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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES

EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE

ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM

GRADAÇÃO FUNCIONAL

TÚLIO HONÓRIO

GOIÂNIA

2010

TÚLIO HONÓRIO

SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES

EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE

ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM

GRADAÇÃO FUNCIONAL

Monografia apresentada ao Curso de Graduação em

Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para

obtenção do título de Engenheiro Civil.

Orientador: Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida

GOIÂNIA

2010

TÚLIO HONÓRIO

SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM

OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE ESTRUTURAS

BIDIMENSIONAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL

Monografia apresentada ao Curso de Graduação em

Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para

obtenção do título de Engenheiro Civil.

Aprovada em ______ / ______ / ______.

__________________________________________________________

Prof. Dr. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (Presidente)

Universidade Federal de Goiás

__________________________________________________________

Prof. Dr.Frederico Martins Alves da Silva (Examinador)


__________________________________________________________

Prof. Dra. Helena Carasek (Examinador)


Atesto que as revisões solicitadas foram feitas:

_______________________________________

Orientador

Em: _______ / _______ / _______

T. Honório Resumo

RESUMO

Vários trabalhos têm sido publicados nos últimos anos com o objetivo de tornar as

técnicas de otimização de topologia mais capazes de fornecer respostas que atendam às

expectativas da indústria. Uma abordagem interessante para produção de peças estruturais

adequadas em relação às condições de manufatura é a implementação de restrições de simetria

e de repetições de padrões no problema de otimização de topologia. Outra aplicação de

técnicas de otimização de topologia refere-se ao estudo sobre materiais com gradação

funcional (FGM). Este trabalho tem como objetivo estudar a aplicação da técnica de

otimização de topologia utilizando a abordagem de aproximação contínua da distribuição de

material e o modelo SIMP no projeto de estruturas com gradação. Estuda-se a influência da

gradação no comportamento mecânico (flexibilidade média) de estruturas projetados por meio

de otimização de topologia bem como a influência da inserção de restrições de simetria e de

repetições de padrões nessas estruturas. Para tanto, resultados numéricos são apresentados

para diferentes modelos estruturais implementados. Quanto à influência da gradação,

observou-se um aumento da largura de membros estruturais nas regiões de menor módulo de

elasticidade, enquanto que as regiões de maior módulo de elasticidade tendem a apresentar

maior número de membros de menor largura. Também foi considerada a competição entre as

escalas características de dimensão de membros estruturais impostas pela gradação e pela

técnica de regularização empregada (isto é, o filtro de Sigmund). Considerações sobre

simetria e repetição de padrões podem ser feitas no projeto de estruturas com FGM adotando-

se gradação local ou gradação global, sendo que a primeira apresenta a vantagem de resultar

em soluções simétricas tanto geometricamente como em relação à distribuição de material. Os

resultados apresentados mostram que a formulação utilizada é eficaz para representar as

microestruturas de materiais celulares com gradação e são compatíveis com os apresentados

por outros autores.

Palavras-chave: Otimização de topologia. Simetria. Padrão. Material com gradação funcional

(FGM).

T. Honório Lista de siglas

LISTA DE SIGLAS

CAMD – Continuous Approximation of Material Distribution

CO – Critério de Otimalidade

FGM – Functionally Graded Material

FGM-SIMP – modelo SIMP aplicado a FGM

MEF – Métodos dos Elementos Finitos

OT – Otimização de topologia

SIMP –Solid Isotropic Material with Penalization

T. Honório Lista de símbolos

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos romanos

B - matriz que relaciona deformações e deslocamentos tradicional

c - flexibilidade média da estrutura

C0 - a matriz constitutiva da fase sólida do material referência

d - conjunto de densidades nodais

d1 - conjunto de densidades nodais primárias.

d2 - conjunto de densidades nodais secundárias formado a partir de d1 estabelecendo

uma configuração simétrica.

)(xs

E - o módulo de elasticidade na posição x ;

0E - é o valor referência do módulo de elasticidade;

f - fração de volume correspondente à estrutura no domínio estendido

F - vetor global de forças nodais

H - a altura da estrutura

K - matriz de rigidez global da estrutura

ke - matriz de rigidez do elemento

L - comprimento da estrutura

)(xe

iN - funções de forma do elemento e relacionado ao nó i nas coordenadas x .

p - penalidade a qual é elevado o módulo de elasticidade buscando reduzir as densidades

intermediárias

rmin - raio mínimo empregado no filtro de Sigmund

rproj - Raio mínimo empregado na técnica de projeção

U - vetor de deslocamentos globais da estrutura

V0 - volume de material (soma das densidades no domínio estendido);

X - coordenadas cartesianas do ponto x na direção das abscissas.

Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ...

T. Honório Lista de símbolos

y - variáveis de projeto podendo ser densidades nos elementos ou densidades nodais

Y - são as coordenadas cartesianas do ponto x na direção das ordenadas.

Símbolos gregos

- coeficiente de gradação do material na direção X do plano cartesiano

- coeficientes de gradação do material na direção Y do plano cartesiano

ρ - densidade no elemento

min - densidade mínima admitida

T. Honório Sumário

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 9

1.1. OBJETIVOS ................................................................................................................. 10

1.2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO ............................................................... 10

2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ................... 11

2.1. MODELO SIMP .......................................................................................................... 13

2.2. INSTABILIDADES NUMÉRICAS EM OT ............................................................... 14

2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ................................................................................ 15

2.4. FILTRO DE SENSIBILIDADE .................................................................................. 16

2.5. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL ................................................................. 17

2.5.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos (MEF) ........................................... 18

2.5.2. Otimização por critério de otimalidade (CO) ..................................................... 21

3. OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA A MATERIAIS COM

GRADAÇÃO FUNCIONAL, COM RESTRIÇÕES DE SIMETRIA E

REPETIÇÃO DE PADRÃO ........................................................................................ 23

3.1. MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL ..................................................... 23

3.1.1. Aproximação contínua da distribuição de material – CAMD............................ 24

3.1.2. Modelo FGM-SIMP................................................................................................ 25

3.2. SIMETRIA E PADRÕES PARA MATERIAS COM GRADAÇÃO

FUNCIONAL EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ............................................. 26

3.2.1. Gradação local e global .......................................................................................... 26

3.2.2. Formulação de restrições de simetria ................................................................... 27

3.2.3. Formulação de restrições de repetição de padrões .............................................. 29

3.3. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL ................................................................. 30

3.3.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos ........................................................ 31

3.3.2. Análise de sensibilidade ......................................................................................... 32

3.3.3. Filtro de sensibilidade e otimização por CO ........................................................ 32

3.3.4. Outras considerações sobre a implementação computacional ........................... 33

4. RESULTADOS .............................................................................................................. 34

4.1. INFLUÊNCIA DA GRADAÇÃO DE MATERIAIS EM OT ................................... 34

4.1.1. Exemplo 1: Viga engastada ................................................................................... 34

4.1.2. Exemplo 2: Treliça de Michell .............................................................................. 37

Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ...

T. Honório Sumário

4.1.3. Imposição de uma escala de dimensão.................................................................. 41

4.2. RESTRIÇÕES DE SIMETRIA ................................................................................... 43


4.2.2. Exemplo 4 – Viga simplesmente apoiada com carregamento assimétrico ........ 44

4.3. RESTRIÇÕES DE REPETIÇÃO DE PADRÕES ..................................................... 45

4.3.1. Exemplo 5 - Barra sujeita à tração ....................................................................... 43


5. CONCLUSÕES ............................................................................................................ 52

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 54

T. Honório Capítulo 1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

A automatização das ferramentas de projeto têm sido uma constante nas últimas

décadas. Trabalhos que visam aperfeiçoar as técnicas de análise de estruturas abrangem vários

campos da ciência e a sua associação com métodos numéricos e ferramentas computacionais

têm sido uma constante em vários campos da engenharia. Nesse âmbito, as técnicas de

otimização representam um grande avanço no auxílio ao projetista de estruturas e

componentes, pois buscam obter a melhor solução para um determinado problema atendendo

às condições de projeto. Essas técnicas podem ser aplicadas tanto na fase de concepção

estrutural quanto na fase de dimensionamento e seu estudo constitui hoje um dos grandes

campos abertos da ciência.

A topologia de uma estrutura compreende sua forma bem como seus limites

interiores e exteriores e é tradicionalmente escolhida por intuição do projetista ou por

inspiração em algo já existente. A otimização de topologia (OT) é o campo da ciência que

procura fornecer uma resposta racional para a definição da topologia de uma estrutura.

Define-se domínio da estrutura como a região do espaço na qual se encontram elementos

com função portante e domínio estendido como a região do espaço na qual se pode distribuir

material para a formação da estrutura. Assim, para um dado carregamento, uma quantidade de

material especificada a ser distribuída em um domínio estendido e para certas condições de

contorno, o processo de otimização de topologia retorna o layout ótimo atendendo a requisitos

definidos pelo projetista. As aplicações em OT têm mostrado grande relevância nos últimos

anos, conforme atesta a literatura especializada, e os produtos dessa linha de pesquisa

configuram-se como uma ferramenta promissora tendo em vista a crescente competição

tecnológica e as maiores exigências ambientais por uma utilização mais racional de materiais.

