Universidade Federal de Goias

Instituto de Fısica

REVISAO DE MATEMATICA

TABELAS

Prof.: Salviano A. Leao

Goiania – Goias

Capıtulo 1

Formulas uteis

1.1 Produtos Notaveis

• (A−B) (A + B) = A2 −B2

• (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

• (A−B)2 = A2 − 2AB + B2

• (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

• (A−B)3 = A3 − 3A2B + 3AB2 −B3

1.2 Formulas de Fatoracao

• Diferenca de quadrados: A2 −B2 = (A−B) (A + B)

• Quadrado Perfeito: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

• Quadrado Perfeito: A2 − 2AB + B2 = (A−B)2

• Diferenca de cubos: A3 −B3 = (A−B) (A2 + AB + B2)

• Soma de cubos: A3 + B3 = (A + B) (A2 − AB + B2)

1.3 Equacao Quadratica ou do Segundo Grau

ax2 + bx + c = 0

A equacao acima tem a seguinte solucao:

x =

−b +√

b2 − 4ac

2a

−b−√b2 − 4ac

2a

onde, o termo ∆ = b2 − 4ac, e conhecido como discriminante. Conhecendo-se o discrimi-nante podemos podemos dizer o seguinte a respeito das raızes da equacao:

• Se ∆ > 0 a equacao tera duas raizes reais.

• Se ∆ > 0 a equacao tera uma unica raiz real.

1

Salviano A. Leao 2

• Se ∆ < 0 a equacao tera duas raizes complexas, que serao uma o conjugado daoutra.

1.4 O Teorema do Binomio de Newton

(a + b)n =

(n

0

)an +

(n

1

)an−1b +

(n

2

)an−2b2 + · · ·+

(n

n− 1

)abn−1 +

(n

n

)bn

= an + nan−1b +n(n− 1)

2!an−2b2 + · · ·+ n(n− 1)

2!abn−2 + nabn−1 + bn

Portanto, agora podemos responder questoes tais como sera a expansao do seguinte termo(a + b)8:

(a + b)8 =

(8

0

)a8 +

(8

1

)a7b +

(8

2

)a6b2 +

(8

3

)a5b3 +

(8

4

)a4b4+

(8

5

)a3b5 +

(8

6

)a2b6 +

(8

7

)ab7 +

(8

8

)b8

= a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8

O Termo Geral da Expansao Binomial O termo que contem ar na expansao de(a + b)n e (

n

n− r

)arbn−r (1.1)

1.4.1 O Coeficiente Binomial

Seja n e r dois numeros inteiros nao negativos com r ≤ n. O Coeficiente Binomial eexpresso por

(nr

)e ele e definido por

(n

r

)=

n!

r! (n− r)!(1.2)

1.4.2 Propriedade Fundamental dos Coeficientes Binomiais

Para quaisquer dois numeros inteiros nao negativo r e k com r ≤ k, a seguinte propriedadee verdadeira (

k

r − 1

)+

(k

r

)=

(k + 1

r

)(1.3)

1.5 Progressao Geometrica (PG)

Soma dos n termos de uma progressao geometrica:

Sn = a0 + a0r + a0r2 + · · ·+ a0r

n−1 (1.4)

para encontrarmos uma expressao simples para esta soma, basta multiplicarmos ela pelasua razao e subtrair do resultado anterior:

Salviano A. Leao 3

Sn · r = a0r + a0r2 + a0r

3 + · · ·+ a0rn

Sn = a0 + a0r + a0r2 + · · ·+ a0r

n−1

Sn · r − Sn = a0rn − a0 = a0 (rn − 1)

Portanto,

Sn =a0 (rn − 1)

r − 1(1.5)

1.6 Notacao Cientıfica

Qualquer numero x real e diferente de zero, pode ser escrito como:

x = c× 10n

onde 1 ≤ c < 10 e n e um numero inteiro. Quando escrevemos um numero nesta fomra,dizemos que o escrevemos na notacao cientıfica. Exemplos:

12 = 1.2× 10 (1.6)

1274.9837 = 1.2749837× 103 (1.7)

.000001234 = 1.234× 10−6 (1.8)

1.7 Exercıcios

Complete as expressoes a seguir para que os numeros fiquem corretamente representadosem notacao cientıfica:

1. 1207000 = . . . . . . . . . . . × 105

2. 38.560 = . . . . . . . . . . . × 104

3. 7656.20 = . . . . . . . . . . . × 10−3

4. 0.00006560 = . . . . . . . . . . . × 10−6

5.

(108 · 10−10

104 · 10−2

)1/2

6.

(5−6 · 5−3

104 · 10−6

)−1

7.(4k−1)

2

2k−5

8.2−1x3y−3

xy−2

9.5−2m2y−2

52m−1y−3

10.x1/3y2/3z1/4

x5/3y−1/3z3/4

11.k−3/5h−1/3t2/5

k−1/5h−2/3t1/5

1.8 Potencia de dez com expoente inteiro

Na notacao cientıfica, as potencias de 10 sao usadas para evitar um grande numero dezeros, usar corretamente os algarismos significativos, facilitar a leitura e os calculos eevitar erros durante a transcricao. Por exemplo:

Salviano A. Leao 4

Velocidade da luz c = 299 790 000 m/s = 2.9979× 108 m/s.

Quando a velocidade da luz e escrita com zeros, nao fica claro se os zeros saonumeros significativos ou nao. Mas quando escrevemos em notacao cientıfica, fica claroque somente os cinco primeiros algarismos sao significativos.

Se n for um numero natural nao-nulo, define-se:

10n = 10× 10× 10× · · · × 10︸ ︷︷ ︸n fatores

= 1000 · · · 0︸ ︷︷ ︸n zeros

Por exemplo,

102 = 10× 10 = 100

103 = 10× 10× 10 = 1 000

104 = 10× 10× 10× 10 = 10 000

Se for um numero natural nao-nulo, tambem se define:

10−n =1

10n= 0.000 · · · 0︸ ︷︷ ︸ 1

n zeros

Por exemplo,

10−2 = 10× 10 = 0.01

10−3 = 10× 10× 10 = 0.001

10−4 = 10× 10× 10× 10 = 0.0001

Por definicao:

100 = 1 .

EXEMPLOS:

1. Distancia da terra ao sol: 149 500 000 000 m = m.

2. Distancia da terra a lua: 384 4 00 000 m = 3.844× 108 m.

3. Espessura de uma amostra de tecido: 0.0015 cm =1.5

103= 1.5× 10−3 cm

1.9 Soma de Expressoes contendo Potencias de 10

Para calcular (3.844× 108) + (1.495× 1011) e necessario, primeiramente, escrever todosos termos nas mesmas potencia de 10.

Salviano A. Leao 5

1.495× 1011 = 1495.0× 108

3.844× 108 = 3.844× 108

= 1498.844× 108

ou,

1.495× 1011 = 1.495× 1011

3.844× 108 = 0.003844× 1011

= 1.498844× 1011

Exercıcio: A distancia do centro da lua ao centro da terra e de 3.844 × 108 m.Sabendo-se que o raio da terra mede 6370 kme o da lua 1.738× 106 m, calcule a distanciaentre as superfıcies da terra e da lua.

