INTRODUO MECNICA DOS FLUIDOS

OITAVA EDIO

Robert W. FoxPurdue University, Professor Emrito

Alan T. McDonaldPurdue University, Professor Emrito

Philip J. PritchardManhattan College

Com a contribuio especial de:John C. Leylegian

Manhattan College

Traduo e Reviso Tcnica

Ricardo Nicolau Nassar KouryDepartamento de Engenharia Mecnica

Universidade Federal de Minas Gerais

Luiz MachadoDepartamento de Engenharia MecnicaUniversidade Federal de Minas Gerais

MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR

O Material Suplementar contm apresentaes com texto e ilustraes, manual de solues, vdeos e vdeos clssi-cos, modelos em Excel, contedos online dos captulos que podem ser usados como apoio para o livro INTRODU-O MECNICA DOS FLUIDOS, 8 EDIO, 2014. O acesso aos materiais suplementares desta edio est sujeito ao cadastramento no site da LTC LIVROS TCNICOS E CIENTFICOS EDITORA LTDA.

Materiais Suplementares traduzidos do material original: Apndice H arquivo em formato (.pdf) que contm uma reviso sinttica do Microsoft Excel (acesso livre); Contedo online dos captulos, arquivos em formato (.pdf) que disponibiliza contedo das sees online indi-

cadas no livro-texto (acesso livre); Ilustraes da obra em formato de apresentao (acesso restrito a docentes); Modelos em Excel, arquivos em formato (.xls) com planilhas de dados (acesso livre).

Material Suplementar compilado do site que acompanha a edio original: Classic Videos coletnea de vdeos clssicos em ingls sobre mecnica dos fluidos em preto e branco (acesso

livre). Disponvel no site do Massachusetts Institute of Technology (MIT Instituto de Tecnologia de Massa-chusetts): . Acesse o vdeo clssico Boundary layer control (controle de camada-limite) pelo link: .

Lecture PowerPoint Slides arquivos em formato (.ppt) com apresentaes em ingls para uso em sala de aula (acesso restrito a docentes);

Solutions Manual arquivos em formato (.pdf) que apresenta as solues de todos os problemas do livro-texto em ingls (acesso restrito a docentes);

Vdeos coletnea de vdeos temticos em ingls coloridos ou em preto e branco, indicados no livro-texto. Dis-ponvel no site: http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=mininav&bcsId=6187&itemId=0470547553&assetId=233351&resourceId=22858&newwindow=true>.

Material Suplementar traduzido do material original:FOX AND MCDONALDS: INTRODUCTION TO FLUID MECHANICS, EIGHTH EDITIONCopyright 2012, John Wiley & Sons, Inc. (Asia) Pte LTd.All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley & Sons Inc. ISBN: 978-1-118-02641-0

Material Suplementar compilado do site que acompanha a edio original:FOX AND MCDONALDS: INTRODUCTION TO FLUID MECHANICS, EIGHTH EDITIONReprinted by permission of John Wiley & Sons, Inc. Copyright 2012 by John Wiley & Sons, Inc. (Asia) Pte LTd.All Rights Reserved. ISBN: 978-1-118-02641-0

Obra publicada pela LTC:INTRODUO MECNICA DOS FLUIDOS, 8 EDIO, 2014.Direitos exclusivos para a lngua portuguesaCopyright 2014 byLTC __ Livros Tcnicos e Cientficos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

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SumrioSEES EXTRAS 1

SEO 3.7 FLUIDOS EM MOVIMENTO DE CORPO RGIDO 1

SEO 4.6 EQUAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA VOLUME DE CONTROLE COM ACELERAO ARBITRRIA 6

SEO 4.7 O PRINCPIO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR (CONTINUAO) 11

SEO 6.6 EQUAO DE BERNOULLI PARA ESCOAMENTO TRANSIENTE: INTEGRAO DA EQUAO DE EULER AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE 16

SEO 9.3 CAMADA-LIMITE LAMINAR EM PLACA PLANA: SOLUO EXATA 18

SEO 13.4 ESCOAMENTO EM CANAL SUPERSNICO COM CHOQUES (CONTINUAO) 23

SEO 13.5 ESCOAMENTO EM UM DUTO DE REA CONSTANTE COM ATRITO (CONTINUAO) 29

APNDICE H UMA REVISO RESUMIDA SOBRE O EXCEL DA MICROSOFT 32

Sees Extras 1

1

Sees Extras

3.7 Fluidos em Movimento de Corpo RgidoEstamos quase prontos para iniciar o estudo de fluidos em movimento (iniciado no Captulo 4), mas, primeiramente, existe uma categoria de movimento fluido que pode ser estudada usando as ideias de esttica dos fluidos: movimento de corpo rgido. Como o nome indica, este um movimento no qual todo o fluido se move como se fosse um corpo rgido as partculas individuais de fluido, embora possam estar em movi-mento, no sofrem deformaes. Isso significa que, como no caso da esttica dos flui-dos, no existem tenses de cisalhamento.

Que tipo de escoamento fluido possui movimento de corpo rgido? Da cinemtica, voc se lembra que o movimento de corpo rgido pode ser dividido em translao pura e rotao pura. Para a translao, o movimento mais simples o de velocidade cons-tante, que pode ser convertido em um problema de esttica dos fluidos por uma mudana de coordenadas. O outro movimento translacional simples que podemos usar o de acelerao constante, que ser considerado aqui (Exemplo 3.9.) Alm disso, conside-raremos um movimento consistindo em rotao constante pura (Exemplo 3.10). Como no caso da esttica dos fluidos, podemos aplicar a segunda lei do movimento de Newton para determinar o campo de presso que resulta de um determinado movimento de corpo rgido.

Na Seo 3.1, deduzimos uma expresso para as foras devido presso e gravi-dade agindo sobre uma partcula fluida de volume . Obtivemos

ou

(3.2)

A segunda lei de Newton foi escrita

Substituindo da Eq. 3.2, obtemos

(3.17)

Se a acelerao constante, podemos combin-la com e obter uma acelerao da gravidade efetiva , de forma que a Eq. 3.17 possua a mesma forma que a nossa equao bsica para a distribuio de presso em um fluido esttico, Eq. 3.3:

2 Sees Extras

Isto significa que podemos usar os resultados das sees precedentes deste captulo bastando usar ao invs de . Por exemplo, para um lquido submetido a uma ace-lerao constante, o aumento de presso com a profundidade na direo de e a taxa de aumento de presso sero dados por , em que o mdulo de . As linhas de presso constante sero perpendiculares direo de . O significado fsico de cada termo na Eq. 3.17 o seguinte:

Essa equao vetorial consiste em trs equaes de componentes que devem ser satis-feitas individualmente. Em coordenadas retangulares, as equaes componentes so:

(3.18)

As equaes componentes em outros sistemas de coordenadas podem ser escritas usando as expresses apropriadas para p. Em coordenadas cilndricas, o operador vetorial, , dado por

(3.19)

em que r e so vetores unitrios nas direes r e , respectivamente. Portanto

(3.20)

Exemplo 3.9 LQUIDO EM MOVIMENTO DE CORPO RGIDO COM ACELERAO LINEARComo resultado de uma promoo, voc transferido do atual local de trabalho. Voc deve transportar um tanque de pei-xes no bagageiro de sua minivan. O tanque possui 12 in 24 in 12 in. Quanta gua voc pode levar no tanque e ainda estar razoavelmente seguro de que a gua no vai transbordar durante a viagem?

Dados: Um tanque de peixes com 12 in 24 in 12 in parcialmente cheio de gua a ser transportado em um automvel.

Determinar: A profundidade de gua permitida para se ter certeza razovel de que no haver derramamento de gua durante a viagem.

Soluo:O primeiro passo na soluo interpretar o problema geral de forma mais especfica.

Reconhecemos que existir um movimento da superfcie da gua como um resultado do movimento do automvel sobre imperfeies da estrada, curvas, etc. Entretanto, devemos considerar que o principal efeito sobre a superfcie da gua devido s aceleraes lineares (e desaceleraes) do automvel; devemos desprezar o movimento no interior da gua.

Portanto, reduzimos o problema determinao do efeito de uma acelerao linear sobre a superfcie livre da gua. No decidimos ainda sobre a orientao do tanque com relao direo do movimento. Escolhendo a coordenada x na direo do movimento, devemos alinhar o lado maior do tanque paralelamente ou perpendicularmente direo do movi-mento?

Se no existir movimento relativo na gua, devemos considerar que estamos trabalhando com acelerao constante, ax. Qual a forma da superfcie livre sob estas condies?

Sees Extras 3

Vamos reformular o problema para responder as questes originais idealizando a situao fsica para obter uma soluo aproximada.

Dados: Um tanque parcialmente cheio de gua (at a profundidade d) sujeito a uma acelerao linear constante, ax. A altura do tanque de 12 in; o comprimento paralelo direo do movimento b. A largura perpendicular direo do movimento c.

Determinar: (a) A forma da superfcie livre sob acelerao constante ax. (b) A profundidade de gua permitida, d, para evitar derramamento em funo de ax e da orientao do

tanque. (c) A orientao tima do tanque e a profundidade de gua recomendada.

Soluo:

Equao bsica:

Como p no uma funo de z, p/z 0. Tambm, gx 0, gy g, gz 0 e ay az 0.

As equaes componentes so:

O problema agora consiste em determinar uma expresso para p p(x, y). Isso nos capacitaria a determinar a equao da superfcie livre. Mas, talvez, no tenhamos que fazer isto.

Como a presso p p(x, y), a diferena na presso entre dois pontos (x, y) e (x dx, y dy)

Visto que a superfcie livre uma linha de presso constante, p constante, ao longo da superfcie livre, ento dp 0 e

Consequentemente,

Note que poderamos ter deduzido este resultado mais diretamente pela converso da Eq. 3.17 em um problema de ace-lerao da gravidade equivalente,

no qual As linhas de presso constante (incluindo as da super-fcie livre) sero perpendiculares direo de , de modo que a inclinao dessas linhas ser 1(g/ax) ax/g.No diagrama,

d profundidade original

e altura acima da profundidade original

b comprimento do tanque paralelo direo do movimento

b

axd

12 in

e

g

y

b

O x

axd

4 Sees Extras

Este exemplo mostra que:Nem todos os problemas de engenharia so definidos de forma clara, e nem sempre possuem respostas nicas.Para acelerao linear constante, temos efetivamente um problema hidrosttico, com a gravidade redefinida como o vetor resultante da acelerao e da gravidade real.

Como desejamos que e seja o menor para um dado valor de ax, o tanque deve ser alinhado de forma que b seja to pequeno quanto possvel. Devemos alinhar o tanque com o lado longo perpendicular direo do movimento. Isto , devemos esco-lher b 12 in

Com b 12 in,

O valor mximo permitido para e 12 d in. Portanto,

Se o valor mximo de ax considerado igual a 2/3 g, ento o valor permitido para d igual a 8 in.

Para permitir uma margem de segurana, talvez devamos selecionar d 6 in. Lembre-se de que uma acelerao permanente foi considerada neste

problema. O automvel teria que ser dirigido muito cuidadosa e suavemente.

g

R

g

R

r

z

h1h0

Exemplo 3.10 LQUIDO EM MOVIMENTO DE CORPO RGIDO COM VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTEUm continer cilndrico, parcialmente cheio de lquido, rotacionado a velocidade angular cons-tante, , em torno de seu eixo conforme mostrado no diagrama. Aps um curto perodo de tempo no existe movimento relativo; o lquido roda juntamente com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rgido. Determine a forma da superfcie livre.

