RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos63 LIO 6 7. Permutaes Soagrupamentosrealizadoscomtodososelementosdoconjunto.Se os elementos so distintos, ento chamamos Permutao Simples, se existirem elementosrepetidosnoconjunto,entochamamos PermutaodeElementos Repetidos.Porexemplo,paraoselementos1,2,3h6ordenaes(permutaes):123, 132, 213, 231, 312 e 321.Nocasogeraltemosnmodosdeescolheroelementoqueocuparaprimeira posio, n 1 modos de escolher o que ocupar o segundo lugar, ..., 1 modo de escolher o elemento que ocupar o ltimo lugar, portanto o nmero de modos de ordenar (permutar) n elementos distintos um decaimento fatorial e a frmula de permutao simples que segue abaixo. 7.1. Permutaes Simples nP : l-se permutao de n elementos distintos nP n! = Obs.: aAs permutaes simples so casos particulares de arranjos simples quando n = p, da o nmero de permutaes simples de n elementos dado por n n,nn!P A n!(n n)!= = =. Exemplos. E1). Quantas so as permutaes distintas das letras da palavra CELIBATO? Resoluo: Todasaspermutaesdeletrasemumapalavra,soosfamososproblemasde ANAGRAMAS. U, utilizando-se a frmula apropriada, tem-se: P8=8! =8.7.6.5.4.3.2.1= 40320 E2).Dequantosmodos5rapazese5moaspodemsesentarem5bancosde dois lugares cada, de modo que em cada banco fique um rapaz e uma moa? Resoluo: RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos64 Esseumcasotipodeprova emqueprecisamosusarPFCeaindaentendero uso da frmula da permutao simples. Vamos l.Oprimeirorapazpodeescolherseulugarde10modos.Osegundonopode escolher o banco do primeiro rapaz (2 lugares proibidos), ento ele dispe de 8 opes,oterceirode6,oquartode4eoquintoeltimorapazde2modos. Colocados os rapazes, temos que colocar as 5 moas nos 5 lugares que sobraram (tpica questo de permutao simples), o que pode fazer de 5! modos. Isto : Banco 1Banco 2Banco 3Banco 4Banco 5 1o rapaz 2o rapaz 3o rapaz 4o rapaz 5o rapaz 108642

7.2. Permutaes de Elementos Repetidos a,b,cnP : l-sepermutaodenelementoscomelementosiguais, elementos iguais eelementos iguais. a,b,cnn!Pa!b!c!=Justificativa da frmula: Seasletrasfossemtodasdiferentes(permutaosimples),obteramos permutaes.Masesseresultadoesterrado,pois,comoexisteumelementoquerepete vezes,contamoscadapermutaovezes.Analogamentecontamos, erradamente,cadaanagramavezesporcontadeumsegundoelementoque repete b vezes evezes por conta de um terceiro elemento que repete c vezes. Paracorrigirtudoisso,pega-seoclculoerrado()edivide-sepor() para consertar o erro. Exemplos. E1). Quantoas anagramas tem a palavra ARARUTA? Resoluo: Observe que temos letras repetidas e utilizando-se a frmula apropriada, tem-se: Formatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos65 ( )A R3 277!PR 4203! 2!= = E2). Quantos so os anagramas da palavra URUGUAI que comeam por vogal? Resoluo:Vamos ao modo construtivo. Comear por vogal pode ser(1) comear por U ou(2) comear por A ou(3) comear por I. Faamos os clculos: (1) Comeando por U, sobram as letras RUGUAI para permutar entre si:PR( )6U2= 6!2!= 360 ou (2) Comeando por A, sobram as letras URUGUI para permutar entre si:PR( )6U3= 6!3! =120 ou (3) Comeando por I, sobram as letras URUGUA para permutar entre si:PR( )6U3= 6!3! =120 Obtendo o seguinte resultado final: 360 + 120 + 120 = 600 Encerramosostrsgrupamentosfundamentaisparaqualquercertame.Agora chegouomomentodevocfixaroterceirodeles,apermutao,quemereceu uma lio exclusiva para ela, por conta de sua importncia e pela frequncia em provas.Aqueleconselhocontinuavalendo:entendaqueaSriedeExerccios Resolvidosfazpartedateoriaefaa-osantesdetentarfazerosdaSriede Exerccios de Fixao. No se esquea de que esta lio fecha por completo o captulo2e,portanto,vocencontrarapsestalioaSriedeExerccios Formatted: Font: BoldFormatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: BoldFormatted: Font: BoldFormatted: Font: BoldFormatted: Font: BoldFormatted: HighlightFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos66 Propostos,para revisartodososaspectosdaanlise combinatria.Boasorte e que a fora esteja com voc. SRIE DE EXERCCIOS RESOLVIDOS R85.DequantasmaneirasdiferentessepodedisporasletrasdapalavraPERNAMBUCO? Resoluo: Calcularonmerodemaneirasdiferentesquesepodedisporasletras dareferidapalavraomesmoquecalculartodososanagramasdessapalavra. Nesse caso,h10 letrasdistintasaseremtrocadas(permutadas),e,portanto,o nmero de anagramas ser: 10P 10! 