Vários trabalhos têm sido publicados nos últimos anos com o objetivo de tornar as

técnicas de OT mais capazes de fornecer respostas que atendam às expectativas da indústria

(como a de produção de estruturas e componentes para Engenharia Civil, a aeroespacial, a de

produção de materiais eletrônicos, etc.). Alguns trabalhos tratam, por exemplo, da imposição

de escalas de dimensões, seja máxima ou mínima, tanto membros estruturais resultantes

quanto aos furos da estrutura (GUEST et al., 2004; GUEST, 2008; GUEST, 2009;

ALMEIDA et al., 2009). Outra abordagem interessante para produção de peças adequadas em

Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 10


relação às condições de manufatura é a implementação de restrições de simetria e de

repetições de padrões no problema de otimização de topologia (ALMEIDA et al., 2010).

Outra aplicação refere-se ao estudo sobre materiais com gradação funcional

(FGM, do inglês Functionally Graded Material), que são uma classe de compósitos

avançados que possuem uma variação gradual das propriedades ao longo de uma ou mais

direções. Esses materiais foram inicialmente concebidos para utilização na engenharia

aeroespacial, mas podem ser aplicados em diversos outros campos da engenharia. Sua

aplicação mais comum se dá na fabricação de materiais compostos de ligas metálicas e

materiais cerâmicos a fim de se obter um material ao mesmo tempo com resistência mecânica

e térmica. No âmbito da engenharia civil é possível se projetar FGMs compostos de concreto

com diversas adições de fibras metálicas, entre outras aplicações.

A vantagem desses materiais é a possibilidade de se projetar e fabricar o gradiente

de propriedades de forma a melhor atender as necessidades de projeto. Assim, FGMs podem

ser concebidos visando a redução de tensões residuais, o aumento da resistência de aderência

ou a redução de concentrações de tensão. Nesse sentido, técnicas de otimização de topologia

tem sido usadas visando potencializar as vantagens desses materiais. Destacam-se os

trabalhos de Carbonari et al. (2007; 2009) e de Almeida et al. (2008) sobre o uso de OT para

o projeto de estruturas com FGM e de Almeida et al. (2010) sobre a utilização de restrições de

simetria e de repetições de padrões para o projeto de estruturas com FGMs.

1.1. OBJETIVOS

Este trabalho tem como objetivo estudar a aplicação da técnica de otimização de

topologia utilizando a abordagem de aproximação contínua da distribuição de material e o

modelo SIMP para o projeto de estruturas com gradação. Estuda-se a influência da gradação

no comportamento mecânico (flexibilidade média) de estruturas projetados por meio de

otimização de topologia bem como a influência da inserção de restrições de simetria e de

repetições de padrões nessas estruturas.

1.2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

O trabalho encontra-se dividido em 5 (cinco) capítulos. No segundo capítulo são

abordados os conceitos básicos de otimização de topologia aplicada a materiais homogêneos.

O capítulo 3 trata dos materiais com gradação funcional, das restrições de simetria e de

repetição de padrões e como elas podem ser implementadas no problema de otimização de



topologia através de uma abordagem local-global da gradação das propriedades do material.

Os resultados numéricos são apresentados no capítulo 4. E por fim, o capítulo 5 apresenta as

conclusões do trabalho, as sugestões para trabalhos futuros e as considerações finais.

T. H.onório Capítulo 2

CAPÍTULO 2

CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE

TOPOLOGIA

Otimização é a parte da ciência que trata da obtenção racional da melhor solução

para um determinado problema atendendo a determinadas condições. A otimização de

topologia consiste em procurar a distribuição ótima de material em um domínio estendido, de

forma a atender a certos critérios como equilíbrio e manutenção do volume constante durante

o processo de otimização. Trata-se de um tema importante já que as aplicações industriais são

numerosas e as ferramentas computacionais disponíveis atualmente permitem o estudo de

configurações cada vez mais complexas. A relevância do assunto é evidenciada quando se

leva em conta que a escolha de uma topologia apropriada na fase de concepção estrutural é

geralmente um fator decisivo para a eficiência da estrutura.

Em otimização estrutural, para um problema posto, sua solução consiste em

determinar valores ótimos das variáveis de projeto de forma a maximizar ou minimizar uma

função objetivo, satisfazendo-se as restrições do problema no domínio onde o problema está

definido (OLHOFF; TAYLOR, 1983). Por função objetivo entende-se o critério matemático

que mede a qualidade da solução. O termo restrições refere-se às condições que devem ser

atendidas. No caso de otimização de topologia, tradicionalmente as variáveis de projeto são as

densidades de cada elemento definido na discretização do domínio. Em muitos trabalhos

utiliza-se a flexibilidade média da estrutura como função objetivo a ser minimizada. As

aplicações de OT apresentam sempre restrições em relação ao volume, mantido constante, ao

campo de ação das variáveis de projeto e às equações de equilíbrio. De acordo com o

problema, outros casos são considerados como tamanho mínimo de elementos ou de furos etc.

Quanto às variáveis de projeto, outra abordagem consiste em definir como

variáveis de projeto as densidades atribuídas aos nós da malha de elementos finitos. Nesse

caso, a densidade de um nó participaria na computação da densidade de todos os elementos

ligados a esse nó, resultando assim numa variação do campo de densidades dos elementos

mais suave localmente. Embora essas densidades nodais não tenham um significado físico, tal

abordagem é útil para a implementação de outras técnicas, além de aliviar algumas das



instabilidades numéricas inerentes à formulação do problema de otimização de topologia

(KUMAR; GOSSARD1, 1996 apud ALMEIDA et al., 2010 e MATSUI; TERADA, 2004).

Assim o problema de OT pode ser descrito pela expressão (2.1), tanto no caso de

se adotarem as densidades no centro dos elementos como variáveis de projeto, como no caso

de se adotarem as densidades nodais. A primeira restrição do problema (2.1) corresponde ao

sistema de equações de equilíbrio em forma discreta, a segunda à restrição de volume e a

terceira representa restrições laterais aos valores das variáveis de projeto.

10

)(

a sujeito

)(minimiza que

Obter

min

0

y

fV

V

cT

y

FUK

UKUy

y

(2.1)

Onde:

y - vetor das variáveis de projeto, podendo ser densidades nos elementos ou densidades

nodais;

c - função objetivo representando a flexibilidade média da estrutura;

U - vetor de deslocamentos globais da estrutura;

K - matriz de rigidez global da estrutura;

F - vetor global de forças nodais;

V0 - volume de material (soma das densidades no domínio estendido);

f - fração de volume correspondente à estrutura no domínio estendido; e

min - densidade mínima admitida.

A primeira restrição, representada pela equação (2.2), é chamada de indireta, ou

seja, não é considerada explicitamente pelo algoritmo de otimização. Em algum momento do

processo de otimização resolve-se o sistema de equações representado por essa restrição

através de uma análise estrutural que forneça o campo de deslocamentos da estrutura. Na

maioria das vezes isto é feito utilizando-se o Método dos Elementos Finitos (MEF). As outras

1 KUMAR, A. V.; GOSSARD, D. C. Synthesis of optimal shape and topology of structures. Journal of

Mechanical Design, ASME, v. 118, n. 1, p. 68–74, 1996.



duas restrições são ditas diretas, pois são consideradas explicitamente pelo algoritmo de

otimização.

FUK (2.2)

Para a análise estrutural via MEF é necessário obter a matriz de rigidez da

estrutura K em função da distribuição das densidades no interior do elemento. A solução da

equação de equilíbrio (2.2) fornece os deslocamentos nodais, os quais sofrem influência da

distribuição de densidades nos elementos no domínio estendido, calculadas a partir das

variáveis de projeto. Assim em OT, a solução é fornecida em termos de densidades dos

elementos, já que estes são os valores representativos da rigidez. Elementos com densidade

nula constituem os vazios da configuração estrutural ótima e elementos com densidade

unitária constituem, por sua vez, as regiões do domínio em que existe material. A formulação

do problema dessa forma discreta com resposta 0-1 (vazio-sólido) não é bem posto, sendo

necessário, portanto, o emprego de artifícios para solucionar o problema de otimização de

topologia2 (STUMP, 2006).

2.1. MODELO SIMP

Para a formulação do problema de OT, aplica-se alguma técnica de relaxação que

consiste na utilização de uma função que parametrize o tensor constitutivo do material para

densidades ρ variando de 0 (vazio) a 1 (sólido). Dentre essas técnicas, diferentes modelos são

propostos, sejam baseados em alguma microestrutura definida, sejam baseados em algum

tensor constitutivo conhecido, mas sem microestrutura definida. Desses últimos, o modelo

mais empregado pela literatura relacionada a OT é o modelo denominado Solid Isotropic

Material with Penalty, SIMP, proposto por Bendsøe (1989).

Neste modelo o comportamento constitutivo de um material artificial é

caracterizado e definido por uma função paramétrica associada com a densidade do material.

