulo são

relacionados com funções : sequências definidas positivas. A seguir

-67-

npnsentms » definições e propriedades elmntares sou-e esse asunto,que serão mito utilizadas posterior—nente. Tais regulados podem ser

mtx-ados. por emm, em (Damm-691.

”lulª“ ªnª-S' '

Una tªg” cantina &: |! 4 E é chamda definida Eºsitiua se

ªa(xi—xjniíj 2 O,

ivJ

para maisqter semêmias finitas (un) e (Zn) (un E m e zn E E).

Mingª 3.3.6.' . m 0 . . . .Una ªtªlaia (ªn,-oo e chamda denmda ªutua se

2%“;in ; o,lui

pura qualqmr “múmia couple“ finita (za).

IEFINIQÃO 3.3.7.Una tªo cantina atº,») 4 E é chamdª definida Esitivª se

sua antemão de Hermite:

a(t) t 2 O

a(t) = !

a(—t) t 5 O

.. 68.-

é definia positiva.

As furgões definidas positiva são caracter-indu pelo seguinte

resultado, que é coxim-ndo com horas de Baum. ver por exemplo

[Bum—87].

mn 3.3.2. ([m-871)a(t) é una função definida positiva se e sonente se

Be rusn'º'ªds ; o, para nem) ) o. .0

INFINIQÃO 3.3.8.. m ' . I .Uma ªº, (ªn)0 e chamda dehmda Esitwa se sua extenção

de Emite:

.. a , n ) Oa a n___n neue , n - 0 ,

ª—n. n ( O

é definida positiva.

Obsemnos qm se (an): é uns seqtêmia definida positiva então

& 71:20.0,0 elanls

_Sº-

uma 3.3.3. «(mmm-691)ée (an>: . (bn): são mumu-s definida positiva. entao

(an + bn); (nªun): e (can): são um definida positiva. pura e : o. .

uma 3.3.4. ([m-691)Seja !: > o. Se a : to.») —» u: e (wu): são definidªs positiva,

então & seqtência (wuamhnº é também definida positiva. .

O lena & seguir caracteriza as sequências definidas positiva.Ele é conteúdo por caracterização de 'Ibeplitz-Caratheodory e pode seremontrado em [Mumiª—76] .

mm 3.3.5. ([WMIM-TBJ)n saliência (an): e e' é definida positiva se e saliente se é

limitada e”

hêaneªzo pu. |e|51. .n=0

0 próxima Lena diz respeito & uétodos limares de passo uúltiplafortemte estáveis .

uma 3. 3.6. ([LUBICH-Bª] )

O método limar de passo uúltiplo (9,0) é fortemente Estável

(con un disco de "nulidade de não R) n . lol—nte se existe lll i'd—ro

(: ) o ti]. me (0046. “l' 02. ... ) é un múmia definida positiºn. c o B

são rebolando: por c a É . (un): são os usos da regra de ulnar-atura

associados ao uátodo (mo).

Seja D c E um disco aberto de raio R (tocado & origem).A aplicação I: D 4 E tal que f(z) =+ . leva cada elemento de

Dmseuuplamnem <-c,orueC=-2â_.

º

xxxxzsxxxx

Pelo lm 3.3.1. tonos qm:

zenc=o am:)“ por. |t|sl.z€D «=o «(c);-â.

para ICI $ 1, 2 G D e: o(t) está no sentiplam &(z) : -C =“&(o(t))z—C=--l—2R,para|€|$1 (= &2 one"+cz0para|e|sl

nao

(:=) ª seminua («ºw, 61, 62. ) é definida positiva (pela caracterizaçãode Toeplitz-Catatheodury, uam 3.3.5.) .

..71-

&» particular se 8 = o. tem: o muinto mlário:

Q;

1.“ ªna-7. (tªlª-831)O uétodo limar de passo múltiplo (9,0) é n-estáuel se e somte

se (un): é um seqvémia definida positivª. .

_72-

CAPÍTULO 4

151%:le emm nosm um na PIBSO numas

4.1. COIBIDERQÇõES INICIAIS

Cono villas mteriornente. & teoria clássica da estabilidadeabsoluta para eqmções integrais de Volterra é baseada na eqmção testelimar, qm é bastante restrita, e por essa razão é inportante o

desenwlvinento de una teoria de estabilidade baseada em um eqmção naisgeral, mais abrangente.

O oomeito de estabilidade para Ehtno'ões Integrais de Volterra,com descrito no capítulo anterior, é derivado do estuio de Extrações

Diferenciais Minárias. En ternos práticos, para sistems de eqmç'ões, este

mito pode ser esqtentizado da seguinte mirª:Dado o problema y' : ey. mude a é uma atriz constante um com

automlores distintos A1, ).2. , An e thai) ( 0, i = i(l)n, então &

salmão y(t) 4 O mino t 4 ». Aplicando, iminente, um nétodo para a»

solução deste problema, no qm! asellus um determinado tamnho de passo !: ) O,

em» mi. i : mm, contido na região de estabilidade do cátodo, então a

solwãommérica Yn-DO, mudou-boo.Esta estrutura pode ser representada pelo seguinte diagram,

dªdo por Lanbert ([m-861):

-73_

y'aay,n mm ote.. Estabilidade:Problema 4 nutoualores (list., # todas as sala:.

ki, Be(>.i)(0 l=l(l)n y(t) 4 OMo—/ t .. ”

b).. i=l(l)n pertence ' Estab. absoluta:nª.-tado 4 à região de estah. :» todas soluz.(y )

absoluta do uétodo. yn4 o qdoJHoo "

a intradm'ão de una perturbação '? mma vizinhança da salmão

y(t) da problem não limar y'(t) = f(t,y(t)), cano uinos anteriormente,

aauparta—se com: a salmão da equação linear:

9" = _ªf4t,y'(t)w, (4.1.1)By

ande supomos me a "atriz Jacobiana É; é avaliada em um ponto t fixo e num

salmão dada y.Surgem então as seguintes perqmtas:- Para analisar a estabilidade da eqtnaªa'o (4.1.1), bastasupor qm %- tenha autaualores )“i distintos, aam

ReQ)(0i=l(l)n,Vtztº?!— Este fato fazaomqma solução y(t) 40qmmla t 400?- Aplicando um determinado nétoda matéria:, usado um

tamu-n de passo h ) 0, com mi i : 1(l)n, contida na regiãode estabilidade absoluta do método. a salmão mmériaa y" 4 0,

qmmlon-ooo?

Recentes estalos na “desenmluiuenta da teoria de estabilidade

absoluta para Eqma'ões Diferenciais G—dinárais nostram me as respostas às

-?4-

questões mina nem ame são verdadeiras. com podems obsmr no anemia

qmm. dado por [Aubert ([m-861):

MC.].I.Seja y' : Mt)y, yslkz.

