T E X T O D E R E V I S Ã O

DE

C Á L C U L O

D I F E R E N C I A L & I N T E G R A L

P A R A A F Í S I C A 3

JOSÉ ARNALDO REDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 2004

1

PREFÁCIO

Durante o tempo em que ministramos a disciplina Física 3, voltada para os estudantes de diversas engenharias,

física, química e matemática, notamos que uma grande parte deles não possuía o domínio da matemática que se

poderia esperar, tendo em vista os pré-requisitos dessa disciplina. O conteúdo da Física 3 exige tipicamente, para

seu desenvolvimento e completa compreensão, que o estudante entenda e saiba efetuar operações com vetores,

realizar derivadas, integrais definidas simples, integrais de linha, de superfície e de volume. No entanto não é esse

o estágio de muitos alunos que ingressam nessa disciplina. Poderíamos mencionar aqui inumeráveis exemplos,

retirados de nossa experiência, que revelam falta de intimidade por parte de muitos estudantes, com os conceitos

básicos de cálculo e, em alguns casos, de trigonometria, geometria, ou outra área mais fundamental da matemática.

Além disso, notamos muitas vezes, um completo desprezo pelo rigor mínimo que o uso da linguagem matemática

exige. Sinais são simplesmente trocados, um sinal + se transforma em um – magicamente, termos divergentes (1/0)

são desprezados, jogados para debaixo do tapete, parâmetros constantes se transformam em variáveis e vice-

versa, tudo para que enfim se emita uma “resposta” para o problema proposto. Não deveria ser esse, o

comportamento esperado de estudantes das áreas de ciências exatas, mas enfim, não pretendemos entrar aqui

nessa discussão. Apenas acreditamos que o mesmo desconforto que causaria em qualquer professor ver um

estudante escrever a frase “nóis vai lá purque nóis qué”, deve também causar ver um estudante escrever a equação

∫ −=a

adx

x02

11 .

Tendo em vista essa realidade, estamos nos propondo aqui a oferecer um texto que auxilie os estudantes,

relembrando, enfatizando e reforçando sua base matemática. Nosso texto é totalmente voltado para a disciplina

Física 3, nos limitaremos ao conteúdo relevante e a um enfoque que acreditamos seja útil e, ao mesmo tempo,

minimamente rigoroso para essa disciplina. Ao longo do texto propomos alguns poucos exercícios, para que o

estudante interessado teste seu conhecimento no assunto. O conteúdo exposto aqui pode ser encontrado em

qualquer livro de cálculo, e não estamos nos propondo a substituir disciplinas ou livros textos. Pelo contrário,

torcemos para que os estudantes cursem cada vez com mais interesse essas disciplinas, enxerguem a beleza que

a matemática muitas vezes revela, assimilem as lições de rigor e exatidão que essa ciência nos transmite e

procurem se inspirar nos autores de livros textos consagrados nessa área.

Ao chegar na disciplina Física 3, os estudantes já terão estudado todos os conceitos aqui discutidos, e já

devem ter tido oportunidade de exercita-los em diversos problemas. Mas a realidade é que, por algum motivo que

nos escapa à elucidação, um sem-número de estudantes “esquece” quase tudo em um tempo muito curto. Talvez o

desprezo pelo rigor matemático, quiçá revelador de um desprezo pela própria matemática, esteja relacionado com

esse fenômeno. Será concebível um estudante de medicina, ou um médico que desprezem a biologia? Não

sejamos ingênuos, deve haver muitos, afinal, ninguém precisa saber o que é uma mitocôndria para prescrever um

remédio para gripe. Só nos resta torcer para que não nos deparemos com eles no percurso, ou nos percalços, de

nossas vidas. Como já se disse, ensinar não é encher um balde vazio, ensinar é acender uma chama. Por algum

motivo, que não pretendemos discutir aqui, essa chama às vezes permanece inerte, fria como o gelo.

Não possuímos formação específica em um curso formal de matemática, seja em nível de graduação ou

pós-graduação. Por isso apresentaremos uma visão da matemática do ponto de vista de um físico, cientes de

nossas limitações nessa área, mas cientes também de nossas responsabilidades e deveres acadêmicos. Não

queremos, no entanto, que fique a impressão de que somos simples leigos “chutadores”. Acreditamos que

possuímos formação e experiência, na área de matemática, suficientes para a tarefa – modesta - a que nos

2

propomos. Na graduação cursamos várias disciplinas nessa área, além de outras que cursamos, por vontade

própria, no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), no Rio de Janeiro. Acima de tudo admiramos a

matemática e temos a esperança de transmitir, e quem sabe contagiar, essa admiração no texto que se segue.

Algumas vezes somos questionados na sala de aula, se o que estamos abordando trata-se de física ou de

matemática. Na nossa opinião, e de muitas autoridades no assunto, não podemos separar uma ciência da outra. Já

se disse que “a física é o estudo dos fenômenos naturais passíveis de descrição matemática”, o resto seria

astrologia. A essa propriedade da natureza, que a faz descritível através de formulações matemáticas, P. A. M.

Dirac, prêmio Nobel de física, denominou “qualidade matemática da natureza”. A física e a matemática evoluíram e

evoluem juntas, como nos casos do cálculo com a mecânica clássica, e da análise vetorial com o eletromagnetismo.

A física também gera matemática, como no caso da teoria ergódica, toda uma área moderna de pesquisa na

matemática que teve origem após os trabalhos de Boltzmann na mecânica estatística. Por essas razões,

acreditamos que ao incentivar o estudo da matemática estaremos melhorando a formação dos estudantes em física.

Para a elaboração desse texto nos baseamos principalmente na coleção de quatro livros de títulos Cálculo 1,

Cálculo 2 e etc. de George B. Thomas Jr., professor emérito de matemática do MIT/USA. Nossos exemplares

desses livros foram editados pela LTC em 1978, e foram adquiridos, num golpe de sorte, na Feira do Livro Usado

em Vitória, ES, nos tempos de faculdade. Segundo o autor desses livros, os estudantes devem ser expostos desde

cedo à idéia de que uma derivada é uma taxa de variação, e de que uma integral é uma soma. Procuraremos

enfatizar aqui essa visão prática do cálculo.

1- FUNÇÕES, LIMITES E GRÁFICOS DE FUNÇÕES:

Uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto (domínio) a elementos de outro conjunto (imagem).

A cada elemento do domínio a regra associa apenas um elemento da imagem. Nos limitaremos aqui principalmente a funções definidas em conjuntos de números. Se f é a função, dizemos que f associa Dx∈ a Ixf ∈)( . Por

exemplo, a função 2: xxf → associa a um número no conjunto dos reais (ℜ ) um outro número no conjunto dos

reais positivos ( +ℜ ). Escrevemos simplesmente 4)2( ==xf ou ainda 9)3( =−f . A função módulo xxf →:

também associa números em ℜ a números em +ℜ , por exemplo, 3)3( =f e 5)5( =−f . De maneira geral 2xx = .

Algumas vezes uma função não está nem definida em um ponto particular, por exemplo ax = , mas

podemos estar interessados no valor dessa função quando nos aproximamos infinitamente desse ponto. Se o ponto ax = está “perdido” no meio do domínio de f , podemos nos aproximar dele tanto pela esquerda quanto pela

direita. Chamamos essa operação - de aproximação infinita da variável x do ponto ax = - de tomar o limite de x tendendo a a , denotada por ax→lim . Quando nos aproximarmos pela esquerda, ou seja, por valores de x

menores do que a , denotamos o limite por −→axlim . Quando nos aproximarmos pela direita, ou seja, por valores

de x maiores do que a , denotamos o limite por +→axlim . Se ax = está no domínio de f , ou seja, se está

definida a imagem )(af , então, a função f é dita contínua em ax = se )(lim)()(lim xfafxfaxax +− →→

== .

