Nascimento da Mecanica Quantica

Maria Teresa Thomaz

Roteiro da apresentacao:

1. A pergunta milenar ...

2. As certezas, novidades e duvidas da Fısica do seculo XIX

3. Desenhando o atomo: a descoberta do eletron

4. Fısica atomica fenomenologica

5. Mecanica ondulatoria × Mecanica das matrizes

6. Uma Mecanica Quantica

7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a percorrer...

8. Bibliografia

Jorge Andre Swieca A.F.R. de Toledo Piza

Este seminario e dedicado ao

Prof. Jorge Andre Swieca e ao

Prof. Antonio Fernando R. de Toledo Piza,

meus professores de Mecanica Quantica.

1. A pergunta milenar ...

Uma proposta que veio antes da era de Cristo: o atomo.

“Por convencao existe a cor,

por convencao existe a docura,

por convencao existe o amargo,

mas na realidade existeatomos e espaco”

Democrito (400 A.C.)

O que e o atomo?

2. As certezas, novidades e duvidas da Fısica doseculo XIX

As certezas:Mecanica:

“Principia, The Mathematical

Principle of Natural of

Phylosophy” (1687)

As 3 leis de Newton:

descrevem o movimento de

partıculas pontuais

⇒ Corpo rıgido: conjunto

de partıculas pontuais.

As leis de Newton descrevem exatamente a Natureza.

Sir Isaac Newton

Eletricidade: filosofos gregos 600 A.C. sabiam que

esfregando pedacos de ambar eles atraiam pedacos de palha.

Eletrostatica: Lei de Coulomb (1785)

Charles Augustin de Coulomb

Lei de Coulomb: interacao entre duas cargas eletricas

pontuais.

|~F | = kq1q2

r2

Magnetismo: a magnetita era conhecida pelos gregos

antes da era de Cristo. Esta pedra vinha de regiao da

Grecia chamada de Magnesia.

• 2.700 A.C.: bussula rustica dos chineses feitas de

“lodestone”.

• 1.000 D.C. - 1.200 D.C.: bussulas para navegacao

• 1.600 D.C.: William Gilbert, o “Pai do Magnetismo”

William Gilbert

“A Terra e um grande ıma.”

Optica geometrica:

Euclides ( 280 A.C.): a luz se propaga em linha reta. Ele

tambem formulou a lei da reflexao.

Willebrod Snell (1621) e Rene Descartes (1637): lei da

refracao.

Lei da refracao de Snell:

n1sen(θ1) = n2sen(θ2).

As novidades do seculo XIX:

Teoria cinetica dos gases: tratamento estatıstico

das moleculas que compoem os gases (∼ 1866).

Esta teoria foi formulada independentemente por L.

Boltzmann e J.C. Maxwell ⇒ nascimento da Mecanica

Estatıstica, que foi proposta separadamente por Ludwig

Boltzmann e Josiah W. Gibbs.

Ludwig Boltzmann Josiah W. Gibbs

Eletromagnetismo:

Lei de inducao de Faraday (1831): variacao de fluxo de

campo magnetico no tempo geram campos eletricos.

Lei de Ampere (1835): campos magneticos sao gerados por

cargas eletricas em movimento.

James Clerk Maxwell (1855- 1856): formulacao matematica

da lei de inducao de Faraday e introduziu o termo de

corrente de deslocameno na lei de Ampere =⇒ a unificacao

dos fenomenos eletricos e magneticos explicados pelas 4 eqs.

do Eletromagnetismo.

James Clerk Maxwell

Consequencias das 4 equacoes de Maxwell:

• Em 1862, Maxwell mostra que a velocidade de

propagacao das ondas eletromagneticas ≈ velocidade da luz

=⇒ a luz e uma onda eletromagnetica.

• Em 1866, Heinrich Hertz detectou as ondas de radio.

◮ No entanto: mesmo Maxwell supunha a existencia do eter

como meio de propagacao das ondas eletromagneticas no

vacuo.

Tabela Periodica de Elementos (1869):

Dmitri I. Mendeleiev dispos os elementos quımicos

conhecidos num quadro em ordem crescente de suas massas

atomicas e segundo suas propriedades. Ele previu a

existencia de novos elementos.

Dmitri Ivanovitch Mendeleiev

Radioatividade espontanea: foi descoberta por Antoine H.

