Sequencia e Series

7/24/2019 Sequencia e Series

1/25


2/25

2

0n

n2

1

{ } 0n!n

Tambm se pode definir uma seqnciacomo uma funocujo domnio o conjunto dos nmerosinteiros positivos:

f(n)n

lRlN:f *

a

Onde:

( )

( )

( )

=

=

=

seqnciadagenricotermonfa

2fa

1fa

n

2

1

M

Encarando a seqncia com uma funo podemos considerar o seu grfico no plano

cartesiano e como o domnio da funo o conjunto , os pontos do grfico sero.

*

lN( ) ( ) ( n21 a,n,,a,2,a,1 L )

As vezes usamos o grfico cartesiano de uma sequncia para avaliar o comportamento dotermo quando ncresce indefinidamente.na

Representao grfica de seqnciasExemplo:

Considerando a seqncia .n

11

+ , temos:n

11a n += ou n

11f(n) +=

M

4

5a

3

4a

2

3a

2a

4

3

2

1

=

=

=

=

L,5,4,3,2432

Ao se estudar uma seqncia interessa saber como ela evolui, ou seja, como ela se comporta medida que os seus termos vo sendo gerados. Analisando o grfico da seqncia pode-se avaliar o

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IISEQNCIAS & SRIES


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3

comportamento do termo quando ncresce indefinidamente. Na seqncia acima, medida que n

aumenta o termo se aproxima de 1.na

na

Associao com funes de varivel realPode-se entender uma seqncia numrica como uma seleode pontos de uma funo de varivelreal.

Exemplo:

n

11a n +=

x

1

1f(x) +=



4/25

4

Teorema

Seja uma funo f definida em um intervalo [ )+;c , onde IRc , e a seqncia tal quepara cada inteiro positivo.

( )na

naf(n) =

Se Lf(x) ento Lalimx =+ lim nn =+ . Se += (ou ) ento

+f(x)lim

x+=

+n

nalim (ou )

Isto significa que o limite de uma seqncia pode ser obtido a partir do limite da funo devarivel real correspondente. Assim sendo, pode-se usar a Regra de LHpital para a verificao de

limites com indeterminaes0

0ou

.

Exemplo:

Seja a seqncia .n11 +

Temos que:

101x

1lim1lim

x

11lim

xxx=+=+=

+

+++

ou, usando a Regra de LHpital:

11lim1

01lim

x

1xlim

x

11lim

xxxx==

+=

+=

+

++++

Logo 1n

11lim

n

=

+

+

Se uma seqncia ( tal que)na Lalim nn

=+

nn

alim+

, diz-se que a seqncia convergente ( ou

converge para L ). Quando no existe , diz-se que a seqncia divergente( ou

diverge ).

TeoremaSeja a seqncia ( )na .

Se 0alim nn = ento 0alim nn =

Exemplo:

Seja a seqncia .3

11)(

0n

nn

Considerando o valor absoluto de cada termo, obtm-se a seqncia:



5/25

5

LL ,3

1,,

81

1,

27

1,

9

1,

3

1,1

n

Temos que:

03

1lim

3

1lim

n

nnn=

=

++

.

Logo, a seqncia

n3

1converge para 0.

Assim, pelo teorema anterior conclui-se que

03

11)(lim

n

n

x=

+

e que a seqncia dada convergente.

Exerccios

Verifique a convergncia das seqncias:

1nn

1

Maple: > limit(1/sqrt(n), n=infinity) 0



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6

+

+2

2

2n9

6n5

{ } 0nn2 Maple: > limit(2^n, n=infinity);

0n

ne

n



7/25

7

++ +

54nn

3n1)(

2

1n

5

( )

+13

1-n

n



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8

( ) 3n1- n

Represente graficamente no mnimo 6 termos da seqncia e conclua a respeito

de sua convergncia ou divergncia. Justifique sua resposta.

( ){ } 0nncos

Seqncias definidas recursivamenteAlgumas seqncias no surgem de uma frmula para o termo geral, mas de frmulas queespecificam como gerar cada termo em funo de seus anteriores. Tais seqncias dizemos sodefinidas recursivamentee as frmulas que as definem so chamadas de frmulas de recurso.

Exemplo:A seqncia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... chamada seqncia de Fibonacci.Qual sua frmula recursiva?

