Seminário de Ensino de Matemática (SEMA/FEUSP) Setembro/2009Coordenação: Prof. Dr. Nílson José Machado

SIMETRIA INVERSIONAL E NÍVEIS ESTRUTURAIS NA MÚSICA DE STEVE REICH

Responsável: Roberto Antonio Saltiniroberto.saltini@fiamfaam.br

Em seu ensaio de 1968, “Music as a Gradual Process”, Steve Reich discute as idéias por trás de sua técnica composicional de “mudança de fase” (phase-shifting)1 que caracterizou sua música de 1965 até 1971.2 Além desse ensaio do próprio compositor, poucos estudos sobre a música com mudança de fase de Reich apareceram na literatura especializada.3 De “Music as a Gradual Process” pode-se resumir as principais preocupações de Reich da seguinte forma: (1) A estrutura musical deve ser clara, como em composições nas quais estrutura (de acordo com Reich, “processo”) e conteúdo musical são idênticos. Não podem existir estruturas “escondidas” que, de acordo com ele, servem somente para obscurecer o processo musical. (2) Uma vez iniciado o movimento do processo musical, ele tem vida própria e portanto não necessita maiores interferências do compositor. (3) Improvisação não tem lugar no processo musical já que a maioria dos parâmetros musicais criados através de improvisação não podem ser facilmente identificados. (4) Não importa quão objetivo e controlado seja o processo, eventos inesperados ainda irão ocorrer na forma de “padrões resultantes” (termo do próprio Reich).

O resumo apresentado acima implica que a música com mudança de fase de Reich (em uma óbvia reação contra a música serial e aleatória) possibilita ao ouvinte perceber o processo musical “através da música soando”, ou, melhor ainda, que “o processo composicional e a música soando são a mesma coisa”. Portanto, na sua música “não existem segredos de estrutura que não possam ser ouvidos”.4 Naturalmente, tais condições não apelam ao analista musical que normalmente é incentivado pelos desafios apresentados pelas estruturas “secretas” na música. Realmente, a maioria dos autores aponta a inadequação da análise para a música com mudança de fase e se limitam a uma

1 Steve Reich, Writings about Music (Halifax: Press of Nova Scotia College of Arts and Design, 1974): 9-11.2 Para uma lista completa dos trabalhos de Reich que empregam a técnica de mudança de fase, veja Reich, 73-75. As datas foram estabelecidas pelo próprio Reich em seu artigo, “Notes on Composition, 1965-1973” (Reich, 49-71).3 Na realidade, poucos estudos analíticos sobre as composições de Reich apareceram. Para uma coletânea importante, apesar de desatualizada, dos principais artigos europeus, veja K. Robert Schwarz, “Steve Reich: Music as a Gradual Process”, Part 1, Perspectives of New Music 19 (1980): 390. Veja também Richard Cohn, “Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reichs Phase-Shifting Music”, Perspectives of New Music 30/2 (1992): 146-77. Cohn não somente oferece uma bibliografia bastante completa dos estudos sobre a música de Reich (na sua maioria em inglês) mas também apresenta análises detalhadas de Phase Patterns e Violin Phase.4 Reich, 10.

mera descrição do processo.5 Essa veia de escritos descreve a música com mudança de fase de Reich como estática ou como faltante em “direcionalidade e clímax” e portanto não aberta à análise.6 Muito pelo contrário, outros autores veem essa música como qualquer outro produto das tradições musicais ocidentais, aberta à utilização de ferramentas analíticas tradicionais.7

No presente estudo, eu concordo com o último ponto de vista e argumento que algumas das terminologias empregadas por Reich podem apresentar a chave para conectar sua música com mudança de fase à tradição de procedimentos musicais ocidentais. Uma discussão bastante recente sobre a técnica de mudança de fase de Reich pode ser encontrada no artigo de Richard Cohn intitulado “Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reich’s Phase-Shifting Music”, citado acima. Já que algumas das idéias de Cohn formam o ponto de partida para esse trabalho, eu vou resumi-las aqui.

A interpretação proposta por Cohn a respeito da visão de Reich sobre distinções tradicionais (tais como material e processo, forma e conteúdo) motivam seu estudo dessa música.8 De acordo com Cohn, está claro que para Reich materiais e processos são distintos e que a alusão de “materiais passando por processos” implica na presença de um agente; obviamente, esse agente deve ser o próprio compositor. Além disso, Cohn sugere que se materiais e processos são fatores em um ato metafórico de comunicação, então o compositor deve ser capaz de perceber e reconhecer suas mensagens. E não é qualquer um que é capaz de participar nesse ato de comunicação; na verdade, Cohn conclui que o compositor pode até mesmo

5 Alguns autores dizem que a estrutura temporal de tais peças não é organizada através de início, desenvolvimento, contraste, clímax, reprise e fim; outros sugerem que ela só pode ser entendida sob um ponto de vista experiencial. Para uma listagem completa de tais visões, veja Cohn, 176.6 Schwarz, 381. Veja também Jonathan Kramer, The Time of Music (New York: Schirmer Books, 1988); Michael Nyman, Experimental Music: Cage and Beyond (New York: Schirmer Books, 1972); Wim Mertens, American Minimal Music (London: Kahn & Averill, 1983); Tim Page, “Framing the River: A Minimalist Primer”, HiFi/Musical America 31 (November, 1981): 64-68.7 Veja as observações de Gregory Sandow sobre a música de Reich, “Steve Reich: Somenthing New”, The Village Voice 25/10 (10 March, 1980): 74. Para algumas discussões mais técnicas sobre a música de Reich veja Paul Epstein, “Pattern Structure and Process in Steve Reich’s Piano Phase”, The Musical Quarterly 72 (1986): 494-502; Brian Dennis, “Repetitive and Sistemic Music”, The Musical Times 115 (1974): 1036-38; Robert Morris, “Generalizing Rotational Arrays”, Journal of Music Theory 32 (1988): 91-93; e Cohn, 146-77.8 O trecho escolhido diz o seguinte: “Material may suggest what sort of process it should be run through (content suggests form), and processes may suggest what sort of material should be run through them (form suggests content). If the shoe fits, wear it” (Reich, 9).

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esconder alguma técnica ou conhecimento, beirando algum segredo de estrutura.

