SEMINÁRIO DE LEITURAS CLÍNICAS 2009 no que ele considera a noção de número cardinal anterior à...

IMBERT, Claude Introduo a: Escritos lgicos e filosficos de Gottlob Frege

Alduisio M. de Souza Verso, Digresses e Comentrios

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SEMINRIO DE LEITURAS CLNICAS 2009 I

LEITURAS DE FREGE

INTRODUO AOS

Os Fundamentos da Aritmtica de Gottlob Frege

(Les fondements de larithmtique)

Claude Imbert

TRANSDUO, COMENTRIOS e DIGRESSES.

Alduisio M. de Souza



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GOTTLOB FREGE

OS FUNDAMENTOS DA ARITMTICA

PESQUISA LGICO-MATEMTICA SOBRE O CONCEITO DE NMERO

TRADUO E INTRODUO DE:

CLAUDE IMBERT

Verso, Digresses e Comentrios: Alduisio M. de Souza

Nota liminar

Os Fundamentos da Aritmtica foram publicados em 1884 em Breslau. Uma

segunda edio (Breslau) foi feita em 1934 e uma terceira em 1950 (Oxford),

acompanhada pela traduo de J. L. Austin [reimpressa vrias vezes por causa do

interesse crescente, mesmo que tardio que a obra adquiriu].

As notas que encontraremos ao p da pgina so de Frege, com a exceo de

observaes de traduo acompanhadas com a meno (N. do T). Alguns termos foram

inseridos entre colchetes para clareza do texto, sendo inserido ento as indicaes na

tbua analtica das matrias. Todas foram traduzidas diretamente de Frege.

Ns nos esforamos para respeitar a extrema conciso do texto e, na medida do

possvel, a caracterstica [colorao] do vocabulrio. O vocabulrio filosfico de Frege

datado. Uma de suas fontes a obra de Kant; inclusive Frege toma dos epistemlogos

contemporneos aos quais critica as tendncias psicologistas. Mas, quando expe sua

doutrina, ele mostra com grande afinco os termos aos quais ele se apropriou.

Anzahl foi traduzido por nmero cardinal, a cada vez que o termo aparece

figurando no incio de um pargrafo, e por nmero na seqncia imediata da passagem.

Frege entendeu assim o que responde questo: quanto? Ele se ope aqui ao uso de

seus contemporneos Weisrstrass e Cantor (1). O primeiro, Weierstrass, designa por

Anzahl o ato da numerao. O segundo, Cantor, o nmero ordinal. Frege inova

duplamente. Primeiro no que trata do nmero independente do ato de contar e em

seguida, no que ele considera a noo de nmero cardinal anterior do nmero ordinal e

logicamente mais simples.

Bedeuten recebeu a traduo banal e ambgua de: significar. Em 1884, Frege

ainda no havia distinguido explicitamente o sentido (Sinn) da denotao (Bedeutung

no sentido estrito), [o que viria ocorrer no artigo ber Sinn und Bedeutung de 1892].

Numa carta para Husserl, Frege deplorou as incertezas de seu vocabulrio. Na verdade

esta incerteza no afeta inteligncia do texto. Quando teve oportunidade de faz-la,

------------------------------------------------------ (1) CAVAILLS, J. Observaes sobre a formao da teoria abstrata dos conjuntos, in: Filosofia

matemtica, p. 39. Cavaills foi colega e mestre de Canguillem, Althusser etc. heri exemplar da

resistncia e que deixou um legado de rigor e coragem para os normalistas da Escola Normal Superior.

Reverenciado por toda uma gerao e conferindo uma aura trgica aos estudos da filosofia matemtica no

ps II guerra e luta contra o nazismo. Fora preso em Fresnes e assassinado pelos nazistas em Arras em

1943.



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Bedeutung foi traduzida em perfrases: o que isto quer dizer.... Este volteio sem

pesquisa reflete o emprego mais comum do termo alemo.

Begriff, traduzida por conceito, designa uma funo lgica particular. Esta

funo engendra uma proposio verdadeira ou falsa, mas no assertada, quando ento

ser completada por um argumento. O sentido tcnico assim ligado ao termo conceito

est conforme a anlise da proposio dada na Begriffschrift (1879) 3. [Dizemos hoje

predicado, mas devemos distinguir este sentido novo de predicado e aquele que

indicava lgica clssica onde o predicado era um termo]. A analogia entre uma

funo e um conceito foi confirmada, e as conseqncias de tal generalizao da funo,

foram feitas no artigo: Funo e Conceito (1892).

verdade que Frege sacrifica s vezes o uso e emprega o termo conceito no

sentido convencional de noo, de: o que devemos entender por. assim que no 72,

por exemplo, no qual der Begriff der Anzahl significa: a noo de nmero. Assim sendo

em passagens desse gnero, que so transies na maioria das vezes, Frege enuncia o

que vai fazer ou o que acaba de fazer, ao passo que o emprego de Begriff ser conforme

as estipulaes da Begriffschrift quando desenvolve sua teoria aritmtica propriamente

dita. A aparente flutuao de sentido se deve ao que Frege ser constrito a expor em

lngua vulgar o que ele expe alhures em lngua simblica (Begriffschrift, Grundgesetze

der Arithmetik). Assim, a leitura dos fundamentos pede:

que distingamos no texto dois estratos, as passagens nas quais so enunciadas as

definies e raciocnios e que so inteiramente transcritos em lngua simblica, como

podemos verificar consultando os Grundgesetze e as passagens introduzem ou

comentam as primeiras e na qual o vocabulrio depende da lngua falada. Estes ltimos

constituem de longe a maioria deste escrito polmico;

que o leitor tenha no esprito os princpios da Begriffschrift que foram to

inovadores, em particular a anlise das proposies em funo e argumento e a teoria da

quantificao. Falta de referncia nos equivocaremos sobre o sentido do texto. Devemos

e esta negligncia a m recepo dos Fundamentos por seus contemporneos e em

particular o equvoco sobre a extenso do conceito.

Beziehungsbegriff foi traduzido por: conceito de relao. Trata-se de uma

relao que se torna um conceito no sentido usual quando ela completada por um

nico argumento, e d nascimento a uma proposio quando ela completada por dois

argumentos. A expresso escolhida por Frege tende a mostrar o parentesco lgico entre

conceito e relao, parentesco que ainda no era admitido em 1884. A extenso de tal

conceito de relao chamada por Frege Relao. um conjunto de pares ordenados,

subconjunto de um produto cartesiano, o grafo da relao.

Eindeutig foi traduzido por unvoco. Sobre este ponto, ns nos opomos aos

tradutores anglo-saxes (1) que haviam proposto: many-one (correlation). De fato, Frege

emprega eindeutig para especificar certa correspondncia sem precisar a

correspondncia inversa. Muitas vezes, esta ltima igualmente unvoca, o que a

traduo inglesa parece desconhecer. O conjunto da relao direta e a da conversa

beiderseits eindeutig, traduzida por biunvoca. A relao que Frege qualifica de

eindeutig o que hoje chamamos de relao funcional.

Gleichzahlig foi traduzida por: equinumrico. Frege ele mesmo havia pedido

que lhe fosse dado um neologismo para uma noo lgica nova. A raiz equi- da lngua

--------------------------------------------------------------- (1) Foi o caso de Austin e de M. Furth. Stefen Bauer Mengelberg, tradutor da Begriffschrift no A source

book prope simple-valued procedure por eindeutig Verfahren.



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francesa tem a mesma riqueza da palavra alem gleich. E, alm disso, o termo proposto

beneficia da analogia com o eqipotente admitido na traduo de Cantor. O

equinumrico uma correspondncia biunvoca entre extenses de conceito, ela tem

todas as propriedades de uma relao de equivalncia, como a equipotncia definida

sobre os conjuntos cantorianos.

Merkmal foi traduzido por: caractere (de um conceito). aproximativamente, a

nota da Escola, se no fosse a confuso escolstica entre caractere de conceito e

propriedade de objeto, sensvel na frmula: nota notae, nota rei ipsius. Cada conceito

individualizado pelo conjunto de seus caracteres. Este conjunto equivale conotao ou

compreenso dos clssicos.

Natrlichen Zahlenreihe foi traduzido por: seguida [srie] natural dos nmeros.

Frege no emprega jamais a expresso nmero natural, e podemos compreender

facilmente a razo. A ordem natural dos nmeros a sucesso imediata dos cardinais; e

a funo sucessor definida como uma aplicao biunvoca particular entre cardinais. A

srie natural dos nmeros construda sobre os cardinais chamada na Grundgestze,

Anzahlenreihe: srie ou seguida dos cardinais.

Segue os agradecimentos de praxe: M. J. van Heijennoort; R. Martin etc.

Claude Imbert

Fico encantado por pretender publicar a correspondncia entre Frege e eu

prprio, e estou-lhe grato por o ter sugerido. Ao pensar em actos de integridade e

elevao, apercebo-me de que no existe nada em meu conhecimento que se possa

comparar dedicao de Frege verdade. O trabalho de toda sua vida estava prestes a

ser concludo, muito da sua investigao tinha sido ignorado em proveito de homens

infinitamente menos capazes, o seu segundo volume estava quase a ser publicado, e

quando descobriu que a sua suposio fundamental era errada, respondeu com prazer

intelectual fazendo evidentemente submergir todos e quaisquer sentimentos de

desapontamento pessoal. Foi um gesto quase supra-humano e uma eloqente

indicao daquilo que os homens so capazes de fazer se se dedicam ao trabalho

criativo e ao conhecimento, em vez de realizarem esforos grosseiros para dominarem

e serem conhecidos.

Sinceramente este seu,

Bertrand Russel

Carta dirigida em 23 de novembro de 1962 para J. van Hijenoort

para o livro A Source book in mathematical Logic.

INTRODUO



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Preldio para um leitor matemtico.

A traduo dos Fundamentos da Aritmtica submete ao leitor francs um

documento, se ele for matemtico, se ele for filsofo ou lgico, a anlise exemplar de

um problema disputado desde a Antiguidade e dominado pela primeira vez.

