UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

A Matematica Pitagorica

Clayton Cristiano Silva,

Edicarlos Vander Medina Vasconcelos e

Bruno Daniel Paiva

Prof. Allan de Oliveira Moura

Seminario de MAT232 - 2012-I

VICOSA

MINAS GERAIS - BRASIL

OUTUBRO/2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

RESUMO

A Matematica Pitagorica

Neste trabalho apresentaremos um pouco do que se sabe sobre os conhecimentos matemati-

cos desenvolvidos pelos pitagoricos. Dissertaremos sobre a figura mıtica de Pitagoras, a

fundacao de sua escola e sobre as crencas de seus membros. Falaremos sobre o famoso Teo-

rema de Pitagoras, principal resultado atribuıdo a eles e, finalmente, sobre a descoberta das

grandezas irracionais que levou indiretamente a decadencia das suas concepcoes filosoficas.

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SUMARIO

Introducao 3

1 Pitagoras de Samos 4

2 Aritmetica Pitagorica 6

3 O Teorema de Pitagoras 8

4 Outros Conhecimentos Matematicos Atribuıdos aos Pitagoricos 9

Conclusao 12

Bibliografia 13

2

INTRODUCAO

Os ultimos seculos do segundo milenio a.C. testemunharam muitas mudancas economicas e

polıticas. Algumas civilizacoes desapareceram, o poder do Egito e da Babilonia declinou,

e outros povos, especialmente os hebreus, os assırios, os fenıcios e os gregos, passaram ao

primeiro plano. A Idade do Ferro que se anunciava trazia consigo mudancas abrangentes

no que se refere a guerra e a todas as atividades que exigiam instrumentos e ferramentas.

Inventou-se o alfabeto e se introduziram as moedas. O comercio foi crescentemente incen-

tivado e se fizeram muitas descobertas geograficas. O mundo estava pronto para um novo

tipo de civilizacao.

O aparecimento dessa nova civilizacao se deu nas cidades comerciais espalhadas ao longo

das costas da Asia Menor e, mais tarde, na parte continental da Grecia, na Sicılia e no litoral

da Italia. A visao estatica do Oriente antigo sobre as coisas tornou-se insustentavel e, numa

atmosfera de racionalismo crescente, o homem comecou a indagar como e por que.

E neste contexto que surge a matematica, no sentido moderno da palavra, nascida nessa

atmosfera de racionalismo das novas cidades comerciais localizadas na costa oeste da Asia

Menor.

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CAPITULO 1

PITAGORAS DE SAMOS

Figura 1.1: Busto de Pitagoras

Pitagoras foi um dos matematicos mencionados no

Sumario Eudemiano de Proclo, que consistia nas

paginas de abertura do Comentario sobre Euclides,

Livro I, um breve resumo do desenvolvimento da

geometria grega ate Euclides. Pitagoras foi de tal

forma envolto numa nevoa de misticismo por seus

seguidores que pouco se sabe sobre ele com algum

grau de certeza. Ao que parece, Pitagoras nasceu

por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos. E

possıvel que Pitagoras tenha sido discıpulo de Tales,

pois era cinquenta anos mais novo do que este e

morava perto de Mileto, onde vivia Tales. Depois

parece que residiu por algum tempo no Egito e pode

mesmo ter-se abalancado a viagens mais extensas.

Ao retornar a Samos encontrou o poder nas maos do

tirano Polıcrates e a Jonia sob o domınio persa: de-

cidiu entao emigrar para o porto marıtimo de Cro-

tona, uma colonia grega situada no sul da Italia.

La ele fundou a famosa escola pitagorica, que, alem de ser um centro de estudo da filosofia,

matematica e ciencias naturais, era tambem uma irmandade estreitamente unida por ritos

secretos e cerimonias. Com o tempo, a influencia e as tendencias aristocraticas da irmandade

tornaram-se tao grandes que forcas democraticas do sul da Italia destruıram os predios da

escola fazendo com que a confraria se dispersasse. Segundo um relato, Pitagoras fugiu para

Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade avancada entre setenta e cinco

e oitenta anos de idade. A irmandade, embora dispersa, continuou a existir por pelo menos

mais dois seculos.