_.____£___ ___£____4(1 + t) (1 + t)º

arde Mt) = '

_ l4 4(l + t)

Os autovalores de Mt) são:

X = - 1+ x e

O(l + t) 2(l + t)

Ã=_ 1 _ 1l“1 + t) 2(l + t)

portanto, Reº.l 2) ( O para todo t 2 0.!

e salmão geral deste problem & dada por y“) : of]! + nº? ,

V

(1 + t) 3/4

onde Y]. :<-1/2)(1.+ t)ª'ª

(1 + t)'ª'ªln<1 + t)& Yº =

(1 + t>1'ª(1 - 0.51n(1 + t))

_75_

assim. tem: um ”(t)! 4», amido t 4».Call: pode—n obtem-r por este anemia, : análise da

est-bilidade nbsoluta bem no "tulo de «melo limar-indu não ésuficiente um tem para : classe de Em:-ções Diferencie“ Minh-iaslimar», quanto leis para mutações do Volterra mis abramentes.

Recentes “amamos vêm ocorrendo no desemviuento da teoria de

estabilidade absoluta para mamães Integrais de Voiterra, particulamentepara oqmções com ninleo de mnwluáo, ou seje, eqmções da fome:

y(t) : g(t) + ÃrK(t-s)y(s)dl. ": 2 O. (Ll-2)0

Com Vinos, m capitulo 2 . aplicado um método linear .de passo

uúitiplo para esta equação, obtem: un eqmoão limar discreta:

nyu ' qn * ". zºn—jurªr

Jãº

-1

ºn = g(tn) + Na 2 "nJKn—jyj'ara

LUBICB (mmm-931) explorou . eqmção discretizada anim, muie

(Gulin): € 61 é um múmia-definida position. Ibo.) ( 0 e cu —o O. muion —+ O, e mstrou vários resultados sobre a estabilidade mérica para essaseqmç'ões. O autor trabalhar.: principalmente com uétodos limar-es de passo

Últiplo fortemente estáveis, em particular A—estáveis, e nétodos Ma)—

1stáveis.

lhste capitulo. mtfmt animos msn cano de pesquisa.

devidos a UBICH. lh pri—ira não. do capitulo en austin. mtx-armsresultados sobre o marta—nto assintótica da salmão da nomeio linear de

mumia dimtizada, baseados na versão continua de Thou-enls de

Paiey-Uiener; depois apresentarem» os resultados sobre a estabilidade dos

útodos limar-es de passo núitipios aplicados & autuações com m'nieo de

demolição e finalmnte mstrarems a extensão dos resultados apresentados

nos itens anteriores para sistems de equações com ninleo de omnmimão.

4.2. VBBÃO msanm DE UM mmm IE PNET-Ull—

Disoutirems aqui o como:—tamento assintótica da salmão de

mações lineares discretas de tipo mutio.Paley e Wiener (IPM—341) deram o seguinte resultado sobre a

estabilidade assintótica de Intenções de Voiterra do tipo mimª:

mmm; 4.2. 1 . (EPM-341)Considerems a Eluação Limar de Volterra:

y(t) . gm + [xa-nymds (t z e),o

!mude o m'nleo I(t) E I.. (0.00), então

y(t) 40, (|I-Mo o(t) 40 (t 4»),

newtone-"Hnds |! 1 pure Bena) ; 0.0

Estamos interesadas na análise da estabilidade mmérica das

equações integrais de Volterra. A versão discreta desse Tbm—eua. muie

ooiocams : = ew, é dada por:

mm 4.2.2. ([LUBICH—BBJ)

Cmsideretms & minação Linear de Volterra discreta:

::

yn . qn *E “u_JYJ' (“ 2 º), (4.201)J=0

alle o nínleo (un): e €*. mao.

V,, -+ 0. qundo. qn .. o (n .. a), (4.2.2)

se e sonente se

2 nª:“ ,. 1 para [:| 5 1..

(4.2.3)n=0

Pmms “ (4.2.2) implica em (4.2.3). por redwio no“

nbguºdo. Pan luo Itumirim: qm 3 to, [Col 3 1, tal qt- 2 In:: : 1.

nªº

"net:-arenas qm 3 ou -» 0 nas & salmão y" de (4.2.1) e tal qmyn—l-oo, (nation—»O.

n. —nSean y" .. to . Definims gn : yn Elª—J“

J=0

'l'ems qm yn 4-9 O, quo n —vooe yné salmão de (4.2.1)

pela própria definição de cª. Pbstrenos qm ºn —-0 0.De fato,

J 3

n 00 n. .

M;,-"(1-2 xwªçgª)=ç;ª(2 Bfg—2 “..-f:.“J=º J=º J

". (:'( 2 RJ:—g ).

J=n+l

lºgº:“ 00

anl - legªj só:—g | = | E xjeg'"j=n+l jª'”.

-79_

D D

s 2 lu,:rgªl- 2 I-BJI-Ieá'ªlJann Jun—H.

»$ K .2 | J|J=n+l

”Quando :: 4 eo, terms qm E Ile —-9 0, pois “11,36 gl.

J=n+1'

Portanto, gn —o 0, quando 'n —) ou. O que contradiz (4.2.2).

Para mostrar me (4.2.3) iuplica em (4.2.2), consideremos as

séries formais de potêmias:

” N ou

n n nINC) - 23,3 . UN:) = 29,3“ º M€) =E ynt -

"=º n=0 n=0

En terms dessas séries & eqmção discreta de Voltem-a (4.2.1)

emula & expressão:

yu“) : g(z) + “My“),

ou equivalenteuente,

yu» :L,» 1 - x(e)

pais 1 - me) : o, por hipótese.

ao1

.1 - I(z)Cmsidermdo N:) = :; rªç" tens, pelo tmn

unode am:—sao de um (mn 1.2.1.). qu (rn): 6 eª. um.

n& »

yu .2 'n—JPJ' com qn)“ E (:o . (l'—n)º 6 c .J=0

11

Portanto, lim yn : limã grjrun-aoo ”=º "J

Provªr-emas agora qm lim y" = O. Sabeuns qm:M

E Irnl (oo : gn—no.n-O

natiov:>o,3%)Otalqmparanznºtms:

n '

2 Irjl ( s : Ignl ( :.һo

Seja e)0dada, tmmsnz'znº. Entao,

" n' 2 ªn—J'J ': ' ªªª-3% ' ; ºra—J': '

J=0 ,i=0 j=nº

—81—

ao Junº

n( :? lrJI + .=: IgnIE Irã]

.l-º .i-no

. Cl! + Cºe - Ct,

muie C, (:1 e 62 são constantes.

nPortanto lim y" = lim 2 ºn—Jrj : O. .nano n-wo J=º

Na denunstraoão mina, qundo Ilustra—:s que li— yn = 0. mmsn-mmaoperaçãodemlwãodeumseqxêrmiamclmwtraemc, resultaem um sequâmia em Cº, ou aja, elucº ( Cº.

Existe também ummunido qm garante . limitação. da toh-ão dn

equação dimt izada.

cmoumo 4.2.1. numca—831)

Considerems & eqmção (41.24), alle (un) 6 e', então

yn- & limitªda, senpre qu: qu for limitada (4.2.4)

se e amante se (4.2.3) for válida.

-aº-

Demnstrarem pri-eim m- (l.2.4) inno- eu (4.2.3). Pura

isso considerem: & eqmoio (1.2.1):

:|y,, =- c,, *É Rudy... !! z 0-

;noAssim,

70 ª ªo * K«Ver =º ªo ª “ ' ªo'yo'yl = gl + Klyº + Kªyl =) gl : Klyo + (l - Bºwl,y2 “ º: * llzª"? * “191 " ªoyz : ºz * 32% * “171 " “ ' ªo'ª'z'

lago, venus que dada una seqzêxnia (yu); & seqxêmia (gn):pode ser deter-unida de Inteira (Ixion, desde (BB 1 — Kº # 0. Portanto a

expressão (4.2.4) pode ser reformulada da sequinte mira:O—operadm— linear limitado no cºº,

T:y—rg=y-K*y ólnoersiuel.

