SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ – SEED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ – UENP

TELMA SOFIA ISHII DOGNANI

O EQUILÍBRIO DA BALANÇA PARA APROPRIAÇÃO DO

CONCEITO DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

JACAREZINHO – PARANÁ

2012

TELMA SOFIA ISHII DOGNANI

O EQUILÍBRIO DA BALANÇA PARA APROPRIAÇÃO DO CONCEITO DE EQUAÇOES DO PRIMEIRO GRAU

Produção Didática Pedagógica apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação, sob orientação do Professor Fernando Oliveira da Silva

JACAREZINHO – PARANÁ

2012

Ficha para identificação da Produção Didático- Pedagógica

Professor PDE/2012

Título: O equilíbrio da balança para apropriação do conceito de equações do primeiro grau.

Autor: Profª Telma Sofia Ishii Dognani

Disciplina/ Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Escola Estadual Profª Hercília de Paula e Silva. Avenida Elson Soares, 34

Município da escola: Carlópolis-PR

Núcleo Regional de Educação: Jacarézinho-PR

Professor Orientador: Profº Fernando Oliveira da Silva.

Instituição de Ensino Superior: Uenp/ Jacarézinho

Formato do Material Didático: Unidade didática

Relação Interdisciplinar -

Público Alvo: Alunos do 8º ano do Ensino Fundamental do período matutino

Localização: Escola Estadual Profª Hercília de Paula e Silva. Carlópolis-PR

Resumo: Pensando numa melhor compreensão e

também num atrativo que desperte mais a atenção

dos alunos e procurando trabalhar de uma maneira

para entender e aprender matemática, resolvi

montar esse projeto.

É uma nova maneira de compreender o

significado de uma equação para que não fique tão

abstrata e sem significado.

Todo o processo desde a montagem de

uma equação até o seu valor numérico fica vago

para os educandos. Talvez se associarmos objetos

concretos como por exemplo uma balança não

digital, daquelas antigas com dois pratos, que era

muito usada em açougues e supermecados

possamos dar um suporte na visualização e

montagem das equações. Os alunos construirão

uma balança com dois pratos junto com o professor

e atravéz das pesagens e com o equilíbrio dela irão

associar o equilíbrio às equações.

Com a balança em equilíbrio irão entender

as mudanças que ocorrem nas equações sem

alterar a igualdade dos seus membros, acrescentar

ou tirar, multiplicar, dividir, etc.

Atrávez da contrução da balança e

equilíbrio pretende-se desenvolver nos alunos

conceitos básicos para o estudo de equações do 1º

grau.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Equação, balança, equilíbrio

APRESENTAÇÃO

Fazendo cumprir a finalidade social da educação, o PDE é um programa de

Formação Continuada diferenciado, que tem por objetivo qualificar o professor

através de estudos teóricos e experiências vivenciadas. A intenção é buscar

alternativas que superem problemas da escola em que atua e da educação

paranaense, identificados na elaboração do Projeto de Intervenção Pedagógica. É

nesse meio de interpretação que a produção didático-pedagógica, voltada para a

realidade das escolas do Paraná, objetiva a articulação entre a teoria e a prática

num contexto específico que caracteriza as escolas da Educação Básica de nosso

Estado.

Esta produção didática-pedagógica se caracteriza como uma Unidade

Didática voltada para o estudo de Equação do 1º grau no Ensino de Matemática,

sendo direcionada a alunos do 8º ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual

Professora Hercília de Paula e Silva, sob a orientação do professor Fernando

Oliveira da Silva. O tema será desenvolvido adotando-se uma metodologia mais

significativa, através da construção de uma balança de dois pratos, antigamente

chamada “ balança de pescador “.

No decorrer dos anos, atuando como professora de matemática na 7ª série

(8º ano) do ensino fundamental, constatei uma grande dificuldade por parte dos

alunos em compreender uma matéria que faz parte do currículo e que é essencial

para as séries posteriores: "equação".

A disciplina de matemática sempre foi a que os alunos encontram mais

dificuldades e no momento em que apresentamos equações essas dificuldades se

tornam maiores.

