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SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 19/02/2004 ^ Assinatura: h/JjXL "Çg.̂ 0a' filrij?0^5> f /V /c7vt<a_.

Invariantes de germes do plano no plano1

Mariana Rodrigues da Silveira

Orientador: Profa. Dra. Roberta Godoi Wik Atique

Dissertação apresentada ao Inst i tuto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Área: Matemática.

U S P - São Carlos F e v e r e i r o / 2 0 0 4

1Este trabalho teve suporte financeiro da Fapesp proc: 01/12532-0

A Comissão Julgadora:

Profa. Dra. Roberta Godoi WikAtique

Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

Profa. Dra. Angela Maria Sitta

Aos meus pais

Agradecimentos

A Deus, meu eterno companheiro, que esteve comigo e me iluminou em todos os momentos, não deixando que eu desanimasse nos momentos difíceis e dividindo comigo os bons momentos.

À Prof. Roberta pelo incentivo, pelas sugestões e críticas, pela paciência, com-preenssão, dedicação e confiança.

Aos meus pais João Batista e Maria Hermínia, por me darem a vida, por serem pessoas maravilhosas nas quais me espelhei para criar meus valores e me tornar a pessoa que hoje sou, por me darem todo o apoio moral e financeiro e por me orientarem e rrie encorajarem erri todos os momentos da minha vida. Minha eterna gratidão!

Às minhas irmãs Marina e Joana, aos meus primos, tios e avós, que estiveram ao rrieu lado me apoiando e incentivando em todos os momentos. Ao meu avô Zezinho, meu exemplo de vida, de bondade, honestidade e força de vontade. Vô, queria que vc estivesse aqui!

Especialmente à minha tia Lúcia por todas as suas orações pelo meu sucesso. Obri-gada, tia Lu!

Aos meus amigos, aqueles que rrie acompanharam e me ajudaram de perto e aqueles que torceram por mim de longe, meus mais profundos agradecimentos. A minha turma Alex, Aline, Fábio, Grazielle, Ronaldinho, Flávia, Luci Any, Kelly e Érica pelo companheirismo, pelas conversas, pelos churrascos, pelo apoio e carinho. Aos meus queridos amigos Camila, minha irmãzinha do coração, e Fernando, meu anjo da guarda. Ao pessoal da minha salinha e aos meus amigos de Paraguaçu. Valeu, gente!

Aos meus professores, que rrie incentivaram e me orientaram, especialmente a Ires, o Biasi, o Wagner e o Ladeira.

Aos funcionários do ICMC por toda a a juda e atenção dispensada.

Enfim, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realização deste trabalho.

Muito Obrigada!

R e s u m o

O objetivo do trabalho é estudar os invariantes de germes de aplicações do plano no plano, que são: o número de cúspides (c(/)) e o número de dobras (d(f)) que aparecem no discriminante de uma perturbação estável do germe / . Além disso, mostramos que c ( f ) e d ( f ) são invariantes topológicos. No caso particular em que / é um germe de corank 1, encontramos fórmulas que simplificam o cálculo de c ( f ) e d ( f ) .

Abstract

In this work we deal with invariants for map germs from the plane to the plane. These invariants are the number of cusps (c(/)) and nodes (d(f)) that appear in the discriminant of a stable perturbation of the initial gerai / . We show also that c ( f ) and d ( f ) are topological invariants. Whcn / has corank 1 we present more sirnple formulas for c ( f ) and d ( f ) .

Sumário

Introdução ii

1 Teoria de Singularidades 1 1.1 Germes e ,4-equivalêricia 1 1.2 Espaço Tangente 3 1.3 Determinação Finita e Desdobramentos 9 1.4 Teorema da Preparação 11 1.5 Equivalência de Contato 13

2 Anéis de Cohen-Macaulay 15 2.1 Resultados Básicos de Álgebra Comutativa 15 2.2 Dimensão 17 2.3 Grade e Anéis de Cohen-Macaulay 18 2.4 Módulos Projetivos e o Teorema de Hilbert-Burch 20

3 Germes de Variedades Anal í t icas e Ideais de F i t t ing 23 3.1 Germes de Variedades Analíticas Complexas 23 3.2 O Anel Ox,o 25

3.3 Normalização 27 3.4 Intersecção Completa com Singularidade Isolada 28 3.5 Ideais de Fitting 28

4 Cúspides e N ó s de Germes de C2 e m C2 30 4.1 O invariante delta (5) 31 4.2 Cálculo de c { f ) e d { f ) 33 4.3 Germes de corank 1 47

Introdução

Uma questão relevante em teoria de singularidades é o estudo dos invariantes associados

a urri germe de aplicação holomorfa. O primeiro invariante que surgiu foi o número de

Milnor de um germe de uma função analítica / : (Cn ,0) —> (C,0). Este invariante pode

ser definido de várias maneiras. Algebricamente é definido por

O n [í - d im c j õ f — K J T \

\ dzi ' dz2 ' • • • ' dzn '

Sua finitude é uma condição necessária e suficiente para a determinação finita e, além

disso, ele aparece associado à geometria da singularidade em duas formas: como números

de pontos críticos de Morse em uma deformação estável e como o rank da homologia

média da fibra de Milnor de / . Na teoria de singularidades de germes de aplicações

/ : (Cn ,0) —> (Cp ,0) com p > 1, não se encontra um invariante assim tão completo.

Uma razão para isto está no fato que, enquanto para funções aparece apenas um tipo de

singularidade estável, ou seja, a singularidade de Morse, para p > l a complexidade da

classificação dos germes e multigermes estáveis aumenta corri n e p.

As singularidades de germes de aplicações do plano no plano foram primeiramente

estudadas por H. Whitney, em 1955 e, posteriormente, por J. Mather em 1970. Os

trabalhos de Whitney e Mather versam sobre singularidades estáveis. A classificação dos

germes simples de corank 1 (caso real ou complexo) foi obtida por J. Rieger em [21].

Quando um germe finitamente determinado não estável / : (C2 ,0) —» (C2 ,0) é per-

turbado de modo a se tornar estável, um certo número de cúspides, c( / ) , e dobras, d ( f ) , aparecem no discriminante, que é uma curva. Os números c ( f ) e d ( f ) refietem a com-

plexidade do germe inicial. Ainda, estes números são invariantes analíticos de / , isto é, se

/ e g são equivalentes por mudanças de coordenadas na fonte e na meta, então o número

de cúspides (respectivamente de dobras) de / e g coincidem. Em [4], T. Gaffney e D.

Mond apresentam fórmulas para calcular estes invariantes. Mais ainda, eles mostram que

ii

eles são, de fato, invariantes topológicos, o que leva a condições necessárias e suficientes

para trivialidade topológica de famílias de germes (C2 ,0) —> (C2 ,0). Ern [21], Rieger dá

uma fórmula para estes invariantes em termos da multiplicidade local e dos invariantes fj,

e 6 do conjunto dos pontos críticos. Finalmente, Gaffney e Mond, em [5], relacionam a

.Ae-codimensão do germe f corri c ( f ) e d ( f ) e o número de Tjurina do discriminante.

O objetivo desta dissertação é apresentar as fórmulas que Gaffney e Mond obtiveram

para c ( f ) e d ( f ) . Para o desenvolvimento deste trabalho são necessários conhecimentos

da teoria de singularidades e álgebra comutativa.

No capítulo 1 apresentamos alguns tópicos de teoria de singularidades tais como:

germes de aplicações holomorfas, a álgebra On, o módulo 0„ )P , y4-equivalência, espaço

tangente, determinação finita para germes, estabilidade de germes, equivalência de contato

e desdobramentos.

O objetivo da capítulo 2 é apresentar os Anéis de Cohen-Macaulay. Para tanto, de-

senvolvemos alguns tópicos de Álgebra Comutativa básicos, definimos dimensão, grade

e profundidade de um anel. Neste capítulo também abordamos o Teorema de Hilbert

Burch.

No capítulo 3 estudamos germes de variedades analíticas complexas. Definimos o anel

Ox,o, variedades de Cohen-Macaulay, normalização e intersecção completa com singula-

ridade isolada. Além disso, abordamos os ideais de fitting e exibimos um algoritmo para

calcular tais ideais quando / é um germe de aplicação (Cn, 0) —• (C n + 1 , 0).

O capítulo 4 constitue a parte principal desta dissertação. Nele, definimos os invari-

antes c { f ) e encontramos fórmulas para calculá-los e mostramos que c ( f ) e d ( f ) são

invariantes topológicos. Além disso, obtemos relações entre estes invariantes e o grau do

germe / . Finalmente, apresentamos fórmulas mais simples para o cálculo de c ( / ) e d ( f ) no caso particular em que o germe f tem corank 1.

m

Capítulo 1

Teoria de Singularidades

Neste capítulo abordamos alguns tópicos da teoria de singularidades necessários para

o desenvolvimento deste trabalho. Algumas demonstrações são omitidas As principais

referências são Gibson |10], Golubitsky |11], Martinet |18] e Wall |29|.

1.1 Germes e ^4-equivalência

Seja S = {.Ti, . . . .Xfc} C C". Consideremos o conjunto das aplicações holomorfas definidas

mima vizinhança aberta de S em Cn com valores em Cp . Introduzimos neste conjunto

a seguinte relação de equivalência: dadas / : U —> Cp e g : V —> Cp em tal conjunto,

dizemos que / e g são equivalentes se existe uma vizinhança aberta W C U H V de S tal

que f\w = g\w-

Definição 1.1.1 0 multigerme de uma aplicação holomorfa f : U —>• C1', onde U é uma vizinhança aberta de S C C", é a classe de equivalência de f segundo a relação de equi-valência definida acima. DenoiAimos o multigerme de f por f : (Cn,S) —> (Cp,y). Se S = {x}, esta classe de equivalência é chamada de germe, x é chamado de fonte do germe e y — f ( x ) é chamado de meta do germe.

Dados dois germes / : (C", x) (G°, y) e g : (Cp, y) (Cq, z) podemos obter o germe

/ o g : (Cn , x) (Cí;, z) tomando representantes convenientes de f e g, digamos / e de

forma que g o f esteja berri definida. O germe g o / é o germe de g o / .

A derivada do germe / : (C",x) —> (C p , y ) em x é a derivada em x de qualquer

representante de / . Notemos que esta definição independe da escolha do representante.

Dizemos que / : (C' \ x) —> ( 0 ' , y) é um germe de difeomorfismo se um de seus

representantes, e portanto todos, é um difeomorfismo local cm x.

1.1 Germes e .4-equivalência 2

Teorema 1.1.2 (Teorema da Função Inversa para Germes) Consideremos o germe j : (C",;/;) —>• (C'\ y). O germe f é de difeomorfismo se, e somente se, sua derivada dx f : C" —> Cp é um isomorfismo.

Definição 1.1.3 0 rank de um germe f : (Cn,x) —>• (C v , y ) 6 o rank da matriz de dxf e é denotado por rank f . O eorank: de f , o qual denotamos por- corank: f , é definido como sendo min{n,p} — rank f .

Consideremos o germe / : (C",x) —> (Cp ,y). Dizemos que / é germe de imersão se rank / = n e de submersão se rank f = p. O germe / é dito ser singular ou singularidade se não é submersão e nem imersão, ou seja, rank f < min{n,p}. Portanto, f é um germe de difeomorfismo se é germe de imersão e de submersão.

Definição 1.1.4 Dois germes j\ : (Cn,xi) -»• (Cp,yL) e f2 : ( C \ x 2 ) (Cp, j/2) são ditos serem A-equivalentes, e denotamos por fí /2; se existem germes de difeomorfi,smos cj) : (C",x'i) —> (C",:r2) e 'ij; : (Cp ,yi) —• (Cp,y2) para os quais o diagrama

( c s x O ^ M C V Í / O

0 '</>

é comutativo, ou seja, /2

Como consequência da Definição 1.1.4, temos que todo germe (C",x') —> (C p , y ) é ^.-equivalente a algum germe (C", 0) —> (0°,0).

O conjunto dos germes (Cn, 0) —(C p , y) é denotado por Orhp. Analogamente, pode-mos definir o conjunto dos germes / : (M™, 0) —> (W, y), que denotamos por £n j ) . Quando p = 1, denotamos por On e £n respectivamente. O conjunto dos germes de difeomorfismos de Ontn é um grupo com a operação de composição e é denotado por Diff(C") ou Dn.

Ternos que O n é um espaço vetorial complexo e possui estrutura de anel local. O ideal maximal de On é Mn = {g G On / 5(0) = 0}. Portanto, On é urna C-álgebra.

Analogamente, £n é um espaço vetorial real com estrutura de anel local e seu ideal maximal é Á4n

m = {g G £n / </(()) = 0}. Assim, £.n é uma M-álgebra. Notemos que On<p é um O,,-módulo livre. De fato, se / G Onã, então / = (/1, / 2 , . . . , /,,),

onde fi G On para 1 = 1, 2 , . . . , p. Logo C„iP ~ On © On 0 • • • © On. Analogamente, £n• C onde

cada uma das componentes fí} / 2 , . . . , fp é um polinómio de grau menor ou igual a k nas

1.2 Espaço Tangente 3

coordenadas x1,x2, • • • ,xn com termo constante nulo. Os elementos de Jk{n,p) são ditos A;-jatos.

Sejam / : U C C" —> C' uma aplicação holomorfa, onde U é um aberto de Cn e a e U. A expansão em série de potências de f(x + a) em torno de 0 é dada por

f(a) + dj.x + ^(iif.x2 + •••

Definição 1.1.5 Sejam f e On.p e k G Z, k > 1. 0 k-jato de f em a, denotado por Jkf(a), é definido por

daf-X + ™dlf.X2 + • • • + ^ </;;/.,•'

isto é, jkf(a) é a expansão em série de potências de f(x + a) - f(a) em tomo de 0 truncada no termo de grau k, onde f é um representante do germe.

1.2 Espaço Tangente

Definição 1.2.1 Sejam G um grupo e M um conjunto. Uma ação do grupo G no con-junto M é uma aplicação ip : G x M M (escrevemos p(g,x) — g.x) satisfazendo

1. l.x = X V.T G M, onde 1 é o elemento neutro de G,

2. (gh).x = g.(h.x) V.r;, h e G, x e M.

Uma ação induz uma relação de equivalência em M da seguinte forma: dados x, y 6 M, dizemos que x é equivalente a y se existe g E G tal que y = g.x. A classe de equivalência de x € M segundo esta relação de equivalência é chamada de órbita de x e é denotada por G.x — {g.x / g £ G}.

A yl-equivalência em On.p provém de uma ação. De fato, consideremos o grupo A = Diff(C") x Diff(Cp). Este grupo age em On.p da seguinte forma

A x On.p > On,p

(OM-O,/) ^ 4>ofo^

Logo, dois germes / , g e Onj) são ^4-c(iuivalontcs se, e somente se, f e g estão na mesma órbita segundo a ação acima.

