SIGNIFICADOS DO ROTACIONAL, DO DIVERGENTE E DO GRADIENTE

rotacional=Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional de um campo vetorial é, também, um campo vetorial, ou seja a cada ponto do espaço aonde definimos o rotacional ele será dado por um vetor.

Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluído por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluído ali gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obecendo-se a regra da mão direita. Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional.

gradiente=No cálculo vectorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço.

Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo.

divergente=Em cálculo vetorial, o operador divergência[nota 1] é um operador que mede a magnitude de "fonte" ou "poço/sorvedouro" de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo vetorial, neste caso, é a velocidade do ar se movendo. Se o ar é aquecido em uma determinada região, ele irá se expandir em todas as direções, então o divergente do campo de velocidade nesta região será negativo pois, se observarmos um pequeno volume nessa região, teremos mais ar saindo do que entrando nesse volume. Se o ar resfria e se contrai, o divergente é positivo pois há, na região, uma convergência de ar: teremos mais ar entrando do que saindo neste pequeno volume.

1) Gradiente

O gradiente de uma função corresponde a um vetor perpendicular à superfície dela.

Dada uma função f(x,y,z), sua fórmula é:

.f = f + f + f .

Ex.: Dada uma funcão f(x) = sen x + cos y, calcule seu gradiente:

.f = f + f = cos x - sen y .

 

2) Divergente

Dada uma função f(x,y,z), sua fórmula é:

f = f + f + f.

Ex.: Dada uma funcão f(x) = sen x + cos y, calcule seu gradiente:

f = f  + f  = cos x - sen y.

 

3) Rotacional

O rotacional corresponde a um vator tangencial à superfície de uma função.

Dada uma função f(x,y,z), seu rotacional é o seguinte determinante:

x f =

Vamos definir:

Componente x da função = fxComponente y da função = fyComponente z da função = fz

E, resolvendo o determinante, temos:

x f = fz + fx + fy - fx - fy - fz

x f = ( fz - fy ) + ( fx  - fz ) + ( fy  - fx )