Revisão de Calculo

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T E X T O D E R E V I S Ã O DE C Á L C U L O D I F E R E N C I A L & I N T E G R A L P A R A A F Í S I C A 3 JOSÉ ARNALDO REDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 2004

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  • T E X T O D E R E V I S O

    DE

    C L C U L O

    D I F E R E N C I A L & I N T E G R A L

    P A R A A F S I C A 3

    JOS ARNALDO REDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 2004

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    PREFCIO

    Durante o tempo em que ministramos a disciplina Fsica 3, voltada para os estudantes de diversas engenharias,

    fsica, qumica e matemtica, notamos que uma grande parte deles no possua o domnio da matemtica que se

    poderia esperar, tendo em vista os pr-requisitos dessa disciplina. O contedo da Fsica 3 exige tipicamente, para

    seu desenvolvimento e completa compreenso, que o estudante entenda e saiba efetuar operaes com vetores,

    realizar derivadas, integrais definidas simples, integrais de linha, de superfcie e de volume. No entanto no esse

    o estgio de muitos alunos que ingressam nessa disciplina. Poderamos mencionar aqui inumerveis exemplos,

    retirados de nossa experincia, que revelam falta de intimidade por parte de muitos estudantes, com os conceitos

    bsicos de clculo e, em alguns casos, de trigonometria, geometria, ou outra rea mais fundamental da matemtica.

    Alm disso, notamos muitas vezes, um completo desprezo pelo rigor mnimo que o uso da linguagem matemtica

    exige. Sinais so simplesmente trocados, um sinal + se transforma em um magicamente, termos divergentes (1/0)

    so desprezados, jogados para debaixo do tapete, parmetros constantes se transformam em variveis e vice-

    versa, tudo para que enfim se emita uma resposta para o problema proposto. No deveria ser esse, o

    comportamento esperado de estudantes das reas de cincias exatas, mas enfim, no pretendemos entrar aqui

    nessa discusso. Apenas acreditamos que o mesmo desconforto que causaria em qualquer professor ver um

    estudante escrever a frase nis vai l purque nis qu, deve tambm causar ver um estudante escrever a equao

    =a

    adx

    x02

    11 .

    Tendo em vista essa realidade, estamos nos propondo aqui a oferecer um texto que auxilie os estudantes,

    relembrando, enfatizando e reforando sua base matemtica. Nosso texto totalmente voltado para a disciplina

    Fsica 3, nos limitaremos ao contedo relevante e a um enfoque que acreditamos seja til e, ao mesmo tempo,

    minimamente rigoroso para essa disciplina. Ao longo do texto propomos alguns poucos exerccios, para que o

    estudante interessado teste seu conhecimento no assunto. O contedo exposto aqui pode ser encontrado em

    qualquer livro de clculo, e no estamos nos propondo a substituir disciplinas ou livros textos. Pelo contrrio,

    torcemos para que os estudantes cursem cada vez com mais interesse essas disciplinas, enxerguem a beleza que

    a matemtica muitas vezes revela, assimilem as lies de rigor e exatido que essa cincia nos transmite e

    procurem se inspirar nos autores de livros textos consagrados nessa rea.

    Ao chegar na disciplina Fsica 3, os estudantes j tero estudado todos os conceitos aqui discutidos, e j

    devem ter tido oportunidade de exercita-los em diversos problemas. Mas a realidade que, por algum motivo que

    nos escapa elucidao, um sem-nmero de estudantes esquece quase tudo em um tempo muito curto. Talvez o

    desprezo pelo rigor matemtico, qui revelador de um desprezo pela prpria matemtica, esteja relacionado com

    esse fenmeno. Ser concebvel um estudante de medicina, ou um mdico que desprezem a biologia? No

    sejamos ingnuos, deve haver muitos, afinal, ningum precisa saber o que uma mitocndria para prescrever um

    remdio para gripe. S nos resta torcer para que no nos deparemos com eles no percurso, ou nos percalos, de

    nossas vidas. Como j se disse, ensinar no encher um balde vazio, ensinar acender uma chama. Por algum

    motivo, que no pretendemos discutir aqui, essa chama s vezes permanece inerte, fria como o gelo.

    No possumos formao especfica em um curso formal de matemtica, seja em nvel de graduao ou

    ps-graduao. Por isso apresentaremos uma viso da matemtica do ponto de vista de um fsico, cientes de

    nossas limitaes nessa rea, mas cientes tambm de nossas responsabilidades e deveres acadmicos. No

    queremos, no entanto, que fique a impresso de que somos simples leigos chutadores. Acreditamos que

    possumos formao e experincia, na rea de matemtica, suficientes para a tarefa modesta - a que nos

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    propomos. Na graduao cursamos vrias disciplinas nessa rea, alm de outras que cursamos, por vontade

    prpria, no IMPA (Instituto de Matemtica Pura e Aplicada), no Rio de Janeiro. Acima de tudo admiramos a

    matemtica e temos a esperana de transmitir, e quem sabe contagiar, essa admirao no texto que se segue.

    Algumas vezes somos questionados na sala de aula, se o que estamos abordando trata-se de fsica ou de

    matemtica. Na nossa opinio, e de muitas autoridades no assunto, no podemos separar uma cincia da outra. J

    se disse que a fsica o estudo dos fenmenos naturais passveis de descrio matemtica, o resto seria

    astrologia. A essa propriedade da natureza, que a faz descritvel atravs de formulaes matemticas, P. A. M.

    Dirac, prmio Nobel de fsica, denominou qualidade matemtica da natureza. A fsica e a matemtica evoluram e

    evoluem juntas, como nos casos do clculo com a mecnica clssica, e da anlise vetorial com o eletromagnetismo.

    A fsica tambm gera matemtica, como no caso da teoria ergdica, toda uma rea moderna de pesquisa na

    matemtica que teve origem aps os trabalhos de Boltzmann na mecnica estatstica. Por essas razes,

    acreditamos que ao incentivar o estudo da matemtica estaremos melhorando a formao dos estudantes em fsica.

    Para a elaborao desse texto nos baseamos principalmente na coleo de quatro livros de ttulos Clculo 1,

    Clculo 2 e etc. de George B. Thomas Jr., professor emrito de matemtica do MIT/USA. Nossos exemplares

    desses livros foram editados pela LTC em 1978, e foram adquiridos, num golpe de sorte, na Feira do Livro Usado

    em Vitria, ES, nos tempos de faculdade. Segundo o autor desses livros, os estudantes devem ser expostos desde

    cedo idia de que uma derivada uma taxa de variao, e de que uma integral uma soma. Procuraremos

    enfatizar aqui essa viso prtica do clculo.

    1- FUNES, LIMITES E GRFICOS DE FUNES:

    Uma funo uma regra que associa elementos de um conjunto (domnio) a elementos de outro conjunto (imagem).

