SEPS – Sinais · amostragem Processador digital Conversor A/D Conversor D/A Filtro analógico st...

© Gonçalo Tavares, Moisés Piedade, 20081

SEPS – SinaisOs sinais podem ser:

Contínuoem t

Discretoem t

Amplitude não quantificada

Amplitude quantificada

Amplitude não quantificada

Amplitude quantificada

Sinaisanalógicos

Sinaisdigitais

s(t)

t

( )s t

0

( )qs t

0 t t

( )ss nT

0

( )q ss nT

0 tsT snTsnTsT

Discreto

DigitalAnalógico

Contínuo

quantificação


SEPS – Processadores de sinal

Os sinais s1(t), s2(t) e s3(t) são equivalentes ?

Em que condições ?

O sinal s(t) pode ser processado de forma equivalente por

Contínuo

Processamento digital

Processamento analógico

Processadorcontínuo

Processador comamostragem

Processadordigital

ConversorA/D

ConversorD/A

Filtroanalógico

1( )s t

2( )s t

3( )s t

sina

l co

ntín

uo,

()

st

sω

sωsω

Digital Processador numérico

Processador analógicoAmostrado

Processador


SEPS – Transformadas de sinais I

X(ω) é um desenvolvimento contínuo de x(t) em funçõescomplexas ortogonais de duração infinita φα(x)

Funções:

Ortogonalidade:

x(t) periódico origina espectro de riscas

Transformada integral de Fourier:

Directa:

Inversa:

Transformada integral de Fourier:

Directa:

Inversa:

{ }( ) ( ) ( )j tX x t e dt x tωω∞ −

−∞= =∫ F

{ }11( ) ( ) ( )

2j tx t X e d Xωω ω ω

π∞ −

−∞= =∫ F

( ) , j xx e xααφ = −∞ < < ∞

*( ) ( ) ( )E x xβαφ φ δ α β⎡ ⎤ = −⎣ ⎦


SEPS – Transformadas de sinais II

Série de Fourier: O sinal x(t) periódico com períodoT0= 2π/ω0 tem o desenvolvimento em série de Fourier

onde cn são os coeficientes de Fourier

Série de Fourier: O sinal x(t) periódico com períodoT0= 2π/ω0 tem o desenvolvimento em série de Fourier

onde cn são os coeficientes de Fourier

0( ) jnw tn

n

x t c e∞

=−∞= ∑

00

0

/2

/20

1( )

Tjnw t

nT

c x t e dtT

−

−= ∫

O coeficiente cn representa o conteúdo espectral de x(t) na frequência nω0: espectro de riscas (amplitude e fase)

{ }

{ }arg

, amplitude

arg , fasen

nj c

n nn

cc c e

c

⎧⎪⎪= → ⎨⎪⎪⎩


SEPS – Transformadas de sinais III

X(s) é uma extensão da transformada de Fourier querepresenta o desenvolvimento contínuo de x(t) em funçõescomplexas exponenciais de duração infinita est coms=σ+jω (transformada de Fourier obtém-se com σ = 0)Pode existir transformada de Laplace sem que existatransformada de Fourier

Transformada integral de Laplace:

Directa:

Inversa:

Onde γ é um contorno vertical no plano complexo, escolhido de forma a que as singularidades de X(s) estejam à sua esquerda

Transformada integral de Laplace:

Directa:

Inversa:

Onde γ é um contorno vertical no plano complexo, escolhido de forma a que as singularidades de X(s) estejam à sua esquerda

{ }( ) ( ) ( )stX s x t e dt x t∞ −

−∞= =∫ L

{ }11( ) ( ) ( )

2

jst

jx t X s e ds X s

j

γ

γπ+ ∞ −

− ∞= =∫ L


SEPS – Transformadas de sinais IV

Sistema linear einvariante notempo (SLIT)

( )

( )

x t

X s

↓ L

( )

( )

y t

Y s

↓ L

Sistema linear einvariante notempo (SLIT)

( )

( )

y t

Y ω

↓ F

( )

