Rotação diferencial de estrelas pelos métodos de trânsito e...

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE

TESE DE DOUTORADO

Rotação diferencial de estrelas pelosmétodos de trânsito e máxima entropia

Autor:Dirceu Yuri SIMPLICIO NETTO

Brasil

2019

Universidade Presbiteriana Mackenzie

Escola de Engenharia

Centro de Rádio Astronomia e Astrofísica Mackenzie

Programa de Pós-Graduação em Ciências e Aplicações Geoespaciais

Dirceu Yuri SIMPLICIO NETTO

Rotação diferencial de estrelas pelos métodos detrânsito e máxima entropia

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências e Aplicações Ge-oespaciais da Universidade PresbiterianaMackenzie, como requisito à obtenção dotítulo de doutor em Ciências e AplicaçõesGeoespaciais.

Orientadora: Prof𝑎. Dr𝑎. Adriana VALIO

Brasil

2019

Bibliotecária Responsável: Maria Gabriela Brandi Teixeira – CRB 8/ 6339

S615r Simplicio Netto, Dirceu Yuri Rotação diferencial de estrelas pelos métodos de trânsito e

máxima entropia / Dirceu Yuri Simplicio Netto – São Paulo, 2019.

91 f.: il., 30 cm.

Doutorado (Doutorado Ciências e Aplicações Geoespaciais) -Universidade Presbiteriana Mackenzie - São Paulo, 2019.

Orientador: Prof. Dr. Adriana Benetti Marques ValioBibliografia: f. 86-90

1. Atividade estelar 2. Manchas estelares 3. Rotação diferencial estelar I. F Valio , Adriana Benetti Marques; orientador. II.Título.

CDD 520

Agradecimentos

À professora orientadora Adriana Valio que, com muito carinho, dedicação eatenção, me orientou em cada passo desta etapa acadêmica me proporcionando grandecrescimento pessoal.

Ao Professor Antonino Francesco Lanza pela supervisão durante meu estágiode doutorado no Osservatorio Astrofisico di Catania, pelo privilégio de trabalhar comele.

Agradeço à diretora do Osservatorio Astrofisico di Catania, Grazia Umana, porter me recebido naquela instituição, oferecendo condições para que eu pudesse traba-lhar. Também sou muito grata aos companheiros do Osservatorio.

Aos meus pais, Dirceu Simplicio Netto e Monica Toshimi Matsunaga, meusmaiores exemplos. Agradeço pelo incentivo e orientação, por me tornarem quem sou.

À minha namorada e melhor amiga, Debora Kim Inoue, que me apoia, aconse-lha e incentiva com amor, paciência e carinho a evoluir sempre.

À minha vó, Toshiko Matsunaga, por todo carinho e apoio aos estudos.

À minha irmã, Melissa Yumi Simplicio Netto, por compartilhar de minhas difi-culdades e vitórias.

Agradeço também aos meus amigos, Douglas, Fabian, Ray, Amauri, Lady, Deysi,Jordi, Carol, Lucíola, Valdomiro, Ricardo, Pepe e todos as demais pessoas do CRAAMpela mão que sempre foi estendida quando precisei.

Agradeço de coração a família de Andrea por me acolher tão bem durante meuperíodo na Itália.

Aos meus amigos italianos, Tatiana, Valeria, Ciccio, Simona, Daniele, Cristina,Ary, Sabrina e Federica que me trataram como família.

Aos meus melhores amigos, Roial, Aline e Guma pelo apoio, com qual semprepude contar.

À todos amigos, que sempre acreditaram, incentivaram e contribuíram parameu sucesso acadêmico.

À CAPES, agradeço pelo apoio financeiro por meio da bolsa PSDE (processo88881.134871/2016-01) e da bolsa de doutorado PROSUC.

Agradeço a todos que, mesmo não estando citados aqui, tanto contribuírampara a conclusão desta etapa.

Resumo

Modulações na curva de luz de uma estrela são causadas pela presença demanchas e fáculas em sua superfície. Durante o trânsito planetário manchas po-dem ser cobertas pelo planeta, criando um pequeno aumento na curva de luz du-rante o trânsito. O modelo de trânsito planetário foi aplicado às estrelas Kepler-17e Kepler-63 para modelar as características físicas das suas manchas: localização,temperatura e tamanho. Aplicamos também o modelo de máxima entropia (MME)para ajustar as modulações no fluxo rotacional. Com a aplicação dos modelos ummapa da superfície da estrela e um mapa da distribuição das regiões ativas foramcriados. Para Kepler-17, estrela ativa do tipo solar que possui um planeta Júpi-ter quente transitando em uma órbita coplanar, foi estimado o perfil de rotaçãoa partir das localizações das manchas. Foram encontradas duas longitudes ativasprincipais. A partir do MME estimamos um mínimo para a rotação diferencial re-lativa (ΔΩ/Ω) de 0,08 ± 0,05 e 0,14 ± 0,05, sendo a nossa determinação afetadapelo tempo finito de vida das manchas e dependendo dos parâmetros adotados nomodelo de manchas. Este resultado condiz com o valor de (ΔΩ/Ω) = 0,08 ± 0,009encontrado a partir do modelo de trânsito planetário. A comparação entre os ma-pas demonstrou uma boa correlação das manchas nas longitudes ativas da estrela.Devido à órbita quase polar do planeta que orbita a estrela Kepler-63, jovem es-trela ativa do tipo solar, foi possível gerar um gráfico da distribuição de manchasem latitude no tempo (conhecido como digrama de borboleta, no caso Solar). Como MME foi possível estimar um mínimo de (ΔΩ/Ω) = 0,015. As possíveis áreascobertas durante o trânsito planetário não nos permitem observar as mesma lon-gitudes em trânsitos consecutivos em pequenos períodos de tempo para observaruma mesma mancha evoluindo, tornando inconclusiva a determinação de uma ro-tação diferencial relativa, assim como a comparação entre os mapas obtidos pelosdois modelos.

Palavras-chave: Atividade estelar, manchas estelares, rotação diferencial estelar

Abstract

Modulations in the light curve of a star are caused by the presence of spotsand faculae in its surface. During a planetary transit, spots might be covered bythe planet creating a bump in the transit light curve. The transit model was ap-plied to the stars Kepler-17 and Kepler-63 to model the physical characteristics ofthe spots: location, temperature and size. We also applied the Maximum EntropyModel (MEM) to fit the rotational flux modulation. By applying the two models, amap of the stellar surface and a map of the distribution of the active regions werecreated. For Kepler-17, an active solar-type star that hosts a hot Jupiter transitingin a coplanar orbit, the rotation profile was estimated from the spots location. Twomain active longitudes were found. From the MEM we estimated a minimum forthe relative differential rotation (ΔΩ/Ω) of 0.08 ± 0.05 and 0.14 ± 0.05, this estimatebeing affected by the finite lifetime of the spots and depending on the parametersadopted in the spot model. This result matches the value of (ΔΩ/Ω) = 0.08 ± 0.009found from the transit model.The comparison between the maps showed a goodcorrelation with the spots in stellar active longitudes. Due to the near-polar orbitof the planet that orbits the young solar-type star Kepler-63, it was possible to de-termine the latitudinal distribution of the spots over time (known as the butterflydiagram in the Solar case). The restricted areas covered during planetary transitsdo not allow us to observe the same longitude in consecutive transits close in timeto observe the same spot evolution, making inconclusive the determination of arelative differential rotation, as well as the comparison between the maps obtainedby the two models.

Keywords: Stellar activity, starspots, stellar differential rotation

Lista de Figuras

Figura 1 – Estrutura do Sol identificando o interior e sua atmosfera. . . . . . . . 19Figura 2 – Ilustração do dínamo solar. As linhas de campo magnético próximas

do mínimo solar (a) são alongadas pela rotação diferencial (b) paraformar um campo toroidal (c). Emersão de tubos em direção a su-perfície solar (d) e formação de regiões ativas (e). Regeneração docampo poloidal com inversão de polaridade (f). Este processo temaproximadamente 11 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 3 – Mancha solar obtida com o New Solar Telescope do Big Bear SolarObservatory, Califórnia, EUA. Parte central mais escura (umbra), cir-cundada por uma região mais clara (penumbra). . . . . . . . . . . . . 22

Figura 4 – O ciclo de 11 anos observado através do índice de manchas solares. . 23Figura 5 – Diagrama da borboleta mostrando a posição de surgimento de man-

chas solares ao longo dos anos. (ARLT et al., 2013) . . . . . . . . . . . 24Figura 6 – Ilustração de um trânsito planetário em frente à estrela. Abaixo a

correspondente diminuição da intensidade na curva de luz da estrela. 26Figura 7 – Análise de imagens Doppler. As manchas causam uma deformação

na linha de absorção. (STRASSMEIER, 2009) . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 8 – 100∘ trânsito do planeta Kepler-17b. Topo: Imagem sintetizada da es-

trela com 3 manchas. O planeta é representado por um disco preto.Meio: Curva de luz do trânsito (preto), modelo de trânsito para umaestrela sem manchas (azul) e ajuste de uma curva de luz com 3 man-chas (vermelho). As linhas verticais tracejadas limitam o trecho dotrânsito ajustado em ±70∘ da longitude estelar. . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 9 – Curva de luz da estrela CoRoT-2, na qual foi aplicado o Método daMáxima Entropia (curva sólida) (LANZA et al., 2009). Os resíduosdo ajuste são mostrados no painel inferior. . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 10 – Imagem sintetizada da estrela HD 209458 com obscurecimento delimbo quadrático. O planeta é representado por um disco preto. Alinha pontilhada indica o trânsito do planeta (VALIO, 2013). . . . . . 30

Figura 11 – Mapa da superfície da estrela CoRoT-2 construído a partir dos ajus-tes das manchas nas observações dos seus 77 trânsitos. Os tamanhosdos círculos representam o diâmetro relativo das manchas e as coresa intensidade. O painel inferior é o déficit de fluxo das manchas in-tegrado no tempo em função da longitude (SILVA-VALIO; LANZA,2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 12 – Esquerda: Manchas na superfície da estrela simuladas durante 12trânsitos consecutivos. Direita: As 12 curvas de luz referente a simu-lação das manchas na superfície da estrela.(VALIO, 2013) . . . . . . . 34

Figura 13 – Mapas de superfície estelar da simulação para 4 diferentes períodosde rotação. No painel inferior são mostrados os déficits de fluxo (VA-LIO, 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 14 – Esquerda: Função de autocorrelação para os déficits de fluxo da Fi-gura 13. Direita: Largura dos picos das funções de auto-correlação(VALIO, 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 15 – Mapa da superfície da estrela CoRoT-2 construído a partir dos ajus-tes das manchas nas observações dos seus 77 trânsitos, levando-seem conta um referencial que rotaciona com a estrela. Exemplos deevoluções de uma mesma mancha são destacados por um retângulovermelho (NETTO, 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 16 – Perfil de rotação da estrela CoRoT-2 (linha sólida) e do Sol (linhapontilhada). O diamante mostra o valor do período de rotação paralatitude do trânsito.(VALIO, 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 17 – Figura ilustrativa indicando os ângulos utilizados no modelo geo-métrico para descrever a estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 18 – Figura ilustrativa da modulação rotacional produzida por uma re-gião ativa composta por mancha e fácula (LANZA, 2016). . . . . . . 42

Figura 19 – Longitudes das manchas (círculos brancos) no tempo sobrepostas nomapa construído com o MME obtido da curva de luz fora do trân-sito. As diferentes cores representam diferentes fatores de preenchi-mento, o amarelo indicando o máximo de ocupação de manchas e oazul escuro o mínimo. As conexões de regiões ativas estão marcadaspor 𝐴, 𝐵 e 𝐶 (SILVA-VALIO; LANZA, 2011). . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 20 – Diagrama do campo de observação do telescópio Kepler. . . . . . . . 47Figura 21 – Curva de luz normalizada da estrela Kepler-17. . . . . . . . . . . . . 48Figura 22 – Simulação do trânsito do planeta, com sua orbita quase polar, da

estrela Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 23 – Curva de luz normalizada da estrela Kepler-63. . . . . . . . . . . . . 50

Figura 24 – Topo: Segmento da curva de luz do trânsito número 90 do Kepler-17b e o ajuste linear fora do trânsito entre -6 e -1,6 h, e entre 1,6 e 6 h(linha azul). Inferior: A curva de luz após a subtração do ajuste lineare normalização para 1. A curva em vermelho representa o modelode trânsito para uma estrela sem manchas (VALIO et al., 2017) . . . . 52

Figura 25 – Trânsito número 100 do planeta Kepler-17b.Topo: Imagem sinteti-zada da estrela com 3 manchas. Meio: Curva de luz do trânsito (preto),modelo de trânsito para uma estrela sem manchas (azul) e ajuste deuma curva de luz com 3 manchas (vermelho). Inferior: Resíduo dacurva de luz do trânsito após a subtração do modelo de estrela semmanchas. As linhas horizontais pontilhadas representam o limite dofluxo para o ajuste das manchas, equivalente a 10 vezes o CDPP, e aslinhas verticais tracejadas limitam o trecho do trânsito ajustado em±70∘ da longitude estelar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 26 – Razão do 𝜒2 da composição do melhor ajuste das séries de tempoda Kepler-17 pelo seu menor valor vs. o parâmetro Q. A linha ho-rizontal tracejada indica o nível de confiança de 95 % para 𝜒2/𝜒2

𝑚𝑖𝑛.Esquerda: Curva de luz ARC2. Direita: Curva de luz BL. . . . . . . . . 56

Figura 27 – Painéis superiores: O ajuste do MME para os dados da curva de luzARC2 fora do trânsito da estrela Kepler-17 obtidas com um 𝑄 = 2,4.Painéis inferiores: Resíduo vs. tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 28 – Histograma da distribuição dos resíduos do melhor ajuste regulari-zado da curva de luz ARC2 (Vermelho) e o ajuste Gaussiano (Verde).A linha vertical pontilhada marca o valor zero. . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 29 – Painéis superiores: O ajuste do MME para os dados da curva de luzBL fora do trânsito da estrela Kepler-17 obtidas com um 𝑄 = 2,4.Painéis inferiores: Resíduo vs. tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 30 – Histograma da distribuição dos resíduos do melhor ajuste regulari-zado da curva de luz BL (Vermelho) e o ajuste Gaussiano (Verde). Alinha vertical pontilhada marca o valor zero. . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 31 – Exemplo de um ajuste de trânsitos: Topo: Curva de luz de 5 trânsitos.A curva amarela representa o trânsito em frente a uma estrela semmanchas, enquanto que a vermelha representa o modelo com até4 manchas. Meio: Resíduos depois da subtração da curva amarela.A curva vermelha representa o melhor ajuste das manchas. Inferior:Resíduos depois da subtração das manchas. As linhas horizontaistracejadas representam o threshold no ajuste das manchas, equiva-lente a 10 vezes o CDPP, e as linhas verticais pontilhadas em ± 1,18h limitam o trecho do trânsito ajustado e correspondem a ±70∘ dalongitude estelar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 32 – Periodograma Lomb-Scargle mostrando um forte pico em 5,400 dias,que é considerado como o período de rotação média da estrela. . . . 62

Figura 33 – Matriz de rotação em torno do eixo 𝑥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 34 – Matriz de rotação em torno do eixo 𝑦′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 35 – Matriz de rotação em torno do eixo 𝑧′′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Figura 36 – Imagens sintetizadas da estrela Kepler-63 com sobreposição tempo-

ral de todas as manchas. Esquerda: As manchas observadas no refe-rencial visto da Terra. Direita: As manchas com sua localização rota-cionando com a estrela considerando um referencial que rotacionacom a estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 37 – Painéis superiores: O ajuste do MME para os dados da curva de luzfora do trânsito da estrela Kepler-63 obtidas com um 𝑄 = 0. Painéisinferiores: Resíduo vs. tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 38 – Histograma da distribuição dos resíduos do melhor ajuste regula-rizado da curva de luz (linha contínua) e o ajuste Gaussiano (linhapontilhada). A linha vertical pontilhada marca o valor zero. . . . . . 68

Figura 39 – Histogramas das manchas da Kepler-17. Painel esquerdo: Raio emunidades de 𝑅𝑝, onde 𝑅𝑝 é o raio do planeta; Painel central: Inten-sidade em unidades de 𝐼𝑐; Painel direito: Temperatura das manchasem Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 40 – Mapa da superfície da estrela Kepler-17 construído a partir dos ajus-tes das manchas, levando-se em conta um referencial que rotacionacom a estrela com um período de rotação de 11,92 dias. . . . . . . . . 71

Figura 41 – Perfil de rotação diferencial da estrela Kepler-17 (linha sólida) e doSol (linha tracejada). O período de rotação da latitude -4,6∘ é repre-sentado pelo losango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 42 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obti-das pelo modelo de MME da curva de luz ARC2. O máximo do fatorde preenchimento é indicado pela cor amarela, enquanto que o mí-nimo por azul escuro. Os círculos brancos representam as manchasobtidos a partir do modelo de trânsitos. O tamanho é proporcionalao déficit de fluxo 𝐷. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 43 – O mesmo da Figura 42 gerado a partir da curva de luz BL. . . . . . . 74Figura 44 – Coeficiente de correlação cruzada para atraso zero entre as distribui-