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CAP. 1 • PITAGORAS DE SAMOS 5

Se Pitagoras permanece uma figura muito obscura isto se deve em parte a perda de

documentos daquela epoca. Varias biografias de Pitagoras foram escritas na antiguidade,

inclusive uma de Aristoteles, mas se perderam. Uma outra dificuldade para caracterizar

claramente a figura de Pitagoras provem do fato de que a ordem que ele fundou era comu-

nitaria, alem de secreta. Conhecimento e propriedade eram comuns, por isso a atribuicao de

descobertas nao era feita a um membro especıfico da escola. E melhor, por isso, nao falar na

obra de Pitagoras mas antes nas contribuicoes dos pitagoricos, embora na antiguidade fosse

usual dar todo o credito ao mestre.

A escola pitagorica era politicamente conservadora e tinha um codigo de conduta rıgido.

O vegetarianismo era imposto a seus membros, aparentemente porque o pitagorismo aceitava

a doutrina da metempsicose, ou transmigracao das almas, com a preocupacao consequente

de que se podia matar um animal que fosse a nova moradia da alma de um amigo morto.

Entre outros tabus da escola havia o de comer feijoes (ou melhor, lentilhas). Talvez a

mais notavel caracterıstica da ordem pitagorica fosse a confianca que mantinha no estudo da

matematica e da filosofia como base moral para a conduta. As proprias palavras ”filosofia”(ou

”amor a sabedoria”) e matematica (ou ”o que e aprendido”) supoe-se terem sido criadas pelo

proprio Pitagoras para descrever suas atividades intelectuais. Diz-se que ele estabeleceu

duas categorias de conferencias, uma so para membros da escola ou ordem, outras para os

da comunidade mais ampla. Presume-se que foi nas conferencias da primeira categoria que

Pitagoras apresentou as contribuicoes que fez a matematica, quaisquer que fossem essas.

A filosofia pitagorica baseava-se na suposicao de que a causa ultima das varias carac-

terısticas do homem e da materia sao os numeros inteiros. Isso levava a uma exaltacao e ao

estudo das propriedades dos numeros e da aritmetica (no sentido de teoria dos numeros),

junto com a geometria, a musica e a astronomia, que constituıam as artes liberais basicas

do programa de estudos pitagorico. Esse grupo de materias tornou-se conhecido na Idade

Media como quadrivium, ao qual se acrescentavam o trivium, formado de gramatica, logica

e retorica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural

necessaria de uma pessoa educada. O numero um, diziam os pitagoricos, e o gerador dos

numeros e o numero da razao; o dois e o primeiro numero par, ou feminino, o numero da

opiniao; tres e o primeiro numero masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto de

unidade e diversidade; quatro e o numero da justica ou retribuicao indicando o ajuste de

contas; cinco e o numero do casamento, uniao dos primeiros numeros verdadeiros feminino

e masculino; e seis e o numero da criacao. Cada numero, por sua vez, tinha seus atrib-

utos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, pois representava o numero do

universo, inclusive a soma de todas as possıveis dimensoes geometricas. Um ponto gera as

dimensoes, dois pontos determinam uma reta de dimensao um, tres pontos nao alinhados

determinam um triangulo com area de dimensao dois, e quatro pontos nao coplanares de-

terminam um tetraedro de dimensao tres; a soma dos numeros que representam todas as

dimensoes e portanto, o adorado numero dez. E um tributo a abstracao da matematica

pitagorica que a veneracao do numero dez evidentemente nao era ditada pela anatomia da

mao ou pe humanos.

CAPITULO 2

ARITMETICA PITAGORICA

Os gregos antigos faziam distincao entre o estudo das relacoes abstratas envolvendo os

numeros e a arte pratica de calcular com numeros. Esta era conhecida como logıstica e

aquele como aritmetica. Essa distincao atravessou a Idade Media chegando ate por volta

do final do seculo XV, quando surgiram textos que tratavam as facetas teorica e pratica

da abordagem dos numeros sob a designacao unica de aritmetica. E interessante que hoje

aritmetica tenha seu significado original na Europa Continental, ao passo que na Inglaterra

e nos Estados Unidos o significado popular de aritmetica corresponde a logıstica grega. Nos

dois paıses citados usa-se a expressao teoria dos numeros para designar a faceta abstrata

do estudo dos numeros. Admite-se geralmente que os primeiros passos no sentido do desen-

volvimento da teoria dos numeros e, ao mesmo tempo, do lancamento das bases do futuro

misticismo numerico, foram dados por Pitagoras e seus seguidores movidos pela filosofia de

fraternidade. Assim e que Jamblico, um influente filosofo neoplatonico que viveu por volta

