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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Anne Carine Lopes

O jogo de xadrez e o estudante: uma relação que pode dar certo

na resolução de problemas matemáticos

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo

2012

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP

Anne Carine Lopes

O jogo de xadrez e o estudante: uma relação que pode dar certo

na resolução de problemas matemáticos

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para

obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora

Sandra Maria Pinto Magina.

São Paulo

2012

Banca Examinadora

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadora ou eletrônicos.

Assinatura: __________________________________ Local e Data: ______________

Dedico esse

trabalho em especial

ao meu marido Osiris

e a minha mãe,

razão primeira da

minha vida.

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela minha existência.

A minha família que me ensinaram a viver.

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo,

pela oportunidade dessa realização profissional.

A Escola Estadual Brigadeiro Tobias de Sorocaba/Sp que

possibilitou a efetivação desse trabalho e pelo carinho que

nos atendeu.Em especial ao diretor Sergio e a professora Anara.

À professora Sandra Magina, pelo incentivo , pelos

valiosos ensinamentos, por sua gentileza e paciência

ao me orientar,que não esquecerei jamais.

Às professoras Regina Célia Grando e Barbara Lutaif Bianchini,

que gentilmente aceitaram participar da Banca Examinadora

e contribuíram com suas criticas, sugestões e recomendações.

Muito obrigado.

Especialmente aos colegas de Mestrado, aos colegas e

“co-autores” do nossso grupo de pesquisa REPARE:

Adriana, Ana Paula Perovano, Cido, Eduardo,

Fábio, Gabriela, Madeline, Paulo,

Rogério ,Vera, Walmir.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram

para a realização deste trabalho.

" "Desistir...

eu já pensei seriamente nisso,

mas nunca me levei realmente a sério;

é que tem mais chão nos meus olhos

do que o cansaço nas minhas pernas,

mais esperança nos meus passos,

do que tristeza nos meus ombros,

mais estrada no meu coração

do que medo na minha cabeça."

(Cora Coralina)

RESUMO

LOPES, Anne Carine. O jogo de xadrez e o estudante: uma relação que pode dar certo na

resolução de problemas matemáticos. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2012.

Este estudo tem como objetivo fazer um diagnóstico acerca do possível efeito que a prática de

jogar xadrez pode ter sobre o desempenho dos alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental

em Matemática. Mais claramente, pretendemos investigar a relação de causa e efeito entre a

prática do xadrez e a habilidade de resolver problemas matemáticos. Como objetivo

específico, propomos ainda investigar: a) as estratégias que o aluno que joga xadrez utiliza ao

resolver problemas e se essas estratégias se diferenciam dos alunos que não jogam xadrez; b)

o quanto das estratégias do jogo de xadrez aparece na resolução Matemática das questões. No

âmbito das estratégias, buscamos observar como o aluno enxadrista se desenvolve, expressa-

se, articula-se e, ainda, como registra os procedimentos matemáticos em cada questão

proposta. A nossa fundamentação teórica se aporta no estudo do jogo e sua classificação no

desenvolvimento do individuo na visão de Piaget, e compartilhando dessa mesma teoria

traremos a perspectiva construtivista do jogo no ambiente escolar na ótica de Lino de Macedo.

A metodologia compreende num estudo descritivo e o instrumento diagnóstico é um teste

contendo oito problemas matemáticos, baseados nos quatro eixos dos conteúdos, que foram

selecionados da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP de 2005

a 2010 e do Projeto Ensinar e Aprender (2001). Participaram da nossa pesquisa 22 alunos,

formando dois grupos de 11 alunos cada: o grupo de alunos que jogava xadrez (Gjx), há mais

de um ano nas Atividades Curriculares Desportivas e o grupo de alunos que não jogavam

xadrez (Gnx). Desses 11 alunos, tanto Gjx como Gnx, estavam selecionados em 5 alunos de

9º ano e 6 alunos de 8º ano, todos pertencentes à mesma escola. Os resultados do estudo

foram investigados sob duas análises: a quantitativa, realizada na comparação entre os grupos

e a qualitativa, realizada na interpretação das estratégias de resolução utilizadas pelos dois

grupos, e assim, verificar se essas estratégias se diferem. Após as análises dos resultados

concluímos que existem fortes indicativos que o jogo de xadrez, em nosso universo de estudo,

contribuiu para a resolução dos problemas matemáticos dos alunos, ou seja, as estratégias dos

alunos enxadristas, nesse caso, foram mais eficientes que as estratégias dos alunos que não

jogam xadrez.

Palavras-chave: Jogo de Xadrez, Educação Matemática, Resolução de Problema, Ensino

Fundamental.

ABSTRACT

LOPES, Anne Carine. The game of chess and the student: a relationship that can

work in mathematical problem solving. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2012.

This study aims to do a diagnostic about the possible effect that the practice of chess can have

on the performance in Math of students from 8º and 9º year of Fundamental Level. More

clearly, we intent to investigate the relation of cause and effect among the practice of chess

and the ability of solving mathematics problems. As specific goal, we suggest yet to

investigate: a) the strategies which students who play chess use to solve the problems and if

these strategies differentiate themselves of those which students who don’t play chess; b) how

much from the chess’ strategies appear in the mathematic solution of questions. What

concerns about the strategies, we try to observe how a student who is a chess player develops,

expresses himself, articulates and, also, how he registers mathematics procedures in every

proposed question. Our theoretical fundamentation grounds on the study of play in the

development of individual on the vision of Piaget and his classification for the term “play”

and sharing that same theory, we will bring the constructivist perspective of play in the

scholar environment on the optic of Lino de Macedo. The methodology is a descriptive study

and the diagnostic tool is a test with eight mathematics problems, which are based on the four

axis of contents, that were selected from Brazilian Mathematic Olympiad of Public Schools

(BMOPS) – from 2005 to 2010 and from the “Teach and Learn Project” (2001). It was part of

our research 22 students, whom formed two groups of 11 students: the group of students who

plays chess (Gpc), they play chess more than a year in the Sportive Curricular Activities and

the group of students who doesn’t play chess (Gnc).From those 11 students, as from the Gpc

as from the Gnc were selected 5 students from 9º year and 6 students from 8º year, all of them

study at the same school. The study’s results were investigated under two analysis: the

quantitative, that were realized in the comparison between both groups and the qualitative,

that were realized in the interpretation of the solution’s strategies used for both groups, and

then, verify whether these strategies differ or not. After the results’ analysis we conclude that

exit strong indicatives that the chess play, in our study’s universe, contributes to the solution

of mathematics problems, that is, the chess player students’ strategies, in this case, were more

efficient than those from the students who don’t play chess.

Keywords: Chess play, Mathematic Education, Problem solving, Fundamental Level.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.3 Tabuleiro de xadrez................................................................................................... 34

Figura 3.1 Questão 3 (Teste piloto)............................................................................................ 73

Figura 3.2 Questão 7 (Teste piloto)............................................................................................ 74

Figura 3.3 Questão 8 (Teste piloto).......................................................................................... 75



Figura 3.6 Questão 1 (Teste Principal)....................................................................................... 79








Figura 4.1 Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada da Q1.............................................. 104

Figura 4.2 Exemplo de uma partida relacionada a Q1................................................................ 106

Figura 4.3 Síntese das estratégias encontradas na resolução da Q2 pelos grupos Gjx e Gnx..... 108

Figura 4.4 Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada na Questão 2 ................................. 109


Figura 4.6 Exemplo de uma jogada relacionada a Q2................................................................ 111











Figura 4.17 Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada da Q6............................................. 126



Figura 4.20 Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada na Q7.............................................. 130


LISTA DE QUADROS

Quadro 1.1 Características do jogo de acordo com alguns autores........................................... 25

Quadro 1.5 Comparativo das características do xadrez e suas implicações educativas............ 38

Quadro 1.6 Síntese das pesquisas correlatas ao nosso estudo................................................... 40

Quadro 3.1 Correspondência entre as questões......................................................................... 73

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 Distribuição das questões em relação aos eixos dos conteúdos matemáticos e o

g grau da sua complexidade........................................................................................... 72

Tabela 3.2 Distribuição das questões em relação aos eixos dos conteúdos matemáticos e o

r grau da sua complexidade, após alterações e prontas para o diagnóstico principal.... 73

Tabela 4.1 Distribuição das questões em relação aos eixos dos conteúdos matemáticos e o grau

d da sua complexidade, após alterações e prontas para o diagnóstico principal............ 95

Tabela 4.2 Distribuição das respostas obtidas no instrumento de pesquisa.................................. 102

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 4.1 Comparação do desempenho dos alunos que jogam xadrez e dos alunos que não

jogam xadrez........................................................................................................... 91

Gráfico 4.2 Distribuição Desempenho Geral do Gjx e do Gnx no instrumento diagnóstico..... 91

Gráfico 4.3 Quantidade de acertos de cada uma das questões................................................... 92

Gráfico 4.4 Total de acertos por bloco dos conteúdos matemáticos.......................................... 93

Gráfico 4.5 Quantidade de acertos de cada uma das questões do Gjx....................................... 95

Gráfico 4.6 Porcentagem de acertos de cada um dos blocos dos conteúdos.............................. 96

Gráfico 4.7 Número de acertos de cada um dos blocos dos conteúdos versus o ano escolar do

aluno........................................................................................................................ 97

Gráfico 4.8 Porcentual de acertos quanto às categorias de complexidade................................. 98

Gráfico 4.9 Porcentagem de acertos das questões simples e moderadas versus o ano escolar.. 99

Gráfico 4.10 Número de acertos versus o ano escolar............................................................... 100

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO..................................................................................................... 17

CAPÍTULO I – PASSO A PASSO DO JOGO.................................... 21

1.1 O que é o jogo afinal?.............................................................................................. 21

1.2 Jogos no contexto escolar........................................................................................ 27

1.3 Caminhos do xadrez................................................................................................ 30

1.3.1 Lenda do jogo de xadrez............................................................................... 30

1.3.2 História do xadrez......................................................................................... 32

1.3.3 Xadrez no Brasil........................................................................................... 33

1.3.4 Xadrez – o jogo............................................................................................ 34

1.4 Xadrez e a Matemática............................................................................................. 36

1.5 Xadrez na escola....................................................................................................... 37

1.6 O xadrez como uma ferramenta de ensino: revisão de literatura............................. 39

CAPÍTULO II – O JOGO NA VISÃO DE PIAGET E SUA

M IMPORTÂNCIA NA ESCOLA............................. 45

2.1 A visão de Piaget sob o jogo..................................................................................... 45

2.1.1 A gênese do jogo para Piaget.......................................................................... 47

2.1.2 A classificação dos jogos segundo Piaget....................................................... 48

2.1.3 Jogos de exercícios.......................................................................................... 50

2.1.4 Jogos simbólicos.............................................................................................. 51

2.1.5 Jogos de regras................................................................................................ 54

2.2. O jogo no ambiente escolar na ótica de Lino de Macedo........................................ 56

2.2.1 Os jogos e a sua importância na escola......................................................... 57

2.2.1.1 Jogos de exercícios.......................................................................... 58

2.2.1.2 Jogos simbólicos.............................................................................. 59

2.2.1.3 Jogos regras..................................................................................... 60

2.2.1.4 A postura da escola frente aos jogos................................................ 61

2.2.2 Jogar bem versus jogar certo......................................................................... 62

2.2.3 O jogo de xadrez sob o olhar construtivista.................................................. 63

2.2.4 O sentido do jogo........................................................................................... 65

CAPÍTULO III – METODOLOGIA......................................................... 67

3.1. Discussão teórico-metodológica.......................................................................... 67

3.2. Desenho do experimento....................................................................................... 69

3.3 Universo de estudo................................................................................................. 69

3.4 Estudo Piloto.......................................................................................................... 70

3.5 Estudo Principal...................................................................................................... 77

3.5.1 Sujeitos........................................................................................................ 77

3.5.2 Material utilizado........................................................................................ 78

3.5.2.1 Instrumento diagnóstico............................................................... 78

3.5.2.2 Roteiro da entrevista..................................................................... 85

3.5.3 Procedimentos............................................................................................. 85

CAPÍTULO IV– ANÁLISE DOS RESULTADOS.............................. 87

4.1 Análise Quantitativa................................................................................................ 89

4.1.1 Análise geral do desempenho dos grupos................................................... 90

4.1.2 Análise do desempenho do grupo Gjx......................................................... 94

4.1.2.1 Quanto aos blocos dos conteúdos matemáticos............................. 96

4.1.2.2 Quanto às categorias ou classificação das questões...................... 98

4.1.2.3 Quanto ao ano escolar................................................................... 99

4.1.2.4 Síntese da análise do grupo Gjx.................................................... 100

4.2 Análise Qualitativa................................................................................................... 101

4.2.1 Análise das estratégias................................................................................ 102

4.2.3 Síntese da análise qualitativa....................................................................... 133

CAPÍTULO V – CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................... 135

5.1 Síntese dos principais resultados............................................................................ 136

5.2 Retomada da questão de pesquisa.......................................................................... 140

5.3 Sugestões para as Futuras Pesquisas...................................................................... 143

REFERÊNCIAS...................................................................................................... 144

APÊNDICES............................................................................................................ 149

A Instrumento Diagnóstico Piloto............................................................................... 149

B Instrumento Diagnóstico Principal.......................................................................... 154

C Roteiro da Entrevista............................................................................................... 158

ANEXOS..................................................................................................................... 159

A Autorização Para a Realização da Pesquisa Acadêmica.......................................... 159

B Termo de Consentimento Livre e Esclarecido.......................................................... 160

17

INTRODUÇÃO

Em minha trajetória profissional como professora de Matemática há mais de 10 anos

na Rede Pública de Ensino na cidade de Sorocaba/SP, venho observando, há tempos, o

problema da precariedade de atenção e de concentração dos alunos, o que muito me tem

angustiado. O fato é que os alunos não conseguem ficar muito tempo concentrados nas

atividades durante as aulas, e tal dispersão tem sido percebida e comentada também pelos

meus colegas professores.

Por causa dessas inquietações, comecei a ler artigos, matérias e trabalhos científicos

sobre concentração, falta de concentração e atenção dos estudantes. Dentre essas leituras,

interessaram-me sobretudo alguns artigos sobre o jogo de xadrez com que deparei, mais

especificamente, aqueles sobre os benefícios do xadrez para a aprendizagem na escola.

Duas das publicações que li chamaram-me a atenção por terem pontos de divergência.

Na primeira, escrita Miriam Sampaio de Oliveira (BRASIL, 2004), responsável pelo projeto

“Xadrez nas Escolas” da Secretaria de Educação Básica (SEB/MEC), afirma-se que o xadrez

ajuda o aluno em vários aspectos, como raciocínio rápido, memorização, concentração,

resolução de problemas, imaginação e criatividade 1.

Na segunda, escrita por Rezende (2002, p. VII), argumenta-se que o xadrez, porém,

praticado nos clubes e voltado essencialmente para o aspecto competitivo (como desporto)

não supre todas as necessidades educacionais. O autor afirma, ainda, que muitas pessoas com

boas intenções defendem a inserção do xadrez no ambiente escolar, por acreditar que a prática

do xadrez faz com que a criança fique mais inteligente e que aprende melhor a matemática.

Em 2003, o Ministério da Educação e Cultura – MEC – e o Ministério de Esportes, em

parceria com governos estaduais, levaram o xadrez para as escolas municipais de Recife (PE),

Belo Horizonte (MG), Campo Grande (MS) e Teresina (PI), obtendo bons resultados. Em

2005, estenderam a iniciativa aos demais Estados, com exceção de São Paulo e Acre. A ideia

era que o ensino do jogo de xadrez fosse mais um instrumento pedagógico nos projetos das

redes oficiais de ensino.

1 http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=2551&catid=211, acesso em

06/06/2011.

http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=2551&catid=211

18

O Estado de São Paulo se antecipou a esse projeto do MEC e criou as Atividades

Curriculares Desportivas (ACD)2 em 2003, visando minimizar a violência e hábitos danosos

ao convívio social. As ACD são aulas ministradas por professores de Educação Física, em

número de três ou duas sessões semanais, fora do horário regular de aulas dos alunos. Dentre

as modalidades das turmas de ACD estão: atletismo, basquetebol, capoeira, damas, futsal,

handebol, ginástica artística, ginástica geral, ginástica rítmica, judô, voleibol, tênis de mesa e

xadrez.

O interesse do MEC pelo projeto paulista “Xadrez nas Escolas” a inclusão da

modalidade xadrez nas ACD e as publicações sobre o xadrez, citadas acima, levaram-me a

investigar se a prática do jogo de xadrez pode contribuir para as estratégias dos alunos no

processo de resolver problemas matemáticos.

O estudo foi realizado na cidade de Sorocaba/SP. A escolha do local foi de ordem

pragmática, uma vez que moro e leciono no município. Mas, além disso, também ressalta o

fato de existirem na cidade escolas realizando projetos previstos nas ACD, dentre eles o jogo

de xadrez. Por fim, a escolha do município se deu porque está bem representado nos

campeonatos interescolares, campeonatos regionais estudantis e até nos campeonatos

estaduais.

Sob essa perspectiva, o nosso estudo teve como objetivo fazer um diagnóstico acerca

do possível efeito que a prática de jogar xadrez pode ter sobre desempenho dos alunos do 8º e

9º anos do Ensino Fundamental em Matemática. Mais claramente, pretendemos investigar a

relação de causa e efeito entre a prática do xadrez e as estratégias dos alunos no processo de

resolver problemas matemáticos.

Como objetivo específico, propomos ainda investigar: a) as estratégias que o aluno

enxadrista utiliza ao resolver problemas e se elas se diferenciam daquelas utilizadas por

alunos que não jogam xadrez; b) o quanto das estratégias do jogo de xadrez aparece na

resolução matemática das questões. No âmbito das estratégias, buscamos observar como o

aluno enxadrista se desenvolve, expressa-se, articula-se e, ainda, como registra os

procedimentos matemáticos em cada questão proposta.

Tendo em mente os objetivos acima expostos, nosso estudo se propõe a responder a

seguinte pergunta:

2 http://dersv.sites.uol.com.br/res173_acd.htm, acesso em 12/03/2011.

19

ALUNOS QUE JOGAM XADREZ TÊM MELHOR DESEMPENHO NA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS DO QUE ALUNOS QUE NÃO

JOGAM XADREZ?

Estabelecemos, ainda, outras duas questões específicas, que ao serem respondidas

contribuirão com a nossa resposta à questão principal. São elas:

AS ESTRATÉGIAS DOS ALUNOS ENXADRISTAS SE DIFERENCIAM DAS ESTRATÉGIAS

DOS ALUNOS QUE NÃO JOGAM XADREZ?

EM QUE A PRÁTICA DO JOGO DE XADREZ PODE CONTRIBUIR PARA AS

ESTRATÉGIAS DOS ALUNOS NO PROCESSO DE RESOLVER OS PROBLEMAS

MATEMÁTICOS?

O estudo foi subsidiado por questões que contemplam os quatro eixos dos conteúdos

matemáticos, que são 1- Números, Operações e Funções; 2- Espaço e Forma; 3- Grandezas e

Medidas; 4- Tratamento da Informação. Baseou-se nas questões da Olimpíada Brasileira de

Matemática das Escolas Públicas – OBMEP de 2005 a 2010 e no Projeto Ensinar e Aprender:

Corrigindo o Fluxo do Ciclo II, da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (2001).

Participaram dos testes duas turmas de alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental, uma

delas sendo de alunos que participam das ACD na modalidade xadrez há mais de um ano, e a

outra, de alunos que não jogavam xadrez.

Visando responder nossas questões de pesquisa e alcançar os objetivos propostos,

organizamos este relatório em cinco Capítulos.

No Capítulo I, abordam-se o conceito de jogos segundo o ponto de vista de Huizinga

(1990) e Caillois (1990); os jogos no contexto escolar; os caminhos do xadrez; lenda do jogo

de xadrez, história do jogo de xadrez, o xadrez no Brasil e o xadrez e suas regras; o xadrez e a

Matemática; por fim, o xadrez como uma ferramenta de ensino: revisão de literatura.

No Capítulo II, apresentamos a fundamentação teórica utilizada, sob a luz das ideias

de Jean Piaget acerca do jogo e sua classificação para o jogo, e, compartilhando da teoria de

Piaget, a perspectiva construtivista do jogo no ambiente escolar na ótica de Lino de Macedo.

20

Descreve-se no Capítulo III a metodologia que utilizamos para aplicação do

instrumento da pesquisa, no que concerne ao desenho e descrição do experimento, universo de

estudo, material utilizado e procedimentos.

Análises dos resultados obtidos em três momentos diferentes são discutidas em seu

aspecto qualitativo no Capítulo IV. O primeiro momento relaciona-se às respostas dos sujeitos

da pesquisa; no segundo, comparamos as estratégias dos enxadristas com as estratégias de

alunos do outro grupo para analisar se elas diferem; por fim, olhando apenas para os

enxadristas, ponderamos o quanto do jogo de xadrez se verifica nessas estratégias.

No Capítulo V, apresentamos as conclusões do estudo, fundamentadas nas análises

feitas no capítulo anterior.

Finalmente, apresentam-se as Referências, Apêndices e Anexos que colaboraram

sobremaneira para o desenvolvimento do presente estudo.

21

CAPÍTULO I

PASSO A PASSO DO JOGO

Neste capítulo, apresentaremos as principais ideias teóricas sobre o jogo como

ferramenta psicopedagógica. Nesta direção, procuramos entender alguns aspectos relativos ao

jogo.

O que é o jogo afinal? Definiremos o que é o jogo sob o ponto de vista de Huizinga

(1990) e Caillois (1990). Na seção sobre os jogos no contexto escolar, discutiremos a

importância dos jogos na escola apoiados em autores como Piaget (1978), Grando (2000),

Macedo, Petty e Passos (2007, 2008), Rodrigues (2008) e Kishimoto (2003, 2011).

Particularizando na direção do tipo de jogo que interessa a este estudo, há, ainda, os aspectos

caminhos do xadrez, sob os quais apresentaremos a lenda do jogo de xadrez, a história do

jogo de xadrez, o xadrez no Brasil e o xadrez – o jogo, visando a mostrar suas regras, e, ainda,

o xadrez e a Matemática e o xadrez como uma ferramenta de ensino: revisão de literatura.

1.1 O que é o jogo, afinal?

Encontrar uma resposta para esta pergunta não é muito simples. Afinal, apesar de ser

um tema que chama a atenção de muitos estudiosos, cada área do conhecimento o explorou de

uma forma diferente. Logo, não se tem uma definição única, mas sim diferentes pontos de

vista sobre o que vem a ser o jogo.

Tentar definir o jogo não é tarefa fácil. Quando se pronuncia a palavra jogo

cada um pode entendê-la de modo diferente. Pode-se estar falando de jogos

políticos, de adultos, crianças, animais ou amarelinha, xadrez. Por exemplo,

no faz-de-conta, há forte presença da situação imaginária; no jogo de xadrez,

regras padronizadas permitem a movimentação das peças. (KISHIMOTO,

2011, p. 15.)

22

A palavra jogo, no dia a dia, pode ser usada de diversas maneiras, para situações

distintas e para diferentes fins. Assim, o jogo pode ser entendido como uma atividade física,

como nos jogos de competição que conduzem ao desporto (jogo de basquete, jogo de futebol

e outros); como atividade intelectual (jogo de bilhar, jogo de xadrez e outros); pode ser um

passatempo (jogo de adivinhação); uma coleção (o conjunto de cartas nos jogos de cartas; o

jogo de velas de um automóvel); quando se diz que um navio joga a sua âncora; os jogos de

imitação e de ilusão; os jogos de azar e de combinação que estiveram na origem de vários

desenvolvimentos da matemática, do cálculo de probabilidades e da topologia; os jogos de

força, de destreza, de cálculo, são todos exercícios e diversão. Esses diferentes entendimentos

sobre o jogo implicam noções de totalidade, regra e voluntariedade.

Existe uma variedade de definições e concepções para o jogo enquanto uma das

inúmeras atividades humanas. Nesse sentido, discutiremos as características que definem a

atividade do jogo apoiados principalmente nas ideias de Huizinga (1990) e de Caillois (1990),

apontando, ainda, a classificação dos jogos proposta por este.

Huizinga, historiador holandês, escreveu em sua obra Homo Ludens que é no jogo e

pelo jogo que a civilização surge e se desenvolve. Considera que a principal característica e a

essência do jogo estão em sua intensidade, no poder de fascinar, excitar e divertir. Diante

dessa perspectiva é que apresentaremos suas ideias acerca da importância do jogo para o

desenvolvimento humano.

Para Huizinga (1990), se o jogo for sujeito a ordens, deixa de ser jogo, podendo, no

máximo, ser uma imitação forçada, sendo suspensa ou adiada a qualquer momento. Uma

segunda característica, intimamente ligada à primeira, é que o jogo não é vida "corrente" nem

vida "real". Pelo contrário, trata-se de uma evasão da vida "real" para uma esfera temporária

de atividade com orientação própria.

Segundo o historiador holandês, o jogo é jogado até que se chegue ao fim, e ele

acontece e existe no interior de um campo previamente delimitado, de maneira material ou

imaginária, deliberada ou espontânea. A arena, a mesa de jogo, o círculo mágico, o templo, o

palco, a tela, o campo de tênis, o tribunal e outros espaços específicos têm todas as formas e a

função de “terrenos” de jogo.

O jogo introduz na confusão da vida e na imperfeição do mundo uma perfeição

temporária e limitada, que exige uma ordem suprema e absoluta. A menor desobediência a

23

esta "estraga o jogo", privando-o de seu caráter próprio e de todo e qualquer valor. O autor

assim define o jogo:

O jogo é uma atividade ou ocupação voluntária, exercida dentro de certos e

determinados limites de tempo e de espaço, segundo regras livremente

consentidas, mas absolutamente obrigatórias, dotado de um fim em si

mesmo, acompanhado de um sentimento de tensão e de alegria e de uma

consciência de ser diferente da "vida quotidiana". (HUIZINGA, 1990, p. 24.)

Dessa forma, esse autor categorizou como jogo muitas das manifestações humanas,

como por exemplo as competições (desportivas, de destreza e outras), as competições

judiciais (no Direito), as competições esotéricas (de conhecimento), os jogos de combate

(guerras), os jogos de palavras (na poesia, arte, filosofia e cultura).

Huizinga reúne e interpreta um dos elementos fundamentais da cultura

humana: “o instinto do Jogo”. Logo se descobre quão profundamente as

realizações na lei, na ciência, na poesia, na guerra, na filosofia e nas artes

são nutridas pelo “instinto do Jogo", afirma Roger Caillois.

(HUIZINGA,1990, 4ª capa.)

Caillois (1990), antropólogo e sociólogo também interessado nos jogos, amplia as

discussões e análises de Huizinga. Ele descreveu e comentou as noções implícitas nas ideias

de jogo, suas características e classificação, as quais discutiremos adiante detendo-nos sobre

seus pontos relevantes.

O jogo, de acordo com Caillois (1990), seguindo a mesma orientação de Huizinga

(1990), é uma atividade: 1. livre, pois o jogador não é obrigado a jogar; 2. delimitada, por

possuir limites de tempo e espaço; 3. incerta, já que o seu resultado é desconhecido; 4.

improdutiva, porque não gera nem bens, nem riqueza, nem elementos novos de espécie

alguma; 5. regulamentada, eis que segue regras especificas do jogo; 6. fictícia, visto que não

tem qualquer ligação com a realidade.

Ao definir o jogo como uma atividade livre, Caillois (1990) se refere ao fato de que, se

o indivíduo for obrigado a jogar, o jogo perde sua essência de jogo e passa a ser uma

obrigação. Possui limites de tempo e espaço, e o seu resultado é sempre desconhecido. Segue,

ainda, regras impostas pelos jogadores e não tem qualquer ligação com a realidade, pois nesse

momento de jogo há um distanciamento da vida cotidiana, levando o jogador a entrar num

mundo imaginário.

24

O conceito de jogo enquanto atividade improdutiva em que o jogador termina o jogo

da mesma maneira que o começou, porém, precisa ser melhor analisado, pois, tratando-se de

um jogo pedagógico, tal afirmação pode ser questionada, como afirma Grando (1995),

segundo o qual, ao conferir ao jogo caráter metodológico, está-se tornando-o produtivo ao

ensino-aprendizagem. Macedo; Petty, Passos (2008) discorrem a esse respeito, também:

[...] o jogar favorece a aquisição de conhecimento, de forma que o sujeito

aprende sobre si próprio (como age e pensa), sobre o próprio jogo (o que o

caracteriza, como vencer), sobre as relações sociais relativas ao jogar (tais

como competir e cooperar) e, também, sobre conteúdos (semelhantes a

certos temas e trabalhos no contexto escolar) (p.23).

Caillois ainda classifica o jogo em quatro categorias por ele relacionadas a quatro

atitudes psicológicas predominantes nos jogadores:

Agôn são os jogos dominados fundamentalmente por atividades competitivas. Esses tipos

de jogos precisam de muita persistência, treino apropriado, esforços assíduos e vontade de

vencer. Implica disciplina e perseverança, e apresenta-se como a forma pura do mérito

pessoal. Encontram-se nessa classificação duas categorias, a de caráter muscular: polo, tênis,

futebol e outros, e a de caráter mais intelectual: xadrez, bilhar, damas e outros.

Alea, jogos de fundamentos contrários ao agôn, pois não dependem do jogador. Nesse tipo

de jogo, o jogador não faz uso de suas qualidades, habilidades, força e inteligência; o que

predomina é a força do acaso, é o veredicto da sorte. Entre os representantes da alea estão os

diversos jogos de azar como roleta, bingo, loterias e outros.

Mimicry, por sua vez, são jogos fictícios em que os participantes adotam para si o papel de

determinados personagens. É uma forma de se apropriar de outra realidade que não a sua. Os

jogos padronizados são exemplos de mimicry, assim como para o ator cabe fascinar o

espectador, evitando que um erro o conduza à recusa da ilusão; assim, as peças de teatro são

exemplos dessas situações.

Ilinx são jogos que se assentam na busca de vertigem, com o intuito de destruir a

estabilidade de percepção do corpo humano, ou seja, busca-se atingir uma espécie de

espasmo, transe, afastamento súbito da realidade. Nesses jogos, encontram-se os que utilizam

a alta velocidade, como o sky, montanha russa, saltos com motocicletas e automóveis ou

acrobacias que resultam em instantes de alterações fisiológicas tanto para o jogador como

25

para o espectador. É desse pânico momentâneo que o termo ilinx define as características do

jogo.

Essas categorias de jogos descritas acima podem combinar entre si, pois há jogos que

utilizam mais de uma atitude, como a competição e a sorte (agôn e alea), a competição e o

fictício (agôn e mimicry), a competição e a vertigem (agôn e ilinx), a sorte e o fictício (alea e

mimicry), a sorte e a vertigem (alea e ilinx).

Para Caillois (1990), o jogo e a vida constituem-se como campos antagônicos,

simultâneos e interdependentes que se dão de modo fecundo e complementar, gerando

relações complexas e peculiares em cada cultura e época. Os jogos, como fatores e imagens

da cultura, criam hábitos, provocam mudanças, oferecem indicações sobre preferências,

debilidades, forças e caracterização de uma civilização.

Historiadores, psicólogos, filósofos, sociólogos e pedagogos, após diversas

observações e estudos minuciosos sobre os jogos, o têm como a mais alta manifestação

cultural de uma dada sociedade e um avanço no desenvolvimento intelectual do individuo. O

jogo é considerado o próprio objeto cultural, e cada grupo étnico têm os seus jogos, que

diferem dos jogos de outros grupos, criando-se assim o que chamam de cultura lúdica.

No Quadro a seguir apresentamos uma síntese das características do jogo de acordo

com alguns autores, segundo Silva (2009, p. 53).

Quadro 1.1 – Características do jogo de acordo com alguns autores

Autor Características do jogo

Jean-Jacques Rousseau – Filósofo, Teórico

Político, Escritor e Compositor Autodidata,

suíço, obra (Séc. XVIII)

O jogo como função educativa; Alia prazer à restrição e a

liberdade à lei; Associa jogo a formação do ser humano

em sua plenitude; Ensina a liberdade.

Emmanuel Kant – Filósofo Iluminista, russo,

(1791)

Diferencia trabalho e jogo; O jogo como fim em si

mesmo; Aprendizagem da autonomia/Princípios da

moralidade através do jogo; “jogo das faculdades”;

Imaginação e razão.

Johann Frederick Schiller – Poeta, Filósofo e

Historiador, alemão, obra (1795)

Concepção estética do jogo; Jogo como sinal da

humanidade; Ação equilibrada de forças/Reconciliação

do homem consigo mesmo; Jogo como totalidade

humana/Jogo, com visão antropológica; No jogo é onde o

homem é mais completo; O jogo, como objeto essencial a

beleza, como forma viva.

Jean Chateau – Escritor, francês, obra (1899)

O jogo é sério; É um mundo à parte; É evasão e

compreensão; É antes de tudo uma prova; Tem um fim

em si mesmo.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Poeta

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Historiador

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_alem%C3%A3

26

Johan Huizinga – Professor e Historiador,

holandês, obra (1990)

Forma de manipulação da realidade; Voluntário; Absorve

inteiramente o jogador; Organizado a partir de regras;

Acontece num campo delimitado e imaginário; Cria

ordens; Ritmo e harmonia extremamente cativantes;

Fixa-se no fenômeno cultural; É limitado no espaço e no

tempo.

Roger Caillois – Sociólogo e Crítico Literário,

francês, obra (1990)

Demonstração de superioridade; Destreza; O prazer do

jogo advém do desafio; O jogo implica perigo; Opõe-se

ao caráter sério da vida; Vontade de ganhar; Limite entre

prudência e audácia; Regras arbitrárias imperativas e

inapeláveis; Livre, voluntário, fonte de alegria e

divertimento.

Jean Piaget – Biólogo, Zoólogo, Filósofo,

Epistemólogo e Psicólogo, suíço, obra (1978)

Papel dos jogos na infância para a formação do adulto;

Polo extremo da assimilação da realidade no ego; Fonte

de todo o pensamento e raciocínio posterior; Imaginação

criativa.