ções das manchas obtidas a partir dos modelos de máxima entropiae das manchas ocultadas durante o trânsito obtidos pelo método detrânsito. As distribuições obtidas da curva de luz BL são represen-tadas por losangos verdes, enquanto que as obtidas da curva de luzARC2 são representadas por triângulos laranjas. . . . . . . . . . . . . 75

Figura 45 – Taxa de migração entre distribuições consecutivas de manchas ob-tidas da curva de luz BL (losangos verde) e da curva de luz ARC2(triangulos laranjas). O tamanho do símbolo é proporcional ao 𝜌𝑐𝑐. . 76

Figura 46 – Histogramas das manchas da Kepler-63. Painel esquerdo: Raio emunidades de 𝑅𝑝, onde 𝑅𝑝 é o raio do planeta; Painel central: Inten-sidade em unidades de 𝐼𝑐; Painel direito: Temperatura das manchasem Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 47 – Kepler-63 - Diagrama de borboleta: Evolução temporal das manchasem latitude durante os 4 anos de observação do satélite Kepler. Otamanho dos círculos é proporcional ao raio das manchas, enquantoque os tons de cinza se referem à intensidade das manchas. . . . . . . 78

Figura 48 – Distribuição das latitudes das manchas na Kepler-63. . . . . . . . . . 79Figura 49 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obti-

das pelo modelo de MME da curva de luz da estrela Kepler-63. Omáximo do fator de preenchimento é indicado pela cor amarela, en-quanto que o mínimo por azul escuro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 50 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obti-das pelo modelo de MME para a estrela Kepler-63. As manchas sãorepresentadas por círculos brancos e seu tamanho é proporcional aodéficit de fluxo 𝐷. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 51 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas ob-tidas pelo modelo de MME para a estrela Kepler-63. Os quadradosrepresentam a área coberta pelo planeta em trânsito e possuem ta-manho de 15∘ de lado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Parâmetros da estrela Kepler-17 e de seu exoplaneta apresentadosem (VALIO et al., 2017). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Tabela 2 – Parâmetros da estrela Kepler-63 apresentados em (SANCHIS-OJEDAet al., 2013). Em vermelho, valores refinados para melhor ajuste dacurva de luz de cada trânsito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Tabela 3 – Parâmetros adotados para a aplicação do modelo na Kepler-17. Refe-rências: B12: (BONOMO et al., 2012); D11: (DÈSERT et al., 2011); L04:(LANZA; RODONÒ; PAGANO, 2004); BL12: (BONOMO; LANZA,2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tabela 4 – Média dos valores dos parâmetros das manchas da Kepler-17. . . . . 69Tabela 5 – Média dos valores dos parâmetros das manchas da Kepler-63. . . . . 77

Tabela 6 – Parâmetros físicos das estrelas Kepler-17 e Kepler-63, outras estrelasdo tipo solar e o Sol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 O Sol e outras estrelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1 O Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Rotação diferencial solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Manchas solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Estrelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Trânsitos planetários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Manchas estelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Método de trânsitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Características das manchas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.3 Mapa da superfície estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.4 Período rotacional da estrela na latitude do trânsito . . . . . . . . 333.1.5 Rotação diferencial das estrelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Modulação rotacional do fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1 Modelo de máxima entropia (MME) . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Modelo de 3 manchas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Comparação dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1 Estrela analisada: Kepler-17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Estrela analisada: Kepler-63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Aplicação dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1 Kepler-17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Método de trânsitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.2 Modelo de Máxima Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2.1 Curva de luz ARC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2.2 Curva de luz BL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Kepler-63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.1 Modelo de trânsitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.2 Modelo de Máxima Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.1 Kepler-17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.1.1 Modelo de trânsitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.1.2 Modelo de Máxima Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.2 Kepler-63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.2.1 Modelo de Trânsitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.2.2 Diagrama de Borboleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.2.3 Modelo de Máxima Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1Introdução

O estudo monitorado e contínuo do Sol teve seu início no século XVII por Ga-lileu Galilei e outros, apesar de relatos de observações solares realizadas por gregose chineses milênios atrás. Galileu e, independentemente Thomas Harriot, observarammanchas na superfície solar em 1610. Em 1611, Christoph Scheiner e Johannes Fabri-cius, também fizeram observações de manchas solares. Com o seu monitoramento foipossível estabelecer, baseado no movimento aparente das manchas no disco solar, operíodo de rotação solar.

Em 1843, mais de dois séculos depois das observações de Galileu, Schwabe mos-trou que o número de manchas variava com o decorrer dos anos. Com esse monitora-mento ao longo das décadas, foi possível observar que o número de manchas aumentae diminui, apresentando uma periodicidade de 11 anos, em média.

Neste ciclo periódico, intrinsecamente relacionado ao campo magnético solar,também é possível observar explosões solares, ejeções de massa coronal, entre ou-tros fenômenos que integram a atividade solar e que seguem a mesma periodicidade(SILVA, 2006). A maior parte dos fenômenos de atividade solar está relacionada àsmanchas.

As manchas são locais de alta concentração de campos magnéticos. Estes cam-pos magnéticos dificultam a convecção de energia proveniente da camada convectivapara a fotosfera solar, tornando a mancha mais fria que o disco solar ao redor. Por se-rem mais frias do que a região ao seu redor, as manchas são regiões escuras. É possíveltambém observar as fáculas, estruturas brilhantes, mais facilmente detectadas próxi-mas ao limbo solar. A não homogeneidade da superfície solar causada por esses fenô-menos altera o fluxo total observado na irradiância solar. As manchas provocam umadiminuição, enquanto as fáculas causam um aumento deste fluxo.

Estrelas anãs, totalmente convectivas e estrelas do tipo solar quando jovensapresentam sinais de atividades periódicas mais intensas que a solar (BERDYUGINA,

Capítulo 1. Introdução 16

2005). Entretanto, a observação direta de manchas similares na superfície de outras es-trelas ainda não é possível devido à tecnologia atual que não possui resolução espacialsuficiente.

Nas últimas décadas, métodos para detecção e mapeamento de manchas na su-perfície de estrelas têm avançado rapidamente. Técnicas têm sido desenvolvidas paraa caracterização das manchas estelares. Desta maneira, é possível utilizar as informa-ções das localizações das manchas para determinar a rotação diferencial da superfícieda estrela, assim como fazemos para o Sol. A rotação diferencial é um ingrediente im-portante para compreensão do dínamo da estrela, processo que converte energia ciné-tica em energia magnética (PIDDINGTON, 1983). O dínamo é responsável pelo campomagnético estelar e, portanto, pela atividade.

Missões espaciais como CoRoT e Kepler têm contribuído com fornecimento deum grande número de dados fotométricos. O satélite Kepler, projetado pela NASA, éum satélite que procurou, entre outras coisas, exoplanetas a partir de trânsitos planetá-rios. Mais de 4000 exoplanetas já foram descobertos. Informações sobre esses planetasextrassolares podem ser encontradas no catálogo do site Exoplanet.eu entre outros.

Acredita-se que estrelas também apresentem rotação diferencial. Esta rotaçãopode ser classificada em dois tipos: Solar, as regiões do equador giram mais rápido queas regiões dos polos ou do tipo anti-solar, as regiões dos polos giram mais rápido queas regiões do equador. (GASTINE et al., 2014). REINHOLD e ARLT (2015) analisaramcurvas de luz de estrelas observadas pelo Kepler utilizando o periodograma Lomb-Scargle obtendo resultados de estrelas com rotação diferencial do tipo solar e anti-solar.

O objetivo principal deste trabalho é obter o perfil rotacional de algumas es-trelas. Para isto, foram utilizados dois modelos. O primeiro que simula o trânsito deum planeta em frente a uma estrela com manchas e o segundo, o método de máximaentropia (MME), que será apresentado em mais detalhes no Capítulo 3.2.1.

A partir do método de trânsito planetário podemos construir um mapa dasmanchas em longitude no tempo para uma dada latitude para os casos em que a órbitado planeta é paralela ao equador da estrela (obliquidade baixa ou quase nula). O perfilrotacional pode ser obtido a partir da rotação média e do período de rotação para umadada latitude. Com esses valores é possível sugerir que tipo de rotação diferencial aestrela apresenta.

O mapa obtido do MME é baseado na modulação fora do trânsito, portanto, asinformações relacionadas a latitude são perdidas, fornecendo somente informações re-ferente às longitudes. Indicações da presença de longitudes ativas e suas migraçõespodem fornecer informações sobre rotação diferencial (RODONO; LANZA; CATA-LANO, 1995).

Capítulo 1. Introdução 17

Neste trabalho serão apresentados os resultados obtidos pela aplicação dos doismétodos para as estrelas Kepler-17 e Kepler-63. A tese está organizada da seguintemaneira:

∙ No Capítulo 2, apresentaremos uma breve revisão sobre o Sol e outras estrelas,explicando sobre as manchas e os métodos de detecção.

∙ No Capítulo 3, descreveremos os métodos que aplicaremos nas estrelas Kepler-17e Kepler-63.

∙ No Capítulo 4, mostraremos as informações sobre as estrelas analisadas nestetrabalho, descrevendo brevemente a missão espacial Kepler da qual obtivemosas curvas de luz.

∙ No Capítulo 5, mostraremos a aplicação dos dois métodos para as duas estrelas.

∙ No Capítulo 6, apresentaremos os resultados obtidos neste trabalho, e finalmente

∙ No Capítulo 7, apresentaremos nossas conclusões e perspectivas futuras para estetrabalho.

2O Sol e outras estrelas

2.1 O Sol

Devido à sua proximidade, o Sol é a estrela que melhor pode ser estudada, tra-zendo inúmeras informações sobre o comportamento de uma estrela. O avanço tecno-lógico permitiu a construção de instrumentos detectores em diferentes comprimentosde ondas em satélites e balões, evitando a absorção, total ou parcial, de diferentes fai-xas do espectro da radiação solar na atmosfera. Isso permitiu a descoberta que o Solemite radiação contínua ao longo de todo o espectro eletromagnético.

Conforme apresentado na Figura 1, o Sol apresenta duas regiões distintas: ointerior e a atmosfera. O interior é composto por:

∙ Núcleo - onde ocorrem as reações nucleares;

∙ Zona radiativa - onde o transporte de energia é realizado através da radiação;

∙ Tacoclina - camada onde atua o dínamo solar;

∙ Zona convectiva - onde o transporte de energia é feito por convecção.

A atmosfera apresenta:

∙ Fotosfera - camada mais baixa da atmosfera solar, sua base é conhecida por su-perfície solar;

∙ Cromosfera - camada intermediária da atmosfera solar;

∙ Região de transição - região muito fina e irregular. A temperatura sobe de 20000𝐾 para mais de um milhão de Kelvin na base da coroa;

∙ Coroa - camada mais externa da atmosfera solar.

Capítulo 2. O Sol e outras estrelas 19

Figura 1 – Estrutura do Sol identificando o interior e sua atmosfera.

As estrelas são formadas de gases e por isso não apresentam uma superfícieno sentido literal da palavra. No caso solar, a superfície é definida pela camada ondenão é mais possível enxergar a emissão de camadas interiores, sendo assim a regiãocompletamente opaca à emissão visível.

Ondas sonoras no Sol são produzidas pelas flutuações de pressão dos movi-mentos turbulentos na camada convectiva. De maneira análoga aos geólogos que uti-lizam as ondas sísmicas de terremotos para obter informações do interior da Terra, épossível inferir alguns detalhes da estrutura interna do Sol, como temperatura, densi-dade, composição e movimentos dos gases no interior solar. Esta técnica é conhecidapor heliossismologia, a qual fornece informações sobre o interior solar.

O interior é estabelecido como a região que vai do centro até a superfície solar.O núcleo, camada mais interna, contém aproximadamente 10 % da massa solar e apro-ximadamente um quarto do raio solar. Nele ocorrem as reações termonucleares (fusãode 4 núcleos de Hidrogênio em um núcleo de Hélio), fonte de energia do Sol, com umatemperatura de 1,5 × 107 𝐾.

Estendendo-se de 25% até 70 % do raio solar, encontra-se a zona radiativa. Nelao transporte da energia das fusões nucleares produzidas no núcleo para fora acontecepor radiação. A temperatura do plasma nesta camada diminui de dentro para fora de7 × 106 𝐾 para 2 × 106 𝐾.

No topo da camada radiativa, a absorção da radiação se torna significativa, im-pedindo o transporte da energia radiativa, fazendo com que o transporte de energiaseja predominantemente por convecção. Esta camada é conhecida por convectiva etermina na superfície, onde a temperatura é de 5780 𝐾.


Entre as camadas radiativa e convectiva, existe a tacoclina, uma camada muitofina em comparação ao raio solar (< 1% do raio). Estudos indicam que as bruscas mu-danças na velocidade do plasma nesta camada amplificam grande parte do campomagnético solar através de um processo de dínamo.

O campo magnético solar é gerado em seu interior devido aos fluxos de partí-culas eletricamente carregadas. O campo magnético solar pode ser dividido em duascomponentes. Nas manchas solares encontra-se o mais intenso e compacto (que podechegar a milhares de Gauss), enquanto o mais fraco (da ordem de alguns Gauss) possuidimensão muito maior, com forma aproximada de um dipolo.

Acima da superfície solar, encontramos a atmosfera solar, região bastante rare-feita e analisada em diversos comprimentos de ondas, revelando importantes infor-mações sobre sua composição e sua estrutura, uma vez que a emissão é diferente paracada altura da atmosfera. A atmosfera do Sol é dividida por camadas de acordo comsua temperatura e densidade.

A fotosfera é uma camada muito estreita, apenas 300 𝑘𝑚. Apresenta uma tem-peratura efetiva de aproximadamente 5780 𝐾 em sua base, sendo relativamente fria econhecida como superfície visível do Sol. Esta superfície apresenta um padrão de gra-nulação causado pelo movimento convectivo dos gases. Além dos grânulos, podemosobservar na fotosfera estruturas como as manchas solares e as fáculas.

A cromosfera, localizada acima da fotosfera, pode ser observada durante eclip-ses solares totais, apresentando uma cor avermelhada. Esta camada também pode serobservada em comprimentos de onda milimétricos na faixa rádio ou com estreitos fil-tros no visível, como H-alfa. O gás desta camada apresenta uma temperatura de deze-nas de milhares de Kelvin.

Coroa é a camada mais externa, permeando todo o meio interplanetário. Possuitemperaturas entre 2 e 4 milhões de Kelvin. Na faixa do visível, ela pode ser observadadurante eclipses ou com a utilização de um coronógrafo. Normalmente ela é observadaem raios X devido às suas altas temperaturas. Na interface da cromosfera com a coroaencontra-se a "região de transição". Esta região é uma camada muito estreita, com apro-ximadamente 100 𝑘𝑚, onde ocorrem bruscas mudanças na temperatura e densidade.

2.1.1 Rotação diferencial solar

O período de rotação médio do Sol é de 27 dias com o sentido da rotação con-vencionado como sendo de leste para oeste. Porém, o Sol não gira como um corporígido. Por ser composta por gases, a estrela apresenta uma taxa de rotação que variade acordo com a latitude. Este fenômeno é conhecido como rotação diferencial, queocorre já no interior solar desde a zona convectiva, sendo que as regiões próximas ao


equador solar giram mais rápido, com um período de 24 dias, enquanto que nas regiõespróximas aos polos, o período é maior, de aproximadamente 31 dias. Este fenômenopode ser percebido monitorando-se diariamente as manchas solares e outros fenôme-nos da superfície no disco solar em diversas latitudes. A rotação diferencial do Sol éum ingrediente fundamental para o dínamo solar.

A alta condutividade elétrica do plasma solar faz com que as linhas de campomagnético acompanhem o movimento do plasma, sendo alongadas em regiões próxi-mas ao equador e consequentemente "enroladas" ao redor do Sol (ver Figura 2) (SILVA,2006).

Figura 2 – Ilustração do dínamo solar. As linhas de campo magnético próximas do mínimo solar (a) sãoalongadas pela rotação diferencial (b) para formar um campo toroidal (c). Emersão de tubos em direçãoa superfície solar (d) e formação de regiões ativas (e). Regeneração do campo poloidal com inversão depolaridade (f). Este processo tem aproximadamente 11 anos.

Fonte: https://www.researchgate.net/publication/268372603_A_FORECAST_OF_REDUCED_SOLAR_ACTIVITY_AND_ITS_IMPLICATIONS_FOR_NASA.

Um tubo de fluxo magnético é uma região de forma cilíndrica que contém cam-pos magnéticos intensos. Possuem diâmetros que variam de aproximadamente 300 𝑘𝑚

até 2000 𝑘𝑚 e são menos densos do que o plasma ao seu redor. Os tubos emergem emdireção à superfície solar por serem menos densos que o plasma ao redor e no cami-nho de subida através da camada convectiva, a força de Coriólis devido à rotação solartorce as linhas de campo magnético. A ação da rotação diferencial junto a esta torçãoamplifica o campo magnético dentro dos tubos. Eventualmente, uma alça do tubo defluxo atravessa a superfície solar, gerando a formação de manchas solares. Este modeloé conhecido como modelo de Babcock (SILVA, 2006).