1.9.1 PREFIXOS PARA O SI

fator prefixo sımbolo fator prefixo sımbolo1024 yotta Y 10−24 yocto y1021 zetta Z 10−21 zepto z1018 exa E 10−18 atto a1015 peta P 10−15 femto f1012 tera T 10−12 pico p109 giga G 10−9 nano n106 mega M 10−6 micro µ103 quilo k 10−3 mili m102 hecto h 10−2 centi c101 deca da 10−1 deci d

1.10 Potencia ou Expoentes

A expressao an, sendo a um numero real nao-nulo e n um numero inteiro, significa que ae multiplicado por si mesmo n vezes. Portanto, a2 = a · a, enquanto a3 = a · a · a, e assimpor diante. Nesta secao apresentaremos um significado mais geral para o simbolo an. Ostermos n e a sao chamados respectivamente por expoente e base.

Definicao 1 Se n e um numero natural, entao

an = a · a · a . . . a, (1.9)

onde a aprece como um fator n vezes.

Na expressao an, n e o expoente e a e a base. Esta definicao pode ser extendida,definindo an para valores de n negativos e o zero.

Salviano A. Leao 6

Caso 2 Se a e um numero real diferente de zero (a ∈ <∗), e n e um numero inteiropositivo (n ∈ Z+), entao

a0 = 1 e a−n =1

an(1.10)

O sımbolo 00 nao tem significado. A seguir apresentamos algumas propriedadesdos expoentes:

1. am · an = am+n

2.am

an= am · 1

an= am ·

a−n = am−n

3. (am)n = am·n

4. (a · b)m = am · bm

5.(a

b

)m

=am

bm

6.(a1/n

)m= am/n

7.an

am= an · a−m = an−m

1.10.1 Exercıcios

Simplifique as expressoes abaixo:

1.

(108 · 10−10

104 · 10−2

)1/2

2.

(5−6 · 5−3

104 · 10−6

)−1

3.(4k−1)

2

2k−5

4.2−1x3y−3

xy−2

5.5−2m2y−2

52m−1y−3

6.x1/3y2/3z1/4

x5/3y−1/3z3/4

7.k−3/5h−1/3t2/5

k−1/5h−2/3t1/5

Fatore as seguintes expressoes:

1. 23 · 25

2.35

33

3. (23)2 · 24

4. (2−2 · 33)2 · 44

5. (x2 + 2) (x2 − 1)−1/2

(x) + (x2 − 1)1/2

(2x)

6. (3x− 1) (5x + 2)1/2 (15) + (5x + 2)1/2 (5)

Salviano A. Leao 7

7.1

2(2x + 5)2 (x2 − 4)

−1/2(2x) + (x2 − 4)

−1/2(2x) (2x + 5)

8. (4x2 + 1)2(2x− 1)−1/2 + (2x− 1)−1/2 (2)(4x2 + 1)

1.11 Radicais

Definimos a1/n como a n-esima raız de a, para valores apropriados de a e de n. Umanotacao alternativa para a1/n e o uso dos radicais.

Definicao 3 Se n e um numero natural par e a > 0, ou n e um numero natural ımpar,entao:

a1/n = n√

a (1.11)

O sımbolo n√

e o sinal de um radical, e o numero a e o radicando, e n e o ındicedo radical. O sımbolo

√a e usado em vez de 2

√a.

A seguir apresentamos algumas propriedades dos radicais:

1. ( n√

a)n

= a

2. n√

an =

{ |a| Se n e para Se n e ımpar

3. n√

a · n√

b = n√

a · b

4.n√

an√

b= n

√a

b(b 6= 0)

5. m√

n√

a = m·m√a

1.11.1 Exercıcios

Simplifique as expressoes:

1.√

(−2)2

2. 3√

16z5x8y4

3.5√7

4.3√

r −√3

5.y − 5

√y −√5

6.

√x +

√x + 1√

x−√x + 1

7.

√p +

√p2 − 1

√p−

√p2 − 1

Capıtulo 2

Trigonometria no TrianguloRetangulo

Sabemos que um triangulo e um retangulo quando um de seus angulos internos e umangulo reto (um angulo de 90◦). Consideremos o triangulo retangulo ABC da figuraabaixo.

α + θ = 90◦

a

b

c

A C

B

α

θ

Figura 2.1: Triangulo retangulo

A relacao mais importante do triangulo e dada pelo Teorema de Pitagoras, aqual relaciona a hipotenusa (lado oposto ao angulo reto) aos catetos (lados adjacentes aoangulo reto) do triangulo retangulo da seguinte forma:

a2 = b2 + c2. (2.1)

Agora definiremos algumas funcoes trigonometricas:

seno de α =cateto oposto ao angulo α

hipotenusa=⇒ sen α =

c

a(2.2)

co-seno de α =cateto adjacente ao angulo α

hipotenusa=⇒ cos α =

b

a(2.3)

8

Salviano A. Leao 9

tangente de α =cateto oposto ao angulo α

cateto adjacente ao angulo α=⇒ tg α =

c

b(2.4)

Usando as definicoes acima para o angulo θ temos que:

sen θ =b

a; cos θ =

c

ae tg θ =

b

c. (2.5)

Devemos observar ainda que α + θ = 90◦, e analisando as expressoes anteriores vemosque:

sen α =c

ae cos θ =

c

a=⇒ sen α = cos θ (2.6)

cos α =b

ae sen θ =

b

a=⇒ cos α = sen θ (2.7)

tg α =c

be tg θ =

b

c=⇒ tg α =

1

tg θ(2.8)

sec α =1

cos α=

a

be cossec θ =

1

sen θ=

a

b=⇒ sec α = cossec θ

(2.9)

cotg α =1

tg α=

b

ce tg θ =

b

c=⇒ cotg α = tg θ (2.10)

Como α + θ = 90◦, entao podemos concluir que para dois angulos quaisquer cujaa soma seja 90◦ as relacoes (2.6), (2.7) e (2.8) serao sempre validas. Podemos escreveresta relacao em uma forma mais geral para um angulo agudo β (0◦ ≤ β ≤ 90◦) qualquercomo:

sen β = cos(90◦−β) e cos β = sen(90◦−β) para: 0◦ ≤ β ≤ 90◦

(2.11)

Apresentamos a seguir os valores do seno, do cosseno e da tangente dos angulosmais importantes:

Salviano A. Leao 10

θ = 0◦ θ = 30◦ θ = 45◦ θ = 60◦ θ = 90◦

sen θ 01

2

√2

2

√3

21

cos θ 1

√3

2

√2

2

1

20

tg θ 0

√3

31

√3 —

2.1 Relacoes entre o Seno, o Cosseno e a Tangente

Para encontrarmos algumas das relacoes mais importantes entre o seno, o cossenoe a tangente iremos utilizar o triangulo retangulo da figura 1. A Primeira relacao obtemosao dividirmos a eq. (2.1) (Teorema de Pitagoras) pelo quadrado da hipotenusa (trianguloretangulo, figura 1), ou seja,

a2 = b2 + c2 ÷ (a2) =⇒ a2

a2=

b2

a2+

c2

a2, (2.12)

1 =

(b

a

)2

+( c

a

)2

(2.13)

