Rio de Janeiro - Tese de Doutorado-B-numerada · 2019. 8. 2. · COPPE-Universidade Federal do Rio...

PGMEC PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Tese de Doutorado

INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA EM

SISTEMAS DE TUBULAÇÕES

CONDUZINDO LÍQUIDOS VIA MÉTODO

DE GLIMM

ROGERIO GOMES DA ROCHA

DEZEMBRO DE 2011


INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA EM SISTEMAS DE

TUBULAÇÕES CONDUZINDO LÍQUIDOS VIA

MÉTODO DE GLIMM

Tese de Doutorado apresentado no Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da UFF como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ciências em Engenharia Mecânica

Orientador : Felipe Bastos de Freitas Rachid ( PGMEC/UFF )

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, 28 DE DEZEMBRO DE 2011

INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA EM SISTEMAS DE

TUBULAÇÕES CONDUZINDO LÍQUIDOS VIA

MÉTODO DE GLIMM


Tese de Doutorado aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Prof. Antônio Lopes Gama (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

Prof. Maria Laura Martins Costa(D.Sc.) Universidade Federal Fluminense

Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges(D.Sc.) COPPE-Universidade Federal do Rio de Janeiro

Prof. Luiz Nelio Henderson Guedes de Oliveira(D.Sc.) IP-Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Dedicatória Aos Meus Pais, Rosa e David

Agradecimentos Ao amigo, professor e competente orientador Felipe Bastos de Freitas

Rachid, pelo estímulo, ensinamentos e orientação constante e dedicada.

À Universidade Federal Fluminense, ao PGMEC, seus dirigentes,

professores e funcionários, por propiciarem as condições e o ambiente para a minha

formação.

Aos meus pais Rosa e David pelo apoio, incentivo e carinho.

Aos meus filhos Maria Clara e Rogerio pela motivação.

À minha esposa Ana Raquel pelo apoio, incentivo, paciência e carinho.

Aos amigos Adaílson e Bruno pela colaboração e constante apoio.

Aos colegas alunos pelo constante estímulo.

Resumo

Este trabalho apresenta um procedimento numérico para obtenção de soluções

aproximadas para problemas de interação fluido-estrutura (IFE) unidimensionais

utilizados em análises de transientes em sistemas de tubulações conduzindo líquidos.

Os problemas de IFE considerados aqui são problemas de valor inicial e de contorno

caracterizados por um sistema de equações diferenciais parciais hiperbólicas que

descrevem, simultaneamente, a propagação de ondas de pressão no líquido e de ondas

de esforços axiais e cisalhantes, num mesmo plano no tubo. Através da utilização de

uma técnica de decomposição do operador, o termo de fluxo é separado do termo de

fonte, dando margem a uma sequência de problemas mais simples formados por um

sistema de equações diferencias parciais hiperbólicas homogêneas e um sistema de

equações diferenciais ordinárias no tempo. O procedimento numérico é construído

avançando-se no tempo sequencialmente através destes sistemas de equações

empregando-se o método de Glimm e o método de Gear, respectivamente. Para

implementar o método de Glimm, são utilizadas soluções analíticas dos problemas de

Riemann associados. As condições de contorno são adequadamente incorporadas ao

método de Glimm, formulando-se e resolvendo-se analiticamente problemas de

Riemann não clássicos para as extremidades dos tubos. O procedimento numérico

proposto é validado contra dados experimentais disponíveis na literatura para dois

sistemas de tubulações fechados, nos quais os transientes são induzidos através do

impacto de uma barra em uma de suas extremidades.

Palavras-chave: Interação fluido-estrutura, Método de Glimm, Decomposição do Operador, Problemas de Riemann, Equações Hiperbólicas.

Abstract

This work presents a numerical procedure for obtaining approximated

solutions for one-dimensional fluid–structure interaction (FSI) models, which are used

in transient analyses of liquid-filled piping systems. The FSI model considered herein

is formed by a system of hyperbolic partial differential equations and describes,

simultaneously, pressure waves propagating in the liquid as well as axial, shear and

bending waves traveling in the pipe walls. By taking advantage of an operator

splitting technique, the flux term is split away from the source one, giving rise to a

sequence of simpler problems formed by a set of homogeneous hyperbolic differential

equations and by a set of ordinary differential equations in time. The numerical

procedure is constructed by advancing in time sequentially through these sets of

equations by employing Glimm’s method and Gear’s stiff method, respectively. To

implement Glimm’s method, analytical solutions for the associated Riemann

problems are presented. The boundary conditions are properly accounted for in

Glimm’s method by formulating and analytically solving suitable (non-classical)

Riemann problems for the pipe’s ends. The proposed numerical procedure is used to

obtain numerical approximations for the well-known eight- equation FSI model for

two closed piping systems, in which transients are generated by the impact of a rod

onto one of the ends. The obtained numerical results are compared with experimental

data available in the literature and very good agreement is found.

Keywords: Fluid-structure interaction, Glimm’s method, Operator splitting, Riemann problem, Hiperbolic equations.

Sumário Lista de Figuras………………………………………………………………………..i Nomenclatura......………………………………………………………………….....iv CAPÍTULO 1 Introdução.....................................................................................................................1 CAPÍTULO 2 Equações do Modelo.....................................................................................................9 CAPÍTULO 3 Problemas de Impacto: Condições Iniciais e de Contorno.........................................16 CAPÍTULO 4 Método Numérico de Solução.....................................................................................23 4.1 – Autovalores – Velocidades de Onda..................................................................23 4.2 – Técnica de Decomposição do Operador............................................................25 4.3 – Problemas de Riemann Associados...................................................................26 4.4 – Problemas de Riemann não Clássicos............................................................... 34 4.4.1 – Impacto Axial................................................................................................. 35 4.4.2 – Joelho...............................................................................................................43 4.5 – Método de Glimm e Esquema Numérico do Termo de Fonte...........................52 CAPÍTULO 5 Resultados e Discussão...............................................................................................57 CAPÍTULO 6 Conclusões e Sugestões............................................................................................. 75 APÊNDICE A..........................................................................................................78 Momento Fletor em Função das Deformações Axiais REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................80

i

Lista de Figuras

Figura 2.1 Representação do segmento de tubo com os movimentos e 11

esforços a que se encontra submetido

Figura 3.1 Configurações experimentais dos problemas de impacto 19

parcialmente reproduzidos de Fan & Tijsseling (1992) (a)

e Tijsseling et al. (1996) (b): (a) configuração de tubo

reto e (b) configuração de um joelho

Figura 4.1 Representação da solução do Problema de Riemann vinculado 32

às componetes de onda axial (a) e de cisalhamento e de flexão

(b) no plano kz t para 0oz

Figura 4.2 Representação das soluções dos Problemas de Riemann não 39

clássicos vinculados ao impacto na extremidade do tubo no

plano kz t para 1 0z

Figura 4.3 Representação da solução do Problema de Riemann não 45

clássico definido no joelho no plano kz t em 1 1z L e 2 0z

Figura 4.4 Representação da discretização do domínio espacial e do 53

posicionamento dos problemas de Riemann clássicos

(interior do domínio) não clássicos (contornos)

Figura 5.1 Histórico experimental e numérico da pressão na localização 61

PT1 (para N 75;150;450) (a) e nas localizações PT3 e PT5

(para N 150) (b) da configuração de tubo reto (vide Fig. 3.1(a))

com CFLN 0.4

ii

Figura 5.2 Histórico experimental e numérico de deformação axial média 63

na localização SGA (a) e SGD (b) da configuração de tubo reto

(vide Fig. 3.1(a)) com N 150 e CFLN 0.4

Figura 5.3 Histórico experimental e numérico de velocidade axial na 64

localização LDV da configuração de tubo reto (vide Fig. 3.1(a))

para N 75;150;450 com CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4

com N 150 (b)

Figura 5.4 Histórico experimental e numérico da pressão na localização 66

PT1 (para 1 2N N 138 41; 276 82 ; 414 123 ) (a) e nas

localizações PT5 e PT6 (b) da configuração de um joelho

(vide Fig. 3.2(a)) com CFLN 0.4

Figura 5.5 Histórico experimental e numérico de deformação axial 68

média na localização SGA (a) e SGE (b) da configuração

de um joelho (vide Fig. 3.2(a)) com 1 2N N 138 41 e

CFLN 0.4

Figura 5.6 Histórico experimental e numérico de velocidade axial 69

na localização LDV da configuração de um joelho

(vide Fig. 3.2(a)) para 1 2N N 138 41; 276 82 ; 414 123

com CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4 com

1 2N N 138 41 (b)

Figura 5.7 Histórico experimental e numérico do momento fletor 71

na localização SGA da configuração de um joelho

(vide Fig. 3.2(a)) para 1 2N N 138 41; 276 82 ; 414 123

com CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4 com

1 2N N 138 41 (b)

iii

Figura 5.8 Histórico experimental e numérico do momento fletor na 72

localização SGE da configuração de um joelho (vide Fig. 3.2(a))

para 1 2N N 138 41; 276 82 ; 414 123 com CFLN 0.4 (a) e

para CFLN 0.1;0.2;0.4 com 1 2N N 138 41 (b)

iv

Nomenclatura

fA área da seção transversal do fluido

pA área da seção transversal do tubo

lc coeficiente de atrito viscoso

e espessura de parede do tubo

E módulo de Young

f fator de fricção de Darcy-Weisbach

yF força de cisalhamento

zF força axial no tubo

G módulo de cisalhamento

pI segundo momento de área da seção transversal do tubo

k número de tubos

2 coeficiente de cisalhamento do material do tubo

K módulo de compressibilidade

*K módulo de bulk modificado

kL comprimento do k-ésimo tubo

f velocidade de onda axial do fluido

p velocidade de onda axial do tubo

xM momento fletor

coeficiente de Poisson

P pressão do líquido

R raio interno do tubo xR velocidade rotacional na direção x

f massa específica do fluido

p massa específica do tubo

yU velocidade linear na direção y

zU velocidade axial do tubo

v

V velocidade do líquido 0

rV velocidade da haste

rY impedância da haste

kz direção da linha de centro do tubo

1

Capítulo 1

Introdução

Sistemas de tubulação para transporte de líquidos estão submetidos a severos

carregamentos transientes sempre que mudanças na quantidade de movimento do

fluido ou na estrutura da tubulação são abruptamente induzidas devido a ações

planejadas ou acidentais. As fontes típicas de transientes são fechamento de válvula,

partida e parada de bombas, perda de refrigerante em circuitos de reatores nucleares,

assim como vibrações induzidas por equipamentos operacionais instalados na linha e

terremotos.

Para prever com precisão as cargas hidrodinâmicas no fluido, bem como os

níveis de tensões e as vibrações na tubulação, pesquisas experimentais e teóricas têm

mostrado que as análises dos movimentos do fluido e da tubulação devem ser

conduzidas simultaneamente de forma acoplada. Esse tipo de abordagem é referido na

literatura como interação fluido-estrutura (IFE) e tem sido objeto de intensa pesquisa

nos últimos anos, conforme tem sido documentado em uma série de artigos de revisão

sucessivos de Wiggert (1986, 1996), Tijsseling (1996) e Wiggert & Tijsseling (2001).

Dentro do contexto da IFE em sistemas de tubulações, três mecanismos de

acoplamento foram identificados como sendo responsáveis pela transferência de

2

energia mecânica entre o fluido e a tubulação: acoplamento de atrito, acoplamento de

Poisson e acoplamento de junção. Enquanto os dois primeiros mecanismos de

acoplamento são distribuídos ao longo da extensão da tubulação, o último ocorre em

pontos localizados, tais como curvas, cotovelos, válvulas, junções do tipo “T” e de

outros tipos. O acoplamento de atrito é induzido pelas tensões transientes de

cisalhamento do fluido no lado interno das paredes da tubulação e é, em geral, menos

importante do que os outros dois mecanismos de acoplamento. O acoplamento de

Poisson é responsável pela interação entre os pulsos de pressão no fluido e ondas de

tensão axial nas paredes da tubulação, como resultado do acoplamento entre as

tensões circunferenciais e axiais na tubulação devido ao coeficiente de Poisson.

Finalmente, o acoplamento de junção, que é o mais significativo de todos, ocorre em

locais discretos, onde forças desequilibradas de pressão aparecem devido à variações

na quantidade de movimento linear do fluido. Em sistemas de tubulação flexíveis, o

acoplamento de Poisson e, especialmente, o acoplamento de junção podem criar

vibrações localizadas, dando origem à existência e interação de diferentes tipos de

propagação de onda de esforços mecânicos na tubulação, tais como esforços axiais e

de cisalhamento bem como os momentos de flexão e torção.

As ondas longitudinais de pressão são essencialmente os carregamentos

hidrodinâmicos relevantes, sendo sempre incorporados nos modelos de IFE

unidimensionais transiente. Estes modelos são descritos por equações diferenciais

parciais hiperbólicas e são classificados de acordo com o seu número de equações,

que por sua vez, refletem os esforços que são considerados na tubulação, quando o

comportamento do material do tubo é considerado linear e elástico. O modelo de

quatro equações é o modelo transiente mais simples de IFE e é baseado no trabalho

pioneiro de Skalak (1956). Este modelo representa apenas a existência de ondas de

3

tensão axial nas paredes da tubulação (Stuckenbruck et al, 1985; Wiggert et al, 1985)

e pode ser visto como um caso particular do trabalho de Walker e Philips (1977),

quando a inércia radial não-dominante da parede do tubo é desprezada. Além de

esforços axiais, o modelo de oito equações (que é na verdade um subproduto do

modelo de quatorze equações) é capaz de descrever os movimentos laterais e de

rotação induzidos por forças de cisalhamento e momentos fletores atuando em um

plano. Quando, em adição a esses esforços, forças de cisalhamento e momentos

fletores ortogonais a este plano são considerados, junto com torção no eixo

longitudinal, obtém-se o modelo de quatorze equações (Wiggert et al., 1987). Este

modelo permite a análise de sistemas tridimensionais de tubulação e representa o mais

completo modelo unidimensional de IFE existente até o presente momento para

escoamentos internos em tubulações (Wiggert e Tijsseling, 2001).

