Segurança de barragens: alguns recursos à luz da Análise de … · 2017-09-14 · alguns...

Segurança de barragens:

alguns recursos à luz da

Análise de Riscos

PUC-Rio

ABMS - 25/8/17

Waldemar Hachich USP - Escola Politécnica

USP - E. E. de São Carlos

Agradecimentos:

Huesker, Maccaferri,

Prof. Alberto Sayão

Teton Dam – 5/6/1976

Teton Dam Failure

Waldemar Hachich 2 25/8/17

https://www.youtube.com/watch?v=b6NAjrIjf3U





Teton Dam – hoje


Seção transversal (escavada)



Casagrande: Role of the ‘calculated risk’

in earthwork and foundation engineering”(1965) “... we often deal with very

erratic, natural materials whose

properties are in part far from

clearly understood. Then we

build upon such materials and

with such materials, huge dams

which hold back more potential

destruction than man could

create by any other peacetime

activity.”

“The margin of safety that we

incorporate into our structures

should bear a direct relationship

to the magnitude of potential

losses, and it must also take

into account the range of

uncertainty involved.”

Incertezas inegavelmente

maiores do que as

introduzidas por outros

materiais da construção civil

Conseqüências de ruína

muito significativas

Modelos probabilistas e

Análise de Decisões

Risco = Incerteza x Dano


Terzaghi: Theoretical Soil Mechanics (1943)

“Every empirical rule based on past

experience is valid only statistically. In other

words, it expresses a probability and not a

certainty.”

“... if we trust in empirical rules, as has been

done in the past, we are at the mercy of the

laws of statistics.”

E, no entanto...

Tão mal se ensina Estatística e Teoria das

Probabilidades nos cursos de Engenharia!

Estatística bayesiana, a estatística do engenheiro,

raríssimamente é sequer mencionada

Análise de Decisões muito menos...

Análise de Riscos só se imiscuiu, timidamente, na

prática da Engenharia Civil por duas razões:

grandes desastres

seguradoras

Estivemos, durante tempo demais, “at the mercy of the

laws of statistics.”



Incertezas, decisões, riscos

Magnitude das incertezas e das conseqüências

na Engenharia Geotécnica RISCOS

Método de observação

(Terzaghi)

Extensão bayesiana

(Hachich, 1981, 1998)

Análise de Decisões:

prescritiva

Sugestão de ação a ser

tomada em uma

situação prática de

incerteza e risco

Sobre os recursos disponíveis

O que fazer?

Aprender o Teorema de Bayes

Retroanálise bayesiana

Método de observação bayesiano

Análise de Decisões

As dificuldades (reais ou imaginadas)

Autocorrelação

Método dos elementos finitos estocásticos

Linearizações e FOSM


TEOREMA DE BAYES



Teorema de Bayes

Decorre da própria definição de probabilidade condicional:

P [estado | amostra] P [estado] • P [amostra | estado]

P(posterior) P(anterior) • Informação dos

dados

Teorema de Bayes

Processador de informação

Incorporador de experiência

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵]

𝑃[𝐵] =

𝑃 𝐴 × 𝑃[𝐵|𝐴]

𝑃[𝐵]

Teorema de Bayes (variável aleatória discreta)

𝑃 𝜃 𝑧 =𝑃 𝜃 × 𝑃[𝑧|𝜃]

𝑃[𝑧]

𝑃′′[𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜] = 𝑃′ 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 × 𝑃[𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎|𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜] × 1𝑁

𝑃 𝜃 𝑧 =𝑃 𝜃 × 𝑃[𝑧|𝜃]

𝑃 𝑧 𝜃 × 𝑃 𝜃 + 𝑃[𝑧|𝜃𝑐] × 𝑃[𝜃𝑐]

Antes (de obtido z): 𝑃 𝜃 + 𝑃[𝜃𝑐] = 1

O denominador simplesmente garante que: 𝑃 𝜃|𝑧 + 𝑃[𝜃𝑐|𝑧] = 1

𝑃′′[𝜃] = 𝑃′ 𝜃 × 𝑃[𝑧|𝜃] × 1𝑁 𝑁 = constante normalizadora

Depois (de obtido z):

𝜃: evento que caracteriza um estado

𝑧: evento que caracteriza uma amostra,

uma observação, um ensaio 𝑃 𝜃 𝑧 × 𝑃[𝑧] = 𝑃[𝑧|𝜃] × 𝑃 𝜃 = 𝑃[𝜃 ∩ 𝑧]

O numerador é o que realmente importa.

