Rui Pedro Trindade Fena - ULisboa...INTERACÇÃO ENTRE INSTABILIDADE LOCAL E DISTORCIONAL EM COLUNAS...

INTERACÇÃO ENTRE INSTABILIDADE LOCAL E

DISTORCIONAL EM COLUNAS DE AÇO ENFORMADAS A FRIO

DE SECÇÃO EM “HAT”

Rui Pedro Trindade Fena

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientadores: Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Professor Doutor Dinar Reis Zamith Camotim

Vogal: Doutor Cilmar Donizeti Basaglia

Dezembro 2011

i

Resumo

Resumo: Apresentam-se e discutem-se os resultados de um estudo sobre o comportamento de

pós-encurvadura, resistência última e dimensionamento de perfis de aço enformados a frio,

encastrados e com secção em hat, quando afectados por fenómenos de interacção entre

modos de instabilidade locais e distorcionais. Todas as análises geométrica e fisicamente não

lineares são efectuadas através do método dos elementos finitos, adoptando elementos de

casca para discretizar os perfis. As colunas analisadas (i) têm secções transversais com

dimensões que asseguram tensões críticas local-de-placa/distorcional com valor semelhante,

(ii) contêm imperfeições geométricas com várias configurações, obtidas a partir de

combinações lineares dos modos local-de-placa e distorcional, e uma amplitude comum

equivalente a 10% da espessura da parede. Os resultados numéricos apresentados consistem

em (i) trajectórias de pós-encurvadura elásticas e elasto-plásticas, (ii) curvas que descrevem o

modo como a configuração deformada da coluna evolui ao longo das trajectórias elásticas e (iii)

figuras que mostram a evolução da deformação plástica e as características do modo de

colapso das colunas elasto-plásticas. Em seguida, descrevem-se os resultados mais

importantes de um estudo paramétrico em que se determinam os valores da resistência última

de 90 colunas com diversas geometrias e tensões de cedência, todas elas escolhidas de forma

a garantir a relevância dos efeitos da interacção entre modos de instabilidade locais e

distorcionais. Finalmente, faz-se a comparação entre este conjunto de valores da resistência

última e as estimativas fornecidas pelas fórmulas do Método da Resistência Directa (MRD)

actualmente existentes para prever a resistência de colunas afectadas por interacção

local/distorcional.

Palavras-chave:

Colunas de aço enformadas a frio

Instabilidade local-de-placa e distorcional

Interacção modal

Pós-encurvadura

Método dos elementos finitos

Método da resistência directa

iii

Abstract

Abstract: The results of an investigation concerning the post-buckling behaviour (elastic and

elastic-plastic), ultimate strength and design of fixed-ended cold formed steel hat section

columns experiencing local-plate/distorcional buckling mode interaction are presented and

discussed. All geometrically and physically nonlinear analyses are carried out in the code

Abaqus, discretising the columns into fine shell finite element meshes. The columns analysed (i)

have cross-section dimensions leading to similar local and distortional critical buckling stresses,

and (ii) contain critical-mode initial geometrical imperfections with various shapes, obtained from

different linear combinations of the competing local and distortional modes, and sharing the

same amplitude. The numerical results presented consist of (i) elastic and elastic-plastic non-

linear (post-buckling) equilibrium paths, (ii) figures describing the evolution, along those

equilibrium paths, of the column deformed shapes, and (iii) figures showing the spreading of the

plastic strains in the elastic-plastic columns until they reach their ultimate strength values, as

well as the characteristics of the corresponding failure modes. Then, one describes the most

important results of an extensive parametric study involving the determination of the ultimate

strength values of 90 hat section columns with several geometries (cross-section dimensions

and length) and yield stresses, carefully chosen to exhibit strong L/D mode interaction all

columns contain the most detrimental critical-mode geometrical imperfections with a small

amplitude. Finally, the ultimate strength values obtained in the above parametric study are used

to assess the performance of existing Direct Strength Method (DSM) design approaches in

predicting local/distortional column interactive failures.

Keywords:

Cold formed steel columns

Local-plate and distorcional buckling

Mode interaction

Post-buckling

Finite element method

Direct strength method

v

Agradecimentos

Aos Professores Pedro Borges Dinis e Dinar Camotim, orientadores científicos desta dissertação,

pela total disponibilidade que sempre tiveram no sentido de esclarecer as várias questões que foram

surgindo, pelo apoio prestado na cedência de material e informação. E por fim, agradeço

profundamente o sentido crítico que contribuiu bastante para o meu crescimento académico e

pessoal.

À minha família, pai, mãe, irmã e padrinhos, pelo apoio incondicional que me foi transmitido, não só

durante a realização deste trabalho, mas durante todos estes anos.

À minha namorada Joana e aos meus amigos José Liça, Miguel Paleta, Fernando Rodrigues, João

Pato, João Cruz, Jaime Anderson, José Cardoso, André Graça, Miguel Guimarães, Diogo Robles,

João Ramos, João Duarte, Filipa Emídio, Francisco Rodrigues, Diogo Ferreira, Filipa Morgado, Rita

Araújo, Inês Silva, Catarina Almeida, Madalena Rodrigues, Teresa Pestana e Cristina Canas pela

amizade, apoio e incentivo.

vii

Índice de Texto

1 Introdução ...................................................................................................................... 1

1.1 Considerações Gerais ......................................................................................................... 1

1.2 Motivação e Âmbito do Trabalho ......................................................................................... 5

1.3 Estrutura do Trabalho .......................................................................................................... 6

2 Conceitos Fundamentais ............................................................................................................. 9

2.1 Introdução ............................................................................................................................ 9

2.2 Conceitos Básicos ............................................................................................................... 9

2.3 Análises de Estabilidade ....................................................................................................13

2.4 Estabilidade de Perfis Metálicos de Parede Fina ..............................................................14

2.4.1 Interacção entre Modos de Instabilidade ..............................................................18

2.5 Métodos de Análise ...........................................................................................................19

2.5.1 Teoria Generalizada de Vigas ..............................................................................20

2.5.2 Método dos Elementos Finitos ..............................................................................22

3 Análise Linear de Estabilidade ...................................................................................................25

3.1 Introdução ..........................................................................................................................25

3.2 Determinação da Geometria das Colunas .........................................................................25

3.2.1 Exemplo Ilustrativo ................................................................................................26

3.2.2 Análise por Elementos Finitos da Coluna Seleccionada ......................................28

3.3 Geometria das Colunas Seleccionadas .............................................................................29

4 Análise de Pós-Encurvadura......................................................................................................31

4.1 Introdução ..........................................................................................................................31

4.2 Imperfeições Geométricas Iniciais .....................................................................................31

4.3 Pós-Encurvadura em Regime Elástico ..............................................................................33

4.4 Pós-Encurvadura em Regime Elasto-Plástico ...................................................................48

4.5 Estudo Paramétrico ...........................................................................................................52

5 Dimensionamento através do Método da Resistência Directa ..................................................55

viii

5.1 Introdução ..........................................................................................................................55

5.2 O Método da Resistência Directa ......................................................................................56

5.2.1 MRD com Interacção Local/Distorcional. ..............................................................57

5.3 Avaliação das Estimativas do MRD ...................................................................................59

6 Considerações Finais e Desenvolvimentos Futuros ..................................................................65

7 Referências Bibliográficas ..........................................................................................................69

Anexo ....................................................................................................................73

A – Dimensões das secções em hat, tensões de bifurcação e estimativas do MRD. ...........................75

ix

Lista de Figuras

Figura 1.1 – (a) Perfis de secção aberta, (b) fechada e (c) obtida por ligação de secções

abertas, e (d) painéis de elementos estruturais de aço enformado a frio [3]. ............................... 2

Figura 1.2 – Processos de enformagem a frio: (a) laminagem a frio e (b) quinagem. ................. 2

Figura 1.3 – Secções transversais de elementos de aço enformado a frio [26]. .......................... 4

Figura 1.4 – Aplicação de um perfil de aço enformado a frio de secção em hat

(http://fastbuilding.com.au/tag/boral-plasterboard/)....................................................................... 6

Figura 2.1 – Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo........ 9

Figura 2.2 – Conceito de estabilidade do equilíbrio. Equilíbrio (a) estável, (b) instável e (c)

neutro [6]. .................................................................................................................................... 11

Figura 2.3 – Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico

estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [6]. ................ 12

Figura 2.4 - Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada. ................. 12

Figura 2.5 – Trajectórias de Pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos.

Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétrico [6]. .................... 13

Figura 2.6 – Configurações dos modos de instabilidade de colunas com secção em hat:

modos (a) local, (b) distorcional, (c) de flexão-torção e (d) de flexão. ...................................... 15

Figura 2.7 – Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [37]. ................. 16

Figura 2.8 – Modo de instabilidade local de uma coluna com secção em hat. .......................... 17

Figura 2.9 – Modo de instabilidade distorcional de uma coluna com secção em hat. ................ 18

Figura 2.10 – Modo de instabilidade acoplado local/distorcional de uma coluna com secção em

hat. ............................................................................................................................................... 18

Figura 2.11 – Curvas ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a)

Interacção local/global. (b) Interacção distorcional/global. (c) Interacção local/distorcional/global

[37]. .............................................................................................................................................. 19

Figura 2.12 - Modos de deformação de uma secção em hat. .................................................... 20

Figura 2.13 – Janelas das quatro fases da utilização do programa GBTUL. ............................... 21

Figura 3.1 – Curvas de estabilidade das colunas (a) H6A e (b) H6. ............................................. 27

Figura 3.2 – Factores de participação modal no modo de instabilidade das colunas (a) H6A e (b)

H6. ................................................................................................................................................ 27

x

Figura 3.3 – Análise de estabilidade da coluna seleccionada. (a) Curva e (b)

configuração deformada do modo de instabilidade do perfil H6 ( ). ........................... 29

Figura 4.1 – Imperfeições iniciais: (a) representação no plano CL,0-CD,0 e (b) configurações para

e (coluna H6). ................................................................................... 33

Figura 4.2 – Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com

imperfeições iniciais e . ..................................................................................... 34

Figura 4.3 - Configuração deformada das colunas (a) e (b) para .

..................................................................................................................................................... 35

Figura 4.4 – (a) Evolução do deslocamento ao longo da alma da colunas (quatro

valores do parâmetro de carga) e (b) configuração deformada da alma (b1) da coluna

( ) e (b2) associada aos modos local e distorcional. .......................................... 36

Figura 4.5 – Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna .................... 37


imperfeições iniciais e . .......................................................................................... 37

Figura 4.7 – Configuração deformada das colunas (a) e (b) ( ). 38

Figura 4.8 – Evolução do deslocamento ao longo da alma das colunas (a) e (b)

...................................................................................................................................... 38


imperfeições iniciais . ............................................................................................. 39


........................................................................................................................................ 40


imperfeições iniciais . ......................................................................................... 41

Figura 4.12 – Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna .................. 42

Figura 4.13 – Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para as colunas

com imperfeições iniciais . ............................................................................... 42


...................................................................................................................................... 43


imperfeições iniciais . ............................................................................... 44

Figura 4.16 – Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna .................. 45

Figura 4.17 – Imperfeições iniciais das colunas não afectadas por interacção localizada na

alma. ............................................................................................................................................ 46

Figura 4.18 – Evolução dos coeficientes e nas trajectórias de pós-encurvadura ............ 47

xi

Figura 4.19 – Trajectórias de equilíbrio elasto-plásticas das colunas (a) , (b) , (c)

e (d) . ............................................................................................................. 49

Figura 4.20 – Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da

coluna ( ). .................................................................................................. 50


coluna ( ). ............................................................................................... 50


coluna / ). ............................................................................................... 51

Figura 5.1 – Variação de (a) , (b) , (c) e (d) com para

colunas com secção em C [33]. .................................................................................................. 57

Figura 5.2 – Curvas de dimensionamento do MRD .................................................................... 59

Figura 5.3 – Variação de (a) , (b) , (c) e (d) com para

colunas com secção em hat. ....................................................................................................... 61

Figura 5.4 – Variação de com para as colunas com secção em hat. ......................... 62

Figura 5.5 – Variação de + com para as colunas com secção em hat. ....... 62

Figura 5.6 – Variação de com para colunas com secção em C [33]. ......................... 63

xiii

Lista de Tabelas

Tabela 4.1 – Valores de resistência última das colunas H6 para diferentes valores de

e . .............................................................................................................................................. 52

Tabela 5.1 – Média e desvio-padrão das diferentes formulações do MRD. ............................... 61

Tabela A.1 – Dimensões das secções em hat, tensões de bifurcação e estimativas do MRD. . 75

xv

Lista de Símbolos

Caracteres Latinos

bw Largura da alma

bf Largura do banzo

bs Largura do reforço

c1-c3 Factores que condicionam a rigidez da mola de apoio

C2-C3 Factores que condicionam a estabilidade do equilíbrio

CD Factor de participação do modo distorcional

CD0 Factor de participação do modo distorcional na configuração inicial

CL Factor de participação do modo local

CL0 Factor de participação do modo local na configuração inicial

D Constante de rigidez de flexão de uma placa

E Módulo de elasticidade do material

fcr Tensão crítica

fD Tensão crítica no modo distorcional

fE Tensão crítica no modo global

fL Tensão crítica no modo local

fND Tensão nominal resistente no modo distorcional

fNDL Tensão nominal resistente no modo acoplado distorcional/local

fNE Tensão nominal resistente no modo global

fNL Tensão nominal resistente no modo local

fNLE Tensão nominal resistente no modo acoplado local/global

fu Tensão última

fy Tensão de cedência

f*NDL Tensão nominal resistente modificada no modo acoplado distorcional/local

f*NL Tensão nominal resistente modificada no modo local

k Rigidez da mola

L Comprimento

LcrL Comprimento da barra simplesmente apoiada com uma semi-onda local que exibe a menor carga crítica

LcrD Comprimento da barra simplesmente apoiada com uma semi-onda distorcional que exibe a menor carga crítica

LD Comprimento da barra relativo ao modo distorcional

LD-G Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos distorcional e global

LL Comprimento da barra relativo ao modo local

LL-D Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos local e distorcional

LL-G Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos local e global

LL-D-G Comprimento da barra relativo á interacção entre os modos local, distorcional e global

P Carga aplicada

Pcr Carga crítica

q Deslocamento adimensionalisado

xvi

R Reacção na mola

t Espessura

u Deslocamento

u’0 Imperfeição inicial

v Deslocamento da ligação banzo-reforço

vD Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo distorcional

vD,0 Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo distorcional na configuração inicial

vL Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo local

vL,0 Deslocamento da ligação banzo-reforço associado ao modo local na configuração inicial

wD Deslocamento de flexão da alma associado ao modo distorcional

wD,0 Deslocamento de flexão da alma associado ao modo distorcional na configuração inicial

wL Deslocamento de flexão da alma associado ao modo local

wL,0 Deslocamento de flexão da alma associado ao modo local na configuração inicial

Caracteres Gregos

ε Imperfeição adimensionada

λB Esforço de bifurcação

λC Esbelteza global

λcr Esforço crítico

λD Esbelteza distorcional

λL Esbelteza local

xvii

Acrónimos

GBT Teoria Generalizada de Vigas (Generalized Beam Theory)

MEF Método dos Elementos Finitos

MFF Método das Faixas Finitas

MLE Método da Largura Efectiva

MRD Método da Resistência Directa

1

1 Introdução

1.1 Considerações Gerais

Por razões económicas e estéticas, os engenheiros têm sido desafiados ao longo dos tempos a

conceber estruturas cada vez mais esbeltas, leves e resistentes. Esta procura por uma maior

eficiência estrutural conduziu a diversas soluções estruturais, onde o aço surge como uma mais

vantajosas. A maior competitividade deste material em relação aos demais está directamente

relacionada (i) com os melhores e mais eficientes processos de produção (e.g., metalurgia,

enformação a frio, extrusão, soldadura), (ii) com a elevada performance em termos de

comportamento do aço, e (iii) com as evoluídas técnicas construtivas que permitem não só reduzir os

tempos de construção, mas também diminuir os custos associados à mão-de-obra. No que diz

respeito ao comportamento material, o aço destaca-se dos restantes devido às suas características,

nomeadamente em termos de resistência e de ductilidade, permitindo a concepção de elementos

estruturais bastante esbeltos e consequentemente leves. Por sua vez, as vantagens desta solução

em termos construtivos deve-se à (i) possível pré-fabricação em grande escala dos elementos, (ii) à

facilidade do transporte, montagem e desmontagem da estrutura e (iii) à possível reutilização dos

componentes estruturais, característica bastante valorizada na sociedade actual. Contudo, a elevada

esbelteza, aliada à considerável resistência destes elementos, torna-os particularmente sensíveis a

fenómenos de instabilidade, o que explica a importância da estabilidade no estudo do comportamento

estrutural de elementos de aço, nomeadamente os com secção de parede fina.

De entre as várias soluções de parede fina, a enformação a frio tem vindo, nos últimos anos, a ter uma

utilização crescente. Muito embora a incorporação de elementos estruturais de aço enformado a frio na

indústria da construção civil remonte à década de 1850, em Inglaterra e nos Estados Unidos da América, a

sua utilização, com carácter sistemático em estruturas de edifícios só teve lugar a partir de da década de

quarenta do século passado [1]. Antes disso, foi na indústria automóvel que primeiro se assistiu ao

desenvolvimento de tecnologias específicas para enformar a frio componentes de vários tipos de veículos

com fins estruturais. Um pouco mais tarde, a indústria aeronáutica, condicionada pela absoluta

necessidade de obter estruturas simultaneamente leves e resistentes, constituiu igualmente um domínio

privilegiado para o emprego de chapas metálicas com espessuras muito pequenas [2]. No âmbito da

engenharia civil, a enformação a frio começou a ser utilizada em sistemas de armazenamento, tendo

contribuído decisivamente para a crescente utilização dos elementos de aço enformado a frio, a

publicação, em 1946 e pelo American Iron and Steel Institute, das primeiras disposições regulamentares

relativas ao comportamento estrutural deste tipo de elementos [1].

Na origem dos processos de enformação a frio está a grande ductilidade do aço, a qual permite obter,

a partir de chapas de espessura bastante reduzida, perfis e painéis estruturais com elevada eficiência

estrutural (i.e., relação resistência/peso) e com grande versatilidade de fabrico (possibilidade de

2

produzir, de uma forma económica, elementos estruturais com uma vasta gama de geometrias). As

Figuras 1.1(a)-(d) exibem um conjunto de secções transversais de perfis e painéis utilizados no

âmbito da engenharia civil – os perfis estruturais correspondem a elementos lineares com secção

transversal aberta ou fechada (obtida por ligação de perfis de secção aberta), sendo os painéis de

secção poligonal utilizados principalmente em coberturas ou em lajes mistas aço-betão.

Figura 1.1 – (a) Perfis de secção aberta, (b) fechada e (c) obtida por ligação de secções abertas, e (d) painéis de elementos estruturais de aço enformado a frio [3].

As Figuras 1.2(a)-(b) mostram dois processos de dar forma aos elementos de aço enformado a frio,

nomeadamente (i) a laminagem a frio (cold rolling, na designação anglo-saxónica) e (ii) a quinagem (press

braking, na designação anglo-saxónica) [2, 4, 5]. No primeiro caso, a configuração final do elemento

estrutural é obtida por acção directa (compressão) de um conjunto de rolos dispostos convenientemente

de modo a obter a forma pretendida. No segundo caso, a chapa é forçada a dobrar ao longo da direcção

longitudinal devido à compressão da chapa contra sistemas, originando quinas, i.e., arestas.

Figura 1.2 – Processos de enformagem a frio: (a) laminagem a frio e (b) quinagem.

De um modo geral, o colapso de perfis enformados a frio resulta, essencialmente, da combinação

de fenómenos de natureza complexa (e.g., instabilidade, plasticidade), alguns com uma relevância

superior à que se observa em perfis de secção compacta [6]. De facto, os perfis de aço enformado

(a) (b) (c) (d)

3

a frio exibem (i) uma reduzida rigidez de torção, principalmente os elementos de secção aberta, e

(ii) com paredes de elevada esbelteza, o que os torna muito susceptíveis à ocorrência de

fenómenos de instabilidade local. Ao contrário do que sucede com a instabilidade global (por flexão,

torção ou flexão-torção), em que apenas o eixo do perfil se deforma (as secções transversais

sofrem apenas deslocamentos de corpo rígido), a instabilidade local caracteriza-se pelo facto de as

secções se deformarem nos seus próprios planos (o eixo do perfil permanece indeformado). Por

sua vez, a instabilidade local engloba dois modos com características distintas: (i) os modos locais -

de-placa (flexão das paredes, sem deslocamentos dos bordos longitudinais internos) e (ii) os

modos distorcionais (flexão das paredes, com deslocamentos significativos de um ou mais bordos

longitudinais internos). Dependendo (i) da geometria do elemento estrutural (configuração e

dimensão dos elementos da secção transversal, comprimento), (ii) das condições de apoio (e.g.,

secções extremas apoiadas ou encastradas, travamentos intermédios) e (iii) do carregamento a

que está sujeito (e.g., compressão, flexão, flexão-compressão), qualquer um dos modos referidos

anteriormente poderá ser crítico. Contudo, chama-se a atenção para o facto de, em determinadas

circunstâncias, poder ocorrer a bifurcação simultânea em dois ou mais modos de natureza distinta,

facto que está na origem dos chamados fenómenos de interacção entre modos de instabilidade.