Já que o ritmo é o parâmetro musical mais importante na música de Reich, o primeiro passo em direção a uma análise efetiva de suas composições é o uso de uma terminologia precisa capaz de refletir as peculiaridades de seu mundo rítmico todo pessoal. Parece bastante natural utilizar o aparato teórico desenvolvido para análise musical atonal.9 Para preparar sua discussão sobre conjuntos e suas combinações transposicionais, Cohn define alguns termos básicos: (1) classes de tempos são análogas à classes de alturas. Um ciclo métrico consiste de n classes de tempos, arranjadas em um sistema mod n e rotuladas de 0 a n-1 (no qual 0 designa o tempo forte notado); (2) conjuntos de classes de tempos podem apresentar propriedades como invariância sob certas operações, generabilidade cíclica, e podem apresentar relações de equivalência, semelhança e inclusão entre si, do mesmo modo que o podem conjuntos de classes de alturas na teoria atonal; (3) padrão básico é o conjunto de classes de tempos fonte do material básico para a composição inteira.

Em suas análises de Phase Patterns e Violin Phase, Cohn focaliza principalmente os conjuntos de classes de tempos consistindo da união de todas as classes de tempos atacadas quando o padrão básico é apresentado em cânone com ele mesmo em diferentes intervalos de tempos. Cohn assume que a experiência auditiva é bastante definida por esse conjunto. Ele também explora os conjuntos que consistem das classes de tempos atacadas simultaneamente pelas duas linhas canônicas em várias apresentações do padrão básico. Cohn sugere que esses dois conjuntos – os conjuntos união e interseção – oferecem duas experiências distintas para o ouvinte consciente das variações de densidade de pontos de ataque. Os cardinais variáveis dos conjuntos união e interseção no decorrer de uma composição implicam em dois planos formais distintos e as estruturas resultantes de ambas as abordagens sugerem que o compositor estava consciente das propriedades inerentes dos conjuntos de classes de tempos. Essas observações, de acordo com Cohn, parecem revelar um componente dinâmico e teleológico na música de Reich resultante de uma escolha cuidadosa das quantidades de pontos de ataque. Obviamente, isso tem implicações muito fortes em relação ao papel desempenhado pela técnica e pelos “segredos de estrutura”.

Como Cohn demonstra, tanto Phase Patterns como Violin Phase têm conjuntos de classes de tempos que podem ser gerados pelo menor número maior que 1 e primo com o cardinal

9 A semelhança entre os domínios rítmico e de alturas na tradição teórica da música atonal já pode ser encontrada em um artigo seminal de Milton Babbitt, “Twelve-Tone Rhythmic Structure and the Electronic Medium”, Perspectives of New Music 1 (1962): 49-79. Entre outros autores que lidam com essas semelhanças estão Benjamin Boretz, “Sketch for a Musical System (Meta-Variations, Part II)”, Perspectives of New Music 8 (1970): 49-111; John Rahn, “On Pitch or Rhythm: Interpretations of Orderings of and in Pitch and Time”, Perspectives of New Music 13 (1975): 182-203; e David Lewin, Generalized Musical Intervals and Transformations (New Haven: Yale University Press, 1987).

do universo modular. A presença dessa relação implica em uma maior integração dos materiais em um nível microestrutural.10 Um outro aspecto importante apontado por Cohn é a presença da propriedade da profundidade da escala, definida por Carlton Gamer.11 Essa propriedade suporta uma variedade máxima entre os vários níveis transposicionais: isso implica que para cada nível transposicional, com exceção do “trítono”, o cardinal do conjunto união de classes de tempos é distinto. Finalmente, com base nos resultados obtidos em suas explorações, Cohn propõe uma nova avaliação estética da música de Reich – uma avaliação baseada no fato de que essa música tem um objetivo (ou seja, ela é teleológica) e que o conhecimento necessário para entender as diferentes possibilidades decorrentes da técnica de mudança de fase é bastante especializado.

Embasado sempre que necessário nos resultados e definições de Cohn, eu vou explorar aspectos de simetria em três níveis musicais diferentes: (1) o padrão básico; (2) as várias combinações do padrão básico com suas diferentes transposições (a partir de agora chamados de módulos transposicionais);12 e (3) a forma em larga-escala. Seguindo uma abordagem diferente da apresentada por Cohn que é baseada nas combinações transposicionais entre conjuntos de classes de tempos, eu vou mostrar que os diferentes tipos de conjuntos de classes de tempos (conjuntos união, interseção e independentes – ou seja, aqueles consistindo da união de todas as classes de tempos exclusivamente atacadas por cada voz interagindo em cada módulo transposicional) – apresentam, localmente e globalmente, palíndromos semelhantes e que essas estruturas refletem a simetria inversional do padrão básico. Meu argumento procede do fato de que o padrão básico é como micro-estrutura um palíndromo. O processo de transpor esse padrão contra ele mesmo cria uma outra estrutura em palíndromo, dessa vez em um nível estrutural intermediário – o nível de cada módulo transposicional. A sequência desses módulos implica em ainda uma outra estrutura em palíndromo, estrutura baseada em cardinais – totalmente realizada na forma em larga-escala da relativamente simples Clapping Music (1972) e parcialmente realizada na mais elaborada Phase Patterns (1970).13 Um aspecto em palíndromo relacionado é o fato de que quando o padrão básico passa por todos os níveis transposicionais, não somente os cardinais dos conjuntos de classes de tempos são repetidos em ordem inversa a partir do ponto médio da composição inteira, mas as próprias classes de conjuntos são repetidas em

10 Essa ideia é discutida mais formalmente em Richard Cohn, “Properties and Generability of Transpositionally Invariant Sets”, Journal of Music Theory 35 (1992): 1-32. 11 Carlton Gamer, “Some Combinational Resources of Equal-Tempered Systems”, Journal of Music Theory 11 (1967): 32-59. Gamer define uma escala profunda como um conjunto que possui multiplicidade única em seu conteúdo intervalar – ou seja, cada entrada em seu vetor intervalar é única.12 Meus módulos transposicionais são idênticos as regiões de Cohn.13 Clapping Music (London: Universal Editions, 1980); Phase Patterns (London: Universal Editions, 1980).