Antigamente aprendíamos o conteúdo de matemática de uma maneira mais

simplificada obedecendo as regras que eram impostas pelos professores e livros

didáticos muitas vezes sem ter sentido ou significado, mas conseguíamos aprender

e resolver a maioria das atividades dos conteúdos propostos..

Atualmente as dificuldades aumentaram. Os alunos a cada ano estão menos

interessados e com mais dificuldade em entender e aprender matemática. Por isso

temos que estar sempre inovando e preparando nossas aulas pensando numa

melhor compreensão e também num atrativo que desperte mais a atenção deles.

Com esse objetivo decidi elaborar esse projeto que é ao meu ver uma nova

maneira de compreender o significado de uma equação para que não fique tão

abstrato e sem significado para os alunos.

Todo o processo desde a montagem de uma equação até o seu valor

numérico fica vago para os educandos. Talvez se associarmos objetos concretos

como por exemplo uma balança não digital, daquelas antigas com dois pratos, muito

usada em açougues e supermercados possamos dar um suporte na visualização e

montagem das equações.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Quando nos deparamos com certas perguntas vindas dos alunos como:

__ Professor, essa Matemática toda que estamos estudando, para que serve?

__ Onde é que nós vamos usar isso na vida?

Temos que nos questionarmos que talvez o ensino esteja se desenvolvendo

muito abstratamente, sem exibir a relevância dos conceitos introduzidos e que algo

deve ser feito para motivá-los.

A Matemática deve ser ensinada nas escolas porque é parte substancial de todo o patrimônio cognitivo da Humanidade. Se o currículo escolar deve levar a uma boa formação humanística, então o ensino da Matemática é indispensável para que essa formação seja completa. O ensino da Matemática se justifica ainda pelos elementos enriquecedores do pensamento matemático na formação intelectual do aluno, seja pela exatidão do pensamento demonstrativo que ela exibe, seja pelo exercício criativo da intuição, da imaginação e dos raciocínios por indução e analogia. O ensino da Matemática é também importante para dotar o aluno do instrumento necessário no estudo das outras ciências e capacitá-lo no trato das atividades práticas que envolvem aspectos quantitativos da realidade. (ÁVILA 2010)

É justificado, em larga medida o ensino da Matemática, pela riqueza dos

diferentes processos de criatividade que ele exibe, proporcionando ao educando

excelentes oportunidades de exercitar e desenvolver suas faculdades intelectuais.

Mas, segundo ÁVILA a razão mais importante para justificar o ensino da

Matemática é o relevante papel que esta disciplina desempenha na construção de

todo o edifício do conhecimento humano. Foram ideias matemáticas simples de

semelhança de figuras geométricas e proporcionalidade que permitiram aos

astrônomos, já no século III a.C., calcular o tamanho da Terra, os tamanhos do Sol e

da Lua e as distâncias a que se encontram esses astros da Terra. E a solução

desses problemas mudou radicalmente a ideia do homem a respeito do mundo em

que vivia.

Muitos foram os educadores famosos que, nos últimos séculos, ressaltaram a importância do apoio visual ou do visual-tátil como facilitador para a aprendizagem. Assim, por exemplo, por volta de 1650, Comenius escreveu que o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que só se aprende fazendo. Locke, em 1680, dizia da necessidade da experiência sensível para alcançar o conhecimento. Cerca de cem anos depois, Rousseau recomendou a experiência direta sobre os objetos, visando à aprendizagem. Pestalozzi e Froebel, por volta de 1800, também reconheceram que o ensino deveria começar pelo concreto; na mesma época, Herbart defendeu que a aprendizagem começa pelo campo sensorial. Pelos idos de 1900, Dewey confirmava o pensamento de Comenius, ressaltando a importância da experiência direta como fator básico para construção do conhecimento, e Poincaré recomendava o uso de imagens vivas para clarear verdades matemáticas. Mais recentemente, Monessori legou-nos inúmeros exemplos de materiais didáticos e atividades de ensino que valorizam a aprendizagem através dos sentidos, especialmente do tátil, enquanto Piaget deixou claro que o conhecimento se dá pela ação refletida sobre o objeto; Vygotsky, na Rússia, e Bruner, nos Estados Unidos, concordaram que as experiências no mundo real constituem o caminho para a criança construir seu raciocínio.(LORENZATO, 2010)

Cada educador, a seu modo, reconheceu que é básica para a aprendizagem a

ação do indivíduo sobre o objeto. Esse reconhecimento evidencia o papel

fundamental que o material didático pode desempenhar na aprendizagem.