É do conhecimento geral que os perfis de aço enformados a frio exibem comportamentos de pós-

encurvadura local-de-placa e global estáveis, com diferenças claras de reserva de resistência pós-

crítica: bastante significativa no primeiro caso e muito baixa no segundo. Por outro lado, estudos

relativamente recentes mostraram que o comportamento de pós-encurvadura distorcional (i) se

situa algures entre os dois anteriores (em termos cinemáticos e de resistência) e (ii) exibe uma

assimetria significativa em relação ao sentido do movimento dos banzos (abertura ou fecho das

secções do perfil) a título de exemplo, refiram-se os trabalhos de Kwon & Hancock [7], Prola &

Camotim [8], Camotim & Silvestre [9] e Silvestre & Camotim [10].

Relativamente aos fenómenos de interacção que podem afectar o comportamento de pós-encurvadura

e a resistência última de colunas, os que resultam da quase coincidência entre as tensões críticas local-

de-placa e global são bastante bem conhecidos. Os seus efeitos são tomados em consideração em

praticamente toda a regulamentação actualmente em vigor relativa ao dimensionamento de perfis

laminados e enformados a frio, através do conceito de largura efectiva. Por outro lado, a influência dos

efeitos da interacção envolvendo o modo distorcional no comportamento de pós-encurvadura e na

resistência última de perfis de parede fina constitui um tema de investigação bastante actual, tendo sido

objecto de várias publicações recentes. A maioria dos estudos diz respeito à interacção local-de-

placa/distorcional em colunas de secção em C e inclui simulações numéricas, investigações

experimentais e propostas de regras de dimensionamento que têm em conta a influência dessa

interacção (e.g., Ungureanu & Dubina [11], Yang & Hancock [12], Dinis et al. [13, 14], Hancock et al.

[15], Silvestre et al. [16-18], Camotim et al. [19], Kwon et al. [20, 21], Yapp & Hancock [22], Young et al.

[23] ou Rossi [24]). No que diz respeito a fenómenos de interacção envolvendo a instabilidade

distorcional e global (i.e., interacção distorcional/global e local-de-placa/distorcional/global), a

literatura disponível é relativamente escassa e aborda também o efeito dessa interacção sobretudo

em colunas de secção em C (Dinis & Camotim [23], Dinis et al. [25] e Rossi [24]).

4

Muito embora alguns dos trabalhos mencionados anteriormente permitam retirar conclusões

importantes em termos do dimensionamento de perfis de aço enformados a frio afectados por

fenómenos de interacção envolvendo o modo distorcional, pode afirmar-se que há ainda um caminho

relativamente longo a percorrer antes de se conseguir estabelecer metodologias de dimensionamento

que incorporem, de uma forma racional e eficiente, os efeitos dessa interacção. De facto, torna-se

necessário desenvolver uma considerável actividade de investigação (tanto em termos numéricos

como experimentais) nomeadamente, tendo em conta (i) a secção transversal (e.g., secções em Z,

hat), (ii) as condições de apoio (e.g., perfis apoiados, encastrados), e (iii) os carregamentos a que os

perfis estão submetidos (e.g., colunas, vigas, colunas-viga).

Figura 1.3 – Secções transversais de elementos de aço enformado a frio [26].

Como foi já referido anteriormente, a generalidade dos regulamentos de estruturas de aço contém

procedimentos para a determinação da resistência de perfis de parede fina baseados no Método das

Larguras Efectivas. Contudo, devido ao elevado número de paredes que habitualmente constituem a

secção transversal dos perfis enformados a frio (ver Figura 1.3), a aplicação desses procedimentos

torna-se bastante complexa/morosa. No sentido de ultrapassar estas dificuldades e de conseguir

estabelecer metodologias de dimensionamento mais eficientes e seguras (permitindo também a

verificação da segurança dos perfis em relação ao colapso em modos distorcionais), a comunidade

técnico/científica ligada a este tipo de estruturas desenvolveu recentemente um conjunto significativo

de estudos, dos quais se destaca o trabalho de Hancock et al [27], em virtude de ter estado na origem

de um novo método de dimensionamento, designado por Método da Resistência Directa (MRD –

Direct Strength Method, na designação anglo-saxónica). O método (i) foi originalmente proposto por

Schafer e Peköz [28] e (ii) tem sido continuamente desenvolvido desde então, sobretudo devido aos

esforços de Schafer [29-31]. O MRD constitui actualmente uma metodologia importante no

dimensionamento destes perfis, estando já incluído, com o estatuto de método alternativo, na mais

recente versão da norma americana (AISI) e australiana/neo-zelandesa (SA-SNZ). O método permite

obter estimativas da resistência última de colunas e vigas de aço enformadas a frio, cujo colapso

ocorra em modos locais-de-placa, distorcionais e globais, ou com interacção local-de-placa/global,

sendo a resistência última do perfil calculada a partir (i) dos valores das tensões de bifurcação locais-

de-placa, distorcionais e globais (fornecidas por análises de estabilidade efectuadas

computacionalmente) e (ii) de curvas de dimensionamento calibradas experimental e/ou

5

numericamente. Contudo, conforme tem sido referido por Schafer [31], é necessário desenvolver

ainda uma considerável actividade de investigação antes que o MRD possa ser eficazmente utilizado

para dimensionar elementos estruturais afectados por fenómenos de interacção envolvendo modos

distorcionais (âmbito no qual este trabalho se insere).

A determinação rigorosa do comportamento estrutural de perfis de aço enformados a frio, sobretudo em

regime elasto-plástico e/ou na presença de fenómenos de interacção entre modos de instabilidade, só é

possível através da utilização de métodos computacionais sofisticados, de entre os quais se destaca o

método dos elementos finitos. Os extraordinários progressos que ocorreram nas últimas décadas ao

nível da sofisticação das ferramentas de cálculo (hardware e software) permitiram a disseminação de

diversos programas comerciais de elementos finitos, os quais efectuam análises geométrica e

fisicamente não lineares de qualquer sistema estrutural e.g., ABAQUS [32]. A comunidade

técnico/científica ligada às estruturas de aço tem utilizado de forma crescente estes meios,

nomeadamente porque (i) os estudos paramétricos efectuados através de simulações numérica

apresentarem grandes vantagens em relação à realização de ensaios experimentais e (ii) a

racionalidade e eficácia das metodologias de dimensionamento dependerem de um conhecimento

aprofundado dos comportamentos de pós-encurvadura dos elementos estruturais as análises por

elementos finitos de casca desempenham um papel importante na obtenção desse conhecimento,

permitindo analisar a influência da deformabilidade local na pós-encurvadura de perfis de parede fina.

Contudo, para que as simulações numéricas tenham significado é essencial que a modelação seja feita

de forma adequada, designadamente no que diz respeito (i) à discretização dos perfis, (ii) à introdução

das cargas (tensões) aplicadas, (iii) à modelação das condições de apoio e do comportamento material,

e (iv) à incorporação das imperfeições geométricas iniciais e das tensões residuais (e.g., Dinis &

Camotim [33], Silvestre et al. [34] Dinis et al. [13])

1.2 Motivação e Âmbito do Trabalho

Em face do exposto anteriormente, pode concluir-se que o estudo do comportamento de perfis enformados a

frio, quando afectados por fenómenos de interacção envolvendo o modo distorcional, constitui um tema

bastante actual no âmbito dos elementos estruturais de parede fina. Neste contexto, destaca-se a

investigação desenvolvida nos últimos anos no Instituto Superior Técnico, nomeadamente estudos

efectuados sobre a interacção local-de-placa/distorcional, distorcional/global e local-de

placa/distorcional/global (e.g., [13, 14, 16-18, 23, 25]). No entanto, a maioria destes estudos tem-se centrado

em perfis com secção em C [11-14, 17, 21, 33 - 35] e rack [36], quando submetidos a compressão uniforme

e afectados por interacção local-de-placa/distorcional – neste contexto, convém referir que também foram

investigadas vigas de secção em C submetidas a flexão em torno do eixo de maior inércia [37].

O trabalho que agora se apresenta procura contribuir para um melhor conhecimento sobre os

comportamentos (i) de pós-encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, e de resistência

última de colunas encastradas e com secção em hat, quando afectadas por fenómenos de

interacção que envolvam os modos de instabilidade de índole local, i.e., os modos local-de-placa

6

e distorcional – na Figura 1.4 pode observar-se a aplicação deste tipo de perfis como suporte de paredes

divisórias de edifícios. De forma a facilitar a leitura do presente trabalho, e sempre que tal não afecte a

compreensão do trabalho, o modo local-de-placa passará a ser denominado apenas como modo local.

Figura 1.4 – Aplicação de um perfil de aço enformado a frio de secção em hat (http://fastbuilding.com.au/tag/boral-plasterboard/).

O conhecimento adquirido sobre os referidos comportamentos, conjuntamente com um estudo

paramétrico alargado permite, numa segunda fase, avaliar o desempenho das actuais fórmulas do

Método da Resistência Directa para estimar a capacidade resistente dos perfis. Neste âmbito, pretende-

se nomeadamente avaliar se a formulação proposta por Camotim et al. [33], no contexto de colunas de

secção em C, fornece estimativas rigorosas e seguras também para colunas de secção em hat.

1.3 Estrutura do Trabalho

No presente capítulo fez-se uma apresentação de carácter introdutório ao tema da dissertação e

indicam-se as motivações que estiveram na origem do trabalho realizado, o qual deu origem à

publicação de dois artigos em conferências internacionais [38, 39]. Seguidamente descreve-se o

conteúdo dos restantes cinco capítulos da dissertação.

No capítulo 2 descrevem-se os principais conceitos necessários à realização do trabalho,

nomeadamente os conceitos básicos de estabilidade, os tipos de análises e fenómenos de

instabilidade que afectam os perfis metálicos de parede fina, dando algum ênfase à interacção entre

modos de instabilidade. O capítulo termina com uma breve descrição dos métodos de análise

adoptados para realizar as análises de estabilidade efectuadas no decurso do trabalho, indicando os

aspectos mais relevantes sobre (i) a modelação por elementos finitos de casca (ABAQUS) e (ii) a

utilização do programa GBTUL [40] (análises efectuadas com base na Teoria Generalizada de Vigas).

No capítulo 3 faz-se a selecção da geometria das colunas encastradas de aço enformadas a frio e

secção em hat, quando afectadas por interacção local/distorcional. A identificação das dimensões dos

18 perfis seleccionados fez-se (i) a partir da análise linear de estabilidade dos perfis (efectuada

recorrendo ao programa GBTUL), (ii) através de um processo de tentativa-e-erro, no qual se vão

7

alterando as dimensões da alma, banzo ou reforço até se obterem perfis com tensões de bifurcação

semelhantes nos modos locais e distorcionais. O capítulo termina com a análise de estabilidade por

elementos finitos de um dos perfis seleccionados, a qual é efectuada com o intuito de confirmar os

resultados obtidos anteriormente e, em particular, detectar a presença da interacção local/distorcional.

O capítulo 4 é dedicado á análise por elementos finitos de casca do comportamento de pós-

encurvadura dos perfis escolhidos no capítulo anterior. Nomeadamente, estuda-se o comportamento

da coluna que serviu de exemplo no capítulo 3, apresentando-se, numa primeira fase, o conjunto de

imperfeições geométricas iniciais consideradas nas análises de pós-encurvadura, e, numa segunda

fase e em separado, o estudo dos comportamentos dessa coluna, em regime elástico e elasto-

plástico. Os resultados em regime elástico que se apresentam e comentam consistem em (i)

trajectórias de pós-encurvadura, (ii) configurações deformadas das colunas em estádios avançados

de pós-encurvadura, (iii) gráficos que ilustram a evolução da configuração deformada da alma e (iv)

gráficos que indicam a contribuição das componentes modais para a configuração deformada das

colunas. Na análise do comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-plástico, apresentam-

se não só as trajectórias de equilíbrio, mas também a evolução e a localização das deformações

plásticas, assim como as configurações deformadas das colunas no colapso. O capítulo termina com

a descrição dos resultados de um estudo paramétrico efectuado com o programa ABAQUS, onde se

determinaram os valores de resistência última de 90 colunas encastradas e de secção em hat quando

afectadas por interacção local/distorcional.

No capítulo 5 faz-se uma breve descrição sobre o dimensionamento de elementos estruturais de

parede fina através do Método da Resistência Directa. Numa primeira fase, apresentam-se as

formulações actuais desta metodologia de dimensionamento, assim como as extensões recentemente

propostas para determinar a resistência última de colunas afectadas por interacção local/distorcional.

O capítulo termina com a comparação entre o conjunto de valores da resistência última (obtido no

estudo paramétrico indicado no capítulo anterior) e as estimativas fornecidas pelas fórmulas do MRD.

Por fim, o capítulo 6 é dedicado à apresentação dos principais resultados e das conclusões mais

relevantes a que se chegou durante a realização da presente dissertação. Expõem-se ainda alguns

tópicos cujo desenvolvimento se considera de especial importância em trabalhos futuros.

9

2 Conceitos Fundamentais

2.1 Introdução

Neste capítulo apresentam-se os conceitos básicos sobre estabilidade estruturafl (retirados de livros

de referência neste domínio [6]), assim como as características essenciais dos métodos de análise

utilizados na realização desta dissertação. Ilustram-se alguns dos conceitos recorrendo a um modelo

estrutural muito simples, após o que se apresentam/caracterizam os tipos de instabilidade que podem

ocorrer em perfis de aço enformados a frio, dando particular relevo aos fenómenos que envolvem a

deformação local da secção (instabilidade local-de-placa e distorcional). O capítulo termina com a

apresentação das características (i) das várias análises de estabilidade, e (ii) dos métodos numéricos

utilizados na realização deste trabalho, nomeadamente (ii1) o Método dos Elementos Finitos (MEF) e

a (ii2) Teoria Generalizada de Vigas (GBT - Generalized Beam Theory na designação anglo-

saxónica).

2.2 Conceitos Básicos

Apresenta-se na Figura 2.1 um sistema estrutural ideal (i.e., sem imperfeições iniciais), constituído

por uma barra rígida bi-articulada, impedida de se deslocar lateralmente numa das extremidades e na

outra com uma mola cuja rigidez elástica não linear é obtida através da expressão

. (2.1)

Figura 2.1 – Modelo estrutural. Configuração (a) indeformada e (b) deformada do modelo.

A barra encontra-se solicitada pela acção de duas forças verticais (de compressão) de valor P.

Observa-se que, na configuração indeformada ( ), o sistema estrutural está em equilíbrio,

(a) (b)

10

sem qualquer tipo de reacção na mola ou forças horizontais, enquanto que, na configuração

deformada, os deslocamentos originam uma reacção na mola que se admite ser dada por

. (2.2)

Adoptando como grau de liberdade o seguinte parâmetro adimensional

⁄ , (2.3)

é possível estabelecer a equação de equilíbrio do sistema na configuração deformada

√ , (2.4)

o qual tem como soluções

ou

√ . (2.5)

Estas soluções correspondem, respectivamente, às trajectórias fundamental e de pós-encurvadura do

modelo, as quais se intersectam no ponto de bifurcação de coordenadas e . Este ponto

identifica o valor da carga crítica do modelo, cuja definição corresponde ao menor valor de para o

qual ocorre um ponto de bifurcação do equilíbrio, sendo neste caso

. (2.6)

Observe-se que é possível identificar o valor da carga crítica desprezando na equação (2.4) os

termos de ordem superior aos lineares, o que corresponde a efectuar o que se designa por uma

análise linear de estabilidade do sistema. Este procedimento aplica-se exclusivamente a

problemas de estabilidade bifurcacional, permitindo identificar não só as cargas de bifurcação

mas também a configuração dos respectivos modos de instabilidade.

As configurações de equilíbrio de sistemas estruturais com as características do modelo em

estudo podem corresponder a configurações de equilíbrio estáveis ou instáveis. Uma

configuração de equilíbrio de um sistema designa-se por estável se o sistema, depois de sofrer

uma pequena perturbação, regressar à configuração de equilíbrio inicial – um exemplo clássico

de uma configuração de equilíbrio estável corresponde à de uma esfera sobre uma superfície

côncava (ver Figura 2.2(a)). Caso o sistema não regresse à configuração inicial, diz-se que a

configuração de equilíbrio é instável – o correspondente exemplo clássico consiste no de uma

esfera sobre uma superfície convexa (ver Figura 2.2(b)).

11

Figura 2.2 – Conceito de estabilidade do equilíbrio. Equilíbrio (a) estável, (b) instável e (c) neutro [6].

As características fundamentais do comportamento de pós-encurvadura de um sistema estrutural

podem ser avaliadas na sua fase inicial, i.e., na vizinhança do ponto de bifurcação. Desenvolvendo

em série de Taylor o último termo da equação de equilíbrio (2.5), e desprezando os termos de ordem

igual ou superior a três, obtém-se a expressão:

√

, (2.7)

que, simplificando, pode ser expressa na forma

, (2.8)

onde

. (2.9)

Na Figura 2.3 representam-se três trajectórias de equilíbrio do modelo, determinadas a partir de

diferentes valores de e . A observação destas figuras permite retirar as seguintes conclusões:

(i) As trajectórias de equilíbrio determinadas com e exibem um comportamento

simétrico, i.e., apresentam a mesma evolução independentemente do sentido do

deslocamento. No entanto, (i1) quando (Figura 2.3(a)), o modelo exibe uma

trajectória de equilíbrio simétrica e estável, e (i2) quando (Figura 2.3(b)), o modelo

exibe uma trajectória de equilíbrio simétrica, mas instável.

(ii) Contudo, para e , a trajectória de equilíbrio possui um andamento distinto

consoante o sentido do deslocamento (Figura 2.3(c)), o que significa que este sistema

estrutural possui um comportamento de pós-encurvadura assimétrico.

(a) (b) (c)

12

Figura 2.3 – Trajectórias de pós-encurvadura do modelo perfeito. (a) Comportamento simétrico estável, (b) comportamento simétrico instável e (c) comportamento assimétrico [6].

Até agora considerou-se o modelo como perfeito, i.e., sem imperfeições. No entanto, é do

conhecimento geral que não existem sistemas estruturais ideais, ocorrendo inevitavelmente

imperfeições de natureza geométrica, não só em termos de configuração inicial, mas também no

que diz respeito a excentricidades na aplicação das cargas. A existência destas imperfeições

afecta naturalmente o comportamento dos sistemas estruturais, como pode ser comprovado no

caso do anterior modelo com um grau de liberdade. De facto, admitindo uma imperfeição

geométrica inicial adimensional do tipo (ver Figura 2.4(a))

, (2.10)

Figura 2.4 - Modelo estrutural imperfeito. Configuração (a) inicial e (b) deformada.

o equilíbrio do sistema estrutural passa a ser dado pela expressão

√ , (2.11)

a qual, atendendo aos valores de , e , pode ser escrita na forma

⁄

. (2.12)

Na Figura 2.5 apresentam-se as trajectórias de pós-encurvadura obtidas a partir da expressão (2.12),

admitindo valores de e idênticos aos considerados para as trajectórias da Figura 2.3. As linhas a

(a) (c) (b)

(a) (b)

13

cheio referem-se ao modelo ideal, enquanto as linhas a tracejado representam o mesmo sistema,

mas com uma imperfeição inicial. A observação da Figura 2.5 permite retirar as seguintes conclusões

sobre o comportamento de pós-encurvadura de sistemas imperfeitos:

(i) Quando o sistema estrutural exibe imperfeições iniciais, a trajectória fundamental ( )

deixa de ser solução do problema.

(ii) As imperfeições iniciais não possuem uma influência significativa na resistência pós-crítica de

sistemas estáveis (Figura 2.5(a)), resistindo estes a cargas de valor sempre crescente e

superiores à crítica.

(iii) Contudo, em sistemas reais instáveis ou assimétricos (Figuras 2.5(b)-(c)), as imperfeições

iniciais podem dar origem a um ponto limite nas trajectórias de equilíbrio (valores máximos da

carga associado a uma rigidez tangente nula para o sistema), ao qual corresponde um valor

de carga inferior ao crítico ( ). É comum designar este tipo de estruturas como

estruturas sensíveis a imperfeições.

Figura 2.5 – Trajectórias de Pós-encurvadura de sistemas perfeitos e imperfeitos. Comportamento (a) simétrico estável, (b) simétrico instável e (c) assimétrico [6].

Em face destas diferenças significativas de comportamento, compreende-se a necessidade de proceder à

determinação das trajectórias de pós-encurvadura de sistemas reais (i.e., com imperfeições), por forma a

(i) avaliar as resistências pós-críticas e (ii) detectar a existência de eventuais pontos limite numa fase inicial

da pós-encurvadura. No entanto, chama-se a atenção para o facto de, devido à limitação introduzida pelo

comportamento material (plasticidade), a resistência de estruturas metálicas reais depender também da

relação entre as cargas de cedência e crítica das estruturas. Por exemplo, placas comprimidas axialmente

apresentam elevada resistência de pós-encurvadura, a qual influência significativamente o seu colapso

elasto-plástico. Por outro lado, colunas comprimidas que instabilizam por flexão (instabilidade de Euler)

exibem uma resistência de pós-encurvadura quase nula, o que explica o facto de esta não ser

normalmente contabilizada na avaliação da carga de colapso.

