Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas

Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas

Sentenças abertasA sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

2x – 1 = 5

Não é possível atribuir um valor lógico à sentença, pois não se conhece o valor da variável x. Vamos, então, resolver algebricamente a equação:

2x – 1 = 5

2x – 1 + 1 = 5 + 1

2x = 6

2x . 1

2 = 6 .

1

2x = 3

A conclusão é a de que ao substituirmos a variável x pelo valor 3, a equa-ção torna-se verdadeira e, para qualquer outro valor de x, a sentença será falsa.

Existem expressões contendo variáveis denominadas sentenças abertas ou funções proposicionais cujo valor lógico (V ou F) é discutível e depen-de do valor atribuído a cada variável componente. Por isso, antes de se atri-buir um valor a cada variável, tais expressões não podem ser consideradas proposições.

Importante:

Uma sentença aberta não é uma proposição, pois não pode ser classi-ficada em verdadeira ou falsa.

Observe outros exemplos de sentenças abertas:

Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br

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Exemplo 1:

A sentença aberta x – 2 = 5 é verdadeira se atribuirmos à variável x o valor 7 e é falsa para qualquer outro valor atribuído à variável x. Caso não seja atri-buído valor à variável x, não faz sentido afirmar se a sentença é verdadeira ou falsa.

Exemplo 2:

A sentença aberta x2 = 9 é verdadeira se atribuirmos à variável x os valores 3 ou –3 e falsa para qualquer outro valor de x.

Exemplo 3:

A sentença aberta x = 10 é verdadeira se atribuirmos à variável x o valor 10 e é falsa se atribuirmos qualquer outro valor diferente de 10.

Exemplo 4:

A sentença aberta x = 2y é verdadeira se atribuirmos a x um valor que seja o dobro de y e é falsa para os demais casos. Logo, x = 1 e y = 2 tornam verdadeira a sentença aberta e x = 1 e y = 3 a tornam falsa, por exemplo. Nesse caso, devemos atribuir valores às duas variáveis para encontrar um valor lógico para a sentença.

Uma sentença aberta ou função proposicional pode ser transformada em uma proposição de duas formas principais:

atribuindo valor a cada variável; �

utilizando quantificadores. �

Seja p(x) uma sentença aberta dependente de uma variável x. Assim, p(x) é uma sentença aberta em um dado conjunto A se, e somente se, p(x) tem valor lógico (V ou F) sempre que se atribui à variável x um elemento do con-junto A.

Dessa forma, considerando Vp o conjunto verdade de uma sentença p(x) em um dado conjunto A, temos:

Vp = {x A / p(x) tem valor V}



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Em alguns casos a sentença p(x,y) pode depender de valores atribuídos às duas variáveis x e y. Sendo Vp o conjunto verdade de uma sentença p(x,y) em um conjunto AxB, temos:

Vp = {(x,y) AxB / p(x,y) tem valor V}

Observação:

Para conjuntos numéricos, é importante lembrar que:

IN = {0; 1; 2; 3; ... }

Z = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}

Observe alguns exemplos de sentenças abertas definidas em determina-dos conjuntos:

Exemplo 1:

Qual o conjunto verdade da sentença aberta x < 5 em IN?

Vp = { x ∈ IN / x 5 }

Vp = { 0; 1; 2; 3; 4} IN

Exemplo 2:

Qual o conjunto verdade da sentença aberta x2 9 em Z?

Vp = { x ∈ Z / x2 9 }

Vp = { –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3} Z

Exemplo 3:

Qual o conjunto verdade da sentença aberta 2x – 3 = 0 em IN?

Vp = { x IN / 2x – 3 = 0}

Vp = { } = IN

O conjunto solução é vazio, pois não existe número natural x tal que 2x – 3 = 0.


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Exemplo 4:

Qual o conjunto verdade da sentença aberta x2 > 0 em IR?

Vp = { x ∈ IR / x2 0}

Vp = IR IR

Qualquer que seja o número real x, temos sempre que x2 0.

Esses exemplos mostram que encontrar o conjunto verdade consiste apenas em se encontrar os valores das variáveis que tornam a sentença ver-dadeira em certo conjunto.

Operações lógicas em sentenças abertasAs operações lógicas podem também ser utilizadas junto a sentenças

abertas, definidas em determinados conjuntos. Estudaremos a negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.

Negação

Considere p(x) uma sentença aberta, dependente de uma variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença da forma ~p(x) em A é obtido por meio do complementar do conjunto verdade Vp de p(x) em A. Sim-bolicamente, podemos escrever três formas equivalentes:

V~p = CVA

p = A – Vp

V~p = {x A / ~p(x) tem valor V}

V~p = {x A / p(x) tem valor F}

Exemplo:

Seja p(x): x > 5 uma sentença aberta em IN. Assim, temos:

Vp = {x IN / x > 5} = { 6, 7, 8, 9, ...}

V~p = IN – {6, 7, 8, 9, ...}

V~p = {0, 1, 2, 3, 4, 5}



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Conjunção

Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de uma variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença aberta da forma p(x) q(x) em A é obtido por meio da intersecção dos conjuntos verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente. Simbolicamente, podemos escrever:

Vp q = Vp Vq

Vp q = {x A / p(x) tem valor V} {x A / q(x) tem valor V}

Exemplo:

Sejam p(x): x 5 e q(x): x > 3 em IR. Então:

Vp q = Vp Vq

Vp q = {x IR / x 5} {x IR / x 3}

Vp q = ]– , 5[ ]3, [

Vp q = ]3, 5[ = {x IR / 3 < x < 5}

Disjunção

Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de uma variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença aberta da forma p(x) q(x) em A é obtido por meio da união dos conjuntos verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente. Simbolicamente, podemos escrever:

Vp q = Vp Vq

Vp q = {x A / p(x) tem valor V} {x A / q(x) tem valor V}

Exemplo:

Sejam p(x): x2 = 9 e q(x): x – 3 = 0 em Z. Então:

Vp q = Vp Vq

Vp q = {x Z / x2 = 9} {x Z / x – 3 = 0}

Vp q = {–3, 3} {3}

Vp q = {–3, 3}


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Condicional

Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de uma variável x, em um conjunto A. Quando associamos tais sentenças por meio de um símbolo condicional, obtemos p(x) q(x) que é equivalente a ~p(x) q(x). Assim, o conjunto verdade de uma sentença aberta p(x) q(x) em A é o mesmo que ~p(x) q(x) em A. Simbolicamente, podemos escrever:

