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Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros Fundação Educacional Montes Claros Sinais e Sistemas – Fundamentos

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Sinais e Sistemas

Renato Dourado Maia

Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros

Fundação Educacional Montes Claros

Sinais e Sistemas – Fundamentos

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Conjuntos de Números e Equações Números Inteiros Positivos:

Números Inteiros Negativos:

Números Fracionários:

Números Complexos:

1 0 1x x− = ⇒ =

1 0 1x x+ = ⇒ = −

2 1 0 1 2x x− = ⇒ =2 1 0 1x x+ = ⇒ = ± −

VOCÊS JÁ OUVIRAM FALAR DE NÚMEROS PERPENDICULARES?

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Números Perpendiculares??? 0 1e =

cos( ) sin( )je jθ θ θ= +

2j

e jπ

=

1je π = −

Gauss disse que, caso a nomenclatura número perpendicular tivesse sido utilizada no lugar de número complexo/imaginário, os

entraves encontrados para a aceitação dos números complexos teriam sido evitados...

RELAÇÃO DE EULER?

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Relação de Euler

cos( ) sin( )je jθ θ θ= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2 4 6 8

3 5 7

12! 3! 4! 5! 6!

12! 3! 4! 5! 6!

12! 4! 6! 8!

3! 5! 7!

θ θ θ θ θ θθ

θ θ θ θ θθ

θ θ θ θθ

θ θ θθ θ

= + + + + + + +

= + − − + + − − = − + − + − = − + − +

j j j j j je j

j j j

cos

sen

S É R I E D E M A C L A U R I N

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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

Casos a serem considerados:

( ) , α α= tx t e e são números complC C exos

1: Caso e são números reais EXPONENCIAL ALC REα →

2 :

Caso é puramente imaginário EXPONENCIALCOMPLEXA PERIÓDICA

α →

3 : 1 2Caso e são complexos misto dos ca sC so eα →

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

1: ( ) , α α= tCaso x t e e são númeroC sC reais

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

t

x(t)

Exponencial Crescente - Alfa = 1 e C = 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

t

x(t)

Exponencial Decrescente - Alfa = -1 e C = 1

Script em Matlab: M_4_SinaisFundamentosProg1.m

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002 : ( ) , 1 ω α ω= = =j tCaso x t Ce e j

O SINAL É PERIÓDICO? 0 0 0 0( )Tj t j t j t j Te e e eω ω ω ω+= =

0 1Tje ω = CONDIÇÃO DE PERIODICIDADE

00

02 , 0T ωωπ

= ≠PERÍODO FUNDAMENTAL:

0

0

é a frequência fundamentalHá periodicidade para qualquer valor de

ωω

∴∴

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

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00 2 : : ( ) , 1 ( ) j ttCaso imaginário puro x t e x tCe jC e ωαα α ω= = = → =

RELAÇÃO DE EULER? 00 0cos( ) sin( )j te t j tω ω ω= +

0( )0cos( ) Re{ }j tC t C e ω φφω ++ =

0( )0sin( ) Im{ }j tC t C e ω φφω ++ =

A PARTE REAL É UMA COSSENOIDE, E A PARTE IMAGINÁRIA É UMA SENOIDE...

00 0cos( ) sin( )j tCe C t jC tω ω ω= +

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

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00 2 : ( ) , 1 ( ) j ttCaso x t e e j xC C t eα ωα ω= = = → =

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

t

Parte

Rea

l

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

t

Parte

Imag

inár

ia

Script: M_4_SinaisFundamentosProg2.m

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

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-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parte Imaginária

Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde

Tempo (s)

Parte

Rea

l

Script: M_4_SinaisFundamentosProg2.m

00 2 : ( ) , 1 ( ) j ttCaso x t e e j xC C t eα ωα ω= = = → =

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

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FASOR

0( )( ) j tx t Ce ω φ+=

Real Im

agin

ário

0tω φ+

C

O que acontece com o fasor com o passar do tempo, considerando frequência positiva?

Vejamos uma animação em Java...

00 0

( ) cos( ) sin( )j te tC C Cj tφω ω φ φω+ = + + +Forma Polar

Forma Retangular

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

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0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Um sinal senoidal com frequência constante é ob-tido com a projeção no eixo vertical do vetor que descreve um movimento circular uniforme.

É importante entender e visualizar a função senoidal como sendo um sinal, e não apenas como uma relação proporcional entre os

lados de um triângulo!

Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos (0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( )t j tC Caso x t e e j x t eCα α += = = + → =

Script: M_4_SinaisFundamentosProg3.m

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-5

0

5

t

Parte

Rea

l

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2

4

6

t

Parte

Imag

inár

ia

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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -4

-2

0

2

4

6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Parte Imaginária

Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde

Tempo (s)

Parte

Rea

l

Script: M_4_SinaisFundamentosProg3.m

(0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( )t j tCaso x C Ct e e j x t eα α += = = + → =

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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

Script: M_4_SinaisFundamentosProg4.m

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

Parte

Rea

l

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2

t

Parte

Imag

inár

ia

( 0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( ) t j tCaso x t e e j x t eC Cα α − += = = − + → =

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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -2

-1

0

1

2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Imaginária

Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde

Tempo (s)

Parte

Rea

l

Script: M_4_SinaisFundamentosProg4.m

( 0.05 2 ) 3 : ( ) , 1 0.05 2 ( )t j tCaso x t e e j x t eC Cα α − += = = − + → =

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Sinais Exponenciais e Senoidais Contínuos

“The Complex Exponential" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/TheComplexExponential/

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

Casos a serem considerados:

1: Caso e são números reais EXPONENCIAL ALC REα →

[ ] ( ) , β βα αα= = =n nx n e C e são números complexos eC eC

2 : : 1

Caso é puramente imaginário EXPONENCIAL

COMPLEXA PERIÓDICA

αβ = →

OS CASOS 2 E 3 SÃO PERFEITAMENTE ANÁLOGOS AOS EQUIVALENTES CONTÍNUOS!

3 : Caso e são compl sC exoα

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

1:

1:

crescente

decrescente

α

α

>

<

. , Se é negativo há alternância de sinalα

1: [ ] ( ) , n nCaso x n eC CC e são números reaisβ α α= =

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

[ ] ( ) , β α α= =n nx n e e são números rC C C eais

Script: M_4_SinaisFundamentosProg5.m

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

n

x[n]

Exponencial Descrescente - C = 1 e Alfa = 0.85

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

n

x[n]

Exponencial Crescente - C = 1 e Alfa = 1.2

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

Script: M_4_SinaisFundamentosProg5.m

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

8

n

x[n]

Exponencial Crescente Alternada - C = 1 e Alfa = -1.2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6

n

x[n]

Exponencial Decrescente Alternada - C = 1 e Alfa = -0.85

[ ] ( ) , β α α= =n nx n e e são números rC C C eais

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

00 2 : [ ] , 1 [ ] j nnCaso x n e e j xC C n eα ωα ω= = = → =

Script: M_4_SinaisFundamentosProg6.m

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

n

Parte

Rea

l

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

n

Parte

Imag

inár

ia

Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Script: M_4_SinaisFundamentosProg6.m

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parte Imaginária

Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde

n

Parte

Rea

l

Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos 0

0 2 : [ ] , 1 [ ] j nnCaso x n e e j xC C n eα ωα ω= = = → =

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

Script: M_4_SinaisFundamentosProg7.m

(0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ]n j nC Caso x n e e j x n eCα α += = = + → =

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-6

-4

-2

0

2

4

n

Parte

Rea

l

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2

4

6

n

Parte

Imag

inár

ia

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

Script: M_4_SinaisFundamentosProg7.m

(0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ]n j nCaso x C Cn e e j x n eα α += = = + → =

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -4

-2

0

2

4

6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Parte Imaginária

Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde

n

Parte

Rea

l

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

Script: M_4_SinaisFundamentosProg8.m

( 0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ] n j nCaso x n e e j x n eC Cα α − += = = − + → =

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

Parte

Rea

l

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

n

Parte

Imag

inár

ia

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Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

Script: M_4_SinaisFundamentosProg8.m

( 0.05 2 ) 3 : [ ] , 1 0.05 2 [ ] n j nCaso x n e e j x n eC Cα α − += = = − + → =

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -2

-1

0

1

2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Imaginária

Complexo - Azul Real - Vermelho Imaginário - Verde

n

Parte

Rea

l

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0 0 0( 2 ) 2j n j n j nj ne e e eω ωπ ωπ+ = =

Exponenciais nas frequências e são iguais... 0ω 0 2ω π+

0 0 0( 2 ) 2 , 0, 1, 2,...j k n j n j nj k ne e e e kπ πω ω ω+ = = = ± ±

SÓ É NECESSÁRIO SER CONSIDERADO NA FREQUÊNCIA UM INTERVALO DE TAMANHO , USUALMENTE: 2π

0 00 2 , π πω πω≤ < − ≤ <

Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

00[ ] , 1 j n Cx n e e jω β ω= = =

O SINAL É PERIÓDICO? 0 0 0 0( )Nj n j n j n j Ne e e eω ω ω ω+= =

0 1Nje ω = CONDIÇÃO DE PERIODICIDADE

00 2

2N mm

Nωπωπ

= =

0

2ωπ

DEVE SER RACIONAL PARA O SINAL SER PERIÓDICO

Sinais Exponenciais e Senoidais Discretos

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Harmônicas – Caso Contínuo Condição de periodicidade: 0 1ω =j Te