Dados: Um cilindro de lquido em rotao de corpo rgido com velocidade angular, , em torno de seu eixo.

Determinar: A forma da superfcie livre.

Soluo:

Equao de governo:

conveniente usar um sistema de coordenadas cilndricas, r, , z. Como gr g 0 e gz g, ento

Tambm, a az 0 e ar 2r.

As equaes componentes so:

A partir das equaes componentes vemos que a presso no uma funo de ; a presso uma funo somente de r e z.

Como p (r, z), a variao diferencial, dp, na presso entre dois pontos com coordenadas (r, , z) e (r dr, , z dz) dada por:

Sees Extras 5

Ento

Para obter a diferena de presso entre um ponto de referncia (r1, z1), no qual a presso p1, e um ponto arbitrrio (r, z) no qual a presso p, devemos integrar

Tomando o ponto de referncia sobre o eixo do cilindro na superfcie livre, obtemos

Ento

Como a superfcie livre uma superfcie de presso constante (p patm), a equao da superfcie livre dada por

ou

A equao da superfcie livre um paraboloide de revoluo com vrtice sobre o eixo em z h1.Podemos determinar a altura, h1, sob condies de rotao em funo da altura da superfcie original, h0, na ausncia

de rotao. Para fazer isso, usamos o fato de que o volume de lquido deve permanecer constante. Sem rotao

Com rotao

Ento

Finalmente,

Note que a expresso para z vlida somente para h1 0. Portanto, o valor mximo de dado por

Este Exemplo mostra:O efeito da acelerao centrpeta sobre a forma das linhas de presso constante (isobricas).Como a variao da presso hidrosttica e a variao devido rotao dependem da massa especfica do fluido, a forma final da superfcie livre independente da massa especfica do fluido.

6 Sees Extras

4.6 Equao da Quantidade de Movimento para Volume de Controle com Acelerao Arbitrria

Na Seo 4.5, formulamos a equao da quantidade de movimento para um volume de controle com acelerao retilnea. O objetivo desta seo estender a formulao de modo a torn-la mais completa, incluindo a rotao e a acelerao angular do volume de controle, em adio translao e acelerao retilnea.

Primeiro, vamos desenvolver uma expresso para a segunda lei de Newton em um sistema arbitrrio de coordenadas, no inercial. Em seguida, vamos usar a Eq. 4.25 para completar a formulao para um volume de controle. A segunda lei de Newton para um sistema com movimento relativo a um sistema inercial de coordenadas dada por

(4.27)

no qual, como na seo precedente, XYZ denota o sistema inercial de referncia (por exemplo, estacionrio). Como

e M (do sistema) constante,

ou

(4.35)

O problema bsico relacionar com a acelerao medida em relao a um sistema de coordenadas no inercial. Para esse fim, considere o referencial no iner-cial, xyz, mostrado na Fig. 4.5.

O referencial no inercial, xyz, por si mesmo localizado pelo vetor posio rela-tivo ao referencial fixo, XYZ. O referencial no inercial gira com velocidade angular . Uma partcula localizada instantaneamente em relao ao referencial mvel pelo vetor posio Em relao ao sistema inercial de referncia XYZ, a posio da partcula denotada pelo vetor posio Da geometria da figura,

A velocidade da partcula relativa a um observador no referencial XYZ

(4.36)

X

r

R

y

z

x

Y

X

Z

Partcula

Fig. 4.5 Localizao de uma partcula em referenciais inercial (XYZ) e no inercial (xyz).

Sees Extras 7

em que, como na seo precedente, a velocidade instantnea do sistema de coor-denadas do volume de controle em relao ao sistema inercial de referncia XYZ.

Devemos ter cuidado na avaliao de porque tanto a magnitude, quanto a orientao dos vetores unitrios, i , j e k, so funes do tempo. Portanto,

(4.37a)

Os termos dx/dt, dy/dt e dz/dt so as componentes da velocidade da partcula em rela-o a xyz. Ento,

(4.37b)

Relembrando a dinmica (e conforme veremos no Exemplo 4.13), para um sistema de coordenadas em rotao

(4.37c)

Combinando as Eqs. 4.37a, 4.37b e 4.37c, obtemos

(4.37d)

Substituindo esse resultado na Eq. 4.36, obtemos

(4.38)

A acelerao da partcula relativa a um observador no sistema inercial XYZ , por-tanto,

ou

(4.39)

Tanto quanto so medidos em relao a xyz, de modo que o mesmo cuidado observado no desenvolvimento da Eq. 4.37d se aplica. Assim,

(4.40a)

e

ou

(4.40b)

Substituindo as Eqs. 4.40a e 4.40b na Eq. 4.39, obtemos

(4.41)

8 Sees Extras

A Eq. 4.41 relaciona a acelerao de uma partcula fluida quando medida nos dois sistemas de referncia (o sistema inercial XYZ e o sistema no inercial xyz). Tendo estudado dinmica, voc deve estar familiarizado com cada um dos termos da equa-o. So eles:

: Acelerao retilnea absoluta de uma partcula em relao ao sistema de referncia fixo XYZ.

: Acelerao retilnea absoluta da origem do sistema de referncia mvel xyz em relao ao sistema de referncia fixo XYZ.

: Acelerao retilnea de uma partcula relativa ao referencial mvel xyz. Essa a acelerao que seria vista por um observador sobre o referencial mvel xyz; .

: Acelerao de Coriolis devido ao movimento da partcula dentro do referencial mvel xyz.

: Acelerao centrpeta devido rotao do referencial mvel xyz.

: Acelerao tangencial devido acelerao angular do referencial mvel xyz.

Substituindo , conforme dado pela Eq. 4.41, na Eq. 4.35, obtemos

ou

(4.42a)

Mas

(4.42b)

Combinando as Eqs. 4.42a e 4.42b, obtemos

ou

(4.43)

A Eq. 4.43 um enunciado da segunda lei de Newton para um sistema. A derivada do sistema, representa a taxa de variao da quantidade de movimento, do sistema medido em relao a xyz, conforme visto por um observador em xyz. Essa derivada do sistema pode ser relacionada s variveis de volume de controle atravs da Eq. 4.25,

(4.25)

Para obter a formulao de volume de controle, fazemos e Em seguida, as Eqs. 4.25 e 4.43 podem ser combinadas para fornecer

Sees Extras 9

(4.44)

A Eq. 4.44 a formulao mais geral da segunda lei de Newton para volume de controle. Comparando a equao da quantidade de movimento para um volume de controle mvel com acelerao arbitrria, Eq. 4.44, com aquela para um volume de con-trole mvel com acelerao retilnea, Eq. 4.33, observamos que a nica diferena a presena de trs termos adicionais no lado esquerdo da Eq. 4.44. Esses termos resul-tam do movimento angular do referencial no inercial xyz. Na dinmica, esses termos so referenciados frequentemente como foras fictcias que aparecem devido aos efeitos de inrcia presentes quando um sistema no inercial de coordenadas xyz usado: a fora de Coriolis devido ao movimento da partcula dentro do sistema de coordena-das xyz, e as foras centrpeta e tangencial devido ao movimento de rotao do sistema de coordenadas xyz, respectivamente. Conforme esperado, a forma geral, Eq. 4.44, reduz-se forma da acelerao retilnea, Eq. 4.33, quando os termos angulares so iguais a zero, e forma do volume de controle inercial, Eq. 4.26, quando todos os ter-mos relacionados com o movimento do volume de controle so iguais a zero.

As precaues concernentes ao uso das Eqs. 4.26 e 4.33 tambm se aplicam ao uso da Eq. 4.44. Antes de tentar aplicar essa equao, devemos traar as fronteiras do volume de controle e indexar direes apropriadas para as coordenadas. Para um volume de controle movendo-se com acelerao arbitrria, devemos indexar um sistema de coor-denadas xyz sobre o volume de controle e um sistema inercial de referncia XYZ.

Exemplo 4.13 VELOCIDADE EM SISTEMAS DE REFERNCIA FIXOS E NO INERCIAIS

Um sistema de referncia, xyz, move-se arbitrariamente em relao a um sistema de referncia fixo, XYZ. Uma partcula move-se com velocidade V

xyz (dx/dt)i (dy/dt)j (dz/dt)k, relativa ao sistema xyz. Mostre que a velocidade absoluta

da partcula dada por

Dados: Sistemas de referncia inercial e no inercial, conforme mostrado na figura.

Determinar: V

XYZ em termos de V

xyz, , r e V

rf.

Soluo:Da geometria do esquema, X

R

r, de modo que

Como

resulta

ou

Xr

X

Rz

y

x

PartculaY

Z

10 Sees Extras

O problema agora avaliar di /dt, dj /dt e dk/dt, que resultam do movimento angular do sistema de referncia xyz. Para avaliar essas derivadas, devemos considerar a rotao de cada vetor unitrio causada pelas trs componentes da veloci-dade angular, , do referencial xyz.

Considere o vetor unitrio i . Ele girar no plano xy por causa de z, como segue:

y(t + t)

i (t + t)

x(t + t)z

y(t)

x(t)i (t)

^

i (t + t)^

i (t + t)^

^ i (t)^

i (t)^

Agora, deste diagrama

Porm, para pequenos ngulos, cos 1 [()2/2] e sen , de forma que

No limite, para t 0, temos = z t.

Similarmente, i girar no plano xz por causa de y.

x(t)

z(t)

x(t + t)

z(t + t)

y

Esquema ampliado

i (t + t)^

i (t +

t)^

i (t + t) ^

i (t)^

i (t)^

i (t)^

Ento, do diagrama

Para pequenos ngulos

No limite, quando t 0, com = y t,

Sees Extras 11

A rotao no plano xy, por causa de x, no afeta i . Combinando os termos, obtemos

Por raciocnio semelhante, obtemos

Ento,

Mas

Combinando esses resultados, obtemos

4.7 O Princpio da Quantidade de Movimento Angular (Continuao)

Equao para Volume de Controle em RotaoNos problemas envolvendo componentes em rotao, tais como o regador giratrio do Exemplo 4.14, conveniente, em geral, expressar todas as velocidades do fluido em relao ao componente girante. O volume de controle mais conveniente um refe-rencial no inercial que gira junto ao componente. Nesta seo, vamos desenvolver uma forma de princpio da quantidade de movimento angular para um volume de con-trole no inercial que gira em torno de um eixo fixo no espao.