Vp q = V~p Vq

Vp q = {x A / ~p(x) tem valor V} {x A / q(x) tem valor V}

Exemplo:

Sejam p(x): x > 7 e q(x): x < 3 em IN. Então:

Vp q = V~p Vq

Vp q = {x IN / x < 7} {x IN / x < 3}

Vp q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} {0, 1, 2, 3}

Vp q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Bicondicional

Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de uma variável x, em um conjunto A. Quando associamos tais sentenças por meio de um símbolo bicondicional, obtemos p(x) q(x) que é equivalente a [p(x) q(x)] [q(x) p(x)]. Assim, o conjunto verdade de uma sentença aberta p(x) ↔ q(x) em A é o mesmo que [p(x) → q(x)] [q(x) p(x)] em A. Simbolicamente, podemos escrever:

Vp q = Vp q Vq p

Exemplo:

Sejam p(x): x > 2 e q(x): x < 1 em IN. Então:

Vp q = Vp q Vq p

Vp q = (V~p ∪ Vq) (Vp V~q)

Vp q = [{x ∈ IN / x < 2} {x IN / x < 1}] [{x IN / x > 2} {x IN / x > 1}]



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Vp q = [{0, 1, 2} {0, 1}] [{3, 4, 5, ...} {2, 3, 4, ...}]

Vp q = {0, 1, 2} {2, 3, 4, ...}

Vp q = {2}

QuantificadoresEm Lógica Matemática, existem símbolos, utilizados em expressões, que

quantificam determinados elementos de um conjunto qualquer. Esses sím-bolos, denominados quantificadores, transformam uma sentença aberta em uma proposição.

Em geral, um quantificador é utilizado antes de uma variável e fornece significado ao valor que a variável pode assumir. Essencialmente, os quan-tificadores podem ser de dois tipos: quantificador universal e quantificador existencial.

Quantificador universalO quantificador universal é representado pelo símbolo e pode ser lido

“para todo”, “qualquer que seja” ou “para cada”. Ao ser utilizado junto a uma sentença aberta, o quantificador universal transforma tal sentença em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para qualquer valor que a variável assuma em um determinado conjunto.

Observe alguns exemplos do uso do quantificador universal, tendo como conjunto universo o dos números reais.

Exemplo 1:

A proposição “qualquer que seja x, temos x = x” é verdadeira e pode ser representada por:

x, x = x

Não é difícil perceber que x = x para todo x.

Exemplo 2:

A proposição “para todo a, temos a > 3” é falsa e pode ser representada por:

a, a > 3


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A proposição é falsa, pois, por exemplo, para a = 2 é falso que 2 > 3. Assim, embora existam valores de a tal que a > 3, não é para todos os valores de a que a proposição é verdadeira.

Exemplo 3:

A proposição “para cada y, temos y2 > 0” é verdadeira e pode ser represen-tada por:

y, y2 > 0

A proposição é verdadeira, pois para qualquer valor de y é verdadeiro que y2 > 0. Ou seja, não existe valor de y para o qual y2 < 0.

Quantificador existencial

O quantificador existencial é representado pelo símbolo e pode ser lido “existe um”, “existe pelo menos um”, “algum” ou, simplesmente, “existe”. Ao ser utilizado junto à uma sentença aberta, o quantificador existencial trans-forma tal sentença aberta em uma proposição, afirmando que a sentença é verdadeira pelo menos para algum valor que a variável assuma.

Exemplos do uso do quantificador existencial, tendo como conjunto uni-verso o dos números reais.

Exemplo 1:

A proposição “existe pelo menos um x, tal que x + 2 = 5” é verdadeira e pode ser representada por:

x, x + 2 = 5

A proposição é verdadeira, pois x = 3 torna a sentença verdadeira:

x + 2 = 5

x = 3 → 3 + 2 = 5 → 5 = 5 (verdadeiro)

Logo, existe pelo menos um x, tal que x + 2 = 5. Nesse caso, o valor de x é único.

Exemplo 2:

A proposição “existe a tal que a2 < 0” é falsa e pode ser representada por:

a, a2 < 0



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A proposição é falsa, pois não existe a tal que a2 < 0. Ou seja, qualquer que seja o valor que se substitua no lugar de a, é falso que a2 < 0.

Exemplo 3:

A proposição “existe um y, tal que y2 > 4” é verdadeira e pode ser repre-sentada por:

y, y2 > 4

Substituindo, por exemplo, y = 3 na sentença y2 > 4, temos:

y2 > 4

y = 3 → 32 > 4 → 9 > 4

Logo, a proposição é verdadeira, pois existe um y tal que y2 > 4. Nesse caso, além de y = 3, existem infinitos valores de y tal que y2 > 4. Como um valor de y (y = 3) foi encontrado, isso já é suficiente para que a proposição seja verdadeira.

Você percebeu que uma sentença aberta por si só não tem valor lógico, pois depende do valor que a variável da sentença assume. Além disso, ob-servou que, ao se acrescentar um quantificador a uma sentença aberta, tal sentença passa a ter valor lógico, já que a presença de um quantificador for-nece significado à sentença. A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de sentenças abertas sendo transformadas em proposições com os correspon-dentes valores lógicos.

Sentença Proposição Valor lógico

x – 2 = 1 x, x – 2 = 1 F

2x > 0 x, 2x > 0 V

x é número primo x, x é número primo V

x + 2 = x + 1 x, x + 2 = x + 1 F

Negação de proposições quantificadas

Já estudamos que a negação de uma proposição é utilizada para alterar seu valor lógico, dando ideia contrária. Assim, se p é uma proposição verda-deira, a correspondente negação, representada por ~p, é falsa, e vice-versa.


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As proposições que contêm quantificadores também podem ter valor lógico alterado quando negadas. Por exemplo, qual seria a negação da pro-posição quantificada “ x, x é número primo”?

A proposição “ x, x é número primo” tem valor lógico V, pois x = 2, por exemplo, é um número primo.

Para negar a proposição quantificada anterior é necessário negar a sen-tença “x é um número primo” e substituir o quantificador existencial “ ” por um quantificador universal “ ”:

Proposição quantificada: “ � x, x é número primo” (V)

Negação: “ � x, x não é um número primo” (F)

De um modo geral, a negação de uma proposição quantificada é obtida por meio da negação da sentença aberta componente e da troca do quan-tificador universal pelo existencial ou do quantificador existencial pelo uni-versal, conforme o caso.