    A cada elemento do domnio a regra associa apenas um elemento da imagem. Nos limitaremos aqui principalmente a funes definidas em conjuntos de nmeros. Se f a funo, dizemos que f associa Dx a Ixf )( . Por exemplo, a funo 2: xxf associa a um nmero no conjunto dos reais ( ) um outro nmero no conjunto dos reais positivos ( + ). Escrevemos simplesmente 4)2( ==xf ou ainda 9)3( =f . A funo mdulo xxf : tambm associa nmeros em a nmeros em + , por exemplo, 3)3( =f e 5)5( =f . De maneira geral

    2xx = . Algumas vezes uma funo no est nem definida em um ponto particular, por exemplo ax = , mas podemos estar interessados no valor dessa funo quando nos aproximamos infinitamente desse ponto. Se o ponto

    ax = est perdido no meio do domnio de f , podemos nos aproximar dele tanto pela esquerda quanto pela direita. Chamamos essa operao - de aproximao infinita da varivel x do ponto ax = - de tomar o limite de x tendendo a a , denotada por axlim . Quando nos aproximarmos pela esquerda, ou seja, por valores de x menores do que a , denotamos o limite por axlim . Quando nos aproximarmos pela direita, ou seja, por valores de x maiores do que a , denotamos o limite por +axlim . Se ax = est no domnio de f , ou seja, se est definida a imagem )(af , ento, a funo f dita contnua em ax = se )(lim)()(lim xfafxf axax + == . Por exemplo, a funo )1/(1)( = xxf no est definida em 1=x e )(lim 1 xfx . Essa notao significa que )(xf , nesse limite, maior que qualquer nmero positivo que voc puder imaginar. A funo

    xxxf /)(sen)( = no est definida em 0=x , pois resulta em 0/0 , mas pode-se demonstrar que nesse caso 1)(lim 0 = xfx .

    Na figura (1) mostramos os grficos de algumas funes bastante comuns:

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    a) bxaxf +=)( com a e b constantes, cujo grfico uma reta, que passa pelo ponto ))0(,0( bfx == e que possui inclinao a .

    b) cxbxaxf ++= 2)( , cujo grfico uma parbola, com a boca para cima se 0>a ou para baixo se 0

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    Antes da existncia das calculadoras eletrnicas, a tarefa de multiplicar dois nmeros grandes requeria um

    bocado de tempo e esforo. John Napier (da o nome neperiano) teve a idia de criar uma funo que permitisse a realizao de produtos atravs de somas. Assim, para calcular ba , primeiro se achava em uma tabela de logaritmos os nmeros aln e bln , se somava esses dois nmeros e finalmente se procurava novamente na tabela qual o nmero correspondente ao logaritmo ba lnln + . Note ainda que

    01ln = e que ( ) 0ln x . J mencionamos que a funo logaritmo s este definida no conjunto dos nmeros positivos. De fato, o logaritmo de um nmero negativo um nmero imaginrio, por exemplo, ( ) i=1ln , com 1=i . Poderamos nos perguntar por que as funes exponencial e logaritmo esto

    definidas na base e , um nmero que vale aproximadamente 718,2 e que alm de irracional

    transcendental. De fato, a escolha dessa base est na raiz da prpria definio de logaritmo, como rea

    abaixo da hiprbole e, por conseguinte, na funo exponencial, como inversa da funo logaritmo. Nada

    nos impede de definir funes exponencial e logaritmo em bases diferentes, como por exemplo, o logaritmo

    decimal ( yx 10= ). No entanto, a base e se integra de uma maneira nica s outras funes e permite escrevermos igualdades intrigantes como, por exemplo: ( ) ii ee += 21cos e ainda 01 =+ie .

    Funo seno: xxf sen)( = . Trata-se de uma funo peridica que assume valores no intervalo ]1,0[ e de perodo 20 =T , pois )()( 0 xfTxf =+ para todo x . Vale ainda 00sen)0( ==f e

    12/sen)2/( == f . A incluso de uma constante k , na forma ( )xkxf sen)( = define uma funo de perodo T arbitrrio, dependente do valor de k . De fato, para satisfazer a igualdade )()( xfTxf =+ , ou seja, ( ) ( )xkTxk sen)(sen =+ , deve valer: ( ) ( )xkTkxk sensen =+ , ou seja, 2=Tk e portanto

    kT /2= . Funo co-seno: xxf cos)( = . Possui propriedades anlogas s da funo seno. Vale 10cos)0( ==f e

    ( ) 02/cos)2/( == f . Vale lembrar ainda que ( ) abbaba cossencossensen +=+ e bababa sensencoscos)(cos =+ . Ainda: 1cossen 22 =+ xx para todo x .

    2 DERIVADAS DE FUNES:

    Consideremos a tarefa de calcular a inclinao de uma reta dada (veja a figura (2a)). Assumindo que as escalas nos

    eixos vertical e horizontal so as mesmas, a inclinao da reta simplesmente a tangente do ngulo que a reta faz

    com o eixo horizontal x . Essa inclinao pode ser ento medida com um transferidor ou simplesmente calculada atravs da construo de um tringulo retngulo cuja hipotenusa coincide com a reta. Assim, se m a inclinao da reta, obtemos:

    xym

    == tan Por exemplo, se um veculo viaja com velocidade constante V numa estrada reta, ento sua posio ao

    longo da estrada crescer linearmente no tempo t , isto , tVxtx += 0)( . O grfico de )(tx versus t ser uma reta e a inclinao dessa reta ser a velocidade V do veculo, ou seja:

    VttttV

    tttVxtVx

    tttxtx

    txm =

    =++=

    ==

    12

    12

    12

    1020

    12

    12 )()()()(

    sendo 1t e 2t tempos arbitrrios. Consideremos agora a tarefa de calcular a inclinao m de uma curva, dada por uma funo )(xf

    contnua (veja a figura (2b)). fcil notar que essa inclinao, de fato a inclinao da reta tangente curva, muda em cada ponto. Assim, mais correto falarmos da inclinao )(xm da curva no ponto x . Podemos simplesmente

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    desenhar uma corda que conecta o ponto ))(,( xfx a um ponto mais adiante ))(,( xxfxx ++ sobre a curva. A inclinao dessa corda :

    xxfxxf

    xxxxfxxfmcorda

    +=++= )()()()(

    FIGURA 2: inclinao (derivada) de uma reta e de uma curva.

    Se imaginarmos agora que o ponto ))(,( xxfxx ++ se aproxima do ponto ))(,( xfx , podemos ver que a corda se aproxima da reta tangente curva no ponto ))(,( xfx . Ou seja:

    xxfxxfxm x

    += )()(lim)( 0 (1) Por exemplo, se 2)( xxf = , ento 222 )(2)()( xxxxxxxxf ++=+=+ e assim:

    xxxx

    xxxx

    xxxxxxm xxx 22lim)2(lim)(2lim)( 00

    222

    0 =+=+=

    ++= A nova funo )(xm , obtida da funo )(xf , chamada de derivada da funo )(xf . Essa nova funo

    representada comumente de duas formas, dependendo da convenincia. Podemos representar a funo derivada por )(' xf ou ainda:

    dxdf

    (2)

    Nessa ltima expresso os smbolos diferenciais df e dx representam novas variveis, que, por definio, esto relacionadas por: dxxfdf )('= (veja a figura (2b)).

    Na tabela que se segue exibimos algumas funes de uso freqente e suas derivadas. Considere que k uma constante:

    Funo )(xf Derivada )(' xf

    nx 1nxn )(sen xk )(cos xkk )(cos xk )(sen xkk

    xke xkek xln x/1

    Podemos definir tambm derivadas de ordem superior, como a derivada segunda de )(xf no ponto x , representada por '))('()('' xfxf = , ou ainda

    2

    2

    dxfd

    dxdf

    dxd =

    Definimos tambm a derivada terceira )(''' xf (ou )()3( xf ) e etc.