Os sistemas de referenciais inerciais e no inerciais foram descritos na Seo 4.6. A Figura 4.5 mostrou a notao usada. Para um sistema em um referencial inercial,

(4.3a)

A quantidade de movimento angular de um sistema com movimento arbitrrio deve ser especificada em relao a um referencial inercial. Usando a notao da Fig. 4.5,

Com R

0, o referencial xyz fica restrito rotao em XYZ, e a equao torna-se

12 Sees Extras

De modo que

Como a massa de um sistema constante,

ou

(4.47)

Da anlise da Seo 4.6,

(4.36)

Com xyz restrito apenas rotao, V

rf 0. Ento, o primeiro termo dentro da integral no lado direito da Eq. 4.47

Assim, a Eq. 4.47 fica reduzida a

(4.48)

Da Eq. 4.41 com arf 0 (como xyz no sofre translao),

Substituindo essa expresso na Eq. 4.48, obtemos

ou

(4.49)

Podemos escrever o ltimo termo como

(4.50)

O torque no sistema dado por

(4.3c)

A relao entre as formulaes do sistema e do volume de controle

(4.25)

Sees Extras 13

em que

Tomando N igual a H

xyx)sistema e r V

xyz, obtemos

(4.51)

Combinando as Eqs. 4.49, 4.50, 4.51 e 4.3c, obtemos

Como o sistema e o volume de controle coincidem em t0,

(4.52)

A Eq. 4.52 uma formulao geral do princpio da quantidade de movimento angular para um volume de controle no inercial girando em torno de um eixo fixo no espao. Todas as velocidades do fluido na Eq. 4.52 so tomadas em relao ao volume de controle. Comparando a Eq. 4.52 com a Eq. 4.46 (para coordenadas XYZ inerciais), vemos que as coordenadas no inerciais xyz (em rotao) apresentam um termo extra de quantidade de movimento no lado esquerdo que incluiu trs componentes. Con-forme discutimos na sequncia da Eq. 4.44, tais componentes decorrem de foras fictcias: a fora de Coriolis devido ao movimento da partcula de fluido nas coor-denadas xyz e as foras centrpeta e tangencial devidas ao movimento de rotao das coordenadas xyz. A Eq. 4.52 fica reduzida Eq. 4.46 quando o volume de controle no est em movimento (quando e

so zero). Mesmo que haja o termo extra para

ser avaliado, a Eq. 4.52 , s vezes, mais simples de ser usada do que a Eq. 4.44, pois um problema transiente nas coordenadas XYZ torna-se um problema em regime per-manente nas coordenadas xyz, como veremos no Exemplo 4.15.

14 Sees Extras

Exemplo 4.15 REGADOR GIRATRIO DE GRAMADO: ANLISE USANDO VOLUME DE CONTROLE ROTATIVO

Um pequeno regador giratrio de gramado mostrado no esquema. Para uma presso manomtrica de entrada de 20 kPa, a vazo volu-mtrica total de gua de 7,5 litros por minuto, e o regador gira a 30 rpm. O dimetro de cada jato 4 mm. Calcule a velocidade do jato relativa a cada bocal do regador. Avalie o torque devido ao atrito no piv do regador.

Dados: Um pequeno regador giratrio de gramado, conforme mos-trado.

Determinar: (a) A velocidade do jato em relao a cada bocal. (b) O torque devido ao atrito no piv.

Soluo:Aplique as equaes da continuidade e da quantidade de movimento angular, , utilizando um volume de controle rota-tivo que compreende os braos do regador.

Equaes de governo:

(4.52)

VrelVrel

R = 150 mm

= 30

psuprimento = 20 kPa (manomtrica)

VCQ = 7,5 L/min = 30 rpm z r

Tf(O volume de

controle gira com o brao do regador)

Consideraes: (1) Escoamento permanente em relao ao VC rotativo. (2) Escoamento uniforme em cada seo. (3) = constante.Da equao da continuidade,

Considere, separadamente, os termos na equao da quantidade de movimento angular. Como no Exemplo 4.14, o nico torque externo atuando sobre o VC aquele devido ao atrito no piv. Ele ope-se ao movimento, de forma que

(1)

EE 4.15 REGADOR GIRATRIO DE GRAMADO: ANLISE USANDO VOLUME DE CONTROLE ROTATIVO

VrelVrel

R = 150 mm

Q = 7,5 L/min= 30 rpm

= 30

psuprimento = 20 kPa (manomtrica)

Sees Extras 15

A segunda integral esquerda na Eq. 4.52 avaliada para escoamento dentro do VC. Sejam VVC e AVC a velocidade e a rea no interior dos tubos do regador, respectivamente. Ento, para um lado, o primeiro termo (um efeito Coriolis)

(O escoamento na parte curva do tubo no tem componente r da velocidade, de forma que r no contribui para a integral.)

Da continuidade, Q = 2 VVC AVC, de modo que, para os dois lados, a integral torna-se

(2)

O segundo termo na integral (um momento gerado pela acelerao centrpeta) avaliado como

de forma que esse termo no contribui para o torque. (A fora gerada pela acelerao centrpeta radial e, portanto, no gera momento.)

A integral no lado direito da Eq. 4.52 avaliada para escoamento cruzando a superfcie de controle. Para o brao direito do regador,

Os vetores velocidade e raio para o escoamento no brao esquerdo devem ser descritos em termos dos mesmos vetores unitrios usados para o brao direito. No brao esquerdo do regador, a componente tem a mesma magnitude, porm sinal oposto, portanto se anulam. Para o VC completo,

(3)

Combinando os termos (1), (2) e (3), obtemos

ou

A partir dos dados fornecidos,

Substituindo, obtemos

Este problema ilustra o uso do princpio da quantidade de movimento angular para um volume de controle no inercial (girando). Note que nesta abordagem, diferentemente do volume de controle inercial do Exemplo 4.14, o vetor posio r e o vetor velocidade V

da partcula fluida no so dependentes do tempo. Como seria esperado, o resultado concorda usando ambos os volumes de controle, inercial e no inercial.

16 Sees Extras

*6.6 Equao de Bernoulli para Escoamento Transiente: Integrao da Equao de Euler

ao Longo de uma Linha de CorrenteNo necessrio restringir o desenvolvimento da equao de Bernoulli ao escoamento em regime permanente. O objetivo desta seo , ento, desenvolver a equao cor-respondente para escoamento transiente ao longo de uma linha de corrente e ilustrar a sua utilizao.

A equao da quantidade de movimento para escoamento sem atrito (Eq. 6.1) pode ser escrita (com g no sentido negativo de z) como

(6.17)

A Eq. 6.17 uma equao vetorial. Ela pode ser convertida em uma equao escalar tomando o produto escalar por ds, em que ds um elemento de distncia ao longo de uma linha de corrente. Assim,

(6.18)

Examinando os termos na Eq. 6.18, notamos que

Substituindo na Eq. 6.18, obtemos

(6.19)

Integrando ao longo de uma linha de corrente do ponto 1 ao ponto 2, resulta

(6.20)

Para escoamento incompressvel, a massa especfica constante. Para esse caso espe-cial, a Eq. 6.20 torna-se

(6.21)

Restries: (1) Escoamento incompressvel. (2) Escoamento sem atrito. (3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

Essa uma forma da equao de Bernoulli para escoamentos no permanentes. Ela difere da equao de Bernoulli (Eq. 6.8) pelo fator 12 V/t ds. Como podemos expli-car esse termo extra? A derivada integrada ao longo de uma linha de corrente do ponto 1 ao ponto 2, de forma que acabamos obtendo grandezas dadas em unidades de energia por unidade de massa (fora ou quantidade de movimento distncia = tra-balho ou energia): assim, podemos interpretar o fator como o trabalho relacionado

*Esta seo pode ser omitida sem perda de continuidade no material do texto.

Sees Extras 17

com a taxa temporal de aumento da quantidade de movimento do fluido ao longo de uma linha de corrente (em vez da mudana da quantidade de movimento ao longo da distncia, representado pela mudana de velocidade de V1 para V2). O Exemplo 6.9 demonstrar essa ideia. A Eq. 6.21 pode ser aplicada para qualquer escoamento em que as restries sejam compatveis com a situao fsica.

Exemplo 6.9 EQUAO DE BERNOULLI TRANSIENTEUm longo tubo est conectado, na profundidade de 3 m, a um grande reservatrio que est, inicialmente, cheio de gua. O tubo tem 150 mm de dimetro e 6 m de comprimento. Determine a velocidade do escoamento saindo do tubo como uma funo do tempo aps um tampo ser removido de sua extremidade livre.

Dado: Tubo e reservatrio grande, conforme mostrado.

Determinar: V2(t).

Soluo: Aplicar a equao de Bernoulli para escoamento transiente ao longo de uma linha de corrente do ponto 1 ao ponto 2 .

Equao de governo:

Consideraes: (1) Escoamento incompressvel. (2) Escoamento sem atrito. (3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente de 1 at 2 . (4) p1 = p2 = patm. (5) V12 0. (6) z2 = 0. (7) z1 = h = constante. (8) Desprezar velocidade no reservatrio, exceto para a pequena regio prxima entrada do tubo.Ento

Em vista da considerao (8), a integral torna-se

Em todo o interior do tubo, V = V2, de forma que

Essa a taxa temporal de mudana da quantidade de movimento (por unidade de massa) no tubo; depois de algum tempo, ela se aproximar de zero. Substituindo, tem-se

Separando as variveis, resulta

1

2D = 150 mm

h = 3 m

L = 6 m

V2

z

Escoamento

18 Sees Extras

Integrando entre os limites V = 0 para t = 0 e V = V2 para t = t,

Como tanh1(0) = 0, obtemos

Para as condies dadas,

e

O resultado , ento, V2 = 7,67 tanh(0,639t) m/s, conforme mostrado:

0

8

6

4

2

01 2 3 4 5

t (s)

V2

(m/s

)

V2 = 7,67 tanh (0,639 t)

Notas:Este problema ilustra o uso da equao de Bernoulli transiente.Inicialmente a altura de carga disponvel no estado 1 usada para acelerar o fluido no tubo; eventualmente, a altura de carga no estado 2 iguala a altura no estado 1 .

Este problema, de certa forma, irreal, exceto para os instantes iniciais as condies assintticas de escoamento correspondem realmente ao escoamento turbulento!A planilha Excel para este Exemplo aborda a explorao do efeito de variao dos parmetros para este problema.

9.3 Camada-limite Laminar em Placa Plana: Soluo Exata

A soluo para a camada-limite laminar sobre uma placa plana horizontal foi obtida pelo aluno de Prandtl, H. Blasius [2] em 1908. Para escoamento bidimensional, incom-pressvel e em regime permanente, com gradiente de presso igual a zero, as equaes bsicas de movimento (Eqs. 5.27) se reduzem a [3]

(9.3)

(9.4)

com as condies de contorno

(9.5)

As Eqs. 9.3 e 9.4, com condies de contorno da Eq. 9.5, formam uma dupla de equa-es diferenciais parciais no lineares, para o campo de velocidades no conhecido,

Sees Extras 19

u e . Para resolver estas equaes, Blasius provou que o perfil de velocidades, u/U, deve ser similar para todos os valores de x quando o grfico desse perfil construdo em funo de uma distncia adimensional a partir da parede; a espessura da camada-limite, , foi uma escolha natural para adimensionalizar a distncia a partir da parede. Portanto, a soluo da forma

(9.6)

Baseado na soluo de Stokes [4], Blasius provou que e estabeleceu

(9.7)

Agora, introduzimos a funo corrente, , na qual

(5.4)

satisfaz identicamente a equao da continuidade (Eq. 9.3). Substituindo u e na Eq. 9.4 a equao se reduz a uma equao na qual a nica varivel independente. Defi-nindo uma funo corrente adimensional como

(9.8)

torna f() a varivel dependente e a varivel independente na Eq. 9.4. Com definido na Eq. 9.8 e definido pela Eq. 9.7, podemos avaliar cada um dos termos na Eq. 9.4.