O campo magnético solar é regenerado constantemente, indicado pela sua in-


versão de polaridade a cada 11 anos. O dínamo solar é o mecanismo responsável porgerar continuamente o campo magnético solar. A energia para gerar o campo magné-tico solar é obtida a partir da energia cinética de fluxos de gases quentes e ionizadoscausados pela rotação solar. Portanto, é o movimento do plasma no interior do Sol queimpulsiona o dínamo solar. Este processo ocorre na fina camada tacoclina, onde existeum forte cisalhamento devido à mudança na velocidade de rotação.

2.1.2 Manchas solares

A fotosfera solar não é homogênea. Estruturas como manchas e fáculas apare-cem e evoluem na superfície do Sol. As manchas solares são locais de alta concentra-ção de campos magnéticos que interferem na transferência de energia proveniente dacamada convectiva, fazendo com que as manchas fiquem mais frias que a fotosfera cir-cundante, com temperaturas da ordem de 3500 - 4500 𝐾. Elas possuem duas regiõesmarcantes, uma mais escura, conhecida por umbra, envolvida por outra região, cha-mada de penumbra. A Figura 3 mostra a foto de uma mancha solar com alta resoluçãoespacial. Já as fáculas causam um aumento no fluxo total emitido, pois são áreas muitobrilhantes. Elas são formadas devido à concentração de linhas do campo magnéticoem um tubo de paredes com altas temperaturas, sendo vistas com maior facilidade emregiões próximas ao limbo solar.

Figura 3 – Mancha solar obtida com o New Solar Telescope do Big Bear Solar Observatory, Califórnia,EUA. Parte central mais escura (umbra), circundada por uma região mais clara (penumbra).

Fonte: https://news.nationalgeographic.com.

O Sol não apresenta um número constante de manchas ao longo do tempo. Omonitoramento do número das manchas ao longo de décadas mostrou que o número


varia com um ciclo de aproximadamente 11 anos conhecido como ciclo solar. A Fi-gura 4 apresenta o ciclo de 11 anos para os últimos 3 séculos.

Figura 4 – O ciclo de 11 anos observado através do índice de manchas solares.

Fonte: (NASA, 2017).

As manchas solares geralmente surgem em uma determinada faixa de latitude.No início do ciclo solar, quando as manchas começam a reaparecer no disco solar, elastendem a surgir em latitudes mais altas (30∘ a 40∘). No decorrer do ciclo, as novasmanchas tendem a surgir em latitudes cada vez mais próximas ao equador solar, entre5∘ e 10∘. Esta tendência é conhecida como lei de Spörer. Convém notar que manchasolar, durante o seu tempo de vida, não altera sua latitude em relação ao disco solar. Odiagrama da Figura 5 é conhecido por diagrama da borboleta. Nele é possível observara evolução da posição das manchas ao longo dos ciclos entre os anos de 1825 até 1867.

Poucas manchas são visíveis durante o mínimo do ciclo solar, eventualmente hádias em que nenhuma é detectada. Durante o mínimo de cada ciclo, ocorre a inversãodos polos magnéticos solares. Dessa forma o ciclo magnético total é de aproximada-mente 22 anos, quando o campo magnético retorna à configuração original.

As observações das manchas solares mostraram que seu tempo de vida pode


Figura 5 – Diagrama da borboleta mostrando a posição de surgimento de manchas solares ao longo dosanos. (ARLT et al., 2013)

variar bastante, de horas a meses, durando normalmente dias (THOMAS; WEISS, 2012).Apresentam também uma grande variedade de tamanhos, podendo atingir 60000 𝑘𝑚

de diâmetro ou mais, sendo visíveis a olho nu sob condições especiais, como durante opôr do Sol de um dia nebuloso. Mais comuns, as manchas pequenas possuem diâmetrode 3500 𝑘𝑚 (SOLANKI, 2003).

2.2 Estrelas

Outras estrelas também podem apresentar sinais de atividade periódica. Atu-almente, a limitação da tecnologia não nos permite observar diretamente manchas si-milares às solares na superfície de outras estrelas. Devido à falta de resolução espacial,a única forma de detectar as manchas estelares é de forma indireta, utilizando, porexemplo o método de trânsito planetário, onde um planeta transita em frente ao discoestelar, eclipsando eventualmente uma mancha.

Estrelas do tipo solar são estrelas semelhantes ao Sol em massa e estado evo-lutivo. Isto significa que estas estrelas possuem estruturas similares, e que a presençade uma camada convectiva é importante. A interação da rotação com a convecção écrucial para a ocorrência de fenômenos que associamos ao Sol (SODERBLOM; KING,1998).


2.2.1 Trânsitos planetários

No século XVII, foram observados os trânsitos de Mercúrio e Vênus em frenteao Sol, porém somente depois de três séculos foram detectados trânsitos de planetasextrassolares em torno de suas estrelas hospedeiras. Planetas que orbitam uma estrelaque não o Sol são conhecidos por planetas extrassolares ou exoplanetas.

CoRoT e Kepler são satélites que monitoraram dezenas de milhares de estrelas,sendo responsáveis pela detecção da maioria dos exoplanetas pelo método de trânsito.O projeto CoRoT (BARGE et al., 2008) foi desenvolvido pela Agência Espacial Francesa(CNES), em conjunto com vários laboratórios franceses e parceiros internacionais, en-tre eles o Brasil. Durante sua missão, CoRoT obteve aproximadamente 160 mil curvasde Luz. O satélite Kepler (BORUCKI et al., 2010), projetado pela NASA com o objetivoprincipal de encontrar um ou mais planetas em condições similares às da Terra, mo-nitorou aproximadamente 150 mil estrelas simultânea e continuamente, até maio de2013 quando perdeu o segundo giroscópio. Após esta fatalidade, teve início a missãoK2. A variação do sinal fotométrico da estrela é um dos métodos utilizados na detec-ção destes planetas, sendo responsável pela descoberta de mais de 2900 até o presente(exoplanet.eu, acessado em: 19 set. 2019.)

O trânsito ocorre quando o planeta cruza diante da estrela de maneira seme-lhante a um eclipse, ocorrendo uma pequena variação na curva de luz. Conforme oplaneta oculta parcialmente o disco estelar, o brilho aparente da estrela diminui leve-mente, chamado de trânsito do planeta. A profundidade do trânsito possibilita deter-minar o raio do planeta. Também é possível obter parâmetros orbitais como período,o semieixo maior e o ângulo de inclinação. Na Figura 6 é apresentada a simulação deum trânsito planetário em frente à imagem de uma estrela.

2.2.2 Manchas estelares

Métodos para a detecção de manchas na superfície de estrelas têm avançadorapidamente nas últimas duas décadas. Técnicas têm sido desenvolvidas para poderdeterminar as características físicas das manchas, como raio, intensidade e sua loca-lização na superfície estelar. Com isso, é possível determinar a rotação diferencial dasuperfície da estrela utilizando as manchas, do mesmo modo que fazemos com o Sol.

Entre os métodos utilizados para estudar as manchas estelares, estão: análisede imagens Doppler a partir de linhas espectrais (STRASSMEIER, 2009), trânsito pla-netário (SILVA, 2003) e modulação da curva de luz (LANZA; BONOMO; RODONÒ,2007).

O primeiro método citado, análise das imagens Doppler é a técnica de tomogra-fia baseada na espectroscopia de alta resolução. Sua aplicação é adequada para estrelas


Figura 6 – Ilustração de um trânsito planetário em frente à estrela. Abaixo a correspondente diminuiçãoda intensidade na curva de luz da estrela.

Fonte: (SCI.ESA.INT, 2015).

com altas taxas de rotação. As manchas, por serem mais frias que o resto da superfície,geram uma distorção visível na curva característica das linhas de absorção. Essas dis-torções dos comprimentos de ondas vão do azul para o vermelho ao longo da curvacaracterística dado o movimento das manchas em relação ao hemisfério visível porcausa da rotação estelar (STRASSMEIER, 2009) (ver Figura 7).

Figura 7 – Análise de imagens Doppler. As manchas causam uma deformação na linha de absorção.(STRASSMEIER, 2009)

O método de trânsito planetário também pode detectar manchas na superfície


de outras estrelas. Neste caso, é necessário que estas estrelas possuam um planeta quetransite em frente à mesma. Este método analisa a curva de luz durante o trânsito deum planeta em frente à sua estrela hospedeira, possibilitando também detectar umapequena variação na curva de luz assim que o planeta eclipsa uma mancha no discoestelar. Essas pequenas assinaturas fornecem parâmetros físicos das manchas estelares.O modelo de SILVA (2003), por exemplo, mostra como essa leitura dos parâmetrospode ser feita, utilizando um modelo de manchas circulares e de brilho constante. NaFigura 8 temos um exemplo do modelo. Longos períodos de observação podem servirpara determinar o ciclo periódico de atividade da estrela através do monitoramentodas manchas (ESTRELA; VALIO, 2016).

Figura 8 – 100∘ trânsito do planeta Kepler-17b. Topo: Imagem sintetizada da estrela com 3 manchas. Oplaneta é representado por um disco preto. Meio: Curva de luz do trânsito (preto), modelo de trânsitopara uma estrela sem manchas (azul) e ajuste de uma curva de luz com 3 manchas (vermelho). As linhasverticais tracejadas limitam o trecho do trânsito ajustado em ±70∘ da longitude estelar.

Fonte: Eleborado pelo autor.

Curvas de luz de longa duração normalmente oferecem a mais extensa e con-tínua base de dados para o estudo de manchas estelares. As manchas estelares cau-sam modulações de fluxo na curva de luz fora do trânsito (ver Figura 9). É possívelobter a variação da área da superfície estelar coberta por manchas analisando essasmodulações (RODONO; LANZA; CATALANO, 1995). Esta variação periódica do bri-lho da estrela possibilita obter informações sobre as localizações das longitudes ativas


onde preferencialmente se localizam as manchas estelares. O ajuste dessas variações épossível a partir de mapas regularizadores. No Método da Máxima Entropia (MME)(LANZA; BONOMO; RODONÒ, 2007), a superfície da estrela é subdivida em 200 ele-mentos quadrados com variações no fator de preenchimento para reproduzir o modelorotacional. A Figura 9 mostra o resultado deste modelo para a estrela CoRoT-2, ondeos resíduos são mostrados no painel inferior da figura (LANZA et al., 2009).

Figura 9 – Curva de luz da estrela CoRoT-2, na qual foi aplicado o Método da Máxima Entropia (curvasólida) (LANZA et al., 2009). Os resíduos do ajuste são mostrados no painel inferior.

As técnicas mencionadas anteriormente, dentre outros métodos, demonstraramque estrelas do tipo solar possuem manchas com temperatura entre 4900 a 6400 𝐾,podendo ocupar entre 1 a 40 % do disco estelar (BERDYUGINA, 2005). Resultados dasanálises fotométricas e de imageamento Doppler indicaram que o tempo de vida demanchas individuais variam desde alguns meses até mais de seis anos. (HENRY et al.,1995). Nenhuma correlação entre a duração da mancha com o tipo espectral da estrelafoi encontrada (THOMAS; WEISS, 2012).

3Metodologia

Dois métodos distintos para o estudo de manchas foram utilizados neste traba-lho. O primeiro, método desenvolvido por SILVA (2003), se baseia no trânsito plane-tário. Com este método é possível caracterizar fisicamente as manchas de uma estrela.O segundo método que utiliza os dados fotométricos fora do trânsito foi apresentadopor LANZA et al. (2003).

3.1 Método de trânsitos

Um dos métodos utilizados neste trabalho foi o modelo apresentado por SILVA(2003). Este modelo simula o trânsito de um planeta, objeto opaco, em frente à imagemsintetizada de uma estrela. Durante este trânsito há uma diminuição periódica de bri-lho na curva de luz. Na simulação, o planeta é representado por um disco opaco de raio𝑅𝑝/𝑅⋆, onde 𝑅𝑝 é o raio do planeta e 𝑅⋆ é o raio da estrela. A órbita devido à proximi-dade entre os objetos é considera circular. Para diversos instantes de tempo a posiçãodo planeta na órbita é calculada de acordo com os parâmetros orbitais: período, ân-gulo de inclinação e o semieixo maior. O modelo permite também que o trânsito sejaoblíquo, ou seja, quando o trânsito não é paralelo ao equador da estrela.

Assim como o Sol, devido à sua forma esférica, as outras estrelas não apresen-tam uma distribuição uniforme do brilho do disco. Este fenômeno é conhecido porobscurecimento do limbo, o que ocorre devido ao gradiente negativo de temperaturaapresentado na fotosfera, a qual diminui com a altura. Desta forma, as estrelas apre-sentam um brilho central maior que as suas bordas conforme a expressão mostradapor BROWN et al. (2001):

𝐼(𝜇)

𝐼(1)= 1− 𝜔1(1− 𝜇)− 𝜔2(1− 𝜇)2 (3.1)

onde 𝜇 é o cosseno do ângulo entre a linha de visada e a normal à superfície local

Capítulo 3. Metodologia 30

da estrela. Diferentemente do Sol, que apresenta um obscurecimento de limbo linear(𝜔2 = 0), algumas estrelas apresentam obscurecimento de limbo quadrático (e.g HD209458; (BROWN et al., 2001), ver Figura 10). Os valores dos coeficientes são 𝜔1 = 0, 59

para o Sol (caso linear) e 𝜔1 = 0, 2925, 𝜔2 = 0, 3475 para a estrela HD 209458 (casoquadrático).

Figura 10 – Imagem sintetizada da estrela HD 209458 com obscurecimento de limbo quadrático. O pla-neta é representado por um disco preto. A linha pontilhada indica o trânsito do planeta (VALIO, 2013).

A simulação é ajustada para uma curva de luz de uma estrela que apresentauma diminuição periódica de brilho, causada por um planeta que transita a estrela.Este modelo também permite adicionar manchas circulares no disco estelar, possibi-litando sua caracterização, segundo SILVA (2003). Os parâmetros das manchas sãoescolhidos através do melhor ajuste dos dados realizado pelo método dos mínimosquadrados, como veremos na próxima seção.

3.1.1 Características das manchas

Por serem regiões mais frias, as manchas são mais escuras que o disco ao redor.Quando o planeta bloqueia uma região mais fria, gera uma diminuição de intensi-dade menor do que quando bloqueia uma região sem manchas. Devido a este motivo,quando ocultadas, as manchas geram um pequeno aumento na intensidade duranteum período muito curto do trânsito. Esta variação de intensidade depende da razãoda área da mancha pela área do planeta em trânsito e do contraste do brilho da man-cha com relação ao do disco estelar. O modelo também considera os efeitos de projeçãoquando as manchas estão próximas ao limbo da estrela.


A órbita, considerada circular, quando projetada sobre o disco da estrela deter-mina a faixa de latitude de trânsito. Manchas escuras são adicionadas à imagem daestrela uma a uma, ao longo da faixa do trânsito, e as suas características físicas sãodeterminadas pelo ajuste da curva de luz.

Em intervalos de tempo, menores do que a duração do trânsito, a posição doplaneta é calculada e um disco opaco é posicionado neste lugar. Todos os pixels daimagem são somados fornecendo a intensidade da curva de luz naquele instante detempo específico. Desta forma, a mancha é modelada como sendo um pequeno discocircular que apresenta as seguintes propriedades:

∙ Tamanho: raio, em unidades do raio do planeta, 𝑅𝑝;

∙ Intensidade: fração da intensidade máxima do brilho da estrela (no centro dodisco); e

∙ Posição: longitude e latitude.

A intensidade pode ser convertida para temperatura da mancha considerandoque tanto a mancha como a superfície da estrela irradiem como um corpo negro.(SILVA-VALIO et al., 2010). A temperatura da mancha, 𝑇𝑚, é estimada como:

𝑇𝑚 =ℎ𝜈

𝐾𝐵

⎡⎣ln

⎛⎝1 +

eℎ𝜈

𝐾𝐵𝑇𝑒𝑓𝑓 − 1

𝑓𝑖

⎞⎠⎤⎦

−1

, (3.2)

onde 𝐾𝐵 e ℎ são as constante de Boltzmann e de Planck, respectivamente, 𝜈 é a frequên-cia da observação, 𝑓𝑖 é a fração da intensidade da mancha em relação à intensidadecentral da estrela 𝐼𝐶 , e 𝑇𝑒𝑓𝑓 é a temperatura efetiva da estrela.

Somente as manchas que se encontram em longitudes ± 70∘ são consideradasneste modelo. Isto evita as distorções no ingresso e egresso na curva de luz do trânsitoque não podem ser modeladas corretamente devido à grande variação no brilho daestrela observada nestas partes durante o trânsito. (SILVA-VALIO et al., 2010).

