SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA

CLEMIRA APARECIDA SANTANA

FORMAÇÃO DE DOCENTES: APRENDER PARA ENSINAR

MATEMÁTICA.

UM OLHAR PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DAS

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

PONTA GROSSA 2011

CLEMIRA APARECIDA SANTANA

FORMAÇÃO DE DOCENTES: APRENDER PARA ENSINAR

MATEMÁTICA.

UM OLHAR PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DAS

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

Produção apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE para implementação de atividades pedagógicas na Escola a ser aplicado no Colégio Estadual São Mateus – Ensino Fundamental, Médio, Profissional e Normal, como cumprimento das atividades previstas no Plano Integrado de Formação Continuada – 2010. Orientador: Prof. Dr. Giuliano Gadioli La Guardia

PONTA GROSSA 2011

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AGRADECIMENTOS A Deus, pelo dom da vida, pela saúde, coragem diante das dificuldades e pela força para enfrentar os desafios das novas conquistas... Ao Sérgio, marido e companheiro sempre presente, pelo apoio e estimulo durante esta caminhada... As minhas filhas Raíza e Raína, fonte de amor e carinho, pela compreensão dos momentos ausentes... A minha mãe pelo apoio e presença, que ensinou-me, a importancia de acreditar que sou capaz Ao Professor Dr. Giuliano Gadioli La Guardia, pela orientação, pelo apoio às minhas iniciativas e, especialmente, pela confiança depositada ao longo deste trabalho Aos meus colegas do PDE pelo companheirismo e incentivo. Aos Coordenadores do PDE, pelo apoio disponibilizado, em especial, aos professores da CRTE e da Equipe de Ensino de NRE de União da Vitória.

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―Precisei cair para poder andar,

Precisei ouvir um não para encontrar limites,

Precisei errar para aprender o certo,

Precisei sentir falta para valorizar.

Esses são os desafios que nós, seres limitados,precisamos enfrentar, a fim de

percebermos que enquanto houver erro, haverá ideal e

enquanto houver sentido haverá vida.‖

(Boriel G. Vendramel, 1998,p.81)

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Sumário

Dados de identificação ............................................................................................. 6 Conteúdo Estruturante ............................................................................................. 6 Conteúdo Especifico ................................................................................................ 6 Tema de Estudo do Professor PDE .......................................................................... 6

Resumo ...................................................................................................................... 8 Apresentação da Produção Pedagógica ................................................................. 9 1.Introdução ............................................................................................................. 10 2.Objetivo geral da produção didático-pedagógica ............................................. 17 3.Objetivos específicos da produção didático-pedagógica ................................ 18 4. Estratégia de ação .............................................................................................. 18 5.Cronograma .......................................................................................................... 20

Unidade I 1.Números ................................................................................................................ 21 2.Conhecendo um pouco a história ...................................................................... 22 2.1.Atividades .......................................................................................................... 23 3.Sistema de numeração decimal .......................................................................... 25 3.1.Vamos pesquisar para saber um pouco mais ................................................. 26 4. Sistema de numeração decimal e importância do zero ................................... 26 4.1.Curiosidades ..................................................................................................... 27 4.2 Vamos pesquisar para saber um pouco mais ................................................. 28 4.3.Atividades .......................................................................................................... 28 5.Materiais pedagógicos ......................................................................................... 29 5.1.Material Dourado ............................................................................................... 29 5.1.1.Um pouco da história ..................................................................................... 30 5.1.2.Atividades com material dourado ................................................................. 31 6.Quadro valor-lugar (QVL) .................................................................................... 34 6.1.Atividades .......................................................................................................... 35 7.Elaboração de material pedagógico ................................................................... 37 7.1 Atividades .......................................................................................................... 39 Unidade II 1. Algoritmos............................................................................................................ 40 2.Adição ................................................................................................................... 40 2.1.Objetivo .............................................................................................................. 40 2.2.Conceito ............................................................................................................. 40 2.3.Curiosidades ...................................................................................................... 41 2.4.Algorítimo da adição ......................................................................................... 41 2.5.Sugestões de leituras ....................................................................................... 44 2.6.Sugestão site de atividades ............................................................................. 45 2.7.Utilizando material pedagógico ....................................................................... 45 2.8Atividades ........................................................................................................... 47 3.Subtração .............................................................................................................. 48 3.1.Objetivo .............................................................................................................. 48 3.2Conceito .............................................................................................................. 48 3.3Curiosidade ......................................................................................................... 49 3.4.Algoritmo da subtração .................................................................................... 49

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3.5Utilizando material pedagógico ........................................................................ 52 3.6Sugestão site de atividades .............................................................................. 56 3.7Atividades ........................................................................................................... 56 4.Multiplicação ......................................................................................................... 57 4.1.Objetivo .............................................................................................................. 57 4.2Conceito .............................................................................................................. 57 4.3Curiosidades ....................................................................................................... 58 4.4Algoritmo da Multiplicação ................................................................................ 59 4.5Curiosidade ......................................................................................................... 58 4.6Sugestão de Site de atividades ......................................................................... 63 4.7.Atividades .......................................................................................................... 64 5.Divisão................................................................................................................... 65 5.1Objetivo ............................................................................................................... 65 5.2.Representação da Divisão ............................................................................... 65 5.3.Conceito ............................................................................................................. 66 5.4.O algoritmo da divisão ...................................................................................... 66 5.5.Divisão exata...................................................................................................... 68 5.6Divisão aproximada ou inexata ......................................................................... 68 5.7.Curiosidade ........................................................................................................ 69 5.8Atividades ........................................................................................................... 69 5.9Sugestão de vídeo .............................................................................................. 71 6.Resolução de problemas ..................................................................................... 71 6.1.Atividade em duplas.......................................................................................... 73 Avaliação .................................................................................................................. 74 Considerações Finais ............................................................................................. 75 Referencias .............................................................................................................. 76

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PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA / PROFESSOR PDE

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professora PDE: Clemira Aparecida Santana

Área PDE: Matemática

NRE: União da Vitória

Professor Orientador IES: Giuliano Gadioli La Guardia

IES vinculada: UEPG - Universidade Estadual de Ponta Grossa

Escola de Implementação: Colégio Estadual São Mateus

Município: São Mateus do Sul

Público objeto da intervenção: Ensino Médio Integrado 2ª série Curso Formação

de Docentes

CONTEÚDO ESTRUTURANTE

Número e Álgebra

CONTEÚDO ESPECÍFICO

Números Reais

TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE

Tendências em Educação Matemática

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TIPO DE PRODUÇÃO

Caderno Pedagógico

TÍTULO DA PRODUÇÂO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA:

Formação de Docentes: Aprender para Ensinar Matemática.

Um olhar para o ensino-aprendizagem das operações fundamentais.

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SANTANA,CLEMRA APARECIDA , FORMAÇÃO DE DOCENTES: APRENDER PARA ENSINAR MATEMÁTICA.

UM OLHAR PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

2010. CADERNO PEDAGÓGICO (PDE – PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL) – SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO E UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA.

RESUMO O objetivo deste caderno pedagógico é propor estratégias para o ensino das Operações Fundamentais direcionado aos futuros docentes do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, que atualmente cursam a 2ª série do Ensino Médio Integrado Curso Formação de Docentes do Colégio São Mateus, para estabelecer a importância da utilização de recursos didáticos para a compreensão e interpretação de problemas que envolvam as quatro operações, bem como estabelecer relações entre o conhecimento matemático e seu cotidiano na formulação e resolução de problemas. Para esta finalidade, pretende-se desenvolver uma metodologia para que estes alunos do Curso Formação de Docentes compreendam a resolução das operações mediante a confecção de materiais didáticos que possibilitarão desenvolver atividades apresentadas em situações do cotidiano. Identificando os problemas, formulando questões e hipóteses quanto à aprendizagem das operações no conjunto dos números naturais, e assim, estendendo-se tais técnicas de aprendizado ao conjunto dos números reais. Espera-se que com este caderno pedagógico os alunos possam dominar, utilizar e aplicar os conhecimentos adquiridos, permitindo o desenvolvimento da capacidade de comunicação de ideias matemáticas.

Palavras-chave: Ensino-aprendizagem – Matemática – Números Reais

SUMMARY

The goal of this educational project is to propose strategies for the teaching of fundamental operations directed to future teachers from 1st to 5th year of elementary school today students from 2nd Series Integrated middle school teacher training Course of College St. Matthew, to realize the importance of the use of teaching resources for understanding and interpretation of issues involving the four operations (namely: addition, subtraction, multiplication and Division), establish relationships between the mathematical knowledge and your daily life to understanding, knowledge and use of fundamental operations, in formulating and solving problems. For both intended to develop a methodology for these students of teacher training Course understand the resolution of operations by making learning materials that allow them to develop activities presented in everyday situations, identifying problems, formulating questions and hypotheses regarding the learning of operations on the set of natural numbers, so that they relate to the set of real numbers. It is hoped that with this pedagogical students dominate notebook, use and apply their acquired knowledge and develop communication skills of mathematical ideas. The study is developed with a view to providing tools that encourage both teaching and learning process of the four fundamental operations, how to promote reflections and changes in pedagogical practice.

Keywords: Learning – Mathematics – Teachers

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APRESENTAÇÃO DA PRODUÇÂO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA:

O presente caderno Pedagógico explora o tema Operações Fundamentais a

partir de situações-problema que levam os alunos ao questionamento sobre os

conhecimentos anteriormente adquiridos, buscando o entendimento dos conceitos

formais dos temas propostos. Nas Diretrizes Curriculares da Rede Pública de

Educação Básica do Estado do Paraná aborda-se o conteúdo ―Número e Álgebra‖

como parte dos conteúdos estruturantes e a resolução de problemas, como um dos

encaminhamentos metodológicos que será contemplado no caderno pedagógico.

Temos como proposta para este Caderno Pedagógico, a elaboração de material

didático para que os futuros docentes ao trabalharem com os seus alunos na sala de

aula, tenham subsídios necessários no transcorrer de todo o processo, para o ensino

das operações fundamentais, que é objetivo principal deste trabalho.

Procura-se apresentar a informação de forma clara e objetiva a fim de que se

possa abstrair o fundamental. Propõem-se questões que estejam diretamente

ligadas ao cotidiano e ao conteúdo a ser trabalhado e que, posteriormente, venham

auxiliar os alunos ( futuros docentes) na aplicação prática em sala de aula.

A presente produção tem por finalidade desenvolver questões norteadoras

referentes ao Conteúdo Estruturantes Número e Álgebra, constante no Ensino Médio

Integrado, na 2ª série do Curso Formação Docentes Educação Infantil e Anos Iniciais

Ensino Fundamental (FDEIAIEF) com Conteúdo Básico Números Reais, com ênfase

nas quatro operações fundamentais. Pretende-se tratar este tema em sentido mais

amplo e aprofundado.