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    Caso no tomemos o limite 0x , mas consideremos simplesmente x pequeno, obtemos uma expresso que aproxima a funo f em um ponto xx + em termos dessa mesma funo em um outro ponto x , ou seja:

    xxfxfxxf ++ )(')()( )0( x A figura (2b) ilustra essa aproximao. Note que a expresso acima aproxima o verdadeiro salto em )(xf ,

    )()( xfxxff += , pelo valor de df , que de fato o salto ao longo da reta tangente. Quanto menor o valor de x , mais df se aproxima de f .

    Por exemplo, se 2)( xxf = , ento 9)3( =f e 61,9)1,3( =f exatamente. Caso no soubssemos, poderamos estimar o valor de )1,3(f pela expresso acima, resultando em:

    6,96,09)1,0(29)1,0()(')3()1,03()1,3(33

    =+=+=++= == xx xxffff A notao

    axxf =)( usada acima denota a funo )(xf avaliada em .ax =

    Se quisssemos uma maior preciso nos clculos, poderamos fazer uso do Teorema de Taylor, que define a srie de Taylor como uma expresso exata para uma funo (infinitamente diferencivel) f em um ponto xx + em termos dessa mesma funo e de suas derivadas, em um outro ponto x :

    ( ) ( ) ...!3

    )('''!2

    )('')(')()( 32 ++++=+ xxfxxfxxfxfxxf sendo 1)...2)(1(! = nnnn a funo fatorial ( 1!1!0 == ). Esse teorema se aplica a um grande conjunto de funes, como polinmios, xsen , xe , etc. Assim, voltando ao nosso exemplo, como xxf 2)('' = , 2)(''' =xf e 0)()2( => xf n , obtemos:

    ( ) 61,901,06,0921,0)('')1,0()(')3()1,03()1,3(

    2

    33=++=++=+= == xx xfxffff

    que o valor exato de 2)1,3( . Caso nos deparemos com uma funo cujas derivadas so todas no nulas,

    poderemos obter valores aproximados simplesmente truncando a sria em algum ponto. A posio em que

    truncamos a srie arbitrria, dependendo da preciso almejada.

    Exerccio: Use a srie de Taylor para estimar o valor de 3 3,27 com 5 casas decimais. Confira seu

    resultado usando uma calculadora (note que 3273 = ).

    Uma outra forma de aproximar funes por sries a que faz uso da Frmula Binomial de Newton. Todos sabemos desenvolver as sries 222 2)( bbaaba ++=+ e 32233 33)( bbabaaba +++=+ . Qual ser a expanso de 15)( ba + ? Isaac Newton respondeu essa pergunta, mais ainda, ele respondeu todas as perguntas, ou seja:

    ...!3

    )2)(1(!2

    )1()( 33221 ++++=+ baNNNbaNNbaNaba NNNNN (3) para N inteiro positivo. Podemos compactar essa expresso na forma:

    =

    =+

    N

    n

    nnNN banNn

    Nba0 )!(!

    !)(

    Um caso particular dessa expresso , para 1=a : = =+N

    n

    nN bnNn

    Nb0 )!(!

    !)1(

    Consideremos ento a funo 15)1()( xxf += . Quanto vale 15)01,1( ? A calculadora nos fornece imediatamente ...16096.1)01,1( 15 = Como exerccio, vamos esquecer esse resultado por enquanto e vamos estimar o valor de

    15)01,1( usando a srie binomial de Newton. Note que para 0x , vale:

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    ...6

    1314152

    1415151)1( 3215 +++++ xxxx Ento: ( ) 000455,00105,015,01)01,0(455)01,0(10501,0151)01,01()01,1( 321515 +++=++++= Finalmente:

    160955.1)01,1( 15 No caso da funo )1()( xxf += com no sendo um inteiro positivo, a expanso binomial se transforma numa srie infinita, dada pela equao (3).

    Voltando s derivadas, se )(xff = e )(txx = , ou seja, se f uma funo implcita de t , usamos a regra da cadeia para calcular dtdf / :

    dtdx

    dxdf

    dtdf = (4)

    Por exemplo, se )(sen)( kf = com k uma constante, ento, seja ku = . Nesse caso )(uff = e )(uu = , e portanto:

    )cos()(cossen kkkukddu

    dud

    ddu

    dudf

    ddf ====

    Um outro exemplo: considere uma caixa dgua que tem a forma de um paraleleppedo de base retangular

    de lados a e b e altura L . Uma torneira est enchendo essa caixa com uma vaso de litros por segundo. Partindo da caixa vazia em 0=t , quanto tempo leva para a caixa encher? Seja )(th a altura do nvel da gua no tempo t ( 0)0( =h ). Ento, o volume de gua contido na caixa no tempo t )()( thbatV = (em 3m ). Se no h vazamentos de gua, a taxa de variao no tempo desse volume deve ser exatamente (em sm /3 ), ou seja:

    ===dtdhba

    dtdh

    dhdV

    dtdV

    ento abdt

    dh = (em sm / ). Essa ltima equao (diferencial) fcil de ser resolvida, obtemos:

    tab

    tab

    hth =+= )0()( e portanto, o instante em que a caixa encher ser aquele *t para o qual Lth =)( * , ou seja

    abLt =* (em segundos).

    Exerccio: use a regra da cadeia para calcular a derivada de )()( xgexf = em relao x , sendo )(xg uma funo diferencivel.

    O fato de que a derivada de )(xf calculada em 0x a inclinao da reta tangente curva de )(xf

    versus x no ponto 0x sugere muitas aplicaes prticas desse conceito. Por exemplo, se 0x estiver perdido no meio do domnio de f e se nesse ponto a funo contnua f apresenta um mximo ou um mnimo, ento, vale

    0)(' 0 == xxf . Consideremos o seguinte exemplo: Um fabricante de latas de alumnio para refrigerantes deseja fazer uma lata cilndrica que contenha um dado volume ( 3cm ). Supondo que essa lata dever ter base circular de raio R e altura H , determinemos as dimenses ideais da lata para que o gasto de material seja mnimo. Primeiramente podemos identificar uma relao entre R e H dada por HR 2 = , sendo que ser considerado uma constante nesse problema. O gasto G de material, considerando que a folha de alumnio tem uma espessura dada, pode ser medido pela rea da lata, duas tampas na forma de disco e um retngulo lateral, ou

    seja: )(222),( 22 RHRHRRHRG +=+=

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    primeira vista pode parecer que G uma funo de duas variveis, mas de fato existe um vnculo que relaciona R e H . Assim, podemos eliminar, por exemplo, a varivel H usando 2/ RH = e assim:

    )(2)( 2R

    RRG +=

    Note que se quisermos economizar muito na rea da base da lata, fazendo 0R , ento G . Se, por outro lado, economizarmos na altura da lata, fazendo 0H , ento 2/ RH = implica que R e novamente

    G . Deve haver um valor intermedirio de R , entre 0 e , para o qual o gasto mnimo. De fato, na figura (3) que mostra o grfico de )(RG versus R , podemos identificar um ponto de mnimo *R .

