Sequências e Séries

1

SEQUNCIAS E SRIES

Prof. Me. Ayrton Barboni

1. SEQUNCIAS NUMRICAS 2

1.1. Seqncias convergentes e seqncias divergentes 3

1.2. Teorema 1 Seqncia associada a uma funo real de varivel real 3

1.3. Teorema 2 Confronto 4

1.4. Seqncias montonas 4

1.5. Seqncias limitadas 5

1.6. Teorema 3 5

1.7. Teorema 4 5

2. SRIES INFINITAS 6

2.1. Sries convergentes e divergentes 6

2.2. Teorema 1 7

2.3. Teorema 2 7

2.4. Teorema 3 Operaes com sries 8

2.5. Sries de termos positivos 9

2.5.1. Teste de Comparao 9

2.5.2. Teste da Razo (DAlembert) 11

2.5.3. Teste da Raiz n-sima (Cauchy) 12

2.5.4. Teste da Integral Imprpria 13

2.6. Sries Alternadas 14

2.6.1. Teste de convergncia de sries alternadas (Leibniz) 14

3. SRIES DE POTNCIAS 16

4. SRIES DE TAYLOR E MAcLAURIN 18

4.1.Srie de Taylor 18

4.2. Srie de MacLaurin 19

BIBLIOGRAFIA 19

2

SEQUNCIAS E SRIES

Prof. Me. Ayrton Barboni

1. SEQUNCIAS NUMRICAS

Chamaremos de seqncia ou sucesso de a toda funo f de * em .

*

f

A funo f conhecida a partir de suas imagens f (i), i = 1,2,3,...n, ..., visto que

o domnio sempre * .

Notao: *( ( ))

nf n

ou *( ) ( ):nn na f na ou 1 2 3, , , ... , , ...na a a a

Exemplo.01:

1) *1

( ) ( ):n n nn

a f nn

a

ou 2 3 4 1

1 2 3, , , ... , , ...

n

n

1

2

3 . . . n . . . .

f (1) = a 1

f (2) = a 2

f (3) = a 3 .

.

.

f (n) = a n .

.

.

1 2 3 n n + 1

N*

IR

1

2(1,2)

(2, 3/2)

(3, 4/3)

(n, (n+1)/n)

3

2) *

1 1 1 1 1: 1, , , , ..., , ...

2 3 4nn n

3) 3, 3, 3, 3, ....

4) 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...

5) 1, 2, 3, 4, ... , n, ....

6) *1 ( 1)

2( ) ( ):n n

n

na f na ou 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

7) *(cos( )) nn

ou 1, 1, 1, 1, 1, ...

8) Fibonacci 1 2

*

1 2

1( ) :n n

n n n

a aa

a a a ou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

9) Fatorial 1

*

1

1( )

.:n n

n n

aa

a n a ou 1, 2, 6, 24, 120, ... , , ...!n

1.1. Seqncias convergentes e seqncias divergentes

Uma seqncia *( )n na

que tem lim

nna L finito chamada de convergente.

Uma seqncia no-convergente chamada de divergente, isto , L infinito ou no

existe.

Exemplos:

a) *

1 1 1 1 1, , , ..., , ... tem limite L=0 (finito), logo, convergente

1 2 3 4 1:

nn n

b) * tem limite infinito, logo, divergente.( ) : 1, 2, 3, 4, ... , , ... Lnn n

c) *(( 1) ) 1, 1, 1, 1, ... , ( 1) , ...:n n

n a seqncia tende aos valores (1) e

1, conforme n mpar ou par e, por isto, L no existe e a seqncia divergente.

EXERCCIOS 1.1:

Dizer se as seqncias do Exemplo.01 so convergentes (C) ou divergentes (D) e

apresentar o valor do limite das seqncias convergentes.