25/8/17 Waldemar Hachich 12

Teorema de Bayes (variável aleatória contínua)

Conhecimento revisado (posterior)

Informações do monitoramento (ou ensaios)

Conhecimento inicial (anterior)

𝑓′′(𝜃) ∝ 𝑓′(𝜃) × 𝐿(𝜃)

𝑁 = 𝑓(𝑧|𝜃) × 𝑓′ 𝜃 𝑑𝜃 , para que 𝑓′′ 𝜃 𝑑𝜃 = 1 𝑓′′ 𝜃 = 𝑓′(𝜃) × 𝑓(𝑧|𝜃) × 1𝑁

𝑓′′(𝜃) ∝ 𝑓′(𝜃) × 𝐿(𝜃)

Antes (de obtido z): 𝑓′ 𝜃 𝑑𝜃 = 1

Depois (de obtido z):


Barragem “simples” com filtro-

dreno vertical


Análise usual de

percolação pelo MEF

Isóbaras anteriores (u, do MEF)


Isóbaras anteriores (u, do MEF)


𝒁 =1029

leituras piezométricas

Previsões (u) não são leituras

de piezômetros (z)


𝒛𝒊 = 𝒂𝒊 + 𝒃𝒊𝒖𝒊+𝒗𝒊

𝒖𝒊

O modelo linear de observação abaixo estabelece a relação entre a previsão e a

leitura em um ponto do domínio de percolação (por enquanto suposta não

correlacionada com todos os demais pontos do campo de cargas hidráulicas).

Isóbaras anteriores


Isóbaras posteriores (dependem das leituras dos piezômetros, Z)


A partir do campo atualizado

de pressões neutras, possível

atualizar os valores dos

indicadores de segurança

(F, 𝜷, 𝒑𝒓)

Iso-dispersão anterior


Iso-dispersão posterior (não depende da leitura dos instrumentos)


incertezas “residuais” dos

próprios instrumentos

Redução de incerteza (a ser explorada posteriormente)


MÉTODO DE OBSERVAÇÃO

BAYESIANO

Bayesian observational method



Terzaghi: Theoretical Soil Mechanics (1943)

“If the engineer is fully

aware of the uncertainties

involved in the fundamental

assumptions of his

computations he is able to

anticipate the nature and

the importance of the

differences which may exist

between reality and his

original concept of the

situation.”

Método de observação

para tratar as

incertezas inerentes

aos materiais naturais

Sempre

insuficientemente

amostrados

Nunca totalmente

conhecidos com

suficiente antecipação

quanto à natureza

quanto ao estado


INCERTEZAS

INTRÍNSECA

DE MODELO

DE PARÂMETROS

(DOS MODELOS!)

MODELOS FÍSICOS,

QUÍMICOS OU

BIOLÓGICOS

MODELOS

PROBABILÍSTICOS

AÇÕES

RESISTÊNCIAS


Fontes de incerteza

Variabilidade natural (intrínseca)

Desconhecimento de todas as causas e

efeitos (de modelo)

y = f (x1, x2, x3, ..., xi-1, xi, xi+1, xi+2, ..., xn )

função determinística + aleatoriedade

Falta de dados (de parâmetros)


Modelos (Baecher, 1976)