( )

x t

X ω

↓ F

T(s) é a resposta do sistema a um impulso unitáriox(t)=δ(t) (X(s)=1 para todo o s)T(s) permite estudar a estabilidade do sistemaCom o conhecimento de T(s) pode estudar-se a respostado sistema a qualquer excitação, desde que se conheça a transformada destaPara sistemas com excitação periódica pode usar-se a transformada de Fourier (σ = 0)

( )( )

( )Y s

T sX s

=

( )( )

( )Y

TX

ωω

ω=

função de sistema


SEPS – Transformadas de sinais V

incómodo das funçõesexponenciais

t

( )y t

0 t0 0 tsT snTsnTsT

1

( )x t

Transformada Z: simplifica a descrição e a análise de sistemas discretos (amostrados) no domínio da frequência

y(t) resulta da multiplicação do sinal x(t) por uma sériede impulsos de Dirac (pente)

Transformada de Laplace: 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s sn n

y t x t t nT x nT t nTδ δ∞ ∞

=−∞ == ⋅ − = ⋅ −∑ ∑

{ } 2

0

( ) (0) ( ) (2 )

( )

s s

s

sT sTs s

nsTs

n

y t x x T e x T e

x nT e

− −

∞−

=

= + + +

= ×∑

L

sistema causal


Plano z Plano s

jω

σ

0

1

1

ssTz e=

SEPS – Transformadas de sinais VI

Transformada Z:Directa:

Inversa:

onde γ é um contorno fechado na região de convergência de X(z) que inclui a origem do plano z

Transformada Z:Directa:

Inversa:

onde γ é um contorno fechado na região de convergência de X(z) que inclui a origem do plano z

{ }0

( ) ( ) ( )ns s

n

X z x nT z x nT∞

−

== =∑ Z

Fazendo o semi-plano complexoesquerdo do plano s émapeado no interior da circunferênciaunitária (sistemasestáveis)

ssTz e=

{ }1 11( ) ( ) ( )

2n

sx nT X z z dz X zj γπ

− −= =∫ Z


SEPS – Transformadas de sinais VII

Análise no domínio do tempo:

Transformada Z: muito cómoda para a análise em frequênciados sistemas discretos

Análise no domínio da frequência:

1z−

( )X z ( )Y z

1( )Y z z−⋅

α

equação às diferenças, pode ser complicada (equivale àresolução da equação diferencialnos sistemas contínuos)

mais simples

( ) [( 1) ] ( )s s sy nT y n T x nTα− ⋅ − =

1

1

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

1

Y z Y z z X z

Y z X zz

α

α

−

−

− ⋅ ⋅ =

⇒ =− ⋅

sT

( )sx nT ( )sy nT

( )s sy nT T−

α


SEPS – Amostragem de sinais I

Amostragem: multiplicação de um sinal x(t) por um sinal de amostragem xa(t), que tem o valor 0 ou 1, produzindo o sinal y(t)

( )x t ( )y t

( )ax t

τsT t

1

0

0

t

t

t

( ), 0ax t τ →

( )x t

( )y t

sT

5 sT

1-Amostragem periódica ideal:O sinal xa(t) é um pente de Diracs(função delta ou impulso)

e portanto

1-Amostragem periódica ideal:O sinal xa(t) é um pente de Diracs(função delta ou impulso)

e portanto

( ) ( )a sn

x t t nTδ∞

=−∞= −∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

sn

s sn

y t x t t nT

x nT t nT

δ

δ

∞

=−∞∞

=−∞

= ⋅ −

= ⋅ −

∑

∑


SEPS – Amostragem de sinais II

Espectro do sinal amostrado

xa(t) é um sinal periódico com período Ts=2π/ωs (período de amostragem) e pode assim ser representado pela série de Fourier

com coeficientes

desta forma

2( ) , sjn t

a n ssn

x t c e Tω πω

∞

=−∞= =∑

1( ) ( ) ( ) ( ) sjn t

as n

y t x t x t x t eT

ω∞

=−∞= ⋅ = ⋅ ∑

/2 /2

/2 /2

1 1 1( ) ( )

s ss s

s s

T Tjn t jn t

n aT Ts s s

c x t e dt t e dtT T T

ω ωδ− −

− −= = =∫ ∫


SEPS – Amostragem de sinais III

Y(ω) apresenta um número infinito de repetições do espectrooriginal X(ω), centradas em múltiplos da frequência de amostragem

