SEM0104 SEM0104 - Aula Aula 1122 Cinemática Cinemática e ... · ... Aula Aula 1122 Cinemática...

SEM0104 SEM0104 -- Aula Aula 1212Cinemática Cinemática e Cinética de e Cinética de Partículas no Plano e no Partículas no Plano e no EspaçoEspaçoPartículas no Plano e no Partículas no Plano e no EspaçoEspaço

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

–– IntroduçãoIntrodução

– Sistemas de Referência

– Diferença entre Movimentos

Sumário da AulaSumário da Aula


– Cinética

EESC-USP © M. Becker 2009 2/58

IntroduçãoIntrodução• Cinemática:estuda os movimentos dos

corpos (não suas causas)

• Cinética ou Dinâmica: estuda os

movimentos focando suas causas e origem

– Análise baseada na geometria do sistema

mecânico

– 3 Leis de Newton

• Inércia

• Variação da Quantidade de Movimento Linear

• Ação e Reação



–– Sistemas Sistemas de de ReferênciaReferência




– Cinética


Sistema de Referência InercialSistema de Referência Inercial• Base vetorial com origem pré-definida

• Vetor Posição

kzjyixrOAI

rrrr000

++=z

=

0

0

0

z

y

x

rOAI

r

x

y

z

ij

k

rOA

Amplitude do vetor nas direções dos versoresA

O


Sistema de Referência InercialSistema de Referência Inercial• Vetor Velocidade

– O vetor velocidade absoluta é a derivada do

vetor posição (representado no sistema inercial)

( )

0x

dt

d

( )

( )

( )

( )

=

==

0

0

0

0

0

0

z

y

x

zdt

d

ydt

d

xdt

rdt

dv OAIAI

&

&

&rr

kzjyixvAI

r&

r&

r&

r000

++=EESC-USP © M. Becker 2009 6/58

Sistema de Referência InercialSistema de Referência Inercial• Vetor Aceleração

– O vetor aceleração absoluta é a 2a derivada do

vetor posição (representado no sistema inercial)

( )

02

2

xdt

d

( )

( )

( )

( )

=

==

0

0

0

02

2

02

2

02

2

2

z

y

x

zdt

d

ydt

d

xdt

rdt

da OAIAI

&&

&&

&&rr

kzjyixaAI

r&&

r&&

r&&

r000

++=EESC-USP © M. Becker 2009 7/58

Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema de Referência Móvel:

– Pode facilitar a representação de determinados

movimentos complexos (dividindo-os em

movimentos mais simples que se somam para

compor o movimento absoluto)compor o movimento absoluto)

• Sistema Móvel com Translação Pura

• Sistema Móvel com Rotação Pura

– Matriz de Transformação de Coordenadas

• Relação entre os sistemas de referência que viabiliza a

passagem de um sistema móvel para o inercial e vice-

versa...

Qq. Movimento é uma composição desses dois!...


Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando

– Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O

– Sistema Móvel: B1(x1,y1,z1), origem A

Bz

x

y

z

ij

k

IrOAA

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1Cursores de ambos sistemas permanecem sempre paralelos!

111,,,, kjikjirrrrrr

≡

{I}

{B1}



– Assim:

=

j

i

j

ir

r

r

r

010

0011

=

k

j

k

jr

r

r

r

100

010

1

1

sIs IB

rr.

1= sIs BI

rr

1.

1−=



– Dado um vetor:

rIrrrrr

.+=Bz

Posição de A no Sistema Inercial

ABBOAIOBI rIrrrrr

1.+=

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOB

Posição de B no Sistema Inercial

Posição de B relativa a A no Sistema Móvel

{I}

{B1}



– Para que a soma seja possível é necessário que

o vetor seja representado no sistema

inercial:ABB rr

1

Bz

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOB

ABBABI rIrrr

1.=

{I}

{B1}



– Para calcular a velocidade absoluta:

• Deriva-se o vetor posição com relação ao tempo

– No sistema Inercial:

( )( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdt

dr

dt

dv

rrrr

1.+==

( ) ( ) ( )ABBABBOAI rdt

dIrI

dt

dr

dt

d rrr

11.. ++=

0

ABIAIABBAI vvvIvrrrr

+=+=1

.



– Para calcular a aceleração absoluta:

• Deriva-se o vetor velocidade com relação ao tempo


( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdt

dr

dt

da

rrrr

1.

