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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO UNIBAN CONSELHO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NORBERTO MACHADO ANGELINI FUNÇÕES: UM ESTUDO BASEADO NOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA São Paulo 2010
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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO UNIBAN
CONSELHO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
NORBERTO MACHADO ANGELINI
FUNÇÕES: UM ESTUDO BASEADO NOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA
São Paulo 2010
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NORBERTO MACHADO ANGELINI
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
FUNÇÕES: UM ESTUDO BASEADO NOS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA
Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN, para a obtenção do título de MESTRE em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
UNIBAN SÃO PAULO
2010
3
A591f Angelini, Norberto Machado.
Funções: um estudo baseado nos Três Mundos da Matemática / Norberto Machado Angelini – São Paulo : [s.n.], 2010
219f.; il. ; 30 cm.
Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Educação Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Vera Helena Giusti de Souza.
1.Funções 2. Imagem de conceito 3. Definição de conceito
I. Título.
CDD: 515.9
4
Banca Examinadora
________________________________
________________________________
________________________________
5
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos
de fotocópias ou eletrônicos.
Assinatura Local e data
6
Dedico este trabalho à minha esposa Clenira, às
minhas filhas Caroline e Vivian, aos meus pais
José e Nilza e à Professora Vera Giusti.
7
AGRADECIMENTOS
À minha família, pelo apoio e compreensão, principalmente nos longos momentos de “ausência” e angústia. Clenira, Caroline, Vivian, Beatriz, José, Nilza, amo todos vocês. Faço um agradecimento especial à Clenira, pelo auxílio na aplicação do instrumento diagnóstico, pela revisão do texto e pelos diversos momentos de ajuda na interpretação das ideias e da teoria utilizada.
À Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza pelo constante apoio e atenção, por estar sempre presente, por acreditar nas minhas ideias e, em especial, por compartilhar comigo seus conhecimentos.
Às Professoras Doutoras Rosana Nogueira de Lima e Maria Cristina Bonomi Barufi, por aceitarem participarem de minha banca examinadora e por apresentarem muitas sugestões que contribuíram decisivamente para a execução deste trabalho.
A todos Professores e Professoras do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da UNIBAN, e de maneira particular à Professora Doutora Siobhan Victoria (Lulu) Healy, aos Professores Doutores Alessandro Jacques Ribeiro, Ruy Cesar Pietropaulo e Vincenzo Bongiovanni, por todo apoio que me dedicaram e por me auxiliarem em muitos momentos.
Aos funcionários da UNIBAN, particularmente da Secretaria e Biblioteca, pelo apoio administrativo e orientação no decorrer da pesquisa.
Aos vários amigos do curso, em especial Arthur, Eder, Carlos, Josias, Rosangela, Yuri, Fábio, Paulo, pela amizade e apoio, e por todos momentos de estudos e discussões.
Aos Professores e Professoras das escolas em que trabalho e da escola participante desta pesquisa, que me ajudaram de várias maneiras. Em especial agradeço à Cláudia, Niraci, Anderson, Willians, Vivian, Fernando, Elisa, Cristina, Márcias (são duas), Dina, Wanda, Virgínia, Edson. Agradeço também aos alunos participantes da pesquisa por compartilharem comigo suas ideias.
Às várias outras pessoas que me ajudaram e talvez nem se lembrem mais, Wilma, Pedro (in memorian), Clélia, Reginaldo (in memorian), Sílvio, Laura, vocês estarão sempre presentes.
8
RESUMO
Nosso objetivo foi identificar imagem de conceito e definição de conceito
(TALL; VINNER, 1981) sobre o conceito de função e características dos Três
Mundos da Matemática (TALL, 2004), presentes em oito estudantes da 2a série do
Ensino Médio de São Paulo. Para isto, estruturamos um instrumento diagnóstico
com questões que contemplam várias representações de função e que podem ser
resolvidas de maneiras diferentes, permitindo o surgimento de ideias variadas,
relacionadas a este importante conceito da Matemática. Para a elaboração das
questões e para a análise dos protocolos, utilizamos como referencial teórico as
ideias de imagem de conceito e de definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) e os
Três Mundos da Matemática de David O. Tall, um quadro teórico recente e que
busca explicar o desenvolvimento cognitivo de quem aprende matemática, desde os
anos iniciais até a matemática avançada. Concluímos que estes oito estudantes
apresentam, em suas imagens de conceito, características que estão quase que
exclusivamente relacionadas ao Mundo Corporificado, restritas à utilização de
métodos numéricos e localização de pontos nos gráficos. As características
referentes ao Mundo Simbólico restringem-se à utilização de uma expressão
algébrica, dada, para obter pares de valores numéricos, sem sugerir conexões com
o conceito de função como uma relação de dependência entre grandezas. As
respostas dadas sugerem imagens de conceito pobres, não apresentam ideias que
possam ser relacionadas ao Mundo Formal e as definições de conceito não podem
ser consideradas próximas de uma aceita pela comunidade matemática. Concluímos
que, para estes oito estudantes, não basta uma revisão de função, seja no Ensino
Médio, seja no Superior. Eles precisam retomar a aprendizagem, no nosso entender,
com uma abordagem que contemple as características sugeridas pelos Três Mundos
da Matemática.
Palavras-chave: Função. Imagem de Conceito. Definição de Conceito. Três Mundos
da Matemática.
9
ABSTRACT
Our goal was identify concept image and concept definition (TALL; VINNER, 1981) of
function concept, and Three Worlds of Mathematics‟ characteristics (TALL, 2004) that
appear in the production of eight students of a 2nd year of a Secondary School in Sao
Paulo (16-17 years old). In order to achieve this, we structured an instrument with
questions, involving function‟s several representations, that may be solved by different
ways, allowing the appearance of various ideas related to this important concept of
Mathematics. To elaborate these questions and to analyze students‟ protocols, we
used theoretical framework provided by the ideas of concept definition and concept
image (TALL: VINNER, 1981) and Three Worlds of Mathematics (TALL, 2004), a
recent theoretical framework that seeks explanation for the cognitive development of
an individual who learns Mathematics, since early years until advanced Mathematics.
We conclude that these students present, in their concept images, characteristics that
are almost exclusively related to Embodied World, restricted to use numerical
methods and location of points in graphs. The characteristics that can be related to
the Symbolic World are restricted to the use of a given algebraic expression to obtain
pairs of numerical values, without suggesting connections with the concept of function
as a relationship of dependence between quantities. Their answers suggested
concept images that we consider poor and not related to the Formal World and the
concept definitions we found distant from anyone that could be accepted by the
mathematical community. We concluded that, for these eight students, it is not
sufficient a retake of the concept in High School or in the University. They need to
start over again in the topic about functions and we suggest an approach promoting a
kind of “expedition” through each one of the Three Worlds of Mathematics.
Keywords: Function. Concept Image. Concept definition. Three World of Mathematics.
10
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 OBJETIVO ......................................................................................... 12
1.1 JUSTIFICATIVA ....................................................................................................12
1.2 QUESTÕES DE PESQUISA ...............................................................................21
CAPÍTULO 2 REVISÃO DE LITERATURA ..............................................................21
2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................22
2.2 OS ARTIGOS .......................................................................................................23
CAPÍTULO 3 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS .........................................................46
3.1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................47
3.2 SOBRE A IMAGEM DE CONCEITO ...................................................................49
3.3 SOBRE A DEFINIÇÃO DE CONCEITO ...............................................................50
3.4 SOBRE OS JÁ-ENCONTRADOS ........................................................................51
3.5 SOBRE OS A-ENCONTRAR ...............................................................................53
3.6 SOBRE A RELAÇÃO ENTRE OS MUNDOS ......................................................53
3.7 SOBRE O MUNDO CORPORIFICADO ..............................................................55
3.8 SOBRE O MUNDO SIMBÓLICO .........................................................................56
3.9 SOBRE O MUNDO FORMAL ..............................................................................57
3.10 SOBRE O CONCEITO DE FUNÇÃO E OS TRÊS MUNDOS DA
MATEMÁTICA .......................................................................................................58
CAPÍTULO 4 A PESQUISA .......................................................................................61
4.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................62
4.2 AS QUESTÕES ....................................................................................................63
4.3 APLICAÇÃO DAS QUESTÕES ............................................................................90
CAPÍTULO 5 ANÁLISE DOS DADOS .......................................................................93
11
5.1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................93
5.2 ANÁLISE DOS PROTOCOLOS ...........................................................................94
CAPÍTULO 6 RETOMADA DAS QUESTÕES DE PESQUISA ...............................152
6.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................152
6.2 PRIMEIRA QUESTÃO ........................................................................................152
6.3 SEGUNDA QUESTÃO ........................................................................................160
6.4 TERCEIRA QUESTÃO .......................................................................................162
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES ..................................................................................166
CAPÍTULO 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...............................................................166
REFERÊNCIAS ........................................................................................................171
ANEXO A – ATIVIDADE DE ANGELINI (2006) .......................................................174
ANEXO B – INSTRUMENTO DIAGNÓSTICO .........................................................176
ANEXO C – OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS – RESUMO .............................186
ANEXO D – TRANSCRIÇÃO DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS ...........................188
12
1.OBJETIVO
Nosso objetivo nesta pesquisa é identificar ideias sobre função que alunos do
Ensino Médio apresentam, logo após o período de ensino deste importante tema da
Matemática.
1.1. Justificativa
A preocupação com este tema já vem desde o início de nossa atuação como
professor de Matemática em escolas públicas da cidade de São Paulo. No contato
direto com alunos, em sala de aula, pudemos perceber que muitos deles
apresentam grandes dificuldades ao resolverem situações e problemas nos quais se
necessita de um conhecimento consolidado de funções, em exercícios ou problemas
em que a função vem apresentada na forma de gráficos, tabelas, formas algébricas,
expressões em forma de texto.
Como consequência dessas dificuldades, constatamos que os alunos
cometem muitos erros.
Nossa primeira tentativa de analisar o problema foi no curso de
Especialização em Educação Matemática, com a monografia “As Concepções de
Alunos do Ensino Médio sobre Funções: Uma Investigação sobre o uso de Registros
de Representações Semióticas” (ANGELINI, 2006). Neste trabalho, procuramos
quantificar os erros de alunos da 2a série do Ensino Médio de uma escola estadual
da cidade de São Paulo ao resolverem exercícios referentes ao tema funções. Para
isso, procuramos investigar erros em questões apresentadas em forma de gráfico ou
de texto, e incluímos na investigação uma questão de Física que se referia ao
Movimento Retilíneo e Uniforme, isto é, tratava-se de uma questão de Matemática
utilizando um enunciado de Física. O apêndice A, página 174, apresenta o
questionário de Angelini (2006) aplicado aos alunos, composto por três questões.
A primeira dessas questões (vide página 174) apresentava quatro gráficos de
funções sobre um único plano cartesiano. Em uma análise quantitativa, constatamos
13
que 40% dos alunos erraram as questões que pedem associação de uma expressão
algébrica de uma função polinomial do 1o grau ao gráfico correspondente. Este
índice de erros subiu para 77% na associação da função exponencial y = 2x ao seu
respectivo gráfico. Percebemos que a quantidade de erros praticamente dobrou.
Como não aplicamos outras perguntas naquela época, conjecturamos que este
aumento excessivo de erros pode estar associado a algum dos obstáculos
epistemológicos citados por Sierpinska (1992), como o obstáculo epistemológico 9
(idem, p. 43), que afirma que proporção é um tipo privilegiado de relação, que em
nosso entendimento significa que o aluno percebe toda relação como diretamente
proporcional. No próximo capítulo, em nossa Revisão de Literatura, à página 43,
incluímos o nosso entendimento sobre as ideias desenvolvidas por Sierpinska
quando aborda os obstáculos epistemológicos que afetam o entendimento de
função.
A segunda questão de Angelini (2006) foi apresentada em forma de texto
(vide página 174) e 80% dos alunos errou. Tratava-se de uma questão que versava
sobre uma aplicação financeira que perdia todo mês um valor fixo em dinheiro.
Nesta questão, era solicitado indicar, entre os quatro gráficos construídos no plano
cartesiano apresentados na primeira questão, qual mais se aproximava da
representação desta situação. Conjecturamos que este índice de erros pode estar
relacionado a outro obstáculo epistemológico, de número 1, que afirma que a
matemática não está preocupada com problemas práticos (SIERPINSKA, 1992, p.
31).
Por último, a terceira questão de Angelini (2006) apresentou índice de erro de
97,5%. Nela foi apresentado conteúdo de Matemática associado a um enunciado de
Física em forma de texto (vide página 175), sobre o movimento de um veículo em
uma rodovia, e solicitamos ao aluno escolher, entre seis opções, uma expressão
algébrica que representasse aquele movimento. Nesta situação também
conjecturamos que os erros podem ser explicados pelo obstáculo epistemológico 8
(SIERPINSKA, 1992, p. 42), que diz que as leis da Física e as funções em
Matemática não apresentam nada em comum, eles pertencem a diferentes tipos de
pensamento.
14
Na nossa monografia de Especialização (ANGELINI, 2006), concluímos que
alunos da 2a série de Ensino Médio daquela escola estadual encontraram sérias
dificuldades ao resolver problemas de funções apresentados na forma de gráfico,
expressão algébrica e linguagem em forma de texto. Nossa análise naquele trabalho
concluiu também que esses alunos apresentam pouca familiaridade com a mudança
de registros de representação de função.
Um outro exemplo que podemos citar se refere a uma questão apresentada
na Avaliação do SARESP 2008 a alunos de 3a série do Ensino Médio, na qual
ocorreram 72% de respostas erradas (SÃO PAULO, 2009, p.119). Essa questão
apresentava uma tabela com duas colunas onde eram informados valores de
velocidade (km/h) e tempos (min) correspondentes entre si, e solicitava ao aluno
escolher entre quatro alternativas de expressões algébricas aquela que
representava adequadamente o movimento. Conjecturamos que, apesar de tratar-se
de uma questão envolvendo conceito da Física, o índice de erros foi menor do que
aquele encontrado em nossa monografia porque a apresentação em forma de tabela
pode ter permitido que alunos testassem as expressões algébricas, substituindo
valores e efetuando as operações.
Nesta mesma Avaliação do SARESP 2008, ocorreram 48% de respostas
erradas por alunos ao analisarem uma questão referente a crescimento ou
decrescimento de quatro funções exponenciais (SÃO PAULO, 2009, p.117). Nessa
questão apareciam expoentes positivos e negativos (duas expressões de cada) e
bases maiores e menores que 1 (duas de cada). Novamente o resultado apresentou
praticamente metade dos erros que constatamos em nossa monografia de
Especialização, e conjecturamos que se deva à apresentação de tabela, o que
poderia permitir aos alunos testarem os valores em cada uma das expressões.
O conceito de função é muito importante no prosseguimento dos estudos em
Matemática, pois é básico para estudos de Cálculo Diferencial e Integral, Análise,
Vetores, Geometria Analítica. É importante também por ser um conceito aplicável
aos estudos dos cursos de Física, Engenharia, Economia, Geografia, Administração
de Empresas, entre outros. Este conceito se destaca inclusive para aqueles alunos
que buscarão inserção no mercado de trabalho ao final do Ensino Médio, pois quem
domina função e suas várias representações tem maior mobilidade para avaliar
15
orçamentos, contas diversas como energia elétrica e água, pagamentos de impostos
como o Imposto de Renda retido na fonte e entender gráficos em jornais, etc. É um
conceito muito importante também para quem pretende estudar um curso técnico.
Consideramos exagerados os índices de erros que encontramos,
principalmente porque, durante a escolarização, o estudante depara-se com
situações cada vez mais apuradas, desde o primeiro contato com o tema funções,
na 6a série do Ensino Fundamental, até um maior aprofundamento dentro do
conteúdo de Matemática, da 8a série do Ensino Fundamental em diante.
No Currículo anterior e também no contexto da Proposta Curricular do Estado
de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), o ensino formal de função em escolas estaduais
inicia-se na 8a série do Ensino Fundamental (SÃO PAULO, 2008 p. 53) com noções
básicas de funções, proporcionalidade direta, variação e construção de gráficos de
1o e 2o graus. O prosseguimento do ensino de função, na 1a série do Ensino Médio
(SÃO PAULO, 2008 p. 57), parte de uma abordagem inicial, alcançando até funções
logarítmicas, num trabalho aproximado de sete meses nesta série, e tem sua
continuidade na 2a série (SÃO PAULO, 2008 p. 56), ao abordar funções
trigonométricas, num trabalho aproximado de dois meses nessa série. A etapa final
de ensino de funções no Ensino Médio ocorre na 3a série (SÃO PAULO, 2008 p. 58),
onde o conteúdo proposto se refere à qualidade das funções, estudo de gráficos e
análise de sinal, crescimento, taxa de variação. Conjecturamos que a ideia de
função se reforça durante o aprendizado escolar do estudante e que a quantidade
de erros deveria ser muito menor.
Todas estas inquietações e dúvidas nos levaram a procurar o curso de
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, no qual buscamos responder estes
questionamentos pessoais, referentes ao aprendizado dos alunos do conceito de
função. No nosso trabalho na Especialização, não foi possível identificar com clareza
a resposta para uma pergunta que não sai de nosso pensamento, que é: “por que
alunos das séries finais do Ensino Médio apresentam rendimento tão baixo na
resolução de problemas que necessitam do seu aprendizado de função?”.
Certa vez, em Agosto de 2008, em uma reunião do grupo de Atividade de
Pesquisa da linha Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações do
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, foi comentada a informação de que
16
nos anos iniciais de Licenciatura em Matemática ocorriam sérias dificuldades em
Cálculo, inclusive com alto índice de reprovação, e um dos entraves no
desenvolvimento desta disciplina é o despreparo dos alunos ao trabalhar com
funções. Pensamos, naquela oportunidade, que seria interessante levar esta
discussão até os alunos em nossas aulas de Matemática, principalmente aqueles
das séries finais do Ensino Médio, já que o fato diz respeito diretamente a eles.
Em sala de aula da 3a série do Ensino Médio, apresentamos um comentário
sobre as dificuldades de alunos ao trabalhar diversos conceitos da matemática, pois
pretendíamos questioná-los também sobre outros itens. Dissemos que aqueles que
desejassem encontrar leituras mais aprofundadas referentes ao assunto poderiam
buscar em páginas de internet das diversas instituições de ensino superior e de
pesquisa e apresentamos algumas delas aos alunos, com seus endereços
eletrônicos, como USP, UNICAMP, UNESP, UNIBAN, etc.
Naquela aula participaram 22 alunos e sugerimos que poderiam responder
individualmente ou em duplas. Apresentamos algumas perguntas, como: o que é um
número natural? O que é um número racional? O que é um número real? O que é
função? Quantos números existem entre zero e um? Etc. Desejávamos com isto
abrir um canal de discussões com eles sobre os diversos conceitos da Matemática,
aproveitando para manter alguns registros escritos para futuras análises.
Com relação à pergunta o que é função, 15 alunos dos 22 presentes
afirmaram tratar-se de uma equação. Dois deles disseram tratar-se de uma
operação e cinco deles apresentaram respostas onde apareciam os termos “ponto
no gráfico” e “plano cartesiano”, aparentando lembrar-se da representação em forma
de gráfico da função.
Posteriormente, resolvemos buscar dados referentes à reprovação de alunos
em disciplinas de conteúdo matemático nas séries iniciais do Ensino Superior.
Encontramos na pesquisa de Barufi (1999, p. 170) uma tabela que apresentou
quantidades e índices de aprovação e reprovação de alunos em cursos relacionados
aos anos iniciais do Ensino Superior de diversas faculdades da Universidade de São
Paulo – USP, no período de 1990 até 1995.
O levantamento de dados efetuado pela pesquisadora buscou disciplinas e
faculdades com expressiva participação de conteúdo matemático nas séries iniciais
17
do Ensino Superior. As escolhidas foram a Escola Politécnica (POLI), a Faculdade
de Arquitetura e Urbanismo (FAU), a Faculdade de Economia e Administração
(FEA), o Instituto de Biociências (IB), o Instituto de Física (IF), o Instituto de
Geociências IG), o Instituto de Matemática e Estatística (IME) e o Instituto de
Química (IQ). As siglas que colocamos entre parênteses são as que utilizaremos em
alguns comentários.
Ao observar os dados, a primeira coisa que nos chamou a atenção diz
respeito aos resultados de alunos referentes à sua primeira participação em
disciplinas de conteúdo matemático, logo ao iniciar o curso superior, isto é, os
resultados apresentados pelos alunos ingressantes na disciplina de matemática que
primeiro se depararam no curso que escolheram. A pesquisa de Barufi (1999) inclui
dados referentes a repetição de cursos, mas não escrevemos sobre estes resultados
porque desejávamos realçar dados relativos à primeira vez que alunos estudaram as
disciplinas e quais foram estes resultados. Optamos também em não comentar as
médias alcançadas pelos alunos e que constam no trabalho da pesquisadora, mas
tanto os dados de resultados nas disciplinas de repetição como os resultados
referentes às médias são, no nosso entendimento, muito preocupantes.
Por exemplo, observamos os dados referentes à disciplina MAT 111, Cálculo
Diferencial e Integral I, que é oferecida no primeiro semestre de várias faculdades,
como a Poli, IF, IG, IME, FEA e IQ. No período, o índice de reprovação na Poli foi de
22,5% (BARUFI, 1999, p. 171), mas no IME foi de 68,9% (BARUFI, 1999, p. 177).
Estes dados nos causaram a primeira estranheza, já que estudantes da Poli, que
buscam as engenharias, devem realmente ter forte aptidão e embasamento para
disciplinas de conteúdo matemático, mas e do IME? Este é o instituto em que, no
nosso ponto de vista, a reprovação deveria ser a menor possível, já que para
estudar matemática e estatística é necessário gostar e ter o preparo apropriado, o
que parece não acontecer com os estudantes ingressantes naquele período.
Pensamos que reprovações de sete alunos em cada grupo de dez não é uma
situação confortável em um curso para formar matemáticos. Com relação aos IF e
IG os índices de reprovação também são elevados como os do IME, ocorrendo uma
pequena melhora na FEA, com cinco reprovados a cada grupo de dez alunos
(BARUFI, 1999, p. 173), o que ainda assim não consideramos aceitável. No nosso
18
entendimento, somente deveriam constar na lista de não aprovados alunos que não
pudessem concluir o curso por motivos não relacionados ao ensino e aprendizagem.
Uma observação simples e rápida dos dados anotados mostra que o índice
médio de reprovação em disciplinas de conteúdo matemático em séries iniciais de
faculdades da USP está em torno de 40%. Concordamos com a pesquisadora
quando ela afirma que os dados “caracterizam uma situação que, no mínimo, pode
ser considerada problemática” (BARUFI, 1999, p. 3), e como se tratam de disciplinas
referentes a cálculo diferencial e integral, é possível que o entendimento de função
em níveis de escola básica tenha parte da culpa nestes baixos rendimentos.
Desde o início dos nossos estudos no Mestrado percebemos que uma
pergunta sobre o que é função não apresenta uma resposta simplificada.
Percebemos que alunos das séries finais do Ensino Médio não aprenderam como
utilizar com agilidade e precisão os gráficos, tabelas, formas algébricas.
Conjecturamos que a pergunta a ser respondida poderia ser: “o que os alunos
deixaram de entender após o aprendizado de funções?”. Este último
questionamento, também muito complexo, com possibilidades da mais ampla gama
de respostas, nos levou a buscar contato com outros embasamentos teóricos.
Conjecturamos buscar identificar os mecanismos que facilitam (ou dificultam) ao
aluno a formalização deste tema. Pretendemos identificar os processos mentais
utilizados por estes alunos na resolução de problemas que envolvam o tema funções
e também que ideias estes alunos apresentam com relação ao conceito de função.
Entre as mais diversas teorias relacionadas com o ensino e a aprendizagem
de Matemática, tomamos contato com os Três Mundos da Matemática, um quadro
teórico recente e que busca explicar o desenvolvimento cognitivo no aprendizado de
Matemática (TALL, 2004). Interessamo-nos de maneira especial por este quadro
teórico porque nos parece que possíveis respostas aos nossos questionamentos
poderiam residir no processo cognitivo de alunos na faixa etária entre os 15 e os 17
anos de idade. Conjecturamos que estudos do processo de raciocínio em
matemática possam fornecer indícios da maneira como estes alunos pensam, como
buscam (ou não) os conceitos necessários a cada resolução solicitada e como
utilizam estes conceitos na resolução de situações variadas que se refiram ao
conceito de função, e decidimos investigar o que alunos apresentam quando
19
questionados sobre função ou quando se deparam com situações envolvendo
função.
Em especial, no que se refere a esse quadro teórico, conjecturamos que
nossa investigação deva ser direcionada na análise de imagem de conceito e
definição de conceito (TALL; VINNER, 1981)1 apresentadas pelos alunos, bem como
na avaliação das características que estas imagens de conceito e definições de
conceito apresentam em relação aos Três Mundos da Matemática, corporificado,
simbólico e formal (TALL, 2004). Adiante, na descrição do quadro teórico que consta
do Capítulo 3 (página 46), apresentaremos nosso estudo deste referencial teórico e
incluiremos a descrição do que seja imagem de conceito e definição de conceito,
além de descrever algumas características dos Três Mundos da Matemática.
A preocupação com referência ao aprendizado de função dos alunos
sempre ocupou nosso pensamento, pois consideramos função um dos temas mais
importantes dentro do ensino de Matemática.
No Mestrado, iniciamos nossa jornada na busca de outras pesquisas e
literaturas referentes ao tema, e percebemos que a importância do conceito de
função está evidente em diversos trabalhos e pesquisas, em diversos artigos em
publicações especializadas da área, em livros e encontros de educadores e
pesquisadores. Também está presente em várias teorias relacionadas com a
Matemática, o que justifica nossa pesquisa pela importância do tema.
A importância do conceito de função está destacada nos Parâmetros
Curriculares Nacionais de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias,
quando este documento chama a atenção para elementos do núcleo comum que
devem compor os temas ou tópicos da disciplina de Matemática visando o
desenvolvimento de atitudes e habilidades, sob o critério da contextualização e da
interdisciplinaridade, permitindo conexões não só entre conceitos da matemática,
mas inclusive fora dela. Neste sentido, chama atenção para o ensino de funções:
1 Termos adaptados dos originais concept definition e concept image (TALL; VINNER, 1981,
p. 152) e para os quais adotamos as traduções de Giraldo (2004, p.8) e Lima (2007, p.86). No capítulo 3 aparecerão as definições.
20
Cabe, portanto, ao ensino da Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado e buscar solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (BRASIL, 1998, p.44).
Especificamente sobre o tema funções, no PCN+ orienta-se que:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da Matemática. Assim, a ênfase no estudo das diferentes funções deve estar no conceito de funções e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções (BRASIL, 2002, p. 121).
Em sua Proposta Curricular para o ensino de matemática: 2o grau (SÃO
PAULO, 1989, p. 14), a Secretaria da Educação considera “como conteúdos
significativos ao aluno, também aqueles que realimentam a própria Matemática e os
que favorecem a interdisciplinaridade”, chamando a atenção para a importância do
conceito de função, que este documento considera entre os oito conteúdos
importantes desta disciplina, quando afirma que
tendo em vista essas questões, sugerimos que o aluno trabalhe prioritariamente com os seguintes conteúdos: Funções, Geometria, Trigonometria, Análise Combinatória, Probabilidade, Geometria Analítica, Matemática Financeira e Estatística (SÃO PAULO, 1989, p. 14).
Todas estas leituras reforçam nossa crença na importância relativa ao
conceito de função. Consideramos ser necessário avaliar constantemente o
aprendizado deste tema, e nesta linha de pensamento, colocamos como um dos
nossos objetivos nesta pesquisa identificar definição de conceito e imagem de
conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos apresentam para resolver
situações envolvendo este conceito. Desta maneira, pretendemos avaliar o
21
aprendizado de alunos sobre o conceito de função, tentando identificar como se
comportam diante de situações do dia a dia e também diante de problemas da
matemática. Conjecturamos que este estudo tenha o potencial de apresentar o
raciocínio de alunos sobre o tema e, possivelmente, sugerir caminhos para atingir
um melhor aprendizado. Nossas questões de pesquisa, então, refletem este
pensamento.
1.2. Questões de pesquisa
I – Qual imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino
Médio apresentam, após terem estudado este tema na 1a série do Ensino Médio?
II – Qual definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do
Ensino Médio apresentam, após seu estudo deste tema na 1a série do Ensino
Médio?
III – Quais características dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) surgem nas
respostas de alunos ao resolver problemas relacionados ao conceito de função?
2. REVISÃO DE LITERATURA
Até este ponto do nosso trabalho comentamos a importância do conceito de
função no nosso entendimento, no de diversas outras pessoas e entidades, de
vários autores e de diversos documentos que mostram este fato. Também
apresentamos nossas questões de pesquisa, que são diretamente relacionadas à
importância deste tema.
Pretendemos agora apresentar resultados de algumas leituras de artigos que
tratam do conceito de função. Inicialmente, acreditávamos que devêssemos buscar
somente leituras que abordassem aspectos cognitivos de alunos que estejam entre
15 e 17 anos, mesma faixa de idade dos alunos que pretendemos convidar para
participar desta pesquisa, mas logo percebemos que outras leituras poderiam
contribuir muito para a construção do nosso projeto. Encontramos por exemplo
22
pesquisas abordando concepções de professores, de estudantes universitários, de
Ensino Médio. Vale aqui ressaltar que a maioria das pesquisas que encontramos
utilizaram referencial teórico diferente do que elegemos, várias delas utilizando os
registros de representação semiótica de Duval. Talvez o quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática (TALL, 2004) tenha sido utilizado muito pouco por se tratar
de um quadro recente e que está em desenvolvimento.
2.1. Introdução
Este capítulo trata da revisão de literatura e busca apresentar leituras
referentes a trabalhos de pesquisadores que se relacionam ao conceito de função
ou às suas representações. Buscamos nestas leituras comparar os trabalhos
realizados por outros pesquisadores com o nosso projeto. Adiante, apresentaremos
um pequeno texto referente a cada leitura que fizemos seguido de um rápido
comentário nosso, tentando relacioná-lo à nossa pesquisa. Não tivemos a intenção
de analisar minuciosamente cada trabalho, avaliar quadros teóricos, questionários,
protocolos, uma vez que estas foram as preocupações de cada autor. Nos
preocupamos em relacionar cada pesquisa à nossa, buscando a pertinência desta
que estamos desenvolvendo. Buscamos identificar se nossas questões de pesquisa
são apropriadas, se podem permitir uma visão do aprendizado de alunos que
iniciaram recentemente seu estudo de funções, se outras pessoas buscam
resultados semelhantes.
Nossa busca pelas literaturas foi iniciada nos resumos de cada autor, mas
logo em seguida expandiu-se de maneira diferente. Em nossas reuniões nas aulas
de Tópicos Fundamentais de Análise, de Tópicos Fundamentais de Geometria, de
Didática da Álgebra, de Metodologia da Pesquisa, e destacadamente nas aulas de
Atividade de Pesquisa, surgiram muitas sugestões de literaturas, que buscamos sem
observar uma sequência de datas, mas que apresentavam interesse semelhante ao
nosso. Várias colaborações importantes no direcionamento do nosso trabalho
vieram da participação em debates e apresentações, onde participaram pessoas de
destaque da comunidade de Educação Matemática, não só do Brasil como de outros
países. Entre essas pessoas podemos citar Ubiratan D‟Ambrósio, David Tall, Luis
23
Radford, Jeremy Kilpatrick, Antonio Domingos, Gerard Vergnaud, Raymond Duval,
Peter Briant, Therezinha Nunes, incluindo também pessoas cujas apresentações e
debates aconteceram por vídeo conferências, como Barbara Jaworski, Colete
Laborde, entre outros.
Por este motivo, resolvemos apresentar estas leituras que consideramos
como um importante suporte para a nossa pesquisa, na ordem aproximada como as
estudamos.
2.2. Os artigos
Nossas leituras se iniciaram com Pelho (2003), que elaborou uma sequência
de ensino sobre o conceito de função, aplicando-o a 12 estudantes de 2a série do
Ensino Médio de uma escola particular, alunos que, segundo a pesquisadora,
haviam estudado função na série anterior pelo método apostilado, utilizando a
maneira tradicional. Ela chamou de método tradicional aulas expositivas, pesquisas
e estudos utilizando livro e apostila, com apresentação de exemplos e exercícios de
fixação e posteriormente avaliações. O objetivo declarado em sua pesquisa era o de
introduzir os conhecimentos de função utilizando as variáveis dependentes e
independentes e as relações entre estas variáveis. Uma parte das atividades foi
realizada com auxílio do software Cabri-Géométre II e outra parte realizada em
papel e lápis. As atividades realizadas com o uso do software Cabri-Géométre II
enfatizavam a dependência de uma variável sobre a outra e a lei de dependência
correspondente. As atividades em papel e lápis exigiam que os alunos transitassem
entre as maneiras de representar o conceito de função (expressão algébrica, tabela
numérica, expressão em linguagem natural, gráfico cartesiano), associando estas
diferentes representações do objeto matemático função, inclusive oferecendo
oportunidade aos alunos para conversões entre os registros. Parte das atividades
desta sequência de ensino orientou-se em uma pesquisa de Kieran e Sfard (1999
apud PELHO, 2003) que serviu de base para as atividades dos grupos 2 e 4, e parte
em Duval (1988 apud PELHO, 2003). Estas atividades privilegiaram as funções afins
(atividades 1, 2 e 3) e quadráticas (atividades 4 e 5), assim escolhidas pela
pesquisadora por serem familiares aos alunos. Parte das atividades são
24
apresentadas em linguagem em forma de texto, solicitando cálculos de perímetro e
área de cômodos quadrados de uma casa. A fundamentação teórica escolhida foi a
Teoria de Registros de Representação de Raymond Duval.
Esta pesquisadora concluiu que a utilização do software Cabri-Géométre
II propicia uma melhor articulação do registro gráfico para o numérico e deste para o
algébrico. Percebeu também que os alunos apresentam dificuldades em questões
matemáticas expressas em forma de texto, e também na construção de gráficos. Em
contrapartida, após algumas intervenções, apresentaram uma melhor articulação
entre o registro gráfico e o algébrico e também melhoraram a compreensão do
registro em linguagem natural (texto).
Em nossa pesquisa, não pretendemos aplicar atividades para as quais
alunos necessitem utilizar informática; todas as questões serão apresentadas em
papel e lápis, assim como parte da pesquisa de Pelho (2003), pois nossa
expectativa em relação aos protocolos individuais é que apresentem ideias que
possam surgir em forma de texto, operações aritméticas ou algébricas, gráficos,
tabelas, e que poderiam oferecer oportunidade de identificar a imagem de conceito
de função de cada participante e quais características dos Três Mundos da
Matemática (TALL, 2004) estariam apresentadas nestas respostas. Da mesma
maneira que Pelho (2003), nossa pesquisa apresenta várias funções afins e
quadráticas, mas também resolvemos incluir outras, como função recíproca e
exponencial, por exemplo, para que os alunos pudessem demonstrar como se
comportam diante de funções estudadas com menor ênfase. Assim como na
pesquisa de Pelho (2003), também apresentamos questões em forma de texto, duas
delas referentes à análise de um orçamento e duas oferecendo aos sujeitos a
oportunidade de dissertar sobre o tema função.
Consideramos que nossa pesquisa se caracterizou diferentemente da
pesquisa de Pelho (2003) porque, apesar de ambas investigarem alunos de 2a série
do Ensino Médio, nossa pesquisa focaliza alunos da rede pública da cidade de São
Paulo, e buscamos identificar processos internos ao resolverem situações referentes
ao conceito de função e suas diversas apresentações. O objetivo de Pelho (2003) foi
o de investigar como os sujeitos alternavam entre os registros ou se efetuavam
conversões entre os registros de representação, e nós pretendemos identificar qual
25
(ou quais) das diversas representações de função o sujeito utiliza para resolver
determinada situação.
Em nossas pesquisas por literaturas referentes ao tema funções,
encontramos também a dissertação de mestrado de Costa (2004), que, por se tratar
de uma pesquisa que utiliza ideias aproximadas à nossa porque também investigou
definição de conceito e imagem de conceito, optamos por uma revisão diferenciada.
Esta pesquisadora realizou um estudo de caráter diagnóstico e interventivo com o
objetivo de investigar as concepções de função de um grupo de estudantes de 1o e
2o anos de um Curso de Licenciatura em Matemática. Com exceção da questão 4 do
questionário piloto, as demais questões dos dois questionários foram adaptadas à
partir de questões de outras pesquisas. Para a análise dos protocolos, utilizou as
idéias de definição de conceito e imagem de conceito, que fazem parte da
fundamentação teórica que utilizamos para elaborar nosso instrumento diagnóstico e
para analisar os protocolos.
Sua pesquisa foi aplicada em fases e etapas. Na primeira fase, aplicou
um questionário piloto a alunos de Cálculo I e Fundamentos da Matemática
Elementar I para ser respondido por escrito, individualmente. O grupo era composto
por 36 estudantes de 1o ano e 27 de 2o ano, perfazendo um total de 63 estudantes
de uma universidade pública do Pará. Para os alunos do 1o ano, a participação foi
em uma de suas aulas e de maneira não voluntária, pois a pesquisadora aplicou o
questionário a todos que estavam presentes naquele dia. Os alunos tiveram 50
minutos para responder, sem a intervenção do professor ou da pesquisadora. Já
com os alunos do 2o ano, a participação foi voluntária e os estudantes tiveram 25
minutos para responder, também individualmente, supervisionados pela
pesquisadora. Esta primeira fase permitiu que a pesquisadora reorganizasse o
questionário num instrumento definitivo e selecionasse alunos para a segunda fase.
A segunda fase foi dividida em duas etapas. Na etapa 1, a pesquisadora
convidou 8 dos alunos de 2o ano que haviam participado da 1a fase para
responderem o questionário definitivo composto de sete questões abertas. Esta
etapa foi realizada fora do horário de aulas e cada aluno respondeu individualmente
o questionário. Para concluir esta primeira etapa, a pesquisadora formou
aleatoriamente quatro duplas, permitindo que cada dupla analisasse as suas
26
respostas individuais e inclusive alterasse (com outra cor de caneta) suas respostas
caso achasse apropriado.
Para a etapa 2, escolheu uma das duplas cujas respostas individuais
considerou mais consistentes do ponto de vista matemático, pedindo que
confrontassem a resposta dada à questão 7 (o que é função em Cálculo?) com cada
resposta dada às questões de 1 até 6. A ideia da pesquisadora era de que os dois
alunos verificassem se a solução adotada em cada uma destas últimas questões
estava amparada pela resposta dada à sétima questão.
Analisaremos o questionário definitivo de Costa (2004), composto por 7
questões, já que foi a partir deste questionário que a pesquisadora realizou suas
análises e incluiremos comentários sobre o nosso instrumento de pesquisa.
Na primeira questão de Costa (2004), em um pequeno texto explicativo, é
solicitado ao estudante apresentar exemplos de função e de não função utilizando
quatro representações (tabular, fórmula, diagrama e gráfico cartesiano). O objetivo
era o de investigar elementos da imagem de conceito de função dos participantes
utilizando diferentes representações, e a conclusão da pesquisadora foi de que os
pesquisados apresentaram dificuldades somente na fórmula (representação
algébrica), apresentando respostas corretas nas representações tabular, diagrama e
gráfico cartesiano.
Em nosso questionário, optamos por não apresentar uma questão
semelhante. Nosso objetivo é inferir elementos da imagem de conceito individual de
estudantes, e também de identificar quais características dos Três Mundos da
Matemática (TALL, 2004) esses alunos apresentam em suas respostas.
Na questão 2 de Costa (2004), cujo objetivo também era o de inferir
elementos da imagem de conceito dos investigados, um pequeno texto explicativo
apresenta a expressão x2 + y2 = 1, perguntando se esta expressão representa ou
não y como função de x, e solicita apresentação dos recursos utilizados na resposta.
Com a análise desta questão, a pesquisadora concluiu que sete dos oito
pesquisados apresentaram definição de conceito incoerente com a definição de
função, já que parte deles afirmou que a cada valor de x correspondem dois valores
de y, e concluiu também que os resultados por ela encontrados diferem de Barnes
27
(1988 apud TALL, 1992 apud COSTA, 2004), que havia observado dificuldades de
alunos com este tipo de expressão.
Em nosso questionário, optamos por apresentar também questões que
pedem ao investigado identificar, em formas algébricas apresentadas, aquela que
representa ou não y como função de x. Pode ocorrer que algumas das questões que
estejam no nosso instrumento também tenham aparecido em outras pesquisas, mas
não as buscamos propositadamente, nos preocupamos em escolher atividades
familiares aos participantes. Conjecturamos que exista a possibilidade de respostas
incoerentes, assim como ocorreu com a pesquisa Costa (2004).
A questão 3 de Costa (2004) apresenta também com um pequeno texto a
expressão y = 2 em uma situação que poderia ocorrer em sala de aula de
Matemática, pergunta se y é ou não função de x e solicita justificativa. Seu objetivo
era o de inferir elementos da imagem de conceito. Esta pesquisadora, após analisar
os resultados desta questão, sugeriu que os indivíduos não apresentam elementos
conflitantes em relação à definição de função, já que as respostas estavam corretas.
Constatou também que seus resultados diferiam muito da pesquisa de Barnes (1988
apud TALL, 1992 apud COSTA, 2004).