Por exemplo, a função )1/(1)( −= xxf não está definida em 1=x e ∞→→ )(lim 1 xfx . Essa notação ∞→

significa que )(xf , nesse limite, é maior que qualquer número positivo que você puder imaginar. A função

xxxf /)(sen)( = não está definida em 0=x , pois resulta em 0/0 , mas pode-se demonstrar que nesse caso

1)(lim 0 =→ xfx .

Na figura (1) mostramos os gráficos de algumas funções bastante comuns:

3

a) bxaxf +=)( com a e b constantes, cujo gráfico é uma reta, que passa pelo ponto

))0(,0( bfx == e que possui inclinação a .

b) cxbxaxf ++= 2)( , cujo gráfico é uma parábola, com a “boca” para cima se 0>a ou para baixo se

0<a .

c) xaxf =)( , cujo gráfico é uma hipérbole, que não está definida em 0=x .

d) ⎩⎨⎧

≥<

=22

)( 2 xparaxxparax

xf , cujo gráfico apresenta uma descontinuidade em 2=x . Note nesse gráfico

a indicação de que em 2=x a função assume o valor 4, marcado com a bola cheia , e não 2,

marcado com a bola vazada . e) xkexf =)( , que também denotamos por )(exp)( xkxf = .

f) xxf ln)( = , o logaritmo natural, que só está definido para 0>x .

FIGURA 1: gráficos de algumas funções comuns.

Podemos definir também funções de várias variáveis, como, por exemplo, 22),( yxyxf += e

ϕθϕθ sencos),,( rrf = . A área A de um retângulo de lados x e y , por exemplo, é dada pela função

yxyxA =),( . Os gráficos dessas funções são representados por superfícies ou outros objetos mais complicados

e até mesmo impossíveis de serem desenhados no plano.

Exercício: Faça gráficos das funções xxf =)( e )1/(1)( −= xxf com 55 <<− x .

Antes de avançarmos, é interessante fazer aqui uma revisão das propriedades de algumas funções que aparecem

freqüentemente em física. • Função exponencial: ( ) xkexkxf == exp)( com k uma constante. A base e vale aproximadamente

71828,2≈e . Note que ( )( ) )()()exp()exp()exp(exp)( bfafbkakbkakbakbaf ==+=+=+ .

• Função logaritmo natural, ou neperiano: xxf ln)( = . A função logaritmo natural é a inversa da função

exponencial, pois se bea = então ab ln= , ou ainda, ( )xex ln= e ( )xx lnexp= . O logaritmo natural é

o logaritmo na base e , ou seja, o logaritmo natural de um número 0>x é o número y a que temos que

elevar a base e para que dê como resultado x , ou seja, yex = . Note que ( ) )()(lnlnln)( bfafbababaf +=+== e ( ) )(lnln)( afkakaaf kk === com k um número

racional. A propriedade ( ) baba lnlnln += está nas raízes históricas da origem da função logaritmo.

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Antes da existência das calculadoras eletrônicas, a tarefa de multiplicar dois números grandes requeria um

bocado de tempo e esforço. John Napier (daí o nome neperiano) teve a idéia de criar uma função que permitisse a realização de produtos através de somas. Assim, para calcular ba , primeiro se achava em

uma tabela de logaritmos os números aln e bln , se somava esses dois números e finalmente se

procurava novamente na tabela qual o número correspondente ao logaritmo ba lnln + . Note ainda que

01ln = e que ( ) −∞→→ 0ln x . Já mencionamos que a função logaritmo só este definida no conjunto

dos números positivos. De fato, o logaritmo de um número negativo é um número imaginário, por exemplo, ( ) πi=−1ln , com 1−=i . Poderíamos nos perguntar por que as funções exponencial e logaritmo estão

definidas na base e , um número que vale aproximadamente 718,2 e que além de irracional é

transcendental. De fato, a escolha dessa base está na raiz da própria definição de logaritmo, como área

abaixo da hipérbole e, por conseguinte, na função exponencial, como inversa da função logaritmo. Nada

nos impede de definir funções exponencial e logaritmo em bases diferentes, como por exemplo, o logaritmo

decimal ( yx 10= ). No entanto, a base e se integra de uma maneira única às outras funções e permite

escrevermos igualdades intrigantes como, por exemplo: ( )θθθ ii ee −+= 21cos e ainda 01 =+πie .

• Função seno: xxf sen)( = . Trata-se de uma função periódica que assume valores no intervalo ]1,0[ e de

período π20 =T , pois )()( 0 xfTxf =+ para todo x . Vale ainda 00sen)0( ==f e

12/sen)2/( == ππf . A inclusão de uma constante k , na forma ( )xkxf sen)( = define uma função de

período T arbitrário, dependente do valor de k . De fato, para satisfazer a igualdade )()( xfTxf =+ , ou

seja, ( ) ( )xkTxk sen)(sen =+ , deve valer: ( ) ( )xkTkxk sensen =+ , ou seja, π2=Tk e portanto

kT /2π= .

• Função co-seno: xxf cos)( = . Possui propriedades análogas às da função seno. Vale 10cos)0( ==f e

( ) 02/cos)2/( == ππf . Vale lembrar ainda que ( ) abbaba cossencossensen +=+ e

bababa sensencoscos)(cos −=+ . Ainda: 1cossen 22 =+ xx para todo x .

2 – DERIVADAS DE FUNÇÕES:

Consideremos a tarefa de calcular a inclinação de uma reta dada (veja a figura (2a)). Assumindo que as escalas nos

eixos vertical e horizontal são as mesmas, a inclinação da reta é simplesmente a tangente do ângulo que a reta faz

com o eixo horizontal x . Essa inclinação pode ser então medida com um transferidor ou simplesmente calculada

através da construção de um triângulo retângulo cuja hipotenusa coincide com a reta. Assim, se m é a inclinação

da reta, obtemos:

xym

ΔΔ

== θtan

Por exemplo, se um veículo viaja com velocidade constante V numa estrada reta, então sua posição ao longo da estrada crescerá linearmente no tempo t , isto é, tVxtx += 0)( . O gráfico de )(tx versus t será uma

reta e a inclinação dessa reta será a velocidade V do veículo, ou seja:

VttttV

tttVxtVx

tttxtx

txm =

−−

=−

+−+=

−−

=ΔΔ

=12

12

12

1020

12

12 )()()()(

sendo 1t e 2t tempos arbitrários.

Consideremos agora a tarefa de calcular a inclinação m de uma curva, dada por uma função )(xf

contínua (veja a figura (2b)). É fácil notar que essa inclinação, de fato a inclinação da reta tangente à curva, muda em cada ponto. Assim, é mais correto falarmos da inclinação )(xm da curva no ponto x . Podemos simplesmente

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desenhar uma corda que conecta o ponto ))(,( xfx a um ponto mais adiante ))(,( xxfxx Δ+Δ+ sobre a curva.

A inclinação dessa corda é:

xxfxxf

xxxxfxxfmcorda Δ

−Δ+=

−Δ+−Δ+

=)()()()(

FIGURA 2: inclinação (derivada) de uma reta e de uma curva.

Se imaginarmos agora que o ponto ))(,( xxfxx Δ+Δ+ se aproxima do ponto ))(,( xfx , podemos ver que a

corda se aproxima da reta tangente à curva no ponto ))(,( xfx . Ou seja:

xxfxxfxm x Δ

−Δ+= →Δ

)()(lim)( 0 (1)

Por exemplo, se 2)( xxf = , então 222 )(2)()( xxxxxxxxf Δ+Δ+=Δ+=Δ+ e assim:

xxxx

xxxx

xxxxxxm xxx 22lim)2(lim)(2lim)( 00

222

0 =Δ+=Δ

Δ+Δ=

Δ−Δ+Δ+

= →Δ→Δ→Δ

A nova função )(xm , obtida da função )(xf , é chamada de derivada da função )(xf . Essa nova função é

representada comumente de duas formas, dependendo da conveniência. Podemos representar a função derivada por )(' xf ou ainda:

dxdf

(2)

Nessa última expressão os símbolos diferenciais df e dx representam novas variáveis, que, por definição, estão

relacionadas por: dxxfdf )('= (veja a figura (2b)).