    FIGURA 3: grfico do gasto de material em uma lata de volume fixo em funo do raio da base.

    Para achar o valor desse *R timo basta resolver a equao:

    0*

    =RdR

    dG ou seja, 3*2*

    *

    202

    == RR

    R

    Usando a relao entre H e R obtemos a altura compatvel com esse raio, ou seja: *

    3* 2

    22 RH ==

    Conclumos ento, que a lata mais econmica aquela que tem seo transversal vertical quadrada, de lado ** 2RH = . Ser que no mundo real se obedece a essa proporo? Para testar, medimos uma lata comum de

    refrigerante, de 350 ml . Obtivemos cmRREAL 25,3 e cmHREAL 4,12 , correspondendo a um volume da lata 3411 cmREAL . Para esse volume real, as dimenses ideais econmicas seriam:

    cmR 4* e cmH 8* Concluso: as dimenses da lata real esto bem distantes das dimenses ideais. O gasto de material com a lata real 23,319)( cmRG REAL , enquanto que o gasto ideal seria 2* 03,306)( cmRG . H portanto uma gasto em excesso de aproximadamente 23,13 cm de material, cerca de %3,4 a mais do que o ideal. Uma hiptese para

    essa aparente insensatez, que talvez as crianas no conseguissem segurar em uma mo uma lata que tivesse cm8 de dimetro. Da elas beberiam menos refrigerantes e o que pareceria barato para o fabricante acabaria

    saindo caro. Para uma funo de uma varivel apenas, )(xf , podemos interpretar a derivada da seguinte forma: se partirmos de um ponto 0x e nos deslocarmos um pouco para frente no eixo x, para dxx +0 )0( dx , a funo f d um salto do valor )( 0xf para o valor dxxfxfdxxf )(')()( 000 +=+ . Ou seja, o tamanho do salto na funo f dxxfdf )(' 0= . Consideremos agora uma funo de duas variveis ),( yxf . O grfico dessa funo uma

    superfcie. Se partirmos de um ponto ),( 00 yx e andarmos um pouco para frente, qual ser o salto na funo ),( yxf ? A resposta a essa pergunta depende da direo em que andarmos. Agora podemos nos deslocar sobre

    um plano, o plano xy , e existem infinitas direes que podem ser tomadas, partindo de um ponto. Consideremos

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    ento que vamos andar ao longo do eixo x , mantendo y constante ( 0y= ). Nesse caso, sairemos do ponto ),( 00 yx e vamos para o novo ponto ),( 00 ydxx + . O salto em f ser:

    dxxfdf

    yx 00 ,=

    Consideremos agora que vamos andar ao longo do eixo y , mantendo x constante ( 0x= ). Nesse caso, sairemos do ponto ),( 00 yx e vamos para o novo ponto ),( 00 dyyx + . Nesse caso, o salto em f ser:

    dyyfdf

    yx 00 ,=

    As funes xfyxf x =),( e

    dyfyxf y=),( so as derivadas parciais da funo f . No caso de nos

    deslocarmos simultaneamente em x e em y , do ponto ),( 00 yx para o ponto ),( 00 dyydxx ++ , o salto em f ser:

    dyyfdx

    xfdf

    yxyx 0000 ,,+

    = (5)

    Por exemplo, considere um balo de borracha de forma cilndrica, com base circular de raio R e altura H . Suponha que estejamos enchendo esse balo de tal forma que seu raio esteja aumentando na taxa constante R ( )/ sm e que sua altura esteja aumentando na taxa constante H ( sm / ). Qual a taxa de variao no tempo do volume V do balo? A relao entre as variveis do problema HRHRV 2),( = . Note que nesse caso, diferentemente do caso da lata que abordamos anteriormente, R e H so duas variveis independentes. A taxa que estamos procurando :

    dtdH

    HV

    dtdR

    RV

    dtdVdH

    HVdR

    RVdV

    +=

    +=

    com: RdtdR = e Hdt

    dH = . Vale tambm, RHRV 2=

    e 2RHV =

    . Assim:

    HR tRtHtRdtdV )()()(2 2+= (em )/3 sm

    Nessa expresso acima, deixamos por substituir as funes: tRtR R+= )0()( e tHtH H+= )0()( . Podemos usar essa mesma idia acima para deduzir uma expresso para a derivada da razo entre duas

    funes )(/)( xgxf . Seja gfgfU /),( = , ento:

    22 )]([)(')()(')()(')('1

    )()(

    xgxgxfxfxgxg

    gfxf

    gdxdg

    gU

    dxdf

    fU

    dxdU

    xgxf

    dxd ==

    +==

    Exerccio: Determine 3 nmeros reais positivos cuja soma seja um nmero fixo M e cujo produto P seja mximo. Dica: Defina a funo zyxzyxP =),,( , elimine nessa funo uma das variveis, digamos

    yxMz = e ache os valores de x e y para os quais 0/ = xP e 0/ = yP .

    3 - VETORES:

    Na fsica encontramos grandezas que ficam bem definidas atravs da simples atribuio de seu valor numrico, as

    chamadas grandezas escalares. Um exemplo a temperatura. Por outro lado, existem grandezas que guardam

    mais informaes que uma simples magnitude. Um exemplo a velocidade instantnea de um veculo. A

  • 10

    velocidade uma grandeza vetorial, ou seja, uma grandeza que, para estar completamente definida, deve ter especificadas sua magnitude (digamos hKm /100 ), sua direo (digamos, ao longo do eixo norte-sul) e seu

    sentido (do norte para o sul, por exemplo). Outros exemplos de grandezas vetoriais so a fora, a acelerao e o

    torque. Podemos representar os vetores atravs de setas, com um tamanho (a magnitude da grandeza fsica), uma

    direo e um sentido bem definidos. Um vetor denotado comumente por Ar

    e a magnitude, ou mdulo, do vetor

    por AA =r . Podemos definir trs operaes bsicas entre dois vetores A

    r e B

    r. Para definir o vetor soma BAS

    rrr += , desenhamos A

    r e B

    r com suas extremidades iniciais no mesmo ponto. Completamos a figura de um paralelograma.

    O vetor Sr

    ento o que est ao longo da diagonal do paralelograma, partindo da origem comum de Ar

    e Br

    . Uma

    outra maneira de definir BASrrr += desenhar o vetor Ar , desenhar o vetor Br com sua extremidade inicial na

    ponta do vetor Ar

    , ento, Sr

    o vetor que sai do incio de Ar

    e tem a ponta na ponta de Br

    (veja a figura (4)). Ao

    fazer essas operaes, s devemos tomar o cuidado de deslocar (transladar) os vetores mantendo suas

    propriedades bsicas intactas, quais sejam: mdulo, direo e sentido. Se Br

    um vetor, ento Br um outro

    vetor de mesmo mdulo, mesma direo mas sentido contrrio ao de Br

    ( 0)(rrr =+ BB ).

    FIGURA 4: definio geomtrica da soma de dois vetores.