3.628.800 = = . R86.Com relao questo anterior, a)quantos anagramas iniciam pela letra E? Resoluo: Ao se fixar a letra E, restam 9 letras distintas e livres para permutarem: 9P 9! 362.880 = = b)quantos anagramas iniciam por O e terminam por B? Resoluo: Ao se fixar as letras O e B, restam 8 letras distintas e livres para permutarem: 8P 8! 40.320 = =c)quantos anagramas terminam pelas letras NAMB, em qualquer ordem? Formatted: Font: BoldFormatted: Font: Not ItalicRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos67 Resoluo: Ao se fixar a terminao NAMB, restam 6 letras distintas e livres para permutarem. Ao se dizer que as letras da terminao NAMB esto em qualquer ordem, infere-se que essas esto livres para permutarem entre si: 6 4P P 6! 4! 17.280 = =d)quantos anagramas apresentam as letras PERN juntas, em qualquer ordem? Resoluo: AoseformaroblocoPERN,infere-sequeessepode estarno incio,no fim,nomeio,enfim,emqualquerposio,ouseja,queoblocopodepermutar comasoutras6letrasquerestam(totalizando7elementosdiferentespara permutarem).AosedizerqueasletrasdaterminaoPERNestoemqualquer ordem, infere-se que essas esto livres para permutarem entre si: 7 4P P 7! 4! 120.960 = =R87.QuantossoosanagramasdapalavraBRASILcomeadosporBe terminados por L? a)24. b)120. c)720. d)240. e)1.440. Resoluo: So6letrasdistintaseduasdestasestopresasemcertasposies,ento sobram 4 letras livres para trocarem (permutao simples) 4P 4! 24 = = Letra Resposta: aA R88.Quantos anagramas apresenta a palavra MATEMATICA? Resoluo:Formatted: Font: BoldFormatted: LeftRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos68 Nesste caso, no se pode empregar a frmula de permutao simples, j queaparece,nessapalavra,letrasrepetidas(2Ms,3Ase2Ts).Deve-se, assim, usar a frmula de permutao com repetio: ( )2,3,21010!PR 151.2002!3! 2!= = R89. Encontrar o nmero de nmeros diferentes que obteremos permutando os algarismos do nmero 2.718.281.828. Resoluo: Oraciocniodessaquestoidnticoaodeseperguntar:Quantosanagramas tem a palavra MATEMATICA?Squenestaquestoaoinvsdeletrasnacomposiodapalavra,temos algarismosnacomposiodonmero.Ecomooselementos(algarismos) repetem, trata-se de uma permutao com repetio: ( )2 3 41010!PR 12.6002!3! 4!=1 2 8 R90.Quantosnmerosdiferentesacharemos,permutandodetodososmodos possveis, os algarismos do nmero 37.774.373? Resoluo: Para fixar raciocnio anterior:( )3 488!PR 2803! 4!= =3 7 R91. DadasasletrasA,B,C,p,qerdeterminaronmerodepermutaes das mesmas que: a) comeam por maiscula.; b) comeam e finalizam por maiscula. Resoluo: RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos69 a) Restrio: cComear por maiscula. Restrio A,B,C Total de opes 354321= 360 b) Restrio: cComear e terminar por maiscula. Restrio A,B,C A,B,C Totaldeopes 343212= 144 R92. Quantos nmeros maiores que 7.000 podemos formar com os dgitos 3, 5, 7, 8 e 9, no sendo permitida a repetio de qualquer algarismo? Resoluo: Formarnmerosmaioresque7.000,podendousarosdgitos3,5,7,8e9. Pode-se formar nmeros com 5 algarismos, e, nesse caso, todos os nmeros formadosseromaioresque7.000;oupode-seformarnmerosde4 algarismos, e, nesse caso, se o 1 algarismo for maior ou igual a 7, todos os nmeros formados sero maiores que 7.000. Assim: 1) Nmeros de 5 algarismos 5P 120 =ou 2) Nmeros de 4 algarismos Restrio >7 Total de opes 3432= 72 Total: 120+72=192 R93. Permutam-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 7, 9, de todos os modos possveis e escrevem-se os nmeros assim obtidos em ordem crescente. Que posio ocupa o nmero 432.917? Resoluo: RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos70 Todososnmerosquecomeampor1,esoemnmerode5!, precedem o nmero considerado. O mesmo acontece com os nmeros iniciados por2e3,queexistetambmemnmerode5!cadatipo.Temos,assim,um totalde3 5! nmerosqueprecedemonmeroproposto.Estetambm precedido pelos nmeros que iniciam por 41 e 42. H2 4! nmeros deste tipo. Tambmprecedidopelosnmerosqueiniciampor431,emnmerode3!. Aindapelosquecomeampor4.321e4327quesoemnmerode2!,para cada tipo. Resumindo, antes do citado nmero h 3 5! 2 4! 3! 2 2! 