Definição 1.2.2 Um grupo de Lie G é um grupo que c uma variedade diferenciãvel e as aplicações

(JR X G > G (JR > CSR

são de classe C00.

Definição 1.2.3 Urna ação de um grupo de Lie G numa variedade diferenciável M é uma ação cp : G x M —• M que é de classe C°°.

No que segue vamos definir uma relação de equivalência entre A"-jatos de maneira análoga à definida para germes.

Definição 1.2.4 Dois k-jatos / , g £ Jk(n,p) são ditos serem equivalentes se existem ) tais que jk{i> o f o f ' ) ( 0 ) = jkg(0).

A relação de equivalência definida acima provém de uma ação de um grupo de Lie na variedade Jk(n,p). De fato, consideremos o conjunto dos A.-jatos de elementos de Diff(C"). Este conjunto é um grupo com a seguinte operação:

3khm*jkh2(o)=:jk{}hoh2m

Denotamos este grupo por Dk. Este grupo é um conjunto aberto no espaço vetorial Jk(n,n). Portanto, é uma variedade diferenciável e o seu espaço tangente em qualquer ponto é Jh(ii,n). Logo, Dk é um grupo de Lie. Segue que Ak = Dk x Dk, que é o grupo dos A;-jatos de elementos de A, é um grupo de Lie, pois o produto cartesiano de grupos de Lie é um grupo de Lie. O grupo Ak age em Jk(n,p) da forma:

tp : Ak x Jk(n,p) — Jk(n,p) ( j V ( 0 ) , / V ' ( 0 ) , / ) ^ jk(it> 0 / 0 0 _ 1 ) ( o )

Em geral as órbitas de um grupo de Lie numa variedade1 não são subvariedades. No entanto, se supusermos que as órbitas são subvariedades, o resultado seguinte descreve o espaço tangente a uma órbita.

Proposição 1.2.5 Seja <p : G x M —• M uma ação de um grupo de Lie G numa, varie-dade M. Suponhamos que as órbitas em M segundo esta ação sejam subvariedades de M. Então, para todo x £ M, a aplicação : G G.x, dada por <px(g) = g.x, é uma submersão.

Demonstração Dado x £ M. mostremos primeiramente que a aplicação (px tem o mesmo rank em todo elemento de G. Para isto, basta mostrar que o rank de em qualquer h £ G coincide com o rank de no elemento neutro 1 de tí. Seja 0 : G G o difeomorfismo dado por 9(g) = hg e '0 : M M o difeomorfismo dado por 4>(y) = h.y.

Consideremos o diagrama

G G.x 0 l/'

Y Y

G —rr*- G.x •-p.1

Da definição de ação, este diagrama 6 comutativo. Aplicando a regra da cadeia obtemos o diagrama comutativo

/ ,</ ' ' • rj;..,

(li 0 íi.rV Y

ThG —— TxG.x "hf-i:

Como 9 e tp são difeomorfismos, d\9 e dxij> são isomorfismos e, portanto,

dim diipx(TiG) = dim dh<px(ThG)

Logo o rank de ipx em h é igual ao rank de ipx em 1. Basta mostrar agora que <px é submersão erri algum ponto de G, ruas isto segue do Teorema de Sard (ver [10|).

• A seguir vamos obter o espaço tangente à órbita de / € Jk(n,p) segundo a ação do

grupo Ak. Denotamos tal espaço por TAk.f. Pela proposição acima, temos que TAk.f é a imagem da derivada da aplicação ipj em / = (/„, Ip), onde I n e Ip são as identidades em C" e O ' respectivamente:

TAk.f = dlV>f(T,(Dk x Dk)) = d/ipj(T[nDk x T,vDk)

= d^}{T,tDkn x {()} + {0} x TjvDk) = d{ipf(Jk(n) n) x {0}) + d^f({0} x Jk(p,p))

Consideremos

Cl : Dk —> Jk(n,p)

J k m — / : ( / o f ' ) ( 0 )

&:Dk — Jk(n, p)

jKm ^ jk(t ° / ) ( « )

Notemos que é a composição da aplicação inversão em Dk com a aplicação

c :Dk Jk(n, p)

J k m > / ( / O0)(O)


Logo a imagem de dr.n^ coincide com a imagem de dJnÇ- Temos que

d,pf(Jk(n,n) x {()}) = d,M-Jk{n,ii)) = d,nÇ(Jk{ii,7i))

De fato, se u G Jk(n,n) = TJnDk, então existe uma curva A : ( - e , e) ->• Dk tal que A(0) = In e A'(0) = u. Seja A : ( - f , e ) Dk x Dk dada por A(í) = (A ( t ) , I p ) . Notemos que A(0) = (InJp) = I e A'(0) = (u,0). Portanto

Basta então calcular dIn((Jk(ri,ri)). Seja g — (g},. . . ,gn) G Jk(n,n). Para um valor de t suficientemente pequeno temos que In + tg é invertível.

assim, paru c > 0 suficientemente pequeno temos a curva a : ( - f , e ) -»• Dk dada por a(1) = In + Lg. Ainda

c o a(t) = C ( In + lg) = Jk'(f o ( 4 + tg))(0) = j k f ( X í + tgi,. . . , xn + tgn)(0)

Logo d ^ o a h 0 ) = l i m (Ç ° " ) ( 0 - ( C 0 " ) ( » )

dt t-0 t

= lhn j k f { x i + tgu ..., xn + tgn)(0) - j k f ( x u .... j ;„)(0) t"o t

= / ' (Hm + +

í—>o í A '

= + t9u- • • , Xn + í.9n)|t=o)(0)

«=i j=i Analogamente,

Calculemos então d i p ^2 (J k (p .p ) ) . Tomando h G Jk(p,p), podemos considerar, assim como no caso anterior, a curva j3 : (—e,f) —> Dk fiada por jj(t) = Iv + th. lemos que Í2 O /i(í) = + í/l) = / ( ( / „ + th) o / ) (0) = j"(f + fft O /)(0) .

= / l / - + i / . ° / ) ( 0 ) - / ( / ) ( ( ) ) = J , ( a / + » . ° / - / ) ( 0 ) = / ( „ 0 / ) ( 0 )

Logo dIpÇ2{Jk(p,p)) = {jk{h o / ) (0) / h E JA:(p,p)}. Segue que o espaço tangente à órbita de / em Jk{n,p) segundo a ação do grupo Ak é

7 ^ . / = { / ( E ^ ' ) ( 0 ) / < 7 = C.91 e Jk(n,n)} + {jk(hof)(0)/heJk(p,p)}

Consideremos a órbita de um germe segundo a ação do grupo A. Este grupo não é de Lie e as órbitas não são subvariedades. Motivados pelo caso dos jatos definimos:

Definição 1.2.6 Seja f E 0„,p.

1. O espaço tangente à órbita de f segundo a ação do grupo A é

TA.f = '>,f!i / 9 = (<h<Jn) e MnO.„n} + {h o / / h e MpOp.p) UX i 1=1

2. O espaço tangente estendido é

» T f TAe.f = {J2 .lr.'/. / g = (í/l, • • •, 9n) e Onjl) + {h o f / h e Op,p}

i = 1 1

Definimos a ^4-codiinensão de / ou codimensão de / , como sendo a dimensão de MnO„ p 1 como espaço vetorial sobre C e a ^.-codimensão de / como sendo a dimensão

1 A..J o n , (1(> r^ ,"'J',. como espaço vetorial sobre C.

TAe.j Descrevemos a seguir os espaços tangentes da Definição acima usando a linguagem de

campos de vetores.

Definição 1.2.7 Seja M uma variedade difereneiável. O fibrado tangente a M, denotado por TM, é o conjunto {(.x,u) / v E TXM}.

Definição 1.2.8 Sejam U um subconjunto aberto de C" e f : U —> Cp uma aplicação holomorfa. A aplicação tangente, denotada por T f , é definida por

Tf : TC" —• TCP

(x,v) ^ (f(x),dxf(v))

Denotamos por nn a projeção do fibrado tangente a C n sobre C"

7r.„ : TC" —> C"


Definição 1.2.9 Sejam U um subconjunto aberto de C" e f : U —> O uma aplicação holomorfa. Um campo de vetores ao longo de f é uma aplicação holomorfa lo : U —> TC / ;

que satisfaz ttpolú = f , ou seja, para cada x e U, uj(x) = (f(x),v), onde v é um vetor de TI(,P\

TC" TO

C" — r ^ O '

Dada / e On,p, denotamos por 0 { f ) o conjunto dos germes em 0 dos campos de vetores ao longo de / .

Se /„ 6 a identidade em C", denotamos por 9{n) o conjunto 0(In). Notemos que existe uma identificação natural de TC" com C" x C" e de 6 ( f ) com On.p.

Os seguintes diagramas são comutativos:

TO1 — ^ TC" — ^ TO

Se £(.x) = (x,Ç(x)) então

Tfot(x)=Tf(x,Z(x)) = ( / ( .x) ,4 / ( í ( .x) ) )

Onde o germe £ é um elemento de 6{ji) e o germe de Tf o £ é um elemento de 0 ( f ) . Definimos então

tf--d(n) 6 ( f )

í ^ Tf oi

Temos que 0(n) e 0 ( f ) são 0„-módulos, tf é um homomorfismo de On-niódulos e os seguintes subconjuntos de 9(f ) são submódulos.

£ •/, / 3 = (01 > • • • ,9n) e MnOrhn} = {dxf(g) / g € Mn0(n)} = tf(MJ(n)) i— 1 1

{ E / 9 = (.91. • • • e a , n } = K,/'(.9) / e 0(n)} = í / (0(n)) tr Um germe / £ C n p induz o homomorfismo de álgebras

1.3 Determinação Finita e Desdobramentos 9

Dado M um 0„-módulo, podemos definir em M uma estrutura de 0p-módulo via f*. Assim, 6>(/), tf(Mri9(n)) e tf(0(n)) possuem estrutura de 0p-módulo via f*. Definimos o homomorfismo de -módulos (via /*)

uf:9(p) — 9 { f )

V ' • >1 o /

Assim,

{h o f / he MpOpj,} = {ojf(h) / h e Mp0{p)} = uf{MpQ(j>))

{h o / / h e Op,p} = {ujf(h) / h e 0(p)} = u;f(0(p))

Os subconjuntos acima são Cp-submódulos de 0( f ) . Além disso,

TA.f = tf(Mne(n)) + uf(Mp0(p))

TAv.f = tf(0(n)) + ujf(6(p))

Notemos que TA.f não é um Or,-submódulo mas um Cp-submódulo via /*.

Definição 1.2.10 Seja f E On:p. Dizemos que f é estável se para cada u> E 0 ( f ) existem Ç E 9(n) e rj E 9{p) tais que

tu = f / ( 0 + iufiri)

ou seja, f é estável se TAe.f = 9 ( f ) .

1.3 Determinação Finita e Desdobramentos

Definição 1.3.1 Dizemos que um germe f E C„,p é k-determinado, para algum k E N;

se para todo g E Onp tal que jkg{0) = jkf(0) temos que g é A-equivalente a f . Dizemos que f é finitamente determinado se f é k-deierminado para algum k E N.

O teorema seguinte é uni resultado de Matlier encontrado em [29].

Teorema 1.3.2 Seja f E On.p. Então são equivalentes

i) O germe f é finitamente determinado,

ii) Existe um inteiro positivo k tal que Aik C TA.f,

iii) A A-codimensão de f c finita,

iv) A Ac-codirnensão de f é finita,

1.3 Determinação Finita e Desdobramentos 10

O resultado seguinte é urna caracterização geométrica dos germes finitamente deter-minados.

Teorema 1.3.3 Um germe f e A4„OniP é finitamente determinado se, e somente se, existe uma vizinhança V de 0 em C" tal que para todo subconjunto finito S C V — {()}, o multigerme de f em S é estável.

Soja /o E MnOnj). Um desdobramento a ,s-parâmetros de / 0 6 um germe de uma aplicação holomorfa

F : ( C x C n , 0 ) —> ( C ! x P , 0 ) (u,x) i—> (u,f(u,x))

satisfazendo /(O, x) = f0(x). O germe f : (Cs xC" , 0) —• (O, 0) é chamado de deformação

de /o-

Dois desdobramentos F, G : (C* x C", 0) —> (C® x Cp, 0) de / 0 são isomorfos se existem germes de difeomorfismos <j> : (Cs x C", 0) (Cs x C", 0) e ^ : ( C x 0) ( C x O', 0), desdobramentos a ,s-parâmetros dos germes das identidades em C" e O respectivamente, tais que G =

Sejam F um desdobramento a .s-parâmetros de f0 E A4nO„tP e h : (0, 0) —• (C6, 0) um germe. O pull-back de F por h, denotado por h*F, é definido como sendo o desdobramento de /o a í-parâmetros dado por

h*F : (C' x C", 0) —> ( C x 0 ' , 0 ) (v,x) ^ (v,f(h(v),x))

Se G é desdobramento a í-parâmetros de /0 , dizemos que G é induzido de F se existe um germe h : (O , 0) —> (Cs, 0) tal que G é isomorfo a h*F. Em particular, se li : (Cs, 0) —> (C s ,0) é um germe de difeomorfismo, dizemos que F e G são equivalentes.

Dizemos que F é um desdobramento versai de /o se todos os desdobramentos de /0

são induzidos de F. Quando F é versai com um número mínimo de parâmetros dizemos que F é miniversal.

O desdobramento F é dito ser trivial se é isomorfo ao desdobramento constante G : (C* x C",0) (C* x Q \ 0 ) , G(u,x) = ('u,/0(:/;)).

Definição 1.3.4 Seja f0 E MnOritP. Um desdobramento a s-parâmetros de f0

F : (Cs x C", 0) -> ( C x £7,0) é topologicamente trivial se existem cp : (C* x C", 0) ( C X C", 0) e %l> : (Cs X cp, 0) (Cs x Cp, 0) germes de homeomorfismos que são desdo-bramentos da identidade em C" e Cp respectivamente, tais que G = ij) o F o çír1, onde G é o desdobramento constante.

1.4 Teorema da Preparaçao 11

Seja F : ( C x C",0) (Cs x 0 \ 0 ) , F(u,x) = (u,f(u,x)), um desdobramento topologieamente trivial de / 0 G MnOn,v a s-parâmetros. Então as aplicações fu : (C ' \0) —(C p , 0 ) , dadas por fu(x) = f(u,x) são topologieamente equivalentes. De fato, se <f>(x, y) = (u, <l>(u,x)) e ij>(u, y) = (u,i/j(u,y)) são corno acima, temos

./o o 0U = íl>u o fu

onde <pu(x) = <j>{%x) e ^u(y) = <j>{u,y).