    Podemos definir duas operaes de produto entre vetores. O produto escalar entre dois vetores Ar

    e Br

    ,

    denotado por BArr , d como resultado um escalar:

    cosBABA rrrr = (6) em que o menor ngulo entre os vetores Ar e Br (desenhados com suas extremidades iniciais no mesmo ponto). Na figura (5a), fcil ver que a projeo de A

    r sobre B

    r, que denotaremos por BA cosAAB

    r= e da mesma forma, a projeo de B

    r sobre A

    r cosBBA

    r= . Portanto, podemos escrever o produto escalar como: AB BABABA ==

    rr

    Se dois vetores Ar

    e Br

    so ortogonais entre si ( 2/ = ), ou seja, se um vetor no tem projeo (sombra) sobre o outro, ento 0= BA rr . Por exemplo, na fsica, o trabalho de uma fora Fr constante, que atua em um objeto ao longo de um deslocamento d

    r dado por:

    FdF dFdFdFW ===rr

    Portanto, se essa fora no tem componente ao longo do deslocamento, 0=FW .

  • 11

    FIGURA 5: produto escalar e produto vetorial entre dois vetores. Regra da mo direita.

    O produto vetorial entre dois vetores Ar

    e Br

    , denotado por BArr , d como resultado um terceiro vetor

    BAVrrr = . Esse vetor definido pelas seguintes propriedades:

    - O mdulo de BAVrrr = senBABAV == rrr , sendo o menor ngulo entre os vetores Ar e

    Br

    (desenhados com suas extremidades iniciais no mesmo ponto).

    - A direo de BAVrrr = ortogonal ao plano definido pelos vetores Ar e Br .

    - O sentido de BAVrrr = definido pela regra da mo direita: passando os dedos da mo direita no

    sentido que vai de Ar

    para Br

    , atravs do menor ngulo ( ), o dedo polegar apontar no sentido de BAVrrr = (veja a figura (5b)).

    fcil ver que ABBArrrr = e que 0rrr = BA se Ar e Br possuem a mesma direo ( 0= ou = ). Na

    fsica, o torque de uma fora Fr

    que atua num ponto de posio rr em relao a um ponto de referncia : FrF = rr

    Assim, se rr e Fr

    forem colineares, no haver torque. Podemos definir funes vetoriais, como )(xA

    r ou ),( txB

    r. As derivadas dessas funes obedecem a

    regras bastante simples, quais sejam:

    dxBdAB

    dxAdxBxA

    dxd

    rrrrrr += )()( e dxBdAB

    dxAdxBxA

    dxd

    rrrrrr += )()( Na prxima seo abordaremos a representao algbrica (no geomtrica) de vetores, atravs de suas

    componentes em sistemas de coordenadas. Um conceito que nos ser til o de vetor unitrio, que denotaremos

    por A , ao invs de Ar

    , e que simplesmente um vetor de mdulo 1. Esses vetores so ento teis para

    representar direes e sentidos bem definidos no espao.

    4 SISTEMAS DE COORDENADAS:

    Um sistema de coordenadas uma maneira de nos referirmos aos pontos do espao em termos algbricos. Um

    ponto no espao um objeto geomtrico e existem infinitas maneiras de nos referirmos a ele. Em geral um sistema

    de coordenadas definido atravs de uma estrutura de eixos de referncia, em relao aos quais as coordenadas

    so medidas. No espao real, tridimensional, precisamos sempre de trs coordenadas para nos referirmos a um

    nico ponto.

    4.A COORDENADAS CARTESIANAS

    No sistema de coordenadas cartesianas, cada ponto do espao associado a trs nmeros reais que representam as projees desse ponto em trs eixos ortogonais entre si, os eixos x , y e z (veja a figura (6a)). As projees de

  • 12

    um vetor so de fato segmentos orientados, ou seja, que possuem um sinal. As projees que ficam de cabea

    para baixo, ou seja, ao longo das pores negativas dos eixos, so negativas. Ento, no sistema cartesiano os pontos do espao so representados por ),,( zyx com x , y e z nmeros que variam de a + .

    FIGURA 6: sistemas de coordenadas cartesianas, cilndricas e esfricas.

    Um vetor desenhado no espao, na presena de um referencial cartesiano, pode ser decomposto em trs componentes xA , yA e zA , que so as projees (positivas ou negativas) do vetor ao longo de cada um dos eixos

    coordenados. Podemos ento representar o vetor Ar

    algebricamente por zyx AAAA ,,(=r

    ). Uma maneira mais

    prtica de representar os vetores atravs dos vetores unitrios x , y e z . O vetor x , por exemplo, aponta na direo e no sentido do crescimento da coordenada x . Dessa forma, como j sabemos somar vetores, fcil constatar que:

    zAyAxAA zyx ++=r

    As operaes com vetores que definimos anteriormente ficam bastante fceis de serem realizadas usando as componentes cartesianas. Primeiramente notamos que 1 = xx , 1 = yy , 1 = zz e que 0 = yx ,

    0 = zx , 0 = yz , e ainda 0 r= xx , 0 r= yy , 0 r= zz e mais ainda zyx = , yzx = , xyz = . Usando ento a propriedade distributiva da soma e do produto, obtemos:

    222zyx AAAAAA ++==

    rrr

    zBAyBAxBABA zzyyxx )()()( +++++=+rr

    zzyyxx BABABABA ++=rr

    zBABAyBABAxBABABA xyyxzxxzyzzy )()()( ++=rr

    Consideremos a tarefa de calcular a distncia d entre dois pontos, que para simplificar, suporemos contidos no plano xy . Sejam ),( 11 yx e ),( 22 yx esses dois pontos. Construmos os dois vetores yyxxA 11 +=

    r

    e yyxxB 22 +=r

    . Na figura (7), fcil ver que a distncia procurada o mdulo do vetor BADrrr = , assim:

    221

    2212121 )()()()( yyxxyyyxxxBADd +=+===

    rrr

  • 13

    FIGURA 7: distncia entre dois pontos, vista como o mdulo de um vetor diferena.

    Exerccio: Sejam zyxA 263 +=r e zyxB 93 +=r . a) Determine: BA rr + , BA rr , BA rr e

    BArr . b) Calcule o menor ngulo entre Ar e Br . Faa desenhos desses vetores.

    4.B COORDENADAS CILNDRICAS

    No sistema de coordenadas cilndricas, os pontos do espao so indexados por trs nmeros reais, a distncia em

    relao a um eixo ( z ), que chamamos de r , uma projeo ao longo desse eixo, a mesma coordenada z definida anteriormente, e um ngulo entre a projeo do raio r no plano xy e o eixo x , chamado de (veja a figura (6b)). Ento, no sistema cilndrico os pontos do espao so representados por ),,( zr com r variando de 0 a + , z de a + , e de 0 a 2 . Analogamente ao que fizemos para o sistema de coordenadas cartesianas, podemos aqui definir trs

    vetores unitrios: r que aponta na direo e no sentido do crescimento do raio r , z (o mesmo das coordenadas cartesianas) e que aponta na direo e no sentido do crescimento do ngulo . Assim, qualquer vetor pode ser escrito em termos das suas componentes cilndricas:

    AzArAA zr ++=r

    Note que, diferentemente dos vetores unitrios x , y e z , os vetores r e no so constantes, ou seja, dependendo do ponto do espao, esses vetores podem ter direes e sentidos bem diversos. fcil notar que

    )( rr = (ou seja, r funo do ngulo ) e que tambm )( = . Podemos notar tambm que a direo de a direo tangente s circunferncias paralelas ao plano xy e centradas no eixo z . O sentido de dado pela regra da mo direita: apontando o dedo polegar na direo e sentido do eixo z , os outros dedos apontam no sentido de .