São muitos os nomes de expoentes da educação que reconheceram a

eficácia do material didático na aprendizagem da matemática como: Willy Servais,

Caleb Gattegno, Emma Castelnuovo, Pedro Puig Adam, Tamas Varga, Georges

Cuisenaire, Jean-Louis Nicolet, Luigi Campedelli, Zoltan P. Dienes. No Brasil: Julio

César de Mello e Souza e Manoel Jairo Bezerra, entre outros, muito contribuíram

para a divulgação do uso de material didático como apoio às aulas de matemática.

Justamente por isso, para que as escolas possuam objetos e imagens a

serem utilizados nas aulas, como facilitadores da aprendizagem, introduzirei o uso e

manuseio da balança para ensinar equação do 1º grau.

Equação é uma igualdade onde aparece uma letra (incógnita) que

representa um valor desconhecido, como:

x + 3 = 91

2 - 3y = 4y + 6

3 = a

O 1º membro de uma equação é a expressão à esquerda do sinal = .

O 2º membro de uma equação é a expressão à direita do sinal = .

Os membros são constituídos pelos termos da equação.

Resolver uma equação é descobrir o valor da incógnita que torna a

igualdade verdadeira.

Quando duas equações têm a mesma solução, diz-se que são equivalentes.

E para resolver uma equação, podemos mudar um termo de um membro para o

outro, trocando-lhe o sinal.

Numa equação, podemos multiplicar ou dividir ambos os membros pelo

mesmo número, desde que não seja 0 ( zero).

Quando dois termos têm um fator comum representado pela mesma letra

diz-se que são Termos semelhantes.

As equações podem ser classificadas em: Equações Possíveis e

Determinadas, sendo as equações que só têm uma solução chamam-se; já as

equações que têm uma infinidade de soluções chamam-se Equações Possíveis e

Indeterminadas e as equações que não têm nenhuma solução chamam-se

Equações Impossíveis.

De acordo com Oliveira (s/d), em outros tempos, as pessoas procuravam

solucionar problemas do cotidiano, envolvendo matemática, através de processos

aritméticos, porém em determinadas situações esse processo não conseguia

resolver os problemas que surgiam.

Constituiu-se as equações quando passou a trabalhar com elementos

algébricos. E equações são expressões algébricas que representam uma

determinada situação problema.

Além de conseguir esquematizar um problema com expressões algébricas, é

necessário conseguir resolvê-las, então foram realizados estudos sobre os métodos

de obtenção da solução das equações.

Por meio de manipulações aritméticas, é feita a obtenção da solução de uma

equação, envolvendo incógnitas que são letras que podem representar qualquer

número.

Por exemplo, a solução de uma equação do tipo ax+b=0 é dada pela

expressão x= -b/a. Veja que x é a incógnita, ou seja, o valor que queremos

determinar e a, b são os coeficientes dessa equação, representados por números

quaisquer. (OLIVEIRA, s/d)

Os números e operações/álgebra e funções é o tema de maior prioridade

para a Matemática ensinada na educação básica, onde o estudante já reconhece as

diferentes representações dos números racionais, faz cálculos com valores

aproximados de radicais e faz cálculos algébricos.

Os alunos vem do 7º ano com uma noção de equação e em geral resolvem

utilizando um único procedimento de resolução que consiste no método da

transposição, isto é, transpor os termos de um membro para outro da igualdade.

Esse procedimento de resolução, quando aplicado mecanicamente e, sem a

compreensão de equações equivalentes, pode levar os alunos a cometerem

determinados erros.

