S eries de Tempo - José Fajardo · 2011-08-17 · Objetivos Modelagem de Box, Jenkins e Reinsel...

Series de Tempo

Jose Fajardo

Fundacao Getulio Vargas-EBAPE

Agosto 2011

Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Estacionarios Agosto 2011 1 / 58

Objetivos

170

Forecasting

Data summary Graphical analysis

Identification of lag structure

Estimation

Diagnostic checking


Objetivos

Modelagem de Box, Jenkins e Reinsel (1994) para series temporaisunivariadas estacionarias:

1 Identificar as ordens p e q do modelo.

2 Estima-lo.

3 Verificar se resıduos estimados sao um ruıdo branco. Se nao rejeitam,passa-se ao proximo passo. Se rejeitam, retorna-se ao primeiro passo.

4 Prever.

Se uma serie for considerada nao estacionaria, deve ser diferenciada.

Qualquer processo estacionario, mesmo nao sendo linear, tem umarepresentacao linear.

Implicacao: pode-se decompor um processo estacionario qualquer emdois componentes lineares, um determinıstico e um estocastico =Teorema de Wold.


Teorema de Wold

De acordo com Priestley (1981) e Perron (1990), o teorema de Wold e oseguinte:

Theorem

Considere um processo estacionario qualquer, yt . Tal processo pode serrepresentado por dois processos mutuamente nao correlacionados, umpuramente determinıstico, outro puramente estocastico, e que pode serescrito como um MA (∞):

yt = ut + dt ,

em que

1 ut e dt nao sao correlacionados;


Teorema de Wold: continuacao

Theorem

2 ut e regular, sendo representado por:

ut =∞

∑s=0

ψs εt−s ,

ψ0 = 1;∞

∑s=0

ψ2s < ∞; εt ∼ RB

(0, σ2

),

sendo que E (εsdt) = 0, ∀s, t. Alem disso, a sequencia {ψs}∞s=0 e o

processo {εt} sao unicamente determinados.

3 dt e singular no sentido de que pode ser previsto a partir do seuproprio passado com variancia de predicao nula.


Funcao de Autocorrelacao - FAC

FAC: grafico da autocorrelacao contra a defasagem.A funcao de autocorrelacao permitira identificar a ordem q de umprocesso MA.

Modelo FAC

MA (q) ρj =θj+θj+1θ1+θj+2θ2+···+θqθq−j

∑qj=0 θ2

j, j = 1, 2, . . . , q

AR (1) ρj = φj , j = 1, 2, . . . .

AR (p) ρj = φ1ρj−1 + φ2ρj−2 + · · ·+ φpρj−p, j = 1, 2, . . .

ARMA (1, 1)

ρ1 =

(1+φ1θ1)(φ1+θ1)

1+θ21+2φ1θ1

ρj = φ1ρj−1 = φj−11 ρ1, j > 1.


Funcao de Autocorrelacao - FAC: continuacao

A Figura 1 mostra o grafico das observacoes amostrais de modelossimulados.

Figura: MA (2): θ1 = 0, 8, θ2 = 0, 9; AR (2): φ1 = −0, 5, φ2 = 0, 4; ARMA(1, 1): φ = θ = 0, 9.


Funcao de Autocorrelacao Parcial - FACP

Considere um AR (1). Ha uma correlacao implıcita entre yt e suasdefasagens, evidenciado no decaimento exponencial da FAC.

Mas, qual e a correlacao pura entre yt e suas defasagens? Para obterisso, e preciso filtrar as correlacoes.

Como? Gerando a funcao de autocorrelacao parcial, FACP, pela qualeliminam-se as correlacoes implıcitas entre duas observacoes.

Formalmente, a funcao de autocorrelacao parcial e o grafico de φj ,j contraj estimado a partir das seguintes regressoes em que a serie original temsua media subtraıda:

yt = φj ,1yt−1 + φj ,2yt−2 + · · ·+ φj ,j yt−j + et , j = 1, 2, . . . ,

em que et e um erro.


Funcao de Autocorrelacao Parcial - FACP: continuacao

O que deve acontecer teoricamente, por exemplo, num modelo AR(2)? Os coeficientes obtidos a partir de j > 2 deverao ser iguais azero.

Genericamente, em um AR (p) encontrar-se-ao coeficientes diferentesde zero ate φp,p, e estatisticamente iguais a zero a partir de entao.

