Senai Resistencia Dos Materiais

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  • RESISTNCIA DOS MARESISTNCIA DOS MARESISTNCIA DOS MARESISTNCIA DOS MARESISTNCIA DOS MATERIAISTERIAISTERIAISTERIAISTERIAIS

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    2

    Jos Fernando Xavier Faraco

    Presidente da FIESC Srgio Roberto Arruda

    Diretor Regional do SENAI/SC Antnio Jos Carradore

    Diretor de Educao e Tecnologia do SENAI/SC Marco Antnio Dociatti

    Diretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC

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    FIESCFIESC SENAI SENAI

    Federao das Indstrias do Estado de Santa Catarina Servio Nacional de Aprendizagem Industrial

    Departamento Regional de Santa Catarina

    RESISTNCIA DOS MATERIAIS

    Florianpolis 2004

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    No pode ser reproduzido, por qualquer meio, sem autorizao por escrito do SENAI DR/SC. Equipe Tcnica: Organizadores: Renato Antnio Schramm Joeci Casagrande Coordenao: Adriano Fernandes Cardoso Osvair Almeida Matos Roberto Rodrigues de Menezes Junior Produo Grfica: Csar Augusto Lopes Jnior Capa: Csar Augusto Lopes Jnior Solicitao de Apostilas: [email protected]

    Servio Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Regional de Santa Catarina www.sc.senai.br Rodovia Admar Gonzaga, 2765 Itacorubi. CEP 88034-001 - Florianpolis - SC Fone: (048) 231-4290 Fax: (048) 234-5222

    S474r SENAI. SC. Resistncia dos Materiais. Florianpolis: SENAI/SC, 2004. 108p.

    1. Resistncia dos Materiais. 2. Sistema Internacional de Unidades. 3. Toro. 4. Flexo. I. Ttulo.

    CDU: 621.7.014.2

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    SUMRIO 1 Sistema Internacional de Unidades (SI) ...................................................................... 7

    1.1 Outras Unidades................................................................................................... 7 2 Vnculos Estruturais..................................................................................................... 9

    2.1 Introduo............................................................................................................. 9 2.1.1 Vnculos de 1 classe..................................................................................... 9 2.1.2 Vnculos de 2 Classe.................................................................................... 9 2.1.3 Engatamento de 3 Classe ............................................................................ 9

    2.2 Estrutura ............................................................................................................. 10 2.2.1 Tipos de estruturas: ..................................................................................... 10

    3 Equilbrio de Foras e Momentos .............................................................................. 12 3.1 Trao e Compresso ........................................................................................ 12 3.2 Mtodo das Projees ........................................................................................ 13 3.3 Momento de uma Fora...................................................................................... 18

    3.3.1 Exerccios Resolvidos.................................................................................. 20 4 Carga Distribuda....................................................................................................... 24

    4.1 Introduo........................................................................................................... 24 4.1.1 Exemplos de Cargas Distribudas ............................................................... 24

    5 Trao e Compresso ............................................................................................... 26 5.1 Trao e Compresso ........................................................................................ 26 5.2 Materials Dcteis a Frgeis ................................................................................ 27

    5.2.1 Material Dctil .............................................................................................. 27 5.2.2 Material Frgil .............................................................................................. 28

    5.3 Tenso Normal ................................................................................................ 28 5.4 Lei de Hooke....................................................................................................... 29 5.5 Fator de Segurana ............................................................................................ 30

    5.5.1 Carga Esttica ............................................................................................. 30 5.5.2 Carga Intermitente ....................................................................................... 30 5.5.3 Carga Alternada........................................................................................... 31

    5.6 Tenso Admissvel ou adm......................................................................... 32 5.7 Exerccios ........................................................................................................... 32

    6 Sistemas Estaticamente Indeterminados (Hiperestticos) ........................................ 38 6.1 Introduo........................................................................................................... 38 6.2 Tenso Trmica.................................................................................................. 39 6.3 Exerccios ........................................................................................................... 40

    7 Toro........................................................................................................................ 47 7.1 Introduo........................................................................................................... 47 7.2 Momento Toror ou Torque ................................................................................ 47 7.3 Potncia ( P ) ...................................................................................................... 48 7.4 Tenso de Cisalhamento na Toro ().............................................................. 49 7.5 Distoro ( )...................................................................................................... 50 7.6 ngulo de Toro ( ) ........................................................................................ 50 7.7 Dimensionamento de Eixos - rvore .................................................................. 50 7.8 Exerccios ........................................................................................................... 54

    8 Cisalhamento Puro .................................................................................................... 61 8.1 Definio............................................................................................................. 61 8.2 Fora Cortante Q ................................................................................................ 61 8.3 Tenso de Cisalhamento ( ) ............................................................................. 61 8.4 Deformao do Cisalhamento ............................................................................ 62 8.5 Tenso Normal ( ) e Tenso de Cisalhamento ( )......................................... 62 8.6 Presso de Contato d........................................................................................ 63

    8.6.1 Presso de Contato (Esmagamento) .......................................................... 63

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    8.7 Distribuio ABNT NB14 .................................................................................... 64 8.8 Tenso Admissvel e Presso Mdia de Contato ABNT NB14 - Material Ao ABNT 1020 ............................................................................................................... 64

    8.8.1 Rebites......................................................................................................... 64 8.8.2 Parafusos..................................................................................................... 65 8.8.3 Pinos............................................................................................................ 65

    8.9 Exerccios ........................................................................................................... 65 9 Fora Cortante Q e Momento Fletor M...................................................................... 68

    9.1 Conveno de Sinais.......................................................................................... 68 9.2 Fora Cortante Q ................................................................................................ 69 9.3 Momento Fletor M............................................................................................... 69 9.4 Exerccios ........................................................................................................... 70

    10 Flexo...................................................................................................................... 81 10.1 Introduo......................................................................................................... 81 10.2 Flexo Pura ...................................................................................................... 81 10.3 Flexo Simples ................................................................................................. 82 10.4 Tenso de Cisalhamento na Flexo ................................................................. 86 10.5 Tenso Normal na Reflexo ............................................................................. 87 10.6 Dimensionamento na Flexo ............................................................................ 87 10.7 Deformao na Flexo ..................................................................................... 89 10.8 Exerccios ......................................................................................................... 92 10.9 Ao e sua Classificao.................................................................................. 101

    Referncias Bibliogrficas .......................................................................................... 108

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    11 SSIISSTTEEMMAA IINNTTEERRNNAACCIIOONNAALL DDEE UUNNIIDDAADDEESS ((SSII))

    Sistema MKS Giorgi Comprimento M m (metro)

    Massa K Kg (quilograma)

    Tempo s s (segundo)

    Ainda na Mecnica, ha dois outros sistemas, conforme mostram as tabelas a seguir.

    Sistema CGS Comprimento C cm (centmetro)

    Massa G g (grama)

    Tempo s s (segundo)

    Sistema MK*S ou MKS Tcnico Comprimento M m (metro)

    Fora K* kgf (quilograma-fora)

    Tempo S s (segundo)

    11..11 OOuuttrraass UUnniiddaaddeess

    Nome Smbolo Fator de Multiplicao Exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 Tera T 1012 = 1 000 000 000 000 Giga G 109 = 1 000 000 000 Mega M 106 = 1 000 000 Quilo k 103 = 1000 Hecto h 102 = 100 Deca da 10 Deci d 10-1 = 0,1 Centi c 10-2 = 0,01 Mili m 10-3 = 0,001 Micro p. 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

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    Nome da Unidade Smbolo Valor do SI angstrom A 10-10 m atmosfera atm. 101325 Pa bar bar 105 Pa barn b 10-28 m2 *caloria cal 4,1868 J *cavalo-vapor cv 735,5 W curie ci 3,7 x 1010 Bq gal Gal 0,01 m/s2 * gauss Gs 10-4 T hectare ha 104 m2 * quilograma-fora kgf 9,80665 N * milmetro de Hg mmHg 133.322 Pa (aproxima-

    do) milha martima 1852 m n 1852/3600 m/s milha

    martima por hora * quilate rad

    2 x 10-4 kg no confun-dir com ligas de ouro 0,01 Gy

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    22 VVNNCCUULLOOSS EESSTTRRUUTTUURRAAIISS

    22..11 IInnttrroodduuoo Denominamos vnculos ou apoios os elementos de construo que impedem os movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classific-los em 3 tipos. 22..11..11 VVnnccuullooss ddee 11 ccllaassssee Este tipo de vnculo impede o movimento de translao na direo normal ao plano de apoio, fornecendo-nos desta forma, uma nica reao (normal ao plano de apoio). Representao simblica:

    22..11..22 VVnnccuullooss ddee 22 CCllaassssee Este tipo de vnculo impede apenas dois movimentos; o movimento no sentido vertical e horizontal, podendo formar duas reaes. (vertical e horizontal). Representao simblica:

    22..11..33 EEnnggaattaammeennttoo ddee 33 CCllaassssee Este tipo de vnculo impede a translao em qualquer direo, impedindo tambm a rotao do mesmo atravs de um contramomento, que bloqueia a ao do momento de solicitao.

    RY - impede o movimento de translao na direo

    M - impede a rotao

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    22..22 EEssttrruuttuurraa

    Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construo, composto com a finalidade de receber a transmitir esforos.

    22..22..11 TTiippooss ddee eessttrruuttuurraass:: Estruturas Hipoestticas Estes tipos de estruturas so instveis quanto elasticidade, sendo bem pouco utilizadas no decorrer do nosso curso. A sua classificao como hipoestticas devido ao fato de o nmero de equaes da esttica ser superior ao nmero de incgnitas. Exemplo:

    nmero de equaes > nmero de incgnitas Estruturas Isostticas A estrutura classificada como isosttica quando o nmero de reaes a serem determinadas igual ao nmero de equaes da esttica.

