sica-1...2013/10/07 · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 SUMÁRIO GERAL VOLUME...

Osautoreseaeditoraempenharam-separacitaradequadamenteedarodevidocréditoatodososdetentoresdosdireitosautoraisdequalquermaterialutilizadonestelivro,dispondo-seapossíveisacertoscaso,inadvertidamente,aidentificaçãodealgumdelestenhasidoomitida.

Nãoéresponsabilidadedaeditoranemdosautoresaocorrênciadeeventuaisperdasoudanosapessoasoubensquetenhamorigemnousodestapublicação.

Apesardosmelhores esforçosdos autores, do tradutor, do editor e dos revisores, é inevitável que surjamerrosno texto.Assim, sãobem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem oaprimoramentodeediçõesfuturas.OscomentáriosdosleitorespodemserencaminhadosàLTC—LivrosTécnicoseCientí[email protected].

TraduzidodeFUNDAMENTALSOFPHYSICS,VOLUME1,TENTHEDITIONCopyright©2014,2011,2008,2005JohnWiley&Sons,Inc.AllRightsReserved.ThistranslationpublishedunderlicensewiththeoriginalpublisherJohnWiley&Sons,Inc.ISBN978-1-118-23376-4(Volume1)

DireitosexclusivosparaalínguaportuguesaCopyright©2016byLTC—LivrosTécnicoseCientíficosEditoraLtda.UmaeditoraintegrantedoGEN|GrupoEditorialNacional

Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou porquaisquermeios(eletrônico,mecânico,gravação,fotocópia,distribuiçãonainternetououtros),sempermissãoexpressadaeditora.

TravessadoOuvidor,11RiodeJaneiro,RJ—CEP20040-040Tels.:21-3543-0770/11-5080-0770Fax:[email protected]

Capa:MarCom|GENProduçãodigital:Geethik

CIP-BRASIL.CATALOGAÇÃONAPUBLICAÇÃOSINDICATONACIONALDOSEDITORESDELIVROS,RJ

H184f10.ed.v.1

Halliday,David,1916-2010Fundamentosdefísica,volume1:mecânica/DavidHalliday,RobertResnick,JearlWalker;traduçãoRonaldoSérgiodeBiasi.-10.ed.-RiodeJaneiro:LTC,2016.il.;28cm.

Traduçãode:Fundamentalsofphysics,10thed.ApêndiceIncluibibliografiaeíndiceISBN978-85-216-3204-7.

mailto:[email protected]


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http://www.geethik.com

Mecânica.2.Física.I.Resnick,Robert,1923-2014.II.Walker,Jearl,1945-.III.Biasi,RonaldoSérgiode.IV.Título

15-27760CDD:530CDU:53

1234567891011

121314151617181920

21

SUMÁRIOGERAL

VOLUME1

Medição

MovimentoRetilíneo

Vetores

MovimentoemDuaseTrêsDimensões

ForçaeMovimento–I

ForçaeMovimento–II

EnergiaCinéticaeTrabalho

EnergiaPotencialeConservaçãodaEnergia

CentrodeMassaeMomentoLinear

Rotação

Rolagem,TorqueeMomentoAngular

VOLUME2

EquilíbrioeElasticidade

Gravitação

Fluidos

Oscilações

Ondas–I

Ondas–II

Temperatura,CaloreaPrimeiraLeidaTermodinâmica

ATeoriaCinéticadosGases

EntropiaeaSegundaLeidaTermodinâmica

VOLUME3

ALeideCoulomb

2223242526272829303132

333435363738394041424344

CamposElétricos

LeideGauss

PotencialElétrico

Capacitância

CorrenteeResistência

Circuitos

CamposMagnéticos

CamposMagnéticosProduzidosporCorrentes

InduçãoeIndutância

OscilaçõesEletromagnéticaseCorrenteAlternada

EquaçõesdeMaxwell;MagnetismodaMatéria

VOLUME4

OndasEletromagnéticas

Imagens

Interferência

Difração

Relatividade

FótonseOndasdeMatéria

MaisOndasdeMatéria

TudosobreosÁtomos

ConduçãodeEletricidadenosSólidos

FísicaNuclear

EnergiaNuclear

Quarks,LéptonseoBigBang

1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

2-3

2-4

SUMÁRIO

1MediçãoMEDINDOGRANDEZASCOMOOCOMPRIMENTO

OqueÉFísica?

MedindoGrandezas

OSistemaInternacionaldeUnidades

MudançadeUnidades

Comprimento

DígitosSignificativoseCasasDecimais

TEMPOOTempo

MASSAMassa

REVISÃOERESUMOPROBLEMAS

2MovimentoRetilíneoPOSIÇÃO,DESLOCAMENTOEVELOCIDADEMÉDIA

OqueÉFísica?

Movimento

PosiçãoeDeslocamento

MédiaeVelocidadeEscalarMédia

VELOCIDADEINSTANTÂNEAEVELOCIDADEESCALARVelocidadeInstantâneaeVelocidadeEscalarInstantânea

ACELERAÇÃOAceleração

ACELERAÇÃOCONSTANTEAceleraçãoConstante:UmCasoEspecial

MaissobreAceleraçãoConstante*

2-5

2-6

3-1

3-2

3-3

4-1

4-2

4-3

4-4

ACELERAÇÃOEMQUEDALIVREAceleraçãoemQuedaLivre

INTEGRAÇÃOGRÁFICANAANÁLISEDEMOVIMENTOSIntegraçãoGráficanaAnálisedeMovimentos

REVISÃOERESUMOPERGUNTASPROBLEMAS

3VetoresVETORESESUASCOMPONENTES

OqueÉFísica?

VetoreseEscalares

SomaGeométricadeVetores

ComponentesdeVetores

VETORESUNITÁRIOS;SOMADEVETORESAPARTIRDASCOMPONENTESVetoresUnitários

SomadeVetoresaPartirdasComponentes

VetoreseasLeisdaFísica

MULTIPLICAÇÃODEVETORESMultiplicaçãodeVetores


4MovimentoemDuaseTrêsDimensõesPOSIÇÃOEDESLOCAMENTO

OqueÉFísica?

PosiçãoeDeslocamento

VELOCIDADEMÉDIAEVELOCIDADEINSTANTÂNEAVelocidadeMédiaeVelocidadeInstantânea

ACELERAÇÃOMÉDIAEACELERAÇÃOINSTANTÂNEAAceleraçãoMédiaeAceleraçãoInstantânea

MOVIMENTOBALÍSTICOMovimentoBalístico

4-5

4-6

4-7

5-1

5-2

5-3

6-1

6-2

MOVIMENTOCIRCULARUNIFORMEMovimentoCircularUniforme

MOVIMENTORELATIVOEMUMADIMENSÃOMovimentoRelativoemUmaDimensão

MOVIMENTORELATIVOEMDUASDIMENSÕESMovimentoRelativoemDuasDimensões


5ForçaeMovimento–IAPRIMEIRAEASEGUNDALEIDENEWTON

OqueÉFísica?

MecânicaNewtoniana

APrimeiraLeideNewton

Força

Massa

ASegundaLeideNewton

ALGUMASFORÇASESPECIAISAlgumasForçasEspeciais

APLICAÇÕESDASLEISDENEWTONATerceiraLeideNewton

AplicaçõesdasLeisdeNewton


6ForçaeMovimento–IIATRITO

OqueÉFísica?

Atrito

PropriedadesdoAtrito

FORÇADEARRASTOEVELOCIDADETERMINALForçadeArrastoeVelocidadeTerminal

6-3

7-1

7-2

7-3

7-4

7-5

7-6

8-1

8-2

MOVIMENTOCIRCULARUNIFORMEMovimentoCircularUniforme


7EnergiaCinéticaeTrabalhoENERGIACINÉTICA

OqueÉFísica?

OqueÉEnergia?

EnergiaCinética

TRABALHOEENERGIACINÉTICATrabalho

TrabalhoeEnergiaCinética

TRABALHOREALIZADOPELAFORÇAGRAVITACIONALTrabalhoRealizadopelaForçaGravitacional

TRABALHOREALIZADOPORUMAFORÇAELÁSTICATrabalhoRealizadoporumaForçaElástica

TRABALHOREALIZADOPORUMAFORÇAVARIÁVELGENÉRICATrabalhoRealizadoporumaForçaVariávelGenérica

POTÊNCIAPotência


8EnergiaPotencialeConservaçãodaEnergiaENERGIAPOTENCIAL

OqueÉFísica?

TrabalhoeEnergiaPotencial

IndependênciadaTrajetóriadeForçasConservativas

CálculodaEnergiaPotencial

CONSERVAÇÃODAENERGIAMECÂNICAConservaçãodaEnergiaMecânica

8-3

8-4

8-5

9-1

9-2

9-3

9-4

9-5

9-6

9-7

9-8

9-9

INTERPRETAÇÃODEUMACURVADEENERGIAPOTENCIALInterpretaçãodeumaCurvadeEnergiaPotencial

TRABALHOREALIZADOPORUMAFORÇAEXTERNASOBREUMSISTEMATrabalhoRealizadoporumaForçaExternasobreumSistema

CONSERVAÇÃODAENERGIAConservaçãodaEnergia


9CentrodeMassaeMomentoLinearCENTRODEMASSA

OqueÉFísica?

OCentrodeMassa

ASEGUNDALEIDENEWTONPARAUMSISTEMADEPARTÍCULASASegundaLeideNewtonparaumSistemadePartículas

MOMENTOLINEARMomentoLinear

OMomentoLineardeumSistemadePartículas

COLISÃOEIMPULSOColisãoeImpulso

CONSERVAÇÃODOMOMENTOLINEARConservaçãodoMomentoLinear

MOMENTOEENERGIACINÉTICAEMCOLISÕESMomentoeEnergiaCinéticaemColisões

ColisõesInelásticasemUmaDimensão

COLISÕESELÁSTICASEMUMADIMENSÃOColisõesElásticasemUmaDimensão

COLISÕESEMDUASDIMENSÕESColisõesemDuasDimensões

SISTEMASDEMASSAVARIÁVEL:UMFOGUETESistemasdeMassaVariável:UmFoguete

10-1

10-2

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11-1

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10RotaçãoASVARIÁVEISDAROTAÇÃO

OqueÉFísica?

AsVariáveisdaRotação

AsGrandezasAngularesSãoVetores?

ROTAÇÃOCOMACELERAÇÃOANGULARCONSTANTERotaçãocomAceleraçãoAngularConstante

RELAÇÕESENTREASVARIÁVEISLINEARESEANGULARESRelaçõesentreasVariáveisLineareseAngulares

ENERGIACINÉTICADEROTAÇÃOEnergiaCinéticadeRotação

CÁLCULODOMOMENTODEINÉRCIACálculodoMomentodeInércia

TORQUETorque

ASEGUNDALEIDENEWTONPARAROTAÇÕESASegundaLeideNewtonparaRotações

TRABALHOEENERGIACINÉTICADEROTAÇÃOTrabalhoeEnergiaCinéticadeRotação


11Rolagem,TorqueeMomentoAngularROLAGEMCOMOUMACOMBINAÇÃODETRANSLAÇÃOEROTAÇÃO

OqueÉFísica?

RolagemcomoumaCombinaçãodeTranslaçãoeRotação

ASFORÇASEAENERGIACINÉTICADAROLAGEMAEnergiaCinéticadaRolagem

AsForçasdaRolagem

11-3

11-4

11-5

11-6

11-7

11-8

11-9

ABCDEFG

OIOIÔOIoiô

REVISÃODOTORQUERevisãodoTorque

MOMENTOANGULARMomentoAngular

ASEGUNDALEIDENEWTONPARAROTAÇÕESASegundaLeideNewtonparaRotações

MOMENTOANGULARDEUMCORPORÍGIDOMomentoAngulardeumSistemadePartículas

MomentoAngulardeumCorpoRígidoGirandoemTornodeumEixoFixo

CONSERVAÇÃODOMOMENTOANGULARConservaçãodoMomentoAngular

PRECESSÃODEUMGIROSCÓPIOPrecessãodeumGiroscópio


APÊNDICESOSistemaInternacionaldeUnidades(SI)AlgumasConstantesFundamentaisdaFísicaAlgunsDadosAstronômicosFatoresdeConversãoFórmulasMatemáticasPropriedadesdosElementosTabelaPeriódicadosElementos

RESPOSTASdosTestesedasPerguntaseProblemasÍmpares

PREFÁCIO

PORQUEESCREVIESTELIVRODiversãocomumgrandedesafio.ÉassimquevenhoencarandoafísicadesdeodiaemqueSharon,umadasalunasdocursoqueeuestavaministrandocomoalunodedoutorado,meperguntouderepente:—Oqueissotemavercomminhavida?Respondiprontamente:—Sharon,istoéfísica!Temtudoavercomasuavida!Amoçamepediuumexemplo.Penseimuito,masnãoconseguiencontrarnenhum.Nessanoite,crieiO

CircoVoadordaFísicaparaSharon,mastambémparamim,porquepercebiqueoproblemadeSharontambémerameu.Eu tinhapassado seis anos estudandoemdezenasde livrosde física escritos comamelhordasintenções,masalgumacoisaestavafaltando.Afísicaéoassuntomaisinteressantedomundoporque descreve o modo como omundo funciona, mas não havia nos livros nenhuma ligação com omundoreal.Adiversãoestavafaltando.Procureiincluirmuitafísicadomundorealnestelivro,ligando-oànovaediçãodeOCircoVoadorda

Física(LTC,2012).Boapartedosassuntosvemdasminhasaulas,ondepossojulgar,pelasexpressõesecomentáriosdosalunos,quaissãoosassuntoseasapresentaçõesquefuncionam.Asanotaçõesquefizarespeitodemeussucessosefracassosajudaramaestabelecerasbasesparaestelivro.Minhamensagemaquiéamesmaquedeipara todososestudantesqueencontreidesdeodiaemqueSharon fezaquelecomentário:

—Sim,vocêpodeusarosconceitosbásicosdafísicaparachegaraconclusõesválidasarespeitodomundoreal,eénesseentendimentodomundorealqueestáadiversão.Tivemuitos objetivos ao escrever este livro,mas o principal foi proporcionar aos professores um

instrumento pormeio do qual eles possamensinar os alunos a estudar assuntos científicos, identificarconceitos fundamentais, pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos.Esseprocessonãoéfácil,nemparaosalunosnemparaosprofessores.Naverdade,ocursoassociadoaeste livro pode ser um dos mais difíceis do currículo. Entretanto, pode ser também um dos maisinteressantes,poisrevelaosmecanismosfundamentaisdomundo,responsáveisportodasasaplicaçõescientíficasedeengenharia.Muitos usuários da nona edição (professores e alunos) enviaram comentários e sugestões para

aperfeiçoarolivro.Essesmelhoramentosforamincorporadosàexposiçãoeaosproblemasdestaedição.AeditoraJohnWiley&Sonseeuencaramosestelivrocomoumprojetopermanenteegostaríamosdecontarcomumamaiorparticipaçãodos leitores.Sinta-seàvontadeparaenviarsugestões,correçõesecomentáriospositivosounegativosparaJohnWiley&Sons1ouJearlWalker(endereçopostal:PhysicsDepartment, Cleveland State University, Cleveland, OH 44115 USA; endereço do meu site:www.flyingcircusofphysics.com).Talveznãosejapossívelresponderatodasassugestões,maslemoseconsideramoscadaumadelas.

OQUEHÁDENOVONESTAEDIÇÃO?

http://www.flyingcircusofphysics.com

Módulos e Objetivos do Aprendizado “—O que eu deveria ter aprendido nesta seção?” Osalunosvêmmefazendoessaperguntahádécadas,independentementedeserembonsoumausalunos.Oproblemaéquemesmoosalunosmaisatentospodemnãotercertezadequeassimilaramtodosospontosimportantes de uma seção do livro. Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeiraediçãodeHallidayeResnicknoprimeiroanodafaculdade.Nesta edição, paraminimizar oproblema, dividi os capítulos emmódulos conceituais, dedicados a

temasbásicos,ecomeceicadamódulocomumalistadeobjetivosdoaprendizadodessemódulo.Alistaéumadeclaraçãoexplícitadosconhecimentosquedevemseradquiridosatravésdaleituradomóduloeéseguidaporumbreve resumodas ideias-chaveque tambémdevemserassimiladas.Paravocê terumanoçãodecomoosistemafunciona,observeoprimeiromódulodoCapítulo16,emqueoestudantesevêdiantedeumgrandenúmerodeconceitosedefinições.Emvezdedeixarporcontadoalunoatarefadeidentificaredissecaressasideias,tomeiainiciativadefornecerumalistaquefuncionacomoalistadeverificaçãoconsultadapelospilotosdeaviãoantesdecadadecolagem.

Capítulos Reformulados Comomeus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulosimportanteseemcertostópicosdeoutroscapítulos,reescreviboapartedotexto.Assim,porexemplo,introduzimudanças profundas nos capítulos a respeito da lei deGauss e do potencial elétrico, que amaioriadosestudantesconsideravadedifícilcompreensão.Asapresentaçõesagorasãomaisenxutasetêm uma ligação mais direta com as ideias-chave. Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica,expandioestudodaequaçãodeSchrödingerparaincluirareflexãodeondasdematériaporumdegraude potencial.Atendendo a sugestões de vários professores, separei a discussão do átomodeBohr dasoluçãodeSchrödingerdoátomodehidrogênioparaqueoprofessorpossaomitirorelatohistóricodotrabalhodeBohr, seassimdesejar, semprejudicaracompreensãodoassunto. Incluí tambémumnovomóduloarespeitodaradiaçãodecorponegrodePlanck.

Novos Exemplos, Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos noscapítulosparafacilitaracompreensãodealgunstópicosconsideradosdifíceispelosalunos.Alémdisso,cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final doscapítulos.Algunsdosproblemasforamrecuperadosdeediçõesanterioresdolivro,apedidodeváriosprofessores.

_______________1Sugestões,correçõesecomentáriospositivosounegativosemrelaçãoàediçãoemlínguaportuguesapublicadapelaLTCEditoradevemserenviadosparaltc@grupogen.com.br.


AGRADECIMENTOS

Muitaspessoascontribuíramparaestelivro.Sen-BenLiaodoLawrenceLivermoreNationalLaboratory,JamesWhitenton,daSouthernPolytechnicStateUniversity,eJerryShi,doPasadenaCityCollege,foramresponsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro.Na JohnWiley, o projetodeste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson, Geraldine Osnato e Aly Rentrop, os editores que osupervisionaramdoinícioaofim.AgradecemosaElizabethSwain,aeditoradeprodução,porjuntaraspeças durante o complexo processo de produção. Agradecemos também a Maddy Lesure peladiagramaçãodotextoepeladireçãodeartedacapa;aLeeGoldstein,peladiagramaçãodacapa;aHelenWalden, pelo copidesque; e a Lilian Brady, pela revisão. Jennifer Atkins foi brilhante na busca defotografias inusitadas e interessantes. Tanto a editora, John Wiley & Sons, Inc., como Jearl Walkergostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentesedições:

JonathanAbramson,PortlandStateUniversity;OmarAdawi,ParklandCollege;EdwardAdelson,TheOhioStateUniversity;StevenR.Baker,NavalPostgraduateSchool;GeorgeCaplan,WellesleyCollege;Richard Kass, The Ohio State University; M.R. Khoshbin-e-Khoshnazar, Research Institution forCurriculumDevelopment&EducationalInnovations(Teerã);CraigKletzing,UniversityofIowa;StuartLoucks,AmericanRiverCollege;LaurenceLurio,NorthernIllinoisUniversity;PonnMaheswaranathan,WinthropUniversity;JoeMcCullough,CabrilloCollege;CarlE.Mungan,U.S.NavalAcademy;DonN.Page,UniversityofAlberta;ElieRiachi,FortScottCommunityCollege;AndrewG.Rinzler,UniversityofFlorida;DubravkaRupnik,LouisianaStateUniversity;RobertSchabinger,RutgersUniversity;RuthSchwartz,MilwaukeeSchoolofEngineering;CarolStrong,UniversityofAlabamaatHuntsville;NoraThornber,RaritanValleyCommunityCollege;FrankWang,LaGuardiaCommunityCollege;GrahamW.Wilson, University of Kansas; Roland Winkler, Northern Illinois University; William Zacharias,ClevelandStateUniversity;UlrichZurcher,ClevelandStateUniversity.

Finalmente,nossos revisoresexternos realizaramumtrabalhoexcepcionaleexpressamosacadaumdelesnossosagradecimentos.

MarisA.Abolins,MichiganStateUniversityEdwardAdelson,OhioStateUniversityNuralAkchurin,TexasTechYildirimAktas,UniversityofNorthCarolina-Charlotte

BarbaraAndereck,OhioWesleyanUniversityTetyanaAntimirova,RyersonUniversityMarkArnettKirkwoodCommunityCollegeArunBansil,NortheasternUniversityRichardBarber,SantaClaraUniversityNeilBasecu,WestchesterCommunityCollegeAnandBatra,HowardUniversityKennethBolland,TheOhioStateUniversityRichardBone,FloridaInternationalUniversityMichaelE.Browne,UniversityofIdahoTimothyJ.Burns,LeewardCommunityCollegeJosephBuschi,ManhattanCollegePhilipA.Casabella,RensselaerPolytechnicInstituteRandallCaton,ChristopherNewportCollegeRogerClapp,UniversityofSouthFloridaW.R.Conkie,Queen’sUniversityRenateCrawford,UniversityofMassachusetts-DartmouthMikeCrivello,SanDiegoStateUniversityRobertN.Davie,Jr.,St.PetersburgJuniorCollegeCherylK.Dellai,GlendaleCommunityCollegeEricR.Dietz,CaliforniaStateUniversityatChicoN.JohnDiNardo,DrexelUniversityEugeneDunnam,UniversityofFloridaRobertEndorf,UniversityofCincinnatiF.PaulEsposito,UniversityofCincinnatiJerryFinkelstein,SanJoseStateUniversityRobertH.Good,CaliforniaStateUniversity-HaywardMichaelGorman,UniversityofHoustonBenjaminGrinstein,UniversityofCalifornia,SanDiegoJohnB.Gruber,SanJoseStateUniversityAnnHanks,AmericanRiverCollegeRandyHarris,UniversityofCalifornia-DavisSamuelHarris,PurdueUniversityHaroldB.Hart,WesternIllinoisUniversityRebeccaHartzler,SeattleCentralCommunityCollegeJohnHubisz,NorthCarolinaStateUniversityJoeyHuston,MichiganStateUniversityDavidIngram,OhioUniversity

ShawnJackson,UniversityofTulsaHectorJimenez,UniversityofPuertoRicoSudhakarB.Joshi,YorkUniversityLeonardM.Kahn,UniversityofRhodeIslandSudipaKirtley,Rose-HulmanInstituteLeonardKleinman,UniversityofTexasatAustinCraigKletzing,UniversityofIowaPeterF.Koehler,UniversityofPittsburghArthurZ.Kovacs,RochesterInstituteofTechnologyKennethKrane,OregonStateUniversityHadleyLawler,VanderbiltUniversityPriscillaLaws,DickinsonCollegeEdberthoLeal,PolytechnicUniversityofPuertoRicoVernLindberg,RochesterInstituteofTechnologyPeterLoly,UniversityofManitobaJamesMacLaren,TulaneUniversityAndreasMandelis,UniversityofTorontoRobertR.Marchini,MemphisStateUniversityAndreaMarkelz,UniversityatBuffalo,SUNYPaulMarquard,CasparCollegeDavidMarx,IllinoisStateUniversityDanMazilu,WashingtonandLeeUniversityJamesH.McGuire,TulaneUniversityDavidM.McKinstry,EasternWashingtonUniversityJordonMorelli,Queen’sUniversityEugeneMosca,UnitedStatesNavalAcademyEricR.Murray,GeorgiaInstituteofTechnology,SchoolofPhysicsJamesNapolitano,RensselaerPolytechnicInstituteBlaineNorum,UniversityofVirginiaMichaelO’Shea,KansasStateUniversityPatrickPapin,SanDiegoStateUniversityKiumarsParvin,SanJoseStateUniversityRobertPelcovits,BrownUniversityOrenP.Quist,SouthDakotaStateUniversityJoeRedish,UniversityofMarylandTimothyM.Ritter,UniversityofNorthCarolinaatPembrokeDanStyer,OberlinCollegeFrankWang,LaGuardiaCommunityCollege

RobertWebb,TexasA&MUniversitySuzanneWillis,NorthernIllinoisUniversityShannonWilloughby,MontanaStateUniversity

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MaterialSuplementar

Estelivrocontacomosseguintesmateriaissuplementares:

AulasemPowerPoint(restritoadocentes);

EnsaiosdeJearlWalkerempdf(acessolivre);

Ilustraçõesdaobraemformatodeapresentação(restritoadocentes);

ManuaisdasCalculadorasGráficasTI-86&TI-89empdf(acessolivre);

Respostasdasperguntasempdf(restritoadocentes);

Respostasdosproblemasempdf(restritoadocentes);

Simulações(acessolivre);

SoluçõesdosProblemas(Manual)empdf(restritoadocentes);

TestesConceituais(restritoadocentes);

TestesemMúltiplaEscolha(restritoadocentes);

TestesemPowerPoint(restritoadocentes).

Oacessoaomaterialsuplementarégratuito,bastandoqueoleitorsecadastreem:http://gen-io.grupogen.com.br.

http://gen-io.grupogen.com.br

CAPÍTULO1

Medição

1-1MEDINDOGRANDEZASCOMOOCOMPRIMENTO

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

1.01CitarasunidadesfundamentaisdoSI.

1.02CitarosprefixosmaisusadosnoSI.

1.03Mudarasunidadesnasquaisumagrandeza(comprimento,áreaouvolume,nocaso)éexpressa,usandoométododeconversãoemcadeia.

1.04Explicardequeformaometroédefinidoemtermosdavelocidadedaluznovácuo.

Ideias-Chave•Afísicasebaseianamediçãodegrandezasfísicas.Algumasgrandezasfísicas,comocomprimento,tempoemassa,foramescolhidascomograndezasfundamentaisedefinidasapartirdeumpadrão;acadaumadessasgrandezasfoiassociadaumaunidade de medida, como metro, segundo e quilograma. Outras grandezas físicas são definidas a partir das grandezasfundamentaiseseuspadrõeseunidades.•OsistemadeunidadesmaisusadoatualmenteéoSistemaInternacionaldeUnidades(SI).AstrêsgrandezasfundamentaisqueaparecemnaTabela1-1sãousadasnosprimeiroscapítulosdestelivro.Ospadrõesparaessasunidadesforamdefinidosatravés de acordos internacionais. Esses padrões são usados em todas as medições, tanto as que envolvem grandezasfundamentais como as que envolvem grandezas definidas a partir das grandezas fundamentais. A notação científica e osprefixosdaTabela1-2sãousadosparasimplificaraapresentaçãodosresultadosdemedições.•Conversõesdeunidadespodemser realizadasusandoométododaconversãoemcadeia,noqualosdadosoriginaissãomultiplicados sucessivamente por fatores de conversão de diferentes unidades e as unidades são manipuladas comograndezasalgébricasatéquerestemapenasasunidadesdesejadas.•Ometroédefinidocomoadistânciapercorridapelaluzemcertointervalodetempoespecificadocomprecisão.

OqueÉFísica?A ciência e a engenharia se baseiam emmedições e comparações.Assim, precisamos de regras paraestabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos paraestabelecerasunidadesparaessasmediçõesecomparações.Umdospropósitosdafísica(etambémdaengenharia)éprojetareexecutaressesexperimentos.Assim,porexemplo,osfísicosseempenhamemdesenvolverrelógiosextremamenteprecisosparaque

intervalosdetempopossamsermedidosecomparadoscomexatidão.Oleitorpodeestarseperguntandoseessaexatidãoérealmentenecessária.Eisumexemplodesuaimportância:senãohouvesserelógios

extremamente precisos, o Sistema de Posicionamento Global (GPS — Global Positioning System),usadoatualmentenomundointeiroemumainfinidadedeaplicações,nãoseriapossível.

MedindoGrandezasDescobrimos a física aprendendo a medir e comparar grandezas como comprimento, tempo, massa,temperatura,pressãoecorrenteelétrica.Medimoscadagrandezafísicaemunidadesapropriadas,porcomparaçãocomumpadrão.Aunidade

éumnomeparticularqueatribuímosàsmedidasdessagrandeza.Assim,porexemplo,ometro(m)éumaunidadedagrandezacomprimento.Opadrãocorrespondeaexatamente1,0unidadedagrandeza.Comovamosver,opadrãodecomprimento,quecorrespondeaexatamente1,0m,éadistânciapercorridapelaluz, no vácuo, durante certa fração de um segundo.Emprincípio, podemos definir umaunidade e seupadrão da forma que quisermos, mas é importante que cientistas em diferentes partes do mundoconcordemquenossasdefiniçõessãoaomesmotemporazoáveisepráticas.Depoisdeescolherumpadrão(decomprimento,digamos),precisamosestabelecerprocedimentospor

meiodosquaisqualquercomprimento,sejaeleoraiodoátomodehidrogênio,alarguradeumskate,ouadistância de uma estrela, possa ser expresso em termos do padrão. Usar uma régua de comprimentoaproximadamenteigualaopadrãopodeserumaformadeexecutarmedidasdecomprimento.Entretanto,muitas comparações são necessariamente indiretas. É impossível usar uma régua, por exemplo, paramediroraiodeumátomoouadistânciadeumaestrela.GrandezasFundamentais.Existemtantasgrandezasfísicasquenãoéfácilorganizá-las.Felizmente,

não são todas independentes; a velocidade, por exemplo, é a razão entre as grandezas comprimento etempo.Assim, o que fazemos é escolher, através de um acordo internacional, um pequeno número degrandezas físicas, como comprimento e tempo, e definir padrões apenas para essas grandezas. Emseguida, definimos as demais grandezas físicas em termos dessas grandezas fundamentais e de seuspadrões(conhecidoscomopadrõesfundamentais).Avelocidade,porexemplo,édefinidaemtermosdasgrandezasfundamentaiscomprimentoetempoeseuspadrõesfundamentais.Ospadrõesfundamentaisdevemseracessíveiseinvariáveis.Sedefinimosopadrãodecomprimento

comoadistânciaentreonarizdeumapessoaeapontadodedoindicadordamãodireitacomobraçoestendido,temosumpadrãoacessível,masquevaria,obviamente,depessoaparapessoa.Anecessidadedeprecisãonaciênciaeengenharianosforça,emprimeiro lugar,abuscara invariabilidade.Sóentãonos preocupamos em produzir réplicas dos padrões fundamentais que sejam acessíveis a todos queprecisemutilizá-los.

OSistemaInternacionaldeUnidadesEm1971, na 14aConferênciaGeral de Pesos eMedidas, foram selecionadas como fundamentais setegrandezas para constituir a base do Sistema Internacional de Unidades (SI), popularmente conhecidocomosistemamétrico.ATabela1-1mostraasunidadesdastrêsgrandezasfundamentais(comprimento,

massaetempo)queserãousadasnosprimeiroscapítulosdestelivro.Essasunidadesforamdefinidasdemodoaseremdamesmaordemdegrandezaquea“escalahumana”.

Tabela1-1UnidadesdeTrêsGrandezasBásicasdoSI

Grandeza NomedaUnidade SímbolodaUnidade

Comprimento metro m

Tempo segundo s

Massa quilograma kg

Tabela1-2PrefixosdasUnidadesdoSI

Fator Prefixoa Símbolo

1024 iota- Y

1021 zeta- Z

1018 exa- E

1015 peta- P

1012 tetra- T

109 giga- G

106 mega- M

103 quilo- k

102 hecto- h

101 deca- da

10–1 deci- d

10–2 centi- c

10–3 mili- m

10–6 micro- μ

10–9 nano- n

10–12 pico- p

10–15 femto- f

10–18 ato- a

10–21 zepto- z

10–24 iocto- y

aOsprefixosmaisusadosaparecememnegrito.

MuitasunidadesderivadasdoSIsãodefinidasemtermosdessasunidadesfundamentais.Assim,porexemplo, a unidade de potência do SI, chamada watt (W), é definida em termos das unidadesfundamentaisdemassa,comprimentoetempo.ComoveremosnoCapítulo7,

emqueoúltimoconjuntodesímbolosdeunidadesélidocomoquilogramametroquadradoporsegundoaocubo.Paraexpressar asgrandezasmuitograndesoumuitopequenas frequentementeencontradasna física,

usamosanotaçãocientífica,queempregapotênciasde10.Nessanotação,

Noscomputadores,anotaçãocientíficaàsvezesassumeumaformaabreviada,como3.56E9e4.92E−7,emqueEéusadoparadesignaro“expoentededez”.Emalgumascalculadoras,anotaçãoéaindamaisabreviada,comoEsubstituídoporumespaçoembranco.Tambémporconveniência,quandolidamoscomgrandezasmuitograndesoumuitopequenas,usamos

osprefixosdaTabela1-2.Comosepodever,cadaprefixorepresentacertapotênciade10,sendousadocomo fator multiplicativo. Incorporar um prefixo a uma unidade do SI tem o efeito de multiplicar aunidadepelofatorcorrespondente.Assim,podemosexpressarcertapotênciaelétricacomo

ouumcertointervalodetempocomo

Alguns prefixos, como os usados emmililitro, centímetro, quilograma emegabyte, são provavelmente

familiaresparaoleitor.

MudançadeUnidadesMuitasvezes,precisamosmudarasunidadesnasquaisumagrandezafísicaestáexpressa,oquepodeserfeito usando ummétodo conhecido como conversão emcadeia.Nessemétodo,multiplicamos o valororiginal por um fator de conversão (uma razão entre unidades que é igual à unidade). Assim, porexemplo,como1mine60scorrespondemaintervalosdetempoiguais,temos:

Assim,asrazões(1min)/(60s)e(60s)/(1min)podemserusadascomofatoresdeconversão.Notequeissonãoéomesmoqueescrever1/60=1ou60=1;cadanúmeroesuaunidade devemser tratadosconjuntamente.Como a multiplicação de qualquer grandeza por um fator unitário deixa essa grandeza inalterada,

podemosusarfatoresdeconversãosemprequeissoforconveniente.Nométododeconversãoemcadeia,usamos os fatores de conversão para cancelar unidades indesejáveis. Para converter 2 minutos emsegundos,porexemplo,temos:

Sevocêintroduzirumfatordeconversãoeasunidadesindesejáveisnãodesaparecerem,invertaofatoretentenovamente.Nasconversões,asunidadesobedecemàsmesmasregrasalgébricasqueosnúmerosevariáveis.OApêndiceD apresenta fatores de conversão entre unidades de SI e unidades de outros sistemas,

comoasqueaindasãousadasatéhojenosEstadosUnidos.Osfatoresdeconversãoestãoexpressosnaforma“1min=60s”enãocomoumarazão;cabeaoleitorescreverarazãonaformacorreta.

ComprimentoEm1792,arecém-fundadaRepúblicadaFrançacriouumnovosistemadepesosemedidas.Abaseeraometro,definidocomoumdécimomilionésimodadistânciaentreopolonorteeoequador.Mais tarde,porquestõespráticas,essepadrãofoiabandonadoeometropassouaserdefinidocomoadistânciaentreduas linhas finas gravadas perto das extremidades de uma barra de platina-irídio, abarra dometropadrão, mantida no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, nas vizinhanças de Paris. Réplicasprecisas da barra foram enviadas a laboratórios de padronização em várias partes do mundo. Essespadrõessecundários foram usados para produzir outros padrões, aindamais acessíveis, de tal formaque,nofinal,todososinstrumentosdemediçãodecomprimentoestavamrelacionadosàbarradometropadrãoapartirdeumacomplicadacadeiadecomparações.Comopassar do tempo, umpadrãomais precisoque a distância entre duas finas ranhuras emuma

barrademetal se tornounecessário.Em1960, foi adotadoumnovopadrãoparaometro,baseadonocomprimento de onda da luz. Especificamente, o metro foi redefinido como igual a 1.650.763,73comprimentosdeondadecertaluzvermelho-alaranjadaemitidaporátomosdecriptônio86(umisótopodo criptônio) em um tubo de descarga de gás. Esse número de comprimentos de onda aparentementeestranhofoiescolhidoparaqueonovopadrãonãofossemuitodiferentedoqueeradefinidopelaantigabarradometropadrão.Em1983,entretanto,anecessidadedemaiorprecisãohaviaalcançadotalpontoquemesmoopadrão

docriptônio86 jánãoerasuficientee,por isso, foidadoumpassoaudacioso:ometro foi redefinidocomo a distância percorrida pela luz em um intervalo de tempo especificado. Nas palavras da 17a

ConferênciaGeraldePesoseMedidas:

Ometroéadistânciapercorridapelaluznovácuoduranteumintervalodetempode1/299.792.458desegundo.

Esseintervalodetempofoiescolhidoparaqueavelocidadedaluzcfosseexatamente

c=299792458m/s.

Comoasmedidasdavelocidadedaluzhaviamsetornadoextremamenteprecisas,faziasentidoadotaravelocidadedaluzcomoumagrandezadefinidaeusá-lapararedefinirometro.A Tabela 1-3 mostra uma vasta gama de comprimentos, que vai desde o tamanho do universo

conhecido(linhadecima)atéotamanhodealgunsobjetosmuitopequenos.

Tabela1-3ValorAproximadodeAlgunsComprimentos

Descrição ComprimentoemMetros

Distânciadasgaláxiasmaisantigas 2×1026

DistânciadagaláxiadeAndrômeda 2×1022

Distânciadaestrelamaispróxima 4×1016

DistânciadePlutão 6×1012

RaiodaTerra 6×106

AlturadoMonteEverest 9×103

Espessuradestapágina 1×10–4

Comprimentodeumvírustípico 1×10–8

Raiodoátomodehidrogênio 5×10–11

Raiodopróton 1×10–15

DígitosSignificativoseCasasDecimaisSuponhaquevocêestejatrabalhandocomumproblemanoqualcadavaloréexpressoporumnúmerodedoisdígitos.Essesdígitossãochamadosdedígitossignificativoseestabelecemonúmerodedígitosquedevemserusadosnarespostadoproblema.Seosdadossãofornecidoscomdoisdígitossignificativos,arespostadeve serdadacomdoisdígitos significativos.Seoproblema for resolvidocomoauxíliodeumacalculadora,éprovávelqueoresultadomostradonovisordacalculadora tenhaumnúmeromuitomaiordedígitos;osdígitosalémdosegundo,porém,nãosãoconfiáveisedevemserdescartados.Neste livro,os resultados finaisdos cálculos sãomuitasvezesarredondadosparaqueonúmerode

dígitos significativos se torne igual ao número de dígitos significativos do dado que possui o menornúmerodedígitossignificativos.(Àsvezes,porém,émantidoumalgarismosignificativoamais).Seoprimeirodígitodaesquerdaparaadireitaaserdescartadoéiguala5oumaiorque5,oúltimodígitosignificativo é arredondado para cima; se émenor que 5, deixa-se como está.Assim, por exemplo, onúmero 11,3516 com três dígitos significativos se torna 11,4 e o número 11,3279 com três dígitossignificativossetorna11,3.(Asrespostasdosexemplosdestelivrosãoquasesempreapresentadascomosímbolo=emvezde≈,mesmoqueonúmerotenhasidoarredondado.)Quando um número como 3,15 ou 3,15 × 103 é fornecido em um problema, o número de dígitos

significativos é evidente, mas o que dizer de um número como 3000? É conhecido com precisão deapenasumdígito significativo (3×103) ou comprecisãode três dígitos significativos (3,000×103)?Nestelivro,vamossuporquetodososzerosemumnúmerocomo3000sãosignificativos,masnemtodososautoresobedecemaessaconvenção.É preciso não confundir algarismos significativos com casas decimais. Considere os seguintes

comprimentos:35,6mm,3,56me0,00356m.Todosestãoexpressoscomtrêsalgarismossignificativos,emboratenhamuma,duasecincocasasdecimais,respectivamente.

Exemplo1.01 Estimativadeordemdegrandeza,novelodelinha

Omaiornovelodomundotemcercade2mderaio.QualéaordemdegrandezadocomprimentoLdofioqueformaonovelo?

IDEIA-CHAVE

Poderíamos,evidentemente,desenrolaronoveloemedirocomprimentoLdofio,masissodariamuitotrabalho,alémdedeixaro

fabricantedonovelomuitoaborrecido.Emvezdisso,comoestamosinteressadosapenasnaordemdegrandeza,podemosestimar

asgrandezasnecessáriasparafazerocálculo.

Cálculos:VamossuporqueonovelosejaumaesferaderaioR=2m.Ofiodonovelocertamentenãoestáapertado(existem

espaçosvaziosentretrechosvizinhosdofio).Paralevaremcontaessesespaçosvazios,vamossuperestimarumpoucoaáreade

seçãotransversaldofio,supondoquesejaquadrada,comladosdecomprimentod=4mm.Nessecaso,comáreadaseçãoretad2

ecomprimentoL,acordaocupaumvolumetotalde

V=(áreadaseçãoreta)(comprimento)=d2L.

Essevaloréaproximadamenteigualaovolumedonovelo,dadopor4πR3/3,queéquaseiguala4R3,jáqueπéquaseiguala3.

Assim,temos:

(Notequenãoéprecisousarumacalculadorapararealizarumcálculosimplescomoesse.)Aordemdegrandezadocomprimento

dofioé,portanto,1000km!

1-2TEMPO


1.05Mudarasunidadesdetempousandoométododeconversãoemcadeia.

1.06Citarváriosdispositivosusadosparamedirotempo.

Ideia-Chave•Osegundoédefinidoapartirdasoscilaçõesdaluzemitidaporátomodeumisótopodeumelementoquímico(césio133).Sinaisdesincronismosãoenviadosaomundointeiroporsinaisderádiocontroladosporrelógiosatômicosemlaboratóriosdepadronização.

OTempoOtempotemdoisaspectos.Nodiaadiaeparaalgunsfinscientíficos,queremossaberahoradodiaparapodermos ordenar eventos em sequência. Em muitos trabalhos científicos, estamos interessados emconheceraduraçãodeumevento.Assim,qualquerpadrãodetempodevesercapazderesponderaduasperguntas: “Quando isso aconteceu?” e “Quanto tempo isso durou?” A Tabela 1-4 mostra alguns

intervalosdetempo.Qualquer fenômeno repetitivo pode ser usado como padrão de tempo. A rotação da Terra, que

determina a duração do dia, foi usada para esse fim durante séculos; a Fig. 1-1 mostra um exemplointeressantederelógiobaseadonessarotação.Umrelógiodequartzo,noqualumaneldequartzoépostoem vibração contínua, pode ser sincronizado com a rotação da Terra por meio de observaçõesastronômicaseusadoparamedirintervalosdetemponolaboratório.Entretanto,acalibraçãonãopodeserrealizadacomaexatidãoexigidapelatecnologiamodernadaengenhariaedaciência.Paraatenderànecessidadedeummelhorpadrãode tempo, foramdesenvolvidosrelógiosatômicos.

Um relógio atômicodoNational Institute ofStandards andTechnology (NIST) emBoulder,Colorado,EstadosUnidos,éopadrãodaHoraCoordenadaUniversal(UTC)nosEstadosUnidos.Seussinaisdetempoestãodisponíveispormeiodeondascurtasde rádio (estaçõesWWVeWWVH)epor telefone(303-499-7111). Sinais de tempo (e informações relacionadas) estão também disponíveis no UnitedStates Naval Observatory no site http://tycho.usno.navy.mil/time.html .1 (Para acertar um relógio deforma extremamente precisa no local ondevocê se encontra, seria necessário levar emconta o temponecessárioparaqueessessinaischeguematévocê.)

Tabela1-4AlgunsIntervalosdeTempoAproximados

Descrição IntervalodeTempoemSegundos

Tempodevidadopróton(teórico) 3×1040

Idadedouniverso 5×1017

IdadedapirâmidedeQuéops 1×1011

Expectativadevidadeumserhumano 2×109

Duraçãodeumdia 9×104

Intervaloentreduasbatidasdeumcoraçãohumano 8×10–1

Tempodevidadomúon 2×10–6

Pulsoluminosomaiscurtoobtidoemlaboratório 1×10–16

Tempodevidadapartículamaisinstável 1×10–23

TempodePlancka 1×10–43

aTempodecorridoapósobigbangapartirdoqualasleisdefísicaqueconhecemospassaramaserválidas.

http://tycho.usno.navy.mil/time.html

StevenPitkin

Figura1-1 Quandoosistemamétricofoipropostoem1792,adefiniçãodehorafoimudadaparaqueodiativesse10horas,masaideianãopegou.Ofabricantedesterelógiode10horas,prudentemente,incluiuummostradormenorqueindicavaotempodaformaconvencional.Osdoismostradoresindicamamesmahora?

Figura1-2 Variaçõesdaduraçãododiaemumperíodode4anos.Notequeaescalaverticalinteiracorrespondeaapenas3ms(=0,003s).

AFig.1-2mostra as variações da duraçãode umdia naTerra durante umperíodode quatro anos,obtidasporcomparaçãocomumrelógioatômicodecésio.ComoasvariaçõesmostradasnaFig.1-2sãosazonaiserepetitivas,desconfiamosqueéavelocidadederotaçãodaTerraqueestávariando,enãoas

oscilações do relógio atômico. Essas variações se devem a efeitos de maré causados pela Lua e àcirculaçãoatmosférica.Em1967, a13aConferênciaGeral de Pesos eMedidas adotou comopadrão de tempo um segundo

baseadonorelógiodecésio:

Umsegundoéointervalodetempoquecorrespondea9.192.631.770oscilaçõesdaluz(deumcomprimentodeondaespecificado)

emitidaporumátomodecésio133.

Osrelógiosatômicossãotãoestáveis,que,emprincípio,doisrelógiosdecésioteriamquefuncionarpor6000anosparaqueadiferençaentreasleiturasfossemaiorque1s.Mesmoassim,essaprecisãonãoénada, em comparação com a precisão dos relógios que estão sendo construídos atualmente, que podechegara1parteem1018,ouseja,1sem1×1018s(cercade3×1010anos).

1-3MASSA


1.07Mudarasunidadesdemassausandoométododeconversãoemcadeia.

1.08Citararelaçãoentremassaespecífica,massaevolumeemumobjetocujamassaestádistribuídadeformahomogênea.

Ideias-Chave•O quilograma é definido a partir de umamassa-padrão de platina-irídiomantida nas proximidades deParis. Paramedir amassadeobjetosdedimensõesatômicas,costuma-seusaraunidadedemassaatômica,definidaapartirdoátomodecarbono12.•Amassaespecíficaρdeumobjetoéamassadoobjetoporunidadedevolume:

MassaOQuilograma-Padrão

OpadrãodemassadoSIéumcilindrodeplatina-irídio(Fig.1-3)mantidonoBureauInternacionaldePesoseMedidas,nasproximidadesdeParis,aoqualfoiatribuída,poracordointernacional,amassade1quilograma.Cópiasprecisasdessecilindroforamenviadasalaboratóriosdepadronizaçãodeoutrospaíses,easmassasdeoutroscorpospodemserdeterminadascomparando-oscomumadessascópias.A

Tabela 1-5mostra algumasmassas expressas em quilogramas, em uma faixa de aproximadamente 83ordensdegrandeza.

(CortesiadoBureauInternacionaldePesoseMedidas,França)

Figura1-3 Oquilograma-padrãointernacionaldemassa,umcilindrodeplatina-irídiocom3,9cmdealturae3,9cmdediâmetro.

Acópianorte-americanadoquilograma-padrãoestáguardadaemumcofredoNISTeéremovida,nãomaisqueumavezpor ano, para aferir duplicatasusadas emoutros lugares.Desde1889, foi levada àFrançaduasvezesparasercomparadacomopadrãoprimário.

Tabela1-5AlgumasMassasAproximadas

Descrição MassaemQuilogramas

Universoconhecido 1×1053

Nossagaláxia 2×1041

Sol 2×1030

Lua 7×1022

AsteroideEros 5×1015

Montanhapequena 1×1012

Transatlântico 7×107

Elefante 5×103

Uva 3×10–3

Grãodepoeira 7×10–10

Moléculadepenicilina 5×10–17

Átomodeurânio 4×10–25

Próton 2×10–27

Elétron 9×10–31

UmSegundoPadrãodeMassa

Asmassasdosátomospodemsercomparadasentresimaisprecisamentequecomoquilograma-padrão.Por essa razão, temos um segundo padrão de massa, o átomo de carbono 12, ao qual, por acordointernacional, foiatribuídaumamassade12unidadesdemassaatômica (u).A relaçãoentre asduasunidadesé

com uma incerteza de ±10 nas duas últimas casas decimais. Os cientistas podem determinarexperimentalmente,comrazoávelprecisão,asmassasdeoutrosátomosemrelaçãoàmassadocarbono12.Oquenosfaltanomomentoéumaformaconfiáveldeestendertalprecisãoaunidadesdemassamaiscomuns,comooquilograma.

MassaEspecífica

Comovamos ver noCapítulo 14, amassaespecíficaρ de uma substância é amassa por unidade devolume:

Asmassasespecíficassãonormalmenteexpressasemquilogramaspormetrocúbicoouemgramasporcentímetrocúbico.Amassaespecíficadaágua(1,00gramaporcentímetrocúbico)émuitousadaparafinsdecomparação.Amassaespecíficadanevefrescaé10%damassaespecíficadaágua;adaplatinaé21vezesmaiorqueadaágua.

Exemplo1.02 Massaespecíficaeliquefação

Um objeto pesado pode afundar no solo durante um terremoto se o tremor fizer com que o solo passe por um processo de

liquefação, no qual as partículas do solo deslizam umas em relação às outras quase sem atrito. Nesse caso, o solo se torna

praticamenteumaareiamovediça.Apossibilidadedeliquefaçãodeumsoloarenosopodeserprevistaemtermosdo índice de

vaziosdeumaamostradosolo,representadopelosímboloeedefinidodaseguinteforma:

Aqui,Vgéovolumetotaldaspartículasdeareianaamostra,eVvéovolumetotaldoespaçoentreaspartículas(istoé,ovolume

dosvazios).Seeexcederovalorcríticode0,80,poderáocorrerliquefaçãoduranteumterremoto.Qualéamassaespecíficada

areia,ρa,correspondenteaovalorcrítico?Amassaespecíficadodióxidodesilício(principalcomponentedaareia)éρSiO2=2,600

×103kg/m3.

IDEIA-CHAVE

Amassaespecíficadaareiaρaemumaamostraéamassaporunidadedevolume,ouseja,a razãoentreamassatotalma das

partículasdeareiaeovolumetotalVtdaamostra:

Cálculos:OvolumetotalVtdeumaamostraédadopor

Vt=Vg+Vv.

SubstituindoVvpeloseuvalor,dadopelaEq.1-9eexplicitandoVg,obtemos:

Deacordo coma Eq. 1-8, amassa totalma daspartículasde areia é oprodutodamassa específicadodióxidode silíciopelo

volumetotaldaspartículasdeareia:

SubstituindoessaexpressãonaEq.1-10esubstituindoVgpeloseuvalor,dadopelaEq.1-11,obtemos:

FazendoρSiO2=2,600×103kg/m3ee=0,80naEq.1-13,descobrimosquealiquefaçãoacontecequandoamassaespecíficada

areiaémenorque

Umedifíciopodeafundarváriosmetrosporcausadaliquefação.

RevisãoeResumo

AMediçãonaFísicaA física se baseia namedição de grandezas físicas.Algumas grandezas físicas,como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foidefinidapormeiodeumpadrãoerecebeuumaunidadedemedida(comometro,segundoequilograma).Outras grandezas físicas são definidas em termos das grandezas fundamentais e de seus padrões eunidades.

UnidadesdoSIOsistemadeunidadesadotadonestelivroéoSistemaInternacionaldeUnidades(SI).AstrêsgrandezasfísicasmostradasnaTabela1-1sãousadasnosprimeiroscapítulos.Ospadrões,quetêm que ser acessíveis e invariáveis, foram estabelecidos para essas grandezas fundamentais por umacordo internacional. Esses padrões são usados em todas as medições físicas, tanto das grandezasfundamentais quanto das grandezas secundárias.A notação científica e os prefixos da Tabela 1-2 sãousadosparasimplificaranotaçãodasmedições.

Mudança de Unidades A conversão de unidades pode ser feita usando o método de conversão emcadeia,noqualosdadosoriginaissãomultiplicadossucessivamenteporfatoresdeconversãounitários,e as unidades são manipuladas como quantidades algébricas até que apenas as unidades desejadaspermaneçam.

ComprimentoOmetroédefinidocomoadistânciapercorridapela luzduranteumintervalode tempoespecificado.

TempoOsegundoédefinidoemtermosdasoscilaçõesda luzemitidaporumisótopodeumelementoquímico(césio133).Sinaisdetempoprecisossãoenviadosatodoomundoatravésdesinaisderádiosincronizadosporrelógiosatômicosemlaboratóriosdepadronização.

Massa O quilograma é definido a partir de um padrão de massa de platina-irídio mantido em umlaboratórionasvizinhançasdeParis.Paramediçõesemescalaatômica,écomumenteusadaaunidadedemassaatômica,definidaapartirdoátomodecarbono12.

MassaEspecíficaAmassaespecíficaρdeumobjetoéamassaporunidadedevolume:

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísicadeJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo1-1MedindoGrandezascomooComprimento

·1 A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine (a) acircunferênciadaTerraemquilômetros,(b)aáreadasuperfíciedaTerraemquilômetrosquadradose(c)ovolumedaTerraemquilômetroscúbicos.

·2Ogryéumaantigamedida inglesadecomprimento,definidacomo1/10deuma linha; linha é umaoutra medida inglesa de comprimento, definida como 1/12 de uma polegada. Uma medida decomprimentousadanasgráficaséoponto,definidocomo1/72deumapolegada.Quantovaleumaáreade0,50gry2empontosquadrados(pontos2)?

·3Omicrômetro(1µm)tambéméchamadodemícron.(a)Quantosmícronstem1,0km?(b)Quefraçãodocentímetroéiguala1,0µm?(c)Quantosmícronstemumajarda?

·4Asdimensõesdasletraseespaçosnestelivrosãoexpressasemtermosdepontosepaicas:12pontos=1paicae6paicas=1polegada.Seemumadasprovasdolivroumafiguraapareceudeslocadade0,80cmemrelaçãoàposiçãocorreta,qualfoiodeslocamento(a)empaicase(b)empontos?

·5EmcertohipódromodaInglaterra,umpáreofoidisputadoemumadistânciade4,0furlongs.Qualéadistânciadacorrida(a)emvarase(b)emcadeias?(1furlong=201,168m,1vara=5,0292meumacadeia=20,117m.)

··6Hojeemdia,asconversõesdeunidadesmaiscomunspodemserfeitascomoauxíliodecalculadorasecomputadores,maséimportantequeoalunosaibausarumatabeladeconversãocomoasdoApêndiceD.ATabela1-6épartedeumatabeladeconversãoparaumsistemademedidasdevolumequejáfoicomumnaEspanha;umvolumede1fanegaequivalea55,501dm3(decímetroscúbicos).Paracompletaratabela,quenúmeros(comtrêsalgarismossignificativos)devemserinseridos(a)nacolunadecahizes,(b)nacolunadefanegas,(c)nacolunadecuartillase(d)nacolunadealmudes?Expresse7,00almudes(e)emmedios,(f)emcahizese(g)emcentímetroscúbicos(cm3).

Tabela1-6Problema6

cahiz fanega cuartilla almude medio

1cahiz= 1 12 48 144 288

1fanega= 1 4 12 24

1cuartilla= 1 3 6

1almude= 1 2

1medio= 1

··7Os engenheiroshidráulicosdosEstadosUnidosusam frequentemente, comounidadedevolumedeágua, o acre-pé, definido como o volume de água necessário para cobrir 1 acre de terra até umaprofundidadede1pé.Umafortetempestadedespejou2,0polegadasdechuvaem30minemumacidadecomumaáreade26km2.Quevolumedeágua,emacres-pés,caiusobreacidade?

··8APontedeHarvard,queatravessaorioCharles,ligandoCambridgeaBoston,temumcomprimentode364,4smootsmaisumaorelha.AunidadechamadasmoottemcomopadrãoaalturadeOliverReedSmoot, Jr., classe de 1962, que foi carregado ou arrastado pela ponte para que outros membros dasociedadeestudantilLambdaChiAlphapudessemmarcar(comtinta)comprimentosde1smootaolongoda ponte. As marcas têm sido refeitas semestralmente por membros da sociedade, normalmente emhorários de pico, para que a polícia não possa interferir facilmente. (Inicialmente, os policiais talveztenhamseressentidodofatodequeosmootnãoeraumaunidadefundamentaldoSI,mashojeparecemconformadoscomabrincadeira.)AFig.1-4mostratrêssegmentosderetaparalelosmedidosemsmoots(S),willies(W)ezeldas(Z).Quantovaleumadistânciade50,0smoots(a)emwilliese(b)emzeldas?

Figura1-4 Problema8.

··9AAntárticaéaproximadamentesemicircular,comraiode2000km(Fig.1-5).Aespessuramédiadacoberturadegeloé3000m.QuantoscentímetroscúbicosdegelocontémaAntártica?(IgnoreacurvaturadaTerra.)


Módulo1-2Tempo

·10Até1913,cadacidadedoBrasil tinhasuahoralocal.Hojeemdia,osviajantesacertamorelógioapenasquandoavariaçãodetempoéiguala1,0h(oquecorrespondeaumfusohorário).Quedistância,emmédia,umapessoadevepercorrer,emgrausdelongitude,parapassardeumfusohorárioaoutroeterqueacertarorelógio?(Sugestão:ATerragira360°emaproximadamente24h.)

·11Por cercade10anos após aRevoluçãoFrancesa,ogoverno francês tentoubasear asmedidasdetempoemmúltiplosdedez:umasemanatinha10dias,umdiatinha10horas,umahoratinha100minutos

e umminuto tinha 100 segundos.Quais são as razões (a) da semana decimal francesa para a semanacomume(b)dosegundodecimalfrancêsparaosegundocomum?

·12AplantadecrescimentomaisrápidodequesetemnotíciaéumaHesperoyuccawhippleiquecresceu3,7mem14dias.Qualfoiavelocidadedecrescimentodaplantaemmicrômetrosporsegundo?

·13Trêsrelógiosdigitais,A,BeC,funcionamcomvelocidadesdiferentesenãotêmleiturassimultâneasdezero.AFig.1-6mostraleiturassimultâneasdeparesdosrelógiosemquatroocasiões.(Naprimeiraocasião,porexemplo,B indica25,0seC indica92,0s.)Seointervaloentredoiseventosé600sdeacordo como relógioA, qual é o intervalo entre os eventos (a) no relógioB e (b) no relógioC? (c)QuandoorelógioAindica400s,qualéaindicaçãodorelógioB?(d)QuandoorelógioCindica15,0s,qualéaindicaçãodorelógioB?(Suponhaqueasleiturassãonegativasparainstantesanterioresazero.)


·14Umtempodeaula(50min)éaproximadamenteiguala1microsséculo.(a)Qualéaduraçãodeummicrosséculoemminutos?(b)Usearelação

paradeterminaroerropercentualdessaaproximação.

·15Ofortnightéumacuriosamedidainglesadetempoiguala2,0semanas(apalavraéumacontraçãode“fourteennights”,ouseja,quatorzenoites).Dependendodacompanhia,essetempopodepassardepressaou transformar-seemuma interminável sequênciademicrossegundos.Quantosmicrossegundos temumfortnight?

·16Ospadrõesdetemposãobaseadosatualmenteemrelógiosatômicos,masoutrapossibilidadeseriausarospulsares,estrelasdenêutrons(estrelasaltamentecompactas,compostasapenasdenêutrons)quepossuem ummovimento de rotação. Alguns pulsares giram com velocidade constante, produzindo umsinalderádioquepassapelasuperfíciedaTerraumavezacadarotação,comoofeixeluminosodeumfarol.OpulsarPSR1937+21éumexemplo;elegiraumavezacada1,55780644887275±3ms,emqueosímbolo±3indicaaincertezanaúltimacasadecimal(enão±3ms).(a)QuantasrotaçõesoPSR1937+21executaem7,00dias? (b)Quanto tempoopulsar levaparagirarexatamenteummilhãodevezese(c)qualéaincertezaassociada?

·17Cincorelógiosestãosendotestadosemumlaboratório.Exatamenteaomeio-dia,deacordocomo

ObservatórioNacional,emdiassucessivosdasemana,asleiturasdosrelógiosforamanotadasnatabelaa seguir. Coloque os relógios em ordem de confiabilidade, começando pelo melhor. Justifique suaescolha.

Relógio Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb

A 12:36:40 12:36:56 12:37:12 12:37:27 12:37:44 12:37:59 12:38:14

B 11:59:59 12:00:02 11:59:57 12:00:07 12:00:02 11:59:56 12:00:03

C 15:50:45 15:51:43 15:52:41 15:53:39 15:54:37 15:55:35 15:56:33

D 12:03:59 12:02:52 12:01:45 12:00:38 11:59:31 11:58:24 11:57:17

E 12:03:59 12:02:49 12:01:54 12:01:52 12:01:32 12:01:22 12:01:12

··18 Como a velocidade de rotação da Terra está diminuindo gradualmente, a duração dos dias estáaumentando:odianofinalde1,0séculoé1,0msmais longoqueodiano iníciodoséculo.Qualéoaumentodaduraçãododiaapós20séculos?

···19Suponhaquevocêestádeitadonapraia,pertodoEquador,vendooSolsepôremummarcalmo,eligaumcronômetronomomentoemqueoSoldesaparece.Emseguida,vocêselevanta,deslocandoosolhosparacimadeumadistânciaH=1,70m,edesligaocronômetronomomentoemqueoSolvoltaadesaparecer.Seotempoindicadopelocronômetroét=11,1s,qualéoraiodaTerra?

Módulo1-3Massa

·20Orecordeparaamaiorgarrafadevidrofoiestabelecidoem1992porumaequipedeMillville,NovaJersey,quesoprouumagarrafacomumvolumede193galõesamericanos.(a)Qualéadiferençaentreessevolumee1,0milhãodecentímetroscúbicos?(b)Seagarrafafosseenchidacomáguaaumavazãode1,8g/min,emquantotempoestariacheia?Amassaespecíficadaáguaé1000kg/m3.

·21ATerratemumamassade5,98×1024kg.AmassamédiadosátomosquecompõemaTerraé40u.QuantosátomosexistemnaTerra?

·22Oouro,quetemumamassaespecíficade19,32g/cm3,éummetalextremamentedúctilemaleável,istoé,podesertransformadoemfiosoufolhasmuitofinas.(a)Seumaamostradeouro,comumamassade27,63g,éprensadaatésetornarumafolhacom1,000µmdeespessura,qualéaáreadafolha?(b)Se,emvezdisso,oouroétransformadoemumfiocilíndricocom2,500µmderaio,qualéocomprimentodofio?

·23(a)Supondoqueaáguatenhaumamassaespecíficadeexatamente1g/cm3,determineamassadeummetrocúbicodeáguaemquilogramas.(b)Suponhaquesãonecessárias10,0hparadrenarumrecipientecom5700m3deágua.Qualéa“vazãomássica”daáguadorecipiente,emquilogramasporsegundo?

··24OsgrãosdeareiadaspraiasdaCalifórniasãoaproximadamenteesféricos,comraiode50µm,esãofeitosdedióxidodesilício,quetemmassaespecíficade2600kg/m3.Quemassadegrãosdeareiapossuiumaáreasuperficialtotal(somadasáreasdetodasasesferas)igualàáreadasuperfíciedeumcubocom1,00mdearesta?

··25 Duranteumatempestade,partedaencostadeumamontanha,com2,5kmdelargura,0,80kmde altura ao longo da encosta e 2,0m de espessura desliza até um vale em uma avalanche de lama.Suponhaquealamaficadistribuídauniformementeemumaáreaquadradadovalecom0,40kmdeladoequealamatemmassaespecíficade1900kg/m3.Qualéamassadalamaexistenteemumaáreade4,0m2

dovale?

··26Emumcentímetrocúbicodeumanuvemcúmulotípicaexistemde50a500gotasd’água,comumraio típico de 10 µm. Para essa faixa de valores, determine os valores mínimo e máximo,respectivamente,dasseguintesgrandezas:(a)onúmerodemetroscúbicosdeáguaemumanuvemcúmulocilíndrica com3,0kmde altura e 1,0 kmde raio; (b) o númerodegarrafas de1 litro quepodem serenchidascomessaquantidadedeágua;(c)amassadaáguacontidanessanuvem,sabendoqueamassaespecíficadaáguaé1000kg/m3.

··27Amassaespecíficadoferroéde7,87g/cm3eamassadeumátomodeferroé9,27×10−26kg.Seosátomossãoesféricoseestãodensamentecompactados,(a)qualéovolumedeumátomodeferroe(b)qualéadistânciaentreoscentrosdedoisátomosvizinhos?

··28Ummoldeátomoscontém6,02×1023átomos.Qualéaordemdegrandezadonúmerodemolsdeátomosqueexistememumgatogrande?Asmassasdeumátomodehidrogênio,deumátomodeoxigênioedeumátomodecarbonosão1,0u,16ue12u,respectivamente.

··29EmumaviagemàMalásia,vocênãoresisteàtentaçãoecompraumtouroquepesa28,9piculsnosistemalocaldeunidadesdepeso:1picul=100gins,1gin=16tahils,1tahil=10cheese1chee=10hoons.Opesode1hooncorrespondeaumamassade0,3779g.Quandovocêdespachaoboiparacasa,quemassadevedeclararàalfândega?(Sugestão:Useconversõesemcadeia.)

··30Despeja-seáguaemumrecipientequeapresentaumvazamento.Amassamdeáguanorecipienteemfunçãodotempotédadaporm=5,00t0,8−3,00t+20,00parat≥0,emqueamassaestáemgramaseotempoemsegundos.(a)Emqueinstanteamassadeáguaémáxima?(b)Qualéovalordamassa?Qualéataxadevariaçãodamassa,emquilogramasporminuto,(c)emt=2,00se(d)emt=5,00s?

···31Um recipiente vertical cuja basemede 14,0 cm por 17,0 cm está sendo enchido com barras dechocolatequepossuemumvolumede50mm3 eumamassade0,0200g.Suponhaqueoespaçovazioentreasbarrasdechocolateétãopequenoquepodeserdesprezado.Seaalturadasbarrasdechocolatenorecipienteaumentaàtaxade0,250cm/s,qualéataxadeaumentodamassadasbarrasdechocolatequeestãonorecipienteemquilogramasporminuto?

ProblemasAdicionais

32NosEstadosUnidos,umacasadebonecatemumaescalade1:12emrelaçãoaumacasadeverdade

(ouseja,cadadistâncianacasadebonecaé1/12dadistânciacorrespondentenacasadeverdade),eumacasa emminiatura (uma casa de boneca feita para caber em uma casa de boneca) tem uma escala de1:144 em relação a uma casa de verdade. Suponha que uma casa de verdade (Fig.1-7) tem 20m decomprimento, 12 m de largura, 6,0 m de altura, e um telhado inclinado padrão (com o perfil de umtriânguloisósceles)de3,0mdealtura.Qualéovolume,emmetroscúbicos,(a)dacasadebonecae(b)dacasaemminiatura?


33Atoneladaéumamedidadevolumefrequentementeempregadanotransportedemercadorias,masseuuso requer uma certa cautela, pois existem pelo menos três tipos de tonelada: uma tonelada dedeslocamentoéiguala7barrelsbulk,umatoneladadefreteéiguala8barrelsbulk,eumatoneladaderegistroéiguala20barrelsbulk.Obarrelbulkéoutramedidadevolume:1barrelbulk=0,1415m3.Suponhaquevocêestejaanalisandoumpedidode“73toneladas”dechocolateM&Metenhacertezadequeoclientequefezaencomendausou“tonelada”comounidadedevolume(enãodepesooudemassa,comoserádiscutidonoCapítulo5).Seoclienteestavapensandoemtoneladasdedeslocamento,quantosalqueiresamericanosemexcessovocêvaidespachar,seinterpretarequivocadamenteopedidocomo(a)73toneladasdefretee(b)73toneladasderegistro?(1m3=28,378alqueiresamericanos.)

34Doistiposdebarrilforamusadoscomounidadesdevolumenadécadade1920nosEstadosUnidos.O barril de maçã tinha um volume oficial de 7056 polegadas cúbicas; o barril de cranberry, 5826polegadas cúbicas. Se um comerciante vende 20 barris de cranberry a um freguês que pensa estarrecebendobarrisdemaçã,qualéadiferençadevolumeemlitros?

35Umaantigapoesiainfantilinglesadizoseguinte:“LittleMissMuffetsatonatuffet,eatinghercurdsandwhey,when along came a spiderwho sat down beside her. ...” (“A pequenaMissMuffet estavasentadaemumbanquinho,comendoqueijocottage,quandochegouumaaranhaesentou-seaoseulado....”)Aaranhanãoseaproximouporqueestavainteressadanoqueijo,massimporqueMissMuffettinha11tuffetsdemoscassecas.Ovolumedeumtuffetédadopor1tuffet=2pecks=0,50Imperialbushel,enquanto1Imperialbushel=36,3687litros(L).QualeraovolumedasmoscasdeMissMuffet(a)em

pecks,(b)emImperialbushels,e(c)emlitros?

36ATabela1-7mostraalgumasunidadesantigasdevolumede líquidos.Paracompletara tabela,quenúmeros(comtrêsalgarismossignificativos)devemserintroduzidos(a)nacolunadeweys,(b)nacolunadechaldrons,(c)nacolunadebags,(d)nacolunadepottles,e(e)nacolunadagills?(f)Ovolumede1bag equivale a 0,1091m3. Em uma história antiga, uma feiticeira prepara uma poçãomágica em umcaldeirãocomumvolumede1,5chaldron.Qualéovolumedocaldeirãoemmetroscúbicos?

Tabela1-7Problema36

wey chaldron bag pottle gill

1wey= 1 10/9 40/3 640 120240

1chaldron=

1bag=

1pottle=

1gill=

37Umcubode açúcar típico tem1 cmde aresta.Qual é o valor da aresta de uma caixa cúbica comcapacidadesuficienteparaconterummoldecubosdeaçúcar?(Ummol=6,02×1023unidades.)

38UmantigomanuscritorevelaqueumproprietáriodeterrasnotempodoreiArturpossuía3,00acresde terracultivadaeumaáreaparacriaçãodegadode25,0perchaspor4,00perchas.Qualeraaáreatotal(a)naantigaunidadederoodse(b)naunidademaismodernademetrosquadrados?1acreéumaáreade40perchaspor4perchas,1roodéumaáreade40perchaspor1percha,e1perchaequivalea16,5pés.

39Umturistanorte-americanocompraumcarronaInglaterraeodespachaparaosEstadosUnidos.Umadesivonocarroinformaqueoconsumodecombustíveldocarroé40milhasporgalãonaestrada.Oturistanãosabequeogalãoinglêsédiferentedogalãoamericano:

1galãoinglês=4,5460900litros

1galãoamericano=3,7854118litros.

Parafazerumaviagemde750milhasnosEstadosUnidos,dequantosgalõesdecombustível(a)oturistapensaqueprecisae(b)dequantosoturistarealmenteprecisa?

40Usandoosdadosfornecidosnestecapítulo,determineonúmerodeátomosdehidrogênionecessáriosparaobter1,0kgdehidrogênio.Umátomodehidrogêniotemmassade1,0u.

41Ocordéumvolumedemadeiracortadacorrespondenteaumapilhade8pésdecomprimento,4pés

delargurae4pésdealtura.Quantoscordsexistemem1,0m3demadeira?

42Umamoléculadeágua(H2O)contémdoisátomosdehidrogênioeumátomodeoxigênio.Umátomodehidrogêniotemmassade1,0u,eumátomodeoxigêniotemmassade16u,aproximadamente.(a)Qualéamassadeumamoléculadeáguaemquilogramas?(b)QuantasmoléculasdeáguaexistemnosoceanosdaTerra,cujamassaestimadaé1,4×1021kg?

43Umapessoaqueestádedietapodeperder2,3kgporsemana.Expresseataxadeperdademassaemmiligramasporsegundo,comoseapessoapudessesentiraperdasegundoasegundo.

44QuemassadeáguacaiusobreacidadenoProblema7?Amassaespecíficadaáguaé1,0×103kg/m3.

45(a)Oshakeéumaunidadedetempousadainformalmentepelosfísicosnucleares.Umshakeéiguala10−8 s. Existem mais shakes em um segundo que segundos em um ano? (b) O homem existe háaproximadamente106anos,enquantoaidadedouniversoécercade1010anos.Seaidadedouniversofordefinidacomo1“diadouniverso”eo“diadouniverso” fordivididoem“segundosdouniverso”,damesma forma como umdia comum é dividido em segundos comuns, quantos segundos do universo sepassaramdesdequeohomemcomeçouaexistir?

46Umaunidadedeáreafrequentementeusadaparamedir terrenoséohectare,definidocomo104m2.Umaminadecarvãoacéuabertoconsomeanualmente75hectaresdeterraatéumaprofundidadede26m.Qualéovolumedeterraremovidoporanoemquilômetroscúbicos?

47Umaunidadeastronômica(UA)éadistânciamédiaentreaTerraeoSol,aproximadamente1,50×108

km.Avelocidadeda luzéaproximadamente3,0×108m/s.Expresseavelocidadeda luzemunidadesastronômicasporminuto.

48Atoupeiracomumtemmassadaordemde75g,quecorrespondeacercade7,5molsdeátomos.(Ummoldeátomosequivalea6,02×1023átomos.)Qualéamassamédiadosátomosdeuma toupeiraemunidadesdemassaatômica(u)?

49UmaunidadedecomprimentotradicionalnoJapãoéoken(1ken=1,97m).Determinearazão(a)entrekensquadradosemetrosquadradose(b)entrekenscúbicosemetroscúbicos.Qualéovolumedeumtanquedeáguacilíndricocom5,50kensdealturae3,00kensderaio(c)emkenscúbicose(d)emmetroscúbicos?

50Você recebeuordens para navegar 24,5milhas na direção leste, comoobjetivo de posicionar seubarcodesalvamentoexatamentesobreaposiçãodeumnaviopirataafundado.Quandoosmergulhadoresnão encontram nenhum sinal do navio, você se comunica com a base e descobre que deveria terpercorrido 24,5 milhas náuticas e não milhas comuns. Use a tabela de conversão de unidades decomprimentodoApêndiceDparacalcularadistânciahorizontalemquilômetrosentresuaposiçãoatualeolocalemqueonaviopirataafundou.

51Ocúbitoéumaantigaunidadedecomprimentobaseadanadistânciaentreocotoveloeapontadodedomédio.Suponhaqueessadistânciaestivesseentre43e53cmequegravurasantigasmostremque

umacolunacilíndricatinha9cúbitosdealturae2cúbitosdediâmetro.Determineosvaloresmínimoemáximo,respectivamente,(a)daalturadacolunaemmetros;(b)daalturadacolunaemmilímetros;(c)dovolumedacolunaemmetroscúbicos.

52Paraterumaideiadadiferençaentreoantigoeomodernoeentreograndeeopequeno,considereoseguinte:naantiga Inglaterra rural, 1hide (entre100e120acres) era a áreade terranecessáriaparasustentaruma família comumaradoduranteumano. (Umaáreade1acreequivalea4047m2.) Alémdisso,1wapentakeeraaáreadeterranecessáriaparasustentar100famíliasnasmesmascondições.Nafísicaquântica,aáreadaseçãodechoquedeumnúcleo(definidaatravésdaprobabilidadedequeumapartículaincidentesejaabsorvidapelonúcleo)émedidaembarns;1barn=1×10−28m2.(Nojargãodafísicanuclear,seumnúcleoé“grande”,acertá-locomumapartículaétãofácilquantoacertarumtiroemumceleiro.2)Qualéarazãoentre25wapentakese11barns?

53Aunidadeastronômica(UA)éadistânciamédiaentreaTerraeoSol,cercade92,9×106milhas.Oparsec(pc)éadistânciaparaaqualumadistânciade1UAsubtendeumângulodeexatamente1segundodearco(Fig.1-8).Oano-luzéadistânciaquealuz,viajandonovácuocomumavelocidadede186000milhasporsegundo,percorreem1,0ano.ExpresseadistânciaentreaTerraeoSol(a)emparsecse(b)emanos-luz.


54Certamarcadetintadeparedeprometeumacoberturade460pésquadradosporgalão.(a)Expresseesse valor em metros quadrados por litro. (b) Expresse esse valor em uma unidade do SI (veja osApêndicesAeD). (c)Qualéo inversodagrandezaoriginale(d)qualéosignificadofísicodanovagrandeza?

55Ovinhodeumagrandefestadecasamentoseráservidoemumdeslumbrantevasodevidrolapidadoemformadeparalelepípedocomdimensõesinternasde40cm×40cm×30cm(altura).Ovasodeveserenchidoatéaborda.Ovinhopodeseradquiridoemgarrafas,cujostamanhosaparecemnalistaabaixo.Émaisbaratocomprarumagarrafamaiordoquecompraromesmovolumedevinhoemgarrafasmenores.(a) Que tamanhos de garrafa devem ser escolhidos e quantas garrafas de cada tamanho devem seradquiridasparaqueogasto total sejaomenorpossível? (b)Depoisqueovaso estiver cheio, quantovinhovaisobrar(b)emnúmerodegarrafasnormaise(c)emlitros?

1garrafanormal

1magnum=2garrafasnormais

1jeroboão=4garrafasnormais

1roboão=6garrafasnormais

1matusalém=8garrafasnormais

1salmanasar=12garrafasnormais

1baltazar=16garrafasnormais=11,356L

1nabucodonosor=20garrafasnormais

56Arazãomilho-porcoéumtermofinanceirousadonomercadodeporcos,provavelmenterelacionadoao custo de alimentar um porco até que ele seja suficientemente grande para ser vendido. É definidacomoarazãoentreopreçodemercadodeumporcocommassade3,108slugseopreçodemercadodeumalqueireamericanodemilho.(Apalavra“slug”éderivadadeumaantigapalavraalemãquesignifica“golpear”;esteéumdospossíveis significadosde“slug”no inglêsmoderno).Umalqueireamericanoequivalea35,238L.Searazãomilho-porcoestácotadaa5,7nabolsademercadorias,determineseuvaloremunidadesmétricasde

(Sugestão:ConsulteatabeladeconversãodeunidadesdemassadoApêndiceD.)

57Você foi encarregado de preparar um jantar para 400 pessoas emumencontro de apreciadores decomidamexicana.A receita recomendausarduaspimentas jalapeñoemcadaporção (aporçãoéparaumapessoa).Entretanto,vocêdispõeapenasdepimentashabanero.Ograudeardênciadaspimentasémedidoem termosdaunidadedecalorde scoville (UCS).Emmédia,umapimenta jalapeño temumaardênciade4000UCSeumapimentahabanero temumaardênciade300.000UCS.Quantaspimentashabanero você deve usar no lugar das pimentas jalapeño da receita para obter o grau de ardênciadesejadonos400pratosdojantar?

58Os degraus de uma escada têm 19 cm de altura e 23 cm de largura.As pesquisasmostram que aescadaserámaisseguranadescidasealarguradosdegrausforaumentadapara28cm.Sabendoqueaaltura da escada é 4,57 m, qual será o aumento da distância horizontal coberta pela escada se amodificaçãodalarguradosdegrausforexecutada?

59 Ao comprar comida para uma reunião de políticos, você encomendou erroneamente ostras doPacífico, sem casca, de tamanhomédio (um pint americano contém 8 a 12 dessas ostras), em vez deostrasdoAtlântico,semcasca,detamanhomédio(umpintamericanocontém26a38dessasostras).Asostraschegaramemumacaixadeisoporcujasdimensõesinternassão1,0m×12cm×20cm,eumpintamericanoequivalea0,4732litro.Quantasostrasamenosvocêpediu?

60Umantigolivrodeculináriainglesacontémaseguintereceitadesopadecremedeurtiga:“Fervaumcaldocomaseguintequantidadedeágua:1xícarainglesamais1xícaradechámais6colheresdesopa

maisumacolherde sobremesa.Usando luvas, separeas folhasdeurtigaatéquevocê tenha0,5quart;adicioneasfolhasaocaldoemebulição.Adicioneumacolherdesopadearrozcozidoeumacolherdesaldesal.Deixeferverdurante15minutos.”Atabelaaseguirfornecefatoresdeconversãoentreantigasmedidasinglesasemedidasamericanas.(Essasmedidasclamampelaadoçãodosistemamétrico.)Paramedidasdelíquidos,1colherdecháinglesa=1colherdecháamericana.Paramedidasdesólidos,1colher de chá inglesa = 2 colheres de chá americanas, e 1 quart inglês = 1 quart americano. Qual ovolume (a) de caldo, (b) de folhas de urtiga, (c) de arroz e (d) de sal usado na receita, emunidadesamericanas?

MedidasInglesasAntigas MedidasAmericanas

colherdechá=2colheresdesal colherdesopa=3colheresdechá

colherdesobremesa=2colheresdechá meiaxícara=8colheresdesopa

colherdesopa=2colheresdesobremesa xícara=2meiasxícaras

xícaradechá=8colheresdesopa

xícarainglesa=2xícarasdechá

_______________1OObservatórioNacionalforneceahoralegalbrasileiranositehttp://pcdsh01.on.br.(N.T.)2Barn,eminglês,significaceleiro.(N.T.)

http://pcdsh01.on.br

CAPÍTULO2

MovimentoRetilíneo

2-1POSIÇÃO,DESLOCAMENTOEVELOCIDADEMÉDIA


2.01Saberque,setodasaspartesdeumobjetosemovemnamesmadireçãoecomamesmavelocidade,podemosestudaromovimentodoobjetocomoseeleestivessereduzidoaumúnicoponto.(Estecapítulotratadomovimentodeobjetosdessetipo.)

2.02Saberqueaposiçãodeumapartículapodeserexpressapelacoordenadadapartículaemrelaçãoaumeixoescolhidocomoreferência.

2.03Descreverarelaçãoentreodeslocamentodeumapartículaeasposiçõesinicialefinaldapartícula.

2.04Descreverarelaçãoentreavelocidademédia,odeslocamentoeotemponecessárioparaqueumapartículasofraessedeslocamento.

2.05 Descrever a relação entre a velocidade escalar média, a distância total percorrida e o tempo necessário para que apartículapercorraessadistância.

2.06Dadoumgráficodaposiçãodeumapartículaemfunçãodotempo,determinaravelocidademédiadapartículaentredoisinstantesdetempo.

Ideias-Chave•Acoordenadaxdeumapartículaindicaadistânciaaqueapartículaseencontradaorigemdoeixox.• A coordenada da partícula pode ser positiva, se a partícula estiver à direita da origem; negativa, se a partícula estiver àesquerdadaorigem;ounula,seapartículaestiverexatamentenaorigem.Osentidopositivodeumeixoéosentidonoqualosnúmerosaumentamdevalor;osentidonegativoéosentidooposto.•OdeslocamentoΔxdeumapartículaéavariaçãodaposiçãodapartícula:

Δx=x2–x1.

•Odeslocamentodapartículapodeserpositivo,seaposiçãofinalestiveràdireitadaposiçãoinicial;negativo,seaposiçãofinalestiveràdireitadaposiçãoinicial;ounulo,seaposiçãofinalcoincidircomaposiçãoinicial.•Quandoumapartículasedeslocadaposiçãox1paraaposiçãox2emumintervalodetempoΔt=t2−t1,avelocidademédiadapartículaduranteesseintervaloédadapor

•Avelocidademédiadapartículapodeserpositiva,seodeslocamentodapartículaforpositivo;negativa,seodeslocamentodapartículafornegativo;ounula,seodeslocamentodapartículafornulo.•Emumgráficodaposiçãoxdapartículaemfunçãodotempo t,avelocidademédiano intervalodetempoΔt= t2− t1éa

1.

2.

3.

inclinaçãodaretaqueligaospontoscorrespondentesàposiçãodapartículanosinstantest1et2.

•AvelocidadeescalarmédiasméddeumapartículaemumintervalodetempoΔtédadapor

emquedéadistânciapercorridapelapartículaduranteointervaloΔt.

OqueÉFísica?Um dos objetivos da física é estudar o movimento dos objetos: a rapidez com que se movem, porexemplo,ouadistânciaquepercorrememumdadointervalodetempo.OsengenheirosdaNASCARsãofanáticosporesseaspectodafísica,queosajudaaavaliarodesempenhodoscarrosanteseduranteascorridas.Osgeólogosusamessa físicaparaestudaromovimentodeplacas tectônicas,na tentativadeprever terremotos.Osmédicosnecessitamdessa físicaparamapearo fluxodesangueemumpacientequandoexaminamumaartériaparcialmenteobstruída;emotoristasausamparareduziravelocidadeeescapardeumamultaquandopercebemqueexisteumradaràfrente.Existeminúmerosoutrosexemplos.Nestecapítulo, estudamosa físicabásicadomovimentonoscasosemqueoobjeto (carrodecorrida,placa tectônica, célula sanguínea, ou qualquer outro) está se movendo em linha reta. Esse tipo demovimentoéchamadodemovimentounidimensional.

MovimentoO mundo, e tudo que nele existe, está sempre em movimento. Mesmo objetos aparentementeestacionários,comoumaestrada,estãoemmovimentoporcausadarotaçãodaTerra,daórbitadaTerraemtornodoSol,daórbitadoSolemtornodocentrodaViaLácteaedodeslocamentodaViaLácteaemrelaçãoàsoutrasgaláxias.Aclassificaçãoecomparaçãodosmovimentos(chamadadecinemática)podeserumdesafio.Oqueexatamentedevesermedido?Comquedevesercomparado?Antes de tentar responder a essas perguntas, vamos examinar algumas propriedades gerais do

movimentounidimensional,restringindoaanálisedetrêsformas:

Vamos supor que o movimento se dá ao longo de uma linha reta. A trajetória pode ser vertical,horizontalouinclinada,masdeveserretilínea.Asforças(empurrõesepuxões)modificamomovimento,masnãoserãodiscutidasatéoCapítulo5.Nestecapítulo,vamosdiscutirapenasomovimentoemsiesuasmudanças,semnospreocuparcomascausas.Oobjetoestá semovendocadavezmaisdepressa?Cadavezmaisdevagar?Omovimentomudoudedireção?Seomovimentoestámudando,amudançaébruscaougradual?Vamos supor que o objeto emmovimento é umapartícula (ou seja, um objeto pontual, como umelétron),ouumobjetoquesemovecomoumapartícula(istoé,todasaspartesdoobjetosemovemnamesma direção e com a mesma velocidade). Assim, por exemplo, podemos imaginar que omovimentodeumacriançaquedeslizapassivamenteemumescorregaésemelhanteaomovimentode

umapartícula,masnãopodemosdizeromesmodeumafolhadepapellevadapelovento.

PosiçãoeDeslocamentoLocalizarumobjetosignificadeterminaraposiçãodoobjetoemrelaçãoaumpontodereferência,quasesempreaorigem(oupontozero)deumeixo,comooeixoxdaFig.2-1.Osentidopositivodoeixoéosentido emque os números (coordenadas) que indicam a posição dos objetos aumentamde valor.Nagrandemaioriadoscasos,essesentidoéparaadireita,comonaFig.2-1.Osentidoopostoéosentidonegativo.Assim,porexemplo,umapartículapodeestarlocalizadaemx=5m;issosignificaqueelaestáa5m

daorigemnosentidopositivo.Seestivesselocalizadaemx=−5m,estariatambéma5mdaorigem,masnosentidooposto.Umacoordenadade−5mémenorqueumacoordenadade−1m,eambassãomenoresque uma coordenada de +5 m. O sinal positivo de uma coordenada não precisa ser mostradoexplicitamente,masosinalnegativodevesempresermostrado.Aumamudançadaposiçãox1paraaposiçãox2éassociadoumdeslocamentoΔx,dadopor

Figura2-1 Aposiçãodeumobjetoéindicadaemrelaçãoaumeixomarcadoemunidadesdecomprimento(metros,porexemplo),queseestendeindefinidamentenosdoissentidos.Onomedoeixo,quenafiguraéx,aparecesemprenoladopositivodoeixoemrelaçãoàorigem.

(O símboloΔ, a letra grega deltamaiúscula, é usada para representar a variação de uma grandeza, ecorrespondeàdiferençaentreovalorfinaleovalorinicial.)Quandoatribuímosnúmerosàsposiçõesx1ex2daEq.2-1,umdeslocamentonosentidopositivo(paraadireitanaFig.2-1)sempreresultaemumdeslocamentopositivo,eumdeslocamentonosentidooposto(paraaesquerdanafigura)sempreresultaemumdeslocamentonegativo.Assim,porexemplo,seumapartículasemovedex1=5mparax2=12m,Δx=(12m)−(5m)=+7m.Oresultadopositivoindicaqueomovimentoénosentidopositivo.Se,emvezdisso, a partícula semovedex1 = 5mparax2 = 1m,Δx = (1m) − (5m)=−4m.O resultadonegativoindicaqueomovimentoénosentidonegativo.Onúmerodemetrospercorridosé irrelevante;odeslocamentoenvolveapenasasposições iniciale

final.Assim,porexemplo,seapartículasemovedex=5mparax=200meemseguidavoltaparax=5m,odeslocamentoéΔx=(5m)−(5m)=0.Sinais.Osinalpositivododeslocamentonãoprecisasermostrado,masosinalnegativodevesempre

sermostrado.Quandoignoramososinal(e,portanto,osentido)dodeslocamento,obtemosomódulo(ou

valorabsoluto)dodeslocamento.Assim,porexemplo,aumdeslocamentoΔx=−4mcorrespondeumvalorabsolutode4m.

Figura2-2 Gráficodex(t)paraumtatuqueestáemrepousoemx=−2m.Ovalordexé−2mparaqualquerinstantet.

O deslocamento é um exemplo de grandeza vetorial, uma grandeza que possui ummódulo e umaorientação.OsvetoresserãodiscutidoscommaisdetalhesnoCapítulo3,mastudodequenecessitamosnomomentoéaideiadequeodeslocamentopossuiduascaracterísticas:(1)omódulo,queéadistância(como, por exemplo, o númerodemetros) entre as posições inicial e final; (2) aorientação, que é adireçãoeosentidodeumaretaqueligaaposiçãoinicialàposiçãofinal,epodeserrepresentada,nocasodeummovimentoaolongodeumúnicoeixo,porumsinalpositivoounegativo.

Oquesesegueéoprimeirodosmuitostestesqueoleitorencontraránestelivro.Ostestesconsistemem uma ou mais questões cujas respostas requerem um raciocínio ou cálculo mental e permitemverificaracompreensãodopontodiscutido.Asrespostasaparecemnofinaldolivro.

Teste1Consideretrêsparesdeposiçõesiniciaisefinaisaolongodoeixox:(a)−3m,+5m;(b)−3m,−7m;(c)7m,−3m.Quaisdesses

parescorrespondemadeslocamentosnegativos?

MédiaeVelocidadeEscalarMédiaUmaformacompactadedescreveraposiçãodeumobjetoédesenharumgráficodaposiçãoxemfunçãodotempot,ouseja,umgráficodex(t).[Anotaçãox(t)representaumafunçãoxdetenãooprodutodexport.]Comoexemplosimples,aFig.2-2mostraafunçãoposiçãox(t)deumtatuemrepouso(tratadocomoumapartícula)duranteumintervalode tempode7s.Aposiçãodoanimal temsempreomesmovalor,x=−2m.AFig.2-3émaisinteressante,jáqueenvolvemovimento.Otatuéavistadoemt=0,quandoestána

posiçãox=−5m.Ele semoveemdireção ax=0, passapor esseponto em t=3 s e continua a se

deslocarparamaioresvalorespositivosdex.AFig.2-3mostratambémomovimentodotatupormeiodedesenhosdasposiçõesdoanimalemtrêsinstantesdetempo.OgráficodaFig.2-3émaisabstrato,masrevelacomquerapidezotatusemove.

Figura2-3 Gráficodex(t)paraumtatuemmovimento.Posiçõessucessivasdotatutambémsãomostradasparatrêsinstantesdetempo.

Naverdade,váriasgrandezasestãoassociadasàexpressão“comquerapidez”.Umaéavelocidademédia vméd, que é a razão entre o deslocamento Δx e o intervalo de tempo Δt durante o qual essedeslocamentoocorreu:

Anotaçãoindicaqueaposiçãoéx1noinstantet1ex2noinstantet2.AunidadedevmédnoSIéometroporsegundo(m/s).Outrasunidadessãousadasnestelivro,mastodastêmaformadecomprimento/tempo.Gráficos.Emumgráficodexemfunçãodet,vmédéainclinaçãodaretaqueligadoispontosdacurva

x(t): um dos pontos corresponde a x2 e t2, e o outro corresponde a x1 e t1. Da mesma forma que odeslocamento,vmédpossuiummóduloeumaorientação(tambéméumagrandezavetorial).Omóduloévalorabsolutodainclinaçãodareta.Umvalorpositivodevméd(edainclinação)significaquearetaestáinclinadaparacima,daesquerdaparaadireita;umvalornegativodevméd(edainclinação)significaquearetaestáinclinadaparabaixo,daesquerdaparaadireita.AvelocidademédiavmédtemsempreomesmosinaldodeslocamentoΔxporqueΔtnaEq.2-2ésemprepositivo.AFig.2-4mostracomodeterminarvmédnaFig.2-3parao intervalode tempode t=1 sa t = 4 s.

Traçamos a linha reta que une os pontos correspondentes ao início e ao final do intervalo de tempoconsiderado.Emseguida,calculamosainclinaçãoΔx/Δtdalinhareta.Paraointervalodetempodado,avelocidademédiaé

Avelocidadeescalarmédiasmédéumaformadiferentededescrever“comquerapidez”umapartículaestásemovendo.Enquantoavelocidademédiaenvolveodeslocamentodapartícula,Δx,avelocidadeescalarmédiaédefinidaemtermosdadistânciatotalpercorrida(onúmerodemetrospercorridos,porexemplo),independentementedadireção.Assim,

Comovelocidadeescalarmédianãodependedaorientaçãodomovimento, elaé semprepositiva.Emalguns casos, sméd é igual a vméd. Entretanto, como émostrado no Exemplo 2.01, as duas velocidadespodemserbemdiferentes.

Figura2-4 Cálculodavelocidademédiaentret=1set=4scomoainclinaçãodaretaqueuneospontosdacurvax(t)quecorrespondemaessestempos.

Exemplo2.01 Velocidademédiadeumcarrovelho

Depois de dirigir um carro emuma estrada retilínea por 8,4 kma 70 km/h, você para por falta de gasolina.Nos 30minutos

seguintes,vocêcaminhamais2,0kmaolongodaestradaatéchegaraumpostodegasolina.

(a)Qualfoioseudeslocamentototal,doiníciodaviagematéchegaraopostodegasolina?

IDEIA-CHAVE

Suponha,porconveniência,quevocêsemovenosentidopositivodoeixox,daposiçãoinicial,x1=0,atéaposiçãofinal,x2,no

postodegasolina.Asegundaposiçãoédadaporx2=8,4km+2,0km=10,4km.OdeslocamentoΔxaolongodoeixoxéa

diferençaentreasegundaposiçãoeaprimeira.

Cálculo:DeacordocomaEq.2-1,temos:

Assim,odeslocamentototalé10,4kmnosentidopositivodoeixox.

(b)QualéointervalodetempoΔtentreoiníciodaviagemeoinstanteemquevocêchegaaoposto?

IDEIA-CHAVE

Jásabemosquantotempovocêpassoucaminhando,Δtcam(0,50h),masnãosabemosquantotempovocêpassoudirigindo,Δtdir.

Sabemos,porém,quevocêviajou8,4kmdecarroaumavelocidademédiavméd,dir=70km/h.Essavelocidademédiaé igualà

razãoentreodeslocamentodocarroeointervalodetempocorrespondenteaodeslocamento.

Cálculos:Emprimeirolugar,sabemosque

ExplicitandoΔtdiresubstituindoosvaloresconhecidos,obtemos:

(c)Qualéavelocidademédiavméddoiníciodaviagematéachegadaaopostodegasolina?Determineasoluçãonumericamentee

graficamente.

IDEIA-CHAVE

DeacordocomaEq.2-2,vmédparatodoopercursoéarazãoentreodeslocamentode10,4paratodoopercursoeointervalode

tempode0,62hparatodoopercurso.

Cálculo:Nessecaso,

Paradeterminarvmédgraficamente, traçamosográficoda funçãox(t), comomostraaFig. 2-5, emqueospontosdepartida e

chegadasãoaorigemeopontoassinaladocomo“Posto”.Avelocidademédiaéainclinaçãodaretaqueuneessespontos,ouseja,

vmédéarazãoentreaelevação(Δx=10,4km)eocurso(Δt=0,62h),oquenosdávméd=16,8km/h.

(d) Suponhaque, para encher umbujãode gasolina, pagar e caminhar de volta para o carro, você leva 45minutos.Qual é a

velocidadeescalarmédiadoiníciodaviagematéomomentoemquevocêchegadevoltaaolugarondedeixouocarro?

IDEIA-CHAVE

Avelocidadeescalarmédiaéarazãoentreadistânciatotalpercorridaeotempogastoparapercorreressadistância.

Cálculo:Adistânciatotalé8,4km+2,0km+2,0km=12,4km.Ointervalodetempototalé0,12h+0,50h+0,75h=1,37

h.Assim,deacordocomaEq.2-3,

Figura2-5Asretas“Dirigindo”e“Caminhando”sãoosgráficosdaposiçãoemfunçãodotempoparaosdeslocamentosdecarroe

apé.(Ográficoparaodeslocamentoapésupõeumacaminhadacomvelocidadeconstante.)Ainclinaçãodaretaqueligaaorigem

aoponto“Posto”éavelocidademédiaparaopercursoatéoposto.

2-2VELOCIDADEINSTANTÂNEAEVELOCIDADEESCALAR


2.07Calcularavelocidade instantâneadeumapartículaemumdado instanteapartirda funçãoquedescreveaposiçãodapartículaemfunçãodotempo.

2.08 Calcular a velocidade instantânea de uma partícula em um dado instante a partir do gráfico quemostra a posição dapartículaemfunçãodotempo.

2.09Saberqueavelocidadeescalaréomódulodavelocidadeinstantânea.

Ideias-Chave•Avelocidadeinstantânea(ousimplesmente,velocidade)deumapartículaédadapor

emqueΔx=x2−x1eΔt=t2−t1.

•Avelocidadeinstantâneaemumdadoinstanteédadapelainclinaçãodográficodaposiçãoxemfunçãodotempotnesseinstante.•Avelocidadeescalarinstantâneaéomódulodavelocidadeinstantânea.

VelocidadeInstantâneaeVelocidadeEscalarInstantâneaVimosatéagoraduasformasdedescreverarapidezcomaqualumobjetoestásemovendo:avelocidademédiaeavelocidadeescalarmédia,ambasmedidasparaumintervalodetempoΔt.Entretanto,quandofalamosem“rapidez”,emgeralestamospensandonarapidezcomaqualumobjetoestásemovendoemumdeterminadoinstante,ouseja,navelocidadeinstantânea(ou,simplesmente,velocidade),v.A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidademédia reduzindo o intervalo de

tempoΔtaté torná-lopróximodezero.QuandoΔt diminui, avelocidademédia seaproximacadavezmaisdeumvalorlimite,queéavelocidadeinstantânea:

Observequevéataxacomaqualaposiçãoxestávariandocomotempoemumdadoinstante,ouseja,véaderivadadexemrelaçãoat.Notetambémquev,emqualquerinstante,éainclinaçãodacurvaquerepresentaaposiçãoemfunçãodo tempono instanteconsiderado.Avelocidade instantânea tambéméumagrandezavetoriale,portanto,possuiumaorientação.Velocidadeescalarinstantânea,ou,simplesmente,velocidadeescalar,éomódulodavelocidade,ou

seja,avelocidadedesprovidadequalquerindicaçãodeorientação.(Atenção:Avelocidadeescalarea

velocidadeescalarmédiapodemsermuitodiferentes.)Avelocidadeescalardeumobjetoqueestásemovendoaumavelocidadede+5m/séamesma(5m/s)queadeumobjetoqueestásemovendoaumavelocidadede−5m/s.Ovelocímetrodocarroindicaavelocidadeescalarenãoavelocidade,jáquenãomostraparaondeocarroestásemovendo.

Teste2Asequaçõesaseguirfornecemaposiçãox(t)deumapartículaemquatrocasos(emtodasasequações,xestáemmetros,testáem

segundos,et>0):(1)x=3t−2;(2)x=−4t2−2;(3)x=2/t2;(4)x=−2.(a)Emquecaso(s)avelocidadevdapartículaé

constante?(b)Emquecaso(s)avelocidadevestáorientadanosentidonegativodoeixox?

Exemplo2.02 Velocidadeeinclinaçãodacurvadexemfunçãodet:elevador

AFig.2-6amostraográficox(t)deumelevadorque,depoisdepassaralgumtempoparado,começaasemoverparacima(que

tomamoscomoosentidopositivodex)edepoisparanovamente.Plotev(t).

IDEIA-CHAVE

Podemosdeterminaravelocidadeemqualquerinstantecalculandoainclinaçãodacurvadex(t)nesseinstante.

Cálculos:Ainclinaçãodex(t),etambémavelocidade,ézeronosintervalosde0a1sede9semdiante,jáqueoelevadorestá

paradonesses intervalos.No intervalobc, a inclinaçãoé constante ediferentede zero, oque significaqueo elevador está se

movendocomvelocidadeconstante.Ainclinaçãodex(t)édadapor

Osinalpositivoindicaqueoelevadorestásemovendonosentidopositivodoeixox.Osintervalos,nosquaisv=0ev=4m/s,

estãoplotadosnaFig.2-6b.Alémdisso,comooelevadorcomeçaasemoverapartirdorepousoedepoisreduzavelocidadeaté

parar,nosintervalosde1sa3sede8sa9s,vvariadaformaindicadanográfico.Assim,aFig.2-6béográficopedido.(AFig.2-

6cserádiscutidanoMódulo2-3.)

Se fosse dado um gráfico de v(t) como a Fig. 2-6b, poderíamos “retroagir” para determinar a forma do gráfico de x(t)

correspondente(Fig.2-6a).Entretanto,nãoconheceríamososverdadeirosvaloresdexnosváriosinstantesdetempo,porqueo

gráfico de v(t) contém informações apenas sobre as variações de x. Para determinar a variação de x em um intervalo dado,

devemos, na linguagemdo cálculo, calcular a área “sob a curva” no gráfico de v(t) para esse intervalo. Assim, por exemplo,

duranteointervalode3sa8s,noqualoelevadortemumavelocidadede4,0m/s,avariaçãodexé

(Aáreaépositivaporqueacurvav(t)estáacimadoeixot.)AFig.2-6amostraquexrealmenteaumentade20mnesseintervalo.

Entretanto, a Fig. 2-6b nada nos diz sobre os valores de x no início e no final do intervalo. Para isso, necessitamos de uma

informaçãoadicional,comoovalordexemumdadoinstante.

Figura2-6(a)Acurvax(t)deumelevadorquesemoveparacimaaolongodoeixox.(b)Acurvav(t)doelevador.Notequeessa

curvaéaderivadadacurvax(t)(v=dx/dt).(c)Acurvaa(t)doelevador,queéaderivadadacurvav(t)(a=dv/dt).Asfigurasna

partedebaixodãoumaideiadecomoumpassageirosesenteduranteasacelerações.

2-3ACELERAÇÃO


2.10Conhecerarelaçãoentreaaceleraçãomédiadeumapartícula,avariaçãodevelocidadedapartículaeointervalodetempoduranteoqualessavariaçãoacontece.

2.11Calcularaaceleraçãoinstantâneadeumapartículaemumdadoinstanteeaaceleraçãomédiaentredoisinstantesapartirdafunçãoquedescreveavelocidadedapartículaemfunçãodotempo.

2.12Calcularaaceleraçãoinstantâneadeumapartículaemumdadoinstanteeaaceleraçãomédiaentredoisinstantesapartirdográficoquemostraavelocidadedapartículaemfunçãodotempo.

Ideias-Chave•AceleraçãomédiaéarazãoentreavariaçãodevelocidadeΔvdeumapartículaeo intervalodetempoΔtduranteoqualavariaçãoocorre:

•Osinalalgébricoindicaosentidodeaméd.

•Aceleraçãoinstantânea(ou,simplesmente,aceleração),a,éaderivadaprimeiradavelocidadev(t)emrelaçãoaotempoeasegundaderivadadaposiçãox(t)emrelaçãoaotempo:

•Emumgráficodevemfunçãodet,aaceleraçãoaemumdadoinstanteéainclinaçãodográficonopontocorrespondenteaesseinstante.

AceleraçãoQuando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma aceleração (ou foiacelerada).Paramovimentosaolongodeumeixo,aaceleraçãomédiaamédemumintervalodetempoΔtédadapor

emquev1 éavelocidadedapartículano instante t1,ev2 éavelocidadedapartículano instante t2. A

aceleraçãoinstantânea(ou,simplesmente,aceleração)édadapor

Empalavras,aaceleraçãodeumapartículaemumdadoinstanteéataxacomaqualavelocidadeestávariandonesse instante.Graficamente,aaceleraçãoemqualquerpontoéa inclinaçãodacurvadev(t)nesseponto.PodemoscombinaraEq.2-8comaEq.2-4eescrever

Empalavras,aaceleraçãodeumapartículaemumdadoinstanteéaderivadasegundadaposiçãox(t)emrelaçãoaotemponesseinstante.AunidadedeaceleraçãonoSIéometroporsegundoaoquadrado,m/s2.Outrasunidadessãousadas

nestelivro,mastodasestãonaformadecomprimento/tempo2.Damesmaformaqueodeslocamentoeavelocidade,aaceleraçãopossuiummóduloeumaorientação(ouseja,tambéméumagrandezavetorial).Osinalalgébricorepresentaosentidoemrelaçãoaumeixo;umaaceleraçãocomumvalorpositivotemosentidopositivodoeixo,enquantoumaaceleraçãocomumvalornegativotemosentidonegativodoeixo.AFig. 2-6mostra os gráficos da posição, velocidade e aceleração do elevador do Exemplo 2-02.

Compare a curva de a(t) com a curva de v(t); cada ponto na curva de a(t) corresponde à derivada(inclinação)dacurvadev(t)nomesmoinstantedetempo.Quandovéconstante(comovalorde0ou4m/s),aderivadaénulae,portanto,aaceleraçãoénula.Quandooelevadorcomeçaasemover,acurvadev(t) temderivada positiva (a inclinação é positiva), o que significa quea(t) é positiva.Quando oelevadorreduzavelocidadeatéparar,aderivadaeainclinaçãodacurvadev(t)sãonegativas,ouseja,a(t)énegativa.Compareas inclinaçõesdacurvadev(t)nosdoisperíodosdeaceleração.Ainclinaçãoassociadaà

redução de velocidade do elevador (ou seja, à “desaceleração”) émaior porque o elevador para nametadedotempoquelevouparaatingirumavelocidadeconstante.Umainclinaçãomaiorsignificaqueomódulodadesaceleraçãoémaiorqueodaaceleração,comomostraaFig.2-6c.Sensações.AssensaçõesqueoleitorteriaseestivessenoelevadordaFig.2-6estãoindicadaspelos

bonequinhosqueaparecemnaparteinferiordafigura.Quandooelevadoracelera,vocêsesentecomoseestivesse sendo empurrado para baixo; mais tarde, quando o elevador freia até parar, você tem aimpressão de que está sendo puxado para cima. Entre esses dois intervalos, você não sente nada deespecial. Em outras palavras, nosso corpo reage a acelerações (é um acelerômetro), mas não avelocidades(nãoéumvelocímetro).Quandoestamosviajandodecarroa90km/houviajandodeaviãoa900km/h,nãotemosnenhumasensaçãodemovimento.Entretanto,seocarroouaviãomudabruscamentede velocidade, percebemos imediatamente a mudança e podemos até ficar assustados. Boa parte daemoçãoquesentimosquandoandamosdemontanha-russasedeveàsmudançassúbitasdevelocidadeàs

quais somos submetidos (pagamos pela aceleração, não pela velocidade). Um exemplomais extremoaparecenas fotografiasdaFig.2-7, tiradas enquantoum trenó a jato era rapidamente acelerado sobretrilhosedepoisfreadobruscamenteatéparar.Unidadesg.Grandesaceleraçõessãoàsvezesexpressasemunidadesg,definidasdaseguinteforma:

(Comovamosdiscutir noMódulo2-5,g é omódulo da aceleração de um objeto em queda livre nasproximidadesdasuperfíciedaTerra.)Umamontanha-russasubmeteospassageirosaumaaceleraçãodeaté3g,oequivalentea(3)(9,8m/s2),oucercade29m/s2,umvalormaisdoquesuficienteparajustificaropreçodopasseio.Sinal. O sinal da aceleração tem significados diferentes na linguagem popular e na linguagem

científica. Na linguagem popular, dizer que um objeto tem uma aceleração positiva significa que avelocidadedoobjetoestáaumentando,edizerqueoobjetotemumaaceleraçãonegativasignificaqueavelocidade do objeto está diminuindo (ou seja, que o objeto está desacelerando).Neste livro, porém,como em todos os textos científicos, o sinal é usado para indicar o sentido da aceleração e não se avelocidadedoobjetoestáaumentandooudiminuindo.Assim,seumcarrocomvelocidadeinicialv=−25m/séfreadoatépararem5,0s,améd=+5,0m/s2.Aaceleraçãoépositiva,masavelocidadeescalardocarrodiminuiu.Arazãoestánadiferençadesinais:aaceleração,nestecaso,temosentidoopostoaodavelocidade.

CortesiadaForçaAéreadosEstadosUnidos

Figura2-7 OcoronelJ.P.Stappemumtrenóajatocujavelocidadeaumentabruscamente(aceleraçãoparaforadopapel)e,emseguida,

diminuibruscamente(aceleraçãoparadentrodopapel).

Aformaapropriadadeinterpretarosinaldaaceleraçãoéaseguinte:

Seossinaisdavelocidadeedaaceleraçãodeumapartículasãoiguais,avelocidadeescalardapartículaaumenta.Seossinaissão

opostos,avelocidadeescalardiminui.

Teste3Ummarsupialsemoveaolongodoeixox.Qualéosinaldaaceleraçãodoanimalseeleestásemovendo(a)nosentidopositivo

com velocidade escalar crescente; (b) no sentido positivo com velocidade escalar decrescente; (c) no sentido negativo com

velocidadeescalarcrescente;(d)nosentidonegativocomvelocidadeescalardecrescente?

Exemplo2.03 Aceleraçãoedv/dt

AposiçãodeumapartículanoeixoxdaFig.2-1édadapor

x=4–27t+t3,

comxemmetrosetemsegundos.

(a) Como a posição x varia com o tempo t, a partícula está emmovimento. Determine a função velocidade v(t) e a função

aceleraçãoa(t)dapartícula.

IDEIAS-CHAVE

(1)Paraobterafunçãovelocidadev(t),derivamosafunçãoposiçãox(t)emrelaçãoaotempo.(2)Paraobterafunçãoaceleração

a(t),derivamosafunçãovelocidadev(t)emrelaçãoaotempo.

Cálculos:Derivandoafunçãoposição,obtemos

comvemmetrosporsegundo.Derivandoafunçãovelocidade,obtemos

comaemmetrosporsegundoaoquadrado.

(b)Existealguminstanteparaoqualv=0?

Cálculo:Fazendov(t)=0,obtemos

0=–27+3t2,

e,portanto,

Assim,avelocidadeézero3santese3sdepoisdoinstantet=0.

(c)Descrevaomovimentodapartículaparat≥0.

Raciocínio:Precisamosexaminarasexpressõesdex(t),v(t)ea(t).

Emt=0,apartículaestáemx(0)=+4meestásemovendocomvelocidadev(0)=−27m/s,ouseja,nosentidonegativodo

eixox.Aaceleraçãoéa(0)=0porque,nesseinstante,avelocidadedapartículanãoestávariando(Fig.2-8a).

Para 0 < t < 3 s, a partícula ainda possui velocidade negativa e, portanto, continua a se mover no sentido negativo.

Entretanto, a aceleraçãonãomais é igual a zero e sim crescente epositiva. Comoos sinais da velocidadeeda aceleração são

opostos,omódulodavelocidadedapartículadeveestardiminuindo(Fig.2-8b).

De fato, já sabemosque a partícula paramomentaneamente em t= 3 s. Nesse instante, a partícula se encontra namaior

distânciaàesquerdadaorigemnaFig.2-8.Fazendot=3snaexpressãodex(t),descobrimosqueaposiçãodapartículanesse

instanteéx=−50m(Fig.2-8c).Aaceleraçãoaindaépositiva.

Parat>3s,apartículasemoveparaadireitasobreoeixo.Aaceleraçãopermanecepositivaeaumentaprogressivamenteem

módulo.Avelocidadeagoraépositivaeomódulodavelocidadetambémaumentaprogressivamente(Fig.2-8d).

Figura2-8QuatroestágiosdomovimentodapartículadoExemplo2.03.

2-4ACELERAÇÃOCONSTANTE


2.13 Conhecer as relações entre posição, deslocamento, velocidade, aceleração e tempo para o caso de uma aceleraçãoconstante(Tabela2-1).

2.14Calcularavariaçãodevelocidadedeumapartículaintegrandoafunçãoaceleraçãorelativamenteaotempo.

2.15Calcularavariaçãodeposiçãodeumapartículaintegrandoafunçãovelocidadeemrelaçãoaotempo.

Ideias-Chave•Ascincoequaçõesaseguirdescrevemomovimentodeumapartículacomaceleraçãoconstante.

Essasequaçõesnãosãoválidasquandoaaceleraçãonãoéconstante.

AceleraçãoConstante:UmCasoEspecialEmmuitos tipos de movimento, a aceleração é constante ou aproximadamente constante. Assim, porexemplo,vocêpodeacelerarumcarroaumataxaaproximadamenteconstantequandoaluzdeumsinaldetrânsitomudadevermelhoparaverde.Nessecaso,osgráficosdaposição,velocidadeeaceleraçãodocarroseassemelhamaosdaFig.2-9.[Notequea(t)naFig.2-9céconstante,oquerequerquev(t)naFig.2-9btenhaumainclinaçãoconstante.]Maistarde,quandovocêfreiaocarroatéparar,aaceleração(oudesaceleração,nalinguagemcomum)podesertambémconstante.Casoscomoessesão tão frequentesque foi formuladoumconjuntoespecialdeequaçõespara lidar

com eles. Uma forma de obter essas equações é apresentada nesta seção; uma segunda forma seráapresentada na seção seguinte. Nas duas seções e mais tarde, quando você trabalhar na solução dosproblemas,lembre-sedequeessassoluçõessãoválidasapenasquandoaaceleraçãoéconstante (ouemsituaçõesnasquaisaaceleraçãopodeserconsideradaaproximadamenteconstante).Primeira Equação Básica. Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração

instantâneasãoiguaisepodemosescreveraEq.2-7,comalgumasmudançasdenotação,naforma

Aqui, v0 é a velocidade no instante t = 0 e v é a velocidade em um instante de tempo posterior t.Explicitandov,obtemos:

Comoverificação,notequeessaequaçãose reduzav=v0para t=0, comoerade seesperar.Comoverificaçãoadicional,vamoscalcularaderivadadaEq.2-11.Oresultadoédv/dt=a,oquecorrespondeàdefiniçãodea.AFig.2-9bmostraográficodaEq.2-11,afunçãov(t);afunçãoélineare,portanto,ográficoéumalinhareta.SegundaEquaçãoBásica.Demaneiraanáloga,podemosescreveraEq.2-2(comalgumasmudanças

denotação)naforma

Figura2-9 (a)Aposiçãox(t)deumapartículaquesemovecomaceleraçãoconstante.(b)Avelocidadedapartícula,v(t),dadaemcadapontopelainclinaçãodacurvadex(t).(c)Aaceleração(constante)dapartícula,igualàinclinação(constante)dacurvadev(t).

oquenosdá

emquex0éaposiçãodapartículaemt=0evmédéavelocidademédiaentret=0euminstantedetempoposteriort.ParaafunçãovelocidadelineardaEq.2-11,avelocidademédiaemqualquerintervalodetempo(det

=0auminstanteposteriort,digamos)éamédiaaritméticadavelocidadenoiníciodointervalo(v0)comavelocidadenofinaldointervalo(v).Paraointervalodet=0atéuminstanteposterior t,portanto,avelocidademédiaé

Substituindovpeloseuvalor,dadopelaEq.2-11,obtemos,agrupandoostermos,

Finalmente,substituindoaEq.2-14naEq.2-12,obtemos:

Como verificação, note que a equação se reduz a x = x0 para t = 0, como era de se esperar. Comoverificação adicional, vamos calcular a derivada da Eq. 2-15. O resultado é a Eq. 2-11, como eraesperado.AFig.2-9amostraográficodaEq.2-15;comoafunçãoédosegundograu,ográficonãoéumalinhareta.TrêsOutrasEquações.AsEqs.2-11e2-15sãoasequaçõesbásicasdomovimentocomaceleração

constante; elas podem ser usadas para resolver qualquer problema deste livro que envolva umaaceleraçãoconstante.Entretanto,outras equações,deduzidas apartirdas equaçõesbásicas,podemserúteisemsituaçõesespecíficas.Observequeumproblemacomaceleraçãoconstantepodeenvolveratécincograndezas:x−x0,v,t,aev0.Normalmente,umadessasgrandezasnãoestáenvolvidanoproblema,nemcomodado,nemcomoincógnita.Sãofornecidastrêsdasgrandezasrestanteseoproblemaconsisteemdeterminaraquarta.AsEqs.2-11e2-15contêm,cadauma,quatrodessasgrandezas,masnãoasmesmasquatro.NaEq.2-

11,agrandezaausenteéodeslocamentox−x0.NaEq.2-15,éavelocidadev.Asduasequaçõespodemser combinadas de três maneiras diferentes para produzir três novas equações, cada uma das quaisenvolvequatrograndezasdiferentes.Emprimeirolugar,podemoseliminartparaobter

Essaequaçãoéútil senãoconhecemos t enãoprecisamosdeterminaro seuvalor.Emsegundo lugar,podemoseliminaraaceleraçãoa,combinandoasEqs.2-11e2-15paraobterumaequaçãoemqueanãoaparece:

Finalmente,podemoseliminarv0,obtendo

Note a diferença sutil entre esta equação e a Eq. 2-15.Uma envolve a velocidade inicial v0; a outraenvolveavelocidadevnoinstantet.ATabela2-1mostraasequaçõesbásicasdomovimentocomaceleraçãoconstante(Eqs.2-11e2-15),

assim como as equações especiais que deduzimos. Para resolver um problema simples envolvendoaceleraçãoconstante,emgeralépossívelusarumaequaçãoda lista (se vocêpuder consultar a lista).Escolhaumaequaçãoparaaqualaúnicavariáveldesconhecidaéavariávelpedidanoproblema.UmplanomaissimplesémemorizarapenasasEqs.2-11e2-15emontarcomelasumsistemadeequações,casoissosejanecessário.

Tabela2-1EquaçõesdoMovimentocomAceleraçãoConstantea

NúmerodaEquação Equação GrandezaqueFalta

2-11 v=v0+at x–x0

2-15 v

2-16 t

2-17 a

2-18 v0

aCertifique-sedequeaaceleraçãoéconstanteantesdeusarasequaçõesdestatabela.

Teste4Asequaçõesaseguirfornecemaposiçãox(t)deumapartículaemquatrocasos:

(1)x=3t−4;(2)x=−5t3+4t2+6;(3)x=2/t2–4/t;(4)x=5t2−3.Emquecaso(s)asequaçõesdaTabela2-1podemser

aplicadas?

Exemplo2.04 Corridaentreumcarroeumamotocicleta

Umvídeomuitopopularnainternetmostraumaviãoajato,umcarroesportivoeumamotocicletaapostandocorridaemuma

pistadepouso(Fig.2-10).Logodepoisdapartida,amotocicletaestánaliderança,maséultrapassadapeloaviãoe,poucodepois,

pelocarro.Nesteexemplo,vamosconsiderarapenasocarroeamotocicletaeanalisaromovimentodosdoisveículosemfunção

do tempo usando valores típicos para os parâmetros envolvidos. A motocicleta assume inicialmente a liderança porque sua

aceleração(constante)am=8,40m/s2émaiorqueaaceleração(constante)docarro,ac=5,60m/s2,maséultrapassadapelo

carroporquesuavelocidademáximavm=58,8m/sémenorqueavelocidadedocarro,vc=106m/s.Quantotempoocarroleva

paraemparelharcomamotocicleta?

IDEIAS-CHAVE

Podemos aplicar as equações de aceleração constante aos dois veículos. No caso da motocicleta, porém, devemos dividir o

movimentoemduaspartes:(1)Primeiro,amotocicletapercorreumadistânciaxm1,comvelocidadeinicialzeroeaceleraçãoam=

8,40m/s2atéatingiravelocidadede58,8m/s. (2)Emseguida,amotocicletapercorreumadistânciaxm2 comumavelocidade

constante vm = 58,8 m/s e aceleração zero (que é, também, uma aceleração constante). (Note que usamos símbolos para

distâncias cujos valores ainda não conhecemos. Escrever equações que envolvem valores desconhecidosmuitas vezes ajuda a

resolverproblemasdefísica,masrequercertacoragem.)

Cálculos:Vamossuporqueosveículosestãosemovendonosentidopositivodoeixoxepartiramdopontox=0noinstantet=

0.(Osvaloresiniciaisdotempoedaposiçãosãoarbitrários,jáqueestamosinteressadosemcalcularumintervalodetempoenão

uminstanteespecífico,como2horasdatarde;jáquepodemosescolher,optamospornúmerosbemsimples.)

Figura2-10Umaviãoajato,umcarroeumamotocicletalogoapósacelerarapartirdorepouso.

Queremossaberparaquevalordetocarroeamotocicletaestãoemparelhados,masoquesignificaissomatematicamente?

Significaque,paraessevalorde t,ascoordenadasdosdoisveículossão iguais:acoordenadaxcnocasodocarroea somade

distânciasxm1+xm2nocasodamotocicleta.Essadescriçãopodesertraduzidaemumaequaçãomatemática:

[Namaioria dos problemas de física, esse primeiro passo é a partemais difícil. Como passar da descrição do problema (em

palavras)paraumaequaçãomatemática?Umdosobjetivosdestelivroéajudaroestudanteaadquiriracapacidadededaresse

primeiropassoporcontaprópria,oqueexigemuitadedicaçãoemuitotreinamento,comoacontece,porexemplo,comalguém

quequeraprenderajogartênis.]

Vamosagoraanalisarosdoisladosdaequação,começandopeloladoesquerdo.Parachegaraopontoxc,ocarroaceleraapartir

dorepouso.Fazendox=xc,x0=0ev0=0naEq.2-15(x–x0=v0t+at2),obtemos:

Parasubstituirxm1porumaexpressãosemelhanteàEq.2-20,precisamosdeterminarotempotmqueamotocicletalevapara

atingiravelocidademáximavm,usandoparaissoaEq.2-11(v=v0+at).Fazendov0=0,v=vm=58,8m/sea=am=8,40

m/s2,obtemos:

Paraobteradistânciaxm1cobertapelamotocicletanaprimeirapartedopercurso,usamosnovamenteaEq.2-15comx0=0ev0=

0,mas,destavez,substituímosotempopelaexpressãodadapelaEq.2-21,oquenosdá

Durante o resto do tempo, t− tm, amotocicleta semove com velocidade constante (a velocidademáxima) e, portanto, a

aceleraçãoézero.Paraobteradistânciaxm2cobertanessapartedopercurso,usamosnovamenteaEq.2-15,mas,destavez,com

v0=vm(avelocidadenofinaldaprimeiraparte)ea=0.Oresultadoéoseguinte:

Paraconcluiroscálculos,substituímosasEqs.2-20,2-22e2-23naEq.2-19,oquenosdá

Substituindoac,vm eam por valores numéricos, obtemosumaequaçãodo segundograu em t, cujas raízes (obtidas usando a

fórmuladeBáskaraouumacalculadora)sãot=4,44set=16,6s.

Oquevamosfazercomduasrespostas?Seráqueocarroemparelhaduasvezescomamotocicleta?Não,claroquenão,jáque,

depoisqueocarropassapelamotocicleta,adistânciaentreosdoisveículosaumentacadavezmais.Aúnicaconclusãopossívelé

que umadas soluções da equação do segundograu não tem significado físico. Como sabemos que o carro emparelha coma

motocicletadepoisqueamotocicletaatingeavelocidademáxima,oqueacontecenoinstantet=7,00s,descartamosasolução

quenosdáumtempot<7,00seconcluímosqueaultrapassagemacontecenoinstante

AFig.2-11mostraumgráficodaposiçãodo carro edamotocicleta em funçãodo tempo, comopontodeultrapassagem

assinalado.Noteque,apartirdet=7,00s,ográficodaposiçãodamotocicleta,quetinhaaformadeumaparábola(porquea

velocidadeestavaaumentando),passaateraformadeumareta(porqueavelocidadesetornouconstante).

Figura2-11Gráficodaposiçãodocarroedamotocicletaemfunçãodotempo.

MaissobreAceleraçãoConstante*AsduasprimeirasequaçõesdaTabela2-1sãoasequaçõesbásicasapartirdasquaisasoutraspodemserdeduzidas.Essasduasequaçõespodemserobtidasporintegraçãodaaceleraçãocomacondiçãode

quea seja uma constante. Para obter a Eq. 2-11, escrevemos a definição de aceleração (Eq. 2-8) naforma

dv=adt.

Emseguida,calculamosaintegralindefinida(ouantiderivada)dosdoismembrosdaequação:

Como a aceleração a é constante, pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração.Assim,temos:

ParadeterminaraconstantedeintegraçãoC,fazemost=0echamamosdev0avelocidadenesseinstante.SubstituindoessesvaloresnaEq.2-25(queéválidaparaqualquervalordet,incluindot=0),obtemos

v0=(a)(0)+C=C.

SubstituindoessevalornaEq.2-25,obtemosaEq.2-11.ParademonstraraEq.2-15,escrevemosadefiniçãodevelocidade(Eq.2-4)naforma

dx=vdt

eintegramosambososmembrosdaequaçãoparaobter

Substituindovpeloseuvalor,dadopelaEq.2-11,temos:

Comov0easãoconstantes,podemosescrever

Integrando,obtemos

emqueCʹéoutraconstantedeintegração.ParadeterminaraconstantedeintegraçãoCʹ,fazemost=0echamamos de x0 a posição nesse instante. Substituindo esses valores na Eq. 2-26, obtemos x0 =Cʹ.SubstituindoCʹporx0naEq.2-26,obtemosaEq.2-15.

2-5ACELERAÇÃOEMQUEDALIVRE


2.16Saberque,seumapartículaestáemmovimentolivre(dequedaoudesubida)eseoefeitodoarpodeserdesprezado,apartículasofreumaaceleraçãoconstanteparabaixocujomódulogéaproximadamente9,8m/s2.

2.17Aplicarasequaçõesdeaceleraçãoconstante(Tabela2-1)aomovimentolivredeobjetos.

Ideias-Chave•UmexemploimportantedemovimentoemlinharetacomaceleraçãoconstanteéodeumobjetoqueestásubindooucaindolivrementenaverticalpertodasuperfíciedaTerra.Asequaçõesparaaceleraçãoconstantepodemserusadasparadescreveromovimento,maséprecisofazerduasmudançasnanotação:(1)omovimentodeveserdescritoemrelaçãoeumeixoverticaly,comosentidopositivodoeixoyparacima;(2)aaceleraçãoadevesersubstituídapor–g,emquegéomódulodaaceleraçãoemquedalivre.PertodasuperfíciedaTerra,

g=9,8m/s2

AceleraçãoemQuedaLivreSeoleitorarremessasseumobjetoparacimaouparabaixoepudessedealgumaformaeliminaroefeitodoarsobreomovimento,observariaqueoobjetosofreumaaceleraçãoconstanteparabaixo,conhecidacomoaceleraçãoemquedalivre,cujomóduloérepresentadopelaletrag.Ovalordessaaceleraçãonãodependedascaracterísticasdoobjeto,comomassa,densidadeeforma;éamesmaparatodososobjetos.A Fig. 2-12 mostra dois exemplos de aceleração em queda livre através de uma série de fotos

estroboscópicasdeumapena edeumamaçã.Enquanto caem,osobjetos sofremumaaceleraçãoparabaixo,quenosdoiscasoséigualag.Assim,asvelocidadesdosdoisobjetosaumentamàmesmataxa,eelescaemjuntos.Ovalordegvarialigeiramentecomalatitudeecomaaltitude.Aoníveldomareemlatitudesmédias,

ovaloré9,8m/s2,queéovalorqueoleitordeveusarcomonúmeroexatonosproblemasdestelivro,amenosquesejaditoocontrário.AsequaçõesdemovimentodaTabela2-1paraaceleraçãoconstantetambémseaplicamàquedalivre

nasproximidadesdasuperfíciedaTerra,ouseja, seaplicamaumobjetoqueestejadescrevendoumatrajetória vertical, para cima ou para baixo, contanto que os efeitos do ar possam ser desprezados.Observe,porém,que,nocasodaquedalivre,porconvenção,(1)adireçãodomovimentoéaolongodeumeixoyverticalenãoaolongodeumeixoxhorizontal,comosentidopositivodeyparacima(isso

seráimportanteemcapítulossubsequentes,emqueexaminaremosmovimentossimultâneosnasdireçõeshorizontal evertical); (2) a aceleração emqueda livre énegativa, ou seja, parabaixo, emdireçãoaocentrodaTerra,e,portanto,temovalor−gnasequações.

©JimSugar/CORBIS

Figura2-12 Umapenaeumamaçãemquedalivrenovácuosofremamesmaaceleraçãog.Éporissoqueadistânciaentreasimagensestroboscópicasaumentaduranteaqueda,eoaumentoéomesmoparaosdoisobjetos.

AaceleraçãoemquedalivrenasproximidadesdasuperfíciedaTerraéa=−g=−9,8m/s2,eomódulodaaceleraçãoég=9,8

m/s2.Nãosubstituagpor−9,8m/s2(massimpor9,8m/s2).

Suponhaquevocêarremesseumtomateverticalmenteparacimacomumavelocidadeinicial(positiva)v0 e o apanhe quando ele volta ao nível inicial. Durante a trajetória em queda livre (do instanteimediatamente após o lançamento ao instante imediatamente antes de ser apanhado), as equações daTabela2-1seaplicamaomovimentodotomate.Aaceleraçãoésemprea=−g=−9,8m/s2,negativae,portanto, dirigida para baixo.A velocidade, entretanto, varia, comomostram asEqs. 2-11 e 2-16: nasubida,avelocidadeépositivaeomódulodiminuiatésetornarmomentaneamenteigualazero.Nesseinstante,otomateatingeaalturamáxima.Nadescida,omódulodavelocidade(agoranegativa)cresce.

Teste5(a)Sevocêarremessaumabolaverticalmenteparacima,qualéosinaldodeslocamentodaboladuranteasubida,desdeoponto

inicial atéopontomais altoda trajetória? (b)Qual éo sinaldodeslocamentoduranteadescida,desdeopontomais altoda

trajetóriaatéopontoinicial?(c)Qualéaaceleraçãodabolanopontomaisaltodatrajetória?

Exemplo2.05 Tempodepercursodeumaboladebeisebollançadaverticalmente

NaFig.2-13,umlançadorarremessaumaboladebeisebolparacimaaolongodoeixoy,comumavelocidadeinicialde12m/s.

(a)Quantotempoabolalevaparachegaraopontomaisaltodatrajetória?

IDEIAS-CHAVE

(1)Entreoinstanteemqueabolaélançadaeoinstanteemquevoltaaopontodepartida,suaaceleraçãoéaaceleraçãoemqueda

livre,a=−g.Comoaaceleraçãoéconstante,podemosusarasequaçõesdaTabela2-1.(2)Avelocidadevnoinstanteemquea

bolaatingeaalturamáximaé0.

Cálculo:Comoconhecemosv,aeavelocidadeinicialv0=12m/seestamosinteressadosemdeterminarovalordet,escolhemos

aEq.2-11,quecontémessasquatrovariáveis.Explicitandot,obtemos:

(b)Qualéaalturamáximaalcançadapelabolaemrelaçãoaopontodelançamento?

Cálculo:Podemostomaropontodelançamentodabolacomoy0=0.Nessecaso,podemosescreveraEq.2-16comynolugarde

x,fazery−y0=yev=0(naalturamáxima)eexplicitary.Oresultadoé

(c)Quantotempoabolalevaparaatingirumponto5,0macimadopontoinicial?

Cálculo:Comoconhecemosv0,a=−geodeslocamentoy−y0=5,0mequeremosdeterminart;escolhemosentãoaEq.2-15.

Substituindoxporyefazendoy0=0,obtemos

Omitindotemporariamenteasunidades(depoisdeobservarquesãocoerentes),podemosescreverestaequaçãonaforma

4,9t2–12t+5,0=0.

Resolvendoessaequaçãodosegundograu,obtemos

Existemduasrespostasdiferentes!Isso,naverdade,nãochegaaserumasurpresa,poisabolapassaduasvezespelopontoy=

5,0m,umaveznasubidaeoutraveznadescida.

Figura2-13Umlançadorarremessaumaboladebeisebolparacima.Asequaçõesdequedalivreseaplicamtantoaobjetosque

estãosubindocomoaobjetosqueestãocaindo,desdequeainfluênciadoarpossaserdesprezada.

2-6INTEGRAÇÃOGRÁFICANAANÁLISEDEMOVIMENTOS


2.18Determinaravariaçãodevelocidadedeumapartículaporintegraçãográficaemumgráficodaaceleraçãoemfunçãodo

tempo.

2.19Determinar a variaçãode posiçãodeumapartícula por integraçãográfica emumgráfico da velocidadeem funçãodotempo.

Ideias-Chave•Emumgráficodaaceleraçãoaemfunçãodotempot,avariaçãodevelocidadeédadapor

•Essaintegralénumericamenteigualaumaáreadográfico:

•Emumgráficodavelocidadevemfunçãodotempot,avariaçãodeposiçãoédadapor

essaintegralénumericamenteigualaumaáreadográfico:

IntegraçãoGráficanaAnálisedeMovimentosIntegraçãodaAceleração.Quandotemosográficodaaceleraçãoadeumobjetoemfunçãodotempot,podemos integrar o gráfico para obter a velocidade do objeto em qualquer instante dado. Como aaceleraçãoaédefinidaemtermosdavelocidadecomoa=dv/dt,oTeoremaFundamentaldoCálculonosdizque

O lado direito da equação é uma integral definida (fornece um resultado numérico em vez de umafunção), v0 é a velocidade no instante t0, e v1 é a velocidade em um instante posterior t1. A integraldefinidapodesercalculadaapartirdográficodea(t),comonaFig.2-14a.Emparticular,

Seaunidadedeaceleraçãoé1m/s2eaunidadedetempoé1s,aunidadedeáreanográficoé

(1m/s2)(1s)=1m/s,

queé(comodeviaser)aunidadedevelocidade.Quandoacurvadaaceleraçãoestáacimadoeixodotempo,aáreaépositiva;quandoacurvaestáabaixodoeixodotempo,aáreaénegativa.IntegraçãodaVelocidade.Damesmaforma,comoavelocidadevédefinidaemtermosdaposiçãox

comov=dx/dt,então

emquex0éaposiçãonoinstantet0,ex1éaposiçãonoinstantet1.AintegraldefinidanoladodireitodaEq.2-29podesercalculadaapartirdográficodev(t),comomostraaFig.2-14b.Emparticular,

Seaunidadedevelocidadeé1m/seaunidadedetempoé1s,aunidadedeáreanográficoé

(1m/s)(1s)=1m,

queé(comodeviaser)umaunidadedeposiçãoedeslocamento.Aquestãodeessaáreaserpositivaounegativaédeterminadadamesmaformaqueparaacurvaa(t)daFig.2-14a.

Figura2-14 Área entre uma curva e o eixo dos tempos, do instante t0 ao instante t1, indicada (a) em umgráfico da aceleraçãoa emfunçãodotempote(b)emumgráficodavelocidadevemfunçãodotempot.

Exemplo2.06 Integraçãográficadeaemfunçãodet:efeitochicote

Lesõesdopescoçocausadaspelo“efeitochicote”sãofrequentesemcolisõestraseiras,emqueumautomóveléatingidoportrás

por outro automóvel.Nadécadade 1970, os pesquisadores concluíramque a lesão ocorria porque a cabeça do ocupante era

jogada para trás por cima do banco quando o carro era empurrado para frente. A partir desta observação, foram instalados

encostosdecabeçanoscarros,masaslesõesdepescoçonascolisõestraseirascontinuaramaacontecer.

Emumtesterecenteparaestudaraslesõesdopescoçoemcolisõestraseiras,umvoluntáriofoipresoporcintosaumassento,

quefoimovimentadobruscamenteparasimularumacolisãonaqualocarrodetrásestavasemovendoa10,5km/h.AFig.2-15a

mostraaaceleraçãodotroncoedacabeçadovoluntárioduranteacolisão,quecomeçanoinstantet=0.Oiníciodaaceleraçãodo

troncosofreuumretardode40ms,tempoqueoencostodoassentolevouparasercomprimidocontraovoluntário.Aaceleração

dacabeçasofreuumretardodemais70ms.Qualeraavelocidadedotroncoquandoacabeçacomeçouaacelerar?

IDEIA-CHAVE

Podemosdeterminaravelocidadeescalardotroncoemqualquerinstantecalculandoaáreasobacurvadaaceleraçãodotronco,

a(t).

Cálculos:Sabemosqueavelocidadeinicialdotroncoév0=0noinstantet0=0,ouseja,noinícioda“colisão”.Queremosobtera

velocidadedotroncov1noinstantet1=110ms,ouseja,quandoacabeçacomeçaaacelerar.

CombinandoasEqs.2-27e2-28,podemosescrever:

Porconveniência,vamossepararaáreaemtrêsregiões(Fig.2-15b).De0a40ms,aregiãoAtemáreanula:

áreaA=0.

De40msa100ms,aregiãoBtemaformadeumtriângulocujaáreaé

De100msa110ms,aregiãoCtemaformadeumretângulocujaáreaé

áreaC=(0,010s)(50m/s2)=0,50m/s.

Substituindoessesvaloresefazendov0=0naEq.2-31,obtemos:

Comentários: Quando a cabeça está começando a semover para a frente, o tronco já tem uma velocidade de 7,2 km/h. Os

pesquisadoresafirmamqueéessadiferençadevelocidadesnosprimeirosinstantesdeumacolisãotraseiraquecausalesõesdo

pescoço. Omovimento brusco da cabeça para trás acontece depois e pode agravar a lesão, especialmente se não existir um

encostoparaacabeça.

Figura2-15(a)Curvadea(t)paraotroncoeacabeçadeumvoluntárioemumasimulaçãodecolisãotraseira.(b)Separaçãoem

trêspartesdaregiãoentreacurvaeoeixodostemposparacalcularaárea.

RevisãoeResumo

PosiçãoAposiçãoxdeumapartículaemumeixoxmostraaquedistânciaapartículaseencontradaorigem,oupontozero,doeixo.Aposiçãopodeserpositivaounegativa,dependendodoladoemqueseencontra a partícula em relação à origem (ou zero, se a partícula estiver exatamente na origem). Osentidopositivodeumeixoéosentidoemqueosnúmerosqueindicamaposiçãodapartículaaumentamdevalor;osentidoopostoéosentidonegativo.

DeslocamentoOdeslocamentoΔxdeumapartículaéavariaçãodaposiçãodapartícula:

Odeslocamentoéumagrandezavetorial.Épositivo,seapartículasedeslocanosentidopositivodoeixox,enegativo,seapartículasedeslocanosentidooposto.

VelocidadeMédiaQuandoumapartículasedeslocadeumaposiçãox1paraumaposiçãox2duranteumintervalodetempoΔt=t2−t1,avelocidademédiadapartículaduranteesseintervaloédadapor

Osinal algébricodevméd indicao sentidodomovimento (vméd éumagrandezavetorial).Avelocidademédianãodependedadistânciaqueumapartículapercorre,masapenasdasposiçõesinicialefinal.Em um gráfico de x em função de t, a velocidade média em um intervalo de tempo Δt é igual à

inclinaçãodalinharetaqueuneospontosdacurvaquerepresentamasduasextremidadesdointervalo.

VelocidadeEscalarMédiaAvelocidadeescalarmédiasméddeumapartículaduranteum intervalodetempoΔtdependedadistânciatotalpercorridapelapartículanesseintervalo.

VelocidadeInstantâneaAvelocidadeinstantânea(ou,simplesmente,velocidade),v,deumapartículaédadapor

emqueΔxeΔt sãodefinidospelaEq.2-2.Avelocidade instantânea (emumdeterminado instantedetempo)éigualàinclinação(nessemesmoinstante)dográficodexemfunçãodet.Avelocidadeescalaréomódulodavelocidadeinstantânea.

AceleraçãoMédiaAaceleraçãomédiaéa razãoentreavariaçãodevelocidadeΔv eo intervalodetempoΔtnoqualessavariaçãoocorre.

Osinalalgébricoindicaosentidodeaméd.

Aceleração Instantânea A aceleração instantânea (ou, simplesmente, aceleração), a, é igual àderivadaprimeiradavelocidadev(t) em relação ao tempoou àderivada segundadaposiçãox(t) emrelaçãoaotempo:

Emumgráficodevemfunçãodet,aaceleraçãoaemqualquerinstantetéigualàinclinaçãodacurvanopontoquerepresentat.

AceleraçãoConstanteAscincoequaçõesdaTabela2-1descrevemomovimentodeumapartículacomaceleraçãoconstante:

Essasequaçõesnãosãoválidasquandoaaceleraçãonãoéconstante.

AceleraçãoemQuedaLivreUmexemploimportantedemovimentoretilíneocomaceleraçãoconstanteéumobjetosubindooucaindo livrementenasproximidadesdasuperfíciedaTerra.Asequaçõesparaaceleraçãoconstantepodemserusadasparadescreveromovimento,maséprecisofazerduasmudançasnanotação:(1)omovimentodeveserdescritoemrelaçãoaumeixoverticaly,comosentidopositivodoeixoyparacima;(2)aaceleraçãoadevesersubstituídapor−g,emquegéomódulodaaceleraçãoemquedalivre.PertodasuperfíciedaTerra,g=9,8m/s2.

Perguntas1AFig.2-16mostraavelocidadedeumapartículaquesemoveemumeixox.Determine(a)osentidoiniciale(b)osentidofinaldomovimento.(c)Avelocidadedapartículaseanulaemalguminstante?(d)Aaceleraçãoépositivaounegativa?(e)Aaceleraçãoéconstanteouvariável?

Figura2-16 Pergunta1.

2AFig.2-17mostraaaceleraçãoa(t)deumchihuahuaquepersegueumpastoralemãoaolongodeumeixo.Emqualdosperíodosdetempoindicadosochihuahuasemovecomvelocidadeconstante?


3 A Fig. 2-18mostra as trajetórias de quatro objetos de um ponto inicial a um ponto final, todas nomesmointervalodetempo.Astrajetóriaspassamportrêslinhasretasigualmenteespaçadas.Coloqueastrajetórias(a)naordemdavelocidademédiadosobjetose(b)naordemdavelocidadeescalarmédiadosobjetos,começandopelamaior.


4AFig.2-19éumgráficodaposiçãodeumapartículaemumeixoxemfunçãodotempo.(a)Qualéosinaldaposiçãodapartículanoinstantet=0?Avelocidadedapartículaépositiva,negativaounula(b)emt=1s,(c)emt=2se(d)emt=3s?(e)Quantasvezesapartículapassapelopontox=0?


5AFig.2-20mostraavelocidadedeumapartículaquesemoveao longodeumeixo.Oponto1éopontomaisaltodacurva;oponto4éopontomaisbaixo;ospontos2e6estãonamesmaaltura.Qualéosentidodomovimento(a)noinstante t=0e(b)noponto4?(c)Emqualdosseispontosnumeradosapartículainverteosentidodemovimento?(d)Coloqueosseispontosnaordemdomódulodaaceleração,começandopelomaior.


6Noinstantet=0,umapartículaquesemoveemumeixoxestánaposiçãox0=–20m.Ossinaisdavelocidadeinicialv0(noinstantet0)edaaceleraçãoconstanteadapartículasão,respectivamente,paraquatro situações: (1) +, +; (2) +, −; (3) −, +; (4) −, −. Em que situações a partícula (a) paramomentaneamente,(b)passapelaorigeme(c)nãopassapelaorigem?


7 Debruçado no parapeito de uma ponte, você deixa cair um ovo (com velocidade inicial nula) earremessaumsegundoovoparabaixo.QualdascurvasdaFig.2-21correspondeàvelocidadev(t) (a)doovoquecaiu,(b)doovoquefoiarremessado?(AscurvasAeBsãoparalelas,assimcomoascurvasC,D,eE,eascurvasFeG.)

8Asequaçõesaseguirfornecemavelocidadev(t)deumapartículaemquatrosituações:(a)v=3;(b)v=4t2+2t+6;(c)v=3t−4;(d)v=5t2−3.EmquesituaçõesasequaçõesdaTabela2-1podemseraplicadas?

9NaFig.2-22, uma tangerina é lançada verticalmente para cima e passa por três janelas igualmenteespaçadasedealturasiguais.Coloqueasjanelasnaordemdecrescente(a)davelocidadeescalarmédiadatangerinaaopassarporelas,(b)dotempoqueatangerinalevaparapassarporelas,(c)domódulodaaceleraçãodatangerinaaopassarporelase(d)davariaçãoΔvdavelocidadeescalardatangerinaaopassarporelas.


10Umturistadeixacairumamaçãduranteumvoodebalão.Nomomentoemqueissoacontece,obalãoestácomumaaceleração,paracima,de4,0m/s2eumavelocidade,paracima,de2m/s. (a)Qualéomóduloe(b)qualéosentidodaaceleraçãodamaçãnesseinstante?(c)Nesseinstante,amaçãestásemovendoparacima,estásemovendoparabaixo,ouestáparada?(d)Qualéomódulodavelocidadedamaçãnesse instante?(e)Avelocidadedamaçãaumenta,diminuioupermanececonstantenos instantesseguintes?

11AFig.2-23mostraostrêsperíodosdeaceleraçãoaqueésubmetidaumapartículaquesemoveaolongodoeixox.Semfazercálculosnopapel,coloqueosperíodosdeaceleraçãonaordemdosaumentosqueproduzemnavelocidadedapartícula,começandopelomaior.


Problemas



Módulo2-1Posição,DeslocamentoeVelocidadeMédia

·1Sevocêestádirigindoumcarroa90km/h,eseusolhospermanecemfechadospor0,50sporcausadeumespirro,qualéadistânciapercorridapelocarroatévocêabrirnovamenteosolhos?

·2Calculesuavelocidademédianosdoiscasosseguintes:(a)vocêcaminha73,2maumavelocidadede1,22m/sedepoiscorre73,2maumavelocidadede3,05m/semumapistareta;(b)vocêcaminha1,00minaumavelocidadede1,22m/sedepoiscorrepor1,00mina3,05m/semumapistareta.(c)Façaográfico de x em função de t nos dois casos e indique de que forma a velocidade média pode serdeterminadaapartirdográfico.

·3Umautomóvelviajaemumaestradaretilíneapor40kma30km/h.Emseguida,continuandonomesmosentido,percorreoutros40kma60km/h.(a)Qualéavelocidademédiadocarroduranteessepercursode80km?(Suponhaqueocarroestásemovendonosentidopositivodoeixox.)(b)Qualéavelocidadeescalarmédia?(c)Desenheográficodexemfunçãodetemostrecomocalcularavelocidademédiaapartirdográfico.

·4Umcarrosobeumaladeiraaumavelocidadeconstantede40km/hedescealadeiraaumavelocidadeconstantede60km/h.Calculeavelocidadeescalarmédiaduranteaviagemdeidaevolta.

·5Aposiçãodeumobjetoquesemoveaolongodeumeixoxédadaporx=3t−4t2+t3,emquexestáemmetrosetemsegundos.Determineaposiçãodoobjetoparaosseguintesvaloresdet:(a)1s,(b)2s,(c)3s,(d)4s.(e)Qualéodeslocamentodoobjetoentret=0et=4s?(f)Qualéavelocidademédianointervalodetempodet=2sat=4s?(g)Desenheográficodexemfunçãodetpara0≤t≤4seindiquecomoarespostadoitem(f)podeserdeterminadaapartirdográfico.

·6Em1992,orecordemundialdevelocidadeembicicletafoiestabelecidoporChrisHuber.Otempoparapercorrerumtrechode200mfoideapenas6,509s,oquemotivouoseguintecomentáriodeChris:“Cogitoergozoom!”(Penso,logocorro!).Em2001,SamWhittinghamquebrouorecordedeHuberpor19km/h.QualfoiotempogastoporWhittinghamparapercorreros200m?

··7Doistrens,ambossemovendoaumavelocidadede30km/h,trafegamemsentidosopostosnamesmalinha férrea retilínea. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estãoseparadospor60km,voandoa60km/h,esedirigeemlinharetaparaooutrotrem.Quandochegaraooutro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual é adistânciaqueopássaropercorreatéostrenscolidirem?

··8 Situaçãodepânico.AFig.2-24mostraumasituaçãonaqualmuitaspessoas tentamescaparporumaportadeemergênciaqueestátrancada.Aspessoasseaproximamdaportaaumavelocidadevs=3,50m/s, têmd = 0,25mde espessura e estão separadaspor umadistânciaL = 1,75m.AFig. 2-24mostraaposiçãodaspessoasnoinstantet=0.(a)Qualéataxamédiadeaumentodacamadadepessoas

que se comprimem contra a porta? (b) Em que instante a espessura da camada chega a 5,0 m? (Asrespostasmostramcomquerapidezumasituaçãodessetipopodecolocaremriscoavidadaspessoas.)


··9Emumacorridade1km,ocorredor1daraia1(como tempode2min27,95s)parecesermaisrápido que o corredor 2 da raia 2 (2min 28,15 s). Entretanto, o comprimentoL2 da raia 2 pode serligeiramentemaiorqueocomprimentoL1daraia1.QualéomaiorvalordadiferençaL2−L1paraoqualaconclusãodequeocorredor1émaisrápidoéverdadeira?

··10 Paraestabelecerumrecordedevelocidadeemumadistânciad(emlinhareta),umcarrodevepercorreradistância,primeiroemumsentido(emumtempot1)edepoisnosentidooposto(emumtempot2).(a)Paraeliminaroefeitodoventoeobteravelocidadevcqueocarroatingirianaausênciadevento,devemoscalcularamédiaaritméticaded/t1ed/t2(método1)oudevemosdividirdpelamédiaaritméticadet1et2(método2)?(b)Qualéadiferençapercentualdosdoismétodosseexisteumventoconstantenapista,earazãoentreavelocidadevvdoventoeavelocidadevcdocarroé0,0240?

··11Vocêtemquedirigiremumaviaexpressaparasecandidataraumempregoemoutracidade,queficaa300kmdedistância.Aentrevistafoimarcadaparaas11h15min.Vocêplanejadirigira100km/heparteàs8hparateralgumtempodesobra.Vocêdirigeàvelocidadeplanejadaduranteosprimeiros100km,mas,emseguida,umtrechoemobrasoobrigaareduziravelocidadepara40km/hpor40km.Qualéamenorvelocidadequevocêdevemanternorestodaviagemparachegaratempo?

···12 Ondadechoquenotrânsito.Quandootrânsitoéintenso,umareduçãobruscadevelocidadepodesepropagarcomoumpulso,denominadoondadechoque,ao longodafiladecarros.Aondadechoquepodeterosentidodomovimentodoscarros,osentidooposto,oupermanecerestacionária.AFig.2-25mostraumafiladecarrosregularmenteespaçadosqueestãosemovendoaumavelocidadev=25,0m/semdireçãoaumafiladecarrosmaislentos,uniformementeespaçados,queestãosemovendoaumavelocidadevl=5,00m/s.SuponhaquecadacarromaisrápidoacrescentaumcomprimentoL=12,0m(comprimentodocarromaisadistânciamínimadesegurança)àfiladecarrosmaislentosaosejuntaràfila,equereduzbruscamenteavelocidadenoúltimomomento.(a)Paraquedistânciadentreoscarrosmais rápidos a onda de choque permanece estacionária? Se a distância é duas vezesmaior que essevalor, quais são (b) a velocidade e (c) o sentido (o sentido do movimento dos carros ou o sentidocontrário)daondadechoque?


···13VocêdirigedoRioaSãoPaulometadedotempoa55km/heaoutrametadea90km/h.Navolta,vocêviajametadedadistânciaa55km/heaoutrametadea90km/h.Qualéavelocidadeescalarmédia(a)naviagemdoRioaSãoPaulo,(b)naviagemdeSãoPauloaoRio,e(c)naviageminteira?(d)Qualéavelocidademédianaviageminteira?(e)Ploteográficodexemfunçãodetparaoitem(a),supondoqueomovimentoocorre no sentidopositivodex.Mostre de que forma a velocidademédia pode serdeterminadaapartirdográfico.

Módulo2-2VelocidadeInstantâneaeVelocidadeEscalar

·14Aposiçãodeumelétronquesemoveaolongodoeixoxédadaporx=16te−tm,emquetestáemsegundos.Aquedistânciadaorigemestáoelétronquandoparamomentaneamente?

·15(a)Seaposiçãodeumapartículaédadaporx=4−12t+3t2(emque testáemsegundosexemmetros), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s? (b) O movimento nesse instante é no sentidopositivoounegativodex?(c)Qualéavelocidadeescalardapartículanesseinstante?(d)Avelocidadeescalarestáaumentandooudiminuindonesseinstante?(Tenteresponderàsduaspróximasperguntassemfazer outros cálculos.) (e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula?Caso a resposta sejaafirmativa,paraquevalordetissoacontece?(f)Existealguminstanteapóst=3snoqualapartículaestá semovendo no sentido negativo de x?Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t issoacontece?

·16Afunçãoposiçãox(t)deumapartículaqueestásemovendoaolongodoeixoxéx=4,0−6,0t2,comx em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula para(momentaneamente)?Emque(c)instantenegativoe(d)instantepositivoapartículapassapelaorigem?(e)Ploteográficodexemfunçãodetparaointervalode−5sa+5s.(f)Paradeslocaracurvaparaadireita no gráfico, devemos acrescentar a x(t) o termo +20t ou o termo −20t? (g) Essa modificaçãoaumentaoudiminuiovalordexparaoqualapartículaparamomentaneamente?

··17Aposiçãodeumapartículaquesemoveaolongodoeixoxédadaporx=9,75+1,50t3,emquexestáemcentímetrosetemsegundos.Calcule(a)avelocidademédiaduranteointervalodetempodet=2,00sat=3,00s;(b)avelocidadeinstantâneaemt=2,00s;(c)avelocidadeinstantâneaemt=3,00s;(d)avelocidadeinstantâneaemt=2,50s;(e)avelocidadeinstantâneaquandoapartículaestánametadedadistânciaentreasposiçõesemt=2,00set=3,00s.(f)Ploteográficodexemfunçãodeteindiquesuasrespostasgraficamente.

Módulo2-3Aceleração

·18Aposiçãodeumapartículaquesemoveaolongodoeixoxédadaporx=12t2−2t3,emquexestáemmetrosetemsegundos.Determine(a)aposição,(b)avelocidadee(c)aaceleraçãodapartículaemt=3,0 s. (d)Qual é a coordenadapositivamáximaalcançadapelapartícula e (e) emque instantedetempo é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em queinstantedetempoéalcançada?(h)Qualéaaceleraçãodapartículanoinstanteemqueapartículanãoestásemovendo(alémdoinstantet=0)?(i)Determineavelocidademédiadapartículaentret=0et=3,0s.

·19Emumdeterminadoinstante,umapartículatinhaumavelocidadede18m/snosentidopositivodex;2,4sdepois,avelocidadeera30m/snosentidooposto.Qualfoiaaceleraçãomédiadapartículaduranteesteintervalode2,4s?

·20(a)Seaposiçãodeumapartículaédadaporx=20t–5t3,emquexestáemmetrosetemsegundos,emque instante(s)avelocidadedapartículaézero?(b)Emque instante(s)aaceleraçãoaézero?(c)Paraqueintervalodetempo(positivoounegativo)aaceleraçãoaénegativa?(d)Paraqueintervalodetempo(positivoounegativo)aaceleraçãoaépositiva?(e)Desenheosgráficosdex(t),v(t),ea(t).

··21Det=0at=5,00min,umhomemficaempésemsemover;det=5,00minat=10,0min,caminhaemlinharetacomumavelocidadede2,2m/s.Qualé(a)avelocidademédiavméde(b)qualaaceleraçãomédiaaméddohomemnointervalodetempode2,00mina8,00min?(c)Qualévméde(d)qualéamédnointervalodetempode3,00mina9,00min?(e)Plotexemfunçãodetevemfunçãodet,eindiquecomoasrespostasde(a)a(d)podemserobtidasapartirdosgráficos.

··22Aposiçãodeumapartículaquesedeslocaaolongodoeixoxvariacomotempodeacordocomaequaçãox=ct2−bt3,emquexestáemmetrosetemsegundos.Quaissãoasunidades(a)daconstantece(b)daconstanteb?Suponhaqueosvaloresnuméricosdecebsão3,0e2,0,respectivamente.(c)Emque instante a partícula passa pelomaior valor positivo de x?De t = 0,0 s a t = 4,0 s, (d) qual é adistânciapercorridapelapartículae(e)qualéodeslocamento?Determineavelocidadedapartículanosinstantes(f)t=1,0s,(g)t=2,0s,(h)t=3,0s,e(i)t=4,0s.Determineaaceleraçãodapartículanosinstantes(j)t=1,0s,(k)t=2,0s,(l)t=3,0se(m)t=4,0s.

Módulo2-4AceleraçãoConstante

·23Umelétroncomvelocidadeinicialv0=1,50×105m/spenetraemumaregiãodecomprimentoL=1,00cm,emqueéeletricamenteacelerado(Fig.2-26),esaidaregiãocomv=5,70×106m/s.Qualéaaceleraçãodoelétron,supondoquesejaconstante?


·24 Cogumeloslançadores.Algunscogumeloslançamesporosusandoummecanismodecatapulta.Quandoovapord’águadoarsecondensaemumesporopresoaumcogumelo,umagotaseformadeumladodoesporoeumapelículadeáguaseformadooutrolado.Opesodagotafazoesporoseencurvar,mas,quandoapelículaatingeagota,agotad’águaseespalhabruscamentepelofilme,eoesporovoltatãodepressaàposiçãooriginalqueélançadonoar.Tipicamente,oesporoatingeumavelocidadede1,6m/semumlançamentode5,0μm;emseguida,avelocidadeéreduzidaazeroemumpercursode1,00mmpeloatritocomoar.Usandoessesdadosesupondoqueasaceleraçõessãoconstantes,determineaaceleraçãoemunidadesdeg(a)duranteolançamento;(b)duranteareduçãodevelocidade.

·25Umveículoelétricopartedo repousoeaceleraem linha retaauma taxade2,0m/s2 até atingir avelocidadede20m/s.Emseguida,oveículodesaceleraaumataxaconstantede1,0m/s2atéparar.(a)Quantotempotranscorreentreapartidaeaparada?(b)Qualéadistânciapercorridapeloveículodesdeapartidaatéaparada?

·26Ummúon(umapartículaelementar)penetraemumaregiãocomumavelocidadede5,00×106m/sepassaaserdesaceleradoaumataxade1,25×1014m/s2.(a)Qualéadistânciapercorridapelomúonatéparar?(b)Desenheosgráficosdexemfunçãodet,edevemfunçãodetparaomúon.

·27Umelétronpossuiumaaceleraçãoconstantede+3,2m/s2.Emdeterminadoinstante,avelocidadedoelétroné+9,6m/s.Qualéavelocidade(a)2,5santese(b)2,5sdepoisdoinstanteconsiderado?

·28Emumaestradaseca,umcarrocompneusnovosécapazdefrearcomumadesaceleraçãoconstantede4,92m/s2.(a)Quantotempoessecarro,inicialmentesemovendoa24,6m/s,levaparaparar?(b)Quedistânciaocarropercorrenessetempo?(c)Desenheosgráficosdexemfunçãodet,edevemfunçãodetduranteadesaceleração.

·29Umelevadorpercorreumadistânciade190meatingeumavelocidademáximade305m/min.Oelevadoraceleraapartirdorepousoedesaceleradevoltaaorepousoaumataxade1,22m/s2.(a)Qualéadistânciapercorridapeloelevadorenquantoaceleraapartirdorepousoatéavelocidademáxima?(b)Quantotempooelevadorlevaparapercorreradistânciade190m,semparadas,partindodorepousoechegandocomvelocidadezero?

·30Osfreiosdeumcarropodemproduzirumadesaceleraçãodaordemde5,2m/s2.(a)Seomotoristaestá a 137 km/h e avista umpolicial rodoviário, qual é o tempomínimonecessário para que o carroatinjaavelocidademáximapermitidade90km/h?(Arespostarevelaainutilidadedefrearparatentarimpedirqueaaltavelocidadesejadetectadaporumradarouporumapistoladelaser.)(b)Desenheosgráficosdexemfunçãodet,edevemfunçãodetduranteadesaceleração.

·31Suponhaqueumanaveespacial semovecomumaaceleraçãoconstantede9,8m/s2,oquedáaostripulantesailusãodeumagravidadenormalduranteovoo.(a)Seanavepartedorepouso,quantotempolevaparaatingirumdécimodavelocidadedaluz,queé3,0×108m/s?(b)Quedistânciaanavepercorre

nessetempo?

·32 O recordemundial de velocidade em terra foi estabelecido pelo coronel John P. Stapp emmarçode1954,abordodeumtrenófoguetequesedeslocousobre trilhosa1020km/h.Eleeo trenóforam freados até parar em 1,4 s. (Veja a Fig. 2-7.) Qual foi a aceleração experimentada por Stappduranteafrenagem,emunidadesdeg?

·33Umcarroquesemovea56,0km/hestáa24,0mdedistânciadeummuroquandoomotoristaacionaosfreios.Ocarrobatenomuro2,00sdepois.(a)Qualeraomódulodaaceleraçãoconstantedocarroantesdochoque?(b)Qualeraavelocidadedocarronomomentodochoque?

··34NaFig.2-27,umcarrolaranjaeumcarroverde,iguaisexcetopelacor,movem-seumemdireçãoaooutroempistasvizinhaseparalelasaumeixox.Noinstantet=0,ocarrolaranjaestáemxl=0eocarroverdeestáemxv=220m.Seocarro laranja temvelocidadeconstantede20km/h,oscarrossecruzamemx=44,5m;setemumavelocidadeconstantede40km/h,oscarrossecruzamemx=76,6m.(a)Qualéavelocidadeiniciale(b)qualéaaceleraçãodocarroverde?

Figura2-27 Problemas34e35.

··35AFig.2-27mostraumcarrolaranjaeumcarroverdequesemovemumemdireçãoaooutro.AFig.2-28éumgráficodomovimentodosdoiscarros,mostrandosuasposiçõesxv0=270mexl0=−35,0mnoinstantet=0.Ocarroverdetemvelocidadeconstantede20,0m/seocarrolaranjapartedorepouso.Qualéomódulodaaceleraçãodocarrolaranja?


··36Umcarrosemoveaolongodoeixoxporumadistânciade900m,partindodorepouso(emx=0)eterminandoemrepouso(emx=900m).Noprimeiroquartodopercurso,aaceleraçãoé+2,25m/s2.Nosoutrostrêsquartos,aaceleraçãopassaaser−0,750m/s2.(a)Qualéotemponecessárioparapercorreros900me(b)qualéavelocidademáxima?(c)Desenheosgráficosdaposiçãox,davelocidadevedaaceleraçãoaemfunçãodotempot.

··37AFig.2-29mostraomovimentodeumapartículaquesemoveaolongodoeixoxcomaceleraçãoconstante.Aescalaverticaldográficoédefinidaporxs=6,0m.Quaissão(a)omóduloe(b)osentidodaaceleraçãodapartícula?

··38(a)Seaaceleraçãomáximaquepodesertoleradapelospassageirosdeummetrôé1,34m/s2eduasestaçõesdemetrôestãoseparadasporumadistânciade806m,qualéavelocidademáximaqueometrôpodealcançarentreasestações?(b)Qualéotempodepercurso?(c)Seometrôparadurante20semcadaestação,qualéamáximavelocidadeescalarmédiadometrôentreoinstanteemquepartedeumaestaçãoeoinstanteemquepartedaestaçãoseguinte?(d)Plotex,veaemfunçãodetparaointervalode tempo entre o instante em que o trem parte de uma estação e o instante em que parte da estaçãoseguinte.


··39OscarrosAeBsemovemnomesmosentidoempistasvizinhas.AposiçãoxdocarroAédadanaFig.2-30,doinstantet=0aoinstantet=7,0s.Aescalaverticaldográficoédefinidaporxs=32,0m.Emt=0,ocarroBestáemx=0,aumavelocidadede12m/secomumaaceleraçãonegativaconstanteaB. (a)QualdeveserovalordeaBparaqueoscarrosestejam ladoa lado (ouseja, tenhamomesmovalordex)emt=4,0s?(b)ParaessevalordeaB,quantasvezesoscarrosficamladoalado?(c)PloteaposiçãoxdocarroBemfunçãodotempotnaFig.2-30.QuantasvezesoscarrosficariamladoaladoseomódulodaaceleraçãoaB fosse(d)maiordoqueodarespostadaparte(a)e(e)menordoqueodarespostadaparte(a)?


··40 Vocêestáseaproximandodeumsinalde trânsitoaumavelocidadev0=55km/hquandoosinalficaamarelo.Omódulodamaiortaxadedesaceleraçãodequeocarroécapazéa=5,18m/s2eseutempodereaçãoparacomeçarafrearéT=0,75s.Paraevitarqueafrentedocarroinvadaocruzamentodepoisqueosinalmudarparavermelho,suaestratégiadeveserfrearatépararouprosseguira55km/hseadistânciaatéocruzamentoeaduraçãodaluzamarelaforem,respectivamente,(a)40me2,8s,e(b)32me1,8s?Asrespostaspodemserfrear,prosseguir,tantofaz(seasduasestratégiasfuncionarem),ounãohájeito(senenhumadasestratégiasfuncionar).

··41Osmaquinistasdedoistrenspercebem,derepente,queestãoemrotadecolisão.AFig.2-31mostraavelocidadevdostrensemfunçãodotempotenquantoestãosendofreados.Aescalaverticaldográficoédefinidaporvs=40,0m.Oprocessodedesaceleraçãocomeçaquandoadistânciaentreostrensé200m.Qualéadistânciaentreostrensquando,finalmente,conseguemparar?


···42Vocêestádiscutindocomumcolegadetrabalhonotelefonecelularenquanto,àsuafrente,a25mdedistância,viajaumcarrodepolíciadisfarçado;osdoisveículosestãoa110km/h.Adiscussãodistraisuaatençãodocarrodepolíciapor2,0s(temposuficienteparavocêolharparaotelefoneeexclamar:“Eu me recuso a fazer isso!”). No início desses 2,0 s, o policial freia bruscamente, com umadesaceleraçãode5,0m/s2.(a)Qualéadistânciaentreosdoiscarrosquandovocêvoltaaprestaratençãonotrânsito?Suponhaquevocêleveotempode0,40sparaperceberoperigoecomeçarafrear.(b)Sevocêtambémfreiacomumadesaceleraçãode5,0m/s2,qualéavelocidadedoseucarroquandovocêbatenocarrodepolícia?

···43 Quando um trem de passageiros de alta velocidade que semove a 161 km/h faz uma curva, omaquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de umdesvioeestáaumadistânciaD=676màfrente(Fig.2-32).Alocomotivaestásemovendoa29,0km/h.Omaquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os freios. (a) Qual deve ser o valormínimodomódulodadesaceleração(supostaconstante)paraqueacolisãonãoocorra?(b)Suponhaqueomaquinistaestáemx=0quando,noinstantet=0,avistaalocomotiva.Desenheascurvasdex(t)dalocomotivaedotremdealtavelocidadeparaoscasosemqueacolisãoéevitadaporpoucoeemqueacolisãoocorreporpouco.


Módulo2-5AceleraçãoemQuedaLivre

·44Umtatuassustadopulaverticalmenteparacima,subindo0,544mnosprimeiros0,200s.(a)Qualéavelocidadedoanimalaodeixarosolo?(b)Qualéavelocidadenaalturade0,544m?(c)Qualéaalturaadicionalqueoanimalatinge?

·45(a)Comquevelocidadedeveserlançadaumabolaverticalmenteapartirdosoloparaqueatinjaumaalturamáximade50m?(b)Porquantotempoabolapermanecenoar?(c)Esboceosgráficosdey,veaemfunçãodetparaabola.Nosdoisprimeirosgráficos,indiqueoinstantenoqualabolaatingeaalturade50m.

·46Gotasdechuvacaem1700mdeumanuvematéochão. (a)Seasgotasnãoestivessemsujeitasàresistênciadoar,qualseriaavelocidadeaoatingiremosolo?(b)Seriasegurocaminharnachuva?

·47Emumprédioemconstrução,umachavedegrifochegaaosolocomumavelocidadede24m/s.(a)Dequealturaumoperárioadeixoucair?(b)Quantotempodurouaqueda?(c)Esboceosgráficosdey,veaemfunçãodetparaachavedegrifo.

·48Umdesordeirojogaumapedraverticalmenteparabaixocomumavelocidadeinicialde12,0m/s,apartirdo telhadodeumedifício,30,0macimado solo. (a)Quanto tempo levaapedraparaatingirosolo?(b)Qualéavelocidadedapedranomomentodochoque?

·49Umbalãodearquenteestásubindo,comumavelocidadede12m/s,eseencontra80macimadosoloquandoumtripulantedeixacairumpacote.(a)Quantotempoopacotelevaparaatingirosolo?(b)Comquevelocidadeopacoteatingeosolo?

··50Noinstantet=0,umapessoadeixacairamaçã1deumaponte;poucodepois,apessoajogaamaçã2,verticalmenteparabaixo,domesmolocal.AFig.2-33mostraaposiçãoverticalydasduasmaçãsemfunção do tempo durante a queda até a estrada que passa por baixo da ponte.A escala horizontal dográficoédefinidaports=2,0s.Aproximadamentecomquevelocidadeamaçã2foijogadaparabaixo?



··51 Quando um balão científico desgarrado está subindo a uma velocidade de 19,6 m/s, um dosinstrumentossedesprendeecaiemquedalivre.AFig.2-34mostraavelocidadeverticaldoinstrumentoemfunçãodotempo,desdealgunsinstantesantesdesedesprenderatéomomentoemqueatingeosolo.(a)Qualéaalturamáximaqueoinstrumentoatingeemrelaçãoaopontoemquesedesprendeu?(b)Aquealturaacimadosolooinstrumentosedesprendeu?

··52Umparafusosedesprendedeumaponteemconstruçãoecai90matéchegaraosolo.(a)Emquantotempo o parafuso percorre os últimos 20% da queda? Qual é a velocidade do parafuso (b) quandocomeçaosúltimos20%daquedae(c)quandoatingeosolo?

··53Umachavecaiverticalmentedeumapontequeestá45macimadaágua.Achaveatingeumbarcodebrinquedoqueestásemovendocomvelocidadeconstanteeseencontravaa12mdopontodeimpactoquandoachavefoisolta.Qualéavelocidadedobarco?

··54Umapedra édeixadacair emum rio apartirdeumaponte situada43,9macimadaágua.Outrapedraéatiradaverticalmenteparabaixo1,0sapósaprimeiratersidodeixadacair.Aspedrasatingemaáguaaomesmotempo.(a)Qualeraavelocidade inicialdasegundapedra?(b)Ploteavelocidadeemfunçãodotempoparaasduaspedras,supondoquet=0éoinstanteemqueaprimeirapedrafoideixadacair.

··55Umaboladeargilaúmidacai15,0matéochãoepermaneceemcontatocomosolopor20,0msantes de parar completamente. (a)Qual é omódulo da aceleraçãomédia da bola durante o tempo decontato como solo? (Trate a bola comoumapartícula.) (b)A aceleraçãomédia é para cimaou para

baixo?

··56AFig.2-35mostraavelocidadevemfunçãodaalturayparaumabolalançadaverticalmenteparacimaao longodeumeixoy.Adistânciad é0,40m.AvelocidadenaalturayAévA.A velocidade naalturayBévA/3.DetermineavelocidadevA.


··57Paratestaraqualidadedeumaboladetênis,vocêadeixacair,nochão,deumaalturade4,00m.Depoisdequicar,abolaatingeumaalturade2,00m.Seabolapermaneceemcontatocomopisopor12,0ms,(a)qualéomódulodaaceleraçãomédiaduranteessecontato?(b)Aaceleraçãomédiaéparacimaouparabaixo?

··58Umobjetocaideumaalturahapartirdorepouso.Seoobjetopercorreumadistânciade0,50hnoúltimo1,00 s, determine (a)o tempoe (b) a alturadaqueda. (c)Expliqueporqueumadas raízesdaequaçãodosegundograuemtusadapararesolveroproblemaéfisicamenteinaceitável.

··59Aáguapingadeumchuveiro emumpiso situado200cmabaixo.Asgotas caema intervalosdetempo regulares (iguais), com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota começa a cair.Quandoaprimeiragotaatingeopiso,aquedistânciadochuveiroestão(a)asegundae (b)a terceiragotas?

··60Umapedraélançadaverticalmenteparacimaapartirdosolonoinstantet=0.Emt=1,5s,apedraultrapassaoaltodeumatorre;1,0sdepois,atingeaalturamáxima.Qualéaalturadatorre?

···61Umabola de aço é deixada cair do telhado de umedifício e leva 0,125 s para passar por umajanela,umadistânciacorrespondentea1,20m.Abolaquicanacalçadaetornaapassarpelajanela,debaixoparacima,em0,125s.Suponhaqueomovimentoparacimacorrespondeexatamenteaoinversodaqueda.Otempoqueabolapassaabaixodopeitorildajanelaéde2,00s.Qualéaalturadoedifício?

···62 Aopegarum rebote,um jogadordebasquetepula76,0cmverticalmente.Qual éo tempototal(desubidaedescida)queojogadorpassa(a)nos15cmmaisaltose(b)nos15cmmaisbaixosdosalto? (Esses resultados explicam por que os jogadores de basquete parecem flutuar quanto estão nopontomaisaltodeumsalto.)

···63Umgatosonolentoobservaumvasodefloresquepassaporumajanelaaberta,primeirosubindoedepoisdescendo.Ovasopermaneceàvistaporumtempototalde0,50s,eaalturadajanelaéde2,00m.Quedistânciaacimadoaltodajanelaovasoatinge?

···64Umabolaélançadaverticalmenteparacimaapartirdasuperfíciedeoutroplaneta.Ográficodeyem função de t para a bola émostradonaFig.2-36, emque y é a altura da bola acima do ponto delançamento,et=0noinstanteemqueabolaélançada.Aescalaverticaldográficoédefinidaporys=30,0m.Qualéomódulo(a)daaceleraçãoemquedalivrenoplanetae(b)davelocidadeinicialdabola?