O matemtico Frege pertence descendncia de Gauss o qual cita

voluntariamente. Ele da estirpe dos que quiseram substituir as idias de clculo, a

definio de nmero cardinal pelo 1+1 dos livros de escola. Ao medirmos por seu

resultado que alcanamos hoje por um caminho trilhado durante vinte sculos, a lio de

matemtica rapidamente dada. Sem dvida Bourbaki resumiu ela como convm, em

algumas linhas.

Comparvel quele que partiu para as ndias e descobriu a Amrica, Frege

pesquisava o nmero e inventar uma linguagem que o colocou de cheio nos sales

matemticos. O aritmtico atarefado que jogar no cesto rascunhos e mais rascunhos,

foi o que criou algo que ningum havia feito: a lgica moderna. A introduo que

propomos gostaria de seguir esta inteno em seu encaminhamento singular. De, a

mostrar, como a velha lgica teve de deixar seus traados e a servido das lnguas

naturais e como a anlise introduziu, pela natureza mesma da coisa os princpios

extensionais. Como chegou neste caso, caso de uma real descoberta Frege ele mesmo se

espanta, pois inbil para resolver todas as objees; citemos somente a querela que lhe

ser dirigida em relao distino de objeto e de conceito [discusso com Benno

Kerry]. Por trs ou quatro vezes retomou a ideografia para trabalh-la sem nunca

impedir que os fios condutores a no se misturassem. Frege criou como iremos ver num mesmo passo a quantificao e a doutrina

precria das extenses de conceito, todos considerados em pura razo. Elas emanam

uma e outra de uma teoria do conceito diretamente oposta filosofia de Kant no qual o

sentido de impor um princpio de determinao dos conceitos (Begriffbestimmung)

anloga ao da matemtica efetiva. Diramos tambm que se tratava na realidade de

retornar lgica o que lhe pertencia. A histria reteve a primeira descoberta e rejeitou a

segunda: em seu lugar veio a teoria dos conjuntos enumerados por axiomas os

caracteres especficos do pertencimento, empregando para isso com a facilidade e

ganhos os recursos da quantificao. Esta nova diviso entre lgica e lgebra que d a

esta segunda, isto , uma cincia de estruturas singulares, o que Frege havia dado para a

lgica num movimento trazido que nos permitiu quanto a ns, nos virar com o

emaranhado.

Frege identificar lgica e a totalidade dos enunciados da razo pura em

virtude de um duplo critrio: lgico o que pensado ou construdo fora de qualquer

intuio; lgico o que geral ao ponto de pertencer a toda linguagem de forma que

no poderamos conceber uma linguagem que disto fosse privada.

O primeiro critrio [fora de qualquer intuio] de fato impotente para

distinguir a lgica da lgebra e as diferentes lgebras entre elas. Da decorre a

generalizao abusiva de Frege, a confuso entre o que Wittgenstein chama de dois

espaos lgicos: a lgebra de Boole e a lgebra das funes ou lgebra elementar.

O segundo critrio [o pertencimento toda linguagem] no permite opor as

lnguas extensionais ou caractersticas, da qual ele supe ao contrrio a compatibilidade.

Da este livro, apax [incomum] na literatura cientfica, pesquisa aritmtica escrita

aparentemente em lngua comum mesmo que certa violncia seja feita no uso. Para

responder questo inicial: o que o nmero 1? Frege identifica um procedimento



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tpico da lgebra, ou seja: a quocientao por uma relao de equivalncia e em certos

usos da nominalizao nas lnguas vernaculares. Ele erige assim em lei fundamental um

procedimento particular da lgebra submetido a condies. Da a malfadada lei V e a

antinomia [apontada por Bertrand Russel]. Limitando mal o campo de sua descoberta,

Frege que agia como precursor, foi trado pelo espelhamento da razo pura nas guas

turbulentas da lngua comum.

Que o matemtico no pare nestes erros primrios e v diretamente ao texto dos

Fundamentos. Visto do templo bourbaquista o acampamento fregeano no limiar da

terra prometida se confunde com seu cultivo. Devemos nos lembrar, no entanto que

Frege encontrou a extenso do conceito, ou o conjunto, no cruzamento de uma idia: a

interpretao extensional do conceito (predicado) e de uma pesquisa: esta do nmero

cardinal. Na mesma poca Dedekind compunha, ele, duas noes primitivas, esta de

sistema e aquela de aplicao. Ora, toda a virtude dos sistemas de fornecer matria

para a definio de aplicao (depois de estruturas). Apesar de seu fracasso,

admitiremos que o mtodo de Frege tem distino e no sem parentesco com a

Axiomatizao da teoria dos conjuntos de Von Neumann (1925).

A construo do nmero cardinal pecaria realmente se Frege se propusesse a

quocientar o conjunto de todos os conjuntos: mas devemos observar que tal noo no

tem nenhuma traduo ideogrfica. crtica de Bourbaki, respondamos por outro lado

que Frege utiliza, sem que o termo a esteja, a noo de representante de uma classe de

equivalncia, de forma que tal classe pode ser definida sem que sejam dados todos os

elementos. A classe dos conceitos equinumricos para um dado conceito no em fim

de contas, seno o domnio de certa relao de equivalncia. Os conceitos

equinumricos so eles mesmos funes caractersticas e Frege utiliza no mais que um

conjunto de funes determinadas, no o conjunto universal. Enfim, as prescries

que pesam sobre o conceito unidade, eliminam antecipadamente os conceitos para os

quais a extenso incerta, e no caso do nmero cardinal, permite a construo aqui

efetuada.

Fora algumas referncias julgadas indispensveis, nossa introduo deixa fora a

histria das matemticas. Ela no participa tambm da epistemologia desta cincia, pois

no h epistemologia matemtica possvel seno a instalada na matemtica por ela

mesma [Jean T. Desanti As idealidades matemticas]. O que quisemos foi dar uma

olhadela sobre o texto onde se elabora a lgica moderna, mas, com a hiptese que esta

olhadela poderia despertar aquela que Frege eles mesmo dar sobre sua descoberta.

certo que a anlise das razes do autor exclua, por mtodo, uma leitura retrospectiva.

No resto, esta j foi feita pelos melhores lgicos. Ns nos contentaremos de citar o

nome do professor Quine.

Delineamentos dos Fundamentos da Aritmtica.

A obra de Frege foi inteiramente animada por uma mesma inteno, esta de

construir a aritmtica pelos meios nicos do pensamento puro. Ela foi consumada nos

dois tomos das Leis Fundamentais da Aritmtica de 1893-1903: Com este livro, realizo

um projeto que tinha em vista desde minha Begriffsschrift de 1879 e para o qual me

despertei com meus Fundamentos da Aritmtica de 1884.

No seriamos corretos com a obra e com o gnio de Frege se quisssemos dar

conta dos Fundamentos ignorando e seu lao com os outros escritos do autor e

negligenciando sua economia interna. No entanto dois resultados isolados de seus

contextos foram suficientes para assegurar o renome desta obra. Ficou aceito que,



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podemos a ler a primeira definio aceitvel do nmero cardinal e a construo dos

nmeros naturais segundo um mtodo que pode mesmo ser comparado a este de

Dedekind [Bourbaki].

Estes elogios tradicionais no deixam de serem maliciosos. Salvando a

aritmtica de Frege atravs destes dois resultados, nos permitimos de ignorar a lngua

simblica atravs da qual foram enunciados nas Leis Fundamentais e de calar o aparato

lgico no qual eles foram concebidos desde os Fundamentos (1). Ora, se contestamos o

mtodo de escrita, isto , a soma das anlises lgicas que dissimulam a lngua vulgar

dos Fundamentos, estes corre os riscos de somente terem interesse histrico, este de

uma antecipao genial e infeliz das construes ulteriores dos Principia Mathematica,

ou de exposies conjuntistas [teoria dos conjuntos]. No entanto, o gnio de Frege

retm a crtica sobre o caminho destas concluses e impede que suas definies sejam

condenadas ao esquecimento. Buscaremos situar s suas premissas, seguindo a

indicao do subttulo: pesquisa lgico-matemtica. Os aportes lgicos colocados em

jogo nessas definies so, em relao obra de Frege e sua posteridade atual, os

aportes maiores dos Fundamentos. Encontramos a os elementos essenciais de uma

teoria geral das aplicaes; e sobre ela repousa a identidade at ento desapercebida da

funo e do conceito, o critrio extensional dos conceitos e a definio de nmero. Este

resultado de uma subverso das noes lgicas tradicionais e tal o julgamento que o

prprio Frege d sua obra: O resultado fundamental [dos Fundamentos da

Aritmtica] dado no 46, que diz da atribuio de um nmero um enunciado

portando sobre um conceito.

Mas, iremos dizer primeiramente como a obra de Frege encontrou seus leitores.

Gottlob Frege (1848-1925), matemtico pouco escutado da Universidade de Iena

[Carnap, seu aluno dizia: A aula s vezes se reduzia a ns dois e um funcionrio

aposentado], quase no foi lido enquanto viveu. A Begriffsschrift (1879) passar

desapercebida com a exceo de um resumo pouco perspicaz de Schrder. Os

Fundamentos (1884) foram mais criticados que compreendidos. Quanto s Leis

fundamentais (1893 e 1903) elas foram reveladas para os lgicos e matemticos por

Bertrand Russel, que far uma anlise crtica e bastante elogiosa da obra de Frege no

apndice A dos Principles of Mathematics (1903) (2).

Mas esta primeira glria foi infeliz: o filsofo ingls [Bertrand Russel]

descobrir ao mesmo tempo o paradoxo implicado em sua lei fundamental V. Malgrado

a homenagem, a obra foi tocada em seu princpio, pois uma ferramenta essencial da

construo fregeana fora contestada.

Este sentimento prevaleceu por muito tempo. Hoje, a contradio assinalada por

Russel parece como uma imperfeio localizada do primeiro sistema de lgica moderna.

E esta nova considerao retifica completamente as perspectivas.