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ordem inversa.Clapping Music ocupa uma posição

interessante na produção musical de Reich; ela é imediatamente subsequente ao período de mudança de fase – de 1965 a 1971, de acordo com o próprio Reich. Além disso, ela não apresenta o “problema” das transições de mudanças de fase no qual as vozes mudam gradualmente de um estado “travado” para outro. Phase Patterns, por razões que serão discutidas mais tarde, não apresenta um ciclo completo de todos os níveis transposicionais. Ao invés disso, ela sugestivamente termina exatamente no ponto médio do ciclo. No entanto, o projeto analítico desse trabalho requer o exame de uma versão hipotética “completa” da composição – uma realização de um ciclo completo de transposições como o meio ciclo presente na composição implica. No decorrer da análise eu vou discutir semelhanças e contrastes entre seções das duas peças e relações entre os materiais composicionais empregados em ambas. Finalmente, eu vou sugerir ainda uma outra perspectiva para as duas peças, perspectiva esta baseada em aspectos de simetria que permeiam ambas.

Material e Conteúdo: aspectos do padrão básico

Já que ritmo é o único parâmetro musical notado em Clapping Music, para dois executantes batendo palmas, somente ritmo determina a estrutura da composição. Através da analogia entre os domínios das alturas e do ritmo, o ciclo métrico de Clapping Music apresenta doze classes de tempos, arranjadas em um sistema mod 12 e rotuladas de 0 a 11, no qual 0 representa o tempo forte notado. O padrão básico e seu eixo de simetria são mostrados na Figura 1. Cada módulo transposicional apresenta um compasso de doze tempos de colcheias, repetido doze vezes com as duas vozes em uma relação particular. O primeiro executante mantém o padrão rítmico básico através da peça inteira; o segundo executante move-se bruscamente, depois de doze repetições, de uníssono a um tempo para frente, então, depois de mais doze repetições, dois tempos para frente, e assim por diante, até que os dois executantes estejam de volta ao uníssono. A Figura 2 mostra os módulos transposicionais e as classes de tempos atacadas por cada voz de Clapping Music, acompanhados pelos cardinais dos conjuntos união, interseção e independentes, respectivamente, entre colchetes. Nessa figura e a partir dela, os módulos transposicionais são identificados rotulando-se cada uma de suas específicas transposições. Já que o padrão básico permanece não-transposto em uma das vozes, o rótulo para cada um dos módulos consiste de T0 seguido pelo índice de transposição que estiver interagindo no momento. Por exemplo, se o módulo envolvido apresentar o padrão básico sob T2, além é claro de T0, o rótulo para o módulo é T0,2.14

14 Esse sistema de notação foi inicialmente proposto por Dan Warburton, “A Working

Figura 1. Padrão básico de Clapping Music {0,1,2,4,5,7,9,10} e seu eixo de simetria

A principal diferença entre as mudanças bruscas de Clapping Music e as mudanças graduais características da música de Reich em suas primeiras peças com mudança de fase reside no fato que o processo de defasagem gradual permite ao ouvinte perceber um padrão “afastando-se” continuamente dele mesmo, com os próprios tempos separando-se e juntando-se novamente. Por outro lado, as mudanças bruscas das peças mais tardias criam uma cadeia de variações baseada em dois padrões fora de fase com os seus tempos sempre coincidindo. Entretanto, essa distinção entre as duas estratégias de defasagem não modifica as premissas do presente trabalho.15

Clapping Music usa um ciclo de doze classes de tempos, oito das quais são atacadas no padrão básico (Figura 1). O conjunto de classes de tempo (daqui em diante, “conjunto-ct”) formado por esses ataques é {0,1,2,4,5,7,9,10}, com vetor intervalar [456562].16 Esse conjunto-ct apresenta uma série de aspectos importantes: (1) ele é um conjunto I-simétrico (inversionalmente simétrico) com eixo de simetria nas classes 1 e 7 na forma não transposta do padrão básico; (2) ele é a única escolha entre todas as possíveis combinações de oito ataques e quatro pausas, dadas certas condições simples que serão explicadas abaixo; e (3) ele pode ser considerado uma escala “quase profunda”.17

Terminology for Minimal Music”, Intégral 2 (1988): 135-36.15 Paul Epstein sugere que “o processo de defasagem é ouvido em diversos estágios distintos. Inicialmente a impressão é de um aumento de ressonância, uma mudança de qualidade acústica somente. No próximo estágio pode-se ouvir as vozes separadamente: eco toma o lugar da ressonância. Em um dado momento a divisão irracional do tempo causada pelo eco apresenta uma complexidade rítmica hipnotizante. Quando as vozes estão quase separadas por 180º, ou uma metade do tempo, fora de fase, um dobramento do tempo é percebido; tem-se uma momentânea sensação de estabilidade, de uma simplificação da relação rítmica irracional ouvida previamente. Esse estágio é bastante breve e parece um daqueles momentos que parecem ocorrer repentinamente. A qualidade da defasagem rapidamente retorna e dura até que uma nova fase seja obtida” (Epstein, 496-97).16 Em alguns pontos desse trabalho, classes de tempo 10 e 11 serão representadas pelas letras “A”e “B”, respectivamente.17 Uma escala “quase profunda” é definida como um conjunto que resulta de uma adição ou subtração de exatamente um elemento de uma escala profunda.

3

012 45 7 9A012 45 7 9A

T0,0 [8/8/0]

012 45 7 9A01 34 6 89 B

012 45 7 9A 123 56 8 AB

T0,11 [12/4/8] T0,1 [12/4/8]

012 45 7 9A0 23 5 78 AB

012 45 7 9A0 234 67 9 B

T0,10 [11/5/6] T0,2 [11/5/6]

012 45 7 9A 12 4 67 9AB

012 45 7 9A01 345 78 A

T0,9 [10/6/4] T0,3 [10/6/4]

012 45 7 9A01 3 56 89A

012 45 7 9A 12 456 89 B

T0,8 [11/5/6] T0,4 [11/5/6]

012 45 7 9A0 2 45 789 B

012 45 7 9A0 23 567 9A

T0,7 [10/6/4] T0,5 [10/6/4]

012 45 7 9A 1 34 678 AB

T0,6 [12/4/8]

Figura 2. Módulos transposicionais de Clapping Music exibindo os cardinais de seus

conjuntos União, Interseção e Independentes

O primeiro aspecto (I-simetria) é significativo pois ele contribui para a unidade geral da composição. Um corolário de um teorema de John Rahn que lida exatamente com a união de conjuntos I-relacionados suportará esse ponto:18

Teorema 1: Seja S um conjunto I-simétrico. Então para qualquer n, S ∪ Tn(S) também é um conjunto I-simétrico.