2.3 Análises de Estabilidade

A análise geometricamente linear (ou de 1ª ordem) de uma estrutura (ou elemento estrutural) envolve

a determinação de esforços, tensões e deslocamentos provocados por um determinado conjunto de

acções a que a estrutura está submetida. Por sua vez, a análise geometricamente não linear de uma

estrutura envolve (i) a identificação dos parâmetros de carga críticos e a forma dos respectivos modos

(a) (c) (b)

14

de instabilidade (análise linear de estabilidade), ou (ii) a determinação do comportamento de pós-

encurvadura da estrutura (análise não linear ou de 2ª ordem). O presente trabalho requer a realização

dos dois tipos de análises de estabilidade referentes a elementos estruturais discretizados

(transformação de sistemas contínuos em sistemas com um número finito de graus de liberdade),

análises cujas características se descrevem com maior detalhe seguidamente.

Análise linear de estabilidade

A análise linear de estabilidade é a mais simples das análises geometricamente não lineares.

Compreende a determinação das cargas de bifurcação e dos respectivos modos de instabilidade e

admite, geralmente, um comportamento elástico linear para o material. Do ponto de vista

matemático, corresponde a um problema de valores e vectores próprios, em que (i) os parâmetros

de carga de bifurcação são os valores próprios e (ii) os correspondentes modos de instabilidade

são os vectores próprios [6]. O menor dos parâmetros de carga de bifurcação e a correspondente

configuração do modo são habitualmente designados por parâmetro de carga crítico e por modo de

instabilidade crítico.

Análise não linear de estabilidade

A análise de 2ª ordem ou de pós-encurvadura de uma estrutura (ou elemento estrutural), submetida a

um determinado carregamento, corresponde a uma análise bem mais complexa. Envolve (i) a

consideração de estruturas reais (i.e., com imperfeições e tensões iniciais), e (ii) a determinação (ii1)

de trajectórias de equilíbrio não lineares (também designadas por trajectórias de pós-encurvadura −

ilustram a variação de um deslocamento significativo da estrutura com o parâmetro de carga, i.e.,

factor que multiplica os valores das várias solicitações que actuam sobre a estrutura), (ii2) da

evolução das tensões com o parâmetro de carga e (ii3) do modo de colapso da estrutura. No caso de

estruturas metálicas, estas análises podem ser efectuadas em regime elástico ou elasto-plástico

consoante o comportamento material que se adopte para o aço.

Em termos matemáticos, a análise não linear de estabilidade envolve a resolução de um sistema de

equações de equilíbrio não lineares que regem o comportamento da estrutura, o que obriga à

utilização de procedimentos incrementais/iterativos – adoptam-se frequentemente o método de

Newton-Raphson e a técnica do controle do comprimento de arco.

2.4 Estabilidade de Perfis Metálicos de Parede Fina

O comportamento e a resistência de elementos estruturais (colunas, vigas ou vigas-coluna) com secção

de parede fina aberta são fortemente afectados pela ocorrência de diversos fenómenos de instabilidade.

A adequada caracterização do comportamento destes elementos, necessária para determinação da sua

eficiência estrutural, envolve a utilização de métodos de análise que permitam considerar devidamente

a influência individual e/ou conjunta, dos fenómenos de instabilidade relevantes.

Os fenómenos de instabilidade que afectam as colunas de aço enformadas a frio podem agrupar-se

em dois grupos distintos: instabilidades globais e locais. O primeiro grupo corresponde normalmente

15

ao modo crítico de colunas cuja distância entre contraventamentos é considerável, sendo

caracterizado pela deformação do eixo do perfil, sofrendo as suas secções deslocamentos apenas de

corpo rígido no seu próprio plano. São exemplo deste tipo de fenómenos (i) a instabilidade por flexão

e (ii) a instabilidade por flexão-torção (usualmente o modo característico de colunas longas com um

ou nenhum eixo de simetria) – ver as configurações deformadas representadas nas Figuras 2.6(c)-(d),

relativas às colunas com secção em hat.

Beams

Columns (a) (b) (c) (d)

Figura 2.6 – Configurações dos modos de instabilidade de colunas com secção em hat: modos (a) local, (b) distorcional, (c) de flexão-torção e (d) de flexão.

Por outro lado, os fenómenos de instabilidade local são caracterizados essencialmente pela deformação

das paredes da secção, permanecendo o eixo longitudinal do elemento indeformado. Os fenómenos de

instabilidade local que afectam o comportamento estrutural de elementos de parede fina estão divididos

em dois tipos, (i) os modos locais e (ii) os modos distorcionais. Os modos locais-de-placa, neste

trabalho designados apenas por locais, afectam essencialmente colunas curtas, enquanto os elementos

com um comprimento intermédio são usualmente sensíveis a fenómenos de encurvadura distorcional.

Descrevem-se seguidamente as características gerais de cada um destes modos de instabilidade, cuja

interacção se analisa posteriormente.

Instabilidade local

O modo de instabilidade local é caracterizado por uma deformada em que os bordos longitudinais

internos (i.e., que unem duas paredes adjacentes) do perfil permanecem indeformados, o que

significa que a deformada da secção é caracterizada apenas pela flexão das paredes (ver Figura

2.6(a)). Note-se que a parede exterior (reforço), correspondendo a uma extremidade livre, exibe

apenas movimentos de corpo rígido.

O estudo rigoroso do comportamento de estabilidade de colunas que instabilizam segundo o modo

local tem por base alguns trabalhos sobre placas isoladas [6]. Estes datam do século XIX, princípio do

século XX, devendo-se (i) a Saint-Venant a determinação da equação de equilíbrio de uma placa

sujeita a compressão uniforme, (ii) a Bryan a determinação da solução dessa equação para placas

com os bordos simplesmente apoiados, e por fim, (iii) a Reissner e a Timoshenko a solução do

problema para placas com diferentes condições de apoio. Na equação (2.13) apresenta-se a

expressão da tensão de bifurcação para uma placa simplesmente apoiada nos quatro bordos,

comprimida segundo a sua maior dimensão (ver Figura 2.7).

16

(

) , (2.13)

onde , é o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material da

placa, a sua espessura, o número de semi-ondas do modo segundo a direcção , e e as

dimensões da placa (a expressão está particularizada para modos com uma semi-onda segundo ,

i.e., para placas com ).

Figura 2.7 – Placa simplesmente apoiada submetida a compressão uniforme [37].

Extrapolando o estudo de uma placa isolada para um elemento estrutural enformado a frio,

verificamos que este pode ser analisado como um conjunto de placas longas, ligadas entre si através

de bordos longitudinais. Deste modo, é então possível concluir o seguinte, relativamente à

instabilidade local de colunas de aço enformadas a frio:

(i) A instabilidade é precipitada pela encurvadura, por flexão, da parede condicionante,

sendo que a deformada das restantes paredes resulta da necessidade de compatibilizar

as rotações nas ligações dos vários elementos de parede fina que constituem a secção .

(ii) É possível reduzir o problema ao de uma placa com uma determinada distribuição de tensões

(compressão uniforme no caso de colunas), cujos bordos longitudinais se encontram na

condição de encastramento elástico – a rigidez do encastramento depende das dimensões

(comprimento e espessura) e características materiais dos elementos adjacentes.

A necessidade de considerar as condições de apoio das placas, combinada com a não linearidade

das equações de equilíbrio que governam cada elemento da secção, torna bastante complexa a

obtenção de soluções analíticas para o problema. Desta forma, o estudo de elementos sujeitos a

instabilidade local, é efectuada com recurso a métodos numéricos. Apresenta-se a configuração

deformada de uma coluna com secção em hat que instabiliza no modo local na Figura 2.8, sendo

possível verificar as características indicadas anteriormente: (i) os bordos longitudinais

permanecem indeformados e (ii) a deformação deve-se unicamente à flexão das paredes, a qual é

mais intensa ao nível da alma do perfil (parede responsável pela instabilidade).

17

Figura 2.8 – Modo de instabilidade local de uma coluna com secção em hat.

Instabilidade distorcional

Contrariamente ao modo local, o modo distorcional envolve deformações ao nível dos bordos

longitudinais da coluna. Isto significa que a deformação das secções é caracterizada pela ocorrência

de distorção, i.e., de deslocamentos de corpo rígido de algumas paredes. A deformação por flexão

ocorre apenas devido à compatibilidade de rotações nos bordos longitudinais da secção. No que

respeita a elementos com secção em hat, a configuração deformada do modo distorcional resulta,

basicamente, de deslocamentos de rotação do conjunto banzo-reforço em torno do bordo longitudinal

indeformado, ou seja, do bordo que une os elementos alma e banzo da secção.

Os primeiros trabalhos sobre instabilidade distorcional são relativamente recentes (meados do século

XX) e foram produzidos por Lundquist e Stowell [41]. Nos anos setenta e oitenta, dois grupos de

investigadores das Universidades de Cornell e Sidney detectaram a presença de um segundo mínimo

local nas curvas de estabilidade de certas colunas, tendo sido propostas as primeiras expressões

analíticas para estimar a carga crítica distorcional de elementos com secção em C. Apresenta-se, a

título ilustrativo, a expressão que permite determinar o esforço axial crítico distorcional para uma

coluna com secção em C [9],

√

, (2.14)

onde e são os módulos de elasticidade e distorção do aço, , , e , são um conjunto de

coeficientes para os quais os autores forneceram expressões analíticas (função das dimensões da

secção transversal), dependendo os coeficientes e das condições de apoio da coluna.

Contudo, e à semelhança do que foi referido relativamente à instabilidade local de perfis enformados

a frio, a determinação da carga crítica distorcional faz-se com auxílio de métodos numéricos. Na

Figura 2.9 apresenta-se a configuração deformada de uma coluna com secção em hat que instabiliza

num modo distorcional, a qual foi obtida por elementos finitos. A observação desta figura permite

confirmar as características mencionadas anteriormente: (i) o conjunto banzo reforço exibe

deslocamentos de quase corpo rígido, (ii) a alma apresenta apenas deslocamentos de flexão, e (iii) o

bordo longitudinal interno (que une alma e banzo) permanece indeformado.

18

Figura 2.9 – Modo de instabilidade distorcional de uma coluna com secção em hat.

2.4.1 Interacção entre Modos de Instabilidade

O termo interacção entre modos de instabilidade aplica-se a um conjunto de fenómenos que

influenciam o comportamento geometricamente não linear de estruturas, os quais são essencialmente

caracterizados pela ocorrência simultânea ou quase simultânea (i.e., para o mesmo valor ou valores

semelhantes de tensão crítica) de mais do que um modo de instabilidade de natureza diferente.

A elevada esbelteza das paredes dos perfis de aço enformados a frio potencia os fenómenos de

instabilidade de natureza local, cuja tensão de bifurcação é, para barras com um comprimento curto

ou intermédio, inferior à tensão correspondente à instabilidade global. Desta forma, é frequente

encontrar para (i) um dado carregamento, (ii) determinada configuração geométrica do elemento

estrutural (dimensões das paredes da secção e comprimento) e (iii) certas condições de apoio,

valores próximos das cargas de bifurcação associadas a modos de instabilidade de natureza distinta.

Apresenta-se na Figura 2.10 a configuração deformada, obtida através de uma análise por elementos

finitos, de uma coluna encastrada com secção em hat, a qual instabiliza num modo que combina os

modos local (com 17 semi-ondas) e distorcional (com 3 semi-ondas) – em ambos é necessário

considerar também 2 quartos-de-onda exteriores para garantir tangentes nulas nas extremidades.

Figura 2.10 – Modo de instabilidade acoplado local/distorcional de uma coluna com secção em hat.

A identificação de situações susceptíveis da ocorrência de fenómenos de interacção entre modos

de instabilidade de natureza diferente faz-se a partir da análise linear de estabilidade dos perfis,

nomeadamente através da (i) obtenção de curvas que relacionam o parâmetro de carga crítico de

um elemento estrutural com o seu comprimento e (ii) da identificação dos valores dos

comprimentos para os quais se observa coincidência/semelhança entre as cargas de bifurcação

associadas a dois ou mais modos de instabilidade de natureza diferente. Nas Figura 2.11

apresentam-se curvas , em que corresponde à carga de bifurcação e ao comprimento,

para um perfil simplesmente apoiado, com uma dada secção (exibindo instabilidade distorcional),

quando se admitem modos de instabilidade apenas com uma semi-onda. A observação destas

figuras permite identificar os seguintes fenómenos de interacção modal:

19

(i) Interacção local/global. Este fenómeno de interacção modal está associado ao comprimento

(ver Figura 2.11(a)), ao qual corresponde, em geral, uma configuração deformada

caracterizada por (i1) uma semi-onda global e (i2) várias (múltiplas) semi-ondas locais.

(ii) Interacção distorcional/global. Este fenómeno está associado ao comprimento (ver

Figura 2.11(b)), correspondendo, normalmente, a uma configuração deformada que envolve

(ii1) uma semi-onda global e (ii2) poucas semi-ondas distorcionais.

(iii) Interacção local/distorcional. Este fenómeno de interacção modal está associado ao

comprimento (ver Figura 2.11(c)), exibindo uma configuração deformada caracterizada

por (iii1) uma semi-onda distorcional e (iii2) algumas semi-ondas locais.

(iv) Interacção local/distorcional/global. Esta interacção está associada ao comprimento

(ver Figura 2.11(c)) e, normalmente, o perfil exibe uma configuração deformada com (iv1) uma

única semi-onda global, (iv2) poucas semi-ondas distorcionais e (iv3) muitas semi-ondas

locais.

Figura 2.11 – Curvas ilustrativas dos diferentes casos de interacção modal. (a) Interacção local/global. (b) Interacção distorcional/global. (c) Interacção local/distorcional/global [37].

2.5 Métodos de Análise

Nas últimas décadas verificou-se uma significativa evolução na área da mecânica computacional

devido à disseminação (i) de computadores mais rápidos e com melhores características, e (ii) de

ferramentas de cálculo cada vez mais sofisticadas. Estes meios conduziram à utilização

generalizada de vários métodos de análise de estruturas, os quais envolvem, geralmente, a

discretização da estrutura, i.e., a transformação de elementos estruturais, que na sua natureza

são contínuos, em sistemas discretos com um número finito de graus de liberdade. Dos diversos

métodos existentes para efectuar análises de estabilidade de perfis de parede fina, destacam -se

(i) o Método dos Elementos Finitos (MEF), (ii) o Método das Faixas Finitas (MFF), e (iii) as

implementações numéricas de formulações da Teoria Generalizada de Viga. Apesar de existirem

alguns programas de cálculo de fácil utilização que permitem efectuar análises de estabilidade de

perfis submetidos a carregamentos simples (e.g., compressão, flexão uniforme) com base no

MFF (e.g., CUFSM, THIN WALL), tais programas não foram utilizados no decurso deste trabalho

fundamentalmente devido ao tipo de condições de apoio das colunas a analisar. Efectivamente ,

20

ao admitirem funções sinusoidais para descrever o campo de deslocamentos no interior de cada

faixa finita, os referidos programas foram concebidos para analisar apenas barras (prismáticas)

simplesmente apoiadas – a análise de perfis encastrados obriga à consideração de outro tipo de

funções em termos longitudinais (e.g., funções Spline). Seguidamente, apresentam-se as

características principais dos métodos utilizados no decurso do presente trabalho.

2.5.1 Teoria Generalizada de Vigas

Apesar da sua semelhança com as teorias clássicas de barras (formulação unidimensional), a GBT

distingue-se das restantes devido à possibilidade de incorporar as deformações das secções no seu

plano (deformações locais). Esta característica da GBT resulta do facto de a aproximação do campo

de deslocamentos ser expressa como uma combinação linear de funções que (i) são definidas ao

longo de toda a linha média da secção transversal (não exibem valor unitário num nó da secção e

nulo nos restantes), e (ii) correspondem a modos de deformação da secção – na Figura 2.12 indicam-

se alguns dos modos de deformação de uma coluna com secção em hat, sendo que (i) os três

primeiros correspondem a modos de corpo rígido (flexão na maior e menor inércia e torção), (ii) o

quarto ao modo de distorção simétrico, e (iii) o último ao modo local associado à flexão da alma.

Desta forma, a análise de um perfil com recurso à GBT envolve duas etapas. A primeira corresponde

à análise da secção, a qual consiste (i) na identificação dos modos de deformação da secção e (ii) na

determinação das respectivas propriedades mecânicas modais. Numa segunda etapa, procede-se à

análise de barra, a qual começa por envolver a definição do carregamento e das condições de apoio,

terminando com a resolução das equações de equilíbrio. O facto de os graus de liberdade serem os

valores modais das amplitudes dos spróprios modos de deformação da secção torna as

implementações numéricas da GBT muito versáteis e eficientes, não só porque envolvem um número

reduzido de graus de liberdade, mas fundamentalmente porque permitem uma melhor interpretação

dos resultados obtidos – por exemplo, numa análise linear da estabilidade é possível determinar qual

a percentagem de cada modo de deformação (local, distorcional ou global) no modo de instabilidade

do perfil.

Figura 2.12 - Modos de deformação de uma secção em hat.

Por fim, refira-se que os avanços mais importantes neste domínio ocorreram devido ao trabalho de

investigação que tem vindo a ser realizado no Instituto Superior Técnico nos últimos anos, no qual se

inclui a disponibilização de um programa para análise linear de estabilidade de perfis (GBTUL [40]),

cujas características principais se indicam seguidamente:

21

Análises de Estabilidade com o Programa GBTUL

A análise linear de estabilidade dos perfis faz-se muito facilmente, não exigindo ao utilizador um

conhecimento aprofundado sobre a teoria que lhe está subjacente (Teoria Generalizada de Vigas).

Efectivamente, o programa vai requerendo, de uma forma auto-explicativa e em quatro janelas (ver

Figura 2.13), os vários dados necessários à realização das análises.

Numa primeira janela, o utilizador (i) escolhe a geometria da secção do perfil a analisar, tendo por base

um conjunto pré-estabelecido de secções (e.g., em C, em Z, em I, cantoneira), (ii) introduz as dimensões

da secção do perfil (e.g., dimensões da alma, banzo, reforço, espessura), (iii) indica as propriedades

elásticas do material (módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson), e (iv) define o número de nós

intermédios em cada elemento de parede fina da secção, o qual está relacionado com o número de

modos de deformação local a considerar na análise. Chama-se a atenção para o facto de ser necessário

seleccionar uma secção em C e fornecer a dimensão do reforço com valor negativo quando se pretende

analisar secções em hat, uma vez que estas não constam do conjunto de secções pré-definidas.

Numa segunda janela, cuja visualização ocorre após a análise da secção pela GBT, o utilizador pode

definir os modos de deformação da secção a serem considerados na análise do perfil – por defeito, o

programa considera todos os modos de deformação da secção definidos na janela anterior (em

número equivalente à soma dos nós naturais, com os intermédios e com o dobro dos nós de

extremidade dos elementos de parede fina da secção).

Figura 2.13 – Janelas das quatro fases da utilização do programa GBTUL.

Numa terceira janela, o utilizador procede à (i) escolha do tipo de análise a efectuar (solução

analítica ou numérica), (iii) indicação das condições de apoio do perfil (e.g., simplesmente

1ª Fase 2ª Fase

4ª Fase 3ª Fase

22

apoiado, bi-encastrado), (ii) definição do tipo de carregamento (e.g., compressão ou flexão pura,

flexão desviada, flexão composta), (iii) escolha dos comprimentos dos perfis a analisar e (iv)

definição do número de modos de bifurcação a determinar para cada comprimento. Note -se que a

análise de perfis com as extremidades encastradas deve ser efectuada recorrendo à solução

numérica do problema, admitindo o programa, por defeito, uma discretização do perfil em 10

elementos finitos de barra – este número deverá ser aumentado para caracterizar

convenientemente modos de instabilidade com um número considerável de semi-ondas.

Finalmente, o utilizador tem a possibilidade de, numa quarta janela, visualizar (i) a(s) curva(s)

que traduz(em) a variação do(s) esforço(s)/tensão(ões) de bifurcação com o comprimento dos

perfis, assim como (ii) a natureza do correspondente modo de instabilidade, a qual é

devidamente quantificada mediante a indicação da percentagem dos modos de deformação da

GBT presentes no referido modo de instabilidade.

2.5.2 Método dos Elementos Finitos

O método dos elementos finitos é, seguramente, o método numérico mais utilizado na resolução

de problemas em engenharia. Esta afirmação é corroborada pela existência e comercialização,

em variadíssimos domínios científicos e tecnológicos, de um elevado número de programas de

cálculo automático.

A larga maioria das análises actualmente efectuadas pela comunidade técnico-científica ligadas às estruturas

metálicas é executada recorrendo a vários programas comerciais existentes no mercado (e.g., ABAQUS,

ADINA, ANSYS). A sua simples, mas sólida, fundamentação matemática, versatilidade e eficácia, tornaram

estes programas num precioso instrumento para a realização de qualquer tipo de análises, designadamente,

quando é necessário considerar comportamentos fisicamente e geometricamente não lineares.