1.4 Teorema da Preparação

Lema 1.4.1 (Lema de Hadamard) Sejam U uma vizinhança conexa de 0 em C" e f : U x O —> C uma função analítica tal que f(0,y) — 0 para todo y G O . Então

f(xi, • • •, .rw, ,Í/I yq) = xifi (x, y)~\ \-x„fn(x, y) onde /,,..., /„ ,são funções definidas

em U x C7.

Demonstração Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que

f ' ̂ 'f

f i x i , í/i,• ••,yq) = y ^(tei, . . . , ía.-„,-í/1 , . . . ,yg)<ií

/ V txn, J/l,... , //,,. :•'// 7o i = 1 c/Xj " fl df = Xi J '''''tXn';,yi'''' '

Tomando / 2 ( x i , . . . , y i , . . . . yq) = Jq jj£(txi,txn,y\,..., y9)tíí obtemos o resultado.

Lema 1.4.2 (Lema de Nakayama) Sejam R um anel comutativo com elemento unidade 1 e M um ideal de R com a propriedade que 1 + x é invertível em R para todo x € M. Se-jam M um R,-módulo e A e B R-subrnódulos com A finitamente gerado. Se A Ç D + M.A então A Ç B.

Demonstração Sejam geradores de A. Por hipótese, podemos encontrar bi,... ,bt em B e elementos A^ em M. tais que para 1 < i < t temos

at = bi + Xj\a\ + • • • + \ua,i ( 1 . 1 )

1.4 Teorema da Preparaçao 12

Sejam A = (Ai;/), a = (a1; ...,at)cb = (h,..., b,). Assim, A é uma matriz de ordem t cujos elementos estão em R e a,b E \1 • . . . \ U. Então podemos escrever (1.1) na

i vezes forma

(/ — A)a = b (1.2)

onde / é a matriz identidade de ordem /, sobre R. Notemos que det(/ - A) = 1 - A, onde A é uma sorria de produtos de elementos errr M e, portanto, é um elemento de M. Por hipótese, 1 - A é invertível em R. Portanto a matriz I - A é invertível. Assim, podemos

resolver o sistema (1.2) para ai at em termos de bL,..., bt. Segue que au .. ., at E B. Portanto A Ç D.

• O resultado seguinte é uma consequência do Lema de Nakayarna e sua demonstração

pode ser encontrada em [l l j .

Coroiário 1.4.3 Sejam R um anel local comutativo com identidade, M seu 'ideal maximal e Al um R-módulo finitamente gerado. Então M/MM é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo R/M. Sejam 0 : M M/MM a projeção natural, vi,...vn uma base para o espaço vetorial M/MM e e1:. . .en E M tais que (j)(et) = vt. Então e1:. . . , e,n

formam um conjunto de geradores de M sobre R.

Para obter urna forma normal para germes / em M2O2/2 de corank 1, o seguinte teorema será utilizado. Sua demonstração pode ser encontrada em [11|.

Teorema 1.4.4 (Teorema da Preparação de Weierstrass) Seja f uma função ana-lítica a valores complexos definida numa vizinhança de 0 em C2 satisfazendo

1. f(0,y) = ykg{y), onde ( 0 , y ) E C 2 e g é uma função analítica de uma variável

definida numa vizinhança de 0 em C ,

g{0) + 0.

Então existe uma função a valores complexos q definida em uma vizinhança de 0 em C2 e funções Ao, . . . , A/,:_i a valores complexos definidas numa vizinhança de 0 em C lais que

k-1 i) qf(x.y) = 7/ + ^ para qualquer (x,y) numa vizinhança de 0 em C2,

1=1

11) q(0) + 0.

1.5 Equivalência de Contato 13

Teorema 1.4.5 (Teorema da Preparação C„,p e AI um On-módulo finitamente gerado.

M tumente qarado se., e somente se, é f*Mp.M

finita.

Demonstração Ver |11|.

de Malgrange Generalizado) Sejam f e

Então M é um Op-módulo (via f*) fini-

urn espaço vetorial complexo de dimensão

1.5 Equivalência de Contato

Introduzimos nesta seção uma outra relação de equivalência entre germes (C",x) —> (Cp ,y). Esta relação é chamada de equivalência de contato ou /C-equivalência.

Definição 1.5.1 Dois germes j\ : (C\ .Ti) -»• (Cp,?yi) e f2 : (Cn.x2) ->• (C p ,y 2 ) são ditos serem /C-equivalentes, se existem germes de difeomorfismos h : (C",xi) —> (Cra.x2) e II : (Cn x Cp, (x'i,yi)) —> (C" x C'\ (x2, y2)) para os quais o diagrama

(C". .TI) ^(C" X O', (xuyi)f-—- ( C . X])

h H h

(C«, x2) x C'\ (x2,y2)J^ (C'\ x2)

é comutativo, onde ik é o germe em Xk da inclusão Cn —> C" x Cp dada por x i—> (x,Vk) e ixk é o germe em (xk,yk) da projeção C" x O' C" dada por (x, y) i—> x, k = 1,2. Em outras palavras, H c dado por

H(x,y) = (h(x),6(x,y))

com 6(x,yi) = y2. Dizemos que j\ e f2 são K-equivalentes se existem h e H como acima tais que

H(l,f\) = ( l , f 2 ) o h

Dizemos que um germe / 6 O n j ) 6 finitamente /C-deterrninado se existe / G N satis-fazendo a seguinte condição: para todo g e On4> tal que jlg(0) = jlf(0) temos que g é /C-equivalente a / .

Se dois germes j\ : (C"',x'i) (Cp,yi) e J2 : (Cn, x2) ( C , y2) são ^4-e<iuivalentes, então também são /C-e(iuivalentes. De fato, suponhamos que existam germes de difeo-morfismos 0 : (Cn,x'i) —»• (C n ,x 2 ) e i> : (Cp ,yi) (Cp,y2) tais que

f2 O (/) = tp o j\

1.5 Equivalência de Contato 14

Consideremos H : (C"xC p , (xuyi)) ( C x C , {x2, y2)) dado por H(x, y) = (h(x), 0{x, y)), onde h : (C",xi) -»• (C",x2) é dado por h(x) = 0(x) e 0 : (C" x 0 J , (x'i,yi)) (0 ' , y 2 ) é dado por 0(x,y) = 'ijj(y). Segue que;

= (/»(*), 0(*,/i(:r))) = (<£(*), V W i ( * ) ) ) = = ( l ; / 2 ) o/i(x-)

Portanto f\ e f2 são /C-equivalentes. No entanto, dois germes /C-equivalentes não são necessariamente ^4-equivalentes.

Definição 1.5.2 Sejam j\ e f2 dois germes em MnOri.p. Dizemos que j\ e f2 são C-equivalentes se são K.-equivalentes via (tí, h), onde li é o germe da identidade na origem.

Notemos que f\ e f2 são /C-equivalentes se, e somente se, existe um germe de difeo-morfismo h : (Cn, 0) —> (Cn, 0) tal que f\ o h e f2 são C-equivalentes.

Analogamente, dizemos que um germe / € M„Onv tal que jlg(0) = jlf(0) temos que g é C-equivalente a / .

O resultado seguinte é a Proposição 2.4 de [29].

Proposição 1.5.3 Seja f G OrhP. Se n < p e f é finitamente fC-determinado então f é finitamente C-determinado.

Capítulo 2

Anéis de Cohen-Macaulay

2.1 Resultados Básicos de Álgebra Comutat iva

Nesta seção abordamos alguns resultados básicos de Álgebra Comutativa omitindo suas

demonstrações. Tais resultados e suas demonstrações encontram-se em [1|, |19| e |20|.

Assumimos nesta seção que R é um anel comutativo.

Definições 2.1.1 Seja I um ideal de R.

1. O conjunto de todos os elementos x G R. tais que alguma potência de x está em I c

um ideal de R chamado de ideal radical de I e denotado por v/7. Dizemos que I é

um ideal radical se \ f l = / .

2. Um elemento x de R é dito ser nilpotente se existe uma potência de x que é igual a

zero. O conjunto dos elementos nilpotentes de R é denotado por nil (R).

3. Dizemos que I é primário se I ^ R e se

xy G / então x G I ou y" G I para algum n > 0

O conjunto dos ideais primos de R é chamado spectro de R é denotado por spec(/?.).

Se I 6 um ideal próprio de R então o radical de I é a intersecção de todos os ideais primos

de R que contém / . Todo ideal primo é primário.

Se R ^ 0 então spec(ZÍ) tem elementos maxirnais e minimais e todo ideal primo de

R está contido em pelo menos um ideal primo maximal e contém pelo menos um ideal

primo minimal.

Uma decomposição primária de um ideal / de R é urna expressão de I como uma

2.1 Resultados Básicos de Álgebra Comutat iva 16

intersecção finita de ideais primários

n

'=rv. Uma decomposição primária 6 dita ser minimal se os ideais yfTj são dois a dois distintos e

1 < j' < n. Qualquer decomposição primária pode ser reduzida a uma decomposição primária minimal.

Nem todo ideal possui decomposição primária e, quando a decomposição primária existe, nem sempre ela é única. No entanto, o seguinte resultado de [f, Corolário 4.11, pg 54| mostra que, sob certas condições, quando tal decomposição existe, então ela é única.

Teorema 2.1.2 Sejam I um ideal corri decomposição primária minimal

As componentes primárias It de I tais que \[Tl c um primo minimal de I são unicamente determinadas por I. Assim, se I tem uma decomposição primária minimal onde os radi-cais das componentes primárias são primos minirnais, então tal decomposição é a única com estas propriedades.

Definição 2.1.3 0 anel R é dito ser Noetheriano se para toda sequência ascendente de ideais de R

existe n tal que It = h:+\ para todo k > ri.

Uma formulação equivalente para a definição acima é que um anel R 6 Noetheriano se, e somente se, todo ideal de R 6 finitamente gerado.

Como On é isomorfo a C[XL, . . . , Xn], segue do Teorema da Base de Hilbert (ver |1|) que On é urrr arrel Noetheriano.

O resultado seguinte, bem como sua demonstração, podem ser encontrados em [1], Este resultado será utilizado no capítulo seguinte.

n

I { C I 2 c . . . ç ..

Teorema 2.1.4 Em um anel Noetheriano todo ideal tem uma decomposição primária.

2.2 Dimensão 17

Definição 2.1.5 Seja M um R-módulo. Dizemos que M é Noetheriano se paru toda sequência ascendente de submódulos de M

Mi C M2Q ... Q ...

existe n tal que Mk = Mk+l para todo k > n.

Uni ií-módulo M é Noetheriano se, e somente se, todo submódulo de M é finitamente gerado.

Se R, é um anel Noetheriano e M é um H-módulo finitamente gerado então M é Noetheriano.

2.2 Dimensão

Nesta seção introduzimos o conceito de dimensão de um módulo finitamente gerado, necessário para a definição de módulos de Cohen-Macaulay. Apresentamos também alguns resultados importantes omitindo as demonstrações. Tais resultados, bem como suas de-monstrações, se encontram em Matsumura [19|.

Consideremos R um anel comutativo, R / 0.

Definição 2.2.1 Uma sequência de n + 1 ideais primos da forma

Po D Pi D . . . D pu

é chamada cadeia prima de comprimento n. Se p € spec{R), o supremo de todos os comprimentos das cadeias primas com po = p é chamado de altura de p e é denotado por ht(p). Se I é um ideal próprio de R, definimos a altura de I como sendo o ínfimo das alturas dos ideais primos de R que contém I, ou seja,

ht(I) = mf {ht(p) / p D / }

Se ht(p) = 0 então p é um primo minimal de R.

Definição 2.2.2 A dimensão de R, também chamada de dimensão de Krull de R,, é definida como sendo o supremo das alturas de todos os ideais primos de R, ou seja,

dimkruu R. = sup {ht(p) / p e spec{R)}

Também denotamos a dimensão de Krull de R por dim R.

2.3 Grade e Anéis de Cohen-Macaulay 18

Se R é um domínio de ideais principais então dimi?, = 1.

Notemos que se a dimensão de R 6 finita então é igual ao comprimento da mais longa cadeia prima em R.

Definição 2.2.3 Seja M ± 0 um R-módulo. Definimos a dimensão de M como sendo

dim M = dim (R/Ann(M))

onde Ann(M) = {a G R / aM = ()}. Convencionalmente, se M = 0, dizemos que dim M = -1.

O resultado seguinte é de grande importância, pois tem como consequência imediata que todo anel local Noetheriano tem dimensão finita. Sua demonstração é bastante ex-tensa e pode ser encontrada em [19j.

Teorema 2.2.4 Suponhamos que R, seja Noetheriano e tenha um número finito de ideais maximais. Então a dimensão de R é finita.

Teorema 2.2.5 Suponhamos R Noetheriano e seja I = (al5. . . , ar) um ideal de R gerado por r elementos. Se p é um ideal primo minimal de {p G spec(R) j p D / } , então h(p) < r. Em particular ht(I) < r.

2.3 Grade e Anéis de Cohen-Macaulay

As principais referências para esta seção são [2| e |19|.

Definição 2.3.1 Seja M um R-módulo. Uma sequência xi,...,xn de elementos de R c chamada sequência M-regular, ou M-sequência, se xx não c uni divisor de zero em

+ P"™ Í = ^ " " " ' H 6 í 0 '

Quando todos os xL pertencem a um ideal I de R, dizemos que x\,...,xr é uma sequência Aí-regular em I.

Definição 2.3.2 Uma sequência M-regular xi,...,xn em um ideal I de R é maximal (respectivamente maximal em I ) se x\,... ,xn+\ não é uma sequência M-regular para qualquer xn+i G R (respectivamente xn+\ G I).

Consideremos as sequências exatas curtas de jR-módulos que começam em A e termi-nam em D

n : 0 A X D 0

2.3 Grade e Anéis de Cohen-Macaulay 19

ol • 0 ^ A X' »- D 0

Dizemos que a é Yoneda equivalente a a' se existe um homomorfismo / : X —> X' tal que o seguinte diagrama é comutativo

0 »- A »- X > B 0

Ia I 1B

0 ^ A X B 0

E possível mostrar que a equivalência Yoneda é uma relação de equivalência. Defini-mos Exlj^B, A) como sendo o conjunto das classes de equivalência das sequências exatas curtas segundo esta relação.

Consideremos agora as sequências exatas de i?-rnódulos que começam em A e terminam em B com n módulos intermediários

n : 0 A X, X2 Xn B 0

o 0 A X' •X' • X' fí

Dizemos que a e a' são equivalentes se existem homorriorfismos /, : Xt

tais que o seguinte diagrama é comutativo K i = i .

o

o

A- X,

Ia h \ h

A • X' •X'2

•x.„

•K

- B -^0

Jb

B 0

Esta relação não é de equivalência, pois não é simétrica. No entanto, podemos definir uma relação de equivalência a partir desta. Definimos então Ext'j{(B,A) como sendo o conjunto das classes de equivalência das sequências exatas que1 começam em A e terminam em B com n módulos intermediários.

