Sapatas de Fundação

download Sapatas de Fundação

of 119

Transcript of Sapatas de Fundação

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    1/119

    UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAUNESP - Campus de Bauru/SP

    FACULDADE DE ENGENHARIADepartamento de Engenharia Civil

    Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III

    NOTAS DE AULA

    SAPATAS DE FUNDAO

    Prof. Dr. PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

    Bauru/SP

    Setembro/2011

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    2/119

    APRESENTAO

    Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

    2133 Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

    Universidade Estadual Paulista - UNESP Campus de Bauru.

    O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundao, conforme os

    procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - Projeto de estruturas de concreto

    Procedimento.

    Agradecimentos ao tcnico Tiago Duarte de Mattos, pela confeco dos desenhos, e ao

    aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxlio na digitao do texto.

    Esta a primeira verso da apostila, e quaisquer crticas e sugestes sero muito bem-

    vindas.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    3/119

    SUMRIO

    1. DEFINIES...........................................................................................................................1

    1.1 SAPATA DE FUNDAO...............................................................................................11.2 FUNDAO SUPERFICIAL............................................................................................11.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................11.4 DETALHES CONSTRUTIVOS........................................................................................3

    2. CLASSIFICAO QUANTO RIGIDEZ..........................................................................4

    3. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL ................................................................................5

    3.1 SAPATAS RGIDAS .........................................................................................................5

    3.2 SAPATAS FLEXVEIS .....................................................................................................64. DISTRIBUIO DE TENSES NO SOLO.........................................................................7

    5. ESTIMATIVA DAS DIMENSES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA

    CENTRADA ....................................................................................................................................7

    5.1 SAPATA COM BALANOS (ABAS) IGUAIS NAS DUAS DIREES......................75.2 BALANOS NO IGUAIS NAS DUAS DIREES (CACB)....................................8

    6. CRITRIOS DE PROJETO SEGUNDO O CEB-70 ...........................................................9

    7. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR (CEB-70)..................................10

    8. MOMENTOS FLETORES EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGA CENTRADA SEGUNDO CEB-70.......................................................................................................................10

    9. ANCORAGEM DA ARMADURA DE FLEXO (CEB-70) .............................................14

    10. FORA CORTANTE DE REFERNCIA EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGA

    CENTRADA SEGUNDO CEB-70 ............................................................................................15

    11. FORA CORTANTE LIMITE (CEB-70)...........................................................................17

    12. VERIFICAO DA SAPATA PUNO .......................................................................17

    12.1 TENSO DE CISALHAMENTO SOLICITANTE.....................................................1812.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simtrico...............................................................1812.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado ............................................................19

    12.2 VERIFICAO DE TENSO RESISTENTE DE COMPRESSO DIAGONAL DOCONCRETO NA SUPERFCIE CRTICA C.............................................................................2012.3 TENSO RESISTENTE NA SUPERFCIE CRTICA C EM ELEMENTOSESTRUTURAIS OU TRECHOS SEM ARMADURA DE PUNO.......................................21

    13. DETERMINAO DA ALTURA DA SAPATA ...............................................................22

    14. EXEMPLO 1 SAPATA ISOLADA RGIDA ...................................................................23

    15. EXERCCIOS PROPOSTOS...............................................................................................30

    16. SAPATAS RGIDAS MTODO DAS BIELAS ..............................................................30

    17. EXEMPLO 2 - SAPATA ISOLADA RGIDA ....................................................................34

    18. SAPATAS ISOLADAS SOB AES EXCNTRICAS....................................................35

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    4/119

    18.1 EXCENTRICIDADE EM UMA DIREO................................................................3518.2 EXCENTRICIDADE NAS DUAS DIREES ..........................................................37

    19. EXEMPLO 3 ..........................................................................................................................41

    20. EXEMPLO 4 SAPATA ISOLADA SOB FLEXO OBLQUA.....................................50

    21. SAPATA ISOLADA FLEXVEL SOB CARGA CENTRADA.........................................55

    22. VERIFICAO DE SAPATA FLEXVEL FORA CORTANTE QUANDO bW5d

    58

    23. EXEMPLO 5 ..........................................................................................................................58

    24. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................64

    24.1 SAPATA CORRIDA RGIDA SOB CARGA UNIFORME .......................................6624.2 SAPATA CORRIDA FLEXVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME...................6724.3 EXEMPLO 6 SAPATA CORRIDA RGIDA ...........................................................6824.4 TAREFA.......................................................................................................................71

    24.5 EXERCCIO PROPOSTO............................................................................................7124.6 EXEMPLO 7 SAPATA CORRIDA FLEXVEL......................................................7124.7 EXERCCIO PROPOSTO............................................................................................74

    25. VERIFICAO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................75

    26. VERIFICAO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXO EM

    SAPATAS.......................................................................................................................................76

    27. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILBRIO .....................................................77

    27.1 ROTEIRO DE CLCULO...........................................................................................7927.2 ESFOROS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILBRIO .....................................79

    27.3 PR-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILBRIO ......................................8227.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA ..................................................8227.5 EXEMPLO 8.................................................................................................................8427.6 TAREFA.......................................................................................................................9127.7 VIGA ALAVANCA NO NORMAL DIVISA.......................................................91

    27.7.1 Exerccio Proposto ....................................................................................................9228. SAPATA EXCNTRICA DE DIVISA ................................................................................93

    29. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................96

    29.1 SAPATA RETANGULAR...........................................................................................9629.2 VERIFICAES E DIMENSIONAMENTO..............................................................99

    29.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL...................................................................10129.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ.................................................102

    29.4.1 Viga de Rigidez (VR)..............................................................................................10329.4.2 Sapata ......................................................................................................................103

    29.5 EXEMPLO 9...............................................................................................................10330. QUESTIONRIO................................................................................................................112

    31. RERERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..............................................................................113

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    5/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 1

    1. DEFINIES

    As definies apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/96.

    1.1 SAPATA DE FUNDAO

    Sapata de fundao um Elemento de fundao superficial de concreto armado,dimensionado de modo que as tenses nele produzidas no sejam resistidas pelo concreto, massim pelo emprego da armadura. Pode possuir espessura constante ou varivel, sendo sua baseem planta normalmente quadrada, retangular ou trapezoidal.

    1.2 FUNDAO SUPERFICIAL

    Tambm chamada fundao rasa ou direta. definida como: Elemento de fundao emque a carga transmitida ao terreno, predominantemente pelas presses distribudas sob a baseda fundao e em que a profundidade de assentamento em relao ao terreno adjacente inferior a duas vezes a menor dimenso da fundao. Incluem-se nesse tipo de fundao as

    sapatas, os blocos, os radiers, as sapatas associadas, as vigas de fundao e as sapatascorridas.

    Quanto ao dimensionamento, As fundaes superficiais devem ser definidas por meio dedimensionamento geomtrico e de calculo estrutural (NBR 6122/96, item 6.3).

    1.3 TIPOS DE SAPATAS

    Sapata Isolada: transmite aes de um nico pilar, que pode estar centrado ou excntrico;pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).

    h=cte h = var

    Figura 1 Sapata isolada.

    Sapata corrida: Sapata sujeita ao de uma carga distribuda linearmente.

    Sapata corrida para pilares: para pilares alinhados e prximos, tambm chamada viga

    de fundao.Sapata corrida para paredes: para carregamentos contnuos, geralmente uniformes

    (Figura 2).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    6/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 2

    parede

    sapata OU

    Figura 2 Sapata corrida para apoio de parede.

    Sapata associada: tambm chamada sapata combinada ou conjunta (Figura 3):transmitem aes de dois ou mais pilares; utilizada como alternativa quando a distncia entreduas ou mais sapatas pequena. Conforme a NBR 6122, quando os centros dos pilares no soalinhados, a sapata chamada associada. Quando os centros so alinhados chamada viga defundao.

    PLANTA

    VR

    A

    A

    P1 P2

    ELEVAO CORTE AA

    Viga derigidez

    Figura 3 Sapata associada (viga de fundao).

    Sapata com viga de equilbrio: para pilar na divisa onde o momento fletor resultante daexcentricidade da ao com a reao deve ser resistido por uma viga de equilbrio - VE,tambm chamada viga alavanca - VA, Figura 4.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    7/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 3

    sapata 2

    VA

    Viga alavanca (VA)

    sapata 1

    Figura 4 Sapata com viga de equilbrio.

    1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS

    A base de uma fundao deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que osolo de apoio no seja influenciado pelos agentes atmosfricos e fluxos dgua. Nas divisas comterrenos vizinhos, salvo quando a fundao for assente sobre rocha, tal profundidade no deve

    ser inferior a 1,5 m (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 5 mostra alguns detalhes construtivossugeridos para as sapatas.

    cm20

    3/hh 0

    > 31

    Lastro de concreto simples( 5cm, fck )solo, rocha

    h

    h0

    3 a 10 cm

    Figura 5 Sugesto para alguns detalhes construtivos da sapata.

    30(ngulo do talude natural do concreto fresco no obrigatrio).

    A configurao das vigas baldrames (VB) em relao sapata pode variar, conformealguns casos indicados na Figura 6.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    8/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 4

    VB

    VB

    Vigabaldrame(VB)

    Figura 6 Posicionamento da viga baldrame em relao sapata.

    - no caso de sapata isolada: o centro de gravidade da sapata deve coincidir com ocentro de aplicao da ao do pilar; a menor dimenso deve ser 60 cm (NBR6122/96, 6.4.1); a relao entre os lados deve ser A/B 2,5. Regularmente, os ladosA e B devem ser escolhidos de modo que cAcB , mostrados na Figura 7.

    Se cA= cB:

    A ap= B bp

    A B = ap bp AsxAsy(ou AsAAsB)

    B

    A

    bp

    ap

    CB

    CACA

    CB

    Figura 7 Notao para a sapata isolada.

    2. CLASSIFICAO QUANTO RIGIDEZConforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificao das sapatas quanto rigidez :

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    9/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 5

    Sapata rgida:3

    )a-(Ah p

    Sapata flexvel:3

    )a-(Ah p<

    h

    A

    ap Pilar

    Figura 8 Altura h da sapata.

    com: h = altura da sapata (Figura 8);A = dimenso (lado) da sapata numa determinada direo;

    ap= dimenso do pilar na direo do lado A.

    Nota: a classificao acima deve ser verificada segundo as duas direes da sapata, ou seja,segundo as direes dos lados A e B de sapatas retangulares.

    Pelo CEB-70, a sapata rgida quando:

    0,5 tg 1,5 (26,6 56,3)

    tg = h / c

    h

    ap Pilar

    CBalano

    Figura 9 nguloe balano c.