Destaca-se a importância em se trabalhar este conteúdo neste curso, pois

neste projeto será abordado o tema ―Tendências na Educação Matemática‖,

articulando-se os conteúdos básicos do Ensino Fundamental, procurando-se

soluções, de forma a preencher as lacunas e sanar dificuldades identificadas na

própria aprendizagem dos docentes em formação. Nesta busca, propõe-se

desenvolver uma metodologia de inserção do tema a ser aplicado, no anseio de que

os alunos compreendam e sejam capazes de aplicar corretamente o emprego das

operações em situações impostas pelo cotidiano. Para isso, espera-se que os

mesmos sejam capazes de identificar problemas bem coimo formular questões e

hipóteses no que concerne o ensino-aprendizagem das operações no Conjunto dos

Números Naturais, bem como com relação ao ensino-aprendizagem do conteúdo

Conjunto dos Números Reais.

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Tendo em vista a realidade escolar na formação de docentes, a presente

proposta de aprofundar o estudo sobre o conteúdo conjunto numéricos em turmas

do ensino médio integrado no curso (FDEIAIEF) e sua aplicabilidade, enquadra-se

tanto na proposta das Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática

quanto nas propostas apresentadas nos livros didáticos. Nesta perspectiva busca-se

refletir sobre a aprendizagem dos futuros docentes, utilizando-se uma metodologia

que realmente seja facilitadora dessa aprendizagem. Propõe-se, do mesmo modo,

uma ação reflexiva, buscando-se um aspecto cognitivo do processo ensino-

aprendizagem.

A Matemática se aprende mediante a análise, discussão, e apropriação de

conceitos matemáticos, bem como nas formulações de ideias lógicas, e percepção

de conjecturas. Concebe-se que, esses futuros docentes, possam trabalhar além do

senso comum e conheçam a teoria científica, que constatem regularidades,

generalizações e apropriem-se da maneira correta para interpretarem e descreverem

fenômenos matemáticos. Além disso, os futuros docentes deverão estar aptos a

transpor didaticamente a ligação entre a Matemática, vista tanto no campo de

conhecimento quanto como disciplina escolar. Isto posto, o docente será capaz de

tomar decisões com respeito à situação de defasagem de aprendizagem de seus

alunos. Pretende-se ainda, estimular os futuros docentes (que estarão engajados e

comprometidos com o processo ensino-aprendizagem) para evitar ou amenizar a

evasão dos alunos da sala de aula. Consolida-se a necessidade de discutir as

dificuldades dos futuros docentes e apresentar sugestões de como minimizá-las,

visando-se contribuir para a melhoria da prática educativa da Matemática na sala de

aula.

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1. INTRODUÇÃO

Freqüentemente, os professores deparam-se com alunos que apresentam

dificuldades diversificadas na disciplina de Matemática. Com relação às turmas do

curso (FDEIAIEF) a situação não é diferente, ou seja, existem alunos que dizem

―não gostar‖ de Matemática, mas no decorrer das aulas percebe-se que este

pensamento se traduz como ―não domínio do conteúdo específico‖. Percebe-se,

ainda, que muitos alunos efetuam as operações sem possuir o verdadeiro

entendimento do que estão fazendo:

Os procedimentos de cálculo mental se apóiam nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações e colocam em ação diferentes tipos de escrita numérica, assim como diferentes relações entre os números. (PARRA, 1996, p.189).

Com respeito à passagem exposta acima, pressupõe-se que os alunos não

consigam realizar as trocas de ordem numéricas tais como unidade, dezena,

centena e assim sucessivamente. Além disso, mesmo os alunos que conseguem

realizar tais trocas, não sabem explicar ou mesmo descrever o processo de reserva

ou empréstimo realizado nas operações. Diante de tal situação, o ensino procede de

forma mecânica e repetitiva, em que o aluno decora o processo sem aprender o

significa rela do mesmo. Por este e por muitos outros motivos, grande parcela dos

alunos demonstram aversão à Matemática, sem realmente perceberem que a

utilizam diariamente. Percebe-se que a principal dificuldade que os mesmos

encontram na matemática reside no pensamento lógico-abstrato: na escola devem

registrar os cálculos que realizam abstratamente, mas não entendem o que estão

registrando, e não compreendem que estão formalizando a matemática utilizada no

seu dia a dia.

Segundo Medeiros (citado por Bicudo, 2005, p.35) ―Para que o aluno

compreenda a matemática há necessidade que o aluno esteja com a consciência

dirigida para o assunto matemático estudado‖. Para tanto se faz necessário

direcionar o aluno para o assunto estudado, partindo-se de significados do conteúdo

matemático em questão.

―Essa compreensão exige um continuo trabalho de interpretação [...] é preciso

que se respeite o tempo necessário, um tempo vivido na Matemática‖. (Bicudo,

2005, p.35)

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Constata-se que é necessário que o aluno se coloque como participante ativo

das situações matemáticas que o envolve. Julga-se que, para obter o aprendizado

necessário, o aluno deva utilizar a linguagem matemática e também fornecer

respostas de forma padronizada com relação às respectivas situações-problema.

É necessário resgatar a Matemática que está inserida na codificação de toda uma realidade física e social, vivenciada pelos educandos, e analisar junto com eles, de forma dialógica, os diferentes significados atribuídos e as diferentes formas de pôr ordem nas idéias na construção desse conhecimento. (Medeiros; in: Bicudo, 2005, p.40)

Nota-se que o professor não percebe e não dispõe desse contexto, isto é, da

realidade vivida pelos alunos. Na verdade, o professor simplesmente dispõe do

discurso do aluno com relação ao respectivo conhecimento, e isso é insuficiente

para que o mesmo saiba, de fato, qual o cenário cultural, econômico, etc., em que o

aluno está inserido. Deste modo, propõe-se que o professor seja um educador, no

sentido de obter, ao menos parcialmente, o conhecimento da realidade do aluno.

Neste contexto, pode-se dizer que os objetivos poderão ser mais facilmente

alcançados numa situação de intersubjetividade, isto é, numa situação em que o

aluno é sujeito participante intelectualmente e não objeto passivo do processo

ensino-aprendizagem. Nesse sentido, compreende-se que o ensino da Matemática

não pode ser visto como processo isolado, e sim como um projeto contínuo do

ensino-aprendizagem. Este processo ao qual nos referimos acima representa uma

educação que se constrói por meio de metas que visam atingir um conhecimento

matemático adequado, para que este futuro professor consiga se inserir no mercado

de trabalho e possa contribuir com o processo educacional nacional.

Segundo Micotti citada por Bicudo ―Do ponto de vista da realidade escolar, as mudanças didáticas envolvem reflexão pedagógica e, principalmente mudanças praticas. Envolvem colaboração entre docentes, para que a escola reafirme seu compromisso com a aprendizagem para todas as crianças‖ (Bicudo, 2005, p.70)

Entende-se que a formação de cidadãos matematicamente alfabetizados, isto

é, que possuam habilidade para a resolução de problemas diversos, é de

fundamental importância para qualquer país que anseia se desenvolver.

O ensino da matemática baseia-se num currículo cientifico do conhecimento,

possibilitando um trabalho pedagógico que aponte na direção da totalidade do

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conhecimento e sua relação com o cotidiano. O professor estará sendo coerente ao

exigir a presença ativa do aluno na produção do conhecimento como algo

imprescindível. Busca-se uma ação educacional efetiva, focalizando a atenção sobre

os inter-relacionamentos entre a prática de ensino diária concreta e o contexto

ideológico e estrutural mais amplo.

Nesta perspectiva procura-se utilizar as tendências na Educação Matemática.

As orientações das diretrizes curriculares da Educação Básica do ensino médio

sugerem que:

Nenhuma das tendências metodológicas apresentadas nessas diretrizes esgota todas as possibilidades para realizar com eficácia o complexo processo de ensinar de aprender matemática, por isso sempre que possível, o ideal é promover a articulação entre elas. (2008, p.68)

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática

(2008,p.63) :

Os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a pratica docente, das quais destacamos: •resolução de problemas; •modelagem matemática; •mídias tecnológicas; •etnomatemática; •história da matemática; •investigações matemáticas.

Seguindo as orientações das diretrizes de que nenhuma das tendências

isoladas esgota todas as possibilidades da aprendizagem dos alunos, pretende -se

desenvolver uma articulação entre as tendências metodológicas para que haja

uma efetiva aprendizagem. Ao se considerar a resolução de problemas como um

recurso de aprendizagem faz-se necessário selecionar vários tipos de problemas

para que o aluno tenha a oportunidade de pesquisar, raciocinar e utilizar os

conhecimentos adquiridos no decorrer da sua jornada escolar.

A oportunidade de usar os conceitos matemáticos no seu dia-a-dia favorece o desenvolvimento de uma atitude positiva ao aluno em relação a matemática. Não basta saber fazer mecanicamente as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. É preciso saber como e quando usá-las convenientemente na resolução de situações-problema. (DANTE, 2005, p.13)

Enquanto vive-se numa época em que as mudanças sociais ocorrem

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rapidamente, contrariamente está o processo de ensino-aprendizagem,

especialmente no que concerne a Matemática.

Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão tomar decisões rápidas e, tanto quanto possível, precisas. Assim, é necessário formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo inteligente, seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia, medicina, previsão do tempo e outros da vida diária. E, para isso, é preciso que a criança tenha, em seu currículo de matemática elementar, a resolução de problemas como parte substancial, para que desenvolva desde cedo sua capacidade de enfrentar situações-problema. (DANTE, 2005, p.15)

O ensino da resolução de problemas é, aparentemente, uma tarefa mais difícil

do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um

mecanismo direto de ensino, mas sim uma variedade de pensamentos que precisam

ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno, com o devido apoio e incentivo do

professor. O sucesso em alguma atividade nos leva a desenvolver atitudes positivas

em relação à mesma.

Outra tendência que se apresenta neste projeto é o da modelagem

matemática, a qual de acordo com Biembengut (2005, p.23).

O trabalho de modelagem tem como objetivo principal criar condições para que os alunos aprendam a fazer modelos matemáticos, aprimorando seus conhecimentos. Os alunos escolhem o tema e a direção do próprio trabalho, cabendo ao professor promover essa autonomia. Espera-se por meio da modelagem: •Incentivar a pesquisa; •promover a habilidade em formular e resolver problemas; •lidar com tema de interesse; •aplicar o conteúdo matemático; e •desenvolver a criatividade.

A modelagem matemática consiste, dentre muitos outros quesitos, do

desenvolvimento de um trabalho pedagógico que possibilite a intervenção do

estudante nos problemas reais do contexto social e cultural, buscando-se soluções e

contribuições na sua formação crítica.