    Exemplo:

    a)

    b)

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    Estruturas Hiperestticas A estrutura classificada como hiperesttica, quando as equaes da esttica so insuficientes para determinar as reaes nos apoios. Para tornar possvel a soluo destas estruturas, devemos suplementar as equaes da esttica com as equaes do deslocamento. Exemplos:

    Nmero de equaes < nmero de incgnitas

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    33 EEQQUUIILLBBRRIIOO DDEE FFOORRAASS EE MMOOMMEENNTTOOSS Para que um determinado corpo esteja em equilibrio, necessrio que sejam satisfeitas as condies: Resultantes de Fora A resultante do sistema de foras atuante ser nula. Resultantes dos Momentos A resultante dos momentos atuantes em relao a um ponto qualquer do plano de foras ser nula. Equaes Fundamentals da Esttica Baseados, conclumos que para foras coplanares, Fx = 0, Fy = 0 e M = 0. Fora Axial ou Normal F definida como fora axial ou normal a carga que atua na direo do eixo longitudial da pea. A denominao normal ocorre, em virtude de ser perpendicular, a seco transversal. 33..11 TTrraaoo ee CCoommpprreessssoo A ao da fora axial atuante, em uma pea, originar nesta trao ou compresso. Trao na Pea A pea estar tracionada quando a fora axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior.

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    Compresso na Pea A pea estar comprimida, quando a fora axial aplicada estiver atuando como sentido dirigido para o interior. 33..22 MMttooddoo ddaass PPrroojjeeeess O estudo do equilbrio neste mtodo, consiste em decompor as componentes das foras coplanares atuantes no sistema em x e y conforme item 3. Exemplo 1

    A construo representada na figura est em equilbrio. Calcular as foras normais atuantes nos cabos , e

    Soluo: Os cabos esto todos tracionados (cabo no suporta compresso), portanto os ns A, B, C, D esto sendo puxados. Baseados no exposto, podemos colocar os vetores representativos das foras nos cabos. Para determinarmos a intensidade das foras, iniciamos os clculos pelo n qua seja o mais conveniente, ou seja, que possua a soluo mais rpida, n com o menor nmero de incgnitas, para o nosso caso n D.

    1 2 3

    F3 = P

    Fy = 0

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    Determinada a fora na barra 3, partimos para determinar F1 e F2, que sero calculados atravs do n C. Fy = 0 Fx = 0 N C F1 sen = P F1 cos = F Exemplo 2 A construo representada na figura est em equilbrio. Calcular as foras normais atuantes nos cabos 1, 2, 3.

    Soluo:

    Analogamente ao exemplo 1, partimos do n D para determinar F3.

    F2 = P cotg

    Fy = 0

    F3 = P

    F1 = = P cossec P sen F2 = . cos P

    sen

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    Novamente como no exemplo anterior, o n C o mais conveniente. Porm, neste exemplo, temos a oportunidade de apresentar mais um artifcio, que poder ser utilizado sempre que for necessrio. Este artifcio (mudana de plano) torna-se conviniente, sempre que duas ou mais foras estiverem colineares ou defasadas 90. Os cabos 1, 2, 3 esto tracionados, portanto teremos o n C com o sistema de foras a seguir.

    Exemplo 1 Uma carga de 2000 kgf est suspensa conforme mostra 1, 2 e 3 a figura ao lado. Determinar as foras normais atuantes nas barras

    Soluo:

    Iniciamos os clculos pelo n D. A carga de 2000 kgf traciona a barra 3, portanto teremos o sistema de foras abaixo.

    Fy = 0 F3 = 2000kgf

    Fy = 0 F2 = P cos45

    F2= 0,707

    Fx = 0 F1= P sen

    F1 = 0,707 P

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    A barra 3, tracionada, tende a puxar" o n A para baixo, sendo impedida pela barra 2 que o puxa" para cima, auxiliada pela barra 1 que o empurra" para cima para que haja equilbrio. Temos, portanto a barra 1 tracionada e a barra 2 comprimida, resultando no sistema de foras atuante no n A representado na figura.

    Fx = 0

    F1 sen 60 = F2 sen 45 F1 = Fy = 0 F1 cos 60 + cos 45 = 2000 (II)

    Substituindo a equao I na equao II temos:

    F2 cos 45 . cos 60 + F2 cos 45 = 2000 sen 60 F2 . 0,707 . 0,5 + 0,707 F2 = 2000 0,866 1,115 F2 = 2000

    F2 = 1793,72kgf

    Substituindo F2 na equao I temos: F1 = = F1 = 1464,38kgf Exemplo 2 A construo dada est em equilibrio. A carga P aplicada em D de 2,0 tf. Determinar as foras normais atuantes nos cabos, utilizando o mtodo do polgono de foras. Soluo:

    F2 cos45

    (I)

    F2 cos 45 1793,72 x 0,707 sen 60 0,866

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    Neste caso, como temos apenas 3 foras a serem determinadas, o nosso polgono ser um tringulo de foras. Sabemos que F3 = P, como estudamos em exemplos anteriores. Para traarmos o tringulo de foras, vamos utilizar o n C, procedendo da seguinte forma: 1. Traamos o vetor fora F3 = P, que sabemos ser vertical. 2. A F2 forma com F3 um ngulo de 37, sabemos ainda que, o vetor F2 tem o seu

    incio no final do vetor F3, portanto, com uma inclinao de 37 em relao ao final do vetor F3, traamos o vetor F2.

    3. O vetor F1 forma 90 com o vetor F3, sabemos que o incio de F3 o final de F1, teremos, portanto, o tringulo de foras abaixo. Pela lei dos senos temos:

    F2 = = = 2500kgf F1 = F2 sen 37 = 2500 x 0,6

    Observao: Como se pode perceber, a carga 1,4 tf foi transformada para 1400 kgf. Exemplo 3 A estrutura representada na figura est em equilbrio. A carga P aplicada em D de 3,0 tf. Determinar as foras normais atuantes nas barras 1, 2 e 3 utilizando o mtodo do polgono de foras. Soluo: Observando a figura a seguir, conclumos que as barras 1 e 3 esto tracionadas, e a barra 2 est comprimida. Teremos, portanto o esquema de foras a seguir. Novamente para este caso, teremos um tringulo de foras. Sabemos que F3 = 3,0 tf, como j foi estudado. Atravs de C, traaremos o tringulo de foras.

    F1 F2 F3 sen 37 sen 90 sen 53

    P 2000 sen 53 0,8

    = =

    F1 = 1500 kgf F2 = 2500 kgf

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    1. Traamos o vetor a fora F3 = 3,0 tf, que sabemos ser vertical, e para baixo. 2. A fora de F2 forma com a fora F3 um ngulo de 37, sabemos ainda que o vetor

    F2 tem o seu incio no final do vetor F3, portanto, com uma inclinao de 37 em relao ao final do vetor F3, traamos o vetor F2 .

    3. O vetor F1 forma 90 com o vetor F2, pela extremidade final de F2, com uma

    inclinao de 90 em relao a este, traamos o vetor F3, teremos desta forma o tringulo de foras. Pela lei dos senos temos: F1 F2 F3 sen 37 sen 53 sen 90

    Como o sen 90 = 1, tem-se que: F2 = F3 sen 53 F2 = 3,0 x 0,8 = 2,4 tf F1 = F3 sen 37

    F1 = 3,0 x 0.6 = 1,8 tf 33..33 MMoommeennttoo ddee uummaa FFoorraa Define-se como momento de uma fora em relao a um ponto qualquer de referncia, como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a respectiva distncia em relao ao ponto. importante observar que a direo da fora e a distncia estaro sempre defasadas 90. Na figura dada, o momento da fora F em relao ao ponto A ser obtido atravs do produto F.d, da mesma forma que o produto da carga P em relao a A ser obtido atravs de P.b. Para o nosso curso, convencionaremos positivo, o momento que obedecer ao sentido horrio. Nota: Muitos autores utilizam conveno contrria a esta, porm, para a seqncia do nosso curso importante que o momento positivo seja horrio.

    = =

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    Exemplo 1 Determinar as reaes nos apoios das vigas a e b, carregadas conforme mostram as figuras a seguir. a)

    MA = 0 MB = 0 RA ( a + b ) = P. a RA ( a + b) = P . b

    b) Soluo: A primeira providncia a ser tomada, para solucionar este exemplo, decompor a carga de 10 kN, visando obter as componentes vertical e horizontal. A componente horizontal ser obtida atravs de 10 cos 53 = 6 kN, e a componente vertical obtida atravs de 10 sen 53 = 8 kN.

    Agora, j temos condio de utilizar as equaes do equilbrio para solucionar o exemplo.

    RB = Pa (a + b)

    RA = Pb (a + b)

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    33..33..11 EExxeerrcccciiooss RReessoollvviiddooss Ex. 1 O suporte vertical ABC desliza livremente sobre o eixo AB, porm mantido na posio da figura atravs de um colar preso no eixo. Desprezando o atrito, determinar as reaes em A e B, quando estiver sendo aplicada no ponto C do suporte, uma carga de 5kN.

    MA = 0

    24 RB = 5 x 30 RB = 6,25 kN

    FH = 0

    RAH - RB = 6,25 kN FV = 0

    Reao em A:

    RA = R2 AV + R2 AH. RA = 52 + 6,252 RA = 8 kN

    Ex. 2 A figura a seguir, representa uma junta rebitada, composta por rebites de dimetros iguais. Determinar as foras atuantes nos rebites.

    Como os dimetros dos rebites so iguais, na vertical as cargas sero iguais:

    O rebite B, por estar na posio intermediria, no possui reao na horizontal. O rebite A est sendo "puxado" para a direta, portanto possuir uma reao horizontal para a esquerda. O rebite C, ao contrrio de A, esta sendo "empurrado" para a esquerda, portanto possuir reao horizontal para a direita.

    RAV = 5 kN

    RAV = RB = RCV = 3000 = 1000N 3

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    Esforos Horizontais MA = 0 FH = 0 200 RCH = 600 x 3000 RAH = RCH = 9000N

    Fora atuante nos rebites A e C:

    RA = R2AV + R2AV RA= 10002 + 90002

    Como RA e RC so iguais, temos que: RA e RC = 9055 N

    Ex. 3 Determinar a intensidade da fora F, para que atue no parafuso o torque de 40Nm. A distncia a (centro do parafuso ao ponto de aplicao da carga F) ser determinada por:

    a = 21,7 cm

    a = 0,217 m M0 = 0 0,217 F = 40

    F = 40 184N 0,217

    Ex. 4 Um grifo a utilizado para rosquear um tubo de d = 20mm a uma luva como mostra a figura. Determinar a intensidade da fora F exercida pelo grifo no tubo, quando a fora de aperto aplicada for 40N. O somatrio de momentos em relao articulao A soluciona o exerccio:

    MA = 0 30F = 180 x 40 F = 180 x 40 30 F=240N

    RA = 9055N

    RCH = 9000N

    a = = 20 20 cos23 0,92

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    Ex. 5 A figura dada representa uma alavanca de comando submetida a um conjugado horrio de 90Nm exercido em 0. Projetar a alavanca para que possa operar com fora de 150N.