Prova. As transposições de S não são distintas das inversões. Portanto, para cada Tn(S), existe um m tal que Tn(S) = Im(S). Já que, de acordo com o teorema de Rahn, S ∪ Im(S) é um conjunto I-simétrico, conclui-se que S ∪ Tn(S) também é um conjunto I-simétrico.

Dois outros teoremas, dados sem provas, incorporam os conjuntos definidos acima como conjuntos interseção e independentes:

Teorema 2: Seja S um conjunto I-simétrico. Então para qualquer n, S ∩ Tn(S) também será um conjunto I-simétrico.

Teorema 3: Seja S um conjunto I-simétrico. Então para qualquer n, [S ~ Tn(S)] ∪ [Tn(S) ~ S] também será um conjunto I-simétrico.

18 John Rahn, Basic Atonal Theory (Schirmer Books: New York, 1980), 93. A conexão com o teorema de Rahn assim como o método para a prova desse teorema foram sugeridos por John Clough.

Os teoremas aplicam-se ao contraponto de Reich e descrevem conjuntos I-simétricos relacionados por transposição. Consequentemente, todos os módulos transposicionais e seus conjuntos resultantes apresentam simetria inversional. A Figura 3 mostra os conjuntos união, interseção e independentes e seus respectivos cardinais em Clapping Music.

Figura 3. Conjuntos de classes de tempos em Clapping Music

Agora eu considero o segundo aspecto desse conjunto de classes de tempos: singularidade.

Existem 128 =495 arranjos possíveis para

oito palmas (notas) e quatro pausas dentro de um ciclo métrico de doze tempos.19 Obviamente, nem todas os arranjos apresentam o mesmo interesse e, musical; portanto, é bastante razoável propor-se um conjunto de restrições que tornam a escolha de Reich única, assumindo-se uma equivalência rotacional: (1) ele deve começar com uma palma e não com uma pausa, para marcar o início da peça; (2) ele deve ter tamanhos consecutivos de clusters de ataques (“clusters de notas”) em seu sistema modular – ou seja, cada cluster deve ser exatamente um maior ou um menor que seu vizinho imediato, separado por um número constante de pausas. Com essas restrições pode-se contar os arranjos

19 Para as formalidades matemáticas relacionadas a escolha desse padrão, veja Joel K. Haack, “Clapping Music – a Combinatorial Problem”, The College Mathematics Journal 22 (1991): 224-27. Minha discussão é em grande parte baseada no artigo de Haack.

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considerando-se as combinações de quatro pausas e

quatro grupos de palmas chegando a 84=70

possibilidades. Finalmente, dados oito ataques e quatro pausas, somente um conjunto-ct (e algumas de suas transposições) satisfaz ambas as condições acima, e é esse justamente a escolha de Reich para Clapping Music – {0,1,2,4,5,7,9,10} com sua progressão de clusters de ataques <3-2-1-2>.

A restrição (2) implica em uma característica regularidade – ou seja, um gradual aumento e diminuição no número de pontos de ataque restrito pelo sistema modular. Esse conjunto-ct, portanto, pode ser entendido como uma progressão aritmética oscilante de clusters de ataques. Uma construção passo a passo do conjunto de Reich através de uma combinação aditiva de colcheias e pausas de colcheias é mostrada na Figura 4.20

O terceiro e último aspecto – quase profundidade – desse conjunto-ct é bem mais sutil. Jeff Pressing (1983) mostrou que certas músicas de diferentes grupos étnicos apresentam evidência de isomorfismos cognitivos entre altura e tempo.21

Seguindo Pressing, o conjunto-ct {0,1,2,4,5,7,9,10} está aberto a uma fusão hipotética de suas duas primeiras classes de tempos, transformando-se no conjunto-ct {0,2,4,5,7,9,10}, com forma primária (013568A) e vetor intervalar [254361]. Essa transformação cria o conjunto diatônico, presente em muitas culturas inclusive a nossa. Pode ser que não seja uma coincidência que as composições de Reich utilizem material predominantemente diatônico no domínio das alturas.22 O conjunto diatônico é uma escala profunda bastante conhecida e amplamente estudada e, portanto, se a fusão for aceita como uma operação legítima, o conjunto-ct usado por Reich em Clapping Music é, realmente, uma escala quase profunda. Os isomorfismos entre altura e tempo podem ter ainda maiores consequências. De fato, o padrão básico de Clapping Music, com vetor intervalar [456562], é o único conjunto com cardinal 8 que minimiza somente as classes intervalares 1 e 6.23 Talvez essa observação reflita a aversão de Reich por essas duas

20 Michael Long chamou minha atenção para o fato de que um processo aditivo semelhante de combinação de padrões rítmicos é bastante comum no repertório do organum de Notre Dame, mais especificamente na música de Perotin (Michael Long, “Celestial Motion and Musical Structure on the Late Middle-Ages”, trabalho não publicado apresentado em fevereiro, 1993 na University of New Mexico, Albuquerque). É bastante curioso que Reich menciona seu apreço pela música de Perotin; veja Donald Henahan, “Reich? Philharmonic? Paradiddling?” New York Times, 24 October 1971: 13. É interessante mencionar que esse tipo de geração “algorítmica” também está presente em outras composições “minimalistas” como por exemplo em 1 + 1 de Philip Glass. Essa última peça consiste de duas células rítmicas, uma colcheia (grupo A) e uma colcheia mais duas semicolcheias (grupo B) que devem ser combinadas de uma maneira “progressiva e lógica”, de acordo com as instruções de Glass. Por exemplo, a sequência A, AB, ABB, ABBB, ABB, AB, A, AA, AAB, AABB, e assim por diante, é uma possível realização. 21 Jeff Pressing, “Cognitive Isomorphisms Between Pitch and Rhythm in World Musics: West Africa, the Balkans and Western Tonality”, Studies in Music 17 (1983): 45. Nesse trabalho, Pressing equaciona fusão e fissão com os processos musicais bastante comuns de “elisão” e “preenchimento”, respectivamente. Ele usa esses termos para casos exatamente nos quais um elemento é adicionado ou subtraído (veja sua nota 16).22 Quase todos os estudos sobre a música de Reich relacionam o material sonoro empregado com coleções modais tais como dórico, mixolídio, etc. Por exemplo, veja Schwarz, “Steve Reich”.23 Conjunto-ct [0123578A], com vetor de classes intervalares <465472>, também é I-simétrico; entretanto, ele minimiza as classes intervalares 1, 4 e 6. Conjunto-ct [0123568A], com vetor de classes intervalares <465562>, minimiza somente as classes intervalares 1 e 6; entretanto, ele não é I-simétrico.