Substituindo a eq. (2.2) e (2.3) na equacao anterior, obtemos que:

1=cos2 α+sen2α ou cos2 α+sen2α=1 (2.14)

Consideremos a razao entre o seno e o cosseno:

sen α

cos α=

baca

=b

a· ac

=b

c= tg α =⇒ tg α =

sen α

cos α(2.15)

Agora vamos determinar a relacao entre a tangente e a secante.

a2 = b2 + c2 ÷ (c2) =⇒ a2

c2=

b2

c2+

c2

c2, (2.16)

(a

c

)2

=

(b

c

)2

+ 1 (2.17)

como sec θ = 1cos θ

= ca

e tg θ = bc, obtemos que:

sec2 θ=tg2 θ+1 ou sec2 θ-tg2 θ=1 . (2.18)

Salviano A. Leao 11

2.2 Relacoes Trigonometricas na Circunferencia

Agora, iremos investigar as relacoes trigonometricas na circunferencia, e para tal,devemos considerar uma circunferencia de raio unitario. Definiremos o eixo dos senos comosendo o eixo vertical que passa pelo centro da circunferencia e o eixo dos co-senos comosendo o eixo horizontal que passa pelo centro da circunferencia no ciclo trigonometrico(ver figura abaixo).

Figura 2.2: Ciclo Trigonometrico.

Na figura ao lado, consideremos o triangulo retangulo OMP , cujo o lado (hipo-tenusa) OP = 1 (raio da circunferencia trigonometrica). Desta forma, podemos escrever:

cos θ =OM

OP=

OM

1= OM =⇒ OM = cos θ (2.19)

sen θ =MP

OP=

MP

1= MP =⇒ MP = sen θ (2.20)

Devemos observar ainda que ON = MP , entao ON = sen θ.O que vimos ate agora foi que a projecao do segmento OP sobre o eixo dos

cossenos e dado pelo segmento OM que por sua vez e igual ao cos θ. Assim, podemosconcluir que a projecao do segmento OP sobre o eixo dos cossenos e igual ao cos θ.Analogamente, podemos concluir que a projecao do segmento OP sobre o eixo dos senose igual ao sen θ.

Ao analisarmos o ciclo trigonometrico apresentado na figura 2 acima podemosconcluir facilmente que:

0 ≤ sen θ ≤ 1 e que 0 ≤ cos θ ≤ 1 (2.21)

Salviano A. Leao 12

Sempre que 0◦ < θ < 90◦ diremos que o angulo θ se encontra no 1o quadrante.Na tabela abaixo apresentamos a definicao dos outros quadrantes, assim como o sinal dossenos, cossenos e tangentes nos respectivos quadrantes:

Arco AB 0◦ < θ < 90◦ 1o quadrante sen θ > 0 cos θ > 0 tg θ = sen θcos θ > 0

Arco BA′ 90◦ < θ < 180◦ 2o quadrante sen θ > 0 cos θ < 0 tg θ = sen θcos θ < 0

Arco A′B′ 180◦ < θ < 270◦ 3o quadrante sen θ < 0 cos θ < 0 tg θ = sen θcos θ > 0

Arco B′A 270◦ < θ < 360◦ 4o quadrante sen θ < 0 cos θ > 0 tg θ = sen θcos θ < 0

Da tabela acima observamos que a tangente so e positiva nos quadrantes em queo seno e o cosseno possuem o mesmo sinal.

Na figura 3 abaixo, apresentamos a definicao do eixo da tangente na circunferenciatrigonometrica.

(a) Tangente (b) Quadrantes

Figura 2.3:

Na figura 3.1(a), mostramos que o eixo das tangentes e paralelo ao eixo dos senos,e que o seu valor e dado pelo segmento AP ′, o qual e obtido ao prolongarmos o segmentoOP ate ele encontrar o eixo da tangente no ponto P ′. Desta forma, a tangente do anguloθ e definida como sendo o segmento AP ′. Da definicao acima vemos claramente que atangente de θ de zero e zero e a medida em que vamos aumentando o angulo θ a tangentevai assumindo valores que crescem indefinidamente a medida em que o angulo θ vai seaproximando de 90◦, ou seja,

0 ≤ tg θ < ∞ (2.22)

Salviano A. Leao 13

Agora, iremos analisar o caso em que o angulo θ e tal que 90◦ < θ < 180◦. Oque desejamos fazer aqui e relacionar o seno, o cosseno e a tangente de um angulo θ no2o quadrante com o seno, o cosseno e a tangente do angulo α = 180◦− θ no 1o quadrante.Para realizarmos este proposito iremos considerar a figura 3.1(b) acima, da qual, aposuma analise podemos concluir facilmente que:

cos α = cos (180◦ − θ) = − cos θ (2.23)

sen α = sen (180◦ − θ) = sen θ (2.24)

tg α = tg (180◦ − θ) = − tg θ (2.25)

2.3 Trigonometria em Triangulos Quaisquer

2.3.1 Lei dos Cossenos

Em qualquer triangulo, o quadrado de um lado e igual a soma dos quadrados dos outros doislados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do angulo formado por eles.

DEMONSTRACAO:

Figura 2.4: Lei dos cossenos

1o¯ CASO: Seja ABC um triangulo com o angulo A < 90◦ (Ver triangulo (a) da

figura 2.4).No triangulo BCD que e retangulo:

a2 = n2 + h2 (2.26)

No triangulo BAD que e retangulo:

Salviano A. Leao 14

h2 = c2 −m2 (2.27)

Temos tambem:

n = b−m (2.28)

Substituindo as eqs. (2.28) e (2.27) em (2.26), obtemos:

a2 = (b−m)2 + c2 −m2 ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm

Mas no triangulo BAD temos que: m = c · cos A. Logo

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A

2o¯ CASO: Seja ABC um triangulo com o angulo 90◦ < A < 180◦ (Ver triangulo

(b) da figura acima).No triangulo BCD que e retangulo:

a2 = n2 + h2 (2.29)

No triangulo BAD que e retangulo:

h2 = c2 −m2 (2.30)

Temos tambem:

n = b + m (2.31)

Substituindo as eqs. (2.31) e (2.30) em (2.29), obtemos:

a2 = (b + m)2 + c2 −m2 ⇒ a2 = b2 + c2 + 2bm

Mas no triangulo BAD temos que:

m = c · cos(180◦ − A

)⇒ m = −c · cos A

Logo:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A

3o¯ CASO: Analogamente podemos provar que:

b2 = a2 + c2 − 2ac · cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C

Salviano A. Leao 15

2.3.2 Aplicacao da Lei dos Cossenos

Consideremos a figura 2.5, onde mostramos a regra do paralelogramo para somarmos doisvetores F1 e F2 cujo o angulo entre eles e α. Ao somarmos os dois vetores obtemosa direcao e o sentido do um vetor resultante FRes. mas nao temos a sua intensidade(modulo). Para determinarmos a intensidade do vetor FRes. iremos utilizar a lei doscossenos no triangulo inferior da figura 2.5, na qual vemos que o angulo oposto ao vetorFRes. e o angulo θ.

Figura 2.5: Soma vetorial de dois vetores.

