Semelhança em figuras planas

SEGMENTOS, RETAS E RELAÇÕES DE PROPORCIONALIDADE

• Razão de segmento

A razão entre dois segmentos e é a divisão de suas medidas, tomadas na mesma unidade.

Sejam os segmentos e , a razão entre eles é , ou seja: é 3/5 de .

AB CD

AB CD

3

5

AB

CDAB CD

2

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

• Se quatro segmentos formam a proporção ,dizemos que e

são proporcionais a e

AB EF=

CD GH

2 4=

3 6

, , ,AB CD EF GHAB CD

EF GH

AB EF=

CD GH

3

Feixes de retas e reta transversal

Feixes de paralelas

• Um conjunto de retas de um plano, todas paralelas entre si, é chamado de feixe de retas paralelas.

• Temos que:

•

Reta transversal

t r s

• A reta que concorre (corta) o feixe de paralelas é chamada reta transversal. Temos que: e a reta t é a transversal.

q r s

4

TEOREMA DE TALES• Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas

retas transversais, os segmentos de reta determinados sobre uma são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados sobre outra.

5

Exemplos: Teorema de Tales• Exemplo 1: Consideremos o feixe de paralelas abaixo, cortado por duas retas

transversais.

6

Exemplo 2

São observadas as seguintes proporções:

7

Exemplo de aplicação do Teorema de Tales.

8

SEMELHANÇA EM FIGURAS PLANAS

Ampliação, redução, homotetia

9

Ampliação e Redução

Ampliação: a figura II foi obtida a partir de ampliação da figura I

Redução: a figura II foi obtida a partir de redução da figura I

I

II

10

Relações entre as medidas das figuras

Relação entre os lados

• Considerando a1, b1 e c1 os lados da figura I e h1 a sua altura.

• Considerando a2, b2 e c2 os lados da figura II e h2 a sua altura temos:

Assim temos que

Verificando a mesma relação em a1,b1

e a2, b2 , verificamos que as figuras são proporcionais, onde

h1 = ½ h2 ou h2 = 2 h1

e semelhantemente aos outros lados.

Relação entre os ângulos

1 1

2 2

1 2 1;

2 4 2

h c

h c

1 1

2 2

h c

h c

• Considerando a figura I, e seus respectivos ângulos:

• Considerando a figura II e seus respectivos ângulos:

• Usando um instrumento para medir ângulos, verificamos que:

• =

• Assim, em uma ampliação ou redução, os lados correspondentes aumentam proporcionalmente, e os ângulos são congruentes (iguais).

, ,

,́ ', '

, , ,́ ', '

11

TRIANGULOS SEMELHANTES

Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos congruentes.

12

Figuras semelhantes e não semelhantes

• Qual das figuras é semelhante ao modelo?

• As figuras A e C tem características semelhantes ao modelo, porém não são consideradas semelhantes pois não possuem formas iguais e dimensões proporcionais.

Identifica a figura semelhante ao modelo e indica a razão de semelhança.

13

Homotetia: transformação de figuras planas

• A partir de um ponto O, traçamos retas que passam em cada um dos pontos A, B, C e D da figura original . Depois, em cada reta traçada, marcamos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que OA’ = k OA , onde k é a constante de proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os demais pontos.

• O ponto O é denominado centro de homotetia.• As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes.

14

Centro de homotetia• O ponto H é o centro de

homotetia.• As figuras são

semelhantes.

15

Relação entre perímetro e área de polígonos semelhantes.

• Consideremos os polígonos abaixo:

I) São semelhantes, com constante de proporcionalidade igual a k.

II) Temos então que a= k a’, b = k b’ e sucessivamente.

• O perímetro da figura abcde é a+b+c+d, e o perímetro da figura

a’b’c’d’e’ é a’+b’+c’+d’+e’.

Assim, a razão entre os perímetros é :

Da afirmação II, concluímos que:

Assim:

Concluímos então que os perímetros são proporcionais.

' ' ' ' '

a b c d e

a b d e

( ' ' ' ' ')a b c d e k a b c d e

' ' ' ' '

a b c d ek

a b d e

16

Área de figuras semelhantes• Consideremos os retângulos R1 e

R2, semelhantes:

• Sejam a, b, c e d o lados de R1, e a’, b’, c’ e d’ os lado de R2.