Na tabela que se segue exibimos algumas funções de uso freqüente e suas derivadas. Considere que k é

uma constante:

Função )(xf Derivada )(' xf

nx 1−nxn

)(sen xk )(cos xkk

)(cos xk )(sen xkk− xke

xkek

xln x/1 Podemos definir também derivadas de ordem superior, como a derivada segunda de )(xf no ponto x ,

representada por '))('()('' xfxf = , ou ainda

2

2

dxfd

dxdf

dxd

=

Definimos também a derivada terceira )(''' xf (ou )()3( xf ) e etc.

6

Caso não tomemos o limite 0→Δx , mas consideremos simplesmente xΔ pequeno, obtemos uma expressão que aproxima a função f em um ponto xx Δ+ em termos dessa mesma função em um outro ponto x ,

ou seja: xxfxfxxf Δ+≈Δ+ )(')()( )0( ≈Δx

A figura (2b) ilustra essa aproximação. Note que a expressão acima aproxima o verdadeiro salto em )(xf ,

)()( xfxxff −Δ+=Δ , pelo valor de df , que é de fato o salto ao longo da reta tangente. Quanto menor o valor

de xΔ , mais df se aproxima de fΔ .

Por exemplo, se 2)( xxf = , então 9)3( =f e 61,9)1,3( =f exatamente. Caso não soubéssemos,

poderíamos estimar o valor de )1,3(f pela expressão acima, resultando em:

6,96,09)1,0(29)1,0()(')3()1,03()1,3(33

=+=+=+≈+=== xx

xxffff

A notação ax

xf=

)( usada acima denota a função )(xf avaliada em .ax =

Se quiséssemos uma maior precisão nos cálculos, poderíamos fazer uso do Teorema de Taylor, que define a série de Taylor como uma expressão exata para uma função (infinitamente diferenciável) f em um ponto xx Δ+

em termos dessa mesma função e de suas derivadas, em um outro ponto x :

( ) ( ) ...!3

)('''!2

)('')(')()( 32 +Δ+Δ+Δ+=Δ+ xxfxxfxxfxfxxf

sendo 1)...2)(1(! −−= nnnn a função fatorial ( 1!1!0 == ). Esse teorema se aplica a um grande conjunto de

funções, como polinômios, xsen , xe , etc.

Assim, voltando ao nosso exemplo, como xxf 2)('' = , 2)(''' =xf e 0)()2( => xf n , obtemos:

( ) 61,901,06,0921,0)('')1,0()(')3()1,03()1,3(

2

33=++=++=+=

== xxxfxffff

que é o valor exato de 2)1,3( . Caso nos deparemos com uma função cujas derivadas são todas não nulas,

poderemos obter valores aproximados simplesmente truncando a séria em algum ponto. A posição em que

truncamos a série é arbitrária, dependendo da precisão almejada.

Exercício: Use a série de Taylor para estimar o valor de 3 3,27 com 5 casas decimais. Confira seu

resultado usando uma calculadora (note que 3273 = ).

Uma outra forma de aproximar funções por séries é a que faz uso da Fórmula Binomial de Newton. Todos sabemos desenvolver as séries 222 2)( bbaaba ++=+ e 32233 33)( bbabaaba +++=+ . Qual será a

expansão de 15)( ba + ? Isaac Newton respondeu essa pergunta, mais ainda, ele respondeu todas as perguntas, ou

seja:

...!3

)2)(1(!2

)1()( 33221 +−−

+−

++=+ −−− baNNNbaNNbaNaba NNNNN (3)

para N inteiro positivo. Podemos compactar essa expressão na forma:

∑=

−

−=+

N

n

nnNN banNn

Nba0 )!(!

!)(

Um caso particular dessa expressão é, para 1=a :

∑= −

=+N

n

nN bnNn

Nb0 )!(!

!)1(

Consideremos então a função 15)1()( xxf += . Quanto vale 15)01,1( ? A calculadora nos fornece imediatamente

...16096.1)01,1( 15 = Como exercício, vamos esquecer esse resultado por enquanto e vamos estimar o valor de 15)01,1( usando a série binomial de Newton. Note que para 0≈x , vale:

7

...6

1314152

1415151)1( 3215 +××

+×

++≈+ xxxx

Então: ( ) 000455,00105,015,01)01,0(455)01,0(10501,0151)01,01()01,1( 321515 +++=+++≈+=

Finalmente: 160955.1)01,1( 15 ≈

No caso da função α)1()( xxf += com α não sendo um inteiro positivo, a expansão binomial se transforma

numa série infinita, dada pela equação (3). Voltando às derivadas, se )(xff = e )(txx = , ou seja, se f é uma função implícita de t , usamos a

regra da cadeia para calcular dtdf / :

dtdx

dxdf

dtdf

= (4)

Por exemplo, se )(sen)( θθ kf = com k uma constante, então, seja θku = . Nesse caso )(uff = e )(θuu = ,

e portanto:

)cos()(cossen θθθθθ

kkkukddu

dud

ddu

dudf

ddf

====

Um outro exemplo: considere uma caixa d’água que tem a forma de um paralelepípedo de base retangular

de lados a e b e altura L . Uma torneira está enchendo essa caixa com uma vasão de ϑ litros por segundo.

Partindo da caixa vazia em 0=t , quanto tempo leva para a caixa encher? Seja )(th a altura do nível da água no tempo t ( 0)0( =h ). Então, o volume de água contido na caixa no tempo t

é )()( thbatV = (em 3m ). Se não há vazamentos de água, a taxa de variação no tempo desse volume deve ser

exatamente ϑ (em sm /3 ), ou seja:

ϑ===dtdhba

dtdh

dhdV

dtdV

então abdt

dh ϑ= (em sm / ).

Essa última equação (diferencial) é fácil de ser resolvida, obtemos:

tab

tab

hth ϑϑ=+= )0()( e portanto, o instante em que a caixa encherá será aquele *t para o qual Lth =)( * ,

ou seja ϑ

abLt =* (em segundos).

Exercício: use a regra da cadeia para calcular a derivada de )()( xgexf = em relação à x , sendo )(xg

uma função diferenciável.

O fato de que a derivada de )(xf calculada em 0x é a inclinação da reta tangente à curva de )(xf

versus x no ponto 0x sugere muitas aplicações práticas desse conceito. Por exemplo, se 0x estiver “perdido” no

meio do domínio de f e se nesse ponto a função contínua f apresenta um máximo ou um mínimo, então, vale

0)(' 0 == xxf . Consideremos o seguinte exemplo: Um fabricante de latas de alumínio para refrigerantes deseja

fazer uma lata cilíndrica que contenha um dado volume ϑ ( 3cm ). Supondo que essa lata deverá ter base circular

de raio R e altura H , determinemos as dimensões ideais da lata para que o gasto de material seja mínimo. Primeiramente podemos identificar uma relação entre R e H dada por HR 2πϑ = , sendo que ϑ será

considerado uma constante nesse problema. O gasto G de material, considerando que a folha de alumínio tem

uma espessura dada, pode ser medido pela área da lata, duas tampas na forma de disco e um retângulo lateral, ou

seja: )(222),( 22 RHRHRRHRG +=+= πππ

8

À primeira vista pode parecer que G é uma função de duas variáveis, mas de fato existe um vínculo que relaciona R e H . Assim, podemos eliminar, por exemplo, a variável H usando 2/ RH πϑ= e assim:

)(2)( 2

RRRG

πϑπ +=

Note que se quisermos economizar muito na área da base da lata, fazendo 0→R , então ∞→G . Se, por outro lado, economizarmos na altura da lata, fazendo 0→H , então 2/ RH πϑ= implica que ∞→R e novamente

∞→G . Deve haver um valor intermediário de R , entre 0 e ∞ , para o qual o gasto é mínimo. De fato, na figura (3) que mostra o gráfico de )(RG versus R , podemos identificar um ponto de mínimo *R .