T é obviamente cantina, pelo teorm da aplicação aberta, T4 é

limitado isto é, “fªq“ “ ( eo.6»

Seja T_IQ) = Zune". Então se y = 'r'ªg. nue (ou): e cº, temsa..—0

'

—1

Vo " "' º'o “ ”oºo

-1'n ' " º): " ªnªo * ªo“:

-1Vu " " “'n ª ”nªo ' bn-xºl ' ”aºs;

Pbstrareuus agora que a sequência (bn): € eª, para istoconsideremos & sequência de funções:

(n) (n) (n) (n) (n)9 =(gº '91 !92 "'-29" tº! "- )!

( ) . .onde gd" . s;na1(bn_j), ,; . o, 1, :, ..., n.

n nAssim, T—lqm) : 215?qu : ãlbjl'

J=º J=º

—1 . —1 (n)Portanto, noun T é limtado “T 9 “em ( C ( ou,

“impaciente de n, e auiu lim “fªçªnhas ; [bjl < c < «». ou seja, a

. . eo !seqmmza (bn)º € € .

Venus agora Ilustrar qm a sequência salmão Yn —-o O, mazda

qn—oo, n—voo. Detato,

nvn = 2 brt-Jºr

j=0

com (gn): e cª e (bn): e e', foi demstrado no mu 4.2.2. que nessas

“84—

audições yn—õº. Mon—+».

It! 5 1.

ao

Portanto, pelom 4.2.2., mínima quê Buen ;! 1 paranao

Por outro lado, para mostramos (4.2.4), tentas qm as eqmções

discretas de Volterra oorduzem &:

ym : qm + meme),

ou equivalentellente,

Lªgo)

isto é,

limitada.

W:) = ————ª“” = rmqm.1 - um

IA||le = lux—«gu 5 llrll ug.»

sllrll llglle' cºº,

lyllw=llrll llgll .

Portanto, se ou é limitada e (rn): & cl, temos qua yn é

A aposição sobre (: m'nleo (Rn): perterner ao eª pode ser

enfraquecida. Basta me (Rn — Km): 6 eº, para algum constante K” # 0.

oomuímo 4.2.2. numca—831)

Cmsíderems : eqtlaoão discreta de Valter-ra (4.2.1), mae1 “

.

(xn — 1336 o para um x... ,: o. e ª» e e; entao

yn 4 O (é limitada), senpre qm Wªn = gn — n-l 4 0 (for

limitada). respectivamte, se e somente se (4.2.3) for válido.

Observações :”

1. a» (4.2.3), um é interpretado com E mn - xeºn" +

n=02. Yn —o O (é limitada). áenpre iuplíca em van -—D O (é limitada),

1-ç '

respectivauente .

Considerems & eqmç'ão de Volterra discreta (4.2.1).

qt: & equivalente &,

ym = gm + nu,-m:)

e: (1 — uu - B(€))y(t) = (1 — :)gun

€=à dantando (! — t)“ - mg)) por (1 - MD), ohtems:

“86—

y(€) - u(t)y(t) : o(t) - “(t)

" ” |], D 00

(==? 2 yntn - E ( 2 uii—Jn)? - 2 que" - ; ende", ande tomms g_1-0M M .:.-.o me mo

“ nn= Em. 3 "...m - º.. + «.,.m = º. v m sl

n=0 =O

“

:O

1550 dennnstra que a equação (4.2.2) é equivalente & eqmção

(4.2.1). 0 me ms permite denunstrar () teorena para essa segunda equação.

Para esse efeito provamos qm as hipóteses dos mma 4.2.1. e do MIO4.2.1. estão satisfeitas.

Os coeficientes da série de potêmias:

00

l — uu') : (1 — t)“ - RQ” = (1 - :)(1- 2 (Kn — ROOM") — Km

mopertecemao e'.

N" xm

Eainda M€) ;! I see saliente seêmn-KNM ——# 1.n=0 l-:

Portanto. aplicando om 4.2.2. e o MÁRIO 4.2.1. para &

eqmçao:

_º?—

nYu _; ""_JYJ . wu!

Jl'º

qm & equiwlente & mão (4.2.1), tem: o resultado. .

4.3.mm soma EB'MBILIDRDE nosmum DE PASSO nimmo

lhste item esttdarelms (: oonportanento assintótica de salmõesmméricas obtidas pela aplicação de uétodos lineares de passo núltiplo. com

tauanl'no de passo h ) 0 fixo, para a seguinte classe de eqmcões integrais de

Volterra de tipo oonmlw'áo:

y(t) = g(t) + A K(t—s)y(s)ds (t z 0). (4.3.1)0

arde Reu) ( O e o núcleo omitiu": I(t) € LIQ.») é um funçâo definida

positiva com mm)): e e'.Conn vims pelo um 2.2.l., aplicando mn látodo linear de passo

últiplo & eqmç'ão (4.3.1), obtemos une equação discreta de tipo conwlwão:

nyn = gn + um; ºn—an—jyj (n 2 O),

J=0

::muie gn = g(tn) + ).hê "niªn-J'; e lin = K(nh) e um semen-na definida

J=0positive perternente ao el.

Para esta classe de falcões teuDs o seguinte resultado sobre a

estabilidade da salmão américa:

mma 4.3.1. ([LUBICH-BBJ)

Aplicado um nétodo linear de passo uúltiplo for-tenente estável& eqtnção (4.3.1), made assumimos sem perda de oemralidade me MO) = 1, paisE é definida positiva. Ehtão & solução úmérica satisfaz yn 4 0 (é

limitada), senpre qm g(tn) 4 O (fer limitada), respectivamnte, e ).h estivercontido no disco de estabilidade do nétodo.

Prova:

Seja c = Tª, onde R é o raio do disco de estabilidade do

mªtado. Pelos mas 3.3.4. e 3.3.6. tems qm (MONDEO, 0181, 0282, ) é

um sequémia definida positiva. Pela caracterização de 'lbeplitz-Caratheodory

(uma 3.3.5) temos me:

ID

nReê Rhaone : ªo, para [(“I 5 !.n=0

Logo, para todo ).h pertencente ao disco de estabilidade do uétodo

DRe escªssa.—L) para |g| < 1.n n ).h ' 'n=0

Portanto ,

_89-

ãºnKnªn*x%D walçlsxepuathdimdeM

estabilidade do uétodo.

Isto é exatanente & condição de Paley-Uiener para a equação:

"

j=0arde

']gn = g(tn) + mê wnjxn—jyj'

á=-k

” € cª, e os pesos w . são limitados,Com En —o O, pms (lin)o “Jcomluinos qm qn -» o (é limitada) se e sonente se g(tn) —o 0 (é limitada),respectiwuente.

Aplicando o mm 4.2.2. e o um 4.2.1. à equação (4.3.2)terms me yn -—+ O (é limitada). 0 me demnstra este resultado. .

