ISSN 2176-1396

SEQUÊNCIAS, GEOMETRIA FRACTAL E EXPRESSÃO GRÁFICA

Keilla Cristina Arsie Camargo1 - CEASL

Simone da Silva Soria Medina2 - UFPR

Grupo de Trabalho - Educação Matemática

Agência Financiadora: CAPES

Resumo

Neste trabalho vamos explorar alguns conceitos relacionados ao ensino de sequências

numéricas para o Ensino Médio e apresentar alguns dos resultados obtidos em sala de aula a

partir de atividades que relacionam formas de representação gráfica em seu escopo. Este

trabalho faz parte das atividades programadas e desenvolvidas junto ao Projeto Matemática do

Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência da Universidade Federal do

Paraná - PIBID/UFPR/Matemática e aplicado junto ao Colégio Estadual Altair da Silva Leme,

parceiro do referido Projeto. Quando trabalhamos com a representação e a visualização de

conteúdos matemáticos, podemos auxiliar o desenvolvimento da habilidade de nossos alunos

de generalizar, de abstrair, de buscar regularidades (padrões) que existem em muitos

fenômenos naturais ou ainda criados pelo homem. Esta habilidade é muito importante na

compreensão de alguns conceitos matemáticos. Falamos aqui de uma possível introdução ao

conteúdo de sequências no Ensino Médio, que precede o estudo de progressões aritméticas.

Os livros didáticos enfocam o estudo das progressões (aritméticas ou geométricas), porém o

aluno necessita fazer observações anteriores a este conteúdo, por exemplo, de quantidades e

padrões geométricos, suas características e regularidades, e como podemos fazer relações com

os números. Exploramos também nas atividades propostas as propriedades de alguns fractais

geométricos, introduzindo assim junto ao ensino de sequências o estudo de uma das

Geometrias não Euclidianas preconizadas pelas Diretrizes Curriculares de Matemática do

Estado do Paraná: a Geometria Fractal. Concluímos que, se o aluno tiver a oportunidade de

observar diferentes padrões poderá chegar às generalizações matemáticas necessárias com um

maior entendimento e apropriação do conteúdo, ou seja, utilizando representações por meio

da linguagem algébrica coerentemente.

Palavras-chave: Sequências. Regularidades. Fractais. Expressão Gráfica.

1 Mestre em Educação em Ciências e em Matemática pela UFPR. Professora do Colégio Estadual Altair da Silva

Leme - Colombo - Paraná - Brasil e Supervisora do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência -

PIBID/UFPR/Matemática. E-mail: keillacamargo@gmail.com. 2 Doutora em Ciências Geodésicas pela UFPR. Professora do Departamento de Expressão Gráfica da

Universidade Federal do Paraná (UFPR). Coordenadora de Área do Programa Institucional de Bolsas de

Iniciação à Docência- PIBID/UFPR/Matemática. E-mail: moni@ufpr.br.

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Introdução

Segundo Du Satoy (2013), por toda a história, a espécie humana luta para entender as

leis fundamentais do mundo material. Nós nos aventuramos para descobrir as regras e os

padrões que determinam os objetos que nos rodeiam e sua complexa relação conosco e entre

si. Nosso mundo é feito de padrões e sequências. Eles estão à nossa volta, por exemplo, o dia

se torna noite, paisagens são frequentemente alteradas, animais estão em constante mutação.

Um dos motivos que contribuíram para o início da Matemática foi a busca pelo entendimento

do sentido destes padrões naturais. Os conceitos mais básicos da Matemática, espaço e

número estão arraigados em nosso cérebro. O homem se apropriou destes conceitos básicos e

começou a construir as bases da Matemática. Em algum ponto, o homem passou a identificar

padrões e fazer conexões para contar e ordenar o mundo e com isso um novo universo

matemático começou a surgir.

Nesta busca por padrões a Expressão Gráfica se faz presente, pois podem ser usados

diferentes tipos de imagens, gráficos, ícones, desenhos, códigos visuais entre outros para

representar muitas sequências. A Expressão Gráfica estuda estas formas de representação, na

busca de apresentar, visualizar, comunicar ideias e conceitos, diversificando a linguagem.

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática (2008), o estudo das

sequências e mais especificamente das progressões aritméticas e geométricas, faz parte do

conteúdo estruturante Funções do Ensino Médio. As abordagens destes conceitos:

[...] devem ser ampliadas e aprofundadas de modo que o aluno consiga identificar

regularidades, estabelecer generalizações e apropriar-se da linguagem matemática

para descrever e interpretar fenômenos ligados à Matemática e a outras áreas do

conhecimento. O estudo das Funções ganha relevância na leitura e interpretação da

linguagem gráfica que favorece a compreensão do significado das variações das

grandezas envolvidas (p. 59).