Resp: 1) C, L = 1 2) C, L = 0 3) C, L = 3 4) D 5) D 6)D 7)D 8)D 9)D

1.2. Teorema 1 Seqncia associada a uma funo real de varivel real

Seja *( )n na

uma seqncia e :[1, [f

uma funo onde se tem

( ) nf n a , *.n

'' Se lim ( ) L ,x

f x ento lim ( ) L.''

nf n

4

EXERCCIOS 1.2:

Verifique se as seqncias so convergentes ou divergentes

a) *

1

2 1 n

n

n

b) 2

*

1

n

n

n c)

2*1 n

n

n

d) *

31

n

nn

e) *

1/sen( )

1/ n

n

n f)

2*

ln

n

n

n

Resp: a)C, L = 1/2 b)D c)C, L = 0 d)C, L = e3 e)C, L = 1 f)C, L = 0

1.3. Teorema 2 Confronto

Sejam as seqncias *( )n na

, *( )n n

b

e *( )n nc

sendo ,n n na b c

*.n '' Se Llim limn nn n

ca

, ento L ''lim nnb

EXERCCIOS 1.3:

Verifique se as seqncias so convergentes ou divergentes

a) 2

*

cos( )

n

n

n

b) * {1}

( ) , 0nn

a a

c)

* {1}

( )nn

n

Resp: a)C, L = 0 b) C , Obs: Estudar 1 e, depois, 0 1a a

c) C, Veja: Temos que 1n n , logo, 0 talque (I)1n nnb bn

Da,

2( 1)(1 )2

nn n

n nn b b , isto ,

2

1.nb

n

Logo, 2

0 .1

nbn

Temos que 2

0 lim lim 01n

nnb

n

e, da, lim 0nnb . Portanto,

segue de (I) que lim lim (1 ) 1 0 1nn

n nbn .

1.4. Seqncias montonas


crescente se *

1, ,n n na a e decrescente se

*

1, .n n na a

Uma seqncia chamada de montona se for crescente ou decrescente.

Nota: Se a seqncia alternar seus valores, ento no montona.

Pode-se utilizar derivadas para verificar a monotonicidade das seqncias.

5

EXERCCIOS 1.4:

Verifique se as seqncias so montonas

a) *1 n

n

n

b) *

1

1 nn c)

*

( 1)

n

n

n

Resp: a) montona crescente b) montona decrescente c) no montona

1.5. Seqncias limitadas


limitada se existem r e s reais tais que

*, .n s nr a

EXERCCIOS 1.5:

Verifique quais so as seqncias do Exemplo.01 so limitadas (L) ou no

limitadas (NL).

Resp: 1)L, 21 na 2) L, 10 na 3)L, 42 na 4) L, 21 na

5)NL 6) L, 10 na 7) L, 11 na 8)NL 9)NL

1.6. Teorema 3

Uma seqncia montona limitada convergente

Ex: Ver no Exemplo.01 Montonas limitadas 1), 2) e 3) Montonas no limitadas 5), 8) e 9)

No montonas 4), 6) e 7)

1.7. Teorema 4

Toda seqncia convergente limitada.

EXERCCIOS 1.6:

Verifique quais so as seqncias convergentes (C), divergentes (D), limitadas

(L) ou no-limitadas (NL)

a) , , ,... ,a a a a

b) 1, 2, 3, ..., , ...n

c) *( ) : 2n nn

na a

d) 2

*

1 2 3 ...

n

n

n

e) *

2

35

n

n

f) *((1,001) )

n

n

Resp: a)C, L b)D, NL c)D, NL d)C, L e)C, L f)D, NL

6

2. SRIES INFINITAS

Seja 1 2 3*( ) : , , ,..., ,...n nna a a a a

uma seqncia de reais.

A somatria 1 2 3 ... ...na a a a

chamada de Srie infinita.

Notao: 1 2 3

1

... ...n nn

a a a a a

A seqncia 1 2 3*( ) : , , , ..., ,...n nnS S S S S

onde 1 1S a , 2 1 2S a a ,

3 1 2 3S a a a , ... , 1 2 3 ...n nS a a a a e, assim, sucessivamente, chamada

de seqncia de somas parciais da srie dada.

2.1. Sries convergentes e divergentes

A srie

1

n

n

a convergente se finitolim ( )nnS S . Neste caso, diz-se que

a soma da srie S .

