SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional

IRENILDE SOARES CABRAL

CADERNO PEDAGÓGICO O ENSINO DA FUNÇÃO LINEAR E QUADRÁTICA NA 8ª SÉRIE, MEDIADO POR ATIVIDADES DE MODELAGEM

MATEMÁTICA

Londrina – PR 2011

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Superintendência da Educação Diretoria de Políticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

IRENILDE SOARES CABRAL

CADERNO PEDAGÓGICO O ENSINO DA FUNÇÃO LINEAR E QUADRÁTICA NA 8ª SÉRIE, MEDIADO POR ATIVIDADES DE MODELAGEM

MATEMÁTICA

Plano de Trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Profa. Dra. Lourdes Maria Werle de Almeida

Londrina – PR 2011

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 3

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 4

2 A MODELAGEM MATEMÁTICA ........................................................................ 6

3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO .......................................................... 8

4 ATIVIDADES .................................................................................................... 10

4.1 OBJETIVOS DAS ATIVIDADES ....................................................................... 10

4.2 ATIVIDADE 1 - 1º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ................... 10

4.2.1 Calculando as tarifas de água........................................................................... 10

4.3 ATIVIDADE 2 - 1⁰ MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ................... 14

4.3.1 Pesquisa Estatística sobre o Consumo de água ............................................... 14

4.3.2 Questionário sobre o uso racional da água ...................................................... 15

4.4 ATIVIDADE 3 - 2º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA: .................. 16

4.5 3º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................ 19

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 20

3

APRESENTAÇÃO

Este Caderno Pedagógico faz parte do Programa de Desenvolvimento

Educacional PDE, da disciplina de Matemática.

Nele contém algumas considerações sobre a Modelagem Matemática como

proposta pedagógica e o desenvolvimento de três atividades de Modelagem que

darão oportunidades para os alunos de oitava série referentes ao ensino da função

linear e quadrática, aliando também o uso de recursos de informática, em especial o

software geogebra na construção de gráficos visando facilitar a resolução e a

aplicação das atividades propostas.

A primeira atividade se relaciona ao cálculo das faturas de contas de água,

baseado nas tarifas da SANEPAR em vigor a partir de março de 2011. A segunda

atividade trata de uma pesquisa estatística sobre o consumo de água e a terceira

atividade trata do cálculo da distância de frenagem de um automóvel.

Com a elaboração deste caderno espera-se propor atividades que possam

ser usadas por professores na sala de aula sobre o assunto de funções no Ensino

Fundamental.

4

1 INTRODUÇÃO

O ensino de matemática na maioria das escolas tem sido fundamentado por

meio de repetição de exercícios, memorização de fórmulas e se considera um

conteúdo aprendido quando o aluno refaz os caminhos percorridos pelo professor ou

sabe manipular os dados numéricos ou ainda sabe usar os algoritmos ensinados.

Um dos grandes desafios para os professores de matemática é trazer para o

ambiente escolar situações reais, de interesse, curiosidade, criatividade, que

propiciem oportunidades de construção do conhecimento a partir de questões e

assuntos do dia a dia, explorando situações da realidade do aluno, dando

oportunidade de uma aprendizagem mais significativa.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (2008, p. 45)

do Estado do Paraná, ressalta que:

A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios.

Ao trabalhar com situações reais, podem-se levantar questões e realizar

investigações que atingem o âmbito do conhecimento direcionado para o

pensamento crítico e reflexivo.

Uma maneira de favorecer a construção do conhecimento é a utilização de

situações-problema.

Também de acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná

(2008, p.59) indica que:

No Ensino Fundamental, na abordagem do Conteúdo sobre funções, é necessário que o aluno elabore o conhecimento da relação de dependência entre duas grandezas. É preciso que compreenda a estreita relação das funções com a álgebra, o que permite a solução de problemas que envolvem números não conhecidos.

O aluno deve conhecer as relações entre variável independente e

dependente, os valores numéricos de uma função, a representação gráfica das

funções lineares e quadráticas. Uma maneira de favorecer a construção de tais

conhecimentos é a utilização de situações-problema.