Teorema 2.3.3 j2, Teorema 1.2.5J Suponhamos R Noetheriano e M um R-módulo finita-mente gerado. Seja I um ideal de R com IM ^ M. Então todas as sequências M-regulares maximais em I tem o mesmo comprimento n dado por

n = mm {ij ExtlH{R/L M) ± 0}

Definição 2.3.4 Suponhamos R Noetheriano c M um R-módulo finitamente gerado.

Seja I um ideal tal que IM ^ M. O grade de I em M, denotado por grade(I.M), é

2.4 Módulos Projet ivos e o Teorema de Hilbert-Burch 20

o comprimento de todas as sequências M-regulares maximais em I, ou seja,

grado (/, M) = min {?/ Ext'H{RjI, AI) ± 0}

Mostra-so quo 1M = M so, o somente se, grade(/, Al) = oo.

Definição 2.3.5 Suponhamos R Noetheriano e M ^ 0 um R-módulo finitamente gerado. Então o grade de AI é dado por

grade A/ = min {i / Ext!R(M, R) ± 0}

Se AI = 0 definimos grade M = oo.

Se I ó um ideal de R então grade {RJI) = grade(/, R) Suponhamos R local Noetheriano com ideal maximal A4 e M um /?-módulo finita-

mente gerado. Neste caso, o grade de M em M é chamado de profundidade de M e é denotado por depthAí. Logo,

depthM = mm{i/ExtlR{R/M, M) ± 0}

O teorema seguinte é um resultado utilizado na definição de anel de Cohen-Macaulay. Este resultado está demonstrado em [2j.

Proposição 2.3.6 Suponhamos R local Noetheriano com ideal maximal M. e M um R-rnódulo finitamente gerado. Então

1. depth M — oo se, e somente se, M = 0.

2. Se M ± 0 então dcpth M < dirriM.

Sejam /?. um anel local Noetheriano, Ai seu ideal maximal e M um ií-módulo finita-mente gerado. Vimos acima que depthM < dim M se M ± 0.

Definição 2.3.7 Dizemos que M c um módulo de Cohen-Macaulay se M = 0 ou se depth(M) = dim Aí. Se R é um R-módulo de Cohen-Macaulay, dizemos que R é um anel de Cohen-Macaulay.

2.4 Módulos Projetivos e o Teorema de Hilbert-Burch

As referências utilizadas nesta seção são [2|, [3J o [17] Seja R um anel comutativo.


Definição 2.4.1 Dizemos que urna sequência exata de R-módulos

0 M' M —^ M" 0

cinde se f j tem inversa à direita, ou seja, existe um homomorfismo ff : M" —• M tal que ij o ff = IA!„.

O seguinte1 resultado, encontrado em |3|, será utilizado na aplicação do Teorema de Hilbert-Burch.

Teorema 2.4.2 Se uma sequência exata de R-módulos

0 M' M —M" • 0

cinde então M' © M" ~ M.

Definição 2.4.3 Dizemos que um R-módulo P é projetivo se dado um epimorfismo de R-módulos a : B —> C, cada aplicação 7 : P —> C tem um levantamento (3 : P —> B tal que a6 = 7.

B

Proposição 2.4.4 [17, Proposição 5.5J Um R-módulo P é projetivo se, e somente se, é somando direto de um R-módulo livre, ou seja, existe um R,-módulo Q tal que P 0 Q c um R-módulo livre.

Teorema 2.4.5 Um R-módulo P é projetivo se, e somente se, Ext\(P, G) = 0 para todo R-módulo G.

Definição 2.4.6 Seja C um R-módulo. Uma resolução de C é uma sequência exata de R-módulos e homomorfismos

- X t - ^ X Q ^ - C - 0

O teorema a seguir é um importante resultado cuja demonstração se encontra em [2|.

Teorema 2.4.7 (Teorema de Hilbert-Burch) Sejam, R um anel local Noetheriano, : Rn —> Rn+l uma aplicação R-lvnear com ma,triz M e In(M) o ideal gerado pelos

menores de ordem n de M. Se grade (R/In(M)) > 2 então In(M) tem resolução

0 Rn —^ Rn+1 In(M) 0


O resultado seguinte é uma aplicação do teorema anterior para o anel 02 e será uti-lizado 110 capítulo 4.

Corolário 2.4.8 Seja íp : 02n —02

n+i urna aplicação 02-linear com matriz M e In(M) o ideal gerado pelos menores de ordem n de M. Se 02/In{M) c um espaço vetorial de dimensão finita então a sequência

0 02" — a2n+1 I»(M) 0

é exata.

Demonstração Pelo teorema acima basta mostrar que grade (02/In(M)) > 2. Con-sideremos a sequência exata

0 - - L ( M ) - 1 - - Í V - - - O T ) (2.1)

onde i é a aplicação inclusão de In(M) em 02 e n é a projeção natural. Mostremos primeiramente que a sequência (2.1) cinde. Sejam rn = dinic C>2//,t(AÍ)

e {TJI, . . . ,vm} urna base para 02/In(M). Assim, dado v G 02/In(M), temos que v = «ivi + • • • + a m v m , onde Qi , . . . , a m G C são unicamente determinados. Consideremos então a aplicação linear

d : 02/ln{M) 02

v i—> «!'(;! + . . . + n m v m

Como 7r o 0 — Ido-,/in(M), então a sequência 2.1 cinde. Segue do Teorema 2.4.2 que 02 ~ In(M)®02/L„(M). Como 02 c um C2-módulo livre,

pela Proposição 2.4.4 temos que 02/In(M) c um C2-módulo projetivo e pelo Teorema 2.4.5 temos então que

Ext}02(02/Tn(M),02) = 0

Port,anto

grade ( 0 2 / I n ( M ) ) = grade ( / „ ( M ) , 0 2 ) = min {i/Exi'Ch(02/In(M),02) ^ 0} > 2

Capítulo 3

Germes de Variedades Analíticas e Ideais de Fitting

3.1 Germes de Variedades Analíticas Complexas

Nesta seção introduzimos o conceito de germe de variedade analítica complexa, germe de variedade de Cohen-Macaulay e apresentamos alguns resultados sobre tais germes. As

principais referências são [12] e [13].

Definição 3.1.1 Uma subvariedade analítica complexa de um aberto U C C" é um sub-conjunto X de U tal que, em alguma vizinhança aberta V de cada ponto de U, X é o conjunto dos zeros de um número finito de funções analíticas definidas em V.

Neste trabalho, estamos interessados na estrutura de uma subvariedade numa vizi-

nhança de um ponto fixado. Vamos considerar este ponto como sendo a origem. Conside-

remos os pares (Xn, U„), onde Un é uma vizinhança aberta da origem em C" e Xn c uma

subvariedade analítica de Ua. Dois pares (Xa,Ua) e (Xp, Ug) são equivalentes se existe

uma vizinhança aberta U de 0 em C" tal que U C Un D Ufj e U D = U fl Xfj

Definição 3.1.2 Um germe de uma subvariedade analítica complexa na origem em C" é uma classe de equivalência de um par (Xa,Ua), onde lJa é uma vizinhança aberta de 0 em C" e Xn é uma subvariedade analítica complexa de Ua.

Sejam Xy e X2 germes de subvariedades analíticas complexas em C" e V respectiva-

mente. Uma aplicação contínua tp : X} X2 é um germe na origem de uma aplicação

contínua Lp definida num representante de X\ com valores em um representante de X2

e íy?(0) = 0. Uma aplicação contínua tp : Xi —> À'2 é dita ser uma aplicação analítica

complexa se os germes X, e X2 podem ser representados por subvariedades analíticas

3.1 Germes de Variedades Analíticas Complexas 24

complexas de vizinhanças abertas da origem em C" e Cp respectivamente, para as quais

existe uma aplicação analítica complexa ó : Uy —> U2 tal que </;(X\) Ç X2l 0(0) = 0 e

f = </•>!*, • Ainda, estamos interessados nas propriedades dos germes de subvariedades que inde-

pendem de mudanças de coordenadas, introduzimos então o conceito de germe de va-riedade; analítica complexa como sendo uma conveniente classe de equivalência de germes de subvariedades.

Definição 3.1.3 Sejam X[ e X2 germes de subvariedades analíticas complexas. Dizemos que X\ e X2 são equivalentes se existem aplicações analíticas p : X\ —> X2 e f/' : X2 —• X\ tais que íp o ip : X\ —>• Ai e p o ip : X2 —> X2 são as aplicações identidades em X\ e X2

respectivamente. Uma classe de equivalência 6 chamada de germe de variedade analítica complexa.

Um germe de variedade analítica complexa sempre pode ser representado por um germe de subvariedade analítica complexa em algum («paço vetorial complexo.

Dado X um germe de subvariedade analítica complexa em C", existe um ideal do anel local O n consistindo dos germes de funções analíticas que se anulam em X. Esse ideal é chamado de ideal da subvariedade X e é denotado por / (A) . Mais precisamente, / € T(X) se existe uma subvariedade A de um aberto U que é um representante de A e uma função analítica / : U —> C que é um representante de / tal que / [ ^ = 0.

Reciprocamente, dado um ideal J de On, existem J\.. . . , /,. em On que geram J , pois On é Noetheriano. Sejam U uma vizinhança aberta da origem e J\, .. . , fr representantes de / ] , . . . , fr definidos em U. O subconjunto

{ z e U / M z ) = ... = fr(z) = 0}

define um germe de subvariedade analítica complexa que denotamos por V(J). O seguinte resultado 6 consequência imediata das definições acima, com exceção do

item (iv), que c o conhecido Teorema dos Zeros de Hilbert.

Proposição 3.1.4 Sejam A, A t e X2 germes d,e subvariedades analíticas em Cn e J, Jt

e J2 ideais de On.

i) Se Xi Ç A2 ; então I(Xx) D I(X2);

n) Se ,J\ Ç ,J2, então V(J{) D V(J2);

in) X = V(I(X));

iv) s/J (J));

3.2 O Anel 0 X j 25

v) Xi = X2 se, e somente se, I(Xi) = I(X2);

vi) V{,h + J2) = V(,h) n V(J2);

vil) V(J{ n ,/2) - V(JX) u V(J2).

Um germe X de unia subvariedade analítica em C" é dito ser redutível se pode ser escrito como X = X\\J X2, onde X{ e X2 são germes de subvariedades analíticas em C" contidas propriamente em X. O germe X é dito ser irredutível se não é redutível.

Temos que X é irredutível se, e somente se, I(X) é um ideal primo de On (ver [14|, Teorema 13, pg 89). Além disso, toda subvariedade analítica complexa pode ser escrita como uma união finita de germes de subvariedades analíticas complexas irredutíveis. Se a decomposição for tal que nenhum fator pode ser omitido, então ela é única e cada germe de subvariedade irredutível é chamada de componente irredutível.

Sejam X um germe de subvariedade analítica complexa e I{X) Ç On. Como On é Noetheriano, I{X) tem uma decomposição primária:

I(X) = r/, n . . . n qr

onde qi,..., qr são ideais primários de On. Logo

A = V(I(X)) = V(q! n . . . n qr) = V(qi) U . . . U V(qr)

Consideremos pt — = l , . . . , n . Como cada qt é primário, pt é urri ideal primo, i = l , . . . , r . Sabemos que V(pi) = V(q.t), logo X = U r

i = lV(pi) . Ainda I(V(pi)) = pu

que é primo, portanto cada V{'Pi) é irredutível. Eliminando os germes V(pi) tais que V(pi) Ç V(pj) para algum j / i, obtemos então a decomposição em fatores irredutíveis de X e cada V(pl) é uma componente irredutível de X.

3.2 O Anel Ox,o

As principais referências para esta seção são [12] e [13|. Seja X um germe de subvariedade analítica em C". O anel dos germes de funções

analíticas em X, denotado por Ox,o> é definido por

Q I(X)

Dado um germe / G O n , seja / um representante de / definido numa vizinhança da origem. A restrição de / a X é uma função definida numa vizinhança da origem contida

3.2 O Anel 0Xj 26

em X. Temos portanto um homomorfismo de On 110 anel dos germes de funções definidas em X. O núcleo deste homomorfismo é I(X). Assim, Ox,o pode ser identificado com o anel dos germes de funções analíticas definidas em X. Além disso, Ox.o 6 um anel local Noetheriano.

O conjunto dos anéis Ox,x- x £ X, forma um feixe de anéis que é denotado por Ox- Informalmente Ox é um subconjunto do conjunto dos germes de funções contínuas definidas em X. Se n : X —* Y é uma aplicação analítica entre germes de subvariedades analíticas então 7r define um feixe de anéis tt*Ox- Seus elementos podem ser pensados como germes de funções contínuas definidas em abertos da forma n~l(U), onde U C Y é um aberto. Ainda, ir*OX é isomorfo a OY. Portanto ir*OX é um Cy-mõdulo.

Sejam Xi e X2 germes de subvariedades analíticas complexas. Uma aplicação analítica complexa ip : X\ —• X2 induz um homomorfismo tp* : Ox2,o Oxj,o-

Seja X um germe de variedade complexa analítica irredutível. Definimos a dimensão de X como sendo a dimensão de Ivrull do anel Ox.o- Se X é um germe de variedade analítica complexa qualquer em Cn , então X se escreve como uma união finita X = UXj, onde cada X, é uma variedade analítica complexa irredutível. Neste caso a dimensão de X é dada por d imX = iriax ( { d i m X J . O germe X é dito ser equidimensional se dini X = dim X t para todas as componentes X,. A codimensão de X é definida como sendo n — dim X.

Definição 3.2.1 Seja X um germe de uma variedade analítica complexa. Dizemos que X é Cohen-Macaulay se o anel Ox,o é um anel de Cohen-Macaulay, ou seja,

depthCx.o = dim Ox.o

Definição 3.2.2 Uma aplicação analítica complexa p : Xy X2 entre dois germes de variedades analíticas complexas c dita ser uma aplicação analítica complexa finita se -̂1(o) = o.

O resultado seguinte é o Teorema A\ de 123]-

Teorema 3.2.3 Sejam X e S germes de variedades analíticas complexas, n : X S uma aplicação analítica finita onde S é suave e d i m X = dim S1. Então são equivalentes:

• Xá Cohen-Macaulay.

• 7r*Ox é um Os-módulo livre na origem.

O resultado seguinte é o Teorema A2 de [23].

3.3 Normal ização 27

Teorema 3.2.4 Sejam, p uma matriz de ordem r x s com\ entradas em On e Ik{p) o ideal gerado pelos menores de ordem k de p. Se 0 < k < s < r então codim V(Ik(p>)) < (r — k + 1). Se a igualdade vale, então h-i^) define um germe de variedade de Cohen-Macaulay.

