SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEEDSUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DAS PROPRIEDADES DE DIVISIBILIDADE DOS NÚMEROS NATURAIS

Conceição Geni Nicoli

LONDRINA

2011

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUEDDIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DAS PROPRIEDADES DE DIVISIBILIDADE DOS NÚMEROS NATURAIS

Conceição Geni Nicoli

A Produção Didática Pedagógica é uma das atividades propostas pelo Programa PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional

Orientador: Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho

LONDRINA

2011

2

FICHA PARA CATÁLOGOPRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título:Tarefas de Investigação para o Ensino-Apredizagem das propriedades de divisibilidade dos Números Naturais.

Autor Conceição Geni Nicoli

Escola de Atuação Colégio Estadual Alberto Santos Dumont

Município da escola Apucarana

Núcleo Regional de Educação Apucarana

Orientador Profº Dr. Túlio de Oliveiro de Carvalho.

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Londrina

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Público Alvo Alunos da 5ª. série do Ensino Fundamental.

Localização Rua Professor Erasto Gaertner, 64. Centro. CEP: 86800280.

Apresentação:

(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada.

Existe uma questão sobre a qual a consentimento entre

os docentes vem crescendo: o problema da matemática

– sua dificuldade, complexidade e o baixo desempenho

dos alunos – deve-se especialmente ao estilo clássico

de lecionar que se fundamenta na decoração de

3

algoritmos, fórmulas, procedimentos e conteúdos em

geral, sem a preocupação com os significados e

conteúdos que eles expressam. Afim de se evitar este

fato, o caderno pedagógico apresentará tarefas a serem

aplicadas respeito de uma tendência metodológica

recomendada pelas Diretrizes Curriculares da Educação

Básica de Matemática no Estado do Paraná: a

Investigação Matemática. Com este trabalhobuscamos

elevar o índice de aproveitamento dos alunos,

almejando a ampliação das habilidades e competências

indispensáveis à aprendizagem na Matemática, através

de tarefas que envolvam Mínimo Múltiplo Comum e

Máximo Divisor Comum.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) INVESTIGAÇÃO, M.D.C, M.D.C.

4

Sumário

FICHA PARA CATÁLOGO...........................................................................................3

1. APRESENTAÇÃO.................................................................................6

2. PROCEDIMENTOS...............................................................................7

4. ORIENTAÇÕES E RECOMENDAÇÕES AO PROFESSOR........................22

6. PROPOSTA DE AVALIAÇÃO...............................................................24

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................25

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1. APRESENTAÇÃO

Tema de Estudo

Propriedades de Divisibilidade de Números Naturais

Título

Tarefas de Investigação para o Ensino-Aprendizagem das Propriedades de

Divisibilidade dos Números Naturais

Justificativa

Esse material é uma Unidade Didática direcionado ao estudo de conceitos

básicos como os números primos, máximo divisor comum – M.D.C., o mínimo

múltiplo comum – M.M.C. e divisibilidade para alunos da 5ª série do Ensino

Fundamental.

As tarefas propostas serão desenvolvidas com os alunos, serão relatados os

encaminhamentos dados pela professora e a reação dos alunos no envolvimento

com as tarefas. A partir da experiência realizada será feita análise do material dos

relatos confrontado com o estudo teórico realizado para compor esta proposta.

As tarefas aqui apresentadas consideraram a importância dos envolvimento

dos alunos com as mesmas para a formação de alunos capazes de desenvolver

habilidades para construir conceitos matemáticos, compreender e executar

algoritmos por meio de Investigação Matemática e na tentativa de solucionar

problemas.

Público-alvo

Os participantes deste estudo são alunos da 5ª série do Ensino Fundamental

(6º ano) do Colégio Estadual Alberto Santos Dumont de Apucarana.

Objetivo Geral

Avaliar as contribuições que as atividades de investigação matemática podem

trazer ao processo de aprendizagem do

6

s tópicos elementares sobre divisibilidade de números naturais.

Objetivos Específicos

• Oportunizar aos alunos o estudo do máximo divisor comum (mdc), mínimo

múltiplo comum (mmc), números primos e divisibilidade;

• Investigar como os alunos desenvolvem atividades envolvendo o conteúdo de

números primos, mdc, mmc e divisibilidade;

• Elevar o índice de aproveitamento dos alunos, almejando a ampliação das

habilidades e competências indispensáveis à aprendizagem na Matemática.

• Elaborar e resolver problemas que abordem temas de divisibilidade e

multiplicativos.

• Reconhecer e resolver operações com múltiplos e divisores bem como fazer

generalizações com expressões numéricas e trabalhar o conceito de ordem.