classes intervalares, citada por Cohn, e também pode estar relacionada com o fato de que é virtualmente impossível encontrar-se mais do que três pontos de ataque consecutivos não separados por uma pausa em qualquer padrão rítmico da Africa Oriental.24

Figura 4. Combinação aditiva de clusters de ataques e pausas

no padrão básico de Clapping Music

O interesse de Reich pela música da Africa Oriental é bastante relevante aqui e sugere uma investigação mais aprofundada sobre possíveis conexões entre essa música e a escolha de Reich para os materiais composicionais da sua música com mudança de fase e mesmo para suas composições mais tardias.25

Usando os resultados obtidos acima quando necessário, eu passo agora a examinar Phase Patterns, apontando similaridades entre os padrões básicos das duas peças. Em Phase Patterns, para quatro órgãos eletrônicos, o material básico apresenta aspectos interessantes tanto de alturas como de ritmo. Para estabelecer uma comparação com Clapping Music, entretanto, somente os aspectos rítmicos serão estudados no momento.26 O padrão básico de Phase Patterns apresenta um ciclo métrico de oito classes de tempos, arranjadas em um sistema mod 8 e rotuladas de 0 a 7, no qual 0

24 Pressing, 48. 25 Para algumas observações sobre o interesse de Reich na música da Africa Oriental, veja K. Robert Schwarz, “Steve Reich: Music as a Gradual Process, Part 2”, Perspectives of New Music 20 (1981): 234.26 Para um estudo mais detalhado dos aspectos de alturas de Phase Patterns, veja Cohn, “Transpositional Combinations”.

5

corresponde ao tempo forte notado. O padrão básico e seu eixo de simetria são mostrados na Figura 5. Usando o padrão básico {0,2,3,5} em conjunção com sua transposição T4 (ou seja, {1,4,6,7}), Reich utiliza como material básico para a composição um rudimento do estudo de percussão ocidental conhecido como paradiddle: EDEEDEDD, onde E e D são as mãos esquerda e direita, respectivamente.27

Figura 5. Padrão básico de Phase Patterns {0,2,3,5} e seu eixo de simetria

O processo empregado em Phase Patterns funciona da maneira explicada abaixo. A peça começa com o executante 1 apresentando o padrão do paradiddle sobre oito tempos. A partitura então mostra o executante 2 começando em uníssono com o executante 1; eles repetem o mesmo padrão do paradiddle diversas vezes. Depois disso, enquanto o executante 1 continua como antes, o executante 2 gradualmente acelera seu andamento e lentamente se move um tempo a frente do executante 1. Esse processo é repetido até que cada executante inicie seu padrão exatamente no ponto intermediário do padrão do outro (ou seja, o executante 1 toque EDEEDEDD contra DEDDEDEE do executante 2). Eles estão agora 180º fora de fase, ou seja, em oposição de fase. Durante esse processo, os executantes 3 e 4 devem intervir com padrões resultantes – ou seja, partes da combinação dos executantes 1 e 2 executando o mesmo padrão de paradiddle um ou mais tempos fora de fase. Um padrão resultante deve se conformar com os materiais sonoros dos executantes 1 e 2; entretanto, Reich especifica que eles não precisam se limitar a apenas um compasso de extensão. Quando os executantes um e dois alcançam a relação de oposição de fase, como descrito acima, eles são “dobrados” pelos executantes 3 e 4, respectivamente. Algumas repetições depois, os executantes 1 e 2 largam a textura gradualmente deixando os executantes 3 e 4 sozinhos em uma espécie de pedal de EDEEDEDD combinado com DEDDEDEE. De repente, entrando bruscamente, o executante 1 introduz o padrão do paradiddle em uníssono rítmico com o executante três. Algumas repetições mais tarde, o executante 2 junta-se ao executante 1 em uníssono rítmico e novamente, enquanto o executante 1 permanece

27 Reich, 55-56.

constante, o executante 2 gradualmente acelera seu andamento e lentamente se move um tempo a frente do executante 1. Novamente esse processo é repetido até que os executantes estejam em oposição de fase – ou seja, o executante 1 ainda tocando EDEEDEDD enquanto o executante 2 toca DEDDEDEE, em uníssono rítmico com os executantes 3 e 4, respectivamente. Após as repetições necessárias desse último compasso, todos os executantes terminam a música juntos.

Examinando novamente o padrão do paradiddle – ou seja, a combinação de T0 e T4 do padrão básico {0,2,3,5} – é bastante claro que essa relação transposicional já implica em uma mudança de fase no tempo em um nível microestrutural: as duas mãos do executante 1 sempre realizam duas transposições de {0,2,3,5} relacionadas pelo intervalo 4, da mesma maneira que o fazem as duas mãos do executante 2. Na partitura, essa mudança característica do padrão de paradiddle apresenta seis combinações diferentes de mãos entre os executantes 1 e 2 que, na maior parte da composição, realizam a mudança de fase propriamente descrita. Essas combinações são as seguintes: E1D1, E2D2, E1E2, D1D2, E1D2 e D1E2.28

As combinações E1D1, E2D2 são consideradas triviais já que durante o processo de defasagem elas permanecem as mesmas.

A Figura 6 mostra uma versão reduzida de Phase Patterns baseada na combinação das mãos esquerdas dos executantes 1 e 2 – ou seja, E1E2.