FIGURA 3: gráfico do gasto de material em uma lata de volume fixo em função do raio da base.

Para achar o valor desse *R ótimo basta resolver a equação:

0*

=RdR

dG ou seja, 3

*2*

*

202

πϑ

πϑ

=⇒=− RR

R

Usando a relação entre H e R obtemos a altura compatível com esse raio, ou seja:

*3

* 22

2 RH ==πϑ

Concluímos então, que a lata mais econômica é aquela que tem seção transversal vertical quadrada, de lado ** 2 RH = . Será que no mundo real se obedece a essa proporção? Para testar, medimos uma lata comum de

refrigerante, de 350 ml . Obtivemos cmRREAL 25,3≈ e cmH REAL 4,12≈ , correspondendo a um volume da lata 3411 cmREAL ≈ϑ . Para esse volume real, as dimensões ideais econômicas seriam:

cmR 4* ≈ e cmH 8* ≈

Conclusão: as dimensões da lata real estão bem distantes das dimensões ideais. O gasto de material com a lata real é 23,319)( cmRG REAL ≈ , enquanto que o gasto ideal seria 2* 03,306)( cmRG ≈ . Há portanto uma gasto em

excesso de aproximadamente 23,13 cm de material, cerca de %3,4 a mais do que o ideal. Uma hipótese para

essa aparente insensatez, é que talvez as crianças não conseguissem segurar em uma mão uma lata que tivesse cm8 de diâmetro. Daí elas beberiam menos refrigerantes e o que pareceria barato para o fabricante acabaria

saindo caro. Para uma função de uma variável apenas, )(xf , podemos interpretar a derivada da seguinte forma: se

partirmos de um ponto 0x e nos deslocarmos um pouco para frente no eixo x, para dxx +0 )0( ≈dx , a função f

dá um salto do valor )( 0xf para o valor dxxfxfdxxf )(')()( 000 +=+ . Ou seja, o tamanho do salto na função

f é dxxfdf )(' 0= . Consideremos agora uma função de duas variáveis ),( yxf . O gráfico dessa função é uma

superfície. Se partirmos de um ponto ),( 00 yx e andarmos um pouco para frente, qual será o salto na função

),( yxf ? A resposta a essa pergunta depende da direção em que andarmos. Agora podemos nos deslocar sobre

um plano, o plano xy , e existem infinitas direções que podem ser tomadas, partindo de um ponto. Consideremos

9

então que vamos andar ao longo do eixo x , mantendo y constante ( 0y= ). Nesse caso, sairemos do ponto

),( 00 yx e vamos para o novo ponto ),( 00 ydxx + . O salto em f será:

dxxfdf

yx 00 ,∂∂

=

Consideremos agora que vamos andar ao longo do eixo y , mantendo x constante ( 0x= ). Nesse caso, sairemos

do ponto ),( 00 yx e vamos para o novo ponto ),( 00 dyyx + . Nesse caso, o salto em f será:

dyyfdf

yx 00 ,∂∂

=

As funções xfyxf x ∂∂

=),( e dyfyxf y∂

=),( são as derivadas parciais da função f . No caso de nos

deslocarmos simultaneamente em x e em y , do ponto ),( 00 yx para o ponto ),( 00 dyydxx ++ , o salto em f

será:

dyyfdx

xfdf

yxyx 0000 ,, ∂∂

+∂∂

= (5)

Por exemplo, considere um balão de borracha de forma cilíndrica, com base circular de raio R e altura H . Suponha que estejamos enchendo esse balão de tal forma que seu raio esteja aumentando na taxa constante Rϑ

( )/ sm e que sua altura esteja aumentando na taxa constante Hϑ ( sm / ). Qual a taxa de variação no tempo do

volume V do balão? A relação entre as variáveis do problema é HRHRV 2),( π= . Note que nesse caso, diferentemente do caso da

lata que abordamos anteriormente, R e H são duas variáveis independentes.

A taxa que estamos procurando é:

dtdH

HV

dtdR

RV

dtdVdH

HVdR

RVdV

∂∂

+∂∂

=⇒∂∂

+∂∂

=

com: RdtdR ϑ= e Hdt

dH ϑ= . Vale também, RHRV π2=∂∂

e 2RHV π=∂∂

. Assim:

HR tRtHtRdtdV ϑπϑπ )()()(2 2+= (em )/3 sm

Nessa expressão acima, deixamos por substituir as funções: tRtR Rϑ+= )0()( e tHtH Hϑ+= )0()( .

Podemos usar essa mesma idéia acima para deduzir uma expressão para a derivada da razão entre duas funções )(/)( xgxf . Seja gfgfU /),( = , então:

22 )]([)(')()(')()(')('1

)()(

xgxgxfxfxgxg

gfxf

gdxdg

gU

dxdf

fU

dxdU

xgxf

dxd −

=−=∂∂

+∂∂

==

Exercício: Determine 3 números reais positivos cuja soma seja um número fixo M e cujo produto P seja máximo. Dica: Defina a função zyxzyxP =),,( , elimine nessa função uma das variáveis, digamos

yxMz −−= e ache os valores de x e y para os quais 0/ =∂∂ xP e 0/ =∂∂ yP .

3 - VETORES:

Na física encontramos grandezas que ficam bem definidas através da simples atribuição de seu valor numérico, as

chamadas grandezas escalares. Um exemplo é a temperatura. Por outro lado, existem grandezas que guardam

mais informações que uma simples magnitude. Um exemplo é a velocidade instantânea de um veículo. A

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velocidade é uma grandeza vetorial, ou seja, uma grandeza que, para estar completamente definida, deve ter especificadas sua magnitude (digamos hKm /100 ), sua direção (digamos, ao longo do eixo norte-sul) e seu

sentido (do norte para o sul, por exemplo). Outros exemplos de grandezas vetoriais são a força, a aceleração e o

torque. Podemos representar os vetores através de setas, com um tamanho (a magnitude da grandeza física), uma

direção e um sentido bem definidos. Um vetor é denotado comumente por Ar

e a magnitude, ou módulo, do vetor

por AA =r

.

Podemos definir três operações básicas entre dois vetores Ar

e Br

. Para definir o vetor soma BASrrr

+= ,

desenhamos Ar

e Br

com suas extremidades iniciais no mesmo ponto. Completamos a figura de um paralelograma.

O vetor Sr

é então o que está ao longo da diagonal do paralelograma, partindo da origem comum de Ar

e Br

. Uma

outra maneira de definir BASrrr

+= é desenhar o vetor Ar

, desenhar o vetor Br

com sua extremidade inicial na

ponta do vetor Ar

, então, Sr

é o vetor que sai do início de Ar

e tem a ponta na ponta de Br

(veja a figura (4)). Ao

fazer essas operações, só devemos tomar o cuidado de deslocar (transladar) os vetores mantendo suas

propriedades básicas intactas, quais sejam: módulo, direção e sentido. Se Br

é um vetor, então Br

− é um outro vetor de mesmo módulo, mesma direção mas sentido contrário ao de B

r ( 0)(

rrr=−+ BB ).

FIGURA 4: definição geométrica da soma de dois vetores.

Podemos definir duas operações de produto entre vetores. O produto escalar entre dois vetores Ar

e Br

,

denotado por BArr

• , dá como resultado um escalar:

θcosBABArrrr

=• (6)

em que θ é o menor ângulo entre os vetores Ar

e Br

(desenhados com suas extremidades iniciais no mesmo

ponto). Na figura (5a), é fácil ver que a projeção de Ar

sobre Br

, que denotaremos por BA é θcosAAB

r= e da

mesma forma, a projeção de Br

sobre Ar

é θcosBBA

r= . Portanto, podemos escrever o produto escalar como:

AB BABABA ==•rr

Se dois vetores Ar

e Br

são ortogonais entre si ( 2/πθ = ), ou seja, se um vetor não tem projeção (sombra) sobre

o outro, então 0=• BArr

. Por exemplo, na física, o trabalho de uma força Fr

constante, que atua em um objeto ao

longo de um deslocamento dr

é dado por:

FdF dFdFdFW ==•=rr

Portanto, se essa força não tem componente ao longo do deslocamento, 0=FW .