418 + + + =nmeros. Ele ocupa, assim, o lugar de ordem 419. R94.OnmerodeanagramasdapalavraFUVESTquecomeameterminam por vogal : a)24. b)48. c)96. d)120. e)144. Resoluo: Nesse caso vale a pena montar aquele esquema, sempre lembrando de comear o preenchimento pela(s) restrio(es): Restries vogalvogal Total de opes 243211= 48 Letra Resposta: Bb R95.Quantosnmeroscom5algarismospoderemosformarempregandoos algarismosmpares1,3,5,7e9?Emquantosaparecemosalgarismos5e7 juntos? Em quantos deles comparece o agrupamento 357, nessa ordem? Formatted: Font: BoldFormatted: LeftRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos71 Resoluo: Observe que so pedidas 3 coisas: (1Parte)Cadatrocaentrealgarismosnacomposiodonmero,forma-se um novo nmero. Como pedido o total de nmeros, ento, tem de se fazer o total de trocas (permutaes): 5P 5! 120 = =(2Parte)Voraciocniodaquesto3deaula,letra(f).Entende-se5e7 como um nico algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, ento,4algarismosparapermutar(permutaoexterna).Lembrando tambm que eles podem trocar entre si (permutao interna). P4permutaoexterna P2permutaoint erna= 242 = 48 (3 Parte) V o raciocnio da questo 3 de aula, letra (e). Entende-se 3, 5 e 7 como um nico algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, ento, 3 algarismos para permutar (permutao externa). Nesse caso, esses 3 algarismos no podem trocar entre si, pela restrio do problema, j que eles devem ficar nessa ordem. P3permutaoexterna= 6 R96.Dequantosmodospodemossentar-se6pessoasemlinha,admitindo-se que dois indivduos A e B estejam sempre juntos? Resoluo: So 6 pessoas, mas como A e B devem ficar juntos, imagina-se que AB ocupa apenasumlugar,ficando,ento,umapermutaode5elementos (permutao externa). Observe ainda que se A e B trocarem entre si, muda-se a composio da fila (permutao interna) P5permutaoexterna P2permutaoint erna=1202 = 240 Comment [D1]: o que isso? no entendi RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos72 R97. (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma siglacomcincosmbolos,ondecadasmboloaprimeiraletradecada nome. O nmero total de siglas possveis : a)10. b)24. c)30. d)60. e)120. Resoluo: Asigla,ento,formadapelasletras:A, A, R, R, E,portantoototaldesiglas diferentesigualaototaldepossveistrocas(permutaocomelementos repetidos): ( )A R2 255!PR 302! 2!= = Letra Resposta: Cc R98. Quantas so as permutaes que podemos formar com as letras da palavra HBITO, nas quais as vogais ocupem sempre os lugares de ordem par? Resoluo: Visualizemos as posies das letras da palavra HABITO e um exemplo para o anagrama pedido: 1.2. PAR 3.4. PAR 5.6. PAR HABITO Ento as vogais s podem ficar em 3 posies e, automaticamente, sobram 3 posies para as consoantes: 3! 3! 36 = Formatted: Font: BoldFormatted: LeftFormatted: Font: BoldFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos73 R99. (PUC) O nmero de anagramas da palavra ALUNO que tm as vogais em ordem alfabtica : a)20. b)30. c)60. d)80. e)100. Resoluo: AnagramasdapalavraALUNOcomasvogaisemordemalfabtica.Umavez queessaordemforestabelecidaelas(asvogais)nopodemtrocarentresi. Entenda,noqueasvogaisnopossampermutar,masqueelasno podem trocar entre si. como se fosse pedido para calcular os anagramas da palavra ALANA, pois nessecaso,trata-sedeumapermutaocomrepetiodaletraA,umavez quemesmoqueessesAstroquementresiapalavracontinuaamesma,ou seja,paracalcularesseanagramade5letras,calcula-se5!edivideo resultadopor3!,originandoaformulaquejseconheceparapermutao com repetio: ( )A355!PR 203!= = Adivisopor3!deveserentendidacomoumacorreoquesefaz,pois aquelesAsnopodemtrocarentresi(damesmamaneiraqueaquelas vogaisnopodiamtrocarentresi),umavezqueessatrocanoalterao anagrama. Letra Resposta: aA Formatted: HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: LeftFormatted: Font: BoldFormatted: Font: BoldFormatted: Indent: Left:0", First line:0"RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos74 R100.Em um tabuleiro quadrado, de 5x5, mostrado na figura a seguir, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). ES DI Somente so permitidos os movimentos horizontal (H) e vertical (V). (H)(V) Calcule o nmero de percursos possveis. Resoluo: Em questes desse tipo, observa-se no mapa o ponto de partida (ES) e o pontodechegada(DI).Traa-seumcaminhoqualquerpartindodeESe chegandoemDI."Traduz"essecaminhoparaumapalavra(cadamovimento horizontal, traduz para H, e cada movimento vertical, traduz para V). Observa-se que cada anagrama dessa palavra um caminho diferente, e, portanto, o total de caminhos diferentes o total de anagramas dessa palavra. Nessa questo um possvelcaminho(oupalavra)HHHHVVVV.Onmerodepercursos possveis ser dado por: ( )4,488!PR 704! 4!