Espectro do sinal amostrado (continuação)Aplicando a transformada de Fourier a y(t) vem

( )

( )

1( ) ( ) ( )

1 ( )

1 ( )

s

s

s

j t jn t j t

s n

j n t

s nX n

ss n

Y y t e dt x t e e dtT

x t e dtT

X nT

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

∞∞ ∞− −

−∞ −∞ =−∞∞ ∞ − −

−∞=−∞−

∞

=−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

=

= −

∑∫ ∫

∑ ∫

∑


SEPS – Amostragem de sinais IV

ω

( )Y ω

{ }arg ( )Y ω

0

ω0 sω snωsω−

1/ sT

snωsωsω−

ω

ω

( )X ω

{ }arg ( )X ω

0

função parde ω

função ímparde ω

1x(t) é um sinal real e portanto o seuespectro tem simetria conjugadaX(ω) =X*(-ω)Com um filtro passa-baixo com largura de banda ωc<ωs/2 poderecuperar-se o sinal original x(t)Com um filtro passa-banda centradoem nωs e com largura de banda(bilateral) ωs pode recuperar-se o espectro de x(t) deslocado para nωs

A amostragem periódicaaltera o espectro do sinal !


SEPS – Amostragem de sinais V

Se o espectro X(ω) contiver frequências superiores a ωs/2 ocorremsobreposições espectrais em Y(ω) (soma de componentesvectorias) que impedem a recuperação do sinal original x(t)

Teorema da amostragem (passa-baixo):Seja x(t) um sinal com espectro X(ω) tal que

Nesta condição a sequência x(nTs) com Ts=2π/ωs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que ωs ≥ 2ωM

Teorema da amostragem (passa-baixo):Seja x(t) um sinal com espectro X(ω) tal que

Nesta condição a sequência x(nTs) com Ts=2π/ωs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que ωs ≥ 2ωM

( ) 0, MX ω ω ω= ≥

ω 0 sω0 ω

( )X ω ( )Y ω

! Aliasing

/2sω/2sω

/2sB ω>


SEPS – Amostragem de sinais VI

A amostragem ideal tem o inconveniente de multiplicar o espectro por 1/Ts

Energia muito baixase Ts for elevado

Permite aumentar a energiado sinal amostrado

2-Amostragem ideal com retenção da amostra:

O sinal xa(t) é um pente de Diracs (função delta ou impulso) mas as amostras são retidasdurante um intervalo de tempo de duração τ

2-Amostragem ideal com retenção da amostra:

O sinal xa(t) é um pente de Diracs (função delta ou impulso) mas as amostras são retidasdurante um intervalo de tempo de duração τ

( )x t ( )y t

( )pr t

τ sT0 t

t

( )ax t

t

0

Retenção daamostradurante τ


SEPS – Amostragem de sinais VII

Espectro do sinal amostradoO sinal amostrado y(t) pode ser visto como a resposta de um sistema

linear, com resposta impulsional p(t), ao sinal amostrado x(t)⋅xa(t) ou seja

Aplicando a transformada de Fourier vem

( ) [ ( ) ( )] ( )ay t x t x t p t= ⋅ ⊗

{ }espectro da amostragem ideal

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 ( )

1 = ( )

a

j

ss n

j

ss n

F

Y x t x t P

eX n

T j

eX n

j T

ωτ

ωτ

ω

ω ω

ω ωω

ω ωω

∞ −

=−∞∞−

=−∞

= ⋅ ⋅

⎛ ⎞ −⎟⎜= − ⋅⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

−⋅ −

∑

∑

F

( )p t

τ sT t

1

F


SEPS – Amostragem de sinais VIII

O espectroY(ω) apresentaum número infinito de repetições do espectrooriginal X(ω), centradasem múltiplos dafrequência de amostragem, mas multiplicadas pelofactor (complexo) F(ω) que é uma funçãocontínua de ω