Num MA (q), dada a condicao de invertibilidade que torna esseprocesso um AR (∞), pode-se mostrar que os coeficientes φj ,j

decaem. Quando se tem um modelo ARMA (p, q), ha decaimento apartir da defasagem p, cuja configuracao depende da magnitude dosparametros.

Remark

Na pratica, Enders (2009) sugere calcular a funcao de autocorrelacaoparcial ate j = T

4 , em que T e o tamanho da amostra.


Funcao de Autocorrelacao Parcial - FACP: continuacao

A Figura 2 mostra o grafico das observacoes amostrais de modelossimulados.

Figura: MA (2): θ1 = 0, 8, θ2 = 0, 9; AR (2): φ1 = −0, 5, φ2 = 0, 4; ARMA(1, 1): φ = θ = 0, 9.


Testes para identificacao do ARMA(p, q)

A FAC define a defasagem do MA. A FACP define a defasagem doAR.

Por que? No primeiro caso, a FAC decai com o aumento dedefasagens, e a funcao de autocorrelacao parcial e truncada a partirda defasagem p.

No segundo caso, a funcao de autocorrelacao e truncada nadefasagem q, e a funcao de autocorrelacao parcial decai.

No caso de uma ARMA (p, q), ambas as funcoes decaem a partir dadefasagem de truncagem.

O padrao de decaimento oscila, exceto para os casos MA(1) e AR(1).

Modelo FAC FACP

AR (p) Decai Truncada na defasagem pMA (q) Truncada na defasagem q Decai

ARMA (p, q) Decai se j > q Decai se j > p


Estimando a FAC

1 Obtenha a media amostral da serie yt :

y =∑T

t=1 yt

T.

2 Calcule a autocorrelacao amostral:

ρj : ρj =∑T

t=j+1(yt−y )(yt−j−y )T

∑Tt=1(yt−y )2

T

, j = 1, 2, . . .

3 Trace o grafico de ρj contra j .4 Em grandes amostras, a variancia das estimativas para um ruıdo

branco pode ser aproximada por T−1 (aproximacao de Bartlett).5 Para o MA (q), a variancia pode ser aproximada por

T−1(

1 + 2 ∑j−1s=1 ρ2

s

), para j > q. Ha softwares que aproximam ρs

por ρs . Outros pacotes usam o intervalo do ruıdo branco mesmo. Arejeicao da nula H0 : ρj = 0 sob o intervalo de um ruıdo brancopoderia ser falsa se o intervalo correto fosse calculado.


Estimando a FAC: continuacao

Para a FACP, a variancia de φj ,j tambem e dada por T−1 para umAR (p), quando j > p. Assim, se a estimativa estiver entre dois

desvios padrao, ±2T−12 , nao se rejeita a hipotese nula de coeficiente

igual a zero.

Necessita-se dos verdadeiros valores de ρj para calcular o intervalo deconfianca. Por isso, o procedimento para a identificacao de modelosARMA deve ser usado apenas como uma regra de bolso.

A aproximacao de Bartlett para amostras limitadas nao e muito boa.O mesmo ocorre com a funcao de autocorrelacao parcial.


Teste de Ljung-Box

Hipoteses: H0 : ∑nj=1 ρj = 0 × H1 : ∑n

j=1 ρj 6= 0.Estatıstica:

Q = T (T + 2)n

∑j=1

ρ2j

T − j

d→ χ2n,

em qued→ χ2

n indica convergencia em distribuicao.

Se uma das autocorrelacoes for diferente de zero, ha evidencia deexistencia de um modelo ARMA (p, q).

Se estimado o modelo, e os resıduos obtidos nao apresentarem maisevidencia de autocorrelacao usando essa estatıstica, o modelo estarabem estimado.

Na pratica: Identifica-se o modelo por meio da FAC e FACP; depoisusa-se a estatıstica de Ljung-Box sobre os resıduos estimados. Se anula e rejeitada, adicionam-se novas defasagens e repete-se o processode verificacao de resıduos.


Criterio de informacao

Metodo alternativo de identificar um ARMA(p, q).

Para cada regressor adicional, a soma dos quadrados dos resıduos naovai aumentar e pode diminuir. Mas, a reducao se da as custas demais regressores.

Ideia: balancear a reducao dos erros e o aumento do numero deregressores.

O criterio de informacao associa uma penalidade ao aumento donumero de regressores. Se a penalidade for menor do que adiminuicao da soma de resıduos, o regressor adicional deve serincorporado ao modelo.