    A sapata ser considerada flexvel se:

    tg < 0,5

    tg > 1,5 bloco de fundao - dispensa-se a armadura de flexo porque o concretoresiste a t.

    3. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL(NBR 6118/03, 22.4.2)

    3.1 SAPATAS RGIDAS

    So aquelas com alturas grandes.

    a) h flexo nas duas direes (A e B), com a trao na flexo sendo uniformemente distribudana largura da sapata. As armaduras de flexo AsA e AsB so distribudas uniformemente naslarguras A e B da sapata (Figura 10).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    10/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 6

    Sapatargida

    As B

    As AA

    Figura 10 Armadura positiva de flexo de sapata isolada.

    b) h atuao de fora cortante nas duas direes (A e B), no apresentando ruptura por traodiagonal, e sim por compresso diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).No h possibilidade de puno, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de puno.

    De acordo com o CEB70, as foras cortantes devem ser verificadas numa seo de

    referncia S2, conforme ser estudado adiante.

    Seo a ter compressoverificada (item 19.5.3.1da NBR6118)

    I

    II

    Figura 11 Tenses principais na sapata isolada.

    3.2 SAPATAS FLEXVEIS

    So aquelas com alturas pequenas. Embora de uso mais raro, as sapatas flexveis soutilizadas para fundao de cargas pequenas e solos relativamente fracos. (NBR 6118/03) .

    As sapatas rgidas tm a preferncia no projeto de fundaes.a) h flexo nas duas direes, mas a trao na flexo no uniforme na largura (Figura 12);b) h a necessidade da verificao puno.

    N

    p

    M(varivel)

    Figura 12 Momento fletor na sapata flexvel.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    11/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 7

    4. DISTRIBUIO DE TENSES NO SOLO

    As principais variveis que afetam a distribuio de tenses so: caractersticas dascargas aplicadas, rigidez relativa fundao-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.(ver Velloso e Lopes Fundaes, v.1, ed. Oficina de Textos).

    A distribuio real no uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se

    a distribuio uniforme, o que geralmente resulta esforos solicitantes maiores (Figura 13). ANBR 6122 (6.3.2) admite a distribuio uniforme, exceto no caso de fundaes apoiadas sobrerocha.

    Rgida

    distribuiaoadmitida

    distribuioreal

    Areia

    Flexvel

    Areia

    Figura 13 Distribuio de tenses no solo.

    A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: Para sapata rgida pode-se admitir plana adistribuio de tenses normais no contato sapata-terreno, caso no se disponha de informaesmais detalhadas a respeito.

    5. ESTIMATIVA DAS DIMENSES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGACENTRADA

    rea de apoio da sapata:solo

    sapN05,1

    S

    = ousolo

    sapN1,1

    S

    =

    Os fatores 1,05 e 1,1 servem para estimar o peso prprio da sapata e do solo sobre asapata.

    5.1 SAPATA COM BALANOS (ABAS) IGUAIS NAS DUAS DIREES

    Conforme as dimenses mostradas na Figura 14, tem-se:

    A = 2cA+ ap

    B = 2cB+ bp

    Com cA= cB, fica:

    A B = ap bp

    BSABAS sapsap ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    12/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 8

    ppsap baBB

    S=

    Multiplicando por B:

    ( )BbaBS

    pp

    2

    sap =

    ( ) ( ) sap2

    pppp Sab4

    1ab

    2

    1B ++=

    A e B devem ser mltiplos de 5 cm. indicado que a dimenso seja no mnimo 80 cm nocaso de sapata de edifcios, e 60 cm para sapatas de residncias trreas e de dois pavimentos(sobrado).

    B

    A

    bp

    ap

    CB

    CA

    CB

    CA

    Figura 14 Sapata isolada com balanos iguais nas duas direes.

    5.2 BALANOS NO IGUAIS NAS DUAS DIREES (CACB)

    Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relao:

    0,3

    B

    A

    Sendo R a relao entre as dimenses (Figura 15), tem-se:

    RBARBA

    ==

    Ssap= A . B Ssap= R . B2

    R

    SB sap=

    com A e B mltiplos de 5 cm.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    13/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 9

    B

    A

    b

    p

    ap

    CB

    CA CA

    CB

    Figura 15 Sapata isolada com balanos no iguais nas duas direes.

    6. CRITRIOS DE PROJETO SEGUNDO O CEB-70

    O mtodo pode ser aplicado a sapatas com:

    c 2h e2h

    c

    h2c2

    h

    Se2h

    c bloco de fundao.

    h

    CC

    Figura 16 Balano c na sapata isolada.

    Admite-se que o solo tem comportamento elstico, e da que as reaes do solo sobre a

    superfcie de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).

    N

    M("pequeno")

    (LN fora daseo)

    Superfcieplana

    N

    M("grande")

    x

    Distribuio admitida paraquando existirem tenses detrao na base da sapata

    Figura 17 Reao do solo na base da sapata.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    14/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 10

    7. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA INFERIOR (CEB-70)

    Os momentos fletores so calculados, para cada direo, em relao a uma seo dereferncia (S1Ae S1B), que dista 0,15 vezes a dimenso do pilar normal seo de referncia, e seencontra internamente ao pilar (Figura 18).

    ap0,15ap

    CA

    d1

    S1AA

    Figura 18 Seo de referncia S1.

    d1= d 1,5cA

    O momento fletor calculado levando-se em conta o diagrama de tenses no solo, entre aseo S1e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.

    S1

    12

    Figura 19 Diagrama para clculo do momento fletor na seo de referncia S1.

    No clculo da armadura de flexo que atravessa a seo S1 consideram-se ascaractersticas geomtricas da seo de referncia S1.

    O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto , arelao entre as armaduras de flexo ortogonais deve ser 1/5.

    8. MOMENTOS FLETORES EM SAPATAS ISOLADAS COM CARGACENTRADA SEGUNDO CEB-70

    Os momentos fletores so calculados nas sees de referncia S1, conforme indicados na

    Figura 20.

    2

    aAc pA

    = =

    2

    bBc pB

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    15/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 11

    p

    0,15

    ap

    0,15ap

    bp

    S1A

    S1B

    CB

    xB

    B

    CA xA

    A

    bp

    N

    S1A

    Figura 20 Notaes e seo de referncia S1.

    Presso da sapata no solo:

    B.A N05,1P= ou B.A N1,1P

    =

    As distncias xA e xBso:

    xA= cA+ 0,15ap

    xB= cB+ 0,15bp

    reas de referncia nas duas direes (Figura 21):

    B

    A

    xB

    xA

    A1A

    A1B

    Figura 21 reas de referncia.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    16/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 12

    A1A= xAB

    A1B= xBA

    Resultantes da presso (tenso) no solo (Figura 22):

    R1A= p . xA. B

    R1B= p . xB. A

    xA

    S1AR1A

    p

    Figura 22 Resultante da presso no solo.

    Momento fletor em cada direo:

    2

    xRM AA1A1 = 2

    xB.pM

    2A

    A1 =

    2

    xRM BB1B1 = 2

    xA.pM

    2B

    B1 =

    No clculo da armadura de flexo, embora a seo comprimida Acseja um trapzio, o

    clculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seo retangular (Figura 23). Seconsiderar-se o trapzio deve-se fazer cd= 0,8 fcd.

    As

    A'c

    LN

    Figura 23 rea de concreto comprimida pela flexo (Ac).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    17/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 13

    Como na flexo simples, com auxlio dos coeficientes K tabelados:

    d

    21w

    c M

    dbK = x(domnio ?) e Ks

    com bw= A ou B.

    1

    dss d

    MKA = As,mn

    Simplificadamente tambm pode-se fazer:

    yd1

    ds f.d85,0

    MA = As,mn

    Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexo pode ser uniformemente distribudana largura da sapata.A armadura deve se estender de face face e terminar com gancho nas duas

    extremidades.Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:

    a) quando B ap+ 2h (Figura 24):

    A armadura calculada como sendo:BA

    B2As

    +

    B Armadura

    B

    A

    ap

    bp

    Figura 24 Distribuio de Asquando B ap+ 2h.

    b) no caso de B < ap+ 2h (Figura 25):

    A armadura calculada como sendo: h2aA

    h2a2

    A p

    p

    s ++

    +

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    18/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 14

    Armadura

    B

    A

    ap

    bp

    + 2hap

    Figura 25 Distribuio de Asquando B < ap+ 2h.

    9. ANCORAGEM DA ARMADURA DE FLEXO (CEB-70)1caso:se a aba de comprimento csuperar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir daseo distante h da face do pilar, e deve se estender at as bordas da sapata (Figura 26). lb ocomprimento de ancoragem bsico, considerado sem gancho.

    C > h

    h

    h

    lb

    Figura 26 Ancoragem da armadura quando c > h.

    2caso:se o comprimento cda aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada navizinhana imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir daextremidade retilnea da barra (Figura 27).

    C < h

    hlb

    Figura 27 Ancoragem da armadura quando c < h.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    19/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 15

    10. FORA CORTANTE DE REFERNCIA EM SAPATAS ISOLADAS COMCARGA CENTRADA SEGUNDO CEB-70

    No dimensionamento, a fora cortante a ser considerada calculada numa seo dereferencia S2, em cada direo da sapata, perpendicular base de apoio da sapata e distante d/2da face do pilar em cada direo, como indicado na Figura 28.

    ap

    B

    C2A

    bp

    N

    d2

    C2AA

    dh

    C2B

    d2

    45

    S2B

    S2A

    A

    h0

    p

    d2A

    Figura 28 Sees de referncia S2A

    e S2B

    relativas as duas direes da sapata.

    com:

    A2p

    0A2 c5,1aA

    hh1dd 1,5B).

    A largura b2Ada seo de referncia S2A tomada conforme indicado na Figura 30.

    ap

    S2A

    C2A

    N

    d2

    d

    A

    d2A

    1,5

    C2A

    bp

    45

    +d

    b2A

    bp

    B

    Figura 30 Dimenso b2Ada seo de referncia S2A.

    Com relao s dimenses A e B da sapata:

    b2A = bp + d

    b2B = ap+ d

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    21/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 17

    11. FORA CORTANTE LIMITE (CEB-70)

    Na seo de referncia S2, a fora cortante de clculo no deve ultrapassar os valoresseguintes:

    ck22Clim,d fdb

    5,1

    V = , para fckem kN/cm

    2

    ;

    ck22C

    ,limd fdb474,0

    V

    = , para fckem MPa.

    com: Vd,lim em kN;c = coeficiente de segurana do concreto;b2e d2em cm;= taxa de armadura longitudinal da seo de referncia S2:

    01,0db

    A

    22

    S

    = (no se dispe de resultados de ensaios com > 1 %);

    As = rea da armadura longitudinal disposta na largura b2da seo S2.