Excetuando algumas classes de modelos transientes simples de IFE para os

quais o comportamento mecânico elástico e linear das tubulações é tratado como uma

premissa básica, soluções analíticas, como as apresentadas por Li et al. (2003) e

Tijsseling (2003, 2009) tornam-se praticamente inviáveis e, portanto, soluções

numéricas devem ser fornecidas. Restringindo-se o foco às soluções transientes no

domínio do tempo, o método dos elementos finitos (MEF) (Belytschko et al, 1986;

Sreejith et al, 2004), o método das características (MC) (Wiggert et al, 1985, 1987;

Fan e Tijsseling, 1992.;Tijsseling, et al., 1996; Zhang et al., 1999) e uma combinação

desses métodos (MC-MEF) (Ahmadi e Keramat, 2010) foram propostas nos últimos

anos para resolver esses modelos. O MC, no entanto, é aquele mais ampla e

sistematicamente aplicado aos problemas de IFE. Este método é de fácil

implementação e permite o tratamento de condições de contorno lineares e não

4

lineares de uma maneira direta. O MC é de fato o método numérico de melhor relação

custo-benefício, eficiência e precisão para equações hiperbólicas quasi-lineares.

O MC tem sido utilizado por vários pesquisadores para investigar diferentes

problemas associados a estes modelos de IFE. Wiggert et al. utilizaram o MC para

resolver os modelos de quatro equações (Wiggert et al., 1985) e de quatorze equações

(Wiggert et al., 1987) com o intuito de investigar o efeito de restrição do movimento

dos joelhos sobre as respostas de pressão em sistemas de tubulações confinados a um

plano e mais de um plano, respectivamente. Uma comparação destas simulações com

testes de laboratório realizados naquela ocasião foi utilizada para validar esses

modelos pela primeira vez. Freitas Rachid e Stuckenbruck (1989) e Freitas Rachid et

al. (1991) estenderam o modelo de quatro equações para tratar, respectivamente, os

comportamentos viscoelástico e elasto-viscoplástico das paredes da tubulação. O MC

foi empregado em conjunto com uma técnica de decomposição do operador para

resolver as equações do modelo. Para investigar os efeitos da IFE na presença de

cavitação, Fan e Tijsseling (1992) e Tijsseling, et al. (1996) usaram o MC para

resolver, respectivamente, os modelos de quatro equações e de oito equações,

juntamente com um modelo de cavidade de vapor concentrado (Streer & Wylie,

1993). Problemas de impacto de uma haste foram considerados para uma tubulação

reta e um sistema de tubulação com um joelho, os quais foram totalmente

instrumentados e monitorados. Boa concordância entre os dados computacionais e

experimentais foi observada, validando seus modelos como um todo.

As deficiências do MC aparecem quando aplicações práticas em engenharia,

envolvendo fenômenos lineares e não lineares, são vislumbradas. Em sistemas de

tubulação industriais complexos, a aplicação dos modelos de IFE para múltiplos tubos

requer ajustes nas propriedades do fluido e do tubo, de modo a obter uma relação

5

inteira entre as velocidades das ondas e, assim, evitar os efeitos indesejáveis de

interpolações numéricas no tempo ou no espaço (Wiggert et al., 1985; Fan e

Tijsseling, 1992; Tijsseling, et al., 1996). Tais problemas podem comprometer

definitivamente o uso do MC, especialmente quando várias famílias de ondas estão

presentes como acontece com o modelo de IFE de quatorze equações (Wiggert et al.,

1987). Quando fenômenos não lineares estão presentes, tais como o comportamento

inelástico com dano das paredes do tubo e escoamentos bifásicos, as velocidades de

ondas não são mais constantes, mas variam significativamente de um ponto a outro

dentro do domínio. Em tais situações o MC introduz uma dispersão e atenuação

numérica excessivas na solução, inviabilizando sua utilização como técnica de

aproximação numérica.

Ao reconhecer a necessidade de novas estratégias numéricas capazes de lidar

com estes novos desafios, Freitas Rachid e Costa Mattos (1998) propuseram a

utilização do método de Glimm (Glimm, 1965) em conjunto com uma técnica de

decomposição do operador para resolver o modelo de quatro equações, que foi

estendido para lidar com o comportamento elasto-viscoplástico com dano da parede

da tubulação. Empregando-se um modelo de dano contínuo (Lemaitre e Chaboche,

1990; Lemaitre, 1987), a degradação da parede dos tubos, induzida por deformações

inelásticas, foi incorporada nas equações constitutivas do material do tubo para prever

a integridade estrutural dos sistemas de tubulação. A incorporação do dano altera

drasticamente as velocidades de onda no tubo e no fluido, transformando as equações

hiperbólicas quasi-lineares em não lineares (Freitas Rachid e Costa Mattos, 1999). O

método de Glimm foi escolhido devido à sua já comprovada eficiência em lidar com

sistemas de equações hiperbólicas não lineares unidimensionais, nas quais

descontinuidades abruptas (de ordem zero e um) nas variáveis dependentes estão

6

presentes (Sod, 1977; Marchesin e Paes Leme, de 1983; Collela, 1992), como ocorre

com o dano e as velocidades das ondas (Freitas Rachid e Costa Mattos, 1998). Em um

artigo mais recente, Freitas Rachid (2006) empregou o modelo formulado em Freitas

Rachid e Costa Mattos, (1998) para investigar a integridade estrutural de um sistema

de tubulação simples articulado no plano. No trabalho, foi demonstrado que a alta

flexibilidade da tubulação e a forma como a tubulação é ancorada pode introduzir um

aumento substancial no crescimento do dano e alterar a sua distribuição ao longo das

tubulações.

Como uma alternativa para o emprego do MC, dois anos mais tarde, Gale e

Tiselj (2008) propuseram o uso de um esquema numérico do tipo upwind, com uma

correção limitadora de fluxo de segunda ordem, para resolver o modelo de IFE de oito

equações. Os autores consideraram o escoamento bifásico com termos convectivos

como a principal motivação para seu trabalho, tendo em conta acidentes em usinas de

energia nuclear ocasionados pela perda de refrigerante nos circuitos de refrigeração do

reator. Depois de validar seu procedimento numérico contra os dados experimentais

de Tijsseling, et al. (1996), eles investigaram a influência do tratamento de curvas

como joelhos de forma suave ou abrupta na resposta transiente de um sistema de

tubulação.

A implementação do método Glimm, também conhecido como o método da

escolha aleatória, exige o conhecimento prévio da solução do problema de Riemann

associado com a parte homogênea do sistema de equações hiperbólicas. A solução

deste problema pode ser alcançada tanto analiticamente quanto de forma aproximada

através de resolutores de Riemann (Roe, 1981; Harten et al, 1983;. Osher, 1984). Uma

vez que o problema de Riemann é um problema de valor inicial, o método de Glimm é

aplicado mais diretamente a problemas de valor inicial. Sua aplicação a problemas de

7

valores de contorno e inicial tem sido feita de forma satisfatória para algumas classes

de condições de contorno, por meio do estabelecimento de estados fictícios nas

fronteiras (Toro, 1999; Freitas Rachid e Costa Mattos, 1998). No entanto, esse

procedimento pode falhar ao lidar adequadamente com outros tipos de condições de

contorno, especialmente aquelas que envolvem relações complexas entre um número

significativo de variáveis dependentes, como ocorre nos modelos de IFE de oito e

quatorze equações.

Para superar tal dificuldade, problemas de Riemann não clássicos nos

contornos são propostos e resolvidos analiticamente neste trabalho para o modelo IFE

de oito equações para acomodar as condições de contorno de forma adequada. Ao

contrário dos problemas clássicos de Riemann, estes problemas de Riemann não

clássicos têm dados iniciais que são desconhecidos, os quais devem ser determinados

juntamente com estados intermediários. Isto é feito através da imposição de choques

estacionários com o auxílio das relações de salto de Rankine-Hugoniot. Simulações

numéricas realizadas com o procedimento de solução de aproximação proposto, o

qual constitui a principal contribuição deste trabalho para o avanço do

conhecimentona na área, são comparados e validados utilizando-se os dados

experimentais de Fan e Tijsseling (1992) e Tijsseling, et al. (1996) para os testes de

impacto de uma haste em um tubo reto e uma configuração de um joelho,

respectivamente.

Tendo em conta que soluções exatas são raras para sistemas de tubulação

complexos (com mais de um tubo) (Tijsseling, 2009) e se tornam indisponíveis

quando os efeitos dispersivos estão presentes (como ocorre nos modelos de oito e

quatorze equações), restam como alternativas para validar novos métodos numéricos

ou o uso de soluções precisas obtidas por outros métodos numéricos diferentes ou

8

dados experimentais. Embora os dados experimentais não sejam isentos de erros e

ruídos, foram adotados como opção para validação do método numérico proposto

neste trabalho, pois: a) já foram utilizados em outros trabalhos com esse mesmo

propósito (Gale e Tiselj, 2008) e; b) os dados de Fan e Tijsseling (1992) e Tijsseling,

et al. (1996) são de alta qualidade e foram disponibilizados na web (Tijsseling, 2010),

o que permite uma comparação mais confiável.

No capítulo subsequente é apresentado o modelo de oito equações de IFE, o

qual é conveninetemente reescrito na forma canônica de lei de conservação para a

apresentação da metodologia de aproximação numérica proposta no trabalho. No

terceiro capítulo são apresentadas as condições iniciais e de contorno para os

problemas de impacto de uma haste numa das extremidades da tubulação, para os

quais os dados experimentais disponíveis na literatura são utilizados para validar a

metodologia numérica proposta. O quarto capítulo é reservado à apresentação da

metodologia numérica proposta contemplando os detalhes de natureza teórica e

prática da técnica de decomposição do operador, do método de Glimm, assim como a

formulação e solução analítica dos problemas de Riemann clássicos e não clássicos

empregados como ferramentas básicas no contexto do método de Glimm. No quinto

capítulo são apresentados os resultados computacionais obtidos com a metologia

numérica proposta para dois problemas de impacto de uma haste sobre uma das

extremidades da tubulação, para os quais se dispõe de dados experimentais. Uma

comparação efetiva entre os resultados computacionais e experimentais é apresentada

para diferentes variáveis dependentes do problema em pontos distintos do domínio.

Finalmente, no sexto e último capítulo são apresentadas as principais conclusões e um

conjunto de sugestões relacionadas ao desenvolvimento de futuros trabalhos.

9

Capítulo 2

Equações do Modelo

Considerando-se que os sistemas de tubulações utilizados no transporte de

líquido são compostos de membros esbeltos, a descrição do escoamento transiente do

líquido no interior do tubo é usualmente descrita por teorias de comprimentos de onda

longos (Lighthill, 1978; Wylie e Streeter, 1993), dando origem a modelos uni-

dimensionais. Neste contexto, considere o escoamento não permanente de um líquido

confinado em um tubo reto de parede fina (sendo R o raio interno e e a espessura da

parede) para o qual ambos os movimentos do fluido e do tubo são relevantes. O

líquido, cuja massa específica é f , é considerado como sendo ligeiramente

compressível com módulo de compressibilidade K . Admite-se que o escoamento

ocorre com baixos números de Mach, de modo que os termos convectivos podem ser

desprezados nas equações de conservação de massa e quantidade de movimento linear

para o fluido. O atrito no escoamento do fluido é levado em consideração por meio do

fator de frição de Darcy-Weisbach f para escoamentos permanentes.

Admite-se também que a parede do tubo, cuja massa específica é p , está

submetida a pequenas deformações e encontra-se sob estado plano de tensão com

simetria de resolução. Além disso, considera-se que o material do tubo é isotrópico e

apresenta um comportamento mecânico elástico linear, de forma que suas

10

propriedades mecânicas relevantes são o módulo de Young E , o coeficiente de

Poisson e o módulo de cisalhamento G .

O sistema de tubulações é composto por k tubos retos cujos comprimentos

valem kL . Para cada tubo é atribuído um sistema de eixos ortogonais k k kx y z ,

sendo kz o eixo posicionado na linha de centro do tubo, conforme ilustrado na Fig.

2.1. Admite-se como premissa básica que todos os k tubos estão em um mesmo plano

(digamos, o plano k ky z ) e seus movimentos também se encontram restritos a este

plano apenas. Os movimentos axiais do líquido e do tubo na direção kz são

caracterizados pela velocidade do líquido V e a velocidade axial do tubo zU ,

fundamentalmente induzidos pela pressão do fluido P e pela força axial no tubo zF .

O tubo pode estar também submetido a movimentos laterais (na direção ky ) e de

flexão (na direção kx ) representados pelas velocidades linear e rotacional yU e xR ,

devido à força de cisalhamento yF e ao momento fletor xM , respectivamente. Por

simplicidade, esforços de torção não são levados em consideração e a pressão é

admitida permanecer acima da pressão de vapor do líquido, descartando-se a

ocorrência de cavitação. Além disso, flambagem, assim como os modos lobares de

alta frequência da tubulação são supostos não serem excitados pela interação dinâmica

fluido-estrutura. Forças de Coriolis e centrífugas induzidas pelo escoamento do fluido

não são levadas em consideração uma vez que as velocidades típicas do escoamento

do líquido são relativamente pequenas, geralmente inferiores a 10 m/s.