Exerccios ComplementaresReferncia: Anton, H. Clculo. Volume 2.

Exerccios 10.1 (8 edio) : 1, 3, 5, 6, 7, 11, 23, 25, 27



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9

SRIES

MotivaoNo sculo V a.C. o filsofo grego Zenon props o seguinte problema: Uma pessoa percorre um

trajeto de um quilmetro em etapas, sendo que em cada etapa ela percorre a metade da distnciarestante. Quando termina sua jornada? Essa questo constitua um paradoxo, pois era impossvelconceber que se realizasse um nmero infinito de etapas em um tempo finito, de modo que ir de umponto a outro seria impossvel!

0 1/2 3/4 ... 1No entanto, a subdiviso infinita de [0;1] proposta por Zenon trouxe tona a evidncia de que

18

1

4

1

2

1=+++ L

ou seja, de que um processo infinito de acumulao poderia resultar em um resultado finito. Este principal objeto do estudo das sries.

Clculo via Maple:Compare os resultados obtidos via Maple considerando-se diferentes quantidades de etapas:> restart:sum(1./2^n, n=1..3); 0.8750000000> restart:sum(1./2^n, n=1..10); 0.9990234375

> restart:sum(1./2^n, n=1..100); 1.000000000

ObservaoUma soma interminvel de termos pode ou no resultar num nmero finito.

Exemplos:

1 resultado tende ao infinitoL+++++ 1111

00000 =++++ L

???111111 =+++ L

3

10003,0003,003,03,0 =++++ L



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10

Definio e NotaoSe { }na uma sequncia ento a soma chamada de srie infinita ousimplesmente srie.

1 2 3 na +a +a +...+ a +...

+

n 1 2 3 n

n=1

a = a +a +a +...+a +...

ObservaoQuando se quer representar uma srie genericamente pode-se usar na .

Exemplos:

n nn=1

1 1 1 1 1 1(a) = + + + +...+ + ...

3 9 27 813 3

n=1

n 1 2 3 n(b) = + + + ... + + ...

n+1 2 3 4 n+1

Sries de termos positivosso aquelas cujos termos so todos positivos.Exemplos:Observe que dentre as sries abaixo apenas a primeira uma srie de termos positivos.

(a)+

n=1

1

n.(n+1)

(b)n+

n=1

(-1)

n

(c)n+

n=1

1+(-1)

n

CUIDADO!+

n=1

sen(n)

n

NO uma srie de termos positivos!!!

Sries de termos alternados so aquelas cujos termos so alternadamente positivos enegativos

n +1n 1 2 3 4(-1) a a -a +a -a +......= ou n n 1 2 3 4(-1) a -a +a -a +a -......=

Exemplos:+

n

n=0

(-1)

n+1+

n=1

(-1)

n

+ +

n

n =1 n =1

cos(n)cos(n)ou (-1)

n n



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11

Exerccio 1Encontre a soma dos 5 primeiros termos de cada srie:

+

n=1 n

+

2n=1

1

n

+

nn=1

1

2

n+

n=1

(-1)

n

+

nn=1

3

10

n+

10n=1

(-2)

n

Somas parciais de uma srieDada a srie , pode-se construir uma nova seqncia { } tal que:

+

n 1 2 3 nn=1

a = a +a +a +...+a +...

2

3

n

1nnS

1 1S =a

2 1S =a +a

3 1 2S = a +a +a

M

n 1 2 3S = a +a +a +...+a

Essas somas parciais formam uma nova sequncia { }nS chamada seqncia das somas parciais

da srie.

Se a sequncia { }nS converge para L, isto , LSlim nn =+ , ento dizemos que a srie na converge e que L a sua soma.

Se no existe ento ann +lim S

srie na diverge, isto , no tem soma.

Observao: =nn +lim S

naExemplo:

Seja a srie n=1

1

n (n+1)

( Srie telescpica )

Vamos encontrar e1 2 3 4S ,S ,S ,S nS .

Vamos mostrar que a srie converge e encontrar sua soma.