    Vd,limpode ser aumentada com o acrscimo de armadura transversal.

    Se Vd Vd,lim no necessrio colocar armadura transversal. Se essa condio noocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.

    NOTA:se a fora cortante atuante for maior que a fora cortante limite, uma possibilidade pararesolver o problema adotar uma nova altura til para a sapata, tal que:

    lim,d

    dnovo V

    Vdd =

    12. VERIFICAO DA SAPATA PUNO

    A verificao da sapata se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03:Dimensionamento de lajes puno.

    A superfcie de ruptura est indicada na Figura 31.

    superfcie de ruptura deuma laje por efeito depuno

    = 25 a 30

    d

    As

    x

    pilar

    -

    laje

    Figura 31 Superfcie de ruptura de uma laje por efeito de puno.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    22/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 18

    x

    dtg = , fazendo = 27

    51,0

    dx

    x

    d27tg ==

    x 2d

    O modelo de clculo corresponde verificao do cisalhamento em duas ou maissuperfcies crticas definidas no entorno de foras concentradas. Na primeira superfcie crtica(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tenso decompresso diagonal do concreto, atravs da tenso de cisalhamento. A Figura 32 ilustra assuperfcies crticas C e C.

    C

    C'

    C

    C'

    C

    C

    C'

    C'

    2d 2d 2d

    Bordalivre

    B.livre

    2d

    B. livre

    Figura 32 Superfcies crticas C e C.

    Na segunda superfcie crtica (contorno C) afastada 2d do pilar ou da cargaconcentrada, deve ser verificada a capacidade da ligao puno, associada resistncia trao diagonal. Essa verificao tambm se faz atravs de uma seo de cisalhamento, noentorno C. Caso haja necessidade, a ligao deve ser reforada por armadura transversal. Aterceira superfcie crtica (contorno C) apenas deve ser verificada quando for necessriocolocar armadura transversal.

    No estudo aqui apresentado da puno aplicado s sapatas, sero apresentados somente ositens relacionados dispensa da armadura transversal.A verificao feita comparando a tenso de cisalhamento solicitante (sd) nas superfcies

    crticas, com a tenso de cisalhamento resistente (Rd2), dada pela NBR 6118/03 para cadasuperfcie crtica. Dispensa-se a armadura transversal para a puno quando Sd Rd2.

    12.1 TENSO DE CISALHAMENTO SOLICITANTE

    12.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simtrico

    A tenso de cisalhamento solicitante :

    du

    FSdSd

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    23/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 19

    onde:

    2

    ddd yx

    += = altura til da laje ao longo do contorno crtico C;

    dx e dyso as alturas teis nas duas direes ortogonais;u = permetro do contorno crtico C;u . d = rea da superfcie crtica;

    FSd= fora ou reao concentrada, de clculo.

    No caso da superfcie crtica C, u deve ser trocado por 0 (permetro do contorno C). Afora de puno FSdpode ser reduzida da fora distribuda aplicada na face oposta da laje, dentrodo contorno considerado na verificao, C ou C (isso ser mostrado no Exemplo 5).

    12.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado

    Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tenso de cisalhamentosolicitante :

    dW

    MK

    du

    F

    p

    SdSdSd

    +

    =

    sendo:K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSdque transmitida ao pilar

    por cisalhamento, dependente da relao C1/C2(ver Tabela 1);C1= dimenso do pilar paralela excentricidade da fora, indicado na Figura 33;C2= dimenso do pilar perpendicular excentricidade da fora.

    Tabela 1 - Valores de K em funo de C1e C2.C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0

    K 0,45 0,60 0,70 0,80

    - permitida interpolao para valores intermedirios da Tabela 1;- quando C1/C2> 3,0 considera-se K = 0,8.

    Wp = mdulo de resistncia plstica do contorno C. Pode ser calculado desprezando acurvatura dos cantos do permetro crtico por:

    =0

    p deW dl= comprimento infinitesimal no permetro crtico ;e = distncia de dlao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento

    fletor MSd.

    12

    221

    21

    p Cd2d16dC4CC2

    CW ++++= (pilar retangular)

    22p d16dr16r4W ++= (pilar circular; r = raio)

    ou( )2p d4DW += (D = dimetro)

    Nota:para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    24/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 20

    C'

    e

    e1

    2dc1

    c2

    dl

    Msd

    Fsd

    Msd

    Fsd

    e1

    Fsd

    Figura 33 Sapata submetida fora normal e momento fletor.

    12.2 VERIFICAO DE TENSO RESISTENTE DE COMPRESSO DIAGONAL DOCONCRETO NA SUPERFCIE CRTICA C

    (NBR 6118, 19.5.3.1)

    Esta verificao deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas puno, com ousem armadura.

    SdRd2

    Rd2= 0,27vfcd

    onde

    =

    250

    f1 ckv , com f ckem MPa.

    A superfcie crtica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deveser verificada indiretamente a tenso de compresso diagonal do concreto, por meio da tenso decisalhamento (Figura 34).

    A tenso de cisalhamento solicitante (Sd) :

    du

    F

    o

    SdSd=

    com: FSd= fora solicitante de clculo;uo= permetro de contorno crtico C;uo= 2 (ap + bp)uod = rea da superfcie crtica C;d = altura til ao longo do contorno crtico C.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    25/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 21

    C

    d

    Fsd

    sd

    ap

    bp

    Figura 34 Tenso de cisalhamento na sapata.

    12.3 TENSO RESISTENTE NA SUPERFCIE CRTICA C EM ELEMENTOSESTRUTURAIS OU TRECHOS SEM ARMADURA DE PUNO

    (NBR 6118, 19.5.3.2)

    A tenso de cisalhamento resistente na superfcie crtica Cdeve ser calculada por:

    ( )31

    ck1Rd f100

    d

    20113,0

    +=

    onde:

    yx . = ;

    2

    ddd yx

    += = altura til em C(cm);

    = taxa geomtrica de armadura de flexo aderente;xe y= taxas de armadura nas duas direes ortogonais;fckem MPa.

    No caso de sapatas de fundao, a tenso de cisalhamento resistente :

    2cd3

    ck1Rd f5,0*a

    d2f100

    d

    20113,0

    +=

    fcd2 = resistncia de clculo do concreto compresso para regies no fissuradas.

    a* 2d

    )MPa(f250

    f16,0f cdck2cd

    =

    u* = 2ap+ 2bp+ 2a*

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    26/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 22

    Superfcie C'(permetro = u*)

    d

    ap

    a*

    A

    Figura 35 Distncia a*.

    Para pilares com momento fletor solicitante, Sd, :

    +=

    Sdp

    SdSdSd FW

    *uMK1

    d*uF

    13. DETERMINAO DA ALTURA DA SAPATA

    Alguns dos critrios envolvidos so:a) rigidez da sapata;b) verificao da fora cortante de modo a dispensar a armadura transversal;c) verificao da puno de modo a dispensar a armadura correspondente;d) ancoragem da armadura do pilar.

    Critrio de rigidez:

    c

    htg

    5,1tg5,0

    =

    h

    C

    Figura 36 Dimenso c e ngulo.

    Para sapata com balanos iguais: cA= cB= c :

    h = 0,6c

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    27/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 23

    Para sapata com balanos no iguais: cAcB:

    B

    A

    c6,0h

    c6,0h

    Altura til:

    d = h 5 cm (ver cobrimento)

    14. EXEMPLO 1 SAPATA ISOLADA RGIDA(Exemplo extrado do curso de Lauro Modesto dos Santos - Edifcios de Concreto Armado, 1988,p.11-31 Escola Politcnica da USP)

    Dimensionar uma sapata direta de fundao para um pilar com seo 20x75cm, sendo a

    taxa admissvel do solo de 2,5 kgf/cm2

    (0,25 MPa). Outros dados:

    Nk= 1.303 kN ; Mx= My= 0 ; concreto C25;c= 1,4 ; CA-50; l,pilar= 20 mm (p. interno).

    Resoluo:

    Dimenses da sapata (Figura 37):

    7332,5cm332.57

    025,0

    13031,1N1,1S 2

    solo

    ksap ==

    =

    = m2

    Fazendo cA= cB= c :

    sap2

    pppp S)ab(4

    1)ab(

    2

    1B ++=

    5,21357332)7520(4

    1)7520(

    2

    1B 2 =++= cm

    B = 215 cm ; A = 270 cm ; Ssap= 58.050 cm2

    5,972

    75270

    2

    aAccc pBA =

    =

    === cm

    Altura da sapata (fazendo como sapata rgida):

    NBR 6118 653

    75270

    3

    aAh p

    cm

    Pelo CEB-70: 5,1tg5,0 ;5,97

    h

    c

    htg ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    28/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 24

    3,146h8,485,15,97

    h5,0 cm

    Adotando h = 90 cm (sapata rgida) pilar,lb l

    20pilar, =l mm lbcm

    75

    20B

    215cm

    A270cm

    p

    97,5

    97,5

    97,5

    97,5

    bp

    ap

    h=

    90

    d=

    85

    0,15 = 11,25ap

    CB

    C

    B

    CACA

    108,75

    xA

    3

    0

    Figura 37 Medidas da sapata e seo de referncia S1.

    Presso no solo:

    0247,0p215270

    13031,1BA

    N1,1p k =

    =

    = kN/cm2

    d = h 5 cm

    d = 85 cm

    Clculo dos esforos solicitantes (M e V) conforme o CEB-70.

    Verificao: 902c2

    90h2c

    2

    h

    45 c = 97,5 cm 180 cm ok!

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    29/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 25

    Clculo dos momentos fletores na seo S1 (Figura 38) :

    2

    xApM;

    2

    xBpM

    2B

    B1

    2A

    A1 ==

    cm75,1087515,05,97a15,0cxpAA

    =+=+=

    cm5,1002015,05,97b15,0cx pBB =+=+=

    402.312

    75,108215.0247,0M

    2

    A1 == kN.cm

    679.332

    5,100270.0247,0M

    2

    B1 == kN.cm

    !ok5193,0

    3367931402

    MM

    B1

    A1 >==

    MA 33679

    31402

    MB

    M = 31402A

    A= 270

    B

    =215

    S1A M = 33679B

    Figura 38 Momentos fletores de clculo na sapata.