Em nosso instrumento de pesquisa, optamos em não apresentar uma
expressão algébrica relacionada à função constante. Alguns estudos apresentam
que alunos encontram dificuldades em relação à função constante, como constatado
por Barnes (1988 apud TALL, 1992 apud COSTA, 2004), que investigou alunos da
faixa de 11 anos de idade e encontrou como resposta que o valor de y não depende
de x (BARNES, 1988 apud TALL, 1992 apud COSTA, 2004), e Markovits, Eylon,
Bruckheimer (1995, apud COSTA, 2004), que investigaram alunos de 9o e 10o ano
(cerca de 16 anos de idade), alunos de mesma faixa etária dos participantes de
nossa pesquisa, e perceberam que bem poucos entenderam a questão
(MARKOVITS; EYLON; BRUCKHEIMER, 1995 apud COSTA 2004). Acreditamos
que, excluindo este tipo de expressão, estaremos oferecendo maior possibilidade de
apresentação de respostas por parte dos pesquisados, pois nossa intenção é a de
investigar as respostas apresentadas.
A questão 4 de Costa (2004) apresenta um pequeno texto com uma situação
de sala de aula de Matemática com a igualdade y = x2 se x 0 ou y = x + 1 se x 0,
28
questionando se “esta igualdade representa ou não y como função de x” (COSTA,
2004, p. 43) e solicitando justificativa para a resposta. O objetivo declarado por esta
pesquisadora era o de identificar elementos da imagem de conceito dos
pesquisados, e, após analisar as respostas, sugeriu que a definição de conceito
constantes nas respostas de cada um dos protocolos não apresentava elementos
conflitantes, pois todos responderam corretamente a essa questão, e sugeriu
também que a imagem de conceito destes sujeitos não está restrita aos casos
lineares.
Em nosso questionário optamos em não apresentar uma expressão algébrica
de uma função dada por várias regras de correspondência, referentes a partes
distintas do domínio. Nossa experiência pessoal trabalhando com alunos do Ensino
Médio nos leva a acreditar que, para os alunos da pesquisa de Costa (2004), que já
estão cursando 2o ano da Licenciatura de Matemática, seria talvez uma questão
pertinente, mas para os alunos de 2a série de Ensino Médio uma questão assim
apresentada ofereceria grande dificuldade. Os resultados da pesquisa de Markovits,
Eylon, Bruckeimer (1995 p. 62 apud COSTA, 2004), que aplicaram um questionário
a alunos de faixa etária semelhante aos de nossa pesquisa confirmam nossa
conjectura.
Na questão 5 de Costa (2004) foram apresentados os três gráficos
cartesianos construídos a partir das expressões algébricas das questões 2, 3 e 4.
Esta questão pedia quais gráficos representavam uma função e o objetivo
apresentado pela pesquisadora era o de investigar elementos da imagem do
conceito de função quando representada graficamente. Após sua análise, a
pesquisadora concluiu que sete dos oito investigados afirmam que o gráfico
referente à expressão x2+y2=1 (item a) não é o gráfico de uma função porque a cada
valor de x correspondem dois valores de y (idem p. 62). Com relação aos dois outros
gráficos, todos os investigados afirmaram tratar-se de uma função, o que levou a
pesquisadora a concluir que sua pesquisa encontrou resultados diferentes daqueles
encontrados por Barnes (1988 apud TALL, 1992 apud COSTA, 2004) e por
Markovits, Eylon, Bruckheimer (1995 apud COSTA, 2004).
Em nossa pesquisa também apresentamos gráficos em duas questões: em
uma delas perguntamos se são gráficos de funções (questão 3) e em outra
29
perguntamos se representam uma dependência de y em função de x (questão 8),
mas optamos por apresentar a maioria dos gráficos semelhantes aos trabalhados
com alunos da faixa etária aproximada de 16 anos de idade. Apresentamos gráficos
de função polinomial do 1o grau, função quadrática, função cúbica, função recíproca,
um gráfico construído a partir da expressão x2+y2=2 e um gráfico onde
apresentamos x como função de y2, este semelhante a Barnes (1988, apud TALL
1992, apud COSTA, 2004). Destes gráficos, alunos da 2a série do Ensino Médio
(cerca de 16 anos de idade) que participarão da nossa pesquisa estudaram com
mais ênfase os dois primeiros citados, motivo pelo qual os colocamos nas duas
questões citadas. Conjecturamos que estas nossas questões apresentem menores
dificuldades na formulação de respostas. Independentemente disto, os demais
gráficos oferecem a oportunidade para que o estudante possa mostrar qual é a sua
reação frente a situações menos comuns. Nossa expectativa é a de que eles não
deixem itens sem resposta.
Na questão 6 de Costa (2004), a pesquisadora apresenta dois planos
cartesianos, um primeiro plano com dois pontos e o segundo plano com três pontos
não alinhados, perguntando a quantidade de gráficos que podem ser traçados
passando por estes pontos dados. Seu objetivo era o de ver se os sujeitos
apresentam as mesmas concepções de Markovits, Eylon, Bruckheimer (1995 apud
COSTA, 2004) e investigar se apareciam como imagens de conceito os gráficos
lineares. Concluiu que, nas respostas escritas, os sujeitos apresentam como
imagem de conceito a concepção de que “o gráfico de uma função deve ser linear
quando solicitado traçar possíveis funções através de pontos fixos” (COSTA, 2004,
p. 88) e, após as discussões, alguns alteraram a resposta para infinitos gráficos.
Em nosso questionário, optamos por não incluir uma questão semelhante a
esta. Conjecturamos que uma questão deste tipo, se aplicada a aluno de 2a série de
Ensino Médio, não apresentaria respostas que permitissem analisar de maneira
consistente elementos da sua imagem de conceito. Costa (2004, p. 46) afirma que
seu objetivo ao incluir esta sexta questão foi
investigar se os sujeitos envolvidos nessa pesquisa apresentam as mesmas concepções dos indivíduos pesquisados por MARKOVITS et al. (1988 apud TALL, 1992 apud COSTA, 2004), isto é,
30
apresentam uma concepção linear de funções, conforme constatou o autor (COSTA, 2004, p. 46).
Na questão 7 de Costa (2004, p.47) é perguntado o que é uma função em
Cálculo. O objetivo declarado pela pesquisadora era o de observar aspectos da
definição de conceito de função dos alunos. Concluiu que os investigados
apresentam de forma variada a definição moderna de função, resultado que coincide
com Markovits, Eylon, Bruckheimer (1995 apud COSTA, 2004). Afirmou também que
os sujeitos não consultaram a definição para responder às questões propostas, e
mesmo após a intervenção, pouco ou nada modificaram as respostas dadas na fase
anterior.
Em nosso questionário, incluímos uma questão muito semelhante. Buscamos
com isto oferecer ao sujeito a possibilidade de escrever da maneira como julgar mais
apropriada sua definição de função, e com isto pretendemos identificar
individualmente a imagem de conceito evocada pelo sujeito quando pensa no
conceito de função, observando as características dessa imagem de conceito dentro
dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004).
Em resumo, conjeturamos que esta nossa pesquisa se caracterizou
diferentemente da pesquisa de Costa (2004), uma vez que, além dos sujeitos
investigados apresentarem outro grau de maturidade e de contato com este conceito
matemático, também buscamos, nas respostas dos investigados, além da imagem
de conceito e da definição de conceito, elementos que caracterizem seu nível de
pensamento em relação aos Três Mundos da Matemática. Nossas questões, à
exceção de três itens entre os 23 apresentados, foram desenvolvidas pensando no
nível de maturidade dos sujeitos e na familiaridade destes com alguns tipos de
gráficos e expressões mais trabalhados na 1a série do Ensino Médio, e
conjecturamos que os alunos terão poucas questões que apresentam dificuldades
incompatíveis à sua idade e série. Optamos, entretanto, pela inclusão de três itens
que podem apresentar-se como novidade aos pesquisados, para permitir que os
sujeitos tenham oportunidade de reagir diante de situações menos comuns, talvez
favorecendo o surgimento de respostas que também permitissem identificar, de
maneira individual, como funciona o raciocínio de um aluno de 2a série do Ensino
31
Médio que iniciou estudo do conceito de função com maior ênfase na série anterior,
sem, contudo, apresentar grandes obstáculos ao raciocínio dos estudantes.
Conjecturamos também, que, o importante seja que os participantes da nossa
pesquisa apresentem respostas, sejam elas certas ou erradas, pois acreditamos que
estas respostas, em forma de texto, aritméticas, gráficas ou tabelas, poderão
mostrar indícios da maneira como os estudantes pensam ao resolverem problemas
envolvendo o conceito de função. Conjecturamos inclusive que mesmo as questões
deixadas em branco poderão apresentar indícios do modo como pensam, quando
associadas a outras respostas. Vale ressaltar que também vamos analisar se os
alunos acertaram ou erraram as questões, mas no sentido de tentar identificar
características do pensamento do sujeito ao cometer determinado acerto ou erro.
Talvez também seja possível identificar como alunos que estudaram conforme
orientações da Proposta Pedagógica do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008)
desenvolveram imagem de conceito e definição de conceito relativos ao conceito de
função.
Outro pesquisador que estudou o mesmo assunto foi Lopes (2003), que
também discute em sua dissertação de mestrado os aspectos relativos ao ensino e à
aprendizagem do conceito de função, em particular a função afim, tendo em vista a
importância da noção de função e de suas aplicações em diversas áreas do
conhecimento humano.
Considerou o trabalho de pesquisadores, nos quais há o consenso de que o
conceito de função deve estar relacionado aos aspectos de variação e dependência
e em diversas pesquisas que apontam dificuldades dos estudantes em fazer a
ligação entre diferentes representações de função: fórmula, gráficos, diagramas,
descrições verbais, interpretações de gráficos e manipulação de símbolos.
Baseou o seu trabalho nos conceitos teóricos de Raymond Duval, que
enfatiza a utilização de diferentes registros de representação e a coordenação
desses registros para a compreensão dos conceitos matemáticos.
Lopes (2003) realizou sua pesquisa em uma situação concreta em sala de
aula. Para isso, selecionou uma classe de 8ª série do ensino fundamental, série em
que a noção de função é introduzida.
32
Desenvolveu seu trabalho em um ambiente onde os alunos discutiram suas
escolhas e decisões sobre suas ações, buscaram validar suas respostas em
debates coletivos e tiraram suas conclusões sobre o conceito matemático envolvido.
O pesquisador escolheu esse tipo de ambiente, pois sua preocupação estava
voltada para as seguintes questões [...]:
[...] que fenômenos didáticos ocorrem, quando o aluno faz o tratamento, dentro de um mesmo registro, ou uma conversão em diferentes registros, nas condições institucionais e de ensino em que se deu a pesquisa? Que dificuldades eles encontram e de que procedimentos se utilizam nessa tarefa? Em que medida uma proposta de ensino, voltada às atividades de conversão e tratamento de registros de representação, permite o domínio de aquisições funcionais dos diferentes sistemas de representação requeridos para a formação do conceito de função? (LOPES, 2003, p.17).
A classe escolhida para o desenvolvimento da proposta pertencia a uma
escola estadual da periferia da cidade de São Paulo. Na classe havia 40 alunos, não
repetentes, que não haviam estudado funções, o que, segundo o autor, propiciou a
execução da pesquisa, já que buscava alunos que tomariam contato com o tema
pela primeira vez.
Antes do desenvolvimento do trabalho com os alunos, o pesquisador
freqüentou a sala com uma postura de estagiário, para observar a metodologia
tradicional da professora, que já era sua conhecida, e que relatava um certo nível de
desinteresse por parte dos alunos. Chamou de tradicional a utilização quase que
exclusiva da lousa.
Em seu trabalho, Lopes (2003) aplicou uma seqüência didática de 12
atividades, inspiradas em sua prática como docente e em livros didáticos, as quais
envolviam o conceito de função e suas representações, em particular a função afim.
Tais atividades foram trabalhadas em 17 aulas, nas quais o autor fazia a
regência, enquanto a professora da classe mais um professor convidado, o
auxiliavam no registro dos acontecimentos, fazendo um registro conjunto ao final de
cada atividade.
33
Em cada atividade os alunos formavam grupos de dois a quatro
componentes. O mesmo conteúdo entregue aos alunos era projetado na lousa, os
alunos liam os textos, e então, eram esclarecidas possíveis dúvidas sobre sua
interpretação.
Durante o desenvolvimento das atividades os alunos podiam ir à lousa
para explicar o seu ponto de vista para os colegas, e o pesquisador mediou a
discussão sem interferência direta.
Lopes (2003) fez observações e participava conversando com os alunos,
a respeito de suas dificuldades, enquanto realizavam a tarefa do dia. Coletou dados
tanto a partir dessas observações, quanto nas entrevistas informais com os alunos,
no exame de suas produções e nas reuniões com os professores que o auxiliaram,
com o intuito de compreender os fenômenos ocorridos no processo de ensino e
aprendizagem da função afim.
Lopes (2003) afirma que a postura de mediador nas discussões abertas e
participativas entre os alunos, propiciou uma melhor avaliação das atividades
propostas e a captação das concepções e dificuldades dos alunos na resolução dos
problemas propostos.
Baseando-se no desenvolvimento da primeira aplicação, o autor apresenta
um objetivo para cada uma das atividades e uma análise preliminar, na qual prevê
possíveis respostas e a colocação de algumas restrições, quando necessário, para
possibilitar a busca de outros aspectos envolvidos na atividade.
A seqüência didática desenvolvida por Lopes (2003), apresenta em linhas
gerais os seguintes objetivos:
- estabelecer relação de dependência entre variáveis;
- promover a construção da representação algébrica e da representação
gráfica de uma lei de formação de pares de números e fazer a conversão
dessas representações, especificamente de uma função afim;
- fazer a correspondência entre os valores visuais pertinentes e os valores
categoriais da escrita simbólica;
34
- verificar o reconhecimento e identificação das variáveis visuais
pertinentes;
- verificar se os alunos relacionam situações do dia a dia, com
representações matemáticas.
O autor chama de valores visuais pertinentes os aspectos importantes de um
gráfico como os pontos de intersecção com os eixos e a inclinação do gráfico. Valor
categorial de uma escrita simbólica são coeficientes e taxas. Entendemos nesta
leitura que a correspondência entre um valor visual pertinente e um valor categorial,
no caso da função polinomial do 1o grau, seria quando percebemos que o valor de y
onde ocorre a intersecção do gráfico corresponde ao coeficiente b da expressão
y=ax+b.
A conversão citada entre os seus objetivos se refere à capacidade de
associar um gráfico a uma expressão algébrica e vice-versa. Especificamente em
seu texto escreve:
A conversão de uma representação é a transformação dessa representação de um outro registro, conservando a totalidade ou uma pequena parte somente do conteúdo da representação inicial (DUVAL, 1993, p. 42, apud LOPES, 2003, p. 22).
Em sua análise sobre os resultados obtidos, Lopes (2003), ressaltou alguns
aspectos que considerou importantes no desenvolvimento da pesquisa, e entre
estes destacou a utilização de diferentes registros de representação nos
procedimentos de resolução por parte dos alunos, com o uso ou não de registros
intermediários, buscando a coordenação entre os registros específicos de cada
atividade. Considerou também importante as discussões em grupo dos resultados
de cada atividade, a sua postura como mediador destas discussões e o aspecto
desafiador das atividades propostas.
Para cada atividade aplicada, Lopes (2003) fez uma análise qualitativa dos
resultados, acrescentando uma tabela com resultados quantitativos nas análises de
duas atividades.
Percebeu que, nas primeiras atividades os alunos manifestavam seu
conhecimento cotidiano (usavam sua linguagem comum), apresentavam suas
35
justificativas com o uso de “verbos que indicavam movimento, como andar, subir
descer”, idéia esta que, segundo ele, está associada ao conceito de função
(KARLSON, 1962, p. 376 apud LOPES, 2003, p. 69).
Na seqüência do trabalho, com o uso de tabelas de correspondência entre os
valores numéricos e a partir das discussões coletivas, o autor introduziu as
representações de x e y para os valores correspondentes e os alunos chegaram a
descrever algebricamente as leis de formação, do tipo y = ax+b, identificando a
variável dependente e a independente.
Uma afirmação de Lopes (2003) foi que no
decorrer do trabalho, os alunos já tinham chegado ao consenso de que a representação algébrica da função faz uma intermediação que facilita a conversão da linguagem natural para a representação gráfica (LOPES 2003, p. 77).
Os alunos não haviam tido contato com as variáveis visuais pertinentes do
registro gráfico e os respectivos valores categoriais do registro algébrico, então as
questões foram colocadas de modo que eles analisassem a construção dos gráficos
e os valores numéricos presentes na expressão algébrica. Entre os resultados
obtidos o autor afirma que os alunos apresentaram algumas observações sobre
estas análises relativas ao paralelismo de retas, inclinação da reta em
correspondência ao valor do número que multiplica x, onde passa a reta no eixo y de
acordo com o número que é somado à variável x.
Contudo, tais observações se baseavam nos valores resultantes dos cálculos
referentes à expressão algébrica em questão, que eram relacionados em tabelas, o
que em caso de cálculos incorretos levava o aluno a questionar o comportamento da
reta.
Antes de iniciar a última atividade, o pesquisador fez uma institucionalização
do que já haviam estudado até aquele momento. Ao final desta última atividade, foi
proposto o trabalho individual dos alunos, sem interferência do professor, para
verificar o relacionamento entre registro algébrico e o gráfico de uma função afim e
vice-versa. Verificou-se, após análise quantitativa das respostas, que os alunos já
36
relacionavam o coeficiente b com o ponto em que a reta cruza o eixo das ordenadas
e que a inclinação da reta foi relacionada com sinal do coeficiente a, porém ainda
com alguns erros. Também nesta atividade, foi solicitado que os alunos
relacionassem três situações do dia-a-dia, que apresentavam a expressão falada
“em função de”, com representações algébricas, numéricas e gráficas. Após uma
análise quantitativa inicial do número de acertos dos alunos, o pesquisador verificou
que alguns erros eram decorrentes da confusão entre duas situações apresentadas
e outros eram decorrentes de erros de cálculos feitos para a identificação da tabelas.
Concluiu que os alunos já não apresentavam dúvidas quanto à relação do
coeficiente b da equação da reta com o valor no eixo das ordenadas correspondente
à intersecção do gráfico, embora ainda não houvesse o rigor da linguagem
matemática.
Lopes (2003) concluiu também que o diálogo e o uso de recursos
favoreceram o prosseguimento do trabalho de pesquisa em sala de aula e que,
partindo da primeira forma de expressão das regularidades feita pelos alunos, a
verbal em linguagem natural, foi possível trabalhar a linguagem técnica, a
representação analítica na forma algébrica, a geométrica na forma de gráficos e a
aritmética com as tabelas de valores. E que essa diversidade de representações e a
conversão entre elas, como na fundamentação teórica, foi enfatizada como elemento
fundamental para a apreensão de um objeto matemático.
Este pesquisador ressalta que a percepção das variáveis visuais pertinentes,
no registro gráfico, tornou-se evidente quando de sua correspondência com os
valores categoriais no registro algébrico. Considera que a forma de comunicação
dessas regularidades é tarefa importante no estudo dos mecanismos da natureza,
favorecendo que os alunos percebam a relação da posição e inclinação da reta em
comparação aos coeficientes angular e linear da expressão algébrica da função do
1o grau.
Destaca ainda que apesar de apresentar análise com resultados quantitativos
em duas das atividades propostas, avaliou também a eficiência destes trabalhos
“pela modificação da qualidade de produção”, isto é, uma melhora nas iniciativas,
nos procedimentos dos alunos para efetuar os tratamentos matemáticos, no
interesse na execução das atividades. Lopes (2003) conclui que a pesquisa atingiu
37
seus objetivos e contribuiu para oferecer subsídios para uma abordagem de ensino
que incentive a criatividade e as produções individuais, em contrapartida com uma
desenvolvida nos moldes tradicionais, com uso estrito de lousa e giz.
Em nossa pesquisa, de maneira diferente da pesquisa de Lopes (2003),
pretendemos verificar o aprendizado do conceito de função utilizando como
fundamentação teórica as ideias de imagem de conceito, definição de conceito
(TALL; VINNER, 1981) e as características dos Três Mundos da Matemática (TALL,
2004) que possam surgir nos protocolos de alunos da 2a série do Ensino Médio.
Aquele pesquisador elegeu o quadro teórico dos Registros de Representação
Semiótica de Duval (2001 apud LOPES, 2003) para elaborar sequência didática para
alunos de 8a série do Ensino Fundamental e para analisar os protocolos. Nossa
pesquisa não prevê uma sequência didática, porque trata-se de uma avaliação
diagnóstica com análise qualitativa dos dados.
Seguindo nossa revisão de literatura, encontramos a tese de doutorado de
Zuffi (1999) que investiga como professores do Ensino Médio se expressam e fazem
uso da linguagem matemática para suas concepções e na formação das
concepções dos alunos, e como utilizam as relações entre as definições formais
colocadas e as obtidas por meio de exemplos. Para isso, utilizou o conceito de
função, pela importância e pelas várias possibilidades de notação.
Foram pesquisados sete professores que lecionam em escolas públicas, em
escolas particulares ou em ambas. Para desencadear seu trabalho a pesquisadora
observou as aulas de Matemática de uma professora em sua sala de 1a série do
Ensino Médio por dois meses. Em seguida, sua pesquisa foi dividida em três
momentos.
Primeiro momento: utilização de um questionário composto de 20 perguntas
em que solicitava uma definição informal e uma formal para função, seguidas de
outras dezoito questões que abordavam as representações de função, como
gráficos e expressões algébricas, além de domínio e imagem. Por exemplo, a
pergunta sobre o conceito de função foi feita de dois modos diferentes: “(1) Dê uma
definição informal para função” e “(2) Forneça uma definição matemática de função”.
O objetivo era verificar possíveis distinções entre linguagem matemática formal e
utilização de termos informais. Em relação ao que definem Tall e Vinner (1981), as
38
perguntas de Zuffi (1999) têm potencial para diagnosticar a definição de conceito e,
em relação aos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), alguma característica da
imagem de conceito de função.
Segundo momento: usado como instrumento complementar, para melhor
caracterização da realidade escolar e da formação profissional dos sete professores
pesquisados e desenvolveu-se por meio de entrevistas realizadas com estes
professores.
Terceiro momento: observação, pela pesquisadora, das salas de aula de
primeira série do Ensino Médio de três dos sete professores, por um período de
nove meses, em duas escolas da cidade de São Carlos, no interior de São Paulo.
A análise dos dados utilizou várias fundamentações teóricas diferentes
conforme características destes dados: imagem de conceito de Vinner (1991 apud
ZUFFI, 1999); as concepções de ação, de processo e de objeto, apresentados nos
trabalhos de Dubinsky e Harel (1992 apud ZUFFI, 1999); as ideias de obstáculos
epistemológicos apresentados por Sierpinska (1992); as ideias referentes à
linguagem matemática sugeridas por Hanna (1995 apud ZUFFI, 1999), Cury (1988
apud ZUFFI, 1999), Gouvêa, Ag Almouloud (1996 apud ZUFFI, 1999); a
transposição didática do ensino de funções de Oliveira (1997 apud ZUFFI, 1999); as
ideias de abstrato e concreto de Meira (1993 apud ZUFFI, 1999) e as considerações
sobre enfoques sintático, semântico e sócio cultural para linguagem matemática
sugerida por Fonseca (1997 apud ZUFFI, 1999).
A autora verificou que os professores utilizam a linguagem formal apenas para
escrever a definição do conceito da forma como aparece nos livros didáticos, sem
discutir coisas que considera importantes sobre o conceito, como: variação, domínio,
a necessidade de imagem única e exemplos de relações que não são funções.
Outro ponto foi que a representação de funções ocorre apenas no sentido do
algébrico para o gráfico, excluindo uma maior integração de outras representações,
necessárias para uma visão mais ampla dos conceitos.
Concluindo, a autora cita que os professores do Ensino Médio utilizam uma
linguagem matemática determinada pela prática pedagógica, pelos livros didáticos e
pela situação cultural vivenciada nas escolas. Aspectos lógicos e formais que
39
permeiam o Ensino Superior destes professores, significados em relação ao
cotidiano, parecem não serem utilizados. A linguagem matemática apresenta-se
estática, acabada e sem dinamismo, sem características de uma linguagem que
expresse ideias vivas e em movimento, e que inclusive são orientadas na Proposta
Curricular consultada (CENP, 1991 apud ZUFFI, 1999).
Em nossa pesquisa pretendemos estudar respostas de alunos, e não é nosso
objetivo estudar como professores os ensinaram. Por esta razão a consideramos
diferente da de Zuffi (1999). Esta pesquisa, entretanto, apresenta dados importantes
e um que nos chamou a atenção vem no sentido de orientar os professores que eles
podem não contribuir para as imagens de conceito dos alunos quando não oferecem
uma ampla apresentação de possibilidades ao trabalhar um conceito. Tomando por
exemplo o de função, quando um professor só utiliza a representação algébrica
como suporte para construir uma tabela e depois o gráfico, o aluno poderia pensar
que esta é a única maneira de trabalhar este conceito, ou ainda, pensar que
somente uma destas representações seja a função.
Flores e Moretti (2006) apresentam uma pesquisa na qual destacam que a
representação gráfica é importante tanto para organização quanto para análise de
dados, citando algumas pesquisas que relacionam o conhecimento matemático em
relação a estas representações, como Barreto (2003 apud FLORES; MORETTI,
2006), Cordani (2003 apud FLORES; MORETTI, 2006), Lopes (2003 apud FLORES;
MORETTI, 2006). Destacam a importância no tratamento das informações, na
construção de tabelas e gráficos cartesianos e na interpretação destas
representações.
Como fundamentação teórica escolheram os Registros de Representações
Semióticas para a aprendizagem matemática de Duval (1995, 1998, 1999, 2002,
2003 apud FLORES; MORETTI, 2006). Organizaram o trabalho discutindo sobre as
funções cognitivas das representações semióticas, destacaram as representações
gráficas, como suporte representacional de dados e informações, e empreenderam
uma análise das implicações cognitivas, utilizando representações gráficas do tipo
tabela. Para Duval, “ensinar matemática é antes de tudo possibilitar o
desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização”
(DUVAL, 1999 apud FLORES; MORETTI, 2006 p.27). Consideram ainda que as
40
representações semióticas assumem um papel importante, pois um mesmo objeto
matemático pode ter representações diferentes, dependendo da necessidade e do
uso. Duval “agrupa (as representações semióticas) em quatro grandes registros de
representação: a língua natural, as escritas algébricas e formais, as figuras
geométricas e as representações gráficas” (DUVAL 2003 apud FLORES; MORETTI,
2006, p. 28).
Além da introdução de conceitos e de métodos estatísticos para auxiliar a
coleta, a organização, a interpretação e a análise de dados, é preciso o
desenvolvimento de habilidades de leitura, como o julgamento de informações
semiotizadas (são as informações apresentadas com uso de algum registro de
representação), pois cada tipo de organização de dados conduz a um tipo específico
de representação, por exemplo, gráficos, tabelas, diagramas, e ler e interpretar uma
destas representações não é uma tarefa fácil. Exige por parte do leitor certa
intimidade e exige também domínio do modo de representação utilizado. Neste
sentido, os pesquisadores situam o trabalho, discutindo as questões:
“como compreender a complexidade da organização visual da informação e da comunicação em representações gráficas? E qual o interesse dessa compreensão para a educação matemática?” (FLORES; MORETTI, 2006, p. 27).
Afirmam ainda que o interesse pelo mundo das representações não se dá
apenas pela possibilidade de entendimento cognitivo para a aprendizagem
matemática, mas pelas funções cognitivas que estas representações preenchem.
Para Duval (1999 apud FLORES; MORETTI, 2006)
são quatro as funções que as representações podem preencher: função de comunicação, função de tratamento, função de objetivação e função de identificação. A primeira é a função de transmissão de uma mensagem ou de uma informação entre indivíduos, ela requer a utilização de um código comum aos indivíduos. A segunda é a função que transforma uma representação em outra, utilizando unicamente as possibilidades de funcionamento do sistema de representação mobilizado. A terceira, é a função que permite a um sujeito tomar ciência daquilo que até então não o tinha feito. [...] Enfim, é a função de identificação que permite encontrar, ou
41
reencontrar, um dado ou uma informação dentre muitas outras. A identificação é, portanto, o trabalho cognitivo que permite a recuperação da memória, seja ela humana ou de um sistema informático [...] (DUVAL, 1999 apud FLORES; MORETTI, 2006, p. 28).
A representação gráfica constitui um importante instrumento para a análise de
dados e o tratamento da informação. Nos meios de comunicação, vemos
constantemente o uso de quadros, tabelas e gráficos. No caso dos gráficos e das
tabelas, não é suficiente que o aluno saiba lê-los, é necessário também que ele
saiba organizar e operar de forma objetiva os dados contidos nestes modos de
representação.
Duval considera que “uma tabela é essencialmente finita, enquanto que um
gráfico cartesiano não é” (DUVAL, 2002 apud FLORES; MORETTI, 2006, p. 32), o
que o levou a concluir que a
diferença entre a característica finita das tabelas e a característica potencialmente infinita dos gráficos cartesianos diz respeito aos objetos representados e não ao princípio sobre o qual o sistema de representação se funda. Este princípio repousa sobre uma disposição espacial bi dimensional em vista de separar e de localizar
os dados (DUVAL, 2002 apud FLORES; MORETTI, 2006, p. 32).
Para os pesquisadores, as tabelas podem apresentar-se com “características
sinópticas, como se fossem bancos de dados” (FLORES; MORETTI, 2006, p. 33),
exigindo apenas uma leitura pontual, ou seja, uma consulta rápida na busca por
respostas. Por vezes elas se apresentam sob um caráter de classificação e
variação, permitindo inferir relações numa leitura global da tabela, tanto no sentido
vertical como no horizontal, que devem ser explorados simultaneamente. Citam que
Duval (2002 apud FLORES; MORETTI, 2006) diz tratar-se de um passo de
“apreensão global” (DUVAL, 2002, p. 12 apud FLORES; MORETTI, 2006, p. 33),
porque “a passagem de um passo pontual a um passo de interpretação global na
leitura das tabelas representa um salto do ponto de vista cognitivo" (DUVAL, 2002,
p. 12 apud FLORES; MORETTI, 2006, p. 33).
42
Com isso, os autores afirmam que podemos compreender que a organização
semiótica de uma tabela não se restringe a uma simples disposição de linhas e
colunas. Sua organização depende da sua estrutura e “a função cognitiva mais
evidente e requerida na leitura de tabelas é a de identificação” (FLORES; MORETTI,
2006, p. 34). A distribuição de informações em linhas e colunas permite separar
visualmente as informações e localizá-las rapidamente. E, segundo Duval
[...] o simples fato de mudar de tarefa para o mesmo tipo de tabela pode acarretar uma mudança no nível de apreensão e, portanto, nos passos da leitura (DUVAL, 2002, p. 28 apud FLORES; MORETTI, 2006, p. 34).
Para os autores,
compreender os processos cognitivos requeridos no uso de tabelas e gráficos, no ensino da matemática, significa entender o funcionamento representacional que gera apreensões de leitura e tratamentos específicos (FLORES; MORETTI, 2006, p. 35).
Neste sentido, consideram que o ensino de Matemática deveria possibilitar
outras tarefas que não só a simples leitura de tabelas e gráficos, mas também as de
construir, interpretar e preencher a tabela e reunir todos os dados e informações
para organizá-la.
Desse modo, concluem que as representações gráficas estão longe de se
constituir um meio de representação simples e evidente. No caso das tabelas,
afirmam “que elas se articulam de maneira explicita, ou implícita, com
representações num outro registro” (FLORES; MORETTI, 2006, p. 35), o que
significa que elas “não são representações autônomas” (FLORES; MORETTI, 2006,
p. 37). Esta articulação propõe que a
interação entre a tabela e o enunciado verbal do problema, ou a escrita algébrica, é essencial já que será essa possibilidade que comandará a maneira de ler uma tabela. É a conversão entre os registros que possibilitará uma leitura global das representações gráficas (FLORES; MORETTI, 2006, p. 36).
43
“O simples fato de mudar de tarefa para o mesmo tipo de representação
gráfica pode provocar mudanças de apreensão” (FLORES; MORETTI, 2006, p. 36) e
pode alterar as etapas da leitura, permitindo o desenvolvimento cognitivo e o
entendimento do registro de representação.
Em nossa pesquisa, que caracterizamos como diferente da pesquisa de
Flores e Moretti (2006), também buscamos aspectos cognitivos do aprendizado de
alunos, mas no sentido de diagnosticar elementos com os quais cada sujeito,
individualmente, responde a algumas situações envolvendo o conceito de função.
Não exigimos que o aluno construa uma tabela ou um gráfico para resolver um
determinado problema, mas apresentamos um questionário que o coloca diante
desse problema e esperamos que ele busque a maneira que considerar mais
apropriada para resolvê-lo para, aí sim, avaliarmos suas reações e seu raciocínio.
Outra diferença com relação à pesquisa que estamos conduzindo é que os
pesquisadores basearam-se numa fundamentação teórica diferente da que
utilizamos na elaboração das questões e que utilizaremos na análise dos protocolos.
Em algumas das literaturas consultadas encontramos referência ao
trabalho de Sierpinska (1992). Em seu artigo “On understanding the notion of
function”, que traduzimos como “Entendendo a noção de função”, a pesquisadora
discorre sobre: o entendimento em matemática de um modo geral; o que considera
importante para que a mente humana desenvolva a noção de função; e os
obstáculos epistemológicos que ocorrem em relação a este conceito. Apresentamos
no anexo C, página 184, uma tabela onde relacionamos os entendimentos e os
obstáculos epistemológicos que a pesquisadora associou ao conceito de função.
Optamos por este tipo de organização para simplificar a apresentação e também
porque resumimos o nosso entendimento em relação ao que a pesquisadora
considerou importante para que a noção de função na mente humana se torne algo
que ela chamou de significativo. Na pergunta: “what do we mean by understanding
functions?” e que traduzimos como “o que queremos dizer com entender funções?”
(SIERSPINSKA, 1992, p. 25), pensamos que a autora sugere muitos
questionamentos: Qual o entendimento de funções que se desenvolve ao
estudarmos o tema? Como utilizamos o conceito? O que é necessário para
44
sabermos tudo sobre o conceito de função? Esta nossa impressão é reforçada
quando a pesquisadora afirma que o entendimento de um objeto ocorre
somente quando vimos exemplos e contraexemplos do objeto definido, quando podemos dizer o que este objeto é e o que ele não é, quando temos ciência de suas relações com outros conceitos, quando sabemos que suas relações são semelhantes a relações que nos são familiares, quando entendemos a posição que o objeto definido tem dentro de uma teoria e quais suas possíveis aplicações. Em resumo, o que nós podemos afirmar que entendemos sobre ele (SIERPINSKA, 1992, p. 26, nossa tradução).
Esta frase mostra um entendimento aprofundado e muito bem estabelecido
em relação a um conceito, que talvez poucas pessoas poderiam afirmar tê-lo em
relação ao conceito de função em matemática.
A autora destaca dois tipos complementares de interpretação dos saltos
entre os pensamentos antigos e novos na mente humana: conhecendo o novo,
contemplamos o velho e vemos o que impedia nosso entendimento (alguns destes
empecilhos podem ser chamados de obstáculos epistemológicos); ou olhamos para
o novo e o interpretamos como uma nova forma de pensar. De uma maneira geral,
os obstáculos epistemológicos
não são resultado exclusivo de um determinado modo de ensino, não são idiossincráticos, não ocorrem somente com uma ou outra pessoa. Eles são comuns a determinadas culturas, seja no presente ou no passado, e podem ser vistos objetivamente como obstáculos a novos modos de conhecimento. (SIERPINSKA, 1992, p. 27, nossa tradução).
A autora identifica três níveis distintos de obstáculos epistemológicos. O
primeiro refere-se às dificuldades, crenças e convicções do nosso ponto de vista. É
um nível que pode ser comunicado de maneira clara para outros. A autora cita como
exemplo a frase: “matemática é a linguagem da ciência” (SIERPINSKA, 1992, p. 27),
o que nos sugere caracterizar-se neste nível uma frase que por vezes ouvimos
durante nosso trabalho em sala de aula e que diz “matemática é difícil”. Outro, é o
dos esquemas de pensamento, e que se refere às maneiras como interpretamos
situações e problemas, a maioria inconscientes. Neste nível, estão coisas que
45
podem ser treinadas durante nossa socialização e nossa educação. O terceiro e
último nível citado pela pesquisadora é o do conhecimento técnico, que se refere ao
conhecimento em que valor e validade são declarados por critérios racionais e
consistentes, tratando-se também de um conhecimento explicito, mas diferente
daquele do primeiro nível, podendo ser chamado de justificação racional. Os três
níveis não são independentes, pois para explicar problemas e conceitos do nível
técnico podemos utilizar coisas do primeiro e do segundo níveis.
Com relação aos entendimentos em um sentido geral, são citadas quatro
categorias de atos de entendimento: Identificação (de um objeto entre outros);
Discriminação (entre dois objetos); Generalização (extensão do domínio de
aplicações) e Síntese (percepção de relações e conexões). No caso de função, a
autora tenta reduzir o entendimento a uma ou várias dessas categorias. Se
definirmos função pela via formal simbólica, podemos fazê-lo quase sem utilizar
palavras, com o senso lógico confinado ao que a definição apresenta. Mas quando a
noção é aplicada a algum contexto, matemático ou matematizado, pode ser usada
linguagem informal, que pode produzir muitos entendimentos não relacionados com
a lógica da definição.
Quando falamos em grandezas variáveis, por exemplo, em Física,
concebemos funções como relações entre estas grandezas variáveis. Se, em
Matemática, pensamos em curvas sobre um sistema de coordenadas também
pensamos em relações entre as coordenadas dos pontos ao longo destas curvas,
nas equações implícitas nas relações entre as coordenadas. Aqui, a imagem que
temos da função é estática no sentido de leis não definidas por nós (não as
fizemos), mas que poderíamos descobri-las. Podemos transformar esta imagem em
uma imagem dinâmica, quando construímos o gráfico de uma função usando uma
estrutura algébrica, pois nós processamos a variável independente para obter a
variável dependente.
Se perguntarmos a nós mesmos “o que a definição do conceito de função
diz?” (SIERPINSKA, 1992, p. 30, tradução nossa), então a resposta pode ser que
seja uma tripla ordenada (X, Y, f), onde X e Y são dois conjuntos e f um subconjunto
de XxY de modo que se (x,y) pertence a f e (x,y‟) pertence a f, então y=y‟; mas se a
pergunta é “do que trata a definição?” (SIERPINSKA, 1992, p. 30, tradução nossa), a
46
resposta não é simples, pois refere-se a uma interpretação ou aplicação do conceito
que, neste caso, envolve pelo menos os quatro tipos de entendimentos citados.
A pesquisa de Sierpinska (1992), então, teve como objetivo apresentar
obstáculos epistemológicos associados ao conceito de função e os atos mais
fundamentais de entendimento de função que estão de alguma forma ligados a
esses obstáculos.
Como a pesquisa de Sierpinska (1992), ao nosso ver, está ligada à
formação do conceito de função e a nossa é um diagnóstico que busca definição de
conceito, imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) e características dos Três
Mundos da Matemática (TALL, 2004) que surgem nas respostas de alunos da 2a
série do Ensino Médio, após terem estudado o tema, julgamos as duas teorias
conflitantes para nossa análise. Assim, optamos por utilizar apenas o quadro teórico
dos Três Mundos da Matemática e deixar as ideias de Sierpinska (1992) talvez para
uma possível continuação deste trabalho na forma de uma intervenção para alunos
que vão iniciar o estudo de função.
Ousamos dizer mais: com base em nossa experiência em sala de aula,
acreditamos que o início do ensino de função poderia (ou até deveria) ocorrer
inclusive antes do que ocorre pelo currículo atual.
3. CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Nos dois capítulos anteriores, apresentamos nossas dúvidas, nossas
questões e algumas das leituras que contribuíram para estruturar nossa pesquisa.
Entre estas, estão incluídas as que consideramos como parte da nossa
fundamentação teórica e, portanto, serão apresentadas especificamente neste
capítulo, onde procuraremos justificar porque usamos, além das ideias de imagem
de conceito e de definição de conceito (TALL; VINNER, 1981), os Três Mundos da
Matemática (TALL, 2004) para fundamentar a elaboração do questionário e porque
os utilizaremos na análise dos protocolos.
47
3.1. Introdução
Conforme descrevemos no parágrafo 1.1 referente à justificativa (página 10),
nosso primeiro contato com um estudo organizado foi na especialização, com a
monografia que apresentamos sobre os erros de alunos ao trabalharem com função
(ANGELINI, 2006). Utilizamos naquele trabalho, como base teórica, os Registros de
Representação Semiótica de Raymond Duval (1993 apud TRALDI JÚNIOR, 2002
apud ANGELINI, 2006) e realizamos uma análise quantitativa dos erros de alunos
diante de problemas e situações envolvendo função. Naquela oportunidade,
consideramos importante analisar se alunos conseguiam transitar entre um registro
e outro, como por exemplo, se sabiam partir da forma algébrica para construir uma
tabela e desta para a construção do gráfico correspondente. Hoje sabemos que,
naquela oportunidade, não estudamos de maneira aprofundada aquele quadro
teórico e a análise que fizemos, do tratamento que alunos deram ao responder as
questões, poderia ter sido mais eficiente.