A srie

1

n

n

a divergente se lim nnS no finito ou no existe. Neste

caso, a srie no tem soma.

Exemplo.1:

a)

1

1

( 1)n

n n convergente e tem soma S = 1

Temos que 1 A B (A+B) A

( 1) 1 ( 1)n

n

n n n n n na . Comparando as razes: A =1

e B = 1. Assim,

1 1.

1n

n na

V-se que 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 1...n n

n nS a a a a .

Simplificando, temos que 1

11

nSn

. Da, 1

(11

lim lim ) 1nn n nS S

b)

1

1

2 nn

convergente (srie geomtrica) e tem soma S = 1.

7

Sabemos, do ensino mdio, que a soma S dos termos de uma PG

1 2 ... ...na a aS , onde *0 ,,n na e razo 0 < q < 1 dada por

1

1

a

qS

Assim,

1

1

2

1 1 1 1 1/ 2... (PG, ) 1

2 2 4 8 1 (1/ 2)nn

qS (finito)

c)

1

1 2 3 ... ....

n

n n no tem soma finita. Logo, divergente.

Sabemos, do ensino mdio, que a soma Sn , dos n primeiros termos, de uma PA

1 2 3: , , , ... , ...nc c c c

, de razo r dada por 1

2( ). .

nnS n

c c Assim,

211 2 3 ... ( ).

2 2n

n n nnnS . Da,

2

2lim lim .nn n

n nS

2.2. Teorema 1 ''Se a srie

1

n

n

a convergente, ento lim 0nna ''

A recproca do teorema no verdade, pois existem sries cujo termo geral an tende a zero, mas no convergente.

Exemplo.2:

A srie

1

1 1 1 11 ... ....

2 3n

n n tem seu termo geral tendendo a zero, mas

no convergente. Esta srie chamada de Harmnica.

Desafio: Mostre que a srie Harmnica divergente.

2.3. Teorema 2 Seja a srie

1

.nn

a ''Se lim 0nna , ento

1

n

n

a divergente ''

Exemplo.3:

a)

1

2

n

n

n , temos

21lim 0.

n

n

n A srie divergente.

b)

1

21

n

n

n , temos 2

21lim 0.

n

ne

n A srie divergente.

8

EXERCCIOS 2.1:

Verifique se a srie convergente (C) ou divergente (D)

a)

1

2 1

3 2n

n

n b)

2

1ln

ln( 1).lnn

n

n

n n

c)

1

sen(1/ )

1/n

n

n

d)

1

1 1

1 2n

n n e)

1

( 1)n

n f)

1

1n

n

n

n

g)

1

2.4.6.8.....(2 )

!n

n

n h)

1 2 1

1

1 , .... ...n

n

n a qaq a aq aq aq

Resp: a)D b)C, S=1/ln2 c)D d)C, S=1/2 e)D f)D g)D

h) Se 1 < q < 1 , ento 1

aS

q (finito) e a srie convergente.

Se 1q ou 1q , ento S no finito ou no existe e a srie divergente.

2.4. Teorema 3 Operaes com sries

a) Se 1

n

n

a convergente e tem soma S, ento1

. nn

c a convergente e tem

soma c.S.

b) Se 1

n

n

a e 1

n

n

b so convergentes e tem somas S e R, ento1

( )n nn

a b

convergente e tem soma (S + R).

Nota: Se apenas uma das sries for divergente, ento 1

( )n nn

a b ser divergente.

Se ambas forem divergentes, ento1

( )n nn

a b poder ser convergente ou

divergente. Exemplificando:

a) 1

n na bn

1 1

2( )n n

n n

a bn

(harmnica) divergente.

b) 1

nan

e 1

nbn

1 1

( 0, ( 0))n nn n

a b S convergente.

9

EXERCCIOS 2.2:

Verifique se a srie convergente (C) ou divergente (D)

a)

1

2 3

3 2n nn

b)

1

1 1

2nn

n

c)

1

2n+1

( 1)n

n n

Resp: a) C, S = 4 b) D c) D

2.5. Sries de termos positivos:

1

, 0n nn

a a

Queremos saber se a srie

1

, 0n nn

a a convergente ou divergente.