11

Figura 2.1 – Representação do segmento de tubo com os movimentos e

esforços a que se encontra submetido.

Desprezando-se os efeitos gravitacionais e as inércias radiais do líquido e da

parede do tubo, as equações do modelo de oito equações (Wiggert e Tijsseling, 2001)

para descrever a IFE em sistemas de tubulações, resumem-se, em coordenadas

Eulerianas a:

* *2 0z

k k

P V UK vK

t z z

, (2.1)

1( )

4z z

f k

V P fV U V U

t z R

, (2.2)

1( )

8

z zf z z

p p k p

fU FV U V U

t A z e

, (2.3)

0z z

pp

k

RAF U PA E

t z e t

, (2.4)

12

2 2y y

xp p

k

F UGA GA R

t z

, (2.5)

10

( )

y y

p p f f k

U F

t A A z

, (2.6)

0x x

pk

M REI

t z

, (2.7)

1 1x xy

p p k p p

R MF

t I z I

, (2.8)

para ( , ) (0, ) (0, )k kz t L nas quais:

*

221 (1 )

KK

RKeE

, 2 2(1 )

(4 3 )

,

2(1 )

EG

4 4( )4pI R e R

, 2 2( )pA R e R , 2fA R .

Nas expressões acima, *K é módulo de bulk modificado, 2 denota o

coeficiente de cisalhamento do material do tubo (Cowper, 1966), pI é o segundo

momento de área da seção transversal do tubo e, finalmente, pA e fA representam as

áreas de seção transversais do tubo e do fluido, respectivamente.

A primeira (Eq. (2.1)) e a segunda (Eq. (2.2)) expressões referem-se aos

princípios de conservação de massa e quantidade de movimento linear na direção

axial para o fluido, enquanto que as Eqs. (2.3) e (2.4) referem-se ao princípio de

conservação de quantidade de movimento linear na direção axial e a relação tensão-

deformação para o tubo, respectivamente. Estas quatro primeiras equações formam a

componente axial do modelo e são acoplados por intermédio do coeficiente de

13

Poisson que figura nas Eqs. (2.1) e (2.4). Os termos nos segundos membros das Eqs.

(2.2) e (2.3) retratam o atrito na parede interna do tubo, a qual é um esforço interno no

contexto do sistema fluido-tubo. As quatro últimas equações, Eqs. (2.5) a (2.8), são

oriundas da teoria de viga de Timoshenko para os movimentos laterais do tubo, que

compreendem os esforços de cisalhamento e de flexão e seus movimentos

correspondentes. As componentes de cisalhamento e de flexão do movimento do tubo

são acopladas através dos termos que figuram nos membros direitos das Eqs. (2.5) e

(2.8).

Objetivando-se facilitar a apresentação da metologia numérica apresentada no

quarto capítulo, o sistema de equações formado pelas Eqs. (2.1)-(2.8) pode ser

algebricamente manipulado e reescrito na forma canônica de lei de conservação:

( ) ( ) em (0, ) (0, ),kk

Lt z

U

F U S U (2.9)

na qual 8U é a quantidade conservada, 8 8( ) : F U F é o termo de fluxo e

8 8( ) : S U S é o termo de fonte/sorvedouro. Por uma questão de conveniência,

esses vetores são decompostos nas componentes axial, de cisalhamento e de flexão,

i.e., T( , , )a s bU U U U , T( , , )a s bF F F F e T( , , )a s bS S S S com ,a aU F e 4a S

e ,s bU U , ,s bF F , s S e 2b S , os quais assumem as seguinte formas:

T( , , , ) ,a z zP V U FU (2.10)

T( , ) ,s y yF UU (2.11)

T( , ) ,b x xM RU (2.12)

14

( ) ,a a a a a F F U A U (2.13)

( ) ,s s s s s F F U A U (2.14)

( ) ,b b b b b F F U A U (2.15)

T(0, ( ) / 4 , ( ) / 8 ,0) ,a z z z zf pf V U V U R f V U V U e S (2.16)

2 T( ) ( ,0) ,s s b xpGA R S S U (2.17)

T( ) (0, ) ,b b s yp pI F S S U (2.18)

nas quais as matrizes 4 4a A , 2 2 e s b A A valem:

* *

1

1 1

0 2 0

0 0 0

0 0 0

0 0

a f

p p

K K

A

A ; (2.19)

20

0s pGA

A ; 1 1

0

0pb

p p

EI

I

A ; (2.20)

com

1

p p f fA A

; *

p

RK A

e ; (2 )pA E

Na forma da Eq.(2.9), e com base na decomposição adotada dos seus termos,

ao se inspecionar os termos de fluxo e fonte/sorvedouro vale a pena observar que as

componentes de cisalhamento e de flexão não interagem com a axial na direção kz .

Esta característica motiva a decomposição da variável dependente U , em termos de

a U , s U e b U , bem como os termos do fluxo F e de fonte/sorvedouro S , tal como

15

apresentado nas Eqs. (2.10) a (2.18). A razão para se adotar esta decomposição ficará

clara mais tarde, na ocasião da apresentação da metodologia numérica proposta.

16

Capítulo 3

Problemas de Impacto:

Condições Iniciais e de Contorno

Embora a metodologia numérica proposta neste trabalho para aproximar a

solução de problemas de IFE em sistemas de tubulações descritos pela Eq.(2.9) se

aplique indistintamente as condições iniciais e de contorno a que está submetida, neste

capítulo restringir-se-á a descrição dessas condições para os problemas de impacto de

uma haste numa das extremidades da tubulação. A opção por esse problema em

particular está associada pela existência de dados experimentais disponíveis na

literatura, os quais serão utilizados para validar a metodologia numérica como um

todo no quinto capítulo.

Os problemas de impacto de uma haste numa as extremidades da tubulação

são experimentos que foram concebidos por Fan e Tijsseling (1992) e Tijsseling, et al.

(1996) como uma alternativa experimental ao ensaio clássico numa instalação

reservatório-tubo-válvula (Wiggert et al., 1985; Simpson, 1986). Embora estes

problemas não tenham nenhuma importância do ponto de vista prático na engenharia,

eles provaram ser de grande valor como testes de referência para validar modelos de

IFE, e outros assuntos correlatos, incluindo cavitação e métodos numéricos. Quando

comparada com a instalação reservatório-tubo-válvula, no qual transientes são

17

gerados pelo fechamento da válvula, os experimentos propostos pelos autores

eliminam características complexas e indesejáveis como distribuição de estado

estacionário inicial, características do fechamento da válvula e influências do suporte

do tubo (Tijsseling , 1993).

Duas configurações experimentais do problema de impacto foram

consideradas pelos autores, representando diferentes tipos de acoplamento entre fluido

e os movimentos do tubo. Na primeira configuração, doravante denominada de

configuração de tubo reto, um único tubo reto cujas dimensões principais (em mm)

são reproduzidas na Fig. 3.1(a) foi usado por Fan e Tijsseling (1992). Na segunda, um

arranjo de tubulação mais complexo, designado daqui por diante como configuração

de um joelho, é formado por dois tubos em linha reta, conectados por um joelho de

90º, e foi proposta por Tijsseling, et al. (1996), conforme ilustrado na Fig. 3.1(b),

parcialmente reproduzida a partir de seu trabalho. Em ambos os sistemas de

tubulações, os tubos são fechados nas duas extremidades e preenchidos com água

pressurizada. Para eliminar a influência dos suportes da tubulação, os sistemas de

tubulação foram suspensos por fios longos no teto do labortório, para que pudessem

se movimentar livremente no plano horizontal k ky z . Os transientes foram gerados

no sistema por meio do impacto de uma haste sólida de aço em uma das extremidades

do tubo, como indicado nas Figs. 3.1(a) e 3.1(b).

Qualquer que seja a configuração experimental considerada, as condições

iniciais para estes problemas são aquelas em que a pressão inicial do fluido e a força

axial são uniformes ao longo do(s) tubo(s):

0z y xV U U R (3.1)

0P P (3.2)

18

0z

fF A P (3.3)

0y xF M (3.4)

nas quais P , V , zU zF , yF , yU , xM e xR são avaliados em ( , 0)kz t , para

[0, ]k kz L , com {1,2}k , e 0P refere-se à pressão inicial dentro do(s) tubo(s).

O impacto da haste ocorre axialmente de forma centrada, de modo que ele não

gera movimento lateral. Após o contato da haste com a extremidade e do tubo, ondas

de tensão axial na parede da tubulação e ondas de pressão no fluido são então geradas,

interagindo umas com as outras devido ao acoplamento de Poisson. Devido à sua

configuração, apenas essas ondas axiais estarão presentes na configuração de tubo

reto. No entanto, na configuração de um joelho, no momento em que estas ondas

atingem o joelho, ondas de esforço cortante, bem como ondas de flexão são geradas,

tornando um padrão de interação de ondas muito mais complexo do que os

observados na configuração do tubo reto.

Enquanto a haste e o tubo estão em contato, as condições de contorno

adequadas para o impacto da haste na direção axial na extremidade a montante do

tubo 1k , são:

zV U , (3.5)

01( )

zz z

f r r

UA P Y U V F m

t

, (3.6)

1 0y

y UF m

t

, (3.7)

1 0x

x x RM I

t

, (3.8)

19

(a)

(b)

Figura 3.1 – Configurações experimentais dos problemas de impacto

parcialmente reproduzidos de Fan & Tijsseling (1992) (a) e Tijsseling et al. (1996)

(b): (a) configuração de tubo reto e (b) configuração de um joelho.

20

nas quais P , V , zU zF , yF , yU , xM e xR e suas derivadas parciais no tempo são

avaliados em 1( 0, )z t , 0rV representa a velocidade da haste antes do impacto, 1m e

1xI são a massa do plug final de fechamento do tubo 1k e seu momento de

inércia em relação ao eixo 1x e rY , ( )r r r rY A E , é a impedância da haste. O

segundo termo no lado esquerdo da Eq. (3.6) representa a força de contato entre a

haste e o tubo. Quando pela primeira vez a força de contato deixa de ser de natureza

compressiva, ou seja, 01( 0, )z

rU z t V , a haste e o tubo se separam e são mantidos

separados a partir desse instante em diante. Após a separação, as condições de

contorno são as de uma extremidade fechada livre que são apresentadas a seguir.

As condições de contorno de uma extremidade fechada livre de massa lm do

tubo k-ésimo tubo são:

zV U , (3.9)

zz

f l

UA P F m

t

, (3.10)

0y

yl

UF m

t

, (3.11)

0x

x xl

RM I

t

, (3.12)

nas quais as variáveis dependentes P , V , zU zF , yF , yU , xM e xR e suas derivadas

parciais no tempo são avaliados em ( 0, )kz t ou ( , )k kz L t , se a extremidade à

montante ou a extremidade à jusante do tubo k-ésimo tubo é considerado. O subscrito

l em lm e xlI assume o valor 1l para a extremidade à montante ou o valor 2l para

a extremidade à jusante. Os sinais e nas Eqs. (3.10)-(3.12) são válidos para as

21

extremidades à montante e à jusante, respectivamente. Embora os efeitos inerciais das

peças finais não sejam dominantes, eles não são desprezíveis e, portanto, são levados

em consideração nas equações de contorno, conforme sugerido por Tijsseling (1993) e

Tijsseling et al. (1996).

O acoplamento de junção entre os movimentos lateral e axial ocorre no

joelho de 90° (ver Fig. 3b), que é considerado rígido. Estendendo-se os comprimentos

de ambos os tubos, 1k e 2k , de forma a incorporar parte das dimensões do

joelho, como mostrado na Fig. 3.1(b), não só a inércia de rotação como também a

inércia linear do joelho pode ser desprezada, resultando no seguinte conjunto de

equações de contorno (Tijsseling, et al. , 1996):

1 1 2( , ) ( 0, )P z L t P z t , (3.13)

1 1 2( )( , ) ( )( 0, )z zV U z L t V U z t , (3.14)

1 1 2( , ) ( 0, )z yU z L t U z t , (3.15)

1 1 2( )( , ) ( )( 0, )z yfA P F z L t F z t , (3.16)

1 1 2( ( , ) ( 0, )f z yA P F z L t F z t , (3.17)

1 1 2( , ) ( 0, )y zU z L t U z t , (3.18)

1 1 2( , ) ( 0, )x xM z L t M z t , (3.19)

1 1 2( , ) ( 0, )x xR z L t R z t . (3.20)

Além de expressar a compatibilidade entre os movimentos dos tubos

contíguos, as equações acima expressam os fatos que a perda de carga é desprezível

(Eq. (3.13)) e que a continuidade é satisfeita através do joelho (Eq. (3.14)).

22

Apesar do amortecimento estrutural não estar presente nas condições de

contorno para os problemas de impacto da haste apresentados anteriormente, ele está

presente em sistemas reais de tubulações industriais onde se encontram, por exemplo,

máquinas de fluxo e, portanto, é importante considerá-lo nas análises de IFE. Forças

externas devido ao amortecimento viscoso em suportes de tubulações, tais como

aquelas expressas em termos das velocidades lineares ( zzc U ou y

yc U ) ou das

velocidades angulares ( xxc R ) (em que lc (com { , , }l x y z ) representa o coeficiente

de amortecimento viscoso) podem ser incorporadas nas condições de contorno e

tratadas numericamente sem quaisquer dificuldades adicionais.