Para esse caso, o módulo de elasticidade efetivo é dado por:

p

SEE )( (2.3)

Onde:

2 Matematicamente, o espaço de soluções definido pela função que determina a densidade no elemento e pelas

restrições de volume comumente adotadas não é convexo quando essa função da densidade é discreta (densidade

0-1). Para resolver isso, o espaço de solução pode ser alterado por meio de uma relaxação do problema em que

densidades intermediárias são permitidas. (STUMP, 2006)



ES - é o módulo de elasticidade do material sólido;

ρ - é a densidade volumétrica;

p - o coeficiente de penalização.

Para p > 1, as densidades intermediárias são penalizadas, pois grandes alterações

na densidade provocam pequeno ganho de rigidez. Assim, apesar de o problema permitir uma

variação contínua das variáveis de projeto, os resultados obtidos ao final do processo de

otimização tendem a uma resposta do tipo sólido-vazio.

2.2. INSTABILIDADES NUMÉRICAS EM OT

A implementação de problemas de OT está sujeita a diferentes instabilidades

numéricas oriundas da relaxação e da formulação numérica do problema. Nesta seção serão

discutidas os seguinte fenômenos: soluções em tabuleiro de xadrez, formação de ilhas e

dependência da malha.

O problema de solução em tabuleiro de xadrez é caracterizado por regiões, na

solução final, onde existe alternância de elementos com e sem material, de padrão similar à

um tabuleiro de xadrez (Figura 2.1) Tal instabilidade é inerente à formulação numérica e pode

ser explicada pela maior rigidez artificial da região com configuração em tabuleiro em relação

à uma configuração de distribuição homogênea de material (STUMP, 2006). Logo, o padrão

de tabuleiro têm preferência na solução otimizada em problemas de minimização da

flexibilidade. Outra explicação para a instabilidade de tabuleiro de xadrez se baseia no fato de

que o problema de OT é variacional misto, com objetivo de determinar dois campos físicos

(deslocamento e densidades). Assim, para elementos de baixa ordem, a resolução do problema

pode se tornar mal-condicionada para alguns campos de deslocamento o que propicia o

aparecimento de instabilidades de tabuleiro (JOG; HARBER3, 1996 apud STUMP, 2006).

Figura 2.1 – Exemplo de solução com regiões com instabilidade de tabuleiro

3 JOG, C. S.; HABER, R. B. Stability of finite element models for distributed-parameter optimization and

topology design. Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 130, n. 3-4, p. 203-226, 1996



Outro fenômeno semelhante ao da solução em tabuleiro é o da formação de ilhas,

caracterizado pela existência de regiões com material não conectadas ao restante da estrutura

na solução final. A Figura 2.2 apresenta um exemplo de solução com o fenômeno de

formação de ilhas ou camadas desconectadas. A origem desse fenômeno está relacionada à

atribuição de uma densidade mínima (ρmin > 0) aos elementos “vazios”, que passam a possuir

portanto, uma certa rigidez que pode ser suficiente para que o layout resultante seja aceitável

pela análise pelo MEF.

Figura 2.2 – Exemplo de solução com formação de ilhas (Fonte: STUMP, 2006)

Outra instabilidade numérica ocorrente na implementação de problemas de OT é a

dependência da malha. Esta é caracterizada pelo fato de que para um mesmo problema de

OT, um mesmo domínio estendido e as mesmas condições de contorno, diferentes soluções

são apresentadas segundo a discretização da malha de elementos finitos. Nesse caso, em vez

do aumento da discretização apenas melhorar a definição dos contornos da estrutura, o que se

nota é a alteração do layout com o aumento do número de membros da estrutura (Figura 2.3).

Figura 2.3 – Exemplo de problema com dependêcia da malha (STUMP, 2006)

2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

A sensibilidade em relação às variáveis de projeto é avaliada utilizando o método

adjunto. Para o caso em que as variáveis de projeto y são as densidades nos elementos e

obtém-se (BENDSØE, 1989):



uK

u

e

T

e

c

(2.4)

Quando são adotadas como variáveis de projeto y as densidades nodais d , a

sensibilidade é obtida a partir de (2.4) com o uso da regra da cadeia:

i

e

eid

c

d

c

(2.5)

Onde:

iS - é o conjunto de elementos que compartilham o nó i;

eu - é o vetor de deslocamento do elemento e;

eK - é a matriz de rigidez do elemento e; e

e

id - é a densidade do nó i do elemento e.

2.4. FILTRO DE SENSIBILIDADE

Com o objetivo de evitar essas instabilidades e garantir a solução do problema

(2.1), diversos métodos têm sido propostos na literatura no sentido de introduzir restrições

que eliminem as soluções indesejáveis. Entre esses métodos destacam-se os filtros espaciais,

cuja idéia básica é a substituição de uma possível função não - regular por uma regularizada

obtida através da convolução desta última com uma função suave (BOURDIN4, 2001 apud

STUMP, 2006).

Um dos filtros espaciais propostos na literatura mais utilizados é o filtro de

sensibilidade de Sigmund (19945, 1997

6 apud SIGMUND, 2001), dado por:

f

N

f

ffN

f

fe

ey

cyH

Hyy

c

1

1

ˆ

ˆ

1 (2.6)

Em que o operador de convolução f

H (ou fator peso) é dado por:

4 BOURDIN, B. Filters in topology optimization. International Journal for Numerical Methods in

Engineering, v. 50, n. 9, p. 2143-2158, 2001. 5 SIGMUND, O. Design of material structures using topology optimization. 1994. Tese (Ph.D.) – Department

of Solid Mechanics, Technical University of Denmark, 1994. 6

SIGMUND, O. On the design of compliant mechanisms using topology optimization. Mechanics of

Structures and Machines. v. 25, p. 495-526, 1997.



),(ˆmin

fedistrHf

(2.7)

NerfedistNf ,...,1,),(| commin

Onde:

),( fedist - é a distância entre o centro do elemento e o centro do elemento f;

minr - é o raio mínimo que descreve a área do filtro.

fH - é operador de convolução que é zero fora dos limites da área do filtro e

decresce linearmente com o acréscimo da distância a partir do elemento f.

Embora não tenha sido provado que tal filtro garanta a existência de soluções,

numerosas aplicações têm provado sua eficácia nesse sentido e na prevenção de instabilidades

numéricas como a dependência de malha e a instabilidade do tabuleiro (SIGMUND, 2001).

Além disso, esse filtro de sensibilidades promove uma imposição indireta de uma dimensão

mínima dos membros estruturais na solução.

2.5. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL

Para a implementação computacional do problema proposto de OT, pode-se tomar

como ponto de partida o código 99 lines de Sigmund (2001) para MATLAB® 7.0.

Figura 2.4 – Fluxograma: problema básico de OT (SIGMUND, 2001)



A Figura 2.4 apresenta o fluxo de procedimentos segundo a proposta do autor

citado para um problema de OT resolvido utilizando o critério de otimalidade como critério

de otimização e o filtro de sensibilidades de Sigmund como esquema de regularização. O

código 99 lines foi adaptado para a solução de problemas com gradação funcional e para

inclusão de condições de simetria e de repetição de padrões, conforme descrito no Capítulo 3.

Foi utilizada, em associação, a técnica de continuação caracterizada pelo uso de

fator de penalidade unitário no início das iterações e seu gradual incremento ao longo do

processo de otimização. Essa técnica deriva do fato de que o problema de OT é não convexo e

repleto de mínimos locais, o que torna o processo de transposição desses pontos um desafio

aos algoritmos de otimização. O fator de penalidade unitário fornece uma solução não factível

devido à presença de densidades intermediárias. No entanto, essa solução é próxima do

mínimo global. Assim, ao iniciar o processo com fator de penalidade unitário, evita-se a

passagem por vários mínimos locais e ao se incrementar gradualmente o seu valor, eliminam-

se as soluções com densidades intermediárias.

2.5.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos (MEF)

Na implementação utilizada neste trabalho, o MEF é formulado para elementos

bilineares quadráticos de 4 nós (Q4) adotando-se a numeração dos nós e o sistema de

coordenadas e deslocamentos nodais como mostrado na Figura 2.5.

Figura 2.5 – Sistema de coordenadas, numeração dos nós e deslocamentos nodais

Seguindo a formulação tradicional do MEF, relacionando os deslocamentos no

interior dos elementos ),( yxu na direção X e ),( yxv na direção Y, com os deslocamentos nos

nós dos elementos tem-se:

yxcycxcc

yxcycxcc

yxv

yxu

3210

3210

),(

),(u (2.8)

Onde:



3...0c - são coeficientes das funções de interpolação;

x e y - são as coordenadas nas direções dos eixos X e Y, respectivamente.

Estabelecendo-se as condições de contorno para os deslocamentos dos quatro nós

do elemento (Figura 2.5):

1

1

1

1

1

1

1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

y

y

y

y

x

x

x

x

(2.9)

Onde xi e yi são as coordenadas do nó i nas direções dos eixos X e Y, respectivamente.