Módulo2-6IntegraçãoGráficanaAnálisedeMovimentos

·65 AFig.2-15amostraaaceleraçãodacabeçaedotroncodeumvoluntárioduranteumacolisãofrontal.Qualéavelocidade(a)dacabeçae(b)dotroncoquandoaaceleraçãodacabeçaémáxima?

··66 Emumsocodiretodecaratê,opunhocomeçaemrepousonacinturaeémovidorapidamenteparaafrenteatéobraçoficarcompletamenteestendido.Avelocidadev(t)dopunhoestárepresentadanaFig.2-37paraocasodeumlutadorexperiente.Aescalaverticalédefinidaporvs=8,0m/s.Qualéadistânciapercorridapelopunhodesdeoiníciodogolpe(a)atéoinstantet=50mse(b)atéoinstanteemqueavelocidadedopunhoémáxima?


··67Quandoumaboladefuteboléchutadanadireçãodeumjogador,eojogadoradesviadecabeça,aaceleraçãodacabeçaduranteacolisãopodeserrelativamentegrande.AFig.2-38mostraaaceleraçãoa(t)dacabeçadeumjogadorde futebolsemecomcapacete,apartirdo repouso.Aescalaverticalédefinidaporas=200m/s2.Qualéadiferençaentreavelocidadedacabeçasemecomocapacetenoinstantet=7,0ms?


··68 UmasalamandradogêneroHydromantescapturaapresalançandoalínguacomoumprojétil:apartetraseiradalínguaseprojetabruscamenteparaafrente,desenrolandoorestodalínguaatéqueapartedianteiraatinjaapresa,capturando-a.AFig.2-39mostraomóduloadaaceleraçãoemfunçãodotempotduranteafasedeaceleraçãoemumasituaçãotípica.Asaceleraçõesindicadassãoa2=400m/s2

ea1=100m/s2.Qualéavelocidadedalínguanofinaldafasedeaceleração?


··69Quedistânciaumcorredorcujográficovelocidade-tempoaparecenaFig.2-40percorreem16s?Aescalaverticaldográficoédefinidaporvs=8,0m/s.


···70Duaspartículassemovemaolongodoeixox.Aposiçãodapartícula1édadaporx=6,00t2+3,00t+2,00,emquexestáemmetrosetemsegundos;aaceleraçãodapartícula2édadapora=−8,00t,emqueaestáemmetrosporsegundoaoquadrado,etemsegundos.Noinstantet=0,avelocidadedapartícula2é20m/s.Qualéavelocidadedaspartículasnoinstanteemqueelastêmamesmavelocidade?

ProblemasAdicionais

71Emumvideogame,umpontoéprogramadoparasedeslocarnateladeacordocomafunçãox=9,00t−0,750t3,emquexéadistânciaemcentímetrosemrelaçãoàextremidadeesquerdadatela,etéotempoemsegundos.Quandoopontochegaaumadasbordasdatela,x=0oux=15,0cm,ovalordetézeradoe o ponto começa novamente a semover de acordo com a função x(t). (a) Em que instante após seriniciadoomovimentoopontoseencontramomentaneamenteemrepouso?(b)Paraquevalordex issoacontece?(c)Qualéaaceleraçãodoponto(incluindoosinal)noinstanteemqueissoacontece?(d)Opontoestásemovendoparaadireitaouparaaesquerdapoucoantesdeatingirorepouso?(e)Opontoestásemovendoparaadireitaouparaaesquerdapoucodepoisdeatingirorepouso?(f)Emqueinstantet>0opontoatingeabordadatelapelaprimeiravez?

72Umapedraé lançadaverticalmenteparacimaapartirdabordadoterraçodeumedifício.Apedraatinge a alturamáxima 1,60 s após ter sido lançada e, em seguida, caindo paralelamente ao edifício,chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidades do SI: (a) com que velocidade a pedra foilançada?(b)Qualfoiaalturamáximaatingidapelapedraemrelaçãoaoterraço?(c)Qualéaalturadoedifício?

73 No instante em que um sinal de trânsito fica verde, um automóvel começa a se mover com umaaceleração constantea de2,2m/s2.Nomesmo instante, umcaminhão, que semove a umavelocidadeconstante de 9,5 m/s, ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do sinal o automóvel alcança ocaminhão?(b)Qualéavelocidadedoautomóvelnesseinstante?

74Umpilotovoahorizontalmentea1300km/h,aumaalturah=35macimadeumsolo inicialmenteplano.Noinstantet=0,opilotocomeçaasobrevoarumterrenoinclinado,paracima,deumânguloθ=4,3°(Fig.2-41).Seopilotonãomudaratrajetóriadoavião,emqueinstantetoaviãosechocarácomosolo?


75Otemponecessárioparafrearumcarropodeserdivididoemduaspartes:otempodereaçãoparaomotoristacomeçarafreareotemponecessárioparaqueavelocidadechegueazerodepoisqueofreioéacionado.Adistânciatotalpercorridaporumcarroéde56,7mquandoavelocidadeinicialéde80,5km/he24,4mquandoavelocidadeinicialé48,3km/m.Supondoqueaaceleraçãopermanececonstantedepois que o freio é acionado, determine (a) o tempo de reação do motorista e (b) o módulo daaceleração.

76 AFig.2-42mostrapartedeumaruanaqualsepretendecontrolarotráfegoparapermitirqueumpelotão de veículos atravesse vários cruzamentos sem parar. Suponha que os primeiros carros dopelotãotenhamacabadodechegaraocruzamento2,ondeosinalabriuquandooscarrosestavamaumadistânciaddocruzamento.Oscarroscontinuamasemoveracertavelocidadevp(avelocidademáximapermitida)atéchegaremaocruzamento3.AsdistânciasentreoscruzamentossãoD23eD12. (a)Quantotempodepoisqueosinaldocruzamento2abriuosinaldocruzamento3deveabrirparaqueosinaldocruzamento3abraquandoosprimeiroscarrosdopelotãoestãoaumadistânciaddocruzamento3?


Suponha que o pelotão tenha encontrado o sinal fechado no cruzamento 1. Quando o sinal docruzamento1abre,oscarrosdafrenteprecisamdeumtempo tparaarrancaredeumtempoadicionalparaatingiravelocidadedecruzeirovpcomcertaaceleraçãoa.(b)Quantotempodepoisqueosinaldocruzamento1abriuosinaldocruzamento2deveabrirparaqueosinaldocruzamento2abraquandoosprimeiroscarrosdopelotãoestãoaumadistânciaddocruzamento2?

77Umcarrodecorridaécapazdeacelerarde0a60km/hem5,4s.(a)Qualéaaceleraçãomédiadocarro,emm/s2,duranteesse intervalo?(b)Qualéadistânciapercorridapelocarroem5,4s,supondoqueaaceleraçãosejaconstante?(c)Quantotempoocarrolevaparapercorrerumadistânciade0,25km,apartirderepouso,mantendoumaaceleraçãoconstanteigualaovalordoitem(a)?

78Um tremvermelhoa72km/heum tremverdea144km/hestãonamesma linha, retilíneaeplana,movendo-seumemdireçãoaooutro.Quandoadistânciaentreostrenséde950m,osdoismaquinistaspercebemoperigoeacionamosfreios,fazendocomqueosdoistrenssoframumadesaceleraçãode1,0m/s2.Ostrensconseguemfrearatempodeevitarumacolisão?Casoarespostasejanegativa,determineasvelocidadesdostrensnomomentodacolisão;casosejapositiva,determineadistânciafinalentreostrens.

79Noinstantet=0,umalpinistadeixacairumgrampo,semvelocidadeinicial,doaltodeumparedão.Após um curto intervalo de tempo, o companheiro de escalada, que está 10m acima, lança umoutrogrampoparabaixo.AFig.2-43mostraasposiçõesydosgramposduranteaquedaemfunçãodotempot.Comquevelocidadeosegundogrampofoilançado?


80Umtrempartiudorepousocomaceleraçãoconstante.Emumdeterminadoinstante,estavasemovendoa30m/s;160madiante,estavasemovendoa50m/s.Calcule(a)aaceleração,(b)otemponecessárioparapercorreros160mmencionados,(c)otemponecessárioparaatingiravelocidadede30m/se(d)adistânciapercorridadesdeo repousoatéo instanteemqueo trematingiuavelocidadede30m/s. (e)Desenheosgráficosdexemfunçãode tedevemfunçãode t,de t=0atéo instanteemqueo trematingiuavelocidadede50m/s.

81Aaceleraçãodeumapartículaaolongodoeixoxéa=5,0t,comtemsegundoseaemmetrosporsegundoaoquadrado.Emt=2,0s,avelocidadedapartículaé+17m/s.Qualéavelocidadedapartículaemt=4,0s?

82AFig.2-44mostraaaceleraçãoaemfunçãodotempotparaumapartículaquesemoveaolongodoeixox.Aescalaverticaldográficoédefinidaporas=12,0m/s2.Noinstantet=−2,0s,avelocidadedapartículaé7,0m/s.Qualéavelocidadedapartículanoinstantet=6,0s?


83AFig.2-45mostraumdispositivosimplesquepodeserusadoparamedirseutempodereação:umatira de papelão marcada com uma escala e dois pontos. Um amigo segura a tira na vertical, com opolegareoindicadornopontodadireitadaFig.2-45.Vocêposicionaopolegareoindicadornooutroponto(opontodaesquerdadaFig.2-45),semtocaratira.Seuamigosoltaatiraevocêtentasegurá-laassimquepercebequeelacomeçouacair.Amarcanaposiçãoemquevocêseguraatiracorrespondeaoseutempodereação.(a)Aquedistânciadopontoinferiorvocêdevecolocaramarcade50,0ms?Porqualvalorvocêdevemultiplicaressadistânciaparadeterminaramarcade(b)100ms,(c)150ms,(d)200mse(e)250ms?(Porexemplo:amarcade100msdeveestarnodobrodadistânciacorrespondenteà marca de 50 ms? Nesse caso, a resposta seria 2. Você é capaz de identificar algum padrão nasrespostas?)


84 Trenósajato,montadosemtrilhosretilíneoseplanos,sãousadosparainvestigarosefeitosdegrandesaceleraçõessobresereshumanos.Umdessestrenóspodeatingirumavelocidadede1600km/hem1,8sapartirdorepouso.Determine(a)aaceleração(supostaconstante)emunidadesdege (b)adistânciapercorrida.

85Umvagonetedeminérioépuxadoparaoaltodeumaencostaa20km/hepuxadoladeiraabaixoa35km/hatéaalturainicial.(Otempogastoparainverteromovimentonoaltodaencostaétãopequenoquepodeserdesprezado.)Qualéavelocidademédiadocarrinhonopercursodeidaevolta,ouseja,desdeaalturainicialatévoltaràmesmaaltura?

86Ummotociclistaqueestásemovendoaolongodoeixoxnadireçãolestetemumaaceleraçãodada

pora=(6,1−1,2t)m/s2para0≤t≤6,0s.Emt=0,avelocidadeeaposiçãodociclistasão2,7m/se7,3m. (a)Qual é a velocidademáxima atingida pelo ciclista? (b)Qual é a distância percorrida pelociclistaentret=0et=6,0s?

87QuandoavelocidademáximapermitidanaNewYorkThruwayfoiaumentadade55milhasporhorapara 65milhas por hora, quanto tempo foi economizado por ummotorista que dirigiu 700 km entre aentradadeBuffaloeasaídadacidadedeNovaYorknavelocidademáximapermitida?

88Umcarroquesemovecomaceleraçãoconstantepercorreuem6,00sadistânciade60,0mqueseparadoispontos.Avelocidadedocarroaopassarpelosegundopontoera15,0m/s.(a)Qualeraavelocidadenoprimeiroponto?(b)Qualeraomódulodaaceleração?(c)Aquedistânciadoprimeiropontoocarroseencontravaemrepouso?(d)Desenheosgráficosdexemfunçãode t,edevemfunçãode tparaocarro,desdeorepouso(t=0)atéosegundoponto.

89 UmmalabaristanormalmentearremessabolasverticalmenteatéumaalturaH.Aquealturaasbolasdevemserarremessadasparapassaremodobrodotemponoar?

90 Uma partícula parte da origem em t = 0 e se move no sentido positivo do eixo x. O gráfico davelocidadedapartículaemfunçãodotempoémostradonaFig.2-46;aescalaverticalédefinidaporvs=4,0m/s.(a)Qualéacoordenadadapartículaemt=5,0s?(b)Qualéavelocidadedapartículaemt=5,0s?(c)Qualéaaceleraçãodapartículaemt=5,0s?(d)Qualéavelocidademédiadapartículaentret=1,0set=5,0s?(e)Qualéaaceleraçãomédiadapartículaentret=1,0set=5,0s?


91Deixa-secairumapedradeumpenhascocom100mdealtura.Quantotempoapedralevaparacair(a)osprimeiros50me(b)os50mseguintes?

92Adistânciaentreduasestaçõesdemetrôé1100m.Seumtremaceleraa+1,2m/s2apartirdorepousona primeirametade da distância e desacelera a −1,2m/s2 na segundametade, (a) qual é o tempo depercursoentreasestaçõese(b)qualéavelocidademáximadotrem?(c)Desenheosgráficosdex,v,eaemfunçãodetparaopercursoentreasduasestações.

93Umapedraélançadaverticalmenteparacima.Duranteasubida,apedrapassaporumpontoAcomvelocidadeveporumpontoB,3,00macimadeA,comvelocidadev/2.Calcule(a)avelocidadeve(b)

aalturamáximaalcançadapelapedraacimadopontoB.

94Deixa-secairumapedra,semvelocidadeinicial,doaltodeumedifíciode60m.Aquedistânciadosoloestáapedra1,2santesdechegaraosolo?

95Umtrenóavelasemoveparalestecomvelocidadeconstantequandoumarajadadeventoproduzumaaceleraçãoconstanteparalestedurante3,0s.OgráficodexemfunçãodetaparecenaFig.2-47,emquet=0étomadocomooinstanteemqueoventocomeçouasoprar,eosentidopositivodoeixoxéparaleste.(a)Qualéaaceleraçãodotrenóduranteointervalode3,0s?(b)Qualéavelocidadedotrenónofinaldointervalode3,0s?(c)Seaaceleraçãopermanececonstantepormais3,0s,qualéadistânciapercorridapelotrenónosegundointervalode3,0s?


96Deixa-secairumaboladechumbodeumtrampolimsituado5,20macimadasuperfíciedaáguadeumlago.Abolaatingeaáguacomcertavelocidadeeconservaamesmavelocidadeatéchegaraofundodolago,4,80sapóscomeçaracair.(a)Qualéaprofundidadedolago?(b)Qualéomóduloe(c)qualéosentido (paracimaouparabaixo)davelocidademédiadaboladuranteaqueda?Suponhaque todaaáguado lago seja drenada.Abola é agora lançadaverticalmente, do trampolim, comumavelocidadeinicial diferente de zero e novamente chega ao fundo em 4,80 s. (d)Qual é omódulo e (e) qual é osentidodavelocidadeinicialdabola?

97Ocaboquesustentaumelevadordeobra,vazio,arrebentaquandooelevadorestáemrepousonoaltodeumedifíciode120mdealtura.(a)Comquevelocidadeoelevadorchegaaosolo?(b)Qualéotempodequeda? (c)Qualéavelocidadedoelevadoraopassarpelopontomédiodaqueda?(d)Porquantotempooelevadorestavacaindoaopassarpelopontomédio?

98Dois diamantes são deixados cair damesma altura, com1,0 s de intervalo.Quanto tempo, após oprimeirodiamantecomeçaracair,adistânciaentreosdiamantesé10m?

99Umabolaélançadaverticalmente,parabaixo,doaltodeumedifíciocom36,6mdealtura.Abolapassapelaextremidadesuperiordeumajanelaqueestá12,2macimadosolo2,00sapósolançamento.Qualéavelocidadedabolaaopassarpelaextremidadesuperiordajanela?

100Umparaquedistasaltadeumaviãoepercorre50memquedalivre.Emseguida,abreoparaquedase

sofreumadesaceleraçãoconstantede2,0m/s2, chegandoaosolocomumavelocidadede3,0m/s. (a)Quantotempooparaquedistapassanoar?(b)Qualeraaaltitudedoaviãonomomentodosalto?

101Umabolaélançadaverticalmente,parabaixo,deumaalturah,comumavelocidadeinicialv0. (a)Qualéavelocidadedabolapoucoantesdeatingirosolo?(b)Quantotempoabolalevaparachegaraosolo?(c)Seabolafosselançada,paracima,damesmaalturaecomamesmavelocidadeinicial,qualseria a resposta do item (a)? (d) Qual seria a resposta do item (b)? Antes de calcular a resposta,verifiqueseasrespostasdositens(c)e(d)devemsermaioresque,menoresque,ouiguaisàsdositens(a)e(b).

102Oesporteemqueumabolasemovemaisdepressaéojaialai,noqualavelocidadechegaa303km/h.1 Se um jogador profissional de jai alai se defronta com uma bola a essa velocidade e piscainvoluntariamente,eledeixadeveracenaporcercade100ms.Quedistânciaabolapercorreduranteessepiscardeolhos?

103Seumlançadordebeisebolarremessaabolacomumavelocidadehorizontalde160km/h,quantotempoabolalevaparachegaràquartabase,queestáa18,4metrosdedistância?

104Umprótonsemoveaolongodoeixoxdeacordocomaequaçãox=50t+10t2,emquexestáemmetrosetestáemsegundos.Calcule(a)avelocidadedoprótonduranteosprimeiros3,0sdopercurso,(b)avelocidadeinstantâneadoprótonnoinstantet=3,0se(c)aaceleraçãoinstantâneadoprótonnoinstantet=3,0s.(d)Ploteográficodexemfunçãodetemostrecomoarespostadoitem(a)podeserobtidaapartirdográfico.(e)Indiquearespostadoitem(b)nográfico.(f)Ploteográficodevemfunçãodeteindiquearespostadoitem(c).

105Umamotocicletaestásemovendoa30m/squandoopilotoacionaosfreios,aplicandoaoveículoumadesaceleraçãoconstante.Duranteos3,0sseguintes,avelocidadediminuipara15m/s.Quedistânciaamotocicletapercorreatéparar,depoisqueopilotoacionaosfreios?

106Umdiscodeshuffleboardéaceleradoporumtaco,apartirdorepouso,atéumavelocidadede6,0m/s,percorrendoumadistânciade1,8m.Emseguida,odiscoperdecontatocomotacoedesaceleraaumataxaconstantede2,5m/s2atéparar. (a)Determineo intervalodetempoentreo instanteemqueodiscocomeçaaseraceleradoeoinstanteemqueodiscopara.(b)Determineadistânciatotalpercorridapelodisco.

107Acabeçadeumacascavelpodesofrerumaaceleraçãode50m/s2nomomentoemqueacobradáobote.Seumcarrotivesseamesmaaceleração,quantotempolevariaparaatingirumavelocidadede100km/hapartirdorepouso?

108Umaviãoajato,degrandeporte,precisaatingirumavelocidadede360km/hparadecolar.Qualéaaceleraçãomínimanecessáriaparaoaviãodecolardeumapistacom1,80kmdecomprimento?

109Ummotoristaaumentaavelocidadede25km/hpara55km/h,aumataxaconstante,em0,50min.Umciclista aumenta avelocidadede0para30km/h, auma taxa constante, em0,50min.Determine (a) a

aceleraçãodomotorista;(b)aaceleraçãodociclista.

110Umpiscardeolhosdura,emmédia,cercade100ms.QualéadistânciapercorridaporumcaçaMiG-25“Foxbat”duranteumpiscardeolhosdopilotoseoaviãoestásemovendoa3400km/h?

111Avelocidademáximadevelocistaé11,0m/s.Seoatletapartedorepousocomaceleraçãoconstante,eleatingeavelocidademáximaapóspercorrerumadistânciade12,0memantémessavelocidadenorestantedeumaprovade100mrasos. (a)Qualéoseu tempoparaaprova?(b)Paramelhoraroseutempo,ovelocistatentareduziradistâncianecessáriaparaatingiravelocidademáxima.Qualdeveseressadistânciaparaqueoatletacompleteaprovaem10,0s?

112Avelocidadedeumabalaé640m/saosairdeumaarmacujocano tem1,20mdecomprimento.Supondoqueaaceleraçãodabalaéconstante,determinequantotempoabalapassounocanodaarmaapósodisparo.

113OLaboratóriodePesquisadeGravidadeZerodoCentrodePesquisasGlenn,daNASA,nosEstadosUnidos,dispõedeumatorredequedalivrecom145mdealtura.Trata-sedeumatorreverticalevacuadana qual, entre outras possibilidades, é possível deixar cair uma esfera de 1m de diâmetro contendoinstrumentos.(a)Quantotempoaesferapassaemquedalivre?(b)Qualéavelocidadedabolaaochegarao dispositivo de captura, na base da torre? (c) Ao ser capturada, a esfera sofre uma desaceleraçãomédiade25gatéparar.Qualéadistânciapercorridapelaesferaenquantoestásendofreada?

114 Adistânciapercorrida,atéparar,porumcarroesportivoqueestáa200km/hquandoopilotopisanofreioé170m.Supondoqueaaceleraçãosemantémconstante,determineomódulodaaceleração(a)emunidadesdoSIe(b)emunidadesdeg.(c)QualéotempoTpqueocarrolevaparapararapartirdomomento em que o piloto pisa no freio?O tempo de reaçãoTr de ummotorista é o tempo que omotoristalevaparaperceberumperigoeapertaropedaldofreio.SeTr=400ms,(d)qualéotempototalTtqueocarrolevaparapararquandoomotoristapercebeumperigo?(e)Amaiorpartedotempoqueocarro levaparaparar sedeveao tempode reaçãodomotoristaouao tempodedesaceleração?Óculosescurosretardamossinaisvisuaisrecebidospelocérebro,aumentandoTr.(f)NocasoextremoemqueTraumentade100ms,qualéadistânciaadicionalpercorridapelocarroantesdeparar?

115Em1889,emJubbulpore,Índia,umadisputadecabodeguerrafinalmenteterminouapós2h41min,comaequipevencedoradeslocandoocentrodacordaumadistânciade3,7m.Qual foiomódulodavelocidademédiadocentrodacorda,emcentímetrosporminuto,duranteaprova?

116Umrecursoimportanteparaainvestigaçãodeacidentesaéreoséachamadacaixa-preta(apesardeser pintada de laranja), umgravador de dados de voo projetado para resistir a umdesastre comumadesaceleraçãode3400g durante um intervalo de tempo de 6,50ms.Nessas condições extremas, se avelocidadedacaixa-pretaedoaviãoénulaapós6,50ms,qualeraavelocidadenoiníciodointervalo?

117De26dejaneirode1977a18desetembrode1983,GeorgeMeegan,daGrã-Bretanha,caminhoudeUshuaia,noextremomeridionaldaAméricadoSul,atéPrudhoeBay,noAlasca,cobrindoumadistânciade30.600km.QualfoiavelocidademédiadeMeegan,emmetrosporsegundo,duranteopercurso?

118Comooplecópteronãobateasas,nãopodevoar.Entretanto,quandooinsetoestánasuperfíciedaágua,podenavegarusandoasasascomovelas.Suponhaquevocêestejaestudandoplecópterosquesemovemcomvelocidadeconstanteaolongodeumadistânciadeterminada.Opercursoleva,namédia,7,1scomasasasestendidase25,0scomasasasrecolhidas.(a)Qualéarazãoentreavelocidadecomasasasestendidas,ve,eavelocidadecomasasasrecolhidas,vr?(b)Qualéadiferença,emfunçãodeve,entre o tempo que os insetos levam para cobrir os primeiros 2,0 m do percurso com e sem as asasestendidas?

119Aposiçãodeumapartículaquesemoveaolongodoeixoyédadapor

y=(2,0cm)sen(πt/4),

emqueyestáemcentímetrosetestáemsegundos.(a)Qualéavelocidademédiadapartículaentreosinstantest=0et=2,0s?(b)Qualéavelocidadeinstantâneadapartículanosinstantest=0,t=1,0set=2,0s?(c)Qualéaaceleraçãoinstantâneadapartículaentreosinstantest=0et=2,0s?(d)Qualéaaceleraçãoinstantâneadapartículanosinstantest=0,t=1,0set=2,0s?

_______________*Estaseçãosedestinaaalunosqueconhecemcálculointegral.1Naverdade,de acordocomoGuinessWorldRecords, esse recorde, quedatavade1979, foibatido em2012porumaboladegolfe, queatingiuavelocidadede339,56km/h.(N.T.)

CAPÍTULO3

Vetores

3-1VETORESESUASCOMPONENTES

ObjetivosdoAprendizado3.01Somarvetoresgeometricamenteeaplicarasleiscomutativaeassociativa.

3.02Subtrairumvetordeoutrovetor.

3.03Calcularascomponentesdeumvetoremumsistemadecoordenadaserepresentá-lasemumdesenho.

3.04Dadasascomponentesdeumvetor,desenharovetoredeterminarseumóduloeorientação.

3.05Converterângulosdegrauspararadianos,evice-versa.

Ideias-Chave•Asgrandezasescalares,comoatemperatura,têmapenasumaamplitude,especificadaporumnúmeroeumaunidade(10oC,porexemplo),eobedecemàsregrasdaaritméticaedaálgebraelementar.Asgrandezasvetoriais,comoodeslocamento,têmumaamplitudeeumaorientação(5mparaonorte,porexemplo)eobedecemàsregrasdaálgebravetorial.

•Doisvetores e podemsersomadosgeometricamentedesenhando-osnamesmaescala,comaorigemdosegundovetornaextremidadedoprimeiro.Ovetorque ligaaorigemdoprimeirovetoràextremidadedosegundoéovetorsoma, .Parasubtrair de ,bastainverterosentidode ,escrevendo− ,esomar− a .• As componentes (escalares) ax e ay de qualquer vetor bidimensional em relação aos eixos coordenados podem serdeterminadas traçando retasperpendicularesaoseixos coordenadosapartir dasextremidadesde .As componentes sãodadaspor

ax=acosθeay=asenθ,

emqueθéoânguloentreosemieixoxpositivoeadireçãode .Osinalalgébricodacomponente indicaoseusentido.Omóduloeaorientaçãodeumvetor podemsercalculadosapartirdascomponentesaxeayusandoasequações

OqueÉFísica?A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação, eprecisadeumalinguagemmatemáticaespecial,alinguagemdosvetores,paradescreveressasgrandezas.Essalinguagemtambéméusadanaengenharia,emoutrasciênciaseatémesmonasconversasdodiaadia.Sevocêjáexplicouaalguémcomochegaraumendereçousandoexpressõescomo“Sigaporestarua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda”, usou a linguagem dos vetores. Na verdade,

qualquertipodenavegaçãosebaseiaemvetores,masafísicaeaengenhariatambémusamvetoresparadescrever fenômenos que envolvem rotações e forças magnéticas, como veremos em capítulosposteriores.Nestecapítulo,vamosdiscutiralinguagembásicadosvetores.

VetoreseEscalaresUmapartículaquesemoveemlinharetapodesedeslocaremapenasdoissentidos,jáqueadireçãoéconhecida.Podemosconsiderarodeslocamentocomopositivoemumsentidoenegativonooutro.Nocasodeumapartículaquesemoveemqualqueroutratrajetória,porém,umnúmeropositivoounegativonãoésuficienteparaindicaraorientação;precisamosusarumvetor.Umvetorpossuiummóduloeumaorientação;osvetoresseguemcertas regrasdecombinação,que

serãodiscutidasneste capítulo.Umagrandezavetorial é umagrandeza quepossui ummódulo e umaorientaçãoepode,portanto,serrepresentadaporumvetor.Odeslocamento,avelocidadeeaaceleraçãosão exemplos de grandezas físicas vetoriais. Como neste livro serão apresentadas muitas outrasgrandezasvetoriais,oconhecimentodasregrasdecombinaçãodevetoresserádegrandeutilidadeparaoleitor.Nemtodagrandeza físicaenvolveumaorientação.A temperatura,apressão,aenergia,amassaeo

tempo,porexemplo,não“apontam”emumadireção.Chamamosessasgrandezasdeescalareselidamoscomelaspelasregrasdaálgebracomum.Umúnicovalor,possivelmentecomumsinalalgébrico(comonocasodeumatemperaturade−2°C),ésuficienteparaespecificarumescalar.Agrandezavetorialmaissimpleséodeslocamentooumudançadeposição.Umvetorquerepresenta

umdeslocamentoéchamado, comoseriade seesperar,devetordeslocamento. (Outros exemplos devetorsãoovetorvelocidadeeovetoraceleração.)Seumapartículamudadeposiçãomovendo-sedeAparaBnaFig.3-1a,dizemosqueelasofreumdeslocamentodeAparaB,querepresentamosporumasetaapontandodeA paraB. A seta especifica o vetor graficamente. Para distinguir símbolos vetoriais deoutrostiposdesetasnestelivro,usamosumtriângulovazadonapontadassetasquerepresentamvetores.NaFig.3-1a,assetasdeAparaB,deAʹparaBʹedeAʺparaBʺ têmomesmomóduloeamesma

orientação; assim, elas especificam vetores deslocamento iguais e representam amesma variação deposição da partícula. Um vetor pode ser deslocado sem que o seu valor mude se o comprimento, adireçãoeosentidopermaneceremosmesmos.Ovetordeslocamentonadanosdizsobreatrajetóriapercorridaporumapartícula.NaFig.3-1b,por

exemplo,astrêstrajetóriasqueunemospontosAeBcorrespondemaomesmovetordeslocamento,odaFig.3-1a.Ovetordeslocamentonãorepresentatodoomovimento,masapenasoresultadofinal.

Figura3-1 (a)As três setas têmomesmomóduloeamesmaorientaçãoe,portanto, representamomesmodeslocamento. (b)As trêstrajetóriasqueligamosdoispontoscorrespondemaomesmovetordeslocamento.

SomaGeométricadeVetoresSuponhaque,comonodiagramavetorialdaFig.3-2a,umapartículasedesloquedeAaBe,depois,deBaC.Podemosrepresentarodeslocamentototal(independentementedatrajetóriaseguida)atravésdedoisvetoresdeslocamentosucessivos,ABeBC.OdeslocamentototaléumúnicodeslocamentodeAparaC.ChamamosACdevetorsoma(ouvetorresultante)dosvetoresABeBC.Essetipodesomanãoéumasomaalgébricacomum.NaFig.3-2b,desenhamososvetoresdaFig.3-2aeosrotulamosdaformaqueseráusadadaquiem

diante,comumasetasobreumsímboloemitálico,comoem .Paraindicarapenasomódulodovetor(umagrandezapositivaesemdireção),usamososímbolodovetoremitálicosemaseta,comoema,bes. (Você pode usar um símbolo manuscrito.) Uma seta sobre um símbolo indica que a grandezarepresentadapelosímbolopossuiaspropriedadesdeumvetor:móduloeorientação.PodemosrepresentararelaçãoentreostrêsvetoresdaFig.3-2batravésdaequaçãovetorial

Figura3-2 (a)ACéasomavetorialdosvetoresABeBC.(b)Outraformaderotularosmesmosvetores.

segundoaqualovetor éovetorsomadosvetores e .Osímbolo+naEq.3-1eapalavra“soma”têm um significado diferente no caso dos vetores, porque, ao contrário do que acontece na álgebracomum,envolvemtantoomódulocomoaorientaçãodagrandeza.A Fig. 3-2 sugere ummétodo para somar geometricamente dois vetores bidimensionais e . (1)

Desenheovetor emuma escala conveniente e como ângulo apropriado. (2)Desenhe o vetor namesmaescala,comaorigemnaextremidadedovetor ,tambémcomoânguloapropriado.(3)Ovetorsoma éovetorquevaidaorigemde àextremidadede .Propriedades. A soma vetorial, definida dessa forma, tem duas propriedades importantes. Em

primeirolugar,aordememqueosvetoressãosomadoséirrelevante.Somar a éomesmoquesomara (Fig.3-3),ouseja,

Figura3-3 Aordememqueosvetoressãosomadosnãoafetaoresultado;vejaaEq.3-2.

Emsegundo lugar,quandoexistemmaisdedoisvetores,podemosagrupá-losemqualquerordemparasomá-los.Assim,sequeremossomarosvetores , ,e podemossomar e esomaroresultadoa .Podemostambémsomar e edepoissomaroresultadoa ;oresultadoéomesmo,comomostraaFig.3-4.Assim,

Figura3-4 Osvetores , e podemseragrupadosemqualquerordemparaseremsomados;vejaaEq.3-3.

Ovetor– éumvetorcomomesmomóduloedireçãode eosentidooposto(vejaaFig.3-5).AsomadosdoisvetoresdaFig.3-5é

+(– )=0.

Assim,somar– éomesmoquesubtrair .Usamosessapropriedadeparadefiniradiferençaentredoisvetores.Se = – ,temos:

Figura3-5 Osvetores e– têmomesmomóduloesentidosopostos.

ouseja,calculamosovetordiferença somandoovetor– aovetor .AFig.3-6mostracomoissoéfeitogeometricamente.Comonaálgebracomum,podemospassarumtermoqueincluiumsímbolodevetordeumladodeuma

equaçãovetorialparaooutro,masdevemosmudarosinal.Assim,porexemplo,paraexplicitar naEq.3-4,escrevemosaequaçãonaforma

+ = ou = + .

Embora tenhamos usado vetores deslocamento nesses exemplos, as regras para somar e subtrairvetoresseaplicamavetoresdequalquertipo,sejamelesusadospararepresentarvelocidade,aceleraçãoouqualqueroutragrandezavetorial.Poroutrolado,apenasvetoresdomesmotipopodemsersomados.Assim,porexemplo,podemossomardoisdeslocamentosouduasvelocidades,masnãofazsentidosomarumdeslocamentoeumavelocidade.Oequivalentenaaritméticadosescalaresseriatentarsomar21se12m.

Figura3-6 (a)Osvetores , e– .(b)Parasubtrairovetor dovetor ,bastasomarovetor– aovetor .

Teste1Osmódulosdosdeslocamentos e são3me4m,respectivamente,e = + .Considerandoasváriasorientaçõespossíveis

de e ,(a)qualéomaiore(b)qualéomenorvalorpossíveldomódulode ?

ComponentesdeVetoresSomarvetoresgeometricamentepodeserumatarefatediosa.Umatécnicamaiseleganteemaissimplesenvolveousodaálgebra,masrequerqueosvetoressejamrepresentadosemumsistemadecoordenadasretangulares.Oseixosxeysãonormalmentedesenhadosnoplanodopapel,comonaFig.3-7a.Oeixozéperpendicularaopapel;vamosignorá-loporenquantoetratarapenasdevetoresbidimensionais.Umacomponentedeumvetoréaprojeçãodovetoremumeixo.NaFig.3-7a,porexemplo,axéa

componentedovetor emrelaçãoaoeixox,eayéacomponenteemrelaçãoaoeixoy.Paraencontraraprojeção de um vetor em um eixo, traçamos retas perpendiculares ao eixo a partir da origem e daextremidadedovetor,comomostraafigura.Aprojeçãodeumvetornoeixoxéchamadadecomponentexdovetor;aprojeçãonoeixoyrecebeonomedecomponentey.Oprocessodeobterascomponentesdeumvetoréchamadodedecomposiçãodovetor.Umacomponentedeumvetortemomesmosentido(emrelaçãoaumeixo)queovetor.NaFig.3-7,ax

eaysãopositivasporque apontanosentidopositivodosdoiseixos.(Observeassetasquemostramosentidodascomponentes.)Seinvertêssemososentidodovetor ,ascomponentesseriamnegativaseassetasapontariamnosentidonegativodoseixosxey.Adecomposiçãodovetor daFig.3-8levaaumacomponentebxpositivaeaumacomponentebynegativa.Umvetorpodeteratétrêscomponentes,mas,nocasodovetordaFig.3-7a,acomponentezénula.

Como mostram as Figs. 3-7a e 3-7b, quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação, ascomponentesnãomudam.DeterminaçãodasComponentes.Podemosdeterminargeometricamenteascomponentesde naFig.

3-7aapartirdotriânguloretângulomostradonafigura:

Figura3-7 (a)Ascomponentesaxeaydovetor .(b)Ascomponentesnãomudamquandoovetorédeslocado,desdequeomóduloeaorientaçãosejammantidos.(c)Ascomponentescorrespondemaoscatetosdeumtriânguloretângulocujahipotenusaéomódulodovetor.

emqueθ éoânguloqueovetor fazcomosemieixox positivo, ea éomódulode .AFig. 3-7cmostraque eascomponentesxeydovetorformamumtriânguloretângulo.Afiguramostra tambémque é possível reconstruir um vetor a partir das componentes: basta posicionar a origem de uma dascomponentes na extremidade da outra e completar o triângulo retângulo ligando a origem livre àextremidadelivre.Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos, as componentes

podemserusadasnolugardovetor.Assim,porexemplo,ovetor daFig.3-7aédado(completamentedeterminado)poraeθ,mastambémpodeserdadopelascomponentesaxeay.Osdoisparesdevalorescontêmamesmainformação.Seconhecemosumvetornanotaçãodecomponentes(axeay)equeremosespecificá-lonanotaçãomódulo-ângulo(aeθ),bastausarasequações

paraefetuaratransformação.Nocasomaisgeraldetrêsdimensões,precisamosdomóduloededoisângulos(a,θeϕ,digamos)ou

detrêscomponentes(ax,ayeaz)paraespecificarumvetor.

Figura3-8 Acomponentexde épositivaeacomponenteyénegativa.

Teste2Quaisdosmétodosindicadosnafigurasãocorretosparadeterminarovetor apartirdascomponentesxey?

Exemplo3.01 Somagráficadevetores:umtestedecampo

Emumtestedecampo,vocêrecebeatarefadeseafastaromáximopossíveldeumacampamentopormeiodetrêsdeslocamentos

retilíneos.Vocêpodeusarosseguintesdeslocamentos,emqualquerordem:(a) ,2,0kmparaleste;(b) ,2,0km30°aonorte

doleste;(c) ,1,0kmparaoeste.Vocêpodetambémsubstituir por– e por– .Qualéamaiordistânciaquevocêpode

atingirapósoterceirodeslocamento?(Adireçãododeslocamentototalficaaseucritério.)

Raciocínio: Usando uma escala conveniente, desenhamos os vetores , , , – e – , como na Fig. 3-9a. Em seguida,

deslocamosmentalmenteosvetoressobreapágina,semmudaraorientação,ligandotrêsvetoresdecadavez,emumarranjono

qual a origemdo segundo vetor está ligada à extremidade do primeiro, e a origemdo terceiro está ligada à extremidade do

segundo,paraencontrarovetorsoma, .Aorigemdoprimeirovetorrepresentaoacampamento,eaextremidadedoterceiro

vetorrepresentaopontodedestino.Ovetorsoma vaidaorigemdoprimeirovetoràextremidadedoterceiro.Omóduloddo

vetorsomaéadistânciaentreopontodedestinoeoacampamento.Nossoobjetivoémaximizaressadistância.

Examinandotodososcasospossíveis,descobrimosqueadistânciaémáximaparaoarranjo , ,– .Aordememqueos

vetoressãosomadosnão importa, jáqueasomavetorialéamesma,qualquerquesejaaordem. (ComomostraaEq. 3-2, os

vetoresobedecemàleicomutativadaadição.)AordemmostradanaFig.3-9béparaasomavetorial

Figura3-9(a)Vetoresdeslocamento;trêsdevemserusados.(b)Adistânciaentreopontodedestinoeoacampamentoseráa

maiorpossívelseosdeslocamentosescolhidosforem , e– emqualquerordem.

= + +(– ).

UsandoaescaladaFig.3-9a,medimosocomprimentoddovetorresultante,encontrando

Exemplo3.02 Determinaçãodascomponentesdeumvetor:rotadeumavião

Umpequenoaviãodecoladeumaeroportoemumdianubladoeéavistadomaistardea215kmdedistância,emumcursoque

faz um ângulo de 22° a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião nomomento em que é

avistado?

Figura3-10UmaviãodecoladeumaeroportonaorigemeéavistadomaistardenopontoP.

IDEIA-CHAVE

Conhecemosomódulo(215km)eoângulo(22°alestedonorte)deumvetoreprecisamosdeterminarascomponentesdovetor.

Cálculos:Desenhamosumsistemadecoordenadasxycomosentidopositivodexparalesteeodeyparaonorte(Fig.3-10).Por

conveniência, a origemé colocadano aeroporto. (Isso não é obrigatório. Poderíamos escolher qualquer ponto para origeme

qualquerorientaçãoparaoseixos,mas,seaescolhaénossa,porquetornaroproblemamaisdifícil?)Odeslocamento doavião

apontadaorigemparaopontoemqueoaviãofoiavistado.

Paradeterminarascomponentesde ,utilizamosaEq.3-5comθ=68°(=90°−22°):

Assim,oaviãofoiavistado81kmalestee2,0×102kmaonortedoaeroporto.

Táticas para a Solução de Problemas Ângulos, funções trigonométricas e funções

trigonométricasinversas

Tática1:ÂngulosemGrauseemRadianosÂngulosmedidosemrelaçãoaosemieixoxpositivosãopositivossesãomedidos

nosentidoanti-horário,enegativossesãomedidosnosentidohorário.Assim,porexemplo,210°e−150°representamomesmo

ângulo.

Osângulospodemsermedidosemgraus(o)ouemradianos(rad).Pararelacionarasduasunidades,bastalembrarqueuma

circunferênciacompletacorrespondeaumângulode360°ou2πrad.Paraconverter,digamos,40°pararadianos,escrevemos

Tática 2: Funções Trigonométricas A Fig. 3-11mostra as definições das funções trigonométricas básicas (seno, cosseno e

tangente),muitousadasnaciênciaenaengenharia,emumaformaquenãodependedomodocomootriânguloérotulado.

O leitordevesaber comoessas funções trigonométricasvariamcomoângulo (Fig.3-12), parapoder julgar se o resultado

mostradoporumacalculadoraérazoável.Emalgumascircunstâncias,osimplesconhecimentodosinaldasfunçõesnosvários

quadrantespodesermuitoútil.

Tática3:FunçõesTrigonométricasInversasQuandoseusaumacalculadoraparaobterovalordeumafunçãotrigonométrica

inversacomosen−1,cos−1etan−1,éprecisoverificarseoresultadofazsentido,pois,emgeral,existeoutrasoluçãopossívelquea

calculadoranãofornece.Osintervalosemqueascalculadorasoperamaofornecerosvaloresdasfunçõestrigonométricasinversas

estãoindicadosnaFig.3-12.Assim,porexemplo,sen−1(0,5)podeseriguala30°(queéovalormostradopelacalculadora,jáque

30oestánointervalodeoperação)oua150°.Paraverificarseissoéverdade,traceumaretahorizontalpassandopelovalor0,5na

escalaverticaldaFig.3-12aeobserveospontosemquearetainterceptaacurvadafunçãoseno.Comoépossívelsaberqualéa

respostacorreta?Éaqueparecemaisrazoávelparaumadadasituação.

Tática4:MedidadosÂngulosdeumVetorAsexpressõesdecosθesenθnaEq.3-5edetanθnaEq.3-6sãoválidasapenasse

oânguloformedidoemrelaçãoaosemieixoxpositivo.Seoânguloformedidoemrelaçãoaoutroeixo,talvezsejaprecisotrocar

asfunçõestrigonométricasdaEq.3-5ouinverterarazãodaEq.3-6.Ummétodomaisseguroéconverteroângulodadoemum

ângulomedidoemrelaçãoaosemieixoxpositivo.

Figura3-11Triângulousadoparadefinirasfunçõestrigonométricas.VejatambémoApêndiceE.

Figura3-12Gráficosdastrêsfunçõestrigonométricas.Aspartesmaisescurasdascurvascorrespondemaosvaloresfornecidos

pelascalculadorasparaasfunçõestrigonométricasinversas.

3-2VETORESUNITÁRIOS;SOMADEVETORESAPARTIRDASCOMPONENTES


3.06Converterumvetordanotaçãomódulo-ânguloparaanotaçãodosvetoresunitários,evice-versa.

3.07Somaresubtrairvetoresexpressosnanotaçãomódulo-ânguloenanotaçãodosvetoresunitários.

3.08Saberquearotaçãodosistemadecoordenadasemtornodaorigempodemudarascomponentesdeumvetor,masovetorpermaneceomesmo.

Ideias-Chave

•Osvetoresunitários , e ,têmmódulo1eapontamnosentidopositivodoseixosx,yez,respectivamente,emumsistemadecoordenadasdextrogiro.Nanotaçãodosvetoresunitários,umvetor assumeaforma

emqueax ,ay eaz sãoascomponentesvetoriaisde eax,ayeazsãoascomponentesescalares.

•Parasomarvetoresexpressosnanotaçãodosvetoresunitários,usamosasequações

rx=ax+bxry=ay+byrz=az+bz.

emque e sãoosvetoresaseremsomados,e =rx +ry +rz éovetorsoma.Notequeascomponentesdevemsersomadaseixoaeixo.

VetoresUnitáriosVetorunitárioéumvetordemódulo1queapontaemumadadadireção.Umvetorunitárionãopossuidimensãonemunidade;suaúnicafunçãoéespecificarumaorientação.Nestelivro,osvetoresunitáriosqueindicamadireçãoeosentidopositivodoseixosx,yezsãorepresentadoscomorespectivamente ,e ,emqueosímbolo ̂éusado,emlugardeumaseta,paramostrarquese tratadevetoresunitários(Fig. 3-13). Um sistema de eixos como o da Fig. 3-13 é chamado de sistema de coordenadasdextrogiro.Osistemapermanecedextrogiroquandoostrêseixossofremamesmarotação.Ossistemasdecoordenadasusadosnestelivrosãotodosdextrogiros.1

Os vetores unitários sãomuito úteis para especificar outros vetores; assim, por exemplo, podemosexpressarosvetores e dasFigs.3-7e3-8como

Figura3-13 Osvetoresunitários , e usadosparadefinirumsistemadecoordenadasdextrogiro.

Figura3-14 (a)Componentesvetoriaisdovetor .(b)Componentesvetoriaisdovetor .

EssasduasequaçõesestãoilustradasnaFig.3-14.Asgrandezasax eay sãovetores,conhecidoscomocomponentes vetoriais de . As grandezas ax e ay são escalares, conhecidas como componentesescalares(ou,simplesmente,componentes)de .

SomadeVetoresaPartirdasComponentesPodemos somar vetores geometricamente, usando um desenho. Também podemos somar vetoresdiretamentenateladeumacalculadoragráfica.Umaterceiraformadesomarvetores,queéaformaquediscutiremosemseguida,consisteemcombinarascomponenteseixoporeixo.Paracomeçar,considereaequação

segundo a qual o vetor é igual ao vetor ( + ). Nesse caso, cada componente de é igual à

componentecorrespondentede( + ):

Emoutraspalavras,doisvetoressãoiguaisseascomponentescorrespondentesforemiguais.DeacordocomasEqs.3-9a3-12,parasomardoisvetores + ,podemos(1)obterascomponentesescalaresdosvetores;(2)combinarascomponentesescalares,eixoporeixo,paraobterascomponentesdovetorsoma,;(3)combinarascomponentesde paraobterovetor .Issopodeserfeitodeduasmaneiras:podemosexpressarnanotaçãodosvetoresunitários,oupormeioda notaçãomódulo-ângulo.Essemétododesomarvetoresusandocomponentestambémseaplicaàsubtração.Lembre-sedeque

umasubtraçãocomo = – podeserescritacomoumaadiçãodaforma = +(– ).Parasubtrair,somamosascomponentesde e– paraobter

Teste3(a)Quaissãoossinaisdascomponentesxde 1e 2nafigura?(b)Quaissãoossinaisdascomponentesyde 1e 2?Quaissão

ossinaisdascomponentesxeyde 1+ 2?

VetoreseasLeisdaFísicaAtéagora,emtodafiguraemqueapareceumsistemadecoordenadas,oseixosxey sãoparalelosàsbordasdopapel.Assim,quandoumvetor édesenhado,ascomponentesaxeaytambémsãoparalelasàsbordasdopapel(comonaFig.3-15a).Aúnicarazãoparausaressaorientaçãodoseixoséqueparece“apropriada”;nãoexisteuma razãomaisprofunda.Podemos,perfeitamente,giraroseixos (masnãoovetor )deumânguloϕ,comonaFig.3-15b,casoemqueascomponentesterãonovosvalores,Comoexisteumainfinidadedevalorespossíveisdeϕ,existeumnúmeroinfinitodeparespossíveisde

componentesde .Qualé,então,opardecomponentes“correto”?Arespostaéquesãotodosigualmenteválidos,jáque

cadapar(comosistemadeeixoscorrespondente)constituiumaformadiferentededescreveromesmovetor ;todosproduzemomesmomóduloeamesmaorientaçãoparaovetor.NaFig.3-15,temos:

e

Figura3-15 (a)Ovetor esuascomponentes.(b)Omesmovetor,comoseixosdosistemadecoordenadasgiradosdeumânguloϕ.

A verdade é que temos uma grande liberdade para escolher o sistema de coordenadas, já que asrelaçõesentrevetoresnãodependemdalocalizaçãodaorigemnemdaorientaçãodoseixos.Issotambémseaplicaàsleisdafísica;sãotodasindependentesdaescolhadosistemadecoordenadas.Acrescenteaissoasimplicidadeeriquezadalinguagemdosvetoresevocêveráqueéfácilcompreenderporqueasleis da física são quase sempre apresentadas nessa linguagem: uma equação, como a Eq. 3-9, pode

representartrês(ouatémais)relações,comoasEqs.3-10,3-11e3-12.

Exemplo3.03: Labirintodesebes

O labirintode sebes éum labirinto formadopor sebesbemaltas.Depoisdeentrarno labirinto, vocêdeveencontrar oponto

centrale,emseguida,descobrira saída.AFig.3-16amostra a entradado labirinto e asduasprimeirasmudançasdedireção

necessáriasparairdopontoiaopontoc.OpercursocorrespondeaostrêsdeslocamentosmostradosnavistaaéreadaFig.3-16b:

d1=6,00mθ1=40°

d1=8,00mθ1=30°

d1=5,00mθ1=0°

emqueoúltimodeslocamentoéparaleloaoeixox.Qualéomóduloequaloângulododeslocamentototal totemrelaçãoao

pontoiquandovocêchegaaopontoc?

IDEIAS-CHAVE

(1)Odeslocamentototaléasomadetrêsdeslocamentos:

tot= 1+ 2+ 3.

(2)Parasomarosdeslocamentos,podemoscalcularprimeiroasomadascomponentesx,

edepoisasomadascomponentesy,

(3)Finalmente,construímos totapartirdascomponentesxey.

Cálculos: Para podermos usar as Eqs. 3-16 e 3-17, precisamos calcular as componentes x e y de cada deslocamento. Como

exemplo,aFig.3-16cmostraas componentesdoprimeirodeslocamento.Desenhamosdiagramassemelhantesparaosoutros

doisdeslocamentoseaplicamosapartereferenteaoeixoxdaEq.3-5acadadeslocamento,usandoângulosrelativosaosemieixo

xpositivo:

d1x=(6,00m)cos40°=4,60m

d2x=(8,00m)cos(–60°)=4,00m

d3x=(5,00m)cos0°=5,00m.

AEq.3-16nosdá

dtot,x=+4,60m+4,00m+5,00m

=13,60m.

Analogamente,parapodermosusaraEq.3-17,aplicamosapartereferenteaoeixoydaEq.3-5acadadeslocamento:

d1y=(6,00m)sen40°=3,86m

d2y=(8,00m)sen(–60°)=–6,93m

d3y=(5,00m)sen0°=0m.

Figura3-16(a)Trêsdeslocamentosemumlabirintodesebes.(b)Osvetoresdeslocamento.(c)Oprimeirovetordeslocamentoe

suascomponentes.(d)Ovetordeslocamentototalesuascomponentes.

AEq.3-17nosdá

dtot,y=+3,86m–6,93m+0m

=–3,07m.

Emseguida,usamosascomponentesde totparaconstruirovetor,comomostraaFig.3-16d.Ascomponentessãooscatetosde

umtriânguloretângulocujahipotenusaéovetor.Paracalcularomóduloeoângulode tot,usamosaEq.3-6.Omóduloé

Paraobteroângulo(medidoemrelaçãoaosemieixoxpositivo),calculamosoarcotangente:

Oânguloénegativoporqueémedidonosentidohorárioapartirdosemieixoxpositivo.Éprecisotomarmuitocuidadoaoobtero

arco tangente emuma calculadora. A respostamostrada sempre estámatematicamente correta,mas podenão ser a resposta

adequadaparaoproblema.Emmuitoscasos,énecessáriosomar180oàrespostafornecidapelacalculadoraparatrocarosinaldas

duascomponentes.Umaboaformadeverificarseissoénecessárioconsisteemtraçarovetoresuascomponentes,comofizemos

naFig.3-16d.Nasituaçãodesteexemplo,afiguramostraqueθ=−12,7oéumarespostarazoável,enquanto−12,7o+180o≈

167onãoéumarespostarazoável.

Podemosverarazãopelaqualexistemduasrespostaspossíveisexaminandoacurvadatangenteemfunçãodoângulo(Fig.3-

12c). Neste exemplo, o argumento do arco tangente é −3,07/13,60 = −0,226. Quando traçamos uma reta horizontal

correspondenteaessevalornográficodaFig.3-12c,a reta interceptaacurvada tangenteemdoispontos:umno ramomais

escurodográfico,quecorrespondeaθ=−12,7o,eoutronoramomaisclarodaesquerda,quecorrespondeaθ≈167o(oramo

maisclarodadireitaéapenasumarepetiçãodoramomaisescuroentre−90oe0o).Ovalordacoordenadaθdoprimeiropontoéo

resultadoqueacalculadorafornece.

Exemplo3.04 Somadevetoresusandovetoresunitários

AFigura3-17amostraosseguintesvetores:

Qualéovetorsoma ,quetambémaparecenaFig.3-17a?

IDEIA-CHAVE

Podemossomarostrêsvetoressomandoascomponentes,eixoporeixo,eusandoascomponentesresultantesparaobterovetor

soma .

Cálculos:Nocasodoeixox,somamosascomponentesxde , e ,paraobteracomponentexdovetorsoma :

rx=ax+bx+cx

=4,2m–1,6m+0=2,6m.

Analogamente,nocasodoeixoy,

rx=ax+bx+cx

=1,5m–2,9m–3,7m=–2,3m.

Podemoscombinaressascomponentesdeparaescreverovetoremtermosdosvetoresunitários:

emque(2,6m) éacomponentevetorialde emrelaçãoaoeixoxe−(2,3m) éacomponentevetorialde emrelaçãoaoeixo

y.AFig.3-17bmostraumadasformasdeobterovetor apartirdessascomponentes.(Qualéaoutraforma?)

Figura3-17 Ovetor éasomavetorialdosoutrostrêsvetores.

Tambémpodemosresolveroproblemadeterminandoomóduloeoângulode .DeacordocomaEq.3-6,omóduloédado

por

eoângulo(medidoemrelaçãoaosemieixoxpositivo)édadopor

emqueosinalnegativosignificaqueoângulodevesermedidonosentidohorário.

3-3MULTIPLICAÇÃODEVETORES*


3.09Multiplicarvetoresporescalares.

3.10Saberqueoresultadodoprodutodeumescalarporumvetoréumescalar,oresultadodoprodutoescalardedoisvetoreséumescalar,eoresultadodoprodutovetorialdedoisvetoreséumvetorperpendicularaosvetoresoriginais.

3.11 Calcular o produto escalar de dois vetores expressos na notaçãomódulo-ângulo e o produto escalar de dois vetoresexpressosnanotaçãodosvetoresunitários.

3.12Calcularoânguloentredoisvetoresapartirdoprodutoescalar.

3.13Calcularaprojeçãodeumvetornadireçãodeoutrovetorapartirdoprodutoescalardosdoisvetores.

3.14 Calcular o produto vetorial de dois vetores expressos na notação módulo-ângulo e o produto vetorial de dois vetoresexpressosnanotaçãodosvetoresunitários.

3.15Usararegradamãodireitaparadeterminaraorientaçãodovetorresultantedeumprodutovetorial.

Ideias-Chave•Oprodutodeumescalareporumvetor éumvetordemóduloevcomamesmadireçãode eomesmosentidode seeforpositivoeosentidoopostoaode seefornegativo.

•Oprodutoescalardedoisvetores e érepresentadocomo · eéumagrandezaescalardadapor

· =abcosϕ,

emqueϕéoânguloentreasdireçõesde e .Oprodutoescalarpodeserconsideradocomooprodutodomódulodeumdosvetorespelacomponentedosegundovetornadireçãodoprimeiro.Nanotaçãodosvetoresunitários,

quepodeserexpandidodeacordocomaleidistributiva.Noteque · = ·•Oprodutovetorialdedoisvetoreseérepresentadocomo×eéumvetorcujomódulocédadopor

emqueϕéomenorânguloentreasdireçõesde e .Adireçãode éperpendicularaoplanodefinidopor e eédadapelaregradamãodireita,comomostraaFig.3-19.Nanotaçãodosvetoresunitários,

quepodeserexpandidousandoaleidistributiva.Noteque × =– ×

MultiplicaçãodeVetoresExistemtrês formasdemultiplicarvetores,masnenhumaéexatamente igualàmultiplicaçãoalgébrica.Aoleraexposiçãoaseguir,tenhaemmentequeumacalculadoraoajudaráamultiplicarvetoresapenassevocêcompreenderasregrasbásicasdessetipodemultiplicação.

MultiplicaçãodeumVetorporumEscalar

Quandomultiplicamos um vetor por um escalar e, obtemos um vetor cujo módulo é o produto domódulode pelovalorabsolutodee,cujadireçãoéamesmade ecujosentidoéomesmode seeforpositivoeosentidoopostoseefornegativo.Paradividir pore,multiplicamos por1/e.

MultiplicaçãodeumVetorporumVetor

Existemduasformasdemultiplicarumvetorporumvetor:umaforma(conhecidacomoprodutoescalar)resultaemumescalar;aoutra (conhecidacomoprodutovetorial) resulta emumvetor. (Osestudantescostumamconfundirasduasformas.)

OProdutoEscalar

Oprodutoescalardosvetores e daFig.3-18aéescritocomo · edefinidopelaequação

emqueaéomódulode ,béomódulode eϕéoânguloentre e (ou,maisapropriadamente,entreasorientaçõesde e ).Narealidade,existemdoisângulospossíveis:ϕe360°–ϕ.QualquerdosdoispodeserusadonaEq.3-20,jáqueoscossenosdosdoisângulossãoiguais.NotequeoladodireitodaEq.3-20contémapenasescalares(incluindoovalordecosϕ).Assim,o

produto · noladoesquerdorepresentaumagrandezaescalareélidocomo“aescalarb”.Oprodutoescalarpodeserconsideradocomooprodutodeduasgrandezas:(1)omódulodeumdos

vetorese(2)acomponenteescalardooutrovetoremrelaçãoaoprimeiro.Assim,porexemplo,naFig.3-18b, tem uma componente escalar a cos ϕ em relação a ; note que essa componente pode serdeterminadatraçandoumaperpendiculara quepassepelaextremidadede .Analogamente, possuiumacomponenteescalarbcosϕemrelaçãoa .

Seoânguloϕentredoisvetoresé0°,acomponentedeumvetoremrelaçãoaooutroémáxima,oquetambémacontececomo

produtoescalardosvetores.Seoânguloé90°,acomponentedeumvetoremrelaçãoaooutroénula,oquetambémacontececom

oprodutoescalar.

Parachamaratençãoparaascomponentes,aEq.3-20podeserescritadaseguinteforma:

Comoapropriedadecomutativaseaplicaaoprodutoescalar,podemosescrever

· = · .

Figura3-18 (a)Doisvetores, e ,formandoumânguloϕ.(b)Cadavetortemumacomponentenadireçãodooutrovetor.

Quandoosdoisvetoressãoescritosnanotaçãodosvetoresunitários,oprodutoescalarassumeaforma

quepodeserexpandidadeacordocomapropriedadedistributiva.Calculandoosprodutosescalaresdoscomponentesvetoriaisdoprimeirovetorpeloscomponentesvetoriaisdosegundovetor,obtemos:

Teste4Osvetores e têmmódulosde3unidadese4unidades,respectivamente.Qualéoânguloentreessesvetoresse · éigual

a(a)zero,(b)12unidadese(c)–12unidades?

OProdutoVetorial

Oprodutovetorialde e éescritocomo × eresultaemumterceirovetor, ,cujomóduloé

emqueϕéomenordosdoisângulosentre e .(Éprecisousaromenordosângulosentreosvetoresporquesenϕesen(360°–ϕ)têmsinaisopostos.)Oproduto × élidocomo“avetorb”.

Se e sãoparalelosouantiparalelos, × =0.Omódulode × ,quepodeserescritocomo| × |,émáximoquando e

sãomutuamenteperpendiculares.

Adireçãode éperpendicularaoplanodefinidopor e .AFig.3-19amostracomodeterminarosentidode = × usando a chamadaregradamãodireita. Superponha as origens de e semmudaraorientaçãodosvetoreseimagineumaretaperpendicularaoplanodefinidopelosdoisvetores,passandopelaorigemcomum.Envolvaessaretacomamãodireitademodoqueosdedosempurrememdireçãoa aolongodomenorânguloentreosvetores.Seupolegarestendidoapontaránosentidode.Nocasodoprodutovetorial,aordemdosvetoreséimportante.NaFig.3-19b,estamosdeterminando

osentidode ′= × ,demodoqueosdedosdamãodireita empurramnadireçãode aolongodomenorângulo.Nestecaso,opolegarapontanosentidoopostoaodaFig.3-21a,demodoque ʹ= ouseja,

Emoutraspalavras,aleicomutativanãoseaplicaaoprodutovetorial.Nanotaçãodosvetoresunitários,podemosescrever

quepodeserexpandidodeacordocomaleidistributiva,ouseja,calculandooprodutovetorialdecadacomponentedoprimeirovetorpelascomponentesdosegundovetor.OsprodutosvetoriaisdosvetoresunitáriosaparecemnoApêndiceE (veja“ProdutosdeVetores”).Assim,porexemplo,naexpansãoda

Eq.3-26,temos

porque os vetores unitários e são paralelos e, portanto, o produto vetorial é zero. Analogamente,temos:

Noúltimopasso,usamosaEq.3-24paradescobrirqueomódulode × é1.(Omódulodosvetores eé1,eoânguloentre e é90°.)Usandoaregradamãodireita,descobrimosqueosentidode × éosentidodosemieixozpositivo,ouseja,osentidode .ContinuandoaexpandiraEq.3-26,épossívelmostrarque

Tambémépossívelcalcularoresultadodeumprodutovetorialusandoumdeterminante(vejaoApêndiceE),ouumacalculadora.Paraverificarseumsistemadecoordenadasxyzéumsistemadextrogiro,bastaaplicararegradamão

direitaaoprodutovetorial × = nosistemadado.Seosdedosempurrarem (semieixoxpositivo)nadireçãode (semieixoypositivo)eopolegarestendidoapontarnosentidodosemieixoz positivo, osistemaédextrogiro;casocontrário,osistemaélevogiro.

Teste5Osvetores e têmmódulosde3unidadese4unidades,respectivamente.Qualéoânguloentreosdoisvetoresseomódulo

doprodutovetorial × éiguala(a)zeroe(b)12unidades?

Figura3-19 Ilustraçãodaregradamãodireitaparaprodutosvetoriais.(a)Empurreovetor nadireçãodovetor comosdedosdamãodireita.Opolegarestendidomostraaorientaçãodovetor = × .(b)Ovetor × temosentidoopostoaode × .

Exemplo3.05 Ânguloentredoisvetoresusandooprodutoescalar

Qualéoânguloϕentre =3,0 –4,0 e =–2,0 +3,0 ?(Atenção:Muitosdoscálculosaseguirnãosãonecessáriosquando

se usa uma calculadora, mas o leitor aprenderá mais sobre produtos escalares se, pelo menos por enquanto, executá-los

manualmente.)

IDEIA-CHAVE

Oânguloentreasorientaçõesdosdoisvetoresaparecenadefiniçãodoprodutoescalar(Eq.3-20):

Cálculos:NaEq.3-28,aéomódulode ,ouseja,

ebéomódulode ,ouseja,

PodemoscalcularoladoesquerdodaEq.3-28escrevendoosvetoresnanotaçãodosvetoresunitárioseusandoapropriedade

distributiva:

Emseguida,aplicamosaEq.3-20acadatermodaúltimaexpressão.Oânguloentreosvetoresunitáriosdoprimeirotermo( e )

é0°eosoutrosângulossão90°.Assim,temos:

SubstituindoesseresultadoeosresultadosdasEqs.3-29e3-30naEq.3-28,obtemos:

Exemplo3.06 Produtovetorial,regradamãodireita

NaFig.3-20,ovetor estánoplanoxy,temummódulode18unidadeseumaorientaçãoquefazumângulode250°como

semieixoxpositivo.Ovetor temummódulode12unidadeseestáorientadoaolongodosemieixozpositivo.Qualéoproduto

vetorial = × ?

IDEIA-CHAVE

Quandoconhecemosdoisvetoresnanotaçãomódulo-ângulo,podemoscalcularomódulodoprodutovetorialusandoaEq.3-24

edeterminaraorientaçãodoprodutovetorialusandoaregradamãodireitadaFig.3-19.

Cálculos:Omódulodoprodutovetorialédadopor

Para determinar a orientação do produto vetorial na Fig. 3-20, coloque os dedos da mão direita em torno de uma reta

perpendicularaoplanode e (aretanaqualseencontraovetor )demodoqueosdedosempurremovetor nadireçãode

; o polegar estendido fornece a orientação de . Assim, como mostra a figura, está no plano xy. Como a direção de é

perpendicularàdireçãode (oprodutovetorialsempreresultaemumvetorperpendicularaosdoisvetoresoriginais),ovetorfaz

umângulode

Figura3-20 Ovetor (noplanoxy)éoprodutovetorialdosvetores e .

comosemieixoxpositivo.

Exemplo3.07 Produtovetorialusandovetoresunitários

Se =3 –4 e =–2 +3 ,determine = × .

IDEIA-CHAVE

Quando dois vetores estão expressos na notação dos vetores unitários, podemos determinar o produto vetorial usando a lei

distributiva.

Cálculos:Temos:

PodemoscalcularosvaloresdosdiferentestermosusandoaEq.3-24edeterminandoaorientaçãodosvetorescomoauxílio

daregradamãodireita.Noprimeirotermo,oânguloϕentreosdoisvetoresenvolvidosnoprodutovetorialé0;nosoutrostrês

termos,ϕ=90°.Oresultadoéoseguinte:

Ovetor éperpendiculara e ,oquepodeserdemonstradoobservandoque · =0e · =0;ouseja,quenãoexistem

componentesde emrelaçãoa e .

RevisãoeResumo

EscalareseVetoresGrandezasescalares,comotemperatura,possuemapenasumvalornumérico.Sãoespecificadasporumnúmerocomumaunidade(10°C,porexemplo)eobedecemàsregrasdaaritméticae da álgebra elementar. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um valor numérico(módulo)eumaorientação(5mparacima,porexemplo)eobedecemàsregrasdaálgebravetorial.

SomaGeométricadeVetoresDoisvetores e podemsersomadosgeometricamentedesenhando-osnamesmaescalaeposicionando-oscomaorigemdeumnaextremidadedooutro.Ovetorque ligaasextremidadeslivresdosdoisvetoreséovetorsoma, .Parasubtrair de ,invertemososentidodeparaobter– esomamos– a .Asomavetorialécomutativa

obedeceàleiassociativa

ComponentesdeumVetorAscomponentes(escalares)axeaydeumvetorbidimensional emrelaçãoaoeixosdeumsistemadecoordenadasxysãoobtidastraçandoretasperpendicularesaoseixosapartirdaorigemedaextremidadede .Ascomponentessãodadaspor

emqueθ é o ângulo entre e o semieixox positivo.O sinal algébrico de uma componente indica osentidodacomponenteemrelaçãoaoeixocorrespondente.Dadasascomponentes,podemosdeterminaromóduloeaorientaçãodeumvetor atravésdasequações

NotaçãodosVetoresUnitáriosOsvetoresunitários , e têmmódulo unitário e sentido igual aosentidopositivodoseixosx,yez,respectivamente,seosistemadecoordenadasfordextrogiro(oquepode ser verificado calculando os produtos vetoriais dos vetores unitários). Em termos dos vetoresunitários,umvetor podeserexpressonaforma

emqueax ay eaz sãoascomponentesvetoriaisde eax,ayeazsãoascomponentesescalares.

SomadeVetoresnaFormadeComponentesParasomarvetoresnaformadecomponentes,usamosas

regras

Aqui, e sãoosvetoresaseremsomadose éovetorsoma.Notequeascomponentessãosomadasseparadamenteparacadaeixo.Nofinal,asomapodeserexpressananotaçãodosvetoresunitáriosounanotaçãomódulo-ângulo.

ProdutodeumEscalarporumVetorOprodutodeumescalareporumvetor éumvetordemóduloevcomamesmaorientaçãode seeforpositivo,ecomaorientaçãoopostaseefornegativo.(Osinalnegativoinverteosentidodovetor.)Paradividir pore,multiplicamos por1/e.

OProdutoEscalar Oproduto escalar de dois vetores e é representado por · e é igual àgrandezaescalardadapor

emqueϕéomenordosângulosentreasdireçõesde e .Oprodutoescalaréoprodutodomódulodeumdosvetorespelacomponenteescalardooutroemrelaçãoaoprimeiro.Noteque · = · oquesignificaqueoprodutoescalarobedeceàleicomutativa.

Nanotaçãodosvetoresunitários,

quepodeserexpandidodeacordocomaleidistributiva.

OProdutoVetorialOprodutovetorialdedoisvetores · ,representadopor ¹ ,éumvetor cujomódulocédadopor

emqueϕéomenordosângulosentreasdireçõesde e .Aorientaçãodeéperpendicularaoplanodefinidopor e eédadapelaregradamãodireita,comomostraaFig.3-19.Noteque × =–( ×),oquesignificaqueoprodutovetorialnãoobedeceàleicomutativa.


quepodeserexpandidodeacordocomaleidistributiva.

Perguntas1Asomadosmódulosdedoisvetorespodeserigualaomódulodasomadosmesmosvetores?Justifiquesuaresposta.

2 Os dois vetores da Fig. 3-21 estão em um plano xy. Determine o sinal das componentes x e y,respectivamente,de(a) 1+ 2;(b) 1– 2;(c) 1– 2.



3ComoamascotedaUniversidadedaFlóridaéumjacaré,aequipedegolfedauniversidadejogaemumcamponoqualexisteumlagocomjacarés.AFig.3-22mostraumavistaaéreadaregiãoemtornodeumdosburacosdocampocomumsistemadecoordenadasxysuperposto.Astacadasdaequipedevemlevaraboladaorigematéoburaco,queestánascoordenadas(8m,12m),masabolapodesofrerapenasosseguintesdeslocamentos,quepodemserusadosmaisdeumavez:

Olagoestánascoordenadas(8m,6m).Seummembrodaequipelançaabolanolago,éimediatamentetransferido para aUniversidade Estadual da Flórida, a eterna rival. Que sequência de deslocamentosdeveserusadaporummembrodaequipeparaevitarolago?

4AEq.3-2mostra que a somade dois vetores e é comutativa. Isso significa que a subtração écomutativa,ouseja,que – = – ?

5 Quais dos sistemas de eixos da Fig. 3-23 são “sistemas de coordenadas dextrogiros”? Como decostume,aletraqueidentificaoeixoestánosemieixopositivo.


6Descrevadoisvetores e taisque

(a) + = ea+b=c;

(b) + = – ;

(c) + = ea2+b2=c2.

7Se = + +(– ),(a) +(– )= +(– ),(b) =(– )+ + e(c) +(– )= + ?

8Se · = · , e énecessariamenteiguala ?

9Se =q( × )e éperpendiculara ,qualéaorientaçãode nastrêssituaçõesmostradasnaFig.3-24seaconstanteqfor(a)positivae(b)negativa?


10AFig.3-25mostraumvetor eoutrosquatrovetoresdemesmomóduloeorientaçõesdiferentes.(a)

Quaisdosoutrosquatrovetorestêmomesmoprodutoescalarcom ?(b)Quaistêmumprodutoescalarcom negativo?


11Emumjogodisputadoemumlabirintotridimensional,vocêprecisamoversuapeçadapartida,nascoordenadas (0, 0, 0), para a chegada, nas coordenadas (−2 cm, 4 cm, −4 cm). A peça pode sofrerapenas os deslocamentos (em centímetros)mostrados a seguir. Se, durante o trajeto, a peça parar nascoordenadas(−5cm,−1cm,−1cm)ou(5cm,2cm,−1cm),vocêperdeojogo.Qualéasequênciadedeslocamentoscorretaparalevarapeçaatéachegada?

12Ascomponentesxeydequatrovetores , , e sãodadasaseguir.ParaquaisdessesvetoresumacalculadoraforneceoângulocorretoquandovocêusaacalculadoraparadeterminaroânguloθdaEq.3-6?ObserveprimeiroaFig.3-12parachegaraumarespostaedepoisuseumacalculadoraparaverificarsesuarespostaestácorreta.

13Quaisdasexpressõesvetoriaisaseguirestãocorretas?Oqueestáerradonasexpressõesincorretas?(a) ·( · )(b) ×( · )(c) ·( × )(d) ×( × )(e) +( · )(f) +( × )(g)5+(h)5+( · )(i)5+( × )(j)( · )+( · )

Problemas



Módulo3-1VetoreseSuasComponentes

·1Quaissão(a)acomponentexe(b)acomponenteydeumvetor doplanoxyquefazumângulode250°nosentidoanti-horáriocomoosemieixoxpositivoetemummódulode7,3m?

·2 Um vetor deslocamento no plano xy tem 15m de comprimento e faz um ângulo θ = 30° com osemieixoxpositivo,comomostraaFig.3-26.Determine(a)acomponentexe (b)acomponenteydovetor.

·3Acomponentexdovetor é–25,0meacomponenteyé+40,0m.(a)Qualéomódulode ? (b)Qualéoânguloentreaorientaçãode eosemieixoxpositivo?


·4 Expresse os seguintes ângulos em radianos: (a) 20,0°; (b) 50,0°; (c) 100°. Converta os seguintesângulosparagraus:(d)0,330rad;(e)2,10rad;(f)7,70rad.

·5Oobjetivodeumnavioéchegaraumportosituado120kmaonortedopontodepartida,masumatempestadeinesperadaolevaparaumlocalsituado100kmalestedopontodepartida.(a)Quedistânciaonaviodevepercorrere(b)querumodevetomarparachegaraodestino?

·6NaFig.3-27,umamáquinapesadaéerguidacomoauxíliodeumarampaquefazumânguloq=20,0°comahorizontal,naqualamáquinapercorreumadistânciad=12,5m.(a)Qualéadistânciaverticalpercorridapelamáquina?(b)Qualéadistânciahorizontalpercorridapelamáquina?


·7Consideredoisdeslocamentos,umdemódulo3meoutrodemódulo4m.Mostredequeformaosvetoresdeslocamentopodemsercombinadosparaqueomódulododeslocamentoresultanteseja(a)7m,(b)1m,(c)5m.

Módulo3-2VetoresUnitários;SomadeVetoresapartirdasComponentes

·8Umapessoacaminhadaseguinteforma:3,1kmparaonorte,2,4kmparaoestee5,2kmparaosul.(a)Desenhe o diagrama vetorial que representa essemovimento. (b)Que distância e (c) em que direçãovoariaumpássaroemlinharetadomesmopontodepartidaaomesmopontodechegada?

·9Doisvetoressãodadospor

Determine,nanotaçãodosvetoresunitários,(a) + ;(b) – ;(c)umterceirovetor, ,talque –+ =0.

·10Determineascomponentes(a)x,(b)ye(c)zdasoma dosdeslocamentos e cujascomponentesemmetrosemrelaçãoaostrêseixossãocx=7,4,cy=-3,8,cz=-6,1,dx=4,4,dy=–2,0,dz=3,3.

·11(a)Determineasoma + ,nanotaçãodosvetoresunitários,para =(4,0m) +(3,0m) e =(13,0m) +(7,0m) .Determine(b)omóduloe(c)aorientaçãode + .

·12Umcarroviaja50kmparaleste,30kmparaonortee25kmemumadireção30oalestedonorte.Desenhe o diagrama vetorial e determine (a) omódulo e (b) o ângulo do deslocamento do carro emrelaçãoaopontodepartida.

·13Umapessoadesejachegaraumpontoqueestáa3,40kmdalocalizaçãoatual,emumadireção35,0°aonortedoleste.Asruasporondeapessoapodepassarsãotodasnadireçãonorte-sulounadireçãoleste-oeste.Qualéamenordistânciaqueessapessoaprecisapercorrerparachegaraodestino?

·14Vocêdeveexecutarquatrodeslocamentosnasuperfícieplananumdeserto,começandonaorigemdeum sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (–140 m, 30 m). As componentes dosdeslocamentossão,sucessivamente,asseguintes,emmetros:(20,60),(bx,–70),(–20,cy)e(–60,–70).Determine(a)bxe(b)cy.Determine(c)omóduloe(d)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentototal.

·15Osvetores e daFig.3-28têmomesmomódulo,10,0m,eosângulosmostradosnafigurasãoq1=30°eq2=105°.Determineascomponentes (a)xe (b)ydasomavetorialdos doisvetores, (c)omódulode e(d)oânguloque fazcomosemieixoxpositivo.

·16Paraosvetoresdeslocamento =(3,0m) +(4,0m) e =(5,0m) +(–2,0m) ,determine + (a)emtermosdevetoresunitárioseemtermos(b)domóduloe(c)doângulo(emrelaçãoa ).Determine– (d)emtermosdevetoresunitárioseemtermos(e)domóduloe(f)doângulo.


·17Trêsvetores, , e ,têmomesmomódulo,50m,eestãoemumplanoxy.Osângulosdosvetoresemrelaçãoaosemieixoxpositivosão30°,195°,e315°,respectivamente.Determine(a)omóduloe(b)oângulodovetor + + e(c)omóduloe(d)oângulode – + .Determine(e)omóduloe(f)oângulodeumquartovetor, ,talque( + )–( + )=0.

·18Nasoma + = ,ovetor temummódulode12,0mefazumângulode40,0°nosentidoanti-horáriocomo semieixoxpositivo;ovetor temummódulode 15,0m e faz umângulo de 20,0° nosentidoanti-horáriocomosemieixoxnegativo.Determine(a)omódulode e(b)oângulode comosemieixoxpositivo.

·19Emumjogodexadrezaoarlivre,noqualaspeçasocupamocentrodequadradoscom1,00mdelado, um cavalo émovido da seguinte forma: (1) dois quadrados para a frente e umquadrado para adireita;(2)doisquadradosparaaesquerdaeumquadradoparaafrente;(3)doisquadradosparaafrenteeumquadradoparaaesquerda.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoaosentido“paraafrente”)dodeslocamentototaldocavaloapósasériedetrêsmovimentos.

··20 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade apraticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, ele deveria tercaminhado 5,6 km para o norte, mas, quando o tempo melhorou, percebeu que, na realidade, haviacaminhado 7,8 km em uma direção 50° ao norte do leste. (a) Que distância e (b) em que sentido oexploradordevecaminharparavoltaràbase?

··21 Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. Ascomponentes(x,y)dequatrocorridasconsecutivasemlinharetasãoasseguintes,todasemcentímetros:(30,0;40,0),(bx;–70,0),(–20,0;cy),(–80,0;–70,0).Odeslocamentoresultantedasquatrocorridastemcomponentes(-140;-20,0).Determine(a)bxe(b)cy.Determine(c)omóduloe(d)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentototal.

··22 (a)Qualéa somadosquatrovetoresa seguirnanotaçãodosvetoresunitários?Paraessa soma,quaissão(b)omódulo,(c)oânguloemgraus,e(d)oânguloemradianos?

··23Se ésomadoa =3,0 +4,0 ,oresultadoéumvetorcomaorientaçãodosemieixoypositivoeummóduloigualaode .Qualéomódulode ?

··24Ovetor ,paraleloaoeixox,devesersomadoaovetor ,quetemummódulode7,0m.Asomaéumvetorparaleloaoeixoy,comummódulo3vezesmaiorqueode .Qualéomódulode ?

··25OoásisBestá25kmalestedooásisA.PartindodooásisA,umcamelopercorre24kmemumadireção15°aosuldolestee8,0kmparaonorte.AquedistânciaocameloestádooásisB?

··26Determineasomadosquatrovetoresaseguir(a)nanotaçãodosvetoresunitárioseemtermos(b)domóduloe(c)doângulo.

··27Se 1+ 2=5 3, 1– 2=3 3e 3=2 +4 ,determine,nanotaçãodosvetoresunitários,(a) 1

(b) 2.

··28Doisbesouroscorrememumdesertoplano,partindodomesmoponto.Obesouro1corre0,50mparalestee0,80memumadireção30°aonortedoleste.Obesouro2corre1,6memumadireção40°ao leste do norte e depois corre em outra direção.Quais devem ser (a) omódulo e (b) o sentido dasegundacorridadosegundobesouroparaqueeleterminenamesmaposiçãoqueoprimeirobesouro?

··29 Paraseorientarem,asformigasdejardimcostumamcriarumarededetrilhasmarcadasporferomônios.Partindodo formigueiro,cadaumadessas trilhas sebifurca repetidamenteemduas trilhasqueformamentresiumângulode60o.Quandoumaformigaperdidaencontraumatrilha,elapodesaberemquedireçãoficaoformigueiroaochegaraoprimeiropontodebifurcação.Seestiverseafastandodoformigueiro, encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava semovendo,30oparaaesquerdae30oparaadireita.Seestiverseaproximandodoformigueiro,encontraráapenasumatrilhacomessacaracterística,30oparaaesquerdaou30oparaadireita.AFig.3-29mostraumarededetrilhastípica,comsegmentosderetade2,0cmdecomprimentoebifurcaçõessimétricasde60o.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamento,atéoformigueiro(encontre-onafigura),deumaformigaqueentranarededetrilhasnopontoA.Determine(c)omóduloe(d)oângulodeumaformigaqueentranarededetrilhasnopontoB.

··30Sãodadosdoisvetores:

=(4,0m) –(3,0m) e =(6,0m) +(8,0m) .

Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoa )de .Determine(c)omóduloe(d)oângulode.Determine(e)omóduloe(f)oângulode + ;(g)omóduloe(h)oângulode – ;(i)omóduloe(j)

oângulode – .(k)Determineoânguloentreasdireçõesde – e – .


··31NaFig.3-30,umvetor comummódulode17,0mfazumânguloθ=56,0°nosentidoanti-horáriocomosemieixoxpositivo.Quaissãoascomponentes(a)axe(b)aydovetor?Umsegundosistemadecoordenadasestáinclinadodeumânguloθʹ=18°emrelaçãoaoprimeiro.Quaissãoascomponentes(c)e(d) nestenovosistemadecoordenadas?


···32NaFig.3-31,umcubo,dearestaa,temumdosvérticesposicionadonaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz.Adiagonaldocuboéumaretaquevaideumvérticeaoutrodocubo,passandopelocentro. Na notação dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujascoordenadassão(a)(0,0,0),(b)(a,0,0)(c)(0,a,0)e(d)(a,a,0)?(e)Determineosângulosqueasdiagonaisdocubofazemcomasarestasvizinhas.(f)Determineocomprimentodasdiagonaisdocuboemtermosdea.


Módulo3-3MultiplicaçãodeVetores

·33ParaosvetoresdaFig.3-32,coma=4,b=3ec=5,determine(a)omóduloe(b)aorientaçãode× ,(c)omóduloe(d)aorientaçãode × e(e)omóduloe(f)orientaçãode × .(Emboraexista,

oeixoznãoémostradonafigura.)

·34Doisvetoressãodadospor =3,0 +5,0 e =2,0 +4,0 .Determine(a) × ,(b) · ,(c)( +) · e(d)acomponentedeemrelaçãoa .[Sugestão:Pararesolveroitem(d),considereaEq.3-20

eaFig.3-18.]


·35Doisvetores, e ,estãonoplanoxy.Osmódulosdosvetoressão4,50unidadese7,30unidades,respectivamente, e eles estão orientados a 320° e 85,0°, respectivamente, no sentido anti-horário emrelaçãoaosemieixoxpositivo.Quaissãoosvaloresde(a) · e(b) × ?

·36Se 1=3 –2 +4 e 2=–5 +2 – ,determine( 1+ 2)·( 1×4 2).

·37Trêsvetoressãodadospor =3,0 +3,0 –2,0 , =–1,0 –4,0 +2,0 e =2,0 +2,0 +1,0 .Determine(a) ·( × ),(b) ·( + )e(c) ×( + ).

··38Determineparaostrêsvetoresaseguir.

··39Omódulodovetor é6,00unidades,omódulodovetor é7,00unidadese · =14,0.Qualéoânguloentre e ?

··40Odeslocamento 1estánoplanoyz, fazumângulode63,0ocomosemieixoy positivo, temumacomponentezpositivaetemummódulode4,50m.Odeslocamento 2estánoplanoxz,fazumângulode

30,0ocomosemieixoxpositivo,temumacomponentezpositivaetemummódulode1,40m.Determine(a) 1· 2;(b) 1× 2e(c)oânguloentre 1e 2.

··41Useadefiniçãodeprodutoescalar, – =abcosθeofatodeque · =axbx+ayby+azbzparacalcularoânguloentreosvetores =3,0 +3,0 +3,0 e =2,0 +1,0 +3,0 .

··42Emumencontrodemímicos,omímico1sedeslocade 1=(4,0m) +(5,0m) eomímico2sedeslocade 2= (–3,0m) + (4,0m) .Determine (a) 1 × 2, (b) 1 · 2, (c) ( 1 + 2) · 2 e (d) acomponentede 1emrelaçãoa 2.[Sugestão:Pararesolveroitem(d),vejaaEq.3-20eaFig.3-18].

··43OstrêsvetoresnaFig.3-33têmmódulosa=3,00m,b=4,00mec=10,0m;θ=30,0°.Determine(a) a componentex e (b) a componenteyde ; (c) a componentex e (d) a componentey de ; (e) acomponentexe(f)acomponenteyde .Se =p +q ,quaissãoosvaloresde(g)pe(h)q?


··44Noproduto =qv× ,façaq=2,

Determine ,nanotaçãodosvetoresunitários,paraBx=By.

ProblemasAdicionais

45Osvetores e estãonoplanoxy. temmódulo8,00eângulo130o; temcomponentesBx=–7,72eBy = –9,20. (a)Determine 5 · . Determine 4 × 3 (b) na notação dos vetores unitários e (c) nanotaçãomódulo-ângulo em coordenadas esféricas (veja a Fig.3-34). (d)Determine o ângulo entre osvetores e4 ×3 (Sugestão:Penseumpoucoantesdeiniciaroscálculos.)Determine+3,0 (e)nanotaçãodosvetoresunitáriose(f)nanotaçãomódulo-ânguloemcoordenadasesféricas.


46Ovetor temmódulo5,0meapontaparaleste.Ovetor temmódulo4,0meapontanadireção35o

aoestedonorte.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãodovetor + .Determine(c)omóduloe(d)aorientaçãodovetor – .(e)Desenheosdiagramasvetoriaiscorrespondentesàsduascombinaçõesdevetores.

47Osvetores e estãonoplanoxy. temmódulo8,00eângulo130o; temcomponentesBx=-7,72eBy=-9,20.Determineoânguloentreosemieixoynegativoe(a)ovetor ,(b)ovetor × e(c)ovetor×( +3,00 ).

48Doisvetores e têmcomponentes,emmetros,ax=3,2,ay=1,6,bx=0,50eby=4,5.(a)Determineoânguloentre e .Existemdoisvetoresnoplanoxyquesãoperpendicularesa etêmummódulode5,0m.Um,ovetor ,temumacomponentexpositiva;ooutro,ovetor ,temumacomponentexnegativa.Determine(b)acomponentexe(c)acomponenteyde ;(d)acomponentexe(e)acomponenteyde .

49Umbarcoavelapartedoladonorte-americanodolagoErieparaumpontonoladocanadense,90,0kmaonorte.Onavegante,contudo,termina50,0kmalestedopontodepartida.(a)Quedistânciae(b)emquedireçãodevenavegarparachegaraopontodesejado?

50 O vetor 1 é paralelo ao semieixo y negativo 2 e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo.Determineaorientação(a)de 2/4e(b)de– 1/4.Determineomódulo(c)de 1· 2e(d)de 1·(2/4).Determineaorientação(e)dovetor 1× 2e(f)dovetor 2× 1.Determineomódulo(g)de 1×2e(h)de 2× 1.Determine(i)omóduloe(j)aorientaçãode 1×( 2/4).

51Umafalhageológicaéumarupturaaolongodaqualfacesopostasdeumarochadeslizaramumaemrelaçãoàoutra.NaFig.3-35,ospontosAeBcoincidiamantesdearochaemprimeiroplanodeslizarparaadireita.Odeslocamentototal estánoplanodafalha.Acomponentehorizontalde éorejeitohorizontalAC.Acomponentede dirigidaparabaixonoplanodafalhaéorejeitodemergulhoAD.(a)Qualéomódulododeslocamentototal seorejeitohorizontalé22,0meorejeitodemergulhoé17,0m?(b)Seoplanodafalhafazumânguloϕ=52,0°comahorizontal,qualéacomponenteverticalde ?


52Sãodadostrêsdeslocamentosemmetros: 1=4,0 +5,0 –6,0 , 2=–1,0 +2,0 +3,0 e 3=4,0+3,0 +2,0 .(a)Determine = 1– 2+ 3.(b)Determineoânguloentre eosemieixozpositivo.(c)Determineacomponentede 1emrelaçãoa 2.(d)Qualéacomponentede 1queéperpendiculara 2

eestánoplanode 1e 2?[Sugestão:Pararesolveroitem(c),considereaEq.3-20eaFig.3-18;pararesolveroitem(d),considereaEq.3-27.]

53Umvetor 1demódulo10unidadeseumvetor demódulo6,0unidadesfazemumângulode60o.Determine(a)oprodutoescalardosdoisvetorese(b)omódulodoprodutovetorial × .

54ParaosvetoresdaFig.3-32,coma=4,b=3ec=5,calcule(a) · ,(b) · e(c) · .

55Umapartículasofretrêsdeslocamentossucessivosemumplano: 1,4,00mparasudoeste, 2,5,00paraleste,e 3,6,00emumadireção60,0oaonortedoleste.Useumsistemadecoordenadascomoeixoy apontando para o norte e o eixo x apontando para leste. Determine (a) a componente x e (b) acomponente y de 1. Determine (c) a componente x e (d) a componente y de 2. Determine (e) acomponente x e (f) a componente y de 3. Considere o deslocamento total da partícula após os trêsdeslocamentos.Determine (g)acomponentex, (h)acomponentey, (i)omóduloe (j) aorientaçãododeslocamentototal.Paraqueapartículavolteaopontodepartida(k)quedistânciadevepercorrere(l)emquedireçãodevesedeslocar?

56Determineasomadosquatrovetoresaseguir(a)emtermosdosvetoresunitárioseemtermos(b)domóduloe(c)doânguloemrelaçãoaosemieixoxpositivo.

:10,0m,25,0onosentidoanti-horárioemrelaçãoa+x

> :12,0m,10,0onosentidoanti-horárioemrelaçãoa+y

> :8,00m,20,0onosentidohorárioemrelaçãoa–y

> :9,00m,40,0onosentidoanti-horárioemrelaçãoa–y

57Se ésomadoa ,oresultadoé6,0 +1,0 .Se ésubtraídode ,oresultadoé–4,0 +7,0 .Qualéomódulode ?

58Umvetor temmódulo2,5meapontaparaonorte.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãode4,0.Determine(c)omóduloe(d)aorientaçãode–3,0 .

59Ovetor temummódulode12,0mefazumângulode60,0onosentidoanti-horáriocomosemieixoxpositivodeumsistemadecoordenadasxy.Ovetor édadopor(12,0m) +(8,00m) nomesmosistemadecoordenadas.Osistemadecoordenadassofreumarotaçãode20,0onosentidoanti-horárioemtornoda origem para formar um sistema x'y'. Determine os vetores (a) e (b) na notação dos vetoresunitáriosdonovosistema.

60Se – =2 , + =4 e =3 +4 ,determine(a) e(b) .

61(a)Determine,nanotaçãodosvetoresunitários, = – + para =5,0 +4,0 –6,0 , =–2,0 +2,0 +3,0 e =4,0 +3,0 +2,0 .(b)Calculeoânguloentre eosemieixozpositivo.(c)Determineacomponentede emrelaçãoa .(d)Determineacomponentede emumadireçãoperpendiculara ,noplanodefinidopor e . [Sugestão:Para resolvero item(c),vejaaEq.3-20eaFig.3-18; pararesolveroitem(d),vejaaEq.3-27.]

62Umjogadordegolfeprecisadetrêstacadasparacolocarabolanoburaco.Aprimeiratacadalançaabola3,66mparaonorte,asegunda1,83mparasudesteeaterceira0,91mparasudoeste.Determine(a)omóduloe(b)adireçãododeslocamentonecessárioparacolocarabolanoburaconaprimeiratacada.

63Sãodadostrêsvetoresemmetros:

Determine(a) 1·( 2+ 3),(b) 1·( 2× 3)e(c) 1×( 2+ 3).

64Asdimensõesdeumasalasão3,00m(altura)×3,70m×4,30m.Umamoscapartedeumcantodasalaepousaemumcantodiagonalmenteoposto.(a)Qualéomódulododeslocamentodamosca?(b)Adistânciapercorridapodesermenorqueestevalor?(c)Podesermaior?(d)Podeserigual?(e)Escolhaumsistemadecoordenadasapropriadoeexpresseascomponentesdovetordeslocamentonanotaçãodosvetoresunitários.(f)Seamoscacaminhar,emvezdevoar,qualéocomprimentodocaminhomaiscurtoparaooutrocanto?(Sugestão:Oproblemapodeserresolvidosemfazercálculoscomplicados.Asalaécomoumacaixa;desdobre asparedespara representá-las emummesmoplanoantesdeprocurarumasolução.)

65Ummanifestantecomplacadeprotestopartedaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz, comoplanoxynahorizontal.Elesedesloca40mnosentidonegativodoeixox,fazumacurvadenoventagrausàesquerda,caminhamais20mesobeatéoaltodeumatorrecom25mdealtura.(a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéodeslocamentodaplacadoinícioaofim?(b)Omanifestantedeixacairaplaca,quevaipararnabasedatorre.Qualéomódulododeslocamentototal,doinícioatéessenovofim?

66Considereumvetor nosentidopositivodoeixox,umvetor nosentidopositivodoeixoy,eumescalard.Qualéaorientaçãodovetor / (a)sed forpositivoe(b)sed fornegativo?(c)Qualéovalorabsolutode · ?(d)Qualéovalorabsolutode · / ?(e)Qualéaorientaçãodovetor × ?(f)Qualéaorientaçãodovetor × ?(g)Qualéomódulodovetor × ?(h)Qualéomódulodovetor × ?Supondoquedsejapositivo,(i)qualéomódulodovetor × /d?(j)Qualéaorientaçãodovetor × /d?

67 Suponha que o vetor unitário aponta para leste, o vetor unitário aponta para o norte e o vetorunitário apontaparacima.Quantovalemosprodutos(a) · ,(b)(– )·(– )e(c) ·(– )?Quaissãoasorientações(como,porexemplo,paralesteouparabaixo)dosprodutos(d) × ,(e)(– )×(– )e(f)(– )×(– )?

68 Um banco no centro de Boston é assaltado (veja o mapa da Fig. 3-36). Os bandidos fogem dehelicóptero e, tentando despistar a polícia, fazem três voos em sequência, descritos pelos seguintesdeslocamentos:32km,45oaosuldoleste;53km,26oaonortedooeste;26km,18oa lestedosul.Nofinaldoterceirovoo,sãocapturados.Emquecidadeosbandidosforampresos?


69 Uma roda com um raio de 45,0 cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal (Fig. 3-37). Noinstante t1,opontoPpintadonabordadarodaestánopontodecontatoentrea rodaeopiso.Emuminstante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (emrelaçãoaopiso)dodeslocamentodopontoP.


70Umamulhercaminha250mnadireção30oalestedonortee,emseguida,caminha175mnadireçãoleste.Determine(a)omóduloe(b)oângulododeslocamento totaldamulheremrelaçãoaopontodepartida.(c)Determineadistânciatotalpercorrida.(d)Qualémaior,adistânciapercorridaouomódulododeslocamento?

71Umvetor temummódulode3,0meapontaparaosul.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãodovetor5,0 .Determine(c)omóduloe(d)aorientaçãodovetor−2,0 .

72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa trêsdeslocamentossucessivosnoníveldosolo: 1,de0,40mparasudoeste(ouseja,45°entresuleoeste),2,de0,50mparaleste,e 3,de0,60memumadireção60°aonortedoleste.Suponhaqueosentido

positivodoeixoxaponteparalesteeosentidopositivodoeixoyaponteparaonorte.Quaissão(a)acomponentexe(b)acomponenteyde 1?Quaissão(c)acomponentexe(d)acomponenteyde 2?Quaissão(e)acomponentexe(f)acomponenteyde 3?

Quaissão(g)acomponentexe(h)acomponentey,(i)omóduloe(j)osentidododeslocamentototaldaformiga?Paraaformigavoltardiretamenteaopontodepartida,(k)quedistânciaeladevepercorrere(l)emquedireçãodevesemover?

73Doisvetoressãodadospor =3,0 +5,0 e =2,0 +4,0 .Determine(a) × ,(b) · ,(c)( +)· e(d)acomponentede emrelaçãoa .

74Ovetor estánoplanoyz,fazumângulode63,0ocomosemieixoypositivo,temumacomponentezpositivaetemummódulode3,20unidades.Ovetor estánoplanoxz, fazumângulode48,0ocomosemieixoxpositivo,temumacomponentezpositivaetemummódulode1,40unidade.Determine(a) ·,(b) × e(c)oânguloentre e

75Determine(a)oprodutovetorialde“norte”e“oeste”,(b)oprodutoescalarde“parabaixo”e“sul”,(c)oprodutovetorialde“leste”e“paracima”,(d)oprodutoescalarde“oeste”e“oeste”e(e)oprodutovetorialde“sul”e“sul”.Suponhaquetodososvetorestêmmódulounitário.

76Umvetor ,cujomóduloé8,0m,ésomadoaumvetor ,quecoincidecomoeixox.Asomadosdoisvetoreséumvetorquecoincidecomoeixoyecujomóduloéduasvezesmaiorqueomódulode .Qualéomódulode ?

77Umhomemsaiparapassear,partindodaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz,comoplanoxyhorizontaleoeixoxapontandoparaleste.Carregandoumamoedafalsanobolso,elecaminha1300mparaleste,caminhamais2200mparaonorteedeixacairamoedadoaltodeumpenhascocom410mdealtura.(a)Qualéodeslocamentodamoeda,nanotaçãodosvetoresunitários,dopontodepartidaatéopontoemqueelachegaaosolo?(b)Qualéomódulododeslocamentodohomemnopercursodevoltaaopontodepartida?

78Qualéomódulode × ( × )sea=3,90,b=2,70eoânguloentreosdoisvetoresé63,0o?

79NaFig.3-38,omódulode é4,3,omódulode é5,4eϕ=46o.Calculeaáreadotriânguloformadopelosvetoreseadiagonaldoparalelogramo.


_______________1Ooutrotipopossíveldesistema,raramenteusadonaprática,échamadodesistemadecoordenadaslevogiro.Oquedistingueosdoistiposdesistemaséaposiçãorelativadoseixosx,yez.Emumsistemalevogiro,oeixoyestarianaposiçãoocupadapeloeixoznaFig.3.13, evice-versa.(N.T.)*Comoos conceitos abordadosneste tópico só serãousadosmais adiante (noCapítulo7, para o produto escalar, e noCapítulo 11, para oprodutovetorial),talvezoprofessordocursoacheconvenienteomiti-lonomomento.

CAPÍTULO4

MovimentoemDuaseTrêsDimensões

4-1POSIÇÃEDESLOCAMENTO


4.01Desenharvetoresposiçãobidimensionaisetridimensionaisdeumapartícula,indicandoascomponentesemrelaçãoaoseixosdeumsistemadecoordenadas.

4.02Paraumdadosistemadecoordenadas,determinaraorientaçãoeomódulodovetorposiçãodeumapartículaapartirdascomponentes,evice-versa.

4.03Usararelaçãoentreovetordeslocamentodeumapartículaeosvetoresdaposiçãoinicialedaposiçãofinal.

Ideias-Chave•Alocalizaçãodeumapartículaemrelaçãoàorigemdeumsistemadecoordenadasédadaporumvetorposição que,nanotaçãodosvetoresunitários,podeserexpressonaforma

=x +y +z .

emquex ,y ez sãoascomponentesvetoriaisdovetorposição ex,yezsãoascomponentesescalares(e,também,ascoordenadasdapartícula).•Ovetorposiçãopodeserrepresentadoporummóduloeumoudoisângulos,ouporsuascomponentesvetoriaisouescalares.•Seumapartículasemovedetalformaqueseuvetorposiçãomudade 1para 2,odeslocamento∆ dapartículaédadopor

∆ = 2− 1.

Odeslocamentotambémpodeserexpressonaforma

∆ =(x2−x1) +(y2−y1) +(z2−z1)

=∆x +∆y +∆z .

OqueÉFísica?Neste capítulo, continuamos a estudar a parte da física que analisa o movimento, mas agora osmovimentospodemseremduasou trêsdimensões.Médicoseengenheirosaeronáuticos,porexemplo,precisamconhecerafísicadascurvasrealizadasporpilotosdecaçaduranteoscombatesaéreos,jáqueosjatosmodernosfazemcurvas tãorápidasqueopilotopodeperdermomentaneamenteaconsciência.Um engenheiro esportivo talvez esteja interessado na física do basquetebol. Quando um jogador vai

cobrar um lance livre (em que o jogador lança a bola em direção à cesta, sem marcação, de umadistânciade4,3m),podearremessar aboladaalturadosombrosoudaalturadacintura.Aprimeiratécnica é usada pela maioria esmagadora dos jogadores profissionais, mas o legendário Rick Barryestabeleceuorecordedeaproveitamentodelanceslivresusandoasegunda.Nãoé fácil compreenderosmovimentosem trêsdimensões.Porexemplo:o leitorprovavelmenteé

capazdedirigirumcarroemumarodovia(movimentoemumadimensão),mas teriamuitadificuldadeparapousarumavião(movimentoemtrêsdimensões)semumtreinamentoadequado.Iniciaremos nosso estudo domovimento em duas e três dimensões com as definições de posição e

deslocamento.

PosiçãoeDeslocamentoA localização de uma partícula (ou de um objeto que se comporte como uma partícula) pode serespecificada,deformageral,pormeiodovetorposição ,umvetorqueligaumpontodereferência(aorigem de um sistema de coordenadas, na maioria dos casos) à partícula. Na notação dos vetoresunitáriosdoMódulo3-2, podeserescritonaforma

emquex ,y ez sãoascomponentesvetoriaisde ex,yezsãoascomponentesescalares.

Figura4-1 Ovetorposição deumapartículaéasomavetorialdascomponentesvetoriais.

Oscoeficientesx,yezfornecemalocalizaçãodapartículaemrelaçãoàorigemaolongodoseixosdecoordenadas;emoutraspalavras,(x,y,z)sãoascoordenadasretangularesdapartícula.AFig.4-1,porexemplo,mostraumapartículacujovetorposiçãoé

=(−3m) +(2m) +(5m)

ecujascoordenadasretangularessão(–3m,2m,5m).Ao longodoeixox,apartículaestáa3mdedistânciadaorigem,nosentidoopostoaodovetorunitário .Aolongodoeixoy,estáa2mdedistânciada origem, no sentido dovetor unitário .Ao longo do eixo z, está a 5mde distância da origem, nosentidodovetorunitário .Quando uma partícula se move, o vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto de

referência(origem)àpartícula.Seovetorposiçãovariade 1para 2,digamos,duranteumintervalodetempo∆t,odeslocamentodapartícula,∆ duranteointervalodetempo∆tédadopor

UsandoanotaçãodosvetoresunitáriosdaEq.4-1,podemosescreveressedeslocamentocomo

∆ =(x2 +y2 +z2 )−(x1 +y1 +z1 )

em que as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor posição 1, e as coordenadas (x2, y2, z2)correspondemaovetorposição 2.Podemostambémescreverovetordeslocamentosubstituindo(x2−x1)porΔx,(y2−y1)porΔye(z2−z1)porΔz:

Exemplo4.01 Vetorposiçãobidimensional:movimentodeumcoelho

Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As

coordenadasdaposiçãodocoelho,emmetros,emfunçãodotempot,emsegundos,sãodadaspor

(a)Noinstantet=15s,qualéovetorposição docoelhonanotaçãodosvetoresunitáriosenanotaçãomódulo-ângulo?

IDEIA-CHAVE

Ascoordenadasxey daposiçãodo coelho, dadaspelas Eqs. 4-5 e 4-6, são as componentes escalaresdo vetorposição do

coelho.VamoscalcularovalordessascoordenadasnoinstantedadoeusaraEq.3-6paradeterminaromóduloeaorientaçãodo

vetorposição.

Cálculos:Podemosescrever

Figura4-2(a)Ovetorposiçãodeumcoelho, ,noinstantet=15s.Ascomponentesescalaresde sãomostradasaolongodos

eixos.(b)Atrajetóriadocoelhoeaposiçãodoanimalparaseisvaloresdet.

[Escrevemos (t)emvezde porqueascomponentessãofunçõesdete,portanto, tambéméfunçãodet.]

Emt=15s,ascomponentesescalaressão

cujodesenhopodeservistonaFig.4-2a.Paraobteromóduloeoângulode usamosaEq.3-6:

Verificação: Emboraθ= 139° possua amesma tangente que–41°, os sinais das componentes de indicamque o ângulo

desejadoé139°–180°=–41°.

(b)Desenheográficodatrajetóriadocoelho,det=0at=25s.

Plotagem:Podemosrepetiraparte(a)paraváriosvaloresdeteplotarosresultados.AFig.4-2bmostraospontosdográfico

paraseisvaloresdeteacurvaqueligaessespontos.

4-2VELOCIDADEMÉDIAEVELOCIDADEINSTANTÂNEA


4.04Saberqueavelocidadeéumagrandezavetoriale,portanto,possuiummóduloeumaorientação,epodeserrepresentadaporcomponentes.

4.05Desenharvetoresvelocidadebidimensionaisetridimensionaisparaumapartícula,indicandoascomponentesemrelaçãoaumsistemadecoordenadas.

4.06Relacionarosvetoresposiçãoinicialefinal,ointervalodetempoentreasduasposiçõeseovetorvelocidademédiadeumapartícula,utilizandoanotaçãomódulo-ânguloeanotaçãodosvetoresunitários.

4.07Dadoovetorposiçãodeumapartículaemfunçãodotempo,determinarovetorvelocidadeinstantânea.

Ideias-Chave• Se uma partícula sofre umdeslocamento ∆ emum intervalo de tempoΔt, a velocidademédia méd da partícula nesseintervalodetempoédadapor

•Olimitede médquandoΔttendeazeroéavelocidadeinstantânea(ou,simplesmente,velocidade) :

que,nanotaçãodosvetoresunitários,assumeaforma

= x + y + z ,

emqueνx=dx/dt,νy=dy/dteνz=dz/dt.

•Aorientaçãodavelocidadeinstantânea deumapartículaésempreamesmadatangenteàtrajetórianaposiçãoemqueapartículaseencontranomomento.

VelocidadeMédiaeVelocidadeInstantâneaSeumapartículasemovedeumpontoparaoutro,podemosestarinteressadosemsabercomquerapideza partícula está semovendo. Como no Capítulo 2, podemos definir duas grandezas que expressam a“rapidez” de ummovimento: velocidademédia evelocidade instantânea. No caso de ummovimentobidimensional ou tridimensional, porém, devemos considerar essas grandezas como vetores e usar anotaçãovetorial.

Seumapartículasofreumdeslocamento∆ emumintervalodetempoΔt,avelocidademédia médédadapor

Essa equação nos diz que a orientação de méd (o vetor do lado esquerdo da Eq. 4-8) é igual à dodeslocamento∆ (ovetordoladodireito).UsandoaEq.4-4,podemosescreveraEq.4-8emtermosdascomponentesvetoriais:

Assim, por exemplo, se uma partícula sofre um deslocamento de (12 m) + (3,0 m) em 2,0 s, avelocidademédiaduranteomovimentoé

Nessecaso,portanto,avelocidademédia(umagrandezavetorial)temumacomponentede6,0m/semrelaçãoaoeixoxeumacomponentede1,5m/semrelaçãoaoeixoz.Quando falamos da velocidade de uma partícula, em geral estamos nos referindo à velocidade

instantânea em um dado instante. Essa velocidade é o valor para o qual tende a velocidade méd

quandoointervalodetempoΔttendeazero.Usandoalinguagemdocálculo,podemosescrever comoaderivada

AFig.4-3mostraatrajetóriadeumapartículaquesemovenoplanoxy.Quandoapartículasedeslocaparaadireitaaolongodacurva,ovetorposiçãogiraparaadireita.DuranteointervalodetempoΔt,ovetorposiçãomudade 1para 2eodeslocamentodapartículaé∆ .Paradeterminaravelocidadeinstantâneadapartículanoinstantet1(instanteemqueapartículaestána

posição1),reduzimosointervalodetempoΔtnasvizinhançasdet1,fazendo-otenderazero.Comisso,trêscoisasacontecem:(1)Ovetorposição 2daFig.4-3seaproximade 1,fazendo∆ tenderazero.(2)Adireçãode∆ /∆ (e, portanto, de méd) se aproximadadireçãoda reta tangente à trajetória dapartículanaposição1.(3)Avelocidademédia médseaproximadavelocidadeinstantânea noinstantet1.

Figura4-3 OdeslocamentoΔ deumapartículaduranteumintervalodetempoΔt,daposição1,comvetorposição 1noinstantet1,atéaposição2,comvetorposição 2noinstantet2.Afiguramostratambématangenteàtrajetóriadapartículanaposição1.

NolimiteΔt→0,temos méd→ e,oqueémaisimportantenestecontexto ,assumeadireçãodaretatangente.Assim, tambémassumeessadireção:

Adireçãodavelocidadeinstantânea deumapartículaésempretangenteàtrajetóriadapartículanaposiçãodapartícula.

Oresultadoéomesmoemtrêsdimensões: ésempretangenteàtrajetóriadapartícula.ParaescreveraEq.4-10naformadevetoresunitários,usamosaexpressãopara dadapelaEq.4-1:

Essaequaçãopodesersimplificadaseaescrevermoscomo

emqueascomponentesescalaresde são

Assim, por exemplo, dx/dt é a componente escalar de em relação ao eixo x. Isso significa quepodemosencontrarascomponentesescalaresde derivandoascomponentesde .AFig.4-4mostraovetorvelocidade e as componentes escalaresx ey.Note que é tangente à

trajetóriadapartículanaposiçãodapartícula.Atenção:Umvetorposição,comoosqueaparecemnasFigs.4-1 a 4-3, é uma seta que se estende de um ponto (“aqui”) a outro (“lá”). Entretanto, um vetor

velocidade,comoodaFig.4-4,nãoseestende deumpontoaoutro.Nocasodovetorvelocidade, aorientaçãodovetormostraadireçãoinstantâneadomovimentodeumapartículalocalizadanaorigemdovetor,eocomprimento,querepresentaomódulodavelocidade,podeserdesenhadoemqualquerescala.

Figura4-4 Avelocidade deumapartículaeascomponentesescalaresde .

Teste1Afiguramostraumatrajetóriacirculardescritaporumapartícula.Seavelocidadedapartículaemumdadoinstanteé =(2m/s)

−(2m/s) ,emqualdosquadrantesapartículaestásemovendonesseinstanteseomovimentoé(a)nosentidohorárioe(b)

nosentidoanti-horário?Desenhe nafiguraparaosdoiscasos.

Exemplo4.02 Velocidadebidimensional:umcoelhocorrendo

Determineavelocidade noinstantet=15sdocoelhodoexemploanterior.

IDEIA-CHAVE

Podemosdeterminar calculandoasderivadasdascomponentesdovetorposiçãodocoelho.

Cálculos:AplicandoàEq.4-5apartedaEq.4-12correspondenteavx,descobrimosqueacomponentexde é

Em t = 15 s, isso nos dá vx = –2,1 m/s. Da mesma forma, aplicando à Eq. 4-6 a parte da Eq. 4-12 correspondente a vy,

descobrimosqueacomponenteyé

Emt=15s,issonosdávy=–2,5m/s.Assim,deacordocomaEq.4-11,

queestádesenhadanaFig.4-5,tangenteàtrajetóriadocoelhoenadireçãoemqueoanimalestásemovendoemt=15s.

Paraobteromóduloeoângulode ,podemosusarumacalculadoraouescrever,deacordocomaEq.3-6,

Verificação:Oânguloé–130°ou–130°+180°=50°?

Figura4-5Avelocidade docoelhoemt=15s.

4-3ACELERAÇÃOMÉDIAEACELERAÇÃOINSTANTÂNEA


4.08 Saber que a aceleração é uma grandeza vetorial e que, portanto, possui um módulo e uma orientação e pode serrepresentadaporcomponentes.

4.09Desenharvetoresaceleraçãobidimensionaisetridimensionaisparaumapartícula,indicandoascomponentesemrelaçãoaumsistemadecoordenadas.

4.10Relacionarosvetoresvelocidadeinicialefinal,ointervalodetempoentreasduasposiçõeseovetoraceleraçãomédiadeumapartícula,utilizandoanotaçãomódulo-ânguloeanotaçãodosvetoresunitários.

4.11Dadoovetorvelocidadedeumapartículaemfunçãodotempo,determinarovetoraceleraçãoinstantânea.

4.12 Para cada dimensão domovimento, obter relações entre a aceleração, a velocidade, a posição e o tempo usando asequaçõesdeaceleraçãoconstantedoCapítulo2.

Ideias-Chave•Seavelocidadedeumapartículavariade 1para 2emumintervalodetempoΔt,aaceleraçãomédiadapartículanesseintervalodetempoé

•Olimitede médquandoΔttendeazeroéaaceleraçãoinstantânea(ousimplesmente,aceleração) :

que,nanotaçãodosvetoresunitários,assumeaforma

=ax +ay +az ,

emqueax=dvx/dt,ay=dvy/dteaz=dvz/dt.

AceleraçãoMédiaeAceleraçãoInstantâneaSeavelocidadedeumapartículavariade 1para 2emumintervalodetempoΔt,aaceleraçãomédiamédduranteointervaloΔté

Quando fazemos Δt tender a zero no entorno de um dado instante, méd tende para a aceleraçãoinstantânea(ou,simplesmente,aceleração) nesseinstante,ouseja,

Se o módulo ou a orientação da velocidade varia (ou se ambos variam), a partícula possui umaaceleração.PodemosescreveraEq.4-16nanotaçãodosvetoresunitáriossubstituindo peloseuvalor,dadopela

Eq.4-11,paraobter

Podemosescreveressaequaçãonaforma

(1)

(2)

(3)

(4)

emqueascomponentesescalaresde são

Assim, podemos obter as componentes escalares de derivando as componentes escalares de emrelaçãoaotempo.AFig.4-6mostraovetoraceleração esuascomponentesescalaresparaumapartículaquesemove

emduasdimensões.Atenção:Umvetoraceleração,comoodaFig.4-6,nãoseestendedeumpontoaoutro.Nocasodovetoraceleração,aorientaçãodovetoréusadaparamostraradireçãoinstantâneadaaceleraçãodeumapartículalocalizadanaorigemdovetor,eocomprimento,querepresentaomódulodaaceleração,podeserdesenhadoemqualquerescala.

Figura4-6 Aaceleração deumapartículaeasOcomponentesde .

Teste2Considereasseguintesdescriçõesdaposição(emmetros)deumapartículaquesemovenoplanoxy:

x=−3t2+4t−2ey=6t2−4t

x=−3t3+4tey=5t2−6t

=2t2 −(4t+=3)

=4t3−2t) +3

Ascomponentesxeydaaceleraçãosãoconstantesemtodasessassituações?Aaceleração éconstante?

Exemplo4.03 Aceleraçãobidimensional:umcoelhocorrendo

Determineaaceleração noinstantet=15sdocoelhodosexemplosanteriores.

IDEIA-CHAVE

Podemosdeterminaraaceleração calculandoasderivadasdascomponentesdavelocidadedocoelho.

Cálculos:AplicandoàEq.4-13apartedaEq.4-18correspondenteaax,descobrimosqueacomponentexde é

Analogamente,aplicandoàEq.4-14apartedaEq.4-18correspondenteaay,descobrimosqueacomponenteyé

Vemos que a aceleração não varia com o tempo (é uma constante), pois a variável tempo, t, não aparece na expressão das

componentesdaaceleração.DeacordocomaEq.4-17,

queémostradasuperpostaàtrajetóriadocoelhonaFig.4-7.

Paraobteromóduloeoângulode ,podemosusarumacalculadoraouaEq.3-6.Nocasodomódulo,temos:

Nocasodoângulo,temos:

Acontecequeesseângulo,queéoresultadofornecidopelascalculadoras, indicaqueaorientaçãode éparaadireitaepara

baixonaFig.4-7. Entretanto, sabemos, pelas componentesx ey, que a orientaçãode é para a esquerdaepara cima.Para

determinarooutroânguloquepossuiamesmatangenteque–35°,masnãoémostradopelascalculadoras,somamos180°:

Onovoresultadoécompatívelcomascomponentesde .Observeque,comoaaceleraçãodocoelhoéconstante,omóduloea

orientaçãode sãoosmesmosemtodosospontosdatrajetória.

Este é o segundo exemplo no qual precisamos calcular a derivada de um vetor que está expresso na notação dos vetores

unitários.Umerrocomumdosestudanteséesquecerosvetoresunitáriosesomardiretamenteascomponentes(axeay,nocaso),

comoseestivessemtrabalhandocomumasomadeescalares.Nãoseesqueçadequeaderivadadeumvetorésempreumvetor.

Figura4-7Aaceleração docoelhoemt=15s.Ocoelhopossuiamesmaaceleraçãoemtodosospontosdatrajetória.

4-4MOVIMENTOBALÍSTICO


4.13Explicar,emumgráficodatrajetóriadeumprojétil,avariaçãodomóduloedaorientaçãodavelocidadeedaaceleraçãoaolongodopercurso.

4.14Apartirdavelocidadedelançamento,nanotaçãomódulo-ânguloounanotaçãodosvetoresunitários,calcularaposição,odeslocamentoeavelocidadedoprojétilemumdadoinstantedetempo.

4.15Apartirdaposição,deslocamentoevelocidadeemumdadoinstantedetempo,calcularavelocidadedelançamentodoprojétil.

Ideias-Chave•Nomovimentobalístico,umapartículaélançada,comvelocidadeescalarv0,emumadireçãoquefazumânguloθ0comahorizontal(eixox).Emtodoopercurso,aaceleraçãohorizontalézero,eaaceleraçãoverticalé–g(nosentidonegativodoeixo

y).•Asequaçõesdemovimentodapartículasãoasseguintes:

•Atrajetóriadapartículatemaformadeumaparábolaeédadapor

parax0=y0=0.

•OalcancehorizontalR,queéadistânciahorizontalpercorridapelapartículaentreopontodelançamentoeopontoemquevoltaàalturadolançamento,édadopor

MovimentoBalísticoConsideraremos,aseguir,umcasoespecialdemovimentobidimensional:umapartículaquesemoveemumplanoverticalcomvelocidadeinicial 0ecomumaaceleraçãoconstante,igualàaceleraçãodequedalivre , dirigida para baixo. Uma partícula que se move dessa forma é chamada de projétil (o quesignificaqueéprojetadaoulançada),eomovimentoéchamadodemovimentobalístico.Oprojétilpodeserumaboladetênis(Fig.4-8)oudegolfe,masnãoumaviãoouumpato.Muitosesportesenvolvemomovimento balístico de uma bola; jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar essemovimentoparaobteromáximodevantagem.OjogadorquedescobriuarebatidaemZnoraquetebolnadécadade1970,porexemplo,venciaos jogoscomfacilidadeporquea trajetóriapeculiardabolanofundodaquadrasurpreendiaosadversários.VamosagoraanalisaromovimentobalísticousandoasferramentasdescritasnosMódulos4-1a4-3

paraomovimentobidimensional,semlevaremcontaainfluênciadoar.AFig.4-9,queserádiscutidaembreve,mostraatrajetóriadeumprojétilquandooefeitodoarpodeserignorado.Oprojétilélançadocomumavelocidadeinicial 0quepodeserescritanaforma

As componentes v0x e v0y podem ser calculadas se conhecermos o ângulo θ0 entre 0 e o semieixo xpositivo:

Durante o movimento bidimensional, o vetor posição e a velocidade do projétil mudamcontinuamente,masovetoraceleração éconstanteeestásempredirigidoverticalmenteparabaixo.Oprojétilnãopossuiaceleraçãohorizontal.Omovimento balístico, como o das Figs. 4-8 e 4-9, parece complicado, mas apresenta a seguinte

propriedadesimplificadora(quepodeserdemonstradaexperimentalmente):

Nomovimentobalístico,omovimentohorizontaleomovimentoverticalsãoindependentes,ouseja,umnãoafetaooutro.

RichardMegna/FundamentalPhotographs

Figura4-8 Fotografiaestroboscópicadeumabolade tênisamarelaquicandoemumasuperfíciedura.Entreos impactos,a trajetóriadabolaébalística.

Figura4-9 Omovimentobalísticodeumprojétillançadodaorigemdeumsistemadecoordenadascomvelocidadeinicial 0eânguloθ0.Como mostram as componentes da velocidade, o movimento é uma combinação de movimento vertical (com aceleração constante) emovimentohorizontal(comvelocidadeconstante).

Essa propriedade permite decompor um problema que envolve ummovimento bidimensional em doisproblemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimentohorizontal (comaceleraçãonula) eoutroparaomovimentovertical (comaceleração constante parabaixo). Apresentamos a seguir dois experimentos que mostram que o movimento horizontal e omovimentoverticalsãorealmenteindependentes.

DuasBolasdeGolfe

AFig.4-10éumafotografiaestroboscópicadeduasbolasdegolfe,umaquesimplesmentefoideixadacaireoutraquefoilançadahorizontalmenteporumamola.Asbolasdegolfetêmomesmomovimentovertical;ambaspercorremamesmadistânciaverticalnomesmointervalodetempo.Ofatodeumabolaestarsemovendohorizontalmenteenquantoestácaindonãoafetaomovimentovertical; ou seja,osmovimentoshorizontaleverticalsãoindependentes.


Figura4-10 Umabolaédeixadacairapartirdorepousonomesmoinstanteemqueoutrabolaélançadahorizontalmenteparaadireita.Osmovimentosverticaisdasduasbolassãoiguais.

UmaDemonstraçãoInteressante

AFig.4-11apresentaumademonstraçãoquetemanimadomuitasaulasdefísica.UmcanudoCéusadopara soprar pequenas bolas em direção a uma lata suspensa por um eletroímã E. O experimento éarranjadodetalformaqueocanudoestáapontadoparaalataeoímãsoltaalatanomesmoinstanteemqueaboladeixaotubo.Seg (omóduloda aceleraçãodequeda livre) fosse zero, abola seguiria a trajetória em linha reta

mostradanaFig.4-11ealatacontinuarianomesmolugarapóstersidoliberadapeloeletroímã.Assim,abolacertamenteatingiriaa lata, independentementedaforçadosopro.Naverdade,gnãoézero,mas,mesmoassim,abolasempreatingealata!ComomostraaFig.4-11,aaceleraçãodagravidadefazcomqueabolaealatasoframomesmodeslocamentoparabaixo,h,emrelaçãoàposiçãoqueteriam,acadainstante,seagravidadefossenula.Quantomaioraforçadosopro,maioravelocidadeinicialdabola,menorotempoqueabolalevaparasechocarcomalataemenorovalordeh.

Teste3Emumdadoinstante,umabolaquedescreveummovimentobalísticotemumavelocidade =25 –4,9 (oeixoxéhorizontal,

oeixoyéverticaleapontaparacimae estáemmetrosporsegundo).Abolajápassoupelopontomaisaltodatrajetória?

Figura4-11 Abolasempreacertanalataqueestácaindo,jáqueasduaspercorremamesmadistânciahemquedalivre.

MovimentoHorizontal

Agora estamos preparados para analisar omovimento horizontal e vertical de umprojétil.Comonãoexisteaceleraçãonadireçãohorizontal,acomponentehorizontalvxdavelocidadedoprojétilpermaneceinalteradae igual aovalor inicialv0xdurante todaa trajetória, comomostraaFig.4-12. Em qualquerinstantet,odeslocamentohorizontaldoprojétilemrelaçãoàposiçãoinicial,x–x0,éfornecidopelaEq.2-15coma=0,quepodemosescrevernaforma

x−x0=v0xt.

Comov0x=v0cosθ0,temos:

MovimentoVertical

OmovimentoverticaléomovimentoquediscutimosnoMódulo2-5paraumapartículaemquedalivre.Omaisimportanteéqueaaceleraçãoéconstante.Assim,asequaçõesdaTabela2-1podemserusadas,desdequeasejasubstituídopor−geoeixoxsejasubstituídopeloeixoy.AEq.2-15,porexemplo,setorna

emqueacomponenteverticaldavelocidadeinicial,v0y,foisubstituídapelaexpressãoequivalentev0senθ0.Damesmaforma,asEqs.2-11e2-16setornam

ComomostramaFig.4-9eaEq.4-23,acomponenteverticaldavelocidadesecomportaexatamentecomoadeumabolalançadaverticalmenteparacima.Estádirigidainicialmenteparacimaeomódulodiminui progressivamente até se anularno ponto mais alto da trajetória. Em seguida, a componenteverticaldavelocidademudadesentidoeomódulopassaaaumentarcomotempo.

JamieBudge

Figura4-12 Acomponenteverticaldavelocidadedoskatistaestávariando,masnãoacomponentehorizontal,queéigualàvelocidadedoskate.Emconsequência,oskatepermaneceabaixodoatleta,permitindoqueelepousenoskateapósosalto.

EquaçãodaTrajetória

Podemos obter a equação do caminho percorrido pelo projétil (ou seja, da trajetória) eliminando otempotnasEqs.4-21e4-22.ExplicitandotnaEq.4-21esubstituindooresultadonaEq.4-22,obtemos,apósalgumasmanipulaçõesalgébricas,

EssaéaequaçãodatrajetóriamostradanaFig.4-9.Aodeduzi-la,parasimplificar,fizemosx0=0ey0=0nasEqs.4-21e4-22,respectivamente.Comog,θ0ev0sãoconstantes,aEq.4-25édaformay=ax+bx2,emqueaebsãoconstantes.Comosetratadaequaçãodeumaparábola,dizemosqueatrajetóriaéparabólica.

AlcanceHorizontal

OalcancehorizontalRdeumprojétiléadistânciahorizontalpercorridapeloprojétilatévoltaràalturainicial(alturadelançamento).ParadeterminaroalcanceR,fazemosx–x0=RnaEq.4-21ey–y0=0naEq.4-22,oquenosdá

Eliminandotnasduasequações,obtemos

Usandoaidentidadesen2θ0=2senθ0cosθ0(vejaoApêndiceE),obtemos

Essaequaçãonãoforneceadistânciahorizontalpercorridapeloprojétilquandoaalturafinalédiferentedaalturadelançamento.ObservenaEq.4-26queRémáximoparasen2θ0=1,oquecorrespondea2θ0=90°ouθ0=45°.

OalcancehorizontalRémáximoparaumângulodelançamentode45°.

Quando a altura final é diferente da altura de lançamento, como acontece no arremesso de peso, nolançamentodediscoenobasquetebol,adistânciahorizontalmáximanãoéatingidaparaumângulodelançamentode45°.

EfeitosdoAr

Atéagora, supusemosqueoarnãoexerceefeitoalgumsobreomovimentodeumprojétil.Emmuitassituações,porém,adiferençaentreatrajetóriacalculadadessaformaeatrajetóriarealdoprojétilpodeser considerável, já que o ar resiste (se opõe) ao movimento. A Fig. 4-13, por exemplo, mostra astrajetóriasdeduasbolasdebeisebolquedeixamobastãofazendoumângulode60°comahorizontal,comumavelocidadeinicialde44,7m/s.AtrajetóriaI(deumaboladeverdade)foicalculadaparaascondições normais de jogo, levando em conta a resistência do ar. A trajetória II (de uma bola emcondiçõesideais)éatrajetóriaqueabolaseguirianovácuo.

Figura4-13 (I)Trajetóriadeumabola,levandoemcontaaresistênciadoar.(II)Trajetóriaqueabolaseguirianovácuo,calculadausando

asequaçõesdestecapítulo.OsdadoscorrespondentesestãonaTabela4-1.(Adaptadode“TheTrajectoryofaFlyBall”,PeterJ.Brancazio,ThePhysicsTeacher,January1985.)

Teste4Umaboladebeisebolérebatidanadireçãodocampodejogo.Duranteopercurso(ignorandooefeitodoar),oqueacontececom

ascomponentes(a)horizontale(b)verticaldavelocidade?Qualéacomponente(c)horizontale(d)verticaldaaceleraçãodurante

asubida,duranteadescidaenopontomaisaltodatrajetória?

Tabela4-1TrajetóriasdeDuasBolasdeBeisebola

TrajetóriaI(Ar) TrajetóriaI(Vácuo)

Alcance 98,5m 177m

Alturamáxima 53,0m 76,8m

Tempodepercurso 6,6s 7,9s

aVejaaFig.4.13.Oângulodelançamentoé60ºeavelocidadedelançamentoé44,7m/s.

Exemplo4.04 Projétillançadodeumavião

NaFig. 4-14, um avião de salvamento voa a 198 km/h (= 55,0m/s), a uma altura constante de 500m, rumo a um ponto

diretamenteacimadavítimadeumnaufrágio,paradeixarcairumabalsa.

(a)Qualdeveseroânguloϕdalinhadevisadadopilotoparaavítimanoinstanteemqueopilotodeixacairabalsa?

IDEIAS-CHAVE

Como,depoisdeliberada,abalsaéumprojétil,osmovimentoshorizontaleverticalpodemserexaminadosseparadamente(nãoé

precisolevaremcontaacurvaturadatrajetória).

Cálculos:NaFig.4-14,vemosqueϕédadopor

emquexéacoordenadahorizontaldavítima(edabalsaaochegaràágua)eh=500m.PodemoscalcularxcomoauxíliodaEq.

4-21:

Sabemosquex0=0porqueaorigemfoicolocadanopontodelançamento.Comoabalsaédeixadacairenãoarremessadado

avião,avelocidadeinicial 0éigualàvelocidadedoavião.Assim,sabemostambémqueavelocidadeinicialtemmódulov0=

55,0m/seânguloθ0=0°(medidoemrelaçãoaosemieixoxpositivo).Entretanto,nãoconhecemosotempotqueabalsaleva

parapercorreradistânciadoaviãoatéavítima.

Figura4-14Umaviãolançaumabalsaenquantosedeslocacomvelocidadeconstanteemumvoohorizontal.Duranteaqueda,a

velocidadehorizontaldabalsapermaneceigualàvelocidadedoavião.

Paradeterminarovalordet,temosqueconsideraromovimentoverticale,maisespecificamente,aEq.4-22:

Aqui,odeslocamentoverticaly-y0dabalsaé-500m(ovalornegativoindicaqueabalsasemoveparabaixo).Assim,

Resolvendoessaequação,obtemost=10,1s.SubstituindonaEq.4-28,obtemos:

oux=555,5m.

Nessecaso,aEq.4-27nosdá

(b)Nomomentoemqueabalsaatingeaágua,qualéasuavelocidade nanotaçãodosvetoresunitáriosenanotaçãomódulo-

ângulo?

IDEIAS-CHAVE

(1)Ascomponenteshorizontaleverticaldavelocidadedabalsasãoindependentes.(2)Acomponentevxnãomudaemrelaçãoao

valorinicialv0x=v0cosθ0porquenãoexisteumaaceleraçãohorizontal.(3)Acomponentevymudaemrelaçãoaovalorinicialv0y

=v0senθ0porqueexisteumaaceleraçãovertical.

Cálculos:Quandoabalsaatingeaágua,

vx=v0cosθ0=(55,0m/s)(cos0°)=55,0m/s.

UsandoaEq.4-23eotempodequedadabalsat=10,1s,descobrimosque,quandoabalsaatingeaágua,

vy=v0senθ0−gt

=(55,0m/s)(sen0°)=(9,8m/s2)(10,1s).

=−99,0m/s.

Assim,nomomentoemqueabalsaatingeaágua,

DeacordocomaEq.3-6,omóduloeoângulodesão

Exemplo4.05 Lançamentoapartirdeumescorregaaquático

Um dos vídeos mais impressionantes da internet (na verdade, totalmente falso) mostra um homem descendo um grande

escorrega aquático, sendo lançado no ar emergulhando em uma piscina. Vamos usar dados realistas para calcular com que

velocidade o homem chegaria à piscina. A Fig. 4-15amostra os pontos inicial e final da trajetória balística e um sistema de

coordenadascomaorigemnopontodelançamento.Combasenoquemostraovídeo,usamosumadistânciahorizontalentreos

pontos iniciale finalD=20,0m,umtempodepercursot=2,50seumângulodelançamentoθ0=40,0°.Nossoobjetivoé

calcularomódulodavelocidadenoinstanteemqueohomemdeixaoescorregaenoinstanteemqueelemergulhanapiscina.

Figura4-15(a)Umhomemé lançadodeumescorregaaquáticoe vai cair emumapiscina.Velocidadedohomem(b) ao ser

lançadodoescorregae(c)aomergulharnapiscina.

IDEIAS-CHAVE

(1) Como se trata de um movimento balístico, podemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante às

componentes horizontal e vertical domovimento. (2) Em toda a trajetória, a aceleração vertical éay =−g =−9,8m/s e a

aceleraçãohorizontaléax=0.

Cálculos:Namaioriadosproblemasdebalística,oprimeirodesafioconsisteemescolherasequaçõesmaisadequadas.Nãohá

nadadeerradoemexperimentarváriasequaçõesparaversealgumadelaspermitecalcularasvelocidadesquebuscamos.Aqui

vai,porém,umasugestão:Comopretendemosaplicarseparadamenteasequaçõesdeaceleraçãoconstanteaosmovimentosao

longodoseixosxey,émaisrazoávelcalcularascomponenteshorizontaleverticaldavelocidadenospontosinicialefinaleusar

essesresultadosparacalcularavelocidadetotalnosdoispontos.

Vamoscomeçarpelomovimentohorizontal.Comoax=0,sabemosqueacomponentehorizontalvxdavelocidadeéconstante

aolongodetodoopercursoe,portanto,éigualàcomponentehorizontalv0xnopontodelançamento.Podemosrelacionaressa

componenteaodeslocamentox−x0eaotempodepercursousandoaEq.2-15:

Fazendox−x0=D=20m,ax=0et=2,50s,temos:

ComomostraaFig.4-15b,ascomponentesxeydavelocidadesãooscatetosdeumtriânguloretângulocujahipotenusaéo

módulodavelocidadetotal.Assim,podemosaplicararelaçãotrigonométrica

quenosdá

Vamosagoracalcularomódulovdavelocidadenopontofinaldopercurso.Jásabemosqueacomponentehorizontalvx,que

nãovariacomotempo,é8,00m/s.Paradeterminaracomponenteverticalvy,escrevemosaEq.2-11naforma

vy=v0y+ayt

oquenosdá,usandoumarelaçãotrigonométrica(vejaaFig.4-15b),

Fazendov0=10,44m/s,ay=−g=−9,8m/s2et=2,50s,obtemos

vy=(10,44m/s)sen(40,0°)−(9,8m/s2)(2,50s)

=−17,78m/s.

Agora que conhecemos as duas componentes da velocidade final, podemos usar a Eq. 3-6 para calcular o módulo da

velocidade:

4-5MOVIMENTOCIRCULARUNIFORME


4.16Desenhara trajetóriadeumapartículaquedescreveummovimento circularuniformeeexplicaro comportamentodosvetoresvelocidadeeaceleração(móduloeorientação)duranteomovimento.

4.17Aplicarasrelaçõesentreoraiodatrajetóriacirculareoperíodo,avelocidadeescalareaaceleraçãoescalardapartícula.

Ideias-Chave•Seumapartículasemoveaolongodeumacircunferênciaderaiorcomvelocidadeescalarconstantev,dizemosqueelaestádescrevendoummovimentocircularuniforme;nessecaso,omódulodaaceleração temumvalorconstante,dadopor

Aaceleração ,queéchamadadeaceleraçãocentrípeta,apontaparaocentrodacircunferênciaouarcodecircunferência.OtempoT

necessárioparaapartículadescreverumacircunferênciacompleta,conhecidocomoperíododerevoluçãoousimplesmenteperíodo,é

dadopor

MovimentoCircularUniformeUma partícula em movimento circular uniforme descreve uma circunferência ou um arco decircunferência com velocidade escalar constante (uniforme). Embora a velocidade escalar não varienessetipodemovimento,apartículaestáaceleradaporqueadireçãodavelocidadeestámudando.AFig.4-16mostraarelaçãoentreosvetoresvelocidadeeaceleraçãoemváriasposiçõesduranteo

movimentocircularuniforme.Omódulodosdoisvetorespermanececonstanteduranteomovimento,masaorientaçãovariacontinuamente.Avelocidadeestásemprenadireçãotangenteàcircunferênciaetemomesmosentidoqueomovimento.Aaceleraçãoestásemprenadireçãoradialeapontaparaocentrodacircunferência. Por essa razão, a aceleração associada aomovimento circular uniforme é chamada deaceleração centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessaaceleração é

emqueréoraiodacircunferênciaevéavelocidadedapartícula.

Figura4-16 Osvetoresvelocidadeeaceleraçãodeumapartículaemmovimentocircularuniforme.

Durante esta aceleração com velocidade escalar constante, a partícula percorre a circunferênciacompleta(umadistânciaiguala2πr)emumintervalodetempodadopor

O parâmetroT é chamado de período de revolução ou, simplesmente, período. No caso mais geral,períodoéotempoqueumapartículalevaparacompletarumavoltaemumatrajetóriafechada.

DemonstraçãodaEq.4-34

Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme,considereaFig.4-17.NaFig.4-17a,apartículapsemovecomvelocidadeescalarconstantevenquantopercorreumacircunferênciaderaior.Noinstantemostrado,ascoordenadasdepsãoxpeyp.Como vimos noMódulo 4-2, a velocidade de uma partícula emmovimento é sempre tangente à

trajetóriadapartículanaposiçãoconsiderada.NaFig.4-17a,issosignificaque éperpendicularaumaretarqueligaocentrodacircunferênciaàposiçãodapartícula.Nessecaso,oânguloθque fazcomumaretaparalelaaoeixoypassandopelopontopéigualaoânguloθqueoraiorfazcomoeixox.As componentes escalares de são mostradas na Fig. 4-17b. Em termos dessas componentes, a

velocidade podeserescritanaforma

UsandootriânguloretângulodaFig.4-17a,podemossubstituirsenθporyp/recosθporxp/reescrever

Paradeterminaraaceleração dapartículap,devemoscalcularaderivadadaEq.4-37emrelaçãoaotempo.Observandoqueavelocidadeescalarveoraiornãovariamcomotempo,obtemos

Note que a taxa de variação com o tempo de yp,dyp/dt, é igual à componente y da velocidade, vy.Analogamente,dxp/dt = vx, e, novamente de acordo com a Fig. 4-17b, vx = –v sen θ e vy = v cos θ.FazendoessassubstituiçõesnaEq.4-38,obtemos

EssevetoresuascomponentesaparecemnaFig.4-17c.DeacordocomaEq.3-6,temos:

comoqueríamosdemonstrar.Paradeterminaraorientaçãode ,calculamosoânguloϕdaFig.4-17c:

Assim,ϕ=θ,oquesignificaque apontanadireçãodoraiordaFig.4-17a,nosentidodocentrodacircunferência,comoqueríamosdemonstrar.

Figura4-17 Umapartículapemmovimentocircularuniformenosentidoanti-horário.(a)Posiçãoevelocidade dapartículaemumdadoinstantedetempo.(b)Velocidade .(c)Aceleração .

Teste5

Umobjetosemovecomvelocidadeescalarconstante,aolongodeumatrajetóriacircular,emumplanoxyhorizontalcomocentro

naorigem.Quandooobjetoestáemx=–2m,avelocidadeé–(4m/s) .Determine(a)avelocidadee(b)aaceleraçãodoobjeto

emy=2m.

Exemplo4.06 Pilotosdecaçafazendocurvas

Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à

aceleraçãocentrípeta,comacabeçamaispróximadocentrodecurvatura,apressãosanguíneanocérebrodiminui,oquepode

levaràperdadasfunçõescerebrais.

Ossinaisdeperigosãovários.Quandoaaceleraçãocentrípetaé2gou3g,opilotosesentepesado.Porvoltade4g,avisãodo

pilotopassaparapretoebrancoesereduzà“visãodetúnel”.Seaaceleraçãoémantidaouaumentada,opilotodeixadeenxergar

e, logo depois, ele perde a consciência, uma situação conhecida como g-LOC, da expressão em inglês “g-induced loss of

consciousness”,ouseja,“perdadeconsciênciainduzidaporg”.

Qual é o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma

velocidade i=(400 +500 )m/se,24,0smaistarde,terminaacurvacomumavelocidade f=(–400 –500 )m/s?

IDEIAS-CHAVE

Supomosqueoaviãoexecutaacurvacomummovimentocircularuniforme.Nessecaso,omódulodaaceleraçãocentrípetaé

dadopelaEq.4-34(a=v2/R),emqueRéoraiodacurva.Otemponecessárioparadescreverumacircunferênciacompletaéo

períododadopelaEq.4-35(T=2πR/v).

Cálculos:ComonãoconhecemosoraioR,vamosexplicitarRnaEq.4-35esubstituí-lopeloseuvalornaEq.4-34.Oresultadoéo

seguinte:

Paraobteravelocidadeescalarconstantev,substituímosascomponentesdavelocidadeinicialnaEq.3-6:

ParadeterminaroperíodoTdomovimento,observamosqueavelocidade finalé igualaonegativodavelocidade inicial. Isso

significaqueaaeronaveterminouacurvanoladoopostodacircunferênciaecompletoumetadedeumacircunferênciaem24,0s.

Assim,levariaT=48,0sparadescreverumacircunferênciacompleta.Substituindoessesvaloresnaequaçãodea,obtemos

4-6MOVIMENTORELATIVOEMUMADIMENSÃO

ObjetivodoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

4.18Aplicar a relaçãoentre asmedidasdeposição, velocidadeeaceleraçãodeumapartícula emdois referenciais que semovemnamesmadireçãoecomvelocidadeconstante.

Ideias-Chave•Sedois referenciaisAeB estão semovendoumem relaçãoaooutronamesmadireçãoe comvelocidadeconstante, avelocidadedeumapartículaPmedidaporumobservadordoreferencialAé,emgeral,diferentedavelocidademedidaporumobservadordoreferencialB.Arelaçãoentreasduasvelocidadesédadapor

vPA=vPB+vBA,

emquevBAéavelocidadeescalardoreferencialBemrelaçãoaoreferencialA.Aaceleraçãodapartículaéamesmaparaosdoisobservadores:

aPA=aPB.

MovimentoRelativoemUmaDimensãoSuponhaquevocêvejaumpatovoandoparaonortea30km/h.Paraoutropatoqueestejavoandoaoladodoprimeiro,oprimeiropareceestarparado.Emoutraspalavras,avelocidadedeumapartículadependedo referencial de quem está observando ou medindo a velocidade. Para nossos propósitos, umreferencial é um objeto no qual fixamos um sistema de coordenadas. No dia a dia, esse objeto éfrequentemente o solo. Assim, por exemplo, a velocidade que aparece em umamulta de trânsito é avelocidadedocarroemrelaçãoaosolo.Avelocidadeemrelaçãoaoguardadetrânsitoserádiferenteseoguardaestiversemovendoenquantomedeavelocidade.Suponha que Alexandre (situado na origem do referencial A da Fig. 4-18) esteja parado no

acostamentodeumarodovia,observandoocarroP(a“partícula”)passar.Bárbara(situadanaorigemdoreferencialB)estádirigindoumcarronarodoviacomvelocidadeconstanteetambémobservaocarroP.Suponhaqueosdoismeçamaposiçãodocarroemumdadomomento.DeacordocomaFig.4-18,temos:

Essaequaçãosignificaoseguinte:“AcoordenadaxPAdePmedidaporAéigualàcoordenadaxPBdePmedidaporBmaisacoordenadaxBAdeBmedidaporA.”Observequeessaleituraestádeacordocomaordememqueosíndicesforamusados.DerivandoaEq.4-40emrelaçãoaotempo,obtemos

Assim,ascomponentesdavelocidadeestãorelacionadaspelaequação

Figura 4-18 Alexandre (referencial A) e Bárbara (referencial B) observam o carro P enquanto B e P se movem com velocidadesdiferentesaolongodoeixoxcomumaosdoisreferenciais.Noinstantemostrado,xBAéacoordenadadeBnoreferencialA.AcoordenadadePéxPBnoreferencialB,exPA=xPB+xBAnoreferencialA.

Essaequaçãosignificaoseguinte:“AvelocidadevPAdePmedidaporAéigualàvelocidadevPBdePmedidaporBmaisavelocidadevBAdeBmedidaporA.”OtermovBAéavelocidadedoreferencialBemrelaçãoaoreferencialA.Nestecapítulo,estamosconsiderandoapenasreferenciaisquesemovemcomvelocidadeconstanteum

em relação ao outro. Em nosso exemplo, isso significa que Bárbara (referencial B) dirige comvelocidadeconstantevBAemrelaçãoaAlexandre(referencialA).EssarestriçãonãovaleparaocarroP(apartículaemmovimento),cujavelocidadepodemudardemóduloedireção(ouseja,apartículapodesofreraceleração).Para relacionar as acelerações dePmedidas porBárbara e porAlexandre em ummesmo instante,

calculamosaderivadadaEq.4-41emrelaçãoaotempo:

ComovBAéconstante,oúltimotermoézeroetemos

Emoutraspalavras,

A aceleração de uma partícula é amesma para observadores em referenciais que semovem com velocidade constante um em

relaçãoaooutro.

Exemplo4.07 Movimentorelativounidimensional:AlexandreeBárbara

NaFig.4-18,suponhaqueavelocidadedeBárbaraemrelaçãoaAlexandresejavBA=52km/h(constante)equeocarroPestáse

movendonosentidonegativodoeixox.(a)SeAlexandremedeumavelocidadeconstantevPA=–78km/hparaocarroP,qualéa

velocidadevPBmedidaporBárbara?

IDEIAS-CHAVE

PodemosassociarumreferencialAaAlexandreeumreferencialBaBárbara.Comoosdoisreferenciaissemovemcomvelocidade

constanteumemrelaçãoaooutroaolongodoeixox,podemosusaraEq.4-41(vPA=vPB+vBA)pararelacionarvPBavPAevBA.

Cálculos:Temos

Comentário:SeocarroPestivesseligadoaocarrodeBárbaraporumfioflexívelenroladoemumabobina,ofiosedesenrolariaa

umavelocidadede130km/henquantoosdoiscarrosestivessemseseparando.

(b)SeocarroPfreiacomaceleraçãoconstanteatépararemrelaçãoaAlexandre(e,portanto,emrelaçãoaosolo)noinstantet=

10s,qualéaaceleraçãoaPAemrelaçãoaAlexandre?

IDEIAS-CHAVE

ParacalcularaaceleraçãodocarroPemrelaçãoaAlexandre,devemosusaravelocidadedocarroemrelaçãoaAlexandre.Comoa

aceleraçãoéconstante,podemosusaraEq.2-11(v=v0+at)pararelacionaraaceleraçãoàsvelocidadesinicialefinaldeP.

Cálculo:AvelocidadeinicialdePemrelaçãoaAlexandreévPA=–78km/h,enquantoavelocidadefinalé0.Assim,aaceleração

emrelaçãoaAlexandreé

(c)QualéaaceleraçãoaPBdocarroPemrelaçãoaBárbaraduranteafrenagem?

IDEIA-CHAVE

ParacalcularaaceleraçãodocarroPemrelaçãoaBárbara,devemosusaravelocidadedocarroemrelaçãoaBárbara.

Cálculo:AvelocidadeinicialdePemrelaçãoaBárbarafoideterminadanoitem(a)(vPB=–130km/h).AvelocidadefinaldePem

relaçãoaBárbaraé–52km/h(avelocidadedocarroparadoemrelaçãoàvelocidadedocarrodeBárbara).Assim,

Comentário:Esteresultadoéprevisível.ComoAlexandreeBárbaraestãosemovendocomvelocidadeconstanteumemrelação

aooutro,aaceleraçãodocarroPmedidapelosdoisdeveseramesma.

4-7MOVIMENTORELATIVOEMDUASDIMENSÕES


4.19Aplicararelaçãoentreasposições,asvelocidadeseasaceleraçõesdeumapartículamedidasemdoisreferenciaisquesemovemumemrelaçãoaooutroemduasdimensõescomvelocidadeconstante.

Ideia-Chave•QuandodoisreferenciaisAeBestãosemovendoumemrelaçãoaooutrocomvelocidadeconstante,avelocidadedeumapartículaPmedidaporumobservadornoreferencialAé,emgeral,diferentedavelocidademedidanoreferencialB.Arelaçãoentreasduasvelocidadesédadapor

PA= PB+ BA,

emque BAéavelocidadedo referencialBemrelaçãoaoreferencialA.Aaceleraçãomedidapelosdoisobservadoreséamesma:

PA= PB.

MovimentoRelativoemDuasDimensõesNossosdoisamigosestãonovamenteobservandoomovimentodeumapartículaPapartirdasorigensdos referenciaisA eB, enquantoB semove comvelocidade constante BA em relação aA. (Os eixoscorrespondentes aos dois sistemas de coordenadas permanecem paralelos.) A Fig. 4-19 mostra uminstanteespecífico,noqualovetorposiçãodaorigemdeBemrelaçãoàorigemdeAé BA.OsvetoresposiçãodapartículaPsão PAemrelaçãoàorigemdeAeemrelaçãoàorigemdeB.Asposiçõesdas

origenseextremidadesdessestrêsvetoresmostramosvetoresrelacionadospelaequação

DerivandoaEq.4-43emrelaçãoaotempo,obtemosumaequaçãoqueenvolveasvelocidades PAe PB

dapartículaPemrelaçãoaosdoisobservadores:

DerivandoaEq.4-44emrelaçãoaotempo,obtemosumaequaçãoqueenvolveasacelerações PAe PB

dapartículaPemrelaçãoaosnossosobservadores.Note,porém,que,como BAéconstante,aderivadade BAemrelaçãoaotempoénula,oquenosdá

Assim,damesmaformaquenomovimentounidimensional,temosaseguinteregra:Aaceleraçãodeumapartícula medida por observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um emrelaçãoaooutroéamesma.

Figura4-19 OreferencialBpossuiumavelocidadebidimensionalconstante BAemrelaçãoaoreferencialA.OvetorposiçãodeB emrelaçãoaAé BA.OsvetoresposiçãodapartículaPsão PAemrelaçãoaAe PBemrelaçãoaB.

Exemplo4.08 Movimentorelativobidimensionaldedoisaviões

NaFig. 4-20a, umavião semovepara leste enquantoopilotodirecionao avião ligeiramenteparao sul do leste, demodoa

compensar um vento constante que sopra para nordeste. O avião tem uma velocidade AV em relação ao vento, com uma

velocidadedoar(velocidadeescalaremrelaçãoaovento)de215km/heumaorientaçãoquefazumânguloθaosuldoleste.O

ventotemumavelocidade VSemrelaçãoaosolo,comumavelocidadeescalarde65,0km/heumaorientaçãoquefazumângulo

de20°alestedonorte.Qualéomódulodavelocidade ASdoaviãoemrelaçãoaosoloequaléovalordeθ?

IDEIAS-CHAVE

AsituaçãoésemelhanteàdaFig.4-19.Nestecaso,apartículaPéoavião,oreferencialAestáassociadoaosolo(quechamaremos

deS)eoreferencialBestáassociadoaovento(quechamaremosdeV).Precisamosconstruirumdiagramavetorialsemelhanteao

daFig.4-19,mas,destavez,usandotrêsvetoresvelocidade.

Cálculos:Primeiro,escrevemosumafrasequeexpressaumarelaçãoentreostrêsvetoresdaFig.4-20b:

Emnotaçãovetorial,essarelaçãosetorna

PodemosdeterminarascomponentesdosvetoresnosistemadecoordenadasdaFig.4-20beresolveraEq.4-46eixoporeixo.No

casodascomponentesy,temos:

AS,y= AV,y+ VS,y

ou0=–(215km/h)senθ+(65,0km/h)(cos20,0º).

Explicitandoθ,obtemos

Figura4-20Efeitodoventosobreumavião.

Nocasodascomponentesx,temos:

AS,x= AV,x+ VS,x

Como ASéparalelaaoeixox,acomponentevAS,xéigualaomódulovASdovetor.SubstituindovAS,xporvASefazendoθ=16,5°,

obtemos

RevisãoeResumo

VetorPosiçãoAlocalizaçãodeumapartículaemrelaçãoàorigemdeumsistemadecoordenadasédadaporumvetorposição ,que,nanotaçãodosvetoresunitários,édadopor

Aqui,x,yezsãoascomponentesvetoriaisdovetorposição ,ex,yezsãoascomponentesescalaresdovetorposição(e,também,ascoordenadasdapartícula).Umvetorposiçãopodeserdescritoporummóduloeumoudoisângulos,pelascomponentesvetoriaisoupelascomponentesescalares.

Deslocamento Se uma partícula se move de tal forma que o vetor posição muda de 1 para 2, odeslocamento∆ dapartículaédadopor

Odeslocamentotambémpodeserescritonaforma

Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula sofre um deslocamento ∆ em umintervalodetempoΔt,avelocidademédia médnesseintervalodetempoédadapor

Quando∆tnaEq.4-8tendea0, médtendeparaumlimite queéchamadodevelocidade instantâneaou,simplesmente,velocidade:

Nanotaçãodosvetoresunitários,avelocidadeinstantâneaassumeaforma

emquevx=dx/dt,vy=dy/dtevz=dz/dt.Avelocidadeinstantânea deumapartículaésempretangenteàtrajetóriadapartículanaposiçãodapartícula.

AceleraçãoMédiaeAceleraçãoInstantâneaSeavelocidadedeumapartículavariade 1para 2nointervalodetempo∆t,aaceleraçãomédiaduranteointervalo∆té

Quando ∆t na Eq. 4-15 tende a zero, méd tende para um limite que é chamado de aceleraçãoinstantâneaou,simplesmente,aceleração:


emqueax=dvx/dt,ay=dvy/dteaz=dvz/dt.

MovimentoBalísticoMovimento balístico é o movimento de uma partícula que é lançada com umavelocidade inicial 0.Durante o percurso, a aceleração horizontal da partícula é zero, e a aceleraçãovertical é a aceleração de queda livre, –g. (O sentido do movimento para cima é escolhido comopositivo.)Se 0seexpressapormeiodeummódulo(avelocidadeescalarv0)eumânguloθ0(medidoemrelaçãoàhorizontal), as equaçõesdemovimentodapartículaao longodoeixohorizontalx edoeixoverticalysão

Atrajetóriadeumapartículaemmovimentobalísticotemaformadeumaparábolaeédadapor

sex0ey0dasEqs.(4-21)a(4-24)foremnulos.OalcancehorizontalRdapartícula,queéadistânciahorizontaldopontodelançamentoaopontoemqueapartícularetornaàalturadopontodelançamento,édadopor

MovimentoCircularUniformeSeumapartículadescreveumacircunferênciaouarcodecircunferênciaderaiorcomvelocidadeconstantev,dizemosquesetratadeummovimentocircularuniforme.Nessecaso,apartículapossuiumaaceleração cujomóduloédadopor

Ovetor apontaparaocentrodacircunferênciaouarcodecircunferênciaeéchamadodeaceleraçãocentrípeta.Otempoqueapartículalevaparadescreverumacircunferênciacompletaédadopor

OparâmetroTéchamadodeperíododerevoluçãoou,simplesmente,período.

MovimentoRelativoQuandodois referenciaisA eB estão semovendo um em relação ao outro comvelocidadeconstante,avelocidadedeumapartículaP,medidaporumobservadordoreferencialA,é,emgeral,diferentedavelocidademedidaporumobservadordoreferencialB.Asduasvelocidadesestãorelacionadaspelaequação

emque BAéavelocidadedeBemrelaçãoaA.Osdoisobservadoresmedemamesmaaceleração:

Perguntas1AFig.4-21mostraocaminhoseguidoporumgambáàprocuradecomidaemlatasdelixo,apartirdopontoiniciali.OgambálevouomesmotempoTpara irdecadaumdospontosmarcadosatéopontoseguinte. Ordene os pontos a,b e c de acordo com o módulo da velocidade média do gambá paraalcançá-losapartirdopontoiniciali,começandopelomaior.


2 A Fig. 4-22mostra a posição inicial i e a posição final f de uma partícula.Determine (a) o vetorposiçãoinicial ie(b)ovetorposiçãofinal fdapartícula,ambosnanotaçãodosvetoresunitários.(c)Qualéacomponentexdodeslocamento∆ ?

3 QuandoParisfoibombardeadaamaisde100kmdedistâncianaPrimeiraGuerraMundial,porumcanhãoapelidadode“BigBertha”,osprojéteisforamlançadoscomumângulomaiorque45°paraatingiremumadistânciamaior,possivelmenteatéduasvezesmaiorquea45°.Esse resultadosignificaqueadensidadedoaremgrandesaltitudesaumentaoudiminuicomaaltitude?


4 Você tem que lançar um foguete, praticamente do nível do solo, com uma das velocidades iniciaisespecificadaspelosseguintesvetores:(1) 0=20 +70 ,(2) 0=–20 +70 ,(3) 0=20 +70 ,(4) 0

=–20 –70 .Noseusistemadecoordenadas,xvariaaolongodoníveldosoloeycresceparacima.(a)Ordeneosvetoresdeacordocomavelocidadeescalardelançamentodoprojétil,começandopelomaior.(b)Ordeneosvetoresdeacordocomotempodevoodoprojétil,começandopelomaior.

5AFig.4-23mostratrêssituaçõesnasquaisprojéteis iguaissãolançadosdosolo(apartirdamesmaaltura)comamesmavelocidadeescalareomesmoângulo.Entretanto,osprojéteisnãocaemnomesmoterreno.Ordeneassituaçõesdeacordocomavelocidadeescalarfinaldosprojéteisimediatamenteantesdeaterrissarem,começandopelamaior.


6Oúnicousodecentedeumbolodefrutasénapráticadoarremesso.Acurva1naFig.4-24mostraaaltura y de um bolo de frutas arremessado por uma catapulta em função do ângulo θ entre o vetorvelocidade e o vetor aceleraçãodurante o percurso. (a)Qual dos pontos assinalados por letras nessacurvacorrespondeaochoquedobolodefrutascomosolo?(b)Acurva2éumgráficosemelhanteparaamesmavelocidadeescalar inicial,masparaumângulode lançamentodiferente.Nessecaso,obolodefrutasvaicairemumpontomaisdistanteoumaispróximodopontodelançamento?


7Umaviãoqueestávoandohorizontalmentecomumavelocidadeconstantede350km/h,sobrevoandoumterrenoplano,deixacairumfardocomsuprimentos.Ignoreoefeitodoarsobreofardo.Quaissãoascomponentes inicial (a) vertical e (b) horizontal da velocidade do fardo? (c) Qual é a componentehorizontaldavelocidadeimediatamenteantesdeofardosechocarcomosolo?(d)Seavelocidadedoaviãofosse450km/h,otempodequedaseriamaior,menorouigual?

8NaFig.4-25,umatangerinaéarremessadaparacimaepassapelasjanelas1,2e3,quetêmomesmotamanhoeestãoregularmenteespaçadasnavertical.Ordeneastrêsjanelas,emordemdecrescente,(a)deacordo com o tempo que a tangerina leva para passar pela janela e (b) de acordo com a velocidademédiadatangerinaduranteapassagem.

Na descida, a tangerina passa pelas janelas 4, 5 e 6, que têm o mesmo tamanho e não estãoregularmenteespaçadasnahorizontal.Ordeneastrêsjanelas,emordemdecrescente,(c)deacordocomotempoqueatangerinalevaparapassare(d)deacordocomavelocidademédiadatangerinaduranteapassagem.


9AFig.4-26mostratrêstrajetóriasdeumaboladefutebolchutadaapartirdochão.Ignorandoosefeitosdoar,ordeneas trajetóriasdeacordo(a)comotempodepercurso,(b)comacomponenteverticalda

velocidadeinicial,(c)comacomponentehorizontaldavelocidadeiniciale(d)comavelocidadeescalarinicial,emordemdecrescente.


10Umabolaéchutadaapartirdochão,emumterrenoplano,comumadadavelocidadeinicial.AFig.4-27mostraoalcanceRdabolaemfunçãodoângulodelançamentoθ0.Ordeneostrêspontosidentificadospor letras no gráfico (a) de acordo como tempo que a bola permanece no ar e (b) de acordo com avelocidadedabolanaalturamáxima,emordemdecrescente.


11AFig.4-28mostraquatrotrilhos(semicírculosouquartosdecírculo)quepodemserusadosporumtrem que se move com velocidade escalar constante. Ordene os trilhos de acordo com o módulo daaceleraçãodotremnotrechocurvo,emordemdecrescente.


12NaFig.4-29,apartículaPestáemmovimentocircularuniformeemtornodaorigemdeumsistemade

coordenadasxy. (a) Para que valores deθ a componente vertical ry do vetor posição possui omaiormódulo?(b)Paraquevaloresdeθacomponenteverticalvydavelocidadedapartículapossuiomaiormódulo?(c)Paraquevaloresdeθacomponenteverticalaydaaceleraçãodapartículapossuiomaiormódulo?


13(a)Épossívelestaracelerandoenquantoseviajacomvelocidadeescalarconstante?Épossívelfazerumacurva(b)comaceleraçãonulae(c)comaceleraçãodemóduloconstante?

14Vocêestáviajandodecarroelançaumovoverticalmenteparacima.Oovocaiatrásdocarro,àfrentedocarro,oudevoltanasuamãoseavelocidadedocarro(a)éconstante,(b)estáaumentando,(c)estádiminuindo?

15 Uma bola de neve é lançada do nível do solo (por uma pessoa que está em um buraco) comvelocidade inicialv0 e um ângulo de lançamento de 45° como solo (plano), no qual a bola vai cair,depoisdepercorrerumacertadistância.Seoângulodelançamentoaumenta,(a)adistânciapercorridae(b)otempoemqueaboladenevepermanecenoaraumentam,diminuemounãovariam?

16Vocêestádirigindoquasecoladoaumcaminhão,eosdoisveículosmantêmamesmavelocidade.Umengradadocaidatraseiradocaminhão.(a)Sevocênãofrearnemderumgolpededireção,vaiatropelaroengradadoantesqueelesechoquecomopisodaestrada?(b)Duranteaqueda,avelocidadehorizontaldoengradadoémaior,menorouigualàvelocidadedocaminhão?

17Emquepontodatrajetóriadeumprojétilavelocidadeémínima?

18Noarremessodepeso,opesoélançadodeumpontoacimadoombrodoatleta.Oângulo,paraoqualadistânciaatingidapelopesoémáxima,é45°,maiorque45°,oumenorque45°?

Problemas



Módulo4-1PosiçãoeDeslocamento

·1Ovetorposiçãodeumelétroné =(5,0m) –(3,0m) +(2,0m) .(a)Determineomódulode .(b)Desenheovetoremumsistemadecoordenadasdextrogiro.

·2Umasementedemelanciapossuiasseguintescoordenadas:x=–5,0m,y=8,0mez=0m.Determineovetorposiçãodasemente(a)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(b)ummóduloe(c)umânguloemrelaçãoaosentidopositivodoeixox.(d)Desenheovetoremumsistemadecoordenadasdextrogiro.Seasementefortransportadaparaascoordenadas(3,00m,0m,0m),determineodeslocamento(e)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(f)ummóduloe(g)umânguloemrelaçãoaosentidopositivodoeixox.

·3Umpósitronsofreumdeslocamento∆ =2,0 –3,0 +6,0 eterminacomumvetorposição =3,0 –4,0 ,emmetros.Qualeraovetorposiçãoinicialdopósitron?

··4Oponteirodosminutosdeumrelógiodeparedemede10cmdapontaaoeixoderotação.Omóduloeo ângulo do vetor deslocamento da ponta devem ser determinados para três intervalos de tempo.Determine (a) o módulo e (b) o ângulo associado ao deslocamento da ponta entre as posiçõescorrespondentesaquinzeetrintaminutosdepoisdahora,(c)omóduloe(d)oângulocorrespondenteàmeiahoraseguinte,e(e)omóduloe(f)oângulocorrespondenteàhoraseguinte.

Módulo4-2VelocidadeMédiaeVelocidadeInstantânea

·5Umtremqueviajaaumavelocidadeconstantede60,0km/hsemovenadireçãolestepor40,0min,depoisemumadireçãoquefazumângulode50,0°alestecomadireçãonortepor20,0mine,finalmente,nadireçãooestepormais50,0min.Quaissão(a)omóduloe(b)oângulodavelocidademédiadotremduranteaviagem?

·6Aposiçãodeumelétronédadapor =3,00t –4,00t2 +2,00 comtemsegundose emmetros.(a)Qualéavelocidade (t)doelétronnanotaçãodosvetoresunitários?Quantovale (t)no instante t=2,00s(b)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(c)ummóduloe(d)umânguloemrelaçãoaosentidopositivodoeixox?

·7Ovetorposiçãodeumíonéinicialmente =5,0 –6,0 +2,0 e10sdepoispassaaser =2,0 +8,0 –2,0 ,comtodososvaloresemmetros.Qualéavelocidademédia médduranteos10snanotaçãodosvetoresunitários?

··8Umaviãovoa483kmparaleste,dacidadeAparaacidadeB,em45,0min,edepois966kmparaosul,dacidadeB para a cidadeC, em1,50 h.Determine, para a viagem inteira, (a) omódulo e (b) adireçãododeslocamentodoavião,(c)omóduloe(d)adireçãodavelocidademédiae(e)avelocidadeescalarmédia.

··9AFig.4-30mostraosmovimentosdeumesquiloemumterrenoplano,dopontoA(noinstantet=0)paraospontosB(emt=5,00min),C(emt=10,0min)e,finalmente,D(emt=15,0min).ConsidereasvelocidadesmédiasdoesquilodopontoAparacadaumdosoutrostrêspontos.Entreessasvelocidadesmédiasdetermine (a)omódulo e (b)o ângulodaquepossuiomenormóduloe (c)omódulo e (d)o

ângulodaquepossuiomaiormódulo.


···10Ovetor =5,00t +(et+ft2) mostraaposiçãodeumapartículaemfunçãodotempot.Ovetorestáemmetros, testáemsegundoseosfatoreseefsãoconstantes.AFig.4-31mostraoânguloθdadireção do movimento da partícula em função de t (θ é medido a partir do semieixo x positivo).Determine(a)ee(b)f,indicandoasunidadescorrespondentes.


Módulo4-3AceleraçãoMédiaeAceleraçãoInstantânea

·11Aposição deumapartículaquesemoveemumplanoxyédadapor =(2,00t3–5,00t) +(6,00–7,00t4),com emmetrosetemsegundos.Nanotaçãodosvetoresunitários,calcule(a) ,(b) e(c)para t = 2,00 s. (d) Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória dapartículaemt=2,00s?

·12Emcertoinstante,umciclistaestá40,0malestedomastrodeumparque,indoparaosulcomumavelocidadede10,0m/s.Após30,0s,ociclistaestá40,0maonortedomastro,dirigindo-separaleste

comumavelocidadede10,0m/s.Paraociclista,nesseintervalode30,0s,quaissão(a)omóduloe(b)adireçãododeslocamento, (c)omóduloe (d) adireçãodavelocidademédiae (e)omóduloe (f) adireçãodaaceleraçãomédia?

·13Umapartículasemovedetalformaqueaposição(emmetros)emfunçãodotempo(emsegundos)édadapor = +4t2 +t .Escrevaexpressõespara(a)avelocidadee(b)aaceleraçãoemfunçãodotempo.

·14Avelocidadeinicialdeumprótoné =4,0 –2,0 +3,0 ;maistarde,passaaser =–2,0 –2,0 +5,0 (emmetrosporsegundo).Paraesses4,0s,determinequalé(a)aaceleraçãomédiadopróton méd

nanotaçãodosvetoresunitários,(b)qualomódulode méde(c)qualoânguloentre médeosemieixoxpositivo.

··15Umapartículadeixaaorigemcomumavelocidadeinicial =(3,00)m/seumaaceleraçãoconstante= (–1,00 –0,500 )m/s2.Quando a partícula atinge o valormáximo da coordenada x, qual é (a) a

velocidadee(b)qualéovetorposição?

··16Avelocidade deumapartículaquesemovenoplanoxyédadapor =(6,0t–4,0t2) +8,00 ,comemmetrosporsegundoet(>0)emsegundos.(a)Qualéaaceleraçãonoinstantet=3,0s?(b)Emqueinstante(seissoépossível)aaceleraçãoénula?(c)Emqueinstante(seissoépossível)avelocidadeénula?(d)Emqueinstante(seissoépossível)avelocidadeescalardapartículaéiguala10m/s?

··17Umcarrosemoveemumplanoxycomcomponentesdaaceleraçãoax=4,0m/s2eay=–2,0m/s2.Avelocidadeinicialtemcomponentesv0x=8,0m/sev0y=12m/s.Qualéavelocidadedocarro,nanotaçãodosvetoresunitários,quandoatingeamaiorcoordenaday?

··18Umventomoderadoaceleraumseixoemumplanohorizontalxycomumaaceleraçãoconstante =(5,00m/s2)i+(7,00m/s2) .Noinstantet=0,avelocidadeé(4,00m/s) .Quaissão(a)omóduloe(b)oângulodavelocidadedoseixoapóstersedeslocado12,0mparalelamenteaoeixox?

···19Aaceleraçãodeumapartículaquesemoveemumplanohorizontalxyédadapor =(3t +4t ),emque estáemmetrosporsegundoaoquadradoetemsegundos.Emt=0,ovetorposição =(20,00m) +(40,0m) indicaalocalizaçãodapartícula,quenesseinstantetemumavelocidade =(5,00m/s)+ (2,00m/s) .Em t = 4,00 s, determine (a) o vetor posição na notação dos vetores unitários e (b) oânguloentreadireçãodomovimentoeosemieixoxpositivo.

···20NaFig.4-32,apartículaAsemoveaolongodaretay=30mcomumavelocidadeconstante demódulo3,0m/s,paralelaaoeixox.No instanteemqueapartículaA passapeloeixoy, apartículaBdeixa a origem comvelocidade inicial zero e aceleração constante demódulo 0,40m/s2. Para quevalordoânguloθentree osemieixoypositivoaconteceumacolisão?


Módulo4-4MovimentoBalístico

·21Umdardoéarremessadohorizontalmentecomumavelocidade inicialde10m/semdireçãoaumpontoP,ocentrodeumalvodeparede.OdardoatingeumpontoQdoalvo,verticalmenteabaixodeP,0,19sdepoisdoarremesso.(a)QualéadistânciaPQ?(b)Aquedistânciadoalvofoiarremessadoodardo?

·22Umapequenabolarolahorizontalmenteatéabordadeumamesade1,20mdealturaecainochão.Abolachegaaochãoaumadistânciahorizontalde1,52mdabordadamesa.(a)Porquantotempoabolaficanoar?(b)Qualéavelocidadedabolanoinstanteemqueelachegaàbordadamesa?

·23Umprojétilédisparadohorizontalmentedeumaarmaqueestá45,0macimadeumterrenoplano,saindodaarmacomumavelocidadede250m/s.(a)Porquantotempooprojétilpermanecenoar?(b)Aquedistânciahorizontaldopontodedisparooprojétil se chocacomo solo? (c)Qual éomódulodacomponenteverticaldavelocidadequandooprojétilsechocacomosolo?

·24 No Campeonato Mundial de Atletismo de 1991, em Tóquio, Mike Powell saltou 8,95 m,batendo por 5 cm um recorde de 23 anos estabelecido por Bob Beamon para o salto em distância.SuponhaquePowell iniciouo salto comumavelocidadede9,5m/s (aproximadamente igual à deumvelocista) equeg = 9,8m/s2 emTóquio.Calcule a diferença entre o alcance de Powell e omáximoalcancepossívelparaumapartículalançadacomamesmavelocidade.

·25 Orecordeatualdesaltodemotocicletaé77,0m,estabelecidoporJasonRenie.SuponhaqueRenietivessepartidodarampafazendoumângulode12°comahorizontalequeasrampasdesubidaededescidativessemamesmaaltura.Determineavelocidadeinicial,desprezandoaresistênciadoar.

·26Umapedraélançadaporumacatapultanoinstantet=0,comumavelocidadeinicialdemódulo20,0m/s e ângulo 40,0° acima da horizontal. Quais são osmódulos das componentes (a) horizontal e (b)vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 1,10 s?Repita os cálculos para ascomponentes(c)horizontale(d)verticalemt=1,80separaascomponentes(e)horizontale(f)verticalemt=5,00s.

··27Umaviãoestámergulhandocomumânguloθ=30,0° abaixodahorizontal, aumavelocidadede

290,0 km/h, quando o piloto libera um chamariz (Fig. 4-33). A distância horizontal entre o ponto delançamentoeopontonoqualochamarizsechocacomosoloéd=700m.(a)Quantotempoochamarizpassounoar?(b)Dequealturafoilançado?


··28NaFig.4-34,umapedraélançadaparaoaltodeumrochedodealturahcomumavelocidadeinicialde 42,0 m/s e um ângulo θ0 = 60,0° com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50 s após olançamento. Determine (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes doimpactoemAe(c)aalturamáximaHalcançadaacimadosolo.


··29Avelocidadedelançamentodeumprojétilécincovezesmaiorqueavelocidadenaalturamáxima.Determineoângulodelançamentoθ0.

··30Uma bola de futebol é chutada, a partir do chão, com uma velocidade inicial de 19,5m/s e umângulo para cima de 45°. Nomesmo instante, um jogador a 55m de distância, na direção do chute,começaacorrerparareceberabola.Qualdeveseravelocidademédiadojogadorparaquealcanceabolaimediatamenteantesdetocarogramado?

··31 Aodarumacortada,umjogadordevoleibolgolpeiaabolacomforça,decimaparabaixo,emdireçãoàquadraadversária.Édifícilcontrolaroângulodacortada.Suponhaqueumabolasejacortadadeumaalturade2,30m,comumavelocidadeinicialde20,0m/seumânguloparabaixode18,00°.Seoânguloparabaixodiminuirpara8,00°,aquedistânciaadicionalabolaatingiráaquadraadversária?

··32Vocêlançaumabolaemdireçãoaumaparedecomumavelocidadede25,0m/seumânguloθ0=40,0°acimadahorizontal(Fig.4-35).Aparedeestáaumadistânciad=22,0mdopontodelançamentoda bola. (a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola atinge a parede? Quais são ascomponentes (b) horizontal e (c) vertical davelocidadedabola ao atingir a parede? (d)Aoatingir aparede,abolajápassoupelopontomaisaltodatrajetória?