Teorema 3.2.5 Seja <p : Xi X2 uma aplicação analítica finita entre dois germes de variedades analíticas complexas onde X\ é uma variedade de Cohen-Macaulay, X2 é irredutível e d imAi = d imA 2 . Se p*Ox, é um Ox2 módulo livre na origem então cada ponto num representante de X2 possui

O d i m c v*{Mw)OXuQ

pré imagens em Ai contadas cora multiplicidade, onde A/fx2,o 0 ideal maximal de Ox2,o e a dimensão é de espaço vetorial complexo.

Demonstração Segue de |3, Corolário 18.11] (ver comentário após o Corolário) que

toda variedade de Cohen-Macaulay é equidimensional. Assim, A[ é equidimensional. Se

Ai é equidimensional, X2 é irredutível e d i m A j = d imA 2 , então para todo ponto p num representante de X2 a cardinalidade de ip~x{j>) é constante, digamos, igual a r (ver

comentário na ])g 25 de [13]). Como tp„Ox, ó um C^2-módulo livre na origem, segue do

[13, Teorema 7, pg 25] que i- Oxl>0

r ~ dmiC <p*(MX2fi)0Xl,n

3.3 Normalização

As principais referências para esta seção são |12| e [13|.

Definição 3.3.1 Seja X um germe de variedade analítica complexa. Dizemos que X c

normal se o anel Ox,o é igual ao seu fecho integral Ox,o-

Seja A um germe de variedade analítica complexa irredutível. Então o anel local

Ox,o é um domínio integral. Os elementos do corpo de frações deste domínio integral

são chamados de germes de funções meromorfas em A. Assim, um germe de função

meromorfa / é um germe da forma h/g, onde h G Ox,o <' <J G Ox,o ~~ {0}. Um gcírme de

aplicação é dito ser germe de aplicação meromorfa se cada uma de suas componentes é

um germe de função meromorfa.

3.4 Intersecção Completa com Singularidade Isolada 28

Uma normalização de X é um germe de variedade analítica complexa normal X e um

Suponhamos agora que X seja redutível e seja X = X\ U . . . U XR a decomposição de X em suas componentes irredutíveis. Uma normalização X de X é definida como sendo a união disjunta de normalizações X; das suas componentes.

3.4 Intersecção Completa com Singularidade Isolada

Definição 3.4.1 Sejam X um germe de variedade analítica complexa em CN de dimensão n e 1 um ideal que define X. Dizemos que I define uma intersecção completa em 0 se I admite N — n geradores f\,..., fN-n em On-

Sejam X uma variedade analítica em CN de dimensão n e I(X) um ideal que de-fine X. Suponhamos que X seja urna intersecção completa. Consideremos o caso em que X tem uma singularidade isolada em 0. Isto significa que se f\,..., fN-n é um conjunto de geradores de 1, então existe uma vizinhança V da origem em CN tal que / i , . . . , fN_n convergem e para todo y / 0 no conjunto dos zeros comuns de /1,. . . , fN-n, dfi(y),... ,dfN_n(y) são linearmente independentes. Neste caso dizemos que X com sua C-álgebra local ON/I é uma intersecção completa com singularidade isolada ou, abrevi-adamente, 1CIS. Frequentemente usamos expressões tais como

(ou I ÇON, ou On/I) define um ICIS.

Definição 3.4.2 Seja X uma intersecção completa com singularidade isolada em 0 de dimensão ri e I = (/i, .. . , fk) um ideal que define X. Definimos o número de Milnor de X como sendo

germe de aplicação bimeromorfa / : (X, 0) —+ (X, 0).

( / i ; • • • > ,/V-ti) : (CN ,0) —> (Cw~n ,0)

k d(h,...Jk)

d(x3í,..., xJk) ! ' ./: ' • • • ' :ik < n + A;}, ./; fk)On+k

i=1

e denotamos por /i(X) ou n(f\, ...,/&).

3.5 Ideais de Fit t ing

Nesta seção definimos ideais de Fitting de um módulo M e apresentamos um método para

calcular tais ideais quando M = ON. As principais referências são [23] e 122],

3.5 Ideais de Fitt ing 29

Definição 3.5.1 Sejam R um anel comutativo com unidade e M um R-módulo. Consi-deremos a sequência exata

ff^if^M (3.1)

Definimos o k-ésimo ideal de Fitting de M como sendo o ideal e.m R gerado pelos menores de ordem (q - k;) da matriz X, onde q - p < k < q. Se k > q defiramos Fk{M) = R e se k < q — p definimos Fk{M) = 0.

A definição de Tk{M) independe da escolha da sequência exata (ver [16, 4.DJ). Seja / : (C",0) —> (C"+ 1 ,0) um germe de aplicação holomorfa finitamente determi-

nado. Para calcular o ft-ésimo ideal de Fitting de f*On construímos uma sequência exata de O „+i-módulos

O l + l U O n — 0 (3.2)

onde o homomorfismo a leva os elementos da base de Oqn+l nos geradores gi,... ,gt de

n como On + i -módulo e as colunas de A são as relações entre os gi com coeficientes em On+1. Portanto = F k { f * O n ) é o ideal de On+\ gerado pelos menores de ordem (q — k) de A.

r 0 n LO n Segue do Corolário 1.4.3 que se as classes de gu ..., qt em — geram — - — Mn+\f*On Mn+if*On

como espaço vetorial sobre C então gu ... ,gt geram f*On como (Dri+i-módulo. Assim, para f*On determinar os geradores de f \ O u , basta determinar uma base de - — " . Se g i } . . . ,gt

geram f*On então q = l e rv(f^) = g.tJ onde {cj, . . . , c/} é base de Oln+l. Segue de [23, Lema

2.1] que existe uma sequência exata como (3.2) onde A c injetiva e, neste caso p = q.

Capítulo 4

Cúspides e Nós de Germes de C2 em C2

Em 1955 Whitncy (|30]) obteve formas normais para germes estáveis de C2 em C2 , que são:

1. (x.y) (x,y) (imersão)

2. (x, y) —> (x, y2) (dobra)

3. (x-, y) (x, xy + y3) (cúspide de Whitney)

Se considerarmos também multigermes, devemos acrescentar o bigerme

Definição 4.0.2 Seja f E ^2^2,2- Chamamos de conjunto singular de f , e denotamos por S ( f ) , o conjunto

O conjunto A(/) = f ( S ( f ) ) é chamado de discriminante de f .

Seja / G A/Í2^2,2 um germe estável. Então f é equivalente a um germe da forma (1),

(dobra dupla)

S ( f ) := {x E (C2, 0) / d e t [ 4 / ] = 0}

(2), (3) ou (4).

i) Se f(x,y) = (x,y), então S ( f ) = A ( / ) = 0.

ii) Suponhamos f(x,y) = (x.y2). Então

S ( f ) = {(x.y)E(C2,0)/y = 0}

A ( / ) = { f ( x , 0)/(.x,0) € (C2 ,0)} = {(.x,0)/x G (C,0)}

4.1 O invariante delta (ò) 31

iii) Suponhamos f(x, y) = (x, xy + ys). Então

5 ( / ) = {(.T,? /)G(C2 ,0)/.T + 3?y2 = 0}

A(./') = {f(-3y\y)/y e (C,0)} = {(-3y 2 , -2y*)/y G (C,0)}

= {(x'i y) £ (C2, 0)/ 4:;;:i + 27y2 = 0}

que é a cúspide ordinária.

iv) Suponhamos que f é o bigerrne < ^ . Então { (x',y') (x-/2,y')

5 ( / ) - {(.T,y) 6 (C 2 , 0 ) /y = 0} U {(x',y') £ (C\i))/x' = 0}

A(Z) = {(.x, 0)/ x e (C,0)} U {(0, ?/) /?/ e (C,0)} = {(x,y) e ( C 2 , 0 ) / x y - 0}

que é um nó simples.

Assim, se / e M.'iOi;i c um germe estável, as singularidades de A ( / ) correspondem a pontos (respectivamente pares de pontos) em S ( f ) onde / é um germe (respectivamente um bigerme) do tipo (3) (respectivamente (4)). Quando / é do tipo (3), temos uma cúspide ordinária em A ( / ) e quando / é do tipo (4), temos um nó em A( / ) . Se / é como em (1) ou (2), então A ( / ) é suave.

Quando um germe não estável / G M2O2/2 c perturbado de modo que se torne es-tável, um número de cúspides e nós aparece em seu discriminante. Denotamos o número de cúspides por c ( f ) e o número de nós por d ( f ) . Os números c(f ) e d { f ) refletem a complexidade do germe inicial. Neste capítulo, apresentamos fórmulas para calcular c ( f )

e d ( f ) .

4.1 O invariante delta (5)

Definição 4.1.1 Um germe de uma variedade analítica complexa é dito ser uma curva analítica se é equidimensional e tem dimensão 1.

Seja A um germe de curva analítica complexa em C". Então Ox,o — j^x) dimensão de Krull igual a 1. Ainda, O n é Noetheriano, logo / ( A ) Ç O n tem uma decomposição primária.

Definição 4.1.2 Dizemos que um anel c reduzido se seu único elemento nilpotente é 0. Isto é equivalente a dizer que (0) é uma intersecção de ideais primos.

4.1 O invariante delta (ò) 32

Definição 4.1.3 Dizemos que uma curva analítica X é reduzida se o anel 0x,o é um anel reduzido.

Seja X uma curva analítica reduzida. Suponhamos que X = UXZ seja sua decom-posição em componentes irredutíveis. Para cada i, seja pt um ideal primo de O n tal que V(pi) — Xi. Como X é equidimensional, dim X = dim X; para todo i. Ainda, corno cada pt é primo, /(X7) = = pt para todo i. Portanto

On dimAr„ ; ; — = dim X4 = f Pi

Consideremos agora o caso particular em que X é urna curva plana. Neste caso, temos o seguinte resultado de [12],

Teorema 4.1.4 Seja X um germe de uma subvariedade analítica em Cn. 0 germe X é equidimensional de dimensão n — 1 se, e somente se, I(X) é um ideal principal.

Assim, se X é uma curva plana, / ( X ) é um ideal principal. Seja / e On tal que / ( X ) = ( / ) . Corrro On c um domínio de fatoração única, existem ..., fn E On irredutíveis tais que / = / r . . . . Então

Como cada é irredutível então (/'"') é primário. De fato, sejam g, h E On tais que gh E ( / f ' } e g {flH). Então / " ' divide gh e não divide g. Como fl é irredutível, então divide h. Portanto kn' E (./'"'), o que mostra que (/"*) é um ideal primário. Alérri disso, \ J ( f f 1 ) = {fi). Assim, a expressão (4.1) c urna decomposição primária de / .

Segue também do fato de ft ser irredutível que ( f ) ) é um primo minimal para i =

Se X é reduzida, I(X) = ( / ) é uma intersecção de ideais primos (que também são principais):

A equação (4.2) é uma decomposição primária onde cada componente é um primo minimal. Segue da unicidade da decomposição primária (Teorema 2.1.2) que r = .s e (// ' ') = (fl;), i = 1 , . . . , r. Portanto n* = 1, i = 1 , . . . , r.

Temos então que p% = (/,), i = 1 . . . r e

( / ) = ( / D n . . . n (/;.'" } (4.1)

</) = ( 9 l ) n . . . n (gs) (4.2)

dim Xi = AimKrull ( f i )

4.2 Cálculo de c.(f) e d(f) 33

Assim, uma curva analítica plana reduzida é dada por / = / i . . . / r , onde ft E On é irredutível, « = 1,. . . , r.

Definição 4.1.5 Seja X um germe de uma curva analítica plana reduzida. Então o invariante ô de X em 0 é definido como sendo <5(X, 0) = dimc • Definimos

Observação 4.1.6 Segue de [27, 3.2] que é um espaço de dimensão finita e que a soma do lado direito na definição acima é finita, pois õ é não nulo apenas nos pontos singulares. Assim, f)(X) é sempre finito.

Seja X uma curva analítica plana reduzida. Para calcular o invariante ó(X, 0) usamos a fórmula de Milnor, tendo em vista que o cálculo segundo a definição acima é difícil. Esta fórmula envolve o número de ramos de A e o número de Milnor de X. O número de Milnor de / € On , denotado por f i ( f ) , ou simplesmente ji, é a dimensão do espaço vetorial complexo

On (fx: fy)

onde fT e fy são as derivadas parciais de / . Como I{X) = ( /} para algum f € On, o número de Milnor de X é definido como sendo o número de Milnor de / . A fórmula de Milnor (ver [21]) é dada por

H = '26 - r + 1

onde r é o número de ramos de X.

Observações 4.1.7 1. Se X é uma curva plana regular, então r = 1. De fato, segue do Teorema da Função Implícita que, num ponto regular, uma curva plana é um gráfico. Além disso, numa curva plana regular fi = 0. Aplicando a fórmula de Milnor ternos que ô = 0.

2. A fórmula de Milnor também mostra que ó é invariante por mudança de coordenadas.

4.2 Cálculo de c{f) e d(f)

Uma consequência do Teorema 1.3.3 é o seguinte resultado.

Proposição 4.2.1 Um germe f G A/Í2CV2 é finitamente determinado se, e somente se,

1. S ( f ) é uma curva reduzida.


2. f : S ( f ) - A(/) é bijetora

Demonstração Suponhamos / finitamente determinada.

1. Seja x0 G ,S(f) — {0}. Segue do Teorema 1.3.3 que o germe de / em x0 é estável.

Logo S ( f ) é uma variedade diferenciável de dimensão 1 (ver [11]). Portanto S ( f ) é uma curva reduzida. De fato, corno h = det dxf define S ( f ) , temos que x0 é um

valor regular de h, ou seja, ^ 0 ou — (x0) + 0. Logo, h e — (ou h e — ) ox oy ox oy

não tem raiz em comum e, portanto, S ( f ) é reduzida.

2. Seja x G S ( f ) - {()}. Então o germe de /|.s'(/) x u a 0 t e m singularidade (ver [11]).

Logo é um germe de imersão e, portanto, injetor. Segue de [27] que A ( / ) também

é uma curva reduzida.

• Seja / G M.2^2,2 um germe finitamente determinado. Então existe um desdobramento

a um parâmetro F : (C2 x C,0) -> (C2 x C,0), F(x,y,t) = (fi{x,y),L), tal que ft é

estável para todo t ^ 0. A aplicação ft é chamada de perturbação estável de / . Assim,

{ f t , t G (C, 0)} é uma família de germes em ^ 2 ^ 2 , 2 corri f0 = / e ft estável para t ^ 0.

Logo, para t ^ 0, ft é equivalente a um dos germes (1), (2), (3) ou (4) apresentados 11a introdução deste capítulo.

Teorema 4.2.2 Sejam f G ^ 2 ^ 2 , 2 wrn germe finitamente determinado e F : (C2 x

C, 0) —> (C2 x C, 0), F(x,y,t.) = (f$x,y),t), tal que ft é estável paru todo t ^ 0. Então, para t ^ 0, S(fL) é suave e, portanto, S(F) tem uma singularidade isolada em (0,0).

Demonstração

Temos que S( fi) é suave para todo t ^ 0.