Pela formulação tradicional do MEF obtém-se, portanto, as funções de forma:

)1()1(4

11

yxN

)1()1(4

12

yxN

(2.10)

)1()1(4

13

yxN

)1()1(4

14

yxN

Os deslocamentos no interior do elemento u podem então ser obtidos em função

dos deslocamentos nodais u :

4

4

3

3

2

2

1

1

4

4

3

3

2

2

1

10

0

0

0

0

0

0

0,

,

v

u

v

u

v

u

v

u

N

N

N

N

N

N

N

N

yxv

yxu

(2.11)

Ou em forma matricial:

uNu ˆ (2.12)

A relação de compatibilidade entre as deformações e os deslocamentos u no

estado plano é dada por:



v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

(2.13)

Ou em forma matricial:

uε (2.14)

Para obter a matriz B, que relaciona os deslocamento nodais com o campo de

deformação no interior do elemento, substitui-se (2.12) em (2.14) e obtém-se .

uBε ˆ (2.15)

Onde:

4

4

3

3

2

2

1

10

0

0

0

0

0

0

00

0

N

N

N

N

N

N

N

N

xy

y

x

NB (2.16)

Pela teoria da elasticidade tem-se, para o estado plano de tensões, a relação entre o

campo de tensão e o campo de deformação para um material homogêneo isotrópico, dada por:

εCσ0

(2.17)

Onde o tensor constitutivo é dado por:

2

100

01

01

120

EC (2.18)

Onde:

E - é o módulo de elasticidade; e

- é o coeficiente de Poisson.

A partir desses dados, a matriz de rigidez do elemento ke pode ser calculada por:

de

BCBk0

T (2.19)



Onde é o domínio do elemento e.

Levando-se em conta as considerações feitas sobre o modelo SIMP (2.3) e as

dimensões dos elementos conforme (2.9) obtém-se:

1

1

1

1

dydxpe

ieBCBk

0

T (2.20)

Computada a matriz de rigidez dos elementos, essa é transportada para a matriz de

rigidez da estrutura K segundo a conectividade dos elementos e a numeração dos graus de

liberdade da estrutura definidas. Assim, tendo o vetor de forças equivalente f definido

segundo o carregamento na estrutura, tem-se que:

K U = F (2.21)

Para as condições de contorno definidas, através do sistema linear de (2.21)

determinam-se os deslocamentos nodais que serão utilizados no cálculo da função objetivo.

2.5.2. Otimização por critério de otimalidade (CO)

O problema de otimização pode ser resolvido empregando-se diferentes técnicas

de otimização como a programação linear seqüencial, o método das assíntotas móveis ou

ainda métodos que utilizam critério de otimalidade. Esse último é implementado no 99 lines

de acordo com a formulação a seguir.

Sabendo-se que o volume de material V, ou seja, a soma das densidades no

domínio fixado, é uma função do multiplicador de Lagrange que decresce monotonamente, o

valor desse multiplicador pode ser encontrado por um algoritmo de bisecção (SIGMUND,

2001). Um método heurístico para a atualização dos valores das variáveis de projeto proposto

por Bendsøe (1995) utilizando o critério de otimalidade é definido como segue:

),1min(se ),1min(

),1min(),max(se

),max(se),max(

min

minmin

e

ee

e

novo

Bymymy

myBymyyBy

myyBymyy

y (2.22)

Para:

y

V

y

c

Be

(2.23)



Onde:

novoy - é o valor atualizado da variável de projeto;

miny - é o valor mínimo permitido para a variável de projeto (diferente de zero para se

evitar singularidades);

m - é um valor positivo usado para evitar a estagnação da solução em mínimos locais;

- é um coeficiente numérico de amortecimento, adotado comumente como 0,5;

eB

- é determinado pela condição de otimalidade segundo 2.17 em que:

y

c

- é a sensibilidade da função objetivo;

- é o multiplicador de Lagrange encontrado pelo algoritmo de bisseção;

V - é o volume de material.

T. H.onório Capítulo 3

CAPÍTULO 3

OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA A MATERIAIS

COM GRADAÇÃO FUNCIONAL, COM RESTRIÇÕES DE

SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÃO

Este capítulo apresenta a formulação de OT para materiais com gradação

funcional, assim como as considerações específicas que devem ser feitas para implementação

de restrições de simetria e repetições de padrão.

3.1. MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL

Os Materiais com Gradação Funcional (FGM, do inglês Functionally Graded

Material) são uma classe de compósitos avançados que possuem uma variação gradual das

propriedades ao longo de uma ou mais direções. A Figura 3,1 mostra a representação da

variação da microestrutura de um material gradado com duas fases designadas fase (+) e

fase (-). Nessa representação, três regiões são identificadas: a Região A com predominância

da fase (-) com inclusões da fase (+), a Região B de transição entre as fases sem que haja

predominância de nenhuma dessas, e a Região C de predominância da fase (+) com inclusões

da fase (-).

Figura 3.1 – Representação da variação da microestrutura em um material gradado (STUMP, 2006)

O conceito de FGM foi proposto inicialmente em 1984 por pesquisadores

japoneses com o objetivo de fabricar materiais para barreiras térmicas. O gradiente de



propriedade é devido à variação contínua da microestrutura, da composição química ou da

organização atômica do material (KIEBACK; NEUBRAND; RIEDEL7, 2003 apud STUMP,

2006). De acordo com os mesmo autores, a fabricação dos FGM compreende duas etapas: a

construção do gradiente e a consolidação da estrutura com gradiente.

A vantagem dos FGMs reside justamente na possibilidade de se projetar e fabricar

o gradiente de propriedades de forma a melhor atender as necessidades de projeto. Assim,

esses materiais podem ser concebidos visando a redução de tensões residuais, o aumento da

resistência de aderência ou a redução de concentrações de tensão.

Nesse sentido, técnicas de otimização de topologia tem sido usadas visando

potencializar as vantagens desses materiais. Destacam-se os trabalhos de Carbonari et al.

(2007; 2009) sobre a gradação de propriedades elétricas e mecânicas de atuadores

piezoelétricos; e os de Almeida et al. (2008, 2009, 2010) sobre o projeto de estruturas de

FGM, restrições de simetria e de repetições de padrões para o projeto de estruturas com

FGMs.

Para contemplar as especificidades dos FGM num problema de OT, algumas

considerações devem ser feitas empregando-se uma modelagem modificada daquela

apresentada no capítulo anterior.

3.1.1. Aproximação contínua da distribuição de material – CAMD

Baseada na abordagem das densidades nodais, um técnica comumente empregada

para a modelagem de estruturas com gradação funcional no caso de otimização de topologia é

a Aproximação Contínua da Distribuição do Material (CAMD, do inglês Continuous

Approximation of Material Distribution) proposta por Matsui e Terada (2004). Nessa técnica

o campo de densidades dentro dos elementos é obtido a partir de seus valores nodais usando

as funções de forma usadas para interpolação de deslocamentos no MEF. Deste modo, para

um elemento Q4, a densidade volumétrica passa a ser definida por:

4

1

)()(

i

e

i

e

i

eNd xx (3.1)

Onde:

e

id - designa a densidade nodal do elemento e referente ao nó i;

7 KIEBACK, B.; NEUBRAND, A.; RIEDEL, H. Processing techniques for functionally graded materials.

Materials Science and Engineering A, v. 362, n. 1-2, p. 81-105, 2003



)(xe

iN - representa a função de forma do elemento e relacionado ao nó i nas coordenadas x.

As variáveis de projeto são definidas sobre os nós de canto dos elementos,

permitindo assim uma variação de densidade ao longo do elemento e, consequentemente, da

sua rigidez. A matriz de rigidez do elemento assume então a expressão:

e

dNdT

p

i

e

i

e

ieBCBxK

0

4

1

)( (3.2)

Onde:

C0 - é a matriz constitutiva da fase sólida do material;

B - designa a matriz que relaciona deformações em qualquer ponto no domínio do

elemento e seus deslocamentos nodais.

O CAMD pretendia resolver os problemas de instabilidade numérica

característicos da técnica de OT apresentados no item 2.2. Contudo, a técnica não logrou êxito

em seu objetivo inicial e hoje sua maior aplicação se dá no campo da aplicação de OT a

FGMs, uma vez que sua idéia central está no cerne do modelo FGM-SIMP.

3.1.2. Modelo FGM-SIMP

A aplicação de técnicas de OT a estruturas compostas de FGM demandam

considerações específicas sobre o modelo de material e sobre a representação do campo de

densidades. Kim e Paulino (2002) propõem uma abordagem que consiste na extensão do

conceito de elementos finitos isoparamétricos à representação das propriedades mecânicas do

material dentro do elemento, criando o conceito de elemento finito com gradação funcional. A

partir dessa abordagem, Paulino e Silva (2005) desenvolveram o modelo FGM-SIMP, uma

adaptação do modelo SIMP que permite a aplicação direta de técnicas de otimização de

topologia para estruturas com gradação funcional.

