SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL · Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I Exemplo 2: Dado o...

SERVIÇO PÚBLICO FEDERALMinistério da Educação

Universidade Federal do Rio Grande

Universidade Aberta do Brasil

Administração – Bacharelado

Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I

Rodrigo Barbosa Soares

Curso de Administração

5. Funções – Parte1:

5.1. Introdução:

Muitas vezes, deparamo-nos com situações que envolvem uma relação entre

grandezas. Assim, o tempo de viagem entre duas cidades depende da velocidade

média desenvolvida no trajeto; o preço de um produto depende da sua demanda e

oferta; a temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição

diminui quando a altitude aumenta) e o rendimento anual de suas economias

depende da taxa de juros oferecida pelo banco.

Na própria Matemática, abundam exemplos de grandezas que dependem de

outras, como a área de um círculo de raio r, que é dada por A=π r2. Então, dizemos

que a área de um círculo depende do raio e em cada caso, o valor de uma variável

depende do valor da outra. O ponto de ebulição da água, e, depende da altitude, a;

os juros, j, dependem da taxa de juros, t. Dizemos que “e” e “j” são variáveis

dependentes, porque são determinadas pelos valores das variáveis “a” e “t” que

são as variáveis independentes.

Podemos utilizar tabelas, gráficos e linguagem matemática por meio de

fórmulas, para representar as relações de dependência entre duas ou mais

grandezas. E dentro do universo das relações entre grandezas, as funções são as

melhores ferramentas para descrever o mundo real, em termos matemáticos.

Uma regra ou relação que associa a cada elemento de um conjunto em um

único elemento de outro conjunto é chamada de função. Uma função é uma

máquina que associa um único produto (f(x)) a cada matéria-prima (x) disponível. A

matéria-prima forma o domínio da função e os produtos formam a imagem.

A

B C

1

2

3

Matéria-prima (x) domínio

Produto (f(x))imagem

2


5.2. Definições:

5.2.1.

5.2.2.

5.2.3.

3

Dados dois conjuntos não vazios A e B�, denomina-se produto cartesiano (indica-se por A x B�) o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y) do plano cartesiano, nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B� .

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B� , dá-se o nome de relação de A em B� a qualquer subconjunto de A x B�.

Relação

Uma relação f de A em B� é uma função se, e somente se:

•Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y

pertencente a B� definido pela relação , chamado de imagem de x.

•A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais

elementos de B� por meio de f, ou seja, a cada elemento do conjunto A está

associado um e apenas um elemento do conjunto B� .

(lê-se: função de A em B�)

Função real de uma variável real

Domínio da função ou campo de definição da função é o conjunto A , de todos

os valores dados para a variável independente x .


Exemplo 1:

Seja a função dada pela sentença f (x )=2x . O domínio da função são todos

os valores possíveis de x, que tornam a sentença verdadeira. No caso, o domínio é

o conjunto dos números reais, ℜ , ou o intervalo (−∞ ,+∞) . O gráfico da função,

já sabemos, é uma reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 2 e linear

0. A imagem da função é o conjunto ℜ . Assim:

f (1 )=2, f (2)=4 são os valores da função quando x=1, x=2 que formam

os pares ordenados (1,2) ;(2,4 ) . O gráfico da função definida pela sentença

f (x )=2x é formado por todos os pontos que pertencem à reta da figura abaixo.

4

Cada elemento x tem um correspondente y no contradomínio. O conjunto de

todos os valores de y correspondentes aos valores de x é chamado de

Imagem da função.

O conjunto B� é denominado contradomínio da função. É no contradomínio que

estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.

y

x

x2)x(f =


Exemplo 2: Dado o conjunto A= {1,2,3,4,5,6 } e B= {1,3,5,7,9,11 ,13 ,15 } ,

determine o domínio, o contradomínio e a imagem da função f (x )=2x+1 . e o

Como o domínio da função é o conjunto A , Df =A e o contradomínio é o conjunto

B , CDf=B , construindo uma tabela de valores temos que a imagem da função é

Im={3,5,7,9 ,11 ,13 } . O diagrama da relação y=f ( x )=2x+1 é mostrado abaixo:

Para cada valor da variável

independente x∈A , temos um

único valor correspondente para a

variável dependente y∈B .