Esses erros podem ser provenientes tanto do fato de efetuar a transposição de

termos sem alterar indevidamente o sinal do coeficiente. Isto é, os alunos efetuam a

“passagem’’ de um coeficiente ou de um termo independente para o outro lado da

equação, simplesmente alterando o sinal do número que é transposto, muitas vezes

em uma sequência de atos mecânicos, sem a percepção da operação envolvida,

que é a essência desse método.

Estudos nessa direção constataram, conforme Kieran (1992), que muitos estudantes

aprenderam a manipular equações de uma maneira mecânica, usando um algarismo

de resolução, que consiste no procedimento “ muda de lado – muda de sinal ’’.

O professor deve levar em consideração que um ensino calcado em técnicas, sem

uma reflexão de seu significado, pode levar os alunos a cometerem determinados

erros, que estão vinculados a esta concepção de ensino.

O grande desafio do professor é identificar esses erros, perceber suas incidências e

planejar situações didáticas pertinentes para provocar sua superação, evitando que

se transformem em erros sistemáticos.

Efetuar a mesma operação em ambos os lados de uma equação enfatiza a

relação de equivalência das equações, e essa ênfase está ausente no procedimento

de transposição.

O método de efetuar nos dois membros de uma equação uma operação que

é a inversa de uma das operações dadas explicita o equilíbrio primeiro membro e

segundo membro da equação. Além disso, a justificativa para se efetuar a mesma

operação nos dois membros é precisamente manter a equação em equilíbrio e a

solução inalterada ao longo de todo o processo de resolução. Ademais, esse

procedimento envolve também a simplificação do primeiro e do segundo membros

da equação ( KIERAN 1994).

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática, a

aprendizagem consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido

e construir significado às ideias matemáticas de modo a tornar-se capaz de

estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.

O ensino não pode ser baseado apenas em memorizar ou fixar listas de

exercícios. O processo pedagógico tem que ser direcionado para a visão de mundo

do aluno, suas opções de vida e do seu cotidiano.

De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de

Matemática, é necessário que o processo pedagógico em Matemática contribua para

que o estudante tenha condições de constatar regularidades, generalizações e

apropriação de linguagem adequada para descrever e interpretar fenômenos

matemáticos e de outras áreas do conhecimento.

Portanto, pensando sempre numa melhor compreensão e entendimento por

parte dos alunos decidi introduzir o conceito de equação de uma maneira real e

significativa. No decorrer da minha pesquisa observei que vários autores também

citam como exemplo a balança em equilíbrio para introduzir o conceito de equação

do 1º grau.

A balança de braços iguais é composta por um travessão horizontal ficando

fixado no centro, para que haja equilíbrio, por um ponto móvel em um suporte. Os

pratos estão situados nas pontas desse travessão, que ficam dependurados por uma

corda ou corrente, onde serão colocados os pesos ou objeto de massa

desconhecida, um de um lado e um de outro lado.

Segundo os autores PIAGET e INHELDER, as crianças dos 3 aos 5 anos de

idade, normalmente apresentam reações esclarecedoras. Numa balança, desde

cedo se constrói a noção de um equilíbrio entre o peso do corpo e outros corpos.

Através do manuseio da balança e da colocação de objetos em seus pratos a criança

compreende que, para o equilíbrio, existe necessidade de um peso de cada lado, e mesmo de

pesos aproximadamente iguais, sendo que ainda não sabe proceder sistematicamente para

conseguir essa igualização, sendo que agora começa a colocar e a tirar, mas sem igualizações

exatas; fazendo correções sucessivas, ou seja, regulações, mas não ainda operações

estritamente reversíveis.

Esses dois tipos de regulações, por igualizações e por adições, ou supressões, dão assim o ponto de partida para as futuras transformações por reciprocidade (simetrias) e por inversão, relativamente aos pesos. Quanto às distâncias, há progresso na tendência para a simetria. (cf. MAL). (PIAGET E INHELDER, 2008, s/p).

Entretanto, ainda não há correspondências sistemáticas do tipo: mais distante = mais

pesado. (PIAGET E INHELDER, 2008)

Conceito central da Álgebra, a aprendizagem das equações, representa para

os alunos o início de uma nova etapa no seu estudo da Matemática. Envolvendo

números e operações com que contactaram anteriormente, ao lado das expressões

numéricas, surgem agora outras expressões, envolvendo novos símbolos e novas

regras de manipulação, que remetem para outro nível de abstração.