E com un mlário desse teor-ena, temas:

Tm 4.3.2. ([LUBICH-BSJ)

Aplicando um uétodo linear de passo uúltiplo A—estável a equação

integral (4.3.1), arde assumíms qm KM) : 1, então:

yu 4 O (é limitada), senpre me g(tn) 4 0 (for limitada).

respect ívanente.

A pum duto teore— é ldintlca & do tmn- mterlor.uniram um: qu :: nio do disco de Eltlbilidlde dos uétodos A—utáuus é

RzneportantoC-ao. ,

“ .

a recíproca desse tmn- taubém é válida, desde um o método

limar de passo uúltiplo utilizado seja fortemte estável, com uma o

mlàrío abaixo.

MÁRIO 4.3.1. (HEBER-831)

Se yn —--r 0 (é limitdda), senpre qt: g(tn) --o 0 (for limitada),

respectimnente, para “que eqmção integral com "(plea um contínua

definido positivo do nulo pertemente ao espmo LIQ.») e para todo ).h. com

Ibo.) ( O e h ) o. então o nétodo é A—estáuel.

Sejam KW) . 1 (sem perda de manada) e h ) O. attªch. pelo

mau 4.2.2. telas qm:

n !20“an «Tp—ralelslezen,n=0

mile D é o disco de estabilidade do uétodo. logo.

-”-

"IEE aulª:" : 0, p». "| 5 !.DIO

Isto é.”

&; enunhn" ; o, par. |e| s 1.me

E isso iuplica em:

“na; anc“zo, 'para |t|$leh-—90.n=º

Pelo mn 3.3.5. tems me (eu): é um seqnência definidapositiva. e pelo uma 3.3.7. minimas me o uétodo (! A—estável. .

Tem» um, um outro mlârlo da W 4.3.2. lhsteresultado a hipótese sobre o muco Mt) € lho,») pode ser enfraquecida.

Basta que um — x > e Um,»), para alem]! .: o.” “

mn 4.3.3. ([UlBICll-Bªl)

Se aplicam» un uétodo limar de passo uúltiplo n-estável & um

eqmç'à'o integral com m'nleo definido positiºn:, Ollie (I(t) - R”) G 1.110,00) paraalgun Kºf O, então & sala,—ão américa yn 4 0 (é limitada), sem qm

WM") 4 0 (for limitada), respectiva—nte.

Seja bn : lin - K”. (uma aplicams mn método linear de pasoÚltimo & eqtaçâo (4.3.1), obtems a eqmção:

_92_

=º !! lª: + 5 M 53“"a:? €..."<

&-E M ”8"'n8<“.

In ll '“ + E 8

Agora vin = 'n - fn—l-1

- g(tn) — “(tn-1) + ME “|“er - "n—I,an—1—j)yj'J=—h

Portanto “'n—o O (é limitada) (= WR") -—o O (Por limitada), pois qurdon —o eº, bn —-r 0 e assim o sanatório acima é mamute zero, na limite.

mitiplicando a expressão de ºu por €", para n = O. 1, 2. .

e salvando todas as equações obtemos:

(»É que" : É fneu + Wºº5 Vá 2 "nit“mo n=0 J=-k n::O

-g3-

.E fken."hhxcnbiã-(-£Z_'mo P(”

onde N:) é um pomâmio.

” »Considerando em :; fue", qm = Zªnºn e

n=0 n=0 '

»(«K)(t) = Ecºline", da expressão de yn obtems:

n=0

VCD g(ç) + ).h(aK)(€)y(€)

em + mxm f(t) + ).h(uR)(t)y(t).me)

Desta forun:

f(nptç) + mumupm

y(€)(l - “(al) (€))

rmpm + Wurm=o ym : -=.———'————-——

pmu - mwxnm

Observe qm (uma) ;: "1x5 para |ç| ; 1 e que as raízes de pmtêm nódulo unior ou igual a 1. Portanto, o demminador acina só poderá se

anular nas raízes de M:) com nódulo igual a 1. [human—arenosa seguir que

esse fato não ocorre.

:(ppcç) + mmHg—) uma“, + mmHg—)Y(£) = T = “.=

pa,—ul — “(cam,-)) pwnn - Amame) —mma<sn

_94..

:((-);“) + manupmu - wma) - “wmv/MU)

n:);m + Wurm;(e) - mânmbne) — mjm

Da última expressão oonoluinos que seu demminªdor não se anula

nos zeros de ;(ç), pois ;(e) e ;(g') não possam raizes DBMS. Ainda, pelo

fato dos coeficientes de («D)(t) estarem no el. temas qm os coeficientes de

;(Q) — M;:(çNabNC) -— mm;“) estão no el. Podems então aplicar o teor—ene

da inversão de Wiener (mma 1.2.1.) para concluir que os coeficientes de

M€) l, estão no el.

;m - »»;mmbug) - vêm .

ym = r(8)(;(ç)f(t) + mumu).

Com (1—8) é un divisor de Mt), terms:

ya,-) = r(s)(q(:)(1—zmç) + mºre».

onie quª) é un polirêmio.

Sejam:

rue) = rmqm e 'rzm = mªpa:—(:).Os coeficientes de um e um estão um eª. Lago.

y“) = rl(€)vf(£') + r2(t). Ollie “(€) : (l -t)f(t).

isto é.

.!

nQuando 11 eu, tems nt 1-2" —»0 e 21—19“in -+0, pois

.

J=ºllic &: C oonforue observamos na demnstração dom 4.2.2..0 O'

Portanto, yn —0 0.. .

LUBICH apresentou um exenplo, no qual nostra qm a classe de

equações integrais com nínleo definido positivo não preserva a região de

estabilidade D do método. Tal exenplo é exibido a seguir:

mw 4.3.1.A fórmula EF de 5-passo é oorúecida com Rºmª)—estável. Os

pesos da quadratura associada são:

60 3%ºº'—jªl=—_-“º>2ugunll

Aplicando este método com tamanho de passo h = 1, à equação

2-t (OStS2)(4.2.1) com). ( _O e I(t) -' ,

0 (t 2 2)que é um função não negativa, não mscente, centena e definida positiva;obtenDs :

_96_

D .

“2 «nuncª - Mºu + %%“ . : perl algm |e| ( 1. qundome

[x| e escolhido bastante grande. .O exenplo acirra nostra me nem senpre & aplicação de um uétodo

Na)—estável (no sentido de ªções Diferenciais) & uma atuação integralresulta mxm esqmna estável para todo ).h na região (Na)—estabilidade.

às regiões de Mix)-estabilidade de um uétodo para eqmções

diferemiais e integrais coincidem quado resolvems & eqmção:

yu) : g(t) + Ar3(t—s)y(s)ds, t ; 0, (4.3.3)0

.

l.

'

Amuie o mbleo K(t) é uma furgão continua no O e é coupletauente mmtonica.Para àenunstrªr este resultado, usarems o sequinte fato:

um 4.3.1.”o

I 1 ”E se.,a (zu): e e . Ehtao,

.A

Seja (Rn) uma seqtência conpletanente mtonica. com Nº) = 1.