0 23 50 23 5

T0,0 [4/4/0]

0 23 5 12 4 7

0 23 5 1 34 6

T0,7 [7/1/6] T0,1 [7/1/6]

0 23 501 3 6

0 23 5 2 45 7

T0,6 [6/2/4] T0,2 [6/2/4]

0 23 50 2 5 7

0 23 50 3 56

T0,5 [5/3/2] T0,3 [5/3/2]

0 23 5 1 4 67

T0,4 [8/0/8]

Figura 6. Módulos transposicionais de Phase Patterns exibindo os cardinais de seus

conjuntos União, Interseção e Independentes

Essa redução para duas mãos, mostrando os módulos transposicionais e as classes de tempos atacadas, difere da composição original em um detalhe importante: ela continua depois do módulo T0,4 com T0,3, T0,2, T0,1, e finalmente 28 Letras maiúsculas E e D indicam as mãos esquerda e direita dos executantes, respectivamente. Os índices indicam o número dos executantes. Portanto, E1E2 indica a combinação entre as mãos esquerdas dos executantes 1 e 2, e E1D2 indica a combinação entre a mão esquerda do executante 1 e a mão direita do executante 2, etc.

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retomando o uníssono com T0,0. Esse final hipotético é bastante útil para estabelecer-se uma comparação com Clapping Music. A Figura 7 mostra todos os conjuntos união, interseção e independentes com seus respectivos cardinais. Essa lista de conjuntos é obviamente baseada na versão reduzida da composição mostrada na Figura 6.

A Figura 8 mostra, entretanto, como esse modelo hipotético de um ciclo completo do padrão básico representa a sequência de módulos transposicionais para as quatro combinações de mãos não triviais entre os executantes 1 e 2. A leitura de ambos os esquemas deve ser feita no sentido anti-horário, como indicado pela setas. O primeiro esquema, começando as “doze horas” e as “seis horas”, pode representar a partitura sob o ponto de vista das combinações E1E2 e D1E2, respectivamente. Do mesmo modo, o segundo esquema, começando as “doze horas” e as “seis horas”, pode representar a partitura totalmente transposta pelo intervalo 4 – ou seja, sob o ponto de vista das combinações D1D2 e D1E2, respectivamente.29

Figura 7. Conjuntos de classes de tempos em Phase Patterns

Essa sequência de módulos transposicionais mostra, por exemplo, que no início da composição, E1E2 estão em T0,0 enquanto D1E2,

29 John Clough chamou minha atenção para o esquema interpretando a realização hipotética de Phase Patterns apresentado como Figura 8.

estão em T0,4, ou seja, em oposição de fase. Pode-se dizer que no início da composição o processo de defasagem já está, de certo modo, no meio do caminho. O que ocorre é que o final da composição de fato – que, diferente de outras peças com mudança de fase ideais, não apresenta um ciclo completo entre todos os níveis transposicionais – representa um ciclo completo camuflado entre todos os níveis transposicionais. O fato do paradiddle já apresentar uma mudança de fase dentro dele mesmo pode ter sido uma possível razão para Reich não ter achado necessário apresentar um ciclo completo para Phase Patterns.30

Figura 8. Phase Patterns: sequências de módulos transposicionais para as quatro

combinações não triviais de mãos, executantes 1 e 2

Retornamos agora ao problema dos conjuntos-ct formados pelos quatro ataques de cada mão. Esses conjuntos, {1,4,6,7} e {0,2,3,5}, têm forma primária (0235) com vetor intervalar [1230].31

Essa forma primária tem alguns aspectos já examinados em Clapping Music: (1) ela é um conjuntos I-simétrico com eixo de simetria entre os pares de tempos 2/3 e 6/7 na forma não transposta do padrão básico; (2) ela é uma escolha única entre todas as possíveis combinações de quatro ataques e quatro pausas, dadas certas restrições que serão explicadas abaixo; (3) ela é uma escala profunda e pode ser considerada um conjunto quase diatônico. Discutiremos cada um desses aspectos em detalhes.

Novamente, simetria inversional contribui para a unidade e coerência da composição. Os teoremas apresentados anteriormente também se aplicam aqui já que os dois conjuntos-ct que iniciam a composição introduzem o contraponto de dois conjuntos I-simétricos relacionados por transposição. Além disso, os módulos

30 Isso não ocorre em Clapping Music pois seu padrão básico deve necessariamente passar por todo o ciclo transposicional antes de retornar a sua forma original.31 A forma primária e o vetor intervalar são encontrados adaptando-se as convenções da teoria atonal dos conjuntos para o universo mod 8.

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transposicionais que se seguem são obviamente relacionados pelos teoremas 1, 2 e 3 – ou seja, todos eles são casos de conjuntos I-simétricos relacionados por transposição. Consequentemente, todos os módulos transposicionais e seus conjuntos resultantes têm a mesma propriedade que o padrão básico: todos eles apresentam simetria inversional.

O segundo aspecto desse conjunto-ct, singularidade, resulta de uma escolha muito

cuidadosa. Existem 84=70 arranjos possíveis

de quatro ataques (notas) e quatro pausas em um ciclo métrico de oito tempos. Como em Clapping Music, nem todas as combinações apresentam o mesmo interesse musical; portanto, é novamente razoável propor-se um conjunto de restrições que fazem a escolha de Reich única, assumindo-se uma equivalência rotacional: (1) ele deve começar com um ataque e não com uma pausa para indicar o início da peça; (2) ele deve ter tamanhos consecutivos de clusters de pausas em seu sistema modular – ou seja, cada cluster deve ser exatamente um maior ou um menor que seu vizinho imediato, separado por um número constante de ataques. Dados quatro ataques e quatro pausas, somente o conjunto-ct {0,2,3,5}, com a sequência <0-1-2-1-0-1-2-1-...> de clusters de pausas (um ataque, nenhuma pausa, um ataque, uma pausa, um ataque, duas pausas, um ataque, e assim por diante), satisfaz essas condições e esse é o conjunto escolhido por Reich em Phase Patterns.

Condição (2) também implica em uma característica “regularidade”, mas dessa vez ela apresenta um gradual aumento e diminuição no número de pausas restrito pelo mod 8. Esse conjunto-ct, também, pode ser entendido como uma progressão aritmética oscilante de clusters de pausas seguindo o modelo realizado em Clapping Music. Uma construção passo a passo do conjunto de Reich através de uma combinação aditiva de colcheias e pausas de colcheias é mostrada na Figura 9.