··33Umavião,mergulhandocomvelocidadeconstanteemumângulode53,0°comavertical,lançaumprojétil a uma altitude de 730 m. O projétil chega ao solo 5,00 s após o lançamento. (a) Qual é avelocidadedoavião? (b)Quedistânciaoprojétilpercorrehorizontalmenteduranteopercurso?Quaissãoascomponentes(c)horizontale(d)verticaldavelocidadedoprojétilnomomentoemqueelechegaaosolo?

··34 Otrebucheteraumamáquinadearremessoconstruídaparaatacarasmuralhasdeumcastelodurante um cerco. Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrubá-la. Amáquinanãoerainstaladapertodamuralhaporqueosoperadoresseriamumalvofácilparaasflechasdisparadasdoaltodasmuralhasdocastelo.Emvezdisso,otrebucheteraposicionadodetalformaqueapedraatingiaamuralhanapartedescendenteda trajetória.Suponhaqueumapedra fosse lançadacomumavelocidadev0=28,0m/seumânguloθ0=40,0°.Qualseriaavelocidadedapedraseelaatingisseamuralha(a)nomomentoemquechegasseàalturamáximadatrajetóriaparabólicae(b)depoisdecairparametadedaalturamáxima?(c)Qualadiferençapercentualentreasrespostasdositens(b)e(a)?

··35Um riflequeatirabalas a460m/s é apontadoparaumalvo situadoa45,7mdedistância.Seocentro do alvo está namesma altura do rifle, para que altura acimado alvo o canodo rifle deve serapontadoparaqueabalaatinjaocentrodoalvo?

··36Duranteumapartidadetênis,umjogadorsacaa23,6m/s,comocentrodaboladeixandoaraquetehorizontalmentea2,37mdealturaemrelaçãoàquadra.Aredeestáa12mdedistânciaetem0,90mdealtura.(a)Abolapassaparaooutroladodaquadra?(b)Qualéadistânciaentreocentrodabolaeoaltodaredequandoabolachegaàrede?Suponhaque,nasmesmascondições,aboladeixearaquetefazendoumângulo5,00°abaixodahorizontal.Nessecaso,(c)abolapassaparaooutroladodaquadra?(d)Qualéadistânciaentreocentrodabolaeoaltodaredequandoabolachegaàrede?

··37Ummergulhadorsaltacomumavelocidadehorizontalde2,00m/sdeumaplataformaqueestá10,0macimadasuperfíciedaágua.(a)Aquedistânciahorizontaldabordadaplataformaestáomergulhador

0,800 s após o início do salto? (b) A que distância vertical acima da superfície da água está omergulhadornesseinstante?(c)Aquedistânciahorizontaldabordadaplataformaomergulhadoratingeaágua?

··38Umaboladegolferecebeumatacadanosolo.AvelocidadedabolaemfunçãodotempoémostradanaFig.4-36,emquet=0éoinstanteemqueabolafoigolpeada.Aescalaverticaldográficoédefinidapor va = 19m/s e vb = 31m/s. (a) Que distância horizontal a bola de golfe percorre antes de tocarnovamenteosolo?(b)Qualéaalturamáximaatingidapelabola?


··39NaFig.4-37,umabolaélançadaparaaesquerdadabordaesquerdadoterraçodeumedifício.Opontodelançamentoestáaumaalturahemrelaçãoaosolo,eabolachegaaosolo1,50sdepois,aumadistânciahorizontald=25,0mdopontodelançamentoefazendoumânguloθ=60,0°comahorizontal.(a)Determineovalordeh.(Sugestão:Umaformaderesolveroproblemaéinverteromovimento,comosevocê estivessevendoum filmede trás para a frente.)Qual é (b) omódulo e (c) qual o ângulo emrelaçãoàhorizontalcomqueabolafoilançada?(d)Oânguloéparacimaouparabaixoemrelaçãoàhorizontal?


··40 Umarremessadordepesodenívelolímpicoécapazde lançaropesocomumavelocidadeinicialv0=15,00m/sdeumaalturade2,160m.Quedistânciahorizontalécobertapelopesoseoângulodelançamentoθ0é(a)45,00°e(b)42,00°?Asrespostasmostramqueoângulode45°,quemaximizaoalcance dos projéteis, nãomaximiza a distância horizontal quando a altura inicial e a altura final sãodiferentes.

··41 Quandovêuminsetopousadoemumaplantapertodasuperfíciedaágua,opeixearqueirocolocaofocinhoparaforaelançaumjatod’águanadireçãodoinsetoparaderrubá-lonaágua(Fig.4-38).Emboraopeixevejaoinsetonaextremidadedeumsegmentoderetadecomprimentod,quefazumânguloϕcomasuperfíciedaágua,ojatodeveserlançadocomumângulodiferente,θ0,paraqueojatoatinjaoinsetodepoisdedescreverumatrajetóriaparabólica.Seϕ=36,0°,d=0,900meavelocidadede lançamento é 3,56m/s, qual deve ser o valor de θ0 para que o jato esteja no pontomais alto datrajetóriaquandoatingeoinseto?


··42 Em 1939, ou 1940, Emanuel Zacchini levou seu número de bala humana a novas alturas:disparadoporumcanhão,elepassouporcimadetrêsrodas-gigantesantesdecairemumarede(Fig.4-39).Suponhaqueeletenhasidolançadocomumavelocidadede26,5m/seemumângulode53,0º.(a)TratandoZacchinicomoumapartícula,determineaquedistânciaverticalelepassoudaprimeiraroda-gigante. (b) Se Zacchini atingiu a altura máxima quando passou pela roda-gigante do meio, a quedistânciaverticalpassoudessa roda-gigante? (c)Aquedistânciadocanhãodeviaestarposicionadoocentrodarede(desprezandoaresistênciadoar)?


··43Umabolaélançadaapartirdosolo.Quandoatingeumaalturade9,1m,avelocidadeé =(7,6 +6,1 )m/s,com horizontale paracima. (a)Qualéaalturamáximaatingidapelabola?(b)Qualéadistânciahorizontalcobertapelabola?Quaissão(c)omóduloe(d)oângulo(abaixodahorizontal)da

velocidadedabolanoinstanteemqueelaatingeosolo?

··44Umaboladebeiseboldeixaamãodolançadorhorizontalmentecomumavelocidadede161km/h.Adistânciaatéo rebatedoré18,3m. (a)Quanto tempoabola levaparapercorreraprimeirametadedadistância?(b)Easegundametade?(c)Quedistânciaabolacailivrementeduranteaprimeirametade?(d)Eduranteasegundametade?(e)Porqueasrespostasdositens(c)e(d)nãosãoiguais?

··45NaFig.4-40,umabola é lançadacomumavelocidadede10,0m/s eumângulode50,0° comahorizontal.Opontodelançamentoficanabasedeumarampadecomprimentohorizontald1=6,00mealturad2=3,60m.Noaltodarampaexisteumestradohorizontal.(a)Abolacainarampaounoestrado?Nomomento em que a bola cai, quais são (b) omódulo e (c) o ângulo do deslocamento da bola emrelaçãoaopontodelançamento?


··46 Algunsjogadoresdebasquetebolparecemflutuarnoarduranteumsaltoemdireçãoàcesta.Ailusãodepende,emboaparte,dacapacidadedeumjogadorexperientedetrocarrapidamenteabolademãoduranteosalto,maspodeseracentuadapelofatodequeojogadorpercorreumadistânciahorizontalmaiornapartesuperiordosaltodoquenaparteinferior.Seumjogadorsaltacomumavelocidadeinicialv0=7,00m/seumânguloθ0=35,0°,queporcentagemdoalcancedosaltoojogadorpassanametadesuperiordosalto(entreaalturamáximaemetadedaalturamáxima)?

··47Umrebatedorgolpeiaumaboladebeisebolquandoocentrodabolaestá1,22macimadosolo.Abola deixa o taco fazendo um ângulo de 45° com o solo e com uma velocidade tal que o alcancehorizontal (distância atévoltar àalturade lançamento) é 107m. (a)Abola consegue passar por umalambradode7,32mdealturaqueestáaumadistânciahorizontalde97,5mdopontoinicial?(b)Qualéa distância entre a extremidade superior do alambrado e o centro da bola quando a bola chega aoalambrado?

··48NaFig.4-41,umabolaéarremessadaparaoaltodeumedifício,caindo4,00sdepoisaumaalturah=20,0macimadaalturadelançamento.Atrajetóriadabolanofinaltemumainclinaçãoθ=60°emrelação à horizontal. (a) Determine a distância horizontal d coberta pela bola. (Veja a sugestão doProblema39.)Quaissão(b)omóduloe(c)oângulo(emrelaçãoàhorizontal)davelocidadeinicialdabola?


···49O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola umavelocidade inicial de 25m/s.Quaissão(a)omenore(b)omaiorângulodeelevaçãoqueelepodeimprimiràbolaparamarcarumfieldgoal1apartirdeumpontosituadoa50mdameta,cujotravessãoestá3,44macimadogramado?

···50Doissegundosapóstersidolançadoapartirdosolo,umprojétildeslocou-se40mhorizontalmentee53mverticalmenteemrelaçãoaopontodelançamento.Quaissãoascomponentes(a)horizontale(b)verticaldavelocidadeinicialdoprojétil?(c)Qualéodeslocamentohorizontalemrelaçãoaopontodelançamentonoinstanteemqueoprojétilatingeaalturamáximaemrelaçãoaosolo?

···51 Osesquiadoresexperientescostumamdarumpequenosaltoantesdechegaremaumaencostadescendente.Considereumsaltonoqualavelocidadeinicialév0=10m/s,oânguloéθ0=11,3°,apistaantesdosaltoéaproximadamenteplanaeaencostatemumainclinaçãode9,0°.AFig.4-42amostraumpré-saltonoqualoesquiadordescenoiníciodaencosta.AFig.4-42bmostraumsaltoquecomeçanomomento em que o esquiador está chegando à encosta. Na Fig. 4-42a, o esquiador desceaproximadamentenamesmaalturaemquecomeçouosalto.(a)Qualéoânguloϕentrea trajetóriadoesquiador e a encosta na situação da Fig. 4-42a? Na situação da Fig. 4-42b, (b) o esquiador descequantosmetrosabaixodaalturaemquecomeçouosalto?(c)Qualéovalordeϕ?(Aquedamaioreomaiorvalordeϕpodemfazeroesquiadorperderoequilíbrio.)


···52Umabolaélançadadosoloemdireçãoaumaparedequeestáaumadistânciax(Fig.4-43a).AFig.4-43bmostraacomponentevydavelocidadedabolano instanteemqueelaalcançaaparedeemfunçãodadistânciax.Asescalasdográficosãodefinidasporvys=5,0m/sexs=20m.Qualéoângulodolançamento?


···53NaFig.4-44, uma bola de beisebol é golpeada a uma alturah = 1,00m e apanhada namesmaaltura.Deslocando-se paralelamente a ummuro, a bola passa pelo alto domuro 1,00 s após ter sidogolpeadae,novamente,4,00sdepois,quandoestádescendo,emposiçõesseparadasporumadistânciaD=50,0m.(a)Qualéadistânciahorizontalpercorridapelabola,doinstanteemquefoigolpeadaatéserapanhada? Quais são (b) o módulo e (c) o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade da bolaimediatamenteapóstersidogolpeada?(d)Qualéaalturadomuro?


···54Umabolaélançadaapartirdosolocomumadadavelocidade.AFig.4-45mostraoalcanceRemfunçãoaoângulodelançamentoθ0.Otempodepercursodependedovalordeθ0;sejatmáxomaiorvalorpossíveldessetempo.Qualéamenorvelocidadequeabolapossuiduranteopercursoseθ0éescolhidodetalformaqueotempodepercursoseja0,5tmáx?


···55Umabolarolahorizontalmentedoaltodeumaescadaaumavelocidadede1,52m/s.Osdegraus

têm20,3cmdealturae20,3cmdelargura.Emquedegrauabolabateprimeiro?

Módulo4-5MovimentoCircularUniforme

·56UmsatélitedaTerrasemoveemumaórbitacircular,640kmacimadasuperfíciedaTerra,comumperíodode98,0min.Quaissão(a)avelocidadee(b)omódulodaaceleraçãocentrípetadosatélite?

·57Umcarrosseldeumparquedediversõesgiraemtornodeumeixoverticalcomvelocidadeangularconstante.Umhomemempénabordadocarrosseltemumavelocidadeescalarconstantede3,66m/seumaaceleraçãocentrípeta demódulo1,83m/s2.Ovetor posição indica a posição do homem emrelaçãoaoeixodocarrossel.(a)Qualéomódulode ?Qualéosentidode quando aponta(b)paralestee(c)paraosul?

·58Umventiladorrealiza1200revoluçõesporminuto.Considereumpontosituadonaextremidadedeumadaspás,quedescreveumacircunferênciacom0,15mderaio.(a)Quedistânciaopontopercorreemumarevolução?Quaissão(b)avelocidadedopontoe(c)omódulodaaceleração?(d)Qualéoperíododomovimento?

·59Umamulherestáemumaroda-gigantecom15mderaioquecompletacincovoltasemtornodoeixohorizontal a cada minuto. Quais são (a) o período do movimento, (b) o módulo e (c) o sentido daaceleração centrípeta no pontomais alto, e (d) omódulo e (e) o sentido da aceleração centrípeta damulhernopontomaisbaixo?

·60UmviciadoemaceleraçãocentrípetaexecutaummovimentocircularuniformedeperíodoT=2,0seraior=3,00m.Noinstantet1,aaceleraçãoé =(6,00m/s2) +(–4,00m/s2) .Quaissão,nesseinstante,osvaloresde(a) · e(b) × ?

·61Quandoumagrandeestrelasetornaumasupernova,onúcleodaestrelapodesertãocomprimidoqueelasetransformaemumaestreladenêutrons,comumraiodecercade20km.Seumaestreladenêutronscompletaumarevoluçãoacadasegundo,(a)qualéomódulodavelocidadedeumapartículasituadanoequador da estrela e (b) qual é o módulo da aceleração centrípeta da partícula? (c) Se a estrela denêutrons giramais depressa, as respostas dos itens (a) e (b) aumentam, diminuem ou permanecem asmesmas?

·62Qualéomódulodaaceleraçãodeumvelocistaquecorrea10m/saofazerumacurvacom25mderaio?

··63Emt1=2,00s,aaceleraçãodeumapartículaemmovimentocircularnosentidoanti-horárioé(6,00m/s2) +(4,00m/s2) .Apartículasemovecomvelocidadeescalarconstante.Emt2=5,00s,aaceleraçãoé(4,00m/s2) +(–6,00m/s) .Qualéoraiodatrajetóriadapartículaseadiferençat2–t1émenorqueumperíododerotação?

··64Umapartículadescreveummovimentocircularuniformeemumplanohorizontalxy.Emumdadoinstante,apartículapassapelopontodecoordenadas(4,00m,4,00m)comumavelocidadede–5,00m/s e uma aceleração de+12,5 m/s2.Quais são as coordenadas (a) x e (b) y do centro da trajetória

circular?

··65Umabolsaa2,00mdocentroeumacarteiraa3,00mdocentrodescrevemummovimentocircularuniformenopisodeumcarrossel.Osdoisobjetosestãonamesmalinharadial.Emumdadoinstante,aaceleração da bolsa é (2,00m/s2) + (4,00m/s2) . Qual é a aceleração da carteira nesse instante, nanotaçãodosvetoresunitários?

··66Umapartículasemoveemumatrajetóriacircularemumsistemadecoordenadasxyhorizontal,comvelocidadeescalarconstante.Noinstantet1=4,00s,apartículaseencontranoponto(5,00m,6,00m)com velocidade (3,00m/s) e aceleração no sentido positivo de x. No instante t2 = 10,0 s, tem umavelocidade(–3,00m/s) eumaaceleraçãonosentidopositivodey.Quaissãoascoordenadas(a)xe(b)ydocentrodatrajetóriacircularseadiferençat2–t1émenorqueumperíododerotação?

···67Ummeninofazumapedradescreverumacircunferênciahorizontalcom1,5mderaio2,0macimado chão. A corda arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois depercorrerumadistânciahorizontalde10m.Qualeraomódulodaaceleraçãocentrípetadapedraduranteomovimentocircular?

···68Umgatopulaemumcarrosselquedescreveummovimentocircularuniforme.Noinstantet1=2,00s, a velocidade do gato é 1 = (3,00 m/s) + (4,00 m/s) , medida em um sistema de coordenadashorizontalxy.Noinstantet2=5,00s,avelocidadedogatoé 2=(–3,00m/s) +(–4,00m/s) .Qualé(a)omódulodaaceleraçãocentrípetadogatoe(b)qualéaaceleraçãomédiadogatonointervalodetempot2–t1,queémenorqueumperíododerotação?

Módulo4-6MovimentoRelativoemUmaDimensão

·69Umcinegrafistaestáemumapicapequesemoveparaoestea20km/henquantofilmaumguepardoque tambémestá semovendoparaoeste30km/hmaisdepressaqueapicape.De repente,oguepardopara,dámeia-voltaepassaacorrera45km/hparaleste,deacordocomaestimativadeummembrodaequipe, agora nervoso, que está na margem da estrada, no caminho do guepardo. A mudança develocidadedoanimalleva2,0s.Quaissão(a)omóduloe(b)aorientaçãodaaceleraçãodoanimalemrelaçãoaocinegrafistae(c)omóduloe(d)aorientaçãodaaceleraçãodoanimalemrelaçãoaomembronervosodaequipe?

·70Umbarcoestánavegandorioacima,nosentidopositivodeumeixox,a14km/hemrelaçãoàáguado rio.Aáguado rioestácorrendoa9,0km/hemrelaçãoàmargem.Quais são (a)omóduloe (b)aorientaçãodavelocidadedobarcoem relaçãoàmargem?Umacriançaqueestánobarcocaminhadapopa para a proa a 6,0 km/h em relação ao barco. Quais são (c) o módulo e (d) a orientação davelocidadedacriançaemrelaçãoàmargem?

··71Umhomemdeaparênciasuspeitacorreomaisdepressaquepodeporumaesteirarolante,levando2,5sparairdeumaextremidadeàoutra.Ossegurançasaparecemeohomemvoltaaopontodepartida,correndoomaisdepressaquepodeelevando10,0s.Qualéarazãoentreavelocidadedohomemeavelocidadedaesteira?

Módulo4-7MovimentoRelativoemDuasDimensões

·72Umjogadorderúgbicorrecomabolaemdireçãoàmetaadversária,nosentidopositivodeumeixox.Deacordocomasregrasdo jogo,elepodepassarabolaaumcompanheirodeequipedesdequeavelocidadedabolaemrelaçãoaocamponãopossuaumacomponentexpositiva.Suponhaqueojogadorestejacorrendoaumavelocidadede4,0m/semrelaçãoaocampoquandopassaabolaaumavelocidadeBJemrelaçãoaelemesmo.Seomódulode BJé6,0m/s,qualéomenorânguloqueaboladevefazercomadireçãoxparaqueopassesejaválido?

··73Duasrodoviassecruzam,comomostraaFig.4-46.Noinstanteindicado,umcarrodepolíciaPestáa uma distância dP = 800 m do cruzamento, movendo-se a uma velocidade escalar vP = 80 km/h. OmotoristaMestáaumadistânciadM=600mdocruzamento,movendo-seaumavelocidadeescalarvM=60km/h. (a)Qualéavelocidadedomotoristaemrelaçãoaocarrodapolíciananotaçãodosvetoresunitários?(b)NoinstantemostradonaFig.4-46,qualéoânguloentreavelocidadecalculadanoitem(a)earetaqueligaosdoiscarros?(c)Seoscarrosmantêmavelocidade,asrespostasdositens(a)e(b)mudamquandooscarrosseaproximamdainterseção?


··74Depoisdevoarpor15minemumventode42km/haumângulode20°aosuldoleste,opilotodeum avião sobrevoa uma cidade que está a 55 km ao norte do ponto de partida.Qual é a velocidadeescalardoaviãoemrelaçãoaoar?

··75Umtremviajaparaosula30m/s(emrelaçãoaosolo)emmeioaumachuvaqueésopradaparaosulpelovento.Astrajetóriasdasgotasdechuvafazemumângulode70°comaverticalquandomedidaspor um observador estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas caíremexatamentenavertical.Determineavelocidadeescalardasgotasdechuvaemrelaçãoaosolo.

··76Umaviãopequenoatingeumavelocidadedoarde500km/h.Opilotopretendechegaraumponto

800kmaonorte,masdescobrequedevedirecionaroavião20,0°alestedonorteparaatingirodestino.Oaviãochegaem2,00h.Quaiseram(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedovento?

··77Aneveestácaindoverticalmentecomumavelocidadeconstantede8,0m/s.Comqueângulo,emrelaçãoàvertical,osflocosdeneveparecemestarcaindodopontodevistadomotoristadeumcarroqueviajaemumaestradaplanaeretilíneaaumavelocidadede50km/h?

··78NavistasuperiordaFig.4-47,osjipesPeBsemovememlinharetaemumterrenoplanoepassamporumguardadefronteiraestacionárioA.Emrelaçãoaoguarda,ojipeBsemovecomumavelocidadeescalarconstantede20,0m/seumânguloθ2=30,0°.Tambémemrelaçãoaoguarda,Pacelerouapartirdorepousoaumataxaconstantede0,400m/s2comumânguloθ1=60,0°.Emumdadoinstanteduranteaaceleração,Ppossuiumavelocidadeescalarde40,0m/s.Nesseinstante,quaissão(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedePemrelaçãoaBe(c)omóduloe(d)aorientaçãodaaceleraçãodePemrelaçãoaB?


··79Doisnavios,AeB,deixamoportoaomesmotempo.OnavioAnavegaparanoroestea24nóseonavioBnavegaa28nósemumadireção40°aoestedosul.(1nó=1milhamarítimaporhora;vejaoApêndiceD.)Quaissão(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedonavioAemrelaçãoaonavioB?(c)Apósquantotempoosnaviosestarãoseparadospor160milhasmarítimas?(d)QualseráocursodeB(orientaçãodovetorposiçãodeB)emrelaçãoaAnesseinstante?

··80Umriode200mdelarguracorreparalesteaumavelocidadeconstantede2,0m/s.Umbarcoaumavelocidade de 8,0m/s em relação à água parte damargem sul em uma direção 30° a oeste do norte.Determine (a) omódulo e (b) a orientaçãodavelocidadedobarco em relação àmargem. (c)Quantotempoobarcolevaparaatravessarorio?

···81 O navioA está 4,0 km ao norte e 2,5 km a leste do navioB. O navio A está viajando a umavelocidadede22km/hnadireçãosul;onavioB,aumavelocidadede40,0km/hemumadireção37°aonorte do leste. (a)Qual é a velocidade deA em relação aB na notação dos vetores unitários, comapontandoparaoleste?(b)Escrevaumaexpressão(emtermosde e )paraaposiçãodeAemrelaçãoaB em função do tempo t, tomando t = 0 como o instante em que os dois navios estão nas posições

descritas acima. (c) Em que instante a separação entre os navios é mínima? (d) Qual é a separaçãomínima?

···82Umriode200mdelarguracorreaumavelocidadeescalarconstantede1,1m/semumafloresta,nadireçãoleste.Umexploradordesejasairdeumapequenaclareiranamargemsuleatravessarorioemumbarcoamotorquesemoveaumavelocidadeescalarconstantede4,0m/semrelaçãoàágua.Existeoutraclareiranamargemnorte,82mrioacimadopontodevistadeumlocaldamargemsulexatamenteemfrenteàsegundaclareira.(a)Emquedireçãoobarcodeveserapontadoparaviajaremlinharetaechegar à clareira damargem norte? (b) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar àclareira?

ProblemasAdicionais

83Umamulherqueécapazderemarumbarcoa6,4km/hemáguasparadassepreparaparaatravessarum rio retilíneo com 6,4 km de largura e uma correnteza de 3,2 km/h. Tome perpendicular ao rio eapontandorioabaixo.Seamulherpretenderemaratéumpontonaoutramargemexatamenteemfrenteaopontodepartida,(a)paraqueânguloemrelaçãoaeladeveapontarobarcoe(b)quantotempoelalevaráparafazeratravessia?(c)Quantotempogastariase,permanecendonamesmamargem,remasse3,2kmrioabaixoedepoisremassedevoltaaopontodepartida?(d)Quantotempogastariase,permanecendonamesmamargem,remasse3,2kmrioacimaedepoisremassedevoltaaopontodepartida?(e)Paraqueângulodeveriadirecionarobarcoparaatravessarorionomenortempopossível?(f)Qualseriaessetempo?

84NaFig.4-48a,umtrenósemovenosentidonegativodoeixoxaumavelocidadeescalarconstantevtquando uma bola de gelo é atirada do trenó a uma velocidade 0 = 0x + 0y em relação ao trenó.Quandoabolachegaaosolo,odeslocamentohorizontal∆xbsemrelaçãoaosolo(daposiçãoinicialàposiçãofinal)émedido.AFig.4-48bmostraavariaçãode∆xbscomvt.Suponhaqueabolachegueaosolo na altura aproximada em que foi lançada. Quais são os valores (a) de v0x e (b) de v0y? Odeslocamentodabolaemrelaçãoaotrenó,∆xbt,tambémpodesermedido.Suponhaqueavelocidadedotrenónãomudedepoisqueabolafoiatirada.Quantoé∆xbsparavtseriguala(c)5,0m/se(d)15m/s?


85Vocêfoisequestradoporestudantesdeciênciapolítica(queestãoaborrecidosporquevocêdeclarouqueciênciapolíticanãoéciênciadeverdade).Emboraestejavendado,vocêpodeestimaravelocidadedo carro dos sequestradores (pelo ronco do motor), o tempo de viagem (contando mentalmente ossegundos)eadireçãodaviagem(pelascurvasqueocarrofez).Apartirdessaspistas,vocêsabequefoiconduzidoaolongodoseguintepercurso:50km/hpor2,0min,curvade90°paraadireita,20km/hpor4,0min,curvade90°paraadireita,20km/hpor60s,curvade90°paraaesquerda,50km/hpor60s,curva90°paraadireita,20,0km/hpor2,0min,curvade90°paraaesquerda,50km/hpor30s.Nesseponto,(a)aquedistânciavocêseencontradopontodepartidae(b)emquedireçãoemrelaçãoàdireçãoinicialvocêestá?

86 Na Fig. 4-49, uma estação de radar detecta um avião que se aproxima, vindo do leste.Quando éobservadopelaprimeiravez,oaviãoestáaumadistânciad1=360mdaestaçãoeθ1=40°acimadohorizonte.Oaviãoérastreadoduranteumavariaçãoangular∆θ=123°noplanoverticalleste-oeste;adistância no final dessa variação é d2 = 790 m. Determine (a) o módulo e (b) a orientação dodeslocamentodoaviãoduranteesteperíodo.

Figura4-49 Figura86.

87Umaboladebeisebolégolpeada juntoaochão.Abolaatingeaalturamáxima3,0sapós ter sidogolpeada.Emseguida,2,5sapósteratingidoaalturamáxima,abolapassarenteaumalambradoqueestáa97,5mdopontoemquefoigolpeada.Suponhaqueosolosejaplano.(a)Qualéaalturamáximaatingidapelabola?(b)Qualéaalturadoalambrado?(c)Aquedistânciadoalambradoabolaatingeochão?

88Vooslongosemlatitudesmédiasnohemisférionorteencontramachamadacorrentedejato,umfluxode ar para leste quepode afetar a velocidadedo avião em relação à superfície daTerra.Seopilotomantémamesmavelocidadeemrelaçãoaoar(achamadavelocidadedoar),avelocidadeemrelaçãoaosoloémaiorquandoovooénadireçãodacorrentedejatoemenorquandoovooénadireçãooposta.Suponhaqueumvoodeidaevoltaestejaprevistoentreduascidadesseparadaspor4000km,comovoodeidanosentidodacorrentedejatoeovoodevoltanosentidooposto.Ocomputadordaempresaaérearecomendaumavelocidadedoarde1000km/h,paraaqualadiferençaentreasduraçõesdosvoosdeidaedevoltaé70,0min.Qualfoiavelocidadedacorrentedejatousadanoscálculos?

89Umapartículapartedaorigemnoinstantet=0comumavelocidadede8,0 m/sesemovenoplanoxycomumaaceleraçãoconstanteiguala(4,0 +2,0 )m/s2.Quandoacoordenadaxdapartículaé29m,quaissão(a)acoordenadaye(b)avelocidadeescalar?

90ComquevelocidadeinicialojogadordebasqueteboldaFig.4-50devearremessarabola,comumânguloθ0 = 55° acimadahorizontal, para converter o lance livre?Asdistâncias horizontais sãod1 =0,305med2=4,27measalturassãoh1=2,14meh2=3,05m.


91Duranteaserupçõesvulcânicas,grandespedaçosdepedrapodemserlançadosparaforadovulcão;essesprojéteissãoconhecidoscomobombasvulcânicas.AFig.4-51mostraumaseção transversaldoMonteFuji,noJapão.(a)Comquevelocidadeinicialumabombavulcânicateriadeserlançada,comumânguloθ0 = 35° em relação à horizontal, a partir da crateraA, para cair no pontoB, a uma distânciaverticalh=3,30kmeumadistânciahorizontald=9,40km?Ignoreoefeitodoarsobreomovimentodoprojétil. (b)Qual seria o tempo de percurso? (c)O efeito do ar aumentaria ou diminuiria o valor davelocidadecalculadanoitem(a)?


92Umastronautaépostoemrotaçãoemumacentrífugahorizontalcomumraiode5,0m.(a)Qualéavelocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta tem um módulo de 7,0g? (b) Quantas

revoluções por minuto são necessárias para produzir essa aceleração? (c) Qual é o período domovimento?

93OoásisAestá90kmaoestedooásisB.UmcamelopartedeAeleva50hparacaminhar75kmnadireção37°aonortedoleste.Emseguida,leva35hparacaminhar65kmparaosuledescansapor5,0h.Quaissão(a)omóduloe(b)osentidododeslocamentodocameloemrelaçãoaAatéopontoemqueeleparaa fimdedescansar?Do instanteemqueocamelopartedopontoA atéo finaldoperíododedescanso, quais são (c) omódulo e (d) o sentido da velocidademédia do camelo e (e) a velocidadeescalarmédiadocamelo?AúltimavezqueocamelobebeuáguafoiemA;oanimaldevechegaraBnãomaisque120hapósapartidaparabeberáguanovamente.ParaqueelechegueaBnoúltimomomento,quaisdevemser(f)omóduloe(g)osentidodavelocidademédiaapósoperíododedescanso?

94 Cortinadamorte.Um grande asteroidemetálico colide com aTerra e abre uma cratera nomaterialrochosoabaixodosolo, lançandopedrasparaoalto.Atabelaaseguirmostracincoparesdevelocidadeseângulos(emrelaçãoàhorizontal)paraessaspedras,combaseemummodelodeformaçãodecrateras.(Outraspedras,comvelocidadeseângulosintermediários,tambémsãolançadas.)Suponhaquevocêestejaemx=20kmquandooasteroidechegaaosolonoinstantet=0enaposiçãox=0(Fig.4-52).(a)Emt=20s,quaissãoascoordenadasxeydaspedras,deAaE,queforamlançadasnasuadireção? (b)Ploteessascoordenadasemumgráficoedesenheumacurvapassandopelospontosparaincluirpedrascomvelocidadeseângulosintermediários.AcurvadevedarumaideiadoquevocêveriaaoolharnadireçãodaspedrasedoqueosdinossaurosdevemtervistoduranteascolisõesdeasteroidescomaTerra,nopassadoremoto.

Pedra Velocidade(m/s) Ângulo(graus)

A 520 14,0

B 630 16,0

C 750 18,0

D 870 20,0

E 1000 22,0


95AFig.4-53mostraatrajetóriaretilíneadeumapartículaemumsistemadecoordenadasxyquandoapartículaéaceleradaapartirdo repousoemum intervalode tempo∆t1.Aaceleraçãoéconstante.AscoordenadasdopontoAsão(4,00m,6,00m)easdopontoBsão(12,0m,18,0m).(a)Qualéarazãoay/ax entre as componentesda aceleração? (b)Quais são as coordenadasdapartícula seomovimentocontinuaduranteoutrointervaloiguala∆t1?


96Novoleibolfeminino,oaltodaredeestá2,24macimadopiso,eaquadramede9,0mpor9,0mdecadaladodarede.Aodarumsaqueviagem,umajogadorabatenabolaquandoestá3,0macimadopisoeaumadistânciahorizontalde8,0mdarede.Seavelocidadeinicialdabolaéhorizontal,determine(a)amenorvelocidadeescalarqueaboladeveterparaultrapassararedee(b)amáximavelocidadequepodeterparaatingiropisodentrodoslimitesdaquadradooutroladodarede.

97Umrifleéapontadohorizontalmenteparaumalvoa30mdedistância.Abalaatingeoalvo1,9cmabaixo do ponto para onde o rifle foi apontado. Determine (a) o tempo de percurso da bala e (b) avelocidadeescalardabalaaosairdorifle.

98 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema decoordenadasxy,movendo-senosentidohoráriocomumperíodode7,00s.Emumdadoinstante,ovetorposiçãodapartícula(emrelaçãoàorigem)é =(2,00m) –(3,00m) .Qualéavelocidadedapartículanesseinstante,nanotaçãodosvetoresunitários?

99NaFig.4-54,umabolademassademodelardescreveummovimentocircularuniforme,comumraiode20,0cm,nabordadeumarodaqueestágirandonosentidoanti-horáriocomumperíodode5,00ms.Abolasedesprendenaposiçãocorrespondentea5horas(comoseestivessenomostradordeumrelógio)edeixaarodaaumaalturah=1,20macimadochãoeaumadistânciad=2,50mdeumaparede.Emquealturaabolabatenaparede?


100Umtrenóavelaatravessaumlagogelado,comumaaceleraçãoconstanteproduzidapelovento.Emcerto instante, a velocidade do trenó é (6,30 – 8,42 ) m/s. Três segundos depois, uma mudança dedireçãodoventofazotrenópararmomentaneamente.Qualéaaceleraçãomédiadotrenónesseintervalode3,00s?

101NaFig.4-55,umabolaé lançadaverticalmenteparacima, apartirdo solo, comumavelocidadeinicialv0=7,00m/s.Aomesmotempo,umelevadordeserviçocomeçaasubir,apartirdosolo,comumavelocidadeconstantevc=3,00m/s.Qualéaalturamáximaatingidapelabola(a)emrelaçãoaosoloe(b)emrelaçãoaopisodoelevador?Qualéataxadevariaçãodavelocidadedabola(c)emrelaçãoaosoloe(d)emrelaçãoaopisodoelevador?


102Umcampomagnéticopodeforçarumapartículaadescreverumatrajetóriacircular.Suponhaqueumelétronqueestejadescrevendoumacircunferênciasofraumaaceleraçãoradialdemódulo3,0×1014m/s2

soboefeitodeumcampomagnético.(a)Qualéomódulodavelocidadedoelétronseoraiodatrajetóriacircularé15cm?(b)Qualéoperíododomovimento?

103Em3,50h,umbalãosedesloca21,5kmparaonorte,9,70kmparalestee2,88kmparacimaemrelaçãoaopontodelançamento.Determine(a)omódulodavelocidademédiadobalãoe(b)oânguloqueavelocidademédiafazcomahorizontal.

104Umabolaélançadahorizontalmentedeumaalturade20mechegaaosolocomumavelocidadetrêsvezesmaiorqueainicial.Determineavelocidadeinicial.

105Umprojétilélançadocomumavelocidadeinicialde30m/seumângulode60°acimadahorizontal.Determine(a)omóduloe(b)oângulodavelocidade2,0sapósolançamento.(c)Oângulodoitem(b)éacima ou abaixo da horizontal? Determine (d) o módulo e (e) o ângulo da velocidade 5,0 s após olançamento.(f)Oângulodoitem(e)éacimaouabaixodahorizontal?

106Ovetorposiçãodeumprótoné,inicialmente, =5,0 –6,0 +2,0 edepoissetorna =–2,0 +6,0+2,0 comtodososvaloresemmetros.(a)Qualéovetordeslocamentodopróton?(b)Essevetoréparaleloaqueplano?

107UmapartículaPsemovecomvelocidadeescalarconstanteemumacircunferênciaderaior=3,00m(Fig.4-56)ecompletaumarevoluçãoacada20,0s.ApartículapassapelopontoOnoinstantet=0.Os

vetorespedidosaseguirdevemserexpressosnanotaçãomódulo-ângulo(ânguloemrelaçãoaosentidopositivodex).Determineovetorposiçãodapartícula,emrelaçãoaO,nosinstantes(a)t=5,00s,(b)t=7,50se(c)t=10,0s.(d)Determineodeslocamentodapartículanointervalode5,00sentreofimdoquintosegundoeofimdodécimosegundo.Paraessemesmointervalo,determine(e)avelocidademédiaeavelocidade(f)noinícioe(g)nofimdointervalo.Finalmente,determineaaceleração(h)noinícioe(i)nofimdointervalo.


108Um trem francêsdealtavelocidade, conhecidocomoTGV(TrainàGrandeVitesse),viaja aumavelocidademédiade216km/h.(a)Seotremfazumacurvaaessavelocidadeeomódulodaaceleraçãosentidapelospassageirospodesernomáximo0,050g,qualéomenorraiodecurvaturadostrilhosquepodesertolerado?(b)Aquevelocidadeotremdevefazerumacurvacom1,00kmderaioparaqueaaceleraçãoestejanolimitepermitido?

109(a)Seumelétronélançadohorizontalmentecomumavelocidadede3,0×106m/s,quantosmetroscai o elétron ao percorrer uma distância horizontal de 1,0 m? (b) A distância calculada no item (a)aumenta,diminuioupermaneceamesmaquandoavelocidadeinicialaumenta?

110Umapessoasobeumaescadarolanteenguiçada,de15mdecomprimento,em90s.Ficandoparadanamesmaescadarolante,depoisdeconsertada,apessoasobeem60s.Quantotempoapessoalevasesubircomaescadaemmovimento?Arespostadependedocomprimentodaescada?

111(a)QualéomódulodaaceleraçãocentrípetadeumobjetonoequadordaTerradevidoàrotaçãodaTerra?(b)QualdeveriaseroperíododerotaçãodaTerraparaqueumobjetonoequadortivesseumaaceleraçãocentrípetacomummódulode9,8m/s2?

112 Oalcancedeumprojétildependenãosódev0eθ0,mastambémdovalorgdaaceleraçãoemquedalivre,quevariadelugarparalugar.Em1936,JesseOwensestabeleceuorecordemundialdesaltoemdistânciade8,09mnosJogosOlímpicosdeBerlim,emqueg=9,8128m/s2.Supondoosmesmosvaloresdev0eθ0,quedistânciaoatletateriapuladoem1956,nosJogosOlímpicosdeMelbourne,emqueg=9,7999m/s2?

113AFig.4-57mostra a trajetória seguidapor umgambábêbado emum terrenoplano, de umpontoinicialiatéumpontofinalf.Osângulossãoθ1=30,0°,θ2=50,0°eθ3=80,0°;asdistânciassãod1=5,00m,d2=8,00med3=12,0m.Quaissão(a)omóduloe(b)oângulododeslocamentodoanimalbêbadodeiatéf?

114Ovetorposição deumapartículaquesemovenoplanoxyér=2t +2sen[(π/4rad/s)t] ,emqueestáemmetrosetemsegundos.(a)Calculeovalordascomponentesxeydaposiçãodapartículaparat=0;1,0;2,0;3,0e4,0seploteatrajetóriadapartículanoplanoxynointervalo0≤t≥4,0.(b)Calculeovalordascomponentesdavelocidadedapartículaparat=1,0;2,0e3,0s.Mostrequeavelocidadeétangenteà trajetóriadapartículae temomesmosentidoqueomovimentodapartículaemtodosessesinstantes traçandoosvetoresvelocidadenográficoda trajetóriadapartícula, plotadono item (a). (c)Calculeascomponentesdaaceleraçãodapartículanosinstantest=1,0;2,0;e3,0s.


115Umelétroncomumavelocidadehorizontalinicialdemódulo1,00×109cm/spenetranaregiãoentreduas placas de metal horizontais eletricamente carregadas. Nessa região, o elétron percorre umadistânciahorizontalde2,00cmesofreumaaceleraçãoconstanteparabaixodemódulo1,00×1017cm/s2

devidoàsplacascarregadas.Determine(a)otempoqueoelétronlevaparapercorreros2,00cm;(b)adistânciaverticalqueoelétronpercorreduranteessetempo,eomódulodacomponente(c)horizontale(d)verticaldavelocidadequandooelétronsaidaregiãoentreasplacas.

116Umelevadorsemtetoestásubindoaumavelocidadeconstantede10m/s.Ummeninoqueestánoelevadorarremessaumabolaparacima,navertical,deumaalturade2,0macimadopisodoelevador,noinstanteemqueopisodoelevadorseencontra28macimadosolo.Avelocidadeinicialdabolaemrelaçãoaoelevadoré20m/s.(a)Qualéaalturamáximaacimadosoloatingidapelabola?(b)Quantotempoabolalevaparacairdevoltanopisodoelevador?

117Umjogadordefutebolamericanochutaumaboladetalformaqueabolapassa4,5snoarechegaaosolo a 46m de distância. Se a bola deixou o pé do jogador 150 cm acima do solo, determine (a) o

móduloe(b)oângulo(emrelaçãoàhorizontal)davelocidadeinicialdabola.

118Um aeroporto dispõe de uma esteira rolante para ajudar os passageiros a atravessaremum longocorredor.Lauronãousaaesteirarolanteeleva150sparaatravessarocorredor.Cora,queficaparadanaesteirarolante,cobreamesmadistânciaem70s.Martaprefereandarnaesteirarolante.QuantotempolevaMartaparaatravessarocorredor?SuponhaqueLauroeMartacaminhemcomamesmavelocidade.

119Umvagãodemadeiraestásemovendoemumalinhaférrearetilíneacomvelocidadev1.Umfranco-atiradordisparaumabala(comvelocidadeinicialv2)contraovagão,usandoumrifledealtapotência.Abala atravessa as duas paredes laterais e os furos de entrada e saída ficam à mesma distância dasextremidadesdovagão.Dequedireção,emrelaçãoàlinhaférrea,abalafoidisparada?Suponhaqueabalanãofoidesviadaaopenetrarnovagão,masavelocidadediminuiu20%.Suponhaaindaquev1=85km/hev2=650m/s.(Porquenãoéprecisoconheceralarguradovagão?)

120 Um velocista corre em uma pista circular com uma velocidade constante de 9,20 m/s e umaaceleraçãocentrípetade3,80m/s2.Determine(a)oraiodapistae(b)operíododomovimentocircular.

121Suponhaqueaaceleraçãomáximaqueumasondaespacialpodesuportarsejade20g.(a)Qualéomenorraiodacurvaqueanavepodefazeraumavelocidadeigualaumdécimodavelocidadedaluz?(b)Quantotempoanavelevariaparacompletarumacurvade90°aessavelocidade?

122Vocêpretendelançarumabolacomumavelocidadeescalarde12,0m/semumalvoqueestáaumaalturah=5,00macimadopontode lançamento(Fig.4-58).Vocêquerqueavelocidadedabolasejahorizontalno instanteemqueelaatingiroalvo. (a)Comqueânguloθ acimadahorizontal vocêdeveatirar a bola? (b) Qual é a distância horizontal do ponto de lançamento até o alvo? (c) Qual é avelocidadeescalardabolanomomentoemqueelaatingeoalvo?


123Umprojétilédisparadocomumavelocidadeinicialv0=30,0m/s,apartirdosolo,comoobjetivodeatingirumalvoqueestánosoloaumadistânciaR=20,0m,comomostraaFig.4-59.Qualé(a)omenore(b)qualomaiorângulodelançamentoparaoqualoprojétilatingeoalvo?


124Uma surpresa gráfica. No instante t = 0, uma bola é lançada a partir do solo plano, com umavelocidade inicialde16,0m/seumângulode lançamentoθ0. Imagineumvetorposição que ligueopontode lançamentoàboladurante todaa trajetória.Ploteomódulordovetorposiçãoemfunçãodotempopara(a)θ0=40,0°e(b)θ0=80,0°.Paraθ0=40,0°,determine(c)emqueinstanteratingeovalormáximo, (d)qualéessevaloreaquedistância (e)horizontale (f)verticalestáabolaemrelaçãoaopontodelançamento.Paraθ0=80,0°,determine(g)emqueinstanteratingeovalormáximo,(h)qualéessevaloreaquedistância(i)horizontale(j)verticalestáabolaemrelaçãoaopontodelançamento.

125Umabalaédisparadaporumcanhãoaoníveldomarcomumavelocidadeinicialde82m/seumângulo inicial de 45° e atinge uma distância horizontal de 686m.Qual seria o aumento da distânciaatingidapelabalaseocanhãoestivessea30mdealtura?

126Omódulodavelocidadedeumprojétilquandoeleatingeaalturamáximaé10m/s. (a)Qualéomódulo da velocidade do projétil 1,0 s antes de atingir a altura máxima? (b) Qual é o módulo davelocidadedoprojétil1,0sdepoisdeatingiraalturamáxima?Setomamosx=0ey=0comoopontodealturamáximaeconsideramoscomosentidopositivodoeixoxosentidodavelocidadedoprojétilnesseponto,determine(c)acoordenadaxe(d)acoordenadaydoprojétil1,0santesdeatingiraalturamáximae(e)acoordenadaxe(f)acoordenadaydoprojétil1,0sdepoisdeatingiraalturamáxima.

127Umcoelhoassustadoqueestásemovendoa6,0m/snadireção lestepenetraemumagrandeáreaplanadegelocomatritodesprezível.Enquantoocoelhodeslizanogelo,aforçadoventofazcomqueeleadquiraumaaceleraçãoconstantede1,4m/s2nadireçãonorte.Escolhaumsistemadecoordenadascomaorigemnaposiçãoinicialdocoelhosobreogeloeosentidopositivodoeixoxapontandoparaleste.Na notação dos vetores unitários, qual é (a) a velocidade e (b) qual a posição do coelho após terdeslizadodurante3,0s?

128Umaviãovoaparalesteenquantoumventosopraa20km/hnadireçãosul.Seavelocidadedoaviãonaausênciadeventoé70km/h,qualéavelocidadedoaviãoemrelaçãoaosolo?

129Emumapartidadesoftball,olançadorarremessaaboladeumpontosituado3,0pésacimadosolo.Um gráfico estroboscópico da posição da bola é mostrado na Fig. 4-60, em que as leituras estãoseparadaspor0,25seabolafoilançadaemt=0.(a)Qualéomódulodavelocidadeinicialdabola?(b)Qualéomódulodavelocidadedabolanoinstantequeatingeaalturamáximaemrelaçãoaosolo?(c)Qualéaalturamáxima?


130Emalgunsestadosnorte-americanos,apolícia rodoviáriausaaviõesparaverificarseo limitedevelocidade está sendo respeitado. Suponha que a velocidade de cruzeiro de um dos aviões seja 135milhas por hora na ausência de vento e que o avião esteja voando para o norte, acompanhando umarodovianorte-sul.Pelorádio,umobservadornosoloinformaaopilotoqueestásoprandoumventode70,0mi/h,masseesquecedeinformaradireçãodovento.Opilotoobservaque,apesardovento,oaviãoconseguevoar135milhasem1,00hora.Emoutraspalavras,avelocidadedoaviãoemrelaçãoaosoloéamesmaquesenãohouvessevento.(a)Qualéadireçãodovento?(b)Qualéocursodoavião,ouseja,emquedireçãoonarizdoaviãoestáapontado?

131Umgolfistaarremessaumabolaapartirdeumaelevação,imprimindoàbolaumavelocidadeinicialde43m/scomumângulode30°acimadahorizontal.Abolaatingeocampoaumadistânciahorizontalde180mdolocaldolançamento.Suponhaqueocamposejaplano.(a)Qualeraaalturadaelevaçãodeondefoiarremessadaabola?(b)Qualfoiavelocidadedabolaaotocarosolo?

132 Uma competição de atletismo é realizada em um planeta de um sistema solar distante. Umarremessador de peso lança o peso de um ponto 2,0 m acima do nível do solo. Um gráficoestroboscópicodaposiçãodopesoaparecenaFig.4-61,emqueasleiturasforamtomadasacada0,50seopesofoiarremessadonoinstantet=0.(a)Qualéavelocidadeinicialdopeso,emtermosdosvetoresunitários?(b)Qualéomódulodaaceleraçãodequedalivrenoplaneta?(c)Quantotempoapóstersidoarremessadoopesotocaosolo?(d)SeumarremessodepesoforfeitonaTerranasmesmascondições,quantotempoapósolançamentoopesotocaráosolo?

133Umhelicópteroestávoandoemlinharetasobreumterrenoplanoaumavelocidadeconstantede6,20m/seaumaaltitudeconstantede9,50m.Umengradadoélançadohorizontalmentedohelicópterocomumavelocidade inicialde12,0m/semrelaçãoaohelicóptero,nosentidoopostoaodomovimentodohelicóptero.(a)Determineavelocidadeinicialdoengradadoemrelaçãoaosolo.(b)Qualéadistânciahorizontalentreohelicópteroeoengradadonoinstanteemqueoengradadoatingeosolo?(c)Qualéoânguloentreovetorvelocidadeeahorizontalnoinstanteemqueoengradadoatingeosolo?


134Umcarrodescreveumacircunferênciaemumterrenoplano,aumavelocidadeconstantede12,0m/s.Emumdadoinstante,ocarrotemumaaceleraçãode3,00m/s2nadireçãoleste.Determineadistânciaentreocarroeocentrodacircunferênciaeadireçãodovetorvelocidadedocarronesseinstante(a)seocarroestiversemovendonosentidohorário;(b)seocarroestiversemovendonosentidoanti-horário.

135Umapessoaarremessaumaboladeumpenhascocomumavelocidadeinicialde15,0m/secomumângulo de 20,0° abaixo da horizontal. Determine (a) o deslocamento horizontal após 2,30 s e (b) odeslocamentoverticalapós2,30s.

136NoFenwayPark,emBoston,umaboladebeisebolérebatida0,762macimadaquartabasecomumavelocidadeinicialde33,53m/secomumângulode55,0°acimadahorizontal.Abolapassaporummurode11,28mdealturasituadonoladoesquerdodocampo(conhecidocomo“monstroverde”)5,00sapós ter sido rebatida, em um ponto ligeiramente à direita do poste quemarca o limite esquerdo docampo.Determine(a)adistânciahorizontalentreaquartabaseeomuro,nadireçãodopostequemarcaolimiteesquerdodocampo;(b)adistânciaverticalentreabolaeomuronoinstanteemqueabolapassapelomuro; (c)odeslocamentohorizontal eodeslocamentoverticaldabola em relaçãoàquartabase0,500santesdeabolapassarpelomuro.

137Oserviçodemeteorologiaprevêqueumvoo transcontinentalde4350kmvaidurar50minutosamaisseoaviãoestivervoandoparaoestedoqueseoaviãoestivervoandoparaleste.Avelocidadedoaviãoemrelaçãoaoaré966km/headireçãoprevistaparaacorrentedejatoemtodoopercursoédeoesteparaleste.Qualéavelocidadeprevistaparaacorrentedejato?

138Umamulherécapazdefazerumbarcoaremoatingirumavelocidadede6,40km/hemáguaparada.(a)Seamulherestáatravessandoumrionoqualacorrentezatemumavelocidadede3,20km/h,emquedireçãodeveapontaraproadobarcoparachegaremumpontodiretamenteopostoaopontodepartida?(b)Seorio tem6,40kmde largura,quanto tempoamulher levaráparaatravessarorio?(c)Suponhaque,emvezdeatravessarorio,amulherreme3,20kmrioabaixoedepoisremedevoltaaopontodepartida.Quantotempoelalevaráparacompletaropercurso?(d)Quantotempolevarápararemar3,20kmrioacimaedepoisremardevoltaaopontodepartida?(e)Emquedireçãodeveapontaraproadobarcoparaatravessarorionomenortempopossível?Qualserá,nessecaso,otempodepercurso?

_______________1Paramarcarum fieldgoal no futebol americano, um jogador temque fazer a bola passar por cimado travessão e entre as duas traveslaterais.(N.T.)

CAPÍTULO5

ForçaeMovimento–I

5-1APRIMEIRAEASEGUNDALEIDENEWTON


5.01Saberqueumaforçaéumagrandezavetorialeque,portanto,temummóduloeumaorientaçãoepodeserrepresentadaporcomponentes.

5.02 Dadas duas ou mais forças que agem sobre a mesma partícula, somar vetorialmente as forças para obter a forçaresultante.

5.03ConheceraprimeiraeasegundaleideNewton.

5.04Conhecerosreferenciaisinerciais.

5.05Desenharodiagramadecorpolivredeumobjeto,mostrandooobjetocomoumapartículaedesenhandoasforçasqueagemsobreoobjetocomovetorescomaorigemnapartícula.

5.06 Aplicar a relação (segunda lei de Newton) entre a força resultante que age sobre um objeto, a massa do objeto e aaceleraçãoproduzidapelaforça.

5.07Saberqueapenasasforçasexternasqueagemsobreumobjetopodemproduziraceleração.

Ideias-Chave•Avelocidadedeumobjetopodemudar(ouseja,oobjetopodesofreraceleração)seoobjetoforsubmetidoaumaoumaisforças (empurrões ou puxões) por parte de outros objetos. A mecânica newtoniana descreve a relação entre forças eacelerações.•Asforçassãograndezasvetoriais.Omódulodeumaforçaédefinidoemtermosdaaceleraçãoqueaforçaproduziriaemumquilograma-padrão.Pordefinição,umaforçaqueproduzumaaceleraçãode1m/s2emumquilograma-padrãotemmódulode1newton (1N). A orientação de uma força é amesma que a orientação da aceleração produzida pela força. As forças sãocombinadasdeacordocomasregrasdaálgebravetorial.Aforçaresultantequeagesobreumcorpoéasomavetorialdetodasasforçasqueagemsobreumcorpo.• Quando a força resultante que age sobre um corpo é zero, o corpo permanece em repouso se estiver inicialmente emrepouso,esemoveemlinharetacomvelocidadeconstanteseestiverinicialmenteemmovimento.•Osreferenciaisnosquaisamecânicanewtonianaéválidasãochamadosdereferenciaisinerciais.Osreferenciaisnosquaisamecânicanewtoniananãoéválidasãochamadosdereferenciaisnãoinerciais.•Amassadeumcorpoéapropriedadedecorpoquerelacionaaaceleraçãodocorpoàforçaresponsávelpelaaceleração.Amassaéumagrandezaescalar.• De acordo com a segunda lei de Newton, a relação entre a força res total que age sobre um corpo demassam e aaceleração produzidapelaforçaédadapelaequação

res=m

ou,emtermosdascomponentesdaforçaedaaceleração,

EmunidadesdoSI,

1N=1kg.m/s2.

•Umdiagramadecorpolivreéumdiagramasimplesnoqualapenasumcorpoéindicadopormeiodeumdesenhooudeumponto.Sãomostradososvetoresquerepresentamasforçasexternasqueagemsobreocorpoeoseixosdeumsistemadecoordenadas,orientadosdemodoafacilitaraanálisedasituação.

OqueÉFísica?Vimos que a física envolve o estudo do movimento dos objetos, incluindo a aceleração, que é umavariaçãodevelocidade.Afísica tambémenvolveoestudodacausadaaceleração.Acausaé sempreumaforça,quepodeserdefinida,emtermoscoloquiais,comoumempurrãoouumpuxãoexercidosobreumobjeto.Dizemosqueaforçaagesobreoobjeto,mudandoavelocidade.Porexemplo:nalargadadeumaprovadeFórmula1,umaforçaexercidapelapistasobreospneustraseirosprovocaaaceleraçãodosveículos.Quandoumzagueiro segurao centroavantedo timeadversário, uma força exercidapelodefensor provoca a desaceleração do atacante. Quando um carro colide com um poste, uma forçaexercidapelopostefazcomqueocarroparebruscamente.Asrevistasdeciência,engenharia,direitoemedicinaestãorepletasdeartigossobreasforçasaqueestãosujeitososobjetos,entreosquaispodemserincluídosossereshumanos.UmAlerta.Muitosestudantesconsideramestecapítulomaisdifícilqueosanteriores.Umarazãopara

issoéqueprecisamosusarvetoresnasequações;osproblemasnãopodemserresolvidosusandoapenasescalares.Issosignificaqueénecessáriorecorreràsregrasdaálgebravetorial,discutidasnoCapítulo3.Outra razãoéquevamosexaminarmuitas situaçõesdiferentes:objetosque semovemempisos, tetos,paredeserampas,objetosquesobempuxadosporcordasquepassamporpolias,objetosquesobemoudescemdentrodeelevadores,emesmoobjetospresosaoutrosobjetos.Entretanto,apesardadiversidadedesituações,precisamosapenasdeumaideia-chave(asegundalei

deNewton) para resolver amaioria dos problemas deste capítulo.Nosso objetivo émostrar como épossível aplicar uma única ideia-chave a uma grande variedade de problemas. Para isso, porém, énecessárioterumacertaexperiência;nãobastaestudarateoria,precisamosresolvermuitosproblemas.Ditoisso,vamosapresentarbrevementeateoriaepassaraalgunsexemplos.

MecânicaNewtonianaArelaçãoqueexisteentreumaforçaeaaceleraçãoproduzidaporessaforçafoidescobertaporIsaacNewton (1642-1727) e é o assunto deste capítulo. O estudo dessa relação, da forma como foiapresentadoporNewton, é chamadodemecânicanewtoniana.Vamosnos concentrar inicialmentenastrêsleisbásicasdemovimentodamecânicanewtoniana.Amecânica newtoniana não pode ser aplicada a todas as situações. Se as velocidades dos corpos

envolvidos são muito elevadas, comparáveis à velocidade da luz, a mecânica newtoniana deve ser

substituídapelateoriadarelatividaderestrita,deEinstein,queéválidaparaqualquervelocidade.Seoscorposenvolvidossãomuitopequenos,dedimensõesatômicasousubatômicas(como,porexemplo,oselétronsdeumátomo),amecânicanewtonianadevesersubstituídapelamecânicaquântica.Atualmente,os físicos consideram amecânica newtoniana um caso especial dessas duas teoriasmais abrangentes.Ainda assim, trata-se de um caso especial muito importante, já que pode ser aplicado ao estudo domovimentodosmaisdiversosobjetos,desdecorposmuitopequenos(quasededimensõesatômicas)atécorposmuitograndes(galáxiaseaglomeradosdegaláxias).

APrimeiraLeideNewtonAntesdeNewtonformularsuamecânica,pensava-sequeumainfluência,uma“força”,fossenecessáriaparamanterumcorpoemmovimentocomvelocidadeconstanteequeumcorpoestavaemseu“estadonatural” apenas quando se encontrava em repouso. Para que um corpo se movesse com velocidadeconstante,tinhaqueserimpulsionadodealgumaforma,puxadoouempurrado;senãofosseassim,pararia“naturalmente”.Essas ideias pareciam razoáveis. Se você faz um disco de metal deslizar em uma superfície de

madeira, o disco realmente diminui de velocidade até parar. Para que ele continue a deslizarindefinidamentecomvelocidadeconstante,deveserempurradooupuxadocontinuamente.Poroutrolado,seforlançadoemumrinquedepatinação,odiscopercorreráumadistânciabemmaior

antes de parar. É possível imaginar superfícies mais escorregadias, nas quais o disco percorreriadistâncias ainda maiores. No limite, podemos pensar em uma superfície extremamente escorregadia(conhecidacomosuperfíciesematrito), naqualodisconãodiminuiriadevelocidade. (Podemos,defato, chegar muito perto dessa situação fazendo o disco deslizar em uma mesa de ar, na qual ele ésustentadoporumacorrentedear.)Apartirdessasobservações,podemosconcluirqueumcorpomanteráseuestadodemovimentocom

velocidadeconstantesenenhumaforçaagirsobreele.IssonoslevaàprimeiradastrêsleisdeNewton.

PrimeiraLeideNewton:Senenhumaforçaatuasobreumcorpo, suavelocidadenãopodemudar,ouseja,ocorponãopode

sofreraceleração.

Emoutraspalavras,seocorpoestáemrepouso,permaneceemrepouso;seestáemmovimento,continuacomamesmavelocidade(mesmomóduloemesmaorientação).

Figura5-1 Umaforça aplicadaaoquilogramapadrãoprovocaumaaceleração .

ForçaAntesdecomeçarmosa resolverproblemasqueenvolvem forças,precisamosdiscutirvários aspectosdasforças,comoaunidadedeforça,anaturezavetorialdasforças,acombinaçãodeváriasforçaseascircunstânciasnasquaispodemosmedirumaforça(semsermosenganadosporforçasfictícias).Unidade. Podemos definir a unidade de força em termos da aceleração que uma força imprime ao

quilograma-padrão(Fig.1-3),cujamassaédefinidacomoexatamente1kg.Secolocamosoquilograma-padrãosobreumamesahorizontalsematritoeopuxamoshorizontalmente(Fig.5-1)atéqueadquiraumaaceleraçãode1m/s2,podemosdizeraforçaqueestamosexercendotemummódulode1newton(1N).Se exercermos uma força de 2 N sobre o corpo, a aceleração será de 2 m/s2. Isso significa que aaceleração é proporcional à força. Se o corpo-padrão demassa igual a 1 kg tem uma aceleração demóduloa (emmetrospor segundoaoquadrado), sabemosque a força (emnewtons) responsável pelaaceleraçãotemummódulonumericamenteigualaa.Temos,assim,umadefiniçãopráticadaunidadedeforça.Vetores. A força é uma grandeza vetorial e, portanto, possui um módulo e uma orientação. Isso

significa que, quandoduas oumais forças atuam sobre umcorpo, podemos calcular a força total, ouforçaresultante,somandovetorialmenteasforças,deacordocomasregrasdoCapítulo3.Umaúnicaforçacomomóduloeaorientaçãodaforçaresultantetemomesmoefeitosobreumcorpoquetodasasforçasagindosimultaneamente.Essefato,conhecidocomoprincípiodesuperposiçãoparaforças,tornaas forçasdodiaadia razoáveiseprevisíveis.Omundoseriamuitoestranhose,porexemplo,vocêeoutra pessoa puxassemo corpo-padrão namesmadireção, cada um comuma força de 1N, e a forçaresultantefosse14N,produzindoumaaceleraçãode14m/s2.Nestelivro,asforçassãoquasesemprerepresentadasporumsímbolocomo ,eaforçaresultante,

porumsímbolocomo res.Assimcomoacontececomoutrosvetores,umaforçaouumaforçaresultantepodetercomponentesemrelaçãoaumsistemadecoordenadas.Quandoasforçasatuamapenasemumadireção,elaspossuemapenasumacomponente.Nessecaso,podemosdispensarasetasobreossímbolosdasforçaseusarsinaisparaindicarosentidodasforçasaolongodoúnicoeixo.APrimeiraLei.UmenunciadomaisrigorosodaPrimeiraLeideNewton,fundamentadonaideiade

forçaresultante,éoseguinte:

PrimeiraLeideNewton:Senenhumaforçaresultanteatuasobreumcorpo( res=0),avelocidadenãopodemudar,ouseja,o

corponãopodesofreraceleração.

Issosignificaquemesmoqueumcorpoestejasubmetidoaváriasforças,searesultantedasforçasforzero,ocorponãosofreráaceleração.ReferenciaisInerciais

Aprimeira lei deNewton não se aplica a todos os referenciais,mas em todas as situações podemosencontrarreferenciaisnosquaisessalei(naverdade,todaamecânicanewtoniana)éverdadeira.Essesreferenciaissãochamadosdereferenciaisinerciais.

ReferencialinercialéumreferencialnoqualasleisdeNewtonsãoválidas.

Podemos, por exemplo, supor que o solo é um referencial inercial, desde que possamos desprezar osmovimentosastronômicosdaTerra(comoarotaçãoeatranslação).

Figura5-2 (a)Atrajetóriadeumdiscoqueescorregaapartirdopolonorte,dopontodevistadeumobservadorestacionárionoespaço.(b)Atrajetóriadodiscodopontodevistadeumobservadornosolo.

Essahipóteseéválidase,digamos,fazemosdeslizarumdiscometálicoemumapistacurtadegelo,deatritodesprezível;descobrimosqueomovimentododiscoobedeceàsleisdeNewton.Suponha,porém,queodiscodeslizeemuma longa pistadegeloapartirdopolonorte (Fig.5-2a). Se observarmos odiscoapartirdeumreferencialestacionárionoespaço,constataremosqueodiscosemoveparaosulaolongodeuma trajetória retilínea, já que a rotaçãodaTerra em tornodopolo norte apenas faz o geloescorregar por baixo do disco.Entretanto, se observarmos o disco a partir de umponto do solo, queacompanhaarotaçãodaTerra,atrajetóriadodisconãoseráumareta.Comoavelocidadedosolosobodisco,dirigidaparaleste,aumentacomadistânciaentreodiscoeopolo,donossopontodeobservaçãofixo no solo o disco parecerá sofrer um desvio para oeste (Fig. 5-2b). Essa deflexão aparente não écausada por uma força, como exigemas leis deNewton,mas pelo fato de que observamos o disco apartirdeumreferencialemrotação.Nessasituação,osoloéumreferencialnãoinercial,eatentativadeexplicarodesviocomosefossecausadoporumaforçanoslevaaumaforçafictícia.Umexemplomaiscomumdeforçafictíciaéoqueacontececomospassageirosdeumcarroqueacelerabruscamente;elestêmaimpressãodequeumaforçaosempurraparatrás.Nestelivro,supomosquasesemprequeosoloéumreferencialinercialequeasforçaseacelerações

sãomedidasnessereferencial.Quandoasmedidassãoexecutadasemumreferencialnãoinercial,como,

porexemplo,umveículoaceleradoemrelaçãoaosolo,osresultadospodemsersurpreendentes.

Teste1Quaisdosseisarranjosda figuramostramcorretamenteasomavetorialdas forças 2e 2 paraobterumterceirovetor,que

representaaforçaresultante res?

MassaAexperiêncianosdizqueamesmaforçaproduzaceleraçõesdemódulosdiferentesemcorposdiferentes,comoumaboladefuteboleumaboladeboliche.Aexplicaçãopopularestácorreta:oobjetodemenormassa é mais acelerado. Entretanto, podemos ser mais precisos: a aceleração é inversamenteproporcionalàmassa(enão,digamos,inversamenteproporcionalaoquadradodamassa).Podemos explicar como medir a massa imaginando uma série de experimentos em um referencial

inercial. No primeiro experimento, exercemos uma força sobre um corpo-padrão, cuja massa m0 édefinida como 1,0 kg. Vamos supor, então, que o corpo-padrão sofra uma aceleração de 1,0 m/s2.Podemosdizer,portanto,queaforçaqueatuasobreessecorpoé1,0N.Emseguida,aplicamosamesmaforça(precisaríamosnoscertificar,dealgumaforma,dequeaforçaé

amesma)aumsegundocorpo,ocorpoX,cujamassanãoéconhecida.Suponhaquedescobrimosqueessecorposofreumaaceleraçãode0,25m/s2.Sabemosqueumaboladefutebol,quepossuiumamassamenor, adquire uma aceleração maior que uma bola de boliche, quando a mesma força (chute) éaplicadaaambas.Vamosfazeraseguinteconjectura:arazãoentreasmassasdedoiscorposéigualaoinversodarazãoentreasaceleraçõesqueadquiremquandosãosubmetidosàmesmaforça.ParaocorpoXeocorpo-padrão,issosignificaque

ExplicitandomX,obtemos

Nossaconjectura seráútil, evidentemente, apenas secontinuara serválidaquandoa forçaaplicadaassumiroutrosvalores.Porexemplo:quandoaplicamosumaforçade8,0Naumcorpo-padrão,obtemosumaaceleraçãode8,0m/s2.Quandoaforçade8,0NéaplicadaaocorpoX,obtemosumaaceleraçãode2,0m/s2.Nossaconjecturanosdá,portanto,

oqueécompatívelcomoprimeiroexperimento.Muitosexperimentosquefornecemresultadossemelhantesindicamquenossaconjecturaéumaforma

confiáveldeatribuirmassaaumdadocorpo.Nossos experimentos indicam quemassa é uma propriedade intrínseca de um corpo, ou seja, uma

característicaqueresultaautomaticamentedaexistênciadocorpo. Indicamtambémqueamassaéumagrandezaescalar.Contudo,umaperguntaintrigantepermanecesemresposta:oque,exatamente,émassa?Comoapalavramassaéusadanavidacotidiana,devemos terumanoção intuitivademassa, talvez

algoquepodemossentir fisicamente.Seriao tamanho,opeso,ouadensidadedocorpo?Arespostaénegativa,emboraalgumasvezesessascaracterísticassejamconfundidascomamassa.Podemosapenasdizerqueamassadeumcorpoéapropriedadequerelacionaumaforçaqueagesobreocorpocomaaceleraçãoresultante.Amassanãotemumadefiniçãomaissimples;vocêpodeterumasensaçãofísicadamassaapenasquando tentaacelerarumcorpo,comoaochutarumaboladefutebolouumaboladeboliche.

ASegundaLeideNewtonTodasasdefinições,experimentoseobservaçõesquediscutimosatéaquipodemserresumidosemumaúnicasentença:

SegundaLeideNewton:Aforçaresultantequeagesobreumcorpoéigualaoprodutodamassadocorpopelaaceleração.

Emtermosmatemáticos,

Escolha doCorpo. Essa equação é simples, mas devemos usá-la com cautela. Primeiro, devemosescolherocorpoaoqualvamosaplicá-la. resdevesera somavetorialde todas as forçasqueatuamsobreessecorpo.Apenasasforçasqueatuamsobreessecorpodevemser incluídasnasomavetorial,nãoasforçasqueagemsobreoutroscorposenvolvidosnamesmasituação.Porexemplo:sevocêdisputaabolacomváriosadversáriosemumjogode futebol,a força resultantequeagesobrevocê é a somavetorialdetodososempurrõesepuxõesquevocêrecebe.Elanãoincluiumempurrãooupuxãoquevocêdá em outro jogador. Toda vez que resolvemos um problema que envolve forças, o primeiro passo édefinirclaramenteaquecorpovamosaplicarasegundaleideNewton.IndependênciadasComponentes. Como outras equações vetoriais, a Eq. 5-1 é equivalente a três

equaçõesparaascomponentes,umaparacadaeixodeumsistemadecoordenadasxyz:

Cada uma dessas equações relaciona a componente da força resultante em relação a um eixo com aaceleraçãoaolongodomesmoeixo.Porexemplo:aprimeiraequaçãonosdizqueasomadetodasascomponentesdasforçasemrelaçãoaoeixoxproduzacomponenteaxdaaceleraçãodocorpo,masnãoproduzumaaceleraçãonasdireçõesyez.Sendoassim,acomponenteaxdaaceleraçãoécausadaapenaspelascomponentesdasforçasemrelaçãoaoeixox.Generalizando,

Acomponentedaaceleraçãoemrelaçãoaumdadoeixoécausadaapenaspelasomadascomponentesdasforçasemrelaçãoaesse

eixoenãoporcomponentesdeforçasemrelaçãoaqualqueroutroeixo.

ForçasemEquilíbrio.AEq.5-1nosdizque,seaforçaresultantequeagesobreumcorpoénula,aaceleraçãodocorpo =0.Seocorpoestáemrepouso,permaneceemrepouso;seestáemmovimento,continua a semover com velocidade constante. Em tais casos, as forças que agem sobre o corpo secompensam e dizemos que o corpo está em equilíbrio. Frequentemente, dizemos que as forças secancelam,masotermo“cancelar”podesermalinterpretado.Elenãosignificaqueasforçasdeixaramdeexistir(cancelarforçasnãoécomocancelarumareservaemumrestaurante).Asforçascontinuamaagirsobreocorpo,masnãopodemacelerá-lo.Unidades.EmunidadesdoSI,aEq.5-1nosdizque

AlgumasunidadesdeforçaemoutrossistemasdeunidadesaparecemnaTabela5-1enoApêndiceD.Diagramas. Muitas vezes, para resolver problemas que envolvem a segunda lei de Newton,

desenhamosumdiagramadecorpolivrenoqualoúnicocorpomostradoéaqueleparaoqualestamossomandoasforças.Umesboçodoprópriocorpoépreferidoporalgunsprofessores,mas,parapouparespaço, representaremos comumente o corpo por um ponto.As forças que agem sobre o corpo serãorepresentadasporsetascomaorigemnoponto.Umsistemadecoordenadasénormalmenteincluído,eaaceleraçãodo corpoé algumasvezesmostradapormeiodeoutra seta (acompanhadaporumsímboloadequadoparamostrarquesetratadeumaaceleração).Aconstruçãodeumdiagramadecorpolivretemporobjetivoconcentraraatençãonocorpodeinteresse.

Tabela5-1UnidadesdasGrandezasdaSegundaLeideNewton(Eqs.5-1e5-2)

Sistema Força Massa Aceleração

SI newton(N) quilograma(kg) m/s2

CGSa dina grama(g) cm/s2

Inglêsb libra(lb) slug ft/s2

a1dina=1g·cm/s2.b1lb=1slug·ft/s2.

ForçasExternaseForçasInternas.Umsistemaéformadoporumoumaiscorpos;qualquerforçaexercida sobre os corpos do sistema por corpos que não pertencem ao sistema é chamada de forçaexterna.Seoscorposdeumsistemaestãorigidamenteligadosunsaosoutros,podemostratarosistemacomoumúnicocorpo,ea força resultante res aqueestá submetidoessecorpoéa somavetorialdasforçasexternas.(Nãoincluímosasforçasinternas,ouseja,asforçasentredoiscorpospertencentesaosistema.)Assim,porexemplo,umalocomotivaeumvagãoformamumsistema.Seumreboqueéusadoparapuxara locomotiva, a forçaexercidapelo reboqueage sobreo sistema locomotiva-vagão.Comoacontecenocasodeumsócorpo,podemosrelacionaraforçaresultanteexternaqueagesobreumsistemaà aceleração do sistema através da segunda lei deNewton, res =m , em quem é amassa total dosistema.

Teste2Afiguramostraduasforçashorizontaisatuandoemumblocoapoiadoemumpisosematrito.Seumaterceiraforçahorizontal 3

tambémagesobreobloco,determineomóduloeaorientaçãode 3quandoobloco(a)estáemrepousoe(b)estásemovendo

paraaesquerdacomumavelocidadeconstantede5m/s.

Exemplo5.01 Forçasalinhadasenãoalinhadas,discometálico

NaspartesA,BeCdaFig.5-3,umaouduasforçasagemsobreumdiscometálicoquesemovesobreogelosematritoaolongodo

eixox,emummovimentounidimensional.Amassadodiscoém=0,20kg.Asforças 1e 2atuamaolongodoeixoxetêm

módulosF1=4,0NeF2=2,0N.Aforça 3fazumânguloθ=30°comoeixoxetemummóduloF3=1,0N.Qualéaaceleração

dodiscoemcadasituação?

IDEIA-CHAVE

Emtodasassituações,podemosrelacionaraaceleração comaforçaresultante resqueagesobreodiscoatravésdasegundalei

deNewton, res=m . Entretanto, como omovimento ocorre apenas ao longo do eixo x, podemos simplificar as situações

escrevendoasegundaleiapenasparaascomponentesx:

OsdiagramasdecorpolivreparaastrêssituaçõessãotambémmostradosnaFig.5-3,comodiscorepresentadoporumponto.

SituaçãoA:ParaasituaçãodaFig.5-3b,emqueexisteapenasumaforçahorizontal,temos,deacordocomaEq.5-4,

F1=max,

oque,paraosdadosdoproblema,nosdá

Arespostapositivaindicaqueaaceleraçãoocorrenosentidopositivodoeixox.

SituaçãoB: Na Fig. 5-3d, duas forças horizontais agem sobre o disco, 1, no sentido positivo do eixo x, e 2 no sentido

negativo.DeacordocomaEq.5-4,

F1–F2=max,

oque,paraosdadosdoproblema,nosdá

Assim,aforçaresultanteaceleraodisconosentidopositivodoeixox.

SituaçãoC:NaFig.5-3f,nãoéaforça 3quetemadireçãodaaceleraçãododisco,massimacomponenteF3,x.(Aforça 3não

estáalinhadacomaforça 2nemcomadireçãodomovimento.1)Assim,aEq.5-4assumeaforma

Figura5-3Emtrêssituaçães,forçasatuamsobreumdiscoquesemoveaolongodoeixox.Afiguratambémmostradiagramas

decorpolivre.

Deacordocomafigura,F3,x=F3cosθ.ExplicitandoaaceleraçãoesubstituindoF3,xporseuvalor,obtemos

Portanto,aforçaresultanteaceleraodisconosentidonegativodoeixox.

Exemplo5.02 Forçasnãoalinhadas,latadebiscoitos

Navista superiordaFig.5-4a,uma latadebiscoitosde2,0kgéaceleradaa3,0m/s2,naorientaçãodefinidapor , emuma

superfíciehorizontalsematrito.Aaceleraçãoécausadaportrêsforçashorizontais,dasquaisapenasduassãomostradas: 1,de

módulo10N,e 2,demódulo20N.Qualéaterceiraforça, 3,nanotaçãodosvetoresunitáriosenanotaçãomódulo-ângulo?

IDEIA-CHAVE

Aforçaresultante resqueagesobrealataéasomadastrêsforçaseestárelacionadacomaaceleração pelasegundaleide

Newton( res=m ).Assim,

quenosdá

Cálculos:Comoasforçasnãoestãoalinhadas,nãopodemosdeterminar 3simplesmentesubstituindoosmódulosdasforçasno

ladodireitodaEq.5-7.Ocorretoésomarvetorialmentem ,– 1e– 2,comomostraaFig.5-4b.Asomapoderiaserfeitacom

o auxílio de uma calculadora, já que conhecemos tanto omódulo como o ângulo dos três vetores. Entretanto, optamos por

calcularoladodireitodaEq.5-7emtermosdascomponentes,primeiroparaoeixoxedepoisparaoeixoy.Atenção:useapenas

umeixodecadavez.

ComponentesX:Paraoeixox,temos

F3,x = max–F1,x–F2,x

= m(acos50°)–F1cos(–150°)–F2cos90°

Substituindoosvaloresconhecidos,obtemos

F3,x = (2,0kg)(3,0m/s2)cos50°–(10N)cos(–150°)–(20N)cos90°

= 12,5N.

Componentesy:Paraoeixoy,temos

F3,y = may–F1,y–F2,y

= m(asen50°)–F1sen(–150°)–F2sen90°

= (2,0kg)(3,0m/s2)sen50°–(10N)sen(–150°)–(20N)sen90°

= –10,4N.

Vetor:Nanotaçãodosvetoresunitários,temos

Podemosagorausarumacalculadoraparadeterminaromóduloeoângulode 3.TambémpodemosusaraEq.3-6paraobtero

móduloeoângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo):

Figura5-4(a)Vistasuperiordeduasdastrêsforçasqueagemsobreumalatadebiscoitos,produzindoumaaceleração . 3não

émostrada.(b)Umarranjodevetoresm ,– 1e– 2paradeterminaraforça 3.

5-2ALGUMASFORÇASESPECIAIS


5.08Determinaromóduloeaorientaçãodaforçagravitacionalqueagesobreumcorpocomumadadamassa,emumlocalemqueaaceleraçãodequedalivreéconhecida.

5.09 Saber que o peso de um corpo é omódulo da força necessária para evitar que o corpo caia livremente, medida noreferencialdosolo.

5.10Saberqueumabalançasóforneceopesocorretodeumobjetoquandoamedidaéexecutadaemumreferencialinercial.

5.11Determinar omódulo e a orientação da força normal a que umobjeto é submetido quandoo objeto exerce uma forçaperpendicularaumasuperfície.

5.12Saberqueaforçadeatritoéumaforçaaqueumobjetoésubmetidoquandodeslizaoutentadeslizaraolongodeumasuperfície.

5.13Saberquea forçade traçãoéuma forçaexercidapelasextremidadesdeumacorda (ouumobjetosemelhanteaumacorda)quandoacordaestáesticada.

Ideias-Chave•A forçagravitacional g exercidasobreumcorpoéum tipoespecialdeatraçãoqueumsegundocorpoexercesobreoprimeiro.Namaioriadassituaçõesdiscutidasneste livro,umdoscorposéaTerraououtroastro.NocasodaTerra,a forçaapontaparaosolo,queéconsideradoumreferencialinercial,eomódulode gédadopor

Fg=mg

emqueméamassadocorpoegéomódulodaaceleraçãodequedalivre.•OpesoPdeumcorpoéomódulodaforçaparacimaqueénecessáriaparaequilibraraforçagravitacionalaqueocorpoestásujeito.Arelaçãoentreopesoeamassadeumcorpoédadapelaequação

p=mg

•Aforçanormal Néa forçaqueumasuperfícieexercesobreumcorpoquandoocorpoexerceumaforçaperpendicularàsuperfície.Aforçanormaléperpendicularàsuperfície.•Aforçadeatrito éaforçaqueumasuperfícieexercesobreumcorpoquandoocorpodeslizaoutentadeslizaraolongodeumasuperfície.Aforçadeatritoéparalelaàsuperfícieetemosentidoopostoaododeslizamento.•Quandoumacordaestásendotracionada,asduasextremidadesestãosubmetidasaumaforçaqueapontapara longedacorda.Nocasodeumacordademassadesprezível,asduasforçastêmomesmomóduloT,mesmoqueacordapasseporumapoliademassaeatritodesprezíveis.

AlgumasForçasEspeciaisForçaGravitacional

Aforçagravitacional gexercidasobreumcorpoéumtipoespecialdeatraçãoqueumsegundocorpoexercesobreoprimeiro.Nessescapítulosiniciais,nãodiscutimosanaturezadessaforçaeconsideramos

apenassituaçõesnasquaisosegundocorpoéaTerra.Assim,quandofalamosdaforçagravitacional g

queagesobreumcorpo,estamosnosreferindoàforçaqueoatrainadireçãodocentrodaTerra,ouseja,verticalmenteparabaixo.Vamossuporqueosoloéumreferencialinercial.QuedaLivre.Considereumcorpodemassamemquedalivre,submetido,portanto,aumaaceleração

demódulog.Nessecaso,sedesprezarmososefeitosdoar,aúnicaforçaqueagesobreocorpoéaforçagravitacional g. Podemos relacionar essa força à aceleração correspondente usando a segunda lei deNewton, =m .Colocamosumeixoyverticalaolongodatrajetóriadocorpo,comosentidopositivoparacima.Paraesseeixo,asegundaleideNewtonpodeserescritanaformaFres,y=may,que,emnossasituação,setorna

–Fg=m(–g)

Empalavras,omódulodaforçagravitacionaléigualaoprodutomg.EmRepouso.Amesmaforçagravitacional,comomesmomódulo,atuasobreocorpo,mesmoquando

não está em queda livre, mas se encontra, por exemplo, em repouso sobre uma mesa de sinuca oumovendo-sesobreamesa.(Paraqueaforçagravitacionaldesaparecesse,aTerrateriadedesaparecer.)PodemosescreverasegundaleideNewtonparaaforçagravitacionalnasseguintesformasvetoriais:

Figura5-5 Umabalançadebraçosiguais.Quandoabalançaestáequilibrada,aforçagravitacional gEaqueestásubmetidoocorpoquesedesejapesar(nopratodaesquerda)eaforçagravitacionaltotal gDaqueestãosubmetidasasmassasdereferência(nopratodadireita)sãoiguais.Assim,amassamEdocorpoqueestasendopesadoéigualàmassatotalmDdasmassasdereferência.

emque éumvetorunitárioqueapontaparacimaaolongodoeixoy,perpendicularmenteaosolo,e éaaceleraçãodequedalivre(escritacomoumvetor),queapontaparabaixo.

Peso

OpesoPdeumcorpoéomódulodaforçanecessáriaparaimpedirqueocorpocaialivremente,medidaemrelaçãoaosolo.Assim,porexemplo,paramanterumabolaemrepousonamãoenquantovocêestáparadodepé,vocêdeveaplicarumaforçaparacimaparaequilibraraforçagravitacionalqueaTerraexerce sobre abola.Suponhaqueomóduloda forçagravitacional é2,0N.Nesse caso,omódulodaforçaparacimadeveser2,0Ne,portanto,opesoPdabolaé2,0N.Tambémdizemosqueabolapesa2,0N.Umabolacomumpesode3,0Nexigiriaumaforçamaior(3,0N)parapermaneceremequilíbrio.A

razãoéqueaforçagravitacionalaserequilibradatemummódulomaior(3,0N).Dizemosqueasegundabolaémaispesadaqueaprimeira.Vamosgeneralizarasituação.Considereumcorpoquetemumaaceleração nulaemrelaçãoaosolo,

considerado mais uma vez como referencial inercial. Duas forças atuam sobre o corpo: uma forçagravitacional g, dirigida para baixo, e uma força para cima, demóduloP, que a equilibra. PodemosescreverasegundaleideNewtonparaumeixoyvertical,comosentidopositivoparacima,naforma

Fres,y=may.

Emnossasituação,aequaçãosetorna

DeacordocomaEq.5-11(supondoqueosoloéumreferencialinercial),

OpesoPdeumcorpoéigualaomóduloFgdaforçagravitacionalqueagesobreocorpo.

SubstituindoFgpormg,obtemosaequação

querelacionaopesocomamassadocorpo.Pesagem.Pesarumcorposignificamediropesodocorpo.Umaformadefazerissoécolocarocorpo

em um dos pratos de uma balança de braços iguais (Fig. 5-5) e colocar corpos de referência (cujasmassassejamconhecidas)nooutropratoatéqueseestabeleçaoequilíbrio,ouseja,atéqueas forçasgravitacionaisdosdoisladossejamiguais.Como,nessasituação,asmassasnosdoispratossãoiguais,ficamos conhecendo amassa do corpo. Se conhecemos o valor de g no local em que está situada abalança,podemoscalcularopesodocorpocomoauxíliodaEq.5-12.Tambémpodemospesarumcorpoemumabalançademola(Fig.5-6).Ocorpodistendeumamola,

movendoumponteiroaolongodeumaescalaquefoicalibradaemarcadaemunidadesdemassaoude

força. (Quase todas as balanças de banheiro são desse tipo emarcadas em quilogramas, ou seja, emunidadesdemassa.)Seaescalaestiveremunidadesdemassa, fornecerávaloresprecisosapenasnoslugaresemqueovalordegforomesmodalocalidadeemqueabalançafoicalibrada.Paraqueopesodeumcorposejamedidocorretamente,elenãodevepossuirumaaceleraçãovertical

emrelaçãoaosolo.Assim,porexemplo,sevocêsepesarnobanheirodecasaouabordodeumtrememmovimento,oresultadoseráomesmo.Caso,porém,repitaamediçãoemumelevadoracelerado,vocêobteráumaleituradiferente,porcausadaaceleração.Umpesomedidodessaformaéchamadodepesoaparente.

Figura5-6 Umabalançademola.A leitura éproporcional aopeso doobjeto colocadonoprato, e a escala forneceovalordopeso seestivercalibradaemunidadesdeforça.Se,emvezdisso,estivercalibradaemunidadesdemassa,aleituraseráigualaopesodoobjetoapenasseovalordegnolugaremqueabalançaestásendousadaforigualaovalordegnolugaremqueabalançafoicalibrada.

Atenção:Opesodeumcorponãoéamesmacoisaqueamassa.Opesoéomódulodeumaforçaeestá relacionadocomamassaatravésdaEq.5-12.Sevocêmoverumcorpoparaum local emqueovalordegédiferente,amassadocorpo(umapropriedadeintrínseca)continuaráamesma,masopesomudará.Porexemplo:opesodeumaboladeboliche,demassa igual a7,2kg, é71NnaTerra,masapenas 12N naLua. Isso se deve ao fato de que, enquanto amassa é amesma naTerra e naLua, aaceleraçãodequedalivrenaLuaéapenas1,6m/s2,muitomenor,portanto,queaaceleraçãodequedalivrenaTerra,queédaordemde9,8m/s2.

ForçaNormal

Sevocêficaempéemumcolchão,aTerraopuxaparabaixo,masvocêpermaneceemrepouso. Issoaconteceporqueocolchãosedeformasoboseupesoeempurravocêparacima.Damesmaforma,sevocêestásobreumpiso,elesedeforma(aindaqueimperceptivelmente)eoempurraparacima.Mesmoumpisodeconcretoaparentementerígidofazomesmo(senãoestiverapoiadodiretamentenosolo,umnúmerosuficientementegrandedepessoassobreelepodequebrá-lo).O empurrão exercido pelo colchão ou pelo piso é uma força normal N. O nome vem do termo

matemáticonormal,quesignificaperpendicular.Aforçaqueopisoexercesobrevocêéperpendicularaopiso.

Quandoumcorpoexerceumaforçasobreumasuperfície,asuperfície(aindaqueaparentementerígida)sedeformaeempurrao

corpocomumaforçanormal Nqueéperpendicularàsuperfície.

AFigura5-7amostraumexemplo.Umblocodemassampressionaumamesaparabaixo,deformando-a,porcausadaforçagravitacional gaqueoblocoestásujeito.Amesaempurraoblocoparacimacomumaforçanormal N.AFig.5-7bmostraodiagramadecorpolivredobloco.Asforças ge Nsãoasúnicasforçasqueatuamsobreobloco,eambassãoverticais.Assim,asegunda leideNewtonparaobloco,tomandoumeixoycomosentidopositivoparacima(Fres,y=may),assumeaforma

FN–Fg=may.

SubstituindoFgpormg(Eq.5-8),obtemos

FN–mg=may.

Omódulodaforçanormalé,portanto,

para qualquer aceleração vertical ay da mesa e do bloco (que poderiam estar, por exemplo, em umelevadoracelerado).(Atenção:OsinaldegnaEq.5-13ésemprepositivo,masosinaldeaypodeserpositivoounegativo.)Seamesaeobloconãoestiveremaceleradosemrelaçãoaosolo,ay=0e,deacordocomaEq.5-13,

Figura5-7 (a) Um bloco que repousa sobre uma mesa experimenta uma força normal N perpendicular à superfície da mesa. (b)Diagramadecorpolivredobloco.

Teste3NaFig.5-7,omódulodaforçanormal Nserámaior,menorouigualamgseoblocoeamesaestiverememumelevadorquese

moveparacima(a)comvelocidadeconstante,e(b)comvelocidadecrescente?

Atrito

Quandoempurramosoutentamosempurrarumcorpoqueestáapoiadoemumasuperfície,ainteraçãodosátomosdo corpo comos átomosda superfície faz comquehaja uma resistência aomovimento. (Essainteraçãoserádiscutidanopróximocapítulo.)Aresistênciaéconsideradacomoumaúnicaforça querecebeonomedeforçadeatrito,ousimplesmenteatrito.Essaforçaéparalelaàsuperfícieeapontanosentido oposto ao do movimento ou tendência ao movimento (Fig. 5-8). Em algumas situações, parasimplificaroscálculos,desprezamosasforçasdeatrito.

Figura5-8 Umaforçadeatrito seopõeaomovimentodeumcorposobreumasuperfície.

Tração

Quandoumacorda (ouumfio,caboououtroobjetodomesmo tipo)épresaaumcorpoeesticada,acordaaplicaaocorpoumaforça orientadanadireçãodacorda(Fig.5-9a).Essaforçaéchamadadeforçadetraçãoporqueacordaestásendotracionada(puxada).AtraçãodacordaéomóduloTdaforça

exercida sobre o corpo. Assim, por exemplo, se a força exercida pela corda sobre o corpo tem ummóduloT=50N,atraçãodacordaé50N.Uma corda é frequentemente considerada sem massa (o que significa que a massa da corda é

desprezívelemcomparaçãocomamassadocorpoaoqualestápresa)einextensível(oquesignificaqueocomprimentodacordanãomudaquandoésubmetidaaumaforçadetração).Nessascircunstâncias,acordaexisteapenascomoligaçãoentredoiscorpos:elaexercesobreosdoiscorposforçasdemesmomóduloT,mesmoqueosdoiscorposeacordaestejamacelerandoemesmoqueacordapasseporumapolia sem massa e sem atrito (Figs. 5-9b e 5-9c), ou seja, uma polia cuja massa é desprezível emcomparaçãocomasmassasdoscorposecujoatritonoeixoderotaçãopodeserdesprezado.Seacordadámeia-voltaem tornodapolia, comonaFig.5-9c, omóduloda força resultantequea cordaexercesobreapoliaé2T.

Teste4OcorposuspensodaFig.5-9cpesa75N.AtraçãoTéigual,maioroumenorque75Nquandoocorposemoveparacima(a)com

velocidadeconstante,(b)comvelocidadecrescentee(c)comvelocidadedecrescente?

Figura5-9 (a)Acordaesticadaestásob tração.Seamassadacordaédesprezível,acordapuxaocorpoeamãocomumaforça ,mesmoquepasseporumapoliasemmassaesematrito,comoem(b)e(c).

5-3APLICAÇÕESDASLEISDENEWTON


5.14ConheceraterceiraleideNewtoneosparesdeforçasdaterceiralei.

5.15Nocasodeumobjetoquesemoveverticalmente,emumplanohorizontalouemumplanoinclinado,aplicarasegundalei

deNewtonaumdiagramadecorpolivredoobjeto.

5.16Emumsistemanoqualváriosobjetossemovemrigidamenteligadosunsaosoutros,desenhardiagramasdecorpolivreeaplicarasegundaleideNewtonaosobjetosisoladamenteetambémaosistemacomoumtodo.

Ideias-Chave•Aforçaresultante resaplicadaaumcorpodemassamestárelacionadacomaaceleração docorpopormeiodaequação

res–m ,

queequivaleatrêsequaçõesparaascomponentes,

•SeumcorpoCaplicaumaforça BCaumcorpoB,ocorpoBaplicaumaforça CBaocorpoC,easduas forçasestãorelacionadaspelaequação

Issosignificaqueasduasforçastêmmódulosiguaisesentidosopostos.

ATerceiraLeideNewtonDizemos que dois corpos interagem quando empurram ou puxam um ao outro, ou seja, quando cadacorpoexerceumaforçasobreooutro.Suponha,porexemplo,quevocêapoieumlivroLemumacaixaC(Fig.5-10a).Nessecaso,olivroeacaixainteragem:acaixaexerceumaforçahorizontal LC sobreolivro,eolivroexerceumaforçahorizontal CLsobreacaixa.EssepardeforçasémostradonaFig.5-10b.AterceiraleideNewtonafirmaoseguinte:

TerceiraLeideNewton:Quandodoiscorposinteragem,asforçasquecadacorpoexercesobreooutrosãoiguaisemmóduloe

têmsentidosopostos.

Nocasodolivroedacaixa,podemosescreveressaleicomoarelaçãoescalar

FLC=FCL(módulosiguais)

oucomoarelaçãovetorial

emqueo sinalnegativo significaqueasduas forças têmsentidosopostos.Podemoschamar as forçasentredoiscorposqueinteragemdepardeforçasdaterceiralei.Semprequedoiscorposinteragem,umpar de forças da terceira lei está presente.O livro e a caixa da Fig. 5-10a estão em repouso,mas a

terceiraleiseriaválida,mesmoqueelesestivessememmovimentouniformeouacelerado.

Figura5-10 (a)OlivroLestáapoiadonacaixaC.(b)Asforças LC(forçadacaixasobreolivro)e CL(forçadolivrosobreacaixa)têmomesmomóduloesentidosopostos.

Comooutroexemplo,vamosexaminarosparesdeforçasdaterceiraleiqueexistemnosistemadaFig.5-11a,constituídoporumalaranja,umamesaeaTerra.Alaranjainteragecomamesa,eamesainteragecomaTerra(dessavez,existemtrêscorposcujasinteraçõesdevemosestudar).Vamos,inicialmente,nosconcentrarnasforçasqueagemsobrealaranja(Fig.5-11b).Aforça LMéa

forçanormalqueamesaexercesobrealaranja,eaforça LTéaforçagravitacionalqueaTerraexercesobrealaranja. LMe LTformamumpardeforçasdaterceiralei?Não,poissãoforçasqueatuamsobreummesmocorpo,alaranja,enãosobredoiscorposqueinteragem.Paraencontrarumpardaterceiralei,precisamosnosconcentrar,nãonalaranja,masnainteraçãoentre

a laranjaeoutrocorpo.Nainteraçãolaranja-Terra(Fig.5-11c),aTerraatraia laranjacomumaforçagravitacional LT,ealaranjaatraiaTerracomumaforçagravitacional TL.Essasforçasformamumpardeforçasdaterceiralei?Sim,porqueasforçasatuamsobredoiscorposqueinteragem,eaforçaaqueumestásubmetidoécausadapelooutro.Assim,deacordocomaterceiraleideNewton,

Figura5-11 (a)UmalaranjaemrepousosobreumamesanasuperfíciedaTerra.(b)Asforçasqueagemsobrealaranjasão LMe

LT(c)Pardeforçasdaterceiraleiparaainteraçãolaranja-Terra.(d)Pardeforçasdaterceiraleiparaainteraçãolaranja-mesa.

Nainteraçãolaranja-mesa,aforçadamesasobrealaranjaé LM,eaforçadalaranjasobreamesaéML(Fig.5-11d).Essasforçastambémformamumpardeforçasdaterceiraleie,portanto,

Teste5SuponhaquealaranjaeamesadaFig.5-11estãoemumelevadorquecomeçaaacelerarparacima.(a)Osmódulosde MLe LM

aumentam,diminuem,oupermanecemosmesmos?(b)Asduasforçascontinuamaseriguaisemmódulo,comsentidosopostos?

(c)Osmódulosde LTe TLaumentam,diminuem,oupermanecemosmesmos?(d)Asduasforçascontinuamaser iguaisem

módulo,comsentidosopostos?

AplicaçõesdasLeisdeNewtonOrestodestecapítuloécompostodeexemplos.Oleitordeveexaminá-losatentamente,observandoosmétodos usados para resolver cada problema. Especialmente importante é saber traduzir uma dadasituaçãoemumdiagramadecorpolivrecomeixosadequados,paraqueasleisdeNewtonpossamseraplicadas.

Exemplo5.03 Blocodeslizanteeblocopendente

AFig.5-12mostraumblocoD(oblocodeslizante),demassaM=3,3kg.Oblocoestá livreparasemoveremumasuperfície

2.

P

1.

horizontalsematritoeestáligado,porumacordaquepassaporumapoliasematrito,aumsegundoblocoP(oblocopendente),

demassam=2,1kg.Asmassasdacordaedapoliapodemserdesprezadasemcomparaçãocomamassadosblocos.Enquantoo

blocopendentePdesce,oblocodeslizanteDaceleraparaadireita.Determine(a)aaceleraçãodoblocoD, (b)aaceleraçãodo

blocoPe(c)atraçãodacorda.

Dequetrataoproblema?

Foramdadosdoiscorpos–oblocodeslizanteeoblocopendente–mastambéméprecisolevaremcontaaTerra,queatua

sobreosdoiscorpos.(SenãofosseaTerra,osblocosnãosemoveriam.)ComomostraaFig.5-13,cinco forçasagemsobreos

blocos:

AcordapuxaoblocoDparaadireitacomumaforçademóduloT.

A cordapuxaoblocoP para cima comuma força cujomódulo tambéméT. Essa força para cima evita que o bloco caia

livremente.

Figura5-12UmblocoD,demassaM,estáconectadoaumblocoP,demassam,porumacordaquepassaporumapolia.

P

3.

4.

5.

P

P

P

P

Figura5-13AsforçasqueagemsobreosdoisblocosdaFig.5-12.

ATerrapuxaoblocoDparabaixocomumaforçagravitacional gD,cujomóduloéMg.

ATerrapuxaoblocoPparabaixocomumaforçagravitacional gP,cujomóduloémg.

AmesaempurraoblocoDparacimacomumaforçanormal N.

Existeoutrofatodignodenota.Comoestamossupondoqueacordaéinextensível,seoblocoPdesce1mmemcertointervalo

detempo,oblocoDsemove1mmparaadireitanomesmointervalo.Issosignificaqueosblocossemovememconjuntoeas

aceleraçõesdosdoisblocostêmomesmomóduloa.

Comopossoclassificaresseproblema?Elesugerealgumaleidafísicaemparticular?

Sim.Ofatodequeasgrandezasenvolvidassãoforças,massaseaceleraçõessugereasegundaleideNewton, res=m .Essaé

anossaideia-chaveinicial.

SeeuaplicarasegundaleideNewtonaoproblema,aquecorpodevoaplicá-la?

Estamoslidandocomomovimentodedoiscorpos,oblocodeslizanteeoblocopendente.Emborasetratedecorposextensos

(nãopontuais),podemostratá-loscomopartículasporquetodasaspartesdecadablocosemovemexatamentedamesmaforma.

Umasegundaideia-chaveéaplicarasegundaleideNewtonseparadamenteacadabloco.

Eapolia?

Apolianãopode ser tratada comoumapartículaporquediferentespartesdapolia semovemdemododiferente.Quando

discutirmos as rotações, examinaremos comdetalheso casodaspolias.Nomomento, evitamosdiscutir o comportamentoda

polia supondoqueamassadapoliapode serdesprezadaemcomparação comasmassasdosdoisblocos; suaúnica funçãoé

mudaraorientaçãodacorda.

Estácerto;mascomovouaplicaraequação res=m aoblocodeslizante?

RepresenteoblocoDcomoumapartículademassaMedesenhetodasasforçasqueatuamsobreele,comonaFig.5-14a.Esse

éodiagramadecorpolivredobloco.Emseguida,desenheumconjuntodeeixos.Omaisnaturalédesenharoeixoxparaleloà

mesa,apontandoparaadireita,nosentidodomovimentodoblocoD.

Obrigado;masvocêaindanãomedissecomovouaplicaraequação res=m aoblocodeslizante;tudoquefezfoiexplicar

comosedesenhaumdiagramadecorpolivre.

Vocêtemrazão.Aquiestáaterceiraideia-chave:aequação res=m éumaequaçãovetoriale,portanto,equivaleatrês

equaçõesalgébricas,umaparacadacomponente:

emqueFres,x,Fres,y eFres,z são as componentes da força resultante em relação aos três eixos. Podemos aplicar cada umadessas

equaçõesàdireçãocorrespondente.ComooblocoDnãopossuiaceleraçãovertical,Fres,y=Maysetorna

P

Assim,nadireçãoy,omódulodaforçanormaléigualaomódulodaforçagravitacional.

Nenhumaforçaatuanadireçãoz,queéperpendicularaopapel.

Nadireçãoxexisteapenasumacomponentedeforça,queéT.Assim,aequaçãoFres,x=Maxsetorna

ComoaEq.(5-18)contémduasincógnitas,Tea,aindanãopodemosresolvê-la.Lembre-se,porém,dequeaindanãodissemos

nadaarespeitodoblocopendente.

Deacordo.Comovouaplicaraequação res=m aoblocopendente?

Domesmomodo comoaplicouaoblocoD: desenheumdiagramade corpo livre para o blocoP, comona Fig. 5-14b. Em

seguida,apliqueaequação res=m naformadecomponentes.

Figura5-14(a)DiagramadecorpolivredoblocoDdaFig.5-12.(b)DiagramadecorpolivredoblocoPdaFig.5-12.

Dessavez,comoaaceleraçãoéaolongodoeixoy,useaparteydaEq.5-16(Fres,y=may)paraescrever

PodemosagorasubstituirFgPpormgeaypor−a(ovalorénegativoporqueoblocoPsofreaceleraçãonosentidonegativodo

eixoy).Oresultadoé

ObservequeasEqs.5-18e5-20formamumsistemadeduasequaçõescomduasincógnitas,Tea.Subtraindoasequaçõesuma

daoutra,eliminamosT.Explicitandoa,obtemos:

P

SubstituindoesseresultadonaEq.5-18,temos:

Substituindoosvaloresnuméricos,obtemos:

Oproblemaagoraestáresolvido,certo?

Essaperguntaérazoável,masoproblemanãopodeserconsideradoresolvidoatéquevocêexamineosresultadosparaverse

fazemsentido.(Sevocêobtivesseessesresultadosnotrabalho,nãofariaquestãodeconferi-losantesdeentregá-losaochefe?)

ExamineprimeiroaEq.5-21.Observequeestádimensionalmentecorretaequeaaceleraçãoaésempremenorqueg.Issofaz

sentido,poisoblocopendentenãoestáemquedalivre;acordaopuxaparacima.

ExamineemseguidaaEq.5-22,quepodeserescritanaforma

Nessaforma,ficamaisfácilverqueaEq.5-22tambémestádimensionalmentecorreta,jáquetantoTquantomgtêmdimensões

deforça.AEq.5-23tambémmostraqueatraçãodacordaémenorquemg;portanto,émenorqueaforçagravitacionalaqueestá

submetidooblocopendente.Issoérazoável;seTfossemaiorquemg,oblocopendentesofreriaumaaceleraçãoparacima.

Podemostambémverificarseosresultadosestãocorretosestudandocasosespeciaisparaosquaissabemosdeantemãoqualé

a resposta. Um caso simples é aquele em que g = 0, o que aconteceria se o experimento fosse realizado no espaço sideral.

Sabemosque,nessecaso,osblocosficariamimóveis,nãoexistiriamforçasnasextremidadesdacordae,portanto,nãohaveria

traçãonacorda.Asfórmulaspreveemisso?Sim.Fazendog=0nasEqs.5-21e5-22,encontramosa=0eT=0.Doisoutros

casosespeciaisfáceisdeexaminarsãoM=0em→∞.

Exemplo5.04 Corda,blocoeplanoinclinado

Muitosestudantesconsideramosproblemasqueenvolvemrampas(planosinclinados)particularmentedifíceis.Adificuldadeé

provavelmente visual porque, nesse caso, temos de trabalhar (a) com um sistema de coordenadas inclinado e (b) com as

componentesdaforçagravitacional,enãocomaforçatotal.Esteéumexemplotípiconoqualtodasas inclinaçõesetodosos

ângulossãoexplicados.Apesardainclinação,aideia-chaveéaplicarasegundaleideNewtonàdireçãoaolongodaqualocorreo

movimento.

NaFig.5-15a,umacordapuxaparacimaumacaixadebiscoitosaolongodeumplanoinclinadosematritocujoânguloéθ=

30o.Amassadacaixaém=5,00kg,eomódulodaforçaexercidapelacordaéT=25,0N.Qualéacomponenteadaaceleração

dacaixanadireçãodoplanoinclinado?

IDEIA-CHAVE

DeacordocomasegundaleideNewton(Eq.5-1),aaceleraçãonadireçãodoplanoinclinadodependeapenasdascomponentes

dasforçasparalelasaoplano(nãodependedascomponentesperpendicularesaoplano).

Cálculos:PrecisamosescreverasegundaleideNewtonparaomovimentoaolongodeumeixo.Comoacaixasemoveaolongo

do plano inclinado, escolher um eixo x ao longo do plano inclinado parece razoável (Fig. 5-15b). (Não estaria errado usar o

sistemade coordenadas de costume, como eixo x nahorizontal e o eixoy na vertical,mas as equações ficariammuitomais

complicadas,porqueomovimentonãoocorreriaaolongodeumdoseixos.)

Depoisdeescolherumsistemade coordenadas,desenhamosumdiagramade corpo livre, comumponto representandoa

caixa(Fig.5-15b).Emseguida,desenhamososvetoresdasforçasqueagemsobreacaixa,comaorigemdosvetorescoincidindo

comoponto.(Desenharosvetoresforadolugarnodiagramapodelevaraerros,especialmentenosexames;certifique-sedeque

aorigemdetodososvetoresestánocorpocujomovimentoestásendoanalisado.)

Aforça exercidapelacordaédirigidaparacima,paralelamenteaoplano,etemummóduloT=25,0N.Aforçagravitacional

gévertical,dirigidaparabaixo,etemummódulomg=(5,00kg)(9,8m/s2)=49,0N.Essaorientaçãosignificaqueapenasuma

componentedaforçaestáparalelaaoplano,eapenasessacomponente(enãoaforçatotal)afetaaaceleraçãodacaixaaolongo

doplano.Assim,antesdeaplicara segunda leideNewtonaomovimentodacaixaao longodoeixox, precisamosobteruma

expressãoparaacomponentedaforçagravitacionalparalelaaoeixox.

Figura5-15(a)Umacaixasobeumplanoinclinado,puxadaporumacorda.(b)Astrêsforçasqueagemsobreacaixa:aforçada

corda ,aforçagravitacional geaforçanormal N.(c)-(i)Ascomponentesde gnadireçãodoplanoinclinadoenadireção

perpendicular.

AsFigs.5-15ca5-15hmostramospassosnecessáriosparadeterminaressaexpressão.Começamoscomoânguloconhecido

do plano e montamos um triângulo das componentes da força (as componentes são os catetos, e o módulo da força é a

hipotenusa).AFig.5-15cmostraqueoânguloentreoplanoinclinadoe gé90o−θ.(Vocêestávendootriânguloretângulo?)

AsFigs.5-15da5-15fmostram gesuascomponentes.Umadascomponenteséparalelaaoplanoinclinado(éacomponenteem

queestamosinteressados)eaoutraéperpendicularaoplanoinclinado.

Oângulo entre a componenteperpendicular de g éθ (Figs. 5-15d e 5-15e). A componente quenos interessa é o cateto

opostodotriânguloretângulodascomponentes(Fig.5-15f).Comoahipotenusaémg(omódulodaforçagravitacional),ocateto

opostoémgsenθ(Fig.5-15g).

Temosapenasmaisumaforçaenvolvida,aforçanormal gqueaparecenaFig.5-15b.Essaforça,porém,éperpendicularao

plano inclinadoe,portanto,nãopodeafetaromovimentoao longodoplano.(Emoutraspalavras,essaforçanãopossuiuma

componenteaolongodoplanoparaaceleraracaixa.)

AgoraestamosemcondiçõesdeaplicarasegundaleideNewtonaomovimentodacaixaaolongodoeixox:

Fres,x=max.

A componenteax é a única componenteda aceleraçãodiferentede zero (a caixanão salta para fora doplano, o que seria

estranho, nem penetra no plano, o que seria ainda mais estranho). Assim, vamos chamar a aceleração ao longo do plano

simplesmentedea.Comoaforça apontanosentidopositivodoeixoxeacomponentedaforçagravitacionalmgsenθaponta

nosentidonegativodoeixox,temos:

Substituindoporvaloresnuméricoseexplicitandoa,obtemos:

a=0,100m/s2.

Oresultadoépositivo,oqueindicaqueaaceleraçãodacaixaéparacima.Sediminuíssemosgradualmenteomódulodaforça

atéanularaaceleração,acaixapassariaasemovercomvelocidadeconstante.Sediminuíssemosaindamaisomódulode , a

aceleraçãosetornarianegativa,apesardaforçaexercidapelacorda.

Exemplo5.05 Forçacomumângulovariável

Esteexemploenvolveainterpretaçãodeumgráfico.AFig.5-16amostraumarranjonoqualduasforçassãoaplicadasaumbloco

de4,00kgemumpiso sematrito,masapenasa força 1está indicada.A força 1 temmódulo fixo,masoânguloθ como

semieixoxpositivopodevariar.Aforça 2éhorizontaletemmóduloconstante.AFig.5-16bmostraaaceleraçãohorizontalax

doblocoemfunçãodeθnointervalo0o≤θ≤90o.Qualéovalordeaxparaθ=180o?

IDEIAS-CHAVE

(1)AaceleraçãohorizontalaxdependedaforçahorizontalresultanteFres,x,dadapelasegundaleideNewton.(2)Aforçahorizontal

resultanteéasomadascomponenteshorizontaisdasforças 1e 2.

Cálculos:Comoaforça 2éhorizontal,acomponentexéF2.Acomponentexde 1éF1cosθ.Usandoessasexpressõeseuma

massamde4,00kg,podemosescreverasegundaleideNewton( res=m )paraomovimentoaolongodoeixoxnaforma

DeacordocomaEq.5-25,paraθ=90o,F1cosθézeroeF2=4,00ax.Deacordocomográfico,aaceleraçãocorrespondenteé0,50

m/s2.Assim,F2=2,00Neosentidode 2éosentidopositivodoeixox.

Figura5-16(a)Umadasduasforçasaplicadasaumbloco.Oânguloθpodevariar.(b)Componenteaxdaaceleraçãodoblocoem

funçãodeθ.

Fazendoθ=0onaEq.5-25,obtemos:

Deacordocomográfico,aaceleraçãocorrespondenteé3,0m/s2.SubstituindoessevalornaEq.5-26,obtemosF1=10N.

FazendoF1=10N,F2=2,00Neθ=180onaEq.5-25,temos:

Exemplo5.06 Forçasemumelevador

Suponhaquevocêsepesasseemumelevadoremmovimento(osoutrospassageiros,certamente,iriamficarassustados).Você

pesariamais,menosouamesmacoisaqueemumelevadorparado?

NaFig.5-17a,umpassageiro,demassam=72,2kg,estádepéemumabalançadebanheirono interiordeumelevador.

Estamosinteressadosnaleituradabalançaquandooelevadorestáparadoequandoestásemovendoparacimaeparabaixo.

(a)Escrevaumaequaçãoqueexpressealeituradabalançaemfunçãodaaceleraçãoverticaldoelevador.

IDEIAS-CHAVE

(1)Aleituraéigualaomódulodaforçanormal Nqueabalançaexercesobreopassageiro.Comomostraodiagramadecorpo

livredaFig.5-17b,aúnicaoutraforçaqueagesobreopassageiroéaforçagravitacional g.(2)Podemosrelacionarasforçasque

agemsobreopassageiroàaceleração usandoasegundaleideNewton( res=m ).Lembre-se,porém,dequeessaleisóse

aplicaaosreferenciaisinerciais.Umelevadoraceleradonãoéumreferencialinercial.Assim,escolhemososolocomoreferenciale

analisamostodososmovimentosemrelaçãoaessereferencial.

Cálculos:Comoasduasforçaseaaceleraçãoaqueopassageiroestásujeitosãoverticais,nadireçãodoeixoydaFig. 5-17b,

podemosusarasegundaleideNewtonparaascomponentesy(Fres,y=may)eescrever

Figura5-17(a)Umpassageirodepéemumabalançaqueindicaopesoouopesoaparente.(b)Odiagramadecorpolivredo

passageiro,mostrandoaforçanormal Nexercidapelabalançaeaforçagravitacional g.

Issosignificaquealeituradabalança,queéigualaFN,dependedaaceleraçãovertical.SubstituindoFgpormg,obtemos

paraqualquervalordaaceleraçãoa.Seaaceleraçãoéparacima,ovalordeaépositivo;seaaceleraçãoéparabaixo,ovalordeaé

negativo.

(b)Qualéaleituradabalançaseoelevadorestáparadoouestásemovendoparacimacomumavelocidadeconstantede0,50

m/s?

IDEIA-CHAVE

Paraqualquervelocidadeconstante(zerooudiferentedezero),aaceleraçãodopassageiroézero.

Cálculos:SubstituindoesseeoutrosvaloresconhecidosnaEq.5-28,obtemos

EsseéopesodopassageiroeéigualaomóduloFgdaforçagravitacionalaqueopassageiroestásubmetido.

(c)Qualéaleituradabalançaseoelevadorsofreumaaceleração,paracima,de3,20m/s2?Qualéaleituraseoelevadorsofreuma

aceleração,parabaixo,de3,20m/s2?

Cálculos:Paraa=3,20m/s2,aEq.5-28nosdá

eparaa=–3,20m/s2,temos

Seaaceleraçãoéparacima(ouseja,seavelocidadedesubidadoelevadorestáaumentandoouseavelocidadededescidaestá

diminuindo),aleituradabalançaémaiorqueopesodopassageiro.Essaleituraéumamedidadopesoaparente,poisérealizada

emumreferencialnãoinercial.Seaaceleraçãoéparabaixo(ouseja,seavelocidadedesubidadoelevadorestádiminuindooua

velocidadededescidaestáaumentando),aleituradabalançaémenorqueopesodopassageiro.

(d)Duranteaaceleração,paracima,doitem(c),qualéomóduloFresdaforçaresultanteaqueestásubmetidoopassageiro,equal

éomóduloap,eldaaceleraçãodopassageironoreferencialdoelevador?Aequação res=m p,eléobedecida?

Cálculo:OmóduloFgdaforçagravitacionalaqueestásubmetidoopassageironãodependedaaceleração;assim,deacordocom

o item(b),Fg=708N.Deacordocomo item(c),omóduloFN da forçanormalaqueestá submetidoopassageirodurantea

aceleraçãoparacimaéovalorde939Nindicadopelabalança.Assim,aforçaresultanteaqueopassageiroestásubmetidoé

duranteaaceleraçãoparacima.Entretanto,aaceleraçãodopassageiroemrelaçãoaoelevador,ap,el,ézero.Assim,noreferencial

nãoinercialdoelevadoracelerado,Fresnãoéigualamap,el,easegundaleideNewtonnãoéobedecida.

Exemplo5.07 Aceleraçãodeumblocoempurradoporoutrobloco

Algunsproblemasdemecânicaenvolvemobjetosquesemovemjuntos,sejaporqueumestáempurrandoooutro,sejaporque

estãounidosporumacorda.Nesteexemplo,asegunda leideNewtonéaplicadaaumsistemaformadopordoisblocose,em

seguida,aosdoisblocosseparadamente.

NaFig.5-18a,umaforçahorizontalconstante apdemódulo20NéaplicadaaumblocoAdemassamA=4,0kg,queempurra

umblocoBdemassamB=6,0kg.Osblocosdeslizamemumasuperfíciesematrito,aolongodeumeixox.

(a)Qualéaaceleraçãodosblocos?

ErroGrave:Comoaforça apéaplicadadiretamenteaoblocoA,usamosasegundaleideNewtonpararelacionaressaforçaà

aceleração doblocoA.Comoomovimentoéaolongodoeixox,usamosaleiparaascomponentesx(Fres,x=max),escrevendo

Fap=mAa.

Esseraciocínioestáerradoporque apnãoéaúnica forçahorizontalaqueoblocoA está sujeito; existe tambéma força AB

exercidapeloblocoB(Fig.5-18b).

SoluçãoFrustrada:Vamosincluiraforça ABescrevendo,denovo,paraoeixox,

Fap–FAB=mAa.

Figura5-18(a)Umaforçahorizontalconstante apéaplicadaaoblocoA,queempurraoblocoB.(b)Duas forçashorizontais

agemsobreoblocoA.(c)ApenasumaforçahorizontalagesobreoblocoB.

(Usamososinalnegativoporcausadosentidode AB.)Como ABéumasegundaincógnita,nãopodemosresolveressaequação

paradeterminarovalordea.

SoluçãoCorreta:Osentidodeaplicaçãodaforça apfazcomqueosdoisblocossemovamcomosefossemumsó.Podemosusar

a segunda leideNewtonpara relacionara forçaaplicadaao conjuntodosdois blocos à aceleraçãodo conjunto dos dois blocos

atravésdasegundaleideNewton.Assim,considerandoapenasoeixox,podemosescrever

Fap=(mA+mB)a,

emqueagoraaforçaaplicada, ap,estárelacionadacorretamentecomamassatotalmA+mB.Explicitandoaesubstituindoos

valoresconhecidos,obtemos

Assim,aaceleraçãodosistema(edecadabloco)énosentidopositivodoeixoxetemummódulode2,0m/s2.

(b)Qualéaforça(horizontal) BAexercidapeloblocoAsobreoblocoB(Fig.5-18c)?

IDEIA-CHAVE

PodemosusarasegundaleideNewtonpararelacionaraforçaexercidasobreoblocoBàaceleraçãodobloco.

Cálculo:Nessecaso,considerandoapenasoeixox,podemosescrever:

FBA=mBa,

que,substituindoosvaloresconhecidos,nosdá

Assim,aforça BAéorientadanosentidopositivodoeixoxetemmódulode12N.

RevisãoeResumo

MecânicaNewtoniana Para que a velocidade de um objeto varie (ou seja, para que o objeto sofraaceleração), é preciso que ele seja submetido a uma força (empurrão ou puxão) exercida por outroobjeto.Amecânicanewtonianadescrevearelaçãoentreaceleraçõeseforças.

ForçaAforçaéumagrandezavetorialcujomóduloédefinidoemtermosdaaceleraçãoqueimprimiriaaumamassadeumquilograma.Pordefinição,umaforçaqueproduzumaaceleraçãode1m/s2 emumamassade1kgtemummódulode1newton(1N).Umaforçatemamesmaorientaçãoqueaaceleraçãoproduzidapelaforça.Duasoumaisforçaspodemsercombinadassegundoasregrasdaálgebravetorial.

Aforçaresultanteéasomadetodasasforçasqueagemsobreumcorpo.

PrimeiraLeideNewtonQuandoaforçaresultantequeagesobreumcorpoénula,ocorpopermaneceemrepousoousemoveemlinharetacomvelocidadeescalarconstante.

ReferenciaisInerciaisOs referenciais paraosquais as leis deNewton sãoválidas são chamadosdereferenciaisinerciais.OsreferenciaisparaosquaisasleisdeNewtonnãosãoválidassãochamadosdereferenciaisnãoinerciais.

MassaAmassadeumcorpoéapropriedadequerelacionaaaceleraçãodocorpoàforçaresponsávelpelaaceleração.Amassaéumagrandezaescalar.

SegundaLeideNewtonAforçaresultante resqueage sobreumcorpodemassam está relacionadacomaaceleração docorpopormeiodaequação

quepodeserescritaemtermosdascomponentes:

Deacordocomasegundalei,emunidadesdoSI,

Odiagramadecorpolivreéumdiagramasimplificadonoqualapenasumcorpoéconsiderado.Essecorpoérepresentadoporumpontoouporumdesenho.Asforçasexternasqueagemsobreocorposãorepresentadasporvetores,eumsistemadecoordenadasésuperpostoaodesenho,orientadodemodoasimplificarasolução.

AlgumasForçasEspeciaisA forçagravitacional g exercida sobre um corpo é um tipo especial deatração que um segundo corpo exerce sobre o primeiro.Namaioria das situações apresentadas nestelivro,osegundocorpoéaTerraououtroastro.NocasodaTerra,a forçaéorientadaparabaixo,emdireçãoaosolo,queéconsideradoumreferencialinercial.Nessascondições,omódulode gé

emqueméamassadocorpoegéomódulodaaceleraçãoemquedalivre.OpesoPdeumcorpoéomódulodaforçaparacimanecessáriaparaequilibraraforçagravitacional

aqueocorpoestásujeito.Opesodeumcorpoestárelacionadoàmassaatravésdaequação

Aforçanormal Néaforçaexercidasobreumcorpopelasuperfícienaqualocorpoestáapoiado.Aforçanormalésempreperpendicularàsuperfície.

Aforçadeatrito éa forçaexercidasobreumcorpoquandoocorpodeslizaou tentadeslizaremumasuperfície.Aforçaésempreparalelaàsuperfíciee temosentidoopostoaododeslizamento.Emumasuperfícieideal,aforçadeatritoédesprezível.Quandoumacordaestásobtração,cadaextremidadedacordaexerceumaforçasobreumcorpo.A

forçaéorientadanadireçãodacorda,paraforadocorpo.Nocasodeumacordasemmassa(umacordademassadesprezível),astraçõesnasduasextremidadesdacordatêmomesmomóduloT,mesmoqueacordapasseporumapoliasemmassaesematrito (umapoliademassadesprezívelcujoeixotemumatritodesprezível).

TerceiraLeideNewtonSeumcorpoCaplicaaumcorpoBumaforça BCocorpoBaplicaaocorpoCumaforça CBtalque

BC=– CB.

Perguntas1AFig.5-19mostradiagramasdecorpolivredequatrosituaçõesnasquaisumobjeto,vistodecima,épuxadoporvárias forças emumpiso sematrito.Emquaisdessas situaçõesa aceleração doobjetopossui(a)umacomponentexe(b)umacomponentey?(c)Emcadasituação,indiqueaorientaçãodecitando um quadrante ou um semieixo. (Não há necessidade de usar a calculadora; para encontrar aresposta,bastafazeralgunscálculosdecabeça.)


2Duasforçashorizontais,puxamumabananasplitnobalcãosematritodeumalanchonete.Determine,semusarcalculadora,qualdosvetoresdodiagramadecorpolivredaFig.5-20representacorretamente(a) 1e(b) 2.Qualéacomponentedaforçaresultante(c)aolongodoeixoxe(d)aolongodoeixoy?Paraquequadranteapontaovetor(e)daforçaresultantee(f)daaceleraçãodosorvete?


3NaFig.5-21,asforças 1e 2 sãoaplicadasaumacaixaquedeslizacomvelocidadeconstanteemuma superfície sem atrito. Diminuímos o ângulo θ sem mudar o módulo de 1. Para manter a caixadeslizandocomvelocidadeconstante,devemosaumentar,diminuir,oumanterinalteradoomódulode 2?


4Noinstantet=0,umaforça constantecomeçaaatuaremumapedraquesemovenoespaçosideralnosentidopositivodoeixox.(a)Parat>0,quaissãopossíveisfunçõesx(t)paraaposiçãodapedra:(1)x=4t−3,(2)x=−4t2+6t−3,(3)x=4t2+6t−3?(b)Paraquefunção temosentidocontrárioaodomovimentoinicialdapedra?

5AFig.5-22mostravistassuperioresdequatrosituaçõesnasquais forçasatuamsobreumblocoqueestáemumpisosematrito.Emquesituaçõesépossível,paracertosvaloresdosmódulosdasforças,queobloco(a)estejaemrepousoe(b)estejaemmovimentocomvelocidadeconstante?


6AFig.5-23mostraumacaixaemquatrosituaçõesnasquaisforçashorizontaissãoaplicadas.Ordeneassituaçõesdeacordocomomódulodaaceleraçãodacaixa,começandopelomaior.


7 KansasCity,em17dejulhode1981:OhotelHyattRegency,recém-inaugurado,recebecentenasde pessoas, que escutam e dançam sucessos da década de 1940 ao som de uma banda. Muitos seaglomeramnaspassarelasque seestendemcomopontesporcimadogrande saguão.De repente,duaspassarelascedem,caindosobreamultidão.Aspassarelas eram sustentadasporhastesverticais emantidasno lugarporporcas atarraxadasnas

hastes.Noprojetooriginal,seriamusadasapenasduashastescompridas,presasnoteto,quesustentariamastrêspassarelas(Fig.5-24a).SecadapassarelaeaspessoasqueencontramsobreelatêmmassatotalM,qualéamassatotalsustentadaporduasporcasqueestão(a)napassareladebaixoe(b)napassareladecima?

Como não é possível atarraxar uma porca em uma haste a não ser nas extremidades, o projeto foimodificado. Em vez das duas hastes, foram usadas seis, duas presas ao teto e quatro ligando aspassarelas,duasaduas(Fig.5-24b).Qualéagoraamassatotalsustentadaporduasporcasqueestão(c)napassareladebaixo,(d)noladodecimadapassareladecimae(e)noladodebaixodapassareladecima?Foiessamodificaçãodoprojetooriginalquecausouatragédia.


8AFig.5-25mostratrêsgráficosdacomponentevx(t)deumavelocidadeetrêsgráficosdacomponentevy(t).Osgráficosnãoestãoemescala.Quegráficodevx(t)equegráficodevy(t)correspondemmelhoracadaumadassituaçõesdaPergunta1(Fig.5-19)?


9AFig.5-26mostraumconjuntodequatroblocossendopuxadosporumaforçaF ⃗emumpisosematrito.Quemassatotaléaceleradaparaadireita(a)pelaforçaF ⃗(b)pelacorda3e(c)pelacorda1?(d) Ordene os blocos de acordo com a aceleração, começando pela maior. (e) Ordene as cordas deacordocomatração,começandopelamaior.


10AFig.5-27mostratrêsblocossendoempurradosemumpisosematritoporumaforçahorizontal .Quemassa total é aceleradapara adireita (a)pela força , (b) pela força 21 exercidapelobloco1sobreobloco2e (c)pela força 32exercidapelobloco2sobreobloco3?(d)Ordeneosblocosdeacordocomomódulodaaceleração,começandopelomaior.(e)Ordeneasforças , 21e 32deacordocomomódulo,começandopelomaior.


11 Uma força vertical é aplicada a um bloco de massam que está em um piso horizontal. O queacontece comomódulo da força normal N que o piso exerce sobre o bloco quando omódulo deaumentaapartirdezero,seaforça aponta(a)parabaixoe(b)paracima?

12AFig.5-28mostraquatroopçõesparaaorientaçãodeumaforçademóduloFaseraplicadaaumblocoqueseencontraemumplanoinclinado.Aforçapodeserhorizontalouvertical.(Nocasodaopçãob,aforçanãoésuficienteparalevantarobloco,afastando-odasuperfície.)Ordeneasopçõesdeacordocomomódulodaforçanormalexercidapeloplanosobreobloco,começandopelamaior.


Problemas



Módulo5-1APrimeiraeaSegundaLeideNewton

·1Apenas duas forças horizontais atuamemumcorpode3,0 kgquepode semover emumpiso sematrito.Umaforçaéde9,0Neapontaparaoleste;aoutraéde8,0Neatua62°aonortedooeste.Qualéomódulodaaceleraçãodocorpo?

·2Duasforçashorizontaisagemsobreumblocodemadeirade2,0kgquepodedeslizarsematritoemumabancadadecozinha,situadaemumplanoxy.Umadasforçasé 1=(3,0N) +(4,0N) .Determineaaceleraçãodobloconanotaçãodosvetoresunitáriosseaoutraforçaé(a) 2=(–3,0N) +(–4,0N) ,(b) 2=(–3,0N) +(4,0N) e(c) 2=(3,0N) +(–4,0N) .

·3Seumcorpo-padrãode1kgtemumaaceleraçãode2,00m/s2a20,0°comosemieixoxpositivo,qualé(a)acomponentexe(b)qualéacomponenteydaforçaresultanteaqueocorpoestásubmetidoe(c)qualéaforçaresultantenanotaçãodosvetoresunitários?

··4Sobaaçãodeduasforças,umapartículasemovecomvelocidadeconstante =(3,0m/s) –(4m/s) .Umadasforçasé 1=(2N) +(–6N) .Qualéaoutraforça?

··5Trêsastronautas,impulsionadospormochilasajato,empurrameguiamumasteroidede120kgparaumabasedemanutenção,exercendoasforçasmostradasnaFig.5-29,comF1=32N,F2=55N,F3=41N,θ1=30°eθ3=60°.Determineaaceleraçãodoasteroide(a)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(b)ummóduloe(c)umânguloemrelaçãoaosemieixoxpositivo.


··6Emumcabodeguerrabidimensional,Alexandre,BárbaraeCarlospuxamhorizontalmenteumpneudeautomóvelnasorientaçõesmostradasnavistasuperiordaFig.5-30.Apesardosesforçosdatrinca,opneupermanecenomesmolugar.Alexandrepuxacomumaforça Ademódulo220NeCarlospuxacomumaforça Cdemódulo170N.Observequeaorientaçãode Cnãoédada.Qualéomódulodaforça B

exercidaporBárbara?


··7 Duas forças agem sobre a caixa de 2,00 kg vista de cima na Fig. 5-31,mas apenas uma força émostrada.ParaF1=20,0N,a=12,0m/s2eθ=30,0°, determine a segunda força (a)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(b)ummóduloe(c)umânguloemrelaçãoaosemieixoxpositivo.


··8Umobjetode2,00kgestásujeitoatrêsforças,queimprimemaoobjetoumaaceleração =–(8,00m/s2) +(6,00m/s2) .Seduasdasforçassão 1=(30,0N) +(16,0N) e 2=–(12,0N) +(8,00N) ,determineaterceiraforça.

··9Umapartículade0,340kgsemovenoplanoxy,deacordocomasequaçõesx(t)=−15,00+2,00t−4,00t3ey(t)=25,00+7,00t−9,00t2,comxeyemmetrosetemsegundos.Noinstantet=0,700s,quaissão (a) omódulo e (b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que estásubmetidaapartícula,e(c)qualéoângulodadireçãodemovimentodapartícula?

··10Umapartículade0,150kgsemoveaolongodeumeixoxdeacordocomaequaçãox(t)=−13,00+2,00t+4,00t2−3,00t3,comxemmetrose t emsegundos.Qualé,nanotaçãodosvetoresunitários,aforçaqueagesobreapartículanoinstantet=3,40s?

··11Umapartículade2,0kgsemoveaolongodeumeixoxsobaaçãodeumaforçavariável.Aposiçãodapartículaédadaporx=3,0m+(4,0m/s)t+ct2−(2,0m/s3)t3,comxemmetrosetemsegundos.O

fatorcéconstante.No instante t=3,0 s, a forçaqueagesobreapartícula temummódulode36Neapontanosentidonegativodoeixox.Qualéovalordec?

···12Duasforçashorizontais 1e 2agemsobreumdiscode4,0kgquedeslizasematritoemumaplacadegelonaqualfoidesenhadoumsistemadecoordenadasxy.Aforça 1apontanosentidopositivodoeixoxetemummódulode7,0N.Aforça 2temummódulode9,0N.AFig.5-32mostraacomponentevx davelocidadedodisco em funçãodo tempo t.Qual é o ângulo entre as orientações constantesdasforças 1e 2?


Módulo5-2AlgumasForçasEspecials

·13 A Fig. 5-33mostra um arranjo no qual quatro discos estão suspensos por cordas. A cordamaiscomprida,noalto,passaporumapoliasematritoeexerceumaforçade98Nsobreaparedeàqualestápresa.AstraçõesdascordasmaiscurtassãoT1=58,8N,T2=49,0NeT3=9,8N.Qualéamassa(a)dodiscoA,(b)dodiscoB,(c)dodiscoCe(d)dodiscoD?


·14Umblococomumpesode3,0Nestáemrepousoemumasuperfíciehorizontal.Umaforçaparacimade1,0Néaplicadaaocorpopormeiodeumamolavertical.Qualé(a)omóduloe(b)qualosentidodaforçaexercidapeloblocosobreasuperfíciehorizontal?

·15(a)Umsalamede11,0kgestápenduradoporumacordaemumabalançademola,queestápresaaotetoporoutracorda(Fig.5-34a).Qualéaleituradabalança,cujaescalaestáemunidadesdepeso?(b)NaFig.5-34b o salame está suspenso por uma corda que passa por uma roldana e está presa a umabalançademola.Aextremidadeopostadabalançaestápresaaumaparedeporoutracorda.Qualéaleituradabalança? (c)NaFig.5-34c a parede foi substituída por um segundo salame de 11,0 kg e osistemaestáemrepouso.Qualéaleituradabalança?


··16 Alguns insetos podem se mover pendurados em gravetos. Suponha que um desses insetos tenhamassameestejapenduradoemumgravetohorizontal,comomostraaFig.5-35,comumânguloθ=40°.Asseispernasdoinsetoestãosobamesmatração,easseçõesdaspernasmaispróximasdocorposãohorizontais.(a)Qualéarazãoentreatraçãoemcadatíbia(extremidadedaperna)eopesodoinseto?(b)Seoinsetoesticaumpoucoaspernas,atraçãonastíbiasaumenta,diminuioucontinuaamesma?


Módulo5-3AplicaçõesdasLeisdeNewton

·17NaFig.5-36,amassadoblocoé8,5kgeoânguloθé30°.Determine(a)atraçãodacordae(b)aforça normal que age sobre o bloco. (c)Determine omódulo da aceleração do bloco se a corda forcortada.


·18 Emabrilde1974,obelgaJohnMassisconseguiupuxardoisvagõesdepassageirosmordendoumfreiodecavalopresoporumacordaaosvagõeseseinclinandoparatráscomaspernasapoiadasnosdormentesdaferrovia.Osvagõespesavam700kN(cercade80toneladas).SuponhaqueMassistenhapuxadocomumaforçaconstantecomummódulo2,5vezesmaiorqueoseupesoefazendoumânguloθde30oparacimaemrelaçãoàhorizontal.Suamassaerade80kgeelefezosvagõessedeslocaremde1,0m.Desprezando as forças de atrito, determine a velocidade dos vagões quandoMassis parou depuxar.

·19Qualéomódulodaforçanecessáriaparaacelerarumtrenófoguetede500kgaté1600km/hem1,8s,partindodorepouso?

·20Umcarroa53km/hsechocacomopilardeumaponte.Umpassageirodocarrosedeslocaparaafrente,deumadistânciade65cm(emrelaçãoàestrada),atéserimobilizadoporumairbaginflado.Qualéomódulodaforça(supostaconstante)queatuasobreotroncodopassageiro,quetemumamassade41kg?

·21Umaforçahorizontalconstante aempurraumpacotedoscorreiosde2,00kgemumpisosematritono qual um sistema de coordenadas xy foi desenhado. A Fig. 5-37 mostra as componentes x e y davelocidadedopacoteemfunçãodotempot.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãode a?


·22 Um homem está sentado em um brinquedo de parque de diversões no qual uma cabina éaceleradaparabaixo,nosentidonegativodoeixoy,comumaaceleraçãocujomóduloé1,24geg=9,80m/s2.Umamoedade0,567grepousanojoelhodohomem.Depoisqueacabinacomeçaasemoverenanotaçãodosvetoresunitários,qualéaaceleraçãodamoeda(a)emrelaçãoaosoloe(b)emrelaçãoaohomem? (c) Quanto tempo a moeda leva para chegar ao teto da cabina, 2,20 m acima do joelho dohomem?Nanotaçãodosvetoresunitários,qualé(d)aforçaaqueestásubmetidaamoedae(e)qualéaforçaaparenteaqueestásubmetidaamoedadopontodevistadohomem?

·23Tarzan,quepesa820N,saltadeumrochedonapontadeumcipóde20,0mqueestápresoaogalhodeumaárvoreefazinicialmenteumângulode22,0°comavertical.Suponhaqueumeixoxsejatraçadohorizontalmente a partir da borda do rochedo e que um eixo y seja traçado verticalmente para cima.ImediatamenteapósTarzanpulardaencosta,atraçãodocipóé760N.Paraesseinstante,determine(a)aforçaqueocipóexercesobreTarzannanotaçãodosvetoresunitárioseaforçaresultantequeagesobreTarzan(b)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(c)omóduloe(d)oângulodaforçaemrelaçãoaosentidopositivodoeixox.Qualé(e)omóduloe(f)oângulodaaceleraçãodeTarzannesseinstante?

·24Existemduasforçashorizontaisatuandonacaixade2,0kgdaFig.5-38,masavistasuperiormostraapenasuma (demóduloF1 = 20N).A caixa semove ao longo do eixo x. Para cada um dos valores

abaixo da aceleraçãoax da caixa, determine a segunda força na notação dos vetores unitários: (a) 10m/s2,(b)20m/s2,(c)0,(d)−10m/s2e(e)−20m/s2.


·25Propulsãosolar.Um“iatesolar”éumanaveespacialcomumagrandevelaqueéempurradapelaluzsolar.Emborasejafracoemcomparaçãocomasforçasaqueestamosacostumados,esseempurrãopodesersuficienteparapropeliranaveparalongedoSol,emumaviagemgratuita,masmuitolenta.Suponhaqueaespaçonavetenhaumamassade900kgerecebaumempurrãode20N.(a)Qualéomódulodaaceleraçãoresultante?Seanavepartedorepouso,(b)quedistânciaelapercorreemumdiae(c)qualéavelocidadenofinaldodia?

·26A traçãoparaaqualuma linhadepescararrebentaéchamadade“resistência”da linha.Qualéaresistênciamínimanecessáriaparaquea linha façapararumsalmãode85Ndepesoem11cmseopeixeestáinicialmentesedeslocandoa2,8m/s?Suponhaumadesaceleraçãoconstante.

·27Umelétroncomumavelocidadede1,2×107m/spenetrahorizontalmenteemumaregiãonaqualeleestá sujeito a uma força vertical constante de 4,5 × 10−16 N. A massa do elétron é 9,11 × 10−31 kg.Determineadeflexãoverticalsofridapeloelétronenquantopercorreumadistânciahorizontalde30mm.

·28Umcarroquepesa1,30×104Nestásemovendoa40km/hquandoosfreiossãoaplicados,fazendoocarroparardepoisdepercorrer15m.Supondoqueaforçaaplicadapelofreioéconstante,determine(a)omódulodaforçae(b)otemponecessárioparaocarroparar.Seavelocidadeinicialémultiplicadapordoiseocarroexperimentaamesmaforçaduranteafrenagem,porqualfatorsãomultiplicados(c)adistânciaatéocarroparare(d)otemponecessárioparaocarroparar?(Issopoderiaserumaliçãosobreoperigodedirigiremaltavelocidade.)

·29Umbombeiroquepesa712Nescorregaporumpostevertical comumaaceleraçãode3,00m/s2,dirigidaparabaixo.Quaissão(a)omóduloe(b)osentido(paracimaouparabaixo)daforçaverticalexercida pelo poste sobre o bombeiro e (c) omódulo e (d) o sentidoda força vertical exercida pelobombeirosobreoposte?

·30 Osventosviolentosdeumtornadopodemfazercomquepequenosobjetosfiquemencravadosemárvores,paredesdeedifícios,eatémesmoemplacasdesinalizaçãodemetal.Emumasimulaçãoemlaboratório,umpalitocomumdemadeirafoidisparadoporumcanhãopneumáticocontraumgalhodecarvalho.Amassadopalitoerade0,13g,avelocidadedopalitoantesdepenetrarnogalhoerade220m/s,eaprofundidadedepenetraçãofoide15mm.Seopalitosofreuumadesaceleraçãoconstante,qualfoiomódulodaforçaexercidapelogalhosobreopalito?

··31Umblococomeçaasubirumplanoinclinadosematritocomumavelocidadeinicialv0=3,50m/s.O

ângulodoplano inclinadoéθ=32,0°. (a)Quedistânciavertical oblococonsegue subir? (b)Quantotempooblocolevaparaatingiressaaltura?(c)Qualéavelocidadedoblocoaochegardevoltaaopontodepartida?

··32AFig.5-39mostraavistasuperiordeumdiscode0,0250kgemumamesasematritoeduasdastrêsforçasqueagemsobreodisco.Aforça 1temummódulode6,00Neumânguloθ1=30,0°.Aforça2temummódulode7,00Neumânguloθ2=30,0°.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaterceira

forçaseodisco(a)estáemrepouso,(b)temumavelocidadeconstante =(13,0 –14,0 )m/se(c)temumavelocidadevariável =(13,0t –(14,0t )m/s2,emquetéotempo?


··33Umelevadoresuacargatêmumamassatotalde1600kg.Determineatraçãodocabodesustentaçãoquandooelevador,queestavadescendoa12m/s,élevadoaorepousocomaceleraçãoconstanteemumadistânciade42m.

··34NaFig.5-40,umcaixotedemassam=100kgéempurradoporumaforçahorizontal queofazsubirumarampasematrito (θ=30,0°)comvelocidadeconstante.Qualéomódulo (a)de e (b)daforçaquearampaexercesobreocaixote?


··35Avelocidadedeumapartículade3,00kgédadapor =(8,00t +3,00t2 )m/s,comotempotemsegundos.Noinstanteemqueaforçaresultantequeagesobreapartículatemummódulode35,0N,qualéaorientação(emrelaçãoaosentidopositivodoeixox)(a)daforçaresultantee(b)domovimentodapartícula?

··36Umesquiadorde50kgépuxadoparaoaltodeumaencosta,sematrito,segurandoumcaboparalelo

àencosta,quefazumângulode8,0°comahorizontal.QualéomóduloFcabodaforçaqueocaboexercesobreoesquiador(a)seomódulovdavelocidadedoesquiadoréconstanteeiguala2,0m/se(b)sevaumentaaumataxade0,10m/s2?

··37 Umamoça de 40 kg e um trenó de 8,4 kg estão na superfície sem atrito de um lago congelado,separadosporumadistânciade15m,masunidosporumacordademassadesprezível.Amoçaexerceumaforçahorizontalde5,2Nsobreacorda.Qualéomódulodaaceleração(a)dotrenóe(b)damoça?(c)Aquedistânciadaposiçãoinicialdamoçaosdoissetocam?

··38Umesquiadorde40kgdesceuma rampa sematritoque fazumângulode10° comahorizontal.Suponhaqueoesquiadorsedeslocanosentidonegativodeumeixoxparaleloàrampa.OventoexerceumaforçasobreoesquiadorcujacomponenteemrelaçãoaoeixoxéFx.QuantovaleFx,seomódulodavelocidadedoesquiador(a)forconstante,(b)aumentaraumataxade1,0m/s2e(c)aumentaraumataxade2,0m/s2?

··39 Uma esfera, com massa de 3,0 × 10−4 kg, está suspensa por uma corda. Uma brisa horizontalconstanteempurraaesferadetalformaqueacordafazumângulode37°comavertical.Determine(a)aforçadabrisasobreabolae(b)atraçãodacorda.

··40Umacaixa,commassade5,00kg,começaasubir,noinstantet=0,umarampasematritoquefazumânguloθcomahorizontal.AFig.5-41mostra,emfunçãodotempot,acomponentevxdavelocidadedacaixaemrelaçãoaumeixoxparaleloàrampa.Qualéomódulodaforçanormalquearampaexercesobreacaixa?


··41Utilizandoumcaboquearrebentaráseatensãoexceder387N,vocêprecisabaixarumacaixadetelhasvelhas,comumpesode449N,apartirdeumponto6,1macimadochão.Obviamente,sevocêsimplesmentependuraracaixanacorda,elavaiarrebentar.Paraqueissonãoaconteça,vocêpermitequeacordaacelereparabaixo.(a)Qualéomódulodaaceleraçãodacaixaquecolocaocabonaiminênciadearrebentar?(b)Comessaaceleração,qualéavelocidadedacaixaaoatingirochão?

··42Nopassado,cavaloseramusadosparapuxarbarcaçasemcanais,comomostraaFig.5-42.Suponhaqueocavalopuxaocabocomumaforçademódulo7900Neânguloθ=18°emrelaçãoàdireçãodo

movimentodabarcaça,quesedeslocanosentidopositivodeumeixox.Amassadabarcaçaé9500kgeomódulodaaceleraçãodabarcaçaé0,12m/s2.Qualé(a)omóduloe(b)qualaorientação(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)daforçaexercidapelaáguasobreabarcaça?


··43NaFig.5-43,umacorrentecompostaporcincoelos, cadaumcom0,100kgdemassa, é erguidaverticalmentecomumaaceleraçãoconstantedemóduloa=2,50m/s2.Determineomódulo(a)daforçaexercidapeloelo2sobreoelo1,(b)daforçaexercidapeloelo3sobreoelo2,(c)daforçaexercidapeloelo4sobreoelo3e(d)daforçaexercidapeloelo5sobreoelo4.Determineomódulo(e)daforça exercidapelapessoaqueestá levantandoacorrentesobreoelo5e(f)aforçaresultantequeaceleracadaelo.


··44 Uma lâmpada está pendurada verticalmente por um fio em um elevador que desce com umadesaceleraçãode2,4m/s2.(a)Seatraçãodofioé89N,qualéamassadalâmpada?(b)Qualéatraçãodofioquandooelevadorsobecomumaaceleraçãode2,4m/s2?

··45Umelevadorquepesa27,8kNestásubindo.Qualéatraçãodocabodoelevadorseavelocidade(a)estáaumentandoaumataxade1,22m/s2e(b)estádiminuindoaumataxade1,22m/s2?

··46Umelevadorépuxadoparacimaporumcabo.Oelevadoreseuúnicoocupantetêmumamassatotalde2000kg.Quandooocupantedeixacairumamoeda,aaceleraçãodamoedaemrelaçãoaoelevadoré8,00m/s2parabaixo.Qualéatraçãodocabo?

··47 AfamíliaZacchini ficoufamosapelosnúmerosdecircoemqueummembrodafamíliaera

disparadodeumcanhãocomaajudadeelásticosouarcomprimido.Emumaversãodonúmero,EmanuelZacchinifoidisparadoporcimadetrêsrodasgiganteseaterrissouemumarede,namesmaalturaqueabocadocanhão,a69mdedistância.Elefoiimpulsionadodentrodocanoporumadistânciade5,2melançado comumângulo de 53o. Se suamassa era de 85 kg e ele sofreu uma aceleração constante nointeriordocano,qualfoiomódulodaforçaresponsávelpelolançamento?(Sugestão:Trateolançamentocomoseacontecesseaolongodeumarampade53o.Desprezearesistênciadoar.)

··48NaFig.5-44,oselevadoresAeBestãoligadosporumcaboepodemserlevantadosoubaixadosporoutrocaboqueestáacimadoelevadorA.AmassadoelevadorAéde1700kg;amassadoelevadorB é de 1300 kg. O piso do elevadorA sustenta uma caixa de 12 kg. A tração do cabo que liga oselevadoresé1,91×104N.QualéomódulodaforçanormalqueopisodoelevadorAexercesobreacaixa?


··49NaFig.5-45,umblocodemassam=5,00kgépuxadoaolongodeumpisohorizontalsematritoporumacordaqueexerceumaforçademóduloF=12,0Neânguloθ=25,0°.(a)Qualéomódulodaaceleraçãodobloco?(b)OmódulodaforçaF éaumentado lentamente.Qualéovalordomódulodaforçaimediatamenteantesdeoblocoperdercontatocomopiso?(c)Qualéomódulodaaceleraçãodobloconasituaçãodoitem(b)?


··50NaFig.5-46,trêscaixassãoconectadasporcordas,umadasquaispassaporumapoliadeatritoe

massadesprezíveis.Asmassasdascaixas sãomA=30,0kg,mB=40,0kg emC = 10,0 kg.Quandooconjuntoéliberadoapartirdorepouso,(a)qualéatraçãodacordaqueligaBaC,e(b)quedistânciaApercorrenoprimeiro0,250s(supondoquenãoatinjaapolia)?


··51AFig.5-47mostradoisblocos ligadosporumacorda(demassadesprezível)quepassaporumapoliasematrito(tambémdemassadesprezível).OconjuntoéconhecidocomomáquinadeAtwood.Umbloco temmassam1=1,3kg;ooutro temmassam2=2,8kg.Qual é (a)omódulodaaceleraçãodosblocose(b)qualatraçãodacorda?


··52Umhomemde85kgdescedeumaalturade10,0,memrelaçãoaosolo,penduradoemumacordaquepassaporumaroldanasematritoeestápresanaoutraextremidadeaumsacodeareiade65kg.Comquevelocidadeohomematingeosoloseelepartiudorepouso?

··53NaFig.5-48,trêsblocosconectadossãopuxadosparaadireitaemumamesahorizontalsematritoporumaforçademóduloT3=65,0N.Sem1=12,0kg,m2=24,0kgem3=31,0kg,calcule(a)omódulodaaceleraçãodosistema,(b)atraçãoT1e(c)atraçãoT2.


··54 A Fig. 5-49 mostra quatro pinguins que estão sendo puxados em uma superfície gelada muitoescorregadia(sematrito)porumzelador.Asmassasdetrêspinguinseastraçõesemduasdascordassãom1=12kg,m3=15kg,m4=20kg,T2=111NeT4=222N.Determineamassadopinguimm2,quenãoédada.


··55Doisblocosestãoemcontatoemumamesasematrito.Umaforçahorizontaléaplicadaaoblocomaior,comomostraaFig.5-50.(a)Sem1=2,3kg,m2=1,2kgeF=3,2N,determineomódulodaforçaentreosdoisblocos.(b)Mostreque,seumaforçademesmomóduloFforaplicadaaomenordosblocosnosentidooposto,omódulodaforçaentreosblocosseráde2,1N,quenãoéomesmovalorcalculadonoitem(a).(c)Expliquearazãodadiferença.


··56NaFig.5-51a,umaforçahorizontalconstante aéaplicadaaoblocoA,queempurraumblocoBcomuma forçade20,0Ndirigidahorizontalmente para a direita.NaFig.5-51b, amesma força a éaplicada ao bloco B; desta vez, o bloco A empurra o bloco B com uma força de 10,0 N dirigidahorizontalmente para a esquerda. Os blocos têm massa total de 12,0 kg. Qual é o módulo (a) daaceleraçãonaFig.5-51ae(b)daforça a?


··57Umblocodemassam1=3,70kgemumplanoinclinadosematrito,deânguloθ=30,0°,estápresoporumacordademassadesprezível,quepassaporumapoliademassaeatritodesprezíveis, aoutroblocodemassam2=2,30kg(Fig.5-52).Qualé(a)omódulodaaceleraçãodecadabloco,(b)qualo

sentidodaaceleraçãodoblocoqueestápenduradoe(c)qualatraçãodacorda?


··58AFig.5-53mostraumhomemsentadoemumandaimepresoaumacordademassadesprezívelquepassaporumaroldanademassaeatritodesprezíveisedescedevoltaàsmãosdohomem.Amassatotaldohomemedoandaimeé95,0kg.Qualéomódulodaforçacomaqualohomemdevepuxaracordaparaqueoandaimesuba (a)comvelocidadeconstantee (b) comumaaceleração,paracima,de1,30m/s2? (Sugestão: Um diagrama de corpo livre pode ajudar bastante.) Se no lado direito a corda seestendeatéosoloeépuxadaporoutrapessoa,qualéomódulodaforçacomaqualessapessoadevepuxaracordaparaqueohomemsuba(c)comvelocidadeconstantee(d)comumaaceleraçãoparacimade1,30m/s2?Qualéomódulodaforçaqueapoliaexercesobreoteto(e)noitema,(f)noitemb,(g)noitemce(h)noitemd?


··59Ummacacode10kgsobeemumaárvoreporumacordademassadesprezívelquepassaporumgalhosematritoeestápresa,naoutraextremidade,aumcaixotede15kg,inicialmenteemrepousonosolo (Fig. 5-54). (a) Qual é o módulo da menor aceleração que o macaco deve ter para levantar ocaixote?Se,apósocaixotetersidoerguido,omacacoparardesubireseagarraràcorda,quaissão(b)omóduloe(c)osentidodaaceleraçãodomacacoe(d)atraçãodacorda?


··60AFig.5-45mostraumblocode5,00kgsendopuxado,emumpisosematrito,porumacordaqueaplica uma força demódulo constante de 20,0N e umânguloθ(t) que varia como tempo.Quando oânguloθchegaa25o,qualéataxadevariaçãodaaceleraçãodobloco(a)seθ(t)=(2,00×10−2graus/s)te(b)seθ(t)=−(2,00×10−2graus/s)t?(Sugestão:Transformeosgrausemradianos.)

··61UmbalãodearquentedemassaMdesceverticalmentecomumaaceleraçãoparabaixodemóduloa.Quemassa (lastro)deve ser jogadapara foraparaqueobalão tenhaumaaceleraçãoparacimademóduloa?Suponhaqueaforçaverticalparacimadoarquentesobreobalãonãomudacomaperdademassa.

···62 Noarremessodepeso,muitosatletaspreferemlançaropesocomumângulomenorqueoângulo teórico(cercade42o)paraoqualumpesoarremessadocomamesmavelocidadeedamesmaaltura atinge a maior distância possível. Uma razão tem a ver com a velocidade que o atleta podeimprimiraopesoduranteafasedeaceleração.Suponhaqueumpesode7,260kgsejaaceleradoaolongode uma trajetória reta com 1,650 m de comprimento por uma força constante de módulo 380,0 N,começandocomumavelocidadede2,500m/s(devidoaomovimentopreparatóriodoatleta).Qualéavelocidadedopesono finalda fasedeaceleraçãoseoânguloentrea trajetóriaeahorizontal for (a)30,00oe(b)42,00o?(Sugestão:Trateomovimentocomosefosseaolongodeumarampacomoângulodado.)(c)Qualseráareduçãopercentualdavelocidadedelançamentoseoatletaaumentaroângulode30,00opara42,00o?

···63AFig.5-55mostra,emfunçãodotempo t,acomponenteFxda forçaqueagesobreumblocodegelode3,0kgquepodesedeslocarapenasaolongodoeixox.Emt=0,oblocoestásemovendonosentidopositivodoeixo,aumavelocidadede3,0m/s.Qualé(a)omódulodavelocidadedoblocoe(b)

qualéosentidodomovimentodobloconoinstantet=11s?


···64AFig.5-56mostraumacaixademassam2=1,0kgemumplanoinclinadosematritodeânguloθ=30°,queestáligadaporumacorda,demassadesprezível,aumaoutracaixademassam1=3,0kgemumasuperfíciehorizontalsematrito.Apolianãotematritoesuamassaédesprezível.(a)Seomódulodaforçahorizontal é2,3N,qualéatraçãodacorda?(b)Qualéomaiorvalorqueomódulode 2podetersemqueacordafiquefrouxa?


···65AFig.5-47mostraumamáquinadeAtwood,naqualdoisrecipientesestãoligadosporumacorda(demassadesprezível)quepassaporumapoliasematrito(tambémdemassadesprezível).Noinstantet=0,orecipiente1temmassade1,30kgeorecipiente2temmassade2,80kg,masorecipiente1estáperdendomassa(porcausadeumvazamento)aumataxaconstantede0,200kg/s.Aquetaxaomódulodaaceleração dos recipientes está variando (a) em t = 0 e (b) em t = 3,00 s? (c) Em que instante aaceleraçãoatingeovalormáximo?

···66AFig.5-57mostrapartedeumteleférico.Amassamáximapermitidadecadacabina,incluindoospassageiros,éde2800kg.Ascabinas,queestãopenduradasemumcabodesustentação,sãopuxadasporumsegundocaboligadoàtorredesustentaçãodecadacabina.Suponhaqueoscabosestãoesticadoseinclinadosdeumânguloθ=35°.Qualéadiferençaentreastraçõesdesegmentosvizinhosdocaboquepuxaascabinesseascabinasestãocomamáximamassapermitidaeestãosendoaceleradasparacimaa0,81m/s2?


···67AFig.5-58mostratrêsblocosligadosporcordasquepassamporpoliassematrito.OblocoBestáemumamesasematrito;asmassassãomA=6,00kg,mB=8,00kgemC=10,0kg.Qualéatraçãodacordadadireitaquandoosblocossãoliberados?


···68 Umarremessadordepesolançaumpesode7,260kgempurrando-oaolongodeumalinhareta com 1,650m de comprimento e um ângulo de 34,10o com a horizontal, acelerando o peso até avelocidadedelançamentode2,500m/s(quesedeveaomovimentopreparatóriodoatleta).Opesodeixaamãodoarremessadoraumaalturade2,110mecomumângulode34,10o epercorreumadistânciahorizontalde15,90m.Qualéomódulodaforçamédiaqueoatletaexercesobreopesoduranteafasedeaceleração?(Sugestão:Trateomovimentoduranteafasedeaceleraçãocomosefosseaolongodeumarampacomoângulodado.)

ProblemasAdicionais

69NaFig.5-59,oblocoAde4,0kgeoblocoBde6,0kgestãoconectadosporumacorda,demassadesprezível.Aforça A=(12N) atuasobreoblocoA;aforça B=(24N) atuasobreoblocoB.Qualéatensãodacorda?


70 Umhomemde80kgsaltadeumajanelaa0,50mdealturaparaumpátiodeconcreto.Elenãodobraosjoelhosparaamorteceroimpactoeleva2,0cmparaparar.(a)Qualéaaceleraçãomédiadesdeoinstanteemqueospésdohomemtocamosoloatéoinstanteemqueocorposeimobiliza?(b)Qualéomódulodaforçamédiaqueopátioexercesobreohomem?

71AFig.5-60mostraumacaixadedinheiro sujo (massam1=3,0kg) sobreumplano inclinado sematrito de ângulo θ1 = 30°. A caixa está ligada, por uma corda demassa desprezível, a uma caixa dedinheirolavado(massam2=2,0kg)situadasobreumplanoinclinadosematritodeânguloθ2=60°.Apolianãotematritoeamassaédesprezível.Qualéatensãodacorda?


72Trêsforçasatuamsobreumapartículaquesemovecomvelocidadeconstante =(2m/s) –(7m/s) .Duasdasforçassão 1=(2N) +(3N) +(–2N) e 2=(–5N) +(8N) +(–2N) .Qualéaterceiraforça?

73NaFig.5-61,umalatadeantioxidantes(m1=1,0kg)emumplanoinclinadosematritoestáligada,porumacorda,aumalatadeapresuntado(m2=2,0kg).Apolia temmassaeatritodesprezíveis.UmaforçaverticalparacimademóduloF=6,0Nagesobrealatadeapresuntado,quetemumaaceleraçãoparabaixode5,5m/s2.Determine(a)atensãodacordae(b)oânguloθ.


74Asduasúnicasforçasqueagemsobreumcorpotêmmódulosde20Ne35Nedireçõesquediferemde80°.Aaceleraçãoresultantetemummódulode20m/s2.Qualéamassadocorpo?

75 A Fig. 5-62 é uma vista superior de um pneu de 12 kg que está sendo puxado por três cordashorizontais. A força de uma das cordas (F1 = 50N) está indicada. As outras duas forças devem serorientadasde talformaqueomóduloadaaceleraçãodopneusejaomenorpossível.Qualéomenorvalordease(a)F2=30N,F3=20N;(b)F2=30N,F3=10N;(c)F2=F3=30N?


76UmblocodemassaMépuxadoporumacordademassamemumasuperfíciehorizontalsematrito,comomostraaFig.5-63.Umaforçahorizontal agesobreumadasextremidadesdacorda.(a)Mostreque a corda deve pender, mesmo que imperceptivelmente. Supondo que a curvatura da corda sejadesprezível,determine(b)aaceleraçãodacordaedobloco,(c)aforçadacordasobreoblocoe(d)aforçadetraçãonopontomédiodacorda.


77Umoperárioarrastaumcaixotenopisodeumafábricapuxando-oporumacorda.OoperárioexerceumaforçademóduloF=450Nsobreacorda,queestáinclinadadeumânguloθ=38°emrelaçãoàhorizontal,eochãoexerceumaforçahorizontaldemódulof=125Nqueseopõeaomovimento.Calculeomódulodaaceleraçãodocaixote(a)seamassadocaixotefor310kge(b)seopesodocaixotefor310N.

78NaFig.5-64,umaforça demódulo12Néaplicadaaumacaixademassam2=1,0kg.Aforçaédirigidaparacimaparalelamenteaumplanoinclinadodeânguloθ=37°.Acaixaestáligadaporumacordaaoutracaixademassam1=3,0kgapoiadaemumpisohorizontal.Oplanoinclinado,opisoeapolianãotêmatrito,easmassasdapoliaedacordasãodesprezíveis.Qualéatraçãodacorda?


79Umapartículatemumpesode22Nemumlocalemqueg=9,8m/s2.Qualé(a)opesoe(b)qualamassadapartículaemumlocalemqueg=4,9m/s2?Qualé(c)opesoe(d)qualéamassadapartículaseelaédeslocadaparaumpontodoespaçosideralemqueg=0?

80Umapessoade80kgsaltadeparaquedaseexperimentaumaaceleraçãoparabaixode2,5m/s2.Amassadoparaquedaséde5,0kg.(a)Qualéaforçaparacimaqueoarexercesobreoparaquedas?(b)Qualéaforçaqueapessoaexercesobreoparaquedas?

81UmaespaçonavedecolaverticalmentedaLua,emqueg=1,6m/s2.Seanave temumaaceleraçãoverticalparacimade1,0m/s2no instantedadecolagem,qualéomódulodaforçaexercidapelanavesobreopiloto,quepesa735NnaTerra?

82NavistasuperiordaFig.5-65,cincoforçaspuxamumacaixademassam=4,0kg.OsmódulosdasforçassãoF1=11N,F2=17N,F3=3,0N,F4=14NeF5=5,0N;oânguloθ4é30°.Determineaaceleração da caixa (a) na notação dos vetores unitários e como (b) ummódulo e (c) um ângulo emrelaçãoaosemieixoxpositivo.


83Umaforçaimprimeaumobjetodemassam1umaaceleraçãode12,0m/s2eaumobjetodemassam2

umaaceleraçãode3,30m/s2.Queaceleraçãoessamesmaforçaimprimiriaaumobjetodemassa(a)m2−m1e(b)m2+m1?

84Vocêpuxaumpequenorefrigeradorcomumaforçaconstante emumpisoencerado(sematrito),comnahorizontal(caso1)oucom inclinadaparacimadeumânguloθ(caso2).(a)Qualéarazãoentrea

velocidadedo refrigeradornocaso2eavelocidadenocaso1 sevocêpuxao refrigeradorporcertotempot?(b)Qualéessarazãosevocêpuxaorefrigeradoraolongodecertadistânciad?

85Umaartistadecircode52kgprecisadescerescorregandoporumacordaquearrebentaráseatraçãoexceder425N.(a)Oquevaiacontecerseaartistaficarparada,penduradanacorda?(b)Paraquevalordaaceleraçãoacordaestaráprestesaarrebentar?

86Calculeopesodeumastronautade75kg(a)naTerra,(b)emMarte,emqueg=3,8m/s2,e(c)noespaçosideral,emqueg=0.(d)Qualéamassadoastronautaemcadaumdesseslugares?

87Umobjetoestápenduradoemumabalançademolapresaaotetodeumelevador.Abalançaindica65Nquandooelevadorestáparado.Qualéaleituradabalançaquandooelevadorestásubindo(a)comumavelocidadeconstantede7,6m/se(b)comumavelocidadede7,6m/seumadesaceleraçãode2,4m/s2?

88ImagineumaespaçonaveprestesaaterrissarnasuperfíciedeCalisto,umadasluasdeJúpiter.Seomotorforneceumaforçaparacima(empuxo)de3260N,aespaçonavedescecomvelocidadeconstante;seomotorforneceapenas2200N,aespaçonavedescecomumaaceleraçãode0,39m/s2.(a)QualéopesodaespaçonavenasvizinhançasdasuperfíciedeCalisto?(b)Qualéamassadaaeronave?(c)QualéomódulodaaceleraçãodequedalivrepróximoàsuperfíciedeCalisto?

89Umaturbinaajatode1400kgestápresaàfuselagemdeumaviãocomercialporapenastrêsparafusos(essaéapráticacomum).Suponhaquecadaparafusosuportaumterçodacarga.(a)Calculeaforçaaquecadaparafusoésubmetidoenquantooaviãoestáparadonapista,aguardandopermissãoparadecolar.(b)Duranteovoo,oaviãoencontraumaturbulênciaqueprovocaumaaceleraçãobruscaparacimade2,6m/s2.Calculeaforçaaqueésubmetidocadaparafusoduranteessaaceleração.

90Umanaveinterestelartemumamassade1,20×106kgeestáinicialmenteemrepousoemrelaçãoaumsistema estelar. (a) Que aceleração constante é necessária para levar a nave, em 3,0 dias, até avelocidadede0,10c(emquec=3,0×108m/séavelocidadedaluz)?(b)Qualéovalordaaceleraçãoemunidadesdeg?(c)Queforçaénecessáriaparaessaaceleração?(d)Seosmotoressãodesligadosquando a velocidade de 0,10c é atingida (fazendo com que a velocidade permaneça constante dessemomentoemdiante),quantotempolevaanave(apartirdoinstanteinicial)paraviajar5,0meses-luz,adistânciapercorridapelaluzem5,0meses?

91Umamotocicletaeseupilotode60,0kgacelerama3,0m/s2parasubirumarampainclinadade10°emrelaçãoàhorizontal.Quaissãoosmódulos(a)daforçaresultanteaqueésubmetidoopilotoe(b)daforçaqueamotocicletaexercesobreopiloto?

92Calculeaaceleraçãoinicialparacimadeumfoguetedemassa1,3×104kgsea força inicialparacimaproduzidapelosmotores(empuxo)é2,6×105Neofoguetepartedoníveldomar.Nãodesprezeaforçagravitacionalaqueofogueteestásubmetido.

93AFig.5-66amostraummóbilependuradonoteto;oobjetoécompostoporduaspeçasdemetal(m1=3,5kgem2=4,5kg)ligadasporcordasdemassadesprezível.Qualéatração(a)dacordadebaixoe(b) da corda de cima? A Fig. 5-66b mostra um móbile composto de três peças metálicas. Duas dasmassassãom3=4,8kgem5=5,5kg.Atraçãodacordadecimaé199N.Qualéatração(c)dacordadebaixoe(d)dacordadomeio?


94Poresporte,umtatude12kgescorregaemumgrandelagogelado,planoesematrito.Avelocidadeinicialdotatué5,0m/snosentidopositivodoeixox.Tomecomoorigemaposiçãoinicialdotatu.Oanimalescorreganogeloaomesmotempoqueéempurradopeloventocomumaforçade17Nnosentidopositivodoeixoy.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualé(a)ovetorvelocidadee(b)qualéovetorposiçãodotatudepoisdedeslizardurante3,0s?

95SuponhaquenaFig.5-12asmassasdosblocossejamde2,0kge4,0kg.(a)Qualdessasmassasdeveseradoblocopenduradoparaqueaaceleraçãosejaamaiorpossível?Qualé,nessecaso,(b)omódulodaaceleraçãoe(c)qualéatraçãodacorda?

96Paracapturarumnêutronlivre,umnúcleodevefazê-lopararemumadistânciamenorqueodiâmetrodonúcleopormeiodainteraçãoforte,aforçaresponsávelpelaestabilidadedosnúcleosatômicos,queépraticamentenulaforadonúcleo.Supondoque,parasercapturadoporumnúcleocomumdiâmetrod=1,0×10−14m,umnêutronlivredeveterumavelocidadeinicialmenorouiguala1,4×107m/s,equeaforçaaqueestásujeitoonêutronnointeriordonúcleoéaproximadamenteconstante,determineomódulodainteraçãoforte.Amassadonêutroné1,67×10−27kg.

97Supondoqueamassa-padrãode1kgésubmetidaaapenasduasforças,edetermineaforçaresultanteres (a) na notaçãodos vetores unitários e (b) comoummódulo e (c) comoumângulo em relação ao

semieixoxpositivo.Determine(d)omóduloe(e)oângulodaaceleração .

_______________1Odisconãoéaceleradonadireçãoyporqueacomponenteydaforça 3éequilibradapelaforçanormal,queserádiscutidanoMódulo5-2.(N.T.)

CAPÍTULO6

ForçaeMovimento–II

6-1ATRITO


6.01Saberadiferençaentreatritoestáticoeatritocinético.

6.02Determinaromóduloeaorientaçãodeumaforçadeatrito.

6.03Nocasodeobjetosemplanoshorizontais,verticaisouinclinadosemsituaçõesqueenvolvamforçasdeatrito,desenhardiagramasdecorpolivreeaplicarasegundaleideNewton.

Ideias-Chave•Quandoumaforça tendeafazerumobjetodeslizaremumasuperfície,umaforçadeatritoassociadaàsuperfícieagesobreoobjeto.Aforçadeatrito,queresultadainteraçãodoobjetocomasuperfície,éparalelaàsuperfícieeseopõeaomovimento.

Seoobjetopermaneceemrepouso,aforçadeatritoéchamadadeforçadeatritoestáticoerepresentadapelosímbolo ;seocorposemove,aforçadeatritoéchamadadeforçadeatritocinéticoerepresentadapelosímbolo .

•Seumobjetoestáparado,aforçadeatritoestático eacomponentede paralelaàsuperfície têmomesmomóduloesentidosopostos.Seacomponentehorizontaldaforçaaplicadaaumenta,aforçadeatritoestáticotambémaumenta.•Omódulodaforçadeatritoestáticotemumvalormáximo s,máxdadopor

fs,máx=μsFN,

emqueμséocoeficientedeatritoestáticoeFNéomódulodaforçanormal.Seacomponentenormalde setornamaiorquefs,máx,oobjetocomeçaasemover.

•Seumobjetocomeçaasemoveremumasuperfície,omódulodaforçadeatritodiminuirapidamenteparaumvalorconstantefkdadopor

fk=μkFN,

emqueμkéocoeficientedeatritocinético.

OqueÉFísica?Nestecapítulo,concentramosaatençãonafísicadetrêstiposcomunsdeforça:aforçadeatrito,aforçadearrastoeaforçacentrípeta.Aoprepararumcarroparaas500milhasdeIndianápolis,ummecânicodevelevaremcontaostrêstiposdeforça.Asforçasdeatritoqueagemsobreospneussãocruciaisparaaaceleraçãodocarroaodeixaroboxeeaosairdascurvas(seocarroencontraumamanchadeóleo,ospneusperdemaderência,eocarropodesairdapista).Asforçasdearrastoproduzidaspelascorrentesde

1.

2.

3.

ar devem ser minimizadas; caso contrário, o carro consumirá muito combustível e terá que serreabastecidoprematuramente(umaparadaadicionaldeapenas14spodecustaracorridaaumpiloto).Asforçascentrípetassãofundamentaisnascurvas(senãohouverforçacentrípetasuficiente,ocarronãoconseguiráfazeracurva).Vamosiniciaradiscussãocomasforçasdeatrito.

AtritoAsforçasdeatritosãoinevitáveisnavidadiária.Casonãofôssemoscapazesdevencê-las,elasfariamparar todososobjetosqueestivessemsemovendoe todososeixosqueestivessemgirando.Cercade20%dagasolinaconsumidaporumautomóveléusadaparacompensaroatritodaspeçasdomotoredatransmissão.Poroutrolado,senãohouvesseatrito,nãopoderíamosfazeroautomóveliralugaralgum,nem poderíamos caminhar ou andar de bicicleta. Não poderíamos segurar um lápis, e, mesmo quepudéssemos, não conseguiríamos escrever. Pregos e parafusos seriam inúteis, os tecidos sedesmanchariameosnóssedesatariam.TrêsExperimentos. Neste capítulo tratamos de forças de atrito que existem entre duas superfícies

sólidas estacionárias ou que semovem uma em relação à outra em baixa velocidade. Considere trêsexperimentosimagináriossimples:

Dê um empurrão momentâneo em um livro, fazendo-o deslizar em uma mesa. Com o tempo, avelocidadedolivrodiminuiatéseanular.Issosignificaqueolivrosofreuumaaceleraçãoparalelaàsuperfíciedamesa,nosentidoopostoaodavelocidade.Deacordocomasegunda leideNewton,deve terexistidoumaforça,paralelaà superfíciedamesa,desentidoopostoaodavelocidadedolivro.Essaforçaéumaforçadeatrito.Empurreolivrohorizontalmentedemodoafazê-losedeslocarcomvelocidadeconstanteaolongodamesa.Aforçaquevocêestáexercendopodeseraúnicaforçahorizontalqueagesobreolivro?Não,porque,sefosseassim,olivrosofreriaumaaceleração.DeacordocomaleideNewton,deveexistirumasegundaforça,desentidocontrárioaodaforçaaplicadaporvocê,mascomomesmomódulo,que equilibra a primeira força.Essa segunda força é uma força de atrito, paralela à superfície damesa.Empurreumcaixotepesadoparalelamenteaochão.Ocaixotenãosemove.DeacordocomasegundaleideNewton,umasegundaforçadeveestaratuandosobreocaixoteparaseoporàforçaquevocêestáaplicando.Essasegundaforçatemomesmomóduloqueaforçaquevocêaplicou,masatuaemsentido contrário, de forma que as duas forças se equilibram. Essa segunda força é uma força deatrito.Empurrecommaisforça.Ocaixotecontinuaparado.Issosignificaqueaforçadeatritopodeaumentardeintensidadeparacontinuarequilibrandoaforçaaplicada.Empurrecommaisforçaainda.Ocaixotecomeçaadeslizar.Evidentemente,existeuma intensidademáximaparaa forçadeatrito.Quandovocêexcedeuessaintensidademáxima,ocaixotecomeçouasemover.