N

2 Kªzn está contida na envoltória convem de:n=0

”(Zangª/05951).n=0

..97—

Pelo teore— de tunada—Cf (ma 1.4.7.) existe um funçãº

limitada rão dem—emu «(0,11 —+ & tal que Rn pode ser renomada com

um seqzêmia de matos:

n . nKu = s du(s) = lim 25i[º(ªi+l) a(sín,

«) ª 1

cmde o limite é tunado sobre as partições H—= (50, sl, , sn) do intervalo(0, i] . Observamos mz:

“(SUI) — a(si) ; O.

Zunz!“) - a(s )) = «(i) - a(º) = K = 1.i 0i

Dªqui.D

snªmam)-u(s))ãz"nii n=0

oo

está contidª na enmitória centena de ( ; znsn I O 5 s 's 1). e assim. o'

n=0

limite tanbém está, pois esta é falada. Eht'ão,

Lg“... “gªys.-..,;g-

.ri.-0 0 n=0

Mame.aplicado um método limar de passo uúltiplo Me)-estável &

eqmoão (4.3.3), oxide &“me me a m de localização de raízes do

nétodo.

(p/aNe't) (O s t 5 1), está contida no semi-plano H, (4.3.4)

arde H : (wl —a 5 arch!) $ N—aIUCoa). Então & salmão américa satisfaz:

57" —+ O (é limitada), senpre qm g(tn) -o 0 (é limitada),respectivamnte, e largo.) — RI ( «.

Fio. 1. m (pla) (en)

Obs: Seguido LUBICH : suposição (4.3.4) é satisfeita para praticamente todos

os uétodos ínportantes MG)—estáveis, em particular para tá!—nulas DF.

Proxim

Sabems qm o conjunto E = ( (p)/cn:“), It] 2 1 ) é o oouplenento

da região de estabilidade D do uétodo. lbsde (BE o método é Na)-estável, E é

un suboonjmto de RE, onde É é o semi-plano oonjwado de H.

Pelo teorena da aplicação aberta. (4.3.4) imlioa qm:

- 99—

Lm")estáemn parar2190< tsl.Dai.

Mm")___f(reit) Juve“) a(reii)

it ito(re ) o(re ) P(mií o(reiz

muit)" a(reít)it ' —-—,--na(re )" Mm")

:Ilpu'e “>" o(reit) (eit/r)kit ' ' it :;[IM:-e )" “Felt, (e Ir)

Ilp(reit)ll g(eªtmuau—a“)» pulº/r)

isto é,;(ren)-F-i—estâemll,para0$r$ 1 & Ost 511.p(re

hi,”Eonrªeªºtea, osx—5 1, Ostsll.me

1090,

n int

_,.”—

. “Pelo mn 4.3.1.. 2 annª:—Teªm e a, o : rl ( 1. o s t 5 a.

melºcº.

“lim 2 anna:—Teªm & a (poisl'lá fadado).rl-ol n=0

"Desta forun 2 online" & ru? para |e| ; 1.

n=0

“Logo, se largº.) - III ( a, então "12 “nªn?" ,! 1 para |“ 5 l.

" "=º

Pelo mma 4.2.2. e pelo COROLA'RIO 4.2.1. terms que V" —o 0

(é limitado), senpre qm ºn -+ 0 (for limitada), respectivamnte. '

Agora,

ou —-o 0 (é linútada) se e sonente se g(tn) —o 0 (for limitada).respectivamnte. .

4.4. SISTBDS [Emºm Imre IE VOIJERRA DE saumMIE

Esta seção estenderams os resultados das seções anteriores

para sistenBs de eqmções integrais.O teorema de Paley—Uiemr para sisteuBs de eqxações integrais

"lineares de tipo oonuolmão é:

-101-

mama 4.4. 1 . (CLEBER-831)

Consideram; :: sistem de oqmoões integrais de Volterra:

y(t) - 9“) + R(t-s)y(s)ds (t z «» emmª,«»

mãe a função nx'nleo um & Lªw,»); então:

y(t) —-+0, senpre qm g(t) —)0 (t a»),

se & sonente se

det [ 1 — Jºe—“Huck # o pra nem) a o. .o

a versão discreta desse teoreua é:

mm 4.4.2. numca-831)Considerems o sistem discreto de mações de Volterra:

y = gn *E andy. (n 2 0) em mª, (4.4.1)j=0

muie o nínleo (un): 6 e'; então:

vn --º 0. senpre me on —-» 0. (4.4.2)

se e somente se

-102-

det : —2 ane" « o pura |ç| s 1. uma»

(Imer-vação: Una seqtémia de atrizes perteme ao el. mundo todas asseqxámias tornadas pelos eleventos correspmndentes da semêm'ia de "atrizesestão no a'.

Provª:

Ibest:-arenas (4.4.3) por redwão ao absurdo.»

Suponhams que 2an" tem 'um uutoualor 1, para algum Mºl $ 1

n=0oo

isto é, ,det(I - Exata) = O. Demtando por 0 o autovetor correspondente,n=0

tonando yn = (“gnv --X-» 0, e definirão q" por :

n n"'ª J

gn : yu _ 2 xn—jyj : :O v _ 2 Kn-jeºuJ=0 34)

temos qm yn : :::: é solução de (4.4.1) e mstrarems & sequir qua ºu —+ 0.

n"1 “Jªn'ªªgnº'ºoâªn—jªoPº'ªo “_annico )“

J=0

=go( gongo—jªn“_.son:(És.sgh,J=º J=n+1

J-n: êxjtº Vo

j=n+1

..103-

& N »loºl = 2x5?» sjlnjnuuw s 2 lªjllºl-

J=n+l J=n+l J=n+1Portanto,

”[gºl 5 lvl 2 IKJI -90, mando n—oD,

J=n+lou seja,

gn—oo, Won—ooo. Observementantoqteyn—laº,oqtecontradiz (4.4.2).

Por outro lado, para Ilustrar (4.4.2) faze-nos:

n

n “ 9n + 2 Bn—Jyj'J=0

isto é,

y(€) : g(:) + K(t)y(€).

Por hipótese, tonos qm:

(1 - x(:)) & cl & det(I — xçe)) ; o.Lªçº.

(] - lug-))"l :M e É,det(I — ace)»

Portanto,'( - ))y“) :Mg“),detu — msn

ou seja,yn—aº,senpreqtzgn—to,qwdon—yoapoisel*cºccº. .

_lm_

0 minte resultado qal—mto . llnítnoio da salmão dn cauçãodiamtluda (4.4.1).

MIO 4.4.1. «mxm—aanConsideremos o sistem dim—eta de eqmoões de Voltem-a (4.4.1).

Então,

yn é limitada, senpre qua on for íiúitadà, (4.4.4)

se e saliente se (4.4.3) for válidª.

thmnstrarems primlm me (4.4.4) implica em (4.4.3). Para

isso oonsidereuus o sistem discreto (4.4.1):

11

.ynlgn+ Exu—jv). "ªo.dªº

__“

Assim,

yo : qo + Rªyº : co : (I'xº)yº.91 = ºl * ªlvo * ªo”: = º: = ªlvo * “ªo”?y2 = gº + Bºyª + Klyl + Rªyº“ =) 92 = Rªyo + xlyl + (I-Ko)y2,

Lago, venus qm me dada seqtêmia de vetores (yu); a seminua(gn): pode ser determinada de "arteira (mica, desde qm (Ketu—Kº) # 0.