Diz ainda o documento que, ao estudar as sequências, é preciso generalizar as ideias

para a determinação de expressões gerais e reconhecer particularidades que remetam,

especialmente, aos conceitos de progressões aritméticas e geométricas.

Pretendemos, com este trabalho, fazer este caminho: buscar padrões a partir de certas

sequências, especialmente àquelas referentes a alguns fractais geométricos e de suas

representações para auxiliar neste processo de fazer abstrações e generalizações, habilidades

tão importantes no fazer matemático, buscando na Expressão Gráfica um meio para facilitar a

compreensão dos conceitos, ou seja, “tendo como ferramenta elementos gráficos que motivem

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o seu aprendizado e a visualização dos seus conceitos, explorando as informações que são

transmitidas por meio das imagens” (CAMARGO, 2012, p. 90).

Sobre a metodologia, trabalhamos com duas turmas de 1º ano do Ensino Médio do

Colégio Estadual Professor Altair da Silva Leme, localizado na cidade de Colombo – PR,

sendo este uma das instituições parceiras do Projeto Matemática do Programa Institucional

de Bolsas de Iniciação à Docência da Universidade Federal do Paraná -

PIBID/UFPR/Matemática. Apresentamos alguns tipos de sequências geométricas, motivando

a busca de padrões e generalizações feitas pelos alunos, preparando então para introduzir

conceitos da geometria fractal e a realização de atividades sobre fractais geométricos.

Sequências matemáticas

Sequência é definida como um encadeamento de fatos ou eventos que se sucedem no

espaço ou no tempo. Podemos perceber em nosso cotidiano que certos fatos ou eventos

seguem uma determinada ordem, ou seja, obedecendo a uma determinada sequência. Por

exemplo, os meses do ano, obedecem sempre a mesma ordem, Janeiro é o mês 1, Feveveiro é

o mês 2, Março é o mês 3 e assim por diante, até chegar em Dezembro que é o mês 12.

Verificamos então que uma sequência é uma sucessão de termos, podendo estes

termos serem palavras, objetos, ícones, números, etc. Em Matemática, os termos de uma

sequência normalmente são números e a este conjunto de números chamamos de sequência

numérica, podendo ser finita ou infinita. Em sala de aula apresentamos aos alunos as

sequências relacionadas aos números quadrangulares e triangulares, trazendo primeiramente,

alguns fatos históricos. Foi falado sobre Pitágoras, matemático ilustre, reconhecido

principalmente por causa do seu teorema sobre triângulos, porém outras descobertas são

creditadas a ele, como a dos números quadrados perfeitos.

Bellos (2011) cita que uma prática comum na antiguidade era contar pedrinhas (que

em latim significa calculus). Para criar um quadrado é preciso que as pedras fiquem dispostas

igualmente em linhas e colunas (Figura 1). Por exemplo, para compor um quadrado com três

linhas e três colunas, usamos nove pedrinhas. Pitágoras percebeu que existiam excelentes

padrões em seus quadrados. O quadrado de dois (4) era a soma de 1 e 3; o quadrado de 3 (9),

era a soma de 1, 3 e 5; o quadrado de 4 (16), a soma de 1, 3, 5 e 7, ou seja, o quadrado de um

número, era a soma dos primeiros n números ímpares. Podemos também chamar esta

sequência de números (1, 4, 9, 16...), de números quadrangulares.

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Figura 1: Números Quadrangulares

Fonte: Bellos (2011, p. 89)

Enzensberger (2005) apresenta alguns tipos de sequências, entre elas a dos números

triangulares (Figura 2). Cada elemento desta sequência forma triângulos e apresenta também

um padrão interessante: a partir do segundo termo, cada triângulo é formado somando o

número a que se refere a posição da fila com o termo anterior: o segundo tem 2 números a

mais, 1+2=3; o terceiro tem exatamente mais 3, 3+3 = 6; o quarto tem mais uma fileira de 4

números: 6+4 = 10. E temos a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45...).

Figura 2: Números Triangulares

Fonte: Enzensberger (2005)

Enzensberger (2005) ainda mostra o que acontece quando somamos dois números

triangulares seguidos: 1+3 = 4; 3+6 = 9; 6+10 = 16; 10 + 15 = 25. O que temos é a sequência

dos números quadrados perfeitos, ou a sequência de números quadrangulares (4, 9, 16, 25...).

Sequência de Fibonacci

Dando continuidade ao estudo das sequências, falamos sobre Leonardo Fibonacci,

matemático italiano que descreveu a sequência matemática que leva seu nome: sequência de

Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...). Tal sequência é infinita e constitui uma sucessão

de números inteiros e aparece em diversos fenômenos ou elementos da natureza ou ainda em

obras criadas pelo homem, como por exemplo, na concha do caramujo, nas sementes do

girassol (Figura 3), no rabo contraído do camaleão ou no Pantheon.