5

Na Educação Básica, o aluno deve compreender que as funções estão

presentes nas diversas áreas do conhecimento e modelam matematicamente

situações que, pela resolução de problemas, auxiliam o homem em suas atividades.

A Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica que vem

desenvolvendo trabalhos no sentido de introduzir nas aulas de matemática

problemas e situações extraídas do cotidiano dos alunos a fim de contribuir para

uma melhor formação e construção do conhecimento do aluno.

6

2 A MODELAGEM MATEMÁTICA

A Modelagem Matemática tem como pressuposto a problematização de

situações do cotidiano.

Segundo Bassanezi “a Modelagem Matemática consiste na arte de

transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los,

interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” (BASSANEZI, 2002,p.16).

Para Biembengut e Hein (1999) modelagem Matemática é o processo que

envolve a obtenção de um modelo, e modelo matemático é um conjunto de símbolos

e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em

questão ou problema de situação real.

E ainda para Almeida e Dias:

A modelagem pode ser vista como uma oportunidade para desenvolver competências gerais no aluno, que vão além de aprender conteúdos matemáticos curriculares. Com esse encaminhamento o aluno tem estimulada a sua criatividade, o seu interesse por descobertas e aspectos da Matemática que vão além daquela incluída necessariamente, no programa escolar (ALMEIDA; DIAS, 2007, p.259).

Segundo Burak (2004), a Modelagem apresenta-se em cinco etapas:

escolha do tema; levantamento dos problemas; resolução dos problemas e

desenvolvimento da matemática relacionada ao tema e análise crítica das soluções.

O ambiente de modelagem está ligado a dois aspectos: problematização e

investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas ou problemas e o

segundo aspecto diz respeito à busca, seleção, organização de informações e

reflexões sobre elas.

Considerando a familiarização dos alunos com a modelagem, num ambiente

de ensino aprendizagem, segundo Almeida e Dias (2004) os trabalhos de

modelagem podem ser desenvolvidos de forma gradativa com os alunos,

respeitando diferentes momentos:

Primeiro momento: a partir de uma situação problema já estabelecida e

apresentada pelo professor na qual é feita a dedução, análise, a formulação de

hipóteses, investigação do problema e dedução do modelo são realizadas em

conjunto com todos os alunos e professor.

Segundo momento: uma situação problema já estabelecida e sugerida pelo

7

professor juntamente com um conjunto de informações, os alunos em grupos

realizam a formulação de hipóteses e a dedução do modelo durante a investigação e

a seguir validam o modelo encontrado.

Terceiro momento: os alunos, em grupos, conduzem o processo de

modelagem, a partir de um problema escolhidos por eles, devidamente

assessorados pelo professor.

Esta maneira de encaminhar as atividades de modelagem tem-se mostrado

eficaz na prática da sala de aula em diferentes níveis de escolaridade. Na aplicação

das atividades propostas neste caderno serão utilizados esses três momentos.

8

3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

As atividades apresentadas neste caderno pedagógico serão desenvolvidas

em conjunto com professor e alunos, pois na modelagem é de fundamental

importância essa parceria porque o professor atua como orientador dos alunos,

auxiliando-os sempre que necessitarem para o desenvolvimento do trabalho.

As atividades propostas serão desenvolvidas por meio da modelagem

matemática aliada ao uso do software geogebra para a construção de gráficos.

Também serão desenvolvidas de forma gradual sendo agora definidas como

primeiro momento, segundo momento e terceiro momento.

No primeiro momento será desenvolvida uma atividade com os alunos sobre

o tema o consumo da água relacionando o cálculo das faturas de contas de água

baseado nas tarifas residenciais de saneamento básico da SANEPAR em vigor a

partir de março de 2011. Também será realizada uma pesquisa estatística sobre o

uso racional da água. As informações necessárias para o estudo das situações-

problema serão apresentadas pelo professor aos alunos. A formulação de hipóteses

e a investigação do problema, que resulta na dedução do modelo, serão realizadas

em parceria com os alunos e professor. Neste momento, também será trabalhado

com os alunos, pesquisas estatísticas sobre o uso racional da água, coleta de

dados, tabulação e construção de gráficos estatísticos de setores e de barras.