Portanto, a expressão (4.4.4) pode ser reformulada da seguinte «arteira:

o operador limar limitado um (eª)“,

_lm_

le—AQBy—luyólm—uiwl.

'l' & ahah-ente omitiu», pelo teor-en da aplicação aberta. T tem

inversa limitada. isto &. [|T—lg“ ”d ( oo.(& )

N

Seja 'r'lm = E e“. limao se y = T_lg muie (g )” e cn ' ' n º O'n=0

tems qm:

('r'1 ) = B -º «» oºo ' Vo—1(T 9) .. Bigº + 3091 = 71

-1('I' g) : Bugº + Bru-191 + ... +nBºg ay"

Estr—arenas agora qtº a seqnência de "atrizes (B“): € e', para

isso considerems & sequêmia de (“tações gm) : (yan), gin). g;"). , Gâm-

sinal hã?—J)

º, III ).m 03“). ? , J-º' l' 2, ...|"0

n(n— )º (n)Assim, 2 Bl???” : =S. onde Sk: 3201)“

J.

j=o=º?

Sd

..lm-

Portmto. com [|T—lol] ( C ( ao. Mt. do :|. um:(eª)“

qm "BII ( “. ht. QD 82, 83, ". , 8d .“ llútmfn ”'in. tmecod(6 )

::

qm 11— E [biml ( c ( ou, ou nó., . muito): (bg)):e cª.|H» Jac

hpetindo o msm raciocinio. escolhido seqzêmias de rincões. . (J)co (J) ao (3), eo95 amadas, clngm qm as seqmmias (1,12%. (b13 )o, .... (hdd)º,

estão no el. Assim & sequâmu de matrizes (an): 6 e'.!bstrarems agora que a ganância solwâ'o yu —-+ 0. MC)

gr.—»O, n—aoO. Defato,

nYn : É Bn_'ig'i!

J=0

uma (o"»O e cº e (B) e e'. foi deumstrado mm 4.2.1. qm nessas

audições yn—ro, miau-400.

a “atração. asim (: válida qundo os coeficientes do sistem(4.4.1) são reais, para o caso ,ooupleno & (laminação exige um peqmna

mdificação, basta tunarWins de fusões q., da “quinta mira:

O . para nostra:— qur . ganância

(n) eo 1(bu )o E O ,

..!”-

12

(n- )"umª ||c;") - . , por. Intl-u qm . seqdnoio

(n) ao 1(h12 )º e e ;

E assim por diante, até Ilustrar qu & seqmªmia de atrizes(sn): & e'. Isso produzirá (4.4.3).

Agora & demnstração da audição de (4.4.4) é análoga à

desmstração para o caso escalar. .

Voltaremos agora mssa eternão para sitmções mais gerais, ande1

(ln - E“): e c , para alguma atriz E“ arbitrária não mila. O sistem de

equações, de Voltem-a (4.4.1) pode ser transformada de tal mira qm“ : ntrizK“ de ordem d, tenha a seguinte tona:

º?“ , (4.4.5)'eu um

muie, & é a dimensão do espaço mleuentar ao nulo e imc-d é & invensão do

nulo.

01:65 o sistem sofrer esta transform'à'o a função o terá ªseguinte expressão:

O“11,de

qn : 1 '(qu'eu:

..!“-

hn este mundo tem: o seguinte multndo:

MIO 4.4.2. (INDICE-831)

Considere-os o sistem de nações de Voltar" (4.4.1). andeno !assadas me (Rn - [(Jº 6 4 , para algm ntriz x”, a mal tem & torne

(4.4.5). Então

yn —+ O (é limitada). senpre qm o:. W:, —. 0 (forem limitadas).respectivanente. (4.4.6)

se e mente se,

Observações :

l.

(1 — :)ªdetu — um) ,. o para [:| 5 1. (4.4.7)

Se E” é um mtriz não simular. então as audições (4.4.3) e

(4.4.7) são equiwlentes. Pois. para & :! 1 (4.4.7) inplica

trivialmte em (4.4.3). Veja QI.- (1 - Hddetu - I(tn :m

n= det“! - em — um)-dem: - em '2“..'“..'“ - ª..)-n=0

Portanto pm. ça, tm qx- u-nªdetu — na» = deu!”) .e 0.

Portanto &HI - KUN : no.

Para o seguinte enemlo, alle ! não é inuersíuel, as audições(4.4.3) e (4.4.7) não são equivalentes:

1 - o o ª . —-

y": 1—1 *" 2 yj.'

o 1 o J=0

“109—

a solução yn é tal qua yn -/-o O, amante que (4.4.3) éO 0 lll º] (e eaxwtalqmmn 8.366satisfeito. Isso ocorre pois Ku : [

hs datª") - O.

rºx-ow: (conouímo 4.4.2.)n

O sxstena de eqmçoes y" = gn «02 xn-Jyj' n 2 0, pode serj=0

reescrito com:

(1 — K(€))y(€) = gm.

multiplicado as e últimª:. linhas desse sistema por (1 - €),obtemos:

(4.4.8)gºm

(1 — mçnym = ,(1—€)ql(€)

arde (I(z) representa um matriz com seus elemntos sado séries de potências

com coeficientes no e'.Com: (l-t)ºdet(I—K(z)) = detU—UQ'H, temas me det" - INCM”.

parª [:| 5 1, se e somente se (4.4.7) for satisfeito.De (4.4.8) obtems:

:lª—

nºs___—i

n

yn ' 2 un—jyj =

j=0

qm é equivalente a equação 4.4.1.

ªplicando (: mmm 4.4.2. e (: COROLÁRIO 4.4.1. temas o

-110-

resultado, ou seu,yn —+0 (6 Unitau). Imre qm o: dº, vu; —00. (forem

limitadas). respect inn—nte. .Voltaremºs agora & qmstio de estabilidade dos nétodos lineares

de passo uúltiplos para sistemª de eqmções integraie. Mtes porêm.

precisams estender as definições de seminuas e facões definidas positivª.para espaços de dinensão miar me 1.

MIRIM" 4.4.1.Una fusão oontima B:!!! —+ Hd,

ommleuas died. é chamada definida positiva se a fusão (K(.)v,u> é definidaonde Hd é o conjmto das matrizes

positiva para todo v 6 Ed, ande (,) demta mpoduto lnterm emmª.

mulª 4.4.2.Dna sequência de atrizes (Rn): é danada definida positive. se

& seqtência de m couplem (Envy) & definida positiva para todo

vetª.

Considerems agora a seguinte classe de sistems de eqmções de

Volterra:

y(t) = g(t) + xr'x(t-s)y<s)ds (t 2 0) em (Dd, (4.4.9)0

-111-

ou 'i

º G “e

função definida positiva, com respeito : noun produto interim.

mude nem ( o e . atriz um e Lixo,»), com «um» e nm e um

aplicado um étodo limar de passo lúltiplo & eqmoâo (4.4.9).obtem: o sistem discuto de nações de tipo mlwãoz

:|Y,, - gn + hh; ““_JKWJYJ (n 2 º). (4.4.10)

J=0

arde c;" é definido por:

n

9n=9(tn) +“; W X y oom Rn=K(nh).nã n-J .i',,:o

A seguir prouarenos propriedades desta equação de diferenças,senelhanantes às do caso unidiuensional.

um 4.4.1.Para toda lat:—iz !. seu espectro está contido um conjunto

( (Rum) / Ilvll : D.