Sistema real

mais rico em

detalhes

menos rígido

mais interações

com o ambiente,

com outros

sistemas

Modelo

ignora aspectos

periféricos, concentra-se

naqueles considerados

principais

atribui relações simplistas

e rígidas (números)

escolhe uma fronteira de

isolamento

O método de observação,

passo a passo (Peck, 1963) 1. Explorar e investigar as

propriedades dos depósitos

2. Escolher o conjunto de condições

mais prováveis: hipótese de

trabalho, Ho

3. Projetar para Ho

4. Prever desvios concebíveis em

relação a Ho: Hi; i=1, 2, 3, ..., m-1

5. Selecionar grandezas a serem

monitoradas, Zj; j=1, 2, ..., p


6. Prever as leituras das grandezas

selecionadas para a hipótese de

trabalho, Ho

7. Fazer a mesma previsão para cada

uma das demais hipóteses, Hi

8. Preparar planos de contingência

para os desvios concebíveis de Ho

9. Efetuar as leituras e avaliar as

condições “reais”

10. Implementar as ações de

contingência ditadas pelas


O método de observação

bayesiano (Hachich, 1981, 1998) (1) 1. Explorar e investigar as


2. Escolher o conjunto de condições

mais prováveis: hipótese de

trabalho, Ho

3. Projetar para Ho

4. Prever desvios concebíveis em

relação a Ho: Hi; i=1, 2, 3, ..., m-1



1. Explorar e investigar as


2. Estimar a probabilidade

anterior, p’ [ Ho ]

3. Projetar para Ho

4. Estimar as probabilidades

anteriores dos desvios:

p’ [ Hi ]; i=1,2,3, ..., m-1




O método de observação

bayesiano (Hachich, 1981, 1998) (2) 6. Prever as leituras das grandezas

selecionadas para a hipótese de

trabalho, Ho

7. Fazer a mesma previsão para cada

uma das demais hipóteses, Hi


para os desvios concebíveis de Ho

9. Efetuar as leituras e avaliar as


10. Se necessário, implementar as

ações de contingência ditadas

pelas condições “reais”

6. Estimar função densidade de

probabilidade das leituras, para

Ho: fZj | Ho (zj); j=1,2, ..., p

7. Estimar fdps das leituras, para

demais Hi (i=1,2,3...,m-1)

fZj | Hi (zj); j=1,2,3...,p


para os desvios concebíveis de Ho,

avaliando custos e impactos

9. Atualizar probabilidades das Hi

(Bayes) em função de todas as

leituras: p’’ [ Hi ]; i=0,1,2..., m-1

10. Usar a árvore de decisão para

escolher a melhor ação depois da

atualização das probabilidades.


EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Bayesian observational method: example


Barragem “simples” com filtro-

dreno vertical: Ho


(WH)

1. Etapa de exploração e investigação já cumprida.

2. Ho “projeto” acima, a hipótese de trabalho (“working hypothesis”).

p’ [Ho] = p’ [WH] será apresentada mais adiante.

3. Projeto para Ho (acima).

Barragem: desvios concebíveis

(H1 e H2)


4. Desvios concebíveis:

DIS e CLOG.

p’ [H1] = p’ [DIS] e

p’ [H2] = p’ [CLOG]

mais adiante

Monitoramento


(WH)

5. Grandezas escolhidas: apenas as leituras piezométricas nos pontos

9 (𝑧1) e 11 (𝑧2).

Previsão dos valores de 𝑢9 e 𝑢11, incluindo sua dispersão (em função da

variabilidade da permeabilidade do solo compactado)

MEF estocástico + FOSM, Monte Carlo ou similar – resultados a seguir...

