Se coloca una bola sobre una viga, se adiciona un pivote en uno punto del disco del motor. A medida que el motor gira un ángulo theta, el pivote cambia el ángulo de la barra en alpha. Cuando se cambia el ángulo a partir de la posición vertical, la gravedad ocasiona que la bola ruede a lo largo de la viga. Debe diseñarse un controlador para este sistema de modo que pueda manipularse la posición de la bola.

Para este problema, asumimos que la bola rueda sin resbalamiento y la fricción entre la barra y bola es despreciable. Las constantes y variables para este ejemplo se definen como sigue:

M masa de la bola

R Radio de la bola

d offset de brazo de palanca

G Aceleración gravitacional

L Longitud de la viga

J Momento de inercia de la bola

r coordenada de posición de la bola

alfa coordenada angular de la barra

theta ángulo del servo engranaje

Modelado de sistema

bola y barra

Los criterios de diseño para este problema son:

Tiempo de Establecimiento menor que 3 segundos

Sobre impulso menor que 5%

Ecuaciones del sistema

Para obtener el modelo matemático que expresa la dinámica del sistema “BALL&BEAM”, trabajaremos con el método de Lagrange. La formulación lagrangiana de la mecánica se desarrolla partiendo de dos principios; el principio de Definición de la Masa y el principio de los Desplazamientos Virtuales:

Condición de la rodadura:  Cuando el cilindro gira un cierto ángulo θ, el centro del mismo experimenta un desplazamiento r ; la relación existente entre estas dos magnitudes es:

r:θ . RSiendo R el radio del cilindro o bola. A partir de esta relación encontramos fácilmente, por derivación respecto del tiempo, la relación existente entre la velocidad del centro del cilindro y la velocidad angular:

r :R θ θ= rR El langrangiano corresponde a la diferencia de las energías, cinética y potencial, por lo

que tiene la siguiente forma:L= K – V

Dándole forma con las energías del sistema y remplazando (1):Donde la primera derivada de la posición es la velocidad:

V(t)=r: función velocidad

Considerando que:

r

Reemplazando se logra formar el langrangiano:

Siendo la ecuación de Euler- LaGrange, que minimiza la acción:

Recordando que esta ecuación esta igualada a cero por ser un sistema conservatorio. Continuamos resolviendo las derivadas parciales, por separado seria de la forma:

Finalmente con estas 3 ecuaciones formamos con la ecuación de arriba, con lo que se obtiene:

linealizacion de esta ecuación no lineal, cuando alpha(α) = 0, nos da esta aproximación lineal del sistema:

también encontramos la ecuación que relaciona el ángulo de barra con el ángulo del engranaje que puede aproximarse a una relación lineal.

reemplazamos en la ecuación previa y obtenemos:

Función de transferencia Ahora procedemos a hacer la transformada de Laplace de la ecuación de

arriba donde obtenemos la sgte ecuación:

1. Laplace de la segunda derivada de la posición r:

Cuando se toma la transformada de Laplace para hallar la función de transferencia se asume que las condiciones son nulas.

Despejando encontramos la función de transferencia del angulo del engranaje (theta) a la posición de la bola R(s).

Debe notarse que la función de transferencia de la planta de arriba es un doble integrador. Como esta es marginalmente estable nos proveerá de un arduo problema de control.