Para identificar graficamente se uma relação é ou não uma função, traçam-se

retas paralelas ao eixo y. Se a reta intercepta (corta) o gráfico em mais de um

ponto, não é função. Na função para cada x do domínio, deve existir em

correspondência um único y no contradomínio. Graficamente, o domínio de uma

função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x), e a

imagem pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y).

Por exemplo: o gráfico ao lado não representa uma função, pois, para

cada x, temos dois y (y1 e y2).

Já os gráficos abaixo representam funções, pois traçando retas

paralelas ao eixo y, interceptam o gráfico da função uma única vez.

Então, verificamos que para cada x obtemos um único y.

5

123456

135791113

15

13791113


Exemplo 3:

Construir no plano cartesiano o gráfico da função f : ℜ→ℜ definida por

f (x )={x,se x≥22, se x<2 } .

Nesse caso, temos uma função definida por duas sentenças. Para a

construção do gráfico, vamos observar as tabelas:

6

x F(x)=x (x,y)

2 2 (2,2)

3 3 (3,3)

4 4 (4,4)x f(x)=2 (x,y)

1 2 (1,2)

0 2 (0,2)

-1 2 (-1,2)

y

x


Exemplo 4:

Dada a função f (x )=7x−3 , com D=ℜ , obtenha:

a) f (2) , assim f (2)=7 (2)−3=11

b) f (−1 ) , assim f (−1 )=7(−1)−3=−10

c) f (x0+h ) , assim f (x0+h )=7( x0+h )−3=7x0+7h−3

d) f (x0+h )−f ( x0) , assim

f (x0+h )−f ( x0)=(7 (x0+h )−3 )−(7x0−3 )=7x0+7h−3−7x0+3=7h .

Exemplo 5:

Uma livraria vende uma revista por R$ 15,00 a unidade. Seja x a quantidade

vendida.

a) Obtenha a função receita R(x). b) Calcule R(40). c) Qual a quantidade que deve

ser vendida para dar uma receita igual a R$ 750,00?

a) R(x)=15x

b) R(40)=15(40)=600 a receita é de R$ 600,00 quando são vendidas 40 revistas.

c) 750=15x x= 750/15 = 50 revistas devem ser vendidas para que a receita seja

de R$ 750,00.

Exemplo 6:

O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função

C( x )=100+2x . a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? b) Qual o custo de

fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades?

a) C(10 )=100+2(10 )=120

b) C( 9)=100+2(9)=118 , o custo de fabricação da décima unidade, depois de

nove unidades já terem sido fabricadas, é dado por C(10 )−C (9 )=120−118=2

reais.

7


Exemplo 7:

Em determinado país, o imposto de renda é igual a 10% da renda, para

rendas até R$ 900,00. Para rendas acima de R$ 900,00, o imposto de renda é igual

a R$ 90,00 (10% de R$ 900,00) mais 20% da parte da renda que excede R$ 900,00.

a) Qual o imposto de renda para uma renda de R$ 600,00? b) Qual o imposto de

renda para uma renda de R$ 1200,00? c) Chamando de x a renda e de y o imposto

de renda, obtenha a expressão de y em função de x.

Solução: Primeiramente, vamos resolver a letra C para obtermos a expressão

matemática do imposto como função da renda. Observe que

a) f(600)=0,1(600)=60,00 reais.

b) f(1200)=90+0,2(1200-900)=90+0,2(300)=90+60=150 reais.

Algumas vezes, o domínio da função não é mencionado. Convenciona-se que

ele seja formado por todos os valores reais de x para os quais exista a imagem y.

Dessa forma, não fará parte do domínio da função:

a) O valor de x que torna o denominador igual a zero, por exemplo: se

f (x )=x+1x−5 , x=5 não faz parte do domínio da função, o D=ℜ− {5 } ;

b) o valor de x que torna o radicando de uma raiz quadrada negativo, por

exemplo: se f (x )=√ x+3 , assim x+3≥0 e x≥−3 , o domínio de f são todos os

valores de x≥−3 , ou seja, D= {x∈ℜ/x≥3 }

8


5.3. Função Par e Função Ímpar:

Uma função y=f ( x ) é uma Função par de x se f (−x )=f ( x ) , e uma

Função ímpar de x se f (−x )=−f ( x ) , para qualquer x que pertença ao domínio

da função.