Posteriormente, no segundo momento será desenvolvida uma atividade

sugerida pelo professor juntamente com um conjunto de informações sobre o cálculo

da distância de frenagem de um automóvel. Os alunos em dupla realizam a

formulação de hipóteses e a dedução do modelo durante a investigação e a seguir,

validam o modelo encontrado. Neste momento, o professor atua como orientador,

fazendo as intervenções necessárias para a resolução do problema.

Finalmente, num terceiro momento, os alunos distribuídos em grupos de 4

ou 5 elementos devem desenvolver atividades de modelagem matemática, a partir

de uma situação-problema escolhida por eles e apresentar uma resolução para a

mesma.Neste momento os alunos ficam responsáveis pela coleta de informações e

todo o processo de desenvolvimento da atividade. O papel do professor neste

momento é de orientador na organização dos dados e na resolução do problema.

O professor fará uso de um diário de campo para anotar as observações

9

diretas dos alunos, apresentação de gráficos e resultados, também recolherá

relatórios dos alunos sobre vantagens e dificuldades encontradas no

desenvolvimento das atividades realizadas.

10

4 ATIVIDADES

4.1 OBJETIVOS DAS ATIVIDADES

Resolver situações-problema reais fazendo uso de operações

matemática;

interpretar e retirar dados importantes de situações-problema;

fazer uso do software geogebra na construção de gráficos das

funções lineares e quadrática;

encontrar um modelo matemático que resolva o problema

apresentado.

4.2 ATIVIDADE 1 - 1º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

4.2.1 Calculando as tarifas de água

Com base na tabela de tarifas de saneamento básico da SANEPAR em vigor

a partir de março de 2011 analise o valor pago pelos usuários da água na cidade de

Apucarana.

11

Fonte: http://site.sanepar.com.br/informacoes/tabela-de-tarifas ( acesso dia 26-06-11)

12

PROBLEMA

Uma residência em Apucarana que consome até 10 m³ de água por mês

paga em sua fatura o valor mínimo de R$ 18,97. Como é calculado o valor a ser

pago nas faturas residenciais acima do consumo de 10 m³ de água com base na

tarifa normal da SANEPAR na cidade de Apucarana? Encontre um modelo

matemático que represente o valor a ser pago em função do consumo de água.

DEDUÇÃO DAS VARIÁVEIS

x= metros cúbicos consumidos (m³)

y= valor a pagar (reais)

DADOS DO PROBLEMA

* O Valor a ser pago até 10 m³ de consumo de água é de R$ 18,97

* O valor a ser pago por m³ excedente é de R$ 2,84

FORMULAÇÃO DE HIPÓTESE

Quanto maior o consumo de água maior o valor a ser pago nas faturas.

DEDUÇÃO DO MODELO

x ( metros cúbicos consumidos) y ( valor a ser pago em reais)

10 18,97

11 18,97 + 2,84. (11-10) = 21,81

12 18,97 + 2,84. (12-10) = 24.65

13 18,97 + 2,84. (13-10) = 27,49

14 18,97 + 2,84. (14-10) = 30,33

15 18,97 + 2,84. ( 15-10) = 33,17

. .

. .

. .

X y = 18,97 + 2,84. (x -10 )

13

Analisando os valores calculados na tabela acima se pode perceber que é

possível generalizar a situação com qualquer quantidade de consumo de m³ de água

por meio do modelo matemático representado pela expressão y = 18,97 + 2,84 (x -

10).

Valor pago:

Y(x) = 18,97 para x ≤ 10

18,97 + 2,84. (x -10) , x > 10

Por meio da utilização do software geogebra pode-se construir o gráfico,

com os dados obtidos e perceber a relação de dependência das duas grandezas (m³

e valor a pagar) e ainda, o registro dos seus pontos indica a representação gráfica

de uma função linear, ou seja, uma função do primeiro grau representado por uma

reta.