Gilles Brougère – Filósofo, francês, obra (1998) Não é inato; Não é vazio de significados; É cultural;

Exige regras geradas pelas circunstâncias; Possui regras

flexíveis e construídas coletivamente; É espaço para

criatividade e liberdade de escolhas.

João Batista Freire – Pedagogo da Educação

Física, brasileiro, obra (2005)

Jogo como fenômeno complexo; Jogo no contexto

escolar; Expressão viva de uma cultura.

Fonte: Elaborado por Silva (2009, p.53, adaptado por nós)

Trouxemos este Quadro 1.1, para o nosso trabalho, pois ele identifica de maneira

sucinta e coesa a utilização do jogo, com o propósito educativo, por estudiosos ilustres de

suas épocas. E acrescentamos ao quadro a área de conhecimento de cada um dos

referenciados, por entendermos ser interessante mostrarmos que o jogo como um instrumento

pedagógico foi empregado por diferentes segmentos da sociedade.

O filósofo Jean-Jacques Rousseau há mais de dois séculos, já atentava para o jogo

como uma função educativa, associando-o à formação do ser humano em sua plenitude.

Assim, também se ocuparam dele Kant (1791), Schiller (1795), Chateau (1899), Huizinga

(1990), Caillois (1990), cujas ideias apresentamos, Piaget (1978), cuja teoria aprofundaremos

mais adiante, Brougère (1998) e Freire (2005), o qual destaca a importância dos jogos no

contexto escolar. Não podemos deixar de mencionar que sentimos falta neste quadro do

trabalho de Grando (2000), que utiliza o jogo para o ensino da Matemática e que tem

contribuições importantes para dar sobre o assunto.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Historiador

http://pt.wikipedia.org/wiki/Soci%C3%B3logo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cr%C3%ADtico_liter%C3%A1rio

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a

27

1.2 Jogos no contexto escolar

Durante muito tempo, o jogo foi percebido apenas como uma distração, uma recreação

sem importância alguma para o desenvolvimento cognitivo, intelectual e afetivo da criança

(KISHIMOTO, 2003). Entretanto, com o passar dos anos e o desenvolvimento de estudos

baseados no comportamento infantil, tanto de ordem psicológica, filosófica, biológica e

sociocultural, as atividades lúdicas foram ganhando um novo entendimento, seriedade e

espaço na escola.

Hoje, no contexto escolar, o jogo é entendido como um precioso recurso didático,

tornando-se um motivador para a aprendizagem do aluno. Macedo; Petty, Passos (2008)

enfatizam que através do jogo o aluno obtém prazer em realizar a tarefa proposta, tornando,

assim, a aprendizagem menos mecânica e mais significativa. Nessa direção, Moura (2011)

afirma que o jogo é um grande aliado do ensino, pois podem ser inseridos durante uma partida

conteúdos culturais e, dessa maneira, promoverem-se novas estruturas cognitivas.

Kishimoto (2003) esclarece que, no ambiente escolar, o jogo só é tido como educativo

quando traz consigo duas funções concomitantes:

[...]a função lúdica, que propicia ao jogo a diversão, o prazer e até o

desprazer quando escolhido voluntariamente, e a função educativa, que

ensina através do jogo. O equilíbrio entre essas duas funções é o objetivo do

jogo educativo. Entretanto, o desequilíbrio provoca duas situações: não há

mais ensino, há apenas jogo, quando a função lúdica predomina ou, o

contrário, quando a função educativa elimina todo hedonismo, resta apenas o

ensino. (p.19.)

Dessa forma, como asseguram Macedo, Petty e Passos (2008), os jogos em sala de

aula podem possibilitar ao aluno a produção de uma experiência significativa, tanto em

termos de conteúdos escolares como do desenvolvimento de competências e habilidades. As

habilidades são adquiridas por meio de certas atitudes fundamentais ao jogo, como ser atento,

organizado e coordenar diferentes pontos de vista que podem favorecer a aprendizagem do

aluno, na medida em que ele passa a ser mais participativo, cooperativo e melhor observador,

chegando assim à abstração.

28

A ação de jogar, aliada a uma adequada intervenção do professor, “ensina”

procedimentos e atitudes que devem ser mantidos ou modificados em função dos resultados

obtidos no decorrer das partidas. Macedo, Petty e Passos (2008, p. 23) afirmam que:

[...] a situação de jogo, mediada por um profissional, vai além da experiência

e possibilita a transposição das aquisições para outros contextos. Isto

significa considerar que as atitudes adquiridas no contexto de jogo tendem a

tornar-se propriedade do aluno, podendo ser generalizadas por outros

âmbitos, em especial para as situações de sala de aula.

Logo, é função do professor determinar qual a melhor contribuição do jogo que

escolheu, valorizando, assim, a observação e a superação dos erros, bem como propor

diferentes formas de registro para análises posteriores ao jogo.

Apesar dos inúmeros estudos realizados por pesquisadores renomados (PIAGET,

1978; GRANDO, 2000; KISHIMOTO, 2003, 2011; RODRIGUES, 2008; MACEDO, PETTY

E PASSOS 2007, 2008; BRENELLI, 2008; RIBEIRO, 2009; MOURA, 2011, para citar

alguns) sobre a importância e relevância dos jogos como material pedagógico, ainda há

educadores que acreditam que utilizar os jogos nas atividades em sala de aula é perda de

tempo. Em outras palavras, apesar da ampla divulgação sobre os resultados positivos dos

jogos na educação, há professores que continuam a não reconhecê-lo como instrumento de

contribuição e enriquecimento para o desenvolvimento do aluno. Concordamos com Ribeiro

(2009, p.17) quando este justifica que tal postura por parte dos professores ocorre como fruto

de desconhecimento sobre a potencialidade pedagógica do trabalho com jogos.

Os documentos oficiais também fazem referência à importância dos jogos como mais

um recurso didático. Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL: 1998,

p.46) o seguinte argumento:

Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois

permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a

criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções.

Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e

imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a

construção de uma atividade positiva perante os erros, uma vez que as

situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural,

no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas.

29

O que se destaca nos PCN a respeito dos jogos é que eles são vistos como ferramentas

didáticas ao alcance do professor, que permitem ao aluno a construção e reconstrução de uma

determinada situação de aprendizagem, possibilitando, assim, uma atitude positiva diante da

dificuldade, do erro e da resolução de problemas. Nesse sentido, durante uma atividade de

jogo, passa a ser responsabilidade do professor propor situações que levem o aluno a refletir,

buscar significado, analisar procedimentos, elaborar estratégias e resolver problemas.

Porém, como bem acentuam Macedo, Petty e Passos (2008, p.22), é importante não

perder de vista que não devemos depositar no jogo a responsabilidade pelo desenvolvimento e

aprendizagem do estudante, mas no que é desencadeado a partir das intervenções e dos

desafios propostos aos alunos durante o jogo.

Assim, defendemos a postura de que, enquanto instrumento lúdico, não podemos nem

devemos utilizar o jogo em sala de aula como um fim em si mesmo; é necessário transformá-

lo em material de estudo e ensino, de maneira a ter objetivos e intenções claros ao se

empregar esta ferramenta de aprendizagem. Caso contrário, o jogo deixa de ser um

instrumento pedagógico para ser apenas um objeto qualquer.

No final do século passado, Macedo já acreditava que se a escola compreendesse os

processos de desenvolvimento e aprendizagem do aluno, tanto da criança como do

adolescente, como formas interdependentes de conhecimento, ela se tornaria um ambiente

com o qual o aluno se identificaria. Ou seja, a escola passaria, então, a ter o significado que se

lê, entre outros a ela atribuído pelo Dicionário Houaiss, em sua versão latina, escola quer

dizer “divertimento, recreio” e em sua versão grega, “descanso, repouso, lazer, tempo livre,

hora de estudo, ocupação de um homem com ócio, livre do trabalho servil.” (MACEDO,

PETTY E PASSOS, 2007, p. 9.)

Outra suposição de Macedo, Petty e Passos (2007) é que, para isso, é necessário cuidar

da dimensão lúdica das tarefas escolares para, assim, possibilitar que os alunos possam ser

responsáveis por suas ações, nos limites de suas possibilidades de desenvolvimento e dos

recursos mobilizados pelos processos de aprendizagem.

Sendo assim, a função do jogo no processo socioeducativo consiste em potencializar a

construção de tais estratégias, a fim de que o aluno possa compreender melhor o mundo que o

rodeia por meio da própria experimentação. O autor aponta ainda que a contribuição do jogar

para o aluno é, portanto, possibilitar o exercício de se subordinar a condições externas,

30

conhecidas e consentidas. Isso porque a regra supõe respeito, o qual implica necessariamente

disciplina, obediência, entrega, referência e reconhecimento.

Quando as situações lúdicas são intencionalmente criadas pelo professor com o intuito

de estimular certos tipos de aprendizagem, surge a dimensão educativa. Logo, a importância

do jogo está nas possibilidades de aproximar o aluno do conhecimento cientifico, vivenciando

situações que requeiram dele uma postura de resolução de problemas dentro de um ambiente

de descontração. Nesse processo, o professor assume o processo da mediação.

1.3 Caminhos do xadrez

De acordo com Milos Júnior e D’Israel (2001), há um mistério e inúmeras lendas a

respeito da origem do xadrez. Historiadores postulam sobre várias possibilidades, o registro

mais antigo sobre o xadrez é uma antiga pintura egípcia de cerca de 3.000 a. C. que mostra

duas pessoas jogando algo parecido com ele. Hoje a teoria mais aceita é que tenha se

originado na Índia por volta do século VI d.C. Era conhecido como "O jogo do exército" ou

"Chaturanga" e podia ser jogado por dois ou mais jogadores.

Apesar do mistério que envolve o xadrez, nesta seção trataremos deste jogo sob dois

aspectos: o lendário (1.3.1) e o histórico (1.3.2) para então expor as suas regras (1.3.3) e, por

fim, discutir como chegou ao Brasil e aqui se desenvolveu.

1.3.1 Lenda do jogo de xadrez

A mais famosa lenda sobre a origem do xadrez é a de que ele teria sido inventado por

um hindu de nome Sissa, ou Sessa, com a finalidade de entreter e alegrar um rei que havia

perdido seu filho numa batalha. Quem conta tal lenda é o escritor e matemático Malba Tahan

(2007) em sua obra “O Homem que Calculava”.

Reza a lenda que, ao interagir com o xadrez, o rei gostou tanto que chamou o seu

inventor e prometeu-lhe o presente que desejasse. Como Sissa viu-se obrigado a formular o tal

31

pedido ao rei, fez-lhe um que impressionou pela simplicidade demonstrada e aparente

humildade.

Ele pediu ao rei que lhe fossem pagos grãos de trigo da seguinte maneira: um grão de

trigo pela primeira casa do tabuleiro; dois grãos de trigo pela segunda casa; quatro grãos de

trigo pela terceira casa; oito grãos de trigo pela quarta casa e assim sucessivamente, sempre

dobrando o número de grãos da casa anterior até a casa de número sessenta e quatro, o

número de casas do tabuleiro de xadrez. Seu pedido provocou risos na corte.

O rei, contrariado, disse-lhe: “Um invento tão brilhante e um pedido tão simples?

Escolha uma grande riqueza, meu jovem; um de meus castelos, um palácio ou até uma de

minhas mulheres!” Mas Sissa se mantinha irredutível, e como palavra de rei não volta atrás, o

rei, embora contrariado, pediu a seus criados que entregassem a Sissa um grande saco de

grãos de trigo. Sissa, entretanto, recusou a oferta dizendo que queria receber exatamente o que

havia pedido, nem um grão a mais, nem um grão a menos.

O rei pediu então para que seus calculistas fizessem as contas. Depois de muito tempo

e de muitas contas, o matemático oficial do reino chegou muitíssimo assustado para dizer ao

rei que teria que pagar ao jovem Sissa o impressionante número 18.446.744.073.709.551.615

de grãos de trigo, ou seja, dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões,

setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões,

quinhentos e cinquenta e um mil, seiscentos e quinze grãos. Era um número tão grande de

grãos de trigo que seria necessário semear seis vezes a superfície da terra para obtê-lo. Se uma

pessoa contasse de um até este número, gastando meio segundo por número, levaria quase

trinta bilhões de séculos para contá-lo todo.

Assim, vendo-se incapacitado de cumprir a promessa, o rei mandou chamar Sissa para

lhe oferecer outra recompensa. Sissa, entendendo a aflição do monarca por não poder cumprir

sua promessa, perdoou a dívida. Afinal, seu objetivo havia sido atingido, qual seja, o de

chamar a atenção do monarca para o cuidado que deveria ter com suas promessas e

julgamentos e, ainda, para fazê-lo reconhecer que atitudes aparentemente humildes podem

formar grandes conquistas. Por fim, Sissa aceitou ser conselheiro do rei, e todos viveram

felizes para sempre.

32

1.3.2 História do xadrez

De acordo com Milos Júnior e D’Israel (2001), as primeiras descobertas arqueológicas

relacionadas a um jogo semelhante ao xadrez datam do sexto século de nossa Era e foram

encontradas na Índia, aproximadamente no ano 570 d.C. O nome desse jogo era shaturanga e,

apesar das diferenças, é considerado o precursor do xadrez.

No princípio, o shaturanga era disputado por quatro jogadores. As casas de seu

tabuleiro eram unicolores e utilizavam-se dados. À medida que o jogo foi sendo difundido,

suas regras foram sendo modificadas, até chegar-se à versão hoje praticada.

Os árabes foram os responsáveis por sua difusão no Norte da África e Sul da Europa.

Nos países europeus banhados pelo Mediterrâneo, Portugal, Espanha, França e Itália, o xadrez

recebeu um grande impulso e suas regras sofreram várias modificações. Deve-se ao francês

Philidor, em seu livro “L’Analise du jeu dês échecs”, publicado em 1749, uma das primeiras

propostas de regulamento escrito sobre o jogo de xadrez, e esta é muito semelhante às regras

vigentes nos dias de hoje.

Um marco na história do xadrez moderno é o Torneio Internacional de Londres, de

1851, realizado durante a importantíssima Grande Exposição Internacional das Artes e

Indústria, iniciando um período que dura até os dias atuais.

O vencedor do certame foi Adolf Anderssen, e o prêmio pela vitória foi de 183 libras

esterlinas. No final do século XIX, o xadrez experimentou um grande desenvolvimento e

vários torneios foram organizados, assim como a literatura enxadrística ganhou impulso.

A primeira disputa oficial pelo título mundial ocorreu em Nova Iorque, em 1886, entre

W. Steinitz e Zukertort, sendo vencida pelo primeiro, que conquistou, assim, o título de

primeiro campeão mundial da nossa história. Outro fato importantíssimo para o

desenvolvimento do esporte foi a fundação da Fédération Internationale dês Échecs (FIDE),

durante o transcurso da Olimpíada de Paris, em 1924. Sob o lema “Gens una sumus” (somos

uma família), ela agrupa organizações de todos os países, sendo apenas uma de cada, e conta

atualmente com mais de 150 afiliados.

Com o passar dos anos, os sistemas de disputa de torneios foram sendo aperfeiçoados,

chegando a ser criado um sistema matemático para avaliar a força do enxadrista, o ELO. Na

verdade, o ELO é um método para a graduação dos jogadores de xadrez segundo sua

33

potencialidade. Ele foi elaborado em 1969 por Arpad E. Elo, físico e professor húngaro-

americano, e membro da Comissão de Qualificação da FIDE.

Segundo Milos Júnior e D’Israel (2001), esse método foi baseado no desempenho de

cerca de 200 dos melhores jogadores do mundo, durante o período de 1966 a 1969, no qual

todos tinham disputado no mínimo 30 partidas com outros do mesmo grupo. Esses dados

foram submetidos a uma série de aproximações sucessivas utilizando-se um programa de

computador, até obter-se uma lista de jogadores coerente de forças, ou seja, segundo sua

potencialidade. Dali para frente, através de percentagens e expectativas, era possível

estabelecer o ranking de qualquer jogador que tivesse disputado certo número de partidas com

outros que já tinham sua pontuação.

1.3.3 Xadrez no Brasil

O xadrez foi introduzido no Brasil, conforme Vasconcellos (1991), pelos portugueses,

na época colonial. Ainda de acordo com o autor, não existem registros precisos sobre sua

atividade naquele período. Acredita-se, porém, que o xadrez fosse cultivado pelas classes

dominantes apenas como mais um passatempo.

Ainda segundo Vasconcellos (1991), o primeiro livro de xadrez publicado no Brasil

em 1850, “O Perfeito Jogador de Xadrez” ou “Manual Completo Deste Jogo”, foi organizado

por Henrique Velloso d’Oliveira, contendo extratos dos melhores livros da época. O primeiro

Clube de Xadrez foi fundado em 1877, tendo como seu secretário o ilustríssimo escritor

Joaquim Maria Machado de Assis. Machado de Assis era, na época, um dos melhores

jogadores do país.

Atualmente existe um órgão oficial que regulamenta o xadrez no Brasil. É a

Confederação Brasileira de Xadrez (CBX), a qual está filiada à Federação Internacional de

Xadrez (FIDE) e foi fundada em seis de novembro de 1924. Cada Estado conta com sua

própria federação. Em São Paulo, temos a Federação Paulista de Xadrez (FPX), fundada em

1941. Esta, por sua vez, é filiada à CBX. Portanto, essas instituições organizam torneios em

nível regional, nacional e internacional, sendo o campeonato mundial organizado pela FIDE.

34

A popularização do xadrez no Brasil aconteceu a partir dos anos 1970, com a ascensão

do gaúcho Henrique Mecking3, o Mequinho, e tem tomado hoje proporções mais abrangentes

nas distintas classes sociais.

1.3.4. Xadrez - o jogo

O jogo de xadrez é uma partida disputada por dois jogadores sobre um tabuleiro de 64

casas de cor clara ou escura alternadamente, contando cada um com 16 peças por grupo,

diferentes na forma, no nome e na qualidade.

O tabuleiro é constituído por 8 linhas horizontais chamadas filas, 8 linhas verticais

chamadas colunas e linhas inclinadas, as diagonais. Por exigência da regra do jogo, o

tabuleiro de xadrez deverá ser colocado de maneira que a primeira coluna à direita do jogador

tenha na sua base uma casa branca.

As filas são identificadas por números de 1 a 8 e contadas de baixo para cima, ou seja,

no sentido das brancas para as negras; as colunas são identificadas por letras minúsculas de a

até h. Essa identificação das linhas do tabuleiro é importante, pois irá facilitar o estudo do

xadrez pela anotação dos lances na partida, bem como para indicar a posição das peças no

tabuleiro pelo processo de coordenadas.

Figura 1.3 – Tabuleiro de xadrez

A figura ao lado mostra a disposição do tabuleiro, sendo esta

a única posição possível para iniciar o jogo de xadrez.

Esse jogo representa uma batalha entre dois exércitos:

Brancas e Pretas. As Brancas sempre iniciam o jogo. Os

lances se sucedem alternadamente até o final da partida.

Chama-se de jogada, ou lance, cada movimento da peça no tabuleiro mudando a sua

posição de uma casa para outra.

O movimento possível das peças é o seguinte:

3 É o maior jogador de xadrez brasileiro de todos os tempos. Teve seu auge no ano de 1977, quando foi

considerado o terceiro melhor jogador do mundo, superado apenas por Anatoly Karpov e Viktor Korchnoi.

http://www.tabuleirodexadrez.com.br/henrique-mecking.htm, acesso em 06/06/2011.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_jogadores_famosos_de_xadrez

http://pt.wikipedia.org/wiki/1977

http://pt.wikipedia.org/wiki/Anatoly_Karpov

http://pt.wikipedia.org/wiki/Viktor_Korchnoi

http://www.tabuleirodexadrez.com.br/henrique-mecking.htm

35

O rei é a peça mais importante do jogo. Jamais pode ser capturado e, quando recebe o

xeque-mate, a partida está terminada. Ele pode jogar apenas uma casa por vez, em qualquer

direção, horizontal, vertical e diagonal.

A dama é a peça mais poderosa do jogo, pois controla um grande número de casas.

Movimenta-se em qualquer direção (horizontal, vertical e diagonal), podendo andar uma ou

várias casas de uma só vez.

A torre, após a dama, é a peça mais forte do jogo. Movimenta-se em linhas retas, tanto na

horizontal como na vertical, podendo andar uma ou várias casas de uma só vez.

O bispo movimenta-se pelas diagonais, uma ou várias casas de uma vez só.

O cavalo tem um movimento peculiar, pois é a única peça que salta sobre as demais,

descrevendo uma trajetória na forma da letra “L”.

O peão, apesar de pequeno na aparência, cumpre missões importantes em todas as etapas

do jogo. Na posição inicial, ele pode avançar uma ou duas casas e, depois, somente uma casa

por vez até alcançar a última fila quando, necessariamente, será promovido a uma peça maior.

A peça mais importante, que decide a partida, é denominada rei. O jogo consiste em

movimentar as peças como em um combate, obedecendo aos princípios e regras

preestabelecidos, com o objetivo de atacar o rei adversário até o ponto em que o mesmo não

possa mais evitar a conclusão do ataque com a ameaça de sua captura. É o chamado xeque-

mate.

Cada vez que o rei é atacado, diz-se que está em xeque. Quando o ataque for

impossível de ser anulado, diz-se xeque-mate ou, simplesmente, mate. O jogador que

conseguir aplicar xeque-mate no rei adversário vence a partida. Convém, porém, esclarecer

que, para obter a vitória no xadrez, não importa o número de peças existentes no tabuleiro

nem o número de movimentos realizados. Importa apenas obter xeque-mate.

Existem situações em que, quer pelo número de peças obstantes, quer pela posição das

mesmas, é impossível dar xeque- mate por qualquer dos dois jogadores. Neste caso, a partida

estará empatada.

36

1.4. O xadrez e a Matemática

O xadrez e a Matemática, combinação que traz consigo certa incredibilidade, pois o

jogo de xadrez não traz em suas regras um objetivo matemático, não apresenta fórmulas,

axiomas e nem mesmo conceitos matemáticos. Então o que aproxima o jogo de xadrez a

Matemática?

O que sabemos como meros espectadores sobre o xadrez é que ele é considerado um

jogo de estratégia, de modo que não foi criado objetivando-se o ensino da Matemática. Se

bem que ao observarmos o jogo de xadrez poderemos de imediato identificar no tabuleiro o

plano cartesiano (as linhas e as colunas), a troca material entre as peças de um jogador e a

lateralidade (horizontal, vertical e diagonal) no movimento das peças, mas isso não é o

bastante.

Grillo (2012) em sua pesquisa desmitifica essa estória de que não dá para construir

uma relação proveitosa e sadia entre o jogo de xadrez e o ensino da Matemática. Em sua

pesquisa, ele faz uma aproximação do jogo de xadrez com a Matemática, utilizando a ideia de

jogo como conteúdo e da Resolução de Problemas como metodologia, de modo a atribuir ao

jogo um sentido pedagógico. O que já vem sendo defendido, também, por Grando (1995,

2000) em suas pesquisas.

Partindo dessa ideia, o autor, fez explorações matemáticas a partir de sua investigação

no jogo, dado que esse contexto é favorável ao processo de análise das probabilidades das

jogadas, levantamento de hipóteses, a concepção de estratégias, reflexão, antecipação, análise

e síntese, características essas que são essenciais à produção da Matemática.

Grillo (2012) salienta que essas características não dizem respeito a Matemática

escolar, mas a:

Matemática a partir do jogo, no qual não se tem um conhecimento produzido

a priori, mas um conhecimento que vai sendo produzido e ressignificado,

validado ou refutado, ou seja, uma produção matemática dinâmica que está

em movimento, partindo do ato de jogar e explorar pedagogicamente as

potencialidades a partir do jogo (p. 53).

Nesse sentido, então, a Matemática no jogo é um conhecimento que aparece a partir do

movimento da resolução de problemas, diferentemente da Matemática escolar, na qual possui

fórmulas, esquemas, regras e axiomas, que são priorizados na sala de aula.

37

O jogo de xadrez no contexto da Matemática na escola pode desencadear no aluno

uma atitude de análise de situações-problema, dado que em uma situação de jogo, lhe é

cobrado que analise e crie estratégias próprias de resolução de problemas.

O xadrez, também, incentiva outras habilidades importantes, apontadas pelo autor,

para a sala de aula, como: trabalho em grupo, socialização, análise das possibilidades de jogo,

tomada de decisões, raciocínio lógico, domínio espacial, dentre outras. Entretanto, é preciso

que exista um mediador entre o aluno e o conhecimento matemático, no caso o professor para

que então se tenha uma aprendizagem a partir do jogo.

Nessa direção, o jogo de xadrez consente ao aluno através do estudo de suas

estratégias uma aprendizagem por meio da reflexão, da tomada de decisão, permitindo, assim,

a elaboração de novos conhecimentos. O que sobremaneira, possibilita ao aluno um

pensamento matemático, já que existe toda uma edificação de um raciocínio fundamentado

em um processo de conjecturação, investigação e estudo das possibilidades de jogo.

1.5 Xadrez na escola

O jogo de xadrez entrou oficialmente nas escolas brasileiras a partir de 2003, quando o

MEC e o Ministério dos Esportes, em parceria com governos estaduais, levaram esse jogo

para as escolas municipais de Recife (PE), Belo Horizonte (MG), Campo Grande (MS) e

Teresina (PI) como um projeto piloto. A ideia era que o ensino do jogo de xadrez fosse mais

um instrumento pedagógico nos projetos da rede oficial de ensino.

Com os resultados positivos confirmados, o projeto foi estendido aos demais Estados e

implantado a partir do segundo semestre de 2005, sob a orientação de que fossem

privilegiadas as escolas mais carentes.

De acordo com a responsável pelo projeto na SEB/MEC, Miriam Sampaio de Oliveira

(BRASIL, 2004), o xadrez ajuda o aluno em vários aspectos, como raciocínio rápido,

memorização, resolução de problemas, imaginação e criatividade.

O Estado de São Paulo se antecipou a esse projeto, criando as ACD em 2003, as quais

tinham por objetivo minimizar a incidência de hábitos violentos e danosos ao convívio social.

O interesse do Governo Federal, dos estados e, em particular, do Estado de São Paulo

no “xadrez escolar” aponta para um mesmo propósito, minimizar a violência nas escolas,

38

cultivar os bons hábitos e garantir o desenvolvimento cognitivo, afetivo, intelectual e social

do aluno que o jogo pedagógico proporciona.

Pesquisas como as realizadas na Bélgica por Johan Christiaen em 1976, em Nova

York por Joyce Brow em 1985, e, ainda, na California por George Stephenson, em 1985

atestam a importância da valorização do xadrez como elemento pedagógico (REZENDE,

2002).

Silva (1997, apud Christofoletti, 2007) propôs um quadro que aponta as possibilidades

que o jogo de xadrez pode trazer ao praticante:

Quadro 1.5 – Comparativo das características do xadrez e suas implicações educativas

Características do xadrez Implicações nos aspectos educacionais e de

formação do caráter

Concentração enquanto imóvel na cadeira. Desenvolvimento do autocontrole psicofísico.

Fornecer um número de movimentos num

determinado tempo.

Avaliação da hierarquia do problema e alocação do

tempo disponível.

Movimentar peças após exaustiva análise de

lances seguintes.

Desenvolvimento da capacidade para pensamento

abrangente e profundo.

Encontrado um lance, a procura de outro melhor. Empenho no progresso contínuo.

De uma posição a princípio igual, direcionar a

uma conclusão brilhante (combinação).

Criatividade e imaginação.

O resultado indica quem tinha o melhor plano. Respeito à opinião do interlocutor.

Entre várias possibilidades, escolher uma única,

sem ajuda externa.

Capacidade para o processo de tomar decisões com

autonomia.

Um movimento deve ser consequência lógica do

anterior devendo apresentar o seguinte..

Capacidade para o pensamento e execução lógicos,

autoconsistência e fluidez de raciocínio.

Fonte: SILVA, W. Xadrez nas escolas, Curitiba (1997 apud Christofoletti, 2007, p. 43).

O xadrez, portanto, como instrumento didático-pedagógico, deve ser orientado,

conduzido, pois através desses aspectos pode-se evidenciar o desenvolvimento pessoal e o

cooperativo dos alunos associados ao estudo e à prática do mesmo. Assim, tanto o

desenvolvimento individual quanto o desenvolvimento coletivo podem ser proporcionados

também pelo estudo e pela prática do jogo de xadrez, favorecendo os aspectos lúdicos e

intelectuais da aprendizagem.

39

De acordo com Sunyé (2006, apud Silva, 2009), a atividade enxadrística realizada no

contexto educacional permite trabalhar a melhoria da autoestima dos estudantes, visto que a

sua iniciação não requer pré-requisitos (características físicas, sociais e outras) e é acessível

aos estudantes situados em qualquer nível de escolarização. No ambiente escolar, as

atividades são planejadas por séries, permitindo igual envolvimento dos estudantes, mesmo

que apresentem dificuldades ou defasagem de aprendizagem em disciplinas curriculares,

podendo servir como elementos motivadores para a superação daquelas dificuldades.

1.6 O xadrez como uma ferramenta de ensino: revisão da literatura

Nessa seção, apresentaremos a revisão de literatura focalizando alguns estudos que

empregaram, de alguma maneira, o jogo de xadrez durante as aulas de Matemática, com seu

propósito voltado à aprendizagem ou ao ensino de conteúdos específicos da disciplina.

Escolhemos apenas aqueles que consideramos importantes no sentido de trazer contribuições

ao presente estudo, considerando-se ainda serem poucas as pesquisas disponíveis que

relacionem o jogo de xadrez à Matemática.

Os estudos escolhidos pertencem ao banco de Teses da Coordenação de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), consultada em 14 de janeiro de

2012, utilizando como palavras-chave: o jogo de xadrez e a Matemática, com exceção da

pesquisa de Grillo (2012), que acabou de concluí-la.

40

Quadro 1.6 – Síntese das pesquisas correlatas ao nosso estudo

Autores Objetivo Geral e/ou questão de pesquisa Conclusões

Wielewski

(1998)

Conhecer e desenvolver o pensamento algorítmico

de alunos do 7º ao 9º anos do Ensino Fundamental

com o auxílio do Tabuleiro de Xadrez.

A constatação de uma grande variedade de

pensamentos algorítmicos, manifestados

espontaneamente pelos alunos através do

instrumento de cálculo, construído a partir do

tabuleiro de xadrez.

Rodrigues

(2003)

Descrever e analisar experiências com o Jogo de

Xadrez, na sala de aula, como um recurso para o

aprendizado de conhecimentos específicos do

conteúdo de matemática.

Confecção desde as peças e tabuleiros até a

organização de uma proposta para um

laboratório de geometria.

Kimura

(2005)

Entender o pensamento do professor em relação

aos números negativos, no que diz respeito à

fundamentação teórica, percepção das estruturas

matemáticas, opinião sobre o livro didático

adotado, uso de alternativas de ensino e à literatura

utilizada para o aperfeiçoamento do tema.

O Jogo é uma boa ferramenta, pois apresenta

mais claramente a estrutura dos números

negativos e oferece diferentes formas de

representação.

Silva

(2010)

Investigar a visão que os alunos têm sobre as

contribuições do jogo de xadrez nas aulas de

Matemática

Os alunos participantes identificaram os

benefícios do xadrez para o ensino-

aprendizagem da Matemática, pois em seus

depoimentos escritos e/ou orais, eles

alegaram terem desenvolvido o raciocínio

lógico e a concentração.

Almeida

(2010)

Qual (quais) é (são) a(s) forma(s) mais

adequada(s) de introduzir o jogo de xadrez nos

ambientes escolares, principalmente, na Educação

Matemática?

A utilização do jogo de xadrez no ambiente

escolar requer cuidados e considerações aos

objetivos que pretende alcançar e suas

introduções na sala de aula devem atender os

aspectos educacionais.

Grillo

(2012)

Investigar de que maneira um trabalho de

mediação pedagógica com o xadrez escolar, em

uma perspectiva de resolução de problemas,

possibilita a aprendizagem Matemática e para além

dela por alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.

O autor concluiu que o xadrez pedagógico,

em uma perspectiva metodológica da

resolução de problemas, possibilitou que os

alunos produzissem conhecimento

matemático, em um ambiente de jogo. Fonte: CAPES – 14/01/2012.

Começaremos apresentando os estudos pela ordem cronológica, salientando o título, o

objetivo da pesquisa, a questão de pesquisa (se esta estiver explícita), o embasamento teórico,

a metodologia, os principais resultados e as considerações finais do autor.

WIELEWSKI (1998, Dissertação de Mestrado Acadêmico): “O Tabuleiro de Xadrez:

uma perspectiva para a didática da Aritmética”

O estudo teve como objetivo geral conhecer e desenvolver o pensamento algorítmico

de alunos do 7º ao 9º anos do Ensino Fundamental, e como objetivo específico utilizar o

tabuleiro de xadrez como ferramenta pedagógica para resolver as situações aritméticas,

envolvendo o conjunto dos números inteiros.

41

Tratou-se de uma pesquisa qualitativa e exploratória em que foram utilizadas

entrevistas semiestruturadas para a coleta de dados. As entrevistas foram realizadas

individualmente com 29 alunos no decorrer do período de março a maio de 1997, tendo como

referência um roteiro de entrevista previamente estabelecido.

A autora constatou em seu estudo uma grande variedade de pensamentos algorítmicos,

que foram manifestados espontaneamente pelos alunos com a ajuda do instrumento de cálculo

construído a partir do tabuleiro de xadrez. Verificou-se, assim, que o tabuleiro se constitui um

bom material pedagógico para inserir os alunos na atividade cognitiva, pois, com seu auxílio,

os alunos foram capazes de construir diferentes e interessantes algoritmos.

RODRIGUES (2003, Dissertação de Mestrado Acadêmico): “Geometria e Estética:

experiências com o jogo de xadrez”.

O objetivo desse estudo foi descrever e analisar experiências com o jogo de xadrez na

sala de aula. De modo, a incentivar o desenvolvimento de ações e estratégias indispensáveis à

formação geral do aluno e, também, a reflexão sobre novas experiências curriculares. O

pressuposto teórico foi apoiado principalmente no conceito sobre experiência fornecido por

John Dewey.

