Sequências numéricas

Laura Goulart

UESB

11 de Dezembro de 2017

Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 1 / 16

De�nição de sequência

Uma sequência numérica real é uma função a : N→ R no qual denotamos

por (an).

Seja (an) uma sequência numérica. Dizemos que (an) converge para um

número real L quando dado ε > 0, existe n0 tal que

∀n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.

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De�nição de sequência

Uma sequência numérica real é uma função a : N→ R no qual denotamos

por (an).Seja (an) uma sequência numérica. Dizemos que (an) converge para um

número real L quando dado ε > 0, existe n0 tal que

∀n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ε.

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que

anbn→ L1

L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L2

2 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que

anbn→ L1

L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que

anbn→ L1

L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L2

4 Se L2 6= 0 teremos queanbn→ L1

L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que

anbn→ L1

L2

5 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que

anbn→ L1

L25 |an| → |L1|

6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Propriedades

Sejam (an), (bn) sequências numéricas tais que an → L1 e bn → L2.Então:

1 an + bn → L1 + L22 can → cL1, onde c é uma constante real qualquer.

3 an · bn → L1 · L24 Se L2 6= 0 teremos que

anbn→ L1

L25 |an| → |L1|6 Se f uma função contínua real, então f (an)→ f (L1)

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Sequências Limitadas

Uma sequência (an) é limitada quando existe um número real M > 0 tal

que |an| ≤ M para todo n inteiro positivo. Ou ainda, existem números reais

M1,M2 > 0 tais que M1 ≤ an ≤ M2,∀n ≥ 1.

Teorema: Toda sequência convergente é limitada.

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Sequências Limitadas

Uma sequência (an) é limitada quando existe um número real M > 0 tal

que |an| ≤ M para todo n inteiro positivo. Ou ainda, existem números reais

M1,M2 > 0 tais que M1 ≤ an ≤ M2,∀n ≥ 1.

Teorema: Toda sequência convergente é limitada.

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Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é :

Crescente quando an < an+1;

Decrescente quando an > an+1;

Não decrescente quando an ≤ an+1;

Não crescente quando an ≥ an+1.

Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas

condições.

Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.

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Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é :

Crescente quando an < an+1;

Decrescente quando an > an+1;

Não decrescente quando an ≤ an+1;

Não crescente quando an ≥ an+1.

Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas

condições.

Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.

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Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é :

Crescente quando an < an+1;

Decrescente quando an > an+1;

Não decrescente quando an ≤ an+1;

Não crescente quando an ≥ an+1.

Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas

condições.

Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.

Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16

Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é :

Crescente quando an < an+1;

Decrescente quando an > an+1;

Não decrescente quando an ≤ an+1;

Não crescente quando an ≥ an+1.

Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas

condições.

Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.

Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16

Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é :

Crescente quando an < an+1;

Decrescente quando an > an+1;

Não decrescente quando an ≤ an+1;

Não crescente quando an ≥ an+1.

Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas

condições.

Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.

Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 5 / 16

Sequências Monótonas

Uma sequência (an) é :

Crescente quando an < an+1;

Decrescente quando an > an+1;

Não decrescente quando an ≤ an+1;

Não crescente quando an ≥ an+1.

Uma sequência é dita monótona quando ela satisfaz qualquer uma dessas

condições.

Teorema: Toda sequência limitada e monótona é convergente.

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Subsequências

Dado um subconjunto S de N de�nimos como subsequência de uma

sequência como sendo a sequência restrita a esse conjunto S e denotado

por (ank ).

Teorema: Se an → L então ank → L.

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Subsequências

Dado um subconjunto S de N de�nimos como subsequência de uma

sequência como sendo a sequência restrita a esse conjunto S e denotado

por (ank ).

Teorema: Se an → L então ank → L.

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Resultados importantes

1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então

anbn → 0.

2 Regra de L'Hospital para Sequências.

3 Teorema do Confronto para Sequências.

4 Se a sequência (an) converge para L, então

bn =a1 + a2 + . . .+ an

n→ L.

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Resultados importantes

1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então

anbn → 0.

2 Regra de L'Hospital para Sequências.

3 Teorema do Confronto para Sequências.

4 Se a sequência (an) converge para L, então

bn =a1 + a2 + . . .+ an

n→ L.

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Resultados importantes

1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então

anbn → 0.

2 Regra de L'Hospital para Sequências.

3 Teorema do Confronto para Sequências.

4 Se a sequência (an) converge para L, então

bn =a1 + a2 + . . .+ an

n→ L.

Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 7 / 16

Resultados importantes

1 Sejam (an) e (bn) sequências tais que an → 0 e (bn) é limitada. Então

anbn → 0.

2 Regra de L'Hospital para Sequências.

3 Teorema do Confronto para Sequências.

4 Se a sequência (an) converge para L, então

bn =a1 + a2 + . . .+ an

n→ L.

Laura Goulart (UESB) Sequências numéricas 11 de Dezembro de 2017 7 / 16