• Interpretar leitura e compreender melhor o enunciado de problemas que

envolvam situações e divisibilidade e múltiplos.

2. PROCEDIMENTOS

As tarefas serão desenvolvidas no 3º bimestre do ano letivo de 2011. São de

caráter investigativo e dizem respeito ao conceitos básicos de números primos,

máximo divisor comum – M.D.C., o mínimo múltiplo comum – M.M.C. Além disto,

envolvem o conceito de ordem além de expressões algébricas com funções afins.

São exploratórias e desafiadoras e pretendem conduzir os alunos às próprias

descobertas.

É necessário fazer com que os alunos sejam atraídos pelas tarefas

aplicadas, pois quando o aluno é convidado a trabalhar de forma significativa para si,

os objetivos desejados são mais frequentemente alcançados. Do contrário, o prazer

de aprender desaparece, o aluno se vê forçado a estudar quando está prestes a

realizar uma prova e, em muitos casos, a memorizar as respostas consideradas

corretas pelo professor. Ou seja, o foco da educação estaria tão somente em

7

aprovar ou reprovar o educando e não centrado no seu processo de construção do

conhecimento.

Vale ressaltar que as atividades abordadas usando essa metodologia devem

ser diferenciadas de exercícios comuns, pois de acordo com Ponte (2009, p.23) um

exercício tem enunciado que diz o que fazer, enquanto nas atividades investigativas

cabe ao investigador, no caso o aluno, descobrir os caminhos a trilhar.

8

TAREFA 01

• Observe o quadro numérico abaixo:

0 1 2 3 4 56 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 2930 31 32 33 34 3536 37 38 39 40 4142 43 44 45 46 47

Analisando as colunas:

a) Quais as características comuns?

b) O que se pode dizer do crescimento dos números em cada linha?

c) Qual o número que apareceria na 13 linha, 1ª coluna, caso a tabela fosse

continuada?

d) Qual o número que apareceria na 17ª linha, 3ª coluna, caso a tabela fosse

continuada?

e) Você seria capaz de escrever uma fórmula para o número na linha n, e

coluna 5?

f) Você seria capaz de escrever uma fórmula para o número na linha n de

coluna 4? E o número na linha n, e coluna 6? O que tem de comum nessas

fórmulas que você encontrou?

g) Algumas dessas coluna representam os múltiplos de algum número

natural? Qual ou quais?

Comentário: Esta tarefa se baseia em Ponte, Brocardo e Oliveira (200?). Envolve

questões da aritmética dos restos. Espera-se alguma dificuldade na capacidade de

generalização, particularmente no item e.

Tempo estimado: 2 aulas.

9

TAREFA 02

Observe os numerais no quadro abaixo:

108 203 106 204 107 132 144

97 402 115 208 111 240 114

102 95 150 145 231 200 171

172 162 605 204 206 177 138

a) Procure organizar os números dessa tabela com algum critério

matemático.

b) Copie desta lista todos os números divisíveis por 2..

c) Copie agora todos os números divisíveis por 3.

d) Retire agora da tabela todos divisíveis por 6.

e) Olhando para o resultado das três questões anteriores, o que você

conclui?

f) Observando ainda a tabela existem números divisíveis por 4? Quais são?

Se acrescentarmos algarismo de unidade de milhar eles continuaram sendo

divisíveis por 4? Com isso, o que você observou de curioso?

g) Nesta mesma tabela procure os números terminados em 0 ou em 5, e

descubra por qual número todos eles são divisíveis.

Comentários: Essa tarefa, envolve ordem, observação de regularidades,

divisibilidades por 2 e por 3 com o objetivo dos alunos chegarem, com pouco auxílio,

na regra de divisibilidade por 6.

Tempo estimado: 1 aula

10

TAREFA 03

Quadro de numerais:

linha

coluna

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

2 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72

3 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84

4 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96

5 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108

6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

7 11 22 33 44 55 66 77 88 99 111 121 132

a) O que tem em comum com os números da 1ª linha com os

números da 5ª coluna?

b) Imagine que a 6ª linha continue infinitamente, como você faria

para encontrar os próximos 10 números?

c) Observe a disposição dos numerais na tabela e escreva todas

as regularidades que você enxergar.

Comentários: Essa tarefe tem a intenção de fazer com que os alunos observem

regularidades com respeito aos múltiplos e divisores de 5, 6, 7, 8, 10 e 11 e ainda

regularidades gerais.

Tempo Estimado: 2 aulas.