As componentes da velocidade so dadas por

(9.9)

e

ou

(9.10)

Pela derivao dos componentes da velocidade, tambm pode ser mostrado que

e

Substituindo estas expresses na Eq. 9.4, obtemos

(9.11)

com as condies de contorno:

20 Sees Extras

(9.12)

As equaes diferenciais parciais de segunda ordem que governam o crescimento da camada-limite laminar sobre uma placa plana (Eqs. 9.3 e 9.4) foram transformadas em uma equao diferencial ordinria de terceira ordem (Eq. 9.11) com as condies de contorno dadas pela Eq. 9.12. No possvel resolver a Eq. 9.11 na forma fechada; Blasius resolveu essa equao usando uma expanso de srie de potncias em torno de = 0 ajustadas a uma expanso assinttica para . Mais tarde, esta mesma equao foi resolvida de forma mais precisa novamente usando mtodos numricos por Howarth [5], que relatou resultados at a quinta casa decimal. Os valores num-ricos de f, df/d e d2f/d2 na Tabela 9.1 foram calculados com um microcomputador usando a integrao numrica de Runge-Kutta de quarta ordem.

O perfil de velocidades obtido na forma adimensional construindo-se o grfico de u/U em funo de , usando os valores da Tabela 9.1. O perfil resultante est esbo-ado na Fig. 9.3b. Os perfis de velocidades medidos experimentalmente esto em per-feita concordncia com a soluo analtica. Os perfis de todos os locais sobre uma placa plana so similares; eles se fundem em um nico perfil quando traados em coordenadas adimensionais.

A partir da Tabela 9.1, vemos que em = 5,0, u/U = 0,992. Com a espessura da camada-limite, , definida como o valor de y para o qual u/U = 0,99, da Eq. 9.7 obtemos

(9.13)

A tenso de cisalhamento na parede pode ser expressa como

Tabela 9.1A Funo f () para a Camada-Limite Laminar ao Longo de uma Placa Plana em ngulo de Incidncia Zero

Sees Extras 21

Portanto,

(9.14)

e o coeficiente da tenso de cisalhamento na parede, Cf, dado por

(9.15)

Cada um dos resultados para a espessura da camada-limite, , para a tenso de cisa-lhamento na parede, w, e para o coeficiente de atrito superficial, Cf, Eqs. 9.13 a 9.15, depende do nmero de Reynolds em funo do comprimento, Rex, na potncia 1/2. A espessura da camada-limite aumenta conforme x1/2, e a tenso de cisalhamento na parede e o coeficiente de atrito superficial variam conforme 1/x1/2. Esses resultados caracterizam o comportamento da camada-limite laminar sobre uma placa plana.

Exemplo 9.2 CAMADA-LIMITE LAMINAR SOBRE UMA PLACA PLANA: SOLUO EXATAUse os resultados numricos apresentados na Tabela 9.1 para avaliar as seguintes quantidades para escoamento em camada-limite laminar sobre uma placa plana:

(a) */ (para 5 e como ).(b) u/U na borda da camada-limite.(c) A razo da inclinao de uma linha de corrente na borda da camada-limite para a inclinao de em funo de x.

Dados: A soluo numrica para a camada-limite laminar em uma placa plana, Tabela 9.1.

Determinar: (a) */ (para 5 e como ). (b) /U na borda da camada-limite. (c) A razo da inclinao de uma linha de corrente na borda da camada-limite para a inclinao de em

funo de x.

Soluo: A espessura do deslocamento definida pela Eq. 9.1 como

De forma a usar a soluo exata de Blasius para avaliar esta integral, necessitamos convert-la de uma integral envol-vendo u e y para outra envolvendo f( u/U) e variveis. Da Eq. 9.7, de modo que e

.Portanto,

Nota: Correspondente ao limite superior em y na Eq. 9.1, mx ou mx 5.Da Eq. 9.13,

de forma que se dividirmos cada lado da Eq. 1 por cada lado da Eq. 9.13, obtemos (com f= df/d)

22 Sees Extras

Integrando, obtemos

Avaliando em mx = 5, obtemos

A quantidade f() torna-se constante para 7. Avaliando em mx = 8, obtemos

Portanto, * 0,24 por cento maior do que * 5.Da Eq. 9.10,

Avaliando na borda da camada-limite ( = 5), obtemos

Portanto somente 0,84 por cento de U em Rex = 104, e em torno de 0,12 por cento de U em Rex = 5 105.A inclinao de uma linha de corrente na borda da camada-limite

A inclinao da borda da camada-limite pode ser obtida da Eq. 9.13,

de modo que

Portanto,

Este resultado indica que a inclinao das linhas de corrente so em torno de 1/3 da inclinao da borda da camada-limite as linhas de corrente penetram na camada-limite, como esboado a seguir.

UU

u

Este problema ilustra o uso de dados numricos da soluo de Blasius para obter outras informaes sobre a camada-limite laminar em uma placa plana, incluindo o resultado de que a borda da camada-limite no uma linha de corrente.

Sees Extras 23

13.4 Escoamento em Canal Supersnico com Choques (Continuao)

Difusor SupersnicoA anlise dos efeitos da variao de rea em um escoamento isentrpico (Seo 13.2) mostrou que um canal convergente reduz a velocidade de uma corrente supersnica; um canal convergente um difusor supersnico. Como a velocidade do escoamento decresce, a presso aumenta na direo do escoamento, criando um gradiente de pres-so adverso. O escoamento isentrpico no um modelo completamente exato para escoamento com um gradiente de presso adverso,1 mas o modelo de escoamento isentrpico com um choque normal pode ser usado para demonstrar as caractersticas bsicas da difuso supersnica.

Para escoamento isentrpico, um choque no pode permanecer em uma posio estvel em uma passagem convergente; um choque pode permanecer estvel somente em uma passagem divergente. O escoamento real, com nmero de Mach perto de M = 1, instvel, de forma que no possvel reduzir um escoamento supersnico exata-mente para a velocidade snica. O nmero de Mach mnimo que pode ser atingido em uma garganta de 1,2 a 1,3.

Deste modo, em difusores supersnicos reais, o escoamento desacelerado para M 1,3 em uma passagem convergente. A jusante da seo de rea mnima da garganta, possvel o escoamento desacelerar at M 1,4, posio onde um choque normal ocorre. Neste nmero de Mach, a perda de presso de estagnao (da Eq. 13.20b) somente de 4% aproximadamente. Essa perda pequena uma concesso aceitvel em troca da estabilidade do escoamento.

A Figura 13.14 mostra o processo idealizado de difuso supersnica, no qual o escoamento isentrpico exceto atravs de um choque normal. A pequena reduo na presso de estagnao ocorre atravs do choque.

1As camadas-limite se desenvolvem rapidamente em gradientes adversos de presso, de forma que os efeitos viscosos podem ser importantes ou mesmo dominantes. Na presena de camada-limite delgada, os escoamentos supersnicos em difusores podem formar complicados sistemas de choques normais e oblquos.

Fig. 13.14 Diagrama esquemtico Ts para escoamento em um difusor supersnico com um choque normal.

4

5

321

Escoamento

4

32

1

5

p1

p01

p04

p1*

T1

T0 = constante

T* = constante

T

s

24 Sees Extras

No escoamento real, perdas adicionais na presso de estagnao ocorrem durante os processos de difuso subsnica e supersnica antes e aps o choque. Dados expe-rimentais devem ser usados para prever as perdas reais em difusores subsnicos e supersnicos [3, 4].

A difuso supersnica tambm importante para aeronaves de alta velocidade, onde uma corrente livre externa supersnica deve ser desacelerada eficientemente para a velocidade subsnica. Alguma difuso pode ocorrer fora da entrada por meio de um conjunto de fracos choques oblquos [5]. Uma geometria varivel pode ser necessria para realizar a difuso supersnica eficientemente dentro da entrada visto que o nmero de Mach do voo varia. Escoamentos compressveis multidimensionais so discutidos na Seo 13.7, e so tratados em detalhes em outras referncias [6, 7].

Operao de Tnel de Vento SupersnicoPara construir um tnel de vento supersnico eficiente, necessrio entender o com-portamento de choque e controlar a localizao do choque. Por exemplo, pode haver bloqueio escoamento snico em uma garganta, com escoamento a montante inde-pendente das condies a jusante. Um tnel de vento de circuito fechado deve ter um bocal convergente-divergente para acelerar o escoamento para uma velocidade super-snica, seguido de uma seo de teste de rea aproximadamente constante e, ento, um difusor com uma segunda garganta. O circuito deve ser completado pela maqui-naria de compresso, resfriadores e dispositivos de controle de escoamento, como mostrado na Fig. 13.15 [8].

Considere o processo de acelerao do escoamento a partir do repouso para a velo-cidade supersnica na seo de testes. Logo aps o escoamento na garganta se tornar snico, uma onda de choque se forma na divergncia. O choque atinge a sua fora mxima quando atinge o plano de sada do bocal. Consequentemente, para dar partida no tnel e alcanar o escoamento supersnico em regime permanente na seo de tes-tes, o choque deve se mover atravs da segunda garganta e na direo do difusor sub-

Fig. 13.15 Vista esquemtica do tnel de vento de alta velocidade circuito fechado da NASA Ames, com recursos de suporte [9]. (A foto uma cortesia da NASA.)

VDEO CLSSICO

Canal de Escoamento de um Fluido Compressvel.

(em ingls)

A. Esferas de Estocagem de Ar SecoB. Ps-resfriadorC. Ventilador Axial de 3 EstgiosD. Motores de AcionamentoE. Vlvula de Desvio de EscoamentoF. Seo de Testes Supersnicos de 8 por 7 ps

G. Torre de ResfriamentoH. Vlvula de Desvio de Escoamento.I. Ps-resfriadorJ. Compressor Axial de 11 EstgiosK. Seo de Testes Supersnicos de 9 por 7 psL. Seo de Testes Transnicos de 11 por 11 ps

Sees Extras 25

snico. Quando isso ocorre, dizemos que o choque foi engolido pela segunda garganta. Consequentemente, para dar partida no tnel, a garganta do difusor supersnico deve ser maior do que a garganta do bocal. A segunda garganta deve ser suficientemente grande para exceder a rea crtica para o escoamento a jusante a partir do choque mais forte possvel.

Obstruo ou engasgamento ocorrem quando a segunda garganta no suficiente-mente grande para engolir o choque. Quando o canal est bloqueado, o escoamento snico nas duas gargantas e o escoamento na seo de testes subsnico: o escoamento na seo de testes no pode ser controlado variando-se as condies a jusante do difu-sor supersnico.

Quando o tnel de vento est funcionando, no existe choque no bocal ou na seo de testes, de forma que a dissipao de energia muito reduzida. A rea da segunda garganta pode ser reduzida discretamente durante o funcionamento para melhorar a eficincia do difusor. A razo de presso do compressor pode ser ajustada para mover o choque no difusor subsnico para um nmero de Mach mais baixo. Uma combina-o de segunda garganta ajustvel com o controle da razo de presso deve ser usada para alcanar as condies de funcionamento timas para o tnel. Pequenas diferenas na eficincia so importantes quando o sistema de acionamento do tnel pode consu-mir mais do que meio milho de kW [9] !