    Soluo: Para projetar a alavanca, precisamos determinar a dimenso y. Para determinarmos y, precisamos que as unidades sejam coerentes, por esta razo, transformaremos Nm para N.mm 90 Nm = 90000 Nmm dimenso y dimenso x M0 = 0 Como x a hipotenusa do tringulo ABO temos: 150 (200 + y) = 90000 y = - 200 x = = y = 400 mm x 445 mm

    Soluo:

    Esforos na Viga AC

    90000 150

    y cos 26

    400 0,9

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    Fora atuante na haste do cilindro: MA = 0 400 FC cos 37 = 5 x 1200 FC = 18,75 kN Componentes de Fc FC cos 37 = 18,75 x 0,8 = 15 kN FC sen 37 = 18,75 x 0,6 = 11,25kN Reaes na articulao A Reao na articulao A FH = 0 RA = R2AH + R2AV RAH = FC sen 37 = 11,25kN FV = 0 RA = 11,252 + 102 RAV = FC Cos 37 - 5 RAV = 15 - 5 = 10 kN Ex. 6 Determinar a fora que atua no prego, quando uma carga de 80 N atua na extremidade A do extrator (p de cabra"), no caso representado na figura dada.

    Soluo: Fora de extrao do prego:

    MB = 0 50F cos 34 = 80 x 200

    RA 15 kN

    F = 385 N

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    44 CCAARRGGAA DDIISSTTRRIIBBUUDDAA 44..11 IInnttrroodduuoo Nos captulos anteriores, estudamos somente a ao de cargas concentradas, isto , cargas que atuam em um determinado ponto, ou regio com rea desprezvel. No presente captulo, passaremos a nos preocupar com a ao das cargas distribudas, ou seja, cargas que atuam ao longo de um trecho. 44..11..11 EExxeemmppllooss ddee CCaarrggaass DDiissttrriibbuuddaass a) O peso prprio de uma viga b) O peso de uma caixa d'gua atuando sobre uma viga

    c) O peso de uma laje em uma viga

    Podemos ainda citar como exemplos: barragens, comportas, tanques, hlices, etc.

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    Exerccios Resolvidos Ex. 1 Determinar as reaes nos apoios, nas vigas solicitadas pela ao das cargas distribudas, conforme as figuras dadas.

    A resultante da carga distribuda de intensidade q e comprimento l ser ql, e atuar no ponto l/2 em relao a A ou B, como j foi estudado anteriormente. Teremos, ento:

    MA = 0 MB = 0 RB . 8 = 30 . 8 .

    RB l = ql . RA l = ql .

    l 2

    l 2

    RB = ql . l 2

    RA = ql . l 2

    RB =

    82

    30 . 8 . 8 8 . 2

    RA = RB = 120 N.m

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    55 TTRRAAOO EE CCOOMMPPRREESSSSOO 55..11 TTrraaoo ee CCoommpprreessssoo Podemos afirmar qua uma pea est submetida a esforo de trao ou compresso, quando uma carga normal F atuar sobre a rea da seco transversal da pea, na direo do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da pea ("puxada"), a pea estar tracionada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior do pea, a barra estar comprimida ("empurrada").

    Pea tracionada Pea comprimida

    Deformao transversal ( t )

    Determina-se atravs do produto entre a deformao unitria ( ) e o coeficiente de Poisson (v).

    como , podemos escrever ou

    t = -v

    l = = l E

    v t = E

    l t = -v l

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    Onde: t - deformao transversal adimensional - tenso normal atuante [Pa ; ............] E - mdulo de elasticidade do material [Pe ; ..............] - deformao longitudinal adimensional v - coeficiente de Poisson adimensional l - alongamento [m ; ................] l - comprimento inicial [m; ...............]

    55..22 MMaatteerriiaallss DDcctteeiiss aa FFrrggeeiiss Os materiais, conforme as suas caractersticas, so classificados como dcteis ou frgeis. 55..22..11 MMaatteerriiaall DDccttiill O material classificado como dctil, quando submetido a ensaio de trao, apresenta deformao plstica, precedida por uma deformao elstica, para atingir o rompimento.

    Ex.: ao; alumnio; cobre; bronze; lato; nquel; etc.

    Diafragma Tenso deformao do ao ABNT 1020

    Ponto O - Incio de ensaio carga nula Ponto A - Limite de proporcionalidade Ponto B - Limite superior de escoamento Ponto C - Limite inferior de escoamento Ponto D - Final de escoamento incio da recuperao do material Ponto E - Limite mximo de resistncia Ponto F - Limite de ruptura do material

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    55..22..22 MMaatteerriiaall FFrrggiill O material classificado como frgil, quando submetido a ensaio de trao e no apresenta deformao plstica, passando da deformao elstica para o rompimento. Ex.: concreto, vidro, porcelana, cermica, gesso, cristal, acrlico, baquelite, etc. Diagrama tenso deformao do material frgil Ponto O - Incio de ensaio carga nula. Ponto A - limite mximo de resistncia, ponto de ruptura do material. 55..33 TTeennssoo NNoorrmmaall A carga normal F, que atua na pea, origina nesta, uma tenso normal que determinada atravs da relao entre a intensidade da carga aplicada, e a rea da seco transversal da pea.

    =

    Onde: - tenso normal [Pa; ............] F - fora normal ou axial [N; ............] A - rea da seco transversal da pea [m2; ............] Unidade de Tenso, no SI (Sistema Internacional) A unidade de tenso no SI o pascal, que corresponde carga de 1N atuando sobre uma superficie de 1m2.

    Como a unidade pascal infinitesimal, utiliza-se com freqncia, os seus mltiplos:

    GPa (giga pascal) GPa = 10 9 Pa

    MPa (mega pascal) MPa = 10 6 Pa KPa (quilo pascal) KPa = 10 3 Pa

    A unidade MPa (mega Pascal, corresponde aplicao de 10 6 N (um milho de newtons) na superfcie de um metro quadrado (m2). Como m2 = 10 6 mm2, conclui-se que:

    MPa = N/mm2

    MPa, corresponde carga de 1N atuando sobre a superfcie de 1mm2.

    A

    F

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    55..44 LLeeii ddee HHooookkee As tenses e as deformaes especficas so proporcionais, enquanto no se ultrapassar o limite elstico. Ao fenmeno da variao linear, Hooke denominou alongamento, constando que:

    Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da pea, maior o alongamento, e que, quanto maior a rea da seco transversal e a rigidez do material, medido atravs do seu mdulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando da a equao:

    l =

    Como = podemos escrever a Lei de Hooke: E = ou l =

    Onde: l - alongamento da pea [m; .............] - tenso normal [P; ............]

    F - carga normal aplicada [N; ...............] A0 - rea da seco transversal [m2; ............] E - mdulo de elasticidade do material [Pa; ...............] l0 - comprimento inicial da pea [m; ...............]

    O alongamento ser positivo, quando a carga aplicada tracionar a pea, e ser negativo quanda a carga aplicada comprimir a pea. importante observar que a carga se distribui por toda rea da seco transversal da pea. Trao no N Compresso no N

    Onde: lf - comprimento final da pea [m; .................] l - comprimento inicial da pea [m; ..................]

    l - alongamento [m; .................] A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformao longitudinal ( ) e a deformao transversal ( t ).

    A . E F . l

    F A

    . l E

    A B B A Pea tracionada Pea comprimi-

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    Deformao Longitudinal ( ) Consiste na deformao que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c) de uma pea submetiea ao da carga axial. Sendo definida atravs das relaes: 55..55 FFaattoorr ddee SSeegguurraannaa O fator de segurana utilizado no dimensionamento dos elementos de construo, visando assegurar o equilbrio entre a qualidade da construo e seu custo. O projetista poder obter o fator em normas ou determin-lo em funo da circunstncias apresentadas. Os esforos so classificados em 3 tipos: 55..55..11 CCaarrggaa EEssttttiiccaa A carga aplicada na pea e permanece constante; como exemplos, podemos citar:

    Um parafuso prendendo uma luminria. Uma corrente suportando um lustre.

    55..55..22 CCaarrggaa IInntteerrmmiitteennttee Neste caso, a carga aplicada gradativamente na pea, fazendo com que o seu esforo atinja o mximo, utilizando para isso um determinado intervalo de tempo. Ao atingir o ponto mximo, a carga retirada gradativamente no mesmo inter-valo de tempo utilizado para se atingir o mximo, fazendo com que a tenso atuante volte a zero. E assim sucessivamente. Exemplo: o dente de uma engrenagem

    l = = l E

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    55..55..33 CCaarrggaa AAlltteerrnnaaddaa Neste tipo de solicitao, a carga aplicada na pea varia de mximo positivo para o mximo negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situao para o material. Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc. Para determinar o coeficiente de segurana em funo das circunstncias apresentadas, dever ser utilizada a expresso a seguir:

    k = x . y . z . w

    - Valores para x (fator do tipo de material)

    x = 2 para materiais comuns x = 1,5 para aos de qualidade e ao liga

    - Valores para y (fator do tipo de solicitao)

    y = 1 para carga constante y = 2 para carga intermitente y = 3 para carga alternada

    - Valores para z (fator do tipo de carga)

    z = 1 para carga gradual z = 1,5 para choques leves z = 2 para choques bruscos

    - Valores para w (fator que prev possveis falhas de fabricao)

    w = 1 a 1,5 para aos w = 1,5 a 2 para fofo

    Para carga esttica, normalmente utiliza-se 2 k 3 aplicado a e (tenso de escoa-mento do material), para o material dctil e ou aplicado a r (tenso de ruptura do ma-terial) para o material frgil). Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos mos-tra a equao para sua obteno.