Proposição quantificada Negação da proposição quantificada

x, p(x) x, ~p(x)

x, p(x) x, ~p(x)

Observe outros exemplos de negações de proposições quantificadas:

Proposição quantificada Negação da proposição quantificada

m, m = 3 (F) m, m 3 (V)

x, x2 > 0 (V) x, x2 < 0 (F)

y, 2y – 3 = 7 (V) y, 2y – 3 7 (F)

x, x não é divisível por 10 (V) x, x é divisível por 10 (F)

Implicações lógicasAnteriormente, estudamos as proposições condicionais da forma “p q”,

as quais poderiam ser lidas “se p, então q”. Observamos que uma condicional da forma “p q” é falsa apenas quando p é verdadeira e q é falsa. Em qual-quer outro caso, a condicional é verdadeira.

Para uma melhor compreensão das implicações lógicas e da relação exis-tente entre as proposições condicionais, observe a seguinte definição:



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Uma proposição P(p, q, r, ...) implica logicamente uma proposição Q(p, q, r, ...), se Q(p, q, r, ...) é verdadeira sempre que P(p, q, r, ...) for verdadeira. A implicação é representada por:

P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...)

Em outras palavras, pode-se dizer que uma proposição P, que pode ser composta por várias proposições simples (p, q, r, ...), implica numa proposi-ção Q, que também pode ser composta por várias proposições simples (p, q, r, ...), se em qualquer linha da tabela-verdade de P Q, não ocorre de P ser V e Q ser F, simultaneamente.

Para esclarecer, existe uma sutil diferença entre os símbolos “ ” e “ ”.

O símbolo “ ” é utilizado para relacionar duas proposições por meio de uma proposição condicional. Assim, para relacionarmos p e q por meio de uma pro-posição condicional, escrevemos “p q”. Nesse caso, não estamos querendo aferir valor lógico à proposição composta, mas apenas relacionar condicional-mente p com q.

Por outro lado, o símbolo “ ” é utilizado para representar uma implicação lógica, na qual se deseja aferir valor lógico. Assim, apenas se “P” é verdadeira e “Q” é falsa, a implicação lógica “P Q” é falsa.

Em caso de validade comprovada de uma implicação da forma “P Q”, tal implicação lógica passa a ser utilizada como recurso lógico para obtenção e prova de outros resultados válidos.

Implicações lógicas entre sentenças abertasDuas sentenças abertas também podem estar relacionadas por meio de

uma implicação lógica. Para iniciar essa ideia, observe o conceito.

Sejam p(x) e q(x) duas sentenças abertas dependentes de uma variável x em um conjunto qualquer A. Dizemos que p(x) implica em q(x) se, e somente se, o conjunto verdade de p(x) está contido no conjunto verdade de q(x). Em símbolos, escrevemos:

p(x) q(x) se, e somente se, Vp Vq


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Caso o conjunto verdade de p(x) não esteja contido no conjunto verdade de q(x), a implicação p(x) q(x) será falsa.

A seguir, podemos observar algumas situações importantes:

Exemplo 1:

A implicação “x = 5 x2 = 25” em IR é verdadeira?

Considerando p(x): “x = 5” e q(x): “x2 = 25”, temos: Vp = { 5 } e Vq = { 5; –5 }.

Assim, como Vp Vq, conclui-se que p(x) q(x). Logo, a implicação é verdadeira.

Exemplo 2:

A implicação lógica “x2 > 4 x > 2” em Z é verdadeira?

Considerando p(x): “x2 > 4” e q(x): “x > 2”, temos:

Vp = { ...–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5; ... } e Vq = { 2; 3; 4; 5; ... }.

Logo, como Vp Vq, conclui-se que p(x) q(x). Portanto, a implicação é falsa.

Não é difícil perceber que a recíproca “x > 2 x2 > 4” é verdadeira, pois Vq Vp.

Tautologias e implicações lógicasA verificação da veracidade de uma implicação lógica pode ser efetuada

por meio de uma proposição tautológica ou tautologia. Observe o conceito a seguir:

A condição necessária e suficiente para que uma implicação lógica da forma P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja verdadeira é que a proposição condicio-nal correspondente P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja uma tautologia.

Vejamos dois exemplos sobre implicações lógicas e tautologias.

Exemplo 1:

Verificar se a implicação p q p q é verdadeira.



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Para efetuar a verificação, basta construir a tabela-verdade da proposição p q p q e observar se essa proposição é uma tautologia.

É uma tautologia

p q p q p q p q p qV V V V VV F F V VF V F V VF F F F V

Como em nenhuma linha ocorre de a proposição p q ser V e, simulta-neamente, a proposição p q ser F, a última coluna, referente à proposição p q p q, é uma tautologia. Dessa forma, a implicação p q p q é verdadeira.

Exemplo 2:

Verificar se a implicação p q p q é verdadeira.

Vamos construir a tabela-verdade da proposição (p q) (p q) e ve-rificar se essa proposição é uma tautologia.

Não é uma tautologia

p q p q p q (p q) (p q)V V V V VV F F F VF V V F FF F V V V

A terceira linha apresenta valor V para (p q) e valor F para (p q). Dessa forma, a última coluna representada pela condicional (p q) (p q) apresenta valor F na terceira linha. Portanto, (p q) (p q) não é uma tautologia, pois existe pelo menos um valor lógico na última coluna que é F.

A conclusão é a de que a implicação (p q) (p q) é falsa.

Propriedades das implicações lógicasAs implicações lógicas admitem certas propriedades que podem ser uti-

lizadas na obtenção de outros resultados. Nas propriedades a seguir, as pro-posições P, Q e R podem ser proposições compostas por outras proposições p, q, r, s, ... .


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Implicações imediatas

Propriedade reflexiva

Qualquer proposição P implica na própria proposição P:

P P

Não é difícil perceber que, se a primeira proposição P for verdadeira, a se-gunda proposição P não será falsa, pois isso seria contraditório. Logo, a pro-posição P P é uma tautologia e, consequentemente, P P é verdadeira.

É uma tautologia

P P P PV V V

F F V

Propriedade transitiva

Se a proposição P implica a proposição Q e a proposição Q implica a pro-posição R, então a proposição P implica a proposição R:

Se P Q e Q R, então P R

Para verificar a veracidade da implicação, vamos construir a tabela-verda-de da condicional correspondente [(P Q) (Q R)] (P R) e constatar que é uma tautologia.

P Q R P Q Q R (P Q) (Q R) (P R) [(P Q) (Q R)] (P R)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

É uma tautologia



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Implicações notáveis

Como é possível demonstrar que um determinado resultado é válido?

