Árvores B+ de busca

MC202 - Estrutura de dados

Alexandre Xavier Falcão (afalcao@ic.unicamp.br)

Alan Zanoni Peixinho (peixinho@liv.ic.unicamp.br)

Thiago Vallin Spina (tvspina@ic.unicamp.br)

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Árvores B+

• Variante da á rvore B que permite acesso sequencial mais eficiente aos registros

• Desenvolvida pensando em buscas por range de elementos em bancos de dados

• Exemplo: retorne todos os registros com chave entre 20 e 100

• Bastante utilizada para implementação de sistemas de arquivo (e.g., NTFS)

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Árvores B+: Características

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• Mesmos princípios da ávore B, com as seguinte diferenças:1. Os nós internos não contém dados secundários dos registros, apenas as

chaves2. Apenas as folhas cont é m os dados dos registros ou ponteiros para os

mesmos em disco (RRNs) e, por consequência, as chaves em nós internos são replicadas nas folhas

3. As folhas s ã o interconectadas via uma lista (possivelmente duplamente) ligada

• Exemplo:

Árvores B+: Operações

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• As operações de busca, inserção e remoção são efetuadas de modo similar à arvores B

• Uma busca por range de chaves é simplificada à encontrar a primeira chave de interesse, seguida por uma operação de busca linear na lista ligada de folhas

• Exemplo: Retorne todos os registros entre [4, 7]3 5

1 2 3 4 5 6 7

Árvores B+: Inserção

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• Visto que todas as chaves devem existir tanto em nó interno quanto em nó folha, ao ocorrer uma divisão de nó a chave mediana deve ser copiada para o novo nó pai e mantida no novo nó folha

• Lembramos que inserções sempre ocorrem em folhas

• Exemplo:– Insira 4

1 2 3 3

3 41 2

Árvores B+: Remoção

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• Durante remoções, temos dois casos básicos:1. A chave a ser removida está em um nó folha: basta executar a remoção

normalmente2. A chave a ser removida est á em um n ó interno: como ela deve ser

substituída por seu antecessor, basta buscá-lo em seu filho esquerdo, fazer a substituição e depois chamar a função de remoção recursivamente para a subárvore à direita, tratando underflow como em árvores B

• Exemplo: – Remova 3

1 2 43

3 41 2

2

3 41

Árvores B+: Exemplo

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• Considere a seguinte á rvore B+ que guarda em disco registros cujas chaves s ão nomes

• Dado que v á rios nomes possuem um prefixo em comum (e.g., FOLK e FOLKS), podemos guardar a árvore de modo mais eficaz visando reduzir o espaço que ela ocupa

Exemplo: Árvores B+ com prefixo simples

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• O conceito de separador do tipo prefixo simples permite aumentar o n ú mero de separadores (ponteiros) por nó da árvore, reduzindo sua altura

• O prefixo simples que separa um bloco do anterior é a cadeia de caracteres mais curta que diferencia a última chave do bloco anterior da primeira do bloco atual

Árvores B+ com prefixo simples: Remoção

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• Se removermos os registros com chaves EMBRY e FOLKS, os separadores continuam válidos

Árvores B+ com prefixo simples: Remoção

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• Ao remover FOLKS, o prefixo FR seria mais apropriado, contudo, se a á rvore for mantida em disco o custo de atualização da mesma pode não compensar

• Logo, vale a pena manter a chave FOLKS ainda que não esteja presente na árvore

Árvores B+ com prefixo simples: Exemplos com mudanças

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• Mudan ç as nos separadores/prefixos podem acontecer sempre que ocorre divis ão durante inserções ou redistribuição/união durante remoções

• Exemplo: Inserção de registro com chave AYERS na árvore original causa criação de AY

Árvores B+ com prefixo simples: Exemplos com mudanças

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• Mudan ç as nos separadores/prefixos podem acontecer sempre que ocorre divis ão durante inserções ou redistribuição/união durante remoções

• Exemplo: Remoção de registro com chave CAMP causa eliminação de CAM

Árvores B+ com prefixo simples: Estrutura dos nós

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• Cada nó da árvore bem como os elementos do conjunto de sequências são blocos de tamanho fixo em disco

• Para facilitar a indexação em disco, os blocos devem ter o mesmo tamanho em ambas estruturas, porém os separadores são de tamanho variável

• Em vez de um vetor de chaves/separadores, usa-se uma única cadeira de caracteres para armazenar os separadores e um vetor de índices inteiros com a posição relativa dos separadores

• O n ú mero atual de separadores e o vetor de endere ç os dos filhos tamb é m s ão armazenados

• A busca (binária) é feita através do vetor de índices e como a única limitação é o tamanho do bloco, a árvore B tem ordem variável por nó

Árvores B e B+: Variantes

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• Uma variante comum das á rvores B e B+, denominada á rvore B*, mantém cada nó com pelo menos 2/3 de chaves

• Logo, os tratamentos de overflow e underflow são executados assim que essa condição é violada, podendo até mesmo copiar mais de uma chave por vez dos n ó s irm ã os para manter a estrutura consistente, quando possível

• Exemplo:

Árvores B e B+: Variantes

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• Uma possível mudança em todos os casos é guardar as chaves (e ponteiros para filhos) como uma árvore binária em cada nó, ao invés de utilizar um vetor, visando agilizar os tratamentos de overflow e underflow na hora de copiá-las/removê-las