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    55..66 TTeennssoo AAddmmiissssvveell oouu aaddmm Para o nosso estudo, restringir-nos-emos somente ao primeiro caso (regio elstica) que o que freqentemente ocorre na prtica. A tenso admissvel determinada atravs da relao e (tenso de escoamento) coeficiente de segurana para os materiais dcteis, r (tenso de ruptura) coeficiente de segurana para os materiais frgeis. 55..77 EExxeerrcccciiooss Ex.1 A barra circular representada na figura, de ao, possui d = 20 mm e comprimento l = 0,8 m. Encontra-se submetida ao de uma carga axial de 10 kN.

    Pede-se que determine para a barra:

    a) Tenso normal atuante ( ) b) O alongamento ( l ) c) A deformao longitudinal ( ) d) A deformao transversal ( t )

    Eao = 210 GPa (mdulo de elasticidade do ao)

    Vao = 0,3 (coeficiente de Passion)

    Soluo:

    a) Tenso normal atuante

    e adm = Fs r adm = Fs

    Materiais dcteis Materiais frgeis

    = = 4F F d2 A

    = 4 x 10000N (20 x 10 -3 m)2

    = x 10 6 MPa 4 x 10000 x 20 2 N m2

    = 31,8 x 10 6 N m2

    = 31,8 MPa = 4 x 10000N x 20 2 x 10 6 m2

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    b) Alongamento da barra ( l ) c) A deformao longitudinal ( ) d) Deformao transversal ( t )

    Ex. 2 A figura dada, representa duas barras de ao soldadas na seco BB.

    A carga de trao que atua na pea 4,5 kN. A seco 1 da pea possui d1 = 15 mm e comprimento l1= 0,6 m, sendo que a seco 2 possui d2 = 25 mm e l2 = 0,9m. Desprezando o efeito do peso prprio do material, pede-se que determine para as seces 1 e 2.

    a) A tenso normal ( 1 e 2) b) O alongamento (l 1 e l 2) c) A deformao longitudinal ( 1 e 2) d) A deformao transversal (t 1 e t 2) e) O alongamento total da pea (l)

    l = x l E ao

    l = 31,8 x 10 6 Pa x 0,8 m

    210 x 10 9 Pa

    l = 31,8 x 0,8 m 210 x 10 3

    l = x 10 -3 m 31,8 x 0,8 210

    l = 0,12 x 10 3m l = 0,12 mm

    l = 0,087 x 10 3 m l = 0,087 mm

    = 0,12 :m 800 m

    = 0,00015 :

    t = - v ao . t = - 0,3 x 0,00015

    t = - 0,000045

    Eao = 210 GPa Vao = 0,3

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    Soluo: a) Tenso normal ( 1 e 2)

    Seco 1 da barra tem-se:

    Seco 2, da barra tem-se: A carga F2 a prpria carga de 4,5 kN, portanto, tem-se: b) Alongamento da barra (l1 e l2) Seco 1: Seco 2:

    1 = = F1 A1 4 x F1

    d21

    1 = 4 x 4500 N (15 x 10 3 m)2

    1 = x 10 6 Pa 4 x 4500 x 15 2

    1 = 25,5 MPa

    2 = = F2 A2 4 x F2

    d22

    2 = 4 x 4500 N (25 x 10 3 m)2

    2 = 4 x 4500N x 25 2 x 10 6 m2

    2 = x 10 6 Pa 4 x 4500 x 25 2

    = 9,2 MPa

    l1 = 1 x l1 E ao

    l1 = 25,5 x 10 6 Pa x 0,6 m

    210 x 10 9 Pa

    l1 = x 10 3 m 25,5 x 0,6 210

    l1 = 25,5 x 0,6 m 210 x 10 3 Pa

    l1 = 0,073 x 10 3 ml1 = 0,073 mm

    l2 = 2 x l 2 E ao

    l2 = 9,2 x 10 6 Pa x 0,9 m

    210 x 10 9 Pa

    l2 = 9,2 x 0,9 m 210 x 10 3

    l2 = x 10 3 m 9,2 x 0,9 210

    l2 = 0,039 x 10 3 ml2 = 0,039 mm

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    c) Deformao longitudinal ( 1 e 2) Seco 1 : Seco 2 : d) Deformao transversal (t 1 e t 2)

    Seco 1 : Seco 2 :

    e) Alongamento total da pea

    Ex. 3 Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser tracionada por uma carga axial de 4 kN, apresenta um alongamento l = 114 :m. Qual o material da barra?

    1 = l1 l1

    1 = 0,073:m 0,6 m

    1 = 0,121 x 10 -3 :

    2 = l2 l2

    2 = 0,039 :m 0,6 m

    2 = 0,65 x 10 -3 :

    t 1 = - v ao . 1 t 1 = - 0,3 x 122

    t 1 = - 0,37 x 10 3 :m t 1 = - 0,37 :

    t 2 = - v ao . 2 t 2 = - 0,3 x 43

    t 2 = - 13 x 10 4 :m t 2 = - 13 :

    l = l1 + l2 l = 73 + 39

    l = 112 :m

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    Soluo: 1 - Tenso normal na barra. 2 - Mdulo de elasticidade do material. Pela lei de Hooke, tem-se: portanto, o mdulo de elasticidade ser:

    Conforme tabela 2 em anexo constatou-se que o material utilizado o alumnio. Exerccios 1. Determinar o alongamento de uma barra prismtica de comprimento l, seco transversal de rea S e mdulo de elasticidade E, submetida fora de trao P. Soluo: A tenso normal nas seces tranversais = P/S. A deformao longitudinal , = l / l. Por definio, o mdulo de elasticidade E = / ,; ento:

    = = 4F F d2 A = 4 x 4000N (32 x 10 -3 m)2

    = x 10 6 Pa 16000N x 322 = 5 MPa

    . l E

    l =

    . l l E =

    5 x 10 6 Pa x 1,6 m 114 x 10 -6 m E =

    5 x 1,6 114 E = x 10

    12 Pa

    E = 7,0 x 10 -10 Pa E = 70 GPa

    ES E = = Pl Sl , l =

    Pl onde

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    2. Uma barra de 3 m de comprimento tem seco transversal retangular de 3 cm por 1 cm. Determinar o alongamento produzido pela fora axial de 6 kg, sabendo-se que E = 2.100 t/cm2.

    Soluo: 3. A barra de ao da tem seco transversal de rea S = 10 cm2 e est solicitada pelas foras axiais que a se indicam. Determinar o alongamento do barra, sabendo-se que E = 2.100 t/cm2. Soluo: Estando a barra em equilbrio, cada uma de suas partes tambm estar em equilbrio. O trecho AB est submetido trao de 10 t. O seu alongamento :

    A fora que atua no trecho BC obtm-se determinando a resultante das foras que atuam esquerda de uma seco situada entre B e C. Nessas condies, esse trecho est submetido fora de trao de 7 t. O mesmo resultado se obtm considerando as foras que atuam direita da seco considerada. O seu alongamento :

    Analogamente, a fora que atua numa seco compreendida entre C e D deve ser de 9 t, para equilibrar a fora que atua em D. O seu alongamento :

    O alongamento do barra , ento:

    l = = = 0,0003 cm 6 x 300 Pl 2 x 10 6 x 3 ES

    1 = = = 0,095 cm 10.000 x200Pl 2,1 x 10 6 x 10 ES

    2 = = 0,1 cm 7.000 x 3002,1 x 10 6 x 10

    3 = = 0,171 cm 9.000 x 4002,1 x 10 6 x 10

    l = 1 + 2 + 3 = 0,366 cm

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    66 SSIISSTTEEMMAASS EESSTTAATTIICCAAMMEENNTTEE IINNDDEETTEERRMMIINNAADDOOSS ((HHIIPPEERREESSTTTTII--CCOOSS)) 66..11 IInnttrroodduuoo Os sistemas hiperestticos so aqueles cuja soluo exige que as equaes da esttica sejam complementadas pelas equaes do deslocamento, originadas por ao mecnica ou por variao trmica. O deslocamento originado por ao mecnica ser determinado atravs da lei de Hooke. Como a aplicao de uma carga axial na pea gera uma tenso normal, escrevemos a lei de Hooke.

    Para estudar o deslocamento originado na pea pela variao de temperatura, vamos nos basear na experincia a seguir: Suponhamos inicialmente, que uma barra de comprimento l0 esteja a uma temperatura inicial t0. A barra, ao ser aquecida, passa para uma temperatura t, automaticamente acarretando o aumento da sua medida linear, lf = l0 + l.

    Essa variao da medida linear, observada na experincia, proporcional a variao de temperatura (t), ao comprimento inicial da pea (l0), e ao coeficiente de dilatao linear do material (); desta forma, podemos escrev-la:

    lf - l0 = l0 . . (t t0) l = l0 . . t onde: l = variao da medida linear originada pela variao de temperatura

    (dilatao) [m; mm; .....................] l0 = comprimento inicial da pea [m; mm; ....................] = coeficiente de dilatao linear do material [ C ] -1 t = variao de temperatura [ C ]

    l = F . l A . E

    = F A

    l = . l E

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    Para os casos de resfriamento da pea, ( t t0 ) < 0, portanto:

    l = -l0 . . t

    66..22 TTeennssoo TTrrmmiiccaa Suponhamos, agora, o caso de uma pea biengastada, de comprimento transversal A, conforme mostra a figura. Se retirarmos um dos engastamentos, a variao de temperatura t > 0, provocar o alongamento da pea (dilatao), uma vez que a pea estar livre. Com a engastamento duplo, originar-se- uma carga axial, que reter o alongamento da pea. Pea livre a uma temperatura inicial ( t0 ). Dilatao l originada pela variao de temperature ( l > 0 ). Dilatao contida pela reao dos engastamentos. A variao linear devido a variao de temperature l (t) e a variao linear devido carga axial de reao l (R), so iguais, pois a variao total nula, desta forma, temos:

    l (t) = l (R) Fora axial trmica atuante na pea

    F = A . E . .t

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    A tenso trmica atuante ser: = E . . t Onde: F - fora axial trmica [N; kN; .................]