Quando deduzimos ou demonstramos algum resultado, utilizamos “pre-missas” como base lógica para a validação de tal resultado. A sequência de “passos” que permitem iniciarmos com uma premissa, e, a partir dela, che-garmos a uma conclusão, é desenvolvida por meio de implicações lógicas.

Quando uma implicação lógica é verdadeira, pode-se concluir que o ra-ciocínio desenvolvido está correto, ou seja, que uma proposição necessaria-mente tem como consequência a outra.

As propriedades a seguir são consideradas propriedades clássicas ou no-táveis e serão, posteriormente, utilizadas como regras de inferência, úteis na Lógica da Argumentação.

Adição

A propriedade da adição ocorre junto ao conectivo “ou”:

P P Q

Q P Q

Vamos demonstrar as duas regras de adição por meio da tabela-verdade:

P Q P Q P (P Q) Q (P Q)V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F V V

Tautologias

Exemplos:

Penso. Logo, penso ou existo.

Existo. Logo, penso ou existo.

Simplificação

A propriedade da simplificação ocorre junto ao conectivo “e”:


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P Q P

P Q Q

Vamos demonstrar as duas regras de simplificação por meio da tabela- -verdade:

P Q P Q (P Q) P (P Q) QV V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

Tautologias

Exemplos:

Estudo e venço. Logo, estudo.

Estudo e venço. Logo, venço.

Simplificação disjuntiva

A propriedade da simplificação disjuntiva é utilizada nos casos em que uma das proposições ocorre de forma contraditória e com um conectivo “ou”, sendo, portanto, simplificada:

(P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q) ⇒ P

P Q ~Q P ∨ Q P ∨ ~Q (P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q) → P

V V F V V V V

V F V V V V V

F V F V F F V

F F V F V F V

Tautologia

Exemplo:

Sou feliz ou me demito. Sou feliz ou não me demito. Logo, sou feliz.

Absorção

A propriedade de absorção mostra que, se uma mesma proposição sim-



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ples ocorre numa proposição condicional, sendo condição necessária e sufi-ciente, então ela pode ser omitida (absorvida) como condição necessária:

P → Q ⇒ P → (P ∧ Q)

P Q P ∧ Q P → Q P → (P ∧ Q) (P → Q) → [P → (P ∧ Q)]

V V V V V V

V F F F F V

F V F V V V

F F F V V V

Tautologia

Exemplo:

Se corro, então pulo. Logo, se corro, então corro e pulo.

Modus Ponens

A propriedade Modus Ponens baseia-se em uma proposição condicional:

(P → Q) ∧ P ⇒ Q

Tautologia

P Q P → Q (P → Q) ∧ P [(P → Q) ∧ P] → Q

V V V F V

V F F F V

F V V V V

F F V F V

Exemplo:

Se me esforço, então alcanço a vitória. Esforço-me. Logo, alcanço a vitória.

Modus Tollens

A propriedade Modus Tollens baseia-se na proposição contrapositiva de uma proposição condicional:

(P → Q) ∧ ~Q ⇒ ~P


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P Q ~P ~Q P → Q (P → Q) ∧ ~Q [(P → Q) ∧ ~Q] → ~P

V V F F V F V

V F F V F F V

F V V F V F V

F F V V V V V

Tautologia

Exemplo:

Se tenho coragem, então triunfo. Não triunfei. Logo, não tive coragem.

Silogismo disjuntivo

A propriedade de silogismo disjuntivo ocorre a partir de uma disjunção (conectivo “ou”) em que uma das proposições simples componentes é con-trariada e, a partir disso, conclui-se pela veracidade da outra proposição sim-ples componente:

(P ∨ Q) ∧ ~P ⇒ Q

(P ∨ Q) ∧ ~Q ⇒ P

Vamos demonstrar a primeira das regras de silogismo disjuntivo por meio da tabela-verdade:

P Q ~P P ∨ Q (P ∨ Q) ∧ ~P [(P ∨ Q) ∧ ~P] → QV V F V F V

V F F V F V

F V V V V V

F F V F F V

Tautologia

Exemplos:

Caso ou compro uma bicicleta. Não casei. Logo, comprei uma bicicleta.

Caso ou compro uma bicicleta. Não comprei uma bicicleta. Logo, casei.



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Dilema construtivo

O dilema construtivo baseia-se na utilização de uma disjunção (conectivo “ou”) relacionada a duas proposições condicionais:

[(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R)] ⇒ (Q ∨ S)

Tautologia

P Q R S P → Q R → S P ∨ R (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R) Q ∨ S [(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R)] → (Q ∨ S)

V V V V V V V V V V

V V V F V F V F V V

V V F V V V V V V V

V V F F V V V V V V

V F V V F V V F V V

V F V F F F V F F V

V F F V F V V F V V

V F F F F V V F F V

F V V V V V V V V V

F V V F V F V F V V

F V F V V V F F V V

F V F F V V F F V V

F F V V V V V V V V

F F V F V F V F F V

F F F V V V F F V V

F F F F V V F F F V

Exemplo:

Se bebo água, então me hidrato. Se tomo cerveja, então sou feliz. Bebo água ou tomo cerveja. Logo, me hidrato ou sou feliz.

Dilema destrutivo

O dilema destrutivo baseia-se na utilização de uma disjunção (conectivo “ou”) relacionada a duas proposições condicionais contrapositivas:

[(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (~Q ∨ ~S)] ⇒ (~P ∨ ~R)


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P Q R S ~P ~Q ~R ~S P → Q R → S ~Q ∨ ~S(P → Q) ∧ (R → S) ∧

(~Q ∨ ~S)~P ∨ ~R

[(P → Q) ∧ (R → S) ∧

(~Q ∨ ~S)] → (~P ∨ ~R)

V V V V F F F F V V F F F V

V V V F F F F V V F V F F V

V V F V F F V F V V F F V V

V V F F F F V V V V V V V V

V F V V F V F F F V V F F V

V F V F F V F V F F V F F V

V F F V F V V F F V V F V V

V F F F F V V V F V V F V V

F V V V V F F F V V F F V V

F V V F V F F V V F V F V V

F V F V V F V F V V F F V V

F V F F V F V V V V V V V V

F F V V V V F F V V V V V V

F F V F V V F V V F V F V V

F F F V V V V F V V V V V V

F F F F V V V V V V V V V V

Tautologia

Exemplo:

Se bebo água, então me hidrato. Se tomo cerveja, então sou feliz. Não me hidratei ou não fui feliz. Logo, não bebi água ou não tomei cerveja.