Nos estudos no Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, além de ter
sido possível reavaliar aquele trabalho da Especialização, também foi possível
identificar outros pontos importantes que devem ser considerados, quando
queremos analisar concepções de alunos referentes ao conceito de função.
Consideramos importante que um aluno saiba utilizar linguagem em forma de texto,
identificar fórmula (expressão algébrica), construir e interpretar tabelas e gráficos e
desejamos que ele perceba que são apresentações diferentes do mesmo conceito,
mas percebemos que cada indivíduo aprende de uma maneira bastante peculiar.
Um sujeito tem facilidade em resolver uma situação de uma determinada maneira,
enquanto outro pode resolver a mesma situação de maneira diferente. Podemos
pensar em dois sujeitos que se deparam com uma situação de função apresentada
na linguagem em forma de texto. Após a leitura, um deles pode pensar em resolvê-la
utilizando uma sequência de operações aritméticas utilizando dados e informações
encontradas no texto. Um outro sujeito, entretanto, pode pensar em esboçar um
gráfico. É de se supor que uma ou outra maneira de resolver pode levar ao resultado
procurado, mas, dependendo do enunciado, uma delas pode ser mais apropriada
que a outra no sentido de resolvê-la de modo mais rápido ou eficiente, mas
48
independentemente disso, os dois sujeitos podem encontrar a resposta utilizando
modos diferentes. Um exemplo que nos ocorre é a análise de vantagem de
orçamentos de empresas diferentes em que estejam envolvidos valores fixos e
variáveis. Um indivíduo que resolva decidir qual orçamento seria mais vantajoso
fazendo contas, poderia talvez demorar mais tempo do que um outro que esboçasse
um gráfico ou que construísse uma expressão algébrica para cada empresa e as
igualasse, mas ambos poderiam encontrar o resultado procurado. Ocorre que na
primeira maneira, ao fazer contas, o sujeito pode gastar muito tempo para decidir
enquanto o outro pode resolver em menos tempo se souber interpretar um gráfico.
É claro para nós que professores devem dar ao aluno oportunidade de utilizar
várias representações, mostrar maneiras de interpretar e de resolver situações para
as quais é possível usá-las, mas consideramos que, quando este aluno estiver fora
da nossa sala de aula, ele poderá, e com certeza irá, utilizar a maneira que julgar
mais familiar ou mais segura para ele. Este aluno poderia pensar, por exemplo, que
não importa se em algum momento da vida nos deparamos com uma análise de
orçamento e utilizamos expressões algébricas, ou um gráfico, ou uma tabela, mas
que é necessário reagir e resolver o problema de maneira eficiente. Ocorre que se
ele conhecer as representações, ele com certeza decidirá pela que trouxer mais
segurança. Ele será mais eficiente que outro? Talvez, mas conhecendo maior
quantidade de representações, provavelmente será.
Pensando assim, passamos a estudar não só a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica, mas também os Três Mundos da Matemática, a teoria
dos Campos Conceituais, da Transposição Didática, entre outras, alguns estudos
encaminhados nas aulas das diversas disciplinas cursadas, outros a partir de
orientações e, entre essas teorias, interessamo-nos de maneira especial pelos Três
Mundos da Matemática. Conjecturamos que esta teoria, que se encontra em
processo de desenvolvimento, poderia oferecer subsídios para avaliarmos que tipo
de mecanismo o sujeito utiliza ao resolver situações nas quais esteja envolvido o
conceito de função, ou ainda permitir a identificação do que leva um sujeito a
escolher uma determinada maneira de resolução diferente de outro sujeito.
Por esta razão, pretendemos analisar respostas individuais de alunos ao
trabalharem com função e elegemos as idéias de definição de conceito, imagem de
49
conceito (TALL; VINNER, 1981) e os Três Mundos da Matemática (TALL, 2004)
como fundamentação teórica para elaborar o questionário e para analisar os
protocolos. Passaremos então a descrever nosso entendimento deste quadro
teórico.
3.2. Sobre a imagem de conceito
Imagem de conceito é uma tradução a partir de Concept Image (TALL;
VINNER, 1981, p.152). Este termo passou a ter esta tradução a partir de Giraldo
(2004, p. 8) e é utilizado para definir
a estrutura cognitiva associada ao conceito, que inclui todas as imagens mentais, processos e propriedades associadas. Ela é construída ao longo dos anos, através de experiências de todos os tipos, mudando enquanto o indivíduo encontra novos estímulos e amadurece (GIRALDO, 2004, p. 8).
É importante salientar que a imagem de conceito individual é evocada por um
determinado indivíduo e pode diferir em relação a outro, uma vez que os cérebros de
duas pessoas podem percorrer caminhos diferentes. Isto nos levou a considerar
como um dos objetivos desta pesquisa a identificação dessas imagens de conceito
que alunos do Ensino Médio possam apresentar ao trabalhar com situações que
envolvem o conceito de função. Neste nosso trabalho, adotamos a tradução definida
por Giraldo.
No final de 2009, em sala de aula de matemática para 1a série do Ensino
Médio, desejávamos que os alunos apresentassem suas impressões referentes a
gráficos cartesianos de funções de uma variável. Como desejávamos respostas
escritas, perguntamos individualmente, em uma atividade, como eles fariam para
explicar o gráfico verbalmente para outra pessoa e também se eles percebiam
semelhanças ou diferenças entre os gráficos apresentados. Os gráficos que
apresentamos foram de uma função polinomial do 1o grau crescente (que
chamamos gráfico h), uma função polinomial do 1o grau decrescente (g), uma
função quadrática (j) e de uma função exponencial (i). Um dos alunos respondeu
50
que eram semelhantes somente dois gráficos, h e g, com a diferença que um era
“uma linha vertical subindo para direita” e outro “uma linha vertical subindo para
esquerda”. Um outro aluno, referindo-se aos mesmos gráficos de funções, escreveu
que “são retas que estão em diferentes ângulos”. Na imagem de conceito destes
alunos estão presentes aspectos da geometria e as afirmações “subindo para
esquerda”, “subindo para direita” e “estão em diferentes ângulos” parecem-nos
indícios de que eles enxergam o crescimento ou o decrescimento, mas não os
apresentaram em palavras de uso da matemática. As respostas destes alunos
apresentam características do mundo corporificado, sobre o qual teceremos
comentários adiante, ainda neste capítulo.
3.3. Sobre a definição de conceito
Definição de conceito é a tradução a partir de Concept Definition (TALL;
VINNER, 1981, p. 152) estabelecida por Giraldo (2004, p. 9) e faz parte da imagem
de conceito do indivíduo. A definição de conceito “pode ou não utilizar sentença de
palavras para especificar um dado conceito” (GIRALDO, 2004, p. 9). Ela pode ser
apresentada em palavras que por vezes não seriam aquelas de uso formal em
matemática, uma simples memorização ou compreensão do indivíduo, e, assim
como a imagem de conceito, também muda ao longo do tempo.
Apresentamos, no parágrafo 1.1, página 12, o resultado de uma atividade
em sala de aula de 3a série do Ensino Médio, que realizamos em agosto de 2008
(ver página 15). Naquela oportunidade, apresentamos aos alunos a pergunta: “o que
é função?”, escrita da forma que consideramos naquela oportunidade como a mais
clara e objetiva possível. Constatamos que 15 dos 22 alunos responderam que
função é uma equação. Analisando as respostas, percebemos que a definição de
conceito apresentada por estes indivíduos não traz as idéias de relação, variação e
de dependência, que são importantes no conceito de função, por serem mais amplas
do que as que são possíveis em expressões caracterizadas como equações.
Não estamos tentando impedir do uso da palavra equação para se referir ao
conceito de função, vários autores associam esta palavra à expressão algébrica que
51
representa uma função, como por exemplo Caraça (1954, p. 58) ao mostrar como se
dá a definição de função por meio da sua expressão analítica:
a relação y=x2+x+1, onde x é uma variável real definida em todo o eixo, faz corresponder a todo o número real xi um número único yi=xi
2+xi+1; fica assim definida, portanto, uma função y(x).
Do mesmo modo, a equação 2x+3y-1=0, onde x é a mesma variável,
faz corresponder a cada xi um único yi = 3
21 ix e, portanto, esta
equação define também uma y(x) (CARAÇA, 1954, p. 58).
A dúvida que colocamos com relação à resposta dos alunos está apoiada em
nossa experiência em aulas de matemática. Eles parecem pensar em função como
uma expressão com uma resposta única, talvez a mesma incógnita que aparece na
equação, que poderia ser calculada após algumas operações. Este tipo de
pensamento não se parece em nada com a ideia de função que gostaríamos que os
alunos tivessem, associada a noção de relação ou dependência.
3.4. Sobre os já-encontrados:
Segundo este quadro teórico, a imagem de conceito dos indivíduos
apresenta já-encontrados. Esta é a tradução que foi adotada por Lima (2007) para o
termo met-before (TALL, 2004), que é definido como
um construto mental que um indivíduo usa em dado momento, baseado em experiências que ele encontrou anteriormente. Eles são parte da imagem de conceito de um indivíduo (LIMA; TALL, no prelo, p. 6 apud LIMA, 2007, p. 86).
Esta também é a tradução que utilizaremos para o referido termo neste
trabalho.
O cérebro muda em suas habilidades de pensar ao longo do tempo,
reorganizando informações para criar novas estruturas, que podem oferecer
52
maneiras melhores e mais sofisticadas de entender novas situações. O cérebro não
é somente um depósito de experiências vividas, ele adiciona novas informações às
informações antigas, reformulando-as, alterando o pensamento e provocando o
amadurecimento do indivíduo. David Tall afirma a importância referente às
características presentes no pensamento do estudante quando afirma:
Pessoas experientes em matemática podem ter esquecido como eles pensavam quando jovens e é apropriado refletir em como diferentes já-encontrados de estudantes afetam a maneira como eles aprendem (TALL, 2008, tradução nossa).
Em nossa pesquisa pensamos que nas respostas dos alunos poderão surgir
os já-encontrados relacionados ao trabalho com o conceito de função e que estes
devam ser identificados e avaliados, já que fazem parte da imagem de conceito que
buscamos identificar. Esses já-encontrados podem ajudar ou atrapalhar porque os
já-encontrados podem influenciar o aprendizado tanto de maneira positiva quanto negativa. Por exemplo, um indivíduo pode ter visto anteriormente, em Aritmética, que 3+4=7 e, ao deparar com 3x+4x, pode concluir que a soma é 7x, usando um fato conhecido. Entretanto, um indivíduo também pode deparar-se com a expressão 3+4x e concluir, enganosamente, que ela é igual a 7x. Nesse sentido, a experiência anterior com Aritmética tornou-se um obstáculo para o aluno. (LIMA, 2007, p. 87).
Aquele aluno que participou da atividade que citamos acima e respondeu que
um gráfico era uma reta “subindo para esquerda” enquanto no outro a reta estava
“subindo para direita” pode fazer uso deste já-encontrado de maneira a ajudar ou
atrapalhar, porque cada vez que ele observar uma reta construída sobre o plano
cartesiano poderá afirmar que trata-se de um gráfico de função, mas, sua resposta
dependerá de como a reta foi construída sobre o plano, caso seja paralela ao eixo
vertical e ela afirmar que é um gráfico de função, o já-encontrado aqui está
atrapalhando. Da mesma maneira, o mesmo já-encontrado pode também atrapalhar
ao estudar funções cujos gráficos não fossem uma linha reta.
53
Imaginamos como sendo ideal o tipo de pensamento referente a função que
associe o conceito às suas diversas representações, caracterizando uma imagem de
conceito rica em seus já-encontrados, com diversas imagens mentais, opções de
procedimentos e conhecimento dos processos. Um sujeito assim provavelmente terá
mais sucesso ao trabalhar com funções que outro cuja imagem de conceito possa
ser considerada pobre.
3.5. Sobre os a-encontrar:
O termo a-encontrar, tradução de met-after, é utilizado para designar “uma
experiência que se tem no presente e que afeta a memória de conhecimentos
prévios” (LIMA; TALL, no prelo, p. 7 apud LIMA, 2007, p. 88).
Conjecturamos a possibilidade de surgimento de a-encontrar nos
protocolos.
3.6. Sobre a relação entre os mundos
Os processos construtivos sugeriram a existência de diferentes processos
de desenvolvimento do pensamento matemático do indivíduo, formando uma
diferença de sofisticação entre estas maneiras de pensar matematicamente. No
quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, cada mundo representa os
diferentes caminhos que o cérebro percorre no seu desenvolvimento e são:
O mundo conceitual-corporificado, que é baseado nas percepções e
reflexões nas propriedades dos objetos, inicialmente vistos e sentidos no mundo
real, mas que podem também ser imaginados na mente. Neste trabalho, por
simplificação, chamaremos este mundo de mundo corporificado.
54
O mundo proceitual-simbólico, que surge do mundo corporificado e vem
à tona por meio de uma ação, que por sua vez é transformada num conceito
pensável por meio de um símbolo, que funciona como processo e como conceito
(proceito). Chamaremos este mundo de mundo simbólico. Adiante, ainda neste
capítulo apresentaremos nosso entendimento do que seja proceito.
O mundo formal-axiomático, baseado em definições e demonstrações, no
qual o pensamento utiliza objetos conhecidos para formalizar conceitos baseados
em definições teóricas da matemática axiomática. Neste trabalho chamaremos este
de mundo formal.
O quadro abaixo, baseado em Tall (2008) e traduzido por Badaró (2009)
apresenta a sugestão para o desenvolvimento cognitivo:
Figura 1: Desenvolvimento cognitivo através dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2007
apud BADARÓ, 2009, p.9)
Observando esta figura, tentamos imaginar quando um indivíduo seria mais
bem sucedido em Matemática que outro. Nossa primeira suposição é que este
55
sucesso dependeria do tipo de situação que se apresentasse e da sua reação de
cada um ao resolvê-la. Esta reação poderia mostrar as características da sua
imagem de conceito (os já-encontrados) para aquela determinada situação e poderia
sugerir como o indivíduo utiliza os já-encontrados. Então poderíamos comparar os
já-encontrados dos indivíduos em relação aos Três Mundos da Matemática.
Ousamos supor, também, que para identificar com maior aproximação o sucesso de
um indivíduo em relação a outro, a quantidade de situações deveria ser a mais
diversificada possível, para tentar identificar como e qual (ou quais) já-encontrados
cada sujeito utiliza em cada uma delas.
Pensamos que, se um indivíduo souber utilizar seus conhecimentos de função
de modo a percorrer todo o caminho cognitivo sugerido pela figura 1, ele será bem
sucedido. Ousamos denominar caminho cognitivo a possibilidade de se movimentar
cognitivamente sobre os Três Mundos da Matemática, não no sentido geográfico de
um lugar estático, conhecido, mapeado, mas como uma ampla possibilidade de
experiências, imagens mentais, procedimentos, processos, com características as
mais ricas possíveis, permitindo assim, reagir o mais próximo possível da maneira
ideal diante de cada situação.
3.7. Sobre o mundo corporificado
O mundo corporificado é a tradução da forma reduzida embodied world
(TALL, 2004) que foi assim traduzida por Lima (2007, p. 73) e que adotamos neste
trabalho. Ele refere-se às representações percebidas dos conceitos. Um exemplo do
mundo corporificado é aquele obtido em nossa atividade apresentada em sala de
aula para uma 3a série de Ensino Médio, em agosto de 2008. Ao perguntarmos aos
alunos o que é função, um deles disse que ela pode ser “utilizada também para
descobrir um ponto no gráfico”. Outro disse é aquilo “onde você pode obter uma
incógnita e assim também colocá-la em um plano cartesiano”. Um gráfico, em
relação aos Três Mundos da Matemática, está relacionado ao mundo corporificado,
pois é possível percebê-lo em uma figura manipulável, mesmo que mentalmente.
David Tall, em sua visita ao Brasil e à UNIBAN em 2008, usou uma maneira de
56
explicar a relação entre um gráfico e o mundo corporificado fazendo um gesto como
se estivesse pegando o gráfico em suas mãos.
Como exemplo de já-encontrados referentes ao mundo corporificado
poderíamos sugerir os gráficos (construção e identificação de pontos), operações
aritméticas (utilizando números inteiros, por exemplo), entre outros.
3.8. Sobre o mundo simbólico
O mundo simbólico, tradução de symbolic world adotada por Lima (2007,
p. 73) e que utilizaremos neste trabalho, refere-se ao uso de símbolos. Podemos
pensar no exemplo de um cálculo, que utiliza conceitos pensáveis como o número,
representa não só o conceito, como também os procedimentos exercidos sobre os
números e o resultado destas ações. Uma combinação de símbolos, processos e
conceitos, construída a partir de um processo é chamada proceito elementar. Este
termo, cuja tradução estamos utilizando, foi apresentada por Lima (2007) e,
inicialmente, “Proceitos” elementares são definidos como “... o amálgama de três componentes: um processo, que produz um objeto matemático, e um símbolo que é usado para representar tanto o processo quanto o objeto” (GRAY; TALL, 1994, p. 120 apud LIMA, 2007, p. 57, tradução e grifos de Lima, 2007).
Podemos citar como exemplo as expressões “2x+6 e 2(x+3) que representam
o mesmo proceito porque os procedimentos – „dobrar [o valor de] um número e
somar 6‟ e „somar 3 a um número e dobrar o resultado‟ – são diferentes”
(McGOWEN; TALL, 2010) mas têm o mesmo efeito. Então, concluímos que 2x+6 e
2(x+3) são exemplo de proceitos elementares e o resultado final representa o
proceito.
Vale ressaltar a maneira que estamos considerando os termos procedimento
e processo conforme apresentados por Tall (2001) e traduzidos por Lima (2007),
onde usamos
57
[...] a palavra procedimento no sentido de “uma sequência
específica de passos desenvolvidos, um passo de cada vez. O
termo processo é usado num sentido mais amplo para incluir
qualquer número de procedimentos que essencialmente
„tenham o mesmo efeito‟.” (TALL, et al, 2001, p. 87 apud LIMA,
2007, p.59).
São exemplos de características do mundo simbólico referente a função: a
expressão algébrica, como a forma genérica y=ax+b; as possíveis notações de
função f(x), g(x), entre outras; a regra de três utilizada nos cálculos de
proporcionalidade direta; e também o uso de símbolos para cálculos em Aritmética,
para manipulações em Álgebra e Cálculo, porque este mundo
não se desenvolve da mesma maneira que o desenvolvimento da geometria de van Hiele, mas a partir da expansão do contexto de contagem para novos contextos, usando frações, permitindo débitos usando números negativos, representações decimais, repetindo ou não repetindo as casas decimais, números reais, números complexos, vetores em duas, três ou n dimensões, entre outros (TALL, 2004, p. 285, tradução nossa).
3.9. Sobre o mundo formal
O mundo formal, tradução adotada por Lima (2007, p. 73) para a forma
reduzida formal world (TALL, 2004) e que estamos adotando neste trabalho,
apresenta uma grande distinção em relação aos mundos corporificado e simbólico,
já que nestes dois últimos as descrições surgem a partir de experiências com
objetos cujas propriedades são descritas e usadas como se fossem definições; em
matemática formal, as apresentações formais partem de um grupo de definições
teóricas, axiomas e outras propriedades, deduzidas a partir de demonstrações. Esta
diferença também está apresentada na Figura 1, página 52, que apresenta o
desenvolvimento cognitivo através dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2008, p.
5 apud BADARÓ, 2009, p.9)
58
Um exemplo de resposta referente à função que se aproximou de uma
resposta formal surgiu na pesquisa com estudantes universitários de Costa (2004),
quando sujeitos responderam que função é uma terna com valores de domínio,
contra-domínio e uma regra de formação. Em sala de aula do Ensino Médio
encontramos de maneira mais comum respostas corporificadas e simbólicas.
3.10. Sobre o conceito de função e os Três Mundos da Matemática
Para falar do conceito de função em relação aos Três Mundos da Matemática
consideramos que seja interessante conjecturar sobre como os já-encontrados
poderiam contribuir para que a imagem de conceito de quem aprende ofereça a
possibilidade de enfrentar com sucesso diversas situações, dentro ou fora da escola.
Podemos supor que um indivíduo será mais bem sucedido que outro quanto maior
for sua capacidade de reação às mais diversas situações, e neste sentido, inserimos
este parágrafo, que também atende sugestão apresentada pela banca no exame de
qualificação.
Pensamos que o conceito de função é um dos mais amplos porque apresenta
características que podem se referir a cada um dos Três Mundos da Matemática.
Quando pensamos em situações de função relacionadas ao mundo corporificado,
pensamos nas diversas representações que o conceito apresenta: como as tabelas
numéricas; as operações aritméticas, principalmente aquelas onde se utilizam
números inteiros; a construção de gráficos e diagramas; os textos, principalmente
aqueles encontrados nas descrições de problemas para alunos do Ensino Médio.
Estas representações podem ser consideradas como pertencentes ao mundo
corporificado porque os já-encontrados referentes a elas apresentam estas
características. Quando um sujeito utiliza uma expressão numérica utilizando
números naturais ou inteiros ele mostra características do mundo corporificado
porque este tipo de número pode ser associado, à maioria das vezes, a processos
de contagem, que são já-encontrados com características corporificadas.
Quando um sujeito faz a construção de um gráfico, utiliza já-encontrados do
mundo corporificado como a disposição dos eixos, o ângulo entre estes eixos, a
59
localização de valores nas escalas, principalmente utilizando os números inteiros e a
identificação dos pontos sobre o plano cartesiano. Estas características que
encontramos em alunos do Ensino Médio nas aulas de Matemática são
corporificadas, porque eles podem manuseá-las tanto fisicamente quanto
mentalmente. Ao ler um problema envolvendo números inteiros, comuns nas salas
de aula do Ensino Médio, identificando os valores e construindo uma expressão
numérica, o sujeito apresenta características do mundo corporificado.
Em relação ao mundo simbólico, um sujeito que saiba utilizar uma ampla
gama de representações e os processos e procedimentos relacionados a elas,
apresenta uma imagem de conceito mais rica que outro que não saiba ou que
apresente limitações. Podemos acrescentar que muitas situações envolvendo
função podem ser estudadas e resolvidas de maneira eficiente utilizando gráficos,
tabelas ou operações aritméticas.
As características do mundo simbólico que associamos ao conceito de função
são: a utilização de expressões algébricas baseadas nas expressões genéricas,
como a da função polinomial do 1o grau y=ax+b ou outras; as expressões utilizando
a notação de função como f(x), g(x) ou outras; utilização de regra de três. Um aluno
que saiba utilizar a regra de três, por exemplo, apresenta já-encontrados com
características simbólicas. Da mesma forma, um aluno que observa um gráfico de
função em que a linha se pareça com a parábola e diga que se trata de uma função
cuja expressão seja y=ax2+bx+c, mesmo que não anote os valores numéricos dos
parâmetros a, b e c, também apresenta características do mundo simbólico.
Como exemplo de características do mundo simbólico podemos citar um
indivíduo que, para avaliar orçamentos, construa suas expressões algébricas para
efetuar manipulações. Este tipo de manipulação é interessante quando desejamos
encontrar um ponto de equilíbrio ao comparar dois orçamentos.
Quando pensamos nas características que poderiam fazer parte do mundo
formal, nossas ideias foram: a questão da relação de dependência, sabendo se uma
situação se refere ou não à função; a identificação do que sejam as variáveis
dependentes e independentes; domínio e imagem; saber que y é o mesmo que f(x),
mas que y não é a mesma coisa que f; interpretação de um gráfico ou tabela em
relação aos aspectos de percepção da relação entre as grandezas representadas.
60
Estas características fazem parte do mundo formal e, numa situação ideal, deveriam
fazer parte da imagem de conceito de função de alunos do Ensino Médio ao final do
seu curso.
Pensando em percursos no caminho cognitivo oferecido pelos Três Mundos
da Matemática, conjecturamos que alguns podem ser considerados como de alta
valia para formar uma imagem de conceito que desejamos para nossos alunos,
como por exemplo o percurso passando de um gráfico para a expressão algébrica.
Um indivíduo que saiba entender um gráfico e, a partir dele, identificar valores para
encontrar a respectiva expressão algébrica, apresenta já-encontrados que permitem
supor seu sucesso num curso superior de ciências exatas, por exemplo. Poderíamos
situar o pensamento deste indivíduo com características dos mundos corporificado e
simbólico, caracterizando uma transição interessante das suas ideias, e se o
indivíduo mostrar características de entender o comportamento das grandezas
mostradas no gráfico, suas ideias se aproximam do mundo formal e talvez este
sujeito esteja plenamente integrado aos Três Mundos da Matemática.
A mesma coisa talvez não possa ser dita de um indivíduo que utiliza a
expressão algébrica para substituir valores e construir um gráfico. Apesar de
apresentar características tanto do mundo corporificado quanto do mundo simbólico,
este procedimento, se utilizado de maneira única, não apresenta a mesma qualidade
na transição entre os dois mundos quanto um sujeito que saiba transitar do gráfico
para a expressão algébrica. Acreditamos que este caminho, passando tanto da
expressão ao gráfico quanto do gráfico à expressão deve ser favorecido nas aulas
de Matemática por oferecer aos alunos a possibilidade de ampliar sua imagem de
conceito.
Podemos também afirmar, com base em nossa experiência em sala de aula,
que quando um aluno depara-se com expressões algébricas em alguns exames e
precisa “testar” as alternativas, ele carece de mais elementos em sua imagem de
conceito. O mesmo vale para outro que substitui valores numéricos naturais ou
inteiros em expressões algébricas e constrói uma tabela. Sua imagem de conceito
de função pode ser estática e talvez até pense que uma destas duas representações
seja a função. Trabalhando nas aulas de Matemática com várias destas situações
61
cujas características se referem ao mundo corporificado e ao mundo simbólico,
acreditamos que alunos do Ensino Médio ampliarão sua imagem de conceito.
Ousamos comentar que os alunos do Ensino Médio apresentam uma imagem
de conceito com limitações nas utilizações das representações de função e na
transição de pensamento entre os Três Mundos da Matemática. Nos Capítulos 1 e 2,
quando apresentamos a justificativa e a revisão de literatura para realização desta
nossa pesquisa, respectivamente às páginas 12 e 21, comentamos resultados de
alunos da faixa etária dos 15 aos 17 anos. Os resultados mostrados por avaliações
institucionais, como SARESP, em sala de aula de Matemática e em pesquisas
mostram alunos que apresentam sérias dificuldades ao utilizar representações de
função, seja a tabela, o gráfico, a expressão algébrica, o texto. Parece que este
conceito, que consideramos muito importante em Matemática, não está estruturado
no pensamento dos alunos que concluem esta etapa de seus estudos.
Pensando assim, estruturamos metodologicamente nossa pesquisa com
questões que acreditamos ter o potencial de permitir que alunos do Ensino Médio
possam expor a maneira como reagem diante de situações envolvendo o conceito
de função, com o objetivo de diagnosticar imagem de conceito, definição de conceito
(TALL; VINNER, 1981) e as características dos Três Mundos da Matemática (TALL,
2004) presentes nas suas respostas. O próximo capítulo trata-se, portanto, de
comentar esta pesquisa.
4. A PESQUISA
Até o momento, fizemos uma apresentação da importância do conceito de
função em Matemática, expressa em vários documentos. Também apresentamos
nossas questões de pesquisa e acrescentamos alguns estudos que realizamos em
literaturas referentes ao tema. Em seguida, apresentamos uma ideia do quadro
teórico que elegemos para fundamentar a elaboração do instrumento diagnóstico e a
análise dos protocolos. Neste capítulo, colocaremos os comentários com relação à
nossa pesquisa.
62
4.1. Introdução
Nossa pretensão, como já dissemos, seria a de realizar uma pesquisa
diagnóstica sobre função com análise qualitativa dos dados. Para tanto, optamos por
aplicar um questionário a alunos de 2a série de Ensino Médio. As perguntas deste
questionário foram elaboradas segundo a fundamentação teórica que elegemos,
utilizando as representações de função que os alunos estudaram na 1a série do
Ensino Médio, como a representação tabular, a gráfica, a linguagem em forma de
texto, a algébrica, e utilizadas em situações que consideramos, pela nossa prática
docente, compatíveis com o nível de maturidade dos alunos da faixa etária de 15 a
17 anos. Optamos por apresentar atividades para serem resolvidas em papel e lápis
porque desejamos que os participantes se sintam à vontade para escrever aquilo
que considerarem como a resposta mais apropriada para cada questão, e também
porque
qualquer que seja a atividade escrita, desde que ela obrigue os alunos a sondar suas ideias e compreensão sobre alguma matemática em que estejam envolvidos, pode capturar evidência importante de seu pensamento matemático (POWELL, 2001, p. 78).
Os sujeitos da pesquisa são alunos de uma escola pública estadual da cidade
de São Paulo. O convite foi apresentado a uma sala, que em média tem 45 alunos,
com a expectativa de que vários deles aceitassem participar. O grupo com alunos
participantes receberiam esclarecimentos com relação aos nossos objetivos na
pesquisa, sem identificar o tema central, que é o conceito de função. Pretendíamos
que eles tomassem conhecimento do tema somente no momento de responder às
questões.
No momento da aplicação, deixaríamos o professor da sala à vontade para
permanecer junto aos seus alunos ou deixá-los conosco, como achasse mais
conveniente. Não pretendíamos de início colocar observador(es), nem sabíamos
naquele momento se haveria necessidade de realizar entrevistas. Nossa expectativa
era que as imagens de conceito, as definições de conceito (TALL; VINNER, 1981) e
63
as características dos alunos em relação aos Três Mundos da Matemática (TALL,
2004) apareceriam nos protocolos.
Também no momento da aplicação do questionário, não pretendíamos intervir
junto aos participantes.
Agora, passaremos a apresentar as questões elaboradas. Procuramos
justificar cada uma delas em relação à sua importância para nossa pesquisa e
aproveitamos para conjecturar possíveis respostas dos alunos, com uma análise
preliminar destas respostas. Vale ressaltar, que apresentamos alguns exemplos e
não temos a pretensão de sugerir que apresentamos todas possíveis respostas para
cada uma das questões.
4.2. As questões
Neste item pretendemos apresentar cada uma das questões elaboradas para
o nosso instrumento diagnóstico, acompanhadas de uma justificativa de sua
importância para nossa pesquisa e da respectiva análise didática. Cada questão
vem acompanhada de comentário sobre algumas das suas possíveis respostas.
Análise didática da questão no 1.
1) Em Matemática, o que significa para você a palavra função?
O objetivo desta questão é identificar a definição de conceito individual (TALL;
VINNER, 1981) que um sujeito apresenta quando pensa no conceito de função em
Matemática.
Desejamos verificar se e como o sujeito sabe expressar, na forma escrita, a
definição de função. Nossa expectativa é de que o sujeito exponha seus
conhecimentos prévios do que seja função, adapte-os em escrita, formando uma
frase ou texto que expresse a maneira como ele define função.
64
Uma questão colocada desta maneira é importante porque oferece
oportunidade ao aluno de expressar a maneira como ele define o conceito de função
que, em forma de texto, é de importância reconhecida em Matemática. O Caderno
do Aluno da 1a série do Ensino Médio, volume 2, que os alunos receberam em 2009
quando cursaram aquela série, apresenta a seguinte definição de função escrita em
forma de texto:
Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que seus valores assumam valores inter-relacionados. Quando, deixando variarem livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra grandeza y também variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x; dizemos ainda que x é a variável independente e y é a variável dependente (SÃO PAULO, 2009, p. 3, grifos do autor).
O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2008), que sugere os tópicos a serem
trabalhados em sala de aula segundo Proposta Curricular do Estado de São Paulo,
enfatiza aos professores que busquem outros aspectos importantes da definição de
função quando afirma
não trataremos aqui de alguns tópicos importantes para esse conteúdo, como as definições, domínio e a imagem dessas funções, por julgar que esses são facilmente encontrados nos diversos livros didáticos” (SÃO PAULO, 2008, p.10).
Pelas orientações citadas acima é de se supor que aspectos importantes de
funções foram trabalhados em sala de aula.
Colocamos no início da questão o termo “em Matemática”, porque desejamos
evitar que possam surgir respostas como “função de vendedor”, ou “minha função é
estudar”. Esperamos, com este texto, deixar claro que não se trata de uma profissão
ou alguma outra coisa fora da Matemática. Também decidimos não colocar
expressões como “escreva um texto”, “escreva com suas palavras”, ou algo similar,
porque temos como objetivo não influenciar o aluno a pensar que só aceitaremos
este tipo de resposta e acabe deixando de colocar outra coisa que tenha em sua
memória, como por exemplo se pensar que função é um gráfico e desenhá-lo, ou
65
ainda que é uma fórmula e escreva uma expressão algébrica. Queremos que o
sujeito não se deixe levar pelo texto da questão para dar sua resposta, e que esta
resposta seja fruto exclusivamente do seu pensamento.
A resposta que gostaríamos de encontrar em cada protocolo está relacionada
com coisas importantes neste contexto, como relação entre duas grandezas,
dependência entre duas grandezas, proporcionalidade direta ou inversa, além, é
claro, da definição de função, que poderá ser aquela fornecida pelo livro didático,
assim colocada:
sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B (GIOVANNI; BONJORNO, 2005, p. 112).
Também fazem parte de nossa expectativa respostas que estejam associadas
a propriedades importantes das funções, como crescimento, decrescimento,
máximos, mínimos, ou ainda que estejam relacionadas a exemplos ou aplicações.
Um aluno que use como exemplo o da tarifa de táxi (SÃO PAULO, 2009b p.18) e
mostre que a tarifa é a soma de uma parte fixa com outra variável, diretamente
proporcional à distância percorrida, mesmo que utilize outras palavras, estará
fornecendo informações importantes de sua definição de conceito.
Citamos, no parágrafo 1.1, página 12, o resultado de uma atividade em sala
de aula de 3a série do Ensino Médio, que realizamos em agosto de 2008 (ver p. 15),
na qual para a pergunta “o que é função?” apareceu como resposta “é uma
equação” para 68% dos alunos participantes. Naquela aula, não especificamos o
termo “em Matemática”, porque estávamos em uma aula de Matemática, na qual
discutíamos algumas dificuldades de alunos do Ensino Superior em disciplinas de
conteúdo matemático. Naquela época, várias dúvidas que se relacionavam com a
quantidade de erros nos ocorreram, mas repensando nos dias atuais,
conjecturamos: “será que os alunos pensam que função e equação admitem um
mesmo tipo de tratamento para os dois casos?”. Sabemos que não apresentam
características fundamentais semelhantes, portanto, o modo de pensar em cada
uma delas é diferente. Em função estamos interessados na relação entre as
66
grandezas, na questão de como uma depende da outra, isto é, como a variação
destas grandezas estão relacionadas entre si. Em equação, em geral, buscamos a
solução que normalmente chamamos de raiz, executando algumas manipulações
com a incógnita para calcular seu valor.
Novamente consideramos oportuno dizer que existem equações que
representam uma função, como x+y=4, uma das questões que colocamos em nosso
instrumento diagnóstico, mas a resposta destes alunos naquela atividade pode
significar que eles estivessem pensando em termos de incógnitas e não em
variáveis. Como não investigamos, naquela época, com este tipo de enfoque, nosso
comentário está se referindo então à nossa experiência em sala de aula.
Nos protocolos, podem surgir também algumas representações que os
sujeitos internalizaram ao estudar função. Podem surgir algumas expressões
algébricas, evidenciando uma definição de conceito com características do mundo
simbólico e que o aluno poderia estar pensando que se não existir uma fórmula não
é função. Podem surgir tabelas e gráficos, que mostram características do mundo
corporificado ou textos, apresentando ideias que se relacionem com o conceito de
função, como relação ou dependência, que têm características que podem estar
associadas ao mundo formal, dependendo das palavras que forem utilizadas.
Análise didática de questão 2.
2) Para consertar um refrigerador, uma oficina cobra uma taxa fixa de
R$20,00 pela visita e R$ 15,00 por hora trabalhada. Qual o valor pago por um
conserto se o técnico trabalhou 3,25 horas? (Deixe anotados seus cálculos, seus
rascunhos e seu raciocínio).
O objetivo desta questão é identificar algumas características dos Três
Mundos da Matemática (TALL, 2004) que estão presentes na imagem de conceito
(TALL; VINNER, 1981) do aluno, ao resolver uma situação deste tipo.
67
Uma questão assim é importante, porque pode fornecer oportunidade ao
aluno de ler um texto e resolver com características do mundo corporificado, do
mundo simbólico, ou ainda do mundo formal. A maneira como o sujeito apresenta a
resposta pode trazer à tona aspectos que ficaram registrados em seu pensamento
ao estudar função na série anterior, e mostrar como ele “percorre” os Três Mundos
da Matemática (vide Figura 1, página 54).
Ao elaborar esta questão, pensamos em apresentar uma situação prática,
com elementos próximos ao cotidiano do estudante, mas evitando que todos os
valores envolvidos fossem números inteiros, daí a decisão de utilizar o tempo
representado no formato decimal. Este fato pode permitir o surgimento de já-
encontrado relacionado à transformação das unidades. Também optamos em
apresentar um texto, porque é uma forma familiar ao aluno e pode favorecer seu
entendimento, ampliando as possibilidades de respostas e, talvez, diminuindo a
quantidade de respostas em branco nos protocolos.
Esperamos encontrar nos protocolos respostas que mostrem a expressão
algébrica y = ax +b, seguida da expressão numérica obtida a partir dela, que poderia
ser: Valor pago em R$ = R$ 15,00/h x 3,25 h + R$ 20,00; e finalizada com a
sequência dos cálculos feita corretamente. A característica do mundo formal
presente neste tipo de resposta é o aluno perceber pelo texto tratar-se de uma
função polinomial do 1o grau, escrever a forma algébrica básica desta função
(mundo simbólico) e em seguida escrever a expressão numérica e resolvê-la (neste
caso também é mundo simbólico). Gostaríamos de uma resposta apresentada desta
maneira porque mostraria que o estudante sabe percorrer diferentes caminhos entre
os Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) para resolver esta situação, e porque
apresenta um já-encontrado importante do mundo formal que é o de saber tratar-se
de uma situação envolvendo função polinomial do 1o grau.
Um sujeito que efetue cálculos aritméticos, iniciando com a multiplicação do
valor unitário da hora trabalhada pelo tempo gasto (no formato decimal) e
posteriormente somando este resultado ao valor fixo, estará apresentando imagem
de conceito com características do mundo simbólico. Segundo o referencial teórico
que adotamos, trabalhar com números decimais é uma característica do mundo
68
simbólico. Possível já-encontrado referente a este tipo de resposta estaria
relacionado com a ordem em que as operações devam ser realizadas.
Um sujeito que escreva a expressão numérica e em seguida efetue os
cálculos, apresenta em sua imagem de conceito características do mundo simbólico
porque o uso de números no formato decimal se refere a este mundo.
Um aluno que construa uma tabela ou teste valores diferentes de tempo para
localizar o valor a pagar mas que para isso use números no formato decimal estará
apresentando características da intersecção entre o mundo corporificado e o mundo
simbólico. Caso faça uso de números naturais, a característica predominante é de
mundo corporificado. Um possível já-encontrado estaria relacionado à maneira de
transformar unidades de tempo.
Análise didática da questão 3.
3) Observe os gráficos A e B abaixo:
A
69
B
Das relações apresentadas nos gráficos A e B:
I – é função apenas aquela que aparece em A.
II – é função apenas aquela que aparece em B.
III – são funções aquelas que aparecem em A e também em B.
IV – não são funções nem A e nem B.
Justifique suas respostas.
O objetivo desta questão é investigar, em casos conhecidos, como o aluno
decide que os gráficos sejam ou não de uma função, quais seriam os possíveis
elementos da imagem de conceito do sujeito presentes na sua justificativa de
resposta e quais características dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004)
podem surgir nos protocolos.
Uma questão assim apresentada é importante, porque oferece a possibilidade
de surgir já-encontrado que esteja presente no raciocínio dos alunos. Eles muito
provavelmente sabem que se tratam de dois gráficos de função, porque já os
encontraram no ano letivo anterior, na forma de reta e parábola, muito embora,
neste caso, não esteja explícito que o gráfico B é de uma parábola, o que reforçaria
a idéia do já-encontrado. De qualquer forma, os já-encontrados que podem surgir,
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
70
nas justificativas solicitadas, são importantes para tentar identificar características
dos Três Mundos da Matemática que estão presentes no raciocínio dos alunos. Os
elementos que surgirem nas respostas serão avaliados em relação ao quadro
teórico que escolhemos.
Gostaríamos de encontrar nos protocolos, além das respostas que os dois
gráficos são gráficos de funções, justificativas como: uma reta que não seja paralela
ao eixo y representa o gráfico de uma função; uma parábola com a concavidade
voltada para cima é um gráfico de função do 2o grau; afirmações referentes aos
coeficientes angular e linear da função polinomial do 1o grau; afirmações referentes
ao ponto de mínimo da função quadrática apresentada. Estas afirmações também
poderiam ser acompanhadas pelas formas algébricas da função afim e da função
quadrática e associadas aos respectivos gráficos, este outro já-encontrado
importante.