3.1.2 Ajuste

O ajuste da curva de luz observada é realizado da seguinte forma:

∙ Primeiro, cada ponto da curva de luz simulada é resultado das integrações de in-tensidade para cada posição do planeta durante o trânsito, incluindo a ocultaçãoda mancha.;


∙ O 𝜒2 entre as observações e a curva de luz simulada é computado a fim de estimaros valores dos parâmetros físicos das manchas a partir da minimização de 𝜒2;

∙ A cada iteração, uma nova simulação é feita com diferentes parâmetros, e nova-mente o 𝜒2 é avaliado. O conjunto de parâmetros que produzir o menor valor de𝜒2 é considerado o melhor ajuste.

O chute inicial para obter as características físicas das manchas pode ser feitopor um processo manual, apontando os valores de longitude para 𝑛 manchas por trân-sito ou utilizando o algoritmo genético PIKAIA (CHARBONNEAU, 1995). Os algorit-mos genéticos são uma classe de técnicas de busca inspirados no processo de evolu-ção biológico por meio da seleção natural. Para obter o ajuste final é utilizada a rotinaAMOEBA (PRESS et al., 1992), que realiza uma minimização multidimensional de umafunção.

O monitoramento de trânsitos planetários sucessivos pode ser útil para obterinformações sobre a evolução das manchas e sobre a rotação estelar (SILVA-VALIO,2008). Com longos períodos contínuos de observação de uma mesma estrela pode-seter uma estimativa do ciclo de atividade da mesma, similar ao ciclo de 11 anos solar.(ESTRELA; VALIO, 2016).

Até o presente, este método foi aplicado às estrelas HD 209458 (SILVA, 2003),CoRoT-2 (SILVA-VALIO et al., 2010), (SILVA-VALIO; LANZA, 2011), CoRoT-4, CoRoT-5, CoRoT-6 (VALIO, 2013), Kepler-17 (VALIO et al., 2017) e Kepler-71 (ZALESKI et al.,2019).

3.1.3 Mapa da superfície estelar

Uma vez obtidos os ajustes das características físicas das manchas é possíveldeterminar as partes ocultadas da superfície pelo planeta durante cada trânsito. Agru-pando as bandas da superfície nas latitudes eclipsadas pelo planeta durante cada trân-sito, um "mapa" da superfície estelar é construído. Neste "mapa" a latitude é fixa (cor-responde à faixa do disco estelar eclipsada pelo planeta). O eixo x descreve a posiçãodas manchas em longitude, enquanto que o eixo y é o tempo para cada trânsito.

Na Figura 11 temos o mapa da superfície da estrela CoRoT-2 para um períodode 1,74 dias que corresponde ao período orbital do planeta CoRoT-2b (SILVA-VALIO;LANZA, 2011). O tamanho dos círculos representa o tamanho relativo das manchas, acor a intensidade, onde os pontos mais escuros são as mais escuras ou frias.


Figura 11 – Mapa da superfície da estrela CoRoT-2 construído a partir dos ajustes das manchas nas ob-servações dos seus 77 trânsitos. Os tamanhos dos círculos representam o diâmetro relativo das manchase as cores a intensidade. O painel inferior é o déficit de fluxo das manchas integrado no tempo em funçãoda longitude (SILVA-VALIO; LANZA, 2011).

3.1.4 Período rotacional da estrela na latitude do trânsito

Para estimar o valor médio da rotação estelar é utilizado o periodograma Lomb-Scargle aplicado a sua curva de luz. Este método é utilizado para estimar um espectrode frequências, baseado no ajuste de mínimos quadrados de senóides para amostras dedados. É similar à análise de Fourier, porém minimiza o problema de aumento de ruídopara amostragens temporais irregulares. O método de Lomb-Scargle foi desenvolvidopor Nicholas R. Lomb e melhorado por Jeffrey D. Scargle (SCARGLE, 1982).

Com os parâmetros das manchas obtidos através da aplicação do modelo des-crito anteriormente é possível, caso seja detectada uma mesma mancha em mais de umtrânsito, estimar a rotação da estrela para uma dada latitude (SILVA-VALIO, 2008).

Detectar uma mesma mancha em diversos trânsitos possibilita o cálculo do pe-ríodo rotacional em uma dada latitude. A Figura 12 é uma simulação de 12 trânsi-tos para uma estrela como CoRoT-6 com 4 manchas em sua superfície (VALIO, 2013).Nesta simulação as posições das manchas são fixas na superfície da estrela enquanto o


raio da mancha pode variar no tempo. A imagem da direita apresenta as 12 curvas deluz geradas pela simulação do trânsito planetário que eclipsa as manchas da superfícieda estrela.

Entretanto, para podermos estudar o perfil de rotação da estrela, precisamosposicionar todas as manchas em um referencial que rotacione junto com a estrela. Paraisso é preciso determinar a longitude rotacional de cada mancha, 𝛽𝑟𝑜𝑡, que é calculada apartir da longitude topocêntrica da mancha na superfície da estrela, 𝛽𝑡𝑜𝑝𝑜, em relação aoreferencial fixado no observador (sendo a longitude zero a projeção da linha-de-visadadurante o meio do primeiro trânsito) (VALIO, 2013). A relação é dada pela expressão:

𝛽𝑟𝑜𝑡 = 𝛽𝑡𝑜𝑝𝑜 − (360∘)𝑛𝑃𝑜𝑟𝑏

𝑃𝑠𝑡𝑎𝑟

, (3.3)

Figura 12 – Esquerda: Manchas na superfície da estrela simuladas durante 12 trânsitos consecutivos.Direita: As 12 curvas de luz referente a simulação das manchas na superfície da estrela.(VALIO, 2013)

onde 𝑛 é o número de trânsitos, 𝑃𝑜𝑟𝑏 é o período orbital do planeta, em dias, e 𝑃𝑠𝑡𝑎𝑟 é operíodo rotacional da estrela na latitude do trânsito.

O objetivo é variar 𝑃𝑠𝑡𝑎𝑟 até que uma mesma mancha observada em sucessivostrânsitos seja configurada em uma linha vertical por estarem na mesma longitude nomapa da superfície estelar medida no referencial que gira com a estrela. Desta forma épossível determinar o período rotacional da estrela para a latitude deste trânsito pla-netário.

Utilizamos uma função de contraste total, ou déficit de fluxo das manchas, emfunção da longitude, integrado no tempo para todos os trânsitos a fim de determinar operíodo de rotação de forma automática (painel inferior da Figura 11). Esta função é a


soma do fluxo das manchas para uma dada banda de longitude para todos os trânsitos.O valor do período de rotação, 𝑃𝑠𝑡𝑎𝑟, é variado para gerar diversas funções de déficit defluxo das manchas no tempo (painéis inferiores da Figura 13). Calcula-se então a fun-ção de auto-correlação deste déficit de fluxo (painel esquerdo da Figura 14). O períodode rotação é determinado a partir da largura do pico da função de auto-correlaçãoobtido a partir da medida à meia altura do pico (FWHM). Aquele que corresponde àfunção mais estreita da auto-correlação é escolhido como sendo o período de rotaçãopara aquela latitude. As meias larguras da função de autocorrelação do déficit de fluxoestão graficadas no painel da direita da Figura 14. A linha vertical sólida representaa média do período de rotação da estrela de 6,35 dias, enquanto que a linha tracejadaindica o valor que resultou na função mais estreita da auto-correlação e, por isso, esco-lhido para representar o período de rotação na latitude do trânsito, 6,03 dias.

Figura 13 – Mapas de superfície estelar da simulação para 4 diferentes períodos de rotação. No painelinferior são mostrados os déficits de fluxo (VALIO, 2013).

Com o período de rotação da estrela determinado para uma dada latitude, épossível construir um mapa da superfície estelar desta latitude em função do tempo,tendo as longitudes das manchas em relação a um sistema de referência que rotacionacom a estrela. O mapa da superfície da estrela CoRoT-2, onde é considerado um refe-rencial que rotaciona com a estrela é apresentado na Figura 15. Neste mapa é possível


Figura 14 – Esquerda: Função de autocorrelação para os déficits de fluxo da Figura 13. Direita: Largurados picos das funções de auto-correlação (VALIO, 2013).

observar uma sequência de manchas em trânsitos consecutivos que formam uma linhavertical durante pequenos intervalos de tempo (exemplos estão destacados por retân-gulos vermelhos). O tempo de vida das manchas pode ser estimado com observaçõessequenciais de manchas em trânsitos consecutivos (NETTO, 2013).

Figura 15 – Mapa da superfície da estrela CoRoT-2 construído a partir dos ajustes das manchas nas obser-vações dos seus 77 trânsitos, levando-se em conta um referencial que rotaciona com a estrela. Exemplosde evoluções de uma mesma mancha são destacados por um retângulo vermelho (NETTO, 2013).

3.1.5 Rotação diferencial das estrelas

Resultados, como o apresentado por REINHOLD e ARLT (2015), demonstramque estrelas do tipo-solar também apresentem rotação diferencial, onde cada latitude


da estrela apresenta uma taxa de rotação diferente. No caso do Sol, o equador giramais rápido, com um período médio de 24 dias enquanto que nos polos, o período éde aproximadamente 31 dias.

O período de rotação obtido a partir de detecção de manchas em trânsitos con-secutivos, para um planeta com órbita coplanar ao equador da estrela, é valido parauma latitude específica. Utilizando uma análise de Fourier ou Lomb-Scargle em curvasde luz de estrelas é possível obter o período médio de rotação. Modulações nas curvasde luz, causadas por estruturas na superfície estelar, podem fornecer uma média dosperíodos em todas as latitudes. O MME (LANZA et al., 2009; LANZA, 2010) utilizaestas modulações nas curvas de luz para calcular um período de rotação.

Usando os valores destes dois períodos de rotação, rotação média e período derotação para uma dada latitude, 𝛼1, podemos determinar o perfil de rotação diferencialde uma estrela. Como primeira hipótese, consideramos que a estrela apresenta umperfil de rotação diferencial similar ao do Sol:

Ω = 𝐴 − 𝐵 sin2(𝛼) (3.4)

sendo 𝑃 = 2𝜋/Ω, o período de rotação. As constantes A e B são obtidas do sistemaabaixo supondo manchas de 0∘ a 90∘, conforme demonstrado por ZALESKI et al. (2019):

Ω0 = 𝐴 − 𝐵/2 (3.5)

Ω1 = 𝐴 − 𝐵 sin2(𝛼1) (3.6)

A rotação diferencial da estrela, medida em radianos por dia (𝑟𝑎𝑑/𝑑), é dada porΔΩ = Ω𝑒𝑞 − Ω𝑝𝑜𝑙𝑜, enquanto a rotação diferencial relativa, em %, é dada por ΔΩ/Ω0.

ΔΩ = Ω𝑒𝑞 − Ω𝑝𝑜𝑙𝑜 (3.7)

Ω𝑒𝑞 = Ω(𝑙𝑎𝑡 = 0) = 𝐴 (3.8)

Ω𝑝𝑜𝑙𝑜 = Ω(𝑙𝑎𝑡 = 90∘) = 𝐴 − 𝐵 (3.9)

Logo:

ΔΩ = 𝐵 (3.10)

A partir dos valores de 𝐴 e 𝐵, pode-se calcular a rotação diferencial relativaΔΩ/Ω0(%), onde Ω0 = 2𝜋/𝑃⋆ é a rotação média da estrela.


SILVA-VALIO e LANZA (2011) construíram o perfil de rotação diferencial emfunção da latitude para a estrela CoRoT-2. A Figura 16 apresenta o resultado obtidopara CoRoT-2 (linha sólida) e o Sol (linha tracejada).

Figura 16 – Perfil de rotação da estrela CoRoT-2 (linha sólida) e do Sol (linha pontilhada). O diamantemostra o valor do período de rotação para latitude do trânsito.(VALIO, 2011)

3.2 Modulação rotacional do fluxo

O modelo de máxima entropia, desenvolvido por LANZA, BONOMO e RO-DONÒ (2007), é um método para reconstrução da distribuição de brilho a partir damodulação rotacional do fluxo estelar. Esta reconstrução é um problema mal-posto,porque apresenta apenas informações da distribuição das regiões ativas vs. longitude.As informações referentes às latitudes são perdidas na integração do disco estelar (BO-NOMO; LANZA, 2012). Na maioria dos casos é possível obter uma solução única se-lecionando um mapa de superfície que minimize o 𝜒2. Tal procedimento apresentaum resultado ruim porque a maioria das estruturas que aparecerão no mapa será doajuste de ruídos presentes nos dados que não equivalem a fenômenos reais da estrela.Portanto, para obter um mapa único e estável, é preciso fazer algumas suposições apriori no processo de inversão da curva de luz. Isto é realizado utilizando o modelo demáxima entropia.

3.2.1 Modelo de máxima entropia (MME)

Este modelo é baseado no uso de distribuições contínuas de regiões ativas parareproduzir os complexos padrões observados na superfície do Sol perto do máximo


do ciclo solar ou de estrelas mais ativas que o Sol. A superfície da estrela é subdivi-dida em 200 elementos quadrados de 18∘ de lado. Os elementos possuem fatores depreenchimento cujas intensidades variam para reproduzir a modulação rotacional dacurva de luz. Cada elemento contém fatores de preenchimento relativos à intensidadeda fotosfera calma, áreas de manchas e áreas de fáculas.

A estrela é descrita geometricamente conforme a Figura 17. Consideramos umaestrela esférica rotacionando com uma velocidade angular uniforme Ω em torno doeixo 𝑧. Adotamos um referencial cartesiano com a origem 𝑂 no baricentro da estrela.

Figura 17 – Figura ilustrativa indicando os ângulos utilizados no modelo geométrico para descrever aestrela.

Fonte: Elaborado pelo autor.

O plano 𝑥𝑦 contém o vetor unitário ̂︂𝑂𝐸 da origem ao observador. As suas com-ponentes cartesianas podem ser descritas como: ̂︂𝑂𝐸 = (sin 𝑖, 0, cos 𝑖), onde 𝑖 é a inclina-ção do eixo de rotação estelar para a linha de visada. Considerando o ponto 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧)

na superfície da estrela, sendo 𝜃 a colatitude e 𝜑 a longitude, as componentes carte-sianas de ̂︂𝑂𝑃 são: ̂︂𝑂𝑃 = (sin 𝜃 cos𝜑, sin 𝜃 sin𝜑, cos 𝜃). O vetor normal ̂︀𝑛 no ponto 𝑃 éparalelo a ̂︂𝑂𝑃 porque a estrela é esférica. Entretanto, 𝜑 é uma função linear do tempo 𝑡

por causa da rotação da estrela com velocidade angular Ω. Desta forma se a longitudede 𝑃 em um tempo 𝑡0 é 𝜑0, temos:

𝜑(𝑡) = 𝜑0 + Ω(𝑡 − 𝑡0), (3.11)

O ângulo 𝜓 entre a normal em 𝑃 e a direção do observador é dado pelo produtoescalar cos𝜓 = ̂︀𝑛 · ̂︂𝑂𝐸 = ̂︂𝑂𝑃 · ̂︂𝑂𝐸. Definindo 𝜇 ≡ cos𝜓 e substituindo ̂︂𝑂𝑃 e ̂︂𝑂𝐸 na


expressão, temos:

Δ𝜇 = sin 𝑖 sin 𝜃 cos[𝜑0 + Ω(𝑡 − 𝑡0)] + cos 𝑖 cos 𝜃. (3.12)

Considerando uma lei para o obscurecimento de limbo quadrático (GRAY, 2008)para uma fotosfera calma no comprimento de onda da observação:

𝐼𝑢(𝜇) = 𝐼0(𝑎 + 𝑏𝜇 + 𝑐𝜇2), (3.13)

onde 𝐼𝑢 é a intensidade específica para o comprimento de onda da observação; 𝐼0 é aintensidade no centro do disco estelar; 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são os coeficientes do obscurecimentode limbo. Note que esta lei de obscurecimento de limbo quadrático é ligeiramente di-ferente da Equação 3.1.