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12

Sries geomtricasUma srie geomtrica a soma de uma seqncia geomtrica ou progresso geomtrica. Uma sriegeomtrica uma srie da forma

2 3 n-1 n-

n=1

a+ar+ar +ar +...+ar +... = ar

1

onde a e r so constantes e a 0A n-sima soma parcial da srie geomtrica

n2 3 n-1

n

a (1- r )S = a+ar+ar +ar +...+ar = , r 1

1-r

Se r


13/25

13

n

n=1

1

2

( )

=

0n

n1n

n=1

3

10

n=1

1

n.(n+1)

n=1

n

n-1

n=1

5-

4

Exerccio 3

Verifique se cada uma das sries abaixo so convergentes ou divergentes e, em caso deconvergncia, determine a sua soma ( ou valor numrico).

2 3 4 n-1

2 2 2 2 22+ + + + +...+ +...

3 3 3 3 3

n3n=0

1

n

2nn=1

(-1) 1 1 1= - + - +...

9 81 7293

n-1

1 1 1 -11 - + - +....+ +...

77 7 7 7

n-11+2+4+8+16+...+2 +... 4 + 4 + 4 + 4 +...

n-1

n=1

3 8+

n(n+1)4

n

n=1

(-1)

n+1n -1

n=1

10(-1)

9

n+2

n=1

2-

3

n -1

nn=1

(-3)

4

Exerccio 4Determine a srie geomtrica cuja soma 0,484848484848484...:

Exerccio 5Determine o nmero racional representado pela dzima peridica:

0,152152152

7,222

12,0444

Propriedades das sries Se converge e c um nmero qualquer ento tambm converge e valen

n=1

a

nn=1

ca

nn=1

ca

= nn=1

c a

.



14/25

14

Se diverge e c um nmero qualquer ento tambm diverge .nn=1

a

nn=1

ca

Se enn=1

a

nn=1

b

convergem ento tambm converge e valen nn=1

( a b )

n nn=1

( a b )

= nn=1 a

nn=1 b

.

Se converge enn=1

a

nn=1

b

diverge ento diverge.n nn=1

( a b )

Observao

Se enn=1

a

nn=1

b

so ambas divergentes ento pode convergir ou divergir.n nn=1

( a b )

Como, na maioria dos casos, fica difcil ou praticamente impossvel encontrar o valorcorrespondente soma da srie, empregaremos testes para estabelecer apenas a convergnciaou a divergncia da mesma. Isto suficiente na maioria das aplicaes porque, sabendo que asoma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrrio de preciso, bastandosomar um nmero suficiente de termos da srie.

TESTES

Teste da divergncia

Se nn +lim a 0

ento a srie nn=1

a

diverge

OBS: No caso de termos nada podemos afirmar sobre a convergncia da srie,nn +lim a = 0

ou seja,

a condio no suficiente para garantir a convergncia da srie nn +lim a = 0

nn=1

a



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15

Exemplos:

SRIE TESTE CONCLUSO

n=1

4n

5n-2.

n +

4n 4lim = 0

5n-2 5 A srie divergente

2n=1

1

n

2n +1

limn

= 0 Nada se afirma

n

n=1

e

n

0n

elim

n

n

+ A srie divergente

n=1

1

n

n +1

limn

= 0 Nada se afirma

Existem sries divergentes, apesar de possuremnn=1

a

nn +lim a 0

= .

Exemplo:n +

1lim 0

n = e no entanto a srie

n=1

1

n

, chamada srie harmnica, divergente.

Exerccio 6Use o teste da divergncia para mostrar que as sries dadas abaixo divergem:

=1n

1n=1

11+

n

n=1

1n sen

n

Sries p ( ou p-sriesou srieshiper-harmnicas)Uma srie do tipo

p p p p p pn=1

1 1 1 1 1 1= + + + +...+ +...

n 1 2 3 4 n

com denominada srie p.p > 0

Teorema

A srie p convergente se e divergente se 0< p >1 p 1

Se ento a srie-p a Srie Harmnicap =1n=1

1 1 1 1= 1+ + + +...

n 2 3 4

( srie divergente )



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16

Exerccio 7Verifique se as sries dadas abaixo so convergentes ou divergentes.

=1n5 3n

1

=1nen

1

n=1

1

n n

2

n=1

1

n

n=11

n

Exerccio 8

Mostre que a srien-1

3 2n=1

1 1+

6n

divergente.

Exerccio 9Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamentemetade da distncia aps cada queda. Use uma srie geomtrica para aproximar o percurso totalfeito pela bola at o repouso completo.

