Revisão de Pré-Cálculo

NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES

Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

Departamento de Matemática, FEG, UNESP

Lc. Ismael Soares Madureira Júnior

Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016

Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

OBJETIVOS

● Manipular corretamente expressões algébricas.

● Relembrar as regras da aritmética.

● Relembrar alguns produtos notáveis, expansões e fatorações.

● Destacar o papel das potências com expoentes fracionários e negativos na representação de radicais e inverso multiplicativo de potências.

3

Aritmética

3

1. ComutativaAdição: a + b = b + aMultiplicação: a.b = b.a

2. AssociativaAdição: (a + b) + c = a + (b + c)Multiplicação : (a.b).c = a.(b.c)

3. Elemento NeutroAdição: a + 0 = aMultiplicação: a.1 = a

Sejam a, b e c números reais, variáveis ou expressões algébricas.

4. Elemento InversoAdição: a + (– a ) = 0Multiplicação: a . (1/a) = 1 , a ≠ 0

6. DistributivaMultiplicação com relação à adição:

a.(b + c) = a.b + a.c

JRRZ & ISMJ

4

Aritmética

Subtração é a adição com o oposto (inverso aditivo)

a – b = a + (- b)

Divisão é a multiplicação pelo inverso multiplicativo (b ≠ 0)

a ÷ b = a . (1/b)

Assim, a subtração e a divisão são casos particulares da adição e da multiplicação, não sendo portanto novas operações.

5

PRODUTOS NOTÁVEIS

5

Quadrado da soma de dois termos: (x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2.x.y + y²

Produto da soma pela diferença de dois termos (x + y).(x – y) = x² – y²

Cubo da soma de dois termos:(x + y)³ = (x+y).(x+y)² = x³ + 3.x².y + 3.x.y² + y³

Quadrado da diferença de dois termos:(x – y)² = (x – y).(x – y) = x² – 2.x.y + y²

Cubo da diferença de dois termos:(x – y)³ = (x – y).(x – y).(x – y) = x³ – 3.x².y + 3.x.y² – y³

JRRZ & ISMJ

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PRODUTOS NOTAVEIS

1) A expansão para

pode ser obtida da expansão para

substituindo y por – y.

2) Expansão do binômio

coeficientes binomiais

(x− y)2

(x+ y)2

(x+ y)2

(x+ y)n

= ∑k=0

n

( nk) . xn−k . yk

( nk ) =

n!(n−k )! . k !

7

PRODUTOS NOTAVEIS - ÁLGEBRA GEOMÉTRICA

(x + y)² = x² + 2.x.y + y²

JRRZ & ISMJ

8

Fatoração

k.a + k.b = k.(a + b)

k.a + k.b + m.a + m.b = (k + m).(a + b)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – b² = (a – b).(a + b)

a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²)

9

ÁLGEBRA - EXEMPLOS

Simplifique as expressões abaixo (fatore ou expanda)

1)

2)

3)

4)

x2+ b.x + b2

/4

x3−7.x

(x+h)3

− x3

JRRZ & ISMJ

(x+ y)4

10

Frações

10

wv

zu

w

z

v

u

z

w

v

uzv

wu

z

w

v

uzv

wvzu

z

w

v

uv

wu

v

w

v

u

.

./.4

.

..3

.

...2

.1

Sejam u, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores são considerado como diferentes de zero.

11

ÁLGEBRA - EXEMPLOS

Simplifique as expressões abaixo

1)

2) (coloque sob o mesmo denominador )

3) (idem)

4) (separe as frações)

1x−2

+x

x+3

(x+h)2− x2

h

1 +x ²

a ² − x ²

2x+3x−1

JRRZ & ISMJ

12

Potenciação

12

Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas. Considere m e n números inteiros positivos.

Definição (produto de n fatores iguais a u)

Produto de potências na mesma base

Distributiva

Potência de uma potência

Observação (observe a posição dos parênteses)

un .um = un+m

(u.v)n= un . vn

(un)

m= un.m

un = u.u...u

(un)

m≠ u(nm)

13

Potenciação - Exercícios

13

1) Prove as propriedades da potenciação a partir da definição.

2) Expanda a seguinte expressão

3) Escreva a expressão abaixo como uma soma de potências em x

(1 + 2 x2+ x4

) ²

x (2 + √x + x3)

JRRZ & ISMJ

14

Potenciação – Expoentes Negativos

14

Expoente Zero

Expoente Negativo

Divisão na mesma base

Distributiva

un

um = un−m

u−n= 1 /un

u0= 1

( uv )

n

=un

vn

JRRZ & ISMJ

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Radicais

15

Sejam u >= 0, v >= 0 e n um inteiro positivo

Definição

Operações inversas

Distributiva

Raiz de uma Raiz

Raiz de uma potência

Consideração

y =n√ u se yn

= u

n√ u.v =

n√ u .

n√ v

n√ m√ u =

n.m√ u

( n√ u )

n=

n√ un= u

n√ um

= ( n√ u )

m

n√ u > 0 para u>0

16

Radicais – argumento negativo

16

Se u < 0 então existe (nos reais) apenas para n ímpar.

Definição é a mesma e as propriedades continuam válidas.

Observe que se u < 0 e n é par então existe.

Neste caso

Se u < 0 e v < 0 então u.v > 0 e existe para todo n inteiro

positivo mas a distributiva só é válida para n ímpar.

n√ u

un>0 e

n√ un

n√ un= ∣u∣ = −u

n√ u.v

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Radicais e Potenciação – Expoentes Fracionários

17

Sejam m e n inteiros e considere que a raiz enésima de u exista

Notação

Deste modo, as propriedades dos radicais são equivalentes as

propriedades das potências.

u1/n=

n√ u

um/n= ( um)

1/n=

n√ um

um/n= ( u1/n )

m= ( n

√ u )m

JRRZ & ISMJ

18

Radicais e Potenciação – Exemplos

18

Nos exercícios 1 e 2 use a notação de potências fracionárias para reescrever as expressões com raízes.

1) Verifique

2) Simplifique

3) Elimine as raízes do denominador

Dica: multiplique e divida por

2.a .b

√a − √b

√a + √b

√ax= ax /2

(4 − x2)√4 − x ² −13

(4 − x ²)3/2

19

Radicais e Potenciação – Exemplos

19

4 e 5) Faça as substituições indicadas e reescreva as expressões em termos da variável u

4) substitua u = x – 3.

5) substitua u = x^2 + 1.

6) Considere u > 0. Mostre que

Dica: use as propriedades dos radicais e das potências para desenvolver o

lado direito.

x. √ x−3

x. √ x2+1

n√ u .

m√ u =

n.m√ un+m

JRRZ & ISMJ

20

Softwares para Computação Científica

Disponíveis online (gratuitos)

● Wolfram Alpha

● Geogebra

Capacidades algébrica e gráfica

Comandos do tipo

Expanda, Fatore, Simplifique, Resolva, ...

21

Wolfram Alpha

● Expand (x + y)^3

● Expand (a + b)*(a - b)

● Simplify 1 + x^2/(a^2 – x^2)

● Simplify (4 – x^2)*sqrt(4 – x^2) – 1/3 (4 – x^2)^(3/2)

● Factor x^2 + 2x - 35