No modelo FGM-SIMP a gradação de propriedades dos materiais pode ser

avaliada experimentalmente, utilizando modelos micromecânicos ou a partir de funções pré-

definidas. Para o emprego do modelo em otimização de topologia, é conveniente o uso de

funções pré-definidas para representar a gradação, pois estas possuem a vantagem de

simplificar o processo de obtenção das propriedades dos materiais nos pontos desejados do

domínio de projeto. Neste trabalho utiliza-se uma função exponencial para representar a

gradação da propriedade do material. Assim, para o caso bi-dimensional tem-se:



)(

0)(

YX

seEE

x (3.3)

Onde:

e - são coeficientes que definem a gradação do material em cada direção do plano

cartesiano;

ES(x) - é o módulo de elasticidade na posição x;

E0 - é o valor referência do módulo de elasticidade;

X e Y - são as coordenadas cartesianas do ponto x.

Observa-se que o inverso dos coeficientes e têm dimensão [L]-1

e funcionam

como escalas de dimensão dos membros estruturais nas direções da gradação (ALMEIDA et

al., 2008, ALMEIDA et al., 2010). Os autores ressaltam que o efeito da gradação é então

inverso do efeito dos esquemas de regularização.

No modelo FGM-SIMP, Paulino e Silva (2005) adaptam a expressão original do

modelo SIMP, expressa em (2.3), para incluir a gradação das propriedades.

1>,)()()(

0peEE

pYXHxx

(3.4)

A expressão característica do modelo FGM-SIMP (2.9) deve ser aplicada em associação ao

CAMD (2.7). Logo, a matriz de rigidez dos elementos é dada por:

e

deNdTYX

p

i

e

i

e

ieBCBxK

0

)(

4

1

)( (3.5)

3.2. SIMETRIA E PADRÕES PARA MATERIAS COM GRADAÇÃO

FUNCIONAL EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA

A consideração de restrições de simetria e de repetições de padrões em projetos de

estruturas utilizando otimização de topologia constitui uma vantagem para as etapas de

produção dessas estruturas. De fato, essas formulações podem facilitar a montagem de

estruturas divididas por um número definido de componentes e podem reduzir custos pela

fabricação de um tipo único de componente (ALMEIDA et al., 2010). Nesta seção, as

formulações para a imposição de simetria e repetição de padrões serão consideradas de acordo

com as abordagens de gradação local e de gradação global.



3.2.1. Gradação local e global

Quando se trata da incorporação de restrições de simetria no projeto de estruturas

com materiais com gradação funcional pode-se considerar duas abordagens: a gradação global

e a gradação local.

Figura 3.2 – Imposição de simetria: gradação global (a) e gradação local (b) (ALMEIDA et al., 2010)

Gradação global significa que embora a geometria definida seja simétrica, a

gradação de material não o é; assim a estrutura resultante não apresenta simetria com relação

às propriedades dos materiais (Figura 3.2a). No caso de gradação local, a simetria é imposta

também na gradação de material, resultando assim em uma estrutura simétrica também em

relação à distribuição de material (Figura 3.2b).

Ao se considerar restrições de repetição de padrões na estrutura, também pode se

levar em conta gradações global e local. Nesse caso, para gradação global, existe uma

repetição apenas da geometria do padrão definido, mas não da gradação estabelecida para o

material (Figura 3.3a). Já a gradação local inclui a repetição tanto da gradação do material

como dos padrões ao longo da estrutura (Figura 3.3b). Essa última possibilita processos de

fabricação mais simples por trabalhar com elementos idênticos do ponto de vista geométrico e

de propriedades do material. Logo, a inclusão de gradação local no projeto de uma estrutura

com restrições de padrões pode resultar em menores custos de produção.



Figura 3.3 – Imposição de repetição de padrões: gradação global (a) e gradação local (b) (ALMEIDA et al.,

2010)

3.2.2. Formulação de restrições de simetria

Para estabelecer uma distribuição simétrica de material, um mapeamento das

variáveis de projeto y é realizado no conjunto de densidades nodais d. Esse último é dividido

em dois subconjuntos: o de densidades nodais primárias d1 e o de densidades nodais

secundárias d2. Esse conjunto secundário é formado a partir de d1 estabelecendo uma

configuração simétrica. Assim as variáveis de projeto nodais são mapeadas para o conjunto

d1. Depois o conjunto d2 é então formado levando em consideração a simetria requerida,

sendo que nós simétricos recebem a mesma variável de projeto.

Para impor simetria em relação ao eixo X, tem-se que:

Se kjijijiyddYHYXX entãoe (3.6)

De forma semelhante, para impor simetria em relação ao eixo Y:

Se kjijijiyddYYXLX entãoe (3.7)

Onde:

i - é o índice que identifica os nós do subconjunto d2;

j - é o índice que identifica os nós do subconjunto d1;

k - é o índice que identifica as variáveis de projeto y;

X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos nós i e j;



L e H - são o comprimento e a altura da estrutura, respectivamente.

Para a imposição simultânea de simetria nas direções dos eixos X e Y ambas as

condição apresentadas acima devem ser atendidas.

Para estruturas com gradação, o mapeamento de variáveis de projeto conduzem à

uma configuração geométrica simétrica mas não à uma distribuição de material simétrica.

Neste caso, diz-se que a gradação ocorre de maneira global. Por outro lado, se a gradação é

definida localmente, a estrutura resultante é simétrica, tanto com relação à geometria, quanto

com relação à distribuição de material.

Para impor uma gradação local, uma transformação simples deve ser feita na

computação das coordenadas X e Y na parte simétrica da estrutura. Assim, para gradação local

em relação ao eixo X tem-se:

mYYYHY se*

(3.8)

E, para gradação local em relação ao eixo Y:

mXXXLX se*

(3.9)

Onde:

X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos pontos de integração de Gauss;

X* e Y* - designam as coordenadas dos pontos de integração no sistema local;

Xm e Ym - designam as coordenadas dos eixos de simetria correspondentes; e

L e H - são o comprimento e a altura da estrutura, respectivamente.

3.2.3. Formulação de restrições de repetição de padrões

Para impor a repetição de padrões, um mapeamento semelhante ao descrito para a

imposição da simetria é empregado. O conjunto de densidades nodais d é dividido em dois

subconjuntos: o de densidades nodais primárias d1 e o de densidades nodais secundárias d2,

esse último obtido a partir de d1 ao se formar um padrão. Assim as variáveis de projeto y

nodais são mapeadas para o conjunto d1. Depois o conjunto d2 é então formado levando em

consideração a repetição de padrões requerida, sendo que os nós correspondentes na

configuração de repetição dos padrões recebem a mesma variável de projeto.

Para impor a repetição de padrões em relação ao eixo X, tem-se que:

Se kjijijiyddYYaXX entãoe (3.10)



De forma semelhante, para impor a repetição de padrões em relação ao eixo Y:

Se kjijijiyddbYYXX entãoe (3.11)

Onde:

i - é o índice que identifica os nós do subconjunto d2;

j - é o índice que identifica os nós do subconjunto d1;

k - é o índice que identifica as variáveis de projeto y;

X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos nós i e j; e

a e b - são o comprimento do padrão nas direções dos eixo X e Y.

Para a imposição simultânea de repetição de padrões nos eixos X e Y ambas as

condições apresentadas devem ser atendidas.

Para estruturas com gradação, o mapeamento de variáveis de projeto conduzem à

uma configuração geométrica repetida idêntica mas não à uma distribuição de material

idêntica em cada padrão. Neste caso, diz-se que a gradação ocorre de maneira global. Por

outro lado, se a gradação é definida localmente, a estrutura resultante possuirá uma

distribuição de material idêntica em cada padrão.

Para impor uma gradação local, uma transformação simples semelhante à aplicada

ao caso de imposição de simetria, deve ser feita na computação das coordenadas X e Y na

parte repetida da estrutura. Assim para gradação local em relação ao eixo X tem-se:

aXamXX se* (3.12)

E, para gradação local em relação ao eixo Y:

bYbnYY se* (3.13)

Onde:

X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos pontos de integração de Gauss;

X* e Y* - designam as coordenadas dos pontos de integração no sistema local;

a e b - designam a distância entre nós repetidos na direções X e Y, respectivamente; e

m e n - são o número de padrões nas direções X e Y, respectivamente.



3.3. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL

Para a implementação de OT no caso de estruturas com FGM sujeitas a restrições

de simetria ou repetição de padrões, sugere-se o fluxograma seguinte:

Figura 3.4 – Fluxo de procedimento OT para FGM com restrições de simetria e de repetição de padrão

O mapeamento citado no fluxograma foi descrito na seção 3.2 deste capítulo. A

formulação do MEF será descrita nesta seção. Em seguida serão apresentadas as modificações

necessárias para a contemplação do modelo FGM-SIMP na computação das sensibilidades, no

filtro de sensibilidades e na otimização utilizando CO.

Baseado na variação relativa da flexibilidade média, uma continuação é aplicada

ao fator de penalização p, isto é, se uma variação relativa entre flexibilidades médias

computadas for menor que 0,2% então p é incrementado por 0,5.