Becquerel em 1896.

Antoine Henri Becquerel

Em 1898, atraves dos estudos dos ”raios de Becquerel”,

Pierre e Marie Curie descobriram o radium e o polonium, que

possuem radioatividade natural.

Pierre e Marie Curie

Problemas em aberto no seculo XIX:• Radiacao de corpo negro: a radiacao emitida por fornos

tem a seguinte distribuicao por comprimento de onda:

A Fısica Classica preve que a intensidade da radiacao

emitida cresce com a frequencia (”catastrofe do

ultravioleta”, ν → ∞ e λ→ 0):

• Linhas espectrais: linhas de emissao e absorcao do atomo

de hidrogenio.

Johann Balmer (1885): “adivinhou“ a formula que descreve

um conjunto de linhas de absorcao/ emissao do atomo de

hidrogenio:

λ =cte × m2

m2 − 4, m = 3, 4, 5, 6 e 7, cte = 3654, 6 × 10−8cm

3. Desenhando o atomo: a descoberta do eletron

Joseph J. Thomson estudando os raios catodicos, descobriu

o eletron em 1897.

Joseph John Thomson

Proposta de Thomson para o atomo: pudim de ameixas

Espalhamento de partıculas α por filmes finos de ouro:No perıodo de 1909-1911, Ernest Rutherford, Hans Geiger e

Ernest Marsden realizaram a experiencia do espalhamento

de partıculas α por filmes finos de ouro:

A interpretacao de Rutherford dos dados experimentais

permitiu a resposta a pergunta milenar: O que e oatomo?

Ernest Rutherford

Modelo planetario de Rutherford para o atomo de

hidrogenio:

Raio atomico: 10−10m , Raio nuclear: 10−15 a 10−14m.

Instabilidade do atomo de Rutherford:

Eletromagnetismo Classico: cargas eletricas aceleradas

irradiam. Tempo para o eletron cair no nucleo no modelo

planetario de Rutherford: 10−9 s!!!!!!

Apos a interpretacao de Rutherford dos resultado

experimentais, passamos a “conhecer“ o que e o atomo, mas

que teoria descreve corretamente adinamica dos fenomenos na escala de10

−10m (dentro do atomo) ?

A descricao completa das partıculas que compoem o atomo

so ocorreu quando foram descobertos:

• Proton em 1918 por Ernest Rutherford

• Neutron em 1932 por James Chadwick

4. Fısica atomica fenomenologica

• Max Planck em 1900: propoe a quantizacao da energia dos

osciladores harmonicos que descrevem as paredes internas

do corpo negro para resolver o problema da radiacao do

corpo negro: En = hνn.

Max Planck

Na expressao da quantizacao da energia do oscilador

harmonico, nasce uma nova constante na Fısica:

h = 6, 63 × 10−34 Js.

A constante h tem dimensao de momento angular.

Expressao de Planck

para a densidade de

energia da cavidade:

E(λ, T ) = 8πhcλ5

1

ehc

λkT −1

• Efeito Fotoeletrico: A corrente medida possui uma

frequencia de corte e esta nao depende da intensidade da

luz incidente.

Em 1905 Albert Einstein usa a quantizacao da energia

proposta por Planck para tratar a luz como partıcula

(foton). Ele propoe que o foton e absorvido completamente

e instantaneamente pelo eletron do meio material.

Energia do foton: E = hν, sendo ν a frequencia da luz.

Ec : energia cinetica do eletron ejetado do metal.

W : funcao trabalho do metal (independente de ν).

V0 : ddp para que o eletron ejetado alcance a placa do

amperımetro com velocidade zero.

Expressao de Einstein para o efeito fotoeletrico:

conservacao de energia.

Ec = hν −W

= eV0 =⇒ V0 =

(

hν

e−W

)

A dependencia linear do efeito fotoeletrico com a

frequencia da luz incidente foi obtida experimentalmente

por R. A. Millikan em 1916.

• Atomo de Bohr- Rutherford:

Em 1913 Niels Henrick

David Bohr, propos

4 postulados para

garantir a estabilidade do

modelo planetario de

Rutherford para o atomo

de hidrogenio.

Postulados de Bohr:1o: Existe um conjunto discreto de energias estacionarias, calculadas

pela Fısica Classica. As orbitas dos eletrons sao circulares.