11

TAREFA 04

Descubra os números, de acordo com as dicas:

a) É um número de três algarismos. O algarismo da centena é 6. O algarismo

da dezena é 2. É divisível por 2, 3, 6. Qual é o número?

b) É um número de quatro algarismos. A unidade de milhar é 1. O algarismo

da centena é um número ímpar. O algarismo da dezena é um par. É divisível

por 2, por 5 e por quatro. Está entre 1100 e 1200. Quais números podem

ser?

c) É um número formado por três algarismos. O da centena é 3 e o da

unidade é 7. O número do meio é desconhecido. Esse número deve ser

divisível por 3. Quais números podem ser?

d) O que esses números têm em comum?

Comentários: Essa que a é uma tarefa tipo “charada” que visa estimular os alunos a

descobrir e adivinhar. Envolve composição de números divisibilidade por 2, 3, 4, e 5

e 6; e observação de regularidades.

Tempo Estimado: 2 aulas.

12

Tarefa 05

Qual a relação que existe entre os números:

102564 e 410256

a) Existe entre eles divisão exata? Se existe, qual é o resultado?

b) Existem mais semelhanças entre eles? Se existir comente.

c) Você poderia descobrir qual é o maior número que divide, com resto 0, o

1º e também o segundo número.

Comentários: Esta tarefa poderá ajudar o educando a verificar proporções,

semelhanças e realizar um trabalho de fixação de divisibilidades. Também poderá

ajudar ao aluno reconhecer regularidades existentes nos números.

Tempo Estimado: 1 aula.

13

TAREFA 06

Vamos analisar agora esses pares de números: qual é o maior divisor comum

entre cada par de números.

18 e 2

26 e 13

7 e 35

8 e 80

α) Qual é o menor divisor comum entre cada par de números.

β) Dê outros exemplos de pares de números que seguem essa regra.

Observe que:

• Em relação a dois números, quando o maior é múltiplo do menor, o

MDC entre eles é o menor.

• Quando ordenamos o conjunto de cada um dos divisores podemos

verificar o maior de cada dos pares.

Comentários: Com essa tarefa pretende-se rediscutir o conceito de MDC e estudar

um caso particular desse conceito, quando o maior é múltiplo do menor. O professor

poderá abrir espaço para a discussão sobre a existência de outros divisores comuns

entre dois ou mais números, ou ainda nenhum divisor com exceção do 1. Com isso

poderá chegar a definição de números primos entre si.

Tempo Estimado: 2 aulas.

14

TAREFA 07

Considere os números 15 e 50.

a) Qual a relação você vê entre eles?

b) Quais são os divisores de 15?

c) Quais são os divisores de 50?

d) Qual é o Máximo Divisor Comum (MDC) entre eles.

Comentários: Depois que os alunos entenderam o conceito de M.D.C com a

realização da tarefa anterior, essa tarefa pretende introduzir a forma mais elementar

de encontrá-lo, comparando conjuntos.

Tempo Estimado: 2 aulas

Neste momento o professor introduz um algoritmo para encontrar o mdc entre

dois números. Dá como exemplo outros números como 20 e 35.

Pelo método de Euclides ou Chiqueirinho temos que separar os

números em tabelas da seguinte forma:

3

5

2

0

Observe que o primeiro número que deverá aparecer será o maior

deles.

15

Agora é preciso verificar quantas vezes o menor número cabe dentro do

maior. Escreva ele acima do menor e o que sobra em baixo do maior da

seguinte maneira:

1

3

5

2

0

1

5

O passo seguinte consiste em colocar na frente do menor número o resto.

Assim temos:

1

3

5

2

0

1

5

1

5

Por fim é preciso repetir o processo com os números em destaque até que o

resto seja zero.

1 1 3

3

5

2

0

1

5

5

1

5

5 0

Assim o M.D.C entre 35 e 20 será o último número apresentado na linha

central. No caso o 5.

Agora o professor deixa que os alunos resolvam o M.D.C de 15 e 50.

3 3

16

5

0

1

5

5

5 0

E faz para todos os pares de 5.

17

TAREFA 8

Compare os pares de números da tarefa 6 e o par 15 e 50. O que você pode

afirmar?

Comentários: Essa tarefa também pretende introduzir o algoritmo para encontrar o

MDC a partir de observações de regularidades que os alunos encontram depois de

investigarem. Análoga ao exercício anterior.

Tempo Estimado: 1 aula

18

TAREFA 09

Para a sua festa de aniversário, Joana tem 174 pirulitos Sabor de uva, 132

pirulitos de e o sabor de laranja, 90 pirulitos sabor de chocolate. Ela quer formar

pacotes de pirulitos, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem conter a

mesma quantidade de pirulitos, e essa quantidade deve ser maior possível.