Não há a necessidade de memorizarmos as implicações notáveis que já foram estudadas. O que realmente importa é compreender o mecanismo de verificação da veracidade das implicações lógicas e observar que, apesar da complexidade de algumas delas, cada uma tem por base as proposições es-tudadas anteriormente.

Observe a seguir outros exemplos de implicações lógicas.

Exemplo 1:

Sendo p e q proposições, vamos verificar a veracidade da implicação lógica:

p ⇒ p ∧ q



103

Sem construir a tabela-verdade é possível perceber que a proposição composta correspondente p → (p ∧ q) não é uma tautologia, pois p pode ter valor V, enquanto p ∧ q pode ter valor F. Para que p → (p ∧ q) não seja uma tautologia, basta que p tenha valor V e q tenha valor F. A tabela-verdade construída abaixo confirma essa análise.


p q p ∧ q p → (p ∧ q)V V V V

V F F F

F V F V

F F F V

Portanto, a implicação lógica p ⇒ p ∧ q é falsa.

Exemplo 2:

A implicação lógica a seguir é verdadeira?

Se amanhã é domingo, hoje é sábado. Mas hoje não é sábado.

Logo, amanhã não é domingo.

Podemos considerar algumas proposições simples componentes da im-plicação lógica:

p: amanhã é domingo �

q: hoje é sábado �

~p: amanhã não é domingo �

~q: hoje não é sábado �

Assim, a implicação lógica teria a forma (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p, sendo, por-tanto, a regra Modus Tollens. Construindo a tabela-verdade, poderíamos constatar que a proposição (p → q) ∧ ~q → ~p é uma tautologia. Logo, a implicação (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p é verdadeira.

Exemplo 3:

Considere a implicação lógica e as proposições a seguir:


104


Se vou à praia, então como camarão e, se como camarão, então tenho alergia.

Portanto: Se vou à praia, então tenho alergia.

p: vou à praia �

q: como camarão �

r: tenho alergia �

A implicação pode ser representada por (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r), sendo uma regra de inferência representada por uma propriedade transitiva. Dessa forma, a implicação (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r) é verdadeira. Podería-mos constatar a veracidade também por meio da tabela-verdade, verifican-do que a proposição correspondente [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) é uma tautologia.

Exemplo 4:

Verificar se a proposição “p ∨ q” implica a proposição “p ↔ q”.

Vamos construir a tabela-verdade da proposição (p ∨ q) → (p ↔ q) e veri-ficar se essa proposição é uma tautologia.


p q p ∨ q p ↔ q (p ∨ q) → (p ↔ q)V V V V V

V F V F F

F V V F F

F F F V V

A segunda e a terceira linhas apresentam valor V para (p ∨ q) e valor F para (p ↔ q), respectivamente. Dessa forma, a última coluna representada pela proposição composta (p ∨ q) → (p ↔ q) tem valor F na segunda e na terceira linhas e, portanto, não é uma tautologia. Assim, a implicação (p ∨ q) ⇒ (p ↔ q) é falsa.

Exemplo 5:

Verificar se a proposição “p ∧ q” implica a proposição “p → q”.

Vamos construir a tabela-verdade da proposição (p ∧ q) → (p → q) e veri-ficar se essa proposição é uma tautologia.



105

p q p ∧ q p → q (p ∧ q) → (p → q)

V V V V V

V F F F V

F V F V V

F F F V V

É uma tautologia

A última coluna da tabela é composta apenas por V. Assim, (p ∧ q) → (p → q) é uma tautologia e, portanto, a implicação (p ∧ q) ⇒ (p → q) é verdadeira.

Exemplo 6:

Mostre que “(x = 5 ∨ x > y) ∧ x < y” implica “x = 5”.

Considerando as proposições simples p: x = 5; q: x > y e ~q: x < y, pode-mos expressar a implicação lógica da seguinte maneira: “(p ∨ q) ∧ ~q” ⇒ “p”. Não é difícil perceber que a implicação é uma regra do tipo silogismo disjun-tivo sendo, portanto, uma implicação verdadeira.

Para comprovar a veracidade da implicação lógica, vamos construir a tabela-verdade da proposição [(p ∨ q) ∧ ~q] → p e verificar que é uma tautologia.

p q ~q p ∨ q (p ∨ q) ∧ ~q [(p ∨ q) ∧ ~q] → pV V F V F V

V F V V V V

F V F V F V

F F V F F V

É uma tautologia

Logo, como [(p ∨ q) ∧ ~q] → p é tautologia, é correto dizer que a proposição

“(p ∨ q) ∧ ~q” implica a proposição “p”.

Equivalências lógicasAnteriormente, observamos algumas proposições que são logicamente

equivalentes, tais como uma proposição qualquer e a respectiva dupla ne-gação: p é equivalente a ~(~p).


106


p ~p ~(~p)V F V

F V F

Equivalentes

O que significa dizer que duas proposições são equivalentes?

Duas proposições compostas são equivalentes quando ambas apresen-tam sempre os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores ló-gicos de cada proposição simples componente.

Assim, quando afirmamos que a proposição (p → q) é equivalente a cor-respondente contrapositiva (~q → ~p), estamos dizendo que, independente do valor de p e q, o valor de (p → q) é sempre o mesmo de (~q → ~p).

Observe o próximo conceito:

Uma proposição P(p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou, simplesmente, equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...), se as tabelas-verdade dessas duas proposições são idênticas.

A equivalência é representada por:

P(p, q, r, ...) ⇔ Q(p, q, r, ...)

ou

P(p, q, r, ...) ≡ Q(p, q, r, ...)

Existe uma pequena e sutil diferença entre os símbolos “↔” e “⇔”.

O símbolo “↔” é utilizado para relacionar duas proposições por meio de uma proposição bicondicional. Ou seja, para relacionarmos p e q por meio de uma proposição bicondicional, escrevemos p ↔ q. Nesse caso, não esta-mos querendo aferir valor lógico à proposição composta, apenas relacionan-do bicondicionalmente p com q.

O símbolo “⇔” é utilizado para representar uma equivalência lógica, na qual se deseja aferir valor lógico. Assim, apenas se p e q são ambas verdadei-ras ou ambas falsas, a equivalência p ⇔ q é verdadeira.

Certas equivalências são de grande utilidade, pois simplificam a tarefa de simbolizar apropriadamente as sentenças da linguagem comum.