    Armaduras:

    Dimenso A:

    Md,A= 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm

    3,3543963

    85.215

    M

    dbK

    2

    d

    2

    c ===

    x= 0,03 (domnio 2)

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    30/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 26

    2sA

    dssA

    s

    cm90,11A

    85

    43963023,0

    d

    MKA

    023,0K

    =

    ==

    =

    Dimenso B:

    2sB

    sx

    2

    c

    B,d

    cm76,1285

    47151023,0A

    023,0K,2.dom,02,04,4147151

    85.270K

    cm.kN151.4733679.4,1M

    ==

    ====

    ==

    Como opo para o clculo da armadura tem-se a frmula simplificada:

    2

    yd

    B,dsB

    2

    yd

    A,dsA

    cm00,1548,43.85.85,0

    47151

    f.d85,0

    MA

    cm00,1448,43.85.085

    43963

    f.d85,0

    MA

    ===

    ===

    Armaduras mnimas de flexo:

    - se considerada como uma viga, segundo a NBR 6118: As,mn= 0,15% b . h(para o concreto C25)

    O que resulta numa armadura mnima muito exagerada. Como opo pode-se pensar emaplicar a armadura mnima de laje em duas direes, onde: mns 67,0 = , e:

    === m/cm05,9

    15,2

    45,19cm45,1990.215.0015,0.67,0A 22mn,sA

    === m/cm50,8

    70,2

    42,24cm95,2285.270.0010,0A 22mn,sB

    Machado, C.P., no curso de edificao da Poli (1988) sugere:

    As,mn= 0,10 % b d

    2mn,sA cm28,1885.215.0010,0A ==

    = m/cm50,8100

    215

    28,18 2

    2mn,sB cm95,2285.270.0010,0A ==

    = m/cm50,8100

    270

    95,22 2 12,5 mm c/14 cm (8,93 cm2/m)

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    31/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 27

    Fora Cortante (Figura 39):

    75

    20

    B

    215cm

    A270cm

    d2

    42,5

    p = 0,0247

    55

    bp

    ap

    h90 d8

    5

    S2A

    55

    d2

    42,5

    C2B

    C2A

    S2A

    S2B

    d2A

    30h

    0 58,8

    75

    20

    d2

    42,5

    bp

    ap

    d2

    42,5

    S2A

    S2B

    105

    b2A

    160b2B

    d2A

    b2A

    Figura 39 Dimenses e sees de referncia S2Ae S2B.

    VA = p B c2A

    VB

    = p A c2B

    cm552

    8575270

    2

    daAc pA2 =

    =

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    32/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 28

    cm552

    8520215

    2

    dbBc pB2 =

    =

    =

    kN1,29255.215.0247,0VA ==

    VB= 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN

    VdA = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN > VdA,lim = 407,5 kN no ok! necessrio colocararmadura transversal.

    VdB= 1,4 . 366,8 = 513,5 kN < VdB,lim= 620,9 kN ok!

    A fora cortante limite sugerida pelo CEB-70 rigorosa (muito baixa), por isso, parasapatas rgidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rgidas:

    22c

    ck

    lim,d db

    f

    63,0V =

    Aplicando ao exemplo:

    389.18,581054,110

    2563,0V lim,dA =

    = kN >> VdA= 408,9 kN

    Caso se considere apenas o CEB-70, existem solues, como aumentar o fck , asdimenses A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexo, etc. Se alterar a armadura de

    flexo AsApara 12,5 mm c/13 cm (9,62 cm

    2

    /m), a fora cortante limite VdA,limpassa para 422,7kN, o que tambm resolve o problema, e evita a armadura transversal. Aumentar tambm amedida hode 30 para 35 cm resulta VdA,lim= 423 kN, o que tambm resolve o problema.

    Nota: como a sapata rgida no necessrio verificar a puno. Entretanto, a NBR 6118recomenda verificar a tenso na diagonal de compresso (item 19.5.3.1), como mostrado aseguir.

    Verificao da Diagonal Comprimida

    uo= permetro do pilar (superfcie crtica C - Figura 40).

    uo= 2 (20 + 75) = 190 cm

    kN824.113034,1NNF fSdSd ====

    (sem reduo da fora pela reao contrria da base da sapata)

    C

    ap

    bp

    75

    20

    Figura 40 Superfcie crtica C contorno do pilar.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    33/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 29

    Tenso de cisalhamento atuante:

    113,085190

    1824

    du

    F

    o

    SdSd =

    == kN/cm2= 1,13 MPa

    Tenso de cisalhamento resistente:

    43,04,1

    5,2

    250

    25127,0f27,0 cdV2,Rd =

    == kN/cm2= 4,3 MPa

    MPa3,4MPa13,1 2,RdSd = h = 90 cm

    12,5 mm, C25, boa aderncia, sem gancho: lb= 47 cm.

    cnom= 4,0 cm (cobrimento), l,pil= 20 mm (lb= 75 cm).

    lgancho,incl47 [(97,5 4,0 90) + 20] 23,5 cm

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    34/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 30

    30

    N1

    -15c/14

    (215-8)/14=14,8

    N2 - 19 c/14(270 - 8)/14 = 18,7

    97,5

    83

    ,pilar

    lbl

    l,pil

    h = 90

    20

    N1 - 15 12,5 C = 36020

    20260

    N2-1912,5

    C

    =305

    205

    20

    20

    ASB

    ASA

    23,5

    ASB

    ASA

    30

    30

    30 30

    lanc 47 cmlb

    Figura 41 Detalhamento das armaduras de flexo da sapata.

    15. EXERCCIOS PROPOSTOS

    1o) Alonso, pg. 14 (sapata isolada) . Dimensionar e detalhar as armaduras de uma sapata para umpilar de seo 30x100 cm, com carga de 3000KN, com:

    solo = 0,3 MPa ; Mx= My= 0

    C 25 ; pilar,l = 22,5 mm

    2o) Resolver a sapata do Exerccio 1 pelo Mtodo das Bielas.

    3o) Resolver o Exerccio 1 fazendo o pilar circular com dimetro de 60cm, e com a sapata debase circular.

    16. SAPATAS RGIDAS MTODO DAS BIELAS

    Sapata Isolada sob Carga Linear Uniforme

    O mtodo (teoria das bielas) surgiu aps numerosos ensaios realizados por Lebelle(1936), e se aplica s sapatas rgidas, corridas e isoladas. A carga vai do pilar para a base dasapata caminhando pelas bielas de concreto comprimido que induzem tenses de trao naarmadura inferior da sapata (Figura 42).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    35/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 31

    Biela de compresso

    Armadura necessria pararesistir fora de trao

    Figura 42 Caminhamento da carga do pilar em direo base da sapata.

    Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que no ocorre ruptura por compresso dasbielas de concreto, e sua verificao pode ser dispensada.

    A Figura 43 mostra as foras atuantes na sapata, de acordo com o mtodo das bielas.

    P

    0

    y

    x

    AB

    d0

    dTxdx

    dy

    dT

    dN

    dTy

    pddxy

    Figura 43 Esquema de foras segundo o mtodo das bielas.

    Considerando somente a direo x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 44):

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    36/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 32

    p

    P

    d

    =

    A.

    d

    (A-

    )

    p

    d0

    45

    A 2 A 2

    dxAs

    ap

    ds

    2dP

    d

    dT

    x p dx = dP

    d0

    A0

    dN

    dT

    dP

    Figura 44 Foras na direo x da sapata.

    =

    ==

    =

    =

    =

    =

    =

    22

    px

    22

    0

    2

    A

    x0

    x

    0

    x4

    AdA

    )aA(p

    21

    T

    x4

    A

    d

    p

    2

    1dxx

    d

    pT

    d

    xdxp

    tg

    dPcos

    sen

    dPdT

    sendNdP

    cosdNdT

    Para x = 0, Tx= Tmx:

    d

    )aA(

    8

    PT

    4

    A

    dA

    )aA(

    A

    P

    2

    1T px

    2p

    x

    =

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    37/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 33

    De forma anloga para a direo da sapata isolada:

    d

    )bB(

    8

    PT py

    =

    A tenso mxima na biela de compresso obtida das relaes:

    sc d

    dN= , onde

    =

    sen

    dxds

    A mxima compresso ocorre nas bielas mais inclinadas ( = o) e a tenso mximaocorre no ponto A, onde a seo da biela a mnima. A tenso mxima resulta:

    ( )

    +=

    20

    2p

    pc

    d4

    aA1

    a

    P

    A Figura 45 mostra as armaduras de flexo da sapata, conforme o mtodo das bielas.

    B

    A

    x

    y

    P

    h

    d12

    (A-

    )ap

    Asx ou AsA

    P

    Asy ou AsB

    d 12(B - )bp

    ap

    bp

    Figura 45 Armaduras de flexo da sapata.

    As armaduras so:

    yd

    xdsAsx f

    TAA == ;

    yd

    ydsBsy f

    TAA ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    38/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 34

    Levando-se em considerao as duas direes, a tenso mxima na biela :

    ( ) ( )

    ++

    =

    2

    0

    2

    2p

    2p

    ppmx,c

    d1

    14

    bBaA1

    bap

    OndeB

    b

    A

    aPp == (reas hometticas).

    No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:

    +

    =

    2

    0

    p

    p

    mx,c

    d11

    aA

    2

    11

    aA

    p

    17. EXEMPLO 2 - SAPATA ISOLADA RGIDA

    Calcular as armaduras de flexo da sapata do exemplo 1 pela Teoria ou Mtodo dasBielas.

    RESOLUO:

    Foras de trao:

    0,41185

    )75270(

    8

    13031,1

    d

    )aA(

    8

    PT px =

    =

    = kN

    0,41185

    )75270(813031,1

    d

    )bB(

    8P

    T py =

    =

    = kN

    23,13

    48,43

    0,4114,1AA sAsx =

    == cm2= Asy= AsB

    Observaes:- Nota-se que houve um pequeno decrscimo da armadura calculada pela teoria das

    bielas;- Observe que o mtodo das bielas s deve ser aplicado s sapatas rgidas;- Por imposio da NBR 6118, convm verificar a tenso na diagonal comprimida (item

    19.5.3.1), como feito no Exemplo 1;

    - Verificao do ngulo :)aA(

    21

    dtg

    p

    =

    451,415,97

    85

    )75270(2

    185tg ==

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    39/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 35

    18. SAPATAS ISOLADAS SOB AES EXCNTRICAS

    Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existncia de momentos fletores oufora horizontal no pilar, como tambm pela carga vertical, quando aplicada fora do centro degravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 46).

    N

    e

    divisa

    NH

    M

    N

    MA

    HA

    A

    BN

    MB

    HB

    Figura 46 Sapatas isoladas sob aes excntricas.

    18.1 EXCENTRICIDADE EM UMA DIREO

    a) Ponto de aplicao da fora dentro do ncleo central de inrcia(Figura 47)

    Ocorre quando6

    Ae < . Tem-se:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    40/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 36

    A

    B

    A 6

    B6

    e

    N

    mx

    mn

    Nncleo

    Figura 47 Ponto de aplicao da fora dentro do

    ncleo central de inrcia.