Representação gráfica

14

4.3 ATIVIDADE 2 - 1⁰ MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

4.3.1 Pesquisa Estatística sobre o Consumo de água

A água é um bem com valor inestimável à sobrevivência e à qualidade de

vida das pessoas. Cerca de vinte por cento da população mundial não dispõe de

água potável.

Por isso, é necessária a conscientização da população se utilizar desse bem

comum de maneira racional, para garantir a sobrevivência e o equilíbrio ecológico

das presentes e futuras gerações. Com o crescimento populacional o consumo de

água também aumenta, porém com ritmo muito mais acelerado, portanto é

fundamental o consumo sem desperdício. Nas próximas décadas existem projeções

que duas em cada três pessoas terão escassez de água se o consumo não se

modificar. Com a realização das pesquisas estatísticas será oportunizado aos alunos

a conscientização do uso racional da água visto que é um bem finito e de

responsabilidade social. Esta prática pedagógica constitui uma ferramenta útil para

uma educação ambiental, além de lhes proporcionar uma aprendizagem de

conteúdos matemáticos como regra de três, cálculo de porcentagem, tipos de

gráficos e a própria construção dos gráficos estatísticos. Nesta oportunidade espera-

se alcançar a construção de conhecimentos matemáticos pelo aluno e provocar uma

atitude mais responsável diante desta problemática ambiental.

Neste momento os alunos serão divididos em grupos de 4 ou 5 elementos

para realizar a pesquisa estatística na sua turma, tendo como tema a água. Cada

grupo será responsável por uma pergunta do questionário elaborado pela professora

sobre o consumo racional de água, também será responsável pela coleta de dados e

sua tabulação envolvendo a contagem do número de votos apresentados em cada

opção, fazendo a conversão em porcentagem e a apresentação dos resultados da

pesquisa será demonstrada por meio dos gráficos estatísticos de setores ou de

barras. Cada equipe preencherá uma tabela como abaixo com os dados obtidos

antes da construção do gráfico estatístico.

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Opção Número de votos Porcentagem

4.3.2 Questionário sobre o uso racional da água

1- Você costuma verificar se há vazamentos de água na sua residência?

( ) sempre ( ) às vezes ( ) nunca

2-Você é cadastrado na tarifa social? Sabe quais são os critérios para se cadastrar?

( ) sim, sei os critérios

( ) sim, não sei os critérios

( )não mas sei os critérios

( ) não e nem sei os critérios

( ) Não nem sei o que é isto

3-Você faz uso racional de água? (Economiza água)

( ) sempre ( ) às vezes ( ) não se preocupa com isto

4- Que dicas você daria para economizar água?Escolha a opção que você considera

mais importante.

( ) tomar um banho rápido

( ) não usar mangueira para lavar carro e calçadas

( ) verificar vazamentos em torneiras e sanitários

( ) aproveitar a água da máquina de lavar roupas para limpar as calçadas

( ) Outra. Qual?___________________

5-Você tem costume de fazer a limpeza da sua caixa d’ água? Com que freqüência?

( ) sim ( ) não

( ) menos de 6 meses

( ) de 7 meses a um ano

( ) mais do que 1 ano

( ) não se preocupa com isto

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6-Na região que você mora passa rede de esgoto?

( ) sim ( ) não

7-Se houver desperdício de água pela população, você acha que um dia poderá

haver falta de água?

( ) sim é necessário a conscientização da população

( ) talvez se a população não se conscientizar

( ) não esta situação nunca irá acontecer

( ) não me preocupo com isto

4.4 ATIVIDADE 3 - 2º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA:

Distância de frenagem de um automóvel

Na necessidade de frear um veículo sabe-se que sua parada não é

instantânea, entre o instante que visualizamos algo e se decide acionar os freios e

os mesmos desacelerarem muitas coisas acontecem, pois, entre o tempo de reação

e frenagem o veículo continua se movendo de maneira que ao parar terá percorrido

uma distância que depende da velocidade que se encontrava no início da frenagem

e também da situação da pista, seca ou molhada, do estado do pneu do carro e da

eficiência do sistema de freios. Há esse tempo todo é conhecido como tempo de

reação e tempo de frenagem.