21 sin( /2)

( ) =/2

j j

s s

eF e

j T T

ωτωτ τ ωτω

ω ωτ

− −−= ⋅ ⋅

0 sω 2 sω 3 sω 4 sω0

0.25

0.5

0.75

1

frequência angular, ω

sin( /2)( )

/2sF

Tτ ωτ

ωωτ

= ⋅

sTτ =

2sT

τ =

4sT

τ =


SEPS – Amostragem de sinais IX

3-Amostragem rectangular:O sinal xa(t) é construído como a repetição periódica, com período Ts, do pulso p(t), de duração τ <Ts e admite a série de Fourier

com coeficientes

3-Amostragem rectangular:O sinal xa(t) é construído como a repetição periódica, com período Ts, do pulso p(t), de duração τ <Ts e admite a série de Fourier

com coeficientes

( ) ( ) ( )

2 , s

a p sn

jn tn s

sn

x t r t p t nT

c e Tω πω

∞

=−∞∞

=−∞

= = −

= =

∑

∑

/2

/2

2

1( )

sin( /2) =

/2

ss

s

s

Tjn t

n aTs

njs

s s

c x t e dtT

ne

T n

ω

ω ττ ω τω τ

−

−

−

=

⋅ ⋅

∫

( )x t

( )y t

τ sT0 t

t

( )ax t

0

o sinalamostradosegue x(t) durante τ


SEPS – Amostragem de sinais X

( ) ( )n sn

Y c X nω ω ω∞

=−∞= −∑

Espectro do sinal amostrado

A análise é semelhante ao caso da amostragem ideal pois xa(t) éperiódica, embora com coeficientes de Fourier diferentes. Recuperando o resultando para este tipo de amostragem temos

Y(ω) apresenta um número infinito de repetições do espectro original X(ω), centradas em múltiplos da frequência de amostragem, cada uma delas multiplicada pelo valor complexo cnmas que é fixo para cada repetição em nωs e tem o valor

( )sn nc F ω ωω ==


SEPS – Amostragem de sinais XI

0 sω 2 sω 3 sω 4 sω

0 sω 2 sω 3 sω 4 sω

ω

ω

Amostragem ideal com retenção

Amostragem rectangular

sin( /2)( )

/2sF

Tτ ωτ

ωωτ

=

sin( /2)( )

/2

1 sin( /2)

2 /2

sn s

s s

nc F n

T n

nn

τ ω τω

ω τ

ππ

= =

=

2sT

τ =

2sT

τ =

espectro desaparece

Espectro do sinal amostrado, Y(w)


SEPS – Amostragem de sinais XIISe o sinal x(t) for passa-banda:

Para não ocorrer sobreposição das réplicas “positivas” énecessário que:

s M m M ms

M s m

Nf f f f ff

Nf Nf f

− + <⎧⎪ −⎪ ⇒ >⎨⎪ < +⎪⎩

N0

P0P-N PN

P0

s MNf f− + s mNf f−

mf Mfmf−Mf− 0 f

f

( )X f f∆

0f


SEPS – Amostragem de sinais XIII

Para não ocorrer sobreposição entre as réplicas “negativas”e “positivas” é necessário que:

2( 1) 1

2

mss m m

MM s Ms

ffN f f f N

ff Nf ff

N

⎧⎪ <⎪⎧ − − <⎪ ⎪ −⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪< −⎪ ⎪⎩ >⎪⎪⎩

P0NN-1 NN

( 1) s mN f f− − s MNf f−f

N0 P0

mf Mfmf−Mf− 0 f

( )X f f∆

0f


SEPS – Amostragem de sinais XIV

Teorema da amostragem (passa-banda):Seja x(t) um sinal com espectro X(f) tal que

Nesta condição a sequência {x(nTs)} com Ts=1/fs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que

com N ≥ 1.

Teorema da amostragem (passa-banda):Seja x(t) um sinal com espectro X(f) tal que

Nesta condição a sequência {x(nTs)} com Ts=1/fs representa o sinal x(t) sem perda de informação desde que

com N ≥ 1.