O criterio de informacao minimiza uma funcao baseada nos resıduos,penalizada pelo numero de regressores.

Alem disso, e comum dois ou mais modelos possıveis gerando resıduoscujos testes indiquem ser um ruıdo branco. O melhor modelo sera omais parcimonioso. Por que? O modelo com menor numero deparametros devera gerar menos imprecisao de estimativas.


Criterio de informacao: continuacao

A especificacao geral tem a seguinte forma:

C = ln σ2 (T ) + cT ϕ (T ) ,

em queσ2 (T ) = T−1 ∑T

t=1 ε2t e a variancia estimada dos resıduos;

cT representa o numero de parametros estimados;ϕ (T ) e a ordem do processo, que penaliza a falta de parcimonia.

O numero de observacoes, T , e invariante ao numero de parametrosestimados, logo e necessario comparar series com o mesmo numero deobservacoes.


Principais criterios

1 Estatıstica de Schwarz, BIC (Bayesian Information Criterion), SBC(Schwarz Bayesian Criterion) ou SIC (Schwarz Info Criterion):

SIC (p, q) = ln σ2 + nln T

T,

em que n = p + q, se o modelo nao tem constante, e n = p + q + 1,se ha constante no modelo.

2 Estatıstica de Akaike, AIC (Akaike Information Criterion):

AIC (p, q) = ln σ2 + n2

T.

3 Estatıstica de Hannan-Quinn, HQ:

HQ (p, q) = ln σ2 + n2

Tln ln T .


Principais criterios: continuacao

Quanto mais parametros forem estimados no mesmo perıodo daamostra, menor sera o erro estimado, mas isso sera penalizado nasegunda parcela da estatıstica. Por isso, deseja-se o menor AIC , HQou SIC possıvel.

SIC e consistente assintoticamente, tendendo a escolher um modelomais parcimonioso do que o AIC.

o HQ tambm e consistente assintoticamente, porm menos forte queo SIC.

AIC funciona melhor em pequenas amostras.

Os resultados valem tanto para processos estacionarios quanto paraprocessos integrados (Lutkepohl e Kratzig, 2004).

De forma geral, se T ≥ 16:

AIC ≤ HQ ≤ SIC .


ESTIMACAO CONDICIONAL

Vantagem: facil especificar e de estimar a funcao de verossimilhanca.

Desvantagem: nao e tao eficiente quanto o metodo exato, sobretudopara pequenas amostras.

Assume-se distribuicao normal ou t-student e procura-se estimar o

vetor de parametros Ψ =(

c , φ1, φ2, . . . , φp; θ1, θ2, . . . , θq

).


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UM AR (p)

Ideia: usar as p primeiras observacoes como valores iniciais paramaximizar a funcao de verossimilhanca:

l (Ψ) =T

∑t=p+1

ln f (yt |yt−1, yt−2, . . . , y1; Ψ) =

= −T − p

2ln(2πσ2

)−

T

∑t=p+1

(yt − c −∑pi=1 φi yt−i )

2

2σ2.

Necessario que as raızes de φ (L) estejam fora do cırculo unitario.


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UM AR (1)

FOC:

[c ] :T

∑t=2

(yt − c − φ1yt−1)

σ2= 0 =⇒ c =

∑Tt=2 yt

T − 1− φ1

∑Tt=2 yt−1

T − 1.

[φ1] :T

∑t=2

(yt − c − φ1yt−1) yt−1

σ2= 0 =⇒

φ1 =∑T

t=2 ytyt−1 − c ∑Tt=2 yt−1

∑Tt=2 y 2

t−1

.

[σ2]

: −T − 1

2σ2+

T

∑t=2

(yt − c − φ1yt−1)2

2σ4= 0 =⇒ σ2 =

T

∑t=2

ε2t

T − 1.


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UM AR (1):continuacao

Substituindo a primeira equacao na segunda e resolvendo:

φ1 =∑T

t=2 ytyt−1 −(

∑Tt=2 yt

T−1 − φ1∑T

t=2 yt−1

T−1

)∑T

t=2 yt−1

∑Tt=2 y 2

t−1

=

=∑T

t=2 ytyt−1 − ∑Tt=2 yt ∑T

t=2 yt−1

T−1

∑Tt=2 y 2

t−1 −(∑T

t=2 yt−1)2

T−1

=

∑Tt=2 yt yt−1

T−1 − ∑Tt=2 yt ∑T

t=2 yt−1

(T−1)2

∑Tt=2 y2

t−1

T−1 −(

∑Tt=2 yt−1

T−1

)2=

=cov (yt , yt−1)

var (yt−1).