DoisTiposdeAtrito.AFig.6-1mostraumasituaçãosemelhante.NaFig.6-1a, umbloco está emrepousoemumamesa, coma forçagravitacional g equilibradapela forçanormal N.NaFig. 6-1b,

vocêexerceumaforça sobreobloco,tentandopuxá-loparaaesquerda.Emconsequência,surgeumaforçadeatrito sparaadireita,queequilibraaforçaquevocêaplicou.Aforça séchamadadeforçadeatritoestático.Oblocopermaneceimóvel.

Figura6-1 (a)As forçasqueagemsobreumblocoestacionário. (b-d)Umaforçaexterna , aplicada aobloco, é equilibradaporumaforçadeatritoestático s.Quando aumenta,fs tambémaumenta,atéatingirumvalormáximo. (e)Quandofs atingeovalormáximo, obloco“sedesprende”eacelerabruscamentenadireçãode .(f)Paraqueoblocosemovacomvelocidadeconstante,éprecisoreduzirovalordeF.(g)Algunsresultadosexperimentaisparaasequênciada(a)a(f).

AsFigs.6-1ce6-1dmostramque,quandoaintensidadedaforçaaplicadaaumenta,aintensidadedaforçadeatritoestático stambémaumenta,eoblocopermaneceemrepouso.Entretanto,quandoaforçaaplicadaatingedeterminadovalor,obloco“sedesprende”dasuperfíciedamesaesofreaceleraçãoparaaesquerda(Fig.6-1e).Aforçadeatrito kqueseopõeaomovimentonanovasituaçãoéchamadadeforçadeatritocinético.Emgeral,aintensidadedaforçadeatritocinético,queagesobreosobjetosemmovimento,émenor

doquea intensidademáximada forçadeatritoestático,queagesobreosobjetosemrepouso.Assim,paraqueoblocosemovanasuperfíciecomvelocidadeconstante,provavelmentevocêteráquediminuiraintensidadedaforçaaplicadadepoisqueoblococomeçarasemover,comomostraaFig.6-1f.AFig.6-1gmostraoresultadodeumexperimentonoqualaforçaaplicadaaumblocofoiaumentadalentamenteaté que o bloco começasse a se mover. Observe que a força necessária para manter o bloco emmovimentocomvelocidadeconstanteémenorqueanecessáriaparaqueoblococomeceasemover.VisãoMicroscópica.Aforçadeatritoé,naverdade,asomavetorialdemuitasforçasqueagementre

os átomos da superfície de um corpo e os átomos da superfície de outro corpo. Se duas superfícies

metálicaspolidaselimpassãocolocadasemcontatoemaltovácuo(paraquecontinuemlimpas),torna-se impossível fazerumadeslizaremrelaçãoàoutra.Comoas superfícies são lisas,muitosátomosdeumadassuperfíciesentramemcontatocommuitosátomosdaoutra,eassuperfíciessesoldama frio,formandoumaúnicapeçademetal.Sedoisblocosdemetal,muitopolidos,usadosparacalibrartornos,são colocados em contato no ar, existemenos contato entre os átomos,mas,mesmo assim, os blocosaderemfirmementeesópodemserseparadosporummovimentodetorção.Emgeral,porém,essegrandenúmerodecontatosentreátomosnãoexiste.Mesmoumasuperfíciemetálicaaltamentepolidaestálongedeserumasuperfícieplanaemescalaatômica.Alémdisso,asuperfíciedosobjetoscomunspossuiumacamadadeóxidoseoutrasimpurezasquereduzemasoldagemafrio.Quandoduassuperfíciescomunssãocolocadasemcontato,somenteospontosmaissalientessetocam.

(É como se virássemos osAlpesSuíços de cabeça para baixo e os colocássemos emcontato comosAlpes Austríacos.) A área microscópica de contato é muito menor que a aparente área de contatomacroscópica,possivelmente104vezesmenor.Mesmoassim,muitospontosdecontatosesoldamafrio.Essassoldassãoresponsáveispeloatritoestáticoquesurgequandoumaforçaaplicadatentafazerumasuperfíciedeslizaremrelaçãoàoutra.Seaforçaaplicadaésuficienteparafazerumadassuperfíciesdeslizar,ocorreumarupturadassoldas

(noinstanteemquecomeçaomovimento)seguidaporumprocessocontínuodeformaçãoerupturadenovassoldasenquantoocorreomovimentorelativoenovoscontatossãoformadosaleatoriamente(Fig.6-2).Aforçadeatritocinético kqueseopõeaomovimentoéasomavetorialdasforçasproduzidasporessescontatosaleatórios.Seasduassuperfíciessãopressionadasumacontraaoutracommaisforça,maispontossesoldama

frio.Nesse caso, para fazer as superfícies deslizarem uma em relação à outra, é preciso aplicar umaforçamaior,ouseja,ovalordaforçadeatritoestático sémaior.Seassuperfíciesestãodeslizandoumaemrelaçãoàoutra,passamaexistirmaispontosmomentâneosdesoldagemafrio,demodoqueaforçadeatritocinético ktambémémaior.Frequentemente, o movimento de deslizamento de uma superfície em relação à outra ocorre “aos

solavancos” porque os processos de soldagem e ruptura se alternam. Esses processos repetitivos deaderência e deslizamento podem produzir sons desagradáveis, como o cantar de pneus no asfalto, obarulho de uma unha arranhando um quadro-negro e o rangido de uma dobradiça enferrujada. Podemtambémproduzirsonsmelodiosos,comoosdeumviolinobemtocado.

Figura6-2 Mecanismoresponsávelpelaforçadeatritocinético.(a)Aplacadecimaestádeslizandoparaadireitaemrelaçãoàplacadebaixo.(b)Nestavistaampliadasãomostradosdoispontosondeocorreusoldagema frio.Énecessáriauma forçapara romperas soldasemanteromovimento.

PropriedadesdoAtritoAexperiênciamostraque,quandoumcorposeconãolubrificadopressionaumasuperfícienasmesmascondiçõeseumaforça tentafazerocorpodeslizaraolongodasuperfície,aforçadeatritoresultantepossuitrêspropriedades:

Propriedade1.Seocorponão semove, a forçadeatrito estático s e a componentede paralela àsuperfície se equilibram. As duas forças têm módulos iguais e s tem o sentido oposto ao dacomponentede .

Propriedade2.Omódulode spossuiumvalormáximofs,máxqueédadopor

emqueμséocoeficientedeatritoestáticoeFNéomódulodaforçanormalqueasuperfícieexercesobreocorpo.Seomódulodacomponentede paralelaàsuperfícieexcedefs,máx,ocorpocomeçaadeslizarnasuperfície.

Propriedade 3. Se o corpo começa a deslizar na superfície, o módulo da força de atrito diminuirapidamenteparaumvalorfkdadopor

emqueμkéocoeficientedeatritocinético.Daíemdiante,então,duranteodeslizamento,umaforçadeatritocinético kdemódulodadopelaEq.6-2seopõeaomovimento.

OmóduloFNdaforçanormalaparecenasPropriedades2e3comoumamedidadaforçacomaqualo

corpopressionaasuperfície.DeacordocomaterceiraleideNewton,seocorpopressionacommaisforça,FNémaior.AsPropriedades1e2foramexpressasemtermosdeumaúnicaforçaaplicada ,mastambémsãoválidasparaa resultantedevárias forçasaplicadasaocorpo.AsEqs.6-1e6-2não sãoequaçõesvetoriais;osvetores se k sãosempreparalelosàsuperfíciee têmosentidoopostoaodatendênciadedeslizamento;ovetorFNéperpendicularàsuperfície.Oscoeficientesμseμksãoadimensionaisedevemserdeterminadosexperimentalmente.Seusvalores

dependem das propriedades tanto do corpo como da superfície; por isso, qualquer menção aoscoeficientesdeatritocostumaserseguidapelapreposição“entre”,comoem“ovalordeμsentreumovoeumafrigideiradeTefloné0,04,masovalorentreumabotadealpinistaeumapedrapodechegara1,2”.Emgeral, supomosqueovalordeμknãodependedavelocidadecomaqualocorpodeslizaaolongodasuperfície.

Teste1Umblocorepousaemumpiso.(a)Qualéomódulodaforçadeatritoqueopisoexercesobreobloco?(b)Seumaforçahorizontal

de5Néaplicadaaobloco,masobloconãosemove,qualéomódulodaforçadeatrito?(c)Seovalormáximofs,máxdaforçade

atritoestáticoqueagesobreoblocoé10N,oblocosemoveseomódulodaforçaaplicadahorizontalmenteforaumentadopara8

N?(d)Eseomódulodaforçaforaumentadopara12N?(e)Qualéomódulodaforçadeatritonoitem(c)?

Exemplo6.01 Forçainclinadaaplicadaaumblocoinicialmenteemrepouso

Esteexemploenvolveaaplicaçãodeumaforçainclinadaemrelaçãoàsuperfícienaqualrepousaumbloco,oquetornanecessário

ousodecomponentesdaforçaaplicadaparadeterminaraforçadeatrito.Amaiordificuldadeestáemseparardeformacorretaas

componentes.AFig.6-3amostraumaforçademóduloF=12,0Naplicadaaumblocode8,0kg.Aforçafazumânguloθ=30°

parabaixocomasuperfícieemqueoblocorepousa.Ocoeficientedeatritoestáticoentreoblocoeasuperfícieéμs=0,700eo

coeficientedeatritocinéticoéμk=0,400.Oblococomeçaasemoverquandoaforçaéaplicadaoupermaneceemrepouso?Qualé

ovalordomódulodaforçadeatritoqueagesobreobloco?

IDEIAS-CHAVE

(1)Quandoumobjetoestáemrepousoemumasuperfície,aforçadeatritoestáticoequilibraacomponenteparalelaàsuperfície

daforçaqueestátentandomoveroobjeto.(2)OvalormáximopossíveldaforçadeatritoestáticoédadopelaEq.6-1(fs,máx=

μsfN).(3)Seacomponenteparalelaàsuperfícieformaiorqueolimitedaforçadeatritoestático,oblococomeçaráasemover.(4)

Quandoumobjetoestáemmovimento,aforçadeatritoéchamadadeforçadeatritocinéticoeseuvalorédadopelaEq.6-2(fk=

μkFN).

Cálculos:Parasaberseoblococomeçaasemoverquandoaforçaéaplicada,precisamoscompararacomponenteFx(componente

paralelaàsuperfície)daforçaaplicadacomovalormáximofs,máxdaforçadeatritoestático.DeacordocomotriângulodaFig.6-

3b,

DeacordocomaEq.6-1,fs,máx=μsFN,oquesignificaqueprecisamosconheceromódulodaforça Nparacalcularfs,máx.Comoa

forçanormalévertical,aplicamosasegundaleideNewtonàscomponentesverticaisdasforçasqueagemsobreobloco,oquenos

dáFres,y=may.AscomponentesaparecemnaFig.6-3c.Aforçagravitacional,cujomóduloémg,apontaparabaixo.Acomponente

verticaldaforçaaplicadatambémapontaparabaixoeédadaporFy=Fsenθ.Aforçanormal,cujomóduloéFN,apontaparacima.

Comoaaceleraçãoayézero,temos

oquenosdá

Agorapodemoscalcularfs,máx=μsFN:

Comoacomponentehorizontaldaforçaaplicadaaobloco,Fx=10,39N,émenorqueaforçamáximadeatritoestático,fs,máx(=

59,08N),oblocopermaneceemrepouso.AaplicaçãodasegundaleideNewtonàscomponenteshorizontaisdasforçasqueagem

sobreobloconosdáFres,x=max.AscomponentesaparecemnaFig.6-3d.Acomponentehorizontaldaforçaaplicadaapontapara

adireitaeaforçadeatritoapontaparaaesquerda.Comoaaceleraçãoaxézero,temos:

ouseja,aforçadeatritofséigualaFx.

Figura 6-3 (a) Uma força é aplicada a um bloco inicialmente em repouso. (b) As componentes da força aplicada. (c) As

componentesverticaisdasforçasqueagemsobreobloco.(d)Ascomponenteshorizontaisdasforçasqueagemsobreobloco.

Exemplo6.02 Derrapagensemestradasescorregadias,horizontaiseinclinadas

Algunsvídeoscuriososdainternetmostramderrapagensemestradasescorregadias.Vamoscompararasdistânciasqueumcarro

que semove a uma velocidade inicial de 10,0m/s (36 km/h)percorre atéparar emumapistahorizontal seca, emumapista

horizontalcobertadegeloe(ocasomaisdivertido)emumaladeiracobertadegelo.

(a)Quedistânciaumcarropercorreatépararemumapistahorizontalseca(Fig.6-4a)seocoeficientedeatritocinéticoéμk=

0,60,umvalortípicoparapneusembomestadoemumaruaasfaltada?Vamossuporqueasrodasestãotravadasequeocarro

estásemovendonosentidopositivodeumeixox.

IDEIAS-CHAVE

(1)Avelocidadedocarrodiminui(ocarrosofreumaaceleração)porqueumaforçadeatritohorizontalagesobreospneusno

sentidonegativodoeixox.(2)Umavezqueasrodasestãotravadas,aforçadeatritoéumaforçadeatritocinéticodadapelaEq.

6-2, fk=μkFN, emqueFN é a força normal que o pavimento exerce sobre o carro. (3) Podemos relacionar a força de atrito à

aceleraçãoaplicandoasegundaleideNewtonàscomponenteshorizontaisdasforçasqueagemsobreocarro,oquenosdáFres,x

=max.

Cálculos:AFig.6-4bmostraodiagramadecorpolivredocarro.Aforçanormalapontaparacima,aforçagravitacionalaponta

parabaixoeaforçadeatritoéhorizontal.Comoaforçadeatritoéaúnicaforçacomumacomponentehorizontal,aleideNewton

paraascomponenteshorizontaisnosdá

Fazendofk=μkFN,obtemos

ComomostraaFig.6-4b,aforçanormaléequilibradapelaforçagravitacional.IssosignificaquepodemossubstituirFNpormg.

Comisso,amassampodesercanceladanaEq.6-9(ouseja,adistânciapercorridapelocarroatépararnãodependedamassado

carro;ofatodeocarroserleveoupesadonãofazdiferença).Explicitandoax,

ax=–μkg.(6-10)

Comoaaceleraçãoéconstante,podemosusarasequaçõesdaTabela2-1.Amaisdiretaparacalcularmosadistânciapercorridax−

x0éaEq.2-16,v2=v +2a(x–x0),quenosdá

Substituindoaxpeloseuvalor,dadopelaEq.6-10,obtemos

Fazendov0=10,0m/s,v=0,μk=0,60eg=9,8m/s2,obtemos

(b)Qualéadistânciapercorridapelocarroseapistaestácobertadegeloeocoeficientedeatritocinéticodiminuiparaμk=0,10?

Figura6-4(a)Umcarroderrapandoatéparar,depoisdeumdeslocamentox-x0.Diagramadecorpolivredocarro(b)emumarua

planae(c)emumaladeira.

Cálculos:ComoaEq.6-12tambéméválidaparaestecaso,bastasubstituirovalordeμkparaumapistasecapelovalorparauma

pistacobertadegelo,oquenosdá

x–x0=51m.(Resposta)

O resultadomostra que a distância percorrida émuitomaior, o que aumenta consideravelmente o risco de colisão com um

obstáculoqualquer.

(c)Vamosagoraconsiderarocasodeumcarroqueestejadescendoumaladeiracomumainclinaçãodeθ=5,00°(umainclinação

suave,muitomenorqueadasladeirasdeSalvador).OdiagramadecorpolivredaFig.6-4cécomoodaFig.5-15b,excetopelo

fatodeque,porcoerênciacomaFig.6-4b,osentidopositivodoeixoxéparabaixo.Qualéadistânciaqueocarropercorreaté

parar?

Cálculo:ApassagemdasituaçãodaFig.6-4bparaasituaçãodaFig.6-4cenvolveduasmudançasimportantes.(1)Agora,aforça

gravitacionalpossuiumacomponenteparalelaaopiso,e,portanto,paralelaàdireçãodomovimentodocarro.Deacordocoma

Fig.5-15g, ovalordessa componenteémg senθ,no sentidopositivodoeixox, comomostra a Fig. 6-4c. (2)Agora, a força

normalequilibraapenasacomponentedaforçagravitacionalperpendicularaopiso.Como,deacordocomaFig.5-15i,ovalor

dessacomponenteémgcosθ,temos

FN=mgcosθ.

AplicandoasegundaleideNewtonaomovimentoaolongodoeixox(Fres,x=max),obtemos

Explicitandoaaceleraçãoesubstituindoosvaloresconhecidos,temos:

SubstituindoosvaloresdavelocidadeedaaceleraçãonaEq.6-11,obtemos:

oqueequivaleaquasemeioquilômetro!Essasladeirasgeladasseparamaspessoasqueconhecemumpoucodefísica(esabem

quandoéhoradeficaremcasa)daspessoasquenãoconhecem(eacabamaparecendoemumvídeodainternet).

6-2FORÇADEARRASTOEVELOCIDADETERMINAL


6.04Aplicararelaçãoqueexisteentreaforçadearrastoaqueestásujeitoumobjetoimersoemumfluidoeavelocidaderelativaentreoobjetoeofluido.

6.05Calcularavelocidadeterminaldeumobjetoemquedanoar.

Ideias-Chave•Semprequeexisteummovimentorelativoentreoar(eoutrofluidoqualquer)eumcorpo,ocorpoexperimentaumaforçadearrasto queseopõeaomovimentorelativoeapontanadireçãodomovimentodofluidoemrelaçãoaocorpo.Omódulodeestárelacionadoaomódulodavelocidaderelativa pormeiodaequação

emqueCéumaconstanteempíricadenominadacoeficientedearrasto, réamassaespecíficado fluido,Aéaseção retaefetivadocorpo(áreadaseçãoretadocorpoperpendiculara ).•Avelocidadedeumobjetoemquedanoaraumentaatéqueaforçadearrasto sejaigualàforçagravitacional g.Apartirdessemomento,ocorpopassaacaircomvelocidadeconstante,conhecidacomovelocidadeterminal,cujovalorédadopor

ForçadeArrastoeVelocidadeTerminalUm fluido é uma substância, em geral um gás ou um líquido, capaz de escoar. Quando existe umavelocidade relativa entre um fluido e um corpo sólido (seja porque o corpo semove na presença dofluido,sejaporqueofluidopassapelocorpo),ocorpoexperimentaumaforçadearrasto queseopõeaomovimentorelativoeéparalelaàdireçãodomovimentorelativodofluido.Examinaremosaquiapenasoscasosemqueofluidoéoar,ocorpoérombudo(comoumabola)enão

finoepontiagudo(comoumdardo)eomovimentorelativoésuficientementerápidoparaproduzirumaturbulêncianoar(formaçãoderedemoinhos)atrásdocorpo.Nessecaso,omódulodaforçadearrastoestárelacionadoaomódulodavelocidaderelativa pormeiodaequação

emqueCéumparâmetrodeterminadoexperimentalmente,conhecidocomocoeficientedearrasto,ρéamassaespecíficadoar(massaporunidadedevolume)eAéaáreadaseçãoretaefetivadocorpo(aáreadeumaseçãoretaperpendicularàvelocidade ).OcoeficientedearrastoC(cujosvalorestípicosvariamde0,4a1,0)nãoé,naverdade,constanteparaumdadocorpo,jáquepodemudardevalorparagrandesvelocidades;masvamosignoraressetipodecomplicação.Os esquiadores sabemmuitobemque a forçade arrastodependedeA e de v2. Para alcançar altas

velocidades, umesquiador procura reduzir o valor deD, adotando, por exemplo, a “posição de ovo”(Fig.6-5)paraminimizarA.

Karl-JosefHildenbrand/dpa/LandovLLC

Figura6-5 Aesquiadoraseagachana“posiçãodeovo”paraminimizaraáreadaseçãoretaefetivaeassimreduziraforçadearrasto.

Queda. Quando um corpo rombudo cai a partir do repouso, a força de arrasto produzida pelaresistênciadoarapontaparacimaeseumódulocrescegradualmente,apartirdozero,àmedidaqueavelocidadedocorpoaumenta.Aforça paracimaseopõeàforçagravitacional g,dirigidaparabaixo.Podemos relacionaressas forçasàaceleraçãodocorpoescrevendoa segunda leideNewtonparaumeixoverticaly(Fres,y=may),como

emqueméamassadocorpo.ComomostraaFig.6-6,seocorpocaiporumtemposuficiente,DacabasetornandoigualaFg.DeacordocomaEq.6-15,issosignificaquea=0e,portanto,avelocidadedocorpoparadeaumentar.Ocorpopassa,então,acaircomvelocidadeconstante,achamadavelocidadeterminalvt.Para determinar vt, fazemos a = 0 na Eq. 6-15 e substituímos o valor deD, dado pela Eq. 6-14,

obtendo

ATabela6-1mostraosvaloresdevtparaalgunsobjetoscomuns.

Figura6-6 Forçasaqueestásubmetidoumcorpoemquedalivrenoar. (a)Ocorponomomentoemquecomeçaacair;aúnicaforçapresenteéaforçagravitacional.(b)Diagramadecorpolivreduranteaqueda,incluindoaforçadearrasto.(c)Aforçadearrastoaumentouatésetornarigualàforçagravitacional.Ocorpoagoracaicomvelocidadeconstante,achamadavelocidadeterminal.

Tabela6-1AlgumasVelocidadesTerminaisnoAr

Objeto Velocidadeterminal(m/s) Distânciapara95%a(m)

Peso(doarremessodepeso) 145 2500

Paraquedistaemquedalivre(típico) 60 430

Boladebeisebol 42 210

Boladetênis 31 115

Boladebasquete 20 47

Boladepingue-pongue 9 10

Gotadechuva(raio=1,5mm) 7 6

Paraquedista(típico) 5 3

aDistânciadequedanecessáriaparaatingir95%davelocidadeterminal.Fonte:AdaptadodePeterJ.Brancazio,SportScience,1984,Simon&Schuster,NewYork.

Deacordocomcálculos*baseadosnaEq.6-14,umgatoprecisacaircercadeseisandaresparaatingiravelocidadeterminal.Atéqueissoaconteça,Fg>Deogatosofreumaaceleraçãoparabaixoporqueaforçaresultanteédiferentedezero.ComovimosnoCapítulo2,nossocorpoéumacelerômetroenãoum

velocímetro.Comoogato tambémsenteaaceleração,ele ficaassustadoemantémaspatasabaixodocorpo, encolhe a cabeça e encurva a espinha para cima, reduzindo a área A, aumentando vt eprovavelmenteseferindonaqueda.Entretanto,seogatoatingevtduranteumaquedamaislonga,aaceleraçãoseanulaeogatorelaxaum

pouco,esticandoaspataseopescoçohorizontalmentepara foraeendireitandoaespinha(oqueofazficar parecido com um esquilo voador). Isso produz um aumento da áreaA e, consequentemente, deacordocomaEq.6-14,umaumentodaforçadearrastoD.Ogatocomeçaadiminuirdevelocidade,jáque,agora,D>Fg(aforçaresultanteapontaparacima),atéqueumavelocidadeterminalvtmenorsejaatingida.Adiminuiçãodevtreduzapossibilidadedequeogatosemachuquenaqueda.Poucoantesdofimdaqueda,aoperceberqueochãoestápróximo,ogatocolocanovamenteaspatasabaixodocorpo,preparando-separaopouso.

SteveFitchett/Taxi/GettyImages

Figura6-7 Paraquedistasna“posiçãodeáguia”,quemaximizaaforçadearrasto.

Ossereshumanosmuitasvezessaltamdegrandesalturasapenaspeloprazerde“voar”.Emabrilde1987,duranteumsalto,oparaquedistaGregoryRobertsonpercebeuqueacolegaDebbieWilliamshaviadesmaiado ao colidir com um terceiro paraquedista e, portanto, não tinha como abrir o paraquedas.Robertson,queestavamuitoacimadeDebbieeaindanãotinhaabertooparaquedasparaadescidade4mil metros, colocou-se de cabeça para baixo para minimizarA e maximizar a velocidade da queda.Depoisdeatingirumavelocidadeterminalestimadade320km/h,alcançouamoçaeassumiua“posiçãodeáguia”(comonaFig.6-7)paraaumentarDeconseguiragarrá-la.Eleabriuoparaquedasdamoçaeem seguida, após soltá-la, abriu o próprio paraquedas, quando faltavam apenas 10 segundos para oimpacto. Williams sofreu várias lesões internas devido à falta de controle na aterrissagem, massobreviveu.

Exemplo6.03 Velocidadeterminaldeumagotadechuva

Umagotadechuva,deraioR=1,5mm,caideumanuvemqueestáaumaalturah=1200macimadosolo.Ocoeficientede

arrastoCdagotaé0,60.Suponhaqueagotapermaneceesféricadurantetodaaqueda.Amassaespecíficadaágua,ρa,é1000

kg/m3eamassaespecíficadoar,ρar,é1,2kg/m3.

(a)DeacordocomaTabela6-1,agotaatingeavelocidadeterminaldepoisdecairapenasalgunsmetros.Qualéavelocidade

terminal?

IDEIA-CHAVE

A gota atinge a velocidade terminal vt quando a força gravitacional e a força de arrasto se equilibram, fazendo com que a

aceleraçãosejanula.PoderíamosaplicarasegundaleideNewtoneaequaçãodaforçadearrastoparacalcularvt,masaEq.6-16já

fazissoparanós.

Cálculo:ParausaraEq.6-16,precisamosconheceraáreaefetivadaseçãoretaAeomóduloFgdaforçagravitacional.Comoa

gotaéesférica,Aéaáreadeumcírculo(πR2)comomesmoraioqueaesfera.ParadeterminarFg,usamostrêsfatos:(1)Fg=mg,

emqueméamassadagota;(2)ovolumedagota(esférica)éV= πR3;(3)amassaespecíficadaáguadagotaéigualàmassapor

unidadedevolume:πa=m/V.Assim,temos

Fg=Vρag= πR3ρag.

Emseguida substituímosesse resultado,aexpressãoparaA eosvalores conhecidosnaEq. 6-16. Tomando cuidadoparanão

confundiramassaespecíficadoar,ρar,comamassaespecíficadaágua,ρa,obtemos:

Notequeaalturadanuvemnãoentranocálculo.

(b)Qualseriaavelocidadedagotaimediatamenteantesdoimpactocomochão,senãoexistisseaforçadearrasto?

IDEIA-CHAVE

Naausênciadaforçadearrastoparareduziravelocidadedagotaduranteaqueda,agotacairiacomaaceleraçãoconstantede

quedalivrege,portanto,asequaçõesdomovimentocomaceleraçãoconstantedaTabela2-1podemserusadas.

Cálculos:Comosabemosqueaaceleraçãoég,avelocidadeinicialv0ézeroeodeslocamentox−x0é−h,usamosaEq.2-16para

calcularv:

SeShakespearesoubessedisso,dificilmenteteriaescrito:“Gotaagotaelacai,talcomoachuvabenéficadocéu”.Naverdade,essa

éavelocidadedeumabaladisparadaporumaarmadegrossocalibre!

6-3MOVIMENTOCIRCULARUNIFORME


6.06Desenharatrajetóriadeumcorpoquedescreveummovimentocircularuniformeeexplicarocomportamentodosvetoresvelocidade,aceleraçãoeforçaduranteomovimento.

6.07 Saber que, para um corpo descrever um movimento circular uniforme, ele deve ser submetido a uma força radial,conhecidacomoforçacentrípeta.

6.08Conhecerarelaçãoentreoraiodatrajetóriadeumcorpoquedescreveummovimentocircularuniformeeavelocidadedocorpo,amassadocorpoeaforçaresultantequeagesobreocorpo.

Ideias-Chave•SeumapartículadescreveumacircunferênciaouumarcodecircunferênciaderaioRcomvelocidadeconstantev,dizemosqueapartículaestádescrevendoummovimentocircularuniforme.Nessecaso,apartículapossuiumaaceleraçãocentrípetacujomóduloédadopor

•Aaceleraçãocentrípeta éproduzidaporumaforçacentrípeta cujomóduloédadopor

emqueméamassadapartícula.Osvetores e apontamparaocentrodecurvaturadatrajetóriadapartícula.

MovimentoCircularUniformeComo vimos no Módulo 4-5, quando um corpo descreve uma circunferência (ou um arco decircunferência)comvelocidadeescalarconstantev,dizemosqueessecorposeencontraemmovimentocircularuniforme.Vimostambémqueocorpopossuiumaaceleraçãocentrípeta(dirigidaparaocentrodacircunferência)demóduloconstantedadopor

1.

2.

emqueRéoraiodocírculo.Vamosexaminardoisexemplosdemovimentocircularuniforme:

Fazendoumacurvadecarro.Vocêestásentadonocentrodobancotraseirodeumcarroquesemoveemaltavelocidadeemumaestradaplana.Quandoomotoristafazumacurvabruscaparaaesquerdaeo carro descreve um arco de circunferência, você escorrega para a direita no assento e ficacomprimidocontraaportadocarroduranteorestodacurva.Oqueestáacontecendo?Enquantoocarroestáfazendoacurva,eleseencontraemmovimentocircularuniforme,ouseja,

possui uma aceleração dirigida para o centro da circunferência.De acordo com a segunda lei deNewton,devehaverumaforçaresponsávelporessaaceleração.Alémdisso,a força tambémdeveestardirigidaparaocentrodacircunferência.Assim,trata-sedeumaforçacentrípeta,expressãoemque o adjetivo indica a direção da força. Neste exemplo, a força centrípeta é a força de atritoexercidapelaestradasobreospneus;égraçasaessaforçaqueocarroconseguefazeracurva.Paravocêdescreverummovimentocircularuniformejuntocomocarro,tambémdeveexistiruma

forçacentrípetaagindosobrevocê.Entretanto, aparentemente, a forçacentrípetadeatritoexercidapelo assento não foi suficiente para fazê-lo acompanhar omovimento circular do carro.Assim, oassentodeslizouporbaixodevocêatéaportadireitadocarrosechocarcomoseucorpo.Apartirdessemomento,aportaforneceuaforçacentrípetanecessáriaparafazervocêacompanharocarronomovimentocircularuniforme.

Girando em torno da Terra. Desta vez, você está a bordo da Estação Espacial Internacional, emórbitaemtornodaTerra,eflutuacomosenãotivessepeso.Oqueestáacontecendo?Tanto você como o ônibus espacial estão em movimento circular uniforme e possuem uma

aceleraçãodirigidaparaocentrodacircunferência.Novamente,pelasegundaleideNewton,forçascentrípetassãoacausadasacelerações.Destavez,asforçascentrípetassãoatraçõesgravitacionais(aatraçãosobrevocêeaatraçãosobreoônibusespacial)exercidaspelaTerraedirigidasparaocentrodaTerra.

Tantonocarrocomonoônibusespacial,vocêestáemmovimentocircularuniformesobaaçãodeumaforçacentrípeta,masexperimenta sensaçõesbemdiferentesnasduas situações.Nocarro, comprimidocontra a porta traseira, você tem consciência de que está sendo submetido a uma força. No ônibusespacial,está flutuandoe tema impressãodequenãoestásujeitoanenhumaforça.Qualéa razãodadiferença?Adiferençasedeveànaturezadasduasforçascentrípetas.Nocarro,aforçacentrípetaéacompressão

aqueésubmetidaapartedoseucorpoqueestáemcontatocomaportadocarro.Vocêpodesentiressacompressão.No ônibus espacial, a força centrípeta é a atração gravitacional daTerra sobre todos osátomosdoseucorpo.Assim,nenhumapartedocorposofreumacompressão,evocênãosentenenhumaforça. (A sensação é conhecida como “ausência de peso”,mas essa descrição é enganosa. A atraçãoexercidapelaTerrasobrevocêcertamentenãodesapareceue,naverdade,éapenasligeiramentemenorqueaqueexistequandovocêestánasuperfíciedaTerra.)AFig.6-8mostraoutroexemplodeforçacentrípeta.Umdiscodemetaldescreveumacircunferência

comvelocidadeconstantev, presoporumacordaaumeixocentral.Destavez, a forçacentrípeta é atraçãoexercidaradialmentepelacordasobreodisco.Semessaforça,odiscosemoveriaemlinharetaemvezdesemoveremcírculos.Observequeaforçacentrípetanãoéumnovotipodeforça;onomesimplesmenteindicaadireçãoda

força.A força centrípeta pode ser uma força de atrito, uma força gravitacional, a força exercida pelaportadeumcarro,aforçaexercidaporumacorda,ouqualqueroutraforça.Emtodasessassituações,

Umaforçacentrípetaaceleraumcorpo,modificandoadireçãodavelocidadedocorposemmudaravelocidadeescalar.

DeacordocomasegundaleideNewtoneaEq.6-17(a=v2/R),podemosescreveromóduloFdeumaforçacentrípeta(oudeumaforçacentrípetaresultante)como

Comoavelocidadeescalarv,nessecaso,éconstante,osmódulosdaaceleraçãocentrípetaeda forçacentrípetatambémsãoconstantes.Poroutrolado,asdireçõesdaaceleraçãocentrípetaedaforçacentrípetanãosãoconstantes;variam

continuamentedemodoa apontar sempreparao centrodocírculo.Por essa razão,osvetores força eaceleraçãosão,àsvezes,desenhadosaolongodeumeixoradialrquesemovecomocorpoeseestendedocentrodocírculoatéocorpo,comonaFig.6-8.Osentidopositivodoeixoapontaradialmenteparafora,masosvetoresaceleraçãoeforçaapontamparadentroaolongodadireçãoradial.

Teste2Comotodacriançasabe,aroda-giganteéumbrinquedodeparquedediversõescomassentosmontadosemumagranderodaque

gira em torno de um eixo horizontal. Quando você anda de roda-gigante com velocidade constante, qual é a direção da sua

aceleração edaforçanormal Nexercidapeloassento(queestásemprenavertical)quandovocêpassa(a)pelopontomaisalto

e(b)pelopontomaisbaixodaroda?(c)Omódulode nopontomaisaltodarodaémaioroumenorquenopontomaisbaixo?

(d)Omódulode Nnopontomaisaltodarodaémaioroumenorquenopontomaisbaixo?

Figura6-8 Vista,decima,deumdiscodemetalquesemovecomvelocidadeconstantevemuma trajetóriacircularde raioR emumasuperfíciehorizontalsematrito.Aforçacentrípetaqueagesobreodiscoé ,atraçãodacorda,dirigidaparaocentrodacircunferênciaaolongodoeixoradialrquepassapelodisco.

Exemplo6.04 Diavoloexecutaumloopvertical

Graças aos automóveis, estamosmais acostumados com omovimento circular horizontal do que com omovimento circular

vertical.Nesteexemplo,ummovimentocircularverticalpareceviolaraforçadagravidade.

Em1901,emumespetáculodecirco,Allo“DareDevil”Diavoloapresentoupelaprimeiravezumnúmerodeacrobaciaque

consistiaemdescreverumloopverticalpedalandoumabicicleta(Fig.6-9a).Supondoqueoloopsejaumcírculo,deraioR=2,7

m,qualéamenorvelocidadevqueDiavolopodiaternapartemaisaltadoloopparapermaneceremcontatocomapista?

FotografiareproduzidacompermissãodoCircusWorldMuseum

Figura6-9(a)CartazdaépocaanunciandoonúmerodeDiavoloe(b)diagramadecorpolivredoartistanapartemaisaltado

loop.

IDEIA-CHAVE

PodemossuporqueDiavoloesuabicicletapassampelapartemaisaltadoloopcomoumaúnicapartículaemmovimentocircular

uniforme.Noalto,aaceleração dapartículadeveterummóduloa=v2/RdadopelaEq.6-17eestarvoltadaparabaixo,em

direçãoaocentrodoloopcircular.

Cálculos:Asforçasqueagemsobreapartículaquandoestaseencontranapartemaisaltadoloopsãomostradasnodiagramade

corpolivredaFig.6-9b.Aforçagravitacional gapontaparabaixoaolongodoeixoy;omesmoacontececomaforçanormal N

exercidapeloloopsobreapartícula.AsegundaleideNewtonparaascomponentesy(Fres,y=may)nosdá

1.

2.

4.3.

Seapartículapossuiamenorvelocidadevnecessáriaparapermaneceremcontatocomapista,elaestánaiminênciadeperder

contato como loop (cairdo loop),oquesignificaqueFN=0noaltodo loop (apartículaeopiso se tocam,masnãohá força

normal).SubstituindoFNpor0naEq.6-19,explicitandovesubstituindoosvaloresconhecidos,obtemos

Comentários:Diavolosempresecertificavadequesuavelocidadenoaltodolooperamaiorque5,1m/s,avelocidademínima

necessáriaparanãoperdercontatocomoloopecair.NotequeessavelocidadenãodependedamassadeDiavoloesuabicicleta.

Mesmoque tivesse se empanturrado antes de se apresentar, a velocidademínimanecessária para não cair do loop seriam os

mesmos5,1m/s.

Exemplo6.05 Carroemumacurvanãocompensada

Correndodecabeçaparabaixo:Oscarrosdecorridamodernossãoprojetadosdetalformaqueoaremmovimentoosempurra

parabaixo,permitindoquefaçamascurvasemaltavelocidadesemderrapar.Essa forçaparabaixoéchamadadesustentação

negativa.Umcarrodecorridapodeterumasustentaçãonegativasuficienteparaandardecabeçaparabaixonotetodeumtúnel,

comofezumcarrofictícionofilmeMIB–HomensdePreto?

AFig.6-10amostraumcarrodecorrida,demassam=600kg,emumapistaplananaformadeumarcodecircunferênciade

raioR=100m.Devidoàformadocarroeaosaerofólios,oarexercesobreocarroumasustentaçãonegativa Sdirigidapara

baixo.Ocoeficientedeatritoestáticoentreospneuseapistaé0,75.(Suponhaqueasforçassobreosquatropneussãoiguais.)

(a)Seocarroestánaiminênciadederraparparaforadacurvaquandoavelocidadeé28,6m/s,qualéomódulode S?

IDEIAS-CHAVE

Comoatrajetóriadocarroéumarcodecircunferência,eleestásujeitoaumaforçacentrípeta;essaforçaapontaparaocentro

decurvaturadoarco(nocaso,éumaforçahorizontal).

A única força horizontal a que o carro está sujeito é a força de atrito exercida pela pista sobre os pneus. Assim, a força

centrípetaéumaforçadeatrito.

Comoocarronãoestáderrapando,aforçadeatritoéaforçadeatritoestático (Fig.6-10a).

Comoocarroestánaiminênciadederrapar,omódulofsdaforçadeatritoéigualaovalormáximofs,máx=μsFN,emqueFNéo

módulodaforçanormal Nqueapistaexercesobreocarro.

Cálculosparaadireçãoradial:Aforçadeatrito émostradanodiagramadecorpolivredaFig.6-10b.Elaapontanosentido

negativodoeixoradialrqueseestendedocentrodecurvaturaatéocarro.Aforçaproduzumaaceleraçãocentrípetademódulo

v2/R.PodemosrelacionaraforçaeaaceleraçãoescrevendoasegundaleideNewtonparaascomponentesaolongodoeixor(Fres,r

=mar)naforma

Substituindofsporfs,máx=μsFN,temos

Cálculosparaadireçãovertical:Vamosconsideraremseguidaasforçasverticaisqueagemsobreocarro.Aforçanormal N

aponta para cima, no sentido positivo do eixo y da Fig. 6-10b. A força gravitacional g=m e a sustentação negativa S

apontamparabaixo.Aaceleraçãodocarroaolongodoeixoyézero.Assim,podemosescreverasegundaleideNewtonparaas

componentesaolongodoeixoy(Fres,y=may)naforma

Combinaçãodos resultados: Agorapodemos combinar os resultados ao longodosdois eixos explicitandoFN na Eq. 6-21e

substituindonaEq.6-22.FazendoissoeexplicitandoFS,obtemos

(b) Damesma forma que a força de arrasto (Eq. 6-14), a sustentação negativa do carro é proporcional a v2, o quadrado da

velocidade do carro. Assim, a sustentação negativa émaior quando o carro está semovendomais depressa, como acontece

quandosedeslocaemumtrechoretodapista.Qualéomódulodasustentaçãonegativaparaumavelocidadede90m/s?Essa

sustentaçãoésuficienteparaqueumcarropossaandardecabeçaparabaixonotetodeumtúnel?

IDEIA-CHAVE

FSéproporcionalav2.

Cálculos:PodemosescreverarazãoentreasustentaçãonegativaFs,90parav=90m/seonossoresultadoparaasustentação

negativaFScorrespondenteav=28,6m/scomo

FazendoFS=663,7NeexplicitandoFs,90,obtemos

Correndodecabeçaparabaixo:Aforçagravitacionalé,naturalmente,aforçaaservencidaparaqueocarropossacorrerde

cabeçaparabaixo:

Figura6-10 (a) Um carro de corrida descreve uma curva em uma pista plana com velocidade escalar constante v. A força

centrípetanecessáriaparaqueocarrofaçaacurvaéaforçadeatrito ,orientadasegundoumeixo radial r.(b)Diagramade

corpolivredocarro(foradeescala),emumplanoverticalpassandoporr.

Comocarrodecabeçaparabaixo,asustentaçãonegativaéumaforçaparacimade6600N,queexcedeaforçagravitacional

parabaixode5880N.Assim,umcarrodecorridapodesesustentardecabeçaparabaixocontantoqueavelocidadesejadaordem

de90m/s(=324km/h).Entretanto,comoandaraessavelocidadeémuitoperigoso,mesmoemumapistaretaecomocarrona

posiçãonormal,nãoespereveressetruquerealizadoforadocinema.

Exemplo6.06 Carroemumacurvacompensada

Esteproblemaédifícildeformularemtermosmatemáticos,maspodeserresolvidoempoucaslinhas.Precisamoslevaremconta,

nãosóomovimentocircular,mastambémomovimentoemumplanoinclinado.Entretanto,nãoénecessáriousarumsistemade

coordenadas em que um dos eixos é paralelo e o outro é perpendicular ao plano inclinado, como nos problemas anteriores

envolvendoplanosinclinados.Emvezdisso,escolhemosuminstantedomovimentoetrabalhamoscomumeixoxhorizontale

um eixo y vertical. O primeiro passo para podermos aplicar a segunda lei de Newton é identificar a força responsável pelo

movimentocircularuniforme.

As curvasdas rodovias costumamser compensadas (inclinadas)paraevitarqueos carrosderrapem.Quandoaestradaestá

seca,aforçadeatritoentreospneuseopisoésuficienteparaevitarderrapagens,mesmosemcompensação.Quandoapistaestá

molhada,porém,aforçadeatritodiminuimuitoeacompensaçãosetornanecessária.AFig.6-11amostraumcarro,demassam,

quesemovecomvelocidadeconstantevde20m/semumapistacircularcompensadacomR=190mderaio.(Trata-sedeum

carronormalenãodeumcarrodecorrida,oquesignificaquenãoexistesustentaçãonegativa.)Seaforçadeatritoexercidapelo

pisoédesprezível,qualéomenorvalordoângulodeelevaçãoθparaoqualocarronãoderrapa?

IDEIAS-CHAVE

Aocontráriodoqueacontecenoexemploanterior,apistapossuiumainclinaçãoparaqueaforçanormal Nqueagesobreocarro

tenha uma componente na direção do centro da curva (Fig. 6-11b).Assim, N possui agora uma componente centrípeta, de

móduloFNr, na direção radial r. Queremos calcular o valor do ângulo de inclinação θ para que essa componente centrípeta

mantenhaocarronapistacircularsemnecessidadedoatrito.

Cálculonadireçãoradial:ComomostraaFig.6-11b(eoleitorpodeverificar),oânguloqueaforça Nfazcomaverticaléigual

ao ângulo de inclinação θ da pista. Assim, a componente radial FNr é igual a FN sen θ, e a segunda lei de Newton para as

componentesaolongodoeixor(Fres,r=mar)assumeaseguinteforma:

NãopodemosobterovalordeθusandoapenasaEq.6-23porqueelaenvolveasincógnitasFNem.

Cálculonadireçãovertical:VamosconsiderarasforçaseaceleraçõesaolongodoeixoydaFig.6-11b.Acomponentevertical

daforçanormaléFNy=FNcosθ,aforçagravitacional gtemmódulomg,eaaceleraçãodocarroaolongodoeixoyézero.Assim,

asegundaleideNewtonparaascomponentesaolongodoeixoy(Fres,y=may)assumeaseguinteforma:

FNcosθ–mg=m(0),

donde

1.

2.

Combinaçãodosresultados:AEq.6-24tambémcontémasincógnitasFNem,masobserveque,dividindoaEq.6-23pelaEq.6-

24,eliminamosasduasincógnitas.Procedendodessaforma,substituindo(senθ)/(cosθ)portanθeexplicitandoθ,obtemos

Figura6-11(a)Umcarrofazumacurvacompensadacomvelocidadeconstantev.Oângulodeinclinaçãoestáexageradopara

maiorclareza.(b)Diagramadecorpo livredocarro, supondoqueoatritoentreospneuseaestradaénuloequeocarronão

possuisustentaçãonegativa.AcomponenteradialFNrdaforçanormal(aolongodoeixoradialr) forneceaforçacentrípetaea

aceleraçãoradialnecessáriasparaqueocarronãoderrape.

RevisãoeResumo

AtritoQuandoumaforça tendeafazerumcorpodeslizaremumasuperfície,asuperfícieexerceumaforçadeatrito sobreocorpo.Aforçadeatritoéparalelaàsuperfícieeestáorientadademodoaseoporaomovimento.Essaforçasedeveàsligaçõesentreosátomosdocorpoeosátomosdasuperfície.

Seocorpopermaneceemrepouso,a forçadeatritoéa forçadeatritoestático s.Seocorposemove,aforçadeatritoéaforçadeatritocinético k.

Seumcorpopermaneceem repouso, a forçade atrito estático s e a componentede paralela àsuperfícietêmmódulosiguaisesentidosopostos.Seacomponentede aumenta,fetambémaumenta.

Omódulode stemumvalormáximofs,máxdadopor

emqueμséocoeficientedeatritoestáticoeFNéomódulodaforçanormal.Seacomponentedeparalelaàsuperfícieexcedeovalordefs,máx,ocorpocomeçaasemover.

3. Se o corpo começa a se mover, o módulo da força de atrito diminui rapidamente para um valorconstantefkdadopor

emqueμkéocoeficientedeatritocinético.

ForçadeArrastoQuandohámovimento relativo entre o ar (ououtro fluidoqualquer) e umcorpo, ocorposofreaaçãodeumaforçadearrasto queseopõeaomovimentorelativoeapontanadireçãoemque o fluido semove em relação ao corpo.Omódulo de está relacionado à velocidade relativa vatravésdeumcoeficientedearrastoC(determinadoexperimentalmente)pormeiodaequação

emqueρ é amassa específicado fluido (massaporunidadedevolume) eA é aáreada seção retaefetivadocorpo(áreadeumaseçãoretaperpendicularàvelocidaderelativa ).

VelocidadeTerminalQuandoumobjetorombudocaiporumadistânciasuficientenoar,osmódulosdaforçadearrasto edaforçagravitacional g tornam-se iguais.Nessecaso,ocorpopassaacaircomumavelocidadeterminalvtdadapor

MovimentoCircularUniforme Se uma partícula se move em uma circunferência ou em um arco decircunferência de raio R com uma velocidade escalar constante v, dizemos que a partícula está emmovimentocircularuniforme.Nessecaso,apartículapossuiumaaceleraçãocentrípeta cujomóduloédadopor

Essaaceleraçãosedeveaumaforçacentrípetacujomóduloédadopor

emqueméamassadapartícula.Asgrandezasvetoriais e apontamparaocentrodecurvaturadatrajetóriadapartícula.

Perguntas1NaFig.6-12,seacaixaestáparadaeoânguloθentreahorizontaleaforça aumenta,asgrandezasaseguiraumentam,diminuemoupermanecemcomomesmovalor:(a)Fx;(b)fs;(c)FN;(d)fs,máx?(e)Seacaixaestáemmovimentoeθaumenta,omódulodaforçadeatritoaqueacaixaestásubmetidaaumenta,

diminuioupermaneceomesmo?


2RepitaaPergunta1paraocasodeaforça estarorientadaparacimaenãoparabaixo,comonaFig.6-12.

3NaFig.6-13,umaforçahorizontal 1demódulo10Néaplicadaaumacaixaqueestáemumpiso,masa caixanão semove.Quandoomóduloda forçavertical 2 aumenta a partir de zero, as grandezas aseguiraumentam,diminuemoupermanecemasmesmas:(a)omódulodaforçadeatritoestático saqueacaixaestásubmetida;(b)omódulodaforçanormal Nexercidapelopisosobreacaixa;(c)ovalormáximo fs,máx domódulo da força de atrito estático a que a caixa está submetida? (d) A caixa acabaescorregando?


4 Em três experimentos, três forças horizontais diferentes são aplicadas ao mesmo bloco que estáinicialmenteemrepousonamesmabancada.OsmódulosdasforçassãoF1=12N,F2=8NeF3=4N.Emcadaexperimento,oblocopermaneceemrepousoapósaaplicaçãodaforça.Ordeneasforças,emordemdecrescente,deacordo(a)comomódulofsdaforçadeatritoestáticoqueabancadaexercesobreoblocoe(b)comovalormáximofs,máxdessaforça.

5Sevocêpressionaumcaixotedemaçãscontraumaparedecomtantaforçaqueocaixotenãoescorregaparedeabaixo,qualéaorientação(a)daforçadeatritoestático squeaparedeexercesobreocaixotee(b)daforçanormal Nqueaparedeexercesobreocaixote?Sevocêempurraocaixotecommaisforça,oqueacontece(c)comfs,(d)comFNe(e)comfe,máx?

6NaFig.6-14,umblocodemassamémantidoemrepousoemumarampapela forçadeatritoquearampaexercesobreobloco.Umaforça ,dirigidaparacimaaolongodarampa,éaplicadaaoblocoeomódulodaforçaaumentadogradualmenteapartirdezero.Duranteesseaumento,oqueacontececomadireçãoeomódulodaforçadeatritoqueagesobreobloco?


7RespondaàPergunta6seaforça estiverorientadaparabaixoaolongodarampa.Quandoomódulode aumentaapartirdezero,oqueacontececomadireçãoeomódulodaforçadeatritoqueagesobreobloco?

8 Na Fig. 6-15, uma força horizontal de 100 N vai ser aplicada a uma prancha de 10 kg, que estáinicialmenteemrepousoemumpisolisosematrito,paraaceleraraprancha.Umblocode10kgrepousanasuperfíciedaprancha;ocoeficientedeatritoμentreoblocoeapranchanãoéconhecidoeoblocoestá solto,podendoescorregarnaprancha. (a)Considerandoessapossibilidade,qual éo intervalodevalorespossíveisparaomóduloapdaaceleraçãodaprancha?(Sugestão:Nãoéprecisofazercálculoscomplicados;bastaconsiderarvaloresextremosdeμ.)(b)Qualéointervalodevalorespossíveisparaomóduloabdaaceleraçãodobloco?


9AFig.6-16mostraumavistadecimadatrajetóriadeumcarrinhodeparquedediversõesquepassa,comvelocidadeescalarconstante,porcincoarcoscircularesderaiosR0,2R0e3R0.Ordeneosarcosdeacordocomomódulodaforçacentrípetaqueagesobreocarrinhoaopassarporeles,começandopelomaior.


10 Em1987,paracomemorarodiadeHalloween,doisparaquedistastrocaramumaabóboraentresi enquanto estavamemqueda livre, a oeste deChicago.Abrincadeira foimuito divertida, até queohomemqueestavacomaabóboraabriuoparaquedas.Aabóborafoiarrancadadesuasmãos,despencou0,5km,atravessouo telhadodeumacasa,bateunochãodacozinhae seespalhoupor todaacozinharecém-reformada.Oquefezoparaquedistadeixarcairaabóbora,dopontodevistadoparaquedistaedopontodevistadaabóbora?

11Umapessoaqueestáandandoderoda-gigantepassapelasseguintesposições:(1)opontomaisaltodaroda,(2)opontomaisbaixodaroda,(3)opontomédiodaroda.Searodaestágirandocomvelocidadeangular constante, ordene as três posições, em ordem decrescente, (a) de acordo com o módulo daaceleração centrípeta da pessoa; (b) de acordo com omódulo da força centrípeta resultante a que apessoaestásujeita;(c)deacordocomomódulodaforçanormalaqueapessoaestásujeita.

12Em1956,duranteumvooderotina,opilotodeprovasTomAttridgecolocouseujatodecaçaemummergulhode20°para testaroscanhõesde20mmdaaeronave.Enquantoviajavamaisdepressaqueosomaumaaltitudede4000m,Attridgedisparouváriasvezes.Depoisdeesperaralgumtempoparaqueoscanhõesesfriassem,disparouumanovasalvadetirosa2000m;nessaocasião,opilotoestavaaumavelocidadede344m/s, avelocidadedosprojéteis em relaçãoaoaviãoerade730m/s eomergulhoprosseguia,comumângulomaiorqueoinicial.

Derepente,acoberturadacabinesedespedaçoueaentradadeardaturbinadadireitafoidanificada.Attridgefezumpousoforçadoemumaflorestaeconseguiuescapardaexplosãoqueseseguiuaopouso.Explique o que aparentemente aconteceu logo depois da segunda salva de tiros. (Pelo que se sabe,Attridgefoioprimeiropilotoaderrubaratirosseupróprioavião.)

13Umcaixoteestáemumarampaquefazumânguloθcomahorizontal.Quandoθéaumentadoapartirdezero,eantesqueocaixotecomeceaescorregar,ovalordasgrandezasaseguiraumenta,diminuioupermaneceomesmo:(a)acomponenteparalelaàrampadaforçagravitacionalqueagesobreocaixote;(b) o módulo da força de atrito estático que a rampa exerce sobre o caixote; (c) a componenteperpendicularàrampadaforçagravitacionalqueagesobreocaixote;(d)omódulodaforçanormalquearampaexercesobreocaixote;(e)ovalormáximofs,máxdaforçadeatritoestático?

Problemas



Módulo6-1Atrito

·1Opisodeumvagãodetremestácarregadodecaixassoltascujocoeficientedeatritoestáticocomopisoé0,25.Seo tremestásemovendo inicialmentecomumavelocidadede48km/h,qualéamenordistâncianaqualotrempodeserparadocomaceleraçãoconstantesemqueascaixasdeslizemnopiso?

·2Emum jogode shuffleboard improvisado, estudantes enlouquecidospelos exames finais usamumavassouraparamovimentarumlivrodecálculonocorredordodormitório.Seolivrode3,5kgadquireuma velocidade de 1,60 m/s ao ser empurrado pela vassoura, a partir do repouso, com uma forçahorizontalde25N,porumadistânciade0,90m,qualéocoeficientedeatritocinéticoentreolivroeopiso?

·3Umacômodacomumamassade45kg,incluindoasgavetaseasroupas,estáemrepousonopiso.(a)Se o coeficiente de atrito estático entre a cômoda e o piso é 0,45, qual é omódulo damenor forçahorizontalnecessáriaparafazeracômodaentraremmovimento?(b)Seasgavetaseasroupas,comumamassatotalde17kg,sãoremovidasantesdeempurraracômoda,qualéonovomódulomínimo?

·4Umporcobrincalhãoescorregaemumarampacomumainclinaçãode35°elevaodobrodotempoquelevariasenãohouvesseatrito.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreoporcoearampa?

·5Umblocode2,5kgestáinicialmenteemrepousoemumasuperfíciehorizontal.Umaforçahorizontaldemódulo6,0Neumaforçavertical sãoaplicadasaobloco(Fig.6-17).Oscoeficientesdeatrito

entreoblocoeasuperfíciesãoμs=0,40eμk=0,25.Determineomódulodaforçadeatritoqueagesobreoblocoseomódulode é(a)8,0N,(b)10Ne(c)12N.


·6Umjogadordebeisebol,demassam=79kg,deslizandoparachegaràsegundabase,éretardadoporumaforçadeatritodemódulo470N.Qualéocoeficientedeatritocinéticoμkentreojogadoreochão?

·7Umapessoaempurrahorizontalmenteumcaixotede55kgcomumaforçade220Nparadeslocá-loemumpisoplano.Ocoeficientedeatritocinéticoé0,35.(a)Qualéomódulodaforçadeatrito?(b)Qualéomódulodaaceleraçãodocaixote?

·8 Asmisteriosaspedrasquemigram.NaremotaRacetrackPlaya,noValedaMorte,Califórnia,as pedras às vezes deixam rastros no chão do deserto, como se estivessemmigrando (Fig. 6-18).Hámuitosanosqueoscientistastentamexplicarcomoaspedrassemovem.Umapossívelexplicaçãoéque,duranteuma tempestadeocasional, os fortesventos arrastamaspedrasno solo amolecidopela chuva.Quando o solo seca, os rastros deixados pelas pedras são endurecidos pelo calor. Segundomediçõesrealizadas no local, o coeficiente de atrito cinético entre as pedras e o solo úmido do deserto éaproximadamente0,80.Qualéaforçahorizontalnecessáriaparamanteremmovimentoumapedrade20kg(umamassatípica)depoisqueumarajadadeventoacolocaemmovimento?(AhistóriacontinuanoProblema37.)

JerrySchad/PhotoResearchers,Inc.

Figura6-18 Problema8.Oquefezapedrasemover?

·9Umblocode3,5kgéempurradoemumpisohorizontalporumaforça demódulo15Nquefazumânguloθ=40ºcomahorizontal(Fig.6-19).Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopisoé0,25.Calcule(a)omódulodaforçadeatritoqueopisoexercesobreoblocoe(b)omódulodaaceleraçãodobloco.


·10 A Fig. 6-20mostra um bloco inicialmente estacionário, demassam, em um piso. Uma força demódulo0,500mgéaplicadacomumânguloθ=20°paracima.Qualéomódulodaaceleraçãodobloco,se(a)μs=0,600eμk=0,500e(b)μs=0,400eμk=0,300?


·11 Um caixote de 68 kg é arrastado em um piso, puxado por uma corda inclinada 15° acima dahorizontal.(a)Seocoeficientedeatritoestáticoé0,50,qualéovalormínimodomódulodaforçapara

queocaixotecomeceasemover?(b)Seμk=0,35,qualéomódulodaaceleraçãoinicialdocaixote?

·12Porvoltade1915,HenrySincosky,deFiladélfia,pendurou-senocaibrodeumtelhadoapertando-ocomospolegaresdeumladoecomosoutrosdedosdooutrolado(Fig.6-21).AmassadeSincoskyerade79kg.Seocoeficientedeatritoestáticoentreasmãoseocaibroera0,70,qual foi,nomínimo,omódulodaforçanormalexercidasobreocaibropelospolegaresouosdedosdoladooposto?(Depoisdesependurar,Sincoskyergueuocorpoedeslocou-seaolongodocaibro,trocandodemão.SevocênãodávaloraofeitodeSincosky,tenterepetiraproeza.)


·13 Um operário empurra um engradado de 35 kg com uma força horizontal de módulo 110 N. Ocoeficiente de atrito estático entre o engradado e o piso é 0,37. (a) Qual é o valor de fs,máx nessascircunstâncias? (b) O engradado se move? (c) Qual é a força de atrito que o piso exerce sobre oengradado? (d) Suponha que um segundo operário, no intuito de ajudar, puxe o engradado para cima.Qualéomenorpuxãoverticalquepermiteaoprimeirooperáriomoveroengradadocomoempurrãode110N?(e)Se,emvezdisso,osegundooperáriotentaajudarpuxandohorizontalmenteoengradado,qualéomenorpuxãoquecolocaoengradadoemmovimento?

·14 A Fig. 6-22mostra a seção transversal de uma estrada na encosta de umamontanha. A retaAAʹrepresentaumplanodeestratificaçãoaolongodoqualpodeocorrerumdeslizamento.OblocoB,situadoacimadaestrada,estáseparadodorestodamontanhaporumagrandefenda(chamadajunta),demodoquesomenteoatritoentreoblocoeoplanodeestratificaçãoevitaodeslizamento.Amassadoblocoé1,8×107kg,oângulodemergulhoθdoplanodeestratificaçãoé24°eocoeficientedeatritoestáticoentre o bloco e o plano é 0,63. (a)Mostre queo bloconãodesliza. (b)A águapenetra na junta e se

expandeapóscongelar,exercendosobreoblocoumaforça paralelaaAAʹ.QualéovalormínimodomóduloFdaforçaparaoqualocorreumdeslizamento?


·15OcoeficientedeatritoestáticoentreoTefloneovosmexidosécercade0,04.QualéomenorângulocomahorizontalquefazcomqueosovosdeslizemnofundodeumafrigideirarevestidacomTeflon?

··16Umtrenócomumpinguim,com80Ndepesototal,estáemrepousoemumaladeiradeânguloθ=20° comahorizontal (Fig.6-23).O coeficiente de atrito estático entre o trenó e a ladeira é 0,25 e ocoeficiente de atrito cinético é 0,15. (a) Qual é omenormódulo da força , paralela ao plano, queimpedeotrenódedeslizarladeiraabaixo?(b)QualéomenormóduloFquefazotrenócomeçarasubiraladeira?(c)QualéovalordeFquefazotrenósubiraladeiracomvelocidadeconstante?


··17NaFig.6-24,umaforça atuasobreumblococom45Ndepeso.Oblocoestá inicialmenteemrepousoemumplanoinclinadodeânguloθ=15°comahorizontal.Osentidopositivodoeixoxéparacimaaolongodoplano.Oscoeficientesdeatritoentreoblocoeoplanosãoμs=0,50eμk=0,34.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaforçadeatritoexercidapeloplanosobreoblocoquando éiguala(a)(−5,0N) ,(b)(−8,0N) e(c)(−15,0N) ?


··18VocêdepõecomoperitoemumcasoenvolvendoumacidentenoqualumcarroAbateunatraseira

de um carro B que estava parado em um sinal vermelho no meio de uma ladeira (Fig. 6-25). Vocêdescobrequeainclinaçãodaladeiraéθ=12,0°,queoscarrosestavamseparadosporumadistânciad=24,0mquandoomotoristadocarroAfreoubruscamente,bloqueandoasrodas(ocarronãodispunhadefreiosABS)equeavelocidadedocarroAnomomentoemqueomotoristapisounofreioerav0=18m/s.Com que velocidade o carroA bateu no carroB se o coeficiente de atrito cinético era (a) 0,60(estradaseca)e(b)0,10(estradacobertadefolhasmolhadas)?


··19Umaforçahorizontal ,de12N,empurraumblocode5,0Ndepesocontraumaparedevertical(Fig.6-26).O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o coeficiente de atritocinéticoé0,40.Suponhaqueobloconãoestejasemovendoinicialmente.(a)Oblocovaisemover?(b)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaforçaqueaparedeexercesobreobloco?


··20NaFig.6-27,umacaixadecereaisCheerios(massamC=1,0kg)eumacaixadecereaisWheaties(massamW=3,0kg)sãoaceleradasemumasuperfíciehorizontalporumaforçahorizontal aplicadaàcaixadecereaisCheerios.OmódulodaforçadeatritoqueagesobreacaixadeCheeriosé2,0NeomódulodaforçadeatritoqueagesobreacaixadeWheatiesé4,0N.Seomódulode é12N,qualéomódulodaforçaqueacaixadeCheeriosexercesobreacaixadeWheaties?


··21Umacaixadeareia,inicialmenteemrepouso,vaiserpuxadaemumpisopormeiodeumcabocujatraçãonãodeveexceder1100N.Ocoeficientedeatritoestáticoentreacaixaeopisoéde0,35.(a)Qualdeveseroânguloentreocaboeahorizontalparaqueseconsigapuxaramaiorquantidadepossíveldeareiae(b)qualéopesodaareiaedacaixanestasituação?

··22NaFig.6-23,um trenóé sustentadoemumplano inclinadoporumacordaqueopuxaparacimaparalelamenteaoplano.Otrenóestánaiminênciadecomeçarasubir.AFig.6-28mostraomóduloFdaforçaaplicadaàcordaemfunçãodocoeficientedeatritoestáticoμsentreotrenóeoplano.SeF1=2,0N,F2=5,0Neμ2=0,50,qualéovalordoânguloθdoplanoinclinado?


··23QuandoostrêsblocosdaFig.6-29sãoliberadosapartirdorepouso,elesaceleramcomummódulode0,500m/s2.Obloco1temmassaM,obloco2temmassa2Meobloco3temmassa2M.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreobloco2eamesa?


··24Umblocode4,10kgéempurradoemumpisoporumaforçahorizontalconstantedemódulo40,0N.AFig.6-30mostraavelocidadevdoblocoemfunçãodotempotquandooblocosedeslocaaolongodopiso.Aescalaverticaldográficoédefinidaporvs=5,0m/s.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopiso?


··25OblocoBdaFig.6-31pesa711N.Ocoeficientedeatritoestáticoentreoblocoeamesaé0,25;oânguloθ é30°; suponhaqueo trechodacordaentreoblocoB eonóéhorizontal.DetermineopesomáximodoblocoAparaoqualosistemapermaneceemrepouso.


··26AFig.6-32mostratrêscaixotessendoempurradosemumpisodeconcretoporumaforçahorizontaldemódulo440N.Asmassasdoscaixotessãom1=30,0kg,m2=10,0kgem3=20,0kg.Ocoeficiente

de atrito cinético entre o piso e cada um dos caixotes é de 0,700. (a)Qual é omóduloF32 da forçaexercida sobre o bloco 3 pelo bloco 2? (b) Se os caixotes deslizassem em um piso polido, com umcoeficientedeatritocinéticomenorque0,700,omóduloF32seriamaior,menorouigualaovalorquandoocoeficientedeatritoera0,700?


··27NaFig.6-33,doisblocosestãoligadosporumacordaquepassaporumapolia.OblocoApesa102NeoblocoBpesa32N.OscoeficientesdeatritoentreAearampasãoμs=0,56eμk=0,25.Oânguloθéiguala40°.Suponhaqueoeixoxéparaleloàrampa,comosentidopositivoparacima.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaaceleraçãodeA,seAestáinicialmente(a)emrepouso,(b)subindoarampae(c)descendoarampa?


··28NaFig.6-33,doisblocosestãoligadosporumacordaquepassaporumapolia.AmassadoblocoAé10kgeocoeficientedeatritocinéticoentreAearampaé0,20.Oânguloθdarampaé30°.OblocoAdeslizaparabaixoaolongodarampacomvelocidadeconstante.QualéamassadoblocoB?Desprezeamassadacordaeamassaeoatritodapolia.

··29NaFig.6-34,osblocosAeBpesam44Ne22N,respectivamente.(a)DetermineomenorpesodoblocoC que evita que o blocoA deslize, seμs entreA e amesa é 0,20. (b) O blocoC é removidobruscamentedecimadoblocoA.QualéaaceleraçãodoblocoAseμkentreAeamesaé0,15?


··30Umacaixadebrinquedoseseuconteúdotêmumpesototalde180N.Ocoeficientedeatritoestáticoentreacaixadebrinquedoseopisoé0,42.AcriançadaFig.6-35tentaarrastaracaixapuxando-aporumacorda.(a)Seθ=42°,qualéomódulodaforça queacriançadevefazersobreacordaparaqueacaixaestejanaiminênciadesemover?(b)Escrevaumaexpressãoparaomenorvalordomódulodenecessárioparaqueacaixasemovaemfunçãodoânguloθ.Determine(c)ovalordeθparaoqualFémínimoe(d)ovalormínimodeF.


··31Doisblocos,com3,6Ne7,2Ndepeso,estãoligadosporumacordasemmassaedeslizamparabaixoemumplanoinclinadode30°.Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocomaisleveeoplanoé0,10eocoeficientedeatritocinéticoentreoblocomaispesadoeoplanoé0,20.Supondoqueobloco

maislevedescenafrente,determine(a)omódulodaaceleraçãodosblocose(b)atraçãodacorda.

··32Umblocoé empurradoemumpisohorizontalporuma força constanteque fazumânguloθ parabaixocomopiso(Fig.6-19).AFig.6-36mostraomódulodaaceleraçãoaemfunçãodocoeficientedeatritocinéticoμkentreoblocoeopiso.Sea1=3,0m/s2,μk2=0,20eμk3=0,40,qualéovalordeθ?


···33Umbarcode1000kgestánavegandoa90km/hquandoomotorédesligado.Omódulodaforçadeatrito kentreobarcoeaáguaéproporcionalàvelocidadevdobarco:fk=70v,emquevestáemmetrospor segundo, e fk está em newtons. Determine o tempo necessário para que a velocidade do barcodiminuapara45km/h.

···34NaFig.6-37,umapranchademassam1=40kgrepousaemumpisosematritoeumblocodemassam2 = 10 kg repousa na prancha.O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha é 0,60 e ocoeficientedeatritocinéticoé0,40.Oblocoépuxadoporumaforçahorizontal demódulo100N.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaaceleração(a)doblocoe(b)daprancha?


···35Osdoisblocos(m=16kgeM=88kg)daFig.6-38nãoestão ligados.Ocoeficientedeatritoestático entreosblocos éμs =0,38,masnãohá atritona superfície abaixodoblocomaior.Qual é omenorvalordomódulodaforçahorizontal paraoqualoblocomenornãoescorregaparabaixoaolongodoblocomaior?


Módulo6-2ForçadeArrastoeVelocidadeTerminal

··36Avelocidadeterminaldeumparaquedistaé160km/hnaposiçãodeáguiae310km/hnaposiçãodemergulhodecabeça.SupondoqueocoeficientedearrastoCdoparaquedistanãomudadeumaposiçãoparaoutra,determinearazãoentreaáreadaseçãoretaefetivaAnaposiçãodemenorvelocidadeeaáreanaposiçãodemaiorvelocidade.

··37 Continuação doProblema8. Suponha agora que aEq.6-14 forneça omódulo da força dearrastoqueagesobreumapedratípicade20kg,queapresenta,aovento,umaáreadeseçãoretaverticalde0,040m2etemumcoeficientedearrastoCde0,80.Tomeamassaespecíficadoarcomosendode1,21kg/m3 e o coeficiente de atrito cinético como sendo de 0,80. (a)Que velocidadeV de um ventoparaleloaosolo,emquilômetrosporhora,énecessáriaparamanterapedraemmovimentodepoisqueelacomeçaasemover?Comoavelocidadedoventopertodosoloéreduzidapelapresençadosolo,avelocidadedoventoinformadanosboletinsmeteorológicoséfrequentementemedidaaumaalturade10m.Suponhaqueavelocidadedoventoaessaalturaseja2,00vezesmaiordoquejuntoaosolo.(b)Paraarespostadoitem(a),quevelocidadedoventoseriainformadanosboletinsmeteorológicos?(c)Essevalor é razoável para um vento de alta velocidade durante uma tempestade? (A história continua noProblema65.)

··38SuponhaqueaEq.6-14 forneçaa forçadearrastoaqueestão sujeitosumpiloto eo assentodeejeção imediatamente após terem sido ejetados de um avião voando horizontalmente a 1300 km/h.Suponhatambémqueamassadoassentosejaigualàmassadopilotoequeocoeficientedearrastosejaomesmoqueodeumparaquedista.FazendoumaestimativarazoávelparaamassadopilotoeusandoovalorapropriadodevtdaTabela6-1,estimeomódulo(a)daforçadearrastosobreoconjuntopiloto+assento e (b)dadesaceleraçãohorizontal (em termosdeg)doconjunto, ambos imediatamenteapósaejeção.[Oresultadodoitem(a)deveservirdealertaparaosprojetistas:oassentoprecisadispordeumanteparoparadesviaroventodacabeçadopiloto.]

··39Calculearazãoentreaforçadearrastoexperimentadaporumaviãoajatovoandoa1000km/haumaaltitudede10kme a forçade arrasto experimentadaporumavião ahélicevoando ametadedaaltitudecommetadedavelocidade.Amassaespecíficadoaré0,38kg/m3a10kme0,67kg/m3a5,0km.SuponhaqueosaviõespossuemamesmaáreadeseçãoretaefetivaeomesmocoeficientedearrastoC.

··40 Aodescerumaencosta,umesquiadoréfreadopelaforçadearrastoqueoarexercesobreoseucorpoepelaforçadeatritocinéticoqueaneveexercesobreosesquis.(a)Suponhaqueoângulodaencostaéθ=40,0°,queaneveéneveseca,comumcoeficientedeatritocinéticoμk=0,0400,queamassa do esquiador e de seu equipamento é m = 85,0 kg, que a área da seção reta do esquiador(agachado)éA=1,30m2,queocoeficientedearrastoéC=0,150equeamassaespecíficadoaré1,20kg/m3.(a)Qualéavelocidadeterminal?(b)SeoesquiadorpodefazerocoeficientedearrastoCsofrerumapequenavariaçãodCalterando,porexemplo,aposiçãodasmãos,qualéavariaçãocorrespondentedavelocidadeterminal?

Módulo6-3MovimentoCircularUniforme

·41Umgatoestácochilandoemumcarrosselparado,aumadistânciade5,4mdocentro.Obrinquedoéligadoe logoatingeavelocidadenormalde funcionamento,naqual completaumavolta a cada6,0 s.Qual deve ser, nomínimo, o coeficiente de atrito estático entre o gato e o carrossel para que o gatopermaneçanomesmolugar,semescorregar?

··42Suponhaqueocoeficientedeatritoestáticoentreaestradaeospneusdeumcarroé0,60enãohásustentaçãonegativa.Quevelocidadedeixaocarronaiminênciadederraparquandofazumacurvanãocompensadacom30,5mderaio?

··43Qualéomenorraiodeumacurvasemcompensação(plana)quepermitequeumciclistaa29km/hfaçaacurvasemderraparseocoeficientedeatritoestáticoentreospneuseapistaé0,32?

··44DuranteumacorridadetrenósnasOlimpíadasdeInverno,aequipejamaicanafezumacurvacom7,6mderaioaumavelocidadede96,6km/h.Qualfoiaaceleraçãoemunidadesdeg?

··45 Um estudante que pesa 667N está sentado, com as costas eretas, em uma roda-gigante emmovimento.Nopontomaisalto,omódulodaforçanormal Nexercidapeloassentosobreoestudanteé556N.(a)Oestudantesesentemais“leve”oumais“pesado”nesseponto?(b)Qualéomódulode Nnopontomaisbaixo?Seavelocidadedaroda-giganteéduplicada,qualéomóduloFNdaforçanormal(c)nopontomaisaltoe(d)nopontomaisbaixo?

··46Umapolicialde55,0kg,queestáperseguindo,decarro,umsuspeito,fazumacurvacircularde300mderaioaumavelocidadeescalarconstantede80km/h.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelação à vertical) da força resultante que a policial exerce sobre o assento do carro. (Sugestão:Considereasforçashorizontaiseverticais.)

··47 Umviciadoemmovimentoscirculares,com80kgdemassa,estáandandoemumaroda-gigantequedescreveumacircunferênciaverticalde10mderaioaumavelocidadeescalarconstantede6,1m/s.(a)Qual éoperíododomovimento?Qual éomóduloda forçanormal exercidapeloassento sobreoviciadoquandoambospassam(b)pelopontomaisaltodatrajetóriacirculare(c)pelopontomaisbaixo?

··48 Umcarrodemontanha-russatemmassade1200kgquandoestálotado.Quandoocarropassapeloaltodeumaelevaçãocircularcom18mderaio,avelocidadeescalarsemantémconstante.Nesseinstante,quaissão(a)omóduloFNe(b)osentido(paracimaouparabaixo)daforçanormalexercidapelotrilhosobreocarroseavelocidadedocarroév=11m/s?Quaissão(c)FNe(d)osentidodaforçanormalsev=14m/s?

··49 Na Fig. 6-39, um carro passa com velocidade constante por uma colina circular e por um valecirculardemesmoraio.Noaltodacolina,a forçanormalexercidasobreomotoristapeloassentodocarroézero.Amassadomotoristaéde70,0kg.Qualéomódulodaforçanormalexercidapeloassentosobreomotoristaquandoocarropassapelofundodovale?


··50 Um passageiro, de 85,0 kg, descreve uma trajetória circular de raio r = 3,50m emmovimentocircular uniforme. (a)AFig.6-40amostra umgráfico domóduloF da força centrípeta em função davelocidadevdopassageiro.Qualéainclinaçãodográficoparav=8,30m/s?(b)AFig.6-40bmostraumgráficodomóduloFdaforçaemfunçãodeT,queéoperíododomovimento.QualéainclinaçãodográficoparaT=2,50s?


··51Umaviãoestávoandoemumacircunferênciahorizontalaumavelocidadede480km/h(Fig.6-41).Se as asas estão inclinadas de um ânguloθ = 40° com a horizontal, qual é o raio da circunferência?Suponha que a força necessária para manter o avião nessa trajetória resulte inteiramente de uma“sustentaçãoaerodinâmica”perpendicularàsuperfíciedasasas.


··52 Emumbrinquedodeparquedediversões,umcarrosemoveemumacircunferênciaverticalna

extremidadedeumahasterígidademassadesprezível.Opesodocarrocomospassageirosé5,0kNeoraiodacircunferênciaé10m.Nopontomaisaltodacircunferência,qualé(a)omóduloFHe(b)qualéosentido(paracimaouparabaixo)daforçaexercidapelahastesobreocarroseavelocidadedocarroév=5,0m/s?(c)QualéFHe(d)qualéosentidodaforçasev=12m/s?

··53Umbondeantigodobraumaesquinafazendoumacurvaplanacom9,1mderaioa16km/h.Qualéoânguloqueasalçasdemãopenduradasnotetofazemcomavertical?

··54 Ao projetar brinquedos para parques de diversões que fazem movimentos circulares, osengenheirosmecânicos devem levar em conta o fato de que pequenas variações de certos parâmetrospodemalterarsignificativamenteaforçaexperimentadapelospassageiros.Considereumpassageirodemassamquedescreveumatrajetóriacircularderaiorcomvelocidadev.DetermineavariaçãodFdomódulodaforçapara(a)umavariaçãodrdoraiodatrajetória,semquevvarie;(b)umavariaçãodvdavelocidade,semquervarie;(c)umavariaçãodTdoperíodo,semquervarie.

··55Umparafusoestáenroscadoemumadasextremidadesdeumahastefinahorizontalquegiraemtornodaoutraextremidade.Umengenheiromonitoraomovimento iluminandooparafusoeahastecomumalâmpada estroboscópica e ajustando a frequência dos lampejos até que o parafuso pareça estar nasmesmasoitoposiçõesacadarotaçãocompletadahaste(Fig.6-42).Afrequênciadoslampejosé2000porsegundo;amassadoparafusoé30geahastetem3,5cmdecomprimento.Qualéomódulodaforçaexercidapelahastesobreoparafuso?


··56Umacurvacircularcompensadadeumarodoviafoiplanejadaparaumavelocidadede60km/h.Oraiodacurvaéde200m.Emumdiachuvoso,avelocidadedoscarrosdiminuipara40km/h.Qualéomenorcoeficientedeatritoentreospneuseaestradaparaqueoscarrosfaçamacurvasemderrapar?(Suponhaqueoscarrosnãopossuemsustentaçãonegativa.)

··57Umdiscodemetal,demassam=1,50kg,descreveumacircunferênciaderaior=20,0cmemumamesasematritoenquantopermaneceligadoaumcilindrodemassaM=2,50kgpenduradoporumfioquepassaporumfuronocentrodamesa (Fig.6-43).Quevelocidadedodiscomantémocilindroemrepouso?


··58 Frearoudesviar?AFig.6-44mostraumavistadecimadeumcarroqueseaproximadeummuro.Suponhaqueomotoristacomeçaafrearquandoadistânciaentreocarroeomuroéd=107m,queamassadocarroém=1400kg,queavelocidade inicial év0=35m/sequeocoeficientedeatritoestáticoéμs=0,50.Suponhatambémqueopesodocarroestádistribuídoigualmentepelasquatrorodas,mesmodurantea frenagem. (a)Qual éovalormínimodomóduloda forçadeatritoestático (entreospneus e o piso) para que o carro pare antes de se chocar com omuro? (b) Qual é o valor máximopossíveldaforçadeatritoestático fs,máx?(c)Seocoeficientedeatritocinéticoentreospneus(comasrodasbloqueadas)eopisoéμk=0,40,comquevelocidadeocarrosechocacomomuro?Omotoristatambémpode tentarsedesviardomuro,comomostraa figura. (d)Qualéomóduloda forçadeatritonecessáriaparafazerocarrodescreverumatrajetóriacircularderaiodevelocidadev0paraqueocarrodescrevaumquartodecircunferênciaetangencieomuro?(e)Aforçacalculadanoitem(d)émenorquefs,máx,oqueevitariaochoque?


···59NaFig.6-45,umabolade1,34kgéligadapormeiodedoisfios,demassadesprezível,cadaumdecomprimentoL=1,70m,aumahasteverticalgiratória.Osfiosestãoamarradosàhasteaumadistânciad=1,70mumdooutroeestãoesticados.Atraçãodofiodecimaé35N.Determine(a)atraçãodofiodebaixo;(b)omódulodaforçaresultante resaqueestásujeitaabola;(c)avelocidadeescalardabola;(d)adireçãode res.


ProblemasAdicionais

60NaFig.6-46,umacaixacomformigasvermelhas(massatotalm1=1,65kg)eumacaixacomformigaspretas(massatotalm2=3,30kg)deslizamparabaixoemumplanoinclinado,ligadasporumahastesemmassaparalelaaoplano.Oângulodeinclinaçãoéθ=30°.Ocoeficientedeatritocinéticoentreacaixacom formigasvermelhas e a rampaéμ1 =0,226; entre a caixa com formigaspretas e a rampa éμ2 =0,113.Calcule(a)atraçãodahastee(b)omódulodaaceleraçãocomumdasduascaixas.(c)Comoasrespostasdositens(a)e(b)mudariamseasposiçõesdascaixasfosseminvertidas?


61Umblocodemassama=4,0kgécolocadoemcimadeoutroblocodemassamb=5,0kg.Parafazeroblocodecimadeslizarnoblocodebaixoenquantoosegundoémantidofixo,éprecisoaplicaraoblocode cima uma força horizontal de no mínimo 12 N. O conjunto de blocos é colocado em uma mesahorizontal sem atrito (Fig. 6-47). Determine omódulo (a) damaior força horizontal que pode seraplicadaaoblocodebaixosemqueosblocosdeixemdesemoverjuntose(b)aaceleraçãoresultantedosblocos.


62Umapedrade5,00kgédeslocadaemcontatocomotetohorizontaldeumacaverna(Fig.6-48).Seocoeficientedeatritocinéticoé0,65eaforçaaplicadaàpedrafazumânguloθ=70°paracimacomahorizontal,qualdeveseromóduloparaqueapedrasemovacomvelocidadeconstante?


63 NaFig.6-49,umaalpinistade49kgestásubindoporuma“chaminé”.Ocoeficientedeatritoestáticoentreasbotaseapedraé1,2;entreascostaseapedraé0,80.Aalpinistareduziuaforçaqueestá fazendo contra a pedra até se encontrar na iminência de escorregar. (a)Desenheumdiagramadecorpolivredamoça.(b)Qualéomódulodaforçaqueamoçaexercecontraapedra?(c)Quefraçãodopesodamoçaésustentadapeloatritodossapatos?


64 Um vagão de um trem de alta velocidade faz uma curva horizontal de 470 m de raio, semcompensação,comvelocidadeconstante.Osmódulosdascomponenteshorizontaleverticaldaforçaque

ovagãoexercesobreumpassageirode51,0kgsão210Ne500N,respectivamente.(a)Qualéomódulodaforçaresultante(detodasasforças)sobreopassageiro?(b)Qualéavelocidadedovagão?

65 ContinuaçãodosProblemas8e37.Outraexplicaçãoéqueaspedrassemovemapenasquandoaáguaquecainaregiãoduranteumatempestadecongela,formandoumafinacamadadegelo.Aspedrasficampresasnogelo.Quandooventosopra,ogeloeaspedrassãoarrastadoseaspedrasdeixamastrilhas.Omódulodaforçadearrastodoarsobreessa“veladegelo”édadoporDgelo=4CgeloρAgelov2,emqueCgeloéocoeficientedearrasto(2,0×10−3),ρéamassaespecíficadoar(1,21kg/m3),Ageloéaáreahorizontaldacamadadegeloevéavelocidadedovento.

Suponhaoseguinte:Acamadadegelomede400mpor500mpor4,0mme temumcoeficientedeatrito cinético 0,10 como solo e umamassa específica de 917kg/m3. Suponha ainda que 100 pedrasiguais à doProblema8 estão presas no gelo.Qual é a velocidade dovento necessária paramanter omovimentodacamadadegelo(a)nasproximidadesdacamadae(b)aumaalturade10m?(c)Essesvaloressãorazoáveisparaventosfortesduranteumatempestade?

66NaFig.6-50,obloco1,demassam1=2,0kg,eobloco2,demassam2=3,0kg,estãoligadosporumfio,demassadesprezível,esãoinicialmentemantidosemrepouso.Obloco2estáemumasuperfíciesematrito com uma inclinação θ = 30°. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco 1 e a superfíciehorizontal é 0,25.A polia temmassa e atrito desprezíveis.Ao serem liberados, os blocos entram emmovimento.Qualéatraçãodofio?


67NaFig.6-51,umcaixoteescorregaparabaixoemumavala inclinadacujos ladosfazemumânguloreto.Ocoeficientedeatritocinéticoentreocaixoteeavalaéμk.Qual é a aceleraçãodocaixoteemfunçãodeμk,θeg?


68Projetandoumacurvadeumarodovia.Seumcarroentramuitodepressaemumacurva,eletendeaderrapar.Nocasodeumacurvacompensadacomatrito,aforçadeatritoqueagesobreumcarroemalta

velocidadeseopõeà tendênciadocarrodederraparpara foradaestrada;a forçaapontaparao ladomaisbaixodapista(oladoparaoqualaáguaescoaria).Considereumacurvacircular,deraioR=200meângulodecompensaçãoθ,naqualocoeficientedeatritoestáticoentreospneuseopavimentoéμs.Umcarro(semsustentaçãonegativa)começaafazeracurva,comomostraaFig.6-11.(a)Escrevaumaexpressãoparaavelocidadedocarrovmáxqueocolocanaiminênciadederrapar.(b)Plote,nomesmográfico,vmáxemfunçãodeθparaointervalode0°a50°,primeiroparaμs=0,60(pistaseca),edepoisparaμs=0,050(pistamolhada).Calculevmáx,emkm/h,paraumângulodecompensaçãoθ=10°epara(c)μs=0,60e (d)μs = 0,050. (Agora você pode entender por que ocorrem acidentes nas curvas dasestradas quando os motoristas não percebem que a estrada está molhada e continuam dirigindo àvelocidadenormal.)

69Umestudante,enlouquecidopelosexamesfinais,usaumaforça demódulo80Neânguloθ=70°paraempurrarumblocode5,0kgnotetodoquarto(Fig.6-52).Seocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeotetoé0,40,qualéomódulodaaceleraçãodobloco?


70AFig.6-53mostraumpêndulocônico,noqualumpeso(pequenoobjetonaextremidadeinferiordacorda)semoveemumacircunferênciahorizontalcomvelocidadeconstante.(Acordadescreveumconequando o peso gira.) O peso temmassa de 0,040 kg, a corda tem comprimentoL = 0,90m emassadesprezível,eopesodescreveumacircunferênciade0,94m.Determine(a)a traçãodacordae(b)operíododomovimento.


71Umblocodeaçode8,00kgrepousaemumamesahorizontal.Ocoeficientedeatritoestáticoentreoblocoeamesaé0,450.Umaforçaéaplicadaaobloco.Calcule,comtrêsalgarismossignificativos,omódulodaforçaseeladeixaobloconaiminênciadedeslizarquandoédirigida(a)horizontalmente,(b)paracima,formandoumângulode60,0°comahorizontale(c)parabaixo,formandoumângulode60,0°comahorizontal.

72Umacaixadeenlatadosescorregaemumarampadoníveldaruaatéosubsolodeumarmazémcomumaaceleraçãode0,75m/s2dirigidaparabaixoaolongodarampa.Arampafazumângulode40°comahorizontal.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreacaixaearampa?

73NaFig.6-54,ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeoplanoinclinadoé0,20eoânguloθé60°.Quaissão(a)omóduloae(b)osentido(paracimaouparabaixoaolongodoplano)daaceleraçãodoblocoseeleestáescorregandoparabaixo?Quaissão(c)omóduloae(d)osentidodaaceleraçãoseoblocoestáescorregandoparacima?


74Umdiscodemetalde110gquedeslizanogeloéparadoem15mpela forçadeatritoqueogeloexercesobreodisco.(a)Seavelocidadeinicialdodiscoé6,0m/s,qualéomódulodaforçadeatrito?(b)Qualéocoeficientedeatritoentreodiscoeogelo?

75Umalocomotivaaceleraumtremde25vagõesemumalinhaférreaplana.Cadavagãopossuimassade5,0×104kgeestásujeitoaumaforçadeatritof=250v,emqueavelocidadevestáemmetrosporsegundoeaforçafestáemnewtons.Noinstanteemqueavelocidadedotreméde30km/h,omódulodaaceleraçãoé0,20m/s2.(a)Qualéatraçãonoengateentreoprimeirovagãoealocomotiva?(b)Seessatraçãoéigualàforçamáximaquealocomotivapodeexercersobreotrem,qualéomaioraclivequealinhaférreapodeterparaquealocomotivaconsigapuxarotrema30km/h?

76Umacasaéconstruídanoaltodeumacolina,pertodeumaencostacomumainclinaçãoθ=45°(Fig.6-55).Umestudodeengenharia indicaqueoângulododeclivedeve ser reduzidoporqueascamadassuperioresdosolopodemdeslizaremrelaçãoàscamadasinferiores.Seocoeficientedeatritoestáticoentreascamadasé0,5,qualéomenorânguloθdequeainclinaçãoatualdeveserreduzidaparaevitardeslizamentos?


77Qualéavelocidadeterminaldeumabolaesféricade6,00kgquepossuiumraiode3,00cmeumcoeficientedearrastode1,60?Amassaespecíficadoarnolocalondeabolaestácaindoé1,20kg/m3.

78Umaestudantepretendedeterminaroscoeficientesdeatritoestáticoeatritocinéticoentreumacaixaeuma tábua.Para isso, ela coloca a caixa sobre a tábua e levanta lentamente umadas extremidades datábua.Quandooângulodeinclinaçãoemrelaçãoàhorizontalchegaa30°,acaixacomeçaaescorregarepercorre 2,5mao longoda tábua em4,0 s, comaceleração constante.Quais são (a) o coeficiente deatritoestáticoe(b)ocoeficientedeatritocinéticoentreacaixaeatábua?

79OblocoAdaFig.6-56temmassamA=4,0kgeoblocoBtemmassamB=2,0kg.OcoeficientedeatritocinéticoentreoblocoBeoplanohorizontaléμk=0,50.Oângulodoplanoinclinadosematritoéθ=30°.Apoliaserveapenasparamudaradireçãodofioqueligaosblocos.Ofiotemmassadesprezível.Determine(a)atraçãodofioe(b)omódulodaaceleraçãodosblocos.


80Calculeomódulodaforçadearrastoaqueestásujeitoummíssilde53cmdediâmetrovoandoa250m/sembaixaaltitude.Suponhaqueamassaespecíficadoaré1,2kg/m3eocoeficientedearrastoCé0,75.

81Umciclista semoveemumcírculode25,0mde raio aumavelocidadeconstantede9,00m/s.Amassadoconjuntociclista-bicicletaé85,0kg.Calculeomódulo(a)daforçadeatritoqueapistaexercesobreabicicletae(b)daforçaresultantequeapistaexercesobreabicicleta.

82NaFig. 6-57, um carro (sem sustentação negativa), dirigido por um dublê, passa pelo alto de ummorrocujaseçãotransversalpodeseraproximadaporumacircunferênciaderaioR=250m.Qualéamaiorvelocidadeparaaqualocarronãoperdecontatocomaestradanoaltodomorro?


83Vocêprecisaempurrarumcaixoteatéumatracadouro.Ocaixotepesa165N.Ocoeficientedeatritoestáticoentreocaixoteeopisoé0,51,eocoeficientedeatritocinéticoé0,32.Aforçaquevocêexercesobreocaixoteéhorizontal.(a)Qualdeveseromódulodaforçaparaqueocaixotecomeceasemover?(b)Qualdeveseromódulodaforça,depoisqueocaixotecomeçaasemover,paraquesemovacomvelocidadeconstante?(c)Se,depoisqueocaixotecomeçarasemover,omódulodaforçativerovalorcalculadoem(a),qualseráomódulodaaceleraçãodocaixote?

84NaFig.6-58,umaforça éaplicadaaumcaixotedemassamquerepousaemumpiso;ocoeficientede atrito estático entre o caixote e o piso é μs. O ângulo θ é inicialmente 0°, mas é gradualmenteaumentado,fazendocomqueadireçãodaforçagirenosentidohorário.Durantearotação,aintensidadeda força é continuamente ajustadapara queo caixote permaneçana iminência de semover.Paraμs =0,70,(a)plotearazãoF/mgemfunçãodeθe(b)determineoânguloθinfparaoquala razãose tornainfinita.(c)Seopisoélubrificado,ovalordeθinfaumenta,diminui,oupermaneceinalterado?(d)Qualéovalordeθinfparaμs=0,60?


85Duranteatarde,umcarroéestacionadoemumaladeiraquefazumângulode35,0°comahorizontal.Nessemomento, o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o asfalto é 0,725.Quando anoitece,começaanevareocoeficientedeatritodiminui,tantoporcausadanevecomoporcausadasmudançasquímicas do pavimento causadas pela queda de temperatura. Qual deve ser a redução percentual docoeficientedeatritoparaqueocarrocomeceaescorregarladeiraabaixo?

86 Ummeninocomumafundacolocaumapedra(0,250kg)nabolsa(0,010kg)dafundaefazgirarapedra e a bolsa emumacircunferênciavertical de raio0,650m.Acorda entre a bolsa e amãodomeninotemmassadesprezívelearrebentaráseatraçãoexceder33,0N.Suponhaqueomeninoaumenteaospoucosavelocidadedapedra.(a)Acordavaiarrebentarnopontomaisbaixodacircunferênciaounopontomaisalto?(b)Paraqualvalordavelocidadedapedraacordavaiarrebentar?

87Umcarrocom10,7kNdepeso,viajandoa13,4m/ssemsustentaçãonegativa,tentafazerumacurvanãocompensadacomumraiode61,0m.(a)Qualéaforçadeatritoentreospneuseaestradanecessáriaparamanterocarroemumatrajetóriacircular?(b)Seocoeficientedeatritoestáticoentreospneuseaestradaé0,350,ocarroconseguefazeracurvasemderrapar?

88NaFig.6-59,obloco1demassam1=2,0kgeobloco2demassam2=1,0kgestãoligadosporumfio,demassadesprezível.Obloco2éempurradoporumaforça demódulo20Nquefazumânguloθ=35°comahorizontal.Ocoeficientedeatritocinéticoentrecadablocoeasuperfíciehorizontalé0,20.Qualéatraçãodofio?


89Umpequeno armário com556Ndepeso está em repouso.Ocoeficientede atrito estático entreoarmário e o piso é 0,68 e o coeficiente de atrito cinético é 0,56. Em quatro diferentes tentativas dedeslocá-lo,oarmárioéempurradoporforçashorizontaisdemódulos(a)222N,(b)334N,(c)445Ne(d)556N.Paracadatentativa,calculeomódulodaforçadeatritoexercidapelopisosobreoarmário.(Emcada tentativa,oarmárioestá inicialmenteemrepouso.) (e)Emquaisdas tentativasoarmáriosemove?

90NaFig.6-60,umblococom22Ndepesoémantidoemrepousocontraumaparedeverticalporuma

forçahorizontal demódulo60N.Ocoeficientedeatritoestáticoentreaparedeeoblocoé0,55eocoeficientedeatritocinéticoé0,38.Emseisexperimentos,umasegunda força éaplicadaaobloco,paralelamenteàparede,comosseguintesmódulosesentidos:(a)34Nparacima,(b)12Nparacima,(c)48Nparacima,(d)62Nparacima,(e)10Nparabaixoe(f)18Nparabaixo.Qualéomódulodaforçadeatritoqueagesobreoblocoemcadaexperimento?Emqueexperimentosoblocosemove(g)paracimae(h)parabaixo?(i)Emqueexperimentosaforçadeatritoéparabaixo?


91Umblocoescorregaparabaixocomvelocidadeconstante emumplano inclinadodeânguloθ. Emseguida,oblocoé lançadopara cimanomesmoplanocomvelocidade inicialv0. (a)Quedistância oblocosobeatéparar?(b)Depoisdeparar,oblocotornaaescorregarparabaixo?Justifiquesuaresposta.

92Umacurvacircularemumarodoviaéprojetadaparaumavelocidademáximade60km/h.Suponhaque os carros não possuem sustentação negativa. (a) Se o raio da curva é 150m, qual é o ângulo decompensação correto? (b) Se a curva não fosse compensada, qual deveria ser o valor mínimo docoeficientedeatritoentreospneuseopisoparaqueoscarrosnãoderrapassemaoentraremnacurvaa60km/h?

93Umacaixade1,5kgestáemrepousoemumasuperfíciequando,emt=0,umaforçahorizontal =(1,8t) N(comtemsegundos)éaplicadaàcaixa.Aaceleraçãodacaixaemfunçãodotempotédadapor=0para0≤t≤2,8se =(1,2t–2,4) m/s2parat>2,8s.(a)Qualéocoeficientedeatritoestático

entreacaixaeasuperfície?(b)Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreacaixaeasuperfície?

94Umacriançacom140Ndepesoestásentadanoaltodeumescorregaquefazumângulode25°comahorizontal.Acriançasemantémnomesmolugarsegurandoosladosdoescorrega.Quandosoltaasmãos,ela adquire uma aceleração constante de 0,86 m/s2 (dirigida para baixo, naturalmente). Qual é ocoeficiente de atrito cinético entre a criança e o escorrega? (b) Que valores máximo e mínimo docoeficiente de atrito estático entre a criança e o escorrega são compatíveis com as informações doenunciado?

95NaFig.6-61,umfaxineirocaprichoso limpaopisoaplicandoaocabodoesfregãoumaforça .Ocabofazumânguloθcomavertical,eμseμk sãooscoeficientesdeatritoestáticoecinéticoentreoesfregãoeopiso.Ignoreamassadocaboesuponhaquetodaamassamdoesfregãoestáconcentradanopanodechão.(a)Seopanodechãosemoveaolongodopisocomvelocidadeconstante,qualéovalor

deF?(b)Mostreque,seθformenorqueumdeterminadovalorθ0,aforça (aindaorientadaaolongodocabo)seráinsuficienteparafazeropanodechãosemover.Determineθ0.


96Umacriançacolocaumacestadepiqueniquenabordadeumcarrosselcom4,6mderaioquedáumavoltacompletaacada30s. (a)Qualéavelocidadedeumpontodabordadocarrossel?(b)Qualéomenor valor do coeficiente de atrito estático entre a cesta e o carrossel para que a cesta não saia dolugar?

97Umoperárioaplicaumaforçaconstante,demódulo85N,aumacaixade40kgqueestáinicialmenteemrepousonopisohorizontaldeumarmazém.Apósacaixaterpercorridoumadistânciade1,4m,suavelocidadeé1,0m/s.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreacaixaeopiso?

98NaFig.6-62,umblocode5,0kgsemoveparacimaaolongodeumplanoinclinadodeânguloθ=37°aomesmotempoemquesofreaaçãodeumaforçahorizontal demódulo50N.Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeoplanoé0,30.Qualé(a)omóduloe(b)qualosentido(paracimaouparabaixoaolongodoplanoinclinado)daaceleraçãodobloco?Avelocidadeinicialdoblocoé4,0m/s.(c)Quedistânciaoblocosobenoplano? (d)Depoisdeatingiropontomaisalto,oblocopermaneceemrepousoouescorregaparabaixo?


99Umblocodeaço,de11kg,estáemrepousoemumamesahorizontal.Ocoeficientedeatritoestáticoentreoblocoeamesaé0,52.(a)Qualéomódulodaforçahorizontalquecolocaobloconaiminência

desemover?(b)Qualéomódulodeumaforçaque,atuando60°acimadahorizontal,colocaobloconaiminênciadesemover?(c)Qualéomódulodeumaforçaque,atuando60°abaixodahorizontal,colocaobloconaiminênciadesemover?

100Umesquiadereànevequandoédeixadoemrepouso.Quandooesquisedeslocananeve,porém,oatritooaqueceederreteparcialmenteaneve,reduzindoocoeficientedeatritocinéticoefacilitandoodeslizamento.Enceraroesquitorna-orepelenteàáguaereduzaindamaisoatritocomacamadadeágua.Umalojaanunciaqueumnovotipodeesquideplásticoéespecialmenterepelenteàáguaeque,emumdeclivemoderadode200mnosAlpes,umesquiador reduziuo tempodedescidade61scomesquisconvencionaispara42scomosnovosesquis.Determineomódulodaaceleraçãomédiadoesquiador(a)com os esquis convencionais e (b) com os novos esquis. Supondo uma inclinação de 3,0°, calcule ocoeficientedeatritocinético(c)paraosesquisconvencionaise(d)paraosnovosesquis.

101Brincandonasvizinhançasdocanteirodeobrasdeumaestrada,umacriançacaiemumaencostaquefaz um ângulo de 35° com a horizontal. Enquanto escorrega encosta abaixo, a criança sofre umaaceleraçãoparacimacomummódulode0,50m/s2.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreacriançaeaencosta?

102 Uma força de 100N, que faz um ângulo θ para cima com um piso horizontal, é aplicada a umacadeirade25,0kgemrepousonopiso.Seθ=0°,determine (a)acomponentehorizontalFh da forçaaplicadae(b)omóduloFNdaforçanormalexercidapelopisosobreacadeira.Seθ=30,0°,determine(c)Fhe(d)FN.Seθ=60,0°,determine(e)Fhe(f)FN.Suponhaqueocoeficientedeatritoestáticoentreacadeiraeopisoé0,420.Acadeiraescorregaoupermaneceemrepousoseθé(g)0°,(h)30,0°e(i)60,0°?

103Umacordapodesuportarumatraçãomáximade40Nsemsepartir.Umacriançaamarraumapedrade0,37kgemumadasextremidadesdacordae,segurandoaoutraextremidade,fazapedragiraremumacircunferênciaverticalde0,91mderaio,aumentandolentamenteavelocidadeatéacordaarrebentar.(a)Emquepontoda trajetória está a pedraquando a corda arrebenta? (b)Qual é a velocidadedapedraquandoacordaarrebenta?

104 Umtrenóparaquatropessoas(massatotal=630kg)desceumtrechoretilíneonoaltodeumaencosta. O trecho retilíneo tem 80,0 m de comprimento e uma inclinação constante de 10,2° com ahorizontal.Suponhaqueoefeitocombinadodoatritoedoarrastodoarproduzsobreotrenóumaforçaconstantede62,0Nparacima,paralelaàencosta.Respondaàsperguntasaseguirusandotrêsalgarismossignificativos.(a)Seavelocidadedotrenónoiníciodaretaé6,20m/s,quantotempootrenólevaparachegaraofinaldareta?(b)Suponhaqueosocupantesreduzamosefeitosdoatritoedoarrastodoarpara42,0N.Paraamesmavelocidadeinicial,quantotempootrenóagoralevaparadescerotrechoretilíneo?

105Umblocode40Nescorregaparabaixoemumarampaquefazumângulode25°comahorizontal.Seaaceleraçãodoblocoé0,80m/s2paracima,qualéocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoearampa?

_______________*W.O.WhitneyeC.J.Mehlhaff,“High-RiseSyndromeinCats”,TheJournaloftheAmericanVeterinaryMedicalAssociation,1987.

CAPÍTULO7

EnergiaCinéticaeTrabalho

7-1ENERGIACINÉTICA


7.01Aplicararelaçãoentreaenergiacinética,amassaeavelocidadedeumapartícula.

7.02Saberqueaenergiacinéticaéumagrandezaescalar.

Ideia-Chave•Aenergiacinéticaassociadaaomovimentodeumapartículademassamevelocidadev,paravelocidadesmuitomenoresqueavelocidadedaluz,édadapor

OqueÉFísica?Umdos objetivos fundamentais da física é estudar de perto algo de que se falamuito hoje emdia: aenergia.O tópico éobviamente importante.Naverdade, nossa civilizaçãodependedaobtenção eusoeficientedaenergia.Comotodossabem,nenhummovimentopodeseriniciadosemalgumtipodeenergia.Paraatravessaro

OceanoPacíficoabordodeumavião,precisamosdeenergia.Para transportarumcomputadorparaoúltimoandardeumedifícioouparaumaestaçãoespacialemórbita,precisamosdeenergia.Parachutarumabola,precisamosdeenergia.Gastamosverdadeiras fortunasparaobtereutilizarenergia.Guerrasforam iniciadas pela disputa de fontes de energia. Guerras foram decididas pelo uso de armas queliberamgrandequantidadedeenergia.Qualquerumseriacapazdecitarmuitosexemplosdeenergiaedesuautilização,masoquerealmentesignificaotermoenergia?

OqueÉEnergia?Otermoenergiaétãoamploqueédifícilpensaremumadefiniçãosimples.Tecnicamente,energiaéumagrandezaescalarassociadaaoestadodeumoumaisobjetos;entretanto,essadefiniçãoévagademaisparaserútilaquemestácomeçando.Umadefiniçãomenosrigorosapodeservirpelomenosdepontodepartida.Energiaéumnúmeroque

associamos a um sistema de um oumais objetos. Se uma força afeta um dos objetos, fazendo-o, porexemplo, entrar emmovimento, o número que descreve a energia do sistema varia. Após um númeromuitograndede experimentos, os cientistas e engenheiros confirmaramque, seométodopormeiodoqual atribuímos um número à energia for definido adequadamente, esse número pode ser usado paraprever os resultados de experimentos e,mais importante, para construirmáquinas capazes de realizarproezas fantásticas, comovoar.Este sucesso se baseia emumapropriedade fascinante do universo: aenergiapodemudardeformaesertransferidadeumobjetoparaoutro,masaquantidadetotaldeenergiapermanececonstante(aenergiaéconservada).Atéhoje,nuncafoiencontradaumaexceçãodessaleideconservaçãodaenergia.Dinheiro.Pensenasmuitasformasdeenergiacomosefossemosnúmerosquerepresentamasquantias

depositadasemcontasbancárias.Algumasregrasforamestabelecidasparaosignificadodessesnúmeroseaformacomopodemsermodificados.Vocêpodetransferirosnúmerosquerepresentamquantiasemdinheiro de uma conta para outra, talvez eletronicamente, sem que nenhum objeto material sejamovimentado; entretanto, a quantidade total de dinheiro (a soma de todos os números) permanececonstante:essasomaéconservadaemtodasastransaçõesbancárias.Nestecapítulo,concentramosnossaatençãoemumúnicotipodeenergia(aenergiacinética)eumaúnicaformadetransferênciadeenergia(otrabalho).

EnergiaCinéticaAenergiacinéticaKéaenergiaassociadaaoestadodemovimentodeumobjeto.Quantomaisdepressaoobjetosemove,maioréaenergiacinética.Quandoumobjetoestáemrepouso,aenergiacinéticaénula.Paraumobjetodemassamcujavelocidadevémuitomenorqueavelocidadedaluz,

Umpatode3,0kgquevoaa2,0m/s,porexemplo, temumaenergiacinéticade6,0kg·m2/s2,ouseja,associamosessenúmeroaomovimentodopato.A unidade de energia cinética (e de qualquer outra forma de energia) no SI é o joule (J), em

homenagemaJamesPrescottJoule,umcientistainglêsdoséculoXIX.ÉdefinidaapartirdaEq.7-1emtermosdasunidadesdemassaevelocidade:

Assim,opatodoexemploanteriortemumaenergiacinéticade6,0J.

Exemplo7.01 Energiacinéticaemumchoquedelocomotivas

Em1896,emWaco,Texas,WilliamCrushposicionouduaslocomotivasemextremidadesopostasdeumalinhaférreacom6,4km

deextensão,acendeuascaldeiras,amarrouosaceleradoresparaquepermanecessemacionadose fezcomqueas locomotivas

sofressemumacolisãofrontal,emaltavelocidade,diantede30.000espectadores(Fig.7-1).Centenasdepessoasforamferidas

pelosdestroços;váriasmorreram.Supondoquecadalocomotivapesava1,2H106Netinhaumaaceleraçãoconstantede0,26

m/s2,qualeraaenergiacinéticadasduaslocomotivasimediatamenteantesdacolisão?

IDEIAS-CHAVE

(1)ParacalcularaenergiacinéticadecadalocomotivausandoaEq.7-1,precisamosconheceramassadecadalocomotivaesua

velocidade imediatamente antes da colisão. (2) Comopodemos supor que cada locomotiva sofreu uma aceleração constante,

podemosusarasequaçõesnaTabela2-1paracalcularavelocidadevimediatamenteantesdacolisão.

Cálculos:EscolhemosaEq.2-16porqueconhecemososvaloresdetodososparâmetros,excetov:

Comv0=0ex–x0=3,2H103m(metadedadistânciainicial),temos:

Podemoscalcularamassadecadalocomotivadividindoopesoporg:

Emseguida,usandoaEq.7-1,calculamosaenergiacinéticatotaldasduaslocomotivasimediatamenteantesdacolisão:

Acolisãofoicomoaexplosãodeumabomba!

CortestadaLibraryofCongress

Figura7-1Oresultadodeumacolisãoentreduaslocomotivasem1896.

7-2TRABALHOEENERGIACINÉTICA


7.03Conhecerarelaçãoentreumaforçaeotrabalhorealizadopelaforçasobreumapartícula.

7.04Calcularotrabalhorealizadoporumaforçasobreumapartículacomooprodutoescalardaforçapelodeslocamentodapartícula.

7.05Calcularotrabalhototalrealizadoporváriasforçassobreumapartícula.

7.06Usaro teoremado trabalhoeenergiacinéticapara relacionaro trabalho realizadoporuma força (oupela resultantedeváriasforças)sobreumapartículaàvariaçãodaenergiacinéticadapartícula.

Ideias-Chave•Trabalhoéaenergiatransferidaparaumobjeto,oudeumobjeto,pormeiodeumaforçaaplicadaaoobjeto.Quandoaenergiaétransferidaparaoobjeto,otrabalhoépositivo;quandoaenergiaétransferidadoobjeto,otrabalhoénegativo.

•Otrabalhorealizadosobreumapartículaporumaforçaconstante duranteumdeslocamento édadopor

W=Fdcosϕ= · (trabalhorealizadoporumaforçaconstante),

emqueϕéoânguloentreasdireçõesde e .

•Apenasacomponentede nadireçãode poderealizartrabalhosobreumobjeto.• Quando duas ou mais forças exercem trabalho sobre um objeto, o trabalho total é a soma dos trabalhos realizadosseparadamentepelasforças;tambéméigualaotrabalhorealizadopelaforçaresultantedetodasasforças.

•AvariaçãoΔKdaenergiacinéticadeumapartículaéigualaotrabalhoWrealizadosobreapartícula:

ΔK=Kf–Ki=W(teoremadotrabalhoeenergiacinética),

em queKi é a energia cinética inicial da partícula eKf é a energia cinética da partícula depois que o trabalho é realizado.Explicitandoaenergiafinal,obtemos

Kf=Ki+W.

TrabalhoQuandoaumentamosavelocidadedeumobjetoaplicandoumaforça,aenergiacinéticaK(=mv2/2)doobjetoaumenta;quandodiminuímosavelocidadedoobjetoaplicandoumaforça,aenergiacinéticadoobjetodiminui.Explicamosessasvariaçõesdaenergiacinéticadizendoqueaforçaaplicadatransferiuenergiaparaoobjetooudoobjeto.Nastransferênciasdeenergiapormeiodeforças,dizemosqueumtrabalhoWérealizadopelaforçasobreoobjeto.Maisformalmente,definimosotrabalhodaseguinteforma:

Trabalho(W)éaenergiatransferidaparaumobjetooudeumobjetopormeiodeumaforçaqueagesobreoobjeto.Quandoa

energiaétransferidaparaoobjeto,otrabalhoépositivo;quandoaenergiaétransferidadoobjeto,otrabalhoénegativo.

“Trabalho”,portanto,éenergiatransferida;“realizartrabalho”éoatodetransferirenergia.Otrabalhotemamesmaunidadequeaenergiaeéumagrandezaescalar.O termo transferência pode ser enganador;não significaqueumobjetomaterial entrenoobjetoou

saia do objeto.A transferência não é comoum fluxode água; ela se parecemais coma transferênciaeletrônicadedinheiroentreduascontasbancárias:ovalordeumadascontasaumenta,ovalordaoutracontadiminui,masnenhumobjetomaterialétransferidodeumacontaparaaoutra.Note que não estamos usando a palavra “trabalho” no sentido coloquial, segundo o qual qualquer

esforço,físicooumental,representatrabalho.Assim,porexemplo,aoempurrarumaparedecomforça,vocêsecansaporcausadascontraçõesmuscularesrepetidaseestá,nosentidocoloquial,realizandoumtrabalho.Entretanto, como esse esforço não produz uma transferência de energia para a parede ou daparede,otrabalhorealizadosobreaparede,deacordocomnossadefinição,énulo.

TrabalhoeEnergiaCinéticaEncontrandoumaExpressãoparaoTrabalho

Paraencontrarumaexpressãoparaotrabalho,considereumacontaquepodedeslizaraolongodeumfiosematritoaolongodeumeixoxhorizontal(Fig.7-2).Umaforçaconstante ,fazendoumânguloϕcomo

fio,éusadaparaaceleraraconta.PodemosrelacionaraforçaàaceleraçãopormeiodasegundaleideNewton,escritaparaascomponentesemrelaçãoaoeixox:

emqueméamassadaconta.Enquantoacontasofreumdeslocamento ,aforçamudaavelocidadedacontadeumvalor inicial 0paraoutrovalor, .Comoa forçaé constante, sabemosquea aceleraçãotambéméconstante.Assim,podemosusaraEq.2-16paraescrever,paraascomponentesemrelaçãoaoeixox,

Explicitandoax,substituindonaEq.7-3ereagrupandoostermos,obtemos:

OprimeirotermodoladoesquerdodaequaçãoéaenergiacinéticaKfdacontanofimdodeslocamentod;osegundotermoéaenergiacinéticaKidacontanoiníciododeslocamento.Assim,oladoesquerdodaEq.7-5nosdizqueaenergiacinéticafoialteradapelaforça,eoladodireitonosdizqueamudançaéigual aFxd. Assim, o trabalhoW realizado pela força sobre a conta (a transferência de energia emconsequênciadaaplicaçãodaforça)é

SeconhecemososvaloresdeFxed,podemosusaraEq.7-6paracalcularotrabalhoWrealizadopelaforçasobreaconta.

Paracalcularotrabalhoqueumaforçarealizasobreumobjetoquandoestesofreumdeslocamento,usamosapenasacomponente

daforçaparalelaaodeslocamentodoobjeto.Acomponentedaforçaperpendicularaodeslocamentonãorealizatrabalho.

Como se pode ver na Fig. 7-2,Fx =F cosϕ, em queF é omódulo de eϕ é o ângulo entre odeslocamento eaforça .Assim,

Figura7-2 Umaforçaconstante quefazumânguloϕcomodeslocamento deumacontaemumfio,aceleraacontaaolongodofio,fazendoavelocidadedacontamudarde 0para .Um“medidordeenergiacinética” indicaavariação resultantedaenergiacinéticadaconta,dovalorKiparaovalorKf.

Figura7-3 Umdosparticipantesdeumacorridadecamas.Podemosconsideraracamaeseuocupantecomoumapartícula,paracalcularotrabalhorealizadosobreelespelaforçaaplicadapeloestudante.

ComooladodireitodaEq.7-7éequivalenteaoprodutoescalar · ,tambémpodemosescrever

(OprodutoescalarfoidefinidonoMódulo3-3.)AEq.7-8éespecialmenteútilparacalcularotrabalhoquando e sãodadosnanotaçãodosvetoresunitários.Atenção:ExistemduasrestriçõesaousodasEqs.7-6a7-8paracalcularotrabalhorealizadoporuma

forçasobreumobjeto.Emprimeirolugar,aforçadeveserconstante,ouseja,omóduloeaorientaçãodaforçanãodevemvariarduranteodeslocamentodoobjeto. (Mais tardediscutiremosoque fazernocasodeumaforçavariávelcujomódulonãoéconstante.)Emsegundolugar,oobjetodevesecomportarcomoumapartícula.Issosignificaqueoobjetodeveserrígido;todasassuaspartesdevemsemoverdamesmaforma.Nestecapítulo,consideramosapenasobjetosquesecomportamcomopartículas,comoa

camaeseuocupantenaFig.7-3.O Sinal do Trabalho. O trabalho realizado por uma força sobre um objeto pode ser positivo ou

negativo.Assim, por exemplo, se o ânguloϕ da Eq. 7-7 formenor que 90°, cosϕ será positivo e otrabalho será positivo. Se ϕ for maior do que 90° (até 180°), cos ϕ será negativo e o trabalho seránegativo.(Vocêécapazdeexplicarporqueotrabalhoézeroparaϕ=90°?)Essesresultadoslevamaumaregrasimples:Paradeterminarosinaldotrabalhorealizadoporumaforça,considereacomponentedaforçaparalelaaodeslocamento:

Otrabalhorealizadoporumaforçaépositivo,seaforçapossuiumacomponentevetorialnosentidododeslocamento,enegativo,

se a força possui uma componente vetorial no sentido oposto. Se a força não possui uma componente vetorial na direção do

deslocamento,otrabalhoénulo.

UnidadedeTrabalho.A unidade de trabalho do SI é o joule, amesma da energia cinética.ComomostramasEqs.7-6e7-7,umaunidadeequivalenteéonewton-metro(N·m).Aunidadecorrespondentenosistemainglêséopé-libraconstantelibra(ft·lb).DeacordocomaEq.7-2,temos:

TrabalhoTotalRealizadoporVáriasForças.Quandoduasoumaisforçasatuamsobreumobjeto,otrabalhototalrealizadosobreoobjetoéasomadostrabalhosrealizadosseparadamentepelasforças.Otrabalhototalpodesercalculadodeduasformas:(1)determinandootrabalhorealizadoseparadamentepelasforçasesomandoosresultados;(2)determinandoaresultante resdetodasasforçaseaplicandoaEq.7-7,comomóduloFsubstituídoporFreseϕsubstituídopeloânguloentre rese .TambémpodemosusaraEq.7-8,substituindo respor .

TeoremadoTrabalhoeEnergiaCinética

AEq.7-5relacionaavariaçãodaenergiacinéticadaconta(deumvalorinicialKi= paraumvalor finalKf = mv2) ao trabalhoW (= Fxd) realizado sobre a conta. No caso de objetos que secomportamcomopartículas,podemosgeneralizaressaequação.SejaΔKavariaçãodaenergiacinéticadoobjetoesejaWotrabalhoresultanterealizadosobreoobjeto.Nessecaso,podemosescrever

quesignificaoseguinte:

Podemostambémescrever

quesignificaoseguinte:

Essas relações, conhecidas tradicionalmente como teorema do trabalho e energia cinética parapartículas,valemparatrabalhospositivosenegativos.Seotrabalhototalrealizadosobreumapartículaépositivo,aenergiacinéticadapartículaaumentadeumvalorigualaotrabalhorealizado;seotrabalhototalénegativo,aenergiacinéticadapartículadiminuideumvalorigualaotrabalhorealizado.Porexemplo,seaenergiacinéticadeumapartículaéinicialmente5Jeapartícularecebeumaenergia

de2 J (trabalho totalpositivo),aenergiacinética finalé7 J.Poroutro lado, seapartículacedeumaenergiatotalde2J(trabalhototalnegativo),aenergiacinéticafinalé3J.

Teste1Umapartículaestásemovendoaolongodoeixox.Aenergiacinéticaaumenta,diminuioupermaneceamesmaseavelocidadeda

partículavaria(a)de−3m/spara−2m/se(b)de−2m/spara2m/s?(c)Nassituaçõesdositens(a)e(b)otrabalhorealizado

sobreapartículaépositivo,negativoounulo?

Exemplo7.02 Trabalhorealizadoporduasforçasconstantes:espionagemindustrial

A Fig. 7-4a mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de 225 kg a partir do repouso e assim produzindo um

deslocamento ,demódulo8,50m,emdireçãoaumcaminhão.Oempurrão 1doespião001temummódulode12,0Nefaz

umângulode30,0°parabaixocomahorizontal;opuxão 2doespião002temummódulode10,0Nefazumângulode40,0°

paracimacomahorizontal.Osmóduloseorientaçõesdasforçasnãovariamquandoocofresedesloca,eoatritoentreocofreeo

atritocomopisoédesprezível.

(a)Qualéotrabalhototalrealizadopelasforças 1e 2sobreocofreduranteodeslocamento ,?

IDEIAS-CHAVE

(1)OtrabalhototalW realizadosobreocofreéasomadostrabalhosrealizadosseparadamentepelasduasforças. (2)Comoo

cofrepodesertratadocomoumapartículaeasforçassãoconstantes,tantoemmódulocomoemorientação,podemosusaraEq.

7-7(W=Fdcosϕ)ouaEq.7-8(W= 1· )paracalcularotrabalho.Comoconhecemosomóduloeaorientaçãodasforças,

escolhemosaEq.7-7.

Cálculos:DeacordocomaEq.7-7eodiagramadecorpolivredocofre(Fig.7-4b),otrabalhorealizadopor 1é

W1=F1dcosϕ1=(12,0N)(8,50m)(cos30,0°)

=88,33J,

eotrabalhorealizadopor 2é

W2=F2dcosϕ2=(10,0N)(8,50m)(cos40,0°)

=65,11J.

Assim,otrabalhototalWé

Figura7-4(a)Doisespiõesarrastamumcofre,produzindoumdeslocamento .(b)Diagramadecorpolivredocofre.

Duranteodeslocamentode8,50m,portanto,osespiõestransferem153Jparaaenergiacinéticadocofre.

(b) Qual é o trabalhoWg realizado pela força gravitacional g sobre o cofre durante o deslocamento e qual é o trabalhoWN

realizadopelaforçanormal Nsobreocofreduranteodeslocamento?

IDEIA-CHAVE

Comotantoomódulocomoaorientaçãodasduasforçassãoconstantes,podemoscalcularotrabalhorealizadoporelasusandoa

Eq.7-7.

Cálculos:Comoomódulodaforçagravitacionalémg,emqueméamassadocofre,temos:

Estesresultadosjáeramesperados.Comosãoperpendicularesaodeslocamentodocofre,asduasforçasnãorealizamtrabalhoe

nãotransferemenergiaparaocofre.

(c)Qualéavelocidadevfdocofreapósodeslocamentode8,50m?

IDEIA-CHAVE

Avelocidadevariaporqueaenergiacinéticamudaquando 1e 2transferemenergiaparaocofre.

Cálculos:PodemosrelacionaravelocidadeaotrabalhocombinandoasEqs.7-10(teoremadotrabalhoeenergia)e7-1(definição

deenergiacinética):

Avelocidadeinicialviézeroesabemosqueotrabalhorealizadoé153,4J.Explicitandovfesubstituindoosvaloresconhecidos,

obtemos:

Exemplo 7.03 Trabalho realizado por uma força constante expressa na notação dos vetores

unitários

Duranteumatempestade,umcaixotedeslizapelopisoescorregadiodeumestacionamento,sofrendoumdeslocamento =(–

3,0m) enquanto é empurrado pelo vento com uma força = (2,0 N) + (–6,0 N) . A situação e os eixos do sistema de

coordenadasestãorepresentadosnaFig.7-5.

(a)Qualéotrabalhorealizadopeloventosobreocaixote?

IDEIA-CHAVE

Comopodemostratarocaixotecomoumapartículaeaforçadoventoéconstante,podemosusaraEq.7-7(W=Fdcosϕ)oua

Eq.7-8(W= · )paracalcularotrabalho.Comoconhecemos e emtermosdosvetoresunitários,escolhemosaEq.7-8.

Cálculos:Temos

W= · =[(2,0N) +(–6,0N) ]·[(–3,0m) ]

Detodososprodutosentrevetoresunitários,apenas · , · e · sãodiferentesdezero(vejaoApêndiceE).Assim,temos

Aforçarealiza,portanto,umtrabalhonegativode6,0Jsobreocaixote,retirando6,0Jdaenergiacinéticadocaixote.

Figura7-5Aforça desaceleraumcaixoteduranteumdeslocamento .

(b)Seocaixotetemumaenergiacinéticade10Jnoiníciododeslocamento ,qualéaenergiaaofinaldodeslocamento?

IDEIA-CHAVE

Comoaforçarealizaumtrabalhonegativosobreocaixote,elareduzaenergiacinéticadocaixote.

Cálculo:UsandooteoremadotrabalhoeenergiacinéticanaformadaEq.7-11,temos

Areduçãodaenergiacinéticaindicaqueocaixotefoifreado.

7-3TRABALHOREALIZADOPELAFORÇAGRAVITACIONAL


7.07Calcularotrabalhorealizadopelocampogravitacionalquandoumobjetoélevantadoouabaixado.

7.08Aplicaroteoremadotrabalhoeenergiacinéticaasituaçõesnasquaisumobjetoélevantadoouabaixado.

Ideias-Chave•O trabalhoWg realizado pela força gravitacional g sobre um objeto demassam que se comporta como uma partículaquandooobjetosofreumdeslocamento édadopor

Wg=mgdcosϕ,

emqueϕéoânguloentre ge .

•O trabalhoWa realizado por uma força aplicada quando um objeto que se comporta como uma partícula é levantado ouabaixadoestárelacionadocomotrabalhoWgrealizadopelaforçagravitacionaleàvariaçãoΔKdaenergiacinéticadoobjetopormeiodaequação

ΔK=Kf–Ki=Wa+Wg.

SeKf=Ki,aequaçãosereduza

Wa=–Wg

ouseja,aenergiatransferidaparaoobjetopelaforçaaplicadaéigualàenergiaretiradadoobjetopelaforçagravitacional.

TrabalhoRealizadopelaForçaGravitacionalVamosexaminaragoraotrabalhorealizadosobreumobjetopelaforçagravitacional.AFig.7-6mostraumtomatedemassamquesecomportacomopartícula,arremessadoparacimacomvelocidadeinicialv0e,portanto,comumaenergiacinéticainicial Nasubida,otomateédesaceleradoporumaforçagravitacional ,ouseja,aenergiacinéticadotomatediminuiporque grealizatrabalhosobreotomateduranteasubida.Umavezqueotomatepodesertratadocomoumapartícula,podemosusaraEq.7-7(W=Fdcosϕ)paraexpressarotrabalhorealizadoduranteumdeslocamento .NolugardeF,usamosmg,omódulode g.Assim,otrabalhoWgrealizadopelaforçagravitacional gé

Duranteasubida,aforça gtemosentidocontrárioaododeslocamento ,comomostraaFig.7-6.Assim,ϕ=180°e

Osinalnegativoindicaque,duranteasubida,aforçagravitacionalremoveumaenergiamgddaenergiacinéticadoobjeto.Issoestádeacordocomofatodequeoobjetoperdevelocidadenasubida.Depois que o objeto atinge a altura máxima e começa a descer, o ângulo ϕ entre a força g e o

deslocamento ézero.Assim,

O sinal positivo significa que agora a força gravitacional transfere uma energiamgd para a energiacinéticadoobjeto.Issoestádeacordocomofatodequeoobjetoganhavelocidadenadescida.

Figura7-6 Porcausadaforçagravitacional g,avelocidadedeumtomate,demassam,arremessadoparacimadiminuide 0 paraduranteumdeslocamento .Ummedidordeenergiacinéticaindicaavariaçãoresultantedaenergiacinéticadotomate,de paraKf= mv

2.

TrabalhoRealizadoparaLevantareAbaixarumObjeto

Suponhaagoraquelevantamosumobjetoquesecomportacomoumapartículaaplicandoaoobjetoumaforçavertical .Duranteodeslocamentopara cima, a força aplicada realizaum trabalhopositivoWa

sobreoobjeto,enquantoaforçagravitacionalrealizaumtrabalhonegativoWg.Aforçaaplicadatendeatransferirenergiaparaoobjeto,enquantoa forçagravitacional tendea removerenergiadoobjeto.DeacordocomaEq.7-10,avariaçãoΔKdaenergiacinéticadoobjetodevidoaessasduastransferênciasdeenergiaé

em que Kf é a energia cinética no fim do deslocamento e Ki é a energia cinética no início dodeslocamento. A Eq. 7-15 também é válida para a descida do objeto, mas, nesse caso, a forçagravitacionaltendeatransferirenergiaparaoobjeto,enquantoaforçaaplicadatendearemoverenergiadoobjeto.Em muitos casos, o objeto está em repouso antes e depois do levantamento. Isso acontece, por

exemplo,quandolevantamosumlivrodochãoeocolocamosemumaestante.Nessecaso,KfeKi sãonulas,eaEq.7-15sereduza

NotequeobtemosomesmoresultadoseKfeKiforemiguais,mesmoquenãosejamnulas.Dequalquerforma, o resultado significa que o trabalho realizado pela força aplicada é o negativo do trabalho

realizado pela força gravitacional, ou seja, que a força aplicada transfere para o objeto a mesmaquantidadedeenergiaqueaforçagravitacionalremovedoobjeto.UsandoaEq.7-12,podemosescreveraEq.7-16naforma

Figura7-7 (a)Umaforça fazumobjetosubir.Odeslocamento doobjetofazumânguloϕ=180°comaforçagravitacional g.Aforçaaplicadarealizaumtrabalhopositivosobreoobjeto.(b)Aforça éinsuficienteparafazeroobjetosubir.Odeslocamento doobjetofazumânguloϕ=0°comaforçagravitacional g.Aforçaaplicadarealizaumtrabalhonegativosobreoobjeto.

emqueϕéoânguloentre ge .Seodeslocamentoéverticalmenteparacima(Fig.7-7a),ϕ=180°eotrabalhorealizadopelaforçaaplicadaéigualamgd.Seodeslocamentoéverticalmenteparabaixo(Fig.7-7b),ϕ=0°eotrabalhorealizadopelaforçaaplicadaéiguala–mgd.AsEqs.7-16e7-17seaplicamaqualquersituaçãoemqueumobjetoélevantadoouabaixado,como

objetoemrepousoantesedepoisdodeslocamento.Elassãoindependentesdomódulodaforçausada.Assim,porexemplo,sevocêlevantaacimadacabeçaumacanecaqueestavanochão,aforçaquevocêexerce sobre a canecavaria consideravelmenteduranteo levantamento.Mesmoassim, comoa caneca

estáemrepousoantesedepoisdolevantamento,otrabalhoquesuaforçarealizasobreacanecaédadopelasEqs.7-16e7-17,emque,naEq.7-17,mgéopesodacanecaedéadiferençaentreaalturainicialeaalturafinal.

Exemplo7.04 Trabalhorealizadoparapuxarumtrenóemumaencostanevada

Nesteexemplo,umobjetoépuxadoemumarampa,masoobjetoestáemrepousonosinstantesinicialefinale,portanto,sua

energiacinéticanãovaria(oqueéumainformaçãoimportante).AsituaçãoémostradanaFig.7-8a.Umacordapuxaparacima

umtrenóde200kg(quevocêdeveterreconhecido)emumaencostacomumânguloθ=30o,porumadistânciad=20m.A

massatotaldotrenóedacargaé200kg.Aencostanevadaétãoescorregadiaqueoatritoentreotrenóeaencostapodeser

desprezado.Qualéotrabalhorealizadopelasforçasqueagemsobreotrenó?

IDEIAS-CHAVE

(1)Como,duranteomovimento,asforçassãoconstantesemmóduloeorientação,podemoscalcularotrabalhorealizadousando

aEq.7-7(W=Fdcosϕ),emqueϕéoânguloentreaforçaeodeslocamento.ChegamosaomesmoresultadousandoaEq.7-8

(W= · ),emquecalculamosoprodutoescalardovetorforçapelovetordeslocamento.(2)Podemosrelacionarotrabalho

realizadopelasforçasàvariaçãodeenergiacinética(ou,nestecaso,àfaltadevariação)usandooteoremadotrabalhoeenergia

cinéticadaEq.7-10(ΔK=W).

Cálculos:Aprimeiracoisaafazernamaioriadosproblemasdefísicaqueenvolvemforçasédesenharumdiagramadecorpolivre

paraorganizarasideias.Nocasodotrenó,odiagramadecorpolivreéodaFig.7-8b,quemostraaforçagravitacional g,aforça

detração exercidapelacordaeaforçanormal Nexercidapelaencosta.

TrabalhoWNdaforçanormal.Vamoscomeçarcomumcálculofácil.Aforçanormaléperpendicularàencostae,portanto,ao

deslocamentodotrenó.Assim,otrabalhorealizadopelaforçanormalézero.Sequisermossermaisformais,podemosusaraEq.

7-7paraescrever

TrabalhoWgdaforçagravitacional.Podemoscalcularotrabalhorealizadopelaforçagravitacionaldeduasformas(aescolha

ficaporcontadoleitor).Deacordocomnossadiscussãoanteriorarespeitodasrampas(Exemplo5.04eFig.5-15),omóduloda

componentedocampogravitacionalparalelaàrampaémgsenθ.Assim,temos:

Fgx=mgsenθ=(200kg)(9,8m/s2)sen30°

=980N.

Comooânguloϕentreodeslocamentoeessacomponentedaforçaé180o,aEq.7-7nosdá

Oresultadonegativosignificaqueocampogravitacionalremoveenergiadotrenó.

Asegundaformadeobteresseresultadoéusartodaaforçagravitacional gemvezdeusarapenasumacomponente.Comoo

ânguloentre ge é120o(30o+90o),aEq.7-7nosdá

TrabalhoWTdaforçadetraçãodacorda.Podemoscalcularessetrabalhodeduasformas.Amaissimpleséusaroteoremado

trabalhoeenergiadaEq.7-10(ΔK=W),emqueΔK=0porqueaenergiacinéticafinaléigualàenergiacinéticainicial(zero)eW

=WN+Wg+WTéotrabalhototalrealizadopelasforças.Assim,aEq.7-10nosdá

Figura7-8(a)Umtrenóépuxadoporumacordaemumarampanevada.(b)Diagramadecorpolivredotrenó.

Emvezdisso,podemosaplicarasegundaleideNewtonaomovimentoaolongodeumeixoxparaleloàrampaparacalcularo

móduloFT da forçade traçãoda corda. Supondoquea aceleraçãonadireçãodo eixox é zero (excetoporbrevesperíodosde

tempo,quandootrenóiniciaeterminaasubida),podemosescrever

Fresx=max,

FT–mgsen30°=m(0),

oquenosdáFT=mgsen30°

Comoa forçade traçãodacordaeodeslocamentodo trenó têmamesmadireçãoeomesmosentido,oânguloentreosdois

vetoresézero.Logo,deacordocomaEq.7-7,temos:

Exemplo7.05 Trabalhorealizadosobreumelevadoracelerado

Umelevador,demassam=500kg,estádescendocomvelocidadevi=4,0m/squandoocabodesustentaçãocomeçaapatinar,

permitindoqueoelevadorcaiacomaceleraçãoconstante = /5(Fig.7-9a).

(a)Seoelevadorcaideumaalturad=12m,qualéotrabalhoWgrealizadosobreoelevadorpelaforçagravitacional g?

IDEIA-CHAVE

Podemostrataroelevadorcomoumapartículae,portanto,usaraEq.7-12(Wg=mgdcosϕ)paracalcularotrabalhoWg.

Cálculo:DeacordocomaFig.7-9b,oânguloentre geodeslocamento doelevadoré0°.Assim,deacordocomaEq.7-12,

(b)QualéotrabalhoWTrealizadosobreoelevadorpelaforça docaboduranteaqueda?

IDEIA-CHAVE

PodemoscalcularotrabalhoWTusandoaEq.7-7(W=Fdcosϕ)eescrevendoasegundaleideNewtonparaascomponentesdas

forçasemrelaçãoaoeixoydaFig.7-9b(Fres,y=may).

Cálculos:AsegundaleideNewtonnosdá

ExplicitandoT,substituindoFgpormgesubstituindooresultadonaEq.7-7,obtemos

Emseguida,substituindoaaceleraçãoa(parabaixo)por–g/5eoânguloϕentreasforças em por180°,obtemos

Atenção:NotequeWTnãoésimplesmenteonegativodeWg.Arazãodissoéque,comooelevadoraceleraduranteaqueda,a

velocidadevariae, consequentemente,aenergia cinética tambémvaria.Assim,aEq.7-16 (queenvolve a suposiçãodequea

energiacinéticaéigualnoinícioenofinaldoprocesso)nãoseaplicanessecaso.

Figura7-9 Umelevador,queestavadescendocomvelocidadevi,derepentecomeçaaacelerarparabaixo.(a)Oelevador

sofreumdeslocamento comumaaceleraçãoconstante = /5.(b)Diagramadecorpolivredoelevador,mostrandotambém

odeslocamento.

(c)QualéotrabalhototalWrealizadosobreoelevadorduranteaqueda?

Cálculo:Otrabalhototaléasomadostrabalhosrealizadospelasforçasaqueoelevadorestásujeito:

(d)Qualéaenergiacinéticadoelevadornofinaldaquedade12m?

IDEIA-CHAVE

DeacordocomaEq.7-11(Kf=Ki+W),avariaçãodaenergiacinéticaéigualaotrabalhototalrealizadosobreoelevador.

Cálculo:DeacordocomaEq.7-1,podemosescreveraenergiacinéticanoiníciodaquedacomo Nessecaso,aEq.7-

11podeserescritanaforma

7-4TRABALHOREALIZADOPORUMAFORÇAELÁSTICA


7.09Aplicararelação(leideHooke)entreaforçaqueumamolaexercesobreumobjeto,oalongamentoouencurtamentodamola,eaconstanteelásticadamola.

7.10Saberqueaforçaelásticaéumaforçavariável.

7.11Calcularotrabalhorealizadosobreumobjetoporumaforçaelásticaintegrandoaforçadaposiçãoinicialatéaposiçãofinaldoobjetoouusandoresultadoconhecidodessaintegração.

7.12Calcularotrabalhorealizadosobreumobjetoporumaforçaelásticadeterminandoaáreasobacurvadeumgráficodaforçaelásticaemfunçãodaposiçãodoobjeto.

7.13Aplicaroteoremadotrabalhoeenergiacinéticaasituaçõesnasquaisomovimentodeumobjetoécausadoporumaforçaelástica.

Ideias-Chave•Aforça sexercidaporumamolaédadapor

=–k (LeideHooke),

emque éodeslocamentodaextremidadelivredamolaapartirdoestadorelaxado(emqueamolanãoestácomprimidaoualongada),ekéaconstanteelástica(umamedidadarigidezdamola).Seoeixoxéparaleloàmaiordimensãodamola,comaorigemnaposiçãodaextremidadelivrequandoamolaestárelaxada,aequaçãosetorna

Fx=–kx(LeideHooke).

•Aforçaexercidaporumamolaéumaforçavariável,poisdependedaposiçãodaextremidadelivredamola.•Seumobjetoépresoàextremidadelivredeumamola,otrabalhoWsrealizadosobreoobjetopelaforçadamolaquandooobjetoédeslocadodeumaposiçãoinicialxiparaumaposiçãofinalxfédadopor

Sexi=0exf=x,aequaçãosetorna

TrabalhoRealizadoporumaForçaElásticaVamosagoradiscutirotrabalhorealizadosobreumapartículaporumtipoparticulardeforçavariável:aforça elástica exercida por uma mola. Muitas forças da natureza podem ser expressas pela mesmaequaçãomatemática que a força de umamola.Assim, examinando essa força em particular, podemoscompreendermuitasoutras.

AForçaElástica

AFig.7-10amostraumamolanoestadorelaxado,ou seja,nemcomprimidanemalongada.Umadasextremidadesestáfixa,eumobjetoquesecomportacomoumapartícula,umbloco,porexemplo,estápresonaoutraextremidade.Sealongamosamolapuxandooblocoparaadireita,comonaFig.7-10b,amola puxa o bloco para a esquerda. (Como a força elástica tende a restaurar o estado relaxado, elatambém é chamada de força restauradora.) Se comprimimos a mola empurrando o bloco para aesquerda,comonaFig.7-10c,amolaempurraoblocoparaadireita.Uma boa aproximação para muitas molas consiste em supor que a força s é proporcional ao

deslocamento da extremidade livre a partir da posição que ocupa quando a mola está no estadorelaxado.Nessecaso,aforçaelásticaédadapor

AEq.(7-20)éconhecidacomoleideHookeemhomenagemaRobertHooke,cientistainglêsdofinaldoséculoXVII.O sinal negativodaEq.7-20 indica que o sentido da força elástica é sempre oposto aosentidododeslocamentodaextremidadelivredamola.Aconstantekéchamadadeconstanteelástica(ouconstantedeforça)eéumamedidadarigidezdamola.Quantomaiorovalordek,maisrígidaéamola,ouseja,maioréaforçaexercidapelamolaparaumdadodeslocamento.AunidadedekdoSIéonewtonpormetro.

Figura7-10 (a)Umamolanoestadorelaxado.Aorigemdoeixoxfoicolocadanaextremidadedamolaqueestápresaaobloco.(b)Oblocosofreumdeslocamento ,eamolasofreumadistensão(variaçãopositivadex).Observeaforçarestauradora sexercidapelamola.(c)Amolasofreumacompressão(variaçãonegativadex).Observenovamenteaforçarestauradora.

Na Fig. 7-10 foi traçado um eixo x paralelo àmaior dimensão damola, com a origem (x = 0) naposiçãodaextremidade livrequandoamolaestánoestado relaxado.Paraessaconfiguração,queé amaiscomum,podemosescreveraEq.7-20naforma

emquemudamosoíndice.Sexépositivo(ouseja,seamolaestáalongadaparaadireita),Fxénegativa(éumpuxãoparaaesquerda).Sexénegativo(ouseja,seamolaestácomprimidaparaaesquerda),Fxépositiva (éumempurrãoparaadireita).Notequea forçaelásticaéuma forçavariável, umavezquedepende de x, a posição da extremidade livre.Assim,Fx pode ser representada na formaF(x). NotetambémquealeideHookeexpressaumarelaçãolinearentreFxex.

TrabalhoRealizadoporumaForçaElástica

ParadeterminarotrabalhorealizadopelaforçaelásticaquandooblocodaFig.7-10a semove,vamosfazerduashipótesessimplificadorasarespeitodamola.(1)Vamossuporquesetratadeumamolasemmassa;ouseja,deumamolacujamassaédesprezívelemrelaçãoàmassadobloco.(2)Vamossuporquesetratadeumamolaideal;ouseja,deumamolaqueobedeceexatamenteàleideHooke.Vamossupor

tambémquenãoexisteatritoentreoblocoeopisoequeoblocosecomportacomoumapartícula.Vamosdaraoblocoumimpulsoparaadireita,apenasparacolocá-loemmovimento.Quandoobloco

semovepara a direita, a força elásticaFx realiza trabalho sobre ele, diminuindo a energia cinética edesacelerandoobloco.Entretanto,nãopodemoscalcularo trabalhousandoaEq.7-7(W=Fdcosϕ)porqueessaequaçãosóéválidaseaforçaforconstanteeaforçaelásticaéumaforçavariável.Existeumaformaengenhosadesuperaressadificuldade.(1)Dividimosodeslocamentodoblocoem

segmentos tãopequenosquepodemossuporqueaforçanãovariadentrodecadasegmento. (2)Nessecaso,emcadasegmento,aforçaé(aproximadamente)constanteepodemosusaraEq.7-7paracalcularotrabalhorealizadopelaforça.(3)Paraobteraforçatotal,somamosotrabalhorealizadopelaforçaemtodosossegmentos.Bem,essaéaideiageral,masnãoestamosdispostosapassarváriosdiascalculandoovalordotrabalhonossegmentos;alémdisso,ovalortotalobtidoseriaapenasumaaproximação.Emvezdisso,vamostornarossegmentos infinitesimais,oquefazoerrodeaproximação tenderazero,esomar os resultados por integração em vez de executar a soma segmento por segmento. Usando osmétodosdocálculo,podemosfazeracontaempoucosminutos.Sejaxiaposiçãoinicialdoblocoexfaposiçãodoblocoemuminstanteposterior.Vamosdividira

distância entre as duas posições em muitos segmentos, cada um com um pequeno comprimento Δx.Rotulamosessessegmentos,apartirdexi,comosegmentos1,2,eassimpordiante.Quandooblocosemovenointeriordeumdossegmentos,aforçaelásticapraticamentenãovaria,jáqueosegmentoétãocurtoquexépraticamenteconstante.Assim,podemossuporqueomódulodaforçaéaproximadamenteconstante dentro de cada segmento. Vamos rotular esses módulos como Fx1 no segmento 1, Fx2 nosegmento2,eassimpordiante.Comuma força constante emcada segmento,podemos calcular o trabalho realizadodentro de cada

segmentousandoaEq.7-7.Nessecaso,ϕ=180°,demodoquecosϕ=–1.Assim,otrabalhorealizadoé–Fx1Δxnosegmento1,–Fx2Δxnosegmento2,eassimpordiante.OtrabalhototalWsrealizadopelamoladexiaxféasomadetodosessestrabalhos:

emquej=1,2,...éonúmerodeordemdecadasegmento.NolimiteemqueΔxtendeazero,aEq.7-22setorna

DeacordocomaEq.7-21,omódulodaforçaFxékx.Assim,temos:

Efetuandoasmultiplicações,obtemos

O trabalhoWs realizado pela força elástica pode ser negativo ou positivo, dependendo do fato de atransferênciatotaldeenergiaserdoblocoparaamolaoudamolaparaoblocoquandoestesemovedexiparaxf.Atenção:AposiçãofinalxfaparecenosegundotermodoladodireitodaEq.7-25.Assim,deacordocomaEq.7-25:

OtrabalhoWsépositivoseaposiçãofinaldoblocoestámaispróximadaposiçãonoestadorelaxado(x=0)queaposiçãoinicial;é

negativoseaposiçãofinalestámaisafastadadex=0queaposiçãoinicial.Otrabalhoézeroseaposiçãofinaldoblocoestáà

mesmadistânciadex=0queaposiçãoinicial.

Supondoquexi=0echamandoaposiçãofinaldex,aEq.7-25setorna

TrabalhoRealizadoporumaForçaAplicada

Suponhaagoraquedeslocamosoblocoao longodoeixoxmantendoumaforça aaplicadaaobloco.Duranteodeslocamento,aforçaaplicadarealizasobreoblocoumtrabalhoWa,enquantoaforçaelásticarealizaumtrabalhoWs.DeacordocomaEq.7-10,avariaçãoΔKdaenergiacinéticadoblocodevidoaessasduastransferênciasdeenergiaé

em que Kf é a energia cinética no fim do deslocamento e Ki é a energia cinética no início dodeslocamento.Seoblocoestáemrepousonoinícioenofimdodeslocamento,KieKfsãoiguaisazeroeaEq.7-27sereduza

Seumblocopresoaumamolaestáemrepousoantesedepoisdeumdeslocamento,otrabalhorealizadosobreoblocopelaforça

responsávelpelodeslocamentoéonegativodotrabalhorealizadosobreoblocopelaforçaelástica.

Atenção: Se o bloco não estiver em repouso antes e depois do deslocamento, essa afirmação não é

1.

2.3.

verdadeira.

Teste2Emtrêssituações,asposiçõesinicialefinal,respectivamente,aolongodoeixoxdaFig.7-10são:(a)–3cm,2cm;(b)2cm,3cm;

(c)–2cm,2cm.Emcadasituação,otrabalhorealizadosobreoblocopelaforçaelásticaépositivo,negativoounulo?

Exemplo7.06 Trabalhorealizadoporumamolaparamudaraenergiacinética

Quandoumamolarealizatrabalhosobreumobjeto,nãopodemoscalcularotrabalhosimplesmentemultiplicandoaforçadamola

pelodeslocamentodoobjeto,poisovalordaforçanãoéconstante.Entretanto,podemosdividirodeslocamentoemumnúmero

infinitodedeslocamentosinfinitesimaiseconsideraraforçaconstanteemcadaumdessesdeslocamentos.Asomadostrabalhos

realizados durante todos os deslocamentos é dada por uma integral. Neste exemplo, vamos usar o resultado genérico dessa

integral.

NaFig.7-11,depoisdedeslizaremumasuperfíciehorizontalsematritocomvelocidadev=0,50m/s,umpotedecominhode

massam=0,40kgcolidecomumamoladeconstanteelásticak=750N/mecomeçaacomprimi-la.Noinstanteemqueopote

paramomentaneamenteporcausadaforçaexercidapelamola,dequedistânciadamolafoicomprimida?

IDEIAS-CHAVE

OtrabalhoWsrealizadosobreopotepelaforçaelásticaestárelacionadocomadistânciadpedidapormeiodaEq.7-26(Ws=

– kx2)comdsubstituindox.

OtrabalhoWstambémestárelacionadocomaenergiacinéticadopotepormeiodaEq.7-10(Kf–Ki=W).

AenergiacinéticadopotetemumvalorinicialK= mv2eénulaquandoopoteestámomentaneamenteemrepouso.

Cálculos: Combinando as duas primeiras ideias-chave, escrevemos o teorema do trabalho e energia cinética para o pote na

seguinteforma:

Substituindoaenergiacinéticainicialefinalpelosseusvalores(terceiraideia-chave),temos:

Figura7-11Umpotedemassamsemovecomvelocidade emdireçãoaumamoladeconstantek.

Simplificando,explicitandodesubstituindoosvaloresconhecidos,obtemos:

7-5TRABALHOREALIZADOPORUMAFORÇAVARIÁVELGENÉRICA


7.14 Dada uma força variável em função da posição, calcular o trabalho realizado pela força sobre um objeto integrando afunçãodaposiçãoinicialatéaposiçãofinaldoobjeto,emumaoumaisdimensões.

7.15Dadaumacurvadaforçaaplicadaaumobjetoemfunçãodaposição,calcularotrabalhorealizadopelaforçacalculandoaáreasobacurvaentreaposiçãoinicialeaposiçãofinaldoobjeto.

7.16Converterumgráficodaaceleraçãoemfunçãodaposiçãoemumgráficodaforçaemfunçãodaposição.

7.17Aplicaroteoremadotrabalhoeenergiacinéticaasituaçõesnasquaisumobjetoésubmetidoaumaforçavariável.

Ideias-Chave•Quandoaforça aqueestásujeitoumobjetoquesecomportacomoumapartículadependedaposiçãodoobjeto,otrabalhorealizadopelaforçaenquantooobjetosedeslocadeumaposiçãoinicialridecoordenadas(xi,yi,zi)paraumaposiçãofinalrfdecoordenadas(xf,yf,zf)podesercalculado integrandoa força.SeacomponenteFxdependeapenasdex,acomponenteFydependeapenasdeyeacomponenteFzdependeapenasdez,otrabalhoédadopor

•Seaúnicacomponentedaforça diferentedezeroéFx,

TrabalhoRealizadoporumaForçaVariávelGenéricaAnáliseUnidimensional

VamosvoltaràsituaçãodaFig.7-2,agorasupondoqueaforçaapontanosentidopositivodoeixoxequeomódulodaforçavariacomaposiçãox.Quandoaconta(partícula)semove,omóduloF(x)daforçaquerealizatrabalhosobreelavaria.Apenasomódulodaforçavaria;aorientaçãopermaneceamesma.Alémdisso,omódulodaforçaemqualquerposiçãonãovariacomotempo.A Fig. 7-12a mostra o gráfico de uma força variável unidimensional como a que acabamos de

descrever.Estamosinteressadosemobterumaexpressãoparaotrabalhorealizadoporessaforçasobreapartícula, quando a partícula se deslocadeumaposição inicialxi paraumaposição finalxf,mas nãopodemosusaraEq.7-7(W=Fdcosϕ)porqueelasóéválidanocasodeumaforçaconstante.Assim,vamosusarnovamenteosmétodosdocálculo.DividimosaáreasobacurvadaFig.7-12aemumgrandenúmerodefaixasestreitas,delarguraΔx(Fig.7-12b).EscolhemosumΔxsuficientementepequenoparaquepossamosconsideraraforçaF(x)aproximadamenteconstantenesseintervalo.VamoschamardeFj,médovalormédiodeF(x)no intervalodeordem j.Nessecaso,Fj,médnaFig.7-12b éaalturada faixadeordemj.ComFj,méd constante, o incremento (pequena quantidade) de trabalho ΔWj realizado pela força no

intervalodeordemjpodesercalculadousandoaEq.7-7:

NaFig.7-12b,ΔWjé,portanto,igualàáreasobafaixaretangularsombreadadeordemj.Paradeterminaro trabalho totalW realizadopela forçaquandoapartícula sedeslocadexi paraxf,

somamosasáreasdetodasasfaixasentrexiexfdaFig.7-12b.

AEq.7-30éumaaproximaçãoporquea“escada”formadapelosladossuperioresdosretângulosdaFig.7-12béapenasumaaproximaçãodacurvarealdeF(x).Podemosmelhorar a aproximação reduzindo a larguraΔx dos retângulos e usandomais retângulos,

comonaFig.7-12c.Nolimite,fazemosalarguradosretângulostenderazero;nessecaso,onúmeroderetângulossetornainfinitamentegrandeetemos,comoresultadoexato,

EsselimitecorrespondeàdefiniçãodaintegraldafunçãoF(x)entreoslimitesxiexf.Assim,aEq.7-31setorna

Seconhecemosa funçãoF(x),podemossubstituí-lanaEq.7-32, introduzir os limites de integraçãoapropriados, efetuar a integração e, assim, calcular o trabalho. (OApêndice E contém uma lista dasintegraismaisusadas.)Geometricamente,otrabalhoéigualàáreaentreacurvadeF(x)eoeixoxeentreoslimitesxiexf(áreasombreadanaFig.7-12d).

AnáliseTridimensional

Considereumapartículasobaaçãodeumaforçatridimensional

cujascomponentesFx,FyeFzpodemdependerdaposiçãodapartícula,ouseja,podemserfunçõesdaposição.Vamos,porém, fazer três simplificações:Fxpodedependerdex,masnãodeyouz;Fy podedependerdey,masnãodexouz;Fzpodedependerdez,masnãodexouy.Suponhaqueapartículasofraumdeslocamentoincremental

DeacordocomaEq.7-8,oincrementodWdotrabalhorealizadosobreapartículapelaforça duranteodeslocamentod é

OtrabalhoWrealizadopor enquantoapartículasemovedeumaposiçãoinicialridecoordenadas(xi,yi,zi)paraumaposiçãofinalrfdecoordenadas(xf,yf,zf)é,portanto,

Figura7-12 (a)Gráficodomódulodeumaforçaunidimensional (x)emfunçãodaposiçãoxdeumapartículasobreaqualaforçaatua.Apartículasedeslocadexiaxf.(b)Omesmoque(a),mascomaáreasobacurvadivididaemfaixasestreitas.(c)Omesmoque(b),mascom a área sob a curva dividida em faixas mais estreitas. (d) O caso-limite. O trabalho realizado pela força é dado pela Eq. 7-32 e érepresentadopelaáreasombreadaentreacurvaeoeixoxeentrexiexf.

Se possuiapenasacomponentex,ostermosdaEq.7-36queenvolvemyezsãonuloseaequaçãosereduzàEq.7-32.

TeoremadoTrabalhoeEnergiaCinéticaparaumaForçaVariável

AEq.7-32permite calcular o trabalho realizadopor uma forçavariável sobreumapartícula emumasituaçãounidimensional.Vamosagoraverificarseotrabalhocalculadoérealmenteigualàvariaçãodaenergiacinéticadapartícula,comoafirmaoteoremadotrabalhoeenergiacinética.ConsidereumapartículademassamquesemoveemumeixoxeestásujeitaaumaforçaF(x)paralela

aoeixox.DeacordocomaEq.7-32,otrabalhorealizadopelaforçasobreapartículaquandoapartículasedeslocadaposiçãoxiparaaposiçãoxfédadopor

emqueusamosasegundaleideNewtonparasubstituirF(x)porma.PodemosescreverointegrandomadxdaEq.7-37como

Deacordocomaregradacadeiaparaderivadas,temos

eaEq.7-38setorna

SubstituindoaEq.7-40naEq.7-37,obtemos

Observeque,quandomudamosavariáveldeintegraçãodexparav,tivemosqueexpressaroslimitesdaintegralemtermosdanovavariável.Notetambémque,comoamassaméconstante,pudemoscolocá-ladoladodeforadaintegral.ReconhecendoostermosdoladodireitodaEq.7-41comoenergiascinéticas,podemosescreveressa

equaçãonaforma

W=Kf–Ki=Δk,

queéoteoremadotrabalhoeenergiacinética.

Exemplo7.07 Cálculodotrabalhoporintegraçãográfica

NaFig.7-13b,umblocode8,0kgdeslizaemumpisosematrito,sobaaçãodeumaforça,dopontoxi=0atéopontoxf=6,5m.

Enquantooblocosemove,omóduloeosentidodaforçavariamdeacordocomográficomostradonaFig.7-13a.Assim,por

exemplo,entreospontosx=0ex=1m,aforçaépositiva(apontanosentidopositivodoeixox)eaumentaemmódulode0

para40N.Entrex=4mex=5m,aforçaénegativa(apontanosentidonegativodoeixox)eaumentaemmódulode0para20

N.(Notequeoúltimovalorémostradonográficocomo–20N.)Aenergiacinéticadobloconopontox1éK1=280J.Qualéa

velocidadedobloconospontosx1=0,x2=4,0m,ex3=6,5m?

IDEIAS-CHAVE

(1)Emqualquerponto,podemosrelacionaravelocidadedoblocoàenergiacinéticausandoaEq.7-1(K= mv2).(2)Podemos

relacionaraenergiacinéticaKfemumpontoposterioràenergiacinéticaKiemumpontoanterioreaotrabalhoWrealizadosobre

oblocousandooteoremadotrabalhoeenergiadaEq.7-10(Kf–Ki=W).(3)PodemoscalcularotrabalhoWrealizadoporuma

forçavariávelF(x)integrandoaforçaaolongodaposiçãox.DeacordocomaEq.7-32,

NãodispomosdeumaexpressãomatemáticaparaafunçãoF(x),mastemosumgráficodeF(x)quepodemosintegrarcalculandoa

áreaentreacurvadafunçãoeoeixox.Seacurvaestáacimadoeixo,otrabalho(queéigualàárea)épositivo;seacurvaestá

abaixodoeixo,otrabalhoénegativo.

Cálculos:Avelocidadeemx=0éfácildecalcularporqueconhecemosaenergiacinéticanesseponto.Bastasubstituirosvalores

daenergiacinéticaedamassadobloconaexpressãodaenergiacinética:

oquenosdá

Enquantooblocosedeslocadex=0parax=4,0m,acurvadaFig.7-13aestáacimadoeixox,oquesignificaqueotrabalho

queaforçaexercesobreoblocoépositivo.Podemosdividiraáreasobacurvaemumtriângulodoladoesquerdo,umretângulo

nocentroeumtriângulodoladodireito.Aáreatotalé

Issosignificaque,entrex=0ex=4,0m,aforçarealizaumtrabalhode120Jsobreobloco,oqueaumentaaenergiacinéticaea

velocidadedobloco.Deacordocomoteoremadotrabalhoeenergiacinética,quandooblocochegaaopontox=4,0m, sua

energiacinéticaé

K2=K1+W=280J+120J=400J.

Usandonovamenteadefiniçãodeenergiacinética,obtemos

Figura7-13(a)Gráficoquemostraomóduloeosentidodeumaforçavariávelaplicadaaumblocoquesedeslocaemumpiso

sematrito.(b)Posiçãodoblocoemváriosinstantesdetempo.

oquenosdá

Essaéamaiorvelocidadeatingidapelobloco, jáque,entrex=4,0mex=6,5m,a forçaénegativae,portanto,seopõeao

movimentodobloco,realizandoumtrabalhonegativosobreoblocoe,comisso,reduzindoaenergiacinéticaeavelocidadedo

bloco.Nesseintervalo,aáreaentreacurvadeF(x)eoeixoxé

Issosignificaqueotrabalhototalrealizadopelaforçanesseintervaloé–35J.Deacordocomoteoremadotrabalhoeenergia

cinética,comoaenergiacinéticadobloconopontox=4,0mé400J,aenergiacinéticanopontox=6,5mé

K3=K2+W=400J+35J=365J.

Usandonovamenteadefiniçãodeenergiacinética,obtemos

Assim, no ponto x= 6,5, o bloco está semovendo no sentido positivo do eixo x, a uma velocidade um poucomaior que a

velocidadeinicial.

Exemplo7.08 Cálculodotrabalhoporintegraçãobidimensional

Quandoaforçaaplicadaaumobjetodependedaposiçãodoobjeto,nãopodemoscalcularotrabalhosimplesmentemultiplicando

aforçapelodeslocamento,jáquenãoexisteumúnicovalorparaaforça.Pararesolveroproblema,temosquecalcularotrabalho

parapequenosdeslocamentosesomaressesresultados.Issoequivaleadizer:“Sim,euseiqueaforçavariamesmoparapequenos

deslocamentos,masavariaçãoétãopequenaquepodemossuporqueaforçaéconstanteduranteodeslocamento.”Éclaroque

existeumerroenvolvido;mas,seusarmosumnúmeroinfinitodedeslocamentosinfinitesimais,oerrosetornaráinfinitesimaleo

resultadoseráexato.Aconteceque,parasomarumnúmeroinfinitodecontribuiçõesinfinitesimais,serianecessárioumtempo

infinito,ouseja,umtempomuitomaiorqueaduraçãodeumcursodefísica.Por isso,emvezdesomarosresultadosàmão,

usamosumaintegral,oquenospermiterealizarocálculoemquestãodeminutos(muitomenosqueumsemestre).

Aforça =(3x2N) +(4N) ,comxemmetros,agesobreumapartícula,mudandoapenasaenergiacinéticadapartícula.Qual

éo trabalho realizado sobreapartículaquandoela sedeslocadas coordenadas (2m,3m)para (3m,0m)?A velocidadeda

partículaaumenta,diminui,oupermaneceamesma?

IDEIA-CHAVE

A forçaévariávelporquea componentex dependedo valor dex. Assim,nãopodemosusar as Eqs. 7-7 e 7-8para calcular o

trabalhorealizado.Emvezdisso,devemosusaraEq.7-36paraintegraraforça.

Cálculo:Escrevemosduasintegrais,umaparacadaeixo:

Oresultadopositivosignificaqueaforça transfereenergiaparaapartícula.Assim,aenergiacinéticadapartículaaumentae,

comoK= mv2,avelocidadeescalartambémaumenta.Seotrabalhofossenegativo,aenergiacinéticaeavelocidadeteriam

diminuído.

7-6POTÊNCIA


7.18Conhecera relaçãoentreapotênciamédiadesenvolvidaporuma força,o trabalhorealizadopela forçaeo intervalodetempoduranteoqualotrabalhofoirealizado.

7.19Calcularapotência instantâneadesenvolvidaporumaforçaapartirdavariaçãocomotempodotrabalhorealizadopelaforça.

7.20Determinarapotênciainstantâneacalculandooprodutovetorialdaforçapelavelocidadedeumobjeto.

Ideias-Chave•Apotênciadesenvolvidaporumaforçaéataxacomaqualaforçarealizatrabalhosobreumobjeto.• Se uma força realiza um trabalhoW durante um intervalo de tempo Δt, a potênciamédia desenvolvida pela força nesseintervalodetempoédadapor

•Potênciainstantâneaéataxainstantâneacomaqualumtrabalhoérealizado:

•Nocasodeumaforça quefazumânguloϕcomavelocidade deumobjeto,apotênciainstantâneaédadapor

PotênciaAtaxadevariaçãocomotempodotrabalhorealizadoporumaforçarecebeonomedepotência.SeumaforçarealizaumtrabalhoWemumintervalodetempoΔt,apotênciamédiadesenvolvidaduranteesseintervalodetempoé

ApotênciainstantâneaPéataxadevariaçãoinstantâneacomaqualotrabalhoérealizado,quepodeserescritacomo

VamossuporqueconhecemosotrabalhoW(t)realizadoporumaforçaemfunçãodotempo.Então,nessecaso, para determinar a potência instantâneaP, digamos, no instante t = 3,0 s, basta derivarW(t) emrelaçãoaotempoecalcularovalordaderivadaparat=3,0s.AunidadedepotênciadoSIéo joulepor segundo.Essaunidadeéusadacom tanta frequênciaque

recebeuumnomeespecial,owatt(W),emhomenagemaJamesWatt,cujacontribuiçãofoifundamentalparaoaumentodapotênciadasmáquinasavapor.Nosistemainglês,aunidadedepotênciaéopé-libraporsegundo(ft·lb/s).Ohorsepower(hp)tambémémuitousado.SeguemasrelaçõesentreessasunidadeseaunidadedepotêncianoSI.

Examinando a Eq. 7-42, vemos que o trabalho pode ser expresso como potência multiplicada portempo, comona unidade quilowatt-hora,muito usada na prática.A relação entre o quilowatt-hora e ojouleéaseguinte:

Talvez por aparecerem nas contas de luz, owatt e o quilowatt-hora sejam normalmente associados àenergiaelétrica.Entretanto,podemserusadosparamediroutrasformasdepotênciaeenergia.Sevocêapanhaumlivronochãoeocolocaemumamesa,podedizerquerealizouumtrabalhode,digamos,4H10–6kW·h(ou4mW·h).Tambémpodemosexpressarataxacomaqualumaforçarealizatrabalhosobreumapartícula(ouum

objetoquesecomportacomoumapartícula)emtermosdaforçaedavelocidadedapartícula.Paraumapartículaquesemoveemlinhareta(aolongodoeixox,digamos)sobaaçãodeumaforça quefazumânguloϕcomadireçãodemovimentodapartícula,aEq.7-43setorna

EscrevendooladodireitodaEq.7-47comooprodutoescalar · ,aequaçãosetorna

Assim, por exemplo, o caminhão da Fig. 7-14 exerce uma força sobre a carga que está sendorebocada,quetemvelocidade emumdadoinstante.Apotênciainstantâneadesenvolvidapor éataxacomaqual realiza trabalhosobreacarganesse instanteeédadapelasEqs.7-47e7-48. Podemosdizer que essa potência é “a potência do caminhão”,mas devemos ter emmente o que isso significa:Potênciaéataxacomaqualumaforçarealizatrabalho.

Teste3Umblocodescreveummovimentocircularuniformesobaaçãodeumacordapresaaoblocoeaocentrodeumacircunferência.A

potênciadesenvolvidapelaforçaqueacordaexercesobreoblocoépositiva,negativaounula?

©Reglain/ZUMA

Figura7-14 Apotênciadesenvolvidapelaforçaaplicadaàcargapelocaminhãoéigualàtaxacomaqualaforçarealizatrabalhosobreacarga.

Exemplo7.09 Potência,forçaevelocidade

Nesteexemplo,vamoscalcularumapotência instantânea,ouseja,ataxacomaqualumtrabalhoestásendorealizadoemum

dadoinstante,emvezdataxamédiaparaumdadointervalodetempo.AFig.7-15mostraasforçasconstantes 1e 2queagem

sobreumacaixaenquantoacaixadeslizaparaadireitaemumpisosematrito.Aforça 1éhorizontal,demódulo2,0N;aforça

2estáinclinadaparacimadeumângulode60°emrelaçãoaopisoetemmódulode4,0N.Avelocidadeescalarvdacaixaemum

dado instante é 3,0m/s. Qual é a potência desenvolvida pelas duas forças que agem sobre a caixa nesse instante? Qual é a

potênciatotal?Apotênciatotalestávariandonesseinstante?

IDEIA-CHAVE

Estamosinteressadosnapotênciainstantâneaenãonapotênciamédiaemcertointervalodetempo.Alémdisso,conhecemosa

velocidadedacaixaenãootrabalhorealizadosobreacaixa.

Figura7-15Duasforças, 1e 2,agemsobreumacaixaquedeslizaparaadireitaemumpisosematrito.Avelocidadedacaixaé

.

Cálculo:UsamosaEq.7-47duasvezes,umaparacadaforça.Nocasodaforça 1,quefazumânguloϕ1=180ocomavelocidade

,temos

Oresultadonegativoindicaqueaforça 1estárecebendoenergiadacaixaàtaxade6,0J/s.

Nocasodaforça 2,quefazumânguloϕ2=60ocomavelocidade ,temos

Oresultadopositivoindicaqueaforça 2estáfornecendoenergiaàcaixaàtaxade6,0J/s.

Apotênciatotaléasomadasduaspotências(incluindoossinaisalgébricos):

oquesignificaqueataxatotaldetransferênciadeenergiaézero.Assim,aenergiacinética(K= mv2)dacaixanãovaria,ea

velocidadedacaixacontinuaaser3,0m/s.Comoasforças 1e 2eavelocidadevnãovariam,vemospelaEq.7-48queP1eP2

sãoconstanteseomesmoacontececomPtot.

RevisãoeResumo

Energia Cinética A energia cinética K associada ao movimento de uma partícula de massa m evelocidadeescalarv,emquevémuitomenorqueavelocidadedaluz,édadapor

TrabalhoTrabalhoW é a energia transferida para umobjeto oude umobjeto por uma força que agesobreoobjeto.Quandooobjetorecebeenergia,otrabalhoépositivo;quandooobjetocedeenergia,otrabalhoénegativo.

TrabalhoRealizadoporumaForçaConstanteOtrabalhorealizadosobreumapartículaporumaforçaconstante duranteumdeslocamento édadopor

emqueϕéoânguloconstanteentre e .Apenasacomponentede nadireçãododeslocamentorealizatrabalhosobreoobjeto.Quandoduasoumaisforçasagemsobreumobjeto,otrabalhototaléasoma dos trabalhos realizados pelas forças, que também é igual ao trabalho que seria realizado pelaforçaresultante res.

TrabalhoeEnergiaCinéticaNocasodeumapartícula,umavariaçãoΔKdaenergiacinéticaéigualaotrabalhototalWrealizadosobreapartícula:

emqueKiéaenergiacinéticainicialdapartículaeKféaenergiacinéticadapartículaapósotrabalhotersidorealizado.DeacordocomaEq.7-10,temos:

Trabalho Realizado pela Força Gravitacional O trabalhoWg realizado pela força gravitacional g

sobreumapartícula(ousobreumobjetoquesecomportacomoumapartícula)demassamduranteumdeslocamento édadopor

emqueϕéoânguloentre ge .

Trabalho Realizado para Levantar e Abaixar um Objeto O trabalhoWa realizado por uma forçaaplicada quando um objeto que se comporta como uma partícula é levantado ou abaixado estárelacionadocomotrabalhoWgrealizadopelaforçagravitacionaleàvariaçãoΔKdaenergiacinéticadoobjetopormeiodaequação

SeKf=Ki,aEq.7-15sereduza

segundoaqualaenergiacedidaaoobjetopelaforçaaplicadaéigualàenergiaextraídadoobjetopelaforçagravitacional.

ForçaElásticaAforça sdeumamolaé

emque éodeslocamentodaextremidadelivredamolaemrelaçãoàposiçãoqueocupaquandoamolaestánoestadorelaxado (nemcomprimidanemalongada) ek é aconstanteelástica (umamedida darigidezdamola).Seumeixoxétraçadoaolongodocomprimentodamola,comaorigemnaposiçãodaextremidadelivredamolanoestadorelaxado,aEq.7-20podeserescritanaforma

Aforçaelásticaé,portanto,umaforçavariável:elavariacomodeslocamentodaextremidadelivredamola.

TrabalhoRealizadoporumaForçaElásticaSeumobjetoestápresoàextremidadelivredeumamola,otrabalhoWsrealizadosobreoobjetopelaforçaelásticaquandooobjetoédeslocadodeumaposiçãoinicialxiparaumaposiçãofinalxfédadopor

Sexi=0exf=x,aEq.7-25setorna

TrabalhoRealizadoporumaForçaVariávelQuandoaforça aplicadaaumobjetoquesecomportacomoumapartículadependedaposiçãodoobjeto,otrabalhorealizadopor sobreoobjetoenquantooobjeto se move de uma posição inicial ri de coordenadas (xi, yi, zi) para uma posição final rf decoordenadas (xf, yf, zf) pode ser calculado integrando a força. Supondo que a componente Fx podedependerdex,masnãodeyouz,queacomponenteFypodedependerdey,masnãodexouz,equeacomponenteFzpodedependerdezmasnãodexouy,otrabalhoédadopor

Se possuiapenasacomponentex,aEq.7-36sereduza

PotênciaApotênciadesenvolvidaporumaforçaéataxacomaqualaforçarealizatrabalhosobreumobjeto.SeaforçarealizaumtrabalhoWemumintervalodetempoΔt,apotênciamédiadesenvolvidapelaforçanesseintervalodetempoédadapor

Potênciainstantâneaéataxainstantâneacomaqualotrabalhoestásendorealizado:

Nocasodeumaforça quefazumânguloϕcomavelocidadeinstantânea deumobjeto,apotênciainstantâneaédadapor

Perguntas1Ordeneasseguintesvelocidadesdeacordocomaenergiacinéticaqueumapartículateriaseestivesseaessavelocidade,emordemdecrescente:(a) =4 +3 ,(b) =–4 +3 ,(c) =3 +4 ,(d) =3 +4,(e) =5 e(f)v=5m/sa30°comahorizontal.

2 A Fig. 7-16a mostra duas forças horizontais que agem sobre um bloco que está deslizando para adireitaemumpisosematrito.AFig.7-16bmostratrêsgráficosdaenergiacinéticaKdoblocoemfunçãodotempot.Qualdosgráficoscorrespondemelhoràstrêsseguintessituações:(a)F1=F2,(b)F1>F2,(c)F1<F2?


3Otrabalhorealizadoporumaforçaconstante sobreumapartículaduranteumdeslocamentoretilíneoépositivoounegativo(a)seoânguloentre e é30°;(b)seoânguloé100°;(c)se =2 –3 e =

–4 ?

4Emtrêssituações,umaforçahorizontalaplicadaporumcurtoperíododetempomudaavelocidadedeumdiscodemetalquedeslizaemumasuperfíciedegelodeatritodesprezível.AsvistassuperioresdaFig. 7-17 mostram, para cada situação, a velocidade inicial vi do disco, a velocidade final vf e asorientações dos vetores velocidade correspondentes. Ordene as situações de acordo com o trabalhorealizadosobreodiscopelaforçaaplicada,domaispositivoparaomaisnegativo.


5AFig.7-18mostraquatrográficos(traçadosnamesmaescala)dacomponenteFxdaforçaaplicadaaumapartículaquesemoveaolongodoeixox.Ordeneosgráficosdeacordocomotrabalhorealizadopelaforçasobreapartículadex=0ax=x1,domaispositivoparaomaisnegativo.


6AFig.7-19mostraacomponenteFxdeumaforçaquepodeagirsobreumapartícula.Seapartículapartedorepousoemx=0,qualésuacoordenada(a)quandoaenergiacinéticaémáxima,(b)quandoavelocidadeémáxima,e(c)quandoavelocidadeénula?(d)Qualéosentidodavelocidadedapartículaaopassarpelopontox=6m?


7 Na Fig. 7-20, um porco ensebado pode escolher entre três escorregas para descer. Ordene osescorregasdeacordocomotrabalhoqueaforçagravitacionalrealizasobreoporcoduranteadescida,domaiorparaomenor.


