seminario IV

5/7/2018 seminario IV - slidepdf.com

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Camila Farias

UNISC

Estrutura do material

Módulo 1

1) Apresentação teórica do conteúdo que será abordado no material:

Apresentação dos conteúdos de Matemática e Física, que serão abordados no materialdidático. Neste tópico, deve ser realizada uma abordagem teórica e interdisciplinar dosconteúdos propostos.

Será abordado o assunto sobre função quadrática, mais conhecida como função do 2° grau.

Esta função tem seu conteúdo desenvolvido dentro da Matemática e da Física, através de seus

fenômenos.

Estudaremos todo o desenvolvimento desta função, como sua ligação com os fenômenos

físicos e suas outras relações com a Biologia, o Meio Ambiente e a Matemática Financeira, sendo esta

relação através de exercícios de aprendizagem.

Usando um mapa conceitual, os conteúdos serão desenvolvidos da seguinte forma:

Função Quadrática.

Trajetórias parabólicas nos esportes: a explicação das ciências exatas.

São muitos os esportes que envolvem

trajetórias parabólicas, tanto de objetos como de

pessoas. Os exemplos mais comuns são asmodalidades esportivas de jogos com bola (futebol,

Função quadrática

Definição GráficoValor mínimo ou

valor máximoEstudo do sinal

Inequação do 2°grau



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basquete, vôlei, etc.), o lançamento de flechas e dardos, o salto dos nadadores no momento da largada,

os saltos ornamentais dos ginastas no solo, os saltos de

trampolim, entre tantas outras.

Em especial, os saltos em solo ou na piscina

encantam as plateias ao observarem as contorções

sofridas pelo corpo dos atletas quando se lançam ao ar em

acrobacias, com muita habilidade, técnica, flexibilidade e

plasticidade. Entretanto, para chegarem a perfeição, além

de um treinamento árduo, precisam ter o suporte técnico de especialistas.

No salto ornamental do trampolim, por exemplo, o atleta se lança rodopiando o corpo em

movimento de rotação, tanto na vertical quanto na horizontal, além das vibrações. Cada um desses

movimentos é descrito a partir dos conceitos da Física e por modelos matemáticos.

Os saltos consistem em um mergulho de um trampolim ou de uma plataforma em uma piscina,

em que a água deve estar em movimento para que o atleta possa vê-la. Nos Jogos Olímpicos, são

considerados três tipos de salto: aqueles realizados em trampolim e os praticados em plataforma.

Desde que foi considerada uma modalidade olímpica, no século XX, já foram executadas

aproximadamente 80 manobras diferentes de saltos, sendo os mais comuns o twist e o mortal. No

twist, o atleta faz um giro em torno dele mesmo na horizontal, enquanto no mortal o giro acontece na

vertical.

Em qualquer uma dessas manobras, no entanto, verifica-se que o centro de gravidade (ponto em

torno do qual o peso do corpo está igualmente distribuído em todas as direções) do atleta descreverá

uma trajetória parabólica.

A parábola descrita pelo corpo (ou melhor, pelo seu centro de gravidade) é resultado da

combinação de dois movimentos que ocorrem simultaneamente nas direções horizontal e vertical. Na

vertical, o corpo do atleta está sujeito à aceleração da gravidade, de tal forma que a velocidade com

que o atleta deixa o trampolim, nessa direção, varia em intensidade, diminuindo até o valor zero (pois

o movimento para cima é contra a gravidade), quando, então, ao atingir a altura máxima, volta a

aumentar, até chegar á superfície da água com uma velocidade bem maior do que aquela com que saiu

do trampolim.

http://www.youtube.com/watch?v=vq4L8k-_x0k






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A posição do corpo a qualquer instante durante o movimento é descrita pela função

matemática, de 2° grau, h=ho+vot + ½ gt², sendo h a altura a qualquer instante (uma função de h), ho a

altura inicial ( altura do trampolim), vo a velocidade inicial do atleta na direção vertical e g a

aceleração da gravidade. O gráfico da altura em função do tempo também será uma parábola; no

entanto, um gráfico é uma representação matemática e não pode ser confundido com a trajetória

parabólica do atleta.