Estimador da variancia:

σ2 =T

∑t=2

ε2t

T − 16=

T

∑t=2

ε2t

T − 2= s2.


Exemplo: IPCA

Modelo estimado:

yt = µ + ut ;

ut = φut−1 + εt .

Note que o modelo pode ser sintetizado num AR (1) da seguinte forma:

yt = µ + φut−1 + εt .

Como ut−1 = yt−1 − µ, tem-se:

yt = µ + φ (yt−1 − µ) + εt =

= µ (1− φ) + φyt−1 + εt = c + φyt−1 + εt .

Como µ = c1−φ , e claro que µ (1− φ) = c .


Exemplo: IPCA - continuacao

IPCAt = 0, 613(0,130)

+ ut ;

ut = 0, 801(0,049)

ut−1 + εt .

σ = 0.311

A serie original tem 149 observacoes. Na regressao, foram utilizadas148.

A inflacao de longo prazo esta em torno de 0, 61% ao mes.

O coeficiente do AR (1), φ, indica consideravel inercialidade.

Desvio padrao dos coeficientes foi ajustado para heterocedasticidade eautocorrelacao.


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UM MA (1)

yt = εt + θεt−1.

Fixam-se os valores iniciais dos erros a sua esperanca incondicional:ε0 = 0. Erros em funcao da variavel observada:

ε1 = y1 − θε0 = y1;

ε2 = y2 − θε1 = y2 − θy1;

ε3 = y3 − θε2 = y3 − θ (y2 − θy1) ;

...

εt =t−1

∑i=0

(−θ)i yt−i .

A funcao de verossimilhanca condicional a maximizar:

l (Ψ) = −T

2ln 2πσ2 − 1

2σ2

T

∑t=1

(t−1

∑i=0

(−θ)i yt−i

)2


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UM MA (q)

Fixando os valores iniciais por:

ε0 = ε−1 = · · · = ε−q+1 = 0.

Assumindo invertibilidade, a funcao de verossimilhanca condicional e dadapor:

T

∑t=1

ln f (yt , yt−1, . . . , y1 |ε0 = 0 ; Ψ) = −T

2ln 2πσ2 −

T

∑t=1

ε2t

2σ2.

O problema do metodo e quando as raızes da polinomial estao proximasdo cırculo unitario.


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UMARMA (p, q)

Assume-se que os erros iniciais sejam nulos, de forma queε0 = ε−1 = · · · = ε−q+1 = 0.

O componente auto-regressivo pode ser condicionado de duas formas.Ou fixa-se y0 = y−1 = · · · = y−p+1 = y , que e sua media temporal, einicia-se a estimacao usando a amostra toda, calculam-se os resıduos:

εt = yt − c −p

∑i=1

φi yt−i −q

∑j=1

θj εt−j , t = 1, 2, . . . , T ,

e maximiza-se:

ln f (yT , yT−1, . . . , y1 |y0, ε0 ; Ψ) = −T

2ln 2πσ2 −

T

∑t=1

ε2t

2σ2.


FUNCAO DE VEROSSIMILHANCA PARA UMARMA (p, q): continuacao

Ou assume-se os valores iniciais de y como sendo os valores observados.Nesse caso, inicia-se a estimacao em t = p + 1. E recomendado por Box,Jenkins e Reinsel (1994):

εp = εp−1 = · · · = εp−q+1 = 0

e maximiza-se:

ln f (yT , yT−1, . . . , y1 |yp, yp−1, . . . , y1, εp = εp−1 = · · · = εp−q+1 = 0 ; Ψ)

= −T − p

2ln 2πσ2 −

T

∑t=p+1

ε2t

2σ2.


Inferencia

Pode-se demonstrar que a distribuicao de estimador de maximaverossimilhanca, para T suficientemente grande, e dada por:

Ψ−Ψ0 ∼ N(

0, (TI)−1)

,

em queΨ e o parametro estimado;Ψ0 e o verdadeiro parametro;I e a matriz de informacao, que pode ser estimada de duas formasdistintas.