11

FIGURA 5: produto escalar e produto vetorial entre dois vetores. Regra da mão direita.

O produto vetorial entre dois vetores Ar

e Br

, denotado por BArr

× , dá como resultado um terceiro vetor

BAVrrr

×= . Esse vetor é definido pelas seguintes propriedades:

- O módulo de BAVrrr

×= é θsenBABAV =×=rrr

, sendo θ o menor ângulo entre os vetores Ar

e

Br

(desenhados com suas extremidades iniciais no mesmo ponto).

- A direção de BAVrrr

×= é ortogonal ao plano definido pelos vetores Ar

e Br

.

- O sentido de BAVrrr

×= é definido pela regra da mão direita: passando os dedos da mão direita no

sentido que vai de Ar

para Br

, através do menor ângulo (θ ), o dedo polegar apontará no sentido de

BAVrrr

×= (veja a figura (5b)).

É fácil ver que ABBArrrr

×−=× e que 0rrr

=× BA se Ar

e Br

possuem a mesma direção ( 0=θ ou πθ = ). Na

física, o torque de uma força Fr

que atua num ponto de posição rr em relação a um ponto de referência é: FrF ×=

rrτ

Assim, se rr e Fr

forem colineares, não haverá torque. Podemos definir funções vetoriais, como )(xA

r ou ),( txB

r. As derivadas dessas funções obedecem a

regras bastante simples, quais sejam:

dxBdAB

dxAdxBxA

dxd

rrr

rrr

•+•=• )()( e dxBdAB

dxAdxBxA

dxd

rrr

rrr

×+×=× )()(

Na próxima seção abordaremos a representação algébrica (não geométrica) de vetores, através de suas

componentes em sistemas de coordenadas. Um conceito que nos será útil é o de vetor unitário, que denotaremos

por A , ao invés de Ar

, e que é simplesmente um vetor de módulo 1. Esses vetores são então úteis para

representar direções e sentidos bem definidos no espaço.

4 – SISTEMAS DE COORDENADAS:

Um sistema de coordenadas é uma maneira de nos referirmos aos pontos do espaço em termos algébricos. Um

ponto no espaço é um objeto geométrico e existem infinitas maneiras de nos referirmos a ele. Em geral um sistema

de coordenadas é definido através de uma estrutura de eixos de referência, em relação aos quais as coordenadas

são “medidas”. No espaço real, tridimensional, precisamos sempre de três coordenadas para nos referirmos a um

único ponto.

4.A – COORDENADAS CARTESIANAS

No sistema de coordenadas cartesianas, cada ponto do espaço é associado a três números reais que representam as projeções desse ponto em três eixos ortogonais entre si, os eixos x , y e z (veja a figura (6a)). As projeções de

12

um vetor são de fato segmentos orientados, ou seja, que possuem um sinal. As projeções que ficam “de cabeça

para baixo”, ou seja, ao longo das porções negativas dos eixos, são negativas. Então, no sistema cartesiano os pontos do espaço são representados por ),,( zyx com x , y e z números que variam de ∞− a ∞+ .

FIGURA 6: sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Um vetor desenhado no espaço, na presença de um referencial cartesiano, pode ser decomposto em três componentes xA , yA e zA , que são as projeções (positivas ou negativas) do vetor ao longo de cada um dos eixos

coordenados. Podemos então representar o vetor Ar

algebricamente por zyx AAAA ,,(=r

). Uma maneira mais

prática de representar os vetores é através dos vetores unitários x , y e z . O vetor x , por exemplo, aponta na

direção e no sentido do crescimento da coordenada x . Dessa forma, como já sabemos somar vetores, é fácil

constatar que: zAyAxAA zyx ˆˆˆ ++=

r

As operações com vetores que definimos anteriormente ficam bastante fáceis de serem realizadas usando as componentes cartesianas. Primeiramente notamos que 1ˆˆ =• xx , 1ˆˆ =• yy , 1ˆˆ =• zz e que 0ˆˆ =• yx ,

0ˆˆ =• zx , 0ˆˆ =• yz , e ainda 0ˆˆr

=× xx , 0ˆˆr

=× yy , 0ˆˆr

=× zz e mais ainda zyx ˆˆˆ =× , yzx ˆˆˆ −=× , xyz ˆˆˆ −=× .

Usando então a propriedade distributiva da soma e do produto, obtemos: 222zyx AAAAAA ++=•=

rrr

zBAyBAxBABA zzyyxx ˆ)(ˆ)(ˆ)( +++++=+rr

zzyyxx BABABABA ++=•rr

zBABAyBABAxBABABA xyyxzxxzyzzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=×rr

Consideremos a tarefa de calcular a distância d entre dois pontos, que para simplificar, suporemos

contidos no plano xy . Sejam ),( 11 yx e ),( 22 yx esses dois pontos. Construímos os dois vetores yyxxA ˆˆ 11 +=r

e yyxxB ˆˆ 22 +=r

. Na figura (7), é fácil ver que a distância procurada é o módulo do vetor BADrrr

−= , assim: 2

212

212121 )()(ˆ)(ˆ)( yyxxyyyxxxBADd −+−=−+−=−==rrr

13

FIGURA 7: distância entre dois pontos, vista como o módulo de um vetor diferença.

Exercício: Sejam zyxA ˆ2ˆ6ˆ3 −+=

r e zyxB ˆˆ9ˆ3 −+−=

r. a) Determine: BA

rr+ , BA

rr− , BA

rr• e

BArr

× . b) Calcule o menor ângulo entre Ar

e Br

. Faça desenhos desses vetores.

4.B – COORDENADAS CILÍNDRICAS

No sistema de coordenadas cilíndricas, os pontos do espaço são indexados por três números reais, a distância em

relação a um eixo ( z ), que chamamos de r , uma projeção ao longo desse eixo, a mesma coordenada z definida anteriormente, e um ângulo entre a projeção do raio r no plano xy e o eixo x , chamado de ϕ (veja a figura (6b)).

Então, no sistema cilíndrico os pontos do espaço são representados por ),,( ϕzr com r variando de 0 a ∞+ , z

de ∞− a ∞+ , e ϕ de 0 a π2 .

Analogamente ao que fizemos para o sistema de coordenadas cartesianas, podemos aqui definir três

vetores unitários: r que aponta na direção e no sentido do crescimento do raio r , z (o mesmo das coordenadas cartesianas) e ϕ que aponta na direção e no sentido do crescimento do ângulo ϕ . Assim, qualquer vetor pode ser

escrito em termos das suas componentes cilíndricas: ϕϕ ˆˆˆ AzArAA zr ++=

r

Note que, diferentemente dos vetores unitários x , y e z , os vetores r e ϕ não são constantes, ou seja,

dependendo do ponto do espaço, esses vetores podem ter direções e sentidos bem diversos. É fácil notar que )(ˆˆ ϕrr = (ou seja, r é função do ângulo ϕ ) e que também )(ˆˆ ϕϕϕ = . Podemos notar também que a direção de

ϕ é a direção tangente às circunferências paralelas ao plano xy e centradas no eixo z . O sentido de ϕ é dado

pela regra da mão direita: apontando o dedo polegar na direção e sentido do eixo z , os outros dedos apontam no sentido de ϕ .