107

Equivalências entre sentenças abertasÉ possível relacionar duas sentenças abertas por meio de uma equivalên-

cia lógica. Para tanto, é necessário que os conjuntos verdade de ambas as sentenças abertas sejam iguais. Vejamos o próximo conceito:

Sejam p(x) e q(x) duas sentenças abertas dependentes de uma variável x em um conjunto qualquer A. Dizemos que p(x) equivale a q(x) se, e somente se, o conjunto verdade de p(x) é igual ao conjunto verdade de q(x). Em sím-bolos, escrevemos:

p(x) ⇔ q(x) se, e somente se, Vp = Vq

Caso o conjunto verdade de p(x) não seja o mesmo do conjunto verdade de q(x), a equivalência p(x) ⇔ q(x) será falsa.

Observação:

Na Teoria dos Conjuntos, dizemos que um conjunto A é igual ao conjunto B quando A ⊂ B e B ⊂ A. Em outras palavras, um conjunto A é igual ao con-junto B quando todos os elementos de A pertencem a B e todos os elemen-tos de B pertencem a A.

Exemplo 1:

Verificar se a equivalência “2x = 6 ⇔ x – 1 = 2” é verdadeira.

Considerando as sentenças abertas p(x): “2x = 6” e q(x): “x – 1 = 2”, temos:

Vp = { 3 } e Vq = { 3 }.

Assim, como Vp = Vq, pois Vp ⊂ Vq e Vq ⊂ Vp, conclui-se que p(x) é equivalen-te a q(x), isto é, p(x) ⇔ q(x).

Exemplo 2:

Verificar se “x2 = 9” equivale a “x = 3” em Z.

Considerando as sentenças abertas p(x): “x2 = 9” e q(x): “x = 3”, temos:

Vp = {–3; 3} e Vq = { 3 }.

Apesar de Vq ⊂ Vp, ocorre que Vp ⊄ Vq, assim, conclui-se que Vp ≠ Vq e, assim, p(x) não implica em q(x). Portanto, a equivalência é falsa.


108


Tautologias e equivalências lógicasPara uma equivalência lógica ser verdadeira é preciso que a proposi-

ção correspondente seja uma tautologia. Observe com atenção o próximo conceito.

A condição necessária e suficiente para que uma equivalência lógica da forma P(p, q, r, ...) ⇔ Q(p, q, r, ...) seja verdadeira é que a proposição bicondi-cional correspondente P(p, q, r, ...) ↔ Q(p, q, r, ...) seja uma tautologia.

Exemplo 1:

Verifique se as proposições “se x é um número par, então x é divisível por 2” e “x não é um número par ou x é divisível por 2” são equivalentes.

Considere as proposições p: “x é um número par” e q: “x é divisível por 2”. Assim, podemos escrever as seguintes proposições compostas:

p � → q: “se x é um número par, então x é divisível por 2”.

~p � ∨ q: “x não é um número par ou x é divisível por 2”.

Para verificar a veracidade da equivalência (p → q) ⇔ (~p ∨ q), vamos construir a tabela-verdade da proposição composta (p → q) ↔ (~p ∨ q) e observar se é uma tautologia.

Tautologia Equivalentes

p q ~p p → q ~p ∨ q (p → q) ↔ (~p ∨ q)

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

F F V V V V

A equivalência é comprovada tanto pelas colunas idênticas das proposições (p → q) e (~p ∨ q) quanto pela proposição tautológica (p → q) ↔ (~p ∨ q).

Portanto, dizer “se x é um número par, então x é divisível por 2” equivale a dizer “x não é um número par ou x é divisível por 2”.



109

Equivalências imediatasExistem três propriedades consideradas imediatas em equivalências lógi-

cas: reflexiva, simétrica e transitiva.

Propriedade reflexiva

Qualquer proposição P equivale à própria proposição P:

P ⇔ P

A verificação dessa propriedade é imediata, uma vez que a proposição P ↔ P é tautológica.

P P P ↔ PV V V

F F V

Tautologia

Propriedade simétrica

Se a proposição P equivale à proposição Q, então a proposição Q equivale à proposição P:

se P ⇔ Q, então Q ⇔ P.

A propriedade é válida, pois a proposição correspondente (P ↔ Q) → (Q ↔ P) é tautológica.

P Q P ↔ Q Q ↔ P (P ↔ Q) → (Q ↔ P)

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F V V V

Equivalentes Tautologia

Propriedade transitiva

Se a proposição P equivale à proposição Q e a proposição Q equivale à proposição R, então a proposição P equivale à proposição R:

se P ⇔ Q e Q ⇔ R, então P ⇔ R.


110


A propriedade é válida, pois a bicondicional correspondente [(P → Q) ∧ (Q → R)] ↔ (P → R) é uma tautologia.

P Q R P ↔ Q Q ↔ R (P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R) (P ↔ R) [(P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R)] → (P ↔ R)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F F F V V

V F F F V F F V

F V V F V F F V

F V F F F F V V

F F V V F F F V

F F F V V V V V

Tautologia

Quadro de equivalênciasA tabela a seguir apresenta um resumo de algumas importantes equiva-

lências lógicas já estudadas.

Equivalência FórmulaTautologia p ⇔ (p∨ p)

Dupla negação ~(~p) ⇔ p

Comutaçãop ∧ q ⇔ q ∧ pp ∨ q ⇔ q ∨ p

Associaçãop ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ rp ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

Distribuiçãop ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

De Morgan~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q

Contraposição (p → q) ⇔ (~q → ~p)

Implicação material (p → q) ⇔ ~p ∨ q

Equivalência material (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

Exportação [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)]

Equivalência (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)



111

Todas essas equivalências lógicas podem ser comprovadas por meio da tabela-verdade.

Exemplo 1:

Vamos mostrar que a equivalência de exportação, [(p ∧ q)→ r]⇔[p → (q → r)], é verdadeira por meio de uma tabela-verdade.


p q r p ∧ q (p ∧ q) → r q → r p → (q → r) [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)]

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V V V V

V F F F V V V V

F V V F V V V V

F V F F V F V V

F F V F V V V V

F F F F V V V V

Como a proposição [(p ∧ q) → r] ↔ [p→ (q → r)] é uma tautologia, con-cluímos que a equivalência correspondente [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] é verdadeira.