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Uma vez que

f (−x )=f ( x ) , um ponto ( x,y ) estará no gráfico se, e somente se, o ponto

(−x,y ) estiver no gráfico (figura A). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em

relação à origem. Uma vez que f (−x )=−f ( x ) , um ponto ( x,y ) estará no

gráfico se, e somente se, o ponto (−x,− y ) estiver no gráfico (figura B�). De

maneira equivalente, um gráfico é simétrico em relação à origem se uma rotação

de 180º, em relação à origem, não alterar o gráfico.

Figura A Figura B�

Por exemplo: Sendo f (x )=y=x2 para x=2→ y=4 e para x=−2→ y=4 ,

logo, y=x2 é uma função par. Sendo f (x )=y=x3 , para x=2→ y=8 e para

x=−2→ y=−8 , logo, y=x3 é uma função ímpar.

Os nomes par e ímpar vêm das potências de x. Se y é uma potência par de

x, como y=x2 , então, é uma função par de x (pois (−x )2=x2 ). Se y é uma

potência ímpar de x, como y=x3 ou y=x , então, é uma função ímpar de x (pois

(−x )3=−x3

).

9


5.4. Função Crescente e Função Decrescente:

Uma função y=f ( x ) é crescente num conjunto A se, e somente se, para

quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1< x 2 , tivermos

f (x1)<f ( x2) . Ou seja, à medida que x cresce, a imagem y também crescerá.

Analogamente, uma função é decrescente num conjunto A se, e somente se, para

quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, x1< x 2 , tivermos f (x1 )>f ( x2 ) .

Assim, uma função é decrescente se à medida que aumenta o valor de x, as

imagens correspondentes vão diminuindo.

Exemplo 8:

Seja a função real dada por

f (x )=2x+1 . Para analisar se essa

função é crescente ou não, atribuímos

alguns valores a x e substituímos na

fórmula dada, obtendo suas

respectivas imagens. À medida que x

aumenta, a imagem y aumenta, então,

a função é crescente.

x=−2⇒ f (−2 )=2(−2)+1=−3x=−1⇒ f (−1 )=2(−1)+1=−1x=0⇒ f (0 )=2(0 )+1=1x=1⇒ f (1)=2(1 )+1=3

Exemplo 9:

Vamos estudar o comportamento da função g( x )=−x2+9 , para x≥0 ,

quanto ao crescimento e decrescimento.

Atribuindo valores para x, obtemos:

x=0⇒ f (0 )=−(0 )2+9=9x=1⇒ f (1)=−(1 )2+9=8x=2⇒ f (2)=−(2)2+9=7x=3⇒ f (3 )=−(3 )2+9=0

À medida que x cresce, a imagem y decresce, então, a função é decrescente para

x≥0 .

1

x

X aumenta

-2 -1

1

y

3

y aumenta


5.6. Função Composta e Função Inversa:

5.6.1. Função Composta:

Uma fábrica que produz cartuchos para impressoras calcula o seu lucro por

meio da equação L=0,2 P , onde L é o lucro e P o preço de venda desse cartucho

para o comércio. Por sua vez, o preço de venda é calculado, fazendo-se

P=20+2M , onde M é o valor gasto com matéria-prima para a fabricação desse

cartucho. Vemos que o lucro é dado em função do preço, e este, em função do

gasto em matéria-prima M.

Então,

L=0,2 PP=20+2M

()

L=0,2(20+2M )=4+0,4 M

A função H(M) chama-se função composta de L com P, que é indicada por

H (M )=f ∘g=f (g (M )) .

Exemplo 10:

Sendo dados f (x )=x2+2 e g( x )=3x , calcular g( f (x )) e f (g (x )) .

Solução:

g( f (x ))=g∘ f=3 ( x2+2)=3x2

+6 , no lugar do x da função g colocamos a função f.

f (g (x ))=f ∘g=(3x )2+2=9x2

+2 , no lugar do x da função f colocamos a função g.