Como exemplo, suponha que uma pedra fixa num barbante, de comprimento R , esteja sendo girada no

plano constante do barbante com velocidade angular constante ω . Determinemos o vetor velocidade linear Vr

dessa pedra. Adotando um sistema cilíndrico com origem no centro da órbita da pedra e eixo z ortogonal ao seu plano de giro, o vetor posição da pedra será então )(ˆ)( trRtr =

r. Note que r depende do tempo t . Então,

sabendo que de fato ))((ˆˆ trr ϕ= e que ωϕ =dtd / (estamos admitindo que ϕ está aumentando com o tempo, ou

seja, estamos fazendo uma hipótese sobre o sentido de giro da pedra), obtemos:

ϕωϕ

ϕϕ

drdR

dtd

drdRtrR

dtd

dtrdV

ˆˆ))((ˆ ====

rr

Para terminarmos o problema, falta encontrar então a derivada ϕdrd /ˆ . Para isso precisamos conhecer a relação

entre r e ϕ , ou seja, precisamos conhecer a função )(ˆˆ ϕrr = . Não entraremos nesse nível de detalhe aqui. Mas

podemos terminar nosso exemplo reconhecendo o fato de que a velocidade linear da pedra deverá ser tangente à

14

órbita da pedra, ou seja, tangente a um círculo centrado no eixo z . Essa direção é simplesmente ϕ . Assim, mesmo

sem provar, podemos afirmar que:

ϕϕ

ˆˆ=

drd

Portanto, a velocidade linear da pedra é ϕω ˆRV =r

.

Exercício: Escreva o vetor rr em coordenadas cartesianas.

4.C – COORDENADAS ESFÉRICAS

No sistema de coordenadas esféricas, os pontos do espaço são indexados por três números reais, a distância em

relação a uma origem, que chamamos de r (note que esse r tem um significado bem diferente do r das

coordenadas cilíndricas) , um ângulo entre esse raio r e um eixo vertical ( z ) , chamado de θ e um ângulo entre a projeção do raio r no plano xy e o eixo x , chamado de ϕ (veja a figura (6c)). Assim, no sistema esférico os

pontos do espaço são representados por ),,( ϕθr com r variando de 0 a ∞+ , θ de 0 a π , e ϕ de 0 a π2

(note que não é necessário que θ varie de 0 até π2 ).

Analogamente ao que fizemos para os outros sistemas de coordenadas, podemos aqui definir três vetores

unitários: r que aponta na direção e no sentido do crescimento do raio r , θ que aponta na direção e no sentido do crescimento do ângulo θ e ϕ que aponta na direção e no sentido do crescimento do ângulo ϕ . Qualquer vetor

pode ser escrito em termos das suas componentes esféricas: ϕθ ϕθ ˆˆˆ AArAA r ++=

r

Note que, aqui também, diferentemente dos vetores unitários x , y e z , os vetores r , θ e ϕ não são

constantes, ou seja, dependendo do ponto do espaço, esses vetores podem ter direções e sentidos bem diversos. É fácil notar que ),(ˆˆ ϕθrr = (ou seja, r é função dos ângulos θ e ϕ ) e que também ),(ˆˆ ϕθθθ = e ),(ˆˆ ϕθϕϕ = .

Suponhamos que um satélite de massa m esteja girando em torno da terra, sob ação da gravidade.

Podemos mostrar que a órbita desse satélite está contida em um plano. Para isso, só precisamos saber que a força

gravitacional é central, ou seja, está sempre direcionada na linha que passa pelo satélite e pelo centro da terra.

Consideremos um referencial esférico fixo com origem no centro da terra. Se Fr

é a força gravitacional que atua no satélite, então rFF r ˆ=

r ( Fr

é central). Pela 2a Lei de Newton, a aceleração ar do satélite também é radial, ou

seja, raa r ˆ=r

. Assim, seja Lr

o momento angular do satélite, em relação à origem, VmrLrrr

×= , sendo rr a

posição e dtrdV /rr= a velocidade do satélite. Então:

armVVmdtVdrmV

dtrdmVmr

dtd

dtLd rrrr

rrrrrr

r

×+×=×+×=×= )(

Mas, sabemos que 0rrr

=×VV e que, pelo mesmo motivo, 0ˆˆˆrrrr

=×=×=× rrararar rr . Conclusão: o satélite se

move com momento angular mantido constante, ou seja CtVtrrrr

=× )()( , Cr

não dependendo do tempo. Como Cr

é ortogonal a rr e a Vr

, então, reciprocamente, rr e Vr

são ortogonais a um vetor constante. Daí, rr e Vr

se

mantém no plano ortogonal ao vetor Cr

, ou seja, a órbita está confinada a um plano.

Exercício: Escreva o vetor rr em coordenadas cartesianas.

15

5 – INTEGRAIS INDEFINIDAS E DEFINIDAS:

Consideremos agora a tarefa de, dada uma função (derivada) )(xf , encontrar uma função (primitiva) )(xF tal que

)()(' xfxF = . A essa operação, inversa da derivação, damos o nome de integração (indefinida). A notação para

essa operação é: Se )()(' xfxF = então ∫= dxxfxF )()(

Dizemos que F é a primitiva de f . Por exemplo, a primitiva de )(sen)( xkxf = , com k uma constante, é

CkxkxF +−= /)(cos)( , em que C é uma constante arbitrária. Essa constante C sempre aparece na

integração indefinida pois a derivada de uma constante é nula. Da mesma forma, a primitiva de xxf /1)( = é

CxxF += ln)( . Nem toda função possui primitiva. Por exemplo, a integral

dxxI ∫ −= )(exp 2

não existe pois não há nenhuma função )(xF que, se derivada, resulta em )(exp)( 2xxf −= .

Quando discutimos as funções exponencial e logaritmo vimos que uma é a inversa da outra, ou seja, ( )xx lnexp= e ( )xex ln= . Dessa forma, o que a operação exp faz, a operação ln desfaz e vice-versa.

Poderíamos representar, simbolicamente, esse faz-desfaz da seguinte forma: 1lnexp = e 1expln = . Com isso

queremos dizer que, simbolicamente: xxx == 1)(lnexp e xxe x == 1)(ln . Da mesma forma, as operações de

integração e derivação são uma a inversa da outra. De fato, se )()(' xfxF = , então:

∫ ∫ ∫ === )()(')( xFdFdxxFdxxf

Assim, na notação que introduzimos anteriormente, poderíamos dizer que, simbolicamente:

∫ = 1d e também ∫ = 1d

O objetivo principal da integral indefinida é a solução de equações diferenciais, ou seja, encontrar a solução

para uma equação que envolve funções e derivadas de funções. As equações diferenciais aparecem em profusão

na física, na química, na biologia teórica e nas engenharias mais fundamentais. Pensando nas derivadas como

taxas de variação, as equações diferenciais relacionam então funções com suas taxas de variação, com as taxas de

variação de suas taxas de variação (derivadas segundas) e etc.

Exercício: Considere uma partícula submetida a uma força constante xFF ˆ=

r. Segundo Newton, a taxa

de variação da taxa de variação no tempo da posição dessa partícula é proporcional a Fr

, ou seja:

mFr

dtd

rr=2

2

, sendo m a massa da partícula. Encontre a trajetória )(trr dessa partícula. Faça desenhos

dessas trajetórias para várias condições iniciais diferentes.

Aqui estaremos mais interessados no conceito de integral definida. Seja )(xf uma função contínua e

positiva, então, o Teorema Fundamental do Cálculo afirma que a área A delimitada superiormente pela curva de )(xf , inferiormente pelo próprio eixo x , e nas laterais pelas retas ax = e abx >= é dada por (veja a figura

(8)):

∫ −===b

a

b

aaFbFxFdxxfA )()()()(

sendo a função F a primitiva de f .

16

FIGURA 8: elemento infinitesimal de área, que integrado, resulta na área abaixo da curva.

Aqui começamos a visualizar a integral como uma soma. Pensamos na construção de pequenas fatias, retângulos de alturas variáveis )(xf e de larguras dx , que definem áreas infinitesimais dxxfdA )(= , que

somadas, fornecem a área definida anteriormente. Assim:

∫=REGIÃO

dAA

em que a notação REGIÃO denota a idéia de que a integral é definida, ou seja, a soma é realizada apenas dentro de

uma região específica.

Consideremos a tarefa, bastante simples, de calcular a área de um retângulo de lados a e b usando a

idéia exposta acima. Começamos adotando um referencial, posicionando um dos vértices do retângulo na origem de um sistema cartesiano xy (veja a figura (9)). Um segundo passo é definir o elemento infinitesimal de área dA .