    Como exemplo, suponha que uma pedra fixa num barbante, de comprimento R , esteja sendo girada no plano constante do barbante com velocidade angular constante . Determinemos o vetor velocidade linear Vr dessa pedra. Adotando um sistema cilndrico com origem no centro da rbita da pedra e eixo z ortogonal ao seu plano de giro, o vetor posio da pedra ser ento )()( trRtr =r . Note que r depende do tempo t . Ento, sabendo que de fato ))(( trr = e que =dtd / (estamos admitindo que est aumentando com o tempo, ou seja, estamos fazendo uma hiptese sobre o sentido de giro da pedra), obtemos:

    drdR

    dtd

    drdRtrR

    dtd

    dtrdV

    ))(( ====

    rr

    Para terminarmos o problema, falta encontrar ento a derivada drd / . Para isso precisamos conhecer a relao entre r e , ou seja, precisamos conhecer a funo )( rr = . No entraremos nesse nvel de detalhe aqui. Mas podemos terminar nosso exemplo reconhecendo o fato de que a velocidade linear da pedra dever ser tangente

  • 14

    rbita da pedra, ou seja, tangente a um crculo centrado no eixo z . Essa direo simplesmente . Assim, mesmo sem provar, podemos afirmar que:

    =

    drd

    Portanto, a velocidade linear da pedra RV =r .

    Exerccio: Escreva o vetor rr em coordenadas cartesianas.

    4.C COORDENADAS ESFRICAS

    No sistema de coordenadas esfricas, os pontos do espao so indexados por trs nmeros reais, a distncia em

    relao a uma origem, que chamamos de r (note que esse r tem um significado bem diferente do r das coordenadas cilndricas) , um ngulo entre esse raio r e um eixo vertical ( z ) , chamado de e um ngulo entre a projeo do raio r no plano xy e o eixo x , chamado de (veja a figura (6c)). Assim, no sistema esfrico os pontos do espao so representados por ),,( r com r variando de 0 a + , de 0 a , e de 0 a 2 (note que no necessrio que varie de 0 at 2 ). Analogamente ao que fizemos para os outros sistemas de coordenadas, podemos aqui definir trs vetores unitrios: r que aponta na direo e no sentido do crescimento do raio r , que aponta na direo e no sentido do crescimento do ngulo e que aponta na direo e no sentido do crescimento do ngulo . Qualquer vetor pode ser escrito em termos das suas componentes esfricas:

    AArAA r ++=r

    Note que, aqui tambm, diferentemente dos vetores unitrios x , y e z , os vetores r , e no so constantes, ou seja, dependendo do ponto do espao, esses vetores podem ter direes e sentidos bem diversos. fcil notar que ),( rr = (ou seja, r funo dos ngulos e ) e que tambm ),( = e ),( = . Suponhamos que um satlite de massa m esteja girando em torno da terra, sob ao da gravidade. Podemos mostrar que a rbita desse satlite est contida em um plano. Para isso, s precisamos saber que a fora

    gravitacional central, ou seja, est sempre direcionada na linha que passa pelo satlite e pelo centro da terra.

    Consideremos um referencial esfrico fixo com origem no centro da terra. Se Fr

    a fora gravitacional que atua no satlite, ento rFF r =

    r ( F

    r central). Pela 2a Lei de Newton, a acelerao ar do satlite tambm radial, ou

    seja, raa r =r . Assim, seja Lr

    o momento angular do satlite, em relao origem, VmrLrrr = , sendo rr a

    posio e dtrdV /rr = a velocidade do satlite. Ento:

    armVVmdtVdrmV

    dtrdmVmr

    dtd

    dtLd rrrr

    rrrrrr

    r+=+== )(

    Mas, sabemos que 0rrr =VV e que, pelo mesmo motivo, 0 rrrr === rrararar rr . Concluso: o satlite se

    move com momento angular mantido constante, ou seja CtVtrrrr = )()( , Cr no dependendo do tempo. Como Cr

    ortogonal a rr e a Vr

    , ento, reciprocamente, rr e Vr

    so ortogonais a um vetor constante. Da, rr e Vr

    se

    mantm no plano ortogonal ao vetor Cr

    , ou seja, a rbita est confinada a um plano.

    Exerccio: Escreva o vetor rr em coordenadas cartesianas.

  • 15

    5 INTEGRAIS INDEFINIDAS E DEFINIDAS:

    Consideremos agora a tarefa de, dada uma funo (derivada) )(xf , encontrar uma funo (primitiva) )(xF tal que

    )()(' xfxF = . A essa operao, inversa da derivao, damos o nome de integrao (indefinida). A notao para essa operao :

    Se )()(' xfxF = ento = dxxfxF )()( Dizemos que F a primitiva de f . Por exemplo, a primitiva de )(sen)( xkxf = , com k uma constante,

    CkxkxF += /)(cos)( , em que C uma constante arbitrria. Essa constante C sempre aparece na integrao indefinida pois a derivada de uma constante nula. Da mesma forma, a primitiva de xxf /1)( =

    CxxF += ln)( . Nem toda funo possui primitiva. Por exemplo, a integral dxxI = )(exp 2

    no existe pois no h nenhuma funo )(xF que, se derivada, resulta em )(exp)( 2xxf = . Quando discutimos as funes exponencial e logaritmo vimos que uma a inversa da outra, ou seja, ( )xx lnexp= e ( )xex ln= . Dessa forma, o que a operao exp faz, a operao ln desfaz e vice-versa. Poderamos representar, simbolicamente, esse faz-desfaz da seguinte forma: 1lnexp = e 1expln = . Com isso queremos dizer que, simbolicamente: xxx == 1)(lnexp e xxe x == 1)(ln . Da mesma forma, as operaes de integrao e derivao so uma a inversa da outra. De fato, se )()(' xfxF = , ento:

    === )()(')( xFdFdxxFdxxf Assim, na notao que introduzimos anteriormente, poderamos dizer que, simbolicamente:

    = 1d e tambm = 1d O objetivo principal da integral indefinida a soluo de equaes diferenciais, ou seja, encontrar a soluo

    para uma equao que envolve funes e derivadas de funes. As equaes diferenciais aparecem em profuso

    na fsica, na qumica, na biologia terica e nas engenharias mais fundamentais. Pensando nas derivadas como

    taxas de variao, as equaes diferenciais relacionam ento funes com suas taxas de variao, com as taxas de

    variao de suas taxas de variao (derivadas segundas) e etc.

    Exerccio: Considere uma partcula submetida a uma fora constante xFF =r . Segundo Newton, a taxa de variao da taxa de variao no tempo da posio dessa partcula proporcional a F

    r, ou seja:

    mFr

    dtd

    rr =2

    2

    , sendo m a massa da partcula. Encontre a trajetria )(trr dessa partcula. Faa desenhos

    dessas trajetrias para vrias condies iniciais diferentes.