A lei dos cossenos e dada por:

|FRes.|2 = |F1|2 + |F2|2 − 2 · |F1| · |F2| · cos θ

Note na expressao acima o sinal do termo 2 · |F1| · |F2| · cos θ e negativo e o angulo e ooposto ao vetor F

Res., ou seja o angulo θ. Tambem podemos escrever a lei dos cossenosem termos do angulo α entre os vetores F1 e F2, e para isto devemos observar a seguinterelacao α = 180◦ − θ, entre o angulo α e o θ. Entao como foi visto anteriormente,

cos α = (180◦ − θ) = − cos θ =⇒ cos θ = − cos α

assim podemos expressar a lei dos cossenos como:

|FRes.|2 = |F1|2 + |F2|2 + 2 · |F1| · |F2| · cos α

2.3.3 Lei dos Senos

Em qualquer triangulo, o quociente entre cada lado e o seno do angulo oposto e constante eigual a medida do diametro da circunferencia circunscrita.

DEMONSTRACAO:

Salviano A. Leao 16

Seja ABC um triangulo qualquer, inscrito numa circunferencia de raio R. Porum dos vertices do triangulo (o vertice B), tracemos o diametro correspondente BA′ eliguemos A′ com C.

Sabemos que A = A′ por determinarem na circunferencia a mesma corda BC. Otriangulo A′BC e retangulo em C por estar inscrito numa semicircunferencia.

Temos, entao:

a = 2R · sen A′ ⇒ a = 2R · sen A ⇒ a

sen A= 2R

Analogamente:

b

sen B= 2R e

c

sen C= 2R

Donde concluımos que:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C= 2R

Salviano A. Leao 17

2.4 Lista Exercıcios de Trigonometria

2.4.1 Trigonometria no triagulo retangulo

1-) Usando a figura abaixo determine:

Figura 2.6: Triangulos retangulos.

1. Calcule as razoes trigonometricas seno, cosseno, tangente e cotangente dos angulosagudos do triangulo retangulo em que um dos catetos mede 3 e a hipotenusa 2

√3.

2. Em um triangulo ABC reto em A, determine as medidas dos catetos, sabendo quea hipotenusa vale 50 e sen B = 4

5.

3. Sabe-se que a hipotenusa de um triangulo retangulo mede 2√

17, e que o cosseno deum dos seus angulos mede 2

√51/17. Calcule os catetos.

4. Seja ABC um triangulo retangulo em A. Sao dados tg B =√

52

e hipotenusa a = 6.Calcule os catetos b e c.

5. Determine os lados a e b e o angulo θ do triangulo (a) acima.

6. Determine os lados a, b e o angulo θ do triangulo (b) acima sabendo que a+√

2b = 9.

7. Determine os lados a, b, c e o angulo θ do triangulo (c) acima sabendo que c+b = 21,e que sen θ = 3

5. Encontre tambem o cos α, cos θ, sen α, tg α e a tg θ.

8. Determine os lados a, b, c e os angulo β e θ do triangulo (c) acima sabendo quec + b = 18, e que tg β = 0.8. Encontre tambem o sen β, cos β, sen θ, cos θ e atg θ.

2.4.2 Funcoes trigonometricas

1. Escreva uma expressao para o cos θ em funcao da tg θ.

2. Escreva uma expressao para o sen θ em funcao da tg θ.

3. Calcule cos x sabendo que cotg x = 2√

mm−1

, com m > 1.

4. Calcule sec x sabendo que sen x = 2aba2+b2

, com a > b > 0.

5. Sabendo que sec x = 3, calcule o valor da expressao y = sen2 x + 2 · tg2 x

6. Calcule sen x e cos x sabendo que 3 · cos x + sen x = −1.

7. Calcule sen x e cos x sabendo que 5 · sec x− 3 · tg2 x = 1.

8. Sabendo que sen x = 45

e que π2

< x < π, calcule o cos x, cossec x, tg x e cotg x.

Salviano A. Leao 18

9. Determine a relacao entre x e y, independente de t, sabendo que x = 3 · sen t e quey = 4 · cos t.

10. Sabendo que sen x = 13

e 0 < x < π2

calcule o valor da expressao:

y =1

cossec x + cotg x+

1

cossec x− cotg x(2.32)

11. Simplifique as expressoes abaixo:

a) y =cossec x + sen x

sec x + cos xb) y =

cos2x− cotg2x

sen2x− tg2x

12. Simplifique y =sec x + tg x

sec x− tg xe calcule o valor de y sendo dado que cossec x = −10.

13. Dado que a tg x =√

19, calcule o valor de y =sen x

1 + sen x− sen x

1− sen x

14. Simplifique as expressoes abaixo:

a) y =(tg a + cotg a)2

sec2 a · cossec2 ab) y =

cotg2θ

1 + cotg2θ− 1

1 + tg2θ

15. Sabendo que 10 · sen2 x + 14 · cos2x = 11, calcule os possıveis valores da tg x.

16. Sendo dado 5 · tg2x + 12 · sec2 x = 29, calcule cos x.

17. Calcule sen x nos seguintes casos:

a) Dado que cos x = 2 sen x. b) Dado que cossec x + cotg x = 3.

18. Se sen2 x + cos4x = 1 quais os possıveis valores de sen x? (Lembre que cos4x =cos2x · cos2x = (1− sen2 x)

2).

19. Simplifique as expressoes abaixo:

a) y = sen4 x− cos4x + 2cos2x

b) y = sen2 α + sen2 β − sen2 α · sen2 β + cos2α · cos2β

20. Sabendo que tg x =√

3 e que π2

< x < 3π2

, calcule:

a) sec x b) cos x c) sen x d) cossec x

21. Sabendo que tg x =√

33

e que sen x = −12

determine x.

2.4.3 Funcoes trigonometricas: Arcos

1. Se cos θ = 35, calcule o valor de sen(θ + π

2).

2. Se sen x = 12

e 0 ≤ x ≤ π2

calcule o valor de:

a) cos x

b) cos(

π2

+ x), cos (π + x) e cos

(3π2

+ x)

c) sen(

π2

+ x), sen (π + x) e sen

(3π2

+ x)

Salviano A. Leao 19

d) tg(

π2

+ x), tg (π + x) e tg

(3π2

+ x)

e) cotg(

π2

+ x), cotg (π + x) e cotg

(3π2

+ x)

f) sec(

π2

+ x), sec (π + x) e sec

(3π2

+ x)

g) cossec(

π2

+ x), cossec (π + x) e cossec

(3π2

+ x)

3. Calcule o valor das expressoes:

a) Z = sen2 120◦ + 2 · sen 120◦ · cos 150◦ + cos2 150◦

b) W = sen 3π2· cos 2π

3− sen 2π

3· cos 3π

2

4. Verifique que: cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + . . . + cos 160◦ + cos 180◦ = 0.

5. Verifique que: sen 10◦ + sen 20◦ + + sen 30◦ sen 40◦ + . . . + sen 350◦ + sen 360◦ = 0.

6. Calcule:

a)(sen 7π

2

) · (cos 31π) b) sen 11π + cos 11π2

.