O fluxo proveniente do disco estelar de raio R é dado por:

𝐹𝑢 = 2𝜋𝑅2

∫︁ 𝜋/2

0

𝐼𝑢(cos𝜓) cos𝜓 sin𝜓𝑑𝜓 = 2𝜋𝑅2

∫︁ 1

0

𝐼𝑢(𝜇)𝜇𝑑𝜇, (3.14)

onde 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑅2 sin 𝜃𝑑𝜃 é a área na esfera entre 𝜃 e 𝜃 + 𝑑𝜃. Substituindo a Equação 3.13em Equação 3.14 e resolvendo a integral, encontramos o fluxo para uma estrela calma(sem manchas):

𝐹𝑢 = 𝜋𝑅2𝐼0(𝑎 +2

3𝑏 +

1

2𝑐). (3.15)

Considerando como um ponto as regiões ativas, área com manchas 𝐴𝑠 e áreacom fáculas 𝐴𝑓 , localizadas no mesmo ponto 𝑃 com 𝐴𝑠,𝐴𝑓 ≪ 𝜋𝑅2, temos que o fluxoperturbado produzido por esta região ativa é:

Δ𝐹 = Δ𝐹𝑠 +Δ𝐹𝑓 = 𝐴𝑠𝜇(𝐼𝑠 − 𝐼𝑢) + 𝐴𝑓𝜇(𝐼𝑓 − 𝐼𝑢), (3.16)

𝐼𝑠 e 𝐼𝑓 são as intensidades específicas da manchas e das fáculas, respectivamente. Ado-tando 𝐴 como a área de um elemento de superfície da estrela, definimos o fator depreenchimento das manchas 𝑓𝑠 e os das fáculas 𝑄𝑓 :

𝐴𝑠 ≡ 𝑓𝑠𝐴, 𝐴𝑓 ≡ 𝑄𝑓𝑠𝐴 = 𝑄𝐴𝑠, (3.17)

e seus contrastes de intensidade como:

𝑐𝑠 ≡(︂1− 𝐼𝑠

𝐼𝑢

)︂, 𝑐𝑓 ≡

(︂1− 𝐼𝑓

𝐼𝑢

)︂, (3.18)


onde 𝐼𝑠, 𝐼𝑓 e 𝐼𝑢 são dadas no mesmo ponto da fotosfera. Neste modelo, supomos que ocontraste da fácula tem dependência linear em relação a 𝜇, podendo ser expresso por𝑐𝑓 = 𝑐𝑓0(1 − 𝜇), apresentando seu valor máximo no limbo (𝜇 = 0) e zero no centro dodisco estelar (𝜇 = 1). Portanto, a variação do fluxo com a contribuição das regiões ativasé descrito como:

Δ𝐹 = 𝐴𝑠𝐼𝑢(𝜇)[−𝑐𝑠 + 𝑄𝑐𝑓0(1− 𝜇)]𝜇 = 𝑓𝑠𝐴𝐼𝑢(𝜇)[−𝑐𝑠 + 𝑄𝑐𝑓0(1− 𝜇)]𝜇, (3.19)

Neste modelo adotamos que a área das manchas 𝐴𝑠, os contrastes 𝑐𝑓 e 𝑐𝑠 e a razão asáreas de fáculas e manchas, 𝑄 = 𝐴𝑓/𝐴𝑠, são constantes.

O fluxo observado no tempo 𝑡 pode ser descrito como:

𝐹 (𝑡) = 𝐹𝑢 +Δ𝐹 (𝑡), (3.20)

a variação no tempo de Δ𝐹 (𝑡) ocorre devido à rotação da estrela que muda o fator deprojeção de 𝜇. A variação relativa do fluxo é dada por:

𝐹 (𝑡)

𝐹𝑢

= 1 +Δ𝐹 (𝑡)

𝐹𝑢

= 1 +𝐴𝑠𝐼𝑢(𝜇)

𝐹𝑢

[𝑄𝑐𝑓0(1− 𝜇)− 𝑐𝑠]𝜈(𝜇)𝜇, (3.21)

substituindo as Equações 3.13 e 3.15 na Equação 3.21, temos:

𝐹 (𝑡)

𝐹𝑢

= 1 +

(︂𝐴𝑠

𝜋𝑅2

)︂(︂𝑎 + 𝑏𝜇 + 𝑐𝜇2

𝑎 + 2𝑏/3 + 𝑐/2

)︂[𝑄𝑐𝑓0(1− 𝜇)− 𝑐𝑠]𝜈(𝜇)𝜇, (3.22)

onde 𝜈 é a visibilidade do elemento de superfície centrado no ponto 𝑃 definido como:

𝜈(𝜇) =

{︃1 se 𝜇 ≥ 0

0 se 𝜇 < 0(3.23)

Um exemplo ilustrativo da modulação rotacional produzida pelo modelo é apre-sentado na Figura 18. As fáculas são mais contrastantes no limbo do que as manchas,que são afetadas pelo efeito de foreshortening. Já no centro do disco, o contraste da fá-cula a torna menos importante, enquanto que as manchas se tornam dominantes.

Para uma distribuição contínua de regiões ativas temos que o fator de preenchi-mento 𝑓𝑘 indica a fração do 𝑘-ésimo elemento coberto por manchas escuras. A área fra-cionária da fácula é dada por 𝑄𝑓𝑘, e a área fracionária da superfície calma é 1−(𝑄+1)𝑓𝑘.A contribuição para o fluxo estelar vindo do 𝑘-ésimo elemento de superfície no tempo


Figura 18 – Figura ilustrativa da modulação rotacional produzida por uma região ativa composta pormancha e fácula (LANZA, 2016).

𝑡𝑗 , onde 𝑗 = 1, ...,𝑁 é um índice que numera 𝑁 pontos ao longo da curva de luz, édada por:

Δ𝐹𝑘𝑗 = 𝐼0(𝜇𝑘𝑗){1− (𝑄 + 1)𝑓𝑘 + 𝑐𝑠𝑓𝑘 + 𝑄𝑓𝑘[1 + 𝑐𝑓 (1− 𝜇𝑘𝑗)]}𝐴𝑘𝜇𝑘𝑗𝜈(𝜇𝑘𝑗), (3.24)

onde 𝐼0 é a intensidade específica no contínuo da fotosfera calma no comprimento deonda da observação, 𝑐𝑠 e 𝑐𝑓 são os contrastes de mancha e de fácula, respectivamente(LANZA; RODONÒ; PAGANO, 2004), 𝐴𝑘 é a área do 𝑘-ésimo elemento de superfície,𝜈(𝜇𝑘𝑗) é a visibilidade, e 𝜇𝑘𝑗 ≡ cos𝜓𝑘𝑗 = sin 𝑖 sin 𝜃𝑘 cos[𝜑𝑘 + Ω(𝑡𝑗 − 𝑡0)] + cos 𝑖 cos 𝜃𝑘, éo cosseno do ângulo 𝜓𝑘𝑗 entre a normal para o elemento de superfície e a direção doobservador, sendo 𝑖 a inclinação do eixo de rotação estelar para a linha de visada, 𝜃𝑘 acolatitude e 𝜑𝑘 a longitude do 𝑘-ésimo elemento de superfície e Ω a velocidade angularde rotação da estrela. O fluxo estelar computado no tempo 𝑡𝑗 e dado por:

𝐹 (𝑡𝑗) = Σ𝑘Δ𝐹𝑘𝑗 (3.25)


Para que seja garantida uma precisão relativa de aproximadamente 10−5 nofluxo computado, cada elemento é subdividido em elementos de 1∘ de lado e suascontribuições, calculadas com a Equação 3.24, são somadas para um dado tempo paracomputar suas contribuições para o elemento de superfície considerado.

Este modelo é ajustado para um segmento de curva de luz de duração de Δ𝑡𝑓

variando o valor de preenchimento da mancha 𝑓 na superfície da estrela enquanto que𝑄, razão entre as áreas das fáculas e das manchas, é mantida constante. O modelo apre-senta 200 parâmetros livres, e portanto, sofre de instabilidades e não-singularidade.Para encontrar um único e estável mapa de mancha, é aplicado MME, que minimizaa função 𝑍, que é uma combinação linear do 𝜒2 e da função de entropia 𝑆(LANZA;BONOMO; RODONÒ, 2007):

𝑍 = 𝜒2(𝑓)− 𝜆𝑆(𝑓), (3.26)

onde 𝑓 é o vetor de preenchimento do elemento de superfície, 𝜆 > 0 é um multiplicadorLagrangiano e 𝑆 é a função entropia, apresentados em (LANZA et al., 1998). A função𝑆 é construída para que atinja seu maior valor para a estrela sem manchas. 𝑆 é dadapela expressão:

𝑆 = −∑︁

𝑘

𝜔𝑘

[︂𝑓𝑘𝑙𝑜𝑔

𝑓𝑘𝑚

+ (1− 𝑓𝑘)𝑙𝑜𝑔1− 𝑓𝑘1− 𝑚

]︂(3.27)

onde 𝜔𝑘 representa a área relativa do 𝑘-ésimo elemento da superfície e 𝑚 = 10−6 é ovalor mínimo do fator de preenchimento de mancha. O valor máximo de 𝑆 é obtidoquando seu valor é igual a zero, ou seja, 𝑓𝑘 = 𝑚 em cada elemento de superfície.

Quando 𝜆 = 0 a solução de 𝜒2 é minimizada, porém instável, extremamente afe-tada pelo ruído. Aumentando o 𝜆, a MME reduz o fator de preenchimento de manchagerando uma solução única e mais estável.

Seguimos o seguinte procedimento para estabelecer o melhor valor para 𝑆:

∙ computamos o erro padrão dos resíduos obtidos para um ajuste não regularizado(𝑆 = 0): 𝜖0 ≡ 𝜎0/

√𝑁 , onde 𝜎0 é o desvio padrão e, 𝑁 é o número de pontos de

cada conjunto ajustado com duração Δ𝑡𝑓 ;

∙ computamos a média dos resíduos para o melhor ajuste regularizado: 𝜇𝑟𝑒𝑔

∙ iteramos até que |𝜇𝑟𝑒𝑔| ≃ 𝜖0

Δ𝑡𝑓 está relacionado ao tempo de vida das regiões ativas de uma dada estrela.Seu valor ideal não é conhecido a priori e precisa ser determinado a partir de umaanálise da sua própria curva de luz.


O valor de 𝑄 também é obtido do melhor ajuste da curva de luz. Para encontrar-mos os melhores valores para Δ𝑡𝑓 e 𝑄, utilizamos o modelo apresentado por LANZAet al. (2003), que devido ao baixo número de parâmetros livres em relação ao MME,nos permite obter os valores de Δ𝑡𝑓 e 𝑄 mais rapidamente. Este modelo consiste emapenas três regiões ativas e foi utilizado para encontrar o valor de 𝑄 para as estrelasCoRoT-2 e CoRoT-4 (LANZA et al., 2009).

3.2.2 Modelo de 3 manchas

Utilizando o modelo de 3 manchas desenvolvido por LANZA et al. (2003) é pos-sível encontrar o valor de 𝑄, razão das áreas entre das fáculas e manchas e o valor deΔ𝑡𝑓 . Este modelo utiliza três regiões ativas, que contêm manchas e fáculas para ajus-tar a modulação rotacional. A maior vantagem deste modelo é o número pequeno deparâmetros livres. Com a inclinação do eixo de rotação estelar fixo o ajuste do modeloé feito variando-se as áreas e as posições das 3 manchas. Os valores de Δ𝑡𝑓 e 𝑄 sãodeterminados minimizando o valor de 𝜒2 para obter o melhor ajuste para a curva deluz completa.

3.3 Comparação dos modelos

Com a aplicação do MME pode-se obter um mapa da distribuição das regiõesativas em longitude e no tempo. Este mapa pode ser comparado com o mapa cons-truído a partir do modelo de manchas (VALIO, 2013). A Figura 19 é um exemplo destacomparação entre os mapas. Este comparação foi feita por SILVA-VALIO e LANZA(2011), demonstrando a robustez dos valores encontrados no estudo da estrela CoRoT-2.


Figura 19 – Longitudes das manchas (círculos brancos) no tempo sobrepostas no mapa construído como MME obtido da curva de luz fora do trânsito. As diferentes cores representam diferentes fatores depreenchimento, o amarelo indicando o máximo de ocupação de manchas e o azul escuro o mínimo. Asconexões de regiões ativas estão marcadas por 𝐴, 𝐵 e 𝐶 (SILVA-VALIO; LANZA, 2011).

4Observações

Neste trabalho, estudamos a rotação diferencial de duas estrelas do tipo solarobservadas pelo telescópio Kepler: Kepler-17 e Kepler-63.

O telescópio Kepler foi desenvolvido para observar continuamente um campofixo na constelação de Cygnus (ver Figura 20) para detectar trânsitos planetários. Acada 93 dias, a sonda espacial rotacionava 90∘ em sua linha de visada para manter ospainéis solares apontados para o Sol. Cada um desses períodos é chamado de quarter(HAAS et al., 2010). Devido à rotação do plano focal, os alvos são observados em dife-rentes CCDs (Charge Coupled Device) durante diferentes quarters, portanto, as obser-vações devem ser reduzidas quarter por quarter. As curvas de luz são publicamentedisponíveis nos arquivos do Mikulski Archive for Space Telescope (MAST), projetofundado pela NASA para dar suporte e providenciar a uma variedade de arquivoscom dados astronômicos para a comunidade científica.

Os exoplanetas observados pelo telescópio espacial Kepler recebem o nome dopróprio instrumento científico. O número em cada um dos nomes refere-se à ordemde detecção ou identificação nos dados do instrumento. A letra minúscula ao final donome indica a ordem pela qual o planeta foi descoberto em órbita da estrela em qualorbita. O primeiro exoplaneta descoberto para cada sistema recebe a letra b, o segundorecebe a letra c, o terceiro a letra d, e assim por diante. A letra não indica a localizaçãoorbital.

Neste trabalho foram utilizados os dois tipos de amostra temporal de dados:os de cadência longa, um ponto da curva de luz cada 29,42 minutos e os de curtacadência, um ponto para cada minuto. O MAST disponibiliza dois tipos de fluxo: oSAP_FLUX (Simple Aperture Photometry) e o PDCSAP_FLUX (Presearch Data Condi-tioning SAP). Apesar dos fluxos apresentados no PDCSAP_FLUX serem corrigidos porum algoritmo chamado PDC-MAP na intenção de remover erros artificiais enquantopreserva os sinais físicos (STUMPE et al., 2012; STUMPE et al., 2014), ele atenua em até10% a amplitude da curva de luz para períodos de aproximadamente 10 dias (GILLI-

Capítulo 4. Observações 47

LAND et al., 2015).

Figura 20 – Diagrama do campo de observação do telescópio Kepler.

Kepler-17 é uma estrela do tipo solar ativa que apresenta uma modulação rotaci-onal de aproximadamente 4% devido à presença de manchas e fáculas em seu disco es-telar. Kepler-17b, um Júpiter quente, transita esta estrela tornando-a interessante paraa aplicação dos modelos que analisam a curva de luz dentro e fora do trânsito.

Kepler-63 é uma estrela jovem do tipo solar, com aproximadamente 210 Mega-anos. Esta estrela possui um planeta com órbita quase polar, eclipsando várias latitu-


Parâmetro Unidade ValorTemperatura efetiva da estrela, 𝑇𝑒𝑓𝑓 [K] 5780 (±80)Massa da estrela, 𝑀⋆ [𝑀⊙] 1,16 (±0,06)Raio da estrela, 𝑅⋆ [𝑅⊙] 1,05 (±0,03)Período de rotação estelar [𝑑𝑖𝑎𝑠] 12,4 (±0,1)Período orbital do planeta [𝑑𝑖𝑎𝑠] 1.4857108 (±2× 10−7 )Idade [𝑀𝑒𝑔𝑎 − 𝑎𝑛𝑜𝑠] < 1,78Semieixo maior 𝑎/𝑅⋆ 5,738 (±0,005)Raio do planeta 𝑅𝑝/𝑅⋆ 0,138 (±0,001)Inclinação, 𝑖 [𝑑𝑒𝑔] 89,0 (±0,1)

Tabela 1 – Parâmetros da estrela Kepler-17 e de seu exoplaneta apresentados em (VALIO et al., 2017).

des da superfície (SANCHIS-OJEDA et al., 2013). É possível observar a alta atividadeestelar, com uma variação de até 4% no fluxo (Ver Figura 23).

4.1 Estrela analisada: Kepler-17

Kepler-17, estrela do tipo solar com magnitude aparente V de 14,0, foi obser-vada por quase 4 anos, tem uma massa de 1,16 𝑀⊙, raio de 1,05 𝑅⊙ e uma temperaturaefetiva, 𝑇𝑒𝑓𝑓 de 5780 𝐾. É uma estrela jovem com menos de 1,78 Giga anos (BONOMOet al., 2012), com alta atividade estelar (ver Figura 21), que rotaciona com um períodomédio de 12,4 ± 0,1 𝑑. Orbitando com um período de 1,49 dias, Kepler-17b, apresentauma massa de 2,45 massas de Júpiter e raio de 1,41 raios de Júpiter. Os parâmetros físi-cos da estrela e do planeta utilizados foram reportados por VALIO et al. (2017) e estãoapresentados na Tabela 1.

Figura 21 – Curva de luz normalizada da estrela Kepler-17.



4.2 Estrela analisada: Kepler-63

Kepler-63 é uma estrela jovem do tipo solar, com aproximadamente 210 Mega-anos e magnitude aparente V de 12,02. Esta estrela possui um planeta com órbita quasepolar, eclipsando várias latitudes da superfície (SANCHIS-OJEDA et al., 2013). A Fi-gura 22 mostra uma simulação do trânsito planetário em frente à estrela Kepler-63.

Figura 22 – Simulação do trânsito do planeta, com sua orbita quase polar, da estrela Kepler.


Esta estrela foi observada pelo satélite Kepler por mais de 1400 dias apresen-tando 150 trânsitos. É possível observar a alta atividade estelar, com uma variação deaté 4% no fluxo (Ver Figura 23).