São diversas as possibilidades de resposta a esta questão. Um sujeito que
afirme ser uma reta e portanto um gráfico de função, sugere um já-encontrado
relacionado com a função polinomial do 1o grau, mas cuja resposta apresenta, como
margem de interpretação, que todas as retas seriam gráficos de função,
caracterizando um já-encontrado, presente na imagem de conceito, que pode ajudar
ou atrapalhar o estudo atual. Alguns comentários sobre isso aparecem no parágrafo
3.2, na página 47. A mesma afirmação, acompanhada da forma algébrica y=ax+b,
mostraria um já-encontrado com características do mundo simbólico, com
interligação com o mundo formal, porque o sujeito sabe tratar-se de função
polinomial do 1o grau. Se um aluno responder que o gráfico A ou o B (ou ambos) são
gráficos de função, apresentando ou não a forma algébrica, mas afirmando que se
trata de função porque traçando paralelas ao eixo vertical a intersecção com o
gráfico ocorre em um único ponto, mesmo que não utilize estas palavras, estará
apresentando um já-encontrado que pode se referir tanto ao mundo corporificado
(porque poderia tratar-se de um procedimento memorizado), ou mundo formal
(porque percebe o aspecto da definição que se refere a uma única imagem
observada no gráfico). Para caracterizar de modo mais apropriado uma resposta
com este teor seria necessário avaliar a resposta desta questão em relação a outras.
71
No caso do gráfico B, se a justificativa for que se trata de uma parábola, ou que
representa um gráfico da função quadrática ou do 2o grau, podemos caracterizar aí
um já-encontrado importante, que pode também prejudicar ou ajudar a
aprendizagem atual. Na questão não está explícito que se trata de uma função
quadrática ou que se trata de uma parábola, nem que se trata de uma função. A
resposta do sujeito poderia estar baseada em verificações efetuadas sobre os pares
ordenados que representam os pontos do gráfico, a aí o já-encontrado ajuda, mas
também poderia estar baseado em imagens mentais, e neste caso poderia
atrapalhar porque o sujeito pode pensar que gráfico de função é uma só linha sobre
o plano cartesiano, prejudicando o aprendizado, por exemplo, do gráfico da função
recíproca.
Esta questão pode mostrar também se o aluno pensa ser um dos gráficos de
função e o outro não. Neste caso, se a justificativa encontrada no protocolo for que
reta é um gráfico de função e o gráfico B não, trata-se de um já-encontrado
importante, indicando que o sujeito ou não teve contato com as funções quadráticas
ou não as aceitou como função. Neste caso, o aluno tem, na sua imagem de
conceito, um já-encontrado que pode trazer problemas tanto de aprendizagem
quanto em sua atuação no mundo do trabalho. Este sujeito pode não perceber que
vários tipos de crescimento, como o proporcional ao quadrado ou ainda o
crescimento exponencial, entre outros, são funções, podendo acarretar vários
inconvenientes. Poderíamos afirmar o mesmo se ele justificar que o gráfico B é uma
função enquanto o gráfico A não.
Análise didática da questão 4.
4) Escolha um dos dois gráficos apresentados no exercício 3 acima e construa
uma fórmula (forma algébrica) para representá-lo. (Deixe anotados os seus cálculos,
raciocínios, rascunhos).
O objetivo desta questão é identificar se os alunos sabem observar uma
situação apresentada com características do mundo corporificado, neste caso dois
gráficos, e apresentar resposta e justificativa no mundo simbólico.
72
É importante que o aluno que inicia a 2a série do Ensino Médio saiba qual a
forma algébrica associada a diversos gráficos, principalmente os que formam parte
de um conteúdo bastante trabalhado na série anterior e que vão servir de base para
sua sequência de aprendizado do conceito de função, quando vai se deparar com
situações relacionadas a outros tipos de função, por exemplo as trigonométricas. Por
este motivo, julgamos ser importante colocar esta questão no questionário.
Gostaríamos de encontrar, nos protocolos, com referência ao gráfico A, a
expressão y = ax + b acompanhada de uma justificativa do tipo “trata-se de uma
função polinomial do 1o grau porque a reta apresenta ângulo diferente de 900 em
relação ao eixo das abscissas”. Esta é uma resposta com características do mundo
formal, porque o sujeito sabe que expressões algébricas deste tipo são da forma y =
ax + b e apresenta um já-encontrado importante, de que a reta que não seja paralela
ao eixo vertical é um gráfico de função, que apresenta coeficiente angular, afirmação
que provavelmente estaria implícita numa afirmação assim porque o ângulo de
inclinação, relativo ao eixo horizontal, é citado. Uma resposta assim é a que
gostaríamos que alunos que estudaram função na 1a série do Ensino Médio
apresentassem quando fossem questionados, mostrando que sabem percorrer
cognitivamente os Três Mundos da Matemática, usando já-encontrados dos mundos
corporificado, simbólico e formal. Se a resposta do sujeito for relativa ao gráfico B,
gostaríamos de encontrar justificativas semelhantes, acrescidas de já-encontrados
importantes relacionados a este gráfico, que seriam tratar-se de uma parábola com a
concavidade para cima, que a expressão algébrica deste gráfico é do tipo y = ax2 +
bx + c, que neste gráfico aparece um ponto de mínimo. Se o sujeito calcular os
valores dos parâmetros a e b do gráfico A ou a, b e c do gráfico B e apresentar as
expressões algébricas correspondentes, poderemos entender que ele já tem
características dos mundos formal e simbólico.
Existem diversas possíveis respostas a esta questão. Um sujeito que escolha
apresentar resposta com justificativa referente ao gráfico A, pode afirmar que trata-
se de uma expressão algébrica do tipo y = ax + b. Esta é uma afirmação com
características do mundo simbólico e do mundo formal, mas que não apresenta
todos já-encontrados que gostaríamos que os alunos tivessem em seu raciocínio. Se
ele acrescentar que o tipo da expressão é este porque o gráfico A é uma reta, sua
73
imagem de conceito apresenta já-encontrado importante, apesar que este sujeito
poderia confundir uma reta paralela ao eixo y com uma função, caracterizando um
problema para seus futuros estudos.
Um sujeito que opte por responder e justificar o gráfico B poderia dizer que é
uma função do tipo y = ax2 + bx + c porque é uma parábola. Como não escrevemos
esta informação na questão, qualquer justificativa apresentada pelo aluno
representaria suas ideias.
Análise didática da questão 5.
5) Paulo precisa consertar seu aparelho de som. A oficina X cobra uma taxa
fixa de R$ 30,00 mais R$ 4,00 por hora trabalhada, enquanto que a oficina Y cobra a
taxa fixa de R$ 10,00 mais R$ 8,00 por hora trabalhada.
(a) Em que condições é melhor utilizar a oficina X? Justifique e deixe suas
contas, rascunhos e seu raciocínio.
(b) Em que condições é melhor utilizar a oficina Y? Justifique e deixe suas
contas, rascunhos e seu raciocínio.
(c) Em que condições os preços cobrados pelas oficinas X e Y são iguais?
Justifique e deixe suas contas, rascunhos e raciocínio.
O objetivo desta questão é investigar se os alunos sabem construir as duas
expressões algébricas, igualá-las para encontrar uma equação, manipular esta
equação de tal modo que permita calcular o tempo (em horas) em que os dois
orçamentos apresentem o mesmo valor, e a partir daí responder as três perguntas.
Trata-se de uma questão importante, porque apresenta um texto com
características do mundo corporificado (porque utiliza somente números naturais),
que pode desencadear diversas maneiras de solução com características de cada
um dos Três Mundos da Matemática e tem potencial para surgimento de diversos já-
encontrados e características diferentes, em relação ao quadro teórico. Este é o
motivo pelo qual colocamos esta questão.
74
Optamos por apresentar a situação em forma de texto, para investigar como o
aluno o interpreta, na busca pelos valores que interessam e como os substitui, nas
diversas maneiras possíveis de responder a questão e que são as que nos
interessam. Optamos também em projetar expressões que resultem em valores de
tempo expressos em números naturais porque não havia interesse aqui em reavaliar
um já-encontrado relacionado à transformação de unidades de tempo, que já
testamos no procedimento da questão 2.
Gostaríamos de encontrar, nos protocolos, uma sequência de expressões,
começando pela expressão básica para início da resposta, em que o aluno poderia
escrever Preço X = Preço Y. Em seguida poderia escrever X = 4,00t + 30,00 para a
oficina X, e Y = 8,00t + 10,00 para a oficina Y, igualando-as posteriormente, assim:
4,00t + 30,00 = 8,00t + 10,00. Mesmo que um sujeito pule algumas destas
passagens, com exceção da última, apresentará já-encontrados importantes, com
características do mundo formal. Ele percebe tratar-se de duas funções polinomiais
do 1o grau, cuja forma algébrica é do tipo y = ax + b, sabe substituir os valores
apresentados na situação proposta e sabe que tem que igualar as duas expressões
para calcular o tempo. Se manipular corretamente a equação, aparentemente sabe
distinguir função de equação, porque estará apresentando tratamento diferenciado
para as duas expressões. Se a manipulação for correta, apresentará já-encontrados
com relação tanto à manipulação de equações quanto à sequência de resolução de
expressões numéricas. É conhecendo estes procedimentos que gostaríamos que os
alunos da 1a série do Ensino Médio iniciassem a série seguinte.
Conforme afirmamos, o potencial de possibilidade de surgimento de respostas
para esta questão é grande.
Um aluno que faça construção de tabelas para cada uma das expressões até
encontrar valores iguais para os orçamentos, sugere que na sua imagem de
conceito estão presentes características do mundo corporificado, porque estará
utilizando somente já-encontrados relacionados à sequência de operações
aritméticas e construção de tabelas usando números naturais.
Um aluno que apresente as expressões algébricas relacionadas à função afim
tem, na sua imagem de conceito, características da interligação entre o mundo
simbólico e o formal, porque percebe tratar-se de um problema que relaciona
75
grandezas diretamente proporcionais. Se um sujeito escrever as duas expressões
algébricas apropriadas, substituir seus valores, mas for testando cada valor de
tempo em cada uma delas, apresenta, na imagem de conceito, interligação entre os
mundos corporificado e simbólico.
Análise didática da questão 6.
6) Diante de um problema de Matemática que envolva função, qual a primeira
idéia que você tem para resolvê-lo?
O objetivo desta questão é identificar algumas das idéias que permeiam a
imagem de conceito de função, que poderiam ser as primeiras a emergir diante do
questionamento. Com isto, observar as características desta imagem de conceito em
relação aos Três Mundos da Matemática.
Optamos por apresentar a questão em forma de texto sem pedir uma resposta
escrita. Desejamos que o aluno, mais uma vez, não se deixe levar pela pergunta e
se sinta à vontade para colocar na sua resposta aquilo que realmente vier do seu
raciocínio, imediatamente após a leitura da questão.
Também consideramos importante que esta questão esteja no instrumento
diagnóstico, porque pode oferecer uma ampla possibilidade de respostas, que
podem trazer importantes já-encontrados presentes no pensamento do indivíduo.
Estes já-encontrados podem fornecer importantes subsídios para avaliar a imagem
de conceito de um aluno que acabou de aprender função na série anterior.
Gostaríamos de encontrar, nos protocolos, respostas que se aproximem do
mundo formal. Um aluno que resolva um problema de função buscando na memória
a definição formal deste conceito, avaliando as grandezas envolvidas e em seguida
identificando qual relação existe entre elas, está apresentando uma resposta muito
próxima da que desejamos encontrar. Se ele complementar dizendo que busca qual
das grandezas é obtida a partir da outra, estará aperfeiçoando sua resposta com
dados referentes ao domínio, à imagem e talvez até à lei de formação.
76
Existem muitas outras respostas possíveis. Se um aluno diz que tenta
construir um gráfico, está apresentando características do mundo corporificado. Se
afirmar ainda que um gráfico pode ajudá-lo a identificar uma fórmula, está
apresentando indícios de imagem de conceito do mundo simbólico. Este mesmo
aluno poderia apresentar exemplo de um gráfico linear e afirmar que se trata de uma
função polinomial do 1o grau e, neste caso, apresenta já-encontrado que poderia ser
importante referente à percepção do tipo de gráfico desta função mas que ao
mesmo tempo poderia atrapalhar, influenciando seu pensamento a considerar toda
linha reta como gráfico de uma função ou ainda que somente linhas retas
representam gráficos de função.
Análise didática da questão 7.
7) Avalie as expressões abaixo e, para cada uma delas, identifique se
representa uma dependência de "y em função de x". Justifique suas respostas.
a) x + y = 4 b) y = x2 + 2
c) x = y2
d) g(x) = x2 + 2 e) 3x - 4 = y
O objetivo desta questão é identificar características da imagem de conceito
do aluno ao trabalhar com expressões algébricas variadas, e identificar
características de suas respostas em relação aos Três Mundos da Matemática.
Este tipo de questão é importante em um instrumento diagnóstico, porque
permite que o aluno apresente justificativas para vários tipos diferentes de
dependência de y em relação a x. Para responder cada um dos itens da questão, o
aluno precisa ler o texto, identificar a expressão, analisar a dependência
apresentada e decidir se y depende ou não de x. O texto traz características do
mundo simbólico porque traz expressões algébricas, pede pensamento com
características do mundo formal porque exige pensar na relação apresentada e
decidir se é ou não função. São várias características importantes colocadas em
uma mesma questão, e que gostaríamos que os alunos as apresentassem, ao
77
iniciarem a 2a série do Ensino Médio, mostrando mobilidade ao pensar no conceito e
nesta representação de função em relação aos Três Mundos da Matemática.
Ao elaborar a questão, optamos por apresentar expressões colocadas de
diversas maneiras, para exigir do aluno algumas manipulações e tratamentos. No
item a, colocamos a expressão x + y = 4, que permitirá ao aluno perceber a
dependência se isolar o y, para chegar a y=4-x, ou se simplesmente perceber que
“para cada valor de x, existe um único valor que somado a ele que dê 4”. A
afirmação que gostaríamos de encontrar neste item é que nele está apresentada
uma função em que y depende de x.
No item b, com a expressão y = x2 + 2, esperamos encontrar a afirmação que
se trata de uma dependência de y em função de x, mesmo sem necessitar de
manipulações e ainda que afirme tratar-se de uma função quadrática ou do 2o grau.
No item c, a expressão colocada foi x = y2. Esperamos encontrar neste item a
afirmação de que a dependência apresentada não é de y em função de x, mas sim
de x em função de y.
No item d, a expressão utiliza a notação g(x) e esperamos que o aluno afirma
tratar-se da mesma dependência, porque g(x) é o mesmo que y e afirme tratar-se de
função.
No item e, resolvemos trocar as variáveis de posição, com o x aparecendo no
primeiro termo e o y no segundo. Esperamos encontrar neste item a afirmação de
que esta troca de posição não afeta a relação de dependência de y em função de x
e afirme tratar-se de função.
Análise didática da questão 8.
8) Avalie os gráficos abaixo e, para cada um deles, identifique se representa
uma dependência de "y em função de x"? Justifique suas respostas.
78
a)
b)
79
c)
d)
O objetivo desta questão é identificar características da imagem de
conceito de alunos ao trabalharem com gráficos de função e que não representam
função. Gráficos são representações com características do mundo corporificado,
que podem necessitar de características do mundo formal para sua análise. Com
80
esta questão, desejamos identificar a maneira como o indivíduo decide suas
respostas e dá suas justificativas.
O próprio objetivo desta questão já deixa clara a sua importância, que é
verificar se o aluno apresenta mobilidade em relação aos Três Mundos da
Matemática, ao utilizar representações corporificadas de função e ao efetuar suas
análises, quase certamente com características do mundo formal. Além disso, uma
questão envolvendo gráficos é importante, porque este tipo de representação
provavelmente aparecerá em muitas situações que o sujeito terá oportunidade de
presenciar, não só dentro da escola como também na vida prática. Por estes
motivos, optamos por colocar esta questão no instrumento diagnóstico.
Gostaríamos de encontrar, nos protocolos, afirmações coesas em relação ao
conceito de função, relacionadas com a ideia de que a cada valor de x corresponde
um e somente um valor de y. Esta afirmação poderia inclusive vir apresentada com
outras palavras que não as de uso da Matemática, entretanto, a resposta deve
indicar que o aluno sabe discriminar, observando os gráficos, aqueles que
representam uma função daqueles que não.
Quando elaboramos a frase inicial da questão, procuramos escrever um texto
que deixasse o aluno livre para escolher qual gráfico apresenta ou não dependência
de y em função de x. Acreditamos que o texto proposto pode alcançar tal expectativa
porque trata-se de uma pergunta direta, permitindo ao aluno escolher entre qual sim
e qual não representa uma função. Também tentamos sugerir que esta questão não
se caracteriza como de resposta única.
Com relação aos gráficos, escolhemos quatro tipos, dois que não são gráficos
de função (itens a e b da questão) e dois gráficos de função (itens c e d da questão).
No item a, desenhamos a circunferência cuja equação é x2 + y2 = 2. Neste
item, gostaríamos de encontrar a afirmação de que não representa uma
dependência de y em função de x porque a alguns dos valores de x correspondem
dois valores de y, contrariando a definição de função. Tal afirmação poderia ser
complementada com o traçado de uma reta paralela ao eixo y no intervalo -√2<x<√2.
Esta seria uma resposta que apresenta características do mundo formal, uma vez
que contém elementos da definição de função que o aluno estudou na 1a série (SÃO
81
PAULO, 2009, p.3) e que aparece no Caderno do Aluno que os alunos das escolas
estaduais receberam para estudar.
Existem diversas possíveis respostas para este item. Um aluno poderia
afirmar que não é função porque o gráfico é um círculo ou circunferência, afirmação
correta mas acompanhada de uma justificativa que não está fundamentada na
definição de função. Neste caso, os já-encontrados presentes na imagem de
conceito de função do aluno podem levar a dificuldades futuras, tanto de
aprendizado quanto em sua vida prática.
Um outro aluno poderia dizer que existe sim a dependência de y em função de
x porque para determinados valores de x no eixo horizontal existe pelo menos um
valor correspondente a y no eixo vertical. Uma possível justificativa para esta
afirmação poderia vir da maneira como os alunos aprenderam a construir gráficos na
1ª série do Ensino Médio, que foi traçando paralelas ao eixo horizontal passando por
um ponto y, paralelas ao eixo vertical passando por um ponto x, anotando um ponto
na intersecção entre as paralelas. Através deste procedimento o aluno poderia
afirmar a existência de correspondência de dois valores de y para um valor de x,
considerando isto uma dependência. Este também um já-encontrado presente na
imagem de conceito do indivíduo que poderia acarretar dificuldades futuras, no que
se refere à continuidade dos estudos de função.
No item b, desenhamos o gráfico da expressão x = y2. Neste item,
gostaríamos de encontrar a resposta de que não se trata de uma dependência de y
em função de x, mas de x em função de y, com uma justificativa que poderia vir
explicada pelo traçado de retas paralelas aos eixos. Se a reta for paralela ao eixo y,
o aluno notará que para x>0 existem duas intersecções, caracterizando não tratar-se
de uma função. Se a reta for paralela ao eixo x, o aluno notará que, para x>0, esta
só intersecta o gráfico uma vez.
Neste item também podem ocorrer diversas respostas. Um aluno que
apresente em sua imagem de conceito características que se refiram
exclusivamente à função quadrática, que tenha internalizado que o gráfico é uma
parábola, poderia identificar o gráfico b desta maneira, mesmo não estando escrito
na questão e poderia afirmar que é função. Este já-encontrado, com características
do mundo corporificado, aplicado neste item, sugere uma imagem de conceito
82
restrita. Talvez o aluno tenha guardado somente imagens mentais de retas e
parábolas por terem sido mais trabalhadas ou porque não aceita outros tipos de
gráficos como gráficos de função.
No item c, desenhamos um gráfico de função que provavelmente não faz
parte das funções que foram trabalhadas com mais frequência na 1a série do Ensino
Médio. Neste item, gostaríamos que o aluno respondesse que existe dependência
de y em função de x, justificando que a cada valor de x corresponde um único valor
de y, apoiado pelo uso de paralelas ao eixo y. É de se supor que se o aluno atentar
para a definição da função, ele poderia responder e justificar este item
independentemente de ter ou não trabalhado este gráfico na série anterior.
Entre as possíveis respostas, um aluno poderia afirmar que não se trata
de função porque não é uma reta nem uma parábola. Uma resposta assim sugere
uma imagem de conceito do aluno com características do mundo corporificado, mas
incompleta em relação à que gostaríamos que os alunos apresentassem nestas
condições.
No item d, construímos um gráfico de função que provavelmente também não
foi trabalhado com forte ênfase na 1a série do Ensino Médio. Gostaríamos que o
aluno utilizasse o mesmo procedimento que citamos na análise do item c, utilizando
a definição de função para decidir e para justificar a afirmação de que se trata de um
gráfico de função, porque traçando paralelas ao eixo y, estas intersectam o gráfico
uma única vez.
Um aluno que respondesse não ser função porque o gráfico não é uma linha
contínua, indica a presença de um já-encontrado característico do mundo
corporificado, que pode trazer sérias dificuldades na continuação dos seus estudos
de função. Com uma resposta assim, o aluno sugere que no seu pensamento está
presente um já-encontrado que faz com que pense que só é função se for uma linha
contínua.
Análise didática da questão 9.
83
9) Observe as representações A e B:
A)
B)
x y
-1 - 3
½ 0
2 3
Qual dos gráficos cartesianos abaixo melhor apresenta os dados das
representações A e B que você observou acima? Justifique sua escolha.
-3
0
3
•
3
- 1
½
2
•
2
•
84
a)
b)
85
c)
d)
O objetivo desta questão é verificar como o aluno utiliza um enunciado
com características do mundo corporificado na escolha de um gráfico que seja
apropriado e que represente e justifique seu entendimento e sua escolha.
Consideramos este enunciado referente ao mundo corporificado porque apresenta
imagens visuais de gráficos, que são elementos com características deste referido
mundo.
É importante que esta questão esteja no instrumento diagnóstico, porque
estão apresentadas possibilidades de representações com as quais o sujeito poderá
deparar-se no futuro, tanto no prosseguimento dos estudos quanto fora da escola. A
86
escolha e a justificativa poderão apresentar, nas respostas do aluno, já-encontrados
referentes aos Três Mundos da Matemática.
Ao elaborarmos a questão, procuramos trazer duas representações de
funções familiares aos alunos, o diagrama de Venn e a tabela de valores. Destas
representações, a tabela está amplamente contemplada tanto no conteúdo da
Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) quanto no do livro
didático da 1a série do Ensino Médio adotado pela escola (GIOVANNI; BONJORNO,
2005). Optamos por acrescentar o diagrama de Venn para testar a reação do aluno,
pois tanto na Proposta Curricular quanto no livro esta representação não foi
enfatizada. Desejamos saber se ele percebe que se trata de uma maneira diferente
de representar a mesma situação.
Procuramos também apresentar escalas nos gráficos para que o aluno possa
utilizá-las, se julgar conveniente.
Gostaríamos de encontrar nos protocolos a afirmação de que os dados
apresentados no diagrama A e na tabela B são os mesmos e que, com exceção do
gráfico c, os gráficos a, b e d podem representar os dados constantes tanto na
tabela quanto no diagrama. Gostaríamos que o aluno afirmasse que na questão não
está claro tratar-se de uma função de x em y e por este motivo o gráfico a
(mostrando os pontos que representam os pares ordenados citados), o gráfico b
(mostrando uma função linear que passa pelos pontos que representam os pares
ordenados) e o gráfico d (mostrando outra função, esta não linear, que passa pelos
pontos definidos pelos pares ordenados) representam os dados apresentados. Uma
resposta assim sugere já-encontrados com características do mundo formal, porque
o aluno estaria escolhendo três possíveis gráficos em que aparecem os pontos
definidos pelos três pares ordenados apresentados. Uma afirmação assim sugere
que ele não se deixa levar somente pela apresentação linear e pode ter percebido
que por três pontos dados podem passar infinitos gráficos.
Entre as diversas possibilidades de respostas para esta questão, podemos
citar que se um aluno escolher o gráfico do item a, a avaliação de sua resposta vai
depender de sua justificativa. O aluno pode ter percebido que existem várias funções
que satisfazem os dados (respostas a, b ou d) ou avaliar que só podemos ter
certeza dos três pontos definidos pelos pares ordenados dados (resposta a). É
87
possível que ele diga que pelos três pontos passam infinitos gráficos, mas
pensamos que esta resposta provavelmente não aparecerá porque outra pesquisa
com a mesma faixa etária (15 a 17 anos) assim o concluiu (Markovits, Eylon,
Bruckheimer, 1995 apud COSTA, 2004, p. 88). Outra possível resposta assinalando
o item a poderia vir acompanhada da seguinte justificativa: “somente os três pontos
porque é o único tipo de gráfico que conheço”. Este já-encontrado pode trazer sérios
problemas ao indivíduo tanto no prosseguimento dos estudos quanto fora da escola,
talvez porque ele não aceite ou não aprendeu a construção de gráficos de variadas
funções.
Se um aluno afirmar que escolhe o gráfico b porque se trata de uma função
do 1o grau, estará apresentando um já-encontrado que se refere ao mundo
corporificado, importante, porque associou a função polinomial do 1o grau a um
gráfico linear, mas que pode conduzir a falhas no futuro, porque não permitiu que ele
percebesse que os três pontos também pertencem à função desenhada no gráfico d.
A justificativa apresentada pode ser decisiva na interpretação da resposta do aluno.
Se um aluno afirmar que escolhe o gráfico d alegando que poderia ser uma
função qualquer e, portanto, um gráfico qualquer, poderíamos supor que ele
apresenta já-encontrados importantes, com características do mundo formal, que
permitem que ele escolha gráficos de acordo com os pontos apresentados e não
conforme sua forma (linear ou parabólico). Uma resposta assim também
apresentaria elementos interessantes que gostaríamos que estivessem presentes no
raciocínio dos alunos que iniciam a 2a série do Ensino Médio.
Análise didática da questão 10.
10) O professor de Matemática apresentou aos alunos a seguinte tabela.
x y
1 1
2 ½
-1 -1
88
E pediu aos alunos que fizessem um gráfico que satisfizesse os pontos dados.
Três alunos apresentaram as seguintes respostas.
a)
b)
c)
89
Qual dos três colegas fez o gráfico corretamente? Explique sua resposta,
dizendo porque escolheu ou deixou de escolher um ou mais dos gráficos.
O objetivo desta questão é avaliar elementos da imagem de conceito do aluno
ao responder e justificar escolhas relativas a dados apresentados em uma tabela,
que deve ser associada a um ou mais gráficos. Tentamos no pedido de justificativa
sugerir ao aluno que ele deveria dar respostas a cada um dos gráficos, dizendo
porque o escolheu ou deixou de escolher.
Esta questão apresenta duas representações características do mundo
corporificado (tabela de valores e gráficos cartesianos) e pede que o aluno faça
associações entre elas. Trata-se de uma questão importante, já que associar tabelas
e gráficos, entre outras representações, é uma situação que deve ser incentivada.
Segundo o Caderno do Professor da Proposta Curricular do Estado de São Paulo,
devem ser
“enfatizadas as diferentes representações (língua materna, gráfica, tabela e algébrica) dessas funções, assim como as conversões entre essas e propriedades como crescimento e decrescimento” (SÃO PAULO, 2009b, p. 11).
Outra pesquisa que está inteiramente relacionada ao assunto de associação
entre as diversas representações, incluindo gráficos e tabelas, é a pesquisa de
Flores e Moretti (2006), que também creditam a importância de conhecer estas
representações e saber associá-las umas às outras. Como temos interesse em
avaliar como o aluno faz estas associações, resolvemos incluí-la no nosso
instrumento diagnóstico.
Ao elaborar a tabela e os gráficos, procuramos oferecer ao aluno dados
suficientes para que ele avalie cada gráfico e a conveniência de associá-lo à tabela
apresentada.
Gostaríamos de encontrar, nos protocolos, escolhas e justificativas
embasadas na construção de gráficos a partir de tabelas, com as quais o aluno
muito provavelmente teve contato na 1a série.
90
Entre as diversas possíveis respostas a esta questão, um aluno poderia dizer
que nenhum dos três alunos fez o gráfico corretamente, porque não está escrito no
enunciado de que função o professor estava falando, uma vez que a tabela só tem
três pontos, definidos pelos pares ordenados citados. Uma resposta assim
apresenta elementos referentes à construção de gráficos, como os pares ordenados
que definem pontos no plano cartesiano, que se caracteriza por uma imagem de
conceito do mundo corporificado. Neste caso, o aluno utilizou dados e resolveu a
situação no mundo corporificado, e, apesar de não escolher nenhum gráfico, sua
resposta sugere que ele sabe como fazê-lo.
Um aluno que escolhesse o gráfico do item c, afirmando que se trata de uma
parábola, estaria apresentando, na sua imagem de conceito, características do
mundo formal, porque sabe que existe um gráfico cuja forma é uma parábola, mas
que apresenta um já-encontrado que pode afetar seu aprendizado futuro, porque
sugere que ele pensa que para ser um gráfico correto deve ser uma parábola.
4.3. A aplicação das questões
Conforme explicamos no parágrafo 4.1 deste capítulo, à página 62,
apresentamos nosso convite a uma sala de 2a série de Ensino Médio da Cidade de
São Paulo. Numa primeira etapa, conversamos com a professora de Matemática das
salas de 2a série do Ensino Médio, perguntando sobre a possibilidade de utilizarmos
entre duas a quatro aulas de uma das salas para aplicação de uma pesquisa. Não
comunicamos o conteúdo que seria apresentado aos alunos e esclarecemos que, se
toda uma sala optasse em participar, seria na própria sala de aula e aí
provavelmente precisaríamos da sua ajuda para acompanhar, mas que caso a
participação fosse parcial, talvez fosse necessário incluir o uso da biblioteca da
escola. Como este ambiente não tem o número de cadeiras de uma sala de aula,
que naquela escola tem cerca de 45 alunos, ficou estimado que o grupo maior ficaria
na sala de aula e o menor na biblioteca, e a professora, neste caso, ficaria com os
alunos não participantes e nós ficaríamos com aqueles que participassem da
pesquisa. Neste momento foi escolhida a sala onde apresentaríamos o convite, que
segundo a professora, é muito participativa.
91
A próxima etapa foi obter autorização da diretora da escola, o que transcorreu
de maneira cordial, tendo a diretora colocado toda escola à nossa disposição,
solicitando somente a divulgação dos resultados globais da investigação para os
pais, alunos e direção.
Após autorização da professora e da diretora, a próxima etapa foi conversar
com os pais de alunos da sala escolhida, o que foi feito em uma reunião de pais. De
posse do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, fizemos uma leitura de cada
item e informamos que no dia seguinte, no horário de uma das aulas de Matemática,
apresentaríamos o convite aos alunos. Aqueles que manifestassem interesse
receberiam uma cópia do referido termo para que o responsável autorizasse.
No dia combinado, comparecemos à sala de aula, onde estavam presentes
quase todos os 45 alunos matriculados, orientamos que eles ficassem à vontade
para participar ou não da pesquisa e vários deles manifestaram interesse inicial em
participar. Naquele primeiro contato, não informamos qual seria o tema da
Matemática que apareceria no questionário, somente informamos que se tratava de
um conteúdo trabalhado em série anterior e que nosso objetivo era exclusivamente
investigar como eles responderiam a algumas situações e problemas que se
referissem a assuntos já estudados. Fizemos os esclarecemos que julgamos de
atender ao Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, como: (1) objetivo da
pesquisa; (2) a participação do pesquisador e da professora da sala, juntos ou
separadamente dependendo da quantidade de participantes; (3) a possibilidade de
gravar entrevistas; (4) a comunicação dos resultados, mesmos que parciais, até o
final do ano letivo; (5) a possibilidade do aluno desistir da participação a qualquer
momento; (6) a não utilização do resultado da pesquisa para influenciar as notas na
escola; (7) a participação voluntária e não remunerada; (8) o sigilo em relação aos
dados do aluno e da escola; (9) a divulgação dos resultados gerais em revistas,
publicações especializadas, congressos; (10) a duração estimada de duas aulas;
(11) a possibilidade de utilizarmos a própria sala de aula ou a biblioteca da escola,
dependendo da quantidade de participantes; e (12) a autorização da professora de
Matemática daquela sala, com a qual já havíamos conversado anteriormente para
solicitar autorização, e que estava presente naquele momento em que conversamos
com os alunos. Os itens que numeramos com (10) a (12) não fazem parte do Termo
92
de Consentimento Livre e Esclarecido, mas consideramos interessante comunicá-
los.
Nossa conversa neste primeiro contato com os alunos levou praticamente
uma aula (cerca de 50 minutos), com os alunos fazendo várias perguntas, a maioria
delas para tentar saber qual o conteúdo que eles deveriam estudar e porque não
passar o resultado para a professora da sala. Reforçamos que em pesquisas desta
natureza, a participação é voluntária e não é associado o nome dos participantes
aos resultados, e principalmente, realçamos que nossa pesquisa visa identificar qual
a maneira que eles resolvem algumas situações e problemas, portanto não haveria a
necessidade de indicar conteúdos para estudar antecipadamente.
Dos alunos que manifestaram interesse inicial, alguns deles desistiram e o
instrumento diagnóstico foi apresentado para oito alunos. No dia da atividade, os
alunos que optaram em não participar ficaram na sala de aula com a professora e os
oito alunos se deslocaram para a biblioteca, juntamente conosco. Antes de entregar
os questionários, utilizando uma cópia do Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido, repassamos as seguintes informações: (1) nosso objetivo é o de
investigar como eles respondem a algumas situações e problemas de um conteúdo
que faz parte de séries anteriores; (2) foi preciso dividir a turma em dois grupos, o
maior ficando na própria sala de aula com a professora e aquele, menor, na
biblioteca com o pesquisador; (3) a possibilidade de entrevistas gravadas
dependendo da necessidade de esclarecer alguma resposta; (4) a comunicação dos
resultados, mesmos que parciais, até o final do ano letivo; (5) que o participante
poderia desistir a qualquer momento; (6) a não utilização do resultado da pesquisa
para influenciar a nota em qualquer disciplina da escola; (7) a participação voluntária
e não remunerada; (8) o sigilo em relação a nomes dos participantes, da escola, da
professora. Aproveitamos para manifestar nosso agradecimento e dizer que eles
deixassem no papel todos rascunhos, respostas, e, mesmo que tivessem dúvidas
em qualquer questão, que procurassem responder com as ideias que ocorressem
depois de ler a questão. A coleta de dados durou poucos instantes a menos das
duas aulas, sobrando tempo somente para entregar aos participantes um texto de
agradecimento pela participação, onde anotamos nosso nome, nome da UNIBAN,
93
telefones para contato e endereço eletrônico, orientando que entrassem em contato
caso surgisse qualquer dúvida.
De posse dos protocolos, iniciamos a respectiva análise, que aparece no
próximo capítulo.
5. ANÁLISE DOS DADOS
Até este momento do nosso trabalho apresentamos a importância do conceito
de função em matemática, a nossa busca por literatura relativa a este conceito, o
quadro teórico que elegemos e as questões que colocamos no nosso instrumento
diagnóstico. Em seguida, passaremos a apresentar a análise dos dados encontrados
nos protocolos após a aplicação do referido instrumento.
5.1. Introdução
Pretendemos neste capítulo inserir um comentário sobre a análise das
respostas que foram encontradas nos protocolos. Pretendemos verificar se os
sujeitos sabem definir função, mesmo que com suas palavras, se e como utilizam as
diversas representações na resolução das situações propostas, quais características
surgem nas imagens de conceito individuais e talvez outras análises que os dados
possam permitir.
Consideramos oportuno esclarecer que no próximo parágrafo aparece nossa
análise referente à resposta a cada questão e item de cada participante. Optamos
por este procedimento porque, conforme pode ser observado no capítulo 3, página
44, que trata do quadro teórico, imagem de conceito e definição de conceito (TALL;
VINNER, 1981) são relativas a cada indivíduo, e, portanto, consideramos que assim
devam ser analisadas. Esta análise, portanto, vincula inicialmente a identificação
genérica do aluno, que numeramos de A1 até A8 (Aluno 1 até Aluno 8), e traz, para
cada um deles, a análise das questões de (1) até (10). Como não foi possível anexar
cópia da resposta de cada aluno, efetuamos no Anexo D, página 186 a transcrição
94
destas respostas. Para descrição de algum dos procedimentos dos alunos, optamos
por transcrevê-los nas próprias análises das questões, por exemplo quando algum
deles assinalou algum ponto sobre um gráfico, ou tenha feito alguma marcação, etc.
Outro esclarecimento que julgamos importante é que, para tentar tornar a
leitura da nossa análise o mais fluente possível, não colocamos cada uma das
questões da maneira como foram apresentadas aos alunos, com os vários espaços
para eles anotarem respostas e cálculos que achassem necessários, já que a
constante repetição (por oito vezes) de cada enunciado, cada gráfico, etc, poderia
tornar a leitura menos eficiente. Caso seja necessário reler uma questão ao ler uma
análise, sugerimos o anexo B, página 176, onde aparece uma apresentação
“enxuta” do questionário, somente com os espaços necessários para separar cada
questão.
Passaremos, então, no próximo parágrafo, à nossa análise dos protocolos.
5.2. Análise dos protocolos
Análise individual referente respostas do aluno A1.
Questão 1) A definição de conceito do sujeito A1 que aparece na resposta é a
de função como uma conexão entre duas ou mais coisas, sugerida pelo termo
“junção”. Trata-se de uma característica corporificada porque o sujeito pode estar se
referindo à construção de um gráfico, imaginando que o x se junta com o y, ou ainda
poderia também ter pensado no diagrama de Venn, que normalmente mostra a
dependência do valor de y com o valor de x pelo uso de uma flecha que talvez para
ele tenha significado simplesmente uma junção. Vale ressaltar que a ideia de
dependência não fica explícita pelo uso da palavra “junção”.
Questão 2) A resposta final não está correta. O sujeito A1 inicialmente
calculou o valor de 3 horas corretamente, em seguida somou R$ 20,00. Para
calcular o valor referente à parte decimal 0,25 das horas dividiu 15 por 25 invés de
95
multiplicar, obtendo 0,60, que somou aos 65,00 para finalizar respondendo R$
65,60. Vale ressaltar que a divisão 15 por 25 não foi feita do modo usual no papel,
onde aparece 60 como quociente, invés de 0,60, mas o sujeito encontrou a resposta
correta para esta conta, o que nos faz conjecturar da possibilidade de um já-
encontrado deste aluno com relação à divisão onde o dividendo seja menor que o
divisor.
A imagem de conceito sugerida pela resposta do sujeito A1 apresenta
características do mundo corporificado. Sujeito trabalha com números e operações
aritméticas e apresenta dificuldade ao trabalhar com números no formato decimal.
Supostamente os números que ele utilizou na divisão 15 por 25 seriam do valor da
hora trabalhada (R$ 15,00) e da parte decimal do tempo de serviço (3,25 h.). Sua
imagem de conceito diante de um problema em forma de texto de uma situação que
está relacionada com um problema cotidiano é uma sequência de operações
aritméticas.
Podemos sugerir como já encontrados: separar a parte inteira da parte
decimal de um mesmo número, caracterizando uma dificuldade ao trabalhar com
número decimal; sabe que o orçamento é composto por uma parte fixa mais uma
parte variável, calculou a parte variável parcialmente correta; sabe somar números
com dois zeros após a vírgula; calculou a divisão escrevendo de uma maneira
aparentemente não correta, mas colocou a resposta correta. Todos estes já-
encontrados têm características do mundo corporificado.
Questão 3) O sujeito A1 acertou a resposta, assinalou o item III, justificando
“as duas tem um certo padrão conforme a sua conta”.
As características da imagem de conceito são do mundo corporificado. Sua
justificativa lembra a necessidade de efetuar cálculo porque fala de conta. No
gráfico, ele traçou paralelas passando por pontos que ele escolheu em x e em y em
cada um dos gráficos e depois anotou estes pontos sobre os respectivos gráficos.
No gráfico A ele encontrou quatro pontos que coincidiram com a linha que
representa o gráfico e apenas um não coincidiu. Já no gráfico B, três pontos ficaram
sobre a linha do gráfico e um apenas próximo da linha que representa o gráfico. Na
imagem de conceito de função deste sujeito aparentemente os pontos do gráfico são
96
os que têm coordenadas anotadas de modo evidente nas escalas dos eixos. As
anotações sobre os gráficos talvez indiquem a busca de pares de valores para
cálculos aritméticos ou para conferir as coordenadas dos pontos.
Sua resposta e suas anotações sugerem já-encontrado relacionado a técnicas
de localizar pontos sobre um plano cartesiano traçando paralelas e assinalando o
ponto na intersecção das duas paralelas aos eixos, tratando-se de característica do
mundo corporificado.
Questão 4) O sujeito A1 escolheu o gráfico B e anotou os pares ordenados (y,
x) em forma de tabela do tipo T. Os pares (y, x) que ele anotou foram:
y x
0 0
-1 1
3 -1
3 2
Sua imagem de conceito apresenta características do mundo corporificado,
como a tabela de valores numéricos usando números inteiros. Os quatro pares
ordenados (y, x) (0, 0) e (-1, 1) representam pontos do gráfico B. Os outros dois
pares, porém ele traçou as paralelas somente sobre valores inteiros dos eixos x e y,
“ajeitando” a localização dos pontos. A imagem de conceito de função quando a
atividade solicita uma expressão algébrica é a de uma tabela que relacione os pares
ordenados. Talvez ele saiba que para identificar uma expressão algébrica é
necessário identificar os pares ordenados ou ele tenha pensado que bastaria a
tabela.