2.4.4 Formulas de adicao de arcos

Nos exercıcios a seguir usaremos as seguintes propriedades:

Formulas da adicao

sen (A±B) = sen A · cos B ± sen B · cos A

cos (A±B) = cos A · cos B ∓ sen A · sen B

tg (A±B) =tg A± tg B

1∓ tg A · tg B

Salviano A. Leao 20

Formulas da multiplicacao

sen 2θ = 2 sen θ · cos θ

cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ = 2 · cos2 θ − 1 = 1− 2 · sen2 θ

tg 2θ =2 · tg θ

1− tg2 θ

Formulas da divisao

cos θ = cos2 θ

2− sen2 θ

2= 2 · cos2 θ

2− 1 = 1− 2 · sen2 θ

2

senθ

2= ±

√1− cos θ

2cos

θ

2= ±

√1 + cos θ

2

tgθ

2=

sen θ2

cos θ2

= ±√

1− cos θ

1 + cos θ

Resolva os exercıcios a seguir:

1. Calcule os seguintes valores:

a) cos 15◦ b) sen 105◦ c) tg 75◦ d) sec 285◦

e) sen 225◦ f) cos 195◦ g) tg 165◦ h) cossec 285◦

2. Sabendo que tg A = 2 e que tg B = 1 ache tg (A−B)

3. Dado que sen x = 35

e que cos y = 513

, calcule o valor de cos(x ± y) e o valor dosen(x± y), sabendo que 0 < x < π

2e que 3π

2< y < 2π.

4. Sabendo que sen x = 1517

, sen y = −35

e que 0 < x < π2

e que 3π2

< y < 2π, calcule osseguintes valores:

a) cos(x±y) b) sen(x±y) c) tg(x±y) d) sec(x±y)

5. Se sen α = 23

e 0 < α < π2, calcule:

a) cos(π2

+ 2α) b) sen(π2

+ 2α) c) tg(π2

+ 2α) d)sec(π

2+ 2α)

6. Desenvolva:

a) cos(π2+x) b) sen(π

4+x) c) cos(π+x) d) cos(3π

2+

x)

Salviano A. Leao 21

7. Desenvolva:

a) sen(a − π) b) sen(2π − b) c) cos(β − 3π2

) d)cos(π

3− α)

8. Prove que sen(π − x) = sen x e que cos(π − x) = − cos x.

9. Dado sen x = 14

e 0 < x < π2

calcule sen(π6

+ x).

10. Dados cos α = 2025

e cos β = 2425

, α e β no 1o¯ quadrante, calcule cos(α + β).

11. Dados sen α = 725

e sen β = 1525

, α e β no 1o¯ quadrante, calcule sen(α + β).

12. Simplifique:

a) y = sen(π4

+ x)− sen(π4− x)

b) y = sen(π6

+ x) + cos(π3

+ x)

13. Dada tg x = 6 calcule tg(x + π4).

14. Dados sen 37◦ ' 0.60 e cos 37◦ ' 0.80, calcule sen 74◦ e cos 74◦.

15. Expresse cos 4x em funcao do cos x.

16. Prove a identidade (sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x

17. Dado sen x + cos x = m, mostre que sen 2x = m2 − 1

18. Dado cos α = 18, com 0 < α < π

2, calcule sen α

2e cos α

2.

19. Dado cos x = 23, com 0 < x < π

2, calcule tg x

2.

20. Dado cos x2

=√

24

calcule o valor de cos x.

21. Dado cos x2

= −23

calcule os possıveis valores de sen x.

2.4.5 Transformacao em Produto

2.4.6 Exercıcio

Prove, cada uma das relacoes abaixo:

sen (α + β) + sen (α− β) = 2 sen α · cos β

sen (α + β)− sen (α− β) = 2 sen β · cos α

cos (α + β) + cos (α− β) = 2 cos α · cos β

cos (α + β)− cos (α− β) = −2 sen α · sen β

Salviano A. Leao 22

Seja,

{α + β = pα− β = q

=⇒

α =p + q

2

β =p− q

2

(2.33)

sen p + sen q = 2 sen

(p + q

2

)· cos

(p− q

2

)

sen p− sen q = 2 sen

(p− q

2

)· cos

(p + q

2

)

cos p + cos q = 2 cos

(p + q

2

)· cos

(p− q

2

)

cos p− cos q = −2 sen

(p + q

2

)· sen

(p− q

2

)

Capıtulo 3

Funcoes Exponenciais

Se a > 0, a funcao exponencial com base a e definida por

f(x) = ax

Para a 6= 1, o domınio de f e R, o intervalo de f esta em (0,∞), e o grafico de ftem uma das seguintes formas:

(a) f (x) = ax para a > 1 (b) f (x) = ax para 0 < a < 1

3.1 Propriedades das Funcoes Exponenciais de Base

e

Desde que e > 1, a funcao exponencial f(x) = ex e uma funcao contınua crescente com odomınio R = (−∞,∞) com variacao em (0,∞). Portanto ex > 0 para todo x. Tambem

limx→−∞

ex = 0 limx→∞

ex = ∞ (3.1)

portanto o eixo dos x e uma assıntota horizontal da funcao f(x) = ex e a funcao f(x) = ex

nao esta limitada acima – isto e, cresce indefinidamente.

Exemplo 1 As funcoes y = ex e y = ex sao mostradas no grafico abaixo.

23

Salviano A. Leao 24

Figura 3.1: No grafico acima a funcao y = exe a funcao que cresce com x enquanto afuncao y = e−x e que decresce a medida em que x cresce.

3.2 Funcoes Logaritmicas

Definicao 4 Se a e um numero positivo diferente de um (a 6= 1). A funcao logaritmicacom base a, representada pelo sımbolo log, e definida por

loga x = y ⇐⇒ ay = x

Em outras palavras, isto pode ser dito comoO loga x e o exponente o qual devemos elevar a base a para obtermos x.

A funcao logarıtmica loga e contınua ja que ela e a inversa de uma funcao contınua,nominalmente a funcao exponencial. O seu grafico e uma reflexao do grafico da funcaoy = ax sobre a reta y = x. A seguir mostramos os graficos de funcoes logarıtmicas para asbases e (no grafico abaixo e a funcao que tem maior taxa de crescimento), 10 (no graficoabaixo e a funcao crescente com menor taxa de crescimento), e −1

2(no grafico abaixo e a

funcao decrescente).

Figura 3.2: Funcoes logarıtmicas para diferentes bases.

Os graficos sao crescentes para a > 1 e decrescentes para a < 1. O fato de quey = ax e uma funcao que cresce muito rapidamente para x > 1 decresce para x < 1, erefletido no fato de que y = loga x e uma funcao que cresce ou decresce muito lentamentepara x > 1.

Salviano A. Leao 25

3.2.1 Propriedades dos Logaritmos

Propriedade Razao

loga 1 = 0 Devemos elevar a base a a potencia 0 para obtermos 1loga a = 1 Devemos elevar a base a a potencia 1 para obtermos a.loga ax = x Devemos elevar a base a a potencia x para obtermos ax.aloga x = x O loga x e a potencia que a base a deve ser elevada para obtermos x.