Os parâmetros físicos da estrela e do planeta utilizados na aplicação foram re-portados por (SANCHIS-OJEDA et al., 2013) e estão apresentados na Tabela 2. As man-chas influenciam a curva de luz durante o trânsito de duas formas. A primeira é queas manchas fazem o trânsito ficar mais raso, e portanto, subestimar o raio planetário.Além disso, manchas próximas ao limbo da estrela afetam a duração do trânsito, al-terando o semieixo maior. Para melhor ajustar os dados, consideramos os 10 trânsitosmais profundos e sem sinais de manchas. Em seguida binamos esses trânsitos e ajus-tamos um modelo de trânsito para uma estrela sem manchas, resultando nos valoresdestacados em vermelho para o raio e semieixo maior na Tabela 2.


Figura 23 – Curva de luz normalizada da estrela Kepler-63.


Parâmetro Unidade ValorTemperatura efetiva da estrela, 𝑇𝑒𝑓𝑓 [K] 5576 (±50)Massa da estrela, 𝑀⋆ [𝑀⊙] 0,984 (-0,04, +0,035)Raio da estrela, 𝑅⋆ [𝑅⊙] 0,901 (-0,022, +0,027)Período de rotação estelar [𝑑𝑖𝑎𝑠] 5,40 (±0,0009)Período orbital do planeta [𝑑𝑖𝑎𝑠] 9,4341505 (±0,0000010)Idade [𝑀𝑒𝑔𝑎 − 𝑎𝑛𝑜𝑠] 210 (±45)Semieixo maior 𝑎/𝑅⋆ 19,35Raio do planeta 𝑅𝑝/𝑅⋆ 0,0662Obliquidade estelar [𝑑𝑒𝑔] -110 (-14, +22)Eixo de inclinação estelar [𝑑𝑒𝑔] 138 (±7)Inclinação orbital, 𝑖 [𝑑𝑒𝑔] 87,806 (-0,019, +0,018)

Tabela 2 – Parâmetros da estrela Kepler-63 apresentados em (SANCHIS-OJEDA et al., 2013). Em verme-lho, valores refinados para melhor ajuste da curva de luz de cada trânsito.

5Aplicação dos modelos

Os dados das curvas de luz de cada uma das estrelas foram preparados para aaplicação de cada modelo. Para a aplicação do modelo de trânsitos utilizamos a sérietemporal PDCSAP_FLUX, porque a análise foi feita somente durante os trânsitos, nãosendo aplicado nenhum tratamento na curva de luz para a modulação rotacional ou ossaltos entre os quarters. Já para o MME que se baseia na modulação rotacional da curvade luz utilizamos os dados SAP_FLUX de longa cadência. Escolhemos a série temporalSAP_FLUX porque ela não apresenta nenhum tipo de distorção na amplitude do fluxo.Nós utilizamos a medida de tempo como Data Juliana Baricêntrica (Barycentric JulianDate (BJD)) no Tempo Dinâmico Baricêntrico (Barycentric Dynamical Time (TDB)) noponto médio de cada exposição fotométrica .O BJD é a Data Juliana referenciada nobaricentro do Sistema Solar (EASTMAN; SIVERD; GAUDI, 2010).

5.1 Kepler-17

5.1.1 Método de trânsitos

Devido ao curto tempo do eclipse das manchas apresentado na curva de luzdurante o trânsito, utilizamos os dados de curta cadência. Dos 834 trânsitos possíveis,somente 583 eram completos. Lacunas nos dados causadas por fatores instrumentais,geraram alguns trânsitos incompletos, que foram excluídos da nossa análise, ou total-mente não observados.

Um ajuste linear nos dados entre ± 6 ℎ, antes e depois do meio do trânsito, foirealizado. Então os trechos da curva de luz com duração de 12 ℎ contendo os trânsitossão extraídos da curva de luz total e normalizados para 1. A Figura 24 mostra esseprocedimento para o segmento da curva de luz do trânsito número 90.

Os sinais das manchas ficam mais evidentes no resíduo, subtração da curvade luz pelo modelo de uma curva de luz da estrela sem manchas (curva vermelha

Capítulo 5. Aplicação dos modelos 52

Figura 24 – Topo: Segmento da curva de luz do trânsito número 90 do Kepler-17b e o ajuste linear fora dotrânsito entre -6 e -1,6 h, e entre 1,6 e 6 h (linha azul). Inferior: A curva de luz após a subtração do ajustelinear e normalização para 1. A curva em vermelho representa o modelo de trânsito para uma estrelasem manchas (VALIO et al., 2017)

do painel inferior da Figura 24). A curva de luz sem manchas foi gerada da seguintemaneira:

∙ os trânsitos mais profundos foram escolhidos (77 dos 583), considerando muitopouco ou nada de atividade;

∙ a partir da média desses trânsitos em fase um único trânsito é obtido, o qualfoi ajustado com os parâmetros 𝑅𝑝, 𝑎, 𝑖𝑛𝑐, 𝜔1 e 𝜔2 pela rotina AMOEBA, queminimiza o 𝜒2.

O ajuste do modelo foi realizado sobre os resíduos de cada trânsito, após sub-tração do modelo de trânsito da estrela sem manchas.

Como descrito no capítulo anterior, cada mancha é ajustada por três parâme-tros: raio, intensidade e longitude. O chute inicial para o raio e intensidade das man-chas foi de 0,5 𝑅𝑝 e 0,5 𝐼𝑐, respectivamente. Enquanto o chute inicial para a longitude,𝑙𝑔𝑠𝑝𝑜𝑡, foi calculado a partir dos valores aproximados do tempo, 𝑡𝑠, onde os excessos


dos resíduos eram mais intensos.

𝑙𝑔𝑠𝑝𝑜𝑡 = 𝑎𝑠𝑖𝑛

⎡⎣

𝑎𝑐𝑜𝑠(︁90∘ − 360∘𝑡𝑠

24𝑃𝑜𝑟𝑏

)︁

𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑎𝑡𝑠𝑝𝑜𝑡)

⎤⎦ (5.1)

onde 𝑎 é o semieixo maior e 𝑃𝑜𝑟𝑏, o período orbital em dias. O chute inicial da longitudeé dado manualmente para cada trânsito. O melhor ajuste é obtido utilizando a rotinaAMOEBA. O limite máximo do números manchas por trânsito foi ajustado para 4,porém para um único trânsito foi necessário ajustar 5 manchas.

Conforme mostrado no painel inferior da Figura 25 somente manchas localiza-das num intervalo de longitude que varia entre ± 70∘ foram consideradas no ajustepara evitar as grandes inclinações na curva de luz durante o ingresso e egresso de cadatrânsito. Dentro deste intervalo, só consideramos os sinais que eram maiores que 10vezes a média do CDPP (Combined Differential Photometric Precision, (CHRISTIAN-SEN et al., 2012) ou ruído do sinal da curva de luz para cada estrela observada pelosatélite Kepler), valor adotado como o limite na modelação de manchas das estelaresobservadas pelo satélite Kepler. Foram modeladas um total de 1069 manchas para aestrela Kepler-17.

5.1.2 Modelo de Máxima Entropia

A partir da série temporal SAP_FLUX foram derivadas duas curvas de luz. Aprimeira é obtida pelo processo chamado ARC2, proposto por AIGRAIN et al. (2017)que garante uma melhor preservação da variabilidade estelar intrínseca enquanto queremove descontinuidades, outliers, e efeitos instrumentais utilizando os Co-trendingBasis Vectors (CBVS) computados pelo PDC pipeline. Os CBVs descrevem efeitos ins-trumentais para cada alvo. Até 8 CBVs são utilizados no PDC pipeline para realizar ascorreções, podendo levar a uma sobrecorreção da variabilidade estelar intrínseca emescalas de tempo maiores que os trânsitos planetários. O pipeline do ARC2 inclui ummétodo Bayesiano para encontrar os melhores pesos para calcular a combinação lineardos CBVs para correção em cada quarter.

A preparação da curva de luz com o processo ARC2 foi feita da seguinte ma-neira:

∙ Somente os dados com valores iguais a zero do SAP_QUALITY são considerados,isto é, os que não apresentaram nenhum tipo de problema durante a aquisição(VAN CLEVE et al., 2016);

∙ Os dados são submetidos ao processo ARC2 para remoção de tendências;


Figura 25 – Trânsito número 100 do planeta Kepler-17b.Topo: Imagem sintetizada da estrela com 3 man-chas. Meio: Curva de luz do trânsito (preto), modelo de trânsito para uma estrela sem manchas (azul)e ajuste de uma curva de luz com 3 manchas (vermelho). Inferior: Resíduo da curva de luz do trânsitoapós a subtração do modelo de estrela sem manchas. As linhas horizontais pontilhadas representam olimite do fluxo para o ajuste das manchas, equivalente a 10 vezes o CDPP, e as linhas verticais tracejadaslimitam o trecho do trânsito ajustado em ±70∘ da longitude estelar.

∙ Os trânsitos são removidos de cada quarter utilizando as efemérides apresenta-das por MÜLLER et al. (2013);

∙ O fluxo de cada quarter é normalizado pela mediana e os quarter adjacentes sãocombinados.

Após este procedimento ainda é aplicado o método de sigma clipping (3𝜎) pararemover os outliers. Este método baseia-se na subtração de uma versão suavizada dacurva de luz obtida por um filtro boxcar com tamanho de 294 minutos (10 dados con-secutivos). Com isso, um total de 340 pontos foram descartados. A curva de luz finalpossui 40653 pontos cobrindo um total de 1459,469 dias.

Para realizar uma comparação direta com os resultados obtidos anteriormentepor BONOMO e LANZA (2012), uma segunda curva de luz (BL) foi preparada, se-guindo o mesmo procedimento apresentado pelos autores. O procedimento é feitoquarter por quarter da seguinte maneira:


∙ É subtraído o background do fluxo;

∙ Os trânsitos são removidos de cada quarter;

∙ Inclinações abruptas são corrigidas ajustando-se uma parábola;

∙ O fluxo de cada quarter é normalizado pela mediana e os quarter adjacentes sãocombinados;

∙ É aplicado o método de sigma clipping (3𝜎) para remover os outliers.

Deste modo um total de 1219 pontos foram descartados. A curva de luz finalpossui 47376 pontos cobrindo um total de 1459,489 dias.

BONOMO e LANZA (2012) adotaram o valor de contraste de mancha 𝑐𝑠 = 0,677,mesmo valor do contraste de grupo de manchas solares. Entretanto, adotaremos o va-lor de 𝑐𝑠 = 0,55 ± 0,17 que foi recentemente apresentado por VALIO et al. (2017), obtidoa partir de uma medida direta baseada no ajuste de manchas ocultadas durante trân-sitos.

O intervalo de tempo máximo, Δ𝑡𝑓 foi mantido o mesmo apresentado em BO-NOMO e LANZA (2012). A curva de luz atual apresenta 168 segmentos quando divi-dida por esse intervalo de tempo.

Com Δ𝑡𝑓 = 8,733 𝑑 é possível ajustar a modulação rotacional de regiões ativaspara o maior intervalo em que elas permanecem estáveis, desde o aumento sofrido pelofluxo por fáculas próximas ao limbo até a diminuição causada por manchas ao longoda parte central do disco estelar. A partir disto é possível calcular as contribuiçõesrelativas de cada elemento e, portanto estimar 𝑄. Os valores de 𝑄 para as duas curvasde luz são apresentados na Figura 26, ambas apresentando um valor mínimo de 2,4.

Utilizando os parâmetros da Tabela 3, aplicamos o modelo para as curvas deluz fora do trânsito da Kepler-17.

5.1.2.1 Curva de luz ARC2

O melhor ajuste sem regularização (𝜆 = 0) apresenta uma média dos resíduos𝜇𝑟𝑒𝑠 = 1,751 × 10−7. O melhor ajuste para a distribuição dos resíduos com uma Gaussi-ana apresenta uma média de -3,428 × 10−6 e um desvio padrão 𝜎𝐴𝑅𝐶20 = 2,333 × 10−4

em unidades de fluxo relativo.

O multiplicador de Lagrange 𝜆 é ajustado até que a média dos resíduos 𝜇𝑟𝑒𝑔

= - 1,325 × 10−5 ≃ -𝜎𝐴𝑅𝐶20/√

𝑁 , onde 𝑁 é a média dos números de pontos em cadaintervalo de curva de luz Δ𝑡𝑓 . O desvio padrão dos resíduos do ajuste regularizado é𝜎𝑟𝑒𝑔 = 2,689 × 10−4. O melhor ajuste do modelo é apresentado nas partes superiores da


Figura 26 – Razão do 𝜒2 da composição do melhor ajuste das séries de tempo da Kepler-17 pelo seumenor valor vs. o parâmetro Q. A linha horizontal tracejada indica o nível de confiança de 95 % para𝜒2/𝜒2

𝑚𝑖𝑛. Esquerda: Curva de luz ARC2. Direita: Curva de luz BL.

Parâmetro Valor Ref.Temperatura efetiva da estrela (𝐾) 5780 B12Massa da estrela (𝑀⋆) 1,16 B12Raio da estrela (𝑅⋆) 1,05 B12log𝑔 (cm s−2) 4,53 B12𝑎𝑝 0,581 L19𝑏𝑝 0,340 L19𝑐𝑝 0,079 L19Período de rotação estelar (dias) 12,01 BL12Período orbital (dias) 1,4857 M13𝑐𝑠 0,550 V17𝑐𝑓 0,115 BL12Q 2,4 L19Inclinação orbital (𝑖) 89,88 M18Δ𝑡𝑓 (dias) 8,733 BL12

Tabela 3 – Parâmetros adotados para a aplicação do modelo na Kepler-17. Referências: B12: (BONOMOet al., 2012); D11: (DÈSERT et al., 2011); L04: (LANZA; RODONÒ; PAGANO, 2004); BL12: (BONOMO;LANZA, 2012).

Figura 27, enquanto que os resíduos são graficados nas partes inferiores. A Figura 28apresenta a distribuição dos resíduos.


Figura 27 – Painéis superiores: O ajuste do MME para os dados da curva de luz ARC2 fora do trânsitoda estrela Kepler-17 obtidas com um 𝑄 = 2,4. Painéis inferiores: Resíduo vs. tempo.


Figura 28 – Histograma da distribuição dos resíduos do melhor ajuste regularizado da curva de luzARC2 (Vermelho) e o ajuste Gaussiano (Verde). A linha vertical pontilhada marca o valor zero.

5.1.2.2 Curva de luz BL

O melhor ajuste sem regularização (𝜆 = 0) apresenta uma média dos resíduos𝜇𝑟𝑒𝑠 = 3,491 × 10−7. O melhor ajuste para a distribuição dos resíduos com uma Gaussi-ana apresenta uma média de -2,631 × 10−6 e um desvio padrão 𝜎𝐵𝐿 = 2,504 × 10−4 emunidades de fluxo relativo.

O multiplicador de Lagrange 𝜆 é ajustado até que a média dos resíduos 𝜇𝑟𝑒𝑔

= - 1,326 × 10−5 ≃ -𝜎𝐵𝐿/√

𝑁 , onde 𝑁 é a média dos números de pontos em cada in-tervalo de curva de luz Δ𝑡𝑓 . O desvio padrão dos resíduos do ajuste regularizado é𝜎𝑟𝑒𝑔 = 3,067 × 10−4. A O melhor ajuste do modelo é apresentado nos painéis superio-res da Figura 29, enquanto que os resíduos são graficados nos painéis inferiores. Já adistribuição dos resíduos é mostrada na Figura 30.


Figura 29 – Painéis superiores: O ajuste do MME para os dados da curva de luz BL fora do trânsito daestrela Kepler-17 obtidas com um 𝑄 = 2,4. Painéis inferiores: Resíduo vs. tempo.


Figura 30 – Histograma da distribuição dos resíduos do melhor ajuste regularizado da curva de luz BL(Vermelho) e o ajuste Gaussiano (Verde). A linha vertical pontilhada marca o valor zero.

5.2 Kepler-63

5.2.1 Modelo de trânsitos

O modelo de SILVA (2003) também foi aplicado para os 150 trânsitos da Kepler-63b, exemplos de 5 desses trânsitos estão presentes na Figura 31. Foi realizado o mesmoprocedimento aplicado para a Kepler-17, sendo o limite máximo de números de man-chas por trânsito ajustado para 4. A aplicação do modelo resultou na detecção de 297manchas.

Devido à órbita quase polar de Kepler-63b, as localizações das manchas pre-cisam ser calculadas em um referencial que rotaciona com a estrela. Como primeiraaproximação, utilizamos o valor médio de rotação estelar obtido pelo cálculo do perio-dograma Lomb-Scargle (SCARGLE, 1982) que foi de 5,400 ± 0,009 dias (ver Figura 35).