Os já-encontrados são: a tabela para pares ordenados compostos por
números inteiros; ele coloca y antes do x, talvez por influência da expressão
97
algébrica que geralmente começa com y=...,; estas são características do mundo
corporificado.
Questão 5)
a) Respondeu: “É melhor utilizar a oficina x por que ela cobra menos na hora
de trabalhar”.
Justificou com duas expressões:
X = 30 = 4/h
Y = 10 = 8/h.
A imagem de conceito do sujeito A1 quando a situação apresenta um texto e
pede um raciocínio com características do mundo formal (dependência) para ser
resolvido no mundo simbólico (usando expressões algébricas) é anotar números,
esta característica é do mundo corporificado. A resposta não está incorreta, a
justificativa não apresenta coerência e o sujeito não sabe percorrer os Três Mundos
da Matemática usando as representações necessárias para responder.
Os já-encontrados são: tentativa de construir expressão numérica;
aparentemente não percebe que o tempo é a variável independente do problema e
que precisa ser considerada; percebe que valor de hora trabalhada menor afeta o
preço; não sabe relacionar as duas oficinas; todos estes com características do
mundo corporificado.
b) Respondeu: “É melhor por que a taxa fixa e menor do que a da oficina X”.
Justificou:
Y = 10 = 8/h X = 30 + 4 = 34
10 + 8 = 18
Imagem de conceito e já-encontrados idênticos ao item (a)
98
c) Respondeu: “É que a oficina X ela almenta a taxa fixa e abaixa a taxa por
hora, ja a oficina Y fez alcontrário porisso, são iguais”.
Imagem de conceito: Tenta fazer uma descrição daquilo que leu no texto da
questão para pensar em uma resposta e, após aparentemente ter pensado que
representava uma inversão (uma aumenta e outra diminui), deduziu que as duas
fossem iguais. O sujeito A1 talvez não tenha pensado nos itens (a) e (b) da questão
de maneira a perceber que a inversão ocorre em função do tempo de serviço e
consequentemente existe um ponto de equilíbrio. A variável t não aparece,
aparentemente ele usou 1h como valor do tempo para concluir. As características da
resposta são do mundo corporificado.
Questão 6) Resposta: “atraves de um calculo”.
Imagem de conceito: Pensa em efetuar cálculos, consideramos como
característica do mundo corporificado porque ele demonstrou dificuldades ao
trabalhar uma divisão cujo quociente era um número decimal.
Questão 7) A resposta para todos os cinco itens a resposta foi “Não sei”, o
que não nos permite efetuar análise.
Questão 8)
a) Resposta: “Em dúvida”, que o sujeito colocou logo ao lado da questão e
aparentemente vale para os quatro itens.
Justificativa: escreveu uma tabela na qual colocou y na primeira coluna e x na
segunda, formando os seguintes pares (y; x):
99
y x
0 1,5
-1 1
1,5 0
0 -1,5
Imagem de conceito: quando trabalha com gráficos o sujeito A1 pensa em
buscar pares ordenados e organizá-los em tabelas, começa pelo y, colocando-o na
primeira coluna, para depois encontrar o x, que coloca na segunda coluna. Na tabela
só constam valores de y que aparecem na escala, reforçando a ideia sugerida pela
resposta na questão 4, aparentemente um já-encontrado que passa pela tabela
numérica na qual os valores são aqueles que estão (ou são colocados) nos eixos
coordenados. Sujeito apresenta dificuldade na interpretação dos valores porque, por
exemplo, o par ordenado (1,5; 0) que ele colocou na tabela não está correto, porque
o gráfico não passa pelo valor 1,5. Ele “ajeitou” sua interpretação porque as escalas
não apresentaram a precisão que ele necessita, ou porque ele não sabe estimar um
valor entre 1 e 1,5 ou ainda para aparecer na tabela um valor tem que aparecer na
escala do eixo. As características sugeridas pelas respostas e presentes na imagem
de conceito são do mundo corporificado, além do que sugerem dificuldades ao
trabalhar com escalas, números decimais e estimativas.
b) Resposta: “Em dúvida”, que o sujeito colocou logo ao lado da questão e
aparentemente vale para os quatro itens.
Justificativa: buscou valores no gráfico e escreveu uma tabela numérica onde
constavam os seguintes pares ordenados (y, x): (0, 0); (1, 1); (-1, 1); (2, 4); (-2, 4).
100
y x
0 0
1 1
2 4
-2 4
Imagem de conceito: Quando trabalha com gráficos o sujeito A1 pensa em
buscar pares ordenados e organizá-los em tabelas, começa pelo y para depois
encontrar o x, aparenta dificuldade na interpretação dos valores porque sua primeira
providência foi buscar valores inteiros para montar sua tabela. Ele foi traçando
paralelas sobre o gráfico apresentado, passando pelos dois eixos e por alguns
pontos, mas depois apagou algumas, como a paralela ao eixo vertical passando por
x=1,5. Aparentemente ele não conseguiu identificar qual valor corresponderia ao
eixo y e desistiu de colocar este par ordenado na sua tabela. A resposta não está
correta porque ele olhou o gráfico que representa a dependência de x em função de
y que foi apresentada neste item da questão mas não atentou que no enunciado a
pergunta era se existia a dependência de y em função de x. Sua imagem de
conceito apresenta características de mundo corporificado, sugerindo dificuldades
ao trabalhar com escalas, números decimais e estimativas.
Os já-encontrados sugeridos pela resposta: tabela, números, inicia pelo y,
números inteiros, dificuldade em localizar números racionais, não associou as
imagens mentais que trabalhou em sala, uso das paralelas aos eixos para anotar os
pontos, tudo referente ao mundo corporificado.
c) Resposta: “Em dúvida”, que o sujeito colocou logo ao lado da questão e
aparentemente vale para os quatro itens.
Justificativa: buscou valores no gráfico e apresentou a seguinte tabela com
pares ordenados (y, x): (0; 0,5), (0; 1), (1; 0), (2; -1)
101
y x
0 0,5
0 1
1 0
2 -1
Imagem de conceito: Quando trabalha com gráficos o sujeito A1 pensa em
buscar pares ordenados e organizá-los em tabelas, começa pelo y para depois
encontrar o x, apresenta dificuldade na interpretação dos valores porque, por
exemplo, o par ordenado (1, 0) não faz parte do gráfico apresentado. Ao tentar
anotar o par ordenado deste ponto ele “ajeitou” a medida x, sem tentar estimar uma
aproximação decimal para o ponto no gráfico, que não está anotado em escala nem
informado de outro modo, mas visualmente é possível perceber que passa à direita
do valor 1, isto é, trata-se de um valor maior que 1 mas menor que 1,5 (que é o
próximo valor de escala anotado no eixo horizontal).
Já-encontrados: tabela, paralelas aos eixos para localizar pontos, dificuldades
com números racionais, características de mundo corporificado.
d) Para este item o sujeito A1 aparentemente considerou a resposta inicial
onde disse “em duvida” e somente fez algumas anotações sobre o gráfico. Ele foi
traçando paralelas ao eixo y passando onde x apresentava o valor anotado na
escala mas somente no lado negativo do eixo x. O único valor de x em que ele
conseguiu localizar o valor correspondente em y foi em –1, que então ele traçou uma
paralela ao eixo horizontal passando pelo ponto do gráfico e encontrou y=-1. No lado
positivo do eixo x ele não fez nenhuma anotação. Aparentemente ele não construiu
uma tabela devido à dificuldade em observar escalas e identificar valores entre os
números inteiros que anotamos no eixo y.
102
Imagem de conceito: interpretação prejudicada porque o sujeito deixou a
resposta aparentemente incompleta ou não sabia interpretar o gráfico apresentado
ou ainda desistiu de seguir com uma resposta já que apresenta dificuldades no uso
das escalas.
Já-encontrados: tabela, paralelas aos eixos para localizar pontos, dificuldades
com números racionais, características de mundo corporificado.
Questão 9)
a) Resposta: Ao lado do item (a) que identifica o gráfico o sujeito escreveu
“(B)”.
b) Resposta: Ao lado da identificação (b) deste gráfico o sujeito escreveu:
“(A)”.
Logo abaixo dos gráficos apresentados nos itens (a) e (b) acima o sujeito A1
escreveu “da (A) e a representação de B e do (B) e a representação de A”. Pelas
anotações que o sujeito fez ao lado dos dois itens ele pensa que o gráfico do item
(a) corresponde à representação B (tabela) e o gráfico do item (b) corresponde à
representação A (Diagrama de Venn), mas a frase escrita está confusa. A
interpretação do sujeito sugere que ele conhece as representações do tipo tabela
numérica e diagrama de Venn, mas apresenta alguma confusão no seu
entendimento. Não aparecem anotações no protocolo indicando que ele tenha
conferido os valores para saber se os pontos correspondem. Ao associar o gráfico
do item (a) à tabela numérica o sujeito sugere que ele pensa somente na anotação
dos pontos sobre o plano cartesiano.
Imagem de conceito: quando pensa em associar tabelas, diagramas e gráficos
de função o sujeito indica possuir as imagens mentais da tabela numérica e do
diagrama de Venn, características do mundo corporificado.
103
Já-encontrados: tabela numérica, diagrama de Venn, lançar pontos sobre o
plano cartesiano, que são características do mundo corporificado.
c) Resposta: ao lado do item (c) o sujeito anotou “(B)”.
Imagem de conceito: a resposta do sujeito apresenta confusão, evidenciada
ao não colocar uma justificativa. Ele associou o gráfico da reta paralela ao eixo x
com a tabela numérica B, aparentemente sem efetuar nenhuma tentativa de
identificar coordenadas dos pontos na forma dos pares ordenados (x, y) anotados na
tabela. A resposta talvez possa sugerir nas imagens mentais do sujeito, já que
aparentemente ao pensar em representação de função em tabela ele imediatamente
(ou logo em seguida) pensa em um gráfico, sugestão que talvez indique a sequência
que ele pense ser apropriada para trabalhar com representações de função. As
características do mundo corporificado.
Já-encontrados: tabela, diagrama, gráfico, características do mundo
corporificado.
d) Resposta: ao lado do item (d) o sujeito anotou: “(A)”.
Imagem de conceito: a resposta sugere imagem de conceito de que uma
representação em forma de diagrama de Venn permita, talvez como se fosse uma
sequência, construir um gráfico. Não aparecem indicações de que ele tenha
conferido as coordenadas dos pontos. Característica do mundo corporificado.
Já-encontrados: Diagrama de Venn, gráfico. Característicos do mundo
corporificado.
Questão 10)
104
Resposta: após os três gráficos dos itens (a), (b) e (c) o sujeito escreveu: “O
colega (A) fez o gráfico corretamente porque os pontos estão corretos”. Não aparece
indicação de que ele tenha conferido as coordenadas dos pontos em nenhum dos
três gráficos.
Imagem de conceito: A resposta sugere que o sujeito respondeu à partir de
suas imagens mentais. Aparentemente, quando o sujeito A1 pensa em função, estão
presentes em seu pensamento a tabela numérica e o gráfico. A resposta sugere
também que entre os gráficos que estão presentes em suas imagens mentais, o
gráfico da função representada no item (a) teve um apelo maior. Este gráfico não
traz informação da função utilizada em sua construção nem o nome da curva, então
o sujeito deve ter se deixado levar pela forma da curva que lembra o gráfico de uma
função polinomial do 2o grau, e que aparentemente um já-encontrado. O sujeito não
apresentou o procedimento de, por exemplo, conferir as coordenadas para tentar
interpretar os gráficos porque se tivesse feito perceberia que os três gráficos contêm
os pontos representados pelos pares ordenados anotados na tabela. As
características são do mundo corporificado. Várias razões podem ter causado a
resposta do aluno: (1a) como o gráfico do item (a) está correto, o aluno não olhou
para os outros pois em geral, uma questão de Matemática tem uma resposta única e
o aluno não está acostumado com uma resposta do tipo “os três estão certos”; (2a) o
gráfico do item (a) é aparentemente o de uma parábola, que quase possivelmente
está presente na imagem de conceito do aluno, enquanto os demais tipos de
gráficos possivelmente não estejam presentes.
Análise individual referente respostas do aluno A2.
1) Resposta: “É o nome que se dá ao devido a representação da conta”.
Definição de conceito: A resposta sugere que o sujeito A2 define função como
uma conta. Resposta com características do mundo corporificado.
105
2) Resposta: “45,75 + os 20 reais da taxa. Fiz os cálculos de multiplicação de
acordo com a hora”. O sujeito cometeu algum engano nos seus cálculos porque a
resposta é R$ 68,75 enquanto a resposta do sujeito foi R$ 65,75. Os cálculos não
foram anotados no protocolo.
Imagem de conceito: Com características só do mundo corporificado, sujeito
A2 efetua cálculos aritméticos e percebe que o valor variável depende do valor da
hora. Ele não apresentou o rascunho da conta, o erro pode ter acontecido por várias
razões: inicialmente calculou quanto seria o valor das três horas (3 x 15 = 45) para
em seguida calcular a parte decimal, mas aqui talvez ele tenha multiplicado 3 x 0,25
= 0,75, pois ele encontrou o valor de 45,75 para somar à taxa fixa; ou calculou
corretamente e esqueceu de somar a parte inteira. O aluno apresentou em sua
resposta um já-encontrado que se refere à separação da parte inteira da parte
decimal de um mesmo número, para fazer os cálculos separadamente. Este
procedimento afetou o processo, resultando em um proceito que estamos
considerando um sério dificultador para o aprendizado deste aluno, da mesma
maneira que afetou suas respostas nesta atividade.
Já-encontrados: além das operações aritméticas elementares, um já
encontrado é a iniciativa de efetuar cálculos separando-o em duas partes, uma para
a parte inteira, outra para a parte decimal.
3) Resposta: o sujeito assinalou item II e justificou “creio que é a B, por ela se
adaptar mais ao gráfico”.
Imagem de conceito: Característica de mundo corporificado, sujeito A2
aparentemente se lembra do gráfico cuja curva que se parece com o gráfico de uma
função quadrática. Também é possível que o aluno não tenha assimilado as funções
polinomiais do 1o grau quando estudou, ou talvez tenha esquecido.
106
Já-encontrado: Conjecturamos que seja a forma do gráfico, apesar de que o
sujeito não apresentou maiores detalhes do que ele considera como “se adaptar”.
4) Resposta: “x2 = y.-3”
Imagem de conceito: Características do mundo simbólico. O sujeito A2
aparentemente se lembra da expressão algébrica referente à função quadrática,
apesar da expressão que escreveu não estar correta, devido a escrita y.-3, que não
é correta, e devido à própria expressão, que não representa a curva apresentada. A
resposta sugere que ele associou a forma do gráfico do item (B) a uma parábola,
(apesar de não ter sido evidenciado no texto que se tratava ou não de uma
parábola) e associou a forma do gráfico a uma expressão onde o termo x estivesse
elevado ao quadrado. A expressão algébrica apresentada pelo sujeito apresenta
características do mundo simbólico, e aparentemente ele sabe associar esta
expressão a um gráfico em que a curva se pareça com uma parábola, por algum
motivo ele resolveu começar sua expressão pelo x. Ele não fez anotações em
nenhum dos gráficos.
Já-encontrados: expressão algébrica de uma função do segundo grau.,
característica do mundo simbólico.
5)
a) Resposta: Se o cliente necessitar de 3 horas de serviço compensaria a
oficina X pois sairia ganhando R$2,00. Que ficaria o preço de R$ 42,00 e sairia mais
barato do que a Y”. Ao lado desta resposta, o sujeito escreveu:
Oficina X
30 + 4
34
42
107
Imagem de conceito: Apresenta características do mundo corporificado
porque o sujeito A2 se apoia em operações aritméticas para apresentar sua
resposta. A frase que ele escreveu sugere que sua ideia inicial foi efetuar cálculos e
comparar os resultados, mas sem anotar estes cálculos no papel. Parece que ele
resolveu anotar somente um destes cálculos talvez por considerar suficiente para
responder, porque o valor 34 que ele anotou é resultado da conta que escreveu,
mas o resultado 42 não teve sua conta apresentada no protocolo.
Já-encontrados: operações aritméticas elementares, utilização de números
inteiros, características do mundo corporificado.
b) Resposta: “Se caso o cliente necessitar de uma ou duas horas sairia
ganhando com a oficina Y. 1 hora sairia por R$ 18,00. 2 horas sairia por R$ 26,00”.
Ao lado da resposta o sujeito escreveu:
Oficina Y
10 + 8 = 18
Imagem de conceito: A resposta do aluno sugere pensamento com
características do mundo corporificado. Aparentemente ele pensou somente em
efetuar cálculos para comparar os resultados. Seu raciocínio sugere que ele percebe
que o valor a ser multiplicado pelo tempo é o da hora trabalhada, para somente
depois somar a taxa fixa. O aluno não fez tabela para se organizar e analisar a
situação, aparentemente fez mentalmente mas se atrapalhou.
Já-encontrados: operações aritméticas elementares, utilização de números
inteiros, características do mundo corporificado.
Observação: O sujeito, logo abaixo da frase “2 horas sairia por R$ 26,00”
havia escrito “3 horas sairia por R$ 34,00” mas resolveu apagar. Aparentemente ele
percebeu o mesmo resultado que havia escrito na resposta ao item (a), acima, e
108
quando constatou serem os valores iguais, deve ter ficado confuso e apagou a frase.
Parece ter percebido que o menor valor de x é 34, já que considerou só valores
inteiros para a hora, e sua ideia talvez tenha sido de que qualquer y menor que 34 é
melhor.
c) Resposta: “Não teria como alguma das duas sairia em vantagem”.
O aluno não consegue generalizar, dá respostas parciais corretas mas não
consegue perceber o genérico. Parece não conseguir comparar os valores para o
mesmo t.
6) Resposta: “Começar pela fórmula, se tiver representada”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito sugere que, em relação ao
conceito de função, sua imagem de conceito seja uma “fórmula” (expressão
algébrica). Trata-se de uma resposta com característica do mundo simbólico, já que
sugere que ele acredita na existência de expressões algébricas relacionadas ao
conceito de função. O trecho “se tiver representada” sugere que ele tentou escrever
se estiver apresentada, no sentido de aparecer escrita no problema, mas não fez
menção qual sua ideia se não aparecer a expressão. Pelas respostas e
encaminhamentos até este ponto da análise não nos parece que o sujeito associou
a expressão algébrica como uma das possíveis representações de função, nos
parece mais evidente que ele pensa que função seja uma fórmula. Esta resposta
reforça a ideia de dificuldades (ou falta de familiaridade) com gráficos sugerida na
questão 3.
Já-encontrado: expressão algébrica, característica do mundo simbólico.
Parece que tem forte crença na expressão algébrica e, se pensarmos nas questões
anteriores, também na aritmética.
109
7)
a) x + y = 4
Resposta: “Sim, pois se o X não estive não teria sentido a resposta 4”. A
resposta sugere que ele percebeu que o valor de x depende o do valor de y mas não
soube escrever claramente. Resposta com características de mundo corporificado,
porque aparentemente para perceber a dependência ele precisou utilizar números.
b) y = x2 + 2
Resposta: “Sim, necessita”. Esta resposta deixa dúvidas com relação ao
pensamento do sujeito porque ele não escreveu justificativa. Tanto existe a
possibilidade de que ele tenha percebido que na expressão está explicita a
dependência de y em relação a x, e a resposta estaria apresentando características
do mundo simbólico, quanto ele poderia estar novamente pensando em números e a
resposta apresentaria características do mundo corporificado.
c) x = y2
Resposta: “Sim, necessita. „Por exemplo se por se o x for 4 o y pode se 22”. A
resposta sugere pensamento com características do mundo corporificado porque o
sujeito precisou de números para pensar na expressão.
d) g(x) = x2 + 2
Resposta: “Não sei como responder”. A resposta do sujeito não permite uma
conclusão. Conjecturamos que este sujeito apresenta dificuldades com a notação
g(x) como notação de função.
e) 3x - 4 = y
110
Resposta: “Não lembro”. A resposta do sujeito não permite uma conclusão.
OBS: O sujeito apresenta dificuldades ao trabalhar com características do
mundo simbólico. Observando as cinco possibilidades de resposta conjecturamos
que este sujeito necessita pensar em números e operações quando se trata de
função representada por expressões algébricas. Aparentemente ele tem dificuldades
com a notação g(x) ou não aceita que seja função se x e y não aparecerem, além de
ter dificuldades quando o y está no segundo membro. Parece que ele acredita que x
e y tem que aparecer, podem estar em um membro e a constante em outro, ou
então a expressão tem que aparecer y = ...
8) Avalie os gráficos abaixo e, para cada um deles, identifique se representa
uma dependência de "y em função de x". Justifique suas respostas.
a) Resposta: “Não precisaria, pois está bem explicado e dividido então
necessariamente não há dependência”. A resposta do sujeito A2 sugere dificuldades
em relacionar o conceito de função com a palavra dependência e com a
representação em forma de gráfico. Aparentemente ele pensa na palavra
dependência com o sentido exclusivo fora da matemática. A frase utilizada deixa
margem a muitas dúvidas, além dele não ter se preocupado com qual era a
pergunta. Pode ser também que ele ache que não há dependência porque todos os
pares estão evidenciados no gráfico.
b) Resposta: “Não sei explicar, teria que olhar no caderno”. A reposta reforça
nossa impressão de que o sujeito tem dificuldades ao trabalhar com gráficos.
Poderia sugerir um já-encontrado, porque alguma vez ele pode ter visto um gráfico
de x em função de y.
c) Resposta: “Acho que não seria necessário ser dependente”. Esta resposta
reforça a impressão de dificuldades ao trabalhar com gráficos.
d) Resposta: “Aparentemente elas são independentes”. A resposta sugere que
o sujeito tem dificuldades ao trabalhar com gráficos. Aparentemente ele olhou para
111
as duas linhas apresentadas no gráfico do item (d) e pensou talvez no seu formato
ou outra coisa que não fosse relacionado a função, pois sua frase “aparentemente
elas são independentes” sugere que ele vê duas linhas independentes.
9)
a) Resposta: “E o gráfico A se representa melhor com os dados da A”. A
resposta sugere que o sujeito A2 apresenta dificuldades ao trabalhar com gráficos.
Sobre o plano cartesiano apresentado no item (a) o sujeito desenhou uma linha
unindo os três pontos, mas depois apagou. A resposta sugere ideias com
características do mundo corporificado.
b) Não fez anotação.
c) Não fez anotação.
d) Resposta: “O gráfico d é melhor representado nos dados de
representações B”. A resposta parece confirmar a dificuldade do sujeito em
expressar uma situação que envolva gráfico, porque a frase apresenta alguma
confusão. O sujeito parece ter utilizado a palavra “representações” porque a leu
várias vezes nos enunciados das questões, mas aqui a palavra provoca dúvidas na
interpretação. De qualquer modo, aparentemente ele tentou dizer que o gráfico d
representa melhor os dados da tabela B, sugerindo dificuldades no uso das diversas
representações visuais de função, já que o diagrama do item (A) também está
representado neste gráfico. Sua resposta pode estar associada à ideia de que os
pontos devem estar evidentes no gráfico.
De uma maneira geral, parece que o sujeito não está acostumado a questões
cuja resposta não seja única, e pensou que a tabela se associa com um gráfico e o
diagrama com outro.
10)
Resposta: “Creio que a que está correta é a c. Pois que se os valores mais se
aproximam”. A Resposta do sujeito A2 apresenta palavras que geram dúvidas na
interpretação. O gráfico do item (c) que ele escolheu é realmente uma escolha
112
correta, mas os itens (a) e (b) também, e estes ele não justificou o motivo de não
terem sido escolhidos. De qualquer modo, a resposta apresenta características do
mundo corporificado e sugere que ele guardou em seu pensamento a imagem de
um gráfico de função periódica, como, por exemplo, da função seno, que os alunos
da 2a série estavam estudando pouco tempo antes da aplicação do questionário.
Vale ressaltar que ele pode não estar acostumado com questões que
apresentem mais de uma resposta correta e como os pontos estão evidenciados no
gráfico c, não olhou para os outros.
Análise individual referente respostas do aluno A3.
Questão 1) Resposta: “Eu aprendi no ano passado e admito que esqueci”,
resposta que não permite identificar suas ideias sobre o conceito de função.
Aparentemente ele não sabe expressar suas ideias ou sua definição de conceito é
vazia.
Questão 2) Resposta: “Eu não sei tentei fazer a conta basica para fazer as
contas „quebradas” dos 25 minutos mais não consegui. Não consegui criar um
raciocinio p/ a conta”.
Ao lado da resposta o sujeito A3 escreveu:
- 20,00 visita
15,00 trabalho/hora
E fez a multiplicação 15 x 3 = 45
Imagem de conceito: O aluno A3 mostra características do mundo
corporificado com relação às suas ideias. Iniciou listando os dados numéricos que
aparecem na questão, como o valor da visita e da hora trabalhada. Para em
seguida, armar a multiplicação que sugere que ele divide a conta em duas partes:
uma para cálculos da parte inteira, que ele chamou de “conta basica”; outra para a
113
parte decimal, que ele chamou de “contas quebradas”; procedimentos que
apresentam características do mundo corporificado. Para tentar resolver a questão o
sujeito iniciou com a conta correspondente à parte inteira, mas não chega ao final
por não saber calcular o preço da parte correspondente aos 0,25 h, que ainda
interpreta como 25 minutos. Pode ser que um já-encontrado deste aluno seja o fato
de que nunca lidou com notação decimal no contexto das horas do relógio. A parte
da conta envolvendo números decimais, aparentemente foi uma tentativa frustrada,
pois ele apagou o que havia escrito na tentativa de resolver.
Lendo a resposta surgiu-nos uma dúvida: será que 0,25 h. nunca foi
trabalhado no contexto do relógio? De qualquer modo, sua resposta sugere um já-
encontrado referente ao mundo corporificado.
Questão 3) Resposta: “Não me lembro o que é função”, resposta que não nos
permite avaliar como o sujeito A3 resolve este tipo de problema.
Questão 4) Resposta: “Eu aprendi ... PA, PG... mais não lembro”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A3, apesar de abrir um amplo
leque de possíveis interpretações, sugere que quando ele pensa numa expressão
algébrica associada a um gráfico, as ideias remetem para as fórmulas referentes ao
aprendizado de sequências e progressões. Na 1a série do Ensino Médio, o currículo
de Matemática (SÃO PAULO, 2008) inicia com o estudo de sequências e
progressões, o aluno tem contato com ideias de identificar a relação entre cada
termo e é solicitado a pensar na regularidade de um termo em relação a outro para
identificar uma expressão (fórmula), o que deve ter influenciado o pensamento deste
sujeito ao ler a questão. Como ele não tentou ir além na sua justificativa, não foi
possível identificar características das suas ideias.
Já-encontrados: expressões associadas a sequências e progressões e talvez
não associadas a um gráfico.
114
Questão 5)
a) Resposta: “Se o conserto for mais complexo, e mais demorado eu iria na
oficina X, pelo preço eu apostaria que o serviço seria de melhor qualidade e as
horas custariam menos ja que o conserto seria demorado”.
b) Resposta: “Na oficina y eu iria se o conserto fosse rapido eu pagaria a taxa
fixa e pagaria o pouco de horas trabalhadas (resposta de acordo com a continuação
da alternativa A)”.
c) Resposta: “Não há como fazer contas se não sei quanto tempo demorara o
conserto de qualquer forma as ideias por conhecidência e tempo de conserto
poderiam das iguais preços ou diferentes poderam ser iguais ou não”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A3 sugere que ele percebe ser o
tempo do conserto a variável independente, apesar de não ter citado isto
explicitamente. Conjecturamos que seu pensamento apresenta características do
mundo formal, pois aparentemente percebe a dependência do preço em função do
tempo, conforme citado nas frases “as horas custariam menos ja que o conserto
seria demorado”, que ele anotou no item (a), e “se o conserto fosse rapido eu
pagaria a taxa fixa e pagaria o pouco de horas trabalhadas”, que ele anotou no item
(b).
A resposta sugere também que ele não pensa no preço total, parecendo que
ele pensa na taxa fixa e no preço em função das horas trabalhadas sem pensar em
somar os valores. Nas afirmações escritas para os itens (a) e (b) aparecem estes
indícios, principalmente no trecho “eu pagaria a taxa fixa e pagaria o pouco de horas
trabalhadas”, que ele anotou no item (b). A resposta sugere alguma dificuldade em
aritmética e entendemos que ele não sabe lidar com o mundo simbólico, pois afirma
que “não há como fazer as contas se não sei quanto tempo demorara o conserto ...”.
Questão 6) Resposta: “Gráfico”.
115
Imagem de conceito: O pensamento do sujeito A3 parece apresentar
características do mundo corporificado. Como ele não estendeu a justificativa
informando como utiliza os gráficos, podemos conjecturar o que é que este aluno
entende por gráfico. O problema é proposto na forma de um texto em palavras, o
fato deste aluno não ter elaborado o gráfico nos faz acreditar que não vê função
naquele problema. Se o problema é proposto na forma de uma expressão algébrica,
por causa das respostas dadas às questões 9 e 10 que aparecerão adiante,
podemos supor que o aluno se contenta em colocar no “gráfico” alguns pontos.
Questão 7)
Resposta: Para os cinco itens ele respondeu uma única vez “não sei”, o que
não nos permite uma análise das características do seu modo de resolver este tipo
de situação.
Questão 8)
Para os quatro gráficos acima ele escreveu uma única vez “não sei”, o que
não permite uma análise das características de como resolve questões deste tipo e
ainda se contrapõe à afirmação que ele fez na questão 6, cujas palavras sugeriram
que quando se depara com um problema envolvendo o conceito de função ele
inicialmente pensa em gráfico. Nesta questão, em que o sujeito poderia talvez
apresentar indícios de como trabalha com gráficos, ele optou em não responder.
Questão 9)
Resposta: “Grafico D = ele representa todos valores citados”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A3 sugere características do
mundo corporificado. Ele aparentemente escolheu o gráfico D talvez por pensar que
a resposta à questão seria única, mas independentemente disto, ele não escolheu
gráficos como a reta do item (b), talvez mais trabalhado em sala de aula, para
escolher o gráfico do item (d), no qual os pontos estão assinalados no plano e
incluídos no gráfico. A escala favorece a identificação das coordenadas dos pontos,
116
além de ter aparência de gráfico que ele trabalhou quando estudou funções
periódicas (função seno, por exemplo).
Vale ressaltar que no gráfico referente ao item (a), onde estão assinalados
apenas os três pontos sobre o plano cartesiano, o sujeito anotou “B” e depois
apagou, talvez sugerindo que ele percebeu que os pontos da tabela B estão
anotados corretamente sobre o plano. Se as escalas nos eixos vertical e horizontal
aparecem claramente escritas e contendo as coordenadas dos pontos, isto sugere
que há influência no entendimento do sujeito, diferentemente do gráfico do item (b),
onde o plano cartesiano não apresenta escritos os valores 3 e –3 no eixo vertical e
que constam tanto na tabela B quanto no diagrama A.
Já-encontrados: a resposta sugere características do mundo corporificado.
Questão 10)
Resposta: “Grafico C = ele „apontou‟ todos os valores, formando assim o
gráfico. Os outros dois se quer fizeram de acordo com os valores dados”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A3 sugere pensamento com
características do mundo corporificado ao trabalhar com tabelas numéricas e
gráficos. Parece novamente que ele acha necessário escolher somente um dos itens
e que ele se deixou levar pela sugestão do gráfico, que apresentou uma escala
contendo os valores da tabela e assinalando claramente os três pontos sobre o
respectivo plano cartesiano, pontos que por sua vez pertencem ao gráfico. A
resposta sugere que ele guardou em sua imagem de conceito talvez o procedimento
que é utilizado para construir gráficos a partir de dados organizados em tabelas
numéricas, em que cada ponto da tabela é inicialmente anotado sobre o plano
cartesiano para depois desenhar o gráfico. Aparentemente ele utilizou este
procedimento porque, na questão anterior, havia pensado em anotar uma escolha
no item (a) e depois apagou, talvez por pensar que os gráficos em que os pontos
estejam assinalados sejam os corretos.
Ele não fez outras anotações referentes aos gráficos dos itens (a) e (b) que
também contêm os pontos da tabela, apesar de escrever “os outros dois se quer
fizeram de acordo com os dados”. Parece até que ele não observou com atenção
117
para escrever este trecho da resposta pois os pontos fazem parte dos dois gráficos e
as respectivas coordenadas aparecem claramente nas escalas.
Já-encontrado: O procedimento que para construir gráficos partindo de dados
anotados em tabelas numéricas parece ser um já-encontrado deste sujeito, cuja
característica é do mundo corporificado.
Análise individual referente respostas do aluno A4.
Questão 1) Resposta: “o jeito de resolução da conta”.
Definição de conceito: A definição de conceito de função sugerida pela
resposta do sujeito A4 é a de uma conta e o respectivo processo de resolução. A
resposta sugere pensamento com características do mundo corporificado. A ideia de
dependência não aparece nesta frase.
Questão 2) A expressão numérica apresentada pelo sujeito A4 lembra a forma
básica da expressão algébrica da função afim y=ax+b porque escreveu
“(3,25x20)+15”. Ocorre que nesta montagem ele inverteu a colocação dos valores de
hora trabalhada e taxa fixa, isto é, calculou o valor variável utilizando o tempo para
multiplicar o valor da taxa fixa, somando posteriormente o valor da hora trabalhada.
Além desta inversão, o sujeito cometeu engano na contagem das casas decimais
após a multiplicação e consequentemente a soma dos R$ 15,00 provocaram outra
diferença, porque na prática seu resultado mostra que ele somou 1,5 e não 15.
Mostra conhecer o processo mas erra nos procedimentos. Sabe que tem uma
vírgula e parece ter respondido com base na ordem de grandezas.
Imagem de conceito: O sujeito A4 apresenta imagem de conceito com
características do mundo corporificado quando trabalha com este tipo de situação,
apresentada em forma de texto, porque ele resolveu com números, sua ideia foi
montar uma expressão numérica para depois resolvê-la armando as contas.
Já-encontrados: resolve usando aritmética, numa expressão numérica que
lembra a expressão algébrica da função afim; apresenta dificuldades ao trabalhar
com números no formato decimal, pois comete erros; não pensou nas unidades
118
apresentadas e coloca a vírgula no final, parece que ele sabe que tem que contar
casas. São já-encontrados com características do mundo corporificado.
Questão 3) Resposta: o sujeito A4 assinalou o item III e justificou “por que as
curvas não faz a equação não se tornar uma função”. A resposta sugere alguma
confusão ao usar as palavras, mas sugere também que ele observa um gráfico e
suas ideias remetem para equação e função, talvez no sentido de que a equação se
torna uma função. Não ficou claro na resposta se ele pensou em um caminho
equação→gráfico→função, equação→função→gráfico, ou ainda
gráfico→equação→função. Este último caminho parece mais provável quando se lê
sua resposta. Conjecturamos que este sujeito talvez tenha pensado que um gráfico
foi construído à partir de uma equação (talvez a expressão algébrica) que representa
uma função. De qualquer modo parece que ele pensa em gráfico e tipo de curvas
para associá-los posteriormente à equação e função.
Imagem de conceito: Quando se depara com gráficos o sujeito pensa em
equação e função. A resposta sugere características do mundo corporificado, mas
com tendência em associar os gráficos com expressões algébricas (talvez aquilo
que ele chamou de “equação” e “função”), que poderia significar que o sujeito
caminha para a simbolização do tipo de curva que ele percebe no gráfico.
Já-encontrados: talvez um já-encontrado seja o tipo de curva, característica
de imagens mentais de gráficos, uma característica do mundo corporificado.
Questão 4) Resposta: a resposta apresentada pelo sujeito A4 trata-se de uma
tabela constando pares ordenados de pontos do gráfico que aparece no item (A).
119
x y
-1 3
-0,5 2
0 1
0,5 0
1,0 -1
1,5 -2
2 -3
Ele interpretou o gráfico sugerindo certa precisão, mas ao anotar os valores
ele inverteu as associações, onde o valor referente ao eixo vertical era positivo ele
anotou valor negativo e onde era negativo ele colocou valor positivo. Não ficou claro
na resposta se o erro é conceitual ou proveniente de distração. Ele tem a tendência
de seguir a linha do gráfico, como se começasse da esquerda seguindo para a
direita. Ele utilizou somente os pontos apresentados nas escalas, não fez
interpolações. Parece conhecer o processo mas comete erros nos procedimentos.
Imagem de conceito: quando solicitado a trabalhar com características do
mundo simbólico em funções apresentadas na representação gráfica o sujeito A4
apresenta pensamento com características do mundo corporificado porque
apresenta uma tabela com as coordenadas dos pontos que formam a curva do
gráfico. Além disso, entre as duas opções, ele escolheu o gráfico cuja linha era uma
reta e anotou somente as coordenadas que aparecem nas escalas dos eixos.
Aparentemente em suas imagens mentais estão presentes gráficos de funções afim,
apesar de que ele não fez menção a esta associação. A resposta sugere que ele
tenha certa facilidade em observar o gráfico e as coordenadas dos pontos, mas
parece não ter segurança para trabalhar com valores decimais se não aparecerem
nas escalas. Não ficou claro na construção da tabela se a inversão dos valores
referentes ao eixo vertical foi distração ou falha de aprendizado. A frase que ele
120
utilizou para justificar, dizendo “que seria o curso que a linha segio” (entendemos
esta palavra como “seguiu”), reforça a característica de mundo corporificado e
sugere que talvez ele tenha em sua imagem de conceito a ideia de seguir a linha
que representa o gráfico talvez devido ao estudo de sinal ou taxa de inclinação,
apesar de não estar claramente explicado na resposta.
Já-encontrados: tabela de valores numéricos usando números decimais,
exclusivamente que aparecem nas escalas; sabe associar as coordenadas com os
pontos no gráfico; prefere o gráfico onde aparece uma reta; parte do valor de x,
seguindo a orientação do eixo no sentido de crescimento do valor; inverteu os
pontos do eixo vertical, onde era positivo colocou negativo e vice versa. Todas
características do mundo corporificado.
Questão 5)
a) Resposta: “No caso se foi algo muito cuidadoso e demorado”
b) Resposta: Quando é uma coisa simples.
c) Resposta: São iguais quando um aparelho demorado a ser consertado para
X e quando é rapido para Y”.
Quando trabalha função apresentada na forma de texto o sujeito A4 apresenta
respostas sugerindo que ele percebe que o tempo define os valores dos
orçamentos, sugerindo características do mundo formal. As palavras “cuidadoso e
demorado” parecem ter sido utilizadas para indicar tempo maior enquanto as
palavras “simples e rapido” parecem indicar tempo menor. Parece que ele, nesta
questão, percebeu que o valor é função do tempo de conserto e apresentou
respostas diretas fazendo esta afirmação.
O aluno parece não comparar as duas opções e não responde genericamente
as perguntas feitas.
Já-encontrados: resposta sugere ideia de dependência do valor em função do
tempo, o que poderia sugerir característica do mundo formal.
121
Questão 6) Resposta: “Olhar e observar a função para melhor resolver o
exercício”. A resposta sugere que o sujeito talvez pense em números quando diz
“resolver o exercício”, mas o trecho “olhar e observar” sugere característica do
mundo corporificado.
Imagem de conceito: talvez o aluno pressupõe uma fórmula, ou talvez uma
tabela, não ficou evidente na resposta como ele resolve.
Questão 7)
a) Resposta: “x e y são a soma de 2 numeros que dão 4 no caso o no 2”.
b) Resposta: “y que representa um numero desconhecido que estou
procurando o x2 um numero elevado ao quadrado que soma com 2 no caso um Ex:
22+2=x=4+2=6 x=6”
c) Resposta: “uma simplificação”.
d) Resposta: “E = 9(x) = x2+2
x2=9+2
x2=11
x=11
e) Resposta: 3x-4=y
x1=y
yx=1
As respostas do sujeito A4 para uma atividade em que aparecem expressões
algébricas indicaram alguma confusão, e aparentemente o sujeito as resolveu
utilizando ideias diferentes. No item (a) quando ele afirma que “x e y são a soma de
2 numeros que dão 4 no caso o no 2” a resposta sugere que ele pensa inicialmente
em números para substituir em lugar das variáveis e possibilitar um cálculo que cujo
resultado aparentemente precisa ser um número, mas sugere que só serve o 2. Já
no item (b), que ele começou de maneira um pouco diferente, ele inicialmente se
limitou a interpretar a expressão apresentada, descrevendo-a da maneira que
considerou conveniente e finalizou apresentando um exemplo, também numérico,
122
para ilustrar. Observando os dois itens iniciais poderíamos afirmar que a imagem de
conceito do sujeito tem características do mundo corporificado ao trabalhar com a
forma algébrica porque se apoia em números e operações para se expressar.
Também o fato de que ele faz uma descrição operacional daquilo que esta descrito
na expressão algébrica reforça esta interpretação das características presentes em
suas ideias.
Entretanto, ao apresentar a resposta ao item (c) o sujeito escreveu “uma
simplificação”, frase que no momento não sugere que tipo de ideia ele teve. Talvez
por existir apenas um membro em cada lado da igualdade ele tenha pensado que se
tratava de uma expressão simplificada.