001, 2 , 0, 1, 2,...ω πω= = = ± ±j Te k kT

00

2ω π=

TFREQUÊNCIA

FUNDAMENTAL:

O conjunto de exponenciais complexas com fre-quências que são múltiplas da frequência funda-mental é chamado de conjunto de harmônicas:

0( ) , 0, 1, 2,...jk tk t e kωφ = = ± ±

Cada harmônica tem frequência fundamental e período fundamental

0ωk0T k

HÁ INFINITAS HARMÔNICAS DISTINTAS!!!

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Harmônicas – Caso Discreto Analogamente ao caso contínuo:

(2 )[ ] , 0, 1, 2,...jk nk

Nn e kπφ = = ± ±

( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]j k nN N Njk n nk kN

jn e e e nπ π πφ φ++ = = =

HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!!

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A Harmonia da Natureza O conceito de Sinal Harmônico está relacionado

com o Movimento Circular Uniforme em que a ve-locidade de rotação é constante.

A natureza é harmônica:

Muitos processos naturais exibem movimentos harmôni-cos simples!

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A Harmonia da Natureza

Os pitagorianos pregavam que sons harmoniosos são

produzidos na proporção

Pitágoras (580-500 A.C.)

, 1, 2,31

n nn

=+

Ilustração medieval de experimentos atribuídos a Pitágoras na busca por

notas musicais harmoniosas. Nota-se a produção de dois sons espaçados por

uma Oitava - proporção 1:2.

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A Harmonia da Natureza Harmonia:

Combinação simultânea de notas em uma corda. Combinação agradável de sons.

Somente frequências múltiplas da frequência fundamental existem, pois as cordas estão amarradas nas extremidades.

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A Harmonia da Natureza Os sinais senoidais e harmônicos são utilizados

para descrever a essência da matéria e energia no modelo de um átomo!

Comprimento de Onda

Frequência

Linhas espectrais do átomo de Hidrogênio.

hfE =

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Exponencial Complexa Contínua x Discreta

Sinais diferentes para cada valor de .

Sinais idênticos para valores de separados por múltiplos

de . Periódico para todo . Periódico se é racional.

Freqüência fundamental . Frequência fundamental , M e N sem fatores em comum.

Período fundamental in-definido para e igual a

caso contrário.

Período fundamental indefinido para e igual a caso contrário (M e N

sem fatores em comum).

0j te ω 0j ne ω

0ω 0ω2π

0ω 0 2ω π

0ω 0 mω

0 0ω =02π ω

0 0ω =0(2 )m π ω

Vejamos uma animação em Java sobre frequência discreta...

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Boa Notícia!

VOCÊS JÁ PODEM FAZER A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS...

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Novidade

O ENUNCIADO DO PRIMEIRO TRABALHO JÁ ESTÁ DISPONÍVEL NA PÁGINA DA

DISCIPLINA!

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Leituras OPPENHEIM, A. V., WILLSKY, A. S., NAWAB, S.

H. Signals & Systems. 2. ed. New Jersey: Prentice Hall, c1997. 957p.:

Capítulo 1: Signals and Systems.

Arquivo LeiturasIniciais.zip, disponível na página da disciplina.

LEMBRETE: AS NOTAS DE AULA NÃO SUBSTITUEM AS LEITURAS!

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Brincando com Números Complexos

“Complex Number" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/ComplexNumber/

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Brincando com Números Complexos

“Complex Addition" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/ComplexAddition/

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Brincando com Números Complexos

“Complex Multiplication" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/ComplexMultiplication/

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Brincando com Números Complexos

“Multiplying Complex Numbers" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/MultiplyingComplexNumbers/

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Brincando com Números Complexos

“Complex Number Game" from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/ComplexNumberGame/

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Brincando com Números Complexos

“Complex Numbers in Rectangular and Polar Form” from the Wolfram Demonstrations Project

http://demonstrations.wolfram.com/ComplexNumbersInRectangularAndPolarForm/

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Brincando com Números Complexos http://demonstrations.wolfram.com/

Busca: complex numbers.

SinDrill e ZDrill.

http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html

(Acesso em 24/07/2010)

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