• Temos que:

• A área de R1 é :

• A área de R2 é:

9 33; 3

' 3 ' 1

a b

a b

A a b

2 ' 'A a b

• A razão entre as áreas é:

Como: a = 3 a’,

b = 3b’

então:

Assim:

2 ' '

A a b

A a b

2

2

3 ' 3 ' 3 ' '

' ' ' ' ' '

A a b a b a b

A a b a b a b

22

2

2

3; 3

1

AA A

A

17

Razão entre perímetro e área de figuras semelhantes

• Perímetro: a razão entre seus perímetros é igual à razão entre quaisquer dois lados correspondentes

• Área: a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão entre quaisquer

dois lados correspondentes.

1

2

Pk

P

21

2

Ak

A

18

Posições relativas de duas retas

• Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço:

• Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.

•

• Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

19

Posições relativas de duas retas

• Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.

• Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem

ponto em comum formando um ângulo de 90° .

20

Ângulos opostos pelo vértice

• Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

21

Ângulos opostos pelo vértice

• Dois ângulos opostos pelo vértice tem a mesma medida.

• Considerando os ângulos: x, y, z e k, temos:

• x = z; y = k

22

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal

Consideremos as retas e ângulos abaixo:

• Temos que r e s são paralelas .

• Os ângulos a, e, c e g são congruentes.

• Os ângulos b, d, f e h são congruentes.

23

Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

• Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180° .

24

Triângulos

• Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e também os três ângulos.

• Triângulo isósceles: possui dois lados iguais. Os ângulos correspondentes aos lados iguais também são iguais.

• Triângulo escaleno: possui os três lados distintos. Os ângulos também são distintos.

25

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS• Dois triângulos são semelhantes quando tem os

ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

• Indicamos: ' ' 'ABC A B C

26

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

• Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro.

• Consideremos Pelo Teorema de os triângulos Tales:

CAB e CEF, temos:

Assim:

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

CEF CAD

CFE CBA

ECF ACB

CE CF EF

CA CB AB

CAB CEF 27

Casos de semelhança de triângulos

• AA (ângulo – ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

• LAL (lado – ângulo – lado): Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes.

• LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos tem os tres lados correspondentes proporcionais, eles são semelhantes.

28

LAL (lado – ângulo – lado)

Dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente.

29

AA (ângulo – ângulo)

Os ângulos correspondentes são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

30

LLL (lado – lado – lado)

Os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos são semelhantes.

31

Relações métricas no triângulo retângulo

• Triângulo Retângulo: possui um ângulo de 90° .

• Seja ABC o triângulo retângulo

• Os elementos de um triângulo recebem denominações especiais:

• O lado a, oposto ao ângulo reto é a hipotenusa;

• Os lados b e c, são os catetos.

32

b

c

h


No triangulo retângulo ABC temos:

• Hipotenusa: a

• Catetos b e c

Ao traçarmos a altura AD, relativa à hipotenusa, obtemos

• h: medida da altura relativa à hipotenusa;

• m: medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa;

• n: medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa.

33

Relações métricas no triângulo retângulo • Seja o triangulo retângulo

ABC.• Os triângulos EBA e EAC

são semelhantes.

Concluímos também que os triângulos EBA, EAC e ABC são semelhantes.


• Explorando a semelhança dos triângulos temos:

• (1)

• (2)

• (3)

• Das relações (1) e (2) e em seguida usando a (3) obtemos:

35

2BC AB a cABC EBA c a n

AB BE c n

2BC AC a bABC EAC b a m

AC EC b m

2AE BE h nEBA EAC h m n

EC AE m h

a h b c


• Somando membro a membro as relações (1) e (2) e observando que m+n = a, obtemos:

• Assim num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, temos:

36

2

2 2 2 2 2 2 2

2( )

a

b a mb c a m a n b c a m n b c a

c a n

2 2 2a b c

TEOREMA DE PITÁGORAS• “Em qualquer triângulo retângulo, o

quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

37

2 2 2a b c

Demonstração do Teorema de Pitágoras

• O vídeo representa uma demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras:

38


• Quadro resumo:

39

• Da semelhança de triângulos temos as seguintes relações:

2

2

2

2 2 2

c a n

b a m

h m n

a h b c

a m n

a b c

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