O último aspecto desse conjunto-ct se relaciona novamente com aspectos de isomorfismos cognitivos entre alturas e ritmos. Como Cohn observa, o conjunto-ct {0,2,3,5}, com vetor intervalar [1230], é uma escala profunda em seu sistema modular.32 Entretanto, ele não é um conjunto diatônico mod 8. Esse problema pode ser facilmente corrigido por uma manipulação que Pressing (1983) denomina fissão. Esse processo adiciona uma outra classe de tempo ao conjunto original transformando-o no conjunto-ct {0,2,3,5,7}, com vetor intervalar [2341], um conjunto diatônico em seu sistema modular.33 Isso sugere uma afinidade entre materiais de alturas e de ritmos empregados em Phase Patterns.

32 Veja também Gamer, 41.33 A definição de conjunto “diatônico” usada aqui segue aquela proposta por John Clough e Jack Douthett, “Maximally Even Sets”, Journal of Music Theory 35 (1992): 122-44. Eles caracterizam conjuntos diatônicos como aqueles com exatamente um trítono e distribuição regular máxima em universos cromáticos nos quais o número de classes de alturas é um múltiplo de 4.

Figura 9. Combinação aditiva de clusters de pausas e ataques no padrão básico de Phase

Patterns

O conjunto de classes de alturas usado através da composição inteira é {0,2,4,6,7,11}, de forma primária (013578), com vetor intervalar [232341], mod 12.34 Além de ser um conjunto I-simétrico em seu universo modular, a armadura de clave com um sustenido sugere a coleção {E, F#, G, A, B, C, D} para a composição, possivelmente indicando o modo de Mi eólio.

As observações anteriores com relação aos conjuntos-ct empregados em ambas as peças devem ser suficientes para mostrar que eles apresentam os mesmos aspectos importantes em seus materiais rítmicos e que as escolhas de Reich podem ser o resultado de um planejamento cuidadoso que, realmente, está próximo a “segredos de estrutura”. Até agora discutimos como a simetria inversional presente em conjuntos-ct é refletida em um nível de estrutura baixo (ou seja, módulos transposicionais que são eles próprios estruturas I-simétricas). A seguir tento mostrar que essa mesma simetria inversional está realmente presente, ou pelo menos potencialmente presente, em um nível estrutural mais alto: o nível formal em larga-escala.

34 Como convenção adotamos a classe de altura C = 0.8

Forma e Processo: conjuntos união, interseção e independentes de pontos de ataques

A ideia principal por trás da música de Reich é que elas começam com a apresentação do padrão básico sozinho ou em uníssono entre as vozes interagindo no momento. Após as requeridas repetições do módulo inicial, os módulos subsequentes apresentam o padrão básico em cânone com suas transposições um tempo a frente, dois tempos a frente, e assim por diante. Esse processo geralmente continua através de um ciclo completo de todos os módulos transposicionais, finalmente retomando o módulo inicial para terminar a peça em uníssono. Está claro que, não importando que padrão básico seja utilizado, a segunda metade de tal composição é sempre uma forma retrogradada da primeira metade – ou seja, ela apresenta uma estrutura formal de palíndromo. O ponto médio de Clapping Music é alcançado com T0,6, e o ponto médio hipotético de Phase Patterns é alcançado com T0,4. Essa observação suporta o argumento de que os níveis estruturais mais baixos (padrão básico e módulos transposicionais) estão intimamente relacionados com o nível mais alto da estrutura.

De acordo com Cohn, existem claramente dois estágios envolvidos no processo de defasagem: (1) a progressão para o próximo nível que consiste de uma mudança gradual ou brusca (como em Phase Patterns e Clapping Music, respectivamente); e (2) um prolongamento que consiste da sonoridade de cada novo módulo transposicional.35 As seções de prolongamentos das duas composições produzem três tipos diferentes de conjuntos-ct de densidades de pontos de ataques variáveis: conjuntos união, conjuntos interseção e conjuntos independentes, definidos anteriormente. As três estruturas produzidas por esses conjuntos apresentam resultados semelhantes em relação ao palíndromo em larga-escala que constitui a forma das duas composições (veja as Figuras 3 e 7 acima). No entanto, a utilização dos conjuntos união na maioria dos casos apresenta uma porção relativamente grande do universo modular. Já que, através de ambas as composições, cada classe de tempo é quase sempre atacada por pelo menos um executante, a experiência auditiva baseada nos conjuntos união não oferece uma clara diferenciação entre os vários módulos transposicionais. Conjuntos independentes oferecem um problema diferente. A experiência baseada nesses conjuntos está intimamente relacionada a experiência auditiva pessoal – ou seja, as diferentes linhas que alguém decida escutar. Portanto, depende de critérios analíticos não muito sólidos. Além disso, Reich emprega instrumentos de timbre semelhante em cada uma de suas peças com mudança de fase, complicando, portanto, a tarefa de apreender somente esses conjuntos formados por

35 Seguindo Cohn, eu uso o termo prolongamento para a sonoridade estabelecida por cada novo módulo transposicional.

classes de tempos atacadas independentemente.Consequentemente, essa parte do

trabalho focaliza na estrutura formal produzida pelos conjuntos interseção. Esses conjuntos são relevantes através das composições por uma simples razão: eles recebem reforço tanto textural como dinâmico. Conjuntos interseção são relacionados por meio do conhecido teorema de notas comuns sob transposição: se um conjunto é transposto por um intervalo n, o número de notas comuns entre o conjunto original e sua transposição é igual ao número de vezes que o intervalo n ocorre no conjunto (exceto para o trítono no qual o número de notas comuns é o dobro do número de ocorrências no vetor intervalar). Note que os cardinais dos conjuntos interseção, exceto para o primeiro e último módulos transposicionais, refletem o conteúdo intervalar dos padrões básicos (veja os vetores intervalares para os os padrões básicos de ambas as peças, mencionados anteriormente). Como já foi demonstrado na segunda parte do trabalho, para seções complementares em seus respectivos sistemas modulares, os conjuntos-ct não somente apresentam os mesmos cardinais mas também são equivalentes sob transposição. Para qualquer conjunto S e qualquer nível transposicional n, S ∪ Tn(S) e S ∪ Tm- n(S) são equivalentes sob transposição onde m é o tamanho do universo.