Como foi dito, outro movimento ocorre simultaneamente a esse, só que na direção horizontal.

Tal movimento apenas depende da velocidade inicial, que permanece constante ao longo de todo o

salto do atleta. A função matemática que descreve que descreve o movimento na horizontal é do 1°

grau, dada por S= So+vt, sendo S(alcance) a posição em um determinado instante t, So a posição inicial

(posição do trampolim) e v a velocidade com que o atleta se impulsionou na direção horizontal. O

gráfico do alcance em função do tempo será uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos

(abscissas).

Verifica-se assim, que a altura e o alcance que o atleta atinge dependem da velocidade que ele

impõe ao corpo impulsionando-o para o espaço. Esses são os fatores determinantes para que o atleta

tenha tempo hábil, no ar, para realizar as proezas que planejou e treinou. Ao deixar o trampolim, o

atleta, “sentindo” a velocidade e a direção que impôs ao seu corpo, decide, em fração de segundo, a

possibilidade de realizar todos os movimentos que no conjunto formam a sofisticação e beleza do

salto.

# Definição será trabalhada a forma como a função se apresenta: completa ou incompleta.

Por muito tempo, não se soube ao certo como era a trajetória de um objeto em um

lançamento, e não foram poucos os que fizeram suposições incorretas. De acordo com Aristóteles,

um objeto lançado horizontalmente descrevia uma trajetória retilínea até o alcance máximo e a

partir dai caia verticalmente em direção ao solo. Somente séculos depois, o físico e astrônomoGalileu Galilei (1564-1642) observou que um objeto, ao ser lançado, descreve uma trajetória

parabólica. Por essas observações, e a semelhança entre o gráfico de uma função quadrática e a

trajetória de objetos, não tardou para que tais funções fossem aplicadas no estudo de movimento de

projéteis, entre outras situações.

Exemplo:

1) Um foguete carregando um satélite, depois de lançado, caiu, devido a uma pane do sistema.

Ao estudar sua trajetória e as causas do acidente, a equipe da base construiu o seguinte



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gráfico, que mostra a altura (y) alcançada pelo foguete em função do tempo (t) decorrido

após seu lançamento.

A partir do gráfico, podemos obter algumas informações:

A altura máxima que o foguete atingiu foi de, aproximadamente, 102 m.

O tempo que o foguete levou para atingir o ponto mais alto foi de 6s.

O tempo que o foguete levou para voltar à altura inicial foi de 12s.

Esse gráfico foi obtido a partir da função y = 12,5 + 30 t – 2,5 t², t ϵ [0,12] (t medido em

segundos e y, em metros), que corresponde a uma fórmula que será aprendida em Física, sobre

movimento de projéteis. Na matemática, trata-se de uma função quadrática ou função do 2°

grau.

As funções quadráticas em que b=0 e c = 0, b = 0 e c ≠ 0, ou b ≠ 0 e c = 0 são denominadas

incompletas.

Exemplos:

f(x)= 5x² + 1 temos a = 5; b = 0 e c = 1

f(x) = -x² +4x temos a = -1; b = 4 e c = 0

As funções onde b ≠ 0 e c ≠ 0, são chamadas de funções quadráticas completas.

Exemplos :

Uma função f: , que a todo número associa o número ax² + bx

+ c, com a, b, c reais, e a ≠ 0, é denominada função quadrática.

f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c

Dizemos que a, b e c são os coeficientes da função.



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f(x)= -3x² +2x - 1 temos a = -3; b = 2 e c = -1

f(x)= x² -2x +11 temos a = 1; b = -2 e c = 11

2)Considere o prisma reto representado na figura ao lado, cujas medidas são x, x+3 e x – 1 e

estão em centímetros.

a) escreva uma função A que determine a área da superfície desse prisma em função de x.

A(x)= 2(x-1)(x+3)+2(x+3).x + 2 (x-1).x

A(x)=6x²+8x-6

b) calcule a área da superfície do prisma se x = 5.

A(5)=6.(5)² + 8 . 5 – 6

A(5) =184 cm²

LISTA DE EXERCICIOS I

# Gráfico, será desenvolvido os seguintes subitens:

Construção: - parábola; - eixo de simetria; - vértice.