Escoamento Supersnico com Atrito em um Canal de rea ConstanteEste material, apresentado nesta subseo como complemento, requer conhecimento de escoamentos de linha de Fanno, que so apresentados na Seo 13.5. Se voc tem interesse neste tpico, por favor, revise o material na Seo 13.5 primeiro.

O escoamento em um canal de rea constante com atrito dominado pelos efeitos viscosos. Mesmo quando o escoamento principal supersnico, a condio de no deslizamento na parede do canal garante escoamento subsnico perto da parede. Con-sequentemente, o escoamento supersnico em canais de rea constante pode formar complicados sistemas de choques normais e oblquos. Entretanto, o comportamento bsico do escoamento supersnico adiabtico com atrito em um canal de rea cons-tante revelado pela considerao do caso mais simples de formao de choque nor-mal no escoamento na linha de Fanno.

O escoamento supersnico ao longo da linha de Fanno apresenta o fenmeno de choques somente aps um curto comprimento de tubo, visto que, a alta velocidade, os efeitos do atrito so pronunciados. A Fig. E.3 (Apndice E) mostra que o valor-limite de f

Lmx/Dh menor do que um; os escoamentos subsnicos podem ter um tempo de

execuo muito maior. Desse modo, quando o choque resulta de atrito e o compri-mento do tubo aumentado ainda mais, o escoamento supersnico entra em choque at subsnico para se ajustar s condies de jusante.

Os diagramas Ts nas Figs. 13.16a-d ilustram o que acontece quando se aumenta o comprimento de um tubo de rea constante, alimentado por um bocal convergente-divergente suprido de um reservatrio com condies de estagnao constantes. O escoamento supersnico sobre a linha de Fanno da Fig. 13.16a tem choque por atrito quando o comprimento do tubo La. Quando tubulao adicional colocada para pro-duzir Lb La, Fig. 13.16b, surge um choque normal. O escoamento a montante do choque no varia, visto que supersnico (nenhuma variao na condio a montante pode afetar o escoamento supersnico antes do choque).

Na Fig. 13.16b, o choque mostrado em uma posio arbitrria. O choque se move em direo da entrada do canal de rea constante (em direo ao maior nmero de Mach inicial) conforme mais tubo adicionado.

O escoamento permanece sobre a mesma linha de Fanno, conforme o choque dirigido a montante para o estado 1 por meio da adio de mais comprimento ao tubo; desse modo, a vazo mssica permanece constante. O comprimento do tubo, Lc, que move o choque dentro do plano de entrada do canal, Fig. 13.16c, pode ser calculado diretamente usando os mtodos da Seo 13.5.

26 Sees Extras

Fig. 13.16 Diagramas esquemticos Ts para escoamentos supersnicos na linha de Fanno com choques normais.

1

1

*

T0p0

p1

p*

p0*p01

T* = constante

T0 = constante

T1

La

1 *

T0p0

La

Lb

Choque

1 *

T0p0

La

Lc

1

1

y

y

x

x

*

T0p0

La

Ld

Choque

Rota do processo

T

s

(a)

1 p1

p*

p0*p01

T* = constante

T0 = constante

T1

T

s

M > 1

M < 1

M = 1

Choque

M = 1

M < 1

1 p1

p*

p0*p01

T* = constante

T0 = constante

T1

T1p1

T

s

p*

p0*p0 p01

T* = constante

T0 = constanteT

s

Escoamento supersnico bloqueado em um canal. (b) Escoamento bloqueado em um canal com choque.

(c) Escoamento bloqueado no plano de sada do bocal. (d) Escoamento bloqueado com choque em um bocal;escoamento subsnico em um canal.

Quando o comprimento de tubo Lc excedido, o choque movido de volta dentro do bocal convergente-divergente, Fig. 13.16d. A vazo mssica permanece constante at que o choque atinja a garganta do bocal. Somente quando mais comprimento de tubo adicionado aps o choque atingir a garganta que a vazo mssica decresce, e o escoamento se move para uma nova linha de Fanno.

Se a posio do choque conhecida, as propriedades do escoamento em cada seo e o comprimento do tubo podem ser calculados diretamente. Quando o comprimento especificado e o local do choque deve ser determinado, um processo iterativo necessrio.

Sees Extras 27

t e1

1

M > 1M > 1

Mt = 1 Me = 1M1 = 2

p01T01

t 87

M < 1M < 1

Mt < 1 M8 = 1M7 = 0,35

p01T01

t e21

M < 1M > 1

Mt = 1 Me = 1

p01T01

4 5 63

M < 1

M < 1M > 1

Mt = 1 M4 = 0,701 M6 = 1M3 = 1,5 M5 = 0,407

p01T01

p01T01

T1p1

T0ep0e pe

Te

00

400

800

1200

1 2Entropia adimensional, (s* s)/R

3

Tem

pera

tura

(K

)

0

800

1600

2000

1 2Entropia adimensional, (s* s)/R

3

Tem

pera

tura

(K

)

p01 p02T01

T1

p1

p2T2

T0e

p0e

peTe

00

400

800

1200

1 2Entropia adimensional, (s* s)/R

3

Tem

pera

tura

(K

)

0

800

400 400

1200 1200

1600

2000

1 2Entropia adimensional, (s* s)/R

3

Tem

pera

tura

(K

)

p06

p6

T5T4

T3

Tt

T6

T06

T04

p01

p02

p3

T01

p08

p01T01

p8

T8

T7Tt

T08

t

(a) Escoamento supersnico bloqueado. (b) Escoamento bloqueado com choque no planode sada do bocal.

(a) Escoamento bloqueado com choque em um bocal;mesma vazo, mas o escoamento muda para umanova linha de Rayleigh.

(b) Escoamento subsnico; vazo mssica decresceue o escoamento mudou para outra nova linha deRayleigh.

Fig. 13.17 Esquemas dos diagramas Ts para escoamentos supersnicos sobre a linha de Rayleigh com choques normais.

28 Sees Extras

Escoamento Supersnico com Adio de Calor em um Canal de rea ConstanteEste material, apresentado nesta subseo como complemento, requer conhecimento dos escoamentos de linha de Rayleigh, que so apresentados na Seo 13.6. Se voc tem interesse neste tpico, por favor, revise o material na Seo 13.6 primeiro.

O escoamento supersnico com adio de calor em um canal de rea constante sem atrito mostrado na Fig. 13.17a. Considere que o canal alimentado por um bocal convergente-divergente a partir de um reservatrio com condies de estagnao cons-tantes, e que o escoamento supersnico no estado 1 . A adio de calor causa o movimento dos pontos para cima e para a direita ao longo da linha de Rayleigh. A Fig. 13.17a ilustra a condio na qual a adio de calor exatamente aquela para provocar choque no escoamento. O escoamento snico na sada, de forma que pe = p* e Te = T*; a adio de calor por unidade de massa T ds

s

se

1 , representada pela rea sombreada

embaixo da linha de Rayleigh.Um choque normal no envolve adio de calor, de forma que T0 constante atra-

vs de um choque. Consequentemente, um choque em um canal de rea constante no altera o calor adicionado necessrio para variar o estado do escoamento da condio de entrada para o choque. Quando o choque permanece na entrada do canal, Fig. 13.17b, a adio de calor necessria para atingir o nmero de Mach 1 na sada o mesmo que o da Fig. 13.17a; as reas sombreadas tambm devem ser idnticas.

Se mais energia trmica for adicionada ao escoamento nas condies mostradas na Fig. 13.17b, o choque ser empurrado da entrada do tubo de rea constante de volta poro divergente do canal, onde o nmero de Mach menor.

Com um choque no bocal, as condies na entrada do tubo so variadas, e a adio de calor ocorre ao longo de uma linha de Rayleigh diferente, conforme mostrado na Fig. 13.17c. No existe variao em T0 ou T* atravs do choque (consequentemente, T03 T04 e T3

* T4*), mas o nmero de Mach a jusante varia. Difuso subsnica adicional ocorre do estado 4 para a sada do bocal (estado 5 ), consequentemente movendo a condio de choque para cima sobre o plano Ts, levando em conta o aumento da adio de calor sobre a nova linha de Rayleigh. Todas essas variaes ocorrem na mesma vazo mssica, visto que as condies na garganta do bocal permanecem constantes.

O nmero de Mach imediatamente a montante do choque (estado 3 ) menor do que o M1 da Fig. 13.17b; a temperatura correspondente, T3, maior do que T1. Visto que a fora do choque reduzida, o aumento de entropia atravs do choque menor (s4 s3) (s2 s1). A difuso subsnica seguindo o choque resulta em um menor nmero de Mach e em uma maior temperatura na entrada do tubo. Consequentemente M5 M2 e T5 T2.

Quando a taxa de adio de calor aumentada o suficiente para direcionar o choque para a garganta do bocal, um aumento adicional na adio de calor resultar na dimi-nuio da vazo mssica. O nmero de Mach na entrada do canal reduzido, M7 M5, e o escoamento no canal muda para outra linha de Rayleigh, como mostrado na Fig. 13.17d.

Consequentemente, para uma determinada vazo mssica, existe uma taxa mxima de adio de calor atravs do escoamento supersnico. Para taxas maiores de adio de calor, um choque ocorre no bocal, e o escoamento subsnico no canal de rea constante, mas o escoamento na sada permanece snico. Se a posio do choque especificada, a adio de calor ao longo da linha de Rayleigh pode ser calculada dire-tamente. Se a adio de calor especificada, mas a posio do choque ou a vazo mssica for desconhecida, uma iterao requerida para obter uma soluo.

Consideraes adicionais sobre escoamento com ondas de choque so dadas em [10].

Sees Extras 29

13.5 Escoamento em um Duto de rea Constante com Atrito (Continuao)

Escoamento IsotrmicoO escoamento de gs em longos tubos de rea constante, tais como tubulaes para transporte de gs natural, essencialmente isotrmico. Os nmeros de Mach em tais escoamentos so geralmente baixos, mas variaes significativas de presso podem ocorrer como um resultado dos efeitos de atrito agindo sobre o longo comprimento do tubo. Por esse motivo, tais escoamentos no podem ser tratados como incompress-veis. A considerao de escoamento isotrmico muito mais apropriada.

Para escoamento isotrmico com atrito (ao contrrio do escoamento adiabtico com atrito que discutimos previamente), a transferncia de calor Q/dm no zero. Por outro lado, temos a simplificao de que a temperatura constante em todo local. Como para o escoamento adiabtico, podemos iniciar com o conjunto de equaes bsicas (Eqs. 13.1), descrevendo o escoamento unidimensional que afetado pela variao da rea, pelo atrito, pela transferncia de calor e por choques normais.

(13.1a)

(13.1b)

(13.1c)

(13.1d)

(13.1e)

(13.1f)

(13.1g)

Podemos simplificar estas equaes estabelecendo T = 0, de forma que T1 T2, e A1 = A2 = A. Alm disso, lembremos, da Seo 13.1, que a combinao h + V2/2 a entalpia de estagnao, h0. Usando estas equaes e definies, o conjunto final de equaes (renumeradas por convenincia)

(13.35a)

(13.35b)

(13.35c)

(13.35d)

(13.35e)

(13.35f)

30 Sees Extras

As Eqs. 13.35 podem ser utilizadas para analisar o escoamento isotrmico com atrito em um canal de rea constante. Por exemplo, se conhecemos as condies na seo 1 (isto , p1, 1, T1, s1, h1, e V1) podemos usar estas equaes para determinar as condies em alguma outra seo 2 aps o fluido ter sofrido uma fora de atrito total Rx. Temos cinco equaes (no incluindo a restrio da Eq. 13.35d) e cinco incgnitas ( p2, 2, s2, V2 e o calor transferido q que foi necessrio para manter as condies isotrmicas). Como visto anteriormente, na prtica, este procedimento de difcil execuo novamente temos um conjunto de equaes algbricas no lineares para resolver.