Exemplo 2:

Por meio da tabela-verdade, observe que a equivalência propriamente dita, (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q), é verdadeira.


p q p ∧ q p ↔ q ~p ~q ~p ∧ ~q (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) (p ↔ q) ↔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)

V V V V F F F V V

V F F F F V F F V

F V F F V F F F V

F F F V V V V V V

A proposição (p ↔ q)↔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) é uma tautologia. Logo, con-cluímos que a equivalência correspondente (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) é verdadeira.


112


Exemplo 3:

Vamos provar a validade de uma das propriedades de associação: p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r


p q r q∨ r p ∨ (q ∨ r) p ∨ q (p ∨ q) ∨ r p ∨ (q ∨ r )↔ (p ∨ q) ∨ r

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F F V V V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V V V F V V

F F F F F F F V

A proposição p ∨ (q ∨ r ) ↔ (p ∨ q)∨ r é uma tautologia. Dessa forma, concluímos que a equivalência correspondente p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r é verdadeira.

Ampliando seus conhecimentosTexto extraído do livro O Enigma de Sherazade e Outros Incríveis Problemas

das Mil e uma Noites à Lógica Moderna.

(SMULLYAN, 1998, p. 134-136)

Agora, vou apresentar-lhe uma versão paradoxal do que ficou conhecido como o dilema do prisioneiro. Não é normalmente identificado como um pa-radoxo, mas vou mostrar como pode ser convertido num paradoxo. E vou levar em conta a versão positiva do dilema, em que os participantes são recompen-sados, e não punidos. Vamos supor que eu e você sejamos os jogadores, e que exista ainda alguém encarregado de nos dar a recompensa. Você e eu temos duas opções: cooperarmos um com o outro, ou trairmos um ao outro. Se ambos cooperarmos, cada um de nós recebe três dólares de recompensa; se ambos trairmos, cada um recebe um dólar. Mas se um cooperar e outro trair, o traidor recebe cinco dólares e quem cooperar não ganha nada! Qual é a melhor estratégia que se pode seguir no caso? Bem, se eu cooperar, você



113

ganha mais me traindo que cooperando (cinco dólares, em vez de três). E se eu trair, também, você ganhará mais traindo do que cooperando (um dólar, em vez de nada). Assim, seja qual for a minha escolha, para você sempre será melhor trair. E, portanto, você deve trair. E, seguindo o mesmo raciocínio, eu também devo trair. E, desse modo, nós dois traímos, recebendo um dólar cada um, embora caso ambos tivéssemos decidido cooperar cada um fosse ganhar três dólares! E, assim, o estranho é que seria melhor para os dois se ambos cooperássemos, mas para cada um de nós, individualmente, será melhor trair! Outra maneira de examinar o problema é a seguinte: supondo que eu e você sejamos criaturas racionais, então, já que as condições entre nós são perfei-tamente simétricas, faremos sempre a mesma escolha. Sabendo que faremos a mesma escolha, devemos os dois, é claro, cooperar (ganhando assim três dólares cada, em lugar de um). Não obstante, à luz da argumentação anterior, cada um de nós deveria trair!

Vamos supor que faremos a mesma escolha. Nesse caso, confirmam-se as quatro proposições a seguir:

Proposição 1: Se ambos cooperarmos, cada um ganha três dólares.

Proposição 2: Se ambos trairmos, cada um ganha um dólar.

Proposição 3: Se um de nós cooperar e o outro trair, quem trair ganha cinco dólares e o outro não ganha nada.

Proposição 4: Vamos fazer a mesma escolha – ou seja, ou ambos coopera-mos ou ambos traímos.

Serão consistentes essas quatro proposições? Primeiro provarei que não são, e depois provarei que sim – chegando assim a um paradoxo de forma igual à do precedente. Bem, para provar que são inconsistentes, decorre apenas das três primeiras proposições que você ganhará sempre mais train-do que cooperando, pois faça eu a escolha que fizer você sempre ganhará mais traindo, como já mostrei. Mas acrescentando a proposição 4, decorre que você ganhará mais se cooperar (três dólares, em vez de um). Isso é uma inconsistência clara, de modo que as quatro proposições não podem ser con-sistentes. Por outro lado, as proposições devem ser consistentes, porque é possível que nós dois façamos a mesma escolha e, se o fizermos (seja ambos cooperando ou ambos traindo), todas as quatro proposições serão validadas. E, portanto, as proposições, no final das contas, são consistentes, embora eu tenha demonstrado que não são! Esse é o paradoxo.


114


Atividades de aplicação1. A sentença aberta p(x): x2 > 3 não pode ser classificada em verdadeira

ou falsa. Se atribuirmos valores à variável x, podemos transformar a sentença aberta em uma proposição e, dessa forma, classificá-la em verdadeira ou falsa.

Nessas condições, classifique as proposições:

a) ( ) Para x = 1, a sentença p(x) é falsa.

b) ( ) Para x = 2, a sentença p(x) é verdadeira.

c) ( ) Para x = 0, a sentença p(x) é falsa.

d) ( ) Para x = 3 a sentença p(x) é verdadeira.

e) ( ) Para todo valor de x positivo, a sentença p(x) é verdadeira.

f) ( ) Existe pelo menos um valor de x positivo de modo que a sen-tença p(x) seja verdadeira.

2. Uma maneira de transformarmos uma sentença aberta em proposição é utilizar quantificadores. Sendo assim, dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} e as sentenças abertas p(x): x2 > 3 e q(x): x < 6, atribua um valor lógico a cada uma das seguintes proposições:

a) ( ) ∀ x ∈ A, x2 > 3

b) ( ) ∃ x ∈ A, x2 > 3

c) ( ) ∀ x ∈ A, x < 6

d) ( ) ∃ x ∈ A, x < 6

3. Escreva a negação de cada uma das proposições quantificadas:

a) Para todo x, temos que x = 5.

b) Existe x, tal que x > 2.

c) Qualquer que seja a medida y, temos y < 3.

d) Para pelo menos um valor de z ocorre que z é diferente de 4.

e) Todos os homens são mortais.

f) Alguns carros são coloridos.



115

4. Considere as proposições:

p: 5 > 6

q: 1 = 2

r: 3 < 4

s: 7 ≠ 8

Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições lógi-cas.

a) p ∨ q

b) r ∧ s

c) p ∨ q

d) r ⇒ q

e) p ⇔ s

f) ~(p ⇒ q)

g) ~(r ⇔ s)

5. Por meio da tabela-verdade, mostre que as proposições “~(x > 2 ∨ x = 5)” e “x < 2 ∧ x ≠ 5” são equivalentes.

6. Verifique se são logicamente equivalentes as proposições “Quem não tem cão, caça com gato” e “Quem tem cão, não caça com gato”.