2.5.1. Teste de Comparao

Tomemos uma srie conhecida

1

, 0n nn

b b

para a comparao.

i) Se

1

n

n

b convergente e ,n na b*, ,n n k ento

1

n

n

a convergente

ii) Se

1

n

n

b divergente e ,n na b*, ,n n k ento

1

n

n

a divergente

Exemplo.4:

a)

1

1

!n

n. Temos que

1

!na

n e procuramos

1

n

n

b conveniente para a

comparao.

Sabemos que 1! 2 1, .nn n Da, 1

1 1.

! 2 nn

Considerando 1

1 1

1

2n n

n n

b (srie G, q = 1/2 , convergente) e o fato que

n na b , 1n , segue de (i) que a srie

1

1

!n

n convergente.

b)

1

1n

nn

. Temos que 1

n na n e procuramos

1

n

n


comparao.

Se * 2,,n n ento teremos que .2.2.2.....2 2. . .....

n nn n n n n

Da, 1 1

, 2.2n n

nn

10

Considerando

1 1

1

2n n

n n

b (srie G, q = 1/2 , convergente) e o fato que

n na b , 2n , segue de (i) que a srie

1

1n

nn

convergente.

c) 3

1

1

n n. Temos que

3

1na

n e procuramos

1

n

n


comparao.

fato que 3

1 1, 1.n

nn

Considerando

1 1

1n

n n

bn

(srie harmnica, divergente) e o fato que

n na b , 1n , segue de (ii) que a srie 31

1

n n divergente.

d)

1

1p

nn

(chamada de srie hiper-harmnica ou srie-p, p ) convergente se

p > 1 e divergente se 1p .

Prova:

1) Se p = 1, ento

1 1

1 1p

n nn n

(harmnica) divergente.

2) Se p < 1, ento

11 2 3

1 1 1 1 1... ...p p p p p

nn n

divergente, pois se

comparada, termo a termo, com a srie harmnica veremos que *1 1 , ,p n

n n

e ,

por (ii), segue que a srie divergente.

3) Se p > 1, ento

11 2 3 4 7

1 1 1 1 1 1( ) ( ... ) ...p p p p p p

nn

< 2 2 4 4 4 4 2 4

1 1 1 1 1 1 2 41 ( ) ( ) ... 1 ...p p p p p p p p

= 1 1 1 12 312 (2 (2 2

1 1 1 11 ...

) )p p p p

n

n

(srie G, 1

2

11)

pq

convergente.

11

EXERCCIOS 2.3:

Verifique pelo teste de comparao a convergncia (C) ou no (D) das sries:

a)

1

1

1 3nn

b)

1

!

( 2)!n

n

n

c)

1

2

( 1) nn

n

d) 3

1

1 cos( )

1n

n

n e)

32

1

ln( )n n f)

1

sen( / )

2nn

n

Resp: a) C b) C c) C d) C e) D f ) C

2.5.2. Teste de Razo ( DAlembert)

Queremos saber se

1

, 0n nn

a a , convergente ou divergente, sem compa-

raes com outras sries. Investigaremos a convergncia ou no na prpria srie dada.

Sejam 1 2 3 11

... ...n nnn

a a a a aa e 1

limn

nn

aL

a

i) Se 1L , ento

1

n

n

a

convergente.

ii) Se 1L , ento

1

n

n

a

divergente.

iii) Se 1L , ento o teste no conclusivo.

Exemplo.5:

a)

1

1n

nn

. Temos que 1

n na n e 1 ( 1)

1

( 1)n n

an

( 1)1

1

( 1)

1 ( 1) 1 ( 1)

1lim lim lim lim

( 1)

nn

n

n

n

n

n

n n n n

nn

n n n

n

a nL

a n

11 1

. 1 . .0 0 ( 1)( 1) ( 1)

1 1lim lim lim lim

n n

n n n n

ne

n n n n

Logo, por (i) a srie convergente.

b)

1

1

n

n

n. Temos que

1n

na

n e 1

( 1) 1 2

( 1) 1nn n

an n

12

2 2

2 2

1 2

1 1

2

2 1lim lim lim lim 1

n

nn n n n

n n

n n

a n n nL

a n n n. Logo,

por (iii) , nada se conclui. Utilizando o teorema 2, v-se que a srie divergente.