5.6.2. Função Inversa:

Primeiramente, vamos definir uma função injetora: Uma função f(x) é

injetora no domínio D se f(a)≠f(b) sempre que a≠b. O gráfico de uma função injetora

y=f(x) só pode cruzar cada reta horizontal no máximo uma vez. Se isso ocorre mais

de uma vez, então, ela assume o mesmo valor de y mais de uma vez, portanto, não

é injetora.

1


Uma função injetora pode ser invertida. A função definida pela inversão de uma

função injetora f é a inversa de f , que é indicada por f -1 (f -1(x)) não significa

1/f(x)).

Uma maneira de constatar se f e g são inversas é compor as funções f°g e

g°f. Se f (g (x ))=x e g( f (x ))=x , então, f e g são inversas uma da outra; caso

contrário não são.

Compor uma função com sua inversa (em qualquer sentido) devolve cada

ponto da imagem ao ponto do domínio onde se originou. O resultado de compor

uma função com sua inversa, em qualquer sentido, é a função identidade (que

veremos a seguir).

Determinando a função inversa:

Exemplo 11:

Determine a inversa da função y=12x+1 , expressando-a em função de x.

Solução:

Passo 1: Determine x em função de y.

y=12x+1⇒2y=x+2

x=2y−2

Passo 2: Troque x por y na equação x=2y−2 ,

Ficando y=2x−2 , a função inversa de f (x )=12x+1 é a função f−1

( x )=2x−2

1

Teste: As funções f (x ) e g( x ) são inversas uma da outra se, e somente

se, f (g (x ))=x e g( f (x ))=x . Neste caso, g=f−1 e f=g−1 .


Conferindo:

f−1( f ( x ) )=2( 12x+1)−2=x+2−2=x

f ( f−1( x ) )=12

(2x+−2 )+1=x−1+1=x

Exemplo 12:

Determine a função inversa de

cada função dada:

a) y=x−3 solução: x=y+3⇒trocando x por y⇒ y=x+3=f−1( x )

b) y=3x−24x−3

( x≠34

) solução: y=3x−24x−3

⇒isolando y , vem 4 xy−3y=3x−2

colocando x em evidência x (4y−3 )=3y−2⇒ x=3y−24y−3

, trocando x por y

y=3x−24x−3 , neste caso f (x )=f−1

( x ) .

c) f (x )=2x−1x−3

( x≠3 ) solução: y=2x−1x−3

⇒isolando y , vem xy−3y=2x−1

colocando x em evidência x ( y−2)=3y−1⇒ x=3y−1y−2

, trocando x por y

y=3x−1x−2

(x≠2) , neste caso f −1( x )=3x−1x−2

( x≠2 ) .

5.7. Função Polinomial do 1° grau:

Função polinomial do 1º grau é aquela cuja fórmula matemática é expressa

por um polinômio do 1º grau.

5.7.1. Definição:

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer

função f de ℜ dada por uma lei da forma f (x )=ax+b , onde a e b são números

reais dados e, a≠0. Como vimos anteriormente, na unidade 4 (geometria analítica),

1

1

-2

-2

1x21

y +=

x

y 2x2y −=

y


o gráfico da função do 1º grau é uma reta. Na sentença y=ax+b , a é o coeficiente

angular da reta e b o coeficiente linear.

No caso de a = 0, a sentença y=k é chamada de função constante. O

gráfico dessa função é uma reta horizontal que passa pelo ponto de ordenada k,

(0,k).

Quando b = 0, a sentença y=ax recebe o nome

especial de função linear.

Se ainda a = 1, a função y=x recebe o nome de

função identidade. O gráfico é uma reta que divide o primeiro

e o terceiro quadrante em duas partes iguais.

5.7.2. Determinação da função conhecendo o gráfico:

Exemplo 13:

Determine a lei de formação da função f, cujo

gráfico cartesiano é representado ao lado:

Solução: Os pontos de intersecção com os eixos

coordenados são (1/3,0) e (0,-1). Vamos ver todas as

maneiras possíveis de determinar a reta do gráfico ao

lado, que passa pelos dois pontos.