―A modelagem matemática tem como pressuposto a problematização de situações

do cotidiano. Ao mesmo tempo em que sugerem questionamentos sobre situações

de vida‖ (DIRETRIZES, 2008, p.64)

Faz-se necessário também uma reflexão sobre a importância da tecnologia

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(mídias tecnológicas) utilizada em sala de aula. Como os professores utilizam tais

tecnologias na pratica diária, que relevância essa tendência oportuniza o ensino dos

conteúdos propostos? Tal pensamento é ratificado pelo texto a seguir:

Entender o binômio "Computador e Educação‖, é ter em vista o fato de que o computador se tornou um instrumento, um ferramenta para aprendizagem, desenvolvendo habilidades intelectuais e cognitivas, levando o indivíduo ao desabrochar das suas potencialidades, de sua criatividade, de sua inventividade. O produto final desse processo é a formação de indivíduos autônomos, que aprendem por si mesmo, porque aprenderam a aprender, através da busca, da investigação, da descoberta e da invenção. (VEIGA, 2001)

Há dificuldades de adaptação e integração dos professores com os recursos

tecnológicos (computador, Internet, etc.) utilizados na escola. Isso requer uma

postura de revisão da prática em sala de aula, procurando-se adequar os vários

meios de informação à metodologia que esta sendo utilizada. Requer também novas

competências para desenvolver estratégias que contribuam para a aprendizagem,

utilizando-se as tecnologias como meios na intenção de educar. Nesse aspecto

surge a preocupação:

O papel então dos professores não é apenas o de transmitir informações, é o de facilitador, mediador da construção do conhecimento. Então, o computador passa a ser o "aliado" do professor na aprendizagem, propiciando transformações no ambiente de aprender e questionando as formas de ensinar. (VEIGA, 2001)

Surgem, de maneira natural, algumas indagações:

Como integrar as tecnologias de informação de forma a haver mudanças no

processo ensino-aprendizagem, bem como no processo de relacionamento aluno-

professor?

Entende-se que os professores deverão colocá-las à disposição dos alunos

como possibilidade de resolução de problemas e não somente como diversão. Além

disso, sabe-se que grande parte dos alunos está apta para a utilização da multimídia

como processo de aprendizagem. Em contrapartida, uma parte considerável dos

professores prefere a não utilização das tecnologias de multimídia no processo de

ensino-aprendizagem, pois temem revelar suas dificuldades no manuseio das

mesmas a seus alunos. A maioria dos professores tem consciência que precisam

mudar, mas não sabem como.

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Por isso a informática na escola é fundamental, tanto para alunos quanto para professores. Essa nova tecnologia tornou-se um importante meio de estudo e pesquisa. Os alunos do ensino fundamental e do ensino médio, ao utilizarem o computador entram em um ambiente multidisciplinar e interdisciplinar, ou seja, ao invés de apenas receberem informações, os alunos também constroem conhecimentos, formando assim um processo onde o professor educa o aluno e ao educar é transformado através do diálogo com os alunos. (VEIGA, 2001).

Ao se trabalhar com as mídias tecnológicas, abre-se um leque de formas de

ensino-aprendizagem e, neste contexto, professores e alunos devem manter um

diálogo constante, propiciando, assim, uma interação profícua e permanente.

O grande desafio do profissional da educação, mais do que utilizar tal ou qual recurso tecnológico é pautar-se em princípios que privilegiam a construção do conhecimento, o aprendizado significativo, interdisciplinar e integrador do pensamento racional, estético, ético e humanista. A escola precisa deixar de ser meramente uma agência transmissora de informação e focar sua intencionalidade na aprendizagem de fato. O foco da aprendizagem é a busca da informação significativa, da pesquisa, o desenvolvimento de projetos e não predominantemente a transmissão de conteúdos específicos. E a tecnologia está aí como um instrumento de amplas possibilidades. Como afirma Veiga (apude MORAN, 2007)

No presente projeto será abordado também a tendência Etnomatemática, a

qual consiste em estudar e resgatar os conhecimentos de um dado grupo,

considerando-se suas especificidades culturais, e utilizando-os para a compreensão

da Matemática como um todo. Muitas vezes opõe-se a matemática considerada

dominante, que determina o que será trabalhado nas escolas mediante o currículo. A

Etnomatemática pode ser considerada como uma das áreas de pesquisa que estuda

as adjetivações da Matemática, procurando dar mais autonomia ao estudo da

Matemática Escolar em relação à Matemática Acadêmica, levando-se em conta a

relação que há entre a matemática do cotidiano e a escolar.

Denominaremos Etnomatemática a matemática que é encontrada entre os grupos culturais identificáveis. Tais como: sociedades tribais nacionais, grupos obreiros, crianças de uma certa categoria de idade , classes profissionais, etc. Sua identidade depende amplamente dos focos de interesse, (Bicudo,2005,p.89)

Abordaremos, além dos tópicos que foram mencionados, o papel da Etnomatemática em se reconhecer e registrar questões de relevância social que

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produzam o conhecimento matemático, tendo sempre em mente a não existência de um único, mas sim de diversos conhecimentos, todos estes com sua respectiva importância.

A cultura se manifesta através de jargões, códigos, mitos, símbolos, utopias e maneiras de raciocinar e inferir. Associadas a estas, temos praticas, tais como: cálculo e a contagem, medição, classificação, ordenação, inferição, modelação, etc. que constituem a Etnomatemática. (Bicudo, 2005, p.92)

Subentende-se na História da Matemática, segundo as diretrizes (2008, p.66)

que ―é importante entender a história da matemática no contexto da pratica escolar

como componente necessário de um dos objetivos primordiais da disciplina‖.

Além disso, um outro objetivo é a abordagem histórica, que está diretamente

vinculada a fatos sociais que ocorreram e que trouxeram contribuições e

influenciaram os avanços científicos de determinadas épocas. Sendo assim, a

história da matemática pode nos orientar para a elaboração de situações-problema

que venham propiciar melhor entendimento e compreensão dos conceitos

matemáticos abordados. Tais afirmações apontam o caminho da reflexão no que

concerne o ensino, bem como a lógica que deverá estar presente na aprendizagem.

A escola aparece como um espaço físico e psicossocial, onde professor e alunos

interagem entre si.

A abordagem histórica deve estar ligada às descobertas matemáticas. Mais

precisamente, as circunstâncias históricas e as correntes filosóficas que determinam

o pensamento e influencia o avanço cientifico de cada época devem, da mesma

forma, influenciar o ensino-aprendizagem da Matemática.

2. OBJETIVO GERAL DA PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA:

Encaminhar metodologias e material didático para a execução do Projeto de

Intervenção Pedagógica: ―Formação de Docentes: Aprender para Ensinar

Matemática. Um olhar para o ensino aprendizagem das Operações

fundamentais.‖, na 2ª série do Ensino Médio Integrado Curso Formação

Docentes do Colégio São Mateus. Estabelecer relações entre o conhecimento

matemático e seu cotidiano para compreensão, conhecimento e utilização das

quatro operações matemáticas, na formulação e resolução de problemas.

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3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DA PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA:

Ao desenvolver as atividades propostas neste caderno pedagógico espera-se

que os estudantes sejam capazes de:

Refletir sobre o significado da matemática no cotidiano e sobre a

importância da compreensão do Sistema de Numeração Decimal;

Perceber a importância dos números no cotidiano;

Utilizar o material didático para a compreensão da mudança de base

numérica;

Compreender os conceitos, procedimentos e tendências na Educação

Matemática para o planejamento de soluções para problemas que exijam

iniciativa e criatividade;

Aplicar conhecimentos matemáticos para a compreensão e resolução de

situações-problema, que se apresentem no dia-a-dia;

Desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas

oralmente e por escrito, expondo seu parecer de forma argumentativa;

Apropriar-se da prática pedagógica que engloba ensino-aprendizagem e

conhecimento matemático.

4 . ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

AÇÃO 1 Aplicar um questionário aos alunos consistindo de perguntas relacionadas à sua aprendizagem, utilizando-se os métodos aplicados;

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AÇÃO 2 Desenvolver atividades de revisão do conteúdo ―Operações com

Números Naturais‖, procurando-se sanar as dificuldades apresentadas

pelos alunos;

AÇÃO 3 Desenvolver, juntamente com os alunos, atividades em grupo

onde os mesmos deverão elaborar e criar jogos, brincadeiras ou formas

diferenciadas de trabalhar os respectivos conteúdos, facilitando-se, deste

modo, o processo de aprendizagem; realizar apresentação dos trabalhos

entre os grupos, propiciando debates e reflexões sobre os trabalhos

apresentados. Verificar quais as vantagens e desvantagens da aplicação

de cada trabalho para os alunos do 1º ao 5º ano;

AÇÃO 4 Grupo de Estudo: Desenvolver grupos de estudos com

professores e alunos propiciando troca de experiências, discutindo o

ambiente do indivíduo, suas manifestações culturais e relações de

produção e trabalho, no intuito de valorizar a história dos alunos,

reconhecendo e respeitando suas raízes culturais, num resgate da falha do

desenvolvimento cognitivo. Levando a abordagem das Tendências em

Educação Matemática e como inseri-las na aprendizagem diária (com

certificado de 32 horas pela UEPG);

AÇÃO 5 Produção do Material Pedagógico pelos alunos segundo

instruções do Caderno Pedagógico;

AÇÃO 6 Desenvolver com os alunos oficinas que abordem conteúdos

básicos da Matemática; mais especificamente, as quatro operações no

conjunto dos Números Naturais;

AÇÃO 7 Trabalhar com estatísticas a partir da investigação dos dados

levantados nos questionários respondidos pelos alunos, tendo em vista a

análise destes dados desde sua coleta até os cálculos finais, no sentido de

quantificar, qualificar, analisar e contextualizar as informações,

incorporando - se às experiências do cotidiano;

20

AÇÃO 8 Realizar uma exposição de trabalhos desenvolvidos para todo o

curso normal do colégio, em que poderão trocar experiências e contribuir

para a melhoria da educação fundamental.

Espera-se, com todas essas estratégias de ensino-aprendizagem, discutir e

apresentar sugestões para o ensino-aprendizagem da Matemática para futuros

docentes, que no momento não dominam o conteúdo básico. O problema que se

coloca ao professor é o de aplicar estratégias didáticas no ensino-aprendizagem de

seus futuros alunos, para que sejam superadas as atuais defasagens entre a escola

e contexto sócio cultural de seus alunos.

5. CRONOGRAMA

Ano 2011 Ano 2012

ATIVIDADES Ago Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul

Coleta de dados X

Revisão do Conteúdo: Opera -ções com Naturais

X

Trabalho em grupo X

Debates reflexão - Apresentação de trabalhos entre os grupos

X

Grupo de Estudo- Alunos e professores

X X X

Produção de material Pedagógico

X

Oficinas X

Exposição dos trabalhos Apresen- tação dos materiais

X

21

UNIDADE I

1. Números

Os números e sua representação

Ninguém sabe exatamente quando foram inventados os primeiros registros

numéricos; sabe-se, porém, que povos pré-históricos, antes mesmo de possuírem

uma linguagem escrita, grafavam o resultado de suas contagens, ou então,

grafavam o próprio ato de contar.

Não sabemos ao certo, mas podemos imaginar estórias sobre o uso

primitivo de contagens – anteriores até mesmo aos primeiros símbolos grafados.

Imagine um pastor de ovelhas, preocupado em não perder nenhum animal de seu

rebanho. Assim, ao soltá-las no pasto pela manhã, ele colocava uma pedrinha em

um saco para cada ovelha que saía do cercado. Ao anoitecer, ao recolher os

animais, era só retirar uma pedra para cada ovelha que reconduzia ao cercado.

Se não sobrasse nenhum a pedra, todas estariam a salvo. Caso contrario, era

hora de sair à procura de ovelhas desgarradas. Cada pedra restante no saco

correspondia a uma ovelha que não havia retornado.