2

2

2

2

+==

ABIAIABBAI aaaIarrrr

+=+=1

.


Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando

– Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O

– Sistema Móvel: B1(x1,y1,z1), origem A

Bz.

x

y

z

ij

k

IrOAA

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1

{I}

{B1}

θθθθ.

Cursores de ambos sistemas deixam de ser paralelos e passam a manter uma relação que depende do ângulo θθθθ



– Supondo que o sistema móvel gire em torno de

z1:

Bz. 0 0

x

y

z

ij

k

IrOAA

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1

{I}

{B1}

θθθθ.

=

)(

0

0

t

I

θ

ϖ&

r

=

)(

0

0

t

I

θ

ϖ&&

&r



– Projetando-se os cursores do sistema móvel para

o inercial (forma matricial):

iscirr

0

x

y

i

j

O

i1j1x1

y1

{I}

{B1}θθθθ

−=

k

j

i

cs

sc

k

j

i

r

r

r

r

100

0

0

1

1

1

θθ

θθ

sTs IB

rr.

1 θ= sTs BI

rr

1.

1−= θ



– Como o determinante de Tθ é sempre unitário:

TTT θθ =

−1

x

y

i

j

O

i1j1x1

y1

{I}

{B1}θθθθ

sTs IB

rr.

1 θ=

sTs B

T

I

rr

1.θ=




y1:

−

=

θθ sc 0

=

0

θϖ &r

x

z

i

k

O

i1k1x1

z1

{I}

{B1}θθθθ

=

θθ

θ

cs

T

0

010

=

0

)(tI θϖ &r




x1:

=

001

=

)(tθ

ϖ

&

r

y

z

j

k

O

j1k1y1

z1

{I}

{B1}θθθθ

−

=

θθ

θθθ

cs

scT

0

0

=

0

0Iϖr



– Deve-se observar que a matriz de transformação

Tθ depende do tempo!

{I} {B1111}

Tθθθθ

Tθθθθ

T



– Dado um vetor:

TrTrrrrr

.+=Bz

Posição de A no Sistema Inercial

.ABB

T

OAIOBI rTrrrrr

1.θ+=

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOB

Posição de B no Sistema Inercial

Posição de B relativa a A no Sistema Móvel

{I}

{B1}

θθθθ.



– Para que a soma seja possível é necessário que

o vetor seja representado no sistema

inercial:

ABB rr

1

Bz.

x

y

z

ij

kIrOA

A

O

B1rAB

i1

j1

k1

B

x1

y1

z1

IrOB

ABB

T

ABI rTrrr

1.θ=

{I}

{B1}

θθθθ.



– Para calcular a velocidade absoluta:

• Deriva-se o vetor posição com relação ao tempo


( ) ( )ABB

T

OAIOBIBI rTrdt

dr

dt

dv

rrrr

1.θ+==

( ) ( ) ( )ABB

T

ABB

T

OAI rdt

dTrT

dt

dr

dt

d rrr

11.. θθ ++=

( ) ABB

T

ABB

T

IAI vTrTvrrrr

11.. θθϖ +×+=



– Assim:

( ) ABB

T

ABB

T

IAIBI vTrTvvrrrrr

11.. θθϖ +×+=

ABIABIIAIBI vrvvrrrrr

+×+= ϖ



– Para calcular a aceleração absoluta:

• Deriva-se o vetor velocidade com relação ao tempo


( ) ( )ABB

T

OAIOBIBI rTrdt

dr

dt

da

rrrr

1.

2

2

2

2

θ+==

( ) ( ) ( )

++= ABB

T

ABB

T

OAI rdt

dTrT

dt

dr

dt

d

dt

d rrr

11.. θθ

( )[ ]ABB

T

ABB

T

IAI vTrTvdt

d rrrr

11.. θθϖ +×+=



– Assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ABB

T

IABB

T

IAIBI rTdt

drT

dt

dv

dt

da

rrrrrr

11.. θθ ϖϖ ×+×+=

( ) ( ) ( ) ( )ABB

T

ABB

T

ABB

T

I rdt

dTr

dt

dT

dt

dr

dt

dT

dtdtdt

rrrr

111 2

2

... θθθϖ ++×+

( ) ( )( )( ) ( ) ABB

T

ABB

T

IABB

T

I

ABB

T

IIABB

T

IAIBI

aTvTvT

rTrTaa

rrrrr

rrrr&rrr

111

11

...