Sempre pensando em dar mais significado e tornar menos abstrato o ensino

da matemática e principalmente de equação do 1º grau, utilizarei a “balança de dois

pratos”, também conhecida como “ balança de pescador”, muito usada antigamente

e agora substituída pelas balanças digitais.

Usando a definição de equação que é uma igualdade onde aparece uma

letra que representa um valor desconhecido, farei a comparação da igualdade com a

balança em equilíbrio. Com objetos dos próprios alunos e da sala de aula e pesos

confeccionados por mim demonstrarei que existe uma igualdade/equilíbrio quando

colocado num dos pratos da balança o objeto e no outro prato o peso equivalente a

ele.

Demonstrarei também que há o desequilíbrio/desigualdade quando colocado

num dos pratos da balança um objeto e no outro prato um peso que não é

equivalente a ele.

O lado esquerdo é igual ao lado direito, e temos que acreditar neste fato

para podermos prosseguir com a nossa resolução.

A palavra “equação” vem da palavra “igual”.

Quando é colocado em ambos os pratos da balança objetos iguais (pesos

iguais), eles poderão observar que a balança continua equilibrada e colocado

objetos diferentes (pesos diferentes), perde-se o equilíbrio, há o desequilíbrio. Então,

os estudantes deverão fazer várias pesagens de objetos diferentes, devendo anotar

os pesos e comparar vendo o equilíbrio e/ou desequilíbrio, observando a diferença

que há entre eles.

ATIVIDADES

Depois das pesagens dos materiais dos próprios alunos e da sala de aula

onde a noção de equilíbrio através da balança é estabelecida, tem de ser feito uma

retomada de conteúdos do 7º ano. Explicar que o cancelamento dos termos

acontece quando os números são opostos. Ex.: + 2 – 2 = 0. Se os alunos lembrarem

que no ano anterior 7º ano eles aprenderam que na conta corrente se tinha R$

200,00 ( + 200,00 ) e é debitado um cheque de R$ 200,00 ( - 200,00 ), a conta ficará

nula ( 0 ), eles terão mais facilidade no entendimento e resolução das equações.

Mesmo assim o professor deve retomar esse conteúdo e uma das maneiras é

fazendo a analogia entre números opostos e saldo bancário, porque a maioria dos

alunos tem facilidade em entender as operações com números inteiros quando

comparamos com dinheiro, comprar, voltar troco.

1. Resolva as equações:

a) 5x +3 = 4x + 9

5x +3 -3 = 4x +9 -3

5x = 4x +6

5x - 4x = 4x – 4x +6

x = 6

Quando adicionamos ( ou subtraímos ) valores iguais em ambos os membros da

equação, ela permanece em equilíbrio. Demonstrar através da balança que ao

colocarmos em ambos os pratos objetos iguais o equilíbrio se mantém. Primeiro

acrescenta-se nos dois membros -3 e depois - 4x.

Verificação:

5x + 3 = 4x + 9

5.6 + 3 = 4. 6 + 9

30 + 3 = 24 + 9

33 =33

b) 3y + 7 = 2y + 1

3y + 7 – 7 = 2y +1 – 7

3y = 2y – 6

3y – 2y = 2y – 2y – 6

y = - 6

Demonstrar através da balança que ao colocarmos ou tirarmos em ambos os

pratos objetos iguais o equilíbrio se mantém. Primeiro acrescenta-se – 7,

depois – 2y.

Verificação:

3y + 7 = 2y + 1

3.(- 6) + 7 = 2. (- 6) + 1

- 18 + 7 = - 12 + 1

- 11 = - 11

c) 8m + 2 = 6m + 4

8m – 6m + 2 = 6m – 6m + 4

2m + 2 = 4

2m + 2 – 2 = 4 – 2

2m = 2

=

m = 1

Quando adicionamos ( ou subtraímos ) valores iguais em ambos os membros da

equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ( ou

dividimos ) ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação

permanece em equilíbrio. Primeiro acrescenta-se nos dois membros – 6m, depois -2,

e : 2.