Além disso,

S(F) = {(;x,y,t) G (C:3,0), / d e t [ d ^ F ] = 0}

= {(x,y,t)e(Ci,Q),/diii[d(XiU)ft} = Q}

= {(x,y,t) G ( C \ 0), / (x, y) G S(f$}

Portanto, S(F) tem uma singularidade isolada em (0,0). •

Sejam / G M202,2 um germe finitamente determinado e F : (C2 x C, 0) -> (C2 x C, 0), F ( x , y , t ) = ( f t ( x , y ) , t ) , tal que ft é estável para todo í ^ 0. Corno S(F) tem uma singularidade isolada em (0, 0), segue de [13, Corolário 1 do Teorema 15, pg 97] que S(F) é normal e de [7, Teorema 0.8(1)] que S(F) é uma normalização de A ( F ) .


Fixemos t e (C,0). Sejam

5 ( n . = { ( -T ,?y)G(C 2 , 0 ) / ( . r 1 ? y , í )e5(F)}

A(F)l^{(x1y)e(C2,0)/(x,yA)eA(F)}

Notemos que d e t f c / ^ ^ F ] = 0 se, e somente se, det[d(x.y)j\) = 0, logo S(F)t — S(J\). Assim, se

7TS : S(F) —> C (x,y,t) * t

então n;l(t) = S(F)t = S ( f t ) . Ainda, A ( F ) t = {/,(x, y) / (x, y) e S(ft)} = A( / t ) . Logo, se

tta : A ( F ) —> C (x, y, t) i • t

então nAl(t) = A(F)t — A ( f l ) .

Pela Proposição 3.3 [27| temos que

6(A(fi)) = õ(A(fo))-S(S(fo)) (4.3)

Teorema 4.2.3 Sejam f 6 ^2^2,2 um germ,e estável e finitamente determinado e A(/) seu discriminante. Então Ô(A(/), (x,y)) = 0 ou 1 para todo (x,y) E A(/).

Demonstração Vimos 11a Proposição 4.2.1 que A(/') é uma curva reduzida. Seja (XI, ' Í /I) G A( / ) . Então (xi,yi) = / (x 0 , y 0 ) para algum (x0,y0) £ S ( f ) . Segue do Teo-rema 1.3.3 que o germe de / em (x0,y0), C1U(; denotamos também por / , é estável, logo é equivalente a um germe da forma (1), (2), (3) ou (4).

Se f é da forma (1) ou (2) então A ( / ) é regular e, portanto, 5 = 0. Suponhamos / equivalente ao germe da forma (3). Neste caso A ( / ) tem equação

4x3 + 27y2 = 0. Seja g(x,y) = 4x3 + 27y2. Então

fi(g) = dimc ^ r ^ y = d l i n c p ^ y = 2

Como r = 1 c /( = 2 segue que

Suponhamos / equivalente ao germe da forma (4). Então A ( / ) tem equação g(x, y) =

xy = 0. Então

a(q) = dinir —%— = dimc —^r — 1

Como r = 2 e fi = 1 segue que ô = Í A ± r - l = 1

2 •

Como ó ( A ( f ) ) = •,y)eA(ft) (x\ yj) eutao o lado esquerdo de (4.3) consiste

das somas das contribuições locais das singularidades de A(/ , ) que são cúspides ou nós. Cada cúspide contribui com 1 e cada nó contribui com 1.

As singularidades de A ( j \ ) correspondem a pontos (respectivamente pares de pontos) em S ( f t ) onde j) é um germe (respectivamente um bigerme) do tipo (3) (respectivamente (4))-

Se c( / ) c o número de cúspides e d ( f ) é o número de nós em A(/ t ) , que tendem a 0 quando t tende a 0, então temos por (4.3)

c ( f ) + d ( f ) = ô(A(f)) = 5(A(/o)) - S(S(f0)) (4.4)

Como consequência da Proposição 4.2.1, de (4.4) e da Observação 4.1.6 temos o seguinte resultado.

Proposição 4.2.4 Um germe f G M2O2/2 é finitamente determinado se, e somente se, c ( f ) < 00 e d ( f ) < 00.

A seguir, apresentamos um resultado de [23] que relaciona c ( f ) e d ( f ) com ideais de Fitting. Sejam X um germe de uma variedade n-dimensional, Xi,..., Xm as componentes irredutíveis de X e / : (X, 0) —> (C2,0) analítica e finita. Segue de [27, 5.2.10] que / ( X t ) é variedade. Temos então a decomposição em componentes irredutíveis

f ( X l ) = V(qn)U...UV(qlr)

como 11a seção 3.1. Chamamos de imagem reduzida de X,t por / à variedade reduzida

Xi = V(V^) u . . . U V(y/qTr)

Teorema 4.2.5 Sejam (X, 0) um germe de uma curva reduzida e f : (X, 0) —> (C2,0) finita e injetiva. Se T\ — ̂ (f^Osçf)) é o primeiro ideal de Fitting do 02-módido f*Os(f), então

c { f ) + d ( f ) = dimc CV-77,

Demonstração Ver [23, Teo 3.6|.

Exemplo 4.2.6 Consideremos / G M202_2 dada por f(x,y) = (x,y4 + xy). Temos que / é um germe finitamente determinado. Como S ( f ) tem dimensão 1, utilizamos a receita apresentada no capítulo 2 para calcular o ideal de Fitting de f*Os(/)- Temos

S ( f ) = {(*, y) e ( C 2 , 0) / 4/y3 + X- = 0} = {• I / ' . y) / y G (C, 0)}

f \ s ( f ) : ( S ( f ) , 0) (C2,0)

Logo Ox

M2f*Os(f) < - V , - 3 y 4 )

Segue então do Corolário 1.4.3 que C^f/) é gerado por l.y.y2 sobre C>2. Encontremos

agora as relações entre 1 ,y e y2. Considerando U = —4yi e V = —3y4 obtemos as

relações U2.l + O.y + 16/3V.y2 = 0 -AV. 1 + 3U.y + O.y2 = 0 0.1 - AV.y + 31/.y1 = 0

Logo

A = ( U2 0 16/3V \

—4V 3U 0 { 0 -4V 3U J

e, portanto,

Segue que

FÁf*Os{f)) = (U2, V2, UV, U'\ U2V)

c ( f ) + d(f ) = dmic 02/(U2, V2, UV, U'\ U2V) = 3

Denotamos por E j o conjunto

{(x,y) G (C 2 , 0 ) / d imkerd ( , , y ) f = 1}

e por T/j3 o conjunto

{ ( x , y) G T) / dim ker d ^ f ^ = j}

Proposição 4.2.7 Seja f G M202;2 tal que Ej'1 = {0}. Então

c ( f ) = dim c Oo (4.5)

(J, P T J y - P y J . , - . q,.Jy ~ QyJx) onde p e q são as componentes de f , J é o determinante jacobiano de f e os subscritos

indicam derivadas parciais.

Demonstração O ideal 110 denominador de (4.5) é o ideal I2(Mj) gerado pelos menores de ordem 2 da matriz

í Px Py \ <lx <ly

\ Jx Jy )

MJ

Temos que V{I2(MF)) = E}'1. De fato, sejam / : [ / — > C2 um representante do germe / ,

onde U é uma vizinhança aberta de zero em C2, e (x'o,2/o) £ Então

J(Xo, IJO) = (PXqY - PYqX)(X0, y 0 ) = 0

fer Jy - Z/o) = o (4.6) ((/x'4 - ( l y j . r ) { x ( h y0) = 0

Corno 0 £ então dimlmc/o/ = 1 e, portanto, urna das funções px ou py ou qx ou qy

não se anula em 0. Fazendo mudanças de coordenadas na fonte e na meta se necessário, podemos supor que px(0) ^ 0. Encolhendo U se necessário, podemos também supor que px(x,y) 0 para todo (x,y) £ U. Segue que para todo (x,y) £ U tal que J{x,y) — 0 temos (x,y) £ £)•. Logo

Zlf = {(x,y)£U/ J(x,y)=0}

Assim (.x'o,yo) £ Calculemos então d(xu,y0)f\»y Temos que

é dada por

díxo,yo)fyf(u, v) = d{xo.yo)f(u, v) = (px(x0, y0)u + Py{xo, y0)v, qx(xn, ya)u + qy(xQ, yQ)v)

Se (u.v) é um vetor tangente a £]• em (x0.;(/o) então (u,v) pertence ao núcleo da

derivada de J , isto é, d(Xiuyo)J(u,v) = 0. Mas

d{xo,vo)J(u>v) = Jx(x0> VÒ)U + Jy{xOiVo)v

logo, Jx{x0,y0)u + Jy{xo,yo)v = 0. Então

ker (kxo,yo)I\rJf = {('", / Jx(x0, yo)u + Jy(x0, yo)v = Px{xo, J/o)^ + P,/(.To, //())'''

= -i/o)'« + <ly(-i-u, J/o)-« = 0} = {(VÍ, u) / M;(:K0, y0)('«, '") = 0}


Por (4.6) temos que o rank de M/(x 0 , j/0) é 1, logo d imkerd( 2 o y o ) / | E i = 1. Segue que

(x'o, yo) S Como Ej'1 = {0}, é imediato que Ej.'1 C V(L2(Mj)). Consideremos agora

F : (C;!, 0) —> (C3 ,0)

(x, y, u) i > (p(x, y, u), q(x, y, u), u) = ( f u ( x , y), u)

uma deformação a 1-parâmetro de / , onde fu c estável para todo u / 0. Sejam

í px(x, y, u) py(x, y, u) \ M// = qx(x,y,u) qy(x, y, u)

\ Jx(x,y,u) Jy(x,y,u) J

e X = V(I2(Mi?)). Temos que (x,y,u) G X se, e somente se, (x,y) G E^1 . Fixemos

u 0. Como f , é estável, então fu é uma imersão, urna dobra, uma cúspide de Whitney

ou urna dobra dupla. Logo, E^1 é vazio, exceto quando fu é a cúspide de Whitney e,

neste caso, E^1 = {(0,0)}.

Segue que E^ 1 tem dimensão 0 e, portanto, X = UuE^1 tem dimensão igual a 0 ou

1, ou seja, a codimerrsão de X é maior ou igual a 2. Pelo Teorema 3.2.4 temos que a

eodirnensão de X 6 igual a 2 e X é uma variedade de Cohen-Macaulay.

Consideremos a projeção na base do desdobramento

t t : ( X , 0 ) (C,0)

(x,y,u) i—> u

Temos que

tt-^O) = {(x,y ,0) G (X, 0)} = {(x,y, 0) / (x,y) G E 1 / } = {(0,0,0)}

Segue do Teorema 3.2.3 que tt^Ox é um Cc-módulo livre na origem. Segue então do

Teorema 3.2.5 que cada ponto u em (C, 0) tem

dirric O x 1 o / t * ( M c , o ) ^ , o

pré-imagens em X corrtadas com multiplicidade.

Mostremos que

dimc — — r ~ . — — = drmc 7T*(Mc,o)Ox,o " h(Mj)

Sabemos que Cs

" WT7)


Dada a aplicação inclusão i : C2 —> C 3

(x,y) (.t, y, 0)

Temos o homomorfismo induzido

: O, 02

k i > k o i

Dado / G I 2 ( M f ) ,

i*(f)(z, V) = / ° y) = / ( * . o ) e ^ ( a í j )

Logo, i*(I'2{MP)) C L2{MF). Assim ?'* induz um homomorfismo sobrejetor

' ' H(MF) L2(MF)

que chamaremos também de i*. Temos que

teri* = { g e 1 ^ / i * ( g ) e h ( M f ) }

Dado g G kei"f*, temos g{x,y, 0) G I2{Mj) para todo (x, y) G (C2 ,0) . Então, g G g +

I2(MF), onde g(x, y, 0) = 0 para todo (x, y) G (C2, 0) e, portanto, g G tt*{Mc,q)0:í/I2{MF).

Reciprocamente, dado g G t t*( .Mc,0)^3/h{Mp), temos g = ^2 lK*(h l)'g l com h t G A^c.o e

gl G 0:s/I2{MF). Como i*{ir*{hi)) = 0 segue que i*{g) = 0, isto é, g G kcoA Concluímos

então que kcri* = tt*{Mc,o)0:í/I2{MF). Assim,

Ox,o 02

e, portanto,

Se u ± 0

7f*{Mc,o)Ox,o h{Mj)

r Ox f i r 0 2 dimc —7-7-: r ^ = dimc 7T*(A/íc,o)O.Y!0 h

7T ^'íi) = {(x,y,u)/ {x,y) G E}'1}

onde fu é um germe estável e a cardinalidade de n~l{u) = d im c 02/I2{Mf). Mas 7r_1(u)

corresponde aos pontos de cúspide de /„ . Portanto, as pré-imagens são todas simples. De

fato, sc f(x, y) = (x, yò + xy) então

Mr

í 1 0 y 3 y2 + x

V1 %

dinií Oo

dim, O,

h{Mf) C (3y2 + x, 6y2 — 3y2 — x, 6y) dinií (x, 2/) Portanto fu tem dim c j ^ j j cúspides.

• O valor de d ( f ) pode agora ser calculado usando (4.4) e a fórmula obtida na proposição

acima. Segue da fórmula de Milnor e de (4.4) que

c i f ) + d ( f )

Lema 4.2.8 Sejam f e M202,2 a

/i(A(f)) - n(S(f)) (4.7)

Mr = ( Px Py \

Qx Qy

J y )

onde p e q são as componentes de f , J é o determinante jacobiano de J' e os subscri-tos indicam derivadas parciais. Seja /a (Mj) o ideal gerado pelos menores de ordem 2 da matriz M f . Então a sequência

0 O-, '/:<• Jy-qyJx o. 2 0 Oo

(Px,Pv) (J,PxJy~PyJx) h(Mf) 0 (4.8)

é exata.

Demonstração A sequência é exata em

portanto sobrejetiva.