= = SRIE EXERCCIOS DE FIXAOFormatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos75 F120.Dequantasmaneirasdiferentessepodedisporasletrasdapalavra CELIBATO? F121.Considere a palavra VESTIBULAR a)quantos anagramas podem ser formados? b)quantos anagramas iniciam pela letra E? c)quantos anagramas terminam por R? d)quantos anagramas iniciam por T e terminam por B? e)quantos anagramas comeam pelas letras ATB, nessa ordem? f)quantos anagramas terminam pelas letras BAR, em qualquer ordem? g)quantos anagramas apresentam as letras LAR, juntas nessa ordem? h)quantos anagramas apresentam as letras VEST juntas, em qualquer ordem? F122.(Esaf)Chico,CaioeCacovoaoteatrocomsuasamigasBibaeBeti,e desejamsentar-se,oscinco,ladoalado,namesmafila.Onmerodemaneiras pelasquaiselespodemdistribuir-senosassentosdemodoqueChicoeBeti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, igual a: a)16. b)24. c)32. d)46. e)48. F123. (Cespe) Conta-se na mitologia grega que Hrcules, em um acesso de loucura, matou sua famlia. Para expiar seu crime, foi enviado presena do rei Euristeu, que lhe apresentou uma srie de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os dozetrabalhosdeHrcules.Entreessestrabalhos,encontram-se:mataroleode Nemia, capturar a cora de Cerinia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hrcules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatria. Alm disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relao ao nmero de possveis listas que Hrcules poderia preparar, julgue os itens subsequentes. OnmeromximodepossveislistasqueHrculespoderiapreparar superior a 12 10! . Formatted: Font: ItalicRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos76 O nmero mximo de possveis listas contendo o trabalho matar o leo de Nemia na primeira posio inferior a240 990 56 30 . Onmeromximodepossveislistascontendoostrabalhoscapturara cora de Cerinia na primeira posio e capturar o javali de Erimanto na terceira posio inferior a72 42 20 6 . Onmeromximodepossveislistascontendoostrabalhoscapturara coradeCeriniaecapturarojavalideErimantonasltimasduas posies, em qualquer ordem, inferior a6! 8! . F124.Quantos anagramas apresenta a palavra ARAGUARI? F125.(Cespe)Emumtabuleiroquadrado,de5x5,mostradonafiguraaseguir, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). ES DI Somentesopermitidososmovimentoshorizontal(H),vertical(V)e diagonal (D), conforme ilustrado nas representaes seguintes. (H)(V)(D) Combasenessasituaoecomoauxliodosprincpiosdeanlise combinatria, julgue os itens que se seguem. Seforemutilizadossomentemovimentoshorizontaiseverticais,entoo nmero de percursos possveis ser igual a 70. Seforemutilizadosmovimentoshorizontais,verticaiseapenasum movimento diagonal, o nmero de percursos possveis ser igual a 140. RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos77 Utilizando movimentos horizontais, verticais e trs movimentos diagonais, o nmero de percursos possveis 10. F126.Quantos anagramas das palavras seguintes tem as vogais em ordem alfabtica? a)PADRE. b)PERNAMBUCO. F127. (Esaf)PaulopossuitrsquadrosdeGotuzoetrsdePortinariequer exp-losemumamesmaparede,ladoalado.Todososseisquadrosso assinadosedatados.ParaPaulo,osquadrospodemserdispostosem qualquerordem,desdequeosdeGotuzoapareamordenadosentresiem ordemcronolgica,daesquerdaparaadireita.Onmerodediferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos igual a: a)20. b)30. c)24. d)120. e)360. F128.Umaposentadorealizadiariamente,desegundaasexta-feira,estascinco atividades: 1) leva seu neto Pedrinho, s 13 horas, para a escola.; 2) pedala 20 minutos na bicicleta ergomtrica.; 3) passeia com o cachorro da famlia.; 4) pega seu neto Pedrinho, s 17 horas, na escola.; 5) rega as plantas do jardim de sua casa. Cansado,porm,defazeressasatividadessemprenamesmaordem,ele resolveu que, a cada dia, vai realiza-las em uma ordem diferente. Nessecaso,onmerodemaneiraspossveisdeelerealizaressascinco atividades, em ordem diferente, : a)24. b)60. c)72. d)108. e)120. Formatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos78 (MMA/ Analista Ambiental/ 2008) OBrasilfazpartedeumgrupode15pasesdenominadosmegadiversos, que, juntos, abrigam cerca de 70% da biodiversidade do planeta. No Brasil, existem6regiescomumadiversidadebiolgicaprpria,oschamados biomas.Porexemplo,obiomacaatinga,nonordestedopas,ocupauma readeaproximadamente844.452km2;obiomapantanal,nocentro-oeste dopas,ocupaumareadeaproximadamente150.500km2.AComisso NacionaldeBiodiversidade(Conabio),queatuafundamentalmentena