A metodologia utilizada foi uma pesquisa-ação, de tipo qualitativo, de maneira que

Rodrigues (2003) analisou o jogo de xadrez como recurso e a relação entre os aspectos

específicos e gerais que ele propicia e que podem ser pesquisados e desenvolvidos na sala de

aula.

De acordo com o autor, tais recursos que ele evidenciou vão desde a confecção das

peças e tabuleiros até a organização de uma proposta para um laboratório de geometria.

Demonstrando, assim, ainda, várias abordagens que podem ser feitas com o conteúdo da

geometria e suas relações com aspectos estéticos relacionados à forma e ao movimento dos

objetos.

42

KIMURA (2005, Tese de Doutorado): “O jogo como ferramenta no trabalho com

números negativos: um estudo sob a perspectiva da epistemologia genética de Jean

Piaget”.

A pesquisa desenvolvida teve como objetivo entender o pensamento do professor em

relação aos números negativos, no que diz respeito à sua fundamentação teórica, à percepção

das estruturas matemáticas, à opinião sobre o livro didático adotado, ao uso de alternativas de

ensino e à literatura utilizada para o aperfeiçoamento do tema.

Os pressupostos teóricos utilizados foram a obra de Piaget, a teoria do conhecimento

exposto, os argumentos teóricos do racionalismo (Leibniz), do empirismo (Locke), do

interacionismo (Kant) e do construtivismo piagetiano. Os temas abordados expõem as

diferentes formas de compreender a origem do conhecimento.

A metodologia utilizada por Kimura (2005) apresenta dois estudos: um estudo

exploratório com questionário semiestruturado e a aplicação de atividades sobre os números

negativos no tabuleiro do jogo de xadrez. As atividades foram desenvolvidas com 10

professores de escola pública da Rede Estadual de Ensino de Mato Grosso que atuam no 7º

ano do Ensino Fundamental.

Kimura (2005) conclui que o jogo é uma boa ferramenta pedagógica, pois apresenta

mais claramente a estrutura dos números negativos e oferece diferentes formas de

representação.

SILVA (2010, Dissertação Mestrado Acadêmico): “Contribuições do xadrez para o

ensino-aprendizagem de Matemática”.

A pesquisa realizada investigou a visão que os alunos têm sobre as contribuições do

jogo de xadrez nas aulas de Matemática. O interesse do autor foi tentar compreender a relação

entre a resolução de problemas matemáticos e a solução de situações de jogo, de modo a

determinar a influência da prática do xadrez na aprendizagem da matemática.

Estudo de caráter qualitativo, contou com duas turmas do 9º ano do Ensino

Fundamental, totalizando 60 alunos da zona rural do Distrito Federal, contabilizando 40 aulas.

O pesquisador era o próprio professor das duas turmas, o qual destinou uma de suas seis aulas

de Matemática para a prática do jogo de xadrez. Os materiais utilizados para coleta dos dados

foram observação participante, diário de campo, questionário e grupo focal.

43

Silva (2010) concluiu que os alunos participantes identificaram os benefícios do

xadrez para o ensino-aprendizagem da matemática, pois em seus depoimentos escritos e/ou

orais eles alegaram terem desenvolvido o raciocínio lógico e a concentração. Fatores

importantes, segundo o autor, à resolução de situações-problemas da Matemática.

ALMEIDA (2010, Dissertação Mestrado Profissional): “O jogo de xadrez e a educação

matemática: como e onde no ambiente escolar”

O estudo visou analisar a utilização do jogo de xadrez na educação matemática, visto

que os jogos estão presentes no ambiente escolar por apresentarem relevância no

desenvolvimento cognitivo e por promoverem simulações de situações-problemas que

requerem organização de procedimento de soluções.

A pesquisa, de caráter qualitativo, deu-se através de um estudo de caso exploratório na

cidade de Campina Grande/PB, de forma que o autor analisou a utilização do jogo de xadrez

na educação matemática através de quatro fontes de dados: Livro-Texto, Apostila, Questões

de Concursos e um Curso de Xadrez, tendo como categorias de análise, a saber, tomada de

decisões, raciocínio lógico e análise de erro.

O autor conclui que as formas de introdução ao jogo de Xadrez no ambiente escolar

devem ser adequadas à finalidade de seu uso, sendo que, na Educação Matemática, o jogo

assume diferentes formas no intuito de possibilitar o desenvolvimento de conceitos,

procedimentos e atitudes que auxiliam o ensino e aprendizagem da matemática. Por fim, a

utilização do jogo de xadrez no ambiente escolar requer cuidados e considerações aos

objetivos que pretende alcançar, e suas incursões na sala de aula devem atender aos aspectos

educacionais.

GRILLO (2012, Dissertação Mestrado Acadêmico): “O Xadrez Pedagógico na Perspectiva

da Resolução de Problemas em Matemática no Ensino Fundamental.”

A pesquisa buscou investigar de que maneira um trabalho de mediação pedagógica

com o xadrez escolar, em uma perspectiva de resolução de problemas, possibilita a

aprendizagem matemática e para além dela por alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.

Dessa maneira o autor tinha como objetivos, a saber (1) evidenciar como alunos de um 9º ano

do Ensino Fundamental produzem e/ou ressignificam o conhecimento matemático, em sala de

44

aula, a partir da prática com o jogo de xadrez; (2) identificar as potencialidades metodológicas

do xadrez escolar, em um movimento de resolução de problemas.

A abordagem da pesquisa de cunho qualitativo e foi desenvolvida em uma escola de

zona rural, do município de Passos/MG. O autor utilizou para sua coletados de dados: (1)

audiogravação das aulas; (2) diário e notas de campo do professor-pesquisador; (3) cadernos

dos alunos; (4) resoluções de situações-problema (oral e escrita); e (5) registros de jogo.

O autor evidenciou em suas análises, que a comunicação oral e os registros escritos

por meio de situações-problema, puzzles, jogos pré-enxadrísticos e jogo propriamente dito,

juntamente com a mediação pedagógica do professor-pesquisador, contribuíram para

identificar as potencialidades pedagógicas do xadrez no desenvolvimento de habilidades

como a percepção espacial, o raciocínio lógico e hipotético-dedutivo, a tomada de decisões, a

abstração, a previsão e a antecipação, dentre outras.

Grillo conclui sua pesquisa identificando que o xadrez pedagógico, em uma

perspectiva metodológica da resolução de problemas, possibilitou que os alunos produzissem

conhecimento matemático, em um ambiente de jogo.

A nossa pesquisa vem contribuir com os estudos citados acima, no sentido de trazer

elementos para a discussão da relevância do jogo no ambiente escolar, e mais especificamente

a questão da possibilidade da contribuição do jogo de xadrez para o desempenho do aluno na

resolução de problemas matemáticos. Para isso, fizemos uma comparação quantitativa entre

os alunos enxadristas e os alunos que não jogavam xadrez, como também, verificamos se as

estratégias entre os esses dois grupos de alunos se diferenciavam. E o quanto da ação do jogar

se apresentava nas estratégias dos alunos que jogavam xadrez.

Logo, o nosso interesse foi o de estar fazendo um diagnóstico acerca do possível efeito

que a prática de jogar xadrez pode ter sobre o desempenho dos alunos do 8º e 9º anos do

Ensino Fundamental em Matemática. Mais claramente procuramos investigar a relação de

causa e efeito entre a prática do xadrez e as estratégias dos alunos no processo de resolver

problemas matemáticos.

45

CAPÍTULO II

O JOGO NA VISÃO DE PIAGET E SUA IMPORTÂNCIA

NA ESCOLA

Neste capítulo, apresentaremos as ideias teóricas que fundamentaram este trabalho.

Inicialmente, abordaremos o jogo segundo a perspectiva e classificação de Jean Piaget. Em

seguida, trataremos do jogo no ambiente escolar. Neste caso, discutiremos as ideias de Lino

de Macedo, as quais buscam estabelecer a relação entre as ideias propostas por Piaget a

respeito do jogo e a importância deste na formação do aluno na Educação Básica.

2.1 A visão de Piaget sobre o jogo

Para Piaget (1978), o jogo constitui-se em uma condição importante para o

desenvolvimento infantil, pois ele faz parte da construção do conhecimento. Em suas

palavras:

Se o ato de inteligência culmina num equilíbrio entre assimilação e

acomodação, enquanto a imitação prolonga a última por si mesma, poder-se-

á dizer, inversamente, que o jogo é essencialmente assimilação, ou

assimilação predominando sobre a acomodação. (PIAGET, 1978, p. 115.)

Na teoria da Epistemologia Genética (PIAGET, 1972, 1978), o termo assimilação é

entendido como um processo cognitivo, desenvolvido a partir da interação do sujeito com o

objeto, sendo aquele responsável pela colocação de novos eventos (surgidos por meio dessa

interação) dentro de esquemas já existentes. A acomodação, por sua vez, é entendida como a

modificação desses esquemas, ou a modificação de uma estrutura em função das

particularidades do objeto a ser assimilado.

Tendo definido assimilação e acomodação, esses dois termos centrais para o

entendimento da visão de Piaget sobre o papel e a importância dos jogos no desenvolvimento

46

cognitivo do sujeito, passamos a apresentar e discutir o jogo do ponto de vista da

Epistemologia Genética.

Piaget (1978) analisou as sucessivas condutas que caracterizam o jogo no

desenvolvimento da inteligência da criança, desde o seu nascimento até o seu auge, na

adolescência. Ele constatou que o jogo possui três momentos diferentes, que estão atrelados à

fase de evolução do sujeito, que classificou como: jogos de exercícios, jogos simbólicos e

jogos de regras. Destacou, também, que entre os jogos simbólicos e os jogos de regras

encontram-se os jogos de construção.

As primeiras manifestações do jogo, segundo Piaget (1978), aparecem nos primeiros

anos de vida como a principal forma de aprendizagem. Essa fase, chamada de sensório-

motora, compreende, em média, os primeiros dezoitos meses de vida e manifesta-se por meio

da assimilação funcional ou reprodutora, de modo a desenvolver a formação de hábitos. Esses

hábitos compõem o fundamento para operações mentais que acontecerão mais adiante. Um

exemplo dessa ocorrência é quando a criança tenta arrastar o corpo para chegar próximo do

objeto que quer (momento em que a criança está aprendendo a engatinhar), ou ainda quando

inventa palavras ou descrições pelo simples prazer que encontra ao inventar (PIAGET, 1978).

A repetição das ações, no seu sentido funcional, a qual se dá através dos jogos de

exercícios, é matriz para a regularidade (MACEDO; PETTY, PASSOS, 2010, p. 130), ou

seja, é essencial para a escolarização e para a vida do sujeito, pois caracteriza a atividade

lúdica da criança.

Com a interiorização dos esquemas4, o jogo se vê mais distante do ato de inteligência

(equilíbrio da assimilação com a acomodação), de maneira que o pensamento está dirigido

pela preocupação da satisfação individual. Exemplificando, quando a criança pega um

aparelho telefônico fingindo que telefona, dias depois brinca de telefonar com qualquer

objeto. Nesse momento a criança está aplicando seus esquemas simbólicos a novos objetos,

substituindo seus objetos habituais. Ela reproduz suas ações pelo prazer de oferecê-las em

espetáculo, a si própria e aos outros, ou seja, está querendo exibir o seu eu e assimilar, sem

limites, o que ordinariamente é tanto acomodação à realidade como conquista assimiladora.

Com a socialização, a criança passa a adotar regras no jogo e/ou a adaptar cada vez

mais a sua imaginação simbólica aos dados da realidade. Tal fato acontece sob a forma de

4 Um esquema é uma estrutura ou organização das ações, as quais se transferem ou generalizam no momento da

repetição da ação, em circunstâncias semelhantes ou análogas. (PIAGET; INHERLDER, 1995, p. 15.)

47

construções, ainda espontâneas, mas imitando o real. Nessa direção, o símbolo de assimilação

individual cede espaço, quer para a regra coletiva, quer para o símbolo representativo ou

objetivo, quer, ainda, para os dois reunidos.

2.1.1 A gênese do jogo para Piaget

O que é gênese? E a gênese do jogo? E a gênese do jogo para Piaget (1978)? Segundo

o Dicionário Aurélio Buarque de Holanda Ferreira (2001), o termo gênese quer dizer: 1)

Formação dos seres, desde uma origem; 2) Formação, constituição. Logo, a gênese do jogo

pode ser entendida como a constituição do jogo. Seguindo esta linha, podemos considerar que

a gênese do jogo para Piaget (1978) está relacionada ao sentido da formação do jogo no

individuo. Em outras palavras, a gênese do jogo no sentido piagetiano foca a contribuição

deste para a formação cognitiva, intelectual, afetiva e social do indivíduo.

A criança que joga desenvolve suas percepções, sua inteligência, suas

tendências à experimentação, seus instintos sociais, etc. É pelo fato de o jogo

ser um meio tão poderoso para a aprendizagem das crianças, que em todo

lugar onde se consegue transformar em jogo a iniciação à leitura, ao cálculo,

ou à ortografia, observa-se que as crianças se apaixonam por essas

ocupações comumente tidas como maçantes. (PIAGET, 1972, p. 156-157.)

Piaget (1978) entende que quase todos os comportamentos demonstrados pela

inteligência são capazes de se converter em jogo, uma vez que se repitam por assimilação

pura (sem acomodação), isto é, por simples prazer funcional ou prazer da repetição. Podemos

observar esse comportamento quando o bebê brinca com sua voz, não somente pelo interesse

fônico, mas pelo prazer da repetição, rindo para si próprio do seu novo poder.

O primeiro indício de uma situação de jogo no indivíduo acontece já nos seus

primeiros dias de vida e recebe o nome de jogo de exercício, na fase sensório-motora. Nesse

tipo de jogo, o objeto é simplesmente assimilado a um esquema conhecido e anterior, sem

nova acomodação, e é assinalado pela falta de representação, pensamento ou linguagem da

criança com objetos ou pessoas.

Piaget (1978) explicita que as atividades lúdicas – a repetição de gestos, o emitir sons,

os movimentos (de balançar os braços e objetos), o caminhar e outras – aparecem como

exercícios motores simples, e a sua finalidade é o próprio prazer funcional ou o prazer da

48

repetição. Ainda que estes jogos tenham início na fase maternal e durem predominantemente

até os 2 anos, eles se mantêm durante toda a infância, estendendo-se até a fase adulta.

Exemplo desse fato é a situação em que um adolescente, ao ganhar um celular de seus pais,

pode ficar horas se divertindo apenas por fazer o aparelho funcionar, sem maior finalidade

além do prazer de sua nova conquista.

No decorrer dos jogos de exercícios a criança utiliza esquemas já conhecidos e

ritualizados, mas, em vez de colocá-los em ação na presença de objetos que lhe são

apresentados comumente, assimila-os com novos objetivos. Depois, os esquemas são

utilizados com o único fim de permitir imitar ou evocar os sistemas em questão. A reunião

dessas duas condições caracteriza o começo da ficção.

Em resumo, podemos entender que do ponto de vista piagetiano a imitação prolonga a

acomodação, o jogo prolonga a assimilação e a inteligência reúne-as sem interferências que

compliquem essa situação simples.

2.1.2 A classificação dos jogos segundo Piaget

Após ter estudado a gênese do jogo durante os dois primeiros anos de vida da criança,

Piaget (1978) passou a acompanhar a influência deste no seu desenvolvimento posterior.

Assim, expandiu seu estudo para o período em que já há o pensamento verbal e intuitivo (dos

dois aos sete anos), seguindo seu estudo pelos períodos em que a inteligência operatória

concreta (de sete até os onze anos aproximadamente) e a abstrata (a partir dos onze anos)

estão presentes no indivíduo. Os três momentos distintos e sucessivos da análise sistemática

são, com efeito, a classificação, a descoberta de leis ou relações e a sua explicação.

Piaget (1978) faz uma crítica aos sistemas usuais de classificação das condutas

lúdicas. Para ele, a maior parte dos autores só se preocupou com certos tipos de jogos, em

particular os que correspondiam às suas teorias explicativas, menosprezando assim a imensa

maioria dos casos intermediários, porque se mantinham inclassificáveis desse ponto de vista

preestabelecido.

Preocupado com a falta de critérios que fossem ao mesmo tempo gerais e capazes de

se aplicar aos detalhes de cada caso particular, Piaget (1978) classificou os jogos em simples

estruturas mentais, de forma que estas fossem divididas em três grandes tipos: o exercício, o

49

símbolo e a regra, constituindo-se os “jogos de construção” a transição entre os três e as

condutas adaptadas.

Nos jogos de exercícios não é necessário nenhum tipo de pensamento, nem qualquer

estrutura representativa especificamente lúdica. Eles são os primeiros a manifestar-se nas

crianças. Esse é o caso quando um bebê, deitado em seu berço, pega e atira inúmeras vezes

um mesmo objeto só pelo prazer de atirá-lo, pegá-lo de volta e, novamente, atirá-lo. Esse tipo

de jogo, embora se inicie muito cedo, continua sendo praticado por crianças mais velhas. Por

exemplo, quando uma criança de aproximadamente 8 ou 10 anos pula em um riacho pelo

prazer de saltar e volta ao ponto de partida para novamente saltar, realizando tal ação

inúmeras vezes. Ela executa os mesmos movimentos que praticaria se saltasse por

necessidade, ou para aprender uma nova conduta.

O jogo simbólico inicia-se por volta dos dois anos de idade. Este é o caso quando a

criança, por exemplo, coloca uma capa nas costas e imagina ser um super-herói. Logo, o jogo

simbólico acontece através de uma assimilação deformante, pois se trata da representação de

um objeto ausente, da comparação entre o elemento dado e o elemento imaginado, de uma

representação fictícia.

Entretanto, entre o jogo simbólico propriamente dito e o jogo de exercício existe um

intermediário, que é o símbolo em atos ou em movimentos, sem representação. Por exemplo,

o ritual de fazer os movimentos de dormir, reproduzido por jogo na presença do travesseiro,

depois é finalmente imitado na presença de outros objetos, o que marca o início da

representação.

As construções realizadas no contexto de jogos simbólicos e as regularidades

adquiridas nos jogos de exercícios serão fontes de futuras operações mentais, de acordo com

Macedo, Petty e Passos (2010).

Os jogos de regras se dão através das relações sociais ou interindividuais. A regra é

uma regularidade imposta pelo grupo, de tal forma que a sua violação representa uma falta.

Os jogos de regras podem conter os jogos de exercícios e os simbólicos, mas aqueles

apresentam um elemento novo, a regra, e resultam da organização coletiva das atividades

lúdicas.

De acordo com Piaget (1978), os jogos de construção não definem uma fase entre

outras, mas ocupam uma posição situada a meio caminho entre o jogo e o trabalho inteligente,

50

ou entre o jogo e a imitação. É uma forma fronteiriça ligando os jogos às condutas não

lúdicas.

Uma vez definidos os três tipos de estruturas mentais (o exercício, o símbolo e a

regra), deter-nos-emos nos jogos de regras, pois temos interesse em investigar o

comportamento dos sujeitos de nossa pesquisa, alunos do 8º e 9º anos do Ensino

Fundamental. Sem esquecer que as características dessas estruturas continuam sendo partes

fundamentais para a estrutura dos jogos de regras, entendemos não ser necessário, nos limites

deste trabalho, um maior aprofundamento quanto aos jogos de exercícios e jogos simbólicos.

2.1.3 Jogos de exercícios

Os jogos de exercícios, segundo Piaget (1978), têm início nos primeiros dias de vida

do indivíduo, com o aparecimento dos primeiros esquemas sensório-motores. Esses esquemas

vão se tornando mais complexos à medida que a criança vai se desenvolvendo, intelectual,

afetiva, cognitiva e socialmente. A sua função é exercitar as condutas da criança por simples

prazer funcional ou prazer de tomar consciência de seus novos poderes.

As características desse jogo são bastante evidentes no primeiro ano de vida da

criança, mas a acompanham por toda a sua história. Exemplificando essa peculiaridade, Piaget

(1978) relata a seguinte situação: quando um adulto acaba de adquirir um carro novo, sai

passear com ele com o único propósito de obter prazer e satisfação pela nova aquisição. Logo,

os jogos de exercícios reaparecem sempre que uma nova situação é apresentada ao indivíduo,

e são acompanhados de um sentimento de poderio ou prazer funcional.

Partindo da premissa de que o jogo de exercício reaparece a cada nova situação, Piaget

(1978) passou a classificar e estudar essas situações. Ele classificou os jogos de exercícios em

duas categorias: aquela que se conserva puramente dentro do âmbito sensório-motor, que por

sua vez se subdivide em exercícios simples (as combinações sem finalidade e as combinações

com finalidade), e a categoria que envolve o próprio pensamento, qual seja, o exercício do

pensamento. A seguir, destacamos as principais características de cada um desses exercícios.

Os exercícios simples são aqueles que se limitam a reproduzir fielmente uma conduta

adaptada, mas retirando-a do seu contexto e repetindo-a pelo único prazer de se exercer tal

51

poder. Por exemplo, quando a criança amarra e desamarra os cadarços de seus sapatos com

ar de satisfação, após ter acabado de aprendê-lo.

As combinações sem finalidade ocorrem na fase em que o sujeito não se limita mais a

exercer, simplesmente, atividades já adquiridas, mas passa a construir com elas novas

combinações, que são lúdicas desde o início. Trata-se de uma ampliação do exercício

funcional. Ao contar uma estória sem nexo pelo mero prazer de combinar aleatoriamente

palavras, ações e enredo, a criança exercita essa ampliação.

As combinações com finalidade referem-se a finalidades lúdicas. Exemplo disso é quando

a criança inventa uma estória pelo prazer de construir. Tais finalidades podem se direcionar

para o jogo simbólico, para o jogo de regras ou para o domínio da inteligência.

Os exercícios do pensamento se dão no momento em que as combinações se convertem em

imaginação simbólica, portanto constituindo-se em um ato de pensamento.

Os jogos de exercícios apontados por Piaget (1978) não demonstram o interesse da

criança pelo conteúdo do pensamento; por isso, a sua importância diminui rapidamente com a

idade. Assim, a partir do momento em que se manifesta o interesse pelo conteúdo do

pensamento, a combinação se prolonga para o jogo simbólico.

2.1.4 Jogos simbólicos

O jogo simbólico é, sem dúvida, o ponto alto do jogo infantil, pois é nessa fase que

aparecem os símbolos. Ele inicia seu desenvolvimento a partir do segundo ano de vida da

criança até o início da adolescência (11 ou 12 anos), aproximadamente. É importante

esclarecer que à medida que a criança se desenvolve, o jogo simbólico vai se misturando com

os jogos de regra, tornando-se este mais intenso. É essa capacidade de simbolizar que vai

permitir a representação de um objeto ausente, visto que essa representação dar-se-á por meio

da comparação entre um elemento dado e um elemento imaginado, o que gera a representação

fictícia. Portanto, essa comparação consiste de uma assimilação deformante. Um exemplo

disso pode ser notado quando a criança prende uma “capa” às costas e imagina ser um super-

herói. Trata-se de uma assimilação deformante, pois o vinculo entre o significante e o

significado permanece inteiramente subjetivo.

52

Como os jogos de exercícios configuram uma assimilação funcional que garante à

criança o aperfeiçoamento de suas ações, também o símbolo permite ao sujeito assimilar o

real aos seus desejos ou aos seus interesses. Dessa maneira, no jogo simbólico a criança está

interessada na realidade simbolizada, utilizando o símbolo somente para evocá-lo. Piaget

(1972, p. 158) ressalta que:

O jogo é, portanto, sob as suas duas formas essenciais de exercício sensório-

motor e de simbolismo, uma assimilação do real à atividade própria,

fornecendo a esta seu alimento necessário e transformando o real em função

das necessidades múltiplas do eu.

Piaget (1978) também classificou os jogos simbólicos de acordo com o

desenvolvimento da criança, levando em consideração a aquisição sistemática da linguagem,

classificação essa organizada em três fases.

A Fase I desenvolve-se entre o segundo e o quarto anos de vida da criança. Trata-se

do aparecimento de diversas formas novas de símbolos lúdicos e de assimilação da criança à

realidade que a cerca. Essa fase subdivide-se em três tipos (I, II e III), sendo que alguns deles

têm níveis A, B, C e/ou D.

Tipos I A: projeção dos esquemas simbólicos nos objetos novos. Nada mais é do que a

generalização de uma conduta. Um exemplo comum é quando a criança diz algo como

“chora, chora!” ao seu cachorrinho e ela própria imita o barulho do choro. Nos dias seguintes,

ela faz chorar o ursinho, uma boneca e outros objetos quaisquer.

Tipos I B: projeção dos esquemas de imitação em objetos novos. Esses esquemas são

aproveitados por imitação em vez de pertencerem diretamente à ação do sujeito. Desse modo,

quando a criança finge que lê um jornal, assinala com os dedos certos pontos da folha de

papel que segura e fala entre os dentes.

Tipos II A: assimilação simples de um objeto a outro. Esse processo permite à criança,

por exemplo, acariciar os cabelos de sua mãe e dizer “gatinho, gatinho”.

Tipos II B: assimilação do corpo do sujeito ao de outrem ou a quaisquer objetos, mais

comumente designado jogo de imitação. Por exemplo, quando a criança imita a mãe e diz

“mamãe chegou, beije a mamãe”.

53

Tipos III A: combinações simbólicas. Tal fase só se manifesta por completo a partir de

três a quatro anos de idade. Nela, o sujeito reproduz e prolonga o real, não mais como um

símbolo imaginativo, mas como um meio de expressão e de ampliação, nunca um fim em si

mesmo. Exemplo disso é quando a criança pega uma bengala e a transforma em várias

personagens de sua estória: primeiro, a bengala é um cavalo que ela cavalga; depois

transforma-se em uma senhora com quem ela passeia e para quem conta estórias.

Tipos III B: combinações compensatórias. Acontecem sempre que o real presta-se mais à

correção do que à reprodução por prazer. Exemplifica essa fase a criança que, estando com

ciúmes de seu pai, inventa que sua boneca tem um papai ruim, que a repreende quando ela

brinca; que a mamãe da boneca escolheu mal e assim por diante.

Tipos III C: combinações liquidantes. Apresentam-se na presença de situações penosas ou

desagradáveis para a criança, de forma a permitir ao “eu” que se desforre da realidade. Por

exemplo, uma criança impressionada com um pato morto e depenado sobre a mesa da

cozinha. No dia seguinte é encontrada sozinha, estendida e imóvel no sofá, os braços

colocados ao longo do corpo e as pernas dobradas dizendo ser o pato morto.

Tipos III D: combinações simbólicas antecipatórias. Recorrem a uma simples

reprodução do real, mas como uma antecipação exata ou exagerada das consequências do ato

reproduzido. Por exemplo, estando a criança a passear com seus pais, a mãe lhe adverte sobre

as pedras escorregadias do caminho. A criança então conta uma estória sobre sua boneca que,

escorregando nas pedras, ficou muito machucada.

A Fase II inicia-se no quarto ano de vida e vai até o sétimo ano, aproximadamente.

Nessa fase, o jogo simbólico aproxima-se mais do real, perdendo, assim, o seu caráter de

deformação lúdica e avizinhando-se de uma simples imitação da realidade. Desse modo,

sobressaem três características distintas: combinação simbólica ordenada (a criança já

ordena relativamente as suas construções lúdicas), imitação exata do real (existe uma

preocupação da criança na exatidão de suas construções lúdicas) e simbolismo coletivo (a

fase egocentrista dá início à reciprocidade).

A Fase III situa-se entre o sétimo e oitavo anos e do décimo-primeiro ao décimo-

segundo anos de vida. Caracteriza-a o declínio do simbolismo, em proveito quer seja dos

54

jogos de regras, quer seja das construções simbólicas. Por exemplo, quando o jogo de

“papéis” se converte em criação de uma cena de teatro ou de uma comédia interna, sai-se do

jogo na direção da imitação e do trabalho.

Os jogos de construção não definem uma fase entre outras, mas situam-se a meio

caminho entre o jogo e o trabalho inteligente ou entre o jogo e a imitação.

2.1.5 Jogos de regras

Os jogos de regras começam a se manifestar por volta dos cinco anos e desenvolvem-

se principalmente entre os sete e 11 – 12 anos, durante o estágio operatório concreto.

Contudo, salientamos que, mesmo com pouca ênfase, seus primórdios têm início no segundo

ano de vida e continuam ganhando cada vez mais espaço durante toda a vida do indivíduo

(nos esportes, trabalho, jogos de xadrez, baralho e outras atividades), pois materializam a

atividade lúdica do ser socializado (PIAGET, 1978). Nesse estágio, a criança desenvolve

noções de tempo, espaço, velocidade, ordem, casualidade, já sendo capaz de relacionar

diferentes aspectos e abstrair dados da realidade.

Segundo Piaget (1978), os jogos de regras se dão por meio das relações sociais ou

interindividuais. Esses jogos podem ser tanto os de exercícios, que correspondem à

regularidade, quanto os simbólicos, que são os responsáveis pelas convenções. Contudo, os

jogos de regras apresentam um elemento novo, as regras, que resultam da organização

coletiva das atividades lúdicas. Em síntese, só se pode jogar em função da jogada do outro.

Por exemplo, em uma partida de xadrez, os movimentos das peças de um jogador são feitos

em função dos movimentos das peças de seu adversário.

Na obra “Juízo moral na criança”, Piaget (1994) analisou o valor dos jogos na

construção de regras. Do ponto de vista da prática das regras, ele diferenciou quatro estágios

sucessivos de desenvolvimento:

Primeiro estágio – puramente motor ou individual, no decorrer do qual a criança manipula

o objeto em função de seus próprios desejos e de seus hábitos motores.

Segundo estágio – também chamado egocêntrico, pois as crianças, mesmo quando juntas,

nesse estágio jogam cada uma para si e sem cuidar da codificação das regras.

55

Terceiro estágio – chamado estágio da cooperação nascente, aparece aos sete ou oito anos.

Nele, cada jogador procura vencer seus adversários, de modo que aparece a necessidade do

controle mútuo e da unificação das regras.

Quarto estágio – o da codificação das regras, aparece aos 11 ou 12 anos. Não só as

partidas daqui por diante são regulamentas com minúcias, até nos pormenores dos

procedimentos, como também o código das regras a seguir é agora conhecido por toda a

sociedade.

É no quarto estágio que a criança, na busca de vencer, faz grandes esforços junto aos

seus parceiros e/ou adversários para identificar as regras comuns ao jogo. Logo, a diversão

específica do jogo deixa assim de ser muscular e egocêntrica para tornar-se social.

Piaget (1994) salienta que é nesse quarto estágio que os meninos não só procuram

cooperar e combinar, entre si, como ainda parecem ter um prazer particular em prever todos

os casos possíveis e codificá-los. Fica nítido nessa fase que o maior interesse é pela regra, tal

como ela é. A diversão é complicar as regras por prazer. Em síntese, tem-se que:

[...] a aquisição e a prática das regras do jogo obedecem a leis muito simples

e muito naturais, cujas etapas podem ser definidas da seguinte maneira: 1ª)

Simples práticas regulares individuais; 2ª) Imitação dos maiores com

egocentrismo; 3ª) Cooperação; 4ª) Interesse pela regra em si mesma.

(PIAGET, 1994, p. 50).

As regras, como elementos novos nos jogos, são regularidades impostas pelo grupo de

tal forma que sua violação representa uma falta. Quando transmitidas, referem-se aos jogos

institucionais, que se impõem por pressão das gerações anteriores. Quando espontâneas,

referem-se aos jogos de natureza contratual e momentânea, isto é, procedem da socialização

dos jogos de simples exercícios ou dos jogos simbólicos.

Esse tipo de jogo vai se ampliando e se refinando com a idade da criança, iniciando-se

com assobios, gritos, bolas, corridas, até os jogos de cartas, xadrez e outros que, como

aqueles, instigam a curiosidade, a criatividade, a imaginação, a capacidade de prognosticar e

criar estratégias.

Se nas primeiras brincadeiras infantis e naquelas que envolvem situações imaginárias

o prazer estava no processo, nos jogos com regras o prazer é obtido por meio do resultado

56

alcançado e do cumprimento das normas. Essa categoria aparece quando a criança abandona a

fase egocêntrica, o que lhe possibilita desenvolver os relacionamentos afetivo-sociais.

Quando a criança joga, ela desenvolve várias de suas ações mentais, tais como fazer

antecipações, prognosticar, coordenar situações, criar estratégias, ter boa memória, ser atenta,

ser concentrada, faze uso de suas imagens mentais: reproduções e antecipações5, e saber

abstrair. Logo, o jogo de regras possui um papel importante no processo de desenvolvimento

do indivíduo. Piaget (1978), em conclusão, assinala que os jogos de regras são aqueles de

combinações sensório-motoras (corridas, lançamentos de bolinhas de gude) ou intelectuais

(cartas, damas, xadrez), de competência dos indivíduos e regulados por um código transmitido

de geração a geração ou por acordos improvisados.

2.2 O jogo no ambiente escolar na ótica de Lino de Macedo

Escolhemos apoiar-nos nas ideias de Lino de Macedo por entender e acreditar que esse

pesquisador traz contribuições riquíssimas ao nosso trabalho. Ele coordena o Laboratório de

Psicologia da Aprendizagem da Universidade de São Paulo, onde, recorrendo aos jogos e

passatempos, desenvolve projetos de pesquisa e de desenvolvimento (formação de

professores) voltados à utilização dos jogos na Educação Básica. Tais projetos estão

fundamentados na teoria de Piaget, em que a visão construtivista do desenvolvimento humano

e da aprendizagem escolar é o principal foco de interesse.

Na apresentação do livro “As Formas Elementares da Dialética”, de autoria de Piaget

(1996, p. 8), Macedo afirma:

Nosso objetivo, igualmente, não é valorizar o jogo pelo jogo. Nosso

propósito é analisá-lo e utilizá-lo como instrumento psicopedagógico para

algo que é mais do que um jogo: raciocínio em geral; a organização espaço-

temporal das ações; o planejamento; a “leitura” de uma realidade que muda a

cada instante e que, portanto, requer a construção de regularidades; cálculo,

a escrita etc.