Se tais pastores realmente existiram ou são apenas lendas, uma ideia

muito importante em Matemática foi contada: associar uma pedra a cada ovelha

permitia ao pastor ―conferir‖ seu rebanho e tomar providencias, quando

necessárias, para recuperar animais perdidos.

Como a ideia de passar o dia carregando um saco de pedras não é das

mais agradáveis, seria interessante trocar essas pedras por algo mais leve.

Talvez por isso tenha surgido outra boa idéia – pensar que três ovelhas poderiam

ser representadas por um registro gráfico, como I I I. Além disso, este mesmo

registro serviria para três pássaros, três pedras ou qualquer outro conjunto de três

objetos.

Usar um mesmo registro para uma mesma quantidade de coisas diferentes

(uma construção abstrata!) foi um grande avanço. O homem ainda se deparou, no

entanto, com a necessidade de registrar quantidades cada vez maiores – um novo

desafio, pois seus registros eram limitados (pedras, entalhes, partes do corpo

humano, desenhos, etc.) O difícil problema a ser resolvido pelo ser humano foi,

então, como designar números cada vez maiores, usando poucos símbolos? Esta

tarefa foi cumprida com registros completos e depois registros orais (fala) e por

escrito. Muitas civilizações, ao longo da história, criaram seus próprios registros,

até que se chegou à forma de grafar os números que utilizam até hoje, um

sistema posicional, denominado Sistema Decimal de Numeração.

Pró – Letramento em Matemática Números Naturais Fascículo 1, 2008, p.8

22

1.1. Atividade

O texto tratou de representações de números, e coloca que nosso sistema é decimal

e posicional. Escreva com suas próprias palavras o que significa esta afirmação.

Atividade baseada no livro Pró- Letramento em Matemática

2. Conhecendo um pouco a História

Com a necessidade de contar surgiu a criação dos números. A história da

Matemática se confunde com a história da humanidade. A evolução da humanidade

está diretamente ligada com a necessidade de contagem e, a partir desta

necessidade, surgem os sistemas de numeração: egípcio, babilônio (na antiga

Mesopotâmia), romano, etc..

Os egípcios estão entre os primeiros povos que desenvolveram um sistema

numérico. A numeração egípcia baseava-se na ideia de agrupamento de 10 em 10 e

data de cerca de 5 mil anos.

O conjunto de símbolos e regras foi criado pelos indianos, a cerca de 1400

anos. Superou todos os outros sistemas existentes até então; sua criação impôs

uma mudança total na forma de realizar os cálculos, pois anteriormente, os cálculos

só podiam ser realizados mecanicamente com algum material concreto. O sistema

de numeração Decimal por meio dos algoritmos permitiu o cálculo por escrito.

O sistema por nós utilizado no Brasil é o Sistema De Numeração Indo -

Arábico. Segundo fontes históricas este sistema decimal teve origem com os hindus,

que residiam no vale do rio Indu, onde atualmente localiza-se o Paquistão.

As dificuldades em ―fazer contas‖ com os números naturais apresentam como

principal causa deste problema o aprendizado do Sistema de Numeração Decimal.

23

2.1. Atividades

1- Vamos pesquisar os sistemas de numeração para saber um pouco mais sobre

eles: seguem algumas sugestões de endereços eletrônicos para consulta:

Sistema de numeração Egípcio – Disponível em: <

http://educar.sc.usp.br/matematica/l1t5.htm >. Acesso em 10/06/ 2011.

Sistema de numeração Egípcio – Disponível em: <

http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-egipcios.htm

>. Acesso em 06/06/ 2011.

DEZ, A BASE MAIS COMUM

Em certas regiões da África Ocidental, ―há relativamente pouco tempo‖,

os pastores tinham um costume bastante prático para avaliar um rebanho.

Eles faziam os animais passarem em fila, um a um. Após a passagem do

primeiro enfiavam uma concha num fio de lã branca, após o segundo uma

outra concha, e assim por diante até dez. Nesse momento desmanchava-se o

colar e se introduzia uma concha numa lã azul, associada às dezenas. E se

recomeça a enfiar conchas na lã branca até a passagem do vigésimo animal,

quando se introduzia uma segunda concha no fio azul. Quando este tinha, por

sua vez, dez conchas, e cem animais haviam sido contados, desfazia-se o

colar das dezenas e enfiava-se uma concha numa lã vermelha, reservada

desta vez para as centenas. E assim por diante até o término da contagem

dos animais. Para duzentos e cinqüenta e oito animais, por exemplo, haveria

oito conchas de lã branca, cinco azuis e duas vermelhas.

Não vamos pensar com isso que esses pastores raciocinavam como

―primitivos‖. Nós ainda contamos segundo o mesmo princípio que eles, só que

com símbolos diferentes. A ideia básica deste procedimento reside na

predominância do agrupamento por dezenas (ou ―feixes‖ de dez unidades),

por centenas (ou dezenas de dezenas) etc. Nesta técnica concreta, cada

concha de lã branca vale por uma unidade simples, enquanto cada concha da

segunda ou da terceira lã marca um agrupamento de dez ou de cem

unidades. Na linguagem dos matemáticos, isto se chama ―empregar a base

dez‖.

Georges Ifrah (1989,p.53)

24

Sistema de numeração Maia – Disponível em: <

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_maia.htm

>. Acesso em 02/06/ 2011.

Sistemas de numeração Indo Arábico, Romano, Grego, Maia, Babilônico,

Egípcio, Chinês- Japonês – Disponível em: <

http://azevedomarquesmat.blogspot.com/>. Acesso em 12/06/ 2011.

http://www.somatematica.com.br/historia.php>. Acesso em 12/06/ 2011.

A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE>. Acesso em 04/06/ 2011.

http://www.somatematica.com.br/historia/oriental.php >. Acesso em 12/06/ 2011.

http://www.somatematica.com.br/historia/oriental3.php >. Acesso em 12/06/ 2011.

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO EGITO >. Acesso em 12/06/ 2011.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA >. Acesso em 12/06/ 2011.

http://www.somatematica.com.br/historia/oriental.php >. Acesso em 12/06/ 2011.

http://www.somatematica.com.br/historia/seculoix.php >. Acesso em 12/06/ 2011.

2- Represente os números 3, 5, 36, 132, 458 e 4818 nos sistemas pesquisados.

3- No sistema de Numeração Romano, quais são todos os algarismos?

4- Este Sistema é posicional? Trabalha com base 10?

5- Como se escreve o número 999, com algarismos romanos?

25

3 . O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Fonte própria

Como você contaria estes palitos?

Qual das formas você acha mais fácil contar?

Fonte própria Fonte própria

A primeira grande ideia estratégica é agrupar os elementos para facilitar a

contagem. Organizar os grupos facilita a visualização para a contagem evitando a

ocorrência de erros, deixando de contar os objetos ou contá-los mais de uma vez.

26

Nosso sistema de numeração fundamenta-se na ideia de agrupamento de dez

unidades. Quando junta-se dez unidades forma-se uma dezena, dez dezenas forma-

se uma centena, dez centenas forma-se um milhar, e assim por diante.

Este sistema é chamado sistema decimal justamente pelo agrupamento ser

realizado de dez em dez.

O sistema decimal é composto por dez símbolos (os algarismos são

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), e com estes símbolos pode-se representar qualquer número,

pois os algarismos representam quantidades diferentes dependendo da posição que

estiverem ocupando na representação (por isso o sistema é chamado posicional).

Em outras palavras, pode-se observar no Sistema de Numeração Decimal que o

significado de um símbolo depende da posição que ele ocupa.

Observe o número 15853: ele apresenta dois números 5 em sua representação,

cada um deles representam quantidades diferentes devido à posição que estão

ocupando. O algarismo 5 que está posicionado entre 3 e 8 representa um grupo

com 5 dezenas ou 50 unidades, o outro 5 que está posicionado entre 8 e o 1,

representa um grupo com 5 unidades de milhar ou seja 5000 unidades.

3.1 Vamos pesquisar para saber um pouco mais

A linguagem dos números

A ideia de correspondência

Do relativo ao absoluto

– Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/numeros.php>. Acesso em

16/06/ 2011

4. O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E A IMPORTÂNCIA DO ZERO

A ideia ―chave‖ do sistema posicional é a representação do zero (0) pois

afinal, para que representar o vazio, isto é, para que representar a ausência de

valor?

27

Maria Fernanda Vomero escreveu um artigo publicado na revista

SUPERINTERESSANTE do mês de abril de 2001 que trata sobre a origem do

algarismo zero. Por muitos anos este número foi discutido sem se chegar a uma

conclusão a contento. O grande desafio de muitas gerações foi como representar

algo que nada representa .

4.1. Curiosidades

Curiosidades

Dois mil anos antes de cristo já haviam descoberto fórmulas para cálculo das

áreas do triângulo e do círculo, assim como do volume das esferas e dos

cilindros. Apesar de não conhecerem o zero, já resolviam nessa época equações

algébricas. Os conhecimentos astronômicos permitiram-lhes a organização de

um calendário baseado nos movimentos do sol. A divisão do ano em doze meses

de trinta dias é de origem egípcia; os romanos adotaram-na e ainda hoje é

conservada com pequenas modificações.

( Souto ,1978, p.32)

A cultura indiana antiga já trazia uma noção de vazio bem antes do conceito

matemático de zero. "Num dicionário de sânscrito, você encontra uma explicação

bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que é shúnya", afirma o

físico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de História e Teoria da Ciência da

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shúnya significa

vazio, deserto, estéril. Aplica-se a uma pessoa solitária, sem amigos; a um

indivíduo indiferente ou insensível. O termo descreve um sentimento de

ausência, a falta de algo, uma ação sem resultados. Como substantivo, shúnya

refere-se ao nada, ao vácuo, à inexistência. A partir do século VIII d.C., os árabes

levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o símbolo que os

indianos haviam criado para o zero quanto a própria idéia de vazio, nulo, não-

existente. E difundiram o termo shúnya – que, em árabe, se tornou shifr e foi

latinizado para zephirum, depois zéfiro, zefro e, por fim, zero.

(VOMERO,2001)

28

Vejamos como se escreve o número trezentos e dois: não poderia escrever

32, pois estaria colocando os algarismos 3 e 2 para representações de quantidades

diferentes, pois o 32 ( três grupos de uma dezena e duas unidades) já representa o

número trinta e dois. Este número possui 3 centenas ou 30 dezenas (neste caso não

sobram dezenas além daquelas que foram agrupadas nas centenas) e ainda possui

duas unidades. Como não ―sobraram dezenas‖, necessitamos de uma

representação para esta posição vazia, isto é, um símbolo para representar o

―nada‖. Portanto, para escrever o número 302 necessitamos do símbolo (0) zero

para representar a ausência de grupos de dezenas. Com isto podemos perceber a

importância do símbolo que representa o zero, sem ele não conseguiríamos

representar todos os números. Deste modo, com os dez símbolos podemos

representar qualquer número natural, visto que o conjunto dos números Naturais é

infinito e nosso Sistema de numeração é decimal e posicional.

Uma observação interessante é que nosso sistema de numeração levou séculos

para ser construído. Portanto, há a necessidade de se vivenciar de maneiras

diferentes esse aprendizado, utilizando-se o maior número de materiais didáticos

possíveis, para que se chegue a um conceito abstrato.