Isóbaras de u ( média), dada a

hipótese de trabalho, Ho


6. Média da distribuição de 𝑢9 e 𝑢11,

sempre para Ho

7. Mesmos passos anteriores, para

média da distribuição de 𝑢9 e 𝑢11

para H1 (DIS) e

para H2 (CLOG)

Iso-dispersão de u ( desvio

padrão), dada a hipótese de trabalho, Ho


6. Desvio padrão da distribuição de

𝑢9 e 𝑢11, sempre para Ho

7. Mesmos passos anteriores, para

desvio padrão da distribuição de

𝑢9 e 𝑢11 para H1 (DIS) e

para H2 (CLOG)

𝑍 = 𝑎 + 𝐵 ∙ 𝑈 + 𝑣


6. Distribuição de 𝑧1 e 𝑧2

para Ho: 𝑓(𝒁|𝐻0) 7. Distribuição de 𝑧1 e 𝑧2

para H1 (DIS) 𝑓(𝒁|𝐻1) e H2 (CLOG), 𝑓(𝒁|𝐻2)

𝒛𝒊 = 𝒂𝒊 + 𝒃𝒊𝒖𝒊+𝒗𝒊

𝒖𝒊

O modelo linear de

observação ao lado,

generalizado para o

campo estocástico,

Z = a + B . U + v

permite passar das

distribuições de U para

as distribuições de Z.

Probabilidade das leituras para a

hipótese de trabalho, 𝑓(𝑍|𝐻𝑜)


Bayes: atualizar probabilidades


8. Preparar planos de

contingência (ações

0, 1, 2, k...q) para os

desvios concebíveis

de Ho, avaliando

custos e impactos

9. Atualizar (Bayes!)

probabilidades das

Hi em função de

todas as leituras:

p’’ [ Hi ] = p[Hi | z];

i=0,1,2..., m-1

𝑝′′ 𝐻𝑖 = 𝑝′ 𝐻𝑖 × 𝑓 𝑍|𝐻𝑖 × 1𝑁

𝑁 = constante normalizadora

anterior posterior informações do

monitoramento

Probabilidades atualizadas


Ponto Cargas piezométricas (m)

Observadas Previstas

WH DIS CLOG

9 29,0 27,5 32,9 30,0

11 10,0 8,7 8,7 11,9

f(Z|Hi) 0,00162 0,00086 0,00089

p’(Hi) Nº 1 1/3 1/3 1/3

p’’(Hi) Nº 1 0,480 0,255 0,265

p’(Hi) Nº 2 0,700 0,200 0,100

p’’(Hi) Nº 2 0,813 0,123 0,064

Com p’’[Hi] e árvore de decisão,

escolher melhor ação


𝑝′′ 𝐻𝑖 = 𝑝′ 𝐻𝑖 × 𝑓 𝑍|𝐻𝑖 × 𝑁

𝑁 = constante normalizadora

anterior posterior informações do

monitoramento

10.Usar a árvore de decisão para

escolher a melhor ação depois da

atualização das probabilidades.

Estrutura da decisão quanto às

ações de contingência


Ação 0

Ação 1

Ação k

Ação q

p’’[H0]

p’’[H1]

p’’[H2]

Custo e outras

consequências

da ação k, dada

H0

Custo e outras

consequências

da ação k, dada

H1

Custo e outras

consequências

da ação k, dada

H2

(não fazer nada)

Custo esperado

da ação k

Custo esperado = custos x probabilidades

Possível critério

de decisão:

menor custo

esperado

Análise de decisão

Iso-dispersão anterior 𝜎′ 𝑊𝐻

(não depende da leitura dos instrumentos, só da

sua posição)


Possibilidade de gerar, já na fase de projeto,

resultados similares para as hipóteses

alternativas:

H1 (DIS) → 𝜎′ 𝐷𝐼𝑆

H2 (CLOG) → 𝜎′ 𝐶𝐿𝑂𝐺

Qual a “melhor” posição do

próximo instrumento?



(de novo!)

incertezas relativas





(de novo!)

Incerteza relativa esperada com

instrumento na posição i

Incerteza relativa esperada = incertezas relativas x probabilidades

Possível critério de

decisão: menor

incerteza relativa

esperada






(de novo!)

Incerteza relativa esperada com

instrumento na posição i

Incerteza relativa esperada = incertezas relativas x probabilidades


No método de observação bayesiano, refinamento da etapa

de projeto da instrumentação!