Durante o primeiro quarto do Sculo XX, diversas teorias axiomticas, esta de Zermelo

(1871-1953) ou aquela de Von Neumann (1903-1957), trataram os conjuntos, que este

ltimo distingue das classes e define o nmero ordinal e em seguida o cardinal

eliminando as causas da contradio. A antinomia das classes estando assim resolvido,

------------------------------------------------------- (1) Assim, N. Bourbaki transcreve em termos conjuntivistas [teoria dos conjuntos] modernos a definio

fregeana pontuada de uma simples observao: todas estas definies so, claro, exprimidas na sua

linguagem da lgica dos conceitos. Elementos da histria das matemticas. (2) Os escritos de Frege eram citados por Peano que citar seu nome desde 1891 e fez mesmo um resumo

das Leis Fundamentais (I) mas no penetrar jamais no simbolismo fregeano. possvel que Russel tenha

conhecido Frege pelas citaes de Peano. Cf. aqui no final a carta de Russel e a resposta de Frege.



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o interesse dos lgicos se deslocar da definio do nmero para os problemas gerais

das lnguas bem feitas [bien faites]. Com o tempo, o elogio repetido de Russel e a

admirao de Wittgenstein ficaram mais pesados que as crticas e a obra de Frege

revelar um corpo de doutrina lgica por demais inovadoras no tempo de sua publicao

para que fossem inteiramente compreendidas. Somente hoje, o lgico, Frege, recebe

suas justas homenagens.

Nos trs primeiros captulos dos Fundamentos, Frege analisa as aporias

tradicionais que pesam sobre as noes fundamentais da aritmtica. O exame se atm s

vezes a uma revista minuciosa, talvez generosa dos erros do outrem, mas sua acuidade

lgica se mantm. O fim do captulo III e o captulo IV constituem o cerne da obra. A

so definidas as noes de nmero cardinal e em seguida dos nmeros ditos naturais.

Ora, os resultados so indissociveis da lgica que a opera, e devemos nos lembrar do

aporte da Begriffsschrift. Inclusive, a exposio s vezes elptica dos Fundamentos

busca ser esclarecida pelo texto definitivo das Leis Fundamentais para as quais os

Fundamentos fornece o esquema das razes filosficas. Ns lhes abordaremos na

ocasio.

A Ideografia de Frege.

Por trs vezes, Os Fundamentos da Aritmtica fazem apelo ideografia. No 17, Frege lembra a definio de analtico herdada da Begriffsschrift. Ela deve colocar

um ponto final no preconceito que as proposies analticas so estreis. Em segundo

lugar, Frege utiliza ( 79) uma definio de srie (Folgen in einer Reihe) textualmente

reproduzida da Begriffsschrift. Enfim a definio de nmero cardinal requer a noo de

extenso de conceito ( 69). Esta noo, ignorada na primeira ideografia, obriga Frege a

fazer uma segunda exposio, remanejada de sus lngua simblica. No poderamos

subestimar a importncia desta modificao, j que l retardou por vrios anos a redao

das Leis Fundamentais (1). No momento suficiente de constatar que os resultados os

quais creditamos de hbito aos Fundamentos so, em ltima anlise a conseqncia

imediata do progresso da ideografia e no podem ser separados.

Louvamos a ideografia em primeiro lugar pela sutileza de seu simbolismo e seu

poder de eliminar as riquezas inteis e imperfeies da lngua comum. Em relao a

isto, a lngua por frmulas de Frege se inscreve na tradio das tentativas de lngua

artificial buscada desde a Idade Mdia. Mas, ela rompe com tais buscas no que Frege foi

o primeiro a elaborar efetivamente esta lngua lgica que seus precdecessores somente

sonharam. Este sucesso (2) se deve ao duplo aspecto das pesquisas de Frege.

O primeiro aspecto a inveno de um simbolismo inteiramente original. O

simples recurso aos smbolos convencionais permite sem dvida de reduzir os desgastes

do uso, j que a formao dos termos [mots]) lgicos a partir dos smbolos elementares

regular. Mas, essas convenes por elas mesmas, oferecem quando muito parfrases

da lngua comum em frmulas, e por causa disso superestima as capacidades de anlise

das lnguas vernaculares. Todas as tentativas anteriores a esta de Frege sofriam deste

----------------------------------------------------- (1) A razo que retardou a execuo de meu projeto... reside em parte nas mudanas internas que tive de

aportar minha ideografia e ter abandonado um projeto quase terminado.. [segue a exposio dessas

modificaes que decorrem da introduo das extenses de conceito e a distino de sentido e denotao

[significado]... Vemos que estes anos no foram em vo... eles trouxeram a obra maturidade. (2) Sucesso incontestvel. Os remanejamentos ulteriores tiveram por efeito a simplificao do simbolismo

e a restituio da escrita linear com a qual Frege teria tido a audcia de romper, com responsabilidade,

como vemos. Cf. A justificao que ele mesmo d em: A Ideografia do Senhor Peano e a minha.



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excesso de confiana: assim eram os simbolismos inspirados em Port-Royal e em

Leibniz. Sua determinao comum era de transformar toda proposio da lngua usual

em um ou vrias proposies atributivas, e depois simbolizar tais proposies pelo vis

da compreenso dos termos. Ora, a forma atributiva ambgua, pois ela serve tanto

para exprimir a identidade que a qualidade dos indivduos ou a subordinao dos

conceitos mas, sobretudo no poderamos reduzir certas proposies da lngua

cientfica usual, tais como as relaes e as proposies de existncia. A relao entre a

Lgica de Port-Royal e a Gramtica de Port-Royal nos d um exemplo esclarecedor.

Enquanto a gramtica recenseia e explica todos os tipos de proposies (quer sejam

atributivas ou contenham os casos oblquos), enquanto a gramtica analisa o papel de

todos os elementos (das proposies, artigos, pronomes), a lgica se detm na forma

cannica: sujeito verbo e aquelas que se deixam reduzir. Resulta assim uma limitao

insuportvel dos enunciados traduzveis, se quisermos transcrever em lngua formal

todas as proposies de uma cincia. Alem disso, o clculo lgico associado a um tal

simbolismo fica limitado ao clculo das qualidades, como disse Leibniz, ou de

domnios.

Antes de examinar as crticas que Frege enderea aos herdeiros de Leibniz por

estas falhas comuns aos formalismos clssicos, devemos indicar o outro aspecto da

ideografia. Oferecendo uma lgica independente da gramtica j dada, ela permite

analisar efetivamente os enunciados de outra maneira do que o que sugerido pelas

lnguas naturais. Uma tal pesquisa enumera as noes lgicas primitivas e o estudo de

suas comparaes em uma srie de proposies verdadeiras, independentes de todo

dado emprico, destacando o mtodo dos clssicos a teoria da cincia dos modernos (1).

Este dois aspectos so lembrados no subttulo da Begriffsschrift: lngua do

pensamento puro, concebida imagem das frmulas da aritmtica. Frege quis

generalizar o princpio de um simbolismo que tinha dado provas: a caracterstica

aritmtica. Esto presentes no subttulo os dois autores dos quais Frege se recomenda.

De Leibniz vem o projeto de um clculo lgico, de Kant a inteno de descrever

sistematicamente os poderes do pensamento puro, aqui manifesto pela eficcia de sua

linguagem. Esta fidelidade profunda sendo reconhecida poderemos julgar de maneira

mais ponderada as crticas que Frege enderea a estes autores.

s vezes Frege se autoriza de Leibniz, do qual retoma o projeto de uma lngua

characterica [termo usado pelos editores de Frege], s vezes ele se separa quando d

lgica de Boole e Schrrder a herana leibniziana. Para aclarar estas filiaes confusas

devemos citar os textos.

... Leibniz reconheceu as vantagens de um modo de designao adequado,

talvez tenha mesmo superestimado. Seu projeto de uma caracterstica universal, de um

calculus philosophicus ou ratiocinator, era por demais gigantesco para que sua tentativa

de realiz-lo pudesse ir alm das simples preliminares.

Em 1789, Frege identificar, parece-me, caracterstica e clculo, sem dvida por

associar os termos rationator e philosophicus como sinnimos. Neste caso, o clculo

lgico deve estar apto a exprimir os contedos conceituais (begriffliche Inhalte), matria

dos julgamentos (beurtheilbare Inhalte) (2). O que no nada mais que a caracterstica,

acompanhada de suas regras usuais. Frege nada tem para redizer deste projeto, seno

-------------------------------------------------------- (1) Cf, Begriffsschrift p. V onde Frege cita Leibniz e Bacon, e introduo das Leis Fundamentais. A

segunda ideografia comporta oito nomes lgicos primitivos. (2) Mais tarde, Frege ir dissociar o contedo de julgamento em sentido e denotao [significado]. O

sentido constitui um pensamento (Gedanke) para o qual a denotao [significado] um valor de verdade,

verdadeiro ou falso. A. Church prope traduzir Gedanke por proposio (no sentido abstrato).



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que teria sido prematuro de querer criar de imediato uma caracterstica universal. A

Begriffsschrift, por sus parte, a executa parcialmente.

Quando Schrder publica uma crtica simplria e exterior da Ideografia, julgada

em relao ao clculo de Boole, Frege lhe responde (1) (em 1882): Na realidade, eu no

quis fazer um simples calculus raciocinator, mas uma lngua characterica no sentido de

Leibniz.

Aqui, Frege dissocia as duas partes do projeto de Leibniz: a caracterstica,

traduo em smbolos que refletisse as relaes dos objetos simbolizados, e o clculo

seu artificium facile et infallibiliter ratiocinandi.

No mesmo ano, Frege critica o modo de expresso das relaes lgicas

propostas por Leibniz e que foi recentemente renovado por Boole, Grassman, Jevons,

Schrder.... [A ideografia tem sua justificao das necessidades da cincia.