8AFig.7-21amostraquatrosituaçõesnasquaisumaforçahorizontalagesobreummesmobloco,queestáinicialmenteemrepouso.OsmódulosdasforçassãoF2=F4=2F1=2F3.AcomponentehorizontalvxdavelocidadedoblocoémostradanaFig.7-21bparaasquatrosituações.(a)QuegráficodaFig.7-21bcorrespondemelhoraqueforçadaFig.7-21a?(b)QuegráficodaFig.7-21c(daenergiacinéticaKemfunçãodotempot)correspondemelhoraquegráficodaFig.7-21b?


9AmolaAémaisrígidaqueamolaB(kA>kB).Aforçaelásticadequemolarealizarámaistrabalhoseasmolasforemcomprimidas(a)damesmadistânciae(b)pelamesmaforça?

10Umabolaéarremessadaoudeixadacairapartirdo repousodabordadeumprecipício.QualdosgráficosnaFig.7-22poderiamostrarcomoaenergiacinéticadabolavariaduranteaqueda?


11Emtrêssituações,umaforçaagesobreumapartículaemmovimento.Avelocidadedapartículaeaforçaaplicadasãoasseguintes,nastrêssituações:(1) =(–4 )m/s, =(6 –20 )N;(2) =(2 –3 )m/s, =(–2 +7 )N;(3) =(–3 – )m/s, =(2 +6 +6 )N.Ordeneassituaçõesdeacordocomataxacomqualaenergiaestásendotransferida,começandopelamaiorenergiatransferidaparaapartículaeterminandocomamaiorenergiatransferidadapartícula.

12AFig.7-23mostra três arranjos de um bloco ligado amolas iguais que estão no estado relaxadoquandooblocoestánaposiçãocentral.Ordeneosarranjosdeacordocomomódulodaforçatotalqueagesobreobloco,começandopelomaior,quandooblocoédeslocadodeumadistânciad (a)para adireitae(b)paraaesquerda.Ordeneosarranjosdeacordocomotrabalhorealizadosobreoblocopelaforça dasmolas, começando pelomaior, quando o bloco é deslocado de uma distância d (a) para adireitae(b)paraaesquerda.


Problemas



Módulo7-1EnergiaCinética

·1Umpróton(massam=1,67H10-27kg)estásendoacelerado,emlinhareta,a3,6×1015m/s2emumacelerador de partículas. Se o próton tem velocidade inicial de 2,4 × 107 m/s e se desloca 3,5 cm,determine(a)avelocidadee(b)oaumentodaenergiacinéticadopróton.

·2SeumfogueteSaturnoVeumaespaçonaveApoloacopladaaofoguetetinhammassatotalde2,9×105

kg,qualeraaenergiacinéticaquandoosobjetosatingiramumavelocidadede11,2km/s?

·3 Em10deagostode1972,umgrandemeteorito atravessouaatmosferanooestedosEstadosUnidosedoCanadácomoumapedraquericocheteianaágua.Aboladefogoresultantefoitãofortequepôdeservistaàluzdodiaeeramaisintensaqueorastrodeixadoporummeteoritocomum.Amassadometeorito era aproximadamente 4 × 106 kg; sua velocidade, cerca de 15 km/s. Se tivesse entradoverticalmente na atmosfera terrestre, o meteorito teria atingido a superfície da Terra comaproximadamenteamesmavelocidade.(a)Calculeaperdadeenergiacinéticadometeorito(emjoules)queestariaassociadaaoimpactovertical.(b)Expresseaenergiacomoummúltiplodaenergiaexplosivade1megatondeTNT,4,2×1015J.(c)AenergiaassociadaàexplosãodabombaatômicadeHiroshimafoi equivalente a13quilotonsdeTNT.AquantasbombasdeHiroshimao impactodometeorito seriaequivalente?

·4 Umaexplosãononíveldosoloproduzumacrateracomumdiâmetroproporcionalàraizcúbicadaenergiadaexplosão;umaexplosãode1megatondeTNTdeixaumacrateracom1kmdediâmetro.NofundodoLagoHuron,emMichigan,existeumacrateracom50kmdediâmetro,atribuídaaoimpactodeummeteoritonopassadoremoto.Qualdevetersidoaenergiacinéticaassociadaaesseimpacto,(a)emmegatonsdeTNT(1megatonequivalea4,2×1015 J)e (b)embombasdeHiroshima(umabombadeHiroshima equivale a 13 quilotons de TNT)? (Impactos de meteoritos e cometas podem ter alteradosignificativamenteoclimadaTerranopassadoecontribuídoparaaextinçãodosdinossauroseoutrasformasdevida.)

··5Emumacorrida,umpai temmetadedaenergiacinéticadofilho,quetemmetadedamassadopai.Aumentando a velocidade em 1,0m/s, o pai passa a ter amesma energia cinética do filho.Qual é avelocidadeescalarinicial(a)dopaie(b)dofilho?

··6Umacontacommassade1,8×10-2kgestásemovendonosentidopositivodoeixox.Apartirdoinstantet=0,noqualacontaestápassandopelaposiçãox=0aumavelocidadede12m/s,umaforçaconstantepassaaagirsobreaconta.AFig.7-24mostraaposiçãodacontanosinstantest0=0,t1=1,0s,t2=2,0set3=3,0s.Acontaparamomentaneamenteemt=3,0s.Qualéaenergiacinéticadacontaemt=10s?


Módulo7-2TrabalhoeEnergiaCinética

·7Umcorpode3,0kgestáemrepousoemumcolchãodearhorizontaldeatritodesprezívelquandoumaforça horizontal constante é aplicada no instante t = 0. A Fig. 7-25 mostra, em um gráficoestroboscópico,aposiçãodapartículaaintervalosde0,50s.Qualéotrabalhorealizadosobreocorpopelaforça nointervalodet=0at=2,0s?


·8Umblocodegeloflutuanteécolhidoporumacorrentezaqueaplicaaoblocoumaforça =(210N) –(150N) fazendo comque o bloco sofra umdeslocamento = (15m) – (12m) .Qual é o trabalhorealizadopelaforçasobreoblocoduranteodeslocamento?

·9Aúnicaforçaqueagesobreumalatade2,0kgqueestásemovendoemumplanoxytemummódulode5,0N.Inicialmente,alatatemumavelocidadede4,0m/snosentidopositivodoeixox;emuminstanteposterior,avelocidadepassaaser6,0m/snosentidopositivodoeixoy.Qualéo trabalho realizadosobrealatapelaforçade5,0Nnesseintervalodetempo?

·10Umamoeda desliza emumplano, sem atrito, emum sistemade coordenadasxy, da origem até opontodecoordenadas(3,0m,4,0m),soboefeitodeumaforçaconstante.Aforçatemummódulode2,0Nefazumângulode100°nosentidoanti-horáriocomosemieixoxpositivo.Qualéotrabalhorealizadopelaforçasobreamoedaduranteodeslocamento?

··11 Uma força de 12,0 N e com orientação fixa realiza trabalho sobre uma partícula que sofre umdeslocamento = (2,00 – 4,00 + 3,00 ) m. Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se avariaçãodaenergiacinéticadapartículaé(a)+30,0Je(b)–30,0J?

··12Umalatadeparafusoseporcaséempurradapor2,00maolongodeumeixoxporumavassouraemum piso sujo de óleo (sem atrito) de uma oficina de automóveis. A Fig. 7-26 mostra o trabalhoWrealizado sobre a lata pela força horizontal constante da vassoura em função da posição x da lata.AescalaverticaldográficoédefinidaporWs=6,0J.(a)Qualéomódulodaforça?(b)Sealatativesseumaenergiacinética inicialde3,00J,movendo-senosentidopositivodoeixox,qual seriaaenergiacinéticaaofinaldodeslocamentode2,00m?


··13 Um trenó e seu ocupante, commassa total de 85 kg, descem uma encosta e atingem um trechohorizontalretilíneocomumavelocidadede37m/s.Seumaforçadesaceleraotrenóatéorepousoaumataxaconstantede2,0m/s2,determine(a)omóduloFdaforça,(b)adistânciadqueotrenópercorreatéparare(c)otrabalhoWrealizadopelaforçasobreotrenó.Quaissãoosvaloresde(d)F,(e)de(f)W,seataxadedesaceleraçãoé4,0m/s2?

··14AFig.7-27mostraumavistasuperiordetrêsforçashorizontaisagindosobreumacaixaqueestavainicialmenteemrepousoepassouasemoveremumpisosematrito.OsmódulosdasforçassãoF1=3,00N,F2=4,00N,eF3=10,0Neosângulosindicadossãoθ2=50,0°eθ3=35,0°.Qualéotrabalhototalrealizadosobreacaixapelastrêsforçasnosprimeiros4,00mdedeslocamento?


··15AFig.7-28mostra três forçasaplicadasaumbaúquesedesloca3,00mparaaesquerdaemumpisosematrito.OsmódulosdasforçassãoF1=5,00N,F2=9,00N,eF3=3,00N;oânguloindicadoéθ = 60°.No deslocamento, (a) qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças? (b)Aenergiacinéticadobaúaumentaoudiminui?


··16Umobjetode8,0kgestásemovendonosentidopositivodeumeixox.Quandopassapelopontox=0, uma força constante dirigida ao longo do eixo passa a atuar sobre o objeto.A Fig. 7-29mostra aenergiacinéticaKemfunçãodaposiçãoxquandooobjetosedeslocadex=0ax=5,0m;K0=30,0J.Aforçacontinuaaagir.Qualéavelocidadedoobjetonoinstanteemquepassapelopontox=–3,0m?


Módulo7-3TrabalhoRealizadopelaForçaGravitacional

·17Umhelicópterolevantaverticalmente,pormeiodeumcabo,umaastronautade72kgatéumaaltura15m acima da superfície do oceano.A aceleração da astronauta ég/10.Qual é o trabalho realizadosobreaastronauta(a)pelaforçadohelicópteroe(b)pelaforçagravitacional?Imediatamenteantesdeaastronautachegaraohelicóptero,quaissão(c)suaenergiacinéticae(d)suavelocidade?

·18 (a)Em1975,otetodoVelódromodeMontreal,comumpesode360kN,foilevantado10cmparaquepudessesercentralizado.Quetrabalhofoirealizadosobreotetopelasforçasqueoergueram?(b)Em1960,umamulherdeTampa,naFlórida,levantouumadasextremidadesdeumcarroquehaviacaídosobreofilhoquandoomacacoquebrou.Seodesesperoalevoualevantar4000N(cercade1/4dopesodocarro)porumadistânciade5,0cm,quetrabalhoamulherrealizousobreocarro?

··19NaFig.7-30,umblocodegeloescorregaparabaixoemumarampasematritocomumainclinaçãoθ=50oenquantoumoperáriopuxaobloco(pormeiodeumacorda)comumaforça rquetemummódulode50Neapontaparacimaao longoda rampa.Quandooblocodeslizaumadistânciad=0,50maolongodarampa,suaenergiacinéticaaumenta80J.Quãomaiorseriaaenergiacinéticaseobloconãoestivessesendopuxadoporumacorda?


··20Umblocoé lançadoparacimaemumarampasematrito,ao longodeumeixox queapontaparacima.AFig.7-31mostraaenergiacinéticadoblocoemfunçãodaposiçãox;aescalaverticaldográficoédefinidaporKs=40,0J.Seavelocidadeinicialdoblocoé4,00m/s,qualéaforçanormalqueagesobreobloco?


··21UmacordaéusadaparabaixarverticalmenteumblocodemassaM,inicialmenteemrepouso,comaceleraçãoconstante,parabaixo,deg/4.Apósoblocodescerumadistânciad,determine(a)otrabalhorealizadopela forçadacordasobreobloco; (b)o trabalhorealizadopela forçagravitacionalsobreobloco;(c)aenergiacinéticadobloco;(d)avelocidadedobloco.

··22Umaequipedesalvamentoretiraumespeleólogoferidodofundodeumacavernacomoauxíliodeumcabo ligadoaummotor.Oresgateé realizadoemtrêsetapas,cadaumaenvolvendoumadistânciavertical de 10,0 m: (a) o espeleólogo, que estava inicialmente em repouso, é acelerado até umavelocidade de 5,00 m/s; (b) ele é içado a uma velocidade constante de 5,00 m/s; (c) finalmente, édesaceleradoatéorepouso.Qualéotrabalhorealizadoemcadaetapasobreoespeleólogode80,0kg?

··23NaFig.7-32,umaforçaconstante ademódulo82,0Néaplicadaaumacaixadesapatos,de3,00kg,aumânguloϕ=53,0°,fazendocomqueacaixasemovaparacimaaolongodeumarampasematrito,comvelocidadeconstante.Qualéotrabalhorealizadosobreacaixapor alogoapósacaixatersubidoumadistânciaverticaldeh=0,150m?


··24NaFig.7-33,umaforçahorizontal ademódulo20,0Néaplicadaaumlivrodepsicologiade3,00kgenquantoolivroescorregaporumadistânciad=0,500maolongodeumarampadeinclinaçãoθ=30,0°,subindosematrito.(a)Nessedeslocamento,qualéotrabalhototalrealizadosobreolivropor a,pela força gravitacional e pela força normal? (b) Se o livro tem energia cinética nula no início dodeslocamento,qualésuaenergiacinéticafinal?


···25NaFig.7-34,umpedaçodequeijode0,250kgrepousanochãodeumelevadorde900kgqueépuxadoparacimaporumcabo,primeiroporumadistânciad1=2,40medepoisporumadistânciad2=10,5m.(a)Nodeslocamentod1,seaforçanormalexercidasobreoblocopelopisodoelevadortemummóduloconstanteFN=3,00N,qualéotrabalhorealizadopelaforçadocabosobreoelevador?(b)Nodeslocamentod2,seotrabalhorealizadosobreoelevadorpelaforça(constante)docaboé92,61kJ,qualéomódulode N?


Módulo7-4TrabalhoRealizadoporumaForçaElástica

·26NaFig.7-10,devemosaplicarumaforçademódulo80Nparamanteroblocoestacionárioemx=–

2,0 cm. A partir dessa posição, deslocamos o bloco lentamente até que a força aplicada realize umtrabalhode+4,0Jsobreosistemamassa-mola.Apartirdesseinstante,oblocopermaneceemrepouso.Qualéaposiçãodobloco?(Sugestão:Existemduasrespostaspossíveis.)

·27UmamolaeumblocosãomontadoscomonaFig.7-10.Quandooblocoépuxadoparaopontox=+4,0 cm,devemos aplicaruma forçade360Nparamantê-lonessaposição.Puxamosoblocoparaopontox = 11 cm e o liberamos.Qual é o trabalho realizado pelamola sobre o bloco quando este sedeslocadexi=+5,0cmpara(a)x=+3,0cm,(b)x=–3,0cm,(c)x=–5,0cme(d)x=–9,0cm?

·28DuranteosemestredeprimaveradoMIT,osestudantesdedoisdormitóriosvizinhostravambatalhascomgrandescatapultasfeitascommangueirasdeborrachamontadasnamolduradasjanelas.Umbalãodeaniversário,cheiodeáguacolorida,écolocadoemumabolsapresanamangueira,queéesticadaatéaoutra extremidade do quarto. Suponha que a mangueira esticada obedece à lei de Hooke com umaconstanteelásticade100N/m.Seamangueiraéesticada5,00meliberada,quetrabalhoaforçaelásticadamangueirarealizasobreabolaquandoamangueiravoltaaocomprimentonormal?

··29NoarranjodaFig.7-10,puxamosgradualmenteoblocodex=0atéx=+3,0cm,ondeeleficaemrepouso.A Fig. 7-35 mostra o trabalho que nossa força realiza sobre o bloco. A escala vertical dográficoédefinidaporWs=1,0J.Emseguida,puxamosoblocoatéx=+5,0cm,eoliberamosapartirdorepouso.Qualéotrabalhorealizadopelamola,sobreobloco,quandoesteédeslocadodexi=+5,0cma(a)x=+4,0cm,(b)x=–2,0cme(c)x=–5,0cm?


··30NaFig.7-10a,umblocodemassamrepousaemumasuperfíciehorizontalsematritoeestápresoaumamolahorizontal(deconstanteelásticak)cujaoutraextremidadeémantidafixa.Oblocoestáparadona posição onde a mola está relaxada (x = 0) quando uma força no sentido positivo do eixo x éaplicada.A Fig. 7-36mostra o gráfico da energia cinética do bloco em função da posição x após aaplicaçãodaforça.AescalaverticaldográficoédefinidaporKs=4,0J.(a)Qualéomódulode ?(b)Qualéovalordek?


··31Aúnicaforçaqueagesobreumcorpode2,0kgenquantoocorposemovenosemieixopositivodeumeixoxtemumacomponenteFx=–6xN,comxemmetros.Avelocidadedocorpoemx=3,0mé8,0m/s.(a)Qualéavelocidadedocorpoemx=4,0m?(b)Paraquevalorpositivodexocorpotemumavelocidadede5,0m/s?

··32AFig.7-37mostraaforçaelásticaFxemfunçãodaposiçãoxparaosistemamassa-moladaFig.7-10. A escala vertical do gráfico é definida porFs = 160,0 N. Puxamos o bloco até x = 12 cm e oliberamos.Qualéotrabalhorealizadopelamolasobreoblocoaosedeslocardexi=+8,0cmpara(a)x=+5,0cm,(b)x=–5,0cm,(c)x=–8,0cme(d)x=–10,0cm?


···33OblocodaFig.7-10aestáemumasuperfíciehorizontalsematritoeaconstanteelásticaé50N/m.Inicialmente,amolaestárelaxadaeoblocoestáparadonopontox=0.Umaforçacommóduloconstantede3,0Néaplicadaaobloco,puxando-onosentidopositivodoeixoxealongandoamolaatéoblocoparar.Quandoissoacontece,(a)qualéaposiçãodobloco,(b)qualotrabalhorealizadosobreoblocopela força aplicada e (c) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica? Durante odeslocamentodobloco,(d)qualéaposiçãodobloconaqualaenergiacinéticaémáximae(e)qualovalordaenergiacinéticamáxima?

Módulo7-5TrabalhoRealizadoporumaForçaVariávelGenérica

·34Umtijolode10kgsemoveao longodeumeixox.AFig.7-38mostraaaceleraçãodo tijoloemfunçãodaposição.Aescalaverticaldográfico édefinidaporas=20,0m/s2.Qual éo trabalho totalrealizadosobreotijolopelaforçaresponsávelpelaaceleraçãoquandootijolosedeslocadex=0parax=8,0m?


·35AforçaaqueumapartículaestásubmetidaapontaaolongodeumeixoxeédadaporF=F0(x/x0–1).Determineotrabalhorealizadopelaforçaaomoverapartículadex=0ax=2x0deduasformas:(a)plotandoF(x)emedindootrabalhonográfico;(b)integrandoF(x).

·36Umblocode5,0kgsemoveemlinharetaemumasuperfíciehorizontal,sematrito,sobainfluênciadeuma forçaquevaria comaposição, comoémostradonaFig.7-39.A escala vertical dográfico édefinidaporFs=10,0N.Qualéotrabalhorealizadopelaforçaquandooblocosedeslocadaorigematéx=8,0cm?


··37AFig.7-40mostraaaceleraçãodeumapartículade2,00kgsobaaçãodeumaforça aquedeslocaapartículaaolongodeumeixox,apartirdorepouso,dex=0ax=9,0m.Aescalaverticaldográficoédefinidaporas=6,0m/s2.Qualéotrabalhorealizadopelaforçasobreapartículaatéapartículaatingiroponto(a)x=4,0m,(b)x=7,0me(c)x=9,0m?Quaissãoomóduloeosentidodavelocidadedapartículaquandoapartículaatingeoponto(d)x=4,0m,(e)x=7,0me(f)x=9,0m?


··38Umblocode1,5kgestáemrepousoemumasuperfíciehorizontalsematritoquandoumaforçaaolongodeumeixoxéaplicadaaobloco.Aforçaédadapor (x)=(2,5–x2) N,emquexestáemmetroseaposiçãoinicialdoblocoéx=0.(a)Qualéaenergiacinéticadoblocoaopassarpelopontox=2,0m?(b)Qualéaenergiacinéticamáximadoblocoentrex=0ex=2,0m?

··39Umaforça =(cx–3,00x2) ,emque estáemnewtons,xemmetros,ecéumaconstante,agesobreumapartículaquesedeslocaaolongodeumeixox.Emx=0,aenergiacinéticadapartículaé20,0J;emx=3,00m,é11,0J.Determineovalordec.

··40Umalatadesardinhaédeslocada,aolongodeumeixox,dex=0,25max=1,25m,porumaforçacujomóduloédadoporF=e–4x2,comxemmetroseF emnewtons.Qualéo trabalho realizadopelaforçasobrealata?

··41Umaúnicaforçaagesobreumobjetode3,0kgquesecomportacomoumapartícula,detalformaqueaposiçãodoobjetoemfunçãodotempoédadaporx=3,0t–4,0t2+1,0t3,comxemmetrosetemsegundos.Determineotrabalhorealizadopelaforçasobreoobjetodet=0at=4,0s.

···42AFig.7-41mostraumacordapresaaumcarrinhoquepodedeslizaremumtrilhohorizontalsematritoaolongodeumeixox.Acordapassaporumapolia,demassaeatritodesprezíveis,situadaaumaalturah = 1,20m em relação ao ponto onde está presa no carrinho e é puxada por sua extremidadeesquerda,fazendoocarrinhodeslizardex1=3,00matéx2=1,00m.Duranteodeslocamento,atraçãodacordasemantémconstanteeiguala25,0N.Qualéavariaçãodaenergiacinéticadocarrinhoduranteodeslocamento?


Módulo7-6Potência

·43 Uma força de 5,0 N age sobre um corpo de 15 kg inicialmente em repouso. Calcule o trabalhorealizadopelaforça(a)noprimeiro,(b)nosegundoe(c)noterceirosegundo,assimcomo(d)apotênciainstantâneadaforçanofimdoterceirosegundo.

·44Umesquiadorépuxadoporumacordaparaoaltodeumaencostaquefazumângulode12°comahorizontal.Acordasemoveparalelamenteàencostacomvelocidadeconstantede1,0m/s.Aforçadacordarealiza900Jdetrabalhosobreoesquiadorquandoestepercorreumadistânciade8,0mencostaacima.(a)Seavelocidadeconstantedacordafosse2,0m/s,quetrabalhoaforçadacordateriarealizado

sobreo esquiadorparaomesmodeslocamento?Aque taxa a forçada corda realiza trabalho sobreoesquiadorquandoacordasedeslocacomumavelocidadede(b)1,0m/se(c)2,0m/s?

·45Umblocode100kgépuxadocomvelocidadeconstantede5,0m/semumpisohorizontalporumaforçade122Nquefazumângulode37°acimadahorizontal.Qualéataxacomaqualaforçarealizatrabalhosobreobloco?

·46Umelevadorcarregadotemmassade3,0×103kgesobe210mem23s,comvelocidadeconstante.Qualéataxamédiacomaqualaforçadocabodoelevadorrealizatrabalhosobreoelevador?

··47Umamáquinatransportaumpacotede4,0kgdeumaposiçãoinicial i=(0,50m) +(0,75m) +(0,20m) emt=0atéumaposiçãofinal f=(7,50m) +(12,0m) +(7,20m) emt=12s.Aforçaconstante aplicada pela máquina ao pacote é = (2,00 N) + (4,00 N) + (6,00 N) . Para essedeslocamento,determine(a)otrabalhorealizadopelaforçadamáquinasobreopacotee(b)apotênciamédiadesenvolvidapelaforça.

··48 Uma bandeja de 0,30 kg escorrega em uma superfície horizontal sem atrito presa a uma dasextremidadesdeumamolahorizontal (k=500N/m)cujaoutraextremidadeémantida fixa.Abandejapossuienergiacinéticade10Jaopassarpelaposiçãodeequilíbrio(pontoemqueaforçaelásticadamola é zero). (a)A que taxa amola está realizando trabalho sobre a bandeja quando esta passa pelaposiçãodeequilíbrio?(b)Aquetaxaamolaestárealizandotrabalhosobreabandejaquandoamolaestácomprimidade0,10meabandejaestáseafastandodaposiçãodeequilíbrio?

··49Umelevadordecargatotalmentecarregadotemmassatotalde1200kg,quedeveiçar54mem3,0minutos, iniciandoe terminandoa subidaemrepouso.Ocontrapesodoelevador temmassadeapenas950kg,e,portanto,omotordoelevadordeveajudar.Quepotênciamédiaéexigidadaforçaqueomotorexercesobreoelevadorpormeiodocabo?

··50(a)Emumdadoinstante,umobjetoquesecomportacomoumapartículasofreaaçãodeumaforça=(4,0N) –(2,0N) +(9,0N) quandosuavelocidadeé =–(2,0m/s) +(4,0m/s) .Qualéataxa

instantâneacomaqualaforçarealizatrabalhosobreoobjeto?(b)Emoutroinstante,avelocidadetemapenasacomponentey.Seaforçanãomudaeapotênciainstantâneaé–12W,qualéavelocidadedoobjetonesseinstante?

··51Umaforça =(3,00N) +(7,00N) agesobreumobjetode2,00kgquesemovedeumaposiçãoinicial i=(3,00m) –(2,00m) +(5,00m) paraumaposiçãofinal f=–(5,00m) +(4,00m) +(7,00m) em4,00s.Determine(a)otrabalhorealizadopelaforçasobreoobjetonointervalode4,00s,(b)apotênciamédiadesenvolvidapelaforçanesseintervaloe(c)oânguloentreosvetores ie f.

···52Umfunnycaraceleraapartirdorepouso,percorrendoumadadadistâncianotempoT,comomotorfuncionandocompotênciaconstanteP.SeosmecânicosconseguemaumentarapotênciadomotordeumpequenovalordP,qualéavariaçãodotemponecessárioparapercorreramesmadistância?

ProblemasAdicionais

53AFig.7-42mostraumpacotedecachorros-quentesescorregandoparaadireitaemumpisosematritoporumadistânciad=20,0cmenquantotrêsforçasagemsobreopacote.DuasforçassãohorizontaisetêmmódulosF1=5,00NeF2=1,00N;aterceirafazumânguloθ=60,0°parabaixoetemummóduloF3 = 4,00 N. (a) Qual é o trabalho total realizado sobre o pacote pelas três forças mais a forçagravitacionalea forçanormal? (b)Seopacote temmassade2,0kgeenergiacinética inicial igualazero,qualésuavelocidadenofinaldodeslocamento?


54Aúnicaforçaqueagesobreumcorpode2,0kgquandoocorposedeslocaaolongodeumeixoxvaria da forma indicada na Fig. 7-43. A escala vertical do gráfico é definida por Fs = 4,0 N. Avelocidadedocorpoemx=0é4,0m/s.(a)Qualéaenergiacinéticadocorpoemx=3,0m?(b)Paraquevalordexocorpopossuiumaenergiacinéticade8,0J?(c)Qualéaenergiacinéticamáximadocorpoentrex=0ex=5,0m?


55Umcavalopuxauma carroça comuma forçade 40 lb que faz umângulode30° para cima comahorizontalesemovecomumavelocidadede6,0mi/h.(a)Quetrabalhoaforçarealizaem10minutos?(b)Qualéapotênciamédiadesenvolvidapelaforçaemhorsepower?

56Umobjetode2,0kginicialmenteemrepousoacelerauniformementenahorizontalatéumavelocidadede10m/sem3,0s.(a)Nesseintervalode3,0s,qualéotrabalhorealizadosobreoobjetopelaforçaqueoacelera?Qualéapotênciainstantâneadesenvolvidapelaforça(b)nofimdointervaloe(c)nofimdaprimeirametadedointervalo?

57Umcaixotede230kgestápenduradonaextremidadedeumacordadecomprimentoL=12,0m.Vocêempurraocaixotehorizontalmentecomumaforçavariável ,deslocando-oparaoladodeumadistânciad = 4,00 m (Fig. 7-44). (a) Qual é o módulo de quando o caixote está na posição final? Nessedeslocamento,quaissão(b)otrabalhototalrealizadosobreocaixote,(c)otrabalhorealizadopelaforça

gravitacionalsobreocaixotee(d)otrabalhorealizadopelacordasobreocaixote?(e)Sabendoqueocaixoteestáemrepousoantesedepoisdodeslocamento,useasrespostasdos itens(b), (c)e (d)paradeterminarotrabalhoqueaforça realizasobreocaixote.(f)Porqueotrabalhodaforçanãoéigualaoprodutododeslocamentohorizontalpelarespostadoitem(a)?


58Parapuxarumengradadode50kgemumpisohorizontalsematrito,umoperárioaplicaumaforçade210Nquefazumângulode20°paracimacomahorizontal.Emumdeslocamentode3,0m,qualéotrabalhorealizadosobreoengradado(a)pelaforçadooperário,(b)pelaforçagravitacionale(c)pelaforçanormaldopiso?(d)Qualéotrabalhototalrealizadosobreoengradado?

59Uma força a é aplicada a uma conta, quedesliza emum fio reto, sematrito, fazendo-a sofrer umdeslocamentode+5,0cm.Omódulode aémantidoconstante,masoânguloϕentre aeodeslocamentodacontapodeserescolhido.NaFig.7-23mostra-seotrabalho,W,realizadopor asobreacontaparavaloresdeϕdentrodecertointervalo;W0=25J.Qualéotrabalhorealizadopor a,seϕéigual(a)a64°e(b)a147°?


60Umacriançamedrosadesceporumescorrega,deatritodesprezível,segurapelamãe.Aforçadamãesobreacriançaéde100Nparacimanadireçãodoescorrega,eaenergiacinéticadacriançaaumentade30Jquandoeladesceumadistânciade1,8m.(a)Qualéotrabalhorealizadosobreacriançapelaforça

gravitacional durante a descida de 1,8 m? (b) Se a criança não fosse segura pela mãe, qual seria oaumentodaenergiacinéticaquandoelaescorregassepelamesmadistânciade1,8m?

61Qualéotrabalhorealizadoporumaforça =(2xN) +(3N) comxemmetros,aodeslocarumapartículadeumaposição i=(2m) +(3m) paraumaposição f=–(4m) –(3m) ?

62Umblocode250gédeixadocairemumamolavertical,inicialmenterelaxada,cujaconstanteelásticaé k = 2,5 N/cm (Fig. 7-46). O bloco fica acoplado à mola, comprimindo-a em 12 cm até pararmomentaneamente. Nessa compressão, que trabalho é realizado sobre o bloco (a) pela forçagravitacional e (b) pela força elástica? (c) Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de sechocarcomamola?(Suponhaqueoatritoédesprezível.)(d)Seavelocidadenomomentodoimpactoéduplicada,qualéacompressãomáximadamola?


63 Para empurrar um engradado de 25,0 kg para cima em um plano inclinado de 25° em relação àhorizontal, umoperário exerce uma força de 209Nparalela aoplano inclinado.Quandoo engradadopercorre1,50m,qualéotrabalhorealizadosobreele(a)pelaforçaaplicadapelotrabalhador,(b)pelaforçagravitacionale(c)pelaforçanormal?(d)Qualéotrabalhototalrealizadosobreoengradado?

64Caixas são transportadasdeum local paraoutro, deumarmazém,pormeiodeumaesteiraque semovecomvelocidadeconstantede0,50m/s.Emcertolocal,aesteirasemove2,0memumarampaquefazumângulode10°paracimacomahorizontal,2,0mnahorizontale,finalmente,2,0memumarampaquefazumângulode10°parabaixocomahorizontal.Suponhaqueumacaixade2,0kgétransportadapelaesteirasemescorregar.Aquetaxaaforçadaesteirasobreacaixarealizatrabalhoquandoacaixasemove(a)narampade10°paracima,(b)horizontalmentee(c)narampade10°parabaixo?


65NaFig.7-47,umacordapassaporduaspoliasideais.Umalata,demassam=20kg,estápenduradaemumadaspolias,eumaforça éaplicadaàextremidadelivredacorda.(a)Qualdeveseromódulode para que a lata seja levantada comvelocidade constante? (b)Qual deve ser o deslocamento dacordaparaquealatasuba2,0cm?Duranteessedeslocamento,qualéotrabalhorealizadosobrealata(c)pelaforçaaplicada(pormeiodacorda)e(d)pelaforçagravitacional?(Sugestão:Quandoumacordaéusadadaformamostradanafigura,aforçatotalcomaqualacordapuxaasegundapoliaéduasvezesmaiorqueatraçãodacorda.)

66Seumcarrocommassade1200kgviajaa120km/hemumarodovia,qualéaenergiacinéticadocarromedidaporalguémqueestáparadonoacostamento?

67Umamolacomumponteiroestápenduradapertodeumaréguagraduadaemmilímetros.Trêspacotesdiferentessãopenduradosnamola,umdecadavez,comomostraaFig.7-48.(a)Qualéamarcadaréguaindicadapeloponteiroquandonãohánenhumpacotependuradonamola?(b)QualéopesoPdoterceiropacote?


68 Um trenó a vela está em repouso na superfície de um lago congelado quando um vento repentinoexercesobreeleumaforçaconstantede200N,nadireçãoleste.Devidoaoângulodavela,oventofazcomqueotrenósedesloqueemlinharetaporumadistânciade8,0memumadireção20°aonortedoleste.Qualéaenergiacinéticadotrenóaofinaldesses8,0m?

69Seumelevadordeumaestaçãodeesquitransporta100passageiroscomumpesomédiode660Natéumaalturade150mem60,0s,aumavelocidadeconstante,quepotênciamédiaéexigidadaforçaquerealizaessetrabalho?

70Umaforça =(4,0N) +c agesobreumapartículaenquantoapartículasofreumdeslocamento =(3,0m) –(2,0m) . (Outras forças tambémagemsobreapartícula.)Qualéovalordec seo trabalhorealizadosobreapartículapelaforça é(a)0,(b)17Je(c)–18J?

71Umaforçaconstante,demódulo10N,fazumângulode150°(nosentidoanti-horário)comosemieixoxpositivoaoagirsobreumobjetode2,0kgquesemoveemumplanoxy.Qualéotrabalhorealizadopelaforçasobreoobjetoquandoelesedeslocadaorigematéopontocujovetorposiçãoé(2,0m) –(4,0m) ?

72NaFig.7-49a,umaforçade2,0N,quefazumânguloθparabaixoeparaadireitacomahorizontal,éaplicadaaumblocode4,0kgenquantooblocodesliza1,0mparaadireitaemumpisohorizontalsematrito.Escrevaumaexpressãoparaavelocidadevfdoblocoapósserpercorridaessadistância,paraumavelocidadeinicialde(a)0e(b)1,0m/sparaadireita.(c)AsituaçãodaFig.7-49bésemelhanteàdoitem(b),poisoblocoestáinicialmentesedeslocandoparaadireitacomumavelocidadede1,0m/s,masagora a força de 2,0 N está dirigida para baixo e para a esquerda. Escreva uma expressão para avelocidadevfdoblocoapósserpercorridaumadistânciade1,0m.(d)Ploteastrêsexpressõesdevfemfunçãodoânguloθ,deθ=0aθ=90°.Interpreteosgráficos.


73Umaforça nosentidopositivodeumeixoxagesobreumobjetoquesemoveaolongodesseeixo.SeomódulodaforçaéF=10e–x/2,0N,comxemmetros,determineotrabalhorealizadopor quandooobjetosedeslocadex=0ax=2,0m(a)plotandoF(x)eestimandoaáreasobacurvae(b)integrandoF(x).

74Umapartículaquesemoveemlinharetasofreumdeslocamento =(8m) +c sobaaçãodeumaforça = (2N) – (4N) . (Outras forças tambémagem sobre a partícula.)Qual é o valor dec se otrabalhorealizadopor sobreapartículaé(a)zero,(b)positivoe(c)negativo?

75Umelevadortemmassade4500kgepodetransportarumacargamáximade1800kg.Seoelevadorestá subindo com a carga máxima a 3,80 m/s, que potência a força que move o elevador devedesenvolverparamanteressavelocidade?

76 Um bloco de gelo de 45 kg desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito de 1,5 m decomprimento e 0,91mde altura.Umoperário empurra o blocopara cima comuma força paralela aoplano inclinado,oquefazoblocodescercomvelocidadeconstante. (a)Determineomódulodaforçaexercidapelooperário.Qualéo trabalhorealizadosobreobloco(b)pelaforçadooperário,(c)pelaforçagravitacional,(d)pelaforçanormaldoplanoinclinadoe(e)pelaforçaresultante?

77Umapartículaquesemoveaolongodeumeixoxestásubmetidaaumaforçaorientadanosentidopositivodoeixo.AFig.7-50mostraomóduloFdaforçaemfunçãodaposiçãoxdapartícula.AcurvaédadaporF=a/x2,coma=9,0N·m2.Determineotrabalhorealizadopelaforçasobreapartículaquandoapartícula sedeslocadex=1,0mparax=3,0m (a) estimandoo trabalhoapartirdográficoe (b)integrandoafunçãodaforça.


78UmacaixadeCDescorregaemumpisonosentidopositivodeumeixoxenquantoumaforçaaplicadaaagesobreacaixa.AforçaestáorientadaaolongodoeixoxeacomponentexédadaporFax=9x–

3x2,comxemmetroseFaxemnewtons.Acaixapartedorepousonaposiçãox=0esemoveatéficarnovamenteemrepouso.(a)Ploteotrabalhorealizadopor asobreacaixaemfunçãodex.(b)Emqueposiçãootrabalhoémáximoe(c)qualéovalordotrabalhomáximo?(d)Emqueposiçãootrabalhosetornanulo?(e)Emqueposiçãoacaixaficanovamenteemrepouso?

79Umamerendeirade2,0kgescorregaemumasuperfíciesematritonosentidopositivodeumeixox.Apartirdoinstantet=0,umventoconstanteaplicaumaforçaàmerendeiranosentidonegativodoeixox.AFig.7-51mostraaposiçãoxdamerendeiraemfunçãodotempot.Apartirdográfico,estimeaenergiacinéticadamerendeira (a)em t=1,0se (b)em t=5,0s. (c)Qualéo trabalho realizadopeloventosobreamerendeiraentret=1,0set=5,0s?


80Integraçãonumérica.Umacaixaédeslocada,aolongodeumeixox,dex=0,15max=1,20mporuma força cujo módulo é dado por F = e–2x2, com x em metros e F em newtons. Qual é o trabalhorealizadopelaforçasobreacaixa?

81Nosistemamassa-moladaFig.7-10,amassadoblocoé4,00kgeaconstanteelásticadamolaé500N/m.Oblocoéliberadodaposiçãoxi=0,300m.Determine(a)avelocidadedobloconopontox=0,(b) o trabalho realizado pelamola quando o bloco chega ao ponto x = 0, (c) a potência instantâneadesenvolvidapelamolanomomentoemqueoblocoéliberado,(d)apotênciainstantâneadesenvolvidapelamolaquandooblocoestápassandopelopontox=0e(e)aposiçãodobloconoinstanteemqueapotênciadesenvolvidapelamolaémínima.

82Umblocode4,00kg,queestavainicialmenteemrepousoemumplanoinclinadosematrito,épuxadoparacimaporumaforçade50Nparalelaaoplano.Aforçanormalqueagesobreoblocotemmódulode13,41N.Qualéavelocidadedoblocodepoisdesofrerumdeslocamentode3,00m?

83 Uma das extremidades de uma mola com uma constante elástica de 18,0 N/cm está presa a uma

parede.(a)Qualéotrabalhorealizadopelaforçaelásticadamolasobreaparedequandoamolasofreumalongamentode7,60mmemrelaçãoaoestadorelaxado?(b)Qualéotrabalhoadicionalrealizadopelaforçaelásticaquandoamolasofreumalongamentoadicionalde7,60mm?

84 Uma força = (2,00 + 9,00 + 5,30 ) N age sobre um objeto de 2,90 kg, o qual sofre umdeslocamento,emumintervalodetempode2,10s,daposiçãoinicial 1=(2,70 –2,90 +5,50 )mparaumaposiçãofinal 2=(–4,10 +3,30 +5,40 )m.Determine(a)otrabalhorealizadopelaforçasobreoobjetonesseintervalodetempo,(b)apotênciamédiadesenvolvidapelaforçaduranteesseintervalodetempoe(c)oânguloentreosvetores 1e 2.

85Noinstantet=0,aforça =(–5,00 +5,00 +4,00 )Ncomeçaaagirsobreumapartículade2,00kg que está se movendo a uma velocidade de 4,00 m/s. Qual é a velocidade da partícula quando odeslocamentoemrelaçãoàposiçãoinicialé =(2,00 +2,00 +7,00 )m?

CAPÍTULO8

EnergiaPotencialeConservaçãodaEnergia

8-1ENERGIAPOTENCIAL


8.01Saberadiferençaentreumaforçaconservativaeumaforçanãoconservativa.

8.02Nocasodeumapartículaquesemovedeumpontoparaoutrodoespaço,saberqueotrabalhorealizadoporumaforçaconservativadependeapenasdospontosinicialefinal.

8.03Calcularaenergiapotencialgravitacionaldeumapartícula(ou,maisrigorosamente,deumsistemapartícula-Terra).

8.04Calcularaenergiapotencialelásticadeumsistemamassa-mola.

Ideias-Chave•Umaforçaéditaconservativaseotrabalhorealizadopelaforçasobreumapartículaquedescreveumpercursofechado,ouseja,noqualopontofinalcoincidecomopontoinicial,ézero.Épossíveldemonstrarqueotrabalhorealizadoporumaforçaconservativanãodependedatrajetóriadapartícula,masapenasdospontosinicialefinal.Aforçagravitacionaleaforçaelásticasãoforçasconservativas;aforçadeatritocinéticonãoéumaforçaconservativa.•Energiapotencialéaenergiaassociadaàconfiguraçãodeumsistemaqueestásujeitoàaçãodeumaforçaconservativa.QuandoumaforçaconservativarealizaumtrabalhoWsobreumapartículadosistema,avariaçãoΔUdaenergiapotencialdosistemaédadapor

ΔU=−W.

Issosignificaque,seapartículasedeslocadopontoxiparaopontoxfsobaaçãodeumaforçaF(x),avariaçãodaenergiapotencialdosistemaédadapor

•A energia potencial associada a um sistema formado pela Terra e umapartícula nas vizinhanças daTerra é chamada deenergiapotencialgravitacional.Seapartículasedeslocadaalturayiparaaalturayf,avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemapartícula-Terraédadapor

ΔU=mg(yf−yi)=mgΔy.

•Seopontodereferênciadapartículaétomadocomoyi=0eaenergiapotencialgravitacionalcorrespondenteétomadacomoUi=0,aenergiapotencialgravitacionalUquandoapartículaestáaumaalturahédadapor

U(y)=mgy

•Aenergiapotencialelásticaéaenergiaassociadaaoestadodecompressãoouextensãodeumobjetoelástico.Nocasodeumamolaqueexerceuma forçaelásticaF=–kxquandoaextremidade livresofreumdeslocamentox,aenergiapotencial

elásticaédadapor

•Aconfiguraçãodereferênciaparaaenergiapotencialelásticaé,normalmente,asituaçãoemqueamolaestárelaxada,x=0eU=0.

OqueÉFísica?Uma das tarefas da física é identificar os diferentes tipos de energia que existem no mundo,especialmente os que têm utilidade prática. Um tipo comum de energia é a energia potencial U.Tecnicamente,energiapotencialéqualquerenergiaquepodeserassociadaàconfiguração(arranjo)deumsistemadeobjetosqueexercemforçasunssobreosoutros.Essaéumadefiniçãomuitoformalparaalgoque,naverdade,éextremamentesimples.Umexemplo

podesermaisesclarecedorqueadefinição.Umpraticantedebungeejumpsaltadeumaplataforma(Fig.8-1). O sistema de objetos é formado pela Terra e o atleta. A força entre os objetos é a forçagravitacional. A configuração do sistema varia (a distância entre o atleta e a Terra diminui, e isso,naturalmente,équetornaosaltoemocionante).Podemosdescreveromovimentodoatletaeoaumentodesua energia cinética definindo uma energia potencial gravitacional U. Trata-se de uma energiaassociada ao estado de separação entre dois objetos que se atraem mutuamente por meio da forçagravitacional,como,nocaso,oatletaeaTerra.Quandoacordaelásticacomeçaaesticarnofinaldosalto,osistemadeobjetospassaaserformado

pela corda e o atleta (a variaçãode energia potencial gravitacional passa a ser desprezível).A forçaentreosobjetoséumaforçaelástica(comoadeumamola).Aconfiguraçãodosistemavaria(acordaestica).Podemosrelacionaradiminuiçãodaenergiacinéticadosaltadoraoaumentodocomprimentodacorda definindo uma energia potencial elástica U. Trata-se da energia associada ao estado decompressãooudistensãodeumobjetoelástico,acorda,nocaso.A física ensina como calcular a energia potencial de um sistema, o que ajuda a escolher amelhor

formadeusá-laouarmazená-la.Antesqueumpraticantedebungeejump inicieumsalto,porexemplo,alguém(provavelmenteumengenheiromecânico)precisaverificarseacordaqueseráusadaésegura,determinandoaenergiapotencialgravitacionaleaenergiapotencialelásticaquepodemseresperadas.Casooscálculossejambenfeitos,osaltopodeseremocionante,masnãoseráperigoso.

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Figura8-1 Aenergiacinéticadeumpraticantedebungeejump aumentaduranteaqueda livre; emseguida, acordacomeçaaesticar,desacelerandooatleta.

TrabalhoeEnergiaPotencialNoCapítulo7, discutimos a relação entre o trabalho e a variação da energia cinética.Agora, vamosdiscutirarelaçãoentreotrabalhoeavariaçãodaenergiapotencial.Suponhaqueumtomatesejaarremessadoparacima(Fig.8-2).Jásabemosque,enquantootomateestá

subindo,otrabalhoWgrealizadopelaforçagravitacionalsobreotomateénegativoporqueaforçaextraienergiada energia cinética do tomate. Podemos agora concluir a história dizendo que essa energia étransferidapelaforçagravitacionaldaenergiacinéticadotomateparaaenergiapotencialgravitacionaldosistematomate-Terra.Otomateperdevelocidade,paraecomeçaacairdevoltaporcausadaforçagravitacional.Durantea

queda,atransferênciaseinverte:otrabalhoWgrealizadosobreotomatepelaforçagravitacionalagoraépositivoeaforçagravitacionalpassaatransferirenergiadaenergiapotencialdosistematomate-Terraparaaenergiacinéticadotomate.Tantonasubidacomonadescida,avariaçãoΔUdaenergiapotencialgravitacionalédefinidacomoo

negativodotrabalhorealizadosobreotomatepelaforçagravitacional.UsandoosímbologeralWparao

trabalho,podemosexpressaressadefiniçãopormeiodaseguinteequação:

Figura8-2 Umtomateéarremessadoparacima.Enquantootomateestásubindo,aforçagravitacionalrealizaumtrabalhonegativosobreo tomate,diminuindoa suaenergiacinética.Quandoo tomatecomeçaadescer, a forçagravitacionalpassaa realizarum trabalhopositivosobreotomate,aumentandoasuaenergiacinética.

AEq.8-1tambémseaplicaaumsistemamassa-molacomoodaFig.8-3.Seempurramosbruscamenteobloco,movimentando-oparaadireita,aforçadamolaatuaparaaesquerdae,portanto,realizatrabalhonegativo sobre o bloco, transferindo energia da energia cinética do bloco para a energia potencialelástica do sistemabloco-mola.Obloco perde velocidade até parar; em seguida, começa a semoverparaaesquerda,jáqueaforçadamolaaindaestádirigidaparaaesquerda.Apartirdessemomento,atransferência de energia se inverte: a energia passa a ser transferida da energia potencial do sistemabloco-molaparaaenergiacinéticadobloco.

2.

3.

4.

1.

Figura8-3 Umbloco,presoaumamolaeinicialmenteemrepousoemx=0,écolocadoemmovimentoparaadireita.(a)Quandooblocosemoveparaadireita(nosentidoindicadopelaseta),aforçaelásticadamolarealizatrabalhonegativosobreobloco.(b)Maistarde,quandooblocosemoveparaaesquerda,emdireçãoaopontox=0,aforçadamolarealizatrabalhopositivosobreobloco.

ForçasConservativaseDissipativas

Vamosfazerumalistadoselementosprincipaisdasduassituaçõesqueacabamosdediscutir:

Osistemaéformadopordoisoumaisobjetos.Umaforçaatuaentreumobjetodosistemaquesecomportacomopartícula(otomateouobloco)eorestodosistema.Quando a configuração do sistema varia, a força realiza trabalho (W1, digamos) sobre o objeto,transferindoenergiaentreaenergiacinéticaKdoobjetoealgumaoutraformadeenergiadosistema.Quandoamudançadaconfiguraçãoseinverte,aforçainverteosentidodatransferênciadeenergia,realizandoumtrabalhoW2noprocesso.

NassituaçõesemquearelaçãoW1=−W2ésempreobservada,aoutraformadeenergiaéumaenergiapotencial e dizemos que a força é uma forçaconservativa.Como o leitor já deve ter desconfiado, aforçagravitacionaleaforçaelásticasãoconservativas(deoutraforma,nãopoderíamosterfaladoemenergiapotencialgravitacionaleenergiapotencialelástica,comofizemosanteriormente).Umaforçaquenãoéconservativaéchamadadeforçadissipativa.Aforçadeatritocinéticoeaforça

de arrasto são forças dissipativas. Imagine, por exemplo, um bloco deslizando em um piso em umasituaçãonaqualoatritonãosejadesprezível.Duranteodeslizamento,aforçadeatritocinéticoexercidapelopisorealizaumtrabalhonegativosobreobloco,reduzindosuavelocidadeetransferindoaenergiacinética do bloco para outra forma de energia chamada energia térmica (que está associada aomovimentoaleatóriodeátomosemoléculas).Osexperimentosmostramqueessatransferênciadeenergianãopodeserrevertida(aenergiatérmicanãopodeserconvertidadevoltaemenergiacinéticadobloco

pelaforçadeatritocinético).Assim,embora tenhamosumsistema(compostopeloblocoepelopiso),umaforçaqueatuaentrepartesdosistemaeumatransferênciadeenergiacausadapelaforça,aforçanãoéconservativa.Issosignificaqueaenergiatérmicanãoéumaenergiapotencial.Quandoumobjetoquesecomportacomoumapartículaestásujeitoapenasaforçasconservativas,

certos problemas que envolvem omovimento do objeto se tornammuitomais simples. No próximomódulo, em que apresentamos ummétodo para identificar forças conservativas, será apresentado umexemplodessetipodesimplificação.

IndependênciadaTrajetóriadeForçasConservativasO testeprincipal paradeterminar seuma força é conservativaoudissipativa éo seguinte:Deixa-se aforçaatuarsobreumapartículaquesemoveaolongodeumpercursofechado,ouseja,umcaminhoquecomeça e termina namesma posição. A força é conservativa se e apenas se for nula a energia totaltransferidaduranteesseouqualqueroutropercursofechado.Emoutraspalavras:

Otrabalhototalrealizadoporumaforçaconservativasobreumapartículaquesemoveaolongodequalquerpercursofechadoé

nulo.

Os experimentos mostram que a força gravitacional passa neste teste do percurso fechado. Umexemplo é o tomate da Fig.8-2.O tomate deixa o ponto de lançamento com velocidade v0 e energiacinética .Aforçagravitacionalqueagesobreotomatereduzsuavelocidadeazeroedepoisofazcairdevolta.Quandootomateretornaaopontodepartida,elepossuinovamenteumavelocidadev0eumaenergiacinética .Assim,aforçagravitacionalextraitantaenergiado tomateduranteasubidaquantoforneceenergiaaotomateduranteadescida.Otrabalhototalrealizadosobreotomatepelaforçagravitacionalduranteaviagemdeidaevoltaé,portanto,nulo.Umaconsequênciaimportantedotestedopercursofechadoéaseguinte:

O trabalho realizadoporuma força conservativa sobreumapartículaque semoveentredois pontosnãodependeda trajetória

seguidapelapartícula.

Suponha, por exemplo, que a partícula semove do ponto a para o ponto b da Fig. 8-4a seguindo atrajetória1ouatrajetória2.Setodasasforçasqueagemsobreapartículasãoconservativas,otrabalhorealizado sobre a partícula é omesmopara as duas trajetórias.Em símbolos, podemos escrever esseresultadocomo

em que o índice ab indica os pontos inicial e final, respectivamente, e os índices 1 e 2 indicam atrajetória.Esseresultadoé importanteporquepermitesimplificarproblemasdifíceisquandoapenasumaforça

conservativa está envolvida. Suponha que você precise calcular o trabalho realizado por uma forçaconservativa ao longo de uma trajetória entre dois pontos, e que o cálculo seja difícil ou mesmoimpossívelseminformaçõesadicionais.Vocêpodedeterminarotrabalhosubstituindoatrajetóriaentreessesdoispontosporoutraparaaqualocálculosejamaisfácil.

Figura8-4 (a)Umapartículapodesemoverdopontoaaopontob, sobaaçãodeumaforçaconservativa,seguindoa trajetória1ouatrajetória2.(b)Apartículadescreveumpercursofechado,seguindoatrajetória1parairdopontoaaopontobeatrajetória2paravoltaraopontoa.

DemonstraçãodaEquação8-2

AFig.8-4bmostraumpercursofechado,arbitrário,deumapartículasujeitaàaçãodeumaúnicaforça.Apartículasedeslocadeumponto inicialaparaumpontob seguindoa trajetória1 evolta aopontoaseguindoatrajetória2.Aforçarealizatrabalhosobreapartículaenquantoelasedeslocaemcadaumadastrajetórias.Semnospreocuparmosemsaberseotrabalhorealizadoépositivoounegativo,vamosrepresentarotrabalhorealizadodeaabaolongodatrajetória1comoWab,1eotrabalhorealizadodebaa ao longo da trajetória 2 comoWba,2. Se a força é conservativa, o trabalho total realizado durante aviagemdeidaevoltaézero:

Wab,1+Wba,2=0,

eportanto,

Empalavras,o trabalho realizadoao longoda trajetóriade ida éonegativodo trabalho realizadoaolongodatrajetóriadevolta.ConsideremosagoraotrabalhoWab,2realizadopelaforçasobreapartículaquandoelasemovedea

parabaolongodatrajetória2(Fig.8-4a).Seaforçaéconservativa,essetrabalhoéonegativodeWba,2:

Substituindo−Wba,2porWab,2naEq.8-3,obtemos

Wab,1=Wab,2,

comoqueríamosdemonstrar.

Teste1Afiguramostratrêstrajetóriasligandoospontosaeb.Umaúnicaforça realizaotrabalhoindicadosobreumapartículaquese

move ao longo de cada trajetória no sentido indicado. Com base nessas informações, podemos afirmar que a força é

conservativa?

Exemplo8.01 Trajetóriasequivalentesparacalcularotrabalhosobreumqueijogorduroso

Aliçãoprincipalquesepodeextrairdesteexemploéaseguinte:Éperfeitamenteaceitávelescolherumcaminhofácilemvezde

umcaminhodifícil.AFig.8-5amostraumpedaçode2,0kgdequeijogordurosoquedeslizaporumarampa,sematrito,doponto

aaopontob.Oqueijopercorreumadistânciatotalde2,0meumadistânciaverticalde0,80m.Qualéotrabalhorealizadosobre

oqueijopelaforçagravitacionalduranteodeslocamento?

IDEIAS-CHAVE

(1)NãopodemosusaraEq.7-12(Wg=mgdcosϕ)paracalcularotrabalho,jáqueoânguloϕentreaforçagravitacional geo

deslocamento varia de ponto para ponto de forma desconhecida. (Mesmo que conhecêssemos a forma da trajetória e

pudéssemosdeterminarovalordeϕparatodosospontos,ocálculoprovavelmenteseriamuitodifícil.)(2)Como géumaforça

conservativa,podemoscalcularotrabalhoescolhendooutratrajetóriaentreaebquetorneoscálculosmaissimples.

Cálculos:VamosescolheropercursotracejadodaFig.8-5b,queéformadopordoissegmentosdereta.Aolongodosegmento

horizontal,oânguloϕéconstanteeiguala90°.Nãoconhecemosodeslocamentohorizontaldeaatéb,mas,deacordocomaEq.

7-12,otrabalhoWhrealizadoaolongodessesegmentoé

Wh=mgdcos90°=0.

Nosegmentovertical,odeslocamentodé0,80me,com ge apontandoverticalmenteparabaixo,oânguloϕéconstantee

iguala0°.Assim,deacordocomaEq.7-12,otrabalhoWvrealizadoaolongodotrechoverticaldopercursotracejadoédadopor

Figura8-5(a)Umpedaçodequeijodeslizaporumarampa,sematrito,dopontoaparaopontob.(b)Otrabalhorealizadopela

forçagravitacionalsobreoqueijoémaisfácildecalcularparaatrajetóriatracejadadoqueparaatrajetóriareal,masoresultadoé

omesmonosdoiscasos.

Wv=mgdcos90°°

=(2,0kg)(9,8m/s2)(0,80m)(1)=15,7J.

Otrabalhototal realizadosobreoqueijopor gquandooqueijosedeslocadopontoaparaopontob ao longodopercurso

tracejadoé,portanto,

Esseétambémotrabalhorealizadoquandooqueijoescorregaaolongodarampadeaab.Notequeovalordadistânciatotal

percorrida(2,0m)nãofoiusadonoscálculos.

CálculodaEnergiaPotencialOsvaloresdosdoistiposdeenergiapotencialdiscutidosnestecapítulo,aenergiapotencialgravitacionale a energia potencial elástica, podem ser calculados com o auxílio de equações. Para chegar a essasequações,porém,precisamosobterprimeiroumarelaçãogeralentreumaforçaconservativaeaenergiapotencialaelaassociada.Considereumobjetoquesecomportacomoumapartículaequefazpartedeumsistemanoqualatua

umaforçaconservativa .QuandoessaforçarealizaumtrabalhoW sobreoobjeto,avariaçãoΔUdaenergiapotencialassociadaaosistemaéonegativodotrabalhorealizado.EssefatoéexpressopelaEq.8-1(ΔU=−W).Nocasomaisgeralemqueaforçavariacomaposição,podemosescreverotrabalhoWcomonaEq.7-32:

Essaequaçãopermitecalcularo trabalho realizadopela forçaquandooobjeto sedeslocadopontoxiparaopontoxf,mudandoaconfiguraçãodosistema.(Comoaforçaéconservativa,otrabalhoéomesmoparaqualquerpercursoentreosdoispontos.)Substituindo a Eq. 8-5 na Eq. 8-1, descobrimos que a variação de energia potencial associada à

mudançadeconfiguraçãoédadapelaseguinteequação:

EnergiaPotencialGravitacional

Consideramosinicialmenteumapartícula,demassam,quesemoveverticalmenteaolongodeumeixoy(comosentidopositivoparacima).Quandoapartículasedeslocadopontoyiparaopontoyf,a forçagravitacional g realiza trabalho sobre ela. Para determinar a variação correspondente da energiapotencial gravitacional do sistema partícula-Terra, usamos a Eq. 8-6 com duas modificações: (1)Integramosaolongodoeixoyemvezdoeixox,jáqueaforçagravitacionalagenadireçãovertical.(2)SubstituímosaforçaFpor−mg,pois gtemmódulomgeestáorientadanosentidonegativodoeixoy.Temos:

e,portanto,

SãoapenasasvariaçõesΔUdaenergiapotencialgravitacional(oudequalqueroutrotipodeenergia)

que possuem significado físico. Entretanto, para simplificar um cálculo ou uma discussão, às vezesgostaríamos de dizer que um valor específico de energia potencial gravitacionalU está associado aosistemapartícula-Terraquandoapartículaestáacertaalturay.Paraisso,escrevemosaEq.8-7naforma

Tomamos Ui como a energia potencial gravitacional do sistema quando o sistema está em umaconfiguraçãodereferêncianaqualapartículaseencontraemumpontodereferênciayi.Normalmente,tomamosUi=0eyi=0.Fazendoisso,aEq.8-8setorna

AEq.8-9nosdizoseguinte:

A energia potencial gravitacional associada a um sistema partícula-Terra depende apenas da posição vertical y (ou altura) da

partículaemrelaçãoàposiçãodereferênciay=0.

EnergiaPotencialElástica

Consideramos,aseguir,osistemamassa-moladaFig.8-3,comoblocosemovendonaextremidadedeumamola de constante elástica k. Enquanto o bloco se desloca do ponto xi para o ponto xf, a forçaelásticaFx = −kx realiza trabalho sobre o bloco. Para determinarmos a variação correspondente daenergiapotencialelásticadosistemabloco-mola,substituímosF(x)por−kxnaEq.8-6,obtendo

ParaassociarumvalordeenergiapotencialUaobloconaposiçãox,escolhemosaconfiguraçãodereferênciacomoaquelanaqualamolaseencontranoestadorelaxadoeoblocoestáemxi=0.Nessecaso,aenergiapotencialelásticaUiézeroeaEq.8-10setorna

oquenosdá

Teste2Umapartículasemoveaolongodeumeixox,dex=0parax=x1,enquantoumaforçaconservativa,orientadaaolongodoeixo

x,agesobreapartícula.Afiguramostratrêssituaçõesnasquaisaforçavariacomx.AforçapossuiomesmomódulomáximoF1

nas três situações. Ordene as situações de acordo com a variação da energia potencial associada aomovimento da partícula,

começandopelamaispositiva.

Exemplo8.02 Escolhadonívelde referênciaparaaenergiapotencialgravitacionaldeuma

preguiça

Esteexemploilustraumpontoimportante:Aescolhadaconfiguraçãodereferênciaparaaenergiapotencialéarbitrária,masdeve

sermantidadurantetodaaresoluçãodoproblema.Umapreguiça,pesando2,0kg,estápenduradaa5,0macimadosolo(Fig.8-

6). (a) Qual é a energia potencial gravitacionalU do sistema preguiça-Terra se tomarmos o ponto de referência y = 0 como

estando(1)nosolo,(2)nopisodeumavarandaqueestáa3,0macimadosolo,(3)nogalhoondeestáapreguiça,e(4)1,0m

acimadogalho?Considereaenergiapotencialcomonulaemy=0.

Figura8-6 Quatro escolhasparaopontode referênciay=0. Em cadaeixoy estão assinalados alguns valores da altura em

metros.AescolhaafetaovalordaenergiapotencialUdosistemapreguiça-Terra,masnãoavariaçãoΔUdaenergiapotencialdo

sistemaseapreguiçasemover,descendodaárvore,porexemplo.

IDEIA-CHAVE

Umavezescolhidoopontodereferênciaparay=0,podemoscalcularaenergiapotencialgravitacionalUdosistemaemrelaçãoa

essepontodereferênciausandoaEq.8-9.

Cálculos:Nocasodaopção(1),apreguiçaestáemy=5,0me

Paraasoutrasescolhas,osvaloresdeUsão

(b)Apreguiçadescedaárvore.Paracadaescolhadopontodereferência,qualéavariaçãoΔUdaenergiapotencialdosistema

preguiça-Terra?

IDEIA-CHAVE

Avariaçãodaenergiapotencialnãodependedaescolhadopontodereferência,masapenasdeΔy,avariaçãodealtura.

Cálculo:Nasquatrosituações,temosomesmovalordavariaçãodealtura,Δy=−5,0m.Assim,paraassituações(1)a(4),de

acordocomaEq.8-7,

8-2CONSERVAÇÃODAENERGIAMECÂNICA


8.05Depoisdedefinirclaramentequeobjetosfazempartedeumsistema,saberqueaenergiamecânicadosistemaéasomadaenergiapotencialcomaenergiacinéticadetodosessesobjetos.

8.06Nocasodeumsistemaisoladonoqualexistemapenasforçasconservativas,aplicaroprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicapararelacionaraenergiapotencialeaenergiacinéticainiciaisdosistemaàenergiapotencialeenergiacinéticadosistemaemuminstanteposterior.

Ideias-Chave•AenergiamecânicaEmecdeumsistemaéasomadaenergiacinéticaKcomaenergiapotencialU:

Emec=K+U.

•Umsistemaisoladoéumsistemanoqualnenhumaforçaexternaproduzmudançasdeenergia.Seexistemapenasforçasconservativasemumsistemaisolado,aenergiamecânicaEmecdosistemanãopodemudar.Esseprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicapodeserexpressopormeiodaequação

K2+U2=K1+U1,

naqualosíndicessereferemainstantesdiferentesdeumprocessodetransferênciadeenergia.Outraformadeexpressaroprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicaéaseguinte:

ΔEmec=ΔK+ΔU=0.

ConservaçãodaEnergiaMecânicaAenergiamecânicaEmecdeumsistemaéasomadaenergiapotencialUcomaenergiacinéticaKdosobjetosquecompõemosistema.

Nestaseção,vamosdiscutiroqueacontececomaenergiamecânicaquandoastransferênciasdeenergiadentrodosistemasãoproduzidasapenasporforçasconservativas,ouseja,quandoosobjetosdosistemanãoestãosujeitosaforçasdeatritoedearrasto.Alémdisso,vamossuporqueosistemaestáisoladodoambiente,istoé,quenenhumaforçaexternaproduzidaporumobjetoforadosistemacausavariaçõesdeenergiadentrodosistema.QuandoumaforçaconservativarealizaumtrabalhoWsobreumobjetodentrodosistema,essaforçaé

responsávelporumatransferênciadeenergiaentreaenergiacinéticaKdoobjetoeaenergiapotencialUdosistema.DeacordocomaEq.7-10,avariaçãoΔKdaenergiacinéticaé

e,deacordocomaEq.8-1,avariaçãoΔUdaenergiapotencialé

CombinandoasEqs.8-13e8-14,temos

Empalavras,umadessasenergiasaumentaexatamentedamesmaquantidadequeaoutradiminui.PodemosescreveraEq.8-15naforma

emqueos índicessereferemadois instantesdiferentese,portanto,aduasconfiguraçõesdistintasdosobjetosdosistema.ReagrupandoostermosdaEq.8-16,obtemosaseguinteequação:

Imaginechina.APPhoto.GlowImages.

Nopassado,eracostumearremessaraspessoasparaoalto,usandoumcobertor,paraquepudessemenxergarmaislonge.Hojeemdia,issoéfeito apenaspor diversão.Durante a subidadapessoaque aparecena fotografia, a energia é transferidade energia cinética para energiapotencialgravitacional.Aalturamáximaéatingidaquandoa transferênciasecompleta.Duranteaqueda,a transferênciaocorrenosentidoinverso.

Empalavras,essaequaçãodizoseguinte:

quandoosistemaéisoladoeapenasforçasconservativasatuamsobreosobjetosdosistema.Emoutraspalavras:

Emumsistemaisoladonoqualapenasforçasconservativascausamvariaçõesdeenergia,aenergiacinéticaeaenergiapotencial

podemvariar,masasomadasduasenergias,aenergiamecânicaEmecdosistema,nãopodevariar.

Esse resultadoé conhecidocomoprincípiode conservaçãoda energiamecânica. (Agora você podeentender a origem do nome força conservativa.) Com o auxílio da Eq. 8-15, podemos escrever esseprincípiodeoutraforma:

OprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicapermiteresolverproblemasqueseriammuitodifíceisderesolverusandoapenasasleisdeNewton:

Quandoaenergiamecânicadeumsistemaéconservada,podemosigualarasomadaenergiacinéticacomaenergiapotencialem

uminstanteàsomaemoutroinstantesemlevaremcontaosmovimentosintermediáriosesemcalcularotrabalhorealizadopelas

forçasenvolvidas.

AFig. 8-7 mostra um exemplo no qual o princípio de conservação da energia mecânica pode seraplicado.Quandoumpêndulooscila,aenergiadosistemapêndulo-TerraétransferidadeenergiacinéticaKparaenergiapotencialgravitacionalU,evice-versa,comasomaK+Upermanecendoconstante.Seconhecemosaenergiapotencialgravitacionalquandoopesodopênduloestánopontomaisalto(Fig.8-7c),aEq.8-17nosforneceaenergiacinéticadopesonopontomaisbaixo(Fig.8-7e).

Figura8-7 Umpêndulo,comamassaconcentradaemumpesonaextremidadeinferior,osciladeumladoparaoutro.Émostradoumciclocompletodomovimento.Duranteociclo,osvaloresdaenergiapotencialecinéticadosistemapêndulo-Terravariamquandoopesosobeedesce,mas a energiamecânicaEmec do sistema permanece constante. Pode-se dizer que a energiaEmec alterna continuamente entre asformasdeenergiacinéticaeenergiapotencial.Nasposições(a)e(e),todaaenergiaestánaformadeenergiacinética;opesotemvelocidademáximaeseencontranopontomaisbaixodatrajetória.Nasposições(c)e(g),todaaenergiaestánaformadeenergiapotencial;opesotemvelocidadenulaeseencontranopontomaisaltodatrajetória.Nasposições(b),(d),(f)e(h),metadedaenergiaéenergiacinéticaeaoutrametadeéenergiapotencial.Seaoscilaçãodopênduloenvolvesseumaforçadeatritonopontoondeopênduloestápresoao teto,ouumaforçadearrastodevidoaoar,Emecnãoseriaconservadaeopênduloacabariaparando.

Vamos,porexemplo,escolheropontomaisbaixocomopontodereferência,comaenergiapotencialgravitacionalU2=0.SuponhaqueaenergiapotencialnopontomaisaltosejaU1=20Jemrelaçãoaopontodereferência.Comoopesoseimobilizamomentaneamenteaoatingiropontomaisalto,aenergiacinéticanessepontoéK1=0.SubstituindoessesvaloresnaEq.8-17,obtemosaenergiacinéticaK2no

pontomaisbaixo:

K2+0=0+20JouK2=20J.

Observequeobtivemosesseresultadosemconsideraromovimentoentreospontosmaisbaixoemaisalto(comonaFig.8-7d)esemcalcularotrabalhorealizadopelasforçasresponsáveispelomovimento.

Teste3Afiguramostraquatrosituações,umanaqualumblocoinicialmenteemrepousoédeixadocaireoutrastrêsnasquaisobloco

descedeslizandoemrampassematrito.(a)OrdeneassituaçõesdeacordocomaenergiacinéticadobloconopontoB,emordem

decrescente.(b)OrdeneassituaçõesdeacordocomavelocidadedobloconopontoB,emordemdecrescente.

Exemplo8.03 Conservaçãodeenergiamecânicaemumtoboágua

Agrandevantagemdeusaroprincípiode conservaçãodaenergiamecânicaemvezda segunda leideNewtonéque issonos

permitepassardoestadoinicialparaoestadofinalsemlevaremconsideraçãoosestadosintermediários.Esteéumbomexemplo.

Na Fig. 8-8, uma criança, demassam, partedo repousonoaltodeum toboágua, aumaalturah=8,5macimadabasedo

brinquedo.Supondoqueapresençadaáguatornaoatritodesprezível,determineavelocidadedacriançaaochegaràbasedo

toboágua.

IDEIAS-CHAVE

(1)Nãopodemoscalcularavelocidadedacriançausandoaaceleraçãoduranteopercurso,comofizemosemcapítulosanteriores,

porquenãoconhecemosa inclinação(ângulo)dotoboágua.Entretanto,comoavelocidadeestárelacionadaàenergiacinética,

talvez possamos usar o princípio da conservação da energiamecânica para calcular a velocidade da criança. Nesse caso, não

precisaríamosconhecerainclinaçãodobrinquedo.(2)Aenergiamecânicaéconservadaemumsistemaseosistemaéisoladoese

astransferênciasdeenergiadentrodosistemasãocausadasapenasporforçasconservativas.Vamosverificar.

Forças:Duasforçasatuamsobreacriança.Aforçagravitacional,queéumaforçaconservativa,realizatrabalhosobreacriança.

Aforçanormal exercidapelo toboágua sobre a criançanão realiza trabalho, pois adireçãodessa força emqualquerpontoda

descidaésempreperpendicularàdireçãoemqueacriançasemove.

Figura8-8Umacriançadesceumaalturahescorregandoemumtoboágua.

Sistema:Comoaúnicaforçaquerealizatrabalhosobreacriançaéaforçagravitacional,escolhemososistemacriança-Terra

comoonossosistema,quepodemosconsiderarisolado.

Assim,temosapenasumaforçaconservativarealizandotrabalhoemumsistemaisoladoe,portanto,podemosusaroprincípio

deconservaçãodaenergiamecânica.

Cálculos:SejaEmec,a a energiamecânicaquandoa criançaestánoaltodo toboágua, e sejaEmec,b a energiamecânicaquandoa

criançaestánabase.Nessecaso,deacordocomoprincípiodaconservaçãodaenergiamecânica,

Explicitandoosdoistiposdeenergiamecânica,escrevemos

Dividindoaequaçãopormereagrupandoostermos,temos:

Fazendova=0eya−yb=h,obtemos

Essaéamesmavelocidadequea criança teria se caísseverticalmentedeumaalturade8,5m.Emumbrinquedodeverdade,

haveriaalgumatritoeacriançachegariaàbasecomumavelocidadeumpoucomenor.

Comentário:EsteproblemaédifícilderesolveraplicandoasleisdeNewton,masousodoprincípiodeconservaçãodaenergia

mecânica torna a solução extremamente simples. Por outro lado, se alguémquisesse saber quanto tempoa criança levapara

chegaràbasedotoboágua,osmétodosbaseadosemenergiaseriaminúteis;precisaríamosconheceraformaexatadotoboágua

e,mesmoassim,teríamosumproblemamuitodifícilpelafrente.

8-3INTERPRETAÇÃODEUMACURVADEENERGIAPOTENCIAL


8.07 Dada uma expressão para a energia potencial de uma partícula em função da posição x, determinar a força a que apartículaestásubmetida.

8.08Dadaumacurvadaenergiapotencialdeumapartículaemfunçãodaposiçãox,determinaraforçaaqueapartículaestásubmetida.

8.09Emumgráficodaenergiapotencialdeumapartículaemfunçãodex,traçarumaretapararepresentaraenergiamecânicaedeterminaraenergiacinéticadapartículaparaqualquervalordex.

8.10Seumapartículaestásemovendoaolongodeumeixox,usarumgráficodaenergiapotencialparaesseeixoeoprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicapararelacionarosvaloresdeenergiacinéticaeenergiapotencialdapartículaemumaposiçãoaosvaloresemoutraposição.

8.11Emumacurvadeenergiapotencialemfunçãodaposição,identificarpontosderetornoeregiõesqueapartículanãotemenergiasuficienteparaatingir.

8.12Conheceradiferençaentreequilíbrioneutro,equilíbrioestáveleequilíbrioinstável.

Ideias-Chave• Se conhecemos a função energia potencialU(x) de um sistema no qual uma força unidimensional F(x) age sobre umapartícula,podemoscalcularaforçausandoaequação

•SeafunçãoU(x)édadanaformadeumacurva,paraqualquervalordex,aforçaF(x)éonegativodainclinaçãodacurvaeaenergiacinéticadapartículaédadapor

K(x)=Emec−U(x)

emqueEmecéaenergiamecânicadosistema.

•Pontoderetornoéumpontoxnoqualomovimentodeumapartículamudadesentido. (Nesseponto,aenergiacinéticaénula.)•PontodeequilíbrioéumpontoxnoqualainclinaçãodacurvadeU(x)énula.(Nesseponto,aforçatambéménula.)

InterpretaçãodeumaCurvadeEnergiaPotencialVamos considerar, mais uma vez, uma partícula pertencente a um sistema no qual atua uma forçaconservativa.Destavezsupomosqueomovimentodapartículasedáao longodeumeixox enquantouma força conservativa realiza trabalho sobre ela. Podemos obter muitas informações a respeito domovimento da partícula a partir do gráfico da energia potencial do sistema em função da posição dapartícula,U(x).Antesdediscutiresse tipodegráfico,porém,precisamosdemaisumarelaçãoentreaforçaeaenergiapotencial.

CálculodaForça

AEq.8-6podeserusadaparacalcularavariaçãoΔUdaenergiapotencialentredoispontosemumasituaçãounidimensionalapartirdaforçaF(x).Agoraestamosinteressadosemfazerocontrário,ouseja,calcularaforçaapartirdafunçãoenergiapotencialU(x).Seomovimentodeumapartículaocorreapenasemumadimensão,o trabalhoW realizadoporuma

forçaqueagesobreapartículaquandoapartículapercorreumadistânciaΔxéF(x)Δx.Nessecaso,aEq.8-1podeserescritanaforma

ExplicitandoF(x)efazendooacréscimoΔxtenderazero,temos

queéaequaçãoprocurada.PodemosverificarseesteresultadoestácorretofazendoU(x)= kx2queéafunçãoenergiapotencial

paraumaforçaelástica.Nessecaso,ousodaEq.8-22leva,comoseriadeseesperar,àequaçãoF(x)=−kx, que é a lei de Hooke. Damesma forma, podemos fazerU(x) =mgx, que é a energia potencialgravitacional de um sistema partícula-Terra, com uma partícula demassam a uma altura x acima dasuperfíciedaTerra.Nessecaso,aEq.8-22nosdáF=−mg,queéaforçagravitacionalaqueapartículaestásubmetida.

ACurvadeEnergiaPotencial

AFig.8-9aéumgráficodeumafunçãoenergiapotencialU(x)paraumsistemanoqualumapartículasemove em uma dimensão enquanto uma força conservativa F(x) realiza trabalho sobre ela. PodemosfacilmentecalcularF(x)determinando (graficamente)a inclinaçãodacurvadeU(x) emváriospontos.[DeacordocomaEq.8-22,F(x)éonegativodainclinaçãodacurvaU(x).]AFig.8-9béumgráficodeF(x)obtidodessaforma.

PontosdeRetorno

Naausênciadeforçasdissipativas,aenergiamecânicaEdeumsistematemumvalorconstantedadopor

emqueaenergiapotencialU(x)eaenergiacinéticaK(x)sãofunçõesdaposiçãoxdapartícula.PodemosescreveraEq.8-23naforma

SuponhaqueEmec (que,comosabemos, temumvalorconstante) seja,porexemplo, iguala5,0 J.Essevalor pode ser representado naFig.8-9c por uma reta horizontal que intercepta o eixo da energia nopontocorrespondentea5,0J.(Aretaémostradanafigura.)PodemosusaraEq.8-24paradeterminaraenergiacinéticaKcorrespondenteaqualquerlocalizaçãox

dapartículaapartirdográficodeU(x).Paraisso,determinamos,nacurvadeU(x),ovalordeUparaessa localizaçãox e, em seguida, subtraímosU deEmec.NaFig.8-9e, por exemplo, se a partícula seencontraemqualquerpontoàdireitadex5,K=1,0J.OvalordeKémáximo(5,0J)quandoapartículaestáemx2emínimo(0J)quandoapartículaestáemx1.ComoKnãopodesernegativa(poisv2énecessariamenteumnúmeropositivo),apartículanãopode

passarparaa regiãoàesquerdadex1,naqualEmec−U é umnúmeronegativo.Quando a partícula semoveapartirdex2emdireçãoax1,Kdiminui(avelocidadedapartículadiminui)atéqueK=0emx=x1(avelocidadedapartículaseanula).Observeque,quandoapartículachegaax1,aforçaqueagesobreapartícula,dadapelaEq.8-22,é

positiva(poisaderivadadU/dx énegativa). Isso significaqueapartículanão ficaparadaemx1,mascomeçaasemoverparaadireita,invertendoseumovimento.Assim,x1éumpontoderetorno,umlugaremqueK=0(jáqueU=E)eapartículainverteosentidodemovimento.Nãoexistepontoderetorno(emqueK=0)noladodireitodográfico.Quandoapartículasedeslocaparaadireita,elacontinuaasemoverindefinidamentenessesentido.

Figura8-9 (a)GráficodeU(x),afunçãoenergiapotencialdeumsistemacomumapartículaquesemoveaolongodeumeixox.Comonãoexisteatrito,aenergiamecânicaéconservada.(b)GráficodaforçaF(x)queagesobreapartícula,obtidoapartirdográficodaenergiapotencialdeterminandoainclinaçãodográficoemváriospontos.(c)-(e)Comodeterminaraenergiacinética.(f)Omesmográficode(a),comtrêspossíveisvaloresdeEmec.

PontosdeEquilíbrio

AFig.8-9fmostratrêsvaloresdiferentesdeEmecsuperpostosaográficodafunçãoenergiapotencialU(x)daFig.8-9a.Vejamoscomoessesvaloresalteramasituação.SeEmec=4,0J(retavioleta),opontode

retornomudadex1paraumpontoentrex1ex2.Alémdisso,emqualquerpontoàdireitadex5,aenergiamecânica do sistema é igual à energia potencial; assim, a partícula não possui energia cinética, e (deacordocomaEq.8-22)nenhuma força atua sobre amesma,demodoqueelapermanece em repouso.Diz-se que uma partícula nessa situação está em equilíbrioneutro. (Uma bola de gude em umamesahorizontaléumexemplodessetipodeequilíbrio.)SeEmec=3,0J(retacor-de-rosa),existemdoispontosderetorno,umentrex1ex2eoutroentrex4ex5.

Alémdisso,x3éumterceiropontonoqualK=0.Seapartículaestiverexatamentenesseponto,aforçasobre ela também será nula e a partícula permanecerá em repouso. Entretanto, se a partícula forligeiramente deslocada em qualquer sentido, uma força a empurrará nomesmo sentido, e a partículacontinuará a se mover, afastando-se cada vez mais do ponto inicial. Diz-se que uma partícula nestasituaçãoestáemequilíbrioinstável.(Umaboladegudeequilibradanoaltodeumaboladebolicheéumexemplodessetipodeequilíbrio.)Considere agora o comportamento da partícula seEmec = 1,0 J (reta verde). Se colocada em x4, a

partícula fica indefinidamente nessa posição. Ela não pode se mover nem para a direita nem para aesquerda,poispara issoserianecessáriaumaenergiacinéticanegativa.Seaempurramos ligeiramenteparaaesquerdaouparaadireita,surgeumaforçarestauradoraqueafazretornaraopontox4.Diz-sequeuma partícula nessa situação está em equilíbrio estável. (Uma bola de gude no fundo de uma tigelahemisféricaéumexemplodessetipodeequilíbrio.)Secolocarmosapartículanopoçodepotencialemformadetaçacomcentroemx2,elaestaráentredoispontosderetorno.Poderásemover,masapenasentrex1ex3.

Teste4AfiguramostraafunçãoenergiapotencialU(x)deumsistemanoqualumapartículasemoveemumadimensão.(a)Ordeneas

regiõesAB,BCeCDdeacordocomomódulodaforçaqueagesobreapartícula,emordemdecrescente.(b)Qualéosentidoda

forçaquandoapartículaestánaregiãoAB?

Exemplo8.04 Interpretaçãodeumacurvadeenergiapotencial

Uma partícula de 2,00 kg se move ao longo de um eixo x, em um movimento unidimensional, sob a ação de uma força

conservativa.AFig.8-10amostraaenergiapotencialU(x)associadaàforça.Deacordocomográfico,seapartículaforcolocada

emqualquerposiçãoentrex=0ex=7,00,teráovalorindicadodeU.Emx=6,5m,avelocidadedapartículaév0=(−4,00m/s)

.(a)UseosdadosdaFig.8-10aparaindicaravelocidadedapartículaemx1=4,5m.

IDEIAS-CHAVE

(1)AenergiacinéticadapartículaédadapelaEq.7-1(K=mv2).(2)Comoapenasumaforçaconservativaagesobreapartícula,a

energiamecânicaEmec(=K+U)éconservadaquandoapartículasemove.(3)Assim,emumgráficodeU(x)comoodaFig.8-10a,

aenergiacinéticaéigualàdiferençaentreEmeceU.

Cálculos:Emx=6,5m,aenergiacinéticadapartículaédadapor

ComoaenergiapotencialnessepontoéU=0,aenergiamecânicaé

Emec=K0+U0=16,0J+0=16,0J.

EssevalordeEmec estáplotadocomoumaretahorizontalnaFig.8-10a. Comosepodeverna figura, emx=4,5ma energia

potencialéU1=7,0J.AenergiacinéticaK1éadiferençaentreEmeceU1:

K1=Emec−U1=16,0J−7,0J=9,0J.

ComoK1= mv2,temos:

(b)Qualéalocalizaçãodopontoderetornodapartícula?

IDEIA-CHAVE

Opontoderetornoéopontoemqueaforçaanulamomentaneamenteedepoisinverteomovimentodapartícula.Nesseponto,v

=0e,portanto,K=0.

Cálculos:ComoKéadiferençaentreEmeceU,estamosinteressadosemdeterminaropontodaFig.8-10aemqueográficodeU

encontraaretahorizontaldeEmec,comomostraaFig.8-10b.ComoográficodeUéumalinharetanaFig.8-10b,podemostraçar

doistriângulosretângulossemelhanteseusarofatodequearazãoentreoscatetoséamesmanosdoistriângulos:

oquenosdád=2,08m.Assim,opontoderetornoestálocalizadoem

(c)Determineaforçaqueagesobreapartículaquandoelaseencontranaregião1,9m<x<4,0m.

IDEIA-CHAVE

AforçaédadapelaEq.8-22[F(x)=−dU(x)/dx].Deacordocomaequação,aforçaéonegativodainclinaçãodacurvadeU(x).

Cálculos:ExaminandoográficodaFig.8-10b,vemosquenaregião1,0m<x<4,0maforçaé

Figura8-10(a)GráficodaenergiapotencialUemfunçãodaposiçãox.(b)Partedográficousadaparadeterminaropontode

retornodapartícula.

Assim,aforçatemummódulode4,3Neestáorientadanosentidopositivodoeixox.Esseresultadoécoerentecomofatodeque

apartícula,queinicialmenteestavasemovendoparaaesquerda,éfreadapelaforçaatéparare,emseguida,passaasemover

paraadireita.

8-4TRABALHOREALIZADOPORUMAFORÇAEXTERNASOBREUMSISTEMA


8.13Determinaravariaçãodaenergiacinéticaedaenergiapotencialdeumsistemaquandoosistemaésubmetidoaumaforçaexternanãodissipativa.

8.14Determinaravariaçãodaenergiacinética,daenergiapotencialedaenergiatérmicadeumsistemaquandoosistemaésubmetidoaumaforçaexternadissipativa.

Ideias-Chave•TrabalhoW é a energia transferida para um sistema ou de um sistema pormeio de uma força externa que age sobre osistema.•Quandomaisdeuma forçaexternaagesobreumsistema,o trabalho totaldas forçaséaenergia total transferidaparaosistema.•Quandoasforçasexternassãonãodissipativas,o trabalhorealizadosobreosistemaé igualàvariaçãoΔEmecdaenergiamecânicadosistema:

W=ΔEmec=ΔK+ΔU.

• Quando uma força externa dissipativa age sobre um sistema, a energia térmicaEt do sistema varia. (Essa energia estáassociadaaomovimentoaleatóriodosátomosemoléculasdosistema.)Nessecaso,otrabalhorealizadosobreosistemaédadopor

W=ΔEmec+ΔEt.

•AvariaçãodaenergiatérmicaΔEtestárelacionadaaomódulofkdaforçadeatritocinéticoeaomóduloddodeslocamentocausadopelaforçaexternapormeiodaequação

ΔEt=fkd.

TrabalhoRealizadoporumaForçaExternasobreumSistemaNoCapítulo7,definimosotrabalhocomoaenergiatransferidaparaumobjetooudeumobjetopormeiodeumaforçaqueagesobreosistema.Podemosagoraestenderessadefiniçãoparaumaforçaexternaqueagesobreumsistemadeobjetos.

Trabalhoéaenergiatransferidaparaumsistemaoudeumsistemapormeiodeumaforçaexternaqueagesobreosistema.

AFig.8-11amostraumtrabalhopositivo(umatransferênciadeenergiaparaumsistema),eaFig.8-11b

mostraumtrabalhonegativo(umatransferênciadeenergiadeumsistema).Quandomaisdeumaforçaagesobreumsistema,otrabalhototaldasforçaséigualàenergiatotaltransferidaparaosistemaouretiradadosistema.Essastransferênciassãosemelhantesàmovimentaçãodedinheiroemumacontabancáriapormeiode

depósitosesaques.Seumsistemacontémumaúnicapartículaouumúnicoobjetoquesecomportacomouma partícula, como no Capítulo 7, o trabalho realizado por uma força sobre o sistema pode mudarapenas a energia cinética do sistema. Essamudança é governada pelo teorema do trabalho e energiacinéticaexpressopelaEq.7-10(ΔK=W),ouseja,umapartículaisoladapossuiumúnicotipodeenergianaconta,aenergiacinética.Forçasexternaspodemapenastransferirenergiaparaessacontaouretirarenergia dessa conta. Se um sistema émais complicado, porém, uma força externa pode alterar outrasformasdeenergia(comoaenergiapotencial),ouseja,umsistemamaiscomplexopodeterváriascontasdeenergia.Vamos examinar as trocasde energianesses sistemasmais complexos tomandocomoexemploduas

situaçõesbásicas,umaquenãoenvolveoatritoeoutraqueenvolveoatrito.

Figura8-11 (a)O trabalho positivoW realizado sobre um sistema corresponde a uma transferência de energia para o sistema. (b) OtrabalhonegativoWcorrespondeaumatransferênciadeenergiaparaforadosistema.

SemAtrito

Em uma competição de arremesso de bolas de boliche, você se agacha e coloca asmãos em conchadebaixodabola.Emseguida,levanta-serapidamenteeaomesmotempoergueosbraços,lançandoabolaquandoasmãosatingemoníveldorosto.Duranteomovimentoparacima,aforçaquevocêaplicaàbolaobviamenterealiza trabalho.Trata-sedeumaforçaexternaàbolaquetransfereenergia,masparaqualsistema?Pararesponderaessapergunta,vamosverificarquaissãoasenergiasquemudam.Háumavariação

ΔKdaenergiacinéticadabolae,comoabolaeaTerraficarammaisafastadasumadaoutra,hátambém

umavariaçãoΔUdaenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terra.Paralevaremcontaasduasvariações,éprecisoconsiderarosistemabola-Terra.Assim,aforçaquevocêaplicaéumaforçaexternaquerealizatrabalhosobreosistemabola-Terra,eessetrabalhoédadopor

emqueΔEmecéavariaçãodaenergiamecânicadosistema.Essasduasequações,queestãorepresentadasnaFig.8-12,sãoequivalentesnocasodeumtrabalhorealizadoporumaforçaexternasobreosistemanaausênciadeatrito.

Figura8-12 UmtrabalhopositivoWé realizadosobreumsistemacompostoporumaboladebolicheeaTerra,causandoumavariaçãoΔEmecdaenergiamecânicadosistema,umavariaçãoΔKdaenergiacinéticadabolaeumavariaçãoΔUdaenergiapotencialgravitacionaldosistema.

ComAtrito

VamosagoraconsideraroexemplodaFig.8-13a.Umaforçahorizontalconstante puxaumblocoaolongodeumeixox,deslocando-odeumadistânciadeaumentandoavelocidadedoblocode 0para .Duranteomovimento,opisoexerceumaforçadeatritocinéticoconstante ksobreobloco.Inicialmente,vamosescolheroblococomonossosistemaeaplicaraeleasegundaleideNewton.Podemosescreveraleiparaascomponentesaolongodoeixox(Fres,x=max)naforma

Figura8-13 (a)Umbloco é puxado por uma força enquanto uma força de atrito cinético k se opõe aomovimento.O bloco temvelocidade 0,noiníciododeslocamento,evelocidade ,nofimdodeslocamento.(b)UmtrabalhopositivoWérealizadopelaforça sobreosistemabloco-piso,produzindoumavariaçãoΔEmecdaenergiamecânicadoblocoeumavariaçãoΔEtdaenergia térmicadoblocoedopiso.

Comoasforçassãoconstantes,aaceleração tambéméconstante.Assim,podemosusaraEq.2-16eescrever

Explicitandoa,substituindooresultadonaEq.8-27ereagrupandoostermos,obtemos

ou,como paraobloco,

Emumasituaçãomaisgeral(naqual,porexemplo,oblocoestásubindoumarampa),podehaverumavariaçãoda energiapotencial.Para levar emconta essapossívelvariação,generalizamosaEq. 8-29,escrevendo

Observamosexperimentalmentequeoblocoe apartedopisoao longodaqualobloco sedeslocaficammaisquentesquandooblocoestásemovendo.ComovamosvernoCapítulo18,atemperaturadeum objeto está relacionada à sua energia térmica Et (energia associada ao movimento aleatório dosátomosemoléculasdoobjeto).Nocasoqueestamosexaminando,aenergiatérmicadoblocoedopisoaumentaporque(1)existeatritoe(2)hámovimento.Lembre-sedequeoatritoécausadoporsoldasafrio entre duas superfícies. Quando o bloco desliza no piso, soldas são repetidamente rompidas erefeitas,aquecendooblocoeopiso.Assim,odeslizamentoaumentaaenergiatérmicaEtdoblocoedopiso.

Experimentalmente,observa-sequeoaumentoΔEtdaenergiatérmicaéigualaoprodutodomódulodaforçadeatritocinético,fk,pord,omódulododeslocamento:

Assim,podemosescreveraEq.8-30naforma

Fd éo trabalhoW realizadopela força externa (a energia transferidapela força),mas sobrequesistema o trabalho é realizado (onde são feitas as transferências de energia)? Para responder a essapergunta,verificamosquaissãoasenergiasquevariam.Aenergiamecânicadoblocovaria,eaenergiatérmicadoblocoeadopisotambémvariam.Assim,otrabalhorealizadopelaforçaérealizadosobreosistemabloco-piso.Essetrabalhoédadopor

AEq.8-33,queestá representadanaFig.8-13b, pode ser usadapara calcular o trabalho realizadosobreumsistemaporumaforçaexternadissipativa.

Teste5Emtrêsexperimentos,umblocoéempurradoporumaforçahorizontalemumpisocomatrito,comonaFig.8-13a.OmóduloF

daforçaaplicadaeoefeitodaforçasobreavelocidadedoblocosãomostradosnatabela.Nostrêsexperimentos,oblocopercorre

amesmadistânciad.Ordeneostrêsexperimentosdeacordocomavariaçãodaenergiatérmicadoblocoedopiso,emordem

decrescente.

Tentativa F Velocidadedobloco

a 5,0N diminui

b 7,0N permanececonstante

c 8,0N aumenta

Exemplo8.05 Trabalho,atritoevariaçãodaenergiatérmicadeumcaixotederepolhos

Umoperário empurra um caixote de repolhos (massa totalm = 14 kg), em um piso de concreto, com uma força horizontal

constante demódulo40N.Emumdeslocamentoretilíneodemódulod=0,50m,avelocidadedocaixotediminuidev0=0,60

m/sparav=0,20m/s.

(a)Qualfoiotrabalhorealizadopelaforça ,esobrequesistemaotrabalhofoirealizado?

IDEIA-CHAVE

Comoaforçaaplicada éconstante,podemoscalcularotrabalhorealizadopelaforçausandoaEq.7-7(W=Fdcosϕ).

Cálculo:Substituindoosvaloresconhecidoselevandoemcontaofatodequeaforça eodeslocamento apontamnamesma

direção,temos

Raciocínio:Paradeterminarqualéosistemasobreoqualotrabalhoérealizado,devemosexaminarquaissãoasenergiasque

variam.Comoavelocidadedocaixotevaria,certamenteexisteumavariaçãoΔKdaenergiacinéticadocaixote.Existeatritoentreo

piso e o caixote e, portanto, umavariaçãoda energia térmica?Observeque e a velocidadedo caixote apontamnomesmo

sentido.Assim,senãoexistisseatrito, acelerariaocaixote,fazendoavelocidadeaumentar.Comoavelocidadedocaixoteestá

diminuindo, deve existir atrito e, portanto, deve ocorrer uma variação ΔEt da energia térmica do caixote e do piso. Assim, o

sistemasobreoqualotrabalhoérealizadoéosistemacaixote-piso,jáqueasvariaçõesdeenergiaocorremnessesistema.

(b)QualéoaumentoΔEtdaenergiatérmicadocaixoteedopiso?

IDEIA-CHAVE

PodemosrelacionarΔEtaotrabalhoWrealizadopelaforça usandoadefiniçãodeenergiadaEq.8-33paraumsistemanoqual

existeatrito:

Cálculos:OvalordeWfoicalculadonoitem(a).Comoaenergiapotencialnãovariou,avariaçãoΔEmecdaenergiamecânicado

engradadoéigualàvariaçãodaenergiacinética,epodemosescrever

SubstituindoessaexpressãonaEq.8-34eexplicitandoΔEt,obtemos

Osdadosfornecidosnãosãosuficientesparadeterminarmosquepartedaenergiatérmicavaiparaocaixoteequepartevaiparao

piso;podemoscalcularapenasaenergiatérmicatotal.

8-5CONSERVAÇÃODAENERGIA


8.15Aplicara leideconservaçãodaenergiaaumsistemaisolado(quenãoestásujeitoaforçasexternas)pararelacionaraenergiatotalinicialàenergiatotalemuminstanteposterior.

8.16Relacionarotrabalhorealizadosobreumsistemaporforçasexternasàvariaçãodaenergiatotaldosistema.

8.17 Conhecer a relação entre a potência média, a transferência de energia associada e o intervalo de tempo no qual éexecutadaessatransferência.

8.18 Dada uma transferência de energia em função do tempo (na forma de uma equação ou de uma curva), determinar apotênciainstantânea(ataxadetransferênciadeenergia).

Ideias-Chave•AenergiaEtotaldeumsistema(somadaenergiamecânicaedasenergiasinternas,incluindoaenergiatérmica)podevariarapenasquandoexisteumatransferênciadeenergiadomeioexternoparaosistemaoudosistemaparaomeioexterno.Estefatoexperimentaléconhecidocomoleideconservaçãodaenergia.•SeumtrabalhoWérealizadosobreosistema,

W=ΔE=ΔEmec+ΔEt+ΔEint.

Seosistemaéumsistemaisolado(W=0),

emqueosíndices1e2indicamdoisinstantesdiferentes.•Apotênciadesenvolvidaporumaforçaéa taxacomaquala força transfereenergia.SeumaquantidadedeenergiaΔEétransferidaporumaforçaemumintervalodetempoΔt,apotênciamédiadesenvolvidapelaforçaédadapor

•Apotênciainstantâneadesenvolvidaporumaforçaédadapor

EmumacurvadaenergiaEemfunçãodotempot,apotênciainstantâneaemumdadoinstanteéainclinaçãodacurvanesseinstante.

ConservaçãodaEnergiaJá discutimos várias situações nas quais a energia era transferida entre objetos e sistemas, damesma

formacomoodinheiroémovimentadoentrecontasbancárias.Emtodasessassituações,supusemosqueaenergia envolvida não variava, ou seja, que uma parte da energia não podia aparecer ou desaparecermagicamente. Em termos mais formais, supusemos (corretamente) que a energia obedecia a uma leiconhecida como lei de conservação da energia, que se refere à energia totalE de um sistema. Aenergia total é a soma da energia mecânica com a energia térmica e qualquer outro tipo de energiainterna do sistema além da energia térmica. (Esses outros tipos de energia interna ainda não foramdiscutidos.)Deacordocomaleideconservaçãodaenergia,

AenergiatotalEdeumsistemapodemudarapenaspormeiodatransferênciadeenergiaparadentrodosistemaouparaforado

sistema.

OúnicotipodetransferênciadeenergiaqueconsideramosatéagorafoiotrabalhoWrealizadosobreumsistema.Assim,paranós,aestaaltura,aleideconservaçãodaenergiaestabeleceque

em que ΔEmec é a variação da energiamecânica do sistema, ΔEt é a variação da energia térmica dosistema, eΔEint é umavariação de qualquer outro tipo de energia interna do sistema.EmΔEmec estãoincluídas as variações ΔK da energia cinética e as variações ΔU da energia potencial (elástica,gravitacional,ouqualqueroutraformaqueexista).Aleideconservaçãodaenergianãoéalgoquededuzimosapartirdeprincípiosbásicosdafísica,mas

sebaseia em resultados experimentais.Os cientistas e engenheirosnuncaobservaramumaexceção.Aenergiasimplesmentenãopodeapareceroudesaparecermagicamente.

SistemaIsolado

Umsistemaisoladonãopodetrocarenergiacomoambiente.Nessecaso,aleideconservaçãodaenergiapodeserexpressadaseguinteforma:

Aenergiatotaldeumsistemaisoladonãopodevariar.

Muitas transferências de energia podem acontecerdentro de um sistema isolado, como, por exemplo,entreenergiacinéticaealgumaformadeenergiapotencialouentreenergiacinéticaeenergia térmica.Entretanto,aenergiatotaldosistemanãopodevariar.Considere,porexemplo,oalpinistadaFig.8-14,seuequipamentoeaTerracomoumsistemaisolado.

Enquanto desce a encosta da montanha, fazendo variar a configuração do sistema, o jovem precisacontrolar a transferência de energia potencial gravitacional do sistema. (Essa energia não podesimplesmentedesaparecer.)Partedaenergiapotencialéconvertidaemenergiacinética.Oalpinistanãoquertransferirmuitaenergiaparaessaforma,pois,nessecaso,desceriadepressademais.Paraevitarqueissoaconteça,elepassaacordaporargolasdemetaldemodoaproduziratritoentreacordaeasargolasdurante a descida. A passagem da corda pelas argolas transfere energia potencial gravitacional dosistemaparaenergiatérmicadasargolasedacordadeumaformacontrolável.Aenergiatotaldosistemaalpinista-equipamento-Terra(asomadasenergiaspotencialgravitacional,cinéticaetérmica)nãovariaduranteadescida.No caso de um sistema isolado, a lei de conservação da energia pode ser escrita de duas formas.

Primeiro,fazendoW=0naEq.8-35,obtemos

Imaginechina.APPhoto.GlowImages.

Figura8-14 Para descer, um alpinista precisa transferir energia da energia potencial gravitacional de um sistema formado por ele, seuequipamentoeaTerra.Oalpinistaenrolouacordaemanéisdemetalparaquehouvesseatritoentreacordaeosanéis.Issofezcomqueamaiorpartedaenergiapotencialgravitacionalfossetransferidaparaaenergiatérmicadacordaedosanéisenãoparaaenergiacinéticadoalpinista.

Podemos também fazer ΔEmec =Emec,2 − Emec,1, em que os índices 1 e 2 se referem a dois instantesdiferentes,antesedepoisdaocorrênciadeumcertoprocesso,digamos.Nessecaso,aEq.8-36setorna

DeacordocomaEq.8-37,

Emumsistemaisolado,podemosrelacionaraenergiatotalemumdadoinstanteàenergiatotalemoutroinstantesemconsiderara

energiaeminstantesintermediários.

Este fato pode ser uma ferramenta poderosa para resolver problemas em que precisamos analisar asformasdeenergiadeumsistemaisoladoantesedepoisdeumdadoprocesso.No Módulo 8-2, discutimos uma situação especial dos sistemas isolados, aquela na qual forças

dissipativas(comoaforçadeatritocinético)nãoatuavamdentrodosistema.Nessecasoespecial,ΔEteΔEintsãonulaseaEq.8-37sereduzàEq.8-18.Emoutraspalavras,aenergiamecânicadeumsistemaisoladoéconservadaquandonãoexistemforçasdissipativasagindonosistema.

ForçasExternaseTransferênciasInternasdeEnergia

Uma força externa pode mudar a energia cinética ou a energia potencial de um objeto sem realizartrabalhosobreoobjeto,ouseja,semtransferirenergiaparaoobjeto.Emvezdisso,aforçaselimitaatransferirenergiadeumaformaparaoutranointeriordoobjeto.AFig.8-15mostraumexemplo.Umapatinadora,inicialmenteemrepouso,empurraumabarraepassa

adeslizarnogelo(Figs.8-15ae8-15b).Aenergiacinéticadapatinadoraaumentaporqueabarraexerceuma força externa sobre a patinadora. Entretanto, a força não transfere energia da barra para apatinadorae,portanto,nãorealizatrabalhosobreapatinadora;oaumentodaenergiacinéticasedeveaumatransferênciainternadaenergiabioquímicadosmúsculosdamoçaparaenergiacinética.

Figura8-15 (a)Quandoumapatinadoraempurraumabarra,abarraexerceumaforça sobreapatinadora. (b)Quando a patinadoralarga a barra, adquiriu umavelocidade .(c)A forçaexterna age sobre a patinadora, formando um ânguloϕ como eixo horizontal x.Quandoapatinadorasofreumdeslocamento ,suavelocidademudade 0(=0)para porcausadacomponentehorizontalde .

AFig.8-16mostraoutroexemplo.Ummotordecombustãointernaaumentaavelocidadedeumcarroquepossuitraçãonasquatrorodas(asquatrorodassãoacionadaspelomotor).Duranteaaceleração,omotorfazospneusempurraremopavimentoparatrás.Oempurrãodáorigemaumaforçadeatrito queempurra os pneus para a frente.A força externa resultante exercida pelo pavimento, que é a somadessas forças de atrito, acelera o carro, aumentando sua energia cinética. Entretanto, não transfereenergiadopavimentoparao carro e, portanto, não realiza trabalho; o aumentoda energia cinéticadocarrosedeveàtransferênciadaenergiaquímicacontidanocombustível.Emsituaçõessemelhantesaessasduas,àsvezespodemosrelacionaraforçaexterna queagesobre

umobjetoàvariaçãodaenergiamecânicadoobjetoseconseguimossimplificarasituação.Considereoexemplo da patinadora. Enquanto ela empurra o corrimão e percorre a distância d da Fig. 8-15c,podemossimplificarasituaçãosupondoqueaaceleraçãoéconstante,comavelocidadevariandodev0=0parav. (Issoequivaleasuporqueomóduloeaorientaçãode sãoconstantes.)Apósoempurrão,podemossimplificarasituaçãoconsiderandoapatinadoracomoumapartículaedesprezandoofatodeque o esforço muscular aumentou a energia térmica do corpo da patinadora, além de alterar outrosparâmetrosfisiológicos.Sendoassim,podemosaplicaraEq.7-5( )eescrever

Seasituaçãotambémenvolveumamudançadaalturaemqueestáoobjeto,podemoslevaremcontaavariaçãoΔUdaenergiapotencialgravitacionalescrevendo

A força do lado direito da Eq. 8-39 não realiza trabalho sobre o objeto, mas é responsável pelas

variaçõesdeenergiaqueaparecemdoladoesquerdodaequação.

Figura8-16 Umcarroaceleraparaadireitausandotraçãonasquatrorodas.Opavimentoexercequatroforçasdeatrito(duasdasquaisaparecemnafigura)sobreaparteinferiordospneus.Asomadasquatroforçaséaforçaexternaresultante queagesobreocarro.

Potência

Agoraquesabemosqueumaforçapodetransferirenergiadeumaformaparaoutrasemrealizartrabalho,podemosampliaradefiniçãodepotênciaapresentadanocapítuloanterior.NoMódulo7-6,apotênciafoidefinidacomoataxacomaqualumaforçarealizatrabalho.Emumsentidomaisgeral,apotênciaPéataxacomaqualumaforçatransfereenergiadeumaformaparaoutra.SeumadadaquantidadedeenergiaΔEétransferidaduranteumintervalodetempoΔt,apotênciamédiadesenvolvidapelaforçaédadapor

Analogamente,apotênciainstantâneadesenvolvidapelaforçaédadapor

Exemplo8.06 Formasdeenergiaemumtoboágua

AFig.8-17mostraumtoboáguanoqualumcarrinhoéimpulsionadoporumamolaedesceumescorregacomágua(sematrito)

atéabasedobrinquedo,ondemergulhaparcialmentenaáguaesemovehorizontalmenteatéqueoatritocomaáguao faça

parar.Amassatotaldocarrinho(incluindooocupante)ém=200kg,acompressãoinicialdamolaéd=5,00m,aconstante

elásticadamolaék=3,20×103N/m,aalturainicialéh=35,0meocoeficientedeatritocinéticoentreocarrinhoeaáguano

trechohorizontaldopercursoéμk=0,800.Qualéadistânciaqueocarrinhopercorrenotrechohorizontalatéparar?

IDEIA-CHAVE

Antesdepegarumacalculadoraecomeçarafazercálculos,precisamosinvestigarasforçasenvolvidasparasaberqualéanatureza

dosistemaequeequaçõesvamosusar.Estamosdiantedeumsistemaisolado(e,portanto,devemosaplicaraleideconservação

daenergia)oudeumsistemasubmetidoaumaforçaexterna(casoemquedevemosrelacionarotrabalhorealizadopelaforçaà

variaçãodeenergiadosistema)?

Forças:Aforçanormalqueoescorregaexercesobreocarrinhonãorealizatrabalhosobreocarrinhoporqueadireçãodaforça

ésempreperpendicularàdireçãodedeslocamentodocarrinho.Aforçagravitacionalrealizatrabalhosobreocarrinhoe,comose

tratadeumaforçaconservativa,podeserassociadaaumaenergiapotencial.Quandoamolacolocaocarrinhoemmovimento,ela

realizatrabalhosobreocarrinho,convertendoenergiapotencialelásticadamolaemenergiacinéticadocarrinho.Amolatambém

exerceumaforçasobreaparedeondeestápresasuaoutraextremidade.Comoexisteatritoentreocarrinhoeaáguanotrecho

horizontal,apassagemdocarrinhonessetrechoprovocaumaumentodaenergiatérmicadaáguaedocarrinho.

Figura8-17 Umtoboáguadeumparquedediversões.

Sistema:Vamosdefinirosistemacomooconjuntodetodososcorposqueestãointeragindo:ocarrinho,oescorrega,amola,a

Terraeaparede.Nessecaso,comotodasasinteraçõessãointernas,osistemaéisoladoeaenergiatotalnãopodemudar.Assim,a

equaçãoaserusadaéadaleideconservaçãodaenergiaenãoadaleisegundoaqualavariaçãodeenergiaéigualaotrabalho

realizadoporumaforçaexterna.Emnossocaso,aleipodeserescritanaformadaEq.8-37:

Domesmomodocomo,emumbalançofinanceiro,aquantiafinaléigualàquantiainicialmenosaquantiaquefoiroubada

porumladrão,emnossocaso,aenergiamecânicafinaléigualàenergiamecânicainicialmenosaenergiaquefoiroubadapelo

atrito.Aenergianãopodeapareceroudesaparecermagicamente.

Cálculos: Agora que dispomos de uma equação, chegou a hora de calcularmos a distância L. Vamos usar o índice 1 para

representaroestadoinicialdocarrinho(quandoaindaestáemcontatocomamolacomprimida)eoíndice2pararepresentaro

estado finaldocarrinho (quantoestáemrepousono trechohorizontaldopercurso).Nosdoisestados,aenergiamecânicado

sistemaéasomadaenergiapotencialcomaenergiacinética.

Temosdoistiposdeenergiapotencial:aenergiapotencialelástica( )associadaàcompressãodamolaeaenergia

potencialgravitacional(Ug=mgy)associadaàalturaemqueestáocarrinho.Nosegundocaso,vamostomaroníveldabasedo

escorregacomoníveldereferência.Issosignificaqueaalturainicialdocarrinhoéy=heaalturafinaléy=0.

Noestadoinicial,comamolacomprimidaeocarrinhoparadonoaltodotoboágua,aenergiaé

Noestadofinal,comamolarelaxadaeocarrinhoparadonabasedotoboágua,aenergiaé

VamosagoracalcularavariaçãoΔEtdaenergiatérmicadocarrinhoedaáguadotrechohorizontaldopercurso.Deacordocom

aEq. 8-31, podemos substituirΔEt por fkL (o produtodomóduloda forçade atrito pelo comprimentodo trecho onde existe

atrito).DeacordocomaEq.6-2,fk=μkFN,emqueFNéaforçanormal.Comoocarrinhosemovehorizontalmentenotrechoonde

existeatrito,FN=mg (a forçadereaçãodaáguaequilibraopesodocarrinho).Assim,aenergiaqueoatritoroubadaenergia

mecânicaédadapor

(Apropósito,osdadosnãosãosuficientespara calcularmosdeque formaaenergia térmicaédistribuídaentreo carrinhoea

água;conhecemosapenasaenergiatérmicatotal.)SubstituindoasEqs.8-43,8-44e8-45naEq.8-42,obtemos

e

Finalmente,notecomoasoluçãoésimples.Definindoadequadamenteosistemaereconhecendoqueestamoslidandocom

um sistema isolado, pudemos usar a lei de conservação da energia. Isso significa que pudemos relacionar o estado final do

sistema ao estado inicial semnecessidade de conhecer os estados intermediários. Em particular, não precisamos investigar o

comportamentodocarrinhoenquantoeledeslizavaemumescorregadeforma irregular.Se,emvezdisso, tentássemosusara

segunda lei de Newton, teríamos que conhecer a forma exata do toboágua e, mesmo assim, os cálculos seriammuitomais

trabalhosos.

RevisãoeResumo

ForçasConservativas Uma força é uma força conservativa se o trabalho que ela realiza sobre umapartículaseanulaaolongodeumpercursofechado.Podemosdizertambémqueumaforçaéconservativaseotrabalhoqueelarealizasobreumapartículaquesemoveentredoispontosnãodependedatrajetóriaseguidapelapartícula.Aforçagravitacionaleaforçaelásticasãoforçasconservativas;aforçadeatritocinéticoéumaforçadissipativa(nãoconservativa).

EnergiaPotencialEnergiapotencialéaenergiaassociadaàconfiguraçãodeumsistemasubmetidoàaçãodeumaforçaconservativa.QuandoaforçaconservativarealizaumtrabalhoWsobreumapartículadosistema,avariaçãoΔUdaenergiapotencialdosistemaédadapor

Seapartículasedeslocadopontoxiparaopontoxf,avariaçãodaenergiapotencialdosistemaé

EnergiaPotencialGravitacionalAenergiapotencialassociadaaumsistemaconstituídopelaTerraeumapartículapróximaéchamadadeenergiapotencialgravitacional.Seumapartícula sedeslocadeumaalturayiparaumaalturayf,avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemapartícula-Terraédadapor

Seopontode referência deumapartícula é tomadocomoyi = 0 e a energia potencial gravitacionalcorrespondentedosistemaétomadacomoUi=0,aenergiapotencialgravitacionalUdeumapartículaaumaalturayédadapor

EnergiaPotencialElásticaEnergiapotencialelásticaéaenergiaassociadaaoestadodecompressãooudistensãodeumobjetoelástico.NocasodeumamolaqueexerceumaforçaelásticaF=−kxquandoaextremidadelivresofreumdeslocamentox,aenergiapotencialelásticaédadapor

Naconfiguraçãodereferência,quandoamolaestánoestadorelaxado,x=0eU=0.

EnergiaMecânicaAenergiamecânicaEmecdeumsistemaéasomadaenergiacinéticaKcomaenergiapotencialUdosistema:

Sistema isolado éumsistemanoqualnenhuma forçaexterna produzvariaçõesde energia.Se apenasforçasconservativasrealizamtrabalhoemumsistemaisolado,aenergiamecânicaEmecdosistemanãopodevariar.Esseprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicapodeserescritonaforma

emque os índices se referem a diferentes instantes de umprocesso de transferência de energia. Esseprincípiodeconservaçãopodetambémserescritonaforma

CurvasdeEnergiaPotencialSeconhecemosafunçãoenergiapotencialU(x)deumsistemanoqualumaforçaunidimensionalF(x)agesobreumapartícula,podemosdeterminaraforçausandoaequação

SeU(x)édadanaformadeumgráfico,paraqualquervalordex,aforçaF(x)éonegativodainclinaçãodacurvanopontoconsideradoeaenergiacinéticadapartículaédadapor

emqueEmecéaenergiamecânicadosistema.Umpontoderetornoéumpontoxnoqualomovimentodeumapartículamudadesentido(nesseponto,K=0).ApartículaestáemequilíbrionospontosemqueainclinaçãodacurvadeU(x)énula[nessespontos,F(x)=0)].

TrabalhoRealizadosobreumSistemaporumaForçaExternaO trabalhoWéaenergia transferidaparaumsistema,oudeumsistema,porumaforçaexternaqueagesobreosistema.Quandomaisdeumaforçaexternaagesobreosistema,otrabalhototaldasforçaséigualàenergiatransferida.Quandonãoexisteatrito,otrabalhorealizadosobreosistemaeavariaçãoΔEmecdaenergiamecânicadosistemasãoiguais:

Quandoumaforçadeatritocinéticoagedentrodosistema,aenergiatérmicaEtdosistemavaria.(Essaenergia está associada ao movimento aleatório dos átomos e moléculas do sistema.) Nesse caso, otrabalhorealizadosobreosistemaédadopor

AvariaçãoΔEtestárelacionadaaomódulofkdaforçadeatritoeaomóduloddodeslocamentocausadopelaforçaexternapormeiodaequação

ConservaçãodaEnergiaAenergiatotalEdeumsistema(asomadaenergiamecânicaedasenergias

internas,incluindoaenergiatérmica)sópodevariarsecertaquantidadedeenergiafortransferidaparaosistema, ou retirada do sistema. Esse fato experimental é conhecido como lei de conservação daenergia.SeumtrabalhoWforrealizadosobreosistema,

Seosistemaforisolado(W=0),issonosdá

emqueosíndices1e2indicamdoisinstantesdiferentes.

PotênciaApotênciadesenvolvidaporumaforçaéa taxacomaqualessa força transfereenergia.SeumadadaquantidadedeenergiaΔEétransferidaporumaforçaemumintervalodetempoΔt,apotênciamédiadesenvolvidapelaforçaédadapor

Apotênciainstantâneadesenvolvidaporumaforçaédadapor

Perguntas1NaFig.8-18,umblocoquesemovehorizontalmentepodeseguirtrêscaminhossematrito,quediferemapenas na altura, para alcançar a linha de chegada representada por uma reta tracejada. Ordene oscaminhos,emordemdecrescente,deacordo (a)comavelocidadedoblocona linhadechegadae (b)comotempodepercursodoblocoatéalinhadechegada.


2AFig.8-19mostraafunçãoenergiapotencialdeumapartícula.(a)OrdeneasregiõesAB,BC,CDe

DEdeacordocomomódulodaforçaqueatuasobreapartícula,emordemdecrescente.QualéomaiorvalorpermitidodaenergiamecânicaEmec(b)paraqueapartículafiqueaprisionadanopoçodepotencialdaesquerda,(c)paraqueapartículafiqueaprisionadanopoçodepotencialdadireita,e(d)paraqueapartículasejacapazdesemoverentreosdoispoços,massemultrapassaropontoH?Paraasituaçãodoitem(d),emqualdasregiõesBC,DEeFGapartículapossui(e)amaiorenergiacinéticae(f)amenorvelocidade?


3AFig.8-20mostraumcaminhodiretoequatrocaminhosindiretosdopontoiaopontof.Aolongodocaminhodiretoede trêsdoscaminhos indiretos,apenasumaforçaconservativaFcagesobreumdadoobjeto. Ao longo do quarto caminho indireto, tantoFc como uma força dissipativaFd agem sobre oobjeto.A variaçãoΔEmec da energiamecânica do objeto (em joules) ao se deslocar de i para f estáindicadaaoladodecadasegmentodoscaminhosindiretos.QualéovalordeΔEmec (a)de ipara faolongodocaminhodiretoe(b)produzidaporFdaolongodocaminhoemqueessaforçaatua?


4NaFig.8-21,umpequenobloco,inicialmenteemrepouso,éliberadoemumarampasematritoaumaalturade3,0m.Asalturasdas elevaçõesao longoda rampaestão indicadasna figura.Oscumesdaselevaçõessãotodosiguais,deformacircular,eobloconãoperdecontatocomopisoemnenhumadaselevações.(a)Qualéaprimeiraelevaçãoqueobloconãoconseguesuperar?(b)Oqueacontececomoblocoemseguida?Nocumedequeelevação(c)aaceleraçãocentrípetadoblocoémáximae(d)aforçanormalsobreoblocoémínima?


5NaFig.8-22,umblocodeslizadeAparaCemumarampasematritoedepoispassaparaumaregiãohorizontalCDondeestásujeitoaumaforçadeatrito.Aenergiacinéticadoblocoaumenta,diminuioupermanececonstante(a)naregiãoAB,(b)naregiãoBCe(c)naregiãoCD?(d)Aenergiamecânicadoblocoaumenta,diminuioupermanececonstantenessasregiões?


6NaFig.8-23a,vocêpuxaparacimaumacordapresaaumcilindroquedeslizaemumahastecentral.Comoocilindroeahasteseencaixamsemfolga,oatritoéconsiderável.AforçaquevocêaplicarealizaumtrabalhoW=+100Jsobreosistemacilindro-eixo-Terra(Fig.8-23b).Um“balançodeenergia”dosistema é mostrado na Fig. 8-23c: a energia cinética K aumenta de 50 J e a energia potencialgravitacionalUg aumentade20 J.Aúnicaoutravariaçãodaenergiadentrodo sistemaéadaenergiatérmicaEt.QualéavariaçãoΔEt?


7OarranjodaFig.8-24ésemelhanteaodaPergunta6.Agora,vocêpuxaparabaixoumacordaqueestápresaaocilindroquedeslizacomatritoemumahastecentral.Alémdisso,aodescer,ocilindropuxaumblocopormeiodeumasegundacordaeofazdeslizaremumabancada.Considerenovamenteosistemacilindro-eixo-Terra,semelhanteaodaFig.8-23b.Otrabalhoquevocêrealizasobreosistemaéde200J.Osistemarealizaumtrabalhode60Jsobreobloco.Dentrodosistema,aenergiacinéticaaumentade130Jeaenergiapotencialgravitacionaldiminuide20J.(a)Escrevaum“balançodeenergia”paraosistema,semelhanteaodaFig.8-23c.(b)Qualéavariaçãodaenergiatérmicadentrodosistema?


8NaFig.8-25,umblocodeslizaemumapistaquedesceumaalturah.Apistanãopossuiatrito,excetonapartemaisbaixa.Nessaparte,oblocodeslizaatéparar,devidoaoatrito,depoisdepercorrerumadistânciaD.(a)Sehdiminui,oblocopercorreumadistânciamaior,menorouigualaDatéparar?(b)Se,emvezdisso,amassadoblocoaumenta,adistânciaqueoblocopercorreatépararémaior,menorouigualaD?


9AFig.8-26mostratrêssituaçõesqueenvolvemumplanocomatritoeumblocoquedeslizanoplano.Oblococomeçacomamesmavelocidadenastrêssituaçõesedeslizaatéqueaforçadeatritocinéticoofaçaparar.Ordeneassituaçõesdeacordocomoaumentodaenergiatérmicadevidoaodeslizamento,emordemdecrescente.


10AFig.8-27mostra trêsbolas iguaisque são lançadasdomesmonível e comamesmavelocidadeescalar.Aprimeiraélançadanavertical,asegundaélançadacomumavelocidadequefazumpequenoângulo coma vertical, e a terceira é lançada para cima emumplano inclinado sem atrito.Ordene asbolas de acordo com a velocidade escalar que possuem ao atingirem o nível da reta tracejada,começandopelamaior.


11Quandoumapartículasedeslocadoponto fparaoponto iedoponto jparaoponto i seguindoastrajetórias mostradas na Fig. 8-28 e nos sentidos indicados, uma força conservativa realiza ostrabalhos indicados.Qualéo trabalho realizadopela força sobreapartículaquandoela sedeslocadiretamentedefparaj?


Problemas


InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísica,deJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo8-1EnergiaPotencial

·1Qualéaconstanteelásticadeumamolaquearmazena25Jdeenergiapotencialaosercomprimida7,5cm?

·2NaFig.8-29,umcarrodemontanha-russa,demassam=825kg,atingeocumedaprimeiraelevaçãocomumavelocidadev0=17,0m/saumaalturah=42,0m.Oatritoédesprezível.Qualéo trabalhorealizadosobreocarropelaforçagravitacionalentreestepontoe(a)opontoA,(b)opontoBe (c)opontoC?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemacarro-TerraétomadacomonulaemC,qualéoseuvalorquandoocarroestá(d)emBe(e)emA?(f)Seamassaméduplicada,avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemaentreospontosAeBaumenta,diminuioupermaneceamesma?


·3Vocêdeixacairumlivrode2,00kgparaumaamigaqueestánacalçada,aumadistânciaD=10,0mabaixodevocê.Seasmãosestendidasdasuaamigaestãoaumadistânciad=1,5macimadosolo(Fig.8-30),(a)qualéotrabalhoWgrealizadosobreolivropelaforçagravitacionalatéolivrocairnasmãosda sua amiga? (b) Qual é a variação ΔU da energia potencial gravitacional do sistema livro-Terraduranteaqueda?SeaenergiapotencialgravitacionalUdosistemaéconsideradanulanoníveldosolo,qualéovalordeU(c)quandovocêdeixacairolivroe(d)quandoolivrochegaàsmãosdasuaamiga?SuponhaagoraqueovalordeUé100Jaoníveldosoloecalculenovamente(e)Wg,(f)ΔU,(g)Uno

pontodoqualvocêdeixoucairolivroe(h)Unopontoemqueolivrochegouàsmãosdasuaamiga.


·4 A Fig. 8-31mostra uma bola, demassam = 0,341 kg, presa à extremidade de uma haste fina decomprimentoL=0,452memassadesprezível.Aoutraextremidadedahasteéarticulada,demodoqueabolapodesemoveremumacircunferênciavertical.Ahasteémantidanaposiçãohorizontal,comonafigura, edepois recebeum impulsoparabaixocom força suficienteparaqueabolapassepelopontomaisbaixoda circunferência e continue emmovimento até chegar aopontomais alto comvelocidadenula.Qualéotrabalhorealizadosobreabolapelaforçagravitacionaldopontoinicialaté(a)opontomaisbaixo,(b)opontomaisalto,(c)opontoàdireitanamesmaalturaqueopontoinicial?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terraétomadacomozeronopontoinicial,determineoseuvalorquandoabolaatinge(d)opontomaisbaixo,(e)opontomaisaltoe(f)opontoàdireitanamesmaalturaqueopontoinicial.(g)Suponhaqueahastetenharecebidoumimpulsomaiorepassepelopontomaisaltocomumavelocidadediferentedezero.AvariaçãoΔUgdopontomaisbaixoaopontomaisaltoémaior,menorouamesmaquequandoabolachegavaaopontomaisaltocomvelocidadezero?


·5NaFig.8-32,umflocodegelode2,00géliberadonabordadeumataçahemisféricacom22,0cmderaio.Nãoháatritonocontatodo flococoma taça. (a)Qualéo trabalho realizadosobreo flocopela

força gravitacional durante a descida do floco até o fundo da taça? (b)Qual é a variação da energiapotencialdosistemafloco-Terraduranteadescida?(c)Seaenergiapotencialé tomadacomonulanofundodataça,qualéseuvalorquandooflocoésolto?(d)Se,emvezdisso,aenergiapotencialétomadacomonulanopontoondeoflocoésolto,qualéoseuvalorquandooflocoatingeofundodataça?(e)Sea massa do floco fosse duplicada, os valores das respostas dos itens de (a) a (d) aumentariam,diminuiriamoupermaneceriamosmesmos?


··6NaFig.8-33,umpequenobloco,demassam=0,032kg,podedeslizaremumapistasematritoqueformaumloopderaioR=12cm.OblocoéliberadoapartirdorepousonopontoP,aumaalturah=5,0R acima do ponto mais baixo do loop. Qual é o trabalho realizado sobre o bloco pela forçagravitacionalquandooblocosedeslocadopontoPpara(a)opontoQe(b)opontomaisaltodoloop?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemabloco-Terraétomadacomozeronopontomaisbaixodoloop,qualéaenergiapotencialquandooblocoseencontra(c)nopontoP,(d)nopontoQe(e)nopontomaisaltodoloop?(f)Se,emvezdesersimplesmenteliberado,oblocorecebeumavelocidadeinicialparabaixoaolongodapista,asrespostasdositensde(a)a(e)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmas?


··7AFig.8-34mostraumahastefina,decomprimentoL=2,00memassadesprezível,quepodegirar

emtornodeumadasextremidadesparadescreverumacircunferênciavertical.Umabola,demassam=5,00kg,estápresanaoutraextremidade.Ahasteépuxadalateralmenteatéfazerumânguloθ0=30,0°comaverticaleliberadacomvelocidadeinicial 0=0.Quandoaboladesceatéopontomaisbaixodacircunferência, (a) qual é o trabalho realizado sobre a bola pela força gravitacional e (b) qual é avariaçãodaenergiapotencialdosistemabola-Terra?(c)Seaenergiapotencialgravitacionalétomadacomozeronopontomaisbaixodacircunferência,qualéseuvalornomomentoemqueabolaéliberada?(d)Osvaloresdasrespostasdositensde(a)a(c)aumentam,diminuemoupermanecemosmesmosseoânguloθ0éaumentado?

Figura8-34 Problemas7,18e21.

··8Umaboladenevede1,50kgélançadadeumpenhascode12,5mdealtura.Avelocidadeinicialdaboladeneveé14,0m/s,41,0°acimadahorizontal.(a)Qualéotrabalhorealizadosobreaboladenevepela força gravitacional durante o percurso até um terreno plano, abaixo do penhasco? (b) Qual é avariação da energia potencial do sistema bola de neve-Terra durante o percurso? (c) Se a energiapotencialgravitacionalétomadacomonulanaalturadopenhasco,qualéoseuvalorquandoaboladenevechegaaosolo?

Módulo8-2ConservaçãodaEnergiaMecânica

·9NoProblema2,qualéavelocidadedocarro(a)nopontoA,(b)nopontoBe(c)nopontoC?(d)Quealturaocarroalcançanaúltimaelevação,queéaltademaisparasertransposta?(e)Seocarrotivesseumamassaduasvezesmaior,quaisseriamasrespostasdositens(a)a(d)?

·10 (a)NoProblema3,qualéavelocidadedo livroaochegaràsmãosdasuaamiga? (b)Seo livrotivesse umamassa duas vezesmaior, qual seria a velocidade? (c) Se o livro fosse arremessado parabaixo,arespostadoitem(a)aumentaria,diminuiriaoupermaneceriaamesma?

·11(a)NoProblema5,qualéavelocidadedoflocodegeloaochegaraofundodataça?(b)Seoflocodegelotivesseodobrodamassa,qualseriaavelocidade?(c)Seoflocodegelotivesseumavelocidadeinicialparabaixo,arespostadoitem(a)aumentaria,diminuiriaoupermaneceriaamesma?

·12 (a) No Problema 8, usando técnicas de energia em vez das técnicas do Capítulo 4, determine avelocidadedaboladeneveaochegaraosolo.Qualseriaessavelocidade(b)seoângulodelançamentofossemudadopara41,0°abaixodahorizontale(c)seamassafosseaumentadapara2,50kg?

·13Umaboladegudede5,0gé lançadaverticalmenteparacimausandoumaespingardademola.Amoladevesercomprimida8,0cmparaqueabolaapenastoqueumalvo20macimadaposiçãodaboladegudenamolacomprimida.(a)QualéavariaçãoΔUgdaenergiapotencialgravitacionaldosistemaboladegude-Terraduranteasubidade20m?(b)QualéavariaçãoΔUsdaenergiapotencialelásticadamoladuranteolançamentodaboladegude?(c)Qualéaconstanteelásticadamola?

·14(a)NoProblema4,qualdeveseravelocidadeinicialdabolaparaqueelachegueaopontomaisaltodacircunferênciacomvelocidadeescalarzero?Nessecaso,qualéavelocidadedabola (b)nopontomaisbaixoe(c)nopontoàdireitanamesmaalturaqueopontoinicial?(d)Seamassadabolafosseduas vezes maior, as respostas dos itens (a) a (c) aumentariam, diminuiriam ou permaneceriam asmesmas?

·15NaFig.8-35,umcaminhãoperdeuos freiosquandoestavadescendouma ladeira a130km/heomotoristadirigiuoveículoparaumarampadeemergência,sematrito,comumainclinaçãoθ=15°.Amassadocaminhãoé1,2×104kg.(a)QualéomenorcomprimentoLquearampadeveterparaqueocaminhãopare(momentaneamente)antesdechegaraofinal?(Suponhaqueocaminhãopodesertratadocomo uma partícula e justifique essa suposição.) O comprimento mínimo L aumenta, diminui oupermaneceomesmo(b)seamassadocaminhãoformenore(c)seavelocidadeformenor?


··16Umblocode700géliberado,apartirdorepouso,deumaalturah0acimadeumamolaverticalcomconstante elástica k = 400 N/m e massa desprezível. O bloco se choca com a mola e paramomentaneamentedepoisdecomprimiramola19,0cm.Qualéotrabalhorealizado(a)peloblocosobreamolae(b)pelamolasobreobloco?(c)Qualéovalordeh0?(d)Seoblocofossesoltodeumaaltura2,00h0acimadamola,qualseriaamáximacompressãodamola?

··17NoProblema6,qualéomódulodacomponente(a)horizontale(b)verticaldaforçaresultantequeatuasobreobloconopontoQ?(c)Dequealturahoblocodeveriaser liberado,apartirdorepouso,para ficar na iminência de perder contato com a superfície no alto do loop? (Iminência de perder ocontatosignificaqueaforçanormalexercidapeloloopsobreoblocoénulanesseinstante.)(d)Ploteomódulo da força normal que age sobre o bloco no alto do loop em função da altura inicialh, para o

intervalodeh=0ah=6R.

··18 (a)NoProblema7,qualéavelocidadedabolanopontomaisbaixo?(b)Avelocidadeaumenta,diminuioupermaneceamesmaseamassaaumenta?

··19AFig.8-36mostraumapedrade8,00kgemrepousosobreumamola.Amolaécomprimida10,0cmpelapedra.(a)Qualéaconstanteelásticadamola?(b)Apedraéempurradamais30cmparabaixoeliberada.Qual é a energiapotencial elásticadamola comprimida antesde ser liberada? (c)Qual é avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemapedra-Terraquandoapedrasedeslocadopontoondefoiliberadaatéaalturamáxima?(d)Qualéaalturamáxima,medidaapartirdopontoondeapedrafoiliberada?


··20Umpênduloéformadoporumapedrade2,0kgoscilandonaextremidadedeumacordade4,0mdecomprimentoemassadesprezível.Apedratemvelocidadede8,0m/saopassarpelopontomaisbaixodatrajetória.(a)Qualéavelocidadedapedraquandoacordaformaumângulode60°comavertical?(b)Qualéomaiorângulocomaverticalqueacordaassumeduranteomovimentodapedra?(c)Seaenergiapotencialdosistemapêndulo-Terraétomadacomonulanaposiçãomaisbaixadapedra,qualéaenergiamecânicatotaldosistema?

··21 A Fig. 8-34mostra um pêndulo de comprimento L = 1,25 m. O peso do pêndulo (no qual estáconcentrada,paraefeitospráticos,todaamassa)temvelocidadev0quandoacordafazumânguloθ0=40,0°comavertical.(a)Qualéavelocidadedopesoquandoestánaposiçãomaisbaixasev0=8,00m/s?Qualéomenorvalordev0paraoqualopêndulooscilaparabaixoedepoisparacima(b)atéaposiçãohorizontale(c)atéaposiçãoverticalcomacordaesticada?(d)Asrespostasdositens(b)e(c)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmasseθ0aumentardealgunsgraus?

··22 Umesquiadorde60kgpartedorepousoaumaalturaH=20macimadaextremidadedeumarampapara saltosde esqui (Fig.8-37) e deixa a rampa fazendo um ânguloθ = 28o com a horizontal.Desprezeosefeitosdaresistênciadoaresuponhaquearampanãotematrito.(a)Qualéaalturamáximahdosaltoemrelaçãoàextremidadedarampa?(b)Seoesquiadoraumentasseoprópriopesocolocandoumamochilanascostas,hseriamaior,menorouigual?


··23AcordadaFig.8-38,decomprimentoL=120cm,possuiumabolapresaemumadasextremidadeseestáfixanaoutraextremidade.AdistânciaddaextremidadefixaaumpinonopontoPé75,0cm.Abola, inicialmente em repouso, é liberada com o fio na posição horizontal, como mostra a figura, epercorrea trajetória indicadapeloarco tracejado.Qual é avelocidadedabolaaoatingir (a)opontomaisbaixodatrajetóriae(b)opontomaisaltodepoisqueacordaencostanopino?


··24Umbloco,demassam=2,0kg,édeixadocairdeumaalturah=40cmsobreumamoladeconstanteelástica k = 1960 N/m (Fig. 8-39). Determine a variação máxima de comprimento da mola ao sercomprimida.


··25Emt=0,umabolade1,0kgéatiradadeumatorrecom =(18m/s) +(24m/s) QuantoéΔUdosistemabola-Terraentret=0et=6,0s(aindaemquedalivre)?

··26Umaforçaconservativa =(6,0x−12) N,emquexestáemmetros,agesobreumapartículaquesemoveaolongodeumeixox.AenergiapotencialUassociadaaessaforçarecebeovalorde27Jemx=0.(a)EscrevaumaexpressãoparaUcomoumafunçãodex,comUemjoulesexemmetros.(b)Qualéomáximovalorpositivodaenergiapotencial?Paraquevalor(c)negativoe(d)positivodexaenergiapotencialénula?

··27Tarzan,quepesa688N,saltadeumpenhasco,penduradonaextremidadedeumcipócom18mdecomprimento(Fig.8-40).Doaltodopenhascoatéopontomaisbaixodatrajetória,eledesce3,2m.Ocipóseromperáseforsubmetidoaumaforçamaiorque950N.(a)Ocipóserompe?Searespostafornegativa,qualéamaiorforçaaqueésubmetidoocipó?Searespostaforafirmativa,qualéoânguloqueocipóestáfazendocomaverticalnomomentoemqueserompe?


··28AFig.8-41aserefereàmoladeumaespingardaderolha(Fig.8-41b);elamostraaforçadamolaem função do alongamento ou compressão da mola. A mola é comprimida 5,5 cm e usada paraimpulsionarumarolhade3,8g.(a)Qualéavelocidadedarolhaseelaseseparadamolaquandoestapassapelaposiçãorelaxada?(b)Suponhaque,emvezdisso,arolhapermaneçaligadaàmolaeamolasofraumalongamentode1,5cmantesdeocorreraseparação.Qualé,nessecaso,avelocidadedarolhanomomentodaseparação?


··29NaFig.8-42,umbloco,demassam=12kg,éliberadoapartirdorepousoemumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=30°.Abaixodoblocoháumamolaquepodesercomprimida2,0cmporumaforça de 270N.O bloco paramomentaneamente após comprimir amola 5,5 cm. (a)Que distância oblocodesceaolongodoplanodaposiçãoderepousoinicialatéopontoemqueparamomentaneamente?(b)Qualéavelocidadedobloconomomentoemqueeleentraemcontatocomamola?


··30Umacaixadepão,de2,0kg,emumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=40°,estápresa,por

umacordaquepassaporumapolia,aumamoladeconstanteelásticak=120N/m,comomostraaFig.8-43.Acaixaéliberadaapartirdorepousoquandoamolaseencontrarelaxada.Suponhaqueamassaeoatrito da polia sejam desprezíveis. (a)Qual é a velocidade da caixa após percorrer 10 cm? (b)Quedistânciaoblocopercorredopontoemquefoiliberadoatéopontoemqueparamomentaneamente?(c)Qualéomóduloe(d)qualéosentido(paracimaouparabaixoaolongodoplano)daaceleraçãodobloconoinstanteemqueeleparamomentaneamente?


··31Umbloco,demassam=2,00kg,estáapoiadoemumamolaemumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=30,0° (Fig.8-44). (Obloconãoestápresoàmola.)Amola,deconstanteelásticak=19,6N/cm, é comprimida 20 cm e depois liberada. (a) Qual é a energia potencial elástica da molacomprimida?(b)Qualéavariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemabloco-Terraquandooblocosemovedopontoemquefoiliberadoatéopontomaisaltoqueatingenoplanoinclinado?(c)Qualéadistânciapercorridapeloblocoaolongodoplanoinclinadoatéatingiraalturamáxima?


··32NaFig.8-45,umacorrenteémantidaemumamesa,sematrito,comumquartodocomprimentototalpendendoparaforadamesa.SeacorrentetemumcomprimentoL=28cmeumamassam=0,012kg,qualéotrabalhonecessárioparapuxarapartependuradaparacimadamesa?


···33NaFig.8-46,umamolacomk=170N/mestápresanoaltodeumplanoinclinado,sematrito,deângulo θ = 37,0°. A extremidade inferior do plano inclinado fica a uma distância D = 1,00 m daextremidadeinferiordamolaquandoestaseencontrarelaxada.Umalatade2,00kgéempurradacontraamolaatéestasercomprimida0,200medepoisliberada.(a)Qualéavelocidadedalatanoinstanteemqueamolaretornaaocomprimentorelaxado(queéomomentoemquealataperdecontatocomamola)?(b)Qualéavelocidadedalataaoatingiraextremidadeinferiordoplanoinclinado?


···34UmmeninoestáinicialmentesentadonoaltodeummontehemisféricodegeloderaioR=13,8m.Elecomeçaadeslizarparabaixocomumavelocidadeinicialtãopequenaquepodeserdesprezada(Fig.8-47).Suponhaqueoatritocomogeloédesprezível.Emquealturaomeninoperdecontatocomogelo?


···35NaFig.8-42,umblocodemassam=3,20kgdeslizaparabaixo,apartirdorepouso,percorreumadistânciademumplanoinclinado,deânguloθ=30,0°,esechocacomumamoladeconstanteelástica431 N/m. Quando o bloco para momentaneamente, a mola fica comprimida 21,0 cm. (a) Qual é a

distânciade(b)qualéadistânciaentreopontodoprimeirocontatodoblococomamolaeopontoondeavelocidadedoblocoémáxima?

···36Duasmeninasestãodisputandoumjogonoqual tentamacertarumapequenacaixa,nochão,comumaboladegudelançadaporumcanhãodemolamontadoemumamesa.AcaixaestáaumadistânciahorizontalD=2,20mdabordadamesa;vejaaFig.8-48.Liacomprimeamola1,10cm,masocentrodaboladegudecai27,0cmantesdocentrodacaixa.DequantoRosadevecomprimiramolaparaacertaracaixa?Suponhaqueoatritodamolaedabolacomocanhãoédesprezível.


···37Umacordauniformecom25cmdecomprimentoe15gdemassaestápresahorizontalmenteemumteto.Mais tarde,épenduradaverticalmente,comapenasumadasextremidadespresano teto.Qualéavariaçãoda energia potencial da cordadevido a essamudançadeposição? (Sugestão: Considere umtrechoinfinitesimaldacordaeuseumaintegral.)

Módulo8-3InterpretaçãodeumaCurvadeEnergiaPotencial

··38AFigura8-49mostraumgráficodaenergiapotencialUemfunçãodaposiçãoxparaumapartículade 0,200 kg que pode se deslocar apenas ao longo de um eixo x sob a influência de uma forçaconservativa.TrêsdosvaloresmostradosnográficosãoUA=9,00J,UC=20,00JeUD=24,00J.ApartículaéliberadanopontoemqueUformauma“barreiradepotencial”de“altura”UB=12,00J,comumaenergiacinéticade4,00J.Qualéavelocidadedapartícula(a)emx=3,5me(b)emx=6,5m?Qualéaposiçãodopontoderetorno(c)doladodireitoe(d)doladoesquerdo?


··39AFig.8-50mostraumgráficodaenergiapotencialUemfunçãodaposiçãoxparaumapartículade0,90kgquepodesedeslocarapenasaolongodeumeixox.(Forçasdissipativasnãoestãoenvolvidas.)OstrêsvaloresmostradosnográficosãoUA=15,0J,UB=35,0JeUC=45,0J.Apartículaéliberadaemx=4,5mcomumavelocidadeinicialde7,0m/s,nosentidonegativodoeixox. (a)Seapartículapuderchegaraopontox=1,0m,qualserásuavelocidadenesseponto?Senãopuder,qualseráopontoderetorno?(b)Qualéomóduloe(c)qualaorientaçãodaforçaexperimentadapelapartículaquandoelacomeçaasemoverparaaesquerdaapartirdopontox=4,0m?Suponhaqueapartículasejaliberadanomesmopontoecomamesmavelocidade,masosentidodavelocidadesejaosentidopositivodex. (d)Seapartículapuderchegaraopontox=7,0m,qualserásuavelocidadenesseponto?Senãopuder,qualserá o ponto de retorno? (e) Qual é o módulo e (f) qual a orientação da força experimentada pelapartículaquandoelacomeçaasemoverparaadireitaapartirdopontox=5,0m?


··40Aenergiapotencialdeumamoléculadiatômica(umsistemadedoisátomos,comoH2ouO2)édadapor

em que r é a distância entre os átomos da molécula eA eB são constantes positivas. Essa energiapotencialestáassociadaàforçadeligaçãoentreosdoisátomos.(a)Determineadistânciadeequilíbrio,ouseja,adistânciaentreosátomosparaaqualaforçaaqueosátomosestãosubmetidosénula.Aforçaérepulsivaouatrativaseadistânciaé(b)menore(c)maiorqueadistânciadeequilíbrio?

···41UmaúnicaforçaconservativaF(x)agesobreumapartículade1,0kgquesemoveaolongodeumeixox.AenergiapotencialU(x)associadaaF(x)édadapor

U(x)=−4xe−x/4J,

emquexestáemmetros.Emx=5,0m,apartículapossuiumaenergiacinéticade2,0J.(a)Qualéaenergiamecânicadosistema?(b)FaçaumgráficodeU(x)emfunçãodexpara0≤x≤10meplote,nomesmo gráfico, a reta que representa a energiamecânica do sistema.Use o gráfico do item (b) paradeterminar(c)omenorvalordexqueapartículapodeatingire(d)omaiorvalordexqueapartículapodeatingir.Useográficodoitem(b)paradeterminar(e)aenergiacinéticamáximadapartículae(f)ovalor dex paraoqual a energia cinética atinge essevalor. (g)EscrevaumaexpressãoparaF(x), emnewtons,emfunçãodex,emmetros.(h)F(x)=0paraquevalor(finito)dex?

Módulo8-4TrabalhoRealizadoporumaForçaExternasobreumSistema

·42Umoperárioempurraumcaixotede27kg,comvelocidadeconstante,por9,2m,emumpisoplano,comumaforçaorientada32°abaixodahorizontal.Seocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopisoé0,20,(a)qualéotrabalhorealizadopelooperárioe(b)qualéoaumentodaenergiatérmicadosistemabloco-piso?

·43Umcolliearrastaacaixadedormiremumpiso,aplicandoumaforçahorizontalde8,0N.Omódulodaforçadeatritocinéticoqueagesobreacaixaé5,0N.Quandoacaixaéarrastadaporumadistânciade0,7m,qualé(a)otrabalhorealizadopelaforçadocãoe(b)qualoaumentodeenergiatérmicadacaixaedopiso?

··44Umaforçahorizontaldemódulo35,0Nempurraumbloco,demassa4,00kg,emumpisonoqualocoeficientedeatritocinéticoé0,600.(a)Qualéotrabalhorealizadopelaforçasobreosistemabloco-piso seobloco sofreumdeslocamentode3,00m? (b)Duranteodeslocamento, a energia térmicadoblocoaumentade40,0J.Qualéoaumentodaenergiatérmicadopiso?(c)Qualéoaumentodaenergiacinéticadobloco?

··45Umacordaéusadaparapuxarumblocode3,57kgcomvelocidadeconstante,por4,06m,emumpisohorizontal.Aforçaqueacordaexercesobreoblocoé7,68N,15,0°acimadahorizontal.Qualé(a)otrabalhorealizadopelaforçadacorda,(b)qualoaumentonaenergiatérmicadosistemabloco-pisoe(c)qualocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopiso?

Módulo8-5ConservaçãodaEnergia

·46 Um jogador de beisebol arremessa uma bola com uma velocidade escalar inicial de 81,8 mi/h.Imediatamente antesdeumoutro jogador segurar abolanamesmaaltura, avelocidadedabola é110pés/s.Qualfoiareduçãodaenergiamecânicadosistemabola-Terra,empés-libras,produzidapelaforçadearrastodoar?(Amassadeumaboladebeiseboléde9,0onças.)

·47Umdiscodeplásticode75géarremessadodeumponto1,1macimadosolo,comumavelocidadeescalar de 12m/s.Quando o disco atinge uma altura de 2,1m, sua velocidade é 10,5m/s.Qual é areduçãodaEmecdosistemadisco-Terraproduzidapelaforçadearrastodoar?

·48NaFig.8-51,umblocodeslizaparabaixoemumplanoinclinado.EnquantosemovedopontoAparaopontoB,queestãoseparadosporumadistânciade5,0m,umaforça commódulode2,0Nedirigidaparabaixoaolongodoplanoinclinado,agesobreobloco.Omódulodaforçadeatritoqueagesobreoblocoé10N.Seaenergiacinéticadoblocoaumentade35JentreAeB,qualéotrabalhorealizadopelaforçagravitacionalsobreoblocoenquantoelesemovedeAatéB?


·49 Um urso de 25 kg escorrega, a partir do repouso, 12 m para baixo em um tronco de pinheiro,movendo-se com uma velocidade de 5,6 m/s imediatamente antes de chegar ao chão. (a) Qual é avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemaurso-Terraduranteodeslizamento?(b)Qualéaenergiacinéticadoursoimediatamenteantesdechegaraochão?(c)Qualéaforçadeatritomédiaqueagesobreoursoenquantoeleestáescorregando?

·50 Umesquiadorde60kgdeixaumarampadesaltocomumavelocidadede24m/s,fazendoumângulode25°paracimacomahorizontal.Devidoàforçadearrastodoar,oesquiadortocaanevecomumavelocidade de 22m/s, emumponto 14m abaixoda extremidadeda rampa.Dequanto a energiamecânicadosistemaesquiador-Terrafoireduzidapelaforçadearrastodoarduranteosalto?

·51Duranteumaavalanche,umapedrade520kgdeslizaapartirdorepouso,descendoaencostadeumamontanhaquetem500mdecomprimentoe300mdealtura.Ocoeficientedeatritocinéticoentreapedraeaencostaé0,25.(a)SeaenergiapotencialgravitacionalUdosistemarocha-Terraénulanabasedamontanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual é energiatransformadaemenergiatérmicaduranteaavalanche?(c)Qualéaenergiacinéticadapedraaochegaràbasedamontanha?(d)Qualéavelocidadedapedranesseinstante?

··52Umbiscoitodementira,deslizandoemumasuperfíciehorizontal,estápresoaumadasextremidadesde umamola horizontal de constante elástica k = 400N/m; a outra extremidade damola está fixa.Obiscoitopossuiumaenergiacinéticade20,0Jaopassarpelaposiçãodeequilíbriodamola.Enquantoo

biscoitodesliza,umaforçadeatritodemódulo10,0Nagesobreele.(a)Quedistânciaobiscoitodeslizaa partir da posição de equilíbrio antes de pararmomentaneamente? (b) Qual é a energia cinética dobiscoitoquandoelepassadevoltapelaposiçãodeequilíbrio?

··53NaFig.8-52,umblocode3,5kgéaceleradoapartirdo repousoporumamolacomprimida,deconstante elástica 640N/m.O bloco deixa amola quando esta atinge seu comprimento relaxado e sedeslocaemumpisohorizontalcomumcoeficientedeatritocinéticoμk=0,25.Aforçadeatritofazcomque o bloco pare depois de percorrer uma distânciaD = 7,8m.Determine (a) o aumento da energiatérmica do sistema bloco-piso, (b) a energia cinéticamáxima do bloco e (c) o comprimento damolaquandoestavacomprimida.


··54Uma criança que pesa 267Ndesce emumescorrega de 6,1mque faz umângulo de 20° comahorizontal.O coeficiente de atrito cinético entre o escorrega e a criança é 0,10. (a)Qual é a energiatransformada em energia térmica? (b) Se a criança começa a descida no alto do escorrega com umavelocidadede0,457m/s,qualésuavelocidadeaochegaraochão?

··55NaFig.8-53,umblocodemassam=2,5kgdeslizadeencontroaumamoladeconstanteelásticak=320N/m.Oblocoparaapóscomprimiramola7,5cm.Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopisoé0,25.Paraointervaloemqueoblocoestáemcontatocomamolaesendolevadoaorepouso,determine(a)otrabalhototalrealizadopelamolae(b)oaumentodaenergiatérmicadosistemabloco-piso.(c)Qualéavelocidadedoblocoimediatamenteantesdesechocarcomamola?


··56Vocêempurraumblocode2,0kgcontraumamolahorizontal,comprimindo-a15cm.Emseguida,vocêsoltaobloco,eamolaofazdeslizaremumamesa.Oblocoparadepoisdepercorrer75cmapartirdopontoemquefoisolto.Aconstanteelásticadamolaé200N/m.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeamesa?

··57 Na Fig. 8-54, um bloco desliza ao longo de uma pista, de um nível para outro mais elevado,

passandoporumvaleintermediário.Apistanãopossuiatritoatéoblocoatingironívelmaisalto,ondeuma força de atrito faz com que o bloco fique em repouso depois de percorrer uma distância d. Avelocidadeinicialv0doblocoé6,0m/s,adiferençadealturahé1,1meμké0,60.Determineovalorded.


··58Umpotedebiscoitosestásubindoumplanoinclinadode40°.Emumpontoa55cmdedistânciadabasedoplanoinclinado(aolongodoplano),opotepossuiumavelocidadede1,4m/s.Ocoeficientedeatritocinéticoentreopoteeoplanoinclinadoé0,15.(a)Qualéadistânciaadicionalpercorridapelopoteatépararmomentaneamenteantesdecomeçaradescer?(b)Qualéavelocidadedoblocoaochegarnovamente à base do plano inclinado? (c) As respostas dos itens (a) e (b) aumentam, diminuem oupermanecemasmesmasquandoocoeficientedeatritocinéticoéreduzido(semalteraravelocidadeeaposiçãodopote)?

··59Umapedraquepesa5,29Nélançadaverticalmente,apartirdoníveldosolo,comumavelocidadeinicialde20,0m/seoarrastodoarsobreelaéde0,265Ndurante todoopercurso.Determine(a)aalturamáximaalcançadapelapedrae(b)avelocidadedapedraimediatamenteantesdesechocarcomosolo.

··60Umpacotede4,0kgcomeçaasubirumplanoinclinadode30°comumaenergiacinéticade128J.Quedistânciaopacotepercorreantesdepararseocoeficientedeatritocinéticoentreopacoteeoplanoé0,30?

··61 Quando um besouro salta-martim está deitado de costas, ele pode pular encurvandobruscamente o corpo, o que converte em energia mecânica a energia armazenada em um músculo,produzindoumestaloaudível.Ovideoteipedeumdessespulosmostraqueumbesourodemassam=4,0×10−6kgsedesloca0,77mmnaverticalduranteumsaltoeconsegueatingirumaalturamáximah=0,30m.Qualéovalormédio,duranteosalto, (a)domóduloda forçaexternaexercidapelopisosobreascostasdobesouroe(b)domódulodaaceleraçãodobesouroemunidadesdeg?

···62NaFig.8-55,umblocodeslizaemumapistasematritoatéchegaraumtrechodecomprimentoL=0,75m,quecomeçaaumaalturah=2,0memumarampadeânguloθ=30°.Nessetrecho,ocoeficientedeatritocinéticoé0,40.OblocopassapelopontoAcomumavelocidadede8,0m/s.Seoblocopode

chegaraopontoB(ondeoatritoacaba),qualésuavelocidadenesteponto?Senãopode,qualéamaioralturaqueeleatingeacimadeA?


···63Ocabodoelevadorde1800kgdaFig.8-56serompequandooelevadorestáparadonoprimeiroandar,comopisoaumadistânciad=3,7macimadeumamoladeconstanteelásticak=0,15MN/m.Umdispositivo de segurança prende o elevador aos trilhos laterais, de modo que uma força de atritoconstante,de4,4kN,passaaseoporaomovimento.(a)Determineavelocidadedoelevadornomomentoemqueelesechocacomamola.(b)Determineamáximareduçãoxdocomprimentodamola(aforçadeatritocontinuaaagirenquantoamolaestásendocomprimida).(c)Determineadistânciaqueoelevadorsobe de volta no poço. (d) Usando a lei de conservação da energia, determine a distância totalaproximada que o elevador percorre até parar. (Suponha que a força de atrito sobre o elevador édesprezívelquandooelevadorestáparado.)


···64NaFig.8-57,umblocoéliberado,apartirdorepouso,aumaalturad=40cm,desceumarampasematritoechegaaumprimeirotrechoplano,decomprimentod,emqueocoeficientedeatritocinéticoé0,50.Seoblocoaindaestásemovendo,desceumasegundarampasematrito,dealturad/2,echegaaumsegundotrechoplano,emqueocoeficientedeatritocinéticotambémé0,50.Seoblocoaindaestásemovendo,elesobeumarampasematritoatéparar(momentaneamente).Ondeoblocopara?Seaparada

finaléemumtrechoplano,digaemqualdelesecalculeadistânciaLqueoblocopercorreapartirdaextremidadeesquerdadesseplatô.Seoblocoalcançaarampa,calculeaalturaHacimadotrechoplanomaisbaixoondeoblocoparamomentaneamente.


···65Umapartículapodedeslizaremumapistacomextremidadeselevadaseumapartecentralplana,comomostra aFig.8-58.A parte plana tem comprimentoL = 40 cm.Os trechos curvos da pista nãopossuematrito,masnaparteplanaocoeficientedeatritocinéticoéμk=0,20.ApartículaéliberadaapartirdorepousonopontoA,queestáaumaalturaL/2.Aquedistânciadaextremidadeesquerdadaparteplanaapartículafinalmentepara?


ProblemasAdicionais

66Umapreguiça,de3,2kg,estápenduradaemumaárvore,3,0macimadosolo.(a)Qualéaenergiapotencialgravitacionaldosistemapreguiça-Terra,setomamosopontodereferênciay=0comooníveldosolo?Seapreguiçacaidaárvoreeoarrastodoarédesprezível,determine(b)aenergiacinéticae(c)avelocidadedapreguiçanomomentoemqueoanimalchegaaosolo.

67Umamola(k=200N/m)estápresanoaltodeumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=40°(Fig.8-59).Umblocode1,0kgélançadoparacimaaolongodoplano,deumaposiçãoinicialqueestáaumadistânciad=0,60mdaextremidadedamolarelaxada,comumaenergiacinéticainicialde16J.(a)Qualé a energia cinética do bloco no instante emque ele comprime amola 0,20m? (b)Comque energiacinética o bloco deve ser lançado ao longo do plano para ficar momentaneamente parado depois decomprimiramola0,40m?


68Umprojétilde0,55kgélançadodabordadeumpenhascocomumaenergiacinéticainicialde1550J. Amaior distância vertical que o projétil atinge acima do ponto de lançamento é 140m. Qual é acomponente (a) horizontal e (b) vertical da velocidade de lançamento? (c) No instante em que acomponente vertical da velocidade é 65m/s, qual é o deslocamento vertical em relação ao ponto delançamento?

69NaFig.8-60,apoliatemmassadesprezível,etantoelacomooplanoinclinadonãopossuematrito.OblocoA temmassade1,0kg,oblocoB temmassade2,0kgeoânguloθéde30°.Seosblocossãoliberadosapartirdo repousocomacordaesticada,qualéaenergiacinética totalapósoblocoB terdescido25cm?


70 Na Fig. 8-38, a corda tem um comprimento L = 120 cm e possui uma bola presa em uma dasextremidades,enquantoaoutraestáfixa.ExisteumpinonopontoP.Liberadaapartirdorepouso,aboladesceatéacorda tocaropino;emseguida,abola sobeecomeçaagirarem tornodopino.Qualéomenorvalordadistânciadparaqueaboladêumavoltacompletaemtornodopino?(Sugestão:Aboladeveaindaestarsemovendonopontomaisaltodavolta.Vocêsabeporquê?)

71NaFig.8-51,umblocoélançadoparabaixo,emumarampasematrito,comumavelocidadeinicialdiferentedezero.AvelocidadedobloconospontosAeBé2,00m/se2,60m/s,respectivamente.Emseguida, é novamente lançadoparabaixo,masdessavez a velocidadenopontoA é 4,00m/s.Qual éentãoavelocidadedobloconopontoB?

72DoispicosnevadosestãoH=850meh=750macimadovalequeossepara.Umapistadeesqui,

comumcomprimentototalde3,2kmeumainclinaçãomédiaq=30°,ligaosdoispicos(Fig.8-61).(a)Um esquiador parte do repouso no cume domontemais alto.Comque velocidade chega ao cume domontemaisbaixosenãousarosbastõesparadarimpulso?Ignoreoatrito.(b)Qualéovaloraproximadodocoeficientedeatritocinéticoentreaneveeosesquisparaqueoesquiadorpareexatamentenocumedomontemaisbaixo?


73Atemperaturadeumcubodeplásticoémedidaenquantoocuboéempurrado3,0memumpiso,comvelocidadeconstante,porumaforçahorizontalde15N.Asmedidasrevelamqueaenergiatérmicadocuboaumentou20J.Qualfoioaumentodaenergiatérmicadopisoaolongodoqualocubodeslizou?

74Umaesquiadoraquepesa600Npassapeloaltodeummorrocircular,sematrito,deraioR=20m(Fig.8-62).Suponhaqueosefeitosdaresistênciadoarsãodesprezíveis.Nasubida,aesquiadorapassapelopontoB,emqueoânguloéθ=20°,comumavelocidadede8,0m/s.(a)Qualéavelocidadedaesquiadoranoaltodomorro(pontoA)seelaesquiasemusarosbastões?(b)Qualamenorvelocidadeque a esquiadora deve ter emB para conseguir chegar ao alto domonte? (c) As respostas dos itensanterioresserãomaiores,menoresouiguais,seopesodaesquiadorafor700Nemvezde600N?


75Paraformarumpêndulo,umabolade0,092kgépresaemumadasextremidadesdeumahastede0,62mdecomprimentoemassadesprezível;aoutraextremidadedahasteémontadaemumeixo.Ahasteélevantadaatéabolaficarverticalmenteacimadoeixo,eentãoliberadaapartirdorepouso.Quandoabolaatingeopontomaisbaixo,(a)qualéavelocidadedabolae(b)qualatraçãodahaste?Emseguida,ahasteécolocadanahorizontaleliberadaapartirdorepouso.(c)Paraqueânguloemrelaçãoàvertical

a tração da haste é igual ao peso da bola? (d) Se a massa da bola aumenta, a resposta do item (c)aumenta,diminuioupermaneceamesma?

76Umapartículasedeslocaaolongodeumeixox,primeiroparafora,dopontox=1,0matéopontox=4,0m, e depois para dentro, de volta ao ponto x = 1,0m, enquanto uma força externa age sobre apartícula.Aforçaéparalelaaoeixoxepodetervaloresdiferentesnocasodedeslocamentosparaforaeparadentro.Atabelaaseguirmostraosvalores(emnewtons)emquatrosituações,comxemmetros:

Parafora Paradentro

(a)+3,0 −3,0

(b)+5,0 +5,0

(c)+2,0x −2,0x

(d)+3,0x2 +3,0x2

Determineotrabalhototalrealizadosobreapartículapelaforçaexternaduranteaviagemdeidaevoltanasquatrosituações.(e)Emquesituaçõesaforçaexternaéconservativa?

77UmaforçaconservativaF(x)agesobreumapartículade2,0kgquesemoveaolongodeumeixox.AenergiapotencialU(x)associadaaF(x)estáplotadanaFig.8-63.Quandoapartículaestáemx=2,0m,avelocidade é−1,5m/s.Qual é (a) omódulo e (b) qual o sentidodeF(x) nessaposição?Entre queposições(c)àesquerdae(d)àdireitaapartículasemove?(e)Qualéavelocidadedapartículaemx=7,0m?


78 Em uma fábrica, caixotes de 300 kg são deixados cair verticalmente de uma máquina deempacotamento emuma esteira transportadora que semove a 1,20m/s (Fig. 8-64). (A velocidade daesteiraémantidaconstanteporummotor.)Ocoeficientedeatritocinéticoentreaesteiraecadacaixoteé0,400.Apósumpequenointervalodetempo,deixadehaverdeslizamentoentreaesteiraeocaixote,quepassaasemovercomamesmavelocidadequeaesteira.Paraointervalodetemponoqualocaixoteestádeslizandosobreaesteira,calcule,tomandocomoreferênciaumsistemadecoordenadasemrepousoemrelação à fábrica, (a) a energia cinética total fornecida ao caixote, (b) o módulo da força de atritocinético que age sobre o caixote e (c) a energia total fornecida pelomotor. (d) Explique por que asrespostasdositens(a)e(c)sãodiferentes.


79Umcarrode1500kgcomeçaadescer,a30km/h,umaladeiracominclinaçãode5,0°.Omotordocarroestádesligadoeasúnicas forçaspresentes sãoa forçadeatritoexercidapelaestradaea forçagravitacional.Apósoveículo tersedeslocado50m,avelocidadeé40km/h.(a)Dequantoaenergiamecânicadocarrofoireduzidapelaforçadeatrito?(b)Qualéomódulodaforçadeatrito?

80 Na Fig. 8-65, um bloco de granito de 1400 kg é puxado para cima por um cabo, em um planoinclinado,comvelocidadeconstantede1,34m/s.Asdistânciasindicadassãod1=40med2=30m.Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeoplanoinclinadoé0,40.Qualéapotênciadesenvolvidapelaforçaaplicadapelocabo?


81Umapartículapodesemoverapenasaolongodeumeixox,sobaaçãodeforçasconservativas(Fig.8-66etabela).Apartículaéliberadaemx=5,00mcomumaenergiacinéticaK=14,0Jeumaenergia

potencialU=0.Seapartículasemovenosentidonegativodoeixox,qualéovalor(a)deKe(b)deUemx=2,00mequalovalor(c)deKe(d)deUemx=0?Seapartículasemovenosentidopositivodoeixox,qualéovalor(e)deKe(f)deUemx=11,0m,qualovalor(g)deKe(h)deUemx=12,0mequalovalor(i)deKe(j)deUemx=13,0m?(k)PloteU(x)emfunçãodexparaointervalodex=0ax=13,0m.


Apartículaéliberadaapartirdorepousoemx=0.Qualé(l)aenergiacinéticaemx=5,0me(m)qualovalormáximodex,xmáx,atingidopelapartícula?(n)Oqueacontececomapartículaapósatingirxmáx?

Intervalo Força

0a2,00m 1=+(3,00N)

2,00ma3,00m 2=+(5.00N)

3,00ma8,00m F=0

8,00a11,0m 3=+(4,00N)

11,0a12,0m 4=+(1,00N)

12,0a15,0m F=0

82ComoarranjodeforçasdoProblema81,umapartículade2,00kgéliberadaemx=5,00m,comumavelocidadede3,45m/s,nosentidonegativodoeixox.(a)Seapartículapodechegaraopontox=0m,qualéavelocidadedapartículanesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?Suponhaqueapartículasemovenosentidopositivodexquandoéliberadaemx=5,00mcomvelocidadede3,45m/s.(b)Seapartículapodechegaraopontox=13,0m,qualéavelocidadedapartículanesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?

83Umblocode15kgsofreumaaceleraçãode2,0m/s2emumasuperfíciehorizontalsematritoquefazsuavelocidadeaumentarde10m/spara30m/s.Qualé(a)avariaçãodaenergiamecânicadoblocoe(b) qual a taxa média com que a energia é transferida para o bloco? Qual é a taxa instantânea detransferênciadeenergiaquandoavelocidadedoblocoé(c)10m/se(d)30m/s?

84SuponhaqueumamolanãoobedeceàleideHooke.Aforça(emnewtons)queamolaexercequandoestáalongadadeumcomprimentox(emmetros)temmódulode52,8x+38,4x2eosentidoopostoaoda

forçaresponsávelpeloalongamento.(a)Calculeotrabalhonecessárioparaalongaramoladex=0,500mparax=1,00m. (b)Comumaextremidadedamolafixa,umapartículademassa2,17kgépresaàoutra extremidade quando amola está alongada de x = 1,00m. Se a partícula é liberada a partir dorepouso,qualéavelocidadedapartículanoinstanteemqueoalongamentodamolaéx=0,500m?(c)Aforçaexercidapelamolaéconservativaounãoconservativa?Justifiquesuaresposta.

85Acadasegundo,1200m3deáguapassamporumaquedad’águade100mdealtura.Trêsquartosdaenergiacinéticaquefoiganhapelaáguaaocairsãotransformadosemenergiaelétricaporumgeradorhidrelétrico.Aquetaxaogeradorproduzenergiaelétrica?(Amassade1m3deáguaé1000kg.)

86NaFig.8-67,umpequenoblocopartedopontoAcomvelocidadede7,0m/s.Opercursoésematritoaté o trecho de comprimento L = 12 m, em que o coeficiente de atrito cinético é 0,70. As alturasindicadassãoh1=6,0meh2=2,0m.Qualéavelocidadedobloco(a)nopontoBe(b)nopontoC?(c)OblocoatingeopontoD?Casoarespostasejaafirmativa,determineavelocidadedobloconesseponto;casoarespostasejanegativa,calculeadistânciaqueoblocopercorrenapartecomatrito.


87UmahasterígidademassadesprezívelecomprimentoLpossuiumabolademassampresaaumadasextremidades(Fig.8-68).A outra extremidade está presa a um eixo de tal forma que a bola pode semoveremumacircunferênciavertical.Primeiro,suponhaquenãoexisteatritonoeixo.Abolaélançadapara baixo a partir da posição horizontal A, com velocidade v0, e para exatamente no pontoD. (a)Escrevaumaexpressãoparav0emfunçãodeL,meg.(b)QualéatraçãodahastequandoabolapassapelopontoB? (c)Coloca-se umpouco de areia no eixo para aumentar o atrito.Depois disso, a bolachegaapenasaopontoC quandoé lançadaapartirdeA comamesmavelocidadedeantes.Qual éodecréscimode energiamecânica durante omovimento? (d)Qual é o decréscimode energiamecânicaquandoabolafinalmenteentraemrepousonopontoBapósváriasoscilações?


88Umaboladeaniversário,cheiad’água,comumamassade1,50kg,élançadaverticalmenteparacimacomumavelocidade inicial de3,00m/s. (a)Qual é a energia cinéticadabolanomomento emque élançada?(b)Qualéotrabalhorealizadopelaforçagravitacionalsobreaboladuranteasubida?(c)Qualéavariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terraduranteasubida?(d)Seaenergiapotencial gravitacional é tomada como nula no ponto de lançamento, qual é seu valor quando a bolachega à alturamáxima? (e)Se a energia potencial gravitacional é consideradanula na alturamáxima,qualéseuvalornopontodolançamento?(f)Qualéaalturamáxima?

89Umalataderefrigerantede2,50kgélançadaverticalmenteparabaixodeumaalturade4,00m,comuma velocidade inicial de 3,00m/s. O efeito do ar sobre a lata é desprezível. (a) Qual é a energiacinéticadalataquandoelachegaaosolonofinaldaquedae(b)quandoseencontraameiocaminhodosolo?(c)Qualéaenergiacinéticadalatae(d)qualéaenergiapotencialgravitacionaldosistemalata-Terra0,200santesdealatachegaraosolo?Tomeopontodereferênciay=0comoosolo.

90Umaforçahorizontalconstantefazumbaúde50kgsubir6,0memumplanoinclinadode30°comvelocidadeconstante.Ocoeficientedeatritocinéticoentreobaúeoplanoinclinadoé0,20.(a)Qualéotrabalhorealizadopelaforçae(b)qualéoaumentodaenergiatérmicadobaúedoplanoinclinado?

91Doisblocos,demassasM=2,0kge2M,estãopresosaumamoladeconstanteelásticak=200N/mque tem uma das extremidades fixa, comomostra a Fig. 8-69. A superfície horizontal e a polia nãopossuematritoeapoliatemmassadesprezível.Osblocossãoliberados,apartirdorepouso,comamolanaposiçãorelaxada.(a)Qualéaenergiacinéticatotaldosdoisblocosapósoblocoqueestápenduradoterdescido0,090m?(b)Qualéaenergiacinéticadoblocoqueestápenduradodepoisdedescer0,090m?(c)Qualéadistânciaqueoblocopenduradopercorreantesdepararmomentaneamentepelaprimeiravez?


92Umanuvemdecinzasvulcânicasestásemovendohorizontalmenteemsoloplanoquandoencontraumaencosta com uma inclinação de 10°. A nuvem sobe 920 m antes de parar. Suponha que os gasesaprisionadosfazemascinzasflutuarem,tornandoassimdesprezívelaforçadeatritoexercidapelosolo;suponha também que a energia mecânica da nuvem é conservada. Qual era a velocidade inicial danuvem?

93Umescorregadeparquinhotemaformadeumarcodecircunferênciacom12mderaio.Aalturadoescorregaéh=4,0meochãoétangenteàcircunferência(Fig.8-70).Umacriançade25kgescorregadoaltodobrinquedo,apartirdorepouso,eaochegaraochãoestácomumavelocidadede6,2m/s.(a)Qualéocomprimentodoescorrega?(b)Qualéaforçadeatritomédiaqueagesobreacriança?Se,emvezdosolo,umaretaverticalpassandopeloaltodoescorregaétangenteàcircunferência,qualé(c)ocomprimentodoescorregae(d)qualaforçadeatritomédiaqueagesobreacriança?


94O transatlânticode luxoQueenElizabeth2 possui uma central elétrica a diesel comumapotênciamáximade92MWaumavelocidadedecruzeirode32,5nós.Queforçapropulsoraéexercidasobreonavioaessavelocidade?(1nó=1,852km/h.)

95Umoperáriodeumafábricadeixacairacidentalmenteumcaixotede180kgqueestavasendomantidoemrepousonoaltodeuma rampade3,7mdecomprimento inclinada39°em relaçãoàhorizontal.Ocoeficientedeatritocinéticoentreocaixoteearampaeentreocaixoteeopisohorizontaldafábricaé

0,28. (a)Qual é a velocidade do caixote ao chegar ao final da rampa? (b)Que distância adicional ocaixotepercorrenopiso?(Suponhaqueaenergiacinéticadocaixotenãosealteracomapassagemdarampaparaopiso.)(c)Asrespostasdositens(a)e(b)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmas,seamassadocaixoteéreduzidaàmetade?

96 Se um jogador de beisebol, de 70kg, chega a umabasedepois de escorregar pelo chão comumavelocidade inicial de 10m/s, (a) qual é o decréscimo da energia cinética do jogador e (b) qual é oaumentodaenergiatérmicadocorpodojogadoredochãonoqualeleescorrega?

97Umabananade0,50kgéarremessadaverticalmenteparacimacomumavelocidadeinicialde4,0m/sealcançaumaalturamáximade0,80m.Qualéavariaçãodaenergiamecânicadosistemabanana-Terracausadapelaforçadearrastodoarduranteasubida?

98Umaferramentademetalépressionadacontraumapedradeamolargiratóriaporumaforçade180Npara ser amolada. As forças de atrito entre a pedra de amolar e a ferramenta removem pequenosfragmentos da ferramenta. A pedra de amolar tem raio de 20,0 cm e gira a 2,50 revoluções/s. Ocoeficientedeatritocinéticoentreapedradeamolareaferramentaé0,320.Aquetaxaaenergiaestásendotransferidadomotor,quefazapedragirar,paraaenergiatérmicadapedra,edaferramentaeparaaenergiacinéticadosfragmentosremovidosdaferramenta?

99Umnadadorsedeslocanaáguaaumavelocidademédiade0,22m/s.Aforçadearrastomédiaé110N.Quepotênciamédiaonadadorestádesenvolvendo?