EXERCCIOS 2.4:

Verifique pelo teste da razo a convergncia (C) ou no (D) das sries:

a)

1

1

!n

n b)

2

1

3

1

n

nn

c)

1

2

( 1) nn

n

d)

1

!n

n

n

n e)

1

1

nn

Resp: a) C b) D c) C d) C e) No conclui

2.5.3. Teste de Raiz n-sima ( Cauchy)

Investigaremos a convergncia ou no da srie

1

, 0n nn

a a , utilizando seus

prprios termos.

Sejam 1 2 31

... ...nnn

a a a aa e lim nnn a L

i) Se 1L , ento

1

n

n

a

convergente.

ii) Se 1L , ento

1

n

n

a

divergente.

iii) Se 1L , ento o teste no conclusivo.

Lembrar: a) lim 1, 0,n

n a a

b)

lim 1n

n n

c)rrlim 1

n

n

ne

Exemplo.6:

a)

1

1n

nn

. Temos que 1

n na n e

1lim limn n

nnn n

an

L

1 1

lim lim 0 ( 1).n nn n nn

Logo, por (i) a srie convergente.

13

b)

1

2 1n

n

n

n. Temos que

2 1n

nn

an

e lim n nnaL

2 1 2 1 2

lim lim lim 2 ( 1).n

nn n n

n n n

n n n Logo, por (ii) a

srie divergente.

EXERCCIOS 2.5:

Verifique pelo teste da razo a convergncia (C) ou no (D) das sries:

a)

1

. n

n

n e b)

12 1

n

n

n

n

c)

1

2 n

n

nn

d)

1

(ln )

3

n

nn

n e)

1

1. ln

n

n

nn

n

f)

1

, 0

n

aa

n

Resp: a) C b) C c) C d) D e) No conclui f) No conclui

2.5.4. Teste da Integral Imprpria

Consideremos f uma funo de valores positivos, decrescente e contnua para toda varivel x maior ou igual a 1.

A srie infinita

1

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

n

f n f f f f n :

i) Convergente se a integral imprpria 1

( )f x dx for convergente.

ii) Divergente se a integral imprpria 1

( )f x dx for divergente.

Exemplo.7:

Verifique se

2

ln( 1)

1n

n

n

convergente ou divergente. Temos .ln( 1)

1( )

n

nnf

Seja 2

: [2, [ , ( ) ( ) .f x f x dxf

A funo f :

de valores positivos, pois sendo 2x , tem-se 1 3x e ln(x + 1) > 1.

decrescente, pois 21 ln( 1)

'( ) 0( 1)

xf x

x. V-se que

2( 1) 0x e, tambm,

1 ln( 1) 0x , uma vez que ln( 1) 1x .

contnua, pois derivvel em [2, [ .

14

Observamos que:

A

A2 2

ln( 1) ln( 1)lim

1 1

x xd x d x

x x. Sendo ln( 1)t x , temos

1

1d t d x

x e, da, p/x = 2 tem-se ln3t . Substituindo acima, segue que

B22 2 2

B B

B A

2ln3ln3

A A2lim lim

1 1lim ln ( 1) lim ln (A 1) ln (3)

2 2

td tt x

Portanto, a integral imprpria divergente .

Concluso: A srie

2

ln( 1)

1n

n

n divergente.

EXERCCIOS 2.6:

Verifique pelo teste da integral a convergncia (C) ou no (D) das sries:

a)

1

. n

n

n e b)

2

1

. n

n

n e

c)

1

1

nn

d)

1

3ln

n

n

n e)

2

1

.2 n

n

n

f) 3

1

1

n n

Resp: a) C b) C c) D d) C e) C f) D

2.6. Sries Alternadas

Estudaremos as sries da forma:

1 2 3

1

1 1( ) ... ( ) ... , 0.nn nn n

n

a a a a a a

1 2 3

1 1

1

1 1( ) ... ( ) ... , 0.nn nn n

n

a a a a a a

2.6.1. Teste de convergncia de srie alternada (Leibniz)

Seja 1 2 31

... ...n nn

u u u u u uma srie.