Para fazer a análise dos dados obtidos na simulação foi necessário aplicar umamatriz de rotação nas posições das manchas (long, lat) a fim de reproduzir o cenárioda estrela, uma vez que o modelo utilizado é para órbitas coplanares ao equador da


Figura 31 – Exemplo de um ajuste de trânsitos: Topo: Curva de luz de 5 trânsitos. A curva amarela repre-senta o trânsito em frente a uma estrela sem manchas, enquanto que a vermelha representa o modelocom até 4 manchas. Meio: Resíduos depois da subtração da curva amarela. A curva vermelha representao melhor ajuste das manchas. Inferior: Resíduos depois da subtração das manchas. As linhas horizon-tais tracejadas representam o threshold no ajuste das manchas, equivalente a 10 vezes o CDPP, e aslinhas verticais pontilhadas em ± 1,18 h limitam o trecho do trânsito ajustado e correspondem a ±70∘

da longitude estelar.


Figura 32 – Periodograma Lomb-Scargle mostrando um forte pico em 5,400 dias, que é consideradocomo o período de rotação média da estrela.


estrela. Neste modelo, a latitude das manchas é constante e igual a 48∘, onde a latitudeNorte é arbitrariamente adotada.

Considerando que a estrela tem um período igual a 5,400 dias, calculamos amatriz de rotação para as coordenadas das manchas (long, lat) para o sistema com eixode inclinação estelar de 138∘, obliquidade estelar de -110∘ e rotação variando no tempodada por Ω𝑡. As coordenadas das manchas são calculadas em coordenada equatorialretangular 𝑥1, 𝑦1 e 𝑧1, sendo:

𝑥1 = 𝑅⋆ × cos(𝑙𝑎𝑡) cos(𝑙𝑜𝑛𝑔) (5.2)

𝑦1 = 𝑅⋆ × cos(𝑙𝑎𝑡) sin(𝑙𝑜𝑛𝑔) (5.3)

𝑧1 = 𝑅⋆ × sin(𝑙𝑎𝑡) (5.4)

onde, 𝑅⋆ é o raio da estrela. Esses valores foram aplicados na matriz de rotação, que éobtida a partir das seguintes matrizes:

∙ Matriz rotação 𝐴 em torno do eixo 𝑥, gerando um sistema de coordenadas (𝑥, 𝑦′, 𝑧′);

𝐴 =

⎛⎜⎝1 0 0

0 cos(𝜓) − sin(𝜓)

0 sin(𝜓) cos(𝜓)

⎞⎟⎠ (5.5)


Figura 33 – Matriz de rotação em torno do eixo 𝑥.


∙ Matriz rotação 𝐵 em torno do eixo 𝑦′ do sistema resultante da rotação anterior 𝐴,gerando um sistema de coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′′);

𝐵 =

⎛⎜⎝

cos(𝜃) 0 sin(𝜃)

0 1 0

− sin(𝜃) 0 cos(𝜃)

⎞⎟⎠ (5.6)

Figura 34 – Matriz de rotação em torno do eixo 𝑦′.


∙ Matriz rotação 𝐶 em torno do eixo 𝑧′′ do sistema resultante da rotação anterior𝐵, resultando finalmente no sistema de coordenadas (𝑥′′, 𝑦′′, 𝑧′′). Note que 𝑧′′ éparalelo ao eixo de rotação da estrela;

𝐶 =

⎛⎜⎝

cos(Ω𝑡) sin(Ω𝑡) 0

− sin(Ω𝑡) cos(Ω𝑡) 0

0 0 1

⎞⎟⎠ (5.7)


Figura 35 – Matriz de rotação em torno do eixo 𝑧′′.


Logo a matriz de rotação 𝑀𝑟𝑜𝑡 pode ser escrita como:

𝑀𝑟𝑜𝑡 = 𝐶 × 𝐵 × 𝐴 (5.8)

𝑀𝑟𝑜𝑡 =

⎛⎜⎝

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

⎞⎟⎠ (5.9)

Sendo:

𝑎11 = cos(𝜃) cos(Ω𝑡) (5.10)

𝑎12 = sin(𝜓) sin(𝜃) cos(Ω𝑡) + cos(𝜓) sin(Ω𝑡) (5.11)

𝑎13 = − cos(𝜓) sin(𝜃) cos(Ω𝑡) + sin(𝜓) sin(Ω𝑡) (5.12)

𝑎21 = − cos(𝜃) sin(Ω𝑡) (5.13)

𝑎22 = − sin(𝜓) sin(𝜃) sin(Ω𝑡) + cos(𝜓) cos(Ω𝑡) (5.14)

𝑎23 = cos(𝜓) sin(𝜃) sin(Ω𝑡) + sin(𝜓) cos(Ω𝑡) (5.15)

𝑎31 = sin(𝜃) (5.16)

𝑎32 = − sin(𝜓) cos(𝜃) (5.17)

𝑎33 = cos(𝜓) cos(𝜃) (5.18)

sendo 𝜓 a obliquidade estelar, 𝜃 o eixo de inclinação estelar. Ω𝑡 é dado pela seguinteexpressão:

Ω𝑡 =2𝜋

𝑃𝑟𝑜𝑡

· 𝑘 · 𝑃𝑜𝑟𝑏 (5.19)


onde 𝑘 é um número inteiro que varia para cada trânsito, 𝑃𝑜𝑟𝑏 é o período orbital doplaneta e 𝑃𝑟𝑜𝑡 é o período rotacional da estrela.

Uma vez aplicada a matriz de rotação nas coordenadas das manchas obtemos ovalor transformado de 𝑥2, 𝑦2 e 𝑧2:

⎛⎜⎝

𝑥2

𝑦2

𝑧2

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

𝑥1

𝑦1

𝑧1

⎞⎟⎠ (5.20)

A primeira análise foi feita considerando a estrela rotacionando como um corporígido com o valor de 𝑃𝑟𝑜𝑡= 5,400 dias, obtido no máximo do periodograma Lomb-Scargle. Na Figura 36 encontram-se todas as manchas detectadas numa sobreposiçãotemporal, no referencial visto da Terra (esquerda) e no referencial da estrela (direita).

Figura 36 – Imagens sintetizadas da estrela Kepler-63 com sobreposição temporal de todas as manchas.Esquerda: As manchas observadas no referencial visto da Terra. Direita: As manchas com sua localizaçãorotacionando com a estrela considerando um referencial que rotaciona com a estrela.


5.2.2 Modelo de Máxima Entropia

Para a estrela Kepler-63 somente uma curva de luz foi derivada da série tempo-ral SAP_FLUX. Preparamos a curva de luz seguindo o procedimento apresentado porBONOMO e LANZA (2012). A curva de luz final possui 49918 pontos cobrindo umtotal de 1470,401 dias.

Devido à baixa inclinação do eixo de rotação da estrela Kepler-63 se torna difícildeterminar o valor de 𝑄, pelo fato de sempre observarmos um dos polos. Neste caso,


a distância entre cada região ativa do centro do disco estelar fica quase sempre cons-tante, dificultando a determinação de 𝑄, porque o mesmo é determinado comparandoo contraste em diferentes distâncias do centro do disco conforme uma região ativarotaciona. Com isso, para aplicarmos o modelo de 3 manchas consideramos somentemanchas escuras, fixando 𝑄 = 0.

Com Δ𝑡𝑓 = 4,32471 dias foi possível ajustar a modulação rotacional de regiõesativas. Para a Kepler-63 melhor ajuste sem regularização (𝜆 = 0) apresenta uma médiados resíduos 𝜇𝑟𝑒𝑠 = 2,629 × 10−8. O melhor ajuste para a distribuição dos resíduos comuma Gaussiana apresenta uma média de -2,128 × 10−7 e um desvio padrão 𝜎𝐵𝐿 = 6,078× 10−5 em unidades de fluxo relativo.

O multiplicador de Lagrange 𝜆 é ajustado até que a média dos resíduos 𝜇𝑟𝑒𝑔 = -4,972 × 10−6 ≃ -𝜎𝐵𝐿/

√𝑁 , onde 𝑁 é a média dos números de pontos em cada intervalo

de curva de luz Δ𝑡𝑓 . O desvio padrão dos resíduos do ajuste regularizado é 𝜎𝑟𝑒𝑔 =1,401 × 10−4. A Figura 38 apresenta a distribuição dos resíduos. O melhor ajuste domodelo é apresentado nas partes superiores da Figura 37, enquanto que os resíduossão graficados nas partes inferiores.


Figura 37 – Painéis superiores: O ajuste do MME para os dados da curva de luz fora do trânsito daestrela Kepler-63 obtidas com um 𝑄 = 0. Painéis inferiores: Resíduo vs. tempo.



Figura 38 – Histograma da distribuição dos resíduos do melhor ajuste regularizado da curva de luz(linha contínua) e o ajuste Gaussiano (linha pontilhada). A linha vertical pontilhada marca o valor zero.


6Resultados

6.1 Resultados

Neste capítulo apresentaremos os resultados obtidos a partir da aplicação dosdois modelos para as estrelas Kepler-17 e Kepler-63.

6.1.1 Kepler-17

6.1.1.1 Modelo de trânsitos

Conforme mencionado na Seção 5.1, um total de 1069 manchas foram modela-das para a estrela Kepler-17 e seus parâmetros físicos, como raio e intensidade, obtidos.Os histogramas da Figura 39 apresentam os resultados do ajuste das manchas. A mé-dia do raio das manchas na Kepler-17 é de 0,49 ± 0,10 𝑅𝑝, equivalente a (49 ± 10)×103𝑘𝑚. Os valores de intensidade quando convertidos para temperatura, de acordocom a Equação 3.2 em 𝐾 apresentam um valor médio de 5100 ± 300 𝐾.

Parâmetro Unidade MédiaRaio (𝑅𝑝) 0, 49± 0, 10Raio (Mm) 49± 10Intensidade (𝐼𝑐) 0, 55± 0, 17Temperatura (K) 5100± 300

Tabela 4 – Média dos valores dos parâmetros das manchas da Kepler-17.

Capítulo 6. Resultados 70

Figura 39 – Histogramas das manchas da Kepler-17. Painel esquerdo: Raio em unidades de 𝑅𝑝, onde𝑅𝑝 é o raio do planeta; Painel central: Intensidade em unidades de 𝐼𝑐; Painel direito: Temperatura dasmanchas em Kelvin.

O mapa da superfície da estrela com o referencial que rotaciona com a estrela,construída conforme explicado na Seção 3.1.4 é apresentado na Figura 40. O déficit defluxo é mostrado no painel inferior da figura.

A partir dos valores de rotação média, Ω0 = 12,4 𝑑 (obtido da curva de luz forados trânsitos) e período de rotação, Ω1 = 11,92 𝑑, para latitude do trânsito , 𝛼1 = -4,6∘ foi possível construir o perfil de rotação diferencial da Kepler-17. O resultado éapresentado na Figura 41, onde o losango identifica o valor obtido para Ω1 (o tamanhoequivale a sua incerteza).


Figura 40 – Mapa da superfície da estrela Kepler-17 construído a partir dos ajustes das manchas,levando-se em conta um referencial que rotaciona com a estrela com um período de rotação de 11,92dias.

Considerando o perfil de rotação similar ao solar, foi possível determinar a ro-tação diferencial ΔΩ = 0,041 ± 0,005 𝑟𝑑/𝑑 e uma rotação diferencial relativa ΔΩ/Ω de8,0 ± 0,9%.


Figura 41 – Perfil de rotação diferencial da estrela Kepler-17 (linha sólida) e do Sol (linha tracejada). Operíodo de rotação da latitude -4,6∘ é representado pelo losango.

6.1.1.2 Modelo de Máxima Entropia

O valor estimado para 𝑄 = 2,4 é diferente do valor encontrado em BONOMO eLANZA (2012) de 𝑄 = 1,6. Isto se deve à diferença no valor adotado de 𝑐𝑠, conformeexplicado na Seção 5.1.2.

Nas Figuras 42 e 43 graficamos a distribuição do fator de preenchimento dasmanchas 𝑓 vs. longitude e o tempo para os mapas regularizados obtidos das curvasde luz ARC2 e BL, respectivamente. Esses mapas são construídos de tal forma que alongitude aumenta na mesma direção que a rotação estelar e o movimento orbital doplaneta. O referencial rotacional tem um período 𝑃𝑟𝑜𝑡 = 12,01 dias, o mesmo apresen-tado por BONOMO e LANZA (2012). A origem do mapa é em BJD𝑇𝐷𝐵 2454964,512.Para facilitar a análise, adotaremos um tempo 𝑡′ = 𝑡 - 2454900,0 medido em BJD𝑇𝐷𝐵 . Opipeline do ARC2 descartou pontos durante um intervalo de tempo por volta de 𝑡′ ∼400. A escala de longitude nos dois mapas é repetida além de [0∘, 360∘] para facilitar oacompanhamento das migrações das manchas.

As manchas modeladas a partir do modelo de trânsitos são representadas porcírculos brancos nas Figuras 42 e 43. Elas possuem o tamanho proporcional ao déficitde fluxo, definido por 𝐷 = 𝜋𝑟2𝑠(1 − 𝐼𝑠𝑝𝑜𝑡/𝐼), onde 𝑟𝑠 é o raio da mancha e 𝐼𝑠𝑝𝑜𝑡/𝐼𝑐 é arazão da intensidade da mancha e a intensidade central da estrela. A série temporal decurta cadência começou aproximadamente em 𝑡′ = 290 dias depois do início da sérietemporal de longa cadência, por isso existe uma diferença no começo do gráfico.

Para medir a associação entre as distribuições de manchas obtidas a partir dascurvas de luz fora do trânsito e a distribuição das manchas individuais caracterizadas


Figura 42 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obtidas pelo modelo de MMEda curva de luz ARC2. O máximo do fator de preenchimento é indicado pela cor amarela, enquanto queo mínimo por azul escuro. Os círculos brancos representam as manchas obtidos a partir do modelo detrânsitos. O tamanho é proporcional ao déficit de fluxo 𝐷.

durante trânsitos, definimos o coeficiente de correlação cruzada 𝜌𝑐𝑐 como:

𝜌𝑐𝑐(ℓ) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∑︀𝑁𝐿−|ℓ|𝑘=1 (𝑠𝑜𝑜𝑡(𝑘+|ℓ|)−𝑠𝑜𝑜𝑡)(𝑠𝑜𝑐𝑐(𝑘)−𝑠𝑜𝑐𝑐)√︁∑︀𝑁𝐿

𝑘=1(𝑠𝑜𝑜𝑡(𝑘)−𝑠𝑜𝑜𝑡)2(𝑠𝑜𝑐𝑐(𝑘)−𝑠𝑜𝑐𝑐)2𝑝𝑎𝑟𝑎 ℓ < 0

∑︀𝑁𝐿−ℓ

𝑘=1 (𝑠𝑜𝑜𝑡(𝑘)−𝑠𝑜𝑜𝑡)(𝑠𝑜𝑐𝑐(𝑘+ℓ)−𝑠𝑜𝑐𝑐)√︁∑︀𝑁𝐿𝑘=1(𝑠𝑜𝑜𝑡(𝑘)−𝑠𝑜𝑜𝑡)2(𝑠𝑜𝑐𝑐(𝑘)−𝑠𝑜𝑐𝑐)2

𝑝𝑎𝑟𝑎 ℓ ≥ 0,(6.1)

onde 𝑠𝑜𝑜𝑡 é a distribuição do fator de preenchimento de manchas 𝑓 em longitude obtida


Figura 43 – O mesmo da Figura 42 gerado a partir da curva de luz BL.

a partir da curva de luz fora do trânsito e 𝑠𝑜𝑐𝑐 é a distribuição de 𝐷 das manchas oculta-das durante o trânsito, ambos mapeados em 𝑁𝐿 = 20 longitudes binadas iguais de 18∘.ℓ ∈ [−10, 10] é o índice de atraso e o atraso de longitude é dado por Δ𝜆 = 18∘ × ℓ. Asdistribuições de 𝑠𝑜𝑜𝑡 e 𝑠𝑜𝑐𝑐 são tratadas como dados circulares, ou seja, eles se repetempara intervalos além de 360∘. Pelo fato de Δ𝑡𝑓 ser menor que 𝑃𝑟𝑜𝑡, nós consideramos amédia de duas distribuições de manchas fora do trânsito e suavizamos para uma reso-lução de 54∘ para obter 𝑠𝑜𝑜𝑡. Para obter 𝑠𝑜𝑐𝑐 é preciso computar a cobertura total de umalongitude na faixa ocultada pelo planeta. Para isso nós tiramos a média da distribuição


de 4 trânsitos consecutivos.

Na Figura 44 temos a associação entre as duas distribuições medidas pela cor-relação cruzada em atraso zero (𝜌𝑐𝑐(0)). A correlação é zero para o 𝑡′ de zero até 290porque não existem os dados de curta cadência para esse período.

Figura 44 – Coeficiente de correlação cruzada para atraso zero entre as distribuições das manchas obtidasa partir dos modelos de máxima entropia e das manchas ocultadas durante o trânsito obtidos pelométodo de trânsito. As distribuições obtidas da curva de luz BL são representadas por losangos verdes,enquanto que as obtidas da curva de luz ARC2 são representadas por triângulos laranjas.