Teste da integralO teorema conhecido como teste da integral serve para estudar a convergncia ou divergncia deuma srie de termos positivos, atravs do clculo da integral imprpria de uma funo, cujas

imagens para valores inteiros no negativos, correspondem aos termos da srie.

Suponha que f seja uma funo contnua, positiva e decrescente no intervalo [ )+ ;1e seja ( )nfa n = .

Se

( )

( )

=

=

+

+

=

n

1 1nn

divergenteaento,divergentedxxf

econvergentaentoe,convergentLdxxf

=1 1n



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17

Exerccio 10Use o teste da integral para verificar se as sries dadas abaixo so convergentes ou divergentes:

2+

- n

n=1 n.e

+

2n=1

2n

1+n

+

3n=1

1

n

+

n=1

1

n

+

2n=1

1

n

+

n=1

1

n

+

- n

n=1

e

+

n=1

1

n ln (n)

Teste de Leibniz (Teste da Srie Alternada)

Uma srie alternada convergente se satisfizer as seguintes condies:

1nn a para todo na + >1e

n +lim = 0

na

Exerccio 11Use o teste da srie alternada para determinar a convergncia ou a divergncia das seguintes sries:

n

n=1

(-1)

n

n

n=1

(-1) .(n+3)

n.(n+1)

n+1n=1

(-1)

n-1

n=1

2n(-1)

4n-3

2

n

n=1

n(-1)

3n(n+1)

n-1 2n=1

2n(-1)

4n -3

Teste da Comparao dos Limites



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18

Seja uma srie de termosna no negativose nb uma srie de termos positivos.

Se nn +

n

alim = L>0

b , ento ambas as sries convergem ou ambas divergem.

Se nn +

n

alim = 0b

e nb converge, ento na converge.

Se nn +

n

alim =

b + e nb diverge, ento na diverge.

Exerccio 12Use o teste da comparao dos limites para determinar a convergncia ou a divergncia dasseguintes sries.

(a)

= +1nn31

1 (b)

= +1n2 2n

1 c)

= +1n2 1n

n

(d)

= ++1n24 2nn

1 (e)

= 2 1n

2

n

(f)

=

+

1n3n

1n

Teste da Razo

Seja uma srie de termos no nulos e sejana Laalim

n

1n

n=+

( ou ).

Se 1L< ento a srie convergente .

Se 1L> ou =+

n

1n

n a

alim ento a srie divergente

Se 1L= nada se conclui.

Exerccio 13Use o teste da razo para determinar a convergncia ou a divergncia das seguintes sries:

(a) +

=1k !k

1 (b) +

=1kk

2

k (c)

=1n2

n

n

3

(d) +

=3kk4

(2.k)! (e)

+

= 1k 12.k

1 (f)

=1n2n

1



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19

(g)

=

+1n

21n

n

n!1)( (h)

=1nn2

n! (i)

=

1n

nn

n!

31)(

Observao importante

O teste da razo mais adequado quando ancontm fatorial, potncias e produtos, no funcionaem srie-p.

Sries de Potncias

Usamos sries de potncias para representar algumas das mais importantes funes que aparecem namatemtica, na fsica e na qumica.

Srie de potncias em x uma srie da forma

=

+++++=0n

nn

2210

nn xbxbxbbxb LL

onde

nb um nmero realx uma varivel

Exemplos:

=

++++++=0n

n32n ...x...xxx1x

Neste caso, 1bbbbb n3210 ====== LL

( ) ( )

...!2n

x1)(...

6!

x

4!

x

2!

x1

!2n

x1)(

2nn

6

0n

422nn ++++=

=

Neste caso,720

1b;

24

1b;

2

1b;1b 3210 ====

Srie de potncias de potncias em x-c uma srie da forma

( ) ( ) ( ) ( )

=

+++++=0n

nn

2210

nn cxbcxbcxbbcxb LL

onde

nb um nmero realx uma varivelc uma constante ( centro da srie )

Exemplo:n

2n=1

(x-5)

n

**Note que:



20/25

20

ao escrevermos o termo correspondente a n = 0 adotamos por conveno que mesmo

quando .