23

Capítulo 4

Método Numérico de Solução

Antes de se apresentar o procedimento numérico aqui proposto para se obter

uma solução aproximada do problema de valor inicial e de contorno caracterizado

pela Eq. (2.9), juntamente com as condições iniciais dadas pelas Eqs. (3.1) a (3.4) e as

condições de contorno dadas pelas Eqs. (3.5) a (3.20), é conveniente explorar seus

autovalores. Como será visto mais adiante neste capítulo, a determinação dos

autovalores do sistema definido pela Eq. (2.9) é importante não só para classificá-lo

matematicamente, como também para definir a escolha da abordagem mais adequada

para resolvê-lo.

4.1 Autovalores –Velocidades de Onda

As equações do modelo definidas pela Eq. (2.9), juntamente com suas formas

particulares dadas pelas Eqs. (2.10) a (2.18), formam um sistema unidimensional de

equações diferenciais parciais. Este sistema é do tipo hiperbólico uma vez que seus

autovalores são reais e os autovetores associados geram o espaço no qual ele está

imerso (Smoller, 1983). Seus autovalores são obtidos a partir de,

24

8det( ) 0 A 1 , (4.1)

na qual d dA F U e 81 são matrizes 8×8 que representam as matrizes Jacobiana e

identidade, respectivamente. Uma vez que a matriz Jacobiana A tem uma estrutura de

bloco diagonal,

4 2 4 2

2 4 2 2

2 4 2 2

a

s

b

A 0 0

A 0 A 0

0 0 A

, (4.2)

na qual 4 4 a a ad d A F U , s s sd dA F U e 2 2 b b bd d A F U

representam as matrizes Jacobianas associadas com as componentes de onda axial

(vide Eq. (2.19).) e de ondas de cisalhamento e de flexão (vide Eq. (2.20).), então a

Eq. (4.1) reduz-se a seguinte equação polinomial característica em termos de :

4 2 2det( )det( )det( ) 0a s b A 1 A 1 A 1 , (4.3)

na qual 41 e 21 são matrizes identidades 4×4 e 2×2.

Como esperado, a expressão acima mostra que as componentes de onda axiais,

de cisalhamento e de flexão não estão acopladas ao longo do domínio (0, )kL . O

acoplamento entre estas ondas ocorre apenas nas extremidades do tubo, o que permite

resolver estes problemas de forma independente, exceto nos contornos. Um cálculo

direto de Eq. (4.3) revela que as frentes de onda axiais no fluido e no tubo se

propagam com as seguintes velocidades:

25

2 4 2 214

2f f pc c , (4.4)

2 4 2 214

2p f pc c , (4.5)

na qual 2 * f fc K , 2 p pc E e 2 2 2 22f p fc c c , com /f pR e ,

enquanto que as frentes de onda das componentes de cisalhamento e de flexão se

propagam com as seguintes velocidades:

2s pGA , (4.6)

/b pE . (4.7)

Como as expressões sob os radicais nas Eqs. (4.4) a (4.7) são sempre

positivas, os autovalores do sistema são positivos. Além disso, é possível mostrar que

os autovetores associados são linearmente independentes, o que permite afirmar que o

sistema dado pela Eq. (2.9) é hiperbólico.

4.2 Técnica de Decomposição do Operador

Uma maneira de se obter uma aproximação numérica para a Eq. (2.9) consiste

em explorar a decomposição aditiva do operador matemático para resolver uma

sequência de subproblemas mais simples ao invés de se resolver um único problema

complexo. A principal atração de esquemas de decomposição do operador está no fato

de que se pode lançar mão dos melhores métodos numéricos existentes para cada

subproblema.

26

O procedimento para avançar a solução do tempo nt para o tempo

1n nt t t é realizado resolvendo-se sequencialmente um conjunto de

subproblemas hiperbólicos homogêneos, seguido por um conjunto de equações

diferenciais ordinárias no tempo. Admitindo-se que exista uma aproximação para

( , , )( , )a s bkz tU U U no tempo nt t , isto é, ( , , ) ( )a s b n

kzU U U , os problemas de valor

inicial e de contorno governados pelo seguinte conjunto de equações homogêneas

hiperbólicas são resolvidos,

( ) em (0, ) (0, ),j

j jk

k

Lt z

U

F U 0 (4.8)

( ) em para { , , }j j n nkz t t j a s b U U , (4.9)

com condições de contorno dadas pelas Eqs. (3.5)-(3.20), para obter uma aproximação

intermediária 1( )j nkzU . Na sequência, este campo é então usado como condição

inicial para o problema de valor inicial formado pelo seguinte conjunto de equações

diferenciais ordinárias no tempo:

( ) ; ( ) ; ( )a s b

a a s b b s

t t t

U U U

S U S U S U , (4.10)

1( , , ) ( , , ) ( ) em a s b a s b n nkz t t U U U U U U . (4.11)

Finalmente, a solução das equações. (4.10) juntamente com (4.11) fornece as

aproximações desejadas 1( , , ) ( )a s b nkzU U U para os ( , , )( , )a s b

kz tU U U no instante

de tempo 1nt t .

27

4.3 Problemas de Riemann Associados

O método numérico proposto para construir uma aproximação para os

subproblemas dados pelas Eqs. (4.8) e (4.9) baseia-se na solução dos problemas

Riemann associados. O problema de Riemann (centrado em k oz z no tempo ot t )

associado com a Eq. (4.8) é um problema de valor inicial com dados iniciais

descontinuos da forma (Smoller, 1983; Toro, 1999):

( ) para { , , }j

j j

k

j a s bt z

U

F U 0 , (4.12)

, se , ( , )

, se .

jL k oj

k o jR k o

z zz t t

z z

UU

U (4.13)

Nas expressões acima, jLU e j

RU , para { , , }j a s b , são estados arbitrários

constantes, que são definidos à esquerda e à direita de k oz z e em ot t . Por

exemplo, para j a , T( , , , )a z zL L L L LP V U FU e T( , , , )a z z

R R R R RP V U FU .

Analogamente, para j s , T( , )s y yL L LF UU e T( , )s y y

R R RF UU e para j b ,

T( , )b x xL L LM RU e T( , )b x x

R R RM RU .

Uma vez que o problema dado pelas Eqs. (4.12) e (4.13) é invariante sob a

transformação de escala ( )k k oz z z e ( )ot t t , com > 0, sua solução

depende apenas da razão ( ) / ( )k o oz z t t Em outras palavras, ela é da forma

ˆ( , ) ( )j jkz t U U , para { , , }j a s b e ot t , onde ˆ :j nU é uma função contínua

por partes em que 4n para j a e 2n para j s ou j b . Por uma questão de

28

simplicidade e sem perda de generalidade, admitir-se-á a partir de agora que 0oz e

0ot , salvo indicação em contrário.

A solução (generalizada) deste problema específico é construída conectando-

se o estado à esquerda jLU ao estado à direita j

RU através de estados intermediários

que devem ser determinados. Devido à linearidade de j F , para { , , }j a s b , esses

estados devem ser conectados por ondas de choque (descontinuidades de contato).

Cada choque deve satisfazer a condição de salto de Rankine-Hugoniot (Smoller,

1983) expressa da seguinte forma:

s[ ] [ ( )]j j jU F U , (4.14)

na qual [ ] : R L representa o salto de através de estados adjacentes (à direita

R e à esquerda L ) e s representa a velocidade de propagação do choque. Levando-

se as Eqs. (2.13) a (2.15) na Eq. (4.14) resulta:

( - s )[ ]j jn A 1 U 0 , (4.15)

na qual 4n para j a e 2n para j s ou j b . Uma vez que se buscam

soluções não triviais ([ ]j U 0 ), s na Eq. (4.15) corresponde aos autovalores dados

pelas Eqs. (4.4) a (4.7), para { , , }j a s b , nas respectivas regiões do plano kz t , para

0 e 0 . Ou seja, para j a , f ou p ; para j s , s e j b ,

b . Além disso, uma vez que ( - s )jnA 1 tem posto igual a três para j a e igual

29

a um para j s e j b , pode-se eliminar a linha dependente e reescrever a Eq.

(4.15) como:

[ ] para { , , }j j j a s b B U 0 , (4.16)

onde 3 4(s)a a B B , 1 2(s)s s B B e 1 2(s)b b B B têm as seguintes

formas:

* *

2 2 2

s 2 0

(s) 0 (s ) 2 0

0 0 s 1

af f

p p

K K

c c

A

B , (4.17)

2(s) sspGAB ; (s) sb

pEIB . (4.18)

As Eqs. (4.15) e (4.16), juntamente com (4.17) e (4.18) são sistematicamente

utilizadas para construir a solução clássica (bem como a não clássica) dos problemas

de Riemann que são empregados na solução numérica apresentada neste trabalho.

Considerando-se que p f , a solução do problema de Riemann vinculado à

componente axial ( i a ) é construída conectando-se ao estado à esquerda aLU um

estado intermediário *aLU com o choque de velocidade s p utilizando-se a Eq.

(4.16) (vide Fig. 4.1(a));

* *

s ; (s )

pa a a a a

L L p L L

U U B U U 0 . (4.19)

30

Ao estado *aLU conecta-se um segundo estado intermediário **a U agora com o

choque de velocidade s f utilizando também a Eq.(4.16) (vide Fig. 4.1(a));

* ** ** *

s ; (s )

fa a a a a

L f L

U U B U U 0 . (4.20)

Similarmente, conecta-se ao estado à direita aRU um estado intermediário

*aRU por intermédio do choque de velocidade s p com a Eq. (4.16) (vide Fig.

4.1(a));

* * ; ( )p

a a a a aR R p R R

ss

U U B U U 0 . (4.21)

Finalmente, os estados **a U e *aRU são conectados com o choque de velocidade

fs com a Eq. (4.16) (vide Fig. 4.1(a));

** * * ** ; ( )f

a a a a aR f R

ss

U U B U U 0 . (4.22)

Quando todas estas relações de choque conectando os estados aLU → *a

LU →

**a U → *aRU → a

RU são reunidas, o seguinte sistema algébrico linear de equações é

obtido para * ** * T 12( , , )a a a aL R x U U U , que são justamente os estados

intermediários com * * * * * T( , , ( ) , ( ) )a z zL L L L LP V U FU , ** ** ** ** ** T( , , ( ) , ( ) )a z zP V U FU e

* * * * * T( , , ( ) , ( ) )a z zR R R R RP V U FU :

a a aH x b (4.23)

31

na qual 12 12a H e 12a b valem:

3 4 3 4

3 4

3 4

3 4 3 4

(s )

(s ) (s )

(s ) (s )

(s )

ap

a af fa

a af f

ap

B 0 0

B B 0H

0 B B

0 0 B

, (4.24)

T

3 3(s ) , , , (s )a a a a ap L p R b B U 0 0 B U . (4.25)

Na expressão anterior, 3 43 4

0 é a matriz nula e 3

3 0 é o vetor nulo.

A resolução do sistema de equações dado por Eq.(4.23) fornece a solução

(única) do problema de Riemann generalizado associado às componentes de onda

axiais (independentemente de quão afastados estejam os estados à esquerda e à

direita) que pode ser expressa como:

*

**

*

, se s

, se s s

ˆ ( ) ,se s s

, se s s

, se s

aL p

aL p f

a af f

aR f p

aR p

U

U

U U

U

U

. (4.26)

A Fig. 4.1(a) apresenta as regiões no plano kz t para 0oz e 0ot onde a solução

acima é definida.

Conforme mencionado anteriormente, as componentes de onda axiais, de

cisalhamento e de flexão não estão acopladas no interior do domínio. Como

32

resultado, os problemas de Riemann para essas componentes de onda são todos

independentes e por isso podem ser resolvidos separadamente.

(a)

(b)

Figura 4.1 – Representação da solução do Problema de Riemann vinculado às

componetes de onda axial (a) e de cisalhamento e de flexão (b) no plano kz t para

0oz .

33

Como os padrões das componentes de onda de cisalhamento e de flexão são similares,

as construções das soluções dos respectivos problemas de Riemann compartilham da

mesma estrutura e, por isso, serão apresentadas em conjunto.

A solução desses problemas de Riemann associados é construída conectando-

se ao estado à esquerda jLU um estado intermediário *j U com o choque de

velocidade s j , para { , }j s b utilizando-se a Eq. (4.16) (vide Fig. 4.1(b));

* *

s ; (s )

jj j j j j

L j L

U U B U U 0 . (4.27)

Ao estado *j U conecta-se o estado à direita jRU agora com o choque de

velocidade s j , para { , }j s b , utilizando-se também a Eq. (4.16) (vide Fig.

4.1(b));

* *

s ; (s )

jj j j j j

R j R

U U B U U 0 . (4.28)

Quando estas duas relações de choque conectando os estados jLU → *j U →

jRU são reunidas, o seguinte sistema algébrico linear de equações é obtido para

* 2j j x U , para { , }j s b , que é justamente o estado intermediário com

* * * T(( ) , ( ) )s y yF UU se j s ou * * * T(( ) , ( ) )b x xM RU se j b :

j j jH x b (4.29)

na qual 2 2j H e 2j b , para { , }j s b , valem:

34

( )

( )

jjj

jj

s

s

BH

B, (4.30)

T(s ) , (s )j j j j j

j L j R b B U B U . (4.31)

A resolução do sistema de equações dado pela Eq. (4.29) fornece a solução

(única) do problema de Riemann generalizado associado às componentes de onda de

cisalhamento e de flexão (independentemente de quão afastados estejam os estados à

esquerda e à direita) que pode ser expressa como:

*

, se s

ˆ ( ) ,se s s

, se s

jL j

j jj j

jR j

U

U U

U

. (4.32)

A Fig. 4.1(b) apresenta as regiões no plano kz t para 0oz onde a solução acima

está definida.