4.2 Vamos pesquisar para saber um pouco mais História do zero - Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/historia/zero.php>. Acesso em 10/05/ 2011 4.3 Atividade: Pense e relate: além da base dez, você conhece outras bases e as utiliza em suas

contagens ou em cálculos matemáticos de seu dia a dia?

29

5. MATERIAIS PEDAGÓGICOS

Nas atividades aqui sugeridas serão citados algumas possibilidades de

materiais, dentre as muitas que existem para serem utilizados no processo ensino-

aprendizagem dos números naturais e, consequentemente, números reais.

Um ábaco pode ser considerado qualquer instrumento que os alunos

possam manipular para auxiliar na realização de cálculos matemáticos (soroban,

cartaz de pregas, cartaz de valor lugar, contador, flanelógrafo, etc.). Assim como

estes materiais, o material dourado é um excelente recurso para facilitar a

compreensão do valor posicional dos algarismos. Acompanhe alguns exemplos

dados a seguir.

5.1 Material dourado

O material dourado é conhecido como material Montessoriano de contagem,

foi criado pela médica italiana Maria Montessori (1870 – 1952) que trabalhava com

crianças que apresentavam distúrbios de aprendizagem. O material original era

constituído de contas de plástico na cor dourada, daí a origem do nome.

Material dourado

Imagem captada em: http://mateadg4md.blogspot.com/2009/06/figuras-do-

material-dourado.html acesso dia 18/07/2011

30

5.1.1 Um pouco da história:

Atualmente, o material dourado é composto por quatro tipos sendo cubos,

barras, placas e cubinhos de madeira, dispostos da seguinte forma:

um cubo pequeno, de 1cmX1cmX1cm representa a unidade;

uma barra de 1cmX1cmX10cm com 10 cubinhos unidos representa uma

dezena;

uma placa 1cmX10cmX10cm com 100 cubinhos unidos representa uma

centena;

um cubo grande 10cmX10cmX10cm com 1000 cubinhos ou 10 placas unidas

ou 100 barras unidas representa o milhar.

O "Material das Contas"

Vamos conhecer o material das contas pelas palavras de Maria

Montessori:

"Preparei também, para os maiores do curso elementar, um material destinado a

representar os números sob forma geométrica. Trata-se do excelente material

denominado material das contas. As unidades são representadas por pequenas

contas amarelas; a dezena (ou número 10) é formada por uma barra de dez

contas enfiadas num arame bem duro. Esta barra é repetida 10 vezes em dez

outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, "o quadrado de dez",

somando o total de cem. Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados

formando um cubo, "o cubo de 10", isto é, 1000.

Aconteceu de crianças de quatro anos de idade ficarem atraídas por esses

objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para surpresa nossa, puseram-se a

combiná-los, imitando as crianças maiores. Surgiu assim um tal entusiasmo pelo

trabalho com os números, particularmente com o sistema decimal, que se pôde

afirmar que os exercícios de aritmética tinham se tornado apaixonantes.

As crianças foram compondo números até 1000. O desenvolvimento ulterior foi

maravilhoso, a tal ponto que houve crianças de cinco anos que fizeram as

quatro operações com números de milhares de unidades".

http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm

31

imagens captadas em: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm acesso 20/05/2011

Na impossibilidade de se ter esse material em madeira, pode-se desenhar em

cartões ou EVA; os cubos podem ser substituídos por quadradinhos de lado 2 cm,

barras por retângulos de 2 cm por 20 cm e placas por quadrados de lado 20 cm

formando a representação das unidades, dezenas e centenas. Uma das vantagens

da utilização do material dourado é permitir a visualização dos valores de cada peça.

5.1.2 Atividades com material dourado

Agrupamentos e trocas na base 10

1) Construir um ábaco de papel sulfite, dividir o sulfite em 4 partes iguais (pode-

se desenhar as peças ou escrever o nome de cada uma). Cada aluno recebe

uma quantidade de cubos e deverá fazer trocas com as peças para tentar

ficar sempre com o menor número de peças.

CUBO PLACA BARRA CUBINHO

32

a) Qual o menor número de peças para formar o numero 15?

b) O número de 43 cubinhos realizadas as trocas fica representado como ?

2) Com peças variadas, trocar entre todas possíveis para formar os números

pedidos.

3) Com 36 cubinhos, duas barras e uma placa. Qual o menor número de peças

que encontramos?

4) Representando Agrupamentos e trocas

Utilize o ábaco para representar com o material dourado os números pedidos

realizando trocas necessárias e logo após registre no seu caderno em forma de

tabela.

a) Como ficam representados 27 cubos no ábaco e no caderno?

b) O que dá pra formar com 3 placas, 15 barras e 35 cubos ?

Após os alunos se familiarizarem com a tabela pode-se apresentar o nome das

ordens:

Cubo equivale a Unidade de milhar

Placa equivale a Centena

Barra equivale a Dezena

Cubinho equivale a Unidade

CUBO PLACA BARRA

2

CUBINHO

7

33

5 ) Do caderno para o ábaco

a) Represente no ábaco o numero 185

b) O que será colocado no ábaco para o numero 327 ?

c) E para o numero 529 ?

6 ) O que acontecerá se precisarmos retirar 1 cubo nos seguintes casos:

a) Havendo uma placa;

b) Havendo uma placa e duas barras;

c) Havendo 4 placas;

7 ) O que acontecerá se acrescentarmos 1 cubo, isto é, com o que ficarei ?

a) Se tenho 9 barras e 9 cubos?

b) Se tenho 1 placa 9 barras e 9 cubos?

8 ) Analise as seguintes situações

1ª) Em uma fabrica de camisetas foram feitas 389 unidades em um dia e 425 no dia

seguinte. Quantas camisetas foram feitas nesses dois dias?

2ª) Um empregado trabalhou numa fabrica durante 3 anos, 6 meses e 18 dias e 4

anos, 10 meses e 26 dias em outra. Quanto tempo ao todo tem de serviço?

a) Para solucionar os dois problemas utiliza-se o mesmo raciocínio.

b) Escreva como as trocas e agrupamentos aparecem em cada situação.

CUBO

UM

Unidade

de milhar

PLACA

C

Centena

BARRA

D

Dezena

CUBINHO

U

Unidade

34

6. Quadro Valor Lugar (QVL)

UM

Unidade

de milhar

C

Centena

D

Dezena

U

Unidade

Imagem captada em: http://www.exatas.mat.br/opfundamentais.htm Acesso 01/07/2011

Utilizaremos esta forma de representação do QVL

UM

C

D

U

É um recurso utilizado pra reforçar o significado da representação posicional

decimal. Ao utilizar uma tabela onde aparecem indicadas as ordens decimais

(unidade, dezena, centena, unidade de milhar, etc.), o aluno pode fazer e desfazer

agrupamentos, dando significado aos números escritos no sistema de numeração

decimal. O quadro valor lugar é um recurso útil e deve acompanhar o aluno no

35

decorrer do processo de aprendizagem do sistema decimal de numeração e no

algoritmo das operações com números naturais. Pode-se também utilizá-lo para

ampliar o conhecimento quando se trabalhar os números decimais, para incluir as

ordens menores que a unidade, tais como décimos, centésimos, milésimos, etc, ou

ainda quando os alunos apresentarem dificuldades para compreender o valor

posicional.

6.1 Atividades:

1) Analise o QVL e responda:

UM

C

D

3

U

6

a) É correto dizermos que 36 tem 6 unidades ?

b) Quantas unidades tem o 36 ?

c) Explique qual é o significado do algarismo 6, em 36.

36

2) Responda com suas palavras as seguintes questões

UM

C

3

D

2

U

5

a) Explique por que é errado dizer que o número 325 tem 2 dezenas.

b) O numero 325 tem quantas dezenas?

c) Qual é o significado correto do algarismo 2 em 325?

3) Em grupos, elaborar uma atividade para facilitar a compreensão de que há

unidades agrupadas nas dezenas, há dezenas agrupadas nas centenas, e

assim sucessivamente nas demais ordens decimais.

37

7. Elaboração de material pedagógico

A proposta de trabalho com o material pedagógico tem a finalidade de

propiciar um encaminhamento para a retomada de procedimentos básicos nas

operações, auxiliando na aprendizagem dos alunos que apresentam dificuldades de

entendimento desses procedimentos. Este material é uma adaptação, reunindo-se a

representação do material dourado planificado, quadro valor lugar e o flanelógrafo.

Objetivo:

1) Facilitar a visualização, manipulação e compreensão do sistema

decimal, bem como reforçar o significado da representação posicional

decimal e possibilitar a aprendizagem do algoritmo das operações;

2) Propiciar a visualização dos algoritmos e o processo de trocas

realizadas para a resolução das operações.

Material: Feltro, Folhas coloridas de EVA para confeccionar os números,os sinais de

adição, subtração, multiplicação, divisão e representação do material dourado

planificado, Lápis, Tesoura, Cola, Vélcro.

Procedimentos: Confeccionar o material conforme as indicações:

1) construir as peças do material, orientar os alunos para que recortem 4 jogos

de algarismos de 0 a 9;

2) recortar os símbolos +, -- , x e ÷;

3) Recortar as letras U,D,C,UM (que representarão as casas das unidades,

dezenas, centenas e unidades de milhar) no quadro valor lugar;

4) Recortar tiras retangulares de 3cm por 50cm para a divisão dos quadros no

QVL;

5) Recortar as peças que representarão o material dourado planificado; os cubos

serão representados por 100 quadradinhos com 2cm de lado; as barras serão

representadas por 30 retângulos de 2cm por 20cm, e as placas por 10

quadrados de 20cm por 20cm. Construir um cubo 20cmx20cmx20cm, apenas

para visualização e explicação de que se precisaria de 1000 cubos de 2cm x

2cm x 2cm para se obter um cubo grande;

6) Atrás das peças colar vélcro para usá-las fixadas no feltro;

7) Providenciar 1 (um) metro quadrado de feltro.

38

Vejamos o material representado nas fotos:

Fonte própria

Fonte própria

39

7.1 Atividades

1) Confeccionar o material didático seguindo as instruções.

2) Utilizando o material confeccionado, resolver as seguintes operações,fazendo

um relato das trocas necessárias para realizar o calculo das operações.

a) 348 +429 =__________________

b) 149 + 561 = __________________

c) 365 + 746 = __________________

d) 321 – 149 = __________________

e) 236 – 128 = __________________

f) 563 – 294 = __________________

g) 134 x 8 = ____________________

h) 349 x 26 = ___________________

i) 136 ÷ 2 = ___________________

j) 2478 ÷ 6= __________________

3) Discutam e exponham suas conclusões:

a) A importância da utilização deste material didático para o ensino-

aprendizagem.

b) Quando trabalhado com este material, você identificou quais as dificuldades

que ele pode sanar?

40

UNIDADE II

1. ALGORITMOS

Um algoritmo é um dispositivo prático desenvolvido para facilitar a execução de

certas tarefas que se apresentam em nosso dia a dia. Em nosso cotidiano

convivemos com muitos algoritmos – alguns são muito simples, como ligar um som

(pois há apenas um botão para pressionar e ele está ligado) ; outros já precisam de

mais atenção pois são preparados gradualmente, tais como uma receita de um bolo

em que precisamos ter vários ingredientes e respeitar a ordem de execução das

etapas para obter sucesso. Há também outros algoritmos contendo um certo grau de

dificuldade; exigem muito treinamento para que se consiga realizá-los com

independência e segurança, como é o caso de ter autonomia para dirigir um

automóvel.