3.3.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos

Para a implementação do modelo FGM-SIMP a formulação do MEF é feita

através de integração numérica por quadratura de Gauss. Nesse método, a integral dupla pode

ser aproximada pelo somatório:

),(),(1 2

1 1

jij

n

i

n

j

i

s t

tsfwwdtdstsfPG PG

(3.14)



Onde:

f - é a função a ser integrada nos limites definidos pelos parâmetros s e t;

nPG1 e nPG2 - é o número de pontos de Gauss nas direções dos eixos correspondentes a si e

t, respectivamente;

si e tj - são os pontos de Gauss nas direções X e Y, definidos nos intervalos dos

domínios de s e t, respectivamente;

iw e j

w

- são os pesos utilizados na integração numérica por quadratura de Gauss.

Assim para os elementos Q4 descritos na seção 2.5.1, empregando-se dois pontos

de Gauss por direção (nPG1 = 2 e nPG2 = 2) obtém-se a matriz de rigidez do elemento para a

integração do produto BCB0

T no elemento finito :

BCBBCBk0

T

0

T

j

i j

iewwdtds

2

1

2

1

1

1

1

1

(3.15)

Levando-se em conta o modelo FGM-SIMP conforme (3.5) tem-se:

2

1

2

1

4

1

),(

i j

YX

p

jiiijieetsNww BCBk

0

T (3.16)

Onde:

iw e j

w - são os pesos utilizados na integração numérica sendo que 1

w = 12w ;

is e

jt - são os pontos de Gauss sendo que 1

s = 3

11

t e 2s =

3

12t .

Similarmente ao descrito na seção 2.5.1, computada a matriz de rigidez dos

elementos, essa é transportada para a matriz de rigidez da estrutura K. Para as condições de

contorno definidas, através do sistema linear de (2.15) determina-se os deslocamentos nodais

que serão utilizados no cálculo da função objetivo.

3.3.2. Análise de sensibilidade

Para o caso de para materiais homogêneos, seguindo as expressões (2.4) e (2.5), a

derivada da matriz de rigidez em relação às densidades nodais segundo a CAMD é dado por:

e

deNdNpd

TYX

p

i

e

i

e

i

e

ie

i

eBCBxx

K0

)(

14

1

)()( (3.17)



Por sua vez, o cálculo das sensibilidades da função objetivo em relação às

densidades nodais segundo o modelo FGM-SIMP é dado por:

i eSe

e

TT

e

YX

p

i

e

i

e

i

e

ie

i

deNdNpd

cuBCBuxx )()()(

0

)(

14

1

(3.18)

Ao se acrescentar imposições de simetria e de repetição de padrão, deve-se

observar que as variáveis de projeto y não são diretamente iguais às densidades nodais d.

Nesse caso, cada variável de projeto yi corresponde a um conjunto de densidades nodais dn de

forma que:

k

dSn nd

c

y

c (3.19)

Onde k

dS é o conjunto das densidades nodais d correspondentes ao mesmo conjunto de

variáveis de projeto y.

3.3.3. Filtro de sensibilidade e otimização por CO

Para o filtro de sensibilidade e para a rotina de otimização por CO são utilizadas o

conjunto de variáveis de projeto y. Como discutido na seção anterior, este conjunto y não

corresponde necessariamente às densidades nodais para os casos de restrição de simetria ou de

repetição de padrões.

3.3.4. Outras considerações sobre a implementação computacional

Uma vez computados, os mapeamentos exigidos na implementação das restrições

de simetria e de repetição de padrões e a computação das coordenadas usadas na gradação não

precisam ser alterados a cada iteração. Assim as rotinas correspondentes a esses

procedimentos podem ser executadas apenas uma vez antes de iniciado o processo de

otimização propriamente dito. Esta consideração é especialmente importante ao se levar em

conta o custo computacional que essas rotinas envolvem.

Neste trabalho, a gradação em cada direção é normalizada de acordo com as

dimensões da estrutura nessa direção. Assim nesse caso, um coeficiente de gradação α = 1 na

direção X numa malha com 100 elementos nessa direção corresponde a um coeficiente não

normalizado α’ = 0,01. Essa medida é importante para garantir soluções independentes da

discretização adotada.


CAPÍTULO 4

RESULTADOS

Este capítulo apresenta os resultados da implementação computacional discutida

nos capítulos anteriores. Serão investigadas a influência da gradação, as restrições de simetria

e as restrições de repetição de padrão no projeto de estruturas de FGM.

As formulações apresentadas foram implementadas em MATLAB® 7.0 a partir do

código 99 lines (SIGMUND, 2001). A saída gráfica também foi obtida através MATLAB®

empregando-se a função colormap (definida na escala de cores jet em que a cor vermelha

escura representa a densidade mínima próxima de 0, e a cor azul escura representa a

densidade máxima permitida 1).Para todos os casos foi utilizado como valor do módulo de

elasticidade E0 = 1,0 e como coeficiente de Poisson ν = 0,25. Ressalta-se que os valores das

propriedades do material não influenciam a topologia ótima, mas apenas o valor da função

objetivo para essa topologia. Por esse motivo, esses valores apresentados neste capítulo não

possuem unidades.

Para a técnica de continuação, foi utilizada penalização variando de 1 a 3 com

incremento de 0,5 (adicionado quando ocorresse variações da função objetivo menores que

0,002).

Vale uma ressalva com relação aos coeficientes de gradação empregados. Os

produtos de FGM costumam apresentar na prática coeficientes de gradação inferiores a 2. Nos

resultados a seguir serão apresentados casos com coeficientes de gradação superiores a esse

valor com objetivo de evidenciar a influência da gradação na topologia das estruturas

estudadas.

4.1. INFLUÊNCIA DA GRADAÇÃO DE MATERIAIS EM OT

Dois exemplos foram analisados buscando ilustrar como a gradação de materiais

influencia a topologia ótima da estrutura. O primeiro trata de uma viga engastada com

carregamento distribuído também considerada por Almeida et al. (2008); e o segundo trata de

uma classe de treliça de Michell, resolvida analiticamente por Sigmund (2000).



4.1.1. Exemplo 1: Viga engastada

Foi implementado o caso de uma viga engastada com carregamento vertical

unitário distribuído na extremidade inferior na face de dois elementos (Figura 4.1). Para tanto

empregou-se uma malha de 50 x 50 elementos (proporção altura:comprimento de 1:1), fração

de volume de 30% do domínio estendido, e rmin = 2,0 do filtro de Sigmund.

Figura 4.1 – Exemplo 1: Viga engastada com carregamento distribuído

As Figuras 4.2 e 4.3 apresentam, respectivamente, os resultados obtidos para

gradação em X e em Y isoladamente, enquanto que a Figura 4.4 apresenta os resultados para

gradação simultânea em X e em Y.

β = 0.00

α = 0.0

α = 1.0

α = 2.0

α = 3.0

Figura 4.2 –Exemplo 1: Gradação em X.



(a) Gradação crescente de cima

para baixo

α = 0.00

β = 0.0

β = 1.0

β = 2.0

β = 3.0

(b) Gradação crescente de

baixo para cima

α = 0.00

β = 0.0

β = 1.0

β = 2.0

β = 3.0

Figura 4.3 – Exemplo 1: Gradação em Y.

α = 0.0 β = 0.0

α = 3.0 β = 1.0

α = 1.0 β = 3.0

α = 3.0 β = 3.0

Figura 4.4 – Exemplo 1: Gradação em X e em Y

Em todos os casos, nota-se um aumento da largura de membros estruturais nas

regiões de menor módulo de elasticidade, enquanto que as regiões de maior módulo de

elasticidade tendem a apresentar maior número de membros de menor largura. Essas



diferenças são acentuadas com o aumento do coeficiente de gradação (α ou β) na direção

considerada. Os resultados obtidos são consistentes com os apresentados por Almeida et al

(2008).

A Figura 4.5 mostra as escalas de grandeza dos coeficientes de gradação

empregados. Para o caso de α = 1, o valor do modo de elasticidade na região em que essa

propriedade é maior é 2,7 vezes o valor do módulo de elasticidade referência E0. Já para α = 3

essa amplitude aumenta, nesse caso o módulo de elasticidade referência E0 é 20,09 vezes

maior que na região de menor módulo de elasticidade. Naturalmente, o mesmo pode ser dito

sobre o coeficiente de gradação em outra direção.

Figura 4.5 – Amplitude da gradação segundo o coeficiente de gradação

4.1.2. Exemplo 2: Treliça de Michell

O segundo caso escolhido para investigar a influência da gradação foi o da treliça

de Michell (Figura 4.6), com apoio circular na extremidade esquerda e carregamento unitário

vertical na face direita. Para isso empregou-se uma malha de 100 x 80 elementos (proporção

5:4), fração de volume de 20% do domínio estendido, e rmin = 1,2 do filtro de Sigmund.