O gráfico de uma função quadrática corresponde a uma curva muito especial em matemática

chamada parábola.

A parábola é uma curva do plano cujos pontos satisfazem uma condição bem definida.Utilizando a ideia de representar pares ordenados em um plano cartesiano, vamos construir o

gráfico da função g(x)=2x².

Inicialmente, construímos uma tabela onde atribuímos valores para x, encontrando os valores

correspondentes para y. Dessa forma, determinamos os pares ordenados (x,y). Em seguida,

localizamos no plano cartesiano os pares ordenados.



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Como D(g) = , existem infinitos valores para x e,

consequentemente, infinitos pares ordenados. Assim, entre os

pontos indicados no plano cartesiano, há infinitos pontos.

Unindo estes pontos, obtemos o gráfico de g.

A parábola possui um eixo de simetria. No exemplo, ele

coincide com o eixo y. Observe que o eixo de simetria corta a

parábola em um ponto chamado de vértice da parábola, que

nesse caso, possui coordenadas (0,0)

PESQUISA: O que é uma hipérbole. O que são as esperais de Fermat. Quem foi Pierre de

Fermat.

Concavidade: para cima; - para baixo.

A partir de algumas características, é possível esboçar a parábola que representa uma função

quadrática sem, necessariamente, ter de atribuir valores para x, a fim de obter pares ordenados (x,y).

Em relação a concavidade, a parábola que representa uma função quadrática pode ser voltada

para cima ou para baixo.



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Se o coeficiente a é positivo (a>0), a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se o coeficiente a é positivo (a<0), a concavidade da parábola é voltada para baixo.

De modo geral, funções quadráticas com o mesmo valor absoluto do coeficiente a tem

parábolas com aberturas iguais; e com valores absolutos diferentes para a, parábolas com aberturas

diferentes.

Além disso, quanto menor o valor absoluto do coeficiente a, maior a abertura da parábola.



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Intersecção da parábola com o eixo y: termo independente c.

Outro fator importante para a construção do gráfico de uma função quadrática é saber as

coordenadas do ponto em que a parábola corta o eixo y.

Quando um ponto esta sobre o eixo y, temos x = 0, ou seja, as coordenadas desse ponto são

(0,y).

Dessa forma, se atribuirmos o valor de „zero‟ para x, encontramos y = c, assim, encontramos o

ponto onde a parábola corta o eixo y (0,c).

Exemplo:

1)

Determine o valor de m para que o gráfico de g(x)= (m - 4)x² - 5x + 7 passe pelo pontoA(2,5)

Substituindo o valor de x e y na função, temos:

g(2) = (m – 4)2² - 5.2 + 7

5 = 4m – 16 – 10 + 7

-4m = -26 + 7 – 5

-4m = -24

m=6

2)(Unicamp – SP) Uma piscina, cuja capacidade é de 120 m³, leva 20 horas para ser esvaziada.

O volume de água na piscina, t horas após o inicio do processo de esvaziamento, é dado pela função

V(t) = a(b – t)² para 0 ≤ t ≤ 20 e V(t) = 0 para t ≥ 0.

a) calcule as constantes a e b. b) faça o gráfico da função V para t ϵ [0, 30]

LISTA DE EXERCICIOS II

Zeros de uma função quadrática: - intersecção com o eixo x; - discriminante

Achar os zeros ou raízes da função quadrática é descobrir os pontos em que a parábola de

equação f(x) = ax² + bx + c (com a ≠ 0) intercepta o eixo x. Como são pontos de intersecção com o

eixo x, pertencem ao gráfico da função e ao eixo, tendo, portanto, coordenada y = 0. Assim, ax² +

bx + c = 0 pode ser resolvida utilizando a fórmula de Baskara.



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√

,em que o discriminante é Δ = b² - 4 ac.

Os valores das raízes, serão os pontos que interceptam o eixo x, e

são dados por (x1 , 0) e (x2 , 0).

De acordo com o discriminante, temos três casos possíveis.

*

Δ > 0 – a equação tem duas raízes reais e distintas, x1 ≠ x2.

Assim a função corta o eixo x em dois pontos distintos, (x1 , 0) e (x2 , 0).