A Figura 2 acima mostra os módulos transposicionais e as classes de tempos atacadas em Clapping Music. Os cardinais dos conjuntos interseção são dados como os números intermediários entre colchetes. Exceto para o módulo transposicional T0,0, esses cardinais vão de 4 a 6 – 4, 5 ou 6 pontos de ataque em comum por conjunto-ct. É óbvio que essa série progride geralmente de mínimo para máximo e então retorna para um mínimo exatamente no ponto médio da peça. Depois disso, como uma imagem espelhada da primeira metade, ela salta de volta para máximo e regressa para mínimo pontos de ataque em comum.

A Figura 6 acima, a redução de Phase Patterns, mostra os cardinais dos conjuntos interseção (o número intermediário entre colchetes como já mostrado em Clapping Music). Exatamente como na composição precedente, os cardinais vão de mínimo a máximo, 1 até 3 pontos de ataque em comum. As únicas exceções, como já esperado, são T0,0 e T0,4 – as extremidades e o ponto médio hipotético, respectivamente. Também como já era esperado, os cardinais da segunda metade inteira são imagens espelhadas daquelas apresentadas na primeira metade.

As Figuras 3 e 7 acima suportam uma importante, talvez não tão óbvia, generalização sobre os cardinais dos conjuntos-ct das composições: para cada módulo transposicional, o cardinal do conjunto união é igual a soma dos cardinais dos conjuntos interseção e independente.36

36 Cohn observou uma relação equivalente em Phase Patterns. Ele equaciona o número total de tempos atacados por compasso, que somam 8, com a série de ataques

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Essa relação efetiva uma proporção inversa entre o número total e o número em comum de pontos de ataque para cada módulo transposicional.

Em Clapping Music, o número de pontos de ataque comuns varia de 4 a 6 e o número total de pontos de ataque varia de 10 a 12. Módulos transposicionais T0,11 e T0,1 apresentam um total de doze pontos de ataque e quatro pontos de ataque em comum – máximo e mínimo, respectivamente. As únicas exceções são os primeiro e último módulos transposicionais (T0,0) que apresentam o mesmo número de pontos de ataque total e em comum.

Em Phase Patterns, o número de pontos de ataque comuns varia de 0 a 4 e o número total de pontos de ataque varia de 4 a 8. Módulos transposicionais T0,7 e T0,1 apresentam um total de sete pontos de ataque e um ponto de ataque em comum – máximo e mínimo, respectivamente. Novamente, as únicas exceções são os primeiro e último módulos transposicionais (T0,0) que apresentam o mesmo número de pontos de ataque total e em comum.

A informação sobre os cardinais, por mais óbvia que seja, reflete algumas referências importantes para o ouvinte dessa música. No presente estudo, os conjuntos interseção da finalização hipotética de Phase Patterns (que representam pelo menos uma diferença bastante óbvia em níveis dinâmicos e texturais criados por pontos de ataques simultâneos) delineiam uma estrutura formal em larga-escala bastante clara: (1) sem tempos em comum em T0,4 como consequência do movimento de variedade máxima (c = 0) para mínima (c = 4); e (2) uma simetria “potencial” em relação a T0,4 como consequência da finalização hipotética do ciclo inteiro.37 O estudo de Cohn sobre os conjuntos união como um padrão da frequência total de pontos de ataque apresenta uma estrutura formal que tem características teleológicas semelhantes: (1) sem tempos em comum em T0,4 (ou complemento do agregado) como consequência do movimento de variedade mínima (c = 4) para máxima (c = 8); e (2) simetria em T0,6 como consequência da sucessão de intervalos adjacentes apresentada pela metade do ciclo. Os cardinais dos conjuntos união são 4, 7, 6, 5 e 8 com sucessão intervalar <3-1-1-3>.38

Resumindo, as descobertas dessa porção do trabalho mostram que ambas as peças apresentam quantidades de pontos de ataques que podem ter relação com a estrutura interna de seus

comuns através de suas regiões (4, 1, 2, 3, 0) mais a série total de ataques (4, 7, 6, 5, 8).37 A simetria aqui é vista como potencial pois, como mencionado acima, ela não ocorre realmente na música como um ciclo completo. É concebível, entretanto, que Reich tenha percebido que no ponto médio T0,4 = T0,0, de certo modo, o ciclo estivesse completo “através da música ouvida”. As semelhanças entre os conjuntos-ct empregados em Clapping Music e em Phase Patterns são, no entanto, relevantes simplesmente pois, de acordo com o próprio Reich, “conteúdo sugere forma” – ou seja, conjuntos-ct que são palíndromos e módulos transposicionais podem sugerir uma forma de palíndromo em larga-escala. Além disso, de acordo com Reich, “forma sugere conteúdo” – ou seja, qualquer conjunto-ct produziria uma forma de palíndromo em larga-escala se fosse transposto ciclicamente contra todas as suas transposições. Entretanto, parece bastante relevante e completamente de acordo com as observações de Reich que os conjuntos-ct escolhidos sejam eles mesmos palíndromos.38 Cohn desconsidera resultados obtidos pela “variação na frequência de ataques em comum” (ou simplesmente, conjuntos interseção) pois, de acordo com ele, “...variações em dobramentos parecem ser menos perceptíveis do que aquelas de frequência em pontos de ataque” (“Transpositional Combination”, 157).

padrões básicos e que a variedade obtida através das diferentes quantidades (variações entre os números máximo e mínimo de pontos de ataque) indica a possibilidade de um desejo do compositor (talvez subconsciente) em criar diversas estruturas formais em larga-escala dentro dos critérios da técnica de mudança de fase.

Não importa o caminho escolhido para explorar essa música, eles sempre levam a uma perspectiva muito diferente daquela comumente associada à música de Steve Reich. O compositor está consciente daquilo que o processo oferece e, de uma maneira tradicional, escolhe o padrão básico quase como um tema para ser desenvolvido através da composição. O produto final é um retrato desse tema em uma escala ampliada e o caminho escolhido para alcançar esse retrato, com seus diversos desvios, é essencialmente uma abordagem ocidental tradicional para criação de música.

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