Begriffsschrift und andere Aufstze]. Estes lgicos aqui reunidos o foram sob a marca

de que seu simbolismo inapto a exprimir os contedos. Em conseqncia, a

utilizao de sinais [signes] aritmticos para exprimir as relaes lgicas uma

importao arbitrria. Poderamos dizer que no traz ameaas, pois introduzimos de fato

um signo [sinal] algbrico vazio para o qual a significao dever ser precisada no

contexto do sistema onde ir figurar. Mas, justamente isto que Frege recusa: as

relaes lgicas so perfeitamente determinadas, elas pertencem ao pensamento puro de

decorrem dos contedos conceituais neles mesmos, desses que pelo menos so

puramente lgicos. Nessa perspectiva, poderamos no rigor conceber uma caracterstica

que no seja completada por um clculo, mas comeando pelo clculo, ns nos

condenamos a uma lgica abstrata, o que quer dizer, herdada inconscientemente da

gramtica comum. [Cf. As finalidades da Begriffsschrift].

Com o tempo, Frege teve que defender a originalidade da ideografia e

reconhecer a ambigidade da tradio leibniziana. Mesmo aprovando as tentativas de

caracterstica, sua crtica no poupa a obre efetiva de Leibniz, o clculo dos domnios, e

seus desenvolvimentos no sculo XIX.

Resta que a ideografia, assim como o clculo de Boole inspirado na aritmtica,

deveriam ento ser precisado os emprstimos respectivos.

O clculo de Boole uma lgebra qual foi associada pelo menos duas

interpretaes lgicas [As duas interpretaes examinadas por Frege so a aplicao

do clculo s classes ou termos (primary propositions) e s proposies complexas

(secondary propositions)]. Frege lhe atribui uma impreciso fundamental, pois as

constantes algbricas de operao recebem uma interpretao diferente segundo os

smbolos associados a estas constantes representam conceitos ou julgamentos. J que

um smbolo tal qual + recebe um sentido ad libitum, ento um smbolo vazio, no

pode veicular nenhum contedo prprio. E mais, se tal lgica viesse a ter a ambio de

servir de fundamento da aritmtica, ela seria incapaz. A interpretao lgica dos

smbolos, j incerta, entraria em conflito com seu sentido aritmtico usual. A

pluralidade das interpretaes sob a viso de Frege um sinal manifesto da

insuficincia do simbolismo. Boole quis dar uma transcrio algbrica particular pela

qual o clculo das funes de verdade seria um modelo dentre outros.

A abordagem de Frege de um esprito completamente diferente. A aritmtica

apresenta um exemplo feliz de caracterstica (2) e Frege quis imitar, mas ela no cede

nenhum de seus elementos para a ideografia. A imitao das frmulas aritmticas que

--------------------------------------------------- (1) A resposta de Frege foi publicada como artigo: Sobre o objetivo [finalidade] da Begriffsschrift. (2) Outras cincias oferecem exemplos de simbolismo caracterstico: geometria, qumica etc.



11

indiquei no ttulo, concerne mais maneira pela qual so empregadas as letras e que

minha linguagem por frmulas se aproxima a cada vez mais da linguagem aritmtica.

Entre os sinais [signos] aritmticos, Frege distingue entre as letras que

representam um nmero ou uma funo no ainda determinada e os signos tais como:

+, , , 0, 1, 2, ... que tem uma significao prpria. Esta diferena entre signos de

constantes e signos de variveis que permitem exprimir a generalidade o nico

princpio que a ideografia retm da aritmtica. Na verdade a aritmtica teve um papel de

um paradigma em duplo sentido. Em primeiro lugar, Frege v a o exemplo de uma

escrita simblica adequada a seu objeto onde o formalismo dos clculos no exclui a

expresso de um contedo, pelo qual a aritmtica ento uma caracterstica. E mais,

Frege identificou no uso da aritmtica uma distino para a qual a natureza

propriamente lgica: esta das varveis e das constantes. Ora, a utilizao deste duplo

registro de signos [sinais] o mesmo que permite de exprimir os contedos

propriamente lgicos.

Podemos ento determinar a natureza destes contedos examinando a prtica

mesma de Frege na Begriffsschrift e na elaborao posterior desta noo. [Cf. Sentido e

Significado e o Pensamento, textos de Frege]. Frege chama de contedo de julgamento

possvel uma proposio desprovida de assero que lhe associada na linguagem

usual, e ainda, chama de contedo conceitual este mesmo contedo de julgamento ou

uma parte de tal contedo desprovido de das sutilezas [nuances] que introduz a lngua

usual multiplicando os torneios sinnimos. Assim diramos que os Gregos venceram

os Persas em Plates e os Persas foram vencidos pelos Gregos em Plates,

exprimem um mesmo contedo conceitual. Assim Frege designa o que importa na

conduo de uma prova. No devemos nos enganar: o contedo conceitual na

realidade um contedo proposicional. A ideografia uma escrita de proposies

analisadas de forma alguma de idias no sentido que este termo foi s vezes sinnimo

de conceito. Frege torna preciso em sua resposta a Schrder: ... Uma das diferenas

mais notvel entre minha concepo e esta de Boole, e posso acrescentar, esta de

Aristteles, que no parto de conceitos, mas de julgamentos. [Conceito aqui

empregado no sentido de idia geral, termo de forma alguma no sentido tcnico de

predicado]. possvel que Frege tenha escolhido o nome de Begriffsschrift para indicar

que esta escrita era prpria para simbolizar os contedos puramente racionais, livres de

qualquer emprstimo emprico ele se arrependeu mais tarde do ttulo dado em 1789 a

seu opsculo. Ora, podemos construir tais contedos de julgamento, por menos que

apeguemos a igualdade por uma constante lgica de predicado e que introduzamos uma

notao particular para unir as variveis (1).

Estes contedos propriamente lgicos so a existncia, a universalidade, a

identidade, as relaes entre contedos de julgamentos elementares exprimidos pelas

funes proposicionais constantes tais como a implicao material e a negao. Em

suma, os contedos de julgamentos do pensamento puro so todas as proposies no

sentido moderno do termo, simples e complexos que podemos escrever com o

vocabulrio da lgica das proposies e da teoria da quantificao. [Os enunciados

construdos a partir dos oito nomes primitivos do 31 das Leis Fundamentais I]. Frege

nos d um exemplo definindo a noo de seguida numa srie a partir dos nicos

termos lgicos primitivos e a primeira pea da construo lgica da aritmtica.

------------------------------------------------------------- (1) Quando Jourdain props de simplificar a ideografia identificando as minsculas gticas (empregadas

para o que chamamos hoje de variveis aparentes) e as minsculas latinas (smbolos de variveis livres),

Frege consentiu com repugnncia. Podemos supor suas razes. A varivel ligada ou aparente na

concepo de Frege um elemento contextual de uma funo de segunda ordem, onde o verdadeiro

argumento um conceito ao qual dada uma extenso universal. Esta funo de segunda ordem uma

constante. Quanto varivel livre um signo [sinal] do argumento.



12

Para alm da habilidade da escrita, a possibilidade de enunciar ou de construir os

contedos atravs do recurso nico da ideografia tem uma conseqncia epistemolgica

que Frege destaca: o preconceito de que a lgica estril perde sua consistncia, mas

tambm o preceito kantiano segundo o qual todo conhecimento se encaminha pela

intuio, mesmo sendo uma intuio pura. Mostrando que a ideografia permite de

definir a sucesso, Frege desloca o ponto no qual Kant havia marcado a fronteira entre

proposies analticas e proposies sintticas. uma primeira reviso da lgica

kantiana (1); a crtica ser completada nos Fundamentos, onde Frege submete a um

julgamento severo a teoria do conceito.

Reconhecemos hoje na Begriffsschrift a primeira exposio do clculo das

proposies e da teoria da quantificao, uma teoria da identidade, e os elementos de

uma teoria geral das sries. Os dois primeiros so introduzidos de maneira semntica na

primeira seo e desenvolvidos dedutivamente na segunda seo. Esta primeira lngua

do pensamento puro suposta oferecer os recursos suficientes para construo da

aritmtica. Por um lado, toda proposio da aritmtica pode assim ser transcrita e

nesta data Frege pensa precisamente aos raciocnios indutivos ; por outro lado, as

proposies em lngua comum que acompanham as frmulas aritmticas e encontram a

sua imagem ideogrfica. Mais exatamente o que temos costume de chamar de

raciocnio totalmente mostrado na simples apresentao (Darstellung) vertical das

provas. Enfim, esta linguagem com sintaxe regular tem as propriedades de um sistema

formal.

Em particular, a Begriffsschrift define todas as noes requeridas por uma teoria

dos ordinais finitos: esta do ancestral e do ancestral prprio no sentido de Quine

(Frmulas 76 e 99), esta da correspondncia unvoca (Frmula 133). Estas noes

foram efetivamente utilizadas por Dedekind e Peano na construo de sua aritmtica, e

parece que Frege esteve ento prximo de se antecipar sobre seus trabalhos. Explicando

o curso de sua pesquisa na Begriffsschrift, ele escreve: Meu procedimento foi o

seguinte: eu tentei de conduzir o conceito de ordem serial para a consecuo lgica,

para progredir em seguida at o conceito de nmero (Zalhbegriff).

Quinze anos, entretanto se passaram entre a Begriffsschrift e as Leis

Fundamentais durante os quais Frege prosseguiu suas pesquisas por outros caminhos.

Se a ideografia sabia analisar a transmisso indutiva de uma propriedade, lhe faltava

ainda o poder de definir o suporte dos raciocnios indutivos aritmticos, o nmero

cardinal (Anzahl), definido mais tarde como uma extenso de conceito. Nos

Fundamentos da Aritmtica, Frege fornece nos detalhes esta nova etapa da anlise. Ele

prepara tambm a reviso da ideografia, afim de que pudssemos definir os objetos

lgicos, na ocasio os nmeros cardinais. Por esta escolha, ele toma o caminho

solitrio onde no encontrar nenhuma simpatia, e a ltima seo da Begriffsschrift,

quando foi lida, bem mais tarde, por alguns matemticos, recebeu a aprovao.

------------------------------------------------------------ (1) O vocabulrio kantiano constantemente utilizado por Frege nas primeiras e terceiras sees da

Begriffsschrift, mesmo que as mltiplas crticas atinjam a lgica kantiana. A reviso feita entende guardar

o essencial, ou seja, a distino entre analtico e sinttico. Assim ser tambm nos Fundamentos.

Devemos observar que Frege fez estudos de filosofia em Gttingen, onde obteve o doutorado de filosofia

em 1873.