4.4 Problemas de Riemann não Clássicos

Para impor as condições de contorno adequadamente, problemas de Riemann

não clássicos são formulados e resolvidos nesta seção para as condições de contorno

descritas pelas Eqs. (3.5) a (3.8), Eqs. (3.9) a (3.12) e Eqs. (3.13) a (3.20), as quais

descrevem o impacto axial numa extremidade do tubo, uma extremidade fechada livre

e o joelho. Os problemas de Riemann não clássicos são problemas de valor inicial

com os dados iniciais descontínuos que, em contraste com os problemas de Riemann

clássicos, não são conhecidos a priori.

35

4.4.1 Impacto Axial

Devido às suas características particulares, a condição de contorno de impacto

axial não acopla as componentes de onda axiais, de cisalhamento e de flexão, de

modo que os problemas de Riemann não clássicos para essas componentes de onda

também são independentes. Assim, o problema não clássico de Riemann para a

condição de contorno de impacto pode ser postulado separadamente como:

1

( ) para { , , }j

j j j a s bt z

U

F U 0 , (4.33)

**1

1

1

, se , ( , )

, se .

jL oj

o jR o

z zz t t

z z

UU

U (4.34)

Nas expressões acima, **jLU e j


constantes, que são definidos à esquerda e à direita de 1 0z e em ot t . Por exemplo,

para j a , ** ** ** ** ** T( , , ( ) , ( ) )a z zL L L L LP V U FU e T( , , , )a z z

R R R R RP V U FU . Analogamente,

para j s , ** ** ** T(( ) , ( ) )s y yL L LF UU e T( , )s y y

R R RF UU e para j b ,

** ** ** T(( ) , ( ) )b x xL L LM RU e T( , )b x x

R R RM RU . É importante salientar que o estado à

esquerda é apenas parcialmente conhecido ou desconhecido e, portanto, precisa ser

determinado completamente.

Uma vez que o problema caracterizado pelas Eqs. (4.33) e (4.34) é invariante

sob a transformação de escala ( )k k oz z z e ( )ot t t , com > 0, sua solução

depende apenas da razão ( ) / ( )k o oz z t t Em outras palavras, ela é da forma

36

1ˆ( , ) ( )j jz t U U , para { , , }j a s b e ot t , onde ˆ :j nU é uma função

contínua por partes em que 4n para j a e 2n para j s ou j b .

Considerando-se que p f , a solução do problema de Riemann vinculado a

componente axial ( i a ) é construída conectando-se, da direita para a esquerda, o

estado à direita aRU um estado intermediário *a

RU com o choque de velocidade

s p utilizando-se a Eq. (4.16) (vide ilustração à esquerda da Fig. 4.2);

* *

s ; (s )

pa a a a a

R R p R R

U U B U U 0 . (4.35)

Ao estado *aRU conecta-se outro estado intermediário **a

RU agora com o

choque de velocidade s f utilizando também a Eq.(4.16) (vide ilustração à

esquerda da Fig. 4.2);

* ** * **

s ; (s )

fa a a a a

R R f R R

U U B U U 0 . (4.36)

Finalmente, para completar a solução, os estados **aRU e *a

LU devem ser

coerentemente conectados. Isso é feito impondo-se um choque estacionário (um

choque com velocidade s 0 ) a Eq. (4.15) (vide ilustração à esquerda da Fig. 4.2);

** ** ** **0s

; a a a a aR L R L

U U A U U 0 . (4.37)

37

As equações restantes são providas pelas condições de contorno dadas pelas

Eqs. (3.5) e (3.6) enquanto a condição 01( 0, )z

rU z t V prevalecer, ou pelas Eqs.

(3.9) e (3.10), após essa condição ser violada pela primeira vez. Introduzindo-se uma

aproximação de segunda ordem de diferenças finitas para o termo de inércia;

1 1 11

3 ( 0, ) 4 ( 0, ) ( 0, 2 )( 0, )

2

z z zz U z t U z t t U z t tUz t

t t

, (4.38)

as condições de contorno dadas pelas Eqs. (3.5) e (3.6) ou pelas Eqs. (3.9) e (3.10)

podem ser reescritas em termos de um sistema linear de equações para o estado

desconhecido ** ** ** ** ** T( , , ( ) , ( ) )a z zL L L L LP V U FU como:

(1) ** (1)a a aL L LA U c , (4.39)

na qual a matrix (1) 2 4aL

A e o vetor (1) 2aL c valem:

1 0

(1)

1

0 3 2 1 , enquanto ( ) (0) ,

0 1 1 0

0 3 2 1 , caso contrário.

0 1 1 0

f r z nr

aL

f

A Y m tU V

A m t

A (4.40)

0 11 0

(1)

11

2 4( ) (0) ( ) (0), enquanto ( ) (0) ,

0

2 4( ) (0) ( ) (0), caso contrário.

0

z n z nr r z n

r

aL

z n z n

Y V m t U UU V

m t U U

c (4.41)

38

Quando todas as relações dadas pelas Eqs. (4.35) a (4.37) e (4.39) conectando

os estados **aLU → **a

RU → *aRU → a

RU são reunidas, o seguinte sistema algébrico

de equações lineares é obtido para (1) ** ** * T 12( , , )a a a aL L R R x U U U , que são justamente

os estados intermediários com ** ** ** ** ** T( , , ( ) , ( ) )a z zL L L L LP V U FU ,

** ** ** ** ** T( , , ( ) , ( ) )a z zR R R R RP V U FU e * * * * * T( , , ( ) , ( ) )a z z

R R R R RP V U FU :

(1) (1) (1)a a aL L LH x b (4.42)

na qual (1) 12 12aL

H e (1) 12aL b valem:

(1)3 4 3 4

3 4(1)

3 4

3 4 3 4

(s ) (s )

(s )

aL

a a

aL a a

f f

ap

A 0 0

A A 0H

0 B B

0 0 B

, (4.43)

T(1) (1)3 3, , , (s )a a a a

L L p R b c 0 0 B U . (4.44)



3 0 é o vetor nulo.

A resolução do sistema de equações dado por Eq.(4.42) fornece a solução

(única) do problema de Riemann não clássico generalizado associado às componentes

de onda axiais (independentemente de quão afastados estejam os estados à esquerda e

à direita) que pode ser expressa como:

39

**

**

*

, se s 0

, se s sˆ ( )

, se s s

, se s

aL

aR f fa

aR f p

aR p

U

UU

U

U

. (4.45)

A ilustração à esquerda da Fig. 4.2 apresenta as regiões no plano kz t para 1 0z e

0ot onde a solução acima é definida.

Figura 4.2 – Representação das soluções dos Problemas de Riemann não clássicos

vinculados ao impacto na extremidade do tubo no plano kz t para 1 0z .

Como a estrutura dos problemas de Riemann não clássicos para o impacto vinculados

às componentes de onda de cisalhamento ( j s ) e de flexão ( j b ) é similar, a

construção da solução desses problemas será apresentada em conjunto.

A solução desses problemas de Riemann não clássicos vinculados ao

cisalhamento e à flexão é construída conectando-se, da direita para a esquerda, o

40

estado à direita jRU a um estado intermediário *j

RU com o choque de velocidade

s j , para { , }j s b , utilizando-se a Eq. (4.16) (vide ilustração à direita da Fig.

4.2);

* *

s ; (s )

jj j j j j

R R j R R

U U B U U 0 . (4.46)

Finalmente, para completar a construção da solução os estados *jRU e **j

LU

devem ser conectados coerentemente. Isto é feito impondo-se um choque estacionário

(um choque com velocidade s 0 ) utilizando-se a Eq. (4.15), conforme mostrado na

ilustração à direita da Fig. 4.2;

* ** * **s 0

; j j j j jR L R L

U U A U U 0 . (4.47)

As equações restantes são providas pelas condições de contorno dadas pelas

Eq. (3.11) para j s e pela Eq. (3.12) para j b . Introduzindo-se uma aproximação

de segunda ordem de diferenças finitas para os termos de inércia;

1 1 11

3 ( 0, ) 4 ( 0, ) ( 0, 2 )( 0, )

2

y y yy U z t U z t t U z t tUz t

t t

, (4.48)

1 1 11

3 ( 0, ) 4 ( 0, ) ( 0, 2 )( 0, )

2

x x xx R z t R z t t R z t tRz t

t t

, (4.49)

as condições de contorno dadas pelas Eqs. (3.11) e (3.12) podem ser reescritas em

termos de um sistema linear de equações para o estado desconhecido **jLU para

41

{ , }j s b , com ** ** ** T(( ) , ( ) )s y yL L LF UU se j s e ** ** ** T(( ) , ( ) )b x x

L L LM RU se j b

como:

(1) ** (1)j j jL L LA U c , (4.50)

na qual a matrix (1) 1 2jL

A e o vetor (1) 1jL c valem:

1(1)

1

1 3 2 , para ,

1 3 2 , para .j

L x

m t j s

I t j b

A (4.51)

11(1)

11

2 4( ) (0) ( ) (0) , para ,

2 4( ) (0) ( ) (0) , para .

y n y n

jL x n x n

m t U U j s

m t R R j b

c (4.52)

Quando todas as relações dadas pelas Eqs. (4.46), (4.47) e (4.50) conectando

os estados **jLU → *j

RU → jRU são reunidas, o seguinte sistema algébrico de

equações lineares é obtido para (1) ** * T 4( , )j j jL L R x U U , para { , }j s b , que são

justamente os estados intermediários com ** ** ** T(( ) , ( ) )s y yL L LF UU e

* * * T(( ) , ( ) )s y yR R RF UU para j s , e ** ** ** T(( ) , ( ) )b x x

L L LM RU e

* * * T(( ) , ( ) )b x xR R RM RU para j b :

(1) (1) (1)j j jL L LH x b (4.53)

na qual (1) 4 4jL

H e (1) 4jL b valem:

42

(1)1 2

(1)

1 2

(s )

jL

j j jL

ij

A 0

H A A

0 B

, (4.54)

T(1) (1)2, , (s )j j j j

L L j R b c 0 B U . (4.55)



2 0 é o vetor nulo e { , }j s b .

A solução do sistema de equações dado por Eq.(4.53) fornece a solução

(única) do problema de Riemann não clássico generalizado de impacto axial associado

às componentes de onda de cisalhamento e de flexão (independentemente de quão

afastados estejam os estados à esquerda e à direita) que pode ser expressa, para

{ , }j s b , como:

**

*

, se s 0ˆ ( ) , se s 0 s

, se s

jL

j jR j

jR j

U

U U

U

. (4.56)

A ilustração à direita da Fig. 4.2 apresenta as regiões no plano 1z t para 1 0z e

0ot onde a solução acima é definida.

Os problemas de Riemann não clássicos para as condições de contorno

caracterizadas pelas extremidades livres para os tubos 1k e 2k é semelhante aos

apresentados anteriormente e, por isso, não serão apresentados neste trabalho.

43

4.4.2 Joelho

Considerando-se que o joelho é uma junção que acopla as componentes de

onda axiais, de cisalhamento e de flexão, os problemas de Riemann não clássicos para

as extremidades dos tubos conectados ao joelho devem ser resolvidos

simultaneamente para essas componentes de onda. Em outras palavras, no joelho

existem dois problemas de Riemann não clássicos interconectados: um para a

extremidade do tubo à montante 1k e outro para a extremidade do tubo à jusante

2k . Esses problemas também são problemas de valor inicial com dados iniciais

descontínuos e são formulados como:

1

( ) para { , , }j

j j j a s bt z

U

F U 0 , (4.57)

1 11

1 1

, se , ( , )

, se .

jLj

o j IR

z Lz t t

z L

UU

U (4.58)

2

( ) para { , , }j

j j j a s bt z

U

F U 0 , (4.59)

22

2

, se 0, ( , )

, se 0.

j OLj

o jR

zz t t

z

UU

U (4.60)

Nas expressões acima, jLU e j


conhecidos definidos à esquerda de 1 1z L e à direita de 2 0z em ot t ,

respectivamente. Por outro lado, j IRU e j O

LU , para { , , }j a s b , são estados

desconhecidos definidos à direita de 1 1z L (à entrada do joelho) e à esquerda de

2 0z (à saída do joelho) em ot t . Para j a T( , , , )a z zL L L L LP V U FU ,

44

T( , , , )a z zR R R R RP V U FU , T( , , ( ) , ( ) )a I I I z I z I

R R R R RP V U FU , a OL U

T( , , ( ) , ( ) )O O z O z OL L L LP V U F ; para j s T( , )s y y

L L LF UU , T( , )s y yR R RF UU ,

T(( ) , ( ) )s I y I y IR R RF UU e T(( ) , ( ) )s O y O y O

L L LF UU ; para j b T( , )b x xL L LM RU ,

T( , )b x xR R RM RU , T(( ) , ( ) )b I x I x I

R R RM RU e T(( ) , ( ) )b O x O x OL L LM RU .

Notando-se que as Eqs. (4.57) a (4.60) são invariantes sob a transformação de

escala ( )k k oz z z (para {1,2}k e 1oz L para 1k e 0oz para 2k ) e

( )ot t t , com > 0, sua solução depende apenas da razão ( ) / ( )k o oz z t t

Em outras palavras, ela é da forma ˆ( , ) ( )j jkz t U U , para { , , }j a s b e ot t , onde

ˆ :j nU é uma função contínua por partes em que 4n para j a e 2n para

j s ou j b .

