Sequências e Séries de Funções

7/25/2019 Sequncias e Sries de Funes

1/18

Sequncias de funes

Uma sequncia de funes uma sequncian

fn , onde cada fn uma

funo.

Exemplo: Considere A= [0, ) e fn:A R dadas por fn (x )=x

n , cujos

gr!cos dos qua"ro primeiros "ermos so:

Seja fn uma sequncia de funes de!nidas em A . #ara cada xA ,

podemos considerar a sequncia numrica de "ermo geral fn(x) . Seja B o

conjun"o de "odos os x , xA , para os quais a sequncia numrica f n(x)

con$erge. #odemos, en"o, considerar a funo f :B R dada por:

f(x )= limn +

fn(x ) .

%iremos, en"o, que fn con$erge a f em B .

&uando di'emos que a sequncia de funes fn con$erge a f em B , is"o

signi!ca que, para "odo xB e para "odo ()*, exis"e n0 +que pode

depender de x e de "al que

n>n0

|fn (x )f(x )|


2/18

-is"o isso, se a sequncia de funes fn con$ergir uniformemen"e a f em

B , a sequncia numrica fn(x) con$ergir a f(x) , is"o ,

f(x )= limn+ fn(x ) , x

B .

condio /para "odo xB ,

n>n0

|fn (x )f(x )|n0

f(x )


3/18

limn +

fn(x )=f(x )

4nde

f(x )={0 se1


4/18

|xx0|


5/18

f(x )= limn +

fn(x )

onde cada fn supos"a con"6nua em [a ,b ] . 9es"as condies, se fn

con$ergir uniformemen"e a f em [a ,b ] , en"o

b

a

f(x ) dx= limn +

a

b

fn(x ) dx

ou seja,

fn(x )

limn + dx= limn+a

b

fn (x ) dx .

a

b

5 poss6$el pro$ar que o "eorema acima con"inua $lido se a 2ip"ese / fn

con"6nua em [a ,b ] 0 for sus"i"u6da por / fn in"egr$el em [a ,b ] 0.

Seja f: [a ,b ] R dada porf(x )= lim

n +fn(x ) onde cada fn in"egr$el em

[a ,b ] . Se

a

b

f(x ) dx limn +

a

b

fn(x ) dx

en"o a con$ergncia defn

af

no uniforme em[a ,b ]

.

#ara demons"rar o "eorema =, precisamos pro$ar que dado ()* exis"e um

na"ural n0 "al que

?. n>n0|

a

b

fn (x ) dxa

b

f(x ) dx|


6/18

%a 2ip"ese e do "eorema an"erior segue que f con"6nua em [a ,b ] 7 logo,

in"egr$el em [ a , b ] . 3emos

@. |ab

fn (x ) dxa

b

f(x ) dx|

a

b

fn (x )f(x )dx .

Como fn con$erge uniformemen"e a f em [a ,b ] , dado ()*, exis"e um

na"ural n0 "al que, para "odo x[a , b] ,

A. n>n0fn(x )f(x )

ba .

par"ir das expresses @ e A, "emBse ?.

4s s6molosd

dx elim

n +,

com ase nas condies su!cien"es apresen"adas

no prximo "eorema.

3eorema >: Seja fn uma sequncia de funes de classe C1

no in"er$alo I

e sejam f e g funes de I em R dadas por

f(x )=limn +

fn(x )

e

g (x )= limn +

f 'n(x)

9es"as condies, se a sequncia de funes f 'n con$ergir uniformemen"e a

g em I , en"o, para "odo xI ,

f' (x )=g (x ) ,

ou seja,

( limn +

fn

(x )

)'= lim

n+f

'

n

(x ).


7/18

-ale ressal"ar que, para es"e "eorema, no se exige que fn con$irja

uniformemen"e a f 7 o que se exige a con$ergncia uniforme de f 'n a g

em I .

#ara se demons"rar es"e "eorema, seja x0I , com x0 !xo. #ara "odo xI ,

x

0

x

g ( t)dt= limn +

x

0

x

f'

n(t) dt

pois, por 2ip"ese, f 'n con$erge uniformemen"e a g no in"er$alo de

ex"remos x0e x +"eorema an"erior apresen"ado e a 2ip"ese de f 'n con$ergir

uniformemen"e a g em I 1. Como

x

0

x

f'

n ( t) dt=fn(x )fn(x0)

resul"a,

x0

x

g ( t)dt= limn + [fn (x )fn(x0 )]=f(x )f(x0 ) ,

ou seja,

f(x )=f(x0 )+x

0

x

g ( t) d t , xI .

Como g con"6nua em I , pelo "eorema fundamen"al do clculo,

f' (x )=g(x )

para "odo xI .

Cri"rio de Cauc2 para Con$ergncia uniforme de uma sequncia de funes.