    I

    yM

    BA

    N

    =

    )Ae6

    1(BA

    Nmx +

    =

    )Ae6

    1(BA

    Nmx

    =

    b) Ponto de aplicao da fora no limite do ncleo central )6A

    e( = (Figura 48)

    A

    A6

    mx

    N

    Figura 48 Ponto de aplicao da fora no

    limite do ncleo central.

    BAN

    2mx

    =

    c) Ponto de aplicao da fora fora do ncleo central )6A

    e( > (Figura 49)

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    41/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 37

    Parte da base da sapata (e solo) fica sob tenses de trao (mn< 0). Neste caso, um novodiagrama triangular adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do tringulocoincidente com o limite do novo ncleo central. A tenso de compresso mxima aumenta para:

    A

    A6

    mx, 1

    Ne

    B

    LNmn

    6A

    0

    mx

    LN

    3(A/2 - e)

    A0

    Figura 49 Ponto de aplicao da fora fora

    do ncleo central.

    = e

    2AB3

    N2

    mx

    18.2 EXCENTRICIDADE NAS DUAS DIREES

    A Figura 50 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duasdirees.

    y

    xeB

    eA

    A

    B

    N

    Figura 50 Sapata com excentricidade nas duas direes.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    42/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 38

    O equilbrio obtido com as presses atuando em apenas uma parte da rea da base dasapata, e:

    I

    xM

    I

    yM

    BA

    N AB

    =

    N

    MB

    HB

    B

    N

    MA

    HA

    A

    Figura 51 Foras e momento fletor atuantes na sapata.

    hHMM AAbase'A += , hHMM BBbase'B +=

    N

    Me AA= , N

    Me BB=

    a) Quando

    6

    1

    B

    e

    A

    e BA + (Figura 52)

    y

    xeB

    eA

    A

    B

    N

    CG

    mx

    mn

    Figura 52 Tenses na sapata para

    6

    1

    B

    e

    A

    e BA + .

    ++

    =

    B

    e6

    A

    e61

    BA

    N BAmx

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    43/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 39

    =

    B

    e6

    A

    e61

    BA

    N BAmin

    (toda seo seta comprimida)

    b) Quando

    6

    1

    B

    e

    A

    e BA >+ (Figura 53)

    y

    x

    eB

    eA

    A

    B

    N

    2

    1

    4

    3

    mx

    mn

    seocomprimida

    Figura 53 Tenses na sapata para6

    1

    B

    e

    A

    e BA >+ .

    BAK

    N

    11mx

    ==

    mn= 4= K41 (fictcio, no considerado)

    mn= 4< 0

    K1e K4so determinadas no baco mostrado na Figura 54.Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tenso :

    ( )+

    +

    +=

    tgA

    B1

    tgA

    B

    B

    y

    A

    x

    414mn

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    44/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 40

    Figura 54 baco para determinao das tenses mximas nas sapatas retangulares rgidaspara ao com dupla excentricidade (Montoya, 1973).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    45/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 41

    Notas:- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinao de carregamento maisdesfavorvel, solomx 3,1 = ;

    - Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramentecomprimida, isto :

    61

    Be

    Ae g,Bg,A

    + (G = peso prprio e solo sobre a sapata - Figura 55).

    Gs2

    Gb2

    Gs1

    Gb1

    Figura 55 Foras representativas do peso prprio da sapata e do solo sobre a sapata.

    - Para garantir a segurana contra tombamento da sapata, na condio mais desfavorvel, pelomenos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:

    9

    1

    B

    e

    A

    e2

    B2

    A

    +

    19. EXEMPLO 3(Exemplo extrado de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,UNESP Bauru/SP)

    Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma fora de compresso de 820 kN e ummomento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,dimensionar a fundao em sapata isolada, sendo conhecidos:C 25 MPa, ao CA-50, =solo 0,022 kN/cm (0,22 MPa), armadura do pilar 10 12,5 mm.

    Resoluo

    1) Calculo das dimenses (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.

    rea do apoio da sapata:

    000.41022,0

    8201,1N1,1S

    solosap =

    =

    = cm2

    Dimenso em planta da sapata, com abas (balanos) iguais nas duas direes:

    ( ) ( )sap

    2

    pppp

    Sab4

    1ab

    2

    1B ++= = ( ) ( ) 5,183410006020

    4

    16020

    2

    1 2 =++ cm

    B = 185 cm

    pp bBaA =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    46/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 42

    2251852060BbaA pp ==+= cm

    Tenses na base da sapata (Figura 56):

    60

    20

    185

    200

    250240

    N

    M

    1,1NA B

    M

    MI

    M

    y

    0,0220,0156

    Figura 56 Dimenses da sapata e esquema da reao do solo.

    I

    yM

    BA

    N

    =

    2

    Ay= ;

    12

    ABI

    3=

    9,68201,1

    6200

    N1,1

    Me =

    == cm

    5,376

    225

    6

    A== cm

    5,376A9,6e =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    47/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 43

    0257,0225

    9,661

    185225

    8201,1mx =

    +

    = kN/cm2 022,0solo=> no ok!

    Aumentando a seo da base da sapata para:

    A = 240 cm ; B = 200 cm

    Obedecendo:

    pp baBA =

    A tenso mxima passa a ser : 022,0mx= kN/cm2 !oksolo=

    0156,0)240

    9,661(

    200240

    8201,1mn =

    = kN/cm2> 0 (como esperado!)

    2) Altura da sapata

    Fazendo como sapata rgida, conforme o CEB-70:

    902

    60240

    2

    aAc5,1tg5,0 p =

    =

    = cm

    135h455,190

    h5,0 cm

    Pelo critrio da NBR 6118/03:

    603

    60240

    3

    aAh p

    cm

    importante definir a altura da sapata tambm em funo do comprimento de ancoragemda armadura longitudinal do pilar (10 12,5 mm):

    - situao de boa aderncia ; com gacho; C25, CA-50 (nervurado): 33lb= cm;

    Adotado h = 60 cm > lb= 33 cm (sapata rgida)

    3) Clculo dos momentos fletores e foras cortantes segundo o CEB-70

    Verificao: 2c2

    60h2c

    2

    h60

    30 c = 90 120 cm ok!

    Momentos fletores nas sees S1(Figura 57):

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    48/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 44

    a60

    b2

    0B

    200cm

    A240cm

    0,0220,0156

    C90

    C90

    C90

    C90

    b

    p

    ap

    h60 d5

    5

    x99xa

    0,15 a = 9ap

    S1A

    P1AKNcm

    CB

    CB

    CACA

    0,0220,01936

    P1A

    99

    49,5

    66 33

    49,5

    0,1

    31

    1,9

    17

    Figura 57 Seo de referncia S1A.

    Lado A:

    ( )01936,099

    240

    0156,0022,0022,0p A1 =

    = kN/cm2 (ver Figura 57)

    ( ) 708.20200132,05,49917,1M A1 =+= kN.cm

    Lado B (considerando a presso mdia e diagrama retangular ver Figura 58):

    0188,02

    0156,0022,0pmd =+

    = kN/cm2

    512.192

    )2015,090(2400188,0

    2

    xApM

    22B

    B1 =+

    == kN.cm

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    49/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 45

    S2A

    S2B

    p2A =0,0203

    0,022

    0,022

    0,0188(valor mdio)

    0,0156

    0,0156

    Figura 58 Esquema de reaes do solo na base da sapata.

    Foras cortantes nas sees S2(Figura 59):

    5,622

    5560240

    2

    daAc pA2 =

    =

    = cm

    5,622

    5520200

    2

    dbBc pB2 =

    =

    = cm

    cm25hadotadocm20

    cm203

    603h

    h 00 =

    ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    50/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 46

    a60

    b20

    B

    200

    cm

    A240cm

    0,022 KNcm0,0156

    d2

    27,5

    b

    C62,5

    bp

    ap

    h60 d5

    5

    S2A

    P2A

    d2

    27,5

    C2B

    b2A

    C62,5

    C2A

    S2A

    S2B

    h25h

    0

    dd2A

    = 0,0203

    Figura 59 Seo de referncia S2A.

    A2p

    0A2 c5,1aA

    hh1dd

    =

    cm8,935,625,1c5,1c5,1 B2A2 ===

    3,44602402560

    155d A2 =

    = cm

    !okcm8,93cm3,44d A2 =

    B2p

    0B2 c5,1bB

    hh1dd

    =

    B2B2 c5,1

    20200

    2560155d

    =

    !okcm8,93cm3,44dd A2B2 ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    51/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 47

    Larguras b2A e b2B :

    cm755520dbb pA2 =+=+=

    cm1155560dab pB2 =+=+=

    A2mdA cBpV = 4,2645,6220020203,00220,0

    =

    += kN

    1,3704,2644,1VdA == kN

    VBna seo S2B:

    B2mdB cApV = 0,2825,6224020156,0022,0

    =

    += kN

    8,3940,2824,1VdB == kN

    Fora cortante limite (CEB-70):

    ck22c

    ,limd fdb474,0

    V

    =

    Para clculo de necessrio conhecer a armadura de flexo:

    26,145,435585,0

    207084,1AsA =

    = cm2

    13,7100200

    26,14= cm2/m 10 mm c/11 cm (7,27 cm2/m)

    43,135,435585,0

    195124,1AsB =

    = cm2

    60,510024043,13= cm2/m 10 mm c/14 cm (5,71 cm2/m)

    Nota-se que: !ok51

    94,026,1443,13

    =

    db%10,0A mn,s =

    sA2

    mn,sA Acm11552000010,0A

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    52/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 48

    A2

    sAA d100

    A= 00164,0

    3,4410027,7

    =

    =

    B2

    sBB d100

    A= 00129,0

    3,4410071,5

    =

    =

    9,2272500164,03,44754,1

    474,0V lim,dA == kN

    kN9,227V1,370V lim,dAdA =>=

    kN6,3092500129,03,441154,1

    474,0V lim,dB ==

    kN6,309V1,394V lim,dBdB =>=

    Como as foras cortantes solicitantes so maiores que os valores limites, necessriocolocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limitessugeridos por Machado (1988).