Essa escolha é ditada basicamente pela forma das bordas da região em que a integral, ou seja, a soma, será

realizada. Nesse caso as bordas são claramente retas, o que sugere a escolha de elementos de área também retos, ou seja, retangulares. Há então três opções. Na primeira definimos dxadA = e então:

babaxadxadxadAAbx

x

bb

REGIÃO

=−===== ∫ ∫∫=

=

)0(0

00

Uma segunda opção é escolher dybdA = e então:

baabybdybdybdAAay

y

aa

REGIÃO

=−===== ∫ ∫∫=

=

)0(0

00

A última opção é escolher dydxdA = e obtemos então uma integral dupla:

∫ ∫ ∫∫∫=

=

=

=

=−−=====bx

x

ay

y

aab

b

REGIÃO

baabyxdydxdydxdAA0 0 0

000

)0)(0(

FIGURA 9: diferentes elementos infinitesimais de área para uma região de contornos retos.

Suponha que uma chapa retangular de lados a e b e de espessura desprezível possua densidade de massa (por unidade de área) ρ (kg/m2) não homogênea, ou seja, ),( yxρρ = . Vamos determinar a massa M

17

dessa chapa usando a idéia da integral como uma soma. Para podermos realizar os cálculos até o fim, abordaremos aqui dois casos particulares. Suponhamos inicialmente um caso mais simples, em que ρ só depende

de x , ou seja, )(xρρ = . Nesse caso, podemos definir lâminas verticais, como fizemos anteriormente. A massa de

uma lâmina qualquer, localizada na coordenada x , será dada por dxaxdAxdm )()( ρρ == , e assim:

∫=REGIÃO

dmM

A região nesse caso é a delimitada pelas bordas da chapa, ou seja, bx <<0 e ay <<0 . Portanto, se 2)( xx αρ = (kg/m2), por exemplo, com α constante:

∫ ∫∫=

=

=====bx

x

b b

REGIÃO

baxadxxadxxadxaxM0 0

3

0

322

33)( ααααρ (kg)

Suponhamos agora que ρ só depende de y , ou seja, )(yρρ = . Nesse caso, podemos definir lâminas

horizontais, a massa de uma lâmina qualquer, localizada na coordenada y , será dada por

dybydAydm )()( ρρ == . Portanto, se yy αρ =)( (kg/m2), por exemplo, com α constante:

∫ ∫∫=

=

=====ay

y

a a

REGIÃO

abybdyybdyybdybyM0 0

2

0

2

22)( ααααρ (kg)

Note que nos exemplos acima não tivemos escolha na definição do elemento infinitesimal de massa. Se )(xρρ = , então a lâmina infinitesimal tem que ser uma região =x constante, ou seja, uma lâmina vertical. Por

outro lado, se )(yρρ = , então a lâmina infinitesimal tem que ser uma região =y constante, ou seja, uma lâmina

horizontal.

Caso as bordas da região de integração não sejam retas, como no caso de um círculo, é mais conveniente

que usemos um sistema de coordenadas curvas, como o cilíndrico ou o esférico. Esses dois sistemas, quando

0=z , no caso do sistema cilíndrico e quando 2/πθ = , no caso do sistema esférico, se resumem ao sistema de coordenadas polares, qual seja: ),( ϕr . Essas duas coordenadas no plano permitem a construção de um elemento

infinitesimal de área que tem a forma de um anel, de raio r e espessura dr , ou seja, de área drrdA π2= (veja a

figura (10)).

FIGURA 10: elemento infinitesimal de área, um anel, para uma região de contorno circular.

Consideremos então a tarefa de mostrar que a área delimitada por um círculo de raio R é 2RA π= . Basta

pensarmos no disco de raio R como uma soma de infinitos anéis de áreas infinitesimais drrdA π2= . Assim:

∫ ∫ ∫=

=

=====REGIÃO DISCO

Rr

r

R

RrdrrdrrdAA0

2

0

2

2222 ππππ

Imaginemos um disco, de espessura desprezível, cuja densidade de massa ρ ( 2/ mKg ) seja não uniforme, no

caso )(rρρ = . Vamos determinar a massa M desse disco. Fatiando o disco em anéis infinitesimais, o anel de

18

raio r terá massa drrrdArdm πρρ 2)()( == . Portanto, se ( )r

rkr exp)( αρ = (kg/m2), por exemplo, com α

e k constantes:

( )1222)(0 0

−===== ∫ ∫ ∫=

=

Rk

DISCO DISCO

Rr

r

Rrkrk e

kkedredArdmM απαπαπρ (kg)

Continuando nossos exemplos que ilustram a integral como uma soma, vamos considerar agora o cálculo

do volume V de um paralelepípedo reto de lados a , b e c . Começamos adotando um referencial, posicionando um dos vértices do paralelepípedo na origem de um sistema cartesiano xyz (veja a figura (11)). Um segundo passo

é definir o elemento infinitesimal de volume dV . Discutiremos três escolhas possíveis. Podemos escolher SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano xy , de espessura dz , e então, de volume dzbadV = ( 3m ).

Assim:

( )∫ ∫∫=

=

=−=====cz

z

cc

REGIÃO

cbacbazbadzbadzbadVV0 0

00

Podemos também escolher SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano xz , de espessura dy , e então,

de volume dycbdV = ( 3m ). Ou ainda SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano yz , de espessura

dx , e de volume dxcadV = ( 3m ). Em qualquer caso é fácil mostrar que obteremos o mesmo resultado acima.

FIGURA 11: diferentes elementos infinitesimais de volume para uma região de contornos planos.

Consideremos a tarefa de calcular a massa M de um paralelepípedo reto de lados a , b e c cuja densidade de massa ρ seja não uniforme. Consideremos apenas o caso em que xx αρρ == )( (kg/m3) com α

uma constante. Nesse caso, não temos escolha, as fatias de volume devem ser “superfícies” =x constante (paralelas ao plano yz ), e de massa dxcaxdVxdm )()( ρρ == . Portanto:

∫ ∫ ∫=

=

=====REGIÃO REGIÃO

bx

x

bcabxcadxxcadVxdmM

0

2

0

2

22)( αααρ (kg)

Podemos agora abordar o cálculo de volumes e massas de objetos que não possuem contornos retos,

como era o caso do paralelepípedo. Como exemplo, vamos usar o cálculo integral para mostrar que o volume de uma esfera de raio R é 3)3/4( RV π= . Poderíamos obter esse resultado utilizando elementos infinitesimais de

volume de formas retangulares, mas o nível de dificuldade na álgebra seria muito maior do que se partirmos desde

já para elementos de volume curvos. Podemos fazer isso usando os dois sistemas de coordenadas curvas que já

estudamos:

a) Coordenadas cilíndricas:

Considere a figura (12a), em que mostramos apenas metade da esfera, dividida em fatias na forma de discos de raios variáveis r e de espessuras dz . O volume de uma fatia arbitrária é dzrdV 2π= . Podemos notar que

as variáveis r e z não são independentes, de fato: 222 Rzr =+ , ou seja, 222 zRr −= . Assim:

19

∫ ∫∫ =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−====

=REGIÃO

RR

RRz

z

RzzRdzzRdzrdVV 3

0

3

0

2

0

22

0

2

34

32)(22 ππππ

Note que o fator 2 foi introduzido acima porque a integral em dz foi realizada apenas para metade de uma

esfera.

Exercício: Mostre que o volume de um cone circular reto, com base de raio R , e com altura H é 3/2 HRV π= . Considere que o cone é fatiado em lâminas na forma de discos paralelos a sua base.

b) Coordenadas esféricas:

Na figura (12b) mostramos um elemento de volume infinitesimal construído com as coordenadas esféricas. Trata-se de uma casca esférica de raio r e espessura dr e, portanto, de volume drrdV 24π= (lembre-se

que a área da superfície esférica de raio r é 24 rπ ). A simplicidade do cálculo abaixo evidencia o fato de que,

para um objeto de contorno esférico, as coordenadas mais apropriadas são as esféricas. De fato:

∫ ∫ ∫=

=

====REGIÃO

Rr

r

R

RdrrdrrdVV0 0

322

3444 πππ

Exercício: Determine a massa de uma esfera de raio R , cuja densidade de massa por unidade de volume é dada por rr αρ =)( , sendo α uma constante e r o raio (variável) medido em relação ao centro da esfera.