de 320 d.C., atribui a Pitagoras a descoberta dos numeros amigaveis. Dois numeros se dizem

amigaveis se cada um deles e igual a soma dos divisores proprios do outro. Por exemplo, 284

e 220, que constituem o par atribuıdo a Pitagoras, sao amigaveis porque os divisores proprios

de 220 sao 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma e 284, ao passo que os divisores

proprios de 284 sao 1, 2, 4, 71, e 142 cuja soma e 220. Esse par de numeros alcancou uma

aura mıstica, e rezava a supersticao posterior que dois talismas com esses numeros selariam

uma amizade perfeita entre os que os usassem. Os dois numeros vieram a ter um papel

importante na magia, na feiticaria, na astrologia e na determinacao de horoscopos. Tambem

se atribuem aos pitagoricos os numeros perfeitos, deficientes e abundantes que apresentam

ligacoes mısticas essenciais a especulacoes numerologicas. Um numero se diz perfeito se e

igual a soma de seus divisores proprios, deficiente se excede a soma de seus divisores proprios

e abundante se e menor que a soma de seus divisores proprios. Assim, Deus criou o mundo

em seis dias, um numero perfeito pois 1 + 2 + 3 = 6. Por outro lado, conforme observou

Alcuıno (735−804), toda a raca humana descende das oito almas da arca de Noe, sendo essa

criacao imperfeita porque 8 e deficiente, ja que 1+ 2+ 4 < 8. Embora nem todos os histori-

6

CAP. 2 • ARITMETICA PITAGORICA 7

adores da matematica entendam que os numeros amigaveis e perfeitos possam ser atribuıdos

aos pitagoricos, parece haver uma concordancia universal quanto a que os numeros figurados

se originaram com os membros mais antigos da escola. Esses numeros, que expressam o

numero de pontos em certas configuracoes geometricas, representam um elo de ligacao entre

a geometria e a aritmetica.

Figura 2.1: Alguns numeros figurados

Podem-se estabelecer muitos teoremas interessantes relativos a numeros figurados de

maneira puramente geometrica. De modo semelhante eram designados numeros poligonais

de todas as ordens; o processo naturalmente se estende facilmente ao espaco tridimensional,

em que se lida com numeros poliedrais. Encorajado por essas ideias, Filolau, ao que se conta,

afirmou que

”Todas as coisas que podem ser conhecidas tem numero: pois nao e possıvel que sem

numero qualquer coisa possa ser concebida ou conhecida.

A frase de Filolau parece ter sido artigo de fe da escola pitagorica, daı surgindo estorias

sobre a descoberta, por Pitagoras, de algumas leis simples da musica. Conta-se que Pitagoras

observou que quando os comprimentos de cordas vibrantes podem ser expressos em razoes

de numeros inteiros simples, como dois para tres (para a quinta) ou tres para quatro (para

a quarta), os tons serao harmoniosos. Em outras palavras, se uma corda produz a nota do

quando tocada, entao uma semelhante com o dobro do comprimento produzira o do uma

oitava abaixo; e os tons entre essas notas sao emitidos por cordas cujos comprimentos sao

dados por razoes intermediarias. Aqui temos talvez as mais antigas leis quantitativas da

acustica - talvez as mais antigas leis quantitativas da fısica.

CAPITULO 3

O TEOREMA DE PITAGORAS

A tradicao e unanime em atribuir a Pitagoras a descoberta independente do teorema so-

bre triangulos retangulos que hoje leva seu nome - que o quadrado sobre a hipotenusa de

um triangulo retangulo e igual a soma dos quadrados sobre os catetos. Esse teorema era

conhecido pelos babilonios dos tempos de Hamurabi, mais de um milenio antes, mas sua

primeira demonstracao geral pode ter sido dada por Pitagoras. As lendas de que Pitagoras

sacrificou um boi (cem bois segundo outras versoes) ao descobrir o teorema sao implausıveis,

tendo em vista as regras vegetarianas da escola. Muitas conjecturas tem sido feitas quanto a

demonstracao que Pitagoras poderia ter dado, mas ao que parece foi uma demonstracao por

decomposicao. Denotemos por a, b e c os catetos e a hipotenusa de um triangulo retangulo,

e consideremos dois quadrados, cada um de lados iguais a a + b. O primeiro quadrado esta

decomposto em seis partes - a saber, os dois quadrados sobre os catetos e quatro triangulos

retangulos congruentes ao triangulo dado. O segundo quadrado esta decomposto em cinco

partes - a saber, o quadrado sobre a hipotenusa e quatro triangulos retangulos congruentes ao

triangulo dado. Subtraindo-se iguais de iguais, conclui-se que o quadrado sobre a hipotenusa

e igual a soma dos quadrados sobre os catetos.