7. Prove, por meio da tabela-verdade, que é válida a propriedade de dis-tribuição de uma operação condicional em relação a uma conjunção, ou seja, p → (q ∧ r) ⇔ (p → q) ∧ (p → r).

8. Por meio da tabela-verdade, mostre que as proposições “Se sou amigo do Rei, não tenho medo” e “Se tenho medo, não sou amigo do Rei” são equivalentes.

9. Sejam as sentenças abertas em A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, p(x): “x é par” e q(x): “x é primo”. Determine:

a) os conjuntos verdade de p(x) e q(x), respectivamente.

b) o conjunto verdade de p(x) ∧ q(x).


116


c) o conjunto verdade de p(x) ∨ q(x).

d) o conjunto verdade de p(x) → q(x).

e) o conjunto verdade de q(x) → p(x).

f) o conjunto verdade de p(x) ↔ q(x).

ReferênciasABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994.

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MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e fun-ções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p.



117

_____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a Matemática).

MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.

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TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p.


118


Gabarito 1.

a) ( V ) Para x = 1, a sentença p(x) é falsa.

b) ( V ) Para x = 2, a sentença p(x) é verdadeira.

c) ( V ) Para x = 0, a sentença p(x) é falsa.

d) ( F ) Para x 3= , a sentença p(x) é verdadeira.

e) ( F ) Para todo valor de x positivo, a sentença p(x) é verdadeira.

f) ( V ) Existe pelo menos um valor de x positivo de modo que a sen-tença p(x) seja verdadeira.

2.

a) ( F )

b) ( V )

c) ( V )

d) ( V )

3. Para negar uma proposição quantificada, basta trocar o quantificador e negar a sentença aberta (predicado). Assim, temos:

a) Existe x, de modo que x ≠ 5.

b) Para todo x, x < 2.

c) Para algum y, y > 3.

d) Para todo z, temos z é igual a 4.

e) Existem homens que não são mortais.

f) Todos os carros não são coloridos.

4. Os valores lógicos das proposições simples p, q, r e s são, respectiva-mente, F, F, V e V. Utilizando as propriedades estudadas, os valores ló-gicos das proposições compostas serão:

a) p ∨ q : F



119

b) r ∧ s : V

c) p ∨ q : F

d) r ⇒ q : F

e) p ⇔ s : F

f) ~( p ⇒ q) : F

g) ~(r ⇔ s) : F

5. Considerando as proposições p: x > 2, ~p: x < 2, q: x = 5 e ~q: x ≠ 5, a proposição “~(x > 2 ∨ x = 5)” pode ser representada por “~(p ∨ q)” e a proposição “x < 2 ∧ x ≠ 5” pode ser representada por “~p ∧ ~q”. Assim, basta mostrar que “~(p ∨ q)” equivale a “~p ∧ ~q”.

p q ~p ~q p ∨ q ~(p ∨ q) ~p ∧ ~q

V V F F V F F

V F F V V F F

F V V F V F F

F F V V F V V

Equivalentes

Os valores lógicos das proposições “~(p q)” e “~p ~q” são idênticos, logo, ~(p q) ~p ~q. O resultado aqui demonstrado é uma aplicação de uma equivalência de De Morgan.

6. Considerando as proposições p: tem cão, ~p: não tem cão, q: caça com gato e ~q: não caça com gato, a proposição “Quem não tem cão, caça com gato” pode ser representada por “~p → q” e a proposição “Quem tem cão, não caça com gato” pode ser representada por “p → ~q”. An-teriormente, estudamos que a proposição “p → ~q” e a correspon-dente inversa “~p → q” não são equivalentes. Vamos comprovar que a equivalência não é verdadeira por meio da tabela-verdade.

p q ~p ~q ~p → q p → ~qV V F F V F

V F F V V V

F V V F V V

F F V V F V

Não são equivalentes


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Portanto, as proposições “Quem não tem cão, caça com gato” e “Quem tem cão, não caça com gato” não são equivalentes.

7. Basta construir a tabela-verdade e concluir que as proposições p → (q ∧ r) e (p → q) ∧ (p → r) são logicamente equivalentes.

p q r q ∧ r p → (q ∧ r) p → q p → r (p → q) ∧ (p → r)

V V V V V V V V

V V F F F V F F

V F V F F F V F

V F F F F F F F

F V V V V V V V

F V F F V V V V

F F V F V V V V

F F F F V V V V

Equivalentes

8. Considerando as proposições p: sou amigo do Rei, ~p: não sou amigo do Rei, q: tenho medo e ~q: não tenho medo, a proposição “Se sou amigo do Rei, não tenho medo” pode ser representada por “p → ~q” e a propo-sição “Se tenho medo, não sou amigo do Rei” pode ser representada por “q → ~p”. Observe a tabela-verdade das proposições “p → ~q” e “q → ~p”:

p q ~p ~q p → ~q q → ~pV V F F F F

V F F V V V

F V V F V V

F F V V V V

Equivalentes

Portanto, as proposições “p → ~q” e a correspondente contrapositiva “q → ~p” são equivalentes.

9.

a) Os conjuntos verdade de p(x): “x é par” e q(x): “x é primo” em A, são:

Vp = {2, 4, 6}

Vq = {2, 3, 5, 7}



121

b)

Vp ∧ q = Vp ∩ Vq

Vp ∧ q = {2, 4, 6} ∩ {2, 3, 5, 7}

Vp ∧ q = {2}

c)

Vp ∨ q = Vp ∪ Vq

Vp ∨ q = {2, 4, 6} ∪ {2, 3, 5, 7}

Vp ∨ q = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

d) Inicialmente, temos que V~p = {1, 3, 5, 7}. Assim:

Vp → q = V~p ∪ Vq

Vp → q = {1, 3, 5, 7} ∪ {2, 3, 5, 7}

Vp → q = {1, 2, 3, 5, 7}

e) Inicialmente, temos que V~q = {1, 4, 6}. Logo:

Vq → p = V~q ∪ Vp

Vq → p = {1, 4, 6} ∪ {2, 4, 6}

Vq → p = {1, 2, 4, 6}

f)

Vq ↔ p = Vp → q ∩ Vq → p

Vq ↔ p = ( V~p ∪ Vq ) ∩ (V~q ∪ Vp)

Vq ↔ p = {1, 2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 4, 6}

Vq ↔ p = {1, 2}


Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas

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