100Umautomóvelcompassageirospesa16.400Neestásemovendoa113km/hquandoomotoristapisabruscamentenofreio,bloqueandoasrodas.Aforçadeatritoexercidapelaestradasobreasrodastemmódulode8230N.Determineadistânciaqueoautomóvelpercorreatéparar.

101Umabolade0,63kg,atiradaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicialde14m/s,atingeumaalturamáximade8,1m.Qualéavariaçãodaenergiamecânicadosistemabola-Terraduranteasubidadabolaatéaalturamáxima?

102OcumedoMonteEverestestá8850acimadoníveldomar.(a)Qualseriaaenergiagastaporumalpinistade90kgparaescalaroMonteEverestapartirdoníveldomar,seaúnicaforçaquetivessequevencerfosseaforçagravitacional?(b)Quantasbarrasdechocolate,a1,25MJporbarra,supririamessaenergia?Arespostamostraqueo trabalhousadoparavenceraforçagravitacionaléumafraçãomuitopequenadaenergianecessáriaparaescalarumamontanha.

103Umvelocistaquepesa670Ncorreosprimeiros7,0mdeumaprovaem1,6s,partindodorepousoeacelerandouniformemente.Qualé(a)avelocidadee(b)qualaenergiacinéticadovelocistaaofinaldos1,6s?(c)Qualéapotênciamédiadesenvolvidapelovelocistaduranteointervalode1,6s?

104Umobjetode20kgsofreaaçãodeumaforçaconservativadadaporF=−3,0x−5,0x2,comFemnewtonsexemmetros.Tomeaenergiapotencialassociadaaessaforçacomonulaquandooobjetoestáemx=0.(a)Qualéaenergiapotencialassociadaàforçaquandooobjetoestáemx=2,0m?(b)Seo

objetopossuiumavelocidadede4,0m/snosentidonegativodoeixoxquandoestáemx=5,0m,qualéavelocidadedoobjetoaopassarpelaorigem?(c)Quaissãoasrespostasdositens(a)e(b)seaenergiapotencialdosistemaétomadacomo28,0Jquandooobjetoestáemx=0?

105Umamáquinapuxaumtroncodeárvore,comvelocidadeconstante,2,0mparacimaemumarampade 40°, com a força damáquina paralela à rampa.O coeficiente de atrito cinético entre o tronco e arampa é 0,40. (a) Qual é o trabalho realizado sobre o tronco pela força da máquina e (b) qual é oaumentodaenergiatérmicadotroncoedarampa?

106Amoladeumaespingardadebrinquedo temumaconstante elásticade700N/m.Para atirarumabola,amolaécomprimidaeabolaé introduzidanocanodaespingarda.Ogatilho liberaamola,queempurraabola.Abolaperdecontatocomamolaexatamenteaosairdocano.Quandoaespingardaéinclinadaparacima,deumângulode30°comahorizontal,abola,de57g,atingeumaalturamáximade1,83 m acima da ponta do cano. Suponha que o efeito do ar sobre a bola é desprezível. (a) A quevelocidade a mola lança a bola? (b) Supondo que o atrito da bola dentro do cano da pistola édesprezível,determineacompressãoinicialdamola.

107Aúnicaforçaqueagesobreumapartículaéaforçaconservativa .SeapartículaestánopontoA,aenergiapotencialdosistemaassociadaa eàpartículaé40J.SeapartículasedeslocadopontoAparaopontoB,otrabalhorealizadopor sobreapartículaé+25J.QualéaenergiapotencialdosistemacomapartículanopontoB?

108 Em 1981, Daniel Goodwin escalou 443m pela fachada do Edifício Sears, em Chicago, com oauxíliodeventosasegramposdemetal.(a)Estimeamassadoalpinistaecalculeaenergiabiomecânica(interna)transferidaparaaenergiapotencialgravitacionaldosistemaGoodwin-Terraduranteaescalada.(b)Queenergiaseriaprecisotransferirseeletivessesubidoatéamesmaalturapelointeriordoprédio,usandoasescadas?

109Umaartistadecircode60,0kgescorrega4,00mapartirdorepouso,descendodoaltodeumposteatéochão.Qualéaenergiacinéticadaartistaaochegaraochãoseaforçadeatritoqueoposteexercesobreela(a)édesprezível(elairásemachucar)e(b)temummódulode500N?

110Umblocode5,0kgélançadoparacimaemumplanoinclinadode30°comvelocidadede5,0m/s.Quedistânciaoblocopercorre(a)seoplanonãopossuiatritoe(b)seocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeoplanoé0,40?(c)Nosegundocaso,qualéoaumentodaenergiatérmicadoblocoedoplanodurante a subidadobloco? (d)Seoblocodescedevolta submetidoà forçadeatrito, qual é avelocidadedoblocoaochegaraopontodeondefoilançado?

111 Um projétil de 9,40 kg é lançado verticalmente para cima. O arrasto do ar diminui a energiamecânicadosistemaprojétil-Terrade68,0kJduranteasubidadoprojétil.Quealturaamaisoprojétilteriaalcançadoseoarrastodoarfossedesprezível?

112Umhomemde70,0kgpuladeumajanelaevaicairemumarededesalvamentodosbombeiros,11,0mabaixodajanela.Eleparamomentaneamente,apósaredeteresticado1,50m.Supondoqueaenergia

mecânicaéconservadaduranteoprocessoequearedesecomportacomoumamolaideal,determineaenergiapotencialelásticadaredequandoestáesticada1,50m.

113Umabaladerevólverde30g,movendo-secomumavelocidadehorizontalde500m/s,penetra12cmemumaparedeantesdeparar.(a)Qualéavariaçãodaenergiamecânicadabala?(b)Qualéaforçamédiaexercidapelaparedeparafazerabalaparar?

114Umcarrode1500kgpartedorepousoemumaestradahorizontaleadquireumavelocidadede72km/h em 30 s. (a)Qual é a energia cinética do carro no fim dos 30 s? (b)Qual é a potênciamédiadesenvolvida pelo carro durante o intervalo de 30 s? (c) Qual é a potência instantânea no fim dointervalode30s,supondoqueaaceleraçãosejaconstante?

115Umaboladeneve,de1,5kg,éatiradaparacimaemumângulode34,0°comahorizontalecomumavelocidade inicial de 20,0m/s. (a) Qual é a energia cinética inicial da bola? (b) De quanto varia aenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terraquandoabolasemovedopontodelançamentoatéopontodealturamáxima?(c)Qualéaalturamáxima?

116Umparaquedistade68kgcaicomumavelocidadeterminalconstantede59m/s.(a)Aquetaxaaenergia potencial gravitacional do sistema Terra-paraquedista está sendo reduzida? (b) A que taxa aenergiamecânicadosistemaestásendoreduzida?

117 Um bloco de 20 kg em uma superfície horizontal está preso a umamola horizontal de constanteelásticak=4,0kN/m.Oblocoépuxadoparaadireitaatéamolaficaralongada10cmemrelaçãoaocomprimentonoestadorelaxado,eentãoliberadoapartirdorepouso.Aforçadeatritoentreoblocoemmovimentoea superfície temummódulode80N. (a)Qualéaenergiacinéticadoblocoapós ter semovido 2,0 cm em relação ao ponto em que foi liberado? (b)Qual é a energia cinética do bloco noinstante emque volta pela primeira vez ao ponto no qual amola está relaxada? (c)Qual é amáximaenergiacinéticaatingidapeloblocoenquantodeslizadopontoemquefoiliberadoatéopontoemqueamolaestárelaxada?

118 A resistência ao movimento de um automóvel é constituída pelo atrito da estrada, que é quaseindependentedavelocidade,eoarrastodoar,queéproporcionalaoquadradodavelocidade.Paraumcarrocomumpesode12000N,aforçaderesistênciatotalFédadaporF=300+1,8v2,comFemnewtons e v emmetros por segundo. Calcule a potência (em horsepower) necessária para acelerar ocarroa0,92m/s2quandoavelocidadeé80km/h.

119Umabolade50gélançadadeumajanelacomumavelocidadeinicialde8,0m/seumângulode30°acimadahorizontal.Usandoaleideconservaçãodaenergia,determine(a)aenergiacinéticadabolanopontomaisaltodatrajetóriae(b)avelocidadedabolaquandoestá3,0mabaixodajanela.Arespostadoitem(b)depende(c)damassadabolaou(d)doângulodelançamento?

120Umamolacomumaconstanteelásticade3200N/méalongadaatéqueaenergiapotencialelásticaseja1,44J.(U=0paraamolarelaxada.)QuantoéΔUseoalongamentomudapara(a)umalongamentode2,0cm,(b)umacompressãode2,0cme(c)umacompressãode4,0cm?

121Umalocomotivacomumapotênciade1,5MWpodeacelerarumtremdeumavelocidadede10m/spara25m/sem6,0min.(a)Calculeamassadotrem.Determine,emfunçãodotempo(emsegundos),(b)avelocidadedo treme(c)a forçaqueacelerao tremduranteo intervalode6,0min. (d)Determineadistânciapercorridapelotremduranteesseintervalo.

122Umdiscodeshuffleboardde0,42kgestáemrepousoquandoumjogadorusaumtacoparaimprimiraodiscoumavelocidadede4,2m/scomaceleraçãoconstante.Aaceleraçãoocorreemumadistânciade2,0m,aofinaldaqualotacoperdecontatocomodisco.Odiscodeslizaumadistânciaadicionalde12mantes de parar. Suponha que a pista de shuffleboard é plana e que a força de atrito sobre o disco éconstante.Qualéoaumentodaenergiatérmicadosistemadisco-pista(a)paraadistânciaadicionalde12me(b)paraadistânciatotalde14m?(c)Qualéotrabalhorealizadopelotacosobreodisco?

123Umacorredeiraemumrioenvolveumadescidade15m.Avelocidadedaáguaé3,2m/snoiníciodacorredeirae13m/sno final.Queporcentagemdaenergiapotencialgravitacionaldo sistemaágua-Terraétransferidaparaenergiacinéticaduranteadescidadaágua?(Sugestão:Considereadescidade,porexemplo,10kgdeágua.)

124Omódulodaforçagravitacionalentreumapartículademassam1eumapartículademassam2édadopor

emqueG é umaconstante ex é a distância entre as partículas. (a)Qual é a função energia potencialU(x)?SuponhaqueU(x)→0quandox→ϕ∞equexépositivo.(b)Qualéotrabalhonecessárioparaaumentaradistânciaentreaspartículasdex=x1parax=x1+d?

125Aproximadamente5,5×106kgdeáguacaemdasCataratasdoNiágaraporsegundo. (a)Qualéodecréscimo da energia potencial gravitacional do sistema água-Terra por segundo? (b) Se toda essaenergiapudesseserconvertidaemenergiaelétrica(oquenãoépossível),aquetaxaaenergiaelétricaseria produzida? (Amassa de 1m3 de água é 1000 kg.) (c) Se a energia elétrica fosse vendida a 1centavodedólar/kW·h,qualseriaareceitaanual?

126Parafazerumpêndulo,umabolade300gépresaaumadasextremidadesdeumacordacom1,4mdecomprimentoemassadesprezível.(Aoutraextremidadedacordaestáfixa.)Abolaépuxadaparaumladoatéacordafazerumângulode30,0°comavertical;emseguida(comacordaesticada)abolaéliberadaapartirdorepouso.Determine(a)avelocidadedabolaquandoacordafazumângulode20,0°comaverticale(b)avelocidademáximadabola.(c)Qualéoânguloentreacordaeaverticalquandoavelocidadedabolaéigualaumterçodovalormáximo?

127Emumnúmerodecirco,umpalhaçode60kgédisparadoporumcanhãocomumavelocidadeinicialde16m/seumângulodesconhecidoacimadahorizontal.Apósumcurtointervalodetempo,opalhaçocaiemumaredecujaalturaexcedeem3,9maalturadaposiçãoinicialdopalhaço.Desprezeoarrasto

doar.Qualéaenergiacinéticadopalhaçoaocairnarede?

128Umbombeirode70kgescorrega4,3mparabaixo,apartirdorepouso,emumpostevertical.(a)Seobombeiroseguraopostedeleve,oquetornaaforçadeatritoexercidapelopostedesprezível,qualésuavelocidadeimediatamenteantesdeatingirosolo?(b)Seobombeiroseguraopostecomforçaeaforçadeatritomédiaé500N,dirigidaverticalmenteparacima,qual é suavelocidade imediatamenteantesdeatingirosolo?

129OsEstadosUnidoscontinentaistêmumaáreadeaproximadamente8×106km2eumaaltitudemédiade500m(emrelaçãoaoníveldomar).Aprecipitaçãomédiaanualé75cm.Afraçãodaáguadechuvaque retornaàatmosferaporevaporaçãoé2/3;o restovaiparaooceano.Seodecréscimodeenergiapotencialgravitacionaldosistemaágua-Terraassociadoàparceladeáguaquevaiparaooceanopudessesertotalmenteconvertidoemenergiaelétrica,qualseriaapotênciamédia?(Amassade1m3deáguaé1000kg.)

130Umamola cuja constante elástica ék=200N/mestá suspensaverticalmente, coma extremidadesuperior fixano tetoeaextremidade inferiornaposiçãoy=0.Umblocode20Ndepesoépresoàextremidadeinferiordamola,mantidonessaposiçãoporummomentoedepoisliberado.Determine(a)aenergiacinéticaK,(b)avariação(apartirdovalorinicial)daenergiapotencialgravitacionalΔUg,e(c)avariaçãodaenergiapotencialelásticaΔUedosistemabloco-molaquandooblocoestáemy=−5,0cm.Determine(d)K,(e)ΔUge(f)ΔUeparay=−10cm,(g)K,(h)ΔUge(i)ΔUeparay=−15cme(j)K,(k)ΔUge(l)ΔUeparay=−20cm.

131Prendaumadasextremidadesdeumamolaverticalnoteto,prendaumrepolhonaoutraextremidadeebaixeorepolholentamenteatéqueaforçaparacimaexercidapelamolasobreorepolhoequilibreaforçagravitacionalqueatuasobreele.Mostrequeaperdadeenergiapotencialgravitacionaldosistemarepolho-Terraéigualaduasvezesoganhodeenergiapotencialdamola.Porqueasduasgrandezasnãosãoiguais?

132Amaiorforçaquepodemosexercersobreumobjetocomumdentemolarécercade750N.Suponhaque,quandovocêmordegradualmenteumcaramelo,ocarameloresisteàcompressãoexercidaporumdos dentes agindo como uma mola para a qual k = 2,5 × 105 N/m. Determine (a) a compressão docarameloe(b)otrabalhorealizadopeloseudentesobreocarameloduranteacompressão.(c)Ploteomódulo da sua força em função da compressão. (d) Se existe uma energia potencial associada a estacompressão,desenheumgráficodaenergiapotencialemfunçãodacompressão.

Na década de 1990, marcas profundas de dentadas foram descobertas na pelve do fóssil de umdinossauro Triceratops. A forma das marcas sugeria que tinham sido feitas por um dinossauroTiranossaurorex.Paratestaraideia,oscientistasfabricaramaréplicadeumdentedeumT.rexfeitadebronzeealumínioeusaramumaprensahidráulicaparaintroduzirgradualmentearéplicaemumossodevacaatéaprofundidadeobservadanoossodoTriceratops.AFig.8-71mostraa forçaempregadaemfunçãodaprofundidadedepenetraçãoemumdosensaios;aforçaaumentacomaprofundidadeporque,à

medidaqueodenteaproximadamentecônicopenetranoosso,umapartemaiordodenteentraemcontatocomoosso. (e)Qual foio trabalho realizadosobreoossopelaprensahidráulica (epresumivelmentepeloT.rex)nesseensaio?(f)Existeumaenergiapotencialassociadaaesseensaio?(AgrandeforçadamordidaeoaltoconsumodeenergiaatribuídosaoT.rexporessapesquisasugeremqueoanimalfoiumpredadorenãoumsaprófago.)


133UmaforçaconservativaF(x)agesobreumapartículaquesemoveaolongodeumeixox.AFig.8-72mostraavariaçãodaenergiapotencialU(x)associadaaF(x)comaposiçãodapartícula.(a)PloteF(x)nointervalo0<x<6m.(b)SeaenergiamecânicaEdosistemaé4,0J,ploteaenergiacinéticaK(x)dapartículanográficodaFig.8-72.


134AFig. 8-73amostra umamolécula composta por dois átomos demassasm eM (comm <<M)separadosporumadistânciar.AFig.8-73bmostraaenergiapotencialU(r)damoléculaemfunçãoder.

Descrevaomovimentodosátomos(a)seaenergiamecânicatotalEdosistemadedoisátomosformaiorquezero(comoE1)e(b)seEformenorquezero(comoE2).ParaE1=1×10−19Jer=0,3nm,determine(c) a energia potencial do sistema, (d) a energia cinética total dos átomos e (e) a força (módulo eorientação)queatuasobrecadaátomo.Paraquevaloresderaforçaé(f) repulsiva, (g)atrativae(h)nula?


135RepitaoProblema83supondoqueoblocoestásubindoumarampaquefazumângulode5,0°comahorizontal.

136 Umamola de constante elástica k = 620N/m émantida na posição vertical, com a extremidadeinferior sustentada por uma superfície horizontal. A extremidade superior é comprimida 25 cm, e umbloco com peso de 50 N é colocado sobre a mola, e o sistema é liberado. Supondo que a energiapotencialgravitacionalUgdoblocoézeronoponto (y=0)emqueo sistemaé liberado,determineaenergiacinéticaKdoblocoparay igual a (a)0, (b)0,050m, (c)0,10m, (d)0,15m, (e)0,20m. (f)Calculetambémovalordeyparaaalturamáximaatingidapelobloco.

CAPÍTULO9

CentrodeMassaeMomentoLinear

9-1CENTRODEMASSA


9.01Dadaaposiçãodeváriaspartículasemumeixoouumplano,determinaraposiçãodocentrodemassa.

9.02Determinaraposiçãodocentrodemassadeumobjetousandoprincípiosdesimetria.

9.03Nocasodeumobjetobidimensionaloutridimensionalcomumadistribuiçãohomogêneademassa,determinaraposiçãodocentrodemassa(a)dividindomentalmenteoobjetoemfigurasgeométricassimples,(b)substituindocadaumaporumapartículanocentrodafigura,e(c)calculandoocentrodemassadessaspartículas.

Ideia-Chave•Ocentrodemassadeumsistemadenpartículasédefinidocomoopontocujascoordenadassãodadaspor

emqueMéamassatotaldosistema.

OqueÉFísica?Todoengenheiromecânicocontratadocomoperitoparareconstituirumacidentedetrânsitousaafísica.Todotreinadorqueensinaumabailarinaasaltarusaafísica.Naverdade,paraanalisarqualquertipodemovimento complicado é preciso recorrer a simplificações que são possíveis apenas com umentendimentodafísica.Nestecapítulo,discutimosdequeformaomovimentocomplicadodeumsistemadeobjetos,comoumcarroouumabailarina,podesersimplificadosedeterminarmosumpontoespecialdosistema:ocentrodemassa.Eis um exemplo: Quando arremessamos uma bola sem imprimir muita rotação (Fig. 9-1a), o

movimentoésimples.Aboladescreveumatrajetóriaparabólica,comodiscutimosnoCapítulo4,epodesertratadacomoumapartícula.Quando,poroutrolado,arremessamosumtacodebeisebol(Fig.9-1b),omovimentoémaiscomplicado.Comocadapartedotacosegueumatrajetóriadiferente,nãoépossívelrepresentarotacocomoumapartícula.Entretanto,otacopossuiumpontoespecial,ocentrodemassa,quesegueumatrajetóriaparabólicasimples;asoutraspartesdotacosemovememtornodocentrode

massa.(Paralocalizarocentrodemassa,equilibreotacoemumdedoesticado;opontoestaráacimadodedo,noeixocentraldotaco.)É difícil fazer carreira arremessando tacos de beisebol, mas muitos treinadores ganham dinheiro

ensinandoatletasdesaltoemdistânciaoudançarinosasaltardaformacorreta,movendopernasebraçosougirandootorso.Opontodepartidaésempreocentrodemassadapessoa,porqueéopontoquesemovedemodomaissimples.

OCentrodeMassaDefinimos o centro de massa (CM) de um sistema de partículas (uma pessoa, por exemplo) parapodermosdeterminarcommaisfacilidadeomovimentodosistema.

Ocentrodemassadeumsistemadepartículaséopontoquesemovecomose(1)todaamassadosistemaestivesseconcentrada

nessepontoe(2)todasasforçasexternasestivessemaplicadasnesseponto.

Neste módulo, discutimos a forma de determinar a posição do centro de massa de um sistema departículas.Começamoscomumsistemadepoucaspartículaseemseguidaconsideramossistemascomum númeromuito grande de partículas (um corpomaciço, como um taco de beisebol).Mais adiante,discutiremos comoo centro demassa de um sistema semove quando o sistema é submetido a forçasexternas.

SistemasdePartículas

DuasPartículas.AFig.9-2amostraduaspartículasdemassasm1em2separadasporumadistânciad.Escolhemos arbitrariamente comoorigemdo eixo x a posiçãoda partícula demassam1.Definimos aposiçãodocentrodemassa(CM)dessesistemadeduaspartículascomo

Suponha,porexemplo,quem2=0.Nessecaso,existeapenasumapartícula,demassam1,eocentrodemassadeveestarnaposiçãodessapartícula;éoquerealmenteacontece,jáqueaEq.9-1sereduzaxCM=0.Sem1=0,temosdenovoapenasumapartícula(demassam2)e,comodeviaser,xCM=d.Sem1=m2,ocentrodemassadeveestarameiocaminhoentreasduaspartículas;aEq.9-1sereduzaxCM=d/2,comoseriadeseesperar.Finalmente,deacordocomaEq.9-1,senenhumadasduasmassasénula,xCMsópodeassumirvaloresentre0ed,ouseja,ocentrodemassadeveestaremalgumlugarentreasduaspartículas.Nãosomosobrigadosacolocaraorigemdosistemadecoordenadasemumadasduaspartículas.A

Fig. 9-2b mostra uma situação mais geral na qual o sistema de coordenadas foi deslocado para a

esquerda.Aposiçãodocentrodemassaéagoradefinidacomo

Observeque,sefizermosx1=0,x2ficaráigualad,eaEq.9-2sereduziráàEq.9-1,comoseriadeseesperar.Note tambémque,apesardodeslocamentodaorigemdosistemadecoordenadas,ocentrodemassacontinuaàmesmadistânciadecadapartícula.Ocentrodemassaéumapropriedadedaspartículasenãodosistemadecoordenadasqueestásendousado.

Figura9-1 (a)Umabola arremessada para cima segue uma trajetória parabólica. (b)O centro demassa (ponto preto) de um taco debeisebolarremessadoparacimacomummovimentoderotaçãosegueumatrajetóriaparabólica,mastodososoutrospontosdotacoseguemtrajetóriascurvasmaiscomplicadas.

Figura9-2 (a)Duaspartículasdemassasm1em2estãoseparadasporumadistânciad.OpontomarcadocomoCMmostraaposiçãodocentro demassa, calculadousando aEq.9-1.(b)Omesmoque (a), exceto pelo fato de que a origem foi deslocada para a esquerda.AposiçãodocentrodemassapodesercalculadausandoaEq.9-2.Aposiçãodocentrodemassaemrelaçãoàspartículaséamesmanosdoiscasos.

PodemosescreveraEq.9-2naforma

emqueMéamassatotaldosistema.(Noexemploemdiscussão,M=m1+m2.)MuitasPartículas.PodemosestenderaEq.9-3aumasituaçãomaisgeral,naqualnpartículasestão

posicionadasaolongodoeixox.Nessecaso,amassatotaléM=m1+m2+···+mn,eaposiçãodocentrodemassaédadapor

Aqui,oíndiceiassumetodososvaloresinteirosde1an.TrêsDimensões.Seaspartículasestãodistribuídasemtrêsdimensões,aposiçãodocentrodemassa

deveserespecificadaportrêscoordenadas.PorextensãodaEq.9-4,essascoordenadassãodadaspor

Tambémpodemosdefinirocentrodemassausandoalinguagemdosvetores.Primeiro,lembre-sedequeaposiçãodeumapartículadecoordenadasxi,yieziédadaporumvetorposição(queligadesdeaorigematéaposiçãodapartícula):

Oíndiceidentificaapartícula,e , e sãovetoresunitáriosqueapontam,respectivamente,nosentido

positivodoseixosx,yez.Analogamente,alocalizaçãodocentrodemassadeumsistemadepartículasédadaporumvetorposição:

As três equações escalares das Eqs. 9-5 podem ser substituídas, portanto, por uma única equaçãovetorial,

em queM é a massa total do sistema. É possível confirmar se a Eq. 9-8 está correta, mediante asubstituiçãode ie CMporseusvalores,dadospelasEqs.9-6e9-7,eseparandoascomponentesx,yez.OresultadosãoasrelaçõesescalaresdasEqs.9-5.

CorposMaciços

Um objeto comum, como um bastão de beisebol, contém tantas partículas (átomos) que podemosaproximá-loporumadistribuiçãocontínuademassa.As“partículas”,nessecaso,se tornamelementosinfinitesimaisdemassadm,ossomatóriosdasEqs.9-5setornamintegrais,eascoordenadasdocentrodemassasãodefinidaspormeiodasequações

emqueMagoraéamassadoobjeto.SeasEqs.9-5fossemusadasnaformadesomatórios,ocálculodocentrodemassaparaumobjetomacroscópicolevariaváriosanos.Comoocálculodasintegraisparaamaioriadosobjetosdomundoreal(comoumtelevisorouumboi,

porexemplo)émuitodifícil,vamosconsiderarnestetextoapenasobjetoshomogêneos,ouseja,objetoscujamassaespecífica(massaporunidadedevolume),representadapelosímboloρ(letragregarô),éamesmaparatodososelementosinfinitesimaisdoobjetoe,portanto,paraoobjetocomoumtodo.Nessecaso,deacordocomaEq.1-8,podemosescrever:

em que dV é o volume ocupado por um elemento de massa dm, e V é o volume total do objeto.SubstituindodmnaEq.9-9porseuvalor,obtidoapartirdaEq.9-10[dm=(M/V)dV],obtemos:

UsodaSimetria.Ocálculoficamaissimplesseoobjetopossuiumponto,umaretaouumplanodesimetria,pois,nessecaso,ocentrodemassaestánoponto,linhaouplanodesimetria.Porexemplo,ocentrodemassadeumaesfera(quepossuiumpontodesimetria)estánocentrodaesfera(queéopontodesimetria).Ocentrodemassadeumcone(cujoeixoéumaretadesimetria)estánoeixodocone.Ocentrodemassadeumabanana(quetemumplanodesimetriaqueadivideemduaspartesiguais)estáemalgumpontodesseplano.Ocentrodemassadeumobjetonãoprecisaestarnointeriordoobjeto.Nãoexistemassanocentrode

massadeumarosquinha,assimcomonãoexisteferronocentrodemassadeumaferradura.

Exemplo9.01 Centrodemassadetrêspartículas

Trêspartículasdemassasm1=1,2kg,m2=2,5kgem3=3,4kgformamumtriânguloequiláterodeladoa=140cm.Qualéa

localizaçãodocentrodemassadosistema?

IDEIA-CHAVE

Comoestamoslidandocompartículasenãocomumobjetomacroscópico,podemosusarasEqs.9-5paracalcularaposiçãodo

centrodemassa.Comoaspartículasestãonoplanodotriânguloequilátero,precisamosusarapenasasduasprimeirasequações.

Cálculos:Podemossimplificaroscálculosescolhendooseixosxeydetalformaqueumadaspartículasestejanaorigemeoeixo

xcoincidacomumdosladosdotriângulo(Fig.9-3).Nessecaso,ascoordenadasdaspartículassãoasqueaparecemnatabelaa

seguir.

Figura9-3Trêspartículasformamumtriânguloequiláterodeladoa.Aposiçãodocentrodemassadosistemaéindicadapelo

vetorposição CM.

Partícula Massa(kg) x(cm) y(cm)

1 1,2 0 0

2 2,5 140 0

3 3,4 70 120

AmassatotalMdosistemaé7,1kg.

DeacordocomasEqs.9-5,ascoordenadasdocentrodemassasão

NaFig.9.3,aposiçãodocentrodemassaéindicadapelovetorposição CM,cujascomponentessão xCM e yCM. Se tivéssemos escolhido outro sistema de coordenadas, as componentes de CM

seriamdiferentes,masaposiçãodocentrodemassaemrelaçãoàstrêspartículasseriaexatamenteamesma.

Exemplo9.02 Centrodemassadeumaplacavazada

Esteexemplomostracomoépossívelcalcularaposiçãodocentrodemassadeumobjetomacroscópicosemusarintegrais.AFig.

9-4amostraumaplacademetal, finaehomogêneaP,de raio2R,daqualumdiscode raioR foi removidoemuma linhade

montagem.OdiscoaparecenaFig.9-4b.Determineascoordenadasdocentrodemassadaplaca(CMP)emrelaçãoaoseixosxey

indicadosnafigura.

IDEIAS-CHAVE

(1)Emprimeirolugar,vamosdeterminaralocalizaçãoaproximadadocentrodemassadaplacaPusandoconceitosdesimetria.

Notequeaplacaésimétricaemrelaçãoaoeixox(podemosobterapartedebaixodaplacagirandoapartedecimaemtornodo

eixox,evice-versa).Issosignificaqueocentrodemassadaplacadeveestarlocalizadonoeixox.Aplaca(comodiscoremovido)

nãoésimétricaemrelaçãoaoeixoy;comoexisteumpoucomaisdemassadoladodireitodoeixoy,CMPdeveestarumpoucoà

direitadoeixoy,comonaFig.9-4a.

(2)ComoaplacaPéumcorpotridimensional,devemos,emprincípio,usarasEqs.9-11paracalcularascoordenadasx,yezdo

centrodemassa.Aconteceque,comoaplacaéfinaehomogênea,estamosinteressadosapenasnascoordenadasxey;seaplaca

tivesse uma espessura apreciável, poderíamos supor que o centro de massa estava no ponto médio da espessura. Mesmo

desprezandoaespessura,porém,seriadifícilresolveroproblemaporessemétodo,jáqueteríamosqueescreverumafunçãopara

descreveraformadaplacacomodiscoremovidoeintegrarafunçãoemduasdimensões.

(3)Existeummeiomuitomaisfácilderesolveroproblema.Comovimos,éválidosuporqueamassadeumobjetohomogêneo

está concentrada em uma partícula localizada no centro demassa do objeto. Assim, podemos tratar a placa e o disco como

partículas,oquetornadispensávelqualquerintegração.

Cálculos:Primeiro,colocamosodiscoquefoiremovido(vamoschamá-lodediscoS)devoltanolugar(Fig.9-4c),paraformara

placaoriginal(quevamoschamardeplacaC).Devidoàsimetria,ocentrodemassaCMSdodiscoSestánocentrodeS,emx=−R

(comomostraafigura).Damesmaforma,ocentrodemassaCMCdaplacaoriginalCestánocentrodeC,aorigem(comomostraa

figura).Temos,portanto,oseguinte:

Placa CentrodeMassa PosiçãodoCM Massa

P CMP xP=? mP

S CMS xS=–R mS

C CMC xC=0 mC=mS+mP

SuponhaqueamassamSdodiscoSestáconcentradaemumapartículaemxS=−RequeamassamPestáconcentradaemuma

partículaemxP(Fig.9-4d).Emseguida,trateasduaspartículascomoumsistemaeuseaEq.9-2paraobterocentrodemassaxS+P

dosistema.Oresultadoéoseguinte:

NotequeasuperposiçãododiscoScomaplacaPéaplacaC.Assim,aposiçãoxS+PdoCMS+PdevecoincidircomaposiçãoxCdo

CMC,queestánaorigem:xS+P=xC=0.SubstituindoesseresultadonaEq.9-12eexplicitandoxP,obtemos

PodemosrelacionaressasmassasàsáreasdeSePnotandoque

massa=massaespecífica×volume

=massaespecífica×espessura×área

Assim,

Comoaplacaéhomogênea,asmassasespecíficaseasespessurassãoiguaise,portanto,

SubstituindoesseresultadoefazendoxS=−RnaEq.9-13,obtemos:

Teste1A figuramostra uma placa quadrada uniforme, da qual quatro partes quadradas iguais são removidas progressivamente dos

cantos.(a)Qualéalocalizaçãodocentrodemassadaplacaoriginal?Qualéalocalizaçãodocentrodemassaapósaremoção(b)

daparte 1; (c) das partes 1 e 2; (d) daspartes 1 e 3; (e) daspartes 1, 2 e 3; (f) dasquatropartes?Respondaem termosdos

quadrantes,eixosoupontos(semrealizarnenhumcálculo,éclaro).

Figura9-4 (a)AplacaPéumaplacademetal,deraio2R,comumfurocircularderaioR.OcentrodemassadePestánopontoCMP.(b)OdiscoS.(c)OdiscoSfoicolocadodevoltanolugarparaformaraplacaoriginalC.OcentrodemassaCMSdodiscoSeocentrodemassaCMCdaplacaCestãoindicados.(d)OcentrodemassaCMS+PdacombinaçãodeSePcoincidecomCMC,queestáemx=0.

9-2ASEGUNDALEIDENEWTONPARAUMSISTEMADEPARTÍCULAS


9.04AplicarasegundaleideNewtonaumsistemadepartículas,relacionandoaforçaresultante(dasforçasqueagemsobreaspartículas)àaceleraçãodocentrodemassadosistema.

9.05Aplicarasequaçõesdeaceleraçãoconstanteaomovimentodaspartículasdeumsistemaeaomovimentodocentrodemassadosistema.

9.06Dadasamassaeavelocidadedaspartículasdeumsistema,calcularavelocidadedocentrodemassadosistema.

9.07Dadasamassaeaaceleraçãodaspartículasdeumsistema,calcularaaceleraçãodocentrodemassadosistema.

9.08Dadaaposiçãodocentrodemassadeumsistemaemfunçãodotempo,calcularavelocidadedocentrodemassa.

9.09Dadaavelocidadedocentrodemassadeumsistemaemfunçãodotempo,calcularaaceleraçãodocentrodemassa.

9.10Calcularavariaçãodevelocidadedeumcentrodemassaintegrandoafunçãoaceleraçãodocentrodemassaemrelaçãoaotempo.

9.11 Calcular o deslocamento de um centro demassa integrando a função velocidade do centro demassa em relação aotempo.

9.12Nocasoemqueaspartículasdeumsistemadeduaspartículassemovemeocentrodemassadosistemapermaneceemrepouso,determinararelaçãoentreosdeslocamentosearelaçãoentreasvelocidadesdasduaspartículas.

Ideias-Chave•OmovimentodocentrodemassadequalquersistemadepartículasobedeceàsegundaleideNewtonparaumsistemadepartículas,queéexpressopelaequação

res=M CM

emque reséaforçaresultantedetodasasforçasexternasqueagemsobreosistema,Méamassatotaldosistema,e CMéaaceleraçãodocentrodemassadosistema.

ASegundaLeideNewtonparaumSistemadePartículasAgoraquesabemosdeterminaraposiçãodocentrodemassadeumsistemadepartículas,vamosdiscutira relação entre as forças externas e omovimento do centro demassa. Começamos com um exemplosimples,envolvendoduasbolasdesinuca.Quandoatingimoscomabolabrancaumabolaqueestáemrepouso,esperamosqueosistemadeduas

bolas,apósochoque,continueasemovermaisoumenosnadireçãooriginaldabolabranca.Ficaríamossurpresos,porexemplo,seasduasbolassemovessememnossadireçãoouseambassemovessemparaadireitaouparaaesquerda.Temosumaideiainstintivadequealgumacoisanãomudacomacolisão.

1.

2.

3.

Oquecontinuaasemoverparaafrente,semqueomovimentosejaalteradopelacolisão,éocentrodemassadosistemadeduasbolas.Sevocêconcentraraatençãonesseponto(queésempreopontomédiodosegmentoqueuneasduasbolas,poiselastêmmassasiguais),vocêpoderáseconvencerdequeissoéverdade,observandoatrajetóriadasbolasemumamesadesinuca.Nãoimportaseochoqueéfrontaloude raspão;o centrodemassa sempre continua a semovernadireção seguidaoriginalmentepelabolabranca,comosenãotivessehavidoacolisão.Vamosexaminarmaisdepertoessemovimentodocentrodemassa.MovimentodoCentrodeMassadeumSistema.Paraisso,vamossubstituiropardebolasdesinuca

por um conjunto de n partículas de massas (possivelmente) diferentes. Não estamos interessados nomovimentoindividualdaspartículas,masapenasnomovimentodocentrodemassadoconjunto.Emboraocentrodemassasejaapenasumponto,elesemovecomoumapartículacujamassaéigualàmassatotaldo sistema; podemos atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração. Afirmamos (eprovaremos a seguir) que a equação vetorial que descreve o movimento do centro de massa de umsistemadepartículasé

AEq.9-14 é a expressão da segunda lei deNewton para omovimento do centro demassa de umsistemadepartículas.Notequea formaéamesmadaequação ( res=m ) paraomovimentodeumaúnica partícula. Contudo, as três grandezas que aparecem na Eq. 9-14 devem ser usadas com algumcritério:

reséaforçaresultantedetodasasforçasexternasqueagemsobreosistema.Forçasdeumapartedosistemaqueagemsobreoutraparte(forçasinternas)nãodevemserincluídasnaEq.9-14.M é amassa total do sistema. Supomos que nenhuma massa entra no sistema ou sai do sistemadurante omovimento, demodo queM permanece constante. Em casos como esse, dizemos que osistemaéfechado.CMéaaceleraçãodocentrodemassadosistema.AEq.9-14nãofornecenenhumainformaçãoa

respeitodaaceleraçãodeoutrospontosdosistema.

AEq.9-14éequivalenteatrêsequaçõesenvolvendoascomponentesde rese CMemrelaçãoaostrêseixosdecoordenadas.Essasequaçõessão:

BolasdeSinuca.Agorapodemosvoltaraexaminarocomportamentodasbolasdesinuca.Depoisqueabolabrancaépostaemmovimento,nenhumaforçaexternaagesobreosistemacompostopelasduasbolas.De acordo comaEq.9-14, se res = 0, CM = 0. Como a aceleração é a taxa de variação davelocidade,concluímosqueavelocidadedocentrodemassadosistemadeduasbolasnãovaria.Quandoasduasbolassechocam,asforçasqueparticipamdoprocessosãoforçasinternasdeumabolasobrea

outra.Essasforçasnãocontribuemparaaforçaresultante res,quecontinuaasernula.Assim,ocentrodemassadosistema,queestavasemovendoparaafrenteantesdacolisão,devecontinuarasemoverparaafrenteapósacolisão,comamesmavelocidadeeamesmaorientação.CorpoMaciço. A Eq. 9-14 se aplica não só a um sistema de partículas mas também a um corpo

maciço,comoobastãodebeiseboldaFig.9-1b.Nessecaso,MdaEq.9-14éamassadobastãoe reséaforçagravitacionalsobreobastão.DeacordocomaEq.9-14, CM= .Emoutraspalavras,ocentrodemassadobastãosemovecomoseobastãofosseumaúnicapartículademassaMsujeitaàforça g.Explosões.AFig.9-5mostra outro caso interessante. Suponha que, em um espetáculo de fogos de

artifício,umfoguetesejalançadoemumatrajetóriaparabólica.Emdeterminadoponto,ofogueteexplodeem pedaços. Se a explosão não tivesse ocorrido, o foguete teria continuado na trajetória parabólicamostrada na figura. As forças da explosão são internas ao sistema (no início, o sistema é apenas ofoguete;maistarde,écompostopelosfragmentosdofoguete),ouseja,sãoforçasquepartesdosistemaexercemsobreoutraspartes.Amenosdaresistênciadoar,aforçaexternaresultante resqueagesobreosistemaéaforçagravitacional,independentementedaexplosãodofoguete.Assim,deacordocomaEq.9-14,aaceleração CMdocentrodemassadosfragmentos(enquantoestãonoar)permaneceiguala .Issosignificaqueocentrodemassadosfragmentossegueamesmatrajetóriaparabólicaqueofogueteteriaseguidosenãotivesseexplodido.PassodeBalé.Quando uma bailarina executa um salto conhecido comogrand jeté, ela levanta os

braçoseesticaaspernashorizontalmenteassimqueospésdeixamosolo(Fig.9-6).Essesmovimentosdeslocam para cima o centro de massa. Embora o centro de massa siga fielmente uma trajetóriaparabólica,omovimentoparacimadocentrodemassaemrelaçãoaocorpodiminuiaalturaalcançadapelacabeçaepelotroncodabailarina,quesemovemaproximadamentenahorizontal,criandoailusãodequeabailarinaflutuanoar.

Figura9-5 Explosãodeumfogodeartifício.Senão fossea resistênciadoar,ocentrodemassados fragmentoscontinuariaa seguiratrajetóriaparabólicaoriginalatéqueosfragmentoscomeçassemaatingirosolo.

Figura9-6 Umgrandjeté.(AdaptadodeThePhysicsofDance,deKennethLaws,SchirmerBooks,1984.)


Vamosagorademonstraressaimportanteequação.DeacordocomaEq.9-8,temos,paraumsistemadenpartículas,

emqueMéamassatotaldosistemae CMéovetorposiçãodocentrodemassadosistema.DerivandoaEq.9-16emrelaçãoaotempo,obtemos:

emque i(=d i/dt)éavelocidadedapartículadeordemi,e CM(=d CM/dt)éavelocidadedocentrodemassa.DerivandoaEq.9-17emrelaçãoaotempo,obtemos:

emque i(=d i/dt)éaaceleraçãodapartículadeordemie CM(=d CM/dt)éaaceleraçãodocentrodemassa. Embora o centro de massa seja apenas um ponto geométrico, ele possui uma posição, umavelocidadeeumaaceleração,comosefosseumapartícula.DeacordocomasegundaleideNewton,mi iéigualàforçaresultante iqueagesobreapartículade

ordemi.Assim,podemosescreveraEq.9-18naforma

Entre as forças que contribuem para o lado direito da Eq. 9-19 estão as forças que as partículas do

sistema exercem umas sobre as outras (forças internas) e as forças exercidas sobre as partículas poragentesdeforadosistema(forçasexternas).DeconformidadecomaterceiraleideNewton,asforçasinternasformamparesdotipoação-reaçãoquesecancelammutuamentenasomadoladodireitodaEq.9-19.Oquerestaéasomavetorialdasforçasexternasqueagemsobreosistema.Dessemodo,aEq.9-19sereduzàEq.9-14,comoqueríamosdemonstrar.

Teste2Doispatinadoresemumasuperfíciedegelo,sematrito,seguramasextremidadesdeumavara,demassadesprezível.Éescolhido

um eixo de referência namesma posição que a vara, com a origemno centro demassa do sistema de dois patinadores. Um

patinador,Frederico,pesaduasvezesmaisdoqueooutropatinador,Eduardo.Ondeospatinadoresseencontramse(a)Frederico

puxaa varapara seaproximardeEduardo, (b) Eduardopuxaa varapara seaproximardeFrederico, e (c)osdoispatinadores

puxamavara?

Exemplo9.03 Movimentodocentrodemassadetrêspartículas

Se as partículas de um sistema se deslocam namesma direção, o centro demassa acompanha omovimento; até aí, não há

nenhumanovidade.Oqueacontece,porém,seaspartículassemovememváriasdireções,comaceleraçõesdiferentes?Segueum

exemplo.

AstrêspartículasdaFig.9-7aestãoinicialmenteemrepouso.Cadaumasofreaaçãodeumaforçaexternaproduzidaporum

corpoforadosistema.Aorientaçãodasforçasestáindicadanafigura,eosmódulossãoF1=6,0N,F2=12NeF3=14N.Qualéa

aceleração(móduloeorientação)docentrodemassadosistema?

IDEIAS-CHAVE

Aposiçãodo centrodemassaestáassinaladaporumpontona figura.Podemos trataro centrodemassa comose fosseuma

partículareal,commassa igualàmassatotaldosistema,M=16kg.Tambémpodemostratarastrêsforçasexternascomose

fossemaplicadasaocentrodemassa(Fig.9-7b).

Cálculos:PodemosaplicarasegundaleideNewton( res=m )aocentrodemassa,escrevendo

DeacordocomaEq.9-20,aaceleração CMdocentrodemassatemamesmadireçãoqueaforçaexternaresultante resaplicada

aosistema(Fig.9-7b).Comoaspartículasestãoinicialmenteemrepouso,ocentrodemassatambémdeveestarinicialmenteem

repouso.Quandoocentrodemassacomeçaaacelerar,elesemovenadireçãode CMe res.

Podemoscalcularo ladodireitodaEq.9-21usandoumacalculadora,ouescreveraEq.9-21em termosdas componentes,

calcularascomponentesde CMe,emseguida,obter CM.Aolongodoeixox,temos:

Aolongodoeixoy,temos:

Assim,omódulode CMédadopor

eoângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)édadopor

Figura9-7(a)Trêspartículas,inicialmenteemrepousonasposiçõesindicadas,sãosubmetidasàsforçasexternas 1, 2e 3.O

centrodemassa(CM)dosistemaestáindicado.(b)Asforçassãotransferidasparaocentrodemassadosistema,quesecomporta

comoumapartículademassaM igualàmassatotaldosistema.Aforçaexternaresultante reseaaceleração CMdocentrode

massaestãoindicadas.

9-3MOMENTOLINEAR


9.13Saberqueomomentoéumagrandezavetoriale,portanto,possuiummóduloeumaorientaçãoepodeserrepresentadopormeiodecomponentes.

9.14Saberqueomomentolineardeumapartículaéigualaoprodutodamassapelavelocidadedapartícula.

9.15Calcularavariaçãodomomentodeumapartículaapartirdavariaçãodevelocidadedapartícula.

9.16Aplicararelaçãoentreomomentodeumapartículaeaforça(resultante)queagesobreapartícula.

9.17Calcularomomentodeumsistemadepartículascomooprodutodamassatotaldosistemapelavelocidadedocentrodemassa.

9.18Usararelaçãoentreomomentodocentrodemassadeumsistemaeaforçaresultantequeagesobreosistema.

Ideias-Chave•Nocasodeumapartículaisolada,definimosumagrandeza ,conhecidacomomomentolinear,pormeiodaequação

=m ,

que,comomostraaequação,éumagrandezavetorialcomamesmaorientaçãoqueavelocidadedapartícula.Emtermosdomomentolinear,asegundaleideNewtonassumeaseguinteforma:

•Nocasodeumsistemadepartículas,asequaçõesanterioressetornam

MomentoLinearVamos,porenquanto,concentrarnossaatençãoemumapartículaisolada,comoobjetivodedefinirduasgrandezasimportantes.Maisadiante,essasdefiniçõesserãoaplicadasasistemascommuitaspartículas.Aprimeiradefiniçãoéadeumapalavra–momento –quepossuivários significadosna linguagem

comum,masapenasumsignificadonafísicaenaengenharia.Omomentolineardeumapartículaéumagrandezavetorial definidapormeiodaequação

emqueméamassae éavelocidadedapartícula.(Oadjetivolinearéfrequentementeomitido,masserve para distinguir domomento angular, que será definido no Capítulo 11 e está associado arotações.) Como m é uma grandeza escalar positiva, a Eq. 9-22 mostra que e têm a mesmaorientação.DeacordocomaEq.9-22,aunidadedemomentodoSIéoquilograma-metroporsegundo(kg·m/s).ForçaeMomento.Newtonexpressousuasegundaleioriginalmenteemtermosdomomento:

Ataxadevariaçãocomotempodomomentodeumapartículaéigualàforçaresultantequeagesobreapartículaetemamesma

orientaçãoqueaforçaresultante.

Emformadeequação,issosignificaoseguinte:

Empalavras,aEq.9-23afirmaqueaforçaresultante resaplicadaaumapartículafazvariaromomentolinear dapartícula.Naverdade,omomentolinearsópodemudarseapartículaestiversujeitaaumaforça.Senãoexistenenhumaforça, nãopodemudar.ComovamosvernoMódulo9-5,esseúltimofatopodeserumaferramentaextremamentepoderosapararesolverproblemas.SubstituindonaEq.9-23 peloseuvalor,dadopelaEq.9-22,obtemos,paraumamassamconstante,

Assim,asrelações res=d /dte =m sãoexpressõesequivalentesdasegundaleideNewtonparaumapartícula.

Teste3Afiguramostraomódulopdomomentolinearemfunçãodotempotparaumapartículaquesemoveaolongodeumeixo.Uma

forçadirigidaaolongodoeixoagesobreapartícula.(a)Ordeneasquatroregiõesindicadasdeacordocomomódulodaforça,do

maiorparaomenor.(b)Emqueregiãoavelocidadedapartículaestádiminuindo?

OMomentoLineardeumSistemadePartículasVamosestenderadefiniçãodemomento linearaumsistemadepartículas.Considereumsistemadenpartículas,cadaumacomsuamassa,velocidadeemomentolinear.Aspartículaspodeminteragiresofreroefeitodeforçasexternas.Osistemacomoumtodopossuiummomentolinear total ,queédefinidocomoasomavetorialdosmomentoslinearesdaspartículas.Assim,

ComparandoaEq.(9-24)comaEq.9-17,vemosque

queéoutraformadedefiniromomentolineardeumsistemadepartículas:

Omomentolineardeumsistemadepartículaséigualaoprodutodamassatotaldosistemapelavelocidadedocentrodemassa.

ForçaeMomento.DerivandoaEq.9-25emrelaçãoaotempo(esupondoqueamassanãovariacomotempo),obtemos

Comparando as Eqs. 9-14 e 9-26, vemos que é possível escrever a segunda lei de Newton para umsistemadepartículasnaforma

emque reséaforçaexternaresultantequeagesobreosistema.AEq.9-27éageneralizaçãoparaumsistemademuitaspartículasdaequação res=d /dtválidaparaumapartículaisolada.Empalavras,aequaçãosignificaqueaforçaexterna res,aoseraplicadaaumsistemadepartículas,mudaomomentolinear do sistema.Naverdade,omomento lineardeumsistemasópode sermudadoporuma forçaexterna res. Se não existe uma força externa, não pode mudar. Este fato constitui uma ferramentaextremamentepoderosapararesolverproblemas.

9-4COLISÃOEIMPULSO


9.19Saberqueoimpulsoéumagrandezavetoriale,portanto,possuiummóduloeumaorientaçãoepodeserrepresentadopormeiodecomponentes.

9.20Usararelaçãoentreoimpulsoeavariaçãodemomento.

9.21Usararelaçãoentreimpulso,forçamédiaeaduraçãodoimpulso.

9.22Usarasequaçõesdeaceleraçãoconstantepararelacionaroimpulsoàforçamédia.

9.23Dadauma funçãoqueexpressaavariaçãodeuma forçacomo tempo,calcularo impulso (eavariaçãodomomento)integrandoafunção.

9.24Dadaumacurvaquerepresentaavariaçãodeumaforçacomotempo,calcularoimpulso(eavariaçãodomomento)porintegraçãográfica.

9.25Emumasériecontínuadecolisõesdeprojéteiscomumalvo,calcularaforçamédiaqueagesobreoalvoapartirdataxamássicadascolisõesedavariaçãodevelocidadeexperimentadapelosprojéteis.

Ideias-Chave•AaplicaçãodasegundaleideNewtonnaformademomentoaumcorpo,quesecomportacomoumapartícula,envolvidoemumacolisãolevaaoteoremadoimpulsoemomentolinear:

f– i=Δ = ,

emque f– i=Δ éavariaçãodomomentolineardocorpo,e éoimpulsoassociadoàforça (t)exercidasobreocorpopelooutrocorpoenvolvidonacolisão:

•SeFmédéomódulomédiode (t)duranteacolisão,Δtéaduraçãodacolisão,eomovimentoéretilíneo;logo,omódulodoimpulsoédadopor

J=FmédΔt.

•Emumasériecontínuadecolisõescomumalvofixodeprojéteisdemassamevelocidadev,aforçamédiaqueosprojéteisexercemsobreoalvoédadapor

emquen/Δtéataxacomaqualosprojéteiscolidemcomocorpo,eΔvéavariaçãodevelocidadedosprojéteis.Aforçamédiatambémpodeserescritanaforma

emqueΔm/Δtéataxamássicadascolisões.AvariaçãodevelocidadeéΔv=–vseosprojéteisficamemrepousodepoisdecadachoque,eΔv=–2vsericocheteiamcomamesmavelocidadeescalar.

ColisãoeImpulsoOmomento deumcorpoque se comporta comoumapartículapermanececonstante, amenosqueocorpo seja submetido a uma força externa. Paramudar omomento do corpo, podemos, por exemplo,empurrá-lo.Tambémpodemosmudaromomentodocorpodemodomaisviolento,fazendo-ocolidircomumtacodebeisebol.Emumacolisão,aforçaexercidasobreocorpoédecurtaduração,temummóduloelevadoeprovocaumamudançabruscadomomentodocorpo.Colisõesocorremfrequentementenavidareal,mas,antesdediscutirsituaçõesmaiscomplexas,vamosfalardeumtiposimplesdecolisãoemqueumcorpoquesecomportacomoumapartícula (umprojétil) colide comoutro corpoque se comportacomooutrapartícula(umalvo).

ColisãoSimples

Suponhaqueoprojétilsejaumabola,eoalvosejaumtaco.Acolisãodurapoucotempo,masaforçaqueagesobreabolaésuficienteparainverteromovimento.AFig.9-8mostrauminstantâneodacolisão.Abolasofreaaçãodeumaforça (t)quevariaduranteacolisãoemudaomomentolinear dabola.A

variaçãoestárelacionadaàforçapormeiodasegundaleideNewton,escritanaforma =d /dt.Assim,nointervalodetempodt,avariaçãodomomentodabolaédadapor

FhotodeHaroldE.Edgerton.©TheHaroldandEstherEdgertonFamilyTrust,courtesydePalmPress,Inc.

Acolisãodeumabolacomotacofazcomqueabolasedeforme.

Figura9-8 Aforça (t)agesobreumabolaquandoabolaeumtacocolidem.

Podemos calcular a variação total domomento da bola provocada pela colisão integrando ambos osmembrosdaEq.9-28deuminstante ti imediatamenteantesdacolisãoatéuminstante tf imediatamenteapósacolisão:

OladoesquerdodaEq.(9-29)nosdáavariaçãodomomento: f– i=∆ .Oladodireito,queéumamedidatantodaintensidadequantodaduraçãodaforçadacolisão,échamadodeimpulsoerepresentadopelosímbolo :

Assim,avariaçãodomomentodeumobjetoéigualaoimpulsoexercidosobreoobjeto:

AEq.9-31tambémpodeserescritanaforma

e,naformadecomponentes,como

IntegraçãodaForça.Seafunção (t)forconhecida,podemoscalcular (e,portanto,avariaçãodomomento) integrando a função. Se temos um gráfico de em função do tempo t, podemos obtercalculandoaáreaentreacurvaeoeixot,comonaFig.9-9a.Emmuitassituações,nãosabemoscomoaforçavariacomo tempo,masconhecemosomódulomédioFmédda forçaeaduraçãoΔt (= tf− ti) dacolisão.Nessecaso,podemosescreveromódulodoimpulsocomo

AFig.9-9bmostraaforçamédiaemfunçãodotempo.AáreasobacurvanográficoéigualàáreasobacurvadaforçarealnaFig.9-9a,umavezqueasduasáreassãoiguaisaJ,omódulodoimpulso.Emvezdenospreocuparmoscomabola,poderíamosterconcentradonossaatençãonotaconaFig.9-

8.DeacordocomaterceiraleideNewton,aforçaexperimentadapelotacoemqualquerinstantetemomesmomóduloqueaforçaexperimentadapelabola,masosentidooposto.DeacordocomaEq.9-30,issosignificaqueoimpulsoexperimentadopelotacotemomesmomóduloqueoimpulsoexperimentadopelabola,masosentidooposto.

Teste4Umparaquedista,cujoparaquedasnãoabriu,caiemummontedeneveesofreferimentosleves.Secaísseemumterrenosem

neve,otemponecessárioparapararteriasido10vezesmenoreacolisãoseriafatal.Apresençadaneveaumenta,diminuiou

mantéminalteradoovalor(a)davariaçãodomomentodoparaquedista,(b)doimpulsoexperimentadopeloparaquedistae(c)da

forçaexperimentadapeloparaquedista?

Figura9-9 (a)Acurvamostraomóduloda forçadependentedo tempoF(t)queagesobreabolanacolisãodaFig.9-8.A área sob a

curvaéigualaomódulodoimpulso sobreaboladuranteacolisão.(b)AalturadoretângulorepresentaaforçamédiaFmédqueagesobrea

bolanointervaloΔt.Aáreadoretânguloéigualàáreasobacurvadoitem(a)e,portanto,tambéméigualaomódulodoimpulso duranteacolisão.

ColisõesemSérie

Vamos considerar agora a força experimentada por um corpo ao sofrer uma série de colisões iguais.Imagine,porexemplo,queumadaquelasmáquinasdearremessarbolasdetênistenhasidoajustadapara

dispararbolascontraumaparede,umaapósaoutra.Cadacolisãoproduzumaforçasobreaparede,masnão é essa força que queremos calcular; o que nos interessa é a força médiaFméd a que a parede ésubmetidaduranteobombardeio,ouseja,aforçamédiaassociadaaumgrandenúmerodecolisões.NaFig.9-10,projéteisigualmenteespaçados,demassasiguaismemomentosiguaism ,deslocam-se

ao longodeumeixoxecolidemcomumalvofixo.SejanonúmerodeprojéteisquecolidememumintervalodetempoΔt.Comoomovimentoéapenasaolongodoeixox,podemosusarascomponentesdosmomentosaolongodesseeixo.Assim,cadaprojétiltemmomentoinicialmvesofreumavariaçãoΔpdomomento linearporcausadacolisão.Avariação totaldomomento linearden projéteis durante ointervaloΔt énΔp.O impulso resultante a que é submetido o alvo no intervalo de tempoΔt estáorientado ao longo do eixox e temomesmomódulonΔp que a variação domomento linear,mas osentidooposto.Podemosescreveressarelaçãonaforma

Figura9-10 Umasériedeprojéteis,todoscomomesmomomentolinear,colidecomumalvofixo.AforçamédiaFmédexercidasobreoalvoapontaparaadireitae temummóduloquedependedataxacomaqualosprojéteiscolidemcomoalvo,ou,alternativamente,dataxamássicadosprojéteis.

emqueosinalnegativoindicaqueJeΔptêmsentidosopostos.ForçaMédia.CombinandoasEq.9-35eEq.9-36,podemosobteraforçamédiaFmédqueagesobreo

alvoduranteascolisões:

AEq.9-37expressaFmédemtermosden/Δt,ataxacomaqualosprojéteiscolidemcomoalvo,eΔv,avariaçãodevelocidadedosprojéteis.Variação de Velocidade. Se os projéteis permanecem em repouso após o choque, a variação de

velocidadeédadapor

emquevi (=v) evf (= 0) são as velocidades antes e depois da colisão, respectivamente. Se, emvezdisso,osprojéteisricocheteiamnoalvoeconservamamesmavelocidadeescalar,vf=−ve,portanto,

No intervalo de tempo Δt, uma quantidade de massa Δm = nm colide com o alvo. Sendo assim,

podemosescreveraEq.9-37naforma

AEq.9-40expressaaforçamédiaFmédemtermosdeΔm/Δt,a taxacomaqualamassacolidecomoalvo,conhecidacomotaxamássica.Maisumavez,podemossubstituirΔvpeloresultadodaEq.9-38ou9-39,dependendodoqueacontececomosprojéteisapósascolisões.

Teste5Afiguramostraumavistasuperiordeumabolaricocheteandoemumaparedeverticalsemqueavelocidadeescalardabolaseja

afetada.Considereavariação∆ domomentolineardabola.(a)Δpxépositiva,negativaounula?(b)Δpyépositiva,negativaou

nula?(c)Qualéaorientaçãode∆ ?

Exemplo9.04 Colisãodeumcarrodecorridacomummurodeproteção

AFig.9-11aéumavistasuperiordatrajetóriadeumcarrodecorridaaocolidircomummurodeproteção.Antesdacolisão,o

carroestásemovendocomumavelocidadeescalarvi=70m/saolongodeumalinharetaquefazumângulode30°comomuro.

Apósacolisão,estásemovendocomumavelocidadeescalarvf=50m/saolongodeumalinharetaquefazumângulode10°

comomuro.Amassamdopilotoé80kg.

(a)Qualéoimpulso aqueopilotoésubmetidonomomentodacolisão?

IDEIAS-CHAVE

Podemostrataropilotocomoumapartículaeaplicarosprincípiosdefísicadiscutidosnestemódulo,masnãopodemoscalcular

usandoaEq.9-30porquenão conhecemosa força (t) queage sobreopilotodurante a colisão. Emoutraspalavras, não

dispomosdeumafunção,nemdeumgráfico,quepermitaobterovalorde porintegração.Entretanto,podemosusaraEq.9-32

( = f– i)paracalcular apartirdavariaçãodomomentolinear.

Cálculos:AFig.9-11bmostraomomentodopilotoantesdacolisão, i(quefazumângulode30ocomosemieixoxpositivo),e

omomentodopilotodepoisdacolisão, f(quefazumângulode−10ocomosemieixoxpositivo).DeacordocomasEqs.9-32e

9-22( =m ),podemosescrever

PoderíamoscalcularoladodireitodaEq.9-41diretamenteoucomoauxíliodeumacalculadora,poissabemosquemé80kg, f

temummódulode50m/seumângulode−10o,e i temummódulode70m/seumângulode30o. Emvezdisso, vamos

resolveraEq.9-41separando-aemcomponentes.

Componentex:Paraoeixox,temos:

Jx = m(vfx–vix)

= (80kg)[(50m/s)cos(–10°)–(70m/s)cos30°]

= –910kg·m/s.

Componentey:Paraoeixoy,temos:

Jy = m(vfy–viy)

= (80kg)[(50m/s)sen(–10°)–(70m/s)sen30°]

= –3495kg·m/s≈–3500k·m/s.

Impulso:Oimpulsoé,portanto,

oquesignificaqueomódulodoimpulsoé

Oângulode édadopor

que,deacordo comumacalculadora,é75,4°. Lembre-sedequeo resultado fisicamente corretodoarco tangentepode sero

indicadopelacalculadoraouoindicadopelacalculadoramais180°.Paraverificarqualdosdoiséoresultadocorreto,podemos

desenharascomponentesde (Fig.9-11c).Fazendoisso,verificamosqueθé,naverdade,75,4°+180°=255,4°,quetambém

podeserescritocomo

(b)Acolisãodura14ms.Qualéomódulodaforçamédiaqueopilotoexperimentaduranteacolisão?

IDEIA-CHAVE

DeacordocomaEq.9-35(J=FmédΔt),omóduloFméddaforçamédiaéarazãoentreomódulodoimpulso,J,eaduraçãoΔtda

colisão.

Cálculos:Temos

UsandoaequaçãoF=macomm=80kg,éfácilmostrarqueomódulodaaceleraçãodopilotoduranteacolisãoé3,22×103

m/s2=329g.Umaaceleraçãotãoelevadaseriaprovavelmentefatal.

NormasdeSegurança:Osengenheirosmecânicostentamreduzirosriscosdospilotosdecorridaprojetandomuros“macios”

paraqueascolisõesduremmaistempo.Seacolisãoexaminadanesteexemplodurasse10vezesmaistempoetodososoutros

parâmetros permanecessem iguais, os módulos da força média e da aceleração média seriam 10 vezes menores e o piloto

provavelmentesobreviveria.

Figura9-11(a)Vistasuperiordatrajetóriaseguidaporumcarrodecorridaeseupilotoquandoocarrocolidecomummurode

proteção.(b)Omomentoinicial ieomomentofinal fdopiloto.(c)Oimpulso sobreopilotonacolisão.

9-5CONSERVAÇÃODOMOMENTOLINEAR


9.26Nocasodeumsistemaisoladodepartículas,usara leideconservaçãodomomento linearpararelacionaromomentoinicialdaspartículasaomomentoemuminstanteposterior.

9.27 Saber que, mesmo que um sistema não seja isolado, a lei de conservação do momento linear pode ser aplicada àcomponentedomomentoemrelaçãoaumeixo,contantoquenãohajaumacomponentedeumaforçaexternanadireçãodesseeixo.

Ideias-Chave•Seumsistemaéfechadoeisolado,omomentolinear dosistemaéconstante:

=constante(sistemafechadoeisolado)

•Aleideconservaçãodomomentolineartambémpodeserescritaemtermosdomomentoinicialdosistemaedomomentodosistemaemuminstanteposterior:

= f(sistemafechadoeisolado)

ConservaçãodoMomentoLinearSuponha que a força externa resultante res (e, portanto, o impulso ) que age sobre um sistema departículasézero(ouseja,queosistemaéisolado)equenenhumapartículaentranosistemaousaidosistema(ouseja,queosistemaéfechado).Fazendo res=0naEq.9-27,temosd /dt=0e,portanto,

Empalavras,

Seumsistemadepartículasnãoestásubmetidoaforçasexternas,omomentolineartotal dosistemanãopodevariar.

Este resultado, conhecido como lei de conservação domomento linear, também pode ser escrito naforma

Empalavras,aEq.9-43significaque,emumsistemafechadoeisolado,

Atenção: A conservação do momento não deve ser confundida com a conservação da energia. Nosexemplosdestemódulo,omomentoéconservado,masomesmonãoacontececomaenergia.

Como as Eqs. 9-42 e 9-43 são equações vetoriais, cada uma equivale a três equações para aconservaçãodomomento linear em três direçõesmutuamente perpendiculares, como, por exemplo, oseixosdeumsistemadecoordenadasxyz.Dependendodasforçaspresentesnosistema,omomentolinearpodeserconservadoemumaouduasdireções,masnãoemtodas.Entretanto,

Seumadascomponentesdaforçaexternaaplicadaaumsistemafechadoénula,acomponentedomomentolineardosistemaem

relaçãoaomesmoeixonãopodevariar.

No caso de um problema específico, como é possível saber se o momento linear é conservado,digamos,aolongodoeixox?Paraisso,bastaexaminarascomponentesdasforçasexternasemrelaçãoaoeixox.Seasomadascomponentesézero,omomentoéconservado.Suponha,porexemplo,quevocêarremessauma laranjadeumaextremidadeaoutradeumaposento.Duranteopercurso, aúnica forçaexternaqueagesobrealaranja(queestamosconsiderandocomoosistema)éaforçagravitacional g,dirigidaverticalmenteparabaixo.Assim,acomponenteverticaldomomentolineardalaranjavaria,mas,jáquenenhumaforçaexternahorizontalagesobrealaranja,acomponentehorizontaldomomentolinearnãopodevariar.Note que estamos falando das forças externas que agem sobre um sistema fechado. Embora forças

internaspossammudaromomentolineardepartesdosistema,elasnãopodemmudaromomentolineartotaldosistema.Assim,porexemplo,osórgãosdoseucorpoestãosujeitosamuitas forças,maselas(felizmente)nãofazemcomquevocêsejaarremessadoconstantementedeumladoparaoutro.Osexemplosdestemóduloenvolvemexplosõesunidimensionais(oquesignificaqueosmovimentos

antesedepoisdaexplosãoocorremaolongodeumúnicoeixo)oubidimensionais(oquesignificaqueosmovimentos ocorrem em um plano que contém dois eixos). As colisões serão discutidas em outrosmódulos.

Teste6Umartefatoinicialmenteemrepousoemumpisosematritoexplodeemdoispedaços,quedeslizampelopisoapósaexplosão.

Umdospedaçosdeslizanosentidopositivodeumeixox.(a)Qualéasomadosmomentosdosdoispedaçosapósaexplosão?(b)

O segundo pedaço pode semover em uma direção diferente da do eixo x? (c) Qual é a orientação domomento do segundo

pedaço?

Exemplo9.05 Explosãounidimensionalevelocidaderelativadeumrebocadorespacial

AFig.9-12amostraumrebocadorespacialeumacápsuladecarga,demassatotalM,viajandoaolongodeumeixoxnoespaço

sideralcomumavelocidadeinicial idemódulo2100km/hemrelaçãoaoSol.Comumapequenaexplosão,orebocadorejetaa

cápsuladecarga,demassa0,20M(Fig.9-12b).Depoisdisso,orebocadorpassaaviajar500km/hmaisdepressaqueacápsulaao

longodoeixox, ou seja,avelocidade relativavrel entreo cargueiro e a cápsula é 500 km/h.Qual é anova velocidade RS do

rebocadoremrelaçãoaoSol?

IDEIA-CHAVE

Comoosistemarebocador-cápsulaéfechadoeisolado,omomentolineartotaldosistemaéconservado,ouseja,

emqueosíndicesief indicamosvaloresantesedepoisdaejeção,respectivamente.(Atenção:Emboraomomentodosistema

permaneçaomesmo,nãosepodedizeromesmodosmomentosdorebocadoredacápsula,quesãodiferentesantesedepoisda

ejeção.)

Cálculos: Comoomovimentoé ao longodeumúnicoeixo,podemosescreverosmomentose as velocidadesem termosdas

componentesx.Antesdaejeção,temos:

SejavCSavelocidadedacápsulaejetadaemrelaçãoaoSol.Omovimentolineartotaldosistemaapósaejeçãoédadopor

emqueoprimeiro termodo ladodireitoéomomento linearda cápsulade cargaeo segundo termoéomomento lineardo

rebocador.

Figura9-12(a)Umrebocadorespacial,comumacápsuladecarga,movendo-secomvelocidadeinicial i.(b)Orebocadorejetou

acápsuladecarga;agoraasvelocidadesemrelaçãoaoSolsão CSparaacápsulae RSparaorebocador.

NãoconhecemosavelocidadevCSdacápsulaemrelaçãoaoSol,maspodemosrelacioná-laàsvelocidadesconhecidaspormeio

daequação

Emsímbolos,issonosdá

SubstituindoestaexpressãoparavCSnaEq.9-46esubstituindoasEqs.9-45e9-46naEq.9-44,obtemos

Mvi=0,20M(vRS–vrsl)+0,80MvRS

oquenosdá

Exemplo9.06 Explosãobidimensionalemomentodeumcoco

Aoexplodir,umabombaartesanaldotipocabeçadenegrocolocadanointeriordeumcocovaziodemassaM, inicialmenteem

repousoemumasuperfície sematrito,quebraococoemtrêspedaços,quedeslizamemumasuperfíciehorizontal.Umavista

superioréapresentadanaFig.9-13a.OpedaçoC,demassa0,30M,temvelocidadeescalarfinalvfC=5,0m/s.

(a)QualéavelocidadedopedaçoB,demassa0,20M?

IDEIA-CHAVE

Emprimeirolugar,precisamossaberseomomentolinearéconservado.Observamosque(1)ococoeseuspedaçosformamum

sistemafechado,(2)asforçasdaexplosãosãointernasaosistema,e(3)nenhumaforçaexternaagesobreosistema.Issosignifica

queomomentolineardosistemaéconservado.(Atenção:Emboraomomentodosistemapermaneçaomesmo,nãosepodedizer

omesmodosmomentosdospedaçosdococo,quesãodiferentesantesedepoisdaejeção.)

Cálculos: Para começar, introduzimos um sistema de coordenadas xy no sistema, comomostra a Fig. 9-13b, com o sentido

negativodoeixoxcoincidindocomosentidode fA.Oeixoxfaz80ocomadireçãode fCe50ocomadireçãode fB.

Omomentolinearéconservadoseparadamenteparacadaeixo.Vamosusaroeixoyeescrever

emqueoíndiceiindicaovalorinicial(antesdaexplosão),oíndicefindicaovalorfinaleoíndiceyindicaacomponenteyde i

ou f.

AcomponentePiydomomentolinearinicialézero,poisococoestáinicialmenteemrepouso.ParacalcularPfy,determinamosa

componenteydomomentolinearfinaldecadapedaçoutilizandoaversãoparaacomponenteydaEq.9-22(py=mvy):

pfA,y = 0,

pfB,y = –0,20MvfB,y=–0,20MvfBsen50°,

pfC,y = 0,30MvfC,y=0,30MvfCsen80°.

(NotequepfA,y=0porcausadenossaescolhadeeixos.)AEq.9-48podeserescritanaforma

Piy=Pfy=pfA,y+pfB,y+pfC,y

Nessecaso,comvfC=5,0m/s,temos:

0=0–0,20MvfBsen50°+(0,30M)(5,0m/s)sen80°

e,portanto,

(b)QualéavelocidadeescalardopedaçoA?

Cálculos:Comoomomentolineartambéméconservadoaolongodoeixox,temos:

emquePix=0,poisococoestáinicialmenteemrepouso.ParacalcularPfx,determinamosascomponentesxdomomentolinear

finaldecadapedaçousandoofatodequeopedaçoAtemmassade0,50M(=M−0,20M−0,30M):

pfA,x = –0,50MvfA,

pfB,x = –0,20MvfB,x=–0,20MvfBcos50°,

pfC,x = 0,30MvfC,x=0,30MvfCcos80°.

AEq.9-49podeserescritanaforma

Pix=Pfx=pfA,x+pfB,x+pfC,x

Nessecaso,comvfC=5,0m/sevfB=9,64m/s,temos:

0=–0,50MvfA+0,20M(9,64m/s)cos50°+(0,30M)(5,0m/s)cos80°

e,portanto,

Figura9-13Trêspedaçosdeumcocoqueexplodiuseafastamemtrêsdireçõesemumpisosematrito. (a)Vistasuperiordo

evento.(b)Amesmavistacomumsistemadeeixosbidimensionaldesenhado.

9-6MOMENTOEENERGIACINÉTICAEMCOLISÕES


9.28Saberadiferençaentrecolisõeselásticas,colisõesinelásticasecolisõestotalmenteinelásticas.

9.29Saberque,emumacolisãounidimensional,osobjetossemovemnamesmalinharetaantesedepoisdacolisão.

9.30Aplicaraleideconservaçãodomomentolinearaumacolisãounidimensionalemumsistemaisoladopararelacionarosmomentosiniciaisdosobjetosantesdacolisãoaosmomentosdosobjetosapósacolisão.

9.31Saberque,emumsistemaisolado,omomentoeavelocidadedocentrodemassanãosãoafetadosporumacolisãoentreobjetosdosistema.

Ideias-Chave•Emumacolisãoinelásticadedoiscorpos,aenergiacinéticadosistemadedoiscorposnãoéconservada.Seosistemaéfechadoeisolado,omomentolineardosistemaéconservado,ouseja,

emqueosíndicesiefindicamvalores,respectivamente,antesedepoisdacolisão.•Seoscorpossemovemao longodamesma linha reta,acolisãoéunidimensionalepodemosescrevê-laem termosdascomponentesemrelaçãoaessalinhareta:

m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2f

•Seoscorpospermanecemunidosapósacolisão,acolisãoéchamadadeperfeitamenteinelásticaeoscorpos,naturalmente,têmamesmavelocidadefinalV.•Ocentrodemassadeumsistemafechadoeisolado,compostopordoiscorpos,nãoéafetadoporumacolisão.Emparticular,avelocidade CMéamesmaantesedepoisdacolisão.

MomentoeEnergiaCinéticaemColisõesNoMódulo9-4,consideramosacolisãodedoiscorposquesecomportavamcomopartículas,masnosconcentramosemapenasumdoscorpos.Nospróximosmódulos,estudaremososistemadedoiscorposcomoumtodo,supondoquesetratadeumsistemafechadoeisolado.NoMódulo9-5,discutimosumaregraparasistemasdessetipo:omomentolineartotal dosistemanãopodevariar,jáquenãoháumaforçaexternaparacausaressavariação.Trata-sedeumaregramuitoimportante,poispermitedeterminaroresultadodeumacolisãosemconhecerdetalhesdacolisão,comoaextensãodosdanos.Tambémestaremosinteressadosnaenergiacinéticatotaldeumsistemadedoiscorposquecolidem.

Seaenergiacinéticatotalnãoéalteradapelacolisão,aenergiacinéticadosistemaéconservada (éamesmaantesedepoisdacolisão).Essetipodecolisãoéchamadodecolisãoelástica.Nascolisõesentrecorposcomuns,queacontecemnodiaadia,comoacolisãodedoiscarrosoudeumabolacomumtaco,partedaenergiaétransferidadeenergiacinéticaparaoutrasformasdeenergia,comoenergiatérmicaeenergiasonora.Issosignificaqueaenergiacinéticanãoéconservada.Estetipodecolisãoéchamadode

colisãoinelástica.Em algumas situações, podemos considerar uma colisão de corpos comuns comoaproximadamente

elástica.SuponhaquevocêdeixacairumaSuperbolaemumpisoduro.Seacolisãoentreabolaeopiso(ouaTerra)fosseelástica,abolanãoperderiaenergiacinéticanacolisãoevoltariaàalturainicial.Naprática,aalturaatingidapelabolaapósacolisãoéligeiramentemenor,oquemostraquepartedaenergiacinética é perdida na colisão e, portanto, a colisão é inelástica. Entretanto, dependendo do tipo decálculo que estamos executando, pode ser válido desprezar a pequena quantidade de energia cinéticaperdidaeconsideraracolisãocomosefosseelástica.A colisão inelástica de dois corpos sempre envolve uma perda de energia cinética por parte do

sistema. A maior perda ocorre quando os dois corpos permanecem juntos, caso em que a colisão échamada de colisão perfeitamente inelástica. A colisão de uma bola de beisebol com um taco éinelástica,enquantoacolisãodeumabolademassademodelarcomumtacoéperfeitamenteinelástica,pois,nessecaso,abolaadereaobastão.

ColisõesInelásticasemUmaDimensãoColisãoInelásticaUnidimensional

AFig.9-14mostradoiscorpospoucoantesepoucodepoisdesofreremumacolisãounidimensional.Asvelocidadesantesdacolisão(índice i)edepoisdacolisão (índice f)estão indicadas.Osdoiscorposconstituemumsistemafechadoeisolado.Podemosescreveraleideconservaçãodomomentolinearparaessesistemadedoiscorposdaseguinteforma:

ou,emsímbolos,

Figura9-14 Oscorpos1e2semovemaolongodeumeixox,antesedepoisdesofreremumacolisãoinelástica.

Comoomovimentoéunidimensional,podemossubstituirosvetoresporcomponentesemrelaçãoaumúnicoeixo.Assim,apartirdaequaçãop=mv,podemosescreveraEq.9-50naforma

Se conhecemos os valores, digamos, dasmassas, das velocidades iniciais e de uma das velocidadesfinais,podemoscalcularaoutravelocidadefinalusandoaEq.9-51.

ColisõesPerfeitamenteInelásticasUnidimensionais

AFig.9-15mostradoiscorposantesedepoisdesofreremumacolisãoperfeitamenteinelástica(ouseja,oscorpospermanecemunidosapósacolisão).Ocorpodemassam2estáinicialmenteemrepouso(v2i=0).Podemosnosreferiraessecorpocomoalvoeaocorpoincidentecomoprojétil.Apósacolisão,osdoiscorpossemovemjuntoscomvelocidadeV.Nessasituação,podemosescreveraEq.9-51como

Seconhecemososvalores,digamos,dasmassasedavelocidadeinicialv1idoprojétil,podemoscalcularavelocidadefinalVusandoaEq.9-53.NotequeVésempremenorquev1i,jáquearazãom1/(m1+m2)ésempremenorque1.

VelocidadedoCentrodeMassa

Emumsistemafechadoeisolado,avelocidade CMdocentrodemassadosistemanãopodevariaremumacolisãoporquenãoexistemforçasexternasparacausaressavariação.Paraobterovalorde CM,vamosvoltaraosistemadedoiscorposeàcolisãounidimensionaldaFig.9-14.DeacordocomaEq.9-25 ( = M CM), podemos relacionar CM ao momento linear total do sistema de dois corpos

escrevendo

Figura9-15 Umacolisãoperfeitamenteinelásticaentredoiscorpos.Antesdacolisão,ocorpodemassam2estáemrepousoeocorpodemassam1estásemovendo.Apósacolisão,oscorposunidossemovemcomamesmavelocidade .

Figura9-16 (a)AlgunsinstantâneosdosistemadedoiscorposdaFig.9-15,noqualocorreumacolisãoperfeitamenteinelástica.Ocentrodemassadosistemaémostradoemcadainstantâneo.Avelocidade CM docentrodemassanãoéafetadapelacolisão.Comooscorpospermanecemjuntosapósacolisão,avelocidadecomum éiguala CM .

Comoomomentolineartotal éconservadonacolisão,eleédadopelosdoisladosdaEq.9-50.Vamosusaroladoesquerdoeescrever

Substituindoessaexpressãode naEq.9-54eexplicitando CM,obtemos

OladodireitodaEq.9-56éumaconstante,e CMtemessevalorconstanteantesedepoisdacolisão.Assim, por exemplo, a Fig. 9-16mostra, em uma série de instantâneos, omovimento do centro de

massaparaacolisãoperfeitamenteinelásticadaFig.9-15.Ocorpo2éoalvo,eomomentolinearinicialdocorpo2naEq.9-56é 2i=m2 2i=0.Ocorpo1éoprojétil,eomomentolinearinicialdocorpo1naEq.9-56é 1i=m1 1i.Noteque,antesedepoisdacolisão,ocentrodemassasemovecomvelocidadeconstanteparaadireita.Depoisdacolisão,avelocidadefinalVcomumaoscorposéiguala CM,umavezque,apartirdessemomento,ocentrodemassacoincidecomoconjuntoformadopelosdoiscorpos.

Teste7Ocorpo1eocorpo2sofremumacolisãoperfeitamenteinelástica.Qualéomomentolinearfinaldoscorposseosmomentos

iniciaissão,respectivamente,(a)10kg·m/se0;(b)10kg·m/se4kg·m/s;(c)10kg·m/se−4kg·m/s?

Exemplo9.07 Conservaçãodomomentodeumpêndulobalístico

Esteexemploutilizaumatécnicamuitocomumnafísica.Estamosdiantedeumproblemaquenãopodeserresolvidodiretamente

(nãoconhecemosnenhumaequaçãoquepossaseraplicadaaoproblema).Porisso,dividimosoproblemaempartesquepodem

serresolvidasseparadamente(dispomosdeequaçõesparaisso).

Opêndulobalísticoerausadoparamediravelocidadedosprojéteisquandonãohaviasensoreseletrônicos.Aversãomostrada

naFig.9-17écompostaporumgrandeblocodemadeirademassaM=5,4kgpenduradoemduascordascompridas.Umabala

demassam=9,5gédisparadacontraoblocoe fica incrustadanamadeira.Como impulso,opêndulodescreveumarcode

circunferência, fazendo comque o centro demassa do sistemabloco-bala atinja uma alturamáximah = 6,3 cm. Qual era a

velocidadedabalaantesdacolisão?

IDEIAS-CHAVE

Éfácilperceberqueaalturahatingidapelocentrodemassadependedavelocidadevdabala.Entretanto,nãopodemosusara

conservaçãodaenergiamecânicapararelacionarasduasgrandezasporque,certamente,partedaenergiaétransferidadeenergia

mecânicaparaoutras formas (comoenergia térmicaeaenergianecessáriaparaperfuraramadeira)quandoabalapenetrano

bloco.Entretanto,podemosdividiressemovimentocomplicadoemduasetapas,quepodemseranalisadasseparadamente:(1)a

colisãoentreabalaeoblocoe(2)asubidadosistemabala-bloco,naqualaenergiamecânicaéconservada.

Primeiro raciocínio: Como a colisão dura muito pouco tempo, podemos fazer duas importantes suposições: (1) Durante a

colisão, a forçagravitacional e as forçasdas cordas sobreoblocoestãoemequilíbrio. Isso significaque,durantea colisão,o

impulsoexternototalsobreosistemabala-blocoézeroe,portanto,osistemaestáisoladoeomomentolineartotaléconservado:

(2)Acolisãoéunidimensional,nosentidodequeadireçãodomovimentodabalaedoblocoimediatamenteapósacolisãoéa

mesmadabalaantesdacolisão.

Comoacolisãoéunidimensional,oblocoestáinicialmenteemrepousoeabalaficapresanobloco,usamosaEq.9-53para

expressaraconservaçãodomomentolinear.TrocandoossímbolosdaEq.9-53paraossímboloscorrespondentesdoproblema

queestamosanalisando,temos:

Segundoraciocínio:Comoabalaeoblocoagoraoscilamjuntos,aenergiamecânicadosistemabala-bloco-Terraéconservada:

(Essaenergiamecânicanãoéafetadapelaforçadascordassobreoblocoporqueaforçaéperpendicularàtrajetóriadobloco.)

Vamostomaraalturainicialdoblococomoníveldereferênciadeenergiapotencialgravitacionalzero.Nessecaso,deacordocom

oprincípiode conservaçãoda energiamecânica, a energia cinéticado sistemano início da oscilaçãodeve ser igual à energia

potencialgravitacionalnopontomaisaltodaoscilação.Comoavelocidadedabalaedobloconoiníciodaoscilaçãoéavelocidade

Vimediatamenteapósacolisão,podemosescreveressaigualdadecomo

Combinaçãodosresultados:SubstituindoVnaEq.9-60peloseuvalor,dadopelaEq.9-58,obtemos:

Opêndulobalísticoéumaespéciede“transformador”,que trocaaaltavelocidadedeumobjeto leve (abala)pelavelocidade

baixa(e,portanto,fácildemedir)deumobjetopesado(obloco).

Figura9-17 Umpêndulobalístico,usadoparamediravelocidadedeprojéteis.

9-7COLISÕESELÁSTICASEMUMADIMENSÃO


9.32Nocasodecolisõeselásticasdedoiscorposemumadimensão,aplicarasleisdeconservaçãodaenergiaedomomentopararelacionarosvaloresiniciaiseosvaloresfinaisdavelocidadedoscorpos.

9.33Nocasodeumprojétilquecolidecomumalvoestacionário,analisaromovimentoresultanteparatrêscasospossíveis:massasiguais,massadoalvomuitomaiorqueamassadoprojétil,emassadoprojétilmuitomaiorqueamassadoalvo.

Ideia-Chave•Umacolisãoelásticaéumtipoespecialdecolisãoemqueaenergiacinéticadoscorposquecolideméconservada.Seosistemaéfechadoeisolado,omomentolineartambéméconservado.Nocasodeumacolisãounidimensionalnaqualocorpo1éoprojétileocorpo2éoalvo,aconservaçãodaenergiacinéticaedomomentolinearfornecemasseguintesexpressõesparaavelocidadedosdoiscorposimediatamenteapósacolisão:

ColisõesElásticasemUmaDimensãoComocomentamosnoMódulo9-6,ascolisõesqueacontecemnodiaadiasãoinelásticas,maspodemossupor que algumas são aproximadamente elásticas, ou seja, que a energia cinética total dos corposenvolvidosnacolisãonãoéconvertidaemoutrasformasdeenergiae,portanto,éconservada:

Issonãosignificaqueaenergiadoscorposenvolvidosnacolisãonãovaria:

Nas colisões elásticas, a energia cinética dos corpos envolvidos na colisão pode variar,mas a energia cinética total do sistema

permaneceamesma.

Assim, por exemplo, a colisão da bola branca com uma bola colorida no jogo de sinuca pode serconsideradaaproximadamenteelástica.Seacolisãoéfrontal(ouseja,seabolabrancaincideemcheiona outra bola), a energia cinética da bola branca pode ser transferida quase inteiramente para a outrabola. (Entretanto,ofatodequeacolisãoproduzruídosignificaquepelomenosumapequenapartedaenergiacinéticaétransferidaparaaenergiasonora.)

AlvoEstacionário

AFig.9-18mostradoiscorposantesedepoisdeumacolisãounidimensional,comoumacolisãofrontaldebolasdesinuca.Umprojétil,demassam1evelocidadeinicialv1i,semoveemdireçãoaumalvode

massam2 que está inicialmente em repouso (v2i = 0).Vamos supor que esse sistemade dois corpos éfechadoeisolado.Issosignificaqueomomentolineartotaldosistemaéconservadoe,deacordocomaEq.9-51,temos:

Seacolisãoéelástica,aenergiacinéticatotaltambéméconservadaepodemosexpressaressefatopormeiodaequação

Figura9-18 O corpo 1 semove ao longo de um eixo x antes de sofrer uma colisão elástica com o corpo 2, que está inicialmente emrepouso.Osdoiscorpossemovemaolongodoeixoxapósacolisão.

Nasduasequações,oíndiceiindicaavelocidadeinicial,eosubscritof indicaavelocidadefinaldoscorpos.Seconhecemosasmassasdoscorposetambémconhecemosv1i,avelocidadeinicialdocorpo1,as únicas grandezas desconhecidas são v1f e v2f, as velocidades finais dos dois corpos. Com duasequaçõesàdisposição,podemoscalcularovalordasincógnitas.Paraisso,escrevemosaEq.9-63naforma

eaEq.9-64naforma*

DividindoaEq.9-66pelaEq.9-65ereagrupandoostermos,obtemos

2.

3.

1.

DeacordocomaEq.9-68,v2fésemprepositiva(oalvo,inicialmenteparado,demassam2, sempresemoveparaafrente).DeacordocomaEq.9-67,v1fpodeserpositivaounegativa(oprojétilsemoveparaafrente,sem1>m2,ericocheteia,sem1<m2).Vamosexaminaralgumassituaçõesespeciais.

MassasiguaisSem1=m2,asEqs.9-67e9-68sereduzema

v1f=0ev2f=v1i,

quepoderíamoschamarderesultadodasinuca.Depoisdeumacolisãoelásticafrontaldecorposdemassasiguais,ocorpo1(inicialmenteemmovimento)paratotalmente,eocorpo2(inicialmenteemrepouso)entraemmovimentocomavelocidade inicialdocorpo1.Emcolisõeselásticas frontais,corposdemassas iguais simplesmente trocamdevelocidade. Issoacontece,mesmoqueocorpo2nãoestejainicialmenteemrepouso.

AlvopesadoNaFig.9-18,umalvopesadosignificaquem2≫m1.Esseseriaocaso,porexemplo,deumaboladetênislançadacontraumaboladebolicheemrepouso.Nessasituação,asEqs.9-67e9-68sereduzema

Aconclusãoéqueocorpo1(aboladetênis)ricocheteiaerefazatrajetórianosentidoinverso,coma velocidade escalar praticamente inalterada. O corpo 2 (a bola de boliche), inicialmente emrepouso,move-separaafrenteembaixavelocidade,poisofatorentreparêntesesnaEq.9-69émuitomenordoque1.Tudoissoestádentrodoesperado.

ProjétilpesadoEsseéocasooposto,noqualm1≫m2.Dessavez,umaboladebolicheélançadacontraumaboladetênisemrepouso.AsEqs.9-67e9-68sereduzema

De acordo com a Eq. 9-70, o corpo 1 (a bola de boliche) simplesmente mantém a trajetória,praticamentesemser freadopelacolisão.Ocorpo2 (abolade tênis)éarremessadoparaa frentecomodobrodavelocidadedaboladeboliche.Oleitordeveestarseperguntando:Porqueodobrodavelocidade?Para compreender a razão, lembre-seda colisãodescritapelaEq.9-69, na qual avelocidadedo corpo leve incidente (abolade tênis)mudoude+v para−v, ou seja, a velocidade

sofreuumavariaçãode2v.Amesmavariaçãodevelocidade (agorade0para2v) acontecenesteexemplo.

Figura9-19 Doiscorposprestesasofrerumacolisãoelásticaunidimensional.

AlvoemMovimento

Agora que examinamos a colisão elástica de um projétil com um alvo em repouso, vamos analisar asituaçãonaqualosdoiscorposestãoemmovimentoantesdesofreremumacolisãoelástica.ParaasituaçãodaFig.9-19,aconservaçãodomomentolinearpodeserescritanaforma

eaconservaçãodaenergiacinéticanaforma

Pararesolverestesistemadeequaçõeseobterosvaloresdev1fev2f,primeiroescrevemosaEq.9-71naforma

eaEq.9-72naforma

DividindoaEq.9-74pelaEq.9-73ereagrupandoostermos,obtemos

Notequeacorrespondênciaentreosíndices1e2eosdoiscorposéarbitrária.SetrocarmososíndicesnaFig.9-19enasEqs.9-75e9-76,acabaremoscomomesmosistemadeequações.Notetambémque,sefizermosv2i=0,ocorpo2setornaráumalvoestacionário,comonaFig.9-18,easEqs.9-75e9-76se

reduzirãoàsEqs.9-67e9-68,respectivamente.

Teste8QualéomomentolinearfinaldoalvodaFig.9-18seomomentolinearinicialdoprojétilé6kg·m/seomomentolinearfinaldo

projétilé(a)2kg·m/se(b)−2kg·m/s?(c)Qualéaenergiacinéticafinaldoalvoseasenergiascinéticasinicialefinaldoprojétil

são,respectivamente,5Je2J?

Exemplo9.08 Duascolisõeselásticassucessivas

NaFig.9-20a,obloco1seaproximadedoisblocosestacionáriosaumavelocidadev1i=10m/s.Elecolidecomobloco2,que,

porsuavez,colidecomobloco3,cujamassaém3=6,0kg.Depoisdasegundacolisão,obloco2ficanovamenteestacionárioeo

bloco3adquireumavelocidadev3f=5,0m/s(Fig.9-20b).Suponhaqueascolisõessãoelásticas.Qualéamassadosblocos1e2?

Qualéavelocidadefinalv1fdobloco1?

IDEIAS-CHAVE

Comoestamossupondoqueascolisõessãoelásticas,aenergiamecânicaéconservada(ouseja,asperdasdeenergiaparaosom,

caloreoscilaçõesdosblocossãodesprezíveis).Comonãoexistemforçashorizontaisexternasagindosobreosblocos,omomento

linearaolongodoeixoxéconservado.Poressasduasrazões,podemosaplicarasEqs.9-67e9-68àsduascolisões.

Figura9-20Obloco1colidecomoblocoestacionário2,que,porsuavez,colidecomoblocoestacionário3.

Cálculos: Se começarmos pela primeira colisão, teremos umnúmero excessivo de incógnitas, já que não conhecemos nem a

massanemavelocidadefinaldosblocosenvolvidos.Poressemotivo,vamoscomeçarpelasegundacolisão,naqualobloco2

permaneceemrepousodepoisdecolidircomobloco3.AplicandoaEq.9-67aessacolisão,commudançasdenotação,obtemos

emquev2iéavelocidadedobloco2imediatamenteantesdacolisão,ev2féavelocidadedobloco2imediatamenteapósacolisão.

Fazendov2f=0(obloco2permaneceemrepousoapósacolisão)em3=6,0kg,obtemos

Commudançasadequadasdenotação,aEq.9-68paraasegundacolisãosetorna

emquev3féavelocidadefinaldobloco3.Fazendom2=m3=6kgev3f=5,0m/s,obtemos

v2i=v3f=5,0m/s

Vamos agora analisar a primeira colisão, mas temos de tomar cuidado com a notação do bloco 2: a velocidade v2f

imediatamenteapósaprimeiracolisãoéigualàvelocidadev2i(=5,0m/s)imediatamenteantesdasegundacolisão.Aplicandoa

Eq.9-68àprimeiracolisãoefazendov1i=10m/s,obtemos

oquenosdá

Finalmente,aplicandoaEq.9-67àprimeiracolisãoesubstituindom1,m2ev1iporseusvalores,obtemos

9-8COLISÕESEMDUASDIMENSÕES


9.34Nocasodeumsistemaisoladonoqualocorreumacolisãobidimensional,aplicaraleideconservaçãodomomentoadoiseixosdeumsistemadecoordenadaspararelacionarascomponentesdomomentoantesdacolisãoàscomponentesdomomentodepoisdacolisão.

9.35Nocasodeumsistema isoladonoqualocorreumacolisãoelástica bidimensional, (a)aplicara lei deconservaçãodomomentoadoiseixosdeumsistemadecoordenadaspararelacionarascomponentesdomomentoantesdacolisãoàscomponentesdomomentodepoisdacolisãoe(b)aplicaroprincípiodeconservaçãodaenergiacinéticapararelacionaras

energiascinéticasantesedepoisdacolisão.

Ideia-Chave•Sedoiscorposcolidemenãoestãosemovendoaolongodamesmareta(ouseja,acolisãonãoéfrontal),dizemosqueacolisãoébidimensional.Seosistemadedoiscorposéfechadoeisolado,aleideconservaçãodomomentopodeseraplicadaàcolisão,epodemosescreveraseguinteequação:

1i+ 2i= 1f+ 2f.

Naformadecomponentes,aleiforneceduasequaçõesquedescrevemacolisão(umaequaçãoparacadadimensão).Seacolisãoéelástica(umcasoespecial),aconservaçãodaenergiacinéticaduranteacolisãonosdáumaterceiraequação:

K1i+K2i=K1f+K2f.

ColisõesemDuasDimensõesQuando uma colisão não é frontal, a direção domovimento dos corpos é diferente antes e depois dacolisão;entretanto,seosistemaéfechadoeisolado,omomentolinear totalcontinuaaserconservadonessascolisõesbidimensionais:

Seacolisãotambéméelástica(umcasoespecial),aenergiacinéticatotaltambéméconservada:

Figura9-21 Umacolisãoelásticaderaspãoentredoiscorpos.Ocorpodemassam2(oalvo)estáinicialmenteemrepouso.

Namaioriadoscasos,ousodaEq.9-77paraanalisarumacolisãobidimensionaléfacilitadoquandoescrevemosaequaçãoemtermosdascomponentesemrelaçãoaumsistemadecoordenadasxy.AFig.9-

21mostraumacolisãoderaspão(nãofrontal)entreumprojétileumalvoinicialmenteemrepouso.Astrajetóriasdoscorposapósacolisãofazemângulosθ1eθ2comoeixox,quecoincidecomadireçãodemovimentodoprojétilantesdacolisão.Nessasituação,acomponentedaEq.9-77emrelaçãoaoeixoxé

eacomponenteaolongodoeixoyé

Podemos também escrever a Eq. 9-78 (para o caso especial de uma colisão elástica) em termos develocidades:

AsEqs.9-79a9-81 contêm sete variáveis: duasmassas,m1 em2; trêsvelocidades,v1i,v1f e v2f; doisângulos,θ1eθ2.Seconhecemosquatrodessasvariáveis,podemosresolverastrêsequaçõesparaobterastrêsvariáveisrestantes.

Teste9Suponhaque,nasituaçãodaFig.9-21,oprojétiltemummomentoinicialde6kg·m/s,umacomponentexdomomentofinalde

4kg·m/seumacomponenteydomomentofinalde−3kg·m/s.Determine(a)acomponentexdomomentofinaldoalvoe(b)a

componenteydomomentofinaldoalvo.

9-9SISTEMASDEMASSAVARIÁVEL:UMFOGUETE


9.36Usaraprimeiraequaçãodofoguetepararelacionarataxadeperdademassadeumfoguete,avelocidadedosprodutosdacombustãoemrelaçãoaofoguete,amassadofogueteeaaceleraçãodofoguete.

9.37Usarasegundaequaçãodofoguetepararelacionaravariaçãodavelocidadedofogueteàvelocidaderelativadosprodutosdacombustãoeamassafinaldofoguete.

9.38Nocasodeumsistemaemmovimentoquesofreumavariaçãodemassaaumataxaconstante,relacionaressataxaàvariaçãodomomento.

Ideias-Chave•Naausênciadeforçasexternas,aaceleraçãoinstantâneadeumfogueteédadapor

Rvrel=Ma(primeiraequaçãodofoguete),

emqueMéamassa instantâneado foguete (incluindoocombustívelqueaindanão foiusado),Réa taxadeconsumodocombustível,evreléavelocidadedosprodutosdacombustãoemrelaçãoaofoguete.OprodutoRvreléchamadodeempuxodomotordofoguete.•NocasodeumfoguetecomRevrelconstantes,seavelocidadedofoguetevariadeviparavfquandoamassavariadeMiparaMf,

SistemasdeMassaVariável:UmFogueteEmtodosossistemasqueexaminamosatéagora,amassatotalpermaneciaconstante.Emcertoscasos,comoodeumfoguete,issonãoéverdade.Amaiorpartedamassadeumfoguete,antesdolançamento,éconstituída de combustível, que é posteriormente queimado e ejetado pelo sistema de propulsão.Levamosemconsideraçãoavariaçãodamassadofogueteaplicandoasegunda leideNewton,nãoaofoguete,mas ao conjunto formadopelo foguete e pelosprodutos ejetados.Amassadesse sistemanãovariacomotempo.

CálculodaAceleração

Suponhaqueestamosemrepousoemrelaçãoaumreferencialinercial,observandoumfogueteacelerarnoespaçosideralsemquenenhumaforçagravitacionaloudearrastoatuesobreele.SejaMamassadofogueteesejavavelocidadeemuminstantearbitráriot(vejaaFig.9-22a).AFig.9-22bmostraasituaçãoapósumintervalodetempodt.Ofogueteagoraestáaumavelocidadev

+dvepossuiumamassaM+dM,emqueavariaçãodemassadMtemumvalornegativo.Osprodutosdecombustãoliberadospelofogueteduranteointervalodttêmmassa−dMevelocidadeUemrelaçãoaonossoreferencialinercial.ConservaçãodoMomento.Nossosistemaéformadopelofogueteeosprodutosdeexaustãoejetados

nointervalodt.Comoosistemaéfechadoeisolado,omomentolineartotaléconservadonointervalodt,ouseja,

emqueosíndicesiefindicamosvaloresnoinícioenofimdointervalodetempodt.PodemosescreveraEq.9-82naforma

Figura9-22 (a)Umfoguete,demassaM,acelerandonoinstantet,dopontodevistadeumreferencialinercial.(b)Omesmofoguetenoinstantet+dt.Osprodutosdecombustãoejetadosduranteointervalodtsãomostradosnafigura.

emqueoprimeirotermodoladodireitoéomomentolineardosprodutosdacombustãoejetadosduranteointervalodt,eosegundotermoéomomentolineardofoguetenofimdointervalodt.UsodaVelocidadeRelativa.PodemossimplificaraEq.9-83usandoavelocidaderelativavrelentreo

foguete e os produtos da combustão, que está relacionada às velocidades em relação ao referencialinercialpormeiodaequação

Emsímbolos,issosignificaque

SubstituindoessevalordeUnaEq.9-83ereagrupandoostermos,obtemos

Dividindoambososmembrospordt,obtemos

PodemossubstituirdM/dt(ataxacomaqualofogueteperdemassa)por−R,emqueRéataxa(positiva)deconsumodecombustível,ereconhecemosquedv/dtéaaceleraçãodofoguete.Comessasmudanças,aEq.9-86setorna

AEq.9-87valeparaqualquerinstante.NotequeoladoesquerdodaEq.9-87temdimensõesdeforça(kg/s·m/s=kg·m/s2=N)edepende

apenas de características do motor do foguete, ou seja, da taxa R de consumo de combustível e davelocidade vrel com a qual os produtos da combustão são expelidos. O produto Rvrel é chamado deempuxodomotordofogueteerepresentadopelaletraT.AsegundaleideNewtonsetornamaisexplícitaquandoescrevemosaEq.9-87naformaT=Ma,emqueaéaaceleraçãodofoguetenoinstanteemqueamassaéM.

CálculodaVelocidade

Comovariaavelocidadedofogueteenquantoocombustíveléconsumido?DeacordocomaEq.9-85,temos:

Integrandoambososmembros,obtemos

emqueMiéamassainicialdofogueteeMféamassafinal.Calculandoasintegrais,obtemos

paraoaumentodavelocidadedofoguetequandoamassamudadeMiparaMf.(Osímbolo“ln”naEq.9-88 significa logaritmo natural.) A Eq. 9-88 ilustra muito bem a vantagem dos foguetes de váriosestágios,nosquaisMféreduzidadescartandocadaestágioquandoocombustíveldoestágioseesgota.Umfogueteidealchegariaaodestinoapenascomacargaútil.

Exemplo9.09 Empuxoeaceleraçãodeumfoguete

Emtodososexemplosanterioresdestecapítulo,amassadosistemainvestigadoeraconstante.Agoravamosanalisarumsistema

(umfoguete)cujamassadiminuicomotempo.UmfoguetecujamassainicialMié850kgconsomecombustívelaumataxaR=

2,3kg/s.Avelocidadevreldosgasesexpelidosemrelaçãoaomotordofogueteé2800m/s.

(a)Qualéoempuxodomotor?

IDEIA-CHAVE

DeacordocomaEq.9-87,oempuxoTéigualaoprodutodataxadeconsumodecombustívelRpelavelocidaderelativavreldos

gasesexpelidos.

Cálculo:Temos

(b)Qualéaaceleraçãoinicialdofoguete?

IDEIA-CHAVE

PodemosrelacionaroempuxoTdeumfogueteaomóduloadaaceleraçãoresultantepormeiodaequaçãoT=Ma,emqueMéa

massadofoguete.Àmedidaqueocombustíveléconsumido,Mdiminuieaaumenta.Comoestamosinteressadosnovalorinicial

dea,usamosovalorinicialdamassa,Mi.

Cálculos:Temos

ParaserlançadodasuperfíciedaTerra,umfoguetedeveterumaaceleraçãoinicialmaiorqueg=9,8m/s2.Issoequivaleadizer

queoempuxoTdomotordofoguetedevesermaiorqueaforçagravitacionalaqueofogueteestásubmetidonoinstantedo

lançamento,quenestecasoé igualaMig=(850kg) (9,8m/s2)=8330N.Comooempuxodonosso foguete(6400N)nãoé

suficiente,elenãopoderiaserlançadodasuperfíciedaTerra.

RevisãoeResumo

CentrodeMassa O centro demassa de um sistema den partículas é definido como o ponto cujascoordenadassãodadaspor

emqueMéamassatotaldosistema.

SegundaLeideNewtonparaumSistemadePartículasOmovimentodocentrodemassadequalquersistemadepartículaségovernadopelasegundaleideNewtonparaumsistemadepartículas,expressapelaequação

Aqui, res é a resultante de todas as forçasexternas que agem sobreo sistema,M é amassa total dosistema,e CMéaaceleraçãodocentrodemassadosistema.

Momento Linear e a Segunda Lei de Newton No caso de uma partícula isolada, definimos , omomentolinear,pormeiodaequação

emfunçãodoqualpodemosescreverasegundaleideNewtonnaforma

Paraumsistemadepartículas,essasrelaçõessetornam

Colisão e Impulso A aplicação da segunda lei de Newton a um corpo que se comporta como umapartículaeenvolvidoemumacolisãolevaaoteoremadoimpulsoemomentolinear:

emque f– i=∆ éavariaçãodomomentolineardocorpoe éoimpulsoproduzidopelaforça (t)exercidasobreocorpopelooutrocorpoenvolvidonacolisão:

SeFméd éomódulomédiode (t)duranteacolisãoeΔt é aduraçãodacolisão,paraummovimentounidimensional,temos:

Quandoumasériedeprojéteisdemassamevelocidadevcolidecomumcorpofixo,aforçamédiaqueagesobreocorpofixoédadapor

emquen/Δtéataxacomaqualoscorposcolidemcomocorpofixo,eΔvéavariaçãodavelocidadedecadacorpoquecolide.Aforçamédiatambémpodeserescritanaforma

emqueΔm/Δtéataxacomaqualamassacolidecomocorpofixo.NasEqs.9-37e9-40,Δv=−vseoscorposparamnomomentodoimpactoeΔv=−2vsericocheteiamsemmudançadavelocidadeescalar.

ConservaçãodoMomentoLinearSeumsistemaestáisoladodetalformaquenenhumaforçaresultanteexternaatuasobreosistema,omomentolinear dosistemapermanececonstante:

AEq.9-42tambémpodeserescritanaforma

emqueosíndicessereferemaosvaloresde emuminstanteinicialeemuminstanteposterior.AsEqs.9-42e9-43sãoexpressõesequivalentesdaleideconservaçãodomomentolinear.

ColisõesInelásticasemUmaDimensãoEmumacolisãoinelásticadedoiscorpos,aenergiacinéticadosistemadedoiscorposnãoéconservada.Seosistemaéfechadoeisolado,omomentolineartotaldosistemaéconservado,oquepodemosexpressaremformavetorialcomo

emqueos índices i e f se referem a valores imediatamente antes e imediatamente depois da colisão,respectivamente.

Seomovimentodoscorposocorreaolongodeumúnicoeixo,acolisãoéunidimensionalepodemosescreveraEq.9-50emtermosdascomponentesdasvelocidadesemrelaçãoaesseeixo:

Seosdoiscorpossemovemjuntosapósacolisão,acolisãoéperfeitamenteinelásticaeoscorpostêmamesmavelocidadefinalV(jáquesemovemjuntos).

MovimentodoCentrodeMassaOcentrodemassadeumsistemafechadoeisoladodedoiscorposquecolidemnãoéafetadopelacolisão.Emparticular,avelocidade CMdocentrodemassaéamesmaantesedepoisdacolisão.

ColisõesElásticas emUmaDimensãoUmacolisãoelástica é um tipo especial de colisão emque aenergiacinéticadeumsistemadecorposquecolideméconservada.Seosistemaéfechadoeisolado,omomentolineartambéméconservado.Paraumacolisãounidimensionalnaqualocorpo2éumalvoeocorpo1éumprojétil,aconservaçãodaenergiacinéticaeaconservaçãodomomento linear levamàsseguintesexpressõesparaasvelocidadesimediatamenteapósacolisão:

ColisõesemDuasDimensõesSedoiscorposcolidemenãoestão semovendoao longodeumúnicoeixo (a colisão não é frontal), a colisão é bidimensional. Se o sistema de dois corpos é fechado eisolado,aleideconservaçãodomomentoseaplicaàcolisãoepodeserescritacomo

Naformadecomponentes,aleiforneceduasequaçõesquedescrevemacolisão(umaequaçãoparacadaumadasduasdimensões).Seacolisãoéelástica(umcasoespecial),aconservaçãodaenergiacinéticanacolisãoforneceumaterceiraequação:

Sistemas de Massa Variável Na ausência de forças externas, a aceleração instantânea de fogueteobedeceàequação

emqueMéamassainstantâneadofoguete(queincluiocombustívelaindanãoconsumido),Réataxadeconsumodecombustívelevreléavelocidadedosprodutosdeexaustãoemrelaçãoaofoguete.OtermoRvreléoempuxodomotordofoguete.ParaumfoguetecomRevrelconstantes,cujavelocidadevariadeviparavfquandoamassavariadeMiparaMf,

Perguntas1 A Fig. 9-23 mostra uma vista superior de três partículas sobre as quais atuam forças externas. Omódulo e a orientação das forças que agem sobre duas das partículas estão indicados. Quais são omóduloeaorientaçãodaforçaqueagesobreaterceirapartículaseocentrodemassadosistemadetrêspartículasestá(a)emrepouso,(b)semovendocomvelocidadeconstanteparaadireitae(c)acelerandoparaadireita?


2AFig.9-24mostra uma vista superior de quatro partículas demassas iguais que deslizam em umasuperfície sem atrito com velocidade constante. As orientações das velocidades estão indicadas; osmódulos são iguais. Considere pares dessas partículas.Que pares formam um sistema cujo centro demassa(a)estáemrepouso,(b)estáemrepousonaorigeme(c)passapelaorigem?


3 Considere uma caixa que explode em dois pedaços enquanto se move com velocidade constantepositivaaolongodeumeixox.Seumdospedaços,demassam1,possuiumavelocidadepositiva 1,ooutropedaço,demassam2,pode ter (a)umavelocidadepositiva 2 (Fig.9-25a), (b) uma velocidadenegativa 2(Fig.9-25b)ou(c)velocidadezero(Fig.9-25c).Ordeneostrêsresultadospossíveisparaosegundopedaçodeacordocomomódulode 1correspondente,começandopelomaior.


4AFig.9-26mostragráficosdomódulodaforçaqueagesobreumcorpoenvolvidoemumacolisãoemfunção do tempo. Ordene os gráficos de acordo com o módulo do impulso exercido sobre o corpo,começandopelomaior.


5OsdiagramasdecorpolivrenaFig.9-27sãovistassuperioresdeforçashorizontaisagindosobretrêscaixas de chocolate que se movem em um balcão sem atrito. Para cada caixa, determine se ascomponentesxeydomomentolinearsãoconservadas.


6AFig.9-28mostraquatrogruposdetrêsouquatropartículas iguaisquesemovemparalelamenteaoeixoxouaoeixoy, comamesmavelocidadeescalar.Ordeneosgruposdeacordocomavelocidadeescalardocentrodemassa,começandopelamaior.


7Umbloco desliza emumpiso sem atrito na direção de um segundobloco que está inicialmente emrepouso e tem amesmamassa.A Fig. 9-29mostra quatro possibilidades para um gráfico da energiacinéticaKdosblocosantesedepoisdacolisão.(a)Indiquequaissãoaspossibilidadesquerepresentamsituações fisicamente impossíveis.Dasoutraspossibilidades, qual é a que representa (b) umacolisãoelásticae(c)umacolisãoinelástica?


8AFig.9-30mostrauminstantâneodobloco1enquantodeslizaaolongodeumeixoxemumpisosematrito,antesdesofrerumacolisãoelásticacomumbloco2 inicialmenteemrepouso.Afigura tambémmostratrêsposiçõespossíveisparaocentrodemassadosistemadosdoisblocosnomesmoinstante.(OpontoBestáequidistantedoscentrosdosdoisblocos.)Apósacolisão,obloco1permaneceemrepouso,continuaasemovernomesmosentido,oupassaasemovernosentidoopostoseocentrodemassaestá(a)emA,(b)emBe(c)emC?


9Doiscorpossofremumacolisãoelásticaunidimensionalaolongodeumeixox.AFig.9-31mostraaposiçãodoscorposedocentrodemassaemfunçãodotempo.(a)Osdoiscorposestavamsemovendoantes da colisão, ou um deles estava em repouso?Que reta corresponde aomovimento do centro demassa(b)antesdacolisãoe(c)depoisdacolisão?(d)Amassadocorpoqueestavasemovendomaisdepressaantesdacolisãoémaior,menorouigualàdooutrocorpo?


10Umblocoemumpisohorizontalestáinicialmenteemrepouso,emmovimentonosentidopositivodeumeixoxouemmovimentonosentidonegativodomesmoeixo.Oblocoexplodeemdoispedaçosquecontinuamasemoverao longodoeixox.Suponhaqueoblocoeosdoispedaçosformemumsistemafechadoe isolado.AFig.9-32mostra seis possibilidadespara o gráficodomomentodobloco e dospedaços em função do tempo t. Indique as possibilidades que representam situações fisicamenteimpossíveisejustifiquesuaresposta.


11Obloco1,demassam1,deslizaao longodeumeixox emumpisosematritoesofreumacolisãoelásticacomumbloco2demassam2inicialmenteemrepouso.AFig.9-33mostraumgráficodaposiçãox do bloco 1 em função do tempo t até a colisão ocorrer na posição xc e no instante tc. Em qual dasregiõesidentificadascomletrascontinuaográfico(apósacolisão)se(a)m1<m2,(b)m1>m2?(c)Aolongodequaldasretasidentificadascomnúmeroscontinuaográficosem1=m2?


12AFig.9-34mostraquatrográficosdaposiçãoemfunçãodotempoparadoiscorposeseucentrodemassa. Os dois corpos formam um sistema fechado e isolado e sofrem uma colisão unidimensionalperfeitamenteinelástica,aolongodeumeixox.Nográfico1,(a)osdoiscorposestãosemovendonosentidopositivoounosentidonegativodoeixox?(b)Eocentrodemassa?(c)Quaissãoosgráficosquecorrespondemasituaçõesfisicamenteimpossíveis?Justifiquesuaresposta.


Problemas



Módulo9-1CentrodeMassa

·1Umapartículade2,00kg temcoordenadasxy (−1,20m,0,500m), e umapartículade4,00kg temcoordenadasxy(0,600m,−0,750m).Ambasestãoemumplanohorizontal.Emquecoordenada(a)xe(b)ydeveserposicionadaumaterceirapartículade3,00kgparaqueocentrodemassadosistemadetrêspartículastenhacoordenadas(−0,500m,−0,700m)?

·2AFig.9-35mostraumsistemadetrêspartículasdemassasm1=3,0kg,m2=4,0kgem3=8,0kg.Asescalasdográficosãodefinidasporxs=2,0meys=2,0m.Qualé(a)acoordenadaxe(b)qualéacoordenaday do centro demassa do sistema? (c)Sem3 aumenta gradualmente, o centro demassa dosistemaseaproximadem3,seafastadem3,oupermaneceondeestá?


··3AFig.9-36mostraumaplacadedimensõesd1=11,0cm,d2=2,80cmed3=13,0cm.Metadedaplaca é feita de alumínio (massa específica = 2,70 g/cm3) e a outra metade é feita de ferro (massaespecífica= 7,85 g/cm3).Determine (a) a coordenadax, (b) a coordenaday e (c) a coordenada z docentrodemassadaplaca.


··4NaFig.9-37,trêsbarrasfinaseuniformes,decomprimentoL=22cm,formamumUinvertido.Cadabarraverticaltemmassade14g;abarrahorizontaltemmassade42g.Qualé(a)acoordenadaxe(b)qualéacoordenadaydocentrodemassadosistema?


··5Quaissão(a)acoordenadaxe(b)acoordenadaydocentrodemassadaplacahomogêneadaFig.9-38,seL=5,0cm?


··6 A Fig. 9-39 mostra uma caixa cúbica que foi construída com placas metálicas homogêneas, deespessuradesprezível.AcaixanãotemtampaetemumaarestaL=40cm.Determine(a)acoordenadax,(b)acoordenadaye(c)acoordenadazdocentrodemassadacaixa.


···7Namolécula de amônia (NH3) daFig.9-40, três átomos de hidrogênio (H) formam um triânguloequilátero,comocentrodotriânguloaumadistânciad=9,40×10−11mdecadaátomodehidrogênio.Oátomode nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, comos três átomos de hidrogênioformandoabase.Arazãoentreasmassasdonitrogênioedohidrogênioé13,9,eadistâncianitrogênio-hidrogênioéL=10,14×10−11m.(a)Qualéacoordenada(a)xe(b)qualéacoordenadaydocentrodemassadamolécula?


···8Uma latahomogênea temmassade0,140kg,alturade12,0cmecontém0,354kgde refrigerante(Fig.9-41).Pequenosfurossãofeitosnabaseenatampa(comperdademassadesprezível)paradrenarolíquido.Qualéaalturahdocentrodemassadalata(incluindooconteúdo)(a)inicialmentee(b)apósa lata ficarvazia?(c)Oqueacontececomhenquantoorefrigeranteestásendodrenado?(d)Sexéaalturadorefrigerantequeaindarestanalataemumdadoinstante,determineovalordexnoinstanteemqueocentrodemassaatingeopontomaisbaixo.


Módulo9-2ASegundaLeideNewtonparaumSistemadePartículas

·9Umapedraédeixadacairemt=0.Umasegundapedra,commassaduasvezesmaior,édeixadacairdomesmopontoemt=100ms.(a)Aquedistânciadopontoinicialdaquedaestáocentrodemassadasduas pedras em t = 300 ms? (Suponha que as pedras ainda não chegaram ao solo.) (b) Qual é avelocidadedocentrodemassadasduaspedrasnesseinstante?

·10Umautomóvelde1000kgestáparadoemumsinaldetrânsito.Noinstanteemqueosinalabre,oautomóvel começa a se mover com uma aceleração constante de 4,0 m/s2. No mesmo instante, umcaminhãode2000kg,movendo-senomesmosentidocomvelocidadeconstantede8,0m/s,ultrapassaoautomóvel.(a)QualéadistânciaentreoCMdosistemacarro-caminhãoeosinaldetrânsitoemt=3,0s?(b)QualéavelocidadedoCMnesseinstante?

·11Umagrandeazeitona(m=0,50kg)estánaorigemdeumsistemadecoordenadasxy,eumagrandecastanha-do-pará(M = 1,5 kg) está no ponto (1,0; 2,0)m.Em t = 0, uma força o = (2,0 + 3,0 )Ncomeçaaagirsobreaazeitona,eumaforça n=(–3,0 –2,0 )Ncomeçaaagirsobreacastanha.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéodeslocamentodocentrodemassadosistemaazeitona-castanhaemt=4,0semrelaçãoàposiçãoemt=0?

·12 Dois patinadores, um de 65 kg e outro de 40 kg, estão em uma pista de gelo e seguram asextremidadesdeumavarade10mdecomprimentoemassadesprezível.Ospatinadores sepuxamaolongodavaraatéseencontrarem.Qualéadistânciapercorridapelopatinadorde40kg?

··13Umcanhãodisparaumprojétilcomumavelocidadeinicial 0=20m/seumânguloθ0=60°comahorizontal.Nopontomaisaltodatrajetória,oprojétilexplodeemdoisfragmentosdemassasiguais(Fig.9-42). Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A quedistânciadocanhãocaiooutrofragmento,supondoqueoterrenoéplanoequearesistênciadoarpodeserdesprezada?


··14NaFig.9-43,duaspartículassãolançadasdaorigemdosistemadecoordenadasnoinstantet=0.Apartícula1,demassam1=5,00g,élançadahorizontalmenteparaadireita,emumpisosematrito,comumavelocidadeescalarde10,0m/s.Apartícula2,demassam2=3,00g,élançadacomumavelocidadeescalarde20,0m/seumângulotalquesemantémverticalmenteacimadapartícula1.(a)QualéaalturamáximaHmáx alcançadapeloCMdo sistemadeduaspartículas?Nanotaçãodosvetoresunitários, (b)qualéavelocidadee(c)qualéaaceleraçãodoCMaoatingirHmáx?


··15AFig.9-44mostraumarranjocomumtrilhodearnoqualumcarrinhoestápresoporumacordaaumblocopendurado.Ocarrinhotemmassam1=0,600kgeocentrodocarrinhoestá inicialmentenascoordenadasxy(−0,500m,0m);oblocotemmassam2=0,400kgeocentrodoblocoestáinicialmentenas coordenadas xy (0, −0,100 m). As massas da corda e da polia são desprezíveis. O carrinho éliberadoapartirdorepouso,eocarrinhoeoblocosemovematéqueocarrinhoatinjaapolia.Oatritoentreocarrinhoeotrilhodeareoatritodapoliasãodesprezíveis.(a)Qualéaaceleraçãodocentrodemassadosistemacarrinho-bloconanotaçãodosvetoresunitários?(b)QualéovetorvelocidadedoCMem função do tempo t? (c) Plote a trajetória do CM. (d) Se a trajetória for curva, verifique se elaapresentaumdesvioparacimaeparaadireita,ouparabaixoeparaaesquerdaemrelaçãoaumalinhareta;seforretilínea,calculeoângulodatrajetóriacomoeixox.


···16Ricardo,com80kgdemassa,eCarmelita,queémaisleve,estãoapreciandoopôrdosolnoLagoMercedesemumacanoade30kg.Comacanoaimóvelnaságuascalmasdolago,ocasaltrocadelugar.Seus assentos estão separados por uma distância de 3,0m e simetricamente dispostos em relação aocentrodaembarcação.Se,comatroca,acanoasedesloca40cmemrelaçãoaoatracadouro,qualéamassadeCarmelita?

···17NaFig.9-45a,umcachorrode4,5kgestáemumbarcode18kgaumadistânciaD=6,1mdamargem.Oanimalcaminha2,4maolongodobarco,nadireçãodamargem,epara.Supondoquenãoháatritoentreobarcoeaágua,determineanovadistânciaentreocãoeamargem.(Sugestão:VejaaFig.9-45b.)


Módulo9-3MomentoLinear

·18Umabolade0,70kgestá semovendohorizontalmentecomumavelocidadede5,0m/squandosechoca com uma parede vertical e ricocheteia com uma velocidade de 2,0 m/s. Qual é o módulo davariaçãodomomentolineardabola?

·19Umcaminhãode2100kgviajandoparaonortea41km/hviraparalesteeaceleraaté51km/h.(a)Qual é a variação da energia cinética do caminhão? Qual é (b) o módulo e (c) qual é o sentido davariaçãodomomento?

··20Noinstantet=0,umabolaélançadaparacimaapartirdoníveldosolo,emterrenoplano.AFig.9-46mostraomódulopdomomentolineardabolaemfunçãodotempotapósolançamento(p0=6,0kg·m/sep1=4,0kg ·m/s).Determineoângulode lançamento. (Sugestão:Procureumasoluçãoquenãoenvolvaaleituranográficodoinstanteemquepassapelovalormínimo.)


··21Umaboladesoftballde0,30kgtemumavelocidadede15m/squefazumângulode35°abaixodahorizontalimediatamenteantesdesergolpeadaporumtaco.Qualéomódulodavariaçãodomomentolinear da bola na colisão com o taco se a bola adquire uma velocidade escalar (a) de 20 m/s,verticalmenteparabaixo;(b)de20m/s,horizontalmentenadireçãodolançador?

··22AFig.9-47mostraumavistasuperiordatrajetóriadeumaboladesinucade0,165kgquesechocacomumadastabelas.Avelocidadeescalardabolaantesdochoqueé2,00m/seoânguloθ1é30,0°.Ochoqueinverteacomponenteydavelocidadedabola,masnãoalteraacomponentex.Determine(a)oânguloθ2e(b)avariaçãodomomentolineardabolaemtermosdosvetoresunitários.(Ofatodequeabolaestárolandoéirrelevanteparaasoluçãodoproblema.)


Módulo9-4ColisãoeImpulso

·23 Com mais de 70 anos de idade, Henri LaMothe (Fig. 9-48) assombrava os espectadoresmergulhando, de barriga, de uma altura de 12m em um tanque de água com 30 cm de profundidade.Supondo que o corpo domergulhador parava de descer quando estava prestes a chegar ao fundo dotanque e estimando amassa domergulhador, calcule omódulo do impulso que a água exercia sobreHenri.

GeorgeLong/GettyImages,Inc.

Figura9-48 Problema23.Mergulhodebarrigaemumtanquecom30cmdeágua.

·24 Emfevereirode1955,umparaquedistasaltoudeumavião,caiu370msemconseguirabriroparaquedas e aterrissou em um campo de neve, sofrendo pequenas escoriações. Suponha que avelocidadedoparaquedistaimediatamenteantesdoimpactofossede56m/s(velocidadeterminal), suamassa(incluindoosequipamentos)fossede85kgeaforçadanevesobreoseucorpotenhaatingidoovalor(relativamenteseguro)de1,2×105N.Determine(a)aprofundidadedanevemínimaparaqueoparaquedistanãosofresseferimentosgravese(b)omódulodoimpulsodanevesobreoparaquedista.

·25Umabolade1,2kgcaiverticalmenteemumpisocomumavelocidadede25m/sericocheteiacomumavelocidadeinicialde10m/s.(a)Qualéoimpulsorecebidopelaboladuranteocontatocomopiso?(b)Seabolaficaemcontatocomopisopor0,020s,qualéaforçamédiaexercidapelabolasobreopiso?

·26Emumabrincadeiracomum,masmuitoperigosa,alguémpuxaumacadeiraquandoumapessoaestáprestesasesentar,fazendocomqueavítimaseestatelenochão.Suponhaqueavítimatem70kg,caideumaalturade0,50meacolisãocomopisodura0,082s.Qualéomódulo(a)doimpulsoe(b)daforçamédiaaplicadapelopisosobreapessoaduranteacolisão?

·27Umaforçanosentidonegativodeumeixoxéaplicadapor27msaumabolade0,40kgqueestavasemovendoa14m/snosentidopositivodoeixo.Omódulodaforçaévariável,eoimpulsotemummódulode32,4N·s.(a)Qualéomóduloe(b)qualéosentidodavelocidadedabolaimediatamenteapósaaplicação da força? (c) Qual é a intensidade média da força e (d) qual é a orientação do impulsoaplicadoàbola?

·28 Notae-kwon-do,amãodeumatletaatingeoalvocomumavelocidadede13m/separa,após5,0 ms. Suponha que, durante o choque, a mão é independente do braço e tem massa de 0,70 kg.Determineomódulo(a)doimpulsoe(b)daforçamédiaqueamãoexercesobreoalvo.

·29 Um bandido aponta uma metralhadora para o peito do Super- Homem e dispara 100 balas/min.Suponhaqueamassadecadabalaé3g,avelocidadedasbalasé500m/seasbalasricocheteiamnopeitodosuper-heróisemperdervelocidade.QualéomódulodaforçamédiaqueasbalasexercemsobreopeitodoSuper-Homem?

··30Duasforçasmédias.Umasériedebolasdenevede0,250kgédisparadaperpendicularmentecontraumaparedecomumavelocidadede4,00m/s.Asbolasficamgrudadasnaparede.AFig.9-49mostraomóduloFda força sobreaparedeemfunçãodo tempo t paradois choquesconsecutivos.Oschoquesocorrema intervalosΔtr=50,0ms,duramumintervalode tempoΔtd=10mseproduzemnográficotriângulosisósceles,comcadachoqueresultandoemumaforçamáximaFmáx=200N.Paracadachoque,qualéomódulo(a)doimpulsoe(b)daforçamédiaaplicadaàparede?(c)Emumintervalodetempocorrespondenteamuitoschoques,qualéomódulodaforçamédiaexercidasobreaparede?


··31 Pulandoantesdochoque.Quandoocabodesustentaçãoarrebentaeosistemadesegurançafalha,umelevadorcai,emquedalivre,deumaalturade36m.Duranteacolisãonofundodopoçodoelevador,avelocidadedeumpassageirode90kgseanulaem5,0ms. (Suponhaquenãoháricochetenem do passageiro nem do elevador.) Qual é o módulo (a) do impulso e (b) da força médiaexperimentadapelopassageiroduranteacolisão?Seopassageiropulaverticalmenteparacimacomuma

velocidadede7,0m/semrelaçãoaopisodoelevadorquandoesteestáprestesasechocarcomofundodopoço,qualéomódulo(c)doimpulsoe(d)daforçamédia(supondoqueotempoqueopassageirolevaparapararpermaneceomesmo)?

··32 Um carro de brinquedo de 5,0 kg pode semover ao longo de um eixo x; a Fig. 9-50 mostra acomponenteFxdaforçaqueagesobreocarro,quepartedorepousonoinstantet=0.AescaladoeixoxédefinidaporFxs=5,0N.Nanotaçãodosvetoresunitários,determine(a) emt=4,0s;(b) emt=7,0s;(c) emt=9,0s.


··33AFig.9-51mostraumaboladebeisebolde0,300kgimediatamenteanteseimediatamentedepoisdecolidircomumtaco.Imediatamenteantes,abolatemumavelocidade 1demódulo12,0m/seânguloθ1=35°.Imediatamentedepois,abolasemoveparacimanaverticalcomumavelocidade 2demódulo10,0m/s.Aduraçãodacolisãoéde2,00ms.(a)Qualéomóduloe(b)qualéaorientação(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)doimpulsodotacosobreabola?(c)Qualéomóduloe(d)qualéosentidodaforçamédiaqueotacoexercesobreabola?


··34 O lagarto basilisco é capaz de correr na superfície da água (Fig. 9-52). A cada passo, olagartobatenaáguacomapataeamergulha tãodepressaqueumacavidadedearseformaacimadapata.Paranãoterquepuxá-ladevoltasobaaçãodaforçadearrastodaágua,olagartolevantaapata,antesqueaáguapenetrenacavidadedear.Paraqueolagartonãoafunde,oimpulsomédioparacimaexercidoduranteamanobradebaternaáguacomapata,afundá-laerecolhê-ladeveserigualaoimpulso

parabaixoexercidopelaforçagravitacional.Suponhaqueamassadeumlagartobasiliscoé90,0g,amassadecadapataé3,00g,avelocidadedeumapataaobaternaáguaé1,50m/seaduraçãodeumpassoé0,600s.(a)Qualéomódulodoimpulsoqueaáguaexercesobreolagartoquandooanimalbatecom a pata na água? (Suponha que o impulso está orientado verticalmente para cima.) (b)Durante ointervalode0,600squeolagartolevaparadarumpasso,qualéoimpulsoparabaixosobreolagartodevidoàforçagravitacional?(c)Oprincipalmovimentoresponsávelpelasustentaçãodolagartoéodebaterapatanaágua,odeafundarapatanaágua,ouamboscontribuemigualmente?

StephenDalton/PhotoResearchers,Inc.

Figura9-52 Problema34.Umlagartocorrendonaágua.

··35AFig. 9-53mostra um gráfico aproximado domódulo da forçaF em função do tempo t para acolisãodeumaSuperbolade58gcomumaparede.Avelocidadeinicialdabolaé34m/s,perpendicularà parede; a bola ricocheteia praticamente com a mesma velocidade escalar, também perpendicular àparede. Quanto vale Fmáx, o módulo máximo da força exercida pela parede sobre a bola durante acolisão?


··36Umdiscodemetalde0,25kgestá inicialmenteem repousoemumasuperfíciedegelo,deatritodesprezível.Noinstantet=0,umaforçahorizontalcomeçaaagirsobreodisco.Aforçaédadapor =(12,0–3,00t2) com emnewtonsetemsegundos,eageatéqueomóduloseanule.(a)Qualéomódulodoimpulsodaforçasobreodiscoentret=0,500set=1,25s?(b)Qualéavariaçãodomomentododiscoentret=0eoinstanteemqueF=0?

··37Umjogadordefutebolchutaumabola,demassa0,45kg,queestáinicialmenteemrepouso.Opédojogadorficaemcontatocomabolapor3,0×10−3seaforçadochuteédadapor

F(t)=[(6,0×106)t–(2,0×109)t2]N

para0≤t≤3,0×10−3s,emquetestáemsegundos.Determineomódulo(a)doimpulsosobreaboladevidoaochute,(b)daforçamédiaexercidapelopédojogadorsobreaboladuranteocontato,(c)daforçamáximaexercidapelopédojogadorsobreaboladuranteocontatoe(d)davelocidadedabolaimediatamenteapósperderocontatocomopédojogador.

··38Navista superiordaFig.9-54, umabola de300g comumavelocidade escalarv de 6,0m/s sechoca com uma parede com um ângulo θ de 30° e ricocheteia com amesma velocidade escalar e omesmoângulo.Abolapermaneceemcontatocomaparedepor10ms.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualé(a)oimpulsodaparedesobreabolae(b)qualéaforçamédiadabolasobreaparede?


Módulo9-5ConservaçãodoMomentoLinear

·39Umhomemde91kgemrepousoemumasuperfíciehorizontal,deatritodesprezível,arremessaumapedra de 68 g com uma velocidade horizontal de 4,0 m/s. Qual é a velocidade do homem após oarremesso?

·40Umanaveespacialestásemovendoa4300km/hemrelaçãoàTerraquando,apósterqueimadotodoocombustível,omotordofoguete(demassa4m)édesacopladoeejetadoparatráscomumavelocidadede82km/hemrelaçãoaomódulodecomando(demassam).QualéavelocidadedomódulodecomandoemrelaçãoàTerraimediatamenteapósaseparação?

··41AFig.9-55mostraum“foguete”deduaspontasqueestáinicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito,comocentronaorigemdeumeixox.OfogueteéformadoporumblococentralC(demassaM = 6,00 kg) e dois blocosE eD (demassam = 2,00 kg cada um) dos lados esquerdo e direito.Pequenas explosões podem arremessar esses blocos para longe do bloco C, ao longo do eixo x.Considereaseguintesequência:(1)Noinstantet=0,oblocoEéarremessadoparaaesquerdacomuma

velocidadede3,00m/semrelação àvelocidadequea explosão imprimeao restodo foguete. (2)Noinstantet=0,80s,oblocoDéarremessadoparaadireitacomumavelocidadede3,00m/semrelaçãoàvelocidadedoblocoCnessemomento.(a)Qualé,noinstantet=2,80s,avelocidadedoblocoCe(b)qualéaposiçãodocentrodoblocoC?


··42Umobjeto,demassamevelocidadevemrelaçãoaumobservador,explodeemdoispedaços,umcommassatrêsvezesmaiorqueooutro;aexplosãoocorrenoespaçosideral.Opedaçodemenormassaficaemrepousoemrelaçãoaoobservador.Qualéoaumentodaenergiacinéticadosistemacausadopelaexplosão,noreferencialdoobservador?

··43 NaOlimpíadade708a.C.,algunsatletasdisputaramaprovadesaltoemdistânciasegurandopesoschamadoshalteresparamelhorarodesempenho(Fig.9-56).Ospesoseramcolocadosàfrentedocorpoantesdeiniciarosaltoearremessadosparatrásduranteosalto.Suponhaqueumatletamoderno,de 78 kg, use dois halteres de 5,50 kg, arremessando-os horizontalmente para trás ao atingir a alturamáxima,detalformaqueavelocidadehorizontaldospesosemrelaçãoaochãosejazero.Suponhaqueavelocidadeinicialdoatletaseja =(9,5 +4,0 )m/scomousemoshalteresequeoterrenosejaplano.Qualéadiferençaentreasdistânciasqueoatletaconseguesaltarcomesemoshalteres?

RéuniondesMuséesNationaux/ArtResource


··44NaFig.9-57,umblocoinicialmenteemrepousoexplodeemdoispedaços,EeD,quedeslizamemumpisoemumtrechosematritoedepoisentramemregiõescomatrito,ondeacabamparando.OpedaçoE,commassade2,0kg,encontraumcoeficientedeatritocinéticoμE=0,40echegaaorepousodepoisdepercorrerumadistânciadE=0,15m.OpedaçoDencontraumcoeficientedeatritocinéticoμD=0,50echegaaorepousodepoisdepercorrerumadistânciadD=0,25m.Qualeraamassadobloco?


··45Umcorpode20,0kgestásemovendonosentidopositivodeumeixoxaumavelocidadede200m/squando,devidoaumaexplosãointerna,sequebraemtrêspedaços.Umdospedaços,commassade10,0kg, se afasta do ponto da explosão a uma velocidade de 100m/s no sentido positivo do eixo y. Umsegundopedaço,commassade4,00kg,semovenosentidonegativodoeixoxaumavelocidadede500m/s. (a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéavelocidadeda terceiraparte? (b)Qualéaenergialiberadanaexplosão?Ignoreosefeitosdaforçagravitacional.

··46Umamarmitade4kgqueestádeslizandoemumasuperfíciesematritoexplodeemdoisfragmentosde2,0kg,umquesemoveparaonortea3,0m/seoutroquesemoveemumadireção30oaonortedolestea5,0m/s.Qualeraavelocidadeescalardamarmitaantesdaexplosão?

··47Umataçaemrepousonaorigemdeumsistemadecoordenadasxyexplodeemtrêspedaços.Logodepois da explosão, umdospedaços, demassam, está semovendo comvelocidade (−30m/s) e umsegundopedaço, tambémdemassam,estásemovendocomvelocidade(−30m/s) .O terceiropedaçotemmassa3m.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedoterceiropedaçologoapósaexplosão.

···48UmapartículaA e uma partículaB são empurradas uma contra a outra, comprimindo umamolacolocadaentreasduas.Quandoaspartículassãoliberadas,amolaasarremessaemsentidosopostos.AmassadeAé2,00vezesamassadeBeaenergiaarmazenadanamolaera60J.Suponhaqueamolatemmassadesprezívelequetodaaenergiaarmazenadaétransferidaparaaspartículas.Depoisdeterminadaatransferência,qualéaenergiacinética(a)dapartículaAe(b)dapartículaB?

Módulo9-6MomentoeEnergiaCinéticaemColisões

·49Umabalacom10gdemassasechocacomumpêndulobalísticocom2,00kgdemassa.Ocentrodemassadopêndulosobeumadistânciaverticalde12cm.Supondoqueabala ficaalojadanopêndulo,calculeavelocidadeinicialdabala.

·50Umabalade5,20gquesemovea672m/satingeumblocodemadeirade700g inicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito.Abalaatravessaoblocoesaidooutro ladocomavelocidadereduzidapara428m/s. (a)Qualéavelocidade finaldobloco? (b)Qualéavelocidadedocentrodemassadosistemabala-bloco?

··51NaFig.9-58a,umabalade3,50gédisparadahorizontalmentecontradoisblocosinicialmenteemrepousoemumamesasematrito.Abalaatravessaobloco1(com1,20kgdemassa)eficaalojadanobloco2(com1,80kgdemassa).Avelocidadefinaldobloco1év1=0,630m/s,eadobloco2év2=1,40m/s(Fig.9-58b).Desprezandoomaterialremovidodobloco1pelabala,calculeavelocidadeda

bala(a)aosairdobloco1e(b)aoentrarnobloco1.


··52NaFig.9-59,umabalade10gquesemoveverticalmenteparacimaa1000m/ssechocacomumblocode5,0kginicialmenteemrepouso,passapelocentrodemassadoblocoesaidooutroladocomumavelocidadede400m/s.Qualéaalturamáximaatingidapeloblocoemrelaçãoàposiçãoinicial?


··53EmAnchorage,ascolisõesdeumveículocomumalcesãotãocomunsquereceberamoapelidodeCVA.Suponhaqueumcarrode1000kgderrapaatéatropelarumalceestacionáriode500kgemumaestradamuitoescorregadia,comoanimalatravessandoopara-brisa(oqueacontecemuitasvezesnessetipodeatropelamento).(a)Queporcentagemdaenergiacinéticadocarroétransformada,pelacolisão,emoutrasformasdeenergia?AcidentessemelhantesacontecemnaArábiaSaudita,naschamadasCVC(colisõesentreumveículoeumcamelo).(b)Queporcentagemdaenergiacinéticadocarroéperdidaseamassadocameloé300kg?(c)Nocasogeral,aperdapercentualaumentaoudiminuiquandoamassadoanimaldiminui?

··54Umacolisão frontalperfeitamente inelásticaocorreentreduasbolasdemassademodelarquesemovemaolongodeumeixovertical.Imediatamenteantesdacolisão,umadasbolas,demassa3,0kg,estásemovendoparacimaa20m/seaoutrabola,demassa2,0kg,estásemovendoparabaixoa12m/s.Qualéaalturamáximaatingidapelasduasbolasunidasacimadopontodecolisão?(Desprezearesistênciadoar.)

··55Umblocode5,0kgcomumavelocidadeescalarde3,0m/scolidecomumblocode10kgcomumavelocidadeescalarde2,00m/squesemovenamesmadireçãoesentido.Apósacolisão,oblocode10kgpassaasemovernomesmosentidocomumavelocidadede2,5m/s.(a)Qualéavelocidadedoblocode5,0kgimediatamenteapósacolisão?(b)Dequantovariaaenergiacinéticatotaldosistemadosdoisblocosporcausadacolisão?(c)Suponhaqueavelocidadedoblocode10kgapósochoqueé4,0m/s.Qualé,nessecaso,avariaçãodaenergiacinéticatotal?(d)Expliqueoresultadodoitem(c).

··56Nasituação“antes”daFig.9-60,ocarroA (commassade1100kg)estáparadoemumsinaldetrânsitoquandoéatingidona traseirapelocarroB (commassade1400kg).Osdoiscarrosderrapamcomasrodasbloqueadasatéqueaforçadeatritocomoasfaltomolhado(comumcoeficientedeatritoμkde 0,13) os leva ao repouso depois de percorrerem distâncias dA = 8,2 m e dB = 6,1 m. Qual é avelocidadeescalar (a)docarroAe (b)docarroBno iníciodaderrapagem, logoapósacolisão? (c)Supondo que omomento linear é conservado na colisão, determine a velocidade escalar do carroBpoucoantesdacolisão.(d)Expliqueporqueessasuposiçãopodenãoserrealista.


··57NaFig.9-61,umabolademassam=60gédisparadacomvelocidadevi=22m/sparadentrodocanodeumcanhãodemolademassaM=240ginicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito.Abolaficapresanocanodocanhãonopontodemáximacompressãodamola.Suponhaqueoaumentodaenergiatérmicadevidoaoatritodabolacomocanosejadesprezível.(a)Qualéavelocidadeescalardocanhãodepoisqueabolaparadentrodocano?(b)Quefraçãodaenergiacinética inicialdabolaficaarmazenadanamola?


···58NaFig.9-62,obloco2(commassade1,0kg)estáemrepousoemumasuperfíciesematritoeem

contato com uma das extremidades de uma mola relaxada de constante elástica 200 N/m. A outraextremidadedamolaestápresaemumaparede.Obloco1(commassade2,0kg),quesemoveaumavelocidadev1=4,0m/s,colidecomobloco2,eosdoisblocospermanecemjuntos.Qualéacompressãodamolanoinstanteemqueosblocosparammomentaneamente?


···59NaFig.9-63,obloco1(commassade2,0kg)estásemovendoparaadireitacomumavelocidadeescalarde10m/seobloco2(commassade5,0kg)estásemovendoparaadireitacomumavelocidadeescalarde3,0m/s.Asuperfícienãotematrito,eumamolacomumaconstanteelásticade1120N/mestápresanobloco2.Quandoosblocos colidem, a compressãodamola émáximano instante emqueosblocostêmamesmavelocidade.Determineamáximacompressãodamola.


Módulo9-7ColisõesElásticasemUmaDimensão

·60NaFig.9-64,oblocoA(commassade1,6kg)deslizaemdireçãoaoblocoB(commassade2,4kg)aolongodeumasuperfíciesematrito.Ossentidosdetrêsvelocidadesantes(i)edepois(f)dacolisãoestãoindicados;asvelocidadesescalarescorrespondentessãovAi=5,5m/s,vBi=2,5m/sevBf=4,9m/s.Determine (a) omódulo e (b) o sentido (para a esquerda ou para a direita) da velocidade Af. (c)Acolisãoéelástica?


·61Umcarrinhodemassacom340gdemassa,quesemoveemumapistadear sematritocomumavelocidadeinicialde1,2m/s,sofreumacolisãoelásticacomumcarrinhoinicialmenteemrepouso,demassa desconhecida. Após a colisão, o primeiro carrinho continua a se mover na mesma direção e

sentidocomumavelocidadeescalarde0,66m/s.(a)Qualéamassadosegundocarrinho?(b)Qualéavelocidadedosegundocarrinhoapósacolisão?(c)Qualéavelocidadedocentrodemassadosistemadosdoiscarrinhos?

·62Duasesferasdetitânioseaproximamcomamesmavelocidadeescalaresofremumacolisãoelásticafrontal.Apósacolisão,umadasesferas,cujamassaé300g,permaneceemrepouso.(a)Qualéamassadaoutraesfera?(b)Qualéavelocidadedocentrodemassadasduasesferasseavelocidadeescalarinicialdecadaesferaéde2,00m/s?

··63Obloco1,demassam1,deslizaemumpisosematritoesofreumacolisãoelásticaunidimensionalcomobloco2,demassam2=3m1.Antesdacolisão,ocentrodemassadosistemadedoisblocostinhaumavelocidadede3,00m/s.Depoisdacolisão,qual éavelocidade (a)docentrodemassae (b)dobloco2?

··64Umaboladeaço,demassa0,500kg,estápresaemumaextremidadedeumacordade70,0cmdecomprimento.Aoutraextremidadeestáfixa.Abolaéliberadaquandoacordaestánahorizontal(Fig.9-65).Napartemaisbaixadatrajetória,abolasechocacomumblocodemetalde2,50kginicialmenteemrepousoemumasuperfíciesematrito.Acolisãoéelástica.Determine(a)avelocidadeescalardabolae(b)avelocidadeescalardobloco,ambasimediatamenteapósacolisão.


··65Umcorpocom2,0kgdemassasofreumacolisãoelásticacomumcorpoemrepousoecontinuaasemovernamesmadireçãoesentido,comumquartodavelocidade inicial. (a)Qualéamassadooutrocorpo?(b)Qualéavelocidadedocentrodemassadosdoiscorpos,seavelocidadeinicialdocorpode2,0kgerade4,0m/s?

··66Obloco1,demassam1evelocidade4,0m/s,quedeslizaaolongodeumeixoxemumpisosematrito,sofreumacolisãoelásticacomobloco2,demassam2=0,40m1,inicialmenteemrepouso.Osdoisblocos deslizampara uma região onde o coeficiente de atrito cinético é 0,50 e acabamparando.Quedistânciadentrodessaregiãoépercorrida(a)pelobloco1e(b)pelobloco2?

··67NaFig.9-66,apartícula1,demassam1=0,30kg,deslizaparaadireitaaolongodeumeixoxemumpiso sematrito comumavelocidade escalar de2,0m/s.Quando chega aopontox = 0, sofre umacolisão elástica unidimensional com a partícula 2 de massam2 = 0,40 kg, inicialmente em repouso.

Quandoapartícula2sechocacomumaparedenopontoxp=70cm,ricocheteiasemperdervelocidadeescalar.Emquepontodoeixoxapartícula2voltaacolidircomapartícula1?


··68NaFig.9-67,obloco1,demassam1,deslizaapartirdorepousoemumarampasematritoapartirdeumaalturah=2,50mecolidecomobloco2,demassam2=2,00m1,inicialmenteemrepouso.Apósacolisão,obloco2deslizaemumaregiãoondeocoeficientedeatritocinéticoμké0,500epara,depoisdepercorrerumadistânciadnessaregião.Qualéovalordadistânciadseacolisãofor(a)elásticae(b)perfeitamenteinelástica?


···69 Umapequenaesferademassamestáverticalmenteacimadeumabolamaior,demassaM=0,63kg(comumapequenaseparação,comonocasodasbolasdebeisebolebasquetedaFig.9-68a),easduasbolas sãodeixadas cair simultaneamentedeumaalturah = 1,8m. (Suponhaqueos raios dasbolassãodesprezíveisemcomparaçãocomh.)(a)Seabolamaiorricocheteiaelasticamentenochãoedepoisabolamenorricocheteiaelasticamentenamaior,quevalordemfazcomqueabolamaiorparemomentaneamentenoinstanteemquecolidecomamenor?(b)Nessecaso,quealturaatingeabolamenor(Fig.9-68b)?


···70NaFig.9-69,odisco1,demassam1=0,20kg,deslizasematritoemumabancadadelaboratórioaté sofrer uma colisão elástica unidimensional com o disco 2, inicialmente em repouso. O disco 2 éarremessadoparaforadabancadaevaicairaumadistânciaddabasedabancada.Acolisãofazodisco1inverteromovimentoeserarremessadoparaforadaoutraextremidadedabancada, indocairaumadistância2ddabaseoposta.Qualéamassadodisco2?(Sugestão:Tomecuidadocomossinais.)


Módulo9-8ColisõesemDuasDimensões

··71NaFig.9-21,apartícula1éumapartículaalfaeapartícula2éumnúcleodeoxigênio.Apartículaalfaéespalhadadeumânguloθ1=64,0°eonúcleodeoxigêniorecuacomumavelocidadeescalarde1,20×105m/seumânguloθ2=51,0°.Emunidadesdemassaatômica,amassadapartículaalfaé4,00ueamassadonúcleodehidrogênioé16,0u.(a)Qualéavelocidadefinale(b)inicialdapartículaalfa?

··72AbolaB,quesemovenosentidopositivodeumeixoxcomvelocidadev, colide comabolaAinicialmenteemrepousonaorigem.AeBtêmmassasdiferentes.Apósacolisão,Bsemovenosentidonegativodoeixoycomvelocidadeescalarv/2.(a)QualéaorientaçãodeAapósacolisão?(b)MostrequeavelocidadedeAnãopodeserdeterminadaapartirdasinformaçõesdadas.

··73 Após uma colisão perfeitamente inelástica, dois objetos de mesma massa e mesma velocidadeescalar inicial deslocam-se juntos com metade da velocidade inicial. Determine o ângulo entre as

velocidadesiniciaisdosobjetos.

··74Doiscorposde2,0kg,AeB,sofremumacolisão.Asvelocidadesantesdacolisãosão A=(15 +30 )m/se B=(–10 +5,0 )m/s.Apósacolisão, =(–5,0 +20 )m/s.Determine(a)avelocidadefinaldeBe(b)avariaçãodaenergiacinéticatotal(incluindoosinal).

··75Opróton1,comumavelocidadede500m/s,colideelasticamentecomopróton2,inicialmenteemrepouso.Depoisdochoque,osdoisprótonssemovememtrajetóriasperpendiculares,comatrajetóriadopróton1fazendo60°comadireçãoinicial.Apósacolisão,qualéavelocidadeescalar(a)dopróton1e(b)dopróton2?

Módulo9-9SistemasdeMassaVariável:UmFoguete

·76 Uma sonda espacial de 6090 kg, movendo-se com o nariz à frente em direção a Júpiter a umavelocidadede105m/semrelaçãoaoSol,acionaomotor,ejetando80,0kgdeprodutosdecombustãoaumavelocidadede253m/semrelaçãoànave.Qualéavelocidadefinaldanave?

·77NaFig.9-70,duas longasbarcaçasestãosemovendonamesmadireçãoemáguas tranquilas,umacomvelocidadeescalarde10km/heaoutracomvelocidadeescalarde20km/h.Quandoestãopassandoumapelaoutra,operários jogamcarvãodabarcaçamais lentaparaamais rápidaauma taxade1000kg/min. Que força adicional deve ser fornecida pelos motores (a) da barcaça mais rápida e (b) dabarcaça mais lenta para que as velocidades não mudem? Suponha que a transferência de carvão éperpendicularàdireçãodomovimentodasbarcaçasequeaforçadeatritoentreasbarcaçaseaáguanãodependedamassadasbarcaças.


·78Considereumfoguetequeestánoespaçosideral,emrepousoemrelaçãoaumreferencialinercial.Omotordofoguetedeveseracionadoporumcerto intervalode tempo.Determinearazãodemassa do

foguete(razãoentreasmassasinicialefinal)nesseintervaloparaqueavelocidadeoriginaldofogueteemrelaçãoaoreferencialinercialsejaigual(a)àvelocidadedeexaustão(velocidadedosprodutosdeexaustãoemrelaçãoaofoguete)e(b)aduasvezesavelocidadedeexaustão.

·79Umfoguetequeestánoespaçosideral,emrepousoemrelaçãoaumreferencialinercial,temmassade2,55×105kg,daqual1,81×105kgsãodecombustível.Omotordofogueteéacionadopor250s,duranteosquaisocombustíveléconsumidoàtaxade480kg/s.Avelocidadedosprodutosdeexaustãoemrelaçãoaofogueteé3,27km/s.(a)Qualéoempuxodofoguete?Apósos250sdefuncionamentodomotor,qualé(b)amassae(c)qualéavelocidadedofoguete?

ProblemasAdicionais

80Umobjetoérastreadoporumaestaçãoderadareseverificaqueseuvetorposiçãoédadopor =(3500–160t) +2700 +300 com emmetrosetemsegundos.Oeixoxdaestaçãoderadarapontapara leste, o eixo y para o norte e o eixo z verticalmente para cima. Se o objeto é um foguetemeteorológicode250kg, determine (a) omomento linear do foguete, (b) a direçãodomovimentodofoguetee(c)aforçaqueagesobreofoguete.

81Oúltimoestágiodeumfoguete,queestáviajandoaumavelocidadede7600m/s,écompostodeduaspartespresasporumatrava:uminvólucro,commassade290,0kg,eumacápsuladecarga,commassade150,0kg.Quandoatravaéaberta,umamolainicialmentecomprimidafazasduaspartessesepararemcomumavelocidade relativade910,0m/s.Qual éavelocidade (a)do invólucroe (b)dacápsuladecarga depois de separados? Suponha que todas as velocidades são ao longo da mesma linha reta.Determineaenergiacinética totaldasduaspartes (c) antes e (d)depoisde separadas. (e)Expliqueadiferença.

82 Desabamento de um edifício. Na seção reta de um edifício que aparece na Fig. 9-71a, ainfraestruturadeumandarqualquer,K,deve sercapazde sustentaropesoP de todosos andaresqueestãoacima.Normalmente,ainfraestruturaéprojetadacomumfatordesegurançasepodesustentarumaforça para baixo sP >P. Se, porém, as colunas de sustentação entreK e L cederem bruscamente epermitiremqueos andaresmais altos caiamemqueda livre sobreo andarK (Fig.9-71b), a força dacolisãopodeexcedersPefazercomque,logodepois,oandarKcaiasobreoandarJ,quecaisobreoandarI,eassimpordiante,atéoandartérreo.Suponhaqueadistânciaentreosandareséd=4,0mequetodos têmamesmamassa.Suponha tambémque,quandoosandaresqueestãoacimadoandarKcaemsobreoandarKemquedalivre,acolisãoleva1,5ms.Nessascondiçõessimplificadas,quevalordeveterocoeficientedesegurançasparaqueoedifícionãodesabe?


83“Relativamente”éumapalavra importante.NaFig.9-72,oblocoE, demassamE = 1,00 kg, e oblocoD,demassamD=0,500kg,sãomantidosnolugarcomumamolacomprimidaentreosdoisblocos.Quandoosblocossãoliberados,amolaos impulsionaeosblocospassamadeslizaremumpisosematrito. (Amola temmassa desprezível e cai nopiso depois de impulsionar os blocos.) (a)Se amolaimprimeaoblocoEumavelocidadede1,20m/srelativamenteaopiso,quedistânciaoblocoDpercorreem0,800s?(b)Se,emvezdisso,amolaimprimeaoblocoEumavelocidadede1,20m/srelativamenteaoblocoD,quedistânciaoblocoDpercorreem0,800s?


84AFig.9-73mostraumavistasuperiordeduaspartículasquedeslizamcomvelocidadeconstanteemumasuperfíciesematrito.Aspartículastêmamesmamassaeamesmavelocidadeinicialv=4,00m/secolidemnopontoemqueastrajetóriasseinterceptam.Oeixoxcoincidecomabissetrizdoânguloentreastrajetóriasincidenteseθ=40,0°.Aregiãoàdireitadacolisãoestádivididaemquatrosetores(A,B,CeD)peloeixoxeporquatroretastracejadas(1,2,3e4).Emquesetorouaolongodequeretaaspartículasviajamseacolisãofor(a)perfeitamenteinelástica,(b)elásticae(c)inelástica?Quaissãoasvelocidadesfinaisdaspartículasseacolisãofor(d)perfeitamenteinelásticae(e)elástica?


85 }Redutordevelocidade.NaFig.9-74,obloco1,demassam1,deslizaaolongodeumeixoxemumpisosematrito,comumavelocidadede4,00m/s,atésofrerumacolisãoelásticaunidimensionalcomobloco2,demassam2=2,00m1,inicialmenteemrepouso.Emseguida,obloco2sofreumacolisãoelásticaunidimensional comobloco3,demassam3 = 2,00m2, inicialmente em repouso. (a)Qual é avelocidadefinaldobloco3?(b)Avelocidade,(c)aenergiacinéticae(d)omomentodobloco3sãomaiores,menoresouiguaisaosvaloresiniciaisdobloco1?


86 Amplificadordevelocidade.NaFig.9-75,obloco1,demassam1,deslizaaolongodeumeixox em um piso sem atrito, com uma velocidade v1i = 4,00 m/s, até sofrer uma colisão elásticaunidimensionalcomobloco2,demassam2=0,500m1,inicialmenteemrepouso.Emseguida,obloco2sofre uma colisão elástica unidimensional com o bloco 3, de massam3 = 0,500m2, inicialmente emrepouso.(a)Qualéavelocidadedobloco3apósacolisão?(b)Avelocidade,(c)aenergiacinéticae(d)omomentodobloco3sãomaiores,menoresouiguaisaosvaloresiniciaisdobloco1?


87 Uma bola com uma massa de 150 g se choca com uma parede a uma velocidade de 5,2 m/s ericocheteia com apenas 50% da energia cinética inicial. (a) Qual é a velocidade escalar da bolaimediatamenteapósochoque?(b)Qualéomódulodoimpulsodabolasobreaparede?(c)Seabolapermaneceemcontatocomaparedepor7,6ms,qualéomódulodaforçamédiaqueaparedeexercesobreaboladuranteesseintervalodetempo?

88Uma espaçonave é separada emduas partes pela detonação dos rebites explosivos que asmantêmunidas.Asmassasdaspartessão1200kge1800kg;omódulodoimpulsoqueaexplosãodosrebitesexercesobrecadaparteé300N·s.Comquevelocidaderelativaasduaspartesseseparam?

89Umcarrode1400kgestásemovendoinicialmenteparaonortea5,3m/s,nosentidopositivodeumeixoy.Depoisdefazerumacurvade90°paraadireitaem4,6s,omotorista,desatento,bateemumaárvore,queparaocarroem350ms.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéoimpulsosobreocarro(a)devidoàcurvae(b)devidoàcolisão?Qualéomódulodaforçamédiaqueagesobreocarro(c)duranteacurvae (d)duranteacolisão? (e)Qualéadireçãoda forçamédiaqueagesobreocarroduranteacurva?

90Umcertonúcleoradioativo(pai)setransformaemumnúcleodiferente(filho)emitindoumelétrone

umneutrino.Onúcleopaiestavaemrepousonaorigemdeumsistemadecoordenadasxy.Oelétronseafastadaorigemcomummomentolinear(−1,2×10−22kg·m/s) ;oneutrinoseafastadaorigemcomummomentolinear(−6,4×10−23kg·m/s) .(a)Qualéomóduloe(b)qualaorientaçãodomomentolineardonúcleofilho?(c)Seonúcleofilhotemumamassade5,8×10−26kg,qualésuaenergiacinética?

91Umhomemde75kg,queestavaemumcarrinhodegolfede39kgquesemoviaaumavelocidadede2,3m/s,puloudocarrinhocomvelocidadehorizontalnulaemrelaçãoaochão.Qualfoiavariaçãodavelocidadedocarrinho,incluindoosinal?

92Doisblocosdemassas1,0kge3,0kgestãoligadosporumamolaerepousamemumasuperfíciesematrito.Osblocos começama semover umemdireção aooutrodemodoqueoblocode1,0kgviajainicialmentea1,7m/semdireçãoaocentrodemassa,quepermaneceemrepouso.Qualéavelocidadeinicialdooutrobloco?

93Uma locomotiva comamassa de 3,18×104 kg colide comumvagão inicialmente em repouso.Alocomotivaeovagãopermanecemjuntosapósacolisão,e27%daenergiacinéticainicialétransferidaparaenergiatérmica,sons,vibraçõesetc.Determineamassadovagão.

94UmvelhoChryslercom2400kgdemassa,queviajaemumaestradaretilíneaa80km/h,éseguidoporumFordcom1600kgdemassaa60km/h.Qualéavelocidadedocentrodemassadosdoiscarros?

95NoarranjodaFig.9-21,aboladesinuca1,quesemovea2,2m/s,sofreumacolisãooblíquacomabola de sinuca 2, que está inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola 2 se move com umavelocidadeescalarde1,1m/secomumânguloθ2=60°.(a)Qualéomóduloe(b)qualaorientaçãodavelocidade da bola 1 após a colisão? (c) Os dados fornecidos mostram que a colisão é elástica ouinelástica?

96Umfogueteestáseafastandodosistemasolaraumavelocidadede6,0×103m/s.Omotordofogueteéacionadoeejetaprodutosdecombustãoaumavelocidadede3,0×103m/semrelaçãoaofoguete.Amassadofoguetenessemomentoé4,0×104kgeaaceleraçãoé2,0m/s2.(a)Qualéoempuxodomotordofoguete?(b)Aquetaxa,emquilogramasporsegundo,osprodutosdecombustãoestãosendoejetados?

97AstrêsbolasvistasdecimanaFig.9-76sãoiguais.Asbolas2e3estãosetocandoeestãoalinhadasperpendicularmenteàtrajetóriadabola1.Avelocidadedabola1temmódulov0=10m/seestádirigidaparaopontodecontatodasbolas2e3.Apósacolisão,quaissão(a)omóduloe(b)aorientaçãodavelocidadedabola2, (c)omóduloe(d)aorientaçãodavelocidadedabola3e(e)omóduloe(f)aorientação da velocidade da bola 1? (Sugestão:Na ausência de atrito, cada impulso está dirigido aolongodaretaqueligaoscentrosdasbolasenvolvidasnacolisãoeéperpendicularàssuperfíciesquesetocam.)


98Umabolade0,15kgsechocacomumaparedeaumavelocidadede(5,00m/s) +(6,50m/s) +(4,00m/s) ricocheteianaparedeepassaa terumavelocidadede(2,00m/s) +(3,50m/s) +(–3,20m/s) .Determine(a)avariaçãodomomentodabola,(b)oimpulsoexercidopelaparedesobreabolae(c)oimpulsoexercidopelabolasobreaparede.

99NaFig.9-77,dois recipientes iguaiscomdeterminadaquantidadedeaçúcarestão ligadosporumacordaquepassaporumapolia sematrito.Acordaeapolia têmmassadesprezível, amassadecadarecipienteéde500g(incluindooaçúcar),oscentrosdosrecipientesestãoseparadosporumadistânciade50mmeosrecipientessãomantidosàmesmaaltura.Qualéadistânciahorizontalentreocentrodemassadorecipiente1eocentrodemassadosistemadedoisrecipientes(a)inicialmentee(b)após20gde açúcar serem transferidos do recipiente 1 para o recipiente 2? Após a transferência e após osrecipientesseremliberadosapartirdorepouso,(c)emquesentidoe(d)comqueaceleraçãoocentrodemassasemove?


100 Em um jogo de sinuca, a bola branca se choca comoutra bola inicialmente em repouso.Após ochoque,abolabrancasemovecomumavelocidadeescalarde3,50m/saolongodeumaretaquefazumângulode22,0°comadireçãodomovimentodabolabrancaantesdochoque,easegundabolatemumavelocidadeescalarde2,00m/s.Determine(a)oânguloentreadireçãodomovimentodasegundabolaeadireçãodomovimentodabolabrancaantesdochoquee(b)avelocidadeescalardabolabrancaantesdochoque.(c)Aenergiacinética(doscentrosdemassa,nãoconsidereasrotações)éconservada?

101NaFig.9-78,umacaixadesapatosdecorridade3,2kgdeslizaemumamesahorizontalsematritoecolidecomumacaixadesapatilhasdebaléde2,0kginicialmenteemrepousonaextremidadedamesa,aumaalturah=0,40mdochão.Avelocidadedacaixade3,2kgé3,0m/simediatamenteantesdacolisão.Seascaixasgrudamumanaoutraporestaremfechadascomfitaadesiva,qualéaenergiacinéticadoconjuntoimediatamenteantesdeatingirochão?


102NaFig.9-79,umhomemde80kgestáemumaescadapenduradaemumbalãoquepossuiumamassatotalde320kg(incluindoopassageironacesta).Obalãoestáinicialmenteemrepousoemrelaçãoaosolo.Seohomemnaescadacomeçaasubiraumavelocidadede2,5m/semrelaçãoàescada,(a)emquesentidoe(b)comquevelocidadeobalãosemove?(c)Qualéavelocidadedobalãoquandoohomemcompletaasubidaeentranacesta?


103NaFig.9-80,obloco1,demassam1=6,6kg,estáemrepousoemumamesasematritoqueestáencostadaemumaparede.Obloco2,demassam2,estáposicionadoentreobloco1eaparedeedeslizaparaaesquerdaemdireçãoaobloco1comvelocidadeconstantev2i.Determineovalordem2paraoqualosdoisblocossemovemcomamesmavelocidadeapósobloco2colidirumavezcomobloco1eumavezcomaparede.Suponhaqueascolisõessãoelásticas(acolisãocomaparedenãomudaavelocidadeescalardobloco2).


104Oroteirodeumfilmedeaçãorequerqueumpequenocarrodecorrida(comumamassade1500kgeum comprimento de 3,0 m) acelere ao longo de uma barcaça (com uma massa de 4000 kg e umcomprimentode14m),deumaextremidadeaoutradaembarcação,esalteparaumcaisumpoucomaisabaixo.Vocêéoconsultortécnicodofilme.Nomomentoemqueocarroentraemmovimento,obarcoestáencostadonocais,comonaFig.9-81;obarcopodedeslizarnaáguasemresistênciasignificativa;adistribuição de massa do carro e da barcaça pode ser considerada homogênea. Calcule qual será adistânciaentreobarcoeocaisnoinstantedosalto.


105Umobjetode3,0kg,quesemovecomumavelocidadeescalarde8,0m/snosentidopositivodeumeixox,sofreumacolisãoelásticaunidimensionalcomumobjetodemassaM inicialmenteemrepouso.Apósacolisão,oobjetodemassaMtemumavelocidadeescalarde6,0m/snosentidopositivodoeixox.QualéovalordamassaM?

106Umvagãoabertode2140kg,quepodesemovercomatritodesprezível,estáparadoaoladodeumaplataforma.Umlutadordesumôde242kgcorrea5,3m/spelaplataforma(paralelamenteaostrilhos)epulanovagão.Qualéavelocidadedovagãoseolutador(a)paraimediatamente,(b)continuaacorrera5,3m/s em relação ao vagão, nomesmo sentido, e (c) fazmeia-volta e passa a correr a 5,3m/s emrelaçãoaovagãonosentidooposto?

107 Um foguete de 6100 kg está preparado para ser lançado verticalmente a partir do solo. Se avelocidadedeexaustãoé1200m/s,qualéamassadegásquedeveserejetadaporsegundoparaqueoempuxo (a) seja igual aomóduloda forçagravitacionalqueage sobreo foguetee (b)proporcioneaofogueteumaaceleraçãoinicial,paracima,de21m/s2?

108Ummódulode500,0kgestáacopladoaumanavedetransportede400,0kgquesemovea1000m/semrelaçãoaumanave-mãeemrepouso.Umapequenaexplosãofazomódulosemoverpara tráscomumavelocidadede100,0m/s em relação ànovavelocidadedanavede transporte.Qual éo aumentorelativodaenergiacinéticadomóduloedanavedetransporteemconsequênciadaexplosão,dopontode

vistadostripulantesdanave-mãe?

109 (a)A que distância do centro da Terra se encontra o centro demassa do sistemaTerra-Lua? (OApêndice C fornece as massas da Terra e da Lua e a distância entre os dois astros.) (b) A queporcentagemdoraiodaTerracorrespondeessadistância?

110Umabolade140gsechocaperpendicularmentecomumaparedea7,8m/sericocheteianosentidoopostocomamesmavelocidade.Ochoquedura3,80ms.(a)Qualéoimpulsoe(b)qualaforçamédiaqueabolaexercesobreaparede?

111Umtrenófoguetecommassade2900kgsemovea250m/ssobredoistrilhos.Emumdadoinstante,umtuboabordodotrenóémergulhadoemumcanalsituadoentreostrilhosepassaatransferiráguaparao tanquedo trenó, inicialmentevazio.Aplicandoa leideconservaçãodomomento linear,determineavelocidadedotrenódepoisque920kgdeáguasãotransferidosdocanalparaotrenó.Ignoreoatritodotubocomaáguadocanal.

112Umametralhadoradechumbinhodisparadezbalasde2,0gporsegundocomumavelocidadeescalarde500m/s.Asbalassãoparadasporumaparederígida.Determine(a)omódulodomomentodecadabala, (b) a energia cinéticade cadabala e (c)omóduloda forçamédia exercidapelasbalas sobre aparede. (d)Secadabalapermaneceemcontato comaparedepor0,60ms,qual éomóduloda forçamédiaexercidaporumabalasobreaparede?(e)Porqueaforçamédiaétãodiferentedaforçamédiacalculadaem(c)?

113Umvagãodeestradadeferrosemovesobumaesteiratransportadoradegrãoscomumavelocidadeescalar de 3,20m/s. Os grãos caem no vagão a uma taxa de 540 kg/min. Qual é omódulo da forçanecessáriaparamanterovagãoemmovimentocomvelocidadeconstanteseoatritoédesprezível?

114AFig.9-82mostraumaplacaquadradahomogêneadelado6d=6,0mdaqualumpedaçoquadradodelado2dfoiretirado.(a)Qualéacoordenadaxe(b)qualacoordenadaydocentrodemassadaparterestante?

115Noinstantet=0,umaforça 1=(–4,00 +5,00 )Nagesobreumapartículademassa2,00×10−3

kg,inicialmenteemrepouso,eumaforça 2=(2,00 –4,00 )Nagesobreumapartículademassa4,00×10−3kg,tambéminicialmenteemrepouso.Doinstantet=0aoinstantet=2,00ms,qualé(a)omóduloe(b)qualéoângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentodocentrodemassadosistemadasduaspartículas?(c)Qualéaenergiacinéticadocentrodemassaemt=2,00ms?


116Duas partículas,P eQ, são liberadas a partir do repouso a 1,0m de distância uma da outra.ApartículaPtemmassade0,10kgeapartículaQtemmassade0,30kg.PeQseatraemcomumaforçaconstantede1,0×10−2N.Nenhumaforçaexternaagesobreosistema.(a)QualéavelocidadedocentrodemassadePeQquandoadistânciaentreaspartículasé0,50m?(b)AquedistânciadaposiçãoinicialdePaspartículascolidem?

117Umacolisãoocorreentreumcorpode2,00kgquesemovecomumavelocidade 1=(–4,00m/s) +(–5,00m/s) eumcorpode4,00kgquesemovecomumavelocidade 2=(6,00m/s) +(–2,00m/s) .Osdoiscorpospermanecemunidosapósacolisão.Determineavelocidadecomumdosdoiscorposapósacolisão(a)nanotaçãodosvetoresunitáriosecomo(b)ummóduloe(c)umângulo.

118NoarranjodasduasesferasdaFig.9-20,suponhaqueaesfera1 temmassade50geumaalturainicialh1 = 9,0 cm e que a esfera 2 temmassa de 85 g. Depois que a esfera 1 é liberada e colideelasticamentecomaesfera2,quealturaéalcançada(a)pelaesfera1e(b)pelaesfera2?Apósacolisão(elástica) seguinte, que altura é alcançada (c) pela esfera 1 e (d) pela esfera 2? (Sugestão: Não usevaloresarredondados.)

119NaFig.9-83,obloco1deslizaaolongodeumeixoxemumpisosematritocomumavelocidadede0,75m/satésofrerumacolisãoelásticacomobloco2,inicialmenteemrepouso.Atabelaaseguirmostraamassaeocomprimentodosblocos(homogêneos)eaposiçãodocentrodosblocosnoinstantet=0.Determineaposiçãodocentrodemassadosistemadedoisblocos(a)emt=0,(b)noinstantedochoquee(c)emt=4,0s.


Bloco Massa(kg) Comprimento(cm) Centroemt=0

1 0,25 5,0 x=–1,50m

2 0,50 6,0 x=0

120Umcorpoestásemovendocomumavelocidadeescalarde2,0m/snosentidopositivodeumeixox;nenhumaforçaagesobreocorpo.Umaexplosãointernaseparaocorpoemduaspartes,ambasde4,0kg,eaumentaaenergiacinética totalem16J.Aparteda frentecontinuaa semovernamesmadireçãoesentidoqueocorpooriginal.Qualéavelocidadeescalar(a)dapartedetráse(b)dapartedafrentedocorpo?

121Umelétronsofreumacolisãoelásticaunidimensionalcomumátomodehidrogênioinicialmenteemrepouso.Queporcentagemdaenergiacinéticainicialdoelétronétransferidaparaaenergiacinéticadoátomodehidrogênio?(Amassadoátomodehidrogênioé1840vezesmaiorqueamassadoelétron.)

122Umhomem(com915Ndepeso)estáempéemumvagãodetrem(com2415Ndepeso)enquantoestesemovea18,2m/snosentidopositivodeumeixox,comatritodesprezível.Ohomemcomeçaacorrernosentidonegativodoeixoxcomumavelocidadeescalarde4,00m/semrelaçãoaovagão.Qualéoaumentodavelocidadedovagão?

123Umasondaespacialnãotripulada(demassamevelocidadevemrelaçãoaoSol)seaproximadoplaneta Júpiter (demassaM e velocidadeVJ em relação ao Sol), comomostra a Fig. 9-84.A sondacontornaoplanetaepassaasemovernosentidooposto.Qualéavelocidadedasonda,emrelaçãoaoSol,depoisdoencontrocomJúpiter,quepodeseranalisadocomosefosseumacolisão?Suponhaquev=10,5km/seVJ=13,0km/s (avelocidadeorbitaldeJúpiter).Leveemcontao fatodequeamassadeJúpiterémuitomaiorqueamassadasonda(M≫m).