Antes de realizar qualquer clculo, podemos ver que o diagrama Ts para este pro-cesso ser simplesmente uma linha horizontal passando atravs do estado 1 . Para ver em detalhes o que acontece com o escoamento, adicionalmente s Eqs. 13.35, pode-mos desenvolver relaes de propriedades como funes do nmero de Mach. Para escoamento isotrmico, c = constante, de modo que V2/V1 = M2/M1, e da Eq. 13.35a temos

Combinando com a equao do modelo para um gs ideal, Eq. 13.35e, obtemos

(13.36)

Para cada estado, podemos relacionar a temperatura local com a sua temperatura de estagnao usando a Eq. 12.21b,

(12.21b)

Aplicando aos estados 1 e 2 , com o fato de que T1 = T2, obtemos

(13.37)

Para determinar a variao no nmero de Mach ao longo do comprimento do tubo, necessrio considerar a equao da quantidade de movimento na forma diferencial para o escoamento com atrito. A anlise levando Eq. 13.31 vlida para o escoa-mento isotrmico. Visto que T = constante para o escoamento isotrmico, ento da Eq. 13.18, com dT = 0,

e

(13.38)

A Equao 13.38 mostra (faa dx = 0) que o nmero de Mach para o qual o mximo comprimento Lmx atingido Como T = constante, ento o fator de atrito, f = f(Re), tambm constante. A integrao da Eq. 13.38 entre os limites de M = M para x = 0 e para x = Lmx, na qual Lmx a distncia alm da qual o escoa-mento isotrmico no pode proceder, fornece

(13.39)

O comprimento do tubo, L, requerido para que o nmero de Mach do escoamento varie de M1 para M2 pode ser obtido a partir de

Sees Extras 31

(13.40)

A distribuio da troca de calor ao longo do tubo requerida para manter o escoa-mento isotrmico pode ser determinada a partir da forma diferencial da Eq. 13.35c como

ou, como T = constante,

Substituindo para dM2 da Eq. 13.38,

(13.41)

A partir da Eq. 13.41, notamos que, conforme ento dq/dx . Portanto, uma taxa infinita de transferncia de calor requerida para manter o escoamento iso-trmico conforme o nmero de Mach se aproxima do valor-limite. Consequentemente, conclumos que a acelerao do escoamento isotrmico em um tubo de rea constante somente fisicamente possvel para escoamentos com baixos nmeros de Mach.

Resumimos o conjunto de equaes baseadas no nmero de Mach (Eqs. 13.36, 13.37 e 13.40, respectivamente, renumeradas), que podemos usar para anlise de escoa-mento isotrmico de um gs ideal em um tubo com atrito:

(13.42a)

(13.42b)

(13.42c)

32

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft

Apndice H

H.1 Introduo O programa Excel da Microsoft uma das diversas aplicaes computacionais dispo-nveis. Todos estes programas computacionais funcionam de modo similar, com peque-nas variaes de sintaxe e caractersticas de construo, de forma que muito de nossa discusso ir tambm ser diretamente aplicvel a outras aplicaes computacionais.

Existem diversas verses do Excel em utilizao computacional (por exemplo, Excel 2010, Excel 2003); iremos utilizar o Excel 2003.

Nesta pequena reviso discutiremos caractersticas bastante fundamentais, tais como criar frmulas, como formatar clulas, como criar grficos, e assim por diante. A revi-so destes fundamentos ser resumida e pressupondo que voc est familiarizado com o ambiente Windows explicaes mais detalhadas esto disponveis em um grande nmero de fontes, por exemplo, [1], [2], bem como na ajuda (Help) do menu do pr-prio Excel. Ns iremos, portanto, explorando as potencialidades das ferramentas Atin-gir Meta (Excels Goal Seek) e as caractersticas do Solver, e de outras mais sofisti-cadas e menos utilizadas tais como a utilizao de macros e funes do usurio utili-zando o Visual Basic do Excel (VBA Visual Basic for Applications).

H.2 Caractersitcas de Instalao do ExcelConsideramos que voc j possui o programa computacional Excel instalado em seu computador pessoal (PC) ele vem com muitas verses diferentes do Microsoft Office. Caso no possua, voc pode comprar uma verso do Excel ou uma do Office que inclua o Excel (procure se informar sobre descontos para verses acadmicas!); e simplesmente siga as instrues-padro para a instalao.

Embora os programas computacionais com planilhas tenham sido desenvolvidos inicialmente para utilizao em negcios para coisas, tais como tabular e analisar dados financeiros, eles agora so bastante potentes computacionalmente que engenheiros e

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 33

cientistas esto utilizando crescentemente. Como a maior parte dos usurios ainda so pessoas como contadores, a instalao-padro do Excel no inclui algumas caracters-ticas que engenheiros e cientistas acham teis. [De modo similar, a instalao-padro do processador Microsoft Word no inclui o componente de criao de equao, que no Word chamado de Editor de Equaes (Equation Editor).] Como um engenheiro voc ir achar teis algumas caractersticas do Ferramentas de Anlise do Excel e do Visual Bsico do Excel, e iremos utilizar o Solver, de modo que iremos instal-los. O aplicativo Ferramentas de Anlise possui algumas caractersticas matemticas, tais como anlise de regresso; o VBA utilizado para criar funes personalizadas; o Sol-ver ser muito til para resolver equaes, otimizar uma funo, e assim por diante.

Para instalar estes programas, utilize os seguintes passos:

Feche todos os programas. Sobre o menu do Iniciar (Start) doWindows, aponte para Configuraes (Settings)

e, em seguida, clique em Painel de Controle (Control Painel). Clique duas vezes sobre o cone Adicionar/Remover Programas (Add/Remove

Programs).

Voc deve obter uma janela similar abaixo.

34 Apndice H

Clique duas vezes sobre o cone Adicionar/Remover Programas para obter uma janela similar a

Em seguida, v at Microsoft Office 2003 (ou Microsoft Excel se isso tudo que voc instalou) e clique sobre Alterar (Change) para obter uma janela similar a

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 35

Selecione Adicionar/Remover Recursos (Add/Remove Features) e clique sobre Pr-ximo (Next) para obter uma janela similar a

Nesta janela, uma verificao aparecer prxima das aplicaes atualmente instaladas. Queremos personalizar nosso Excel (e possivelmente o Word tambm!), ento marque Escolha a personalizao avanada de aplicativos (Choose advanced customization of applications) e clique Avanar (Next), que aparece para obter alguma coisa como:

36 Apndice H

Expandindo a rvore do Excel, podemos selecionar Suplementos (Add-Ins) que que-remos instalar, como ilustrado abaixo.

Voc deve selecionar Executar de Meu computador (Run from My Computer) para os Suplementos (Add-Ins) que quiser, e ento clicar Atualizar (Update). [Voc pode tambm querer olhar em Ferramentas do Office (Office Tools) e selecionar Editor de Equaes (Equation Editor) para usar com todas suas aplicaes do Office!] Neste ponto, voc pode ou no ser solicitado a colocar o seu CD do original do Office; de qualquer modo, simplesmente siga as instrues para completar a instalao.

Agora, o Suplementos deve estar disponvel na sequncia para voc usar o Excel; dependendo da verso, voc pode primeiro ter que reiniciar seu computador.

Para continuar com esta breve reviso, voc deve rodar o Excel. Ele mostrar alguma coisa como:

Note que a sua coleo de cones pode ser diferente dessa. Voc pode ver, ocultar ou personalizar colees de cones das barras de ferramentas (toolbars) seguindo o mesmo procedimento usado para outras aplicaes do Office.

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 37

H.3 Fundamentos do ExcelO Excel uma aplicao para manipular e realizar clculos de dados em formato tabu-lar. Originalmente desenvolvido para clculos financeiros, por isso esse formato, o Excel tambm uma ferramenta extremamente potente para realizar clculos de enge-nharia, estejam os dados tabulados ou no.

Entrando com os Dados nas ClulasPara entrar com dados (numricos ou texto), simplesmente clique sobre uma clula ou use as teclas de seta sobre o teclado para manusear a clula de interesse, e digite os dados. Para concluir a entrada, pressione a tecla Enter. Podemos fazer alguns comen-trios aqui:

Voc pode fazer somente edio limitada enquanto entrar com dados em uma clula: voc pode utilizar a tecla Backspace para apagar, porm no pode usar a seta esquerda para mover para dgitos anteriores ou letras (usando isso, ou qualquer outra tecla de seta, se sai da clula).

O Excel reconhece internamente se o contedo de uma clula numrico ou texto, e como padro de alinhar o texto esquerda, e os nmeros direita.

Os espaos no devem ser utilizados na entrada de um nmero (por exemplo, 123 456) porque o Excel ir interpretar isso como um texto. As vrgulas so permitidas (porm no so necessrias) (por exemplo, 123, 456).

O Excel usar um formato geral numrico para dados numricos; se o nmero for muito grande para caber na clula, essa mudar para o formato de notao cientfica, por exemplo, 1.23E45 (ou um formato de erro ######, que pode ser variado veja abaixo como ampliar colunas). A fonte e muitas outras propriedades de formatao de clulas podem ser feitas pela seleo da clula ou clulas e, em seguida, utilizando a ferramenta de Formatao:

ou clicando no lado direito do mouse e escolhendo a opo de formatao de clula. Para selecionar diversas clulas contguas, simplesmente arraste sobre elas com o mouse (ou segure em baixo a tecla Shift enquanto utiliza as teclas de setas); para clu-las no adjacentes, segure a tecla Ctrl, enquanto voc seleciona com o mouse. Se uma entrada com dado de texto for muito grande para se ajustar no interior das clulas, a sequncia do texto aparecer sobre a clula no lado direito. Se voc tem diversas clu-las com dados de texto, o Excel ir exibi-las como se o conjunto de clulas fosse um baralho de cartas. Por exemplo, as palavras Dados em uma clula digitadas no interior de trs clulas adjacentes aparecem como:

embora o Excel ainda lembre de todo o contedo das trs clulas. Existem diversas formas de alargar uma clula para exibir o seu contedo uma selecionar a clula ou clulas e clicar sobre o item do menu Formatar ... Coluna ... AutoFormatao (Format ... Column ... Autofit Selection).

Uma vez que os dados tenham entrado em uma clula (isto , aps pressionar a tecla Enter), para editar os dados simplesmente clique duas vezes sobre eles, ou selecione a clula e pressione F2. Voc agora estar no modo editar e pode utilizar as teclas de setas esquerda e direita, as teclas Del e BackSpace, etc., e finalizar pressionando Enter.

