S ries Temporais e Modelos Din micos em Econometria · Modelo Estrutural e Forma Reduzida Processos...

Modelo Estrutural e Forma ReduzidaProcessos Estocasticos Estacionarios

ErgodicidadeExemplo

Series Temporais e Modelos Dinamicos em

Econometria

Marcelo C. Medeiros

Departamento de Economia

Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro

Aula 2

Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos


ErgodicidadeExemplo

DefinicaoFuncao de Resposta ao Impulso

O Modelo Estrutural

Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R

m um vetor composto dasvariaveis de interesse.

Considere o seguinte modelo “estrutural”:

Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . + Apzt−p + ut ,

Bzt = A0 + A(L)zt + ut ,

onde:B ∼ (m ×m), A0 ∼ (m × 1),A1 ∼ (m ×m), . . . ,Ap ∼ (m ×m) sao parametros;ut = (u1,t , . . . , um,t)

′ e um vetor composto pelos choques(efeitos nao-antecipados) estruturais eA(L) = A1L+ A2L

2 + · · ·+ ApLp ; L e o operador defasagem.

Em geral, os elementos da diagonal principal de B sao todosiguais a 1.



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Operador Defasagem

Definicao

Seja yt um processo estocastico. Defina o operador defasagem L

tal que:

Lyt = yt−1

Ljyt = yt−j ∀ j ∈ N.

Se |α| < 1, entao:

(1− αL)−1 = 1 + αL+ α2L2 + . . .



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Operador Diferenca

Definicao

Seja yt um processo estocastico. Defina o operador diferenca ∆tal que:

∆yt = (1− L)yt = yt − yt−1

∆jyt = (1− L)jyt ∀ j ∈ N+

∆jyt =(

1− Lj)

yt = yt − yt−j .



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O Modelo Estrutural - Hipoteses

Algumas hipoteses importantes:

Seja Ft−1 o conjunto de toda a informacao disponıvel ate oinstante t − 1.E[ut |Ft−1] = 0 ⇒ ut e um processo diferenca martingal.E[utu

′

t |Ft−1] = Σu , onde Σu e uma matriz de covarianciadiagonal ⇒ Toda simultaneidade esta modelada via B.Na verdade, os parametros B,A0,A1, . . . ,Ap sao“pseudo”-estruturais, dado que eles sao funcoes dosparametros primitivos (deep) da economia (ver o exemplo deotimizacao intertemporal da Aula 1).

Atencao

Note que, devido a presenca de simultaneidade, E[uit |zjt ] 6= 0,∀ i 6= j e i = 1, . . . ,m.



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Processos Martingais

Considere a seguinte sequencia de σ-algebras

Ft , t = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

de forma a representar o conjunto de informacao ate oinstante t.

Suponha tambem a seguinte ordenacao:

. . . ,Ft−2 ⊆ Ft−1 ⊆ Ft ⊆ Ft+1 ⊆ Ft+2, . . . .

O conhecimento se acumula ao longo do tempo!



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Considere tambem a sequencia aleatoria (processoestocastico) yt , t = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . tal queσ(yt , yt−1, . . .) ⊆ Ft .

Neste caso, yt e Ft -mensuravel e a sequencia yt e“adaptada” para Ft.

yt ,Ft e chamada de sequencia adaptada.

Mensurabilidade implica que a expectativa condicional existe(a condicao E[|yt |] < ∞ e suficiente). Portanto,E[yt |Ft ] = yt , a.s..

No entanto, E[yt |Ft−1], quando existir, e uma variavelaleatoria!



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Martingal

Uma sequencia adaptada yt ,Ft e chamada de martingal se paratodo instante t:

E[|yt |] < ∞ e

E[yt |Ft−1] = yt−1, a.s..



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Diferenca Martingal

Uma sequencia adaptada yt ,Ft e chamada de diferencamartingal se para todo instante t:

E[|yt |] < ∞ e

E[yt |Ft−1] = 0, a.s..



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Um Teorema Importante para Processos Martingais

Seja yt uma sequencia do tipo diferenca martingal (DM) egt−1 = g(yt−1, yt−2, . . .) uma funcao nao-linear mensuravel eintegravel de valores defasados da sequencia yt. Portanto,ytgt−1 tambem e uma sequencia do tipo diferenca martingal eyt e gt−1 sao variaveis aleatorias nao correlacionadas.

Prova: ytgt−1 sera uma sequencia DM dado queE(ytgt−1|Ft−1) = E(yt |Ft−1)gt−1 = 0 a.s.

Pela Lei das Expectativas Iteradas (LEI),

E(yt) = E[E(yt |Ft−1)] = E(0) = 0

E(ytgt−1) = E[gt−1E(yt |Ft−1)] = E(gt−1 · 0) = 0.

Portanto, C(gt−1, yt) = E(gt−1yt)− E(yt)E(gt−1) = 0− 0 = 0.



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O Modelo Estrutural - Um Caso Particular

Suponha que zt = (yt , x′

t)′, onde yt ∈ R e xt ∈ R

m−1. Logo,[

1 b′yxbxy Bx

] [

ytxt

]

=

[

a0,ya0,x

]

+

[

a1,y a′1,yxa1,xy A1,x

] [

yt−1

xt−1

]

+ · · ·

+

[

ap,y a′p,yxap,xy Ap,x

] [

yt−p

xt−p

]

+

[

uy ,tux ,t

]

.