implementaodapolticanacionaldebiodiversidade,constitudapelo presidenteemais6membrostitulares,tendoestes6ltimos2suplentes cada. No Programa Nacional de Florestas, h alguns projetos em andamento, como, por exemplo, o Plano Nacional de Silvicultura com Espcies Florestais Nativas (P1) e o Plano de Recuperao de reas Degradadas (P2). Combasenessasinformaesenotextoacima,julgueositensdeF129a F131. F129.Pordefinio,umanagramadeumapalavraumapermutaodas letrasdessapalavra,formandoumasequnciadeletrasquepodeouno tersignificadoemlnguaportuguesa.Dessaforma,aquantidadede anagramasquepodemserformadoscomapalavraCONABIOdemodoque fiquemsemprejuntas,enamesmaordem,asletrasdecadapalavra utilizada na formao dessa sigla superior a 7. F130.Considerequesejanecessriaapresenadeexatamente7membros paraarealizaodeumareuniodaCONABIO,sendoapresenado presidenteeadepelomenosummembrotitularobrigatrias.Nessa situao, a quantidade de maneiras diferentes que essa comisso poder ser formada para suas reunies inferior a 250. F131.Considerequesedesejeformar3comissesdistintascomos15 representantes dos pases do grupo dos megadiversos: uma comisso ter 9 membroseasoutrasduas,3membroscadauma.Supondoquecadapas tenhaumrepresentanteequeesteatuesomenteemumacomisso, corretoconcluirqueexistemmaisde100.000maneirasdistintasdese constiturem essas comisses. F132.(Esaf) Dez amigos, entre elesMrio e Jos, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O nmero de diferentesformasqueestafiladeamigospodeserformada,de modo que Mrio e Jos fiquem sempre juntos igual a: Formatted: Font: Not BoldFormatted: LeftFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: SuperscriptFormatted: SuperscriptFormatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos79 a) 2! 8! b) 0! 18! c) 2! 9! d) 1! 9! e) 1! 8! F133.(Esaf)Quatrocasaiscompramingressosparaoitolugares contguosemumamesmafilanoteatro.Onmerodediferentes maneirasemquepodemsentar-sedemodoaque:a)homense mulheressentem-seemlugaresalternados;equeb)todosos homenssentem-sejuntosequetodasasmulheressentem-se juntas, so, respectivamente, a) 1112 e 1152.; b) 1152 e 1100.; c) 1152 e 1152.; d) 384 e 1112.; e) 112 e 384. F134.(Esaf)Onmerodemaneirasdiferentesque3rapazese2 moas podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moas fiquem todas juntas igual a: a) 6. b) 12. c) 24. d) 36. e) 48. F135.(Esaf) Pedro e Paulo esto em uma sala que possui 10 cadeiras dispostasemuma fila. Onmerodediferentes formaspelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, igual a: a) 80. b) 72. c) 90. d) 18. RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos80 e) 56. GABARITO 120. 40.320 121. a) 3.628.800 b) 362.880 c) 362.880 d) 40.320 e) 5.040 f) 30.240 g) 40.320 h) 120.960 122. e 123. C, C, E, C 124. 3.360 125. C, C, E 126. a) 60 b) 151.200 127. d 128. bB 129. C 130. E 131. C 132. C 133. C 134. C 135. bB Maria,Formatted: Font: Times New Roman, 11 pt, Bold,HighlightFormatted: Font: BoldFormatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos81 Essaumaserieparaafecharaslies5e6,istoosegundocaptulo, preciso ganhar uma hierarquia diferente, ela no pode ser uma continuao da lio 4. PODE Diagramar, inclusive, com uma letra menor essa bateria ou em duas colunas. SRIE DE EXERCCIOS PROPOSTOS Nas questes de 68 a 71 calcule o que se pede. 68.4!2! 2! 69.6, 2 3 4, 3A 2P C + 70.8, 3 5, 2 4C 2A P + 71.5 8, 3 5, 29P 3A 7 . C + 72.(PUC)Sejamresduasretasdistintasparalelas.Considere5pontos distintosemre3pontosdistintosems.Onmerodequadrilteros convexos que podem ser formados com vrtices nesses pontos : a)60. b)54. c)48. d)30. e)24. 73.(Cesgranrio)Considerecinco5pontos,trs3atrs3nocolineares. Usando esses pontos como os vrtices de um tringulo, o nmero de todos os tringulos distintos que se pode formar : a)5. b)6. c)9. Formatted: Font: Times New Roman, BoldFormatted: Font: BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos82 d)10. e)15. 74.(FGV) So dados 10 pontos num plano, dos quais 8 sobre uma mesma reta r e os outros 2 no alinhados com qualquer um dos oito pontos sobre a reta r.Quantosdiferentestringulospodemserformadosusandoospontos dados como vrtices? a)56. b)64. c)80. d)120. e)144. 75.O nmero de combinaes de n objetos tomados 5 a 5 igual a oito vezes o nmero de combinaes desses mesmos objetos, tomados 4 a 4. Calcular n. 76. Qual o valor no -nulo de x, sabendo-se que x, 2C 6x = ? a)11. b)12. c)13. d)14. e)15. 