    Para sapata rgida:

    kN6,7473,447510

    25

    4,1

    63,0V lim,dA ==

    !okkN6,747V1,370V ,limdAdA =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    53/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 49

    1305,055160

    1148du

    F

    o

    SdSd =

    == kN/cm2= 1,305 MPa

    Tenso de cisalhamento resistente:

    43,04,1

    5,2

    250

    25127,0f27,0 cdv2,Rd =

    == kN/cm2= 4,3 MPa

    MPa3,4MPa305,1 2,RdSd =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    54/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 50

    c = 4,0 cm ; cm33l pilar,l = ; 10 mm ; C25

    boa aderncia, sem gancho: cm38lb=

    2660490 = cm

    20. EXEMPLO 4 SAPATA ISOLADA SOB FLEXO OBLQUA(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertao de Mestrado, 1988, EESC-USP, So Carlos/SP)

    Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:

    - seo do pilar: 40 x 60 cm ; l,pilar= 22 20 mm, sendo parte tracionada;- N = 1.040 kN;- concreto C20; CA-50 (ao); c = 4,5 cm

    - 500solo= kN/m2;

    - momentos fletores: Mx= 280 kN.m ; My= 190 kN.m

    Resoluo

    a) Estimativa das dimenses da sapata

    2

    solosap m288,2500

    10401,1N1,1S =

    =

    =

    Fazendo abas (balanos) iguais: cA = cB= c:

    ( ) ( ) sap2

    pppp Sab4

    1ab

    2

    1B ++=

    ( ) ( ) m42,1288,26,04,04

    16,04,0

    2

    1B 2 =++=

    adotado B = 1,40 m

    m60,1Aadotadom63,140,1288,2

    B

    SA

    sap====

    b) Verificao das tenses na base da sapata

    Excentricidades da fora vertical (Figura 62):

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    55/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 51

    B140cm

    A160cm

    x

    y

    60

    40

    N

    N

    Mx

    N

    My

    Figura 62 Dimenses e esforos solicitantes na sapata.

    N = 1.040 kN ; Mx= 280 kN.m ; My= 190 kN.m

    cm27m270,0

    1040

    280ex ===

    cm3,18m183,01040

    190ey ===

    Clculo da tenso mxima 1com auxlio do baco (ver Figura 54):

    13,0140

    3,18Be

    17,0160

    0,27

    A

    e

    yy

    xx

    ===

    ===

    baco (Figura 54) 1= 0,34, zona C

    6505003,13,1BA

    Fsolo

    1

    V1 =

    = kN/m2

    502.14,16,134,0

    10401,11 =

    = kN/m2>> solo3,1 = 650 kN/m

    2 no ok!

    As dimenses da sapata devem ser aumentadas!

    Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB= c = 80 cm):

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    56/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 52

    12,0220

    0,27x ==

    09,0200

    3,18y ==

    Verifica-se que:

    )basenatraoh(6

    121,0

    B

    e

    A

    eyx

    yx >=+=+

    no baco (Figura 54): 1= 0,44, = 36, 4= 0,10 e zona C.

    Tenses nos vrtices da sapata (Figura 63):

    5910.2.2,2.44,0

    1040.1,11 == kN/m

    2

    < solo3,1 = 650 kN/m2

    ok!

    1,59591.10,014 4 === kN/m2(fictcia)

    +

    +=

    +

    =

    36cos36sen

    36sen)1,59591(591

    sensen

    sen)( 4112

    2= 317,4 kN/m2

    ++=

    +=

    36cos36sen 36sen)1,59591(591sensen sen)( 4113

    3= 214,5 kN/m2

    215

    591

    -59

    317

    LN

    Figura 63 Tenses nos vrtices da sapata.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    57/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 53

    c) Verificao do tombamento da sapata

    111,09

    1

    9

    1

    B

    e

    A

    e 2y

    2

    x

    2y

    2x

    +

    +

    !ok111,0023,009,012,022

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    58/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 54

    md

    mxref 3

    2

    215

    591

    -59

    317

    403439E

    FG

    H

    D

    B

    C

    A

    454

    xB86

    B=200

    165

    xA89

    A=220

    473

    97

    S1B

    S1A302

    Figura 64 Tenses na base da sapata e sees de referncia S1.

    Como simplificao a favor da segurana ser considerada a maior tenso entre aquelasna metade dos lados A e B.

    Lado A (S1A):2

    89,00,20,454

    2

    xBpM

    22A

    A ==

    0,4542

    317591p =

    += kN/m2

    MA= 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm

    MdA= 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm

    Lado B (S1B):2

    86,02,20,403

    2

    xApM

    22B

    B ==

    0,4032

    215591p =

    += kN/m2

    MB= 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm

    MdB= 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    59/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 55

    e2) Foras cortantes na seo S2 (Figura 65)

    215

    591

    -59

    317

    514

    H

    D

    BC

    C45

    B=200

    C45

    A=220

    240

    S2B

    S2A

    A

    C2B

    C2A

    153

    FG

    E

    5

    29

    Figura 65 Sees de referncia S2.

    cm452

    7060220

    2

    daA

    c

    p

    A2 =

    =

    =

    cm452

    7040200

    2

    dbBc pB =

    =

    =

    As foras cortantes nas direes A e B da sapata so os volumes mostrados na figura. Afora VA por exemplo o volume da figura compreendida entre as reas ABCD e EFGH.

    0,3740,245,04

    591514317240VA =

    +++= kN

    3,3682,245,04

    591529215153VB =

    +++= kN

    6,5230,3744,1VdA == kN

    6,5153,3684,1VdB == kN

    Tarefa: Fazer os demais clculos, verificaes e o detalhamento final das armaduras.

    21. SAPATA ISOLADA FLEXVEL SOB CARGA CENTRADA

    Sapatas flexveis so aquelas onde:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    60/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 56

    3

    )a-(A

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    61/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 57

    A

    a1

    B

    b1

    4

    N=V ppA

    Na outra direo:

    )b-(B12

    N=M pB

    A

    a1

    B

    b1

    4

    N=V ppB

    b) rea de trapzio

    2 2

    1

    1

    aap

    bbp

    xxCG

    B

    A

    2ap

    N4

    Figura 68 Quinhes de carga por rea trapezoidal.

    A carga N/4 aplicada no centro de gravidade do trapzio, com:

    p

    ppCG

    b+B

    b+2B

    6

    a-A=x

    Os momentos fletores no centro da sapata so:

    +

    +

    +

    6

    a

    bB

    bB2

    6

    aA

    4

    N=M p

    p

    ppA

    +

    +

    +

    6

    b

    aA

    aA2

    6

    bB

    4N

    =M p

    p

    ppB

    As foras cortantes nas sees 1 e 2 so:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    62/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 58

    A

    a1

    B

    b1

    4

    N=V ppA

    A

    a1

    B

    b1

    4

    N=V ppB

    22. VERIFICAO DE SAPATA FLEXVEL FORA CORTANTE QUANDObW5d

    A fora cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw > ou = 5d(NBR 6118, item 19.4). As lajes no necessitam de armadura transversal fora cortantequando:

    VSdVRd1

    (bw= largura da sapata na direo considerada)

    com:db]0,15+)40+(1,2k[=V wcp1RdRd1

    onde: Rd= tenso resistente de clculo do concreto ao cisalhamento;k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior no chega at o

    apoio; para os demais casos k = | 1,6 - d | > 1, com d em metros;

    0,02dbA= ws11

    c

    Sdcp A

    N=

    NSd = fora longitudinal na seo derivada proteno ou carregamento (compressopositiva);

    As1 = rea da armadura de flexo que se estende pelo menos d + l b,nec alm da seoconsiderada

    23. EXEMPLO 5

    Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexvel.

    Resoluo

    A sapata foi resolvida como sapata rgida, com h = 60 cm. Pelo critrio da NBR 6118 asapata ser flexvel se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb= 33 cm, deve-seatender esse valor. A sapata ser flexvel adotando h = 55 cm e d = 50 cm > l b= 33 cm.

    a) Momentos fletores e foras cortantes

    a.1) rea por tringulos (Figura 69)

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    63/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 59

    As frmulas desenvolvidas so para sapata com carga centrada. Para aplicao nesteexemplo, onde ocorre momento fletor e a presso na base no unifforme, necessrio adotarum critrio para uniformizar a presso.

    Um critrio :

    =+

    =+

    ==

    =0188,0

    20156,0022,0

    2

    0176,0022,08,08,0

    p mnmx

    mx

    base

    p = base= 0,0188 kN/cm2

    N4a

    60ap

    b20bpB200

    A240

    A3

    0,022 KNcm0,0156

    p = 0,0188

    Figura 69 rea de um triangulo, dimenses da sapata e reao do solo.

    Com p pode-se determinar N:

    2002400,0188=BAp=N

    BA

    N=p

    N = 902,4 kN (j majorado em 1,1)

    13.536=60)-(24012

    902,4=)a-A(

    12

    N=M pA kN.cm

    Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.Tarefa: analisar o por qu de tal diferena.

    536.13)20200(12

    4,902)bB(12

    NM pB === kN.cm

    Tarefa: se para o clculo de M1B (CEB-70) tambm foi utilizada a presso mdia, por que osmomentos fletores tem uma diferena de 30 %?

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    64/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 60

    Foras cortantes:

    =

    =

    240

    601

    200

    201

    4

    4,902

    A

    a1

    B

    b1

    4

    NV ppA

    VA= VB= 152,3 kNa.2) rea por trapzios (Figura 70)

    a60ap

    b20b

    p

    B200

    A240

    = 0,0188 KNcmpmd

    B

    Figura 70 rea de um trapzio e reao do solo.

    kN3,152A

    a1

    B

    b1

    4

    NVV ppBA =

    == (igual rea por tringulos)

    +

    +

    +

    =

    6

    a

    bB

    bB2

    6

    aA

    4N

    M p

    p

    ppA

    +

    ++

    =

    660

    20200202002

    660240

    44,902MA

    MA= 15.177 kN.cm

    +

    +

    +

    =

    6

    b

    aA

    aA2

    6

    bB

    4N

    M p

    p

    ppA

    +

    +

    +

    = 6

    20

    60240

    602402

    6

    20200

    4

    4,902

    MA

    MB= 12.934 kN.cm

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    65/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 61

    MB

    MA

    B

    A Figura 71 Indicao dos momentos fletores solicitantes.

    b) Armadura de flexo

    Adotando os momentos fletores calculados para as reas de trapzios, tem-se:

    2

    yd

    dsA cm49,115,435085,0

    151174,1

    fd85,0

    MA =

    =

    = contra 14,26 cm2do Exemplo 3

    2sB cm79,95,435085,0

    129344,1A =

    = contra 13,43 cm2do Exemplo 3

    Armaduras mnimas: )db%10,0A( mn,s =

    2mn,sA cm00,10502000010,0A ==

    2mn,sB cm00,12502400010,0A ==

    Portanto:

    2sA cm49,11A = (5,75 cm

    2/m 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2/m)

    2sB cm00,12A = (5,00 cm

    2/m 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2/m)

    00114,050100

    71,5A =

    =

    00100,050100

    00,5B =

    =

    valores menores que = 0,001

    c) Verificao da puno

    c1)Verificao da superfcie crtica C (Figura 72)

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    66/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 62

    B200

    A240

    a*

    a*

    C

    C'

    Figura 72 Superfcie critica C e distncia a*.

    cB= cA= 90 cm

    2d = 2 . 50 = 100 cm > cBe cA

    Portanto a* = cB= cA= 90 cm

    Adotar 2d para a*; se 2d > cAou cB, adotar para a* o menor entre cAe cB.