Um procedimento diferente de resolução foi adotado nos itens (d) e (e). O
sujeito decidiu resolvê-las como se fossem duas equações e aplicou manipulações
que mostraram vários erros. Ao resolver o item (d) ele confundiu a notação de
função g(x) com 9x, sugerindo que naquele momento ele talvez tenha pensado que
a digitação da questão estivesse errada. Talvez a notação g(x) não esteja presente
na sua imagem de conceito. Em seguida ele aplicou procedimentos do tipo “passar
para o outro lado” como se a manipulação fosse de objetos concretos conforme
havia sido sugerida por Lima (2007). O sujeito A4 cometeu vários dos erros
constatados por esta pesquisadora, como mudar de lado e não trocar o sinal, mudar
um coeficiente sem obedecer regras algébricas, não efetuar a mesma operação dos
dois lados da igualdade. O item (e), com exceção de que não apresenta a notação
g(x), foi resolvido pelo sujeito da mesma maneira e apresentando erros
semelhantes. Nos ocorre uma dúvida: será que se fosse f(x) ela faria?
Independentemente do que descrevemos, o sujeito não afirmou em nenhuma
das suas resposta se existe ou não dependência de y em função de x, conforme
solicitado na pergunta desta questão.
Imagem de conceito: Quando a função é apresentada sob sua representação
algébrica o sujeito tende a buscar apoio em números para substituir, efetuar
operações aritméticas e encontrar como resultado um número. Nesta situação, suas
respostas apresentam características do mundo corporificado.
Já-encontrados: utilizar números, preferencialmente inteiros ou naturais;
descrever o que está escrito na expressão com sua sequência de operações;
123
procurar um resultado numérico; manipular de modo incorreto sem observar regras
algébricas, pensando tratar-se de objetos concretos, procedimento que talvez venha
de frases como “multiplica em cruz” ou “passa para o outro lado e troca de sinal”;
talvez não conheça a notação g(x). Todos estes indicam características do mundo
corporificado, e o fato de ter dificuldades nas expressões algébricas e na notação
g(x) sugere que ele talvez não tenha características tanto do mundo simbólico
quanto do mundo formal.
Questão 8)
a) Resposta: “Sim por que sem o x não teria como ligar o y ao x e não teria o
grafico”.
b) Resposta: “aqui o y é menos dependente que o x por que o x já tem a altura
correta que é onde o grafico representa”.
c) Resposta: “Os dois x e y são dependentes por causa das muitas curvas”.
d) Resposta: “Aqui o x é igualmente dependente que o y pois as duas partes
dos graficos representam latitude e Amplitude”.
A resposta referente ao item (a), sugere que o sujeito A4 pensou nas
coordenadas dos pontos do gráfico, já que escreveu que existe a dependência de y
em função de x porque, “sem o x não teria como ligar o y ao x e não teria o gráfico”.
Aparentemente ele não pensou no gráfico como uma representação de função,
pensou que precisa tanto do x quanto do y para construir um gráfico. Já no item (b),
parece que ele se deixou levar pelo aspecto visual do gráfico, mas seus comentários
não permitem uma conclusão precisa do seu pensamento, porque na afirmação
“aqui o y é menos dependente que o x por que o x já tem a altura correta que é onde
o grafico representa” não está explicito seu modo de pensar. Parece que ele precisa
de valores (“altura”) para pensar. O mesmo tipo de influência visual está sugerida na
resposta ao item (c), onde ele cita “muitas curvas”. Já na resposta ao item (d) parece
que ele pensou talvez nos termos utilizados no estudo das funções periódicas ao
falar de amplitude, mas cometeu alguma confusão ao utilizar palavras como
“latitude”, que em conjunto com “amplitude” e “igualmente dependentes” não sugere
algo inteligível. De qualquer forma, a resposta sugere que ao trabalhar com função
124
apresentada na sua representação gráfica o sujeito apresenta características do
mundo corporificado que estariam presentes em suas imagens mentais.
Talvez o aluno ache que as paralelas aos eixos devem sempre que se apoiar
no gráfico, e de um modo geral ele não tem na imagem de conceito que para cada x
deve corresponder um único y.
Imagem de conceito: Ao trabalhar com o conceito de função apresentado
segundo sua representação gráfica, o sujeito aparentemente se baseia em imagens
mentais de gráficos, mas apresenta dificuldades ao interpretá-los e também em
distinguir se um gráfico representa ou não uma função. Suas respostas sugerem que
ele não apresenta uma interpretação do que está aparecendo no gráfico, em sua
imagem de conceito parecem existir imagens estáticas de gráficos que talvez não
tenham ligação com função. Ele parte para pensar nas características dos gráficos,
talvez tentando descrevê-las, assim como fez com relação às expressões
algébricas. Em alguns momentos suas frases parecem confusas e sem sentido.
Já-encontrados: interpretação fortemente apoiada em imagens mentais,
dificuldades para interpretar um gráfico, características do mundo corporificado.
Questão 9)
a) Resposta: O sujeito A4 assinalou um x sobre o item a e escreveu “pelo
grafico aqui marcado que representam os planos cartezianos (aqui fez uma seta
apontando para o esboço) e também por que o grafico y positivo vai até o 3 onde
tem nos planos”.
Para responder a pergunta, o sujeito A4 esboçou uma reta sobre o plano
cartesiano do item (a), unindo os três pontos que haviam sido apresentados neste
item. Esta linha que ele esboçou e chamou de “gráfico aqui marcado que
representam os planos cartezianos” foi destacada com uma seta que partia da sua
justificativa.
A resposta sugere que o sujeito percebe um gráfico como uma linha unindo os
pontos anotados sobre o plano cartesiano e também sugere que em suas imagens
mentais de gráfico estejam presentes linhas retas, apesar de que ele talvez não
125
tenha percebido que o gráfico que ele esboçou ficou parecido com o gráfico do item
(b).
Imagem de conceito: Quando a situação referente a função vem representada
na forma gráfica, o sujeito apresenta resposta que sugere imagens de retas. Ele não
anotou comentário que indicasse que ele associa a reta à função polinomial do 1o
grau ou outra qualquer. Seu comentário “por que o grafico y positivo vai até o 3 onde
tem nos planos” parece sugerir que todos os pontos anotados no plano precisam
estar contidos no gráfico.
Já-encontrados: não está justificado pelo aluno, mas parece que na imagem
de conceito só tem parábolas (sugerida na questão 3) e retas e ainda, as retas
representadas por segmentos. São características do mundo corporificado.
Questão 10) Resposta: O sujeito assinalou o item c e escreveu “c) por que
para construir o grafico presisa-se ter os mesmos numeros de y e x para ligalos”.
Interpretamos a resposta como: item c porque para construir o gráfico é preciso ter
os mesmos números de y e x para ligá-los. A resposta sugere que o sujeito pensa
em coordenadas de pontos para anotar no plano cartesiano e construir gráficos
ligando os pontos. É possível que o sujeito tenha lembrado de funções periódicas
que os alunos de 2ª série do Ensino Médio estudaram recentemente, pouco antes
da aplicação do intrumento diagnóstico, apesar de que ele não fez menção a isso, o
que poderia sugerir uma resposta baseada em imagens mentais. Não ficou claro na
resposta se o que ele chama de “mesmos numeros de y e x” se refira a mesma
quantidade ou mesmos valores, ou ainda se precisa haver simetria nas escalas dos
eixos, isto é, se num lado do eixo a escala for até 5, do outro lado deve ir até –5.
Pensamos em uma pergunta: será que ele pensa que uma questão só pode
ter uma única resposta?
Imagem de conceito: quando o sujeito A4 se depara com uma tabela de
valores numéricos para associar a um gráfico ele pensa nas coordenadas e cita
especificamente “construir o grafico”, pensamento com características do mundo
corporificado.
126
Já-encontrados: leitura de tabela, lançamento de coordenadas no plano
cartesiano, que se referem ao mundo corporificado.
Análise individual referente respostas do aluno A5.
Questão 1) Resposta: Ao se deparar com esta pergunta o sujeito A5 escreveu
“é oque faz algo específico em sua área, como a função do 2o grau, ela têm só uma
função de descobrir números por exemplo”. Esta resposta sugere que as ideias do
sujeito apresentam características do mundo corporificado, porque ele pensou em
números. Nossa suposição é a de que ele não tenha pensado em um número como
√13, que não se enquadraria como característica do mundo corporificado porque
exige um pensamento mais avançado, com características que consideramos do
mundo simbólico, este o motivo pelo qual a resposta do sujeito nos sugeriu mundo
corporificado.
É sugerido também pela sua resposta que ele, mesmo tendo a oportunidade
de escrever várias palavras indicando sua ideia, preferiu direcionar seu foco em
“descobrir números”, sem citar como ele poderia fazer esta descoberta.
Conjecturamos que esta descoberta poderia ser a partir de operações aritméticas,
caracterizando que na imagem de conceito do sujeito existem características do
mundo corporificado, ou quem sabe, características do mundo simbólico, como
expressões algébricas ou fórmulas, como a Fórmula de Báskara, trabalhada na 8a
série, que serve para descobrir números (as raízes da equação, por exemplo).
Sugere um proceito relacionado ao conceito de equação e não de função.
Outros dois trechos de sua frase e que chamam a atenção para seu
sentido são “é o que faz algo específico em sua área” e “ela só tem uma função”.
Estes dois trechos sugerem que o sujeito pense que o conceito matemático de
função tenha algo a ver com o substantivo função dentro da língua portuguesa,
indicando algum tipo de ação ou ainda serventia. Esta interpretação que tentamos
evitar ao escrever na questão o trecho “Em Matemática” sugere que o sujeito
pensou que função tem a finalidade de alguma coisa, que na sua frase aparenta ser
127
“descobrir números”. Talvez as outras respostas deixem mais claro o tipo de
pensamento do sujeito.
Questão 2) Para esta questão o sujeito efetuou vários cálculos distribuídos ao
longo do espaço abaixo da questão, que nos sugeriu uma sequência iniciando pela
multiplicação “20x3=60”. Aparentemente o sujeito calculou o valor de 3 horas de
trabalho, mas considerou o valor da taxa fixa em lugar do preço por hora trabalhada,
talvez uma desatenção na leitura do enunciado e que causou uma incorreção.
Observando por outra perspectiva, este mesmo procedimento seria passível de ser
considerado um erro grave, em que o sujeito pense que para calcular a parte
variável ele deveria usar a taxa fixa.
Ao resultado da multiplicação ele somou 25, escrevendo da primeira
conta, efetuando esta soma logo em sequência. O valor “25” foi calculado à parte e o
sujeito considerou no seu cálculo o número 60, que ele havia encontrado na primeira
conta (e que se trata do valor incorreto a ser utilizado), montando um tipo de tabela
onde escreveu 60 – 50% = 30, 60 – 60% = 24, 60 – 10% = 54. A sequência
apresentada pelo sujeito indica que ele subtraiu valores calculados mentalmente
porque, por exemplo, conferindo a conta 60 menos 60% (de 60) encontramos o
resultado 24 que ele escreveu, alguns outros cálculos também estão corretos.
O único erro relacionado ao cálculo de porcentagem deste sujeito foi ao
calcular o valor referente a 58,8%, em que ele escreveu 25,00 (talvez daí saiu o
valor 25,00 somado na segunda conta), porque o valor 25,00 não se refere a 60-
58,8% (de 60), o que daria R$ 24,72.
Independentemente de ter partido de um valor incorreto e ter efetuado vários
cálculos sucessivos que não colaboraram para encontrar o resultado correto da
questão, calcular porcentagem corretamente é um já-encontrado importante. Como
ele foi anotando números inclusive no formato decimal, a característica é de mundo
simbólico. Parece que ele sente-se à vontade usando proporcionalidade direta e isto
influencia seus procedimentos.
128
Questão 3) Nesta questão o sujeito A5 escolheu a alternativa III com a
justificativa “as duas são funções, pois cada um desses gráficos faz algo, tem uma
função; se assim não fosse, eles não existiriam”.
Novamente a frase utilizada pelo sujeito lembra a finalidade de alguma
coisa “pois cada um desses gráficos faz algo”, reforçando este pensamento ao
afirmar que os gráficos “tem uma função” e que se não acontecesse isto “eles não
existiriam”. A afirmação traz novamente a sugestão de função não no sentido
matemático. Entretanto, o sujeito A5 afirmou que os dois gráficos são gráficos de
função (nas suas palavras, “as duas são funções”), afirmação que poderia estar
baseada em imagens mentais de gráficos que ele estudou na 1a série e que tenham
ficado registradas em sua imagem de conceito. O caderno do aluno, o livro didático
e o professor podem ter sido fontes destas imagens acompanhadas das afirmações
referentes a serem gráficos de função, e o sujeito fez aqui esta afirmação com base
nestas imagens e lembranças, apesar de sua justificativa não ter apresentado
claramente em que ele se baseou.
A resposta, em se baseando realmente nas imagens mentais do sujeito,
apresentaria características do mundo corporificado e as duas figuras, um gráfico
cuja forma parece com uma reta e um gráfico em forma parece com uma parábola
seriam os já-encontrados com características de mundo corporificado. É conveniente
lembrar que as palavras reta e parábola não estão sendo utilizadas na questão, nem
o aluno fez menção neste sentido.
Questão 4) Para esta questão o sujeito não apresentou resposta, afirmando
“Eu não me lembro de como se faz isso”. A resposta pedida de construir uma
fórmula (expressão algébrica) remete a características do mundo simbólico e a
resposta do aluno não permite caracterizar suas ideias. Aparentemente, na sua
imagem de conceito, a expressão algébrica representa uma maneira de descobrir
números, o que também havia sido sugerido por ele na questão (1), e talvez suas
ideias sofram influências das imagens mentais que ele registrou.
Já-encontrados: talvez o caminho que o aluno conheça seja, partindo da
expressão algébrica, construir uma tabela e anotar pontos no plano cartesiano para
construir gráfico. Características do mundo corporificado.
129
Questão 5)
a) Ao se deparar com esta questão o sujeito A5 escreveu “A oficina X é a
melhor para se fazer um concerto de longo tempo pois a taxa por hora trabalhada é
menor”. O pensamento do sujeito aqui descrito com suas palavras sugere que ele
percebe a influência do tempo sobre o preço do orçamento. A avaliação da situação
que ele apresentou sugere tendência para um pensamento com características do
mundo formal porque entender a existência da dependência e o que determina esta
dependência são passos importantes no sentido de entender o conceito de função.
Logo abaixo da sua afirmação, o sujeito escreveu duas contas, uma para
a oficina X e outra para oficina Y, utilizando o tempo de 6 horas nos dois cálculos. As
contas foram assim apresentadas:
30+6h 10+6h
30+24=54reais 10+48=58reais
O sujeito atendeu a solicitação de justificar a resposta e deixar as contas,
rascunhos e raciocínio, mas a maneira como ele apresentou sugere que parte das
contas foram feitas mentalmente, e ele resolveu escrever somente aquela que
provaria sua resposta. Aqui o sujeito utilizou um número inteiro para as horas,
procedimento que indica característica de mundo corporificado, porque ele não
afirmou que a partir de cinco horas ocorreria uma inversão nas vantagens de um
orçamento em relação ao outro, resposta que indicaria características mais
avançadas presentes na sua imagem de conceito. Ele resolveu indicar diretamente
as seis horas como tempo em que a respectiva oficina passaria a ter um orçamento
em melhores condições. Trabalhar com números inteiros é um já-encontrado com
características do mundo corporificado, influenciado talvez pelos pensamentos
relativos a contagem ou a dificuldades em trabalhar com horas.
Já-encontrados: sabe que o tempo t é a variável independente, apesar de não
ter explicitado na resposta; dificuldade em generalizar; usa números naturais nos
cálculos. Parece que as características de sua imagem de conceito estão entre o
mundo corporificado e o mundo formal.
b) Aqui o sujeito A5 escreveu “já a oficina Y é melhor para se fazer reparos
rápidos pois a taxa fixa não será muito alta”. Esta resposta havia sido colocada na
130
questão (a), desta mesma maneira e com as mesmas palavras. Posteriormente o
sujeito apagou o referido trecho daquele espaço e anotou como resposta ao item (b),
talvez depois de ter lido o enunciado deste item. Da mesma maneira como
escrevemos no item (a), a afirmação do sujeito sugere uma tendência para ideias
com características do mundo formal porque ele percebe a dependência do valor do
orçamento em relação ao tempo de conserto.
c) Neste item o sujeito escreveu “se o reparo durar 5 horas” e logo abaixo
desta afirmação ele escreveu duas contas, uma para cada oficina, assim
apresentadas:
30 + 5 h 10 + 5 h
30 + 20 = 50reais 10 + 40 =
50reais
A maneira como o sujeito organizou as duas contas sugere que ele havia
efetuado cálculos mentalmente e apresentou duas expressões numéricas que
lembram a expressão geral de uma função do 1o grau do tipo y=ax+b, sem contudo
anotar nada que indicasse que ele havia pensado nisso, o que sugere ideias com
características do mundo corporificado, já que a sequência de respostas que ele
apresentou sugere que ele tenha como procedimento básico efetuar cálculos
numéricos e aparentemente dando preferência para utilização de números inteiros.
6) O sujeito A5 escreveu “eu não aprendi direito como é a função”, resposta
que de maneira isolada não indicaria o pensamento dele. Neste ponto da análise,
entretanto, a frase utilizada pelo sujeito poderia sugerir que ele tem dificuldades em
associar a dependência de uma grandeza em função de outra, apesar de ter
afirmado algo neste sentido na questão anterior, quando disse que “a oficina X é a
melhor para se fazer um concerto de longo tempo pois a taxa por hora trabalhada é
menor”. Observando as respostas da questão 5 e da questão 6, parecem serem
respostas de dois indivíduos diferentes, o que sugere que em uma situação o sujeito
apresenta indício de ideias de função (questão 5, ao afirmar “a oficina X é a melhor
para se fazer um concerto de longo tempo pois a taxa por hora trabalhada é menor”)
131
e em outra situação ele fica inseguro. Parece ter necessidade de uma situação
concreta, mesmo que fictícia como a da questão 5, para resolver com cálculos,
indicando características do mundo corporificado.
Questão 7)
a) Neste item o sujeito escreveu “o 4 é uma soma dos números x e y; então
um depende do outro para que o resultado seja obtido”.
A resposta apresentada sugere que ele percebe a dependência entre x e
y, mas um trecho da afirmação chama a atenção, que é “dos números x e y”. Aqui
novamente a resposta apresentada pelo sujeito sugere que ele necessita dos
números até para apresentar a dependência. De qualquer maneira, aparecem
indícios de ideias de função quando o sujeito afirma “um depende do outro”, mas
sua resposta tem características do mundo corporificado.
b) A resposta do sujeito A5: “é um número que é representado pela soma de
outro ao quadrado mais dois”, sugere mais uma vez que ele percebe que o valor de
y está associado ao resultado de uma conta, que ele descreveu literalmente (“outro
ao quadrado mais dois”). Uma vez mais sua resposta sugere imagem de conceito
com características de mundo corporificado porque mostra a necessidade de se
apoiar em números para apresentar sua resposta. Sua resposta também sugere que
ele não pensa em vários (ou infinitos) números para elevar ao quadrado, somar dois
e encontrar vários (ou infinitos) resultados, aparentando estar pensando em um
único número.
c) Para este item, cuja resposta do sujeito A5 foi “é um número que é
representado por outro número vezes ele mesmo”, surgiu uma diferença em relação
às respostas aos itens (a) e (b) desta mesma questão. O sujeito talvez não tenha
percebido que a questão perguntava “y em função de x” e que a expressão algébrica
do item (c) apresentava “x em função de y”. De qualquer modo, a resposta sugere
que o sujeito começa a leitura da expressão da esquerda para a direita
independentemente do que está sendo perguntado e escreve sua resposta nesta
ordem, descrevendo as operações realizadas pensando em números.
d) A resposta que o sujeito A5 apresentou para este item foi “é um número
vezes o outro que representa um número vezes ele mesmo mais dois”. Nesta
132
resposta, para o termo que está à direita do sinal de igual, o sujeito descreveu a
operação segundo a sequência de cálculo que aparentemente ele segue ao resolver
uma expressão algébrica apresentada na forma x2+2. O trecho sugere que ao se
deparar com esta expressão, o sujeito pensa inicialmente em elevar ao quadrado,
isto é, um número vezes ele mesmo, e depois somar dois. Aliás, esta descrição já
havia sido apresentada pelo sujeito no item (b) acima, e neste item, mais uma vez,
ele pensa em número.
Um trecho da resposta que apresenta uma diferença em relação às
respostas anteriores é que para o termo que está à esquerda da igualdade, g(x), o
sujeito pensou tratar-se de uma multiplicação, porque afirma “é um número vezes o
outro ...”. Talvez ele não saiba que esta representação é uma notação de função que
aparece desta mesma maneira tanto no livro didático quanto no caderno do aluno
que ele recebeu na 1a série, sua ideia imediata foi de uma multiplicação entre dois
números.
e) A resposta do sujeito A5 para este item foi “é um número vezes 3 menos 4
que representa outro”. Novamente o sujeito descreveu as operações na ordem em
que ele aparentemente resolve e outra vez ele falou em números, resposta cujas
características consideramos de mundo corporificado porque provavelmente ele não
pensou num número diferente de um natural.
De uma maneira geral, as respostas do sujeito para a sétima questão
sugerem que ele apresenta características do mundo corporificado quando trabalha
com expressões algébricas. Sua primeira ideia é identificar a sequência de
operações aritméticas apresentadas na expressão, descrevendo-as, e em seguida
relaciona com números, reforçando nossa percepção da característica corporificada.
Um procedimento que chamou a atenção foi a maneira de descrever a
expressão algébrica. Na expressão y=x2+2 ele afirmou “é um número que é
representado pela soma de outro ao quadrado mais dois” enquanto para a
expressão 3x-4=y ele afirmou “é um número vezes três menos 4 que representa
outro” (grifos nossos). A maneira como ele construiu a frase sugere que ele percebe
de maneira diferente a expressão algébrica se a variável y estiver no primeiro ou no
segundo termo da expressão porque este procedimento se repete de maneira
semelhante entre os itens (b) e (c) em comparação ao item (d). Em termos de uma
133
análise sintática da frase, as duas maneiras apresentam o mesmo sentido, mas a
colocação feita pelo sujeito sugere que em um tipo de apresentação da expressão
ocorre algo diferente em relação à outra apresentação. Talvez seja um já-
encontrado que poderia orientar uma questão de pesquisa: “qual a influência da
troca da variável independente do primeiro para o segundo termo da expressão
algébrica de função?”.
Questão 8)
a) Após avaliar o gráfico apresentado no item (a) acima o sujeito A5 escreveu
“sem o x não há como calcular se a distância da circunferencia para os quatro lados
e exatamente igual”. A maneira como o sujeito escreveu a frase deixa dúvidas com
relação às ideias que ocorreram. De qualquer forma, é uma frase onde destacamos
alguns trechos, como “sem o x não há como calcular” que sugere que o sujeito
busca, de alguma forma, efetuar cálculos a partir de algum valor para x, valor este
que deve ser um número, conforme o sujeito já deixou claro em questões anteriores,
tratando-se de uma característica de mundo corporificado.
Outra característica de mundo corporificado está presente no trecho “a
distância da circunferencia para os quatro lados e exatamente igual”. Conjeturamos
que o sujeito tentou escrever que a distância da circunferência até os quatro eixos
são exatamente iguais. A característica de mundo corporificado que destacamos
neste trecho está presente em várias palavras. Na palavra “distância”, sugerindo que
sujeito necessita de algum valor mensurável, na palavra “circunferência”, sugerindo
que ele se deixou levar pelo aspecto visual do gráfico e associou a figura
apresentada neste item às imagens mentais presentes na sua imagem de conceito e
no trecho “quatro eixos”, que sugere que ele associou às quatro orientações
possíveis ao se anotar escalas nos eixos horizontal e vertical do plano cartesiano, à
partir da intersecção entre eles no ponto (0, 0). Um gráfico (ou um plano cartesiano)
e um círculo (ou circunferência) são exemplos pertencentes ao mundo corporificado.
Vale ressaltar duas coisas, que na questão não foi informado tratar-se de uma
circunferência e que a resposta do sujeito e a tentativa de conferir as medidas partiu
das ideias dele sem fazer nenhuma anotação ou rascunho sobre o gráfico.
134
Esta resposta sugere uma dificuldade ao interpretar um gráfico, com o
sujeito partindo para uma descrição visual, talvez influenciado pela questão, onde foi
solicitado que avaliasse os gráficos. Talvez para ele avaliar é fazer uma descrição
daquilo que vê, mas, de qualquer modo, ele apresenta dificuldades ao interpretar
gráficos.
b) Para este item o sujeito A5 respondeu “sem a reta y não teriamos certeza e
o 0 (zero) da reta x se junta com o 0 (zero) da reta y”. Novamente a frase escrita
pelo sujeito deixa margens a interpretações, mas sugere novamente imagens
mentais relacionadas com o mundo corporificado, como “reta y” e “reta x”. Parece
que o aspecto visual do gráfico não foi associado a outras imagens mentais
existentes na imagem de conceito do sujeito porque ele não fez como no item
anterior, onde declarou a imagem da “circunferencia”. Aqui ele não citou os termos
parábola, 2o grau, ou outro para mostrar que lembra da existência de algum gráfico
parecido.
Um outro trecho da sua resposta, onde escreveu “o 0 (zero) da reta x se
junta com o 0 (zero) da reta y” sugere que o sujeito pensou na localização de pontos
sobre o plano cartesiano. Aparentemente ele usa um método de localizar pontos em
que ele parte das coordenadas dos eixos horizontal e vertical, traça retas paralelas
dos dois eixos passando por estes pontos e, na intersecção entre estas duas retas,
marca o ponto. Esta é uma maneira de ensinar a localização de pontos sobre o
plano que pode ter aparecido na aula de Matemática e que pode ter ficado gravada
na imagem de conceito do sujeito, o que reforça a sugestão de pensamento com
características do mundo corporificado. Aparentemente ele não sabe como saber se
é função, talvez por não aceitar ou não entender a afirmação “... a cada valor de x
corresponde um e somente um valor de y,...” (SÃO PAULO, 2008, p. 3, grifos do
autor) que consta no Caderno do Aluno que ele recebeu na 1a série do Ensino
Médio.
Esta resposta reforça a sugestão que o sujeito apresenta dificuldades na
interpretação de gráficos.
c) Como resposta ao item (c) o sujeito A5 escreveu que “sem a reta y não
seriam precisas as ocilações”. Novamente o sujeito apresentou uma resposta que
sugere uma imagem mental referente a oscilação, talvez influenciado pelo estudo de
135
periodicidade e funções periódicas, que ocorre no 1o bimestre da 2a série do Ensino
Médio, que este sujeito estava cursando em 2010 na época em que ele respondeu
ao questionário. Aparentemente o aspecto visual do gráfico, cuja linha está
distribuída sobre os quatro quadrantes do plano cartesiano, tenha lembrado talvez o
gráfico de uma função seno ou de uma função cosseno. Mais uma vez, a
característica sugerida pela resposta é do mundo corporificado. Conjecturamos que
ao usar a palavra “precisas” o sujeito pensou no sentido de indicar precisão e não no
sentido de indicar necessidade, o que provocaria uma frase difícil de interpretar.
A resposta também sugere que o sujeito tem dificuldade de reconhecer se
um gráfico representa ou não uma função e ele tenta descrever suas interpretações
visuais do gráfico.
d) A resposta apresentada pelo sujeito após avaliar o gráfico do item (d) foi
“sem a reta x não seriam precisas as distâncias e alturas”, tratando-se de uma
resposta com características do mundo corporificado, pois sugere que ele necessita
apoio em medidas, representado na frase pelo trecho “distâncias e alturas” para
descrever o que pensa. Novamente ele não respondeu se o gráfico representa uma
dependência de y em função de x, sugerindo não saber interpretar um gráfico. Mais
uma vez ele escreveu uma frase difícil de interpretar pelo uso da palavra “precisas”.
Conjecturamos novamente que a palavra “precisas” empregada na frase
tenha o significado de apresentar precisão, porque assim apresentaria maior
coerência em relação com as próximas palavras da frase que são “as distâncias e
alturas”. Interpretando desta maneira, este trecho sugere que o sujeito talvez tenha
pensado nas medidas das abscissas e das ordenadas que fazem com que,
visualmente, as duas linhas aparentem ter o mesmo formato com a diferença de
estarem desenhadas em lados opostos no plano cartesiano. Vale ressaltar uma vez
mais que a questão não traz indicações neste sentido nem apresenta a expressão
utilizada para construir o gráfico e, portanto, o que o sujeito escreveu veio de sua
interpretação para o gráfico.
Já-encontrados: necessidade de trabalhar com números e medidas; talvez
imagens de alguns gráficos que estudou; não interpreta um gráfico de maneira
global, tanta descrevê-los; todos com características de mundo corporificado.
9)
136
a) Para este item o sujeito A5 respondeu “o gráfico B pois ele diz qual número
que vai em qual reta”. Esta resposta apresenta características do mundo
corporificado porque sugere que ele teve ideia de abscissas e ordenadas dos
pontos, chamando-os de números e chamou cada um dos dois eixos de reta.
Aparentemente ele trocou a palavra “medidas” usadas em questões anteriores pela
palavra números, talvez por achar que são a mesma coisa ou por ter surgido tabela
e diagrama numéricos nesta questão. A frase sugere que ele esteja expressando
com suas palavras as escalas dos eixos chamando-as simplesmente de números. A
resposta também sugere que ele apresenta um já-encontrado relacionado ao mundo
corporificado que indica certa facilidade em lançar pontos no plano cartesiano.
Talvez isto explique a dificuldade do sujeito em interpretar um gráfico, conforme
sugerido na questão anterior, porque lançar pontos sobre o plano pode ser
considerado o início do entendimento das representações gráficas. Talvez seja um
indício de que o sujeito inicia a corporificação de gráficos, o que poderia ser a base
para desenvolver o entendimento da relação entre as grandezas representadas,
encaminhando suas ideias para as características simbólicas e formais.
b) Aqui o sujeito A5 escreveu “o A porque determina o ponto inicial e o ponto
final”. Esta resposta também sugere características do mundo corporificado pois fala
de ponto inicial e final, sugerindo que uma linha, talvez um segmento ou uma reta,
esteja presente em sua imagem de conceito, apesar de que o sujeito não explicitou.
Existe a possibilidade de que ele tenha observado o item (b) e associado a uma reta
construída sobre um plano cartesiano e pensou em um ponto inicial e um final desta
mesma reta, pensando estarem apresentados no respectivo gráfico. A resposta não
esclarece, porém, porque ele não escolheu também a tabela B já que apresenta os
mesmos pares ordenados (x,y) que estão incluídos no gráfico que ele analisou. Ele
parece não apresentar dificuldade quando um número do diagrama não aparece nas
escalas do gráfico.
c) A resposta apresentada pelo sujeito A5 para o item (c) foi “o A pois é
utilizado apenas a marca horizontal do gráfico”. O trecho “marca horizontal do
gráfico” sugere que o sujeito apresenta pensamento com características do mundo
corporificado devido a algum já-encontrado referente a gráficos ou à reta orientada
ou reta real que estudou na 8a série e associou ao gráfico. De qualquer modo, ele
137
parece não associar os valores do diagrama e da tabela talvez devido à dificuldade
na interpretação de gráficos porque, na realidade, o gráfico representado no item (c)
não se refere às representações A e B.
d) A resposta do sujeito para este item foi “o B pois determina qual número
pertence a reta x e qual pertence a y”. Aqui novamente o sujeito apresentou ideias
com características do mundo corporificado ao pensar em números e retas, que são
já-encontrados que podem ser associados à representação gráfica. A resposta
apresentada, associando a tabela do item B com o gráfico do item (d) está correta
porque os pares ordenados apresentados na tabela fazem parte dos pontos
pertencentes ao gráfico, mas a justificativa do sujeito sugere dificuldade na
interpretação de gráficos porque o diagrama A também apresenta valores que
poderiam sugerir pontos pertencentes ao gráfico.
Após análise ocorreu uma pergunta: será que o sujeito pensa que cada
gráfico está associado só ao diagrama ou à tabela e não poderia estar associado
aos dois?
Já-encontrados: tem ideias de reta e segmento; talvez não aceite mais de
uma resposta para cada questão; características do mundo corporificado.
Questão 10) A resposta que o sujeito A5 apresentou para esta questão foi “o
gráfico B pois faz uma curva juntamente com os números x=2, y=1/2 e x=-1 e y=-1”.
Mais uma vez o sujeito sugere dificuldades ao interpretar gráficos porque não
percebeu que os pares da tabela também representam pontos pertencentes aos
gráficos dos itens (a) e (c). Sua resposta, que sugere ideias com características do
mundo corporificado ao citar números e curva, está apoiada em imagens mentais
referentes a gráficos que ele talvez tenha visualizado em seus estudos.
Aparentemente, suas ideias não remetem a alguma função em particular, como a
função polinomial do 2o grau, sugerida no gráfico do item (a) e que aparece em
alguns exemplos e exercícios do caderno do aluno da 1a série do Ensino Médio, ou
de funções periódicas como a do seno e a do cosseno sugeridas no gráfico do item
(c) e que aparecem no caderno do aluno da 2a série, que ele está estudando este
ano.
138
Já-encontrados: utilização de números; sabe partir da tabela ou diagrama
para lançar pontos no plano cartesiano; que se referem ao mundo corporificado.
Análise individual referente respostas do aluno A6.
Questão1) Resposta: “Para mim a palavra função significa um conjunto”.
Definição de conceito: A frase sugere que o sujeito A6 pensa em conjuntos e
a definição de conceito apresentada pode tanto apresentar características do mundo
corporificado, no sentido de conjunto de números, como também características do
mundo formal, no sentido de conjunto de pares ordenados que apresentem uma
relação de dependência entre eles. Só esta resposta não permite concluir e talvez
outras possam reforçar uma das duas conjecturas ou até sugerir outras. É possível
que a ideia de conjunto seja um já-encontrado que está na sua imagem de conceito.
2) Resposta: “O valor pago por um conserto é de R$ 67,75”.
Imagem de conceito: Quando se deparou com este problema de função em
forma de texto, o sujeito A6 pensou em resolvê-lo utilizando números e operações
aritméticas. Ele buscou os valores corretamente, efetuou cálculos utilizando
números representados na forma decimal, cometeu um erro em uma passagem da
conta, quando somou seis com dois e escreveu sete, sugerindo uma distração, e
consequentemente sua resposta final não está correta. De qualquer modo, ele
calculou a parte variável do valor do orçamento multiplicando o tempo e o valor da
hora trabalhada e para calcular o valor final somou o resultado com o valor da taxa
fixa. A sequência de operações está correta.
Já-encontrados: parece ter assimilado que basta multiplicar o preço por hora
pelo tempo escrito em horas, um já-encontrado relacionado ao trabalho com
unidades e com características do mundo simbólico.
3) Resposta: O sujeito A6 assinalou o item II e escreveu “somente o B é uma
função por causa de como a sua relação está apresentada no gráfico”.
139
Imagem de conceito: A resposta sugere que a ideia do sujeito A6 ao trabalhar
com gráficos apresenta características do mundo corporificado. Sua afirmação
“somente o B é uma função” sugere que na sua imagem de conceito aparecem
imagens de gráficos de funções quadráticas, apesar de não ter escrito isto. Ele não
disse porque descartou o gráfico do item (a), que talvez possa sugerir uma pergunta:
será que ele não trabalhou com gráficos de função polinomial do 1o grau?
Já-encontrados: imagens mentais de gráficos semelhantes aos gráficos de
função polinomial do 2o grau; aparentemente não aparece na sua imagem de
conceito gráficos de função polinomial do 1o grau. Características do mundo
corporificado.
Questão 4) Resposta: “O sujeito A6 escreveu no protocolo “gráfico A” e logo
abaixo disso escreveu “0,2<-1”, mas apagou estes escritos, deixando a questão sem
resposta.
Imagem de conceito: Nesta questão, que solicita ao sujeito pensar
algebricamente, ele reage tentando encaixar números, sugerindo pensamento com
características do mundo corporificado. Ele tentou escrever uma expressão e não foi
possível identificar se ele poderia seguir escrevendo ou complementando e ao final
quem sabe poderia esboçar alguma expressão algébrica. A expressão que ele
escreveu assim isoladamente não apresenta coerência, talvez até por isso ele se
sentiu inseguro e resolveu abandonar a questão, inclusive apagando o que havia
escrito.
Já-encontrados: Parece que imagens do gráfico de função polinomial do 1o
grau não aparecem em sua imagem de conceito; parece ter ideia da existência das
expressões algébricas, mas não consegue se expressar a não ser usando números;
parece que nunca trabalhou passando do gráfico para expressão algébrica.
Características do mundo corporificado.
Questão 5)
a) Resposta: “Ela é mais barata”.
140
b) Resposta: “nenhuma condição pois ela é mais cara”.
c) Resposta: “Nenhuma condição pois os preços não são iguais”.
Imagem de conceito: Quando o sujeito se depara com uma situação
envolvendo o conceito de função em uma aplicação prática, próxima de uma
situação que poderia realmente acontecer, ele busca valores no problema, arma as
contas e realiza as operações numéricas, sugerindo pensamento com
características do mundo corporificado.
O sujeito A6 não acertou as respostas porque ele, depois de armar a conta
que serviria para comparar o valor de uma hora trabalhada em cada oficina, talvez
por distração, não fez tal comparação. O resultado que ele encontrou para uma hora
na oficina X foi R$ 34,00 e na oficina Y foi R$ 18,00 e ambos estão corretos, mas em
seguida ele emendou outra conta, multiplicando estes resultados por 60,
encontrando respectivamente 204,000 e 108,000. Não são resultados corretos
porque ele errou na contagem das casas decimais, colocando a vírgula no lugar
errado, talvez outra distração, mas não ficou evidente porque ele fez esta última
multiplicação. Pode ser que ele tentou fazer o cálculo para 60 horas para ter
parâmetros de comparação e se perdeu na conta.
Vale ressaltar que ele fez outras contas, uma multiplicando por exemplo 60
por 4 e somando 30 para encontrar 270, outra multiplicando 60 por 8 e somando
com 10 para encontrar 490, ambas sugerindo que ele pensou em calcular
novamente ou conferir os resultados que ele havia encontrado anteriormente. Talvez
ele tenha decidido afirmar no item (b) que “nenhuma condição pois ela é mais cara”
para a oficina Y sem pensar no seu cálculo inicial para uma hora em cada oficina,
que estavam corretos e poderiam ter provocado um pensamento diferente. Em
seguida ele talvez tenha se deixado levar pelo valor das 60 horas de Y em
comparação a X e fez a afirmação dos itens (b) e (c), citadas acima.
Já-encontrados: utilização de expressões numéricas, características do
mundo corporificado.
Questão 6) Resposta: “pensar atentamente e anotar aquilo que eu acho
importante”.
141
Imagem de conceito: Aparentemente a resposta do sujeito A6 não permite
identificar com clareza características das suas ideias.
Questão 7)
a) Resposta: “não representa”.
b) Resposta: “representa”.
c) Resposta: “representa”.
d) Resposta: “não representa”.
e) Resposta: “não representa”.
Imagem de conceito: O conjunto de respostas do sujeito sugere dificuldades
em perceber em expressões algébricas que representem ou não uma função. Ele
afirmou que x+y=4 “não representa” uma função talvez porque as duas variáveis
estejam do mesmo lado da igualdade. No item (d), onde aparece a notação g(x), sua
resposta sugere dificuldade ou até desconhecimento desta notação como notação
de função. Outra expressão que ele afirmou “não representa” aparece no item (e) e
aqui talvez ele tenha pensado que pelo fato da variável dependente aparecer à
direita da igualdade caracterizaria a expressão como não sendo uma função. No
item (b), em que a expressão parece mais familiar ao sujeito, ele respondeu
corretamente que “representa” uma função e estranhamente no item (c) ele afirmou
que a expressão x=y2 “representa” uma dependência de y em função de x, talvez
porque esteja na forma x=...
Imagem de conceito: Quando o trabalha com representação algébrica, o
sujeito A6 apresenta pensamento com características do mundo simbólico, mas tem
muitas dificuldades com as expressões apresentadas de forma diferente da
expressão y=ax+b. Parece que alterações na expressão, mudando a posição das
variáveis ou do termo independente, causam confusão. Se por exemplo for utilizada
a notação g(x), ele também apresenta dificuldade em responder.
Já-encontrados: expressão deve aparecer y=...; não assimilou g(x) como
notação de função; características do mundo simbólico.
Questão 8)
142
Respostas: ao lado de cada gráfico o sujeito anotou “não me lembro”,
resposta que não permite avaliar as ideias do sujeito A6 ao trabalhar com gráficos.
Questão 9)
Resposta: “gráfico D, melhor da-se para entender por causa dos pontos que
estão ligando”.
Imagem de conceito: Quando solicitado a associar dados apresentados em
um diagrama ou tabela numéricos com um gráfico, o sujeito apresenta pensamento
com características do mundo corporificado. Parece que sua ideia para esta questão
seria a de uma única resposta e (d) foi aquela que julgou procedente. Os itens (a) e
(b) também apresentam os pontos citados no diagrama e na tabela, entretanto, ele
pode ter ficado confuso nestes itens porque em (b) as escalas não indicam
claramente valores que constam na tabela, como os valores –3 e 3 do eixo vertical,
enquanto em (a) não foi desenhada uma curva, sendo somente apresentados os
pontos. Aparentemente suas ideias sejam de que no gráfico precisam aparecer
claramente os pontos e ainda uma linha unindo esses pontos.