1°) A função, representada pela reta que passa por

dois pontos, pode ser obtida resolvendo o determinante ∣x y 1

1/3 0 10 −1 1

∣=0

(condição de alinhamento),

2°) Ou, determinando o coeficiente angular a=m=y2− y1

x2−x1

=ΔyΔx

=−1−00−1/3

=3 e

calculando a reta que tem coeficiente angular igual a 3 e passa pelo ponto (0,-1)

y− y1=a( x−x1)

y−(−1 )=3( x−0)⇒ y=3x−1,

1

x


3º) Ou a reta que passa por (1/3,0) e tem coeficiente angular 3

y− y2=a( x−x2 )

y−0=3( x−1 /3 )

⇒ y=3x−1

,

4º) Ou, sabendo que a equação segmentária da reta é dada por yq

+xp=1 e

conhecendo os pontos (0.-1)=(0,q) e (1/3,0)=(p,0), a equação fica

y−1

+x1 /3

=1⇒− y+3x=1

⇒ y=3x−1,

5º) Ou, substituindo os pontos conhecidos na equação y=ax+b :

(0,−1 )⇒−1=a(0 )+b

(1/3,0)⇒0=a(13 )+b então, resolvendo o sistema linear determinamos a e b:

{b=−1a3+b=0}⇒b=−1 e a=3

Exemplo 14:

Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B�(2,3);

Sendo f (x )=ax+b , então, substituindo os pontos A e B� na equação, obtemos

2=a(1 )+b3=a(2)+b

, que corresponde ao sistema linear { a+b=22a+b=3} . Multiplicando a

primeira equação do sistema por (-1) e somando com a segunda, obtemos:

a=1 e b=1 , logo, a função que é representada pela reta que passa pelos pontos A

e B� é y=x+1 ou f ( x )=x+1 .

5.7.3. Zero da função do 1° grau:

O zero ou raiz da função do 1º grau é o ponto onde a reta intercepta o eixo

das abscissas (eixo x), ou seja, é o ponto de ordenada nula (y=0). Sendo

f (x )=ax+b e y=f ( x )=0 determinamos o zero ou a raiz da equação do 1º grau:

ax+b=0⇒ x=−ba .

1


5.7.4. Estudo do sinal de uma função do 1° grau:

Exemplo 15:

Após o pagamento de todos os custos na importação de um produto, uma empresa

calcula o faturamento que terá com ele, usando a lei f (x )=8x−640 , em que f (x ) é o

faturamento líquido de x unidades vendidas. Qual a quantidade mínima que essa empresa

terá de vender para obter lucro?

Solução: o zero da função é dado por 8x=640 , x=80 . Assim, podemos fazer o seguinte

esboço, sabendo que a função é crescente (a>0):

Fazendo o estudo do sinal temos:

f (x )=0⇒ x=80f (x )>0⇒ x>80f (x )<0⇒ x<80

1

f (x )=ax+b

Zero da função: ax+b=0⇒ x=−ba

0)x(f >

ab

x −=ab

x −=

0)x(f <0)x(f >

ab

x0)x(f

ab

x0)x(f

ab

x0)x(f

−<⇒<

−>⇒>

−=⇒=

ab

x0)x(f

ab

x0)x(f

ab

x0)x(f

−>⇒<

−<⇒>

−=⇒=

0)x(f <

80

+

_

X=-b/a

+

_

+

X=-b/a-


A quantidade mínima que a empresa deve vender para ter lucro é x= 81

unidades.

5.8. Função Custo, Receita e Lucro do 1° grau:

5.8.1. Função Custo:

1

fC

Quantidade (x)

A função Custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia

em função da quantidade produzida (x) desse bem.

No custo de produção, existem duas parcelas, a saber: uma fixa, chamada de

custo fixo, que não depende da quantidade produzida e outra variável,

chamada de custo variável, que depende da quantidade produzida.

O custo fixo corresponde a gastos fixos que não dependem da quantidade

produzida, tais como a instalação ou manutenção do prédio, aluguel, seguro e

outros. Ele pode ser considerado como uma função Constante (Função Custo

Fixo), e seu gráfico é paralelo ao eixo horizontal.