Inferencia: segunda derivada da funcao delog-verossimilhanca

Jdd=− T−1 ∂l (Ψ)

∂Ψ∂Ψ′

∣∣∣∣Ψ=Ψ

.

Com isso, tem-se que

E(

Ψ−Ψ0

) (Ψ−Ψ0

)′' −

(TT−1 ∂l (Ψ)

∂Ψ∂Ψ′

∣∣∣∣Ψ=Ψ

)−1

=

=

(− ∂l (Ψ)

∂Ψ∂Ψ′

∣∣∣∣Ψ=Ψ

)−1

.


Inferencia: FOC da funcao de log-verossimilhanca

A outra estimativa e dada usando as proprias FOC:

Jfoc=T−1T

∑t=1

gt

(Ψ)· gt

(Ψ)′

,

em que

g(

Ψ)= ∂ ln f (yt |yt−1,yt−2,...,y1;Ψ)

∂Ψ .

Com isso, tem-se que

E(

Ψ−Ψ0

) (Ψ−Ψ0

)′'

[TT−1

T

∑t=1

gt

(Ψ)· gt

(Ψ)′]−1

=

=

[T

∑t=1

gt

(Ψ)· gt

(Ψ)′]−1

.


MATRIZ DE INFORMACAO A PARTIR DO HESSIANO

Repetem-se as FOC do AR(1):

[c ] :∂l (Ψ)

∂c=

T

∑t=2

(yt − c − φ1yt−1)

σ2.

[φ1] :∂l (Ψ)

∂φ1

=T

∑t=2

(yt − c − φ1yt−1) yt−1

σ2.

[σ2]

:∂l (Ψ)

∂σ2= −T − 1

2σ2+

T

∑t=2

(yt − c − φ1yt−1)2

2σ4.


MATRIZ DE INFORMACAO A PARTIR DO HESSIANO:continuacao

A ideia agora em encontrar∂2l(Ψ)∂Ψ∂Ψ′ . Lembrando que na amostra ha T − 1

observacoes, isto e dado por:

(T − 1)Jdd = − ∂l (Ψ)

∂Ψ∂Ψ′

∣∣∣∣Ψ=Ψ

= −

∂2l(Ψ)

∂c2∂2l(Ψ)∂c∂φ

∂2l(Ψ)∂c∂σ2

∂2l(Ψ)∂φ∂c

∂2l(Ψ)∂φ2

∂2l(Ψ)∂φ∂σ2

∂2l(Ψ)∂σ2∂c

∂2l(Ψ)∂σ2∂φ

∂2l(Ψ)∂σ4

=

=1

σ2

T − 1 ∑Tt=2 yt−1 ∑T

t=2εtσ2

∑Tt=2 yt−1 ∑T

t=2 y 2t−1 ∑T

t=2εt yt−1

σ2

∑Tt=2

εtσ2 ∑T

t=2εt yt−1

σ2 −T−12σ2 + ∑T

t=2ε2

tσ4

.


Inferencia: segunda derivada da funcao delog-verossimilhanca

Para o caso do exemplo do IPCA em que

Ψ =(

c , φ1, σ2)= (0, 1217; 0, 8014; 0, 0967):

(T − 1)Jdd =

1529.7818 989.6186 0.0021989.6186 1064.3654 0.0033

0.0021 0.0033 7906.1909

.

Invertendo essa matriz:

[(T − 1)Jdd ]−1 = 10−3

1. 640 3 −1. 525 1 0.000−1. 525 1 2. 357 5 0.000

0.000 0.000 0.1 265

Com as estimativas da diagonal principal, pode-se calcular o desvio-padrao

das estimativas de(

c , φ1, σ2)

, que sao:

Ψ =(

c , φ1, σ2)= (0, 041; 0, 049; 0, 0112).


MATRIZ DE INFORMACAO A PARTIR DA FOC

gt =1

σ2

[εt εtyt−1

ε2t

2σ2 − 12

]′.

Logo

(T − 1)Jfoc =T

∑t=2

gt

(Ψ)· gt

(Ψ)′

=

=1

σ4

T

∑t=2

εt

εtyt−1ε2

t

2σ2 − 12

[ εt εtyt−1ε2

t

2σ2 − 12

]=

=1

σ4

T

∑t=2

ε2

t ε2t yt−1

ε3t

2σ2 − εt2

ε2t yt−1 ε2

t y 2t−1

ε3t yt−1

2σ2 − εt yt−1

2

ε3t

2σ2 − εt2

ε3t yt−1

2σ2 − εt yt−1

2

(ε2

t

2σ2 − 12

)2

.