3.2.2 Logaritmo Comun

O logaritmo com a base 10 e chamado logaritmo comun e ele e representado omitindo abase:

log x = log10 x

3.2.3 Logaritmo Natural (ln)

O logaritmo com a base e e chamado logaritmo natural e ele e representado pelo sımbololn:

ln x = loge x

3.2.4 Propriedades dos Logaritmos Naturais

Propriedade Razao

ln 1 = 0 Devemos elevar a base e a potencia 0 para obtermos 1ln e = 1 Devemos elevar a base e a potencia 1 para obtermos e.ln ex = x Devemos elevar a base e a potencia x para obtermos ex.eln x = x O ln x e a potencia que a base e deve ser elevada para obtermos x.

3.3 Propriedades das funcoes Logaritmos

Se a e um numero positivo, com a diferente de um (a 6= 1). Seja x > 0, y > 0, e r umnumero real qualquer, entao as seguintes propriedades sao validas:

• loga(xy) = loga x + loga y

O logaritmo do produto de dois numeros e a soma dos logaritmos destes numeros.

• loga

(xy

)= loga x− loga y

O logaritmo do quociente de dois numeros e a diferenca dos logaritmos destesnumeros.

• loga (xr) = r loga x

O logaritmo de um numero elevado a uma potencia e o expoente vezes o logaritomdeste numero.

Salviano A. Leao 26

• aloga x = x ou ainda eln x = x

• Se a > 1, entao

limx→∞

loga x = ∞ e limx→0+

loga x = −∞

3.3.1 Formula da Mudanca de Base

Para mudarmos da base a para a base b, e necessario conhecermos loga b.

logb x =loga x

loga b

Para qualquer numero positivo a (a 6= 1), temos

loga x =logb x

logb a⇔ loga x =

ln x

ln a

Capıtulo 4

Formulas e Tabelas de Calculo

4.1 Limites Fundamentais

• limx→0

1x

= ∞

• limx→∞

1x

= 0

• limx→0

sen x

x= 1

• limx→0

sen 1x

= @

• limx→0

x sen 1x

= 0

• limx→0

ln(1 + x)

x= 1

• limx→0

(1 + x)1/x = e

• limx→∞

(1 + 1x)x = e

• limθ→0

sen θ = 0

• limθ→0

cos θ = 1

• limθ→0

sen θθ

= 1

• limθ→0

cos θ−1θ

= 0

4.2 Tabelas de Diferenciacao: Regras e Formulas

4.2.1 Formulas de Diferenciacao

Nestas formulas, u e v representam funcoes de x; a, b e n representam constantes; e = 2.71828.... e π = 3. 14159... ; e todos os angulos sao medidos em radianos.

4.2.2 Definicao da Derivada com um Limite

A derivada de uma funcao f em um numero x, e denotada por f ′(x),d

dxf (x),

df

dx(x), ou Dx (f(x)) e tambem e o limite

f ′(x) = limh→0

f(x + h)− f(x)

h

se este limite existir.Esta associada com a funcao y = f(x), uma nova funcao dy

dx= f ′(x), chamada a

derivada de f em relacao a x.

27

Salviano A. Leao 28

4.2.3 Regra da Cadeia

Considere uma funcao f que e uma funcao de uma outra funcao g(x), ou seja, f = f(g(x)).A sua derivada e dada por:

d

dxf(g(x)) =

df

dg· dg

dx

4.2.4 Funcoes Algebricas

1.d

dx(au± bv) = a

du

dx± b

dv

dx

2.d

dx(un) = nun−1du

dx

4.2.5 Regras de Diferenciacao

Nesta tabela, f , g, u, v, e y representam funcoes de x, e c e n representam constantes.

1. c′ = 0d

dx(c) = 0

2. (cf )′ = cf ′ d

dx(cu) = c

du

dx

3. (f + g)′ = f ′ + g′d

dx(u + v) =

du

dx+

dv

dx(regra da soma)

4. (f − g)′ = f ′ − g′d

dx(u− v) (x) =

du

dx− dv

dx

5. (xn)′ = nxn−1 d

dx(xn) = nxn−1 (regra da potencia)

6. (f (x)n)′ =d

dx(un) = nun−1du

dx(regra generalizada da potencia)

7. (fg)′ = f ′g + fg′d

dx(uv) = u

dv

dx+ v

du

dx(regra do produto)

8.

(f

g

)′=

f ′g − fg′

g2

d

dx

(u

v

)=

vdu

dx− u

dv

dxv2

(regra do quociente)

9. (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g) g′dy

dx=

dy

du

du

dx(regra da cadeia)

Salviano A. Leao 29

4.2.6 Tabela de Derivadas de Funcoes

d

dxx = 1

d

dxun = n un−1du

dx

d

dx(a x) = a

d

dx(u + v) =

d

dxu +

d

dxv

d

dxxn = nxn−1 d

dx(u · v) = u

d

dxv + v

d

dxu

d

dx(a u) = a

du

dx

d

dx

( u

v

)=

vd

dxu− u

d

dxv

v2(v 6= 0)

4.3 Tabela de Derivadas das Funcoes Trigonometricas

d

dx(sen x) = cos x

d

dx(sen u) = cos u

du

dx

d

dx(cos x) = − sen x

d

dx(cos u) = − sen u

du

dx

d

dx(tg x) = sec2 x

d

dx(tg u) = sec2 u

du

dx

d

dx(sec x) = sec x tg x

d

dx(sec u) = sec u tg u

du

dx

d

dx(cossec x) = − cossec x cotg x

d

dx(cossec u) = − cossec u cotg u

du

dx

d

dx(cotg x) = − cossec2 x

d

dx(cotg u) = − cossec2 u

du

dx

4.3.1 Tabela de Derivadas das Funcoes Exponenciais e Logarıtmicas

d

dxex = ex d

dxeu = eu du

dx

d

dx(ln x) =

1

x

d

dx(ln u(x)) =

1

u(x)

du

dx

d

dxax = ax ln a

d

dxau = au ln a

du

dx

d

dx(loga x) =

1

x ln a

d

dx(loga u) =

1

u ln a

du

dx

d

dx(uv) = vuv−1du

dx+ uv ln u

dv

dx

Salviano A. Leao 30

4.3.2 Funcoes Trigonometricas Inversas

1.d

dx

(sin−1 u

)= 1√

1−u2

du

dx

2.d

dx(cos−1 u) = − 1√

1−u2

du

dx

3.d

dx(tan−1 u) = 1

1+u2

du

dx

4.d

dx(cot−1 u) = − 1

1+u2

du

dx

5.d

dx(sec−1 u) = 1

u√

u2−1

du

dx, −π ≤

sec−1 u < −π2, 0 ≤ sec−1 u < π

2

6.d

dx(csc−1 u) = − 1

u√

u2−1

du

dx, −π <

csc−1 u ≤ −π2, 0 < sec−1 u ≤ π

2

4.3.3 Funcoes Hiperbolicas

1.d

dx(sinh u) = cosh u

du

dx

2.d

dx(cosh u) = sinh u

du

dx

3.d

dx(tanh u) = sech2 u

du

dx

4.d

dx(coth u) = − csch2 u

du

dx

5.d

dx(sech u) = − sech u tanh u

du

dx

6.d

dx(csch u) = − csch u coth u

du

dx

4.3.4 Funcoes Hiperbolicas Inversas

1.d

dx

(sinh−1 u

)= 1√

u2+1

du

dx

2.d

dx

(cosh−1 u

)= 1√

u2−1

du

dx, u > 1

3.d

dx

(tanh−1 u

)= 1

1−u2

du

dx

4.d

dx

(coth−1 u

)= 1

1−u2

du

dx

5.d

dx

(sech−1 x

)= − 1

u√

1−u2

du

dx, u > 0

6.d

dx

(csch−1 u

)= − 1

u√

1+u2

du

dx

4.4 Tabela de Integrais Indefinidas: Antiderivada

4.4.1 Integracao por Partes

Se f e g sao funcoes difrenciaveis, entao

∫f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x)−

∫f ′ (x) g (x) dx

Fazendo u = f (x) e v = g (x), entao du = f ′ (x) dx e dv = g′ (x) dx. Usando a regra dasubstituicao, obtemos ∫

udv = uv −∫

vdu

Salviano A. Leao 31

∫cf(x) dx = c

∫f(x) dx

∫[f(x) + g(x)] dx =

∫f(x) dx +

∫g(x) dx

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C (n 6= −1)