Utilizando a Equação 6.1 também é possível calcular a migração das manchasentre duas distribuições consecutivas de manchas fora do trânsito. Para isso, verifica-mos quando o atraso de longitude Δ𝜆 maximiza a correlação cruzada 𝜌𝑐𝑐 entre dis-tribuições consecutivas de manchas fora do trânsito. Supõe-se que esta migração sejaproduzida pela rotação diferencial quando as manchas mais proeminentes não este-jam se movendo no mesmo período do referencial de 12,01 dias. Na Figura 45 temosgraficada a taxa de migração das distribuições.

Em ambos mapas (Figuras 42 e 43) é possível observar que diversas manchasmodeladas a partir do método de trânsito estão concentradas nas regiões de longitudesativas. A coincidência é melhor visualizada para as duas longitudes mais persistentese durante alguns intervalos de tempo, quando 𝜌𝑐𝑐(0) � 0, 25.

Na Figura 44 é possível observar que as melhores correspondências entre asdistribuições acontecem quando 𝜌𝑐𝑐(0) � 0, 35, equivalente aos tempos 𝑡′ ≈ 300, 900 e1100. Durante esses tempos é possível notar que a taxa de migração fica em torno de


Figura 45 – Taxa de migração entre distribuições consecutivas de manchas obtidas da curva de luz BL(losangos verde) e da curva de luz ARC2 (triangulos laranjas). O tamanho do símbolo é proporcional ao𝜌𝑐𝑐.

zero ou com pequenas flutuações de até 1,5 ∘/dia, conforme a Figura 45. Nos mapasdas Figuras 42 e 43 podemos observar que durante esses tempos existem longitudesativas. Isto indica que durante esses períodos as curvas de luz BL e ARC2 são domi-nadas por manchas em baixas latitudes, em sua maioria ocultadas pelo trânsito plane-tário. Quando 𝜌𝑐𝑐(0) � 0, 2 temos as maiores taxas de migrações negativas, como vistonos mapas para os tempos de 750 � 𝑡′ � 850 e 1400 � 𝑡′ � 1500. Excluindo as medi-das que apresentam valores isolados que apresentam um baixo 𝜌𝑐𝑐, temos um mínimopara taxa de migração de -(3-4)∘/dia. Esta taxa corresponde a um ΔΩ/Ω = 14 ± 5 %,considerando um erro de ± 20∘ na medida do atraso entre distribuições consecutivas.

Exploramos também os efeitos causados pela variação dos parâmetros na apli-cação do modelo. O parâmetro que apresentou maior impacto nos resultados foi ocontraste das manchas, 𝑐𝑠. Utilizando os extremos dos valores de 𝑐𝑠 = 0,38 e 0,72 apre-sentados em VALIO et al. (2017), obtemos um mínimo para taxa de migração de -2∘/diapara 𝑐𝑠 = 0,38, correspondendo a um ΔΩ/Ω = 8 ± 5 %. Para 𝑐𝑠 = 0,72 temos que o mí-nimo para taxa de migração é de aproximadamente -3∘/dia. Esta taxa corresponde aum ΔΩ/Ω = 12 ± 5 %.


6.1.2 Kepler-63

6.1.2.1 Modelo de Trânsitos

Os resultados dos ajustes das 297 manchas da estrela Kepler-63 estão graficadosna Figura 46. Considerando que a superfície estelar e a mancha emitam como corponegro, convertemos a intensidade da mancha em temperatura. A média dos valoresobtidos das características físicas das manchas estão na Tabela 5.

Figura 46 – Histogramas das manchas da Kepler-63. Painel esquerdo: Raio em unidades de 𝑅𝑝, onde𝑅𝑝 é o raio do planeta; Painel central: Intensidade em unidades de 𝐼𝑐; Painel direito: Temperatura dasmanchas em Kelvin.

Parâmetro Unidade MédiaRaio (𝑅𝑝) 0, 65± 0, 13Raio (Mm) 26± 5Intensidade (𝐼𝑐) 0, 43± 0, 15Temperatura (K) 4700± 300

Tabela 5 – Média dos valores dos parâmetros das manchas da Kepler-63.

6.1.2.2 Diagrama de Borboleta

Com a aplicação da matriz rotacional foi possível determinar as latitudes decada mancha. Com isso, é possível construir um diagrama das latitudes das manchasno tempo. No caso das manchas solares, este diagrama é conhecido como diagrama deborboleta (Figura 5).

A distribuição das latitudes das manchas em função do tempo é apresentadana Figura 47. É possível observar que ela difere da distribuição solar, exibindo muitas


manchas em latitudes maiores que 40∘. Na Figura 48 temos o histograma das latitudesdas manchas.

Figura 47 – Kepler-63 - Diagrama de borboleta: Evolução temporal das manchas em latitude durante os4 anos de observação do satélite Kepler. O tamanho dos círculos é proporcional ao raio das manchas,enquanto que os tons de cinza se referem à intensidade das manchas.


6.1.2.3 Modelo de Máxima Entropia

A Figura 49 apresenta a distribuição do fator de preenchimento das manchas 𝑓

vs. longitude e o tempo para o mapa regularizado obtido da curva de luz da Kepler-63. Esse mapa foi construído em um referencial rotacional com um período 𝑃𝑟𝑜𝑡 = 5,401dias.

A partir deste mapa foi possível derivar um limite inferior para a rotação dife-rencial. Verificando o quanto uma região ativa migra para longitudes menores, pode-mos calcular a taxa de migração. A região ativa localizada em aproximadamente 100∘

no dia 5700 está rotacionando mais devagar que o período rotacional referencial e por-tanto está se movendo para para longitudes menores. Em quase 200 dias esta regiãose move aproximadamente 200∘. Portanto, a taxa de migração é de 1,0∘/dia para o re-


Figura 48 – Distribuição das latitudes das manchas na Kepler-63.


ferencial do mapa. Convertendo este valor podemos estimar um limite inferior pararotação diferencial ΔΩ/Ω = 1,5%.

As manchas obtidas a partir do modelo de trânsitos são representadas por cír-culos brancos na Figura 50. Elas possuem o tamanho proporcional ao déficit de fluxodefinido por 𝐷 = 𝜋𝑟2𝑠(1 − 𝐼𝑠𝑝𝑜𝑡/𝐼𝑐), onde 𝑟𝑠 é o raio da mancha e 𝐼𝑠𝑝𝑜𝑡/𝐼𝑐 é a razão daintensidade da mancha e a intensidade não perturbada da fotosfera no centro do discoestelar.

Não foi possível aplicar o método de correlação cruzada porque a determinaçãode 𝑠𝑜𝑐𝑐 ficou prejudicada uma vez que o planeta orbita de forma quase polar, deixandode cobrir longos trechos de longitude de uma vez. A Figura 51 mostra a área de cober-tura do trânsito planetário representada por quadrados de tamanho de 15∘ de altura,equivalente à projeção do tamanho do planeta. Com este mapa podemos verificar quenão é possível computar uma ampla cobertura em longitude nem observar uma mesmamancha evoluindo no tempo.


Figura 49 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obtidas pelo modelo de MMEda curva de luz da estrela Kepler-63. O máximo do fator de preenchimento é indicado pela cor amarela,enquanto que o mínimo por azul escuro.



-100 0 100 200 300 400Longitude (deg)

200

400

600

800

1000

1200

1400

Tim

e (

BJD

TD

B -

2454833)

0.2 0.2 0.2 0.2

0.2

0.2

0.2 0.2

0.2 0.2

0.2 0.2

0.2

0.2

0.20.2 0.20.2

0.2

0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2

0.2

0.20.2

0.2 0.2

0.2 0.20.2

0.2 0.2 0.2

0.2

0.4 0.4

0.4

0.4 0.4

0.4 0.4

0.4

0.4

0.40.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

Figura 50 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obtidas pelo modelo de MMEpara a estrela Kepler-63. As manchas são representadas por círculos brancos e seu tamanho é proporci-onal ao déficit de fluxo 𝐷.



-100 0 100 200 300 400Longitude (deg)

200

400

600

800

1000

1200

1400

Tim

e (

BJD

TD

B -

2454833)

0.2 0.2 0.2 0.2

0.2

0.2

0.2 0.2

0.2 0.2

0.2 0.2

0.2

0.2

0.20.2 0.20.2

0.2

0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2 0.2

0.2

0.2

0.2

0.20.2

0.2 0.2

0.2 0.20.2

0.2 0.2 0.2

0.2

0.4 0.4

0.4

0.4 0.4

0.4 0.4

0.4

0.4

0.40.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

Figura 51 – Mapa da distribuição do fator de preenchimento das manchas obtidas pelo modelo de MMEpara a estrela Kepler-63. Os quadrados representam a área coberta pelo planeta em trânsito e possuemtamanho de 15∘ de lado.


7Conclusões

Neste trabalho, analisamos as curvas de luz de duas estrelas observadas pelosatélite Kepler para melhor entender a atividade estelar e a rotação diferencial das es-trelas. As estrelas analisadas, Kepler-17 e Kepler-63, são do tipo solar e ambas possuemum planeta orbitando muito próximo de sua estrela hospedeira. O estudo foi realizadoaplicando dois modelos para análise da atividade destas estrelas. Com o modelo detrânsito descrito por SILVA (2003) foi possível caracterizar fisicamente 1069 manchaspara Kepler-17 e 297 manchas para Kepler-63. As manchas na Kepler-17 apresentamum raio médio de 0,49 ± 0,10 𝑅𝑝, equivalente a (49 ± 10) ×103𝑘𝑚, enquanto que asna Kepler-63 0,65 ± 0,13 𝑅𝑝, equivalente a (26 ± 5) ×103𝑘𝑚. De acordo com a Equa-ção 3.2, temos que a o valor médio de temperatura de 5100 ± 300 𝐾 para as manchasda Kepler-17 e 4700 ± 300 𝐾 para as manchas da Kepler-63.

No caso da Kepler-17, que apresenta um planeta em órbita coplanar ao equadorda estrela foi possível calcular um valor para rotação diferencial e a rotação diferencialrelativa. Considerando a detecção de uma mesma mancha em um trânsito posterior,pudemos inferir o período de rotação para a latitude do trânsito planetário. O melhorajuste para o período de rotação dessa latitude foi de 11,92 ± 0,05 𝑑. Com este valor, eo período de rotação médio de 12,4 ± 0,1 𝑑 obtido de uma análise fora do trânsito, foipossível determinar a rotação diferencial de ΔΩ = 0,041 ± 0,005 𝑟𝑎𝑑/𝑑 e uma rotaçãodiferencial relativa ΔΩ/Ω de 8,0 ± 0,9, ou seja, 8%.

Para a estrela Kepler-63 não foi possível calcular um valor de rotação diferen-cial a partir do modelo de trânsito planetário. Devido à órbita quase polar do planetaKepler-63b não é possível acompanhar a evolução de uma mesma mancha no tempo.Entretanto, o trajeto realizado pelo planeta, cruzando diversas latitudes nos forneceinformações para construir um diagrama da distribuição das manchas em latitude notempo, conhecido como diagrama de borboleta para o caso solar. Com este diagrama épossível observar grande atividade em latitudes mais altas, como esperado para estre-las jovens (Netto; Valio, 2019). Este resultado já foi apontado por SANCHIS-OJEDA et

Capítulo 7. Conclusões 84

al. (2013).

Para a análise utilizando o modelo de máxima entropia derivamos duas curvasde luz a partir do SAP_FLUX para a Kepler-17 enquanto que para Kepler-63 somenteuma. O pipeline PDCSAP_FLUX sobre-corrige a curva de luz deixando impraticável ouso dela para a análise da modulação da curva de luz. Para Kepler-17, derivamos duascurvas de luz de longa cadência. Uma pelo ARC2, que remove tendências mantendoa amplitude da curva de luz e outra pelo preparo descrito em BONOMO e LANZA(2012). Ambas as curvas de luz apresentaram um resultado semelhante (LANZA etal., 2019). Por ser mais simples e apresentar um resultado bom, escolhemos o segundoprocedimento para prepararmos uma curva de luz para Kepler-63.

Utilizando o MME, geramos um mapa da distribuição do fator de preenchi-mento das manchas. Para Kepler-17 temos uma longitude ativa em aproximadamente200∘ que se estende por pelo menos 1400 dias, variando constantemente o seu nívelde atividade. É comum observarmos longitudes ativas com vidas longas similares emestrelas jovens do tipo solar (LEHTINEN et al., 2016) ou dos membros de subgigantesdas binárias ativas II Peg (RODONÒ et al., 2000) e HR 1099 (LANZA et al., 2006). OMME só nos permite calcular um limite inferior para a rotação diferencial porque nãotemos informações das latitudes onde as manchas estão localizadas. Para Kepler-17estimamos um valor de ΔΩ/Ω = 14 ± 5 %. Considerando 𝑐𝑠 = 0, 38 esta amplitude éreduzida para ΔΩ/Ω = 8 ± 5 %. Este valor é compatível com o encontrado em VALIOet al. (2017) de ΔΩ/Ω = 8,0 ± 0,9 %, que utilizaram o método de trânsito planetário.

Assim como outras estrelas jovens do tipo solar, Kepler-63 também apresentauma longitude ativa que se estende por grandes períodos em aproximadamente 100∘.Para Kepler-63 só foi possível estimarmos o limite inferior para a rotação diferencialde ΔΩ/Ω ≥ 1,5%. Com a órbita quase polar do planeta, não foi possível ter uma amos-tragem consecutiva de manchas para uma mesma latitude.

CoRot-2 e Kepler-63 são estrelas jovens de idade parecida, enquanto que Kepler-17, Kepler-71 e o Sol são muito mais velhas, com idades de < 1,78, 2,5-4,0 e 4,6 Gigaanos, respectivamente. Apesar do tipo espectral de Kepler-63 não ser bem estabelecido,apresenta temperatura efetiva similar às demais. Os parâmetros físicos das estrelasKepler-17 e Kepler-63, outras estrelas do tipo solar e o Sol estão na Tabela 6.

Kepler-63 e CoRoT-2 são estrelas muito mais ativas e jovens que o Sol, e apre-sentam uma temperatura média das manchas 𝑇𝑚 um pouco mais frias que as estrelasmais evoluídas.

As estrelas da Tabela 6, exceto o Sol, foram analisadas usando o método detrânsitos. Todas as estrelas são do tipo solar e parecidas, portanto, nós esperávamosque apresentassem manchas do mesmo tamanho para estrelas com idade similar, po-

Capítulo 7. Conclusões 85

Estrela Kepler-17 Kepler-63 Kepler-71 CoRoT-2 SolMassa (𝑀𝑆𝑜𝑙) 1,16 0,984 0,997 0,97 1,0Raio (𝑅𝑆𝑜𝑙) 1,05 0,901 0,887 0,902 1,0𝑇𝑒𝑓𝑓 (K) 5780 5576 5540 5575 5778Idade (Gyr) 1,78 0,2 2,5-4,0 0,13-0,5 4,6Rot. Dif. (𝑟𝑑/𝑑) 0,041 0,081 0,005 0,042 0,05Rot. Dif. relat. (%) 8,0 ≥1,5 < 2 3,04 22,1Planeta Kepler-17b Kepler-63b Kepler-71b CoRoT-2bRaio (𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑎) 0,138 0,0662 0,1358 0,172a (𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑎) 5,738 19,35 12,186 6,7ManchasRaio (Mm) 49 ± 10 26 ± 5 51 ± 26 55 ± 19 12 ± 10𝑇𝑚 (K) 5100 ± 300 4700 ± 300 4800 ± 500 4600 ± 700 4800 ± 400

Tabela 6 – Parâmetros físicos das estrelas Kepler-17 e Kepler-63, outras estrelas do tipo solar e o Sol.

rém a estrela Kepler-63 apresenta manchas muito menores que CoRoT-2. Isto se deveao fato de que o modelo utiliza um planeta transitando como corpo de prova, sendomais preciso se tivermos um planeta menor. CoRoT-2b é quase 3 vezes o tamanho deKepler-63b, o que condiz com as limitações que temos ao descrever manchas.

Descartando a rotação diferencial relativa da estrela Kepler-71, nossos resulta-dos parecem indicar que quanto mais jovem a estrela, menor é o valor de rotação di-ferencial relativa. Apesar do valor da rotação diferencial relativa, ΔΩ/Ω, da Kepler-63ser um limite inferior, este resultado condiz com os valores apresentado pela CoRoT-2,estrela com massa, raio, temperatura e idade parecida.

Foi possível obter pela primeira vez uma distribuição da latitude de manchasestelares em função do tempo. Esta distribuição, junto com os valores de rotação dife-rencial são ingredientes importantes para o estudo de modelos de dínamos.

Como trabalho futuro pretendemos aplicar estes métodos para estrelas observa-das por outros telescópios como o TESS e futuramente o PLATO, ampliando a amostrade estrelas do tipo solar analisadas. Pretendemos também desenvolver uma versãomais robusta do método de trânsito planetário levando em consideração a modulaçãoda curva de luz fora dos trânsitos para incluir na modelagem as manchas localizadasfora das regiões ocultadas pelo planeta durante o trânsito.

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