5 As imagens mentais se apresentam de duas maneiras: (a) as imagens reprodutoras – que se limita a apresentar

situações, objetos ou estruturas já conhecidas e sentidas anteriormente. (b) as imagens antecipadoras – são

imagens que imaginam movimentos ou transformações, assim como seus resultados, mas sem haver assistido

anteriormente á sua realização, (PIAGET e INHERLDER, 1995).

57

Nesse sentido, Macedo e Machado (2006) interpretam o jogo como um momento para

se formular perguntas e questões (definidas pelo objetivo de jogo), em que se traça uma

trajetória (as regras do jogo), em que se disponibilizam os recursos (as peças, o tabuleiro e

outros) e se tem os obstáculos a serem superados (o adversário, o nível de dificuldade do jogo

e outros). Ele argumenta, ainda, que as respostas e os desfechos são sempre relativos a uma

partida em particular. As questões, modos e recursos são sempre os mesmos, mas as respostas

e os desfechos variam infinitamente.

Macedo e Machado (2006) consideram o jogo um sistema de desafios, perguntas e

respostas, proposto ao sujeito somente pela vontade de fazê-lo. As regras e as combinações,

no caso dos jogos de regras, apenas tornam os desafios e as perguntas mais complexas e

socialmente iguais a todos. As respostas dadas no momento do jogo são sempre únicas e

interessantes (tanto para quem assiste como para quem joga).

No jogo, o jogador é sempre mais importante que o jogo, pois sem ele o jogo não

aconteceria. É certo que o jogo é independente do jogador. Ele tem objetivos, regras, e

recursos materiais próprios (tabuleiro, peças e outros), definidos, podendo ter sido criados ou

sintetizados pela história sociocultural. Portanto, o jogo foi criado para ser usado por qualquer

pessoa, ele existe independentemente de quem for jogá-lo. Trata-se de uma construção como

objeto histórico e próprio de uma cultura, transmitido através das gerações, ainda que tenha

sido eventualmente adaptado ao espaço e ao tempo de suas realizações (MACEDO e

MACHADO, 2006).

2.2.1 Os jogos e a sua importância na escola

Para Macedo, Petty e Passos (2007), a criança no momento em que está jogando emite

diversas informações, comunica-se pelas ações durante a partida e na maneira de pensar e

executar uma jogada. O professor/observador precisa estar atento para reconhecer nessas

ações e nos procedimentos os indícios que está procurando para realizar e fortalecer sua

avaliação.

É preciso compreender, como afirmam Macedo, Petty e Passos (2007), que a falta do

elemento lúdico nas atividades escolares pode ocasionar a resistência, o desinteresse e todas

as limitações que tornam, muitas vezes, a escola sem sentido para os alunos. Logo, valorizar o

lúdico nos processos de aprendizagem significa, entre outras coisas, considerá-lo na

perspectiva do aluno (no nosso caso, adolescentes), pois, para eles, é lúdico o que faz mais

58

sentido. Eles vivem seu momento, daí o interesse despertado por certas atividades, como

jogos e brincadeiras.

Esse autor enfatiza que para uma tarefa atrair o interesse do aluno ela tem que ser

clara, simples e direta (precisa). É preciso que exista tempo hábil, que seja envolvente,

desafiadora, constante na forma e variável no conteúdo, além de ser surpreendente e lúdica.

Complementando sua reflexão, Macedo, Petty e Passos (2007, p. 20) consideram que o

espírito lúdico expressa uma qualidade de transitar ou percorrer os modos, impossível,

circunstancial, necessário e possível, do ser das coisas. Se falta o lúdico, pode ser que a

ironia, o desinteresse, o ceticismo ou a violência ocupem seu lugar.

O fato é que muitas tarefas escolares, pelo modo como são propostas, são

desagradáveis para os alunos. Macedo, Petty e Passos (2007) exemplificam algumas razões

para esse desagrado: o tempo de sua realização é excessivo ou insuficiente; as instruções ou

orientações para fazer são pouco claras; as tarefas são complicadas, formuladas de forma

indireta e confusa; os conteúdos são repetitivos, e de formulação irregular. Ademais, essas

mesmas tarefas são justificadas por um interesse educacional que só faz sentido para os

adultos (professores), ainda que realizado para o bem das crianças (alunos).

Na obra “Quatro cores, senha e dominó: Oficinas de Jogos em uma Perspectiva

Construtivista e Psicopedagógica”, Macedo, Petty e Passos (2010) trazem os estudos de

Piaget sobre os jogos, ao mesmo tempo em que articulam a importância dos jogos à

construção do conhecimento escolar. Apresentaremos os argumentos dos autores na mesma

ordem em que eles os formularam: primeiramente os jogos de exercícios; em seguida, os

jogos simbólicos; os jogos de regras e, por fim, a discussão de como a escola tem trabalhado

com os jogos.

2.2.1.1 Jogos de exercícios

Esses jogos foram analisados não no início da vida da criança, mas sim anos depois,

quando ela aprende as primeiras letras ou os primeiros números na escola. Esse tipo de jogo

pode ser considerado por dois pontos de vista: um de caráter funcional e outro de caráter

estrutural.

59

A repetição, com seu sentido funcional, é matriz para a regularidade, fundamental para

a vida escolar. Por meio da repetição cíclica, o aluno adquire os bons hábitos de trabalho

valorizados na escola.

Do ponto de vista estrutural, a partir dos jogos de exercícios os alunos passam a

enfrentar melhor as tarefas escolares, em um sentido mais filosófico do que prático. Esse

sentido filosófico corresponde à coordenação de valores, isto é, à produção de

conhecimento, como fim e não como meio (PIAGET, 1965, apud MACEDO; PETTY,

PASSOS 2010, p. 130). Por exemplo, quando um aluno que está aprendendo a jogar xadrez

descobre ou apreende uma boa jogada, ele procura repeti-la pelo simples prazer funcional.

Logo, as aprendizagens, que são sempre meio para chegar a um objetivo, no caso dos

jogos de exercício constituem-se em um fim em si mesmas.

2.2.1.2 Jogos simbólicos

Do ponto de vista funcional, os jogos simbólicos auxiliam a criança a compreender e

utilizar convenções, princípios importantes utilizados no ambiente escolar. Isso porque esta

categoria de jogos ajuda a criança a assimilar o mundo como pode ou deseja, criando

analogias, fazendo invenções, mitificando, tornando-se produtora de linguagens, criadora de

convenções.

Do ponto de vista estrutural, os jogos simbólicos, através das fantasias, das

mitificações e dos modos deformantes de pensar ou inventar a realidade são uma espécie de

início para as futuras teorizações das crianças nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Nesse sentido,

[...] a necessidade metodológica (descoberta do valor da experimentação,

que a criança pôde construir graças aos jogos de exercícios no período

sensório-motor) e agora a possibilidade de explicação das coisas, ainda que

por assimilação deformante, constituem as duas bases das operações pelas

quais as crianças aprendem as matérias escolares. (MACEDO, PETTY e

PASSOS, 2010, p. 133.)

Assim, o autor complementa sua ideia assegurando que os jogos de exercícios estão

relacionados com o “como”, os jogos simbólicos com os “porquês”, e a coordenação entre o

como e os porquês só é possível com a estrutura dos jogos de regras, graças à assimilação

recíproca.

60

2.2.1.3 Jogos de regras

De um ponto de vista funcional, os jogos de regras valem por seu caráter competitivo.

Por isso, o jogo de regra é considerado como um jogo de significados (ganhar, compreender

melhor, fazer melhores antecipações, ser mais rápido, cometer menos erros ou errar por

último, coordenar situações, ter condutas estratégicas, ser habilidoso, ser atento, concentrado,

ter boa memória, saber abstrair, relacionar as jogadas todo o tempo) em que o desafio é

superar a si mesmo ou ao outro. Desafio que se renova a cada partida, porque vencer uma

partida não é garantia de vencer a próxima. Assim,

[...] jogar com regras significa exercitar, repetir muitas vezes. Para quem

aprecia o xadrez, uma vida é pouco para todas as partidas que gostaria de

jogar. Mas, igualmente, nesse jogo há símbolos, convenções para os

movimentos dos cavalos, peões, damas etc.; há combinados fundamentais

para as regras, dentro das quais, certamente, ganha-se ou perde-se a

partida.(MACEDO, PETTY e PASSOS, 2010, p. 138).

A importância estrutural dos jogos de regras corresponde a seu valor operatório. Nessa

estrutura de jogos, fazer, no sentido de conseguir e compreender são complementares e

implicam a assimilação recíproca de esquemas (PIAGET, 1974, apud MACEDO, PETTY e

PASSOS, 2010, p. 137). Assim, para que o jogador tenha sucesso ele precisa identificar e

conduzir diversos pontos de vista, saber antecipar a jogada de seu adversário, observar a

recorrência de uma jogada, ter um raciocínio operatório etc.

Desse modo, não se pode confundir o conhecimento que se tem das regras do jogo

com o fato de ganhar o jogo. Por exemplo, em uma partida de xadrez, uma coisa é conhecer as

regras para movimentar as peças (convenções do jogo); outra, ganhar o jogo. Nas palavras de

Macedo, Petty e Passos (2010, p. 137), quem conhece as regras e nunca vence não as

conhece operatoriamente. Conhece o jogo em um sentido simbólico, mas não operatório.

Outro ponto importante levantado por Macedo, Petty e Passos (2010) é que, nos jogos

de regras, o jogar certo corresponde à moral. No entanto, jogar certo nem sempre implica

jogar bem, pois isso corresponde à ética do jogo. Logo, o jogar bem corresponde a

construções; portanto, a algo interno ao jogador e que implica habilidade, inteligência,

invenção de estratégias, coerência etc.

61

Num contexto escolar, o jogo de construção – que segundo Piaget (1978) corresponde

a uma categoria que se situa entre os jogos simbólicos e os jogos de regras – pode ser um

instrumento importante para o ensino da Matemática, por exemplo. Tal jogo possibilita uma

problematização, enriquecida pelo estabelecimento de relações e necessidades, as quais

podem ser trabalhadas na superação de dificuldades que surgem no contexto de jogo.

No jogo de construção, a relação afetiva professor-aluno também é considerada. Nesse

contexto, mais livre, tal como nas encenações ou brincadeiras, é possível conversar, elaborar,

envolver-se com o outro, fazer transferências.

2.2.1.4 A postura da escola frente aos jogos

Para Macedo, Petty e Passos (2010), a escola tem se apresentado de uma maneira

instrumental, ou seja, os pais levam seus filhos para a escola com o objetivo de torná-los bons

cidadãos ou cidadão completos. A criança, por sua vez, não tem tal compreensão e termina

por ver a escola muito distante de seus interesses, que normalmente são imediatos.

A escola propõe exercícios, mas lhes tira o sentido, o valor lúdico, o prazer funcional.

Ensina convenções, símbolos, matemáticas, línguas, etc., mas não ensina a criança a

“ganhar” dentro dessas convenções (MACEDO; PETTY, PASSOS, 2010, p. 140).

Para esse autor, a escola deveria adotar uma postura menos rígida, que pudesse

esquecer um pouco sua função instrumental. Ele explica que seria importante que o ambiente

escolar permitisse que os meios, ao menos por algum tempo, fossem os próprios fins das

tarefas e que a escola desse oportunidade às crianças e aos professores de serem criativos. Tal

postura poderia trazer o prazer estético e o encantamento pela construção do conhecimento.

As crianças, quando jogam, são sérias, intensas, entregam-se totalmente ao que estão

fazendo. Jogar com regras é obedecer algo que foi previamente aceito. Macedo, Petty e Passos

(2010) chamam a atenção para o fato de que, por vezes, o único jogo que se pratica na escola

é o da transgressão. Mas, no jogo para valer, o desafio não é a transgressão e sim a entrega ou

obediência, porque se o estudante aceitou jogar, ele simultaneamente aceitou ganhar ou perder

dentro de certos limites.

No que diz respeito à Matemática escolar, Macedo, Petty e Passos (2010) salientam

que o jogo de regras possibilita ao estudante construir relações quantitativas ou lógicas:

62

aprender a raciocinar e demonstrar, questionar o como e o porquê dos erros e acertos. Uma

vez que o jogo de regras trabalha com hipóteses, é possível, por meio dele, testar variações,

controlar as condições favoráveis, observar o desenvolvimento da partida, medir os riscos,

pesquisar e, enfim, ordenar logicamente as jogadas.

Dessa forma, o autor defende o valor psicopedagógico do jogo, por entender que

conhecer é um jogo de investigação, em que se pode ganhar, perder, tentar, tentar novamente,

ter esperança, sofrer com paixão, conhecer com amor, ter amor pelo conhecimento, no qual as

situações de aprendizagem são tratadas de forma mais digna, filosófica, espiritual, enfim

superior.

Em resumo, no jogo a criança curiosa, lúdica e interessada que habita em nós faz

perguntas insistentemente e vive a surpresa de suas respostas, no nível em que podem ser

formuladas (MACEDO; MACHADO, 2006, p. 32). Em outras palavras, o jogo pode ser uma

importante ferramenta didática à tarefa de educar nossos estudantes.

2.2.2 Jogar bem versus jogar certo

No jogo de regras, o jogar bem não é sinônimo de jogar certo, mas jogar certo é

condição necessária para se jogar bem. Macedo e Machado (2006) explicam o significado de

se jogar bem e o de se jogar certo, no contexto de uma partida. Ele afirma que o jogo supõe

um sujeito ativo, responsável por suas escolhas e pelas consequências delas advindas, que

coordena, em cada momento da partida, os múltiplos aspectos a serem considerados (p. 37).

O jogar certo supõe um ajustamento aos objetivos e às regras do jogo, às alternâncias

entre jogadas, à submissão aos resultados dos acontecimentos: perda ou ganho, posição

momentaneamente favorável ou desfavorável etc. Jogar certo é, para Macedo e Machado

(2006, p. 38), um problema de aprendizagem: dominar as informações ou instruções relativas

a cada jogo, criar hábitos de respeito às regras.

Nesse sentido, jogar certo demanda um equilíbrio entre assimilação e acomodação,

entre as atividades do sujeito e as demandas do real (espaço e tempo do jogo, posição dos

jogadores nos diferentes momentos de uma partida, respeito aos objetivos e aos

acontecimentos produzidos em razão das escolhas efetuadas e suas consequências). O jogar

certo está atrelado à adequação do jogador a referências externas, sem a qual uma assimilação

não é possível.

63

O jogar bem é sempre produto de uma assimilação do sujeito. Jogar bem é um

problema de desenvolvimento: refere-se a decisões e às escolhas no contexto de uma partida

em que se expressa em cada jogada (MACEDO; MACHADO, 2006, p. 38). É esse jogar bem

que afinal distingue uma boa de uma má jogada, dentro de cada partida.

Num contexto de treino, ou exercício, aprendem-se os procedimentos mais

importantes: analisar uma partida, refletir sobre os erros e acertos, preparar ou enfatizar certas

jogadas. Mas é no momento do jogo que o sujeito aplica o que exercitou. Levando em conta

que essas situações são únicas e singulares, elas refletem como cada jogador as interpreta

segundo os diferentes fatores que as possibilitam (seu nível de desenvolvimento como

jogador, as peças que estão em jogo etc.). Em um jogo, as partidas anteriores, os

conhecimentos do estilo dos jogadores, as regras e os objetivos de cada jogo servem de

referência e regulam muitos dos aspectos importantes das jogadas.

2.2.3 O jogo de xadrez sob o olhar construtivista

Macedo, Petty e Passos (2010) fazem uma excelente reflexão sobre a importância do

jogo para a criança e sua influência sobre ela. Para tal, eles usaram o jogo de damas como

exemplo. Porque o nosso foco de estudo é o xadrez e, principalmente, como identificamos que

tais reflexões adéquam-se perfeitamente ao jogo de xadrez, ater-nos-emos a esse jogo como

exemplo de um agente construtor de conhecimento. Assim, reafirmamos que as reflexões

desta seção advêm do paralelo que estabelecemos entre o que ponderaram Macedo, Petty e

Passos sobre o jogo de damas e o quanto dessas reflexões é aplicável ao jogo de xadrez.

Frise-se ainda que, embora a maioria das reflexões desta seção esteja baseada em

Macedo, outros autores (como Piaget, Inhelder e Fonte) estarão presentes.

O jogo de xadrez é definido com um jogo de regras, que exige que o jogador

desenvolva táticas e saiba planejar, além de ter uma percepção invejável para antecipar as

jogadas de seu adversário.

O aluno que joga xadrez utiliza o tabuleiro e suas peças como um instrumento, por

intermédio do qual ele consegue estabelecer inúmeras relações. Essas relações podem ser

observadas no jogador por meio de: a) sua concentração no momento do jogo; b) o respeito a

seu adversário; c) o desenvolvimento do jogo primeiro em sua mente; d) a capacidade de

prever antecipações de seu adversário; e) sua compreensão às diversas variáveis e armadilhas

64

que estão parcialmente visíveis no tabuleiro; f) a verificação sobre qual o melhor lance em se

estando numa determinada posição, entre outras.

O jogo de xadrez propicia um destaque no aspecto da estrutura, da relação, da forma

sobre o conteúdo. Do ponto de vista das relações possíveis e necessárias, as combinações são

praticamente infinitas.

Considerando os aspectos da combinação e de relações sociais que os jogos de regras

desencadeiam em cada individuo, é difícil uma jogada ser igual a outra nessa categoria de

jogo. As relações espaciais entre peças e tabuleiro estão presentes em todos os momentos do

jogo. Ele também pode ser visto no sistema de anotações utilizado numa partida. O eixo y

equivale à numeração das linhas de 1 a 8 (representadas aqui pelos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

e 8). Já o eixo x, que se refere às colunas, é representado por letras de a até h (a, b, c, d, e, f, g,

h). Ao ponto de convergência entre os eixos x e y dá-se o nome de casa. Assim, ao dizermos,

por exemplo, que uma peça está na casa a8, isso significa que ela está na primeira coluna da

oitava linha.

Durante uma partida de xadrez, o jogador precisa ter paciência para encontrar a melhor

solução, ou a melhor jogada, para uma dada situação, pois durante o jogo se apresentam

muitas situações de preposição, conceito básico do estudo de lógica: é preciso ponderar diante

de cada uma delas. O jogo de xadrez também requer do jogador a construção de relações

espaciais – topológicas, euclidianas e projetivas (PIAGET; INHELDER, 1948, apud

MACEDO; PETTY, PASSOS, 2010). Ao mesmo tempo, requer que ele construa relações

lógicas, ou seja, que articule as jogadas, evitando contradições; e que construa estratégias,

definindo as boas e más jogadas em função do sistema do jogo. Simultaneamente, o jogo de

xadrez também implica relações matemáticas, de tipo aritmético (noções de troca, valor

comparado das peças, controle de casas, enquanto exemplos de operações numéricas

elementares...), na medida em que faz junções, separações, bijeções, associações, ou de tipo

algébrico (cálculo do índice de desempenho dos jogadores, que é assimilável a um sistema de

equações com "n" incógnitas...), pelas relações abstratas, que se estruturam pouco a pouco

no seu contexto (MACEDO; PETTY, PASSOS, 2010, p. 150)6.

Além das relações espaciais, lógicas e matemáticas acima mencionadas, o jogo de

xadrez implica relações psicológicas, quais sejam: perder ou ganhar, competir, admirar o

6 Os textos escritos entre parênteses, nesta citação, foram por nós introduzidos com a intenção de produzir um

paralelo entre o que afirma Macedo e o jogo do xadrez. Dessa forma, procuramos explicitar relações

matemáticas subjacentes ao seu texto.

65

adversário (que foi capaz de pensar melhor certa jogada), aprender com ele. Nesse jogo

exercita-se a necessidade de ser solidário e cooperativo, pois há interdependência entre os

jogadores, ou seja, a jogada de um depende da jogada do outro (MACEDO; PETTY,

PASSOS, 2010).

Quanto às diferentes formas de que o jogo de xadrez pode ser trabalhado, Fonte (2008)

destaca três: o xadrez lúdico, no qual o jogo é estudado como uma fonte de prazer e diversão;

o xadrez técnico, em que o jogo é trabalhado com o objetivo de preparar o estudante para

participar de competições; e o xadrez pedagógico, que é utilizado para trabalhar com

habilidades e dificuldades de aprendizagem do estudante. Para o nosso estudo, interessava-nos

que alguns dos participantes da pesquisa fossem estudantes que tivessem tido contato com o

xadrez do ponto de vista técnico, isto é, aqueles que estudaram xadrez com a finalidade de

participar de competições.

2.2.4 O sentido do jogo

Macedo, Petty e Passos (2007) discutem que muitas situações que enfrentamos na vida

não são nada divertidas, mas pedem nosso melhor empenho se quisermos revolvê-las. Além

disso, em diversas situações, temos que aceitar e cumprir as regras que nos parecem sem

sentido ou com as quais não concordamos. São circunstâncias como essas que tornam a

educação fundamental para as crianças. Para que as crianças amadureçam, pondera o autor,

elas precisam deparar com situações que sejam desafiadoras e, ao mesmo tempo, regradas. As

primeiras regras que a criança enfrenta, de certa forma inegociáveis, são as regras escolares:

assistir às aulas, discutir assuntos referentes aos conteúdos ensinados, fazer lições e responder

perguntas. Essas obrigações podem ser realizadas pelas crianças ou adolescentes de muitos

modos.

Os autores fazem uma analogia entre uma situação no nosso dia a dia e as obrigações

escolares dos alunos. Eles sugerem que imaginemos uma pia cheia de louças que deverão ser

lavadas por nós. Desejar que tais louças não exista ou que se lavem sozinhas não resolve o

problema, pois a pia continuará lá, cheia de louça, apesar do nosso desejo. Ficar com raiva de

ter que realizar a tarefa, além de não resolvê-la, traz o risco de se quebrarem muitas coisas. Se

decidirmos realizar a tarefa com pressa, além de corrermos o risco de quebrar algumas peças,

pode ser que a louça continue suja, devendo novamente ser lavada.

66

Se, por outro lado, assumirmos uma posição proativa e resolvermos encarar o

problema com o espírito de jogo, podemos terminar essa tarefa sem tantas angústias,

organizando a louça e escolhendo o que lavar primeiro, brincando ao separar os objetos. Para

tornar a tarefa ainda mais agradável, podemos a ela acrescentar música, enfim, fazer o que for

necessário para tornar o inimigo um aliado.

Transferindo essa maneira de olhar de Macedo (2007) para uma situação conflitante

no ambiente escolar, acredita-se que os professores poderão ajudar seus alunos, no sentido de

modificarem a relação negativa que os mesmos têm com suas obrigações enquanto estudantes.

Dessa forma, as tarefas escolares podem ser encaradas como uma louça interminável e

maçante, ou uma sequência de ações planejadas, organizadas e possíveis de serem cumpridas,

ainda que tediosas e irritantes aos olhos de quem não gosta de realizá-las.

Praticar jogos, segundo Macedo, Petty e Passos (2007), e, principalmente, refletir

sobre suas implicações, pode ajudar a recuperar o que ele chama “espírito de aprender” que

está escondido nos conteúdos escolares. Os autores afirmam, ainda, que os jogos não são

semelhantes às tarefas escolares, sobretudo se analisados os seus conteúdos, mas nota-se que

há muitos pontos em comum se considerarmos sua forma.

Vale a pena ressaltar que, para Macedo, Petty e Passos (2008), o desenvolvimento e a

aprendizagem não estão nos jogos em si, mas no que é desencadeado a partir das intervenções

e dos desafios propostos aos alunos. Eles enfatizam que a discussão desencadeada a partir de

uma situação de jogo, mediada pelo professor, vai além da experiência e possibilita a

transposição das aquisições para outros contextos. Isto significa considerar, segundo os

autores, que as atitudes adquiridas no contexto de jogo tendem a tornar-se propriedade do

aluno, podendo ser generalizadas para outros âmbitos, em especial, para as situações de sala

de aula. Nessa direção, Piaget (1976) é categórico ao afirmar:

Partamos para uma inovação qualquer do sujeito, que, a meu ver, resulta

sempre de uma necessidade anterior (...) logo que atualizada, essa inovação

constitui um novo esquema de procedimento, que, como todo esquema,

tenderá a alimentar-se, aplicando-se a situações análogas. Mas há mais: essa

generalização possível do esquema de procedimento confere ao sujeito um

novo poder e o simples fato de ter conseguido inventar um procedimento

para certas situações favorecerá, aos meus olhos, o êxito noutras (p. 155).

Reafirmando as posições de Macedo e Piaget, conclui-se que o aluno em contato com

o jogo de maneira pedagógica desenvolve certas habilidades, como as descritas acima, que de

maneira natural são interiorizadas e transferidas para outras atividades.

67

CAPÍTULO III

METODOLOGIA

Neste capítulo, apresentamos a metodologia adotada para a realização do presente

estudo. Iniciamos pela discussão teórico-metodológica e em sequência descrevemos o

desenho do experimento. Dentro deste último item, destacamos o universo do estudo, quando

apresentamos o perfil dos participantes e o material utilizado para a coleta dos dados,

descrevendo em detalhes cada questão do instrumento diagnóstico, assim como os

procedimentos adotados para sua aplicação.

3.1 Discussão teórico-metodológica

Nosso estudo constitui-se, do ponto de vista do objetivo, de uma pesquisa diagnóstica

e descritiva com o intuito de descrever e interpretar os resultados obtidos com base na

aplicação de um teste, tendo como foco tanto os acertos e erros dos alunos quanto as

estratégias empregadas por eles.

Segundo Gil (2007, p. 42), a pesquisa descritiva tem como objetivo a descrição de

características de determinada população ou fenômeno, ou então o estabelecimento de

relações entre variáveis. Nessa direção, Rudio (2008, p. 69) argumenta que, quando o

pesquisador utiliza tal método, está procurando conhecer e interpretar a realidade, sem nela

interferir para modificá-la.

Entendemos essa modalidade de pesquisa como sendo a mais adequada para o nosso

trabalho porque ela é apropriada para quem está interessado em interpretar o fenômeno e

conhecer sua natureza, sua composição, processos que o constituem ou nele se realizem.

Nesse sentido, foi exatamente o que pretendíamos, já que nosso estudo buscou traçar um

diagnóstico acerca do possível efeito que a prática de jogar xadrez pode ter sobre o

desempenho dos alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental em Matemática. Em suma,

68

pretende-se investigar as relações de causa e efeito entre a prática do xadrez e as estratégias

dos alunos no processo de resolver problemas matemáticos.

Como objetivos específicos, propomos ainda investigar: a) as estratégias que o aluno

enxadrista utiliza ao resolver problemas e se essas estratégias se diferenciam dos alunos que

não jogam xadrez; b) o quanto das estratégias do jogo de xadrez aparece na resolução

matemática das questões. No âmbito das estratégias, buscamos observar como o aluno

enxadrista se desenvolve, expressa-se, articula-se e, ainda, como registra os procedimentos

matemáticos em cada questão proposta.

Os estudos descritivos apontados por Oliveira (2002, p. 114) reforçam o que queremos

desenvolver em nossa pesquisa, pois dão margem também à explicação das relações de causa

e efeito dos fenômenos, ou seja, analisar o papel das variáveis que, de certa maneira,

influenciam ou causam o aparecimento dos fenômenos. Em outras palavras, estamos

interessados em investigar se o fato de o aluno jogar xadrez influencia ou não suas estratégias

de resolução das questões de Matemática.

Para responder as questões que norteiam nossa pesquisa, elaboramos um instrumento

diagnóstico (um teste), que foi aplicado a alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental.

Parte desses alunos formou o grupo Gxj, que jogava xadrez pelas Atividades Curriculares

Desportivas (ACD) há mais de um ano na cidade de Sorocaba/SP. A outra parte era composta

por alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental que não jogavam xadrez, o grupo Gnx.

Além do instrumento diagnóstico, também utilizamos a técnica da entrevista, que

segundo Fiorentini e Lorenzato (2009) ajudam a detalhar o estudo interagindo com outras

técnicas de coleta de dados. As entrevistas podem ser estruturadas, quando se tem perguntas

concisas, que respeita uma ordem e de que o entrevistador não pode se desviar ou não

estruturadas, aquelas consideradas questões abertas, podendo o entrevistador constituir um

dialogo com o entrevistado. A entrevista semiestruturada situa-se entre as outras duas.

Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009), a entrevista semiestruturada é uma modalidade de

entrevista que:

[...] pretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza

um roteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo

com o desenvolvimento da entrevista, alterar a ordem deles, e até mesmo, formular

questões não previstas inicialmente. (p. 121.)

69

Logo, em nosso estudo optamos por utilizar a entrevista semiestruturada por

entendermos que esse tipo de entrevista, na visão de Fiorentini e Lorenzato (2009), oferece

certa flexibilidade. Ou seja, a partir de um roteiro de entrevista, abre-se a possibilidade de se

obter dos entrevistados as informações necessárias para compor nossas análises.

3.2 Desenho do experimento

Do ponto de vista do planejamento da pesquisa, definimos inicialmente o ano escolar

em que o estudo seria realizado, a escola participante e os alunos voluntários.

Na sequência, elaborou-se um teste diagnóstico que pudesse oferecer subsídios para

responder as questões que permeiam nossa pesquisa, optando por aplicá-lo em um estudo

piloto, após o qual, feitas as adequações necessárias, teríamos o teste definitivo para ser

aplicado no estudo principal.

Por fim, o último passo proposto no planejamento foi realizar, após a correção do

teste, uma entrevista semiestruturada com alguns alunos para obter maiores esclarecimentos a

respeito das estratégias utilizadas nas suas resoluções.

Nas próximas seções descrevemos em detalhes cada um desses passos planejados.

3.3 Universo do estudo

Os sujeitos escolhidos para nosso estudo são alunos do 8º e 9º anos do Ensino

Fundamental de duas escolas da Rede Pública Estadual de Ensino da cidade de Sorocaba/SP.

Numa delas, fez-se o estudo piloto com o objetivo de testar nosso instrumento diagnóstico; na

outra, realizou-se o estudo principal. Adiante detalhamos cada uma dessas etapas do estudo.

A escolha de escolas da rede pública baseou-se em três motivos de igual importância.

Como nossa bolsa de mestrado é subsidiada pela Rede Pública de Ensino do Estado de São

Paulo, onde atuamos como docente, nada mais adequado do que a busca por dados da

70

realidade de seu público. Em segundo lugar, porque a rede pública atende à grande maioria

dos estudantes da Educação Básica: segundo dados do INEP/MEC (2010), atende a 85% de

todos os alunos matriculados no Brasil, o que significa que a escolarização em massa ocorre

em escolas da rede pública. Por fim, ressalte-se que essa rede de ensino implementou projetos

de ACD na modalidade xadrez, cujos desempenhos e estratégias dos alunos que praticam

esse esporte há mais de um ano temos interesse em estudar, assim, como comparar o

desempenho destes ao dos alunos que não jogam xadrez, quanto à resolução de problemas

matemáticos.

A escolha do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental se justifica pelo fato de esses alunos

estarem participando das ACD na modalidade xadrez há mais de um ano, dado que o projeto

das ACD inicia-se a partir do Ensino Fundamental II. Esse pré-requisito poderia não ser

atendido se nossa amostra fosse composta por estudantes do 6º e 7º anos. Isto porque os

alunos do 6º ano teriam acabado de ingressar na escola, o que certamente não atenderia tal

requisito. Por sua vez, vários alunos do 7º ano poderiam não atender a esses requisitos por

falta de tempo hábil entre a sua entrada na escola (no 6º ano), a ciência de tal atividade, o

início da prática de xadrez e a realização de nosso estudo.

A escolha das escolas obedeceu aos seguintes critérios: a) haver aulas e/ou treinos de

xadrez nas ACD e b) existirem alunos do 8º e 9º anos que jogam xadrez há mais de um ano.

Uma das escolas foi utilizada por nós para o estudo piloto; a outra, para a realização

do estudo principal.

3.4 Estudo Piloto

O estudo piloto foi realizado com quatro alunos do 9º ano do Ensino Fundamental em

novembro de 2010, em um único dia, tendo duração de duas horas. Dois desses alunos

participavam das ACD na modalidade xadrez; os demais não jogavam xadrez. Todos

estudavam na mesma escola, cursavam o mesmo ano escolar e frequentavam a mesma sala de

aula, o que significa que os quatro frequentavam as aulas de Matemática com a mesma

professora.

71

Tomamos esse cuidado com a intenção de minimizar as variáveis intervenientes. O

mesmo não ocorreu, todavia, com relação aos controles das variáveis dos ambientes sociais e

familiares dos sujeitos.

A escola participante, uma Escola Estadual da Rede Pública de Ensino no município

de Sorocaba/SP, oferece o Ensino Médio nos períodos matutino e noturno, e o Ensino

Fundamental II no período vespertino. A escolha de tal escola se deu por razões práticas, uma

vez que, além de ela atender aos pré-requisitos de ter em seu corpo discente alunos que

participavam das ACD na modalidade xadrez há mais de um ano, e de esses alunos cursarem

o 9º ano do Ensino Fundamental, a escola era bastante acessível. Isto é, trata-se da instituição

onde atuamos como professora de Matemática. O que significa que o ambiente era mais que

propício para a realização do estudo-piloto. Cabe enfatizar, porém, que nessa escola atuamos

no Ensino Médio; portanto, não conhecíamos os estudantes voluntários do estudo piloto.

A aplicação aconteceu no horário de aula. Tivemos autorização para retirar os alunos

da sala de aula e levá-los para um ambiente tranquilo da escola, separados dos demais alunos.

Não nos deteremos na descrição do estudo piloto, já que nosso objetivo com ele foi o de

refinar o instrumento diagnóstico principal.

O piloto do instrumento diagnóstico, Apêndice A, foi criado com a participação do

grupo de pesquisa REPARE (Reflexão, Planejamento, Ação, Reflexão em Educação

Matemática) da PUC/SP, sob a coordenação da Drª Sandra Maria Pinto Magina, com o

auxílio de alunos de Mestrado em Educação Matemática, tanto o Acadêmico como o

Profissional, bem como alunos de Doutorado em Educação Matemática.