13

Composio dos Fundamentos.

Crtica da concepo comum de nmero.

Os Fundamentos se dividem em duas partes, pelo estilo e pelo contedo. A

primeira, pelo estilo, essencialmente crtica, analisa o nmero cardinal, constri no

captulo IV onde a elaborao adquire uma feio nova. Ela retoma no captulo V com

um exame polmico das teorias concernindo os outros nmeros, sem que, desta vez,

seja dado o esquema de sua construo.

Seria necessrio que uma parte to importante fosse feita para a refutao? Ela

participa na realidade para a demonstrao que seguir, arruinando a concepo ingnua

mesmo que sendo aceita universalmente do nmero. Esta concepo ingnua do

nmero cardinal ... choca-se a trs escolhos [obstculos]. O primeiro de saber como

so compatveis a identidade das unidades em seus discernimentos. O segundo reside na

definio dos nmeros zero e um, e o terceiro, neste dos grandes nmeros. Estas

dificuldades que Frege ope em 1894 no resumo da Philosophie der Arithmetik de

Husserl, so as mesmas que os Fundamentos havia destacado e resolvido dez anos

antes. Sem dvida que elas so agudas para o empirismo, mas quando lemos os

Fundamentos, somos surpresos ao ver quanto os matemticos e os filsofos

confundiram aritmtica racional com a tcnica de contagem. Se Frege atinge em seu

proceder grandes nomes, foi pela maneira emprica como eles fazem, s vezes sem se

darem conta, a teoria da aritmtica. A crtica visa Mill, mas tambm Kant, Hankel,

Weierstrass e mesmo Leibniz. Compreenderemos melhor a atualidade de uma refutao

de Mill se pensarmos que a Philosophie der Aritmetik (Husserl) reconduz em 1894 os

argumentos diretamente inspirados pelo empirismo anglo-saxo. Em Hankel, Frege

critica a confuso entre signo e designado, e a esperana de explorar o campo inteiro da

aritmtica sobre o modelo de um uso protocolar dos signos. Este empirismo de um

letrado para o qual o universo limitado ao quadro negro e o giz, mas doa qual ele

ignora a potncia especulativa que liberta o tratamento puramente lgico dos contedos

de julgamento. Uma regra de escrita no sendo uma regra de deduo. A Kant

atribudo o apelo intuio, seria ela uma intuio pura, um pensamento por demais

servil linguagem comum e a teoria clssica isto , aristotlica de abstrao. Enfim,

os matemticos to bem informados que Leibniz e Weierstrass concordam para definir

os nmeros particulares por meio da unidade e adjuno de unidade. Devemos ainda

saber o que uma unidade, at ento confundida com um objeto qualquer, e suporte e

ocasio do ato de contar (1). A clebre definio de Leibniz repousa na realidade sobre a

intuio de rede, nfima diferena de pezinhos e monte de pedras de Mill. No de se

surpreender que este ltimo tenha retomado textualmente a definio de Leibniz.

Se a teoria da aritmtica pode reunir em conjunes inesperadas, filsofos

reputados inimigos, devemos crer que o empirismo se deve aqui dificuldade do objeto

examinado. Impotentes para definir o nmero e o um da aritmtica, filsofos e

matemticos se apiam sobre o que conhecido de todos ensinado no maternal e

invocam o 1+1 como a operao elementar e paradigmtica de toda aritmtica. O fato

incontestvel mas sua interpretao decepcionante: j que o exemplo no remete a

nada mais que a si mesmo, ele se protege dos atributos da evidncia intelectual, e o ato

simples do calculador se posa de definio de nmero.

------------------------------------------------------- (1) Deveramos tambm distinguir a funo (do) sucessor que permite engendrar a srie [seguida] dos

nmeros, a operao (de) adio, definida sobre o conjunto dos nmeros construdos precedentemente.

[Funo sucessor operao adio].



14

Sem dvida a primeira parte dos Fundamentos recusa materialmente os autores

citados, mas ela afeta, sobretudo a concepo mesma do nmero. Ela coloca em prova

menos o nmero, pois se trata sempre e ao mesmo tempo do nmero dos aritmticos e

do nmero da vida corrente, que do conceito ele mesmo. Para indicar o termo da

pesquisa, ser mostrado que o conceito de nmero no o abstrato dos nmeros

particulares ditos naturais. O conceito dado sob a forma de uma funo (1) onde

figura um parmetro. Cada nmero particular a extenso desta funo por um valor

dado do parmetro.

Tal a razo do equilbrio das partes [estilo e contedo] nos Fundamentos. O

resultado essencial desta obra da sua celebridade a anlise da noo de nmero.

Mas esta anlise revela ao mesmo tempo o que , na verdade, um conceito, e bem este

ponto que Frege pretende inovar (2). Os trs primeiros captulos encaminham-se para a

definio de nmero, dada na ltima seo do terceiro captulo. O quarto d a definio

dos nmeros particulares ao mesmo tempo em que esboa algumas proposies

aritmticas fundamentais. A concluso tira as conseqncias filosficas desta

construo (crtica de Kant e crtica do formalismo).

Os trs primeiros captulos so eles mesmos rigorosamente compostos segundo

uma anlise regressiva, anunciada no fim da introduo. Podemos resumi-la como

segue. Na hiptese na qual a aritmtica cincia do pensamento puro, podemos tentar

constru-la logicamente. Mas, devemos de cara mostrar que o nmero no se trata de

uma abstrao do sensvel, que sejam tomados singulariter ou vrios conjuntos num a

coleo material. Alm do mais, seria ilusrio pretender alcanar imediatamente o

conceito de nmero que at o momento escapou inspeo dos melhores. A dificuldade

aqui extrema, pois 1) o conceito de uma estrutura particularmente fina (Cf.

Introduo, p. IV), e 2) sua anlise to crucial que ela livrar talvez o modo de

formao dos conceitos em geral ( 2). Assim Frege comea por fazer uma enqute de

orientao. Em relao ao nosso conhecimento, a aritmtica se mostra como cincia

racional pura se as proposies nas quais ns a formulamos so analticas a priori. A

natureza destas proposies assim mantida por um ndice de natureza emprica ou

racional dos nmeros. Da o primeiro captulo. Em relao s coisas mesmas, as

proposies so analticas se forem deduzidas das leis lgicas e das definies, ou seja,

em ultima anlise, do conceito de nmero. Da o segundo captulo que prossegue sobre

os ndices favorveis recolhidos anteriormente. [Em favor do carter analtico das

proposies aritmticas]. A enqute procede inicialmente de forma ingnua, como se o

nmero fosse dado por uma experincia qualquer, externa ou interna. Esta opinio ser

destruda por suas conseqncias, Frege busca sacar como o nmero pode ser

construdo a partir de unidades (captulo III). A soluo do enigma da unidade d ao

mesmo tempo a definio do nmero (captulo III, seo 4).

Esta definio desconcerta seus primeiros leitores. Para seguir a construo,

devemos lembrar o critrio de analiticidade aqui utilizado por Frege e justificar a

primazia dada ao nmero cardinal j que os matemticos contemporneos de Frege se

preocupavam em primeiro lugar com o nmero ordinal.

------------------------------------------------------------- (1) No sentido lgico fregeano do termo. Hoje diramos, predicado. (2) Frege insiste mais sobre a novidade do aparato lgico colocado em obra do que o carter indito do

resultado. Cf. Introduo e o subttulo: pesquisa lgico-matemtica. Tal o sentido de: O conceito e a

relao so as chaves mestras de minha construo



15

Caractere das proposies analticas.

As novas idias trazidas pela Begriffsschrift, dentre as quais a distino rigorosa

entre o que possui trao para encadeamento das proposies, e o que possui traos dos

contedos das proposies, subverteu a classificao usual dos julgamentos. Desde o

momento que a lgica se interessou exclusivamente pela verdade das proposies e a

seus encadeamentos, o nico princpio de distino entre os julgamentos que so

pertinentes a natureza de sua prova. Ela poder ser inteiramente lgica ou se apoiar na

intuio. Frege negligencia tambm as oposies usuais segundo a qualidade, a

quantidade, ou a modalidade dos julgamentos, mas retm a distino transcendental

entre julgamentos a priori analticos e sintticos. No entanto, os critrios da

analiticidade devem ser revisados e os fundamentos ( 3 e 16 e 17) a trazem a aplicao

dos ensinos da Begriffsschrift.

Segundo a tradio, uma proposio analtica se praedicatum inest subjecto.

Kant no contradiz Leibniz sobre este ponto e, muito ao contrrio utiliza a definio

recebida das proposies analticas para lhes opor, no campo do a priori, as proposies

sintticas. Ora, esta dicotomia s pode ser aplicada s proposies gerais. Elas no do

nenhum lugar s proposies existenciais que so de uso comum em lgebra, por

exemplo, quando afirmamos que uma equao tem um ou vrias solues. Esta falha

revela um erro mais escondido, que de ter associado qualidade de analtica ao

contedo do julgamento nele mesmo, quando na verdade oi que lhe concerne o tipo

das premissas sobre as quais repousa o ato de julgar. Sem colocar em causa o critrio

kantiano, Frege havia em 1879 contestado vrias vezes seu emprego. Ele acrescenta

aqui que, tomando no sentido filosfico a distino entre analtico e sinttico a priori

a verdade epistemolgica e se deve natureza das provas. A distino kantiana

demandando que meamos uma e outra as significaes dos conceitos de uma

proposio puramente lingstica, ou gramatical no sentido largo, sentido ao qual

Frege acusa a lgica clssica de ter adotado as sugestes das gramticas naturais.

Uma proposio analtica se decorrente das leis lgicas gerais e das

definies. As leis lgicas gerais so as proposies fundamentais da lgica

proposicional e do clculo dos predicados seus contedos so equivalentes s

proposies primeiras das axiomticas lgicas contemporneas. Devemos acrescentar a

regra de destacamento, a regra de generalizao e esta que governa a substituio dos

idnticos (1). Esta regra, a qual uma primeira forma foi dada na Begriffsschrift,

idntica nos Fundamentos ao princpio leibniziano: Eadem sunt quae substitui possunt

salva veritate. As definies (2) que so julgamentos de identidade ou de abreviaes,

no nos fazem sair do analtico.