Quando nos é apresentado algum algoritmo novo é comum que necessitemos de

ajuda para poder utilizá-lo nas primeiras tentativas. Faz-se necessário compreendê-

lo para que se possa utilizá-lo com autonomia e não mecanicamente.

2. ADIÇÃO

2.1 Objetivo

Resolver situações-problema envolvendo adição; efetuar adições utilizando material

pedagógico construído; trabalhar com valor posicional.

2.2 Conceito

Adição: Esta é a operação mais natural em nossas vidas e sua conceituação serve

de base para futuras aprendizagens em matemática. A operação de adição envolve

situações de ―juntar‖ (ou reunir) e acrescentar. É fundamental que os alunos

vivenciem experiências que envolvam estes tipos de situações de forma concreta,

para que mais tarde não haja dificuldades na resolução de problemas que se

caracterizam pelas perguntas ―que conta eu faço?‖, demonstrando a dificuldade de

interpretação.

41

2.3 Curiosidades

2.4 Algoritmo da adição

Após trabalhar as situações fundamentais da adição de forma concreta e após

os alunos dominarem o processo de agrupamentos e trocas, pode-se apresentar o

algoritmo da adição. É fundamental que o professor esteja atento para o trabalho

com as operações de adição no momento da utilização do algoritmo, pois se os

alunos aprenderem a trabalhar eficientemente com o ábaco, os mesmo poderão não

apresentarão dificuldades em compreender que devemos colocar ―unidade embaixo

de unidade, dezena embaixo de dezena, centena embaixo de centenas, e assim por

O emprego regular do sinal + (mais) aparece na Aritmética Comercial de João

Widman d'Eger, publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, os sinais de mais e

de menos não representavam a adição ou a subtração, ou os números positivos

ou negativos, mas os excessos e os déficit em problemas de negócio (Cajori vol.

1, página 128).

Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra

depois que foram usados por Robert Recorde, em 1557. Todavia, já eram

usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em

tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.

Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto,

limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje

adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma

fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P,

inicial da palavra latina plus. Símbolos - Disponível em: <

http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c66.html

>. Acesso em 03/05/ 2011

http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c66.html

42

diante‖. Os alunos também compreenderão a necessidade de começar o calculo

pelas unidades, realizando os cálculos da direita para a esquerda.

Vamos recordar os nomes dos termos da Adição:

Na adição 316 +526 =842 temos:

Os números 316 e 526 estão sendo somados e chamam-se Parcelas.

O número 842 é o resultado da adição e chama-se Soma ou Total

Vamos calcular a adição utilizando o algoritmo no QVL

Exemplo:

3526 + 1395 = 4921. Primeiramente, devemos ordenar os números nas devidas

posições: unidades, dezenas, centenas, milhar, etc.

UM

3

1

C

5

3

D

2

9

U

6

5

31 6 Parcela

+ 526 Parcela

842 Soma ou Total

43

Após esta fase podemos iniciar a soma. Neste processo, observa-se que os

números 3526 e 1395 foram agrupados para que possam ser somados.

UM

3

1

C

5

3

D

2

9

U

6

+ 5

=11

1

Constatamos que a soma das unidades (6 + 5 = 11) corresponde a 1 dezena e 1

unidade; assim, recorre-se ao recurso de reserva também conhecida como ―vai um‖.

Note que há que se ter o cuidado de especificar aos alunos o que significa este ―vai

um‖, pois quando estamos operando com as unidades e se tem reserva ―vai um

conjunto de dez unidades‖ ( que é igual a uma dezena) para ser somada na ―casa‖

das dezenas.

UM

3

1

C

5

3

D

1 +

2

+ 9

=12

U

6

5

2 1

44

Observa-se que, ao se operar a soma das dezenas tem-se 1 + 2 + 9 = 12.

Como 12 dezenas que é igual a 1 centena e 2 dezenas, na ―casa‖ das dezenas fica

o número 2 e ―vai um‖ (um conjunto de 10 dezenas que é igual a uma centena)

para a casa das centenas.

UM

3

1

C

1 +

5

+ 3

D

2

9

U

6

5

4 9 2 1

Isto quer dizer que na casa das centenas tem-se 1 + 5 + 3 = 9 centenas. Para

finalizar este processo, pode-se operar a ―casa‖ do milhar que é igual a (3 + 1=4) 4

unidades de milhar. Então, chega-se ao final da operação da adição: 3526 + 1395 =

4921.

2.5 Sugestões de leituras:

Teoria e prática de matemática: como dois e dois Volume único: Livro do

professor / Marília Barros de Almeida Toledo, Mauro de Almeida Toledo.—

1.ed. – São Paulo: FTD, 2009

Educação Matemática 1: números e operações numéricas / Terezinha

Nunes...[ et al. ] -- 2. ed. – São Paulo: Cortez, 2009

45

2.6 Sugestão site de atividades

Atividade online – Disponível em: <

http://www.imagem.eti.br/matematica/matematica_contas_adicao_1.html >.

Acesso em 12/06/ 2011.

2.7 Utilizando Material Pedagógico

Com o material pedagógico confeccionado, demonstramos um exemplo de

adição. Para seguir passo a passo:

Fonte própria

46

Fonte própria

Fonte própria

47

Fonte própria

2.8 Atividades

1) Utilizando o material didático produzido resolva as operações de adição

sugeridas e explique quais as trocas que foram necessárias para sua

resolução.

a) 26 + 18 = ________________

b) 42 + 64 = ________________

c) 64 + 26 = ________________

d) 145 +367 = _______________

e) 286 + 178 = _______________

2) Escreva o nome dos termos da adição:

1839 ______________

+348 ______________

2187 ______________

48

3. Subtração

3.1 Objetivo

Conhecer os algoritmos e ideias associadas ao conceito de subtração, bem

como a compreensão de sua utilização no cotidiano, identificar os termos da

subtração e efetuar operações utilizando técnicas diferenciadas buscando a

compreensão das ideias por elas transmitidas.

3.2 Conceito

A subtração envolve algumas ideias que demonstram outras ações além do ato

ou efeito de subtrair-se, como por exemplo:

a ideia de tirar: é a relação mais utilizada, pois já se imagina um todo

apresentado para dele retirar uma parte.

Por exemplo:

Em uma sala de aula havia 36 alunos. Na aula de português 15 foram à

biblioteca emprestar livros. Quantos permaneceram na sala ?

A ideia de comparar: visualizamos esta ideia em situação que necessitamos

confrontar duas quantidades independentes.

Por exemplo:

Sonia tem uma coleção de 68 brincos, e sua irmã Ana tem 75. Qual delas

tem mais brincos? Qual a diferença?

A ideia de completar: esta ideia está presente em situação que se faz

necessário descobrir qual é a parte que esta faltando para se chegar ao todo.

Por exemplo:

Quero comprar uma bicicleta que custa 348 reais, mais só tenho 159. Quanto

falta?

49

3.3 Curiosidade

3.4 Algoritmo da subtração

Para iniciar a utilização do algoritmo da subtração deve-se também trabalhar

com materiais de contagem e com o QVL. Mesmo utilizando o ábaco para iniciar a

aprendizagem da subtração, surgem muitas formas de realizar tal operação, pois

cada um utilizará o raciocínio que lhe é de maior compreensão.

No ano 830, Mohamed Ben Musa Alkarismí, um dos sábios mais notáveis do Século IX, fazia subtrações de números inteiros da seguinte forma:

(Para que você possa acompanhar as operações, usaremos aqui algarismos modernos.) De 12025 vamos tirar 3604.

A operação era iniciada pela esquerda (operação I). Assim, a 12 tirava 3 e restavam 9; cancelava os algarismos considerados (12 e 3) e escrevia o resto obtido em cima do "minuendo".

Continuando: a 90 tirava 6 restavam 84. A diferença obtida (operação II) era escrita sobre o "minuendo" e os algarismos que formavam os termos de subtração eram cancelados.

Por fim, a 8425 tirava 4 e restavam 8421 (operação III).

E assim temos a diferença entre os números dados.

– Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c76.html

>. Acesso em 18/06/ 2011

O algoritmo da subtração

Para iniciar a utilização do algoritmo da subtração como na adição deve-se

também trabalhar com materiais de contagem e o QVL.

Mesmo utilizando o ábaco para iniciar a aprendizagem surgem muitas formas

de realizar a operação, pois cada um utilizará o raciocínio com a ideia de

subtração que lhe é de maior compreensão.

Vamos seguir os passos para resolver a operação de subtração utilizando o

QVL para compreender o processo de trocas que devemos realizar.

a) 3235 - 1548 = 1687

50

Vamos recordar os nomes dos termos da Subtração:

Na subtração 4731 - 1634 =3097 temos:

O número 4731 chama-se Minuendo.

O número 1634 chama-se Subtraendo.

O número 3097 é o resultado da subtração e chama-se Resto ou Diferença.

Vamos seguir os passos para resolver a operação de subtração utilizando o

QVL para compreender o processo de trocas que devemos realizar.

a) 3235 - 1548 = 1687

Primeiramente, deve-se agrupar os números colocando-os em cada quadro,

respeitando as casas das unidades, dezenas,centenas, unidade de milhar e assim

por diante.

UM

3

1

C

2

5

D

3

4

U

4

7

4731 Minuendo

- 1634 Subtraendo

3097 Resto ou Diferença

51

Feito isso, verificamos que não é possível a subtração das unidades (4 - 7). É

preciso, portanto, recorrer ao Processo de recurso à ordem superior, também

conhecido como ‖vamos pedir emprestado ao meu vizinho‖ ou "pedir emprestado".

Frisar para os alunos que ―emprestar um do vizinho‖, é o mesmo que recorrer à casa

das dezenas; de fato empresta-se uma dezena:

UM

3

1

C

2

5

D

3 -1= 2

4

U

4+10= 14

7

7

Como uma dezena é igual a 10 unidades, ficamos com (4 + 10 = 14). Após colocar o

resultado de 14 unidades menos 7 unidades que é igual a 7 unidades,

continuaremos a resolução e observando-se que não é possível a subtração da casa

das dezenas (2 – 4) .Teremos que ―pedir emprestado‖ uma centena. Emprestamos

uma centena que é igual a 10 dezenas e temos (10 + 2 = 12). Logo após, realizamos

a operação (12 – 4 = 8).

UM

3

1

C

2 – 1 = 1

5

D

10+2 =12

4

U

14

7

8 7

52

Agora passamos, a efetuar a operação das centenas: como não é possível efetuar o

cálculo (1 – 5) centenas, teremos que ―pedir emprestado‖ um milhar, que é igual a

10 centenas, donde temos (10 + 1 = 11) centenas; agora, podemos efetuar a

operação na casa das centenas (11 – 5 = 6).

UM

3 – 1=2

1

C

10+ 1=11

5

D

12

4

U

14

7

1 6 8 7

Para finalizar, podemos efetuar a operação das unidades de milhar (2 - 1 = 1).