2o: O eletron atomico so pode fazer transicao entre 2 orbitas de

energia estacionaria (salto quantico).

3o: A energia se conserva nos fenomenos atomicos. A frequencia de

Bohr ν: ν = En−Emh

.

4o: Quantizacao do momento angular: lz = nh2π

, n = 1, 2, 3 · · · .

As energias estacionarias do

atomo de Bohr-Rutherford

para o hidrogenio:

En = − me4

2n2~2 , n = 1, 2, 3, · · ·

sendo ~ = h2π

, e h a constante de Planck.

Acertos do atomo de Bohr-Rutherford:⇑ obtem as linhas espectrais da serie de Balmer.

⇑ o atomo e estavel: possui um estado fundamental, Efun = −me4

2~2.

Desacertos do atomo de Bohr-Rutherford:⇓ nao explica as linhas de absorcao do atomo de hidrogenio sob a acao

de um campo eletrico (efeito Stark).

⇓ a intensidade I da luz emitida numa transicao eletronica entre dois

nıveis e: I ∝ 1

r2. Qual raio usar se temos 2 raios de trajetoria num

salto quantico?

Um meio conserto para o modelo de Bohr-Rutherford:

W. Wilson (1915) e Arnold J.W. Sommerfeld (1916):

trajetorias elıpiticas sao tambem possıveis para o eletron no

atomo de hidrogenio:

Arnold J.W. Sommerfeld

Regra de quantizacao de Sommerfeld

para o momento angular:∮

pidqi = nih, i = x, y, z.

=⇒ as linhas de absorcao do efeito Stark sao obtidas pela

nova regra de quantizacao do momento angular.

O templo da Fısica Atomica:

O Instituto de Fısica Teorica foi inaugurado por Niels Bohr

em Marco de 1921 em Copenhagen.

Hoje e:

Niels Bohr Institute

Blegdamsvej 17

2100 Copenhagen ∅

Dinamarca

• A onda de materia de Louis de Broglie

Na tese de doutorado do Prıncipe Louis Victor de Broglie

(1924): os eletrons se comportam como ondas, com

comprimento λ:

mv =h

λ.

As orbitas de Bohr no

atomo de hidrogenio sao

aquelas cujo o comprimento

corresponde a um numero

inteiro de comprimentos de

ondas de materia (λ).

A tese de doutorado de de Broglie era tao original, que foi

solicitada a avaliacao de Albert Einstein. A sua opiniao

sobre a tese: ”Ela levanta uma ponta do grande veu.”

=⇒ a tese foi aprovada!!!!

Com Einstein em 1905 e de Broglie em 1924 passamos a

saber que a Natureza e simetrica/dual:

luz : onda ⇋ partıcula

eletrons : partıcula ⇋ onda

Aqui termina a era da fenomenologia daFısica para distancias . 10

−10 m.

Reconhecimento da comunidade cientıfica aos primeiros

desbravadores do interior do atomo: concessao de Premios

Nobel:

• Joseph J. Thomson: Fısica (1906)- pelas investigacoes teoricas e

experimentais sobre a conducao de eletricidade nos gases.

• Ernest Rutherford: Quımica (1908)- pelas investigacoes sobre a

desintegracao de elementos e a quımica de materias radioativos.

• Max Planck: Fısica (1918) - pela descoberta dos quanta de energia.

• Albert Einstein: Fısica (1921) - descoberta da lei do efeito

fotoeletrico.

• Niels H. D. Bohr: Fısica (1922) - pelas investigacoes sobre a

estrutura dos atomos e a radiacao emitida por eles.

• Prıncipe Louis V. de Broglie: Fısica (1929)- pela descoberta da

natureza ondulatoria dos eletrons.

5. Mecanica ondulatoria × Mecanica das matrizes

Uma ruptura com a Fısica Classica: nasce a FısicaQuantica!!!!

• Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger

Em novembro de 1925 Schrodinger apresenta um seminario

sobre a tese de doutorado de de Broglie. Schrodinger

relembra a observacao de Peter Debye: “... aquela forma de

fazer as coisas lhe parece algo infantil; como aluno de

Sommerfeld, tinha aprendido que, para lidar decentemente

com ondas, e preciso que se tenha uma equacao de ondas.“

Em 1926, Schrodinger (35 anos) propoe sua equacao de

ondas de materia:

−~

2

2m∇2ψ(~x, t) + V (~x)ψ(~x, t) = i~

∂ψ(~x, t)

∂t, Mecanica Ondulatoria

sendo ψ(~x, t) uma onda de materia.