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Figura 3: Girassol e a Espiral de Fibonacci

Fonte: Zahn (2011)

Toda sequência pode ser escrita por meio de uma lei de formação que caracteriza

matematicamente a determinação de cada elemento desta sequência. A lei de formação da

sequência de Fibonacci é relativamente simples, onde cada elemento, a partir do terceiro, é

obtido a partir da soma dos dois anteriores. Podemos relacionar a Sequência de Fibonacci,

segundo Zahn (2011), com o Triângulo de Pascal3 (Figura 4).

Figura 4: Triângulo de Pascal e a Sequência de Fibonacci

Fonte: Zahn (2011, p. 11)

Enzensberger (2005) mostra que existe um padrão entre a sequência de Fibonacci e os

números quadrangulares: por exemplo, considere o quarto número de Fibonacci e determine

seu quadrado: 3 e 3² = 9. Agora, o mesmo com o próximo número: 5 e 5² = 25. Somando os

dois teremos 34. Outro número de Fibonacci. E este número está na nona posição (4+5). O

autor usa também o Triangulo de Pascal (Figura 5) para mostrar outras sequências.

3 Trata-se de uma disposição geométrica de números binomiais.

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Figura 5: Sequências no Triângulo de Pascal

Fonte: Enzensberger (2005, p. 134)

Depois de apresentada a imagem das sequências numéricas do Triângulo de Pascal,

começamos a instigar os alunos a relatarem quais sequências conseguimos obter: verificamos

que ao lado dos números 1, aparecem a sequência dos números naturais. Ao lado destas, os

números triangulares. Somando cada número das linhas, teremos a sequência das potências de

2: 1 (2°); 1+1 = 2 (2¹); 1+2+1 = 4 (2²); 1+3+3+1 = 8 (2³) e assim por diante: 16, 32, 64.

Somando cada número das diagonais, teremos a sequência de Fibonacci: 1, 1, 1+1 = 2, 2+1 =

3, 1+3+1 = 5, 3+4+1 = 8...

Se pintarmos os números ímpares no Triângulo de Pascal, temos o triângulo de

Sierpinski (Figura 6), o qual motivou a introdução da Geometria Fractal aos alunos.

Figura 6: Triângulo de Pascal e o Triângulo de Sierpinski

Fonte: Enzensberger (2005)

Geometria Fractal

Segundo Barbosa (2005), nas últimas décadas começou-se a investigar uma nova

Geometria. Ao estudo destas novas entidades geométricas foi dado o nome de Fractais, pelo

seu iniciador, Benoit Mandelbrot. Segundo Camargo (2012):

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A preocupação inicial foi de mostrar que a Matemática Pura abrangia uma vasta riqueza de possibilidades quando aplicadas às estruturas presentes na Natureza, pois

muitos fenômenos e formas que aparecem na Natureza não podem ser explicados

pela Matemática Tradicional, precisando de uma Matemática capaz de descrever

estes fenômenos e caracterizá-los (p. 74).

Barbosa (2005) acredita que o ensino da Geometria Fractal é necessário pelas

seguintes razões: é possível fazer conexões com várias áreas do conhecimento; é capaz de

modelar novas formas e assim possibilita o desenvolvimento de muitos projetos e atividades

relacionadas com outras disciplinas, ajudando na compreensão de fenômenos que ocorrem em

diferentes ambientes; muitos objetos fractais podem ser estudados em ambientes

computacionais, promovendo sua difusão e acesso e ainda promove a curiosidade e a

sensação de surpresa diante da “desordem ordenada”, entendendo que mesmo no caos é

possível encontrar regularidades.

Escolhemos alguns fractais geométricos, como o Triângulo de Sierpinski e a Curva de

koch, para explorar, em sala de aula, o conceito de sequências, promovendo a pesquisa de

padrões e regularidades e formulando generalizações.

Explicamos cada um deles, apresentamos imagens, vimos como são construídos e

então passamos a fazer as investigações sobre as sequências relacionadas a estes fractais, seu

termo geral, área, perímetro e dimensão fractal, porém, antes de iniciarmos a investigação

sobre estes fractais, propomos aos alunos algumas atividades sobre sequências de algumas

figuras que serão apresentadas nos resultados.

O Triângulo de Sierpinski (Figura 7) leva este nome em homenagem a Waclaw

Sierpinski, matemático polonês que o definiu. É obtido por meio de um processo iterativo de

divisão de um triângulo equilátero em quatro triângulos semelhantes. Verificamos que a

figura obtida é auto-semelhante, ou seja, que as partes da figura são cópias reduzidas de toda a

figura.