Então, o resultado da subtração é 3235 - 1548 = 1687, como desejado.

3.5 Utilizando Material Pedagógico

Exemplo de subtração utilizando o material pedagógico confeccionado:

Vamos resolver a subtração 243 – 129 :

53

Fonte própria

Observamos que não podemos retirar 9 unidades de 3 unidades. Necessitamos

realizar a primeira troca, emprestando-se uma dezena.

Fonte própria

54

Depois, trocamos a barra por 10 quadradinhos e realizamos a operação

(10 + 3 = 13),

Fonte própria

Fazemos a subtração de 13 unidades menos 9 unidades que é igual a 4 unidades;

percebe-se que ficamos com 3 dezenas:

Fonte própria

55

Das 3 dezenas retiramos 2 dezenas, restando 1 dezena.

Fonte própria

Na ―casa‖ das centenas temos 2 centenas para retirar 1 centena, restando 1

centena.

Fonte própria

Finalizando a operação temos que: 243 – 129 = 114.

56

3.6 Sugestão site de atividades

Atividade online – Disponível em: <

http://www.imagem.eti.br/matematica/matematica_contas_subtracao_1.html

> . Acesso em 15/06/ 2011.

3.7 Atividades

1) Utilizando o material pedagógico confeccionado resolva as operações de

subtração sugeridas e explique quais as trocas que foram necessárias para

sua resolução.

a) 348 – 129 = ____________________

b) 451 - 326 =____________________

c) 146 – 48 = ____________________

d) 564 – 286 = ____________________

e) 373 – 194 = ____________________

2) Resolva as subtrações:

a) 186 - 74 = ____________________________________________

b) 837 - 79 = ____________________________________________

c) 5.800 - 3.936 = _________________________________________

d) 10.802 - 9.974 =________________________________________

e) 312.214 - 237.146 = _____________________________________

3) Em uma subtração, o subtraendo é 234 e o resto é 214.

Qual é o minuendo?

4) Qual é o número que somado a 869 é igual a 1.048?

5) Escreva o nome dos termos da subtração:

1839 _______________________

- 348 _______________________

1491 _______________________

57

4. Multiplicação

4.1 Objetivo

Conhecer os algoritmos e ideias associadas ao conceito de multiplicação,

bem como a compreensão de sua utilização no cotidiano, identificar os termos da

multiplicação e efetuar operações utilizando técnicas diferenciadas buscando a

compreensão das ideias por elas transmitidas.

4.2 Conceito

Muitas vezes a multiplicação é vista ou definida como ―Adição de parcelas

iguais‖. É uma ferramenta muito útil para resolver problemas de contagem. A

multiplicação de dois números naturais além de enfoque de ―adição de parcelas

iguais‖ também pode ser trabalhada como raciocínio combinatório no qual consiste

em verificar quais e quantas são as possibilidades de formar pares com duas

coleções, ou ainda se trabalhar a ideia de Proporcionalidade.

Essa idéia é considerada uma das mais importantes na Matemática visto que em

outras ciências como Física e Química é muito utilizada.

Exemplos:

a) Como adição de parcelas iguais

3 X 4 = 4 + 4 + 4 + 4

b) Como raciocínio combinatório

―Vou fazer um lanche, para isso tenho a opção de 3 sabores de suco e 2

sabores de sanduíches. De quantas maneiras podem ser o meu lanche?‖

Sanduíche Queijo Sanduíche Frango

Suco Uva Suco Uva Sanduíche Queijo

Suco Uva Sanduíche Frango

Suco Morango Suco Morango Sanduíche Queijo

Suco Morango Sanduíche Frango

Suco Pêra Suco Pêra Sanduíche Queijo

Suco Pêra Sanduíche Frango

58

a) Como Ideia de Proporcionalidade:

Para fazer 12 quadrados foram ocupadas 3 folhas de EVA vermelho. Quantas

folhas serão necessárias para fazer 36 quadrados vermelhos?

Neste caso é necessário analisarmos proporcionalmente, se em 3 folhas

deu 12 quadrados, em quantas folhas dará 36 quadrados?

Quadrados Folhas

12 3

36 ?

Percebe- se que de 12 para 36 a quantidade triplicou

12 x 3 = 36

3 x 3 = 9

Então precisaremos de 9 folhas.

4.3 Curiosidades

Ao multiplicarmos 37 por múltiplos de 3 menores que 30, nos deparamos com uma fato curioso:

3 x 37 = 111 6 x 37 = 222 9 x 37 = 333 12 x 37 = 444 15 x 37 = 555 18 x 37 = 666 21 x 37 = 777 24 x 37 = 888 27 x 37 = 999

http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c62.html

59

4.4 Algoritmo da Multiplicação

Vamos recordar os nomes dos termos da Multiplicação:

Na multiplicação 3186 x÷ 8 = 25488 temos:

O sinal de X, que indicamos na multiplicação, foi empregado pelo matemático

inglês Guilherme Oughtred no livro Clavis Matematicae, publicado em 1631.

Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar,

colocava um ponto entre os fatores.

Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando,

desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz, encontra-se o

sinal para indicar multiplicação. Esse mesmo símbolo, colocado de modo

inverso, indicava a divisão. O ponto foi introduzido como um símbolo para a

multiplicação por Leibniz.

As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes. A

razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal : , que apareceu em 1657

numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma

combinação de dois sinais existentes - e :

http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c64.html

31 86 Multiplicando

X 21_ Multiplicador

25488 Produto

60

O número 3186 é o fator que esta sendo multiplicado e chama-se

multiplicando.

O número 8 é o fator que esta sendo multiplicado e chama-se multiplicador .

O número 2548 é o resultado da multiplicação e chama-se quociente.

Vamos utilizar o QVL para resolver o algoritmo da multiplicação. Exemplo: Para multiplicar 324 x 27

UM

C

3

D

2

2

U

4

7

Para resolver a operação de multiplicação utilizando o algoritmo devemos iniciar

pela ―casa‖ das unidades

UM

C

3

D

+2

2

2

U

4

7

28

8

Nesta operação o número sete esta na ―casa‖ das unidades. Então multiplicamos: 1º passo) 7 x 4unidades = 28 (2 dezenas e 8 unidades )

61

UM

C

3

D

+ 2

2

2

14

U

4

7

6 8

2º passo) 7 x 2 dezenas = 14 (1centena e 4 dezenas). Como no 1º passo temos 2

dezenas, não podemos deixar de somá-las aqui, e assim ficamos com 1 centena e

(4 + 2) dezenas, que é igual a 6 dezenas.

3º passo) 7 x 3 centenas = 21( 2 unidades de milhar e 1 centena ). Observamos que

no 2º passo ficamos com 1 centena, então temos ( 1 + 1 ) 2 centenas.

UM

C

+1

3

21

D

+ 2

2

2

U

4

7

2 2 6 8

62

Depois de multiplicar a unidade 7 por 324, multiplicaremos a dezena 2 por 324,

continuamos a colocar os resultados em suas respectivas ―casas‖.

UM

C

3

D

2

2

U

4

7

2 2 6

8

8

+

4º passo) Deixamos a ―casa ― das unidades com o sinal de + para lembrar que

estamos multiplicando as dezenas, 2 dezenas x 4 unidades = 8 dezenas

UM

C

3

D

2

2

U

4

7

2

6

2

4

6

8

8

+

5º passo) 2 dezenas x 2 dezenas = 4 centenas

6º passo) 2 dezenas x 3 centenas = 6 unidades de milhar.

63

Após realizadas todas as multiplicações devemos somar os resultados

seguindo os mesmos procedimentos do algoritmo da adição.

UM

C

3

D

2

2

U

4

7

2

6

2

4

6

8

8

+

8 7 4 8

Então, temos o resultado 324 x 27 = 8748. 4.5 Curiosidade

Vídeo outro algoritmo da multiplicação - Disponível em: <

http://amatematicaandaporai.blogspot.com/2009/04/outro-algoritmo-da-

multiplicacao.html < Acesso em 08/05/ 2011

Assistir a este vídeo é muito interessante para conhecer outro algoritmo da

multiplicação

4.6 Sugestão site de atividades

Resolver operações de multiplicação online - Disponível em: <

http://www.imagem.eti.br/matematica/matematica_contas_multiplicacao_pelo

_numero_2.html < Acesso em 08/05/ 2011

64

4.7 Atividades

1) Escreva o nome dos termos da multiplicação:

234 _______________________

X 8 _______________________

1872 _______________________

2) Utilizando o material pedagógico confeccionado, resolver as seguintes

operações, fazendo um relato dos procedimentos necessários para realizar o

calculo das operações.

a) 148 x 7 = _______________________

b) 342 x 9 = _______________________

c) 242 x 12 =_______________________

d) 327 x 24=_______________________

e) 162 x 35 = ______________________

3) Vamos pesquisar o método de multiplicar árabe

- Disponível em: < http://www.spce.org.pt/sem/16fb.pdf <Acesso 20/07/2011

Descreva se há alguma semelhança do método de multiplicar árabe com o

nosso sistema.

4) Pesquise também sobre as técnicas de multiplicação russa e egípcias.

65

5. Divisão

5.1 Objetivo

Conhecer as representações, os algoritmos e ideias associadas ao conceito

de divisão, bem como a compreensão de sua utilização no cotidiano.

5.2 Representações da divisão

Veja algumas formas de representação da divisão:

A forma mais conhecida é o sinal de divisão ;

Podemos representa-la como uma fração , neste caso o denominador deve

ser diferente de 0;

Podemos representa-la com uma barra ;

Podemos utilizar a representação da divisão por dois pontos

Podemos tambem utilizar o sinal de inverso .

A divisão é a operação que nos permite determinar o quociente entre dois números

a ÷ b . A operação inversa da divisão é a multiplicação.

Exemplo:

192 ÷ 6 = 32 e 32 x 6 = 192

Lembre-se

Que não é possível realizar a divisão por zero, isto é,

o divisor deve ser sempre diferente de zero.

66

5.3 Conceito

A divisão apresenta duas ideias distintas como conceito.

A primeira ideia é repartir igualmente, também chamada de partição.

Geralmente essa ideia é demonstrada na formação de grupos com a mesma

quantidade de elementos.

Exemplo: Mateus tem 234 selos em sua coleção, resolveu reparti-los igualmente

entre 6 álbuns.Com quantos selos ficará cada álbum?

A segunda ideia é a de medir: essa ideia retrata situações em que temos duas

quantidades e queremos saber quantos grupos teremos isto é ―quanto cabe‖

a quantidade menor na quantidade maior, ou quantos grupos menores posso

formar dentro de um grupo maior .

Exemplo:

Mateus tem 234 selos e quer colocá-los em álbuns. Quantos álbuns serão

necessários para distribuir 39 selos em cada um?

Desde muito cedo já temos em mente os conceitos de divisão, mas trabalhar

com ela que é considerada o ―monstro‖ das operações não é fácil, pois para ter

habilidade neste algoritmo temos que dominar os demais: a subtração e a

multiplicação que estão diretamente relacionadas com a divisão.