0(x-c) =1

x = c

quando todos os termos so iguais a zero para , assim a srie sempre converge

quando e

x = c

n

n >1

x = c ( )

==

00

nn bcxb

Intervalo de ConvergnciaUma srie de potncias pode ser encarada como uma funo na varivel x. Segundo essainterpretao, o conjunto de valores de x para os quais a srie convergente representa o domniodessa funo. Esse conjunto tambm denominado intervalo de convergncia.

Para uma srie de potncias aplica-se o( )

=0n

nn c-xb teste da razodo mesmo modo que para uma

srie numrica. A partir disto podemos ter apenas trs possibilidades: a srie converge apenas para x = c

Exemplo: n

n=0

n!(x-1)

ou

srie converge para todos os valores reais de x

Exemplo:n

n=0

x

n!

ou existe um nmero real positivo R de modo que a srie converge para todo x tal que

x-c < R e diverge para todo x tal que x-c > R

R chamado raio de convergncia e o intervalo de convergncia.(c-R ; c+R)Para determinar o intervalo de convergncia, neste caso, testa-se a convergncia dos extremos dointervalo individualmente com os procedimentos vistos para sries numricas.

Exemplo:n

n=0

x

n+4

Exerccio 14Encontre o intervalo de convergncia de cada uma das sries dadas abaixo:

a)n

n=1

(x+1)

n

b)n

n

n=0

(x-3)(-1)

n+1

c)n

nn=1

n x

5

d) n

n=0

n!x

e)n

n=1

(x-3)

n

f)n 2n

2n 2n=0

(-1) x

2 (n!)



21/25

21

g)n

n+1n=0

n(x+2)

3

Representao de Funes por Sries de PotnciasUma srie de potncias pode representar uma funo quando for convergente.Exemplo:

( )x1

1xf

= pode ser representada por ( ) LL ++++++= n32 xxxx1xf

desde que 1x <

pois umaLL ++++++ n32 xxxx1 srie geomtricae se 1x < ento esta srie

convergente. Neste caso, a soma de seus termos dada porx1

1S

= .

Logo,

( )

=

=

=0n

nxx1

1xf se 1x <

Exerccio 15Considerando o resultado acima, obtenha uma representao em srie de potncias para:

a) ( )x1

1xg1

+= b) ( )

x1

1xg 2

= c) ( )

23 x1

1xg

= d) ( )

x1

xxg

3

4

=

A questo que permanece como associar uma funo a uma srie ?Trabalhos notveis realizados no sentido da associao de funes e sries foram desenvolvidospelos matemticos Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731).

Srie e Polinmio de MaclaurinA idia proposta por Maclaurin era supor que uma funo poderia ser escrita na forma de uma sriede potncias, ou seja,

2 n0 1 2 nf(x) = a +a .x+a .x +...+a .x +...

0 1 2 n 0f(0) = a +a .0+a .0 +...+a .0 +...= a

restando determinar os coeficientes anadequadamente. Substituindo x por 0 tem-se:2 n

Influenciado pelos trabalhos de Newton sobre o clculo infinitesimal, Maclaurin observou que, nascondies enunciadas,



22/25

22

2 3 4 n0 1 2 3 4 nf(x)=a +a .x+a .x +a .x +a .x +...+a .x +... 0f(0) = a

2 3 n-11 2 3 4 nf '(x)= a +2.a .x+3.a .x +4.a .x +...+n.a .x +... 1f '(0) = 1.a

22 3 4 nf ''(x)= 2.a +3.2.a .x+4.3.a .x +...+n.(n-1).a .x +...

n-2 2f ''(0) =2.1.an-3

3 4 nf '''(x)= 3.2.a +4.3.2.a .x+...+n.(n-1).(n-2).a .x +... 3f '''(0) =3.2.1.a

M

Genericamente:(n)

nf (0) = n!.a

ou ainda:

(n)

n

f (0)a =

n!, se n 1

A forma geral da Srie de Maclaurin , ento, dada por(n)

2 nf (0) f (0) f (0)f(x) = f(0)+ x+ x +...+ x +...1! 2! n!

ou(n)

n

n=1

f (0)f(x) = f(0)+ x

n!

Observe que para ser possvel a expanso em Srie de Maclaurin:

a funo tem de estar definida em x = 0;

a srie deve ser convergente.