MATRIZ DE INFORMACAO A PARTIR DA FOC:continuacao

Para o caso do exemplo do IPCA em que

Ψ =(

c , φ1, σ2)= (0, 1217; 0, 8014; 0, 0967), essa matriz fica:

(T − 1)Jfoc =

1529.78 1501.32 2728.041501.32 2035.49 3547.422728.04 3547.42 28613.59

.

Invertendo a matriz:

[(T − 1)Jfoc ]−1 = 10−3

2.370 −1.728 −0.012−1.728 1.886 −0.069−0.012 −0.069 0.045

Com as estimativas da diagonal principal, pode-se calcular o desvio-padrao

das estimativas de(

c , φ1, σ2)

, que sao:

σ(

Ψ)= σ

(c, φ1, σ2

)= (0, 049; 0, 043; 0.007).


DIAGNOSTICO DE RESIDUOS

Os resıduos devem-se comportar como um ruıdo branco.

As FAC e FACP dos resıduos nao devem ter memoria.

Se a hipotese nula e rejeitada, isso implica dizer que ha informacaoainda nao captada pelo econometrista.

Ante a rejeicao da nula, testam-se outras possibilidades, ate que seencontre um modelo cujos resıduos sejam um ruıdo branco.

A recomendacao usual e utilizar os testes ja apresentados sobre osresıduos tambem.


DIAGNOSTICO DE RESIDUOS: continuacao

Por que a nao rejeicao da nula de nao-autocorrelacao dos resıduos viaFAC, FACP e Ljung-Box pode-se dizer que os resıduos comportam-secomo um ruıdo branco?

Tais testes foram designados para series observadas. O intervalo deconfianca de series estimadas e maior do que realmente e calculado.Logo, se a nula nao e rejeitada sob a hipotese de series observadas,com maior razao nao se rejeita a nula com as series estimadas.

Por outro lado, pode-se cometer erro do tipo 1. Para minimizar esseproblema, deve-se olhar para o Ljung-Box.

Rejeitando a nula pelo Ljung-Box, um conselho pratico e olhar para aFAC e a FACP.


TESTE DE NORMALIDADE

Grafico da densidade: eixo horizontal esta o intervalo de valores e novertical, a frequencia:

fh (ε) =∑T

t=1 K(

ε−εst

h

)Th

,

em queh e a largura da janela ou parametro de suavizacao;K (·) e a funcao kernel, tipicamente uma funcao densidade deprobabilidade simetrica ao redor de zero;

εst =

εt−εtσ e o resıduo padronizado.


TESTE DE NORMALIDADE: continuacao

A funcao Kernel suaviza os pontos observados, atribuindo menos pesonos erros mais distantes do ponto sob avaliacao. Alguns tipos defuncao K :

Kernel K (u)

Gaussianaexp(− ε2

2

)√

2π

Biponderada 1516

(1− ε2

)2I (|ε| < 1)

Triangular (1− |ε|) I (|ε| < 1)

Epanechnikov34

(1− ε2

5

)√

5I(|ε| <

√5)


TESTE DE NORMALIDADE: continuacao

O Kernel nao altera significativamente a funcao densidade.Crucial, quanto maior h, mais suave sera a funcao. Silverman

recomenda o seguinte: h = 0,95√T

min(

σ, distancia entre quartis1,34

).

Example

Na Figura 3 dos resıduos, o kernel e triangular:

Figura: Kernel triangularJose Fajardo (FGV-EBAPE) Processos Estacionarios Agosto 2011 41 / 58

TESTE DE JARQUE-BERA

Verificar se os momentos da serie estimada sao iguais aos da normal:

H0 : E (εst )

3 = 0∧ E (εst )

4 = 3

v .s.

H1 : E (εst )

3 6= 0∨ E (εst )

4 6= 3.

Para implementa-lo, usa-se a estatıstica:

JB =T

6

[∑T

t=1 (εst )

3

T

]2

+T

24

[∑T

t=1 (εst )

4

T− 3

]2d→ χ2

2.

A rejeicao da hipotese nula indica nao-normalidade, porem anao-rejeicao nao indica normalidade.


TESTE DE LM

Tambem conhecido como teste de Breusch-Godfrey:

εt = β1 εt−1 + β2 εt−2 + · · ·+ βh εt−h + ut .

