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Sinais e Sistemas Unidade 2 ‐ Conceitos de Matemática de Variável Complexa Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. [email protected] Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. [email protected]
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Sinais e SistemasUnidade 2 ‐
Conceitos de Matemática de
Variável Complexa
Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]
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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução
•
Propriedades dos números complexos
•
Operações com números complexos
•
Fundamentos axiomáticos
•
Funções de variável complexa
•
Funções harmônicas complexas
•
Resíduos e pólos
Conteúdo da unidade
Aula 01
Aula 02
Aula 03
1/5
3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 03
•
Resíduos e Pólos–
Derivadas
–
Funções analíticas e equações de Cauchy‐Riemann–
Pontos singulares (pólos e zeros)
–
Definição de resíduos–
Cálculo de resíduos
–
O teorema do resíduo
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Resíduos e Pólos
•
Seja f(z) uma função definida na região R
do plano z.A derivada
de f(z) é
definida por
•
Se f(z) é
derivável em z, dizemos que f(z) é
contínua
em z
•
OBS:
As regras de derivação e as derivadas elementares são as mesmas do Cálculo
Derivada
0
' limz
f z z f zf z
zΔ
ΔΔ
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Resíduos e Pólos
•
Interpretação geométrica–
Seja z0
um ponto no plano z
e wo
sua imagem no plano w
sob a transformação w
= f(z)
0
' '' lim lim
z Q P
f z z f z Q Pf z
z QPΔ
ΔΔ
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Resíduos e Pólos
•
Dizemos que uma função f(z) é
analítica
num ponto z0
, se existir um tal que f’(z) exista para todo z
com
Funções Analíticas
Se a derivada Se a derivada ff’’((zz))
existeexiste
em todos os pontos de em todos os pontos de zz
de uma de uma região região RR, então , então ff((zz) ) éé
analanalííticatica
em em RR..
0δ 0z z δ
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•
Pólos:Se existe um inteiro positivo n
tal que
então z
= z0
é dito um pólo de ordem n
•
Zeros:
Se , onde e n
é um inteiro
positivo, então z
= z0
é dito um zero de ordem n de
g(z)
Resíduos e Pólos
Um ponto no qual Um ponto no qual ff((zz))
não não éé
analanalííticatica
éé
dito um dito um ponto singularponto singular
ou uma singularidade de ou uma singularidade de ff((zz))
0ng z z z f z 0 0f z
Pontos singulares
0
0lim 0n
z zz z f z
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•
Exemplos–
Calcular os pólos
das seguintes funções e informar sua ordem ou
multiplicidade
Resíduos e Pólos
3
2
1a)
23 2
b) 1 1 2 4
f zz
zf z
z z j z
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0
1 0limz z
a z z f z
•
Cálculo de resíduos–
Para obter o resíduo de uma função f(z) em z
= zo
, deveríamos expandir f(z) em série de Laurent em torno de z
= z0
.–
Caso z
= z0
é um pólo de ordem n
de f(z), o resíduo pode ser calculado por:
–
Se n
= 1
(pólo simples), então:
Resíduos e Pólos
0
1
1 011
lim1 !
nn
nz z
da z z f z
n dz
Resíduos
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•
Exemplos–
Calcular os resíduos
da seguinte função
–
OBS: Primeiro calcular os pólos
Resíduos e Pólos
21 1
zf z
z z
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•
Seja C uma curva fechada, R
uma região limitada por C
e f(z) uma função analítica em C
U
R, exceto nas singularidades a, b,
c, ... , pertencentes a R
e que possuem resíduos a‐1
, a‐2
, a‐3
, ...
•
Então, o teorema do resíduo
estabelece que:
Resíduos e Pólos
O teorema do resíduo
1 1 12C
f z dz j a b cπ
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[1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw‐Hill do Brasil, 1973.
[2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw‐Hill, 1996.
Bibliografia