Verificação:

8m + 2 = 6m + 4

8.1 + 2 = 6. 1 + 4

8 + 2 = 6 + 4

10 = 10

d) 3x + 1 = x + 1

3x + 1 – 1 = x + 1 – 1

3x = x

3x – x = x – x

2x = 0

x = 0

Acrescenta-se em ambos os membros da equação valores iguais: - 1; - x; : 2,

e a equação permanece em equilíbrio.

Verificação:

3x +1 = x + 1

3 . 0 + 1 = 0 + 1

0 + 1 = + 1

1 = 1

e) 5n + 3 = 4n + 9

5n + 3 – 3 = 4n + 9 – 3

5n = 4n + 6

5n – 4n = 4n + 6 – 4n

n = 6

Acrescenta-se em ambos os membros da equação valores iguais: - 3; - 4n e a

equação permanece em equilíbrio.

Verificação:

5n + 3 = 4n + 9

5 . 6 + 3 = 4 . 6 + 9

30 + 3 = 24 + 9

33 = 33

f) 2 – 5 ( x + 2)= 14 – x

2 – 5x – 10 = 14 – x

- 5x – 8 = 14 – x

- 5x – 8 + 8 = 14 – x + 8

- 5x = - x + 22

- 5x + x = - x + x + 22

- 4x = + 22

ou x = - 5,5

Acrescenta-se em ambos os membros da equação valores iguais: + 8; + x; : - 4, e a

equação permanece em equilíbrio.

Verificação:

2 – 5 ( x + 2 ) = 14 – x

2 – 5 ( - 5,5 + 2 ) = 14 – ( - 5,5)

2 – 5 ( - 3,5 ) = 14 + 5,5

2 + 17,5 = 19,5

19,5 = 19,5

g) 4x = 3 – ( x + 5 )

4x = 3 –x – 5

4x + x = 3 – x – 5 + x

5x = - 2

5x = - 2

5 5

ou x = - 0,4

Acrescenta-se em ambos os membros da equação valores iguais: + x ; : 5 e a

equação permanece em equilíbrio.

Verificação:

4x = 3 – ( x + 5 )

4 . - 0,4 = 3 – ( - 0,4 + 5 )

- 1,6 = 3 - ( 4,6 )

- 1,6 = - 1,6

2. Veja as medidas do comprimento e da largura de um retângulo. Sabendo-se

que a área desse retângulo tem 105 cm², quanto mede o comprimento desse

retângulo?

7cm

(x + 5) cm

3. Qual deve ser o número real a para que a expressão

-

seja igual

a 1?

4. Um carro, desenvolvendo uma certa velocidade média, percorreu x km,

distância que separa as cidades paranaenses de Curitiba e Maringá, em 5

horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h sua velocidade média, teria

percorrido a mesma distância em uma hora a menos, ou seja, em 4 horas.

Qual foi a distância x percorrida?

5. A balança da figura está equilibrada. Os copos são idênticos e contêm, ao

todo, 1400 gramas de farinha. Os copos do prato da esquerda estão

completamente cheios e os copos do prato da direita estão cheios até metade

de sua capacidade. Qual é o peso, em gramas, de um copo vazio?

A) 50

B) 125

C) 175

D) 200

E) 250

Fonte: Obmep 2012

6. Um queijo foi partido em quatro pedaços de mesmo peso. Três desses

pedaços pesam o mesmo que um pedaço mais um peso de 0,8 kg. Qual era o

peso do queijo inteiro?

A) 1,2 kg

B) 1,5 kg

C) 1,6 kg

D) 1,8 kg

E) 2,4 kg

Fonte: Obmep 2011

7. Combinemos que n representa um número natural. Nesse caso, 3n representa o

triplo desse número. Usando esse exemplo, escreva a expressão algébrica

correspondente a:

a) o triplo de um número, mais um;

b) um número par;

c) um número ímpar;

d) a metade de um número;

e) o quádruplo de um número;

f) o consecutivo de um número natural;

g) a soma das expressões obtidas nos itens a e e.

h) a expressão obtida no item e menos a expressão do item a.