∫axn dx = a

xn+1

n + 1+ C (n 6= −1)

∫1

xdx = ln |x|+ C

∫1

axdx =

1

aln |x|+ C

∫ex dx = ex + C

∫eaxdx =

eax

a+ C

∫ax dx =

ax

ln a+ C

∫abx dx =

1

b ln aabx

∫sen x dx = − cos x + C

∫sen (ax) dx = −cos (ax)

a+ C

∫cos x dx = sen x + C

∫cos (ax) dx =

sen (ax)

a+ C

∫sec2 x dx = tg x + C

∫sec2 (ax) dx =

tg (ax)

a+ C

∫cossec 2x dx = − cotg x + C

∫cossec 2 (ax) dx =

cotg (ax)

a+ C

∫sec x tg x dx = sec x + C

∫sec (ax) tg (ax) dx =

sec (ax)

a+ C

∫cossec x cotg x dx = − cossec x + C

∫cossec (ax) cotg (ax) dx = −cossec (ax)

a+ C

∫1√

1− x2dx = sen−1 x + C

∫1

x2 + 1dx = tg −1x + C

4.5 Tabela de Integrais

4.5.1 Formas Basicas

1.

∫u dv = uv −

∫v du

2.

∫un du =

1

n + 1un+1 + C, n 6= −1

3.

∫du

u= ln |u|+ C

4.

∫eu du = eu + C

5.

∫au du =

1

ln aau + C

6.

∫sin u du = − cos u + C

7.

∫cos u du = sin u + C

8.

∫sec2 u du = tan u + C

9.

∫csc2 u du = − cot u + C

10.

∫sec u tan u du = sec u + C

11.

∫csc u cot u du = − csc u + C

12.

∫tan u du = ln |sec u|+ C

13.

∫cot u du = ln |sin u|+ C

14.

∫sec u du = ln |sec u + tan u|+ C

15.

∫csc u du = ln |csc u− cot u|+ C

16.

∫du√

a2 − u2= sin−1 u

a+ C

Salviano A. Leao 32

17.

∫du

a2 + u2=

1

atan−1 u

a+ C

18.

∫du

u√

u2 − a2=

1

asec−1 u

a+ C

19.

∫du

a2 − u2=

1

2aln

∣∣∣∣u + a

u− a

∣∣∣∣ + C

20.

∫du

u2 − a2=

1

2aln

∣∣∣∣u− a

u + a

∣∣∣∣ + C

4.5.2 Formas Envolvendo Radicais de Expressoes Quadraticas

Formas Envolvendo√

a2 + u2, a > 0

1.

∫ √a2 + u2 du =

u

2

√a2 + u2 +

a2

2ln

(u +

√a2 + u2

)+ C

2.

∫u2√

a2 + u2 du =u

8(a2 + 2u2)

√a2 + u2 − a4

8ln

(u +

√a2 + u2

)+ C

3.

∫ √a2 + u2

udu =

√a2 + u2 − a ln

∣∣∣∣∣a +

√a2 + u2

u

∣∣∣∣∣ + C

4.

∫ √a2 + u2

u2du = −

√a2 + u2

u+ ln

(u +

√a2 + u2

)+ C

5.

∫du√

a2 + u2= ln

(u +

√a2 + u2

)+ C

6.

∫u2 du√a2 + u2

=u

2

√a2 + u2 − a2

2ln

(u +

√a2 + u2

)+ C

7.

∫du

u√

a2 + u2= −1

aln

∣∣∣∣∣

√a2 + u2 + a

u

∣∣∣∣∣ + C

8.

∫du

u2√

a2 + u2= −

√a2 + u2

a2u+ C

9.

∫du

(a2 + u2)3/2=

u

a2√

a2 + u2+ C

Formas Envolvendo√

a2 − u2, a > 0

1.

∫ √a2 − u2 du =

u

2

√a2 − u2 +

a2

2sin−1 u

a+ C

2.

∫u2√

a2 − u2 du =u

8(2u2 − a2)

√a2 − u2 +

a4

8sin−1 u

a+ C

3.

∫ √a2 − u2

udu =

√a2 − u2 − a ln

∣∣∣∣a +

√a2 − u2

u

∣∣∣∣ + C

4.

∫ √a2 − u2

u2du = −1

u

√a2 − u2 − sin−1 u

a+ C

Salviano A. Leao 33

5.

∫u2 du√a2 − u2

= −u

2

√a2 − u2 +

a2

2sin−1 u

a+ C

6.

∫du

u√

a2 − u2= −1

aln

∣∣∣∣a +

√a2 − u2

u

∣∣∣∣ + C

7.

∫du

u2√

a2 − u2= − 1

a2u

√a2 − u2 + C

8.

∫(a2 − u2)

3/2du = −u

8(2u2 − 5a2)

√a2 − u2 +

3a4

8sin−1 u

a+ C

9.

∫du

(a2 − u2)3/2=

u

a2√

a2 − u2+ C

Formas Envolvendo√

u2 − a2, a > 0

1.

∫ √u2 − a2 du =

u

2

√u2 − a2 − a2

2ln

∣∣u +√

u2 − a2∣∣ + C

2.

∫u2√

u2 − a2 du =u

8(2u2 − a2)

√u2 − a2 − a4

8ln

∣∣u +√

u2 − a2∣∣ + C

3.

∫ √u2 − a2

udu =

√u2 − a2 − a cos−1 a

u+ C

4.

∫ √u2 − a2

u2du = −

√u2 − a2

u+ ln

∣∣u +√

u2 − a2∣∣ + C

5.

∫du√

u2 − a2= ln

∣∣u +√

u2 − a2∣∣ + C

6.

∫u2 du√u2 − a2

=u

2

√u2 − a2 +

a2

2ln

∣∣u +√

u2 − a2∣∣ + C

7.

∫du

u2√

u2 − a2=

√u2 − a2

a2u+ C

8.

∫du

(u2 − a2)3/2= − u

a2√

u2 − a2+ C

Formas Envolvendo√

2au− u2

1.

∫ √2au− u2 du =

u− a

2

√2au− u2 +

a2

2cos−1

(a− u

a

)+ C

2.

∫u√

2au− u2 du =2u2 − au− 3a2

6

√2au− u2 +

a3

2cos−1

(a− u

a

)+ C

3.