Teste:

H0 : β1 = β2 = · · · = βh = 0

×H1 : β1 6= 0, ou β2 6= 0, ou · · · ou βh 6= 0.

tal que

LMh = T × R2 d→ χ2h.


TESTE DE ARCH-LM

Identifica sinais de heterocedasticidade condicional. Regrida:

ε2t = β1 ε2

t−1 + β2 ε2t−2 + · · ·+ βh ε2

t−h + ut .

Teste:

H0 : β1 = β2 = · · · = βh = 0

×H1 : β1 6= 0, ou β2 6= 0, ou · · · ou βh 6= 0.

tal que

ARCH − LMh = T × R2 d→ χ2h.


TESTE DE RESET

Testa a presenca de nao-linearidades na serie.

A hipotese nula e de linearidade contra a alternativa denao-linearidade.

Se resıduos estimados independentes, nao deverao ser correlacionadoscom qualquer outra variavel, incluindo regressores originais, seusvalores estimados e suas potencias.


TESTE DE RESET: continuacao

Estime:yt = x ′t β + εt .

Agora, proceda a seguinte regressao adicional:

εt = x ′t β +h

∑j=1

ϕj yj+1t + υt .

Sob a hipotese de que a regressao original esta correta:

H0 : ϕ2 = ϕ3 = · · · = ϕh = 0.

Teste:

RESETh =

(∑Tt=1 ε2

t−∑Tt=1 υ2

t )h

∑Tt=1 υ2

tT−K−h

d→ F (h, T −K − h) ,

em que K e a dimensao de xt .

Na pratica, h = 1 ou 2 e suficiente para detectar possıveis problemasde especificacao.


Exemplo

Estima-se o modelo auto-regressivo com inflacao e toma-se a soma dosquadrados dos resıduos:

148

∑t=1

ε2t = 14, 31838.

Em seguida, estime:

εt = c + βyt−1 +h

∑j=1

ϕj yj+1t + υt , h = 2.

A soma dos quadrados dos resıduos dessa regressao e:

148

∑t=1

υ2t = 13.76587.


Exemplo: continuacao

Calcule a estatıstica RESET2:

RESET2 =

(∑148t=1 ε2

t−∑148t=1 υ2

t )2

∑148t=1 υ2

t148−2−2

d→ F (2, 144) ;

RESET2 =14.31838−13.76587

213.76587

144

= 2, 8898.

A esse valor, nao se rejeita a nula a 5%, mas rejeita-se a 10%, pois nessecaso o nıvel de significancia pode ser calculado em 5.88%.Outros testes comuns para diagnosticar resıduos sao: teste de Chow paraestabilidade, analise recursiva, teste CUSUM, etc.


PREVISAO

Horizonte de previsao que se deseja prever, h: perıodo de tempo entrehoje, t, e h-passos a frente, t + h.

Distincao: previsoes h-passos a frente e extrapolacao h-passos afrente.

Previsoes de um ponto de futuro com dados ate t: t + h, t + 1 + h.

Extrapolacao: previsoes em t + 1, t + 2, . . . , t + h.


Mecanica

Exemplo de AR (1):yt+1 = c + φyt + εt+1.

Logo:

Et (yt+1) = c + φyt = yt+1 − εt+1;

Et (yt+2) = c + φEt (yt+1) = c + φ (c + φyt) ;

...

Et (yt+h) = ch−1

∑i=1

φi−1 + φhyt , h ≥ 2


Erro de previsao

O erro de previsao no perıodo h, et (h), e dado por:

et (1) = yt+1 − Et (yt+1) = εt+1;

et (2) = yt+2 − Et (yt+2) = c + φyt+1 + εt+2 − c − φEt (yt+1) =

= φεt+1 + εt+2;

et (3) = yt+3 − Et (yt+3) = c + φyt+2 + εt+3 − c − φEt (yt+1) =

= εt+3 + φεt+2 + φ2εt+1;

...

et (h) = yt+h − Et (yt+h) =

= εt+h + φεt+h−1 + φ2εt+h−2 + · · ·+ φh−1εt+1.

Tomando as esperancas dos erros de previsao, verifica-se que sao iguais azero.


Variancia do erro de previsao

Var (et (h)) = Var(

εt+h + φεt+h−2 + φ2εt+h−3 + · · ·+ φh−1εt+1

)=

= σ2(

1 + φ2 + φ4 + · · ·+ φ2(h−1))

.