    - tenso normal trmica [MPa; N/mm2; ...............] - coeficiente de dilatao linear do material [ C ] 1 t - variao de temperatura [ C ]

    66..33 EExxeerrcccciiooss Ex. 1 A figura dada representa uma viga I de ao com comprimento l = 4m e rea de seco transversal A= 2800 mm2 engastadas nas paredes A e B, livre de tenses a uma temperatura de 17C. Determinar a fora trmica e a tenso trmica, originada na viga, quando a temperatura subir para 42C.

    E ao = 2,1 x 10 5 MPa ao = 1,2 x 10 -5 C -1

    Soluo : Transformando a unidade de rea para o SI, temos:

    A = 2.800 x 10 -6 m2

    A variao de temperatura no sistema :

    t = 42 - 17 = 25

    Transformando a unidade do mdulo de elasticidade para Pascal, temos:

    E ao = 2,1 x 10 5 MPa = 2,1 x 10 11 N/m2

    = = A . E . . tF A A

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    Ex. 2 O conjunto representado na figura constitudo por uma seco transversal, A1=3600 mm2 e comprimento de 500 mm e uma seco transversal, A2 = 7200 mm2 e comprimento de 250 mm. Determinar as tenses normais atuantes nas seces trans-versais das partes 1 e 2 da pea, quando houver uma variao de temperatura de 20C. O material da pea ao.

    E ao = 2,1 x 10 5 MPa ao = 1,2 x 10 5 C -1

    Soluo: A carga axial atuante na pea a mesma que atua como reao nos engastamentos. Para determinar esta fora, importante lembrar que o somatrio dos deslocamentos nulo, portanto, podemos escrever que:

    Como l1 = 2l2 e A2 = 2A1, podemos escrever a equao anterior desta forma: Transformando as unidades para o SI, temos:

    l1 . ao . t - = ao . t - A1 . E Fl1

    A2 . E Fl2

    2l2 . ao . t - = l2 . ao . t - A1 . E 2Fl2

    2A1 . E ao Fl2

    2l2 . ao . t l2 . ao . t = - A1 . E 2Fl2

    2A1 . E ao Fl2

    l2 . ao . t = - 2 3

    A1 . E ao Fl2

    F = . A1 . E ao . ao . 3 2

    F = x 3600 x 10 6 x 2,1 x 10 11 x 1,2 x 10 5 3 2

    F = 120960 N

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    Fora axial trmica: F = A . E . . t F = 2800 x 10 6 x 2,1 x 10 11 x 1,2 x 10 5 x 25 F = 176.400 N

    - Tenso trmica Ex. 3 Uma barra circular de alumnio possui comprimento l = 0,3m e temperatura de 17C. Determine a dilatao e o comprimento final da barra quando a temperatura atingir 32C. l = 2,4 x 10 5 C -1 Soluo: 1 - Dilatao da barra

    l = l0 t l = 0,3 x 2,4 x 10 -5 x (32 17)

    l = 10,8 x 10 -5 m ou l = 108 x 10 -6 m l = 108 m

    = = 176.400 N F 2800 x 10 6 m2 A

    = 63 x 10 6 N/m2 = 63 MPa

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    2 - Comprimento final da barra Comprimento da barra 0,3 m = 300 mm O alongamento da barra 108 m = 0,108 mm portanto, o comprimento final da barra :

    l f = l0 + l = 300 + 0,108 l f = 300,108 mm

    Tenso normal atuante nas seces 1 e 2:

    Ex. 4 A figura dada representa uma viga I de ao com comprimento 5m e rea de seco transversal 3600 mm2. A viga encontra-se engastada na parede A e apoiada junto parede B, com uma folga de 1 mm desta, a uma temperatura de 12 C. Determinar a tenso atuante na viga quando a temperatura subir para 40 C.

    E ao = 2,1 x 10 5 MPa ao = 1,2 x 10 5 C -1

    1 = = A 1 F

    3600 x 10 6

    120963600

    120960 x 10 6

    1 = 33,6 x 10 6 N/m2

    1 = 33,6 MPa

    2 = = A 1 F

    7200 x 10 6

    12096

    2 = 16,8 x 10 6 N/m2

    2 = 16,8 MPa

  • SENAI/SC Resistncia dos Materiais

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    Soluo: Se a viga estivesse livre, o seu alongamento seria: l = l0 . . t

    l = 5 x 12 x 10 -5 x (40 12) l = 5 x 12 x 10 -6 x 28 l = 1680 x 10 -6 m transformando l para mm para comparar com a folga l = 1,68 mm Como existe a folga de 1 mm, a parte do alongamento que ser responsvel pela tenso :

    l* = l 1 = 1,68 1= 0,68 mm A variao de temperatura necessria para se obter l = 0,68 mm ser calculada por:

    l = (l0 + 1) . . t

    t = 11,33C

    Tenso atuante na viga

    = E . . t

    = 2,1 x 10 5 x 1,2 x 10 5 x 11,33

    = 28,55 MPa Ex. 5 Um tubo de ao, com D ao = 100 mm envolve um tubo de Cu tem D cu = 80 mm e d = 60 mm com mesmo comprimento do tubo de ao. O conjunto sofre uma carga de 24 kN aplicada no centro das chapas de ao da figura.

    E ao = 210 GPa E cu = 112 GPa

    t = = 0,68 l 5001 x 1,2 x 10 -5(l0 + 1)

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    45

    Determinar as tenses normais no tubo de Cu, e no tubo de ao.

    Soluo: A carga de 24 kN atua simultaneamente nos tubos de Cu e Ao; portanto, podemos escrever que:

    F ao + F cu = 24 kN (I)

    A carga aplicada nos tubos, far com que estes sofram uma variao da sua medida linear inicial. facil observar que as duas variaes sero as mesmas. Como os comprimentos so iguais, podemos escrever que: Seces transversais dos tubos

    l ao = l cu F ao . l ao F cu . l cu A ao . E ao A cu . E cu

    =

    F ao F cu A ao . E ao A cu . E cu

    =

    A ao . E ao F ao = = F cu (II)

    A cu . E cu

    A cu = . (D2 cu d2 cu) 4

    A cu = 700 mm2

    A cu = . (80 2 60 2) 4

    A ao = . (D2 ao d2 4

    A ao = 900 mm2

    A ao = . (100 2 80 2 4

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    46

    Substituindo os valores de rea, obtidos na equao II, temos: Substituindo a relao na equao I, temos 2,41 Fcu + Fcu = 24 3,41 Fcu = 24 Fcu = 7 kN Como Fao + Fcu = 24 Fao = 24 - 7 Fao = 17

    - Tenso normal no tubo de ao Transformando o valor das cargas para newtons a as reas para m2, temos:

    Fao = 17000 N Fcu = 700 N Aao = 900 x 10 -6 m2 Acu = 700 x 10 -6 m2

    900 . 210 F ao = . F cu 700 . 112

    F ao = 2,41 . F cu

    ao = = = 6 x 10 6 17000 F ao 900 x 10 -6 A ao

    N m2

    ao = 6 MPa

    cu = = = 3,18 x 10 6 7000 F cu 700 x 10 -6 A cu

    N m2

    cu = 3,18 MPa

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    47

    77 TTOORROO 77..11 IInnttrroodduuoo Uma pea submete-se a esforo de toro, quando atua um torque em uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade oposta. 77..22 MMoommeennttoo TToorroorr oouu TToorrqquuee O torque atuante na pea representada na figura definido atravs do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distncia entre o ponto de aplicao da carga e o centro da seco transversal (plo). Tem-se portanto:

    MT = 2F . S

    Onde: MT - Momento de toror ou torque [Nm; .............] F - Carga aplicada [ N ] S - Distncia entre o ponto de aplicao da carga e o plo [m; ....]

    Para as transmisses mecnicas construdas por polias, engrenagens, rodas de atrito, correntes, etc., o torque determinado atravs de:

    MT = FT . r

    Onde: MT - Torque [ Nm ] FT - Fora tangencial [ N ] r - raio da pea [ m ]

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    48

    77..33 PPoottnncciiaa (( PP )) Denomina-se potncia a realizao de um trabalho na unidade de tempo. Tem-se ento que:

    Como = F . s, conclui-se que

    mas v = , portanto conclui-se que: P = F . v

    Nos movimentos circulares, escreve-se que:

    P = FT . Vp Onde: P - Potncia [ W ] FT - Fora tangencial [ N ] Vp - velocidade perifrica [ m/s ] Unidade de potncia no SI

    [ N ] = [ F ] . [ V ] = [ N ] . [m / s]

    Portanto, potncia no SI determinada em W (watt). Unidade de potncia fora do SI, utilizadas na prtica.

    - cv (cavalo vapor): cv = 735,5 W - hp (horse power): hp = 745,6 W

    Temporariamente admite-se a utilizao do cv. O hp (Horse Power) no deve ser utilizado, por se tratar de unidade ultrapassada, no constando mais das unidades aceitas fora do SI.

    Como Vp = . r, pode-se escrever que: P = FT . . R

    mas, MT = FT . r, tem-se ento que: P = MT .

    porm = 2 f, portanto: P = MT . 2 f

    P = = trabalho F . s tempo t

    P = F . s t s

    t

    [ N ] = = = [ W ] Nm s

    J s

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    49

    Como f = , escreve-se que: Onde: P - potncia [ W ]

    MT - torque [ N.m ] n - rotaro [ rpm ] f - freqncia [ Hz ] - velocidade angular [ rad/s ].

    77..44 TTeennssoo ddee CCiissaallhhaammeennttoo nnaa TToorroo (()) A tenso de cisalhamento atuante na seco transversal da pea definida atravs da expresso: para = 0 = 0 para = r conclui-se que, no centro da seco transversal, a tenso nula.