Apresentamos ao grupo de pesquisa REPARE 20 questões retiradas da Olimpíada

Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) dos anos de 2005 a 2010, que

estavam divididas em cinco questões de cada um dos quatro blocos dos conteúdos

matemáticos, e inseridas nos níveis I e II7 classificados pela Sociedade Brasileira de

Matemática – SBM. Dessas 20 questões, 14 pertenciam ao nível I e seis ao nível II. Com a

7 Os alunos participantes da OBMEP são divididos em 3 níveis, de acordo com o seu grau de escolaridade, como

a seguir:

Nível 1: alunos matriculados no 6º ou 7º ano do Ensino Fundamental, no ano letivo correspondente ao da

realização das provas.

Nível 2: alunos matriculados no 8º ou 9º ano do Ensino Fundamental, no ano letivo correspondente ao da

realização das provas.

Nível 3: alunos matriculados em qualquer série do Ensino Médio, no ano letivo correspondente ao da realização

das provas.

72

colaboração do grupo, foi feita uma seleção dessas questões e classificadas quanto ao seu grau

de complexidade.

O instrumento diagnóstico ficou distribuído da seguinte maneira: três questões de cada

um dos quatro eixos dos conteúdos matemáticos: 1) Números, Operações e Funções; 2)

Espaço e Forma; 3) Grandezas e Medidas e 4) Tratamento da Informação. As questões foram

escalonadas em questões simples, medianas e mais elaboradas, dispostas de maneira aleatória,

totalizando doze questões que estão apresentadas na tabela abaixo. Dessas doze questões,

apenas três pertenciam ao nível II: as questões Q7, Q8 e Q12.

Tabela 3.1 – Distribuição das questões em relação aos eixos dos conteúdos matemáticos e o grau da sua

complexidade

Blocos

Complexidade

Números,

Operações

e Funções

Espaço

e

Forma

Grandezas

e

Medidas

Tratamento

da

Informação

Simples Q1 Q3 Q6 Q5

Moderada Q10 Q2 Q8 Q4

Complexa Q7 Q11 Q12 Q10

Após a análise do teste piloto e da posterior entrevista com os participantes, o teste

sofreu alterações. A primeira alteração foi a remoção de quatro questões, consideradas por

nós, com o auxílio do grupo de pesquisa REPARE, como sendo as questões matematicamente

mais complexas, ou de difícil compreensão aos alunos. Também foi levado em consideração o

fato de que, ao final do teste, os alunos já se encontravam mais cansados e dispersos; logo,

para não se comprometer o estudo, achamos por bem diminuir o número de questões.

Decidiu-se retirar as questões porque tanto os alunos que jogavam xadrez como os que

não jogavam deixaram-nas em branco ou interpretaram-nas de maneira incoerente;

questionados, responderam não ter entendido a pergunta. A análise de cada uma dessas três

questões encontra-se logo abaixo. Dessa forma, o teste foi reduzido de doze para oito

questões.

Dentre as oito restantes, uma foi trocada, pois traz a figura de um mostrador de

gasolina. Esse componente poderia ser um dificultador na resolução da questão, eis que não é

necessariamente um elemento do dia a dia de alguns alunos voluntários, o que prejudicaria a

análise objeto do estudo. Logo, a questão Q3 foi substituída por uma questão retirada do

Projeto Ensinar e Aprender (2001) da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, e que

73

no teste diagnóstico principal passou a ser a questão Q8. A questão Q3 está apresentada

abaixo:

Figura 3.1: Questão 3 (Teste piloto)

A CAPACIDADE DO TANQUE DE GASOLINA DO CARRO DE JOÃO É DE 50 LITROS. AS FIGURAS

MOSTRAM O MEDIDOR DE GASOLINA DO CARRO NO MOMENTO DE PARTIDA E NO MOMENTO

DE CHEGADA DE UMA VIAGEM FEITA POR JOÃO. DADO QUE JOÃO NÃO ABASTECEU O CARRO,

QUANTOS LITROS DE GASOLINA ELE GASTOU NESTA VIAGEM?

(A)10 litros

(B)15 litros

(C)18 litros (D)25 litros

(E) 30 litros

Dessa maneira, o instrumento ficou assim desenhado (tabela 3.2): total de oito

questões, sendo três pertencentes ao primeiro eixo dos conteúdos matemáticos (Números,

Operações e Funções), uma do segundo eixo (Espaço e Forma), duas do terceiro (Grandezas e

Medidas) e duas do quarto eixo dos conteúdos (Tratamento da Informação). Essas questões

foram escalonadas como simples e medianas, apresentando-se dispostas no instrumento

diagnóstico principal de maneira aleatória.


complexidade, após alterações e prontas para o diagnóstico principal.

Blocos

Complexidade

Números,

Operações

e Funções

Espaço

e

Forma

Grandezas

e

Medidas

Tratamento

da

Informação

Simples Q4/Q7 - Q1 Q3

Moderado Q8 Q2 Q5 Q6

Apresentamos a seguir o quadro 3.1, que indica a correspondência entre as questões,

no teste piloto e no teste principal.

Quadro 3.1 – Correspondência entre as questões

Testes Questões

Piloto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Principal 1 2 - 3 4 5 - - 6 7 - -

74

É importante informar que as questões dos instrumentos diagnósticos (tanto aquele

utilizado no piloto, quanto o do estudo principal) foram retiradas das provas OBMEP, nível I,

aplicadas entre os anos 2005 e 2010. Dessa forma, as provas desse nível estavam voltadas

para estudantes do 6º e 7º anos do Ensino Fundamental.

Isto implica afirmar que os alunos participantes de nosso estudo responderam um teste

cujas questões foram elaboradas para estudantes que se encontravam em um ciclo aquém

deles. Necessário salientar que a retirada dessas quatro questões não trouxe prejuízos do ponto

de vista da contemplação dos quatro blocos dos conteúdos. Foram elas:

Figura 3.2 – Questão 7 (Teste piloto)

USANDO UMA BALANÇA DE DOIS PRATOS, VERIFICAMOS QUE 4 ABACATES PESAM O MESMO

QUE 9 BANANAS E QUE 3 BANANAS PESAM O MESMO QUE 2 LARANJAS. SE COLOCARMOS 9

LARANJAS NUM PRATO DA BALANÇA, QUANTOS ABACATES DEVEREMOS COLOCAR NO OUTRO

PRATO, PARA EQUILIBRAR A BALANÇA?

Para a resolução desta questão, que aborda Números, Operações e Funções, o aluno

poderia aplicar uma regra de três simples, ou seja, uma proporção simples. Alternativamente,

ele poderia ainda fazer uma comparação, ao trocar as laranjas pelas bananas, as bananas pelos

abacates até encontrar o equilíbrio para a balança. Assim é que, do ponto de vista das

operações necessárias para se chegar à solução do problema, estas eram simples.

O que parece ter sido o elemento dificultador da questão era a necessidade de o aluno

estabelecer as proporções, do tipo muito para muitos, entre os pesos das três frutas, de modo a

obter o equilíbrio da balança sob uma determinada condição. Também pode ter sido um

empecilho para o entendimento da questão o desenho da balança de dois pratos, tendo em

vista que muitos alunos não conhecem esse tipo de instrumento de medição.

Imaginávamos que os alunos teriam mais dificuldade para resolver a questão, mas que

ao final a resolveriam. Não foi o que aconteceu. Os alunos deixaram essa questão em branco

e, depois que argumentamos com eles a respeito dela, afirmaram não ter entendido o que era

para fazer.

A) 1 abacate B) 2 abacates C) 4 abacates D) 5 abacates E)6 abacates

75


O TRIÂNGULO ABC É ISÓSCELES DE BASE BC E O ÂNGULO BÂC MEDE 30O. O TRIÂNGULO

BCD É ISÓSCELES DE BASE BD. DETERMINE A MEDIDA DO ÂNGULO D A. A) α = 45°

B) α = 50°

C) α = 60°

D) α = 75°

E) α = 90°

Esse tipo de questão aborda conceitos de ângulos, medida de um ângulo, classificação

de um ângulo, ângulos suplementares e complementares, conceitos de triângulo, sua

classificação quanto aos lados, sua classificação quanto aos ângulos, a soma das medidas dos

ângulos internos de um triângulo e equações de 1º grau.

Dois dos quatro alunos resolveram essa questão, mas de maneira incompleta, pois

encontraram o valor do ângulo que pertencia ao triângulo A B. Quando questionados sobre

a questão, esses alunos disseram não ter entendido que o que estava sendo pedido na questão

era a medida do ângulo pertencente ao triângulo A D. Os demais alunos não resolveram a

questão, deixaram-na em branco; quando questionados, alegaram não se lembrar mais desse

assunto.

O que constatamos com o fato de os alunos não terem se saído bem nessa questão é

simples: eles não aprenderam o conceito de ângulo e suas propriedades, ainda que se tenha

trabalhado esse conteúdo em anos anteriores, pois consta dos conteúdos previstos no

planejamento anual da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.

Tal fato alarmante leva-nos à seguinte reflexão: será que não compreender essa

matéria é um fato pontual ou isso se repete quanto aos demais alunos dessa sala, ou desse ano

escolar? Essa pergunta, evidentemente, não é retórica como possa parecer; antes, exige

respostas e ações complexas em matéria de educação.

76


UM CARTÃO DA OBMEP, MEDINDO 11 CM POR 18 CM, FOI CORTADO PARA FORMAR UM

NOVO CARTÃO, COMO NA FIGURA. QUAL É A ÁREA DA PARTE COM AS LETRAS O E B? A) 77 CM

2

B) 88 CM2

C) 99 CM2

D) 125 CM2

E) 198 CM2

A questão foi idealizada com o intuito de enfocar a geometria, mais especificamente a área da

figura, utilizando o ícone para representar a área que interessa conhecer.

Dois alunos responderam essa questão; e os outros dois alunos escreveram na mesma que não

havia entendido. Os alunos que responderam a questão resolveram-na do ponto de vista da área total

da figura, ou seja, A = 11 x 18 = 198 cm2, o que não condiz com o que foi solicitado. Perguntados,

informaram ter presumido ser necessário calcular a área toda, não apenas parte dela.

O que observamos nesse caso é que esses alunos não têm por hábito retornar a questão, fazer

uma segunda ou terceira leitura, ou seja, não têm o hábito de validar a resposta encontrada. Ficamos

imaginando see não houvesse as alternativas, esses alunos teriam encontrado a resposta correta?

Figura 3.5 – Questão 12 (Teste-piloto)

DUAS FORMIGAS PERCORREM O TRAJETO DA FIGURA PARTINDO, AO MESMO TEMPO, UMA DO

PONTO A E OUTRA DO PONTO B. ELAS ANDAM COM A MESMA VELOCIDADE E NO SENTIDO

INDICADO PELAS FLECHAS. QUAL SERÁ A DISTÂNCIA ENTRE ELAS NO MOMENTO EM QUE ELAS

FICAREM UMA DE FRENTE PARA A OUTRA? A) 30 M

B) 40 M

C) 50 M

D) 60 M

E) 70 M

A B

40 M

30 M

60M

A questão está inserida no terceiro bloco dos conteúdos matemáticos, “Grandezas e

Medidas”, de forma que o que era solicitado ao aluno era calcular a distância entre as duas

formiguinhas, mostradas na figura acima, no momento em que ambas estivessem uma em

frente à outra, levando em consideração que ambas andam com a mesma velocidade.

Esperávamos que todos os alunos encontrassem a resposta, o que não ocorreu, pois

apenas metade dos alunos acertou a questão. Os alunos que não acertaram a questão

77

justificaram não ter entendido o que estava sendo solicitado. Os que responderam não

conseguiam justificar a resposta.

Dessa maneira, o objetivo do estudo-piloto foi depurar o nosso instrumento

diagnóstico para que pudéssemos elaborar o estudo definitivo, que chamamos de estudo

principal, conforme se encontra detalhado a seguir.

3.5 Estudo principal

Esta seção destina-se a apresentar, com detalhes, os principais itens de nosso estudo

principal: o perfil dos alunos, o material utilizado para a coleta de dados e o procedimento da

coleta. Quanto ao material utilizado, descreveremos a análise das questões do teste.

3.5.1 Sujeitos

Como já dissemos, os sujeitos participantes da nossa pesquisa são alunos do 8º e 9º

anos do Ensino Fundamental II da Rede Pública de Ensino da cidade de Sorocaba/SP.

A escola escolhida por nós, além de atender aos quesitos descritos no Universo do

Estudo, possui bons resultados em campeonatos escolares, ou seja, mantém um bom

relacionamento com o jogo de xadrez, ou seja, jogam bem. Jogar certo é, para Macedo e

Machado (2006, p. 38), é um problema de desenvolvimento: refere-se a decisões e às escolhas

no contexto de uma partida em que se expressa em cada jogada. Pedimos a autorização ao

diretor da escola (Anexo A), que nos acolheu de prontidão e nos ajudou a efetivar a pesquisa.

Essa escola funciona em três períodos: no matutino, o Ensino Fundamental II; no vespertino,

o Ensino Fundamental I; no noturno, o Ensino Médio.

A seleção dos alunos foi realizada a partir dos seguintes critérios: 11 alunos que jogam

xadrez há mais de um ano nas ACD, denominados Gjx e 11 alunos que não jogam xadrez, os

Gnx. Esses alunos pertencem a uma mesma turma, o que indica tratar-se de mesma escola,

ano e professor de Matemática; para cada aluno escolhido que joga xadrez (Gjx) nas ACD era

78

necessário um correspondente que não jogasse xadrez (Gnx) e que apresentasse as mesmas

notas bimestrais em Matemática, para que se pudesse efetuar a análise posterior entre os

pares.

Aos alunos voluntários foi entregue, uma semana antes da efetivação do estudo, o

Termo de Livre Esclarecido (Anexo B), para que seus pais autorizassem a participação na

pesquisa. Isso ocorreu no prazo combinado.

No dia da pesquisa, foi entregue aos alunos o teste, nosso instrumento de coleta de

dados que detalharemos a seguir.

3.5.2 Material utilizado

O material utilizado para a coleta de dados do estudo foi um questionário no formato

do papel A4 de tamanho 210 mm por 297 mm, constituído de quatro páginas e oito questões,

cada questão contendo cinco alternativas e um espaço para a realização dos cálculos; na

primeira página foi solicitada como identificação apenas o nome e a série do aluno. Para a

entrevista, usou-se um gravador e um roteiro de perguntas.

Descrevemos, a seguir, o instrumento diagnóstico e detalhamos cada uma de suas oito

questões.

3.5.2.1 Instrumento diagnóstico

Relembramos que a elaboração do instrumento diagnóstico principal teve por base

nosso instrumento piloto. O instrumento piloto contou com doze questões e, tendo sido

reformulado após sua aplicação.

O estudo principal foi composto de oito questões, conforme mostra o Apêndice B

(Instrumento diagnóstico principal), questões essas que abordam os quatro blocos dos

conteúdos matemáticos, todas pertencentes ao nível I, classificadas pela SBM e distribuídas

da seguinte maneira: duas questões simples e uma moderada de 1) Números, Operações e

79

Funções; uma questão moderada de 2) Espaço e Forma; uma questão simples e uma moderada

de 3) Grandezas e Medidas e, por fim, uma questão simples e uma moderada de 4)

Tratamento da Informação. Dispostas de maneira aleatória, essas questões foram baseadas na

Olimpíada de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP e em uma questão do Projeto

Ensinar e Aprender (2001) da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.

Apresentaremos, a seguir, as atividades que constam no teste principal e discutiremos

cada uma delas.

Figura 3.6 – Questão 1 (Teste Principal)

QUESTÃO 1) GUILHERME ESTÁ MEDINDO O COMPRIMENTO DE UM SELO COM UM PEDAÇO DE

UMA RÉGUA, GRADUADA EM CENTÍMETROS, COMO MOSTRA A FIGURA. QUAL É O

COMPRIMENTO DO SELO?

A)3 CM B)3,4 CM C)3,6 CM D)4 CM E)4,4 CM

UTILIZE ESTE ESPAÇO PARA FAZER OS CÁLCULOS

Esta questão está inserida no terceiro eixo dos conteúdos matemáticos, que tratam de

grandezas e medidas, de forma que a questão solicita ao aluno medir a grandeza

“comprimento” do selo através da régua graduada em centímetros.

O problema foi classificado por nós como sendo uma questão simples; logo,

esperamos que os alunos não tenham dificuldades para encontrar a resposta correta, pois esses

conteúdos são explorados com frequência durante as aulas, nos livros didáticos e constam das

orientações dos PCN para o Ensino Fundamental I, Ciclo II (BRASIL, 1997), dentro dos

objetivos da Matemática para esse ciclo: Construir o significado do número racional e de

suas representações; Interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as regras do

sistema de numeração decimal e estendendo-as para a representação dos números racionais

na forma decimal (pp. 55-56).

Assim, a estratégia aguardada é:

cm.

80


QUESTÃO 2) AS DUAS PEÇAS DE MADEIRA A SEGUIR SÃO IGUAIS.

PODE-SE JUNTAR ESSAS DUAS PEÇAS PARA FORMAR UMA PEÇA MAIOR, COMO MOSTRA O

SEGUINTE EXEMPLO.

QUAL DAS FIGURAS ABAIXO REPRESENTA UMA PEÇA QUE NÃO PODE SER FORMADA COM AS

DUAS PEÇAS DADAS?

Os conceitos matemáticos utilizados para a resolução desta questão são os

conhecimentos dos polígonos e suas propriedades, composição e decomposição de figuras

geométricas, simetria axial, ângulos, equivalência de área e referencial. Essa questão, inserida

no segundo eixo dos conteúdos matemáticos que tratam de espaço e forma, foi considerada

por nós como uma questão mediana.

Esperamos encontrar nessa questão sinais de experimentação em cada um dos itens,

para só então o aluno assinalar a resposta que ele considera ser a verdadeira.


QUESTÃO 3) PARA TESTAR A QUALIDADE DE UM COMBUSTÍVEL COMPOSTO APENAS DE

GASOLINA E ÁLCOOL, UMA EMPRESA RECOLHEU OITO AMOSTRAS EM VÁRIOS POSTOS DE

GASOLINA. PARA CADA AMOSTRA FOI DETERMINADO O PERCENTUAL DE ÁLCOOL E O

RESULTADO É MOSTRADO NO GRÁFICO ABAIXO. EM QUANTAS DESSAS AMOSTRAS O

PERCENTUAL DE ÁLCOOL É MAIOR QUE O PERCENTUAL DE GASOLINA? A) 1 AMOSTRA B) 2 AMOSTRAS C) 3 AMOSTRAS D) 4 AMOSTRAS E) 5 AMOSTRAS

Percentual de Álcool

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

1

2

3

4

5

6

7

8

Am

ost

ras

% de álcool


81

O conteúdo matemático solicitado foi a leitura e análise de dados representados em

gráficos estatísticos. Logo, o aluno precisa saber ler e/ou interpretar informações e dados

apresentados em gráficos e tabelas. Esta questão está inserida no quarto eixo dos conteúdos

matemáticos, Tratamento da Informação e Estatística, e foi classificada por nós como uma

questão fácil.

Gráficos e tabelas fazem parte da vida cotidiana do aluno, sendo utilizados nas

diferentes disciplinas escolares e nos meios de comunicação como TV, internet, jornais

impressos, revistas, outdoors e outros; logo, espera-se que os alunos interpretem

adequadamente.


QUESTÃO 4) UM TIME GANHA 3 PONTOS POR VITÓRIA, 1 PONTO POR EMPATE E NENHUM

PONTO EM CASO DE DERROTA. ATÉ HOJE CADA TIME JÁ DISPUTOU 20 JOGOS. SE UM DESSES

TIMES VENCEU 8 JOGOS E PERDEU OUTROS 8 JOGOS, QUANTOS PONTOS ELE TEM ATÉ AGORA? A) 23 PONTOS B) 25 PONTOS C) 26 PONTOS D) 27 PONTOS E) 28 PONTOS

UTILIZE ESSE ESPAÇO PARA FAZER OS CÁLCULOS

Para o desenvolvimento dessa questão será necessário um bom entendimento durante

sua leitura e conhecimento das operações com números inteiros: adição, subtração e

multiplicação. Esta questão está inserida no primeiro eixo dos conteúdos e diz respeito a

Números, Operações e Funções, e a consideramos de fácil resolução.

A estratégia esperada do aluno é:

Total de Pontos = 8 x 3 + 8 x 0 + 4 x 1 = 28


QUESTÃO 5) QUAL É A MEDIDA DO MENOR ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM

RELÓGIO QUANDO ELE MARCA 2 HORAS? A) 30° B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 90°

UTILIZE ESSE ESPAÇO PARA FAZER OS CÁLCULOS

82

Os conceitos matemáticos mobilizados para resolução desta questão são os

conhecimentos de ângulos, circunferência e suas propriedades. Essa questão trata do terceiro

eixo dos conteúdos matemáticos e foi considerada por nós como de fácil resolução. Espera-se

ter um bom número de acertos, dado que os alunos aprendem ângulos no 6º ano.

Dessa forma, acreditamos encontrar as seguintes resoluções:

Quando o relógio marca 3h, os ponteiros formam um ângulo de 90º. Logo, dividindo-se 90

por 3, como indicado pela figura, encontra-se o valor do ângulo de cada uma das horas,

sendo esse valor correspondente a 30º. Como a questão solicita o ângulo das duas

primeiras horas, tem-se então 30º + 30º = 60º.

Outra possibilidade, também, é dividir 360º, que corresponde ao total dos graus da

circunferência, por 12, que é o numeral marcado no relógio, obtendo-se como resultado

30°. Para se chegar ao resultado pedido, basta somar 30º + 30º = 60º.


QUESTÃO 6) A TURMA DE CARLOS ORGANIZOU UMA RIFA. O GRÁFICO MOSTRA QUANTOS

ALUNOS COMPRARAM UM MESMO NÚMERO DE BILHETES; POR EXEMPLO, SETE ALUNOS

COMPRARAM TRÊS BILHETES CADA UM. QUANTOS BILHETES FORAM COMPRADOS?

A) 56 BILHETES B) 68 BILHETES C) 71 BILHETES D) 89 BILHETES E) 100 BILHETES

UTILIZE ESSE ESPAÇO PARA FAZER CÁLCULO

Da mesma maneira que a questão 3, na questão acima os conceitos trabalhados são

Tratamento da Informação e Estatística. Assim, a questão, cuja dificuldade consideramos

mediana, exige do aluno a compreensão na leitura de gráficos e tabelas.

83

Espera-se do aluno que ele consiga perceber a maneira como está distribuído o número

de bilhetes em relação ao número de alunos que o compraram. Desse modo, o que se espera

encontrar é:

Total de Bilhetes = 20 x 1 + 16 x 2 + 7 x 3 + 4 x 4 = 89


QUESTÃO 7) EM SOROCABA CHOVEU EM 10 MANHÃS E EM 17 TARDES DO MÊS DE JANEIRO DE

2010. NÃO CHOVEU EM 12 DIAS. EM QUANTOS DIAS CHOVEU APENAS PELA MANHÃ?

UTILIZE ESTE ESPAÇO PARA FAZER CÁLCULOS

Esta questão enfoca números e quantidades e está inserida no primeiro eixo dos

conteúdos matemáticos e a classificamos como uma questão mediana, pois é preciso que o

aluno esteja atento aos detalhes da questão ao lê-la e interpretá-la de maneira satisfatória.

O que esperamos encontrar é:

Que os alunos verifiquem as informações da questão na figura acima e, a partir dessa

estratégia, possam identificar a resposta correta.

A)1 DIA B)2 DIAS C)3 DIAS D)4 DIAS E)5 DIAS

84


QUESTÃO 8) OBSERVE A FIGURA ABAIXO:

UTILIZE ESTE ESPAÇO PARA FAZER CÁLCULOS

Esta questão está inserida no primeiro eixo dos conteúdos matemáticos. Como a

questão anterior, ela enfoca números e quantidades, e a classificamos como de grau de

dificuldade mediano, pois, para ter sucesso em sua resolução é preciso que o aluno esteja

atento aos vários detalhes que a questão informa e relacioná-los uns aos outros.

A estratégia esperada para encontrar o dia, mês e horário da cena da figura será:

Horário: 8h, à noite, pelo fato de a Barbearia estar fechada e seu horário de funcionamento

ser das 8h às 19h30min.

Dia: 24, pois está em cartaz no cinema O caso da mala preta (CA). Exclui-se o domingo e a

segunda-feira porque o Bazar está aberto; sua placa informa que ele fecha aos domingos e

segundas-feiras.

Mês: fevereiro. O dono do Bazar, diz que “No dia 04 do mês que vem vou fechar a loja,

pois é meu aniversário”; logo se conclui que o dia 04 não pode ser domingo nem segunda,

senão não haveria necessidade de fechar a loja.

Tem-se:

D S T Q Q S S

24 25 26

27 28 29 30 31 01 02

03 04

D S T Q Q S S

24 25 26

27 28 29 30 01 02 03

04

D S T Q Q S S

24 25 26

27 28 29 01 02 03 04

Nessas circunstâncias, o único mês que tem menos de 30 dias é fevereiro.

Uma vez feito o detalhamento do nosso estudo principal, passaremos a descrever a

aplicação do mesmo, que nos permitiu a coleta de dados.

85

3.5.2.2 Roteiro da Entrevista

A entrevista teve como objetivo principal proporcionar a compreensão de algumas

resoluções registradas pelos alunos no instrumento diagnóstico. O roteiro da entrevista se

encontra no Apêndice C.

Começamos nossa entrevista com perguntas de cunho pessoal, do tipo “há quanto

tempo você joga xadrez”, “há quanto tempo estuda nesta escola”, e só depois mostramos o

teste e indagamos os alunos sobre as resoluções das questões. A transcrição da entrevista será

feita no capítulo da análise. Em seguida, apresentamos os principais procedimentos

metodológicos para a análise dos resultados do estudo principal.

3.5.3 Procedimentos

O teste final foi aplicado em junho de 2011 a alunos do 8º e 9º anos do Ensino

Fundamental do período da manhã, da Escola da Rede Estadual de Ensino de Sorocaba/SP,

em dois dias, pois alguns alunos haviam faltado ao primeiro dia e alguns alunos do 8º ano

estavam participando de atividades do projeto “Fazendo o Futuro”8, impossibilitados,

portanto, de participar do teste no primeiro dia.

A realização do teste durou aproximadamente duas horas e contou, no primeiro dia,

com 14 alunos, sendo dez do 9º ano, dos quais cinco jogam xadrez e cinco não jogam. Os

outros quatro cursavam o 8º ano, sendo que dois jogam xadrez e dois não jogam. No segundo

dia aplicou-se a outros 10 alunos do 8º ano, pertencendo a esse grupo cinco que jogam xadrez

e cinco que não jogam.

A professora de Educação Física da escola foi quem nos recepcionou e nos auxiliou

durante todo o tempo da aplicação. Os alunos foram por ela chamados nas salas de aula e

levados ao refeitório, lugar onde se realizou o teste.

A presença da professora foi muito importante, pois a mesma garantiu maior disciplina

dos alunos e maior tranquilidade a eles, dado que não nos conheciam. Depois que os alunos

8 É um projeto desenvolvido pela Prefeitura de Sorocaba/SP, por meio das secretarias da Educação e da Saúde

em parceria com a ONG Piracema. O projeto prepara os adolescentes entre 13 e 18 anos para um trabalho dos

mais importantes: orientação aos colegas da mesma faixa etária sobre os riscos da gravidez precoce, DST e

outros assuntos.

86

foram acomodados, a professora nos apresentou e nos deu a palavra. Apresentamo-nos e

justificamos nossa presença, dizendo que se tratava de uma pesquisa e que o teste que eles

iriam receber e responder era de Matemática.

Algumas instruções que julgamos relevantes para a ocasião foram dadas no início: o

teste não valeria nota, os alunos iriam resolver individualmente, sem consulta, quer seja de

livro didático, caderno ou ainda, da pesquisadora ou de qualquer professor, a não ser de uma

ou outra palavra ou termo utilizado no enunciado da questão que não tivesse entendido.

Deixamos claro que não responderíamos indagações do tipo: “Está correta a minha resposta?”

Para tanto responderíamos com outra indagação: “É assim que você pensa?”.

Outras instruções ainda foram dadas: que houvesse silêncio durante a aplicação do

teste e, assim que fossem terminando, entregassem o teste e retornassem à sala de aula; que as

questões poderiam ser respondidas tanto a lápis como à tinta; que, recebido o teste,

colocassem o nome e o ano cursado. Em seguida, agradecemos a colaboração da professora

de Educação Física e aos alunos participantes pela concretização de nossa pesquisa.

Com base nessas orientações, os testes foram distribuídos pela pesquisadora e pela

professora de Educação Física.

No dia seguinte, no período da manhã, repetimos o processo acima detalhado, agora

para os alunos que não tinham vindo à escola no dia anterior e os participantes da atividade do

projeto “Fazendo o Futuro”.

De posse dos testes respondidos, apuramos os resultados e iniciamos a análise das

respostas. Pautados nisso, selecionaram-se 50% desses testes para posterior entrevista com os

alunos. O critério de escolha do aluno para a entrevista foi motivado por sua estratégia de

resolução. A entrevista foi feita individualmente com o aluno e seu respectivo teste no horário

de sua aula.

No capítulo a seguir, fazemos a análise desse material em dois momentos. Num

primeiro, a análise quantitativa, o número de acertos e erros das questões contidas no

instrumento diagnóstico. Num segundo momento, a análise qualitativa, visando categorizar: a)

as estratégias que o aluno enxadrista utiliza ao resolver problemas, e se essas estratégias se

diferenciam dos alunos que não jogam xadrez; b) o quanto das estratégias do jogo de xadrez

aparece na resolução Matemática das questões.

87

CAPÍTULO IV

ANÁLISE DOS RESULTADOS

Destinamos este capítulo à apresentação dos resultados obtidos pela análise do

questionário e posterior entrevista com 25% dos alunos que responderam ao questionário

(50% dos estudantes que jogam xadrez – Gjx). Esses dois instrumentos se complementam,

servindo de base para realizarmos a análise sob duas perspectivas.

A primeira diz respeito à análise quantitativa dos dados, quando nos deteremos na

comparação geral dos resultados dos dois grupos – os alunos do grupo Gjx e os alunos do

grupo Gnx – numa tentativa de evidenciar se existe diferença ou não nos desempenhos dos

grupos. Ainda sob essa perspectiva, procedemos a análises considerando apenas, para o

desempenho dos alunos do grupo Gjx, as seguintes variáveis: 1) os blocos dos conteúdos

matemáticos, 2) o grau de dificuldade entre as questões – as simples e as moderadas e 3) o

ano escolar ao qual os alunos pertencem, se 8º ou 9º ano.

Na segunda perspectiva, procedemos à análise qualitativa dos resultados, em que parte

dela detém-se nos dois grupos – Gjx e Gnx – comparativamente e, na sequência, foca o grupo

Gjx. Com relação ao olhar comparativo dos grupos, consideramos as estratégias que os alunos

do grupo Gjx utiliza ao resolver problemas bem como as possíveis diferenças entre essas

estratégias e as dos alunos do grupo Gnx. No que diz respeito apenas ao grupo Gjx,

investigamos o quanto das estratégias do jogo de xadrez aparece na resolução matemática das

questões. A análise desses dados qualitativos é complementada com as informações obtidas

por meio das entrevistas, realizadas com os alunos do grupo Gjx.

A respeito dessas entrevistas, é relevante observar que as mesmas só foram realizadas

no semestre letivo posterior à aplicação do instrumento diagnóstico. Isso significou um

intervalo de, pelo menos, quatro meses entre uma ação e outra. Logo, cabe reconhecer que tal

demora trouxe algum prejuízo para o nosso entendimento da estratégia utilizada pelos alunos.

Isso porque os alunos não mais se lembravam do motivo de terem-se utilizado dessa ou

88

daquela estratégia. Por outro lado, rever a questão meses depois levou alguns alunos a

reavaliarem suas estratégias e corrigi-las.

Assim, os extratos de entrevistas que apresentamos poderão tanto ser aqueles em que

o estudante conseguiu lembrar e explicar a contento sua estratégia, como aqueles em que ele

explicitamente não mais se lembrava de como resolveu a questão ou, ainda, os extratos em

que, ao revisitar a questão, o aluno percebe que errou e propõe outra resposta, justificando

essa mudança.

Antes de iniciarmos a análise, relembramos pontos importantes que foram controlados

no desenho de nosso experimento, a saber:

Iniciamos o estudo sem qualquer hipótese sobre a superioridade de acertos, ou não, de um

grupo sobre o outro no que tange ao desempenho do instrumento diagnóstico (teste), mas

decidimos que, caso houvesse diferença significativa entre eles, deter-nos-íamos apenas

naquele que apresentasse esse melhor resultado.

O grupo Gjx foi formado por estudantes enxadristas há mais de um ano.

Para efeito de emparelhamento dos grupos, fizemos uma equiparação entre os estudantes

dos dois grupos no que se refere aos seus desempenhos na disciplina e Matemática.

Tanto o grupo Gjx como o grupo Gnx foram compostos inicialmente por 12 alunos, sendo

sete do 8º ano e cinco do 9º ano do Ensino Fundamental. Contudo, na correção do

instrumento diagnóstico, foi identificado que duas alunas (uma de cada grupo) tinham

respostas iguais em todos os problemas, sendo que uma delas (a que pertencia ao grupo

Gjx) tinha registro de estratégia de resolução em várias questões do teste, enquanto a aluna

do grupo Gnx não tinha um rabisco sequer em seu protocolo. Como elas tinham se sentado

próximas uma da outra e eram amigas, consideramos que havia grande possibilidade de

uma ter copiado as respostas da outra e, nesse caso, o mais prudente seria retirá-las de

nossa amostra. Assim, os grupos passaram a ser formados por 11 estudantes cada, sendo

seis do 8º ano e cinco do 9º ano.

Nas análises, procuramos perceber os indícios do possível efeito da prática do jogo de

xadrez nas estratégias dos alunos quando os mesmos estão resolvendo problemas

matemáticos. Isso porque, compartilhando a visão de Grando (2000) e Grillo (2012),

consideramos que a Matemática do jogo não é a mesma Matemática escolarizada.