O custo variável é função da quantidade produzida. Os gastos de produção

crescem à medida que a produção cresce, caracterizando assim uma função

crescente. Quando nada se produz, não há gasto de produção, portanto,

seu gráfico inicia na origem.


A função Custo Total, em qualquer

nível de produção, é a soma das

funções Custo Fixo e Custo

Variável, ou seja, vf CC)x(C += .

Normalmente, o custo

variável é igual a uma constante

multiplicada pela quantidade q ou

x. Assim, sendo c o custo variável

unitário de produção de

determinado bem e q ou x a

quantidade produzida, o custo variável é

dado por Cv=cx ou Cv=cq .

Dessa forma, o custo total

(C (x )) é dado, então, pela equação

C( x )=C f+cx , onde c é o custo

variável unitário de produção do bem e

Cf é o custo fixo. Nesse caso, o custo

total é uma função do 1º grau da

quantidade produzida, cujo gráfico é

uma reta crescente, com coeficiente

angular positivo dado por c e coeficiente

linear dado pelo custo fixo.

1

Quantidade (x)

C(x)

x vf CC)x(C +=

Quantidade (x)

cxCv =

Quantidade (x)

fC

vC

C


Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$

1.000,00, e o custo variável por unidade de produção é R$ 5,00. Então, a função

custo total é dada por C( x )=1000+5x

5.8.2. Função Receita:

É uma função crescente as taxas constantes e seu gráfico é uma semirreta,

passando pela origem (trata-se de uma função do 1º grau com coeficiente linear

igual a zero). Por exemplo: Um produto é vendido a R$ 30,00 a unidade, a função

receita é, então, dada por R( x )=30 x .

5.8.3. Função Lucro:

1

A função receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade

variável (x) de um produto. Ou seja, chamamos de receita ao produto de x, pelo

preço de venda, e a indicamos por R. Se o preço P do produto for fixo, qualquer

que seja a quantidade vendida x ou q, a receita pode ser determinada,

multiplicando-se o preço unitário fixo P pela quantidade x ou q.

Quantidade (x)

R(x)

Quantidade (x)

O lucro, L, é obtido como a diferença entre a função receita, R,

e a função custo, C. Assim, a função Lucro Total, ou simplesmente função

Lucro é expressa pela diferença entre as a funções L( x )=R( x )−C (x ) .


Se colocarmos o gráfico da função Receita com o gráfico da função Custo,

num mesmo sistema de eixo, teremos a figura ao lado. As retas interceptam-se

num ponto N. Nesse ponto, a receita e o custo são iguais e consequentemente o

Lucro é zero. A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto

crítico.

Se:

Exemplo 16:

Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce o gráfico da

função receita, R( x )=12x , e custo, C( x )=20+

14x . Obtenha a função lucro e

faça o estudo do sinal.

Solução: O ponto de nivelamento ocorre quando a receita é igual ao custo:

12x=20+

14x ,

2

N

Lucro

prejuízo

R(x)

xc

x

C(x)

x>xc , então, R( x )>C ( x ) e, portanto, L( x )>0 (Lucro positivo).

x<xc , então, R( x )<C ( x ) e, portanto, L( x )<0 (Lucro negativo é

PREJUÍZO).

x=xc , então, R( x )=C ( x ) e, portanto, não há lucro L( x )=0 .


Então, 12x−

14x=20 , tirando o m.m.c.(2,4)=4,

2x−x4

=20⇒ x=80⇒( 80 ,40) .

A função Lucro é dada por L( x )=R( x )−C (x ) , então,

L( x )=12x−(20+

14x )

L( x )=12x−(20+

14x )=

2x−80−x4

=x−80

4=

x4−20 .

Analisando o gráfico abaixo, verificamos que: O lucro é positivo para valores

de x maiores do que 80, é negativo (prejuízo) para valores de x menores que 80 e é

zero para x igual a 80.

2

40

L

80

R

CN


5.9. Função Demanda e Oferta do 1° grau:

Por exemplo: P=10−0,002 x , representa a função demanda do número de

refrigerantes (x), demandados por semana, numa lanchonete.