A necessidade de considerar a deformabilidade local na análise dos elementos estruturais de parede

fina torna indispensável a realização de análises envolvendo uma modelação bidimensional das

paredes da secção, i.e., a discretização da superfície média dos perfis através de elementos finitos de

casca geometricamente não lineares. Essa discretização traduz-se na subdivisão dos elementos

estruturais num número finito de pequenos elementos, geralmente de forma rectangular, nos quais o

campo de deslocamentos é aproximado através de uma combinação linear de funções de

aproximação, multiplicadas pelos respectivos deslocamentos nodais (graus de liberdade do

problema). Seguidamente, abordam-se, de forma sucinta, os aspectos mais relevantes que estão

envolvidos na utilização do programa comercial de elementos finitos ABAQUS [32] para analisar o

comportamento de pós-encurvadura de colunas.

Modelação por Elementos Finitos de Casca (ABAQUS)

Abordam-se, de forma sucinta, os aspectos mais relevantes que estão envolvidos na utilização do

programa comercial de elementos finitos ABAQUS [32] para analisar o comportamento de pós-

encurvadura de colunas. Mais concretamente, refere-se o modo como (i) se efectua a discretização

dos perfis, (ii) se modelam o comportamento material e as condições de apoio e carregamento, (iii) se

23

incluem imperfeições geométricas iniciais e (iv) se determinam (iv1) as cargas críticas e os

respectivos modos de instabilidade e (iv2) as trajectórias de pós-encurvadura.

(i) Discretização. Os planos médios dos perfis foram discretizado em elementos finitos S4

(terminologia do ABAQUS para elementos de casca isoparamétricos com 4 nós e rigidez de

corte obtida por meio de uma regra de integração completa) refira-se que trabalhos

anteriores [13] mostraram que estes elementos são adequados para levar a cabo esta tarefa.

Com o objectivo de avaliar o nível de refinamento da malha de elementos finitos que conduz

à obtenção de resultados precisos, mantendo o esforço computacional dentro de limites

aceitáveis, efectuaram-se estudos de convergência preliminares. Esses estudos mostraram

que, pelo menos no caso particular das colunas de secção em hat consideradas neste

trabalho, (i1) a relação entre o comprimento e a largura dos elementos deve estar

compreendida entre 1 e 2 e (i2) as dimensões dos mesmos não deve exceder os 10 mm.

(ii) Condições de Apoio. Consideram-se as secções extremas de todos os perfis analisados

encastradas. Estas condições foram modeladas através de placas rígidas (elementos R3D3 na

designação do programa ABAQUS), ligadas rigidamente a cada secção extrema e tendo por nó de

referência o centróide da secção.

(iii) Carregamento. Aplicaram-se forças de compressão, equivalentes a uma distribuição uniforme de

tensões normais, em cada um dos nós das secções extremas das colunas. Como o valor de

referência dessas forças foi (com a espessura da parede), o qual corresponde a uma

distribuição uniforme de tensões igual a , o valor fornecido pelo ABAQUS é numericamente

idêntico à tensão média que actua na coluna (expressa em ). Naturalmente, o valor de carga

actuante é obtido multiplicando a tensão pela área da secção dos perfis.

(iv) Modelação do Comportamento Material. Admitiu-se que o material que constitui as colunas

(aço estrutural) (iv1) exibe um comportamento homogéneo e isotrópico e (iv2) é modelado

através de relações constitutivas elásticas lineares ou elásticas-perfeitamente plásticas. No

segundo caso, adoptou-se o conhecido modelo de Prandtl-Reuss (teoria do escoamento

plástico do tipo J2), o qual combina o critério de cedência de Von-Mises com a regra de

escoamento associada. Estas leis constitutivas encontram-se disponíveis na biblioteca de

comportamentos materiais do programa ABAQUS, sendo apenas necessário fornecer os

valores de módulo de Elasticidade, coeficiente de Poisson e tensão de cedência do aço.

(v) Imperfeições Geométricas Iniciais. A incorporação das imperfeições geométricas iniciais nas

análises de pós-encurvadura foi efectuada adoptando uma imperfeição que é obtida por

combinação linear dos modos de instabilidade do perfil [13], a qual é incluída nas análises através

de um comando específico do programa ABAQUS. As configurações dos modos foram

determinadas por meio de análises lineares de estabilidade prévias (utilizando uma discretização

idêntica à das análises de pós-encurvadura), mas em que se alterou ligeiramente o valor da

espessura da parede do perfil sempre que foi necessário separar os modos local e distorcional.

(vi) Técnicas de Resolução Numérica. No ABAQUS, o problema de valores próprios associado às

análises lineares de estabilidade é resolvido através da utilização do método da iteração por

sub-espaços. Por sua vez, as trajectórias não lineares de equilíbrio (i.e., de pós-encurvadura),

24

tanto em regime elástico como em regime elasto-plástico, as quais relacionam a carga

aplicada com o deslocamento de um ponto do perfil convenientemente escolhido, foram

determinadas através da utilização de uma técnica incremental-iterativa que envolve o

método de Newton-Raphson e a estratégia do comprimento de arco devida a Riks ambos

são adoptados através de um comando específico do programa ABAQUS.

25

3 Análise Linear de Estabilidade

3.1 Introdução

Um ponto importante no estudo do comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio,

quando afectados por fenómenos de interacção entre modos de instabilidade, consiste na identificação de

geometrias/dimensões que conduzam a valores semelhantes para as tensões/cargas de bifurcação

nos modos envolvidos, valores esses a determinar a partir da análise linear de estabilidade dos perfis.

O valor da carga/tensão crítica de um perfil e a natureza do correspondente modo de

instabilidade dependem (i) da geometria do perfil (comprimento e forma/dimensão da secção

transversal), (ii) das condições de apoio (restrições aos deslocamentos existentes em secções

interiores ou de extremidade), (iii) do carregamento (e.g., flexão, compressão, flexão composta) e

(iv) das constantes elásticas do material.

Como se mencionou anteriormente, existem vários métodos que permitem efectuar a análise linear de

estabilidade de perfis de parede fina. Neste trabalho, optou-se por efectuar essa análise através da

GBT, recorrendo para o efeito ao programa GBTUL [40]. Esta opção resulta não só da facilidade com

que este programa permite (i) determinar o valor da carga/tensão crítica de um perfil e (ii) identificar a

natureza do correspondente modo de instabilidade, mas fundamentalmente devido ao facto de os

perfis analisados exibirem secções extremas encastradas. Como se mencionou no capítulo anterior, a

análise de perfis com estas condições de apoio não pode ser efectuada com o recurso ao programa

CUFSM, o qual apenas permite analisar elementos simplesmente apoiados.

Neste capítulo, (i) apresenta-se a metodologia seguida para seleccionar as dimensões dos perfis

com secção em hat com cargas de bifurcação nos modos local e distorcional de valor

semelhante, (ii) procede-se à posterior validação dos resultados mediante a análise de

estabilidade por elementos finitos de um dos perfis seleccionados, recorrendo ao programa

ABAQUS, e, finalmente, (iii) identifica-se a geometria dos perfis seleccionados para efectuar o

estudo paramétrico visando determinar a resistência última de colunas com secção em hat,

afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional.

3.2 Determinação da Geometria das Colunas

A identificação de geometrias de perfis que conduzem a valores semelhantes das cargas/tensões de

bifurcação dos modos local e distorcional foi efectuada com base uma estratégia de tentativa e erro

definida pelas seguintes etapas:

(i) Partindo inicialmente de secções habituais no âmbito dos perfis de aço enformados a frio,

fazer a determinação das curvas que definem a evolução da carga crítica ( ) em função do

26

comprimento do elemento ( ), bem como a identificação da natureza dos correspondentes

modos de instabilidade, recorrendo ao programa GBTUL.

(ii) Mantendo a espessura t da secção constante, alterar uma das dimensões da secção, i.e., a

dimensão da alma (bw), do banzo (bf) ou do reforço (bs), sendo registadas as consequências

dessa alteração em termos do andamento da curva . Nesse processo é necessário ter

em conta que (ii1) a instabilidade local resulta da encurvadura individual da placa mais

susceptível de instabilizar, o que significa que a instabilidade é fortemente influenciada pela

dimensão do maior elemento (usualmente a alma), e que (ii2) a instabilidade distorcional

envolve a rotação do conjunto banzo-reforço em torno da ligação banzo-alma, sendo a sua

carga crítica essencialmente influenciada pelas dimensões do banzo e do reforço.

(iii) Verificar se a alteração permitiu obter um perfil (associado a um determinado comprimento)

caracterizado pela semelhança entre as cargas de bifurcação nos modos local e distorcional.

Nesta verificação é determinante analisar a natureza dos modos de instabilidade, sendo essa

natureza indicada automaticamente pelo programa (percentagem de cada modo de

deformação da GBT presente na configuração do modo de instabilidade do perfil).

(iv) Se não se verificar a semelhança entre as cargas de bifurcação local e distorcional, proceder

a uma nova alteração da dimensão de um dos elementos da secção, não necessariamente o

mesmo, de modo a atingir o objectivo inicial.

Apresenta-se seguidamente, a título ilustrativo, o processo que permitiu determinar a geometria de

uma das colunas encastradas com secção em hat consideradas no presente estudo.

3.2.1 Exemplo Ilustrativo

A identificação da geometria dos perfis inicia-se tendo por base secções com dimensões habituais no

âmbito dos perfis de aço enformados a frio ( e ). Neste caso, definiu-se uma

secção (H6A) caracterizada pelas seguintes dimensões: , , e

. Nas Figuras 3.1(a)-(b) apresentam-se as curvas de estabilidade das colunas H6A e H6

(esta última apenas difere da primeira na dimensão da alma ), quando se adoptam duas

hipóteses cinemáticas distintas na análise de estabilidade dos perfis: (i) quando se consideram todos

os modos de deformação da secção (curva crítica) ou (ii) apenas o modo distorcional simétrico. Por

sua vez, os gráficos das Figura 3.2(a)-(b) permitem observar a evolução, em função do comprimento,

dos factores de participação dos modos de deformação da GBT no modo crítico de instabilidade das

colunas H6A e H6, respectivamente – note-se que na identificação dos modos de deformação, se

adoptou a seguinte legenda: L para modos locais, D para modo distorcional simétrico, F para modo

de flexão na maior inércia, T para modo de torção, e, finalmente D’ para modo distorcional anti-

simétrico. A observação destes resultados permite concluir o seguinte:

(i) A carga crítica ( ) de ambas as colunas diminui monotonicamente com o comprimento ( ).

Contudo, existem diferenças significativas entre as curvas das colunas H6A e H6,

nomeadamente no que diz respeito à instabilidade distorcional.

27

(ii) Efectivamente, e ao contrário da coluna H6, o modo distorcional simétrico não surge

associado ao modo crítico das colunas H6A. De facto, (ii1) para comprimentos reduzidos-a-

intermédios ( ) a instabilidade destas colunas ocorre nos modos locais (L), (ii2) para

comprimentos intermédios ( ), num modo que envolve os modos global

de flexão-torção (F+T) e distorcional anti-simétrico (D’), e (ii3) para comprimentos longos

( ) num modo global de flexão-torção (F+T).

(iii) Por outro lado, em virtude da curva D estar claramente afastada da curva crítica, pode concluir-

se que a geometria das colunas H6A não é apropriada para estudar fenómenos de interacção

local/distorcional.

Figura 3.1 – Curvas de estabilidade das colunas (a) H6A e (b) H6.

Figura 3.2 – Factores de participação modal no modo de instabilidade das colunas (a) H6A e (b) H6.

0

20

40

60

80

100

120

140

10 100 1000

Pcr (kN)

L (cm)

Todos os modos

Modo distorciona - D

0

20

40

60

80

100

120

140

10 100 1000

Pcr (kN)

L (cm)

Todos os modos

Modo distorcional - D

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000

%

L (cm)

L

D T

F

D'

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 100 1000

%

L (cm)

L D

T

F

D'

28

(iv) A identificação de uma geometria mais adequada teve por base a necessidade de fazer

“subir” a curva crítica, o que pode ser conseguido diminuindo a dimensão da alma – por um

processo de tentativa e erro, chegou-se às dimensões da secção H6, com uma alma de

.

(v) Efectivamente, as colunas com esta secção transversal instabilizam (v1) para comprimentos

reduzidos ( ), numa combinação de modos locais (L), (v2) para comprimentos

intermédios ( ), no modo distorcional (D), (v3) para comprimentos

intermédios-a-longos ( ), a coluna instabiliza num modo que envolve os

modos global de flexão-torção (F+T) e distorcional anti-simétrico (D’), e (v4) para

comprimentos longos ( ), num modo global de flexão-torção (F+T).

(vi) Finalmente, as Figuras 3.1(b) e 3.2(b) permitem concluir que a coluna H6 com um

comprimento exibe cargas de bifurcação nos modos local e distorcional de valor

semelhante ( ), sendo portanto apropriada para ser incluída no estudo

paramétrico visando determinar a resistência última de colunas com secção em hat afectadas

por fenómenos de interacção local/distorcional.

3.2.2 Análise por Elementos Finitos da Coluna Seleccionada

A análise linear de estabilidade por elementos finitos da coluna seleccionada (perfil H6), possui vários

objectivos, nomeadamente, (i) confirmar a susceptibilidade deste perfil relativamente a fenómenos de

interacção modal local/distorcional, (ii) determinar o valor da carga crítica por elementos finitos (a análise

por métodos diferentes envolve sempre pequenas diferenças nos valores), e (iii) obter a configuração

deformada dos modos local e distorcional, necessárias para definir o conjunto de imperfeições

geométricas iniciais admitidas no estudo do comportamento de pós-encurvadura deste perfil.

A curva representada na Figura 3.3(a) mostra a variação da carga crítica ( ) em função do

comprimento ( ) da coluna H6, curva essa obtida com o programa ABAQUS, adoptando para o perfil a

modelação por elementos finitos mencionada no capítulo anterior. Por sua vez, na Figura 3.3(b)

apresenta-se a configuração de um modo crítico de instabilidade da coluna para o comprimento

. A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões:

(i) A carga crítica diminui monotonicamente com o comprimento, exibindo o respectivo modo

crítico a típica configuração relativa a colunas bi-encastradas: uma ou mais semi-ondas

centrais e dois quartos-de-onda exteriores que, por sua vez, garantem tangentes nulas nas

extremidades do perfil.

(ii) A curva exibe três zonas distintas, associadas à instabilidade em modos que exibem na zona

central um número variável de semi-ondas: (ii1) modos locais com 1-17 semi-ondas (

), (ii2) modos distorcionais com 3-5 semi-ondas ( ) e (ii3) modos

globais com apenas uma semi-onda ( ) – neste último caso, a instabilidade ocorre,

numa primeira fase, por flexão-torção e, posteriormente, por flexão em torno do eixo de

menor inércia (esta última associada a comprimentos superiores aos indicados na figura).

29

(iii) A coluna com instabiliza para num modo acoplado que combina os

modos local e distorcional, com 17 e 3 semi-ondas, respectivamente, o que faz com que o

comportamento de pós-encurvadura desta coluna seja influenciado por fenómenos de

interacção modal envolvendo estes dois modos de instabilidade.

100

10

L (cm)

(a) (b)

100 1000 1000

+

0

Pcr (kN) 150

100

50 L = 159 cm Pcr = 90,1 kN

Figura 3.3 – Análise de estabilidade da coluna seleccionada. (a) Curva e (b) configuração

deformada do modo de instabilidade do perfil H6 ( ).

3.3 Geometria das Colunas Seleccionadas

Foram considerados dois critérios de selecção dos perfis a incluir no estudo sobre a resistência última

de colunas de aço ( e ) afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional. A

primeira fase consistiu em identificar perfis cujas tensões críticas nos modos local ( ) e distorcional ( )

fossem semelhantes – estas colunas, em número de seis, foram designadas por H1-H6. Numa segunda

fase, determinou-se um segundo conjunto de colunas, obtido a partir das anteriores por alteração de

uma das dimensões da secção transversal (alma, banzos ou reforços), sendo agora imposta a condição

de exibirem valores de e semelhantes, mas não coincidentes ( ⁄ ) – para cada

um dos perfis H1-H6, foram consideradas mais duas geometrias (e.g., no caso do perfil H6, deu origem

aos perfis H61 e H62), o que significa que se seleccionaram 18 colunas. Na Tabela A.1 indicam-se as

dimensões de todos os perfis seleccionados (num total de 18 geometrias), assim como os respectivos

valores das tensões críticas dos modos local e distorcional. Finalmente, chama-se a atenção para o

facto de as colunas seleccionadas exibirem dimensões (secção transversal e comprimento)

semelhantes às consideradas em outros estudos envolvendo colunas encastradas, mas de secção em

C [33, 34].

31

4 Análise de Pós-Encurvadura

4.1 Introdução

A avaliação do desempenho das actuais regras de dimensionamento para estimar a resistência última

de colunas de aço enformado a frio, quando afectadas por fenómenos de interacção local/distorcional,

requer (i) um conhecimento profundo sobre o efeito da interacção no comportamento das colunas e

(ii) a obtenção de um conjunto alargado de valores de resistências últimas de perfis caracterizados

pela semelhança entre as tensões críticas dos modos local e distorcional.

O conhecimento aprofundado sobre os comportamentos de pós-encurvadura e de resistência última, é

obtido recorrendo a análises de pós-encurvadura complexas, que envolvem a resolução de sistemas de

equações de equilíbrio não lineares que regem o comportamento do elemento estrutural, com o

comportamento material do aço a ser modelado através de leis constitutivas elásticas e elasto-plásticas.

Como foi referido anteriormente, o Método dos Elementos Finitos é particularmente adequado para

este tipo de estudos, tendo sido adoptada uma modelação dos perfis com as características descritas

no segundo capitulo deste trabalho. Contudo, ao analisar o comportamento de pós-encurvadura de

perfis afectados por interacção modal, as imperfeições a incluir na análise deverão tomar em

consideração os vários modos de instabilidade envolvidos. Além disso, a determinação numérica das

várias soluções de equilíbrio torna-se difícil, designadamente por as trajectórias de equilíbrio poderem

exibir pontos limites elásticos logo no início das curvas.

O presente capítulo encontra-se organizado da seguinte forma. Numa primeira fase, explica-se o

modo como se obteve o conjunto de imperfeições geométricas iniciais a considerar nas análises de

pós-encurvadura. Posteriormente, investiga-se o comportamento elástico e elasto-plástico de uma

coluna encastrada com secção hat afectada por interacção local/distorcional (a coluna escolhida

corresponde ao perfil H6, cuja geometria foi identificada no capítulo anterior). O estudo pretende,

nomeadamente, (i) identificar a imperfeição geométrica inicial mais desfavorável (a que conduz a uma

menor resistência pós-crítica) e (ii) avaliar a influência da tensão de cedência do aço na resistência

última e no modo de colapso das colunas. O capítulo termina com a apresentação dos resultados de

um estudo paramétrico, onde se identifica a resistência última das colunas determinadas no capítulo

anterior considerando vários valores de tensão de cedência para o aço.

4.2 Imperfeições Geométricas Iniciais

As imperfeições geométricas iniciais desempenham um papel determinante no estudo do

comportamento de pós-encurvadura de perfis de aço enformados a frio, podendo influenciar

fortemente o comportamento e a resistência última dos perfis em análise. A incorporação habitual de

32

imperfeições com a configuração do modo crítico (conduz a valores inferiores de resistência) deixa de

ser bem definida quando é idêntico o valor da carga/tensão de bifurcação associado a dois ou mais

modos de instabilidade. Nesses casos, torna-se necessário determinar trajectórias de equilíbrio de

barras com imperfeições iniciais que (i) cubram um vasto leque de possibilidades e (ii) possam ser

comparadas no sentido de identificar qual é a mais desfavorável [13]. Seguidamente, apresenta-se a

metodologia considerada neste trabalho, a qual tem em conta o facto de o fenómeno de interacção

modal em estudo envolver os modos local e distorcional com um número impar de semi-ondas – no

caso da coluna H6, 17 e 3 semi-ondas, respectivamente.

(i) Determinar as configurações deformadas dos modos de instabilidade puros1, normalizados

por forma a exibirem, na secção média da coluna, deslocamentos máximos de valor unitário:

(i1) no modo local, o deslocamento de flexão a meio da alma ( ), e (i2) no modo distorcional,

o deslocamento vertical da ligação banzo-reforço ( ). Chama-se a atenção para o facto de

tais deslocamentos corresponderem aos valores máximos dos deslocamentos das

configurações deformadas de cada um dos modos.

(ii) Escalar os modos puros de forma a obter as seguintes amplitudes para as imperfeições locais

e distorcionais: (no caso da coluna H6, ).

(iii) Considerar imperfeições geométricas obtidas por combinação dos modos puros multiplicados

por determinados factores, designados por factores de participação modal (neste caso, e

os quais indicam a contribuição de cada modo puro para a configuração inicial do perfil.