89

4.1 Análise Quantitativa

Como dissemos, a análise quantitativa dos dados é feita a partir das respostas dos

alunos dos dois grupos, Gjx e Gnx, às questões contidas no instrumento diagnóstico.

Trataremos da análise quantitativa em dois momentos, a saber: a) análise do desempenho

geral dos grupos, procedendo a uma comparação das médias dos porcentuais de acerto, como

também a comparação dos grupos quanto ao desempenho nos blocos dos conteúdos

matemáticos; b) análise do desempenho apresentado pelos alunos do grupo Gjx.

Com o intuito de realizar uma análise que pudesse trazer indícios com riqueza de

detalhes acerca do desempenho apresentado pelo grupo Gjx, as questões foram agrupadas de

três maneiras distintas, quais sejam: por bloco de conteúdos, por categorias (simples e

mediana) e pelo ano escolar, 8º ou 9º ano.

Com o primeiro agrupamento, temos a intenção de analisar o desempenho desses

alunos quanto aos blocos dos conteúdos. E, assim, saber em qual ou quais desses blocos os

alunos encontram mais facilidade na resolução de problemas. Ponderamos, também, a

respeito das categorias enquadradas nas questões, simples e medianas, e averiguaremos se na

resolução dos alunos existe diferença significativa entre as questões. Por fim, consideramos a

eficiência na resolução das questões, quanto ao ano escolar do aluno.

Tendo em vista aumentar a confiabilidade e a credibilidade de nossa análise, achamos

conveniente alçar mão da utilização de uma ferramenta estatística. Para tanto, utilizou-se o

software SPSS (Statistical Package for Social Science), escolhendo-se o teste adequado para a

situação. O teste t de Student foi utilizado para amostras independentes, indicado para a

comparação entre duas amostras obtidas com grupos diferentes.

Para todos os testes realizados durante nossas análises consideramos as hipóteses

estatísticas9 que seguem:

Hipótese Nula (H0). É o ponto de partida do teste estatístico, representando a igualdade

entre as amostras. Em nossa pesquisa, quando não encontrarmos argumentos que nos

levem a rejeitá-la, poderemos inferir que não existe diferença estatisticamente significativa

na comparação dos desempenhos entre os grupos, ou no desempenho do grupo Gjx.

9 Um teste de uma hipótese estatística é o procedimento ou regra de decisão que nos possibilita decidir por H0 ou

H1, com base na informação contida na amostra. (MORETTIN, 2010, p. 240.)

90

Hipótese alternativa (H1): é a hipótese que o pesquisador tenta provar, representando a

diferença entre as amostras na utilização do teste estatístico. Em nossa pesquisa, quando

for aceita, podemos inferir que existe diferença estatisticamente significativa na

comparação dos desempenhos entre os grupos, ou no desempenho do grupo Gjx.

Entretanto, para que possamos validar o teste estatístico, temos que assumir um nível

de significância (α), que representa a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula (H0), quando

ela é verdadeira. Logo, para a nossa pesquisa, determinamos este nível em α = 0,05.

Para que aceitemos uma das hipóteses descritas acima, temos que fazer a comparação

do nível de significância (α) com o resultado do teste estatístico (p-valor). De maneira que, se

o p-valor que encontrarmos no teste for maior que α (p > α), não poderemos rejeitar H0. Mas,

se o p-valor que encontrarmos for menor que α (p < α), devemos rejeitar H0 e aceitar a

hipótese alternativa H1.

Neste sentido, o teste estatístico pode: a) não rejeitar H0 ou b) rejeitar H0 e aceitar H1.

Portanto, em nossa pesquisa, quando for comprovado o evento (a), admitiremos em nossas

hipóteses que a diferença entre as amostras não é significativa, ao passo que uma vez

comprovado o evento (b), assumiremos que a diferença entre as amostras é significativa.

4.1.1 Análise geral do desempenho dos grupos

Iniciamos nossa análise pela comparação do desempenho geral dos grupos

participantes, Gjx e Gnx, com relação às questões propostas no instrumento diagnóstico.

Logo, nosso intuito é verificar se existe diferença significativa entre os dois grupos com

relação ao número de acertos, e se podemos considerar essa diferença estatisticamente

significativa.

O gráfico 4.1 elucida a comparação feita com relação ao desempenho geral dos alunos

do grupo Gjx e alunos do grupo Gnx. Em outras palavras, comparou-se o total de acertos dos

grupos, levando em consideração que, de um total de 176 respostas possíveis, as 76

consideradas corretas estão distribuídas pelos dois grupos.

91

Gráfico 4.1 – Comparação entre o desempenho dos alunos que jogam xadrez e o dos alunos que não jogam

xadrez

Fonte: Dados da pesquisa

De acordo com o gráfico 4.1, o desempenho dos alunos Gjx é superior ao dos alunos

Gnx, ou seja, o grupo Gjx teve 53% dos acertos contra 33% do Gnx, o que nos dá uma

diferença de 20 pontos porcentuais. Complementando a descrição dos dados quanto à sua

dispersão, apresentamos no gráfico 4.2 o boxplot.

Gráfico 4.2 – Distribuição Desempenho Geral dos grupos Gjx e Gnx no instrumento diagnóstico


Tanto o gráfico 4.2 quanto o gráfico 4.1 apresentados indicam que existe diferenças no

desempenho geral dos grupos. Por exemplo, enquanto a metade dos estudantes do grupo Gnx

acertou, no máximo, duas questões, no grupo Gjx esse número foi o dobro, ou seja, quatro

questões.

92

No total de oito questões que continha o instrumento diagnóstico, o número de acertos

apresentado pelo grupo Gnx oscilou entre um e cinco acertos. Já o grupo Gjx, o menor

número de acertos foi dois e o maior, igual a sete. Portanto, o grupo Gnx obteve uma média

de três acertos e o grupo Gjx, de quatro acertos.

Para admitir que essa diferença é estatisticamente significativa, contamos com o

auxílio do teste t de Student para amostras independentes (t(20) = 2,626; p = 0,016), o qual

evidenciou que existe uma diferença estatisticamente significativa entre as médias dos dois

grupos, ou seja, o grupo Gjx realmente obteve um desempenho superior ao do grupo Gnx.

No gráfico 4.3, a seguir, expomos a quantidade de acertos de cada grupo com relação a

cada uma das questões do instrumento diagnóstico.

Gráfico 4.3 – Quantidade de acertos de cada uma das questões


Observamos nesse gráfico que o grupo Gnx obteve um desempenho menor que o

grupo Gjx, com exceção da questão Q5, que tem o mesmo número de acertos, no caso dois

acertos, e da questão Q8, que ambos os grupos não resolveram satisfatoriamente. Logo, pelo

panorama descrito nos gráficos analisados, podemos assegurar que o grupo Gjx, de um modo

geral, alcançou um melhor resultado nas questões aplicadas.

A seguir, mostramos no gráfico 4.4 o número de acertos de cada grupo com relação

aos blocos dos conteúdos matemáticos, de forma a constatarmos qual foi o bloco em que os

alunos se saíram melhor, e se houve diferença significativa entre os grupos.

93

Gráfico 4.4 – Total de acertos por bloco dos conteúdos matemáticos


Verificamos que existe diferença entre o número de acertos dos grupos dentro dos

blocos de conteúdos, apresentada pelo gráfico 4.4.

Aplicamos, então, o teste t de Student para amostras independentes a cada um dos

quatro blocos, a fim de confirmar se essas diferenças visualizadas no gráfico são de fato

estatisticamente significativas. Encontramos os seguintes resultados: Bloco 1 (t(20) = 1,319; p

= 0,202); Bloco 2 (t(20) = 0,830; p = 0,416); Bloco 3 (t(20) = 2,631; p = 0,016); Bloco 4

(t(20) = 1,549; p = 0,137).

Conforme a decorrência dos testes, observa-se que apenas no Bloco 3 existe uma

diferença estatisticamente significativa entre as médias dos dois grupos. Assim, o grupo Gjx,

em relação ao grupo Gnx, obteve um melhor desempenho nas questões que envolviam

Grandezas e Medidas.

A característica que diferencia um grupo do outro é o fato de o grupo Gjx ser o grupo

de alunos enxadristas. Na comparação ente os grupos, o grupo Gjx obteve um desempenho

superior ao grupo Gnx que ficou comprovado ser estatisticamente significativo, o que nos

leva a inferir que isso pode ser consequência da prática desses alunos no jogo de xadrez.

Macedo, Petty e Passos (2008) afirmam que o aluno, quando joga, apreende e exercita sua

observação e questionamento; discute, interpreta, soluciona e analisa as situações que lhe são

postas. Logo, esse aluno, quando desafiado, transfere aquelas atitudes adquiridas no jogo para

outras situações. Nas palavras de Piaget (1976, p.155):

94

Partamos de uma inovação qualquer do sujeito, que, a meu ver, resulta

sempre de uma necessidade anterior (...) logo que atualizada, essa inovação

constitui um novo esquema de procedimento, que, como todo esquema,

tenderá a alimentar-se, aplicando-se a situações análogas. Mas há mais: essa

generalização possível do esquema de procedimento confere ao sujeito um

novo poder e o simples fato de ter conseguido inventar um procedimento

para certas situações favoráveis, aos meus olhos, o êxito noutras.

Segundo afirmam Macedo e Piaget, o aluno que tem contato com o jogo de maneira

pedagógica desenvolve certas habilidades, como as descritas acima, que de maneira natural

são transferidas para outras atividades. Sendo assim, após o resultado apresentado pela análise

estatística, inferimos que os alunos enxadristas alçaram mão dessas habilidades desenvolvidas

no jogo para resolver os problemas propostos no instrumento diagnóstico.

Objetivando estudar especificamente o quanto do jogo de xadrez se evidencia ou se

assemelha à ação de resolver problemas, passamos a partir de agora a analisar apenas, o grupo

de enxadristas Gxj.

4.1.2 Análise do desempenho do grupo Gjx

Nesta seção, analisamos o desempenho dos estudantes do grupo Gjx, comparando seus

resultados obtidos, a saber: 1) quanto aos blocos dos conteúdos matemáticos; 2) quanto às

categorias ou classificação das questões e 3) quanto ao ano escolar. Entendemos que, com o

conjunto dessas análises, pode-se ter um panorama detalhado do desempenho desse grupo.

Retomamos da metodologia os dados descritos na tabela 4.1, que se referem à

distribuição das questões do instrumento diagnóstico no que diz respeito aos quatro eixos dos

blocos dos conteúdos matemáticos: 1) Número, Operações e Funções; 2) Espaço e Forma; 3)

Grandezas e Medidas e 4) Tratamento da Informação. Assim, também, segundo a sua

complexidade: simples ou moderada. O gráfico 4.5, por sua vez, mostra o número de acertos

para cada uma das questões respondidas.

95


complexidade, após alterações e prontas para o diagnóstico principal.

Blocos

Complexidade

Números,

Operações

e Funções

Espaço

e

Forma

Grandezas

e

Medidas

Tratamento

da

Informação

Simples Q4/Q7 - Q1 Q3

Moderada Q8 Q2 Q5 Q6

Gráfico 4.5 – Quantidade de acertos de cada uma das questões do grupo Gjx


O gráfico 4.5 se faz necessário porque a partir dele faremos os diferentes

agrupamentos, discutidos logo a seguir. O que se nota de imediato no gráfico é que tanto a

questão que obteve o maior número de acertos (10) quanto a que não obteve acertos

pertencem ao eixo dos conteúdos dos Números, Operações e Funções, sendo a questão Q4

considerada por nós uma questão simples e a questão Q8, mediana. Realmente nossa previsão

inicial se confirmou.

A seguir enfatizamos o número de acertos em cada um dos quatro blocos dos

conteúdos matemáticos, para assim ter-se uma clara ideia sobre em qual eixo dos conteúdos

os alunos tiveram maior domínio.

96

4.1.2.1 Quanto aos blocos dos conteúdos matemáticos

Passaremos, agora, a estudar o desempenho do grupo Gjx no que se refere aos quatro

eixos dos blocos dos conteúdos matemáticos. Nesse caso, nosso interesse é verificar em qual

dos quatro blocos dos conteúdos esses alunos se saem melhor, ou seja, tem um melhor

desempenho. O gráfico 4.6 fornece uma visão geral do desempenho apresentado por esse

grupo em cada um dos blocos de conteúdos.

Gráfico 4.6 – Porcentagem de acertos de cada um dos blocos dos conteúdos


Observa-se no gráfico acima que os porcentuais dos blocos não diferem

significativamente um do outro. A maior porcentagem 29% (Bloco 2, Espaço e Forma) não

nos causa estranheza, pois de acordo com Piaget (1996), o jogo de xadrez requer do aluno a

construção de relações espaciais. O bloco 4 (Tratamento da Informação) vem logo depois com

25%, e os blocos 1 e 3 perfazem 23% cada um.

Analisando o desempenho dos alunos do grupo Gjx, comparamos os resultados

obtidos nos blocos dos conteúdos de Matemática versus o ano escolar dos alunos. O gráfico

4.7 mostra essa relação:

97

Gráfico 4.7 – Número de acertos de cada um dos blocos dos conteúdos versus o ano escolar do aluno


Tanto no gráfico 4.7 como no gráfico 4.6 evidencia-se que o bloco 2 (Espaço e Forma)

apresenta um maior número de acertos e constitui aquele com o maior número de

representantes, tanto do 8º como do 9º ano. Em três dos quatro blocos de conteúdos, os alunos

do 8º ano tiveram o dobro do número de acertos dos alunos do 9º ano. Mas, para aferir se

essas diferenças são estatisticamente significativas, aplicamos o teste estatístico a cada um dos

quatro blocos dos conteúdos, descritos abaixo.

Com relação ao Bloco 1, com o auxílio do teste estatístico (t (9) = -2,455; p = 0,036),

comprovamos que as médias entre os dois anos de escolaridade são estatisticamente

significativas, ou seja, o 8º ano teve um desempenho melhor que o 9º ano nas questões

referentes ao eixo dos conteúdos Número, Operações e Funções.

Quanto aos Blocos 2, 3 e 4, também utilizando o teste estatístico, evidencia-se que a

diferença entre as médias obtidas pelos grupos não são significativas, de modo que os

desempenhos dos grupos quanto a esses três eixos dos conteúdos matemáticos são similares.

Para o bloco 2, o resultado do teste foi (t (9) = -0,208; p = 0,840); para o bloco 3, (t (9) =

-1,421; p = 0,189); e para o bloco 4, (t (9) = -1,723; p = 0,119).

98

4.1.2.2 Quanto às categorias ou classificação das questões

Analisados os números de acertos baseados nos blocos dos conteúdos matemáticos,

passamos a investigar o número de questões corretas, mas com foco nas categorias das

questões, que classificamos como simples e medianas. Também ponderamos o número de

acertos dessas categorias versus o ano escolar do aluno, a fim de encontrar indícios que

possam ajudar a caracterizar o desempenho do grupo Gjx.

No gráfico 4.8 expõe-se o percentual dos acertos das questões respondidas quanto à

categoria de complexidade das questões: simples ou medianas.

Gráfico 4.8 – Percentual de acertos quanto às categorias de complexidade


As questões simples correspondem a 68% do total de questões corretas, e as

moderadas, a 32%. Essas questões serão analisadas com relação às estratégias utilizadas pelos

estudantes, tanto as que levaram ao sucesso como as que induziram ao erro, quando das

análises qualitativas. O gráfico 4.9 traz, de modo interessante, um detalhamento sobre as

questões simples e moderadas, apresentando o número de acertos das questões simples e

moderadas quanto ao ano escolar, 8º e 9º ano.

99

Gráfico 4.9 – Porcentagem de acertos das questões simples e moderadas versus o ano escolar


O gráfico ressalta que tanto os alunos do 8º ano como os do 9º ano tiveram melhores

desempenhos nas questões classificadas como simples, como era esperado, pois essas

questões foram baseadas na OBMEP e aplicadas a alunos do 6º e 7º anos. Contudo, chama a

atenção o fato de que os alunos do 8º ano tiveram uma média de acertos de três questões

contra duas dos alunos do 9º ano nas questões simples, e de aproximadamente duas contra

uma questão com relação às moderadas.

Para garantirmos que essas diferenças entre os anos 8º e 9º anos com relação as

questões sejam considerados diferenças significativas ou não utilizamos o teste estatístico.

Com o resultado do teste para as questões simples (t (9) = -2,566; p = 0,030) e depois para as

questões medianas (t (9) = -0,85; p = 0,417), comprovamos haver diferença estatisticamente

significativa somente com relação às questões simples. Por sua vez, observa-se quanto às

questões moderadas que os desempenhos foram considerados semelhantes entre os alunos.

4.1.2.3 Quanto ao ano escolar

Ponderamos, anteriormente, as questões quanto ao ano escolar e os diferentes

conteúdos matemáticos; também, comparamos o ano escolar e a complexidade das questões.

Quanto ao número de acertos dos alunos com relação a cada uma das questões, analisamos o

gráfico 4.10, que elucida a situação.

100

Gráfico 4.10 – Número de acertos versus ano escolar


No gráfico acima, verificamos que houve uma diferença no número de acertos entre o

8º e o 9º ano em cada uma das questões. Somente um aluno de cada um dos anos respondeu a

questão Q1 inadequadamente. Quanto à questão Q2, dois alunos do 9º ano e dois alunos do 8º

ano não obtiveram sucesso. A questão Q3 foi a mais discrepante, pois apenas um aluno do 8º

ano errou contra quatro alunos do 9º ano. Todos os alunos do 8º ano acertaram a questão Q4, e

um aluno do 9º ano errou-a. Por sua vez, a questão Q5 teve dois acertos dos alunos do 8º ano,

e para a questão Q8 não houve acerto por nenhum dos alunos dos grupos pesquisados.

Quanto ao ano escolar, percebe-se que os alunos do 8º ano apresentaram desempenho

um pouco melhor que os alunos do 9º ano, embora essa diferença não tenha sido considerada

estatisticamente significativa. Logo, infere-se que tanto os alunos do 8º ano como os do 9º ano

tiveram desempenhos semelhantes com relação às questões do instrumento diagnóstico.

4.1.2.4 Síntese da análise do grupo Gjx

Na primeira variável abordada – blocos dos conteúdos matemáticos –, o melhor

desempenho ocorreu nas questões do bloco 2: 29% dos acertos. Esse resultado era previsto,

haja vista que alunos praticantes de xadrez adquirem, dentre outras habilidades, uma boa

visão espacial, como afirmam Macedo, Petty e Passos (2010). Brenelli (2008, p. 180)

complementa que nas situações lúdicas, os sujeitos tiveram, também, a oportunidade de

pensar sobre certas noções aritméticas implícitas nos jogos.

101

Na segunda variável abordada – categorias ou classificação das questões –, o

desempenho dos alunos foi superior nas questões classificadas como simples (com 68% de

acertos), acompanhada de 32% nas questões moderadas. Desses 68%, 34% são dos alunos do

9º ano e 66%, dos alunos do 8º ano. Com auxílio do teste estatístico, verificamos que os

alunos do 8º ano tiveram um melhor desempenho que os alunos do 9º ano nas questões

simples, o que não aconteceu com relação às questões moderadas, para as quais ficou

comprovado não existir diferença estatisticamente significativa entre o desempenho dos

alunos dos dois anos pesquisados.

Na comparação entre as variáveis e o ano escolar, quando olhamos para cada uma das

questões em particular percebemos que a questão Q4, pertencente ao bloco 1 e classificada por

nós como simples, foi a questão com o maior número de acertos pelos alunos dos dois anos

pesquisados: quatro alunos do 9º ano e seis do 8º ano. A questão Q5, pertencente ao bloco 3,

pertencente a categoria mediana, foi respondida corretamente por apenas dois alunos do 8º

ano e nenhum do 9º ano. Por seu turno, a questão Q3 não foi respondida satisfatoriamente por

apenas um aluno do 8º ano, ao passo que quatro alunos do 9° ano deixaram de acertá-la.

Portanto, nossas análises mostram que os alunos do 8º ano apresentam desempenho

superior aos alunos do 9º ano com relação ao bloco 1 dos conteúdos matemáticos e quanto às

questões que classificamos como simples. Nos demais quesitos investigados, os alunos dos

dois anos pesquisados possuem desempenhos semelhantes. Passamos agora a averiguar como

se apresentam as resoluções das questões, e quanto da ação de jogar se apresenta nessas

estratégias.

4.2 Análise Qualitativa

Na seção anterior, fizemos a análise quantitativa dos resultados com enfoque no

número de acertos que os alunos obtiveram ao responder o instrumento de pesquisa. A

presente seção tem como objetivo dar qualidade às estratégias de resolução utilizadas pelos

alunos ao responder as questões propostas.

O percentual geral de sucesso no grupo de alunos que jogam xadrez foi de 53%, e do

grupo de alunos que não jogam foi de 33%. Esses índices evidenciam que os alunos que

102

jogam xadrez (considerando, obviamente, nosso universo de estudo) saíram-se melhor do que

os alunos que não jogam.

Por isso, optamos dividir essa análise em dois momentos. Primeiro, a análise das

estratégias dos alunos do grupo Gjx e do grupo Gnx, verificando, assim, se elas diferem.

Nesse momento, também, procuramos, nas estratégias dos alunos enxadristas, influências da

ação de jogar sobre a resolução das questões, tanto naquelas que levaram ao sucesso, como

nas que os conduziram ao erro, conforme as entrevistas realizadas. Segundo, a síntese da

seção, quando se apresentam os principais resultados obtidos.

4.2.1 Análise das estratégias

Como já foi explicado no capítulo Metodologia e retomado na seção que tratou da

análise quantitativa, o instrumento de pesquisa constou de oito questões aplicadas em 22

alunos pesquisados (11 do grupo Gjx e 11 do grupo Gnx). Multiplicando-se 22 alunos por oito

respostas, temos 176 respostas distintas, sendo 88 para cada um dos grupos pesquisados.

Dentre as respostas encontradas, elencamos três tipos: respostas em branco, aquelas

em que o aluno não lançou mão de qualquer estratégia explícita no campo destinado à

resolução nem tampouco assinalou uma das alternativas; respostas corretas, aquelas em que os

alunos utilizaram uma estratégia (seja ela explícita ou implícita) que os levou ao sucesso na

resolução da questão; e respostas erradas, determinadas pelas questões em que os alunos

utilizaram uma estratégia (explícita ou não) que os levou ao insucesso.

A Tabela 4.2 apresenta um panorama geral das respostas dadas pelos alunos do grupo

Gjx e do grupo Gnx nas questões do instrumento diagnóstico.

Tabela 4.2 – Distribuição das respostas obtidas no instrumento de pesquisa

Tipos de

Respostas

Grupos

Respostas corretas Respostas erradas Respostas em brancos

Gjx 47

(53% de 88)

38

(43% de 88)

3

(3% de 88)

Gnx 29

(33% de 88)

53

(60% de 88)

6

(7% de 88)

103

Os dados da Tabela 4.2 chamam a atenção para dois pontos. O primeiro deles é o

baixo porcentual de respostas em branco nos dois grupos, que não passou de 7% em nenhum

deles. Isso mostra que, de fato, houve empenho por parte dos alunos para responder as

questões propostas. Tal dado é um indicador de que os estudantes dos dois grupos foram

proativos. Contudo, é importante ter em mente que se tratou de um teste de múltiplas escolhas

(exceto a questão 8). Ou seja, mesmo que o estudante não quisesse ou não soubesse como

resolver uma determinada questão, poderia simplesmente marcar uma das opções de resposta

oferecida como solução. Evidentemente, nesse grupo também se encontram as respostas em

que o estudante resolveu mentalmente a questão.

Se considerarmos o número de respostas totalmente em branco mais o número de

respostas erradas em que não há qualquer registro da estratégia de resolução (que chamaremos

de semibranco), temos: 8% para o grupo Gjx e 18% para o grupo Gnx. Notamos aqui que há

um aumento no porcentual dessa ação nos dois grupos, e mais: que a diferença entre os grupos

aumentou. O que, de acordo com Grando (2009, p. 29), é uma situação esperada, dado que o

jogo propicia o desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas na medida em que

possibilita a investigação, ou seja, a exploração do conceito por meio da estrutura

matemática subjacente ao jogo que pode ser vivenciada pelo aluno quando ele joga.

O segundo ponto a ser destacado é que a porcentagem de erros do grupo Gnx foi quase

o dobro do que seu porcentual de acertos. Já no grupo Gjx, o porcentual de acertos é maior

que o de erros. Tal resultado aponta que os estudantes do grupo Gjx apresentaram estratégias

de ação mais competentes que os estudantes do grupo Gnx.

Se considerarmos que o grupo Gjx fez bem menos uso de respostas em branco ou

semibranco e, ainda, que apresentou um porcentual significativamente maior de estratégias

que levaram os alunos ao sucesso em relação ao grupo Gnx, temos aqui uma forte indicação

de que a prática do jogo de xadrez traz resultados positivos na postura do estudante frente a

um problema matemático. Tais resultados corroboram a visão de Macedo, Petty e Passos

(2007) e, ainda, o estudo de Grillo (2012, p. 239), onde ele identificou a produção de

conhecimento matemático (...) a partir das ações dos alunos como: análise das possibilidades

de jogo, levantamento de hipóteses, construção de estratégias, conjecturação, estudo e

reflexão sobre as jogadas e os erros e na criação de problemas.

Conforme já explicitado neste capítulo, nosso enfoque está em reconhecer e

caracterizar as estratégias utilizadas pelos alunos, tanto os do grupo Gjx como do grupo Gnx.

Também pretendemos evidenciar o quanto da ação de jogar xadrez se apresenta nas

104

estratégias dos alunos enxadristas. Nessa direção, apresentamos as análises das questões pela

ordem em que foram colocadas aos alunos e, quando necessário, introduziremos as suas

justificativas, extraídas das entrevistas.

Para cada questão, apresentamos inicialmente a classificação das estratégias seguida

por, pelo menos, dois exemplos de estratégia (um com resposta correta e outro com resposta

incorreta), retirados dos protocolos dos alunos do grupo Gjx, no intuito de observar como

esses alunos se expressam, articulam-se e, ainda, como registram os procedimentos

matemáticos em cada questão proposta. Seguem-se trechos de entrevistas que respaldam a

análise e, por fim, um paralelo entre as estratégias utilizadas na resolução da questão e uma

possível jogada do xadrez.

1ª Questão) Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma

régua, graduada em centímetros, como mostra a figura. Qual é o comprimento do selo?

Essa questão pertence ao eixo dos conteúdos matemáticos Grandezas e Medidas e foi

classificada por nós como sendo uma questão simples. Obtivemos nela 12 respostas corretas,

sendo nove do grupo Gjx e três do grupo Gnx. A única estratégia utilizada pelos alunos nesta

questão foi a contagem, que foi realizada de duas maneiras: usando o sistema métrico

(protocolo 1) ou usando a contagem ordinal, estabelecendo relação de um para um (protocolo

2). A figura 4.1 apresenta os protocolos referentes às estratégias.

Figura 4.1 – Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada

Protocolo 1 – Extraído da resposta correta do aluno 3 do grupo Gjx - Sistema Métrico

105

Protocolo 2 – Extraído da resposta incorreta do aluno 8 do grupo Gjx – Contagem Ordinal

Nota-se que, no protocolo 1, o aluno resolveu a questão utilizando a régua da figura

para contar a distância entre o número 17 e o número 20, acrescentando depois a contagem

dos 4 mm, e assim chegar à resposta. Por sua vez, o protocolo 2 mostra que o aluno 8 também

utilizou a mesma estratégia de contagem, mas, em vez de fazer uma contagem considerando a

métrica, contou os números da régua de forma ordinal, relacionando cada número da régua a

um cardinal ordenado.

Todas as respostas corretas se assemelharam à do protocolo 1. As respostas incorretas

tiveram como item assinalado, em nove delas, a letra (e), 4,4 cm, e as justificativas foram

muito próximas à apresentada pelo aluno 8 do grupo Gjx, protocolo 2. Obteve-se ainda uma

resposta assinalada com a letra (d), 4 cm, cuja justificativa foi, nas palavras do aluno, “olhei

na régua”.

Em entrevista, o aluno 8 do grupo Gjx revê sua resposta, passando agora a utilizar a

contagem métrica.

ALUNO 8 GJX: A RESPOSTA CERTA É A (B).

PESQUISADORA: POR QUE VOCÊ ACHA QUE A RESPOSTA CORRETA É A (B) E NÃO MAIS A (D),

COMO HAVIA ASSINALADO DA PRIMEIRA VEZ?

ALUNO 8 GJX: PORQUE, CONTANDO DO 17 AO 20, DÁ 3 MAIS OS 4 RISQUINHOS; A RESPOSTA

CORRETA É A (B), 3,4 CM.

De fato, ao analisar novamente a questão e observar o que fez anteriormente, o aluno 8

do grupo Gjx notou que havia cometido um erro e logo o corrigiu. Para Macedo, Petty e

Passos (2010), tal comportamento é uma evidência de que o aluno que joga aprende a analisar

106

os seus erros, isto é, ele toma consciência daquilo que deve ser corrigido ou mantido, na

tentativa de melhorar os procedimentos (p. 39).

Estabelecendo um paralelo com as jogadas do xadrez, temos, de acordo com Milos

Junior e D’Israel (2001), que os enxadristas durante as partidas contabilizam seus ganhos e/ou

perdas materiais através das trocas10

, dependendo do que esteja apresentado no tabuleiro,

como também calculam os movimentos de cada uma das peças, de onde sua peça parte, para

onde ela será deslocada. Veja um exemplo11

:

Figura 4.2 – Exemplo de uma partida

relacionada a Q1.

Quando um jogador realiza uma troca com perda

material, esperando obter futuramente algum tipo de

ganho.

Na figura 4.3, vê-se que a dama branca está ameaçada

pela torre do adversário. A dama pode mover-se e sair do

ataque; entretanto, é muito melhor realizar uma troca de

valor desigual e capturar a torre com a dama.

As brancas perdem 5 pontos com a troca, mas a perda é momentânea, visto que, em

seguida, as brancas, poderão mover o cavalo até a casa “d7”, pondo o rei em xeque e, ao

mesmo tempo, atacando a dama negra (no xadrez, esse tipo de xeque é conhecido por xeque

duplo). Como o rei negro terá que mover-se para escapar ao xeque, o cavalo branco capturará

a dama negra. O balanço final da combinação mostra que, após as trocas, as brancas

ganharam uma torre. Como a torre vale 5 pontos, as brancas ganham 5 pontos com a

combinação.

O que ressalta, então, é que o aluno enxadrista, pelo fato de lidar com situações de

ganho e perda material o tempo todo através das trocas durante um jogo e conhecer os

deslocamentos de cada uma das peças não sentiu dificuldade no momento da contagem.

10

TROCA: Quando as capturas efetuadas resultam em igualdade material. Exemplo: Trocar um cavalo por outro

ou por um bispo. (MILOS JUNIOR; D’ISRAEL, 2001, p. 112.) 11

http://aulasdexadrez.blogspot.com.br/2009/05/troca-de-pecas-no-xadrez.html, acesso em 28/04/2012.

http://aulasdexadrez.blogspot.com.br/2009/05/troca-de-pecas-no-xadrez.html

107

2ª Questão) As duas peças de madeira a seguir são iguais.

Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o seguinte

exemplo.

Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser formada com as duas peças

dadas?

Essa questão pertence ao segundo bloco dos conteúdos matemáticos (Espaço e Forma)

e foi classificada por nós como sendo uma questão mediana. Tivemos um total de 12 acertos,

sendo sete do grupo Gjx e cinco do grupo Gnx.

Encontramos quatro estratégias utilizadas pelos alunos para resolver esta questão, a

saber: 1) decomposição, quando o aluno dividiu cada uma das figuras apresentadas nas

opções da resposta da questão, de tal forma a nela conter as duas figuras do enunciado; 2)

encaixe, quando o estudante buscou encaixar as duas figuras do enunciado em cada uma das

figuras oferecidas como opção de resposta; 3) percepção, quando o aluno não fez nenhum

registro, mas justificou sua resposta pelo uso da percepção, afirmando algo do tipo pelas

formas dá pra perceber (sic, sujeito 7 do grupo Gjx); 4) não justificado, quando o aluno

marcou uma opção de resposta, mas não faz nenhum registro nem tampouco justificou sua

resposta. A figura 4.3 apresenta essa classificação, acompanhada da quantidade de vezes que

cada estratégia apareceu, segundo o grupo, os acertos e erros.

108

Figura 4.3 – Síntese das estratégias encontradas na resolução da questão Q2 pelos grupos Gjx e Gnx

Nota-se que a decomposição de figuras foi a estratégia que prevaleceu em ambos os

grupos, contando com 54% das respostas possíveis. Observamos, também, que nesse tipo de

estratégia se apresentaram outras duas características, que denominados decomposição

concreta e decomposição abstrata. Chamamos de decomposição concreta a estratégia em que

o aluno se utilizou das figuras para fazer a decomposição, e de decomposição abstrata a

estratégia em que o aluno não utilizou a figura, pois conseguiu visualizar em cada uma das

figuras as duas peças do enunciado sem precisar manipulá-las.

Apresentamos nas figuras 4.4 e 4.5 os protocolos que elucidam as situações

encontradas na resolução dos alunos:

109

Figura 4.4 – Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada na Questão 2.

Protocolo 1: Extraído da resposta correta do aluno 6 do grupo Gjx – Decomposição Abstrata

O aluno que optou pela decomposição abstrata, como o aluno 6 do grupo Gjx,

protocolo 1, utilizou-se, segundo Piaget e Inherlder (1995), de sua imagem mental reprodutiva

e antecipatória, de maneira que imaginou e compreendeu o processo de decomposição de

cada uma das figuras sem precisar utilizá-las. Ou seja, ao observar cada uma das figuras da

resposta, o aluno imaginou as duas peças de madeira do enunciado se movimentando de um

lado para o outro, juntando-se e transformando-se ou não na figura à sua frente, de maneira

que identificou a possível resposta.