0 0( ) 0, 2 2f f

X f f f f∆ ∆

= + ≤ ≤ −

0 02 22 21

s

f ff ff

N f f N f

∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟≤ ≤⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∆ ∆ − ∆⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Como fm = f0 - ∆f/2 e fM = f0 + ∆f/2 temos:


3N =2N =1N =

sff∆

2of

f

f

∆+

∆

10 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

0

limite superior

limite inferior

7

6

2.5

2.5

SEPS – Amostragem de sinais XV

Este gráfico dá os valores de fs que satisfazem o teorema anterior, ou seja, para os quais não existe sobreposição de quaisquer das réplicas (para frequências positivas e negativas) geradas pelo processo de amostragem


SEPS – Amostragem de sinais XVI

Temos que 2fM > 2fM –fm > fM –fm o que significa que se não ocorrer sobreposicão entre as réplicas “positivas” e “negativas”então também não ocorre entre réplicas “positivas” (ou “negativas”) pois

O teorema da amostragem passa-baixo obtém-se considerando N = 1 e f0 = ∆f/2, de que resulta 2∆f ≤ fs <¶Do gráfico verificamos que o valor mínimo da frequência de amostragem é fs =2∆f , mas só pode ser utilizado quando

pelo que em geral se terá fs >2∆f

2 M M ms s

f f ff f

N N−

> ⇒ >

( )0

0122 1

m M

ff f f

N f N f ff N N

∆+

= ⇔ = − ∆ ⇔ ∆ = =∆ −


SEPS – Amostragem de sinais XVIISinal de informação passa-banda com f0=1.024 MHz e ∆f=512 kHz (por exemplo, pode ser um sinal ADSL AsymmetricDigital Subscriber Link). Temos:

e pelo teorema anterior2 2.5 3

5 31

1 5

s

s

s

fN

ffN f N f

Nf

⎧⎪ = ⇒ ≤ ≤⎪⎪ ∆⎪≤ ≤ ⇒ ⎨⎪∆ − ⎪ = ⇒ ≤ ≤ ∞⎪⎪ ∆⎩

0 00 2 22 2.5 1.5

f ff ff

f f f

∆ ∆+ −

= = =∆ ∆ ∆

Nota: se N = 3

51.6(6) 1.5

3sff

= ≤ ≤∆

impossível (para N ≥ 3)


SEPS – Amostragem de sinais XVIII

Ocorre sobreposição para fs/∆f < 2.5 e para 3 < fs/∆f < 5

/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

/sf f∆

P0N0

/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

P0N0

/sf f− ∆

/ 5sf f∆ =

N1P-1

/sf f∆/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

P0N0

/sf f− ∆

/ 3sf f∆ =

N1P-2

2 /sf f∆

P1N2P-1

2 /sf f− ∆

N-1

/sf f∆/f f∆6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

P0N0

/sf f− ∆

/ 2.5sf f∆ =

N1P-2

2 /sf f∆

P1N2P-1

2 /sf f− ∆

N-1

2.52.5−

N3P-3

6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6

P0N0 N1P-2 P1N2P-1N-1

3 / 5sf f< ∆ <

( )X f

/f f∆


SEPS – Amostragem de sinais XIX

A amostragem ideal repete o espectro de x(t) sem deformação

A amostragem ideal seguida de retenção repete X(f) com atenuação e deformação espectral devido à multiplicação pela função F(ω). Esta deformação pode ser compensada com pré-distorção na banda que contém a repetição de X(f) com interesse

A amostragem rectangular repete o espectro X(f) sem deformação mas com atenuação devido à multiplicação pelos coeficientes cn

Para recuperar o sinal original x(t) é necessário amostrá-lo com um ritmo ωs>2ωM onde ωM é a frequência máxima de X(f) e filtrar passa-baixo

Para recuperar a informação contida no sinal x(t) é necessário amostrá-lo com um ritmo fs>2∆f onde ∆f é a largura do espectro de x(t) e filtrar passa-baixo ou passa-banda

Conclusões sobre a amostragem:

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