(iv) A configuração de uma dada imperfeição geométrica inicial obtém-se combinando

linearmente os modos de instabilidade escalados, satisfazendo a condição

( ) ( )

. (4.1)

Para uma melhor percepção das configurações das imperfeições iniciais consideradas neste estudo,

observe-se o círculo de raio unitário representado na Figura 4.1(a). Cada configuração geométrica

das imperfeições é identificada no plano a partir de um ângulo , medido a partir do eixo

horizontal , o qual define os valores de e , através das expressões

. (4.2)

A Figura 4.1(b) mostra as configurações da coluna H6 com configurações distorcionais (3 semi-ondas)

e locais (17 semi-ondas) puras, em que (i) e correspondem a configurações

distorcionais associadas, respectivamente, ao fecho e à abertura da secção de meio vão do perfil, e

(ii) e correspondem a configurações locais associadas a movimentos de flexão da

alma, respectivamente, para o exterior e para o interior da secção.

1 Nos casos em que o modo crítico fornecido pelo ABAQUS corresponde a um modo acoplado, os modos puros

foram obtidos através da análise linear de estabilidade de um perfil com igual geometria, mas com uma espessura ligeiramente alterada em relação à espessura do elemento com interacção modal.

33

(a)

0 90

180 270

0 CD,0

1

CL,0

wL.0 =-0.1t

vL.0 vD.0 =-0.1t

wD.0

wL.0 =0.1t

vL.0 vD.0 =0.1t

wD.0

180º 270º

0º 90º

(a)

0 90

180 270

0 CD.0

1

CL.0

wL.0 =-0.1t

vL.0 vD.0 =-0.1t

wD.0

wL.0 =-0.1t

vL.0

wD.0

180º 270º

0º 90º

(b)

0º 90º

180º 270º

Figura 4.1 – Imperfeições iniciais: (a) representação no plano CL,0-CD,0 e (b) configurações para e (coluna H6).

4.3 Pós-Encurvadura em Regime Elástico

No presente subcapítulo estuda-se o comportamento de pós-encurvadura em regime elástico da

coluna H6, encastrada e com as dimensões indicadas no capítulo anterior. Analisa-se o

comportamento elástico de perfis exibindo diferentes imperfeições iniciais caracterizadas por ângulos

compreendidos entre e , com intervalos de entre si. O estudo será efectuado mediante a

análise das trajectórias de equilíbrio (curvas que traduzem a evolução de um deslocamento com

carga aplicada), as quais foram escolhidas de modo a ilustrar convenientemente o comportamento

dos perfis – no presente estudo, escolheram-se os deslocamentos e , referidos anteriormente, os

quais possuem um significado relevante para cada modo isolado: correspondem aos deslocamentos

máximos das configurações deformadas dos modos distorcional e local, respectivamente.

Finalmente, refira-se que se apresentam os resultados das análises não lineares de estabilidade das

várias colunas na seguinte sequência. Inicialmente, apresentam-se as trajectórias de equilíbrio de

colunas que exibem uma imperfeição inicial com a configuração de um modo puro, ou seja,

trajectórias de equilíbrio de perfis com imperfeições (i) distorcionais ( e ) e (ii) locais

( e ). Posteriormente, analisam-se as trajectórias de equilíbrio de colunas que

apresentam uma imperfeição inicial que combina a configuração dos dois modos, sendo os resultados

apresentados por quadrante, i.e., agrupados da seguinte forma: (i) , (ii) ,

(iii) e (iv) .

34

Imperfeições iniciais e

As Figuras 4.2(a)-(b) apresentam as trajectórias de equilíbrio e para

colunas com imperfeições iniciais com a configuração do modo distorcional, com a secção de meio

vão a fechar ( ) e a abrir ( ) – note-se que é o deslocamento vertical da ligação

banzo-reforço na secção média da coluna, w é o deslocamento de flexão a meio da alma da

referida secção, e que, para a coluna H6, a espessura das paredes e a carga crítica são

e , respectivamente. As Figuras 4.3(a)-(b) mostram as configurações deformadas para

que tendem as colunas em fases avançadas de pós-encurvadura. A observação das figuras permite

retirar as seguintes conclusões:

Figura 4.2 – Trajectórias de equilíbrio (a) ⁄ ⁄ e (b) ⁄ ⁄ para colunas com

imperfeições iniciais e .

(i) As colunas apresentam alguma resistência pós-critica e uma clara assimetria de

comportamento de pós-encurvadura, com a coluna a exibir uma rigidez um pouco

superior em relação à coluna . Apesar de estes resultados confirmarem a assimetria

detectada em estudos recentes (e.g., [8, 10]), realça-se o facto de a menor resistência pós-

crítica da coluna com secção em hat estar associada ao fecho da secção de meio vão,

contrariamente ao observado em colunas com secção em C [13, 14] – nestas colunas a

menor rigidez está associada à abertura da secção de meio vão. Camotim et al. [8, 10]

demonstraram que, em colunas com secção em C, a distribuição de tensões nos reforços

apresentava uma forte distribuição linear com o valor máximo a surgir na extremidade livre do

reforço. No entanto, a natureza destas tensões é oposta nas colunas exibindo abertura ou

fecho da secção média: compressão no primeiro caso e tração no segundo. Enquanto que as

tensões de compressão no banzo reduzem a resistência, as tensões de tração são

responsáveis por um incremento de resistência pós-crítica das colunas, o que justifica

claramente a assimetria observada no comportamento de pós-encurvadura das duas colunas.

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-5 -2,5 0 2,5 5

w/t

P/Pcr

θ=180º θ=0

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0 5 10 15

v/t

P/Pcr

θ=180º

θ=0º

v<0 v>0 w>0 w<0

35

(ii) Apesar de as colunas exibirem imperfeições iniciais com a configuração do modo distorcional

, ambas as colunas evoluem para configurações deformadas que combinam

deformações distorcionais com 3 semi-ondas (claramente preponderantes) com deformações

locais (número de semi-ondas difícil de precisar, mas elevado), o que é uma clara evidência

da ocorrência de um fenómeno de interacção local/distorcional.

(iii) Realça-se ainda o facto de, em estádios avançados da pós-encurvadura ( ⁄ ) da

coluna , ocorrer uma gradual inversão na tendência dos deslocamentos de flexão da

alma, visível no gráfico . Este fenómeno contraria os resultados obtidos num

estudo semelhante envolvendo colunas com secção em C [33].

Figura 4.3 - Configuração deformada das colunas (a) e (b) para .

(i) Com o intuito de esclarecer o comportamento da coluna , nomeadamente a inversão

do deslocamento , investiga-se seguidamente a evolução da configuração deformada da

alma das colunas (ver Figura 4.4(a)) e (ver Figura 4.5). Por sua vez, na

Figura 4.4(b) exibe-se a deformada longitudinal da alma associada (i) à coluna , para

, (ii) aos modos local e distorcional puros (amplitudes ajustadas à deformada da

coluna ) – nas duas figuras, representam-se como positivos os deslocamentos de

flexão da alma para o interior da secção. A observação destes resultados permite retirar as

seguintes conclusões:

(ii) Para valores do parâmetro de carga inferiores a , a configuração deformada da alma da

coluna corresponde praticamente à configuração do modo distorcional (3 semi-ondas).

(iii) Para valores ligeiramente superiores a , essa configuração altera-se, passando claramente

a incluir também uma componente local com 17 semi-ondas, o que evidencia a ocorrência de

fenómenos de interacção local/distorcional.

(iv) No entanto, para estádios avançados da trajectória de pós-encurvadura ( )

observa-se inesperadamente um segundo fenómeno: a semi-onda distorcional central

absorve 5 semi-ondas locais, originando uma semi-onda com um comprimento e uma

amplitude bastante superior às restantes. A ocorrência deste novo fenómeno deve-se a

uma conjugação de vários factores, designadamente ao facto de (iii1) a coluna H6

instabilizar em modos com um número elevado de semi-ondas, nomeadamente o local (17

semi-ondas), (iii2) o modo local ter relevância no comportamento de colunas afectadas por

interacção local/distorcional (ver [33, 34]), (iii3) o efeito das restrições nas extremidades do

perfil (rigidificando as secções extremas) o qual não se faz sentir na zona central devido ao

comprimento significativo da coluna, e (iii4) a zona central se encontrar muito enfraquecida

devido à interacção.

(a) (b)

36

Figura 4.4 – (a) Evolução do deslocamento ao longo da alma da colunas (quatro valores

do parâmetro de carga) e (b) configuração deformada da alma (b1) da coluna ( ⁄ ) e (b2) associada aos modos local e distorcional.

(v) O comportamento descrito para a coluna é, em muitos aspectos, semelhante ao da

coluna . Contudo, observam-se algumas diferenças importantes, nomeadamente o

facto de (iv1) o fenómeno ocorrer para valores superiores do parâmetro de carga (

contra na coluna ) e de (iv2) depois da sua ocorrência, se verificar

uma ligeira alteração na tendência dos deslocamentos da alma na secção de meio- vão: após

a alteração do número de semi-ondas, o deslocamento sofre uma pequena redução,

apesar de continuarem a evoluir positivamente (i.e., a alma flecte para o interior da secção).

(vi) Por fim, chama-se a atenção para o facto de as configurações deformadas para as quais

evoluem as colunas e não corresponderem a uma combinação dos dois

modos críticos puros (ver Figura 4.4(b)). Este facto tem consequências importantes, pois

significa que, apesar da evidência da interacção local/distorcional, não é possível caracterizar

a deformada da coluna na pós-encurvadura como correspondendo à de um modo acoplado.

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=0,99

P/Pcr=1,04

P/Pcr=1,12

P/Pcr=1,21

w/t

X [mm]

-4

-2

0

2

4

0 795 1590

Modo Local

P/Pcr=1,25 Modo Distorcional

w/t

X [mm]

(b)

(a)

37

Figura 4.5 – Evolução do deslocamento ao longo da alma da coluna

Imperfeições iniciais e

As Figuras 4.6(a)-(b) apresentam as trajectórias de pós-encurvadura e

relativas às colunas com imperfeição inicial puramente local com 17 semi-ondas . Por sua

vez, a Figuras 4.7(a)-(b) mostra as deformadas limite para as quais evoluem as colunas e

, respectivamente. Finalmente, a Figuras 4.8(a)-(b) mostra a evolução da configuração

deformada da alma destas colunas para quatro valores do parâmetro de carga superiores ao crítico. A

análise destas figuras permite retirar as seguintes conclusões:

Figura 4.6 – Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições

iniciais e .

(i) Apesar de as colunas e estarem associadas a valores nulos de , em

ambas ocorrem, para , movimentos da ligação banzo-reforço para o interior da

secção (ver Figura 4.6(a)). Recorde-se que, na configuração inicial, este deslocamento é

praticamente nulo , o que comprova mais uma vez a ocorrência de interacção

local/distorcional.

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=0,97 P/Pcr=1,05 P/Pcr=1,33

P/Pcr=1,47

w/t

X [mm]

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0 5 10 15

v/t

P/Pcr

θ=270º θ=90º

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-5 -2,5 0 2,5 5

w/t

P/Pcr

θ=90º θ=270º

(a) (b)

v<0 v>0 w<0 w>0

38

Figura 4.7 – Configuração deformada das colunas (a) e (b) ( ).

(ii) O aumento brusco do deslocamento (entrada do modo distorcional – ver Figuras 4.6(b) e

4.8(b)) está associado a uma alteração do declive do deslocamento de flexão da alma ,

sendo que na trajectória da coluna ocorre mesmo uma alteração de sentido desse

deslocamento. Estas alterações do declive das trajectórias mostram claramente o

enfraquecimento que resulta da interacção local/distorcional.


(iii) Finalmente, chama-se a atenção para o facto de, para as colunas e , não se

observarem os fenómenos que envolvem a alteração do número de semi-ondas da

configuração deformada da alma, permanecendo a alma sempre com 17 semi-ondas (ver

Figura 4.8)). Este facto é importante, pois significa que, ao contrário das colunas com

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=1,00

P/Pcr=1,06

P/Pcr=1,15

P/Pcr=1,26

w/t

X [mm]

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=1,02

P/Pcr=1,06

P/Pcr=1,15

P/Pcr=1,26

w/t

X [mm]

(a)

(b)

(a) (b)

39

imperfeição inicial puramente distorcional ( e ), é agora possível caracterizar a

deformada da coluna na pós-encurvadura como correspondendo à de um modo acoplado.

Imperfeições iniciais

As Figuras 4.9(a)-(b) apresentam as trajectórias de equilíbrio e

associadas a colunas com imperfeições geométricas iniciais caracterizadas pelos ângulos

e . Por sua vez, as Figuras 4.10(a)-(b) mostram a evolução da

configuração deformada da alma para quatro valores do parâmetro de carga (superiores a ) para

as colunas e (representativa do comportamento neste quadrante). A observação destas

figuras permite retirar as seguintes conclusões:

(i) No início da pós-encurvadura todas as configurações deformadas das colunas evidenciam a

presença das componentes distorcional ( ) e local ( ) – para colunas com

imperfeições iniciais com componentes locais e distorcionais tal presença era esperada. Além

disso, observe-se que, independentemente do valor da componente distorcional na

imperfeição inicial, todas as colunas evoluem para configurações envolvendo o fecho da

secção de meio-vão – nenhuma das colunas inverte o sentido da componente distorcional

presente na trajectória inicial.

Figura 4.9 – Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para colunas com imperfeições

iniciais .

(ii) As trajectórias de equilíbrio agrupam-se claramente em 2 categorias, associadas a

comportamentos de pós-encurvadura distintos: (ii1) trajectórias e ,

caracterizadas por imperfeições predominantemente distorcionais com fecho da secção do

meio vão, e (ii2) trajectórias , colunas com imperfeições com uma componente

local mais dominante, associada à flexão da alma para o exterior da secção.

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-5 -2,5 0 2,5 5

w/t

P/Pcr

θ=90º θ=75º θ=60º θ=45º θ=30º

θ=15º θ=0º

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0 5 10 15

v/t

P/Pcr

θ=90º θ=75º θ=60º θ=45º θ=30º

θ=15º θ=0º

(a) (b)

v<0 v>0 w<0 w>0

40

(iii) As colunas e apresentam uma rigidez pós-crítica inferior às restantes colunas,

exibindo ambas o fenómeno descrito anteriormente, o qual está associado à redução do

número de semi-ondas na alma. Efectivamente, como se pode observar na Figura 4.10(a),

para ⁄ , as 5 semi-ondas locais na zona central são absorvidas pela semi-onda

distorcional, exibindo esta um comprimento e amplitude superior às restantes.

Consequentemente, as configurações deformadas destas colunas não correspondem a uma

combinação linear dos modos críticos.


(iv) Por sua vez, as trajectórias das colunas com imperfeições caracterizadas por

agrupam-se em curvas, às quais corresponde (iii1) um comportamento um pouco mais rígido

do que o relativo às colunas e , e (iii2) uma configuração deformada que

combina as configurações dos modos distorcional (3 semi-ondas) e local (17 semi-ondas),

mas com características diferentes das restantes colunas deste quadrante. Efectivamente, as

almas destas colunas exibem um número de semi-ondas sempre igual às do modo local (17),

o que significa que a componente local da imperfeição inicial possui força suficiente para se

sobrepor à componente distorcional, impedindo assim a alteração do número de semi-ondas.

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=1,00

P/Pcr=1,05

P/Pcr=1,12

P/Pcr=1,24

w/t

X [mm]

-6

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=0,98

P/Pcr=1,16

P/Pcr=1,36

P/Pcr=1,46

w/t

X [mm]

(a)

(b)

41


Nas Figuras 4.11(a)-(b) representam-se as trajectórias de equilíbrio das colunas pertencentes ao

segundo quadrante de , i.e., colunas cuja imperfeição geométrica inicial é caracterizada

pelos valores de e . Apresenta-se na Figura 4.12 a

evolução dos deslocamentos ao longo da alma da coluna (representativa do comportamento

dominante do quadrante) para quatro valores do parâmetro de carga superiores ao crítico. A

observação destas figuras permite retirar as seguintes conclusões:

(i) A quase totalidade das trajectórias de pós-encurvadura agrupa-se em curvas associadas a

um comportamento dominante neste quadrante – apenas a coluna evolui claramente

de forma distinta, tendo já sido analisado o comportamento desta coluna.


imperfeições iniciais .

(ii) No início da pós-encurvadura, todas as configurações deformadas das colunas

evidenciam a presença das componentes distorcional (D) e local (L) – tal presença

era esperada pois, com excepção da coluna , todas as outras exibem imperfeições

iniciais com componentes locais e distorcionais. Além disso, observe-se que,

independentemente do valor da componente distorcional presente na configuração inicial,

todas as colunas evoluem para configurações envolvendo a abertura da secção de meio

vão – mais uma vez, nenhuma coluna inverte o sentido da componente distorcional

presente na imperfeição inicial.

(iii) As colunas com imperfeições caracterizadas por são afectadas por um

fenómeno com características semelhantes às que foram descritas para a coluna .

Efectivamente, para valores de ⁄ , observa-se uma redução do número de semi-

ondas na alma da coluna, mas essa redução tem agora características diferentes das

anteriores. De facto, neste caso (iii1) apenas são 3 as semi-ondas locais que na zona central

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-5 -2,5 0 2,5 5

w/t

P/Pcr

θ=90º

θ=105º θ=120º θ=135º θ=150º θ=165º θ=180º

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0 5 10 15

v/t

P/Pcr

θ=90º θ=105º θ=120º θ=135º θ=150º θ=165º θ=180º

(a) (b)

v<0 v>0 w<0 w>0

42

são absorvidas pela semi-onda distorcional (redução de 17 para 15), e (iii2) as semi-ondas

locais nas extremidades exibem amplitudes semelhantes da semi-onda central.



As trajectórias de equilíbrio que relacionam e das colunas com

imperfeições iniciais caracterizadas por valores de encontram-se representadas nas

Figuras 4.13(a)-(b). Por sua vez, as Figuras 4.14(a)-(b) mostram a evolução dos deslocamentos ao

longo da alma das colunas e para valores de carga superiores ao crítico – as duas

colunas foram escolhidas por serem representativas dos comportamentos deste quadrante. A análise

destas figuras permite retirar as seguintes conclusões:

Figura 4.13 – Trajectórias de equilíbrio (a) e (b) para as colunas com


(i) Analogamente ao que se observa no segundo quadrante ( ), a coluna com

imperfeição local pura ( ) exibe um comportamento claramente diferente das

restantes, tendo esse comportamento sido analisado anteriormente.

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=1,01

P/Pcr=1,11

P/Pcr=1,33

P/Pcr=1,25

w/t

X [mm]

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0 5 10 15

v/t

P/Pcr

θ=270º

θ=255º θ=240º θ=225º θ=210º

θ=195º θ=180º

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-5 -2,5 0 2,5 5

w/t

P/Pcr

θ=255º θ=240º θ=225º θ=210º

θ=270º

θ=195º θ=180º

(a) (b)

v<0 v>0 w<0 w>0

43

(ii) As restantes trajectórias de equilíbrio evoluem para dois grupos distintos. O primeiro, engloba

as colunas e (colunas com imperfeições iniciais com componente

distorcional dominante), enquanto o segundo reúne as restantes quatro colunas.


(iii) As colunas com imperfeições definidas por e exibem uma rigidez pós-

crítica inferior à das colunas caracterizadas por . A menor rigidez das

primeiras explica, em grande medida, o facto de estas voltarem a ser afectadas por um

fenómeno envolvendo a alma das colunas. De facto, para ⁄ observa-se uma

redução do número de semi-ondas na alma, com a semi-onda distorcional (dominante) a

absorver 5 semi-ondas locais na zona de meio vão. Chama-se a atenção para o facto de (iii1)

o comportamento descrito ser semelhante ao das colunas e (imperfeições

simétricas às do actual quadrante), e (iii2) a configuração de pós-encurvadura destas colunas

não corresponder a uma soma da contribuição dos modos críticos.

(iv) As colunas caracterizadas por evoluem para configurações deformadas

que resultam da combinação dos modos distorcional (3 semi-ondas) e local (17 semi-

ondas), não ocorrendo o fenómeno referido no ponto anterior devido à forte componente

local das imperfeições iniciais destes perfis.

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=0,98

P/Pcr=1,05

P/Pcr=1,46

P/Pcr=1,33

w/t

X [mm]

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=1,06

P/Pcr=0,99

P/Pcr=1,38

P/Pcr=1,29

w/t

X [mm]

(b)

(a)

44


Finalmente, as Figuras 4.15(a)-(b) mostram as trajectórias de equilíbrio das colunas caracterizadas

poe um ângulo pertencente ao quarto quadrante do plano , apresentando a Figura 4.16 a

evolução da configuração deformada da coluna ao longo da alma, para vários valores do

parâmetro da carga ⁄ . Através da observação destas figuras é possível retirar as seguintes

conclusões:

(i) A maioria das trajectórias de equilíbrio ( ) evolui para curvas associadas a

uma configuração deformada pós-crítica que combina, numa fase inicial, o modo distorcional,

com 3 semi-ondas (predominante), com o modo local, com 17 semi-ondas, e que numa fase

posterior ( ⁄ ), é afectada por um fenómeno que envolve a redução do número de

semi-ondas na alma das colunas (de 17 para 15).