8. Em um retângulo, o lado maior é igual ao triplo do lado menor, mais 5 metros.

a) Se o lado menor mede x, quanto mede o outro lado?

b) Obtenha a fórmula que dá o perímetro P desse retângulo. Essa fórmula deve ser

simplificada.

c) Sabendo que o perímetro P tem 17 metros, calcule o valor de x, resolvendo uma

equação.

d) Calcule agora o valor de x para que o perímetro P tenha 9 m.

9. Resolva a equação x + 2 = 2 – x – 2

2 3

Para eliminar a fração, multiplica os dois lados da igualdade pelo mmc ( 2; 3 ), que é

6, a equação permanece em equilíbrio e os denominadores são eliminados.

6 . x + 2 = 6 . 2 – 6 . x – 2

2 3

Fazendo alguns cálculos algébricos, a equação fica mais simples.

3 ( x + 2 ) = 12 – 2 ( x – 2 )

3x + 6 = 12 – 2x + 4

3x + 6 = - 2x + 16

Quando adicionamos valores iguais em ambos os membros da equação (+ 2x), ela

permanece em equilíbrio.

3x + 2x + 6 = - 2x + 2x + 16

5x + 6 = 16

Quando subtraímos valores iguais em ambos os membros da equação ( - 6 ), ela

permanece em equilíbrio.

5x + 6 – 6 = 16 – 6

5x = 10

Quando dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo ( : 5 ), a

equação permanece em equilíbrio.

x = 2

10. Resolva as seguintes equações:

a)

. Dica: multiplique os dois lados pelo mmc ( 2; 6 ).

b)

Dica: outra maneira de escrever essa equação é

. Para

resolver, multiplique os dois lados pelo mmc ( 2; 3; 5 ), que é igual a ...

c)

d)

REFERÊNCIAS

ÁVILA, Geraldo. Várias faces da matemática. Tópicos para licenciatura e leitura em

geral. 2 ed. Blucher, 2010.

CASTRUCCI, GIOVANNI, Jr Giovanni. A conquista da Matemática A + Nova. 1.ed.

FTD São Paulo, 2002

HUGENTHOBLER, Aline; BERGAMO, Douglas; SILVA Gabrielle Andrade B. e

SANTOS, Matheus Pradella dos. Balança de Braços Iguais. Novo Hamburgo, 12

de maio de 06. Disponível em:

<http://ead.liberato.com.br/~mitza/rlt06_1t_1s_meca_3.pdf>. Acesso em:

08/06/2012, ás 19 horas e 06 min.

IMENES, Márcio Luiz; LELLIS Marcelo. MATEMÁTICA IMENES & LELLIS Editora

Moderna, São Paulo- 2009.

LORENZATO,Sergio;. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de

Professores. 3 ed. Autores associados, 2010.

MOREIRA, Camila de Jesus; SILVA, Lucas Eduardo de Mello e MARTINI Thomás

Augusto. FUNDAÇÃO ESCOLA TÉCNICA LIBERATO SALZANO VIEIRA DA

CUNHA. Balança Romana. Novo Hamburgo, junho de 06. Disponível em:

<http://ead.liberato.com.br/~mitza/rlt06_1t_1s_elet_4.pdf>. Acesso em: 08/06/2012,

ás 19 horas e 32 min.

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Equipe Brasil Escola. Equação. Disponível em:

<http://www.brasilescola.com/matematica/equacao.htm>. Acesso em: 27/06/2012, ás

19 horas e 23 min.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação

Básica de Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PIAGET, Jean e INHELDER, Bärbel. Da lógica da criança à lógica do adolescente. São

Paulo: Pioneira, 1976. s e t e m b r o 1 2 , 2 0 0 8 . O Equilíbrio da Balança – Piaget.

Disponível em: <http://www6.ufrgs.br/psicoeduc/piaget/o-equilibrio-da-balanca/>.

Acesso em: 2/05/2012, ás 15horas e 09 min.

http://www.obmep.org.br acessado em 13/11/2012