    Tenso de cisalhamento solicitante (Sd) para sapata com um momento fletor externosolicitante:

    dW

    MKd*u

    F

    pSdSdSd +=

    rea limitada pelo contorno C:

    ( )2pppp'C,cont *ab*a2a*a2baA +++=

    ( )2'C,cont 9020902609022060A +++=

    Acont, C = 41.046 cm2

    Presso mdia na base da sapata:

    0188,02

    022,00156,0pmd =

    += kN/cm2

    Fora na rea Acont, C devido reao do solo:

    == 41046

    1,1

    0188,04,1)Ap(F 'C,contmdiofSd

    1,1 para no considerar o solo sobre a sapata.

    FSd= 982,0 kN

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    67/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 63

    Fora sobre a sapata reduzida da reao do solo:

    FSd,red= FSd - FSd

    kN9,1659828204,1F red,Sd ==

    Permetro u* do contorno C:

    cm5,725*u

    902202602*u

    *a2b2a2*u bp

    =

    ++=

    ++=

    Parmetro K:

    CaC1ap

    CbC1

    bp

    eNe1 Msd

    Figura 73 Parmetros C1e C2.

    C1= ap= 60 cm 3C

    C

    2

    1 = na Tabela 1, K = 0,80

    C2= bp= 20 cm

    12

    221

    21

    p Cd2+16dd4CCC2

    CW +++= (sapata retangular)

    com d = a*:

    06092+0916090240260206

    W 22

    p +++=

    Wp= 173.728 cm2

    20173728)62004,1(8,0

    205,7259,165

    Sd

    +

    =

    onde d = h0 5 = 25 5 = 20 cm (d a altura til em C)

    Sd= 0,0134 kN/cm2= 0,134 MPa

    Tenso de cisalhamento resistente (Rd1) na superfcie C:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    68/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 64

    2cd3 ck1Rd f5,0*ad2

    f100d20

    113,0

    +=

    90

    20225001,0100

    20

    20113,0 31Rd

    += (utiliza-se o menor 1)

    Rd1= 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2

    cdck

    2cd f250

    f16,05,0f5,0

    =

    4,15,2

    25025

    16,05,0f5,0 2cd

    =

    0,5 fcd2= 0,482 kN/cm2= 4,82 MPa

    Rd1= 0,187 MPa < 0,5 fcd2= 4,82 MPa ok!

    No necessrio colocar armadura para puno, pois:

    Sd= 0,134 MPa < Rd1= 0,157 MPa

    Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar talnecessidade a fim de simplificar a execuo da sapata.

    c2) Verificao da superfcie crtica C

    No ocorrendo puno na superfcie crtica C, dificilmente ocorrer problema nasuperfcie C.

    24. SAPATA CORRIDA

    Sapata corrida aquela destinada receber cargas lineares distribudas, possuindo por issouma dimenso preponderante em relao s demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas

    corridas so classificadas em rgidas ou flexveis, conforme o critrio da NBR 6118/03 japresentado.Como as bielas de compresso so ngremes, surgem tenses de aderncia elevadas na

    armadura principal As, que provocam o risco de ruptura da aderncia, e ruptura do concreto decobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com dimetro de barra e espaamentospequenos.

    Nas sapatas flexveis, especialmente, a ruptura por puno deve ser obrigatoriamenteverificada.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    69/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 65

    45

    fissura

    A(principal)Asbiela

    comprida

    armadurasecundria

    Figura 74 Armaduras, biela de compresso e fissurao na sapata corrida.

    Recomenda-se adotar para a altura:

    h 15 cm (nas sapatas retangulares)

    ho10 / 15 cm

    h

    h

    h0

    Figura 75 Altura h da sapata corrida.

    A distribuio de presso no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipode solo. No clculo prtico so adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura76:

    N N NA) B) C)

    Figura 76 Distribuio de presso no solo.

    A indicao de Guerrin (1967) :

    a) solos rochosos- sapata rgida: diagrama bi triangular (a);- sapata flexvel: diagrama retangular (b);

    b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;

    c) solos arenosos- sapata rgida: diagrama retangular (b);- sapata flexvel: diagrama triangular (c).

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    70/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 66

    24.1 SAPATA CORRIDA RGIDA SOB CARGA UNIFORME

    As sapatas corridas rgidas so utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargasrelativamente altas e sobre solos de boa capacidade de suporte.

    As sapatas corridas rgidas, quando3

    )a-(Ah p e < 45, podem ter os esforos

    solicitantes (M e V) calculados nas sees de referncia S1 e S2, conforme o CEB-70. Asverificaes necessrias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhantes sapatas isoladas rgidas, fazendo B = 1 m.

    Quando 45, o Mtodo das bielas pode ser utilizado, em opo ao CEB-70.

    aap

    A

    h

    45

    Figura 77 Sapata rgida de acordo com o Mtodo das Bielas.

    O fenmeno da puno no ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tenso de compressona diagonal comprimida deve ser verificada na superfcie crtica C (item 19.5.3.1), j estudado.

    Segundo o Mtodo das bielas, a armadura principal deve ser dimensionada para a foraTx(Figura 78):

    aap

    A

    d

    45 Tx

    Ndd0

    Figura 78 Fora Txconforme o Mtodo das bielas.

    p0 aA

    d.Ad

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    71/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 67

    xfxd

    yd

    xdsAsx

    px

    TT

    f

    TAA

    d

    aA

    8

    NT

    =

    ==

    =

    24.2 SAPATA CORRIDA FLEXVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME

    O momento fletor principal, atuante na direo da largura da sapata, consideradomximo no centro da sapata. A fora cortante calculada na seo 1 (Figura 79), junto face darea carregada. Os esforos so calculados sobre faixas unitrias ao longo do comprimento dasapata (B = 1 m).

    hd

    l , pilar

    aap

    N

    50,00AsA , princ.I

    hh0

    I

    AsA , sec

    M

    V

    Figura 79 Sapata corrida flexvel.

    Presso no solo:A

    Np=

    Presso sob a parede:p

    par aNp =

    Fora cortante na seo 1:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    72/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 68

    ( )

    =

    =

    A

    a1

    2

    NV

    paA2

    1V

    p

    p

    Momento fletor mximo no centro da sapata:

    ( )p

    2ppar

    22p

    par

    2

    aA8

    NM

    8

    a.p

    8

    pA

    2

    ap

    2

    1

    2

    Ap

    2

    1M

    =

    =

    =

    A armadura secundria (As,sec), tambm chamada armadura de distribuio, deve ter rea:

    m/cm9,0

    A5

    1

    A2

    princ,ssec,s

    As bordas da sapata (balano) podem ser reforadas com barras construtivas, comoindicado na Figura 80.

    l

    Figura 80 Reforo das bordas com barras adicionais.

    A puno, conforme j estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexveis(Figura 81).

    4545

    superfcie de ruptura porpuno, segundo Leonhardt

    Figura 81 Superfcie de ruptura por puno na sapata flexvel.

    24.3 EXEMPLO 6 SAPATA CORRIDA RGIDA

    Dimensionar a sapata rgida sob uma parede de concreto de 20cm de largura com cargavertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    73/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 69

    C20; solo = 1,1 kgf /cm2= 1,1 tf /m2= 0,011 kN /cm2= 0,11 MPa

    d = h 5 cm; CA-50; c = 4,5 cm

    a = 20ap

    A

    d

    45 N

    h

    hh0

    C90

    Figura 82 Sapata rgida conforme o Mtodo das bielas.

    Resoluo

    Clculo de A:

    011,00,21,1N1,1

    Asolo

    =

    =

    A = 200 cm

    Clculo da altura h:

    - pela NBR 6118 cm603

    20)-(2003

    )a-(Ah p

    - para aplicar o clculo pelo mtodo das bielas, deve-se ter 45.

    cdtg = , com = 45 d = c = 90 cm h = 95 cm

    - pelo CEB-70: cm135h45905,1h905,05,1ch

    5,0

    Fazendo o clculo pelo Mtodo das bielas, h = 95 cm.

    Fora de trao na armadura principal:

    5590

    20200

    8

    2001,1

    d

    aA

    8

    N

    T

    p

    x =

    =

    = kN/m

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    74/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 70

    77,148,43554,1

    f

    dTAA

    yd

    xss AX

    =

    =

    == cm2/m

    para 8 mm (0,50 cm2):

    2,2877,1 5,0100s == cm 20 ou 25 cm

    para 6,3 mm (0,31 cm2):

    5,1777,1

    31,0100s =

    = cm 20 cm (ok!, valor da prtica)

    Portanto:

    AsA= As,princ= 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm2

    /m)

    Para a armadura de distribuio pode-se considerar:

    m/cm9,0A35,0

    5

    77,1

    m/cm9,0

    A5

    1

    m/cm9,0A 2distr,s

    2

    princ,s

    2

    distr,s =

    =

    5 mm c/22 cm ou 5 mm c/20 cm (1,00 cm2/m)

    sdistr33 cm, mas na prtica sdistr20 ou 25 cm.

    Notas:

    a) o clculo pelo Mtodo das bielas dispensa a verificao da fora cortante, isto , segundoMontoya, no caso de sapata rgida a fora cortante no precisa ser verificada;

    b) conforme a NBR 6118, a superfcie crtica C deve ter a tenso de compresso diagonalverificada (item 19.5.3.1);

    c) Guerrin (1967) aplica o Mtodo das bielas fazendo:

    )cm50h(cm454

    20200

    4

    aAd p ==

    =

    =

    Detalhamento:

    cm30hcm20

    cm7,313

    95

    3

    hh 00 =

    ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    75/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 71

    d=90

    h=95

    h = 30h0

    6, 3 c/ 17 5 c/ 20

    Figura 83 Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.

    A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras s bordas da

    sapata, fazendo o gancho vertical com ho 10 cm.24.4 TAREFA

    1) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo mtodo do CEB-70;2) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas.

    24.5 EXERCCIO PROPOSTO

    Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:

    c = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; 0,2solo= kgf/cm2; C15; CA-50.

    Fazer sapata rgida e como sapata flexvel. Comparar os resultados.