    Aqui estaremos mais interessados no conceito de integral definida. Seja )(xf uma funo contnua e

    positiva, ento, o Teorema Fundamental do Clculo afirma que a rea A delimitada superiormente pela curva de )(xf , inferiormente pelo prprio eixo x , e nas laterais pelas retas ax = e abx >= dada por (veja a figura

    (8)):

    === ba

    b

    aaFbFxFdxxfA )()()()(

    sendo a funo F a primitiva de f .

  • 16

    FIGURA 8: elemento infinitesimal de rea, que integrado, resulta na rea abaixo da curva.

    Aqui comeamos a visualizar a integral como uma soma. Pensamos na construo de pequenas fatias, retngulos de alturas variveis )(xf e de larguras dx , que definem reas infinitesimais dxxfdA )(= , que somadas, fornecem a rea definida anteriormente. Assim:

    =REGIO

    dAA

    em que a notao REGIO denota a idia de que a integral definida, ou seja, a soma realizada apenas dentro de

    uma regio especfica.

    Consideremos a tarefa, bastante simples, de calcular a rea de um retngulo de lados a e b usando a idia exposta acima. Comeamos adotando um referencial, posicionando um dos vrtices do retngulo na origem de um sistema cartesiano xy (veja a figura (9)). Um segundo passo definir o elemento infinitesimal de rea dA .

    Essa escolha ditada basicamente pela forma das bordas da regio em que a integral, ou seja, a soma, ser

    realizada. Nesse caso as bordas so claramente retas, o que sugere a escolha de elementos de rea tambm retos, ou seja, retangulares. H ento trs opes. Na primeira definimos dxadA = e ento:

    babaxadxadxadAAbx

    x

    bb

    REGIO

    ====== ==

    )0(0

    00

    Uma segunda opo escolher dybdA = e ento: baabybdybdybdAA

    ay

    y

    aa

    REGIO

    ====== =

    =)0(

    00

    0

    A ltima opo escolher dydxdA = e obtemos ento uma integral dupla:

    ==

    =

    =======

    bx

    x

    ay

    y

    aab

    b

    REGIO

    baabyxdydxdydxdAA0 0 0

    000

    )0)(0(

    FIGURA 9: diferentes elementos infinitesimais de rea para uma regio de contornos retos.

    Suponha que uma chapa retangular de lados a e b e de espessura desprezvel possua densidade de massa (por unidade de rea) (kg/m2) no homognea, ou seja, ),( yx = . Vamos determinar a massa M

  • 17

    dessa chapa usando a idia da integral como uma soma. Para podermos realizar os clculos at o fim, abordaremos aqui dois casos particulares. Suponhamos inicialmente um caso mais simples, em que s depende de x , ou seja, )(x = . Nesse caso, podemos definir lminas verticais, como fizemos anteriormente. A massa de uma lmina qualquer, localizada na coordenada x , ser dada por dxaxdAxdm )()( == , e assim:

    =REGIO

    dmM

    A regio nesse caso a delimitada pelas bordas da chapa, ou seja, bx

  • 18

    raio r ter massa drrrdArdm 2)()( == . Portanto, se ( )rrkr exp)( = (kg/m2), por exemplo, com e k constantes:

    ( )1222)(0 0

    ===== =

    =

    Rk

    DISCO DISCO

    Rr

    r

    Rrkrk e

    kkedredArdmM (kg)

    Continuando nossos exemplos que ilustram a integral como uma soma, vamos considerar agora o clculo

    do volume V de um paraleleppedo reto de lados a , b e c . Comeamos adotando um referencial, posicionando um dos vrtices do paraleleppedo na origem de um sistema cartesiano xyz (veja a figura (11)). Um segundo passo definir o elemento infinitesimal de volume dV . Discutiremos trs escolhas possveis. Podemos escolher SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano xy , de espessura dz , e ento, de volume dzbadV = ( 3m ). Assim:

    ( ) =

    =======

    cz

    z

    cc

    REGIO

    cbacbazbadzbadzbadVV0 0

    00

    Podemos tambm escolher SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano xz , de espessura dy , e ento, de volume dycbdV = ( 3m ). Ou ainda SdV que sejam fatias retangulares paralelas ao plano yz , de espessura dx , e de volume dxcadV = ( 3m ). Em qualquer caso fcil mostrar que obteremos o mesmo resultado acima.

    FIGURA 11: diferentes elementos infinitesimais de volume para uma regio de contornos planos.

    Consideremos a tarefa de calcular a massa M de um paraleleppedo reto de lados a , b e c cuja densidade de massa seja no uniforme. Consideremos apenas o caso em que xx == )( (kg/m3) com uma constante. Nesse caso, no temos escolha, as fatias de volume devem ser superfcies =x constante (paralelas ao plano yz ), e de massa dxcaxdVxdm )()( == . Portanto:

    ==

    =====REGIO REGIO

    bx

    x

    bcabxcadxxcadVxdmM

    0

    2

    0

    2

    22)( (kg)

    Podemos agora abordar o clculo de volumes e massas de objetos que no possuem contornos retos,

    como era o caso do paraleleppedo. Como exemplo, vamos usar o clculo integral para mostrar que o volume de uma esfera de raio R 3)3/4( RV = . Poderamos obter esse resultado utilizando elementos infinitesimais de volume de formas retangulares, mas o nvel de dificuldade na lgebra seria muito maior do que se partirmos desde

    j para elementos de volume curvos. Podemos fazer isso usando os dois sistemas de coordenadas curvas que j

    estudamos:

    a) Coordenadas cilndricas:

    Considere a figura (12a), em que mostramos apenas metade da esfera, dividida em fatias na forma de discos de raios variveis r e de espessuras dz . O volume de uma fatia arbitrria dzrdV 2= . Podemos notar que as variveis r e z no so independentes, de fato: 222 Rzr =+ , ou seja, 222 zRr = . Assim:

  • 19

    =

    ====

    =

    =REGIO

    RR

    RRz

    z

    RzzRdzzRdzrdVV 30

    3

    0

    2

    0

    22

    0

    2

    34

    32)(22

    Note que o fator 2 foi introduzido acima porque a integral em dz foi realizada apenas para metade de uma esfera.

    Exerccio: Mostre que o volume de um cone circular reto, com base de raio R , e com altura H 3/2HRV = . Considere que o cone fatiado em lminas na forma de discos paralelos a sua base.

    b) Coordenadas esfricas:

    Na figura (12b) mostramos um elemento de volume infinitesimal construdo com as coordenadas esfricas. Trata-se de uma casca esfrica de raio r e espessura dr e, portanto, de volume drrdV 24= (lembre-se que a rea da superfcie esfrica de raio r 24 r ). A simplicidade do clculo abaixo evidencia o fato de que, para um objeto de contorno esfrico, as coordenadas mais apropriadas so as esfricas. De fato:

    =

    =====

    REGIO

    Rr

    r

    R

    RdrrdrrdVV0 0

    322

    3444

    Exerccio: Determine a massa de uma esfera de raio R , cuja densidade de massa por unidade de volume dada por rr =)( , sendo uma constante e r o raio (varivel) medido em relao ao centro da esfera.

    FIGURA 12: diferentes elementos infinitesimais de volume para uma regio de contorno esfrico.