8/18

Uma sequncia de funes fn con$erge uniformemen"e, em B , D funo

f: B R dada por

f(

x)=

limn +

fn(

x)

se, e somen"e se, para "odo ()* dado exis"ir um na"ural n0 "al que, quaisquer

que sejam os na"urais n e m e para "odo xB ,

n>n0e m>n0

|fn(x )fm (x )|


9/18

Sries de funes

Uma srie de funes uma srie n=0

+

fn 4nde cada fn uma funo,

di'emos que a srie con$erge, em B , D funo s :B R se, para cada

xB ,

s (x )=n=0

+

fn(x)

o que signi!ca que, para cada xB ,

s (x )= limn+

k=0

n

fk(x )

funo s=s(x) , dada por s (x )=n=0

+

fn(x) , denominaBse soma da srie

n=0

+

fn .

Exemplo: SaeBse que, para "odo x , com |x|


10/18

srie de funes k=0

+

fk con$erge uniformemen"e, em B , D funo

s :B R se, para "odo ()* dado, exis"ir um na"ural n0 "al que, para "odo

xB ,

n>n0|k=0

n

fk(x )s (x )|n>n0|k=0

m

fk(x)k=0

n

fk(x )|


11/18

9es"as condies, se a srie k=0

+

Mk for con$ergen"e, en"o a srie k=0

+

fk

con$ergir uniformemen"e, em B , D funo s (x )=k=0

+

fk(x) .

%emons"raBse es"e cri"rio ado"ando, por 2ip"ese, k=0

+

Mk con$ergen"e, pelo

cri"rio de Cauc2 para sries numricas, dado ()* exis"e um na"ural n0 "al

que, quaisquer que sejam os na"urais m e n

m>n>n0 |Mn+1+Mn+2++Mn|n>n0 ,

|k=0

m

fk(x )k=0

n

fk(x )|=|fn+1 (x )+ fn+2(x )++fm(x )||fn+1 (x )|+|fn+2(x )|++ fm(x )

e, por"an"o, de e da 2ip"ese segue

|k=0

m

fk(x )k=0

n

fk(x )| Mn+1+Mn+2++Mm


12/18

s (x )=k=0

+

fk(x)

Se a srie de funes k=0

+

fk con$ergir uniformemen"e a

s

, emB

, e se

cada fk for con"6nua em x0B , en"o s ser con"6nua em x0 .

3eorema = +Jn"egrao "ermo a "ermo1: Seja s=s (x ) , x[a , b ] , dada por

s (x )=k=0

+

fk(x)

Se cada fk for con"6nua em [a ,b ] e se a srie k=0

+

fk(x ) con$ergir

uniformemen"e a s em [a ,b ] , en"o

a

b

s (x )dx=k=0

+

a

b

fk(x ) dx

ou seja,

a

b

[k=0

+

fk(x )]dx=k=0

+

a

b

fk(x ) dx

3eorema > +%eri$ao "ermo a "ermo1: Seja s :I R , I in"er$alo, dada por

s (x )=k=0

+

fk(x)

Se cada fk for de classe C1

em I e se a srie k=0

+

f 'k con$ergir

uniformemen"e em I , en"o, para "odo xI ,


13/18

s'(x )=

k=0

+

f'

k(x)

ou seja,

(k=0

+

fk(x ))'

=k=0

+

f'

k(x)


14/18

plicaes

Kodelo "ermodinLmico de um amien"e com sis"ema de clima"i'ao

Uma sequncia discre"a no "empo x ( t) ,t=0,1, pode ser desen$ol$ida em

"ermos de um conjun"o de funes or"onormais j(t), j=1,2 , se possuir

energia !ni"a, ou seja, se

t=0

x2 ( t)


15/18

B insuNamen"o7

tat# B a"raso de "ranspor"e nos du"os7

$sen B "axa de gerao de calor sens6$el no amien"e clima"i'ado7

m&ap B "axa de gerao de umidade no amien"e clima"i'ado.

#ara que a equao diferencial seja linear e de primeira ordem, assumeBse que ocompor"amen"o dos Nuidos ideal, que as mis"uras de Nuidos so 2omogneas eimedia"as, que os processos "ermodinLmicos que ocorrem no in"erior doamien"e so adia"icos, e que o processo no apresen"a compor"amen"osincer"os ou $arian"es no "empo. Es"as 2ip"eses no se $eri!cam na pr"ica, mas

a discre"i'ao da equao diferencial an"erior permi"e u"ili'ar o esquema KI%+Mixed Logical Dynamical1 para a modelagem do amien"e clima"i'ado. #or ou"rolado, a es"imao dos coe!cien"es do desen$ol$imen"o or"onormal do amien"eclima"i'ado permi"e que os erros de modelagem de$idos Ds simpli!caes"ericas sejam parcialmen"e compensados. Jncer"e'as no modelo do amien"eso consideradas em seo pos"erior.

dmi"indoBse que a umidade amien"e es" em equil6rio, a equao diferencialan"erior pode ser reescri"a como

am

CA

d

dt!

Aam

(t)=f

CA

[!

A"n (tt

at# )!