(ii) Por sua vez, as colunas com imperfeições caracterizadas pelos valores extremos de neste

quadrante ( e ) exibem um comportamento distinto, o qual já foi

referido anteriormente, mas cujas características se recordam: (ii1) a coluna evolui

para uma combinação deformada sem alteração do número de semi–ondas na alma,

enquanto (ii2) a coluna , evolui para uma configuração com um número de semi-ondas

na alma de 13 (inferior à redução mais comum neste quadrante).

(iii) Em face dos comportamentos descritos nos itens anteriores, compreende-se que (iii1) seja a

coluna caracterizada por , a que exibe uma rigidez pós-crítica inferior neste quadrante

(a maior redução do número de semi-ondas na alma significa um maior enfraquecimento da

zona central desta coluna relativamente às restantes), e que (iii2) apenas a configuração de

pós-encurvadura da coluna corresponde a uma combinação dos modos críticos (nas

restantes verificou-se uma alteração do número de semi-ondas na alma das colunas).

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0 5 10 15

v/t

P/Pcr

θ=270º θ=285º θ=300º θ=315º θ=330º θ=345º θ=0º

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-5 -2,5 0 2,5 5

w/t

P/Pcr

θ=270º

θ=0º θ=285º θ=300º θ=315º θ=330º θ=345º

(a) (b)

v<0 v>0 w<0 w>0

45


Factores de participação modal

Como ficou patente na análise dos resultados anteriores, todas as colunas exibem uma configuração

deformada que, no inicio da pós-encurvadura, evidência claramente a presença dos modos

distorcional (3 semi-ondas) e local (17 semi-ondas). Contudo, um conjunto significativo dessas

colunas acaba por posteriormente ser afectado por um fenómeno de interacção com características

inesperadas, o qual se localiza na zona central da coluna e envolve a alteração do número de semi-

ondas na alma dos perfis. Efectivamente, recorde-se que:

(i) Nas colunas pertencentes ao segundo e quarto quadrantes, a semi-onda distorcional central

tende a absorver 3 semi-ondas locais, o que significa que, numa fase avançada da pós-

encurvadura, se observa uma redução de 17 para 15 semi-ondas na alma. Chama-se a

atenção para o facto de as imperfeições iniciais destas colunas combinarem o modo local e o

modo distorcional com a particularidade da configuração de cada modo envolver a flexão da

alma na secção média da coluna sentidos opostos.

(ii) Por sua vez, as colunas com imperfeição e exibem um fenómeno com

características semelhantes, mas em que a forte componente distorcional origina a absorção

por parte da semi-onda distorcional central de 5 semi-ondas locais. Note-se que, nestes

casos, a imperfeição inicial destas colunas (ii1) é predominantemente distorcional e (ii2)

resulta da combinação de configurações em que os deslocamentos da alma se somam

(possuem o mesmo sentido), o que relativamente às colunas pertencentes ao segundo e

quarto quadrantes justifica o maior número de semi-ondas envolvido no fenómeno de

interacção, localizado na zona central da alma.

(iii) Não são afectadas pelo fenómeno de interacção localizado na alma, as colunas exibidas na

Figura 4.17, pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes, caracterizadas por imperfeições

iniciais que combinam configurações predominantemente locais com distorcionais, devendo

estas (iii1) exibir uma componente inferior a e (iii2) estar associadas à

flexão da alma em sentido igual à provocada pela componente local.

-4

-2

0

2

0 795 1590

P/Pcr=1,06

P/Pcr=1,01

P/Pcr=1,18

P/Pcr=1,14

w/t

X [mm]

46

(a)

30

210

270

90

wL.0 =-0.1t

vL.0

wD.0

wL.0 =-0.1t

vL.0 vD.0 =-0.1t

wD.0

180º 270º

0º 90º

CD.0

CL.0

Figura 4.17 – Imperfeições iniciais das colunas não afectadas por interacção localizada na alma.

Apenas para as colunas não afectadas pelo fenómeno de interacção localizada, é possível associar à

deformada da coluna na pós-encurvadura a de um modo acoplado, (i) admitir que este corresponde a

uma combinação linear dos modos críticos e (ii) determinar a contribuição relativa das componentes

distorcional ( ) e local ( ) para esse modo – o efeito localizado que resulta da alteração do número

de semi-ondas na alma não permite tais considerações. A estimativa da contribuição dos dois modos

(factores de participação modal) para o modo acoplado baseia-se na evolução dos deslocamentos da

secção de meio vão das colunas (ver Figura 4.2 a Figura 4.15), adoptando-se para o efeito as

seguintes hipóteses e metodologia:

(i) A configuração deformada da coluna pode ser definida como uma combinação linear dos

modos de instabilidade local e distorcional, normalizados tal que e

(10% da espessura) – a estes valores correspondem e

, respectivamente, ou seja o deslocamento vertical da ligação banzo-reforço ( )

deve-se exclusivamente à componente distorcional.

(ii) O valor de deve ser decomposto em duas parcelas, uma devida à componente local e

a outra devida à componente distorcional . A segunda parcela pode ser determinada a

partir do deslocamento , tendo em conta que o modo distorcional é caracterizado pela

seguinte relação

. (4.3)

e, portanto

. (4.4)

(iii) Admitindo as hipóteses anteriores obtêm-se facilmente expressões que permitem

determinar os factores de participação de cada modo de encurvadura puro na

configuração deformada da coluna,

⁄

⁄ . (4.5)

A Figura 4.18 apresenta a evolução, ao longo das trajectórias de equilíbrio, do quociente de

interacção modal, definido por ⁄ , o qual relaciona os factores de participação dos modos local e

47

distorcional presentes na configuração deformada das 9 colunas sem alterações ao nível do número

de semi-ondas da alma, ou seja, as colunas e . A

observação das curvas vs. permite retirar as seguintes conclusões sobre o efeito da interacção

local/distorcional no comportamento de colunas de secção em hat:

(i) Todas as curvas têm início num círculo de raio unitário e exibem uma posição inicial que

depende dos factores de participação de cada modo isolado na imperfeição geométrica inicial

( e ).

(ii) As curvas ⁄ convergem basicamente para duas rectas caracterizadas por (ii1)

( – deslocamento da ligação banzo-reforço para o interior) e (iii2)

( – deslocamento para o exterior). De facto, parece razoável admitir que

estas rectas fornecem a caracterização dos modos acoplados da coluna – notar que ambas

são predominantemente distorcionais. A coluna constitui um caso à parte, uma vez

que corresponde a um conjunto singular (para o conjunto de imperfeições considerados neste

estudo, no qual se admitiu um intervalo de entre cada imperfeição).

(iii) As duas rectas relativas aos modos acoplados estão associadas a valores de positivos.

Este facto significa que as configurações deformadas das colunas, em estados avançados da

pós-encurvadura, tendem a apresentar, na região média da coluna, deslocamentos de flexão

da alma para o interior da secção.

Figura 4.18 – Evolução dos coeficientes e nas trajectórias de pós-encurvadura

(iv) Finalmente, refira-se que as características descritas nos pontos anteriores não são

totalmente concordantes com as que se observaram em colunas encastradas de secção em

C afectadas por interacção local/distorcional [14]. Efectivamente, os modos acoplados em

colunas em C (iv1) envolvem um conjunto mais alargado de colunas e (iv2) estão associados

a rectas que apresentam valores de e com sinais diferentes, o que significa que as

configurações deformadas das colunas combinam, na região intermédia, deslocamentos de

flexão local e distorcional de sentidos opostos.

-20

-10

0

10

20

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

CL vs CD

CL

CD

θ=90º θ=75º θ=60º θ=45º θ=30º

θ=270º

θ=210º θ=225º θ=240º θ=255º

48

(v) As diferenças qualitativas do comportamento das colunas de secção em hat relativamente às

em C referidas no ponto anterior decorrem (v1) do maior número de semi-ondas dos modos

envolvidos na interacção local/distorcional e (v2) da menor resistência pós-crítica das colunas

com secção em hat estar associada ao fecho da secção no meio vão.

4.4 Pós-Encurvadura em Regime Elasto-Plástico

Seguidamente, estuda-se o comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-plástico das

colunas H6, com o objectivo de avaliar o efeito da relação entre as tensões de cedência e crítica na

resistência última e no modo de colapso destas colunas.

Analisa-se o mesmo conjunto de colunas considerado no estudo elástico (vinte e quatro perfis

exibindo diferentes imperfeições iniciais resultantes da combinação das configurações dos modos

local e distorcional) e admite-se um comportamento elástico perfeitamente plástico para o aço (sem

ter em conta o endurecimento, nem o efeito das tensões residuais) e três valores diferentes para a

tensão de cedência: e . Para efeitos de comparação mostram-se de novo

alguns resultados elásticos, os quais podem ser encarados como correspondendo a uma tensão de

cedência infinita ( ⁄ ).

Os resultados das análises não lineares de estabilidade das várias colunas vão ser apresentados na

seguinte sequência. Inicialmente, apresentam-se as trajectórias elasto-plásticas de perfis com quatro

imperfeições iniciais ( e ) e diferentes tensões de cedência. As colunas foram

escolhidas por serem representativas do comportamento observado em regime elástico.

Posteriormente, mostram-se os diagramas que ilustram a evolução das deformações plásticas para

as colunas e , quando o aço é caracterizado por . O estudo termina

com a identificação dos valores da resistência última para as setenta e duas colunas analisadas (vinte

e quatro perfis, exibindo três valores de tensão de cedência).

As Figuras 4.19(a)-(d) mostram a evolução das trajectórias de equilíbrio elasto-plásticas das colunas

, , e , para ⁄ e (recorde-se que ).

A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões:

(i) Independentemente da imperfeição inicial, as colunas com uma relação ⁄ reduzida (e.g.,

⁄ ), exibem uma resistência de pós-encurvadura nula. A primeira cedência (i1)

ocorre quando a distribuição de tensões ainda é praticamente uniforme, o que resulta na

plastificação da quase totalidade da coluna, e (i2) precipita o colapso do perfil, o qual ocorre

numa fase inicial da trajectória de equilíbrio.

(ii) Para uma relação ⁄ intermédia (e.g., ⁄ ), a ocorrência da primeira cedência

não resulta, necessariamente, no colapso da coluna. De facto, as trajectórias exibem

fenómenos de snap-through caracterizadas pela existência de um segundo máximo local na

curva, o qual pode estar associado a um valor ligeiramente superior ao que originou o

49

afastamento da trajectória em relação à curva elástica (e.g., e ) – nos

restantes casos, a ocorrência da primeira plastificação precipita o colapso da coluna.

Figura 4.19 – Trajectórias de equilíbrio elasto-plásticas das colunas (a) , (b) , (c)

e (d) .

(iii) Para valores de tensão de cedência elevados (e.g., ⁄ ), todas as colunas exibem

alguma resistência de pós-encurvadura. De facto, o fenómeno descrito no ponto anterior

origina agora valores máximos de carga claramente superiores à carga associada ao início

das plastificações, podendo o acréscimo ser significativo (e.g., para , é cerca de

1,2 vezes o valor associado ao início da plastificação). Este acréscimo resulta do facto de,

para valores de elevados, a primeira plastificação ocorrer numa fase avançada da pós-

encurvadura, ou seja quando a distribuição de tensões na coluna está já longe da uniforme.

Nas Figura 4.20-4.22 apresenta-se a evolução e localização das deformações plásticas, assim como

a configuração deformada no colapso, de colunas constituídas por um aço com

( ⁄ ) e exibindo imperfeições iniciais caracterizadas por (i) (Figura 4.20), (ii)

(Figura 4.21) e (iii) (Figura 4.22). A observação destes diagramas sugere os seguintes

comentários:

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,18

fy/fcr=1,65

fy/fcr=2,60

Elástico

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,18

fy/fcr=1,65

fy/fcr=2,60

Elástico

fy/fcr=1,18

fy/fcr=2,60

Elástico

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,18

fy/fcr=1,65

fy/fcr=2,60

Elástico

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,18

Elástico

fy/fcr=1,65

fy/fcr=2,60

Elástico

(a) (b)

(c) (d)

v>0

v>0

v>0

v<0

50

(i) Independentemente da imperfeição inicial, as deformações plásticas têm início na

extremidade dos reforços, estando na origem da separação das trajectórias elasto-plásticas

relativamente às elásticas – ver diagrama I das Figura 4.20-4.22.

(ii) Contudo, a localização do início da plasticidade depende da imperfeição inicial, ocorrendo na

secção (colunas e ) ou nas secções (coluna ) onde a semi-onda

distorcional evolui no sentido do fecho.

Figura 4.20 – Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna ( ⁄ ).

Figura 4.21 – Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna

( ⁄ ).

(iii) Nas colunas e , o colapso ocorre após a plastificação das zonas centrais na

alma e na proximidade dos cantos que ligam a alma aos banzos – o mecanismo de rotura

corresponde à formação de rótulas plásticas distorcionais na zona (coluna ) ou zonas

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,65

I II

III

Elástico

I II

III

Elástico

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-15 -10 -5 0

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,65

I

II

III

Elástico

(a) (b)

III

I

II

(a) (b)

I

II

III

v>0

v<0

51

(coluna ) onde se verificaram as primeiras plastificações (e.g., ver o diagrama III na

Figura 4.20(b)).

(iv) Por sua vez, o colapso da coluna assume características ligeiramente diferentes do da

coluna . Em ambas, as deformações plásticas iniciam-se na zona central (ver os diagramas

II das Figura 4.4 a Figura 4.6), mas, devido ao maior peso da componente local na imperfeição

inicial da coluna , a evolução da plasticidade neste perfil acaba por se concentrar (iv1) na

alma, com um padrão semelhante ao das semi-ondas locais, e (iv2) em duas charneiras plásticas

nos banzos em secções próximas do meio vão (ver diagrama III da Figura 4.22).

Figura 4.22 – Evolução da deformação plástica e configuração deformada no colapso da coluna

( ⁄ ).

Por fim, na Tabela 4.1 indica-se o valor da relação ⁄ para cada uma das setenta e duas colunas

analisadas (vinte e quatro colunas e três valores de tensão de cedência), onde corresponde à

tensão última da coluna (valor máximo do parâmetro de carga determinado pelo programa ABAQUS).

A observação destes resultados permite retirar as seguintes conclusões:

(i) O aumento da tensão de cedência do aço faz, naturalmente, subir o valor da resistência

última das colunas, mas observa-se que esse aumento está longe de ser proporcional ao

aumento de – por exemplo, para a coluna , aumentar o valor de de para

(i.e., 2,2 vezes) apenas dá origem a um aumento da resistência última de 1,3 vezes.

(ii) As colunas que exibem maior resistência última estão associadas a imperfeições locais puras,

exibindo as colunas um valor ligeiramente superior ao das colunas (e.g., para

a resistência da primeira é cerca de 1,01 vezes superior á da segunda).

(iii) À semelhança do verificado em regime elástico, as imperfeições iniciais mais desfavoráveis

(as que conduzem a menores valores de resistência elasto-plástica) continuam a estar

associadas a imperfeições puramente distorcionais , i.e., com fecho da secção de meio

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15

v/t

P/Pcr

fy/fcr=1,65

I

II III

Elástico

(a) (b)

I

II

III

v>0

52

vão. Esta conclusão tem naturalmente grande importância para o dimensionamento de

colunas de aço enformadas a frio com secção em hat, quando afectadas por interacção

local/distorcional, sendo tomada em consideração no estudo paramétrico que seguidamente

se apresenta.

Tabela 4.1 – Valores de resistência última ⁄ das colunas H6 para diferentes valores de e .

⁄

1,18 1,65 2,60

0,87 0,95 1,13

0,87 0,95 1,14

0,87 0,95 1,14

0,88 0,96 1,14

0,89 0,96 1,15

0,90 0,98 1,17

0,92 1,00 1,20

0,92 1,00 1,19

0,91 0,98 1,17

0,90 0,97 1,16

0,89 0,97 1,16

0,90 0,97 1,16

0,91 0,99 1,18

0,90 0,98 1,17

0,90 0,97 1,16

0,89 0,97 1,16

0,90 0,98 1,17

0,91 0,99 1,19

0,93 1,01 1,20

0,91 0,98 1,17

0,89 0,97 1,16

0,88 0,96 1,15

0,87 0,95 1,14

0,87 0,95 1,14

4.5 Estudo Paramétrico

Realizou-se um estudo paramétrico que permitiu reunir um vasto conjunto de valores de resistência

última de colunas de aço enformadas a frio com secção em hat, afectadas por interacção

local/distorcional. O estudo (i) teve por base a informação e os conhecimentos adquiridos nas

subsecções anteriores, nomeadamente sobre o comportamento em regime elasto-plástico da coluna

H6, (ii) envolve as colunas seleccionadas no capítulo anterior caracterizadas pela semelhança entre

as cargas de bifurcação local e distorcional, e (iii) permitirá avaliar, posteriormente, a eficácia das

actuais metodologias de dimensionamento, baseadas no Método da Resistência Directa, propostas

para estimar a resistência última destas colunas.

Neste estudo, analisaram-se colunas que (i) respeitam a condição ⁄ , e (ii) exibem

imperfeições iniciais com a configuração do modo distorcional e amplitude igual a 10% da espessura

da parede (para colunas cujos modos têm um número impar de semi-ondas, as imperfeições exibem

53

deslocamentos de flexão dos banzos para o interior da secção de meio vão). Para cada um dos 18

perfis analisados, (i) não se consideraram os efeitos das tensões residuais e do arredondamento dos

cantos nas análises por elementos finitos de casca, e (ii) adoptaram-se cinco valores de tensão de

cedência para o aço ( e ), por forma a cobrir uma vasta gama de

valores de esbelteza distorcional ( ( ⁄ )

).

Na Tabela A.1 indicam-se os valores da resistência última das 90 colunas encastradas com secção

em hat consideradas neste estudo paramétrico (18 colunas e 5 valores de tensão de cedência), cujos

resultados serão utilizados no próximo capítulo.

55

5 Dimensionamento através do Método da Resistência

Directa

5.1 Introdução

A grande maioria dos regulamentos de estruturas de aço contém procedimentos para a determinação

da resistência de perfis de parede fina ainda baseados no tradicional Método das Larguras Efectivas.

Contudo, a sua aplicação a perfis enformados a frio torna-se bastante complexa/morosa devido ao

número elevado de paredes que habitualmente constituem a secção transversal desses elementos

estruturais. A comunidade técnico/científica ligada a este tipo de estruturas desenvolveu nos últimos

anos um conjunto significativo de estudos no sentido de conseguir metodologias mais eficientes,

tendo o trabalho de Hancock et al. [27] dado origem a um novo método de dimensionamento de perfis

de aço enformados a frio. Esse método, designado por o Método da Resistência Directa (MRD), foi

originalmente proposto por Schafer e Peköz [28] e tem sido continuamente desenvolvido desde então,

sobretudo devido aos esforços de Schafer [29-31] e, em menor grau, de Hancock e seus

colaboradores [42, 43]. O MRD constitui hoje em dia uma referência universalmente aceite para o

dimensionamento destes perfis, estando já incluído com o estatuto de método alternativo nas mais

recentes versões das normas americana [44] e australiana/neozelandesa [45] O método proporciona

uma abordagem elegante, eficiente e sistemática para obter estimativas da resistência última de

colunas e vigas de aço enformadas a frio, cujo colapso ocorra em modos locais, distorcionais e

globais, ou com interacção local/global. Contudo, conforme tem sido referido por Schafer [46], é ainda

necessário desenvolver uma considerável actividade de investigação antes que o MRD possa ser

eficazmente utilizado para estimar a capacidade resistente de elementos estruturais (i) submetidos a

compressão e flexão ou (ii) afectados por fenómenos de interacção envolvendo modos distorcionais

(âmbito no qual este trabalho se insere).

O presente capítulo encontra-se estruturado da seguinte forma. Depois desta breve introdução,

descrevem-se as actuais curvas de dimensionamento do MRD destinadas a verificar a segurança de

colunas em relação ao colapso em modos locais, distorcionais e globais, ou com interacção

local/global. Em seguida, apresentam-se as extensões recentemente propostas para tomar em

consideração os fenómenos de interacção local/distorcional. Por fim, faz-se a comparação entre o

conjunto de valores de resistência última determinados no estudo paramétrico descrito no capítulo

anterior, referentes a colunas encastradas de secção em hat, e as estimativas fornecidas pelas

fórmulas do MRD actualmente existentes (inseridas em regulamentos e propostos na literatura).

56

5.2 O Método da Resistência Directa

Em comparação com a tradicional abordagem baseada no conceito de largura efectiva, o MRD exibe

três vantagens importantes, nomeadamente (i) toma em consideração os efeitos das restrições às

rotações das paredes, (ii) evita a determinação das larguras efectivas das paredes e (iii) fornece

estimativas de resistência para elementos estruturais cujo colapso ocorra em modos distorcionais –

chama-se a atenção para o facto de a abordagem tradicional apenas fornecer estimativas para

colapsos locais, globais ou locais/globais. O MRD tem em comum com o método da largura efectiva o

facto de admitir que a resistência última de um elemento estrutural pode ser estimada exclusivamente

a partir do conhecimento dos valores das tensões de bifurcação elástica (fornecidas por análises de

estabilidade) e de cedência. A metodologia do MRD actualmente em vigor permite estimar a

resistência última de colunas e vigas de aço, adoptando para o efeito curvas de dimensionamento de

tipo Winter, as quais foram calibradas por meio da comparação com um elevado número de

resultados experimentais e numéricos.