Figura 7: Triângulo de Sierpinski

Fonte: Barbosa (2005)

Segundo Barbosa (2005), pouco se sabe sobre Helge Von Koch, matemático polonês,

porém sabe-se que entre 1904 e 1906 publicou um trabalho sobre uma curva que leva o seu

nome: a Curva de Koch (Figura 8). Para construir uma Curva de Koch considera-se

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inicialmente um segmento de reta. Em seguida, divide-o em três partes iguais e sobre o terço

central constrói-se um triângulo equilátero sem considerar a sua base. E assim

sucessivamente.

Figura 8: Curva de Koch

Fonte: Barbosa (2005)

Algumas atividades e resultados apresentados pelos alunos

Apresentamos a seguir algumas das atividades que foram propostas e alguns

resultados obtidos pelos alunos. A primeira atividade (Ilustração 1 e Ilustração 2) foi

relacionada ao Triângulo de Sierpinski e a segunda (Ilustração 3 e Ilustração 4) à Curva de

Koch. Outra atividade apresentada foi relacionada a Curva de Peano (Ilustração 5 e

Ilustração 6). Na sequência aplicamos uma atividade desenvolvida (Ilustração 7 e

Ilustração 8), que foi adaptada da prova da 1ª fase da 10ª Olimpíada Brasileira de Matemática

das escolas Públicas - OBMEP. Seguindo o mesmo propósito apresentamos uma atividade

com a primeira e a segunda iterações de um pentaminó (Ilustração 9).

Ilustração 1: Atividade de Sequências com Triângulo de Sierpinski

Escreva a sequência (até o oitavo termo) que está relacionada ao número de segmentos do Triângulo de Sierpinski e complete a tabela a seguir:

Fonte: As autoras

Interação (nível) 0 1 2 3 n

Número de triângulos

Perímetro de cada triângulo

Perímetro total

Área

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Ilustração 2: Resposta da Atividade com Triângulo de Sierpinski

Fonte: As autoras

Ilustração 3: Atividade de Sequências com Curva de Koch

Escreva a sequência de número de segmentos da Curva de Koch e complete a tabela a seguir:

Fonte: As autoras

Ilustração 4: Resposta da Atividade com Curva de Koch

Fonte: As autoras

Interação (nível) 0 1 2 3 n

Número de segmentos

Comprimento de cada segmento

Comprimento total da Curva

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Ilustração 5: Atividade de Sequências com Curva de Peano

Desenhe a próxima iteração desta sequência:

Fonte: As autoras

Ilustração 6: Resposta da Atividade de Sequências com Curva de Peano

Fonte: As autoras

Ilustração 7: Atividade adaptada da 10ª OBMEP

Desenhe a próxima iteração desta sequência:

Fonte: As autoras

Ilustração 8: Resposta da Atividade adaptada da 10ª OBMEP

Fonte: As autoras

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Ilustração 9: Atividade de Sequências com Pentaminó

Fonte: As autoras

Considerações Finais

A realização destas atividades permitiu que os alunos conseguissem fazer

generalizações a partir das imagens dos fractais propostos, já fazendo a introdução sobre a

progressão geométrica cujo padrão consiste em multiplicar um número constante ao termo

anterior para a obtenção do próximo termo da sequência. Além disso os alunos fizeram as

generalizações que eram sugeridas a partir destas imagens, tornando este processo mais

acessível para eles. Este processo foi gradual, já que iniciamos este trabalho apresentando os

números triangulares e quadrangulares, seguindo pela Sequência de Fibonacci, onde os alunos

já foram motivados com as sequências geométricas e a busca por seus padrões, para então

falar de fractais. A representação gráfica dos fractais foi um recurso utilizado na busca de que

as informações contidas nas imagens utilizadas pudessem facilitar a compreensão dos

conceitos, permitindo que o próprio aluno gerasse a sua representação interna do

conhecimento a partir das representações visuais, fazendo a apropriação destes.

REFERÊNCIAS

BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal para sala de aula. Belo Horizonte:

Autêntica, 2005.

BELLOS, A. Alex no país dos números. São Paulo, Companhia das Letras: 2011.

CAMARGO, K. C. A. A Expressão Gráfica e o Ensino das Geometrias não Euclidianas.

144 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Setor de Ciências

Exatas, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2012.

DU SATOY, M. (2013). Os Mistérios dos números: uma viagem pelos grandes enigmas

da Matemática. Tradução George Schlesinger. Rio de Janeiro: Zahar.

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ENZENSBERGER, H. M. O diabo dos números. São Paulo: Companhia das Letras, 2005.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática. Curitiba: SEED,

2008.