Considerando-se que p f , a solução do problema de Riemann vinculado à

componente axial ( j a ) centrada em 1 1z L é construída conectando-se, da esquerda

para a direita, o estado à esquerda aLU a um estado intermediário *a

LU com o choque

de velocidade s p utilizando-se a Eq. (4.16) (vide Fig. 4.3);

* *

s ; (s )

pa a a a a

L L p L L

U U B U U 0 . (4.61)

Ao estado *aLU conecta-se outro estado intermediário **a

LU agora com o

choque de velocidade s f utilizando também a Eq.(4.16) (vide Fig. 4.3);

* ** ** *

s ; (s )

fa a a a a

L L f L L

U U B U U 0 . (4.62)

45

Figura 4.3 – Representação da solução do Problema de Riemann não clássico

definido no joelho no plano kz t em 1 1z L e 2 0z .

Na sequência, os estados **aLU e a I

RU são coerentemente conectados. Isso é feito

impondo-se um choque estacionário (um choque com velocidade s 0 ) com a Eq.

(4.15) (vide Fig. 4.3);

** **0s

; a a I a a a IL R L R

U U A U U 0 . (4.63)

Lançando mão do mesmo raciocínio, a solução das componentes de

cisalhamento e de flexão do problema ( { , }j s b ) centrado em 1 1z L é construída

conectando-se, da esquerda para a direita, o estado à esquerda jLU um estado

intermediário *jLU com o choque de velocidade s j , para { , }j s b utilizando-se

a Eq. (4.16) (vide Fig. 4.3);

46

* *

s ; (s )

jj j j j j

L L j L L

U U B U U 0 . (4.64)

Na sequência, os estados *jLU e j I

RU são coerentemente conectados, para { , }j s b .

Isso é feito impondo-se um choque estacionário (um choque com velocidade s 0 )

com a Eq. (4.15) conforme ilustrado na Fig. 4.3;

* *0s

; j j I j j j IL R L R

U U A U U 0 . (4.65)

De forma análoga, a solução do problema de Riemann vinculado à

componente axial ( j a ) centrada em 2 0z é construída conectando-se, da direita

para a esquerda, o estado à direita aRU um estado intermediário *a

RU com o choque

de velocidade s p utilizando-se a Eq. (4.16) (vide Fig. 4.3);

* *

s ; (s )

pa a a a a

R R p R R

U U B U U 0 . (4.66)

Ao estado *aRU conecta-se outro estado intermediário **a

RU agora com o

choque de velocidade s f utilizando a Eq.(4.16) (vide Fig. 4.3);

* ** * **

s ; (s )

fa a a a a

R R f R R

U U B U U 0 . (4.67)

47

Na sequência, os estados **aRU e a O

LU são coerentemente conectados. Isso é feito

impondo-se um choque estacionário (um choque com velocidade s 0 ) com a Eq.

(4.15) (vide Fig. 4.3);

** **0s

; a a O a a O aR L L R

U U A U U 0 . (4.68)

Lançando mão do mesmo raciocínio, a solução das componentes de

cisalhamento e de flexão do problema ( { , }j s b ) centrado em 2 0z é construída

conectando-se, da direita para a esquerda, o estado à direita jRU a um estado

intermediário *jRU com o choque de velocidade s j , para { , }j s b utilizando-se

a Eq. (4.16) (vide Fig. 4.3);

* *

s ; (s )

jj j j j j

R R j R R

U U B U U 0 . (4.69)

Na sequência, os estados *jRU e j O

LU são coerentemente conectados, para { , }j s b .

Isso é feito impondo-se um choque estacionário (um choque com velocidade s 0 )

com a Eq. (4.15) conforme ilustrado na Fig. 4.3;

* *0s

; j j O j j j OR L R L

U U A U U 0 . (4.70)

Para completar a solução dos problemas, os estados j IRU e j O

LU , para

{ , , }j a s b , devem ser conectados. Isso é feito considerando-se as condições de

48

contorno para o joelho fornecidas pelas Eqs. (3.13) a (3.20). Reescrevendo essas

equações na forma matricial para as estados desconhecidos a IRU , na I

RU , a OLU e na O

LU ,

com T 4( , )na I s I b IR R R U U U e T 4( , )na O s O b O

L L L U U U , obtém-se:

a a a I a na na O a a a OI R O L O L E U E U E U 0 ; (4.71)

na na na I na na na O na a a OI R O L O L E U E U E U 0 ; (4.72)

na qual

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 ;

0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 0

f fa a a aI I

f

A A

A

E E (4.73)

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 ;

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

f fa a na naO I

A A

E E (4.74)

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 ;

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

f

na na na aO O

A

E E (4.75)

Quando todas as relações dadas pelas Eqs. (4.61)-(4.72) conectando os estados

jLU → *j

LU → **aLU → j I

RU → j OLU → **a

RU → *aRU → j

RU são agrupadas, para

{ , , }j a s b , o seguinte sistema algébrico de equações lineares para

(1,2) (1) (2) T 40, ( , , , , , )a I na I na O a O

R L R R R L L L x U U U U U U , com (1) * * ** T( , , )a na aR L L LU U U U

49

12 , * * * T 4( , )na s bL L LU U U , (2) ** * * T 12( , , )a na a

L R R R U U U U e

* * * T 4( , )na s bR R RU U U , é obtido:

(1,2) (1,2) (1,2), , ,R L R L R LH x b , (4.76)

na qual (1,2) 40 40,R L

H e (1,2) 40,R L b valem:

(1)12 12

(1,2), ,

(2)12 12

aR L

na naR L L I O R

aR L

A A 0

H A A A

0 A A

, (4.77)

T(1,2) (1) (2), 16, ,R L R Lb c 0 c , (4.78)

com 12 1212 12

0 sendo a matriz nula, 16

16 0 sendo o vetor nulo e:

3 4 3 4

, 3 4(1) 3 4

3 4

3 43 4

(s )

(s )

(s )(s )

ap

nas b

R aaff

a

0 0B

B 00A

0 BB

0 A0

, (4.79)

3 4 3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4

aL

a

0 0 0 0

0 0 0 0A

0 0 0 0

A 0 0 0

, (4.80)

3 4 3 4

3 4 3 43 4

3 4 3 43 4

3 4 3 43 4

na

naL

0 0A

0 00A

0 00

0 00

, (4.81)

50

3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 3 4

a

aR

0 0 0 A

0 0 0 0A

0 0 0 0

0 0 0 0

, (4.82)

3 4 3 43 4

3 4 3 43 4

3 4 3 43 4

3 4 3 4

naR

na

0 00

0 00A

0 00

0 0A

, (4.83)

4 4 4 4 4 4

4 4,

4 4

4 4 4 4 4 4

na

a a a na a aI O O

I O na na na na na aI O O

na

0 A 0 0

E 0 E EA

0 E E E

0 0 A 0

, (4.84)

3 43 4

3 4(2)

3 4,3 4

3 43 4

(s )(s )

(s )

(s )

a

aaff

L nas b

ap

00AB0B

A0B0

B00

, (4.85)

T(1), 3 3(s ) , (s ) , ,a a na na

R p L s b L c B U B U 0 0 , (4.86)

T(2)3 3 ,, , (s ) , (s )na na a a

L s b R p R c 0 0 B U B U . (4.87)

Nas expressões acima, 4 4na A e 2 4,(s )na

s b B são tais que:

2 2

2 2

sna

b

A 0A

0 A, (4.88)

1 2,

1 2

(s )(s )

(s )

sna s

s b bb

B 0B

0 B, (4.89)

Resolvendo-se o sistema de equações definido na Eq. (4.76) obtém-se a

solução (única) dos problemas de Riemann não clássicos interconectados para a

51

extremidade à jusante do tubo 1k ( 1 1z L ) e a extremidade à montante do tubo

2k ( 2 0z ). A solução do problema de Riemann não clássico centrado em 1 1z L

(para as componentes de onda axiais, de cisalhamento e de flexão) é representada na

ilustração à esquerda da Fig. 4.3 e sumarizada abaixo:

*

**

, se s

, se s sˆ ( )

, se s s 0

, se s 0

aL p

aL p fa

aL f

a IR

U

UU

U

U

, (4.90)

*

, se s com { , }

ˆ ( ) , se s s 0 com { , }

, se s 0 com { , }

jL j

j jL j

j IR

j s b

j s b

j s b

U

U U

U

, (4.91)

enquanto que a solução do problema de Riemann não clássico centrado em 2 0z

(para as componentes de onda axiais, de cisalhamento e de flexão) é representada na

ilustração à direita da Fig. 4.3 e dada por:

*

, se s 0 com { , }ˆ ( ) , se s 0 s com { , }

, se s com { , }

j OL

j jR j

jR j

j s b

j s b

j s b

U

U U

U

, (4.92)

**

*

, se s 0

, se s 0 sˆ ( )

, se s s

, se s

a OL

aR fa

aR f p

aR p

U

UU

U

U

, (4.93)

52

4.5 Método de Glimm e Esquema Numérico do Termo de Fonte

O problema caracterizado pelas Eqs. (4.8) e (4.9) é resolvido numericamente

usando o método de Glimm (Glimm, 1965; Smoller, 1983; Toro, 1999). O método

Glimm tem sido usado para resolver problemas unidimensionais não lineares

hiperbólicos devido à sua eficiência já comprovada não só em tratar os dados iniciais

descontinuos, mas também em capturar soluções que apresentam descontinuidades de

ordem zero ou um (Marchesin e Paes Leme, de 1983; Sod, 1977; Freitas Rachid et al,

1994;. Freitas Rachid e Costa Mattos, 1998; Toro, 1999). Este método numérico

preserva a magnitude e a posição das ondas de choque, com uma incerteza da largura

da malha espacial. Tais características, que não são encontradas em procedimentos

numéricos habituais (como por exemplo, elementos finitos e diferenças finitas), são

umas das principais atrações para a utilização do método Glimm em modelos de IFE.

Para implementar os esquemas numéricos descritos na seção 4.2, discretiza-se,

por uma questão de simplicidade, os domínios espaciais [0, ]kL em kN células

computacionais de tamanho uniforme 1 2 1 2k k k ki iz L N z z

, com

1 2( 1)k i

z i z

e 1 2k iz i z

, para 1, , ki N , de tal forma que o centro das

células estão posicionados em ( 1 2)k iz i z , para {1,2}k , conforme ilustrado

na Fig. 4.4.

Para empregar o método de Glimm, admite-se, sem perda de generalidade, que

existe uma aproximação dos dados iniciais no instante de tempo nt por funções

contínuas por partes da seguinte forma:

53

Figura 4.4 – Representação da discretização do domínio espacial e do

posicionamento dos problemas de Riemann clássicos (interior do domínio) não

clássicos (contornos).

,( , ) (( ) , )j n j n j nk k i k iz t z tU U U , (4.94)

para 0, 1ki N , com {1,2}k e { , , }j a s b , nos quais os valores atribuídos a

0i e 1ki N são, por definição, os valores das variáveis nas extremidades à

montante e à jusante dos tubos, i.e., 0(( ) , ) ( 0, )j n j nk i kz t z t U U e

1(( ) , ) ( , )k

j n j nk i N k kz t z L t U U .

As aproximações acima dão origem, para cada dois degraus consecutivos i e

1i , a problemas de Riemann que foram descritos na seção passada pelas Eqs. (4.12)

e (4.13) e para os problemas de Riemann clássicos e pelas Eqs. (4.33), (4.34), (4.57) a

54

(4.60) para os problemas de Riemann não clássicos. Quando nas Eqs. (4.13), (4.34),

(4.58) e (4.60) ot é substituído por nt , oz é substituído por 1 2( )k iz e os estados

correspondentes à esquerda **( , e )j j j OL L LU U U e à direita **( , e )j j j I

R R RU U U são

substituídos por ,j n

k iU e , 1j n

k iU , respectivamente, os dados iniciais no contexto da

aproximação dada pela Eq. (4.94) se escreve como:

, 1 2

, 1 1 2

, para ( ) ,( , )

, para ( ) .

j nk i k k ij n

k j nk i k i k

z zz t

z z

UU

U (4.95)

Denotando-se , 1 2ˆ ( )j

k i U a solução generalizada desses problemas de

Riemann apresentados nas Eqs. (4.26), (4.32), (4.45), (4.56), (4.90), (4.91), (4.92) e

(4.93) a aproximação para a solução da Eq. (4.8) com Eq. (4.9) no tempo 1nt é

finalmente obtida na seguinte forma:

, 1 21,

, 1 2

ˆ ( ), se 0 1 2,( )

ˆ ( (1 ) ), se 1 2 1,

j n n nk ij j n

k k i j n n nk i

z tz

z t

UU U

U (4.96)

para 1 2 1 2( ) ( )k i k k iz z z , com 0, , 1ki N , onde n é uma sequência de

números escolhidos aleatoriamente no intervalo [0, 1] de uma forma uniforme.