77.O nmero de diagonais de um polgono de n lados : a)n! n b) 2nA n 1 +c) 2nA n d) 2nCe) 2nC n 78. (Fuvest)Afiguraabaixorepresentapartedomapadeumacidadeonde estoassinaladasascasasdeJoo(A),deMaria(B),aescola(C)eum possvelcaminhoqueJoopercorrepara,passandopelacasadeMaria, chegarescola.QualonmerototaldecaminhosdistintosqueJoo Formatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos83 poder percorrer, caminhando somente para Norte ou Leste, para ir de sua casa escola, passando pela casa de Maria? 79.Afiguraabaixorepresentapartedomapadeumacidadeondeesto assinaladasascasasdeJoo(A),eMaria(B),aescola(C)eumpossvel caminhoqueJoopercorrepara,passandopelacasadeMaria,chegar escola.OnmerodecaminhosdistintosqueJoopoderpercorrer, caminhando somente para Norte ou Leste, para ir de sua casa a algum ponto do mapa n. Com base no texto, julgue os itens. Se Joo vai de sua casa, ponto A, at a casa de Maria (B), ento n 35. Se Joo vai de sua casa, ponto A, at a escola, ponto C, ento n 462. Se Joo vai de sua casa, ponto A, at a escola, ponto C, passando pela casa de Maria, ponto B, ento n maior de 300. NABCLCBANLFormatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos84 80. Umbarvendetrstiposderefrigerantes:guaran,sodaetnica.De quantas formas uma pessoa pode comprar cinco garrafas de refrigerantes? 81. Umaconfeitariavendecincotiposdetortas.Umapessoadesejacomprar trs tortas. De quantas formas isso pode ser feito? 82. Umamerceariatemnoseuestoquepacotesdearrozdeseismarcas diferentes.Umapessoadesejacompraroitopacotesdearroz.Dequantas formas pode faz-lo? 83.Determinar quantos nmeros maiores que 300.000 poderemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e 9 no sendo permitida a repetio. 84. Dadososalgarismos3,7,9,8e5formam-seeescrevem-setodosos nmeros possveis com cinco algarismos diferentes em ordem de grandeza crescente. Qual a posio que ocupa nessa sequncia o nmero 78.953? 85.Quantos sinais diferentes podem ser feitos iando quatro bandeiras de cores diferentes,umaapsoutra?Admitiremosquepodemosiarumnmero qualquer, de cada vez. 86.(FGV)Asplacasdeautomveisconstamdeduasletrasequatro algarismos. O nmero de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 : a)2.412. b)2.304. c)144. d)216. e)1.536. 87.(FGV)Usando-seosalgarismos1,3,5,7e9,existemxnmerosde4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x : a)505. b)427. c)120. RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos85 d)625. e)384. 88. (Cespe)Determinequantosnmerosde5algarismos,quenosejam maiores que 47193, podem-se obter permutando os algarismos 1, 3, 4, 7 e 9. 89.(UFBA) Da anlise combinatria pode-se afirmar: a)nosistemadenumeraodecimalexistem3.240nmerosmpares formados por 4 algarismos distintos.; b)comoselementosdoconjunto{2,4,5,6,7,8}podem-seformar120 nmeros de 3 algarismos distintos comeados por um algarismo par.; c)existem3.024nmerosentre10.000e20.000formadoscomalgarismos distintos de 1 a 9.; d)comosalgarismosde1a9,semrepeti-los,podem-seformar7.200 nmeros com 4 algarismos pares e 2 mpares.; e)listando-se,emordemcrescente,todososnmerosde6algarismos distintos,formadoscomoselementosdoconjunto{1,4,5,6,7,8},o nmero 768.415 ocupa o 514 lugar. 90.Numacongregaode20professores,6lecionamMatemtica.Quantas comisses com 4 componentes podem ser formadas, de modo que em cada uma comparea pelo menos um dos professores de Matemtica? 91.(PUC)Numcampeonatodefutebolemqueparticipam20timesforam formados4gruposcom5timescada.Suponhaqueemcadagrupo,cada timedevejogarumavezcomtodososoutros.Decadagruposaemdois classificadosqueformamdoisnovosgruposde4 timescada.Novamente, cada time deve jogar com todos os outros do seu grupo. Os vencedores de cada grupo disputaro a partida final. Assinale, ento, dentre as alternativas abaixo,anicaquecompletacorretamentea sentena: onmerototalde jogos realizados ..." a)37. b)53. c)73. d)35. Formatted: HighlightRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos86 e)50. 92.(UFPE)Sabendo-sequeumbaralhotem52cartas,dasquais12so figuras, assinale a alternativa que corresponde ao nmero de agrupamentos de5cartasquepodemosformarcomcartasdestebaralhotalquecada agrupamento contenha pelo menos trs figuras. a)10. b)100.000. c)192.192. d)171.600. e)191.400. 93.(FGV)Umaurnacontmquatrobolas brancasnumeradasde1a4eduas pretasnumeradasde1a2.Dequantosmodospodem-setirar4bolas contendopelomenosduasbrancas,considerando-sequeascoreseos nmeros diferenciam as bolas? a)15. b)6. c)8. d)1. e)4. 