    A tenso aumenta medida que o ponto estudado afasta-se do centro a aproxima-se da periferia. A tenso mxima na seco ocorrer na distncia mxima entre o centro e a periferia, ou seja, quando = r. Pela definio de mdulo de resistncia polar, sabe-se que:

    substituindo-se II em I, tem-se que: onde:

    mx - tenso mxima de cisalhamento na toro [Pa; ...............] MT - momento toror ou torque [Nm; Nmm; ...................] l - momento polar de inrcia [m4; mm44; ...................] r - raio da seco transversal [m; mm;] Wp - mdulo de resistncia polar da seco transversal [m3; mm3; ............]

    n 60

    = MT . Jp

    P = MT . 2 . n 60

    P = . MT . n

    30

    max. = ( I ) MT . r Jp

    Wp = (II) Jp r

    mx. = MT Wp

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    50

    77..55 DDiissttoorroo (( )) O torque atuante na pea provoca na seco transversal desta, o deslocamento do ponto A da periferia para uma posio A'. Na longitude do eixo, origina-se uma deformao de cisalhamento denominada distoro , que determinada em radianos, atravs da tenso de cisalhamento atuante e o mdulo de elasticidade transversal do material. Onde:

    - distoro [ rad ] - tenso atuante [ Pa ]

    G - mdulo de elasticidade transversal do material [ Pa ] 77..66 nngguulloo ddee TToorroo (( )) O deslocamento do ponto A para uma posio A', descrito na distoro, gera, na seco transversal da pea, um ngulo toro ( ) que definido atravs da frmula. Onde:

    - ngulo de toro [ radianos ] MT - momento toror ou torque [Nm; Nmm; ...................] l - comprimento da pea [m; mm; ....................] Jp - momento polar de inrcia [m4; mm4 ; ...............] G - mdulo de elasticidade transversal do material [Pa; ...................]

    77..77 DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee EEiixxooss -- rrvvoorree Denomina-se: eixo Quando funcionar parado, suportando cargas. eixo - rvore Quando girar, com o elemento de transmisso. Para dimensionar uma rvore; utiliza-se a (tenso admissvel do material) indicada para o caso.

    Tem-se ento:

    = G

    = G

    = ( I ) MT Wp

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    51

    Para o eixo macio, tem-se

    Substituindo II em I, tem-se: Como MT = , pode-se escrever que: Mas, = 2 . f, portanto: Porm f = , ento tem-se que: Onde:

    d - dimetro da rvore [ m ] MT - torque [ N.m ] P - potncia [ W ] - velocidade angular [ rad/s ] - tenso admissvel do material [ Pa ] f - freqncia [ Hz ] n - rotao [ rpm ]

    Wp = ( II ) . d 3 16

    = 16 MT . d 3

    P W

    d = 1,72 MT

    3

    d = 1,72 P

    . 3

    d = 16 MT

    . 3

    d = 1,72 P

    2 . f . 3

    d = 0,932 3 P

    f .

    n 60

    d = 0,932 60 . P

    n x 3

    d = 3,65 3 P

    n .

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    52

    a) Movimento circular Definies Importantes:

    - Velocidade angular ( )

    - Freqncia ( f ) - Rotao ( n )

    - Velocidade perifrica ou tangencial ( V p ) Onde:

    - velocidade angular [ rad/s ] f - freqncia [ Hz ] n - rotao [ rpm ] V p - velocidade perifrica [ m/s ]

    b) Dimensionamento de rvores vazadas Para dimensionar rvores vazadas, utiliza-se:

    Onde:

    - tenso admissvel do material [ Pa ] MT - torque [ Nm ] W p - mdulo de resistncia polar de seco circular vazada cuja presso :

    = 2 . f = = V p . n r 30

    = = = n 60 2

    V p 2 . r

    n = = 60 . f = 30 30 V p . r

    V p = . r = 2 . r . f = . r . n 30

    = ( I ) MT W p

    W p = .

    16 (D 4 d 4)

    D

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    53

    b) Exemplo: Dimensionamento de rvore vazada com relao = 0,5 D = 2d Desenvolvendo o mdulo de resistncia polar da seco transversal vazada para D = 2d, tem-se: Substituindo II em I tem-se: Portanto: dimetro interno da rvore. Dimetro externo da rvore. D = 2 d

    d D

    W p = .

    16 [ (2d) 4 d 4]

    2 d

    W p = .

    16 15 d 3

    2

    W p = ( II ) 15 d 3

    32

    = = MT W p

    32 MT

    15 d 3

    d = 32 MT 3 . 15 d = 0,88

    MT

    3

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    54

    77..88 EExxeerrcccciiooss Ex. 1 Uma rvore de ao possui dimetro d = 30mm, gira com uma velocidade angular = 20 rad/s, movida por uma fora tangencial FT = 18kN.

    Determinar para o movimento da rvore: a) rotao ( n ) b) freqncia ( f ) c) velocidade perifrica ( V p ) d) potncia ( P ) e) torque ( MT )

    Soluo: a) rotao ( n ) b) freqncia ( f ) c) velocidade perifrica ( V p )

    Vp = . r = 20 x 0,015 Vp = 0,3 m/s 0,94 m/s

    d) Potncia ( N )

    P = F . r = 18.000N x 0,94 m/s P =16.920 Nm P = 16.920 W

    e) torque ( MT )

    MT = FT . r = 18.000N = 0,015 m MT = 270 Nm

    n = 30 n = = 600 30 x 20

    n = 600 rpm

    f = n

    60 f = 600 60 f = 10 Hz

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    55

    Ex. 2 Dimensionar a rvore macia de ao, para que transmita com segurana uma potncia de 7355 W ( 10 cv), girando com uma rotao de 800rpm. O material a ser utilizado e o ABNT 1040L, com = 50 MPa (tenso admissvel de cisalhamento na toro). Soluo: Ex. 3 O eixo-rvore representado na figura, possui dimetro d = 40 mm, e comprimento l = 0,9 m, gira com uma velocidade angular = 20 rad/s movido por um torque MT = 200 Nm.

    Determinar para o movimento da rvore:

    a) fora tangencial b) velocidade perifrica c) potncia d) tenso mxima atuante

    Soluo: a) fora tangencial b) velocidade periferica

    V p = 20 rad/s . 20 x 10 -3 m V p = 0,4 m/s V p = 1,26 m/s

    d = 3,65 N

    n x 3

    P

    d = 3,65 7355

    800 x 50 x 10 63

    d = 3,65 x 10 -2 m 7355

    800 x 50 3

    d 2,1 x 10 2 m d 2,1 cm d 21 mm

    FT = MT r FT = = 600

    200 Nm 20 x 10 -3 m FT = 10

    4 N = 10.000 N

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    56

    c) potncia

    P = FT . V p P = 10.000 x 1,26 P 12.600 W

    d) tenso mxima atuante Ex. 4 No exerccio anterior, determine a distoro ( ) e o ngulo de toro ( ). Gao = 80 GPa Soluo: a) distoro ( ) b) ngulo de toro ( )

    max. = = MT Wp 16 MT d 3

    max. = 16 x 200 Nm x 4 3 x 10 6 m 3

    max. = 16 x 200 Nm (4 x 10 2 m) 3

    max. = = 16 x . 4 3 10 6 N

    m 2

    max. = 15,9

    = = G 15,9 x 10 6 80 x 10 9

    = 15,9 x 10 6

    8 x 10 10

    = 1,9875 x 10 4

    = MT x l J p x G

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    57

    O momento polar de inrcia do circulo dado por: portanto: Ex. 5 Um eixo-rvore de seco transversal constante, e dimetro igual a 50mm, transmite uma potncia de 60 kW a uma freqncia de 30 Hz Pede-se determinar no eixo:

    a) a velocidade angular b) a rotao c) o torque atuante d) a tenso mxima atuante

    Soluo: a) velocidade angular

    = 2 . f = 2 x 30 = 60 rad/s

    b) rotao do eixo

    Cada volta do eixo corresponde a 2 rad; de onde conclui-se que o eixo gira a uma freqncia de 30 Hz ou rotao de 1800 rpm.

    J p = d 4 32

    = 32 MT x l d 4 x G

    = 32 x 200 Nm x 0,9 (4 x 10 -2) 4 x 80 x 10 9 x N m 2

    = 32 x 200 Nm x 0,9 4 x 10 -8 m 2 x 80 x 10 9

    = 32 x 200 x 0,9 x 4 4 x 10 -8 x 80 x 10 8

    = 8,95 x 10 3

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    58

    c) torque no eixo O torque no eixo dado por:

    d) tenso mxima atuante

    Ex. 6 Dimensionar o eixo-rvore vazado com relao entre dimetros igual a 0,6 para transmitir uma potncia de 20 kW, girando com uma velocidade angular = 4 rad/s. O material do eixo ABNT 1045 e a tenso admissvel indicada para o caso 50 MPa.

    Soluo: a) Torque atuante no eixo

    MT = = P

    60.000 60

    MT = 318,3 Nm

    max. = = MT Wp 16 MT d 3

    max. = 16 x 318,3 (5 x 10 2) 3

    max. = 16 x 318,3 x 125 x 10 6

    max. = 13 MPa

    MT = = P

    2.000 4

    MT = 1591,5 Nm

  • SENAI/SC Resistncia dos Materiais

    59

    b) Dimensionamento do eixo

    Como D = 1,67d, conclui-se que: D = 1,67 x 34 = 57mm D = 57mm

    Ex. 7 A figura dada representa uma chave soquete utilizada para fixao de parafusos. A carga mxima que ser aplicada na haste da "chave soquete' de 180N. Dimensionar a haste da chave. Material a ser utilizado e o ABNT 3140 (ao Cr: Ni) e = 650 MPa. Utilizar k = 6,5.

    = = MT 16 MT12,75 d 3

    16 . 4,06 d 3

    = = MT MT 16

    6,78 d 4 1,67 d

    16

    7,78 d 4 d 4 1,67 d

    = = NT Wp MT

    (D 4 d) 16 D

    MT 16

    (1,67 d) 4 d 4 1,67 d

    d = 16 MT

    12,75 3

    d = 16 x 1591,5

    1275 x 50 x 10 6

    3

    d = 16 x 1591,5

    1,275 x 0,5 x 10 9

    3

    d = 10 3 16 x 1591,5 1,275 x 0,5

    3

    d = 34 x 10 3 md = 34 mm

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    60

    Soluo: a) Torque atuante no haste A seco que apresenta maior perigo para cisalhar na toro a juno entre a boca da chave e a haste; e o torque qua atua na seco calculado por:

    MT = 250 x 180 = 45.000 Nmm b) Tenso admssivel A tenso mxima que dever atuar na seco perigosa de: Como a unidade MPa equivale a N/mm2, utiliza-se:

    = 100 N/mm2 c) Dimensionamento da haste c.1) O mdulo de resistncia polar da seco circular dado por c.2) Dimetro da haste

    = = = 100 MPa e k 650 6,5

    Wp = d 3

    16

    = = MT 16 MT d 3 16

    d 3

    d = 16 MT

    3

    d = 16 x 45.000

    x 100 3

    d = 13 mm

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    61

    88 CCIISSAALLHHAAMMEENNTTOO PPUURROO 88..11 DDeeffiinniioo Um elemento de construo submete-se a esforo de cisalhamento, quando sofre a aao de uma fora cortante. Alm de provocar cisalhamento, a fora cortante da origem a um momento fletor, considerado desprezvel.