38 Apndice H

H.4 Entrando com Frmulas nas ClulasO poder real do Excel a sua habilidade computacional. Isso envolve a criao de frmulas em clulas para clculos automticos. Como um exemplo, suponha que dese-jamos calcular qualquer nmero em qualquer potncia (razovel!), como, por exemplo, 23, 121,5, e, etc. A forma mais bsica digitar uma nova frmula cada vez que tiver-mos dois novos nmeros. Vamos fazer isso primeiro. A regra-chave no Excel que voc deve utilizar o sinal igual (=) de maneira que o Excel reconhea isso como uma frmula que voc quer escrever, e no um texto ou um dado numrico. Portanto para calcular 23, selecione uma clula e digite =2^3 e pressione Enter (o expoente criado com o smbolo ^). O resultado (8) ser exibido. A desvantagem desta frmula que necessitamos digitar novamente para cada novo clculo, por exemplo, para 121,5 ira-mos necessitar =12^1,5 no interior da clula. Uma aproximao melhora utilizando frmulas com referncia nas clulas.

Uma referncia na clula simplesmente as coordenadas da clula. Por exemplo, digite 2 na clula B3 e 3 na clula C3; B3 e C3 so as referncias na clula. Agora, na clula D3, em vez de calcular 23 digitando =2^3, podemos digitar =B3^C3. O Excel interpreta essa frmula como dizendo pegue o contedo da clula B3 e eleve o mesmo ao valor da clula C3, e exiba o resultado. Voc deve ver o seguinte:

Temos uma planilha viva podemos datilografar novos nmeros no interior das clulas B3 e C3 e ter, aps pressionar Enter, o resultado imediatamente (por exemplo, 12 em B3 e 1,5 em C3 deve produzir 41,56922 em D3).

Digitando frmulas com referncia nas clulas pode ser tedioso e produzir erros, especialmente quando existem muitas referncias. Uma tcnica muito til com o mouse iniciar a criao de uma frmula e, em vez de digitar em uma clula de referncia, usar o mouse para clicar sobre a clula que voc deseja utilizar como referncia. Todo o tempo em que voc no pressionar o Enter, o Excel permanecer neste modo de criao de frmula, e voc pode continuar digitando o restante da frmula, utilizando o mouse para clicar sobre clulas adicionais enquanto construir a frmula. Por exem-plo, podemos selecionar a clula D3 e substituir o seu contedo atual digitando = e, depois clicar sobre a clula B3 com o mouse, digitando ^, clicar sobre a clula C3 com o mouse e, finalmente, pressionar Enter (voc tambm pode utilizar as teclas de seta para este tipo de construo de frmulas).

Este obviamente um exemplo trivial, mas planilhas muito complexas podem ser desenvolvidas com mltiplas frmulas com mltiplas referncias nas clulas. Alm disso, um arquivo pode ter mltiplas planilhas, conforme indicado nos ttulos-padro Plan (Sheet) no mostrador no canto inferior esquerdo da planilha em uso (e voc pode renomear essas planilhas, adicionar outras, e assim por diante):

Uma frmula sobre uma planilha pode conter referncia para clulas sobre outras pla-nilhas. Para fazer isso, voc deve iniciar criando a frmula; quando voc necessitar refe-renciar uma clula sobre outra planilha, ainda no modo de criao de frmula, clique sobre a tecla apropriada, em seguida na clula, e continue digitando a frmula.

Podemos copiar e colar clulas utilizando qualquer tcnica-padro do Windows, como usando os itens Copiar e Colar (Copy e Paste) do menu, o boto direito do mouse, etc.; alm disso, o Excel possui mtodos adicionais [1], [2]. Quando copiamos e colamos

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 39

uma clula contendo uma frmula, devemos ser cuidadosos sobre como o Excel inter-preta a colagem. O Excel cola a lgica da frmula, e no as referncias especficas da frmula. Por exemplo, se copiamos e colamos a clula D3 para a clula D5, temos (dependendo do que mais voc fez na planilha), 0 ou #NUM!, ou algum outro resul-tado, mas no 8! Se voc clicar sobre a clula D5 para ver a frmula, ver que no lugar da frmula original =B3^C3 temos =B5^C5. O Excel copiou a lgica, que neste caso pegue o contedo posicionado duas clulas esquerda e eleve-o potncia do con-tedo da clula posicionado uma clula esquerda que nesse exemplo no calcula nada, pois nas clulas B5 e C5 temos atualmente zeros, e 00 indefinido. Voc s passa a obter resultados com sentido aps digitar nmeros nas clulas B5 e C5.

Em muitos casos desejamos que este tipo de colagem acontea. Por exemplo, supo-nha que desejamos calcular a massa de ar em um continer quando o ar pressurizado em uma faixa de presses. A frmula para isso :

(H.1)

em que p a presso, o volume do continer, T a temperatura do ar, e R = 287 J/kg-K a constante do ar. Suponha que = 1 m3 e T = 20C = 293K, e p varia de 10 a 100 kPa em passos de 10 kPa.

Portanto,

(H.2)

Nesta frmula p a presso em Pa e m ser a massa em kg.Podemos iniciar uma nova planilha (por exemplo, clicando sobre o cone no topo

esquerdo na caixa de ferramentas ou utilizando o item do menu Arquivo (File) ... Novo (New)) e digitando no topo da coluna as referncias para a presso e a massa, e entrando com os dados de presso (e note que existem formas no Excel para preencher automaticamente na sequncia de p, e que fizemos alguma formatao, e adicionamos fronteiras):

Agora podemos criar a Eq. H.2 na clula C4, para a massa relativa a primeira presso: A frmula deve ser =1/287/293*B4. (Note que o Excel segue as regras existentes para potncia, em seguida multiplicao/diviso, em seguida adio/subtrao, etc.) Poderamos em seguida criar frmulas similares para as outras clulas; por exemplo, a clula C5 deveria ser =1/287/293*B5. Uma melhor aproximao simplesmente copiar a clula C4 nas clulas de C5 a C13. O resultado (aps uma pequena forma-tao):

40 Apndice H

Introduzimos o que chamado de ideias de referncia relativa a referncia uma clula relativa outra clula contendo uma frmula. Algumas vezes, desejamos isso em vez de uma referncia absoluta. Essa uma referncia a uma clula fixa, de modo que se a frmula copiada para outra clula, a referncia no muda. Vejamos um exemplo em que isso desejvel. Suponha que desejamos estar aptos para repetir os clculos acima para valores diferentes da temperatura ou do volume de continer. Desejamos ter clulas contendo essas informaes, de modo que possamos modific-las facilmente. Vamos colocar estas informaes nas clulas E4 e F4 (com ttulos voc pode criar m3?):

Agora necessitamos da seguinte frmula na clula C4 (correspondente a H.1): =B4*E4/287/F4. O problema agora que se copiarmos essa frmula para outras clulas nas colunas da massa, iremos ter erros (tente isso, em seguida clique em Undo!): a frmula lgica informa que cada clula deve obter dados de volume e temperatura respectivamente em duas e trs colunas imediatamente direita, por exemplo, a fr-mula da clula C5 quando colada iria ser =B5*E5/287/F5. A referncia para B5 (a presso) est correta, porm E5 e F5 referem-se a clulas em branco! O que desejamos ter na clula C5 =B5*E4/287/F4, isto , desejamos copiar e colar a nossa frmula, porm sem variaes na parte E4/287/F4. Para fazer isso fazemos estas referncias absolutas. Antes de copiar a nossa clula original C4, a editamos (por exemplo, cli-cando duas vezes sobre ela) e colocando o sinal $ como se segue: =B4*$E$4/287/$F$4. O Excel entende que qualquer clula de referncia que possui o sinal $ em sua frente absoluta, e no faz mudanas quando copiada e colada. Note que E4, por exemplo, possui dois sinais $, de modo que nem E nem 4 iro variar (estritamente falando, neste exemplo, E no varia de nenhuma forma, de modo que no necessrio colocar o sinal $ aqui). Se essa frmula for copiada e colada para a coluna de massa, temos os resultados corretos: Cada clculo obtm a presso da clula esquerda, e o

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 41

volume e a temperatura das clulas E4 e E5. Podemos agora variar a temperatura para, digamos, 100C = 373 K, e obter novos dados (no se preocupe com o crculo e o qua-drado mostrados abaixo iremos discuti-los mais adiante):

Note que o Excel ir criar automaticamente os sinais $ em uma referncia, caso voc pressione a tecla F4 durante a edio ou criao da frmula.

Nosso ltimo comentrio sobre criao de frmula que o Excel tem muitas fun-es matemticas previamente construdas internamente, mas voc precisa usar a sin-taxe e a escrita corretas. Por exemplo, para criar 2, deve digitar 2*pi( ). Muitas funes so bvias; por exemplo, para obter sen(/4), digite sen(pi()/4); outras no (como o prprio !). Note que funes trigonomtricas no Excel usam argumen-tos em radianos por padro (default).

Voc pode procurar por funes enquanto cria uma frmula, clicando sobre o cone Colar Funo (Paste Function), marcado com um crculo na imagem anterior da pla-nilha, para obter esta janela til:

Veremos agora como obter grficos com os dados calculados.

42 Apndice H

Criando GrficosO Excel possui recursos grficos poderosos. Existem diversas maneiras de acess-los, mas o procedimento principal selecionar os dados e, em seguida, ir para o modo grfico, ou vice-versa. Ambos os procedimentos funcionam, mas os iniciantes prova-velmente acharo mais fcil iniciar o modo grfico antes de ter selecionado os dados. Assim como em toda aplicao do Windows, existem vrias maneiras de realizar uma ao no Excel; neste caso, a mais simples clicar sobre o cone Assistente de Grfico (Graph Wizard), marcado com um quadrado na imagem anterior da planilha. Proce-dendo, assim, obtivemos a primeira de quatro janelas autoexplicativas:

Na maioria das vezes, engenheiros traam grficos x-y usando XY Disperso (e no de Linha, que fora os dados a aparecerem uniformemente sobre o eixo x!). No h nada a visualizar ainda, portanto clique sobre Avanar para obter:

Clique sobre Intervalo de Dados (Data Range) e, ento, arraste a janela inteira de modo a visualizar a planilha e selecionar a faixa de dados (ou, alternativamente, clique sobre o pequeno cone direita em Intervalo de Dados para ir diretamente plani-lha); selecione as clulas contendo os dados (clulas B4 e C13); e prossiga com o resto das etapas. O resultado um grfico semelhante a este:

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 43

Este grfico no est muito bom! Podemos melhor-lo bastante, personalizando o tra-cejado, adicionando ttulos, etc. Para fazer isso, podemos clicar com o boto direito do mouse sobre qualquer caracterstica do grfico (por exemplo, um ponto de dado) para abrir um menu de opes, ou ainda usar o item Formatar...Grfico do menu ou, ainda, os cones da barra de ferramentas de Grfico, para chegar a algo como:

Acabamos de criar um grfico bsico x-y: o Excel pode criar tipos sofisticados de gr-ficos, tais como barras, pizza, radar e superfcie. Alm disso, o grfico pode ser usado para ajustar uma curva a dados experimentais. No faremos isso aqui, mas o procedi-mento envolve: traar o grfico x-y dos dados; clicar com o boto direito do mouse sobre um ponto qualquer da curva para obter um menu que inclui Adicionar Linha de Tendncia... (Add Trendline); selecionar este item (que faz aparecer uma janela como a mostrada a seguir); escolher o tipo de curva (Linear, Logartmica, etc.), e especificar opes na janela de Opes (Options); clique OK, observando os resul-tados.