Prom:

seja p e espectro(K).

pEespeotro(K) <=. 3x;£0 / Kx=px.

-ll2-

x : i 1(“V.“) ! (LFP-Éi- ) . Tx.-2- (ªl.!) 8W (pam) .

2lxll: _R.-5 ( , ) : ___; n .|le

): “lxll

]) 9

Portanto,

p 6 ( (low) / |!le : i). ' .

man 4.4.3. (INDICE—831)

aplicando m uétodo linear de passo uúltipio fortemente estável

ao sistem de equações (4.4.10), mude assumims sem perda de gerar-alidade, qmuma)" 5 i. Então a sanção mmérica satisfaz:

yª --0 O (é limit—da), sm qm g(tn) —-» 0 (for limitnda),

respectiwmnto, 9 Ah pertencer ao disco de estabilidade do nitendo.

Seja C = ? alle R é o raio do disco de estabilidade do

uétodo. Pelos ums 3.3.4. e 3.3.6. teams me ((uo'lCNKomu), «I(X 11,0),1

) é uma sequência definidª positiva para todo o 6 Cd.

E pela cáracterização de 'lbeplitz-Caratheodwy (mn 3.3.5.“

oo

na 2 enmnvwn" ; -C(Kºv,v), para |:| s 1 e v e cd.n=0

Entretanto,

-ll3-

(800,17) 5 l pura lvl! al, pois pela desiquudue de

Camhy-Shmrtzm:

.Imºmwl s “0:11!an 5 mou : :.

Tennis ainda qm (Rººm) & senpre positivo. pois o priueiroeleuento de una seqténcia definida positiva é positivo. Logo,

ao

822 anmnvwn" ; -c, para |z| s 1 e ||le = 1, v e cª.n=0

Daqui, temas qm:

” N .

( oienvu)= u(Rvu)€ng£—-1— a |€|<1nn ' nn' Ah' par ' 'n=0 n=0

llvll = 1 e para todo hh pertencente ao disco de estabilidade, um vez que:

àestá m semiplam Be(z) ( -c. c ) o e

oo

( 2 «hung—ªv,») está no semiplano na(z) ,>_ - c.n=0

Desde qm para toda net!-iz !, seu espectro perteme ao conjunto

«mm» / Ilvll = 1 ), is'so' inp'íic'á'cize ':'

»:oo

( E «"(Knv,v)€n)v ,! —1— u, Ilvll :- 1 e 'e' 5 1,n=0

-114—

ºu sejª!”

( Zankurº - 451»; .: o, M ,. 1.naº

logo, este sistene adnúte um única salmão se e sonente se»

det( zªnga? — Tlm—I) .! 0, me é a oordição de Paley-Wiener para o sistem deo..-0

equações:

nyu = gn + ).h 2 “n-an-jyj (n 2 O).

j=0

Agora aplicado o COROLA'RIO 4.4.1. e o mom 4.4.2. terras o resultado. .Com um corolário desse resultado, qtamlo R : oo, terms:

Tm 4.4.4. “MICE-831)

Aplicando um nºtado limar de passo uúltiplo n—estáuel ao

sistema de eqmções (4.4.10). Então a salmão américa satisfaz:

yª —0 O (é limitada), senpre um ou") —o o (for limitada).respect lvanente .

Prova f- “ªr"e demostração desse resultado é idênt lca ã demostração do

Thorens anterior, apenas lenbrauos me o raio do disco de estabilidade dos

uétodos a-estáueis é R = no e omsequantellente C = O. .-115-

RESULTnDos NUHÉRIOOS

5.1. COIBIDERAÇõEB INICIAIS

Apresentarems aqui alguns resultados mérioos de nétodos

limares de passo núltíplos aplicados à equação integral limar de Volterra desegunda espécie:

y(t) = ”ª“ - lee—t - 10 (“'ª' y(s)ds, t z e, (5.1.1)1+t e

cuja soul,—ão exata é y(t) = t2 .

' (1+t)Cono víms no capítulo 2, os rótulos lineares de passo uúltiplo

podem ser reduzidos a regras de qmdratxra:

-1 n

y" : g(tn) + 1.2 wnJX(tn,tj,yj) + h 2 «"_jX(tn,tJ,yj), t z e.j=-k 5.0

kb qual os pesos (as ), (w ), ..., (w ) são obtidos a partir do nétodon rn,-k rn,—1

limar de passo múltiplo eupregado e das regras de quadratura utilizadas nos

cálculos dos valores iniciais. A delmstração do um 2.2.1., do capítulo 2,

-116-

mostra claramente com esses pesos podem ser determinados.Com podems observar, a meio apresentada acha satisfaz às

hipóteses domn 4.3.1.. ou seja.

- A = 40, omseqxentenente 590.) (.O;

- (: nínleo R(t,s) = (“'” é uns fm,—.ao definida positiva do

Lite,»);— a função um = noun —10e't --.0. uma t ...o...

(1+t)

Portanto pelo Teoreua de Paley-Wiener (m 4.2.1.), sabetms qm o

conportanente assintótica da salmão teórica y(t) dessa equação tende a zero,quado t -—+oo. E pelo mma 4.3.1. sahems que a solução nunérica yn —-r 0,

mando kh pertence ao disco de estabilidade do uétodo. '

Ilustrarems este capitulo com os seguintes nétodos: método de

Siwson, método de Adans-Bashforth de 2 passos 'e uétodo de Maus—multan de 3

passos.Em todos esses emplos, calculamos os valores iniciais pela

regra de quadratura do Trapézio aonposta:

g(s)ds = h(àg(0) + 901) + g(Zh) + + âgc'm.” .

Os cálculos foram feitos em uúmmmputador oonpativel com a

linha IR!-PC, de 16 bits. "MfmmáesemwimwzwPascal .

-ll7-

5.2. ”nª nom IE arm

Aplicams & equação (5.1.1), o método de Siupson, e calculamos

os wlores inicias pela regra de quadrilha-a do Trapézio.

O uétodo linear de passo uúltiplo de Siupson para calcular a

salmão de P.V.I. de Fl.-nações Diferenciais Minárias é dado por:

— y = ªu + a: + : )3 n+2 n+1 n '

Os pesos da regra de qtadratura redutiuel obtida db método de

sinpson, usando a regra de (madratura do hapézio para cálculo doslvaloresiniciais, são:

( )_(111111 ,"n,-z - ??????"-( _(454545 ,"..,-1 erraram'lbstrams na tabela abaixa) os erros, em valor absoluto, obtidos

ao empregar esse létodo à equação (5.1.1):

—118-

h no 20 se «no :o0.05 mesemo'ª hmmm“? meneame" amaram»já «.wmuo's0.1 "1,73373x10'5 9.91%10'5 6314094310— s.1:maxxo'â «Mªmmª0.2 Lssmmuio'5 o.os'muo'â mamou-175 ..muxn ª amazonia"!0.25 umano" e.mxouo'_ 5.965361110- «sangue?: assumiª0.5 258596110— 8327571103 5.06366x10'5 3.66533x10 2.92444x10'51.0 Lass-57:10" «.sznsxlo'ª 2,94122u10'5 2.20873x10— 1.774263110—5

wat

h 60 70 80 90 1000.05 amazona"? 3.11032x10'7, 2.73107x10'3 2.43393u10'ª 2.19511x10'

..3 _0.1 3.47387x10 2.990581110— 'a'-6328311110-ã 2.33955x10' 2.10989x100.2 3.200893110-3 museum? 2.41auxxo'3 2.15467x10—ɪ 1.94297x10"

3 3 _0.25 3.05531xm' 2.64007x10'ª 2.310wxw'ª acenam" 1.86153xl00.5 2.44415x10 2.10145x10—3 1.843383110-3 1.64181x10—ã 1.479991110—3

41.0 1.48311x10' 1.27mx10'ª 1.11653xw' 9.93901m1f'l 8.95441x10'»

35

335

Conn é Mido, «: método de Siupsan é absolutamte instável.