2

Demanda ou procura é a quantidade (q ou x) de produto que os

consumidores querem e podem comprar. A demanda cresce com a queda no

preço, é uma função decrescente. A demanda de um bem é a função de

muitas variáveis. Supondo-se que somente o preço unitário (P) do produto

varie, verifica-se que o preço P relaciona-se com a quantidade demandada (q

ou x). Chama-se função de demanda a relação entre P e x, .

A Procura de determinado produto é determinada pelas várias quantidades

que os consumidores estão dispostos e aptos a adquirir, em função de vários

níveis possíveis de preço, em dado período de tempo. Então, as quantidades

procuradas dependem inversamente dos preços (Introdução à Economia,

José Paschoal Rossetti, 2002).

Oferta e Demanda são as forças que movimentam

as economias de mercado. Mercado designa um

grupo de compradores e de vendedores de um dado

bem ou serviço.Oferta e Demanda se referem ao comportamento

de compradores e vendedores, quando interagem

no mercado. Oferta é definida pelos vendedores e

Demanda pelos compradores.

A relação de dependência, entre quantidades procuradas ou demandadas e

preços, descreve uma função linear de coeficiente angular negativo. Assim, se

dispusermos as quantidades demandadas ou procuradas no eixo horizontal de

um diagrama cartesiano, representando os preços no eixo vertical, teremos,

para a função demanda ou procura, uma reta descendente, resultante do

princípio definido: quanto mais altos os preços, menores as

quantidades procuradas correspondentes.


Por exemplo: A função oferta de refrigerantes na lanchonete é dada por: se o

preço do refrigerante for R$ 2,10, a quantidade ofertada será de 350 por semana, e,

se o preço do refrigerante for R$ 2,40, a quantidade ofertada será 1400. Assim, o

coeficiente angular da reta é:

m=ΔyΔx

=2,4−2,11400−350

=0,31050

=1

3500 , a equação da reta de oferta é:

P−2,1=1

3500( x−350 )⇒P=

13500

x+2 .

Em todas as estruturas de mercado, as posições dos produtores e dos

consumidores, em relação a uma dada escala de preços, podem estar em conflito.

Expostos a preços considerados baixos, os produtores dispõem-se a produzir

menos, comparativamente às situações em que os preços se consideram

satisfatórios. Já os consumidores estão em posição oposta: os preços baixos é que

estimulam a adquirir maiores quantidades. Essas posições conflituosas resultam

dos próprios conceitos e das conformações básicas da procura e da oferta. Há,

porém, uma posição de equilíbrio possível, dada pela intersecção das curvas de

oferta e demanda. No ponto de intersecção, define-se o ponto de equilíbrio, que

é o preço que harmoniza os interesses conflitantes dos produtores e dos

consumidores (Introdução à Economia, ROSSETTI, José, P., 2002).

2

A Oferta de determinado produto é determinada pela várias quantidades que os

produtores estão dispostos e aptos a oferecer no mercado, em função de vários

níveis possíveis de preços, em dado período de tempo (Introdução à Economia,

ROSSETTI, José P., 2002).

As quantidades ofertadas dependem diretamente dos preços. A relação de

dependência entre quantidades ofertadas e preços descreve uma função linear de

coeficiente angular positivo. Consequentemente, a representação gráfica da curva

de oferta é oposta à de procura. Colocando as quantidades ofertadas no eixo

horizontal e os preços no vertical, teremos uma reta ascendente da esquerda para a

direita.

Ponto de equilíbrio é a situação onde o preço atinge um valor, onde a

demanda e a oferta se igualam. É o ponto de intersecção da reta de oferta com

a de demanda.


A relação entre quantidade demandada e preço de uma mercadoria é

representada pela reta P no gráfico acima. Esta descreve o comportamento do

consumidor, que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o preço

sobe. Essa variação inversa entre preço e quantidade demandada, que se observa

na reta descendente (coeficiente angular negativo), é chamada curva de demanda.

A relação entre preço e quantidade oferecida de uma mercadoria descreve o

comportamento do produtor e é representada pela reta O no gráfico acima. A reta é

ascendente (coeficiente angular positivo), pois quando o preço sobe, significa que

existem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada

vez maiores de seu produto, no entanto, quando o preço cai, a oferta diminui. A

reta ascendente é chamada de curva de oferta.