124Umabolacomumamassade0,550kgcaiverticalmenteemumpisodeconcreto,chocando-secomopisoaumavelocidadede12,0m/sericocheteandoverticalmentecomumavelocidadede3,00m/s.Useumeixoyvertical,comosentidopositivoparacima.Nanotaçãodosvetoresunitários,determine(a)avariaçãodomomentodabola,(b)oimpulsosobreabolae(c)oimpulsosobreopiso.

125Umnúcleoatômicoemrepousonaorigemdeumsistemadecoordenadasxy sedesintegraemtrês

partículas.Apartícula1,commassade16,7×10−27kg,seafastadaorigemcomumavelocidade(6,00×106m/s) ; apartícula2, comumamassade8,35×10−27 kg, se afasta daorigemcomumavelocidade(−8,00×106m/s) .(a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéomomentolineardaterceirapartícula,cujamassaé11,7×10−27kg?(b)Qualéaenergiacinéticaproduzidapeladesintegração?

126Apartícula1,commassade200g,quesemoveaumavelocidadede3,00m/s,sofreumacolisãounidimensionalcomapartícula2,commassade400g,queestava inicialmenteemrepouso.Qualéomódulodoimpulsosobreapartícula1seacolisãofor(a)elásticae(b)perfeitamenteinelástica?

127Duranteumamissãolunar,énecessárioaumentarde2,2m/savelocidadedeumaespaçonavequandoelaestáaumavelocidadede400m/semrelaçãoàLua.Avelocidadedosgasesejetadospelomotordofoguete é 1000 m/s em relação à espaçonave. Que fração na massa inicial da espaçonave deve serqueimadaeejetadaparaproduziressavariaçãodevelocidade?

128Umtacoatingeumaboladesinuca,inicialmenteemrepouso,comumaforçamédiade32Nduranteumintervalode14ms.Seamassadabolaé0,20kg,qualéavelocidadedabolaimediatamenteapósochoque?

_______________*Nestapassagem,usamosaidentidadea2–b2=(a–b)(a+b),oquefacilitaasoluçãodosistemadeequaçõesconstituídopelasEqs.9-65e9-66.

CAPÍTULO10

Rotação

10-1ASVARIÁVEISDAROTAÇÃO


10.01Saberque,setodasaspartículasdeumcorpogiramdamesmaformaemtornodeumeixo,ocorpoéumcorporígido.(Estecapítulotratadomovimentodecorposrígidos.)

10.02Saberqueaposiçãoangulardeumcorporígidoemrotaçãoéoânguloqueumaretainternadereferênciafazcomumaretaexternafixa.

10.03Conhecerarelaçãoentreodeslocamentoangulareasposiçõesangularesinicialefinal.

10.04Conhecer a relaçãoentre a velocidadeangularmédia, o deslocamentoangular e o intervalo de tempoduranteo qualocorreuodeslocamento.

10.05Conhecera relaçãoentreaaceleraçãoangularmédia,avariaçãodevelocidadeeo intervalode tempoduranteoqualocorreuavariaçãodevelocidade.

10.06Saberqueomovimentoanti-horárioéconsideradopositivoeomovimentohorárioéconsideradonegativo.

10.07 Dada a posição angular em função do tempo, calcular a velocidade angular instantânea em um dado instante e avelocidadeangularmédiaemumdadointervalo.

10.08Dada uma curva da posição angular em função do tempo, determinar a velocidade angular instantânea emumdadoinstanteeavelocidadeangularmédiaemumdadointervalo.

10.09Saberqueavelocidadeangularescalaréomódulodavelocidadeescalarinstantânea.

10.10Dadaavelocidadeemfunçãodotempo,determinaraaceleraçãoangularinstantâneaemumdadoinstanteeaaceleraçãoangularmédiaemumdadointervalo.

10.11Dadaumacurvadavelocidadeangularemfunçãodotempo,determinaraaceleraçãoangularinstantâneaemumdadoinstanteeaaceleraçãoangularmédiaemumdadointervalo.

10.12Calcularavariaçãodevelocidadeangulardeumcorpointegrandoafunçãoaceleraçãoangularemrelaçãoaotempo.

10.13Calcularavariaçãodeposiçãoangulardeumcorpointegrandoafunçãovelocidadeangularemrelaçãoaotempo.

Ideias-Chave•Paradescreverarotaçãodeumcorporígidoemtornodeumeixofixo,conhecidocomoeixoderotação,imaginamosumaretadereferência,fixaemrelaçãoaocorpoeperpendicularaoeixoderotação.Medimosaposiçãoangularθdessaretaemrelaçãoaumadireçãofixanoespaço,tambémperpendicularaoeixoderotação.Seoânguloformedidoemradianos,

emqueséocomprimentodeumarcoderaioreânguloθ.

•Arelaçãoentreonúmeroderevoluções,oânguloemgrauseoânguloemradianoséaseguinte:

1rev=360°=2πrad.

•Seaposiçãoangulardeumcorpoquegiraemtornodeumeixoderotaçãomudadeθ1paraθ2,odeslocamentoangulardocorpoédadopor

Δθ=θ2−θ1,

emque∆θépositivopararotaçõesnosentidoanti-horárioenegativopararotaçõesnosentidohorário.•SeumcorposofreumdeslocamentoangularΔθemumintervalodetempo∆t,avelocidadeangularmédiaωméddocorpoédadapor

Avelocidadeangular(instantânea)ωdocorpoédadapor

Tantoωmédcomoωsãovetores,cujaorientaçãoédadapelaregradamãodireita.Essesvetoresapontamnosentidopositivodeumeixodereferência,searotaçãofornosentidoanti-horário,enosentidonegativo,searotaçãofornosentidohorário.Omódulodavelocidadeangulardeumcorpoéavelocidadeangularescalar.•Seavelocidadeangulardeumcorpovariadeω1paraω2emumintervalodetempoΔt=t2−t1,aaceleraçãoangularmédiaαméddocorpoédadapor

Aaceleraçãoangular(instantânea)αdocorpoédadapor

Tantoαmédcomoαsãovetores.

OqueÉFísica?Comovimosemcapítulosanteriores,umdosobjetivosprincipaisda físicaéestudarmovimentos.Atéagora,examinamosapenasosmovimentosdetranslação,nosquaisobjetossemovemaolongodelinhasretasoucurvas,comonaFig.10-1a.Vamosagoraconsiderarosmovimentosderotação,nosquaisosobjetosgiramemtornodeumeixo,comonaFig.10-1b.Observamos rotações emquase todas asmáquinas; produzimos rotações toda vez que abrimos uma

tampaderosca;pagamosparaexperimentarrotaçõesquandovamosaumparquedediversões.Arotaçãoé o segredo de jogadas de sucesso emmuitos esportes, como dar uma longa tacada no golfe (a bolaprecisaestargirandoparasemanternoardurantemaistempo)ouchutarcomefeitonofutebol(abola

precisagirarparaqueoaraempurreparaaesquerdaouparaadireita).Arotaçãotambéméimportanteemquestõesmaissérias,comoafadigadaspeçasmetálicasdosaviões.Começamosnossadiscussãoda rotaçãodefinindoasvariáveisdomovimento, como fizemosparaa

translação no Capítulo 2. Como vamos ver, as variáveis da rotação são análogas às do movimentounidimensionale,comonoCapítulo2,umasituaçãoespecial importanteéaquelanaqualaaceleração(nestecaso,aaceleraçãoangular)éconstante.VamosvertambémqueépossívelescreverumaequaçãoequivalenteàsegundaleideNewtonparaomovimentoderotação,usandoumagrandezachamadatorquenolugardaforça.Oteoremadotrabalhoeenergiacinéticatambémpodeseraplicadoaomovimentoderotação,comamassasubstituídaporumagrandezachamadamomentode inércia.Naverdade,grandeparte do que discutimos até agora pode ser aplicado aomovimento de rotação com, talvez, pequenasmodificações.Atenção:Apesardeasequaçõesquedescrevemomovimentoderotaçãoseremmuitoparecidascom

as que foram apresentadas em capítulos anteriores, muitos estudantes consideram este capítulo e ocapítulo a seguirparticularmentedifíceis.Osprofessores encontraramvárias razõespara isso,mas asduas razões principais parecem ser as seguintes: (1) São apresentadosmuitos símbolos novos (letrasgregas) cujo significado nem sempre é bem compreendido. (2) Embora os estudantes estejam muitofamiliarizadoscommovimentoslineares,comoatravessarumarua,elesnãotêmamesmafamiliaridadecommovimentosde rotação (talvez seja por issoqueos parquesdediversões são tãopopulares).Sevocê tiver a impressão de que um dever de casa envolvendo rotação está escrito em uma línguaestrangeira, experimente traduzi-lo para a linguagem dos movimentos lineares unidimensionais doCapítulo 2. Por exemplo, se você precisa ou quer calcular uma distância angular, apaguetemporariamenteapalavraangularevejaseconsegueresolveroproblemausandoasequaçõeseideiasdoCapítulo2.

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Figura10-1 ApatinadoraSashaCohenemummovimento(a)detranslaçãopuraemumadireçãofixae(b)derotaçãopuraemtornodeumeixovertical.

Figura10-2 Umcorporígidodeformaarbitráriaemrotaçãopuraemtornodoeixozdeumsistemadecoordenadas.Aposiçãodaretadereferência em relaçãoaocorpo rígidoéarbitrária,masa retaéperpendicularaoeixode rotaçãoemantémsempreamesmaposiçãoemrelaçãoaocorpo,girandocomele.

AsVariáveisdaRotaçãoNestecapítulo,vamosestudararotaçãodeumcorporígidoemtornodeumeixofixo.Umcorporígidoéumcorpoquegiracomtodasaspartesligadasentresiesemmudardeforma.Umeixofixoéumeixoquenãomudadeposição.IssosignificaquenãoexaminaremosumobjetocomooSol,poisaspartesdoSol(umaboladegás)nãoestão ligadasentre si; tambémnãoexaminaremosumobjetocomoumaboladeboliche rolando em uma pista, já que a bola gira em torno de um eixo que muda constantemente deposição(omovimentodabolaéumamisturaderotaçãoetranslação).AFig.10-2mostraumcorporígidodeformaarbitráriagirandoemtornodeumeixofixo,chamado

eixoderotação.Emuma rotaçãopura (movimentoangular), todosos pontos do corpo semovemaolongo de circunferências cujo centro está no eixo de rotação, e todos os pontos descrevem omesmoângulonomesmointervalodetempo.Natranslaçãopura(movimentolinear),todosospontossemovemaolongodelinhasretas,etodosospontospercorremamesmadistâncianomesmointervalodetempo.Vamos discutir agora (um de cada vez) os equivalentes angulares das grandezas lineares posição,

deslocamento,velocidadeeaceleração.

PosiçãoAngular

AFig.10-2mostraumaretadereferência, fixaaocorpo,perpendicularaoeixode rotaçãoegirandocomocorpo.Aposiçãoangulardaretaéoânguloquearetafazcomumadireçãofixa,quetomamoscomoaposiçãoangularzero.NaFig.10-3, a posição angularθ émedida em relação ao semieixoxpositivo.Deacordocomageometria,θédadopor

Aqui,sécomprimentodeumarcodecircunferênciaquevaidoeixox(posiçãoangularzero)atéaretadereferência,eréoraiodacircunferência.

Figura10-3 SeçãotransversaldocorporígidoemrotaçãodaFig.10-2,vistodecima.Oplanodaseçãotransversaléperpendicularaoeixoderotação,queagoraestáperpendicularaoplanodopapel,saindodopapel.Nessaposiçãodocorpo,aretadereferênciafazumânguloθcomoeixox.

Umângulodefinidodessaformaémedidoemradianos(rad)enãoemrevoluções(rev)ouemgraus.Comoéarazãoentredoiscomprimentos,oradianoéumnúmeropuro,ouseja,nãotemdimensão.Comoo comprimento de uma circunferência de raio r é 2πr, uma circunferência completa equivale a 2πradianos:

Não reajustamos θ para zero a cada volta completa da reta de referência. Se a reta de referênciacompletaduasrevoluçõesapartirdaposiçãoangularzero,aposiçãoangulardaretaéθ=4πrad.No caso da translação pura de uma partícula ao longo de um eixo x, o movimento da partícula é

totalmentedescritoporumafunçãox(t),aposiçãodapartículaemfunçãodotempo.Analogamente,nocasodarotaçãopuradeumcorporígido,omovimentodapartículaétotalmentedescritoporumafunçãoθ(t),aposiçãoangulardaretadereferênciadocorpoemfunçãodotempo.

DeslocamentoAngular

SeocorpodaFig.10-3giraemtornodoeixoderotaçãocomonaFig.10-4,comaposiçãoangulardaretadereferênciavariandodeθ1paraθ2,ocorposofreumdeslocamentoangularΔθdadopor

Essadefiniçãodedeslocamentoangularéválida,nãosóparaocorporígidocomoumtodo,mastambémparatodasaspartículasdocorpo.OsRelógiosSãoNegativos.Seumcorpoestáemmovimentodetranslaçãoaolongodeumeixox,o

deslocamento Δx pode ser positivo ou negativo, dependendo de se o movimento ocorre no sentidopositivoounegativodoeixo.Damesmaforma,odeslocamentoangularΔθdeumcorpoemrotaçãopodeserpositivoounegativo,deacordocomaseguinteregra:

Umdeslocamentoangularnosentidoanti-horárioépositivo,eumdeslocamentoangularnosentidohorárioénegativo.

Afrase“osrelógiossãonegativos”podeajudá-loamemorizaressaregra(osrelógioscertamentesãonegativosquandotocamdemanhãcedo).

Teste1Umdisco pode girar em torno de um eixo central como se fosse um carrossel. Quais dos seguintes pares de valores para as

posiçõesinicialefinal,respectivamente,correspondemaumdeslocamentoangularnegativo:(a)−3rad,+5rad,(b)−3rad,−7

rad,(c)7rad,−3rad?

VelocidadeAngular

Suponhaqueumcorpoemrotaçãoestánaposiçãoangularθ1no instante t1enaposiçãoangularθ2noinstantet2,comonaFig.10-4.DefinimosavelocidadeangularmédiadocorponointervalodetempoΔtdet1at2como

emqueΔθ éodeslocamentoangularqueaconteceduranteo intervalode tempoΔt (ω é a letra gregaômegaminúscula).Avelocidadeangular (instantânea)ω,naqualestaremosmais interessados,éo limitedarazãoda

Eq.10-5quandoΔttendeazero:

Figura10-4 AretadereferênciadocorporígidodasFigs.10-2e10-3estánaposiçãoangularθ1noinstantet1enaposiçãoangularθ2noinstantet2.AgrandezaΔθ(=θ2−θ1)éodeslocamentoangularqueacontecenointervaloΔt(=t2–t1).Ocorpopropriamenteditonãoémostradonafigura.

Comoopróprionomeindica,avelocidadeangularinstantâneaéavelocidadeangulardocorpoemumdadoinstantet.Seconhecemosθ(t),podemoscalcularavelocidadeangularωporderivação.AsEqs.10-5 e 10-6 valem não só para o corpo rígido como um todo,mas também para todas as

partículasdocorpo,umavezqueasdistânciasrelativassãomantidasfixas.Asunidadesdevelocidadeangularmaisusadassãooradianoporsegundo(rad/s)earevoluçãoporsegundo(rev/s).Outramedidadevelocidadeangularfoiusadadurantemuitosanospelaindústriafonográfica:amúsicaerareproduzidaemdiscosdevinilquegiravama“331/3 rpm”ou“45 rpm”,oque significava331/3 rev/minou45rev/min.Seumapartículasemoveemtranslaçãoaolongodeumeixox,avelocidadelinearvdapartículapode

serpositivaounegativa,dependendodeseapartículaestásedeslocandonosentidopositivoounegativodo eixo.Analogamente, a velocidade angularω de um corpo rígido em rotação pode ser positiva ounegativa,dependendodeseocorpoestágirandonosentidoanti-horário(positivo)ouhorário(negativo).(“Osrelógiossãonegativos”tambémfuncionanestecaso.)Omódulodavelocidadeangularéchamadodevelocidadeangularescalaretambémérepresentadoporω.

AceleraçãoAngular

Seavelocidadeangulardeumcorpoemrotaçãonãoéconstante,ocorpopossuiumaaceleraçãoangular.Sejamω2 eω1 as velocidades angulares nos instantes t2 e t1, respectivamente.A aceleração angularmédiadocorpoemrotaçãonointervalodet1at2édefinidapormeiodaequação

emqueΔωéavariaçãodavelocidadeangularnointervaloΔt.Aaceleraçãoangular(instantânea)α,naqualestaremosmaisinteressados,éolimitedessagrandeza

quandoΔttendeazero:

Comoopróprionomeindica,aaceleraçãoangular instantâneaéaaceleraçãoangulardocorpoemumdadoinstantet.Seconhecemosω(t),podemoscalcularaaceleraçãoangularαporderivação.AsEqs.10-7e10-8tambémsãoválidasparatodasaspartículasdocorpo.Asunidadesdeaceleraçãoangularmais usadas são o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2) e a revolução por segundo ao quadrado(rev/s2).

Exemplo10.01 Cálculodavelocidadeangularapartirdaposiçãoangular

OdiscodaFig.10-5aestágirandoemtornodoeixocentralcomoumcarrossel.Aposiçãoangularθ(t)deumaretadereferência

dodiscoédadapor

comtemsegundos,θ em radianoseaposiçãoangular zero indicadana figura. (Casovocêqueira,pode traduzir tudo issona

notação do Capítulo 2, apagando momentaneamente a palavra “angular” da expressão “posição angular” e substituindo o

símbolo θ pelo símbolo x. O resultado é uma equação que descreve a posição em função do tempo, para os movimentos

unidimensionaisdoCapítulo2.)

Figura10-5(a)Umdiscoemrotação.(b)Gráficodaposiçãoangulardodiscoemfunçãodotempo,θ(t).Cincodesenhosindicam

aposição angular da reta de referência do disco para cinco pontos da curva. (c) Gráfico da velocidade angular em função do

tempo,ω(t).Valorespositivosdeωcorrespondemarotaçõesnosentidoanti-horário;valoresnegativos,arotaçõesnosentido

horário.

(a)Ploteaposiçãoangulardodiscoemfunçãodotempo,det=−3,0sat=5,4s.Desenheodiscoearetadereferênciaemt=

−2,0s,0s,4,0senosinstantesemqueográficocruzaoeixot.

IDEIA-CHAVE

Aposiçãoangulardodiscoéaposiçãoangularθ(t)daretadereferência,dadapelaEq.10-9comoumafunçãodotempot.Assim,

devemosplotaraEq.10-9;oresultadoaparecenaFig.10-5b.

Cálculos:Paradesenharodiscoearetadereferênciaemumcertoinstante,precisamosdeterminarovalordeθnesseinstante.

Paraisso,substituímostporseuvalornaEq.10-9.Parat=−2,0s,obtemos

Issosignificaqueemt=−2,0saretadereferênciaestádeslocadade1,2rad=69ºnosentidoanti-horário(porqueθépositivo)

emrelaçãoàposiçãozero.Odesenho1daFig.10-5bmostraessaposiçãodaretadereferência.

Damesmaforma,parat=0,obtemosθ=−1,00rad=−57º,oquesignificaquearetadereferênciaestádeslocadade1,0

rad=57ºnosentidohorárioemrelaçãoàposiçãoangularzero,comomostraodesenho3.Parat=4,0s,obtemosθ=0,60rad

=34º (desenho5). Fazerdesenhosparaos instantesemquea curva cruzaoeixo t é fácil, poisnesse casoθ=0 e a retade

referênciaestámomentaneamentealinhadacomaposiçãoangularzero(desenhos2e4).

(b)Emqueinstantetmínoânguloθ(t)passapelovalormínimomostradonaFig.10-5b?Qualéovalormínimo?

IDEIA-CHAVE

Paradeterminarovalorextremo(omínimo,nocaso)deumafunção,calculamosaderivadaprimeiradafunçãoe igualamoso

resultadoazero.

Cálculos:Aderivadaprimeiradeθ(t)é

Igualandoesseresultadoazeroeexplicitandot,determinamosoinstanteemqueθ(t)émínimo:

Paraobterovalormínimodeθ,substituímostmínnaEq.10-9,oquenosdá

Essemínimodeθ(t)(opontomaisbaixodacurvadaFig.10-5b)correspondeàmáximarotaçãonosentidohorário dodisco a

partirdaposiçãoangularzero,umarotaçãoumpoucomaiorquearepresentadanodesenho3.

(c)Ploteavelocidadeangularωdodiscoemfunçãodotempodet=−3,0sat=6,0s.Desenheodiscoeindiqueosentidode

rotaçãoeosinaldeωemt=−2,0s,4,0setmín.

IDEIAS-CHAVE

DeacordocomaEq.10-6,avelocidadeangularωéigualadθ/dt,fornecidapelaEq.10-10.Temos,portanto,

Ográficodafunçãoω(t)aparecenaFig.10-5c.Comoafunçãoélinear,ográficoéumalinhareta.Ainclinaçãoé0,500rad/s2eo

pontodeinterseçãocomoeixoy(quenãoémostradonafigura)é−0,600rad/s.

Cálculos:Paradesenharodiscoemt=−2,0s,substituímosessevalordetnaEq.10-11,oquenosdá

Osinalnegativomostraqueemt=−2,0sodiscoestágirandonosentidohorário(desenhodaesquerdadaFig.10-5c).

Fazendot=4,0snaEq.10-11,obtemos

Osinalpositivoimplícitomostraqueemt=4,0sodiscoestágirandonosentidoanti-horário(desenhodadireitadaFig.10-5c).

Já sabemosquedθ/dt=0para t= tmín. Isso significaque,nesseponto,ω= 0, ou seja, o disco paramomentaneamente

quandoaretadereferênciaatingeovalormínimodeθnaFig.10-5b,comosugereodesenhocentralnaFig.10-5c.Nográfico,

essaparadamomentâneacorrespondeaopontoondearetainterceptaoeixoteavelocidadeangularmudadesinal.

(d)Useosresultadosanterioresparadescreveromovimentododiscodet=−3,0sat=6,0s.

Descrição:Quandoobservamosodiscopelaprimeiravez,emt=−3,0s,odiscotemumaposiçãoangularpositivaeestágirando

nosentidohorário,comvelocidadecadavezmenor.Depoisdepararmomentaneamentenaposiçãoangularθ=−1,36 rad,o

discocomeçaagirarnosentidoanti-horárioeovalordeωaumentaatésetornarnovamentepositivo.

Exemplo10.02 Cálculodavelocidadeangularapartirdaaceleraçãoangular

Umpiãogiracomaceleraçãoangular

α=5t2−4t

emquetestáemsegundoseαestáemradianosporsegundoaoquadrado.Noinstantet=0,avelocidadeangulardopiãoé5

rad/seumaretadereferênciatraçadanopiãoestánaposiçãoangularθ=2rad.

(a)Obtenhaumaexpressãoparaavelocidadeangulardopião,ω(t),ouseja,escrevaumaexpressãoquedescrevaexplicitamentea

variaçãodavelocidadeangularcomotempo.(Sabemosqueavelocidadeangularvariacomotempo,jáqueexisteumaaceleração

angular.)

IDEIA-CHAVE

Pordefinição,α(t)éaderivadadeω(t)emrelaçãoaotempo.Assim,podemosobterω(t)integrandoα(t)emrelaçãoaotempo.

Cálculos:DeacordocomaEq.10-8,

oquenosdá

ParacalcularovalordaconstantedeintegraçãoC,observamosqueω=5rad/snoinstantet=0.Substituindoessesvaloresna

expressãodeω,obtemos:

5rad/s=0−0+C,

e,portanto,C=5rad/s.Nessecaso,

(b)Obtenhaumaexpressãoparaaposiçãoangulardopião,θ(t).

IDEIA-CHAVE

Pordefinição,ω(t)éaderivadadeθ(t)emrelaçãoaotempo.Assim,podemosobterθ(t)integrandoω(t)emrelaçãoaotempo.

Cálculos:Como,deacordocomaEq.10-6,

dθ=ωdt,

podemosescrever

emqueCʹfoicalculadoparaqueθ=2rademt=0.

AsGrandezasAngularesSãoVetores?Aposição,avelocidadeeaaceleraçãodeumapartículasãonormalmenteexpressaspormeiodevetores.Quandoumapartículasemoveem linha reta,porém,nãoénecessáriousaranotaçãovetorial.Nessascondições, apartículapode semover apenas emdois sentidos, quepodemos indicarusandoos sinaispositivoenegativo.Damesma forma,umcorpo rígidoem rotaçãoem tornodeumeixo fixo sópodegirarnos sentidos

horárioeanti-horárioepodemosindicaressessentidosusandoossinaispositivoenegativo.Aquestãoqueselevantaéaseguinte:“Nocasomaisgeral,podemosexpressarodeslocamento,avelocidadeeaaceleraçãoangulardeumcorporígidoemrotaçãopormeiodevetores?”Arespostaéum“sim”parcial(vejaaressalvaaseguir,emrelaçãoaosdeslocamentosangulares).Velocidades Angulares. Considere a velocidade angular. A Fig. 10-6a mostra um disco de vinil

girandoemumtoca-discos.Odiscotemumavelocidadeangularescalarconstanteω(=331/3rev/min)nosentidohorário.Podemosrepresentaravelocidadeangulardodiscocomoumvetor apontandoaolongodoeixoderotação,comonaFig.10-6b.Aregraéaseguinte:Escolhemosocomprimentodovetorde acordo comumaescala conveniente, como,por exemplo, 1 cmpara cada10 rev/min.Emseguida,determinamososentidodovetor usandoaregradamãodireita,comomostraaFig.10-6c.Envolvaodiscocomamãodireita,comosdedosapontandonosentidoderotação;opolegarestendidomostraosentido do vetor velocidade angular. Se o disco estivesse girando no sentido oposto, a regra damãodireitaindicariaosentidoopostoparaovetorvelocidadeangular.Arepresentaçãodegrandezasangularespormeiodevetoresnãoétãofácildecompreendercomoa

representaçãodegrandezaslineares.Instintivamente,esperamosquealgosemovanadireçãodovetor.Nãoéoqueacontece.Emvezdisso,temosalgo(ocorporígido)quegiraemtornodadireçãodovetor.Nomundo das rotações puras, um vetor define um eixo de rotação, não uma direção de movimento.Mesmo assim, o vetor define corretamente o movimento. Além disso, obedece a todas as regras demanipulaçãodevetoresqueforamdiscutidasnoCapítulo3.Aaceleraçãoangular éoutrovetorqueobedeceàsmesmasregras.

Figura10-6 (a)Umdiscogirandoemtornodeumeixoverticalquepassapelocentrododisco.(b)Avelocidadeangulardodiscopodeserrepresentadaporumvetor quecoincidecomoeixoderotaçãoeapontaparabaixo,comomostraafigura.(c)Estabelecemososentidodovetorvelocidadeangularparabaixopela regradamãodireita.Quandoosdedosdamãodireitaenvolvemodiscoeapontamnosentidodomovimento,opolegarestendidomostraosentidode .

Nestecapítulo,consideramosapenasrotaçõesemtornodeumeixofixo.Nessecaso,nãoprecisamostrabalharcomvetores;podemosrepresentaravelocidadeangularpormeiodeumescalarω,aaceleraçãoangularpormeiodeumescalarα eusaro sinalpositivopara indicaro sentidoanti-horárioeo sinalnegativoparaindicarosentidohorário.DeslocamentosAngulares.Vamosagoraàressalva:Osdeslocamentosangulares(amenosquesejam

muitopequenos)nãopodem ser tratadoscomovetores.Porquenão?Podemoscertamenteatribuiraosdeslocamentosangularesummóduloeumaorientação,comofizemosparaavelocidadeangularnaFig.10-6.Entretanto,paraserrepresentadacomoumvetor,umagrandezatambémprecisaobedeceràsregrasdasomavetorial,umadasquaisdizque,quandosomamosdoisvetores,aordemnaqualosvetoressãosomadoséirrelevante.Odeslocamentoangularnãopassanesseteste.A Fig. 10-7mostra um exemplo. Um livro, inicialmente na horizontal, sofre duas rotações de 90º,

primeiramentenaordemdaFig.10-7aedepoisnaordemdaFig.10-7b.Emboraosdoisdeslocamentosangularessejamiguaisnosdoiscasos,aordemédiferenteeolivroterminacomorientaçõesdiferentes.Eisoutroexemplo:Deixeobraçodireitopenderaolongodocorpo,comapalmadamãovoltadaparadentro.Semgiraropulso,(1)levanteobraçoparaafrenteatéquefiquenahorizontal;(2)movaobraçohorizontalmenteatéqueaponteparaadireita;e(3)deixe-openderaolongodocorpo.Apalmadamãoficarávoltadaparaafrente.Sevocêrepetiramanobra,masinverteraordemdosmovimentos,qualseráa orientação final da palma da mão? Esses exemplos mostram que a soma de dois deslocamentosangularesdependedaordemdessesdeslocamentose,portanto,osdeslocamentosangularesnãopodemservetores.

Figura10-7 (a)Apartirdaposiçãoinicial,noalto,olivrosofreduasrotaçõessucessivasde90º,primeiroemtornodoeixox(horizontal)edepoisemtornodoeixoy(vertical).(b)Olivrosofreasmesmasrotações,naordeminversa.

10-2ROTAÇÃOCOMACELERAÇÃOANGULARCONSTANTE


10.14Nocasodeumaaceleraçãoangularconstante,usarasrelaçõesentreposiçãoangular,deslocamentoangular,velocidadeangular,aceleraçãoangularetempotranscorrido(Tabela10-1).

Ideia-Chave•Arotaçãocomaceleraçãoangularconstante(α=constante)éumcasoespecial importantedomovimentode rotação.Asequaçõesdemovimentoqueseaplicamaessecasosãoasseguintes:

RotaçãocomAceleraçãoAngularConstanteNas translações puras, os movimentos com aceleração linear constante (como, por exemplo, omovimento de um corpo em queda livre) constituem um caso especial importante. Na Tabela 2-1,apresentamosumasériedeequaçõesquesãoválidasapenasparaessetipodemovimento.Nasrotaçõespuras,ocasodaaceleraçãoangularconstantetambéméimportanteepodeserdescrito

usandoumconjuntoanálogodeequações.Nãovamosdemonstrá-las,masnoslimitaremosaescrevê-lasapartir das equações lineares correspondentes, substituindo as grandezas lineares pelas grandezasangularesequivalentes.OresultadoaparecenaTabela10-1,quemostraosdoisconjuntosdeequações(Eqs.2-11e2-15a2-18;10-12a10-16).Comovimos,asEqs.2-11e2-15sãoasequaçõesbásicasparaocasodaaceleraçãolinearconstante;

as outras equações da lista “Translações” podem ser deduzidas a partir dessas equações. Damesmaforma,asEqs.10-12e10-13sãoasequaçõesbásicasparaocasodaaceleraçãoangularconstante,easoutras equações da lista “Rotações” podem ser deduzidas a partir dessas equações. Para resolver umproblemasimplesenvolvendoaceleraçãoangularconstante,quasesempreépossívelusarumadascincoequaçõesdalista“Rotações”.Escolhaumaequaçãoparaaqualaúnicaincógnitasejaavariávelpedidanoproblema.UmplanomelhorémemorizarapenasasEqs.10-12e10-13eresolvê-lascomoumsistemadeequaçõessemprequenecessário.

Teste2Emquatrosituações,umcorpoemrotaçãotemaposiçãoangularθ(t)dadapor(a)θ=3t–4,(b)θ=−5t3+4t2+6,(c)θ=2/t2

–4/te(d)θ=5t2–3.AquaisdessassituaçõesasequaçõesangularesdaTabela10-1seaplicam?

Tabela10-1EquaçõesdeMovimentoparaAceleraçãoLinearConstanteeAceleraçãoAngularConstante

Númeroda

EquaçãoEquaçãoLinear VariávelAusente EquaçãoAngular

Númeroda

Equação

(2-11) v = v0+at x–x0 θ–θ0 ω = ω0+αt (10-12)

(2-15) x–x0 = v0t+ at2 v ω θ–θ0 = ω0t+ αt2 (10-13)

(2-16) v2 = v +2a(x–x0) t t ω2 = ω +2α(θ–θ0) (10-14)

(2-17) x–x0 = (v0+v)t a α θ–θ0 = (ω0+ω)t (10-15)

(2-18) x–x0 = vt– at2 v0 ω0 θ–θ0 = ωt– αt0 (10-16)

Exemplo10.03 Pedradeamolarcomaceleraçãoangularconstante

Umapedradeamolar(Fig.10-8)giracomumaaceleraçãoangularconstanteα=0,35rad/s2.Noinstantet=0,apedratemuma

velocidadeangularω0=−4,6rad/s,eumaretadereferênciatraçadanapedraestánahorizontal,naposiçãoangularθ0=0.

(a)Emqueinstanteapóst=0aretadereferênciaestánaposiçãoangularθ=5,0rev?

IDEIA-CHAVE

Comoaaceleraçãoangularéconstante,podemosusarasequaçõespararotaçõesdaTabela10-1.EscolhemosaEq.10-13,

porqueaúnicavariáveldesconhecidaéotempot.

Cálculos:Substituindovaloresconhecidosefazendoθ0=0eθ=5,0rev=10πrad,obtemos

(Convertemos5,0revpara10πradparamanteracoerênciaentreasunidades.)Resolvendoessaequaçãodosegundograuemt,

obtemos

Aessaaltura,notamosumfatoaparentementeestranho. Inicialmente,apedraestavagirandonosentidonegativoepartiuda

orientaçãoθ = 0. Entretanto, acabamos de calcular que, 32 s depois, a orientação da pedra é positiva, θ = 5,0 rev. O que

aconteceunesseintervaloparaqueapedraassumisseumaorientaçãopositiva?

Figura10-8Umapedradeamolar.Noinstantet=0,aretadereferência(queimaginamosmarcadanapedra)estánahorizontal.

(b)Descrevaarotaçãodapedradeamolarentret=0et=32s.

Descrição:Apedraestáinicialmentegirandonosentidonegativo(osentidodosponteirosdorelógio)comvelocidadeangularω0

=−4,6rad/s,masaaceleraçãoangularαépositiva(osentidocontrárioaodosponteirosdorelógio).Essaoposiçãoinicialentre

ossinaisdavelocidadeangularedaaceleraçãoangularsignificaquearodagiracadavezmaisdevagarnosentidonegativo,para

momentaneamentee,emseguida,passaagirarnosentidopositivo.Depoisquearetadereferênciapassadevoltapelaposição

inicialθ=0,apedradeamolardámais5voltascompletasatéoinstantet=32s.

(c)Emqueinstantetapedradeamolarparamomentaneamente?

Cálculo:Vamosconsultardenovoa tabeladeequaçõesparaaceleraçãoangularconstante.Maisumavez,precisamosdeuma

equação que contenha apenas a incógnita t. Agora, porém, a equação deve conter também a variávelω, para que possamos

igualá-laa0ecalcularovalorcorrespondentedet.Assim,escolhemosaEq.10-12,quenosdá

Exemplo10.04 Rotorcomaceleraçãoangularconstante

Você está operando um Rotor (um brinquedo de parque de diversões com um cilindro giratório vertical), percebe que um

ocupante está ficando aflito, e reduz a velocidade angular do cilindro de 3,40 rad/s para 2,00 rad/s em 20,0 rev, com uma

aceleração angular constante. (O ocupante é obviamentemais um “homemde translação” do que um “homemde rotação”.)

(a)Qualéaaceleraçãoangularconstanteduranteessareduçãodavelocidadeangular?

IDEIA-CHAVE

Comoaaceleraçãoangulardocilindroéconstante,podemosrelacioná-laàvelocidadeangulareaodeslocamentoangularpor

meiodasequaçõesbásicasdaaceleraçãoangularconstante(Eqs.10-12e10-13).

Cálculos:Vamosfazerprimeiroumaanáliserápidaparaversepodemosresolverasequaçõesbásicas.Avelocidadeangularinicial

éθ0=3,40rad/s,odeslocamentoangularéθ−θ0=20,0rev,eavelocidadeangular,nofinaldodeslocamento,éω=2,00

rad/s. Além da aceleração angular α que nos interessa, as duas equações básicas também envolvem o tempo t, no qual não

estamosinteressadosnomomento.

Paraeliminaravariávelt,usamosaEq.10-12paraescrever

quesubstituímosnaEq.10-13paraobter

Explicitandoα,substituindoosvaloresconhecidoseconvertendo20revpara125,7rad,obtemos

(b)Emquantotempoocorreareduçãodevelocidade?

Cálculo:Agoraqueconhecemosα,podemosusaraEq.10-12paraobtert:

10-3RELAÇÕESENTREASVARIÁVEISLINEARESEANGULARES


10.15Nocasodeumcorporígidogirandoemtornodeumeixofixo,conhecerarelaçãoentreasvariáveisangularesdocorpo(posição angular, velocidade angular e aceleração angular) e as variáveis lineares de uma partícula do corpo (posição,velocidadeeaceleração)paraqualquerraiodado.

10.16 Conhecer a diferença entre aceleração tangencial e aceleração radial, e traçar os vetores correspondentes às duasaceleraçõesemumdesenhodeumapartículadeumcorpoqueestejagirandoemtornodeumeixo,tantoparaocasoemqueavelocidadeangularestáaumentandocomoparaocasoemqueavelocidaderadialestádiminuindo.

Ideias-Chave•Umpontodeumcorporígidoemrotação,aumadistânciaperpendicularrdeumeixoderotação,sedeslocaaolongodeumacircunferênciaderaior.Seocorpogiradeumânguloθ,opontodescreveumarcodecomprimentosdadopor

s=θr(ânguloemradianos),

emqueθestáemradianos.•Avelocidadelinear dopontoétangenteàcircunferência;omódulodavelocidadelinearédadopor

v=ωr(ânguloemradianos),

emqueωéavelocidadeangulardocorpo(edoponto)emradianosporsegundo.•Aaceleraçãolinear dopontotemumacomponentetangencialeumacomponenteradial.Acomponentetangencialédadapor

at=αr(ânguloemradianos),

emqueαéaaceleraçãoangulardocorpo(edoponto)emradianosporsegundoaoquadrado.Acomponenteradialédadapor

•Seomovimentocircularéuniforme(ouseja,seaaceleraçãoézero),operíodoTdomovimentodoponto(edocorpo)édadopor

RelaçõesentreasVariáveisLineareseAngularesNo Módulo 4-5, discutimos o movimento circular uniforme, no qual uma partícula se move comvelocidadelinearescalarvconstanteaolongodeumacircunferênciaeemtornodeumeixoderotação.Quandoumcorporígido,comoumcarrossel,giraemtornodeumeixo,cadapartículadocorpodescreveuma circunferência em torno do eixo. Como o corpo é rígido, todas as partículas completam umarevoluçãonomesmointervalodetempo,ouseja,todastêmamesmavelocidadeangularω.Poroutrolado,quantomaisafastadadoeixoestáapartícula,maioréacircunferênciaqueapartícula

percorree,portanto,maioréavelocidade linearescalarv.Vocêpodeperceber issoemumcarrossel.Você gira com a mesma velocidade angularω independentemente da distância a que se encontra docentro, mas sua velocidade linear v aumenta perceptivelmente quando você se afasta do centro docarrossel.Frequentemente, precisamos relacionar as variáveis lineares s,v ea de um ponto particular de um

corpo em rotação às variáveis angulares θ,ω e α do corpo. Os dois conjuntos de variáveis estãorelacionados por meio de r, a distância perpendicular do ponto ao eixo de rotação. Essa distância

perpendicularéadistânciaentreopontoeoeixoderotação,medidaemumaretaperpendicularaoeixo.Étambémoraiordacircunferênciadescritapelopontoemtornodoeixoderotação.

APosição

Seumaretadereferênciadeumcorporígidogiradeumânguloθ,umpontodocorpoaumadistânciardoeixoderotaçãodescreveumarcodecircunferênciadecomprimentos,emquesédadopelaEq.10-1:

Essaéaprimeiradenossasrelaçõesentregrandezaslineareseangulares.Atenção:Oânguloθdevesermedidoemradianos,jáqueaEq.10-17éusadaprecisamenteparadefiniroânguloemradianos.

AVelocidade

DerivandoaEq.10-17emrelaçãoaotempo,comrconstante,obtemos:

Acontecequeds/dtéavelocidadelinearescalar(omódulodavelocidadelinear)dopontoconsiderado,edθ/dtéavelocidadeangularωdocorpoemrotação.Assim,

Atenção:Avelocidadeangularωdeveserexpressaemradianosporunidadedetempo.DeacordocomaEq.10-18,comotodosospontosdocorporígidotêmamesmavelocidadeangularω,

os pontos comvaloresmaiores de r (ou seja,mais distantes do eixode rotação) têmumavelocidadelinearescalarvmaior.AFig.10-9aserveparanoslembrarqueavelocidadelinearésempretangenteàtrajetóriacirculardopontoconsiderado.Seavelocidadeangularωdocorporígidoéconstante,aEq.10-18nosdizqueavelocidadelinearv

dequalquerpontodocorpotambéméconstante.Assim,todosospontosdocorpoestãoemmovimentocircularuniforme.OperíododerevoluçãoTdomovimentodecadapontoedocorporígidocomoumtodoédadopelaEq.4-35:

Essaequaçãonosdizqueotempodeumarevoluçãoéigualàdistância2πrpercorridaemumarevoluçãodividida pela velocidade escalar com a qual a distância é percorrida. Usando a Eq. 10-18 para v ecancelandor,obtemosarelação

Essaequaçãoequivalentenosdizqueotempodeumarevoluçãoéigualaoângulo2πradpercorridoemumarevoluçãodivididopelavelocidadeangularescalarcomaqualoânguloépercorrido.

AAceleração

DerivandoaEq.10-18emrelaçãoaotempo,novamentecomrconstante,obtemos:

Neste ponto, esbarramos em uma complicação. Na Eq. 10-21, dv/dt representa apenas a parte daaceleraçãolinearresponsávelporvariaçõesdomódulovdavelocidade linear .Assimcomo ,essapartedaaceleraçãolinearé tangenteà trajetóriadopontoconsiderado.Elaéchamadadecomponentetangencialatdaaceleraçãolineardopontoeédadapor

emqueα=dω/dt.Atenção:AaceleraçãoangularαdaEq.10-22 deve ser expressa em radianos porunidadedetempoaoquadrado.Além disso, de acordo com a Eq. 4-34, uma partícula (ou ponto) que se move em uma trajetória

circulartemumacomponenteradialdaaceleração linear,ar=v2/r (dirigidaradialmenteparadentro),queéresponsávelporvariaçõesdadireçãodavelocidadelinear .SubstituindoovalordevdadopelaEq.10-18,podemosescreveressacomponentecomo

Figura10-9 Seção transversal do corpo rígido em rotação da Fig. 10-2, visto de cima. Cada ponto do corpo (comoP) descreve umacircunferênciaemtornodoeixoderotação.(a)Avelocidadelinear decadapontoétangenteàcircunferêncianaqualopontosemove.(b)Aaceleraçãolinear dopontopossui(emgeral)duascomponentes:aaceleraçãotangencialateaaceleraçãoradialar.

Assim,comomostraaFig.10-9b,aaceleraçãolineardeumpontoquepertenceaumcorporígidoem

rotaçãopossui,emgeral,duascomponentes.Acomponenteradialar(dadapelaEq.10-23)estápresentesemprequeavelocidadeangulardocorpoédiferentedezero(mesmoquenãohajaaceleraçãoangular)eapontaparaoeixoderotação.Acomponentetangencialat(dadapelaEq.10-22)estápresenteapenasseaaceleraçãoangularédiferentedezeroeapontanadireçãodatangenteàtrajetóriadoponto.

Teste3Umabarataestánabordadeumcarrosselemmovimento.Seavelocidadeangulardosistema(carrossel+barata)éconstante,a

baratapossui(a)umaaceleraçãoradiale(b)umaaceleraçãotangencial?Seωestádiminuindo,abaratapossui(c)umaaceleração

radiale(d)umaaceleraçãotangencial?

Exemplo10.05 ProjetodoAnelGigante,umrotordegrandesproporções

Recebemosamissãodeprojetarumgrandeanelgiratóriohorizontalderaior=33,1m(igualaodaGrandeRodadePequim,a

maiorroda-gigantedomundo).Ospassageirosentrarãoporumaportasituadanaparedeexternadoaneleficarãoencostadosna

paredeinterna(Fig.10-10a).Decidimosque,nointervalodet=0at=2,30s,aposiçãoangularθ(t)deumaretadereferência

doanelserádadapor

comc=6,39×10−2rad/s3.Apósoinstantet=2,30s,avelocidadeangularserámantidaenquantoduraropasseio.Depoisqueo

anelatingiravelocidadeangularmáxima,opisodoanelserábaixado,masospassageirospermanecerãonomesmolugar,como

seestivessemcoladosnaparedeinternadoanel.Determine,paraoinstantet=2,30s,avelocidadeangularω,avelocidadelinear

v,aaceleraçãoangularα,aaceleraçãotangencialat,aaceleraçãoradialareaaceleração dospassageiros.

IDEIAS-CHAVE

(1) A velocidade angularω é dada pela Eq. 10-6 (ω = dθ/dt). (2) A velocidade linear v (ao longo da circunferência) está

relacionadaàvelocidadeangular(emtornodoeixoderotação)pormeiodaEq.10-18(v=ωr).(3)Aaceleraçãoangularαédada

pelaEq.10-8(α=dω/dt).(4)Aaceleraçãotangencialat(aolongodacircunferência)estárelacionadaàaceleraçãoangularα(em

tornodoeixoderotação)pormeiodaEq.10-22(at=αr).(5)Aaceleraçãoradialar(emdireçãoaocentroderotação)édadapela

Eq.10-23(ar=ω2r).(6)Aaceleraçãotangencialeaaceleraçãoradialsãoascomponentes(mutuamenteperpendiculares)dovetor

aceleração .

Figura10-10(a)VistasuperiordeumpassageiroprontoparaumpasseionoRotor.(b)Ascomponentesradialetangencialdo

vetoraceleração.

Cálculos:Oprimeiropassoéobteravelocidadeangular,calculandoaderivadaemrelaçãoaotempodafunçãoposiçãoangulare

fazendot=2,20s:

DeacordocomaEq.10-18,avelocidadelinearé

Embora seja elevada (mais de 100 km/h), essa velocidade é comum nos brinquedos dos parques de diversões e não causa

desconforto porque, como já foi mencionado no Capítulo2, o corpo humano é sensível à aceleração, mas não é sensível à

velocidade(ouseja,comporta-secomoumacelerômetro,nãocomoumvelocímetro).DeacordocomaEq.10-26,avelocidade

linearaumentacomoquadradodotempo(masesseaumentodeixadeexistiremt=2,30s).

VamosagoraobteraaceleraçãoangularcalculandoaderivadadaEq.10-25:

DeacordocomaEq.10-22,aaceleraçãotangencialé

ou2,8g (o que não é doloroso,mas chega a incomodar). De acordo coma Eq. 10-27, a aceleração nesse instante ainda está

aumentando(masvaideixardeaumentarapartirdoinstantet=2,30s).AaceleraçãoradialédadapelaEq.10-23,

ar=ω2r.

Substituindoωpeloseuvalor,dadopelaEq.10-25,obtemos:

ou2,9g(ligeiramentemaiorqueaaceleraçãotangencial).

Asaceleraçõesradialetangencialsãomutuamenteperpendiculareseconstituemascomponentesdovetorvelocidade dos

passageiros(Fig.10-10b).Omódulode édadopor

ou4,1g(oquechegaaassustar!).Todosessesvaloressãoseguros.

Paradeterminaraorientaçãode ,bastacalcularoânguloθmostradonaFig.10-10b:

Emvezdesubstituiratearporvaloresnuméricos,vamosusarasexpressõesdasEqs.10-27e10-28,oquenosdá

Avantagemdeobtermosumaexpressãogeralparaoânguloéqueissonospermiteconstatarqueoângulo(1)nãodependedo

raiodoanele(2)diminuienquantotaumentade0a2,20s.Emoutraspalavras,ovetor giranadireçãodocentroderotação

porqueaaceleraçãoradial(queéproporcionalat4)aumentamuitomaisdepressaqueaaceleraçãotangencial(queéproporcional

at).Parat=2,20s,temos:

10-4ENERGIACINÉTICADEROTAÇÃO


10.17Calcularomomentodeinérciadeumapartículaemrelaçãoaumponto.

10.18Calcularomomentodeinérciatotaldeváriaspartículasquegiramemtornodomesmoeixofixo.

10.19Calcularaenergiacinéticaderotaçãodeumcorpoapartirdomomentodeinérciaedavelocidadeangular.

Ideia-Chave•AenergiacinéticaKdeumcorporígidoquegiraemtornodeumeixofixoédadapor

emqueIéomomentodeinérciadocorpo,definidopormeiodaequação

paraumsistemadepartículas.

EnergiaCinéticadeRotaçãoQuandoestágirando,odiscodeumaserraelétricacertamentepossuiumaenergiacinéticaassociadaàrotação.Comoexpressaressaenergia?NãopodemosaplicarafórmulaconvencionalK= mv2aodiscocomoumtodo,poisissonosdariaapenasaenergiacinéticadocentrodemassadodisco,queézero.Emvezdisso,vamostratarodisco(equalqueroutrocorporígidoemrotação)comoumconjuntode

partículascomdiferentesvelocidadesesomaraenergiacinéticadessaspartículasparaobteraenergiacinéticadocorpocomoumtodo.Segundoesseraciocínio,aenergiacinéticadeumcorpoemrotaçãoédadapor

emquemiéamassadapartículadeordemieviéavelocidadedapartícula.Asomaseestendeatodasaspartículasdocorpo.OproblemadaEq.10-31 é que vi não é igual para todas as partículas.Resolvemos este problema

substituindovpeloseuvalor,dadopelaEq.10-8(v=ωr),oquenosdá

emqueωéigualparatodasaspartículas.AgrandezaentreparêntesesnoladodireitodaEq.10-32dependedaformacomoamassadocorpo

está distribuída em relação ao eixo de rotação.Chamamos essa grandeza demomento de inércia docorpoemrelaçãoaoeixoderotação.Omomentodeinércia,representadopelaletraI,dependedocorpoedoeixoemtornodoqualestásendoexecutadaarotação.(Atenção:OvalordeIparaumcorposófazsentidoquandoéespecificadooeixoderotaçãoemrelaçãoaoqualomomentodeinérciafoicalculado.)Podemosagoraescrever

esubstituirnaEq.10-32,obtendo

comoaexpressãoqueprocuramos.Comousamosa relaçãov=ωrnadeduçãodaEq.10-34,ω deveestarexpressaemradianosporunidadedetempo.AunidadedeIdoSIéoquilograma-metroquadrado(kg·m2).OPlano. Se temos algumas partículas e um eixo de rotação conhecido, calculamosmr2 para cada

partículae somamosos resultados, comonaEq.10-33, para obter omomentode inércia total I. Paracalcularaenergiacinéticaderotação,substituímosessevalordeInaEq.10-34.Esseéoplanonocasodeumnúmerorelativamentepequenodepartículas.Suponha,porém,quesetratedeumcorpo,comoumabarra de ferro, com um número muito grande de partículas. No próximomódulo, vamos ver como épossíveltratarocasodecorpossólidoseexecutarocálculoempoucosminutos.A Eq. 10-34, que permite calcular a energia cinética de um corpo rígido em rotação pura, é a

equivalenteangulardaexpressão ,usadaparacalcularaenergiacinéticadeumcorporígidoemtranslaçãopura.Asduasexpressõesenvolvemumfatorde .EnquantoamassaMapareceemumadasequações,I(queenvolvetantoamassaquantoadistribuiçãodemassa)aparecenaoutra.Finalmente,cada equação contém como fator o quadrado de uma velocidade, de translação ou de rotação,dependendodocaso.Asenergiascinéticasdetranslaçãoederotaçãonãosãotiposdiferentesdeenergia:ambassãoenergiascinéticas,expressasnaformaapropriadaaomovimentoemquestão.Observamosanteriormentequeomomentodeinérciadeumcorpoemrotaçãonãoenvolveapenasa

massadocorpo,mas tambéma formacomoamassaestádistribuída.Aquiestáumexemploquevocêpodeliteralmentesentir.Façagirarumabarracompridaerelativamentepesada(umabarradeferro,porexemplo),primeiroemtornodoeixocentral(longitudinal)(Fig.10-11a)edepoisemtornodeumeixoperpendicularàbarrapassandopelocentro(Fig.10-11b).Asduasrotaçõesenvolvemamesmamassa,masémuitomaisfácilexecutaraprimeirarotaçãoqueasegunda.Arazãoéqueosátomosdabarraestãomuitomaispróximosdoeixonaprimeira rotação.Emconsequência,omomentode inérciadabarraémuitomenornasituaçãodaFig.10-11aquenadaFig.10-11b.Quantomenoromomentodeinércia,maisfáciléexecutarumarotação.

Figura10-11 Émuitomaisfácilfazergirarumabarracompridaemtorno(a)doeixocentral(longitudinal)doque(b)deumeixopassandopelocentroeperpendicularàmaiordimensãodabarra.Arazãoparaadiferençaéqueasmassasdosátomosdabarraestãomaispróximasdoeixoderotaçãoem(a)doqueem(b).

Teste4Afiguramostratrêspequenasesferasquegiramemtornodeumeixovertical.Adistânciaperpendicularentreoeixoeocentrode

cadaesferaédada.Ordeneastrêsesferasdeacordocomomomentodeinérciaemtornodoeixo,começandopelomaior.

10-5CÁLCULODOMOMENTODEINÉRCIA


10.20CalcularomomentodeinérciadeumdoscorposqueaparecemnaTabela10-2.

10.21Calcularomomentodeinérciadeumcorpoporintegraçãoapartirdoselementosdemassadocorpo.

10.22Aplicaroteoremadoseixosparalelosnocasodeumeixoderotaçãoquenãopassapelocentrodemassadocorpo.

Ideias-Chave•Iéomomentodeinérciadeumcorpo,definidocomo

paraumconjuntodepartículasisoladasecomo

para um corpo com uma distribuição contínua demassa. Os símbolos ri e r nessas expressões representam a distânciaperpendicularentreoeixoderotaçãoeumapartículaouumelementodemassadocorpo,e,nocasode r,a integraçãoseestendeatodososelementosdemassadocorpo.•OteoremadoseixosparalelosrelacionaomomentodeinérciaIdeumcorpoemrelaçãoaumeixoqualqueraomomentodeinérciadomesmocorpoemrelaçãoaumeixoparaleloaoprimeiroquepassapelocentrodemassa:

I=ICM+Mh2.

Aqui,héadistânciaperpendicularentreosdoiseixos,eICMéomomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixoquepassapelocentrodemassa.Podemosdizerquehéumamedidadodeslocamentodoeixoderotaçãoemrelaçãoaoeixoquepassapelocentrodemassa.

CálculodoMomentodeInérciaSeumcorporígidocontémumnúmeropequenodepartículas,podemoscalcularomomentodeinérciaemtornodeumeixoderotaçãousandoaEq.10-33(I=∑miri2),ouseja,podemoscalcularoprodutomr2

para cada partícula e somar os produtos. (Lembre-se de que r é a distância perpendicular de umapartículaaoeixoderotação.)Quandoumcorporígidocontémumnúmeromuitograndedepartículasmuitopróximasumasdasoutras

(é contínuo, como um disco de plástico), usar a Eq. 10-33 torna-se impraticável. Em vez disso,substituímososomatóriodaEq.10-33porumaintegraledefinimosomomentodeinérciadocorpocomo

ATabela10-2mostraoresultadodessaintegraçãoparanoveformasgeométricascomunseparaoseixosderotaçãoindicados.

TeoremadosEixosParalelos

SuponhaqueestamosinteressadosemdeterminaromomentodeinérciaIdeumcorpodemassaMemrelaçãoaumeixodado.Emprincípio,podemoscalcularovalorde Iusandoa integraldaEq. 10-35.Contudo,oproblemaficamaisfácilseconhecemosomomentodeinérciaICMdocorpoemrelaçãoaumeixoparaleloaoeixodesejado,passandopelocentrodemassa.Sejahadistânciaperpendicularentreoeixodadoeoeixoquepassapelocentrodemassa(lembre-sedequeosdoiseixosdevemserparalelos).Nessecaso,omomentodeinérciaIemrelaçãoaoeixodadoé

Podemosdizerquehéumamedidadodeslocamentodoeixoderotaçãoemrelaçãoaoeixoquepassapelocentrodemassa.AEq.10-36,conhecidacomoteoremadoseixosparalelos, serádemonstradaaseguir.

Tabela10-2AlgunsMomentosdeInércia

DemonstraçãodoTeoremadosEixosParalelos

SejaOocentrodemassadeumcorpodeformaarbitráriacujaseçãoretaaparecenaFig.10-12.EscolhaopontoOparaorigemdosistemadecoordenadas.ConsidereumeixopassandoporOeperpendicularaoplano do papel e outro eixo passando pelo ponto P e paralelo ao primeiro eixo. Suponha que ascoordenadasxeydopontoPsejamaeb,respectivamente.Sejadm um elemento de massa de coordenadas genéricas x e y. De acordo com a Eq. 10-35, o

momentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixoquepassaporPédadopor

quepodeserescritanaforma

Deacordocomadefiniçãodecentrodemassa(Eq.9-9),asduasintegraisdomeiodaEq.10-37sãoascoordenadasdocentrodemassa(multiplicadasporconstantes)e,portanto,devemsernulas.Comox2+y2=R2,emqueRéadistânciadeOadm,aprimeiraintegralésimplesmenteICM,omomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaumeixopassandopelocentrodemassa.ObservandoaFig.10-12,vemosqueoúltimotermodaEq.10-37éMh2,emqueMéamassatotaldocorpo.Assim,aEq.10-37sereduzàEq.10-36,queéarelaçãoquequeríamosdemonstrar.

Figura10-12 Seçãotransversaldeumcorporígido,comocentrodemassaemO.Oteoremadoseixosparalelos(Eq.10-36)relacionaomomento de inércia do corpo em relação a um eixo passando porO aomomento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiropassandoporumpontoPsituadoaumadistânciahdocentrodemassa.Osdoiseixossãoperpendicularesaoplanodafigura.

Teste5A figuramostra um livro e quatro eixos de rotação, todos perpendiculares à capado livro.Ordeneos eixos de acordo como

momentodeinérciadoobjetoemrelaçãoaoeixo,começandopelomaior.

Exemplo10.06 Momentodeinérciadeumsistemadeduaspartículas

AFig.10-13amostraumcorporígidocompostoporduaspartículasdemassamligadasporumabarradecomprimentoLemassa

desprezível.

(a)QualéomomentodeinérciaICMemrelaçãoaumeixopassandopelocentrodemassaeperpendicularàbarra,comomostraa

figura?

IDEIA-CHAVE

Comotemosapenasduaspartículascommassa,podemoscalcularomomentodeinérciaICMdocorpousandoaEq.10-33.

Cálculos:Paraasduaspartículas,ambasaumadistânciaperpendicularL/2doeixoderotação,temos:

(b)Qualéomomentode inércia Idocorpoemrelaçãoaumeixopassandopelaextremidadeesquerdadabarraeparaleloao

primeiroeixo(Fig.10-13b)?

IDEIAS-CHAVE

EssasituaçãoétãosimplesquepodemosdeterminarIusandoduastécnicas.Aprimeiraésemelhanteàquefoiusadanoitem(a).

Aoutra,maisgeral,envolveousodoteoremadoseixosparalelos.

Primeira técnica: Calculamos I como no item (a), exceto pelo fato de que, agora, a distância perpendicular ri é zero para a

partículadaesquerdaeLparaapartículadadireita.DeacordocomaEq.10-33,

Segundatécnica:ComojáconhecemosICM,omomentodeinérciaemrelaçãoaumeixoquepassapelocentrodemassa,ecomo

oeixoespecificadoéparaleloaesse“eixodoCM”,podemosusaroteoremadoseixosparalelos(Eq.10-36).Temos

Figura10-13Umcorporígidocompostoporduaspartículasdemassamunidasporumabarrademassadesprezível.

Exemplo10.07 Momentodeinérciadeumabarrahomogênea,calculadoporintegração

AFig.10-14mostraumabarrafina,homogênea,demassaMecomprimentoL,eumeixoxaolongodabarracujaorigemcoincide

comocentrodabarra.

(a)Qualéomomentodeinérciadabarraemrelaçãoaumeixoperpendicularàbarrapassandopelocentro?

IDEIAS-CHAVE

(1)Abarraéformadaporumnúmeromuitograndedepartículas,aumnúmeromuitograndededistânciasdiferentesdoeixode

rotação.Certamentenãopodemoscalcularomomentode inérciade cadaumadessaspartículase somaros resultados.Oque

fazemoséescreverumaexpressãogeralparaomomentodeinérciadeumelementodemassadmsituadoaumadistânciar do

eixoderotação:r2dm.(2)Emseguida,somamososmomentosdeinérciadetodososelementosdemassadabarraintegrandoa

expressão(emvezdesomaroselementosumaum).Paraisso,usamosaEq.10-35:

(3)Comoabarraéhomogêneaeoeixoderotaçãoestánocentro,ocentrodemassacoincidecomocentrogeométrico.Assim,o

momentodeinérciapedidoéICM.

Cálculos: Como queremos integrar em relação à coordenada x e não em relação àmassam, como na integral da Eq. 10-38,

devemosrelacionaramassadmdeumelementodabarraaumelementodedistânciadxaolongodabarra.(Umdesseselementos

émostradonaFig.10-14.)Comoabarraéhomogênea,arazãoentremassaecomprimentoéamesmaparatodososelementose

paraabarracomoumtodo,demodoquepodemosescrever

PodemosagorasubstituirdmporessevalorerporxnaEq.10-38.Emseguida,integramosdeumaextremidadeaoutradabarra

(dex=−L/2ax=L/2)paralevaremcontatodososelementos.Temos:

(b)QualéomomentodeinérciaIdabarraemrelaçãoaumnovoeixoperpendicularàbarrapassandopelaextremidadeesquerda?

IDEIAS-CHAVE

PoderíamoscalcularImudandoaorigemdoeixoxparaaextremidadeesquerdadabarraeintegrandodex=0ax=L.Entretanto,

vamosusarumatécnicamaisgeral(emaissimples),queenvolveousodoteoremadoseixosparalelos(Eq.10-36).

Cálculos:Colocandooeixonaextremidadeesquerdadabarraemantendo-oparaleloaoeixoquepassapelocentrodemassa,

podemosusaroteoremadoseixosparalelos(Eq.10-36).Deacordocomoitem(a),ICM=ML2/12.ComomostraaFig.10-14, a

distânciaperpendicularhentreonovoeixoderotaçãoeocentrodemassaéL/2.SubstituindoessesvaloresnaEq.10-36,temos:

Naverdade,omesmoresultadoéobtidoparaqualquereixoperpendicularàbarrapassandopelaextremidadeesquerdaoudireita,

sejaounãoparaleloaoeixodaFig.10-14.

Figura 10-14 Uma barra homogênea de comprimento L e massa M. Um elemento de massa dm e comprimento dx está

representadonafigura.

Exemplo10.08 Energiacinéticaderotaçãoemumtesteexplosivo

Aspeçasdemáquinasqueserãosubmetidasconstantementearotaçõesemaltavelocidadecostumamsertestadasemumsistema

deensaioderotação.Nessetipodesistema,apeçaépostaparagirarrapidamentenointeriordeumamontagemcilíndricade

tijolosdechumbocomumrevestimentodecontenção,tudoissodentrodeumacâmaradeaçofechadaporumatampalacrada.Se

a rotação faz a peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, sendomacios, capturam os fragmentos para serem posteriormente

analisados.

Em1985,aempresaTestDevices, Inc.(www.testdevices.com)estavatestandoumrotordeaçomaciço,emformadedisco,

commassaM=272kgeraioR=38,0cm.Quandoapeçaatingiuumavelocidadeangularωde14.000rev/min,osengenheiros

querealizavamoensaioouviramumruídoseconacâmara,queficavaumandarabaixoeaumasaladedistância.Nainvestigação,

descobriramquetijolosdechumbohaviamsidolançadosnocorredorquelevavaàsaladetestes,umadasportasdasalahavia

sidoarremessadanoestacionamentodo ladodeforadoprédio,umtijolodechumbohaviaatravessadoaparedee invadidoa

cozinhadeumvizinho,asvigasestruturaisdoedifíciodotestetinhamsidodanificadas,ochãodeconcretoabaixodacâmarade

ensaioshaviaafundadocercade0,5cmeatampade900kgtinhasido lançadaparacima,atravessaraotetoecaíradevolta,

destruindooequipamentodeensaio(Fig.10-15).Os fragmentosdaexplosãosónãopenetraramnasaladosengenheirospor

purasorte.

Qualfoiaenergialiberadapelaexplosãodorotor?

IDEIA-CHAVE

http://www.testdevices.com

AenergialiberadafoiigualàenergiacinéticaderotaçãoKdorotornomomentoemqueavelocidadeangularera14.000rev/min.

CourtesyTestDevices,Inc.

Figura10-15Partedadestruiçãocausadapelaexplosãodeumdiscodeaçoemaltarotação.

Cálculos:PodemoscalcularKusandoaEq.10-34(K= Iω2),mas,paraisso,precisamosconheceromomentodeinérciaI.Como

orotoreraumdiscoquegiravacomoumcarrossel,IédadopelaexpressãoapropriadadaTabela10-2c(I= MR2).Assim,temos:

Avelocidadeangulardorotorera

PodemosusaraEq.10-34paraescrever

10-6TORQUE


10.23Saberqueotorqueaplicadoaumcorpodependedeumaforçaedeumvetorposição,queligaumeixoderotaçãoaopontoondeaforçaéaplicada.

10.24Calcularotorqueusando(a)oânguloentreovetorposiçãoeovetorforça,(b)alinhadeaçãoeobraçodealavancadaforçae(c)acomponentedaforçaperpendicularaovetorposição.

10.25Saberque,paracalcularumtorque,éprecisoconheceroeixoderotação.

10.26Saberqueumtorquepodeserpositivoounegativo,dependendodosentidodarotaçãoqueocorpotendeasofrersobaaçãodotorque:“osrelógiossãonegativos”.

10.27Calcularotorqueresultantequandoumcorpoestásubmetidoamaisdeumtorque.

Ideias-Chave•Otorqueéumatendênciaderotaçãooutorçãoemtornodeumeixoqueumcorposofrequandoésubmetidoaumaforça .Seaforça éaplicadaemumpontodadoporumvetorposição emrelaçãoaoeixo,omódulodotorqueé

τ=rFt=r⊥F=rFsenϕ,

emqueFtéacomponentede perpendiculara eϕéoânguloentre e .Agrandezar⊥éadistânciaperpendicularentreoeixoderotaçãoeumaretaquepassapelovetor .Essaretaéchamadadelinhadeaçãode ,er⊥échamadadebraçodealavancade .Damesmaforma,réobraçodealavancadeFt.

•AunidadedetorquedoSIéonewton-metro(N·m).Umtorqueτépositivo,setendeafazerumcorpoemrepousogirarnosentidoanti-horário,enegativosetendeafazerocorpogirarnosentidohorário.

TorqueAmaçanetadeumaportaficaomaislongepossíveldasdobradiçasporumaboarazão.Éclaroque,paraabrirumaportapesada,éprecisofazerumacertaforça,masissonãoétudo.Opontodeaplicaçãoeadireção da força também são importantes. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que amaçaneta,oucomumângulodiferentede90ºemrelaçãoaoplanodaporta,seráprecisousarumaforçamaior para abrir a porta do que se a força for aplicada àmaçaneta, perpendicularmente ao plano daporta.AFig.10-16amostraaseçãoretadeumcorpoqueestálivreparagiraremtornodeumeixopassando

porOeperpendicularàseçãoreta.Umaforça éaplicadanopontoP,cujaposiçãoemrelaçãoaOédefinidaporumvetorposição .Oânguloentreosvetores e éϕ. (Parasimplificar,consideramosapenasforçasquenãotêmcomponentesparalelasaoeixoderotação;issosignificaque estánoplanodopapel.)Paradeterminaromodocomo provocaumarotaçãodocorpoemtornodoeixoderotação,podemos

separaraforçaemduascomponentes(Fig.10-16b).Umadessascomponentes,acomponenteradialFr,temadireçãode .Essacomponentenãoprovocarotações,jáqueageaolongodeumaretaquepassaporO.(Sevocêpuxarouempurrarumaportaparalelamenteaoplanodaporta,aportanãovaigirar.)Aoutracomponentede ,acomponentetangencialFt,éperpendiculara etemummóduloFt=Fsenϕ.Essacomponenteprovocarotações.(Sevocêpuxarouempurrarumaportaperpendicularmenteaoplanodaporta,aportavaigirar.)CálculodoTorque.Acapacidadede de fazerumcorpogirarnãodependeapenasdomóduloda

componentetangencialFt,mastambémdadistânciaentreopontodeaplicaçãode eopontoO.Paralevaremcontaosdoisfatores,definimosumagrandezachamadadetorque(τ)comooprodutodeambos:

Duasformasequivalentesdecalcularotorquesão

emquer⊥éadistânciaperpendicularentreoeixoderotaçãoquepassaporOeumaretaquecoincidecomadireçãodovetor (Fig.10-16c).Essaretaéchamadadelinhadeaçãode ,er⊥éobraçodealavanca de . A Fig. 10-16b mostra que podemos descrever r, o módulo de , como o braço dealavancadeFt,acomponentetangencialde .O torque, cujo nome vem de uma palavra em latim que significa “torcer”, pode ser descrito

coloquialmentecomoaaçãodegiraroutorcerdeumaforça .Quandoaplicamosumaforçaaumobjetocomumachavedefendaouumachavedegrifacomoobjetivodefazeroobjetogirar,estamosaplicandoumtorque.AunidadedetorquedoSIéonewton-metro(N·m).Atenção:NoSI,otrabalhotambémtemdimensõesdenewton-metro.Torqueetrabalho,contudo,sãograndezasmuitodiferentes,quenãodevemserconfundidas.Otrabalhoénormalmenteexpressoemjoules(1J=1N·m),masissonuncaacontececomotorque.OsRelógiosSãoNegativos.Nopróximocapítulodiscutiremosotorquecomoumagrandezavetorial.

Nomomento,porém,comovamosconsiderarrotaçõesemtornodeumúnicoeixo,nãoprecisamosusaranotação vetorial. Em vez disso, atribuímos ao torque um valor positivo ou negativo, dependendo dosentidodarotaçãoqueimprimiriaaumcorpoinicialmenteemrepouso.Seotorquefazocorpogirarnosentido anti-horário, o torque é positivo.Se o torque faz o corpogirar no sentido horário, o torque énegativo.(Afrase“osrelógiossãonegativos”,doMódulo10-1,tambémseaplicanestecaso.)

Figura10-16 Uma força age sobre um corpo rígido com um eixo de rotação perpendicular ao plano do papel. O torque pode sercalculadoapartir(a)doânguloϕ,(b)dacomponentetangencialdaforça,Ft,(c)dobraçodealavanca,r⊥.

OtorqueobedeceaoprincípiodesuperposiçãoquediscutimosnoCapítulo5paraocasodasforças:Quando vários torques atuam sobre um corpo, o torque total (ou torque resultante) é a soma dostorques.Osímbolodetorqueresultanteéτres.

Teste6Afiguramostraavistasuperiordeumaréguadeummetroquepodegiraremtornodeumeixosituadonaposição20(20cm).As

cincoforçasaplicadasàréguasãohorizontaisetêmomesmomódulo.Ordeneasforçasdeacordocomomódulodotorqueque

produzem,domaiorparaomenor.

10-7ASEGUNDALEIDENEWTONPARAROTAÇÕES


10.28Saberqueasegunda leideNewtonpara rotações relacionao torque resultanteaplicadoaumcorpoaomomentodeinérciaeàaceleraçãoangulardocorpo;todasessasgrandezascalculadasemrelaçãoaumdadoeixoderotação.

Ideias-Chave•AsegundaleideNewtonpararotaçõesé

τres=Iα,

emqueτreséotorqueresultantequeagesobreumapartículaouumcorporígido,Iéomomentodeinérciadapartículaoudocorpoeαéaaceleraçãoangularproduzidapelotorque.

ASegundaLeideNewtonparaRotaçõesUmtorquepodefazerumcorporígidogirar,comoacontece,porexemplo,quandoabrimosoufechamosumaporta.Nomomento,estamosinteressadosemrelacionarotorqueresultanteτresaplicadoaumcorporígidoàaceleraçãoangularα produzidapelo torque.Fazemos issoporanalogiacoma segunda leide

Newton(Fres=ma)paraaaceleraçãoadeumcorpodemassamproduzidaporumaforçaresultanteFres

emumadadadireção.SubstituindoFresporτres,mporIeaporα,obtemosaseguinteequação:


VamosdemonstraraEq.10-42considerandoasituaçãosimplesqueestámostradanaFig.10-17,emqueo corpo rígido é constituído por uma partícula de massam na extremidade de uma barra, de massadesprezível, de comprimento r. A barra pode se mover apenas girando em torno de um eixo,perpendicular ao plano do papel, que passa pela outra extremidade da barra. Isso significa que apartículadescreveumatrajetóriacircularcomocentronoeixoderotação.Uma força age sobre a partícula. Como, porém, a partícula só pode semover ao longo de uma

trajetóriacircular,apenasacomponentetangencialFtdaforça(acomponentequeétangenteàtrajetóriacircular)podeacelerarapartículaaolongodatrajetória.PodemosrelacionarFtàaceleraçãotangencialatdapartículaaolongodatrajetóriapormeiodasegundaleideNewton,escrevendo

Ft=mat.

DeacordocomaEq.10-40,otorquequeagesobreapartículaédadopor

τ=Ftr=matr.

DeacordocomaEq.10-22(at=αr),temos:

Figura10-17 Umcorporígidosimples, livreparagiraremtornodeumeixoquepassaporO,é formadoporumapartículademassampresanaextremidadedeumabarradecomprimentoremassadesprezível.Aaplicaçãodeumaforça fazocorpogirar.

Agrandezaentreparêntesesdoladodireitoéomomentodeinérciadapartículaemrelaçãoaoeixoderotação(vejaaEq.10-33,aplicadaaumaúnicapartícula).Assim,aEq.10-43sereduza

emqueIéomomentodeinércia.Seapartículaestiversubmetidaaváriasforças,podemosgeneralizaraEq.10-44escrevendo

que é a equação que queríamos demonstrar. Podemos aplicar essa equação a qualquer corpo rígidogirando em tornode umeixo fixo, umavez que qualquer corpopode ser consideradoumconjunto departículas.

Teste7Afiguramostraavistasuperiordeumaréguadeummetroquepodegiraremtornodopontoindicado,queestáàesquerdado

pontomédiodarégua.Duasforçashorizontais, 1e 2,sãoaplicadasàrégua.Apenas 1émostradanafigura.Aforça 2 é

perpendicularàréguaeéaplicadaàextremidadedireita.Paraquearéguanãosemova,(a)qualdeveserosentidode 2?(b)F2

devesermaior,menorouigualaF1?

Exemplo10.09 AnálisedeumgolpedejudôusandoasegundaleideNewtonpararotações

Paraderrubarumadversáriode80kgcomumippon,vocêprecisapuxaroquimonodelecomumaforça eumbraçodealavanca

d1=0,30memrelaçãoaumcentroderotaçãosituadonoseuquadrildireito(Fig.10-18).Vocêquerqueoadversáriogireem

tornodocentroderotaçãocomumaaceleraçãoangularα=−6,0rad/s2,ouseja,umaaceleraçãoangularque,nafigura,éno

sentidodosponteirosdorelógio.SuponhaqueomomentodeinérciaIemrelaçãoaocentroderotaçãoé15kg·m2.

(a)Qualdeveseromódulode ,se,antesdeaplicarogolpe,vocêinclinaocorpodoadversárioparaafrente,fazendocomqueo

centrodemassadocorpodeleseaproximedoseuquadril(Fig.10-18a)?

IDEIA-CHAVE

PodemosusarasegundaleideNewtonpararotações(τres=Iα)pararelacionaraforça àaceleraçãoangularα.

Cálculos: Quandoospésdo seuadversárioperdemcontato como tatame,podemos suporqueele está sujeito apenas a três

forças:a força comaqualvocêestápuxandooquimonodele,a forçade reação doseuquadril (quenãoémostradana

figura)eaforçagravitacional g.Paraaplicaraequaçãoτres=Iα,precisamoscalcularostrêstorquescorrespondentes,todosem

relaçãoaocentroderotação.

DeacordocomaEq.10-41(τ=r⊥F),otorqueproduzidopelaforça éiguala−d1F,emqued1éobraçodealavancar⊥eo

sinalindicaqueotorquetendeaproduzirumarotaçãonosentidohorário.Otorqueproduzidopelaforça ézero,jáquealinha

deaçãode passapelocentroderotaçãoe,portanto,nessecaso, g=0.

Figura10-18Umgolpedejudô(a)bemexecutadoe(b)malexecutado.

Paracalcularotorqueproduzidopelaforça g,podemossuporque gestáaplicadaaocentrodemassadoseuadversário.

Comocentrodemassacoincidindocomocentroderotação,obraçodealavancar⊥de gézeroe,portanto,otorqueproduzido

por gézero.Assim,oúnicotorqueaqueoseuadversárioestásujeitoéoproduzidopelaforça doseupuxão,eaequaçãoτres=Iαsetorna

−d1F=Iα.

ExplicitandoF,obtemos

(b)Qualdeveseromódulode ,seoseuadversáriopermanecereretoeobraçodealavancade gford2=0,12m(Fig.10-18b)?

IDEIA-CHAVE

Como,nessecaso,obraçodealavancade gnãoézero,aforça gproduzumtorqueigualad2mg,queépositivo,poistendea

produzirumarotaçãonosentidoanti-horário.

Cálculos:Otorqueresultanteé

−d1F+d2mg=Iα,

quenosdá

De acordo com o resultado do item (a), o primeiro termo do lado direito é igual a 300 N. Substituindo os outros valores

conhecidos,obtemos

O resultadomostra que agora você tem que fazermuitomais força do que se o centro de gravidade do adversário estivesse

próximodoseuquadril.Osbonslutadoresdejudôsabemaplicarcorretamenteessegolpe.Naverdade,todososgolpesdasartes

marciais,queforamaperfeiçoadosempiricamenteaolongodeséculos,podemserexplicadosàluzdosprincípiosdafísica.

Exemplo10.10 SegundaleideNewton,rotação,torque,disco

AFig.10-19amostraumdiscohomogêneo,demassaM=2,5kgeraioR=20cm,montadoemumeixohorizontalfixo.Um

bloco demassam= 1,2 kg está pendurado por uma corda, demassa desprezível, enrolada na borda do disco. Determine a

aceleraçãodobloco emqueda, a traçãoda corda e a aceleração angular dodisco. A cordanão escorrega e o atrito no eixo é

desprezível.

IDEIAS-CHAVE

(1)Considerandooblococomoumsistema,podemosrelacionaraaceleraçãoaàs forçasqueagemsobreoblocopormeioda

segundaleideNewton( res=m ).(2)Considerandoodiscocomoumsistema,podemosrelacionaraaceleraçãoangularα ao

torquequeagesobreodiscopormeiodasegundaleideNewtonpararotações(τres=Iα).(3)Paracombinarosmovimentosdo

blocoedodisco,usamosofatodequeaaceleraçãolinearadoblocoeaaceleraçãolinear(tangencial)atdabordadodiscosão

iguais.(Paranãofazerconfusãocomossinais,vamostrabalharcomomódulodasaceleraçõesesinaisalgébricosexplícitos.)

Forçasqueagemsobreobloco:Essasforçasestãorepresentadasnodiagramadecorpolivredobloco(Fig.10-19b):aforçada

cordaé eaforçagravitacionalé g,demódulomg.AplicandoasegundaleideNewtonàscomponentesaolongodeumeixo

verticaly(Fres,y=may),obtemosaseguinteequação:

emquea éomódulodaaceleração (queapontano sentidonegativodoeixoy). Entretanto,nãopodemosobtero valordea

usandoapenasessaequaçãoporqueelatambémcontémaincógnitaT.

Torqueexercidosobreodisco:Anteriormente,quandoesgotávamosaspossibilidadescomoeixoy,passávamosparaoeixox.

Aqui,passamosparaarotaçãododiscoeusamosasegundaleideNewtonpararotações.Paracalcularostorqueseomomentode

inérciaI,usamosofatodequeoeixoderotaçãoéperpendicularaodiscoepassapelocentrododisco,queéopontoOdaFig.10-

19c.

Figura 10-19 (a) O bloco em queda faz o disco girar. (b) Diagrama de corpo livre do bloco. (c) Diagrama de corpo livre

incompletododisco.

OstorquessãodadospelaEq.10-40(τ=rFt).Aforçagravitacionaleaforçadoeixoagemsobreocentrododiscoe,portanto,

aumadistânciar=0,demodoqueotorqueproduzidoporessasforçasénulo.Aforça exercidapelacordasobreodiscoagea

umadistânciar=Rdoeixoeétangenteàbordadodisco.Assim,aforçaproduzumtorque−RT,negativoporqueotorquetende

afazerodiscogirarnosentidohorário.DeacordocomaTabela10-2c,omomentodeinérciaIdodiscoéMR2/2.Assim,aequação

τres=Iαsetorna

Essaequaçãopodeparecerinútilporquetemduasincógnitas,αeT,nenhumadasquaiséaincógnitaacujovalorqueremos

determinar.Entretanto,comapersistênciaqueéamarcaregistradadosfísicos,conseguimostorná-laútilquandonoslembramos

deumfato:Comoacordanãoescorrega,aaceleraçãolinearadoblocoeaaceleraçãolinear(tangencial)atdeumpontonaborda

dodiscosãoiguais.Nessecaso,deacordocomaEq.10-22(at=αr),vemosqueα=a/R.SubstituindoessevalornaEq.10-47,

obtemos:

Combinaçãodosresultados:CombinandoasEqs.10-46e10-48,obtemos:

PodemosusaraEq.10-48paracalcularT:

Comoerade se esperar, a aceleraçãoa doblocoque cai émenorqueg e a traçãoT da corda (=6,0N) émenor que a força

gravitacionalqueagesobreobloco(=mg=11,8N).VemostambémqueaeTdependemdamassadodisco,masnãodoraio.

Atítulodeverificação,notamosqueasexpressõesobtidassereduzema=geT=0nocasodeumdiscodemassadesprezível

(M=0). Issoé razoável,pois,nessecaso,oblocosimplesmentecaiemqueda livre.DeacordocomaEq. 10-22, a aceleração

angulardodiscoé

10-8TRABALHOEENERGIACINÉTICADEROTAÇÃO


10.29Calcularotrabalhorealizadoporumtorqueaplicadoaumcorpointegrandootorqueemrelaçãoaoânguloderotaçãodocorpo.

10.30Usaroteoremadotrabalhoeenergiacinéticapararelacionarotrabalhorealizadoporumtorqueàvariaçãodaenergiacinéticaderotaçãodocorpo.

10.31Calcularotrabalhorealizadoporumtorqueconstanterelacionandootrabalhoaoânguloderotaçãodocorpo.

10.32Calcularapotênciadesenvolvidaporumtorquedeterminandoataxadevariaçãodotrabalhorealizadopelotorque.

10.33Calcularapotênciadesenvolvidaporumtorqueemumdadoinstanteapartirdovalordotorqueeavelocidadeangularnesseinstante.

Ideias-Chave• As equações usadas para calcular o trabalho e a potência paramovimentos de rotação são análogas às equações paramovimentosdetranslaçãoesãoasseguintes:

•Paraτconstante,aintegralsereduza

W=τ(θf−θi).

•Nocasoderotações,oteoremadotrabalhoeenergiacinéticaassumeaseguinteforma:

TrabalhoeEnergiaCinéticadeRotaçãoComofoivistonoCapítulo7,quandoumaforçaFaceleraumcorporígidodemassam,aforçarealizaum trabalhoW sobre o corpo. Isso significa que a energia cinética do corpo (K = mv2) podemudar.Suponhaqueessasejaaúnicaenergiadocorpoquemuda.Nessecaso,podemosrelacionaravariaçãoΔK da energia cinética ao trabalhoW pormeiodo teoremado trabalhoeenergiacinética (Eq. 7-10),escrevendo

Paraummovimentorestritoaumeixox,podemoscalcularotrabalhoutilizandoaEq.7-32,

AEq.10-50sereduzaW=FdquandoFéconstanteeodeslocamentodocorpoéd.Ataxacomaqualotrabalhoérealizadoéapotência,quepodesercalculadausandoasEqs.7-43e7-48,

Vamosconsiderarumasituaçãoanálogapara rotações.Quandoumtorqueaceleraumcorporígidoquegiraemtornodeumeixofixo,otorquerealizaumtrabalhoWsobreocorpo.Issosignificaqueaenergiacinéticarotacionaldocorpo(K=Iω2)podemudar.Suponhaqueessasejaaúnicaenergiadocorpoquemuda.Nesse caso, podemos relacionar avariaçãoΔK da energia cinética ao trabalhoW pormeio doteoremadotrabalhoeenergiacinética,comadiferençadeque,agora,aenergiacinéticaéumaenergiacinéticarotacional:

Aqui,Iéomomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixofixoeωieωfsãoasvelocidadesangularesdocorpoantesedepoisqueotrabalhoérealizado.PodemoscalcularotrabalhoexecutadoduranteumarotaçãousandoumaequaçãoanálogaàEq.10-50,

emqueτéo torqueresponsávelpelo trabalhoW,eθieθf são, respectivamente, aposiçãoangulardocorpoantesedepoisdarotação.Quandoτéconstante,aEq.10-53sereduza

A taxa com a qual o trabalho é realizado é a potência, que pode ser calculada usando uma equaçãoequivalenteàEq.10-51,

ATabela10-3mostraasequaçõesquedescrevemomovimentode translaçãodeumcorporígidoeasequaçõescorrespondentesparaomovimentoderotação.

DemonstraçãodasEqs.10-52a10-55

Vamosconsiderarnovamentea situaçãodaFig.10-17,naqualuma força fazgirarumcorpo rígidocomposto por uma partícula de massam presa à extremidade de uma barra, de massa desprezível.Durantearotação,aforça realizatrabalhosobreocorpo.Vamossuporqueaúnicaenergiadocorpoquevariaéaenergiacinética.Nessecaso,podemosaplicaroteoremadotrabalhoeenergiacinéticadaEq.10-49:

Tabela10-3AlgumasCorrespondênciasentreosMovimentosdeTranslaçãoeRotação

TranslaçãoPura(DireçãoFixa) RotaçãoPura(EixoFixo)

Posição x Posiçãoangular θ

Velocidade v=dx/dt Velocidadeangular ω=dθ/dt

Aceleração a=dv/dt Aceleraçãoangular α=dω/dt

Massa m Momentodeinércia I

SegundaleideNewton Fres=ma SegundaleideNewton τres=Iα

TrabalhoW=∫F

dxTrabalho W=∫τdθ

Energiacinética K= mv2 Energiacinética K= Iω2

Potência(forçaconstante) P=Fv Potência(torqueconstante) P=τω

Teoremadotrabalhoeenergiacinética W=ΔK Teoremadotrabalhoeenergiacinética W=ΔK

UsandoarelaçãoK=mv2eaEq.10-18(v=ωr),podemosescreveraEq.10-56naforma

DeacordocomaEq.10-33,omomentodeinérciadocorpoéI=mr2.SubstituindoessevalornaEq.10-57,obtemos

queéaEq.10-52.Demonstramosessaequaçãoparaumapartícula,masamesmaequaçãoéválidaparaqualquercorporígidoemrotaçãoemtornodeumeixofixo.VamosagorarelacionarotrabalhoWrealizadosobreocorpodaFig.10-17aotorqueτexercidosobre

ocorpopelaforça .Quandoapartículasedeslocadeumadistânciadsaolongodatrajetóriacircular,apenasacomponentetangencialFtdaforçaaceleraapartículaaolongodatrajetória.Assim,apenasFtrealiza trabalhosobreapartícula.Esse trabalhodWpodeserescritocomoFtds.Entretanto, podemossubstituirdsporrdθ,emquedθéoângulodescritopelapartícula.Temos,portanto,

DeacordocomaEq.10-40,oprodutoFtréigualaotorqueτ,demodoquepodemosescreveraEq.10-58naforma

Otrabalhorealizadoemumdeslocamentoangularfinitodeθiparaθfé,portanto,

queéaEq.10-53,válidaparaqualquercorporígidoemrotaçãoemtornodeumeixofixo.AEq.10-54é

umaconsequênciadiretadaEq.10-53.PodemoscalcularapotênciaPdesenvolvidaporumcorpoemummovimentoderotaçãoapartirda

Eq.10-59:

queéaEq.10-55.

Exemplo10.11 Trabalho,energiacinéticaderotação,torque,disco

SuponhaqueodiscodaFig.10-19partedorepousonoinstantet=0,queatraçãodacorda,demassadesprezível,é6,0N,eque

aaceleraçãoangulardodiscoé−24rad/s2.QualéaenergiacinéticaderotaçãoKnoinstantet=2,5s?

IDEIA-CHAVE

PodemoscalcularKusandoaEq.10-34(K= Iω2).JásabemosqueI= MR2,masaindanãoconhecemosovalordeωnoinstante

t= 2,5 s. Entretanto, como a aceleração angularα tem o valor constante de−24 rad/s2, podemos aplicar as equações para

aceleraçãoangularconstantenaTabela10-1.

Cálculos:Comoestamosinteressadosemdeterminarωeconhecemosαeω0(=0),usamosaEq.10-12:

ω=ω0+αt=0+αt=αt.

Fazendoω=αteI= MR2naEq.10-34,obtemos

IDEIA-CHAVE

Tambémpodemosobteressarespostacalculandoaenergiacinéticadodiscoapartirdotrabalhorealizadosobreodisco.

Cálculos:Primeiro,relacionamosavariaçãodaenergiacinéticadodiscoaotrabalhototalWrealizadosobreodisco,utilizandoo

teoremadotrabalhoeenergiacinética(Kf–Ki=W).SubstituindoKfporKeKipor0,obtemos

Emseguida,precisamoscalcularotrabalhoW.PodemosrelacionarWaostorquesqueatuamsobreodiscousandoaEq.10-53

ouaEq.10-54.Oúnicotorquequeproduzaceleraçãoangularerealizatrabalhoéotorque queacordaexercesobreodisco,

queéiguala−TR.Comoαéconstante,otorquetambéméconstante.Assim,podemosusaraEq.10-54paraescrever

Comoαéconstante,podemosusaraEq.10-13paracalcularθf−θi.Comωi=0,temos:

PodemossubstituiressevalornaEq.10-61esubstituiroresultadonaEq.10-60.ComT=6,0Neα=−24rad/s2,temos:

RevisãoeResumo

PosiçãoAngularParadescreverarotaçãodeumcorporígidoemtornodeumeixofixo,chamadoeixoderotação, supomosqueumaretadereferência está fixanocorpo,perpendicularaoeixoegirandocomocorpo.Medimosaposiçãoangularθdaretaemrelaçãoaumadireçãofixa.Seθformedidoemradianos,

emqueséocomprimentodeumarcodecircunferênciaderaioreânguloθ.Arelaçãoentreumânguloemrevoluções,umânguloemgrauseumânguloemradianoséaseguinte:

DeslocamentoAngularUmcorpoquegiraemtornodeumeixoderotação,mudandodeposiçãoangulardeθ1paraθ2,sofreumdeslocamentoangular

emque∆θépositivopararotaçõesnosentidoanti-horárioenegativopararotaçõesnosentidohorário.

VelocidadeAngular Seumcorpo sofre umdeslocamento angular∆θ emum intervalode tempo∆t, avelocidadeangularmédiadocorpo,ωméd,é

Avelocidadeangular(instantânea)ωdocorpoé

Tantoωméd comoω são vetores, cuja orientação é dada pela regra damão direita da Fig. 10-6. Omódulodavelocidadeangulardocorpoéavelocidadeangularescalar.

AceleraçãoAngularSeavelocidadeangulardeumcorpovariadeω1paraω2emumintervalodetempoΔt=t2−t1,aaceleraçãoangularmédiaαméddocorpoé

Aaceleraçãoangular(instantânea)αdocorpoé

Tantoαmédcomoαsãovetores.

EquaçõesCinemáticas paraAceleraçãoAngularConstante Omovimento com aceleração angularconstante (α = constante) é um caso especial importante de movimento de rotação. As equaçõescinemáticasapropriadas,queaparecemnaTabela10-1,são

RelaçõesentreasVariáveisLineareseAngularesUmpontodeumcorpo rígidoemrotação,aumadistânciaperpendicularrdoeixoderotação,descreveumacircunferênciaderaior.Seocorpogiradeumânguloθ,opontodescreveumarcodecircunferênciadecomprimentosdadopor

emqueθestáemradianos.

Avelocidadelinear dopontoétangenteàcircunferência;avelocidadelinearescalarvdopontoédadapor

emqueωéavelocidadeangularescalardocorpoemradianosporsegundo.

A aceleração linear do ponto tem uma componente tangencial e uma componente radial. Acomponentetangencialé

em que α é o módulo da aceleração angular do corpo em radianos por segundo ao quadrado. Acomponenteradialde é

Nocasodomovimentocircularuniforme,operíodoTdomovimentodopontoedocorpoé

Energia Cinética de Rotação eMomento de Inércia A energia cinéticaK de um corpo rígido emrotaçãoemtornodeumeixofixoédadapor

emqueIéomomentodeinérciadocorpo,definidopor

paraumsistemadepartículasdiscretasepor

paraumcorpocomumadistribuiçãocontínuademassa.Nessasexpressões,rierrepresentamadistânciaperpendicular do eixo de rotação a cada partícula e a cada elemento demassa, respectivamente, e osomatórioea integraçãoseestendema todoocorpo,demodoa incluir todasaspartículase todososelementosdemassa.

TeoremadosEixosParalelosOteoremadoseixosparalelosrelacionaomomentodeinérciaIdeumcorpoemrelaçãoaqualquereixoaomomentodeinérciadomesmocorpoemrelaçãoaumeixoparaleloaoprimeiropassandopelocentrodemassa:

Aqui,h é a distância perpendicular entre os dois eixos, e ICM é omomento de inércia do corpo emrelação ao eixoquepassapelo centrodemassa.Podemosdefinirh comoodeslocamentodo eixoderotaçãoemrelaçãoaoeixoderotaçãoquepassapelocentrodemassa.

TorqueTorqueéumaaçãodegiraroudetorcerumcorpoemtornodeumeixoderotação,produzidaporumaforça .Se éexercidaemumpontodadopelovetorposição emrelaçãoaoeixo,omódulodotorqueé

emqueFtéacomponentede perpendiculara ,eϕéoânguloentre e .Agrandezar⊥éadistânciaperpendicularentreoeixoderotaçãoearetaquecoincidecomovetor .Essaretaéchamadadelinhadeaçãode ,er⊥échamadadebraçodealavancade .Damesmaforma,réobraçodealavancadeFt.

AunidadedetorquedoSIéonewton-metro(N·m).Otorqueτépositivo,setendeafazerumcorpoinicialmente em repouso girar no sentido anti-horário, e negativo, se tende a fazer o corpo girar nosentidohorário.

SegundaLeideNewtonparaRotaçõesAsegundaleideNewtonpararotaçõesé

emqueτreséotorqueresultantequeagesobreapartículaoucorporígido,Iéomomentodeinérciadapartículaoudocorpoemrelaçãoaoeixoderotação,eαéaaceleraçãoangulardomovimentoderotaçãoemtornodoeixo.

TrabalhoeEnergiaCinéticadeRotaçãoAsequaçõesusadaspara calcular trabalhoepotênciaparamovimentosderotaçãosãoanálogasàsusadasparamovimentosdetranslação:

Seτforconstante,aEq.10-53sereduza

Aformadoteoremadotrabalhoeenergiausadaparacorposemrotaçãoéaseguinte:

Perguntas1AFig.10-20éumgráficodavelocidadeangularemfunçãodotempoparaumdiscoquegiracomoumcarrossel.Ordeneosinstantesa,b,ceddeacordocomomódulo(a)daaceleraçãotangenciale(b)daaceleraçãoradialdeumpontonabordadodisco,começandopelomaior.


2AFig.10-21mostragráficosdaposiçãoangularθemfunçãodotempotparatrêscasosnosquaisumdiscogiracomoumcarrossel.Emcadacaso,osentidoderotaçãomudaemumacertaposiçãoangularθm.(a)Paracadacaso,determineseθmcorrespondeaumarotaçãonosentidohorárioouanti-horárioemrelaçãoàposiçãoθ=0,ouseθm=0.Paracadacaso,determine (b) seω ézeroantes,depoisounoinstantet=0e(c)seαépositiva,negativaounula.


3 Uma força é aplicada à borda de um disco que pode girar como um carrossel, fazendo mudar avelocidade angular do disco. As velocidades angulares inicial e final, respectivamente, para quatrosituações,sãoasseguintes:(a)−2rad/s,5rad/s;(b)2rad/s,5rad/s;(c)−2rad/s,−5rad/s;e(d)2rad/s,−5 rad/s. Ordene as situações de acordo com o trabalho realizado pelo torque aplicado pela força,começandopelomaior.

4AFig.10-22béumgráficodaposiçãoangulardodiscodaFig.10-22a.Avelocidadeangulardodiscoépositiva,negativaounulaem(a)t=1s,(b)t=2s,e(c)t=3s?(d)Aaceleraçãoangularépositivaounegativa?


5 Na Fig. 10-23, duas forças, 1 e 2 agem sobre um disco que gira em torno do centro como umcarrossel.Asforçasmantêmosângulosindicadosdurantearotação,queocorrenosentidoanti-horárioecomvelocidadeangularconstante.Precisamosdiminuiroânguloθde 1semmudaromódulode 1.(a)

Paramanteravelocidadeangularconstante,devemosaumentar,diminuiroumanterconstanteomódulode 2?(b)Aforça 1tendeafazerodiscogirarnosentidohorárioounosentidoanti-horário?(c)Eaforça 2?


6NavistasuperiordaFig.10-24,cincoforçasdemesmomóduloagemsobreumestranhocarrossel:umquadrado que pode girar em torno do pontoP, o pontomédio de um dos lados.Ordene as forças deacordocomotorquequeelasproduzememrelaçãoaopontoP,começandopelomaior.


7AFig.10-25aévistasuperiordeumabarrahorizontalquepodegiraremtornodeumeixo;duasforçashorizontaisatuamsobreabarra,queestáparada.Seoânguloentre 2eabarraéreduzidoapartirde90o,F2deveaumentar,diminuiroupermaneceramesmaparaqueabarracontinueparada?

Figura10-25 Perguntas7e8.

8AFig.10-25bmostraavistasuperiordeumabarrahorizontalquegiraemtornodeumeixosobaação

de duas forças horizontais, 1 e 2, com 2 fazendo um ângulo ϕ com a barra. Ordene os seguintesvaloresdeϕdeacordocomomódulodaaceleraçãoangulardabarra,começandopelomaior:90o,70oe110o.

9AFig.10-26mostraumaplacametálicahomogêneaqueeraquadradaantesque25%daáreafossemcortados. Três pontos estão indicados por letras. Ordene-os de acordo com o valor do momento deinérciadaplacaemrelaçãoaumeixoperpendicularàplacapassandoporessespontos,começandopelomaior.



10AFig.10-27mostra trêsdiscosplanos(deraios iguais)quepodemgiraremtornodocentrocomocarrosséis.Cadadiscoécompostodosmesmosdoismateriais,ummaisdensoqueooutro(ouseja,commassamaiorporunidadedevolume).Nosdiscos1e3,omaterialmaisdensoformaametadeexternadaáreadodisco.Nodisco2,eleformaametadeinternadaáreadodisco.Forçasdemesmomódulosãoaplicadas tangencialmente aos discos, na borda ou na interface dos dois materiais, como na figura.Ordeneosdiscosdeacordo(a)comotorqueemrelaçãoaocentrododisco,(b)omomentodeinérciaemrelaçãoaocentroe(c)aaceleraçãoangulardodisco,emordemdecrescente.

11AFig.10-28amostraumaréguadeummetro,metadedemadeiraemetadedeaço,quepodegiraremtornodeumeixoquepassapelopontoO,situadonaextremidadedoladoqueéfeitodemadeira.Umaforça éaplicadaaoladoqueéfeitodeaço,nopontoa.NaFig.10-28b,aposiçãodaréguaéinvertidaepassaagiraremtornodeumeixoquepassapelopontoOʹ,situadonaextremidadedoladoqueéfeitodeaço,enquantoamesmaforça éaplicadaaoladoqueéfeitodemadeira,nopontoaʹ.AaceleraçãoangulardaréguadaFig.10-28aémaior,menorouigualàaceleraçãoangulardaréguadaFig.10-28b?


12AFig.10-29mostratrêsdiscoshomogêneos.OsraiosReasmassasMdosdiscosestãoindicadosnafigura.Osdiscospodemgiraremtornodeumeixocentral(perpendicularaoplanododiscoepassandopelo centro). Ordene os discos de acordo com o momento de inércia em relação ao eixo central,começandopelomaior.


Problemas



Módulo10-1AsVariáveisdaRotação

·1Umbomlançadordebeisebolpodearremessarumabolaa85mi/hcomumarotaçãode1800rev/min.Quantasrevoluçõesabolarealizaatéchegaràquartabase?Parasimplificar,suponhaqueatrajetóriade60pésépercorridaemlinhareta.

·2 Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do ponteiro dos minutos e (c) doponteirodashorasdeumrelógioanalógico?Dêasrespostasemradianosporsegundo.

··3 Quandoumatorradacommanteigaédeixadacairdeumamesa,elaadquireummovimentoderotação.Supondoqueadistânciadamesaaochãoé76cmequeatorradanãodescreveumarevoluçãocompleta, determine (a) a menor e (b) a maior velocidade angular para a qual a torrada cai com amanteigaparabaixo.

··4Aposiçãoangulardeumpontodeumarodaédadaporθ=2,0+4,0t2+2,0t3,emqueθ está emradianosetemsegundos.Emt=0,qualé(a)aposiçãoe(b)qualavelocidadeangulardoponto?(c)Qualéavelocidadeangularemt=4,0s?(d)Calculeaaceleraçãoangularem

t=2,0s.(e)Aaceleraçãoangulardarodaéconstante?

··5 Um mergulhador realiza 2,5 giros ao saltar de uma plataforma de 10 metros. Supondo que avelocidadeverticalinicialsejanula,determineavelocidadeangularmédiadomergulhador.

··6Aposiçãoangulardeumpontodabordadeumarodaédadaporθ=4,0t−3,0t2+t3,emqueθestáemradianosetemsegundos.Qualéavelocidadeangularem(a)t=2,0se(b)t=4,0s?(c)Qualéaaceleraçãoangularmédianointervalodetempoquecomeçaemt=2,0seterminaemt=4,0s?Qualéaaceleraçãoangularinstantânea(d)noinícioe(e)nofimdesseintervalo?

···7ArodadaFig.10-30temoitoraiosde30cmigualmenteespaçados,estámontadaemumeixofixoegiraa2,5rev/s.Vocêdesejaatirarumaflechade20cmdecomprimentoparalelamenteaoeixodarodasematingirumdosraios.Suponhaqueaflechaeosraiossãomuitofinos.(a)Qualéamenorvelocidadequea flechadeve ter? (b)Opontoentreoeixoeabordadarodaporondea flechapassafazalgumadiferença?Casoarespostasejaafirmativa,paraquepontovocêdevemirar?


···8Aaceleraçãoangulardeumarodaéα=6,0t4−4,0t2,comαemradianosporsegundoaoquadradoetemsegundos.Noinstantet=0,arodatemumavelocidadeangularde+2,0rad/seumaposiçãoangularde+1,0rad.Escrevaexpressões(a)paraavelocidadeangular(emrad/s)e(b)paraaposiçãoangular(emrad)emfunçãodotempo(ems).

Módulo10-2RotaçãocomAceleraçãoAngularConstante

·9Umtamborgiraemtornodoeixocentralcomumavelocidadeangularde12,60rad/s.Seotamboréfreadoauma taxaconstantede4,20rad/s2, (a)quanto tempoele levaparaparar? (b)Qualéoângulototaldescritopelotamboratéparar?

·10Partindodorepouso,umdiscogiraemtornodoeixocentralcomumaaceleraçãoangularconstante.Odiscogira25radem5,0s.Duranteessetempo,qualéomódulo(a)daaceleraçãoangulare(b)davelocidadeangularmédia?(c)Qualéavelocidadeangularinstantâneadodiscoaofinaldos5,0s?(d)Comaaceleraçãoangularmantida,queânguloadicionalodiscoirádescrevernos5,0sseguintes?

·11 Um disco, inicialmente girando a 120 rad/s, é freado com uma aceleração angular constante demódulo4,0 rad/s2. (a)Quanto tempoodisco levapara parar? (b)Qual é o ângulo total descrito pelodiscoduranteessetempo?

·12Avelocidadeangulardomotordeumautomóveléaumentadaaumataxaconstantede1200rev/minpara3000rev/minem12s.(a)Qualéaaceleraçãoangularemrevoluçõesporminutoaoquadrado?(b)Quantasrevoluçõesomotorexecutanesseintervalode12s?

··13Umarodaexecuta40revoluçõesquandodesaceleraatépararapartirdeumavelocidadeangularde1,5 rad/s. (a)Supondoque a aceleração angular é constante, determineo tempoque a roda levaparaparar.(b)Qualéaaceleraçãoangulardaroda?(c)Quantotempoénecessárioparaquearodacompleteas20primeirasrevoluções?

··14Umdiscogiraemtornodoeixocentralpartindodorepousocomaceleraçãoangularconstante.Emcertoinstante,estágirandoa10rev/s;após60revoluções,avelocidadeangularé15rev/s.Calcule(a)aaceleraçãoangular,(b)otemponecessárioparaodiscocompletar60revoluções,(c)otemponecessárioparaodiscoatingiravelocidadeangularde10 rev/se (d)onúmerode revoluçõesdodiscodesdeorepousoatéoinstanteemqueatingeumavelocidadeangularde10rev/s.

··15Umarodatemumaaceleraçãoangularconstantede3,0rad/s2.Durantecertointervalode4,0s,eladescreveumângulode120rad.Supondoquearodapartiudorepouso,porquantotempoelajáestavaemmovimentonoiníciodesseintervalode4,0s?

··16Umcarrosselgira apartirdo repousocomumaaceleraçãoangularde1,50 rad/s2.Quanto tempolevaparaexecutar(a)asprimeiras2,00revoluçõese(b)as2,00revoluçõesseguintes?

··17Emt=0,umarodatemumavelocidadeangularde4,7rad/s,umaaceleraçãoangularconstantede−0,25rad/s2,esuaretadereferênciaestáemθ0=0.(a)Qualéoângulomáximoθmáxdescritopelaretade referência no sentido positivo? Qual é (b) o primeiro e (c) o segundo instante em que a reta dereferênciapassapeloânguloθ=θmáx/2?Emque (d) instantenegativoe (e) instantepositivoa retadereferência passa pelo ângulo θ = −10,5 rad? (f) Faça um gráfico de θ em função de t e indique asrespostasdositens(a)a(e)nográfico.

···18Umpulsaréumaestreladenêutronsquegirarapidamenteemtornodesimesmaeemiteumfeixederádio,domesmomodocomoumfarolemiteumfeixeluminoso.RecebemosnaTerraumpulsoderádioparacadarevoluçãodaestrela.OperíodoTderotaçãodeumpulsarédeterminadomedindoointervalodetempoentreospulsos.OpulsardanebulosadoCaranguejotemumperíododerotaçãoT=0,033squeestáaumentandoaumataxade1,26×10−5s/ano.(a)Qualéaaceleraçãoangularαdopulsar?(b)Seαsemantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar? (c) O pulsar foi criado pelaexplosão de uma supernova observada no ano de 1054. Supondo que a aceleração α se manteveconstante,determineoperíodoTlogoapósaexplosão.

Módulo10-3RelaçõesentreasVariáveisLineareseAngulares

·19Qualéomódulo(a)davelocidadeangular,(b)daaceleraçãoradiale(c)daaceleraçãotangencialdeumanaveespacialquefazumacurvacircularcom3220kmderaioaumavelocidadede29.000km/h?

·20Umobjetogiraemtornodeumeixofixo,eaposiçãoangulardeumaretadereferênciadoobjetoédadaporθ=0,40e2t,emqueθestáemradianosetemsegundos.Considereumpontodoobjetosituadoa

4,0cmdoeixoderotação.Emt=0,qualéomódulo(a)dacomponentetangenciale(b)dacomponenteradialdaaceleraçãodoponto?

·21 Entre1911e1990,oaltodatorreinclinadadePisa,Itália,sedeslocouparaosulaumataxamédiade1,2mm/ano.Atorretem55mdealtura.Qualéavelocidadeangularmédiadoaltodatorreemrelaçãoàbaseemradianosporsegundo?

·22Umastronauta está sendo testado emuma centrífuga com10mde raio quegira de acordo comaequaçãoθ=0,30t2,emquetestáemsegundoseθemradianos.Noinstantet=5,0s,qualéomódulo(a)davelocidadeangular,(b)davelocidadelinear,(c)daaceleraçãotangenciale(d)daaceleraçãoradialdoastronauta?

·23Uma roda com1,20mdediâmetro estágirandocomumavelocidade angularde200 rev/min. (a)Qualéavelocidadeangulardarodaemrad/s?(b)Qualéavelocidadelineardeumpontonabordadaroda? (c) Que aceleração angular constante (em revoluções por minuto ao quadrado) aumenta avelocidadeangulardarodapara1000rev/minem60,0s?(d)Quantasrevoluçõesarodaexecutanesseintervalode60,0s?

·24Umdiscodevinilfuncionagirandoemtornodeumeixo,demodoqueumsulco,aproximadamentecircular, desliza sob uma agulha que fica na extremidade de um braçomecânico. Saliências do sulcopassampelaagulhaeafazemoscilar.Oequipamentoconverteessasoscilaçõesemsinaiselétricos,quesãoamplificadosetransformadosemsons.Suponhaqueumdiscodevinilgiraa331/3rev/min,queosulcoqueestásendotocadoestáaumadistânciade10,0cmdocentrododiscoequeadistânciamédiaentre as saliências do sulco é 1,75mm.A que taxa (em toques por segundo) as saliências atingem aagulha?

··25 (a)QualéavelocidadeangularωemtornodoeixopolardeumpontodasuperfíciedaTerranalatitude40ºN?(ATerragiraemtornodesseeixo.)(b)Qualéavelocidadelinearvdesseponto?Qualéovalor(c)deωe(d)devparaumpontodoequador?

··26 O volante de umamáquina a vapor gira com uma velocidade angular constante de 150 rev/min.Quandoamáquinaédesligada,oatritodosmancaisearesistênciadoarparamarodaem2,2h.(a)Qualé a aceleração angular constante da roda, em revoluções por minuto ao quadrado, durante adesaceleração?(b)Quantasrevoluçõesarodaexecutaantesdeparar?(c)Noinstanteemquearodaestágirandoa75rev/min,qualéacomponentetangencialdaaceleraçãolineardeumapartículadarodaqueestáa50cmdoeixoderotação?(d)Qualéomódulodaaceleraçãolineartotaldapartículadoitem(c)?

··27Opratodeum toca-discosestágirandoa331/3 rev/min.Umasementedemelanciaestásobreopratoa6,0cmdedistânciadoeixoderotação.(a)Calculeaaceleraçãodasemente,supondoqueelanãoescorrega.(b)Qualéovalormínimodocoeficientedeatritoestáticoentreasementeeopratoparaqueasementenãoescorregue?(c)Suponhaqueopratoatingeavelocidadeangularfinalem0,25s,partindodorepousocomaceleraçãoconstante.Calculeomenorcoeficientedeatritoestáticonecessárioparaqueasementenãoescorregueduranteoperíododeaceleração.

··28NaFig.10-31,umarodaAderaiorA=10cmestáacopladaporumacorreiaBaumarodaCderaiorC=25cm.AvelocidadeangulardarodaAéaumentadaapartirdorepousoaumataxaconstantede1,6rad/s2.DetermineotemponecessárioparaquearodaCatinjaumavelocidadeangularde100rev/min,supondoqueacorreianãodesliza.(Sugestão:Seacorreianãodesliza,asbordasdosdoisdiscostêmamesmavelocidadelinear.)


··29Ummétodotradicionalparamediravelocidadedaluzutilizaumarodadentadagiratória.Umfeixedeluzpassapeloespaçoentredoisdentessituadosnabordadaroda,comonaFig.10-32,viajaatéumespelhodistanteechegadevoltaàrodaexatamenteatempodepassarpeloespaçoseguinteentredoisdentes.Umadessasrodastem5,0cmderaioe500espaçosentredentes.MedidasrealizadasquandooespelhoestáaumadistânciaL=500mdarodafornecemovalorde3,0×105km/sparaavelocidadedaluz.(a)Qualéavelocidadeangular(constante)daroda?(b)Qualéavelocidadelineardeumpontodabordadaroda?


··30Umarodadeumgiroscópiocom2,83cmderaioéaceleradaapartirdorepousoa14,2rad/s2até

atingirumavelocidadeangularde2760rev/min.(a)Qualéaaceleraçãotangencialdeumpontodabordadarodaduranteoprocessodeaceleraçãoangular?(b)Qualéaaceleraçãoradialdopontoquandoarodaestá girando à velocidademáxima? (c)Qual é a distância percorrida por umponto da borda da rodaduranteoprocessodeaceleraçãoangular?

··31Umdiscocom0,25mderaiodevegirardeumângulode800rad,partindodorepouso,ganhandovelocidadeangularaumataxaconstanteα1nosprimeiros400rade,emseguida,perdendovelocidadeangularaumataxaconstante–α1atéficarnovamenteemrepouso.Omódulodaaceleraçãocentrípetadequalquer parte do disco não deve exceder 400 m/s2. (a) Qual é o menor tempo necessário para omovimento?(b)Qualéovalorcorrespondentedeα1?

··32 Um carro parte do repouso e passa a se mover em uma pista circular com 30,0 m de raio. Avelocidadedo carro aumenta a uma taxa constante de0,500m/s2. (a)Qual é omódulo da aceleraçãolinearmédiadocarroapós15,0s?(b)Queânguloovetoraceleraçãomédiafazcomovetorvelocidadenesseinstante?

Módulo10-4EnergiaCinéticadeRotação

·33Calculeomomentodeinérciadeumarodaquepossuiumaenergiacinéticade24.400Jquandogiraa602rev/min.

·34AFig.10-33mostraavelocidadeangularemfunçãodotempoparaumabarrafinaquegiraemtornodeumadas extremidades.A escala do eixoω é definidaporωs = 6,0 rad/s. (a)Qual é omódulo daaceleração angular da barra? (b)Em t = 4,0 s, a barra tem uma energia cinética de 1,60 J.Qual é aenergiacinéticadabarraemt=0?


Módulo10-5CálculodoMomentodeInércia

·35Doiscilindroshomogêneos,girandoemtornodosrespectivoseixoscentrais(longitudinais)comumavelocidade angular de 235 rad/s, têm amesmamassa de 1,25 kg e raios diferentes.Qual é a energiacinéticaderotação(a)docilindromenor,deraio0,25m,e(b)docilindromaior,deraio0,75m?

·36AFig.10-34amostraumdiscoquepodegiraremtornodeumeixoperpendicularàsuafaceauma

distânciahdocentrododisco.AFig.10-34bmostraomomentodeinérciaIdodiscoemrelaçãoaoeixoemfunçãodadistânciah,docentroatéabordadodisco.AescaladoeixoIédefinidaporIA=0,050kg·m2eIB=0,150kg·m2.Qualéamassadodisco?


·37Calculeomomentodeinérciadeumaréguadeummetro,commassade0,56kg,emrelaçãoaumeixoperpendicularàréguanamarcade20cm.(Tratearéguacomoumabarrafina.)

·38AFig.10-35mostratrêspartículasde0,0100kgqueforamcoladasemumabarradecomprimentoL=6,00cmemassadesprezível.OconjuntopodegiraremtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoO,situadonaextremidadeesquerda.Seremovemosumadaspartículas(ouseja,33%damassa),de que porcentagem o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo de rotação diminui se apartícularemovidaé(a)amaispróximadopontoOe(b)amaisdistantedopontoO?


··39Algunscaminhõesutilizamaenergiaarmazenadaemumvolantequeummotorelétricoaceleraatéumavelocidadede200πrad/s.Suponhaqueumdessesvolanteséumcilindrohomogêneocommassade500 kg e raio de 1,0 m. (a) Qual é a energia cinética do volante quando está girando à velocidademáxima? (b)Seocaminhãodesenvolveumapotênciamédiade8,0kW,porquantosminutoselepodeoperarsemqueovolantesejanovamenteacelerado?

··40 A Fig. 10-36 mostra um arranjo de 15 discos iguais colados para formarem uma barra decomprimentoL = 1,0000m emassa totalM = 100,0mg.O arranjo pode girar em torno de um eixoperpendicularquepassapelodiscocentralnopontoO.(a)Qualéomomentodeinérciadoconjuntoemrelaçãoaesseeixo? (b)Seconsiderarmosoarranjocomoumabarraaproximadamentehomogêneade

massaMecomprimentoL,queerropercentualestaremoscometendoseusarmosafórmuladaTabela10-2eparacalcularomomentodeinércia?


··41NaFig.10-37,duaspartículas,ambasdemassam=0,85kg,estãoligadasumaàoutra,eaumeixoderotaçãonopontoO,porduasbarrasfinas,ambasdecomprimentod=5,6cmemassaM=1,2kg.Oconjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angularω = 0,30 rad/s. Determine (a) omomentodeinérciadoconjuntoemrelaçãoaopontoOe(b)aenergiacinéticadoconjunto.


··42Asmassasecoordenadasdequatropartículassãoasseguintes:50g,x=2,0cm,y=2,0cm;25g,x=0,y=4,0cm;25g,x=−3,0cm,y=−3,0cm;30g,x=−2,0cm,y=4,0cm.Qualéomomentodeinérciadoconjuntoemrelação(a)aoeixox,(b)aoeixoye(c)aoeixoz?(d)Suponhaqueasrespostasde(a)e(b)sejamAeB,respectivamente.Nessecaso,qualéarespostade(c)emtermosdeAeB?

··43OblocohomogêneodaFig.10-38temmassa0,172kgeladosa=3,5cm,b=8,4cmec=1,4cm.Calculeomomentodeinérciadoblocoemrelaçãoaumeixoquepassaporumcantoeéperpendicularàsfacesmaiores.

··44Quatropartículasiguais,demassa0,50kgcadauma,sãocolocadasnosvérticesdeumquadradode2,0m×2,0memantidasnessaposiçãoporquatrobarras,demassadesprezível,queformamosladosdoquadrado.Determine omomento de inércia desse corpo rígido em relação a um eixo (a) que está noplanodoquadradoepassapelospontosmédiosdedoisladosopostos,(b)quepassapelopontomédiodeumdosladoseéperpendicularaoplanodoquadradoe(c)queestánoplanodoquadradoepassaporduaspartículasdiagonalmenteopostas.


Módulo10-6Torque

·45OcorpodaFig.10-39podegiraremtornodeumeixoperpendicularaopapelpassandoporOeestásubmetidoaduasforças,comomostraafigura.Ser1=1,30m,r2=2,15m,F1=4,20N,F2=4,90N,θ1=75,0ºeθ2=60,0º,qualéotorqueresultanteemrelaçãoaoeixo?


·46OcorpodaFig.10-40podegiraremtornodeumeixoquepassaporOeéperpendicularaopapeleestásubmetidoatrêsforças:FA=10NnopontoA,a8,0mdeO;FB=16NemB,a4,0mdeO;eFC=19NemC,a3,0mdeO.QualéotorqueresultanteemrelaçãoaO?


·47Umapequenabola,demassa0,75kg,estápresaaumadasextremidadesdeumabarra,de1,25mdecomprimentoemassadesprezível.Aoutraextremidadedabarraestápenduradaemumeixo.Qualéomódulodotorqueexercidopelaforçagravitacionalemrelaçãoaoeixoquandoopênduloassimformadofazumângulode30ºcomavertical?

·48Ocomprimentodobraçodopedaldeumabicicletaé0,152m,eumaforçade111Néaplicadaaopedalpelociclista.Qualéomódulodotorqueemrelaçãoaoeixodobraçodopedalquandoobraçofazumângulode(a)30º,(b)90ºe(c)180ºcomavertical?

Módulo10-7ASegundaLeideNewtonparaRotações

·49Noiníciodeumsaltodetrampolim,avelocidadeangulardeumamergulhadoraemrelaçãoaumeixoquepassapelo seucentrodemassavariade zeroa6,20 rad/s em220ms.Omomentode inércia emrelaçãoaomesmoeixoé12,0kg·m2.Qualéomódulo(a)daaceleraçãoangularmédiadamergulhadorae(b)dotorqueexternomédioexercidopelotrampolimsobreamergulhadoranoiníciodosalto?

·50Seumtorquede32,0N·mexercidosobreumarodaproduzumaaceleraçãoangularde25,0rad/s2,qualéomomentodeinérciadaroda?

··51NaFig.10-41,obloco1temmassam1=460g,obloco2temmassam2=500g,eapolia,queestámontada em um eixo horizontal com atrito desprezível, tem raio R = 5,00 cm. Quando o sistema éliberadoapartirdorepouso,obloco2cai75,0cmem5,00ssemqueacordadeslizenabordadapolia.(a)Qualéomódulodaaceleraçãodosblocos?Qualéovalor(b)datraçãoT2e(c)datraçãoT1?(d)Qualéomódulodaaceleraçãoangulardapolia?(e)Qualéomomentodeinérciadapolia?


··52NaFig.10-42,umcilindrocommassade2,0kgpodegiraremtornodoeixocentral,quepassapelopontoO.Asforçasmostradastêmosseguintesmódulos:F1=6,0N,F2=4,0N,F3=2,0NeF4=5,0N.As distâncias radiais são r = 5,0 cm e R = 12 cm. Determine (a) o módulo e (b) a orientação daaceleraçãoangulardocilindro.(Durantearotação,asforçasmantêmosmesmosângulosemrelaçãoaocilindro.)


··53AFig.10-43mostraumdiscohomogêneoquepodegiraremtornodocentrocomoumcarrossel.Odiscotemumraiode2,00cmeumamassade20,0gramaseestáinicialmenteemrepouso.Apartirdoinstante t = 0, duas forças devem ser aplicadas tangencialmente à borda do disco, comomostrado nafigura,paraque,noinstante t=1,25s,odisco tenhaumavelocidadeangularde250rad/s,nosentidoanti-horário.Aforça 1temummódulode0,100N.Qualéomódulode 2?


··54 Emumarasteiradojudô,vocêtiraoapoiodopéesquerdodoadversárioe,aomesmotempo,puxaoquimonodeleparaomesmolado.Emconsequência,olutadorgiraemtornodopédireitoecainotatame.AFig.10-44mostraumdiagramasimplificadodolutador,jácomopéesquerdoforadochão.OeixoderotaçãopassapelopontoO.Aforçagravitacional gagesobreocentrodemassadolutador,queestáaumadistânciahorizontald=28cmdopontoO.Amassadolutadoréde70kg,eomomentodeinérciaemrelaçãoaopontoOé65kg·m2.QualéomódulodaaceleraçãoangularinicialdolutadoremrelaçãoaopontoOseopuxão aquevocêaplicaaoquimono(a)édesprezívele(b)éhorizontal,comummódulode300Neaplicadoaumaalturah=1,4m?


··55NaFig.10-45a,umaplacadeplásticodeformairregular,deespessuraemassaespecífica(massaporunidadedevolume)uniformes,giraemtornodeumeixoperpendicularàfacedaplacapassandopelopontoO.Omomentodeinérciadaplacaemtornodesseeixoémedidoutilizandooseguintemétodo:Umdiscocircular,demassa0,500kgeraio2,00cm,écoladonaplaca,comocentrocoincidindocomO(Fig.10-45b).Umbarbante é enrolado na borda do disco, como se o disco fosse um pião, e puxadodurante5,00s.Emconsequência,odiscoeaplacasãosubmetidosaumaforçaconstantede0,400N,aplicadapelobarbante tangencialmenteàbordadodisco.Avelocidadeangular resultanteé114rad/s.Qualéomomentodeinérciadaplacaemrelaçãoaoeixo?


··56AFig.10-46mostraaspartículas1e2,ambasdemassam,presasàsextremidadesdeumabarra

rígida,demassadesprezívelecomprimentoL1+L2,comL1=20cmeL2=80cm.Abarraémantidahorizontalmentenofulcroatéserliberada.Qualéomódulodaaceleraçãoinicial(a)dapartícula1e(b)dapartícula2?


···57Umapolia,comummomentodeinérciade1,0×10−3kg·m2emrelaçãoaoeixoeumraiode10cm,ésubmetidaaumaforçaaplicadatangencialmenteàborda.OmódulodaforçavarianotempodeacordocomaequaçãoF=0,50t + 0,30t2, comF emnewtons e t em segundos.Apolia está inicialmente emrepouso.(a)Qualéaaceleraçãoangulare(b)qualéavelocidadeangulardapolianoinstantet=3,0s?

Módulo10-8TrabalhoeEnergiaCinéticadeRotação

·58(a)SeR=12cm,M=400gem=50gnaFig.10-19,determineavelocidadedoblocoapós terdescido 50 cm a partir do repouso.Resolva o problema usando a lei de conservação da energia. (b)Repitaoitem(a)paraR=5,0cm.

·59Ovirabrequimdeumautomóveltransfereenergiadomotorparaoeixoaumataxade100hp(=74,6kW)quandogiraa1800rev/min.Qualéotorque(emnewtons-metros)exercidopelovirabrequim?

·60 Uma barra fina, de 0,75 m de comprimento e 0,42 kg de massa, está suspensa por uma dasextremidades.Abarra é puxadaparao lado e liberadapara oscilar comoumpêndulo, passandopelaposiçãomaisbaixacomumavelocidadeangularde4,0rad/s.Desprezandooatritoearesistênciadoar,determine (a) a energia cinética da barra na posiçãomais baixa e (b) a altura que o centro demassaatingeacimadessaposição.

·61Umarodade32,0kg,quepodeserconsideradaumarofinocom1,20mderaio,estágirandoa280rev/min.Arodaprecisaserparadaem15,0s.(a)Qualéotrabalhonecessárioparafazê-laparar?(b)Qualéapotênciamédianecessária?

··62NaFig.10-35,trêspartículasde0,0100kgforamcoladasemumabarra,decomprimentoL=6,00cmemassadesprezível,quepodegiraremtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoOemumadasextremidades.Determineotrabalhonecessárioparamudaravelocidadeangular(a)de0para20,0rad/s,(b)de20,0rad/spara40,0rad/se(c)de40,0rad/spara60,0rad/s.(d)Qualéainclinaçãodacurvadaenergiacinéticadoconjunto(emjoules)emfunçãodoquadradodavelocidadeangular(emradianosquadradosporsegundoaoquadrado)?

··63 Uma régua de ummetro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo edepoisliberada.Determineavelocidadedaoutraextremidadepoucoantesdetocarosolo,supondoquea extremidade de apoio não escorrega. (Sugestão: Considere a régua uma barra fina e use a lei deconservaçãodaenergia.)

··64Umcilindrohomogêneocom10cmderaioe20kgdemassaestámontadodemodoapodergirarlivrementeemtornodeumeixohorizontalparaleloaoeixocentral longitudinaldocilindroesituadoa5,0cmdoeixo.(a)Qualéomomentode inérciadocilindroemrelaçãoaoeixoderotação?(b)Seocilindroé liberadoapartirdorepousocomoeixocentral longitudinalnamesmaalturaqueoeixoemtornodoqualpodegirar,qualéavelocidadeangulardocilindroaopassarpelopontomaisbaixodatrajetória?

···65 Umachaminécilíndricacaiquandoabasesofreumabalo.Trateachaminécomoumabarrafina,com55,0mdecomprimento.Noinstanteemqueachaminéfazumângulode35,0ºcomaverticaldurante aqueda, (a)qual é a aceleração radialdo topoe (b)qual é a aceleração tangencialdo topo?(Sugestão:Useconsideraçõesdeenergiaenãodetorque.)(c)Paraqueânguloθaaceleraçãotangencialéigualag?

···66Umacascaesféricahomogênea,demassaM=4,5kgeraioR=8,5cm,podegiraremtornodeumeixo vertical sem atrito (Fig. 10-47).Uma corda, demassa desprezível, está enrolada no equador dacasca,passaporumapoliademomentodeinérciaI=3,0×10−3kg·m2eraior=5,0cmeestápresaaumpequenoobjetodemassam=0,60kg.Nãoháatritonoeixodapolia, eacordanãoescorreganacascanemnapolia.Qualéavelocidadedoobjetodepoisdecair82cmapóstersidoliberadoapartirdorepouso?Useconsideraçõesdeenergia.


···67AFig.10-48mostraumcorporígidoformadoporumarofino(demassameraioR=0,150m)eumabarrafinaradial(demassamecomprimentoL=2,00R).Oconjuntoestánavertical,mas,serecebeumpequenoempurrão,começaagiraremtornodeumeixohorizontalnoplanodoaroedabarra,quepassa pela extremidade inferior da barra. Desprezando a energia fornecida ao sistema pelo pequenoempurrão, qual é a velocidade angular do conjunto ao passar pela posição invertida (de cabeça parabaixo)?

Figura10-48 Problema

ProblemasAdicionais

68Duasesferashomogêneas,maciças,têmamesmamassade1,65kg,masoraiodeumaé0,226meodaoutraé0,854m.Ambaspodemgiraremtornodeumeixoquepassapelocentro.(a)Qualéomóduloτdotorquenecessáriopara levaraesferamenordorepousoaumavelocidadeangularde317rad/sem15,5s?(b)QualéomóduloFdaforçaquedeveseraplicadatangencialmenteaoequadordaesferaparaproduziressetorque?Qualéovalorcorrespondentede(c)τe(d)Fparaaesferamaior?

69NaFig.10-49,umpequenodisco,deraior=2,00cm,foicoladonabordadeumdiscomaior,deraioR=4,00cm,comosdiscosnomesmoplano.OsdiscospodemgiraremtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoO,situadonocentrododiscomaior.Osdiscostêmumamassaespecífica(massaporunidadedevolume)uniformede1,40×103kg/m3eumaespessura, tambémuniforme,de5,00mm.QualéomomentodeinérciadoconjuntodosdoisdiscosemrelaçãoaoeixoderotaçãoquepassaporO?


70 Uma roda partiu do repouso com uma aceleração angular constante de 2,00 rad/s2. Durante certointervalode3,00s,arodadescreveumângulode90,0rad.(a)Qualeraavelocidadeangulardarodanoiníciodointervalode3,00s?(b)Porquantotempoarodagirouantesdoiníciodointervalode3,00s?

71NaFig.10-50,doisblocosde6,20kgestãoligadosporumacorda,demassadesprezível,quepassaporumapoliade2,40cmde raioemomentode inércia7,40×10−4kg·m2.Acordanão escorreganapolia;nãosesabeseexisteatritoentreamesaeoblocoqueescorrega;nãoháatritonoeixodapolia.Quandoosistemaéliberadoapartirdorepouso,apoliagirade0,130radem91,0mseaaceleraçãodosblocoséconstante.Determine(a)omódulodaaceleraçãoangulardapolia,(b)omódulodaaceleraçãodecadabloco,(c)atraçãoT1dacordae(d)atraçãoT2dacorda.


72Nasduas extremidadesdeuma finabarrade aço com1,20mde comprimento e6,40kgdemassaexistempequenasbolas,demassa1,06kg.Abarrapodegiraremumplanohorizontalemtornodeumeixoverticalquepassapelopontomédiodabarra.Emcertoinstante,abarraestágirandoa39,0rev/s.Devidoaoatrito,abarradesaceleraatéparar,32,0sdepois.Supondoqueotorqueproduzidopeloatritoéconstante,calcule(a)aaceleraçãoangular,(b)otorqueproduzidopeloatrito,(c)aenergiatransferidadeenergiamecânicaparaenergiatérmicapeloatritoe(d)onúmeroderevoluçõesexecutadaspelabarranesses32,0s.(e)Suponhaqueotorqueproduzidopeloatritonãoéconstante.Sealgumadasgrandezascalculadas nos itens (a), (b), (c) e (d) ainda puder ser calculada sem nenhuma informação adicional,forneçaoseuvalor.

73Umapádorotordeumhelicópteroéhomogênea,tem7,80mdecomprimento,umamassade110kgeestápresaaoeixodorotorporumúnicoparafuso.(a)Qualéomódulodaforçaexercidapeloeixosobreo parafuso quando o rotor está girando a 320 rev/min? (Sugestão: Para este cálculo, a pá pode serconsideradaumamassapontuallocalizadanocentrodemassa.Porquê?)(b)Calculeomódulodotorquequedeveseraplicadoaorotorparaqueatinjaavelocidadeangulardoitemanterior,apartirdorepouso,em6,70s.Ignorearesistênciadoar.(Alâminanãopodeserconsideradaumamassapontualparaestecálculo.Porquê?Suponhaqueadistribuiçãodemassaéadeumabarrafinahomogênea.)(c)Qualéotrabalhorealizadopelotorquesobreapáparaqueestaatinjaavelocidadeangularde320rev/min?

74Corridadediscos.AFig.10-51mostradoisdiscosquepodemgirarem tornodocentrocomoumcarrossel.Noinstantet=0,asretasdereferênciadosdoisdiscostêmamesmaorientação;odiscoAjáestágirandocomumavelocidadeangularconstantede9,5rad/s,eodiscoBpartedorepousocomumaaceleraçãoangularconstantede2,2rad/s2.(a)Emqueinstantetasduasretasdereferênciatêmomesmodeslocamentoangularθ?(b)Esseéoprimeiroinstantet,desdet=0,noqualasduasretasdereferênciaestãoalinhadas?


75 Umequilibristasempreprocuramanterseucentrodemassaverticalmenteacimadoarame(oucorda). Para isso, ele carrega muitas vezes uma vara comprida. Quando se inclina, digamos, para adireita (deslocandoocentrodemassaparaadireita) e correo riscodegirar em tornodoarame, elemovimenta a vara para a esquerda, o que desloca o centro de massa para a esquerda e diminui avelocidade de rotação, proporcionando-lhe mais tempo para recuperar o equilíbrio. Suponha que oequilibrista temmassade70,0kgemomentode inérciade15,0kg·m2emrelaçãoaoarame.Qualéomódulodaaceleraçãoangularemrelaçãoaoarameseocentrodemassadoequilibristaestá5,0cmàdireitadoarame,e (a)oequilibristanãocarregaumavara,e (b)avarade14,0kgqueelecarregaémovimentadadetalformaqueocentrodemassadoequilibristafica10cmàesquerdadoarame?

76Umarodacomeçaagirarapartirdorepousoemt=0comaceleraçãoangularconstante.Noinstantet=2,0s,avelocidadeangulardarodaé5,0rad/s.Aaceleraçãocessaabruptamentenoinstantet=20s.Dequeângulogiraarodanointervalodet=0at=40s?

77Umpratode toca-discos,queestágirandoa331/3rev/min,diminuigradualmentedevelocidadeepara, 30 s depois que o motor é desligado. (a) Determine a aceleração angular do prato (supostaconstante)emrevoluçõesporminutoaoquadrado.(b)Quantasrevoluçõesopratoexecutaatéparar?

78Umcorporígidoéformadoportrêsbarrasfinasiguais,decomprimentoL=0,600m,unidasnaformadaletraH(Fig.10-52).OcorpopodegirarlivrementeemtornodeumeixohorizontalquecoincidecomumadaspernasdoH.OcorpoéliberadoapartirdorepousoemumaposiçãonaqualoplanodoHestánahorizontal.QualéavelocidadeangulardocorpoquandooplanodoHestánavertical?


79(a)MostrequeomomentodeinérciadeumcilindromaciçodemassaMeraioRemrelaçãoaoeixocentraléigualaomomentodeinérciadeumarofinodemassaMeraioR/ emrelaçãoaoeixocentral.(b)MostrequeomomentodeinérciaIdeumcorpoqualquerdemassaMemrelaçãoaqualquereixoéigualaomomentodeinérciadeumaroequivalenteemtornodomesmoeixocomamesmamassaMeumraiokdadopor

Oraiokdoaroequivalenteéchamadoderaiodegiraçãodocorpo.

80Umdisco gira, com aceleração angular constante, da posição angularθ1 = 10,0 rad até a posiçãoangularθ2 =70,0 rad em6,00 s.Avelocidade angular emθ2 é 15,0 rad/s. (a)Qual era a velocidadeangularemθ1?(b)Qualéaaceleraçãoangular?(c)Emqueposiçãoangularodiscoestavainicialmenteemrepouso?(d)Ploteθemfunçãodeteavelocidadeangularωdodiscoemfunçãode t,apartirdoiníciodomovimento(t=0).

81AbarrafinaehomogêneadaFig.10-53tem2,0mdecomprimentoepodegirar,sematrito,emtornodeumpinohorizontalquepassaporumadasextremidades.Abarraéliberadaapartirdorepousoedeumânguloθ=40ºacimadahorizontal.Usealeideconservaçãodaenergiaparadeterminaravelocidadeangulardabarraaopassarpelaposiçãohorizontal.


82 GeorgeWashington Gale Ferris, Jr., um engenheiro civil formado pelo Instituto PolitécnicoRensselaer, construiu a primeira roda-gigante para a Exposição Mundial Colombiana de 1893, emChicago. A roda, uma impressionante obra da engenharia para a época, movimentava 36 cabinas demadeira,cadaumacomcapacidadepara60passageiros,aolongodeumacircunferênciacom76mdediâmetro.Ascabinaseramcarregadas6decadavez;quandoas36cabinasestavamocupadas,a rodaexecutava uma revolução completa, com velocidade angular constante, em cerca de 2 min. Estime otrabalhoqueamáquinaprecisavarealizarapenasparamoverospassageiros.

83NaFig.10-41,doisblocos, demassasm1=400g em2=600g, estão ligadosporumacorda, demassadesprezível,queestáenroladanabordadeumdiscohomogêneo,demassaM=500geraioR=12,0cm.Odiscopodegirarsematritoemtornodeumeixohorizontalquepassapelocentro;acordanãodesliza na borda do disco. O sistema é liberado a partir do repouso. Determine (a) o módulo daaceleraçãodosblocos,(b)atraçãoT1dacordadaesquerdae(c)atraçãoT2dacordadadireita.

84 Às 7h14min de 30 de junho de 1908, uma enorme explosão aconteceu na atmosfera sobre aSibériaCentral,nalatitude61ºNelongitude102ºE;aboladefogocriadapelaexplosãofoioobjetomaisbrilhantevistonaTerraantesdasarmasnucleares.OchamadoEventodeTunguska,que,deacordocomumatestemunha,“cobriuumaparteenormedocéu”,foiprovavelmenteaexplosãodeumasteroiderochosodeaproximadamente140mdediâmetro.(a)ConsiderandoapenasarotaçãodaTerra,determinequantotempodepoisoasteroideteriaquechegaràTerraparaexplodiracimadeHelsinki,nalongitude25ºE,oquedestruiriatotalmenteacidade.(b)Seoasteroidefosseumasteroidemetálico,poderiaterchegado à superfície da Terra.Quanto tempo depois o asteroide teria que chegar à Terra para que o

choque ocorresse no OceanoAtlântico, na longitude 20ºW? (O tsunami resultante destruiria cidadescosteirasdosdoisladosdoAtlântico.)

85Umaboladegolfeélançadacomumângulode20ºemrelaçãoàhorizontal,umavelocidadede60m/se uma velocidade angular de 90 rad/s. Desprezando a resistência do ar, determine o número derevoluçõesqueabolaexecutaatéoinstanteemqueatingeaalturamáxima.

86AFig.10-54mostraumobjetoplanoformadopordoisanéiscircularesquetêmumcentrocomumesãomantidos fixospor trêsbarras,demassadesprezível.Oobjeto,queestá inicialmenteemrepouso,pode girar (como um carrossel) em torno do centro comum, onde se encontra outra barra, de massadesprezível.Asmassas,osraiosinternoseosraiosexternosdosanéisaparecemnatabelaaseguir.Umaforça tangencial demódulo 12,0N é aplicada à borda externa do anel externo por 0,300 s.Qual é avariaçãonavelocidadeangulardoobjetonesseintervalodetempo?


Anel Massa(kg) RaioInterno(m) RaioExterno(m)

1 0,120 0,0160 0,0450

2 0,240 0,0900 0,1400

87NaFig.10-55,umarodacom0,20mderaioémontadaemumeixohorizontalsematrito.Umacorda,demassadesprezível,éenroladanarodaepresaaumacaixade2,0kgqueescorregaemumasuperfíciesematritocomumainclinaçãoθ=20ºemrelaçãoàhorizontal.Acaixaescorregaparabaixocomumaaceleraçãode2,0m/s2.Qualéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaoeixo?


88 Uma casca esférica, fina, tem um raio de 1,90m.Um torque aplicado de 960N ·m produz umaaceleraçãoangularde6,20 rad/s2 em relaçãoaumeixoquepassapelo centroda casca. (a)Qual éomomentodeinérciadacascaemrelaçãoaesseeixoe(b)qualéamassadacasca?

89Umciclistade70kgapoiatodaasuamassaemcadamovimentoparabaixodopedalenquantopedalaem uma estrada íngreme. Supondo que o diâmetro da circunferência descrita pelo pedal é 0,40 m,determineomódulodotorquemáximoexercidopelociclistaemrelaçãoaoeixoderotaçãodospedais.

90Ovolantedeummotorestágirandoa25,0rad/s.Quandoomotorédesligado,ovolantedesaceleraaumataxaconstanteepara,em20,0s.Calcule(a)aaceleraçãoangulardovolante,(b)oângulodescritopelovolanteatéparare(c)onúmeroderevoluçõesdovolanteatéparar.

91NaFig. 10-19a, uma roda com 0,20m de raio estámontada em um eixo horizontal sem atrito.Omomento de inércia da roda em relação ao eixo é 0,40 kg · m2. Uma corda, de massa desprezível,enroladanabordadaroda,estápresaaumacaixade6,0kg.Osistemaéliberadoapartirdorepouso.Quandoacaixatemumaenergiacinéticade6,0J,qualé(a)aenergiacinéticaderotaçãodarodae(b)qualadistânciapercorridapelacaixa?

92OSolestáa2,3×104anos-luzdocentrodaViaLácteaedescreveumacircunferênciaemtornodocentroaumavelocidadede250km/s.(a)QuantotempolevaoSolparaexecutarumarevoluçãoemtornodocentrodagaláxia?(b)QuantasrevoluçõesoSolcompletoudesdequeseformou,hácercade4,5×109

anos?

93Umarodacom0,20mderaioestámontadaemumeixohorizontalsematrito.Omomentodeinérciadarodaemrelaçãoaoeixoé0,050kg·m2.Umacorda,demassadesprezível,estáenroladanarodaepresa a um bloco de 2,0 kg que escorrega em uma superfície horizontal sem atrito. Se uma forçahorizontaldemóduloP=3,0Néaplicadaaobloco,comonaFig.10-56,qualéomódulodaaceleraçãoangulardaroda?Suponhaqueacordanãodeslizaemrelaçãoàroda.


94Seahélicedeumaviãogiraa2000rev/minquandooaviãovoaaumavelocidadede480km/hemrelaçãoaosolo,qualéavelocidadelineardeumpontonapontadahélice,a1,5mdedistânciadoeixo,emrelação(a)aopilotoe(b)aumobservadornosolo?Avelocidadedoaviãoéparalelaaoeixoderotaçãodahélice.

95Ocorpo rígidomostradonaFig.10-57é formadopor trêspartículas ligadasporbarras, demassadesprezível.OcorpogiraemtornodeumeixoperpendicularaoplanodastrêspartículasquepassapelopontoP.SeM=0,40kg,a=30cmeb=50cm,qualéo trabalhonecessáriopara levarocorpodorepousoatéavelocidadeangularde5,0rad/s?


96Engenhariadeembalagens.Atampacomumaneldepuxarfoiumgrandeavançonaengenhariadaslatasdebebida.Oanelgiraemtornodeumpinosituadonocentrodatampa.Quandoumdosladosdoanelépuxadoparacima,ooutroladoempurraparabaixoumapartedatampaquefoiriscada.Sevocêpuxaoanelparacimacomumaforçade10N,qualé,aproximadamente,omódulodaforçaaplicadaàparteriscadadatampa?(Sugestão:Examineumalatadeverdade.)

97AFig.10-58mostraumapádehélicequegiraa2000rev/minemtornodeumeixoperpendicularquepassapelopontoB.OpontoAestánaoutraextremidadedapá,aumadistânciade1,50m.(a)QualéadiferençaentreomódulodaaceleraçãocentrípetaαdopontoAeomódulodaaceleraçãocentrípetadeumpontosituadoa0,150mdedistânciadoeixo?(b)Determineainclinaçãodográficodeαemfunçãodadistânciaaolongodapá.


98Ummecanismoemformade ioiô,montadoemumeixohorizontalsematrito,éusadopara levantarumacaixade30kg,comomostraaFig.10-59.OraioexternoRdarodaé0,50meoraiordocubodaroda é 0,20 m. Quando uma força horizontal constante de módulo 140 N é aplicada a uma cordaenroladanaroda,acaixa,queestápenduradaemumacordaenroladanocubo,temumaaceleraçãoparacimademódulo0,80m/s2.Qualéomomentodeinérciadomecanismoemrelaçãoaoeixoderotação?


99Umapequenabolacommassade1,30kgestámontadaemumadasextremidadesdeumabarrade0,780mdecomprimentoemassadesprezível.Osistemagiraemumcírculohorizontalemtornodaoutraextremidadedabarraa5010rev/min.(a)Calculeomomentodeinérciadosistemaemrelaçãoaoeixoderotação.(b)Existeumaforçadearrastode2,30×10−2Nagindosobreabola,nosentidoopostoaodomovimento. Que torque deve ser aplicado ao sistema para mantê-lo em rotação com velocidadeconstante?

100Duasbarrasfinas(comumamassade0,20kgcadauma)estãounidasparaformarumcorporígido,comomostraaFig.10-60.UmadasbarrastemcomprimentoL1=0,40meaoutratemcomprimentoL2=0,50m.Qualéomomentodeinérciadessecorporígidoemrelação(a)aumeixoperpendicularaoplanodopapelpassandopelocentrodabarramenore(b)aumeixoperpendicularaoplanodopapelpassandopelocentrodabarramaior?


101NaFig.10-61,quatropoliasestãoligadasporduascorreias.ApoliaA(com15cmderaio)éapolia

motrizegiraa10rad/s.ApoliaB(com10cmderaio)estáligadaàpoliaApelacorreia1.ApoliaB'(com5cmderaio)éconcêntricacomapoliaBeestárigidamenteligadaaela.ApoliaC(com25cmderaio)estáligadaàpoliaB'pelacorreia2.Calcule(a)avelocidadelineardeumpontodacorreia1,(b)avelocidadeangulardapoliaB,(c)avelocidadeangulardapoliaB',(d)avelocidadelineardeumpontodacorreia2e(e)avelocidadeangulardapoliaC.(Sugestão:Seacorreiaentreduaspoliasnãodesliza,asvelocidadeslinearesdasbordasdasduaspoliassãoiguais.)


102OcorporígidodaFig.10-62éformadoportrêsbolasetrêsbarrasdeligação,comM=1,6kg,L=0,60m e θ = 30º. As bolas podem ser tratadas como partículas, e as barras têmmassa desprezível.Determineaenergiacinéticaderotaçãodocorposeavelocidadeangularé1,2rad/semrelação(a)aumeixoquepassapelopontoPeéperpendicularaoplanodopapele(b)aumeixoquepassapelopontoP,éperpendicularàbarradecomprimento2Leestánoplanodopapel.


103NaFig.10-63, umabarra fina e homogênea (com4,0mde comprimento e 3,0 kgdemassa) giralivrementeemtornodeumeixohorizontalAqueéperpendicularàbarraepassaporumpontosituadoaumadistânciad=1,0mdaextremidadedabarra.Aenergia cinéticadabarra aopassarpelaposiçãoverticalé20J.(a)QualéomomentodeinérciadabarraemrelaçãoaoeixoA?(b)Qualéavelocidade(linear)daextremidadeBdabarraaopassarpelaposiçãovertical?(c)Qualéoânguloθnomomentoemqueabarraparamomentaneamente,depoisdepassarpelaposiçãovertical?


104Quatropartículas,com0,20kgdemassa,ocupamosvérticesdeumquadradocom0,50mdelado.Aspartículasestãoligadasporbarras,demassadesprezível.EssecorporígidopodegiraremumplanoverticalemtornodeumeixohorizontalAquepassaporumadaspartículas.OcorpoéliberadoapartirdorepousocomabarraABnahorizontal,comomostraaFig.10-64.(a)QualéomomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixoA?(b)QualéavelocidadeangulardocorpoemrelaçãoaoeixoAnoinstanteemqueabarraABpassapelaposiçãovertical?


105 Existem relatos de guepardos correndo à velocidade impressionante de 114 km/h, feitos porobservadores que dirigiam ao lado desses animais. Imagine o que é tentarmedir a velocidade de umguepardomantendoumjipeemparelhadocomoanimaleaomesmotempoolhandodesoslaioparaumvelocímetro que registra 114 km/h. Você conserva o veículo a uma distância constante de 8,0 m doguepardo,mas o barulho domotor faz com que o guepardo se afaste continuamente ao longo de umatrajetóriacircularcom92mderaio.Assim,vocêéforçadoaseguirumatrajetóriacircularcom100mderaio.(a)Qualéavelocidadeangular(suaedoguepardo)aolongodastrajetóriascirculares?(b)Qualéa velocidade linear do guepardo? (Se você não levasse em consideração o movimento circular,

concluiriaerroneamentequeavelocidadedoguepardoera114km/h.Aparentemente,essetipodeerrofoicometidonosrelatospublicados.)

106Umpontodabordadeumrebolocom0,75mdediâmetromudadevelocidade,aumataxaconstante,de12m/spara25m/sem6,2s.Qualéaaceleraçãoangularmédiadorebolo?

107Umapolia com8,0 cmdediâmetro temuma corda de 5,6mde comprimento enrolada na borda.Partindodorepouso,aroldanarecebeumaaceleraçãoangularconstantede1,5rad/s2.(a)Queânguloaroldana deve descrever para que a corda desenrole totalmente? (b) Quanto tempo isso leva paraacontecer?

108Umdiscodevinilgiraa331/3rev/minnopratodeumtoca-discos.(a)Qualéavelocidadeangulardodiscoemradianosporsegundo?Qualéavelocidadelinearemumpontododisco(b)a15cme(c)a7,4cmdocentrododisco?

CAPÍTULO11

Rolagem,TorqueeMomentoAngular

11-1ROLAGEMCOMOUMACOMBINAÇÃODETRANSLAÇÃOEROTAÇÃO


11.01Saberqueumarotaçãosuavepodeserconsideradaumacombinaçãodetranslaçãopuraerotaçãopura.

11.02 Conhecer a relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular de um objeto que está rolandosuavemente.

Ideias-Chave•SeumarodaderaioRestárolandosuavemente,

vCM=ωR

emquevCMéavelocidadeangulardocentrodemassadarodaeωéavelocidadeangulardarodaemrelaçãoaocentro.

•Tambémépossívelimaginarquearodagira,acadainstante,emtornodopontoPda“estrada”queestáemcontatocomaroda.Avelocidadeangulardarodaemrelaçãoaessepontoéigualàvelocidadedarodaemrelaçãoaocentro.

OqueÉFísica?ComovimosnoCapítulo10, umdos objetivos da física é o estudo das rotações.Entre as aplicaçõesdesseestudo,amaisimportanteétalvezaanálisedarolagemderodaseobjetosquesecomportamcomorodas. Essa aplicação da física vem sendo usada há muito tempo. Assim, por exemplo, quando oshabitantespré-históricosdaIlhadaPáscoamoveramgigantescasestátuasdepedradeumapedreiraparaoutroslugaresdailha,elesasarrastaramsobretoras,quefuncionaramcomoroletes.Maistarde,quandoosamericanoscolonizaramooestenoséculoXIX,transportaramseuspertencesprimeiroemcarroçasedepoisemvagõesde trem.Hojeemdia,gostemosounão,omundoestárepletodecarros,caminhões,motocicletas,bicicletaseoutrosveículossobrerodas.Afísicaeaengenhariadotransportesobrerodassãotãoantigasquealguémpoderiapensarquenada

denovo resta para ser criado.Entretanto, as pranchas de skate e os patins in-line foram inventados elançados recentementenomercadoese tornaramumgrandesucesso.Umtipomodernodecarrinhoderolimã,conhecidocomostreetluge,entrounamodanosEstadosUnidos,eveículosindividuaiscomooSegway (Fig. 11-1) podemmudar a forma como as pessoas semovimentam nas grandes cidades. Asaplicaçõesdafísicadarolagemaindapodemreservarmuitassurpresaserecompensas.Nossopontode

partidaparaestudaressapartedafísicaserásimplificaromovimentoderolagem.

RolagemcomoumaCombinaçãodeTranslaçãoeRotaçãoNomomento,vamosconsiderarapenasobjetosquerolamsuavementeemumasuperfície,ouseja,querolamsemescorregarouquicarnasuperfície.AFig.11-2mostracomoomovimentoderolagemsuavepodesercomplicado:Emboraocentrodoobjetosemovaemumalinharetaparalelaàsuperfície,umponto da borda certamente não o faz. Entretanto, podemos estudar o movimento de rolagem suavetratando-ocomoumacombinaçãodetranslaçãodocentrodemassaerotaçãodorestodoobjetoemtornodocentrodemassa.

JustinSullivan/GettyImages,Inc.

Figura11-1 OSegway.

Paracompreendercomoissoépossível,imaginequevocêestáparadoemumacalçadaobservandoarodadebicicletadaFig.11-3passarnarua.Comomostraafigura,vocêvêocentrodemassaOdarodasemovercomvelocidadeconstantevCM.OpontoP emque a roda faz contato comopiso tambémsemoveparaafrentecomvelocidadevCM,demodoquePpermanecesemprediretamenteabaixodeO.


Figura11-2 Fotografia de longa exposição de um disco rolando. Pequenas lâmpadas foram presas ao disco, uma no centro e outra naborda.Asegundadescreveumacurvachamadacicloide.

Duranteumintervalodetempot,vocêobservaospontosOePsedeslocaremdeumadistâncias.Ociclistavêarodagirardeumânguloθemtornodoeixo,comopontoqueestavatocandoaruanoiníciodointervalodescrevendoumarcodecomprimentos.AEq.10-17relacionaocomprimentodoarco,s,aoânguloderotação,θ:

emqueRéo raiodaroda.Avelocidade linearvCMdocentroda roda (ocentrodemassadessa rodahomogênea)éds/dt.Avelocidadeangularωdarodaédθ/dt.DerivandoaEq.11-1emrelaçãoaotempo(comRconstante),obtemos

Figura11-3 OcentrodemassaOdeumarodapercorreumadistânciascomvelocidade CM enquantoarodagiradeumânguloθ. OpontoPdecontatoentrearodaeasuperfícienaqualestárolandotambémpercorreumadistâncias.

UmaCombinaçãodeMovimentos.AFig.11-4mostraqueomovimentoderolagemdeumarodaéacombinaçãodeummovimentopurodetranslaçãoeummovimentopuroderotação.AFig.11-4amostraomovimentopuroderotação(comoseoeixoderotaçãoestivesseestacionário):Todosospontosdarodagiramem tornodo centro comvelocidade angularω. (Esse é o tipo demovimento que discutimosnoCapítulo10.)TodosospontosdaperiferiadarodatêmumavelocidadelinearescalarvCMdadapelaEq.11-2.A Fig. 11-4bmostra omovimento puro de translação (como se a roda não estivesse rodando):Todosospontosdarodasemovemparaadireitacomvelocidadeescalar CM.A combinação dos movimentos representados nas Figs. 11-4a e 11-4b é a rolagem da roda,

representada na Fig. 11-4c. Observe que, nessa combinação demovimentos, a velocidade escalar daextremidadeinferiordaroda(pontoP)ézeroeavelocidadeescalardaextremidadesuperior(pontoT)é2vCM,maiorqueemqualqueroutropontodaroda.EssesresultadossãoconfirmadosnaFig.11-5,queéumafotografiade longaexposiçãodeumarodadebicicletaemmovimento.Ofatodequeos raiosda

rodaestãomaisnítidosnapartedebaixodoquenapartedecimamostraquearodaestásemovendomaisdevagarnapartedebaixodoquenapartedecima.

Figura11-4 Movimentoderolagemdeumarodacomoacombinaçãodeummovimentoderotaçãopuraeummovimentode translaçãopura.(a)Movimentoderotaçãopura:todosospontosdarodasemovemcomamesmavelocidadeangularω,etodosospontosdabordasemovemcomamesmavelocidadelinearescalarv=vCM .Sãomostradasasvelocidadeslineares dedoisdessespontos,nabordadecima(T)enabordadebaixo (P) da roda. (b)Movimento de translação pura: todos os pontos da roda semovempara a direita comamesmavelocidadelinear CM .(c)Omovimentoderolagemdarodaéumacombinaçãode(a)e(b).

Figura11-5 Fotografiadeumarodadebicicletaemmovimento.Osraiosdebaixoestãomaisnítidosqueosraiosdecimaporqueestãosemovendomaisdevagar,comomostraaFig.11-4c.

Omovimentodequalquercorporedondorolandosuavementeemumasuperfíciepodeserseparadoemmovimentospurosderotaçãoetranslação,comonasFigs.11-4ae11-4b.

RolagemcomoumaRotaçãoPura

AFig.11-6sugereoutraformadedescreveromovimentoderolagemdeumaroda:comoumarotaçãopuraemtornodeumeixoquesemprepassapelopontodecontatoentrearodaeasuperfícienaqualarodaestárolando.Consideramosomovimentoderolagemcomoumarotaçãopuraemtornodeumeixoque passa pelo pontoP da Fig. 11-4c e é perpendicular ao plano do papel.Os vetores da Fig. 11-6mostramavelocidadeinstantâneadealgunspontosdaroda.Pergunta:Que velocidade angular em torno desse novo eixo umobservador estacionário atribuiria aumarodadebicicleta?Resposta:Amesmavelocidadeangularωqueociclistaatribuiàrodaquandoaobservaemmovimentoderotaçãopuraemtornodeumeixopassandopelocentrodemassa.Para mostrar que essa resposta está correta, vamos usá-la para calcular a velocidade linear daextremidadesuperiordaroda,dopontodevistadeumobservadorestacionário.ChamandodeRoraiodaroda,aextremidadesuperiorestáaumadistância2RdoeixoquepassapelopontoPnaFig.11-6,demodoque,deacordocomaEq.11-2,avelocidadelineardaextremidadesuperioré

vsup=(ω)(2R)=2(ωR)=2vCM

em perfeita concordância com a Fig. 11-4c. O leitor pode verificar que a concordância também éobservadaparaospontosOePdaFig.11-4c.

Figura11-6 Arolagempodeservistacomoumarotaçãopura,comvelocidadeangularω,emtornodeumeixoquesemprepassaporP.Os vetores mostram as velocidades lineares instantâneas de alguns pontos da roda. Esses vetores podem ser obtidos combinando osmovimentosdetranslaçãoerotação,comomostradonaFig.11-4.

Teste1A roda traseira da bicicleta de um palhaço tem um raio duas vezes maior que a roda dianteira. (a) A velocidade linear da

extremidade superior da roda traseira émaior,menor ou igual à velocidade linear da extremidade superior da rodadianteira

quandoabicicletaestáemmovimento?(b)Avelocidadeangulardarodatraseiraémaior,menorouigualàvelocidadeangularda

rodadianteira?

11-2ASFORÇASEAENERGIACINÉTICADAROLAGEM


11.03Calcularaenergiacinéticadeumobjetoemrolagemsuavecomoasomadaenergiacinéticadetranslaçãodocentrodemassacomaenergiacinéticaderotaçãoemtornodocentrodemassa.

11.04Conhecera relaçãoentreo trabalho realizadosobreumobjetoemrolagemsuaveeavariaçãodaenergiacinéticadoobjeto.

11.05Usaraleideconservaçãodaenergiamecânicapararelacionaraenergiainicialdeumobjetoemrolagemsuaveàenergiadomesmoobjetoemuminstanteposterior.

11.06Desenharodiagramadecorpolivredeumobjetoemrolagemsuavequeestásemovendoemumasuperfíciehorizontalouinclinadasobaaçãodeumaoumaisforças.

11.07Conhecerarelaçãoentreaaceleraçãodocentrodemassaeaaceleraçãoangulardeumobjetoemrolagemsuave.

11.08Nocasodeumobjetoemrolagemsuavequeestásemovendoemumarampa,conhecerarelaçãoentreaaceleraçãodoobjeto,omomentodeinérciadoobjetoeoângulodarampa.

Ideias-Chave•Aenergiacinéticadeumarodaqueestárolandosuavementeédadapor

emqueICMéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaocentrodemassaeMéamassadaroda.

•ArelaçãoentreaaceleraçãodocentrodemassaaCMeaaceleraçãoangularαdeumarodaqueestárolandosuavementeédadapor

aCM=αR

•Acomponenteemrelaçãoaumeixoxparaleloàrampadaaceleraçãodeumarodaqueestárolandosuavementeparabaixoemumarampadeânguloθédadapor

AEnergiaCinéticadaRolagemVamosagoracalcularaenergiacinéticadeumarodaemrolagemdopontodevistadeumobservadorestacionário.QuandoencaramosarolagemcomoumarotaçãopuraemtornodeumeixoquepassapelopontoPdaFig.11-6,aEq.10-34nosdá

emqueω é avelocidadeangularda rodae IP é omomentode inérciada roda em relação aumeixopassandoporP.DeacordocomoteoremadoseixosparalelosdaEq.10-36(I=ICM+Mh2),temos:

emqueMéamassadaroda,ICMéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaumeixopassandopelocentrodemassaeR(oraiodaroda)éadistânciaperpendicularhentreoseixos.SubstituindoaEq.11-4naEq.11-3,obtemos

eusandoarelaçãovCM=ωR(Eq.11-2),temos

Podemosinterpretarotermo comoaenergiacinéticaassociadaàrotaçãodarodaemtornodeumeixoquepassapelocentrodemassa(Fig.11-4a),eotermo comoaenergiacinéticaassociadaaomovimentodetranslaçãodocentrodemassadaroda(Fig.11-4b).Assim,temosaseguinteregra:

Umobjetoemrolagempossuidois tiposdeenergiacinética:umaenergiacinéticaderotação associadaà rotaçãoem

tornodocentrodemassaeumaenergiacinéticadetranslação associadaàtranslaçãodocentrodemassa.

AsForçasdaRolagemAtritoeRolagem

Umarodaquerolacomvelocidadeconstante,comonaFig.11-3,nãotendeadeslizarnopontodecontatoP e, portanto, não está sujeita a uma força de atrito. Entretanto, se uma força age sobre a roda paraaumentaroudiminuiravelocidade,essaforçaproduzumaaceleração CMdocentrodemassanadireçãodomovimento.Aforçatambémfazcomquearodagiremaisdepressaoumaisdevagar,oquesignificaque ela produz uma aceleração angularα. Essa aceleração tende a fazer a roda deslizar no pontoP.Assim,umaforçadeatritopassaaagirsobrearodanopontoPparaseoporaessatendência.

Figura11-7 Umarodarolahorizontalmentesemdeslizarenquantoaceleracomumaaceleraçãolinear CM .Aforçadeatritoestático sagesobrearodaemP,impedindoodeslizamento.

Searodanãodesliza,aforçaéaforçadeatritoestático seomovimentoéderolagemsuave.Nesse

caso, podemos relacionar a aceleração linear aCM à aceleração angular α derivando a Eq. 11-2 emrelaçãoaotempo(comRconstante).Noladoesquerdo,dvCM/dtéigualaaCM;noladodireito,dω/dtéigualaα.Assim,nocasodeumarolagemsuave,temos:

Searodadeslizaquandoaforçaéaplicada,aforçadeatritonopontoPdarodadaFig.11-3éaforçadeatritocinético k.Nessecaso,omovimentonãoéderolagemsuaveeaEq.11-6nãoseaplica.Nestecapítulo,vamosdiscutirapenasmovimentosderolagemsuave.AFig.11-7mostraumexemplonoqualumarodaestásendoaceleradaenquantorolaparaadireitaao

longodeumasuperfícieplana,comoacontececomarodadeumabicicletanoiníciodeumacorrida.OaumentodavelocidadederotaçãotendeafazeraparteinferiordarodadeslizarparaaesquerdanopontoP.UmaforçadeatritoemP,dirigidaparaadireita,seopõeàtendênciadedeslizamento.Searodanãodesliza,aforçadeatritoéaforçadeatritoestático s(comonaFig.11-7),omovimentoéderolagemsuave e a Eq. 11-6 pode ser empregada. (Se não fosse o atrito, as corridas de bicicleta seriamestacionáriasemuitoenfadonhas.)SeavelocidadederotaçãodarodanaFig.11-7estivessediminuindo,comonocasodeumabicicleta

sendofreada,afigurateriaquesofrerduasmodificações:osentidodaaceleraçãodocentrodemassaCMeosentidodaforçadeatrito snopontoPpassariamaserparaaesquerda.

RolagemparaBaixoemumaRampa

AFig.11-8mostraumcorporedondo,homogêneo,demassaMeraioR,rolandosuavementeparabaixoao longo de um eixo x em uma rampa inclinada, de ângulo θ. Queremos obter uma expressão para aaceleraçãodocorpoaCM,xaolongodarampa.Paraisso,usamosasversõeslinear(Fres=Ma)eangular(τres=Iα)dasegundaleideNewton.

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Figura11-8 Umcorpo redondo,homogêneo,de raioR, rolaparabaixoemuma rampa.As forçasqueagemsobreocorposãoa forçagravitacional g,aforçanormal Neaforçadeatritoestático s.(Paramaiorclareza,ovetor Nfoideslocadoaolongodalinhadeaçãoatéaorigemcoincidircomocentrodocorpo.)

Paracomeçar,desenhamosasforçasqueagemsobreocorpo,comomostraaFig.11-8:

Aforçagravitacional gqueatuasobreocorpoapontaparabaixo.Aorigemdovetorestánocentrodemassadocorpo.AcomponenteparalelaàrampaéFgsenθ,queéigualaMgsenθ.Aforçanormal NéperpendicularàrampaeatuanopontodecontatoP,mas,naFig.11-8,ovetorfoideslocadoaolongodalinhadeaçãoatéqueaorigemficassenocentrodemassadocorpo.Aforçadeatritoestático s atuanopontodecontatoP e estádirigidaparacima,paralelamenteàrampa.(Vocêpercebeporquê?CasoocorpodeslizassenopontoP,omovimentoseriaparabaixo,paralelamenteàrampa.Assim,aforçadeatritoqueseopõeaodeslizamentodeveapontarparacima,paralelamenteàrampa.)Podemosescreverasegunda leideNewtonparaascomponentesemrelaçãoaoeixoxdaFig.11-8

(Fres,x=Max)como

AEq.(11-7)temduasincógnitas,fseaCM,x.(Nãopodemosdizerqueovalordefscorrespondeaovalormáximo,fs,máx.Tudoquesabemoséqueovalordefsésuficienteparaqueocorporolesuavementeparabaixonarampa,semdeslizar.)AgorapodemosusaraformaangulardasegundaleideNewtonparadescreverarotaçãodocorpoem

tornodeumeixohorizontalpassandopelocentrodemassa.Paracomeçar,usamosaEq.10-41(t=r⊥F)paracalcularostorquesaqueocorpoestásubmetido.Aforçadeatrito spossuiumbraçodealavancaR e,portanto,produzum torqueRfequeépositivo, jáque tendea fazerocorpogirarnosentidoanti-horáriodaFig.11-8.Asforças ge Npossuembraçodealavancanuloemrelaçãoaocentrodemassae,

portanto,produzemtorquenulo.Assim,podemosescreveraformaangulardasegundaleideNewton(τres=Iα)emrelaçãoaumeixohorizontalpassandopelocentrodemassacomo

AEq.(11-8)temduasincógnitas,fseα.Como o corpo está rolando suavemente, podemos usar a Eq. 11-6 (aCM = αR) para relacionar as

incógnitasaCM,xeα.Entretanto,devemostercuidado,poisnessecasoaCM,xénegativa(apontanosentidonegativodoeixox)eαépositiva(apontanosentidoanti-horário).Assim,devemosfazerα=−aCM,x/RnaEq.11-8.Explicitandofs,obtemos

SubstituindofsnaEq.11-7peloladodireitodaEq.11-9,obtemos:

PodemosusaraEq.11-10paracalcularaaceleraçãolinearaCM,xdequalquercorpoquerolasuavementeemumplanoinclinadocujoângulocomahorizontaléθ.Notequeaforçagravitacionalfazocorpodescerarampa,maséaforçadeatritoestáticoquefazo

corporolar.Seeliminarmosoatrito(passandograxanarampa,porexemplo)ouseMgsenθ>fs,máx,emvezderolarsuavemente,ocorpopassaráadeslizarparabaixonarampa.

Teste2OsdiscosAeBsãoiguaiserolaminicialmenteemumpisohorizontalcomamesmavelocidade.OdiscoAsobeumarampacom

atritoeatingeumaalturamáximah;odiscoBsobeumarampaigualàprimeira,massematrito.Aalturamáximaatingidapelo

discoBémaior,menorouigualah?

Exemplo11.01 Bolaquedesceumarampa

Umabolahomogênea,demassaM=6,00kgeraioR,rolasuavemente,apartirdorepouso,descendoumarampainclinadade

ânguloθ=30,0º(Fig.11-8).

(a)Aboladesceumadistânciaverticalh=1,20mparachegaràbasedarampa.Qualéavelocidadedabolaaochegaràbaseda

rampa?

IDEIAS-CHAVE

AenergiamecânicaEdosistemabola-Terraéconservadaquandoabolarolarampaabaixo.Issoaconteceporqueaúnicaforçaque

realizatrabalhosobreabolaéaforçagravitacional,queéumaforçaconservativa.Aforçanormalexercidapelarampasobrea

bola não realiza trabalhoporque é perpendicular à trajetória da bola. A força de atrito exercida pela rampa sobre a bola não

transformaenergiaemenergiatérmicaporqueabolanãodesliza(abolarolasuavemente).

Sendoassim,podemosescreveraleideconservaçãodaenergiamecânica(Ef=Ei)naforma

emqueosíndicesfeisereferemaosvaloresfinal(nabasedarampa)einicial(noaltodarampa),respectivamente.Aenergia

potencialgravitacionalé,inicialmente,Ui=Mgh(emqueMéamassadabola).Nasituaçãofinal,Uf=0.Aenergiacinéticaé,

inicialmente,Ki= 0. Para calcular a energia cinética finalKf, precisamos de uma ideia adicional: Como a bola rola, a energia

cinéticaenvolvetranslaçãoerotação,demodoquedevemosincluirasduasformasdeenergiacinéticausandooladodireitoda

Eq.11-5.

Cálculos:SubstituindotodasessasexpressõesnaEq.11-11,obtemos

emqueICMéomomentodeinérciadabolaemrelaçãoaumeixoquepassapelocentrodemassa,vCMéavelocidadepedidanabase

darampaeωéavelocidadeangularnabasedarampa.

Comoabolarolasuavemente,podemosusaraEq.11-2parasubstituirωporvCM/RereduzironúmerodeincógnitasdaEq.11-

12.Fazendoisso,substituindoICMporMR2(deacordocomaTabela10-2f)eexplicitandovCM,obtemos

NotequearespostanãodependedeMoudeR.

(b)Quaissãoomóduloeaorientaçãodaforçadeatritoqueagesobreabolaquandoaboladescearamparolandosuavemente?

IDEIA-CHAVE

Comoabolarolasuavemente,aforçadeatritoqueagesobreabolaédadapelaEq.11-9.

Cálculos:ParausaraEq.11-9,precisamosconheceraaceleraçãodabola,aCM,x,quepodesercalculadacomoauxíliodaEq.11-10:

Note que não precisamos conhecer amassaM e o raioR da bola para calcularaCM,x. Isso significa que uma bola de qualquer

tamanhoequalquermassa(contantoqueadistribuiçãodemassasejauniforme) temamesmaaceleraçãoparabaixoemuma

rampacomumainclinaçãode30,0°,desdequerolesuavemente.

PodemosagoraresolveraEq.11-9paraobterovalordomódulodaforçadeatrito:

NotequeprecisamosdamassaM,masnãodoraioR.Issosignificaqueaforçadeatritoexercidasobrequalquerbolade6,00kg

querolarsuavementeemumarampade30,0°seráde8,40N,independentementedoraiodabola.

11-3OIOIÔ


11.09Desenharodiagramadecorpolivredeumioiôemmovimento.

11.10Saberqueoioiôéumobjetoquerolasuavementeparacimaeparabaixoemumarampacomumainclinaçãode90°.

11.11Conhecerarelaçãoentreaaceleraçãoeomomentodeinérciadeumioiô.

11.12Calcularatraçãodacordaquesustentaumioiôemmovimento.

Ideia-Chave• Um ioiô pode ser considerado como uma roda que rola suavemente para cima e para baixo em uma rampa com umainclinaçãode90°.

OIoiôOioiôéumlaboratóriodefísicaquecabenobolso.Seumioiôdescerolandoumadistânciahaolongodacorda,eleperdeumaquantidadedeenergiapotencialigualamgh,masganhaenergiacinéticatantonaformade translação comode rotação .Quando volta a subir, perde energia cinética ereadquireenergiapotencial.Nosioiôsmodernos,acordanãoestápresanoeixo,masformaumalaçadaemtornodoeixo.Quando

oioiô“bate”naextremidadeinferiordacorda,umaforçadirigidaparacima,exercidapelacordasobre

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2.

3.

oeixo,interrompeadescida.Oioiôpassaagirar,comoeixoenlaçadopelacorda,apenascomenergiacinética rotacional. O ioiô semantém girando (“adormecido”) até ser “despertado” por um puxão nacorda,queafazseenrolarnoeixo;consequentemente,oioiôvoltaasubir.Aenergiacinéticarotacionaldo ioiônaextremidade inferiordacorda(e,portanto,o tempode“sono”)podeserconsideravelmenteaumentada arremessando o ioiô para baixo para que comece a descer a corda com velocidade linearinicialvCMevelocidadeangularωemvezderolarparabaixoapartirdorepouso.ParaobterumaexpressãoparaaaceleraçãolinearaCMdeumioiôquerolaparabaixoemumacorda,

podemosusarasegundaleideNewton,comofizemosparaocorpoquerolavaparabaixonarampadaFig.11-8.Aanáliseéamesma,excetopeloseguinte:

Emvezdedescerrolandoemumarampaquefazumânguloθcomahorizontal,oioiôdesceporumacordaquefazumânguloθ=90ºcomahorizontal.EmvezderolarnasuperfícieexternaderaioR,oioiôrolaemtornodeumeixoderaioR0(Fig.11-9a).Emvez de ser freado pela força de atrito s, o ioiô é freado pela força de tração que a cordaexercesobreele(Fig.11-9b).