Wa, os ms apresentados nos pmtos considerados farm! relativamente

peqmms, observamà que ou. & dilúmíção do tamnho do passa 11, m un

peqteno amento no erro, considerando (: ISI) ponto. Isso Já era esperado

devido a instªbilidªde do Étodo.

Este était: é equivªlente 1.031.011!" & salmão américa da

equação (5.1.1), pela aplicação dª regra de qmdratu—a de Siupscm coil'binada

com o uso da regra do Trapézio no inicio, qundo recessário.

Já haviam-3 mstrado, :» capitulo 3, qm esse uétodo é

ªbsolutªmente ínstªººl. “939295? ª nªç㺠É.?ãÉàÁÍAEBEJJÉSÍOª. e. esse.-,..

efeito é continuado para a eqmç'ão de omwluáo.

-ll9—

5.3. Mlªwm'mmrs-mumzmssos

O rótulo de Man—Bastiani; de 21:85:05 é dado por:

1 3yn+2 _ yu = Mi*-ml " ícnh

O raio do disco de estabilidade absoluta desse nétodo é R = GIN

V

D: disco de estabilidade do Ilétodo.

Os pesos da regra de qmdratura redutiuel obtida desse uétodo,

01:19 os wlores iniciais são calculados pela regra de quadratura do trapézio,NSªº:

]. .|. 1("n'—1)=(-2-' 2. 'º“, 2, ª, 2, u.: )-

..120—

nbsolutos, obtidos da nplioação desse létodo. oulwlando os calores iniciaisNaim mtx—ms !— tnbeln contudo os me .

pela regra de qmdrattra do trapézio.

10 _ 30

0.05 2. ssqaoxm'ª1 j-1 . 511081610U

1 .05445x10'3 8.09471x10'ª 6. 56766xm'ª0.1 5.41019x10'ª 1U3.08161x1o' 2. 150861610— 1 .

6513511103“? 1 . 339971110—

0.2 1 .34965xmºª 3 .09054x10 7. 82798xmª 'ao:

9.93951u100.25 3 . 5701 2x10“ Sl6. 10113x10

6. 8692211105 . 28920x101' 16 1 . 40984x10%

Lºl

0-5 2.30677xmºº 8.5081Bx10 1.54996xxoªº1.861mm4.46594xmfª 3. 1306611101

1-0 011 . 978301610 mmm 6 .75:3ermºs 3. 163211110“ Sl9 . 267321110

60 70 1000.05 5.52533x10'f 4.76631x10'ª 4 . 193681110.-4 3 . 74261x10'ª 3.37914um'0.1 1 . 12733x10'3 9.729183110—4 8.55694x10'ª 7 . 63675x10'ª

|D6.89521um'0.2 1.60157x10

p.-º 3 .semanª” 4.2")8121110424 6 . 79%):1026 8 . 45843“0.25

UI

6. xszmxloº 2 . 22325x105 museum" %2. 16984R10iºaaºa

6. 10814u10.5 9.32169x10 1 3 . 9521811105 6 . 765291:105 814. 14324x10 U059. 143111101.0 9 . 267321:10 4.2msuoº9 4.96278x10w NI

1 . zsqaoxw'WI6417153101

calculado é muito grande.

absolutamente instável para esses tannnhos de passos.

em valores

(bsenauns qm pªra os passos: 1, 0.5, 0.25 e 0.2, o erroEsse fato não nos surpreende pois o nétodo é

Mura para os passos h

= 0.05 e h = 0.1, os erros são relativamnte peqcems, o me já era esperado

pois kh está contido na região de estabilidade do nétodo.

'121-

5.1. suª nortrmowms—mm [E & rasos

O létodo de Mau—limitou de 3 pasos &:

_ Ç. " _yn+3 n+2 " ?áginª + ”fmz semi + tnh

O raio do disco de estabilidade é R = 1.5.

D: disco de estabilidade do titulo.

Os pesos da regra de qmdrattraredutiwl são:

9 28 23(ºu) — (É, ªí, “É, 1, l' l' . )

(“n,_2) = (É! É! no 54"! 2—4"! 531 "- )

( , (ª. ªº E?. ZZ 23 ª? )“n,—1 _“ 24' 4' 24' 24' 24' 2—4' '

-122-

erros,

Aplicando este método & «unção (5.1.1). obtlwuos os seguintesem wlores absolutos, ms pontos considerados:

h * 10 20_ ao _ 40

_ 500.05 8,89060x10'5 5. szezsxmº 4.mano"' 3.13493x10'9 2.57592xm'50.1 1.37122xm'5 &. 5190214105 6.165343110É 4327971110" 3.95639x10'É

0.2 2.menu»5 1. 2653434105 9.15027x10" 7.162Mxm" 5. aazaoxm70.25 4. 8063331105 2. evvssulof 2.15235x10ª 1. suzane5 1.38314xm50.5 2.23299x10" 4.22617x105 2. svzazxm5 2.24222x105 1.03997x1051.0 14265234103 4. 521651410“ 3.21819x10“ 2. 150933141)“] 2.06678x10"

h * se 70 eo 90 1000.05 2. lesaaxm? Losango"? revisam"? umanoº 1.36100x10-É0.1" 3. 365461410"5 2.92251x10'ª 2.58252x10'º 2.31336xxoº 2.09498x10'ª0.2 4. 9900834107 4.33266x10—É 3.828181410—7 3.42%va? 3.10495u10'z0.25 1.1?323x105 1.01859x10'5 8.99938x10' &.mmm"7 museum”0.5 1.55995u105 1.35385xw'5 1.19581u10'5 1.0mm5 9.59438x10'5

1.0 1.74211x10'ª 1.51006x10'º 1.33mx10'5 1.19382x10'ª 1.09044x10'5

Os tananhos de passos qm estão no disco de estabilidade do

método são 0.05, 0.1, 0.2 e 0.25. Contudo observams qm para todos os

tauantns de passos considerados, o erro foi bastante peqmrrm e assim podems

considerar qm a salmão mérioa obtida é bastante satisfatória.Para os tammhos de passo fora. damgião deestabiLidadedo --

uétodo nada podems concluir, “em alguns casos a solução nunérioa obtida pode

ser considerada razoável ou nasua mito boa, e em outros pode ser considerada

insatisfatória ou péssima.

-123-

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