Já-encontrados: parece que para ser gráfico tem que aparecer uma linha
unindo os pontos. Características do mundo corporificado.
Questão 10)
Resposta: “gráfico C, eu escolhi porque ele foi o que mais deu para entender
e ligou os pontos corretamente”.
Imagem de conceito: De maneira semelhante à questão anterior, o
pensamento do sujeito A6 apresenta características do mundo corporificado. O
sujeito talvez tenha pensado que existiria uma única resposta e o gráfico do item (c)
parece apresentar as condições que ele julga serem corretas, e inclusive ele pode
nem ter testado os gráficos dos itens (a) e (b), que também contêm os pontos
apresentados na tabela, apesar de não estarem destacados nos eixos. Parece que o
motivo por ele ter optado pelo gráfico (c) é mesmo o fato dos pontos estarem
evidenciados sobre o plano cartesiano. Apesar do gráfico do item (a) ser usualmente
trabalhado em sala e aparecer várias vezes tanto no caderno do aluno quanto no
143
livro didático, os pontos não estão evidenciados, e isto associado à ideia de uma
única resposta para cada questão, teria remetido a escolha para o item (c).
Já-encontrados: parece que os pontos devem estar evidenciados nas escalas
do gráfico, características do mundo corporificado.
Análise individual referente respostas do aluno A7.
Questão 1) Resposta: “Não aprendi”. Esta resposta aparentemente não
permite avaliar aspectos e características do pensamento do sujeito A7.
Questão 2) Resposta: “R$ 47,75+R$20,00=67,75→com o valor da visita”.
Imagem de conceito: O pensamento do sujeito A7 apresenta características
que estão entre as do mundo corporificado e do mundo simbólico porque depois de
ler uma situação apresentada em forma de texto, ele buscou valores na descrição e
efetuou cálculos aritméticos para encontrar o resultado final usando regra de três.
Ocorreu uma diferença entre a resposta apresentada pelo sujeito (67,75) e a
resposta correta para esta situação (R$68,75) porque numa passagem ele somou 3
com 5 e colocou como resultado 7, erro que consideramos como distração depois de
analisar os procedimentos utilizados por ele.
Este sujeito percebeu que o valor da hora trabalhada deve ser associado ao
tempo para calcular a parte variável do valor do orçamento para em seguida somar
com o valor da taxa fixa e encontrar o resultado final, mas em nenhum momento ele
citou o termo variável. Foi armando as contas e resolvendo, pensou em regra de três
para resolver a multiplicação. Conferiu a ordem de grandeza do resultado da
multiplicação fazendo o cálculo para a parte inteira das horas (3x15=45). Como
escreveu 3:25 na regra de três, sugerindo 3h e 25 min, talvez não tenha associado
características simbólicas e formais no trato com horas do relógio.
Já-encontrados: confere ordem de grandeza da conta, característica do
mundo simbólico.
144
Questão 3) Resposta: Assinalou alternativa I e justificou “reconheço que essa
matéria é de 8o série no entanto na minha 8o série, não me ensinara, a aplicar
função em grafico desta maneira! No 2o ano do Ensino Medio, mechemos bastante
em graficos e não me lembro de haver função no grafico semelhante ao B então
minhe resposta é a I”.
Imagem de conceito: As ideias do sujeito A7 apresentam características do
mundo corporificado. Parece que ele corporificou de uma maneira mais destacada o
gráfico de uma função polinomial do 1o grau ou a figura da linha reta e por algum
motivo associou somente à 8a série do Ensino Fundamental e à 2a série do Ensino
Médio. Na 8a série é apresentada a introdução ao estudo de funções, mas uma
ênfase maior ocorre na 1a série do Ensino Médio em que o conceito é trabalhado
durante quase todo o ano, para prosseguir na 2a série com as funções periódicas.
Não conseguimos identificar nesta resposta o motivo desta associação, parece que
seus estudos na 1a série não foram incorporados em sua imagem de conceito ou
talvez ele tenha esquecido.
Sobre o gráfico apresentado em (B) o sujeito traçou algumas paralelas aos
eixos para tentar identificar as coordenadas dos pontos, assinalando quatro pontos
referentes aos pares (x,y) (2, 2); (1, -1); (0, 0) e (-1, 3), este último ele “ajeitou” a
paralela de modo que passasse em x= -1 e os demais parece que ele encontrou as
coordenadas com facilidade. Não ficou evidente o que ele pensou com relação a
este gráfico, podemos conjecturar que descartou este gráfico porque as
coordenadas que aparecem nos eixos não geram pontos sobre o gráfico, como é o
caso do ponto (-1, y) com y≠3.
De um modo geral, sua imagem de conceito parece ter a imagem de gráfico
de função como aquele onde apareça a reta, apesar de que demonstra certa
insegurança em descartar o gráfico B. Podemos dizer ainda, que escolheu o gráfico
A porque eliminou o B imaginando que uma questão em Matemática só tem uma
resposta correta.
Já-encontrados: imagens mentais de gráficos onde apareça a reta; pensa que
uma questão tem uma única resposta; características do mundo corporificado.
Questão 4) Deixou em branco.
145
Questão 5)
a) Resposta: “É melhor utilizar a oficina X para maior tempo.
b) Resposta: “É melhor utilizar a oficina Y quando der no maximo 3:75 horas
trabalhadas, pois chegara ao valor da taxa da oficina Y”
c) Resposta: Deixou em branco.
Imagem de conceito: A imagem de conceito de função do sujeito A7 nesta
situação apresenta características do mundo simbólico. Ele montou tabelas
numéricas para comparar valores de uma hora e sete horas de cada oficina para
responder os itens (a) e (b), fazendo os cálculos e comparações corretamente e
demonstrou ter percebido a inversão que ocorre, porque respondeu corretamente
aos dois itens. Ele também montou regra de três para tentar descobrir em que ponto
ocorreria a igualdade entre os valores das duas oficinas, e aqui ele talvez tenha feito
alguma confusão, porque montou a regra de três usando o valor de uma hora
trabalhada na oficina Y com a taxa fixa da oficina X, encontrando o resultado 3,75. A
montagem da regra de três e o resultado encontrado estão corretos, a confusão
ocorreu porque ele misturou hora trabalhada de uma oficina com taxa fixa da outra,
o que sugere que ele tentou verificar quantas horas da oficina Y corresponderiam à
taxa fixa da oficina X. Como ele havia calculado no início os valores de 1h e 7h para
cada oficina e o resultado da regra de três ficou neste intervalo, ele deve ter se
convencido de ter encontrado a resposta procurada. Uma dedução, entretanto, não
está certa, que foi a de achar que 3,75 (resultado da regra de três) seria o mesmo
que 3:75, que ele apresentou como resposta para o tempo. Parece que ele não
incorporou (ou não trabalhou?) a transformação de horas e minutos do relógio para
o formato decimal.
Já-encontrados: Regra de três, característica do mundo corporificado.
Questão 6) Resposta: “Como disse antes, não apredi muito sobre função”,
resposta que não nos permite identificar características das ideias do sujeito.
Questão 7) Deixou todos os itens em branco.
146
Questão 8) Deixou todos itens em branco.
Questão 9)
a) Resposta: sobre o plano cartesiano apresentado no item (a) ele esboçou
uma linha reta unindo os três pontos, sem estendê-la fora deles, isto é, desenhou
um segmento de reta.
Imagem de conceito: O sujeito A7 apresentou uma resposta que sugere
características do mundo corporificado, o que vem inclusive reforçar aquilo que
identificamos na terceira questão, quando ele havia apresentado uma resposta
associada ao gráfico em que aparece a linha reta. Parece que em sua imagem de
conceito de gráficos de função estão presentes apenas gráficos de funções
polinomiais do 1o grau. Sobre os outros três gráficos ele aparentemente não fez
anotações. Talvez ao trabalhar com o gráfico das funções polinomiais do 1o grau
sempre se restringiu ao segmento que une o ponto mais à esquerda ao ponto mais à
direita? E ainda, sempre ocorreu das coordenadas dos pontos estarem evidentes
tanto na tabela quanto nas escalas dos eixos? Os pontos devem estar claramente
destacados sobre o plano cartesiano?
Já-encontrados: segmento de reta como gráfico; pontos devem estar
evidenciados nas escalas; pontos devem estar assinalados no plano para uní-los
com uma curva; características do mundo corporificado.
Questão 10)
Resposta: O sujeito assinalou com “x” o item (a), sem anotar justificativas.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A7 apresenta características do
mundo corporificado. Entretanto, esta resposta vem de certa maneira apresentar
uma contradição à afirmação que ele havia feito na terceira questão quando
escreveu “... não me lembro de haver função no grafico semelhante ao B então
minhe resposta é a I”, ocasião em que ele se escolheu o gráfico de uma função
polinomial do 1o grau (em A) e descartou o gráfico de uma função quadrática (em B).
Nesta questão, entretanto, ele escolheu o gráfico do item (a), que se parece com
uma parábola, talvez influenciado pelo fato de aparecer três vezes neste
147
questionário um gráfico semelhante (questões 3, 8 e 10), e neste caso, talvez
poderia tratar-se de um a-encontrar.
Outro fato que estranhamos foi ele descartar o gráfico do item (d), cuja linha
se parece com um gráfico de uma função periódica, que ele vem estudando na 2a
série do Ensino Médio e inclusive citou anteriormente, na terceira questão, que “no
2o ano do Ensino Medio, mechemos bastante em gráficos ...”.
Já-encontrados: todo problema de Matemática deve ter uma única resposta;
imagens de gráficos de função polinomial do 1o grau; características do mundo
corporificado.
A-encontrar: conjecturamos a incorporação do gráfico da função polinomial do
2o grau, característica do mundo corporificado.
Análise individual referente respostas do aluno A8.
Questão 1) Resposta: “Significa a função de algum número, letra,...”.
Imagem de conceito: A resposta sugere pelo menos duas coisas diferentes:
que para o sujeito A8 função tenha sentido de serventia, do tipo “que função tem a
letra?”; ou ainda que seja uma expressão algébrica onde aparecem letras e
números. Suas palavras parecem indicar que número ou letra servem para alguma
coisa que ele não escreveu. Talvez outras questões possam apresentar indícios de
como ele pensa.
Questão 2) Resposta: “O valor pago é R$ 48,75”.
Imagem de conceito: Ao trabalhar com uma situação de função apresentada
na forma de texto, com uma situação que poderia ser associada ao dia a dia, o
sujeito A8 busca valores numéricos na descrição da situação, efetua cálculos e
apresenta a resposta. Sua resposta apresenta características do mundo simbólico
porque utiliza números decimais. Ocorreu uma diferença entre o valor encontrado
pelo sujeito e a resposta correta para esta questão, que é R$ 68,75, porque ele não
somou o valor da taxa fixa de R$ 20,00. Não ficou claro pela resolução que ele
148
apresentou se foi um caso de distração ou se ele pensou que seria uma regra de
três simples, ou se acredita que o preço é R$ 15,00 por hora se o serviço for mais de
R$ 20,00 (pensou em R$ 20,00 como uma taxa mínima). A multiplicação de 3,25 por
15, encontrando o valor que ele declarou na resposta, foi feita da maneira
convencional, armando a conta como normalmente ensina-se nas séries iniciais.
Já-encontrados: regra de três, característica do mundo simbólico.
Questão 3) Resposta: assinalou a alternativa II, justificando “II pois ela está
representada no grafico”.
Imagem de conceito: Quando se depara com representação gráfica de função
a resposta do sujeito A8 apresenta características do mundo corporificado e parece
que em suas imagens mentais de gráficos está presente o gráfico de uma função
cuja linha se parece com a de uma função quadrática. Parece que gráfico onde
apareça uma reta não faz parte da imagem de conceito do sujeito.
Questão 4) Resposta: O sujeito deixou em branco, o que não permite
identificar características do seu pensamento.
Questão 5) Resposta: Dos três itens, o único em que o sujeito A8 escreveu
uma justificativa foi o item (c) afirmando que “em nenhuma condição”.
Imagem de conceito: O sujeito A8, depois de ler a situação apresentada,
identificou valores numéricos e efetuou cálculos, sugerindo um pensamento com
características do mundo corporificado. Ocorre que o sujeito não associou os valores
da maneira correta, porque no item (a) ele multiplicou 30,00 por 4,00 obtendo o
resultado 1200,000 e no item (b) multiplicou 10,00 por 8,00 encontrando o resultado
800,000. Nas duas contas o raciocínio do sujeito sugere dificuldades em identificar
os dados e como utilizá-los para resolver um problema envolvendo o conceito de
função. Por algum motivo que não ficou claro, ele fez duas multiplicações,
lembrando o que ocorreu na segunda questão e que, naquela análise, havíamos
pensado que se tratava de distração. A resposta a esta questão sugere dificuldades
149
em identificar variável independente, variável dependente, ordem de grandeza, além
de sugerir dificuldades em efetuar cálculos onde apareçam números no formato
decimal.
Já-encontrados: trabalha com três casas decimais; dificuldades ao operar com
decimais; características do mundo corporificado.
Questão 6) Resposta: “Ler o problema com bastante atenção”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito sugere ideias com características
do mundo corporificado, porque a representação em forma de texto apresenta este
tipo de característica e o sujeito parece acreditar que se ler o texto com atenção
identificará possíveis modos de resolução.
Já-encontrado: livros texto, que antes do problema em geral colocam “leia o
problema com atenção”.
Questão 7)
a) Resposta: “Não representa/Eu não entendi direito essa matéria quando a
professora passou, mais acho que são essas”.
b) Resposta: “Representa”.
c) Resposta: “Representa”.
d) Resposta: “Não representa”.
e) Resposta: “Não representa”.
Imagem de conceito: As respostas do sujeito A8 ao trabalhar com função em
sua representação algébrica sugerem ideias com características do mundo
simbólico. Entretanto, suas respostas indicam alguma dificuldade talvez associada à
manipulação de expressões algébricas, por exemplo, no item (a), em que as duas
variáveis aparecem no mesmo termo, ele afirmou que a expressão não representa
uma função quando na verdade trata-se de uma representação de função. Já com a
expressão (b), onde a letra y está isolada num dos membros, ele afirmou, desta vez
corretamente, tratar-se de uma representação de função.
150
Ao se deparar com o item (c) ele afirmou que representa uma dependência de
y em função de x, mas parece que se deixou levar pelo fato de que cada variável
está em um lado da expressão e respondeu incorretamente. Os dois últimos itens da
questão ele respondeu também incorretamente que não representam uma
dependência de y em função de x. O item (d) talvez porque a letra y não apareça na
expressão, já que a questão apresenta a notação g(x) e parece que ele tem
dificuldades nesta representação, e o item (e) talvez ele tenha sentido dificuldade
porque a letra y está no segundo membro da expressão. Surgiu-nos uma dúvida,
caso fosse f(x) no lugar de g(x) se ele acertaria.
Já-encontrados: somente é função se a letra (qualquer uma) estiver sozinha
do no membro da esquerda, começando com y=..., x=...; dificuldade com notação
g(x); características do mundo corporificado.
Questão 8) Resposta: Abaixo de cada item o sujeito A8 escreveu “não me
lembro”, o que não permite identificar como o sujeito trabalha com gráficos, o que
pode indicar dificuldades ao trabalhar com gráficos de funções.
Questão 9) Resposta: “O grafico D melhor por causa dos pontos ligados”.
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A8 sugere pensamento com
características do mundo corporificado. Sugere também dificuldades em interpretar
gráficos em que não apareçam os pontos ligados ou não evidentes nos gráficos,
como o gráfico apresentado no item (a), em que os pontos não estão ligados,
embora também apresenta os pontos cujas coordenadas aparecem no diagrama e
na tabela. Outro gráfico que apresenta os pontos das duas representações (tabela e
diagrama) é o gráfico do item (c). Ele não escolheu este gráfico talvez por estar
relacionado com o fato de que os pontos não foram destacados sobre o plano
cartesiano correspondente, ou pelo fato de que a escala não apresenta claramente
escritos os valores de duas das ordenadas, ou ainda pelo fato de que ele pensou
que a questão apresentaria somente uma alternativa, que ele escolheu como sendo
a d.
151
Já-encontrados: pontos destacados no gráfico; pontos com coordenadas nas
escalas dos eixos; linhas unindo os pontos; características do mundo corporificado.
Questão 10) Resposta: “Gráfico c → Eu escolhi esse, porque entendi melhor”
(grifo do sujeito).
Imagem de conceito: A resposta do sujeito A8 sugere que quando trabalha
com tabela associada a gráfico, sua resposta apresenta características do mundo
corporificado, e também parece estar associada às mesmas sugestões que citamos
na questão anterior, como possíveis dificuldades em interpretar gráficos onde não
apareçam os pontos ligados, como os gráficos apresentados nos itens (a) e (b), que
também apresentam os pontos cujas coordenadas aparecem na tabela. O fato de
ele não ter escolhido um destes gráficos pode estar relacionado com o fato de que
os pontos não foram destacados sobre o plano cartesiano correspondente, ou ainda
pelo fato de que ele pensou que a questão apresentaria somente uma alternativa.
Já-encontrados: pontos devem estar destacados no gráfico; pontos com as
coordenadas nas escalas dos eixos; linhas unindo os pontos; são características do
mundo corporificado.
As análises efetuadas com base nos dados encontrados nos protocolos, que
foram apresentadas neste capítulo, serviram de base para avaliar a imagem de
conceito e a definição de conceito e as características das ideias dos alunos em
relação aos Três Mundos da Matemática. O resultado desta avaliação faz parte do
próximo capítulo.
6. RETOMADA DAS QUESTÕES DE PESQUISA
Neste capítulo pretendemos retomar as questões de pesquisa apresentadas
no capítulo 1, página19.
Nosso objetivo é o de identificar a resposta a cada uma delas, lembrando que
imagem de conceito e definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) são individuais,
152
e esta retomada leva em consideração este fato. No entanto, as características em
relação aos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), que aparecem nas respostas
permitem avaliar como o grupo de estudantes apresenta suas ideias em atividades
relacionadas ao conceito de função, e ousamos apresentar ao final deste capítulo
uma observação relativa ao grupo de estudantes da 2a série do Ensino Médio de
uma escola pública da cidade de São Paulo que aceitou participar desta pesquisa.
6.1. Introdução
Nos protocolos respondidos pelos alunos investigados surgiram várias ideias
referentes ao conceito de função e que, acreditamos, estarão contribuindo para
responder cada uma das três questões de pesquisa.
6.2. Primeira questão
I – Qual imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino
Médio apresentam, após terem estudado este tema na 1a série do Ensino Médio?
A imagem de conceito de função sugerida pelas respostas do sujeito A1 é a
do uso de tabelas para em seguida construir um gráfico, elementos característicos
de mundo corporificado. Nesta imagem de conceito aparentemente estão presentes
já-encontrados característicos de mundo corporificado como: tabela numérica, onde
preferencialmente utiliza números inteiros; gráficos, especificamente fazendo
localização de pontos no plano cartesiano; operações aritméticas, principalmente
aquelas consideradas elementares.
Dois grupos de questões que ofereciam ao sujeito A1 a oportunidade de
demonstrar características de mundo simbólico foram resolvidas incorretamente ou
até deixadas em branco: a questão sete, deixada em branco; e a quatro, que
respondeu incorretamente, e que tratavam de expressões algébricas. As respostas
sugerem também que ele apresenta dificuldades em encontrar uma expressão
153
numérica ou algébrica a partir de uma situação apresentada em forma de texto ou
gráfico. Parece que ele nem pensa em uma expressão algébrica geral, como a
expressão y=ax+b ou outra qualquer. As questões dois e cinco, referentes à análise
de orçamentos, que poderiam ser resolvidas por meio simbólico, foram resolvidas
pelo sujeito por meios numéricos.
Quando se trata de gráfico, o sujeito A1 sabe buscar coordenadas de pontos,
contudo ele busca números inteiros e quando é exigida alguma estimativa ele tem
dificuldades nas escalas. Ele, inclusive, não faz a interpretação do gráfico de uma
forma generalizada levando em consideração aspectos importantes de função, como
certos coeficientes, pontos notáveis, inclinação ou taxa de crescimento, domínio e
imagem. Quando tenta identificar coordenadas de pontos cujos valores não estejam
explicitados nas escalas ele tem dificuldades.
Quando analisa problemas referentes ao conceito de função apresentados em
linguagem em forma de texto, o sujeito A2 pensa em efetuar cálculos, mesmo no
caso em que é necessário analisar duas situações de orçamento variável em função
do tempo, que o sujeito conduziu numericamente, efetuando cálculos utilizando
números naturais. Neste problema de análise de dois orçamentos, em momento
algum sua resposta sugeriu que ele pensou em construir expressões algébricas ou
outra representação para responder, nem para o item que pedia a situação em que
os dois orçamentos apresentassem o mesmo valor, quando ele se perdeu nos
cálculos e nas comparações e não conseguiu responder corretamente. Ele percebe
nas situações apresentadas em forma de texto qual é o valor associado à variável
independente, apesar de não ter explicitado estes termos nas respostas. Talvez ele
considere a variável sempre como x. Como prefere trabalhar numericamente, ele
poderia utilizar uma tabela para identificar o valor procurado de igualdade nos dois
orçamentos, mas ele talvez pense que a tabela serve só para anotar os pares
ordenados dos pontos que vão no gráfico, ele não utilizou esta representação para
encontrar a resposta pedida na questão. Também não utilizou um gráfico, que
poderia ter ajudado a resolver.
Quando se trata da representação gráfica, seja de uma função ou seja um
gráfico que não representa uma função, o sujeito A2 apresenta dificuldades na
154
análise para definir qual é ou não um gráfico de função. Em uma questão,
entretanto, quando apresentamos uma curva que lembrava uma parábola, o sujeito
afirmou que a expressão algébrica que representava aquele gráfico era “x2 = y.-3”.
Apesar da confusão ao escrever a expressão, parece que o sujeito lembra que
aquela forma de gráfico está associada a uma expressão que apareça o expoente
dois na variável x.
Em resumo, a imagem de conceito do sujeito A2 apresenta características do
mundo corporificado. Ele está fortemente apoiado em números ao resolver e
responder situações referentes ao conceito de função, principalmente os números
naturais, e apresenta dificuldades ao trabalhar com números inteiros e decimais.
Quando trabalha função apresentada sob sua representação em forma de
texto utilizando palavras, o sujeito A3 pensa em identificar valores numéricos,
preferencialmente números naturais, e fazer cálculos, apesar de que em uma
resposta surgiu a ideia de que ele percebe dependência. Consideramos que suas
ideias sugerem características do mundo corporificado.
Ao trabalhar com a representação gráfica do conceito de função, o sujeito A3
sugere muitas dificuldades e limitações. Parece que todos os valores devem estar
claramente indicados nas escalas e que os pontos devam estar assinalados sobre o
plano, porque do contrário parece que ele não resolve corretamente. Quando ele
observa uma tabela numérica ou um diagrama de Venn parece que ele pensa
imediatamente em coordenadas dos pontos, que precisam ser lançados num plano
cartesiano para se obter um gráfico, sugerindo procedimento com características do
mundo corporificado. Em uma resposta ele sugere que função é gráfico (ou que
gráfico é função), o que se contrapõe a uma resposta em que sugeriu também que
função poderia ser uma sequência ou progressão, mostrando que este conceito não
tem elementos importantes presentes na sua imagem de conceito.
Quando se trata da representação algébrica de função o sujeito A3 parece
também ter várias dificuldades, chegando ao ponto de não tentar responder,
limitando-se a afirmar que não sabe.
155
Consideramos que a imagem de conceito do sujeito A3 apresenta
características do mundo corporificado.
Quando se depara com um problema apresentado na forma de texto o sujeito
A4 pensa inicialmente em efetuar cálculos, buscando na descrição da situação os
dados e operações a serem realizadas. Numa questão chegou a escrever uma
expressão numérica que poderia sugerir a lembrança da forma algébrica básica da
função afim y=ax+b, para em seguida, “armar” a conta e efetuar os cálculos. Seu
modo de resolver aquela situação de função representada em forma de texto
apresenta características do mundo corporificado.
Em uma outra questão, o sujeito A4 apresentou indícios de pensamento
formal porque as respostas aos três itens desta questão sugerem que ele percebeu
que naquela situação, o tempo determina o valor variável do orçamento. Ele
apresentou seu pensamento utilizando palavras próprias, não citou termos
referentes ao conceito de função como variável independente, domínio, etc, mas
suas respostas apresentam coerência em relação ao conceito de função.
Ao trabalhar o conceito de função na sua representação algébrica, o sujeito
A4 pensa em substituir valores numéricos inteiros para efetuar contas. Alguns dos
procedimentos apresentados sugerem que o sujeito faz confusão, pensando em
certos momentos tratar-se de equação, e então ele parte para manipulação, em
outros ele efetua cálculos seguindo regras que parecem próprias e em outros ele
parte para descrever o que está apresentado na expressão. O sujeito, quando
trabalha a representação algébrica de função tenta resolver com características do
mundo corporificado, porque pensa em transformar em expressões numéricas, em
efetuar cálculos ou em descrever o que está apresentado na expressão.
Ao trabalhar com gráficos, o modo de resolver apresentado pelo sujeito A4
sugere muitas dificuldades. Ele mostra a tendência de identificar os pares ordenados
dos pontos dos gráficos, sem pensar em coisas importantes como a interpretação do
gráfico de uma maneira global, analisando o comportamento da curva, o sinal e a
taxa de inclinação, além dos pontos notáveis. O sujeito se deixa levar pelo formato
da curva, algumas vezes descrevendo-a, sugerindo que em seu pensamento estão
presentes gráficos que ele trabalhou durante seu estudo, mas tratando-se quase que
156
só de figuras mentais aparentemente sem ligação com o conceito de função. As
ideias do sujeito nesta situação apresentam características do mundo corporificado.
O sujeito não demonstrou saber identificar se um gráfico representa ou não uma
função, nem demonstrou saber associar um gráfico à uma expressão algébrica ou
ainda a um nome, como parábola, reta, etc, que em momento algum ele utilizou.
Aparentemente, na sua imagem de conceito, função e gráfico são coisas separadas,
pois para ele, função é o “jeito de resolução da conta”.
A imagem de conceito de função do sujeito A4 apresenta características do
mundo corporificado.
A imagem de conceito de função sugerida pelas respostas do sujeito A5 indica
a presença de expressões algébricas e gráficos para calcular ou identificar números.
Como em suas respostas ele demonstrou dificuldades na interpretação destas duas
representações, sua imagem de conceito de função tem características de mundo
corporificado. Suas respostas sugerem que ele está iniciando o entendimento de
função, como se estivesse num patamar muito próximo do entendimento,
demonstrando insegurança nas situações apresentadas.
Algumas características, entretanto, poderão ajudá-lo no entendimento do
conceito, que poderíamos chamar de ferramentas. Ele tem certa facilidade em
trabalhar com porcentagem e regra de três, que são características do mundo
simbólico, e podem colaborar em várias situações de função. Ao ler um texto em
palavras que apresenta uma situação envolvendo função, ele percebe o que
determina a dependência de uma maneira aparentemente lógica ou intuitiva, que
também podem ajudar. Ele aceita a existência de expressões algébricas, outra
característica do mundo corporificado, mas aqui ele tem a tendência de descrever o
que a expressão apresenta. Quanto à representação gráfica, ele também percebe a
disposição dos eixos cartesianos, a distribuição de escalas, mas parece estar focado
em números inteiros e apresenta dificuldades em fazer interpolações.
As características da imagem de conceito de função do sujeito A5 se referem
ao mundo corporificado.
157
Quando trabalha com o conceito de função apresentado sob sua
representação em forma de texto o sujeito A6 pensa em identificar números para
executar cálculos. Este é um pensamento com características do mundo
corporificado. Ele aparentemente não apresenta dificuldades em trabalhar com
números decimais, uma característica do mundo simbólico, mas demonstra certa
falta de concentração porque erra alguns cálculos simples. Se o conceito de função
aparece em forma de texto num problema que poderia ser considerado de aplicação
prática, com a variável independente o tempo, o sujeito demonstra perceber
influência desta variável dependente na variável dependente, apesar de não ter
utilizado especificamente estes termos. Talvez se deixe levar pela intuição, percebe
quem determina a variação, mas não consegue generalizar.
Se a função aparece na representação algébrica, as respostas do sujeito A6
sugerem muitas dificuldades, porque ou ele desiste e deixa a questão em branco, ou
responde coisas que parecem demonstrar pouca familiaridade com esta
representação. As características do mundo simbólico que apareceram nas suas
respostas sugerem que ele parece ter pensamento de quem inicia seu aprendizado
de álgebra, demonstrando todas inseguranças que normalmente aparecem nos
primeiros passos do aprendizado de algum conceito. No caso do conceito de função,
parece que somente representa uma função a expressão algébrica que aparece nos
moldes da expressão genérica y=ax+b, ainda assim surgem dificuldades. Qualquer
mudança, mesmo que seja colocar o y no segundo termo, já parece gerar confusão
para este sujeito, e a notação g(x) parece não ser conhecida, talvez por não ser f(x).
Quando o sujeito A6 visualiza uma tabela numérica ou diagrama para associar
a um gráfico, ocorre também alguma confusão e seu pensamento com
características do mundo corporificado se limita a associar somente o gráfico que
esteja claro e evidente para ele. Para isto, deve constar nas escalas todos valores
da tabela ou diagrama, os pontos devem estar claramente sobre o plano cartesiano,
e deve aparecer também claramente a curva ligando estes pontos. Qualquer coisa
fora disso aparentemente traz dificuldades.
Se a função vem apresentada graficamente, parece buscar, sobre o gráfico,
os pontos e as coordenadas que aparecem na tabela ou no diagrama para verificar
se é função, aparentemente conferindo os pontos. Parece que o sujeito A6 pensa
158
que os pontos devem estar evidentes sobre o plano cartesiano e, ao mesmo tempo,
contidos na linha que representa o gráfico. Se algum ponto possui coordenadas que
não aparecem nas escalas, o aluno não consegue expressar o significado que tal
gráfico tem para ele. Aparentemente ele faz análise pontual e isolada do gráfico e
não percebe um gráfico como instrumento que permite uma visualização geral do
comportamento de duas variáveis. Quando a atividade mostra um gráfico e pede a
expressão algébrica, o aluno nem tenta, mesmo no caso da reta.
Ao trabalhar com o conceito de função sob sua representação em forma de
texto apresentando situações que poderiam ser consideradas como associadas a
fatos reais, o sujeito A7 pensa em identificar valores numéricos e realizar cálculos
para encontrar um resultado, sugerindo pensamento com características do mundo
corporificado. Ele utiliza bastante a regra de três simples, um já-encontrado com
características do mundo simbólico e que talvez faça parte da sua imagem de
conceito de função, e demonstra também saber utilizar números decimais com certa
facilidade, outro já-encontrado com características do mundo simbólico. De uma
maneira geral suas respostas sugerem que ele percebe qual é a variável
dependente, qual é a variável independente, apesar de não ter utilizado estes
termos. Suas respostas sugerem que ele apresenta facilidade em resolver
problemas, e aqui não foi possível identificar se foi por lógica ou por conhecer
função.
Quando trabalha com o conceito de função sob a representação algébrica o
sujeito A7 apresenta dificuldades que parecem sérias, porque ele simplesmente
deixou as questões em branco. Em nenhum momento ele tentou esboçar uma
resposta. A mesma dificuldade séria aconteceu quando trabalhou com a
representação gráfica, porque ele deixou em branco a maioria dos gráficos
apresentados e, quando respondeu, a resposta sugere que em sua imagem de
conceito está presente somente a imagem do gráfico de função polinomial do 1o
grau, mesmo assim com algumas deficiências, porque ele parece pensar que a reta
deve ter um início e um fim, caracterizando um segmento, ou ainda que as
coordenadas dos pontos devem estar claramente escritas nas escalas dos eixos. Ao
organizar dados para comparações ele esboçou tabelas numéricas que sugerem
159
que ele não apresenta dificuldades na sua construção, mas ele não utilizou esta
representação, por exemplo, em um problema que pedia para avaliar quando dois
orçamentos com tempo e preços variáveis teriam o mesmo valor. Ele poderia ter
usado a tabela para estudar a situação, mas não o fez, sugerindo que ele usa esta
representação somente para organizar pares ordenados para depois anotar os
pontos no gráfico. Poderíamos afirmar que em relação à representação gráfica de
funções seu pensamento apresenta características do mundo corporificado.
Poderíamos também afirmar que, de uma maneira geral, a característica que
predomina na imagem de conceito de função do sujeito A7 se refere ao mundo
corporificado, mas ele mostra indícios de que tem potencial para avançar, apesar de
ter afirmado que não aprendeu função.
Quando trabalha com o conceito de função apresentado sob sua
representação em forma de texto, o sujeito A8 busca valores numéricos nos dados
apresentados e efetua cálculos, tratando-se de uma ideia com características do
mundo corporificado. Ele apresenta dificuldades para identificar os dados, efetuando
cálculos incorretos e não relacionados com procedimentos aceitáveis quando se
trabalha com funções. Ele não identifica corretamente variável dependente e variável
independente ou talvez ache que alguma destas não tem influência na situação.
Ao trabalhar com o conceito de função sob sua representação em forma de
expressão algébrica o sujeito A8 apresenta características do mundo simbólico, mas
seu pensamento sugere muitas dificuldades porque parece que se a expressão não
aparecer semelhante à forma genérica y=ax+b ele se perde e passa a pensar que a
expressão não representa uma função, o que mostra deficiências nas características
formais.
Outra representação que parece provocar dificuldades é a gráfica. Nesta
situação o sujeito A8 apresenta características do mundo corporificado, mas o
gráfico aparentemente precisa mostrar claramente os pontos assinalados sobre o
plano cartesiano, todos os valores das coordenadas devem aparecer claramente
grafados nas escalas dos eixos e todos os pontos devem estar ligados por uma
curva.
160
6.3. Segunda questão
II – Qual definição de conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do
Ensino Médio apresentam, após seu estudo deste tema na 1a série do Ensino
Médio?
A definição de conceito do sujeito A1 apresentada pela resposta constante no
protocolo é a de “junção de duas ou mais coisas”, conforme suas próprias palavras.
A palavra junção sugere conexão ou união de algo que o sujeito não explicitou em
sua resposta, escrevendo apenas “coisas”. Após avaliarmos todas respostas deste
sujeito, conjecturamos que as “coisas” a que ele se refere provavelmente são
números e, provavelmente, aí esteja presente uma ideia inicial de função no sentido
de um valor que dependa de outro. Esta nossa conjectura está baseada tanto na
resposta à primeira questão, quanto à questão de número cinco, onde ele afirmou
que diante de um problema que envolva função, a primeira ideia que ele tem é de
resolvê-la “através de um cálculo”. Esta é uma definição de conceito com
característica de mundo corporificado, em que aparentemente o sujeito busca apoio
em conexões, talvez números apresentados em forma de tabela ou algum diagrama.
A definição de conceito de função do sujeito A2 é a de algum tipo de conta.
Em sua resposta quando perguntamos sobre o significado de função em
matemática, ele disse “é o nome que se dá ao devido a representação da conta”.
Apesar de um pouco confusa, a frase sugere que ele pensa em conta. A definição
de conceito de função do sujeito apresenta características do mundo corporificado.
Em nenhum momento o sujeito deixa perceber que entendeu a ideia de relação de
dependência.
Dentre as respostas apresentadas pelo sujeito A3 não foi possível identificar
claramente como ele define função, mas ocorreram vagas sugestões de que ele
pensa que função possa ser uma sequência ou um gráfico. Existia a possibilidade de
que ele não soubesse se expressar, mas analisando em conjunto com outras
questões, parece que ele apresenta apenas noções intuitivas bastante iniciais de
dependência, como se estivesse começando agora a aprender função. Ele não
161
mostra indícios de ter aprendido a ideia de dependência. A sua imagem de conceito
de função apresenta características do mundo corporificado.
A definição de conceito de função sugerida pela resposta “o jeito de resolução
da conta” apresentada pelo sujeito A4 é a de uma conta e o respectivo processo de
resolução, que ele aparentemente chamou de “jeito de resolução”. Em outras
questões com potencial para expor suas ideias ele apresentou indícios de que não
aprendeu relação de dependência, mostrando alguns momentos que age
intuitivamente. A resposta sugere pensamento com características do mundo
corporificado.
A definição de conceito de função sugerida nas respostas do sujeito A5 é a de
utilidade ou serventia no sentido de encontrar números, que pode ser observada na
afirmação que ele apresentou no protocolo como resposta à primeira questão que foi
“é oque faz algo específico em sua área, como a função do 2o grau, ela tem só uma
função de descobrir números por exemplo”. Em todas questões que envolvem
alguma representação de função, o aluno preocupa-se com as ideias analíticas,
chegando a descrever em palavras as expressões algébricas que encontrou,
deixando entrever características do mundo corporificado.
A frase “Para mim a palavra função significa um conjunto” sugere que o
sujeito A6 pensa em números e a definição de conceito apresentada possui
características do mundo corporificado. Ao analisarmos a ideia apresentada pelo
sujeito chegamos a pensar que se tratava de uma resposta que direcionava o
pensamento dele para o significado da palavra conjunto, no sentido talvez de pares
ordenados que representam as variáveis, mas após analisarmos as demais
respostas, consideramos mais provável que ele pensa em conjuntos de números
que possam ser substituídos em expressões algébricas, que possam identificar
coordenadas de pontos ou que permitam cálculos a partir de dados obtidos nos
problemas e situações.
Quando teve a oportunidade de escrever com suas palavras o que pensa
sobre o conceito de função o sujeito A7 escreveu “não aprendi”. Outras questões
também não colaboraram para que pudéssemos sugerir a definição de conceito do
sujeito. Entretanto, ele apresenta certa intuição com relação à noção de
dependência que, associada ao fato de ter alguma facilidade em cálculos, poderia
162
ajudar a desenvolver o conceito, por exemplo utilizando a regra de três, que ele
demonstrou familiaridade, incorporando os casos de proporcionalidade direta e
depois ampliando as ideias para outros casos.
A definição de conceito do sujeito A8 aparentemente tem a ver com a
expressão algébrica. Sua resposta não deixa explicitado isso, mas a afirmação
citando “letras e números” talvez indique que sabe que expressões algébricas de
função apresentam números e letras. A representação gráfica não aparece na sua
definição de conceito e quando trabalha com texto em palavras ele demonstra pouca
familiaridade, inclusive não demonstrando intuição para a dependência. As
características presentes na sua imagem de conceito se referem ao mundo
corporificado.
6.4. Terceira questão
III – Quais características dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004) surgem nas
respostas de alunos ao resolver problemas relacionados ao conceito de função?
As características dos Três Mundos da Matemática que surgiram nas
respostas do sujeito A1, todas do mundo corporificado, foram o uso de operações
aritméticas, noção de construção de tabelas, o uso de números inteiros, a leitura de
coordenadas cartesianas e a localização de pontos em um plano cartesiano, mas
somente quando a escala e a coordenada do ponto favorece, apresenta dificuldade
em interpolar números na escala dos eixos e demonstra conhecimentos básicos do
diagrama de Venn. Nas suas respostas não surgiram características do mundo
simbólico e nem do mundo formal.
Algumas características de mundo corporificado surgiram nas respostas do
sujeito A2. A que apareceu com mais frequência foi a de utilizar contas e expressões
numéricas, utilizando quase exclusivamente números inteiros. Outra característica
que chamou a atenção é a de dividir a conta em duas partes quando trabalha com
número que apresenta parte decimal. O sujeito inicialmente faz a conta envolvendo
a parte inteira para depois resolver a parte decimal. O sujeito acabou apresentando
163
uma resposta incorreta e, na análise do protocolo, parece que este erro ocorreu
porque o procedimento de dividir a conta em duas partes é trabalhoso e pode
facilitar o aparecimento de erros.
Outra característica presente na imagem de conceito do sujeito A2 e que se
refere ao mundo corporificado é a possível associação de gráficos, apresentados no
questionário, às imagens mentais que ele tenha guardado durante seus estudos.
Apesar de não escrever claramente que determinada imagem estava presente na
sua memória, o modo como o sujeito respondeu sugere que na sua imagem de
conceito estão presentes imagens como a do gráfico de uma função quadrática, de
uma função periódica (função seno, por exemplo) e função afim. Aparentemente sua
imagem de conceito não apresenta imagens de gráficos de funções diferentes
destas três, porque parece que ocorreram dúvidas ao se deparam com gráficos
como da função constante, gráfico da função recíproca, ou ainda o gráfico da
circunferência de raio r=2.
Em dois momentos o sujeito A2 apresentou indícios de pensamento com
características do mundo simbólico. Ao escrever uma expressão que lembra uma
expressão algébrica de função quadrática (quando escreveu “x2=y.-3”) e quando foi
perguntado qual a primeira idéia diante de um problema envolvendo o conceito de
função, que o sujeito escreveu “começar pela fórmula, se tiver representada”. Em
outras oportunidades o sujeito não fez outras associações indicando características
do mundo simbólico e também não apresentou indícios de características do mundo
formal.