Especificamente no que diz respeito a colunas, o MRD estipula que as resistências nominais em

relação a mecanismos de colapso locais ( ), distorcionais ( ) e globais ( ) podem ser estimadas

através das expressões

, (5.1a)

[

] . (5.1b)

, (5.2a)

[

] . (5.2b)

( ) , (5.3a)

(

) . (5.3b)

onde (i) ( ⁄ )

, ( ⁄ )

e ( ⁄ )

são, respectivamente, as esbeltezas local,

distorcional e global, e (ii) , e são as tensões de bifurcação associadas às instabilidades em

modos locais, distorcionais e globais (flexão ou flexão/torção).

Para tomar em consideração os efeitos da interacção local/global, o MRD preconiza a substituição de

por nas equações (5.1), o que significa que a resistência nominal de colunas em relação a

mecanismos de colapso com interacção local/global ( ) pode ser estimada através da expressão:

57

, (5.4a)

*

+ . (5.4b)

5.2.1 MRD com Interacção Local/Distorcional.

Vários estudos recentes [11-13, 17-23. 34, 47] mostram que a interacção modal local/distorcional

afecta (reduz) a resistência última de perfis de aço enformados a frio, pelo que o dimensionamento

destes elementos estruturais pelo MRD não pode ser efectuado considerado apenas as expressões

(5.1) e (5.2). Nas Figuras 5.1(a)-(d) apresenta-se a variação das estimativas ⁄ , ⁄ , ⁄ e

⁄ , em função da esbelteza distorcional, relativas a um conjunto de colunas de secção em C

consideradas num estudo sobre a interacção local/distorcional [33], sendo claramente visível a

limitação das actuais curvas de dimensionamento do MRD para lidarem com este fenómeno – as

estimativas de ⁄ e ⁄ são frequentemente superiores à unidade, contrariamente aos valores

de ⁄ , que por sua vez são maioritariamente inferiores.

Figura 5.1 – Variação de (a) ⁄ , (b) ⁄ , (c) ⁄ e (d) ⁄ com para colunas com

secção em C [33].

Têm sido propostas várias estratégias para ter em conta o efeito da interacção local/distorcional na

resistência última de colunas de aço enformadas a frio. Adoptando uma estratégia semelhante à

seguida para estimar a resistência última de perfis cujo colapso é afectado por interacção local/global,

Schafer propôs propôs duas metodologias com as seguintes características: (i) substituir nas

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fNL/fU

λD λD

Interacção L/D dominante

Instabilidade D dominante

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

f*NDL/fU

λD λD



0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fNDL/fU

λD λD



0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fND/fU

λD λD



(a) (b)

(c) (d)

58

equações (5.1), por (abordagem NLD), ou (ii) substituir nas equações (5.2), por

(abordagem NDL). As equações (5.5) ilustram as expressões que permitem calcular a resistência

nominal da coluna adoptando esta segunda abordagem.

, (5.5a)

*

+ . (5.5b)

As duas metodologias propostas por Schafer foram recentemente avaliadas por Camotim et al. e

Silvestre et al. [33, 34], tendo os autores concluído que (i) forneciam estimativas de qualidade

semelhante e que, (ii) estas eram razoavelmente precisas e com uma dispersão aceitável para

colunas simplesmente apoiadas de secção em C com esbeltezas distorcionais superiores a

– para , a curva distorcional conduz a melhores resultados. Contudo, o mesmo estudo

mostrou que, para colunas encastradas, essa abordagem subestima claramente a resistência de

alguns perfis, com , o que pode ser comprovado na Figura 5.1(c). De facto, várias estimativas

de resistência fornecidas pela abordagem NDL ( ) são bem inferiores à resistência última ( ) das

colunas.

Muito recentemente, Camotim et al. [33] propuseram uma nova abordagem para estimar com maior

precisão a resistência última de colunas encastradas com secção em C, afectadas por interacção

local/distorcional. Para colunas com esbelteza distorcional baixa-a-moderada ( ), esta nova

abordagem adopta as expressões (5.2) (colapso distorcional). No entanto, para colunas mais esbeltas

( ), a nova proposta (i) define uma resistência local modificada , a qual depende da relação

entre os comprimentos críticos distorcional e local ( ⁄ ), e (ii) estima a resistência última da

coluna substituindo por nas equações (5.4) (relativas à abordagem NDL). Chama-se a

atenção para o facto de os comprimentos e serem obtidos a partir da curva linear de

estabilidade relativa à coluna simplesmente apoiada, admitindo apenas modos de

instabilidade com uma semi-onda. A resistência nominal das colunas é então dada pelas expressões

, (5.6a)

[

] , (5.6b)

, (5.6c)

(

) ( )

, (5.6d)

59

. (5.6e)

Observe-se que as expressões (5.6) conduzem a uma estimativa de resistência que (i) para colunas

com uma relação ⁄ é igual à obtida através da expressão relativa ao colapso distorcional

(ND), (ii) para colunas caracterizadas por ⁄ , o valor obtido corresponde ao valor fornecido

pela abordagem NDL, e (iii) para elementos com uma relação ⁄ intermédia, encontra-se entre

as duas curvas referidas anteriormente (ND e NDL). Tal significa que, quando o parâmetro ( ⁄ )

toma valores reduzidos, a interacção modal é pouco relevante e, portanto, o valor da resistência pode

ser determinado com base na curva distorcional. À medida que o parâmetro aumenta, a interacção

local/distorcional vai ganhando maior relevância o que resulta numa aproximação das estimativas à

curva NDL. A Figura 5.2 apresenta as curvas de tipo Winter associadas (i) ao colapso local

(expressões (5.1)), (ii) ao colapso distorcional (expressões (5.2)) e (iii) ao colapso com interacção

local/distorcional (expressões (5.5)), assim como, a sombreado, os valores de resistência associados

a esta nova proposta [33] – zona a sombreado.

Os autores mostraram que esta nova proposta fornece estimativas bastante precisas para a

resistência última de colunas encastradas de secção em C, como se pode observar na Figura 5.1(d),

onde se mostra a evolução de ⁄ com , para um conjunto alargado de colunas seleccionadas

para evidenciarem o efeito da interacção local/distorcional – os valores de ⁄ estão mais

próximos da unidade.

Figura 5.2 – Curvas de dimensionamento do MRD

5.3 Avaliação das Estimativas do MRD

Apresentada a actual formulação do MRD, bem como as várias formulações recentemente

propostas para ter em conta a redução da resistência provocada pela interacção

local/distorcional, avalia-se seguidamente a capacidade destas formulações para estimar a

DL

fNL/fy (Curva L)

fND /fy (Curva D) f*NDL /fy (LcrD/LcrL4)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

fNDL /fy (Curva L/D) f*NDL /fy (LcrD/LcrL8)



fu /fy and f* ,ndl /fy

60

resistência última de colunas encastradas com secção em hat, cujo colapso é afectado por

interacção entre esses dois modos de instabilidade.

A Tabela A.1 do Anexo A apresenta as estimativas de resistência última obtidas através do MRD ( ;

; ; , , ), assim como as grandezas relevantes envolvidas no seu cálculo,

nomeadamente a esbelteza distorcional ( ) e os comprimentos dos perfis simplesmente apoiados

correspondentes aos mínimos local ( ) e distorcional ( ), os quais foram obtidos por meio de

análises baseadas na GBT, considerando apenas modos de deformação com uma semi-onda – na

Tabela 5.1 indicam-se a média e o desvio-padrão das estimativas fornecidas pelas várias

metodologias, os quais foram determinados agrupando as colunas em função da esbelteza

distorcional dada na Tabela A.1. As Figuras 5.3(a)-(d) mostram, respectivamente, a variação de

⁄ , ⁄ , ⁄ e ⁄ com . A observação destas figuras e dos resultados presentes

nas tabelas permite retirar as seguintes conclusões:

(i) Em primeiro lugar, verifica-se que para algumas colunas, a estimativa mínima de resistência

fornecida pela aplicação das fórmulas do MRD é , indicando um colapso com interacção

local/global. Contudo, uma vez que a visualização dos correspondentes modos de colapso

mostraram (i1) a presença nítida de deformações locais e distorcionais, e (i2) a ausência de

deformações globais, as referidas colunas foram analisadas como sendo afectadas por

interacção local/distorcional.

(ii) As estimativas (ver Figura 5.3(a)) sobrestimam de forma substancial a resistência das

colunas, nomeadamente para valores de esbelteza altos ( ) – ⁄ com média de

1,51 e desvio-padrão de 0,21. Para colunas com esbelteza baixa-a-moderada ( ), os

resultados de ⁄ são um pouco melhores, mas ainda inseguros (media de 1,10).

(iii) As estimativas de , apesar de aproximarem melhor a resistência das colunas, continuam

ainda a sobrestimar , exibindo uma média e um desvio-padrão de 1,03 e 0,12

respectivamente.

(iv) O erro das estimativas de aumenta com o valor de (ver Figura 5.3(b)). Para valores de

esbelteza distorcional (sem efeitos relevantes de interacção local/distorcional), as

estimativas de são precisas e maioritariamente conservativas (média e desvio-padrão de

0,97 e 0,05). Contudo, para , as estimativas são imprecisas e, de um modo geral, não

conservativas (média e desvio-padrão de 1,11 e 0,13). Isso significa que a redução da

resistência última resultante da interacção local/distorcional, não é convenientemente prevista

por .

(v) Por outro lado, independentemente do valor da esbelteza distorcional, as estimativas de

são bastante conservativas e com reduzida dispersão: média e desvio-padrão de ⁄ ,

respectivamente, de (v1) 0,87 e 0,07 ( ), e de (v2) 0,82 e 0,09 ( ).

(vi) Finalmente, as estimativas de são bastante precisas e exibem reduzida dispersão. Para

colunas de esbelteza baixa-a-moderada ( ) reproduz a precisão de e, para

colunas mais esbeltas ( ), a média e desvio-padrão de ⁄ são 0,98 e 0,04,

respectivamente. O excelente desempenho da metodologia pode ser confirmado observando

61

a Figuras 5.3(a)-(d), onde se mostra claramente que os valores de ⁄ estão muito mais

próximos da linha horizontal unitária do que os correspondentes valores de e .

Figura 5.3 – Variação de (a) ⁄ , (b) ⁄ , (c) ⁄ e (d) ⁄ com para colunas com

secção em hat.

Tabela 5.1 – Média e desvio-padrão das diferentes formulações do MRD.

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄

Média 1,10 0,97 0,87 0,97 1,51 1,11 0,82 0,98

Desvio-padrão 0,09 0,05 0,07 0,05 0,21 0,13 0,09 0,04

Finalmente, as Figuras 5.4 e 5.5 mostram (i) a variação de ⁄ (círculos brancos) e ⁄ (círculos

cinzentos) com , assim como (ii) as curvas de tipo Winter do MRD que fornecem os valores ⁄ ,

⁄ e ⁄ (assumindo ). Por sua vez, a Figura 5.6 apresenta a distribuição dos valores

de ⁄ obtida por Camotim et al. [33] e relativa a colunas encastradas com secção em C, quando

afectadas por interacção local/distorcional. Os resultados exibidos nestas figuras motivam os

seguintes comentários:

(i) Os valores de ⁄ encontram-se (i1) bem alinhados com a curva ⁄ , para , e (i2)

situados entre as curvas D e DL, para , exibindo uma considerável dispersão vertical.

(ii) As estimativas de ⁄ sobrepõem-se quase na totalidade aos resultados exactos (ver

Figura 5.5), estando alinhados com a curva D em duas situações (ii1) para (colunas

robustas) e, (ii1) para (colunas esbeltas), mas apenas quando a relação ⁄ é

baixa (sem interacção local/distorcional relevante). Contudo, quando a relação ⁄ é

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fNL/fU

λD λD



0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fND/fU

λD λD



0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fNDL/fU

λD λD



0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

f*NDL/fU

λD λD



(a) (b)

(c) (d)

62

moderada a alta, os valores de ⁄ encontram-se claramente abaixo da curva D, o que

significa que o efeito da interacção local/distorcional é, nestes casos, relevante.

(iii) A distribuição dos valores de ⁄ indicada na Figura 5.4 é bastante semelhante à obtida

para colunas encastradas com secção em C (ver Figura 5.6). Esta semelhança significa que a

resistência última de colunas com secção em hat ou em C (iguais dimensões, apenas

diferendo na posição do reforço em relação ao banzo) é praticamente idêntica – relembra-se

que as geometrias das colunas com secção em hat aqui analisadas foram seleccionadas

tendo por base um sub-conjunto de colunas consideradas em [33]. Nestas condições, era

previsível que a formulação proposta por Camotim et al. [33] (desenvolvida com base nos

Figura 5.4 – Variação de ⁄ com para as colunas com secção em hat.

Figura 5.5 – Variação de ⁄ + ⁄ com para as colunas com secção em hat.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fU/fy

λD

L

D

DL

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fU/fy e f*NDL/fy

λD

L

D

DL

63

resultados da Figura 5.6) demonstrasse uma boa capacidade na determinação da resistência

última de colunas também com secção em hat.

(iv) Finalmente, deve referir-se que é também de esperar um bom desempenho dessa

formulação na determinação da resistência última de colunas de secção em Z afectadas por

interacção local/distorcional.

Figura 5.6 – Variação de ⁄ com para colunas com secção em C [33].

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

fU/fy

λD

L

D

DL

65

6 Considerações Finais e Desenvolvimentos Futuros

Apresenta-se seguidamente uma síntese da actividade de investigação desenvolvida no âmbito da

elaboração da presente dissertação, com o objectivo de (i) transmitir uma perspectiva global do

trabalho realizado e, simultaneamente, (ii) identificar os principais resultados e conclusões a que este

trabalho conduziu.

1. Antes de mais, convém referir que o âmbito desta dissertação se restringiu ao estudo do

comportamento de colunas de aço enformado a frio encastradas e com secção em hat. O estudo

teve como principal objectivo investigar o efeito da interacção entre modos de instabilidade locais

e distorcionais na resposta estrutural das referidas colunas, nomeadamente (i) no comportamento

de pós encurvadura, em regime elástico e elasto-plástico, (ii) na resistência última e (iii) no

dimensionamento através do Método da Resistência Directa (MRD).

2. Inicialmente, abordaram-se alguns tópicos de carácter geral, tendo-se (i) apresentado alguns

conceitos e definições gerais de estabilidade estrutural, (ii) identificado os fenómenos de

instabilidade que podem afectar o comportamento dos perfis de parede fina, incluindo a possível

interacção modal, e (iii) caracterizado os vários tipos de análises e metodologias de cálculo

disponíveis para estudar o comportamento não linear desses elementos estruturais.

3. Após tecer algumas considerações gerais relativas à análise linear de estabilidade, procedeu-se à

selecção das geometrias de um conjunto de perfis encastrados com secção em hat afectados por

interacção local/distorcional, ou seja, caracterizados por valores semelhantes das tensões/cargas

de bifurcação associadas a esses dois modos. A análise linear de estabilidade desses perfis

através do método dos elementos finitos permitiu confirmar a referida interacção modal e também

obter as configurações dos respectivos modos de instabilidade, necessárias para introduzir as

imperfeições iniciais nas análises de pós-encurvadura dos perfis, a efectuar posteriormente.

4. Após a explicação do procedimento adoptado para definir o conjunto das imperfeições

geométricas iniciais, de (pequena) amplitude comum, a incluir nas análises de pós-encurvadura

(não lineares), apresentaram-se e discutiram-se os resultados de um estudo sobre o

comportamento de pós-encurvadura com interacção modal das colunas com a geometria

seleccionada para ilustrar o processo de selecção dos perfis (coluna H6).

5. A apresentação e discussão desses resultados fez-se em duas fases. Iniciou-se com o estudo do

comportamento de pós-encurvadura em regime elástico, tendo-se apresentado (i) trajectórias de

pós-encurvadura, (ii) configurações deformadas das colunas, em várias fases da pós-

encurvadura, e (iii) gráficos que representam a evolução do quociente dos factores de

participação local ( ) e distorcional ( ) presentes na configuração deformada de algumas

colunas analisadas, os quais permitem estimar a forma do modo de instabilidade acoplado. Numa

segunda fase, procedeu-se ao estudo do comportamento de pós-encurvadura em regime elasto-

plástico, considerando diferentes valores para a tensão de cedência do aço. Apresentaram-se (i)

66

trajectórias de pós-encurvadura, (ii) diagramas de deformação plástica e, finalmente, (iii) tabelas

indicando as resistências últimas de todas as colunas analisadas.

6. Após ter sido adquirido um conhecimento profundo sobre o comportamento de pós-encurvadura e

de resistência última destas colunas de secção em hat, efectuou-se um estudo paramétrico

alargado, no qual se determinaram as cargas de colapso elasto-plásticas de 90 colunas afectadas

por interacção local/distorcional. Estes resultados permitiram avaliar o desempenho das várias

metodologias de dimensionamento existentes baseadas no MRD, desenvolvidos no âmbito de

colunas de aço enformadas a frio encastradas, com secção em C que exibem interacção

local/distorcional, para estimar a resistência última de colunas com secção em hat e essas

mesmas características.

7. Apresentam-se seguidamente as principais conclusões que foi possível extrair dos vários estudos

efectuados relativamente ao efeito da interacção local/distorcional no comportamento de pós-

encurvadura, resistência última e dimensionamento de colunas de aço enformadas a frio de

secção em hat.

(i) As colunas evoluem para configurações deformadas de pós-encurvadura que

correspondem a combinações dos modos local e distorcional – e.g., no caso da

coluna H6, combina um modo distorcional, com 3 semi-ondas, e um modo local,

com 17 semi-ondas. Contudo, para determinadas imperfeições, e numa fase

avançada da pós-encurvadura, ocorrem fenómenos de interacção localizados na

zona central da alma da coluna, os quais provocam uma redução (para 15 ou 13)

do número de semi-ondas locais.

(ii) As imperfeições geométricas distorcionais puras, caracterizadas pelo fecho da

secção de meio vão, são as mais desfavoráveis, i.e., estão associadas à menor

capacidade resistente, tanto em em regime elástico como em regime elasto-

plástico. Independentemente da natureza da imperfeição inicial, o mecanismo de

colapso das colunas envolve a formação de rótula(s) plástica(s) distorcional(ais)

na(s) secção(ões) transversal(ais) com maiores deslocamentos associados ao

fecho do conjunto banzo-reforço.

(iii) À semelhança do que acontece nas colunas com secção em C, ocorre uma redução

significativa da resistência última de colunas com secção em hat provocada pela

interacção local/distorcional – mostrou-se que as metodologias de

dimensionamento baseadas no MRD, relativas a mecanismos de colapso locais e

distorcionais puros, são incapazes de estimar essa redução em colunas com uma

variada gama de dimensões e de esbelteza distorcional (elevada).

(iv) Por outro lado, das formulações do MRD recentemente propostas para estimar a

resistência última de colunas afectadas por interacção local/distorcional, a

desenvolvida por Camotim et al. [33, 34] para secções em C é aquela que fornece

estimativas mais precisas (e maioritariamente conservativas) da resistência última

de colunas com secção em hat.

67

Tal como foi referido no capítulo introdutório deste trabalho, o âmbito desta dissertação, i.e., o

estudo do efeito da interacção local/distorcional no comportamento de pós-encurvadura de perfis

de aço enformados a frio constitui um tópico de investigação actual muito vasto, o qual é passível

de vários desenvolvimentos futuros. Nestas condições, é de prever que nos próximos anos o

número de trabalhos de investigação neste domínio continue a ser significativo, listando -se

seguidamente alguns dos possíveis estudos a realizar na sequência do trabalho efectuado.

Assim, há todo o interesse em abordar os seguintes aspectos:

1. Estudar o efeito da interacção local/distorcional em colunas de secção em hat enformadas a frio,

com outras condições de apoio, designadamente perfis com secções extremas rotuladas (mas

com empenamento impedido), as quais são frequentemente ensaiadas em estudos

experimentais.

2. Analisar o efeito da interacção local/distorcional no comportamento de colunas de aço

enformadas a frio com outras secções transversais, tais como secção em Z ou em rack.

Tais estudos permitiriam determinar, nomeadamente, (i) se as imperfeições distorcionais

puras continuam a ser as que conduzem a uma maior redução da resistência, e (ii) se as

formulações recentes do MRD, para colunas afectadas por interacção local/distorcional,

continuam a fornecer estimativas eficientes e seguras de resistência última para perfis

enformados a frio com secções que não as em C ou hat.