A variancia aumenta com o horizonte de previsao a taxasdecrescentes. Quando h→ ∞, a variancia de previsao converge avariancia nao condicional σ2

1−φ2 .

O intervalo de confianca para resıduos normais e dado da seguinteforma:

ch−1

∑i=1

φi−1 + φhyt ± 2σ(

1 + φ2 + φ4 + · · ·+ φ2(h−1)) 1

2.


AVALIACAO DA PREVISAO

Deixar uma porcao da amostra como teste, e usar as observacoesiniciais para estimar o modelo, fazer a previsao a partir dessa amostrae avaliar a previsao obtida com a amotra deixada fora da estimacao.

MSEt,H =

√∑H

h=1 e2t (h)

H;

MAEt,H =∑H

h=1 |et (h)|H

;

MAPEt,H =H

∑h=1

∣∣∣∣ et (h)

Hyt+h

∣∣∣∣ .

Metodo de extrapolacao: estimam-se os parametros uma unica vez,com as T primeiras observacoes.

Se a amostra for suficientemente grande, pode-se deixar de 14 a 1

3 forada amostra por razoes de previsao.


AVALIACAO DA PREVISAO: variantes

Previsao dinamica: nao usa a informacao adicional para realimentaras previsoes. Isto e, para prever yT+2, usa-se Et (yT+1).

Previsao estatica: usa na previsao de yT+h a observacao yT+h−1.Tambem chamada de previsao 1-passo a frente.

A previsao estatica tende a ter um erro de previsao menor do que a aprevisao dinamica, haja vista que as informacoes sao atualizadas acada passo.

A previsao dinamica representa uma extrapolacao H-passos a frente.Comparam-se erros de diferentes horizontes de previsao.


AVALIACAO DA PREVISAO: exemplo

Remark

Ficam fora da amostra as ultimas 50 observacoes. Comparam-se osresultados entre o modelo degenerado, equivocado e denotado por MA((2)), e o MA (2) convencional.

MA ((2)) MA (2)

Dinamico Estatico Dinamico Estatico

MSE 1, 316 1, 131 1, 330 1, 094MAE 1, 084 0, 964 1, 091 0, 908

MAPE 193, 35% 119, 96% 193, 15% 129, 11%


AVALIACAO DA PREVISAO: Fixando o horizonte deprevisao

Fixe o horizonte de previsao h-passos a frente e estime os parametrosa cada observacao adicional. Considere um AR(1), usando Tobservacoes iniciais e deixando de fora as H ultimas.

Estimeyt = φT yt−1 + εt , t = 1, 2, . . . , T → φ

T.

Obtenha a previsao h < H passos a frente:

yT+h = φT

yT+h−1.

Reestime os parametros usanto T + 1 observacoes e deixe de fora asultimas H − 1 observacoes:

yt = φT+1yt−1 + εt , t = 1, 2, . . . , T + 1→ φT+1

.

Obtenha a previsao h-passos a frente:

yT+1+h = φT+1

yT+h.



Repita esse procedimento H − h + 1 vezes, e colete as previsoes:{yT+h, yT+h+1, . . . , yT+H}.Estatısticas de erro:

MSET ,h =

√∑T+H

j=T+h (yj − yj )2

H − h + 1;

MAET ,h =∑T+H

j=T+h |yj − yj |H − h + 1

;

MAPET ,h =T+H

∑j=T+h

∣∣∣∣ yj − yj

(H − h + 1) yj

∣∣∣∣ .

Nao ha extrapolacao: as previsoes sao todas de h-passos, do tipoestatica.Recalculam-se os parametros a cada novo passo.As observacoes entre yT+1 e yT+h−1 sao inutilizadas.



Remark

A cada novo recalculo de parametros, aumenta-se uma observacao naamostra. Uma variante do procedimento, portanto, seria manter a amostraconstante, suprimindo a ultima observacao usada no recalculo anterior.Nesse caso, a cada regressao usa-se o mesmo numero de observacoes. Istoe estime

yt = φT+syt−1 + εt , t = s, 2, . . . , T + s

e obtenha φT+s

e θT+s

. Em seguida, obtenha a previsao h-passos a frente:

yT+s+h = φT+s

yT+s+h−1, s = 1, 2 . . . , H − h.


S eries de Tempo - José Fajardo · 2011-08-17 · Objetivos Modelagem de Box, Jenkins e Reinsel...

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