    Quando discutimos a integral de uma funo )(xf , consideramos que estas eram realizadas com os

    valores da varivel x percorrendo um intervalo do prprio eixo x , ou seja, a integral era realizada sobre um segmento de linha reto. Poderamos generalizar essa idia e considerar uma integral que fosse realizada em uma

    varivel que assumisse valores sobre uma linha curva. Essas integrais so chamadas de integrais de linha. Para

    ficar mais clara a idia, consideremos a tarefa de mostrar que o comprimento de uma circunferncia de raio R RC 2= . Podemos demonstrar esse resultado pensando na integral como uma soma de elementos infinitesimais

    de comprimento, que no so os dx , pois estes no esto sobre o eixo reto x , e nem dy , pois no esto tambm sobre o eixo reto y . Pelo contrrio, os pedacinhos de comprimento infinitesimais esto definidos sobre a curva da

    circunferncia. Vamos cham-los genericamente de ds . Assim:

    =CURVA

    dsC

    Na figura (13a) mostramos a definio de um ds ao longo de uma circunferncia. Os ds so de fato pequenos arcos de circunferncia infinitesimais. Mostramos tambm nessa figura que, quando 0ds , os arcos se tornam

  • 20

    retas, hipotenusas de tringulos cujos catetos so comprimentos infinitesimais dx e dy . Dessa forma, do teorema

    de Pitgoras obtemos 22 )()( dydxds += , e portanto: +=

    CURVA

    dydxC 22 )()(

    FIGURA 13: elemento infinitesimal de deslocamento (comprimento) ao longo de uma circunferncia.

    Consideremos ento apenas a metade superior da circunferncia. Essa curva pode ser descrita pela funo 22)( xRxy = com RxR . Portanto, ao longo da curva da circunferncia, como no poderia deixar de

    ser, x e y no so variveis independentes entre si, donde conclumos que dx e dy tambm no so. De fato, de )(xy obtemos:

    22 xRx

    dxdy

    =

    Concluso, substituindo essa equao na integral que fornece C obtemos:

    +=

    = =+=

    +=

    CURVA

    Rx

    Rx

    R

    R xRdxRdx

    xRxdx

    dxdyC

    2222

    22 21212

    Note que o fator 2 foi introduzido acima porque a integral fornece o comprimento apenas da metade superior da circunferncia.

    No entraremos em detalhes aqui sobre como realizar essa ltima integral. De fato trata-se de uma integral

    bastante comum e que consta nas tabelas de qualquer livro de clculo. Nos limitaremos a utilizar seu resultado, qual

    seja:

    += .arcsen22 constRx

    xRdx

    Portanto, chegamos finalmente a:

    ( ) ( ){ RRRRxRC

    R

    R

    2)2

    (2

    2}1arcsen1arcsen2arcsen2 =

    ===

    Essa mesma tarefa de calcular o comprimento de uma circunferncia, se realizada no sistema de

    coordenadas polares, torna-se muito mais simples. Consideremos a figura (13b), em que mostramos o comprimento

    infinitesimal ds ao longo da circunferncia pensado como um arco infinitesimal subentendido por um ngulo infinitesimal d . Assim, se (e somente se) d for expresso em radianos (ou seja, como um nmero de fato adimensional), vale a relao entre o arco, o ngulo e o raio do crculo: dRds = . Portanto:

    =

    ======

    CURVACURVA

    RRdRdRdsC

    2

    0

    2

    02

  • 21

    Como nosso ltimo exemplo, de integral de linha, consideremos o seguinte problema, que mescla os

    conceitos de vetores e integrais: Um partcula est descrevendo uma rbita circular de raio R , girando no sentido horrio. Existem vrias foras atuando nessa partcula, produzindo como resultado essa rbita, mas vamos nos concentrar apenas em uma. Seja xykF =r (com 0>k uma constante) uma fora atuando nessa partcula, sendo a coordenada y definida com o referencial cartesiano no centro da rbita circular (veja a figura (14a)). Essa fora ento sempre horizontal e possui mdulo que aumenta com o aumento de y . No 1o e no 2o quadrantes a fora

    tem o sentido do eixo x , enquanto que no 3o e no 4o quadrantes a fora tem o sentido contrrio ao do eixo x .

    FIGURA 14: um campo vetorial de foras definido no plano e um vetor deslocamento ao longo de uma

    circunferncia.

    Vamos determinar o trabalho FW realizado pela fora F

    r em uma volta completa da partcula. J sabemos

    que trabalho dFWFrr = , para uma fora constante e para um deslocamento dr . No entanto, no esse o caso

    aqui pois a fora Fr

    varivel (depende de y ) e ainda o deslocamento se d ao longo de uma curva. Portanto, vamos definir o trabalho infinitesimal FdW realizado em um deslocamento infinitesimal sd

    r: sdFdWF

    rr = . Essa expresso est correta pois, quando 0sdr , a fora se torna constante (pois sdr se resume a um ponto) e, alm disso, o deslocamento sd mesmo sendo curvo, se torna reto (qualquer curva suave, vista com um microscpio, se

    torna uma sucesso de pequenas retas). Assim, o trabalho ser dado pela soma, ou seja, pela integral dos

    trabalhos infinitesimais:

    ==CURVA CURVA

    FF sdFdWWrr

    Falta ento definirmos os vetores sd r . Esses vetores devem ser tangentes ao deslocamento da partcula. Como esse deslocamento se d ao longo de um crculo no plano xy , e no sentido horrio, ento dssd =r . Alm disso, o deslocamento ds tangente circunferncia, e portanto um pequeno arco (pelo fato de que ds se torna reto, quando 0sd r , poderamos tambm pensa-lo como a hipotenusa de um pequeno tringulo, como fizemos no exemplo anterior do clculo do comprimento da circunferncia), donde conclumos que dRds = (com d ) em radianos. Note que introduzimos um sinal negativo nessa ltima equao porque o ngulo aumenta no sentido anti-horrio, enquanto que o deslocamento s da partcula se d no sentido horrio, assim, quando d positivo, o ds negativo. Portanto, segue que:

    dxykRdRFWCURVACURVA

    F )()( == r Notamos que a expresso acima mistura coordenadas de dois sistemas diferentes: o sistema cartesiano e o

    sistema polar. Para realizar a integral devemos homogeneizar as variveis, todas num mesmo sistema de

    coordenadas. Sendo o contorno da rbita circular, esperamos que o sistema polar seja mais conveniente para esse

    problema. Assim, de acordo com a figura (14b), notamos que:

  • 22

    senRy = e ( ) sen2/cos == xx Finalmente, chegamos a:

    =

    ==

    2

    0

    22 sen dkRWF

    Essa ltima integral pode ser realizada atravs do uso de uma identidade trigonomtrica:

    +== .

    4)2(sen

    22)2(cos1sen 2 constdd

    Portanto, conclumos finalmente que: kRWF

    2= Note que o trabalho positivo porque a fora F

    r est sempre a favor do sentido de deslocamento da partcula.

    Exerccio: Calcule o trabalho dessa mesma fora definida acima, mas sobre uma partcula que descreve uma rbita restrita a um quadrado de lado a , centrado na origem do plano xy , com lados paralelos aos

    eixos coordenados. Considere a partcula girando no sentido horrio.

    P A R A A F S I C A 3 Prefcio