O Preço de Equilíbrio, E, é o preço correspondente a iguais quantidades de

demanda e oferta, isto é, ocorre em um dado preço no qual a quantidade procurada

é igual à quantidade oferecida. No gráfico acima, o ponto de equilíbrio é

representado pelo ponto de intersecção das duas retas. Abaixo desse ponto de

encontro, as quantidades procuradas ou demandadas serão superiores às

ofertadas. Por outro lado, acima do ponto de encontro das duas retas, os

excedentes das quantidades ofertadas em relação às procuradas conduzirão a uma

competição entre os produtores, provocando um natural rebaixamento do preço.

Exemplo 17:

Num certo mercado, as equações de oferta e demanda de um produto são

dadas por: Oferta: x=60+5p ; demanda: x=500−13 p .

Preço de equilíbrio

Oferta (QO)

Demanda(QP)Preço

Quantidades (x)

2


Qual a quantidade transacionada quando o mercado estiver em equilíbrio?

Para que o mercado esteja em equilíbrio, a oferta = demanda. Então,

igualando 60+5p=500−13 p⇒5p+13 p=500−60⇒18 p=440⇒ p=44018

=220

9

X= quantidade transacionada= x=60+5 (2209 )=540+1100

9=

16409

=182,2

5.10. Função Depreciação Linear:

Exemplo 18:

O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será R$

200,00. Admitindo a depreciação linear:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? Hoje, consideraremos como tempo

zero, então, R$ 2.000,00 é o coeficiente linear da reta. Como o preço decresce, a

reta será decrescente e o coeficiente angular negativo. O coeficiente angular é

calculado como sendo m=2000−200

0−9=

1800−9

=−200 , portanto, o valor é dado por

V=2000−200 x . Logo, o valor do equipamento daqui a 3 anos (x) será:

V=2000−200(3)=1400 reais.

b) Qual o valor de sua depreciação daqui a 3 anos?

A depreciação é dada por D=Valorhoje−V , ou seja,

D=2000−(2000−200 x ) . Assim, daqui a 3 anos, a depreciação será:

D=2000−2000+200 (3)=600

c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina será nulo? O valor da máquina será

nulo quando 0=2000−200 x⇒−200 x=−2000⇒ x=−2000−200

=10 anos

2

O valor de um bem diminui com o tempo, devido ao desgaste, à falta de

manutenção, etc. A essa perda de valor do bem em função do tempo chamamos

de depreciação. O gráfico do valor em função do tempo é uma reta

decrescente.


5.11. Função Consumo e Função Poupança:

Quando o Consumo é igual ao Rendimento Disponível, não existe

Poupança. O ponto de intersecção das duas retas, que representam as funções, é

chamado de ponto limiar. O ponto limiar é, portanto, o nível de Rendimento

Disponível em que todo o Rendimento é gasto em Consumo, e onde não existe

Poupança.

Exemplo 19:

Uma família tem um consumo autônomo de R$ 800,00 e uma propensão

marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha: a) a função consumo; b) a função

poupança

a) O consumo autônomo é o coeficiente linear da reta e a propensão marginal a

consumir o coeficiente angular, logo C=800+0,8Y

b) a função poupança é dada por S=Y−C=−C0+(1−m )Y . Então,

S=Y−800−0.8Y que colocando o Y em evidência vem

S=Y (1−0,8)−800=(1−m)Y−C0

2

A Função Consumo é uma função matemática que relaciona o Consumo (C)

com Rendimento Disponível (Y), ou seja, o consumo varia em função da renda

familiar disponível. Podemos escrever a função consumo da seguinte forma:

C=C0+mY .

A componente C0 é chamada de consumo autônomo, que representa o gasto

fixo, e o coeficiente angular m da função consumo é chamado de propensão

marginal a consumir.

A diferença entre renda disponível (Y) e o consumo é chamada de função

poupança. E é indicada por S=Y−C=−C0+(1−m )Y . O coeficiente angular da

função poupança é chamado de propensão marginal a poupar.

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL · Matemática para Ciências Sociais Aplicadas I Exemplo 2: Dado o...

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