No procedimento, o instante de tempo 1nt é calculado de tal forma que a

condição de Courant-Friedrichs-Levy (CFL) (Smoller, 1983; Toro, 1999) é sempre

satisfeita:

55

1 CFL

max

n n N zt t t

, (4.97)

onde max

é a máxima (em valor absoluto) velocidade de propagação de onda j ,

com , com { , , , }j f p s b , e o coeficiente CFL CFLN satisfaz:

CFL0 1 2N . (4.98)

O valor do limite superior do coeficiente CFL é uma condição necessária para

convergência e, por isso, varia de acordo com cada método numérico. Essa condição

estabelece que um método numérico é convergente somente se seu domínio numérico

de dependência contém o verdadeiro domínio da dependência associado com as

equações diferenciais parciais (Leveque, 2002). Para o método de Glimm em

particular, a restrição dada pela Eq. (4.98) garante que nenhuma interação de onda

ocorrerá em problemas de Riemann adjacentes (Toro, 1999). Em geral, quanto mais

próximo CFLN é de seu limite superior, mais eficiente o esquema de avanço no tempo

se torna. Embora o MC não faça uso da solução do problema de Riemann, ele tem um

valor limite superior para CFLN igual a 1.

Uma característica importante do método de Glimm e que impacta diretamente

na qualidade da solução numérica é o uso explícito da solução do problema de

Riemann. Esta solução é exata e retém toda a estrutura de onda associada ao problema

físico. Como resultado, descontinuidades abruptas, assim como os efeitos decorrentes

de velocidades de onda fortemente variáveis são naturalmente capturados pela solução

numérica. Este fato capacita seu uso em casos de aplicações não lineares, tais como

em escoamentos com cavitação (Freitas Rachid, 2003) e análise de integridade

56

estrutural (Freitas Rachid, 2006) nos quais as velocidades de propagação de onda

podem apresentar gradientes severos. Aspectos associados à convergência do método

de Glimm, que é de primeira ordem, podem ser encontrados em (Smoller, 1983).

Para obter uma aproximação numérica para o problema descrito pelas Eqs.

(4.10) e (4.11) o método de Gear (Gear, 1971) é empregado. Este método é um

esquema numérico tradicional de múltiplos passos de até quinta ordem. Apesar de ser

linear, o sistema de equações diferenciais ordinárias caracterizado pela Eq. (4.10) é

rígido, o que justifica o emprego do método de Gear, a fim de se assegurar precisão e

estabilidade.

57

Capítulo 5

Resultados e Discussão

Visando-se validar o procedimento numérico aqui proposto, os resultados

experimentais de dois problemas de impacto de uma haste numa das extremidades de

uma tubulação publicadas por Fan e Tijsseling (1992) e Tijsseling, et al. (1996), e

disponibilizados em (Tijsseling, 2010), foram utilizados. As configurações

experimentais de ambos os testes foram apresentadas nas Figs. 3.1(a) e 3.1(b). Os

tubos, cujo raio interno e espessura valem R 26.01 mm e e 3.945 mm, foram

amplamente instrumentados e monitorados com transdutores de pressão piezoelétricos

(PT), strain gauges (SG) e vibrômetros de Doppler a laser (LDV). Estes instrumentos,

estrategicamente posicionados ao longo das tubulações como indicado nas Figs. 3.1(a)

e 3.1(b), mediram e gravaram em períodos regulares de cerca de 8 µs, a pressão do

fluido, a deformação axial do tubo e velocidade axial do tubo, respectivamente.

As posições dos instrumentos, as quais se fazem referências neste trabalho,

juntamente com as principais dimensões dos tubos são indicados em milímetros nas

Figs. 3.1(a) e 3.1(b). Estas figuras, que não foram representadas em escala, foram

parcialmente reproduzidas de (Tijsseling, 1993 e Tijsseling, et al, 1996). Detalhes da

instrumentação utilizada nos experimentos, como os tipos de equipamentos,

58

frequências de corte e incertezas podem ser encontradas em Tijsseling (1993),

Tijsseling et al (1996) e Fan (1989).

Em cada posição do strain gauge (SG), quatro strain gauges de três vias (axial,

circunferencial e de cisalhamento) são posicionados equidistantes ao redor da

circunferência do tubo: superior (local 1), inferior (local 3) e laterais (locais 2 e 4)

como indicado nas Figs. 3.1(a) e 3.1(b). A deformação axial média z

(4 ( )

14z i

zi

), a qual é calculada com base nas medidas experimentais em torno

da circunferência do tubo, pode ser avaliada, teoricamente, através da força axial e da

pressão (por meio da tensão circunferencial) através da equação constitutiva para o

material do tubo:

1.

zz

p

F RP

E A e

(5.1)

Da mesma forma, o momento fletor do modelo teórico xM pode ser acessado

através das medidas de deformação axial na parte superior (local 1) e na parte inferior

(local 3) (vide Figs. 3.1(a) e 3.1(b)) do tubo por meio da seguinte relação constitutiva

(vide Apêndice A):

(1) (3) .2( )

pxz z

EIM

R e

(5.2)

O material da tubulação tem uma massa específica igual a p 7985kg/m3,

módulo de Young igual a E 168GPa e coeficiente de Poisson 0.29. Os tubos são

preenchidos com água à temperatura ambiente com f 999kg/m3 e K = 2.14 GPa.

59

Embora o atrito no fluido não seja tão importante nestes testes, ele é considerado no

modelo teórico utilizando-se um fator de atrito constante f 0.01. As propriedades

da haste em ambos os testes são as mesmas: rR 25.37mm, r 7848kg/m3 e

rE 200GPa. No entanto, a velocidade de impacto da haste é 0rV 0.739m/s na

configuração de tubo reto e 0rV 0.809m/s no teste da configuração de um joelho. A

pressão estática absoluta da água em ambas as configurações é 0P 2.0MPa, o que é

alto o suficiente para prevenir a ocorrência de cavitação em qualquer região do

líquido. As massas da tampa e do plug nas extremidades do tubo são 1m 1.287kg e

2m 0.2925kg para a configuração do tubo reto e 1m 1.312 kg e 2m 0.3258kg

para a configuração um joelho. Para essas propriedades do material, as velocidades de

frente de onda, associadas com as componentes axiais para o fluido e o tubo, bem

como as componentes de cisalhamento e de flexão, valem: f 1353.50m/s,

p 4617.53m/s, s 1767.20m/s e b 4586.88m/s.

Seguindo a estratégia de Tijsseling, et al. (1996), a massa do joelho não é

levada em conta explicitamente. Ela é parcialmente incorporada nos comprimentos

dos tubos, conforme indicado na Fig. 3.1(b). Além disso, o momento de inércia do

plug e da tampa são desconsiderados, o que equivale a assumir que xlI 0, para

{1,2}l nas Eqs. (3.8) e (3.12).

O desempenho do método numérico proposto é inicalmente investigado,

comparando as suas previsões com os resultados experimentais da configuração de

tubo reto. Devido ao seu arranjo, existem apenas ondas axiais viajando na tubulação.

Por isso essa configuração constitui a situação mais simples e pode ser considerado

um pré-requisito para o modelo numérico, a fim de habilitá-lo a outras situações

60

complexas, em que as ondas axiais são acopladas com as ondas de cisalhamento e de

flexão nas fronteiras.

O histórico experimental e numérico da pressão nas posições PT1, PT3 e PT5

na configuração de tubo reto (vide Fig. 3.1(a)) são apresentados na Fig. 5.1. Para

avaliar a precisão e a exatidão da técnica numérica proposta, testes de convergência

foram realizados considerando-se diferentes números de células: N 75, N 150 e

N 450. Isto é equivalente a considerar discretizações espaciais da ordem de

z 60.0 mm, z 30.0 mm e z = 10.0 mm, respectivamente. Os resultados

obtidos, os quais foram simulados com CFLN 0.4 fornecem passos de tempo de

t 5.20μs, t 2.60μs e t 0.87μs respectivamente, são apresentados na Fig.

5.1(a) juntamente com a curva experimental na localização espacial PT1. Muito

embora os resultados numéricos estejam quase sobrepostos, pode-se ver que de

N 75 para N 150 as soluções numéricas tendem a convergir para aquela com

N 450. Com N 150 e N 450 praticamente não há diferença visível entre essas

respostas. Além disso, as respostas numéricas apresentam uma excelente

concordância quando comparadas com a resposta experimental. Esse tipo de

concordância também é observada com os históricos de tempo experimental e

numérico da pressão nos locais PT3 e PT5, como pode ser visto na Fig. 5.1(b). Os

resultados numéricos com N 150 são capazes de reproduzir com grande nível de

detalhe os picos de pressão (em ambos os locais PT3 e PT5) originados pelo

acoplamento de junção nas extremidades do tubo, assim como pelo acoplamento de

Poisson em toda a extensão do tubo.

Esta concordância global entre os resultados experimentais e numéricos

também foi observada por Tijsseling (1993) que empregou o MC como método

numérico.

61

(a)

(b)

Figura 5.1 – Histórico experimental e numérico da pressão na localização PT1 (para

N 75;150;450) (a) e nas localizações PT3 e PT5 (para N 150) (b) da configuração

de tubo reto (vide Fig. 3.1(a)) com CFLN 0.4.

62

As deformações axiais médias em função do tempo nas posições SGA e SGD

(vide Fig. 3.1(a)) são apresentadas nas Figs. 5.2a e 5.2b, respectivamente. Os

resultados numéricos apresentados em ambas as figuras foram computados com

N 150 e CFLN 0.4 e foram calculados com o auxílio da Eq. (5.1). Como pode ser

visto, a primeira e maior queda de deformação é precisamente detectada (em

amplitude e fase) pelo método numérico em ambos os locais SGA e SGD.

Para investigar a influência do tamanho da discretização N e do parâmetro

CFL CFLN sobre a resposta numérica, foi apresentado nas Figs. 5.3(a) e 5.3(b)

histórico de velocidades axiais na localização LDV (vide Fig. 3.1(a)) para os

resultados experimental e numérico. Na Fig. 5.3(a) pode-se ver que à medida que o a

discretização é refinada de N 75 para N 450, a solução numérica tende a se

ajustar melhor à curva experimental, especialmente após os primeiros 15 ms. No

entanto, a redução do parâmetro CFL de CFLN 0.4 para CFLN 0.1 introduz um

pequeno ou quase nenhum efeito sobre comportamento das respostas numéricas

durante o período de 20 ms de simulação. Conforme será visto mais adiante, para a

configuração de um joelho, esse tipo de comportamento ainda permanece válido para

a velocidade axial, mas muda drasticamente para o momento fletor.

Com o objetivo de analisar o desempenho do método numérico proposto em

uma situação mais complexa, a configuração de um joelho (vide Fig. 3.1(b)) é agora

considerada. Neste arranjo de tubulação, quando as ondas de pressão e tensão axial

induzidas pelo impacto alcançam o joelho, ondas de cisalhamento e de flexão são

geradas em ambos os tubos 1 e 2. Após serem refletidas nas extremidades fechadas,

essas ondas dão origem a um padrão bastante complexo de interação de onda quando

comparado com a configuração de tubo reto. A natureza altamente dispersiva das

ondas de cisalhamento e de flexão (caracterizada pelos termos fontes na Eq. (2.9))

63

(a)

(b)

Figura 5.2 – Histórico experimental e numérico de deformação axial média na

localização SGA (a) e SGD (b) da configuração de tubo reto (vide Fig. 3.1(a)) com

N 150 e CFLN 0.4.

64

(a)

(b)

Figura 5.3 – Histórico experimental e numérico de velocidade axial na localização

LDV da configuração de tubo reto (vide Fig. 3.1(a)) para N 75;150;450 com

CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4 com N 150 (b).

65

introduz um mecanismo ainda mais complexo de interação entre essas famílias de

ondas.

Outra característica nova, que aparece quando a configuração de um joelho é

considerada, é a necessidade de se assegurar um mesmo passo de tempo para ambos

os tubos. Tal característica pode ser um aspecto complicador em sistemas de

tubulação com um grande número de tubos de diferentes comprimentos, se um mesmo

espaçamento da malha z deve ser utilizado para todos os tubos, como ocorre quando

o MC é empregado. Para sistemas de tubulação como a configuração de um joelho

aqui considerado, deve-se garantir que a razão 1 2L L é bem aproximada pela

razão 1 2N N , na qual 1N e 2N são números inteiros positivos. Tijsseling, et al. (1996)

utilizaram em suas simulações 1 2N N 138 41 para aproximar 1 2L L . Isto é

equivalente a admitir que 1L 4.51m e 2L 1.34m, como foi feito por Gale e Tiselj

(2008), com um erro absoluto desprezível em z , i.e., 1 1 2 2L N L N , da ordem de

1.77 m. É importante ressaltar que, em contraste com o MC, o método numérico

proposto neste trabalho não está restrito ao uso de uma mesmo k k kz L N para

todos os tubos. Nesse caso, basta atribuir valores ligeiramente diferentes para o

parâmetro CFL CFLN para cada tubo a fim de garantir um mesmo passo de tempo.

O histórico experimental e numérico da pressão nas localizações PT1, PT5

PT6 da configuração de um joelho (vide Fig. 3.1(b)) são apresentados na Fig. 5.4. A

Fig. 5.4(a) exibe as respostas numéricas de pressão na localização PT1 obtida com

1 2N N 138 41, 276 82 , e 414 123 , conferindo z 32.7mm, z 16.3mm e

z 10.9mm, respectivamente. As simulações numéricas foram realizadas com

CFLN 0.4, dando origem a passos de tempo de t 2.83 s, t 1.41 s e

t 0.94 s, respectivamente. Como pode ser visto na Fig. 5.4(a), a malha mais

66

(a)

(b)

Figura 5.4 – Histórico experimental e numérico da pressão na localização PT1 (para

1 2N N 138 41; 276 82 ; 414 123 ) (a) e nas localizações PT5 e PT6 (b) da

configuração de um joelho (vide Fig. 3.2(a)) com CFLN 0.4.