Neste caso,

yt = a0,y − b′yxxt +

p∑

i=1

(

ai ,yyt−i + a′i ,yxxt−i

)

+ uy ,t

yt = α0 +

p∑

i=0

β′

ixt−i +

p∑

i=1

αiyt−i + uy ,t

⇒ Modelo Auto-regressivo com defasagens distribuıdas.



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A Forma Reduzida

Considere agora a forma reduzida (supondo que B sejainvertıvel):

zt = B−1A0 + B−1A1zt−1 + . . .+ B−1Apzt−p + B−1ut ,

zt = C0 + C1zt−1 + . . .+ Cpzt−p + vt ,

zt = C0 + C(L)zt + vt ,

⇒ Modelo Auto-regressivo Vetorial de ordem p – VAR(p)

onde:

C0 ∼ (m × 1), C1 ∼ (m ×m), . . . ,Cp ∼ (m ×m) sao novosparametros;vt e um vetor de erros (que sao combinacoes lineares doschoques estruturais) eC(L) = C1L+ C2L

2 + · · ·+ CpLp .



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Funcao de Resposta ao Impulso

Em geral, estamos interessados no efeito causal dinamico

∂zt+h

∂uj ,t, j = 1, . . . ,m , h = 0, 1, 2, . . . .

Para isto precisamos conhecer B!



ErgodicidadeExemplo



Considere p = 1 e escreva

zt = C0 + C1zt−1 + vt ⇒ VAR(1).

Portanto,

zt = C0 + C1zt−1 + vt

zt+1 = C0 (I+ C1) + C21zt−1 + C1vt + vt+1

zt+2 = C0

(

I+ C1 + C21

)

+ C31zt−1 + C2

1vt + C1vt+1 + vt+2

...

zt+h = C0

h∑

i=0

Ci1 + Ch+1

1 zt−1 +

h∑

i=0

Ci1vt+h−i .



ErgodicidadeExemplo



Mas vt = B−1ut . Logo,

zt+h = C0

h∑

i=0

Ci1 + Ch+1

1 zt−1 +h

∑

i=0

Ci1B

−1ut+h−i

zt+h = C0

h∑

i=0

Ci1 + Ch+1

1 zt−1 +

h∑

i=0

Φiut+h−i ,

onde

Φi =

φ11,i · · · φ1m,i

......

...φm1,i · · · φmm,i

.



ErgodicidadeExemplo



A quantidade de interesse e

∂zj ,t+h

∂uk,t= φjk,h ⇒ Resposta impulsional!

A sequencia

∂zj,t+h

∂uk,t

∞

h=0e chamada de

Funcao de Resposta ao Impulso (FRI).



ErgodicidadeExemplo



Qual e o formato esperado da FRI?

Vai depender da dinamica do processo estocastico vetorial zt .Mais precisamente, o formato da FRI vai depender de umapropriedade chamada de estacionariedade.Mas o que e estacionariedade e quais sao as condicoes paraque zt seja um processo estacionario?



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Processos Estocasticos Estacionarios

Estacionariedade Fraca

Um processo estocastico yt e dito fracamente estacionario (ouestacionario de segunda ordem, ou ainda estacionario em

covariancia) se, e somente se, os dois primeiros momentos de ytexistirem e forem constantes ao longo do tempo, ou seja:

E[yt ] = µ, |µ| < ∞, ∀ t ∈ T e

E[(yt − µ)(yt−h − µ)] = γh, |γh| < ∞, ∀ t ∈ T e h = 0,±1,±2, . . .

Estacionariedade implica que γ−h = γh.



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Processos Estocasticos Estacionarios

Estacionariedade Forte

Um processo estocastico yt e dito fortemente estacionario (ouestacionario no sentido estrito) se, e somente se, a distribuicaoconjunta de (y1, y2, . . . , yT ) for invariante com relacao atranslacoes temporais, ou seja,

F (y1, y2, . . . , yT ) = F (y1+τ , y2+τ , . . . , yT+τ ), ∀ τ.

Pontos importantes:

distribuicao conjunta e constante ao longo do tempo eestacionariedade forte implica que todos momentos existentessejam constantes ao longo do tempo.

No entanto, estacionariedade forte nao implica emestacionaridade fraca! Exemplo: variaveis Cauchy.



ErgodicidadeExemplo

Ergodicidade

Ergodicidade e uma propriedade referente a relacao entre amedia temporal de um processo estocastico calculada a partirde uma realizacao temporal (serie temporal).

Ergodicidade

Seja yt(ω), ω ∈ Ω, t ∈ T um processo estocastico fracamenteestacionario, tal que E[yt(ω)] = µ < ∞ e

E

[yt(ω)− µ]2

= γ0 < ∞, ∀ t ∈ T e yT = 1T

∑Tt=1 yt (media

amostral). Se o processo yt for ergodico para media, entao

yTp

−→ µ, T −→ ∞.



ErgodicidadeExemplo

Blanchard e Perotti - QJE (2002)

An Empirical Characterization Of The Dynamic Effects Of

Changes In Government Spending And Taxes On Output.

VAR com tres variaveis timestrais - impostos (Tt), gastos dogoverno (Gt) e PIB (Xt):

zt = C(L)zt−1 + vt ,

onde zt = (Tt ,Gt ,Xt)′ e vt = (tt , gt , xt).

Forma reduzida x forma estrutural:

tt = a1xt + a2egt + ett ,

gt = b1xt + b2ett + e

gt ,

xt = c1tt + c2gt + ext ,

onde ett , egt e ext sao choques estruturais.


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