Figura 3.1: Demonstracao geometrica do Teorema de Pitagoras

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CAPITULO 4

OUTROS CONHECIMENTOS

MATEMATICOS ATRIBUIDOS

AOS PITAGORICOS

A Descoberta das Grandezas Irracionais

A descoberta da existencia de numeros irracionais foi surpreendente e perturbadora para

os pitagoricos. Em primeiro lugar porque parecia desferir um golpe mortal na filosofia

pitagorica segundo a qual tudo dependia dos numeros inteiros. Alem disso, parecia contraria

ao senso comum, pois intuitivamente havia o sentimento de que toda grandeza poderia ser

expressa por algum numero racional. A contrapartida geometrica era igualmente espantosa,

pois quem poderia duvidar que, dados dois segmentos de reta, sempre seria possıvel encon-

trar um terceiro segmento de reta, talvez muito, muito pequeno, que coubesse exatamente

um numero inteiro de vezes em cada um dos dois segmentos dados? Mas tomemos como

segmentos o lado s e a diagonal d de um quadrado. Entao, se existisse um terceiro segmento

t que coubesse exatamente um numero inteiro de vezes em s e em d, terıamos s = bt e d = at,

em que a e b sao inteiros positivos. Mas d = s√2 e portanto at = bt

√2, isto e, a = b

√2,

ou√2 = a/b que e um numero racional. Contrariamente a intuicao, existem entao segmen-

tos de reta incomensuraveis, ou seja, segmentos de reta para os quais nao ha uma unidade

de medida comum. A descoberta da irracionalidade de√2 provocou alguma consternacao

nos meios pitagoricos. Pois nao so ela parecia perturbar a suposicao basica da escola como

tambem porque a definicao pitagorica de proporcao, assumindo como comensuraveis duas

grandezas quaisquer similares, fazia com que todas as proposicoes da teoria pitagorica das

proporcoes se limitassem a grandezas comensuraveis, invalidando sua teoria geral das figuras

semelhantes. Tao grande foi o ”escandalo logico”que por algum tempo se fizeram esforcos

para manter a questao em sigilo. Conta uma lenda que o pitagorico Hipaso (ou talvez outro)

foi lancado ao mar pela acao ımpia de revelar o segredo a estranhos ou (de acordo com outra

versao) que ele foi banido da comunidade pitagorica, sendo-lhe ainda erigido um tumulo,

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como se estivesse morto.

Identidades Algebricas

Imbuıdos da ideia de representacao de um numero por meio de um comprimento e care-

cendo completamente de qualquer notacao algebrica adequada, os gregos antigos idearam

processos algebricos engenhosos para efetuar operacoes algebricas. Atribui-se aos pitagoricos

parte consideravel dessa algebra geometrica que se acha espalhada por varios dos primeiros

livros dos Elementos de Euclides. Assim, o Livro II dos Elementos contem varias proposicoes

que em realidade sao identidades algebricas envolvidas numa terminologia geometrica. Parece

bastante certo que essas proposicoes tenham sido desenvolvidas pelos primeiros pitagoricos,

atraves de metodos de decomposicao. Podemos ilustrar o metodo considerando uma propo-

sicao do Livro II. A proposicao 4 do Livro II estabelece geometricamente a identidade

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Figura 4.1: Demonstracao da formula do quadrado da soma de dois termos

Decompondo o quadrado de lado a + b em dois quadrados e dois retangulos de areas a2,

b2, ab e ba. O enunciado de Euclides para essa proposicao e:

Dividindo-se uma reta em duas partes, o quadrado sobre a reta toda e igual a soma dos

quadrados sobre as partes juntamente com o dobro do retangulo contido pelas partes.

Resolucao Geometrica de Equacoes Quadraticas

Em sua algebra geometrica, os gregos se utilizaram de dois metodos principais para

resolver certas equacoes simples - o metodo das proporcoes e o metodo da aplicacao de

areas. Ha indıcios de que ambos esses metodos se originaram com os pitagoricos.