Figura 4.6 – Exemplo 2: Treliça de Michell

0

5

10

15

20

25

0 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Fato

r a

ser

mu

ltip

licad

o

pe

lo E

0

Direção da Gradação

α = 0

α = 1

α = 2

α = 3



A solução ótima para essa configuração de suporte e carregamento foi calculada

analiticamente por Sigmund (2000) resultando em membros estruturais que se interceptam

formando ângulos de 90º entre si conforme a Figura 4.7a. O resultado obtido empregando-se

o filtro de Sigmund (e sem gradação) é apresentado na Figura 4.7b (e nos resultados adiante

para o caso de coeficientes de gradação α = 0,0 e β = 0,0).

(a)

(b)

Figura 4.7 – Treliça de Michell: (a) Solução analítica obtida por Sigmund (2000), (b) Solução numérica obtida

para discretização 100x80 empregando-se o filtro de Sigmund

A solução numérica obtida apresenta um número menor de membros estruturais

em relação ao resultado analítico. Isso pode ser explicado pela presença do filtro de Sigmund

(e sua imposição de tamanho mínimo dos membros estruturais) e pela discretização adotada

(malhas mais refinadas e um valor menor do rmin do filtro de Sigmund podem gerar resultados

mais próximos do analítico)8.

Feitas essas considerações, tal exemplo serve para ilustrar o efeito da gradação na

topologia da estrutura. As Figuras 4.8 e 4.9 mostram as soluções para as gradações crescentes

em X da esquerda para a direita (4.8) e da direita para a esquerda (4.9). As Figuras 4.10

apresentam, por sua vez, os resultados para gradação em Y (crescente de baixo para cima).

Também nesse exemplo, nota-se o estreitamento dos membros estruturais nas

zonas de maior módulo de elasticidade e um aumento da largura dos membros estruturais nas

regiões de menor módulo de elasticidade. O mesmo efeito acentuador dessas tendências pode

ser notado com o aumento do coeficiente de gradação na direção considerada.

Quanto às duas gradações na direção X, a saber, crescente da esquerda para a

direita e crescente da esquerda para a direita, a primeira resultou em estruturas que não

utilizam todo o domínio estendido (figuras 4.8). Nesse caso, quanto maior o coeficiente de

8 Resultados numéricos mais próximos do analítico foram obtidos por Nguyen et al. (2010) que empregaram um

abordagem com três níveis diferentes de discretização resultando em soluções com maior resolução.



gradação, menor a altura da estrutura como um todo. Já com a segunda gradação (figura 4.9),

foram obtidas estruturas que abrangem maior parte do domínio estendido. Nesse caso, quanto

maior o coeficiente de gradação maior a altura da estrutura como um todo. Vale relembrar que

em todos esses exemplos o volume das estruturas permanece o mesmo, já que este é definido

como um dos parâmetros de entrada na implementação computacional (fração de volume

igual a 20% do domínio estendido no exemplo em questão).

β = 0.00

α = 0,0

α = 1,0

α = 2,0

α = 3,0

α = 4,0

Figura 4.8 – Exemplo 2: Gradação em X com o módulo de elasticidade crescente da esquerda para a direita



β = 0.00

α = 0,0

α = 1,0

α = 2,0

α = 3,0

α = 4,0

Figura 4.9 – Exemplo 2: Gradação em X com o módulo de elasticidade crescente da direita para a esquerda

Embora o carregamento do exemplo da figura 4.6 não seja simétrico, a estrutura

resultante é simétrica para materiais homogêneos. O mesmo pode ser observado para

estruturas com gradações apenas ao longo da direção X.

Quanto à gradação em Y, foi observada uma quebra da simetria da estrutura em

relação ao eixo X (Figura 4.10). Nesse caso, a formação de membros estruturais foi

favorecida na região de maior módulo de elasticidade. Vale ressaltar que o resultado para

β = 3,0 não tem aplicação prática por conta da presença de membro estrutural com densidade

intermediária.



α = 0.00

β = 0,0

β = 1,0

β = 2,0

β = 3,0

β = 3,0

Figura 4.10 – Exemplo 2: Gradação em Y com o módulo de elasticidade crescente de cima para baixo

4.1.3. Imposição de uma escala de dimensão

Almeida et al. (2008) chamam atenção para a existência de uma dimensão

característica implícita associada ao modelo FGM-SIMP. De fato, para uma gradação numa

direção x dada por:

xeExE

0)( (4.1)

Considerando E0 o módulo de elasticidade em x = 0, e E1 o módulo de elasticidade em x = w,

obtém-se:



weEE

01 (4.2)

A partir de onde pode ser obtido:

0

1ln

1

E

E

w (4.3)

Essa última expressão mostra que o coeficiente de gradação possui dimensão de inverso do

comprimento [L]-1

. Logo, esse coeficiente atua de forma a reduzir a largura de membros

estruturais. Essa imposição indireta de dimensão dos membros estruturais pode ser percebida

nos exemplos implementados nos quais um maior número de membros estruturais com menor

largura são encontrados nas regiões de maior módulo de elasticidade.

Por sua vez, os esquemas de regularização como a projeção de densidade utilizada

por Almeida et al. (2008), impõem uma escala de dimensão de elementos estruturais que varia

de forma crescente com o rmin. Essa também é uma característica do filtro de sensibilidade de

Sigmund, embora essa imposição seja indireta e não direta como no caso das projeções de

densidades. Essa imposição de dimensão se contrapõe ao efeito da gradação discutido

anteriormente.

rmin α = 0,0 α = 1,0 α = 2,0 α = 4,0 α = 8,0

1,1

2,0

3,0

4,0

Figura 4.11 – Influência do filtro de Sigmund e da gradação



A Figura 4.11 ilustra como a competição entre essas escalas de dimensão atuam

na topologia da estrutura para o exemplo 1, estudado anteriormente (figura 4.1). Nesses casos

observa-se mais uma vez a tendência de aumento do número de membros estruturais de

menor largura nas regiões de maior módulo de elasticidade com o aumento do coeficiente de

gradação, para um mesmo rmin do filtro de Sigmund. Já para um mesmo coeficiente de

gradação, a tendência é uma diminuição do número de membros estruturais de menor largura,

o que está de acordo com o efeito de imposição indireta de uma escala mínima de dimensão

de membros estruturais promovida pelo filtro.

Com o aumento do rmin do filtro, nota-se uma redução de nitidez nas bordas dos

elementos estruturais que passam a apresentar regiões com densidades intermediárias (entre 0

e 1). Vale ressaltar ainda que os resultados para α = 8,0 e rmin > 1,1 não possuem aplicação

prática já que apresentam membros estruturais com densidade intermediária. O mesmo pode

ser dito a respeito dos resultados em que rmin = 4,0 e o coeficiente de gradação α é maior que

2,0. Para tornar esses últimos resultados realizáveis, haveria a necessidade de se acrescentar

material nessas regiões de densidade intermediária alterando portanto a fração de volume do

problema.

4.2. RESTRIÇÕES DE SIMETRIA

Para o caso da implementação de restrições de simetria foram investigados dois

exemplos: uma viga engastada com um carregamento na extremidade livre e uma viga

simplesmente apoiada com carregamento assimétrico.


A Figura 4.12 mostra a configuração de vínculos e de carregamento do caso

implementado. Neste exemplo, foi utilizada malha de 100 x 50 elementos (proporção 2:1),

fração de volume de 50% do domínio estendido, e rmin = 3,0 do filtro de Sigmund.

Figura 4.12 – Exemplo 3: Viga engastada com um carregamento na extremidade livre



A Figura 4.13 apresenta as soluções obtidas para a viga com relação à aplicação

de simetria: (a) sem restrição de simetria, (b) simetria em relação ao eixo X, (c) simetria em

relação ao eixo Y, (d) simetria em relação ao eixo X e ao eixo Y simultaneamente. Nesses

casos foram considerados materiais homogêneos.

Resultados obtidos utilizando o filtro

de Sigmund

rmin = 3,0

Resultados obtidos por Almeida et al.

(2010) utilizando a técnica de

projeção

rproj = 4,0

(a) Sem imposição

de simetria

(b) Simetria em

relação ao eixo X

(c) Simetria em

relação ao eixo Y

(d) Simetria em

relação aos eixos

X e Y

Figura 4.13 – Restrições de simetria – Gradação global

Os resultados (a), (b) e (d) da Figura 4.13 estão em concordância com os

resultados encontrados por Almeida et al. (2010) utilizando a técnica de projeção em vez do



filtro de Sigmund. Cabe ressaltar que as cores utilizadas nos resultados de Almeida et al.

(2010) são o inverso das empregadas neste trabalho (vermelho escuro representa densidade 1

e azul escuro representa densidade 0). O resultado (c) difere do resultado onde emprega-se a

técnica de projeção. Mesmo que o raio utilizado no filtro de Sigmund (3,0) seja menor que o

raio utilizado na técnica de projeção (4,0) pelos autores citados, na solução da técnica de

projeção observam-se membros estruturais que não existem na solução do filtro de Sigmund.

Os resultados mostram que, embora exista em muitos casos certa relação entre as

escalas de dimensão impostas por essas técnicas de regularização, existem situações em que

essas técnicas retornam resultados essencialmente diferentes. Quando isso acontece, os

resultados que empregam o filtro de Sigmund apresentam um número menor de membros

estruturais finos em relação à resultados correspondentes que empreguem a técnica de

projeção, mesmo que o rmin utilizado no filtro seja menor que o raio da projeção para o mesmo

problema.