Esta descrio do analtico recobre exatamente o que entendemos hoje por

demonstrao (3). Ela no faz mais apelo s relaes de compreenso entre os conceitos

----------------------------------------------------- (1) Begriffsschrift 8. (A = B) significa que o signo A e o signo B tm um mesmo contedo, de forma

que podemos sempre colocar A no lugar de B e reciprocamente. Esta regra de substituio no foi

propriamente dita por Frege. (2) Uma definio nos informa de que h sinonmia entre um conjunto de signos pertencentes

linguagem primitiva e um signo recentemente introduzido, mas simples. Uma tal definio qualificada

de nominal. Mais precisamente, a introduo de um signo novo pertence metalngua. Uma vez

colocado, a sinonmia dos signos figura esquerda e direita do signo de equivalncia o contedo de

uma proposio verdadeira. O duplo aspecto da definio indicado, desde a Begriffsschrift, por uma

dupla barra precedendo ao trao do contedo de julgamento: . (3) Uma demonstrao uma srie de proposies tais que cada uma delas , seja um axioma, seja uma

definio, seja obtida das proposies precedentes por aplicao de uma regra de deduo imediata.



16

e o que essencial, libera o encadeamento racional da necessria conformidade

analiticidade silogstica (4).

Prioridade do nmero cardinal.

Se quisermos comparar com os Fundamentos da Aritmtica o opsculo de

Dedekink (1887), Was sind und sollen die Zahlen, o paralelo se estabelecer a propsito

da srie natural dos nmeros. Por volta de um ano aps a publicao de meu

memorando, tomei conhecimento dos Fundamentos da Aritmtica de G. Frege,

publicado em 1884. Mesmo que a maneira pela qual abordado nesta obra, a essncia

do nmero difere profundamente da minha, ela comporta, sobretudo a partir do 79,

numerosos pontos de acordo com o meu escrito, em particular com minha definio 44

[definio de cadeia de um sistema]. Nosso acordo no certamente fcil de ser visto,

estando dadas as diferenas das formas de expresso, mas a preciso com a qual a parte

inferior de n +1 mostra com evidncia que nossas posies so as mesmas.

Toda a parte precedente da construo de Frege: definio de nmero cardinal,

definies de 0 e de 1, no tem nenhum equivalente no escrito de Dedekink. Mesmo

assim, Dedekind identifica os nmeros cardinais definidos no 73 de seu ensaio, com

os ordinais e d ulteriormente a definio de cardinais ( 161). A atribuio de um

cardinal a um conjunto finito de objetos apresentada como uma idexao que coloca

em correspondncia biunvoca um subconjunto de nmeros naturais (ordinais) e os

elementos do conjunto a serem enumerados. Assim, o nmero cardinal sempre

nmero cardinal de um conjunto ordenado para o qual negligenciamos a ordem, uma

noo derivada e aritmtica dos cardinais, onde eles no so mais que aplicao de

aritmtica dos ordinais.

Em uma carta para Keferstein, Dedekind desvela as reflexes que conduziram-

no noo de cadeia e sua definio de nmero natural (ordinal). Dedekind partiu de

uma anlise da srie dos nmeros naturais ... tal como ela se apresenta ao esprito, por

assim dizer. Quais so as propriedades fundamentais e independentes entre elas desta

seguida N, isto , as propriedades que so dedutveis uma da outra e da qual todos so

decorrentes? Como poderamos descobrir estas propriedades de seu caractere

especificadamente aritmtico de forma que sejam subsumidos sob os conceitos mais

gerais e dependam das atividades de entendimento necessrias por todo pensamento,

mas que sirvam ao mesmo tempo para garantir a legitimidade das provas de sua

completeza...?. Dedekind enumera estas propriedades: a srie de nmero um sistema

de elementos ordenados, tais que cada um dentre eles tem um nico sucessor e o

primeiro no sendo sucessor de nenhum outro. Mas, acrescenta Dedekind, estas

propriedades no so suficientes para garantir que todo sistema que os verifica seja

estritamente anlogo srie dos nmeros inteiros. Desejando que a definio proposta

para os nmeros naturais seja categrica, foi obrigado a introduzir a noo de cadeia e

de postular que a srie dos nmeros interseo de todas as cadeias s quais pertencem

a o elemento 1. Os nmeros so definidos, solidariamente, como elementos de uma tal

conjunto. [Esta definio a de srie natural aplicvel a todo conjunto que tenha a

mesma estrutura de ordem. C. I.]. (4) Sabemos que Leibniz acreditou poder reduzir um raciocnio aritmtico primeira figura silogstica

tratando a identidade como um caso particular de incluso das compreenses de conceitos, no caso que

estes coincidam. Compreendemos ento a ironia de Frege no 16: pode ser que a rvore inteira da

matemtica se enraza unicamente na identidade? O pargrafo seguinte responde diretamente a esta

questo: o clculo desenvolvido na Begriffsschrift alarga o campo do analtico.



17

Esta definio dos ordinais, mais conhecida na axiomtica de Peano que

fornecer a matria de seus axiomas a Dedekind responde idia comum que os

nmeros deveriam ser definidos a partir do 1 e a adjuno de 1. Para Dedekind e Peano,

com para Grassmann os nmeros so em ltima anlise os elementos de um conjunto ao

qual pertence o nmero 1 e se fecha em relao adio de unidade sobre unidade.

[Somente a perspectiva cardinal permite de fazer comear por 0 a srie natural dos

nmeros]. Ou ainda, reduzindo o nmero de termos no definidos, os nmeros

constituem um conjunto fechado pela operao do sucessor aplicada a um primeiro

elemento que no por si mesmo um sucessor. [Cf. os axiomas de Peano]. Como

observar Dedekind, Frege tinha uma viso bem diferente sobre a natureza do nmero.

Ela tem implicaes aritmticas e implicaes lgicas que justificam a prioridade que

Frege d ao nmero cardinal.

Segundo Frege, uma igualdade uma identidade, como tal, uma relao entre

dois objetos. Se ele admite a definio:

1 + 1 = 2

antes a de uma soma do que do nmero 2, ou seja, a soma de dois nmeros ainda um

nmero. Esta idia que a igualdade uma identidade aparece j, mesmo que de forma

incidente, na tese (1) venia docendi que Frege defende em 1874 na Faculdade de Iena.

... O processo geral da adio o seguinte: substitumos um grupo de coisas por

uma nica coisa do mesmo gnero. Temos aqui a determinao do conceito de

identidade das grandezas, Se pudermos para cada caso decidir se os objetos coincidem

em uma propriedade possumos evidentemente o conceito justo desta propriedade.

Assim, dando as condies sob as quais haja identidade de grandezas, ns

determinamos no ato o conceito de grandeza.

Definir uma grandeza primeiramente definir as condies de igualdade entre

grandezas. Em 1884, Frege escreve no mesmo esprito que o critrio de igualdade dos

nmeros dar ao mesmo tempo a natureza dos nmeros. Da decorre o mtodo de

definio que aqui expomos.

Esta concepo cardinal tem igualmente conseqncias lgicas. Elas foraram

Frege a remanejar e completar a ideografia de 1879 a fim de pudesse servir para a

definio de nmero. Se nos dermos como objetivo de definir os ordinais, no

pensamento, como se fossem elementos primitivos da aritmtica este era o sentimento

de Dedekind a srie dos nmeros naturais ser abstrata comum a todos os sistemas

simplesmente infinitos ordenados (2). Assim sendo, os ordinais so definidos como os

elementos de todo sistema tendo as propriedades distintas. Se eles so identificados

como os nmeros da aritmtica usual, por comodidade desde que chamemos 1 o

primeiro elemento qualquer que seja, 2 o seguinte etc. totalmente diferente a definio

de nmero cardinal. Desde que possamos estabelecer uma equinumerocidade que

Frege chama tambm de julgamento de re-cognio um nmero identificado, mesmo

se formos ainda incapazes de atribuir seu lugar na srie de nmeros. Tal o caso, por

exemplo, quando dizemos: em uma sociedade monogmica o nmero de esposos igual

ao nmero de esposas. Claro que, a ordem serve para definir o nmero, o

----------------------------------- (1) Mtodos de clculo fundados sobre a extenso do conceito de grandeza. O critrio de identidade, para

Frege, a substituio.

(2) Definio: Se, em um sistema simplesmente infinito ordenado por uma aplicao , negligenciamos

o carter particular dos elementos somente retendo sua discernimento e levando em conta a relao

recproca que eles retiram da aplicao, estes elementos so chamados nmeros naturais, ou nmeros

ordinais, ou simplesmente nmeros (Zahlen). R. Dedekind. Segundo a crtica clebre de Russel, esta

definio esta de ordem, ela no caracteriza univocamente os nmeros da aritmtica, abstrata ou

aplicada.



18

conhecimento real dos nmeros que permite de definir a noo de: sucessor na srie

natural dos nmeros.

O que so estes objetos identificados por igualdade numrica? No so

indivduos aqui os esposos as esposas. So objetos lgicos, expresso a qual devemos

completar pela Begriffsschrift. Estes objetos no so concretos, mas tambm no so

abstratos no sentido que dizemos dos universais ou dos conceitos na lngua lgica

tradicional, com este propsito que devemos interpretar a prescrio repetida de Frege

segundo a qual devemos cuidadosamente distinguir os objetos dos conceitos (1). Ela

teria sido bem intil se fossem indivduos concretos.

Sabemos que Frege arrependeu-se mais tarde das nominaes que tinha

escolhido para sua lngua simblica, como se nessa ideografia se tratasse de uma escrita

unicamente de conceitos e contedos conceituais. Ora, a anlise da proposio requer,

mais que os nomes dos conceitos, nomes prprios de objetos que poderiam ser e no

caso da aritmtica sero sempre objetos lgicos. verdade que em 1879, Frege

ignorava ainda os valores de verdade (2) e as extenses de conceito. Traduzindo em sua

lngua simblica o quaterno das proposies aristotlicas, ele parece aquiescer idia

empirista segundo a qual um conceito se diz de um objeto, mas para o qual o conceito

pertence somente ao domnio do entendimento, enquanto que todo objeto dado pela

percepo. Esta interpretao da proposio no resistiu descoberta das funes de

segundo nvel e definio de numero como extenso de conceito.