Aam

( t)

]+$

sen

( t)

4s parLme"ros de proje"o u"ili'ados nes"e exemplo so

am=25.000 m , f=2.500 m /m"n , CA=1.005 OPQgRC e

$sen( t) ) [5 *12 ]+106

/m"n . "axa de gerao de calor sens6$el no amien"e

clima"i'ado, $sen(t) , pode ser es"imada implemen"andoBse um oser$ador de

es"ados. Js"o permi"e considerBla no proje"o de con"role como uma per"urao

mensur$el +feed-forward1. Sendo assim, considerandoBse cons"an"e o Nuxo de

insuNamen"o, f , o con"role da "empera"ura do ar amien"e, !Aam(t) ,

reali'ado ajus"andoBse a "empera"ura do ar de insuNamen"o, !A"n(ttat#) . Es"a,

por sua $e', a"ua no sis"ema aps um de"erminado a"raso de "ranspor"e, tat# ,

de$ido aos du"os do su sis"ema de $en"ilao.

%iscre"i'andoBse o modelo an"erior com in"erpolao linear e per6odo de

amos"ragem - ts , o"mBse:


16/18

amCA [ !Aam( t+1 )!Aam(t)- ts ]= fCA [!A"n(ttat#- ts )!A am( t)]+$sen(t)

4 que implica

!Aam( t+1 )=amf - ts

am!Aam( t)+

f - ts

am!A"n ( tk)+

- ts

amCA$sen(t)

com tat#=k - ts . 9es"e exemplo, consideraBse o per6odo de amos"ragem

- ts=4m"n . "ransformada da equao D diferenas an"erior dada por

!Aam()=

f - tsk

am

am f - ts

am

!A"n ( )+

- ts

amCA

am f- ts

am

$sen()

9o"e que, "eoricamen"e, as dinLmicas do amien"e com sis"ema de clima"i'ao"m a mesma cons"an"e de "empo. %eno"andoBse:

!Aam( t)=y (t) ,

!A"n ( t)=/1( t) ,

$sen( t)=/2(t) ,

onde a en"rada /1(t) uma $ari$el manipulada e a en"rada /2(t) uma

$ari$el oser$ada, a equao D diferenas que descre$e o compor"amen"o da"empera"ura do ar amien"e pode ser reescri"a como

y (t)=01 f - ts/am101 ( amf- ts )/am

0k

/1( t)+01 - ts/( amCA )

101 (amf- ts ) /am/2(t)

ou compac"amen"e

y (t)=11(01) /1( t)+12(0

1 )/2(t)

4 modelo or"onormal do amien"e com sis"ema de clima"i'ao dado por


17/18

y (t)=k=1

2

C1k31k(0

1 ) /1( t)+

k=1

2

C2k32k( 0

1 ) /2( t)

ssumeBse a exis"ncia de erros de modelagem e de ru6do de medio. Js"o

implica que, apesar de as dinLmicas 11 ( 01 ) e 12(01) apresen"arem a mesma

cons"an"e de "empo, os respec"i$os desen$ol$imen"os or"onormais u"ili'aro

diferen"es ases, 31(01) e 32(0

1) . 4 a"raso de "ranspor"e en"re a "empera"ura

do ar de insuNamen"o e a "empera"ura do ar amien"e pode ser asor$ido peloscoe!cien"es das expanses or"onormais duran"e o procedimen"o de es"imao ou

pode ser considerado explici"amen"e na en"rada /1(tk) . escol2a de$e ser

fei"a "endoBse em $is"a a qualidade da informao dispon6$el acerca do $alor de

k . 4 modelo an"erior pode ser escri"o de forma equi$alen"e como

41 ( t+1 )=A1 41 ( t)+ 1

2b1/1(t)

42( t+1 )=A2 42( t)+ 1

2b2/2(t)

y (t)=k=1

2

(1k41 k(t)+k=1

2

(2k42k( t)

ou, simplesmen"e,

41( t+1 )=A1 41( t)+ 1

2b1/1(t)

42 ( t+1 )=A2 42 ( t)+ 1

2b2/2(t)

y (t)=(1!

41(t)+(2!

42(t)

4s pares + A1 ,b 1 1 e + A2 , b2 1 so funes dos polos escol2idos para

represen"ar cada dinLmica. 4s $e"ores (1 e (2 de$em ser es"imados. 4 modelo

an"erior pode ser reescri"o compac"amen"e na forma ma"ricial


18/18

[41(t+1 )42(t+1 )]=[ A1 02+202+2 A2] [41(t)42(t)]+ 12 [ b1 02+102+1 b2] [/1( t)/2 ( t)]

y (t)=[ (1

!

(2!

][41(t)42(t)]

inalmen"e, o modelo or"onormal do amien"e clima"i'ado dado por

4 (t+1 )=A4 ( t)+ 1

2b/ (t)

y (t)=(!4( t)

Sequências e Séries de Funções

Documents

Transcript of Sequências e Séries de Funções