    Cisalhamento em uma seco Cisalhamento em duas seces 88..22 FFoorraa CCoorrttaannttee QQ Denomina-se fora cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a rea de seco transversal da pea. 88..33 TTeennssoo ddee CCiisaallhhaammeennttoo (( )) A ao da carga cortante sobre a rea da seco transversal da pea causa nesta uma tenso de cisalhamento, que definida atravs da relao entre a intensidade da carga aplicada e a rea da seco transversal da pea sujeita a cisalhamento.

    Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento, utiliza-se o somatrio das reas das seces transversais para o dimensionamento. Se os elementos possuirem a mesma rea de seco transversal, basta multiplicar a rea de seco transversal pelo nmero de elementos (n). Tem-se ento:

    = Q A cis

    = Q N . A cis

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    62

    Onde: - tenso de cisalhamento [Pa; ..............] Q - carga cortante [ N ] Acis - rea da seco transversal da pea [ m2 ] n - nmero de elementos submetidos a cisalhamento [ adimensional ]

    Se as reas das seces transversais forem desiguais, o esforo atuante em cada elemento ser proporcional a sua rea de seco transversal. 88..44 DDeeffoorrmmaaoo ddoo CCiissaallhhaammeennttoo Supondo-se o caso da seco transversal retangular da figura, observa-se o seguinte: Ao receber a ao da carga cortante, o ponto C desloca-se para a posio C, e o ponto D para a posio D, gerando o ngulo denominado distoro. A distoro medida em radianos (portanto adimensional), atravs da relao entre a tenso de cisalhamento atuante e o mdulo de elasticidade transversal do material. Onde:

    y - distoro [ rad ] T - tenso de cisalhamento atuante [ Pa ] G - mdulo de elasticidade transversal do material [ Pa ] 88..55 TTeennssoo NNoorrmmaall (( )) ee TTeennssoo ddee CCiissaallhhaammeennttoo (( )) A tenso normal atua na direo do eixo longitudinal da pea, ou seja, perpendicular a seco transversal, enquanto que a tenso de cisalhamento tangencial seco transversal da pea.

    = G

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    63

    88..66 PPrreessssoo ddee CCoonnttaattoo dd No dimensionamento das juntas rebitadas, parafusadas, pinos, chavetas, etc., torna-se necessria a verificao da presso de contato entre o elemento e a parede do furo na chapa (nas juntas). A carga Q atuando na junta, tende a cisalhar a seco AA (ver figura acima). Ao mesmo tempo, cria um esforo de compresso entre o elemento (parafuso ou rebite) e a parede do furo (regio AB ou AC). A presso de contato, que pode acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, definida atravs da relao entre a carga de compresso atuante e a rea da seco longitudinal do elemento, que projetada na parede do furo. Tem-se ento que: Regio de contato AB e AC 88..66..11 PPrreessssoo ddee CCoonnttaattoo ((EEssmmaaggaammeennttoo)) Quando houver mais de um elemento (parafuso ou rebite) utiliza-se:

    onde: d - presso de contato [ Pa ]

    Q - carga cortante aplicada na junta [ N ] n - nmero de elementos [ adimensional ] d - dimetro dos elementos [ m ] t - espessura da chapa [ m ]

    d = = Q Q d . t n . A proj

    d = = Q Q n . d . t

    n . A proj

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    64

    88..77 DDiissttrriibbuuiioo AABBNNTT NNBB1144 As distncias mnimas estabelecidas pela norma a que devero ser observadas no projeto de juntas so:

    a) Na regio intermediria, a distncia mnima entre centros dos rebites dever ser

    trs vezes o dimetro do rebite. b) Da lateral da chapa at o centro do primeiro furo, a distncia dever ter duas

    vezes o dimetro do rebite na direo da carga. c) Da lateral da chapa at o centro do primeiro furo, no sentido transversal da carga,

    a distncia dever ter 1,5 (uma vez e meia) o dimetro do rebite. Para o caso de bordas laminadas, permite-se reduzir as distncias

    d + 6 mm para rebites com d < 26 mm. d + 10 mm para rebites com d > 26 mm. 88..88 TTeennssoo AAddmmiissssvveell ee PPrreessssoo MMddiiaa ddee CCoonnttaattoo AABBNNTT NNBB1144 -- MMaatteerriiaall AAoo AABBNNTT 11002200 88..88..11 RReebbiitteess

    - Trao : = 140 MPa - Corte : = 105 MPa

    Presso mdia de contato (cisalhamento duplo):

    d = 280 MPa Presso mdia de contato (cisalhamento simples):

    d = 105 MPa

  • SENAI/SC Resistncia dos Materiais

    65

    88..88..22 PPaarraaffuussooss

    - Trao : = 140 MPa - Corte : parafusos no ajustados = 80 MPa

    parafusos ajustados = 105 MPa Presso de contato mdia (cisalhamento simples):

    d = 225 MPa Presso de contato mdia (cisalhamento duplo):

    d = 280 MPa 88..88..33 PPiinnooss

    - Flexo : = 210 MPa - Corte : = 105 MPa

    Presso mdia de contato (cisalhamento simples):

    d = 225 MPa Presso mdia de contato (cisalhamento duplo):

    d = 280 MPa Em geral, a tenso admissvel de cisalhamento recomendvel em torno de 0,6 0,8 da tenso admissvel normal.

    = 0,6 0,8

    88..99 EExxeerrcccciiooss Ex. 1 Determinar a tenso de cisalhamento que atua no plano A da figura.

  • SENAI/SC Resistncia dos Materiais

    66

    Soluo: A tenso de cisalhamento atuante no plano A; definida atravs da componente horizontal da carga de 300 kN, e rea da seco A. Tem-se ento que: Ex. 2 O conjunto representado na figura formado por: 1 - parafuso sextavado M12. 2 - garfo com haste de espessura 6mm. 3 - arruela de presso. 4 - chapa de ao ABNT 1020 espessura 8mm. 5 - porca M12. Supor que no haja rosca no parafuso, nas regies de cisalhamento e esmagamento. A carga Q que atuar no conjunto de 6 kN. Determinar:

    a) a tenso de cisalhamento atuante b) a presso de contato na chapa intermediria c) a presso de contato nas hastes do garfo.

    Soluo: a) Tenso de cisalhamento atuante O parafuso tende a ser cisalhado nas seces AA e BB, portanto a tenso de cisalhamento ser determinada por:

    300.000 cos37 = 200 x 10 3 x 120 x

    3

    240.000 x 10 6 = 200 x 120

    = 10 MPa

    4

    Q = = = 2 A cis

    Q

    2 d2 2Q

    d2

    2 x 6000 = = (12 x 10 -3) 2 x 6000 x 10 6

    . 12 2

    = 26,5 MPa

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    67

    b) Presso de contato na chapa intermediria A carga de compresso que causa a presso de contato entre a chapa intermediria e o parafuso de 6kN, portanto a presso de contato determinada por: c) Presso de contato nas hastes do garfo A carga de compresso que causa a presso de contato entre o furo da haste do garfo e o parafuso de 3 kN, pois a carga de 6kN divide-se na mesma intensidade para cada haste, portanto a presso de contato ser:

    Q di = = T ch . dp

    6000 (8 x 10 3) . (12 x 10 3

    6000 x 10 6 di = 8 x 12

    di = 62,5 MPa

    Q dh = = 2T h . dp

    6000 2 x 6 x 10 3 x 12 x 10 3

    6000 x 10 6 dh = 2 x 6 x 12

    dh = 41,7 MPa

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    99 FFOORRAA CCOORRTTAANNTTEE QQ EE MMOOMMEENNTTOO FFLLEETTOORR MM 99..11 CCoonnvveennoo ddee SSiinnaaiiss Fora Cortante Q A fora cortante ser positiva, quando provocar na pea momento fletor positivo.

    - Vigas Horizontais Convenciona-se a cortante como positiva, aquela que atua esquerda da seco transversal estudada de baixo para cima. - Vigas Verticais Convenciona-se cortante positiva aquela que atua a esquerda da seco estudada, com o sentido dirigido da esquerda para direita. Momento Fletor M - Momento Positivo O momento fletor considerado positivo, quando as cargas cortantes atuantes na pea tracionam as suas fibras inferiores.

    - Momento Negativo O momento fletor considerado negativo quando as foras cortantes atuantes na pea comprimirem as suas fibras inferiores.

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    O momento fletor definido atravs da integral da cortante que atua na seco transversal estudada. Portanto, tem-se que: Para facilitar a orientao, convenciona-se o momento horrio esquerda da seco transversal estudada, como positivo. 99..22 FFoorraa CCoorrttaannttee QQ Obtm-se a fora cortante atuante em uma determinada seco transversal da pea, atravs da resultante das foras cortantes atuantes a esquerda da seco transversal estudada. Exemplos:

    Seco AA Q = RA Seco BB Q = RA - P1 Seco CC Q = RA - P1 - P2

    99..33 MMoommeennttoo FFlleettoorr MM O momento fletor atuante em uma determinada seco transversal da pea, obtm-se atravs da resultante dos momentos atuantes a esquerda da seco estudada. Seco AA M = RA . X Seco BB M = RA . X - P1 (x - a) Seco CC M = RA . X P1 (x - a) P2 [x - (a - b)] Observao: O smbolo significa origem da varivel x

    dM M = Q d x

    dx

    0 x

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    99..44 EExxeerrcccciiooss Ex. 1 Determinar as expresses de fora cortante ( Q ) e Momento fletor ( M ), e construir os respectivos diagramas na viga em balano solicitada pela carga concentrada P atuante na extremidade livre, conforme mostra a figura.