Quantos pirulitos ela deve colocar em cada pacote? Quantos pacotes ela deve

formar de cada sabor?

Comentários: A resolução deste problema poderá despertar no aluno, como

resolver operação de divisão e concluir MDC através de divisões pelo método de

Euclides.

Tempo Estimado: 1 aula

19

TAREFA 10

Voltando à tarefa 1, circule os numerais 2, 3, 5, 7 e depois exclui o número 1 e

todos os demais múltiplos de 2, 3, 5, 7. Faça uma lista dos numerais que sobraram

neste quadro.

a) O que você pode verificar quanto aos múltiplos e divisores dos números do

novo quadro?

Comentário: Reforçar o aprendizado referente a múltiplos e divisores e definir, após

a discussão, os números primos. O professor poderá questionar porque o número 1

(tendo por divisor o 1 que é ele próprio), mas não é considerado número primo? Os

alunos neste momento, podem apoiar-se em livros e verificarem o que os autores

falam desse fato e abrir espaço para a discussão deste assunto.

Tempo Estimado: 1 aula.

20

TAREFA 11

Jogo de dominó: os alunos formarão grupos de três por equipe, cada equipe

recebe um conjunto de jogo de dominó. Eles vão brincar (jogar dominó). Após eles

estarem bem descontraídos com o jogo, vão realizar observações referentes a

esse material utilizado.

a) Quantas são as peças que formam este jogo.

b) O que você pode observar na composição das peças?

c) Faça uma segunda observação na composição do conjunto das peças

neste jogo:

d) Elaborar atividades operacionais com os valores de cada peça de dominó,

com as peças ou ainda referente aos pontos ganhos durante a brincadeira no

jogo.

Comentários: Calibrar a distração durante a brincadeira na aula, com a

concentração necessária para desenvolver habilidades de raciocínio, criar e resolver

atividades operacionais.

Tempo Estimado: 2 aulas

21

3. CONTEÚDOS DE ESTUDO

As tarefas envolvem conceitos básicos de divisibilidade: números primos,

máximo divisor comum – M.D.C., o mínimo múltiplo comum – M.M.C. Além disto,

envolvem o conceito de ordem além de expressões algébricas com funções afins.

Serão dadas as definições de números primos e mdc. O algoritmo de divisão

de Euclides será trabalhado dentro de uma tarefa de investigação.

4. ORIENTAÇÕES E RECOMENDAÇÕES AO PROFESSOR

O professor nesse trabalho é um elemento chave, cabendo a ele:

- propor a tarefa ao aluno;

- ajudar o aluno a compreender o significado de investigar que consiste no trabalho

por meio de proposição de tarefas que conduzem à exploração da matemática. -

conhecer bem os alunos e estabelecer um bom ambiente de aprendizagem;

- garantir que todos entendam o sentido da tarefa e o que deles é esperado;

- estimular o diálogo entre os participantes do grupo;

- ficar na retaguarda, observando o andamento do trabalho e apoiando quando

necessário;

- estar sempre atento ao trabalho dos alunos, recolhendo informações e procurando

compreender o pensamento deles;

- apoiar os alunos, garantindo que estão sendo atingidos os objetivos estabelecidos,

fazendo perguntas, fornecendo ou recordando informações relevantes, fazendo

sínteses e promovendo reflexões.

Neste tipo de tarefa, o aluno necessita buscar o conhecimento e a

compreensão para alcançar a solução do problema. É uma oportunidade dele se

tornar mais criativo e interessado, à medida que realiza descobertas durante o

processo de investigação.

Segundo Ferreira (2001), investigar consiste em pesquisar, examinar com

atenção, tratando-se de uma busca pelo desconhecido. De forma semelhante, 22

podemos dizer que a Investigação Matemática consiste no encaminhamento

metodológico onde o aluno é convidado a atuar como um matemático, levantando

conjecturas do que se tem intenção de investigar e através disto buscando

respostas.

De acordo com os DCE’s (2008 p. 68), investigação é um problema em aberto

que significa procurar conhecer o que não se sabe, que é o objetivo maior de toda a

ação pedagógica.

Para dar início às atividades, os alunos se organizarão em pequenos grupos

com a intenção de que cada aluno possa socializar suas ideias com os demais

participantes do grupo.

Durante as aulas a professora registrará o desenvolvimento do trabalho,

dando ênfase às dificuldades manifestadas pelos alunos, às conclusões tiradas por

eles e aos aspectos referidos na discussão geral.