Se i) os termos da srie so alternadamente positivos e negativos,

ii) *

1 , , ennu u n

iii) lim 0,nnu

ento

1

n

n

u convergente.

15

Exemplo.8:

Verifique se

1

1

1( ) n

nn

convergente ou divergente.

Temos:

1

1

1( ) 1 1 1 1 11 ...

2 3 4 5 6

n

nn

i) v-se que os termos da srie so alternadamente positivos e negativos,

ii) *

1

( 1) 1 11 1( ) 1 1 ( )

, , e1 1

nn

n n

u u nn n n n

iii)

11( ) 1

0.lim limn

n nn n

Ento, a srie

1

1

1( ) n

nn

convergente.

EXERCCIOS 2.7:

Verifique pelo teste da srie alternada a convergncia (C) ou no (D) das sries:

a)

1

( 1)2

.n nn

n b) 2

1

1

( 1) .3 1

n

n

n

n

c)

1

e( 1)

nn

nn

Resp: a) C b) C c) D (ver Teorema 2)

2.6.1. Convergncia absoluta e condicional

Seja 1 2 31

... ...n nn

u u u u u uma srie alternada.

Diz-se que:

1

n

n

u absolutamente convergente se 1

n

n

u for convergente

1

n

n

u condicionalmente convergente se :

a)1

n

n

u for divergente e

b)1

n

n

u for convergente (Leibniz)

EXERCCIOS 2.8:

Verifique a convergncia absoluta (CA) e condicional (CC) das sries:

16

a)

1

( 1)2

.n nn

n b)

1

1

1( 1) .n

nn

c)

1

1

!( 1) n

n

n

n

n d)

2

1

3

( 1)

4

n

n n

Resp: a) CA b) CC c) CA d) CC

3. SRIES DE POTNCIAS

Consideraremos

0 1 22

0

( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn nn

c x a c x a c x a c x ac

, onde x ,

a e nc coeficientes dependentes de n , como sries de potncias.

Nota: Atribuindo-se valores a x, teremos sries numricas. Queremos identificar os valores de x que tornam as sries convergentes ou divergentes.

Se ,x a 0 00

( ) 0 0 ... 0 ...nnn

c x a Sc c (finito) a srie

convergente.

Exemplo.9:

1) Quais valores de x tornam

1

1

1( )

.2n

nn

n

xn

convergente ?

Temos que a = 0.

Teste da razo:

1 1.

2( 1) 2lim lim

n

nn n

a nx x

a n

A srie absolutamente convergente se 1

12

x , isto , 2 2.x

A srie divergente se 1

12

x , isto , 2 ou 2.x x

Se 2x , temos: 1 1

1 1

1 1( ) ( ) 1 1 12 1 ...

.2 2 3 4n

n nn

n nn n

cond/conv.

Se 2x , temos: .21 1

1 1

1 1( ) ( ) 1 1 1( 2) 1 ...

.2 2 3 4n

n nn

n nn n

srie divergente.

Concluso:

2 2 x

divergente abs. convergente divergente

divergente cond.conv

Intervalo de convergncia : ] 2, 2].

17

Temos que a = 0 o centro do intervalo de convergncia e R = 2 o raio de

convergncia.


0!

n

n

x

n

convergente ?

Temos que a = 0.

Teste da razo:

1 10 ( 1) , .

1lim lim

n

nn n

ax x

a n

Logo, a srie absolutamente convergente para todo x real

Intervalo de convergncia: I = e Raio de convergncia R =+ .


0

! n

n

n x

convergente ?

Temos que a = 0.

Teste da razo:

1( 1) ( 1) , .lim lim

n

nn n

na

x xa

Logo, a srie divergente para todo x real, 0x .

Intervalo de convergncia: I = {0} e Raio de convergncia R = 0 .