Resumindo, a noo de sucesso no pode, segundo Frege, servir para a

construo lgica da aritmtica tanto quanto no tivermos definido logicamente os

objetos que satisfaam a um tal relao e a especifique como srie natural dos nmeros.

ao que se ocupar os Fundamentos, em sua tarefa precisa de definio do nmero em

geral e dos nmeros particulares. Nesse sentido, mas por um atalho inesperado, os

Fundamentos continuam a terceira Begriffsschrift.

A unidade.

O captulo II dos Fundamentos esgotou todas as hipteses j formuladas a

propsito de nmero. Quisramos identificar o nmero a uma propriedade dos objetos

materiais, ou a uma representao, subjetiva ento, ou ainda a uma coleo (3) de

objetos ou de representaes. As falhas destas teorias so as mesmas: ela tornam

ininteligveis o uso dos grandes nmeros que escapariam tanto de nosso poder de

percepo quanto a nosso poder de representao. Elas so incapazes de definir zero e

um; enfim, elas negariam a cincia aritmtica nela mesma para a qual eles propunham

um fundamento subjetivo ou perceptivo.

--------------------------------------------------- (1) Este princpio enunciado no fim da introduo dos Fundamentos, repetido na obra e analisado no

artigo: Conceito e Objeto. um alerta contra uma confuso natural que Frege ele mesmo no evitou na

Begriffsschrift onde podemos ler ( 9) no contexto de uma distino, de maneira surpreendentemente

fina, entre as diferentes funes segundo os argumentos que lhes so associados: O nmero 2 e todo

nmero inteiro positivo no so conceitos da mesma ordem (Begriffe gleiches Ranges).

(2) Esta noo valores de verdade aparece na segunda ideografia aps Frege ter analisado o contedo

de julgamento em sentido e denotao. Parece que ele faz meno pela primeira vez em sua conferncia

de 1891: Funo e Conceito.

(3) Trata-se de uma concepo grosseira de conjunto, concebida como uma coleo fsica de elementos

Frege a distingue cuidadosamente da concepo cantoriana qual elogia e declara anloga sua, com

terminologia prxima. Parece que Frege se ocupou pela seguinte razo: Thomae, tomado aqui parte,

espera construir o nmero dando nomes diferentes a conjuntos diferentes. Frege reter somente que, o

nmero nasce de uma comparao entre conjuntos.



19

No terceiro captulo, Frege trata do terceiro obstculo [cueil] das teorias

aritmticas ingnuas, a definio de unidade. Uma divergncia de opinies partilhadas

entre os partidrios do nmero coleo: segundo alguns, o nmero um conjunto de

objetos, segundo outros, um conjunto de unidades. Esta ltima definio vem de

Euclides. Ela foi retomada pela tradio matemtica e a lngua comum a herdar. Da o

retorno ao texto de euclidiano, sobre o paradoxo do discernimento dos idnticos as

unidades e sobre o aritmtico vulgar que fez seu caminho na lngua usual.

Frege cita Euclides:

Definio 1: A unidade o que se seguindo cada uma das coisas dita uma.

Definio 2: O nmero uma multiplicidade composta de unidades (1).

Ele v a o resumo das hesitaes precedentemente examinadas, j que podemos

decidir ao ler Euclides se a unidade o nmero um (2), a propriedade de uma coisa (dita

uma) ou a coisa ela mesma (cada uma das coisas existentes). Tal como vemos, a

definio sofre de um emprstimo de duas doutrinas logicamente difceis de serem

compatveis, duas maneiras de interpretar a relao entre um objeto e suas

determinaes. O paradoxo que as duas teses so essenciais uma e outra se quisermos

compor o nmero a partir de unidades. Se interpretarmos a definio segundo a teoria

platnica [], unidade ou mnada tem uma existncia parte e a relao que

entretm com cada objeto enumerado uma relao de participao. Esta existncia

individual e separada da mnada necessria se o nmero for a reunio de mnadas,

idnticas entre elas e puras de toda matria que embaralharia sua identidade. Mas o que

lemos que cada objeto dito um segundo esta mnada quando esperaramos que

fosse um [e no dito um]. Em sendo assim, a relao entre a mnada e o objeto

enumerado no mais a participao, a relao lgica ou gramatical se quisermos

da quantificao por uma categoria. A mnada no tem ento existncia separada e ns

temos na realidade somente dois elementos: o indivduo e o termo numeral um que o

qualifica. O nmero uma reunio de indivduos, qualificados de mnadas, e um fato

da aritmtica racional.

Sabemos que a aritmtica foi a cruz da lgica grega. Foi necessrio ordenar o

conceito (homem, por exemplo), as unidades distintas por meio deste conceito (um

homem e outro homem), e os indivduos materiais subsumidos por este conceito

(Scrates e Coriscos).

--------------------------------------------------------- (1) Euclides, Stimo Elemento Os Livros aritmticos de Euclides Traduo de Jean Itard.

(2) Fundamentos 29. Esta interpretao retrospectiva. Sabemos que para a Antiguidade clssica, um

no um nmero.



20

SEMINRIO DE LEITURAS CLNICAS 2009 II

LEITURAS DE FREGE

INTRODUO AOS

Escritos lgicos e filosficos de Gottlob Frege

Claude Imbert

TRANSDUO, COMENTRIOS e DIGRESSES.

Alduisio M. de Souza



21

EM GUISA DE PREFCIO

O trabalho de Claude Imbert, que se quer como uma simples apresentao de

alguns artigos de Gottlob Frege se impe como uma introduo a Frege e se tornou um

clssico para os estudiosos. Faremos aqui uma leitura variegada, j que mesclamos em

nossa verso o que chamo de transduo, a leitura de Frege, o texto de Claude Imbert e

a apresentao: VIDA e OBRA de Frege por Luis Henrique dos Santos assim como sua

traduo de Sobre a justificao cientfica de uma conceitografia, e Os fundamentos da

Aritmtica, da Editora Abril, na Coleo Pensadores, 2 Edio, 1980. Acrescentamos

vez e outra nossas prprias DIGRESSES, pois este estudo est inserido numa

atividade de ensino voltada principalmente para psicanalistas e estudiosos da

psicanlise. Consultamos sempre as tradues da Paulo Alcoforado e o seu CORPUS

FREGEANUM, in Investigaes Lgicas [Gottlob Frege], EDIPUCRS, Filosofia, 141,

que de uma enorme utilidade.

Os trs ou quatro perodos que Claude Imbert nos prope para leitura de Frege

so praticamente os mesmos que sero identificados por Luis Henrique dos Santos e que

adotaremos aqui ao p da letra. Diz-nos ele: Durante toda a sua vida, Frege dedicou-se

quase exclusivamente matemtica e lgica. O desenvolvimento de suas idias pode

ser estudado de acordo com quatro perodos distintos: I. marcado pela obra

Conceitografia, uma linguagem formular do pensamento puro, imitada da linguagem

aritmtica. Obra publicada em 1879 na qual Frege sintetizou suas pesquisas sobre

operaes de negao e implicao e sobre os conceitos de identidade e de quantificador

universal, e uma lgica das sries. II. Corresponde a Os Fundamentos da Aritmtica,

publicada em 1884, um esboo informal da definio lgica de nmero, demonstrao

lgica das leis aritmticas fundamentais a partir das leis lgicas. III. Estende-se de 1884

a 1903, quando Frege completou a publicao de As Leis Fundamentais da Aritmtica,

em dois volumes, formalizando e complementando o que j havia escrito no Os

Fundamentos, surgindo ento a distino entre Sentido e Significado. A este terceiro

perodo pertencem ainda os trabalhos: Funo e Conceito, Conceito e Objeto e Sentido

e Significado [traduzido por Claude Imbert por Sentido e Denotao]. Aqui se inicia um

dilogo a partir de uma carta de Bertrand Russel, em 16 de junho de 1902, sobre as

antinomias e paradoxos das classes reproduzida no final desta transduo. IV. Frege

busca soluo para o problema apontado por Bertrand Russel, sem, no entanto ter

logrado avanos significativos o que o fez derivar para outros assuntos. A maior parte

dos escritos deste perodo de 1903 at 1925, ano da morte de Frege, somente foram

publicados em 1969: Investigaes Lgicas: O Pensamento, A Negao, Conexes de

Pensamentos e Generalidade Lgica.

Temos ento uma MISCELNEA fregeana numa verdadeira aturdico escrita

que muito influenciou o ensino de Lacan e agora nos desafia. Sem os pressupostos

lgicos ns transformamos um ensino num idioma lacaniano, que o cenrio que

encontrei em Recife quando vim para c: muitos falavam lacaniano e poucos sabiam

fundamentar alguma coisa sobre um ensino, suas exigncias, sua histria e seus fios

condutores. Se minha presena incomoda, creio que seria saudvel nos perguntar pelas

razes de tal incmodo e a quem ela incomoda? No estou me eximindo de minhas

responsabilidades quanto forma ou estilo mas... por favor, atentem ao panorama, pois

hoje um panaroma: a lgica como cincia do Real ponto de chegada para uma nova

partida da clnica lacaniana. Os textos aqui so para fins de estudo e circularo de

maneira expressa entre meus alunos sem nenhuma finalidade comercial.

Recife setembro de 2009

Alduisio



22

INTRODUO A GOOTLOB FREGE [NA FRANA] (1)

Claude Imbert

( I )

Os dez textos de G. Frege que fazemos a traduo foram publicados entre 1879 e

1925. Oito dentre eles apareceram em diversas revistas filosficas ou nas Atas da

Societ savante dIena. Esta sociedade foi o nico auditrio ao qual Frege teve a

ocasio de se apresentar, com nica exceo de uma conferncia feita em Lbeck.