Figura 4.5 – Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada da Q2.

Protocolo 2: Extraído da resposta correta do aluno 12 do grupo Gjx – Decomposição Concreta

110

Protocolo 3: Extraído da resposta errada do aluno 8 do grupo Gjx – Encaixe

O protocolo 2 do exemplo acima nos permite identificar que o aluno 12 do grupo Gjx

decompôs concretamente cada uma das figuras de resposta dentro da própria figura,

identificando assim qual delas não poderia ser formada com as duas peças solicitadas. Por sua

vez, o aluno 8 do grupo Gjx buscou encaixar concretamente (por meio de desenho) as figuras

do enunciado em cada uma das figuras de resposta.

Reproduzimos um extrato da entrevista do aluno 8, grupo Gjx, para que se possa

compreender o que o levou a utilizar aquele tipo de estratégia.

PESQUISADORA: NA QUESTÃO 2, VOCÊ PODE ME EXPLICAR O QUE VOCÊ FEZ?

ALUNO 8 GJX: ....... (ALGUNS SEGUNDOS EM SILÊNCIO.)

PESQUISADORA: SE NÃO SE LEMBRAR MAIS, PODE ANALISÁ-LA NOVAMENTE E ME DIZER QUAL

ALTERNATIVA É A CORRETA?

ALUNO 8 GJX: ESSA QUESTÃO EU NÃO ENTENDI.

Nota-se que o aluno fez o encaixe dos desenhos por não ter entendido o que pedia a

questão nem mesmo no momento da entrevista. Explicando ao aluno, então, o que era

solicitado, resolveu-se a questão em conjunto com ele.

Esperávamos um número considerável de acertos no grupo Gjx, pois, como afirma

Piaget (1996), o jogo de xadrez requer do aluno enxadrista a construção das relações espaciais

topológicas, euclidianas e projetivas. Essas relações dizem respeito a vizinhança,

proximidade, afastamento etc., e determinam onde cada peça está localizada no contexto do

jogo. A sua localização espacial indica em que posição está cada peça em relação às outras: ao

mesmo tempo, acima, abaixo, à direita ou à esquerda. A figura 4.6 exemplifica uma jogada.

111

Figura 4.6 – Exemplo de uma jogada relacionada a Q212

.

3ª Questão) Para testar a qualidade de um combustível composto apenas de gasolina e álcool,

uma empresa recolheu oito amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra foi

determinado o percentual de álcool e o resultado é mostrado no gráfico abaixo. Em quantas

dessas amostras o percentual de álcool é maior que o percentual de gasolina?

A) 1 amostra

B) 2 amostras

C) 3 amostras

D) 4 amostras

E) 5 amostras


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

1

2

3

4

5

6

7

8

Am

ostr

as

% de álcool

Essa questão pertence ao bloco 4 dos conteúdos matemáticos (Tratamento da

Informação) e foi classificada por nós como sendo uma questão simples. O seu número de

12

http://aulasdexadrez.blogspot.com.br/2009/05/troca-de-pecas-no-xadrez.html, acesso em 22/04/2012.

http://aulasdexadrez.blogspot.com.br/2009/05/troca-de-pecas-no-xadrez.html

112

acertos, porém, não condiz com tal expectativa, já que apenas sete alunos a acertaram. Desses,

seis eram alunos do grupo Gjx e apenas um, do grupo Gnx.

As estratégias encontradas nessa questão são cinco, a saber: 1) 50% de álcool, quando

o aluno compreendeu que as amostras que apresentavam porcentual de álcool maior que o de

gasolina eram aquelas que continham mais de 50% de álcool; 2) 45% de álcool, quando o

aluno erroneamente considerou 90% como sendo 100%, de forma que considerou que toda

amostra que contivesse mais de 45% de álcool teria porcentual de álcool maior que o de

gasolina; 3) considerou apenas o maior porcentual, quando o aluno avaliou que a porcentagem

de álcool com relação à gasolina estava em apenas uma amostra, aquela que continha a maior

porcentagem; 4) incompreensível, quando o aluno lançou mão de uma estratégia que não

pudemos inferir; 5) não justificado, quando o aluno apenas assinalou a questão e não fez

qualquer menção a como chegou à resposta. Tivemos também duas questões em branco. A

figura 4.7 abaixo, identifica as estratégias utilizadas pelos alunos.

Figura 4.7 – Síntese das estratégias encontradas na resolução da questão Q3 pelos grupos Gjx e Gnx

113

De acordo com a figura 4.7, verificamos que a estratégia mais utilizada foi do tipo não

justificado (oito alunos, sendo quatro pertencentes a cada grupo). É importante notar que

enquanto duas das quatro respostas do grupo Gjx estavam corretas, as quatro questões do

grupo Gnx estavam erradas.

Constatamos, novamente, que os alunos do grupo Gjx haviam obtido um melhor

desempenho que os alunos do grupo Gnx, já que dos sete acertos encontrados na questão, seis

foram do grupo Gjx. Desses, três demonstraram ter compreendido a questão, um associou os

45% e dois alunos não justificaram suas respostas, ficando prejudicada a inferência da

estratégia de que se utilizaram para a resolução da questão.

Diante dos dados apresentado, concordamos com Macedo, Petty e Passos (2008)

quando afirmam que a ação de jogar exige que o aluno realize interpretações, classifique e

opere informações.

O que nos inquietou é que, do total de 22 alunos, apenas sete (29%) deles acertaram

essa questão. Tal dado foi provocado pelo comportamento do grupo Gnx, já que dos seus 11

participantes, apenas um acertou a questão. Ora, tratava-se de uma leitura em um gráfico

simples de barras; a condição relatada no problema era identificar, no gráfico, valores acima

de 50%. Havia um possível elemento dificultador, que era o gráfico não abranger os 100%.

Mas, por outro lado, ele não apresentava nenhum valor marcando exatamente 50% (saltava de

45% para 60%), o que favorecia ao aluno que acertasse a questão mesmo não considerando os

100%, mas sim os 90% apresentados no gráfico. Para uma questão como essa, proposta a

alunos de 8º e 9º anos, o número excessivo de erros é no mínimo preocupante, pois os

documentos oficiais (PCN, anos iniciais, e PCN, anos finais) orientam o trabalho com o

Tratamento da Informação desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. De acordo com os

PCN de Matemática (BRASIL, 1997, p. 49):

Os assuntos referentes ao Tratamento da Informação serão trabalhados neste

ciclo de modo a estimularem os alunos a fazer perguntas, a estabelecer

relações, a construir justificativas e a desenvolver o espírito de investigação.

A finalidade não é a de que os alunos aprendam apenas a ler e a interpretar

representações gráficas, mas que se tornem capazes de descrever e

interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos.

Por isso, havíamos imaginado que os alunos não encontrariam dificuldades nessa

questão, pois gráficos e tabelas simples, além de fazer parte de sua vida cotidiana, sendo

utilizados nas diferentes disciplinas escolares, nos meios de comunicação como TV, internet,

114

jornais impressos, revistas, outdoors e outros, deveriam também fazer parte do cotidiano

escolar. A figura 4.8 esclarece os tipos de estratégia que salientamos:


Protocolo 1: Extraído da resposta correta do aluno 6, grupo Gjx – 45% de álcool

Protocolo 2: Extraído da resposta correta do aluno 8, grupo Gjx – 50% de álcool

Protocolo 3: Extraído da resposta errada do aluno 2, grupo Gjx – 50% de álcool

Chama a atenção a estratégia do aluno 6 do grupo Gjx, demonstrada no protocolo 1.

Esse aluno, ao observar que o eixo das abscissas ia até 90%, associou os 90% aos 100% e

encontrou, então, sua metade, no caso, 45%. Ele afirmou que todas as amostras que passassem

desse valor teriam mais álcool que gasolina. Embora nessa questão não tenha havido prejuízo

ao aluno quanto ao seu acerto, pois não havia amostras entre 45% e 55%, é necessário

destacar que o modo de o aluno analisar a questão está equivocado, pois a porcentagem é a

centésima parte de uma grandeza, não sua nonagésima parte.

115

No que tange ao protocolo 2, temos que aluno 8 do grupo Gjx chegou à resposta

correta, bem observando que, para o álcool ter maior porcentagem que a gasolina, as amostras

representadas no gráfico precisavam ser superiores a 50%, e 3 das amostras apresentadas

atendiam a esse requisito.

Por fim, no protocolo 3 observamos que o aluno 2 do grupo Gjx parece ter tido a linha

de raciocínio na mesma direção que o aluno 8; porém, em vez de encontrar 3 amostras como

resposta, achou 5. Isso leva à conclusão de que o aluno não leu novamente a questão para

validar sua resposta.

Na busca por compreender o raciocínio utilizado pelo aluno 2 do grupo Gjx,

apresentamos a seguir um extrato de sua entrevista:

PESQUISADORA: NESSA QUESTÃO, VOCÊ PODE ME EXPLICAR O QUE VOCÊ FEZ?

ALUNO 2 GJX: .......(ALGUNS SEGUNDOS EM SILÊNCIO.)

ALUNO 2 GJX: NÃO TENHO IDEIA.

PESQUISADORA: PARA QUE O PERCENTUAL DE ÁLCOOL SEJA MAIOR QUE O DE GASOLINA,

QUANTO A MAIS DE ÁLCOOL TEM QUE TER NAS AMOSTRAS?

ALUNO 2 GJX: TEM QUE TER ACIMA DE 50%.

PESQUISADORA: ENTÃO ISSO REPRESENTA QUANTAS AMOSTRAS?

ALUNO 2 GJX: TRÊS AMOSTRAS.

ALUNO 2 GJX: EU MARQUEI EM MEU TESTE O PERCENTUAL MAIOR DE GASOLINA E NÃO DE

ÁLCOOL COMO PEDIA A QUESTÃO.

A fala do aluno 2 do grupo Gjx nos permite inferir que ele não voltou à questão para

fazer a validação de sua resposta, exatamente como havíamos imaginado no início de nossa

análise. Caso tivesse lido a questão após a resposta encontrada, teria a chance de notar que

não era a resposta correta.

No jogo de xadrez, durante uma partida, o enxadrista tem que efetuar um lance; para

alcançar seu objetivo, ele precisa analisar todas as suas possibilidades de jogo, ou seja, precisa

analisar todo o tabuleiro e não apenas a sua jogada. Como se verifica nessa questão, essas

demandas (como interpretar, classificar, operar as informações) também são habilidades

exigidas em situações de sala de aula. Macedo, Petty e Passos (2010, p. 151) argumentam

que no que diz respeito à matemática na perspectiva escolar, o jogo de regras possibilita à

criança construir relações quantitativas ou lógicas: aprender a raciocinar e demonstrar,

questionar o como e o porquê dos erros e acertos.

Apresentamos um exemplo de uma jogada em que o enxadrista precisa escolher um

lance para vencer o jogo.

116

Situação: As peças pretas se movem e vencem a partida.

Análise: As peças brancas possuem larga vantagem e facilmente vencem as peças pretas. Mas

as pretas possuem um lance decisivo que mudará o fim deste jogo. Qual peça deverá ser

mexida para se obter o melhor lance?

Figura 4.9 – Exemplo de uma jogada

relacionada a Q313

.

Esta decisão é de extrema importância para a

compreensão do jogo. A resposta para a pergunta é torre

preta move-se para a casa d6 e dá xeque no rei branco.

Esse lance é considerado o melhor, pois pela análise

descobre-se a impossibilidade de o rei branco sair do xeque

e capturar a torre preta, que por sua vez capturará a dama

branca.

4ª Questão) Um time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto em

caso de derrota. Até hoje cada time já disputou 20 jogos. Se um desses times venceu 8 jogos e

perdeu outros 8 jogos, quantos pontos ele tem até agora?

A questão 4 está inserida no bloco 1 (Números, Operações e Funções) e foi

classificada como uma questão simples. De fato, essa questão obteve o maior número de

acertos nos dois grupos, 17, sendo 10 acertos do grupo Gjx e sete do grupo Gnx.

As estratégias encontradas nessa questão foram: 1) estrutura multiplicativa mais

estrutura aditiva, quando o aluno multiplica: a) o número de pontos ganhos pelo número de

vitórias, b) o número de pontos ganhos pelo número de derrotas e c) o número de pontos

ganhos pelo número de empates, e depois adiciona esses valores; 2) estrutura multiplicativa,

quando o aluno apenas apresentou a multiplicação do número de vitórias com o número de

pontos ganhos; 3) estrutura aditiva, quando o aluno foi adicionando o valor dos pontos

ganhos, o valor dos pontos perdidos e o valor dos pontos de empates até chegar no número

total de partidas; 4) não justificado, quando o aluno assinalou uma alternativa, mas não deixou

registrado o que o levou a pensar daquela maneira. A figura 4.10 elucida cada uma das

estratégias e o seu número de acertos e erros.

13

http://www.clubedexadrez.com.br/download/matematicaexadrez_academia08.pdf , acesso em 30/03/2012.

http://www.clubedexadrez.com.br/download/matematicaexadrez_academia08.pdf

117

Figura 4.10 – Síntese das estratégias encontradas na resolução da questão Q4 pelos grupos Gjx e Gnx.

A estratégia mais utilizada foi a Estrutura Multiplicativa mais a Estrutura Aditiva, de

modo que oito alunos do grupo Gjx e cinco do grupo Gnx acertaram a questão, e apenas um

do grupo Gnx errou. Outro dado importante foi que houve quatro respostas sem justificativa,

sendo uma do grupo Gjx e três do grupo Gnx. Com utilização de estrutura aditiva obtiveram-

se dois acertos, estando um para cada grupo.

A figura 4.10 ilustra o que imaginávamos: nessa questão, os alunos obtiveram um bom

desempenho geral, por ser uma questão que remete às operações fundamentais: adição,

subtração e multiplicação. Ademais, a maioria dos alunos conhece o contexto da questão, pois

alguns praticam esportes, outros acompanham algum esporte ou então já ouviu os colegas

comentarem a respeito. As estratégias utilizadas pelos alunos estão evidenciadas na figura

4.11.

118


Protocolo 1: Extraído da resposta correta do aluno 6 do grupo Gjx – Estrutura Multiplicativa mais Estrutura Aditiva

Protocolo 2: Extraído da resposta errada do aluno 1 do grupo Gjx – Estrutura Aditiva

O protocolo 1 do aluno 6, grupo Gjx, demonstra bem o que se esperava encontrar nos

protocolos. Esperava-se que o aluno, ao interpretar o enunciado, utilizasse como estratégia a

estrutura multiplicativa quando fosse encontrar o número de pontos ganhos por vitórias e

pelos empates, e a estrutura aditiva para ter o total de pontos ganhos do time.

O aluno 1 do grupo Gjx, pelo protocolo 2, ameaçou utilizar a estrutura multiplicativa

mas acabou optando por utilizar apenas a estrutura aditiva; como resultado final, não chegou

à resposta correta. O que nos leva novamente a reiterar que alguns alunos, ao encontrar a

resposta de um problema, não a testam para verificar se o que se obteve de resposta é coerente

com a pergunta. Um extrato da entrevista com o aluno 1 evidencia esse fato.

ALUNO 1 GJX: A RESPOSTA CORRETA É 28 PONTOS E NÃO 25 COMO MARQUEI.

PESQUISADORA: VOCÊ PODE ME EXPLICAR?

ALUNO 1 GJX: O QUE PENSEI PARA MARCAR 25 PONTOS NÃO ME LEMBRO, MAS ESTÁ ERRADO. O

CERTO É 28 PONTOS. POIS O TIME GANHA 3 PONTOS POR PARTIDA, E ELE

GANHOU 8, LOGO 3.8 = 24, NÃO GANHOU NENHUM PONTO POR DERROTA E

FORAM 8 DERROTAS. DESSA MANEIRA, 8 VITÓRIAS MAIS 8 DERROTAS DÁ UM

TOTAL DE 16 JOGOS, MAS ELE JOGOU 20 JOGOS, ENTÃO 4 JOGOS ELE EMPATOU E

GANHOU 1 PONTO POR CADA. O QUE NO FINAL DÁ 28 PONTOS. É ISSO, NÃO É?

119

Como dissemos ao analisar a questão 1, os alunos enxadristas precisam a cada jogada

avaliar se vale mais a pena capturar uma peça adversária e em seguida perder uma peça

importante ou se lhe é mais vantajoso investir numa outra jogada que mais tarde possa lhe

render o ganho da captura de uma peça significativa de seu adversário. Assim, o enxadrista

está o tempo todo operando com suas peças no tabuleiro (somando, subtraindo, multiplicando

e dividindo) para, ao final, chegar ao sucesso esperado. Exemplificando:

Figura 4.12 – Exemplo de uma jogada relacionada a Q414

.

Os alunos enxadristas, ao jogarem, necessitam antecipar suas ações, aprender a pensar

antes de agir e planejar suas atuações para obter bons resultados, conforme Macedo, Petty e

Passos (2007).

Piaget (1978), por sua vez, afirma que o pensamento lógico se desenvolve num

ambiente onde são confrontados modos diferentes de se pensar, e o jogo proporciona isso ao

seu jogador, tornando essa situação benéfica para a vida social do aluno.

14

http://www.clubedexadrez.com.br/download/matematicaexadrez_academia08.pdf, acesso em 16/04/2012

http://www.clubedexadrez.com.br/download/matematicaexadrez_academia08.pdf

120

5ª Questão). Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio

quando ele marca 2 horas?

A) 30° B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 90°

Essa questão pertence ao bloco 3 (Grandezas e Medidas) e foi considerada por nós

como sendo uma questão mediana. Na análise quantitativa, assustamo-nos com o número de

acertos dessa questão, pois tínhamos a convicção de que os alunos não iriam ter dificuldades

em encontrar a resposta correta, pelo fato de o assunto abordado na questão, no caso ângulos,

ser um assunto trabalhado com os alunos desde o 6º ano. Mas não foi isso que aconteceu, pois

o número total de acertos foi de 4 num total de 22 alunos, o que muito nos preocupou. Desses

4 acertos, 2 eram do grupo Gjx e 2 do grupo Gnx.

As estratégias que encontramos nos protocolos dos alunos foram: 1)

proporcionalidade, quando o aluno identificou que 90° corresponde a 3 horas dividindo esse

valor por 3 e encontrando 30°, que equivale a 1 hora. Por fim, multiplicou 30° por 2,

obtendo, então, o menor ângulo formado pelo ponteiro menor quando ele marca 2 horas; 2)

fração, quando o aluno dividiu o total de graus do relógio em seis parte iguais; 3) percepção,

quando o aluno identifica o ângulo de 90° como sendo correspondente de 3 horas mas não

consegue encontrar a resposta correta; 4) não justificado, quando o aluno assinala uma

alternativa mas não a justifica em seu protocolo. As estratégias são apresentadas na figura

4.13.

121


A estratégia mais utilizada foi a percepção, com metade das possíveis repostas dos

cinco alunos do grupo Gjx e seis do grupo Gnx; todas, porém, levaram ao erro da questão.

As justificativas encontradas nos protocolos desses alunos fazem menção ao relógio da figura

e variaram entre: a) 30°, por ser o menor ângulo, o que imaginamos que o aluno tenha

relacionado com o fato de ser o menor ângulo das alternativas; b) 45°, por ser a metade do

ângulo de 90°, que corresponde a 3 horas; c) 75°, por ser o ângulo mais próximo de 90° que

corresponde a 3 horas.

Embora os dois grupos tenham obtido o mesmo número de acertos, o grupo Gjx

utilizou de estratégias mais eficientes que o grupo Gnx, o que se observa na figura 4.1.4.

Enquanto o grupo Gjx só não justificou uma questão, o grupo Gnx não justificou três, estando

uma delas correta. Mesmo que essa questão esteja correta para o grupo Gnx, não se pode,

entretanto, afirmar que os alunos desse grupo conheciam as propriedades dos ângulos.

Ademais, o maior número de alunos que utilizaram a estratégia da proporcionalidade foi do

grupo Gjx, sendo quatro contra dois, e a estratégia da fração, que só foi usada por um aluno

do grupo Gjx.

122

De acordo com as estratégias encontradas nos protocolos, verificamos indicativos de

que o grupo Gjx exercita mais sua iniciativa e criatividade que os alunos do grupo Gnx. O que

para Grando (2009) pode estar relacionado ao jogo de regras, pois o mesmo pode conduzir o

aluno a realizar constatações acerca de suas hipóteses, perceber regularidades e definir

estratégias de modo a vencer o jogo.

Temos algumas hipóteses quanto ao que possa ter ocorrido, a saber: a) os conteúdos

sobre ângulos, que são ensinados nas aulas de Matemática, devem ter sido privilegiados

apenas no enfoque de um tipo de situação, não permitindo, assim, ao aluno uma transposição

de uma situação para outra; b) pode também ter ocorrido que esses alunos apenas decoraram e

não aprenderam de maneira satisfatória o que lhes foi ensinado sobre ângulos, de modo que

não compreenderam sua importância, nem “como”, “quando”, “onde” e “porquê” utilizá-los.

A figura 4.14 exemplifica alguns tipos de estratégias que encontramos.

Figura 4.14 – Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada da Q5

Protocolo 1: Extraído da resposta correta do aluno 8 do grupo Gjx – Proporcionalidade

Protocolo 2: Extraído da resposta errada do aluno 5 do grupo Gjx – Percepção

No protocolo 1, o aluno 8 do grupo Gjx descreveu o que se esperava encontrar em

grande parte das respostas dos alunos, dado que a questão solicitava deles que dividissem os

graus do relógio 360° em 12 partes iguais e depois multiplicassem por dois; portanto, não

123

havia nenhum dificultador. O aluno 5 do grupo Gjx, como os demais alunos que não

chegaram a resposta correta, demonstrou conhecer o ângulo de 90° mas não reconhece suas

divisões. Logo, esse aluno usa como estratégia a percepção. Segue um extrato da entrevista

com esse aluno:

PESQUISADORA: VOCÊ PODE ME EXPLICAR POR QUE MARCOU 75°?

ALUNO 5 GJX: PORQUE 75° ESTÁ MAIS PRÓXIMO DE 90°.

PESQUISADORA: OLHA SÓ A FIGURA.

ALUNO 5 GJX:......(SILÊNCIO.)

PESQUISADORA: ONDE ESTÁ O ÂNGULO DE 90° NA FIGURA?

ALUNO 5 GJX: É O MENOR ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS QUANDO ELE MARCA 3 HORAS.

PESQUISADORA: E O MENOR ÂNGULO FORMADO QUANDO OS PONTEIROS MARCAM 2 HORAS?

ALUNO 5 GJX: NÃO É 75°?

PESQUISADORA: PODE EXPLICAR?

ALUNO 5 GJX: 75° ESTÁ MAIS PERTO DE 90°.

O aluno, mesmo tendo a chance de analisar novamente, mantinha-se irredutível à

resposta dada inicialmente, mantendo inalterada sua justificativa. Ele não cogitou a

possibilidade de o ângulo de 90° poder formar outros três ângulos de mesma medida.

Percebe-se que os alunos ficaram muito presos à figura e não extrapolaram a ideia para

além do concreto, o que inviabilizou a resolução da questão. Isso nos leva a indagar se os

alunos teriam chegado aos 60° ainda que não houvesse a figura.

Com relação ao jogo de xadrez, o aluno, ao aprender as regras do jogo, estuda os

movimentos de cada uma de suas peças, o que está intimamente relacionado à questão de

ângulos, como se observa na figura 4.15:

Figura 4.15 – Exemplo de uma jogada relacionada a Q5.

Deslocamento da torre

Deslocamento do bispo

Deslocamento do cavalo

124

6ª Questão) A turma de Carlos organizou uma rifa. O gráfico mostra quantos alunos

compraram um mesmo número de bilhetes; por exemplo, sete alunos compraram três bilhetes

cada um. Quantos bilhetes foram comprados?

A) 56 bilhetes B) 68 bilhetes C) 71 bilhetes D) 89 bilhetes E) 100 bilhetes

Essa questão pertence ao bloco 4 (Tratamento da Informação) e foi classificada por

nós como mediana. Obtivemos 11 acertos no total de 22 possíveis, de maneira que seis eram

do grupo Gjx e cinco, do grupo Gnx.

As estratégias encontradas nessa questão foram: 1) estrutura multiplicativa mais

aditiva, quando o estudante multiplicou o número de bilhetes comprados pelo número de

alunos e adicionou todas as quantidades encontradas; 2) estrutura aditiva, quando o estudante

adicionou o número de alunos que compraram os bilhetes sem levar em consideração a

quantidade que cada aluno comprou; 3) não justificado, quando o aluno assinalou uma

alternativa, mas não a justificou. Encontramos também duas respostas em branco. A seguir,

apresentamos a figura 4.16, que identifica as estratégias utilizadas pelos alunos.

125


A estratégia mais utilizada em dez respostas justificadas foi a estrutura multiplicativa

mais a estrutura aditiva. Obtiveram-se cinco acertos e uma resposta errada do grupo Gjx, além

de quatro respostas erradas do grupo Gnx. Sete respostas não foram justificadas, apenas

assinaladas, sendo duas do grupo Gjx e cinco do grupo Gnx.

Verificou-se mais uma vez que o grupo Gjx não só obteve melhor desempenho e

utilizou uma estratégia mais eficiente que o grupo Gnx, como também deixou apenas duas

questões sem justificativa contra cinco do grupo Gnx. A figura 4.17 apresenta as estratégias

dos alunos.

126


Protocolo 1: Extraído da resposta correta do aluno 5 do grupo Gjx – Estrutura Multiplicativa.mais

Estrutura Aditiva

Protocolo 2: Extraído da resposta errada do aluno 2 do grupo Gjx – Estrutura Aditiva

Nos protocolos acima, temos duas situações diferentes. A primeira, apresentada no

protocolo 1, revela que o aluno 5 do grupo Gjx demonstrou em seus registros compreender

adequadamente as informações apresentadas no gráfico, ou seja, ele visualizou as informações

contidas no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas, cruzando-as de maneira a obter a

informação necessária e êxito na questão.

Diferentemente do aluno 5 do grupo Gjx, o aluno 2 do grupo Gjx, no protocolo 2,

mesmo com a informação no enunciado de que sete alunos compraram três bilhetes cada um,

não conseguiu compreender o que estava sendo requerido. O que fez esse voluntário foi somar

o número de alunos sem levar em consideração o número de bilhetes comprados; logo, ele só

operou com as informações do eixo das ordenadas, simplesmente ignorando as informações

contidas no eixo das abscissas.

Apresentamos um extrato da entrevista com o aluno 2:

127

PESQUISADORA: VOCÊ DEIXOU REGISTRADO NO SEU TESTE ALGUMAS SOMAS E UMA FRASE,

“NÃO SEI”. VOCÊ PODE ME EXPLICAR COMO FOI QUE VOCÊ PENSOU?

ALUNO 2 GJX: EU SOMEI. NÃO ERA PARA FAZER ISSO?

PESQUISADORA: LEIA E ANALISE NOVAMENTE A QUESTÃO.

ALUNO 2 GJX: SE SETE ALUNOS COMPRARAM TRÊS BILHETES CADA UM, ENTÃO ELES

COMPRARAM 21 BILHETES. CERTO?

PESQUISADORA: CONTINUE.

ALUNO 2 (GJX): ENTÃO SE NA HORIZONTAL ESTÁ O NÚMERO DE BILHETES E NA VERTICAL ESTÁ

O NÚMERO DE ALUNOS QUE COMPRARAM OS BILHETES, BASTA MULTIPLICAR E

DEPOIS SOMAR OS RESULTADOS. A RESPOSTA CORRETA É 89 BILHETES. EU

NÃO TINHA ENTENDIDO QUE ERA PARA FAZER DESSA MANEIRA.

Constatamos nessa questão, como nas questões anteriores, que os alunos do grupo Gjx

têm obtido melhores resultados do que os alunos do grupo Gnx. Além disso, eles têm deixado

muito menos questões sem justificativa do que o grupo Gnx. O que, de fato, condiz com o que

afirmam Macedo, Petty e Passos (2008, p. 49), que o jogador aprende a formular hipóteses e

testá-las, o que, em outras palavras, significa aprender a perguntar e buscar soluções. Logo,

parece-nos que os alunos do grupo Gjx estão não apenas desenvolvendo modos de pensar,

mas também sua capacidade crítica e autocrítica.

No xadrez, o jogador precisa estar atento ao todo, isto é, a todos os possíveis

movimentos que possam atrapalhar o seu jogo. Isso lhe proporciona a possibilidade de

visualizar todas as informações e possibilidades. Na figura 4.18, apresenta-se uma jogada que

exemplifique esse tipo raciocínio.

Figura 4.18 – Exemplo de uma jogada relacionada a Q6.

Peão branco vai para a casa e4

Peão preto vai para a casa e5

Bispo branco vai para a casa c4

128

Cavalo vai para a casa c6

Dama branca vai para a casa f3

Cavalo vai para a casa d4

Dama branca vai para a casa f2;

xeque-mate

7ª Questão) Em Sorocaba choveu em 10 manhãs e em 17 tardes do mês de janeiro de 2010.

Não choveu em 12 dias. Em quantos dias choveu apenas pela manhã?

A)1 dia B) 2 dias C) 3 dias D) 4 dias E) 5 dias

Essa questão faz parte do bloco 1 dos conteúdos matemáticos (Números, Operações e

Funções) e foi considerada por nós como uma questão simples. Seu único dificultador foi

aparecer no enunciado o número 10, que não foi utilizado nos cálculos para resolver a

questão. O número total de acertos foi de 13, num total de 22 possíveis respostas corretas, das

quais sete foram do grupo Gjx e seis do grupo Gnx.

As estratégias que encontramos nos protocolos dos alunos foram: 1) estrutura aditiva,

quando o aluno adicionou o número de dias em que não choveu ao número de dias em que

choveu na parte da tarde e subtraiu do número total de dias do mês; 2) estrutura aditiva

aleatória, quando o aluno opera os números do enunciado sem que fique claro o critério

utilizado; 3) não justificado, quando o aluno assinala a resposta e não registra nada em seu

protocolo. Encontramos também uma resposta em branco. A figura 4.19, a seguir, apresenta

129

uma síntese das estratégias utilizadas pelos alunos, acompanhada do número de alunos que

usou cada estratégia.


A estratégia com o maior número de acertos (10 respostas) envolveu a estrutura

aditiva, sendo seis respostas do grupo Gjx e quatro do grupo Gnx. Por sua vez, a estratégia

com o maior número de erros envolveu a estrutura aditiva aleatória, com cinco respostas, das

quais três pertenciam ao grupo Gjx e duas ao grupo Gnx. Quanto às questões que não foram

justificadas, o grupo Gjx apresentou o menor número, no caso duas, em relação ao grupo Gnx,

que apresentou quatro respostas sem justificativa: duas corretas e duas erradas.

Novamente, temos que o grupo Gjx apresenta-se com maior número de acertos e

menor número de respostas sem justificativas, o que corrobora os indícios de que o fato de os

alunos jogarem xadrez pode favorecer seu desempenho na resolução das questões propostas.

Tal constatação vem ao encontro das pesquisas de Grando (2000) , segundo o qual o trabalho

com o jogo favorece diferentes processos de raciocínio e interação, de forma que o jogador

130

tem a possibilidade de ser crítico, defender seu ponto de vista e ser mais confiante. A figura

4.20 traz exemplos de estratégias encontradas nos protocolos dos alunos.

Figura 4.20 – Exemplos do tipo de estratégia disponibilizada na Q7.

Protocolo 1: Extraído da resposta correta do aluno 6 do grupo Gjx – Estrutura Aditiva

Protocolo 2: Extraído da resposta errada do aluno 3 do grupo Gjx – Estrutura Aditiva Aleatória

O aluno 6 do grupo Gjx, protocolo 1, utilizou como estratégia a estrutura aditiva, de

forma que ele somou o número de dias em que choveu durante a tarde ao número de dias em

que não choveu e, depois, subtraiu esse resultado de 31, que corresponde ao número de dias

do mês de janeiro, chegando assim ao resultado correto.

No protocolo 2, o aluno 3 do grupo Gjx tentou encontrar uma solução aleatoriamente,

pois utilizou uma regra de três para chegar à resposta, o que, pela falta de sentido, leva-nos a

supor que esse aluno agiu por tentativa e erro. Como encontrou nas alternativas a resposta que

obteve em seus cálculos, logo deu-se por satisfeito.

De acordo com Macedo, Petty e Passos (2010), o hábito de jogar permite que o aluno

faça uma analogia das situações-problema que lhe aparecem no jogo com aquelas produzidas

na escola. Isso ocorre de modo que, tanto nos jogos como nos problemas matemáticos, os

alunos são desafiados a encontrar a melhor solução para cada questão, tendo que levantar

hipóteses, testá-las, analisá-las e então decidir se as aceitam ou partem para encontrar outra

solução.

131

8ª Questão) Observe a figura abaixo:

Essa questão, inserida no bloco 1 (Números, Operações e Funções) do eixo dos

conteúdo matemáticos, foi considerada por nós como uma questão mediana. Entretanto, fato

que nos surpreendeu, nenhum dos grupos obteve êxito em sua resolução.

Diferentemente das demais, não se trata de questão de múltipla escolha. Nela, o aluno

deveria analisar uma figura e, através de seus indicativos, identificar a hora, o dia e o mês em

que a cena estava acontecendo. A hora é um elemento explícito na figura, pois indicada pelo

relógio; para encontrar o dia, porém, seria necessário operar conjuntamente com algumas

informações da cena: a) placa do cinema; b) cartaz com os filmes da semana; c) placa do

bazar; e d) placa da barbearia, para só então se chegar à resposta correta. O mês é um

elemento implícito na figura, pois para identificá-lo, é preciso levar em consideração o dia do

aniversário do dono do bazar juntamente com os dias da semana em que o bazar e a barbearia

ficam abertos.

As estratégias que encontramos nos protocolos dos alunos foram: 1) hora, quando o

aluno localizou na cena da figura apenas o horário; 2) hora e dia, quando o aluno encontrou o

horário e o dia; 3) hora, dia e mês, quando o aluno descobriu a hora, o dia e o mês que a cena

ilustrava. Apareceram também quatro questões em branco. A figura 4.21 traz as estratégias

encontradas nos protocolos dos alunos.