Observao:

O raio de convergncia pode ser obtido por 1

R = limn

nn

c

c

EXERCCIOS 2.9:

1) Obter o intervalo de convergncia das sries:

a) 2

0 2

n

n

x

n b)

1

.( 2)n

n

n x

c)

1

1( 5) n

n

xn

Resp: a) [ 1, 1 ] b) ]1, 3 [ c) [ 4, 6 [

2) Defina uma funo a partir de :

a)

0

n

n

x

b)

0

1( ) n n

n

x c) 2

0

n

n

x

Resp. a) :] 1, 1 [ ,f

1( )

1f x

x

b) :] 1, 1 [ ,f

1( )

1f x

x

c) :] 1, 1 [ ,f

2

1( )

1f x

x

18

4. SRIES DE TAYLOR E MAcLAURIN

Dada uma funo : A , A ,f ( )y f x , queremos escrev-la como uma srie de potncias, com possvel restrio de domnio.

4.1. Srie de Taylor

0

( ) ( ) nnn

f x c x a , sendo ( ) ( )

!

n

nf a

cn

e I ] R, R [a a .

Assim, ( )

2 3' ( ) '' ( ) ''' ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1! 2! 3! !

nnf a f a f a f a

f x f a x a x a x a x an

Exemplo.10:

Encontre a srie de Taylor para : , ( ) sen( )f f x x , em 2

a .

Devemos ter:

( )1 2

2 2 2

2 2 2 2

' ''

sen( ) ... ...1! 2! !

nnf f f

x f x x xn

onde ( ) sen( )f x x 2 2

sen 1f

'( ) cos( )f x x 2 2

' cos 0f

''( ) sen( )f x x 2 2

'' sen 1f

'''( ) cos( )f x x 2 2

''' cos 0f

( )4 ( ) sen( )f x x ( )4

2 2sen 1f

. .

. .

. .

Substituindo os valores na sentena acima, temos

1 2 3 4

2 2 2 2

0 1 0 1sen( ) 1 ...

1! 2! 3! 4!x x x x x

2 4 2

2 2 22

1 1 ( 1)sen( ) 1 ... ...

2! 4! ( )!

nn

nx x x x

19

4.2. Srie de MacLaurin

0

( ) ( ) nnn

f x c x , sendo ( )

0( )

!

n

nf

cn

e I ] R, R [ .

Assim,

( )

2 30 0 0 00

' ( ) '' ( ) ''' ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1! 2! 3! !

nnf f f f

f x f x x x xn

Exemplo.11:

Encontre a srie de MacLaurin para : , ( )xf f x e (em 0a )

( )1 2'(0) ''(0) (0)(0) ( 0) ( 0) ... ( 0) ...

1! 2! !

nx nf f fe f x x x

n

onde ( )xf x e

0(0) 1f e

'( )xf x e

0'(0) 1f e

''( )xf x e

0''(0) 1f e

'''( )xf x e

0'''(0) 1f e

( )4 ( ) xf x e ( ) 04 (0) 1f e

. .

. .

Substituindo os valores na sentena acima, temos

1 2 3 41 1 1 11 ...

1! 2! 3! 4!( ) ( ) ( ) ( )xe x x x x

1 4

0

2 31 1 1 1 11 ...

1! 2! 3! 4! !n

x ne x x x x x

n

EXERCCIOS 2.10:

1) Encontre a srie de Taylor para *: ,f 1

( )f xx

em a = 1.

Pede-se, ainda, o intervalo de convergncia da srie e definio de f restrita a srie.

2) Encontre a srie de MacLaurin para : ,f ( ) sen( )f x x .

Resp. 1)

0

1( 1) ( 1) , ]0, 2[ e

nn

n

x xx

21: ]0, 2[ , ( ) 1 ( 1) ( 1) ...f f x x x

x

2)

3 5 7 2 1

1

: , ( ) sen( ) ...3! 5! 7! (2 1)!

n

n

x x xf f x x x

n

x

BIBLIOGRAFIA

Barboni, Ayrton e Paulette, Walter Fundamentos de Matemtica Clculo e Anlise

Clculo Diferencial e Integral a Duas Variveis Rio de Janeiro LTC 2009 .

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