44 Apndice H

Conclumos aqui a nossa introduo bsica. medida que voc usar o Excel, desco-brir muitos recursos interessantes que atendero suas necessidades. O item de Ajuda no menu e o cone Assistente do Office na barra de ferramentas podem auxili-lo na descoberta desses recursos. Mencionaremos, ainda, um recurso final para ilustrar a utilidade de alguns deles. J realizamos o procedimento de copiar e colar uma frmula de uma clula nica para uma coluna usando as tcnicas convencionais de copiar e colar do Windows. O Excel tem um atalho adicional conveniente para isso: simples-mente clique uma vez sobre a clula a ser copiada, em seguida mova o cursor (sem clicar) sobre o canto inferior direito da clula at que o ponteiro do Excel mude para (+) (uma cruz em negrito e no uma cruz cheia!); voc pode, ento, pressionar o boto esquerdo do mouse e arrastar para baixo uma coluna (ou um bloco de clulas) para imediatamente copiar o contedo da clula. Mesmo que voc tenha duas ou mais clu-las com contedos que formam uma sequncia (por exemplo, 12, 24, ou Jan, Fev), voc pode selecion-las e mover o cursor para o canto inferior direito para obter a cruz (+) e, finalmente, arrastar para baixo ou de lado; o Excel preencher as clulas mar-cadas com a cpia da sequncia (por exemplo, 36, 48,...etc., ou Mar, Abr,...etc.!).

H.5 Ferramentas Mais AvanadasO Excel possui vrias ferramentas mais avanadas. Vamos considerar algumas delas: Atingir Meta, Solver, uso de macros e criao de funes personalizadas.

Atingir Meta e SolverMuitos problemas de engenharia acabam em uma equao ou em equaes a serem resolvidas. Em alguns casos, como a equao ou equaes no tm soluo direta (analtica), precisamos usar tcnicas numricas para obter uma soluo aproximada. Por exemplo, suponha que desejamos resolver a seguinte equao para x:

(H.3)

No podemos resolv-la explicitamente para x. No entanto, podemos fazer sucessivas estimativas para x at convergir para uma soluo, ou podemos usar um dos diversos mtodos clssicos para convergir para uma soluo de um modo mais sistematizado. A maioria das calculadoras cientficas, e certamente todas as planilhas de clculo, incluindo o Excel, tambm tm tcnicas de soluo construdas internamente.

Para usar a ferramenta Atingir Meta do Excel, precisamos primeiramente converter a Eq. H.3 em uma funo cuja raiz queremos encontrar:

(H.4)

O problema torna-se, ento, encontrar a raiz (ou razes) de f(x). Embora no seja neces-srio para o uso de Atingir Meta, o melhor procedimento traar primeiro um grfico da funo sobre uma faixa de valores de x para ver os locais das razes. Aps algumas tentativas com faixas de x, obtivemos, usando o Excel, o seguinte grfico:

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 45

Pelo grfico, existem razes aproximadamente em x = 0,8 e x = 1,4. Queremos res-postas mais exatas, no entanto. Para usar Atingir Meta, construa outra tabela contendo um nico par de valores x, f(x).

Note que a clula B23 contm 0,0, uma estimativa inicial arbitrria da raiz, e a clula C23 contm a frmula =EXP(B23/2)-B23^2. Atingir Meta acessado usando o item do menu Ferramentas...Atingir Meta..., que faz aparecer a seguinte caixa de dilogo:

Esta caixa de dilogo quase autoexplicativa: no espao de Definir clula (Set cell) devemos entrar com clula referente equao cuja raiz queremos achar (C23); clique sobre o espao de Para valor (To value) e digite 0; clique sobre o espao de Variando clula (By changing cell) e, em seguida, sobre a clula de x, cujo valor queremos variar para encontrar a raiz (nesse exemplo, B23); clique OK. Se o Excel puder encon-trar a raiz, uma pequena janela como esta aparecer:

46 Apndice H

e, neste exemplo, temos:

Podemos repetir esse processo digitando um outro valor estimado para x (tente 1) para encontrar a segunda soluo (x = 1,4296). Ao usar esse mtodo, voc s vezes deve tentar diversos valores estimados de maneira a encontrar todas as razes (nesse exem-plo, existe uma terceira raiz... voc capaz de encontr-la?) e, claro, como todo mtodo matemtico, s vezes ele simplesmente falha.

Note que podemos usar tambm Atingir Meta para encontrar um x para o qual f(x) atinge um valor dado. Por exemplo, qual valor de x faz f(x) = 2?

Atingir Meta fcil e rpido. Uma ferramenta mais poderosa Solver, acessada usando o item do menu Ferramentas...Solver... onde aparece a seguinte caixa de di-logo:

Assim como para Atingir Meta, podemos tambm selecionar uma clula de x que per-mitir ao Excel variar seu valor de modo a fazer com que a clula da frmula conec-tada f(x) atinja certo valor porm, podemos fazer muito mais! Podemos:

Encontrar o mnimo ou mximo de f(x). Encontrar as razes (ou qualquer outro valor) de uma funo de mais de uma vari-

vel, por exemplo, f(x,y), f(x,y,z), etc. Fazer tudo citado anteriormente aplicando restries, por exemplo, para x > 2 e

y < x2.

A janela bem autoexplicativa, de modo que no entraremos em detalhes sobre ela. Demonstraremos seu uso encontrando o mximo de nossa funo f(x) na Eq. H.4, cujo grfico j foi apresentado. No espao de Definir clula de destino (Set Target Cell) devemos entrar com a clula referente equao (C23); em Igual para (Equal To) selecione Max; clique sobre o espao de Variando clula (By changing cell) e, em seguida, sobre a clula B23; clique sobre Solver. O Excel fornece ento:

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 47

Finalmente, vamos considerar um exemplo de duas variveis:

Suponha que desejamos encontrar o mnimo desta funo. Podemos abrir uma nova planilha com clulas para x e y (valores iniciais estimados em 0) e com uma clula de frmula (na planilha a seguir a frmula =B3^26*B3+C3^25):

Agora, tudo que precisamos fazer usar o Solver com as seguintes informaes:

A soluo que f(x,y) tem um valor mnimo de 14 para x = 3 e y = 0.

MacrosUma macro nada mais do que um conjunto de instrues para automatizar uma sequncia de aes no Excel (ou no Word, ou em vrios outros aplicativos). Ilustrare-mos o uso de macros considerando um exemplo um pouco mais complicado, mas muito til no contexto: Criaremos uma planilha de trabalho que pode ser facilmente usada para avaliar numericamente uma integral definida. A frmula da Regra de Simp-son ser usada como aproximao da integral definida:

(H.5)

em que N (que deve ser par) o nmero de segmentos de tamanho x = (b a)/N, que corresponde ao tamanho da diviso do intervalo (b a), e x0 = a com xi+1 = xi x, levando a xN = b. Dentro de limites, a exatido da avaliao aumenta com N. Para uma boa verificao, gostaramos que a planilha de trabalho avaliasse automaticamente a integral para N = 10, 20, 40 e 60 segmentos.

Antes de automatizar essa tarefa com uma macro para uso com uma integral arbi-trria, vamos ver, desde o incio, como criar tal planilha para uma integral especfica. Suponha que queiramos avaliar numericamente a seguinte integral:

(H.6)

Obviamente, podemos avaliar facilmente essa integral analiticamente e encontrar I = 2; este valor ser usado para testar se a planilha de trabalho est funcionando ou no. A seguinte imagem da planilha mostra os clculos para N = 10, e parte dos clculos para os outros valores de N:

48 Apndice H

Vamos discutir em detalhes a construo dos clculos para N = 10 (os outros so muito similares). Na clula C4 calculado o valor de x: a clula contm a frmula =pi( )/10. O primeiro valor de x gerado entrando com o limite inferior de integrao (0), e os outros valores de x so criados com frmulas que adicionam x a cada valor anterior de x; por exemplo, a clula C8 tem =C7+$C$4. A coluna de f(x) contm a frmula do integrando, admitindo que x est na clula esquerda imediata; por exemplo, a clula D7 contm =sen(C7). A coluna de w contm os pesos 1, 4, 2, 4, 2...4, 1 usados na Eq. H.5, e a coluna de Prod. contm os produtos das colunas de f(x) e de w (por exemplo, a clula F7 contm a frmula =D7*E7). Agora precisamos somar a coluna Prod., mostrada na clula F18 (que contm a frmula =SOMA(F7:F17)), e isto a srie entre colchetes na Eq. H.5. Finalmente, a integral I dada na clula D21 (ela contm a frmula =C4/3*F18). O valor obtido para a integral, 2,00011, muito prximo do valor exato 2.

Todo esse procedimento necessita ser feito para os outros clculos, para N = 20, 40 e 60 (com mudanas bvias, tais como o clculo de x). Seus quatro valores de I para a Eq. H.6 devem concordar muito bem com o valor exato.

Agora desejamos modificar a pasta de trabalho para que possamos avaliar outras integrais (diferentes integrandos e limites de integrao).

Primeiro, podemos organizar a pasta toda, guardando esses clculos em uma pla-nilha de trabalho secundria Calculations (clique duas vezes no mostrador de ttulos das planilhas para editar seu nome; clique e arraste o mostrador da planilha para movi-mentar a planilha de trabalho), e crie uma planilha amigvel Results conforme mos-trado a seguir:

Uma Reviso Resumida sobre o Excel da Microsoft 49

Nesta planilha, entramos com a frmula para o integrando, admitindo que x est na clula esquerda imediata (no presente caso =sen(C6)), e os limites inferior e supe-rior de integrao, conforme mostrado. A planilha Calculations deve ser modificada de maneira que x nos quatro locais seja agora calculado automaticamente a partir dos limites digitados na planilha Results (por exemplo, a clula C4 contm agora = (Results!D112Results!D10)/10), e o primeiro valor de x em cada coluna calculado a partir do limite inferior de integrao (essas clulas contm a frmula =Results!D10).

A pasta de trabalho est, ento, quase terminada. Para us-la na avaliao da inte-gral, devemos copiar a frmula para f(x) na clula C6 a partir da planilha Results e col-la nas quatro colunas de f(x) da planilha Calculations. Finalmente, as quatro clu-las na planilha Results mostrando os resultados da integrao contm frmulas para buscar esses resultados na planilha Calculations (por exemplo, a clula F15 contm a frmula =Calculations!D21). Se tudo estiver como planejado, as quatro avalia-es aparecem conforme mostrado na figura anterior.

Levamos um bom tempo, mas agora temos uma pasta de trabalho personalizada para avaliao numrica de integrais definidas! A pasta muito fcil de ser usada na avaliao de uma integral. Basta seguir estas etapas:

1. Entrar com a frmula do integrando na clula D6 da planilha Results, admitindo que x vai estar esquerda imediata.

2. Entrar com os limites inferior e superior.3. Copiar a frmula na clula D6 para as quatro colunas de f(x) na planilha Calcula-

tions, e retornar para a planilha Results para ver as respostas.

Voc pode verificar se esse procedimento funciona corretamente, tentando avaliar a seguinte integral:

Voc deve obter os seguintes resultados (o resultado exato e 2 = 0,71828):

50 Apndice H

10 segmentos: 0,7183020 segmentos: 0,7182840 segmentos: 0,7182860 segmentos: 0,71828

Agora estamos prontos (finalmente!) para ver como se usa uma