AanálisedomovimentonoslevarianovamenteàEq.11-10.Assim,vamosapenasmudaranotaçãodaEq.11-10efazerθ=90°paraescreveraaceleraçãolinearcomo

emqueICMéomomentodeinérciadoioiôemrelaçãoaumeixopassandopelocentroeMéamassa.Umioiôpossuiamesmaaceleraçãoparabaixoquandoestásubindodevolta.

Figura11-9 (a)Umioiôvistodelado.Acorda,consideradadeespessuradesprezível,estáenroladaemumeixoderaioR0.(b)Diagramadecorpolivredoioiôduranteadescida.Apenasoeixoémostrado.

11-4REVISÃODOTORQUE


11.13Saberqueotorqueéumagrandezavetorial.

11.14Saberqueopontoemrelaçãoaoqualotorqueécalculadodevesempreserespecificado.

11.15Determinarotorqueproduzidoporumaforçasobreumapartículacalculandooprodutovetorialdovetorposiçãodapar-tículapelovetorquerepresentaaforça.

11.16Usararegradamãodireitaparadeterminaraorientaçãodeumtorque.

Ideias-Chave•Emtrêsdimensões,otorque umagrandezavetorialdefinidaemrelaçãoaumpontofixo(emgeral,aorigemdeumsistemadecoordenadas)pormeiodaequação

= ×

emque éumaforçaaplicadaaumapartículae éovetorposiçãodapartículaemrelaçãoaopontofixo.

•Omódulode édadopor

τ=rFsenφ=rF⊥=r⊥F,

emqueϕéoânguloentre e ,F┴éacomponentede perpendiculara er┴éobraçodealavancade .

•Aorientaçãode édadapelaregradamãodireitaparaprodutosvetoriais.

RevisãodoTorqueNoCapítulo10,definimosotorqueτdeumcorporígidocapazdegiraremtornodeumeixofixo,comtodasaspartículasdocorpoforçadasasemoveremtrajetóriascircularescomcentronesseeixo.Agora,vamos ampliar a definição de torque para aplicá-la a uma partícula que se move em uma trajetóriaqualqueremrelaçãoaumpontofixo(emvezdeumeixofixo).Atrajetórianãoprecisamaissercircular,edevemosescrevero torquecomoumvetor quepode ter qualquer orientação.Podemos calcular omódulodessevetorusandoumaexpressãomatemáticaedeterminaraorientaçãodessevetorusandoaregradamãodireitaparaprodutosvetoriais.

Figura11-10 Definiçãodo torque. (a)Umaforça ,noplanoxy, age sobreumapartícula situadanopontoA. (b)A força produz umtorque (= × )sobreapartículaemrelaçãoàorigemO.Deacordocomaregradamãodireitaparaoprodutovetorial,ovetortorqueapontanosentidopositivodoeixoz.OmódulodovetorédadoporrF⊥em(b)eporr⊥Fem(c).

AFig.11-10amostraumapartículanopontoAdeumplanoxy.Umaúnicaforça nesseplanoagesobreapartícula,eaposiçãodapartículaemrelaçãoàorigemOédadapelovetorposição .OtorquequeagesobreapartículaemrelaçãoaopontofixoOéumagrandezavetorialdefinidapor

Podemoscalcularoprodutovetorialenvolvidonadefiniçãode usandoasregrasdoprodutovetorialqueaparecemnoMódulo3-3.Paradeterminaraorientaçãode ,deslocamosovetor (semmudaraorientação) até que a origem do vetor esteja no pontoO, o que faz coincidirem as origens dos doisvetoresenvolvidosnoprodutovetorial,comonaFig.11-10b.Emseguida,usamosaregradamãodireitaparaosprodutosvetoriaisdaFig.3-19a,envolvendocomosdedosdamãodireitaovetor (oprimeirovetor no produto), com as pontas dos dedos apontando para (o segundo vetor). O polegar direito,esticado,mostraaorientaçãode .NaFig.11-10b,aorientaçãode éosentidopositivodoeixoz.

Paradeterminaromódulode ,aplicamosaexpressãogeraldaEq.3-27(c=absenϕ),quenosdá

emqueϕéomenordosângulosentre e quandoasorigensdosvetorescoincidem.DeacordocomaFig.11-10b,aEq.11-15podeserescritanaforma

emqueF⊥(=Fsenϕ)éacomponentede perpendiculara .DeacordocomaFig.11-10c,aEq.11-15tambémpodeserescritanaforma

emquer⊥(=rsenϕ)éobraçodealavancade (adistânciaperpendicularentreopontoOealinhadeaçãode ).

Teste3Ovetorposição deumapartículaapontanosentidopositivodeumeixoz.Seotorqueaqueapartículaestásubmetida(a)é

zero,(b)apontanosentidonegativodex,e(c)apontanosentidonegativodey,qualéaorientaçãodaforçaresponsávelpelo

torque?

Exemplo11.02 Torqueexercidoporumaforçasobreumapartícula

NaFig.11-11a,trêsforças,todasdemódulo2,0N,agemsobreumapartícula.Apartículaestánoplanoxy,emumpontoA,dado

porumvetorposição talquer=3,0meθ=30º.Qualéotorque,emrelaçãoàorigemO,produzidoporcadaumadastrês

forças?

IDEIA-CHAVE

Comoostrêsvetoresdasforçasnãoestãonomesmoplano,nãopodemoscalcularostorquescomonoCapítulo10.Emvezdisso,

devemosusarprodutosvetoriais,commódulosdadospelaEq.11-15(τ=rFsenϕ)eorientaçõesdadaspelaregradamãodireita

paraprodutosvetoriais.

Cálculos:ComoestamosinteressadosemcalcularostorquesemrelaçãoàorigemO,ovetor usadoparacalcularosprodutos

vetoriaiséoprópriovetorposiçãoqueaparecenoenunciadodoproblema.Paradeterminaroânguloϕentreaorientaçãode e

aorientaçãodecadaforça,deslocamososvetoresforçadaFig.11-11a,umdecadavez,paraqueaorigemcoincidacomoponto

O. As Figs. 11-11b, 11-11c e 11.11d, que são vistas diretas do plano xz,mostram os vetores força deslocados 1, 2e 3,

respectivamente.(Observecomoissotornamuitomaisfácilvisualizarosângulos.)NaFig.11-11d,oânguloentreasorientações

de e 3é90°eosímbolo⊗significaqueosentidode 3éparadentrodopapel.(Seosentidodaforçafosseparaforado

papel,elaseriarepresentadapelosímbolo⊙.)

AplicandoaEq.11-15acadaforça,obtemososmódulosdostorques:

Paradeterminaraorientaçãodessestorques,usamosaregradamãodireita,posicionandoosdedosdamãodireitaemvoltade

demodoaqueapontempara nadireçãodomenordosângulosentreosdoisvetores.Opolegarapontanadireçãodotorque.

Assim, 1 aponta para dentro do papel na Fig. 11-11b; 2 aponta para fora do papel na Fig. 11-11c; 3 tem a orientação

mostradanaFig.11-11d.OstrêsvetorestorquesãomostradosnaFig.11-11e.

Figura11-11 (a)UmapartículanopontoAsofreaaçãodetrêsforças,cadaumaparalelaaumdoseixosdecoordenadas.

Oânguloϕ(usadoparadeterminarotorque)émostrado(b)para 1e(c)para 2.(d)Otorque 3 éperpendicular tantoa

comoa 3(aforça 3apontaparadentrodopapel).(e)Ostorques(emrelaçãoàorigemO)queagemsobreapartícula.

11-5MOMENTOANGULAR


11.17Saberqueomomentoangularéumagrandezavetorial.

11.18Saberqueopontofixoemrelaçãoaoqualomomentoangularécalculadodevesempreserespecificado.

11.19Determinaromomentoangulardeumapartículacalculandooprodutovetorialdovetorposiçãodapartículapelovetorquerepresentaomomento.

11.20Usararegradamãodireitaparadeterminaraorientaçãodeummomentoangular.

Ideias-Chave•Omomentoangular deumapartículademomentolinear ,massamevelocidadelinear éumagrandezavetorialdefinidaemrelaçãoaumpontofixo(emgeral,aorigemdeumsistemadecoordenadas)pormeiodaequação

= × =m( × ).

•Omódulode édadopor

emqueϕéoânguloentre e ,p┴ev┴sãoascomponentesde e perpendicularesa erτéadistânciaperpendicularentreopontofixoeoprolongamentode .•Aorientaçãode édadapelaregradamãodireitaparaprodutosvetoriais.Posicioneamãodireitaparaqueosdedosestejamnadireçãode efaçagirarosdedosemtornodapalmaatéqueestejamnadireçãode .Opolegarestendidoforneceráaorientaçãode .

MomentoAngularComovimosemcapítulosanteriores,oconceitodemomentolinear eoprincípiodeconservaçãodomomentolinearsãoferramentasextremamentepoderosas,quepermitemprever,porexemplo,oresultadodeumacolisãodedoiscarrossemconhecerosdetalhesdacolisão.Vamosiniciaragoraadiscussãodeumagrandezacorrespondentea paramovimentosderotação,terminandonoMódulo11-8comumalei,para movimentos de rotação, análoga à lei de conservação do momento linear, que pode levar amovimentosespetaculares(quasemágicos)nobalé,nossaltosornamentais,napatinaçãonogelo,eemmuitasoutrasatividadesesportivas.AFig.11-12mostraumapartículademassam emomento linear (=m ) que está passandopelo

pontoA de umplanoxy.Omomentoangular da partícula em relação à origemO é uma grandezavetorialdefinidapormeiodaequação

emque éovetorposiçãodapartículaemrelaçãoaO.QuandoapartículasemoveemrelaçãoaOna

direçãodomomentolinear (=m ),ovetorposição giraemtornodeO.Observeque,parapossuirmomentoangularemrelaçãoaO,apartículanãoprecisaestargirandoemtornodeO.ComparandoasEqs.11-14e11-18,vemosquea relaçãoentreomomentoangulareomomento linearéamesmaqueentre o torque e a força. A unidade de momento angular do SI é o quilograma-metro quadrado porsegundo(kg·m2/s),queequivaleaojoule-segundo(J·s).

Figura11-12 Definiçãodemomentoangular.UmapartículaaopassarpelopontoA temmomento linear (=m ),comovetor noplanoxy.Apartículatemmomentoangular (= × )emrelaçãoàorigemO.Pelaregradamãodireita,ovetormomentoangularapontanosentidopositivodez.(a)Omódulode édadoporℓ=rp⊥=rmv⊥.(b)Omódulode tambémédadoporℓ=r⊥p=r⊥mv.

Orientação.Paradeterminaraorientaçãodovetormomentoangular naFig.11-12, deslocamosovetor até que a origem coincida com o pontoO. Em seguida, usamos a regra damão direita paraprodutosvetoriaisenvolvendoovetor comosdedosdamãodireitaapontadosparaovetor .Odedopolegaresticadomostraque apontano sentidopositivodoeixoz daFig.11-12.O sentido positivocorrespondeaumarotaçãodovetorposição nosentidoanti-horárioemtornodoeixoz,associadaaomovimentodapartícula.(Osentidonegativode corresponderiaaumarotaçãode emtornodoeixoznosentidohorário.)Módulo.Paradeterminaromódulode ,usamosaEq.3-27paraescrever

emqueϕéomenorânguloentre e quandoosdoisvetorestêmumaorigemcomum.DeacordocomaFig.11-12a,aEq.11-19podeserescritanaforma

emquep⊥ é a componente de perpendicular a ev⊥ é a componente de perpendicular a . DeacordocomaFig.11-12b,aEq.11-19podeserescritanaforma

emquer⊥éadistânciaperpendicularentreOeaextensãode .Importante.Noteo seguinte: (1)omomentoangular temsignificadoapenasemrelaçãoaumponto

dado; (2)ovetormomento angular é sempreperpendicular aoplano formadopelosvetoresposição emomentolinear, e .

Teste4Naparteadafigura,aspartículas1e2giramemtornodopontoOemsentidosopostos,emcircunferênciasde4me2mderaio,

respectivamente.Naparteb,aspartículas3e4semovemnamesmadireção,emlinhareta,a4me2mdedistânciaperpendicular

dopontoO,respectivamente.Apartícula5seafastadeOaolongodeumalinharetaquepassaporO.Ascincopartículastêma

mesmamassaeamesmavelocidadeconstante.(a)Ordeneaspartículasdeacordocomomódulodomomentoangularemrelação

aO,emordemdecrescente.(b)QuaisdaspartículaspossuemmomentoangularnegativoemrelaçãoaO?

Exemplo11.03 Momentoangulardeumsistemadeduaspartículas

AFig. 11-13mostra uma vista superior de duas partículas que semovem com velocidade constante ao longo de trajetórias

horizontais.Apartícula1,comummomentodemódulop1=5,0kg·m/s,temumvetorposição 1epassaráa2,0mdedistância

dopontoO.Apartícula2,comummomentodemódulop2=2,0kg·m/s,temumvetorposição 2epassaráa4,0mdedistância

dopontoO.Qualéomóduloequaléaorientaçãodomomentoangulartotal emrelaçãoaopontoOdosistemaformadopelas

duaspartículas?

IDEIA-CHAVE

Paradeterminar ,bastacalcularosmomentosangularesdasduaspartículas, 1e 2,esomá-los.Paracalcularomódulodos

momentosangulares,podemosusarqualquerdasEqs.11-18a11-21.Entretanto,aEq.11-21éamais fácilnestecaso, jáque

conhecemosasdistânciasperpendicularesr⊥1(=2,0m)er⊥2(=4,0m)eomódulodosmomentoslineares,p1ep2.

Cálculos:Nocasodapartícula1,aEq.11-21nosdá

Figura11-13DuaspartículaspassamnasproximidadesdopontoO.

Paradeterminaraorientaçãodovetor 1,usamosaEq.11-18earegradamãodireitaparaprodutosvetoriais.Nocasode 1×

1,oprodutovetorialapontaparaforadopapel,perpendicularmenteaoplanodaFig.11-13.Esteéosentidopositivo,jáqueo

vetorposição 1dapartículagiranosentidoanti-horárioemrelaçãoaOquandoapartícula1semove.Assim,ovetormomento

angulardapartícula1é

ℓ1=+10Kg.m2/s.

Analogamente,omódulode 2é

eoprodutovetorial 2× 2apontaparadentrodopapel,queéosentidonegativo,jáqueovetorposição 2giranosentido

horárioemrelaçãoaOquandoapartícula2semove.Assim,ovetormomentoangulardapartícula2é

ℓ2=–8.0Kg.m2/s.

Omomentoangulartotaldosistemaformadopelasduaspartículasé

OsinalpositivoindicaqueomomentoangularresultantedosistemaemrelaçãoaopontoOapontaparaforadopapel.

11-6ASEGUNDALEIDENEWTONPARAROTAÇÕES


11.21UsarasegundaleideNewtonpararotaçõespararelacionarotorquequeagesobreumapartículaàvariaçãodomomentoangulardapartícula.

Ideia-Chave•AsegundaleideNewtonpararotaçõeséexpressapelaequação

emque reséotorqueresultantequeagesobreapartículae éomomentoangulardapartícula.

ASegundaLeideNewtonparaRotaçõesAsegundaleideNewtonescritanaforma

expressaarelaçãoentreforçaemomentolinearparaumapartículaisolada.Temosvistoumparalelismosuficienteentregrandezaslineareseangularesparaestarsegurosdequeexistetambémumarelaçãoentretorqueemomentoangular.GuiadospelaEq.11-22,podemosatémesmoconjeturarqueessarelaçãosejaaseguinte:

AEq.11-23é,defato,umaformadasegundaleideNewtonqueseaplicaaomovimentoderotaçãodeumapartículaisolada:

A soma (vetorial) dos torques que agem sobre umapartícula é igual à taxa de variação como tempodomomento angular da

partícula.

AEq.11-23nãofazsentido,amenosqueotorque reseomomentoangular sejamdefinidosemrelaçãoaomesmoponto,que,emgeral,éaorigemdosistemadecoordenadasescolhido.


ComeçamoscomaEq.11-18,adefiniçãodomomentoangulardeumapartícula:

=m( × ),

emque éovetorposiçãodapartículae éavelocidadedapartícula.Derivando1ambososmembrosemrelaçãoaotempot,obtemos:

Comod /dtéaaceleração dapartícula,ed /dtéavelocidade ,podemosescreveraEq.11-24naforma

Aconteceque × =0(oprodutovetorialdequalquervetorporsipróprioézero,poisoânguloentreosdoisvetoresénecessariamentezero).Assim,oúltimotermodaexpressãoénulo,etemos:

Podemosusar a segunda leideNewton ( =m )para substituirm pela somadas forças que atuamsobreapartícula,obtendo

Aqui, o símbolo Σ indica que devemos somar os produtos vetoriais × para todas as forças.Entretanto,deacordocomaEq.11-14,cadaumdessesprodutosvetoriaiséotorqueassociadoàforçacorrespondente.Assim,aEq.11-25nosdizque

Trata-sedaEq.11-23,arelaçãoquequeríamosdemonstrar.

Teste5Afiguramostraovetorposição deumapartículaemumcertoinstanteequatroopçõesparaaorientaçãodeumaforçaquedeve

acelerarapartícula.Asquatroopçõesestãonoplanoxy.(a)Ordeneasopçõesdeacordocomomódulodataxadevariaçãocomo

tempo (d /dt) queproduzemnomomentoangulardapartícula em relaçãoaopontoO, emordemdecrescente. (b)Qual das

opçõesestáassociadaaumataxadevariaçãonegativadomomentoangularemrelaçãoaopontoO?

Exemplo11.04 Torqueederivadadomomentoangularemrelaçãoaotempo

AFig.11-14amostraoinstantâneodeumapartículade0,500kgquesemoveemlinharetacomumvetorposiçãodadopor

com emmetrosetemsegundos,parat=0.Ovetorposiçãoapontadaorigemparaapartícula.Determine,nanotaçãodos

vetoresunitários,omomentoangular dapartículaeo torque aqueapartículaestá sujeita,ambosemrelaçãoàorigem.

Justifiqueossinaisalgébricosemtermosdosentidodomovimentodapartícula.

IDEIAS-CHAVE

(1)Opontoemrelaçãoaoqualomomentoangulardeumapartículaserácalculadodevesempreserespecificado.Nesteexemplo,

opontoéaorigem.(2)Omomentoangular deumapartículaédadopelaEq.11-18[ = × =m( × )]. (3)Osinal

associadoaomomentoangulardapartículaédadopelosentidodarotaçãodovetorposiçãodapartícula(emtornodopontode

referência) quandoapartícula semove: se a rotaçãoéno sentidohorário, o sinal énegativo; se a rotaçãoéno sentido anti-

horário,osinalépositivo.(4)Seotorqueaplicadoaumapartículaeomomentoangulardapartículasãocalculadosemrelaçãoao

mesmoponto,arelaçãoentreotorqueeomomentoangularédadapelaEq.11-23( =(d /dt).

Figura11-14(a)Umapartículaquesemoveemlinhareta,mostradanoinstantet=0.(b)Ovetorposiçãoemt=0,1,00se

2,00s.(c)Oprimeiropassoparaaplicararegradamãodireitaparaprodutosvetoriais.(d)Osegundopasso.(e)Ovetormomento

angulareovetortorqueapontamnosentidopositivodoeixoz,ouseja,paraforadopapel.

Cálculos: Para calcular o momento angular em relação à origem, usamos a Eq. 11-18; a velocidade da partícula é obtida

derivandoovetorposiçãodapartículaemrelaçãoaotempo.DeacordocomaEq.4-10( =d /dt),temos:

com emm/s.

Emseguida,calculamosoprodutovetorialde e usandooresultadogenéricoexpressopelaEq.3-27:

× =(aybz–byaz) +(azbx–bzax) +(axby–bxay) .

Emnosso caso, teríamosde substituir por e por . Entretanto, podemos economizar algum trabalho raciocinando

primeiroemtermosdoprodutogenérico.Como nãotemcomponentezeascomponentesyezde sãonulas,oúnicotermo

diferentedezerodoprodutogenéricoéoúltimo(−bxay) .Assim,temos:

× =–(–4,00t–1,00)(5,00) =(20,0t+5,00) m2/s.

Noteque,comosempre,oresultadodoprodutovetorialéumvetorperpendicularaosvetoresoriginais.

ParaaplicaraEq.11-18,multiplicamosesseresultadopelamassadapartícula,quenosdá

OtorqueemrelaçãoàorigemédadopelaEq.11-23:

oquemostraqueotorqueapontanosentidopositivodoeixoz.

Oresultadoobtidopara mostraqueomomentoangularapontanosentidopositivodoeixoz.Paraverificarseosentidode

écoerentecomosentidoderotaçãodovetorposição,vamoscalcularovetorposiçãoparaváriosinstantesdetempo:

Desenhando esses resultados, como na Fig. 11-14b, vemos que gira no sentido anti-horário (que é o sentido positivo de

rotação) para acompanhar omovimento da partícula. Assim, embora a partícula esteja semovendo em linha reta, seu vetor

posiçãoestágirandonosentidoanti-horárioemrelaçãoàorigeme,portanto,apartículapossuiummomentoangularpositivo

emrelaçãoàorigem.

Podemostambémverificarseosentidode estácorreto,aplicandoaregradamãodireitaparaprodutosvetoriaisaoproduto

× , ou, se o leitor preferir, ao produtom × que tem amesma orientação. Em qualquer instante domovimento da

partícula, osdedosdamãodireita estão inicialmente estendidosnadireçãodoprimeiro vetordoproduto vetorial ( ), como

mostraaFig.11-14c.Emseguida,aorientaçãodamãoéajustadaparaqueosdedosgirememtornodapalmaatéficaremna

direçãodosegundovetordoprodutovetorial( ),comoindicadonaFig.11-14d.Nesseinstante,opolegarestendidomostraa

orientaçãodovetorqueresultadoprodutovetorial.ComomostraaFig.11-14e,essevetorapontanosentidopositivodoeixoz

(ouseja,paraforadoplanodopapel),oqueestádeacordocomoresultadoanterior.AFig.11-14emostraaindaaorientaçãode

,quetambémapontanosentidopositivodoeixozporqueomomentoangularapontanessadireçãoeomódulodomomento

angularestáaumentando.

11-7MOMENTOANGULARDEUMCORPORÍGIDO


11.22UsarasegundaleideNewtonpararotaçõespararelacionarotorquequeagesobreumsistemadepartículasàvariaçãodomomentoangulardosistema.

11.23Conhecerarelaçãoentreomomentoangulardeumcorporígidoemrelaçãoaumeixo fixo,omomentode inérciadocorpoeavelocidadeangulardocorpoemrelaçãoaoeixo.

11.24Calcularomomentoangularresultantedeumsistemadedoiscorposrígidosquegiramemtornodomesmoeixo.

Ideias-Chave•Omomentoangular deumsistemadepartículaséasomavetorialdosmomentosangularesdaspartículasdosistema:

•Ataxadevariaçãodomomentoangularcomotempoéigualaotorqueresultanteexternoqueagesobreosistema(asomavetorialdostorquesproduzidosporforçasexternasqueagemsobrepartículasdosistema):

•Nocasodeumcorporígidoquegiraemtornodeumeixofixo,acomponentedomomentoangularparalelaaoeixoderotaçãoédadapor

L=Iω(corporígidoeixofixo).

MomentoAngulardeumSistemadePartículasVoltamos agora nossa atençãopara omomento angular de um sistemade partículas em relação a umaorigem. O momento angular total do sistema é a soma (vetorial) dos momentos angulares daspartículasdosistema:

Osmomentosangularesdaspartículaspodemvariarcomotempoporcausadeforçasexternasouporcausadeinteraçõesentreaspartículas.Podemosdeterminaravariaçãototalde derivandoaEq.11-26emrelaçãoaotempo:

DeacordocomaEq.11-23,d i/dtéigualaotorqueresultante res,iaqueestásubmetidaapartículadeordemi.Assim,aEq.11-27podeserescritanaforma

Isso significa que a taxa de variação domomento angular do sistema é igual à soma vetorial dos

torques a que estão submetidas as partículas do sistema. Esses torques podem ser torques internos(produzidospor forças associadas a outras partículas do sistema) e torquesexternos (produzidos porforçasassociadasacorposexternosaosistema).Entretanto,comoasforçasexercidaspelaspartículasdosistemasempreaparecemnaformadeparesdeforçasdaterceiralei,asomadostorquesproduzidosporessas forças é nula. Assim, os únicos torques que podem fazer variar omomento angular total dosistemasãoostorquesproduzidosporforçasexternasaosistema.TorqueExternoResultante.Chamandode res o torqueexterno resultante,ou seja, a somavetorial

dostorquesexternosqueagemsobreaspartículasdosistema,aEq.11-28podeserescritanaforma

queéasegundaleideNewtonpararotações.Empalavras:

O torqueexterno resultante res que age sobre um sistema de partículas é igual à taxa de variação com o tempo domomento

angulartotal dosistema.

AEq.11-29éanálogaàEq.9-27( res=d /dt),mas requer umcuidado adicional:Os torques e omomentoangulardosistemadevemsermedidosemrelaçãoàmesmaorigem.Seocentrodemassadosistemanãoestáaceleradoemrelaçãoaumreferencial inercial,essaorigempodeserqualquerponto.Caso, porém, o centro de massa do sistema esteja acelerado, a origem deve ser o centro de massa.Considere,porexemplo,umarodacomoosistemadepartículas.Searodaestágirandoemtornodeumeixo fixo em relação ao solo, a origem usada para aplicar a Eq. 11-29 pode ser qualquer pontoestacionário em relação ao solo.Entretanto, se a roda estiver girando em tornodeumeixo acelerado(comoacontece,porexemplo,quandoarodaestádescendoumarampa),aorigemdeveserocentrodemassadaroda.

MomentoAngulardeumCorpoRígidoGirandoemTornodeumEixoFixoVamosagoracalcularomomentoangulardeumcorporígidoquegiraemtornodeumeixofixo.AFig.11-15amostraumcorpodessetipo.Oeixofixoderotaçãoéoeixoz,eocorpogiraemtornodoeixocomumavelocidadeangularconstanteω.Estamosinteressadosemcalcularomomentoangulardocorpoemrelaçãoaesseeixo.Podemos calcular omomento angular somando as componentes z domomento angular de todos os

elementos demassa do corpo. Na Fig. 11-15a, um elemento de massa típico, de massa Δmi, está semovendoemtornodoeixozemumatrajetóriacircular.AposiçãodoelementodemassaemrelaçãoàorigemO é dada pelo vetor posição i. O raio da trajetória circular do elemento de massa é ⊥i, a

distânciaperpendicularentreoelementoeoeixoz.Omódulodomomentoangular idesseelementodemassaemrelaçãoaOédadopelaEq.11-19:

ℓi=(ri)(pi)(sen90°)=(ri)(Δmivi),

emquepievisãoomomentolineareavelocidadelineardoelementodemassa,e90°éoânguloentre i

e i.Ovetormomentoangular idoelementodemassadaFig.11-15aaparecenaFig.11-15b;ovetoréperpendiculara ie i.AsComponentesz.Estamosinteressadosnacomponentede inadireçãoparalelaaoeixoderotação,

emnossocasooeixoz.Essacomponenteédadapor

ℓiz=ℓisenθ=(risenθ)(Δmivi)=r⊥iΔmivi.

A componente z domomento angular do corpo rígido como um todo pode ser calculada somando ascontribuiçõesdetodososelementosdemassadocorpo.Comov=ωr⊥,podemosescrever

Figura11-15 (a)Umcorporígidogiraemtornodeumeixozcomvelocidadeangularω.UmelementodemassaΔmisituadonointeriordocorposemoveemtornodoeixozemumcírculoderaior⊥i.Oelementodemassapossuimomentolinear i,esuaposiçãoemrelaçãoàorigemOédeterminadapelovetorposição i.Oelementodemassaémostradonafiguranoinstanteemquer⊥iestáparaleloaoeixox.(b)Omomentoangular idoelementodemassadoitem(a)emrelaçãoaO.Acomponentez,ℓiz,tambémémostradanafigura.

Podemos colocarω do lado de fora do somatório porque tem omesmo valor em todos os pontos docorporígido.OfatorΣΔmi daEq.11-30éomomentodeinérciaIdocorpoemrelaçãoaoeixofixo(vejaaEq.

10-33).Assim,aEq.11-30sereduza

OíndicezfoiomitidonaEq.11-31,masoleitordeveteremmentequeomomentoangularqueaparecenaequaçãoéomomentoangularemtornodoeixoderotaçãoequeIéomomentodeinérciaemrelaçãoaomesmoeixo.A Tabela 11-1, que complementa a Tabela 10-3, amplia nossa lista de correspondências entre

movimentosdetranslaçãoerotação.

Tabela11-1OutrasCorrespondênciasentreosMovimentosdeTranslaçãoeRotaçãoa

Translação Rotação

Força Torque (= × )

Momentolinear Momentoangular (= × )

Momentolinearb (=Σ i) Momentoangularb (=Σ i)

Momentolinearb =M CM Momentoangularc L=Iω

SegundaleideNewtonb SegundaleideNewtonb

Leideconservaçãod =constante Leideconservaçãod =constante

aVejatambémaTabela10-3.bParasistemasdepartículas,incluindocorposrígidos.cParaumcorporígidogirandoemtornodeumeixofixo;Léacomponenteparalelaaoeixo.dParaumsistemafechadoeisolado.

Teste6Nafigura,umdisco,umaneleumaesferamaciçasãopostosparagiraremtornodeumeixocentralfixo(comopiões)pormeiode

umbarbanteenrolado,queaplicaamesmaforçatangencialconstante aostrêsobjetos.Ostrêsobjetostêmamesmamassaeo

mesmoraioeestãoinicialmenteemrepouso.Ordeneosobjetosdeacordo(a)comomomentoangularemrelaçãoaoeixocentral

e(b)comavelocidadeangular,emordemdecrescente,apósobarbantetersidopuxadoduranteomesmointervalodetempoΔt.

11-8CONSERVAÇÃODOMOMENTOANGULAR


11.25Senenhumaforçaresultanteexternaagesobreumsistemaaolongodeumeixo,aplicaraesseeixoaleideconservaçãodomomentoangularpararelacionaromomentoangularinicialdosistemaaomomentoangularemuminstanteposterior.

Ideia-Chave•Omomentoangular deumsistemapermanececonstanteseotorqueresultanteexternoqueagesobreosistemaézero:

Essaéaleideconservaçãodomomentoangular.

ConservaçãodoMomentoAngularAtéomomento,discutimosapenasduasleisdeconservação:aleideconservaçãodaenergiaealeideconservaçãodomomento linear.Vamos agora falar deuma terceira lei domesmo tipo, que envolve aconservaçãodomomentoangular.OpontodepartidaéaEq.11-29( res=d i/dt),queéasegundaleideNewtonpararotações.Senenhumtorqueexternoresultanteagesobreosistema,aequaçãosetornad /dt=0ouseja,

Esseresultado,conhecidocomoleideconservaçãodomomentoangular, tambémpodeserescritonaforma

AsEqs.11-32e11-33significamoseguinte:

Seotorqueexternoresultantequeagesobreumsistemaénulo,omomentoangular dosistemapermanececonstante,sejam

quaisforemasmudançasqueocorremdentrodosistema.

AsEqs.11-32e11-33 são equaçõesvetoriais; como tais, são equivalentes a três equaçõespara ascomponentes, que correspondem à conservação do momento angular em três direções mutuamenteperpendiculares.Dependendodostorquesexternosqueagemsobreumsistema,omomentoangularpodeserconservadoapenasemumaouduasdireções:

Seacomponentedotorqueexternoresultantequeagesobreumsistemaaolongodeumeixoénula,acomponentedomomento

angulardosistemaaolongodesseeixopermanececonstante,sejamquaisforemasmudançasqueocorremdentrodosistema.

Trata-sedeumainformaçãoimportante:Emsituaçõesdessetipo,podemosconsiderarapenasosestadosinicialefinaldosistema,semnospreocuparmoscomoqueacontecenosestadosintermediários.PodemosaplicaressaleiaocorpoisoladodaFig.11-15,queestágirandoemtornodoeixoz.Suponha

que,emumcertoinstante,amassadocorposejaredistribuídadetalformaqueomomentodeinérciaemrelaçãoaoeixozmudedevalor.DeacordocomasEqs.11-32e11-33,omomentoangulardocorponãopodemudar.SubstituindoaEq.11-31(paraomomentoangularaolongodoeixoderotação)naEq.11-33,essaleideconservaçãosetorna

Osíndices,aqui,sereferemaosvaloresdomomentodeinérciaIedavelocidadevantesedepoisdaredistribuiçãodemassa.Comoacontece comasduasoutras leis de conservaçãodiscutidas anteriormente, as aplicaçõesdas

Eqs.11-32e11-33vãoalémdoslimitesdamecânicanewtoniana.Asmesmasequaçõessãoválidasparapartículasquesemovemaumavelocidadepróximadavelocidadedaluz(casoemquedeveserusadaateoriadarelatividadeespecial)epermanecemverdadeirasnomundodaspartículassubatômicas(emquereina a física quântica). Nenhuma exceção à lei de conservação do momento angular jamais foidescoberta.Discutiremosaseguirquatroexemplosqueenvolvemessalei.

1.

Figura11-16 (a)Oestudantepossuiummomentodeinérciarelativamentegrandeemrelaçãoaoeixoderotaçãoeumavelocidadeangularrelativamente pequena. (b) Diminuindo o momento de inércia, o estudante automaticamente aumenta a velocidade angular. O momentoangular dosistemapermaneceinalterado.

AlunoquegiraAFig.11-16mostraumestudantesentadoemumbancoquepodegirarlivrementeemtornodeumeixovertical.Oestudante,quefoipostoemrotaçãocomumapequenavelocidadeangularinicialωi, segura dois halteres com os braços abertos. O vetor momento angular do estudantecoincidecomoeixoderotaçãoeapontaparacima.Oprofessorpedeaoestudanteparafecharosbraços;essemovimentoreduzomomentodeinércia

dovalor inicial Iiparaumvalormenor If,poisamassadoshalteres ficamaispróximadoeixoderotação.Avelocidadeangulardoestudanteaumentaconsideravelmente,deωiparaωf.O estudante

2.

3.

podereduziravelocidadeangularestendendonovamenteosbraçosparaafastaroshalteresdoeixoderotação.Nenhum torque externo resultante age sobre o sistema formado pelo estudante, o banco e os

halteres.Assim,omomentoangulardosistemaemrelaçãoaoeixoderotaçãopermanececonstante,independentemente do modo como o estudante segura os halteres. Na Fig. 11-16a, a velocidadeangularωi do estudante é relativamente baixa e omomento de inércia Ii é relativamente alto. Deacordo com a Eq. 11-34, a velocidade angular na Fig. 11-16b deve ser maior para compensar areduçãodeIf.

Salto de trampolim A Fig. 11-17 mostra uma atleta executando um salto duplo e meio mortalcarpado.Como era de se esperar, o centro demassa descreve uma trajetória parabólica.A atletadeixaotrampolimcomummomentoangular emrelaçãoaumeixohorizontalquepassapelocentrodemassa,representadoporumvetorperpendicularaopapelnaFig.11-17.Quandoamergulhadoraestánoar,elanãosofrenenhumtorqueexternoe,portanto,omomentoangularemtornodomesmoeixonãopodevariar.Levandobraçosepernasparaaposiçãocarpada,elareduzconsideravelmenteomomento de inércia em torno desse eixo e, assim, de acordo com aEq. 11-34, amergulhadoraaumentaconsideravelmentesuavelocidadeangular.Quandopassadaposiçãocarpadaparaaposiçãoesticadanofinaldosalto,omomentodeinérciaaumentaeavelocidadeangulardiminuiosuficienteparaaatletamergulharespirrandoomínimopossíveldeágua.Mesmoemumsaltomaiscomplicado,queenvolvatambémummovimentodeparafuso,omomentoangulardamergulhadoraéconservado,emmóduloeorientação,durantetodoosalto.

Salto em distância Quando uma atleta deixa o solo em uma prova de salto em distância, a forçaexercidapelosolosobreopédeimpulsãoimprimeaocorpoumarotaçãoparaafrenteemtornodeumeixohorizontal.Essarotação,casonãosejacontrolada,impedequeaatletachegueaosolocomapostura correta:Na descida, as pernas devem estar juntas e estendidas para a frente, para que oscalcanharestoquemaareiaomais longepossíveldopontodepartida.Depoisqueaatletadeixaosolo,omomentoangularnãopodemudar(éconservado), jáquenãoexistenenhumtorqueexterno.Entretanto,aatletapodetransferiramaiorpartedomomentoangularparaosbraços,fazendo-osgiraremumplanovertical(vejaaFig.11-18).Comisso,ocorpopermanecenaorientaçãocorretaparaapartefinaldosalto.

4.

Figura 11-17 O momento angular da nadadora é constante durante o salto, sendo representado pela origem ⊗ de uma setaperpendicular ao plano do papel. Note também que o centro de massa da nadadora (representado pelos pontos) segue uma trajetóriaparabólica.

TourjetéEmumtourjeté,umabailarinasaltacomumpequenomovimentoderotação,mantendoumaperna vertical e a outra perpendicular ao corpo (veja a Fig. 11-19a). A velocidade angular é tãopequenaquepodenãoserpercebidapelaplateia.Enquantoestásubindo,abailarinamovimentaparabaixo a perna que estava levantada e levanta a outra perna, fazendo com que ambas assumamumânguloθ comocorpo (Fig.11-19b).Omovimento é elegante,mas também serve para aumentar avelocidade angular, já que omomento de inércia da bailarina émenor na nova posição. Como ocorpo da bailarina não está sujeito a nenhum torque externo, omomento angular não pode variar.Assim,seomomentodeinérciadiminui,avelocidadeangulardeveaumentar.Quandoosaltoébemexecutado,aimpressãoparaaplateiaédequeabailarinacomeçaagirarderepenteeexecutaumavolta de180° antes que as orientações iniciais das pernas sejam invertidas em preparação para opouso.Quandoumadaspernasénovamenteestendida,arotaçãoparecedesaparecermagicamente.

Figura11-18 Nosaltoemdistância,arotaçãodosbraçosajudaamanterocorponaorientaçãocorretaparaapartefinaldosalto.

Figura11-19 (a)Parteinicialdeumtourjeté:omomentodeinérciaégrandeeavelocidadeangularépequena.(b)Parteintermediária:omomentodeinérciaémenoreavelocidadeangularémaior.

Teste7Umbesouro-rinoceronteestánabordadeumpequenodiscoquegiracomoumcarrossel.Seobesourosedeslocaemdireçãoao

centrododisco,asseguintesgrandezas(todasemrelaçãoaoeixocentral)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmas:(a)

momentodeinércia,(b)momentoangulare(c)velocidadeangular?

Exemplo11.05 Conservaçãodomomentoangular:rotaçãodeumarodaedeumbanco

AFig.11-20amostraumestudante,novamentesentadoemumbancoquepodegirarlivrementeemtornodeumeixovertical.O

estudante,inicialmenteemrepouso,seguraumarodadebicicletacujabordaéfeitadechumboecujomomentodeinérciaIrem

relaçãoaoeixocentralé1,2kg·m2.(Ochumboserveparaaumentarovalordomomentodeinércia.)

Arodagiracomumavelocidadeangularωrde3,9rev/s;vistadecima,arotaçãoénosentidoanti-horário.Oeixodarodaé

verticaleomomentoangular rapontaverticalmenteparacima.

Oestudanteinvertearodaque,vistadecima,passaagirarnosentidohorário(Fig.11-20b);omomentoangularagoraé−

r.Ainversãofazcomqueoestudante,obancoeocentrodarodagiremjuntos,comoumcorporígidocomposto,emtornodoeixo

derotaçãodobanco,comummomentodeinércia Ic=6,8kg·m2. (Ofatodearodaestargirandonãoafetaadistribuiçãode

massa do corpo composto, ou seja, Ic possui omesmo valor, independentemente de a roda estar girando ou não.) Com que

velocidadeangularωceemquesentidoocorpocompostogiraapósainversãodaroda?

(c)Omomentoangulartotaldosistemaéomesmoantesedepoisdainversão.

1.

2.

4.

3.

IDEIAS-CHAVE

Avelocidadeangularωcpedidaestá relacionadaaomomentoangular final cdocorpocompostoemrelaçãoaoeixode

rotaçãodobancopelaEq.11-31(L=Iω).

Avelocidadeangularinicialωrdarodaestárelacionadaaomomentoangular rdarodaemrelaçãoaocentropelamesma

equação.

Asomadosvetores ce rforneceomomentoangulartotal totdosistemaformadopeloestudante,obancoearoda.

Quandoarodaéinvertida,nenhumtorqueexternoagesobreosistemaparamudar totemrelaçãoaqualquereixovertical.

(Ostorquesproduzidosporforçasentreoestudanteearodaquandooestudanteinvertearodasão internosaosistema.)

Assim,omomentoangulartotaldosistemaéconservadoemrelaçãoaqualquereixovertical.

Cálculos:Aconservaçãode totestárepresentadaporvetoresnaFig.11-20c.Podemostambémescreveressaconservaçãoem

termosdascomponentesverticais:

emqueosíndicesiefindicamoestadoinicial(antesdainversãodaroda)eoestadofinal(depoisdainversão).Comoainversão

darodainverteuomomentoangularassociadoàrotaçãodaroda,substituímosLr,fpor−Lr,i.FazendoLc,i=0(poisoestudante,o

bancoeocentrodarodaestãoinicialmenteemrepouso),aEq.11-35setorna

Lc,f=2Lr,i

UsandoaEq.11-31,substituímosLc,/,mfporIcωceLr,iporIrωreexplicitamosωc,obtendo

Figura11-20(a)Umestudanteseguraumarodadebicicletaquegiraemtornodeumeixovertical.(b)Oestudante invertea

rodaeobancocomeçaagirar.(c)Omomentoangulartotaldosistemaéomesmoantesedepoisdainversão.

Esteresultadopositivomostraqueoestudantegiranosentidoanti-horárioemtornodoeixodobanco,quandovistodecima.

Parapararderodar,oestudantetemapenasqueinverternovamentearoda.

Exemplo11.06 Conservaçãodomomentoangulardeumabarataemumdisco

NaFig.11-21,umabaratademassamestáemumdiscodemassa6,00meraioR.Odiscogiracomoumcarrosselemtornodo

eixocentral,comumavelocidadeangularωi=1,50rad/s.Abarataestáinicialmenteaumadistânciar=0,800Rdocentrodo

disco,mas rastejaatéabordadodisco.Trateabarata comose fosseumapartícula.Qualéavelocidadeangulardo insetoao

chegaràbordadodisco?

IDEIAS-CHAVE

(1)Aosedeslocar,abaratamudaadistribuiçãodemassa (e,portanto,omomentode inércia)do sistemabarata-disco. (2)O

momentoangulardo sistemanãovariaporquenãoestá sujeitoanenhumtorqueexterno. (As forçase torquesassociadosao

movimentodabaratasãointernosaosistema.)(3)Omódulodomomentoangulardeumcorporígidooudeumapartículaédado

pelaEq.(11-31)(L=Iω).

Cálculos:PodemosdeterminaravelocidadeangularfinaligualandoomomentoangularfinalLfaomomentoangularinicialLi,já

que ambos envolvem a velocidade angular e omomento de inércia. Para começar, vamos calcular omomento de inércia do

sistemabarata-discoantesedepoisdodeslocamentodabarata.

Figura11-21Umabarataestáaumadistânciardocentrodeumdiscoquegiracomoumcarrossel.

DeacordocomaTabela10-2c,omomentodeinérciadeumdiscoquegiraemtornodoeixocentraléMR2.ComoM=6,00m,o

momentodeinérciadodiscoé

(NãoconhecemososvaloresdemeR,masvamosprosseguircomacoragemtradicionaldosfísicos.)

Deacordo coma Eq. 10-33, omomento de inércia da barata (supondo que esta se comporta como uma partícula) émr2.

Substituindoosvaloresdadistânciainicialentreabarataeocentrododisco(r=0,800R)edadistânciafinal(r=R),descobrimos

queomomentodeinérciainicialdabarataemrelaçãoaoeixoderotaçãoé

equeomomentodeinérciafinalemrelaçãoaomesmoeixoé

Assim,omomentodeinérciainicialdosistemabarata-discoé

eomomentodeinérciafinalé

Emseguida,usamosaEq.11-31(L=Iω)paralevaremcontaofatodequeomomentoangularfinalLfdosistemaéigualao

momentoangularinicialLi:

DepoisdecancelarasincógnitasmeR,obtemos

Observequeavelocidadeangulardiminuiuporqueadistânciaentrepartedamassaeoeixoderotaçãoaumentou.

11-9PRECESSÃODEUMGIROSCÓPIO


11.26Saberqueaaçãoda forçagravitacional sobreumgiroscópioem rotação faz comqueovetormomentoangular (eoprópriogiroscópio)gireemtornodoeixovertical,ummovimentoconhecidocomoprecessão.

11.27Calcularataxadeprecessãodeumgiroscópio.

11.28Saberqueataxadeprecessãodeumgiroscópionãodependedamassadogiroscópio.

Ideia-Chave•Ataxadeprecessãodeumgiroscópioemrotaçãoédadapor

emqueMéamassadogiroscópio,réobraçodealavanca,Iéomomentodeinérciaeωéavelocidadeangular.

PrecessãodeumGiroscópioUmgiroscópiosimpleséformadoporumarodafixadaaumeixoelivreparagiraremtornodoeixo.Seumadasextremidadesdoeixodeumgiroscópioestacionárioéapoiadaemumsuporte,comonaFig.11-22a,eogiroscópioéliberado,ogiroscópiocai,girandoparabaixoemtornodaextremidadedosuporte.Comoaquedaenvolveumarotação,égovernadapelasegundaleideNewtonpararotações,dadapelaEq.11-29:

DeacordocomaEq.(11-41),otorquequecausaarotaçãoparabaixo(aqueda)fazvariaromomento

angular do giroscópio a partir do valor inicial, que é zero. O torque é produzido pela forçagravitacionalM sobreocentrodemassadogiroscópio,quetomamoscomoocentrodaroda.Obraçodealavancaemrelaçãoàextremidadedosuporte,situadanopontoOdaFig.11-22a,é .Omódulodeé

(jáqueoânguloentreM e é90°)eosentidoéoqueaparecenaFig.11-22a.Um giroscópio que gira rapidamente se comporta de outra forma. Suponha que o giroscópio seja

liberadocomoeixoligeiramenteinclinadoparacima.Nessecaso,começaacair,girandoemtornodeumeixohorizontalquepassaporO,mas,emseguida,comarodaaindagirandoemtornodoeixo,passaagirarhorizontalmenteemtornodeumeixoverticalquepassapelopontoO,ummovimentoqueéchamadodeprecessão.PorqueoGiroscópioNãoCai?Porqueogiroscópioemrotaçãopermanecesuspensoemvezdecair,

comoo giroscópio estacionário? Isso acontece porque, quandoo giroscópio em rotação é liberado, otorqueproduzidopela forçagravitacional,M , faz variar, nãoummomento angular inicialmentenulo,masummomentoangularjáexistente,graçasàrotaçãodaroda.Paraentenderporqueessemomentoangulariniciallevaàprecessão,considereomomentoangular

dogiroscópiodevidoàrotaçãodaroda.Parasimplificarasituação,suponhaquearotaçãoétãorápidaqueomomentoangulardevidoàprecessãoédesprezívelemrelaçãoa .Suponhatambémqueoeixodogiroscópioestánahorizontalquandoaprecessãocomeça,comonaFig.11-22b.Omódulode édadopelaEq.11-31:

emqueIéomomentodeinérciadogiroscópioemrelaçãoaoeixoeωéavelocidadeangulardaroda.Ovetor aponta ao longo do suporte, como na Fig. 11-22b. Como é paralelo a , o torque éperpendiculara .DeacordocomaEq.11-41,otorque causaumavariaçãoincrementald domomentoangulardo

giroscópioemumintervalodetempoincrementaldt,ouseja,

Entretanto,nocasodeumgiroscópioquegirarapidamente, omódulode é fixadopelaEq. 11-43.Assim,otorquepodemudaraorientaçãode ,masnãoomódulo.

Figura11-22 (a)Umgiroscópioparadogiraemumplanoxzdevidoaotorque produzidopelaforçagravitacional.(b)Umgiroscópioquegirarapidamentecommomentoangular executaummovimentodeprecessãoemtornodoeixoz.Omovimentodeprecessãoacontecenoplanoxy.(c)Avariaçãod /dtdomomentoangularlevaaumarotaçãode emtornodopontoO.

DeacordocomaEq.11-44,aorientaçãoded éamesmade ,perpendiculara .Aúnicamaneirapelaqual podevariarnadireçãode semqueomóduloLsejaalteradoégiraremtornodoeixoz,comonaFig.11-22c.Assim, conservaomódulo,aextremidadedovetor descreveuma trajetóriacirculare ésempretangenteaessatrajetória.Como temdeapontarnadireçãodoeixodaroda,oeixotemdegiraremtornodoeixoznadireçãode .Essaéaorigemdaprecessão.ComoogiroscópioemrotaçãoprecisaobedeceràsegundaleideNewtonpararotaçõesemrespostaaqualquermudançado

momentoangularinicial,eleprecisarealizarumaprecessãoemvezdesimplesmentetombar.Precessão. Podemos calcular a taxadeprecessãoΩ usando primeiro as Eqs. 11-44 e 11-42 para

obteromóduloded :

Quando varia deumvalor incremental durante um tempo incrementaldt, o eixo e precessamemtornodoeixo z deumângulo incrementaldϕ. (NaFig.11-22c, o ângulodϕ foi exagerado paramaiorclareza.)ComaajudadasEqs.11-43e11-45,descobrimosquedϕédadopor

DividindoessaexpressãopordtefazendoataxadeprecessãoΩigualadϕ/dt,obtemos

Esseresultadoéválidocontantoqueavelocidadeangularωsejaelevada.NotequeΩdiminuiquandoωaumenta.Observe tambémque não haveria precessão se a força gravitacionalM não agisse sobre ogiroscópio;entretanto,comoIéumafunçãolineardeM,asmassasnonumeradoredenominadordaEq.11-46secancelam,ouseja,Ωnãodependedamassadocorpo.AEq.11-46 também é válida quando o eixo do giroscópio faz um ângulo diferente de zero com a

horizontale,portanto,podeseraplicadaaumpiãodebrinquedo.

RevisãoeResumo

CorposemRolagemNocasodeumarodaderaioRrolandosuavemente,

emquevCMéavelocidade lineardocentrodemassadarodaeω éavelocidadeangularda rodaemtornodocentro.ArodapodetambémservistacomoseestivessegirandoinstantaneamenteemtornodopontoPdo“piso”queestáemcontatocomaroda.Avelocidadeangulardarodaemtornodessepontoéigualàvelocidadeangulardarodaemtornodocentro.Umarodaquerolatemumaenergiacinéticadadapor

emqueICMéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaocentrodemassaeMéamassadaroda.Searodaestásendoacelerada,masrolasuavemente,aaceleraçãodocentrodemassa CMestárelacionadaàaceleraçãoangularαemrelaçãoaocentroderotaçãopormeiodaequação

Searodadesceumarampadeânguloθrolandosuavemente,aaceleraçãoaolongodeumeixoxparaleloàrampaédadapor

OTorquecomoumVetorEmtrêsdimensões,otorque éumagrandezavetorialdefinidaemrelaçãoaumpontofixo(emgeral,aorigem)pormeiodaequação

emque éaforçaaplicadaàpartículae éovetorposiçãodapartículaemrelaçãoaopontofixo.Omódulode édadopor

emqueϕéoânguloentre e ,F⊥éacomponentede perpendiculara ,er⊥éobraçodealavancade .Aorientaçãode édadapelaregradamãodireita.

MomentoAngulardeumaPartículaOmomentoangular deumapartículacommomento linear ,massamevelocidadelinear éumagrandezavetorialdefinidaemrelaçãoaumpontofixo(emgeral,aorigem)pormeiodaequação

Omódulode édadopor

emqueϕéoânguloentre e ,p⊥ev⊥ sãoascomponentesde e perpendicularesa ,er⊥éadistânciaperpendicularentreopontofixoeaextensãode .Aorientaçãode édadapelaregradamãodireitaparaprodutosvetoriais.

SegundaLeideNewtonparaRotaçõesAsegundaleideNewtonparaarotaçãodeumapartículapodeserescritanaforma

emque reséotorqueresultantequeagesobreapartículae éomomentoangulardapartícula.

MomentoAngulardeumSistemadePartículasOmomentoangular deumsistemadepartículaséasomavetorialdosmomentosangularesdaspartículas:

Ataxadevariaçãocomotempodomomentoangularéigualaotorqueexternoresultantequeagesobreosistema (a soma vetorial dos torques produzidos pelas interações das partículas do sistema compartículasexternasaosistema):

MomentoAngulardeumCorpoRígidoNocasodeumcorporígidoquegiraemtornodeumeixofixo,acomponentedomomentoangularparalelaaoeixoderotaçãoé

Conservação doMomentoAngular Omomento angular de um sistema permanece constante se otorqueexternoresultantequeagesobreosistemaénulo:

Essaéaleideconservaçãodomomentoangular.

PrecessãodeumGiroscópioUmgiroscópiopoderealizar,emtornodeumeixoverticalquepassapelosuporte,ummovimentodeprecessãoaumataxadadapor

emqueMéamassadogiroscópio,réobraçodealavanca,Iéomomentodeinérciaeωéavelocidadeangulardogiroscópio.

Perguntas1 A Fig. 11-23mostra três partículas demesmamassa emesma velocidade escalar constante que semovemnasorientaçõesindicadaspelosvetoresvelocidade.Ospontosa,b,cedformamumquadrado,comopontoenocentro.Ordeneospontosdeacordocomomódulodomomentoangularresultanteemrelaçãoaospontosdosistemadetrêspartículas,emordemdecrescente.


2AFig.11-24mostraduaspartículas,AeB,nascoordenadas(1m,1m,0)e(1m,0,1m).Sobrecadapartículaagemtrêsforçasnumeradasdemesmomódulo,cadaumaparalelaaumdoseixos.(a)Qualdasforças produz um torque, em relação à origem, paralelo a y? (b) Ordene as forças de acordo com omódulodotorqueemrelaçãoàorigemqueaplicamàspartículas,emordemdecrescente.


3OqueaconteceaoioiôinicialmenteestacionáriodaFig.11-25seépuxado,comoauxíliodacorda,(a)pelaforça 2(cujalinhadeaçãopassapelopontodecontatodoioiôcomamesa,comomostraafigura),(b)pelaforça 1(cujaalinhadeaçãopassaacimadopontodecontato)e(c)pelaforça 3(cujalinhadeaçãopassaàdireitadopontodecontato)?


4Ovetorposição deumapartículaemrelaçãoaumcertopontotemummódulode3m,eaforçaaplicadaàpartículatemummódulode4N.Qualéoânguloentre e seomódulodotorqueassociadoéigual(a)azeroe(b)a12N·m?

5NaFig.11-26,trêsforçasdemesmomódulosãoaplicadasaumapartículalocalizadanaorigem( 1éaplicadaperpendicularmenteaoplanodopapel).Ordeneasforçasdeacordocomosmódulosdotorquequeproduzem(a)emrelaçãoaopontoP1,(b)emrelaçãoaopontoP2e(c)emrelaçãoaopontoP3,emordemdecrescente.


6Omomentoangularℓ(t)deumapartículaemquatrosituaçõesé(1)ℓ=3t+4;(2)ℓ=−6t2;(3)ℓ=2;(4)ℓ=4/t.Emquesituaçãootorqueresultantequeagesobreapartículaé(a)zero,(b)positivoeconstante,(c)negativoecomomódulocrescenteparat>0e(d)negativoecomomódulodecrescenteparat>0?

7Umbesouro-rinoceronteestánabordadeumdiscohorizontalquegiracomoumcarrosselnosentidoanti-horário.Seobesourocaminhaaolongodabordanosentidodarotação,omódulodasgrandezasaseguir(medidasemrelaçãoaoeixoderotação)aumenta,diminui,oupermaneceomesmo(comodiscoaindagirandonosentidoanti-horário):(a)omomentoangulardosistemabesouro-disco,(b)omomentoangular evelocidadeangulardobesouroe (c)omomentoangular evelocidadeangulardodisco? (d)Quaissãoasrespostasseobesourocaminhanosentidoopostoaodarotação?

8AFig.11-27mostraavista superiordeumaplaca retangularquepodegirar comoumcarrossel emtornodocentroO.Tambémsãomostradassetetrajetóriasaolongodasquaisbolinhasdegomademascarpodem ser jogadas (todas com a mesma velocidade escalar e mesma massa) para grudar na placaestacionária. (a)Ordeneas trajetórias,emordemdecrescente,deacordocomavelocidadeangulardaplaca(edagomademascar)apósagomagrudar.(b)Paraquetrajetóriasomomentoangulardaplaca(edagoma)emrelaçãoaopontoOénegativodopontodevistadaFig.11-27?


9AFig.11-28mostraomódulodomomentoangularLdeumarodaemfunçãodo tempo t.Ordeneosquatro intervalos de tempo, indicados por letras, de acordo comomódulodo torqueque age sobre aroda,emordemdecrescente.


10AFig.11-29mostraumapartículasemovendocomvelocidadeconstante ecincopontoscomsuascoordenadasxy.Ordeneospontosdeacordocomomódulodomomentoangulardapartículaemrelaçãoaeles,emordemdecrescente.


11Umabaladecanhãoeumaboladeguderolamparabaixosuavemente,apartirdorepouso,emumarampa.(a)Abaladecanhãochegaàbasedarampaantes,aomesmotempo,oudepoisdaboladegude?(b)Aochegar àbaseda rampa, a energia cinéticade translaçãodabalade canhãoémaior, igual, oumenorqueadaboladegude?

12Umcilindrodelatãoeumcilindrodemadeiratêmomesmoraioeamesmamassa(oquesignificaqueo cilindrodemadeira émais comprido).Osdois cilindros rolam suavementepara baixo emuma

rampa, a partir do repouso. (a) Qual dos dois cilindros chega primeiro à base da rampa? (b) Se ocilindrodemadeiraécortadoparaficarcomomesmocomprimentodocilindrodelatão,eumacavidadeéabertaaolongodoeixocentraldocilindrodelatãoparaquefiquecomamesmamassaqueocilindrodemadeira,qualdosdoiscilindroschegaprimeiroàbasedarampa?

Problemas



Módulo11-1RolagemcomoumaCombinaçãodeTranslaçãoeRotação

·1Umcarrosemovea80,0km/hemumaestradaplananosentidopositivodeumeixox.Ospneustêmumdiâmetrode66cm.Emrelaçãoaumamulherqueviajanocarroenanotaçãodosvetoresunitários,determine a velocidade (a) no centro, (b) no alto e (c) na base de cada pneu e o módulo a daaceleração (d)nocentro, (e)noalto e (f)nabasedecadapneu.Em relaçãoaumapessoaparadanoacostamentodaestradaenanotaçãodosvetoresunitários,determineavelocidade (g)nocentro,(h)noaltoe(i)nabasedecadapneueomódulodaaceleraçãoa(j)nocentro,(k)noaltoe(l)nabasedecadapneu.

·2Ospneusdeumautomóvelquesemovea80km/htêm75,0cmdediâmetro.(a)Qualéavelocidadeangulardospneusemrelaçãoaosrespectivoseixos?(b)Seocarroéfreadocomaceleraçãoconstanteeasrodasdescrevem30voltascompletas(semdeslizamento),qualéomódulodaaceleraçãoangulardasrodas?(c)Quedistânciaocarropercorreduranteafrenagem?

Módulo11-2AsForçaseaEnergiaCinéticadaRolagem

·3Umarode140kgrolaemumpisohorizontaldetalformaqueocentrodemassatemumavelocidadede0,150m/s.Qualéotrabalhonecessárioparafazê-loparar?

·4 Uma esfera maciça, homogênea, rola para baixo em uma rampa. (a) Qual deve ser o ângulo deinclinaçãodarampaparaqueaaceleraçãolineardocentrodaesferatenhaummódulode0,10g?(b)Seumblocosematritodeslizasseparabaixonamesmarampa,omódulodaaceleraçãoseriamaior,menorouiguala0,10g?Porquê?

·5Umcarrode1000kgtemquatrorodasde10kg.Quandoocarroestáemmovimento,quefraçãodaenergiacinéticatotalsedeveàrotaçãodasrodasemtornodosrespectivoseixos?Suponhaqueasrodastenhamomesmomomentodeinérciaquediscoshomogêneosdemesmamassaetamanho.Porquenãoéprecisoconheceroraiodasrodas?

··6AFig.11-30mostraavelocidadeescalarvemfunçãodotempotparaumobjetode0,500kge6,00cmderaioquerolasuavementeparabaixoemumarampade30°.Aescaladoeixodasvelocidadesédefinidaporvs=4,0m/s.Qualéomomentodeinérciadoobjeto?


··7NaFig.11-31,umcilindromaciçocom10cmderaioemassade12kgpartedorepousoerolaparabaixoumadistânciaL=6,0m,semdeslizar,emumtelhadocomumainclinaçãoθ=30°.(a)Qualéavelocidadeangulardocilindroemrelaçãoaoeixocentralaodeixarotelhado?(b)AbordadotelhadoestáaumaalturaH=5,0m.Aquedistânciahorizontaldabordadotelhadoocilindroatingeochão?


··8AFig.11-32mostraaenergiapotencialU(x)deumabolamaciçaquepoderolaraolongodeumeixox.AescaladoeixoU édefinidaporUs=100J.Abolaéhomogênea, rola suavementeepossuiumamassade0,400kg.Elaéliberadaemx=7,0mquandosemovenosentidonegativodoeixoxcomumaenergiamecânica de 75 J. (a) Se a bola pode chegar ao ponto x = 0m, qual é sua velocidade nesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?Suponhaque,emvezdisso,abolaestejasemovendonosentidopositivodoeixoxaoserliberadaemx=7,0mcom75J.(b)Seabolapodechegaraopontox=13m,qualésuavelocidadenesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?


··9NaFig.11-33,umabolamaciçarolasuavementeapartirdorepouso(começandonaalturaH=6,0m)atédeixarapartehorizontalnofimdapista,aumaalturah=2,0m.AquedistânciahorizontaldopontoAabolatocaochão?


··10Umaesferaoca,com0,15mderaioemomentodeinérciaI=0,040kg·m2emrelaçãoaumaretaquepassapelocentrodemassa,rolasemdeslizar,subindoumasuperfíciecomumainclinaçãode30°emrelaçãoàhorizontal.Emdeterminadaposiçãoinicial,aenergiacinéticatotaldaesferaé20J.(a)Quantodestaenergiacinéticainicialsedeveàrotação?(b)Qualéavelocidadedocentrodemassadaesferanaposição inicial? Após a esfera ter se deslocado 1,0 m ao longo da superfície inclinada a partir daposiçãoinicial,qualé(c)aenergiacinéticatotale(d)qualéavelocidadedocentrodemassa?

··11NaFig.11-34,umaforçahorizontalconstante demódulo10Néaplicadaaumarodademassa10kgeraio0,30m.Arodarolasuavementenasuperfíciehorizontal,eomódulodaaceleraçãodocentrodemassaé0,60m/s2.(a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaforçadeatritoqueagesobrearoda?(b)Qualéomomentodeinérciadarodaemrelaçãoaoeixoderotação,quepassapelocentrodemassa?


··12NaFig.11-35,umabolamaciça,de latão,demassa0,280g, rola suavemente ao longodo trilhoquandoéliberadaapartirdorepousonotrechoretilíneo.ApartecirculardotrilhotemumraioR=14,0cmeabolatemumraior≪R.(a)Quantovalehseabolaestánaiminênciadeperdercontatocomotrilhoquandochegaaopontomaisaltodapartecurvadotrilho?Seabolaéliberadaaumaalturah=6,00R,qualé(b)omóduloe(c)qualéaorientaçãodacomponentehorizontaldaforçaqueagesobreabolanopontoQ?


···13Bolanãohomogênea.NaFig.11-36,umabola,demassaMeraioR,rolasuavemente,apartirdorepouso,descendoumarampaepassandoporumapistacircularcom0,48mderaio.Aalturainicialdabolaéh=0,36m.Napartemaisbaixadacurva,omódulodaforçanormalqueapistaexercesobreabola é 2,00Mg. A bola é formada por uma casca esférica externa homogênea (com uma certa massaespecífica)eumaesferacentral,tambémhomogênea(comumamassaespecíficadiferente).OmomentodeinérciadabolaédadopelaexpressãogeralI=βMR2,masβnãoéiguala0,4,comonocasodeumabolahomogênea.Determineovalordeβ.


···14NaFig.11-37,umabolapequena,maciça,homogênea,élançadadopontoP,rolasuavementeem

umasuperfíciehorizontal,sobeumarampaechegaaumplatô.Emseguida,deixaoplatôhorizontalmenteparapousaremoutrasuperfíciemaisabaixo,aumadistânciahorizontalddaextremidadedoplatô.Asalturasverticaissãoh1=5,00cmeh2=1,60cm.ComquevelocidadeaboladeveserlançadanopontoPparapousaremd=6,00cm?


···15 UmjogadordebolichearremessaumaboladeraioR=11cmaolongodeumapista.Abola(Fig.11-38)deslizanapistacomumavelocidadeinicialvCM=8,5m/sevelocidadeangularinicialω0=0.Ocoeficientedeatritocinéticoentreabolaeapistaé0,21.Aforçadeatritocinético kqueagesobrea bola produz uma aceleração linear e uma aceleração angular. Quando a velocidade vCM diminui osuficiente e a velocidade angular ω aumenta o suficiente, a bola para de deslizar e passa a rolarsuavemente.(a)QualéovalordevCMemtermosdeωnesseinstante?Duranteodeslizamento,qualé(b)aaceleraçãolineare(c)qualéaaceleraçãoangulardabola?(d)Porquantotempoaboladesliza?(e)Quedistânciaaboladesliza?(f)Qualéavelocidadelineardabolaquandocomeçaarolarsuavemente?


···16 Objetocilíndriconãohomogêneo.NaFig.11-39,umobjetocilíndricodemassaMeraioRrolasuavementedescendoumarampa,apartirdorepouso,epassaparaumtrechohorizontaldapista.Emseguida,oobjetosaidapista,pousandonosoloaumadistânciahorizontald=0,506mdofinaldapista.AalturainicialdoobjetoéH=0,90m;aextremidadedapistaestáaumaalturah=0,10m.Oobjetoécomposto por uma camada cilíndrica externa, homogênea (com uma certa massa específica), e umcilindro central, também homogêneo (com umamassa específica diferente).Omomento de inércia doobjeto é dadopela expressãogeral I =βMR2,masβ não é igual a 0,5, comono casode umcilindrohomogêneo.Determineovalordeβ.


Módulo11-3OIoiô

·17 Umioiôpossuiummomentodeinérciade950g·cm2eumamassade120g.Oraiodoeixoé3,2 mm e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até aextremidadedacorda.(a)Qualéomódulodaaceleraçãolineardoioiô?(b)Quantotempooioiôlevaparachegaràextremidadedacorda?Aochegaràextremidadedacorda,(c)qualéavelocidadelinear,(d) qual é a energia cinética de translação, (e) qual é a energia cinética de rotação e (f) qual é avelocidadeangular?

·18 Em1980,naBaíadeSanFrancisco,umgrandeioiôfoisoltodeumguindaste.Oioiôde116kgeraformadopordoisdiscoshomogêneoscom32cmderaio,ligadosporumeixocom3,2cmderaio.Qual foiomódulodaaceleraçãodo ioiô (a)duranteadescidae (b)durantea subida? (c)Qual foi atraçãoda corda? (d)A tração estavapróximado limite de resistênciada corda, 52kN?Suponhaquevocêconstruaumaversãoampliadadoioiô(comamesmaformaeusandoosmesmosmateriais,porémmaior).(e)Omódulodaaceleraçãodoseuioiôduranteaquedaserámaior,menorouoigualaodoioiôdeSanFrancisco?(f)Eatraçãodacorda?

Módulo11-4RevisãodoTorque

·19Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéotorqueresultanteemrelaçãoàorigemaqueestásubmetidaumapulgalocalizadanascoordenadas(0;−4,0m;5,0m)quandoasforças 1=(3,0N) e 2=(–2,0N)agemsobreapulga?

·20Umaameixaestálocalizadanascoordenadas(−2,0m;0;4,0m).Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéotorqueemrelaçãoàorigemaqueestásubmetidaaameixaseessetorquesedeveaumaforçacujaúnicacomponenteé(a)Fx=6,0N,(b)Fx=−6,0N,(c)Fz=6,0N,(d)Fz=−6,0N?

·21Nanotaçãodos vetores unitários, qual é o torque em relação à origema que está submetida umapartícula localizadanascoordenadas (0;−4,0m;3,0m)seesse torquesedeve (a)aumaforça 1 decomponentesF1x=2,0N,F1y=F1z=0,e(b)aumaforça 2decomponentesF2x=0,F2y=2,0N,F2z=4,0N?

··22Umapartículasemoveemumsistemadecoordenadasxyzsobaaçãodeumaforça.Quandoovetorposiçãodapartículaé =(2,00m) –(3,00m) +(2,00m) aforçaé =Fx +(7,00N) –(6,00N) eo torque correspondente em relação à origemé = (4,00N ·m) + (2,00N ·m) – (1,00N ·m) .

DetermineFx.

··23Aforça =(2,0N) –(3,0N) agesobreumapedracujovetorposiçãoé =(0,50m) –(2,0m)em relação à origem. Em termos dos vetores unitários, qual é o torque resultante a que a pedra estásubmetida(a)emrelaçãoàorigeme(b)emrelaçãoaoponto(2,0m;0;−3,0m)?

··24Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origema que está submetido umvidrodepimentalocalizadonascoordenadas(3,0m;−2,0m;4,0m)(a)devidoàforça 1=(3,0N) –(4,0N) +(5,0N) ,(b)devidoàforça 2=(3,0N) –(4,0N) –(5,0N) e(c)devidoàsomavetorialde 1e 2?(d)Repitaoitem(c)paraotorqueemrelaçãoaopontodecoordenadas(3,0m;2,0m;4,0m).

··25Aforça =(–8,0N) +(6,0N) agesobreumapartículacujovetorposiçãoé =(3,0m) +(4,0m). (a) Qual é o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos vetoresunitários?(b)Qualéoânguloentre e ?

Módulo11-5MomentoAngular

·26No instante daFig.11-40,umapartículaP de 2,0 kg temumvetor posição demódulo 3,0m eânguloθ1=45°eumavelocidade demódulo4,0m/seânguloθ2=30°.Aforça ,demódulo2,0Neânguloθ3=30°,agesobreP.Ostrêsvetoresestãonoplanoxy.Determine,emrelaçãoàorigem,(a)omóduloe(b)aorientaçãodomomentoangulardePe(c)omóduloe(d)aorientaçãodotorquequeagesobreP.


·27Emcertoinstante,aforça =4,0 Nagesobreumobjetode0,25kgcujovetorposiçãoé =(2,0 –2,0 )ecujovetorvelocidadeé =(–5,0 +5,0 )m/s.Emrelaçãoàorigemenanotaçãodosvetoresunitários,determine(a)omomentoangulardoobjetoe(b)otorquequeagesobreoobjeto.

·28Umobjetode2,0kg,quesecomportacomoumapartícula,semoveemumplanocomcomponentesdevelocidadevx=30m/sevy=60m/saopassarporumpontodecoordenadas(3,0;−4,0)m.Nesseinstante,nanotaçãodosvetoresunitários,qualéomomentoangulardoobjetoemrelação(a)àorigeme(b)aoponto(−2,0;−2,0)m?

·29NoinstantedaFig.11-41,duaspartículassemovememumplanoxy.ApartículaP1temmassade6,5

kgevelocidadev1=2,2m/seestáaumadistânciad1=1,5mdopontoO.ApartículaP2temmassade3,1kgevelocidadev2=3,6m/seestáaumadistânciad2=2,8mdopontoO.(a)Qualéomóduloe(b)qualéaorientaçãodomomentoangularresultantedasduaspartículasemrelaçãoaopontoO?


··30Noinstanteemqueodeslocamentodeumobjetode2,00kgemrelaçãoàorigemé =(2,00m) +(4,00m) –(3,00m) avelocidadedoobjetoé =–(6,00m/s) +(3,00m/s) +(3,00m/s) eoobjetoestásujeitoaumaforça =(6,00N) –(8,00N) +(4,00N) .Determine(a)aaceleraçãodoobjeto,(b)omomentoangulardoobjetoemrelaçãoàorigem,(c)otorqueemrelaçãoàorigemaqueestásubmetidooobjetoe(d)oânguloentreavelocidadedoobjetoeaforçaqueagesobreele.

··31NaFig.11-42,umabolade0,400kgélançadaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicialde40,0m/s.QualéomomentoangulardabolaemrelaçãoaP,umpontoaumadistânciahorizontalde2,00mdopontodelançamento,quandoabolaestá(a)naalturamáximae(b)nametadedocaminhodevoltaaochão?QualéotorqueemrelaçãoaPaqueabolaésubmetidadevidoàforçagravitacionalquandoestá(a)naalturamáximae(b)nametadedocaminhodevoltaaochão?


Módulo11-6ASegundaLeideNewtonparaRotações

·32Umapartículasofreaaçãodedoistorquesemrelaçãoàorigem: 1temummódulode2,0N·meapontanosentidopositivodoeixox; 2temummódulode4,0N·meapontanosentidonegativodoeixoy.Determined /dt, emque é omomento angular da partícula em relação à origem, em termos dosvetoresunitários.

·33No instante t = 0, uma partícula de 3,0 kg com uma velocidade = (5,0m/s) – (6,0m/s) estápassando pelo ponto x = 3,0m, y = 8,0m.A partícula é puxada por uma força de 7,0N no sentidonegativodoeixox.Determine,emrelaçãoàorigem,(a)omomentoangulardapartícula,(b)otorquequeagesobreapartículae(c)ataxacomaqualomomentoangularestávariando.

·34Umapartículasemoveemumplanoxy,emtornodaorigem,nosentidohorário,dopontodevistadoladopositivodoeixoz.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéotorquequeagesobreapartículaseomódulodomomentoangulardapartículaemrelaçãoàorigemé(a)4,0kg·m2/s,(b)4,0t2kg·m2/s,(c)4,0kg·m2/se(d)4,0/t2kg·m2/s?

··35Noinstantet,ovetor =4,0t2 –(2,0t+6,0t2) forneceaposiçãodeumapartículade3,0kgemrelaçãoàorigemdeumsistemadecoordenadasxy( estáemmetrosetemsegundos).(a)Escrevaumaexpressão para o torque em relação à origem que age sobre a partícula. (b) O módulo do momentoangulardapartículaemrelaçãoàorigemestáaumentando,diminuindooupermaneceomesmo?

Módulo11-7MomentoAngulardeumCorpoRígido

·36AFig.11-43mostratrêsdiscoshomogêneosacopladosporduascorreias.UmacorreiapassapelasbordasdosdiscosAeC;aoutrapassaporumcubododiscoAepelabordadodiscoB.Ascorreiassemovem suavemente, sem deslizar nas bordas e no cubo. O discoA tem raio R e seu cubo tem raio0,5000R;odiscoBtemraio0,2500R;odiscoCtemraio2,000R.OsdiscosBeCtêmamesmamassaespecífica (massa por unidade de volume) e a mesma espessura. Qual é a razão entre o módulo domomentoangulardodiscoCeomódulodomomentoangulardodiscoB?


·37NaFig.11-44,trêspartículasdemassam=23gestãopresasatrêsbarrasdecomprimentod=12cmemassa desprezível. O conjunto gira em torno do pontoO com velocidade angularω = 0,85 rad/s.Determine, em relação ao pontoO, (a) omomento de inércia do conjunto, (b) omódulo domomentoangulardapartículadomeioe(c)omódulodomomentoangulardoconjunto.


·38Umdiscodepolimento,commomentodeinércia1,2×10−3kg·m2,estápresoaumabrocaelétricacujomotorproduzumtorquedemódulo16N·memrelaçãoaoeixocentraldodisco.Como torqueaplicadodurante33ms,qualéomódulo(a)domomentoangulare(b)davelocidadeangulardodisco

emrelaçãoaesseeixo?

·39Omomentoangulardeumvolantecomummomentodeinérciade0,140kg·m2emrelaçãoaoeixocentraldiminuide3,00para0,800kg·m2/sem1,50s.(a)Qualéomódulodotorquemédioemrelaçãoao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo uma aceleração angularconstante,dequeânguloovolantegira?(c)Qualéo trabalhorealizadosobreovolante?(d)Qualéapotênciamédiadovolante?

··40Umdiscocomummomentodeinérciade7,00kg·m2giracomoumcarrosselsoboefeitodeumtorquevariáveldadoport=(5,00+2,00t)N·m.Noinstantet=1,00s,omomentoangulardodiscoé5,00kg·m2/s.Qualéomomentoangulardodisconoinstantet=3,00s?

··41AFig.11-45mostraumaestruturarígidaformadaporumaro,deraioRemassam,eumquadradofeito de quatro barras finas, de comprimento R e massa m. A estrutura rígida gira com velocidadeconstanteemtornodeumeixovertical,comumperíododerotaçãode2,5s.SupondoqueR=0,50mem=2,0kg,calcule(a)omomentodeinérciadaestruturaemrelaçãoaoeixoderotaçãoe(b)omomentoangulardaestruturaemrelaçãoaoeixo.


··42AFig.11-46mostraavariaçãocomo tempodo torque tqueagesobreumdisco inicialmenteemrepousoquepodegirarcomoumcarrosselemtornodocentro.Aescaladoeixotédefinidaports=4,0N·m.Qualéomomentoangulardodiscoemrelaçãoaoeixoderotaçãonoinstante(a)t=7,0se(b)noinstantet=20s?


Módulo11-8ConservaçãodoMomentoAngular

·43NaFig.11-47,duaspatinadorascom50kgdemassa,quesemovemcomumavelocidadeescalarde1,4m/s,seaproximamemtrajetóriasparalelasseparadaspor3,0m.Umadaspatinadorascarregaumavara comprida, de massa desprezível, segurando-a em uma extremidade, e a outra se agarra à outraextremidade ao passar pela vara, o que faz com que as patinadoras passem a descrever umacircunferência em torno do centro da vara. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo sejadesprezível.Determine (a) o raio da circunferência, (b) a velocidade angular das patinadoras e (c) aenergiacinéticadosistemadasduaspatinadoras.Emseguida,aspatinadoraspuxamavaraatéficaremseparadasporumadistânciade1,0m.Nesseinstante,(d)qualéavelocidadeangulardaspatinadorase(e)qualéaenergiacinéticadosistema?(f)Deondevemaenergiacinéticaadicional?


·44Umabarata,demassa0,17kg,correnosentidoanti-horárionabordadeumdiscocircularderaio15cmemomento de inércia 5,0× 10−3 kg ·m2,montado em um eixo vertical com atrito desprezível.Avelocidade da barata (em relação ao chão) é 2,0 m/s, e o disco gira no sentido horário com umavelocidadeangularω0=2,8rad/s.Abarataencontraumamigalhadepãonabordae,obviamente,para.(a)Qualéavelocidadeangulardodiscodepoisqueabaratapara?Aenergiamecânicaéconservadaquandoabaratapara?

·45Umhomemestádepéemumaplataformaquegira(sematrito)comumavelocidadeangularde1,2rev/s;osbraçosdohomemestãoabertoseeleseguraumtijoloemcadamão.Omomentodeinérciado

sistemaformadopelohomem,ostijoloseaplataformaemrelaçãoaoeixoverticalcentraldaplataformaé6,0kg·m2.Se,aomoverosbraços,ohomemreduzomomentodeinérciadosistemapara2,0kg·m2,determine (a) a novavelocidade angular daplataformae (b) a razão entre a nova energia cinéticadosistemaeaenergiacinéticainicial.(c)Deondevemaenergiacinéticaadicional?

·46Omomentodeinérciadeumaestrelaquesofreumacontraçãoenquantogiraemtornodesimesmacaipara1/3dovalorinicial.Qualéarazãoentreanovaenergiacinéticaderotaçãoeaenergiaantiga?

·47Umapistaémontadaemumagranderodaquepodegirarlivremente,comatritodesprezível,emtornode um eixo vertical (Fig. 11-48). Um trem de brinquedo, demassam, é colocado na pista e, com osistema inicialmente em repouso, a alimentação elétrica do brinquedo é ligada. O trem adquire umavelocidadede0,15m/semrelaçãoàpista.Qualéavelocidadeangulardarodaseesta temmassade1,1meraiode0,43m?(Tratearodacomoumaroedesprezeamassadosraiosedocubodaroda.)


·48Umabarataestánocentrodeumdiscocircularquegiralivrementecomoumcarrossel,semtorquesexternos.Abaratacaminhaemdireçãoàbordadodisco,cujoraioéR.AFig.11-49mostraavelocidadeangularωdosistemabarata-discoduranteacaminhada.Aescaladoeixoωédefinidaporωa=5,0rad/seωb=6,0rad/s.Qualéarazãoentreomomentodeinérciadoinsetoeomomentodeinérciadodisco,amboscalculadosemrelaçãoaoeixoderotação,quandoabaratachegaàbordadodisco?


·49Doisdiscosestãomontados(comoumcarrossel)nomesmoeixo,comrolamentosdebaixoatrito,epodemseracopladosegirarcomosefossemumsódisco.Oprimeirodisco,comummomentodeinérciade3,30kg·m2emrelaçãoaoeixocentral,épostoparagirarnosentidoanti-horárioa450rev/min.Osegundodisco,comummomentodeinérciade6,60kg·m2emrelaçãoaoeixocentral,épostoparagirarno sentido anti-horário a 900 rev/min.Em seguida, os discos são acoplados. (a)Qual é a velocidadeangular dos discos após o acoplamento? Se, em vez disso, o segundo disco é posto para girar a 900

rev/minnosentidohorário,qualé(b)avelocidadeangulare(c)qualosentidoderotaçãodosdiscosapósoacoplamento?

·50OrotordeummotorelétricotemummomentodeinérciaIm=2,0×1023kg·m2emrelaçãoaoeixocentral.Omotor éusadoparamudar aorientaçãoda sondaespacialnaqual estámontado.Oeixodomotorcoincidecomoeixocentraldasonda;asondapossuiummomentodeinérciaIp=12kg·m2emrelaçãoaesseeixo.Calculeonúmeroderevoluçõesdorotornecessáriasparafazerasondagirar30°emtornodoeixocentral.

·51Umarodaestágirandolivrementecomumavelocidadeangularde800rev/minemtornodeumeixocujomomentodeinérciaédesprezível.Umasegundaroda,inicialmenteemrepousoecomummomentodeinérciaduasvezesmaiorqueaprimeira,éacopladaàmesmahaste.(a)Qualéavelocidadeangulardacombinaçãoresultantedoeixoeduasrodas?(b)Quefraçãodaenergiacinéticaderotaçãoinicialéperdida?

··52 Uma barata demassam está na borda de um disco homogêneo demassa 4,00m que pode girarlivrementeemtornodocentrocomoumcarrossel.Inicialmente,abarataeodiscogiramjuntoscomumavelocidadeangularde0,260rad/s.Abaratacaminhaatémetadedadistânciaaocentrododisco.(a)Qualé,nesse instante, avelocidadeangulardo sistemabarata-disco? (b)Qual é a razãoK/K0 entre a novaenergiacinéticadosistemaeaenergiacinéticaantiga?(c)Porqueaenergiacinéticavaria?

··53Umabarrafina,homogênea,com0,500mdecomprimentoe4,00kgdemassa,podegiraremumplanohorizontalemtornodeumeixoverticalquepassapelocentrodabarra.Abarraestáemrepousoquandoumabalade3,0gédisparada,noplanoderotação,emdireçãoaumadasextremidades.Vistadecima,atrajetóriadabalafazumânguloθ=60,0°comabarra(Fig.11-50).Seabalasealojanabarraeavelocidadeangulardabarraé10rad/s imediatamenteapósacolisão,qualeraavelocidadedabalaimediatamenteantesdoimpacto?


··54 A Fig. 11-51mostra a vista, de cima, de um anel que pode girar em torno do centro como umcarrossel.OraioexternoR2é0,800m,oraiointernoR1éR2/2,00,amassaMé8,00kgeamassadacruznocentroédesprezível. Inicialmente,odiscogiracomumavelocidadeangularde8,00rad/s,comumgato, de massam =M/4,00, na borda externa, a uma distância R2 do centro. De quanto o gato vaiaumentaraenergiacinéticadosistemagato-discoserastejaratéabordainterna,deraioR1?


··55Umdiscodevinil,horizontal,demassa0,10kgeraio0,10m,giralivrementeemtornodeumeixoverticalquepassapelocentrocomumavelocidadeangularde4,7rad/s.Omomentodeinérciadodiscoemrelaçãoaoeixoderotaçãoé5,0×10−4kg·m2.Umpedaçodemassademodelar,demassa0,020kg,caiverticalmenteegrudanabordadodisco.Qualéavelocidadeangulardodiscoimediatamenteapósamassacair?

··56 No salto emdistância, o atleta deixa o solo comummomento angular que tende a girar ocorpoparaafrente.Essarotação,casonãosejacontrolada, impedequeoatletachegueaosolocomaposturacorreta.Oatletaevitaqueelaocorragirandoosbraçosestendidospara“absorver”omomentoangular(Fig.11-18).Em0,700s,umdosbraçosdescreve0,500reveooutrodescreve1,000rev.Tratecadabraçocomoumabarrafina,demassa4,0kgecomprimento0,60m,girandoemtornodeumadasextremidades.Qualéomódulodomomentoangulartotaldosbraçosdoatletaemrelaçãoaumeixoderotaçãocomum,passandopelosombros,noreferencialdoatleta?

··57Umdiscohomogêneo,demassa10meraio3,0r,podegirarlivrementecomoumcarrosselemtornodocentrofixo.Umdiscohomogêneo,menor,demassameraior,estásobreodiscomaior,concêntricocomele.Inicialmente,osdoisdiscosgiramjuntoscomumavelocidadeangularde20rad/s.Emseguida,umapequenaperturbaçãofazcomqueodiscomenordeslizeparaforaemrelaçãoaodiscomaioratéquesuabordafiquepresanabordadodiscomaior.Depoisdisso,osdoisdiscospassamnovamenteagirarjuntos(semquehajanovosdeslizamentos).(a)Qualéavelocidadeangularfinaldosistemaemrelaçãoaocentrododiscomaior?(b)QualéarazãoK/K0entreanovaenergiacinéticadosistemaeaenergiacinéticainicial?

··58 Uma plataforma horizontal na forma de um disco circular gira sem atrito em torno de um eixoverticalquepassapelocentrododisco.Aplataformatemumamassade150kg,umraiode2,0meummomento de inércia de 300 kg ·m2 em relação ao eixo de rotação.Uma estudante de 60 kg caminhalentamente,apartirdabordadaplataforma,emdireçãoaocentro.Seavelocidadeangulardosistemaé1,5 rad/s quando a estudante está na borda, qual é a velocidade angular quando ela está a 0,50mdedistânciadocentro?

··59AFig.11-52éavista,decima,deumabarrafina,homogênea,decomprimento0,800memassaM,

girandohorizontalmentea20,0rad/s,nosentidoanti-horário,emtornodeumeixoquepassapelocentro.Umapartícula,demassaM/3,00, inicialmentepresa aumaextremidadedabarra, é liberadae assumeuma trajetória perpendicular à posição da barra no instante em que a partícula foi liberada. Se avelocidadevpdapartículaé6,00m/smaiorqueavelocidadedabarraimediatamenteapósaliberação,qualéovalordevp?


··60NaFig.11-53,umabalade1,0gédisparadacontraumblocode0,50kgpresoàextremidadedeumabarranãohomogênea,de0,50kgcom0,60mdecomprimento.Osistemabloco-barra-balapassaagirarnoplanodopapel,emtornodeumeixofixoquepassapelopontoA.Omomentodeinérciadabarraem relação a esse eixo é0,060kg ·m2.Trate o bloco comoumapartícula. (a)Qual é omomentodeinércia do sistemabloco-haste-bala em relação ao eixo que passa pelo pontoA? (b) Se a velocidadeangulardosistemaemrelaçãoaoeixoquepassapelopontoAimediatamenteapósoimpactoé4,5rad/s,qualéavelocidadedabalaimediatamenteantesdoimpacto?


··61Abarrahomogênea(de0,60mdecomprimentoe1,0kgdemassa)mostradanaFig.11-54giranoplanodopapelemtornodeumeixoquepassaporumadasextremidades,comummomentodeinérciade0,12kg·m2.Quandopassapelaposiçãomaisbaixa,abarracolidecomumabola,demassademodelar,de0,20kg,queficagrudadanaextremidadedabarra.Seavelocidadeangulardabarraimediatamenteantes da colisão é 2,4 rad/s, qual é a velocidade angular do sistema barra-massa de modelarimediatamenteapósacolisão?


···62 UmtrapezistapretendedarquatrocambalhotasemumintervalodetempoΔt=1,87santesdechegaraocompanheiro.Noprimeiroenoúltimoquartodevolta,elemantémocorpoesticado,comonaFig.11-55, comummomentode inércia Il=19,9kg ·m2 em relação ao centrodemassa (opontodafigura).Norestodosalto,mantémocorponaposiçãogrupada,comummomentodeinérciaI2=3,93kg·m2.Qualdeveseravelocidadeangularω2dotrapezistaquandoestánaposiçãogrupada?


···63NaFig.11-56,umacriançade30kgestádepénabordadeumcarrosselestacionário,deraio2,0m.Omomentodeinérciadocarrosselemrelaçãoaoeixoderotaçãoé150kg·m2.Acriançaagarraumabola, demassa 1,0 kg, lançada por um colega. Imediatamente antes de ser agarrada, a bola tem umavelocidade demódulo12m/squefazumânguloϕ=37°comumaretatangenteàbordadocarrossel,comomostraafigura.Qualéavelocidadeangulardocarrosselimediatamenteapósacriançaagarrarabola?


···64 Uma bailarina começa um tour jeté (Fig. 11-19a) com uma velocidade angularωi e ummomentodeinérciaformadoporduaspartes:Iperna=1,44kg·m2dapernaestendida,quefazumânguloθ=90,0°comocorpo,eItronco=0,660kg·m2dorestodocorpo(principalmenteotronco).Quandoestáquaseatingindoaalturamáxima,asduaspernasfazemumânguloθ=30°comocorpo,eavelocidadeangularéωf(Fig.11-19b).SupondoqueItroncopermaneceomesmo,qualéavalordarazãoωf/ωi?

···65 Duas bolas, de 2,00 kg, estão presas às extremidades de uma barra fina, de 50,0 cm decomprimentoemassadesprezível.Abarraestálivreparagirarsematritoemumplanoverticalemtornodeumeixohorizontal quepassapelo centro.Comabarra inicialmentenahorizontal (Fig.11-57), umpedaçodemassademodelarde50,0gcaiemumadasbolas,atingindo-acomumavelocidadede3,00m/seaderindoaela. (a)Qualéavelocidadeangulardosistema imediatamenteapósochoquecomamassa demodelar? (b)Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após o choque e a energiacinéticadopedaçodemassademodelar imediatamenteantesdochoque?(c)Dequeânguloosistemagiraantesdepararmomentaneamente?


···66NaFig.11-58,umpequenoblocode50gdeslizaparabaixoemumasuperfíciecurva,sematrito,apartirdeumaalturah=20cmedepoisadereaumabarrahomogênea,demassa100gecomprimento40cm.AbarragiradeumânguloθemtornodopontoOantesdepararmomentaneamente.Determineθ.


···67AFig.11-59éumavista,decima,deumabarrafina,homogênea,decomprimento0,600memassaM, girando horizontalmente a 80,0 rad/s no sentido anti-horário em torno de um eixo que passa pelocentro.Umapartícula,demassaM/3,00,quesemovehorizontalmentecomumavelocidadede40,0m/s,choca-se com a barra e fica presa. A trajetória da partícula é perpendicular à barra nomomento dochoque,queocorreaumadistânciaddocentrodabarra.(a)Paraqualvalordedabarraeapartículapermanecememrepousoapósochoque?(b)Emquesentidoabarraeapartículagiramapósochoque,sedémaiorqueovalorcalculadoem(a)?


Módulo11-9PrecessãodeumGiroscópio

··68Umpiãogiraa30rev/semtornodeumeixoquefazumângulode30°comavertical.Amassadopiãoé0,50kg,omomentodeinérciaemrelaçãoaoeixocentralé5,0×10−4kg·m2eocentrodemassaestáa4,0cmdopontodeapoio.Searotaçãoénosentidohorárioquandoopiãoévistodecima,qualé(a)ataxadeprecessãoe(b)qualéosentidodaprecessãoquandoopiãoévistodecima?

··69Umgiroscópioé formadoporumdiscohomogêneocom50cmde raiomontadonocentrodeumeixo,de11cmdecomprimentoedemassadesprezível.Oeixoestánaposiçãohorizontal,apoiadoemuma das extremidades. Se o disco está girando em torno do eixo a 1000 rev/min, qual é a taxa deprecessão?

ProblemasAdicionais

70Umabolamaciça,homogênea,rolasuavementeemumpisohorizontaledepoiscomeçaasubirumarampacomumainclinaçãode15,0°.Abolaparamomentaneamenteapósterrolado1,50maolongoda

rampa.Qualeraavelocidadeinicial?

71NaFig.11-60,umaforçahorizontalconstante demódulo12Néaplicadaaumcilindromaciço,homogêneo,pormeiodeumalinhadepescarenroladanocilindro.Amassadocilindroé10kg,oraioé0,10meocilindrorolasuavementeemumasuperfíciehorizontal.(a)Qualéomódulodaaceleraçãodocentrodemassadocilindro?(b)Qualéomódulodaaceleraçãoangulardocilindroemrelaçãoaocentrodemassa?(c)Emtermosdosvetoresunitários,qualéaforçadeatritoqueagesobreocilindro?


72Um cano de paredes finas rola no chão.Qual é a razão entre a energia cinética de translação e aenergiacinéticaderotaçãoemrelaçãoaoeixocentraldocano?

73Umcarrodebrinquedo,de3,0kg,semoveaolongodeumeixoxcomumavelocidadedadapor =–2,0t3 m/s,comtemsegundos.Parat>0,qualé(a)omomentoangular docarroe(b)qualéotorqueτsobreocarro,amboscalculadosemrelaçãoàorigem?Qualéovalor(c)de e(d)de emrelaçãoaoponto(2,0m;5,0m;0)?Qualéovalor(e)de e(f)de emrelaçãoaoponto(2,0m;−5,0m;0)?

74Umarodagiranosentidohorárioemtornodoeixocentralcomummomentoangularde600kg·m2/s.No instante t=0,um torque,demódulo50N·m,éaplicadoà rodapara invertera rotação.Emqueinstantetavelocidadeangulardarodaseanula?

75 Emumparquinho existe umpequeno carrossel com1,20mde raio e 180 kg demassa.O raio degiraçãodocarrossel(vejaoProblema79doCapítulo10)é91,0cm.Umacriançacom44,0kgdemassacorre aumavelocidadede3,00m/s emuma trajetória tangente àbordadocarrossel, inicialmente emrepouso,epulanocarrossel.Desprezeoatritoentreosrolamentoseoeixodocarrossel.Calcule(a)omomentode inérciadocarrosselemrelaçãoaoeixoderotação, (b)omódulodomomentoangulardacriançaemrelaçãoaoeixoderotaçãodocarrossele(c)avelocidadeangulardocarrosseledacriançaapósacriançasaltarnocarrossel.

76Umblocohomogêneo,degranito,emformadelivropossuifacesde20cmpor15cmeumaespessurade1,2cm.Amassaespecífica(massaporunidadedevolume)dogranitoé2,64g/cm3.Oblocogiraemtorno de um eixo perpendicular às faces, situado ameia distância entre o centro e um dos cantos.Omomentoangularemtornodesseeixoé0,104kg·m2/s.Qualéaenergiacinéticaderotaçãodoblocoemtornodesseeixo?

77Duaspartículas,demassa2,90×10−4kgevelocidade5,46m/s,semovememsentidosopostosao

longode retasparalelas separadasporumadistânciade4,20cm. (a)QualéomóduloL domomentoangulardosistemadasduaspartículasemrelaçãoaopontomédiodadistânciaentreasduasretas?(b)OvalordeLmudaseopontoemrelaçãoaoqualécalculadonãoestáameiadistânciaentreasretas?Seosentidodemovimentodeumadaspartículaséinvertido,qualé(c)arespostadoitem(a)e(d)qualéarespostadoitem(b)?

78Umarodacom0,250mderaio,queestásemovendoinicialmentea43,0m/s,rola225matéparar.Calculeomódulo (a)da aceleração linear e (b)da aceleraçãoangularda roda. (c)Seomomentodeinérciadarodaemtornodoeixocentralé0,155kg·m2,calculeomódulodotorqueemrelaçãoaoeixocentraldevidoaoatritosobrearoda.

79AsrodasAeBnaFig.11-61estãoligadasporumacorreiaquenãodesliza.OraiodarodaBé3,00vezesmaiorqueoraiodarodaA.QualéarazãoIA/IBentreosmomentosdeinérciadasduasrodas,seelastêm(a)omesmomomentoangularemrelaçãoaosrespectivoseixoscentraise(b)amesmaenergiacinéticaderotação?


80Umapartículade2,50kgquesemovehorizontalmenteemumpisocomumavelocidadede (−3,00m/s) sofre uma colisão perfeitamente inelástica com uma partícula de 4,00 kg que se movehorizontalmentenomesmopisocomumavelocidadede(4,50m/s) .Acolisãoocorrenascoordenadas(−0,500m,−0,100m).Apósacolisãoeemtermosdosvetoresunitários,qualéomomentoangulardosistemadasduaspartículasemrelaçãoàorigem?

81Umarodahomogênea,demassa10,0kge raio0,400m,estámontada rigidamenteemumeixoquepassapelocentro(Fig.11-62).Oraiodoeixoé0,200meomomentodeinérciadoconjuntoroda-eixoemrelaçãoaoeixoé0,600kg·m2.Arodaestáinicialmenteemrepousonoaltodeumarampaquefazumânguloθ=30,0°comahorizontal;oeixoestáapoiadonarampa,enquantoarodapenetraemumsulcoaberto na rampa, sem tocá-la. Depois de liberado, o eixo rola para baixo, suavemente e semdeslizamento,aolongodarampa.Depoisqueoconjuntoroda-eixodesce2,00maolongodarampa,(a)qualéaenergiacinéticaderotaçãoe(b)qualaenergiacinéticadetranslaçãodoconjunto?


82Umabarrahomogêneagiraemumplanohorizontalemtornodeumeixoverticalquepassaporumadasextremidades.Abarratem6,00mdecomprimento,pesa10,0Negiraa240rev/min.Calcule(a)omomentodeinérciadabarraemrelaçãoaoeixoderotaçãoe(b)omódulodomomentoangularemtornodesseeixo.

83Umaesferamaciçacom36,0Ndepesosoberolandoumarampacomumângulode30,0°.Nabasedarampa, o centro de massa da esfera possui uma velocidade de translação de 4,90 m/s. (a) Qual é aenergiacinéticadaesferanabasedarampa?(b)Quedistânciaaesferasobeaolongodarampa?(c)Arespostadoitem(b)dependedamassadaesfera?

84 SuponhaqueoioiônoProblema17,emvezderolarapartirdorepouso,sejaarremessadoparabaixocomumavelocidadeinicialde1,3m/s.(a)Quantotempooioiôlevaparachegaràextremidadedacorda?Nesseinstante,qualéovalor(b)daenergiacinéticatotal,(c)davelocidadelinear,(d)daenergiacinéticadetranslação,(e)davelocidadeangulare(f)daenergiacinéticaderotação?

85Umamenina,demassaM,estádepénabordadeumcarrossel,sematrito,deraioRemomentodeinérciaI,queestáinicialmenteemrepouso.Ameninajogaumapedra,demassam,horizontalmenteemumadireçãotangenteàbordadocarrossel.Avelocidadedapedraemrelaçãoaochãoév.Depoisdisso,qualé(a)avelocidadeangulardocarrossele(b)qualéavelocidadelineardamenina?

86Umcorpo,deraioRemassam, rolasuavementecomvelocidadevemumasuperfíciehorizontaledepoissobeumacolinaatéumaalturamáximah.(a)Seh=3v2/4g,qualéomomentodeinérciadocorpoemrelaçãoaoeixoderotaçãoquepassapelocentrodemassa?(b)Quecorpopodeseresse?

APÊNDICEA

OSISTEMAINTERNACIONALDEUNIDADES(SI)*

Tabela1AsUnidadesFundameoSI

Grandeza Nome Símbolo Definição

comprimento metro m “...adistânciapercorridapelaluznovácuoem1/299.792.458desegundo.”(1983)

massa quilograma kg“...esteprotótipo[umcertocilindrodeplatina-irídio]seráconsideradodaquiemdiantecomoa

unidadedemassa.”(1889)

tempo segundo s

“...aduraçãode9.192.631.770períodosdaradiaçãocorrespondenteàtransiçãoentreosdoisníveis

hiperfinosdoestadofundamentaldoátomodecésio133.”(1967)...“emrepousoa0K”.

(1997)

correnteelétrica ampère A

“...acorrenteconstante,que,semantidaemdoiscondutoresparalelosretosdecomprimento

infinito,deseçãotransversalcirculardesprezíveleseparadosporumadistânciade1mno

vácuo,produziriaentreessescondutoresumaforçaiguala2×10–7newtonpormetrode

comprimento.”(1946)

temperatura

termodinâmicakelvin K “...afração1/273,16datemperaturatermodinâmicadopontotriplodaágua.”(1967)

quantidadede

matériamol mol

“...aquantidadedematériadeumsistemaquecontémumnúmerodeentidadeselementares

igualaonúmerodeátomosqueexistemem0,012quilogramadecarbono12.”(1971)

intensidade

luminosacandela cd

“...aintensidadeluminosa,emumadadadireção,deumafontequeemiteradiação

monocromáticadefrequéncia540×1012hertzequeirradianestadireçãocomuma

intensidadede1/683wattporesferorradiano.”(1979)

Tabela2AlgumasUnidadesSecundáriasdoSI

Grandeza NomedaUnidade Símbolo

área metroquadrado m2

volume metrocúbico m3

frequência hertz Hz s–1

massaespecífica quilogramapormetrocúbico kg/m3

velocidade metroporsegundo m/s

velocidadeangular radianoporsegundo rad/s

aceleração metroporsegundoaoquadrado m/s2

aceleraçãoangular radianoporsegundoaoquadrado rad/s2

força newton N kg·m/s2

pressão pascal Pa N/m2

trabalho,energia,quantidadedecalor joule J N·m

potência watt W J/s

quantidadedecargaelétrica coulomb c A·s

diferençadepotencial,forçaeletromotriz volt V W/A

intensidadedecampoelétrico voltpormetro(ounewtonporcoulomb) V/m N/C

resistênciaelétrica ohm Ω V/A

capacitância farad F A·s/V

fluxomagnético weber Wb V·s

indutância henry H V·s/A

densidadedefluxomagnético tesla T Wb/m2

intensidadedecampomagnético ampèrepormetro A/m

entropia jouleporkelvin J/K

calorespecífico jouleporquilograma-kelvin J/(kg·K)

condutividadetérmica wattpormetro-kelvin W/(m·K)

intensidaderadiante wattporesferorradiano W/sr

Tabela3AsUnidadesSuplementaresdoSI

Grandeza NomedaUnidade Símbolo

ânguloplano radiano rad

ângulosólido esferorradiano sr

_______________*Adaptado de “The International System of Units (SI)”, Publicação Especial 330 do National Bureau of Standards, edição de 2008. AsdefiniçõesacimaforamadotadaspelaConferênciaNacionaldePesoseMedidas,órgãointernacional,nasdatasindicadas.Acandelanãoéusadanestelivro.

APÊNDICEB

ALGUMASCONSTANTESFUNDAMENTAISDAFÍSICA*

Constante Símbolo ValorPráticoMelhorValor(2010)

Valora Incertezab

Velocidadedaluznovácuo c 3,00×108m/s 2,99792458 exata

Cargaelementar e 1,60×10–19C 1,602176565 0,022

Constantegravitacional G 6,67×10–11m3/s2·kg 6,67384 120

Constanteuniversaldosgases R 8,31J/mol·K 8,3144621 0,91

ConstantedeAvogadro NA 6,02×1023mol–1 6,02214129 0,044

ConstantedeBoltzmann k 1,38×10–23J/K 1,3806488 0,91

ConstantedeStefan-Boltzmann σ 5,67×10–8W/m2·K4 5,670373 3,6

VolumemolardeumgásidealnasCNTPC Vm 2,27×10–2m3/mol 2,2710953 0,91

Constanteelétrica ɛ0 8,85×10–12F/m 8,854187817... exata

Constantemagnética μ0 1,26×10–6H/m 1,256637061... exata

ConstantedePlanck h 6,63×10–34J·s 6,62606957 0,044

Massadoelétrond me 9,11×10–31kg 9,10938291 0,044

5,49×10–4u 5,4857990946 4,0×10–4

Massadoprótond mp 1,67×10–27kg 1,672621777 0,044

1,0073u 1,007276466812 8,9×10–5

Razãoentreamassadoprótoneamassadoelétron mp/me 1840 1836,15267245 4,1×10–4

Razãoentreamassaeacargadoelétron e/me 1,76×1011C/kg 1,758820088 0,022

Massadonêutrond mn 1,68×10–27kg 1,674927351 0,044

1,0087u 1,00866491600 4,2×10–4

Massadoátomodehidrogêniod m1H1,0078u 1,00782503207 1,0×10–4

Massadoátomodedeutériod m2H2,0136u 2,014101778040 4,0×10–5

Massadoátomodehéliod m4He4,0026u 4,002603254131 1,5×10–5

Massadomúon mμ 1,88×10–28kg 1,883531475 0,051

Momentomagnéticodoelétron μe 9,28×10–24J/T 9,28476430 0,022

Momentomagnéticodopróton μp 1,41×10–26J/T 1,410606743 0,024

MagnétondeBohr μB 9,27×10–24J/T 9,27400968 0,022

Magnétonnuclear μN 5,05×10–27J/T 5,05078353 0,022

RaiodeBohr a 5,29×10–11m 5,2917721092 3,2×10–4

ConstantedeRydberg R 1,10×107m–11,097373156853

95,0×10–6

ComprimentodeondadeComptondoelétron λC 2,43×10–12m 2,4263102389 6,5×10–4

aOsvaloresdestacolunatêmamesmaunidadeepotênciade10queovalorprático.bPartespormilhão.cCNTPsignificacondiçõesnormaisdetemperaturaepressão:0°Ce1,0atm(0,1MPa).dAsmassasdadasemuestãoemunidadesunificadasdemassaatómica:1u=1,660538782×10–27kg.

_______________*OsvaloresdestatabelaforamselecionadosentreosvaloresrecomendadospeloCodataem2010(www.physics.nist.gov).

http://www.physics.nist.gov

APÊNDICEC

ALGUNSDADOSASTRONÔMICOS

AlgumasDistânciasdaTerra

ÁLua* 3,82×108m Aocentrodanossagaláxia 2,2×1020m

AoSol* 1,50×1011m ÀgaláxiadeAndrômeda 2,1×1022m

Àestrelamaispróxima(ProximaCentauri) 4,04×1016m Aolimitedouniversoobservável ~1026m

*Distânciamédia.

OSol,aTerraeaLua

Propriedade Unidade Sol Terra Lua

Massa kg 1,99×1030 5,98×1024 7,36×1022

Raiomédio m 6,96×108 6,37×106 1,74×106

Massaespecíficamédia kg/m3 1410 5520 3340

Aceleraçãodequedalivrenasuperfície m/s2 274 9,81 1,67

Velocidadedeescape km/s 618 11,2 2,38

Períododerotaçãoa — 37dnospolosb 26dnoequadorb23h56

min27,3d

Potênciaderadiaçãoc W 3,90×1026

aMedidoemrelaçãoàsestrelasdistantes.bOSol,umaboladegás,nãogiracomoumcorporígido.cPertodoslimitesdaatmosferaterrestre,aenergiasolarérecebidaaumataxade1340W/m2,supondoumaincidêncianormal.

AlgumasPropriedadesdosPlanetas

Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutãod

DistânciamédiadoSol,

106km57,9 108 150 228 778 1430 2870 4500 5900

Períododerevolução,

anos0,241 0,615 1,00 1,88 11,9 29,5 84,0 165 248

Períododerotação,adias 58,7 –243b 0,997 1,03 0,409 0,426 –0,451b 0,658 6,39

Velocidadeorbital,km/s 47,9 35,0 29,8 24,1 13,1 9,64 6,81 5,43 4,74

Inclinaçãodoeixoem

relaçãoàórbita<28° ≈3° 23,4° 25,0° 3,08° 26,7° 97,9° 29,6° 57,5°

Inclinaçãodaórbitaem

relaçãoàórbitada

Terra

7,00° 3,39° 1,85° 1,30° 2,49° 0,77° 1,77° 17,2°

Excentricidadedaórbita 0,206 0,0068 0,0167 0,0934 0,0485 0,0556 0,0472 0,0086 0,250

Diâmetroequatorial,km 4880 12100 12800 6790 143000 120000 51800 49500 2300

Massa(Terra=1) 0,0558 0,815 1,000 0,107 318 95,1 14,5 17,2 0,002

Densidade(água=1) 5,60 5,20 5,52 3,95 1,31 0,704 1,21 1,67 2,03

Valordegnasuperfície,c

m/s23,78 8,60 9,78 3,72 22,9 9,05 7,77 11,0 0,5

Velocidadedeescape,c

km/s4,3 10,3 11,2 5,0 59,5 35,6 21,2 23,6 1,3

Satélitesconhecidos 0 0 1 2 67+anel62+

anéis

27+

anéis

13+

anéis4

aMedidoemrelaçãoàsestrelasdistantes.bVénuseUranogiramnosentidocontrárioaodomovimentoorbital.cAceleraçãogravitacionalmedidanoequadordoplaneta.dPlutãoéatualmenteclassificadocomoumplanetaanão.

APÊNDICED

FATORESDECONVERSÃO

Osfatoresdeconversãopodemserlidosdiretamentedastabelasaseguir.Assim,porexemplo,1grau=2,778×10−3revoluçõese,portanto,16,7°=16,7×2,778×10−3revoluções.AsunidadesdoSIestãoemletrasmaiúsculas.AdaptadoparcialmentedeG.ShortleyandD.Williams,ElementsofPhysics,1971,Prentice-Hall,EnglewoodCliffs,NJ.

ÂnguloPlano

o ′ ″ RADIANOS rev

1grau =1 60 3600 1,745×10−2 2,778×10−3

1minuto =1,667×10−2 1 60 2,909×10−4 4,630×10−5

1segundo =2,778×10−4 1,667×10−2 1 4,848×10−6 7,716×10−7

1RADIANO =57,30 3438 2,063×105 1 0,1592

1revolução =360 2,16×104 1,296×106 6,283 1

ÂnguloSólido

1esfera=4πesferorradianos=12,57esferorradianos

Comprimento

cm METROS km polegadas pés milhas

1centímetro =1 10−2 10−5 0,3937 3,281×10−26,214×

10−6

1METRO =100 1 10−3 39,37 3,2816,214×

10−4

1quilômetro =105 1000 1 3,937×104 3281 0,6214

1polegada =2,540 2,540×10−2 2,540×10−5 1 8,333×10−2 1,578×

10−5

1pé =30,48 03048 3,048×10−4 12 11,894×

10−4

1milha =1,609×105 1609 1,609 6,336×104 5280 1

1angström=10−10m1milhamarítima=1852m=1,151milha=6076pés1fermi=10−15m1ano-luz=9,461×1012km1parsec=3,084×1013km1braça=6pés1raiodeBohr=5,292×10−11m1jarda=3pés1vara=16,5pés1mil=10−3polegadas1nm=10−9m

Área

METROS2 cm2 pés2 polegadas2

1METROQUADRADO =1 104 10,76 1550

1centímetroquadrado =10−4 1 1,076×10−3 0,1550

1péquadrado =9,290×10−2 929,0 1 144

1polegadaquadrada =6,452×10−4 6,452 6,944×10−3 1

1milhaquadrada=2,788×107pés2=640acres1barn=10−28m2

1acre=43.560pés2

1hectare=104m2=2,471acres

Volume

METROS3 cm3 L pés3 polegadas3

1METROCÚBICO =1 106 1000 35,31 6,102×104

1centímetrocúbico =10−6 1 1,000×10−3 3,531×10−5 6,102×10−2

1litro =1,000×10−3 1000 1 3,531×10−2 61,02

1pécúbico =2,832×10−2 2,832×104 28,32 1 1728

1polegadacúbica =1,639×10−5 16,39 1,639×10−2 5,787×10−4 1

1galãoamericano=4quartosdegalãoamericano=8quartilhosamericanos=128onçasfluidasamericanas=231polegadas3

1galãoimperialbritânico=277,4polegadas3=1,201galãoamericano

Massa

Asgrandezasnas áreas sombreadasnão sãounidadesdemassa,mas são frequentementeusadas comotais.Assim,porexemplo,quandoescrevemos1kg“=”2,205lb,issosignificaumquilogramaéamassaquepesa2,205librasemumlocalemquegtemovalor-padrãode9,80665m/s2.

g QUILOGRAMAS slug u onças libras toneladas

1grama =1 0,001 6,852×10−5 6,022×1023 3,527×10−2 2,205×10−31,102×

10−6

1QUILOGRAMA =1000 1 6,852×10−2 6,022×1026 35,27 2,2051,102×

10−3

1slug =1,459×104 14,59 1 8,786×1027 514,8 32,171,609×

10−2

unidadedemassa

atômica(u)

=1,661×

10−241,661×10−27 1,138×10−28 1 5,857×10−26 3,662×10−27

1,830×

10−30

1onça =28,35 2,835×10−2 1,943×10−3 1,718×1025 1 6,250×10−23,125×

10−5

1libra =453,6 0,4536 3,108×10−2 2,732×1026 16 1 0,0005

1tonelada =9,072×105 907,2 62,16 5,463×1029 3,2×104 2000 1

1toneladamétrica=1000kg

MassaEspecífica

Asgrandezasnasáreassombreadassãopesosespecíficose,comotais,dimensionalmentediferentesdasmassasespecíficas.Vejaanotanatabelademassas.

slug/pé3 QUILOGRAMAS/METRO3 g/cm3 lb/pé3 lb/polegada3

1slugporpé3 =1 515,4 0,5154 32,17 1,862×10−2

1QUILOGRAMAporMETRO3 =1,940×10−3 1 0,001 6,243×10−2 3,613×10−5

1gramaporcentímetro3 =1,940 1000 1 62,43 3,613×10−2

1libraporpé3 =3,108×10−2 16,02 16,02×10−2 1 5,787×10−4

1libraporpolegada3 =53,71 2,768×104 27,68 1728 1

Tempo

ano d h min SEGUNDOS

1ano =1 365,25 8,766×103 5,259×105 3,156×107

1dia =2,738×10−3 1 24 1440 8,640×104

1hora =1,141×10−4 4,167×10−2 1 60 3600

1minuto =1,901×10−6 6,944×10−4 1,667×10−2 1 60

1SEGUNDO =3,169×10−8 1,157×10−5 2,778×10−4 1,667×10−2 1

Velocidade

pés/s km/h METROS/SEGUNDO milhas/h cm/s

1péporsegundo =1 1,097 0,3048 0,6818 30,48

1quilômetroporhora =0,9113 1 0,2778 0,6214 27,78

1METROporSEGUNDO =3,281 3,6 1 2,237 100

1milhaporhora =1,467 1,609 0,4470 1 44,70

1centímetroporsegundo =3,281×10−2 3,6×10−2 0,01 2,237×10−2 1

1nó=1milhamarítima/h=1,688pé/s1milha/min=88,00pés/s=60,00milhas/h

Força

Ograma-forçaeoquilograma-forçasãoatualmentepoucousados.Umgrama-força(=1gf)éaforçadagravidadequeatuasobreumobjetocujamassaé1gramaemumlocalondegpossuiovalor-padrãode9,80665m/s2.

dinas NEWTONS libras poundals gf kgf

1dina =1 10−5 2,248×10−6 7,233×10−5 1,020×10−3 1,020×10−6

1NEWTON =105 1 0,2248 7,233 102,0 0,1020

1libra =4,448×105 4,448 1 32,17 453,6 0,4536

1poundal =1,383×104 0,1383 3,108×10−2 1 14,10 1,410×102

1grama-força =980,7 9,807×10−3 2,205×10−3 7,093×10−2 1 0,001

1quilograma-força =9,807×105 9,807 2,205 70,93 1000 1

1tonelada=2000libras

Pressão

atm dinas/cm2polegadasde

águacmHg PASCALS libras/polegada2 libras/pé2

1atmosfera =1 1,013×106 406,8 76 1,013×105 14,70 2116

1dinapor

centímetro2=9,869×10−7 1 4,015×10−4 7,501×10−5 0,1 1,405×10−5

2,089×

10−3

1polegadade

águaaa4°C=2,458×10−3 2491 1 0,1868 249,1 3,613×10−2 5,202

1centímetro

demercúrioa

a0°C

=1,316×10−2 1,333×104 5,353 1 1333 0,1934 27,85

1PASCAL =9,869×10−6 10 4,015×10−3 7,501×10−4 1 1,450×10−42,089×

10−2

1libraporpolegada2 =6,805×10−2 6,895×104 27,68 5,171 6,895×103 1 144

1libraporpé2 =4,725×10−4 478,8 0,1922 3,591×10−2 47,88 6,944×10−3 1

aOndeaaceleraçãodagravidadepossuiovalor-padrãode9,80665m/s2.1bar=106dina/cm2=0,1MPa1milibar=103dinas/cm2=102Pa1torr=1mmHg

Energia,TrabalhoeCalor

Asgrandezasnasáreassombreadasnãosãounidadesdeenergia,masforamincluídasporconveniência.ElasseoriginamdafórmularelativísticadeequivalênciaentremassaeenergiaE=mc2erepresentamaenergia equivalente aumquilogramaouumaunidadeunificadademassa atómica (u) (asduasúltimaslinhas)eamassaequivalenteaumaunidadedeenergia(asduascolunasdaextremidadedireita).

Potência

Btu/h pés-libras/s hp cal/s kW WATTS

1Btuporhora =1 0,2161 3,929×10−4 6,998×10−2 2,930×10−4 0,2930

1pé-libraporsegundo =4,628 1 1,818×10−3 0,3239 1,356×10−3 1,356

1horsepower =2545 550 1 178,1 0,7457 745,7

1caloriaporsegundo =14,29 3,088 5,615×10−3 1 4,186×10−3 4,186

1quilowatt =3413 737,6 1,341 238,9 1 1000

1WATT =3,413 0,7376 1,341×10−3 0,2389 0,001 1

CampoMagnético

gauss TESLAS miligauss

1gauss =1 10−4 1000

1TESLA =104 1 107

1miligauss =0,001 10−7 1

1tesla=1weber/metro2

FluxoMagnético

maxwell WEBER

1maxwell =1 10−8

1WEBER =108 1

APÊNDICEE

FÓRMULASMATEMÁTICAS

GeometriaCírculoderaior:circunferência=2πr;área=πr2.Esferaderaior:área=4πr2;volume= πr3.Cilindrocircularretoderaiorealturah:área=2πr2+2πrh;volume=πr2h.Triângulodebaseaealturah:área= ah.

FórmuladeBáskara

Seax2+bx+c=0,então .

FunçõesTrigonométricasdoÂnguloθ

TeoremadePitágorasNestetriânguloretângulo,a2+b2=c2

TriângulosÂngulos:A,B,CLadosopostos:a,b,cA+B+C=180°

c2=a2+b2–2abcosC

ÂnguloexternoD=A+C

SinaiseSímbolosMatemáticos=iguala≈aproximadamenteiguala~daordemdegrandezade≠diferentede≡idênticoa,definidocomo>maiorque( muitomaiorque)<menorque( muitomenorque)≥maiorouiguala(nãomenorque)≤menorouiguala(nãomaiorque)±maisoumenos∝proporcionalaΣsomatóriodexmédvalormédiodex

IdentidadesTrigonométricassen(90°–θ)=cosθcos(90°–θ)=senθsenθ/cosθ=tanθsen2θ+cos2θ=1sen2θ–tan2θ=1csc2θ–cot2θ=1sen2θ=2senθcosθcos2θ=cos2θ–sen2θ=2cos2θ–1=1–2sen2θsen(α±β)=senαcosβ±cosαsenβcos(α±β)=cosαcosβ±senαsenβ

senα±senβ=2sen (α±β)cos (α∓θ)cosα±cosβ=2cos (α+β)cos (α–θ)cosα–cosβ=–2sen (α+β)sen (α–θ)

TeoremaBinomial

ExpansãoExponencial

ExpansãoLogarítmica

ExpansõesTrigonométricas(θemradianos)

RegradeCramerUmsistemadeduasequaçõeslinearescomduasincógnitas,xey,

a1x+b1y=c1 e a2x+b2y=c2,

temcomosoluções

e

ProdutosdeVetoresSejamî,ĵe vetoresunitáriosnasdireçõesx,yez,respectivamente.Nessecaso,

Qualquervetor decomponentesax,ayeazaolongodoseixosx,yezpodeserescritonaforma

Sejam , e vetoresarbitráriosdemódulosa,bec.Nessecaso,

Sejaθomenordosdoisângulosentre e .Nessecaso,

DerivadaseIntegraisNas fórmulas a seguir, as letrasuev representamduas funçõesdex, ea em são constantes.A cadaintegralindefinidadeve-sesomarumaconstantedeintegraçãoarbitrária.OHandbookofChemistryandPhysics(CRCPressInc.)contémumatabelamaiscompleta.1.

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APÊNDICEF

PROPRIEDADESDOSELEMENTOS

Todas as propriedades físicas são dadas para uma pressão de 1 atm, amenos que seja indicado emcontrário.

Elemento SímboloNúmero

Atômico,Z

MassaMolar,

g/mol

Massa

Específica,

g/cm3a20°C

Pontode

Fusão,°C

Pontode

Ebulição,°C

Calor

Específico,J/(g

·°c)a25°C

Actínio Ac 89 (227) 10,06 1323 (3473) 0,092

Alumínio A1 13 26,9815 2,699 660 2450 0,900

Amerício Am 95 (243) 13,67 1541 — —

Antimônio Sb 51 121,75 6,691 630,5 1380 0,205

Argônio Ar 18 39,948 1,6626×10–3 –189,4 –185,8 0,523

Arsênio As 33 74,9216 5,78 817(28atm) 613 0,331

Astatínio At 85 (210) — (302) — —

Bário Ba 56 137,34 3,594 729 1640 0,205

Berílio Be 4 9,0122 1,848 1287 2770 1,83

Berquélio Bk 97 (247) 14,79 — — —

Bismuto Bi 83 208,980 9,747 271,37 1560 0,122

Bóhrio Bh 107 262,12 — — — —

Boro B 5 10,811 2,34 2030 — 1,11

Bromo Br 35 79,909 3,12(líquido) –7,2 58 0,293

Cádmio Cd 48 112,40 8,65 321,03 765 0,226

Cálcio Ca 20 40,08 1,55 838 1440 0,624

Califórnio Cf 98 (251) — — — —

Carbono c 6 12,01115 2,26 3727 4830 0,691

Cério Ce 58 140,12 6,768 804 3470 0,188

Césio Cs 55 132,905 1,873 28,40 690 0,243

Chumbo Pb 82 207,19 11,35 327,45 1725 0,129

Cloro Cl 17 35,4533,214×10–3

(0°C)–101 –34,7 0,486

Cobalto Co 27 58,9332 8,85 1495 2900 0,423

Cobre Cu 29 63,54 8,96 1083,40 2595 0,385

Copernício Cn 112 (285) — — — —

Criptônio Kr 36 83,80 3,488×10–3 –157,37 –152 0,247

Cromo Cr 24 51,996 7,19 1857 2665 0,448

Cúrio Cm 96 (247) 13,3 — — —

Darmstádtio Ds 110 (271) — — — —

Disprósio Dy 66 162,50 8,55 1409 2330 0,172

Dúbnio Db 105 262,114 — — — —

Einstêinio Es 99 (254) — — — —

Enxofre S 16 32,064 2,07 119,0 444,6 0,707

Érbio Er 68 167,26 9,15 1522 2630 0,167

Escândio Sc 21 44,956 2,99 1539 2730 0,569

Estanho Sn 50 118,69 7,2984 231,868 2270 0,226

Estrôncio Sr 38 87,62 2,54 768 1380 0,737

Európio Eu 63 151,96 5,243 817 1490 0,163

Férmio Fm 100 (237) — — — —

Ferro Fe 26 55,847 7,874 1536,5 3000 0,447

Fleróvio F1 114 (289) — — — —

Flúor F 9 18,99841,696×10–3

(0°C)–219,6 –188,2 0,753

Fósforo P 15 30,9738 1,83 44,25 280 0,741

Frâncio Fr 87 (223) — (27) — —

Gadolínio Gd 64 157,25 7,90 1312 2730 0,234

Gálio Ga 31 69,72 5,907 29,75 2237 0,377

Germânio Ge 32 72,59 5,323 937,25 2830 0,322

Háfnio Hf 72 178,49 13,31 2227 5400 0,144

Hássio Hs 108 (265) — — — —

Hélio He 2 4,0026 0,1664×10–3 –269,7 –268,9 5,23

Hidrogênio H 1 1,007970,08375×

10–3–259,19 –252,7 14,4

Hólmio Ho 67 164,930 8,79 1470 2330 0,165

Índio In 49 114,82 7,31 156,634 2000 0,233

Iodo I 53 126,9044 4,93 113,7 183 0,218

Irídio Ir 77 192,2 22,5 2447 (5300) 0,130

Itérbio Yb 70 173,04 6,965 824 1530 0,155

Ítrio Y 39 88,905 4,469 1526 3030 0,297

Lantânio La 57 138,91 6,189 920 3470 0,195

Laurêncio Lr 103 (257) — — — —

Lítio Li 3 6,939 0,534 180,55 1300 3,58

Livermório Lv 116 (293) — — — —

Lutécio Lu 71 174,97 9,849 1663 1930 0,155

Magnésio Mg 12 24,312 1,738 650 1107 1,03

Manganês Mn 25 54,9380 7,44 1244 2150 0,481

Meitnério Mt 109 (266) — — — —

Mendelévio Md 101 (256) — — — —

Mercúrio Hg 80 200,59 13,55 –38,87 357 0,138

Molibdênio Mo 42 95,94 10,22 2617 5560 0,251

Neodímio Nd 60 144,24 7,007 1016 3180 0,188

Neônio Ne 10 20,183 0,8387×10–3 –248,597 –246,0 1,03

Netúnio Np 93 (237) 20,25 637 — 1,26

Níquel Ni 28 58,71 8,902 1453 2730 0,444

Nióbio Nb 41 92,906 8,57 2468 4927 0,264

Nitrogênio N 7 14,0067 1,1649×10–3 –210 –195,8 1,03

Nobélio No 102 (255) — — — —

Ósmio Os 76 190,2 22,59 3027 5500 0,130

Ouro Au 79 196,967 19,32 1064,43 2970 0,131

Oxigênio O 8 15,9994 1,3318×10–3 –218,80 –183,0 0,913

Paládio Pd 46 106,4 12,02 1552 3980 0,243

Platina Pt 78 195,09 21,45 1769 4530 0,134

Plutônio Pu 94 (244) 19,8 640 3235 0,130

Polônio Po 84 (210) 9,32 254 — —

Potássio K 19 39,102 0,862 63,20 760 0,758

Praseodímio Pr 59 140,907 6,773 931 3020 0,197

Prata Ag 47 107,870 10,49 960,8 2210 0,234

Promécio Pm 61 (145) 7,22 (1027) — —

Protactínio Pa 91 (231)15,37

(estimada)(1230) — —

Rádio Ra 88 (226) 5,0 700 — —

Radônio Rn 86 (222)9,96×10–3

(0°C)(–71) –61,8 0,092

Rênio Re 75 186,2 21,02 3180 5900 0,134

Ródio Rh 45 102,905 12,41 1963 4500 0,243

Roentgênio Rg 111 (280) — — — —

Rubídio Rb 37 85,47 1,532 39,49 688 0,364

Rutênio Ru 44 101,107 12,37 2250 4900 0,239

Rutherfórdio Rf 104 261,11 — — — —

Samário Sm 62 150,35 7,52 1072 1630 0,197

Seabórgio Sg 106 263,118 — — — —

Selênio Se 34 78,96 4,79 221 685 0,318

Silício Si 14 28,086 2,33 1412 2680 0,712

Sódio Na 11 22,9898 0,9712 97,85 892 1,23

Tálio T1 81 204,37 11,85 304 1457 0,130

Tântalo Ta 73 180,948 16,6 3014 5425 0,138

Tecnécio Tc 43 (99) 11,46 2200 — 0,209

Telúrio Te 52 127,60 6,24 449,5 990 0,201

Térbio Tb 65 158,924 8,229 1357 2530 0,180

Titânio Ti 22 47,90 4,54 1670 3260 0,523

Tório Th 90 (232) 11,72 1755 (3850) 0,117

Túlio Tm 69 168,934 9,32 1545 1720 0,159

Tungstênio W 74 183,85 19,3 3380 5930 0,134

Ununóctio* Uuo 118 (294) — — — —

Ununpêntio* Uup 115 (288) — — — —

Ununséptio* Uus 117 — — — — —

Ununtrio* Uut 113 (284) — — — —

Urânio U 92 (238) 18,95 1132 3818 0,117

Vanádio V 23 50,942 6,11 1902 3400 0,490

Xenônio Xe 54 131,30 5,495×10–3 –111,79 –108 0,159

Zinco Zn 30 65,37 7,133 419,58 906 0,389

Zircônio Zr 40 91,22 6,506 1852 3580 0,276

Osnúmerosentreparêntesesnacolunadasmassasmolaressãoosnúmerosdemassadosisótoposdevidamaislongadoselementosradioativos.Ospontosdefusãoepontosdeebuliçãoentreparêntesessãopoucoconfiáveis.Osdadosparaosgasessãoválidosapenasquandoelesestãonoestadomolecularmaiscomum,comoH2,He,O2,Neetc.Oscaloresespecíficosdosgasessãoosvaloresapressãoconstante.Fonte:AdaptadadeJ.Emsley,TheElements,3aedição,1998.ClarendonPress,Oxford.Vejatambémwww.webelements.comparavaloresatualizadose,possivelmente,novoselementos.*Nomeprovisório.

http://www.webelements.com

APÊNDICEG

TABELAPERIÓDICADOSELEMENTOS

RESPOSTAS

dosTestesedasPerguntaseProblemasÍmpares

Capítulo1PR1.(a)4,00×104km;(b)5,10×108km2;(c)1,08×1012km33.(a)109μm;(b)10−4;(c)9,1×105μm5.(a)160varas;(b)40cadeias7.1,1×103acres-pés9.1,9×1022cm311. (a)1,43;(b)0,86413. (a)495s;(b)141s;(c)198s;(d)−245s15.1,21×1012μs17.C,D,A,B,E;ocritério importanteéaconstânciadosresultados,independentementedovalor19.5,2×106m21.9,0×1049átomos23.(a)1×103kg;(b)158kg/s25.1,9×105kg27. (a)1,18×10−29m3; (b)0,282nm29.1,75×103kg31.1,43kg/min33.(a)293alqueiresamericanos;(b)3,81×103alqueiresamericanos35. (a)22pecks;(b)5,5Imperialbushels;(c)200L37.8×102km39.(a)18,8galões;(b)22,5galões41.0,3cord43.3,8mg/s45.(a)sim;(b)8,6segundosdouniverso47.0,12UA/min49.(a)3,88;(b)7,65;(c)156ken3;(d)1,19×103m351.(a)3,9m,4,8m;(b)3,9×103mm,4,8×103mm;(c)2,2m3,4,2m353.(a)4,9×10−6parsecs;(b)1,6×10−5anos-luz55.(a)3nabucodonosorese1matusalém;(b)0,37garrafanormal;(c)0,26L57.10,7pimentashabanero59.700a1500ostras

Capítulo2T1.bec2.(verifiqueaderivadadx/dt)(a)1e4;(b)2e33.(a)positivo;(b)negativo;(c)negativo;(d)positivo4.1e4(a=d2x/dt2deveserconstante)5.(a)positivo(deslocamentoparacimaaolongodoeixoy);(b)negativo(deslocamentoparabaixoaolongodoeixoy);(c)a=–g=−9,8m/s2

P1.(a)negativo;(b)positivo;(c)sim;(d)positiva;(e)constante3.(a)todasiguais;(b)4,1e2,35.(a)positivo;(b)negativo;(c)3e5;(d)2e6,3e5,1e47.(a)D;(b)E9.(a)3,2,1;(b)1,2,3;(c)todasiguais;(d)1,2,311.1e2,3PR1.13m3.(a)+40km/h;(b)40km/h5.(a)0;(b)−2m;(c)0;(d)12m;(e)+12m;(f)+7m/s7.60km9.1,4m11.128km/h13.(a)73km/h;(b)68km/h;(c)70km/h;(d)015.(a)−6m/s;(b)nosentidonegativo;(c)6m/s;(d)diminuindo;(e)2s;(f)não17.(a)28,5cm/s;(b)18,0cm/s;(c)40,5cm/s;(d)28,1cm/s;(e)30,3cm/s19.−20m/s221.(a)1,10m/s;(b)6,11mm/s2;(c)1,47m/s;(d)6,11mm/s223.1,62×1015m/s225.(a)30s;(b)300m27.(a)+1,6m/s;(b)+18m/s29.(a)10,6m;(b)41,5s31. (a)3,1×106s;(b)4,6×1013m33.(a)3,56m/s2;(b)8,43m/s35.0,90m/s237.(a)4,0m/s2;(b)positivo39.(a)−2,5m/s2;(b)1;(d)0;(e)241.40m43.0,994m/s245.(a)31m/s;(b)6,4s47.(a)29,4m;(b)2,45s49.(a)5,4s;(b)41m/s51.(a)20m;(b)59m53.4,0m/s55.(a)857m/s2;(b)paracima57.(a)1,26×103m/s2;(b)paracima59.(a)89cm;(b)22cm61.20,4m63.2,34m65.(a)2,25m/s;(b)3,90m/s67.0,56m/s69.100m71.(a)2,00s;(b)12cm;(c)−9,00cm/s2;(d)paraadireita;(e)paraaesquerda;(f)3,46s73.(a)82m;(b)19m/s75.(a)0,74s;(b)6,2m/s277.(a)3,1m/s2;(b)45m;(c)13s79.17m/s81.+47m/s83.(a)1,23cm;(b)por4;(c)por9;(d)por16;(e)por2585.25km/h87.1,2×89.4H91.(a)3,2s;(b)1,3s93.(a)8,85m/s;(b)1,00m95.(a)2,0m/s2;(b)12m/s;(c)45m97.(a)48,5m/s;(b)

4,95s;(c)34,3m/s;(d)3,50s99.22,0m/s101.(a)v=(v2+2gh)0,5;(b)t=[(v2+2gh)0,5–v0]/g; (c)iguala(a);(d)t=[(v2+2gh)0,5+v0]/g,maiorque103.414ms105.90m107.0,556s109. (a)0,28m/s2;(b)0,28m/s2111.(a)10,2s;(b)10,0m113.(a)5,44s;(b)53,3m/s;(c)5,80m115.2,3cm/min117.0,15m/s119.(a)1,0cm/s;(b)1,6cm/s,1,1cm/s,0;(c)−0,79cm/s2;(d)0,−0,87cm/s2,−1,2cm/s2

Capítulo3T1. (a) 7m ( e nomesmo sentido); (b) lm ( e em sentidosopostos)2.c,d, f (a origem dasegundacomponentedevecoincidircomaextremidadedaprimeira;adeveligaraorigemdaprimeiracomponentecomaextremidadedasegunda)3.(a)+,+;(b)+,−;(c)+,+(ovetordevesertraçadodaorigemded1àextremidadeded2)4.(a)90°;(b)0°(osvetoressãoparalelos);(c)180°(osvetoressãoantiparalelos)5.(a)0°ou180°;(b)90°P1.sim,seosvetoresforemparalelos3.Asequência 2, 1ouasequência 2, 2, 35.todos,menos(e)7.(a)sim;(b)sim;(c)não9.(a)+xpara(1),+zpara(2),+zpara(3);(b)−xpara(1),−zpara(2),−zpara(3)11. ou13.Corretas:c,d,f,h.Incorretas:a(nãoépossívelcalcularoprodutoescalardeumvetorporumescalar),b(nãoépossívelcalcularoprodutovetorialdeumvetorporumescalar),e,g,i,j(nãoépossívelsomarumescalareumvetor).PR1. (a)−2,5m;(b)−6,9m3. (a)47,2m;(b)122°5. (a)156km; (b)39,8°aoestedonorte7. (a)paralelos;(b)antiparalelos;(c)perpendiculares9.(a)(3,0m)i−(2,0m)j+(5,0m)k;(b)(5,0m) −(4,0m)j−(3,0m)k;(c)(−5,0m) +(4,0m) +(3,0m) 11.(a)(−9,0m) +(10m) ;(b)13m;(c)132°13.4,74km15.(a)1,59m;(b)12,1m;(c)12,2m;(d)82,5°17.(a)38m;(b)−37,5°;(c)130m;(d)1,2°;(e)62m;(f)130°19.(a)5,39m;(b)21,8°àesquerda21.(a)−70,0cm;(b)80,0cm;(c)141cm;(d)−172°23.3,225.2,6km27.(a)8i+16j;(b)2i+4j29.(a)7,5cm;(b)90°;(c)8,6cm;(d)48°31.(a)9,51m;(b)14,1m;(c)13,4m;(d)10,5m33.(a)12;(b)+z;(c)12;(d)−z;(e)12;(f)+z35.(a)−18,8unidades;(b)26,9unidades,nadireção+z37.(a)−21;(b)−9;(c)5 −11 −9 39.70,5°41.22°43.(a)3,00m;(b)0;(c)3,46m;(d)2,00m;(e)−5,00m;(f)8,66m;(g)−6,67;(h)4,3345.(a)−83,4;(b)(1,14×103) ;(c)1,14×103,θnãoédefinido,ϕ=0°;(d)90,0°;(e)−5,14 +6,13 +3,00 ; (f)8,54,θ=130°,ϕ=69,4°47.(a)140°;(b)90,0°;(c)99,1°49.(a)103km;(b)60,9°aonortedooeste51. (a)27,8m;(b)13,4m53.(a)30;(b)5255.(a)−2,83m;(b)−2,83m;(c)5,00m;(d)0;(e)3,00m;(f)5,20m;(g)5,17m;(h)2,37m;(i)5,69m;(j)25°aonortedoleste;(k)5,69m;(1)25°aosuldooeste57.4,159. (a)(9,19m) ʹ+(7,71m) ʹ;(b)(14,0m) ʹ+(3,41m) ʹ61.(a)11 +5,0j−7,0k;(b)120°;(c)−4,9;(d)7,363.(a)3,0m2;(b)52m3;(c)(11m2) +(9,0m2) +(3,0m2) ;65.(a)(−40 −20 +25 m;(b)45m67.(a)0;(b)0;(c)−1;(d)paraoeste;(e)paracima;(f)paraoeste69.(a)168cm;(b)32,5o71.(a)15m;(b)sul;(c)6,0m;(d)norte73.(a)2k;(b)26;(c)46;(d)5,8175.(a)paracima;(b)0;(c)sul;(d)1;(e)077.(a)(1300m) +(2200m) −(410m) ;(b)2,56×103m79.8,4

Capítulo4T1. (trace tangente à trajetória, comaorigemna trajetória) (a) primeiro; (b) terceiro2. (calcule aderivadasegundaemrelaçãoaotempo)(1)e(3)axeaysãoconstantese,portanto, éconstante;(2)e(4)ayéconstantemasaxnãoéconstantee,portanto, nãoéconstante3.sim4.(a)vxéconstante;(b)vyéinicialmentepositiva,diminuiatézeroedepoissetornacadavezmaisnegativa;(c)ax=0sempre;(d)ay

=–gsempre5.(a)−(4m/s) ;(b)−(8m/s2)P1.aebempatados,c3.diminui5.a,b,c7.(a)0;(b)350km/h;(c)350km/h;(d)igual(acomponenteverticaldomovimentoseriaamesma)9.(a)todasiguais;(b)todasiguais;(c)3,2,1;(d)3,2,111.2,depois1e4empatados,depois313.(a)sim;(b)não;(c)sim15.(a)diminui;(b)aumenta17.nopontoemqueaalturaémáximaPR1.(a)6,2m3.(−2,0m) +(6,0m) −(10m) 5.(a)7,59km/h;(b)22,5°alestedonorte7. (−0,70m/s) +(1,4m/s) −(0,40m/s) 9.(a)0,83cm/s;(b)0°;(c)0,11m/s;(d)−63°11.(a)(6,00m) −(106m)j;(b)(19,0m/s) −(224m/s) ;(c)(24,0m/s2) −(336m/s2) ;(d)−85,2°13.(a)(8m/s2)t +(1m/s) ;(b)(8m/s2) 15.(a)(−1,50m/s) ;(b)(4,50m) −(2,25m) 17.(32m/s) 19.(a)(72,0m) +(90,7m) ;(b)49,5°21.(a)18cm;(b)1,9m23.(a)3,03s;(b)758m;(c)29,7m/s25.43,1m/s(155km/h)27.(a)10,0s;(b)897m29.78,5°31.3,35m33.(a)202m/s;(b)806m;(c)161m/s;(d)−171m/s35.4,84cm37.(a)1,60m;(b)6,86m;(c)2,86m39.(a)32,3m;(b)21,9m/s;(c)−40,4°41.55,5°43.(a)11m;(b)23m;(c)17m/s;(d)63°45.(a)narampa;(b)5,82m;(c)31,0°47.(a)sim;(b)2,56m49.(a)31°;(b)63°51.(a)2,3°;(b)1,4m;(c)18°53.(a)75,0m;(b)31,9m/s;(c)66,9°;(d)25,5m55.noterceiro57.(a)7,32m;(b)paraoeste;(c)paraonorte59.(a)12s;(b)4,1m/s2;(c)parabaixo;(d)4,1m/s2;(e)paracima61.(a)1,3×105m/s;(b)7,9×105m/s2;(c)aumentam63.2,92m65.(3,00m/s2) +(6,00m/s2) 67.160m/s269.(a)13m/s2;(b)paraleste;(c)13m/s2;(d)paraleste71.1,6773.(a)(80km/h) −(60km/h);(b)0°;(c)não75.32m/s77.60°79.(a)38nós;(b)1,5°alestedonorte;(c)4,2h;(d)1,5°aoestedosul81.(a)(−32km/h) −(46km/h) ;(b)[(2,5km)−(32km/h)t] +[(4,0km)−(46km/h)t] ;(c)0,084h;(d)2×102m83.(a)−30°;(b)69min;(c)80min;(d)80min;(e)0°;(f)60min85.(a)2,7km;(b)76°nosentidohorário87.(a)44m;(b)13m;(c)8,9m89.(a)45m;(b)22m/s91.(a)2,6×102m/s;(b)45s;(c)aumentaria93. (a)63km;(b)18°aosuldoleste;(c)0,70km/h;(d)18°aosuldoleste;(e)1,6km/h;(f)1,2km/h;(g)33°aonortedoleste95.(a)1,5;(b)(36m,54m)97.(a)62ms;(b)4,8×102m/s99.2,64m101.(a)2,5m;(b)0,82m;(c)9,8m/s2;(d)9,8m/s2103.(a)6,79km/h;(b)6,96°105.(a)16m/s;(b)23°;(c)acima;(d)27m/s;(e)57°;(f)abaixo107.(a)4,2m,45°;(b)5,5m,68°;(c)6,0m,90°;(d)4,2m,135°;(e)0,85m/s,135°;(f)0,94m/s,90°;(g)0,94m/s,180°;(h)0,30m/s2,180°; (i)0,30m/s2,270°109.(a)5,4×10−13m;(b)diminui111.(a)0,034m/s2;(b)84min113.(a)8,43m;(b)−129°115.(a)2,00ns;(b)2,00mm;(c)1,00×107m/s;(d)2,00×106m/s117.(a)24m/s;(b)65°119.93°emrelaçãoàdireçãodomovimentodovagão121.(a)4,6×1012m;(b)2,4×105s123.(a)6,29o;(b)83,7o

125.3×101m127.(a)(6,0 +4,2 )m/s;(b)(18 +6,3 )m129.(a)38ft/s;(b)32ft/s;(c)9,3ft131.(a)11m;(b)45m/s133.(a)5,8m/s;(b)17m;(c)67o135.(a)32,4m;(b)−37,7m137.88,6km/h

Capítulo5T1.c,dee2.(a)e(b)2N,paraaesquerda(aaceleraçãoézeronasduassituações)3.(a)igual;(b)maior(aaceleraçãoéparacimae,portanto,aforçaresultanteéparacima)4. (a) igual;(b)maior;(c)menor5.(a)aumentam;(b)sim;(c)permanecemosmesmos;(d)simP1.(a)2,3,4;(b)1,3,4;(c)1,+y;2,+x;3,quartoquadrante;4,terceiroquadrante3.aumentar5.(a)2e4;(b)2e47.(a)M;(b)M;(c)M;(d)2M;(e)3M9.(a)20kg;(b)18kg;(c)10kg;(d)todasiguais;(e)3,2,111. (a) aumentaapartirdovalor inicialmg; (b)diminuidemg até zero (edepoisobloco

perdeocontatocomopiso)PR1.2,9m/s23.(a)1,88N;(b)0,684N;(c)(1,88N) +(0,684N) 5.(a)(0,86m/s2) −(0,16m/s2) ;(b)0,88m/s2;(c)−11°7.(a)(−32,0N)i−(20,8N)j;(b)38,2N;(c)−147°9.(a)8,37N;(b)−133°;(c)−125°11.9,0m/s213.(a)4,0kg;(b)1,0kg;(c)4,0kg;(d)1,0kg15.(a)108N;(b)108N;(c)108N17.(a)42N;(b)72N;(c)4,9m/s219.1,2×105N21.(a)11,7N;(b)−59,0°23.(a)(285N) +(705N) ;(b)(285N) −(115N) ;(c)307N;(d)22,0°;(e)3,67m/s2(f)22,0°25.(a)0,022m/s2;(b)8,3×104km;(c)1,9×103m/s27.1,5mm29.(a)494N;(b)paracima;(c)494N;(d)parabaixo31.(a)1,18m;(b)0,674s;(c)3,50m/s33.1,8×104N35.(a)46,7°;(b)28,0°37.(a)0,62m/s2;(b)0,13m/s2;(c)2,6m39.(a)2,2×10−3N;(b)3,7×10−3N41.(a)1,4m/s2;(b)4,1m/s43.(a)1,23N;(b)2,46N;(c)3,69N;(d)4,92N;(e)6,15N;(f)0,250N45.(a)31,3kN;(b)24,3kN47.6,4×103N49.(a)2,18m/s2;(b)116N;(c)21,0m/s251.(a)3,6m/s2;(b)17N53.(a)0,970m/s2;(b)11,6N;(c)34,9N55.(a)1,1N57.(a)0,735m/s2;(b)parabaixo;(c)20,8N59.(a)4,9m/s2;(b)2,0m/s2;(c)paracima;(d)120N61.2Ma/(a+g)63.(a)8,0m/s;(b)+x65.(a)0,653m/s3;(b)0,896m/s3;(c)6,50s67.81,7N69.2,4N71.16N73.(a)2,6N;(b)17°75.(a)0;(b)0,83m/s2;(c)077.(a)0,74m/s2;(b)7,3m/s279.(a)11N;(b)2,2kg;(c)0;(d)2,2kg81.195N83.(a)4,6m/s2;(b)2,6m/s285.(a)acordaarrebenta;(b)1,6m/s287.(a)65N;(b)49N89.(a)4,6×103N;(b)5,8×103N91.(a)1,8×102N;(b)6,4×102N93.(a)44N;(b)78N;(c)54N;(d)152N95.(a)4kg;(b)6,5m/s2;(c)13N97.(a)(1,0i−2,0j)N;(b)2,2N;(c)−63o;(d)2,2m/s2;(e)−63o

Capítulo6T1.(a)zero(porquenãohátentativadedeslizamento);(b)5N;(c)não;(d)sim;(e)8N2.( sempreapontaparaocentroda trajetóriacircular) (a) apontaparabaixo, N apontaparacima; (b) e N

apontamparacima;(c)igual;(d)maiorP 1. (a) diminui; (b) diminui; (c) aumenta; (d) aumenta; (e) aumenta 3. (a) permanece o mesmo; (b)aumenta;(c)aumenta;(d)não5.(a)paracima;(b)horizontal,nasuadireção;(c)nãovaria;(d)aumenta;(e)aumenta7.Aprincípio, apontaparacimaaolongodarampa,eomóduloaumentaapartirdemgsenθatéatingirfs,máx.Daíemdiante,aforçasetornaaforçadeatritocinético,queapontaparacimaaolongodarampaecujomóduloéfk(umvalorconstantemenorquefs,máx).9.Primeiro4,depois3edepois1,2e5empatadas11. (a) todas iguais; (b) todas iguais; (c)2,3, 113. (a) aumenta; (b) aumenta; (c)diminui;(d)diminui;(e)diminuiPR1.36m3.(a)2,0×102N;(b)1,2×102N5.(a)6,0N;(b)3,6N;(c)3,1N7.(a)1,9×102N;(b)0,56m/s29.(a)11N;(b)0,14m/s211.(a)3,0×102N;(b)1,3m/s213.(a)1,3×102N;(b)não;(c)1,1×102N;(d)46N;(e)17N15.2°17. (a) (17N) ; (b) (20N) ; (c) (15N) 19. (a)não; (b) (−12N) +(5,0N) 21.(a)19°;(b)3,3kN23.0,3725.1,0×102N27.(a)0;(b)(−3,9m/s2) ;(c)(−1,0m/s2) 29.(a)66N;(b)2,3m/s231.(a)3,5m/s2;(b)0,21N33.9,9s35.4,9v102N37.(a)3,2×102km/h;(b)6,5×102km/h;(c)não39.2,341.0,6043.21m45.(a)maisleve;(b)778N;(c)223N;(d)1,11kN47.(a)10s;(b)4,9×102N;(c)1,1×103N49.1,37×103N51.2,2km53.12°55.2,6×103N57.1,81m/s59.(a)8,74N;(b)37,9N;(c)6,45m/s;(d)nadireçãodahaste61.(a)27N;(b)3,0m/s263.(b)240N;(c)0,6065.(a)69km/h;(b)139km/h;(c)sim67.g(senθ−20,5μkcosθ)69.3,4m/s271.(a)35,3N;(b)

39,7N;(c)320N73.(a)7,5m/s2;(b)parabaixo;(c)9,5m/s2;(d)parabaixo75.(a)3,0×105N;(b)1,2°77.147m/s79.(a)13N;(b)1,6m/s281.(a)275N;(b)877N83.(a)84,2N;(b)52,8N;(c)1,87m/s285.3,4%87.(a)3,21×l03N;(b)sim89.(a)222N;(b)334N;(c)311N;(d)311N;(e)c,d91.(a)v20/(4gsenθ);(b)não93.(a)0,34;(b)0,2495.(a)μkmg/(senθ–μkcosθ);(b)θ0=tan−1μs97.0,1899.(a)56N;(b)59N;(c)1,1×103N101.0,76103.(a)nopontomaisbaixo;(b)9,5m/s105.0,56

Capítulo7T1.(a)diminui;(b)permaneceamesma;(c)negativo,nulo2.(a)positivo;(b)negativo;(c)nulo3.nulaP1.sãotodasiguais3.(a)positivo;(b)negativo;(c)negativo5.b(trabalhopositivo),a(trabalhonulo),c(trabalhonegativo),d(trabalhomaisnegativo)7.sãotodosiguais9.(a)A;(b)B11.2,3,1PR1.(a)2,9×107m/s;(b)2,1×10−13J3.(a)5×1014J;(b)0,1megatondeTNT;(c)8bombas5.(a)2,4m/s;(b)4,8m/s7.0,96J9.20J11.(a)62,3°;(b)118°13.(a)1,7×102N;(b)3,4×102m;(c)−5,8×104J;(d)3,4×102N;(e)1,7×102m;(f)−5,8×104J15.(a)1,50J;(b)aumenta17.(a)12kJ;(b)−11kJ;(c)1,1kJ;(d)5,4m/s19.25J21.(a)–3Mgd/4;(b)Mgd;(c)Mgd/4;(d)(gd/2)0,523.4,41J25.(a)25,9kJ;(b)2,45N27.(a)7,2J;(b)7,2J;(c)0;(d)−25J29.(a)0,90J;(b)2,1J;(c)031.(a)6,6m/s;(b)4,7m33.(a)0,12m;(b)0,36J;(c)−0,36J;(d)0,060m;(e)0,090J35.(a)0;(b)037.(a)42J;(b)30J;(c)12J;(d)6,5m/s,eixo+x;(e)5,5m/s,eixo+x;(f)3,5m/s,eixo+x39.4,00N/m41.5,3×102J43.(a)0,83J;(b)2,5J;(c)4,2J;(d)5,0W45.4,9×102W47.(a)1,0×102J;(b)8,4W49.7,4×102

W51.(a)32,0J;(b)8,00W;(c)78,2°53.(a)1,20J;(b)1,10m/s55.(a)1,8×105ft·lb;(b)0,55hp57.(a)797N;(b)0;(c)−1,55kJ;(d)0;(e)1,55kJ;(f)Fvariaduranteodeslocamento59.(a)11J;(b)−21J61.–6J63.(a)314J;(b)−155J;(c)0;(d)158J65.(a)98N;(b)4,0cm;(c)3,9J;(d)−3,9J67.(a)23mm;(b)45N69.165kW71.−37J73.(a)13J;(b)13J75.235kW77.(a)6J;(b)6,0J79.(a)0,6J;(b)0;(c)−0,6J81.(a)3,35m/s;(b)22,5J;(c)0;(d)0;(e)0,212m83.(a)−5,20×10−2J;(b)−0,160J85.6,63m/s

Capítulo8T1.não(emduastrajetóriasdeaab,otrabalhoé−60J;naterceira,é60J)2.3,1,2(vejaaEq.8-6)3.(a)todasiguais;(b)todasiguais4.(a)CD,AB,BC(combasenasinclinações);(b)osentidopositivodex5.sãotodasiguaisP1.(a)3,2,1;(b)1,2,33.(a)12J;(b)−2J5.(a)aumenta;(b)diminui;(c)diminui;(d)permanececonstanteemABeBCediminuiemCD7.+30J9.2,1,311.−40JPR1.89N/cm3.(a)167J;(b)−167J;(c)196J;(d)29J;(e)167J;(f)−167J;(g)296J;(h)129J5.(a)4,31mJ;(b)−4,31mJ;(c)4,31mJ;(d)−4,31mJ;(e)todosaumentariam7.(a)13,1J;(b)−13,1J;(c)13,1J;(d)todosaumentam9.(a)17,0m/s;(b)26,5m/s;(c)33,4m/s;(d)56,7m;(e)continuariamasmesmas11.(a)2,08m/s;(b)2,08m/s;(c)aumentaria13.(a)0,98J;(b)−0,98J;(c)3,1N/cm15.(a)2,6×102m;(b)permaneceomesmo;(c)diminui17.(a)2,5N;(b)0,31N;(c)30cm19.(a)784N/m;(b)62,7J;(c)62,7J;(d)80,0cm21.(a)8,35m/s;(b)4,33m/s;(c)7,45m/s;(d)diminuem23.(a)4,85m/s;(b)2,42m/s25.–3,2×102J27.(a)não;(b)9,3×102N29.(a)35cm;(b)1,7m/s31. (a)39,2J;(b)39,2J;(c)4,00m33.(a)2,40m/s;(b)4,19m/s35.(a)39,6cm;(b)3,64cm37.−18mJ39.(a)2,1m/s;(b)10N;(c)+x;(d)5,7m;(e)30N;(f)–x41.(a)−3,7J;(c)1,3m;(d)9,1m;(e)2,2J;(f)4,0m;(g)(4

−x)e−x/4;(h)4,0m43.(a)5,6J;(b)3,5J45.(a)30,1J;(b)30,1J;(c)0,22547.0,53J49.(a)−2,9kJ;(b)3,9×102J;(c)2,1×102N51.(a)1,5MJ;(b)0,51MJ;(c)1,0MJ;(d)63m/s53.(a)67J;(b)67J;(c)46cm55.(a)−0,90J;(b)0,46J;(c)1,0m/s57.1,2m59.(a)19,4m;(b)19,0m/s61.(a)1,5×10−2

N;(b)(3,8×102)g63.(a)7,4m/s;(b)90cm;(c)2,8m;(d)15m65.2067.(a)7,0J;(b)22J69.3,7J71.4,33m/s73.25J75.(a)4,9m/s;(b)4,5N;(c)71°;(d)permaneceamesma77.(a)4,8N;(b)+x;(c)1,5m;(d)13,5m;(e)3,5m/s79.(a)24kJ;(b)4,7×102N81.(a)5,00J;(b)9,00J;(c)11,0J;(d)3,00J;(e)12,0J;(f)2,00J;(g)13,0J;(h)1,00J;(i)13,0J;(j)1,00J;(1)11,0J;(m)10,8m;(n)voltaparax=0epara.83.(a)6,0kJ;(b)6,0×102W;(c)3,0×102W;(d)9,0×102W85.880MW87.(a)v0=(2gL)0,5;(b)5mg;(c)−mgL;(d)−2mgL89.(a)109J;(b)60,3J;(c)68,2J;(d)41,0J91.(a)2,7J;(b)1,8 J; (c) 0,39m93. (a) 10m; (b) 49N; (c) 4,1m; (d) 1,2 × 102N95. (a) 5,5m/s; (b) 5,4m; (c)permanecemasmesmas97.80mJ99.24W101.−12J103.(a)8,8m/s;(b)2,6kJ;(c)1,6kW105.(a)7,4×102J;(b)2,4×102J107.15J109.(a)2,35×103J;(b)352J111.738m113.(a)−3,8kJ;(b)31kN115.(a)300J;(b)93,8J;(c)6,38m117.(a)5,6J;(b)12J;(c)13J119.(a)1,2J;(b)11m/s;(c)não;(d)não121.(a)2,1×106kg;(b)(100+1,5t)0,5m/s;(c)(1,5×106)/(100+1,5t)0,5N; (d)6,7km123.54%125.(a)2,7×109J;(b)2,7×109W;(c)2,4×108dólares127.5,4kJ129.3,1×1011W131.porqueaforçaquevocêexercesobreorepolho(aobaixá-lo)realizatrabalho.135.(a)8,6kJ;(b)8,6×102W;(c)4,3×102W;(d)1,3kW

Capítulo9T 1. (a) na origem; (b) no quarto quadrante; (c) no eixo y, abaixo da origem; (d) na origem; (e) noterceiroquadrante; (f)naorigem2. (a)-(c)nocentrodemassa,quecontinuanaorigem (as forças sãointernasaosistemaenãopodemdeslocarocentrodemassa)3.(ConsidereasinclinaçõeseaEq.9-23.)(a)1,3edepois2e4empatadas(forçanula);(b)34.(a)mantéminalterado;(b)mantéminalterado(vejaaEq.9-32);(c)diminui(Eq.9-35)5.(a)nula;(b)positiva(inicialparabaixo,finalparacima);(c)+y6.(Nãoháforçaexterna;→éconservado.)(a)0;(b)não;(c)−x7.(a)10kg·m/s;(b)14kg·m/s;(c)6kg·m/s8.(a)4kg·m/s;(b)8kg·m/s;(c)3J9.(a)2kg·m/s(conservaçãodacomponentexdomomento);(b)3kg·m/s(conservaçãodacomponenteydomomento)P1.(a)2N,paraadireita;(b)2N,paraadireita;(c)maiorque2N,paraadireita3.b,c,a5.(a)xsim,ynão;(b)xsim,ynão;(c)xnão,ysim7.(a)c,aenergiacinéticanãopodesernegativa;d,aenergiacinéticatotalnãopodeaumentar;(b)a;(c)b9. (a)umdoscorposestavaemrepouso;(b)2;(c)5;(d)igual(comoochoquededuasbolasdesinuca)11.(a)C;(b)B;(c)3PR1.(a)−1,50m;(b)−1,43m3.(a)−6,5cm;(b)8,3cm;(c)1,4cm5.(a)−0,45cm;(b)−2,0cm7.(a)0;(b)3,13×10−11m9.(a)28cm;(b)2,3m/s11.(−4,0m) +(4,0m) 13.53m15.(a)(2,35 −1,57)m/s2;(b)(2,35 −1,57 )tm/s,comtemsegundos;(d)retilínea,fazendoumângulode34oparabaixo17.4,2m19.(a)7,5×104J;(b)3,8×104kg·m/s;(c)39°aosuldoleste21.(a)5,0kg·m/s;(b)10kg·m/s23.1,0×103a1,2×103kg·m/s25.(a)42N·s;(b)2,1kN27.(a)67m/s;(b)–x;(c)1,2kN;(d)−x29.5N31.(a)2,39×103N·s;(b)4,78×105N;(c)1,76×103N·s;(d)3,52×105N33.(a)5,86kg·m/s;(b)59,8°;(c)2,93kN;(d)59,8°35.9,9×102N37.(a)9,0kg·m/s;(b)3,0kN;(c)4,5kN;(d)20m/s39.3,0mm/s41.(a)−(0,15m/s) ;(b)0,18m43.55cm45.(a)(1,00 −0,167 )km/s;(b)3,23MJ

47.(a)14m/s;(b)−45°49.3,1×102m/s51.(a)721m/s;(b)937m/s53.(a)33%;(b)23%;(c)diminui55.(a)+2,0m/s;(b)−1,3J;(c)+40J;(d)osistemarecebeuenergiadealgumafonte,como,umapequenaexplosão57.(a)4,4m/s;(b)0,8059.25cm61.(a)99g;(b)1,9m/s;(c)0,93m/s63.(a)3,00m/s;(b)6,00m/s65.(a)1,2kg;(b)2,5m/s67.−28cm69.(a)0,21kg;(b)7,2m71.(a)4,15×105m/s;(b)4,84×105m/s73.120°75.(a)433m/s;(b)250m/s77.(a)46N;(b)nenhuma79.(a)1,57×106N;(b)1,35×105kg;(c)2,08km/s81.(a)7290m/s;(b)8200m/s;(c)1,271×1010J;(d)1,275×1010J83.(a)1,92m;(b)0,640m85.(a)1,78m/s;(b)menor;(c)menor;(d)maior87.(a)3,7m/s;(b)1,3N·s;(c)1,8×102N89.(a)(7,4×103N·s) −(7,4×103N·s) ;(b)(−7,4×103N·s) ;(c)2,3×103N;(d)2,1×104

N;(e)−45°91.+4,4m/s93.1,18×104kg95.(a)1,9m/s;(b)−30°;(c)elástica97.(a)6,9m/s;(b)30°;(c)6,9m/s;(d)−30°;(e)2,0m/s;(f)−180°99.(a)25mm;(b)26mm;(c)parabaixo;(d)1,6×10−2m/s2

101.29J103.2,2kg105.5,0kg107.(a)50kg/s;(b)1,6×102kg/s109.(a)4,6×103km;(b)73%111.190m/s113.28,8N115.(a)0,745mm;(b)153°;(c)1,67mJ117.(a)(2,67m/s) +(−3,00m/s) ; (b)4,01m/s;(c)48,4°119.(a)−0,50m;(b)−1,8cm;(c)0,50m121.0,22%123.36,5km/s125.(a)(−1,00×10−19 +0,67×10−19 )kg·m/s;(b)1,19×10−12J127.2,2×10−3

Capítulo10T1.bec2.(a)e(d)(α=d2θ/dt2deveserconstante)3.(a)sim;(b)não;(c)sim;(d)sim4.sãotodosiguais5.1,2,4,3(vejaaEq.10-36)6.(vejaaEq.10-40)1e3,4,2e5(zero)7. (a)parabaixonafigura(τres=0);(b)menor(considereosbraçosdealavanca)P1. (a)c,aedepoisbedempatados; (b)b,depoisaecempatados,depoisd3. todas iguais5. (a)diminuir;(b)horário;(c)anti-horário7.aumentar9.c,a,b11.menorPR1.14rev3.(a)4,0rad/s;(b)11,9rad/s5.11rad/s7.(a)4,0m/s;(b)não9.(a)3,00s;(b)18,9rad11.(a)30s;(b)1,8×103rad13.(a)3,4×102s;(b)−4,5×10−3rad/s2;(c)98s15.8,0s17.(a)44rad;(b)5,5s;(c)32s;(d)−2,1s;(e)40s19.(a)2,50×10−3rad/s;(b)20,2m/s2;(c)021.6,9×10−13rad/s23.(a)20,9rad/s;(b)12,5m/s;(c)800rev/min2;(d)600rev25.(a)7,3×10−5rad/s;(b)3,5×102m/s;(c)7,3×10−5rad/s;(d)4,6×102m/s27.(a)73cm/s2;(b)0,075;(c)0,1129.(a)3,8×103rad/s;(b)1,9×102m/s31.(a)40s;(b)2,0rad/s233.12,3kg·m235.(a)1,1kJ;(b)9,7kJ37.0,097kg·m239.(a)49MJ;(b)1,0×102min41.(a)0,023kg·m2;(b)1,1mJ43.4,7×10−4kg·m245.−3,85N·m47.4,6N·m49.(a)28,2rad/s2;(b)338N·m51.(a)6,00cm/s2;(b)4,87N;(c)4,54N;(d)1,20rad/s2;(e)0,0138kg·m253.0,140N55.2,51×10−4kg·m257.(a)4,2×102rad/s2;(b)5,0×102rad/s59.396N·m61.(a)−19,8kJ;(b)1,32kW63.5,42m/s65.(a)5,32m/s2;(b)8,43m/s2;(c)41,8º67.9,82rad/s69.6,16×10−5kg·m271.(a)31,4rad/s2;(b)0,754m/s2;(c)56,1N;(d)55,1N73.(a)4,81×105N;(b)1,12×104

N·m;(c)1,25×106J75.(a)2,3rad/s2;(b)1,4rad/s277.(a)−67rev/min2;(b)8,3rev81.3,1rad/s83.(a)1,57m/s2;(b)4,55N;(c)4,94N85.30rev87.0,054kg·m289.1,4×102N·m91.(a)10J;(b)0,27m93.4,6rad/s295.2,6J97.(a)5,92×104m/s2;(b)4,39×104s−299.(a)0,791kg·m2;(b)1,79×10−2N·m101.(a)1,5×102cm/s;(b)15rad/s;(c)15rad/s;(d)75cm/s;(e)3,0rad/s103.(a)7,0kg·m2;(b)7,2m/s;(c)71°105.(a)0,32rad/s;(b)1,0×102km/h107.(a)1,4×102rad;(b)14s.

Capítulo11T1. (a) igual;(b)menor2.menor(considerea transferênciadeenergiadeenergiacinéticaderotação

paraenergiapotencialgravitacional)3.(desenheosvetoreseusearegradamãodireita)(a)±z;(b)+y;(c)–x4.(vejaaEq.11-21)(a)1e3;2e4,5(zero);(b)2e35.(vejaasEqs.11-23e11-16)(a)3,1;2e4 (zero); (b) 36. (a) todos iguais (mesmo τ,mesmo t e, portanto,mesmoΔL); (b) esfera, disco, anel(ordeminversadeI)7. (a)diminui; (b)permaneceomesmo(τres=0e,portanto,Léconservado); (c)aumentaP1.a,depoisbecempatados,depoise,depoisd(zero)3.(a)ficagirandonomesmolugar;(b)rolanasuadireção;(c)rolaparalongedevocê5.(a)1,2,3(zero);(b)1e2empatados,depois3;(c)1e3empatados,depois27.(a)permaneceomesmo;(b)aumenta;(c)diminui;(d)permaneceomesmo,diminui,aumenta9.D,BedepoisAeCempatados11.(a)aomesmotempo;(b)igualPR1.(a)0;(b)(22m/s) (c)(−22m/s) (d)0;(e)1,5×103m/s2;(f)1,5×103m/s2;(g)(22m/s) ;(h)(44m/s) ;(i)0;(j)0;(k)1,5×103m/s2;(1)1,5×103m/s23.−3,15J5.0,0207.(a)63rad/s;(b)4,0m9.4,8m11.(a)(−4,0N) ;(b)0,60kg·m213.0,5015.(a)−(0,11m)ω;(b)−2,1m/s2;(c)−47rad/s2;(d)1,2s;(e)8,6m;(f)6,1m/s17.(a)13cm/s2;(b)4,4s;(c)55cm/s;(d)18mJ;(e)1,4J;(f)27rev/s19.(−2,0N·m) 21.(a)(6,0N·m) +(8,0N·m) ;(b)(−22N·m) 23.(a)(−1,5N·m) −(4,0N·m) −(1,0N·m) ;(b)(−1,5N·m) −(4,0N·m) −(1,0N·m) 25.(a)(50N·m) ;(b)90°27.(a)0;(b)(8,0N·m)+(8,0N·m) 29.(a)9,8kg·m2/s;(b)+z31.(a)0;(b)−22,6kg·m2/s;(c)−7,84N·m;(d)−7,84N·m33.(a)(−1,7×102kg·m2/s) ;(b)(+56N·m) ;(c)(+56kg·m2/s2) 35. (a)48 t N·m; (b)aumentando37.(a)4,6×10−3kg·m2;(b)1,1×10−3kg·m2/s;(c)3,9×10−3kg·m2/s39.(a)1,47N·m;(b)20,4rad;(c)−29,9J;(d)19,9W41.(a)1,6kg·m2;(b)4,0kg·m2/s43.(a)1,5m;(b)0,93rad/s;(c)98J;(d)8,4rad/s;(e)8,8×102J;(f)daenergiainternadaspatinadoras45.(a)3,6rev/s;(b)3,0;(c)aforçaqueohomemexercesobreostijolosconverteenergiainternadohomememenergiacinética47.0,17rad/s49.(a)750rev/min;(b)450rev/min;(c)horário51.(a)267rev/min;(b)0,66753.1,3×103

m/s55.3,4rad/s57.(a)18rad/s;(b)0,9259.11,0m/s61.1,5rad/s63.0,070rad/s65.(a)0,148rad/s;(b)0,0123;(c)181°67.(a)0,180m;(b)horário69.0,041rad/s71.(a)1,6m/s2;(b)16rad/s2;(c)(4,0N)i73.(a)0;(b)0;(c)−30t3 kg·m2/s;(d)−90t2 N·m;(e)30t3 kg·m2/s;(f)90t2 N·m75.(a)149kg·m2;(b)158kg·m2/s;(c)0,744rad/s77.(a)6,65×10−5kg·m2/s;(b)não;(c)0;(d)sim79.(a)0,333;(b)0,11181.(a)58,8J;(b)39,2J83.(a)61,7J;(b)3,43m;(c)não85.(a)mvR/(I+MR2);(b)mvR2/(I+MR2)

FÓRMULASMATEMÁTICAS*

EquaçãodoSegundoGrau

Seax2+bx+c=0,

TeoremaBinomial

ProdutosdeVetores

Sejaθomenordosdoisângulosentre e .Nessecaso,

IdentidadesTrigonométricas

DerivadaseIntegrais

RegradeCramer

Umsistemadeduasequaçõescomduasincógnitasxey,

a1x+b1y=c1 e a2x+b2y=c2,

temcomosoluções

e

*UmalistamaiscompletaestánoApêndiceE.

PREFIXOSDOSI

Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo

1024 yotta Y 10–1 deci d

1021 zetta Z 10–2 centi c

1018 exa E 10–3 mili m

1015 peta P 10–6 micro μ

1012 tera T 10–9 nano n

109 giga G 10–12 pico P

106 mega M 10–15 femto f

103 quilo k 10–18 atto a

102 hecto h 10–21 zepto z

10' deca da 10–24 yocto y

ALGUMASCONSTANTESFÍSICAS*

Velocidadedaluz c 2,998×108m/s

Constantegravitacional G 6,673×10–11N·m2/kg2

ConstantedeAvogadro NA 6,022×1023mol–1

Constanteuniversaldosgases R 8,314J/mol·K

Relaçãoentremassaeenergia c2 8,988×1016J/kg

931,49MeV/u

Constantedepermissividade ε0 8,854×10–12F/m

Constantedepermeabilidade μ0 1,257×10–6H/m

ConstantedePlanck h 6,626×10–34J·s

4,136×10–15eV·s

ConstantedeBoltzmann k 1,381×10–23J/K

8,617×10–5eV/K

Cargaelementar e 1,602×10–19C

Massadoelétron me 9,109×10–31kg

Massadopróton mv 1,673×10–27kg

Massadonêutron mn 1,675×10–27kg

Massadodêuteron md 3,344×10–27kg

RaiodeBohr a 5,292×10–11m

MagnétondeBohr μB 9,274×10–24J/T

5,788×10–5eV/T

ConstantedeRydberg R 1,097373×107m–1

*Umalistamaiscompleta,quemostratambémosmelhoresvaloresexperimentais,estánoApêndiceB.

ALFABETOGREGO

Alfa A α Iota I ι Rô P ρ

Beta B β Capa K κ Sigma Σ σ

Gama Γ γ Lambda Λ λ Tau Τ τ

Delta Δ δ Mi M μ Ípsilon Y υ

Epsílon E ε Ni N υ Fi Φ ϕ,φ

Zeta Z ζ Csi Ξ ξ Qui X χ

Eta H η Ômicron O o Psi Ψ ψ

Teta θ θ Pi Π π Ômega Ω ω

ALGUNSFATORESDECONVERSÃO*

MassaeMassaEspecífica

1kg=1000g=6,02×1026u

1slug=14,59kg

1u=1,661×10−27kg

1kg/m3=10−3g/cm3

ComprimentoeVolume

1m=100cm=39,4in=3,28ft

1mi=1,61km=5280ft

1in=2,54cm

1nm=10–9m=10Å

1pm=10-12m=1000fm

1ano-luz=9,461X1015m

1m3=1000L=35,3ft3=264gal

Tempo

1d=86400s

1ano=365d6h=3,16X107s

Ângulos

1rad=57,3°=0,159rev

πrad=180°= rev

Velocidade

1m/s=3,28ft/s=2,24mi/h

1km/h=0,621mi/h=0,278m/s

ForçaePressão

1N=105dina=0,225lb

1lb=4,45N1t=2000lb

1Pa=1N/m2=10dina/cm2=1,45X10–4lb/in2

1atm=1,01X105Pa=14,7lb/in2=76,0cmHg

EnergiaePotência

1J=107erg=0,2389cal=0,738ft·lb

1kW·h=3,6X106J

1cal=4,1868J

1eV=1,602X10–19J

1hp**=746W=550ft·lb/s

Magnetismo

1T=1Wb/m2=104gauss

*UmalistamaiscompletaestánoApêndiceD.

**Aunidadedepotênciahpéumaabreviaturadoinglêshorsepower,quenãocorrespondeexatamenteaocavalo-vapor(cv),queéiguala

735,5W.(N.T.)

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