Exerccio 16Obtenha a srie de Maclaurin para as funes:

a) xf(x) = e b) f(x) = sen(x) c)1

f(x) =1-x

Srie e Polinmio de TaylorTaylor posteriormente generalizou a idia proposta por Maclaurin, observando que esse processotambm era vlido para uma expanso em um centro c genrico:

A forma geral da Srie de Taylor com centro c dada por(n)

2 nf (c) f (c) f (c)f(x) = f(c)+ .(x-c)+ .(x-c) +...+ .(x-c) +...1! 2! n!

)

0a = f(0

ou



23/25

23

( )(n)

n

n=1

f (c)f(x) = f(c)+ . x-c

n!

Observe que para ser possvel a expanso em Srie de Taylor:

a funo tem de estar definida em x = c; a srie deve ser convergente.

ObservaoAo polinmio gerado pelo truncamento da Srie de Taylor no termo de grau n d-se o nome depolinmio aproximador de Taylor de grau n:

(n)2 n

n

f (c) f (c) f (c)p (x) = f(c)+ (x-c)+ (x-c) +...+ (x-c)

1! 2! n!

Observe ainda que:

O polinmio aproximador de grau 1 a reta tangente funo.

A Srie de Maclaurin a Srie de Taylor com centro c = 0.

ExemploObtenha a srie de Taylor para as funes com os centros indicados:

a) f(x) , c == sen(x)

2 b)

1f(x) =

1-x, c = 3 c)

1f(x) =

x, c = 1

Exerccio 17Obtenha a srie de Taylor para as funes com os centros indicados:

a) f(x) , c = 0= ln(x+1) b) f( , c = 1x) = lnx c) , c = 0-2xf(x) = e

d) ,f(x) = cos(x) c = e) f( , c =x) = sen(2x) f)1

f(x) =x-1

, c = 0

RespostasExerccio 1(a) 15 (b) 1,463611... (c) 0,96875

(d) -0,783333... (e) 0,33333 -1,998079...

Exerccio 2(a) , (b) , (c) e (f)



24/25

24

Exerccio 3

(a) C ; S = 3 (b) C ; S =3

2 (c) C ; S =

1-

10 (d) C ; S =

7

7 1+

(e) D (f) D (g) C ; S = 12 (h) D(i) C ; S = 9 (j) C ; S =

8-

45 (k) C ; S =

1

7

Exerccio 4

2nn =1

48

10

Exerccio 5(a) 152/999 (b) 65/9 (c) 542/45

Exerccios 6(a)

n +lim 1 1 0

=

(b)n + n + n +

1 n 1lim 1 + = lim lim 1 0

n n+1 1

= =

(c)2

n + n + n + n +

2

1 1 1sen cos

1 1n n nlim n sen = lim lim lim cos 1 0

1 1n n

n n

= =

=

Exerccio 7(a) D (b) C (c) C (d) C (e) D

Exerccio 8

2 33 2n = 1 n = 1

1 1 =

nn

(Srie-p)2 2

p = =


25/25

25

30 m

Exerccio 10(a) C (b) D (c) C (d) D (e) C (f) D (g) C (h) D

Exerccio 11(a) C (b) C (c) D (d) D (e) D (f) C

Exerccio 12(a) C (b) C (c) C (d) C (e) D (f) C

Exerccio 13(a) C (b) C (c) D (d) D (e) D (f) C (g) D (h) D (i) C

Exerccio 14

a) [ )-2;0 b) (2; 4] c) (-5; 5) d) 0 e) [2; 4)f) IR g) (-5; 1)

Exerccio 15

a) ( )

=

0n

nx b) n

0n

x

=

c) 2n

0n

x)(

=

d) n3

0n

x +

=

Exerccio 16

a)

2 3 nx x x

+ + +...+ +...2! 3! n!1+x

b)3 5 7 2n +1

nx x x xx - + - +...+ (-1) +...3! 5! 7! (2n+1)!

c) 2 3 n1+x+x +x +...+x +...Exerccio 17

a)

=

+

1n

n1n

n

x1)(b)

n

1)(x1)(

n

1n

1n

=

c)

=

0n

nn

n!

x2)(

d)

=

+

0n

2n1n

(2n)!

)(x1)(

e)

=

++

+

0n

n12n1n

1)!(2n

1)().(x(2)

f)

n

0n x

=

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