As revistas sempre publicam tabelas dos testes de frenagem que realizam

com diferentes veículos. Com dados da tabela 1 abaixo se pode comparar a relação

dessas grandezas.

Distância de frenagem de um veículo

Velocidade ( Km/h) 30 60 90 120 150

Distância (m) 8 32 72 128 200

Fonte: Artigo Geraldo Ávila (http:www6.ufrgs.br acesso em 09-06-11)

Pode-se constatar a relação de dependência entre as duas grandezas

(velocidade e distância). Assim observa-se que a distância está em função da

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velocidade do veículo. Baseado na tabela acima se verifica que quando a velocidade

duplica, triplica, quadriplica, e etc, a distância fica multiplicada por 4, 9, 16, etc, ou

seja, a distância é proporcional ao quadrado da velocidade, o que indica o perigo

das altas velocidades.

Usando os dados da tabela 1, encontrar um modelo matemático que

estabeleça a relação entre a velocidade do veículo e a distância de frenagem

considerando este veículo em boas condições e em pista seca.

DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS

V= Velocidade em km/h (variável independente)

D= distância em metros (variável dependente)

DEDUÇÃO DO MODELO

Usando os dados da tabela 1, podemos escrever:

Velocidade (km/h) Distância ( metros)

30 8

2.30=60 4.8= 2².8=32

3.30=90 9.8= 3².8=72

4.30=120 16.8= 4².8=128

5.30=150 25.8= 5².8=200

Assim, para uma velocidade inicial (Vo), podemos escrever

Velocidade (Km/h) Distância (metros)

Vo Do

2. Vo 2².Do

3.Vo 3².Do

4.Vo 4².Do

5.Vo 5².Do

Ou seja, quando multiplicamos Vo por um número qualquer(x) a distância de

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frenagem (D) fica multiplicada por x². Com os valores da tabela acima, ao dividir o

quadrado da velocidade inicial pela distância obtém-se uma constante no valor de

112,5. Como por exemplo, 30²= 900: 8= 112,5;

60²=3600:32=112,5 e assim sucessivamente. Verifica-se um valor constante

o qual se denomina (k). Portanto chega-se a conclusão que o modelo matemático

para calcular a distância de frenagem de um veículo para qualquer velocidade é:

D(v) = 1/112,5 . v² ou D(v)= v² /112,5 ou ainda D= V²/k onde v assume

qualquer valor numérico positivo e os valores de D são determinados pelos valores

de v.

Nesta generalização percebe-se o perigo das altas velocidades, pois é

necessária uma distância muito maior para a frenagem total do carro dependendo de

sua velocidade inicial. Tem-se ainda a fórmula geral de uma função quadrática (2º

grau) e a sua representação gráfica é uma curva denominada parábola.

Representação gráfica

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4.5 3º MOMENTO DA MODELAGEM MATEMÁTICA

Neste momento, os alunos distribuídos em grupos devem desenvolver

atividades de modelagem matemática a partir de uma situação-problema com tema

escolhido por eles e apresentar uma resolução para a mesma.

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REFERÊNCIAS

ALMEIDA, L. M. W e DIAS, M. R. Um Estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de Ensino e Aprendizagem. Bolema, ano 17, n 22, 2004

ALMEIDA, L. M., DIAS; M. R. Modelagem Matemática em cursos de formação de professores. In: Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas Educacionais; org. Barbosa J. C.; Caldeira, A. D.; Araújo, J. L.-Recife 2007.

BASSANEZI, R. C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.

BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Editora FURB - 1999.

BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática e a Sala de aula. In: I EPM - Anais. Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática. Londrina - PR, 2004.

PARANÁ - Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba, SEED, 2008.

Sites:

<http:www.oficinaecia.com.br> (acesso em 07-06-11)

<http: www6.ufrgs.br> (acesso em 09-06-11 )

<http:sanepar.com.br> (acesso em 26.06.11)