67

grosseira ( 1 2N N 138 41) é capaz de reproduzir muito bem a curva experimental.

Além disso, quando o tamanho da malha (ou do passo de tempo) é refinado as

soluções numéricas tendem a se sobrepor, demonstrando que a convergência vai ser

alcançada. A muito boa concordância entre os resultados experimentais e numéricos

observada para a pressão perto da extremidade de impacto (local PT1) também é

verificada nos locais PT5 e PT6 (vide Fig. 5.4(b)). O mesmo comportamento foi

observado por Tijsseling et al. (1996) e Gale e Tiselj (2008) que usaram o MC e um

método upwind característico de segunda ordem, respectivamente.

A concordância entre os resultados experimentais e numéricos é também

observada para a deformação média axial nas localizações SGA e SGE (vide Fig.

3.1(b)), como pode ser notado nas Figs. 5.5(a) e 5.5(b), respectivamente. Os

resultados numéricos em ambas as figuras foram obtidos com 1 2N N 138 41 e

CFLN 0.4, através da Eq. (5.1), com base nos dados computados de pressão e a força

axial nessas localizações.

Conforme foi feito para a configuração de tubo de reto, o efeito do tamanho da

malha 1 2N N e do parâmetro CFL CFLN sobre a resposta numérica também é

investigado para a configuração de um joelho. Para isso, os resultados experimentais e

numéricos são plotados juntos para os históricos de velocidade axial na localização

LDV (vide Fig. 3.1(b)) nas Figs. 5.6(a) e 5.6(b). Como pode ser visto na Fig. 5.6(a),

na qual CFLN 0.4 foi usado para todas as simulações numéricas, a resposta associada

com 1 2N N 138 41 é capaz de reproduzir com grande exatidão e um nível

significativo de precisão o resultado experimental, na medida em que os resultados

numéricos encontram-se quase sobrepostos. Por outro lado, a redução do parâmetro

CFL de CFLN 0.4 para CFLN 0.1 tende a degradar um pouco a solução numérica.

68

(a)

(b)

Figura 5.5 – Histórico experimental e numérico de deformação axial média na

localização SGA (a) e SGE (b) da configuração de um joelho (vide Fig. 3.2(a)) com

1 2N N 138 41 e CFLN 0.4.

69

(a)

(b)

Figura 5.6 – Histórico experimental e numérico de velocidade axial na localização

LDV da configuração de um joelho (vide Fig. 3.2(a)) para

1 2N N 138 41; 276 82 ; 414 123 com CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4 com

1 2N N 138 41 (b).

70

As Figs. 5.7 e 5.8 apresentam as histórias experimental e numérica do

momento fletor xM nas localizações SGA e SGE, respectivamente (vide Fig. 3.1(b)).

As curvas experimentais são obtidas indiretamente por meio das respostas axiais de

deformação nas partes superior e inferior do tubo, de acordo com Eq. (5.2). Na Figs.

5.7(a) e 5.8(a) os resultados numéricos são plotadas para 1 2N N 138 41, 276 82 e

414 123 , com CFLN 0.4. Por outro lado, as Figs. 5.7(b) e 5.8(b) mostram as

respostas numéricas para CFLN 0.4, 0.2 e 0.1, com 1 2N N 138 41. Pode-se

observar nas Figs. 5.7(a) e 5.8(a), que as soluções numéricas apresentam uma boa

concordância com a curva experimental tanto em fase quanto em amplitude, para os

três tamanhos de malha empregados na simulação. Quanto mais refinado é o tamanho

de malha, mais a solução numérica se ajusta à curva experimental.

Em contraste ao que foi notado para a velocidade axial (vide Fig.5.3(b) ), a

redução do passo de tempo induzida pelo parâmetro CFL CFLN introduz uma

degradação significativa na solução numérica do momento fletor, como pode ser

observado nas Figs. 5.7 e 5.8. Esta característica pode ser atribuída à presença dos

termos fonte na Eq. (2.9). Uma vez que os termos de fonte associados com as ondas

de cisalhamento e de flexão (vide Eqs. (2.17) e (2.18)) são preponderantes, eles são

responsáveis pelo comportamento dispersivo dessas ondas que não é observado nas

ondas axiais. Por outro lado, a aproximação numérica destes termos é realizada no

segundo passo da técnica de decomposição do operador (Eqs. (4.10) e (4.11)) usando

o método Gear. Para um tamanho fixo de malha, a redução do parâmetro CFLN

implica em um aumento do número de vezes que o segundo passo da técnica de

decomposição do operador é executado.

71

(a)

(b)

Figura 5.7 – Histórico experimental e numérico do momento fletor na localização

SGA da configuração de um joelho (vide Fig. 3.2(a)) para 1 2N N 138 41; 276 82 ;

414 123 com CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4 com 1 2N N 138 41 (b).

72

(a)

(b)

Figura 5.8 – Histórico experimental e numérico do momento fletor na localização

SGE da configuração de um joelho (vide Fig. 3.2(a)) para 1 2N N 138 41; 276 82 ;

414 123 com CFLN 0.4 (a) e para CFLN 0.1;0.2;0.4 com 1 2N N 138 41 (b).

73

Assim, uma possível explicação para a deterioração geral das respostas dos momentos

fletores, na medida em que o parâmetro NCFL é reduzido, é a propagação de erros de

truncamento, especialmente para instantes de tempo mais longos.

O comportamento descrito anteriormente poderia também ser associado com a

natureza do modelo empregado. Quando o raio de curvatura do joelho cR é levado em

conta no modelo, termos fonte extras aparecem na Eq. (2.9), tendo cR no

denominador (Wiggert e Tijsseling, 2001; Gale e Tiselj, 2008). Uma vez que estes

termos extras tendem a atenuar o caráter dispersivo das ondas de cisalhamento e

flexão, tal modelo é conhecido como modelo de curva suave por Gale e Tiselj (2008),

em contraste com o modelo de curva abrupta utilizado neste trabalho. O modelo de

curva abrupta é um caso particular do modelo de curva suave e é recuperado quando

no limite cR . No entanto, as comparações estabelecidas por Gale e Tiselj (2008)

entre os modelos de curva suave e abrupta demonstraram que estas abordagens dão

resultados quase indistinguíveis para a configuração um joelho, porque o raio de

curvatura do joelho é aproximadamente do mesmo tamanho do raio do tubo e

significativamente menor do que o comprimento do sistema de tubulação.

Apesar do método de Glimm ser apenas de primeira ordem, a boa

concordância entre os resultados experimentais e numéricos observados nas respostas

dos momentos fletores valida o procedimento numérico proposto neste documento

como um todo. Este resultado capacita a sua utilização em outras aplicações

complexas de problemas de IFE unidimensional em que termos não lineares estão

presentes. Além de preservar com grande precisão a fase e amplitude das respostas, o

procedimento numérico proposto demanda baixo custo de armazenamento e baixo

esforço computacional. Vale a pena mencionar que o período de 20 ms de simulação

para o problema de impacto da haste na configuração de um joelho (com CFLN 0.4 e

74

1 2N N 138 41) demorou cerca de 1 minuto em um processador Pentium 4 de 2.8

GHz.

75

Capítulo 6

Conclusões e Sugestões

Um procedimento numérico completo, baseado no método de Glimm e numa

técnica de decomposição de operadores, foi proposto para obter soluções aproximadas

para o modelo de interação fluido-estrutura (IFE) de oito equações, utilizado em

análises de transiente em sistemas de tubulação conduzindo líquidos. Movimentos

axiais do sistema fluido-tubo, bem como movimentos laterais e de flexão do tubo são

levados em consideração pelo modelo de IFE, que é regido por um sistema de

equações hiperbólicas não homogêneas. Com o auxílio da técnica de decomposição

do operador, o sistema de equações é decomposto em duas partes de tal maneira que a

parte puramente hiperbólica (a homogênea) é isolada da parte meramente evolutiva no

tempo (a não homogênea). Para avançar com a solução no tempo, os termos

homogêneo e não homogêneo são numericamente resolvidos sequencialmente,

empregando-se o método Glimm e método de Gear, respectivamente. Para aplicar

adequadamente as condições de contorno no contexto do método de Glimm,

problemas de Riemann não clássicos para as extremidades dos tubos foram

formulados e resolvidos analiticamente.

Entre outras metodologias numéricas existentes que são empregadas

usualmente para resolver equações hiperbólicas unidimensionais, o método de Glimm

76

é reconhecido como sendo um dos que melhor capta e preserva a presença de

descontinuidades nas variáveis dependentes e em suas derivadas. Embora o método de

Glimm tenha sido originalmente concebido para o tratamento de problemas de valor

inicial, a estratégia aqui proposta de construção de problemas de Riemann não

clássicos para incorporar as condições de contorno se mostrou extremamente eficaz e

eficiente.

Tendo em vista a complexidade física do fenômeno descrito pelo modelo de

IFE, uma concordância global muito boa foi encontrada entre os resultados

experimentais e numéricos, tanto em magnitude quanto em fase, para praticamente

todas as principais variáveis (pressão, deformação axial, velocidade axial e momento

fletor). O método de Glimm é facilmente implementado e exige esforço

computacional baixo. Além disso, é adequado para o tratamento de sistemas de

tubulação com múltiplos tubos (com diferentes propriedades geométricas e físicas), na

medida em que não requer o uso de uma malha uniforme e igual para todos os tubos, a

fim de se obter um passo de tempo comum.

As características acima mencionadas tornam o método de Glimm uma

ferramenta numérica promissora no campo de análise de IFE em sistemas de

tubulações. Além disso, a extensão do método para incorporar outros fenômenos

complexos lineares e não lineares (como, ondas de torção na parede da tubulação,

cavitação, fluxos de duas fases e comportamentos inelásticos com dano da parede do

tubo para a realização de análises de integridade estrutural) podem ser facilmente

implementados empregando-se a mesma metodologia e estrutura aqui apresentados.

Como sugestões de continuidade direta deste trabalho recomenda-se a

implementação:

77

a) de outras técnicas numéricas, em substituição ao método de Glimm, que

também se baseiam na solução do problema de Riemann, mas que possuem

ordem superior, como por exemplo, o esquema MUSCL-Hancok (Monotonic

Centred Scheme for Conservation Laws) que é de segunda ordem (Toro,

1999);

b) do termo de atrito transiente caracterizado por (Vitkosky et al. ,2001);

( ) ( ) ( ) ( )( )

4 2

z z z zz

fk

V U V U k V U V Uf sign V U

R t z

(6.1)

na qual

0.0567

**

8

log(15.29 /(Re)

0.006566, se Re<2000

, sendo 12.86, se 2000 Re<102

(Re)

2 ( )onde Re é o número de Reynolds, Re= .

zf

Ck C

R V U

em substituição ao atrito de regime permanente descrito apenas pela primeira

parcela da expressão anterior. O emprego do atrito unidimensional transiente,

com dependência na frequência do movimento do líquido no interior do tubo,

além de descrever de forma mais realista o atrito no fluido, exerce uma

influência significativa nas respostas das ondas de pressão mediante a

introdução de mecanismos de dispersão e atenuação, especialmente quando no

sistema de tubulação em apreço há diversas inversões do movimento do

líquido confinado nos tubos (Brunome et al, 1991a, 1991b, 1995; Silva-Araya

& Chaudry, 1997; Wiggert & Tijsseling, 2001).

78

Apêndice A

Momento Fletor em função das Deformações Axiais

O objetivo deste apêndice é deduzir a expressão dada pela Eq. (5.2), a qual

permite calcular o momento fletor em termos das deformações axiais na parede do

tubo, mas precisamente das medidas na parte superior (localização 1) e na parte

inferior (localização 3) da circunferência do tubo (vide Fig. (3.1)).

As deformações axiais nas localizações 1 e 3 não são em geral iguais. De fato,

a diferença entre elas é que permite a determinação do momento fletor na direção

kx , xM , conforme demonstrado abaixo . Considerando-se a representação dos eixos

na Fig. 2.1, a tensão axial no tubo (na diração kz ) devido ao momento fletor, BM

z ,

pode ser relacionada com esse na direção kx , xM , de acordo com:

x

BM

zp

M y

I (A.1)

na qual y é medido a partir da linha de centro do tubo. Entretanto, a tensão axial no

tubo não é devida a somente ao momento fletor na direção kx , mas também ao

esforço axial zF . Como o modelo empregado é linear, o princípio da superposição

79

pode ser aplicado. Assim, as tensões axiais globais, na superfície superior e na

superfície inferior do tubo, podem ser escritas como:

( ) ( )

( ( )) ( ( ))

BM N

z z z

BM N

z z z

y R e y R e

y R e y R e

(A.2)

na qual a tensão axial devido ao esforço axial é caracterizada por N zz pF A .

Invocando-se a relação tensão-deformação para um material elástico e linear;

z z

RE P

e

(A.3)

pode-se usar a Eq. (A.3) para reescrever a Eq. (A.2) como:

( )( )

( )( ( ))

xN

z zp

xN

z zp

R M R eE y R e P

e I

R M R eE y R e P

e I

(A.4)

Finalmente, as Eq. (A.4) podem ser combinadas para expressar o momento

fletor na direção kx em termos das deformações axiais ( )z y R e e

( ( ))z y R e :

(1) (3)

2( )px

z z

EIM

R e

(A.5)

na qual, por definição, (1) ( ( ))z z y R e e (3) ( ( ))z z y R e são as

deformações axiais na parte superior e inferior da circunferência externa do tubo.

80

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