    Soluo: a) Atravs da varivel x, estudam-se todas as seces transversais da viga, da

    extremidade livre ao engastamento. O momento fletor mximo ocorrer no engastamento, ou seja, para o maior valor de x.

    b) Expresses de Q e M

    0 < x < l Q = -P M = -P . x X = 0 M = 0 x = l M = -P l

    c) Construo dos diagramas A equao da Q uma constante negativa, portanto, o diagrama ser um segmento de reta paralela a linha zero da Q. A distncia entre a linha zero da Q e a Iinha limite inferior do diagrama representa a intensidade da carga P. A equao do M do 1 grau com a < 0; portanto, a sua representao ser uma reta decrescente que parte da linha zero do M at o valor que representa Mmx.

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    Ex. 2 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada, solicitada pela ao da carga concentrada P, conforme mostra a figura. Soluo: a) Determinam-se as reaes nos apoios atravs da M = 0 em relao a dois

    pontos da viga. Os pontos considerados ideais para o caso so A e B. MA = 0 MB = 0 RB . (a + b) = Pa RA . (a + b) = P . b b) Expresses de Q e M

    0 < x < a Q = RA a < x < a + b M = RA . x Q = RA P = RB x = 0 M = 0 M = RA . x P(x-a) x = a M = RA . a x = a + b M = 0

    c) Construo dos diagramas C1 - Diagrama da Cortante ( Q ) Com origem no linha zero da Q, traa-se o segmento de reta vertical que representa RA. No trecho 0 < x < a a Q = RA portanto uma constante, representada pelo segmento de reta paralelo, linha zero. No ponto de aplicao da carga P, traa-se o segmento de reta vertical que corresponde a intensidade da carga P. Como P = RA + RB, conclui-se que o valor da Q que ultrapassa a linha zero -RB que corresponde a Q que atua no trecho a < x < a + b; portanto, novamente tem-se uma paralela linha zero. Ao atingir o apoio B, a Q = -RB, como a reao positiva, traa-se o segmento de reta que sobe e zera o grfico. Portanto, o grfico sai da Iinha zero e retorna linha zero.

    Pa RB =

    a + b P .

    RA = a + b

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    C2 - Diagrama do Momento ( M ) Com origem na linha zero do M, traa-se o segmento de reta que une o momento zero em x = 0 at o M = RA . a em x = a. Observe que a equao do Momento no trecho do 1 grau portanto, tem como grfico um segmento de reta. Analogamente ao trecho a < xa + b utiliza-se um outro segmento de reta unindo os pontos. x = 1 M = RA . a at x = a + b M = 0. Ex. 3 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada solicitada pela ao da carga distribuda de intensidade q conforme mostra a figura.

    Soluo: a) A primeira providncia, para solucionar este exerccio, determinar as reaes de

    apoio. Atravs do equilbrio dos momentos em relao aos pontos A a B, conclui-se que:

    b) Expresso de Q e M

    0 < x < l Q = RA - qx x = 0 Q = RA x = l Q = - RB

    q . l RA = RB =

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    Observa-se que a Q passa de positiva a negativa. No ponto em que a Q = 0, o M ser mximo, pois a equao da Q corresponde a primeira derivada da equao do momento, que igualada a zero, fornece o ponto mximo da curva do momento. donde x = neste ponto a Q = 0 e o M mximo.

    c) Construo dos diagramas c.1) Diagrama da Q A partir da linha zero da Q traa-se o segmento de reta vertical correspondente intensidade de RA. A equao da Q no trecho do 1 grau com a < 0, portanto, o grfico corresponde a uma reta decrescente com origem no apoio A at o apoio B. Em B, a cortante corresponde a -RB, como a reao positiva (para cima), esta sobe e zero o diagrama. c.2) Diagrama de M A equao do momento corresponde a uma equao do 2 grau com a < 0; portanto, uma parbola de concavidade para baixo. A parbola parte do apoio A com M = 0, atinge o mximo em l/2 e retorna a zero no apoio B.

    q . l Q = 0 qx = RA

    2 l 2

    x M = R ax qx . 2

    x = 0 M = 0

    M = 0

    q . l x = l M = . ql 2

    l 2

    q . l x = M = - q

    2 l 2

    l 2

    l 4

    . M mx. = q . l 2

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    Ex. 4 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga em balano solicitada pela cargo distribuda representada na figura.

    Soluo: a) Expresses de Q e M

    0 < x < l Q = -qx X = 0 Q = 0 X = l Q = -ql

    b) Construo dos diagramas b.1) Diagrama da Q A equao da Q na longitude da viga corresponde a uma equao do 1 grau com a < 0; portanto, uma reta decrescente que parte da linha zero na extremidade livre at -ql e no engastamento. b.2) Diagrama do M A equao do momento corresponde a uma equao do 2 grau, portanto, a sua representao ser parte de uma parbola, que sai de zero, na extremidade livre, e vai at ql /2 no engastamento.

    M = - qx . = - x 2

    qx 2 2

    x = 0 M = 0

    x = l M mx. = - ql 2 2

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    Ex. 5 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada solicitada pelas cargas concentradas representadas na figura. Soluo: 1. Reao de apoio

    MA = 0 FV = 0 4 RB = 24 x 3 + 16 x 1 RA + RB = 16 + 24 RB = 22 kN RA = 18 kN

    2. Expresses de Q e M

    0 < x < 1 Q = RA = 18 kN M = RA . X x = 0 M = 0 x = 1 M = 18 kNm

    1 < x < 3

    Q = RA 16 = 2 kN M = RA x 16 (x 1) x = 3 M = 22 kNm

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    3 < x < 4

    Q = RA 16 24 = - 22 kN M = RA x 16 (x 1) 24 (x 3) x = 4 M = 0

    Ex. 6 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga engastada solicitada pelas cargas concentradas, representadas na figura. 1. Expresses de Q e M

    0 < x < 1,8 Q = - 5 kN M = - 5x x = 0 M = 0 x = 1,8 M = - 9 kNm

    A reao " R " no engastamento determinada por:

    1,8 < x < 4,0 Q = - 5 - 10 = - 15kN M = - 5x - 10 (x - 1,8) x = 4 M mx. = 42 kNm

    O contramomento M possui mesma intensidade e sentido contrrio a M mx. portanto M' = 42kNm.

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    Ex. 7 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada carregada conforme a figura. 1. Reaes de Apoio

    MA = 0 FV = 0 3,6 RB = 12 x 1,8 + 6 x 4,8 RA + RB = 12 + 6 RB = 14kN RA = 4 kN

    2. Expresses de Q e M

    0 < x < 1,8 Q = RA = 4 kN M = RA . x x = 0 M = 0 x = 1,8 M = 7,2 kNm 1,8 < x < 3,6 Q = RA 12 = -8 kN M = RA x 12 (x 1,8) x = 3,6 M = - 7,2 kNm

    No ltimo intervalo, com o objetivo de simplificar a resoluo, utilizaremos uma varivel ( x ) da direita para esquerda.

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    Ao utilizar este artifcio, inverte-se a conveno de sinais.

    0 < x < 12 Q = + 6 kN M = - 6 x x = 0 M = 0

    x = 1,2 M = - 7,2 kNm

    Obs.: Os dois momentos so mximos, porm possuem como diferena o sinal.

    x = 1,8 M mx. = 7,2 kNm (trao nas fibras inferiores) x' = 1,0 M mx. = -7,2 kNm (compresso nas fibras inferiores)

    Ex. 8 Determinar as expresses de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada carregada conforme a figura dada.

    Soluo: a) Reaes nos apoios A e B Como os apoios so simtricos, e a concentrada da carga de 250 kN, conclui-se que:

    RA = RB = = 125 kN 250 2

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    b) Expresses de Q e M

    0 < x < 1 Q = - 50x x = 0 Q = 0 x = 1 Q = -50 kN x = 0 M = 0 x = 1 M = -25 kNm 1 < x < 4 Q = RA 50x x = 1 Q = 125 50 = 75 kN x = 4 Q = 125 50 x 4 = - 75 kN

    No ponto em que Q = 0 e o M mximo. Q = 0 x = 2,5m Como a viga e o carregamento so simtricos em relao aos apoios, conclui-se que a anlise at a metade da viga j o sufciente para estud-la toda, pois a outra metade determina-se por simetria. M = RA (x 1) 25 x 2 x = 2,5 m M = 125 x 1,5 25 x 2,5 2 M mx. = 187,5 156,25 M mx. = 31,25 kNm

    M = - 50 x . = - 25 x 2 x 2

    M = RA (x 1) 50 x . x 2

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    c) Diagramas de Q e M c.1) Diagrama de Q No techo 0 < x < 1, a equao do 1 grau com a < 0, portanto a sua representao um segmento de reta decrescente qua parte da linha zero e atinge 50 kN no apoio A. A intensidade da RA est representada pelo segmento de reta vertical que parte de 50 kN e atinge +75 kN. No intervalo 1 < x < 4, a equao volta a ser do 1 grau com a < 0, portanto temos novamente um segmento de reta decrescente que parte de + 75 kN no apoio A, corta a linha zero em x = 2,5m e atinge o apoio B com 75 kN. A reao RB est representada pelo segmento de reta vertical qua parte de 75 kN a atinge 50 kN. No intervalo 4 < x < 5, a equao continua sendo do 1 grau com a < 0, sendo representada novamente por um segmento de reta decrescente que parte do apoio B com + 50 kN e atinge a extremidade final da viga na linha zero. c.2) Diagrama de M No intervalo 0 < x < 1, a equao do M do 2 grau com a < 0, portanto um segmento de parbola com a concavidade voltada para baixo, que parte da linha zero na extremidade livre e atinge o apoio A com a intensidade de - 25kNm. No intervalo 1 < x < 4, tem-se novamente uma equao do 2 grau com a < 0, portanto a sua representao ser uma parbola com a concavidade voltada para baixo, que parte de -25kNm no apoio A, e atinge o seu mximo em x = 2,5m com a intensidade de 31,25 kNm. O restante do diagrama determina-se por simetria.