Transformacoes de Areas

Os pitagoricos interessavam-se pelo problema de transformar a area de uma figura retilınea

noutra figura retilınea. A solucao dada por eles ao problema basico da construcao de um

CAP. 4 • OUTROS CONHECIMENTOS MATEMATICOS ATRIBUIDOS AOSPITAGORICOS 11

quadrado de area igual a de um polıgono dado pode ser encontrada nas Proposicoes 42, 44

e 45 do Livro I e Proposicao 14 do Livro II dos Elementos de Euclides.

Os Solidos Regulares

Um poliedro se diz regular se suas faces sao polıgonos regulares congruentes e se seus

angulos poliedricos sao todos congruentes. Embora existam polıgonos regulares de todas

as ordens, sucede-se que so ha cinco poliedros regulares diferentes. Os poliedros regulares

sao designados de acordo com o numero de faces que possuem. Assim, ha o tetraedro com

quatro faces triangulares, o hexaedro, ou cubo, com seis faces quadradas, o octaedro com

oito faces triangulares, o dodecaedro com doze faces pentagonais e o icosaedro com vinte

faces triangulares.

Figura 4.2: Os cinco poliedros regulares convexos

Os primordios da historia dos poliedros regulares perdem-se nas brumas do passado. Ha

um indıcio de tratamento matematico desses solidos no Livro XIII dos Elementos de Eu-

clides. O primeiro escolio desse livro observa que se ”ira tratar dos solidos de Platao, assim

chamados incorretamente, porque tres deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem

aos pitagoricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro se devem a Teeteto”. E bem possıvel

que isso corresponda aos fatos. De qualquer maneira Platao, em seu Timeu, apresentou uma

descricao dos cinco poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses solidos,

juntando triangulos, quadrados e pentagonos para formar suas faces. O Timeu de Platao e

o pitagorico Timeu de Locri, a quem possivelmente encontrou quando visitou a Italia. No

trabalho de Platao, Timeu misticamente associa os quatro solidos mais faceis de construir -

o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo - com os quatro ”elementos”primordiais empe-

doclianos de todos os corpos materiais - fogo, ar, agua e terra. Contornava-se a dificuldade

embaracosa em explicar o quinto solido, o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos

cerca.

O Raciocınio Postulacional

Em algum momento entre Tales, 600 a.C., e Euclides, 300 a. C., rematou-se a nocao de

discurso logico como uma sequencia de deducoes rigorosas a partis de algumas suposicoes ini-

ciais explicitamente enunciadas. Esse processo, o chamado metodo postulacional, tornou-se

a verdadeira essencia da matematica moderna; indubitavelmente, grande parte do desen-

volvimento da geometria segundo esse modelo deve-se aos pitagoricos. Sem duvida uma das

maiores contribuicoes dos gregos primitivos foi o desenvolvimento desse metodo de raciocınio

postulacional.

CONCLUSAO

Caso tenha realmente existido, o mestre Pitagoras de Samos deixou muitas contribuicoes,

sendo a mais importante e conhecida o Teorema de Pitagoras. Atribui-se a ele tambem

a criacao das palavras Filosofia (amor a sabedoria) e Matematica (o que e aprendido).

Costuma-se creditar tambem a Pitagoras o tıtulo de ”reitor da primeira universidade”, a

escola pitagorica.

Devemos aos pitagoricos o metodo de raciocınio postulacional, o fundamento de toda a

matematica desenvolvida ate hoje. Seu ponto de vista filosofico, mıstico e religioso tambem

fez com que a matematica se desvencilhasse dos conhecimentos empıricos dos egıpcios e

babilonios. Assim, Pitagoras e tambem o primeiro matematico puro.

Os estudos de aritmetica e de geometria dos pitagoricos motivaram inumeros problemas

de Teoria dos Numeros ainda hoje nao resolvidos. O famoso ”Ultimo Teorema de Fermat”,

por exemplo, foi inspirado no Teorema de Pitagoras e demonstrado em 1994 pelo matematico

britanico Andrew Wiles.

Enfim, podemos concluir que a matematica pitagorica e uma fascinante pagina da historia

do desenvolvimento do conhecimento humano e seus problemas certamente influenciarao a

mente de estudiosos por varias geracoes.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] C. B. Boyer, Historia da Matematica, 1a edicao, Sao Paulo, 1996.

[2] Howard Eves, Introducao a Historia da Matematica, Editora Unicamp, Sao

Paulo, 2004.

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