∫ √2au− u2

udu =

√2au− u2 + a cos−1

(a− u

a

)+ C

Salviano A. Leao 34

4.

∫ √2au− u2

u2du = −2

√2au− u2

u− cos−1

(a− u

a

)+ C

5.

∫du√

2au− u2= cos−1

(a− u

a

)+ C

6.

∫u du√

2au− u2= −√2au− u2 + a cos−1

(a− u

a

)+ C

7.

∫u2 du√

2au− u2= −(u + 3a)

2

√2au− u2 +

3a2

2cos−1

(a− u

a

)+ C

8.

∫du

u√

2au− u2= −

√2au− u2

au+ C

4.5.3 Formas Envolvendo a + bu

1.

∫u du

a + bu=

1

b2(a + bu− a ln |a + bu|) + C

2.

∫u2 du

a + bu=

1

2b3[(a + bu)2 − 4a(a + bu) + 2a2 ln |a + bu|] + C

3.

∫du

u(a + bu)=

1

aln

∣∣∣∣u

a + bu

∣∣∣∣ + C

4.

∫du

u2(a + bu)= − 1

au+

b

a2ln

∣∣∣∣a + bu

u

∣∣∣∣ + C

5.

∫u du

(a + bu)2=

a

b2(a + bu)+

1

b2ln |a + bu|+ C

6.

∫du

u(a + bu)2=

1

a(a + bu)− 1

a2ln

∣∣∣∣a + bu

u

∣∣∣∣ + C

7.

∫u2 du

(a + bu)2=

1

b3

(a + bu− a2

a + bu− 2a ln |a + bu|

)+ C

8.

∫u√

a + bu du =2

15b2(3bu− 2a)(a + bu)3/2 + C

9.

∫u du√a + bu

=2

3b2(bu− 2a)

√a + bu + C

10.

∫u2 du√a + bu

=2

15b3(8a2 + 3b2u2 − 4abu)

√a + bu + C

11.

∫du

u√

a + bu=

1√a

ln

∣∣∣∣√

a + bu−√a√a + bu +

√a

∣∣∣∣ + C, if a > 0

2√−atan−1

√a + bu

−a+ C, if a < 0

Salviano A. Leao 35

12.

∫ √a + bu

udu = 2

√a + bu + a

∫du

u√

a + bu

13.

∫ √a + bu

u2du = −

√a + bu

u+

b

2

∫du

u√

a + bu

14.

∫un√

a + bu du =2

b(2n + 3)

[un(a + bu)3/2 − na

∫un−1

√a + bu du

]

15.

∫un du√a + bu

=2un

√a + bu

b(2n + 1)− 2na

b(2n + 1)

∫un−1 du√a + bu

16.

∫du

un√

a + bu= −

√a + bu

a(n− 1)un−1− b(2n− 3)

2a(n− 1)

∫du

un−1√

a + bu

4.5.4 Formas Trigonometricas

1.

∫sin2 u du = 1

2u− 1

4sin 2u + C

2.

∫cos2 u du = 1

2u + 1

4sin 2u + C

3.

∫tan2 u du = tan u− u + C

4.

∫cot2 u du = − cot u− u + C

5.

∫sin3 u du = −1

3(2 + sin2 u) cos u + C

6.

∫cos3 u du = 1

3(2 + cos2 u) sin u + C

7.

∫tan3 u du = 1

2tan2 u + ln |cos u|+ C

8.

∫cot3 u du = −1

2cot2 u− ln |sin u|+ C

9.

∫sec3 u du = 1

2sec u tan u + 1

2ln |sec u + tan u|+ C

10.

∫csc3 u du = −1

2csc u cot u + 1

2ln |csc u− cot u|+ C

11.

∫sinn u du = − 1

nsinn−1 u cos u +

n− 1

n

∫sinn−2 u du

12.

∫cosn u du =

1

ncosn−1 u sin u +

n− 1

n

∫cosn−2 u du

13.

∫tann u du =

1

n− 1tann−1 u−

∫tann−2 u du

Salviano A. Leao 36

14.

∫cotn u du =

−1

n− 1cotn−1 u−

∫cotn−2 u du

15.

∫secn u du =

1

n− 1tan u secn−2 u +

n− 2

n− 1

∫secn−2 u du

16.

∫cscn u du =

−1

n− 1cot u cscn−2 u +

n− 2

n− 1

∫cscn−2 u du

17.

∫sin au sin bu du =

sin(a− b)u

2(a− b)− sin(a + b)u

2(a + b)+ C

18.

∫cos au cos bu du =

sin(a− b)u

2(a− b)+

sin(a + b)u

2(a + b)+ C

19.

∫sin au cos bu du = −cos(a− b)u

2(a− b)− cos(a + b)u

2(a + b)+ C

20.

∫u sin u du = sin u− u cos u + C

∫u cos u du = cos u + u sin u + C

21.

∫un sin u du = −un cos u + n

∫un−1 cos u du

22.

∫un cos u du = un sin u− n

∫un−1 sin u du

4.5.5 Formas Trigonometricas Inversas

1.

∫sin−1 u du = u sin−1 u +

√1− u2 + C

2.

∫cos−1 u du = u cos−1 u−√1− u2 + C

3.

∫tan−1 u du = u tan−1 u− 1

2ln(1 + u2) + C

4.

∫u sin−1 u du =

2u2 − 1

4sin−1 u +

u√

1− u2

4+ C

5.

∫u cos−1 u du =

2u2 − 1

4cos−1 u− u

√1− u2

4+ C

6.

∫u tan−1 u du =

u2 + 1

2tan−1 u− u

2+ C

7.

∫un sin−1 u du =

1

n + 1

[un+1 sin−1 u−

∫un+1 du√

1− u2

], n 6= −1

8.

∫un cos−1 u du =

1

n + 1

[un+1 cos−1 u +

∫un+1 du√

1− u2

], n 6= −1

9.

∫un tan−1 u du =

1

n + 1

[un+1 tan−1 u−

∫un+1 du

1 + u2

], n 6= −1

Salviano A. Leao 37

4.5.6 Formas Exponencial e Logarıtmica

1.

∫ueau du =

1

a2(au− 1)eau + C

2.

∫uneau du =

1

auneau − n

a

∫un−1eau du

3.

∫eau sin bu du =

eau

a2 + b2(a sin bu− b cos bu) + C

4.

∫eau cos bu du =

eau

a2 + b2(a cos bu + b sin bu) + C

5.

∫ln u du = u ln u− u + C

6.

∫un ln u du =

un+1

(n + 1)2[(n + 1) ln u− 1] + C

7.

∫1

u ln udu = ln |ln u|+ C

4.5.7 Formas Hiperbolicas

1.

∫sinh u du = cosh u + C

2.

∫cosh u du = sinh u + C

3.

∫tanh u du = ln cosh u + C

4.

∫coth u du = ln |sinh u|+ C

5.

∫sech u du = tan−1 |sinh u|+ C

6.

∫csch u du = ln

∣∣tan 12u∣∣ + C

7.

∫sech2 u du = tanh u + C

8.

∫csch2 u du = − coth u + C

9.

∫sech u tanh u du = − sech u + C

10.

∫csch u coth u du = − csch u + C