..

θθθ

θθ

ϖϖ

ϖϖϖ

+×+×+

××+×+=


Exercício 1Exercício 1• Imagine que um pistão hidráulico com uma massa m em sua

extremidade gire com velocidade angular θ em relação ao

eixo Z (inercial). Um sistema móvel de referência X1Y1Z1,

solidário ao pistão gira tb. com uma velocidade angular θ.

Obtenha os vetores posição, velocidade e aceleração do

ponto B nos sistemas inercial e móvel.

.

.

ponto B nos sistemas inercial e móvel.

X

Y

Z = Z1

θθθθ.

Y1

X1

B


Exercício 2Exercício 2• Imagine o disco principal B girando com velocidade angular

ω constante. Um disco secundário D é montado a uma

distância b em relação ao centro de rotação do disco

principal sobre o suporte C (fixo no disco principal). O centro

do disco secundário encontra-se a uma altura c em relação

ao disco principal e sua rotação p é constante. Deseja-se ao disco principal e sua rotação p é constante. Deseja-se

calcular a aceleração absoluta de um ponto A no disco

secundário, exatamente no instante em que θ = 0o e o ponto

A encontrar-se na posição vertical em relação ao disco

secundário.


Exercício 2Exercício 2• Figura


Exercício 3Exercício 3• Imagine uma placa montada sobre um eixo rotativo. Nesta

placa constrói-se um rasgo onde uma partícula A, conectada

a uma mola, executa um movimento retilíneo. O eixo gira

com uma velocidade angular θ(t) e uma aceleração angular

θ(t). A partícula executa movimentos oscilatórios retilíneos s(t)

dentro do rasgo. O rasgo é construído na placa com um

...

dentro do rasgo. O rasgo é construído na placa com um

ângulo de inclinação β (fixo). Determine os vetores de

velocidade e aceleração absoluta do ponto A.


Exercício 3Exercício 3• Figura


Exercício 4Exercício 4• O sistema mecânico mostrado na figura é composto pela

estrutura A, pelo rotor B, pelo braço com massa desprezível C

e pela massa concentrada D. Três sistemas de referência

devem ser utilizados, sendo o 1o Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor,

e o 3o, B2 solidário ao braço C. A velocidade angular do rotor

é β [rad/s], variando com uma taxa β [rad/s2]. Em um dado ...

é β [rad/s], variando com uma taxa β [rad/s ]. Em um dado

instante os ângulos β e ϕ são diferentes de 0o, e a rotação e

aceleração do sistema braço-massa pontual é dada por ϕ e

ϕ. Obtenha os vetores posição, velocidade e aceleração

absoluta da massa pontual em D.

...


Exercício 4Exercício 4• Figura Y=Y1

B

C

X =X1

R

β ββ ββ ββ β. ..

OO1

LNo instante representado

X2Y2

A

D

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

...


X=X1 e Y=Y1




–– Diferença entre MovimentosDiferença entre Movimentos



– Cinética


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos• Movimentos Planos

– Caracterizados por rotações

consecutivas em torno dos mesmos eixos

(Z, Z1, Z2, ...)(Z, Z1, Z2, ...)

– Assim:

Bn-1θn

.

=0

0

θn

....B2θ3

.

=0

0

θ3

.B1θ2

.

=0

0

θ2

.Iθ1

.

=0

0

θ1

.

36/58EESC-USP © M. Becker 2009

Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As matrizes de Transformação têm a

seguinte estrutura:

Tθ =

cosθ1

-senθsinθ1

cosθ0

0 .= TθB s sTθ1 = -senθ1

0cosθ1

0

0

1

.= Tθ1B1s Is

Tθn =

cosθn

-senθn

0

sinθn

cosθn

0

0

0

1

.= TθnBns Bn-1s

.

.

....


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– Transformação de Coordenadas da base

inercial { I } para a última base móvel {Bn}:

.= TBns Is

T =

cθ1

-sθ1

0

sθ1

cθ1

0

0

0

1

cθn

-sθn

0

sθn

cθn

0

0

0

1...