5. Selecionar grandezas a serem monitoradas, Zj; j=1, 2, ..., p

Possível critério de

decisão: menor

incerteza relativa

esperada

RETROANÁLISE BAYESIANA

(CASO REAL)

Bayesian updating


Equipotenciais e campo de k ajustados por tentativa e erro


Núcleo “ajustado” à piezometria

por tentativa e erro

Equipotenciais ajustadas

por atualização bayesiana (k3 e k1 aleatórias)


Campo de variação de log k por atualização bayesiana


k decrescente com

profundidade no núcleo

de aterro hidráulico!

AUTOCORRELAÇÃO NO MEF

ESTOCÁSTICO

Autocorrelation in stochastic finite elements


Variabilidade espacial - Local 1

S1.1 S2.1

𝒎𝑿 𝝈𝑿


Em janela de tamanho constante, maior probabilidade dos pontos

extremos estarem do mesmo lado da média.


S1.2 S2.2

𝒎𝑿 𝝈𝑿


Em janela de tamanho constante, menor probabilidade dos pontos

extremos estarem do mesmo lado da média.


S1.1 S2.1

𝒎𝑿 𝝈𝑿


Médias locais (em elementos, por exemplo) mais dispersas


S1.2 S2.2

𝒎𝑿 𝝈𝑿


Médias locais (em elementos, por exemplo) menos dispersas


Variáveis aleatórias vs. campos

estocásticos

Variabilidade

espacial:

Cornell,

Vanmarcke,

Veneziano,

Yong, Alonso

(décadas de 70

e 80)

Representação

estocástica de

propriedades

do terreno

Média

Desvio padrão

Considerar autocorrelação é absolutamente essencial!

CAMPO ESTOCÁSTICO DE PERMEABILIDADES

Função de autocorrelação

simplificada


Correlação entre elementos

retangulares


Aproximação para o MEF

estocástico


Erro da aproximação por

elementos retangulares


LINEARIZAÇÃO E FOSM

Linear approximation and FOSM


Linearização e FOSM


Linearização simplifica,

especialmente para o

FOSM!

Nem sempre possível

Há alternativas nas

simulações (Monte

Carlo é apenas uma

das possibilidades)

OUTROS RECURSOS



Evolução dos critérios de

segurança

Empirismo

Racionalismo

Incrementalismo

(“Bayesian

observational

method”)

Indicadores: F 𝛽 𝑝𝑟

Com 𝑝𝑟,

minimização de

custos inicial esperado

Confiabilidade (“reliability”)

Barragem como sistema

Ruína (principal) perda de contenção

Como atinge a ruína?

Galgamento (“overtopping”)

Erosão interna (“piping”)

Fraturamento (hidráulico ou por recalques excessivos)

Outros

Como combinar todos esses efeitos para definir a

probabilidade de ruína (e a confiabilidade)?

Árvore de falhas parece uma boa alternativa (utilizada

extensivamente no caso mais simples de usinas nucleares)


Recomendações finais

Análises prévias não apenas da hipótese de projeto, mas

também dos possíveis desvios dessa hipótese

Posições de instrumentos otimizadas para terem bom poder

de discriminação em relação aos desvios imaginados

Análise de decisões para orientar racionalmente as decisões

em face de incertezas

Leituras de instrumentos podem ser melhor aproveitadas

Quantificações estatísticas explícitas, especialmente de

incertezas, sempre que possível

Instrumentação e monitoramento têm excelente relação risco-

benefício


Evitam-se assim os acidentes

graves?

Não! Mas tem-se a tranquilidade de haver feito

o melhor para reduzir sua probabilidade.

Há sempre alguma probabilidade de ocorrerem

desvios não imaginados das hipóteses de

projeto (Sandroni, 2017: “rupturas frágeis”, sem

aviso, vs. “rupturas dúcteis”)

Lembrar também que o acidente grave decorre,

muitas vezes, dos nossos vícios de gestão

(Valenzuela, 2016)


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