    24.6 EXEMPLO 7 SAPATA CORRIDA FLEXVEL

    Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexvel.Dados:ap= 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; solo = 0,011 kN/cm

    2

    Resoluo

    Para a sapata flexvel, que mais leve, tem-se:

    cm190cm191011,0

    0,205,1N05,1A

    solo=

    =

    =

    Clculo de h:

    - NBR 6118: )rgida(cm7,56

    3

    )20190(

    3

    )aA(h p

    ;

    - CEB-70: cm85=2

    20)-(190c =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    76/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 72

    0,585 h 1,585 42,5 h 127,5 cm sapata rgida

    Seguindo o critrio da NBR 6118, para sapata flexvel (h < 56,7 cm) ser adotado h = 50cm.

    Esforos solicitantes:

    9,93190201

    220005,1

    Aa1

    2NV p =

    =

    = kN/m (V na face da parede)

    463.4)20190(8

    20005,1)aA(

    8N

    M p =

    == kN.cm/m (M no centro da parede)

    h=50

    d=45

    a = 20ap

    N

    A = 190

    h = 20h0

    M

    V

    C85

    V

    +

    100

    20

    C

    Figura 84 Dimenses e diagramas de esforos solicitantes na sapata.

    princ,s

    2

    distr,s A51

    m/cm9,0A

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    77/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 73

    64,0519,3

    A princ,s == cm2/m

    9,0A distr,s = cm2/m

    5 c/20 cm (1,00 cm

    2

    /m)Dimensionamento flexo:

    4,3244634,145100

    M

    dbK

    2

    d

    2w

    c =

    ==

    Ks= 0,023 (dom. 2)

    19,3

    45

    44634,1023,0As =

    = cm2/m

    6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2/m)

    8 mm c/15 cm (3,33 cm2/m)

    s 20 ou 25 cm (valores da prtica)

    Verificao da diagonal comprimida na superfcie crtica C:

    uo= 2 (20 + 100) = 240 cm

    2802004,1NF SdSd === kN/m

    Tenso de cisalhamento atuante:

    0259,045240

    280

    du

    F

    o

    SdSd =

    =

    = kN/cm2/m

    Nota:no foi considerada a reduo de FSdproporcionada pela reao do solo.

    Tenso de cisalhamento resistente:

    Rd2= 0,27vfcd= 355,04,10,2

    25020

    127,0 =

    kN/cm2

    Sd= 0,259 MPa < Rd2= 3,55 MPa ok!

    A fora cortante pode ser verificada como laje, com bw5d, onde bw o comprimento dasapata paralelo parede. Deve-se ter VSdVRd1para dispensar-se a armadura transversal.

    VRd1= [Rdk (1,2 + 401) + 0,15cp] bwd

    00074,045100

    33,31 =

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    78/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 74

    k = |1,6 d| > 1 = |1,6 0,45| = 1,15 > 1

    Rd= 0,25 fctd= 276,04,1

    203,07,025,0

    3 2

    =

    MPa

    VRd1= [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45VRd1= 175,6 kN/m

    VSd= 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1= 175,6 kN/m

    ok! no necessrio colocar armadura transversal.

    Comparao:

    Sapata rgida Sapata flexvel

    As 1,77 3,19h 95 50

    Detalhamento

    8 c/ 15 5 c/ 20h

    =50

    d=45

    h = 20h0

    Figura 85 Detalhamento indicativo das armaduras.

    24.7 EXERCCIO PROPOSTO

    Projetar a sapata corrida para a fundao de um muro. So conhecidos:

    - C20 ; CA-50 ; hmuro= 3,0 m ; solo = 2,0 kgf/cm

    2

    - emuro = largura do bloco de concreto de vedao = 19 cm (aparente, sem revestimento deargamassa);- muro em alvenaria de blocos de concreto;- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;- considerar ao do vento para a cidade de So Paulo;- fazer verificaes da estabilidade da sapata;- tipo de solo = argila rija.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    79/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 75

    3,0m

    muro

    Figura 86 Sapata corrida sob muro.

    25. VERIFICAO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS

    Nas sapatas submetidas a foras horizontais e/ou momentos fletores importanteverificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.

    a) Segurana ao tombamento

    A verificao ao tombamento feita comparando-se os momentos fletores, em torno deum ponto 1 (Figura 87).

    P

    NM

    FH

    h

    A2

    A2

    1

    Figura 87 Foras atuantes na sapata.

    Momento de tombamento:

    Mtomb= M + FH. h

    Momento estabilizador:

    Mestab= (N + P) A/2

    O peso do solo sobre a sapata pode tambm ser considerado no Mestab. O coeficiente desegurana deve ser 1,5:

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    80/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 76

    5,1M

    M

    tomb

    estabtomb =

    b) Segurana ao escorregamento (deslizamento)

    A segurana garantida quando a fora de atrito entre a base da sapata e o solo supera aao das foras horizontais aplicadas.

    O efeito favorvel do empuxo passivo pode ser desprezado, por no se ter garantia de suaatuao permanente. Da Figura 87 tem-se:

    escHFtg)PN( =+

    onde: =tg = coeficiente de atrito;= ngulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), no maior que

    o ngulo de atrito interno do solo.

    Um outro modelo que pode ser adotado :

    Festab= atrito + coeso =

    +

    + c

    32

    A32

    tg)PN(

    onde: = ngulo de atrito interno do solo;c = coeso do solo;A = dimenso da base em contato com o solo.

    5,1F

    F

    H

    estabesc =

    26. VERIFICAO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXOEM SAPATAS

    No caso de armadura, com barras de dimetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, importante verificar a aderncia com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.

    O esquema de foras entre a armadura e o concreto como indicado na Figura 88:

    x

    Rc

    Rs

    V

    M zd

    l

    Rc + Rc

    Rs + Rs

    C

    M + M

    Figura 88 Esforos atuantes no elemento de comprimento x.

    Tem-se que: M = Rsz = Rcz, da:

    zM

    R s

    =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    81/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 77

    Rs= fbu x

    onde: fb= resistncia de aderncia;u = permetro de l

    { zufx

    M

    xufz

    M

    b

    v

    b =

    =

    V = fb. u . z

    tomando d87,0z e fazendo valores de clculo:

    cuf87,0V bdd

    fazendo o permetro como u = n l d, com n sendo o nmero de barras da armadura de flexo:

    dnf87,0V lbdd

    com: Vd= fora cortante de clculo nas sees de referncia S1Ae S1B, por unidade de largura.Vd= V1dAna seo de referncia S1A;Vd= V1dBna seo de referncia S1B.Se Vdfor maior haver o escorregamento.

    27. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILBRIO

    A viga de equilbrio tambm comumente chamada viga alavanca (Figura 89).Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excntricos em relao ao centro da

    sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma viga de equilbrio,vinculada sapate de um outro pilar, interno construo. A viga tambm atua transferindo acarga do pilar para o centro da sapata (Figura 90).

    divisa

    V.E.

    Figura 89 Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilbrio.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    82/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 78

    2,5cm

    b aA

    b

    B

    A

    b

    aA1

    bw

    ap1

    bp1

    bp2

    ap2

    A2

    B2

    N1N2

    VE

    BB1

    VE

    R1

    R2p1

    p2h

    hh

    h0

    h1h

    v ee1

    z

    divisa

    N1

    N2

    R2R1

    ee1

    z

    Figura 90 Notaes da sapata com viga de equilbrio.

    rea da sapata sob P1:

    111 BAS =

    solo11 R1,1S

    =

    Excentricidade e1e reao R1:

    )ez(RzN0)z(M 111 ==

    1

    11 ez

    zNR

    =

    2b

    2Be 1p11 =

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    83/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 79

    27.1 ROTEIRO DE CLCULO

    1) Assumir um valor para R1:

    R1 = 1,2 N1

    2) Calcular a rea de apoio da sapata 1 (divisa):

    solo

    11

    'R1,1'S

    =

    3) Escolher as dimenses da sapata 1:

    3B

    A

    1

    1

    11 B2A = (adotando-se) S1 = A1 . B1

    2

    'S'B'B'B2'S 11111 == inteiro mltiplo de 5 cm.

    4) Clculo da excentricidade e1:

    2

    b

    2

    'B'e 1p11 =

    5) Clculo do R1 :

    'ezz

    N''R1

    11

    =

    6) Comparar R1 e R1

    6.1) Se1

    1111111 B

    'SA,'BBR''R'R ====

    6.2) Se ''R05,1'R''R95,0 111

    1

    11

    solo

    1111 B

    SA

    ''R1,1S'BB =

    ==

    6.3) Se R1 R1

    Retornar ao item 2 fazendo R1 = R1 .

    27.2 ESFOROS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILBRIOEsquema esttico (Figura 91):

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    84/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 80

    N2

    R2p1

    q1 (pilar 1)

    bbp1

    (1)

    BB1

    (2) (3)

    -V1L

    M1L Vmx

    -

    M2L

    V2L

    M

    V

    x

    Figura 91 Diagramas de esforos solicitantes na viga de equilbrio.

    1p

    11 b

    Nq =

    1

    11 B

    Rp =

    1

    1p1

    p

    bqx=

    a) Seo 1 )bx0( 1p - Figura 92

    p1

    q1V1

    M1

    q1x

    x1x

    Figura 92 Seo 1.

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    85/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 81

    ( )

    ( )112

    1

    2

    1

    2

    11

    111111

    v

    qp2

    xM

    02xp2xqM0M

    qpxV0xpVxq

    0F

    =

    =++=

    ==+

    =

    para x = bp1( limite da seo):

    ( )

    ( )11

    2

    1pL1

    111pL1

    qp2

    bM

    qpbV

    =

    =

    b) Seo 2 ( )Bxb( 11p - Figura 93

    p1

    q1

    bp1q1

    M2

    xp1x

    Figura 93 Seo 2.

    1

    1p12

    1p11211p12

    V

    p

    bqx0V:para

    bqxpV0xpbqV

    0F

    ==

    ==+

    =

    02

    xp

    2

    bxbqM0M

    2

    11p

    1p12 =

    +=

    = 2

    b

    xbq2

    x

    pM1p

    1p1

    2

    12

    Para 1p111L21 bqBpVBx ==

  • 5/26/2018 Sapatas de Fundao

    86/119

    UNESP Bauru/SP Sapatas de Fundao 82

    =

    2

    bxbq

    2

    BpM 1p1p1

    21

    1L2

    c) Seo 3

    +

    2

    bzxB 1p1 - Figura 94

    p1

    q1

    bbp1

    Bx

    B1

    V3

    M3

    Figura 94 Seo 3.

    =

    =

    +=

    ===

    =+=

    2

    bxbq

    2

    BxBpM

    02

    BxBp

    2

    bxbqM0)3(M

    cteNbqBpV

    0BpbqV0F

    1p1p1

    1113

    111

    1p1p13

    1p1113

    111p13V

    27.3 PR-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILBRIO

    a) Largura: cm5ab 1pw + (pode ser alterado);

    b) Altura: 1V hh (h1= altura da sapata 1);

    bV ld