Finalmente, é importante referir que o trabalho desenvolvido durante a elaboração desta dissertação deu

origem a duas comunicações apresentadas em congressos internacionais e cujos textos foram publicados

nas respectivas actas:

Fena R, Dinis PB, Camotim D, "Interacção Local/Distorcional em Colunas de Aço Enformadas a Frio

com Secção em "Hat", Métodos Numéricos em Engenharia 2011, Coimbra, 2011. (Referência [38])

Dinis PB, Camotim D, Fena R, "Local Distortional Interaction in Hat section Columns – Post-

buckling behavior, strength and DSM design”, Eurosteel2011, Budapeste, 2011. (Referência [39])

69

7 Referências Bibliográficas

[1] Specifications for the Design of Light Gage Steel Structural Members, American Iron

and Steel Institute, Nova Iorque, 1946.

[2] Walker AC, Design and Analysis of Cold-formed Sections, John Wiley & Sons, Nova

Iorque – Toronto, 1975.

[3] Cold Formed Steel Design, American Iron Steel Institute, www.steel.org, 2006.

[4] Yu, W-W, Cold Formed Steel Design (4th Edition), John Wiley & Sons, Nova Iorque,

2000.

[5] Hancock GJ, Design of Cold-Formed Steel Structures (3rd

Edition), Australian Institute

of Steel Construction, 1998.

[6] Reis AJ, Camotim D, Estabilidade Estrutural, McGRAW HILL de Portugal.

[7] Kwon YB e Hancock GJ, “Postbuckling analysis of thin-walled channel sections

undergoing local and distortional buckling“, Computers & Structures, 49(3), 507-516, 1993.

[8] Prola LC, Camotim D, “On the distortional post-buckling behavior of cold-formed lipped

channel steel columns”, Proc. SSRC Stability Conference, Seattle, pp. 571-590, 2002.

[9] Camotim D, Silvestre N, “GBT distortional post-buckling analysis of cold-formed steel

lipped channel columns and beams”, Program and Book of Abstracts of 17th ASCE Engineering

Mechanics Conference, 38-39, 2004.

[10] Silvestre N, Camotim D, “Local-plate and distortional post-buckling behavior of cold-

formed steel lipped channel columns with intermediate stiffeners”, Journal of Structural Engineering

(ASCE), Vol. 132, No. 4, pp. 529-540, 2006.

[11] Ungureanu V, Dubina D, “Recent research advances on ECBL approach Part I:

plastic-elastic interactive buckling of cold-formed steel sections”, Thin-Walled Structures, Vol.

42, No. 2, 177-194, 2004.

[12] Yang D, Hancock GJ, “Compression tests of high strength steel columns with

interaction between local and distortional buckling”, Journal of Structural Engineering (ASCE),

Vol. 130, No. 12, 1954-1963, 2004.

[13] Dinis PB, Camotim D, Silvestre N, “FEM-based analysis of the local-plate/distortional

mode interaction in cold-formed steel lipped channel columns”, Computers & Structures, Vol.

85, No. 19-20, 1461-1474, 2007.

[14] Dinis PB, Young B, Camotim D, “On the effect of local/distortional mode interaction on

the post-buckling behaviour and ultimate strength of fixed-ended lipped channel columns”, Proc.

http://www.steel.org/

70

IJSSD Symposium on Progress in Structural Stability and Dynamics, 191-198, Hong Kong,

2009.

[15] Hancock G, Yap D and Yang, “Interaction buckling in high strength cold-formed steel

compression members”, Proc. of 6th International Conference on Steel & Aluminium Structures

(ICSAS’07 Oxford, 24-27/7), R. Beale (ed.), 14-25, 2007.

[16] Silvestre N, Camotim D and Dinis PB, “DSM design of fixed lipped channel columns

against local-plate/distortional interactive buckling”, Proc. of 6th International Conference on

Steel & Aluminium Structures (ICSAS’07 Oxford, 24-27/7), R. Beale (ed.). 752-759, 2007.

[17] Silvestre N, Camotim D, Dinis PB, “Direct strength prediction of lipped channel columns

experiencing local-plate/distortional interaction”, Advanced Steel Construction an International

Journal, Vol. 5, No. 1, 45-67, 2009.

[18] Silvestre N, Camotim D, Young B, “Ultimate strength and design of lipped channel

columns experiencing local-distortional mode interaction, part II: DSM design approach”, Proc.

of 6th International Conference on Advances in Steel Structures (ICASS’09 - Hong Kong, 16-

18/12), S.L. Chan (ed.), 470-479, 2009.

[19] Camotim D, Dinis PB and Silvestre N, “Local/distortional mode interaction in lipped

channel steel columns: post-buckling behaviour, strength and DSM design”, Proc. of 5th

International Conference on Thin-Walled Structures (ICTWS 2008 Brisbane, 18-20/6), 99-114,

2008.

[20] Kwon YB, Kim BS and Hancock GJ, “Compression tests for the high strength cold-

formed steel columns undergoing interaction between local and distortional buckling”, Proc. of

Gregory J Hancock Symposium (Sydney, 25/6), K. Rasmussen, T. Wilkinson (eds.), 13-20,

2008.

[21] Kwon YB, Kim BS, Hancock GJ, “Compression tests of high strength cold-formed steel

channels with buckling interaction”, Journal of Constructional Steel Research, Vol. 65, No. 2,

278-289, 2009

[22] Yapp D, Hancock GJ, “Interaction of local and distortional modes in thin-walled

sections”, Proc. of 6th International Conference on Advances in Steel Structures (ICASS’09

Hong Kong, 16-18/12), S.L.Chan (ed.), 35-48, 2009.

[23] Young B, Camotim D, Silvestre N, “Ultimate strength and design of lipped channel

columns experiencing local-distortional mode interaction, Part I: experimental investigation”,

Proc. of 6th International Conference on Advances in Steel Structures (ICASS’09 Hong Kong,

16-18/12), S.L. Chan (ed.), 460-469, 2009.

[24] Rossi B, Mechanical Properties, “Residual Stresses and Structural Behavior of Thin-

Walled Stainless Steel Profiles”, Ph.D. Thesis, University of Liège, 2009.

71

[25] Dinis PB; Camotim D; Batista E; Santos E, “Local/Distortional/Global Mode Coupling in

Fixed Lipped Channel Columns: Behaviour and Strength”, Advanced Steel Construction - an

International Journal, vol. 7, nº 4, pp. 113-130, 2011.

[26] Chen H, Schafer BW, LaBouble R, Direct Strength Method for Cold-Formed Steel,

Structure Magazine, 2007.

[27] Hancock GJ, Young B, Kwon E and Bernard S, “Strength design curves for thin-walled

sections undergoing distortional buckling”, Journal of Constructional Steel Research 31(2-3),

169-186, 1994.

[28] Schafer BW, Pekoz T, “Direct Strength prediction of cold formed steel members using

elastic buckling solutions”, Thin Walled Structures – Research and development, Elsevier, 137-

144, 1998.

[29] Schafer BW, “Progress on the direct strength method”, Proc. of 16th International

Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures (Orlando, 17-18/10), 647-662, 2002.

[30] Schafer BW, “Cold-formed steel design by the direct strength method: bye-bye effective

width”, Proc. of SSRC Annual Technical Session & Meeting (Baltimore, 2-5/4), 357-377, 2003.

[31] Schafer BW, “Review: the direct strength method of cold-formed steel member design”,

Proc. of International Colloquium on Stability and Ductility of Steel Structures (SDSS 2006

Lisboa, 6-8/9), 2006.

[32] Simulia Inc., Abaqus Standard (version 6.7-5), 2008.

[33] Silvestre N, Camotim D, Dinis PB, “Local/distortional mode interaction in lipped channel

steel columns: post-buckling behaviour, strength and DSM design”, Proc. 5th International

Conference on Thin-Walled Structures - Recent Innovations and Developments (ICTWS 2008),

281-288 (vol. 1), Brisbane, 2008.

[34] Silvestre, N.; Camotim, D.; Dinis, P.B. - “Post-Buckling Behaviour and Direct Strength

Design of Lipped Channel Columns Experiencing Local/Distortional Interaction”, submetido para

publicação, 2011.

[35] Dinis PB, Camotim D, “Local/distortional mode interaction in cold-formed steel lipped

channel beams”, Thin-Walled Structures, Vol. 48, No. 10-11, 771-785, 2010

[36] Silvestre N, Dinis PB, Camotim D, “DSM design of simply supported rack-section

columns against local-distortional interactive buckling”, Proc. 5th International Conference on

Coupled Instabilities in Metal Structures, 417-424, Sydney, 2008.

[37] Martins AP, “Interacção entre Instabilidade Local-de-placa e Distorcional em Vigas de

Aço Enformadas a Frio com Secção em C”, Tese de Mestrado em Engenharia de Estruturas,

IST, Universidade Técnica de Lisboa, 2006.

72

[38] Fena R, Dinis PB, Camotim D, "Interacção Local/Distorcional em Colunas de Aço

Enformadas a Frio com Secção em "Hat", Métodos Numéricos em Engenharia 2011 (CMNE

2011 – Coimbra, 14-17/6), 159, 2011. (artigo completo em Actas em CD-ROM).

[39] Dinis PB, Camotim D, Fena R, "Local Distortional Interaction in Hat section Columns –

Post-buckling behavior, strength and DSM design”, Proc. of 6th European Conference on Steel

and Composite Structures (Eurosteel2011, Budapeste, 31/8-2/9), Vol. A, 69-74, 2011.

[40] Bebiano R, Pina P, Silvestre N, Camotim D, “GBTUL – A GBT-Based Code for Thin-

Walled Member Analysis”, Proc. of 5th Conference on Thin-Walled Structures – Recent

Innovations and Developments (ICTWS 2008 – Brisbane, 18-20/6), Vol. 2, 1173-1180, 2008.

[41] Silvestre N, “Teoria Generalizada de Vigas: Formulações, Implementação Numérica e

Aplicações”. Tese de Doutoramento, Departamento de Engenharia Civil, IST, Universidade

Técnica de Lisboa, 2005.

[42] Hancock GJ, Murray TM, Ellifritt DS, Cold-Formed Steel Structures to the AISI

Specification, Marcel Dekker, New York, 2001.

[43] Duong HM, Hancock GJ “Recent developments in the direct strength design of thin-

walled members”, Thin-Walled Structures: Recent Advances and Future Trends in Thin-Walled

Structures Technology, J. Loughlan (ed.), Canopus Publishing, 43-62, 2004.

[44] North American Specification for the Design of Cold-Formed Steel Structural Members

(AISI-S100-07), American Iron and Steel Institute (AISI), Washington DC, 2007.

[45] Cold-Formed Steel Structures, Standards of Australia and Standards of New Zealand,

Sydney-Wellington, 2005.

[46] Schafer BW, “Review: the direct strength method of cold-formed steel member design”,

Journal of Constructional Steel Research, Vol. 64, No. 7-8, 766-778, 2008.

[47] Yap D, Hancock GJ, “Experimental study of high-strength cold-formed stiffened-web C-

sections in compression”, Journal of Structural Engineering (ASCE), 137(2), 162-172, 2011.

http://apps.isiknowledge.com/full_record.do?product=UA&search_mode=GeneralSearch&qid=3&SID=T1@G66l3bbiCMc67hd3&page=1&doc=1&colname=WOS&cacheurlFromRightClick=no

http://apps.isiknowledge.com/full_record.do?product=UA&search_mode=GeneralSearch&qid=3&SID=T1@G66l3bbiCMc67hd3&page=1&doc=1&colname=WOS&cacheurlFromRightClick=no

73

Anexo

75

A – Dimensões das secções em hat, tensões de bifurcação e estimativas do MRD.

Tabela A.1 – Dimensões das secções em hat, tensões de bifurcação e estimativas do MRD.

GBT AEF MRD

fy LcrL LcrD fE fL fD fU D ⁄ ⁄ ⁄

⁄

H1

bw =

110; b

f=100, t=

1,9

; L=

1760

bs=17,5

150

105 755 567,4 262,2 262,2

145 0,76 150 136 134 134 136 136 1,03 0,94 0,94 0,94

250 213 0,98 216 191 208 191 174 191 1,01 0,90 0,82 0,90

350 245 1,16 270 232 270 227 200 232 1,10 0,95 0,82 0,95

550 275 1,45 363 296 367 279 237 296 1,32 1,08 0,86 1,08

750 303 1,69 444 346 431 310 265 284 1,47 1,14 0,87 0,94

H11 bs =20

150

100 825 549,7 262,9 284,6

147 0,73 150 139 134 134 139 139 1,02 0,95 0,95 0,95

250 225 0,94 216 197 207 190 180 197 0,96 0,88 0,80 0,88

350 274 1,11 270 241 268 226 207 241 0,99 0,88 0,76 0,88

550 276 1,39 364 308 362 276 246 308 1,32 1,12 0,89 1,12

750 278 1,62 444 361 424 307 275 275 1,60 1,30 0,99 0,99

H12 bs =16

150

105 705 578,7 261,5 243,4

142 0,79 150 134 135 135 134 134 1,06 0,94 0,94 0,94

250 203 1,01 216 185 209 191 170 185 1,06 0,91 0,84 0,91

350 223 1,20 270 225 272 228 194 225 1,18 0,99 0,85 0,99

550 269 1,50 363 286 369 280 229 249 1,35 1,06 0,85 0,93

750 302 1,76 444 333 436 312 255 283 1,47 1,10 0,85 0,94

H2

bf =

80;

bs=

10,

t=

1,0

;

L=

2590

bw =95

150

85 595 223,0 103,9 103,9

91 1,20 113 96 113 94 82 96 1,24 1,06 0,90 1,06

250 111 1,55 157 126 156 116 99 106 1,42 1,13 0,89 0,96

350 114 1,84 195 149 181 128 111 122 1,71 1,30 0,97 1,07

550 148 2,30 261 184 196 134 128 145 1,76 1,24 0,87 0,98

750 157 2,69 317 212 196 134 142 163 2,02 1,35 0,90 1,04

H21 bw =88

150

80 585 193,2 114,7 108,2

97 1,18 117 98 108 94 85 98 1,20 1,01 0,87 1,01

250 115 1,52 163 128 145 114 103 108 1,42 1,12 0,89 0,93

350 127 1,80 203 152 164 124 115 122 1,59 1,19 0,91 0,96

550 151 2,25 270 188 169 126 134 145 1,79 1,24 0,88 0,96

750 165 2,63 329 216 169 126 147 162 1,99 1,31 0,89 0,98

H22 bw =105

150

85 595 267,4 89,0 93,0

94 1,27 107 91 119 92 76 91 1,14 0,97 0,81 0,97

250 103 1,64 149 119 169 116 91 99 1,45 1,16 0,88 0,96

350 108 1,94 185 140 202 130 102 113 1,71 1,30 0,95 1,05

550 128 2,43 246 173 233 142 118 135 1,92 1,35 0,92 1,05

750 152 2,84 299 199 235 143 130 151 1,97 1,31 0,86 1,00

76

GBT AEF MRD


⁄

H3

bf =

80; b

s=

10, t=

1,5

; L=

1150

bw =114

150

90 500 1451,2 172,0 172,0

126 0,93 133 119 144 129 110 119 1,06 0,94 0,87 0,94

250 162 1,21 187 160 233 179 136 160 1,16 0,99 0,84 0,99

350 190 1,43 234 191 316 219 154 191 1,23 1,01 0,81 1,01

550 234 1,79 313 240 469 283 180 219 1,34 1,02 0,77 0,94

750 277 2,09 382 278 604 332 200 251 1,38 1,00 0,72 0,91

H31 bw =120

150

100 505 1583,1 157,1 167,5

124 0,95 129 117 144 126 107 117 1,04 0,95 0,86 0,95

250 158 1,22 182 158 234 174 132 158 1,15 1,00 0,83 1,00

350 186 1,45 226 189 319 213 150 189 1,22 1,01 0,80 1,01

550 230 1,81 303 236 476 276 175 222 1,32 1,03 0,76 0,97

750 262 2,12 369 274 615 325 194 256 1,41 1,05 0,74 0,98

H32 bw =106

150

90 495 1277,4 194,4 180,8

128 0,91 139 121 143 134 115 121 1,08 0,94 0,90 0,94

250 168 1,18 195 163 230 185 142 163 1,16 0,97 0,85 0,97

350 196 1,39 244 196 312 226 161 196 1,24 1,00 0,82 1,00

550 241 1,74 327 246 459 291 189 227 1,36 1,02 0,78 0,94

750 279 2,04 399 285 587 341 210 260 1,43 1,02 0,75 0,93

H4

bw=

100, b

s=

10, t=

2,4

; L

=620

bf =55

150

85 310 3342,1 589,0 590,8

150 0,50 150 150 147 147 150 150 1,00 1,00 1,00 1,00

250 248 0,65 250 243 242 242 243 243 1,01 0,98 0,98 0,98

350 341 0,77 350 315 335 335 315 315 1,03 0,92 0,92 0,92

550 464 0,96 478 424 513 456 389 424 1,03 0,91 0,84 0,91

750 539 1,13 588 509 683 553 442 509 1,09 0,94 0,82 0,94

H41 bf =50

150

85 290 3137,1 598,1 625,4

150 0,49 150 150 147 147 150 150 1,00 1,00 1,00 1,00

250 248 0,63 250 246 242 242 246 246 1,01 0,99 0,99 0,99

350 343 0,75 350 320 334 334 320 320 1,02 0,93 0,93 0,93

550 483 0,94 481 434 511 457 398 434 0,99 0,90 0,82 0,90

750 560 1,10 591 522 679 553 453 522 1,06 0,93 0,81 0,93

H42 bf =60

150

85 320 3513,5 581,2 558,9

149 0,52 150 150 147 147 150 150 1,01 1,01 1,01 1,01

250 246 0,67 250 241 243 243 241 241 1,02 0,98 0,98 0,98

350 333 0,79 350 310 336 336 310 310 1,05 0,93 0,93 0,93

550 443 0,99 476 415 515 455 380 415 1,07 0,94 0,86 0,94

750 517 1,16 586 497 686 552 431 497 1,13 0,96 0,83 0,96

77

GBT AEF MRD


⁄

H5

bw=

180, b

s=

10, t=

1,9

; L=

1030

bf =110

150

150 590 4401,6 113,1 113,1

104 1,15 116 100 148 115 86 100 1,12 0,96 0,83 0,96

250 133 1,49 162 131 244 160 104 131 1,22 0,99 0,78 0,99

350 158 1,76 201 155 339 197 117 155 1,28 0,98 0,74 0,98

550 198 2,21 269 192 522 260 136 192 1,36 0,97 0,69 0,97

750 233 2,58 327 222 698 313 150 222 1,40 0,95 0,64 0,95

H51 bf =130

150

160 650 4735,7 108,8 100,0

94 1,22 115 95 148 114 81 95 1,22 1,01 0,86 1,01

250 120 1,58 160 123 245 158 98 123 1,33 1,03 0,82 1,03

350 143 1,87 199 146 339 195 110 145 1,39 1,02 0,77 1,01

550 181 2,35 265 180 524 257 127 179 1,46 0,99 0,70 0,99

750 213 2,74 322 207 702 309 140 206 1,51 0,97 0,66 0,97

H52 bf =90

150

145 510 3883,1 116,4 124,3

114 1,10 117 104 148 116 90 104 1,03 0,91 0,79 0,91

250 147 1,42 164 137 243 199 109 137 1,11 0,93 0,74 0,93

350 160 1,68 204 163 337 262 123 163 1,27 1,02 0,77 1,02

550 219 2,10 272 202 518 314 143 202 1,24 0,92 0,65 0,92

750 254 2,46 331 233 692 692 158 233 1,30 0,92 0,62 0,92

H6

bf =

80; b

s=

12, t=

1,5

; L=

1590

bw =100

150

90 555 586,4 211,5 211,5

135 0,84 142 128 135 132 123 128 1,06 0,95 0,91 0,95

250 185 1,09 201 175 209 178 154 175 1,09 0,95 0,83 0,95

350 201 1,29 251 211 273 213 175 211 1,25 1,05 0,87 1,05

550 240 1,61 337 266 371 261 207 236 1,40 1,11 0,86 0,98

750 271 1,88 411 310 439 291 230 270 1,52 1,14 0,85 1,00

H61 bw =105

150

90 560 641 197,7 208,4

133 0,85 139 127 136 130 121 127 1,05 0,96 0,91 0,96

250 181 1,10 197 174 212 176 151 174 1,09 0,96 0,83 0,96

350 197 1,30 245 209 278 211 172 209 1,25 1,06 0,87 1,06

550 241 1,62 329 264 384 261 203 233 1,36 1,10 0,84 0,97

750 264 1,90 401 308 460 293 225 266 1,52 1,16 0,85 1,01

H62 bw =95

150

85 550 1277,4 232,2 215,4

136 0,83 147 128 133 133 127 128 1,08 0,94 0,93 0,94

250 186 1,08 207 176 205 182 158 176 1,11 0,95 0,85 0,95

350 206 1,27 259 213 266 216 180 213 1,26 1,03 0,87 1,03

550 245 1,60 348 269 357 263 212 236 1,42 1,10 0,87 0,96

750 271 1,87 425 313 416 290 236 269 1,57 1,15 0,87 0,99

Média 1,27 1,03 0,84 0,97

Desvio Padrão 0,25 0,11 0,08 0,05

Rui Pedro Trindade Fena - ULisboa...INTERACÇÃO ENTRE INSTABILIDADE LOCAL E DISTORCIONAL EM COLUNAS...

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