132


Para essa questão, como já comentado, não houve acertos com relação aos três

quesitos solicitados: hora, dia e mês. Porém, identificamos que 11 alunos fizeram menção a

esses três elementos, sendo quatro do grupo Gjx e sete do grupo Gnx. Dos quatro alunos do

grupo Gjx, dois acertaram apenas a hora e um acertou somente o mês; ainda, um aluno

acertou a hora e o dia. Dos sete alunos do grupo Gnx, por sua vez, dois erraram as três

informações, dois acertaram tão somente a hora, dois acertaram apenas o mês e um acertou a

hora e o mês.

Observamos, também, que cinco alunos identificaram a hora e o dia, sendo quatro do

grupo Gjx e um do grupo Gnx. Do grupo Gjx, ainda, três acertaram exclusivamente a hora e

um acertou a hora e o dia; já o aluno do grupo Gnx não acertou nenhum dos dados solicitados.

Na identificação das horas somente, temos dois alunos do grupo Gjx, de forma que uma aluna

acertou e o outro, não. As respostas em branco foram quatro; dessas, apenas uma é do grupo

Gjx.

Diante dessas informações, verificamos que os alunos do grupo Gjx, embora não

tenham acertado todos os três elementos solicitados (dia, hora e mês), obtiveram mais acertos

com relação à hora e ao dia do que os alunos do grupo Gnx. Enquanto oito alunos do grupo

Gjx acertaram a hora, no grupo Gnx esse índice foi de apenas três.

133

Tais constatações levam a concluir que quase todos os alunos do grupo Gjx extraíram

corretamente a informação explícita da figura, o que não ocorreu no grupo Gnx. No que diz

respeito ao dia, dois alunos do grupo Gjx acertaram a informação; nenhum do grupo Gnx.

Portanto, observamos que invariavelmente o grupo Gjx sobressaiu-se em relação ao grupo

Gnx.

O panorama descrito acima demonstra que os alunos do grupo Gjx acessam estratégias

mais eficientes que os alunos do grupo Gnx, mesmo não tendo sucesso na questão. O que os

diferencia é o fato de persistirem em suas tentativas, pois, no estudo, apenas um aluno deixou

a questão totalmente em branco, enquanto no grupo Gnx esse índice aumentou para três.

Mesmo nas questões em que eles identificaram um dos elementos houve acerto.

Portanto, infere-se daí que o ato de jogar xadrez, nesse universo de estudo, trouxe

benefícios aos alunos nas operações com informações variadas e na resolução de problemas

matemáticos.

4.2.3 Síntese da análise qualitativa

Pela análise qualitativa, buscamos verificar se as estratégias dos alunos do grupo Gjx

diferenciam-se das estratégias dos alunos do grupo Gnx. Do mesmo modo, buscou-se apurar

também o quanto da ação de jogar se evidencia nessas estratégias. Sendo assim, é imperativo

sintetizar os resultados obtidos pelos alunos do grupo Gjx.

Sob essa perspectiva, então, deparamos com três tipos de respostas na ação desses

alunos: as respostas em branco, as respostas corretas e as respostas incorretas. Para o grupo

Gjx, nosso foco de análise, encontramos apenas 3% de questões em branco, 53% de respostas

corretas e 43% de respostas incorretas.

Mencionamos, anteriormente, que o baixo número de questões em branco autoriza

afirmar que os alunos do grupo Gjx foram mais participativos, ou seja, empenharam-se mais

em resolver as questões propostas. As questões chamadas semibrancas, aquelas em que os

alunos assinalaram uma alternativa, mas sem justificá-la, totalizaram apenas 4%.

Com relação às estratégias que levaram esses alunos ao sucesso, percebemos que as

mesmas estavam, em sua maioria, guiadas por uma estrutura matemática (que os alunos

deixaram registrada em seus protocolos), ou seja, que os alunos preocuparam-se em registrar

134

o procedimento matemático em cada uma das questões, fazendo-o de forma clara e objetiva.

Tais procedimentos, dessa forma, evidenciaram o percurso cognitivo utilizado na obtenção da

resposta correta.

A esse respeito, Macedo, Petty e Passos (2010, p. 151) afirma que no que diz respeito

à matemática na perspectiva escolar, o jogo de regras possibilita à criança construir

relações quantitativas ou lógicas: aprender a raciocinar e demonstrar, questionar o como e o

porquê dos erros e acertos.

Quanto às estratégias que levaram ao erro, notamos que os alunos também se

esforçaram para chegar à resposta correta, pois apenas em quatro questões assinalaram uma

alternativa sem discutir a maneira como se obteve aquela resposta.

Verificamos ainda que, para quase todas as questões, o aluno formulou uma hipótese,

testou-a, refletiu sobre ela, provou-a, justificou suas escolhas e só então tomou a decisão de

considerar correta a sua resposta. Esse percurso traçado pelos alunos durante a resolução das

questões do instrumento diagnóstico concerne ao comportamento do enxadrista que joga bem,

conforme Macedo e Machado (2006). Isso, considerando-se jogar bem como sendo um

problema de desenvolvimento: refere-se às decisões e às escolhas no contexto de uma partida

em que se expressa em cada jogada (MACEDO; MACHADO, 2006, p. 38).

Ficou demonstrado, pelas estratégias utilizadas nas oito questões, que esses alunos

assumiram durante a resolução do teste uma postura mais séria, concentrada, de quem faz

conjecturas, de quem antecipa uma dada situação (com suposições do tipo “se eu fizer essa

escolha então terei esse resultado”) e, por fim, de quem analisa cada uma das questões para só

então se manifestar.

Tais atitudes dos alunos enxadristas, como averiguamos, levam-nos a crer que a ação

de jogar pode vir a contribuir com o aluno no momento de uma resolução de problemas

matemáticos. Isso porque, nas palavras de Macedo, Petty e Passos (2008, p.14), a ação de

jogar exige, por exemplo, realizar interpretações, classificar e operar informações, aspectos

que têm uma relação direta com as demandas relativas às situações escolares.

Os dados e análises discutidos, portanto, permitem concluir que, ao menos nos limites

de nosso estudo, são fortes os indícios de que o jogo de xadrez traz contribuições

significativas para os alunos na resolução de problemas matemáticos.

135

CAPÍTULO V

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente estudo teve por objetivo fazer um diagnóstico acerca do possível efeito que

a prática de jogar xadrez pode ter sobre o desempenho dos alunos do 8º e 9º anos do Ensino

Fundamental em Matemática. Mais especificamente, pretendemos investigar a relação de

causa e efeito entre a prática do xadrez e as estratégias dos alunos no processo de resolver

problemas matemáticos.

Para isso, verificamos se as estratégias utilizadas por alunos que jogam xadrez, ao

resolver problemas matemáticos, diferenciam-se daquelas dos alunos que não jogam xadrez,

bem como o quanto das estratégias do jogo de xadrez aparece na resolução matemática das

questões. No âmbito das estratégias, buscamos observar como o aluno enxadrista se

desenvolve, expressa-se, articula-se e, ainda, como registra os procedimentos matemáticos em

cada questão proposta.

Nosso trabalho foi construído pautado no objetivo proposto e tendo em mente a

necessidade de obter informações suficientes para responder nossa questão de pesquisa, o que

faremos mais adiante, dentro desta conclusão.

Desse modo, a Introdução deste estudo apresentou nossa motivação, a problemática e

a justificativa quanto à relevância do tema, expondo o objetivo e a questão inicial de pesquisa.

No capítulo 1 (Passo a Passo do Jogo), buscamos aproximar o leitor das principais

ideias teóricas sobre o jogo como ferramenta psicopedagógica. Apresentamos, assim, as ideias

filosóficas de Huizinga (1990) e Caillois (1990) acerca do jogo na sociedade; também, o jogo

no contexto escolar, sob as perspectivas de Macedo, Petty e Passos (2008), Grando (2000),

Piaget (1978), entre outros. Nesse capítulo, ainda, pormenorizou-se a discussão considerando

o jogo de xadrez sob as perspectivas de sua prática brasileira, da Matemática, da escola e dos

estudos científicos correlatos ao nosso (SILVA, 2010; ALMEIDA, 2010; GRILLO, 2012,

entre outros).

O capítulo 2 (O jogo na visão de Piaget e sua importância na escola)

apresentou o suporte teórico, que foi tratado a partir da perspectiva de Piaget (1978; 1994,

136

1996) sobre o jogo no desenvolvimento do indivíduo, e ainda sua importância na formação do

aluno da Educação Básica, na ótica de Macedo (2006; 2010).

Com base nas ideias desses autores, no capítulo 3 (Metodologia), planejamos o

desenvolvimento da pesquisa, a qual foi de cunho descritivo e diagnóstico, em que se

procurou conhecer e interpretar a realidade, sem contudo interferir para modificá-la (RUDIO,

2008).

Para tanto, foi aplicado um instrumento diagnóstico, que consistiu de um teste

aplicado a 22 alunos oriundos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental, divididos em dois

grupos de 11 alunos cada, o grupo Gjx e o grupo Gnx, e de uma entrevista semiestruturada,

realizada com 6 alunos enxadristas. Os dados coletados por meio do instrumento diagnóstico

e da entrevista foram tratados no capítulo 4 (Análise dos Resultados), quando procedemos

primeiramente à análise quantitativa dos dados e, depois, à qualitativa.

Para uma boa apresentação das conclusões do estudo, optamos por dividir o presente

capítulo em três partes. A primeira volta-se para uma síntese dos principais resultados obtidos

tanto no instrumento diagnóstico (teste) como nas entrevistas. Na segunda parte respondemos

às questões de nossa pesquisa. Finalmente, a terceira parte dedica-se a sugestões para futuras

pesquisas a respeito do tema.

5.1 Síntese dos principais resultados

Nesta seção, apresentamos uma síntese dos principais resultados discutidos no capítulo

da análise, tanto aqueles advindos do instrumento diagnóstico (teste) como os das entrevistas.

A análise foi dividida em duas etapas. Na primeira etapa, apresentamos a análise

quantitativa dos dados, de modo que nos ativemos à comparação geral dos resultados dos dois

grupos, os alunos do grupo Gjx e os alunos do grupo Gnx, numa tentativa de evidenciar se

existiam diferenças, ou não, nos desempenhos dos grupos. Buscou-se comprovar, ainda, se

existiam diferenças entre os grupos com relação aos blocos dos conteúdos matemáticos.

Na segunda etapa, procedemos à análise qualitativa dos resultados, com base: a) nas

estratégias que o aluno que joga xadrez utiliza ao resolver problemas e se essas estratégias se

diferenciam daquelas dos alunos que não jogam xadrez e b) no quanto das estratégias do jogo

de xadrez aparece na resolução Matemática das questões.

137

Complementam essas análises as entrevistas realizadas com seis alunos do grupo Gjx,

de modo a identificar-se o quanto a ação de jogar xadrez envolve um tipo de procedimento

que se assemelha à ação do aluno enquanto resolve problemas.

Antes de apresentar a síntese de nossos resultados, gostaríamos de afirmar (como já o

fizemos no capítulo IV) que não temos a pretensão de extrapolar nossa análise para além do

universo de nossa amostra, pois sabemos tratar-se de dois grupos pequenos de sujeitos.

Porém, os testes estatísticos utilizados nos permitem confiar que as diferenças encontradas

entre os comportamentos dos grupos não se deram ao acaso. Assim, entendendo que estamos

atuando dentro da premissa de pesquisa de caráter indutivo, sentimo-nos confiantes para

inferir tendências de comportamentos. Em outras palavras, apesar de não podermos extrapolar

nossas conclusões para além do universo pesquisado, temos a convicção que elas põem luz no

debate sobre a contribuição que o jogo de xadrez pode trazer para o desempenho de alunos na

resolução de problemas matemáticos.

A análise quantitativa e a qualitativa que determinaram os resultados de nosso estudo

estão sucintamente apresentadas abaixo:

Síntese da análise quantitativa

Iniciamos nossas análises com a comparação geral do número de acertos dos dois

grupos, o grupo Gjx e o grupo Gnx, verificando que o grupo Gjx obteve um desempenho

melhor do que o grupo Gnx: enquanto o grupo Gjx obteve 53% dos acertos, o grupo Gnx

obteve apenas 33%. A partir do resultado do teste t de Student para amostras independentes,

confirmamos que essa diferença foi estatisticamente significativa.

Outro resultado importante adveio do porcentual de respostas em branco.

Consideramos que esse porcentual foi baixo nos dois grupos (7% no grupo Gnx e 4% no

grupo Gjx). Porém, se nos ativermos às respostas em que o aluno não fez qualquer registro na

questão, além de marcar uma das opções de resposta e mesmo assim errando, temos que o

grupo Gnx aumenta seu índice de respostas em branco para 11% contra os mesmos 4% do

grupo Gjx. Cabe ressaltar que o instrumento aplicado abria ao aluno a possibilidade de ele

apresentar uma resposta ainda que não demonstrasse ter resolvido analiticamente a questão.

Consideramos assim que oferecer um teste de múltiplas escolhas (como faz os testes das

Olimpíadas de Matemática para a Escola Pública) talvez não tenha sido a melhor opção.

138

Com relação à diferença entre os blocos dos conteúdos matemáticos apresentada pelos

grupos, verificamos que somente o bloco 3 (Grandezas e Medidas) é estatisticamente

significativa, como exibido pelo teste t de Student para amostras independentes.

Diante desse cenário, questionamo-nos se essa ocorrência está relacionada ao fato de o

grupo Gjx ser formado por alunos enxadristas que se dedicam ao jogo há mais de um ano.

Levam a pensar dessa forma os argumentos expostos por Macedo, Petty e Passos (2008),

segundo quem o aluno, quando joga, apreende e exercita sua observação, seu questionamento;

além disso, discute, interpreta, soluciona e analisa as situações que lhe são colocadas. Logo,

esse aluno, quando desafiado, transfere essas atitudes adquiridas no jogo para outras

situações.

Nas palavras de Piaget (1976), uma inovação é sempre o resultado de uma necessidade

anterior, e a generalização desse esquema torna o sujeito mais poderoso cognitivamente.

Acreditamos que, como defendem Macedo, Petty e Passos (2008) e Piaget (1978), o

aluno que tem contato com o jogo de maneira pedagógica desenvolve certas habilidades,

como as descritas acima, que de maneira natural são transferidas para outras atividades. Sendo

assim, as contundentes evidências dos resultados apresentados pela análise estatística levam a

acreditar que os alunos enxadristas alçaram mão das habilidades desenvolvidas no jogo para

resolver os problemas propostos no instrumento diagnóstico.

Síntese da análise qualitativa

Para a análise qualitativa, detalhamos tanto as questões incorretas como as corretas,

pois interessava verificar o quanto das ações de jogar xadrez, evidenciar-se-ia nas estratégias

desses alunos ao resolverem os problemas matemáticos. Imprescindíveis à resolução de um

problema matemático, tais ações, também previstas no ato de jogar, diz respeito à observação,

análise, formulação de hipóteses, investigação de hipóteses, teste de hipóteses, suas

justificativas, suas provas e, por fim, as decisões envolvidas. Grillo (2012) considera que o

aluno, ao jogar xadrez, pode produzir conhecimento matemático à medida que vai explorando

as potencialidades do jogo.

Desse modo, depois de analisarmos cuidadosamente os protocolos dos 22 alunos do

grupo Gjx, que em cada uma das oito questões obtiveram um número maior de acertos em

relação ao grupo Gnx, constatamos que suas estratégias demonstraram um diferencial em

139

relação ao outro grupo, pois eram mais claras e objetivas, apresentando sempre uma estrutura

Matemática adequada a cada questão.

Tais constatações minimizaram nossas dúvidas quanto aos caminhos cognitivos que os

alunos do grupo Gjx utilizaram para chegar à resposta correta. Macedo, Petty e Passos (2010)

argumenta que os jogos de regras, como é o caso de nosso estudo, possibilitam ao aluno

raciocinar, demonstrar, questionar o como e o porquê dos erros e acertos.

Ficou demonstrado, também, em suas estratégias, que os alunos do grupo Gjx

assumiram durante a resolução do teste uma postura séria, concentrada, de quem fez

conjecturas, de quem antecipa uma dada situação (com suposições do tipo “se eu fizer essa

escolha então terei esse resultado”) e, por fim, de quem analisa cada uma das questões para

então se manifestar. Essas atitudes dos alunos enxadristas, como averiguamos, levam a crer

que a ação do jogar influencia a resolução de questões matemáticas, o que vem ao encontro

das pesquisas de Macedo, Petty e Passos (2008), para quem o aluno incentivado a jogar

durante as aulas e com o acompanhamento do professor adquire uma postura diretamente

relacionada às situações escolares, como realizar interpretações, classificar e operar

informações.

Quanto às estratégias que levaram ao erro, notamos que os alunos do Gjx também se

esforçaram para chegar à resposta correta, pois apenas em quatro questões assinalaram uma

alternativa sem discutir a maneira como encontraram aquela resposta, deixando três delas em

branco. Ademais, durante as entrevistas, observamos que em alguns casos os alunos,

revisitando a questão do instrumento diagnóstico, logo perceberam seus erros e os corrigiram,

o que para Macedo, Petty e Passos (2010) é uma evidência de que o aluno que joga aprende a

analisar e corrigir os seus erros.

Observamos, ainda, que em quase todas as questões os alunos do Gjx formularam uma

hipótese a respeito, testaram-na, refletiram sobre ela, provaram-na, justificaram-na para só

então tomarem a decisão de considerar correta a sua resposta. Esse percurso traçado durante a

resolução das questões do instrumento diagnóstico faz parte, também, de um comportamento

do enxadrista, que, além de jogar certo, joga bem, segundo o conceito de Macedo e Machado

(2006). É o caso dos sujeitos de nossa pesquisa: alunos que jogam xadrez há mais de um ano

e participam de campeonatos, tendo sido classificados, nos últimos três anos, entre as cinco

melhores equipes de sua categoria no Estado de São Paulo.

140

Evidenciaram-se, assim, características desenvolvidas no jogo, verbalizadas nas

soluções das questões propostas. Portanto, a partir desses resultados, já podemos responder a

nossa questão de pesquisa, o que acontecerá na próxima seção.

5.2 Retomada da questão de pesquisa

Propomos-nos, em nosso estudo, responder a seguinte questão de pesquisa:

Alunos que jogam xadrez têm melhor desempenho na

resolução de problemas matemáticos do que alunos que

não jogam xadrez?

Essa questão principal foi desmembrada em outras duas questões específicas. As

respostas a essas duas questões fornecerão subsídios que possibilitarão obter uma resposta

consistente à questão principal. Assim sendo, apresentaremos, a seguir, as duas questões

específicas, seguidas de suas respectivas respostas, para só então retornarmos à questão mais

ampla de nosso estudo.

As estratégias dos alunos enxadristas se diferenciam das

estratégias dos alunos que não jogam xadrez?

Respondemos a essa questão esclarecendo que as estratégias dos alunos enxadristas,

independentemente de terem sido melhores ou piores, são diferentes daquelas dos alunos que

não jogam xadrez.

Quando falamos em estratégias diferentes, neste caso estamos nos referindo aos

seguintes fatos, que puderam ser identificados no comportamento dos alunos enxadristas: a)

esses alunos responderam as questões de forma mais clara e objetiva; b) justificaram suas

respostas de maneira coerente; c) deixaram um número mínimo de questões sem justificativas

e sem respostas. O que de acordo com Grillo (2012) era esperado, pois o aluno que joga

xadrez faz uso de um conhecimento matemático a partir do jogo, ou seja, a partir de suas

ações no jogo, como: a análise das suas possibilidades de jogo, através do levantamento de

141

hipóteses, na construção de suas estratégias, em suas conjecturação, no estudo e reflexão

sobre suas as jogadas e nas analises de seus os erros.

Tal comportamento ocorreu de maneira inversa no grupo Gnx, cujos alunos, ao

justificarem suas alternativas, muitas vezes demonstraram um raciocínio confuso e incoerente,

deixando um número maior de respostas apenas assinaladas e não justificadas, como também

um número maior de respostas em branco.

De acordo com os resultados que encontramos podemos, então, afirmar que as

estratégias entre os grupos se diferem.

Em que a prática com o jogo de xadrez pode contribuir para

as estratégias dos alunos no processo de resolver os problemas

matemáticos?

Com os resultados que encontramos em nossa pesquisa, ainda que delimitados a esse

universo de estudo, pode-se afirmar que encontramos fortes indícios de que a prática do jogo

de xadrez trouxe uma melhora substancial às estratégias dos alunos enxadristas, o que foi

verificado por meio de seus protocolos.

Constatamos nos protocolos que os alunos enxadristas, em suas respostas e

justificativas, tiveram mais cuidado na escrita, não pouparam detalhes em suas resoluções,

tiveram clareza nas argumentações, apresentaram estratégias mais eficientes, demonstraram

mais preocupação em encontrar respostas para as questões e apresentaram um número maior

de acertos e um número menor de questões em branco.

Logo, o que nos faz crer que esses alunos assumiram durante a resolução do teste uma

postura séria, concentrada, de quem faz conjecturas, de quem antecipa uma dada situação

(com suposições do tipo “se eu fizer essa escolha então terei esse resultado”) e, por fim, de

quem analisa cada uma das questões para então se manifestar. Essas atitudes nos levam a

acreditar que a ação do jogar pode contribuir para o processo de resolver os problemas

matemáticos.

Tomando como suporte as respostas encontradas para as duas questões específicas,

retomaremos nossa questão principal de pesquisa com vista a oferecer uma resposta para ela.

142

Alunos que jogam xadrez têm melhor desempenho na

resolução de problemas matemáticos do que alunos que não

jogam xadrez?

De acordo com a análise quantitativa, podemos assegurar que, com relação a nosso

universo de estudo, o desempenho dos alunos enxadristas foi superior ao dos alunos que não

jogam xadrez. Fato que se evidenciou por meio das porcentagens de acertos dos dois grupos,

que foi de 53% para o grupo Gjx e 33% para o grupo Gnx. Verificamos, também, se essa

diferença encontrada entre os grupos era significativa, e com o auxílio do teste t de Student

para amostras independentes, ficou comprovado que essa diferença é estatisticamente

significativa, ou seja, o grupo Gjx obteve um melhor desempenho do que o grupo Gnx.

Os porcentuais de questões errados e em branco confirmam a diferença entre os

grupos. Enquanto o grupo Gjx obteve 43% de questões erradas e 4% de questões em branco, o

grupo Gnx obteve 60% de questões erradas e 7% em branco. Conferimos que essa diferença é

significativa entre os grupos no que se refere ao bloco 3 dos conteúdos matemáticos

(Grandezas e Medidas).

Corroborando com Macedo, Petty e Passos (2010) e Piaget (1978), que o aluno que

tem contato com o jogo de maneira pedagógica desenvolve certas habilidades, como ser mais

observador, ser mais questionador, construir mais argumentos, discutir mais, interpretar de

maneira mais eficiente, procura solucionar seus problemas e adquiri um senso de analise mais

refinado, que de maneira natural são transferidas para outras atividades.

Podemos concluir que o melhor desempenho dos alunos que jogam xadrez frente a

problemas de Matemática, foram contribuições de: (a) suas estratégias de resolução –

apresentaram estratégias mais claras e eficientes, como, também, justificativas coerentes – e

(b) seus comportamentos frente aos problemas apresentados – eles mostraram-se proativos e

confiantes, buscando por uma resposta, mesmo que ela não fosse a correta; de um modo geral

eles organizaram melhor os dados do problema no espaço de resolução.

Assim sendo, com as evidências dos resultados apresentados pela análise quantitativa,

as afirmações de Piaget e Macedo em conjunto com os resultados encontrados nas duas

questões específicas, podemos inferir que há indícios que os alunos enxadristas podem ter

alçado mão de habilidades desenvolvidas a partir do jogo para resolver os problemas

matemáticos propostos no instrumento diagnóstico.

143

5.3 Sugestões para futuras pesquisas

De um modo geral, o presente estudo atendeu ao objetivo proposto, qual seja, o de

investigar se os alunos que jogam xadrez têm melhor desempenho na resolução de problemas

matemáticos em relação a alunos que não jogam xadrez. Entretanto, como costuma ocorrer

quando se chega ao cabo de uma investigação, algumas ideias, fruto de nossas meditações,

surgem como possibilidades de encaminhamentos para futuras pesquisas.

Uma delas concerne a um estudo comparativo, no qual se faria um teste (pré-teste) nos

alunos antes de começarem a jogar xadrez nas ACD e outro teste (pós-teste) depois de um ano

de dedicação ao jogo de xadrez, para se verificarem as prováveis diferenças significativas nas

estratégias dos alunos em Matemática no período delimitado.

Esse gênero de pesquisa requer mais tempo, mas pode trazer mais elementos

elucidativos quanto aos benefícios do xadrez para os alunos que o praticam, dado que a

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo vem apoiando esse projeto em suas escolas.

Outra sugestão de pesquisa é fazer-se um estudo comparativo, de modo a verificar se

os alunos enxadristas têm um melhor desempenho na resolução de problemas matemáticos do

que os alunos praticantes de um outro jogo de estratégia.

O interesse de tal pesquisa está em verificar se os mesmos efeitos do jogo de xadrez na

resolução de questões matemáticas se aplicam a um outro jogo de estratégia.

Esperamos não só que o presente trabalho venha a contribuir para a ciência e, em

especial à Educação Matemática, mas também que novas pesquisas o complementem e

juntem-se a ele.

144

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149

APÊNDICE - A

INSTRUMENTO DIAGNÓSTICO PILOTO

ATIVIDADES DE MATEMÁTICA – 2010

Nome: __________________________________ Série: __________________ 1. Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma régua, graduada em

centímetros, como mostra a figura. Qual é o comprimento do selo?

A)3 cm B)3,4 cm C)3,6 cm D)4 cm E)4,4 cm

UTILIZE ESTE ESPAÇO PARAFAZER OS CÁLCULOS

2. As duas peças de madeira a seguir são iguais.

Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o seguinte exemplo.

Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser formada com as duas peças dadas?


150

3. A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor

de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João.

Dado que João não abasteceu o carro, quantos litros de gasolina ele gastou nesta viagem?

A) 10 litros

B) 15 litros

C)18 litros D)25 litros

E) 30 litros


4. Para testar a qualidade de um combustível composto apenas de gasolina e álcool, uma empresa

recolheu oito amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra foi determinado o percentual

de álcool e o resultado é mostrado no gráfico abaixo. Em quantas dessas amostras o percentual de

álcool é maior que o percentual de gasolina?

A) 1 amostra

B) 2 amostras

C) 3 amostras

D) 4 amostras

E) 5 amostras


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

1

2

3

4

5

6

7

8

Am

ost

ras

% de álcool


5. Um time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Até

hoje cada time já disputou 20 jogos. Se um desses times venceu 8 jogos e perdeu outros 8 jogos,

quantos pontos ele tem até agora?

A) 23 pontos B) 25 pontos C) 26 pontos D) 27 pontos E) 28 pontos


151

6. Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2

horas?

A) 30° B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 90°


7. Usando uma balança de dois pratos, verificamos que 4 abacates pesam o mesmo que 9 bananas e

que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se colocarmos 9 laranjas num prato da balança, quantos

abacates deveremos colocar no outro prato, para equilibrar a balança?

A) 1 abacate B) 2 abacates C) 4 abacates D) 5 abacates E) 6 abacates


8. O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BÂC mede 30o. O triângulo BCD é isósceles de

base BD. Determine a medida do ângulo D A.

A) α = 45°

B) α = 50°

C) α = 60°

D) α = 75°

E) α = 90°


152

9. A turma do Carlos organizou uma rifa. O gráfico mostra quantos alunos compraram um mesmo

número de bilhetes; por exemplo, cinco alunos compraram três bilhetes cada um. Quantos bilhetes

foram comprados?


Número de Bilhetes Comprados

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4

Nº de Bilhetes

Nº

de

Alu

no

s


10. Em Sorocaba choveu em 10 manhãs e em 17 tardes do mês de janeiro de 2010. Não choveu em 12

dias. Em quantos dias choveu apenas pela manhã?



11. Um cartão da OBMEP, medindo 11 cm por 18 cm, foi cortado para formar um novo cartão, como

na figura. Qual é a área da parte com as letras O e B?

A) 77 cm2

B) 88 cm2

C) 99 cm2

D) 125 cm2

E) 198 cm2


153

12. Duas formigas percorrem o trajeto da figura partindo, ao mesmo tempo, uma do ponto A e outra

do ponto B. Elas andam com a mesma velocidade e no sentido indicado pelas flechas. Qual será a

distância entre elas no momento em que elas ficarem uma de frente para a outra?

A) 30 m

B) 40 m

C) 50 m

D) 60 m

E) 70 m

A B

30 m 40 m

60m


154

APÊNDICE - B

INSTRUMENTO DIAGNÓSTICO PRINCIPAL

ATIVIDADES DE MATEMÁTICA – 2011

Nome: ________________________________________________________________Série:

1. Guilherme está medindo o comprimento de um selo com um pedaço de uma régua, graduada em

centímetros, como mostra a figura. Qual é o comprimento do selo?

A)3 cm B)3,4 cm C)3,6 cm D)4 cm E)4,4 cm


2. As duas peças de madeira a seguir são iguais.

Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como mostra o seguinte exemplo.

Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser formada com as duas peças dadas?


3. Para testar a qualidade de um combustível composto apenas de gasolina e álcool, uma empresa

recolheu oito amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra foi determinado o percentual

155

de álcool e o resultado é mostrado no gráfico abaixo. Em quantas dessas amostras o percentual de

álcool é maior que o percentual de gasolina?

A) 1 amostra

B) 2 amostras

C) 3 amostras

D) 4 amostras

E) 5 amostras


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

1

2

3

4

5

6

7

8

Am

ostr

as

% de álcool


4. Um time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Até

hoje cada time já disputou 20 jogos. Se um desses times venceu 8 jogos e perdeu outros 8 jogos,

quantos pontos ele tem até agora?

A) 23 pontos B) 25 pontos C) 26 pontos D) 27 pontos E) 28 pontos


5. Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2

horas?

A) 30° B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 90°


156

6. A turma de Carlos organizou uma rifa. O gráfico mostra quantos alunos compraram um mesmo

número de bilhetes; por exemplo, sete alunos compraram três bilhetes cada um. Quantos bilhetes

foram comprados?



7. Em Sorocaba choveu em 10 manhãs e em 17 tardes do mês de janeiro de 2010. Não choveu em 12

dias. Em quantos dias choveu apenas pela manhã?



157

8. Observe a figura abaixo:


158

APÊNDICE - C

ROTEIRO DA ENTREVISTA

1. Há quanto tempo você joga xadrez?

2. Você aprendeu a jogar xadrez na escola?

3. Já participou de campeonatos? Quantos? Quais foram eles?

4. Você já ganhou algum campeonato? Quantos e quais os foram?

5. Qual foi a sua melhor classificação num campeonato?

6. Durante o jogo, você faz anotações? Você pode me explicar como elas são?

7. Nos treinos você anota as jogadas? Você pode me mostrar como faz isso?

8. Você estuda nessa escola há quanto tempo?

9. Com relação a essa “questão” (questão selecionada por nós),como foi que você pensou para

resolvê-la?

10. Agora, olhando-a novamente você acha que está correto?

11. O que você faria de diferente?

159

ANEXOS - A

AUTORIZAÇÃO PARA A REALIZAÇÃO DA PESQUISA

ACADÊMICA

Termo de Autorização

Ao Excelentíssimo Diretor da Escola Estadual Brigadeiro Tobias.

Venho por meio deste solicitar vossa autorização para que eu, Anne Carine Lopes,

aluna regularmente matriculada no curso de Mestrado Acadêmico do Programa de Pós

Graduação em Educação Matemática da PUC/SP, possa desenvolver parte da minha pesquisa

de Mestrado, junto aos alunos do 8º e 9º anos do período diurno desta Unidade Escolar. Desde

já, agradeço vossa compreensão.

Sorocaba, maio de 2011.

Atenciosamente

_____________________

Anne Carine Lopes

160

ANEXOS - B

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Declaro, por meio deste termo, que concordei em participar da pesquisa intitulada: O

jogo de xadrez e o estudante: uma relação que pode dar certo na resolução de problemas

matemáticos, desenvolvida por Anne Carine Lopes e orientada pela Profª Dra Sandra M.

P. Magina, docente do Programa de Mestrado/Doutorado da PUC-SP em Educação

Matemática.

Afirmo que aceitei participar por minha própria vontade, sem receber qualquer

incentivo financeiro ou ter qualquer ônus e com a finalidade exclusiva de colaborar para o

sucesso da pesquisa. Fui informado(a) dos objetivos estritamente acadêmicos do estudo, que,

em linhas gerais é diagnosticar o possível efeito que a prática do xadrez pode ter sobre o

desempenho dos alunos do 8º e 9º anos do Ensino Fundamental em Matemática.

Estou ciente, ainda, de que em alguns momentos dessa pesquisa poderá ser gravada e

fotografada, porém o pesquisador se compromete a preservar o anonimato de todos os

professores e alunos que participarão desse estudo, bem como o nome e endereço da escola.

Fui também esclarecido(a) de que os usos das informações por mim oferecidas estão

submetidos às normas éticas destinadas à pesquisa envolvendo seres humanos.

Minha colaboração se fará de forma anônima, por meio das respostas descritas no

instrumento de pesquisa elaborada pelo pesquisador, a ser respondido a partir da assinatura

desta autorização. O acesso e a análise dos dados coletados se farão apenas pelo pesquisador e

pela sua orientadora.

Fui ainda informado(a) de que posso me retirar dessa pesquisa a qualquer momento,

sem qualquer prejuízo, sofrer quaisquer sanções ou constrangimentos.

Atesto recebimento de uma cópia assinada deste Termo de Consentimento Livre e

Esclarecido, conforme recomendações da Comissão Nacional de Ética em Pesquisa

(CONEP).

Sorocaba, _______ de __________________________________ de 2011.

Assinatura do(a) responsável pelo participante: ________________________________

Assinatura da pesquisadora:________________________________________________

Assinatura do(a) testemunha(a): ___________________________________________

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