Funo e Conceito foi editada pelo prprio autor e o artigo O que uma funo?, que

foi destinado a uma obra coletiva em homenagem Ludwig Boltzamann.

DIGRESSO 1 Claude Imbert conquistou a posio de ser uma autoridade em Frege qui a maior da Frana. Seu rigor de leitura e a busca de clareza so propriamente fregeanos. Os dez textos que traduz com a Introduo que ora traduzimos so: 1) Sobre a justificao cientfica de uma ideografia [conceitografia] (1882). 2) Sobre a finalidade da ideografia [conceitografia] (1883). 4) Funo e conceito (1891). 5) Sentido e denotao [significado] (1892). 6) Conceito e objeto (1892). 7) Resenha de Philosophie der Aritmetik I de E. G. Husserl (1894). 8) O que uma funo? (1904). 9) O pensamento Uma investigao lgica (1918). 8) A negao Uma investigao lgica (1918). 10) Pensamentos compostos Uma investigao lgica (1923). 11) A Generalidade lgica (1923/1925). O texto 11, que foi includo em Investigaes Lgicas, organizado e traduzido por Paulo Alcoforado no foi traduzido por Claude Imbert. Ns o inclumos aqui unicamente para efeito de ensino em nosso prprio trabalho.

_____________________________________________________________________

No devemos concluir que Frege tenha escolhido antes de se dirigir ao pblico

cultivado e s pessoas das letras, do que aos matemticos. muito mais por causa das

recusas que recebera das revistas de matemtica para artigos tcnicos que ele passou a

escrever texto sucintos desprovidos de detalhes para os matemticos que ento se

dirigiu a revistas mais eclticas. Os artigos em que Frege se dedica defesa da

Begriffsschrift [Conceitografia] nos fornece um exemplo que fala por si mesmo: os

inditos (2) contem uma minuciosa comparao entre Clculo lgico de Boole e

ideografia, foi recusada sucessivamente pela Zeitschrift fr Mathematik und Physik, e

pelo Mathematische Annalen e tambm o Zetschrift fr Philosophie und philosophische

Kritik em 1881. Uma outra verso, muito reduzida, intitulada A Lngua formular de

Boole e minha Ideografia, foram recusados pela Vierteljahrshrift fr wissenschaftliche

Philisophie mesmo que esta revista tenha publicado vrios estudos consagrados escola

lgica inglesa (Boole, Mac Coll) e aos seus ramos alemes (Lange, Schrder, Erdmann).

Somente foi publicado, na revista de Iena a conferncia Sobre o objetivo da

Conceitografia (o segundo ttulo de nosso estudo) que resume em grandes linhas a

argumentao destes artigos inditos: vemos a como Frege mede os dois clculos, o de

Boole e o seu, seus principais princpios diretivos, antes de julgar os resultados. O

debate ope duas anlises da proposio. Ilustrados por dois simbolismos. Boole, de

certa forma sem dvida mais fiel ao sentimento e ao recorte aristotlico; toma para

ele o senso comum da tradio. Ao contrrio, Frege surpreende sempre na primeira

leitura, e em toda sua vida sofreu incompreenses dos matemticos philosophica non

leguntur tambm a indiferena dos filsofos matemtica non leguntur. Sacamos s

vezes ao escut-lo suas mgoas, sem que a desaprovao de seus contemporneos

tenha interrompido o curso de sua pesquisa. Estes textos ento no tiveram eco no

_____________________________________ (1) IMBERT, Claude Introduo da Traduo crits logiques et philosophiques de Gottlob

Frege ditions du Seuil 1971.

(2) Publicados em 1969 com o ttulo: Nachgelassene Schriften, Hamburgo.



23

tempo de sua primeira publicao. Os mais importantes dentre eles (sem levar em

conta as Investigaes Lgicas posteriores Primeira Guerra mundial e interrompida

com a morte de Frege) foram tirados do esquecimento nos anos 1900 por Bertrand

Russel, que teve sua curiosidade despertada por Peano. No apndice A dos Principles of

Mathematics, o filsofo ingls [Bertrand Russel] faz uma magnfica homenagem a

Frege e dois anos mais tarde, em um artigo que foi determinante para a filosofia

analtica ele submeteu a ideografia fregiana a um exame severo. Na mesma poca,

Husserl e Frege estabelecem correspondncia. Husserl envia alguns textos para Frege.

As doutrinas lgicas de Frege afetaram pouco a fenomenologia nascente exceto talvez

para o abandono do psicologismo emprico da Philosophie der Aritmetik de Husserl.

No deixa tambm de ser destacvel que as duas grandes escolas filosficas do comeo

do sculo, a fenomenologia e a filosofia analtica tenham definido sua doutrina em

dilogo com Frege.

Os textos originais por longo tempo dispersos em revistas de baixa tiragem so

acessveis hoje em dois conjuntos (1): Begriffsschrift und andere Aufstze (1963) e

Kleine Schriften (1967) [Cf. o CORPUS FREGEANUN, de Paulo Alcoforado

reproduzido no texto do Seminrio de Leituras Clnicas 2009]. Estes apanhados se

beneficiam da reproduo fotogrfica e contm uma nova edio da Begriffsschrift

[Conceitografia]. O simbolismo de Frege to complexo em sua preciso que fora

excludo de traduzir a Begriffsschrift. Esta impossibilidade no pesou, no entanto sobre

nossa escolha: vrias edies desta obra esto disponveis e os textos aqui publicados

contm exemplos suficientes da escritura ideogrfica bidimensional.

Nosso projeto era de reunir um conjunto de artigos que jogasse uma luz na lenta

gestao da ideografia, as modificaes que Frege inclua com o tempo e a anlise da

lngua matemtica que precede e justifica a definio de nmero cardinal. Ou seja,

tratava-se de esclarecer o nascimento da lgica extensional, e estes textos devem ser

lidos, em nosso sentido, conjuntamente com os Fundamentos da Aritmtica, tanto

quanto ao Tractatus lgico-phosohicus. Tanto que, e pelas mesmas razes estes textos

foram eles que por intermdio de Russel e Wittgenstein tiveram uma influncia

permanente sobre a histria da filosofia analtica. verdade que o interesse se deslocar

do atomismo lgico, do qual poderamos traar a origem remontando at Frege, sobre os

estudos das significaes e das suposies implcitas da lngua comum: mas, as duas

DIGRESSO 2 Devemos aqui retomar a reflexo sobre os Esticos e a lngua grega, em particular a crtica de Zeno e Crsipo, que antecipou o helenismo: a vocao csmica do estoicismo excntrica em relao Atenas e a criao do que poderamos chamar de primeira semiologia sistemtica com a distino de Significante (Smainon), Significado (Semainomnon) e o Referente (Tynkhanon). De forma que, como j estudamos, os avanos na Lgica devemos iniciar com os Esticos e sua teoria da linguagem que exigiu a criao de gramticas novas. Para eles o correlato de uma representao no um objeto que um substantivo poderia significar, mas uma situao. O contedo de uma representao assim imediatamente proposicional. Leibniz foi o precursor da criao de uma linguagem de smbolos e da compossibilidade e da linguagem formular o que veio culminar com Frege em suas ideografias [Begriffsschrift = Conceitografia]. Para esta introduo a Frege devemos equalizar o uso das palavras e conceitos, como no exemplo da Bedeutung, traduzida como denotao, significado e mesmo objeto. Ao adotarmos uma traduo isso nos permite uma orientao segura no texto ou mesmo que tenhamos de preservar o termo alemo como o caso para a traduo de Lacan que _____________________________________

(1) Esta coletnea ns devemos a I. Angelelli que retomou uma parte do projeto de H. Scholz.

Este ltimo havia iniciado entre as duas guerras uma edio dos principais textos inditos de

Frege ao mesmo tempo em que dava a conhecer a obra integral, lgica e matemtica do filsofo

de Iena, e consagrar suas ltimas foras na preparao dos textos que esta publicao integra.

O tomo I relata (Na Sc p. XXXIV XLI) a histria atribulada desta edio. Os tomos seguintes

publicaro a correspondncia cientfica de Frege.



24

s vezes prefervel que mantenhamos a caracterstica [os caracteres] da escrita francesa. Vimos isto com a traduo de Forcluso # de Foracluso ou Precluso.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

escolas nascidas das lies de Wittgenstein meditaram sobre a obra de Frege. Se A

lngua formular do pensamento puro ou Ideografia imps uma reforma da lgica. Estes

dez textos aqui traduzidos portam duas intenes diferentes. A maioria tem um

aspecto polmico: Frege teve de defender a Begriffsschrift e Os fundamentos da

Aritmtica, depois de algumas crticas deselegantes e irresponsveis, crticas nas quais

os erros dos crticos eram evidentes. Em seu sentido positivo, elas permitiram modificar

e completar a primeira ideografia por uma srie de descobertas e autocrticas que

constituram o interesse maior e at insuficientemente destacados. Classificaremos

assim elas em trs perodos. Antes de seguir o percurso histrico, devemos justificar

aqui a traduo que adotamos dos termos os mais caractersticos de Frege e mencionar

alguns problemas fundamentais que foram a encontrados. Examinando adiante as

razes lgicas das grandes distines fregeanas, daremos aqui um apanhado dos

aspectos que dependem da lingstica, tomando a liberdade de no mais abord-las.

Pedimos ao leitor a gentileza de reter no esprito estas diversas precises lendo as

pginas que seguem: Gedanke e Satz foram traduzidos respectivamente por pensamento

e proposio. O termo de proposio deve ser tomado no sentido do Littr: termo de

lgica e de gramtica. mais precisamente, a proposio independente dos gramticos,

a sentena, dos Anglo-Saxes.

O pensamento designa, na lngua de Frege o sentido de uma proposio ou de

uma frmula, sentido que pode ser considerado verdadeiro ou falso. A. A. Church

traduz Gedanke por proposio (contedo abstrato da sentena), nica traduo que lhe

parece desprovida de subentendidos psicolgicos. Ns escolhemos pensamento porque

a lngua francesa no tem nenhum par de termo

SEMINÁRIO DE LEITURAS CLÍNICAS 2009 no que ele considera a noção de número cardinal anterior à...

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