T =

0

0

1

c(θ1+ ...+θn)

-s(θ1+ ...+θn)

0

s(θ1+ ...+θn)

c(θ1+ ...+θn)


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As velocidades angulares absolutas no

sistema inercial { I } serão:

Iθ1

.

=0

0Iω1 = .Tθ+

0

0Iθ1

.

Iω2 =T

B θ2

.

=Iθ1 = 0

θ1

.Iω1 = .Tθ1+ 0

θ1 + θ2

.Iθ1Iω2 = B1θ2 =.

.Tθ1+

0

0

θ1 + θ2 +...+ θn

.Iθ1

.

Iωn =T

B1θ2

.

=.

.Tθ1

T

Bn-1θn

.

+ +... ... Tθn-1

T

.


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos� Assim, observa-se que em

movimentos planos, as rotações

ocorrem sempre no mesmo eixo,

podendo ser somadas diretamente...podendo ser somadas diretamente...

� Caso as rotações θ1, θ2, ..., θn sejam

constantes, as respectivas

acelerações angulares serão nulas!

. . .


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos• Movimentos Tri-dimensionais

– Neste caso, as rotações ocorrem

sucessivamente em eixos diferentes (p.e.:

Z, X1, Z2, ...)Z, X1, Z2, ...)

– Assim:

B2θ3

.

=0

0

θ3

.B1θ2

.

=

θ2

0

0

.

Iθ1

.

=0

0

θ1

.


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As matrizes de Transformação:

Tθ1 =

cθ1

-sθ1

0

sθ1

cθ1

0

0

0

1

.= Tθ1B1s Is

Tθ2 =

0

cθ2

-sθ2

0

sθ2

cθ2

1

0

0

.= Tθ2B2s B1s

Tθ3 =

cθ3

-sθ3

0

sθ3

cθ3

0

0

0

1

.= Tθ3B3s B2s


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As velocidades angulares absolutas no


Iθ1

.

=0

0Iω1 = .Tθ+

θ2.cθ1

θ .sθ

.

Iθ1

.

Iω2 =T

B θ2

.

=.

Iθ1 = 0

θ1

.Iω1 = .Tθ1+ θ2.sθ1

θ1

Iθ1Iω2 = B1θ2 =.

.Tθ1+.

Iθ1

.

Iω3 =T

B1θ2

.

=

.

.Tθ1

T

B2θ3

.

+ .Tθ2

T

.θ2.cθ1 + θ3.sθ1 .sθ2

θ2.sθ1 - θ3.cθ1 .sθ2

θ1 + θ3.cθ2

.

. .


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos� Assim, observa-se neste exemplo que em

movimentos 3-D, embora as rotações

fossem apenas nos eixos X e Z (sistemas

móveis), quando vistas no sistema Inercial,

surgem termos em Y...surgem termos em Y...

� Mesmo que as rotações θ1, θ2, ..., θn sejam

constantes, as respectivas acelerações

angulares, vistas no sistema inercial, NÃONÃOserão nulas (Apesar de θ1, θ2, ..., θn serem

nulas...).

.... ..

. . .


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As acelerações angulares absolutas no


Iω1

.

=0

0Iω1 = d =0

0Iω1 = 0

θ1

..Iω1 = ddt

= 0

0

−θ1.θ2.sθ1

θ1.θ2.cθ1

0

. .

.

Iω2

.

=Iω2 = ddt

.


Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos

−θ1.θ2.sθ1 + θ1.θ3.cθ1.sθ2 + θ2.θ3.sθ1.cθ2

θ1.θ2.cθ1 + θ1.θ3.sθ1.sθ2 + θ2.θ3.cθ1.cθ2

−θ2.θ3.sθ2

. . .

Iω3

.

=Iω3 = ddt

. ..

. . . . . .

. .

� As acelerações angulares absolutas dos

sistemas B2 e B3 aparecem pois os vetores

velocidade angular variam de direção...







–– CinéticaCinética


CinéticaCinética� Foca causas e origem de movimentos

� Baseia-se nas 3 Leis de Newton:

� Primeira Lei de Newton ( Princípio da Inércia):"Um

móvel tende a permanecer em repouso ou em

movimento retilíneo e uniforme se a resultante das

Sir IsaacSir Isaac NewtonNewton

(1642(1642--1727)1727)

movimento retilíneo e uniforme se a resultante das

forças que atuam sobre ele for nula."

� Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental):

"Se um corpo estiver sujeito a uma resultante não

nula, esta causará uma aceleração proporcional à

sua intensidade."

� Terceira Lei de Newton (Princípio da Ação e

Reação): "Para cada força de ação corresponde

uma força de reação com as seguintes

características”:mesma direção; sentidos contrários; e

mesma intensidade.


CinéticaCinéticaPrimeira Lei de Newton

(Princípio da Inércia):

� Se nenhuma força externa for aplicada sob � Se nenhuma força externa for aplicada sob

uma partícula, esta manterá sua

quantidade de movimento linear constante

IJA = m . IvA = cte


CinéticaCinéticaSegunda Lei de Newton

(Variação da Quantidade de Movimento Linear):

� A Quantidade de Movimento Linear de uma � A Quantidade de Movimento Linear de uma

partícula só pode ser alterada mediante a

aplicação de forças externas

=d

dtm . IvA = m . IvA + m . IvA

. .IJAΣ

i =1

n

IFi =d

dt


CinéticaCinética

� Considerando que a variação de massa seja

nula:

= m . IvA + m . IvA

. .JΣ

n

IFi =d

= m . IvA + m . IvAIJAΣi =1

IFi =dt

0

ou m . BnaAΣi =1

n

BnFi =m . IaAΣi =1

n

IFi =


CinéticaCinéticaTerceira Lei de Newton

(Princípio da Ação e Reação):

� Torna possível a construção de Diagramas � Torna possível a construção de Diagramas

de Corpo Livre

� 2a e 3a Leis juntas tornam possível obter um

conjunto de equações responsável por

descrever o movimento do corpo ao longo

do tempo e obter as forças...


CinéticaCinética� Equações de Movimento:

� Equações Diferenciais de 2a Ordem

• Lineares

• Não Lineares

x(t) = (x(t); x(t)).. .

fç

x(0); x(0).

• Condições Iniciais de Movimento


ExercícioExercício• A partícula a seguir desloca-se sobre um cano

girando com velocidade angular constante ω. Pede-se para determinar a equação de movimento da partícula.

θθ2

ω


ExercícioExercício

• Sistemas de coordenadas...

Y =Y1

Y2

Z2

θ2

θ2

x(t)B

A

ω

X

Z

X1

Z1 θ1

X2

Z2

O

A


ExercícioExercício• O sistema mecânico mostrado na figura é composto pela

estrutura A, pelo rotor B, pelo conjunto braço-mola com

massa desprezível C e pela massa concentrada D. Três

sistemas de referência devem ser utilizados, sendo o 1o

Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor, e o 3o, B2 solidário ao conjunto

braço-mola C. A velocidade angular do rotor é β [rad/s], ...

braço-mola C. A velocidade angular do rotor é β [rad/s],

variando com uma taxa β [rad/s2]. Em um instante genérico t,

os ângulos β e ϕ são diferentes de 0o, e a rotação do sistema

braço-mola é dada por ϕ e ϕ. Calcule: (a) as matrizes de

transformação de coordenadas dos sistemas móveis para o

inercial e vice-versa; (b) uma expressão analítica para a

velocidade angular absoluta da base B2 representando-a no

sistema de referência B2;

..

. ..


Continuação...Continuação...

(c) Em um dado instante de tempo, o braço C é travado no

ponto O1 e impedido de girar, ficando na posição ϕ0. Determine

uma expressão analítica para a aceleração absoluta da massa

no sistema móvel B2; (d) Calcule as componentes da força

normal entre massa e braço uma mola com constante de normal entre massa e braço uma mola com constante de

elasticidade k e desprezando-se o atrito entre a partícula e o

braço; (e) Obtenha uma expressão analítica para o movimento

da massa D no sistema móvel de referência assumindo-se como

condições iniciais de movimento: braço travado em O1, L(0) = 0

e L(0) = 0..


Exercício Exercício • Figura Y=Y1

B

C

X =X1

R

β ββ ββ ββ β. ..

OO1


X2Y2

L(t)

A

D

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

...


X=X1 e Y=Y1


SEM0104 SEM0104 - Aula Aula 1122 Cinemática Cinemática e ... · ... Aula Aula 1122 Cinemática...

Documents

Transcript of SEM0104 SEM0104 - Aula Aula 1122 Cinemática Cinemática e ... · ... Aula Aula 1122 Cinemática...