Consideremos a sequência

02 h(M}

pois cj) e a projeçao canónica e,

0 - - O:'. O ] A - 02

O2 h ( M f )

(4.9)

onde A : —• O2 é dada por

A ( / l , f 2 , h ) = f M J y ~ 'JyJx) ~ h ( p X J y ~ P y h ) + M

Como / é finitamente determinada, dim c yTJT\ = c ( f ) < 00• Segue do Corolário 2.4.2

que (4.9) é exata em 02. Logo, a aplicação qxJy - qyJx é injetiva. De fato, seja g G 02

tal que g(qxJy - qyJx) G ( J , p x J y ~ Pyh)- Então existem a e (3 G 02 tais que

g(qxJy - qyJx) + a(pxJy - pyJx) + flj = o

ou seja, A (g.—a.fi) = 0. Logo (g,—ajj) G ker A = I m M j . Segue que existem 7 e f) G 02 tais que

{g, a, (3) = M f ( j , 77) = 7 ( p x , qx, Jx) + r)(py, qy, Jy)

ou seja, g = "fpx + rjpy G (px,py)- Portanto, (4.8) é exata em 02/(px,py). Basta mostrar agora que (4.8) é exata em 02/(,J.px,Jy — pyJx). Temos que

k e r (j>= - (qxJy ~ q y J x ) ( { J , P x J y ~ P y J x ) ) \'->iPx'>y PyJx)

logo kei• {g) = h(qxJy - qyJx) + I2{Mf) E I2{Mf)

ou seja, g E ker0. Portanto 4.8 é exata em 0 2 / ( J , p x J y — PyJx)-•

Corolário 4.2.9 Seja f E A4202)2 um germe finitamente determinado. Então

c ( f ) = p(S(f)) + m ( f ) - 2

0'2 onde m ( f ) = dimc 7 - — y r c o grau da aplicação f = (/' 1, f2). U l ) / 2 /

Demonstração Mostremos primeiramente que podemos escolher coordenadas de mo-do que p_ 1(0) fl S ( f ) = {0}. Temos que / é À;-determinada para algum k. Então, para todo g G M 2 0 2 , 2 tal q u c jkg(0) — jkf(0) temos que / c ^4-equivalente a g. Portanto / é /C-equivalente a g. Segue daí que / é /C-deterrninada. Pela Proposição 1.5.3 temos então que / é C-determinada. Por [29, pg 493], n i ( f ) < 00. Segue do Teorema 3.2.5 que / - 1 ( 0 ) tem um número finito de pontos e, portanto, / _ 1 ( 0 ) H S ( f ) tem um número finito de pontos. Observemos que S ( f ) , p~l(0) e ç - 1 (0) são curvas em C2. Se p~} (0)

4.2 Cálcu lo de c.(f) e d(f) 43

coincide com S ( f ) numa vizinhança da origem, então n ã o pode coincidir com S ( f )

nesta vizinhança, pois / " ' ( 0 ) D S ( f ) tem um número finito de pontos. A menos de uma

mudança de coordenadas podemos então assumir que p _ 1 (0) fl S ( f ) = {0}.

Consideremos o ideal I = (J ,p} C O2, onde J(x,y) é o determinante jacobiano de /

em (x,y). A variedade analítica definida por / é dada por

{(.x, y) G C 2 / p(x, y) = 0 e J ( x , y) = 0} = { ( x , y) G jT 1 (0) D S ( f ) } = {0}

Portanto, I define um conjunto analítico de codimensão 2 e tem dois geradores. Como

0 é singularidade isolada, então I define um ICIS. O ideal (J) tem 1 gerador e define a

curva S ( f ) , que tem dimensão 1, logo (J) também define um ICIS.

Segue de [16, 5.11 (a)] que

O9 n(J, p) + /x(J) = dim,

{J,PxJy - PyJx )

onde /i c o número de Milnor do ICIS definido por I . Notemos que /.i(J) = /i(S"(/)).

Como o ICIS definido por / é 0-dimensional, segue1 de [16, 5.12] que

li(J,p) = dimc 77—t - 1

Assim

d i m c = " ( S ( / ) ) + d i m c M ~ 1

Vimos que o conjunto / _ 1 ( 0 ) possui um número finito de pontos. Logo podemos tomar

/ _ 1 ( 0 ) = {0}, ou seja, p - 1 ( 0 ) f l ç - 1 (0) = {0}. Assim, (p,q) tem dois geradores e define um

conjunto de codimensão 2. Segue daí que (p, q) define um ICIS. O ideal (p) tem 1 gerador

e define uma variedade de codimensão 1. Portanto também define um ICIS. Aplicando

[16, 5.11 (a)] obtemos O-

dimc jj^-r = n(p) + fi(p, q) (J,P)

e por |16, 5.12|

Logo

Portanto

O' /x(p, q) = d im c 7 ~r = rri(f) - 1

[P, Q)

O2 d im c -j-f r = ^(p ) + v l U ) ~ 1

o2 dimc 77 r r = M + ^ S ( f ) ) + in(J ) - 2 (4.10) {-IPxJy ~ PyJx)

Segue do Lema 4.2.8 que

dim lm(qxJy — qyJx) = dim ker</;

o2 dim hii(qxJy - qy,Jx) = dim

dim Imc/) — dim

(Px,Py)

o2 h(Ms)

ou seja,

Logo

dimc , ° 2 . = dimc j7 ^ t t - c ( f ) \Px 1 Py ) {J;PxJy ~ P y ) x )

O' c( f) = dim c — —? — - /i(p)

\J,PxJy - PyJx)

Substituindo a expressão acima em (4.10) obtemos o resultado. •

A seguir mostramos a invariância analítica de c ( f ) e d ( f ) , ou seja, se dois germes / e <7 são .A-equi valentes, então c ( f ) = c(g) e d ( f ) = d(g). Trata-se de um caso particular do Teorema 4.2.11.

Propos ição 4.2.10 Seja f G M202 2 um germe finitamente determinado. 0,1 números

c( f ) e d( f ) são invariantes analíticos.

Demonstração Seja g G A/t202}2 tal que / g, ou seja, existem germes de difeo-

morfismos (p, -0 : (C2, 0) —• (C2, 0) tais que / = ip o g o (p. Ternos que

d e t [ 4 / ] = det[oígo0(x)V;] det[fl(/,(x).g] det[dx(p]

Como fí9o0(x)'0 e dx(j) são isomorfismos, então det[d<p(x)g] = 0 se, e somente se, d e t [ d x f ] = 0.

Segue que

<j>{S{f)) = {(j>{x) G (C2, 0) / d e t [ d m g ] = 0} = {y € (C2, 0) / d e t ^ ^ j = 0} = S{g)

Ainda,

<i/,(A(g)) = 4>(g(S(g))) = i' o g o 0(5(/)) = /(£(/)) = A(/)

Como o número de Milnor é um invariante analítico então

l<-(S(f)) = n(S{g))

e

M(A ( / ) ) = / t ( A (g))

Mostremos agora que rn(f) = rn(g). Para isto, basta mostrar que If = ( f i , f 2 ) e

IG = (g 1, g2) são isomorfos, onde f\, / 2 e g\, g2 são as funções coordenadas respectivamente

de /' e <7. De fato, se If — I,, temos

m ( f ) = d im c ^ = d im c ^ = m(<y)

Mostremos primeiramente no caso em que ([> = /ríc». Se ij) 1, ijj2 são as funções coordenadas

de 'ijj então

/' = ( / 1 J 2 ) = C</;i ° g , ' i h ° g )

Como '0,(0,0) = 0, i = 1,2, segue do Lema 1.4.1 que

y) = au(x, y)x + a2i(x, y)y

onde n.ji E 02, i,j — 1,2. Logo

y) = y)) = «ii :V))í7i (a;, •</) + « 2 ^ , z / )^^ - , y)

ou seja, fi E Ig, i = 1,2. Portanto / / Ç Ig. Por simetria, If = Ig. Consideremos agora

(f> um difeomorfismo qualquer. Segue do caso anterior que / / = Ig0(f,. Consideremos o

isomorfismo induzido por ( j ) : 0 2 0 2

k 1—> k o f

Temos que (/)*(IG) = Igo<t>- De fato, seja g E IG. Então

g(x, y) = pi(x, y)gi(x, y) + p2{x, y)92(x, y)

onde PI, P2 E 02 e

<t>\9{x,y)) = ^\í3i(xpyW(gí(x,y)) + f(p2(x,y))^(g2(x,y))

= (pA O <j))(x, y)(g\ o (p)(x,y) + (p2 o <p)(x,y)(g2 ° 4>)(x,y)

ou seja, (F>* o G E IGO<T>. Logo <J>*(IG) Q IGO<J). Reciprocamente, seja G E IG0(J>. Então

tf = 7itf 1 0 <P + 72tf2 0 <P

onde 71, 72 £ 02. Como <F>* é isomorfismo, existem /?x, /32 € O2 tais que 4>*{PI) — 71 e

= 72- Logo

g = 0*(P,)0*(g]) + ^ ( f h W i ^ ) = + hg 2)

ou seja, g £ 4>*(Ia). Portanto I j = I,p(j, ~ I, r

Segue do Corolário 4.2.9 que

K/) = /'(5(/)) + m ( f ) - 2 = ,,(£(.,;)) + m{g) - 2 = c(g)

e

d ( f ) = ( / ) ) - / W ) ) ) - c(/) = ^(/i(A(</)) - /i(5(y))) - c(g) = d(g)

•

Teorema 4.2.11 Seja f 6 M202;2 um germe finitamente determinado. Os números c(/) e d( f ) são invariantes topológicos.

Demonstração Seja g £ M2O2/2 tal que existem germes de homeomorfismos (j>,ij> : (C2, 0) -> (C2,0), onde / = </> 0 <J 0 </>• Pela Proposição 4.2.1 temos que 5 ( / ) e ^(fl) são curvas. Segue do Teorema 1.3.3 que existe uma vizinhança U da origem tal que, se y £ U fl S ( f ) , o germe de f em y é estável. Portanto, o germe de / erri y é uma dobra ou urna cúspide de Whitney. A cúspide de Whitney corresponde a urna cúspide erri S ( f ) . Como cúspides ocorrem isoladamente, podemos encolher U de forma que o germe de / em y seja uma dobra. O mesmo ocorre para g. Corno (f> é homeomorfismo, (p leva dobra em dobra. Logo ( t>(S(f)) = S(g). Analogamente </;(A(</)) = A( / ) . Ainda, segue de [28] que o número de Milnor de uma hipersuperfície singular é um invariante topológico, logo

li(S(f)) = ii(S(g)) /x(A(/)) = MA(í/))

Xotemos que C é um anel de Cohen-Macaulay, pois dim C = depthC = 0. Pelo Teo-rema 3.2.5 temos então que rri( f ) é igual à cardinalidade de f~l(v0) para vq suhcientemerite próximo da origem. Logo, m ( / ) = :m(g).

O resultado segue do Corolário 4.2.9 e de (4.7). •

Corolário 4.2.12 Seja F : (C2 x C,0) -> (C2 x C,0), F(x,t) = (fi(x),t), um desdobra-mento de um germe de aplicação holomorfa finitamente determinado f = f0. Suponhamos que ft é instável em 0 para todo t,. Então F é um desdobramento topologicamente trivial se, e somente se, c(f\) e d ( f t ) são constantes.

4.3 Germes de corank 1 47

Demonstração Se F é um desdobramento topologicamente trivial, então todas as fi são topologicamente equivalentes. Segue de Corolário 4.2.11 que c(ft) e d ( f t ) são constantes.

Reciprocamente, suponhamos que <?(/,) e d(f,) sejam constantes. Como c(f,) é cons-tante, segue do Corolário 4.2.9 que fi(S(ft)) é constante. Por (4.7), c ( f t ) e d ( f ) constantes implicam que / í(A(/ t)) 6 constante. O resultado segue de [6,9.9].

•

4.3 Germes de corank 1

Nesta seção obtemos uma fórmula que simplifica o cálculo de c ( f ) e d ( f ) quando / tem corank 1. A idéia central é considerar / como um desdobramento a um parâmetro de um germe de função do tipo Ak e, como tal, induzida do desdobramento versai de Ak.

Nesta seção f é um germe em .M 2 02,2 de corank f. No resultado seguinte obtemos uma pré forma normal para tais germes.

Teorema 4.3.1 Seja f = ( / i , / 2 ) : (C2,0) —> (C2,0) um germe finitamente determinado de corank 1. Então f é A-equivalente a um germe da forma

n-2

(x,y" + at(x)yl) i=1

onde n = dimc —-—^rr é o qrau de f . ( / 1 J 2 )

Demonstração Como / tem corank 1, existe; uma submatriz de ordem 1 da matriz de dof cujo determinante é não nulo. Fazendo mudanças de coordenadas 11 a fonte e

f 11a meta se necessário, podemos supor que -—(0) ^ 0. Consideremos então o germe ox

(j) : (C2,0) —• (C2,0), dado por (x,y) = (fí(x,y),y). A matriz de d0(f) é

o 1 ) Logo, d0é é isomorfismo e, portanto, (p é germe de difeomorfismo. Podemos então consi-derar o germe </>"' = (tpí(x, y), ^( .x , ]]))• Temos:

(x,y) = (j)o (j)-\xpy) = (M~l{x,y)),ip2(x,y))

Portanto

fo<t>-\x,y) = / ( < r W ) ) = (Mr1(x,y)),f2(r1(x,y))) = (xjzirH^y)))


Segue que, a menos de mudança de coordenadas na fonte, / é da forma f(x. y) = (x, /2(x, y)).

Corno / é finitamente determinada temos que /2(0,y) ^ 0. Assim, /2(0,y) = y'y(y) com 9(0) 0. Como

O, n = dmij-

( x j 2 ( 0 , y ) )

segue que l = n. Corno consequência do Teorema 1.4.4 podemos escrever

f{x, y) = (x, (tt0(x) + • • • + «n-1 (x)yn 1 + yn)u

onde u 6 C2 é um elemento invertível. Consideremos o seguinte germe de difeomorfismo

0 : ( C 2 , O ) —> (C2,0) ( X , Y ) ^ ( X . ^ Y - R T O T X ) )

Assim, '4) o f ( x , y) = (x, ai(x)y H h n t l- i(x)y"~1 + y"). Considerando agora o germe de difeomorfismo

^ : (C2,0) —> (C2, 0) (x,y) ^

temos

} O tp x-, y = J x, y = x, x)(y ) + a2(x)(y ) + • • • n n n

n n Finalmente, após mudança de coordenadas 11a meta / é „4-equivalent,e a

(x, y) 1—• (x, a„-2(x)y + • • • + a^.x);//'"-2 + yn)

Se m ( / ) = k + 1, segue do teorema acima que, a menos de mudança de coordenadas

11a fonte e 11a meta podemos escrever

/ ( x , y ) = (x,yk+l +a1(x)yk~i + • • • + ak^(x)y) (4.11)

Os coeficientes a^x) de yk~l determinam a aplicação


af : C —> Ck-[

x i—> (a,(x),. . . ,ak-i(x))

Podemos ver / como urri desdobramento a 1 parâmetro de urna singularidade do tipo AK

f : (C x C, 0) —* (C x C, 0) (x ,y) i—> (x,g(x,y))

onde g(x, y) = yk+1 + o j (x)yk~l + • • • + a f c _i (x)y e g(x, 0) = yk+l

A aplicação a/ = ( a 1 ; . . . , 1) pode ser vista como urna aplicação da base do desdo-

bramento / na base do desdobramento versai F de AK:

F : ( C ^ 1 x C, 0) —> ( C ^ 1 x C, 0)

(«i,... ,Uk-i,y) '—> ('«1, • • • , Uk-i, yk+1 + Uiyk~l 4 1- Uk-iy) = (u,gu(y))

Definimos agora os conjuntos de bifurcação B, BC e BO na base do desdobramento F:

Bq = {u E / gu tcrri um ponto crítico degenerado}

Bd = {u E C ^ 1 / gu tem dois pontos críticos com o mesmo valor crítico}

B = {a E CA: 1 / gu não é estável}

Segue de [11, Proposição 2.2] que B — BC U BO-

Sejam A s j n g o conjunto dos pontos singulares de A ( F ) e 7r : x C —» a

projeção na base do desdobramento F. Segue de [23, §6) que

Bc = {u E (Ck 1, 0) / 3y E (C, 0) tal que ^ ( y ) = 0 e ^ ( y ) = 0 }

D = ̂ (̂ sing) e que o conjunto A s j n g é a variedade dos zeros do primeiro ideal de Fitting de F*OS(F), isto é, A g j n g = V(J7i(F tOs(F)))- Dessa forma calculamos B. O conjunto BD pode então ser calculado dividindo a equação de B pela de BC.