5.4 Algoritmo da Divisão

O processo de aprendizado da operação de divisão é o principal problema

dos alunos atualmente. Esta é a principal causa das dificuldades encontradas pelos

alunos para resolver questões que se apresentam em seu cotidiano. Não é raro

encontrarmos alunos que terminam seus estudos e não sabem efetuar as divisões

corretamente. Muitos encontram dificuldade em compreender o algoritmo, pois o

resolvem mecanicamente.

67

Vamos recordar os nomes dos termos da divisão:

Na divisão 86 ÷ 21 = 4 resto 2 temos:

O número 86 é o número que esta sendo dividido e chama-se dividendo.

O número 21 é o número pelo qual esta se dividindo e chama-se divisor.

O número 4 é o resultado da divisão e chama-se quociente.

O número 2 é o que sobra após realizada a divisão e chama-se resto.

Vejamos como se processa o algoritmo da divisão, observe as resoluções e os

esquemas.

Método longo:

Exemplos: a) 756 : 21 = 36

Dividendo 756 21 divisor

- 63 3 6 quociente

126

- 126

000 resto

Dividendo 86 21 divisor

- 84 4 quociente

2 resto

68

Método curto:

Exemplos: a) 756 : 21 = 36

5.5 Divisão Exata

Chamamos de divisão exata quando o resto da divisão é igual a zero. Isto acontece

quando o dividendo é múltiplo do divisor.

Exemplo: 49 ÷ 7 = 7.

5.6 Divisão Aproximada ou Inexata

É denominada divisão inexata quando o resto da divisão é diferente de zero. Isto

ocorre quando o dividendo não é múltiplo do divisor.

Exemplo: 36 ÷ 7 = 5, e o resto é igual a 1 (um).

Dividendo 756 21 divisor

126 3 6 quociente

000 resto

49 7

0 7

36 7

1 5

69

5.7 Curiosidade

5.8 Atividades

1) Observe a operação pronta e relate quais foram os passos e trocas

necessários para a sua resolução

1834 14

- 14 131

043

- 42

O14

- 14

00

Escolha um número de três algarismos: Ex: 234

Repita este numero na frente do mesmo: 234234

Agora divida por 13: 234234 ÷ 13 = 18018

Agora divida o resultado por 11: 18018 ÷ 11 = 1638

Divida novamente o resultado, só que agora por 7: 1638 ÷ 7 = 234

O resultado é igual ao numero de três algarismos que você havia escolhido: 234.

- Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/curiosidades/c9.html

Acesso 25/06/2011

70

2) Utilizando o material pedagógico construído resolva as seguintes operações

relatando os procedimentos realizados

a) 4527 ÷ 23 =________________

b) 3472 ÷ 31 =________________

c) 342 ÷ 9 = __________________

d) 495 ÷ 9 =__________________

e) 364 ÷ 5 =__________________

3) Esta é fácil:

Vejam a questão da FUVEST 2003 – Primeira fase:

Num bolão,sete amigos ganharam vinte e milhões, sessenta e três mil e quarenta

e dois reais. O premio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada um

recebeu, em reais, foi:

(a)3.009.006,00

(b)3.009.006,50

(c)3.090.006,00

(d)3.090.006,50

(e) 3.900.060,50

Resposta: (a) problema de divisão - Disponível em: <

http://www.exatas.mat.br/opfundamentais.htm < Acesso em 01/07/2011

4) Vamos pesquisar para saber um pouco mais:

Leia o texto sobre Algoritmos da divisão – Disponível em - Disponível em: <

http://blogs.esecs.ipleiria.pt/eb1mat/files/2007/03/algoritmo_divisao.pdf > Acesso

em 01/05/2011

Após realizar a leitura, reflitam sobre o texto e relatem se já tinham conhecimento

sobre o assunto. Procure pesquisar diferentes formas de calcular a divisão, alem

do algoritmo que usamos você pode pesquisar a divisão egípcia e o algoritmo

americano. Há alguma semelhança entre eles?

71

5.9 Sugestão de vídeo

Diferentes jeitos de dividir - Disponível em:

<http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/matematica-

d-divisao-1-3a-serie-429423.shtml>. Acesso em 20/ 06/ 2011.

6. Resolução de problemas

O Sistema de Numeração Decimal apresenta a vantagem de possibilitar que

possam ser estabelecidos processos através de algoritmos para facilitar a resolução

de problemas que envolvem as operações fundamentais.

Texto para leitura

A resolução de problemas e o ensino-aprendizagem de matemática

Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e

em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma

resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja

aceita até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do

conhecimento envolvido.

Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr a prova

os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a

solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede o lugar ao

valor do processo de resolução.

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a

questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de

novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não

pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via de ação refletida que

constrói conhecimentos (BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação

Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática – Terceiro e Quarto Ciclos do

Ensino Fundamental. Brasília: MEC, 1998. P. 42).

72

A resolução de problemas deve oportunizar ao aluno envolver-se com as

aplicações de raciocínio matemático.

Segundo Lima (2001), citado por Dante (2010, p.20)

As aplicações são empregos das noções e teorias da matemática para obter resultados, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia a dia a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científicas, quer tecnológicas, quer mesmo sociais. As aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino da matemática e tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias de hoje e certamente cada vez mais no futuro. Como as entendemos, as aplicações do conhecimento matemático incluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que, por meio de desafios, desenvolve a criatividade, nutre a autoestima, estimula a imaginação e recompensa o esforço de aprender.

Tendo a visão da resolução de problemas como citada por Lima e Dante, é

necessário tomar muito cuidado para que não ocorra a situação descrita a seguir por

Starepravo (2009, p.22)

A resolução de problemas, na escola, tem se reduzido, via de regra, a um pretexto para o aluno ―fazer contas‖. A própria concepção de problema está equivocada, pois se basta ao aluno ―retirar‖ as informações numéricas para aplicá-las num algoritmo previamente ensinado, a atividade se constitui num exercício e não num problema. Problema é uma situação, cuja solução não é conhecida a priori por aquele que a enfrenta.

Infelizmente o que se tem visto nas escolas é esta situação: os professores

colocam as situações-problema e os alunos perguntam ―que conta utilizar‖

Se trabalharmos de fato com problemas, nossos alunos precisarão interpretar os seus dados para resolvê-los, representando as relações envolvidas da forma como são compreendidas por eles. A preocupação da criança não estará na escolha da ―conta‖ adequada, mas na elaboração de procedimentos que lhe permitam alcançar uma solução satisfatória. Starepravo(2009,23)

Para que o aluno tenha habilidade para resolver problemas podemos seguir

alguns procedimentos que facilitarão o raciocínio. Estes procedimentos são

chamado por Polia de etapas:

Segundo POLYA (2006) para se resolver um problema as principais etapas são

quatro :

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Compreender o problema;

Elaborar um plano;

Executar o plano;

Fazer o retrospecto ou verificação.

Estas etapas não podem ser vistas como um receita a ser seguida, que em um

passe de mágica resolverá todos os problemas de aprendizagem, mas elas podem

orientar a resolução de problemas, facilitando o raciocínio para encontrar a solução

do problema. Tendo em mente que devemos buscar formas, métodos e

procedimentos que visem a melhoria da aprendizagem dos alunos, estas etapas nos

auxiliam nesta caminhada.

6.1 Atividade em Duplas

Seguindo as etapas propostas por POLIA ,elaborem problemas que envolvam as

operações fundamentais:

a) Adição e Subtração com as ideias de tirar, comparar, completar.

b) Multiplicação com a ideia raciocínio combinatório

c) Multiplicação com a ideia de proporcionalidade

d) Multiplicação com a ideia de proporcionalidade e divisão com a ideia de medir

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AVALIAÇÃO

Considere a seguinte passagem das Diretrizes Curriculares da Rede Pública

de Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática, que nos orienta sobre a

avaliação e nos diz que, ―No processo avaliativo, é necessário que o professor faça

uso da observação sistemática para diagnosticar as dificuldades dos alunos e criar

oportunidades diversificadas para que possam expressar seu conhecimento‖

(DCE,2008 p.44) .

Visando cumprir tais orientações, a avaliação dar-se-á mediante a observação

do encaminhamento das atividades propostas, verificando a compreensão e o

entendimento dos processos de resolução dos algoritmos das quatro operações,

bem como dos materiais pedagógicos confeccionados.

O processo de avaliação deve envolver acompanhamento continuo do

professor, pois o desenvolvimento e registros das atividades por parte do aluno

orientam o professor para um diagnóstico e possível reorientação no processo

ensino- aprendizagem.

Nesta perspectiva: serão avaliadas as atividades desenvolvidas no decorrer da

implementação do projeto visando a aprendizagem e a compreensão dos conceitos

das operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), bem como

a utilização do material pedagógico confeccionado.

Como instrumento avaliativo, aos alunos deverão escrever um relatório

explicando os procedimentos para resolver as operações abordadas.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente projeto consiste na tentativa de se encontrar uma solução para

uma questão extremamente grave no curso (FDEIAIEF): a falta de preparo dos

professores em formação para o ensino dos conteúdos básicos para o Ensino

Fundamental do Primeiro ao Quinto ano. Como é possível haver professores das

séries iniciais que não dominam as quatro operações básicas? Como tais

profissionais ministrarão os conteúdos básicos a seus alunos? Quem não sabe, não

ensina!

Segundo Bicudo ―pois não é possível que se queira ensinar algo a alguém

sem que se conheça esse algo‖ (2005, p.46).

Tendo como base tais argumentações, o que fazer, assina-se a falência de

uma educação Pública? Esta questão é extremamente relevante. Não se pode

aceitar uma situação tão perturbadora na Educação Brasileira: futuros docentes que

não dominam conteúdos básicos da Matemática. Desta maneira, deve-se propor

metodologias motivadoras de ensino-aprendizagem.

Concebe-se, neste projeto, uma realidade escolar diferente, e assim justifica-

se a necessidade de metodologias específicas que fundamentem a busca por

soluções que efetivem a aprendizagem. Nesse ínterim, afirma-se a importância de

centrar a prática pedagógica, sabendo-se relacionar o ensino-aprendizagem e o

conhecimento matemático.

Busca-se a apropriação do conhecimento básico da Matemática, bem como o

desenvolvimento intelectual e profissional desses futuros docentes, levando-os a

desenvolver valores e atitudes de sua formação integral como docentes,

potencializando-se meios para que os mesmos possam superar seus próprios

desafios pedagógicos.

Observa-se que um dos principais objetivos do ensino da Matemática é

desenvolver nos alunos a capacidade de raciocínio lógico-abstrato, seja mediante

atividades que o envolvam, o desafiem e o motivem, ou mesmo na resolução de

problemas reais.

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REFERÊNCIAS

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SOUTO MAIOR, Armando. História Geral. São Paulo: Nacional, 1978.

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VEIGA, Marise Schmidt. Computador e Educação? Uma ótima combinação. Petrópolis, 2001. Pedagogia em foco. Disponível em: <http://www.pedagogiaemfoco.pro.br/inedu01.htm>. Acesso em: 28 set. 2010. VOMERO, Maria Fernanda. Tudo o que o nada tem / SUPERINTERESSANTE, abril de 2001 – Ed. Abril – Edição 163.

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