FIGURA 12: diferentes elementos infinitesimais de volume para uma região de contorno esférico.

Quando discutimos a integral de uma função )(xf , consideramos que estas eram realizadas com os

valores da variável x percorrendo um intervalo do próprio eixo x , ou seja, a integral era realizada sobre um

segmento de linha reto. Poderíamos generalizar essa idéia e considerar uma integral que fosse realizada em uma

variável que assumisse valores sobre uma linha curva. Essas integrais são chamadas de integrais de linha. Para

ficar mais clara a idéia, consideremos a tarefa de mostrar que o comprimento de uma circunferência de raio R é RC π2= . Podemos demonstrar esse resultado pensando na integral como uma soma de elementos infinitesimais

de comprimento, que não são os dx , pois estes não estão sobre o eixo reto x , e nem dy , pois não estão também

sobre o eixo reto y . Pelo contrário, os pedacinhos de comprimento infinitesimais estão definidos sobre a curva da

circunferência. Vamos chamá-los genericamente de ds . Assim:

∫=CURVA

dsC

Na figura (13a) mostramos a definição de um ds ao longo de uma circunferência. Os ds são de fato pequenos

arcos de circunferência infinitesimais. Mostramos também nessa figura que, quando 0→ds , os arcos se tornam

20

retas, hipotenusas de triângulos cujos catetos são comprimentos infinitesimais dx e dy . Dessa forma, do teorema

de Pitágoras obtemos 22 )()( dydxds += , e portanto:

∫ +=CURVA

dydxC 22 )()(

FIGURA 13: elemento infinitesimal de deslocamento (comprimento) ao longo de uma circunferência.

Consideremos então apenas a metade superior da circunferência. Essa curva pode ser descrita pela função 22)( xRxy −= com RxR ≤≤− . Portanto, ao longo da curva da circunferência, como não poderia deixar de

ser, x e y não são variáveis independentes entre si, donde concluímos que dx e dy também não são. De fato,

de )(xy obtemos:

22 xRx

dxdy

−

−=

Conclusão, substituindo essa equação na integral que fornece C obtemos:

∫ ∫ ∫+=

−= − −=

−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

CURVA

Rx

Rx

R

R xR

dxRdxxR

xdxdxdyC

2222

22 21212

Note que o fator 2 foi introduzido acima porque a integral fornece o comprimento apenas da metade superior da

circunferência.

Não entraremos em detalhes aqui sobre como realizar essa última integral. De fato trata-se de uma integral

bastante comum e que consta nas tabelas de qualquer livro de cálculo. Nos limitaremos a utilizar seu resultado, qual

seja:

∫ +=−

.arcsen22

constRx

xRdx

Portanto, chegamos finalmente a:

( ) ( ){ RRRRxRC

R

R

πππ 2)2

(2

2}1arcsen1arcsen2arcsen2 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=−−==

−

Essa mesma tarefa de calcular o comprimento de uma circunferência, se realizada no sistema de

coordenadas polares, torna-se muito mais simples. Consideremos a figura (13b), em que mostramos o comprimento

infinitesimal ds ao longo da circunferência “pensado” como um arco infinitesimal subentendido por um ângulo infinitesimal ϕd . Assim, se (e somente se) ϕd for expresso em radianos (ou seja, como um número de fato

adimensional), vale a relação entre o arco, o ângulo e o raio do círculo: ϕdRds = . Portanto:

∫ ∫∫=

=

=====CURVACURVA

RRdRdRdsCπϕ

ϕ

π πϕϕϕ2

0

2

02

21

Como nosso último exemplo, de integral de linha, consideremos o seguinte problema, que mescla os

conceitos de vetores e integrais: Um partícula está descrevendo uma órbita circular de raio R , girando no sentido

horário. Existem várias forças atuando nessa partícula, produzindo como resultado essa órbita, mas vamos nos concentrar apenas em uma. Seja xykF ˆ=

r (com 0>k uma constante) uma força atuando nessa partícula, sendo

a coordenada y definida com o referencial cartesiano no centro da órbita circular (veja a figura (14a)). Essa força

então é sempre horizontal e possui módulo que aumenta com o aumento de y . No 1o e no 2o quadrantes a força

tem o sentido do eixo x , enquanto que no 3o e no 4o quadrantes a força tem o sentido contrário ao do eixo x .

FIGURA 14: um campo vetorial de forças definido no plano e um vetor deslocamento ao longo de uma

circunferência.

Vamos determinar o trabalho FW realizado pela força F

r em uma volta completa da partícula. Já sabemos

que trabalho é dFWF

rr•= , para uma força constante e para um deslocamento d

r. No entanto, não é esse o caso

aqui pois a força Fr

é variável (depende de y ) e ainda o deslocamento se dá ao longo de uma curva. Portanto,

vamos definir o trabalho infinitesimal FdW realizado em um deslocamento infinitesimal sd r : sdFdWFrr

•= . Essa

expressão está correta pois, quando 0→sdr , a força se torna constante (pois sdr se resume a um ponto) e, além

disso, o deslocamento sd mesmo sendo curvo, se torna reto (qualquer curva suave, vista com um microscópio, se

torna uma sucessão de pequenas retas). Assim, o trabalho será dado pela soma, ou seja, pela integral dos

trabalhos infinitesimais:

∫ ∫ •==CURVA CURVA

FF sdFdWW rr

Falta então definirmos os vetores sd r . Esses vetores devem ser tangentes ao deslocamento da partícula. Como

esse deslocamento se dá ao longo de um círculo no plano xy , e no sentido horário, então ϕdssd −=r

. Além disso,

o deslocamento ds é tangente à circunferência, e portanto é um pequeno arco (pelo fato de que ds se torna reto, quando 0→sd r , poderíamos também pensa-lo como a hipotenusa de um pequeno triângulo, como fizemos no

exemplo anterior do cálculo do comprimento da circunferência), donde concluímos que ϕdRds −= (com ϕd ) em

radianos. Note que introduzimos um sinal negativo nessa última equação porque o ângulo ϕ aumenta no sentido

anti-horário, enquanto que o deslocamento s da partícula se dá no sentido horário, assim, quando ϕd é positivo, o

ds é negativo. Portanto, segue que:

ϕϕϕϕ dxykRdRFWCURVACURVA

F )ˆˆ()ˆ( •=•= ∫∫r

Notamos que a expressão acima mistura coordenadas de dois sistemas diferentes: o sistema cartesiano e o

sistema polar. Para realizar a integral devemos homogeneizar as variáveis, todas num mesmo sistema de

coordenadas. Sendo o contorno da órbita circular, esperamos que o sistema polar seja mais conveniente para esse

problema. Assim, de acordo com a figura (14b), notamos que:

22

ϕsenRy = e ( ) ϕϕπϕϕ sen2/cosˆˆˆˆ =−=• xx

Finalmente, chegamos a:

∫=

=

=πϕ

ϕ

ϕϕ2

0

22 sen dkRWF

Essa última integral pode ser realizada através do uso de uma identidade trigonométrica:

∫∫ +−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= .4

)2(sen22

)2(cos1sen 2 constdd θθθθθθ

Portanto, concluímos finalmente que: kRWF

2π=

Note que o trabalho é positivo porque a força Fr

está sempre “a favor” do sentido de deslocamento da partícula.

Exercício: Calcule o trabalho dessa mesma força definida acima, mas sobre uma partícula que descreve uma órbita restrita a um quadrado de lado a , centrado na origem do plano xy , com lados paralelos aos

eixos coordenados. Considere a partícula “girando” no sentido horário.