E x e m p l o s 4 . 3 . 2 1. C o n s i d e r e m o s f(x,y) = (x,yA + (n(x)y2 + a2{x)y). E n t ã o

F(u1,u2,y) = («1,^2, y4 + y2 + '«2 y) = (u, gu{y))


Temos S(F) = {(u, y) G (C:i, 0) / dei\d {u ,u)F) = 0}

= {(u, y) G (C3, 0) / 4y3 + 2 U [ y + u2 = 0} = {(it, y) G (C3, 0) / U2 = - 4 y 3 - 2 u l V }

A(F) = {F(uuu2,y) / £ 5(F)}

= {('«•!, ^4y 3 - 2'u,i;/y - - 3 y 4 - u^y2)}

Temos que

Bc = {u G (C2, 0) / 3y G (C, 0) tal que 4y3 + 2u l V + u2 = 0 e 12y + 2uv = 0}

ou seja, Bq é o discriminante de 4y3 + 2uxy + u2. Com o auxílio do programa Maple calculamos este discriminante e, portanto, a equação de Bc-

8 u{ + 27 U22 = 0

Queremos agora encontrar a equação de B. Para isso, 6 necessário calcular primeira-mente o primeiro ideal de Fitting de F*OS(F)- Temos

F\S(f} • S(F) ( C 3 , 0 )

(tii, ~4y3 — 2ui'ij, v) 1—> (wi J ~~ 4y3 — 2u\y, — 3y4 — u^y2)

Logo

- C { l , y , y 2 } F*Os(F) O 2 M-IF*Os{F) ('til, - v - 2 U i y , — 3y 4 - uiy

2)

Sejam U = u\, V = —4yA — 2u\y e W = — 3y4 — u-\y2. Com o auxílio do programa

Maple encontramos as relações entre l , y e y2

4W.1 - 3V.y - 2U.y2 = 0 (IV2 + \UW).l + O.y + ( 4 w - \U2).y2 = 0

16W2.1 - VU'2.y + (-9V2 - 16UW - 2U3).y2 = 0

obtendo assim a matriz

í 4 W -3V -2U \ A = | V 2 + | U W 0 4W - ±U2

V 161T2 -VIJ2 -9V2 - 16UW - 2U s J

O primeiro ideal de Fitting de F*0S(F) é o ideal gerado pelos menores de or-

4.3 G e r m e s de corank 1 51

derri 2 de A. Também com o auxílio do Maple, calculamos a equação de A.sí„g =

\ / ( J rí ( F * O s ( F ) ) ) , donde segue a equação de D = TX

u2(8uf + 27 U22) = 0

Portanto a equação de D D é

u2 = 0

2. Consideremos agora f(x, y) = (,r, y5 + «i(.r)y3 + a2(x)y2 + a3(.r)y).

F(UUU2, U:I, y) = {UI, U2, u3, y5 + IL^I/ + u2y2 + u3y) = (ti, Yu.(y))

Temos

S(F) = {(«, y) G (C4, 0) / det[d { u ,y )F] = 0}

= {(u, y) G (C4, 0) / 5y4 + Zuyy2 + 2u 2 y + u3 = 0}

= {(u, y) G (C4, 0) / u3 = —5y4 - 3íx1?/2 - 2u2y}

A ( F ) = {F('íí!, u2, «3 ) y) / («i, it2, u3, y) e S{F)} = {(uuu2, —5y4 - 3 u i y

2 - 2u 2 y , - 4 y 5 - 2?x1?y3 - « 2 y 2 )}

Temos que

Bo = {'"< € (C3, 0) /3y G (C, 0) tal que 5 y 4 + 3 u , y 2 + 2 u 2 y + u 3 = 0 e 20y3+6u1y+2íx2 = 0}

ou seja, £c< é o discriminante de 5y/l + 3uíy2 + 2u2y + u-i. Com o auxílio do programa

Maple, encontramos a equação de Ba

-Slulu3 + 360u2u3 - 400«3 + 135m^ + 27ufu2 - 540w 1 «^ 3 = 0

Ainda, F\s{n : S(F) (C4 ,0) é dada por

F\S(F) [UI, u2-rôy4-3ui y2-2u2y, y) = (Uí,u2, -5;i /4-3-Uiy2-2ii2 ; í / . -4y5-2 'u1?/^i2y2)

Logo

F * ° S W ~ ~ C { l , y . y 2 , y 3 } MaF,0S(F) (wi, u2) —5yA - 3uYy 2 - 2u2y, - 4 y 5 - 2u V t / - u2y2)

Sejam U = uu V = - 5 y 4 - 3'ury2 - 2u2y e W = - 4 y 5 - 2«iy3 - u2y2. Com o auxílio

do programa Maple encontramos as relações entre 1 ,y,y2 e y3

—5Z.I + 4W.y + 3V.y2 + 2 U.y3 = 0 'U'. 1 + (-5Z - §UV).y + (4W - p2):y2 + 3V.y3 = 0

{-{ZU -\VW).l - IV2.y + (-5Z - f0UV).y2 + (4W - U2).y3 = 0 (4 W2 + fVZ~IU2W).l~f U2V.y + (14 UW - f V2 - f U3) .y2 + (25 Z+ f UV).y3 = 0

obtendo assim a matriz

A =

- 5 Z 4 W 31/ 2 U \ -\UW -bZ-\UV 4W-\U2 3V

-IZU-tyW -$V2 —5Z — T7.UV 4W-U2 l O o HJ

^ 4W2+rf VZ-\lf2W -fU2V UUW-^V2-fU3 25Z + ^UV

O primeiro ideal de Fitting de F*0S(F) é o ideal gerado pelos menores de or-

dem 3 de A. Também corri o auxílio do Maple, calculamos a equação de Aging

V(Ti(F*0S(F))), donde segue a equação de D = 7r(AA.my) e, portanto, a equação de

B,y.

16 fi 224 , 1040 2 2 r A 88 3 2 6336 2 27 2 n - u \ - —U*u3 + —uiui - 64U3 + -u>u2 ^ W s - ju2 = 0

Suponhamos que / seja como em (4.11). Segue de | l l ] que / tem uma cúspide em

(x, y) se, e somente se,

dy [lJ) Dy2 [!J) dy3

Mas isto acontece se, e somente se, y é uma singularidade do tipo A2 de ga;{x)- Ainda, se

/ tem uma dobra dupla em (x, yi) e (x, y2) então

% f f e O = 0 e ^ f M Í O

ou seja, yi e y2 são singularidades do tipo A[ de gaj(x) e gaf(x)(yí) = <Jaf{x)(y2)-Reciprocamente, se yi e y2 são singularidades do tipo Ai de gaf(x) e ga}{x)

( y i ) =

ÍJaf(x)(y2), então cada ramo do bigerme de / em {(./;, gi), (x, y2)} é uma dobra. Logo, / tem uma dobra dupla em {(x\yi), (x,y2)} se, e somente se, yx e y2 são singularidades do


tipo Ai de gãf(x) e g a / M ( y i ) = gaf(x){y2)-No primeiro caso a/(x) E BQ e no segundo (ij{x) 6 Bp. Segue daí que se aj encontra

B somente em seus ])ontos regulares e, nestes pontos, transversalmente, então / 6 estável e neste caso

c ( f ) = número de vezes que aj encontra Bc

d ( f ) = número de vezes que ãf encontra Bo

Dizemos que um subconjunto de C n é um conjunto algébrico se satisfaz urri número finito de equações polinomiais. Segue que um subconjunto algébrico de C é uma união finita de pontos.

Teorema 4.3.3 Se f é como em (4-H) então

c { f ) = v(bc ° af) d ( f ) = v{bD o af)

onde bc e bD são as equações reduzidas de Bc e BD respectivamente, e v é a ordem de

o e C.

Demonstração Numa demonstração análoga à do Teorema 4.3.1 vemos que, a menos de mudança de coordenadas, qualquer desdobramento de / é induzido por um desdobra-mento do germe a j : (C, 0) —> (C fe_1,0) e vice-versa.

Suponhamos que exista uma deformação at a 1-parâmetro da curva af tal que, para t 0, at encontra Bc e BD somente em seus pontos regulares e, nestes pontos, transver-salmente. Então a deformação ft induzida de at 6 tal que ft é estável para í ^ 0, o número de cúspides no discriminante de j\ é igual ao número de zeros de bc o at e cada um destes zeros é simples. Temos que localmente o número de zeros de uma função C —> C é preservado por deformação. Logo

v(bc ° at) = v(bc ° a f )

para todo /. Portanto o número de cúspides no discriminante de /, é v(bc Analoga-mente, o número de dobras duplas no discriminante de ft é v{br> 0 af).

Resta mostrar que existem deformações a 1-parâmetro de a/ com tais propriedades. Seja b = bcbo. Vamos primeiramente obter a,t de forma que boat tenha v(boa,f) zeros sim-ples. Tomemos a : (C, 0) ->• (C fc_1,0), ã(x) = (ã^.x) , . . . ,õ f e_i(x)) uma curva transversal a B e definimos

a,t(x) = o,f(x) + t(ã(x) - aj(x))

Considerando b o at como um polinómio erri í, o conjunto dos valores de /, para os quais b o at tem raízes repetidas é algébrico. Tal conjunto não é todo C, pois b o ax = b oTi

tem somente raízes simples. Logo este conjunto algébrico é urri número finito de pontos e, portanto, t = 0 é um ponto isolado deste conjunto. Assim, para t ^ 0 suficientemente pequeno, b o a, tem somente1 raízes simples.

Temos que

b o at = (bc o at)(bD o at)

Assim, r é uma raiz de b o at se, e somente se, r é uma raiz de bc o at ou uma raiz de bp o at. Como b o at só tem raízes simples, então bc o «í e bp o at só têm raízes simples.

Isto significa que a t encontra Da e Bp apenas em pontos regulares, e lá transversalmente. •

Este resultado mostra que c( / ) e d ( f ) são determinados pela interseção de aj com Bc e Bp.

Apresentamos a seguir alguns exemplos para ilustrar a utilização do Teorema 4.3.3 no

cálculo de c e d.

Exemplos 4.3.4 1. Consideremos f1>k : (C2,0) -> (C2, 0) dada por / u ( . x , y) = (x, y 4 + xky). Temos que m(f\^) = 4 e a^ k(x) = (0,xk). Então

bc = 8u\ + 27u2 e bc ° aIl k{x) = 27x2k

bp = u2 e bp o aJí k(x) = xk

Portanto

c(/i,fc) = v{bc o ah>k) = 2k

d(f\,k) = v(bD o o,fl k) = k

2. Seja f2M,k2 • (C2 ,0) (C2,0) dada por f2MM{xçy) = {x,y4 + xkly + x^y 2 ) , onde 3k2 < 2k\. Temos (jue rn(f2j.uk2) = 4 e o/2k k (x) = (xk'2}xkl). Então

bc = 8uj + 27u22 e bc o ahMM (x) = 8x:ifc'2 + 2 7 X 2 A : I = x3k*(8 + 27x2ki~'Abl)

bD = u2 c bDoahkitk2(x) = xkl

Segue que

C{Í2MM) = V(bC 0 af2.kl,k2) = 3A:2

difiMte) = v(bD ° ahkíM) = kl

3. Tomemos f3MM : (C2 ,0) ^ (C2,0) dada por f3M,k2(x,y) = (x,y4 + 8 x 3 f c l y -6x2fcly2 + x2kl+k'2y2) com k2 > 0. Temos que m(f'iMM) = 4 e aÍW2{x) = (6x2fcl +

x2ki+k2.8x3kl). Então

bc o a f w 2 ( x ) = 8z6* , + 3*2 - lUx6kl+2k2 + 864:/;6fcl+fc2

° ah,kl,k2(x) = 8 x ' : U ; i

Segue que

r(f-iMiM) = v(hc ° "hx.xj = CA:i + ^

<l(h,kite) = v ( b » ° «/**„*,) = 3 k l

Pelo Corolário 4.2.11 temos os germes acima são topologicamentc distintos, já que os números c e d são dois a dois distintos.

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índice Remissivo

A;-jatos, 3

equivalentes, 4

anéis

de Cohen-Macaulay, 20

Noetherianos, 16, 17

reduzidos, 31

aplicação tangente, 7

campo de vetores, 8

Cohen-Macaulay

anéis, 20

germes de variedades, 26

módulos, 20

curva, 31

reduzida, 32, 33

decomposição

primária, 15, 16, 25

delta, 33

desdobramento

versai, 10

desdobramentos, 10

induzidos, 10

isomorfos, 10

topologicarnente triviais, 11

triviais, 10

dimensão

de germe de variedade, 26

de um anel, 17

de um módulo, 18

finita, 18

espaço tangente, 7

estável

germe, 9

fibrado tangente, 7

finita

aplicação, 26

germes

„4-equivalentes, 2

/C-equivalentes, 13

de corank 1, 47

de subvaricdade analítica, 23

de subvariedades, 25

de variedades, 24

de variedades de Cohen-Macaulay, 26

de variedades equidirnensionais, 26

estáveis, 9, 30

finitamente determinados, 9

multigerme, 1

rank, 2

grade

de um módulo, 20

grupos

ação de, 3, 4

de Lie, 3, 4

Hadamard, 11 Hilbert-Burch, 21

ideal

altura de, 17

de Fitting, 29, 37

Í N D I C E R E M I S S I V O 60

primário, 15 primo, 15 primo maximal, 15 primo minimal, 15 radical, 15

intersecção completa, 28 intersecção completa com singularidade

isolada (ICIS), 28

módulos de Cohen-Macaulay, 20 Noetherianos, 17 projetivos, 21

Malgrange, 13 Milnor

fórmula de, 33 número de, 33

nilpotente, 15 Noetheriano

anel, 17 módulo, 17

normalização, 27, 34

profundidade

de urri módulo, 20 pull-back, 10

sequência exata, 21, 22 regular, 18

subvariedades analíticas, 23 germes de, 23

Weierstrass, 12

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