4.2.2. Exemplo 4 – Viga simplesmente apoiada com carregamento

assimétrico

O outro exemplo considerado para o caso de restrições de simetria é o ilustrado na

Figura 4.14. Neste exemplo, foi utilizada malha de 240 x 40 elementos (proporção 6:1),

fração de volume de 50% do domínio estendido, e rmin = 4,0 do filtro de Sigmund.

Figura 4.14 – Exemplo 4: Viga simplesmente apoiada com carregamento assimétrico

A Figura 4.15 mostra os resultados para gradações global e local em diferentes

direções de gradação.



Figura 4.15 – Restrições de simetria – Gradação global e local

4.3. RESTRIÇÕES DE REPETIÇÃO DE PADRÕES

Dois exemplos foram investigados para o caso da implementação de restrições de

repetição de padrão, a saber: uma viga engastada com um carregamento contínuo vertical na

extremidade livre e uma viga simplesmente apoiada com carregamento assimétrico.

4.3.1. Exemplo 5 - Barra sujeita à tração

Para restrições de repetição de padrão, o primeiro problema considerado foi a de

uma barra engastada no topo sujeita à tração na face livre (Figura 4.16). Empregou-se uma

malha de 60 x 120 elementos (proporção 1:2), fração de volume de 30 % do domínio

estendido, e rmin = 2 do filtro de Sigmund.

A Figura 4.17 mostra os resultados para repetições de padrão na direção X e na

direção Y. A Figura 4.18 apresenta os resultados para repetições de padrão em X com

gradação global em X.

(a) Material homogêneo sem restrições de

simetria

(b) Material homogêneo com simetria em

relação ao eixo Y

(c) Gradação global da esquerda para a

direita com simetria em relação ao eixo Y

(α =6,0)

(d) Gradação local da esquerda para o centro

com simetria em relação ao eixo Y (α = 6,0)

(e) Gradação local da direita para o centro

com simetria em relação ao eixo Y (α = 6,0)



Figura 4.16 – Exemplo 5: Barra sujeita à tração

(a)

sem repetição de

padrão (1 x 1)

(b1)

repetição de padrão

2 x 1

(b2)


3 x 1

(b3)


4 x 1

(c1)


1 x 2

(c2)


1 x 3

(c3)


1 x 4

Figura 4.17 – Restrições de repetição de padrões – material homogêneo



Gradação em Y:

(a1) padrão 1 x 1

β = 0,0

(b1) padrão 2 x 1

β = 0,0

(c1) padrão 3 x 1

β = 0,0

(b2) padrão 1 x 1

β = 2,0

(c2) padrão 2 x 1

β = 2,0

(c1) padrão 3 x 1

β = 2,0

(b3) padrão 1 x 1

β = 4,0

(c3) padrão 2 x 1

β = 4,0

(c3) padrão 3 x 1

β = 4,0

Figura 4.18 – Restrições de repetição de padrões – Gradação global em Y




Para restrições de repetição de padrão, o segundo problema considerado foi a de

uma viga engastada com carregamento vertical contínuo na face livre (Figura 4.19).

Empregou-se uma malha de 128 x 80 elementos (proporção 8:5), fração de volume de 30 %

do domínio estendido, e rmin do filtro de Sigmund variável conforme indicado.

Figura 4.19 – Exemplo 6: Viga engastada com um carregamento vertical distribuído na extremidade livre

Sem a repetição de padrão, obtém-se para esse exemplo, aplicando-se o filtro de

Sigmund com rmin = 9, a estrutura da Figura 4.20.

Figura 4.20 – Sem repetição de padrão (ou padrão 1 x 1), rmin= 9

A Figura 4.21 apresenta as soluções obtidas para a viga engastada com relação à

aplicação da repetição de padrões com o emprego do filtro de Sigmund: (a) padrões 2 x 1,

rmin = 5; (b) padrões 4 x 1, rmin = 3; (c) padrões 8 x 1, rmin = 1. Nesses casos a gradação foi

global. A mesma figura mostra também os resultados de Zhang e Sun (2006) que usaram o

método da homogeneização aplicado às estruturas celulares. A correspondência entre as

soluções obtidas nesse trabalho e as obtidas pelos autores citados demonstram a validade da

formulação utilizada.



Padrões Resultados obtidos com o filtro de Sigmund Resultados obtidos por Zhang e Sun

(2006)

(a) Padrões

2 x 1

rmin= 5

(b) Padrões

4 x 1

rmin= 3

(c) Padrões

8 x 1

rmin= 1

Figura 4.21 – Repetição de padrões material homogêneo.

Na Figura 4.22 são mostrados os resultados do exemplo considerado com padrões

2 x 1 conforme diferentes coeficientes de gradação. A gradação é global na primeira coluna e

local na segunda coluna e ocorre na direção X da esquerda para a direita. O raio do filtro de

Sigmund empregado foi rmin = 4,0.

Observa-se a tendência de transferir material das regiões com maior módulo de

elasticidade para as regiões com menor valor dessa propriedade. Os resultados obtidos são

ligeiramente diferentes dos apresentados por Almeida et al (2010) usando funções de

projeção. No entanto, observa-se o mesmo padrão qualitativo nos resultados.



Gradação global Gradação local

(a)

α = 2,0

(a)

α = 4,0

(c)

α = 16,0

Figura 4.22 –Gradação em X da esquerda para a direita, gradação global e gradação local.

Já na Figura 4.23 são mostrados os resultados para gradação em X da direita para

a esquerda. Salvo a direção da gradação, as mesmas considerações dos resultados anteriores

são aplicáveis aos resultados seguintes.

Também neste caso, observa-se a tendência de transferir material das regiões com

maior módulo de elasticidade para as regiões com menor valor dessa propriedade.

Novamente, os resultados obtidos são ligeiramente diferentes dos apresentados por Almeida

et al (2010) observando-se, no entanto, o mesmo padrão qualitativo nos resultados.



Gradação global Gradação local

(a)

α = 2,0

(b)

α = 4,0

(c)

α = 16,0

Figura 5.2 – Gradação em X da direita para a esquerda, gradação global e gradação local.


CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES

Este capítulo apresenta as conclusões do trabalho e as considerações finais. Serão

focados os aspectos concernentes à influência da gradação e aos resultados da implementação

de restrições de simetria e de repetição de padrões para OT em projetos de estruturas com

gradação funcional.

Quanto à influência da gradação em soluções de OT, observa-se um aumento da

largura de membros estruturais nas regiões de menor módulo de elasticidade, enquanto que as

regiões de maior módulo de elasticidade tendem a apresentar maior número de membros de

menor largura. Essas diferenças são acentuadas com o aumento do coeficiente de gradação (α

ou β) na direção considerada. Outros autores chegaram às mesmas conclusões (ALMEIDA

et al., 2008). Para estruturas com carregamento em face oposta ao suporte observou-se que

gradações crescentes na direção do carregamento geraram estruturas com menor altura (ou

com menor utilização do domínio estendido), enquanto que gradações crescentes na direção

do suporte geraram estruturas de maior altura (ou com maior utilização do domínio

estendido).

É importante levar em consideração as escalas características de dimensão de

membros estruturais impostas pela gradação e pela técnica de regularização empregada (no

caso desse trabalho, o filtro de Sigmund). O coeficiente de gradação possui dimensão de

inverso do comprimento [L]-1

, atuando de forma a reduzir a largura de membros estruturais.

Por sua vez, o filtro de Sigmund impõe uma escala de dimensão de elementos estruturais que

compete com o efeito do coeficiente de gradação. Assim para um mesmo rmin do filtro de

Sigmund, observa-se a tendência de aumento do número de membros estruturais de menor

largura nas regiões de maior módulo de elasticidade com o aumento do coeficiente de

gradação. Já para um mesmo coeficiente de gradação, a tendência é uma diminuição do

número de membros estruturais de menor largura com o aumento do rmin do filtro. Este

resultado é consistente com o apresentado por Almeida et al. (2008) usando projeções como

esquema de regularização.

Considerações sobre simetria e repetição de padrões podem ser feitas no projeto

de estruturas com FGM adotando-se gradação local ou gradação global. Este primeiro

apresenta a vantagem de resultar em soluções simétricas tanto geometricamente como em


T. Honório Capítulo5

relação à distribuição de material. Os resultados apresentados mostram que a formulação

utilizada é eficaz para representar as microestruturas de materiais celulares com gradação e

são compatíveis com os apresentados por Almeida et al. (2010) usando projeções como

esquema de regularização.

Mais investigações nessa área são necessárias para tornar as formulações

sugeridas mais adequadas às etapas de produção da estrutura bem como ao projeto de outros

materiais avançados. Sugere-se especialmente a ampliação da formulação para três dimensões

e o estudo de imposição de características de extrusão e moldagem em 3D.

T. Honório Referências

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SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM OTIMIZAÇÃO DE …‡ÃO_DE_PADRÕES... · e de repetições...

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