Com relação às respostas do sujeito A3, podemos citar como características
do mundo corporificado o fato de buscar em texto os dados numéricos para fazer
cálculos, dividir a conta onde aparece decimal em duas partes, calculando a parte
inteira e depois a decimal, não conhece correspondência de transformação de
tempo em horas e minutos para número decimal, quando trabalha na associação de
tabela numérica com gráficos, os pontos devem estar evidentes sobre o plano e a
escala deve trazer indicadas as coordenadas dos pontos, todas características do
mundo corporificado. Não surgiram características nem do mundo simbólico nem do
mundo formal.
164
As respostas do sujeito A4 sugerem alguns já-encontrados característicos do
mundo corporificado, como o de identificar números e efetuar cálculos aritméticos
elementares, a montagem de expressões numéricas buscando dados nos
problemas, a multiplicação de números no formato decimal, que o sujeito efetua
incorretamente, o sujeito tende a fazer uma descrição do que observa num gráfico, a
identificação de pares ordenados de pontos do gráfico, o uso de tabelas como um
instrumento de organizar os números. Como característica do mundo simbólico
surgiram o trabalho com números decimais e o fato de tratar expressões algébricas
de função como se fossem equações. Não ocorreram respostas que sugerissem
características do mundo formal.
As respostas e soluções apresentadas pelo sujeito A5 referem-se ao mundo
corporificado. Já-encontrados como fórmula (expressão algébrica) utilizadas para
calcular números, quase que exclusivamente números inteiros, uso da
proporcionalidade direta, principalmente na forma de porcentagem e também
utilizando números inteiros, maneiras de construir gráficos cartesianos, algumas
imagens mentais que sugerem conhecer a reta, o círculo ou circunferência, a
parábola (porém sem nomeá-la), parecem estar presentes na imagem de conceito
do sujeito e sugerem que ele está no processo inicial do aprendizado de função. Não
desejamos localizá-lo dentro do quadro de desenvolvimento cognitivo dos Três
Mundos da Matemática como se fosse uma localização geográfica, mas o sujeito
apresentou respostas que sugerem que ele está no início da sua jornada quando se
fala do conceito de função. Não ocorreram características do mundo simbólico nem
do mundo formal, ele pensa em função não como uma relação entre grandezas, mas
no sentido de utilidade ou serventia. Como consequência, conforme sugestões em
suas diversas respostas, ele não percebe que expressões algébricas, gráficos,
descrições em forma de texto, entre outras, são representações diferentes do
mesmo conceito.
Na análise do protocolo do sujeito A6 foram percebidas características do
mundo corporificado, como o uso de expressões e cálculos numéricos, em gráficos
ele tenta destacar os pontos se as coordenadas estiveram na escala dos eixos,
apresenta dificuldades na interpolação de valores, o gráfico precisa mostrar uma
curva ligando os pontos. Quando observa uma expressão algébrica ele parece
165
necessitar que esta seja do tipo y=... ou x=..., caso contrário não aceita, não
apresenta características formais de função. Com relação a características do
mundo simbólico ocorreu apenas o trabalho com números decimais.
Nas respostas do sujeito A 7 aparecem características do mundo corporificado
como ao trabalhar com gráficos, mas apresentando dificuldades. A maioria das
questões envolvendo gráficos que apareceram foram deixadas em branco, e quando
respondeu, demonstrou que os pontos precisam estar ligados por uma curva, as
coordenadas dos pontos devem aparecer de modo evidente nas escalas dos eixos.
Quando a questão pede para avaliar o gráfico, ele tenta localizar os pontos partindo
de valores inteiros dos eixos. A característica do mundo simbólico que surgiu foi o
uso da regra de três e não surgiram características do mundo formal.
O sujeito A8 apresentou características do mundo corporificado, como utilizar
operações aritméticas, apresentando dificuldades com utilização de gráficos, tabelas
e diagrama de Venn. A característica do mundo simbólico que surgiu foi o uso de
número na forma decimal. Não surgiram características do mundo formal.
Neste momento da nossa pesquisa, percebemos que os dados constantes
nos protocolos permitiram responder as três questões que elegemos para orientar
nosso trabalho.
O próximo capítulo trata das conclusões a que chegamos após este
diagnóstico.
7. CONCLUSÕES
No capítulo anterior aparecem as imagens de conceito e as definições de
conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que surgiram nos protocolos. Aparecem
também várias características que surgiram depois dos alunos responderem as
questões.
Imagem de conceito e definição de conceito (TALL, VINNER, 1981) são
individuais, mas consideramos oportuna a sugestão da banca examinadora no
166
sentido de identificarmos em um quadro quais características surgiram quando os
alunos responderam ao questionário. Neste sentido, optamos em apresentar o
quadro 1, à página 167. Nele, relacionamos algumas características que
consideramos importantes, e que desejávamos encontrar nas respostas às
questões, permitindo supor que estivessem presentes na imagem de conceito de
cada aluno. Incluímos também o item relacionado à definição de conceito que cada
um deles apresentou.
Nesse quadro utilizamos um sistema de cores para simplificar a visualização.
A cor verde significa que o aluno desenvolveu com facilidade suas ideias em relação
à determinada característica, demonstrando segurança e familiaridade. A cor
amarela indica que o ele apresentou alguma dificuldade, cometendo alguns erros,
demonstrando ter percebido o uso daquela característica citada, porém
demonstrando que necessita executar mais atividades e exercícios para que a
característica se torne uma ferramenta eficiente ao trabalhar com função. A cor
vermelha indica que ele apresentou muita dificuldade em relação à característica
citada, cometendo muitos erros e demonstrando que necessita retomar o
aprendizado referente à característica citada, inclusive demonstrando não ter
associado a referida característica ao conceito de função. Quando o quadro aparece
em branco, significa que suas respostas não sugeriram a presença daquela
característica em suas ideias, e consideramos neste caso que também seja
necessário retomar o aprendizado.
167
Quadro 1 – Classificação das dificuldades observadas nas respostas dos alunos, em
aspectos considerados importantes na resolução das questões propostas.
Fonte: Acervo pessoal.
Legenda:
Aluno demonstra familiaridade ao trabalhar com a característica citada.
Aluno apresenta alguns erros ao trabalhar com a característica citada.
Aluno apresenta muitas dificuldades e erros ao trabalhar com a característica citada.
Aluno não apresentou ideias relacionadas à característica citada.
Alunos
Características relacionadas ao conceito
de função
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Utilizar procedimento numérico
Utilizar gráficos e suas escalas
Organizar dados – tabela/diagrama
Utilizar expressão algébrica
Generalizar
Utilizar imagens mentais
Perceber as variáveis
Perceber dependência no texto
Perceber dependência na expressão
algébrica
Perceber dependência no gráfico
Perceber dependência - tabela/diagrama
Definir função
168
Ao observarmos este quadro 1, que apresenta algumas das características
referentes ao conceito de função que consideramos importantes na resolução das
questões, concluímos que, estes oito alunos apresentam sérias dificuldades. Eles
demonstraram dificuldades inclusive em operações aritméticas que deveriam ser
consideradas elementares para a faixa etária de 15 a 17 anos de idade, como
multiplicação e divisão utilizando números decimais; em construção e entedimento
de gráficos limitando-se a identificar alguns pontos no gráfico quando as escalas
eram “bem comportadas”, isto é, as coordenadas deveriam ser números inteiros,
preferencialmente positivos, além de estarem bem evidentes nas escalas dos
gráficos; não utilizaram tabelas e diagramas de Venn nem como um organizador de
dados, nem como instrumento de avaliação da situação apresentada e
demonstraram também que utilizam a expressão algébrica como instrumento para
identificar pares de valores a serem lançados em um gráfico, limitando-se aos
números inteiros positivos. Talvez estas deficiências tenham influenciado para eles
não perceberem o que é função. Entendemos que estes oito alunos deveriam
retomar o aprendizado de funções, não bastando uma simples revisão. Talvez uma
abordagem que considerasse as características de função relacionadas aos Três
Mundos da Matemática (TALL, 2004) pudesse permitir uma alteração do resultado
que encontramos.
A situação que consideramos ideal, seria a de que todos quadradinhos do
quadro 1 estivessem pintados na cor verde. Observando o resultado que
encontramos, em que 50% dos quadradinhos estão em branco, indicando que estes
alunos não demonstraram familiaridade com características importantes ao trabalhar
com funções, e que mais de 36% dos quadradinhos apresentam cor vermelha,
indicando sérias dificuldades e erros ao trabalhar com as características, fazemos
nossas as palavras de Barufi (1999, p.3) quando afirma que dados semelhantes
“caracterizam uma situação que, no mínimo, pode ser considerada problemática”.
É importante frisar que escolhemos algumas características para anotar no
quadro, descritas anteriormente em nossa análise didática das questões, à página
63. Um maior detalhamento destas características poderia ser utilizado como
questões para outras pesquisas e talvez pudessem colaborar para indicar quais
deficiências deveriam ser trabalhadas com maior ênfase na educação básica com
objetivo de tentarmos alterar para melhor a imagem de conceito e a definição de
169
conceito (TALL; VINNER, 1981) de função que alunos do Ensino Médio apresentam
após terem estudado funções. Em relação aos Três Mundos da Matemática (TALL,
2004), a situação ideal seria uma imagem de conceito rica, sugerindo várias
características, permitindo que o aluno escolha aquela que for mais adequada ao
resolver cada situação.
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Depois da análise dos dados constantes nos protocolos, de respondermos as
três questões de pesquisa e de apresentarmos algumas ideias referentes à
conclusão do trabalho, nosso objetivo é o de apresentar, de maneira global, algumas
considerações referentes a este diagnóstico.
A primeira delas diz respeito ao aprendizado de Matemática. Trouxemos uma
dúvida quando chegamos ao Mestrado, que era: “por que alunos das séries finais do
Ensino Médio apresentam rendimento tão baixo na resolução de problemas que
necessitam do seu aprendizado de função?” Hoje nosso pensamento é que esta
pergunta pode ser respondida por partes. O conceito de função é amplo e merece
ser estudado minuciosamente, e para responder aquela pergunta inicial
consideramos que seja necessário responder várias outras que parecem menores,
mas só parecem, como: “de que maneira o aluno utiliza uma tabela?”; “qual a
maneira de utilizar uma tabela de modo eficiente?”; “de que maneira o aluno utiliza
um Diagrama de Venn?”; “como ele relaciona duas grandezas?”; “o que o aluno
entende por grandeza em Matemática?”. Consideramos ainda que, várias outras
questões podem surgir.
As questões referentes ao uso de tabelas que acabamos de citar, surgiram
durante as nossas análises dos protocolos. Alunos da Educação Básica precisam ter
oportunidade, de utilizarem tabelas e diagramas de flechas, não somente como um
simples organizador de dados, mas como um poderoso instrumento de decisão,
nossa revisão de literatura traz uma pesquisa interessante neste sentido (FLORES;
MORETTI, 2006, vide página 39). O mesmo vale para a expressão algébrica, que é
uma representação fundamental em Matemática e algumas vezes é utilizada
somente para calcular alguns poucos pares de valores numéricos. Não estamos
170
criticando o uso de métodos aritméticos ao resolver situações envolvendo função,
que devem e podem ser usados sempre que possível, mas algumas situações
referentes a este conceito podem ser resolvidas de modo mais eficiente usando
outros instrumentos. Talvez se os alunos da Educação Básica perceberem o
potencial destas duas representações, os problemas encontrados nos anos iniciais
do Ensino Superior pudessem diminuir. Uma pesquisa interessante relativa a estas
dificuldades aparece na nossa justificativa (BARUFI, 1999, vide página 16). Nós,
professores, precisamos falar disso com os alunos, e se necessário, repetir outras
tantas vezes quantas forem necessárias.
A segunda consideração diz respeito a este diagnóstico. Esperamos que
possa servir para incentivar discussões envolvendo pessoas ligadas à Matemática,
tanto do lado do ensino quanto do lado da aprendizagem. Professores e demais
profissionais da educação, alunos e seus responsáveis, seus comentários e críticas
serão úteis e preciosos na continuidade deste trabalho, porque consideramos no
momento atual, que não estão encerradas as discussões e os estudos referentes ao
conceito de função.
A terceira consideração diz respeito ao ato de estudar. É preciso e todos
devem estudar, professores e alunos. E para aqueles que decidirem estudar
Matemática, sejam bem-vindos. Para os que escolherem Educação Matemática,
bem-vindos e sugerimos algumas questões de pesquisa que nos ocorreram durante
nosso trabalho: “a implantação de Proposta Curricular de São Paulo melhorou o
aprendizado da noção de função dos alunos da 8a série do Ensino Fundamental?”;
“O ensino das tabelas de valores numéricos no Ensino Fundamental aborda a
importância deste instrumento como ferramenta de estudos de variáveis?”; “Como o
livro didático do Ensino Médio aborda a transição do gráfico para a expressão
algébrica no ensino de funções?”; “E do texto escrito para a expressão algébrica?”;
“Que sequência didática favorece o aprendizado de como construir a expressão
algébrica de uma função à partir dos gráficos de função apresentados no Ensino
Médio?”; “E para construir a expressão algébrica de função à partir dos textos de
apresentados no Ensino Médio?”.
Para aqueles que resolverem investigar, consideramos que o conceito de
função permite muitas possibilidades de pesquisas, pela importância do conceito nas
diversas áreas do conhecimento, pela possibilidade de aplicações e porque não
171
dizer, pelos resultados demonstrados pelos estudantes nas diversas avaliações,
sejam de pesquisas, sejam institucionais ou mesmo nas avaliações em seus cursos,
que indicaram que ainda temos longo um caminho a percorrer.
172
REFERÊNCIAS
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BARUFI, Maria Cristina Bonomi. A construção/negociação de significados no curso universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: USP/SP, 1999. 195 p. Tese (Doutorado em Educação) – Programa de Pós-graduação em Educação, Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, São Paulo, 1999.
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173
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PELHO, Edelweiss Benez Brandao. Introdução ao Conceito de Função: A Importância da Compreensão das variáveis.São Paulo: PUC/SP, 2003. 146 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos de Pós-graduação em Educação Matemática, Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2003.
POWELL, Arthur B. Captando, Examinando e Reagindo ao Pensamento Matemático. Boletim GEPEM. n. 39. Set. 2001, pp. 73 – 84.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino de matemática: 2o grau. 3 ed. São Paulo: SE/CENP, 1995. 416 p. il. 1995.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria Estadual da Educação. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. São Paulo: SEE, 2008. 59 p.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio – 1a série, v. 2. São Paulo: SEE, 2009a. 35 p.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Saresp 2008: Relatório Pedagógico: Matemática. São Paulo: SEE, 2009. 176 p.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Caderno do Aluno: matemática, ensino médio – 2a série, v2. São Paulo: SEE, 2009b. 56 p.
174
SIERPINSKA, Anna. On understanding the notion of function. In: DUBINSKY, Ed; HAREL, Guershon (eds). The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy. Mathematical Association of America: 1992, MAA Notes, v. 25, p. 25-58.
TALL, David Orme. Thinking through three worlds of Mathematics. In: PME, 28th, 2004, Bergen, Norway. Proceedings of the 28th Conference of Psychology of Mathematics Education. Bergen: PME, 2004. v.4 pp.281-288.
TALL, David Orme; VINNER, Shlomo. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, Netherlands, v. 12, n. 2, 158-161, maio, 1981. ISSN: 0013-1954.
TALL, David Orme. The Transition to Formal Thinking in Mathematics. University of Warwick, Coventry CV4 7AL, UK. 2008. Disponível em :< http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2008e-merj-3worlds.pdf>. Acesso em: 02 mai. 2009.
ZUFFI, E. M., PACCA, J. L. A.. Sobre funções e a linguagem Matemática de professores do Ensino Médio. Revista Zetetiké – CEMPEM-FE/UNICAMP. São Paulo: n.13/14, 2000.
175
ANEXO A - Atividade diagnóstica de Angelini (2006)
Nome do aluno: .............................................................................. Série: .........
Atividade de Matemática
Questão 1)
Os quatro gráficos anotados neste plano cartesiano estão entre as formas
algébricas citadas nas alternativas abaixo. Anote ao lado das alternativas
apropriadas a qual gráfico se referem.
(a) y = 5 x + 8 (b) y = -2 x + 3 (c) y = x2 (d) y = - x2
(e) y = 2 x – 4 (f) y = 2x
Questão 2) Um comerciante investiu um capital na aquisição de mercadorias e
instalação de um ponto de vendas. Ao iniciar a operação comercial, os resultados
não foram os esperados e seu negócio apresentou um prejuízo mensal fixo. Observe
cada um dos gráficos acima e indique qual deles seria mais apropriado para
representar esta situação, comentando ou alterando o que você julgar necessário.
176
Questão 3) Um automóvel parte da cidade A, localizada no quilômetro 40 de uma
rodovia e segue viagem em direção a uma cidade B, localizada no quilômetro 600 da
mesma rodovia, viajando sempre com velocidade constante de 80 km/h. A forma
algébrica que apresenta a posição do automóvel em função do tempo de
deslocamento neste movimento é:
(a) S = -40 + 600 t (b) S = 40 + 600 t (c) S = 600 – 80 t (d) S = - 600 + 80 t
(e) S = 40 + 80 t (f) S = -40 – 80 t (g) S = 600 – 40 t (h) S = 80 + 600 t
177
ANEXO B – INSTRUMENTO DIAGNÓSTICO
1) Em Matemática, o que significa para você a palavra função?
2) Para consertar um refrigerador, uma oficina cobra uma taxa fixa de R$ 20,00 pela
visita e R$ 15,00 por hora trabalhada. Qual o valor pago por um conserto se o
técnico trabalhou 3,25 horas? (Deixa anotados seus cálculos, seus rascunhos e seu
raciocínio).
3) Observe os gráficos A e B abaixo:
A
178
B
Das relações apresentadas nos gráficos A e B:
I – é função apenas aquela que aparece em A.
II – é função apenas aquela que aparece em B.
III – são funções aquelas que aparecem em A e também em B.
IV – não são funções nem em A e nem B.
Justifique a resposta acima:
4) Escolha um dos dois gráficos apresentados no exercício 3 acima e construa uma
fórmula (expressão algébrica) para representá-lo. (Deixe anotados seus cálculos,
raciocínios, rascunhos).
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
179
5) Paulo precisa consertar seu aparelho de som. A oficina X cobra uma taxa fixa de
R$ 30,00 mais R$ 4,00 por hora trabalhada, enquanto que a oficina Y cobra a taxa
fixa de R$ 10,00 mais R$ 8,00 por hora trabalhada.
a)Em que condições é melhor utilizar a oficina X? Justifique e deixe suas contas,
rascunhos e seu raciocínio.
b)Em que condições é melhor utilizar a oficina Y? Justifique e deixe suas contas,
rascunhos e seu raciocínio.
c)Em que condições os preços cobrados pelas oficinas X e Y são iguais? Justifique
e deixe suas contas, rascunhos e raciocínio.
6) Diante de um problema de Matemática que envolva função, qual a primeira ideia
que você tem para resolvê-lo?
7) Avalie as expressões abaixo e, para cada uma delas, identifique se representa
uma dependência de "y em função de x". Justifique suas respostas.
a) x + y = 4
b) y = x2 + 2
c) x = y2
d) g(x) = x2 + 2
e) 3x - 4 = y
8) Avalie os gráficos abaixo e, para cada um deles, identifique se representa uma
dependência de "y em função de x". Justifique suas respostas.
a)
180
b)
c)
181
d)
9) Observe as representações A e B a seguir:
182
A)
B)
x
y
-1 -3
½ 0
2 3
Qual dos gráficos cartesianos abaixo melhor apresenta os dados das
representações A e B que você observou acima? Justifique sua resposta.
a)
-3
0
2
3
0
-1
1/2
2
½
2 •
183
b)
c)
184
d)
10) O professor de Matemática apresentou aos alunos a seguinte tabela.
185
x y
1 1
2 ½
-1 -1
E pediu aos alunos que fizessem um gráfico que satisfizesse os pontos dados. Três
alunos apresentaram as seguintes respostas.
a)
b)
186
c)
Qual dos três colegas fez o gráfico corretamente? Explique sua resposta, dizendo
porque escolheu ou deixou de escolher um ou mais dos gráficos.
187
ANEXO C – Tabela com o resumo do nosso entendimento com relação às ideias de
SIERPINSKA (1992) sobre os obstáculos epistemológicos, na ordem em que
aparece no artigo.
Sigla Descrição do item
E(f) – 1 Identificar mudanças observadas no mundo que nos cerca como um problema para resolver (SIERPINSKA, 1992, p. 31).
E(f) – 2 Identificar regularidades nas relações entre trocas como um modo de lidar com essas trocas (SIERPINSKA, 1992, p. 31).
OE(f) - 1 A matemática não está preocupada com problemas práticos (SIERPINSKA, 1992, p. 31).
OE(f) - 2 Técnicas computacionais usadas para produzir tabelas de relações numéricas não merecem ser consideradas objetos de estudo em matemática (SIERPINSKA, 1992, p. 32).
E(f) – 3 Identificar as coisas que dependem ao estudar dependências (SIERPINSKA, 1992, p. 36).
OE(f) - 3 Considerar dependências como fenômenos; focar em como as coisas mudam, ignorando o que muda (SIERPINSKA, 1992, p. 36).
E(f) – 4 Discriminar entre dois modos de pensamento matemático: um em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas e o outro em termos de quantidades variáveis e constantes (SIERPINSKA, 1992, p. 37).
OE(f) - 4 Pensar em termos de equações e incógnitas que são extraídas a partir delas (SIERPINSKA, 1992, p. 37-38).
E(f) – 5 Discriminar entre variáveis dependentes e independentes (SIERPINSKA, 1992, p. 38).
OE(f) - 5 Considerar a ordem das variáveis irrelevante (SIERPINSKA, 1992, p. 38).
OE(f) - 6 Uma concepção heterogênea de número (SIERPINSKA, 1992, p. 39).
E(f) – 6 Generalização e síntese da noção de número (SIERPINSKA, 1992, p. 41).
OE(f) - 7 Uma filosofia pitagórica de número: tudo é número (SIERPINSKA, 1992, p. 41).
E(f) - 7 Discriminar entre número e quantidade SIERPINSKA, 1992, p. 42).
OE(f) - 8 Leis em física e funções em matemática não têm nada em comum; eles pertencem a diferentes domínios do pensamento SIERPINSKA, 1992, p. 42).
E(f) - 8 Síntese dos conceitos de lei e de função; em particular, estar ciente da possibilidade de usar funções para modelar relações entre quantidades físicas ou outras SIERPINSKA, 1992, p. 42).
OE(f) - 9 Proporção é um tipo privilegiado de relações SIERPINSKA, 1992, p. 43).
OE(f) - 10 Forte crença na superioridade das operações formais sobre expressões algébricas SIERPINSKA, 1992, p. 46).
OE(f) - 11 Somente relações descritas por fórmulas analíticas são merecedoras de receber o nome de funções SIERPINSKA, 1992, p. 46).
E(f) - 9 Discriminar entre uma função e a ferramenta analítica usada às vezes para descrever sua lei SIERPINSKA, 1992, p. 46).
OE(f) - 12 Definição é uma descrição de um objeto conhecido por sentido ou por insight. A definição não determina o objeto, ao contrário, o objeto determina a definição. Uma definição não é vista com seu signo lógico SIERPINSKA, 1992, p. 47).
E(f) - 10 Discriminar entre definições matemáticas e descrições de objetos SIERPINSKA, 1992, p. 47).
E(f) - 11 Síntese da concepção geral de função como um objeto SIERPINSKA, 1992, p. 47).
E(f) - 12 Discriminar entre os conceitos de função e de relação SIERPINSKA, 1992, p. 49).
OE(f) - 13 Funções são sequências SIERPINSKA, 1992, p. 49).
E(f) - 13 Discriminar entre as noções de função e de sequência SIERPINSKA, 1992, p. 50).
OE(f) - 14 Coordenadas de um ponto são segmento de reta (não são números) SIERPINSKA, 1992, p. 51).
E(f) - 14 Discriminar entre coordenadas de um ponto de uma curva e os segmentos de reta desempenhando algum papel para a curva SIERPINSKA, 1992, p. 51).
OE(f) - 15 O gráfico de uma função é um modelo geométrico da relação funcional. Não precisa ser fiel, pode conter pontos (x,y) tais que a função não está definida em x SIERPINSKA,
188
1992, p. 52).
E(f) - 15 Discriminar entre diferentes formas de representar uma função e a própria função SIERPINSKA, 1992, p. 53).
E(f) - 16 Síntese das diferentes maneiras de dar funções, representá-las e falar sobre elas SIERPINSKA, 1992, p. 54).
OE(f) - 16 As mudanças de uma variável são mudanças no tempo SIERPINSKA, 1992, p. 55).
E(f) - 17 Generalização da noção de variável SIERPINSKA, 1992, p. 55).
E(f) - 18 Síntese do papel das noções de função e das consequências na história da ciência: estar ciente do fato que a busca por relações funcionais ou causais são ambas expressões internas da mente humana para entender e explicar mudanças no mundo SIERPINSKA, 1992, p. 56).
E(f) - 19 Discriminar entre as noções de relações funcionais e relações causais SIERPINSKA, 1992, p. 56).
189
ANEXO D – TRANSCRIÇÃO DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS.
Questão 1:
Em Matemática, o que significa para você a palavra função?
A1: Significa a junção de duas ou mais coisas.
A2: É o nome que se dá ao devido a representação da conta.
A3: Eu aprendi no ano passado e admito que esqueci.
A4: O jeito de resolução da conta.
A5: É o que faz algo específico em sua área, como a função do 2o grau, ela
têm só uma função de descobrir números por exemplo.
A6: Para mim a palavra função significa um conjunto.
A7: Não aprendi.
A8: Significa a função de algum número, letra ...
Questão 2:
Para consertar um refrigerador, uma oficina cobra uma taxa fixa de R$ 20,00
pela visita e R$ 15,00 por hora trabalhada. Qual o valor pago por um conserto se o
técnico trabalhou 3,25 horas? (Deixe anotados seus cálculos, seus rascunhos e seu
raciocínio).
A1:
20, 15
15
X3
45,00
20,00+
190
65,00
150:25=60
O valor pago e de R$ 65,60
A2:
45,75
+ os 20 reais da taxa
Fiz os calculos de multiplicação de acordo com a hora
A3:
20,00 visita
15,00 trabalho/hora
15
X3
45
Eu não sei tentei fazer a conta basica para fazer as contas “quebradas” dos
25 minutos mais não consegui. Não consegui criar um raciocinio p/ a conta.
191
A4:
(3,25 X 20) + 15
3,25
X20
650
000
650 + 15 = 66,5
A5:
20
X3
60
25+
85,00
60 – 50% = 30
60 – 60% = 24 → 59% = 24,60 → 58,8% = 25,00 58,8% = 25,20
60 – 10% = 54
192
0,60
X10
0,00
0,60
06,00
A6:
20,00
3,25
X15
1625
325+
47,75
20,00+
67,75
O valor pago por um conserto é de R$ 67,75
A7:
TAXA = R$ 20,00
HT* = R$ 15,00
T = 3,25 h
193
Conta
15,00
X3,25
007500
03000+
0500++
477500
15
X3
45 →TEMPO DE HORA ARREDONDADO
R$ 15,00 ----------1:00
X --------- 3;25
1 X = 3,25h.R$15,00
1 X = R$ 47,75
R$ 47,75
+ 20,00
67,75 → COM O VALOR DA VISITA
* HORA DE TRABALHO
194
A8:
3,25
x 15
1625
325+
48,75
R: O valor pago é R$ 48,75
Questão 3:
Observe os gráficos A e B abaixo:
A
195
B
Das relações apresentadas nos gráficos A e B, são funções aquelas que
aparecem em:
I – Apenas em A.
II - Apenas em B.
III – Em A e também em B.
IV – Nem A nem B.
A1: alternativa III com a justificativa “as duas tem um certo padrão conforme a
sua conta”. Este aluno traçou paralelas aos eixos x e y para localizar cada ponto no
plano cartesiano.
A2: alternativa II com a justificativa “creio que é a B, pois ela se adaptar mais
ao gráfico”.
A3: em branco com a justificativa “não me lembro o que é função”.
196
A4: alternativa III com a justificativa “por que as curvas não faz a equação não
se torna uma função”.
A5: alternativa III com a justificativa “as duas são funções, pois cada um
desses gráficos faz algo, tem uma função, se assim não fossem eles não existiriam”.
A6: alternativa II com a justificativa “somente o B é uma função por causa de
como a sua relação está apresentada no gráfico”.
A7: alternativa I com a justificativa “reconheço que esta matéria é de 8a série
no entanto na minha 8a série, não me ensinara, a aplicar função em gráfico desta
maneira! No 2o ano do ensino medio, mechemos bastante em gráficos e não me
lembro de haver função no grafico semelhante ao B então minha resposta é a I”.
Este aluno traçou paralelas aos eixos x e y para localizar os pontos no plano
cartesiano somente do gráfico B.
A8: alternativa II com a justificativa “II pois ela está representada no gráfico”.
Questão 4:
Escolha um dos dois gráficos apresentados no exercício 3 acima e construa
uma fórmula (expressão algébrica) para representá-lo. (Deixe anotados seus
cálculos, raciocínios, rascunhos).
197
A1:
3) grafico B
y x
0 0
-1 1
3 -1
3 2
A2:
x2 = y. –3.
A3:
Eu aprendi ... PA, PG ... mais não lembro
A4:
X
-1
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2
Y
3
2
1
0
-1
-2
-3
198
Que seria o curso que a linha segio.
A5: “Eu não me lembro de como se faz isso”.
A6: Em branco.
A7: Em branco.
A8: Em branco.
Questão 5:
Paulo precisa consertar seu aparelho de som. A oficina X cobra uma taxa fixa
de R$ 30,00 mais R$ 4,00 por hora trabalhada, enquanto a oficina Y cobra a taxa
fixa de R$ 10,00 mais R$ 8,00 por hora trabalhada.
a) Em que condições é melhor utilizar a oficina X? Justifique e deixe suas
contas, rascunhos e seu raciocínio.
b) Em que condições é melhor utilizar a oficina Y? Justifique e deixe suas
contas, rascunhos e seu raciocínio.
c) Em que condições os preços cobrados pelas oficinas X e Y são iguais?
Justifique e deixe suas contas, rascunhos e raciocínio.
A1:
a) É melhor utilizar a oficina X por que ela cobra menos na hora de trabalhar
199
X = 30 = 4/h
Y = 10 = 8/h
b) É melhor por que a taxa fixa e menor do que a oficina X.
Y = 10 = 8/h
10 + 8 = 18
X = 30 + 4 = 34
c) É que a oficina X ela almenta a taxa fixa e abaixou a taxa por hora, ja a
oficina y fez alcontrario porisso, são iguais
A2:
a)
oficina X
30+4.
34.
42
Se o cliente necessitar de 3 horas de serviço compensaria a oficina X pois
sairia ganhando R$ 2,00. Que ficaria o preço de R$ 42,00 e sairia mais barato do
que a Y.
b)
Oficina Y
10+8=18
Se o cliente necessitar de uma ou duas horas sairia ganhando com a oficina
Y.
200
1 hora sairia por R$ 18,00
2 horas sairia por R$ 26,00.
c) Não teria como alguma das duas sairia em vantagem.
A3:
a) Se o conserto for mais complexo, e mais demorado eu iria na oficina X,
pelo preço eu apostaria que o serviço seria de melhor qualidade e as horas
custariam menos ja que o conserto seria demorado.
b) Na oficina Y eu iria se o conserto fosse rapido eu pagaria a taxa fixa e
pagaria pouco de horas trabalhadas (resposta de acordo com a continuação da
alternativa A).
c) Não ha como fazer contas se não sei quanto tempo demoraria o conserto
de qualquer forma as duas por coincidência e tempo do conserto poderiam dar
iguais preços ou diferentes poderiam ser iguais ou não
A4:
a) No caso se for algo muito cuidadoso e demorado
b) Quando é uma coisa simples
c) São iguais quando um aparelho demorado a ser consertado para X e
quando é rapido para Y
201
A5:
a) A oficina X é a melhor para se fazer um concerto de longo tempo pois a taxa por
hora trabalhada é menor,
30 + 6h ------------------------ 10 + 6h
30 + 24 = 54 reais 10 + 48 = 58 reais
b) Já a oficina Y é melhor para se fazer reparos rápidos pois a taxa fixa não será
muito alta.
c) Se o reparo durar 5 horas
30 + 5h -----------------------10 + 5h
30 + 20 = 50 reais 10 + 40 = 50 reais
A6:
a) R: Ela é mais barata.
1h --- 60 min
X Y
30,00 10,00
+4,00 +8,00
34,00 18,00
X 60 X 60
0000 0000
20400+ 10800+
204,000 108,000
202
60
X 4
240
240
+ 30
270
b) nenhuma condição pois ela é mais cara
Y 10,00
480 60 8,00
+ 10 X 8
490 480
c) Nenhuma condição pois os preços não são iguais.
A7:
a)
OFICINA X
TAXA = R$ 30,00
HT = 4,00
OFICINA Y
TAXA = R$ 10,00
HT = 8,00
X C/ 7 HT
4,00 28,00
x 7 +30,00
28,00 58,00
Y C/ 7 HT
8,00 56,00
x 7 +10,00
56,00 66,00
É MELHOR UTILIZAR A OFICINA X PARA MAIOR TEMPO
203
b)
R$ 8,00 ----- 1 8,00 X = R$ 30,00
R$30,00 ---- X X = R$ 30,00 = 3:75
R$ 8,00
É MELHOR UTILIZAR A OFICINA X QUANDO DER NO MÁXIMO 3:75
HORAS TRABALHADAS, POIS CHEGARA AO VALOR DA TAXA DA OFICINA Y
c) Em branco.
A8:
a)
30,00
X4,00
0000
0000+
12000++
1200,000
b)
10,00
x 8,00
0000
0000+
8000++
800,000
204
c) Em nenhuma condição.
Questão 6:
Diante de um problema de Matemática que envolva função, qual a primeira
ideia que você tem para resolvê-lo?
A1: atraves de um calculo
A2: começar pela formula, se tiver representada.
A3: Gráfico
A4: olhar e observar a função para melhor poder resolver o exercicio
A5: Eu não aprendi direito como é a função.
A6: pensar atentamente e anotar aquilo que eu acho importante.
A7: COMO DISSE ANTES, NÃO APRENDI MUITO SOBRE FUNÇÃO
A8: Ler o problema com bastante atenção.
Questão 7:
Avalie as expressões abaixo e, para cada uma delas, identifique se representa
uma dependência de “y em função de x”. Justifique suas respostas.
a) x + y = 4 b) y = x2 + 2 c) x = y2 d) g(x) = x2 + 2 e) 3x – 4 = y
205
A1: “ñ sei”
A2:
a) Sim, pois se o x não estive não teria sentido a resposta 4.
b) Sim, necessita
c) Sim, necessita. “Por exemplo se por se o x for 4 o y pode se 22.
d) Não sei como responder
e) Não lembro.
A3: deixou em branco e escreveu “não sei”.
A4:
a) X e Y são a soma de 2 numeros que dão 4 no caso o nº 2
b) y que representa um numero desconhecido que estou procurando o x2 um
número elevado ao quadrado que soma com 2 no caso um Ex: 22 + 2 = x = 4 + 2 = 6
x = 6
c) uma simplificação
206
d) Ex: 9(x) = x2 + 2
x2 = 9 + 2
x2 = 11
x = 11
e) Ex: 3x – 4 = y
x1 = y yx = 1
A5:
a) O 4 é uma soma dos números x e y; então um depende do outro para que o
resultado seja obtido.
b) é um número que é representado pela soma de outro ao quadrado mais
dois.
c) é um número que é representado por outro número vezes ele mesmo.
d) é um número vezes o outro que representa um número vezes ele mesmo
mais dois.
e) é um número vezes três menos 4 que representa outro.
A6:
a) não representa
207
b) representa
c) representa
d) não representa
e) não representa
A7: Em branco
A8:
a) não representa/ Eu não entendi direito essa matéria quando a professora
passou, mais acho que são essas.
b) representa
c) representa
d) não representa
e) não representa
Questão 8:
Avalie os gráficos abaixo e, para cada um deles, identifique se representa
uma dependência de “y em função de x”. Justifique suas respostas.
208
a)
b)
209
c)
d)
A1: Em duvida. Não compriendi a pergunta.
Este sujeito buscou dados em cada gráfico e, ao lado de cada um, construiu
uma tabela com os valores que ele identificou. As tabelas foram:
210
a)
y x
0 1,5
-1 1
1,5 0
0 -1,5
b)
y x
0 0
1 1
-1 1
2 4
-2 4
c)
y x
0 0,5
0 1
1 0
2 -1
d) em branco.
A2:
211
a) Não precisaria, pois está bem explicado e dividido então necessariamente
não há dependência.
b) Não sei explicar, teria que olhar no caderno.
c) Acho que não seria necessário ser dependente.
d) Aparentemente elas são independentes.
A3: Este sujeito escreveu não sei no gráfico da alternativa a e deixou os
demais em branco.
A4:
a) Sim por que sem o x não teria como ligar o y ao x e não teria o gráfico.
b) aqui o y é menor dependente que o x por que o x já tem a altura correta
que é onde o gráfico representa.
c) Os dois x e y são dependente por causa das muitas curvas.
d) aqui o x é igualmente dependente que o y pois as duas partes dos gráficos
representam latitude e amplitude.
A5:
212
a) Sem o x não há como calcular se a distância da circunferência para os
quatro lados e exatamente igual.
b) Sem a reta y não teriamos certeza e o 0 (zero) da reta x se junta com o
zero da reta y.
c) Sem a reta y não seriam precisas as ocilações.
d) Sem a reta x não seriam precisas as distâncias e alturas.
A6: Escreveu “não me lembro” ao lado de cada um dos quatro gráficos.
A7: Em branco
A8: Escreveu “não me lembro” ao lado dos gráficos a, b e c deixando em
branco o gráfico d.
Questão 9:
Observe as representações A e B a seguir:
A)
-1
1/2
2
-3
0
3
213
B)
x y
-1 -3
1/2 0
2 3
Qual dos gráficos cartesianos abaixo melhor apresenta os dados das
representações A e B que você observou acima? Justifique sua resposta.
a)
214
b)
c)
215
d)
A1: anotou que o gráfico a corresponde à representação B (tabela); que o
gráfico b corresponde à representação A (diagrama); que o gráfico c corresponde à
representação B (tabela) e que o gráfico d corresponde à representação A
(diagrama).
A2: anotou que “e o gráfico a representa melhor com os dados da A” e “o
gráfico d é melhor representado nos dados de representações B”.
A3: anotou “o gráfico D = ele representa todos os valores citados”.
A4: este sujeito assinalou “X” sobre o item a, desenhou um gráfico unindo com
uma reta os três pontos representados sobre o plano cartesiano, deixando-o
parecido com o gráfico apresentado no item b, e escreveu ao lado desta alternativa
“pelo gráfico aqui marcado que representam os planos cartesianos → É tambem por
que o grafico y positivo vai até o 3 onde tem os planos”. Os demais gráficos estão
em branco.
216
A5: fez anotações ao lado de cada gráfico, escrevendo ao lado do gráfico a “O
gráfico B pois ele diz qual número que vai em qual reta.”; ao lado do gráfico b “O A
porque determina o ponto inicial e o ponto final.”; ao lado do gráfico c “O A pois é
utilizado apenas a marca horizontal do gráfico.” E ao lado do gráfico d “O B pois
determina qual número pertence a reta x e qual pertence a y.”.
A6: fez somente uma anotação ao lado do gráfico a, escrevendo “gráfico D,
melhor da-se para entender por causa dos pontos que estão ligando.”
A7: não escolheu um gráfico como resposta mas fez duas anotações, no
gráfico a desenhou uma reta unindo os três pontos representados naquele plano
cartesiano e no gráfico b traçou uma paralela ao eixo y passando por x=2 tentando
talvez localizar o ponto (2,3) apresentado em A e B.
A8: Assinalou um círculo sobre a letra d e escreveu “*Grafico D melhor por
causa dos pontos ligados*”.
Questão 10
O professor de Matemática apresentou aos alunos a seguinte tabela:
E pediu aos alunos que fizessem um gráfico que satisfizesse os pontos dados.
Três alunos apresentaram as seguintes respostas:
x y
1 1
2 ½
-1 -1
217
a)
b)
218
c)
Qual dos três colegas fez o gráfico corretamente? Explique sua resposta,
dizendo porque escolheu ou deixou de escolher um ou mais dos gráficos.
A1: item a com a justificativa “O colega A fez o gráfico corretamente porque os
pontos estão corretos”.
A2: item c com a justificativa “creio que a que está correta é a C pois que se
os dados mais se aproximam”.
A3: item c justificando “grafico C = ele „apontou‟ todos os valores, formando
assim o grafico. Os outros dois sequer fizeram de acordo com os valores dados”.
A4: item c justificando “por que para construir o gráfico presisa-se ter os
mesmos numeros de y e x para ligalos”.
x
y
-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
219
A5: item b justificando “O gráfico B pois faz uma curva juntamente com os
números x=2, y=1/2 e x=-1 e y=-1”.
A6: item c justificando “gráfico C, eu o escolhi porque ele foi o que mais deu
para entender e ligou os pontos corretamente”.
A7: item a sem justificativa.
A8: item c justificando “Gráfico c → Eu escolhi esse, porque entendi //
melhor.//”