94.Emumgrupode8pessoashexatamente5mulheres.Onmerode comisses que podem ser formadas com 3 dessas 8 pessoas, comparecendo em cada comisso pelo menos um homem, : a)mpar e menor que 30.; b)par e menor que 45.; c)maior que 7, 3C .; d)maior que 5, 3A .; e)mltiplo de 3. 95.(FGV)Numexame,umprofessordispede12questesquesero entreguesatrs3alunos,cadaumrecebendoquatro4questes.Quantas diferentes situaes teremos? RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos87 a)34.650. b)12. c)3.150. d)2.600. e)495. 96. (Cespe)Emumaempresaexistem9diretores,sendo3dessesdeuma mesmafamlia.Quantascomissesde3diretorespodemserformadas contendo cada uma, no mximo, 2 diretores da mesma famlia? 97. (Cespe) Sete pessoas trabalham num setor de uma fbrica que funciona em trsturnosdirios.Noprimeiroturnotrabalham2pessoas,nosegundo trabalham2enoterceiro3.Calculedequantasmaneiraspode-sefazera escaladodia,sabendo-sequeasduasnicasmulheresdaequipeno podem trabalhar no terceiro turno. 98. (Cespe)Aofinaldeumafesta,ocorrem28apertosdemoparaas despedidas.Considerequecadaparticipantedespediu-sedetodosos demais. Calcule o nmero de pessoas que estavam presentes. 99.(ITA)Umaescolapossui18professores,sendo7deMatemtica,3de Fsica e de 4 de Qumica. De quantas maneiras podemos formar comisses de12professoresdemodoquecadaumacontenhaexatamente5 professoresdeMatemtica,nomnimo2deFsicaenomximo2de Qumica? a)875. b)1.877. c)1.995. d)2.877. e)n.r.a. 100. DadoumquadradoABCD,escolhem-se3pontossobreoladoAB,5 pontossobreBC,2pontossobreCDe1pontosobreAD,demodoque nenhum desses pontos coincida com algumvrtice desse quadrado. Sendo U o conjunto formado pelos 11 pontos marcados, julgue os itens a seguir. RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos88 Com os pontos do conjunto U, ficam determinados 154 tringulos.Com os pontos do conjunto U, ficam determinadas 44 retas.ComospontosdoconjuntoU,ficamdeterminados257quadrilteros convexos. 101. Temos duas urnas, A e B. De quantas formas podemos colocar cinco 5 bolas indistinguveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia? 102. Temosduasurnas,AeB.Dequantasformaspodemoscolocarcinco bolas indistinguveis, no podendo nenhuma das urnas ficar vazia? 1023. Quer-se formar um grupo de danas com 6 bailarinas, de modo que trs 3delastenhammenosde18anos,queumadelastenhaexatamente18 anos,equeasdemaistenhamidadesuperiora18anos.Apresentaram-se, paraaseleo,doze12candidatas,comidadesde11a22anos,sendoa idade,emanos,decadacandidata,diferentedasdemais.Onmerode diferentesgruposdedanaquepodemserselecionadosapartirdeste conjunto de candidatas igual a: a) 85. b) 220. c) 210. d) 120. e) 150. (BB/ Escriturrio/ 2009)SupondoqueAndr,Bruna,Cludio,LeilaeRobertosejam,no necessariamentenestaordem,oscinco5primeirosclassificadosemum concurso, julgue os itens seguintes. 1034. Existem 120 possibilidades distintas para essa classificao. 1045. Com Andr em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a classificao. 1056.ComBruna,LeilaeRobertoclassificadosemposiesconsecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificao. 1067.Onmerodepossibilidadesdistintasparaaclassificaocomum homem em ltimo lugar 144. Formatted: Font: Times New RomanFormatted: Font: Times New RomanFormatted: Font: Times New RomanFormatted: Font: Times New RomanFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos89 (BB/ Escriturrio/ 2009)Considerando que uma empresa tenha 5 setores, cada setor seja dividido em 4subsetores,cadasubsetortenha6empregadosequeummesmo empregadonopertenaasubsetoresdistintos,julgueositens subsequentes. 1078. O nmero de subsetores dessa empresa superior a 24. 109108. O nmero de empregados dessa empresa inferior a 125. 10910.(BB/Escriturrio/2009)Emumtorneioemque5equipesjoguem uma vez entre si em turno nico, o nmero de jogos ser superior a 12. 1101.(BB/Escriturrio/2009)Com3marcasdiferentesdecadernos,a quantidadedemaneirasdistintasdeseformarumpacotecontendo5 cadernos ser inferior a 25. (PM- DF/ Soldado/ 2009)Pormeiodeconvnioscomumplanodesadeecomescolasdenvel fundamentalemdio,umaempresaofereceaseus3.000empregadosa possibilidadedeadeso.Sabe-seque300empregadosaderiramaosdois convnios, 1.700 aderiram ao convnio com as escolas e 500 no aderiram a nenhum desses convnios. 