A partir desta equacao, Schrodinger obtem o espectro de

energia do atomo de hidrogenio:

En = −13.6

n2eV, n = 1, 2, 3 · · ·

assim como o espectro de energia do efeito Stark.

A Mecanica Ondulatoria parece nao ter saltos quanticos.

Em 1926, na solucao do efeito Stark, Schrodinger

reinterpreta |ψ(~x, t)|2 como a densidade espacial de carga

eletrica.

• Werner Karl Heisenberg

W. Heisenber foi orientado por

A. Sommerfeld na sua graduacao

na Univ. de Munique.

Sommerfeld convida Heisenberg em 1922 para ir na Univ. de

Gottingen, onde N. Bohr vai apresentar um conjunto de palestras.

Neste encontro, N. Bohr convida Heisenberg (21 anos) para passar

uma temporada no Instituto de Fısica Teorica em Copenhagen.

Visita de Heisenberg a Bohr em Copenhagen:

• primavera de 1924

• ano de 1924: setembro de 1924 a maio de 1925 (Bolsa da Fundacao

Rockfeller)

Ideia central de Heisenberg: abandonar os conceitos

classicos, substituindo-os por ingredientes novos com relacao

direta com as propriedades observaveis dos atomos.

Candidato: saltos quanticos

Em junho de 1925, Heisenberg (23 anos) decide trabalhar

com objetos com 2 ındices e formula a dinamica de sistemas

quanticos:

•distancia: rEn,Em⇒ rn,m

•momento: pEn,Em⇒ pn,m

=⇒

Mecanica das Matrizes:

o espectro do pendulo

quantico

Max Born e Pascual Jordan reconhecem que os objetos que

Heisenberg usava para descrever a Fısica do atomo eram

matrizes!!!!!

Em novembro de 1925, Wolfgang Pauli obteve o espectro do

atomo de hidrogenio a partir da Mecanica de Matrizes de

Heisenberg.

De janeiro a fevereiro de 1926: Schrodinger mostrou a

equivalencia matematica de sua Mecanica Ondulatoria com

a Mecanica das Matrizes de Heisenberg.

O primeiro encontro entre Schrodinger e Heisenberg ocorre

em 1926: Sommerfeld convida Schrodinger para apresentar

um seminario na Univ. de Munique. Heisenberg esta na

plateia com crıticas!!!

O ponto da discordia: os saltos quanticos

6. Uma Mecanica Quantica

Interpretacao de Gottingen- Copenhagen: Max Born (1926)

|ψ(~x, t)|2: densidade de probabilidade

associada a posicao do eletron.

Os eletrons sao encontrados

pontos definidos no espaco.

Max Born

Com a interpretacao de Born a Mecanica Quantica passa a

ser uma teoria probabilıstica.

Reacao de Schrodinger a interpretacao de Gottingen-

Copenhagen: rejeicao. Para Schrodinger as ondas

representadas por ψ(~x, t) deveriam representar uma

realidade fısica comparavel a dos campos eletromagneticos.

1927: Heisenberg demonstrou o Princıpio da Incerteza a

partir da Mecanica de Matrizes:

∆x ∆p ≥~

2=⇒ nao existem trajetorias na MQ!!!!!

Desde a decada de 30 sabemos que a Mecanica Ondulatoria

e a Mecanica das Matrizes sao duas maneiras diferentes de

escrever a mesma dinamica da Fısica do atomo!!!!

7. A pergunta foi respondida? Uma estrada apercorrer...

Hoje temos a Mecanica Quantica que descreve a dinamica

de sistemas quanticos na escala atomica (∼ 10−10m).

Sera que Democrito esta satisfeito

com a nossa resposta a pergunta:

O que e o atomo?

Para Democrito a palavra atomo significa o indivisıvel.

A busca ao indivisıvel continua...

“Quando os reis constroem, os operarios tem o que fazer.“

F. von Schiller

8. Bibliografia

Este seminario e baseado nos livros:

Agradeco as horas agradaveis de leitura que tive aos autores

amigos!!!