Na implementação do projeto de intervenção na escola, será feito uso dos

pressupostos de Investigação Matemática como alternativa pedagógica, estudos

sobre os números primos, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum e outras

questões de divisibilidade.

Durante a preparação para as tarefas é necessária uma verificação através

de diálogos entre alunos e professores para perceber as dificuldades e obstáculos

que poderão surgir durante as aulas. No trabalho com os alunos, é interessante

propor, sempre que possível, e adequado à idade, diferentes possibilidades de

análise, apresentando novos obstáculos a serem superados.

Os trabalhos serão aplicados através de textos e tarefas, apresentados em

folhas digitadas e no quadro negro com a utilização do giz, começando com

apresentações pessoais e com diálogos explicativos e os assuntos a serem

estudados. No decorrer da apresentação do projeto, as atividades de Investigação

Matemática serão desenvolvidas pelos alunos, em que as informações necessárias

para o aprendizado serão apresentadas pelo professor aos alunos. A definição e

resolução dos exercícios serão realizadas sempre com a participação dos alunos. As

tarefas de Investigação Matemática serão executadas de maneiras diversificadas, de

acordo com as necessidades para que o aluno possa compreender e realizar os

exercícios.

23

Os alunos poderão desenvolver as tarefas individualmente, com produção

oral e escrita, com momentos de estudo em grupos. Diante disto, as tarefas serão

estudadas, trabalhadas e resolvidas pelos estudantes, e se necessário com a ajuda

do professor. Durante as aulas poderão ocorrer questões orais feitas pelo professor

podendo ser desenvolvidas individualmente ou em grupos.

6. PROPOSTA DE AVALIAÇÃO

A avaliação ocorrerá durante todo o processo de ensino-aprendizagem, sendo

observadas as atitudes dos alunos como o interesse, a participação nas aulas,

trabalhos em grupo e individuais, e a responsabilidade no cumprimento com suas

obrigações.

Neste processo o professor poderá também avaliar seu próprio trabalho, pois

se os resultados forem pouco significantes pode implicar na ineficácia do trabalho.

24

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, L, R. Tudo é Matemática 5ª série. São Paulo. Editora Ativa. p. 104-119. 2005.

GONÇALVES, J. L. O. Revista do Professor de Matemática nº. 24 – Editora Sociedade Brasileira de Matemática. p. 30-31. 1993.

IEZZI, G. DOLCE, O. MACHADO, A. Livro Didático: Matemática É Realidade 5ªsérie. São Paulo. 5ª edição. EditoraAtual. p. 110-138. 2005.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática, Secretaria de estado da Educação do Paraná, Departamento de Educação Básica. 2008.

PIRES, C. M. C. “I Fórum Nacional da Sociedade Brasileira de Educação Matemática sobre Currículos de Matemática para a Educação Básica, no Brasil”. 2004. Disponível em: <http://www.sbem.com.br/SBEM%20-DNE/ DOCUMENTOS/I %20F%C3%93RUM / documentoSsbemOforumOcurriculos.doc > Acesso em: 15 mai. 2011

PONTE, J.P., BROCARDO, J. OLIVEIRA H. Investigação Matemática na Sala de Aula. Belo Horizonte. 2ª edição. Autêntica. p.157. 2009.

PONTE, J.P. Saberes profissionais, renovação curricular e prática lectiva. 1995. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/artigos_pt.htm> Acesso em: 15 mai. 2011.

MATERIAL CONSULTADO

CEDITEC, Centro de Editoração, Documentação e Informação Técnica. TRABALHOS ACADÊMICOS.Curitiba - PR: Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br/ceditec/arquivos/File/citacoes.pdf> Acesso em: 19 mai. 2011

CEDITEC, Centro de Editoração, Documentação e Informação Técnica. TRABALHOS ACADÊMICOS.Curitiba - PR: Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br/ceditec/arquivos/File/referencias.pdf> Acesso em: 19 mai. 2011

CEDITEC, Centro de Editoração, Documentação e Informação Técnica. TRABALHOS ACADÊMICOS.Curitiba - PR: 2007. Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br/ceditec/arquivos/File/trabalhos_academicos_28_09_07.pdf> Acesso em: 19 mai. 2011.

FERREIRA, A.B H. Mini Aurélio. Rio de Janeiro. 4ª edição. Nova Fronteira. 2000.

PONTE, J.P., BROCARDO, J. OLIVEIRA H. Matemática escolar: Diagnóstico e propostas. Lisboa: Ministério da Educação. 1998. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/98-Ponte-etc(ME-SEEI)rtf> Acesso em: 15 mai. 2011.

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