1112.Considerandoqueaempresaqueiraformarumacomissode20 empregadosparadiscutirassuntosrelacionadosaosdoisconvnioseque, paraisso,elaescolha10empregadosqueaderiramapenasaoplanode sade e outros 10 que aderiram apenas ao convnio com as escolas, ento, a quantidade demaneiras distintas de se formar essa comisso estar corretamente expressa por 1123.(TRT17Regio/AnalistaJudicirio/2009)Se,emdeterminado tribunal,h54juzesde1.grau,entretitularesesubstitutos,entoa quantidadedecomissesdistintasquepoderoserformadospor5desses juzes,dasquaisosdoismaisantigosnotribunalparticipem obrigatoriamente, ser igual a 35.100. 1134. (TRT 17 Regio/ Analista Judicirio/ 2009) Existem menos de maneiras distintas de se distribuir 12 processos entre 4 dos 54 juzes de 1. grau de um tribunal de forma que cada juiz receba 3 processos. Formatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos90 1145.(TRT17Regio/AnalistaJudicirio/2009)Se,deumgrupode pessoas formado por 15 graduados em direito, 12 graduados em arquitetura e 11 graduados em estatstica, 5 forem graduados em direito e estatstica; 8, emdireitoearquitetura;4,emarquiteturaeestatstica;e3,emdireito, arquiteturaeestatstica,ento,nessegrupo,havermaisde5pessoas graduadas somente em direito. 1156.(Anac/AnalistaAdministrativo/2009)Onmeroderotasareas possveispartindodePortoAlegre,FlorianpolisouCuritibacomdestinoa Fortaleza,Salvador,Natal,JooPessoa,Macei,RecifeouAracaju,fazendo umaescalaemBeloHorizonte,Braslia,RiodeJaneiroouSoPaulo mltiplo de 12. 1167.(Anac/AnalistaAdministrativo/2009)Considerandoque:um anagrama de uma palavra uma permutao das letras dessa palavra, tendo ou no significado na linguagem comum, seja a quantidade de anagramas possveisdeseformarcomapalavraAEROPORTO,sejaaquantidadede anagramas comeando por consoante e terminando por vogal possveis de se formarcomapalavraTURBINA;esabendoque9!=362.880e5!=120, ento 1178.(Anac/AnalistaAdministrativo/2009)Considereaseguintesituao hipottica. H 6 estradas distintas ligando as cidades A e B;, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente. Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos. Nessa situao,onmeroderotaspossveiscomorigemedestinoemAeescala em C igual a 400. 1189.(Anac/AnalistaAdministrativo/2009)Onmerodecomisses constitudas por 4 pessoas que possvel obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2 pilotos, superior a 210. 11920.(Anac/AnalistaAdministrativo/2009)Emumvooemquehaja8 lugaresdisponveise12pessoasquedesejemembarcar,onmerode maneirasdistintasdeocupaodosassentosparaovoosairlotadoser superior a 500. (Anac/ Tcnico Administrativo/ 2009)Considerandoque,paraocuparosdoiscargosquecompema diretoriadeumaempresa,diretorevice-diretor,existam5 candidatos, julgue os itens subsequentes. Formatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: HighlightFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldRACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos91 1201.Secadaumdoscandidatosforcapazdeocuparqualquerum dosdoiscargos,onmeropossveldeescolhasparaadiretoriada empresa ser igual a 10. 1212. Se, dos 5 candidatos, 2 concorrem apenas ao cargo de diretor eosdemais,apenasaocargodevice-diretor,onmeropossvelde escolhas para a diretoria da empresa ser igual 5. (Anac/ Tcnico Administrativo/ 2009)Considerandoumgrupoformadopor5pessoas,julgueositensa seguir. 1223. H 24 modos de essas 5 pessoas se posicionarem em torno de uma mesa redonda. 1234.Se,nessegrupo,existirem2crianase3adultoseessas pessoas se sentarem em 5 cadeiras postadas em fila, com cada uma dascrianassentadaentre2adultos,ento,haver12modos distintos de essas pessoas se posicionarem. 1245. Caso essas 5 pessoas queiram assistir a um concerto musical, mas s existam 3 ingressos disponveis e no haja prioridade na escolha das pessoas que iro assistir ao espetculo, essa escolha poder ser feita de 20 maneiras distintas. GABARITOEXERCCIOS PROPOSTOS Formatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Font: Not BoldFormatted: Indent: Left:0", First line:0"RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos64 68.6 69.38 70.72 71.42 72.d 73.d 74.b 75.44 76.c 77.e 78.150 79.C, C, E 80.21 81.35 82.1.287 83.600 84.66 85.64 86.b 87.a 88.62 89.d 90.3.844 91.b 92.c 93.a 94.c 95.a 96.83 97.60 98.8 99.d 100. C, C, C 101. 6 102.101.4 103.102.c 104.103.C 105.104.E RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos65 106.105.C 107.106.E 108.107.E 109.108.C 110.109.E 111.110.C 112.111.C 113.112.E 114.113.C 115.114.E 116.115.C 117.116.C 118.117.C 119.118.C 120.119.E 121.120.E 122.121.E 123.122.C 124.123.C 125.124.E