*Δ = 0 – a equação tem duas raízes reais e iguais, x1 = x2.

Assim a função corta o eixo x em um único ponto.



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*Δ < 0 – a equação não apresenta raízes reais, pois .Assim, a função não tem zero real e a parábola não corta o eixo x, pois não existem valores

reais de x que anulem a função.

Em resumo, temos:



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Exemplos:

1) Determine os valores reais de p para que a função f(x)=px²+4x-2.

a) Admita dois zeros reais e distintos.

b) Admita dois zeros reais e iguais.

c) Não admita zeros reais

2) Determine o zero da função f(x)=x²+2x +10.

3) Determine o zero da função f(x)=x² - 4.

4)

LISTA DE EXERCICIOS III

Vértice da parábola: xv e yv .



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O vértice corresponde ao ponto em que a parábola corta o eixo de simetria .Esse ponto pode ser

de altura máxima ( a < 0) ou de altura mínima ( a > 0).

O vértice é formado pelo ponto x e o ponto y, que representa (xv,yv).

O x do vértice corresponde a média aritmética das abscissas dos pontos simétrico da parábola.

Assim, podemos calcular com a fórmula o xv =

. Para encontrar o valor do yv, usamos yv =

.

Exemplos:

1) Um objeto foi jogado do alto de um edifício. Sua altura, em metros, depois de t

segundos é dada pela função H(t) = -5t² + 125. Qual a altura do edifício e em que

instante o objeto atingirá o solo?

2) #

Valor de mínimo ou valor de máximo de uma função quadrática:

Menor valor (a > 0): - ponto de mínimo; - valor de mínimo.

Maior valor (a < 0): - ponto de máximo; - valor de máximo.

LISTA DE EXERCICIOS IV

# Estudo do sinal de uma função quadrática:



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Discriminante ( Δ): - Δ > 0 ( a equação tem duas raízes reais diferentes); Δ = 0 (a

equação tem duas raízes reais iguais) ; Δ< 0 (a equação não tem raízes reais).

LISTA DE EXERCICIOS V

# Inequação do 2° grau: - inequação simultâneas; - inequação-produto; -inequação quociente.

LISTA DE EXERCICIOS VI

Módulo 2

2 ) Estratégias didático-pedagógicas e recursos que serão utilizadas ao se trabalhar o conteúdo:

Deverão ser apresentadas as estratégias didático-pedagógicas, a serem utilizadas paratrabalhar os conteúdos, ou seja, neste item deverão ser descritos os recursos e estratégiasutilizadas para a explanação dos conteúdos científicos.

Num primeiro momento será apresentada a introdução na sala de projeção, onde temos acesso a internet

para que seja possível assistir o vídeo.

Como atividade de casa os alunos farão uma pesquisa sobre:

# Aristóteles ;

# Galileu Galilei ;

onde deve conter sua historia, contribuições importantes para a matemática e a física.

#O que é uma hipérbole.

# O que são as esperais de Fermat.

#Quem foi Pierre de Fermat.

Outra atividade interessante é usar o aplicativo Winplot.

Atividade com o aplicativo winplot: Considere a função y = x² - 4x + 4.

a) No winplot, construa o gráfico da função. Use a grade no gráfico cartesiano.

b) Na tela vai aparecer uma malha onde estará o desenho da parábola.c) Ao clicar no menu VER aparecerá uma caixa onde será mostrado os valores máximos.

d) No campo ‘centro’ altere os valores para ver o que acontece com o gráfico.

e) Teste outras funções.

A estratégia será a de apresentação dos conteúdos no quadro e na sala de projeção, onde os alunos farão os

seus questionamentos.

Sempre que possível será usado os recursos de simulação no wimplot e nos simuladores que estão disponíveis

no site http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/mydownloads_08/viewcat.php?cid=3 ,

que estão relacionados com o conteúdo a ser trabalhado, tanto em física quanto em matemática.

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/mydownloads_08/viewcat.php?cid=3






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Os exercícios, das listas dos exercícios, demonstram melhor a relação entre estas duas disciplinas.

O conteúdo sobre função quadrática esta relacionada com o lançamento de projeteis , movimento uniforme e

variado( MUV).

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